Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 7**

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\left( \frac{3}{2} - \frac{2}{3} \right) : \left( \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \right) \cdot \frac{13}{5} = \frac{5}{6} : \frac{13}{6} \cdot \frac{13}{5} =$ **3p**

$= \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{13} \cdot \frac{13}{5} = 1$ **2p**

**2.** $f(m+1) = 2(m+1) - 4 = 2m - 2$ **3p**

$2m - 2 = m \Leftrightarrow m = 2$ **2p**

**3.** $2x + 3 = 9 \Rightarrow 2x = 6$ **3p**

$x = 3$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile **2p**

În mulțimea $A$ sunt 3 numere multiplu de 3, deci sunt 3 cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ **1p**

**5.** $MP = 4$, $NP = 3$ **2p**

$\Delta MPN$ este dreptunghic în $P$, deci $\mathcal{A}_{\Delta MPN} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ **3p**

**6.** $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ **2p**

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sin 60^\circ + \sin^2 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det A = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 =$ **3p**

$= 4 - 6 = -2$ **2p**

**b)** $M(a) \cdot M(b) = \begin{pmatrix} 1+a & -a \\ a & 1-a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1+b & -b \\ b & 1-b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+a+b & -b-a \\ a+b & 1-a-b \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} 1+(a+b) & -(a+b) \\ a+b & 1-(a+b) \end{pmatrix} = M(a+b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **2p**

**c)** $M(a) \cdot M(-a) = M(0) = I_2 \Rightarrow (M(a))^{-1} = M(-a)$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$X = (M(1))^{-1} \cdot A \cdot (M(2))^{-1} \Rightarrow X = M(-1) \cdot A \cdot M(-2) \Rightarrow X = \begin{pmatrix} -11 & 18 \\ -17 & 28 \end{pmatrix}$ **3p**

**2.a)** $f(0) = 2 \cdot 0^3 - 4 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 - 3 =$ **3p**

$= 0 - 0 + 0 - 3 = -3$ **2p**

Barem de evaluare și de notare

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**b)** $x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = 2$, $x_1x_2x_3 = \frac{3}{2}$ **2p**

$a = \frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2} + \frac{3}{x_3} = \frac{3(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1)}{x_1x_2x_3} = 4$, care este număr natural **3p**

**c)** $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1) = 2^2 - 2 \cdot 2 = 0$ **2p**

Dacă $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt numere reale, atunci $x_1 = x_2 = x_3 = 0$, ceea ce nu convine deoarece $f(0) = -3$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{x^6 + 5 - x \cdot 6x^5}{\left(x^6 + 5\right)^2} = \frac{5 - 5x^6}{\left(x^6 + 5\right)^2} =$ **3p**

$= \frac{5(1 - x^6)}{\left(x^6 + 5\right)^2} = \frac{5(1 - x^3)(1 + x^3)}{\left(x^6 + 5\right)^2}$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $f(0) = 0$, $f'(0) = \frac{1}{5}$ **2p**

Ecuația tangentei este $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$, adică $y = \frac{1}{5}x$ **3p**

**c)** $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in (-\infty, -1] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $(-\infty, -1]$, $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in [-1, 1] \Rightarrow f$ este crescătoare pe $[-1, 1]$ și $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in [1, +\infty) \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $[1, +\infty)$ **2p**

$f$ continuă pe $\mathbb{R}$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$, $f(-1) = -\frac{1}{6}$, $f(1) = \frac{1}{6}$ și $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$, deci mulțimea valorilor funcției $f$ este $\left[-\frac{1}{6}, \frac{1}{6}\right]$ **3p**

**2.a)** $\int_0^1 \frac{f(x)}{e^x} dx = \int_0^1 (x - 1) dx = \left(\frac{x^2}{2} - x\right) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= \frac{1}{2} - 1 - 0 = -\frac{1}{2}$ **2p**

**b)** $F'(x) = \left((x - 2)e^x + 2019\right)' = 1 \cdot e^x + (x - 2)e^x + 0 =$ **3p**

$= (x - 1)e^x = f(x)$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**c)** $\int_0^1 f^2(x) f'(x) dx = \frac{f^3(x)}{3} \bigg _0^1 =$ **3p**

$= \frac{f^3(1) - f^3(0)}{3} = \frac{0 - (-1)}{3} = \frac{1}{3}$ **2p**

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*