Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 7**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $n \le 5 \Rightarrow A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ **3p**

Suma elementelor mulțimii $A$ este $0+1+2+3+4+5=15$ **2p**

**2.** $\Delta = 4 - 4m$ **2p**

$\frac{4m-4}{4} = 2$, de unde obținem $m=3$ **3p**

**3.** $x+3 = 9-x \Rightarrow 2x = 6$ **3p**

$x=3$, care convine **2p**

**4.** O mulțime cu 10 elemente are $C_{10}^8 + C_{10}^9 + C_{10}^{10}$ submulțimi cu cel puțin 8 elemente **3p**

$C_{10}^8 + C_{10}^9 + C_{10}^{10} = 45 + 10 + 1 = 56$ **2p**

**5.** $D(2,2)$ **2p**

$CD = 10$ **3p**

**6.** $\cos 2k\pi = 1$ și $\cos(2k+1)\pi = -1$, unde $k \in \mathbb{Z}$ **2p**

$1 + \cos \pi + \cos 2\pi + \cos 3\pi + \dots + \cos 2019\pi = 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + \dots + (-1) + 1 + (-1) = 0$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 4 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 4$ **3p**

**b)** $A(a)A(b) = \begin{pmatrix} ab+a+b+1 & 0 & 0 \\ a+b+1 & ab & a+b+1 \\ 0 & 0 & ab+a+b+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ab & 0 & 0 \\ 0 & ab & 0 \\ 0 & 0 & ab \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a+b+1 & 0 & 0 \\ a+b+1 & 0 & a+b+1 \\ 0 & 0 & a+b+1 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= ab \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + (a+b+1) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = abI_3 + (a+b+1)A(0)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **2p**

**c)** $A(0)A(a) = (a+1)A(0)$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$A(0)A(1)A(2)\dots A(2019) = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot 2020 A(0)$, de unde obținem $n = 2020$ **3p**

**2.a)** $f(1) = 6 - 2m$ **3p**

$6 - 2m = 0 \Rightarrow m = 3$ **2p**

**b)** $f = X^3 - 3X^2 + 2X = X(X^2 - 3X + 2)$ **2p**

Rădăcinile sunt $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$ **3p**

Barem de evaluare și de notare

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**c)** $x_1 + x_2 + x_3 = m$, $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 2$, deci $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = m^3 - 3m - 9$ **3p**

$m^3 - 3m - 9 = m^3 - 12$, de unde obținem $m = 1$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = -2 \left( -\frac{1}{(x+1)^2} \right) - \frac{x+1}{x} \cdot \frac{x+1-x}{(x+1)^2} =$ **2p**

$= \frac{2}{(x+1)^2} - \frac{1}{x(x+1)} = \frac{2x - (x+1)}{x(x+1)^2} = \frac{x-1}{x(x+1)^2}$, $x \in (0, +\infty)$ **3p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( 1 - \frac{2}{x+1} - \ln \frac{x}{x+1} \right) = 1 - 0 - 0 = 1$ **3p**

Dreapta de ecuație $y = 1$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in (0, 1]$, deci $f$ este descrescătoare pe $(0, 1]$ și $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in [1, +\infty)$, deci $f$ este crescătoare pe $[1, +\infty) \Rightarrow f(x) \ge f(1)$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ **3p**

$f(1) = \ln 2 > 0$, deci $f(x) > 0$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ și, cum $g(x) = h(x) \Leftrightarrow f(x) = 0$, ecuația $g(x) = h(x)$ nu are soluție în $(0, +\infty)$, deci graficele funcțiilor $g$ și $h$ nu au niciun punct comun **2p**

**2.a)** $\int_0^1 f^2(x) dx = \int_0^1 (x^2 + 4) dx = \left( \frac{x^3}{3} + 4x \right) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= \frac{1}{3} + 4 - 0 = \frac{13}{3}$ **2p**

**b)** $g(x) = x\sqrt{x^2 + 4} \Rightarrow \mathcal{A} = \int_{-1}^1 g(x) dx = -\int_{-1}^0 x\sqrt{x^2 + 4} dx + \int_0^1 x\sqrt{x^2 + 4} dx =$ **2p**

$= -\frac{1}{3}(x^2 + 4)^{\frac{3}{2}} \bigg _{-1}^0 + \frac{1}{3}(x^2 + 4)^{\frac{3}{2}} \bigg _0^1 = -\frac{1}{3}(8 - 5\sqrt{5}) + \frac{1}{3}(5\sqrt{5} - 8) = \frac{10\sqrt{5} - 16}{3}$ **3p**

**c)** Din teorema lui l'Hospital, $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^4} \int_0^x t^3 f(t) dt = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 f(x)}{4x^3} =$ **3p**

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4} = \frac{1}{2}$ **2p**

***