Ենթաբազմություն

Ենթաբազմություն բազմությունների տեսությունում - բազմության մասի հասկացություն


== Սահմանում ==

  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   բազմությունը համարվում է 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   բազմության ենթաբազմություն, եթե 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ին պատկանող ցանկացած տարր պատկանում է նաև 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  -ին։

  
    
      
        (
        A
        ⊂
        B
        )
        ⇔
        (
        x
        ∈
        A
        ⇒
        x
        ∈
        B
        )
        .
      
    
    {\displaystyle (A\subset B)\Leftrightarrow (x\in A\Rightarrow x\in B).}
  Ենթաբազմությունների համար գոյություն ունեն երկու սիմվոլիկ նշանակումներ.

Ցավոք, նշանակումների երկու համակարգերն էլ օգտագործում են 
  
    
      
        ⊂
      
    
    {\displaystyle \subset }
   տարբեր իմաստներով, որը կարող է շփոթության բերել։
Այստեղ կօգտագործենք նշանակումների վերջին համակարգը։

  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   բազմության բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունը նշանակվում է 
  
    
      
        
          
            P
          
        
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}
  :


=== Սեփական ենթաբազմություն ===
Ցանկացած 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   բազմություն համարվում է իր ենթաբազմությունը։ Եթե ցանկանում ենք 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   բազմությունը բացառել դիտարկումից, օգտվում ենք սեփական ենթաբազմության հասկացությունից, որը սահմանվում է.

  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   բազմությունը համարվում է 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   բազմության սեփական ենթաբազմություն, եթե 
  
    
      
        A
        ⊂
        B
      
    
    {\displaystyle A\subset B}
   և 
  
    
      
        A
        ≠
        B
      
    
    {\displaystyle A\neq B}
  :Դատարկ բազմությունը ցանկացած բազմության ենթաբազմություն է։ Եթե ցանկանում ենք բացառել նաև դատարկ բազմությունը, օգտվում ենք ոչ տրիվիալ ենթաբազմության հասկացությունից, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   բազմությունը համարվում է 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   բազմության ոչ տրիվիալ ենթաբազմություն, եթե 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ն 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  -ի սեփական ենթաբազմություն է և 
  
    
      
        A
        ≠
        ∅
      
    
    {\displaystyle A\neq \varnothing }
  :


== Օրինակներ ==

  
    
      
        ∅
        ,
        {
        0
        }
        ,
        {
        1
        ,
        3
        ,
        4
        }
      
    
    {\displaystyle \varnothing ,\{0\},\{1,3,4\}}
   բազմությունները 
  
    
      
        {
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        4
        ,
        5
        }
      
    
    {\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}
   բազմության ենթաբազմություններ են։

  
    
      
        {
        ∅
        ,
        ↑
        ,
        m
        o
        o
        s
        e
        }
        ,
        {
        $
        ,
        %
        ,
        ∗
        ,
        ↑
        }
        ,
        {
        ∅
        }
        ,
        ∅
      
    
    {\displaystyle \{\varnothing ,\uparrow ,moose\},\{\$,\%,*,\uparrow \},\{\varnothing \},\varnothing }
   բազմությունները 
  
    
      
        {
        $
        ,
        %
        ,
        ∅
        ,
        ↑
        ,
        ∗
        ,
        m
        o
        o
        s
        e
        }
      
    
    {\displaystyle \{\$,\%,\varnothing ,\uparrow ,*,moose\}}
   բազմության ենթաբազմություններ են։
Եթե 
  
    
      
        A
        =
        {
        a
        ,
        b
        }
      
    
    {\displaystyle A=\{a,b\}}
  , ապա 
  
    
      
        
          
            P
          
        
        (
        A
        )
        =
        {
        ∅
        ,
        {
        a
        }
        ,
        {
        b
        }
        ,
        {
        a
        ,
        b
        }
        }
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}
  :
Եթե 
  
    
      
        A
        =
        {
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        4
        ,
        5
        }
        ,
        
        B
        =
        {
        1
        ,
        2
        ,
        3
        }
        ,
        
        C
        =
        {
        4
        ,
        5
        ,
        6
        ,
        7
        }
      
    
    {\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},\;B=\{1,2,3\},\;C=\{4,5,6,7\}}
  , ապա 
  
    
      
        B
        ⊂
        A
        ,
        
        C
        ⊄
        A
      
    
    {\displaystyle B\subset A,\;C\not \subset A}
  :


== Հատկություններ ==
Ենթաբազմության հարաբերությունն օժտված է մի շարք հատկություններով
Ենթաբազմության հարաբերությունը մասնակի կարգավորված հարաբերություն է.
Ենթաբազմության հարաբերությունը ռեֆլեքսիվ է.

  
    
      
        B
        ⊂
        B
      
    
    {\displaystyle B\subset B}
  
Ենթաբազմության հարաբերությունը անտիսիմետրիկ է.

  
    
      
        (
        A
        ⊂
        B
        
        ∧
        
        B
        ⊂
        A
        )
        ⇔
        (
        A
        =
        B
        )
      
    
    {\displaystyle (A\subset B\;\land \;B\subset A)\Leftrightarrow (A=B)}
  
Ենթաբազմության հարաբերությունը տրանզիտիվ է.

  
    
      
        (
        A
        ⊂
        B
        
        ∧
        
        B
        ⊂
        C
        )
        ⇒
        (
        A
        ⊂
        C
        )
      
    
    {\displaystyle (A\subset B\;\land \;B\subset C)\Rightarrow (A\subset C)}
  
Դատարկ բազմությունը ցանկացած բազմության ենթաբազմություն է, այդ պատճառով այն ենթաբազմության հարաբերության նկատմամբ փոքրագույն բազմությունն է.

  
    
      
        ∅
        ⊂
        B
      
    
    {\displaystyle \varnothing \subset B}
  
Ցանկացած 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   երկու բազմությունների համար հետևյալ պնդումները համարժեք են.

  
    
      
        A
        ⊂
        B
      
    
    {\displaystyle A\subset B}
  

  
    
      
        A
        ∩
        B
        =
        A
      
    
    {\displaystyle A\cap B=A}
  

  
    
      
        A
        ∪
        B
        =
        B
      
    
    {\displaystyle A\cup B=B}
  

  
    
      
        
          B
          
            ∁
          
        
        ⊂
        
          A
          
            ∁
          
        
      
    
    {\displaystyle B^{\complement }\subset A^{\complement }}
  


== Վերջավոր բազմությունների ենթաբազմություններ ==
Եթե ելակետային բազմությունը վերջավոր է, ապա այն ունի վերջավոր քանակով ենթաբազմություններ։ Ավելի ստույգ, 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   տարր ունեցող բազմությունն ունի 
  
    
      
        
          2
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{n}}
   ենթաբազմություններ, ներառյալ դատարկ բազմությունը։ Դրանում համոզվելու համար բավական է նկատել, որ յուրաքանչյուր տարր կարող է պատկանալ կամ չպատկանալ ենթաբազմությանը, նշանակում է, ենթաբազմությունների ընդհանուր քանակը կլինի երկյակների 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ապատիկ արտադրյալը։ Եթե դիտարկենք 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   տարր ունեցող բազմության միայն 
  
    
      
        k
        ≤
        n
      
    
    {\displaystyle k\leq n}
   տարր ունեցող ենթաբազմությունները, ապա նրանց քանակը կարտահայտվի 
  
    
      
        
          
            
              
                (
              
              
                n
                k
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}
   բինոմալ գործակցով։ Այս փաստը ստուգելու համար կարելի է հաջորդաբար ընտրել ենթաբազմության տարրերը։ Առաջին տարրը կարելի է ընտրել 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   եղանակով, երկրորդը 
  
    
      
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle n-1}
   եղանակով, և այսպես շարունակ, 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  -րդ տարրը՝ 
  
    
      
        n
        −
        k
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n-k+1}
  : Այսպիսով, ստանում ենք 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   տարրից բաղկացած հաջորդականություն, և ճիշտ 
  
    
      
        k
        !
      
    
    {\displaystyle k!}
   այդպիսի հաջորդականություններին համապատասխանում է մեկ ենթաբազմություն։ Նշանակում է, գտնվում են այդպիսի 
  
    
      
        
          
            
              
                n
                (
                n
                −
                1
                )
                …
                (
                n
                −
                k
                +
                1
                )
              
              
                k
                !
              
            
          
          =
          
            
              
                (
              
              
                n
                k
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle {\frac {n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!}}={\binom {n}{k}}}
   ենթաբազմություններ։


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.. — 3-е изд., стереотип. — М.: МЦНМО, 2008. — 128 с. — ISBN 978-5-94057-321-0 (ռուս.)