Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Varianta 6**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că numărul $n=(3-i \sqrt{2})(3+i \sqrt{2})$ este întreg, unde $i^{2}=-1$.

**5p** **2.** Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A(a, 3)$ aparține graficului funcției $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=2 x+a$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2019^{x}+2019^{-x}=2$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra unităților impară.

**5p** **5.** În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A(3,-3)$ și $B(2,-2)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin $A$ și este perpendiculară pe $A B$.

**5p** **6.** Arătați că $\sin (a-b) \sin (a+b)=(\sin a-\sin b)(\sin a+\sin b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ -a & 0 & a \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(a))=0$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **b)** Demonstrați că $A(a) A(b)=2 A(a b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

**5p** **c)** Demonstrați că matricea $B=A\left(\log _{2} 3\right) \cdot A\left(\log _{3} 4\right) \cdot A\left(\log _{4} 5\right) \cdot \ldots \cdot A\left(\log _{15} 16\right)$ are toate elementele numere întregi.

**2.** Se consideră polinomul $f=X^{3}+X^{2}+m X+n$, unde $m$ și $n$ sunt numere reale.

**5p** **a)** Arătați că $f(-1)-2 f(0)+f(1)=2$, pentru orice numere reale $m$ și $n$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $m$ și $n$, știind că polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X^{2}-1$.

**5p** **c)** Demonstrați că $3\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}+x_{1} x_{2} x_{3}\right)-\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\right)=1$, pentru orice numere reale $m$ și $n$, unde $x_{1}, x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2} e^{-x}$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=x(2-x) e^{-x}, x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că, pentru orice $a \in\left(0,4 e^{-2}\right)$, ecuația $f(x)=a$ are exact trei soluții reale.

**2.** Se consideră funcția $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}+\ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{1}^{2}(f(x)-\ln x) d x=\frac{7}{3}$.

***

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**5p** **b)** Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=2x-x^2+f(x)$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=e$ are aria egală cu $e^2$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\lim_{n \rightarrow+\infty} \int\limits_{e^{-1}}^1 x^n\left(f(x)-x^2\right) dx=0$.