Ֆունկցիայի նախնական

Ֆունկցիայի նախնական,ֆունկցիայի հետազոտման տարր։

  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   ֆունկցիան կոչվում է 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի նախնական տրված միջակայքում, եթե այդ միջակայքի բոլոր 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -երի համար
  
    
      
        
          F
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F'(x)=f(x)}
  ։
Եթե 
  
    
      
        
          F
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F'(x)=f(x)}
   հավասարությունը տեղի ունի 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի որոշման տիրույթում, որը միջակայք է (վերջավոր կամ անվերջ), ապա կասենք, որ 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   ֆունկցիան 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ի նախնականն է, առանց նշելու միջակայքը։


==  ==
  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        a
        x
      
    
    {\displaystyle F(x)=ax}
   ֆունկցիայի նախնականը

  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        a
        x
      
    
    {\displaystyle F(x)=ax}
   ֆունկցիան 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        a
      
    
    {\displaystyle f(x)=a}
   հաստատուն ֆունկցիայի նախնականն է, քանի որ

  
    
      
        
          F
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        (
        a
        x
        
          )
          ′
        
        =
        a
        ⋅
        
          x
          ′
        
        =
        a
        =
        f
        (
        x
        )
        ,
        x
        ∈
        R
      
    
    {\displaystyle F'(x)=(ax)'=a\cdot x'=a=f(x),x\in R}
  
Եթե 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
   Ֆունկցիան 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիայի նախնականն է տրված միջակայքում, ապա կամայական 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   իրական թվի համար 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
        +
        c
      
    
    {\displaystyle F(x)+c}
   ֆունկցիան նույնպես 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիայի նախնականն է։


== Տարրական ֆունկցիաների նախնականները ==

  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}}
  -ը 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի նախնական է,

  
    
      
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {x^{3}}{3}}}
  -ը 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}}
  -ու նախնական է,

  
    
      
        −
        
          
            1
            
              x
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}}}}
  -ն 
  
    
      
        
          
            1
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{x}}}
  -ի նախնական է 
  
    
      
        (
        −
        ∞
        ;
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (-\infty ;0)}
   և 
  
    
      
        (
        0
        ;
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle (0;\infty )}
   միջակայքերում,

  
    
      
        −
        
          
            1
            
              2
              
                x
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {1}{2x^{3}}}}
  -ը 
  
    
      
        
          
            1
            
              x
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}}
  -ու նախնական է 
  
    
      
        (
        −
        ∞
        ;
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (-\infty ;0)}
   և 
  
    
      
        (
        0
        ;
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle (0;\infty )}
   միջակայքերում։