Լեոնարդ Էյլեր

Լեոնարդ Էյլեր  (գերմ.՝ Leonhard Euler, ապրիլի 15, 1707(1707-04-15)[…], Բազել, canton of Basel, Հին Շվեյցարիայի Համադաշնություն - սեպտեմբերի 18, 1783(1783-09-18)[…], Սանկտ Պետերբուրգ, Ռուսական կայսրություն), շվեյցարացի, գերմանացի և ռուս մաթեմատիկոս և մեխանիկ, այս գիտությունների զարգացման համար ահռելի ներդրում ունեցած, (ինչպես նաև ֆիզիկայի, աստղագիտության և մի շարք այլ կիրառական գիտությունների համար)։ Էյլերը ավելի քան 850 աշխատանքների հեղինակ է (ներառված ավելի քան երկու տասնայակ հիմնարար մենախոսության) մաթեմատիկական անալիզի, դիֆերենցիալ երկրաչափության, թվերի տեսության, մաթեմատիկական ֆիզիկայի, երկնային մեխանիկայի, օպտիկայի, նավաշինության, բալիստիկայի, մոտավոր հաշվարկների, երաժշտության տեսության և այլ բնագավառների վերաբերյալ ։ Նա խորությամբ ուսումնասիրել է բժշկություն, քիմիա, կենսաբանություն, օդագնացություն, երաժշտության տեսություն, եվրոպական և հնագույն մի շարք լեզուներ։ Պետերբուրգի Գիտությունների Ակադեմիայի, Պրուսական Գիտությունների Ակադեմիայի, Թուրինի Գիտությունների Ակադեմիայի, Լիսաբոնի և Բազելի Գիտությունների Ակադեմիայի ակադեմիկոս, Փարիզի Գիտությունների Ակադեմիայի օտարերկրյա անդամ։
1720-1724 թվականներին սովորել է Բազելի համալսարանում։ 1727 թվականին աշխատել է Սանկտ Պետերբուրգի գիտությունների ակադեմիայում, 1741 թ. տեղափոխվել է Բեռլին, 1766 թվականին կրկին վերադարձել Պետերբուրգ։
Էյլերը Բեռլինի, Սանկտ Պետերբուրգի և Փարիզի գիտությունների ակադեմիայի և Լոնդոնի թագավորական ընկերության անդամ էր. նրա հետազոտություններն ընդգրկել են իր ժամանակի մաթեմատիկայի, ֆիզիկայի և մեխանիկայի բոլոր բաժինները։ Նա շարադրել է դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության հիմունքները, մշակել է պինդ մարմնի կինեմատիկան և դինամիկան, տվել անշարժ կետի շուրջը դրա պտտման հավասարումը, հիմնադրել գիրոսկոպի տեսությունը։ Նավաշինության մասին իր աշխատանքներով նա մեծ ավանդ է ներդրել կանգունության տեսությունում։
Կյանքի համարյա կեսը անց է կացրել Ռուսաստանում, որտեղ իր զգալի ներդրումն է ունեցել ռուսական գիտության կայացման մեջ։ 1726 թվականին հրավիրվել է աշխատելու Սանկտ Պետերբուրգ, որտեղ և տեղափոխվել է մեկ տարի անց։ 1726 թվականից մինչ 1741 թվականը, ինչպես նաև աշխատել է 1766 թվականից Պետերբուրգի գիտությունների ակադեմիայում (սկսած ադյունտից մինչ պրոֆեսոր 1731 թվականից), 1741 թվականից մինչ 1766 թվականը աշխատել է Բեռլինում (միաժամանակ մնալով Պետերբուրգի գիտությունների ակադեմիայի պատվավոր անդամ)։ Գալով Ռուսաստան, արդեն մեկ տարի անց նա լավ տիրապետում էր լեզվին և իր ստեղծագործությունների մի մասը հրատարակել է ռուսերենով։ Առաջին ռուս ակադեմիկ-մաթեմատիկները (Սեմյոն Կիրիլովիչ Կոտելնիկովը) և աստղագետ  (Ստեփան Յակովլեևիչ Ռումովսկին) Էյլերի աշակերտներն են եղել։ Նրա սերունդներից ոմանք դեռևս ապրում են Ռուսաստանում


== Կենսագրություն ==


=== Շվեցարիա ===
Լեոնարդ Էյլերը ծնվել է 1707 թվականի ապրիլի 15-ին բազելական պաստոր Պաուլ Էյլերի, ով Բեռնուլիի ընտանիքի ընկերն էր, և Մարգարիտա Էյլերի՝ ծնունդով Բրուկերի ընտանիքում։Շվեյցարիայի Բազել քաղաքում։ Էյլերը ունեցել է երկու քույր` Աննա Մարիան, Մարիա Մագդալենան և կրտսեր եղբայր` Յոհան Հենրիխը։ Լեոնարդի ծնունդից անմիջապես հետո, Էյլերների ընտանիքը Բազելից տեղափոխվել է Ռիհեն քաղաքը (որը Բազելից ուներ մեկ ժամվա հեռավորություն), այնտեղ Պաուլ Էյլերը պաստոր էր նշանակվել, որտեղ էլ անց է կացել տղայի մանկության մեծ մասը։ Լեոնարդը նախնական կրթություն ստացել է, հոր ղեկավարությամբ, տանը (ով իր ժամանակ մաթեմատիկա էր սովորել Յակոբի Բեռնուլիի մոտ)։ Պաստորը ավագ որդուն պատրաստում էր հոգևոր գործունեության համար, սակայն մաթեմատիկա էլ էր պարապում նրա հետ՝ նախ զբաղմունքի, այնպես էլ հետագա տրամաբանական մտածողության զարգացման համար, և Լեոնարդը շատ վաղ ցուցաբերեց մաթեմատիկական ընդունակությունները։ Էյլերն իր հիմնական կրթությունը ստացել է Բազելի գիմնազիայում, որտեղ նա ապրում էր իր մորական տատիկի հետ (շարունակելով միաժամանակ խորությամբ ուսումնասիրել մաթեմատիկան)։ 1720 թվականին, տասներեք տարեկանում, նա հնարավորություն է ունեցել Բազելի համալսարանում մասնակցել դասերի, որտեղ նա գրավում է Յոհան Բեռնուլիի(Յակոբի Բեռնուլիի փոքր եղբոր) ուշադրությունը։ Ճանաչված գիտնականը, ուսումնասիրման համար, Էյլերին է փոխանցում մաթեմատիկական հոդվածներ, թույլատրելով անհասկանալի հարցերի պարզաբանման համար այցելել իրեն շաբաթ օրերին՝ ճաշից հետո։
 
1720 թվականի հոկտեմբերի 20-ին 13-ամյա Լեոնարդ Էյլերը դարձավ Բազելի համալսարանի մշակույթի ֆակուլտետի ուսանող։ Սակայն մաթեմատիկայի հանդեպ սերը նրան մղում էր այլ ուղով։ Այցելելով իր ուսուցչի տուն, Լեոնարդը ծանոթացավ և սկսեց ընկերություն անել նրա որդիների՝ Դանիել Բեռնուլիի և Նիկոլայ Բեռնուլիի հետ, որոնք նույնպես, ընտանեկան ավանդույթի համաձայն, խորապես ուսումնասիրում էին մաթեմատիկան։ 1723 թվականին Էյլերը, Բազելի համալսարանում գոյություն ունեցող ավանդույթի համաձայն, առաջին մրցանակը (primam lauream) ստացավ։ 1724 թվականի հուլիսի 8-ին 17-ամյա Լեոնարդ Էյլերը լատիներենով ելույթ ունեցավ, Դեկարտի և Նյուտոնին փիլիսոփայության ոլորտի հայացքների մասին և դրա համար ստացավ փիլիսոփայության մագիստրոսի կոչում։ Հետագա երկու տարիների ընթացքում երիտասարդ Էյլերը գրում է մի քանի գիտական աշխատանք։ Նրանցից մեկը, «Ձային ֆիզիկայի մասին ատենախոսությունը», Բազելի համալսարանի ֆիզիկայի պրոֆեսորի ազատված պաշտոնի մրցույթի համար առաջադրվեց (1725)։ Սակայն, չնայած դրական արձագանքին, 19-ամյա Էյլերին բավականաչափ երիտասարդ համարեցին, որպեսզի ընդգրկեն պրոֆեսորական ամբիոնի թեկնածուների շարքում։ Հարկ է նշել, որ Շվեցարիայում գիտական պաշտոնների թափուր տեղերը այնքան էլ շատ չէին։ Այդ իսկ պատճառով Դանիիլ և Նիկոլայ եղբայրները ուղևորվեցին Ռուսաստան, որտեղ այդ ժամանակ կազմավորվում էր Սանկտ Պետերբուրգի գիտությունների ակադեմիան, ովքեր խոստացան Էյլերի համար միջնորդել։ 1726 թվականի հուլիսի 31-ին Նիկոլաուսը մահանում է քաղցկեղի պատճառով, մեկ տարի անց Դանիիլը ստանձնում է իր եղբոր` Նիկոլայի պաշտոնը մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի բաժնում, նա առաջարկում է Էյլերին միանալ իրեն։ 1726—1727 թվականներին Էյլերը Սանկտ Պետերբուրգից ծանուցում է ստանում՝ Բեռնուլիի եղբայրների երաշխավորությամբ նա հրավիրվում է բնախոսության ամբիոնում (այդ ամբիոնը զբաղեցնում էր Դանիիլ Բեռնուլին) ադյունկտի (ակադեմիկոսի կամ պրոֆեսորի օգնական) հաստիքի համար, տարեկան 200 ռուբլի ռոճիկով (պահպանվել է, 1726 թվականի նոյեմբերի 9-ի, Ակադեմիայի նախագահ Լավրենտի Լավրենտովիչ Բլյումենտրոստին ուղղված Էյլերի շնորհակալական նամակը հրավերի ընդունման մասին)։ Քանի որ Յոհան Բեռնուլին հայտնի բժիշկ էր, այդ իսկ պատճառով Ռուսաստանում Էյլերին ևս բժիշկ էին համարում, ճանաչելով որպես նրա լավագույն աշակերտի։ Բազելից Էյլերը իր մեկնումը հետաձգեց մինչ մարտ ամիսը, մնացած ժամանակը տրամադրելով բժշկական գիտությունների լուրջ ուսումնասիրմանը, որոնց փայլուն տիրապետմամբ նա հաճախ զարմացնում էր իր ժամանակակիցներին։ Վերջապես, 1727 թվականի ապրիլի 5-ին Էյլերը մշտապես լքեց Շվեցարիան, չնայած շվեցարական Բազելյան հպատակությունը պահպանեց մինչ կյանքի վերջ։


