Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $2\sqrt{3} - \sqrt{20} + \sqrt{45} - \sqrt{5} + \sqrt{4} - \sqrt{12} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - \sqrt{5} + 2 - 2\sqrt{3} =$ **3p**

$= \left( 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \right) + \left( -2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - \sqrt{5} \right) + 2 = 2$ **2p**

**2.** $f(3) = 10$, $f(1) = 8 \Rightarrow a = f(3) - f(1) = 2$ **3p**

$f(a) = f(2) = 9$ **2p**

**3.** $2x^2 + 4x + 1 = x^2 + 2x + 1 \Rightarrow x^2 + 2x = 0$ **2p**

$x = -2$, care nu convine sau $x = 0$, care convine **3p**

**4.** Prețul după prima ieftinire este $x - \frac{50}{100} \cdot x = \frac{x}{2}$, unde $x$ este prețul inițial al obiectului **2p**

Prețul după a doua ieftinire este $\frac{x}{2} - \frac{50}{100} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x}{4}$, deci $\frac{x}{4} = 100 \Rightarrow x = 400$ de lei **3p**

**5.** Mijlocul segmentului $NP$ este punctul $Q(-1, -2)$ **3p**

$MQ = 1$ **2p**

**6.** $\cos B = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB}{10}$ **3p**

$AB = 5\sqrt{3}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $2 * 2 = 2 \cdot 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2 + 3 =$ **3p**

$= 8 - 4 - 4 + 3 = 3$ **2p**

**2.** $x * y = 2xy - 2x - 2y + 2 + 1 =$ **2p**

$= 2x(y - 1) - 2(y - 1) + 1 = 2(x - 1)(y - 1) + 1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **3p**

**3.** $x * \frac{3}{2} = 2(x - 1)\left( \frac{3}{2} - 1 \right) + 1 = x - 1 + 1 = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\frac{3}{2} * x = 2\left( \frac{3}{2} - 1 \right)(x - 1) + 1 = x - 1 + 1 = x = x * \frac{3}{2}$, pentru orice număr real $x$, deci $e = \frac{3}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**4.** $2 * \frac{5}{4} = 2(2 - 1)\left( \frac{5}{4} - 1 \right) + 1 = 2 \cdot \frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{2}$ **2p**

$\frac{5}{4} * 2 = 2\left( \frac{5}{4} - 1 \right)(2 - 1) + 1 = 2 \cdot \frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{2}$, deci $\frac{5}{4}$ este simetricul lui $2$ în raport cu legea de compoziție „$*$” **3p**

**5.** $2(x + 1 - 1)(x - 1 - 1) + 1 = 1 \Leftrightarrow x(x - 2) = 0$ **3p**

$x = 0$ sau $x = 2$ **2p**

**6.** $2(n - 1)(n + 1 - 1) + 1 \le 5 \Leftrightarrow (n - 1)n \le 2$ **2p**

Cum $n$ este număr natural nenul, obținem $n = 1$ sau $n = 2$ **3p**

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $\det A = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -3 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) - (-3) \cdot 4 =$ **3p**

$= -2 + 12 = 10$ **2p**

**2.** $B \cdot B = \begin{pmatrix} 27 & -6 \\ -12 & 3 \end{pmatrix}$ **2p**

$6B - 3I_2 = \begin{pmatrix} 30 & -6 \\ -12 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 & -6 \\ -12 & 3 \end{pmatrix} = B \cdot B$ **3p**

**3.** $xA + yB = \begin{pmatrix} x & 4x \\ -3x & -2x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5y & -y \\ -2y & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 5y & 4x - y \\ -3x - 2y & -2x + y \end{pmatrix}$ **2p**

$\begin{pmatrix} x + 5y & 4x - y \\ -3x - 2y & -2x + y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 7 \\ -8 & -3 \end{pmatrix}$, de unde obținem $x = 2$ și $y = 1$ **3p**

**4.** $\det B = 3$ **2p**

$B^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{5}{3} \end{pmatrix}$ **3p**

**5.** $X = B - A \Rightarrow X = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ **2p**

$\det X = \begin{vmatrix} 4 & -5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 17 \neq 0$, deci matricea $X$ este inversabilă **3p**

**6.** $A + aI_2 = \begin{pmatrix} 1 + a & 4 \\ -3 & a - 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A + aI_2) = a^2 - a + 10 =$ **2p**

$= \left( a - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{39}{4} > 0$, pentru orice număr real $a$ **3p**

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

Model