Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Varianta 7**

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\left( \frac{3}{2} - \frac{2}{3} \right) : \left( \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \right) \cdot \frac{13}{5} = 1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x - 4$. Determinați numărul real $m$, știind că $f(m+1) = m$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_7(2x+3) = \log_7 9$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A = \{10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\}$, acesta să fie multiplu de 3.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(4,1)$, $N(1,5)$ și $P(4,5)$. Calculați aria triunghiului $MNP$.

**5p** **6.** Arătați că $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sin 60^\circ + \sin^2 45^\circ = 1$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ și $M(a) = \begin{pmatrix} 1+a & -a \\ a & 1-a \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det A = -2$.

**5p** **b)** Demonstrați că $M(a) \cdot M(b) = M(a+b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

**5p** **c)** Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $M(1) \cdot X \cdot M(2) = A$.

**2.** Se consideră polinomul $f = 2X^3 - 4X^2 + 4X - 3$.

**5p** **a)** Arătați că $f(0) = -3$.

**5p** **b)** Demonstrați că numărul $a = \frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2} + \frac{3}{x_3}$ este natural, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile lui $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că polinomul $f$ **nu** are toate rădăcinile reale.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{x}{x^6 + 5}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{5(1-x^3)(1+x^3)}{\left(x^6+5\right)^2}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$ situat pe graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Determinați mulțimea valorilor funcției $f$.

**2.** Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = (x-1)e^x$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^1 \frac{f(x)}{e^x} dx = -\frac{1}{2}$.

**5p** **b)** Demonstrați că $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $F(x) = (x-2)e^x + 2019$ este o primitivă a funcției $f$.

**5p** **c)** Calculați $\int\limits_0^1 f^2(x) f'(x) dx$.

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*