Judul: Stochastic Epidemic Model of SIS-SI with Imperfect Vaccination
Abstrak: Malaria merupakan penyakit menular yang dapat dimodelkan secara matematika. Beberapa penelitian tentang model matematika telah dilakukan untuk mempelajari transmisi penyakit malaria. Selain menggunakan obat-obatan, pemberian vaksin menjadi salah satu pilihan untuk menurunkan laju penyakit malaria menyebar. Dalam penelitian ini, digunakan model penyakit malaria tipe SIS (Susceptible-Infected-Susceptible) – SI (Susceptible-Infected) dimana manusia yang telah terinfeksi akan menjadi manusia rentan kembali. Perpindahan manusia rentan menjadi manusia terinfeksi disebabkan oleh dua kejadian, yaitu karena gigitan nyamuk dan transfusi darah. Sementara perpindahan manusia dan terinfeksi menjadi manusia rentan disebabkan karena pengaruh pemberian obat-obatan. Sementara, perpindahan nyamuk rentan menjadi nyamuk terinfeksi disebabkan oleh interaksi yang dilakukan antara nyamuk rentan dengan manusia terinfeksi. Pemberian vaksin kepada manusia rentan dalam penelitian ini dibagi menjadi dua yaitu pemberian vaksin ketika bayi berumur lebih dari lima bulan dan pemberian vaksin ketika manusia tersebut dewasa. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui dinamika penyebaran penyakit malaria terhadap pengaruh pemberian vaksin dengan melihat bilangan reproduksi dasar, peluang transisi, nilai harapan jumlah individu terinfeksi, dan peluang wabah. Metode yang dilakukan adalah dengan pendekatan CTMC (Continous Time Markov Chains), dimana pendekatan ini dipilih karena infeksi dapat terjadi kapanpun. Simulasi yang dilakukan pada penelitian ini dengan memberikan variasi pada beberapa parameter yang digunakan, yaitu parameter p merupakan proporsi anak baru lahir mendapat vaksin, parameter φ merupakan laju manusia rentan yang mendapat vaksin, parameter σ merupakan laju perpindahan individu tervaksin menjadi rentan, dan parameter ε merupakan efektivitas vaksin. Hasil pada penelitian ini menunjukkan bahwa kenaikan nilai parameter p, parameter φ, dan parameter ε akan membuat waktu yang diperlukan agar infeksi menghilang relatif singkat. Sementara kenaikan nilai parameter σ akan meningkatkan kemungkinan wabah pada penyakit malaria. Hal ini terlihat dari nilai reproduksi dasar yang diperoleh, dimana jika R_0<1 maka penyebaran penyakit malaria tidak terjadi dan sebaliknya jika R_0>1 maka kemungkinan akan terjadi wabah pada penyakit malaria. Selain itu, dilakukan juga pengujian pengaruh pemberian vaksin terhadap nilai parameter β_1 yang merupakan laju perpindahan manusia dari kelas rentan menjadi manusia terinfeksi akibat adanya transfusi darah, parameter b_2 merupakan laju perpindahan manusia dari kelas rentan menjadi manusia terinfeksi akibat gigitan nyamuk, dan parameter α merupakan laju manusia terinfeksi yang kembali menjadi manusia rentan akibat pengobatan. Hasil menunjukkan bahwa kenaikan nilai parameter β_1 dan parameter b_2 akan meningkatkan kemungkinan penyakit malaria menular. Sementara kenaikan nilai parameter α akan menurunkan kemungkinan penyakit malaria menular. Hal ini terlihat dari nilai reproduksi dasar R_0 dan nilai harapan jumlah individu terinfeksi m yang didapatkan, dimana jika R_0<1 dan m<1 maka peluang wabah penyakit tidak ada, sedangkan jika R_0>1 dan m>1 maka kemungkinan akan ada peluang wabah. Dari simulasi yang dilakukan didapatkan kesimpulan bahwa pemberian vaksin dapat mempengaruhi kemungkinan peluang wabah pada penyakit malaria. Pemberian vaksin dapat menurunkan jumlah populasi individu terinfeksi, dimana jika ini dilanjutkan dalam jangka waktu tertentu akan membuat jumlah populasi individu terinfeksi habis.
Keyword: CTMC, Infection Diseases, Malaria, Vaccine Effect

Judul: Model SIRS-SI Penyebaran Penyakit Malaria dengan Pengobatan, Vaksinasi, dan Penyemprotan
Abstrak: Malaria merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh parasit yang dikenal dengan Plasmodium. Pembawa parasit Plasmodium adalah nyamuk Anopheles betina yang menyebabkan rusaknya sel-sel darah merah pada manusia dan hewan melalui gigitannya. Malaria juga dapat ditularkan melalui transfusi darah, pemakaian jarum suntik, maupun bawaan. Malaria merupakan penyakit mematikan. Untuk itu, diperlukan perlakuan pencegahan untuk mengendalikan baik tingkat infeksi maupun tingkat penyebaran penyakit ini. Dalam penelitian ini, dibahas sebuah model penyebaran penyakit malaria tipe SIR (Susceptible-Infected-Recovered) – SI (Susceptible-Infected). Modifikasi model dilakukan dengan menambahkan asumsi bahwa manusia yang pulih dapat rentan kembali terkena malaria akibat hilangnya kekebalan tubuh. Selain itu, modifikasi model juga dilakukan dengan pemberian perlakuan pada manusia dan nyamuk. Perlakuan yang diberikan adalah pengobatan dan vaksinasi pada manusia serta penyemprotan pada nyamuk. Dalam model ini, populasi manusia dibagi menjadi tiga kelas, yaitu rentan, terinfeksi, dan pulih. Sedangkan populasi nyamuk dibagi menjadi dua kelas, yaitu rentan dan terinfeksi. Manusia pada kelas rentan dapat berpindah ke kelas terinfeksi akibat gigitan nyamuk terinfeksi atau penularan dari manusia terinfeksi melalui transfusi darah dan kongenital. Manusia di kelas rentan juga dapat langsung berpindah ke kelas pulih karena vaksinasi. Manusia pada kelas terinfeksi dapat berpindah ke kelas pulih karena perlakuan pengobatan yang diberikan. Manusia di kelas pulih dapat kembali ke kelas rentan akibat hilangnya kekebalan tubuh. Nyamuk pada kelas rentan dapat berpindah ke kelas terinfeksi akibat menggigit manusia terinfeksi. Nyamuk di kelas rentan dan kelas terinfeksi dapat mati akibat penyemprotan. Tujuan dari penelitian ini adalah mengonstruksi model tipe SIRS-SI, melakukan analisis kestabilan pada model, melihat pengaruh perlakuan terhadap dinamika populasi manusia dan populasi nyamuk, dan mendeskripsikan penggunaan metode homotopi untuk memperoleh pendekatan solusi dari model. Terdapat dua titik tetap pada model: titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik. Simulasi numerik menunjukkan bahwa perlakuan yang diberikan memberikan pengaruh terhadap dinamika populasi manusia dan nyamuk yang ditunjukkan dengan bilangan reproduksi dasar. Bilangan reproduksi dasar merupakan nilai harapan banyaknya individu terinfeksi tiap satuan waktu. Infeksi ini terjadi pada populasi rentan yang diakibatkan oleh satu individu terinfeksi. Secara umum, jika efektivitas penggunaan perlakuan ditingkatkan, maka menyebabkan menurunnya bilangan reproduksi dasar. Itu artinya, jumlah individu yang terinfeksi semakin berkurang, sehingga penyakit tidak akan menyebar dan dalam jangka waktu tertentu penyakit akan menghilang dari populasi tersebut. Dalam penelitian ini, digunakan pula analisis metode homotopi sebagai teknik lain untuk memperoleh pendekatan penyelesaian dari model. Penyelesaian homotopi ditampilkan hingga orde ke-10 dengan variabel bebas 𝑡������� dan parameter bantu ℎ=−1. Penyelesaian dari metode ini dibandingkan dengan penyelesaian numerik. Diperoleh bahwa antara penyelesaian homotopi dan penyelesaian numerik memiliki absolute error yang cukup kecil hingga 𝑡�������=9. Itu artinya, metode homotopi merupakan metode pendekatan penyelesaian yang cukup baik.
Keyword: homotopi, malaria, perlakuan, simulasi, SIRS-SI

Judul: Kelayakan pengembangan usaha Crude Palm Oil (CPO) pada PT Tapian Nadenggan Kabupaten Padang Lawas Utara Provinsi Sumatera Utara
Abstrak: Sejak lima tahun terakhir Kabupaten Padang Lawas Utara menjadi salah satu daerah sentra produksi perkebunan sawit dan karet di wilayah provinsi Sumatera Utara berdasarkan data terakhir tahun 2007 (data BPS Tapsel), jumlah luas dan produksi perkebunan sawit di daerah Kabupaten Padang Lawas Utara adalah seluas 133.608 ha dengan produksi 2.404.944 ton, terdiri dari perkebunan rakyat seluas 32.059 ha, perkebunan sawit perusahaan besar seluas 101.121 ha dan perkebunan koperasi seluas 428 ha. PT Tapian Nadenggan merupakan salah satu perusahaan pengolahan kelapa sawit yang berdiri sejak tahun 1979 yang merupakan anak perusahaan PT SMART Tbk. Perusahaan ini memiliki pabrik pengolahan kelapa sawit yang menghasilkan CPO dan KPO (Kernel palm oil) berkapasitas 60 Ton/Jam juga memiliki kebun kelapa sawit sendiri seluas 9500 hektar, saat ini perusahaan hanya mampu mengolah 201.989 ton per tahun kondisi ini dikatakan belum memenuhi kapasitas normal pabrik yang mampu mengolah 360.000 ton per tahun.
Keyword: