Միջակայք (մաթեմատիկա)

Միջակայք, կամ ավելի ճիշտ թվային առանցքի հատված, իրական թվերի բազմություն, որն օժտված է այն հատկությամբ, որ եթե այն պարունակում է 2 թվեր ապա պարունակում է նաև նրանց միջև ընկած ցանկացած այլ թիվ։ Տրամաբանական նշանների օգնությամբ այդ սահմանումը կարելի է գրառել հետևյալ կերպ․ 
  
    
      
        X
        ⊂
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle X\subset \mathbb {R} }
   միջակայք է, եթե

  
    
      
        ∀
        x
        ∀
        y
        ∀
        z
        
          
            (
          
        
        (
        x
        ∈
        X
        )
        ∧
        (
        z
        ∈
        X
        )
        ∧
        (
        x
        <
        y
        <
        z
        )
        ⇒
        y
        ∈
        X
        
          
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \forall x\forall y\forall z{\big (}(x\in X)\wedge (z\in X)\wedge (x<y<z)\Rightarrow y\in X{\big )}.}
  Օրինակի համար կարելի է բերել հետևյալ միջակայքերը․

  
    
      
        
          
            
              
                
                  X
                  
                    1
                  
                
              
              
                
                =
                {
                x
                ∈
                
                  R
                
                :
                0
                ⩽
                x
                ⩽
                1
                }
                ,
              
              
                
                  X
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                {
                x
                ∈
                
                  R
                
                :
                0
                ⩽
                x
                <
                1
                }
                ,
              
              
                
                  X
                  
                    3
                  
                
              
              
                
                =
                {
                x
                ∈
                
                  R
                
                :
                0
                <
                x
                ⩽
                1
                }
                ,
              
            
            
              
                
                  X
                  
                    4
                  
                
              
              
                
                =
                {
                x
                ∈
                
                  R
                
                :
                0
                <
                x
                <
                1
                }
                ,
              
              
                
                  X
                  
                    5
                  
                
              
              
                
                =
                {
                x
                ∈
                
                  R
                
                :
                x
                >
                0
                }
                ,
              
              
                
                  X
                  
                    6
                  
                
              
              
                
                =
                {
                x
                ∈
                
                  R
                
                :
                x
                <
                1
                }
                ,
              
            
            
              
                
                  X
                  
                    7
                  
                
              
              
                
                =
                
                  R
                
                ,
              
              
                
                  X
                  
                    8
                  
                
              
              
                
                =
                ∅
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x\leqslant 1\},&X_{2}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x<1\},&X_{3}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0<x\leqslant 1\},\\X_{4}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0<x<1\},&X_{5}&=\{x\in \mathbb {R} \colon x>0\},&X_{6}&=\{x\in \mathbb {R} \colon x<1\},\\X_{7}&=\mathbb {R} ,&X_{8}&=\varnothing .\end{aligned}}}
  


== Միջակայքերի տեսակներ ==
Վերջավոր միջակայքը բաղկացած է թվերի բազմությունից, որոնք գտնվում են տրված երկու 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և   
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվերի միջև, ընդ որում, այդ թվերը նույնպես մտնում են տվյալ բազմության մեջ։
Եթե 
  
    
      
        a
        ⩽
        b
        ,
        a
        ∈
        
          R
        
        ,
        b
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle a\leqslant b,a\in \mathbb {R} ,b\in \mathbb {R} }
  , ապա 
  
    
      
        {
        x
        ∈
        
          R
        
        :
        a
        ⩽
        x
        ⩽
        b
        }
      
    
    {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}}
   միջակայքը կոչվում է թվային սեգմենտ կամ թվային հատված  և նշանակվում է
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  ։

  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
         
        
          
            
              
                =
              
              
                def
              
            
          
        
         
        {
        x
        ∈
        
          R
        
        :
        a
        ⩽
        x
        ⩽
        b
        }
        .
      
    
    {\displaystyle [a,b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}.}
  
  
    
      
        a
        =
        b
      
    
    {\displaystyle a=b}
   դեպքում հատվածը բաղկացած է մեկ կետից։
Եթե  
  
    
      
        a
        <
        b
        ,
        a
        ∈
        
          R
        
        ,
        b
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle a<b,a\in \mathbb {R} ,b\in \mathbb {R} }
  , ապա  
  
    
      
        {
        x
        ∈
        
          R
        
        :
        a
        <
        x
        <
        b
        }
      
    
    {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}}
  հատվածը կոչվում է ինտերվալ  և նշանակվում է 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
  :

  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                def
              
            
          
        
         
        {
        x
        ∈
        
          R
        
        :
        a
        <
        x
        <
        b
        }
        .
      
    
    {\displaystyle (a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}.}
  Այս 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                def
              
            
          
        
         
        {
        x
        ∈
        
          R
        
        :
        a
        ⩽
        x
        <
        b
        }
        ,
        
        (
        a
        ,
        b
        ]
         
        
          
            
              
                =
              
              
                def
              
            
          
        
         
        {
        x
        ∈
        
          R
        
        :
        a
        <
        x
        ⩽
        b
        }
      
    
    {\displaystyle [a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\},\quad (a,b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\}}
  միջակայքերը կոչվում են կիսասեգմենտներ կամ կիսաինտերվալներ։միջակայքի երկարությունը ( 
  
    
      
        b
        −
        a
      
    
    {\displaystyle b-a}
  )-ն է։
Անվերջ միջակայքերը

  
    
      
        {
        x
        ∈
        
          R
        
        :
        x
        ⩾
        a
        }
        ,
        
        {
        x
        ∈
        
          R
        
        :
        x
        >
        a
        }
        ,
        
        {
        x
        ∈
        
          R
        
        :
        x
        ⩽
        b
        }
        ,
        
        {
        x
        ∈
        
          R
        
        :
        x
        <
        b
        }
        ,
        
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon x\geqslant a\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x\leqslant b\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x<b\},\quad \mathbb {R} }
  սահմանափակված չեն, կամ վերևից, կամ ներքևից՝ որևէ իրական թվով։ Այս դեպքում հարմար է մտածել, որ միջակայքի վերջին կամ առաջին թիվը  
  
    
      
        +
        ∞
        ,
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle +\infty ,-\infty }
  է, ընդունելով, որ ցանկացած իրական 
  
    
      
        x
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle x\in \mathbb {R} }
   թվի համար ճիշտ հետևյալ անհավասարությունը 
  
    
      
        x
        <
        +
        ∞
        ,
        x
        >
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle x<+\infty ,x>-\infty }
  .Անվերջ միջակայքերի դեպքում էլ նշանակումն ու գրառման ձևերը նույնն են։

  
    
      
        [
        a
        ,
        +
        ∞
        )
        ,
        
        (
        a
        ,
        +
        ∞
        )
        ,
        
        (
        −
        ∞
        ,
        b
        ]
        ,
        
        (
        −
        ∞
        ,
        b
        )
        ,
        
        (
        −
        ∞
        ,
        +
        ∞
        )
        .
      
    
    {\displaystyle [a,+\infty ),\quad (a,+\infty ),\quad (-\infty ,b],\quad (-\infty ,b),\quad (-\infty ,+\infty ).}
  Դատարկ 
  
    
      
        ∅
      
    
    {\displaystyle \varnothing }
   բազմությունը նույնպես միջակայք է ։


== Թվային ուղղի ընդարձակված միջակայքեր ==
Իրական թվերի 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
   բազմությունը , լրացված 
  
    
      
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle +\infty }
   և
  
    
      
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle -\infty }
  -ով, կոչվում է ընդլայնված թվային ուղիղ և նշանակվում է 
  
    
      
        
          
            
              R
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
  , այսինքն

  
    
      
        
          
            
              R
            
            ¯
          
        
        =
        
          R
        
        ∪
        {
        +
        ∞
        }
        ∪
        {
        −
        ∞
        }
      
    
    {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{+\infty \}\cup \{-\infty \}}
  Ընդ որում, ցանկացած իրական 
  
    
      
        x
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle x\in \mathbb {R} }
   թվի համար ենթադրվում են հետևյալ անհավասարությունները։

  
    
      
        −
        ∞
        <
        x
        ,
        
        x
        <
        +
        ∞
        ,
        
        −
        ∞
        <
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle -\infty <x,\quad x<+\infty ,\quad -\infty <+\infty }
  Ընդլայնված թվային ուղղի համար նույնպես, ներմուծում են հատվածի, ինտերվալի և կիսաինտերվալի հասկացությունը։ Ի տարբերություն թվային ուղղի համապատասխան միջակայքերի, նրանք կարող են պարունակե լ
  
    
      
        ±
        ∞
      
    
    {\displaystyle \pm \infty }
   տարրեր։ Օրինակ՝ 
  
    
      
        (
        a
        ,
        +
        ∞
        ]
        =
        (
        a
        ,
        +
        ∞
        )
        ∪
        
          {
          +
          ∞
          }
        
      
    
    {\displaystyle (a,+\infty ]=(a,+\infty )\cup {\{+\infty \}}}
  .


== Տերմինաբանություն ==
Հայերենում, հատված և միջակայք բառերը համապատասխանում են անգլերենի ՝ interval բառին։ Հետևյալ տերմինաբանությունը կիրառվում է անգլերեն գրականության մեջ և օտար գրքերի թարգմանություններում, ինչպես նաև ռուսերեն այլ գրքերում.

  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
        =
        {
        x
        ∈
        
          R
        
        :
        a
        ⩽
        x
        ⩽
        b
        }
      
    
    {\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}}
  - փակ միջակայք (անգլ.՝ closed interval),
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
        =
        {
        x
        ∈
        
          R
        
        :
        a
        <
        x
        <
        b
        }
      
    
    {\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}}
  - բաց միջակայք(անգլ.՝ open interval),
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        )
        =
        {
        x
        ∈
        
          R
        
        :
        a
        ⩽
        x
        <
        b
        }
      
    
    {\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\}}
  -կիսաբաց միջակայք (անգլ.՝ half-open interval/half-closed interval),
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ]
        =
        {
        x
        ∈
        
          R
        
        :
        a
        <
        x
        ⩽
        b
        }
      
    
    {\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\}}
   — կիսաբաց (անգլ.՝ half-open interval/half-closed interval).Այնուամենայնիվ, հատկապես գիտական գրականության մեջ, որտեղ առկա են կոմպակտ բազմությունների ֆունկցիաների մասին ամենաշատ թեորեմները, նախընտրելի է ունենալ առանձին անուն մեկ բառով` սեգմենտ («հատված» տերմինը ունի երկրաչափական երանգ,ինչպես նաև թվային հատվածի միջակայքը։ Այս դեպքում «ինտերվալ» տերմինը տրվում է միայն բաց միջակայքերին։


== Փաստեր ==


=== Թեորեմ միջանկյալ մեծությունների մասին ===
Բոլցանո-Կոշիի հայտնի թեորեմը անընդհատ ֆունկցիայի միջանկյալ արժեքների վերաբերյալ հետևյալն են. Անընդհատ պատկերվող ցանկացած հատվածի  պատկերը կրկին հատված է։ Այս թեորեմի ընդհանրացումից հետևում է,որ, կամայական տոպոլոգիական տարածությունների դեպքում այս թեորեմըայն փաստի հետևանքն է,որ հատվածները կապավոր 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
   բազմություններ են։R}} են։ Ստացեք ստորեւ տեղադրված սարքերը։


=== Գործողություններ միջակայքերի հետ ===
Գործնականում, այդ հատվածը հաճախ բնութագրում է չափվող մեծությունների հնարավոր արժեքների (մոտավոր) չափը։ Նման հատվածների  բազմության շարքում կարելի է սահմանել թվաբանական գործողություններ։ Այնուհետև արժեքների հաշվարկների արդյունքը կարելի է համեմատել դրանց միջակայքերի նկատմամբ համապատասխան հաշվարկների հետ, որոնք ի վերջո որոշում են արդյունքների հնարավոր արժեքների միջակայքը։


=== Չափային մեծություններ ===
Թվային ուղղի միջակայքերը, հարթության վրա ուղղանկյունները, ուղղանկյուն զուգահեռանիստերը տարածության մեջ և այլն,հանդիսանում են չափերի տեսության սկզբնակետը, քանի որ հանդիսանում են պարզ բազմություններ, որոնց չափը (երկարությունը, մակերեսը, ծավալը և այլն) հեշտ է որոշել։


== Ընդհանրացում ==


=== Կապված բազմություններ ===
Թվային ուղղի միջակայքի ընդհանրացումը կապավոր տոպոլոգիական տարածության հասկացությունն է։ Թվային ուղղի վրա, յուրաքանչյուր կապավոր բազմություն հատված է և , ընդհակառակը, ցանկացած հատված կապավոր բազմություն է։


=== Ուռուցիկ բազմություններ ===
Թվային ուղղի հատվածի այլ ընդհանրացում է ուռուցիկ բազմության հասկացությունը։


== Տես նաև ==
Միջակայքային հանրահաշիվ
Հատված
Բաց և փակ բազմություններ


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
A Lucid Interval by Brian Hayes: An American Scientist article provides an introduction.
Interval computations website Archived 2006-03-02 at the Wayback Machine.
Interval computations research centers Archived 2007-02-03 at the Wayback Machine.
Interval Notation by George Beck, Wolfram Demonstrations Project.