Գաուս-Օստոգրադսկու թեորեմ

Գաուս-Օստոգրադսկու թեորեմ, մաթեմատիկական բանաձև, որը վեկտորական դաշտի հոսքը փակ մակերևույթով արտահայտում է դաշտի դիվերգենցիայի ինտեգրալով ըստ ծավալի, որը սահմանափակված է այդ մակերևույթով.

  
    
      
        
          ∭
          
            
              V
            
          
        
        
          d
          i
          v
        
        
        
          
            
              F
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            d
          
        
        V
        =
        ∫
        
        
        
        
        
        
        
        ⊂
        
        
        ⊃
        
        
        
        
        
        
        
        
          ∫
          
            ∂
            
              
                S
              
            
          
        
        
          
            
              F
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            d
          
        
        
          
            
              S
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \iiint _{\mathcal {V}}\mathrm {div} \,{\vec {F}}\cdot {\rm {d}}V=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial {\mathcal {S}}}{\vec {F}}\cdot {\rm {d}}{\vec {S}}}
  
կամ
  
    
      
        
          ∭
          
            V
          
        
        
          (
          
            
              ∇
            
            ⋅
            
              F
            
          
          )
        
        
        d
        V
        =
        ∫
        
        
        
        
        
        
        
        ⊂
        
        
        ⊃
        
        
        
        
        
        
        
        
          ∫
          
            ∂
            
              
                S
              
            
          
        
        
          F
        
        ⋅
        
          n
        
        
        d
        S
      
    
    {\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial {\mathcal {S}}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}
  ,
այսինքն՝ որոշակի V ծավալով տարածվող F վեկտորական դաշտի դիվերգենցիայի ինտեգրալը հավասար է տվյալ ծավալը սահմանափակող S մակերևույթով վեկտորի հոսքին։
Բանաձևն օգտագործվում է ծավալային ինտեգրալը փակ մակերևույթով ինտեգրալի վերածելու համար։
Օստոգրադսկու աշխատության մեջ բանաձևը գրված է հետևյալ կերպ.

  
    
      
        ∫
        
          (
          
            
              
                d
                P
              
              
                d
                x
              
            
          
          )
        
        +
        
          (
          
            
              
                d
                Q
              
              
                d
                y
              
            
          
          )
        
        +
        
          (
          
            
              
                d
                R
              
              
                d
                z
              
            
          
          )
        
        ×
        ω
        =
        ∫
        
          (
          
            P
            c
            o
            s
            λ
            +
            c
            o
            s
            μ
            +
            R
            c
            o
            s
            ν
          
          )
        
        ⋅
        s
      
    
    {\displaystyle \int \left({\frac {dP}{dx}}\right)+\left({\frac {dQ}{dy}}\right)+\left({\frac {dR}{dz}}\right)\times \omega =\int \left(Pcos\lambda +cos\mu +Rcos\nu \right)\cdot s}
  
որտեղ 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  -ն և s-ը համապատասխանաբար ծավալային և մակերեսային դիֆերենցիալներն են, 
  
    
      
        ω
        =
        d
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega =d\omega }
  -ն ծավալային տարրն է, s=dS-ը՝ մակերևույթային տարրը։ P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z)-ը ֆունկցիաներ են, որոնք իրենց մասնակի ածանցյալների հետ միասին անընդհատ են մակերևույթի առաջին կարգի փակ մակերեսում, որը սահմանափակված է փակ հարթ մակերևույթով։
Գաուս-Օստոգրադսկու ընդհանրացված դեպքը Ստոքսի բանաձևն է։


== Պատմություն ==
Առաջին անգամ թեորեմը առաջարկվել է Լագրանժի կողմից։ 1762 թ. ձայնի տեսության մասին իր աշխատության մեջ Լագրանժը դիտարկում է թեորեմի մասնակի դեպքը։
Եռակի ինտեգրալը մակերեսայինի վերածելու ընդհանուր մեթոդն առաջին անգամ ցույց է տվել Կառլ Ֆրիդրիխ Գաուսը (1813, 1830 թթ.)՝ էլեկտրադինամիկայի խնդիրների օրինակի վրա.:
1826 թ. Միխայիլ Օստրոգրադսկին դուրս բերեց բանաձևն ընդհանուր տեսքով՝ այն ներկայացնելով թեորեմի տեսքով (հրատարակվել է 1831 թ.)։ Բանաձևի ընդհանրացումը բազմաչափ դեպքի համար Օստոգրադսկին հրապարակեց 1834 թ.։ Այս բանաձևի օգնությամբ Օստոգրադսկին գտավ պարամետրով ածանցյալի և փոփոխական սահմանով n-րդ կարգի ինտեգրալի միջև արտահայտությունը և ստացավ բանաձև n-րդ կարգի ինտեգրալի վարիացիայի համար։
Անգլալեզու գրականության մեջ այս բանաձևն անվանում են նաև դիվերգենցիայի թեորեմ անգլ.՝ divergence theorem, երբեմն՝ Գաուսի բանաձև կամ Գաուս-Օստոգրադսկու բանաձև (թեորեմ)։


== Ծանոթագրություններ ==