Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Varianta 7**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că $4\sqrt{5} - \sqrt{75} + \sqrt{108} - \sqrt{3} + \sqrt{25} - \sqrt{80} = 5$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, pentru care $f(1) = 8$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x - 1} = x$.

**5p** **4.** Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu cifrele $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ și $9$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreapta $d$ de ecuație $y = x - 2$. Determinați coordonatele punctului de intersecție a dreptei $d$ cu axa $Ox$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB = 6$, $AC = 8$ și $BC = 10$. Calculați aria triunghiului $ABC$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = xy + x + y$.

**5p** **1.** Arătați că $(-1) * 3 = -1$.

**5p** **2.** Demonstrați că $x * y = (x + 1)(y + 1) - 1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **3.** Verificați dacă $e = 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **4.** Verificați dacă $-\frac{1}{2}$ este simetricul lui $1$ în raport cu legea de compoziție „$*$”.

**5p** **5.** Determinați numerele reale $x$, știind că $x * x * x = x$.

**5p** **6.** Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice relația $n * n = 3$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} 1 - 2a & 2a \\ -3a & 1 + 3a \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **1.** Arătați că $\det(A(0)) = 1$.

**5p** **2.** Arătați că $A(1) + A(5) = 2A(3)$.

**5p** **3.** Arătați că $A(1) \cdot A(2) = A(5)$.

**5p** **4.** Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă.

**5p** **5.** Demonstrați că $A(a) \cdot A(-1) = A(-1) \cdot A(a) = A(-1)$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **6.** Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care $\det(A(n^4)) < 32$.

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare