Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 6**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\sqrt{7}(\sqrt{7}+1)-\sqrt{7}=\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}+\sqrt{7}-\sqrt{7}=$ **2p**

$=7+0=7$ **3p**

**2.** $f(0)=8$ **3p**

Coordonatele punctului de intersecție cu axa $Oy$ sunt $x=0$ și $y=8$ **2p**

**3.** $x^{2}+9=5^{2} \Rightarrow x^{2}-16=0$ **2p**

$x=-4$ sau $x=4$, care convin **3p**

**4.** $x-\frac{40}{100} \cdot x=300$, unde $x$ este prețul obiectului înainte de ieftinire **3p**

$x=500$ de lei **2p**

**5.** $M(0,2)$, unde punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ **2p**

$CM=4$ **3p**

**6.** $\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ **2p**

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin 60^{\circ}-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det A = \begin{vmatrix} 6 & -10 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} = 6 \cdot (-5) - 3 \cdot (-10) =$ **3p**

$=-30+30=0$ **2p**

**b)** $A \cdot A = A$ și $M(a) \cdot M(b) = (I_2 + aA)(I_2 + bA) = I_2 + aA + bA + abA \cdot A =$ **2p**

$= I_2 + aA + bA + abA = I_2 + (a + b + ab)A = M(a + b + ab)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **3p**

**c)** $(I_2 + A) + (I_2 + 2A) + \dots + (I_2 + 2019A) = 2019I_2 + (1 + 2 + \dots + 2019)A =$ **3p**

$= 2019(I_2 + 1010A) = 2019M(1010)$, de unde obținem $a = 1010$ **2p**

**2.a)** $f(1) = m \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 - m \cdot 1 - 2 =$ **3p**

$= m + 2 - m - 2 = 0$, pentru orice număr real nenul $m$ **2p**

**b)** $f = 3X^3 + 2X^2 - 3X - 2 \Rightarrow f = (X - 1)(X + 1)(3X + 2)$ **2p**

$x_1 = -1, \ x_2 = -\frac{2}{3}, \ x_3 = 1$ **3p**

**c)** $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -1, \ x_1x_2x_3 = \frac{2}{m}$ **2p**

$\frac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{x_1x_2x_3} = -4 \Leftrightarrow \frac{-m}{2} = -4 \Leftrightarrow m = 8$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 3x^2 - 3 =$ **3p**

$= 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1), \ x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $f''(x) = 6x, \ x \in \mathbb{R}$ **2p**

$f''(x) \ge 0$, pentru orice $x \in [0, +\infty)$, deci funcția $f$ este convexă pe $[0, +\infty)$ **3p**

**c)** $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in (-\infty, -1] \Rightarrow f$ este crescătoare pe $(-\infty, -1]$ și $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in [-1, 1] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $[-1, 1]$ **2p**

$f(x) \le f(-1)$, pentru orice $x \in (-\infty, 1]$ și $f(-1) = 7$, deci $f(x) \le 7$, pentru orice $x \in (-\infty, 1]$ **3p**

**2.a)** $\int\limits_0^1 f^2(x) \, dx = \int\limits_0^1 (3x^2 + 6x + 7) \, dx = \left( \frac{3x^3}{3} + \frac{6x^2}{2} + 7x \right) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 1 + 3 + 7 - 0 = 11$ **2p**

**b)** $\int\limits_{-1}^1 \frac{x+1}{f(x)} \, dx = \int\limits_{-1}^1 \frac{x+1}{\sqrt{3x^2 + 6x + 7}} \, dx = \frac{1}{3} \sqrt{3x^2 + 6x + 7} \ \bigg _{-1}^1 =$ **3p**

$= \frac{1}{3} (\sqrt{16} - \sqrt{4}) = \frac{2}{3}$ **2p**

**c)** $\sqrt{3x^2 + 6x + 7} \ge \sqrt{7}$, pentru orice $x \in [0, +\infty)$ **2p**

$\mathcal{A} = \int\limits_0^a f(x) \, dx = \int\limits_0^a \sqrt{3x^2 + 6x + 7} \, dx \ge \int\limits_0^a \sqrt{7} \, dx = a\sqrt{7}$, pentru orice $a \in (0, +\infty)$ **3p**

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*