Կլայն-Գորդոնի հավասարում

Կլայն-Գորդոնի հավասարում (երբեմն՝ Կլայն-Ֆոկ-Գորդոնի հավասարում կամ Կլայն-Գորդոն-Ֆոկի հավասարում,Կլայն-Ֆոկի հավասարում), Շրյոդինգերի հավասարման ռելյատիվիստական տարբերակը։

  
    
      
        
          ∂
          
            x
          
          
            2
          
        
        ψ
        +
        
          ∂
          
            y
          
          
            2
          
        
        ψ
        +
        
          ∂
          
            z
          
          
            2
          
        
        ψ
        −
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          ∂
          
            t
          
          
            2
          
        
        ψ
        −
        
          
            
              
                m
                
                  2
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              ℏ
              
                2
              
            
          
        
        ψ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \partial _{x}^{2}\psi +\partial _{y}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi -{1 \over c^{2}}\partial _{t}^{2}\psi -{m^{2}c^{2} \over \hbar ^{2}}\psi =0}
  ,Կամ, բնական միավորներով (որտեղ 
  
    
      
        ℏ
        =
        c
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \hbar =c=1}
  )՝

  
    
      
        (
        ◻
         
        −
        
          m
          
            2
          
        
        )
        ψ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (\square \ -m^{2})\psi =0}
  ,որտեղ 
  
    
      
        ◻
         
      
    
    {\displaystyle \square \ }
  -ը դ’Ալամբերի օպերատորն է։
Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կիրառվում է զանգված ունեցող (հանգստի զանգված) արագ շարժվող մասնիկների համար։ Կիրառելի է սկալյար զանգվածեղ դաշտերի դեպքում։ Կարող է ընդհանրացվել ամբողջ և կիսաամբողջ սպիներով մասնիկների համար։
Բացի այդ, պարզ է, որ այս հավասարումը ալիքային հավասարման ընդհանրացումն է՝ պիտանի զանգված չունեցող սկալյար և վեկտրական դաշտերի նկարագրման համար։
Կլայն-Գորդոնի հավասարումով նկարագրվող մեխանիկական համակարգերը (իրական կամ երևակայական) կարող են լինել ալիքային հավասարումով նկարագրվող համակարգերի ձևափոխություններ, օրինակ.

Միաչափ դեպքում՝ առաձգական (Հուկի) տակդիրին ամրացված ձգված ծանր լար։
Մակրոսկոպիկորեն իզոտրոպ բյուրեղ, որի յուրաքանչյուր ատոմը գտնվում է, բացի հարևան ատոմների հետ կապից, նաև տարածության մեջ ֆիքսված քառակուսի պոտենցիալ փոսում։
Իրական բյուրեղների դեպքում ավելի իրատեսական է դիտարկել լայնական տատանումների մոդերը, որոնց դեպքում, օրինակ, ատոմների հարևան շերտերը տատանվում են հակափուլով։ Այդպիսի մոդերը (գծային մոտավորությամբ) ենթարկվում են Կլայն-Գորդոնի երկչափ հավասարմանը, որտեղ կոորդինատները շերտերի հարթությունում են։Հավասարումը, որտեղ վերջին («զանգվածեղ») անդամն ունի սովորականին հակառակ նշան, տեսական ֆիզիկայում նկարագրում է տախիոն։ Հավասարման այսպիսի տարբերակը թույլ է տալիս պարզա մեխանիկական իրագործում։
Կլայն-Գորդոնի հավասարումն ազատ մասնիկի համար (վերը բերված դեպքը) պարզ լուծում ունի սինուսոիդային հարթ ալիքների տեսքով։

Դիտողություն. Տարածական ածանցյալները տեղադրելով զրո (ինչը քվանտային մեխանիկայում համապատասխանում է մասնիկի զրո իմպուլսին), Կլայն-Գորդոնի սովորական հավասարման համար կունենանք 
  
    
      
        ±
        m
        
          c
          
            2
          
        
        
          /
        
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \pm mc^{2}/\hbar }
   հաճախությամբ հարմոնիկ տատանակ, ինչը համապատասխանում է մասնիկի 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   զանգվածով որոշվող, հանգստի ոչ զրոյական էներգիային։ Հավասարման տախիոնային տարբերակն այդ դեպքում կայուն չէ, իսկ լուծումն ընդհանուր դեպքում ներառում է անսահմանափակ աճող էքսպոնենտ։


