Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 6**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $b_3 = b_1 \cdot q^2 =$ **3p**

$= 1 \cdot 5^2 = 25$ **2p**

**2.** $f(x) = g(x) \Leftrightarrow x^2 - x + 1 = 4x - 5 \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 = 0$ **2p**

$x = 2, \ x = 3$ **3p**

**3.** $\sqrt{2x} = 4 - x \Rightarrow 2x = 16 - 8x + x^2 \Rightarrow x^2 - 10x + 16 = 0$ **3p**

$x = 2$, care convine, $x = 8$, care nu convine **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are 49 de elemente, deci sunt 49 de cazuri posibile **2p**

În mulțimea $A$ sunt 7 numere naturale, deci sunt 7 cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}$ **1p**

**5.** Punctul $M(-3,3)$ este mijlocul laturii $BC$ **2p**

Ecuația medianei din $A$ este $y = 3$ **3p**

**6.** $\sin x(3\sin x - \cos x) + \cos x(\sin x + 3\cos x) = 3\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos x \sin x + 3\cos^2 x =$ **2p**

$= 3(\sin^2 x + \cos^2 x) = 3$, pentru orice număr real $x$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(-1) = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -4 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(-1)) = \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ -4 & -1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-1) - (-4) \cdot 4 =$ **3p**

$= 1 + 16 = 17$ **2p**

**b)** $A(2019 - a) + A(2019 + a) = \begin{pmatrix} 2019 - a & 4 \\ -4 & 2019 - a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2019 + a & 4 \\ -4 & 2019 + a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4038 & 8 \\ -8 & 4038 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 2 \begin{pmatrix} 2019 & 4 \\ -4 & 2019 \end{pmatrix} = 2A(2019)$, pentru orice număr real $a$ **2p**

**c)** $A(x)A(y) = \begin{pmatrix} x & 4 \\ -4 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y & 4 \\ -4 & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xy - 16 & 4x + 4y \\ -4x - 4y & xy - 16 \end{pmatrix}, \ 2A(-8) = \begin{pmatrix} -16 & 8 \\ -8 & -16 \end{pmatrix}$ **3p**

$xy = 0$ și $x + y = 2$, deci $x = 0, \ y = 2$ sau $x = 2, \ y = 0$ **2p**

**2.a)** $x * 0 = \frac{4x + 4 \cdot 0}{4 + x \cdot 0} = \frac{4x}{4} = x$, pentru orice $x \in G$ **2p**

$0 * x = \frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot x}{4 + 0 \cdot x} = \frac{4x}{4} = x$, pentru orice $x \in G$, deci 0 este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**b)** $\frac{8x}{4 + x^2} = \frac{8}{5} \Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 = 0$ **3p**

$x = 1$, care convine, $x = 4$, care nu convine **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**c)** $f(x) * f(y) = \frac{4 f(x) + 4 f(y)}{4 + f(x) f(y)} = \frac{4 \cdot \frac{2(x-1)}{x+1} + 4 \cdot \frac{2(y-1)}{y+1}}{4 + \frac{4(x-1)(y-1)}{(x+1)(y+1)}} = \frac{2(xy + x - y - 1 + xy - x + y - 1)}{xy + x + y + 1 + xy - x - y + 1} =$ **3p**

$= \frac{4(xy-1)}{2(xy+1)} = \frac{2(xy-1)}{xy+1} = f(xy)$, pentru orice $x, y \in (0, +\infty)$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = -2 + \frac{2}{x+1} =$ **3p**

$= \frac{-2x - 2 + 2}{x+1} = \frac{-2x}{x+1}, \ x \in (-1, +\infty)$ **2p**

**b)** $f(0) = 1, \ f'(0) = 0$ **2p**

Ecuația tangentei este $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$, adică $y = 1$ **3p**

**c)** $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in (-1, 0] \Rightarrow f$ este crescătoare pe $(-1, 0]$ și $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in [0, +\infty) \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $[0, +\infty)$, deci $f(x) \le f(0) \Rightarrow 1 - 2x + 2\ln(x+1) \le 1$, deci $\ln(x+1) \le x$, pentru orice $x \in (-1, +\infty)$ **3p**

$\cos x > -1$, pentru orice $x \in (0, \pi)$, deci $\ln(1 + \cos x) \le \cos x$, pentru orice $x \in (0, \pi)$ **2p**

**2.a)** $\int\limits_{-1}^1 f(x) e^x dx = \int\limits_{-1}^1 (x+3) dx = \left( \frac{x^2}{2} + 3x \right) \bigg _{-1}^1 =$ **3p**

$= \left( \frac{1}{2} + 3 \right) - \left( \frac{1}{2} - 3 \right) = 6$ **2p**

**b)** $F$ este o primitivă a funcției $f \Rightarrow F'(x) = f(x) = \frac{x+3}{e^x}, \ x \in \mathbb{R}$ **2p**

$F'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in [-3, +\infty)$, deci funcția $F$ este crescătoare pe intervalul $[-3, +\infty)$ **3p**

**c)** $\mathcal{A} = \int\limits_0^n f(x) dx = \int\limits_0^n (x+3) e^{-x} dx = -(x+4) e^{-x} \bigg _0^n = -(n+4) e^{-n} + 4$ **3p**

$-(n+4) e^{-n} + 4 = 4 - 6e^{-n}$, de unde obținem $n = 2$ **2p**

***