Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**Examenul de bacalaureat naţional 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Varianta 6**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\sqrt{7}(\sqrt{7}+1)-\sqrt{7}=7$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^{2}-6 x+8$. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Oy$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log _{5}\left(x^{2}+9\right)=2$.

**5p** **4.** După o ieftinire cu $40 \%$, prețul unui obiect este 300 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de ieftinire.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,2)$, $B(-3,2)$ și $C(0,6)$. Determinați, în triunghiul $ABC$, lungimea medianei din vârful $C$.

**5p** **6.** Arătați că $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin 60^{\circ}-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 45^{\circ}=\frac{1}{4}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $A=\begin{pmatrix} 6 & -10 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}$, $I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $M(a)=I_{2}+a A$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det A=0$.

**5p** **b)** Demonstrați că $M(a) \cdot M(b)=M(a+b+a b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$ pentru care $M(1)+M(2)+\ldots+M(2019)=2019 M(a)$.

**2.** Se consideră polinomul $f=m X^{3}+2 X^{2}-m X-2$, unde $m$ este număr real nenul.

**5p** **a)** Arătați că $f(1)=0$, pentru orice număr real nenul $m$.

**5p** **b)** Pentru $m=3$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

**5p** **c)** Determinați numărul real nenul $m$ pentru care $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}=-4$, unde $x_{1}, x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^{3}-3 x+5$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=3(x-1)(x+1), x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $[0,+\infty)$.

**5p** **c)** Demonstrați că $f(x) \leq 7$, pentru orice $x \in(-\infty, 1]$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{3 x^{2}+6 x+7}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{0}^{1} f^{2}(x) d x=11$.

**5p** **b)** Calculați $\int_{-1}^{1} \frac{x+1}{f(x)} d x$.

**5p** **c)** Demonstrați că, pentru orice $a \in(0,+\infty)$, suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=a$ are aria mai mare sau egală cu $a \sqrt{7}$.

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale