Լապլասի օպերատոր

Լապլասի օպերատոր (լապլասիան, դելտա օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, դիֆֆերենցման օպերատոր, որն ազդում է գծային տարածության հարթ ֆունկցիաների վրա։ Նշանակվում է
  
    
      
         
        Δ
      
    
    {\displaystyle \ \Delta }
   տառով։
n-չափանի տարածությունում 
  
    
      
        F
         
      
    
    {\displaystyle F\ }
   ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝

  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      1
                    
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            …
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      n
                    
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        F
      
    
    {\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial x_{1}^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial x_{2}^{2}}+\ldots +{\partial ^{2} \over \partial x_{n}^{2}}\right)F}
  :
Լապլասի օպերատորը համարժեք է գրադիենտի և դիվերգենցիայի հաջորդական կիրառմանը՝ 
  
    
      
        Δ
        =
        div
        
        grad
      
    
    {\displaystyle \Delta =\operatorname {div} \,\operatorname {grad} }
  :
Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ 
  
    
      
        Δ
        =
        ∇
        ⋅
        ∇
        =
        
          ∇
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}
  :
Լապլասի օպերատորը սիմետրիկ է։


== Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում ==
Եռաչափ տարածության մեջ կորագիծ օրթոգոնալ 
  
    
      
        
          q
          
            1
          
        
        ,
         
        
          q
          
            2
          
        
        ,
         
        
          q
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{1},\ q_{2},\ q_{3}}
   կոորդինատներով գրվում է հետևյալ կերպ՝

  
    
      
        Δ
        f
        (
        
          q
          
            1
          
        
        ,
         
        
          q
          
            2
          
        
        ,
         
        
          q
          
            3
          
        
        )
        =
        div
        
        grad
        
        f
        (
        
          q
          
            1
          
        
        ,
         
        
          q
          
            2
          
        
        ,
         
        
          q
          
            3
          
        
        )
        =
      
    
    {\displaystyle \Delta f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=}
  

  
    
      
        =
        
          
            1
            
              
                H
                
                  1
                
              
              
                H
                
                  2
                
              
              
                H
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            
              (
              
                
                  
                    
                      
                        H
                        
                          2
                        
                      
                      
                        H
                        
                          3
                        
                      
                    
                    
                      H
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      f
                    
                    
                      ∂
                      
                        q
                        
                          1
                        
                      
                    
                  
                
              
              )
            
            +
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            
              (
              
                
                  
                    
                      
                        H
                        
                          1
                        
                      
                      
                        H
                        
                          3
                        
                      
                    
                    
                      H
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      f
                    
                    
                      ∂
                      
                        q
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
              )
            
            +
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            
              (
              
                
                  
                    
                      
                        H
                        
                          1
                        
                      
                      
                        H
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      H
                      
                        3
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      f
                    
                    
                      ∂
                      
                        q
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
        ,
      
    
    {\displaystyle ={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {H_{2}H_{3}}{H_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {H_{1}H_{3}}{H_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {H_{1}H_{2}}{H_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{3}}}\right)\right],}
  
որտեղ 
  
    
      
        
          H
          
            i
          
        
         
      
    
    {\displaystyle H_{i}\ }
  -ն Լամեի գործակիցն է։


=== Գլանային կոորդինատներ ===
Գլանային կոորդինատներով`
  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            1
            r
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              r
            
          
        
        
          (
          
            r
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  r
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                φ
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial  \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}
  


=== Սֆերիկ կոորդինատներ ===
Սֆերիկ կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            1
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              r
            
          
        
        
          (
          
            
              r
              
                2
              
            
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  r
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                r
                
                  2
                
              
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              θ
            
          
        
        
          (
          
            sin
            ⁡
            θ
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  θ
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                r
                
                  2
                
              
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                φ
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}
  
կամ

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            1
            r
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          (
          
            r
            f
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                r
                
                  2
                
              
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              θ
            
          
        
        
          (
          
            sin
            ⁡
            θ
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  θ
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                r
                
                  2
                
              
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                φ
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.}
  
Այն դեպքում, երբ
  
    
      
         
        f
        =
        f
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle \ f=f(r)}
   n-չափանի տարածության մեջ է՝

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              f
            
            
              d
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              n
              −
              1
            
            r
          
        
        
          
            
              d
              f
            
            
              d
              r
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Delta f={d^{2}f \over dr^{2}}+{n-1 \over r}{df \over dr}.}
  


=== Պարաբոլական կոորդինատներ ===
Պարաբոլական կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            1
            
