Պոյնտինգի թեորեմ

Պոյnնտինգի թեորեմ, էներգիայի պահպանման օրենքը էլեկտրադինամիկայում։

  
    
      
        W
        =
        
          ∫
          
            V
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    
                      E
                      ¯
                    
                  
                  
                    
                      D
                      ¯
                    
                  
                
                2
              
            
            +
            
              
                
                  
                    
                      H
                      ¯
                    
                  
                  
                    
                      B
                      ¯
                    
                  
                
                2
              
            
          
          )
        
        d
        V
        =
        
          ∫
          
            V
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    ϵ
                    
                      a
                    
                  
                  
                    E
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
            +
            
              
                
                  
                    μ
                    
                      a
                    
                  
                  
                    E
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
          
          )
        
        d
        V
      
    
    {\displaystyle W=\int _{V}\left({\frac {{\overline {E}}{\overline {D}}}{2}}+{\frac {{\overline {H}}{\overline {B}}}{2}}\right)dV=\int _{V}\left({\frac {\epsilon _{a}E^{2}}{2}}+{\frac {\mu _{a}E^{2}}{2}}\right)dV}
  Ժամանակի մեջ էլեկտրական և մագնիսական փոխազդեցության հետ միասին փոխվում են նաև էլեկտրական էներգիայի և մագնիսական էներգիայի ծավալային խտությունները։ Բացահայտելու համար, թե ինչ է տեղի ունենում ամբողջ էներգիայի հետ, Մաքսվելի հավասարումներից գտնենք ածանցյալների արժեքները,

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                  ϵ
                  
                    a
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        
                          E
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                =
                
                  rot
                
                
                  
                    H
                    ¯
                  
                
                −
                
                  
                    j
                    ¯
                  
                
              
            
            
              
              
                
                  μ
                  
                    a
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        
                          H
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                =
                −
                
                  rot
                
                
                  
                    E
                    ¯
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&\epsilon _{a}{\frac {\partial {\overline {E}}}{\partial t}}={\text{rot}}{\overline {H}}-{\overline {j}}\\&\mu _{a}{\frac {\partial {\overline {H}}}{\partial t}}=-{\text{rot}}{\overline {E}}\end{aligned}}}
  Առաջին հավասարումը սկալյար բազմապատկելով Ē-ով, իսկ երկրորդը H վեկտորով-ով ստանում ենք

Բայց,

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                  
                    E
                    ¯
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        
                          E
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  
                    ∂
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        E
                        ¯
                      
                    
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  
                    ∂
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    E
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                  
                    H
                    ¯
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        
                          H
                          ¯
                        
                      
                    
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  
                    ∂
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        H
                        ¯
                      
                    
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  
                    ∂
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    H
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&{\overline {E}}{\frac {\partial {\overline {E}}}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\overline {E}}^{2}\right)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(E^{2}\right)\\&{\overline {H}}{\frac {\partial {\overline {H}}}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\overline {H}}^{2}\right)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(H^{2}\right)\\\end{aligned}}}
  Սակայն համաձայն նույնության

  
    
      
        
          
            E
            ¯
          
        
        
        
          rot
        
        
        
          
            H
            ¯
          
        
        −
        
          
            H
            ¯
          
        
        
        
          rot
        
        
        
          
            E
            ¯
          
        
        =
        −
        
          div
        
        
          (
          
            
              
                E
                ¯
              
            
            ×
            
              
                H
                ¯
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {E}}\;{\text{rot}}\;{\overline {H}}-{\overline {H}}\;{\text{rot}}\;{\overline {E}}=-{\text{div}}\left({\overline {E}}\times {\overline {H}}\right)}
  1 հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ տեսքեվ

  
    
      
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    ϵ
                    
                      a
                    
                  
                  
                    E
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
            +
            
              
                
                  
                    μ
                    
                      a
                    
                  
                  
                    H
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
          
          )
        
        =
        −
        
          div
        
        
          (
          
            
              
                E
                ¯
              
            
            ×
            
              
                H
                ¯
              
            
          
          )
        
        −
        
          
            j
            ¯
          
        
        
          
            E
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\epsilon _{a}E^{2}}{2}}+{\frac {\mu _{a}H^{2}}{2}}\right)=-{\text{div}}\left({\overline {E}}\times {\overline {H}}\right)-{\overline {j}}{\overline {E}}}
  կամ ինտեգրելով ըստ ծավալի և փոխելով նշանը կունենանք՝

  
    
      
        −
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        
          ∫
          
            V
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    ϵ
                    
                      a
                    
                  
                  
                    E
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
            +
            
              
                
                  
                    μ
                    
                      a
                    
                  
                  
                    H
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
          
          )
        
        d
        V
        =
        
          ∫
          
            V
          
        
        
          
            j
            ¯
          
        
        
          
            E
            ¯
          
        
        d
        V
        +
        
          ∫
          
            S
          
        
        
          
            Π
            ¯
          
        
        d
        
          
            S
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}\left({\frac {\epsilon _{a}E^{2}}{2}}+{\frac {\mu _{a}H^{2}}{2}}\right)dV=\int _{V}{\overline {j}}{\overline {E}}dV+\int _{S}{\overline {\Pi }}d{\overline {S}}}
  Օգտվելով Օստոգրադսկիի թեորեմից, վերափոխենք հավասարման առաջին մասի առաջին ինտեգրալը S մակերեսով, որը սահմանափակում է դիտարկվող ծավալը

  
    
      
        
          ∫
          
            V
          
        
        
          div
        
        
          (
          
            
              
                E
                ¯
              
            
            ×
            
              
                H
                ¯
              
            
          
          )
        
        d
        V
        =
        
          ∫
          
            S
          
        
        
          (
          
            
              
                E
                ¯
              
            
            ×
            
              
                H
                ¯
              
            
          
          )
        
        d
        S
      
    
    {\displaystyle \int _{V}{\text{div}}\left({\overline {E}}\times {\overline {H}}\right)dV=\int _{S}\left({\overline {E}}\times {\overline {H}}\right)dS}
  Այնուհետև նշանակելով

  
    
      
        
          
            E
            ¯
          
        
        ×
        
          
            H
            ¯
          
        
        =
        
          
            Π
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {E}}\times {\overline {H}}={\overline {\Pi }}}
  կստանանք

(2) հավասարումը իրենից ներկայացնում է էլեկտրամագնիսական դաշտում էներգիայի պահպանման օրենքը։
Հավասարման ձախ կողմը իրենից ներկայացնում է դիտարկվող ծավալում հակառակ նշանով էներգիայի ամբողջ պաշարի փոփոխության արագության ժամանակի մեջ։
Աջ հատվածի առաջին անդամը իրենից ներկայացնում է ծավալի հաջորդող մասերում հզորության կորուստը։
Առաջին հատվածի երկրորդ անդամը իրենից ներկայացնում է էներգիայի խտության վեկտորի հոսքը, որը միավոր ժամանակում անցնում է  S մակերեսով։
Այսպիսով՝

Համաձայն վեկտոր Π-ի սահմանման՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի էներգիան յուրաքանչյուր կետում շարժվում է հարթությանն ուղղահայաց, որը ձևավորվել է Ē և H վեկտորների շնորհիվ, որը համընկնում է աջ ուղղությամբ շարժման հետ, որը նվազագույն անկյունով պտտվում է Ē վեկտորից H վեկտոր։
(3) հավասարումը հաստատում է, որ էլելտրամագնիսական դաշտի պաշարը կամայական ծավալի մեջ պայմանավորված է, առաջին հերթին, նրա մի մասի վերածմանը ջերմության, և երկրորդ, տարածության մեջ մակերևույթով էներգիայի շարժմամբ, որը սահմանափակվում է ծավալով։
Դիտարկված հավասարումը կոչվում է Ումով-Պոյտինգի թեորեմ։ Այս անվանումը տրված է ի պատիվ հայտնի ռուս գիտնական Ումովի, ով առաջին անգամ դիտարկել և հետազոտել է տարբեր տեսակի էներգիաների հոսքը տարբեր միջավայրերում, և ի պատիվ անգլիացի ֆիզիկոս Պոյնտինգի, ով հետազոտել է նմանատիպ հարցեր՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի վերաբերյալ։