Judul: Asymptotic Distribution of an Estimator for Variance Function of a Compound Periodic Poisson Process with Power Function Trend
Abstrak: Proses stokastik merupakan proses yang dapat digunakan dalam kehidupan sehari-hari untuk menggambarkan atau memodelkan suatu kejadian atau fenomena yang belum pasti. Salah satu bentuk dari proses stokastik adalah proses Poisson majemuk. Beberapa aplikasi proses Poisson majemuk di antaranya pada bidang fisika, demografi, seismologi, keuangan, asuransi, dan biologi. Kajian terhadap proses Poisson majemuk diawali dengan proses Poisson periodik majemuk kemudian diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan adanya tren, yaitu tren fungsi linear dan tren fungsi pangkat. Penelitian ini merupakan kelanjutan penelitian mengenai proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Tujuan dari penelitian ini adalah: (i) memodifikasi atau merumuskan kembali penduga fungsi ragam proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat, (ii) menentukan sebaran asimtotik penduga fungsi ragam proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat, dan (iii) menentukan nilai ¬¬¬¬n terkecil dimana sebaran penduga fungsi ragam sudah mendekati sebaran normal. Misalkan {N(t),t≥0} adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas λ yang terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas λ diasumsikan mempunyai dua komponen, yaitu sebuah komponen periodik λ_c, dengan periode τ>0 yang diketahui dan sebuah komponen tren fungsi pangkat. Dengan kata lain, untuk setiap s≥0, fungsi intensitas λ dapat ditulis sebagai berikut λ(s)=λ_c (s)+as^b. Fungsi periodik λ_c tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa fungsi periodik λ_c (s)=λ_c (s+kτ) untuk setiap s≥0 dan k∈N. Misalkan {Y(t),t≥0} adalah suatu proses dengan Y(t)=∑_(i=1)^(N(t))▒X_i di mana 〖{X〗_i,i≥1} merupakan barisan peubah acak tak negatif yang bebas dan memiliki sebaran identik (independent and identically distributed (i.i.d)) dengan nilai harapan μ<∞ dan ragam σ^2<∞, serta bebas terhadap {N(t),t≥0}. Proses {Y(t),t≥0} disebut dengan proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Misalkan V(t) merupakan notasi bagi fungsi ragam dari Y(t). Dengan notasi E(X_1^2 )=μ_2, V(t) dapat ditulis sebagai berikut V(t)=E[N(t)]E[X_1^2 ]=Λ(t) μ_2 dengan Λ(t)=∫_0^t▒λ(s)ds. Misalkan t_r=t-⌊t/τ⌋τ dengan k_(t,τ)=⌊t/τ⌋, maka t dapat dinyatakan sebagai t=k_(t,τ) τ+t_r, dengan 0≤t_r<τ. Misalkan θ=1/τ ∫_0^τ▒〖λ_c (s)ds〗 menyatakan fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses {N(t),t≥0}, dan diasumsikan bahwa θ>0. Selanjutnya ∫_0^τ▒〖λ_c (s)ds〗 ditulis sebagai 〖∫_0^τ▒〖λ_c (s)ds〗=Λ〗_c (t_r )+Λ_c^( c) (t_r ), dengan Λ_c (t_r )=∫_0^(t_r)▒〖λ_c (s)ds〗 dan Λ_c^( c) (t_r )=∫_(t_r)^τ▒〖λ_c (s)ds〗. Kemudian untuk setiap t≥0 yang diberikan didapatkan Λ(t)=〖(1+k〗_(t,τ))Λ_c (t_r )+k_(t,τ) Λ_c^( c) (t_r )+a/(b+1) t^(b+1). Akhirnya, fungsi ragam dari Y(t) dapat ditulis menjadi V(t)=(〖(1+k〗_(t,τ))Λ_c (t_r )+k_(t,τ) Λ_c^( c) (t_r )+a/(b+1) t^(b+1) ) μ_2. Misalkan untuk suatu ω∈Ω, realisasi tunggal N(ω) dari proses {N(t),t≥0} diamati pada suatu interval terbatas [0,m]. Misalkan pula m=n^(1+δ), dimana δ merupakan sembarang bilangan real positif yang kecil. Realisasi proses Poisson pada interval pengamatan [0,m] digunakan untuk mengestimasi kemiringan tren (a). Sedangkan, penduga komponen selainnya menggunakan realisasi proses Poisson pada interval [0,n]. Penduga fungsi ragam dari Y(t) pada persamaan di atas dapat dirumuskan sebagai berikut V ̂_(n,b) (t)=(〖(1+k〗_(t,τ))Λ ̂_( c,n,b) (t_r )+k_(t,τ) 〖Λ ̂_( c,n,b)〗^c (t_r )+a ̂_(m,b)/(b+1) t^(b+1) ) μ ̂_(2,n) dengan a ̂_(m,b)=(b+1)N([0,m])/m^(b+1) -((b+1) θ ̃_n)/m^b Λ ̂_( c,n,b) (t_r ) =((1-b) τ^(1-b))/n^(1-b) ∑_(k=1)^(k_(n,τ))▒〖N([kτ,kτ+t_r ])/k^b -〗 a ̂_(m,b) (1-b) n^b t_r 〖Λ ̂_( c,n,b)〗^c (t_r )=((1-b) τ^(1-b))/n^(1-b) ∑_(k=1)^(k_(n,τ))▒〖N([kτ+t_r,kτ+τ])/k^b -〗 a ̂_(m,b) (1-b) n^b (τ-t_r ) μ ̂_(2,n)=1/(N([0,n])) ∑_(i=1)^(N([0,n]))▒X_i^2 . dengan μ ̂_(2,n)=0 saat N([0,n]=0. Sebaran asimtotik penduga fungsi ragam V ̂_(n,b) (t) dapat
Keyword: Asymptotic Distribution, Compound Periodic, Estimator, Poisson Process, Power Function