              
                σ
                
                  2
                
              
              +
              
                τ
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          [
          
            
              
                1
                σ
              
            
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  σ
                
              
            
            
              (
              
                σ
                
                  
                    
                      ∂
                      f
                    
                    
                      ∂
                      σ
                    
                  
                
              
              )
            
            +
            
              
                1
                τ
              
            
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  τ
                
              
            
            
              (
              
                τ
                
                  
                    
                      ∂
                      f
                    
                    
                      ∂
                      τ
                    
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
        +
        
          
            1
            
              
                σ
                
                  2
                
              
              
                τ
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                φ
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial f}{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}}
  


=== Գլանային պարաբոլական կոորդինատներ ===
Գլանային պարաբոլական կոորդինատական համակարգում՝

  
    
      
        Δ
        F
        (
        u
        ,
        v
        ,
        z
        )
        =
        
          
            1
            
              
                c
                
                  2
                
              
              (
              
                u
                
                  2
                
              
              +
              
                v
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  F
                
                
                  ∂
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  F
                
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          ]
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              F
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Delta F(u,v,z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}.}
  


== Ընդհանուր կորագիծ կոորդինատներ և Ռիմանի տարածություն ==

Դիցուք հարթ բազմաձև 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ի վրա տրված է կոորդինատների լոկալ համակարգ և 
  
    
      
        
          g
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{ij}}
  -ն ռիմանյան մետրիկական թենզոր է 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ի վրա, այսինքն մետրիկան ունի հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            ,
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          g
          
            i
            j
          
        
        d
        
          x
          
            i
          
        
        d
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}dx^{i}dx^{j}}
   .
  
    
      
        
          g
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle g^{ij}}
  -ով նշանակենք  
  
    
      
        (
        
          g
          
            i
            j
          
        
        
          )
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle (g_{ij})^{-1}}
   մատրիցի էլեմենտները՝

  
    
      
        g
        =
        det
        ⁡
        
          g
          
            i
            j
          
        
        =
        (
        det
        ⁡
        
          g
          
            i
            j
          
        
        
          )
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle g=\operatorname {det} g_{ij}=(\operatorname {det} g^{ij})^{-1}}
  .
  
    
      
        
          F
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle F^{i}}
   տրված կոորդինատներով որոշվող 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   վեկտորական դաշտի դիվերգենցիան (որը ներկայացնում է 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          F
          
            i
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}F^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}
   -ին կարգի դիֆֆերնցման օպերատորը) X բազմաձևի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

  
    
      
        div
        ⁡
        F
        =
        
          
            1
            
              g
            
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        (
        
          
            g
          
        
        
          F
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} F={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}({\sqrt {g}}F^{i})}
  ,
իսկ f  ֆունկցիայի գրադիենտի բաղադրիչները որոշվում են հետևյալ կերպ՝

  
    
      
        (
        ∇
        f
        
          )
          
            j
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          g
          
            i
            j
          
        
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (\nabla f)^{j}=\sum _{i=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}.}
  
Լապլաս-Բելտրամի օպերատորը 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

  
    
      
        Δ
        f
        =
        div
        ⁡
        (
        ∇
        f
        )
        =
        
          
            1
            
              g
            
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        
          
            (
          
        
        
          
            g
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          g
          
            i
            k
          
        
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  k
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} (\nabla f)={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big (}{\sqrt {g}}\sum _{k=1}^{n}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\Big )}.}
  
  
    
      
        Δ
        f
      
    
    {\displaystyle \Delta f}
  -ը սկալյար է, այսինքն չի փոփոխվում կոորդինատների ձևափոխության ժամանակ։


== Կիրառություն ==
Լապլլասի օպերատորի օգնությամբ հեշտորեն գրվում է Լապլասի, Պուասոնի և ալիքային հավասարումները։
Ֆիզիկայում Լապլասի օպերատորը հաճախակի օգտագործվում է էլեկտրադինամիկայում, քվանտային մեխանիկայում։


== Վարիացիա և ընդհանրացում ==
Դալամբերի օպերատոր՝ հիպերբոլական հավասարումների համար Լապլասի օպերատորի ընդհանրացում։ ներառում է ըստ ժամանակի երկրորդ կարգի ածանցյալ։
Լապլասի վեկտորական օպերատոր՝ վեկտորական արգումենտի առկայության դեպքում Լապլասի օպերատորի ընդհանրացում։


== Տես նաև ==


== Արտաքին հղումներ ==
MathWorld description of Laplacian