Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 6**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $n = 3^2 - \left(i\sqrt{2}\right)^2 =$ **2p**

$= 9 - 2i^2 = 11 \in \mathbb{Z}$ **3p**

**2.** $f(a) = 3 \Rightarrow 2a + a = 3$ **3p**

$a = 1$ **2p**

**3.** $2019^x + 2019^{-x} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left(2019^x - 1\right)^2 = 0$ **3p**

$2019^x = 1$, deci $x = 0$ **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile **2p**

Mulțimea numerelor naturale de două cifre care au cifra unităților impară are 45 de elemente, deci sunt 45 de cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{45}{90} = \frac{1}{2}$ **1p**

**5.** $m_{AB} = -1 \Rightarrow m_d = 1$ **2p**

Ecuația dreptei $d$ este $y - y_A = m_d\left(x - x_A\right)$, deci $y = x - 6$ **3p**

**6.** $\sin(a-b)\sin(a+b) = \sin^2 a \cdot \cos^2 b - \sin^2 b \cdot \cos^2 a =$ **2p**

$= \sin^2 a \left(1 - \sin^2 b\right) - \sin^2 b \left(1 - \sin^2 a\right) = \sin^2 a - \sin^2 b = (\sin a - \sin b)(\sin a + \sin b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ -a & 0 & a \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 2a^2 + 0 + 0 - 2a^2 - 0 - 0 = 0$, pentru orice număr real $a$ **3p**

**b)** $A(a)A(b) = \begin{pmatrix} 2ab & 0 & -2ab \\ 0 & 4 & 0 \\ -2ab & 0 & 2ab \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 2 \begin{pmatrix} ab & 0 & -ab \\ 0 & 2 & 0 \\ -ab & 0 & ab \end{pmatrix} = 2A(ab)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **2p**

**c)** $B = 2^{13} A(\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \dots \cdot \log_{15} 16) = 2^{13} A(\log_2 16) =$ **3p**

$= 2^{13} A(4)$, care are toate elementele numere întregi **2p**

Barem de evaluare și de notare

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**2.a)** $f(-1)=-m+n$, $f(0)=n$ **2p**

$f(1)=2+m+n \Rightarrow f(-1)-2 f(0)+f(1)=-m+n-2 n+2+m+n=2$, pentru orice numere reale $m$ și $n$ **3p**

**b)** $f$ este divizibil cu $X^{2}-1 \Leftrightarrow f(-1)=0$ și $f(1)=0$ **3p**

$m=-1$, $n=-1$ **2p**

**c)** $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-1$, $x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}=m$, $x_{1} x_{2} x_{3}=-n$, $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=-1+3 m-3 n$ **3p**

$3\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}+x_{1} x_{2} x_{3}\right)-\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\right)=3(m-n)-(-1+3 m-3 n)=1$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f^{\prime}(x)=2 x e^{-x}-x^{2} e^{-x}=$ **3p**

$=\left(2 x-x^{2}\right) e^{-x}=x(2-x) e^{-x}, x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=0$ sau $x=2$ **2p**

$f^{\prime}(x) \leq 0$, pentru orice $x \in(-\infty, 0]$, deci $f$ este descrescătoare pe $(-\infty, 0]$, $f^{\prime}(x) \geq 0$ pentru orice $x \in[0,2]$, deci $f$ este crescătoare pe $[0,2]$ și $f^{\prime}(x) \leq 0$, pentru orice $x \in[2,+\infty)$, deci $f$ este descrescătoare pe $[2,+\infty)$ **3p**

**c)** $f(0)=0<a, f(2)=4 e^{-2}>a$ și $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0<a$, pentru orice $a \in\left(0,4 e^{-2}\right)$ **3p**

Cum $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty, f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și $f$ este strict monotonă pe $(-\infty, 0)$, pe $(0,2)$ și pe $(2,+\infty)$, ecuația $f(x)=a$ are exact trei soluții reale **2p**

**2.a)** $\int_{1}^{2}\left(f(x)-\ln x\right) d x=\int_{1}^{2} x^{2} d x=\left.\frac{x^{3}}{3}\right _{1} ^{2}=$ **3p**

$=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ **2p**

**b)** $g(x)=2 x+\ln x \Rightarrow \mathcal{A}=\int_{1}^{e} g(x) d x=\int_{1}^{e}(2 x+\ln x) d x=\left.x^{2}\right _{1} ^{e}+\left.x \ln x\right _{1} ^{e}-\int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} d x=$ **3p**

$=e^{2}-1+e-0-(e-1)=e^{2}$ **2p**

**c)** $\int_{e^{-1}}^{1} x^{n}\left(f(x)-x^{2}\right) d x=\int_{e^{-1}}^{1} x^{n} \ln x d x=\left.\left(\frac{x^{n+1}}{n+1} \ln x-\frac{x^{n+1}}{(n+1)^{2}}\right)\right _{e^{-1}} ^{1}=\frac{1}{(n+1) e^{n+1}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2} e^{n+1}}$ **3p**

$\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{e^{-1}}^{1} x^{n}\left(f(x)-x^{2}\right) d x=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{(n+1) e^{n+1}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2} e^{n+1}}\right)=0$ **2p**

***