Judul: Stochastic Epidemic Model of SIS-SI with Imperfect Vaccination
Abstrak: Malaria merupakan penyakit menular yang dapat dimodelkan secara matematika. Beberapa penelitian tentang model matematika telah dilakukan untuk mempelajari transmisi penyakit malaria. Selain menggunakan obat-obatan, pemberian vaksin menjadi salah satu pilihan untuk menurunkan laju penyakit malaria menyebar. Dalam penelitian ini, digunakan model penyakit malaria tipe SIS (Susceptible-Infected-Susceptible) – SI (Susceptible-Infected) dimana manusia yang telah terinfeksi akan menjadi manusia rentan kembali. Perpindahan manusia rentan menjadi manusia terinfeksi disebabkan oleh dua kejadian, yaitu karena gigitan nyamuk dan transfusi darah. Sementara perpindahan manusia dan terinfeksi menjadi manusia rentan disebabkan karena pengaruh pemberian obat-obatan. Sementara, perpindahan nyamuk rentan menjadi nyamuk terinfeksi disebabkan oleh interaksi yang dilakukan antara nyamuk rentan dengan manusia terinfeksi. Pemberian vaksin kepada manusia rentan dalam penelitian ini dibagi menjadi dua yaitu pemberian vaksin ketika bayi berumur lebih dari lima bulan dan pemberian vaksin ketika manusia tersebut dewasa. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui dinamika penyebaran penyakit malaria terhadap pengaruh pemberian vaksin dengan melihat bilangan reproduksi dasar, peluang transisi, nilai harapan jumlah individu terinfeksi, dan peluang wabah. Metode yang dilakukan adalah dengan pendekatan CTMC (Continous Time Markov Chains), dimana pendekatan ini dipilih karena infeksi dapat terjadi kapanpun. Simulasi yang dilakukan pada penelitian ini dengan memberikan variasi pada beberapa parameter yang digunakan, yaitu parameter p merupakan proporsi anak baru lahir mendapat vaksin, parameter φ merupakan laju manusia rentan yang mendapat vaksin, parameter σ merupakan laju perpindahan individu tervaksin menjadi rentan, dan parameter ε merupakan efektivitas vaksin. Hasil pada penelitian ini menunjukkan bahwa kenaikan nilai parameter p, parameter φ, dan parameter ε akan membuat waktu yang diperlukan agar infeksi menghilang relatif singkat. Sementara kenaikan nilai parameter σ akan meningkatkan kemungkinan wabah pada penyakit malaria. Hal ini terlihat dari nilai reproduksi dasar yang diperoleh, dimana jika R_0<1 maka penyebaran penyakit malaria tidak terjadi dan sebaliknya jika R_0>1 maka kemungkinan akan terjadi wabah pada penyakit malaria. Selain itu, dilakukan juga pengujian pengaruh pemberian vaksin terhadap nilai parameter β_1 yang merupakan laju perpindahan manusia dari kelas rentan menjadi manusia terinfeksi akibat adanya transfusi darah, parameter b_2 merupakan laju perpindahan manusia dari kelas rentan menjadi manusia terinfeksi akibat gigitan nyamuk, dan parameter α merupakan laju manusia terinfeksi yang kembali menjadi manusia rentan akibat pengobatan. Hasil menunjukkan bahwa kenaikan nilai parameter β_1 dan parameter b_2 akan meningkatkan kemungkinan penyakit malaria menular. Sementara kenaikan nilai parameter α akan menurunkan kemungkinan penyakit malaria menular. Hal ini terlihat dari nilai reproduksi dasar R_0 dan nilai harapan jumlah individu terinfeksi m yang didapatkan, dimana jika R_0<1 dan m<1 maka peluang wabah penyakit tidak ada, sedangkan jika R_0>1 dan m>1 maka kemungkinan akan ada peluang wabah. Dari simulasi yang dilakukan didapatkan kesimpulan bahwa pemberian vaksin dapat mempengaruhi kemungkinan peluang wabah pada penyakit malaria. Pemberian vaksin dapat menurunkan jumlah populasi individu terinfeksi, dimana jika ini dilanjutkan dalam jangka waktu tertentu akan membuat jumlah populasi individu terinfeksi habis.
Keyword: CTMC, Infection Diseases, Malaria, Vaccine Effect

Judul: Model Matematika Sis-Si Dalam Penyebaran Penyakit Malaria Dengan Vaksinasi Taksempurna.
