Միջին հարմոնիկ

Միջին հարմոնիկ-միջոց է որոշակի թվերի հավաքածուի «միջին» մեծությունը հասկանալու համար։ Հաճախ օգտագործվում է միջին արագությունը որոշելիս։ Այն կարելի է սահմանել հետևյալ կերպ․ դիցուք տրված են դրական  
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
   թվերը, ապա նրանց միջին հարմոնիկը կլինի այն 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
   թիվը, որը

  
    
      
        
          
            n
            H
          
        
        =
        
          
            1
            
              x
              
                1
              
            
          
        
        +
        …
        +
        
          
            1
            
              x
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}
  .Կարելի է ստանալ միջին հարմոնիկի համար իրական բանաձև․

  
    
      
        H
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        
          
            n
            
              
                
                  1
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  1
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                
                  1
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                
                  1
                  n
                
              
              
                ∑
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  n
                
              
              
                
                  1
                  
                    x
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}
  ,այսինքն միջին հարմոնիկը 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
   թվերի հակադարձների միջինի հակադարձ մեծությունն է։


== Հատկությունները ==
Միջին հարմոնիկը իսկապես հանդիսանում է միջին այն իմաստով, որ 
  
    
      
        min
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        ⩽
        H
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        ⩽
        max
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}
  ։
Ընդհանրապես միջին հարմոնիկը միջին աստիճանային է -1 աստիճանով։
Միջին հարմոնիկը երկակի է միջին թվաբանականին հետևյալ իմաստով․
  
    
      
        H
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        
          A
          
            −
            1
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
          
            −
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
          
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})}
   и

  
    
      
        A
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        
          H
          
            −
            1
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
          
            −
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
          
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})}
   (երբ վերջինս որոշված է)։Միջին հարմոնիկը չի գերազանցում միջին երկրաչափականին, միջին թվաբանականին և  միջին քառակուսայինին, ընդ որում․ բոլոր միջինները հավասար են բոլոր 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        …
        =
        
          x
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{n},}
   թվերի հավասարության դեպքում, այսինքն․
  
    
      
        H
        ≤
        G
        ≤
        A
        ≤
        S
        ,
      
    
    {\displaystyle H\leq G\leq A\leq S,}
  
որտեղ 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
   — միջին հարմոնիկն է;

  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
   — միջին երկրաչափականն է;

  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   — միջին թվաբանականն է;

  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   — միջին քառակուսայինն է։


== Կշռված միջին հարմոնիկ ==
Դիցուք տրված է ոչ բացասական թվերի 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
   համախումբը և 
  
    
      
        
          w
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          w
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}
   թվերի համախումբը, որտեղ 
  
    
      
        
          w
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{i}}
  -ն կոչվում է 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
   մեծության «զանգված»։ Ապա նրանց կշռված միջին հարմոնիկ է կոչվում հետևյալ թիվը․

  
    
      
        H
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        ;
        
          w
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          w
          
            n
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                w
                
                  1
                
              
              +
              …
              +
              
                w
                
                  n
                
              
            
            
              
                
                  
                    w
                    
                      1
                    
                  
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
              +
              …
              +
              
                
                  
                    w
                    
                      n
                    
                  
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n};w_{1},\ldots ,w_{n})={\frac {w_{1}+\ldots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {w_{n}}{x_{n}}}}}}
  ։
Հեշտ է նկատել, որ երբ 
  
    
      
        
          w
          
            1
          
        
        =
        …
        =
        
          w
          
            n
          
        
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0}
  (երբ բոլորը հավասարամեծ են)ստացվումէ սովորական միջին հարմոնիկ։։
։


== Օրինակներ ==
Վիճակագրության մեջ միջին հարմոնիկը օգտագործվում է այն դեպքում, երբ դիտարկումները, որոնց համար անհրաժեշտ է թվաբանական միջինի հաշվում ձեռք , տրվում են հակադարձ արժեքներով։
Բարակ ոսպնյակի բանաձևում երկու անգամ կիզակետային երկարությունը հավասար է ոսպնյակներից մինչև առարկայի հեռավորության ը և ոսպնյակներից մինչև պատկերի հեռավորության միջին հարմոնիկին։ Նմանատիպ եղանակով, միջին հարմոնիկը ներառված է գնդաձև հայելու համար  բանաձևում։
Միջին արագությունը մի ճանապարհի վրա, որը բաժանված է հավասար մասերի, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա արագությունը կայուն է, հավասար է ուղու այդ հատվածների արագությունների նմիջին հարմոնիկին։ Ընդհանուր առմամբ, եթե ուղին բաժանվում է մասերի, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա արագությունը կայուն է, ապա միջին արագությունը հավասար կլինի կշռված միջին հարմոնիկ արագությանը (յուրաքանչյուր արագություն գալիս է համապատասխան քաշի երկարությանը հավասար քաշով)։
Ալյումինի միջին խտությունը հավասար է ձուլված նյութերի կշռված միջին հարմոնիկ խտությանը (կշիռներ - համապատասխան նյութերի մասերի զանգվածներ)։
Զուգահեռ միացված են մի քանի դիմադրիչների ձեռք բերած դիմադրությունը հավասար է դրանց դիմադրությունների միջին հարմոնիկին՝ բաժանված ըստ դրանց քանակի։ Նմանատիպ հայտարարությունը ճշմարիտ է շարքի միացված կոնդենսատորների համար։


== Տես նաև ==
Հարմոնիկ համամասնություն
Հարմոնիկ շարք
Միջին թվաբանական


== Արտաքին հղումներ ==
Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld--A Wolfram Web Resource


== Ծանոթագրություններ ==