Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Varianta 6**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei geometrice cu termeni pozitivi $(b_n)_{n \ge 1}$, știind că $b_1 = 2$ și $b_3 = 8$.

**5p** **2.** Determinați numărul real $m$, știind că punctul $A(m, 2m)$ aparține graficului funcției $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 5x - 6$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2 - 10x + 25} = 5$.

**5p** **4.** După o ieftinire cu $10\%$, urmată de o scumpire cu $10$ lei, prețul unui obiect este $190$ de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,4)$ și $B(6,0)$. Determinați, în triunghiul $AOB$, ecuația medianei din vârful $A$.

**5p** **6.** Arătați că $2 \sin 30^\circ - \sin 90^\circ = 0$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = 2(xy + x + y) + 1$.

**5p** **1.** Arătați că $(-1) \circ 1 = -1$.

**5p** **2.** Arătați că legea de compoziție „$\circ$” este comutativă.

**5p** **3.** Demonstrați că $x \circ y = 2(x + 1)(y + 1) - 1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **4.** Demonstrați că $e = -\frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

**5p** **5.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $(x - 1) \circ (x + 2) = -5$.

**5p** **6.** Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care $n \circ (n - 1) \le 11$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ și $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$.

**5p** **1.** Arătați că $\det A = -2$.

**5p** **2.** Calculați $\det(A + B)$.

**5p** **3.** Arătați că $A \cdot A = B$.

**5p** **4.** Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $aA + bB = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}$.

**5p** **5.** Arătați că, dacă $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ astfel încât $X + A = B$, atunci matricea $X$ este inversabilă.

**5p** **6.** Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care $\det(A + B - aI_2) \le 0$, unde $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare