Ուղիղների հատում

Էվկլիդեսյան երկրաչափությունում երկու ուղիղների հատումը կարող է լինել դատարկ բազմություն, կետ կամ ուղիղ։ Այդ դեպքերի տարբերությունը և հատման կետի որոնումը օգտագործվում է, օրինակ համակարգչային գրաֆիկայում, շարժման պլանավորման և բախման հայտնաբերման ժամանակ։
Եռաչափ էվկլիդյան երկրաչափության մեջ, եթե երկու ուղիղները չեն գտնվում միևնույն հարթության մեջ, կոչվում են խաչվող ուղիղներ և հատման կետեր չունեն։ Եթե ուղիղները գտնվում են միևնույն հարթության մեջ, հնարավոր է երեք դեպք։ Եթե նրանք համընկնում են, անսահման ունեն անվերջ շատ ընդհանուր կետեր (հենց այդ ուղիղների բոլոր կետերը)։ Եթե ուղիղները տարբեր են, բայց ունեն նույն թեքությունը, ապա նրանք զուգահեռ են և ընդհանուր կետեր չունեն։ Հակառակ դեպքում նրանք ունեն մեկ ընդհանուր կետ։
Ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափությունում երկու ուղիղներ կարող են հատվել մի քանի կետերում և տվյալ ուղղի հետ չհատվող (զուգահեռ) ուղիղների թիվը կարող է լինել մեկից շատ։


== Երկու ուղիղների հատում ==
Երկու ուղիղների հատման անհրաժեշտ պայաման է հանդիսանում նրանց մեկ հարթության պատկանելը, այսինքն այդ ուղիղները չպիտի խաչվող լինեն։ Այս պայմանի տեղի ունենալը համարժեք է տետրաեդրի այլափոխմանը, որի երկու գագաթներըն ընկած են մի ուղղի վրա, իսկ հաջորդ երկուսը՝ հաջորդի (այսինքն, այդ տետրաեդրի ծավալը հավասար է 0-ի)։


=== Եթե յուրաքանչյուր ուղղի վրա տրված է երկու կետ ===
Դիտարկենք 
  
    
      
        
          L
          
            1
          
        
        
      
    
    {\displaystyle L_{1}\,}
   և 
  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle L_{2}\,}
   երկու ուղիղների հատումը հարթության վրա, որտեղна 
  
    
      
        
          L
          
            1
          
        
        
      
    
    {\displaystyle L_{1}\,}
   ուղիղը որոշված է երկու՝ 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle (x_{1},y_{1})\,}
   և 
  
    
      
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle (x_{2},y_{2})\,}
   տարբեր կետերով, իսկ 
  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle L_{2}\,}
   ուղիղը՝ 
  
    
      
        (
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        
          y
          
            3
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle (x_{3},y_{3})\,}
   և 
  
    
      
        (
        
          x
          
            4
          
        
        ,
        
          y
          
            4
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle (x_{4},y_{4})\,}
   տարբեր կետերով։

  
    
      
        
          L
          
            1
          
        
        
      
    
    {\displaystyle L_{1}\,}
   և 
  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle L_{2}\,}
   ուղիղների 
  
    
      
        P
        
      
    
    {\displaystyle P\,}
   հատման կետը կարելի է գտնել որոշչի օնությամբ։

  
    
      
        
          P
          
            x
          
        
        =
        
          
            
              |
              
                
                  
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  1
                                
                              
                            
                            
                              
                                y
                                
                                  1
                                
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  2
                                
                              
                            
                            
                              
                                y
                                
                                  2
                                
                              
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  1
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  2
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                
                
                  
                
                
                  
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  3
                                
                              
                            
                            
                              
                                y
                                
                                  3
                                
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  4
                                
                              
                            
                            
                              
                                y
                                
                                  4
                                
                              
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  3
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  4
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                
              
              |
            
            
              |
              
                
                  
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  1
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  2
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                y
                                
                                  1
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                          
                            
                              
                                y
                                
                                  2
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                
                
                  
                
                
                  
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  3
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  4
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                y
                                
                                  3
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                          
                            
                              
                                y
                                
                                  4
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                
              
              |
            
          
        
        
        
        
        
          P
          
            y
          
        
        =
        
          
            
              |
              
                
                  
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  1
                                
                              
                            
                            
                              
                                y
                                
                                  1
                                
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  2
                                
                              
                            
                            
                              
                                y
                                
                                  2
                                
                              
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                y
                                
                                  1
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                          
                            
                              
                                y
                                
                                  2
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                
                
                  
                
                
                  
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  3
                                
                              
                            
                            
                              
                                y
                                
                                  3
                                
                              
                            
                          
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  4
                                
                              
                            
                            
                              
                                y
                                
                                  4
                                
                              
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                y
                                
                                  3
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                          
                            
                              
                                y
                                
                                  4
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                
              
              |
            
            
              |
              
                
                  
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  1
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  2
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                y
                                
                                  1
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                          
                            
                              
                                y
                                
                                  2
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                
                
                  
                
                
                  
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  3
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                          
                            
                              
                                x
                                
                                  4
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        |
                        
                          
                            
                              
                                y
                                
                                  3
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                          
                            
                              
                                y
                                
                                  4
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                        
                        |
                      
                    
                  
                
              
              |
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle P_{x}={\frac {\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}x_{1}&1\\x_{2}&1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{4}&y_{4}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}x_{3}&1\\x_{4}&1\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&1\\x_{2}&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{1}&1\\y_{2}&1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&1\\x_{4}&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{3}&1\\y_{4}&1\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}}\,\!\qquad P_{y}={\frac {\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{1}&1\\y_{2}&1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{4}&y_{4}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{3}&1\\y_{4}&1\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&1\\x_{2}&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{1}&1\\y_{2}&1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&1\\x_{4}&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{3}&1\\y_{4}&1\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}}\,\!}
  Որոշիչը կարելի է արտագրել

  
    
      
        
          
            
              
                (
                
                  P
                  
                    x
                  
                
                ,
                
                  P
                  
                    y
                  
                
                )
                =
                
                  
                    (
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      (
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      
                        y
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      
                        y
                        
                          1
                        
                      
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      )
                      (
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      −
                      
                        x
                        
                          4
                        
                      
                      )
                      −
                      (
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      −
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      )
                      (
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      
                        y
                        
                          4
                        
                      
                      −
                      
                        y
                        
                          3
                        
                      
                      
                        x
                        
                          4
                        
                      
                      )
                    
                    
                      (
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      −
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      )
                      (
                      
                        y
                        
                          3
                        
                      
                      −
                      
                        y
                        
                          4
                        
                      
                      )
                      −
                      (
                      
                        y
                        
                          1
                        
                      
                      −
                      
                        y
                        
                          2
                        
                      
                      )
                      (
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      −
                      
                        x
                        
                          4
                        
                      
                      )
                    
                  
                
                ,
              
            
            
              
              
                
                  
                    
                      (
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      
                        y
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      
                        y
                        
                          1
                        
                      
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      )
                      (
                      
                        y
                        
                          3
                        
                      
                      −
                      
                        y
                        
                          4
                        
                      
                      )
                      −
                      (
                      
                        y
                        
                          1
                        
                      
                      −
                      
                        y
                        
                          2
                        
                      
                      )
                      (
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      
                        y
                        
                          4
                        
                      
                      −
                      
                        y
                        
                          3
                        
                      
                      
                        x
                        
                          4
                        
                      
                      )
                    
                    
                      (
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      −
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      )
                      (
                      
                        y
                        
                          3
                        
                      
                      −
                      
                        y
                        
                          4
                        
                      
                      )
                      −
                      (
                      
                        y
                        
                          1
                        
                      
                      −
                      
                        y
                        
                          2
                        
                      
                      )
                      (
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      −
                      
                        x
                        
                          4
                        
                      
                      )
                    
                  
                
                
                  
                    )
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}(P_{x},P_{y})={\bigg (}&{\frac {(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})(x_{3}-x_{4})-(x_{1}-x_{2})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}},\\&{\frac {(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}}{\bigg )}\end{aligned}}}
  տեսքով։
Նկատենք, որ հատման կետը վերաբերվում է անվերջ ուղիղներին, այլ ոչ թե երկու կետերի միջև հատվածին, և այն կարող է ընկած լինել հատվածներից դուրս։ Եթե (մեկ քայլով գտնելու փոխարեն) լուծումը որոնել Բեզեի առաջին կարգի կորերի տերմինաբանությամբ, ապա կարելի է ստուգել այդ կորերի պարամետրերը  0.0 ≤ t ≤ 1.0 и 0.0 ≤ u ≤ 1.0 (t և u-ն պարամետրեր են)։
Եթե երկու ուղիղներ զուգահեռ են կամ համընկնում են, հայտարարը վերածվում է զրոյի.

  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        −
        
          x
          
            2
          
        
        )
        (
        
          y
          
            3
          
        
        −
        
          y
          
            4
          
        
        )
        −
        (
        
          y
          
            1
          
        
        −
        
          y
          
            2
          
        
        )
        (
        
          x
          
            3
          
        
        −
        
          x
          
            4
          
        
        )
        =
        0
        :
      
    
    {\displaystyle (x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})=0:}
  Եթե ուղիղները շատ մոտ են զուգահեռության (գրեթե զուգահեռ են), համակարգչում հաշվարկման ժամանակկարող են ի հայտ գալ թվային խնդիրներ և այդպիսի պայմանի ճանաչումը կիրառման համար կարող է պահանջել «անորոշության» համապատախան թեստ։


=== Եթե տրված են ուղիղների հավասարումները ===
Երկու ոչ ուղղահայաց ուղեղների հատման կետի 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   և 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   կոորդինատները կարելի է հեշտությամբ գտնել հետևյալ ներկայացումների և ձևափոխությունների օգնությամբ։
Ենթադրենք, որ երկու ուղիղներն ունեն 
  
    
      
        y
        =
        a
        x
        +
        c
      
    
    {\displaystyle y=ax+c}
   և 
  
    
      
        y
        =
        b
        x
        +
        d
      
    
    {\displaystyle y=bx+d}
  , հավասարումները, որտեղ  
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   -ն ուղիղների անկյունային գործակիցներն են, իսկ 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   և 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
   -ն՝ ուղիղների հատումները  y առանցքի հետ։ Ուղիղների հատման կետում (եթե նրանք հատվում են), երկու 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   կոորդինատները կհամընկնեն, որտեղից ստանում ենք

  
    
      
        a
        x
        +
        c
        =
        b
        x
        +
        d
      
    
    {\displaystyle ax+c=bx+d}
  հավասարությունը։

  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   դուրս բերելու համար մենք այս հավասարությունը կարող ենք ձևափոխել՝

  
    
      
        a
        x
        −
        b
        x
        =
        d
        −
        c
      
    
    {\displaystyle ax-bx=d-c}
  ,այստեղից էլ՝ 

  
    
      
        x
        =
        
          
            
              d
              −
              c
            
            
              a
              −
              b
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x={\frac {d-c}{a-b}}}
  :Որպեսզի գտնենք y կոորդինատը, x-ի արժեքը տեղադրենք ուղիղների բանաձևերից մեկի մեջ, օրինակ՝ առաջինի.

  
    
      
        y
        =
        a
        
          
            
              d
              −
              c
            
            
              a
              −
              b
            
          
        
        +
        c
      
    
    {\displaystyle y=a{\frac {d-c}{a-b}}+c}
  :Այստեղից ստանում ենք ուղիղների հատման կետը. 

  
    
      
        P
        
          (
          
            
              
                
                  d
                  −
                  c
                
                
                  a
                  −
                  b
                
              
            
            ,
            a
            
              
                
                  d
                  −
                  c
                
                
                  a
                  −
                  b
                
              
            
            +
            c
          
          )
        
        =
        P
        
          (
          
            
              
                
                  d
                  −
                  c
                
                
                  a
                  −
                  b
                
              
            
            ,
            
              
                
                  a
                  d
                  −
                  b
                  c
                
                
                  a
                  −
                  b
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle P\left({\frac {d-c}{a-b}},a{\frac {d-c}{a-b}}+c\right)=P\left({\frac {d-c}{a-b}},{\frac {ad-bc}{a-b}}\right)}
  :Նկատենք, որ a = b դեպքում երկու ուղիղները զուգահեռ են։ Եթե այդ դեպքում  c ≠ d, ուղիղները տերբեր են և չունեն հատման կետ, հակառակ դեպքում ուղիղները համընկնում են։


=== Համասեռ կոորդինատների օգտագործում ===
Համասեռ կոորդինատների օգտագործման ժամանակ երկու հստակ տրված ուղիղների հատման կետը կարող է գտնվել հեշտությամբ։ Երկչափ տարածությունում յուրաքանչյուր կետ կարող է որոշվել որպես 
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        ,
        w
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y,w)}
   եռաչափ կետի պրոյեկցիա։ Եռաչափ կոորդինատների արտապատկերումը երկչափի տեղի է ունենում 
  
    
      
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        )
        =
        (
        x
        
          /
        
        w
        ,
        y
        
          /
        
        w
        )
      
    
    {\displaystyle (x',y')=(x/w,y/w)}
   բանաձևով։ Երրորդ կոորդինատը միավորի հավասարեցնելով մենք կարող ենք երկչափ տարածությունում կետերը ձևափոխել համասեռ կոորդինատների՝ 
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y,1)}
  :
Ենթադրենք, որ մենք ուզում ենք գտնել երկու անվերջ ուղիղների հատումը երկչափ տարածությունում, որոնք տրված են 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        x
        +
        
          b
          
            1
          
        
        y
        +
        
          c
          
            1
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0}
   և 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        x
        +
        
          b
          
            2
          
        
        y
        +
        
          c
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0}
   բանաձևերով։ Այդ երկու ուղիղները մենք կարող ենք ներկայացնել գծային կոորդինատներով՝  
  
    
      
        
          U
          
            1
          
        
        =
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          b
          
            1
          
        
        ,
        
          c
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle U_{1}=(a_{1},b_{1},c_{1})}
   և 
  
    
      
        
          U
          
            2
          
        
        =
        (
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        
          b
          
            2
          
        
        ,
        
          c
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle U_{2}=(a_{2},b_{2},c_{2})}
  :
Երկու ուղիղների 
  
    
      
        
          P
          ′
        
      
    
    {\displaystyle P'}
   հատումն այդ դեպքում պարզապես տրվում է հետևյալ բանաձևերով.

  
    
      
        
          P
          ′
        
        =
        (
        
          a
          
            p
          
        
        ,
        
          b
          
            p
          
        
        ,
        
          c
          
            p
          
        
        )
        =
        
          U
          
            1
          
        
        ×
        
          U
          
            2
          
        
        =
        (
        
          b
          
            1
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        −
        
          b
          
            2
          
        
        
          c
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        
          c
          
            1
          
        
        −
        
          a
          
            1
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P'=(a_{p},b_{p},c_{p})=U_{1}\times U_{2}=(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1},a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})}
  
Եթե 
  
    
      
        
          c
          
            p
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle c_{p}=0}
  , ուղիղները չեն հատվում։


== n ուղիղների հատում ==


=== Հատման գոյությունն ու արտահայտությունը ===


==== Երկչափ տարածությունում ====
Երկչափ տարածությունում երկուսից ավել ուղիղները գրեթե ճշգրիտ չեն հատվում մեկ կետում։ Որպեսզի որոշենք, թե հատվում են նրանք արդյոք մի կետում, և, եթե հատվում են, որպեսզի գտնենք հատման կետը i-րդ հավասարումը  (i = 1, ...,n) գրենք որպես 
  
    
      
        (
        
          a
          
            i
            1
          
        
        
        
          a
          
            i
            2
          
        
        )
        (
        x
        
        y
        
          )
          
            T
          
        
        =
        
          b
          
            i
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (a_{i1}\quad a_{i2})(x\quad y)^{T}=b_{i},}
   և այդ հավասարումները կցակազմենք մատրիցային տեսքով՝

  
    
      
        A
        w
        =
        b
        ,
      
    
    {\displaystyle Aw=b,}
  որտեղ n × 2 չափի A մատրիցի i-րդ տողը հավասար է 
  
    
      
        (
        
          a
          
            i
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            i
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a_{i1},a_{i2})}
  , w-ն հանդիսանում է (x, y)T -ի 2 × 1 վեկտորը, իսկ b սյունակ-վեկտրի i-րդ անդամը հավասար է bi : Եթե A մատրիցի սյունակներն անկախ են, ապա մատրիցի ռանգը հավասար է 2։  Այն և միայն այն դեպքում, երբ [A | b ] ընդլայնված մատրիցի ռանգը ևս 2 է, գոյություն ունի մատրիցային հավասարմամբ լուծում, այդ դեպքում գոյություն ունի նաև n ուղիղների հատման կետը։ Հատման կետը, եթե այդպիսին գոյություն ունի, տրվում է

  
    
      
        w
        =
        
          A
          
            g
          
        
        b
        =
        (
        
          A
          
            T
          
        
        A
        
          )
          
            −
            1
          
        
        
          A
          
            T
          
        
        b
        ,
      
    
    {\displaystyle w=A^{g}b=(A^{T}A)^{-1}A^{T}b,}
  բանաձևով, որտեղ 
  
    
      
        
          A
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{g}}
   -ն 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մատրիցի կեղծ հակադարձ մատրիցան է։ Այլընտրանքային լուծումը կարող է գտնվել կամայական երկու անկախ հավասարումների լուծման ճանապարհով։ Բայց, եթե A մատրիցի ռանգը հավասար է 1, իսկ ընդլայնված մատրիցի ռանգը հավասար է 2, լուծում չունի։ Իսկ, երբ ընդլայնված մատրիցի ռանգը հավասար է 1, ապա բոլոր ուղիղները համընկնում են։ 


==== Եռաչափ տարածությունում ====
Վերևում ներկայացված մոտեցումը հյեշտությամբ տարածվում է նաև եռաչափ տարածության վրա։ Եռաչափ և ավելի բարձր չափողականությամբ տարածություններում նույնիսկ երկու ուղիղները հավանաբար չեն հատվում։ Ոչ զուգահեռ և չհատվող ուղիղների զույգը կոչվում է խաչվող։ Բայց, երբ հատումը գոյություն ունի, այն կարելի է գտնել հետևյալ կերպ։
Եռաչափ տարածությունում ուղիղը ներկայացվում է երկու հարթությունների հատմամբ, որոնցից յուրաքանչյուրը տրվում է 
  
    
      
        (
        
          a
          
            i
            1
          
        
        
        
          a
          
            i
            2
          
        
        
        
          a
          
            i
            3
          
        
        )
        (
        x
        
        y
        
        z
        
          )
          
            T
          
        
        =
        
          b
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle (a_{i1}\quad a_{i2}\quad a_{i3})(x\quad y\quad z)^{T}=b_{i}}
   բանաձևով։ Այդ դեպքում n ուղիղների բազմությունը կարող է ներկայացվել 2n հավասարումների տեսքով՝ w = (x, y, z)T եռաչափ կոորդինատային վեկտրներից

  
    
      
        A
        w
        =
        b
      
    
    {\displaystyle Aw=b}
  ,
որտեղ A -ն՝ 2n × 3 չափի մատրից է, իսկ b-ն՝  2n × 1: Ինչպես և առաջ, հատման միակ կետը գոյություն ունի այն և միայն այն դեպքում, երբ A մատրիցն ունի ըստ սյուների լրիվ ռանգ, իսկ մատրիցի [A | b ] ընդլայնումը այդպիսին չի հանդիսանում։ Հատման միակ կետը, եթե գոյություն ունի, տրվում է

  
    
      
        w
        =
        (
        
          A
          
            T
          
        
        A
        
          )
          
            −
            1
          
        
        
          A
          
            T
          
        
        b
      
    
    {\displaystyle w=(A^{T}A)^{-1}A^{T}b}
  բանաձևով։


=== Չհատվող ուղիղներին մոտ կետ ===
Երկու և ավելի չափողականությամբ տարածություններում կարելի է գտնել կետ, որը մոտ է հանդիսանում այդ երկու (կամ ավել) ուղիղներին քառակուսիների գումարի ամենափոքր իմաստով։


==== Երկչափ տարածությունում ====
Երկչափ տարածության դեպքում i ուղիղը ներկայացնենք որպես ուղղի վրա 
  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{i}}
   կետ և ուղղին ուղղահայաց 
  
    
      
        
          
            
              
                n
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {n}}_{i}}
   միավոր նորմալը։ Այսինքն, եթե 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}}
  -ը և 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}}
  -ը 1 ուղղի կետեր են, ապա թող 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
        =
        
          x
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}=x_{1}}
   և

  
    
      
        
          
            
              
                n
                ^
              
            
          
          
            1
          
        
        :=
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  −
                  1
                
              
              
                
                  1
                
                
                  0
                
              
            
            ]
          
        
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        
          x
          
            1
          
        
        )
        
          /
        
        ‖
        
          x
          
            2
          
        
        −
        
          x
          
            1
          
        
        ‖
      
    
    {\displaystyle {\hat {n}}_{1}:={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}(x_{2}-x_{1})/\|x_{2}-x_{1}\|}
  ,որը հանդիսանում է ուղղի երկայնքով միավոր վեկտոր, շրջած 90º-ով։
Նկատենք, որ հեռավորությունը x կետից մինչև 
  
    
      
        (
        p
        ,
        
          
            
              n
              ^
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (p,{\hat {n}})}
   ուղիղը տրվում է հետևյալ բանաձևով.

  
    
      
        d
        (
        x
        ,
        (
        p
        ,
        n
        )
        )
        =
        ‖
        (
        x
        −
        p
        )
        ⋅
        
          
            
              n
              ^
            
          
        
        ‖
        =
        ‖
        (
        x
        −
        p
        
          )
          
            ⊤
          
        
        
          
            
              n
              ^
            
          
        
        ‖
        =
        
          
            (
            x
            −
            p
            
              )
              
                ⊤
              
            
            
              
                
                  n
                  ^
                
              
            
            
              
                
                  
                    n
                    ^
                  
                
              
              
                ⊤
              
            
            (
            x
            −
            p
            )
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle d(x,(p,n))=\|(x-p)\cdot {\hat {n}}\|=\|(x-p)^{\top }{\hat {n}}\|={\sqrt {(x-p)^{\top }{\hat {n}}{\hat {n}}^{\top }(x-p)}}:}
  Հետևաբար, x-ից մինչև ուղիղ հեռավորության քառակուսին հավասար է

  
    
      
        d
        (
        x
        ,
        (
        p
        ,
        n
        )
        
          )
          
            2
          
        
        =
        (
        x
        −
        p
        
          )
          
            ⊤
          
        
        (
        
          
            
              n
              ^
            
          
        
        
          
            
              
                n
                ^
              
            
          
          
            ⊤
          
        
        )
        (
        x
        −
        p
        )
        :
      
    
    {\displaystyle d(x,(p,n))^{2}=(x-p)^{\top }({\hat {n}}{\hat {n}}^{\top })(x-p):}
  Մինչև ուղիղների խումբը հեռավորության քառակուսիների գումարը հանդիասանում է օբյեկտիվ ֆունկցիա.

  
    
      
        E
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        (
        x
        −
        
          p
          
            i
          
        
        
          )
          
            ⊤
          
        
        (
        
          
            
              
                n
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        
          
            
              
                n
                ^
              
            
          
          
            i
          
          
            ⊤
          
        
        )
        (
        x
        −
        
          p
          
            i
          
        
        )
        :
      
    
    {\displaystyle E(x)=\sum _{i}(x-p_{i})^{\top }({\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top })(x-p_{i}):}
  Արտահայտությունը կարելի է ձևափոխել.

  
    
      
        
          
            
              
                E
                (
                x
                )
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    i
                  
                
                
                  x
                  
                    ⊤
                  
                
                
                  
                    
                      
                        n
                        ^
                      
                    
                  
                  
                    i
                  
                
                
                  
                    
                      
                        n
                        ^
                      
                    
                  
                  
                    i
                  
                  
                    ⊤
                  
                
                x
                −
                
                  x
                  
                    ⊤
                  
                
                
                  
                    
                      
                        n
                        ^
                      
                    
                  
                  
                    i
                  
                
                
                  
                    
                      
                        n
                        ^
                      
                    
                  
                  
                    i
                  
                  
                    ⊤
                  
                
                
                  p
                  
                    i
                  
                
                −
                
                  p
                  
                    i
                  
                  
                    ⊤
                  
                
                
                  
                    
                      
                        n
                        ^
                      
                    
                  
                  
                    i
                  
                
                
                  
                    
                      
                        n
                        ^
                      
                    
                  
                  
                    i
                  
                  
                    ⊤
                  
                
                x
                +
                
                  p
                  
                    i
                  
                  
                    ⊤
                  
                
                
                  
                    
                      
                        n
                        ^
                      
                    
                  
                  
                    i
                  
                
                
                  
                    
                      
                        n
                        ^
                      
                    
                  
                  
                    i
                  
                  
                    ⊤
                  
                
                
                  p
                  
                    i
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  x
                  
                    ⊤
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      ∑
                      
                        i
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            n
                            ^
                          
                        
                      
                      
                        i
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            n
                            ^
                          
                        
                      
                      
                        i
                      
                      
                        ⊤
                      
                    
                  
                  )
                
                x
                −
                2
                
                  x
                  
                    ⊤
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      ∑
                      
                        i
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            n
                            ^
                          
                        
                      
                      
                        i
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            n
                            ^
                          
                        
                      
                      
                        i
                      
                      
                        ⊤
                      
                    
                    
                      p
                      
                        i
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                
                  ∑
                  
                    i
                  
                
                
                  p
                  
                    i
                  
                  
                    ⊤
                  
                
                
                  
                    
                      
                        n
                        ^
                      
                    
                  
                  
                    i
                  
                
                
                  
                    
                      
                        n
                        ^
                      
                    
                  
                  
                    i
                  
                  
                    ⊤
                  
                
                
                  p
                  
                    i
                  
                
                :
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}E(x)&=\sum _{i}x^{\top }{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }x-x^{\top }{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }p_{i}-p_{i}^{\top }{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }x+p_{i}^{\top }{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }p_{i}\\&=x^{\top }\left(\sum _{i}{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }\right)x-2x^{\top }\left(\sum _{i}{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }p_{i}\right)+\sum _{i}p_{i}^{\top }{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }p_{i}:\end{aligned}}}
  Մինիմումը գտնելու համար ածանցում ենք ըստ x-ի և արդյունքը հավասարեցնում զրոյի.

  
    
      
        
          
            
              ∂
              E
              (
              x
              )
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        0
        =
        2
        
          (
          
            
              ∑
              
                i
              
            
            
              
                
                  
                    n
                    ^
                  
                
              
              
                i
              
            
            
              
                
                  
                    n
                    ^
                  
                
              
              
                i
              
              
                ⊤
              
            
          
          )
        
        x
        −
        2
        
          (
          
            
              ∑
              
                i
              
            
            
              
                
                  
                    n
                    ^
                  
                
              
              
                i
              
            
            
              
                
                  
                    n
                    ^
                  
                
              
              
                i
              
              
                ⊤
              
            
            
              p
              
                i
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial E(x)}{\partial x}}=0=2\left(\sum _{i}{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }\right)x-2\left(\sum _{i}{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }p_{i}\right)}
  Այսպիսով,

  
    
      
        
          (
          
            
              ∑
              
                i
              
            
            
              
                
                  
                    n
                    ^
                  
                
              
              
                i
              
            
            
              
                
                  
                    n
                    ^
                  
                
              
              
                i
              
              
                ⊤
              
            
          
          )
        
        x
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          
            
              
                n
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        
          
            
              
                n
                ^
              
            
          
          
            i
          
          
            ⊤
          
        
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(\sum _{i}{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }\right)x=\sum _{i}{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }p_{i}}
  ,որտեղից

  
    
      
        x
        =
        
          
            (
            
              
                ∑
                
                  i
                
              
              
                
                  
                    
                      n
                      ^
                    
                  
                
                
                  i
                
              
              
                
                  
                    
                      n
                      ^
                    
                  
                
                
                  i
                
                
                  ⊤
                
              
            
            )
          
          
            −
            1
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                i
              
            
            
              
                
                  
                    n
                    ^
                  
                
              
              
                i
              
            
            
              
                
                  
                    n
                    ^
                  
                
              
              
                i
              
              
                ⊤
              
            
            
              p
              
                i
              
            
          
          )
        
        :
      
    
    {\displaystyle x=\left(\sum _{i}{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }\right)^{-1}\left(\sum _{i}{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }p_{i}\right):}
  


==== Եռաչափ տարածությունում ====
Չնայած, երկուսից բարձր չափողականությամբ տարածություններում 
  
    
      
        
          
            
              
                n
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {n}}_{i}}
   նորմալները չեն կարող որոշվել, դա կարելի է ընդհանրացնել ցանկացած չափողականության տարածության հետ, եթե նշենք, որ 
  
    
      
        
          
            
              
                n
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        
          
            
              
                n
                ^
              
            
          
          
            i
          
          
            ⊤
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }}
   հանդիսանում է պարզապես (համաչափ) մատրիցա իր բոլոր սեփական միավորի հավասար նշանակություններով, բացառապես ուղղի երկայնքով զրոյական սեփական նշանակության, ինչը տալիս է  
  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{i}}
   կետի և մեկ այլ կետի միջև կիսանորմ։ Կամայական չափողականությամբ տարածության մեջ,  
  
    
      
        
          
            
              
                v
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {v}}_{i}}
  -ն հանդիսանում է միավոր վեկտոր  i-րդ ուղղի երկայնքով, ապա

  
    
      
        
          
            
              
                n
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        
          
            
              
                n
                ^
              
            
          
          
            i
          
          
            ⊤
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{i}^{\top }}
  -ն վերածվում է 
  
    
      
        E
        −
        
          
            
              
                v
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        
          
            
              
                v
                ^
              
            
          
          
            i
          
          
            ⊤
          
        
      
    
    {\displaystyle E-{\hat {v}}_{i}{\hat {v}}_{i}^{\top }}
  ,որտեղ E -ն միավոր մատրից է, հետևաբար.

  
    
      
        x
        =
        
          
            (
            
              
                ∑
                
                  i
                
              
              E
              −
              
                
                  
                    
                      v
                      ^
                    
                  
                
                
                  i
                
              
              
                
                  
                    
                      v
                      ^
                    
                  
                
                
                  i
                
                
                  ⊤
                
              
            
            )
          
          
            −
            1
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                i
              
            
            (
            E
            −
            
              
                
                  
                    v
                    ^
                  
                
              
              
                i
              
            
            
              
                
                  
                    v
                    ^
                  
                
              
              
                i
              
              
                ⊤
              
            
            )
            
              p
              
                i
              
            
          
          )
        
        :
      
    
    {\displaystyle x=\left(\sum _{i}E-{\hat {v}}_{i}{\hat {v}}_{i}^{\top }\right)^{-1}\left(\sum _{i}(E-{\hat {v}}_{i}{\hat {v}}_{i}^{\top })p_{i}\right):}
  


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Б. Н. Делоне, Д. А. Райков Аналитическая геометрия. — М., Л.: ОГИЗ, Государственнон издательство технико-теоретической литературы, 1948. — Т. 1.


== Արտաքին հղումներ ==
Distance between Lines and Segments with their Closest Point of Approach Archived 2012-02-27 at the Wayback Machine., կիրառելի է երկչափ, եռաչափ կամ ավելի բարձր չափողականությամբ տարածություններում։