Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Varianta 6**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați termenul $b_3$ al progresiei geometrice $(b_n)_{n \ge 1}$, știind că $b_1 = 1$ și rația $q = 5$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - x + 1$ și $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = 4x - 5$. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficelor celor două funcții.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x + x} = 4$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A = \{\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \dots, \sqrt{49}\}$, acesta să fie număr natural.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,3)$, $B(-3,0)$ și $C(-3,6)$. Determinați ecuația medianei din $A$ a triunghiului $ABC$.

**5p** **6.** Arătați că $\sin x(3 \sin x - \cos x) + \cos x(\sin x + 3 \cos x) = 3$, pentru orice număr real $x$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} a & 4 \\ -4 & a \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(-1)) = 17$.

**5p** **b)** Demonstrați că $A(2019 - a) + A(2019 + a) = 2A(2019)$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **c)** Determinați perechile de numere reale $x$ și $y$, pentru care $A(x)A(y) = 2A(-8)$.

**2.** Pe mulțimea $G = (-2,2)$ se definește legea de compoziție $x * y = \dfrac{4x + 4y}{4 + xy}$.

**5p** **a)** Arătați că $0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **b)** Determinați $x \in G$, pentru care $x * x = \dfrac{8}{5}$.

**5p** **c)** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to G$, $f(x) = \dfrac{2(x - 1)}{x + 1}$. Demonstrați că $f(xy) = f(x) * f(y)$, pentru orice $x, y \in (0, +\infty)$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = 1 - 2x + 2 \ln(x + 1)$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \dfrac{-2x}{x + 1}$, $x \in (-1, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$, situat pe graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\ln(1 + \cos x) \le \cos x$, pentru orice $x \in (0, \pi)$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x + 3}{e^x}$.

**5p** **a)** Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) e^x dx = 6$.

**5p** **b)** Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este crescătoare pe intervalul $[-3, +\infty)$.

**5p** **c)** Determinați numărul natural nenul $n$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = 0$ și $x = n$ are aria egală cu $4 - 6e^{-n}$.

***