Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**Examenul de bacalaureat naţional 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Varianta 7**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că suma elementelor mulțimii $A=\{n \in \mathbb{N} \mid n-1 \leq 4\}$ este egală cu $15$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^{2}-2 x+m$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$, știind că vârful parabolei asociate funcției $f$ are ordonata egală cu $2$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x+3}=\sqrt{9-x}$.

**5p** **4.** Determinați numărul submulțimilor cu cel puțin $8$ elemente ale unei mulțimi cu exact $10$ elemente.

**5p** **5.** În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A(5,1)$, $B(-1,3)$ și $C(8,10)$. Determinați lungimea segmentului $C D$, unde punctul $D$ este mijlocul segmentului $A B$.

**5p** **6.** Arătați că $1+\cos \pi+\cos 2 \pi+\cos 3 \pi+\ldots+\cos 2019 \pi=0$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricele $I_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a)=\begin{pmatrix} a+1 & 0 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 0 & a+1 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1))=4$.

**5p** **b)** Demonstrați că $A(a) A(b)=a b I_{3}+(a+b+1) A(0)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

**5p** **c)** Determinați numărul natural $n$ pentru care $A(0) A(1) A(2) \ldots A(2019)=n! A(0)$.

**2.** Se consideră polinomul $f=X^{3}-m X^{2}+2 X+3-m$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Determinați numărul real $m$, știind că $f(1)=0$.

**5p** **b)** Pentru $m=3$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $m$ pentru care $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{3}-12$, unde $x_{1}$, $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=1-\frac{2}{x+1}-\ln \frac{x}{x+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{x-1}{x(x+1)^{2}}$, $x \in(0,+\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Se consideră funcțiile $g:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{x-1}{x+1}$ și $h:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $h(x)=\ln \frac{x}{x+1}$. Demonstrați că graficele funcțiilor $g$ și $h$ **nu** au niciun punct comun.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^{2}+4}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1} f^{2}(x) d x=\frac{13}{3}$.

**5p** **b)** Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=x f(x)$, axa $O x$ și dreptele de ecuații $x=-1$ și $x=1$, are aria egală cu $\frac{10 \sqrt{5}-16}{3}$.

**5p** **c)** Calculați $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{4}} \int\limits_{0}^{x} t^{3} f(t) d t$.