Judul: Pendugaan Tipe Kernel Umum untuk Intensitas Berupa Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson Non-homogen
Abstrak: Proses Stokastik merupakan proses yang menggambarkan kejadian atau fenomena yang berkaitan dengan aturan peluang. Proses ini diklasifikasikan menjadi dua, yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Dalam karya ilmiah ini difokuskan pada salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu, yaitu proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik merupakan proses Poisson yang fungsi intensitasnya berupa fungsi periodik. Dalam proses tersebut, bentuk fungsi intensitas antar periodenya memiliki pola yang serupa, sehingga memungkinkan untuk melakukan suatu prediksi terhadap kejadian yang terjadi pada waktu yang akan datang. Penelitian ini memiliki empat tujuan, yaitu: (1) merumuskan penduga tipe kernel bagi komponen periodik dari fungsi intensitas yang berbentuk perkalian antara fungsi periodik dengan tren fungsi pangkat pada proses Poisson non-homogen dengan menggunakan kernel umum; (2) membuktikan kekonsistenan lemah bagi penduga yang dikaji; (3) menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam, dan Mean Squared Error (MSE) dari penduga yang dikaji; dan (4) melakukan simulasi untuk melihat perilaku penduga dengan menggunakan panjang interval pengamatan yang terhingga. Misalkan N adalah proses Poisson non-homogen pada interval [0,∞) dengan fungsi intensitas 𝜆����� yang tidak diketahui dan diasumsikan fungsi intensitas tersebut terintegralkan lokal. Diasumsikan pula bahwa fungsi intensitas ini merupakan perkalian antara komponen periodik dan komponen tren berbentuk fungsi pangkat 𝑎�����𝑠�����𝑏����� dengan 0<𝑏�����<∞ (diketahui), sehingga untuk setiap 𝑠�����∈[0,∞), fungsi intensitas 𝜆����� 𝑠����� dapat dinyatakan sebagai berikut 𝜆����� 𝑠����� = 𝜆�����𝑐�����∗ 𝑠����� 𝑎�����𝑠�����𝑏�����, (1) dengan 𝜆�����𝑐�����∗ 𝑠����� merupakan fungsi periodik dengan periode 𝜏�����>0 (diketahui) dan konstanta 𝑎����� merupakan kemiringan dari tren dengan 𝑎�����>0. Diasumsikan bahwa titik 𝑠����� merupakan titik Lebesgue dari 𝜆�����, yaitu berlaku lim𝑕�����→012𝑕����� 𝜆����� 𝑠�����+𝑥����� −𝜆����� 𝑠����� 𝑑�����𝑥�����𝑕�����−𝑕�����=0 untuk setiap 𝑠�����∈[0,∞) (Wheeden dan Zygmund 1977). Persamaan (1) juga dapat dituliskan menjadi 𝜆����� 𝑠����� = 𝑎�����𝜆�����𝑐�����∗ 𝑠����� 𝑠�����𝑏�����, (2) dengan 𝑎�����𝜆�����𝑐�����∗ 𝑠����� juga merupakan fungsi periodik dengan periode 𝜏�����>0. Misalkan 𝜆�����𝑐����� 𝑠����� =𝑎�����𝜆�����𝑐�����∗ 𝑠����� , maka persamaan (2) menjadi 𝜆����� 𝑠����� = 𝜆�����𝑐����� 𝑠����� 𝑠�����𝑏�����. (3) Karena fungsi intensitas 𝜆����� 𝑠����� tersebut tidak diketahui, maka diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menduga fungsi intensitas tersebut adalah metode penduga tipe kernel. Masalah pendugaan fungsi intensitas pada persamaan (3), yaitu 𝜆����� 𝑠����� pada 𝑠�����∈[0,∞), dapat disederhanakan dengan hanya menduga komponen periodik dari fungsi intensitas 𝜆����� 𝑠����� yaitu 𝜆�����𝑐����� 𝑠����� pada 𝑠�����∈[0,𝜏�����). Penyusunan penduga konsisten bagi 𝜆�����𝑐����� 𝑠����� pada 𝑠�����∈[0,𝜏�����) ini hanya menggunakan realisasi tunggal 𝑁����� 𝜔����� dari suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas 𝜆����� 𝑠����� seperti pada persamaan (3) yang diamati pada interval 0,𝑛����� . Realisasi 𝑁����� 𝜔����� tersebut terdefinisi pada suatu ruang peluang Ω,ℱ, P dengan 𝜔�����∈Ω. Penduga tipe kernel bagi 𝜆�����𝑐����� 𝑠����� pada 𝑠�����∈[0,𝜏�����) dengan menggunakan fungsi kernel K dirumuskan sebagai berikut 𝜆����� 𝑐�����,𝑛�����,𝐾����� 𝑠����� =𝜏�����𝑛����� 1𝑕�����𝑛����� 𝑠�����+𝑘�����𝜏����� 𝑏����� 𝐾����� 𝑥�����− 𝑠�����+𝑘�����𝜏����� 𝑕�����𝑛����� 𝑁����� 𝑑�����𝑥����� 𝑛�����0∞𝑘�����=0, dengan 𝑕�����𝑛����� adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol, yaitu 𝑕�����𝑛�����→0, untuk 𝑛�����→∞ dan 𝐾����� adalah suatu fungsi kernel yang memenuhi sifat-sifat: (K1) 𝐾����� merupakan fungsi kepekatan peluang, (K2) 𝐾����� terbatas, dan (K3) 𝐾����� memiliki daerah definisi pada [-1, 1]. Berdasarkan kajian yang dilakukan terhadap penduga tersebut, diperoleh hasil sebagai berikut: 1 Penduga 𝜆����� 𝑐�����,𝑛�����,𝐾����� 𝑠����� merupakan penduga tak bias asimtotik bagi
Keyword: aproksimasi asimtotik, kekonsistenan, fungsi intensitas, proses Poisson periodik