Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 6**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $b_2 = 4$ **2p**

$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = 2 + 4 + 8 = 14$ **3p**

**2.** $f(m) = 5m - 6$ **2p**

$5m - 6 = 2m \Leftrightarrow m = 2$ **3p**

**3.** $x^2 - 10x + 25 = 25 \Rightarrow x^2 - 10x = 0$ **2p**

$x = 0$ sau $x = 10$, care convin **3p**

**4.** $x - \frac{10}{100} \cdot x + 10 = 190$, unde $x$ este prețul inițial al obiectului **3p**

$x = 200$ de lei **2p**

**5.** Punctul $M(3,0)$ este mijlocul segmentului $OB$ **2p**

Ecuația medianei este $y = 4x - 12$ **3p**

**6.** $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ **2p**

$\sin 90^\circ = 1 \Rightarrow 2 \sin 30^\circ - \sin 90^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $(-1) \circ 1 = 2 \cdot ((-1) \cdot 1 + (-1) + 1) + 1 =$ **3p**

$= 2 \cdot (-1) + 1 = -1$ **2p**

**2.** $x \circ y = 2(xy + x + y) + 1 = 2(yx + y + x) + 1 =$ **3p**

$= y \circ x$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, deci legea de compoziție „$\circ$” este comutativă **2p**

**3.** $x \circ y = 2xy + 2x + 2y + 2 - 1 =$ **2p**

$= 2x(y + 1) + 2(y + 1) - 1 = 2(x + 1)(y + 1) - 1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **3p**

**4.** $x \circ \left( -\frac{1}{2} \right) = 2(x + 1)\left( -\frac{1}{2} + 1 \right) - 1 = x + 1 - 1 = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\left( -\frac{1}{2} \right) \circ x = 2\left( -\frac{1}{2} + 1 \right)(x + 1) - 1 = x + 1 - 1 = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = -\frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$” **3p**

**5.** $2(x - 1 + 1)(x + 2 + 1) - 1 = -5 \Leftrightarrow x^2 + 3x + 2 = 0$ **3p**

$x = -2$ sau $x = -1$ **2p**

**6.** $2(n + 1)(n - 1 + 1) - 1 \le 11 \Leftrightarrow n^2 + n - 6 \le 0$ **2p**

$n \in [-3, 2]$ și, cum $n$ este număr natural nenul, obținem $n = 1$ sau $n = 2$ **3p**

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 - 2 \cdot 1 =$ **3p**

$= 0 - 2 = -2$ **2p**

**2.** $A + B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ **3p**

$\det(A + B) = \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 0$ **2p**

**3.** $A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 2 \cdot 1 + 0 \cdot 2 & 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = B$ **2p**

**4.** $aA + bB = \begin{pmatrix} a & a \\ 2a & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3b & b \\ 2b & 2b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 3b & a + b \\ 2a + 2b & 2b \end{pmatrix}$ **2p**

$\begin{pmatrix} a + 3b & a + b \\ 2a + 2b & 2b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}$, de unde obținem $a = 2$ și $b = 1$ **3p**

**5.** $X = B - A \Rightarrow X = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ **3p**

$\det X = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 4 \neq 0$, deci matricea $X$ este inversabilă **2p**

**6.** $A + B - aI_2 = \begin{pmatrix} 4 - a & 2 \\ 4 & 2 - a \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A + B - aI_2) = a^2 - 6a$ **3p**

$a^2 - 6a \le 0 \Leftrightarrow a \in [0, 6]$ **2p**

Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare