Judul: Monotonicity Properties of Trapezoid Sum Sequence on Class of Nonconvex and Nonconcave Function
Abstrak: Bernhard Riemann mendefinisikan integral tentu sebagai luas daerah di bawah kurva dari suatu fungsi real taknegatif pada sebuah interval yang tertutup dan terbatas. Beberapa alternatif yang dapat digunakan untuk menghampiri luas tersebut adalah Darboux sums melalui penjumlahan beberapa luas persegi panjang dan trapezoid sum melalui penjumlahan luas trapesium. Trapezoid sum lebih baik dalam menghampiri nilai integral untuk fungsi-fungsi yang well-behaved daripada Darboux sums. Untuk fungsi f yang bernilai real dan kontinu pada interval [a,b], f terintegral Riemann jika dan hanya jika f terintegral Darboux. Pada tesis ini ditunjukkan bahwa f terintegral Riemann jika dan hanya jika f terintegral secara trapesium. Misalkan f adalah suatu fungsi bernilai real yang kontinu pada interval [a,b]. Untuk setiap partisi P_n yang membagi [a,b] menjadi n subinterval dengan jarak yang sama, dibentuk trapezoid sum T_n (f) yang merupakan jumlah luas n trapesium sebagai pendekatan dari nilai integral f pada [a,b]. Jika f adalah fungsi konveks maka barisan trapezoid sum {T_n (f)} bersifat monoton turun dan akan bersifat monoton naik jika f fungsi konkaf. Fokus tesis ini adalah sifat kemonotonan barisan {T_n (f)} untuk fungsi f yang nonkonkaf dan fungsi f yang nonkonveks. Pada tesis ini dibuktikan sifat monoton turun dari {T_n (f)} secara generik tidak terjadi pada kelas fungsi nonkonkaf f, serta secara generik, barisan itu juga tidak monoton naik pada kelas fungsi nonkonveks. Meskipun demikian, sifat generik mengakibatkan bahwa untuk sebarang fungsi f baik di kelas fungsi nonkonkaf maupun nonkonveks, terdapat fungsi g yang menghampiri f sedemikian sehingga ekor barisan {T_n (g)} bersifat monoton. Ditunjukkan pula bahwa himpunan fungsi naik nonkonkaf dengan {T_n (f)} yang tidak monoton turun dense terhadap kelas fungsi naik nonkonkaf f. Hal tersebut juga ditunjukkan untuk himpunan fungsi turun nonkonkaf terhadap kelas fungsi turun nonkonkaf. Lalu, dibuktikan bahwa himpunan fungsi naik nonkonveks dan himpunan fungsi turun nonkonveks dengan {T_n (f)} yang tidak monoton naik, berturut-turut dense terhadap kelas fungsi naik nonkonveks dan turun nonkonveks. Himpunan-himpunan yang dense tersebut mengartikan bahwa setiap fungsi f pada kelas-kelas tersebut, dapat dihampiri oleh suatu fungsi g yang bersesuaian dengan kelas-kelas tersebut sedemikiam sehingga barisan {T_n (g)} tidak monoton., Bernhard Riemann defined definite integral as an area under the curve of a real nonnegative function on a closed bounded interval. The alternatives that can be used to estimate the area are Darboux sum which is sum of rectangular areas and trapezoid sum which is sum of trapezium areas. Trapezoid sum is better than Darboux sum as approximations toward the integral of well-behaved functions. Let f be a real valued continuous function on interval [a,b], f is Riemann integrable if and only if it is Darboux integrable. In this master’s thesis, it showed that f is Riemann integrable if and only if it is trapezium integrable. Let f be a real valued continuous function on interval [a,b]. For each partition P_n that divides the interval [a,b] into n equal length subintervals, defined trapezoid sum T_n (f) which is the total of n trapezium areas as an approach of integral value f on [a,b]. If f is a convex function then the trapezoid sum sequence {T_n (f)} is decreasing
Keyword: monotonicity, nonconcave, nonconvex, trapezoid sum

Judul: The Solution of Generalization of the First and Second Kind of Abel’s Integral Equation
Abstrak: Persamaan integral merupakan persamaan dengan fungsi yang tidak diketahui yang muncul pada integran. Persamaan integral sering dijumpai dalam permasalahan di bidang fisika, ekonomi, biologi, dan matematika terapan. Terdapat beberapa jenis persamaan integral, salah satunya yaitu persamaan integral Abel. Persamaan integral Abel terdiri dari dua jenis, yaitu jenis pertama dan jenis kedua. Setiap jenis memiliki generalisasi serta generalisasi lanjutannya. Tujuan dari penelitian ini yaitu menentukan penyelesaian generalisasi persamaan integral Abel jenis pertama dan kedua. Metode analitik yang digunakan yaitu transformasi Laplace, kalkulus fraksional, dan manipulasi persamaan. Ketika penyelesaian tidak dapat ditentukan dengan metode analitik, maka penyelesaian dari persamaan ditentukan dengan metode numerik. Metode numerik yang dipilih dalam penelitian ini yaitu successive approximations. Misalkan f adalah sembarang fungsi yang diketahui dan u adalah fungsi yang akan ditentukan, definisi persamaan integral Abel jenis pertama adalah f(x)=∫_0^x▒〖1/(x-t)^(1/2) u(t)dt,x≥0.〗 Generalisasi persamaan integral Abel jenis pertama didefinisikan f(x)=∫_0^x▒〖1/(x-t)^α u(t)dt,〗 sedangkan generalisasi lanjutan persamaan integral Abel jenis pertama didefinisikan f(x)=∫_0^x▒〖1/[g(x)-g(t)]^α u(t)dt〗, dengan g adalah fungsi monoton naik, terturunkan, g^' (t)≠0 untuk setiap t dalam interval (0,c), 0<α<1, dan x≥0. Hasil penelitian menunjukkan bahwa jika f adalah fungsi kontinu, penyelesaian generalisasi persamaan integral Abel jenis pertama dapat ditentukan dengan tiga metode analitik: metode transformasi Laplace, kalkulus fraksional, dan manipulasi persamaan, dengan penyelesaiannya adalah u(x)=sin⁡πα/π d/dx ∫_0^x▒〖1/(x-t)^(1-α) f(t) 〗 dt. Generalisasi lanjutan persamaan integral Abel jenis pertama dapat ditentukan menggunakan metode manipulasi persamaan, dengan penyelesaiannya adalah u(x)=sin⁡πα/π d/dx ∫_0^x▒(g^' (t) f(t))/〖[g(x)-g(t)]〗^(1-α) dt. Misalkan f adalah sembarang fungsi yang diketahui dan u adalah fungsi yang akan ditentukan, definisi persamaan integral Abel jenis kedua adalah u(x)=f(x)+∫_0^x▒〖1/(x-t)^(1/2) u(t)dt,x≥0.〗 Generalisasi persamaan integral Abel jenis kedua didefinisikan u(x)=f(x)+∫_0^x▒〖1/(x-t)^α u(t)dt,〗 dan generalisasi lanjutan persamaan integral Abel jenis kedua didefinisikan u(x)=f(x)+∫_0^x▒〖1/[g(x)-g(t)]^α u(t)dt,〗 dengan g adalah fungsi monoton naik, terturunkan, g^' (t)≠0 untuk setiap t dalam interval (0,c), 0<α<1, dan x≥0. Hasil penelitian menunjukkan bahwa jika f adalah fungsi kontinu, penyelesaian generalisasi persamaan integral Abel jenis kedua dapat ditentukan menggunakan metode transformasi Laplace, dengan penyelesaiannya adalah u(x)=L^(-1) {s^(1-α)/(s^(1-α)-Γ(1-α) ) F(s)}, dengan F(s)=L{f(x)}. Penyelesaian generalisasi lanjutan persamaan integral Abel jenis kedua tidak dapat ditentukan dengan metode analitik, sehingga ditentukan menggunakan metode numerik (successive approximations), dengan penyelesaiannya adalah u(x)=lim┬(n→∞)⁡〖u_(n+1) (x)〗., An integral equation is an equation with an unknown function that appears on the integrant. Integral equations are often found in problems in physics, economics, biology, and applied mathematics. There are several integral equations, including the Abel’s integral equation. Abel's integral equations consist of two kinds, the first and the second. For each kind, there is a generalization and further generalization of the Abel’s integral equation. The purpose of this study is to determine the solution of the first and second kind of generalization of Abel’s integral equation. The analytical methods used are Laplace transform, fractional calculus, and equation manipulation. When an analytical approach cannot determine the solution, the solution is determined by a numerical method. The numerical method chosen in this study is successive approximations. If f is a known function and u is a function to be determined, the definition of the Abel’s integral equation of the first kind is f(x)=∫_0^x▒〖1/(x-t)^(1/2) u(t)dt,x≥0.〗 Generalization of Abel's integral equations of the
Keyword: Fractional Calculus, Generalization of Abel’s Integral Equation, Laplace Transform, Successive Approximations

Judul: Identifikasi kontaminan pada kultur chlorella sp. dengan menggunakan medium air dan wadah yang berbeda
Abstrak: Chlorella merupakan salah satu mikroalga yang sampai sekarang terus diupayakan pengembangannya melalui kegiatan budidaya. Chlorella memiliki banyak manfaat bagi manusia, antara lain sebagai sumber protein untuk manusia serta sumber pakan bagi larva ikan. Kultur Chlorella saat ini masih menghadapi berbagai hambatan terutama adanya kontaminasi pada pengelolaan kultur massal, antara lain adanya kompetitor atau organisme yang menjadi saingan dalam pemanfaatan nutrien dan cahaya. Oleh sebab itu penelitian ini bertujuan untuk mengetahui jenis dan sifat kontaminan yang umum terdapat pada kultur massal Chlorella sp.. Penelitian berlangsung dari bulan Agustus sampai dengan Oktober 1998, bertempat di Laboratorium Lingkungan dan Laboratorium Kesehatan Ikan Jurusan Budidaya Perairan Fakultas Perikanan dan Ilmu Kelautan, IPB. Penelitian diawali dengan melakukan kultur murni skala lab selama 19 hari. Media yang digunakan adalah aquades sebanyak 1000 ml yang telah diberi pupuk komersil (pupuk N, P, K) serta telah dilakukan sterilisasi dengan autoklav. Kelimpahan awal pada saat kultivasi murni adalah 1,1 X 10 sel/ml sedangkan kelimpahan akhir sebesar 1,6 X 10º sel/ml. Setelah dilakukan kultur murni, kemudian dilanjutkan dengan kultur semi massal.
Keyword: