Ինտեգրալ հաշիվ

Ինտեգրալ հաշիվ,  մաթեմատիկական անալիզի այն բաժինը, որտեղ ուսումնասիրվում են ինտեգրալները, դրանց հատկությունները, հաշվումը և կիրառությունները։ Դիֆերենցիալ հաշվի հետ միասին կազմում է մաթեմատիկական անալիզի հիմքը։
Մի քանի մաթեմատիկական նշագրումների տարեթվեր 

Ինտեգրալ հաշիվը առաջացել է բնագիտության և մաթեմատիկայի մեծ թվով խնդիրների դիտարկումների հիման վրա։ Դրանցից ամենակարևորը՝ տրված ժամանակում տրված, բայց միգուցե փոփոխվող արագությամբ շարժվող մասնիկի անցած ճանապարհի որոշումն է ֆիզիկական խնդիրներում և ավելի հին խնդիր է երկրաչափական պատկերների և մարմինների մակերեսների և ծավալների հաշվելը։
Ինտեգրալ հաշվի հիմնական գաղափարը ինտեգրալն է, որը, սակայն ունի երկու տարբեր մեկնաբանություն, որոնք բերվում են անորոշ և որոշյալ ինտեգրալների գաղափարներին։
Դիֆերենցիալ հաշվում ներմուծվում է  ֆունկցիաների դիֆերենցելիություն գործողությունը։ Ինտեգրալ հաշվում դիֆերենցելիության հակադարձ գործողությունն անվանում են ինտեգրելիություն, ավելի ճիշտ անորոշ ինտեգրալ։
Սյպիսով, ի՞նչ է հակադարձ գործողությունը և ինչու՞մն է դրա անորոշությունը։
Դիֆերենցելիության գործողությունը համապատասխանության մեջ է դնում 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
   ֆունկցիային իր ածանցյալը 
  
    
      
        
          F
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F'(x)=f(x)}
  : Ենթադրենք, ուզում ենք ելնելով տրված 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիայից, գտնել այնպիսի 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
   ֆունկցիա, որի ածանցյալը 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   է, այսինքն՝ 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          F
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)=F'(x)}
  : Այդպիսի ֆունկցիան կոչվում է 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիայի նախնական։ Այսպիսով, դիֆերենցելիության հակադարձ գործողությունը՝ անորոշ ինտեգրելիությունը, դա տրված ֆունկցիայի նախնականի գտնելն է։
Նկատենք, որ 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
   ֆունկցիայի հետ մեկտեղ, 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիայի նախնական կարող է լինել կամայական 
  
    
      
        
          
            F
          
        
        (
        x
        )
        =
        F
        (
        x
        )
        +
        C
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}(x)=F(x)+C}
   ֆունկցիա, որը 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
   ֆունկցիայից տարբերվում է 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   հաստատունի ճշտությամբ, քանզի 
  
    
      
        
          
            
              F
              ′
            
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          F
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F'}}(x)=F'(x)=f(x)}
  :
Սակայն այդ անորոշության աստիճանն այնքան էլ բարձր չէ։ Հիշեցնենք, որ եթե ինչ-որ ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է զրոյի ինչ-որ միջակայքի բոլոր կետերի համար, ապա այդ ֆունկցիան հաստատուն է դիտարկվող միջակայքում (այն միջակայքերում, որտեղ փոփոխական մեծության փոփոխման արագությունն ամենուրեք հավասար է զրոյի, այն չի փոխվում)։ Ուրեմն, եթե 
  
    
      
        
          
            
              F
              ′
            
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          F
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F'}}(x)=F'(x)}
   ինչ-որ 
  
    
      
        a
        <
        x
        <
        b
      
    
    {\displaystyle a<x<b}
   միջակայքում, ապա 
  
    
      
        
          
            
              F
              ′
            
          
        
        (
        x
        )
        −
        
          F
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F'}}(x)-F'(x)}
   ֆունկցիան հաստատուն է այդ միջակայքում, որովհետև դրա ածանցյալը հավասար էայդ միջակայքում, քանի որ 
  
    
      
        
          
            
              F
              ′
            
          
        
        (
        x
        )
        −
        
          F
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F'}}(x)-F'(x)}
   ածանցյալը հավասար է զրոյի այդ միջակայքի բոլոր կետերում։
Այսպիսով, մի ֆունկցիայի երկու նախնականներ միևնույն միջակայքում կարող են իրարից տարբերվել հաստատունի ճշտությամբ։

  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիայի նախնականը նշանակավում է

  
    
      
        ∫
        f
        (
        x
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int f(x)dx}
  
սիմվոլով, որտեղ 
  
    
      
        ∫
      
    
    {\displaystyle \int }
   նշանակումը կարդացվում է։ Սա այսպես ասած անորոշ ինտեգրալն է։ Վերը նշվածից հետևում է, որ անորոշ ինտեգրալ դիտարկվող միջակայքում ոչ թե մեկ ֆունկցիա է, այլ

  
    
      
        ∫
        f
        (
        x
        )
        d
        x
        =
        F
        (
        x
        )
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}
  
տեսքի կամայական ֆունկցիա, որտեղ 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
  -ը 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիայի ինչ-որ նախնականն է այդ միջակայքում։ իսկ 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  -ն կամայական հաստատուն։
Օրինակ, ամբոջղ թվային ուղղի վրա
  
    
      
        ∫
        x
        d
        x
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        C
        ;
         
        ∫
        
          cos
          ⁡
          y
          d
          y
        
        =
        sin
        ⁡
        
          y
        
        +
        C
        ;
        ∫
        
          sin
          ⁡
          
            z
          
          d
          z
        
        =
        −
        cos
        ⁡
        
          z
        
        +
        C
        :
      
    
    {\displaystyle \int xdx=x^{2}+C;\ \int {\cos ydy}=\sin {y}+C;\int {\sin {z}dz}=-\cos {z}+C:}
  Այստեղ ընդինտեգրալ ֆունկցիաների փոփոխականները նշանակված են տարբեր տառերով՝ 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ,
        z
      
    
    {\displaystyle x,y,z}
  , ընդգծելու համար նախնականների փոփոխականներից անկախությունը, որոնք օգտագործված են նրանց արգումենտները գրելու համար։
Դրանց ճշմարտացիությունը ստուգելու համար, բավական է յուրաքանչյուր արտահայտության աջ մասը ածանցել, ըստ համապատասխան փոփոխականի և համոզվել, որ ստացվում են ընդինտեգրալ ֆունկցիաները՝ 
  
    
      
        2
        x
        ,
        cos
        ⁡
        y
        ,
        sin
        ⁡
        z
      
    
    {\displaystyle 2x,\cos y,\sin z}
   համապատասխանաբար։
Օգտակար է իմանալ նաև անորոշ ինտեգրալների հետևյալ առնչությունները. 
  
    
      
        
          
            (
            
              ∫
              f
              (
              x
              )
              d
              x
            
            )
          
          ′
        
        =
        f
        (
        x
        )
        ;
        d
        
          (
          
            ∫
            f
            (
            x
            )
            d
            x
          
          )
        
        =
        f
        (
        x
        )
        d
        x
        ;
        ∫
        
          F
          ′
        
        (
        x
        )
        d
        x
        =
        F
        (
        x
        )
        +
        C
        ;
        ∫
        d
        F
        (
        x
        )
        =
        F
        (
        x
        )
        +
        C
        .
      
    
    {\displaystyle \left(\int f(x)dx\right)'=f(x);d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx;\int F'(x)dx=F(x)+C;\int dF(x)=F(x)+C.}
  Շատ հաճախ օգտակար է նաև անորոշ ինտեգրալի հետևյալ հատկությունները.

  
    
      
        ∫
        c
        f
        (
        x
        )
        d
        x
        =
        c
        ∫
        f
        (
        x
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int cf(x)dx=c\int f(x)dx}
  ,
(հաստատունի ինտեգրալի նշանի տակից դուրս բերումը), 
  
    
      
        ∫
        (
        f
        (
        x
        )
        +
        g
        (
        x
        )
        )
        d
        x
        =
        ∫
        f
        (
        x
        )
        d
        x
        +
        ∫
        g
        (
        x
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx}
  (գումարի ինտեգրալ); եթե

  
    
      
        ∫
        f
        (
        x
        )
        d
        x
        =
        F
        (
        x
        )
        +
        C
        ,
      
    
    {\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C,}
  
ապա

  
    
      
        ∫
        f
        (
        φ
        (
        t
        )
        )
        
          φ
          ′
        
        (
        t
        )
        d
        t
        =
        F
        (
        φ
        (
        t
        )
        )
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int f(\varphi (t))\varphi '(t)dt=F(\varphi (t))+C}
  
(փոփոխականի փոխարինում)։
Այս հատկությունները ևս ապացուցվում են համապատասխան դիֆերենցման կանոնների օգտագործմամբ։
Այժմ ներկայացնենք ինտեգրալին ավելի հնագույն մոտեցում, որը եղել է ինտեգրալ հաշվի սկզբնաղբյուր և հանգեցրել է որոշյալ ինտեգրալի գաղափարին կամ ինտեգրալին բառի բուն իմաստով։ Այդ մոտեցումը հստակ նկատվում էին հին հույն մաթեմատիկոս և աստղագետ Եվդոքսոս Կնիդոսցու (մոտ 408 - մոտ 355 մ.թ.ա.) և Արքիմեդի մոտ, այսինքն՝ դիֆերենցիալ հաշվից և դիֆերենցելիությունից դեռ ավելի վաղ շրջանում։
Խնդիրը, որ դիտարկում էին Եվդոքսոսը և Արքիմեդը, լուծման ընթացքում ստեղծելով «արտաքսման մեթոդը», կանխատեսում էր ինտեգրալի գաղափարը։ Դա կորագիծ պատկերների մակերեսների հաշվելու խնդիրն էր։ Ստորև կներկայանենք այդ խնդիրը, մինչ այդ ներկայացնենք Ի. Նյուտոնի մոտեցումը այդ խնդրին. գտնել ժամանակի ցանկացած 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   պահին 
  
    
      
        a
        ≤
        t
        ≤
        b
      
    
    {\displaystyle a\leq t\leq b}
   միջակայքից 
  
    
      
        v
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle v(t)}
   արագությամբ շարժվող մարմնի ճանապարհը։
Եթե հայտնի է մարմնի շարժման օրենքը, այսինքն՝ մարմնի կոորդինատների կախումը ժամանակից, ապա պատասխանն ակնհայտ է՝ 
  
    
      
        s
        (
        b
        )
        −
        s
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle s(b)-s(a)}
  : Ավելին, եթե հայտնի է 
  
    
      
        v
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle v(t)}
   ֆունկցիայի ինչ-որ 
  
    
      
        
          
            
              s
              ~
            
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {s}}(t)}
   նախնական 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   միջակայքից, ապա, քանզի 
  
    
      
        
          
            
              s
              ~
            
          
        
        (
        t
        )
        =
        s
        (
        t
        )
        +
        C
      
    
    {\displaystyle {\tilde {s}}(t)=s(t)+C}
  , որտեղ 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   հաստատուն է, կարելի է մարմնի անցած ճանապարհը հաշվել 
  
    
      
        
          
            
              s
              ~
            
          
        
        (
        b
        )
        −
        
          
            
              s
              ~
            
          
        
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {s}}(b)-{\tilde {s}}(a)}
   տեսքով, որը համընկնում է 
  
    
      
        s
        (
        b
        )
        −
        s
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle s(b)-s(a)}
  -ի հետ։ Սա շատ կարևոր դիտարկում է, սակայն եթե տրված 
  
    
      
        v
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle v(t)}
   ֆունկցիայի նախնականը հնարավոր չէ գտնել, ապա պետք է ցուցաբերել այլ մոտեցում։
Եթե 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   միջակայքը 
  
    
      
        
          t
          
            0
          
        
        ,
        
          t
          
            1
          
        
        ,
        …
        
          t
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{0},t_{1},\ldots t_{n}}
   առանձին պահերի, այնպիսին, որ 
  
    
      
        a
        =
        
          t
          
            0
          
        
        <
        
          t
          
            1
          
        
        <
        ⋯
        <
        
          t
          
            n
          
        
        =
        b
      
    
    {\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b}
  , տրոհենք շատ փոքր ժամանակային 
  
    
      
        [
        
          t
          
            i
            −
            1
          
        
        ,
        
          t
          
            i
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [t_{i-1},t_{i}]}
  , 
  
    
      
        i
        =
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}
  միջակայքերի, ապա այդ միջակայքերից յուրաքանչյուր միջակայքերում մարմնի 
  
    
      
        v
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle v(t)}
   արագությունը չի հասցնի նկատելի փոփոխվել։ Ամրագրելով 
  
    
      
        
          τ
          
            i
          
        
        ∈
        [
        
          t
          
            i
            −
            1
          
        
        ,
        
          t
          
            i
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \tau _{i}\in [t_{i-1},t_{i}]}
  , կարելի է այդ կերպ մոտավորապես համարել, որ 
  
    
      
        [
        
          t
          
            i
            −
            1
          
        
        ,
        
          t
          
            i
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [t_{i-1},t_{i}]}
   միջակայքում շարժումը կատարվում է հաստատուն 
  
    
      
        v
        (
        
          τ
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle v(\tau _{i})}
   արագությամբ։ Այդ դեպքում 
  
    
      
        [
        
          t
          
            i
            −
            1
          
        
        ,
        
          t
          
            i
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [t_{i-1},t_{i}]}
   միջակայքում ճանապարհի մեծության համար կստանանք մոտավորապես 
  
    
      
        v
        (
        
          τ
          
            i
          
        
        )
        Δ
        
          t
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle v(\tau _{i})\Delta t_{i}}
  , որտեղ 
  
    
      
        Δ
        
          t
          
            i
          
        
        −
        Δ
        
          t
          
            i
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta t_{i}-\Delta t_{i-1}}
  : Գումարելոով այդ մեծությունները, կստանանք 
  
    
      
        v
        (
        
          τ
          
            1
          
        
        )
        Δ
        
          t
          
            1
          
        
        +
        v
        (
        
          τ
          
            2
          
        
        )
        Δ
        
          t
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        v
        (
        
          τ
          
            n
          
        
        )
        Δ
        
          t
          
            n
          
        
         
         
         
         
         
         
         
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle v(\tau _{1})\Delta t_{1}+v(\tau _{2})\Delta t_{2}+\cdots +v(\tau _{n})\Delta t_{n}\ \ \ \ \ \ \ (1)}
  ճանապարհի մոտավոր արժեքը ամբողջ 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   միջակայքի համար։
Ինչքան ավելի փոքր մասերի տրոհվի 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   միջակայքն, այնքան ավելի ճիշտ կստացվի արդյունքը, այսինքն՝ այնքան ավելի փոքր կստացվի 
  
    
      
        [
        
          t
          
            i
            −
            1
          
        
        ,
        
          t
          
            i
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [t_{i-1},t_{i}]}
   միջակայքերից, որոնցով տրոհված 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   միջակայքը, ամենամեծ 
  
    
      
        Δ
      
    
    {\displaystyle \Delta }
   երկարությամբ մեծությունը։    

Ուրեմն, փնտվող ճանապարհի մեծությունը կլինի

  
    
      
        
          lim
          
            Δ
            →
            0
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        v
        (
        
          τ
          
            i
          
        
        )
        Δ
        
          t
          
            i
          
        
         
         
         
         
         
         
         
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{\Delta \to 0}\sum _{i=1}^{n}v(\tau _{i})\Delta t_{i}\ \ \ \ \ \ \ (2)}
  
սահմանը, երբ 
  
    
      
        Δ
      
    
    {\displaystyle \Delta }
  -ն ձգտում է զրոյի։
(1) տեսքի գումարներին անվանում են ինտեգրալային 
  
    
      
        v
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle v(t)}
   ֆունկցիայի գումարներ 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   միջակայքում, իսկ նրանց (2) տեսքի սահմանը, որը ստացվել է անվերջ փոքր տրոհումներից, անվանում են 
  
    
      
        v
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle v(t)}
   ֆունկցիայի ինտեգրալ (կամ որոշյալ ինտեգրալ) 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   միջակայքում։ Ինտեգրալը նշանակվում է

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        v
        (
        t
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}v(t)dt}
  
սիմվոլով, որտեղ 
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
   կոչվում են ինտեգրալի սահմաններ, ընդսմին 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն ստորին սահման, իսկ 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ն վերին սահման; 
  
    
      
        v
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle v(t)}
  -ը ընդինտեգրալային ֆունկցիա, 
  
    
      
        v
        (
        t
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle v(t)dt}
   ընդինտեգրալային արտահայտություն, 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  -ն ինտեգրելիության փոփոխական։
Այսպիսով՝, ըստ սահմանման

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        v
        (
        t
        )
        d
        t
        =
        
          lim
          
            Δ
            →
            0
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        v
        (
        
          τ
          
            i
          
        
        )
        Δ
        
          t
          
            i
          
        
        :
         
         
         
         
         
        (
        3
        )
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}v(t)dt=\lim _{\Delta \to 0}\sum _{i=1}^{n}v(\tau _{i})\Delta t_{i}:\ \ \ \ \ (3)}
  

Որեմն, 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   ժամանակային միջակայքում մարմնի անցած ճանապարհի մեծությունը տրված հայտնի 
  
    
      
        v
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle v(t)}
   արագությամբ արտահայտվում է (3) արտահայտությամբ։
Համեմատության մեջ դնելով վերը նշվածը «նախնականների բառերով», հանգում ենք հայտնի բանաձևին.

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        v
        (
        t
        )
        d
        t
        =
        s
        (
        b
        )
        −
        s
        (
        a
        )
        ,
         
         
         
         
         
        (
        4
        )
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}v(t)dt=s(b)-s(a),\ \ \ \ \ (4)}
  
եթե 
  
    
      
        v
        (
        t
        )
        =
        
          s
          ′
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle v(t)=s'(t)}
  : (4) հավասարությունը անվանում են Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձև։ Այդ հավասարության ձախ մասը ինտեգրալն է որպես (3) սահման, իսկ աջ մասում՝ ընդինտեգրալ 
  
    
      
        v
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle v(t)}
   ֆունկցիայի
  
    
      
        s
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle s(t)}
   նախնականի միջակայքի 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   արժեքների տարբերությունը։ Այս կերպ Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձևը կապ է ստեղծում ինտեգրալի և նախնականի միջև։ Հետևաբար այս բանաձևով կարելի է օգտվել երկու հակադիր ուղղություններում. հաշվել ինտեգրալը գտնելով նախնականը, կամ ստանալ նախնականի աճը գտնելով (3)-ից ինտեգրալը։


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
Ինտեգրալ հաշիվների մասին Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления դասագրքում