Կանոնավոր հնգանկյուն

Կանոնավոր հնգանկյուն (կամ պենտագոն հուն․՝ πενταγωνον), երկրաչափական պատկեր, կանոնավոր բազմանկյուն, որն ունի հինգ կողմ։


== Հատկություններ ==

Կանոնավոր հնգանկյան անկյունը հավասար է․
  
    
      
        α
        =
        
          
            
              (
              n
              −
              2
              )
            
            n
          
        
        ⋅
        
          180
          
            ∘
          
        
        =
        
          
            3
            5
          
        
        ⋅
        
          180
          
            ∘
          
        
        =
        
          108
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {3}{5}}\cdot 180^{\circ }=108^{\circ }}
  Կարելի է հաշվել տրված հինգ բանաձևերից ցանկացածով․
  
    
      
        S
        =
        
          
            5
            4
          
        
        
          t
          
            2
          
        
        
          
            c
            t
            g
          
        
        
        
          
            π
            5
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  5
                
              
              
                
                  5
                  +
                  2
                  
                    
                      5
                    
                  
                
              
            
            4
          
        
        
          t
          
            2
          
        
        =
        
          
            5
            12
          
        
        R
        d
        =
        
          
            5
            2
          
        
        
          R
          
            2
          
        
        sin
        ⁡
        
          
            
              2
              π
            
            5
          
        
        =
        5
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            t
            g
          
        
        
        
          
            π
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle S={\frac {5}{4}}t^{2}\mathop {\mathrm {ctg} } \,{\frac {\pi }{5}}={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}={\frac {5}{12}}Rd={\frac {5}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{5}}=5r^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{5}}}
  ,
որտեղ 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  -ը՝ արտագծած շրջանագծի շառվիղն է, 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  -ը՝ ներգծած շրջանագծի շառավիղը, 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  -ն անկյունագիծն է, 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  -ն կողմի երկարությունը։Կանոնվոր հնգանկյան բարձրությունը․
  
    
      
        h
        =
        
          
            
              tg
              
              
                72
                
                  ∘
                
              
            
            2
          
        
        t
        =
        
          
            
              5
              +
              2
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
        t
        ≈
        1
        ,
        539
        t
      
    
    {\displaystyle h={\frac {\operatorname {tg} \,72^{\circ }}{2}}t={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}t\approx 1,539t}
  Անկյունագծերը նաև ներքին անկյան կիսորդներն են և միջնուղղահայացները։
Անկյունագծի հարաբերությունը կողմին հավասար է «ոսկե հատմանը», այսինքն 
  
    
      
        
          
            
              1
              +
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
   թվին։Ներգծված և արտագծված շրջանագծերի շառավիղները, բարձրությունը, կողմը, անկյունագիծը և մակերեսը կարելի է հաշվել առանց եռանկյունաչափական բանաձևերի օգտագործման։

Կողմը․
  
    
      
        t
        =
        R
        
          
            
              
                5
                −
                
                  
                    5
                  
                
              
              2
            
          
        
        ≈
        1,175
        57
         
        R
      
    
    {\displaystyle t=R{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\approx 1{,}17557~R}
  Ներգծված շրջանագծի շառավիղը․
  
    
      
        r
        =
        
          
            
              
                
                  5
                
              
              
                
                  5
                  +
                  2
                  
                    
                      5
                    
                  
                
              
            
            10
          
        
        t
        ≈
        0,688
        191
         
        t
      
    
    {\displaystyle r={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{10}}t\approx 0{,}688191~t}
  Արտագծված շրջանագծի շառավիղը․
  
    
      
        R
        =
        
          
            
              
                
                  1
                
              
              0
              
                
                  5
                  +
                  
                    
                      5
                    
                  
                
              
            
            10
          
        
        t
        =
        (
        
          
            5
          
        
        −
        1
        )
         
        r
        ≈
        0,850
        651
         
        t
        ≈
        1,236
        07
         
        r
      
    
    {\displaystyle R={\frac {{\sqrt {1}}0{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{10}}t=({\sqrt {5}}-1)~r\approx 0{,}850651~t\approx 1{,}23607~r}
  Անկյունագիծը․
  
    
      
        d
        =
        
          
            Φ
            
              
                5
              
            
          
        
        R
        =
        
          
            
              
                
                  5
                
              
              +
              1
            
            2
          
        
        t
        ≈
        1,902
         
        R
        ≈
        1,618
         
        t
      
    
    {\displaystyle d={\sqrt {\Phi {\sqrt {5}}}}R={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}t\approx 1{,}902~R\approx 1{,}618~t}
  Մակերեսը․
  
    
      
        S
        =
        
          
            
              
                
                  5
                
              
              
                
                  5
                  +
                  2
                  
                    
                      5
                    
                  
                
              
            
            4
          
        
        
          t
          
            2
          
        
        ≈
        1,720
        48
         
        
          t
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle S={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}\approx 1{,}72048~t^{2}}
  Կանոնավոր հնգանկյունով հնարավոր չէ լցնել հարթությունը առանց միջակայքերի։
Կանոնավոր հնգանկյան մակերեսի հարաբերությունը այն հնգանկյան մակերեսին, որն առաջանում է սկզբնական հնգանկյան անկյունագծերի հատումից։
  
    
      
        
          
            S
            s
          
        
        =
        
          Φ
          
            4
          
        
        =
        3
        Φ
        +
        2
        =
        
          
            
              3
              
                
                  5
                
              
              +
              7
            
            2
          
        
        ≈
        6,854
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {S}{s}}=\Phi ^{4}=3\Phi +2={\frac {3{\sqrt {5}}+7}{2}}\approx 6{,}8541}
  
որտեղ  
  
    
      
        Φ
      
    
    {\displaystyle \Phi }
   — ոսկե հատման հարաբերությունն է։


== Կառուցում ==

Ահա տրված շրջանագծում կանոնավոր հնգանկյան կառուցման մեթոդներից։
Այն կարելի է կառուցել կամ կարկինով ու քանոնով, կամ շրջանագծին ներգծելով, կամ տրված կողմի հիմքի վրա։ Այս գործողությունը նկարագրվել է առաջին անգամ Ք․ա 300 թվականին Էվկլիդեսի «Հիմունքներում»։

1․Կառուցեք շրջանագիծ, որի մեջ պիտի կառուցվի հնգանկյունը և նշանակեք կենտրոնը O տառով։(Նկարի վրա կանաչ գույնով է.)
2․Ընտրեք շրջանագծի վրա A կետը, որը հնգանկյան գագաթներից է լինելու։ Գծեք OA ուղիղը։
3․Կառուցեք  OA ուղղին ուղղահայաց ուղիղ։ Շրջանագծի հետ հատման կետը նշանակեք B։
4․Կառուցեք OB հատվածի միջնակետը։
5․Կառուցեք շրջանագիծ,որն անցնի A կետով և C կենտրոնով,OB ուղղի հետ հատումը նշանակեք D-ով։
6․A կենտրոնով տարեք շրջանագիծ,որն անցնի D-ով։Կանաչ շրջանագծի հետ հատման կետերը նշանակեք E և F։
7․Տարեք շրջանագիծ E կենտրոնով,որն անցնում է A:Հատումը կանաչ շրջանագծի հետ նշանակենք G:
8․Տարեք F կենտրոնով շրջանագիծ,որն անցնի A կետով։Հատումը նշանակեք H կետով։
9․Կառուցեք AEGHF հնգանկյունը։


== Ստացում հարթ թղթի օգնությամբ ==
Կանոնավոր հնգանկյուն կրելի է ստանալ հարթ թղթի շերտից հանգույց անելով։


== Բնության մեջ ==
Պղնձի հարթ մակերևույթին  100—140 K -ում ջրային սառույցի առաջացումն ուսոմնասիրումը ցույց տվեց, որ սկզբում մակերևույթի վրա առաջանում են 1 նմ լայնության մոլեյուլային շղթաներ, բայց ոչ թե վեցանկյան այլ հնգանկյան տեեսքով։
Հնգահամաչափություն բնության մեջ կարելի է հանդիպել մի շարք ծաղիկների և մրգերի մեջ՝ օրինակ, գերմանական մուշմուլան։ Կենդանիներից շովային ասեղամորթները (օրինակ՝ծովաստղը)։

		


== Հետաքրքիր փաստեր ==

Դոդեկաեդր միակ կանոնավոր բազմանիստն է, որի նիստերը կանոնավոր հնգանկյուններ են։
Պենտագոնը `ԱՄՆ-ի Պաշտպանության նախարարության շենքն է, այն ունի կանոնավորհնգանկյան ձև։
Բնության մեջ չկան բյուրեղներ, որոնց նիստերը հնգանկյուն են։


== Տես նաև ==
Ոսկե հատում
Հնգանկյուն
Հնգանիստ
ԽՍՀՄ  պետական որակի նշան


== Ծանոթագրություն ==