Pí

Talan π („pí“), er stærðfræðilegur fasti. Upphaflega skilgreind sem hlutfallið milli ummáls og þvermáls hrings, en hún hefur núna margar aðrar jafngildar skilgreiningar og birtist í mörgum formúlum í öllum sviðum stærðfræði og eðlisfræði. Hún er u.þ.b. jöfn 3,14159 (í flestum útreikningum þarf ekki fleiri, eða mun fleiri aukastafi). Hún hefur verið táknuð með gríska stafnum „π“ síðan um miðja 19. öld, þó hún sé stundum skrifuð sem „pí“ á íslensku og lesin þannig eða t.d. á ensku „pi“ (lesið pæ, eins og e. pie). π er einnig þekkt sem "fasti Arkímedesar" (sem ekki ætti að rugla við Tölu Arkímedesar), "fasti Ludolphs" eða "tala Ludolphs" og kemur einnig mikið við sögu í eðlisfræði og stjörnufræði.

Þar sem talan er óræð, er ekki hægt að tákna hana sem almennt brot (sem þýðir að fjöldi aukastafa, þegar talan er skrifuð út með tölustöfum tekur engan enda, né myndast mynstur í þeim sem endurtekið er endalaust). Samt eru hlutföll s.s. 22/7 og aðrar ræðar tölur oft notaðar til að nálga π. Tölustafirnir virðast vera handahófskenndir.

Talan π er líka torræð tala.

Fólk hefur lagt á minnið og þulið upp yfir 70.000 tölustafi af π rétt.

Grundvallaratriði.

π er hefðbundið skilgreint sem hlutfall á milli ummál hrings og þvermáls. Það hlutfall er fasti óháð stærð hrings, en hins vegar er reiknað með flatri (Evklíðskri) rúmfræði, sem er það sem flestir læra fyrst (eða eingöngu). Þ.e. þetta á ekki við í sveigðu (óevklíðsku) rúmi.

Talan π er jöfn flatarmáli einingarhrings (hringur með geisla 1), og er ennfremur jöfn hálfu ummáli hans.

Aðrar skilgreiningar á π eru ótengdar rúmfræði. Flest nútímarit skilgreina π á fágaðan máta með hornaföllum, t.d. sem minnsta mögulega jákvæða x þar sem sin(x) = 0, eða sem tvöfalt minnsta mögulega jákvæða x þar sem cos(x) = 0. Allar ofangreindu skilgreiningarnar eru jafngildar.

π kemur fyrir í stærðfræði t.d. í tengslum við prímtölur, Fourier–vörpun og Zetufall_Riemanns, og í eðlisfræði kemur talan upp t.d. í óvissulögmáli Heisenbergs, þ.e. í skammtafræði, en líka í annarri eðlisfræði.

Saga π.

Notkun táknsins „π“ fyrir tölu Arkímedesar kom fyrst fram árið 1706 þegar William Jones gaf út bókina "A New Introduction to Mathematics", þó að sama tákn hafi áður verið notað til þess að tákna ummál hrings. Táknið varð að staðli þegar Leonhard Euler tók það upp. Í báðum tilfellum er π fyrsti stafurinn í gríska orðinu περιμετροσ (perimetros), sem þýðir ummál.

Ágrip af sögu π.

Nálganir á π:

Það tók yfirleitt mörg hundruð ár frá fyrsta rétt reiknaða aukastafnum yfir í að reikna þann næsta, t.d. yfir í 2 rétta, og svo yfir í 3, 5 og 7 (og margir reiknuðu marga ranga).

Pí með fyrstu 63 aukastöfunum (runa A000796 í OEIS) er:

Nú er hægt að reikna út eins marga aukastafi og maður vill (og minni tölva leyfir). Fólk hefur líka reynt að muna og sett heimsmet í að þylja upp aukastafi, 70 þúsund staðfest af Guinness sem heimsmet (en Akira Haraguchi hefur þulið upp 111.701 stafi).

G.W. Reitwiesner var fyrstur ásamt samstarfsmönnum að reikna 2037 aukastafi á 70 klukkutímum með ENIAC-tölvunni árið 1949 (reiknaði líka yfir 2000 aukastafi af e), áður höfðu 1120 aukastafir verið reiknaðir með reiknivél. Það met hefur margoft verið slegið varðandi fjölda eða hraða, og sem dæmi má nefna að á pí-daginn svokallaða (14. mars, ritað 3/14 í Ameríku) 2019 birti Emma Haruka Iwao hjá Google niðurstöðu um að metið hefði verið slegið enn á ný og 31.415.926.535.897 aukastafir reiknaðir sem tók 121 dag að reikna út á ofurtölvu. Ef aðeins er um milljónir aukastafa að ræða er hægt að reikna þá út á klukkutímum, var t.d. gert á 2,9 klukkutímum árið 1982 fyrir 4.194.288 aukastafi. Nú orðið ætti hefðbundin tölva eða t.d. farsími að geta reiknað þann fjölda aukastafa nokkuð hratt án þess að klára minni; hefðbundin PC tölva getur reiknað milljón aukastafi á undir 5 sekúndum.

Kurt Mahler sýndi fram á árið 1950 að π væri ekki Liouville-tala.

Í laginu „Pi“ á Kate Bush-plötunni "Aerial" koma fram í textanum „3.1415926535 897932 3846 264 338 3279“.