Afleiða (stærðfræði)

Afleiða falls af rauntölubreytistærð er mælikvarði á hve hratt fallgildið (úttak fallsins) breytist með tillit hvernig breytistærð (inntak fallsins) þess er hnikað til. Afleiður eru undirstöðuverkfæri örsmæðareiknings og koma mikið fyrir í ýmsum vísindagreinum eins og eðlisfræði. Dæmi um eðlisfræðilega hagnýtingu er að afleiðan af staðsetningu hreyfandi hlutar m.t.t. tíma er hraði hlutarins, þ.e.a.s. hve hratt staðsetningin hlutarins breytist þegar tíminn líður á.

Afleiða falls af einni breytistærð fyrir valið inntaksgildi, þegar það er til, er hallatala snertilsins á feril fallsins í þeim punkti. Snertillinn er besta línulega nálgunin á fallinu nær þessu inntaksgildi. Vegna þess er afleiða oft lýst sem augnablikshraði, þ.e.a.s. hlutfallið milli augnabliksbreytingu í háðu breytunni (fallagildis) og augnabliksbreytingu óháða breytunnar (breytistærðar).

Afleiður falla eru fundin með aðgerð sem kallast deildun (líka oft kölluð diffrun). Öfuga aðgerðin kallast öfug deildun (óákveðin heildun), og snýst um að finna stofnfall. Undirstöðusetning örsmæðareiknings tengir saman stofnföll og heildun. Deildun og heildun eru tvær grunnmeginaðferðir í örsmæðareikningi með einni breytistærð.

Skilgreining.

Rithættir.

Tveir mismunandi rithættir eru venjulega notaðir fyrir afleiðureikning. Þessir rithættir eru Leibniz rithátturinn sem er kenndur við Gottfried Wilhelm von Leibniz, og Lagrange rithátturinn sem er kenndur við Joseph-Louis Lagrange.

Í Leibniz rithættinum er örsmæðabreyting á formula_1 er táknuð sem formula_2 og afleiðan af formula_3 m.t.t. formula_1 er skrifuð sem formula_5 sem gefur til kynna hlutfall milli tveggja örsmæðastærða.

Í Lagrange rithættinum táknum við afleiðu fallsins formula_6 m.t.t. breytistærðar formula_1 sem formula_8 eða formula_9. Lagrange rithátturinn er stundum ranglega kenndur við Newton.

Formleg skilgreining.

Látum formula_6 vera raungilt fall skilgreint á opnu bilinu í kringum punktinn formula_11. Ef eftirfarandi markgildi er til:

formula_12

þá er formula_6 sagt vera deildanlegt (diffranlegt) í punktinum formula_11 og afleiða formula_6 í punktinum formula_11 er jafngilt markgildinu. Þ.e.a.s.

formula_17

þar sem formula_18 er notað til að tákna afleiðu formula_6 í punktinum formula_11 (Lagrange rithátturinn).

Hins vegar, ef markgildið er ekki til, þá er formula_6 sagt vera ódeildanlegt (ódiffranlegt) í punktinum formula_11 og að það sé ekki til afleiða fyrir formula_6 í punktinum formula_11.

Annað form markgildisins.

Stundum eru afleiður skilgreindar með eftirfarandi markgildi í stað markgildisins sem er gefið í formlegu skilgreiningunni fyrir ofan:

formula_25

Athugið að þetta markgildi er jafngilt markgildinu að ofan þ.a. skilgreiningarnar með þessu eða fyrra markgildinu eru jafngild.

Eiginleikar afleiða.

Tengsl milli samfelldni og deildanleika falla.

Ef fall formula_6 er deildanlegt í punkti formula_11, þá er það líka samfellt í punkti formula_11.

Athugið hins vegar að það öfuga gildir ekki alltaf. Þ.e.a.s. ef fall formula_6 er samfellt í punkti formula_11, þá er það ekki endilega deildanlegt í punkti formula_11. Til dæmis má nefna að algildisfallið formula_32 er samfellt en ekki diffranlegt í punkti formula_33 og Weierstrassfallið sem er samfellt en ekki deildanlegt á öllum rauntalnaásnum.

Hærri-stigs afleiður.

Látum formula_6 vera deildanlegt fall og látum formula_35 vera afleiða þess. Afleiða formula_35 er rituð sem formula_37 með rithætti Lagrange, ef afleiðan sjálf ef deildanleg, og kallast seinni-stigs afleiða formula_6. Á sama hátt er afleiða seinni afleiðunnar rituð sem formula_6, ef seinni afleiðan er sjálf deildanleg, og kallast þriðja-stigs afleiða formula_6. Þannig kolli af kolli má skilgreina formula_41-ta stigs afleiðuna af formula_6 sem afleiðuna af formula_43-ta-stigs afleiðu formula_6, ef hún er til, og hún er rituð sem formula_45með rithætti Lagrange. Gefið að þær eru til, formula_46eru kallaðar hærri-stigs afleiður.

Beygjuskilspunktar.

Punktar þar sem seinni-stigs afleiða falls breytir um formerki kallast beygjuskilspunktur. Á beygjuskilspunktinum er seinni-stigs afleiðan annað hvort 0 eða ekki til. Á beygjuskilspunkti færist fall frá því að vera kúpt yfir í að vera hvelft, eða öfugt.

Reiknireglur.

Hægt er að reikna afleiðu fall útfrá markgildisskilgreiningunni. Hins vegar er hægt að nýta sér styttri leiðir til að reikna afleiður með því að notfæra sér þekktar afleiður algengra falla ásamt deildunarreglum fyrir samsett föll.

Afleiður algengra falla.

Veldaföll.

Fallið formula_47 þar sem formula_48 er rauntala hefur afleiðu formula_49.

Deildunarreglur fyrir samsett föll.

Fastareglan.

Ef formula_74 er fasti, þá er formula_75.

Summureglan.

Látum formula_76 þar sem formula_77 og formula_78 eru fastar. Þá er afleiðan formula_79.

Margfeldisreglan.

Látum formula_80. Þá er afleiðan formula_81.

Brotareglan.

Látum formula_82. Þá er afleiðan formula_83 fyrir öll föll formula_84 og formula_85 þar sem formula_86.

Keðjureglan.

Látum formula_87. Þá er afleiðan formula_88.