Judul: Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial dari Fungsi Periodik Ditambah Tren Linear pada Proses Poisson Non-Homogen
Abstrak: Proses stokastik merupakan model yang berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang. Proses ini banyak digunakan untuk memodelkan suatu kejadian yang mengandung ketidakpastian atau sistem yang dijalankan pada suatu lingkungan yang dapat diduga. Proses Poisson periodik merupakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Sebagai contoh dapat dibuat sebuah model yang digunakan untuk memprediksi kedatangan pelanggan pada suatu pusat layanan seperti supermarket, kedatangan atau antrian nasabah di bank, dan sebagainya. Pada suatu proses Poisson periodik, laju kejadian atau fenomena yang terjadi pada waktu tertentu dikenal dengan fungsi intensitas. Misalkan, pada proses kedatangan pelanggan ke pusat layanan (customer service) dengan periode satu hari, fungsi intensitas menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu Namun, jika laju kedatangan pelanggan tersebut meningkat mengikuti suatu fungsi tren terhadap waktu, maka model yang sesuai untuk kasus ini adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren. Oleh karenanya dalam banyak penerapan diperlukan penduga untuk fungsi intensitas dari proses Poisson periodik tersebut. Pada penelitian ini dikaji pendugaan bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear. Metode yang digunakan untuk menduga fungsi intensitas tersebut adalah metode non-parametrik tipe kernel umum. Penelitian ini memiliki empat tujuan, yaitu: (1) Merumuskan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari penjumlahan antara fungsi periodik dan tren linear suatu proses Poisson non-homogen menggunakan kernel umum, (2) Membuktikan kekonsistenan bagi penduga yang dikaji, (3) Menentukan aproksimasi asimtotik berturut-turut bagi bias, ragam dan Mean Square Error (MSE) penduga, (4) Melakukan simulasi komputer untuk mengamati perilaku penduga dengan kasus panjang interval waktu yang terbatas. Misalkan N merupakan proses Poisson non-homogen pada interval dengan fungsi intensitas tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan merupakan eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear. Sehingga untuk sembarang titik kita dapat menuliskan fungsi intensitas sebagai berikut ( ( ( di mana ( merupakan fungsi periodik yang tidak diketahui dengan periode diketahui. Persamaannya dapat juga dituliskan menjadi ( ( ( ( ) ) ( ( Karena ( ( ) juga merupakan fungsi periodik dengan periode , misalkan ( ( ( ), maka secara umum fungsi intensitas dapat ditulis sebagai berikut ( ( ( )( ( Karena diketahui maka masalah pendugaan ( dapat disederhanakan menjadi masalah pendugaan komponen periodik dari fungsi intensitas tersebut yaitu ( . Berdasarkan sifat keperiodikan, untuk setiap titik dan , di mana merupakan himpunan bilangan bulat, ( dapat dituliskan menjadi ( ( Penyusunan penduga tipe kernel tersebut hanya menggunakan realisasi tunggal ( dari proses Poisson yang diamati pada interval . Realisasi ( terdefinisi dalam suatu ruang probabilitas ( dengan . Rumusan penduga tipe kernel bagi komponen ( dari fungsi intensitas proses Poisson periodik yang dikaji adalah ̂ ( Σ ( ∫ ( ( ) ( Dari hasil kajian yang dilakukan dengan suatu syarat tertentu, diperoleh hasil sebagai berikut: (i) Penduga ̂ ( merupakan penduga yang tak bias asimtotik bagi ( dan memiliki ragam yang konvergen menuju nol, sehingga ̂ ( adalah penduga yang konsisten bagi ( dengan ( ̂ ( ) untuk . (ii) Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga adalah ( ̂ ( ) ( ( ( ( ) ∫ ( ( untuk (iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga adalah
Keyword: bandwidth, eksponensial, kekonsistenan, penduga tipe kernel, proses Poisson non-homogen.

Judul: Pendugaan Tipe Kernel Umum untuk Intensitas Berupa Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson Non-homogen
Abstrak: Proses Stokastik merupakan proses yang menggambarkan kejadian atau fenomena yang berkaitan dengan aturan peluang. Proses ini diklasifikasikan menjadi dua, yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Dalam karya ilmiah ini difokuskan pada salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu, yaitu proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik merupakan proses Poisson yang fungsi intensitasnya berupa fungsi periodik. Dalam proses tersebut, bentuk fungsi intensitas antar periodenya memiliki pola yang serupa, sehingga memungkinkan untuk melakukan suatu prediksi terhadap kejadian yang terjadi pada waktu yang akan datang. Penelitian ini memiliki empat tujuan, yaitu: (1) merumuskan penduga tipe kernel bagi komponen periodik dari fungsi intensitas yang berbentuk perkalian antara fungsi periodik dengan tren fungsi pangkat pada proses Poisson non-homogen dengan menggunakan kernel umum; (2) membuktikan kekonsistenan lemah bagi penduga yang dikaji; (3) menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam, dan Mean Squared Error (MSE) dari penduga yang dikaji; dan (4) melakukan simulasi untuk melihat perilaku penduga dengan menggunakan panjang interval pengamatan yang terhingga. Misalkan N adalah proses Poisson non-homogen pada interval [0,∞) dengan fungsi intensitas 𝜆����� yang tidak diketahui dan diasumsikan fungsi intensitas tersebut terintegralkan lokal. Diasumsikan pula bahwa fungsi intensitas ini merupakan perkalian antara komponen periodik dan komponen tren berbentuk fungsi pangkat 𝑎�����𝑠�����𝑏����� dengan 0<𝑏�����<∞ (diketahui), sehingga untuk setiap 𝑠�����∈[0,∞), fungsi intensitas 𝜆����� 𝑠����� dapat dinyatakan sebagai berikut 𝜆����� 𝑠����� = 𝜆�����𝑐�����∗ 𝑠����� 𝑎�����𝑠�����𝑏�����, (1) dengan 𝜆�����𝑐�����∗ 𝑠����� merupakan fungsi periodik dengan periode 𝜏�����>0 (diketahui) dan konstanta 𝑎����� merupakan kemiringan dari tren dengan 𝑎�����>0. Diasumsikan bahwa titik 𝑠����� merupakan titik Lebesgue dari 𝜆�����, yaitu berlaku lim𝑕�����→012𝑕����� 𝜆����� 𝑠�����+𝑥����� −𝜆����� 𝑠����� 𝑑�����𝑥�����𝑕�����−𝑕�����=0 untuk setiap 𝑠�����∈[0,∞) (Wheeden dan Zygmund 1977). Persamaan (1) juga dapat dituliskan menjadi 𝜆����� 𝑠����� = 𝑎�����𝜆�����𝑐�����∗ 𝑠����� 𝑠�����𝑏�����, (2) dengan 𝑎�����𝜆�����𝑐�����∗ 𝑠����� juga merupakan fungsi periodik dengan periode 𝜏�����>0. Misalkan 𝜆�����𝑐����� 𝑠����� =𝑎�����𝜆�����𝑐�����∗ 𝑠����� , maka persamaan (2) menjadi 𝜆����� 𝑠����� = 𝜆�����𝑐����� 𝑠����� 𝑠�����𝑏�����. (3) Karena fungsi intensitas 𝜆����� 𝑠����� tersebut tidak diketahui, maka diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menduga fungsi intensitas tersebut adalah metode penduga tipe kernel. Masalah pendugaan fungsi intensitas pada persamaan (3), yaitu 𝜆����� 𝑠����� pada 𝑠�����∈[0,∞), dapat disederhanakan dengan hanya menduga komponen periodik dari fungsi intensitas 𝜆����� 𝑠����� yaitu 𝜆�����𝑐����� 𝑠����� pada 𝑠�����∈[0,𝜏�����). Penyusunan penduga konsisten bagi 𝜆�����𝑐����� 𝑠����� pada 𝑠�����∈[0,𝜏�����) ini hanya menggunakan realisasi tunggal 𝑁����� 𝜔����� dari suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas 𝜆����� 𝑠����� seperti pada persamaan (3) yang diamati pada interval 0,𝑛����� . Realisasi 𝑁����� 𝜔����� tersebut terdefinisi pada suatu ruang peluang Ω,ℱ, P dengan 𝜔�����∈Ω. Penduga tipe kernel bagi 𝜆�����𝑐����� 𝑠����� pada 𝑠�����∈[0,𝜏�����) dengan menggunakan fungsi kernel K dirumuskan sebagai berikut 𝜆����� 𝑐�����,𝑛�����,𝐾����� 𝑠����� =𝜏�����𝑛����� 1𝑕�����𝑛����� 𝑠�����+𝑘�����𝜏����� 𝑏����� 𝐾����� 𝑥�����− 𝑠�����+𝑘�����𝜏����� 𝑕�����𝑛����� 𝑁����� 𝑑�����𝑥����� 𝑛�����0∞𝑘�����=0, dengan 𝑕�����𝑛����� adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol, yaitu 𝑕�����𝑛�����→0, untuk 𝑛�����→∞ dan 𝐾����� adalah suatu fungsi kernel yang memenuhi sifat-sifat: (K1) 𝐾����� merupakan fungsi kepekatan peluang, (K2) 𝐾����� terbatas, dan (K3) 𝐾����� memiliki daerah definisi pada [-1, 1]. Berdasarkan kajian yang dilakukan terhadap penduga tersebut, diperoleh hasil sebagai berikut: 1 Penduga 𝜆����� 𝑐�����,𝑛�����,𝐾����� 𝑠����� merupakan penduga tak bias asimtotik bagi
Keyword: aproksimasi asimtotik, kekonsistenan, fungsi intensitas, proses Poisson periodik

Judul: Codiaeum Malesia
Abstrak: The Malesian genus Codiaeum has been revised based on the morphological character using available herbarium collections in Herbarium Bogor iense and loan specimens from Rijksherbarium Leiden. The study is based on the observation of 350 specimens. Eleven species have been recognized, namely Codiaeum variegatum, C. luzonicum, C. palawanense, C. trichocalyx, C. megalanthum, C. cilliatum, C. affine, C. tenerifolium dan C. hirsutum, C. macgregorii, C. ludovicianum. number of species is found in the Philippines The highest (8 species), Two species (C. tenerifolium and C. ludovicianum) endemic in Lousiade Archipelago of the New Guinea and C. affine endemic in Banguey Island. C. variegatum is widespread by nature or in cultivation almost in all of Malesian region. C. cillia tum is a species in the earliest level among the other species according to 20 selected characters.
Keyword: Codiaeum, Malesia