Judul: Compound Poisson Mixed Models with First Order Autoregressive Time Random Effect
Abstrak: Sebaran Poisson majemuk yang didefinisikan sebagai Y=∑_(i=1)^N▒C_i dibangun oleh dua sebaran yaitu sebaran N~ Poisson(μ_N) dan sebaran C_i~iid Gamma(μ_C,α). Sebaran Poisson majemuk merupakan anggota sebaran keluarga eksponensial dengan Var(μ)=μ^pdengan 1<p<2. Dari definisi tersebut secara implisit diartikan jika N=0 maka Y=0. Untuk N>0 peubah respon Y adalah jumlah sebanyak N dari peubah acak yang menyebar Gamma yang saling bebas dan identik. Akibatnya sebaran Poisson majemuk ini cocok digunakan untuk memodelkan data kontinu dengan kejadian nol yang sering. Pemodelan dengan sebaran Poisson majemuk kebanyakan dilakukan berbasis model linier terampat (MLT). MLT dapat diperluas menjadi model campuran linier terampat (MCLT) jika terdapat pengaruh tetap dan pengaruh acak. Secara umum, pendugaan parameter dalam MCLT dilakukan secara numerik di antaranya dilakukan dengan metode hierarchical likelihood. Definisi Y=∑_(i=1)^N▒C_i menjelaskan peubah acak Y yang menyebar Poisson majemuk dibangun oleh 2 peubah acak, yaitu N yang menyebar Poisson dan C_i yang menyebar Gamma. Pendekatan pertama untuk memodelkan data yang menyebar Poisson majemuk ini adalah adanya asumsi kebebasan antara sebaran pertama dan sebaran kedua. Akibatnya, hal pertama yang dilakukan adalah memodelkan secara terpisah masing-masing sebaran yang membangun Y, kemudian perkalian hasilnya yang akan menjadi penduga dari Y. Pendekatan ini dinamakan pendekatan Poisson-Gamma terpisah. Pendekatan yang kedua adalah dengan memodelkan Y secara langsung tanpa memodelkan N dan C_i sebelumnya. Pendekatan yang dilakukan adalah dengan menganggap Y menyebar Tweedie. Pendekatan ini dinamakan pendekatan Poisson majemuk Tweedie. Dalam penelitian ini dikaji pengembangan model dengan peubah respon menyebar Poisson majemuk dengan dua pengaruh acak yaitu wilayah dan waktu yang diasumsikan mengikuti proses autoregresif orde pertama. Pendugaan parameter model dilakukan dengan dua pendekatan, pendekatan Poisson-Gamma terpisah dan pendekatan Poisson majemuk Tweedie. Pemodelan dilakukan berbasis MCLT dengan metode pendugaan parameter yang digunakan adalah metode hierarchical likelihood. Hasil simulasi pendekatan Poisson-Gamma terpisah diperoleh: (1) Untuk model campuran Poisson dengan pengaruh acak waktu mengikuti proses autoregresif orde pertama, pada koefisien autoregresif yang sama, jika ragam wilayah semakin besar maka bias relatif yang dihasilkan semakin kecil. Secara umum, semakin besar koefisien autoregresif, nilai bias relatif semakin kecil. (2) Untuk model campuran Gamma dengan pengaruh acak waktu mengikuti proses autoregresif orde pertama, untuk koefisien autoregresif yang sama, semakin besar ragam wilayah bias relatif yang dihasilkan semakin kecil. Kemudian, semakin besar koefisien autoregresif dihasilkan bias relatif yang semakin kecil. Mean squared error (MSE) kedua model yang sangat kecil mengindikasikan bahwa data sudah digambarkan model dengan baik. Selanjutnya, dari hasil simulasi untuk pendekatan Poisson majemuk Tweedie, menunjukkan semakin besar koefisien autoregresif, maka bias relatif yang dihasilkan semakin kecil dan semakin besar ragam wilayah maka cenderung semakin tak bias penduga yang dihasilkan. Dengan kata lain, koefisien autoregresif dan ragam wilayah berpengaruh terhadap ketakbiasan penduga. Berdasarkan nilai MSE yang mendekati nol mengindikasikan bahwa data juga digambarkan model dengan baik. Aplikasi pada data empiris dilakukan dengan memodelkan total besar klaim dalam suatu wilayah dan waktu tertentu berdasarkan laporan profil risiko dan kerugian asuransi kendaraan bermotor suatu perusahaan asuransi umum di Indonesia tahun 2014. Peubah kovariat yang menjadi pengaruh tetap adalah besar deductible, sedangkan pengaruh acak adalah wilayah dan waktu yang diasumsikan mengikuti proses autoregresif orde pertama. Total besar klaim sebagai peubah respon diasumsikan menyebar Poisson majemuk.
Keyword: autoregressive process, compound Poisson, mixed model, Tweedie

Judul: Pemodelan Peluang Risiko dengan Menggunakan Sebaran Compound Generalized Poisson
Abstrak: Insurace is a form of risk management that is used for protection against loss. In insurance companies, the pricing of insurance premium should be based on fair principles, i.e. in accordance with the value of class of risk. The higher the risk, the higher amount of insurance premium will be. The class of risk can be estimated by insurance claim. Modelling the claim frequency is one of the most important areas in risk theory. Generally, insurance claims can be modelled with Poisson or negative binomial distribution. Gossiaux and Lemaire (1981) and Willmot (1987) have considered generalized Poisson distribution as an alternative to Poisson or negative binomial disribution. Generalized Poisson distribution will be applied if there is overdispersion in data. Generalized Poisson distribution can be viewed as a compound Poisson (𝜃) and sum of Borel (𝜆) distribution. If a random variable N (the number of claims) has a generalized Poisson distribution, then the total number of claims has a compound generalized Poisson distribution. A recursive algorithm is needed to model the risk probability of this distribution. First step of this algorithm is to compute the coefficients of the moment generating function, which sum to the probability function of the compound Borel (𝜆) distribution. The next step of this algorithm is to compute the probabilities by using Panjer’s recursion formula for the Poisson (𝜃) distribution.
Keyword: 

Judul: Sintesis dan Pencirian Natrium Titanat (Na2Ti2O4(OH)2) Berbahan Dasar Titanium Dioksida
Abstrak: TiO2 can be utilized as basic material for synthesis of sodium titanate (Na2Ti2O4(OH)2). This research was purposed to synthesize and characterize sodium titanate from TiO2 rutile powder as a basic material. Sodium titanate was synthesized by hydrothermal process at temperature 130 °C by mixing TiO2 rutile powder with 5 M and 10 M NaOH solution, then each was calcinated at temperature 700 °C. The energy dispersive X-ray analysis showed that sodium titanate has been successfully synthesized. This result was also supported by functional group analysis with Fourier transform infrared (FTIR) spectrofotometer showing the existence of Ti-O-Na vibration band at 989.42 cm-1. The formation of sodium titanate was depend on the reaction condition such as temperature, reaction time, and NaOH concentration. Scanning electron microscope image indicated that sodium titanate synthesized at 130 °C in 20 hours reaction time with 10 M NaOH had crystal size of 99.37 nm.
Keyword: