Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Model**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $2\sqrt{3} - \sqrt{20} + \sqrt{45} - \sqrt{5} + \sqrt{4} - \sqrt{12} = 2$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 7$. Calculați $f(a)$, unde $a = f(3) - f(1)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x^2 + 4x + 1} = x + 1$.

**5p** **4.** După două ieftiniri succesive cu câte $50\%$, un obiect costă $100$ de lei. Calculați prețul inițial al obiectului.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(-2, -2)$, $N(-2, 0)$ și $P(0, -4)$. Determinați lungimea medianei din vârful $M$ al triunghiului $MNP$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $BC = 10$ și $m(\sphericalangle B) = 30^\circ$. Calculați lungimea laturii $AB$.

### SUBIECTUL al II-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = 2xy - 2x - 2y + 3$.

**5p** **1.** Arătați că $2 * 2 = 3$.

**5p** **2.** Demonstrați că $x * y = 2(x - 1)(y - 1) + 1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **3.** Arătați că $e = \dfrac{3}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **4.** Verificați dacă $\dfrac{5}{4}$ este simetricul lui $2$ în raport cu legea de compoziție „$*$”.

**5p** **5.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $(x + 1) * (x - 1) = 1$.

**5p** **6.** Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care $n * (n + 1) \le 5$.

### SUBIECTUL al III-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)

Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ și $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

**5p** **1.** Arătați că $\det A = 10$.

**5p** **2.** Arătați că $B \cdot B = 6B - 3I_2$.

**5p** **3.** Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $xA + yB = \begin{pmatrix} 7 & 7 \\ -8 & -3 \end{pmatrix}$.

**5p** **4.** Determinați inversa matricei $B$.

**5p** **5.** Arătați că matricea $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, care verifică egalitatea $A + X = B$, este inversabilă.

**5p** **6.** Demonstrați că $\det(A + aI_2) > 0$, pentru orice număr real $a$.

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare