Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\frac{3}{x+1} \in \mathbb{N} \Rightarrow x+1=1$ sau $x+1=3$ **3p**

Elementele mulțimii $M$ sunt $0$ și $2$ **2p**

**2.** $x_1^2-1=m x_1, x_2^2-1=m x_2$, pentru orice număr real $m$ **2p**

$\frac{m x_1}{x_1}+\frac{m x_2}{x_2}=2$, deci $m=1$ **3p**

**3.** $\sqrt{2-x}=x \Rightarrow 2-x=x^2 \Rightarrow x^2+x-2=0$ **3p**

$x=-2$, care nu convine sau $x=1$, care convine **2p**

**4.** În mulțimea $A$ sunt $20$ de numere, deci sunt $20$ de cazuri posibile **1p**

Pentru $n \leq 20$, obținem $\log _2 n \in \mathbb{N} \Leftrightarrow n \in\{1,2,4,8,16\}$, deci sunt $5$ cazuri favorabile **2p**

$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$ **2p**

**5.** $m_{M P}=-1$, deci panta mediatoarei segmentului $M P$ este $m=1$ **2p**

$Q\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ este mijlocul lui $M P$, deci ecuația mediatoarei este $y-\frac{3}{2}=x-\frac{1}{2} \Leftrightarrow y=x+1$ **3p**

**6.** $\frac{A B}{\sin C}=\frac{B C}{\sin A} \Leftrightarrow \frac{5 \sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{B C}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ **3p**

$B C=10$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $M(0)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(M(0))=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \end{vmatrix}=$ **2p**

$=0+(-4)+0-0-(-6)-(-1)=3$ **3p**

**b)** $\det(M(m))=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & m & -1 \\ m & 1 & 3 \end{vmatrix}=-4 m^2+m+3$, pentru orice număr real $m$ **2p**

$\det(M(m))=0 \Leftrightarrow m=-\frac{3}{4}$ sau $m=1$, deci sistemul are soluție unică pentru $m \in \mathbb{R} \setminus\left\{-\frac{3}{4}, 1\right\}$ **3p**

**c)** Pentru $m=1$, sistemul este compatibil nedeterminat și soluțiile sistemului sunt $(3-2 \alpha, 1-\alpha, \alpha)$, unde $\alpha \in \mathbb{C}$ **3p**

$4(1-\alpha)^2=(3-\alpha)^2 \Leftrightarrow \alpha=-1$ sau $\alpha=\frac{5}{3}$, deci soluțiile sunt $(5,2,-1)$ sau $\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right)$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**2.a)** $x * y = \frac{1}{3}xy - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y + \frac{3}{4} + \frac{6}{4} =$ **2p**

$= \frac{1}{3}x\left(y - \frac{3}{2}\right) - \frac{1}{2}\left(y - \frac{3}{2}\right) + \frac{3}{2} = \frac{1}{3}\left(x - \frac{3}{2}\right)\left(y - \frac{3}{2}\right) + \frac{3}{2}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **3p**

**b)** $x * x = \frac{1}{3}\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}$, $x * x * x = \frac{1}{9}\left(x - \frac{3}{2}\right)^3 + \frac{3}{2}$ **2p**

$\frac{1}{9}\left(x - \frac{3}{2}\right)^3 + \frac{3}{2} = x \Leftrightarrow x = -\frac{3}{2}$ sau $x = \frac{3}{2}$ sau $x = \frac{9}{2}$ **3p**

**c)** $x * \frac{9}{2} = \frac{9}{2} * x = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = \frac{9}{2}$ este elementul neutru al legii „$*$” **2p**

$n * n' = n' * n = \frac{9}{2} \Leftrightarrow 4nn' - 6n - 6n' = 27$, unde $n'$ este simetricul lui $n$ și, cum pentru $n, n' \in \mathbb{N}$, numărul $4nn' - 6n - 6n'$ este par, obținem că nu există niciun număr natural $n$ al cărui simetric în raport cu legea de compoziție „$*$” să fie număr natural **3p**

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.a)** $f'(x) = 1 - \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} =$ **3p**

$= \frac{x^2 - x}{x^2 + x + 1} = \frac{x(x - 1)}{x^2 + x + 1}$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** Tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $(a, f(a))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y = -\frac{1}{7}x + 2 \Leftrightarrow f'(a) = -\frac{1}{7}$ **2p**

$\frac{a(a - 1)}{a^2 + a + 1} = -\frac{1}{7} \Leftrightarrow 8a^2 - 6a + 1 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}$ sau $a = \frac{1}{2}$ **3p**

**c)** $f$ continuă pe $\mathbb{R}$, $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, $f(0) = 0$, $f(1) = 1 - \ln 3 \in (-1, 0)$ **3p**

$f$ este strict descrescătoare pe $(0, 1)$ și $f$ este strict crescătoare pe $(1, +\infty)$, deci, pentru fiecare $n \in \mathbb{N}^*$, ecuația $f(x) + n = 0$ nu are nicio soluție în $[0, +\infty)$ **1p**

$f$ este strict crescătoare pe $(-\infty, 0) \Rightarrow$ pentru fiecare $n \in \mathbb{N}^*$, ecuația $f(x) + n = 0$ are soluție unică în $(-\infty, 0)$, deci pentru fiecare $n \in \mathbb{N}^*$, ecuația $f(x) + n = 0$ are soluție unică **1p**

**2.a)** $\int\limits_0^2 e^x f(x) dx = \int\limits_0^2 e^x \cdot \frac{x}{e^x} dx = \int\limits_0^2 x dx = \left. \frac{x^2}{2} \right _0^2 =$ **3p**

$= 2 - 0 = 2$ **2p**

**b)** $\mathcal{A} = \int\limits_{-1}^1 f(x) dx = \int\limits_{-1}^0 -xe^{-x} dx + \int\limits_0^1 xe^{-x} dx = \left. (x + 1)e^{-x} \right _{-1}^0 - \left. (x + 1)e^{-x} \right _0^1 =$ **3p**

$= 1 - \frac{2}{e} + 1 = 2 - \frac{2}{e}$ **2p**

**c)** $(n + 2)I_n = (n + 2) \int\limits_0^1 x^n f(x) dx = (n + 2) \int\limits_0^1 x^{n+1} e^{-x} dx = \int\limits_0^1 (x^{n+2})' e^{-x} dx = \frac{1}{e} + \int\limits_0^1 x^{n+2} e^{-x} dx$ **2p**

$0 \le x \le 1 \Rightarrow \frac{1}{e} \le e^{-x} \le 1 \Rightarrow \frac{1}{e} \cdot x^{n+2} \le x^{n+2} e^{-x} \le x^{n+2} \Rightarrow \frac{1}{e} \int\limits_0^1 x^{n+2} dx \le \int\limits_0^1 x^{n+2} e^{-x} dx \le \int\limits_0^1 x^{n+2} dx$ **1p**

Cum $\lim\limits_{n \to +\infty} \int\limits_0^1 x^{n+2} dx = \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n + 3} = 0$, obținem $\lim\limits_{n \to +\infty} \int\limits_0^1 x^{n+2} e^{-x} dx = 0 \Rightarrow \lim\limits_{n \to +\infty} (n + 2)I_n = \frac{1}{e}$ **2p**

***