Tvinntölur

Tvinntölur er talnamengi, sem myndað er úr mengi rauntalna auk þvertölunnar formula_1 sem jafngildir ferningsrótinni af -1. Þannig er tvinntalan formula_2 skilgreind sem formula_3, þar sem formula_1 er formula_5 og formula_6 og formula_7 eru rauntölur. Mengi þetta er táknað með stafnum formula_8, og er það skilgreint með mengjaskilgreiningarhætti á eftirfarandi hátt:

Breyturnar formula_7 og formula_6 í tvinntölunni formula_12 eru notaðar sem hnit í hnitakerfi tvinntalna, sem gjarnan er kallað tvinnsléttan. Er tvinntalan x+yi þá oft táknuð sem hnitið (x,y). Tvinnsléttan er í raun bara tvívíð talnalína þar sem að önnur víddin lýsir rauntölum, formula_13, en hin lýsir þvertölum, þ.e. þeim tölum sem fást með því að margfalda saman rauntölu formula_14 og fastann formula_15. Tvinntalan x + yi er sögð vera á rétthyrndu formi.

Aðgerðir.

Aðgerðir í mengi tvinntalna eru þær sömu og í rauntalnamenginu, en eru víðtækari að því leyti, að í formula_8 eru allar margliðujöfnur með rauntölustuðlum leysanlegar og hafa jafnmargar lausnir og stig margliðunnar segir til um þ. e. a. s. að margliðujafna af stigi n hefur n lausnir í formula_8). Einnig er hægt að draga hvaða rót sem vera skal af sérhverri rauntölu og enn fremur að reikna logra af sérhverri tölu nema af núlli. Ekkert af þessu er mögulegt í mengi rauntalna nema að sérstaklega vel standi á.

Helstu aðgerðirnar eru skilgreindar á eftirfarandi hátt, þar sem formula_18 og formula_19 :

Ef formula_29 er talan formula_30 sögð vera samoka henni. Samoka tvinntölur hafa ýmsa áhugaverða eiginleika:

Hlutar tvinntölu.

Til þess að fá uppgefinn eingöngu raunhluta tvinntölunnar formula_29 er notað fallið formula_36 og er það skilgreint svo:

Fyrir þverhlutann er fallið formula_38 notað, en skilgreining þess er:

Í stað formula_40 og formula_41 er oft ritað Re(z) og Im(z). Báðir rithættirnir eru jafngildir þar sem Re stendur fyrir "real" og á við raunhlutann og Im stendur fyrir "imaginary" og á við þverhlutann. Sérstaka athygli skal vekja á því að formula_41 gefur rauntöluna formula_6, ekki þvertöluna formula_44.

Lengd tvinntalna.

Hægt er að nota algildisfallið til þess að fá uppgefna fjarlægð tvinntölu frá núllpunkti tvinnsléttunnar:

Rithættir tvinntalna.

Pólhnit.

Pólhnit eru á forminu formula_46, þar sem að formula_47 lýsir lengd punktsins frá miðpunkti, og formula_48 lýsir horni punktsins frá raunásnum í jákvæða stefnu. Til þess að reikna tvinntölu yfir í pólhnit er notuð reglan

Til þess að reikna þetta til baka er svo reiknað:

Helsta ástæða þess að gott sé að breyta tvinntölum í pólhnit er sú að þá verður margföldun og deiling að hægðarleik, og jafnframt gildir regla De Moivres um tvinntölu í rauntöluveldi:

Margföldun og deiling virka þannig:

og frá margföldunarreglunni er hægt að draga veldisreiknireglu:

Veldareglan gildir jafnframt um brotin veldi (rætur), þannig að:

Veldi.

Hægt er að rita tvinntölur sem veldi af "e", þ.e. formula_58 þar sem að "z" er tvinntala.

Raunhluti tvinntölunnar er þá samsvarandi vísisfallinu formula_61, en um þverhlutann gildir að

Þar sem að allar rétthyrndar tvinntölur má líka rita í pólhnitum, þannig að

Margföldun tvinntalna í þessu formi er þannig að:

Hægt er að leiða reglu Eulers út frá þessu: