Պտույտ

Պտույտ, շարժման տեսակ, որի ժամանակ հարթության կամ տարածության գոնե մեկ կետը մնում է անշարժ։
Հարթության կամ տարածության պտույտը կոչվում է առաջին սեռի (սեփական) կամ երկրորդ սեռի (ոչ սեփական), եթե այն պահպանում է հարթության կամ տարածության ուղղորդվածությունը։ Հաճախ պտույտ ասելով հասկանում են հենց սեփական պտույտը։
Երկչափ պտույտի ժամանակ, կարելի է տալ ավելի համապատասխան սահմանում։ Հարթության պտույտ կոչվում է այն շարժումը, որի ժամանակ տրված կետից դուրս եկող ամեն մի ճառագայթ թեքվում է նույն ուղղությամբ, նույն անկյան չափով։


== Կապված սահմանումներ ==

Պտույտի ընթացքում անշարժ մնացող կետը կոչվում է պտտման կենտրոն, անշարժ ուղիղը՝ պտտման առանցք։


== Ոչ սեփական պտույտ ==
Ոչ սեփական պտույտը փոքր չի կարող լինել, իսկ սեփական պտույտը կարելի է ցանկացած չափով փոքրացնել։ Ոչ սեփական պտույտը իրենից ներկայացնում է որոշակի հայելային անդրադարձման կոմպոզիցիա։


== Պտույտ  հարթության մեջ ==
Անալիտիկ երկրաչափությունում ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային հարթության մեջ պտույտը նկարագրվում է

  
    
      
        
          x
          ′
        
        =
        x
        cos
        ⁡
        φ
        −
        y
        sin
        ⁡
        φ
        ,
      
    
    {\displaystyle x'=x\cos \varphi -y\sin \varphi ,}
  

  
    
      
        
          y
          ′
        
        =
        x
        sin
        ⁡
        φ
        +
        y
        cos
        ⁡
        φ
        ,
      
    
    {\displaystyle y'=x\sin \varphi +y\cos \varphi ,}
  որտեղ 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
   — պտտման անկյունն է, իսկ պտտման կենտրոնը կոորդինատային կամակարգի կենտրոնն է։
Նույն պայմանների դեպքում ոչ սեփական պտույտը նկարագրվում է։

  
    
      
        
          x
          ′
        
        =
        x
        cos
        ⁡
        φ
        +
        y
        sin
        ⁡
        φ
        ,
      
    
    {\displaystyle x'=x\cos \varphi +y\sin \varphi ,}
  

  
    
      
        
          y
          ′
        
        =
        x
        sin
        ⁡
        φ
        −
        y
        cos
        ⁡
        φ
        .
      
    
    {\displaystyle y'=x\sin \varphi -y\cos \varphi .}
  


=== Մատրիցային ձև ===
Մատրիցային մոտեցման դեպքում 
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  կետը գրում են վեկտորի տեսքով, և բազմապատկում են մատրիցին

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    x
                    ′
                  
                
              
              
                
                  
                    y
                    ′
                  
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  cos
                  ⁡
                  θ
                
                
                  −
                  sin
                  ⁡
                  θ
                
              
              
                
                  sin
                  ⁡
                  θ
                
                
                  cos
                  ⁡
                  θ
                
              
            
            ]
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  x
                
              
              
                
                  y
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}
  .
  
    
      
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x',y')}
   կետի կոորդինատներն են, որը ստացվել է 
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  կետի պտույտից։

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  x
                
              
              
                
                  y
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}
   և 
  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    x
                    ′
                  
                
              
              
                
                  
                    y
                    ′
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}}
   վեկտորներըն ունեն նույն չափերը։


=== Կոմպլեքսային ձև ===
Կետը կարելի է պտտել կոմպլեքս թվերի օգնությամբ։բԱյդ թվերի մեծամասնությունը իրենից ներկայացնում է հարթություն։բ
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  կետը իրենից ներկայացնում է 
  
    
      
        z
        =
        x
        +
        i
        y
      
    
    {\displaystyle z=x+iy}
   տեսքի կոմպլեքս թիվը։
Կետի 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
   անկյան տակ պտտելը կարելի է իրականացնել բազմապատկելով 
  
    
      
        
          e
          
            i
            θ
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{i\theta }}
  , օգտվելով Էյլերի թեորեմից։

  
    
      
        
          
            
              
                
                  e
                  
                    i
                    θ
                  
                
                z
              
              
                
                =
                (
                cos
                ⁡
                θ
                +
                i
                sin
                ⁡
                θ
                )
                (
                x
                +
                i
                y
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                (
                x
                cos
                ⁡
                θ
                +
                i
                y
                cos
                ⁡
                θ
                +
                i
                x
                sin
                ⁡
                θ
                −
                y
                sin
                ⁡
                θ
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                (
                x
                cos
                ⁡
                θ
                −
                y
                sin
                ⁡
                θ
                )
                +
                i
                (
                x
                sin
                ⁡
                θ
                +
                y
                cos
                ⁡
                θ
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  x
                  ′
                
                +
                i
                
                  y
                  ′
                
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }z&=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\&=(x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta )\\&=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\&=x'+iy',\end{aligned}}}
  որի հետևանքով ստացվում է նույն արդյունքը

  
    
      
        
          
            
              
                
                  x
                  ′
                
              
              
                
                =
                x
                cos
                ⁡
                θ
                −
                y
                sin
                ⁡
                θ
              
            
            
              
                
                  y
                  ′
                
              
              
                
                =
                x
                sin
                ⁡
                θ
                +
                y
                cos
                ⁡
                θ
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}}
  


== Ծանոթագրություններ ==


== Տես նաև ==
Պտտական շարժում
Անկյունային արագություն