Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Clasa a XII-a**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $z = 6 - 3i + 4i - 2i^2 - 4 - 4i = 4 - 3i$ **3p**

$ z = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5$ **2p**

**2.** $\Delta = (2m+1)^2 - 4m(m-1) = 8m+1$ **2p**

$\Delta \le 0$, deci $m \in \left( -\infty, -\frac{1}{8} \right]$ **3p**

**3.** $2\log_2 x - \frac{1}{\log_2 x} = 1 \Rightarrow (2\log_2 x + 1)(\log_2 x - 1) = 0$ **3p**

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ sau $x = 2$, care convin **2p**

**4.** Numărul de submulțimi cu cel mult două elemente ale mulțimii $A$ este $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2$, unde $n$ este numărul de elemente ale mulțimii $A$ **3p**

$1 + n + \frac{n(n-1)}{2} = 16$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n = 5$ **2p**

**5.** $M$ mijlocul laturii $BC \Rightarrow \vec{BN} + \vec{CN} = 2\vec{MN}$ **2p**

$N$ mijlocul segmentului $AM$, deci $\vec{MN} = \vec{NA}$, deci $2\vec{AN} + \vec{BN} + \vec{CN} = 2\vec{AN} + 2\vec{NA} = \vec{0}$ **3p**

**6.** $1 + 3\cos x = 2\cos^2 x - 1 \Leftrightarrow 2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0 \Leftrightarrow (\cos x - 2)(2\cos x + 1) = 0$ **3p**

$\cos x = -\frac{1}{2}$ și, cum $x \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$, obținem $x = \frac{2\pi}{3}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 2 & a & 4 \end{vmatrix} = 8 + a + 2a - 4 - a^2 - 4 =$ **3p**

$= -a^2 + 3a = a(3-a)$, pentru orice număr real $a$ **2p**

**b)** $\det(A(0)) = 0$ și un minor principal este $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \neq 0$ **2p**

Minor caracteristic este $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$, deci sistemul de ecuații este incompatibil **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**c)** Sistemul are soluție unică $(x_0, y_0, z_0) \Rightarrow a \in \mathbb{Z} \setminus \{0, 3\}$ și soluția sistemului este $\left( 1 - \frac{2}{a}, \frac{1}{a}, \frac{1}{a} \right)$ **3p**

$x_0, y_0$ și $z_0$ sunt numere întregi, deci $\frac{1}{a}$ este număr întreg și, cum și $a$ este număr întreg, obținem $a = -1$ sau $a = 1$, care convin **2p**

**2.a)** $x \circ y = \sqrt{x^2 y^2 + x^2 + y^2 + 1} - 1 =$ **2p**

$= \sqrt{x^2(y^2 + 1) + (y^2 + 1)} - 1 = \sqrt{(x^2 + 1)(y^2 + 1)} - 1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **3p**

**b)** $\sqrt{(a^2 + 1)(b^2 + 1)} - 1 = 1 \Leftrightarrow (a^2 + 1)(b^2 + 1) = 2$ **2p**

Cum $a$ și $b$ sunt numere naturale, obținem $a = 1, b = 0$ sau $a = 0, b = 1$ **3p**

**c)** $\underbrace{1 \circ 1 \circ \dots \circ 1}_{1 \text{ de } n \text{ ori}} = \sqrt{2^n} - 1$, pentru orice număr natural $n, n \geq 2$ **2p**

Dacă $\sqrt{2^n} - 1 \in \mathbb{N}$, există $k \in \mathbb{N}$ astfel încât $2^n - 1 = k^2 \Rightarrow k$ impar, deci există $m \in \mathbb{N}$ astfel încât $2^n - 1 = (2m + 1)^2$, de unde obținem $2^{n-1} = 2m^2 + 2m + 1$, ceea ce este imposibil, pentru orice număr natural $n, n \geq 2$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x + 2}} - 1 =$ **3p**

$= \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} - 1 = \frac{x + 1 - \sqrt{x^2 + 2x + 2}}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}, x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x \left( -\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}} - 1 + \frac{1}{x} \right)}{x} = -2$ **2p**

$\lim_{x \to -\infty} (f(x) + 2x) = \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x + 2} + x + 1 \right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2} - x - 1} = 0$, deci dreapta de ecuație $y = -2x$ este asimptotă oblică spre $-\infty$ la graficul funcției $f$ **3p**

**c)** $\sqrt{x^2 + 2x + 2} > x + 1 \Rightarrow f'(x) < 0$, pentru orice număr real $x$, deci funcția $f$ este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$ **2p**

$f$ continuă pe $\mathbb{R}$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$, deci $\text{Im } f = (2, +\infty)$ **3p**

**2.a)** $\int_1^2 \frac{(3x - 2)f(x)}{\ln(x + 1)} dx = \int_1^2 (3x^2 - 2x) dx = (x^3 - x^2) \Big _1^2 =$ **3p**

$= 8 - 4 - 1 + 1 = 4$ **2p**

**b)** $\int_0^1 x \ln(x + 1) dx = \int_0^1 \left( \frac{x^2 - 1}{2} \right)' \ln(x + 1) dx = \frac{x^2 - 1}{2} \ln(x + 1) \Big _0^1 - \frac{1}{2} \int_0^1 (x - 1) dx =$ **3p**

$= -\frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} - x \right) \Big _0^1 = \frac{1}{4}$ **2p**

**c)** $\lim_{t \to 0} \frac{1}{t^3} \int_0^t f(x) dx = \lim_{t \to 0} \frac{f(t)}{3t^2} =$ **3p**

$= \lim_{t \to 0} \frac{\ln(t + 1)}{3t} = \frac{1}{3}$ **2p**

***