Եզրային խնդիր

Եզրային խնդիր, խնդիր, որ պահանջում է տված տիրույթում որոշված ֆունկցիաների որևէ դասից գտնել այդ տիրույթի եզրագծի վրա տված պայմաններին բավարարող ֆունկցիան։ Բնության կոնկրետ երևույթներ (ֆիզիկական, քիմիական) նկարագրող ֆունկցիաները, որպես կանոն, մաթեմատիկական ֆիզիկայի ինչ-որ հավասարումների լուծումներ են։ Նման որևէ հավասարման լուծումների բազմությունից հետաքրքրական լուծումը միարժեքորեն որոշելու համար տրվում են, այսպես կոչված՝ եզրային կամ սկզբնական պայմաններ։ Եզրային պայմանները տրվում են լուծումների որոշման տիրույթի միայն եզրային կետերում, իսկ սկզբնական պայմանները կարող են տրվել նաև տիրույթի ներքին կետերի որևէ բազմության վրա։ 
Օրինակ, 
  
    
      
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              u
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              ,
              
                x
                
                  2
                
              
              )
            
            
              ∂
              
                x
                
                  1
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              u
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              ,
              
                x
                
                  2
                
              
              )
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        0
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u(x_{1},x_{2})}{\partial x_{1}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u(x_{1},x_{2})}{\partial x_{2}^{2}}}=0\qquad (1)}
      
հավասարումն ունի անվերջ լուծումներ, սակայն 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2}}
   ուղղանկյուն կոորդինատական հարթության 
  
    
      
        0
        ⩽
        
          x
          
            1
          
        
        ⩽
        l
        ,
        −
        a
        ⩽
        
          x
          
            2
          
        
        ⩽
        a
      
    
    {\displaystyle 0\leqslant x_{1}\leqslant l,-a\leqslant x_{2}\leqslant a}
   ուղղանկյան մեջ 

  
    
      
        u
        (
        0
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        )
        =
        0
        u
        (
        l
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        )
        =
        0
        −
        a
        ⩽
        
          x
          
            2
          
        
        ⩽
        a
        
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle u(0,x_{2})=0u(l,x_{2})=0-a\leqslant x_{2}\leqslant a\qquad (2)}
  եզրային և 

  
    
      
        u
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        0
        )
        =
        φ
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        
          
            
              ∂
              u
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              ,
              
                x
                
                  2
                
              
              )
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            |
          
          
            
              x
              
                2
              
            
            =
            0
          
        
        =
        Ψ
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        
        (
        3
        )
      
    
    {\displaystyle u(x_{1},0)=\varphi (x_{1}){\frac {\partial u(x_{1},x_{2})}{\partial x_{2}}}|_{x_{2}=0}=\Psi (x_{1})\qquad (3)}
  սկզբնական պայմաններին բավարարող 
  
    
      
        u
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle u(x_{1},x_{2})}
   լուծումը միակն է։ Ընդ որում, կրկնակի անընդհատորեն դիֆերենցիալ 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
   և 
  
    
      
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \Psi }
   ֆունկցիաները համարվում են նախօրոք տրված։ Եթե 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}}
   առաևցքի ֆիզիկական իմաստը ժամանակն է, ապա 
  
    
      
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (1)}
   հավասարման 
  
    
      
        (
        2
        )
        ,
        (
        3
        )
      
    
    {\displaystyle (2),(3)}
   պայմաններին բակարարող 
  
    
      
        u
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle u(x,t)}
   լուծումը նկարագրում է 
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0)}
   և  
  
    
      
        (
        0
        ,
        l
        )
      
    
    {\displaystyle (0,l)}
   կետերում ամրացված ծայրերով 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
   երկարության առաձգական լարի տատանումները։ Առհասարակ, եզրային կոչվում են այն խնդիրները, որոնցում 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle (x_{1},....,x_{n})=x}
   անկախ փոփոխականների տարածության 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
   տիրույթում փնտրվում է

  
    
      
        D
        u
        (
        x
        )
        =
        0
        ,
        x
        ∈
        G
        
        (
        4
        )
      
    
    {\displaystyle Du(x)=0,x\in G\qquad (4)}
  հավասարման 
  
    
      
        u
        (
        x
        )
        =
        u
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle u(x)=u(x_{1},....,x_{n})}
   լուծումը, որը 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
   տիրույթի 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   սահմանի վրա բավարարում է

  
    
      
        B
        u
        (
        y
        )
        =
        0
        ,
        y
        ∈
        S
        
        (
        5
        )
      
    
    {\displaystyle Bu(y)=0,y\in S\qquad (5)}
  եզրային պայմանին։ Այստեղ 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  -ն և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  -ն տված օպերատորներ են, ընդ որում, 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  -ն որպես կանոն, դիֆերենցիալ կամ ինտեգրա–դիֆերենցիալ օպերատոր է։ 
  
    
      
        D
        ,
        B
      
    
    {\displaystyle D,B}
   օպերատորների և 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  –ի բնույթից կախված, 
  
    
      
        (
        4
        )
        ,
        (
        5
        )
      
    
    {\displaystyle (4),(5)}
   խնդիրը կոչվում է առաջին եզրային (կամ Դիրիխլեի), երկրորդ եզրային (կամ Նեյմանի) ևն։ Եթե 
  
    
      
        D
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle D=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}
   (Լապլասի օպերատոր), ապա բավականաչափ ողորկ սահման ունեցող սահմանափակ տիրույթում Դիրիխլեի խնդրի լուծումը միշտ գոյություն ունի ն միակն է․ ընդ որում, մասնակի տեսքի որոշ տիրույթներում այդ լուծումը գրվում է բացահայտ տեսքով։ Օրինակ, 
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
   դեպքում այդ լուծումը 
  
    
      
        −
        1
        <
        x
        <
        1
      
    
    {\displaystyle -1<x<1}
   միջակայքում ունի 
  
    
      
        u
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          f
          
            2
          
        
        −
        
          f
          
            1
          
        
        )
        x
        +
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          f
          
            2
          
        
        +
        
          f
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle u(x)={\frac {1}{2}}(f_{2}-f_{1})x+{\frac {1}{2}}(f_{2}+f_{1})}
   տեսքը, որտեղ 
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        =
        u
        (
        −
        1
        )
        ,
        
          f
          
            2
          
        
        =
        u
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle f_{1}=u(-1),f_{2}=u(1)}
  : Եզրային խնդիրների ուսումնասիրման համար լայնորեն օգտագործվում են ինտեգրալ հավասարումների (պոտենցիալի), ապրիորի գնահատականների ն վերջավոր տարբերությունների մեթոդները։