Judul: Consistent Estimation of Periodic Component of Intensity Function Having Form of Periodic Function Multiplied by a Quadratic Trend of a Non-Homogenous Poisson Process
Abstrak: Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari seperti untuk memodelkan proses kedatangan para pelanggan pada suatu pusat layanan seperti supermarket, kedatangan dan antrian nasabah di suatu bank, dan lain sebagainya.Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses kedatangan para pelanggan pada suatu pusat layanan seperti supermarket, kedatangan dan antrian nasabah di suatu bank dan lain-lain dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Pada proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi intensitas λ(s) menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu s. Namun, jika laju kedatangan pelanggan tersebut meningkat mengikuti suatu fungsi tren terhadap waktu, maka model yang sesuai untuk kasus ini adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren. Pada penelitian ini dikaji suatu kasus khusus, yaitu jika trennya berupa fungsi kuadrat. Model fungsi intensitas yang dikaji adalah fungsi periodik dikalikan dengan tren kuadratik. Pada penelitian ini dibahas kekonsistenan penduga komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren kuadratik pada proses Poisson non homogen. Pada penelitian ini metode yang digunakan untuk menduga fungsi intensitas proses Poisson periodik dikalikan tren kuadratik adalah metode nonparametrik tipe kernel umum (Helmers et al., 2003). Sebagai alur dari penelitian ini, pertama merumuskan penduga. Kemudian membuktikan penduga adalah penduga konsisten lemah dan Mean Square Error (MSE) konvergen ke nol. untuk membuktikan kekonsistenan lemah diperlukan pembuktian lema ketakbiasan asimtotik dan kekonvergenan ragam. Selanjutnya menentukan laju kekonsistenan penduga, untuk menentukan laju kekonsistenan diperlukan pembuktian aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan dan aproksimasi asimtotik bagi ragam. Terakhir, membuktikan kekonvergenan lengkap penduga yang berimplikasi penduga adalah penduga kekonsistenan kuat.
Keyword: 

Judul: Pendugaan Fungsi Intensitas Berbentuk Eksponensial dari Fungsi Periodik Ditambah Tren Linear pada Proses Poisson Non-Homogen
Abstrak: Proses stokastik merupakan model yang berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang. Proses ini banyak digunakan untuk memodelkan suatu kejadian yang mengandung ketidakpastian atau sistem yang dijalankan pada suatu lingkungan yang dapat diduga. Proses Poisson periodik merupakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Sebagai contoh dapat dibuat sebuah model yang digunakan untuk memprediksi kedatangan pelanggan pada suatu pusat layanan seperti supermarket, kedatangan atau antrian nasabah di bank, dan sebagainya. Pada suatu proses Poisson periodik, laju kejadian atau fenomena yang terjadi pada waktu tertentu dikenal dengan fungsi intensitas. Misalkan, pada proses kedatangan pelanggan ke pusat layanan (customer service) dengan periode satu hari, fungsi intensitas menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu Namun, jika laju kedatangan pelanggan tersebut meningkat mengikuti suatu fungsi tren terhadap waktu, maka model yang sesuai untuk kasus ini adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren. Oleh karenanya dalam banyak penerapan diperlukan penduga untuk fungsi intensitas dari proses Poisson periodik tersebut. Pada penelitian ini dikaji pendugaan bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear. Metode yang digunakan untuk menduga fungsi intensitas tersebut adalah metode non-parametrik tipe kernel umum. Penelitian ini memiliki empat tujuan, yaitu: (1) Merumuskan penduga bagi fungsi intensitas berbentuk eksponensial dari penjumlahan antara fungsi periodik dan tren linear suatu proses Poisson non-homogen menggunakan kernel umum, (2) Membuktikan kekonsistenan bagi penduga yang dikaji, (3) Menentukan aproksimasi asimtotik berturut-turut bagi bias, ragam dan Mean Square Error (MSE) penduga, (4) Melakukan simulasi komputer untuk mengamati perilaku penduga dengan kasus panjang interval waktu yang terbatas. Misalkan N merupakan proses Poisson non-homogen pada interval dengan fungsi intensitas tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan merupakan eksponensial dari fungsi periodik ditambah tren linear. Sehingga untuk sembarang titik kita dapat menuliskan fungsi intensitas sebagai berikut ( ( ( di mana ( merupakan fungsi periodik yang tidak diketahui dengan periode diketahui. Persamaannya dapat juga dituliskan menjadi ( ( ( ( ) ) ( ( Karena ( ( ) juga merupakan fungsi periodik dengan periode , misalkan ( ( ( ), maka secara umum fungsi intensitas dapat ditulis sebagai berikut ( ( ( )( ( Karena diketahui maka masalah pendugaan ( dapat disederhanakan menjadi masalah pendugaan komponen periodik dari fungsi intensitas tersebut yaitu ( . Berdasarkan sifat keperiodikan, untuk setiap titik dan , di mana merupakan himpunan bilangan bulat, ( dapat dituliskan menjadi ( ( Penyusunan penduga tipe kernel tersebut hanya menggunakan realisasi tunggal ( dari proses Poisson yang diamati pada interval . Realisasi ( terdefinisi dalam suatu ruang probabilitas ( dengan . Rumusan penduga tipe kernel bagi komponen ( dari fungsi intensitas proses Poisson periodik yang dikaji adalah ̂ ( Σ ( ∫ ( ( ) ( Dari hasil kajian yang dilakukan dengan suatu syarat tertentu, diperoleh hasil sebagai berikut: (i) Penduga ̂ ( merupakan penduga yang tak bias asimtotik bagi ( dan memiliki ragam yang konvergen menuju nol, sehingga ̂ ( adalah penduga yang konsisten bagi ( dengan ( ̂ ( ) untuk . (ii) Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga adalah ( ̂ ( ) ( ( ( ( ) ∫ ( ( untuk (iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga adalah
Keyword: bandwidth, eksponensial, kekonsistenan, penduga tipe kernel, proses Poisson non-homogen.

Judul: Codiaeum Malesia
Abstrak: The Malesian genus Codiaeum has been revised based on the morphological character using available herbarium collections in Herbarium Bogor iense and loan specimens from Rijksherbarium Leiden. The study is based on the observation of 350 specimens. Eleven species have been recognized, namely Codiaeum variegatum, C. luzonicum, C. palawanense, C. trichocalyx, C. megalanthum, C. cilliatum, C. affine, C. tenerifolium dan C. hirsutum, C. macgregorii, C. ludovicianum. number of species is found in the Philippines The highest (8 species), Two species (C. tenerifolium and C. ludovicianum) endemic in Lousiade Archipelago of the New Guinea and C. affine endemic in Banguey Island. C. variegatum is widespread by nature or in cultivation almost in all of Malesian region. C. cillia tum is a species in the earliest level among the other species according to 20 selected characters.
Keyword: Codiaeum, Malesia