Կոտորակ (մաթեմատիկա)

Կոտորակը թիվ է, որով ներկայացվում է ոչ ամբողջ թիվը։ Կոտորակներն արտահայտում են որևէ թվի մեկ կամ մի քանի մասը և դասվում են ռացիոնալ թվերի շարքին։ Գրելաձևում օգտագործվում է կոտորակի տեսքով (բաժանման գծով) և տասնորդական ձևերը։


== Կոտորակների գործածությունը հնադարում ==
Կոտորակների գործածությունը մաթեմատիկական հաշվարկներում կիրառվել է երեք հազարամյակ առաջ։ Կոտորակներով առաջին գործողությունները վերագրվում են հին հույներին և եգիպտացիներին։ Դեռևս այդ ժամանակ մարդիկ հասկացան, որ ամբողջ թվերն ամբողջությամբ չեն արտահայտում մաթեմատիկական գործողությունները և անհրաժեշտություն կա գտնել թվերի մասը, որոնք էլ արտահայտվում էին կոտորակի կամ տասնորդական թվի տեսքով։


== Թվի մասը կոտորակով ==
Հաճախ անհրաժեշտ է լինում մեկ խնձորը բաժանել 4 մասի։ Բաժանումից հետո խնձորի ամեն կտոր կազմում է ամբողջական խնձորի մեկ քառորդ մասը և գրվում 
  
    
      
        
          
            1
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4}}}
   տեսքով։ Նման գրելաձևով թիվն անվանում են սովորական կոտորակ։ Կոտորակի գծից վերև գրված թիվն անվանում են համարիչ, իսկ գծից ներքև գրվածը՝ հայտարար։
Կոտորակի գիծն արտահայտում է հարաբերություն (բաժանում)։


== Գործողություններ կոտորակների հետ ==
Կոտորակները ևս թվեր և դրանք կարելի է գումարել, հանել, բաժանել և բազմապատկել միմյանց։


=== Կոտորակների կրճատում ===
Եթե կոտորակի համարիչն ու հայտարարն ունեն ընդհանուր բաժանարար, կոտորակը առավել պարզ ներկայացնելու համար անհրաժեշտ է գտնել համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, ապա կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարին։
Օրինակ՝ 
  
    
      
        
          
            22
            33
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {22}{33}}}
   կոտորակի համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 11-ն է, հետևաբար 22-ն ու 33-ը կարելի է բաժանել 11-ի և համապատասխանաբար նոր կոտորակի համարիչի և հայտարարի տեղում գրել ստացված արդյունքը։

  
    
      
        
          
            22
            33
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {22}{33}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            
              22
              ÷
              11
            
            
              33
              ÷
              11
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {22\div 11}{33\div 11}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            2
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {2}{3}}}
  


=== Կոտորակների գումարում և հանում ===
Եթե կոտորակների հայտարարները միևնույն թիվն են, ապա գումարման և հանման ժամանակ համարիչները համապատասխանաբար գումարում կամ հանում ենք, ստացված արդյունքը գրում համարիչի տեղում, իսկ հայտարարը թողնում նույնը։
Օրինակ՝

  
    
      
        
          
            1
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4}}}
  +
  
    
      
        
          
            2
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {2}{4}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            
              1
              +
              2
            
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1+2}{4}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            3
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{4}}}
  ,

  
    
      
        
          
            3
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{4}}}
  -
  
    
      
        
          
            2
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {2}{4}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            
              3
              −
              2
            
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3-2}{4}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            1
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4}}}
  
Այն դեպքում, երբ կոտորակների հայտարարները տարբեր թվեր են, անհրաժեշտ է դրանք բերել ընդհանուր հայտարարի։


=== Կոտորակների ընդհանուր հայտարարի բերում ===
Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարման և հանման համար անհրաժեշտ է՝

գտնել այդ կոտորակների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։ Երկու թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար անհրաժեշտ է այդ թվերը ներկայացնել պարզ արտադրիչների տեսքով, ապա գտնել այդ երկու թվերի բոլոր պարզ արտադրիչների արտադրյալը՝ դրանում չներառելով այն արտադրիչները, որոնք արդեն առկա են մյուս թվի պարզ արտադրիչների շարքում։ Օրինակ՝ 12 և 15 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար դիտարկենք 12-ի և 15-ի պարզ արտադրիչները։   12
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  2
  
    
      
        ×
      
    
    {\displaystyle \times }
  2
  
    
      
        ×
      
    
    {\displaystyle \times }
  3,   15
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  3
  
    
      
        ×
      
    
    {\displaystyle \times }
  5    12-ի և 15 -ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կլինի՝ 2
  
    
      
        ×
      
    
    {\displaystyle \times }
  2
  
    
      
        ×
      
    
    {\displaystyle \times }
  3
  
    
      
        ×
      
    
    {\displaystyle \times }
  5
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  60
Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը բաժանել այդ կոտորակների հայտարարներին, որի արդյունքում յուրաքանչյուր կոտորակի համար կստանանք լրացուցիչ արտադրիչը:
Լրացուցիչ արտադրիչի արժեքով բազմապատկում ենք և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը, որից հետո հայտարարներում պետք է ստացվի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, այսինքն՝ այդ երկու կոտորակները այս գործողություններից հետո կունենան միևնույն հայտարարը, որից հետո կարող ենք կատարել հանում կամ գումարում։  Օրինակ՝ 
  
    
      
        
          
            5
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {5}{12}}}
  +
  
    
      
        
          
            7
            15
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {7}{15}}}
   գտնելու համար կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի։ 12-ի և 15-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ինչպես վերը ներկայացվեց 60-ն է, հետևաբար 60-ը բաժանենք նախ 12, ապա 15 և գտնենք ամեն կոտորակի լրացուցիչ արտադրիչը։     60
  
    
      
        ÷
      
    
    {\displaystyle \div }
  12
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  5, 60
  
    
      
        ÷
      
    
    {\displaystyle \div }
  15
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  4:  Առաջին կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկում ենք 5-ով, իսկ երկրորդ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը՝ 4-ով, որից հետո կատարում ենք համարիչների գումարում։
  
    
      
        
          
            
              5
              ×
              5
            
            
              12
              ×
              5
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {5\times 5}{12\times 5}}}
  +
  
    
      
        
          
            
              7
              ×
              4
            
            
              15
              ×
              4
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {7\times 4}{15\times 4}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            25
            60
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {25}{60}}}
  +
  
    
      
        
          
            28
            60
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {28}{60}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            
              25
              +
              28
            
            60
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {25+28}{60}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            53
            60
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {53}{60}}}
  


=== Կոտորակների բազմապատկում ===
Երկու կոտորակերի բազմապատկում նշանակում է առաջին կոտորակի համարիչն ու հայտարարը համապատասխանաբար բազմապատկել մյուս կոտորակի համարիչով և հայտարարով։
Օրինակ՝

  
    
      
        
          
            3
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{4}}}
  
  
    
      
        ×
      
    
    {\displaystyle \times }
  
  
    
      
        
          
            5
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {5}{6}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            
              3
              ×
              5
            
            
              4
              ×
              6
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3\times 5}{4\times 6}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            15
            24
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {15}{24}}}
  
Արդյունքում կարող են համարիչն ու հայտարարը ունենալ ընդհանուր բաժանարար։ Անհրաժեշտ է արդեն ստացված կոտորակի և համարչը և հայտարարը բաժանել այդ ընդհանուր բաժանարարին և այս դեպքում կստանանք՝

  
    
      
        
          
            
              15
              ÷
              3
            
            
              24
              ÷
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {15\div 3}{24\div 3}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            5
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {5}{8}}}
  


=== Կոտորակների բաժանում ===
Երկու կոտորակների բաժանման դեպքում առաջին կոտորակի համարչը բազմապատկում ենք և արդյունքը գրում ստացվող կոտորակի համարիչում իսկ հայտարարը բազմապատկում երկրորդ կոտորակի համարիչին և գրում ստացվող կոտորակի հայտարարում։ Այլ կերպ կարելի  ներկայացնել այսպես. առաջին կոտորակը գրում ենք նույնությաբ, բաժանումը փոխարինում բազմապատկմամբ, իսկ երկրորդ կոտորակի համարիչի և հայտարարի թվերի դիրքը փոխում։
Օրինակ՝

  
    
      
        
          
            3
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{4}}}
  
  
    
      
        ÷
      
    
    {\displaystyle \div }
  
  
    
      
        
          
            5
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {5}{6}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            3
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{4}}}
  
  
    
      
        ×
      
    
    {\displaystyle \times }
  
  
    
      
        
          
            6
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {6}{5}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            
              3
              ×
              6
            
            
              4
              ×
              5
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3\times 6}{4\times 5}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            18
            20
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {18}{20}}}
  
Ընդ որում 
  
    
      
        
          
            18
            20
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {18}{20}}}
   կոտորակը կարելի է կրճատել, քանի որ համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 2-ն  է, ապա կարելի է գրել.

  
    
      
        
          
            18
            20
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {18}{20}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            9
            10
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {9}{10}}}
  
Ստացվեց՝ 
  
    
      
        
          
            3
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{4}}}
  
  
    
      
        ÷
      
    
    {\displaystyle \div }
  
  
    
      
        
          
            5
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {5}{6}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            3
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{4}}}
  
  
    
      
        ×
      
    
    {\displaystyle \times }
  
  
    
      
        
          
            6
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {6}{5}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            
              3
              ×
              6
            
            
              4
              ×
              5
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3\times 6}{4\times 5}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            18
            20
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {18}{20}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            9
            10
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {9}{10}}}
  


== Կոտորակների տեսակները ==
Կոտորակները կախված համարիչի հայտարարի նկատմամբ մեծ կամ փոքր լինելուց տարբերակվում են անկանոն և կանոնավոր կոտորակների։


=== Կանոնավոր կոտորակներ ===
Կանոնավոր կոտորակ են անվանում այն կոտորակները, որոնց համարիչը փոքր է հայտարարից։
Օրինակ՝ 
  
    
      
        
          
            1
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4}}}
  , 
  
    
      
        
          
            2
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {2}{5}}}
   և այլն։


=== Անկանոն կոտորակներ ===
Անկանոն են կոչվում այն կոտորակները, որոնց համարիչը մեծ է հայտարարից կամ հավասար է նրան։
Օրինակ՝ 
  
    
      
        
          
            3
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{2}}}
  , 
  
    
      
        
          
            5
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {5}{3}}}
  , 
  
    
      
        
          
            7
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {7}{2}}}
  , 
  
    
      
        
          
            7
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {7}{7}}}
   և այլն։
Անկանոն կոտորակները հաճախ ներկայացնում են խառը թվի տեսքով։


== Խառը թվի ներկայացումը ==
Խառը թիվ անվանում են կոտորակային և ամբողջ թվերից կազմված թիվը։
Անկանոն կոտորակը հաճախ ներկայացվում է խառը թվի տեսքով, օրինակ 
  
    
      
        
          
            17
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {17}{4}}}
   թիվը խառը թվի տեսքով կներկայացվի 4
  
    
      
        
          
            1
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4}}}
  , որտեղ 4-ը ամբողջ մասն է, իսկ 
  
    
      
        
          
            1
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4}}}
  -ը՝ կոտորակային։ Խառը թվի կոտորակային մասի համարիչում գրվում է անկանոն կոտորակի համարիչի և հայտարարի հարաբերությամբ ստացված մնացորդը, իսկ կոտորակային մասի դիմաց գրվում է ամբողջը։
Օրինակ՝

17:4
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  4 (մն 1)
Կարելի է հեշտությամբ խառը թիվը ներկայացնել անկանոն կոտորակի տեսքով. այս դեպքում կոտորակային մասի հայտարարի թիվը բազմապատկվում է ամբողջ թվով, ապա գումարվում կոտորակային մասի համարիչի արժեքը և ստացված արդյունքը գրում համարիչում։ Կոտորակի հայտարարը մնում է անփոփոխ։
Օրինակ՝ 4
  
    
      
        
          
            1
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4}}}
   խառը թվից կստանանք նույն 
  
    
      
        
          
            17
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {17}{4}}}
   կոտորակը, եթե  համարիչում տեղադրենք 4
  
    
      
        ×
      
    
    {\displaystyle \times }
  4+1
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  17 արտահայտությունը։


== Խառը թվերի համեմատում ==
Ինչպես ցանկացած երկու թիվ, այնպես էլ խառը թվերը կարելի է համեմատել և կատարել գործողոություններ։ Խառը թվերի համեմատման համար համեմատում ենք ամբողջ և կոտորակային մասերը։ Մեծ է այն թիվը, որի ամբողջ մասն ավելի մեծ է։ Եթե ամբողջ մասերը հավասար են, ապա համեմատվում են կոտորակային մասերը։ Կոտորակային մասերի համեմատման ժամանակ ուշադրություն է դարձվում կոտորակների հայտարարներին։ Եթե դրանք տարբեր թվեր են, ապա անհրաժեշտ է կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի, ապա համեմատել կոտորակների համարիչները։


== Թվաբանական գործողություններ խառը թվերով ==
Խառը թվերով կարելի է կատարել թվաբանական գործողություններ։


=== Խառը թվերի գումարում և հանում, երբ դրանց կոտորակային մասերի հայտարարները նույնն են ===
Երբ խառը թվերի կոտորակային մասերի հայտարարները նույն են, ապա ամբողջ մասերը միմյանց են գումարվում (կամ հանվում), համարիչները՝ միմյանց։
Օրինակ՝

4
  
    
      
        
          
            1
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4}}}
  +3
  
    
      
        
          
            2
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {2}{4}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  (4+3)
  
    
      
        
          
            
              1
              +
              2
            
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1+2}{4}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  7
  
    
      
        
          
            3
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{4}}}
  


=== Խառը թվերի գումարում և հանում, երբ դրանց կոտորակային մասերի հայտարարները տարբեր են ===
Ինչպես սովորական կոտորակաների դեպքում անհրաժեշտ էր լինում կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի, միայն հետո կատարել գումարման կամ հանման  գործողություն, այնպես էլ խառը թվերի դեպքում անհրաժեշտ է կոտորակային մասի թվերը բերել ընդհանուր հայտարարի։
Օրինակ՝

4
  
    
      
        
          
            1
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4}}}
  +2
  
    
      
        
          
            1
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  4
  
    
      
        
          
            
              1
              ×
              3
            
            
              4
              ×
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1\times 3}{4\times 3}}}
  +2
  
    
      
        
          
            
              1
              ×
              4
            
            
              3
              ×
              4
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1\times 4}{3\times 4}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  4
  
    
      
        
          
            3
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{12}}}
  +2
  
    
      
        
          
            4
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {4}{12}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  (4+2)
  
    
      
        
          
            
              3
              +
              4
            
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3+4}{12}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  6
  
    
      
        
          
            7
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {7}{12}}}
  


=== Խառը թվերով բազմապատկում և բաժանում ===
7
  
    
      
        
          
            1
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4}}}
  ×3
  
    
      
        
          
            2
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {2}{5}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            
              4
              ×
              7
              +
              1
            
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {4\times 7+1}{4}}}
  ×
  
    
      
        
          
            
              5
              ×
              3
              +
              2
            
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {5\times 3+2}{5}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            29
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {29}{4}}}
  ×
  
    
      
        
          
            17
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {17}{5}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
  
    
      
        
          
            493
            20
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {493}{20}}}
  
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  24
  
    
      
        
          
            13
            20
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {13}{20}}}
  


== Աղբյուրներ ==
Իմ դպրոց
Смешанное число Archived 2017-04-28 at the Wayback Machine.
Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.