Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**Examenul de bacalaureat naţional 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Varianta 7**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, dacă $a_1 = 2$ și rația $r = 2$.

**5p** **2.** Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 10x + 9$ cu axa $Ox$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{x+1} - 3 \cdot 5^x = 2$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $x$ din mulțimea $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, acesta să fie soluție a ecuației $x^2 - 4x + 4 = 0$.

**5p** **5.** Determinați lungimea vectorului $\vec{AB} + \vec{AC}$, știind că triunghiul $ABC$ este echilateral și $AB = 2$.

**5p** **6.** Arătați că $\sin^2 \left( \frac{\pi}{2} - x \right) + \sin^2 (x + \pi) = 1$, pentru orice număr real $x$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} 1 + 4a & -6a \\ 2a & 1 - 3a \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1)) = 2$.

**5p** **b)** Demonstrați că $A(a)A(b) = A(a + b + ab)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

**5p** **c)** Determinați perechile de numere naturale $m$ și $n$ pentru care $A(m)A(n) = A(2)$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = 2xy - 2x - 2y + 3$.

**5p** **a)** Arătați că $x \circ y = 2(x - 1)(y - 1) + 1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **b)** Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $x \circ x \le 9$.

**5p** **c)** Calculați $1^n \circ 2^n \circ 3^n \circ \dots \circ 2019^n$, pentru orice număr natural nenul $n$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x - \ln x^e$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{x - e}{x}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $f$, în care tangenta la graficul funcției $f$ este paralelă cu axa $Ox$.

**5p** **c)** Demonstrați că ecuația $e^x = x^e$ are exact o soluție în $(0, +\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = (x - 1)(x + 1)e^x$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^3 \frac{f(x)}{e^x} dx = 6$.

**5p** **b)** Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = 1$ și $x = 2$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$, $a > 2$, știind că $\int\limits_2^a \frac{2xe^x}{f(x)} dx = 3 \ln 2$.