Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Clasa a XII-a**

**Simulare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Calculați modulul numărului complex $z=(2-i)(3+2i)-4(1+i)$.

**5p** **2.** Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care $x^2-(2m+1)x+m(m-1) \geq 0$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2\log_2 x - \log_x 2 = 1$.

**5p** **4.** Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi $A$, știind că mulțimea $A$ are exact 16 submulțimi cu cel mult două elemente.

**5p** **5.** Se consideră triunghiul $ABC$, punctul $M$ mijlocul laturii $BC$ și punctul $N$ mijlocul segmentului $AM$. Demonstrați că $2\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CN} = \vec{0}$.

**5p** **6.** Determinați $x \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$, știind că $1+3\cos x = \cos 2x$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 2 & a & 4 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} x+y+z=1 \\ x+2y+az=2 \\ 2x+ay+4z=3 \end{cases}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(a)) = a(3-a)$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **b)** Pentru $a=0$, demonstrați că sistemul de ecuații este incompatibil.

**5p** **c)** Determinați numerele întregi $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică $(x_0, y_0, z_0)$ și $x_0$, $y_0$ și $z_0$ sunt numere întregi.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = \sqrt{x^2y^2+x^2+y^2}$.

**5p** **a)** Demonstrați că $x \circ y = \sqrt{(x^2+1)(y^2+1)-1}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **b)** Determinați perechile de numere naturale $a$ și $b$, știind că $a \circ b = 1$.

**5p** **c)** Demonstrați că pentru orice număr natural $n$, $n \geq 2$, numărul $\underbrace{1 \circ 1 \circ \dots \circ 1}_{1 \text{ de } n \text{ ori}}$ **nu** este natural.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt{x^2+2x+2}-x+1$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{x+1-\sqrt{x^2+2x+2}}{\sqrt{x^2+2x+2}}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei oblice spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Determinați imaginea funcției $f$.

***

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**2.** Se consideră funcția $f:(-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x \ln (x+1)$.

**5p** **a)** Calculați $\int\limits_{1}^{2} \frac{(3 x-2) f(x)}{\ln (x+1)} d x$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1} f(x) d x=\frac{1}{4}$.

**5p** **c)** Calculați $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t^{3}} \int\limits_{0}^{t} f(x) d x$.