== Պատմություն ==
Կլայն-Գորդոնի հավասարումը սկզբում, մինչև իր ոչ ռելյատիվիստական հավասարումը գրելը, գրել է Էրվին Շրյոդինգերը։ Շրյոդինգերը հրաժարվում է այդ հավասարումից, քանի որ չի կարողանում էլեկտրոնի սպինը ընդգրկել դրա մեջ ։ Պարզեցնելով Կլայն-Գորդոնի հավասարումը՝ Շրյոդինգերը գրում է «իր» հավասարումը։
1926 թ., Շրյոդինգերի հավասարման հրապարակումից հետո, Ֆոկը հոդված է գրում մագնիսական դաշտերի դեպքում դրա ընդհանրացման մասին, որտեղ ուժերը կախված են արագությունից, և Շրյոդինգերից անկախ արտածում է այդ հավասարումը։ Ե՛վ Օսկար Կլայնը (նրա աշխատանքը ավելի շուտ է ստեղծվել, բայց հրատարակվել է Ֆոկի հոդվածից հետո), և՛ Վլադիմիր Ֆոկը կիրառել են Կալուցի-Կլայնի մեթոդը։ Ֆոկը նաև ներմուծել է տրամաչափային տեսություն ալիքային հավասարման համար։
Գորդոնի հոդվածը (1926 թ. վերջին) նվիրված էր Քոմփթոնի էֆեկտին։


== Արտածում ==
Ազատ մասնիկի էներգիայի ոչ ռելյատիվիստական հավասարումը հետևյալն է՝

  
    
      
        
          
            
              
                p
              
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        =
        E
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=E}
  ։Քվանտացնելով սա, ստանում ենք Շրյոդինգերի ոչ ռելյատիվիստական հավասարումն ազատ մասնիկի համար՝

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    p
                    ^
                  
                
              
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        ψ
        =
        
          
            
              E
              ^
            
          
        
        ψ
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathbf {\hat {p}} ^{2}}{2m}}\psi ={\hat {E}}\psi }
  ,որտեղ 

  
    
      
        
          
            
              p
              ^
            
          
        
        =
        −
        i
        ℏ
        
          ∇
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \mathbf {\nabla } }
  մեծությունը իմպուլսի օպերատորն է, ∇-ով նշանակված է նաբլա օպերատորը, իսկ 

  
    
      
        
          
            
              E
              ^
            
          
        
        =
        i
        ℏ
        
          
            
              ∂
              
                ∂
                t
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\dfrac {\partial }{\partial t}}}
  իսկ էներգիայի օպերատորն է։
Շրյադինդերի հավասարումը ռելյատիվիստիկորեն կովարիանտ չէ, այսինքն՝ այն հաշվի չի առնում Այնշտայնի հատուկ հարաբերականությունը։
Էներգիան հատուկ հարաբերականությունից՝

  
    
      
        
          
            
              
                p
              
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
            +
            
              m
              
                2
              
            
            
              c
              
                4
              
            
          
        
        =
        E
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=E}
  Կիրառելով դա և տեղադրելով իմպուլսի և էներգիայի քվանտամեխանիկական օպերատորները, կստանանք

  
    
      
        
          
            (
            −
            i
            ℏ
            
              ∇
            
            
              )
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
            +
            
              m
              
                2
              
            
            
              c
              
                4
              
            
          
        
        ψ
        =
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        ψ
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }
  հավասարումը։
Այս արտահայտության հետ աշխատելը աննպատակահարմար է արմատի առկայության պատճառով։ Ուստի Կլայնը և Գորդոնը գործածել են քառակուսի բարձրացրած մեծությունը՝

  
    
      
        
          
            p
          
          
            2
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        +
        
          m
          
            2
          
        
        
          c
          
            4
          
        
        =
        
          E
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E^{2}}
  ,որը, քվանտացվելով, տալիս է 

  
    
      
        
          (
          
            (
            −
            i
            ℏ
            
              ∇
            
            
              )
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
            +
            
              m
              
                2
              
            
            
              c
              
                4
              
            
          
          )
        
        ψ
        =
        
          
            (
            
              i
              ℏ
              
                
                  ∂
                  
                    ∂
                    t
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        ψ
      
    
    {\displaystyle \left((-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi =\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}\psi }
  ։Վերջինս հնարավոր է պարզեցնել՝

  
    
      
        −
        
          ℏ
          
            2
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            ∇
          
          
            2
          
        
        ψ
        +
        
          m
          
            2
          
        
        
          c
          
            4
          
        
        ψ
        =
        −
        
          ℏ
          
            2
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        ψ
      
    
    {\displaystyle -\hbar ^{2}c^{2}\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +m^{2}c^{4}\psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi }
  ։Վերախմբավորելով անդամները՝ ստանում ենք

  
    
      
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        ψ
        −
        
          
            ∇
          
          
            2
          
        
        ψ
        +
        
          
            
              
                m
                
                  2
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              ℏ
              
                2
              
            
          
        
        ψ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0}
  ։Այս հավասարումը հնարավոր է կիրառել ինչպես իրական, այնպես էլ՝ կեղծ արժեքներով դաշտերի համար։
Կիրառելով Մինկովսկու մետրիկական ինվերսիան diag(−c2, 1, 1, 1), ստանում ենք

  
    
      
        −
        
          η
          
            μ
            ν
          
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          ∂
          
            ν
          
        
        ψ
        +
        
          
            
              
                m
                
                  2
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              ℏ
              
                2
              
            
          
        
        ψ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle -\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0}
  կովարիանտ նշանակումներով։ Սա հաճախ կրճատ գրվում է որպես

  
    
      
        (
        ◻
        +
        
          μ
          
            2
          
        
        )
        ψ
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle (\Box +\mu ^{2})\psi =0,}
  որտեղ

  
    
      
        μ
        =
        
          
            
              m
              c
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }}}
  և

  
    
      
        ◻
        =
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}
  ։Սա կոչվում է դ'Ալամբերի օպերատոր։
Այս ձևով այն այսօր մեկնաբանվում է որպես ռելյատիվիստական դաշտի հավասարում 0 սպինով մասնիկների համար։ Ավելին, Դիրակի հավասարման ցանկացած լուծում (կիսաամբողջ սպինով մասնիկների համար) ինքնաբերաբար Կլայն-Գորդոնի հավասարման լուծում է հանդիսանում, չնայած Կլայն-Գորդոնի հավասարման ոչ բոլոր լուծումներն են Դիրակի հավասարման լուծում։ Պետք է նշել, որ Կլայն-Գորդոնի հավասարումը շատ նման է Պրոկի հավասարմանը։


=== Կլայն-Գորդոնի հավասարումը պոտենցիալային դաշտի համար ===
Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կարելի է ընդհանրացնել՝ նկարագրելով որևէ V(ψ) պոտենցիալով դաշտը որպես

  
    
      
        ◻
        ψ
        +
        
          
            
              ∂
              

              
              V
            
            
              ∂
              ψ
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \Box \psi +{\frac {\partial {}V}{\partial \psi }}=0}
  ։


== Կլայն-Գորդոնի հավասարման լուծումն ազատ մասնիկի համար ==
Ազատ մասնիկի համար Կլայն-Գորդոնի

  
    
      
        
          
            ∇
          
          
            2
          
        
        ψ
        −
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        ψ
        =
        
          
            
              
                m
                
                  2
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              ℏ
              
                2
              
            
          
        
        ψ
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi }
  հավասարման լուծումը կարելի է փնտրել, ինչպես հաստատուն գործակիցներով ցանկացած գծային դիֆերենցիալ հավասարման համար հարթ ալիքների վերադրման (այսինքն՝ ցանկացած վերջավոր կամ անվերջ գծային կոմբինացիայի) տեսքով՝

  
    
      
        ψ
        (
        
          r
        
        ,
        
        t
        )
        =
        
          e
          
            i
            (
            
              k
            
            ⋅
            
              r
            
            −
            ω
            t
            )
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\;t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)},}
  այդպիսի ամեն ալիք տեղադրելով հավասարման մեջ, ստանում ենք պայման 
  
    
      
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {k} }
  -ի և 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  -ի համար.

  
    
      
        −
        
          k
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              ω
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                m
                
                  2
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              ℏ
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}}
  ։Ինչպես հեշտ է նկատել, հարթ ալիքը նկարագրում է որոշակի էներգիայիով և իմպուլսով մաքուր վիճակ (այսինքն, համապատասխան օպերատորների սեփական ֆունկցիա է)։ Էներգիան և իմպուլսը (այսինքն, այդ օպերատորների սեփական արժեքները), կարելի է հաշվել, ինչպես ոչ ռելյատիվիստական մասնիկի համար.

  
    
      
        ⟨
        
          p
        
        ⟩
        =
        ⟨
        ψ
        
          |
        
        
          
            
              
                p
              
              ^
            
          
        
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        =
        ⟨
        ψ
        
          |
        
        −
        i
        ℏ
        
          ∇
        
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        =
        ℏ
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\langle \psi |{\hat {\mathbf {p} }}|\psi \rangle =\langle \psi |-i\hbar \mathbf {\nabla } |\psi \rangle =\hbar \mathbf {k} }
  
  
    
      
        ⟨
        E
        ⟩
        =
        ⟨
        ψ
        
          |
        
        
          
            
              E
              ^
            
          
        
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        =
        ⟨
        ψ
        
          |
        
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        =
        ℏ
        ω
      
    
    {\displaystyle \langle E\rangle =\langle \psi |{\hat {E}}|\psi \rangle =\langle \psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle =\hbar \omega }
  ։Գտնված 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   և 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
   առնչությունը այդ դեպքում նորից տալիս է ոչ զրոյական զանգվածով ռելյատիվիստական մասնիկի էներգիայի և իմպուլսի միջև կապի հավասարումը.

  
    
      
        ⟨
        
          E
          
            2
          
        
        ⟩
        =
        
          m
          
            2
          
        
        
          c
          
            4
          
        
        +
        ⟨
        
          
            p
          
          
            2
          
        
        ⟩
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle E^{2}\rangle =m^{2}c^{4}+\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2}}
  ։Ընդ որում պարզ է, որ միջին մեծությունների համար առնչությունը կիրակականա ոչ միայն որոշակի էներգիայով և իմպուլսով վիճակների համար, այլև նրանց ցանկացած վերադրման, այսինքն Կլայն-Գորդոնի հավասարման ցանկացած լուծման համար (ինչը, մասնավորապես, ապահովում է այդ առնչության իրականացումը դասական սահմանում)։
Զանգված չունեցող մասնիկների համար կարող ենք վերջին հավասարման մեջ տեղադրել 
  
    
      
        m
        =
        0
      
    
    {\displaystyle m=0}
  ։ Այդ դեպքում զանգված չունեցող մասնիկների համար կստանանք դիսպերսիայի օրենքը (էներգիայի և իմպուլսի առնչությունը)

  
    
      
        ⟨
        
          E
          
            2
          
        
        ⟩
        =
        ⟨
        
          
            p
          
          
            2
          
        
        ⟩
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle E^{2}\rangle =\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2}}
  տեսքով։ Կիրառելով խմբային արագության 
  
    
      
        
          
            v
          
          
            g
            r
          
        
        =
        ∂
        ω
        
          /
        
        ∂
        
          k
        
         
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} _{gr}=\partial \omega /\partial \mathbf {k} \ }
   բանաձևը դժվար չէ ստանալ էներգիան և իմպուլսը արագության հետ կապող սովորական ռելյատիվիստական բանաձևեր. սկզբունքորեն այդ նույն արդյունքին կարելի է հասնել՝ պարզապես հաշվելով համիլտոնյանի կոմուտատորը կոորդինատի հետ, բայց Կլայն-Գորդոնի դեպքում բախվում ենք համիլտոնյանը բացահայտ տեսքով գրելու դժվարությանը (ակնհայտ է միայն համիլտոնյանի քառակուսին)։


== Գործողություն ==
Կլայն-Գորդոնի հավասարումը հնարավոր է ներկայացնել վարիացիաների եղանակով՝ գործողությունը ներկայացնելով որպես

  
    
      
        
          
            S
          
        
        =
        ∫
        
          (
          
            −
            
              
                
                  ℏ
                  
                    2
                  
                
                m
              
            
            
              η
              
                μ
                ν
              
            
            
              ∂
              
                μ
              
            
            
              
                
                  ψ
                  ¯
                
              
            
            
              ∂
              
                ν
              
            
            ψ
            −
            m
            
              c
              
                2
              
            
            
              
                
                  ψ
                  ¯
                
              
            
            ψ
          
          )
        
        
          
            d
          
          
            4
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\partial _{\nu }\psi -mc^{2}{\bar {\psi }}\psi \right)\mathrm {d} ^{4}x}
  ,որտեղ ψ-ն Կլայն-Գորդոնի դաշտն է, m-ը՝ դրա զանգվածը։  ψ-ի կոմպլեքս համալուծը  
  
    
      
        
          
            
              ψ
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {\psi }}}
   է։ Եթե սկալյար դաշտը իրական արժեքով է ընտրվում, ապա 
  
    
      
        
          
            
              ψ
              ¯
            
          
        
        =
        ψ
      
    
    {\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi }
  ։
Կիրառելով հիլբերտյան էներգիայի և իմպուլսի թենզորը Լագրանժյան խտության (ինտեգրալի մեծությունը) հանդեպ, կարող ենք արտածել սկալյար դաշտի էներգիայի և իմպուլսի թենզորը։ Այն կլինի

  
    
      
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            m
          
        
        
          (
          
            
              η
              
                μ
                α
              
            
            
              η
              
                ν
                β
              
            
            +
            
              η
              
                μ
                β
              
            
            
              η
              
                ν
                α
              
            
            −
            
              η
              
                μ
                ν
              
            
            
              η
              
                α
                β
              
            
          
          )
        
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          
            
              ψ
              ¯
            
          
        
        
          ∂
          
            β
          
        
        ψ
        −
        
          η
          
            μ
            ν
          
        
        m
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            
              ψ
              ¯
            
          
        
        ψ
      
    
    {\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(\eta ^{\mu \alpha }\eta ^{\nu \beta }+\eta ^{\mu \beta }\eta ^{\nu \alpha }-\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\psi }}\partial _{\beta }\psi -\eta ^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\psi }}\psi }
  ։


== Էլեկտրամագնիսական փոխազդեցություն ==
Տրամաչափային ինվարիանտի ճանապարհով որևէ դաշտ էլեկտրամագնիսականության հետ փոխազդեցության մեջ դնելու համար պետք է ածանցյալի օպերատորները փոխարինել տրամաչափային կովարիանտ ածանցյալի օպերատորներով։ Այս դեպքում Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կդառնա

  
    
      
        
          D
          
            μ
          
        
        
          D
          
            μ
          
        
        ϕ
        =
        −
        (
        
          ∂
          
            t
          
        
        −
        i
        e
        
          A
          
            0
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        ϕ
        +
        (
        
          ∂
          
            i
          
        
        −
        i
        e
        
          A
          
            i
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        ϕ
        =
        
          m
          
            2
          
        
        ϕ
      
    
    {\displaystyle D_{\mu }D^{\mu }\phi =-(\partial _{t}-ieA_{0})^{2}\phi +(\partial _{i}-ieA_{i})^{2}\phi =m^{2}\phi }
  բնական միավորներով, որտեղ A-ն վեկտորական պոտենցիալն է։ Հնարավոր է ավելացնել ավելի բարձր կարգով անդամներ, օրինակ

  
    
      
        
          D
          
            μ
          
        
        
          D
          
            μ
          
        
        ϕ
        +
        A
        
          F
          
            μ
            ν
          
        
        
          D
          
            μ
          
        
        ϕ
        
          D
          
            ν
          
        
        (
        
          D
          
            α
          
        
        
          D
          
            α
          
        
        ϕ
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle D_{\mu }D^{\mu }\phi +AF^{\mu \nu }D_{\mu }\phi D_{\nu }(D_{\alpha }D^{\alpha }\phi )=0}
  ։Այս անդամները 3+1 չափողականություններում չեն վերանորմավորվում։
Դաշտի հավասարումը լիցքավորված սկալյար դաշտի համար բազմապատկվում է i-ով, ինչը նշանակում է, որ դաշտը կոմպլեքս է։ Լիցքավորված լինելու համար դաշտը պետք է ունենա երկու բաղադրիչներ՝ իրական և կեղծ մասեր, որոնք շրջելի են մեկը մյուսի հանդեպ։
Լիցքավորված սկալյարի համար գործողությունը չլիցքավորված սկալյարի կովարիանտ տարբերակն է՝

  
    
      
        S
        =
        
          ∫
          
            x
          
        
        
          (
          
            
              ∂
              
                μ
              
            
            
              ϕ
              
                ∗
              
            
            +
            i
            e
            
              A
              
                μ
              
            
            
              ϕ
              
                ∗
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              ∂
              
                ν
              
            
            ϕ
            −
            i
            e
            
              A
              
                ν
              
            
            ϕ
          
          )
        
        
          η
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          ∫
          
            x
          
        
        
          |
        
        D
        ϕ
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle S=\int _{x}\left(\partial _{\mu }\phi ^{*}+ieA_{\mu }\phi ^{*}\right)\left(\partial _{\nu }\phi -ieA_{\nu }\phi \right)\eta ^{\mu \nu }=\int _{x}|D\phi |^{2}}
  ։


== Գրավիտացիոն փոխազդեցություն ==
Ընդհանուր հարաբերականության մեջ ներառելով գրավիտացիայի էֆեկտը՝ Կլայն-Գորդոնի հավասարման համար կունենանք (մետրիկ սիգնատուրով)

  
    
      
        
          
            
              
                0
              
              
                
                =
                −
                
                  g
                  
                    μ
                    ν
                  
                
                
                  ∇
                  
                    μ
                  
                
                
                  ∇
                  
                    ν
                  
                
                ψ
                +
                
                  
                    
                      
                        
                          m
                          
                            2
                          
                        
                        
                          c
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        ℏ
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                ψ
                =
                −
                
                  g
                  
                    μ
                    ν
                  
                
                
                  ∇
                  
                    μ
                  
                
                (
                
                  ∂
                  
                    ν
                  
                
                ψ
                )
                +
                
                  
                    
                      
                        
                          m
                          
                            2
                          
                        
                        
                          c
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        ℏ
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                ψ
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                
                  g
                  
                    μ
                    ν
                  
                
                
                  ∂
                  
                    μ
                  
                
                
                  ∂
                  
                    ν
                  
                
                ψ
                +
                
                  g
                  
                    μ
                    ν
                  
                
                
                  Γ
                  
                    σ
                  
                
                
                  

                  
                  
                    μ
                    ν
                  
                
                
                  ∂
                  
                    σ
                  
                
                ψ
                +
                
                  
                    
                      
                        
                          m
                          
                            2
                          
                        
                        
                          c
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        ℏ
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                ψ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}0&=-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }(\partial _{\nu }\psi )+{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi \\&=-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }\partial _{\sigma }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi \end{aligned}}}
  կամ դրա համարժեքը՝

  
    
      
        
          
            
              −
              1
            
            
              −
              g
            
          
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          (
          
            
              g
              
                μ
                ν
              
            
            
              
                −
                g
              
            
            
              ∂
              
                ν
              
            
            ψ
          
          )
        
        +
        
          
            
              
                m
                
                  2
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              ℏ
              
                2
              
            
          
        
        ψ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\partial _{\nu }\psi \right)+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0}
  ,որտեղ gαβ-ն մետրիկ թենզորի ինվերսիան է, այսինքն՝ գրավիտացիոն պոտենցիալ դաշտը, g-ն մետրիկ թենզորի դետերմինանտն է, ∇μ-ն  կովարիանտ ածանցյալն է, Γσμν-ն՝ Քրիստոֆելի սիմվոլը, այսինքն՝ գրավիտացիոն ուժային դաշտը։


== Տես նաև ==
Դիրակի հավասարում
Շրյոդինգերի հավասարում
Մաքսվելի հավասարումներ
Դաշտի քվանտային տեսություն


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), [www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/k055480 "Klein–Gordon equation"], Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W., "Klein–Gordon equation", MathWorld.
Linear Klein–Gordon Equation at EqWorld։ The World of Mathematical Equations.
Nonlinear Klein–Gordon Equation at EqWorld։ The World of Mathematical Equations.
Introduction to nonlocal equations.