Abstrak: Malaria merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh parasit yang dikenal dengan Plasmodium. Pembawa parasit Plasmodium ialah nyamuk Anopheles betina yang mengakibatkan rusaknya sel-sel darah merah pada manusia dan hewan melalui gigitannya. Malaria juga dapat ditularkan melalui transfusi darah. Malaria adalah penyakit yang mematikan. Untuk itu, diperlukan pencegahan untuk mengendalikan baik tingkat infeksi maupun tingkat penyebaran penyakit ini. Dalam penelitian ini, dibahas sebuah model penyebaran penyakit malaria tipe SIS (Susceptible-Infected-Susceptible)-SI (Susceptible-Infected). Dalam model ini, populasi manusia dibagi menjadi tiga kelas, yaitu kelas rentan, kelas terinfeksi dan kelas tervaksinasi. Sementara itu, populasi nyamuk dibagi menjadi dua kelas, yaitu kelas rentan dan kelas terinfeksi. Manusia pada kelas rentan dapat berpindah ke kelas terinfeksi karena gigitan nyamuk terinfeksi ataupun penularan dari manusia terinfeksi melalui transfusi darah. Manusia di kelas rentan dapat berpindah ke manusia tervaksinasi karena vaksinasi. Manusia di kelas terinfeksi dapat berpindah ke kelas rentan karena pemberian obat-obatan. Manusia di kelas tervaksinasi dapat berpindah ke kelas terinfeksi karena kegagalan vaksin dan berpindah ke kelas rentan karena kehilangan kekebalan tubuh. Nyamuk pada kelas rentan dapat berpindah ke kelas terinfeksi akibat menggigit manusia terinfeksi. Modifikasi model dilakukan dengan menambahkan asumsi bahwa manusia yang sembuh masih dapat tertularkan penyakit, laju kelahiran manusia dan nyamuk dianggap sama dengan laju kematian dan manusia yang vaksinasinya efektif akan berpindah ke kelas rentan apabila kekebalan tubuhnya menghilang. Selain itu, modifikasi model juga dilakukan dengan pemberian vaksin pada manusia. Tujuan dari penelitian ini ialah memodifikasi model matematika penyebaran penyakit malaria, melakukan analisis kestabilan lokal dan global pada model modifikasi, melakukan analisis bifurkasi pada model modifikasi, menganalisis pengaruh faktor vaksinasi taksempurna terhadap penularan penyakit malaria melalui simulasi komputer. Dalam penelitian ini diperoleh dua titik tetap pada model, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik. Dengan menggunakan bilangan reproduksi dasar 0 R , maka diperoleh bahwa titik tetap tanpa penyakit bersifat stabil global, jika R0 1 dan titik tetap endemik bersifat stabil global, jika 0 R 1. Selain itu, digunakan juga analisis bifurkasi yang bertujuan untuk mengetahui eksistensi dan jumlah titik tetap endemik pada model untuk setiap parameter yang diberikan. Parameter yang dianalisis hanya untuk parameter 1 2 , dan 3. Hal ini dikarenakan parameter-parameter tersebut merupakan laju interaksi antarpopulasi. Hasil analisis bifurkasi menunjukkan bahwa jika terjadi bifurkasi maju, maka titik tetap endemik bersifat stabil dan jika terjadi bifurkasi mundur, maka titik tetap endemik bersifat takstabil. Selain itu, hasil simulasi komputer menunjukkan bahwa perlakuan yang diberikan memberikan pengaruh terhadap dinamika penyebaran penyakit pada populasi manusia dan nyamuk yang ditunjukkan dengan bilangan reproduksi dasar R0 . Secara umum, jika efektivitas vaksin ditingkatkan, maka menyebabkan menurunnya bilangan reproduksi dasar. Jika diperoleh 0 R 1, maka jumlah individu yang terinfeksi semakin berkurang, sehingga penyakit tidak akan menyebar dan dalam jangka waktu tertentu penyakit akan menghilang dari populasi.
Keyword: malaria, vaksinasi taksempurna, bifurkasi, kestabilan global, model SIS-SI

Judul: Kelayakan pengembangan usaha Crude Palm Oil (CPO) pada PT Tapian Nadenggan Kabupaten Padang Lawas Utara Provinsi Sumatera Utara
Abstrak: Sejak lima tahun terakhir Kabupaten Padang Lawas Utara menjadi salah satu daerah sentra produksi perkebunan sawit dan karet di wilayah provinsi Sumatera Utara berdasarkan data terakhir tahun 2007 (data BPS Tapsel), jumlah luas dan produksi perkebunan sawit di daerah Kabupaten Padang Lawas Utara adalah seluas 133.608 ha dengan produksi 2.404.944 ton, terdiri dari perkebunan rakyat seluas 32.059 ha, perkebunan sawit perusahaan besar seluas 101.121 ha dan perkebunan koperasi seluas 428 ha. PT Tapian Nadenggan merupakan salah satu perusahaan pengolahan kelapa sawit yang berdiri sejak tahun 1979 yang merupakan anak perusahaan PT SMART Tbk. Perusahaan ini memiliki pabrik pengolahan kelapa sawit yang menghasilkan CPO dan KPO (Kernel palm oil) berkapasitas 60 Ton/Jam juga memiliki kebun kelapa sawit sendiri seluas 9500 hektar, saat ini perusahaan hanya mampu mengolah 201.989 ton per tahun kondisi ini dikatakan belum memenuhi kapasitas normal pabrik yang mampu mengolah 360.000 ton per tahun.
Keyword: