Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 7**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $4\sqrt{5}-5\sqrt{3}+6\sqrt{3}-\sqrt{3}+5-4\sqrt{5}=$ **3p**

$=(4\sqrt{5}-4\sqrt{5})+(-5\sqrt{3}+6\sqrt{3}-\sqrt{3})+5=5$ **2p**

**2.** $f(1)=1+a$ **2p**

$1+a=8 \Leftrightarrow a=7$ **3p**

**3.** $2x-1=x^2 \Rightarrow x^2-2x+1=0$ **2p**

$x=1$, care convine **3p**

**4.** Cifra unităților poate fi aleasă în 9 moduri **2p**

Cum cifrele sunt distincte, pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor poate fi aleasă în câte 8 moduri, deci se pot forma $9 \cdot 8 = 72$ de numere **3p**

**5.** Dreapta $d$ intersectează axa $Ox \Rightarrow y=0$ **2p**

$x-2=0 \Rightarrow x=2$ **3p**

**6.** $AB^2+AC^2=100=BC^2 \Rightarrow \Delta ABC$ este dreptunghic în $A$ **3p**

$\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $(-1)*3=(-1) \cdot 3+(-1)+3=$ **3p**

$=-3-1+3=-1$ **2p**

**2.** $x*y=xy+x+y+1-1=$ **2p**

$=x(y+1)+(y+1)-1=(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **3p**

**3.** $x*0=(x+1)(0+1)-1=x+1-1=x$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$0*x=(0+1)(x+1)-1=x+1-1=x$, pentru orice număr real $x$, deci $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **2p**

**4.** $1*\left(-\frac{1}{2}\right)=(1+1)\left(-\frac{1}{2}+1\right)-1=2 \cdot \frac{1}{2}-1=0$ **2p**

$\left(-\frac{1}{2}\right)*1=\left(-\frac{1}{2}+1\right)(1+1)-1=\frac{1}{2} \cdot 2-1=0$, deci $-\frac{1}{2}$ este simetricul lui $1$ în raport cu legea de compoziție „$*$” **3p**

**5.** $x*x=(x+1)^2-1$, $x*x*x=(x+1)^3-1$, unde $x$ este număr real **2p**

$(x+1)^3-1=x \Leftrightarrow x(x+1)(x+2)=0 \Leftrightarrow x=-2$ sau $x=-1$ sau $x=0$ **3p**

**6.** Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile **2p**

$(n+1)^2-1=3$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n=1$, deci este 1 caz favorabil **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{1}{10}$ **1p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ **3p**

$\det(A(0)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ **2p**

**2.** $A(1) + A(5) = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -9 & 10 \\ -15 & 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & 12 \\ -18 & 20 \end{pmatrix} =$ **2p**

$= 2 \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ -9 & 10 \end{pmatrix} = 2A(3)$ **3p**

**3.** $A(1) \cdot A(2) = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -6 & 7 \end{pmatrix} =$ **2p**

$= \begin{pmatrix} -9 & 10 \\ -15 & 16 \end{pmatrix} = A(5)$ **3p**

**4.** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 1-2a & 2a \\ -3a & 1+3a \end{vmatrix} = (1-2a)(1+3a) - (-3a)2a = 1+a$, unde $a$ este număr real **3p**

Matricea $A(a)$ este inversabilă $\Leftrightarrow \det(A(a)) \neq 0$, deci $a \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ **2p**

**5.** $A(a) \cdot A(-1) = \begin{pmatrix} 1-2a & 2a \\ -3a & 1+3a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = A(-1)$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$A(-1) \cdot A(a) = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1-2a & 2a \\ -3a & 1+3a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = A(-1)$, pentru orice număr real $a$ **2p**

**6.** $\det(A(n^4)) = 1+n^4$ **2p**

$1+n^4 < 32 \Leftrightarrow n^4 < 31$ și, cum $n$ este număr natural nenul, obținem $n=1$ sau $n=2$ **3p**

***

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*