=== Ռուսաստան (1727—1741) ===
1724 թվականի հունվարի 22-ին Պետրոս I-ը հաստատում է Սանկտ Պետերբուրգի գիտությունների Ակադեմիայի նախագիծը։ 1724 թվականի հունվարի 28-ին հրապարակվեց Ակադեմիայի ստեղծման Ղեկավար սենատի հրմանաը։ Առաջին տարիներին հրավիրված 22 պրոֆեսորներից և ասպիրանտներից ութը պարզվեց մաթեմատիկներ են, որոնք նաև զբաղվում էին մեխանիկայով, ֆիզիկայով, աստղագիտությամբ, քարտեզագրությամբ, նավաշինության տեսությամբ, չափերի և կշիռների ծառայությամբ։ Էյլերը (որի ուղին Բազելից անցնում էր Լյուբեկով, Ռեվելով և Կրոնշտադով) ժամանեց Սանկտ Պետերբուրգ 1727 թվականի մայիսի 24-ին, դրանից մի քանի օր առաջ մահացել էր Ակադեմիայի հովանավոր Եկատերինա I կայսրուհին, և գիտնականները գտնվում էին մոլորության մեջ։ Էյլերին, համերկրացի երկվորյակ եղբայներ Դանիիլ Բեռնուլին և Յակոբ Գերմանը, օգնեցին հարմարվել նոր տեղում, Յակոբ Գերմանը հանդիսանում էր բարձրագույն մաթեմատիկայի ամբիոնի պրոֆեսոր, նաև հեռավոր բարեկամ էր և Էյլերին հնարավորինս հովանավորում էր։ Էյլերը դարձավ բարձրագույն մաթեմատիկայի ասպիրանտ (և ոչ թե ֆիզիոլոգիայի, ինչպես որ պլանավորվել էր նախօրոք), չնայած նա Պետերբուրգում հետազոտություններ էր կատարել կենսաբանական հեղուկների հիդրոդինամիկայի բնագավառում, նրա համար սահմանեցին 300 ռուբլի տարեկան ռոճիկ ու պետական բնակարան տրամադրեցին։ Համընդհանուր զարմանքի արդյունքում հաջորդ տարում Էյլերը արդեն վարժ խոսում էր ռուսերեն։ 1728 թվականին սկսվեցին «Պետերբուրգի գիտությունների ակադեմիայի մեկնաբանություններ» ռուսական առաջին ամսագրի հրատարակումները (լատիներենով)։ Որի երկրորդ հատորը ընդգրկում էր Էյլերի երեք հոդված, և հետագա տարիներին ակադեմիական ամենամյակի համարյա յուրաքանչյուր հրատարակում պարունակում էր նրա մի քանի նոր աշխատանք։ Իսկ ընդհանուր առմամբ ամսագրում հրատարակվել է Էյլերի ավելի քան 400 հոդված։ 1730 թվականի սեպտեմբերին լրացավ ակադեմիկոսներ Յակոբ Գերմանի և Գեորգ Բեռնարդ Բիլֆինգերի պայմանագրերի ժամկետը (վերջինս փորձարարական և տեսական ֆիզիկայի ամբիոնի պրոֆեսորն էր)։ Նրանց ամբիոնները սկսեցին գլխավորել համապատասխանաբար Դանիիլ Բեռնուլին և Լեոնարդ Էյլերը, որից հետո Էյլերի ռոճիկը հասավ 400 ռուբլու, իսկ 1731 թվականի հունվարի 22-ին պաշտոնապես ստանձնեց պրոֆեսորի պաշտոնը։ Երկու տարի անց (1733) Դանիիլ Բեռնուլին վերադարձավ Շվեցարիա, և Էյլերը, թողնելով ֆիզիկայի ամբիոնը, գլխավորեց նրանը, դառնալով բարձրագույն մաթեմատիկայի ակադեմիկոս և պրոֆեսոր շուրջ 600 ռուբլի ռոճիկով (Դանիիլ Բեռնուլին կրկնակի էր վարձատրվում)։ 1733 թվականի դեկտեմբերի 27-ին Լեոնարդ Էյլերը ամուսնանում է ակադեմիական գեղանկարիչ Գեորգ Ջսելի (պետերբուրգյան շվեցարացի) աղջկա Կատարինայի (գերմ.՝ Katharina Gsell) հետ։ Նորապսակները Նևայի առափնյայում բնակարան ձեռք բերեցին։ Էյլերի ընտանիքում ծնվեցին 13 երեխա, սակայն ապրեցին երեք որդին և երկու աղջիկը։ Երիտասարդ պրոֆեսորի աշխատանքները շատ էին՝ քարտեզագրությունը, ամենահավանական եզրակացությունները, նավաշինարարների և հրետանավորի խորհրդատվությունները, ուսումնական ձեռնարկների խմբագրումը, հրշեջային պոմպերի նախագծումը և այլն։ Նրանից նույնիսկ պահանջում էին հորոսկոպների կազմում, որոնց պատվերը, սակայն Էյլերը լրջագույն նրբազգացությամբ ուղղում էր աստղագետին։ Ալեքսանդր Սերգեևիչ Պուշկինը պատմում է, իբր Էյլերը հորոսկոպ է կազմել նորածին Իվան VI-ի (1740) համար, բայց արդյունքը այնքան սարսափելի էր, որ նա ոչ մեկի չէր ցուցադրել, միայն անբախտ արքայազնի մահից հետո պատմել էր դուքս Կիրիլ Գրիգորևիչ Ռազումսկուն։ Այս պատմական անեկդոտի իսկությունը խիստ կասկածելի է։ Ռուսաստանում բնակության առաջին շրջանում նա գրել է ավելի քան 90 խոշոր գիտական աշխատանք։ Ակադեմիական «Գրառումների» նշանակալի մասը կազմում են Էյլերի աշխատանքները։ Նա զեկուցումներ էր անում գիտական սեմինարների ժամանակ, հասարակական դասախոսություններ կարդում, մասնակցում ղեկավարական տարբեր տեխնիկական պատվերների գերատեսչությունների կատարմանը։ 1730-ականների ընթացքում Էյլերը գլխավորում էր Ռուսական կայսրության քարտեզագրության աշխատանքները, որը ավարտվեց (1745 թվականին Էյլերի մեկնումից հետո) երկրի տերիտորիայի ատլասի հրատարակմամբ։ Ինչպես պատմում է Նիկոլայ Իվանովիչ Ֆրուսսը, 1735 թվականին Ակադեմիան հրահանգ է ստանում մեծածավալ մաթեմատիկական արագ հաշվարկի համար, ընդ որում ակադեմիկոսների խումբը դրա համար պահանջեց երեք ամիս ժամանակ, սակայն Էյլերը միայնակ վերջացրեց այն երեք օրում, բայց գերբեռնվածությունը հենց այնպես չանցավ և նա հիվանդացավ ու կորցրեց աջ աչքի տեսողությունը։ Չնայած, Էյլերը տեսողության կորուստը վերագրում էր Ակադեմիայի աշխարհագրական դեպարտամենտում քարտեզագրությանը։ 1736 թվականին հրատարակված «Մեխանիկա, կամ շարժման գիտություն, շարադրված անալիտիկորեն» երկհատոր ստեղծագործությունը, Էյլերին բերեց համաեվրոպական ճանաչողություն։ Այս մենախոսության մեջ նա դատարկության և դիմադրող միջավայում շարժման խնդրի լուծման համար, հաջողությամբ կիրառել է մաթեմատիկական անալիզի մեթոդները։

Ակադեմիայի կարևորագույն խնդիրներից էր համարվում հայրենական կադրերի պատրաստումը, ինչի համար ակադեմիային կից ստեղծվել էր Պետերբուրգի Ակադեմիական համալսարանը և Ակադեմիական գիմնազիան։ Էյլերը գերմաներենով կազմեց «Թվաբանության ձեռնարկի» շատ բարորակ տարբերակը, որը անմիջապես թարգմանվեց ռուսերենով ու մեկ տարի չէ, որ ծառայեց որպես նախնական դասագիրք։ Առաջին մասի թարգմանությունը 1740 թվականին կատարել է Ակադեմիայի ռուս ասպիրանտ (ադյունկտ), Էյլերի աշակերտ Վասիլի Ադոդուրովը։ Երբ 1740 թվականին, Կայսրուհի Աննա Յոհաննովնան մահացավ, իրավիճակը սրվեց, և կայսր հրապարակվեց փոքրահասակ Իվան VI-ը։ «Կանխատեսվում էր որոշ վտանգ,— գրում էր հետագայում Էյլերը ինքնակենսագրականում։ Արժանափառ կայսրուհի Աննայի վախճանից հետո գահի խնամակալության շրջանում վիճակը վստահելի չէր դառնում»։ Իրականում, գահի խնամակալության շրջանում Պետերբուրգի ակադեմիան վերջնականապես մատնվեց անխնամության։ Էյլերը արդեն տարբերակներ էր մտածում հայրենիք վերադառնալու համար։ Վերջ ի վերջո նա ընդունես Պրուսիայի Ֆրիդրիխ II թագավորի առաջարկը, ով հրավիրում էր նրան Մաթեմատիկական դեպարտամենտի տնօրենի պաշտոնը ստնձնելու համար։ Ակադեմիան կազմավորվել էր դեռևս Լայբնիցի կողմից հիմնադրված պրուսական Թագավորական ընկերության հիմքի վրա, բայց այդ տարիներին գտնվում էր անմխիթար վիճակում։


=== Պրուսիա (1741—1766) ===
Էյլերը դիմեց Պետերբուրգի ակադեմիայի ղեկավարությանը ազատման խնդրանքով՝

1741 թվականի մայիսի 29-ին Ակադեմիայից թույլտվությունը ստացվեց։ Էյլերը «ազատ էր» և որպես Ակադեմիայի պաշտոնական անդամ 200 ռուբլի դրույքով հաստատված։ 1741 թվականի հունիսին 34-ամյա Լեոնարդ Էյլերը կնոջ, երկու տղաների և չորս զարմիկների հետ ժամանեց Բեռլին։ Այնտեղ նա մնաց 25 տարի և հրատարակեց 260 աշխատանք։ Բեռլինում Էյլերին սկզբնական շրջանում ընդունեցին բարյացակամորեն, նույնիսկ հրավիրեցին պալատական պարահանդեսների։ Մարքիզ Մարի Ժան Անտուան Նիկոլա Կոնդորսեն հիշատակում է, որ Էյլերին հրավիրել է պարահանդեսի։ Թագուհի-մայրիկի այն հարցին, թե ինչու է նա այդչափ քչախոս, Էյլերը պատասխանում է՝ «Ես մի երկրից եմ եկել, որտեղ խոսացողին կախում են»։ Էյլերը բավականաչափ զբաղված էր։ Մաթեմատիկական հետազոտություններին զուգահեռ, նա ղեկավարում էր աստղադիտարանը, զբաղվում տարաբնույթ պրակտիկ աշխատանքներով, որոնց մեջ ներառված էր նաև օրացույցերի հրատարակումը (Ակադեմիայի եկամուտների հիմնական աղբյուրը), պրուսական մետաղադրամների դրամահատումը, նոր ջրանցքի նախագծումը կենսաթոշակների և վիճակախաղերի ապահովվման կազմակերպմանը։

1742 թվականին հրատարակվեց Յոհան Բեռնուլիի ստեղծագործությունների քառահատոր ժողովածուն։ Ուղարկելով այն Բազելից Բեռլին Էյլերին, ծեր գիտնականը գրում է իր աշակերտին՝ «Ես նվիրաբերեցի ինձ բարձրագույն մաթեմատիկայի մանկությանը։ Դու, իմ ընկեր, կշարունակես նրա ձևավորումը հասունության ժամանակ»։ Բեռլինյան ժամանակաշրջանում, մեկը մյուսի հետևից, լույս էին տեսնում Էյլերի աշխատանքները՝ «Անվերջ փոքրերի վերլուծության ներածություն» (1748), «Լուսնի շարժման տեսություն» (1753), «Դիֆերենցիալ հաշվի հրահանգները» (լատ.՝ Institutiones calculi differentialis, 1755)։ Նրա աշխատանքներում օգտագործվում են հորինված տերմինաբանություն և մաթեմատիկական սիմվոլիկա, որոնք որոշակիորեն պահպանվել են մինչ այսօր, շարադրումը բերվում է պրակտիկ ալգորիթմների մակարդակի։ Գերմանիայում եղած ամբողջ ժամանակ Էյլերը պաշտպանում է Ռուսաստանի հետ ունեցած կապը։ Նա մասնակցում է Պետերբուրգի Ակադեմիայի հրատարակումներին, նրա համար գրքեր և գործիքներ է հայթայթում, խմբագրում ռուսական ամսագրերի մաթեմատիկական բաժինները։ Նրա բնակարանում, տարիներով գիշերօթիկով ապրում էին երիտասարդ ռուս գիտնականներ, որոնք գործուղվել էին ստաժավորման։ Հայտնի է Էյլերի և Միխայիլ Վասիլևիչ Լոմոնոսովի աշխույժ նամակագրությունը, որի գործունեության մեջ Էյլերը բարձր էր գնահատում այն, որ «գիտափորձերն ու տեսությունը ուրախանալիորեն համընկնում էին»։ 1747 թվականին Էյլերը Գիտությունների ակադեմիայի նախագահ դուքս Կիրիլ Գրիգորևիչ Ռազումովսկուն բարյացակամ կարծիք տվեց Լոմոնոսովի ֆիզիկայի և քիմիայի հոդվածների վերաբերյալ՝

Այս բարձր գնահականին չի խանագարել նույնիսկ այն, որ Լոմոնոսովը մաթեմատիկական աշխատանքներ չի գրել ու չի տիրապետել բարձրագույն մաթեմատիկային։ Էյլերին մայրը տեղեկացրեց Շվեցարիայում հոր մահվան մասին (1745), շուտով նա տեղափոխվեց Էյլերի մոտ (մահացել է 1761 թվականին)։ 1753 թվականին Էյլերը Շառլոտենբուրգում հողամասով ու այգով կալվածք գնեց, որտեղ և տեղավորվեց նրա բազմանդամ ընտանիքը։ 

Ժամանակակիցների կարծիքով, Էյլերը ամբողջ կյանքը մնաց համեստ, կենսուրախ, ծայրահեղ զգայուն մարդ, մշտապես պատրաստ օգնության հասնելու ուրիշներին։ Սակայն թագավորի հետ հարաբերությունները չէին ստացվում՝ Ֆրիդրիխը գտել էր նոր անտանելի տխուր մաթեմատիկի, ով բացարձակ աշխարհիկ չէր և նրա հետ արհամարհանքով էր վերաբերվում։ 1759 թվականին մահացավ Էյլերի ընկեր, Բեռլինի գիտությունների ակադեմիայի նախագահ Պյեռ Լուի դը Մոպերտյուին։ Նախագահի պաշտոնը Ֆրիդրիխ II-ը առաջարկեց Ժան Լը Ռոն Դ'Ալամբերին, սակայն նա հրաժարվեց։ Ֆրիդրիխը, չնայած չէր սիրում Էյլերին, այնուամենայնիվ Ակադեմիայի ղեկավարությունը, առանց նախագահի պաշտոնի, հանձնեց նրան։ Յոթնամյա պատերազմի ժամանակ (1756—1763) ռուսական հրետանին ջախջախեց Էյլերի տունը, որի մասին իմանալով ֆելդմարշալ Պետրոս Սեմյոնովիչ Սալտիկովը անմիջապես փոխհատուցեց վնասը, իսկ հետագայում Ելիզավետա Պետրովնան նրան ուղարկեց անձամբ իր կողմից 4000 ռուբլի։ 1765 թվականին հրատարակվեց «Պինդ մարմինների շարժման տեսությունը», իսկ մեկ տարի անց՝ «Փոփոխակային հաշվարկների տարրերը»։ Հենց այստեղ առաջին անգամ հնչեց Էյլերի, Ժոզեֆ Լուի Լագրանժի մաթեմատիկայի նոր բաժնի անվանումը։ 1762 թվականին Եկատերինա II-ը նստեց ռուսական գահին, որը վարում էր լուսավորյալ աբսոլյուտիզմի (բացարձակապետություն) քաղաքականություն։ Շատ լավ հասկանալով պետության առաջընթացի և սեփական թագաժառանգի համար գիտության նշանակությունը, նա ժողովրդական մշակույթի և լուսավորության համակարգում, արեց մի քանի կարևոր, գիտության համար բարեհաջող բարեփոխումներ։ Կայսրուհին Էյլերին առաջարկեց մաթեմատիկական դասարանի ղեկավարումը, Ակադեմիայի կոնֆերենց-քարտուղարի կոչումը և տարեկան 1800 ռուբլի դրույք սահմանեց։ «Իսկ եթե դուր չգա,— ասվում էր այդ նամակում նրա ներկայացուցչին,— կբարեհաճի տեղեկացնել իր պայմանների մասին, միայն թե չհապաղի Պետերբուրգ ժամանման համար»։ Ի պատասխան Էյլերը տեղեկացրեց իր պայմանների մասին՝

ռոճիկ տարեկան 3000 ռուբլի և Ակադեմիայի փոխ-նախագահի պաշտոնը,
բնակարան, հեռու զինտեղամասից;
վարձատրվող պաշտոններ իր երեք տղաների համար, այդ թվում ավագի համար Ակադեմիայի քարտուղարի պաշտոնը։Բոլոր պայմանները ընդունվեցին։ 1766 թվականի հունվարի վեցին Եկատերինան տեղեկացրեց դուքս Միխաիլ Իլլարիոնովիչ Վորոնցովին՝

Հետագայում Էյլերը առաջադրեց ևս մի քանի պայման (կնոջը ամենամյա թոշակ 1000 ռուբլու սահմանում, իր մահից հետո, ճանապարհածախսերի փոխհատուցում, աշխատատեղ իր բժիշկ որդու համար և հենց իր՝ Էյլերի համար աստիճանակարգում)։ Եկատերինան բավարարեց այս պայմանները ևս, բացի աստիճանակարգից, կատակելով այսպես՝ «Ես կտայի նրան աստիճան, որը որ նա ուզում է, ուղղակի կարծում եմ, որ այդ աստիճանը նրան կհավասարեցնի այն բազմաթիվ մարդկանց հետ, ովքեր ունեն աստիճանակարգ, սակայն չարժեն պարոն Էյլերին։ Իրականում, նրա հայտնիությունը ավելին է աստիճանակարգից, որպեսզի արժանանա համընդհանուր հարգանքի»։ Էյլերը դիմեց թագավորին ազատման համար, բայց պատասխան չստացավ։ Դիմեց կրկին Ֆրիդրիխին, սակայն Ֆրիդրիխը չէր ցանկանում նույնիսկ քննարկել նրա մեկնման հարցը։ Էյլերին որոշիչ աջակցություն ցուցաբերեց, կայսրուհու անունից, ռուսական ներկայացուցչության միջնորդությունը։ 1766 թվականի մայիսի 2-ին վերջապես Ֆրիդրիխը թույլատրեց հռչակավոր գիտնականին մեկնել Պրուսիայից, չսահմանափակվելով, իմիջայլոց, Ժան Լը Ռոն Դ'Ալամբերին իր գրառման մեջ Էյլերի հասցեին չարախոսելուց՝ «Պարոն Էյլերը, ով անսահման սիրում է Փոքր և Մեծ Արջի համաստեղությունները, մոտիկացել է հյուսիսին լավ պայմանների և դրանց հետազոտման համար»։ Սակայն, Էյլերի կրտսեր որդուն՝ հրետանու փոխգնդապետ Քրիստափոր Լեոնտևիչ Էյլերին, թագավորը հրաժարվեց ազատել բանակից, հետագայում Եկատերինա II-ի հովանավորությամբ, նա ամեն դեպքում կարողացավ միանալ հորը և ծառայությունը ավարտել ռուսական բանակում մինչ գեներալ-լեյտենանտի կոչումը։ 1766 թվականին Էյլերը վերջնականապես վերադարձավ Ռուսաստան։


=== Կրկին Ռուսաստան (1766—1783) ===

1766 թվականի հունվարի 17-ին 60-ամյա Էյլերը ընտանիքով (ընդամենը 18 հոգի) ժամանեց ռուսական մայրաքաղաք։ Ժամանումից անիջապես հետո նրան ընդունեց կայսրուհին։ Եկատերինա II-ը դիմավորեց նրան ինչպես օգոստոսափայլ անձի և ողողեց բարերարություններով՝ 8000 ռուբլի տուն գնելու համար Վասիլևսկի կղզում և տեղավորվելու համար, սկզբնական շրջանի համար տրամադրեց նաև իր խոհարարներից մեկին և հանձնարարեց Էյլերին կազմել Ակադեմիայի վերականգնման նախագիծը։ Ի դժբախտություն Էյլերի, անմիջապես ժամանումից հետո, նրա ձախ աչքին կատարակտ առաջացավ, որի պատճառով նա լիովին կորցրեց տեսողությունը։ Հավանաբար, հենց այդ պատճառով խոստացված փոխ-նախագահի կոչումը նա այդպես էլ չստացավ (որը ամենևին չխանգարեց, Էյլերին և նրա սերունդներին, հետագա համարյա հարյուր տարիների ընթացքում մասնակցելու Ակադեմիայի ղեկավարմանը)։ Սակայն կուրությունը չանդրադարձավ գիտնականի աշխատունակության վրա, նա միայն նշեց, որ հիմա քիչ կզբաղվի մաթեմատիկայով։ Մինչ քարտուղար գտնելը, նա իր մտքերը թելադրում էր դերձակ-տղային, որը ամեն ինչ գրառում էր գերմաներենով։ Հրատարակումների և աշխատանքների թիվը նույնիսկ ավելացավ, Ռուսաստան երկրորդ այցելության ընթացքում Էյլերը մոտ 400 հոդված ու 10 գիրք թելադրեց, որը կազմում է նրա ստեղծագործական գործունեության համարյա կեսը։ 1768—1770 թվականներին լույս տեսավ երկհատոր «Ունիվերսալ թվաբանություն» մենախոսությունը (հրատարակվել է նաև «Հանրահաշվի հիմունքներ» և «Հանրահաշվի ընդհանուր կուրս» անվամբ)։ Սկզբում այս աշխատանքը լույս տեսավ ռուսերենով (1768—1769), իսկ գերմաներենով հրատարակվեց երկու տարի հետո։ Գիրքը թարգմանվեց բազմաթիվ լեզուներով և վերահրատարակվեց ավելի քան 30 անգամ (երեք անգամ ռուսերենով)։ Հետագայում հանրահաշվի բոլոր դասագրքերը լույս էին տեսնում Էյլերի գրքի խիստ ազդեցության տակ։ Այս տարիներին լույս տեսավ նաև եռահատոր «Դիօպտրիկան» (լատ.՝ Dioptrica, 1769—1771) ոսպնյակների համակարգերի և հիմնարար «Ինտեգրալ հաշվիվը» (լատ.՝ Institutiones calculi integralis, 1768—1770), նույնպես երեք հատորով ։

XVIII, մասամբ XIX դարում մեծ հանրաճանաչություն ստացան Էյլերյան «Ֆիզիկական և փիլիսոփայական տարբեր նյութեր, գրված ինչ-որ գերմանացի արքայադստերը․․․» (1768), որոնք պարունակում էին 40-ից ավել հրատարակություններ ավելի քան 10 լեզուներով (ընդ որում չորսը ռուսերենով)։ Դա լայնամասշտաբ, մատչելիորեն գրված գիտահանրամատչելի հանրագիտարան է։ 1771 թվականին Էյլերի կյանքում տեղի ունեցան երկու կարևոր իրադարձություն։ Մայիսին Պետերբուրգում տեղի ունեցած հրդեհի պատճառով ոչնչացան հարյուրավոր տներ, այդ թվում Էյլերի տունն ու համարյա ամբողջ ունեցվածքը։ Գիտնականը մեծ դժվարությամբ փրկվեց։ Բարեբախտաբար բոլոր ձեռագրերը հնարավոր եղավ փրկել, այրվել էր միայն «Լուսնի շարժման նոր տեսությունը», բայց այն անմիջապես վերականգնվեց հենց Էյլերի կողմից, ով մինչ խորը ծերություն պահպանեց ֆենոմենալ հիշողությունը։ Էյլերը ստիպված էր ժամանակավորապես տեղավորվել նոր տան մեջ։ Երկրորդ իրադարձությունը՝ նույն տարվա սեպտեմբերին, կայսրուհու հատուկ հրամանով Պետերբուրգ ժամանեց հայտնի գերմանացի ակնաբույժ բարոն Վետցելը Էյլերին բուժելու համար։ Զննումից հետո նա համաձայնեց վիրահատել և հեռացնել ձախ աչքի կատարակտը։ Էյլերը սկսեց կրկին տեսնել։ Բժիշկը խորհուրդ տվեց աչքը պաշտպանել պայժառ լուսավորվածությունից, չգրել, չկարդալ և աստիճանաբար ընտենալալ նոր վիճակին։ Սակայն, վիրահատությունից հետո, Էյլերը ընդամենը մի քանի օր անց հանեց վիրակապը և շուտով նորից կորցրեց տեսողությունը։ Այս անգամ՝ վերջնականապես։ 1772 թվական՝ «Լուսնի շարժման նոր տեսությունը»։ Էյլերը վերջապես ավարտեց իր բազմամյա աշխատանքը, մասնավորապես լուծելով երեք մարմինների խնդիրը։ 1773 թվականին Դանիիլ Բեռնուլիի երաշխավորությամբ Բազելից Պետերբուրգ ժամանեց Բեռնուլիի աշակերտ Նիկոլաուս Ֆուսը։ Դա Էյլերի համար մեծ հաջողություն էր։ Ֆուսը օժտված մաթեմատիկ էր, ով ժամանումից անմիջապես հետո իր վրա վերցրեց Էյլերի մաթեմատիկական աշխատանքների հոգածությունը։ Ֆուսը ամուսնացավ Էյլերի թոռնուհու հետ։ Հետագա տասը տարիների ընթացքում, մինչ մահը, Էյլերը հիմնականում նրան էր թելադրում իր գաղափարները, չնայած երբեմն «օգտվում էր մեծ տղայի և իր այլ աշակերտների աչքերից»։ Նույն 1773 թվականին մահացավ Էյլերի կինը, որի հետ նա ամուսնացած էր համարյա 40 տարի։ Կնոջ մահը ցավագին հարված էր գիտնականի համար։ Շուտով նա ամուսնացավ կնոջ քրոջ՝ Սալոմե-Աբիգայլի հետ։ 1779 թվականին հրատարակվեց «Համընդհանուր գնդային եռանկյունաչափությունը», դա գնդային եռանկյունաչափության ամբողջ համակարգի առաջին ընդհանուր շարադրանքն էր։

Էյլերը ջանասիրաբար աշխատել է մինչև վերջին օրերը։ 1783 թվականի սեպտեմբերից 76-ամյա գիտնականը ունենում էր գլխացավեր և թույլ էր։ Սեպտեմբերի 7-ին (18) ընտանիքի հետ ունեցած ճաշից հետո, ակադեմիկոս Անդրեյ Իվանովիչ Լեկսելի հետ վերջերս հայտնաբերված Ուրան մոլորակի և նրա ուղեծրի մասին զրույցի ժամանակ, նա անսպասելիորեն իրեն վատ է զգում։ Էյլերը հասցնում է ասել՝ «Ես մահանում եմ»,— և կորցնում է գիտակցությունը։ Մի քանի ժամ անց այդպես էլ գիտակցության չգալով, նա մահանում է ուղեղի արյունազեղումից։ «Նա դադարեց հաշվել և մահացավ»,- Փարիզի Գիտությունների Ակադեմիայում կայացած սգո նիստի ժամանակ իր մահախոսականում ասել է Նիկոլա դը Կոնդորսեն (ֆր.՝ Il cessa de calculer et de vivre)։ Նրան թաղեցին Պետերբուրգի Սմոլենսկյան լյութերական գերեզմանատանը։ Հուշարձանի գերմաներեն գրառումը ասում է՝ «Այստեղ հանգչում են ամբողջ աշխարհին հայտնի իմաստուն, առաքինի, բարեպաշտ անձի՝ Լեոնարդ Էյլերի մնացորդները։ Ծնվել է Բազելում 1707 թվականի ապրիլի 4-ին, մահացել 1783 թվականի սեպտեմբերի 7-ին»  Մահից հետո Էյլերի գերեզմանի տեղը մոռացվել էր և գտել են միայն 1830 թվականին՝ անմխիթար վիճակում։ 1837 թվականին Գիտությունների Ակադեմիան փոխեց նրա շիրմաքարը նոր գրանիտե սալով, որը գոյություն ունի մինչ մեր օրերը, նրա վրա լատիներենով գրված է՝ «Լեոնարդ Էյլերին՝ Պետերբուգի ակադեմիայի կողմից» (լատ.՝ Leonhardo Eulero — Academia Petropolitana)։ Էյլերի 250-ամյակի տոնակատարության ժամանակ (1957), մեծագույն մաթեմատիկոսի աճյունը տեղափոխվել է Ալեքսանդր Նևսկու մայրավանքի Լազարևյան գերեզմատան «XVIII դարի մեծ գերեզմանատուն», որտեղ տեղավորվեց Միխաիլ Լոմոնոսովի շիրմի մոտ։


== Ներդրում գիտության մեջ ==
Էյլերը թողել է մաթեմատիկայի, մեխանիկայի, ֆիզիկայի, աստղագիտության և մի շարք բնագիտական գիտությունների տարբեր բնագավառների վերաբերյալ բազմաթիվ կարևոր աշխատություններ։ Էյլերի իմացությունները, բացի մաթեմատիկականից, հանրագիտարանային էին, նա խորությամբ ուսումնասիրում էր բուսաբանություն, բժշկագիտություն, քիմիա, երաժշտության տեսություն, բազմաթից հնագույն ու եվրոպական լեզուներ։ Էյլերը հաճույքով մասնակցում էր գիտական երկխոսությունների, որոնցից առավել հայտնի էին դարձել՝

լարի մասին բանավեճը,
կոմպլեքս լոգարիթմի հատկությունների բանավեճը Ժան Լը Ռոն Դ'Ալամբերի հետ
ախրոմատիկ ոսպնյակի ստեղծման հնարավորության բանավեճը Ջոն Դոլլոնդի հետ։Բոլոր թվարկված դեպքերում Էյլերի տեսակետը պաշտպանել է ժամանակակից գիտությունը։


=== Ներդրում մաթեմատիկայում ===

XVIII դարը, մաթեմատիկայի տեսանկյունից, համարվում է Էյլերի դարը։ Եթե մինչ Էյլերը, մաթեմատիկայի բնագավառում հաջողություններն ու առաջընթացները իրարից անջատված էին ու ոչ բոլոր դեպքերում իրար հետ համաձայնեցված, ապա Էյլերը առաջին անգամ իրար կապեց թվաբանությունը, երկրաչափությունը, եռանկյունաչափությունը, թվերի տեսությունը և այլ դիսցիպլինանաներ մի համակարգի մեջ, միաժամանակ ավելացնելով դրանց իր հայտնագործություններից։ Մաթեմատիկայի զգալի բաժիններ այդ ժամանակվանից ուսուցանվում են «ըստ Էյլերի» ու ընդ որում, համարյա, առանց փոփոխությունների։ Էյլերի շնորհիվ մաթեմատիկա ներմուծվեց շարքերի տեսությունը, «Էյլերի բանաձևը», որը հիմնաքարային է համարվում Կոմպլեքս թվերի տեսության մեջ, ամբողջական մոդուլով համեմատման հնարքը, շղթայական կոտորակների ընդհանուր տեսությունը, մեխանիկայի անալիտիկ հիմքը, ինտեգրման և դիֆերենցիալ հավասարումների բազմաթվային հնարքները, Էյլերի e թիվը, կեղծ միավորի համար i նշանակումը, հատուկ ֆունկցիաների շարքը, և այլն։ Ըստ էության, հենց Էյլերն է հայտնագործել մաթեմատիկական մի քանի նոր դիսցիպլիններ՝ թվերի տեսությունը, վարիացիոն հաշվարկումը, կոմպլեքս ֆունկցիաների տեսությունը, մակերևույթների դիֆերենցիալ երկրաչափությունը, նա է դրել հատուկ ֆունկցիաների հիմքը։ Նրա գործունեության այլ բնագավառներից են՝ Դիոֆանտյան հավասարումները, մաթեմատիկական ֆիզիկան, վիճակագրությունը և այլն։ Գիտության պատմաբան Կլիֆորդ Ամբոուզ Տրուսդելը գրում է՝ «Էյլերը արևմտյան քաղաքականության մեջ առաջին գիտնականն էր, ով սկսեց գրել մաթեմատիկայի մասին, հասկանալի ընթերցման համար, պարզ ու հստակ լեզվով»։ Կենսագիրները նշում են, որ Էյլերը վիրտուոզ ալգորիթմիստ էր։ Նա ձգտում էր անվերապահորեն մինչև վերջ հասցնել իր հայտնագործությունները և ինքն էլ թվային հաշվարկների մեծ վարպետ էր։ Նիկոլա դը Կոնդորսեն պատմում է, որ մի անգամ երկու ուսանող, ովքեր իրարից անկախ աստղագիտական հաշվարկներ էին կատարում, 50-րդ նշանում ստացան իրարից քիչ տարբերվող արդյունքներ ու օգնության համար դիմեցին Էյլերին։ Էյլերը մտովի կատարեց նույն հաշվարկները և արտահայտեց ճիշտ արդյունքը։


==== Թվերի տեսություն ====
Պաֆնուտի Չեբիշևը գրում է՝ «Էյլերի կողից դրվել էր թվերի տեսությունը կազմող բոլոր տեսակի հետազոտությունների սկիզբը»։ XVIII դարի մաթեմատիկոսներից շատերը զբաղվում էին վերլուծության զարգացմամբ, բայց Էյլերը իր հետ տարավ հնագույն մաթեմատիկայի խանդավառությունը։ Նրա աշխատանքների շնորհիվ թվերի տեսության նկատմամբ հետաքրքրվածությունը դարեվերջին աճեց։ Էյլերը շարունակում էր Պիեռ դե Ֆերմայի հետազոտությունները, որը ավելի վաղ արտահայտել էր (Դիոֆանտի ազդեցությամբ) մի շարք իրարից կտրտված հիպոթեզներ բնական թվերի մասին։ Էյլերը ճշգրտորեն ապացուցեց այդ հիպոթեզները, էականորեն համամասնեց և միավորեց դրանք թվերի տեսության մեջ։ Նա մաթեմատիկա ներմուծեց բացառիկ «Էյլերի ֆունկցիան» և նրա օգնությամբ ձևակերպեց կենտ պարզ թվերի մասին «Էյլերի թեորեմը» երկու քառակուսիների գումարի տեսքով։ Տվեց չորս խորանարդների խնդրի լուծումներից մեկը։ Ապացուցեց, որ Մերսենի 
  
    
      
        
          2
          
            31
          
        
        −
        1
        =
        2147483647
      
    
    {\displaystyle 2^{31}-1=2147483647}
   թիվը պարզ է, ավելի քան հարյուր տարվա ընթացքում այն մնաց առավել հայտնի պարզ թիվը։ Էյլերը ստեղծել է ըստ մոդուլի բնական թվերի համեմատման և քառակուսային արմատի հանման տեսության հիմքը, տալով դրանց համար Էյլերի չափանիշները։ Էյլերը ներմուծել է նախասկզբնական արմատի հասկացությունը և հիպոթեզ է առաջ քաշել, որ յուրաքանչյուր p պարզ թվի համար գոյություն ունի p մոդուլով արմատ, բայց դա ապացուցել նա չկարողացավ, այդ թեորեմը ավելի ուշ ապացուցվեց Ադրիեն-Մարի Լեժանդրի և Կառլ Գաուսի կողմից։ Տեսության մեջ մեծ նշանակություն է ունեցել նաև Էյլերի մեկ այլ՝ փոխադարձության քառակուսային օրենք հիպոթեզը, որը նույնպես ապացուցվել է Գաուսի կողմից։ Էյլերը ապացուցեց Ֆերմայի մեծ թեորեմը 
  
    
      
        n
        =
        3
      
    
    {\displaystyle n=3}
   և 
  
    
      
        n
        =
        4
      
    
    {\displaystyle n=4}
  -ի համար, ստեղծեց Շղթայական կոտորակի ընդհանուր տեսությունը, ուսումնասիրել է Դիոֆանտյան հավասարումների տարբեր դասեր, թվերի բաղադրիչների բաժանման տեսությունը։ Բնական 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   թվի քանակի բաժանման խնդրի մեջ ստացել է հաջորդականությունների ֆունկցիայի աստիճան բարձրացնելը արտահայտող 
  
    
      
        p
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle p(n)}
   բանաձևը՝ անվերջ 

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        p
        (
        n
        )
        
          x
          
            n
          
        
        =
        
          ∏
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              1
              −
              
                x
                
                  k
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{k}}}}
   արտադրյալի միջոցով։Էյլերը որոշել է Ռիմանի զետա ֆունկցիան, որի ընդհանրացումը հետագայում ստացել է Բեռնարդ Ռիմանի անվանումը՝

  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        =
        
          
            1
            
              1
              
                s
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              2
              
                s
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              3
              
                s
              
            
          
        
        +
        …
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots }
  ,որտեղ 
  
    
      
        
          s
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle s}
  -ը իրական թիվ է (Ռիմանի մոտ՝ կոմպլեքս թիվ)։ Էյլերը նրա համար ներմուծեց 

  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        =
        
          ∏
          
            p
          
        
        
          
            1
            
              1
              −
              
                p
                
                  −
                  s
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
   վերլուծությունը, որտեղ արտադրյալը վերցվում է բոլոր 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle p}
   թվերով։ Այսպիսով նա բացահայտեց, որ թվերի տեսությունում հնարավոր է մաթանալիզի մեթոդների կիրառությունը, դրանով իսկ սկիզբ դնելով թվերի անալիտիկ տեսությանը, որի հիմքում ընկած է Էյլերի նույնությունը և հաջորդականությունների բխեցման ֆունկցիան։


==== Մաթեմատիկական անալիզ ====
Գիտության առջև Էյլերի գլխավոր նվաճումներից մեկը նրա «Անվերջ փոքրերի անալիզի նախաբան» մենախոսությունն է (1748)։ 1755 թվականին լույս տեսավ լրացուցիչ «Դիֆերենցիալ հաշվարկը», իսկ 1768—1770 թվականներին «Ինտեգրալ հաշիվի» եռահատորը։ Ընդհանուր առմամբ դա հիմնավորված, օրինակներով լավ պարզաբանված, մտածված տերմինաբանությամբ ու սիմվոլներով դասընթաց էր։ «Կարելի է համոզված ասել, որ այն ամենի ուղիղ կեսը, ինչը Էյլերի աշխատանքներում» (Նիկոլայ Լուզին)։ Էյլերը առաջինն է տվել ինտեգրման և դրա հետ օգտագործվող տեխնիկական հնարքների համակարգված տեսությունը։ Մասնավորապես, նա է հեղինակը ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրման դասական այն հնարքի, որը կատարվում է պարզ կոտորակների բաղդատման եղանակով և դիֆերենցիալ հավասարումների կամայական կարգի հաստատուն գործակցի լուծման մեթոդով։ Առաջին անգամ դուրս է բերել բազմապատիկ ինտեգրալը։ Էյլերը մշտապես հատուկ ուշադրություն էր դարձնում դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումների մեթոդներին՝ որպես սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների, և մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները, բացահայտելով ու նկարագրելով ինտեգրվող դիֆերենցիալ հավասարումների կարևոր դասերը։ Շարադրել է Էյլերի «բեկյալների մեթոդը» (1768), որը իրենից ներկայացնում է սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման համակարգ։ Միաժամանակ Ալեքսի Կլոդ Կլերոյի հետ Էյլերը դուրս բերեց գծային դիֆերենցիալ ձևի ինտեգրման պայմանները կախված երկու կամ երեք փոփոխականներից(1739)։ Ստացավ լուրջ արդյունքներ էլիպտիկ ֆունկցիաների տեսությունում, այդ թվում էլիպտիկ ինտեգրալների գումարման առաջին թեորեմները (1761)։ Առաջինն էր, ով ուսումնասիրեց շատ փոփոխականներով ֆունկցիաների մաքսիմումներն ու մինիմումները։ e թիվը հայտնի էր նույնիսկ Ջոն Նեփյերի և Յակոբ Բեռնուլիի ժամանակներից, սակայն Էյլերը այս հաստատունի այնպիսի խորը ուսումնասիրություն կատարեց, որ այդ ժամանակվանից այն կրում է Էյլերի անունը։ Նրա կողմից ուսումնասիրված հաջորդ հաստատունը՝ Էյլեր-Մասկերոնի հաստատունն է։ Ցուցչային ֆունկցիայի, լոգարիթմական և եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ժամանակակից տեսքը ևս Էյլերի վաստակն է, ինչպես նաև կոմպլեքս դեպքի համար նրանց սիմվոլներն ու ընդհանրացումները։ Բանաձևերը, որոնք դասագրքերում հաճախ անվանված են «Ռիման-Կոշի պայմաններ», առավել ճշգրիտ կլիներ անվանել «Ժան Լը Ռոն Դ'Ալամբերի-Էյլերի» պայմաններ։ 

Ժոզեֆ Լուի Լագրանժի հետ նա կիսում է վարիացիոն հաշվարկի հայտնագործման պատիվը, դուրս բերելով Էյլեր-Լագրանժի հավասարումները ընդհանուր վարիացիոն խնդրի համար։ 1744 թվականին Էյլերը հրատարակեց «Կոր գծերի որոնման մեթոդներ...» տրակտատը, որը վարիացիոն հաշվարկի առաջին աշխատանքն էր (այլ բաներին զուգահեռ, այն պարունակում էր առաձգական կորերի տեսության և նյութերի դիմադրությունների առաջին համակարգված շարադրանքը)։ Էյլերը էականորեն առաջ քաշեց շարքերի տեսությունը և այն տարածեց կոմպլեքս բաժնի վրա, ստանալով կոմպլեքս թվերի եռանկյունաչափական իմաստը արտահայտող հանրահայտ Էյլերի բանաձևը։ Մաթեմատիկական աշխարհի վրա մեծ ազդեցություն թողեցին Էյլերի կողմից առաջին անգամ գումարված շարքերը, այդ թվում մինչ իրեն ոչ մեկի չտրվող հակադարձ քառակուսիների շարքերը՝

  
    
      
        ζ
        (
        2
        )
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                
                  1
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            
              
                1
                
                  2
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            
              
                1
                
                  3
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              
                1
                
                  n
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (2)=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
  :Շարքերի միջոցով Էյլերը ուսումնասիրեց հանրահաշվորեն անարտահայտելի ֆունկցիաների (տրանսցենդենտ ֆունկցիաներ), օրինակ ինտեգրալային լոգարիթմը։ Նա (1729—1730) թվականներին հայտնագործեց, այժմ բազմաթիվ կիրառություններ ունեցող «Էյլերյան ինտեգրալները»՝ հատուկ ֆունկցիաները, որոնք գիտության մեջ են մտել որպես Էյլերի գամա-ֆունկցիա և բետա-ֆունկցիա։ Առաձգական թաղանթի տատանման խնդրի լուծման ժամանակ (Լիտավրի ձայնի բարձրության որոշման ժամանակ ծագած) 1764 թվականին Էյլերը առաջին անգամ ներմուծեց Բեսելի ֆունկցիաների գաղափարը կամայական բնական ինդեքսի համար։ Ավելի ուշ հայտնված տեսակետից, Էյլերի գործողությունները անվերջ շարքերի հետ ոչ միշտ կարող են համարվել կորեկտ, բայց մաթեմատիկական ֆենոմենալ ինտուիցիան համարյա բոլոր դեպքերում նախանշում էր նրա համար ճշմարիտ արդյունք։ Դրա հետ մեկտեղ համարյա բոլոր կարևոր հարաբերություններում Էյլերի հասկացողությունը որոշում էր ժամանակը՝ օրինակ, նրա կողմից առաջարկված ցրված շարքերի ընդհանրացված գումարը և գործողությունները նրանց, հետ հիմք հանդիսացան այդ շարքերի ժամանակակաից տեսության համար, որը զարգացավ XIX դարեվերջ - XX դարեսկզբին։


==== Երկրաչափություն ====

Էյլերը տարրական երկրաչափության մեջ հայտնաբերեց մի քանի փաստեր, որոնք վրիպել էին էվկլիդեսի աչքից՝

եռանկյան երեք բարձրությունները հատվում են մի կետում՝ օրթոկենտրոնում (տես նկարը),
եռանկյան մեջ H օրթոկենտրոնը, արտագծյալ շրջանագծի U կենտրոնը և S ծանրության կենտրոնը (այն նաև կենտրոնոիդն է) ընկած են միևնույն «Էյլերի ուղղի» վրա։ Այդ ուղղի վրա է գտնվում նաև Էյլերի շրջանագծի կենտրոնը (Ինը կետերի շրջանագծի կենտրոնը) (տես հաջորդ նկարը),
կամայական եռանկյան երեք բարձրությունների հիմքերը, նրա երեք կողմերի միջնակետերը, որոնք միացնում են գագաթները օրթոկենտրոնի հետ, ընկած են Էյլերի ինը կետերի շրջանագծերի վրա,
(В) գագաթների, (Г) կողմերի և (Р) նիստերի թիվը կամայական ցցուն բազմանիստի համար կապված են 
  
    
      
        
          B
        
        −
        
          P
        
        +
        Γ
        
        =
        
        2
      
    
    {\displaystyle \mathrm {B} -\mathrm {P} +\Gamma \;=\;2}
   պարզ բանաձևով (ժամանակակից տեսքում 2 թիվը աչքի է ընկնում որպես բազմանիստի կարևորագույն Ինվարիանտ և Էյլերի բնութագրիր, իսկ Էյլերի հենց այս արդյունքը 1758 թվականին սկիզբ դրեց տեղաբանության փաստերի հավաքագրմանը)։«Անվերջ փոքրերի անալիզի նախաբանի» երկրորդ հատորը (1748) անալիտիկ երկրաչափության և դիֆերենցիալ երկրաչափության աշխարհում առաջին դասագիրքն է։ Էյլերը տվել է 3-րդ և 4-րդ կարգի հանրահաշվական կորերի, ինչպես նաև երկրորդ կարգի մակերևույթների դասակարգումը։ «Աֆինական ձևափոխություն» տերմինը այդ գրքում առաջին անգամ գործածվել է այդպիսի ձևափոխությունների տեսության հետ։ 1732 թվականին Էյլերը ներդրեց մակերևույթների վրա գեոդեզիկ գծերի ընդհանուր հավասարումները։ 1760 թվականին լույս տեսան հիմնարար «մակերեսի թեքվածության հետազոտությունները»։ Էյլերը հայտնաբերեց, որ հարթ մակերևույթի յուրաքանչյուր կետում գոյություն ունեն երկու ուղղահայց հատույթներ թեքվածության շառավղի մինիմումով և մաքսիմումով, ու այդ հարթությունները իրար փոխադարձ ուղղահայաց են։ Նա է ներդրել նաև մակերևույթի թեքվածության հատման կապի բանաձևը գլխավոր կորերի հետ։ 1771 թվականին Էյլերը հրատարակեց «Մարմինների մասին, որոնց մակերեևույթը կարող ենք դարձնել հարթություն» շարադրանքը։ Այս աշխատանքում ներդրված է բացվող մակերևույթների գաղափարը, այսինքն այն մակերևույթների, որոնք կարող են դրվել առանց ծալքերի ու պատռվածքների հարթության վրա։ Էյլերը, սակայն, այստեղ լիովին տալիս է չափողական թենզորի ընդհանուր տեսությունը, որից կախված է մակերևույթի ամբողջ ներքին երկրաչափությունը։ Ավելի ուշ չափայնության հետազոտությունները դարձան նրա համար մակերևույթների տեսության գլխավոր գործիքը։ Քարտեզագրության խնդիրների հետ կապված Էյլերը խորը ուսումնասիրեց կոնֆորմ արտապատկերումները, առաջին անգամ կիրառելով դրա համար կոմպլեքս անալիզի հիմունքները։


==== Կոմբինատորիկա ====

		
Էյլերը մեծ ուշադրություն էր դարձնում գումարի հատուկ տեսքով բնական թվերին և ձևակերպել է թեորեմների շարք թվերի բաշխման հաշվարկման համար։ Համակցական խնդիրների լուծման ժամանակ նա խորը ուսումնասիրեց ընտրույթների և տեղափոխությունների հատկությունները, ներմուծեց I սեռի Էյլերի թվերը։ Էյլերը հետազոտեց ձիու քայլի խնդրի մեթոդով մոգական խորանարդների կառուցման ալգորիթմները։ Նրա երկու (1776, 1779) աշխատանքները հիմք հանդիսացան լատինական և հունա-լատինական խորանարդների ընդհանուր տեսության համար, որոնց պրակտիկ արժեքը ի հայտ եկավ ինչպես՝ Ռոնալդ Ֆիշերի կողմից Փորձի պլանավորման մեթոդի հայտնագործումից հետո, այնպես էլ սխալները ուղղող կոդերի տեսության մեջ։


==== Մաթեմատիկայի այլ բնագավառներ ====

1736 թվականի Էյլերի «Դիրքի երկրաչափության հետ կապված խնդրի լուծում» հոդվածը սկիզբնավորեց գրաֆների տեսությունը՝ որպես մաթեմատիկական դիսցիպլին։ Հետազոտության համար հիմք հանդիսացավ Քյոնիսբերգի յոթ կամրջների շրջանցման խնդիրը, որը այն մասին էր, թե հնարավո՞ր է արդյոք յուրաքանչյուր կամուրջը անցնել մեկ անգամ ու նորից վերադառնալ նույն տեղը։ Էյլերը ձևակերպեց այն՝ նույնացնելով պարբերական երթուղիների գրաֆների (գրաֆների գագաթները հանդիսանում են Պրեգոլյա գետի վտակներով մասնատված քաղաքի մասերը, իսկ գրաֆի կողերը՝ կամուրջները) մեջ գոյություն ունեցող խնդրի հետ, որը յուրաքանչյուր կողմով միայն մեկ անգամ է շրջանցում (ժամանակակից տերմինաբանությամբ դա Էյլերի ցիկլն է)։ Լուծելով գրաֆների խնդիրը Էյլերը ապացուցեց, որ գրաֆների մեջ Էյլերյան ցիկլի առկայության համար անհրաժեշտ է, որ յուրաքանչյուր գագաթի աստճանը (գագաթից դուրս եկող կողմերի թիվը) զույգ լինի (իսկ քյոնիսբերգյան կամուրջների դեպքում այդպես չէր՝ աստիճանները կարող էին լինել 3, 3, 3 և 5)։ Էյլերը զգալի ներդրում արեց մոտավոր հաշվարկման տեսության և մեթոդների մեջ։ Առաջինը կիրառեց Քարտեզագրության մեջ անալիտիկ մեթոդները ։ Առաջարկեց Բազմությունների հարաբերակցությունների և գործողությունների գրաֆիկ պատկերման հարմար մեթոդներ, որը հետագայում ստացավ «Էյլերի շրջաններ» անվանումը։


=== Մեխանիկա և ֆիզիկա ===
Էյլերի շատ աշխատանքներ նվիրված են մեխանիկայի և ֆիզիկայի տարբեր բնագավառների։ Մեխանիկան, ճշգրիտ գիտության ձևակերպման փուլում, Էյլերի առանցքային դերի մասին Կլիֆորդ Տրուսդելը գրում է՝ «Մեխանիկան, այնպիսին, ինչպիսին այսօր դասավանդում են ինժեներներին ու մաթեմատիկներին, հանդիսանում է նշանակալի չափով Էյլերի ստեղծածը»։


==== Տեսական մեխանիկա ====
1736 թվականին լույս է տեսնում Էյլերի երկհատորյա «Մեխանիկա, կամ գիտություն շարժման մասին վերլուծական շարադրություն» տրակտատը, որը նոր շրջան էր նշանավորում այդ հնագույն գիտության զարգացման և նյութական կետի դինամիկայի զարգացման մեջ։ Ի տարբերության դինամիկայի տվյալ բաժնի հիմնադիրներ Գալիլեյի և Նյուտոնի, օգտվելով երկրաչափական մեթոդներից 29-ամյա, Էյլերը առաջարկում է կանոնավոր և միաձև վերլուծական մեթոդ դինամիկայի տարատեսակ խնդիրներ լուծելու համար՝ նյութական կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումների կազմումը և դրանից հետևող ինտեգրումը տրված սկզբնական պայմանների համար։ Տրակտատի առաջին հատորում դիտարկվում է ազատ նյութական կետի շարժումը, իսկ երկրորդում՝ ոչ ազատ կետինը, ընդ որում շարժումը ուսումնասիրվում է ինչպես դատարկության մեջ, այնպես էլ դիմադրող միջավայրում։ Առանձին ուսումնասիրվում են նաև ճոճանակի տեսության և Ձգաբանության խնդիրները։ Այստեղ Էյլերը առաջին անգամ գրի է առել կետի ուղղագիծ շարժման դիֆերենցիալ հավասարումները, իսկ նրա ընդհանուր կորագիծ շարժման համար դուրս է բերել շարժման բնական հավասարումները՝ Ֆրենեյի եռանիստի առանցքի վրա պրոեկցիաների համար։ Շատ կոնկրետ խնդիրներում նա շարժման հավասարումները մինչև վերջ ինտեգրում է, առանց դիմադրության շարժման դեպքերում Էյլերը պարբերաբար օգտագործում է շարժման հավասարումների առաջին ինտեգրալը՝ էներգիայի ինտեգրալը։ Երկրորդ հատորում, կամայական կոր մակերևույթով կետի շարժման հետ կապված, շարադրվում է Էյլերի կողմից ստեղծված մակերևույթների դիֆերենցիալ երկրաչափությունը։ Նյութական կետի դինամիկային Էյլերը անդրադառնում է նաև ավելի ուշ։ 1746 թվականին, հետազոտելով նյութական կետի շարժմումը շարժվող մակերևույթով, նա (միաժամանակ Դանիել Բեռնուլիի և Դը Արսի Պատրիկի հետ) հանգում է շարժման մոմենտների քանակի փոփոխության թեորեմին։ 1765 թվականին Էյլերը, օգտագործելով երեք անկախ առանցքներով արագությունների և ուժերի գումարման Քոլին ՄաքԼորինի 1742 թվականին առաջ քաշած գաղափարը, առաջին անգամ դեկարտյան անկախ առանցքների համար գրեց նյութական կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումները։

Վերջին արդյունքը հրատարակվեց Էյլերի կողմից անալիտիկ դինամիկայի նրա «Պինդ մարմինների շարժման տեսություն» երկրորդ հիմնարար տրակտատում՝  (1765)։ Նրա հմնական բովանդակությունը, սակայն, նվիրված է մեխանիկայի այլ բաժնի՝ բացարձակ պինդ մարմնի դինամիկային, որի հիմնադիրը ևս Էյլերն է։ Տրակտատում, մասնավորապես, պարունակվում է ազատ պինդ մարմնի շարժման վեց հավասարումներից բաղկացած համակարգը։ Ստատիկայի համար կարևոր դեր է կատարում տրակտատի § 620-ում շարադրված պինդ մարմնի ուժերի համակարգի երկու ուժերի վարքը։ Կոորդինատական առանցքի վրա պրոեկտելով ուժերի համազորի զրո լինելու պայմանը, Էյլերը առաջին անգամ ստանում է կամայական տարածական ուժերի համակարգի ազդեցությամբ պինդ մարմնի հավասարակշռության հավասարումները։ 1765 թվականի տրակտատում շարադրված է նաև պինդ մարմնի կինեմատիկային վերաբերող Էյլերի հիմնարար արդյունքները (XVIII դարում դեռևս կինեմատիկան չէր դիտարկվում որպես մեխանիկայի առանձին բաժին)։ Նրանց մեջ կարելի է ընդգծել բացարձակ պինդ մարմնի առանձին կետերի արագությունների որոշման Էյլերի բանաձևերը (այս բանաձևերի վեկտորական համարժեքը Էյլերի կինեմատիկ բանաձևն է) և կոորդինատական առանցքների վրա անկյունային արագության պրոեկցիաների միջոցով Էյլերի անկյուններից ածանցյալներ տվող Էյլերի կինեմատիկ հավասարումները (որոնք դուրս են բերվել նրա կողմից 1748 թվականին, մեխանիկայում դրանք կիրառվում են պինդ մարմնի դիրքորոշման համար)։ Տվյալ տրակտատին զուգահեռ պինդ մարմնի դինամիկայի համար կարևոր դեր ունեն նաև Էյլերի ավելի շուտ կատարված աշխատանքները՝ «Մարմինների մեխանիկական գիտելիքների ուսումնասիրություններ» և «Փոփոխական առանցքի շուրջ պինդ մարմինների պտտական շարժում», որոնք 1758 թվականին Պրուսական գիտությունների ակադեմիայի դատին էին հանձնվել, սակայն հրատարակվել էին նրա «Գրառումներում» ավելի ուշ (նույն 1765 թվականին, ինչ և տրակտատը)։ Նրանցում մշակված էր իներցիայի մոմենտի տեսությունը (մասնավորապես, առաջին անգամ ապացուցված է Հյուգենս-Շտեյների թեորեմը), հաստատված է անշարժ կետով կամայական պինդ մարմնի մոտ երեք ազատ պտտման առանցքի գոյությունը, ստացվել էին Էյլերի դինամիկական հավասարումները, որոնք նկարագրում են անշարժ կետով պինդ մարմնի դինամիկան են նկարագրում, բերված են արտաքին ուժերի գլխավոր մոմենտի զրո լինելու պայմանի համար տվյալ հավասարումների անալիտիկ լուծումները (Էյլերի դեպք), որը անշարժ կետով բացարձակ պինդ մարմնի համար ընդհանուր դեպքերից մեկն է։ «Պինդ մարմնի կամայական տեղաշարժման ընդհանուր բանաձևեր» հոդվածում (1775) Էյլերը ձևակերպում և ապացուցում է Էյլերի պտտման թեորեմը, որով բացարձակ պինդ մարմնի կամայական տեղաշարժ իրենից ներկայացնում է այս կամ այն առանցքի նկատմամբ պտույտ, որը անցնում է անշարժ կետով։ Էյլերին է պատկանում Փոքրագույն գործողության սկզբունքի անալիտիկ ձևակերպման (1744 թվականին Պիեռ Լուի դը Մոպերտյուիի կողմից բացարձակ անորոշ ձևով առաջարկված), սկզբունքի կիրառության պայմանների ճշգրիտ ըմբռնման և նրա առաջին ապացուցման վաստակը։ Այստեղ ազդեցության համար (խոսքը վերաբերում է կարճատև ազդեցության մասին, և ոչ թե Համիլտոնի ազդեցության) նյութական կետերի համակարգի համար կիրառելի է ինտեգրալը՝

  
    
      
        W
        
        =
        
        
          ∫
          
            A
          
          
            B
          
        
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          m
          
            
              
              
                i
              
            
          
        
        
          v
          
            
              
              
                i
              
            
          
        
        
        
          d
        
        
          s
          
            
              
              
                i
              
            
          
        
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle W\;=\;\int \limits _{A}^{B}\,\sum _{i=1}^{n}m_{_{i}}v_{_{i}}\,\mathrm {d} s_{_{i}}\,\,,}
  ,որտեղ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  -ը համակարգի երկու փոխդասավորություններն են, 
  
    
      
        
          m
          
            i
          
        
        ,
        
        
          v
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{i},\;v_{i}}
   և 
  
    
      
        
          d
        
        
          s
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} s_{i}}
  -ը համապատասխանաբար զանգվածը, հանրահաշվական արագությունը և 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  -րդ կետի հետագծի աղեղի տարրը, 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը կետերի քանակը։ Արդյունքում գիտության մեջ մտավ Մոպերտյուրի-Էյլերի սկզբունքը, որը Մեխանիկայի վարիացիոն սկզբունքների ինտեգրալների շարքում առաջինն է, ավելի ուշ տվյալ սկզբունքը ընդհանրացվեց Ժոզեֆ Լուի Լագրանժի կողից, և այժմ նրան հիմնականում շարադրում են որպես Մոպերտյուրի-Լագրանժի սկզբունքի ձևերից մեկը։ Չնայած փոքրագույն գործողության սկզբունքի մեջ իր զգալի ներդրմանը, Էյլերը վճռականորեն պնդում էր Մոպերտյուրիի դերը և նշում այդ սկզբունքի առավելությունները մեխանիկայում։ Տվյալ գաղափարը գրավեց ֆիզիկոսների ուշադրությունը, ովքեր XIX—XX դարերում ցույց տվեցին բնության մեջ վարիացիոն սկզբունքների հիմնարար դերը և վարիացիոն մոտեցում կիրառեցին գիտության տարբեր բնագավառներում։


==== Մեքենաների մեխանիկա ====
Էյլերի աշխատանքների մի շարք նվիրված են մեքենաների մեխանիկայի հարցերին։ «Պարզ և բարդ մեքենաների կիրառության առավել շահավետության մասին» հուշագրի մեջ (1747) Էյլերը առաջարկել է մեքենաների ուսումնասիրությունը անցկացնել ոչ թե կանգնած վիճակում, այլ շարժման մեջ։ Այս նոր, «դինամիկ» մոտեցումը նա հիմնավորել է իր «Մեքենաների մասին ընդհանրապես» հուշագրում» (1753), նրանում Էյլերը առաջին անգամ գիտության պատմության մեջ մատնանշել է մեքենայի երեք բաղկացուցիչ մասերը, որոնք XIX դարում որոշվել են որպես շարժիչ, մեխանիկական փոխանցում և փորձարարական հարմարանք։ «Մեքենաների տեսության սկզբունքներ» հուշագրում (1763) Էյլերը ցույց է տվել, որ մեքենաների դինամիկ հաշվարկի ժամանակ, նրանց արագացված շարժման դեպքում կարելի է հաշվի առնել ոչ միայն դիմադրության ուժերը և օգտակար ծանրաբեռնվածության իներցիան, այլև մեքենայի մնացած բաղկացուցիչ մասերի իներցիան, ու տվել է (հիդրավլիկ շարժիչի համար) այդպիսի հաշվարկի օրինակը։ Էյլերը զբաղվել է նաև մեքենայի մեխանիզմների տեսության կիրառական հարցերով՝ հիդրավլիկական մեքենաների և հողմաղացների, մեքենայի մասերի շփման հարցերի հետազոտմամբ, ատամնանիվի ձևավորման, (այդ ժամանակ էլ նա հիմնել ու զարգացրել է էվոլվենտային կառչման վերլուծական տեսությունը)։ 1765 թվականին նա հիմնել է առաձգական ճոպանի շփման տեսությունը և ստացել է, մասնավորապես, ճոպանի լարման համար Էյլերի բանաձևը, որը այժմ էլ օգտագործվում է մի շարք պրակտիկ հարցերի լուծման ժամանակ։


==== Հոծ միջավայրերի մեխանիկա ====
Էյլերի անվան հետ է կապված մեխանիկայում կոնտենումի գաղափարի ներմուծումը, որի համապատասխան նյութական մարմինը ներկայացնում են հիմնվելով նրա մոլեկուլային կամ ատոմային կառուցվածքից, որպես հոծ միջավայրի։ Հոծ միջավայրի մոդելը Էյլերի կողմից նեմուծվել է «Մեխանիկայի նոր սկզբունքի բացահայտում» հուշագրում (զեկուցվել է 1750 թվականին Բեռլինի գիտությունների ակադեմիայում և հետագայում տպագրվել նրա «Հուշագրերում»)։ Քննարկման հիմքում հուշագրի հեղինակը դրել էր «Էյլերի նյութական մասնիկների սկզբունքը», որը այժմ էլ բերվում է մեխանիկայի և ֆիզիկայի շատ դասագրքերում (շատ դեպքերում առանց Էյլերի անվան հիշատակման)՝ հոծ մարմինը ճշգրտության կամայական աստիճանով կարելի է մոդելավորել որպես նյութական մասնիկների համակարգ, բաժանելով այն դանդաղորեն փոքրագույն մասնիկների և ներկայացնելով նրանցից յուրաքանչյուրը որպես նյութական կետ։ Հենվելով այս սկզբունքի վրա, կարելի է հոծ մարմնի համար ստանալ այս կամ այն դինամիկ համապատասխանությունները, գրառելով նրանց համարժեքները առանձին նյութական մասնիկների համար և անդամ առ անդամ գումարելով դրանք։ Տվյալ մոտեցումը Էյլերին թույլ տվեց առանց ժամանակակից ինտեգրալային հաշվարկների լուծել խնդիրը (Ստիլտյեսի ինտեգրալի) օրինակով, որոնք XVIII դարում դեռևս հայտնի չէին։ Հենվելով նշված սկզբունքի վրա, Էյլերը տարրական նյութական ծավալի շարժման քանակի փոփոխության համար ստացավ իր առաջին օրենքը (ավելի ուշ հայտնագործեց նաև շարժման երկրորդ օրենքը՝ որը շարժման քանակի մոմենտի փոփոխության արդյունք էր)։ Էյլերի շարժման օրենքները փաստորեն իրենցից ներկայացնում էին հոծ միջավայրերի մեխանիկայի շարժման հիմնական օրենքները, որոնց մեջ ներկայումս այդպիսի միջավայրերի համար օգտագործվող հավասարումներում չէր բավարարում միայն լարվածության թենզորի միջոցով մակերևույթային ուժերի արտահայտությունները (իսկ դա հայտնագործվեց 1820 թվականին Օգյուստեն Լուի Կոշին)։ Էյլերը ստացված արդյունքները կիրառեց հոծ միջավայրերի կոնկրետ մոդելների համար և բացարձակ պինդ մարմնի դինամիկայում (հենց հիշատակված հուշագրում է բերվում կամայական դեկարտյան առանցքների նկատմամբ անշարժ կետով մարմնի դինամիկական հավաասարումները), ինչպես նաև հիդրոդինամիկայում ու առաձգականության տեսության մեջ։ Առաձգականության տեսութայն մեջ Էյլերի մի շարք աշխատանքներ նվիրված են հեծանների և սռնիների մեխանիկական լարմանը, ընդ որում ավելի վաղ կատարված աշխատանքներում (1740-ական թ.թ.) նա զբաղվել էր առաձգական սռնիի լայնական լարման խնդրով, կազմելով ու լուծելով սռնիի ծռված առանցքի խնդիրները։ 1757 թվականին «Սյուների ծանրաբեռնվածության մասին» աշխատանքում Էյլերը աշխարհում առաջինը բանաձև ստացավ առաձգական սռնիի սեղման ծայրահեղ ծանրաբեռնվածության համար, որով էլ սկզբնավորվեց առաձգական համակարգերի կայունության տեսությունը։ Պրակտիկ կիրառություն բանաձևը ստացավ էականորեն ավելի ուշ, երբ համարյա հարյուր տարի հետո, շատ երկրներում (ամենից առաջ Անգլիայում) սկսվեցին երկաթուղիների լայնածավալ շինարարություններ, որոնց ժամանակ հարկ եղավ կատարել երկաթուղային կամուրջների ամրության հաշվարկներ կատարել, հենց այդ ժամանակ էլ ինժեներները, որոշակի շտկումներից հետո, օգտագործեցին Էյլերի մոդելը։


==== Հիդրոդինամիկա ====
Էյլերը Դանիել Բեռնուլիի և Ժոզեֆ Լագրանժի հետ հանդիսանում է վերլուծական հիդրոդինամիկայի հիմնադիրներից մեկը, այստեղ նրան է պատկանում իդեալական հեղուկի (այսինքն այնպիսի հեղուկի, որը ժտված չէ մածուցիկությամբ) շարժման տեսությունը և հիդրոդինամիկայի մի քանի կոնկրետ խնդիրների լուծումը։ «Հեղուկների շարժման սկզբունքներ» աշխատությունում (1752, հրատարակվել է ինը տարի հետո) նա, կիրառելով հոծ միջավայրերի տարրական նյութական ծավալի համար իր հավասարումները իդեալական անսեղմելի հեղուկի մոդելի համար, առաջին անգամ այդպիսի հեղուկի համար ստացավ շարժման հավասարումներ, ինչպես նաև (ընդհանուր եռաչափ դեպքի համար) ստացավ անխզելիության հավասարումները։ Ուսումնասիրելով անսեղմելի հեղուկի շարժման պոտենցիալ դաշտը, Էյլերը դուրս բերեց 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   ֆունկցիան (որը հետագայում անվանվեց արագությունների Հերման Հելմհոլցի սկալյար պոտենցիալ) և ցույց տվեց, որ այն բավարաարում է մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումների պայմաններին, և այսպես գիտության մեջ մտավ մի հավասարում, որը այժմ հայտնի է որպես Լապլասի հավասարում։ Այս աշխատանքի արդյունքները Էյլերը ընդհանրացրել է «Հեղուկների շարժման ընդհանուր սկզբունքներ» տրակտատում(1755)։ Այստեղ նա, արդեն սեղմելի իդեալական հեղուկի դեպքի համար, ներկայացրել է (համարյա ժամանակակաից նշանակումներով) անընդհատության և շարժման հավասարումները (երեք սկալյար դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնց որոշակի գրառման ժամանակ համապատասխանում են իդեալական հեղուկի հիդրոդինամիկայի հիմնական Էյլերի հավասարումները)։ Էյլերը նշել է, որ տվյալ համակարգի փակման համար, անհրաժեշտ է, որ չորս հավասարումներից վերցնել որոշիչ համապատասխանությունը, որը կթույլատի 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   ճնշումը (դրան Էյլերը «առաձգականություն» էր անվանում) արտահայտել որպես 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   խտության ֆունկցիա կամ «
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  -ի այլ հատկության, որը ազդում է առաձգականության վրա» (փաստորեն նկատի ունեին ջերմաստիճանը)։ Անսեղմելի հեղուկների ոչ պոտենցիալ շարժումների գոյությունը քննարկելով, Էյլերը բերել է նրա մրրկային շարժման առաջին կոնկրետ օրինակը, իսկ այդպիսի հեղուկների պոտենցիալ շարժումների համար ստացել է առաջին ինտեգրալը, որը ներկայումս հայտնի Լագրանժ-Կոշի ինտեգրալի մասնավոր դեպքն է։
Այդ նույն թվականին է վերագրվում նաև Էյլերի «Հեղուկների հավասարակշռության ընդհանուր սկզբունքները» հուշագրությունները, որն իր մեջ պարունակում էր իդեալական հեղուկի հիդրոստատիկայի համակարգային շարադրումը։ Հետագայում այդտեղից դուրս է բերվում իզոթերմիկ մթնոլորտի համար նախատեսված բարոմետրիկ բանաձևը։ Թվարկված աշխատանքներում Էյլերը, գրի առնելով հեղուկների հավասարակշռության և շարժման հավասարումները, որպես անկախ տարածական փոփոխականներ էր ընդունում նյութական կետի ընթացիկ դիրքի դեկարտյան կոորդինատները, որոնք էլ հենց Էյլերյան փոփոխականներն են (հիդրոդինամիկայում առաջին անգամ այդպիսի փոփոխականներ օգտագործել է Ժան Լը Ռոն Դ'Ալամբերը)։ Ավելի ուշ, «հեղուկների շարժման հավասարակշռության սկզբունքնեի մասին։ Բաժին երկրորդ» (1770) Էյլերը ներմուծեց նաև հիդրոդինամիկայի հավասարումների երկրորդ բանաձևը, որում որպես անկախ տարածական փոփոխականներ ընդունվում էին նյութական կետի դիրքի դեկարտյան կոորդինատները ժամանակի սկզբնական պահի համար (ներկայումս հայտնի որպես Լագրանժի փոփոխականներ)։


==== Օպտիկա ====
Այս բնագավառում հիմնական հաջողությունները Էյլերրը հավաքագրել է «Դիօպտրիկա» (լատ.՝ Dioptrica, 1769—1771) եռահատորյակում։ Գլխավոր արդյունքների շարքում է ռեֆրակտորների, ռեֆլեկտորների և միկրոսկոպների օպտիմալ բնութագրիչների հաշվարկի կանոնները, պատկերի առավելագույն պայծառության, առավելագույն տեսադաշտի, գործիքի փոքրագույն երկարության, առավելագույն խոշորացման, օկուլյարի բնութագրիչների հաշվարկը։ Իսահակ Նյուտոնը պնդում էր, որ սկզբունքորեն հնարավոր չէ ստեղծել ախրոմատիկ ոսպնյակ։ Էյլերը հակառակվեց, և ասաց, որ տարբեր օպտիկական բնութագրիչներով նյութերի համադրումը կարող է լուծել այդ խնդիրը։ Էյլերը երկարատև բանավեճից հետո, 1758 թվականին, անգլիացի օպտիկ Ջոն Դոլլոնդին կարողացավ համոզել դրանում, ով հետագայում պատարաստեց առաջին ախրոմատիկ ոսպնյակը՝ միացնելով իրար հետ տարբեր բաղադրություն ունեցող ապակիներից պատրաստված երկու ոսպնյակներ, իսկ 1784 թվականին ակադեմիկոս Ֆրանց Թեոդոր Էպինուսը Պետերբուրգում կառուցեց աշխարհում առաջին ախրոմատիկ միկրոսկոպը։


=== Աստղագիտություն ===
Էյլերը շատ էր աշխատում նաև երկնային մեխանիկայի բնագավառում։ Այդ ժամանակաշրջանի առավել ակտուալ խնդիրներից էր երկնային մարմնի ուղեծրի պարամետրերի որոշումը (օրինակ գիսավորի)։ Էյլերը բավականին կատարելագործեց այդ նպատակի համար արված թվային մեթոդները և պրակտիկորեն կատարելագործեց դրանք 1769 թվականի գիսավորի էլիպտիկ ուղեծրի որոնման համար, իսկ այդ աշխատանքների համար նա հիմք էր ընդունել Կառլ Ֆրիդրիխ Գաուսի աշխատանքները՝ տալով խնդրի վերջնական լուծումը։ Էյլերը դրել է նաև խոտորման տեսության հիմքերը, որը հետագայում ավարտել է Պիեռ Սիմոն Լապլասը և Անրի Պուանկարեն։ Ներմուծել է ուղեծրի էլեմենտների հիմնարար հասկացությունները և դիֆերենցիալ հավասարումները, որոնք որոշում են նրանց փոփոխությունները ժամանակի ընթացքում։ Կառուցել է երկրային առանցքի պրեցեսիայի և նուտացիայի տեսությունը, կանխագուշակել է Երկրի «բևեռների ազատ շարժումը», որը բացահայտվել է հարյուր տարի հետո Սետ կառլո Չանդլերի կողմից։ 1748—1751 թվականներին Էյլերը հրատարակեց լույսի ճառագայթների աբեռացիա և պարալաքսի ընդհանուր տեսությունը։ 1756 թվականին նա հրատարակեց աստղագիտական ռեֆրակցիայի դիֆերենցիալ հավասարումները, հետազոտեց դիտման կետում ռեֆրակցիայի կախումը օդի ճնշումից և ջերմաստիճանից։ Այս արդյունքները հսկայակն ազդեցություն ունեցան հետագա տարիներին աստղագիտության զարգացման վրա։ Էյլերը դուրս բերեց Լուսնի շարժման հույժ ճշգրիտ տեսությունը, դրա համար մշակելով ուղեծրի տարրերի փոփոխման հատուկ մեթոդներ։ Հետագայում, XIX դարում, այս մեթոդը ընդլայնվեց, կիրառվեց մեծ մոլորակների մոդելներում և օգտագործվում է մինչ մեր օրերը։ Էյլերի տեսության հիման վրա հաշվարկված Թոբիաս Մայերի աղյուսակները (1767), փաստորեն կարող էին օգտագործվել ծովի վրա աշխարհագրական երկարության որոշման համար, և Բրիտանական ծովակալությունը Էյլերին ու Մայերին հատուկ մրցանակ տվեց դրա համար։ Այդ բնագավառում Էյլերի հիմնական աշխատանքներն են՝

«Լուսնի շարժման տեսություն», 1753,
«Մոլորակների և գիսավորների շարժման տեսություն», 1774,
«Լուսնի շարժման նոր տեսություն», 1772։Էյլերը ուսումնասիրեց ոչ միայն գնդային, այլև էլիպսաձև մարմինների ձգողական դաշտերը, որը իրենից ներկայացնում էր բավականին մեծ քայլ դեպի ապագա։ Նա գիտության մեջ առաջին անգամ ցույց տվեց Խավարածրի (1756) հարթության թեքության դարավոր շեղումները, և նրա առաջարկով որպես բազիսային շեղում ընդունվեց 1700 թվականի սկզբի շեղումը։ Մշակել է Յուպիտերի և այլ սեղմված մոլորակների արբանյակների շարժման ընդհանուր տեսությունը։ 1748 թվականին, Պյոտր Լեբեդևի հայտնագործությունից շատ առաջ, Էյլերը հիպոթեզ առաջարկեց, ըստ որի գիսավորի պոչի, Բևեռափայլի և կենդանակերպի լույսի ընդհանուր սկզբնաղբյուրի ազդեցությունը մթնոլորտում արեգակնային ճառագայթումն է կամ երկնային մարմինների նյութը։


=== Երաժշտության տեսություն ===
Էյլերը ամբողջ կյանքում հետաքրքրվում էր երաժշտական հարմոնիայով, ձգտելով նրան տալ մաթեմատիկական պարզ բացատրություն։ Ավելի վաղ կատարված նրա «Երաժշտության նոր տեսության փորձ» (Tentamen novae theoriae musicae, 1739) աշխատանքի նպատակը հանդիսանում էր մաթեմատիկորեն նկարագրել, թե ինչով է հաճելի երաժշտությունը տարբերվում տհաճից։ Աշխատության VII գլծի վերջում Էյլերը տեղադրել էր ըստ «հաճելիության աստիճանների» (gradus suavitatis) ինտերվալները, որոնց որոշ դասեր (այդ թվում առաջինը, երրորդը և վեցերորոդը) հաճելիության աղյուակում բաց էին թողնված։ Այս աշխատանքի վերաբերյալ կատակի պես պտտվում էր, որ նրանում չափից դուրս երաժշտություն կա մաթեմատիկների, և չափից դուրս մաթեմատիկա՝ երաժիշտների համար։ Արդեն տարիքով հասակում, 1773 թվականին Էյլերը Սանկտ Պետերբուրգի գիտությունների ակադեմիայում զեկույց կարդաց, որում վերջնական տեսքով հանրագումարի բերեց հնչյունային համակարգի մասին ունեցած իր վանդակավոր պատկերացումները, որոնք մետաֆորիկ կերպով հեղինակի կողմից կոչված էր «երաժշտության հայելի» (լատ.՝ speculum musicae) անվամբ։ Հաջորդ տարում Էյլերի զեկույցը տպագրվեց ոչ մեծ տրակտատի De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis ձևով («speculum musicae-ի միջոցով ներկայացված հարմոնիայի ստույգ հիմունքների մասին»)։ Այն «Երաժշտական ցանց» (գերմ.՝ Tonnetz) Էյլերյան ցանց[de] անվանումով լայն շրջանառություն ստացավ XIX դարի գերմանական երաժշտական տեսության մեջ։


=== Գիտության այլ բնագավառներ ===
1749 թվականին Էյլերը հրատարակեց «Ծովային գիտություն կամ նավաշինության ու նավաշարժության մասին տրակտատ» մենախոսությունը, որում վերլուծական մեթոդներ էր կիրառել ծովում նավաշինության և տեղաշարժության պրակտիկ այնպիսի խնդիրների մասին, ինչպիսիք են նավերի ձևը և հավասարակշռությունը, նավի ղեկավարման մեթոդները։ Ալեքսեյ Կռիլովի նավի կայունության հմնական տեսությունն հենվում է «Ծովային գիտություն» տրակտատի վրա։ Էյլերի գիտական հետաքրքրությունների շրջանակի մեջ էր մտնում նաև ֆիզիոլոգիան, մասնավորապես, նա կիրառել էր հիդրոդինամիկայի մեթոդները արյունատար անոթներում արյան շարժման սկզբունքների ուսումնասիրության համար։ 1742 թվականին նա Դիժոնյան ակադեմիա[fr] է ուղարկում էլաստիկ խողովակներում հեղուկների հոսքի մասին հոդված, իսկ 1775 թվականի դեկտեմբերին Պետերբուրգի կադեմիային է ներկայացնում իր «Աորտայով արյան հոսքի հիմունքները» հուշագիրը (Principia pro motu sanguines per arteria determinando)։ Այս աշխատանքում վերլուծվում էր, սրտի պարբերական կրճատմամբ պայմանավորված, արյան շարժման ֆիզիկական և ֆիզիոլոգիական սկզբունքները։ Մեկնաբանելով արյունը որպես իդեալական անսեղմելի հեղուկ, Էյլերը գտել էր կոշտ խողովակներով հոսքի դեպքի համար արյան հավասարումները, իսկ էլաստիկ խողովակների համար սահմանափակվել էր ընդամենը վերջնական շարժման ընդհանուր հավասարումներով։


== Աշակերտներ ==
Ռուսաստան ժամանելուն պես, Էյլերի գլխավոր խնդիրներից էր համարվում գիտական կադրերի պատրաստումը։ Էյլերի անմիջական աշակերտներից էին՝

մաթեմատիկայ ակադեմիկոս Միխայիլ Գոլովինը,
աստղագիտության ակադեմիկոս Պյոտր Ինոխոդցեվը,
մաթեմատիկայի ակադեմիկոս Սեմյոն Կոտելնիկովը,
տաղանդավոր աստղագետ և մաթեմատիկոս Անդրեյ Լեկսելը,
աստղագիտության ակադեմիկոս Ստեպան Ռումովսկին,
մաթեմատիկայի ակադեմիկոս Նիկոլայ Ֆուսը,
Էյլերի ավագ որդին, տաղանդավոր մաթեմատիկոս Իոհան Էյլերը։


== Հիշատակ ==

Էյլերի պատվին անվանակոչվել են՝

մաթեմատիկայում և այլ գիտություններում մի շարք հասկացություններ, տես՝ Լեոնարդ Էյլերի պատվին անվանված օբյեկտների ցանկ,
Լուսնի վրա հարվածային խառնարան Էյլերը,
աստերոիդ 2002 Էյլերը,
Պամիրի Էյլեր գագաթը,
Ռուսաստանի գիտությունների ակադեմիայի Լեոնարդ Էյլերի անվան մաթեմատիկայի միջազգային ինստիտուտը, հիմնադրված Լենինգրադում 1988 թվականին,
ԽՍՀՄ գիտությունների ակադեմիայի և Ռուսաստանի գիտությունների ակադեմիայի Էյլերի անվան ոսկե շքանշանը,
1993 թվականից կանադական Կոմբինատորիկայի և նրա կիրառությունների[en] ինստիտուտի կողմից, մաթեմատիկայի այս բնագավառում ամենամյա շնորհվող Էյլերի շքանշանը[en],
Լեոնարդ Էյլերի անվան մաթեմատիկայի խդիրների աջակցման միջազգային բարեգործական հիմնադրամը ;
Ալմաթիում փողոց։


=== Անձնական որակներ և գնահատականներ ===

Ժամանակակիցների վկայություններով, Էյլերը բնավորությամբ բարեհոգի էր, չար չէր, համարյա ոչ մեկի հետ չէր վիճում։ Նրա հանդեպ ջերմորեն էր վերաբերում նույնիսկ Իոհան Բեռնուլին, ով հայտնի էր իր ծանր բնավորությամբ։ Լիակատար երջանկության համար Էյլերի համար դա մաթեմատիկական ստեղծագործական աշխատանքով անընդհատ զբաղվելն էր։ Նա կարող էր հետաքրքրությամբ աշխատել նույնիսկ այն ժամանակ, երբ «երեխա կար ծնկներին և կատու՝ մեջքին»։ Միևնույն ժամանակ Էյլերը կենսախինդ էր, շփվող, երաժշտություն էր սիրում և փիլիսոփայական զրույցներ։ Ակադեիկոս Պյոտր Պետրովիչ Պեկարսկին, հենվելով Էյլերի ժամանակակիցների վկայությունների վրա, այսպես է վերաստեղծել գիտնականի կերպարը՝ «Էյլերը մեծ վարպետություն ուներ իր անձը ի ցույց չդնելու համար, կարողանում էր թաքցնել իր գերազանցությունը ուրիշների նկատմամբ և իրեն պահում էր բոլորին հավասար։ Միշտ ունենալով կայուն հավասարակշռված վիճակ, բնական ուրախ տրամադրություն, բարեհոգությունից բխած որոշակի ծաղրասիրություն, միամիտ և կատակով վարած խոսելաձև՝ այս բոլորը դարձնում էին նրա զրույցը որքան որ դուրեկան, այնքան էլ գրավիչ»։ Ինչպես նշում են ժամանակակիցները, Էյլերը շատ աստվածավախ էր։ Կոնդորսկու խոսքերով Էյլերը հավաքում էր իր երեխաներին, ծառաներին և աշակերտներին, որոնք ապրում էին իր հետ, որպեսզի միասին աղոթեն։ Էյլերը նրանց համար աղոթք էր կարդում Աստվածաշնչից և երբեմն զուգորդում էր քարոզներով։ 1747 թվականին Էյլերը հրատարակեց իր «Ազատամիտների հարձակումներից աստվածային հայտնության պաշտպանություն» տրակտատը, որը նվիրված էր քրիստոնեության պաշտպանությանը աթեստներից։ Աստվածաբանական դատողություններով Էյլերի հետաքրքրությունը, առիթ հանդիսացավ նրա ժամանակակիցներ՝ Ժան Լը Ռոն Դ'Ալամբերի և Ժոզեֆ Լուի Լագրանժի կողմից իր նկատմամբ բացասական վերաբեոինքի։ Ֆրիդրիխ II-ը, ով իրեն «ազատամիտ» էր համարում, Վոլտերի հետ նամակագրական կապի ժամանակ ասել էր Էյլերի մասին, որ նա «քահանայահոտ» է։ Էյլերը ընտանիքի հոգատար հայր էր, սիրով օգնում էր գործընկերներին ու երիտասարդներին, առատաձեռնորեն կիսվում էր նրանց հետ իր գաղափարներով։ Հայտնի դեպք է, երբ Էյլերը հետաձգել էր իր վարիացիոն հաշվարկի հրատարակումը, որպեսզի, այն ժամանակ, դեռևս անհայտ, երիտասարդ Ժոզեֆ Լուի Լագրանժը, որ իր մոտ էր եկել անկախ իրենից նույն աշխատանքով, կարողանա առաջինը հրատարակել այդ արդյունքները։ Լագրանժը միշտ հիացմունքով է վերաբերվել Էյլերին՝ ինչպես մաթեմատիկոսի, այնպես էլ որմես անհատի, նա ասել է՝ «Եթե դուք իրոք սիրում եք մաթեմատիկան, կարդացեք Էյլեր»։ «Կարդացե՛ք, կարդացե՛ք Էյլեր, նա մեր ընդհանուր ուսուցիչն է», սիրում էր կրկնել Պիեռ Սիմոն Լապլասը (ֆր.՝ Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous.) Էյլերի աշխատանքները, իր համար մեծ օգտավետությամբ, ուսումնասիր է նաև «մաթեմատիկայի թագավոր» Կառլ Ֆրիդրիխ Գաուսը, և XVIII—XIX դարերի համարյա բոլոր հայտնի գիտնականները։ Ժան Լը Ռոն Դ'Ալամբերը Լագրանժին ուղղված իր նամակներից մեկում Էյլերին անվանում է «այդ սատանան»(ֆր.՝ се diable d'homme), դրանով իբր ցանկանալով արտահայտել, ժամանակակիցների մեկնաբանություններով, որ այն ինչ արել է Էյլերը՝ գերազանցում է մարդկային ուժերը։ Միխայիլ Վասիլևիչ Օստրոգրադսկին Նիկոլայ Իվանովիչ Ֆուսսին ուղղված իր նամակում հայտարարել է՝ «Էյլերը ստեղծել է ժամանակակից վերլուծությունը, մենակ ավելի շատ է հարստացրել այն, քան նրա բոլոր հետևորդները միասին, և դարձրել է այն մարդկային մտքի հզորագույն զենքը»։ Ակադեմիկոս Սերգեյ Իվանովիչ Վավիլովը գրել է՝ «Պետրոս I-ի և Լոմոնոսովի հետ, Էյլերը դարձել է մեր Ակադեմիայի հանճարը, տալով նրան փառք, ամրություն և արդյունատվություն»։


=== Բնակության հասցեներ ===

Բեռլինում1743—1766 թվականներին Էյլերը ապրել է Բերենշտրասսե, 21/22 հասցեով։ Տունը պահպանվել է և վրան տեղադրվել հուշատախտակ։

Սանկտ Պետերբուրգում1766 թվականից Էյլերը բնակվել է Դոխոդնի տանը Նիկոլաևսկայա առափնյա, 15 հասցեով (ուժեղ հրդեհով պայմանավորված ընդմիջումով)։ Խորհրդային ժամանակներում փողոցը վերանվանվել է «Լեյտենանտ Շմիդտի առափնյայի»։ Տան ճակատին տեղադրվել է հուշատախտակ, այժմ այնտեղ միջնակարգ դպրոց է գտնվում.


=== Դրոշմանիշեր, մետաղադրամներ, թղթադրամներ ===
2007 թվականին Ռուսաստանի Կենտրոնական Բանկը թողարկել է հուշադրամ ի նշանավորումն Լեոնարդ Էյլերի ծննդյան 300-ամյակի։ Էյլերի դիմանկարը տեղադրված է նաև շվեցարական 10-ֆրանկանոց թղթադրամի վրա (6-րդ սերիա) և Շվեցարիայի, Ռուսաստանի և Գերմանիայի փոստային դրոշմանիշների վրա։

		
		


=== Մաթեմատիկական օլիմպիադաներ ===
Երկրաչափության, կոմբինատորիկայի և հանրահաշվի շատ փաստեր, որոնք ապացուցված են Էյլերի կողմից, ամենուրեք օգտագործվում են օլիմպիադային մաթեմատիկայում։ 2007 թվականի ապրիլի 15-ին մաթեմատիկայից անց է կացվել համացանցային օլիմպիադա դպրոցականների միջև, որը նվիրված էր Լեոնարդ Էյլերի ծննդյան 300-ամյակին և հովանավորվում էր մի շարք կազմակերպությունների կողմից։ 2008 թվականից անց են կացվում Լեոնարդ Էյլերի անվան մաթեմատիկական օլիմպիադաներ ութերորդ դասարանցիների միջև։


== Էյլերի հայտնի ժառանգներ ==
Պատմաբանները հայտնաբերել են Էյլերի հազարից քիչ հայտնի անմիջական ժառանգներ։ Նրա ավագ որդի Իոհան Ալբրեխտ Էյլերը դարձել է մեծ մաթեմատիկոս և ֆիզիկոս։ Երկրորդ որդի Կառլը հայտնի բժիշկ էր։ Կրտսեր որդի Քրիստոֆոր Լեոնտեևիչ Էյլերը հետագայում դարձավ ռուսական բանակի գեներալ-լեյտենանտ և ղեկավարեց Սեստրորեցյան ռազմական գործարանը։ Էյլերի բոլոր զավակները ընդունել են ռուսական հպատակությունը (Էյլերը ամբողջ կյանքում մնացել է որպես շվեցարական հպատակ)։ 1980-ականների վերջի տվյալներով պատմաբանները հաշվել են մոտ 400 ներկայում ապրող ժառանգ, որոնից կեսը բնակվում էին նախկին ԽՍՀՄ-ում։ Գծենք Էյլերի սերունդների կարճ տոհմաբանական ծառը։

Էյլերի սերունդներից են նաև՝ Նատալիա Իվանովնա Գեկկերը, Վասիլի Ֆեոդորովիչ Գեկկերը և Իվան Ռոմանովիչ Գեկկերը, Վլադիմիր Սկալոնը, Էդուարդ Նիկոլաևիչ Բերենդտսը։ Ժառանգներ մեջ կան բազմաթիվ գիտնականներ, աշխարհագետներ, ինժեներներ, քաղաքագետներ, բժիշկներ, ինչպես նաև իննը գեներալներ և մեկ ադմիրալ։


== Մատենագիտություն ==
Լուսնի շարժման նոր տեսություն. — Л.: Изд. АН СССР, 1934.
Կոր գծերի որոնման նոր մեթոդներ, որոնք օժտված են իզոպերիմետրիկ խնդրի լուծման մաքսիմումի, կամ մինիմումի պայմանով, վերցված լայն իմաստով. — М.; Л.: Гостехиздат, 1934. — 600 с.
Կետի դինամիկայի հիմունքներ. — М.-Л.: ОНТИ, 1938.
Դիֆերենցիալ հաշվարկ. — М.-Л:: Геодезиздат, 1949.
Ինտեգրալ հաշվարկ։ 3 հատորով. — М.: Гостехиздат, 1956—1958.
Մեխանիկայի վարիացիոն սկզբունքներ։ Հոդվածների ժողովածու՝ Համիլտոն, Էյլեր, Գաուս և այլք / Полак Л. (ред.). — М.: Физматлит, 1959. — 932 с.
Քարտեզագրական հոդվածների ժողովածու. — М.-Л.: Геодезиздат, 1959.
Նախաբան անվերջների վերլուծությունում В 2 томах. — М.: Физматгиз, 1961.
Բալաստիկայի հետազոտություններ. — М.: Физматгиз, 1961.
Նամակագրություն։ Անոտացիայի տեղեկատու. — Л.: Наука, 1967. — 391 с.
Գերմանայի արքայադստեր նամակները տարբեր ֆիզիկական և փիլիսոփայական նյութերի մասին. — СПб.: Наука, 2002. — 720 с. — ISBN 5-02-027900-5, 5-02-028521-8
Երաժշտության նոր տեսության փորձ (տրակտատից մասեր) // Երաժշտական ամսագիր, 1995, № 1, с.140-146.լատիներենովEuler Leonhard (1736)։ Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita. 1 (լատիներեն) Euler Leonhard (1736)։ Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita. 2 (լատիներեն) Euler Leonhard (1739)։ Tentamen novae theoriae musicae ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae (լատիներեն) Euler Leonhard (1744)։ Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes (լատիներեն)։ Marc Michel Bousquet, C Euler Leonhard (1744)։ Theoria motuum planetarum et cometarum (լատիներեն)։ Ambrosius Haude Euler Leonhard (1748)։ Introductio in analysin infinitorum. 1 (լատիներեն)։ Marc Michel Bousquet, C Euler Leonhard (1748)։ Introductio in analysin infinitorum. 2 (լատիներեն)։ Marc Michel Bousquet, C Euler Leonhard (1762)։ Constructio lentium obiectivarum ex duplici vitro (լատիներեն)։ Akademija nauk San Pietroburgo Euler Leonhard (1770)։ Institutiones calculi differentialis. 3 (լատիներեն) Euler Leonhard (1776)։ Théorie complete de la construction et de la manoeuvre des vaisseaux (ֆրանսերեն)։ Charles Antoine Jombert Euler Leonhard (1787)։ Institutiones calculi differentialis. 1 (լատիներեն) Euler Leonhard (1787)։ Institutiones calculi differentialis. 2 (լատիներեն) Euler Leonhard (1794)։ Institutiones calculi differentialis. 4, Supplementa (լատիներեն)։ Akademija nauk San Pietroburgo 


== Տես նաև ==
Լեոնարդ Էյլերի պատվին անվանված օբյեկտների ցանկ
Մաթեմատիկական նշանակումների պատմություն
Պետերբուրգի գիտությունների ակադեմիայի աստղադիտարան


== Գրականություն ==
Новая теория движения Луны. — Л.: Изд. АН СССР, 1934.
Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. — М.; Л.: Гостехиздат, 1934. — 600 с.
Основы динамики точки. — М.-Л.: ОНТИ, 1938.
Дифференциальное исчисление. — М.-Л.: Геодезиздат, 1949.
Интегральное исчисление. В 3 томах. — М.: Гостехиздат, 1956—1958.
Вариационные принципы механики. Сб. статей: Ферма, Гамильтон, Эйлер, Гаусс и др / Полак Л. (ред.). — М.: Физматлит, 1959. — 932 с.
Избранные картографические статьи. — М.-Л.: Геодезиздат, 1959.
Введение в анализ бесконечных. В 2 томах. — М.: Физматгиз, 1961.
Исследования по баллистике. — М.: Физматгиз, 1961.
Переписка. Аннотированный указатель. — Л.: Наука, 1967. — 391 с.
Письма к немецкой принцессе о разных физических и философских материях. — СПб.: Наука, 2002. — 720 с. — ISBN 5-02-027900-5, 5-02-028521-8
Опыт новой теории музыки (фрагменты трактата) // Музыкальная академия, 1995, № 1, с.140-146.
Опыт новой теории музыки, ясно изложенной в соответствии с непреложными принципами гармонии. — СПб.: Рос. акад. наук, С.-Петерб. науч. центр, изд-во Нестор-История, 2007. — ISBN 978-598187-202-0
Руководство к арифметике для употребления гимназии Императорской Академии наук. — М.: Оникс, 2012. — 313 с. — ISBN 978-5-458-27255-1
Euler Leonhard (1736)։ Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita. 1 (լատիներեն) Euler Leonhard (1736)։ Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita. 2 (լատիներեն) Euler Leonhard (1739)։ Tentamen novae theoriae musicae ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae (լատիներեն) Euler Leonhard (1744)։ Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes (լատիներեն)։ Marc Michel Bousquet, C Euler Leonhard (1744)։ Theoria motuum planetarum et cometarum (լատիներեն)։ Ambrosius Haude Euler Leonhard (1748)։ Introductio in analysin infinitorum. 1 (լատիներեն)։ Marc Michel Bousquet, C Euler Leonhard (1748)։ Introductio in analysin infinitorum. 2 (լատիներեն)։ Marc Michel Bousquet, C Euler Leonhard (1762)։ Constructio lentium obiectivarum ex duplici vitro (լատիներեն)։ Akademija nauk San Pietroburgo Euler Leonhard (1770)։ Institutiones calculi differentialis. 3 (լատիներեն) Euler Leonhard (1776)։ Théorie complete de la construction et de la manoeuvre des vaisseaux (ֆրանսերեն)։ Charles Antoine Jombert Euler Leonhard (1787)։ Institutiones calculi differentialis. 1 (լատիներեն) Euler Leonhard (1787)։ Institutiones calculi differentialis. 2 (լատիներեն) Euler Leonhard (1794)։ Institutiones calculi differentialis. 4, Supplementa (լատիներեն)։ Akademija nauk San Pietroburgo 


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
LeonhardEuler.com
Encyclopædia Britannica article
Լեոնարդ Էյլեր Mathematics Genealogy Project կայքում
How Euler did it
Euler Archive
Leonhard Euler – Œuvres complètes Archived 2013-05-13 at the Wayback Machine. Gallica-Math
Euler Committee of the Swiss Academy of Sciences
References for Leonhard Euler
Euler Tercentenary 2007
The Euler Society
Euler Family Tree
Euler's Correspondence with Frederick the Great, King of Prussia
Euler Quartic Conjecture
Portrait of Leonhard Euler from the Lick Observatory Records Digital Archive, UC Santa Cruz Library's Digital Collections Archived 2017-03-13 at the Wayback Machine.
Euler's (1769–1771) Dioptricae, 3 vols.