Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_șt-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 7**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $a_2 = 4$, $a_3 = 6$ **2p**

$a_1 + a_2 + a_3 = 2 + 4 + 6 = 12$ **3p**

**2.** $f(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 10x + 9 = 0$ **3p**

Abscisele sunt $x = 1$ și $x = 9$ **2p**

**3.** $5^x(5 - 3) = 2 \Leftrightarrow 5^x \cdot 2 = 2 \Leftrightarrow 5^x = 1$ **3p**

$x = 0$ **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile **1p**

În mulțimea $A$ este un singur număr care verifică ecuația, deci este un caz favorabil **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{1}{10}$ **2p**

**5.** $\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AM}$, unde $M$ este mijlocul laturii $BC$ **3p**

$AM = \sqrt{3}$, deci lungimea vectorului $\vec{AB} + \vec{AC}$ este egală cu $2\sqrt{3}$ **2p**

**6.** $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$, $\sin(x + \pi) = -\sin x$ **2p**

$\sin^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin^2(x + \pi) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$, pentru orice număr real $x$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 5 & -6 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = 5 \cdot (-2) - 2 \cdot (-6) =$ **3p**

$= -10 + 12 = 2$ **2p**

**b)** $A(a)A(b) = \begin{pmatrix} 1+4a & -6a \\ 2a & 1-3a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1+4b & -6b \\ 2b & 1-3b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4a+4b+4ab & -6b-6ab-6a \\ 2a+2ab+2b & 1-3a-3b-3ab \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} 1+4(a+b+ab) & -6(a+b+ab) \\ 2(a+b+ab) & 1-3(a+b+ab) \end{pmatrix} = A(a+b+ab)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **2p**

**c)** $A(m+n+mn) = A(2) \Leftrightarrow m+n+mn = 2$ **2p**

Cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, $(m+1)(n+1) = 3 \Rightarrow m=2, n=0$ sau $m=0, n=2$ **3p**

**2.a)** $x \circ y = 2xy - 2x - 2y + 2 + 1 =$ **2p**

$= 2x(y-1) - 2(y-1) + 1 = 2(x-1)(y-1) + 1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **3p**

**b)** $x \circ x = 2(x-1)^2 + 1$, de unde obținem $(x-1)^2 \leq 4$ **2p**

$x \in [-1, 3]$ **3p**

**c)** $1 \circ x = 1$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$1^n \circ 2^n \circ 3^n \circ \dots \circ 2019^n = 1 \circ (2^n \circ 3^n \circ \dots \circ 2019^n) = 1$, pentru orice număr natural nenul $n$ **3p**

Barem de evaluare și de notare

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = x' - (e \ln x)' =$ **2p**

$= 1 - e \cdot \frac{1}{x} = \frac{x - e}{x}, \ x \in (0, +\infty)$ **3p**

**b)** Tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $(a, f(a))$ este paralelă cu axa $Ox \Leftrightarrow f'(a) = 0$ **3p**

$a - e = 0 \Leftrightarrow a = e$ **2p**

**c)** $f'(x) < 0$, pentru orice $x \in (0, e) \Rightarrow f$ este strict descrescătoare pe $(0, e)$ și $f'(x) > 0$, pentru orice $x \in (e, +\infty) \Rightarrow f$ este strict crescătoare pe $(e, +\infty)$ **2p**

$e^x = x^e \Leftrightarrow x = \ln x^e \Leftrightarrow f(x) = 0$ și, cum $f$ este continuă și $f(e) = 0$, ecuația $e^x = x^e$ are exact o soluție în $(0, +\infty)$ **3p**

**2.a)** $\int\limits_0^3 \frac{f(x)}{e^x} dx = \int\limits_0^3 (x - 1)(x + 1) dx = \int\limits_0^3 (x^2 - 1) dx = \left( \frac{x^3}{3} - x \right) \bigg _0^3 =$ **3p**

$= 9 - 3 = 6$ **2p**

**b)** $\mathcal{A} = \int\limits_1^2 f(x) \, dx = \int\limits_1^2 (x^2 - 1) e^x dx = (x^2 - 1) e^x \bigg _1^2 - \int\limits_1^2 2x e^x dx =$ **2p**

$= 3e^2 - 0 - 2(x - 1) e^x \bigg _1^2 = 3e^2 - 2e^2 = e^2$ **3p**

**c)** $\int\limits_2^a \frac{2x e^x}{f(x)} dx = \int\limits_2^a \frac{2x}{x^2 - 1} dx = \ln(x^2 - 1) \bigg _2^a = \ln \frac{a^2 - 1}{3}$ **3p**

$\ln \frac{a^2 - 1}{3} = 3 \ln 2 \Leftrightarrow a^2 - 25 = 0$ și, cum $a$ este număr real, $a > 2$, obținem $a = 5$ **2p**

***