Heildun

Heildun (einnig þekkt sem tegrun úr ensku og flest öllum öðrum tungumálum orðinu "integration", sjá samheiti innan stærðfræðinnar) er sú stærðfræðilega aðgerð sem notuð er í örsmæðareikningi til þess að finna markgildi allra yfir- og undirsumma falls á tilteknu bili. Þetta þýðir, í stuttu máli, að verið er að reikna flatarmál svæðisins á milli ferils fallsins og x-ássins (á tilteknu bili).

Heildun, í sínu einfaldasta formi, gengur út á að reikna "ákveðið heildi" á tilteknu bili með því að finna fyrst stofnfall fallsins sem heilda skal og taka síðan mismun stofnfallsins í endapunktum bilsins.

Dæmi: Fallið, sem heilda skal,: formula_1, á sér stofnfall,

formula_2, þar sem "c" er óskilgreindur fasti.

Heildunartáknið er í rauninni stílfært S og stendur fyrir latneska orðið ‚summa‘ en Leibniz skóp þetta tákn.

Andhverfa heildunar nefnist deildun.

Skilgreining á óákveðnu heildi.

Að leysa óákveðin heildi snýst um að finna stofnföll falls. Hér reynum við að gefa greinagóða skilgreiningu á óákveðnu heildi með því að kynna fyrst til sögunnar skilgreiningu á stofnfalli. Næst bendum við á mikilvægan eiginleika stofnfalla að þau halda áfram að vera stofnföll þótt fastar séu lagðir við þau. Í lokin skilgreinum við óákveðin heildi með tveimur mismunandi skilgreiningum, sem mengi, og sem fall, þar sem síðari skilgreiningin er meira notuð.

Skilgreining á stofnfalli.

Látum formula_3 vera raungilt fall af einni raunbreytistærð. formula_3 hefur stofnfall formula_5 ef formula_6 fyrir öll formula_7 þar sem formula_8 táknar formengi formula_3.

Tilvist margra stofnfalla.

Ef formula_10 er stofnfall formula_11, þá er formula_12 líka stofnfall formula_11 þar sem formula_14 er einhver rauntölufasti.

Mengi allra stofnfalla falls.

Ef formula_10 er stofnfall formula_11, þá er hægt að rita öll stofnföll formula_11 á form formula_18 þar sem formula_14 er einhver rauntölufasti.

Skilgreining á óákveðnu heildi [sem mengi].

Látum formula_3 vera raungilt fall af einni raunbreytistærð með stofnföll. Þá er óákveðna heildi formula_3 skilgreint sem mengi allra stofnfalla formula_3 og mengið er táknað á eftirfarandi máta:

formula_23

Skilgreining á óákveðnu heildi [sem fall].

Látum formula_3 vera raungilt fall af einni raunbreytistærð með stofnfall formula_5. Þá er óákveðna heildi formula_3 skilgreint á eftirfarandi máta:

formula_27

þar sem formula_14 er einhver rauntölufasti.

Munurinn á mengja- og fallaskilgreiningunum.

Fallaskilgreiningin á óákveðnu heildinu er oftast notuð ef átt er við óákveðið heildi. Fallaskilgreiningin á óákveðnu heildinu tengist mengjaskilgreiningunni á óákveðnu heildinu á þann hátt að það er hægt er að stika öll stofnföll falls með framsetningunni í fallaskilgreiningunni. Þ.e.a.s. mengjaframsetningin á óákveðnu heildinu af fallinu formula_3 með eitthvað stofnfall formula_5 er:

formula_31

en fallaframsetningin á óákveðnu heildinu er:

formula_32.

Skilgreiningar á ákveðin heildi.

Það eru til margar skilgreiningar á ákveðnum heildum. Hins vegar eru ekki allar skilgreiningarnar jafngildar.

Algengustu skilgreiningarnar eru Riemann heildi og Lebesgue heildi.

Riemann heildi.

Hjálparskilgreining [Möskvastærð á skiptingu].

Látum formula_33 vera skipting á formula_34.

Möskvastærð formula_35 er skilgreind sem formula_36.

Uppsetning.

Látum formula_3 vera takmarkað raungilt fall á formula_34, þ.e.a.s. það er til formula_39 þ.a. formula_40 fyrir öll formula_41.

Látum formula_33 vera skipting á formula_34.

Látum formula_44 vera mengi allra Riemann summa fyrir fall formula_3 og skiptingu formula_35.

Skilgreiningin.

Fallið formula_3 er Riemann-heildanlegt á formula_34 ef það er til formula_49 þ.a. fyrir öll formula_50 það er til formula_51 þ.a. formula_52 fyrir allar Riemann summur formula_53 með formula_54.

Ef talan formula_55 er til, þá kallast hún Riemann heildi formula_3 yfir formula_34 og er táknuð sem formula_58.

Darboux heildi.

Skilgreiningin á Darboux heildi er jafngild skilgreiningunni á Riemann heildi og sambærileg skilgreining er notuð í kúrsinum Stærðfræðigreining I sem er kennd í HÍ.

Uppsetning.

Látum formula_3 vera takmarkað raungilt fall á formula_34, þ.e.a.s. það er til formula_39 þ.a. formula_40 fyrir öll formula_41.

Látum formula_33 vera skipting á formula_34.

Neðri og efri Darboux summur.

Skilgreinum neðri Darboux summu formula_3 m.t.t. formula_35 sem formula_68.

Skilgreinum efri Darboux summu formula_3 m.t.t. formula_35 sem formula_71.

Neðri og efri Darboux heildi.

Skilgreinum neðra Darboux heildi formula_3 sem formula_73.

Skilgreinum efra Darboux heildi formula_3 sem formula_75.

Skilgreiningin.

formula_3 er Darboux heildanlegt á bili formula_34 ef neðri og efri Darboux heildi formula_3 eru til og formula_79. Ef formula_3 er Darboux heildanlegt á bili formula_34, þá kallast talan formula_79 Darboux heildi formula_3 yfir formula_34 og er táknuð sem formula_58.

Samband milli óákveðin og ákveðin heildi.

Óákveðin og ákveðin heildi eru skilgreind á mismunandi máta. Hins vegar gefa heiti þeirra til kynna að þessi hugtök tengjast. Athugið að hér notumst við við fallaskilgreininguna á óákveðnum heildum til að lýsa tengslin milli óákveðin og ákveðin heildi. Meginmunur óákveðna og ákveðinna heilda er að óákveðin heildi eru föll en ákveðin heildi eru tölur. Þessi hugtök tengjast þó í gegnum undirstöðusetningu örsmæðareiknings.

Lausn óákveðins heildis með ákveðnu heildi.

Í gegnum fyrri undirstöðusetningu örsmæðareiknings er hægt að nota ákveðin heildi til að leysa óákveðin heildi. Þ.e.a.s. segjum að við höfum raungilt fall formula_3 sem er samfellt á bilinu formula_34. Þá segir fyrri undirstöðusetningin að eftirfarandi ákveðna heildi er eitt af stofnföllum formula_3:

formula_89

Þá getum við leyst þetta ákveðna heildi og stungið inn í óákveðna heildið, þ.e.a.s.

formula_90

þar sem formula_14 er einhver rauntölufasti.

Lausn ákveðins heildis með óákveðnu heildi.

Í gegnum seinni undirstöðusetningu örsmæðareiknings er hægt að nota óákveðin heildi til að leysa ákveðin heildi. Þ.e.a.s. segjum að við höfum raungilt fall formula_3 sem er Riemann-heildanlegt á bilinu formula_34 og við viljum heilda fallið yfir þetta bil. Við getum leyst ákveðna heildið formula_58 með því að finna stofnfall fallsins með óákveðnu heildi og notað svo seinni unfirstöðusetninguna til að reikna ákveðna heildið með því að nota aðeins stofnfallið.

Þ.e.a.s. með eftirfarandi skrefum:

Dæmi.

Heildum fallið formula_102 með tilliti til x. Það er ritað þannig:

Vegna þess að það er óþægilegt að heilda fallið á þessu formi skal umrita það þannig:

Þá getum við heildað skv reglunni:

þannig að:

svo niðurstaðan er: