Զուգահեռագիծ

Զուգահեռագիծ է կոչվում այն քառանկյունը, որի հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են, այսինքն, հանդիպակաց կողմերը գտնվում են զուգահեռ ուղիղների վրա։ Զուգահեռագծի մասնավոր օրինակներ են ուղղանկյունը, քառակուսին և շեղանկյունը։


== Զուգահեռագծի հիմնական հատկությունները ==
Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը հավասար են։

  
    
      
        
          |
          
            A
            B
          
          |
        
        =
        
          |
          
            C
            D
          
          |
        
        ,
        
          |
          
            A
            D
          
          |
        
        =
        
          |
          
            B
            C
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left|AB\right|=\left|CD\right|,\left|AD\right|=\left|BC\right|}
  .Ապացույց։
AB || CD => < ABD = < BDC, հետևում է խաչադիր անկյունների հավասարությունից 	
AD || BC => < ADB = < DBC, DB-ն ընդհանուր է ուրեմն ABD և BCD եռանկյունները հավասար են։ Դրանից հետևում է, որ AD - ն հավասար է BC - ին և AB -ն հավասար է BC -ին։

Զուգահեռագծի հանդիպակաց անկյունները հավասար են։

  
    
      
        ∠
        A
        =
        ∠
        C
        ,
        ∠
        B
        =
        ∠
        D
        .
      
    
    {\displaystyle \angle A=\angle C,\angle B=\angle D.}
  
Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են և հատման կետում կիսվում են։

  
    
      
        
          |
          
            A
            E
          
          |
        
        =
        
          |
          
            E
            C
          
          |
        
        ,
        
          |
          
            B
            E
          
          |
        
        =
        
          |
          
            E
            D
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left|AE\right|=\left|EC\right|,\left|BE\right|=\left|ED\right|}
  .Ապացույց՝
BC = AD ըստ առաջին հատկության, <ADE = < EBC, < ECB = < EAD (խաչադիր անկյուններ) => եռանկյուններ AED -ն և BEC - ն հավասար են, ուրեմն AE = EC, DE = EB։

Զուգահեռագծի կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180° է ։

  
    
      
        ∠
        A
        +
        ∠
        B
        =
        
          180
          
            o
          
        
        ,
        ∠
        B
        +
        ∠
        C
        =
        
          180
          
            o
          
        
        ,
        ∠
        C
        +
        ∠
        D
        =
        
          180
          
            o
          
        
        ,
        ∠
        A
        +
        ∠
        D
        =
        
          180
          
            o
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \angle A+\angle B=180^{o},\angle B+\angle C=180^{o},\angle C+\angle D=180^{o},\angle A+\angle D=180^{o}.}
  
Զուգահեռագծի ցանկացած անկյունագիծ այն բաժանում է 2 հավասար եռանկյունների։

  
    
      
        Δ
        A
        B
        C
        =
        Δ
        A
        D
        C
        ,
        Δ
        A
        B
        D
        =
        Δ
        B
        D
        C
        .
      
    
    {\displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC,\Delta ABD=\Delta BDC.}
  
Զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետը հանդիսանում է զուգահեռագիծի սիմետրիայի կենտրոնը։
Զուգահեռագծի անկյունների գումարը հավասար է 360°։
Զուգահեռագծի նույնությունԶուգահեռագծի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է նրա երկու կից  կողմերի քառակուսիների գումարի կրկնապատիկին։

  
    
      
        A
        C
        =
        
          d
          
            1
          
        
        ,
        B
        D
        =
        
          d
          
            2
          
        
        ,
        A
        D
        =
        B
        C
        =
        a
        ,
        A
        B
        =
        D
        C
        =
        b
        .
      
    
    {\displaystyle AC=d_{1},BD=d_{2},AD=BC=a,AB=DC=b.}
  

  
    
      
        
          d
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          d
          
            2
          
          
            2
          
        
        =
        2
        (
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2}).}
  


== Զուգահեռագծի հայտանիշները ==
ABCD քառանկյունը զուգահեռագիծ է, եթե կատարվում է հետևյալ պայմաններից որևէ մեկը՝

 Հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ հավասար են. 

  
    
      
        
          |
          
            A
            B
          
          |
        
        =
        
          |
          
            C
            D
          
          |
        
        ,
        
          |
          
            A
            D
          
          |
        
        =
        
          |
          
            B
            C
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left|AB\right|=\left|CD\right|,\left|AD\right|=\left|BC\right|}
  .
 Հանդիպակաց անկյունները զույգ առ զույգ հավասար են. 

  
    
      
        ∠
        A
        =
        ∠
        C
        ,
        ∠
        B
        =
        ∠
        D
        .
      
    
    {\displaystyle \angle A=\angle C,\angle B=\angle D.}
  
 Անկյունագծերը հատման կետում կիսվում են. 

  
    
      
        
          |
          
            A
            E
          
          |
        
        =
        
          |
          
            E
            C
          
          |
        
        ,
        
          |
          
            B
            E
          
          |
        
        =
        
          |
          
            E
            D
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left|AE\right|=\left|EC\right|,\left|BE\right|=\left|ED\right|}
  .
 Կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180° է. 

  
    
      
        ∠
        A
        +
        ∠
        B
        =
        
          180
          
            o
          
        
        ,
        ∠
        B
        +
        ∠
        C
        =
        
          180
          
            o
          
        
        ,
        ∠
        C
        +
        ∠
        D
        =
        
          180
          
            o
          
        
        ,
        ∠
        A
        +
        ∠
        D
        =
        
          180
          
            o
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \angle A+\angle B=180^{o},\angle B+\angle C=180^{o},\angle C+\angle D=180^{o},\angle A+\angle D=180^{o}.}
  
 Հանդիպակաց կողմերը իրար զուգահեռ են և հավասար. 

  
    
      
        A
        B
        =
        C
        D
        ,
        A
        B
        ∥
        C
        D
      
    
    {\displaystyle AB=CD,AB\parallel CD}
  .Ապացույց։ < EAD = < ECB, < EDA = < EBC => Եռանկյուն AED -ն հավասար է եռակյուն BEC => AE = EC, BE = DE, < AEB = < CED (< AED = < BEC, հակադիր անկյունների հավասարությունից, իսկ <AED -ն և <BEA -ն կից են) => եռանկյուն AEB = եռանկյուն DEC։ Դրանից հետևում է, որ AB -ն զուգահեռ է DC -ին։ Ուրեմն ABCD -ն զուգահեռագիծ է։

 Ուռուցիկ քառանկյան հանդիպակաց կողմերի միջնակետերի միջև հեռավորությունների գումարը հավասար է նրա կիսապարագծին. 
 Զուգահեռագծի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է կողմերի քառակուսիների կրկնապատիկների գումարին. 

  
    
      
         
        A
        
          C
          
            2
          
        
        +
        B
        
          D
          
            2
          
        
        =
        2
        A
        
          B
          
            2
          
        
        +
        2
        B
        
          C
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ~AC^{2}+BD^{2}=2AB^{2}+2BC^{2}}
  


== Զուգահեռագծի մակերեսը ==

  
    
      
        S
        =
        a
        ×
        h
      
    
    {\displaystyle S=a\times h}
  , որտեղ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն կողմն է, 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  -ը`այդ կողմին տարված բարձրությունը։

  
    
      
        S
        =
        a
        ×
        b
        ×
        sin
        ⁡
        α
      
    
    {\displaystyle S=a\times b\times \sin \alpha }
  , որտեղ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ն կողմերն են, իսկ 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   - ն 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   կողմերի կազմած անկյունն է։

  
    
      
        S
        =
        
          
            1
            2
          
        
        A
        C
        ×
        B
        D
        ×
        sin
        ⁡
        ∠
        A
        O
        B
      
    
    {\displaystyle S={\frac {1}{2}}AC\times BD\times \sin \angle AOB}
  , որտեղ AC-ն և BD-ն զուգահեռագծի անկյունագծերն են, իսկ 
  
    
      
        ∠
        A
        O
        B
      
    
    {\displaystyle \angle AOB}
  -ն՝ նրանց կազմած անկյունը։


== Զուգահեռագծի պարագիծը ==

  
    
      
        P
        =
        2
        ×
        (
        a
        +
        b
        )
      
    
    {\displaystyle P=2\times (a+b)}
  , որտեղ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ն զուգահեռագծի կողմերն են։