Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Model**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați elementele mulțimii $M = \left\{ x \in \mathbb{Z} \mid \dfrac{3}{x+1} \in \mathbb{N} \right\}$.

**5p** **2.** Se consideră $x_1$ și $x_2$ soluțiile ecuației $x^2 - mx - 1 = 0$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$, știind că $\dfrac{x_1^2 - 1}{x_1} + \dfrac{x_2^2 - 1}{x_2} = 2$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2-x} - x = 0$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A = \left\{ \log_2 n \mid n \in \mathbb{N}^*, n \le 20 \right\}$, acesta să fie număr natural.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(0,2)$ și $P(1,1)$. Determinați ecuația mediatoarei segmentului $MP$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB = 5\sqrt{2}$, $m(\sphericalangle A) = 45^\circ$ și $m(\sphericalangle C) = 30^\circ$. Determinați lungimea laturii $BC$.

### SUBIECTUL al II-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $M(m) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & m & -1 \\ m & 1 & 3 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} x + 2y + 4z = 5 \\ -x + my - z = -2 \\ mx + y + 3z = 4 \end{cases}$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(M(0)) = 3$.

**5p** **b)** Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care sistemul are soluție unică.

**5p** **c)** Pentru $m = 1$, determinați soluțiile $(x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului pentru care $4y_0^2 = (x_0 + z_0)^2$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă, cu element neutru, $x * y = \dfrac{1}{3}xy - \dfrac{1}{2}(x + y) + \dfrac{9}{4}$.

**5p** **a)** Demonstrați că $x * y = \dfrac{1}{3}\left(x - \dfrac{3}{2}\right)\left(y - \dfrac{3}{2}\right) + \dfrac{3}{2}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * x * x = x$.

**5p** **c)** Demonstrați că **nu** există niciun număr natural

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**5p** **b)** Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $f$ în care tangenta la graficul funcției $f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y = -\frac{1}{7}x + 2$.

**5p** **c)** Demonstrați că pentru fiecare număr natural nenul $n$, ecuația $f(x) + n = 0$ are soluție unică.

**2.** Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{x}{e^x}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{0}^{2} e^x f(x) dx = 2$.

**5p** **b)** Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = -1$ și $x = 1$ are aria egală cu $2 - \frac{2}{e}$.

**5p** **c)** Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră $I_n = \int\limits_{0}^{1} x^n f(x) dx$. Demonstrați că $\lim\limits_{n \to +\infty} (n+2)I_n = \frac{1}{e}$.