Միավորից n աստիճանի արմատներ

Միավորից n աստիճանի արմատներ, 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle x^{n}-1}
   բազմանդամի կոմպլեքս արմատները, որտեղ 
  
    
      
        n
        ⩾
        1
      
    
    {\displaystyle n\geqslant 1}
  ։ Այլ խոսքով, 
դա կոմպլեքս թիվ է, որի n-րդ աստիճանը 1 է։
Միավորի արմատները շատ են օգտագործվում մաթեմատիկայում, հատկապես թվերի տեսությունում, Ֆուրեի դիսկրետ փոփոխություններում, վերջնական ընդլայնման տեսությունում, քանոնի ու կարկինի օգնությամբ կառուցումներում և խմբերի գաղափարի մեջ։


== Գաղափար ==
Կոմպլեքս միավորը ներկայացնենք եռանկյունաչափական տեսքով.

  
    
      
        1
        =
        cos
        ⁡
         
        0
        +
        i
         
        sin
        ⁡
         
        0
      
    
    {\displaystyle 1=\cos \ 0+i\ \sin \ 0}
  Մուավրայի բանաձևից ստացվում է.

  
    
      
        
          u
          
            k
          
        
        =
        cos
        ⁡
        
          
            
              2
              π
              k
            
            n
          
        
        +
        i
         
        sin
        ⁡
        
          
            
              2
              π
              k
            
            n
          
        
        ,
        
        k
        =
        0
        ,
        1
        ,
        .
        .
        .
        ,
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle u_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1}
  որտեղ 
  
    
      
        
          u
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{k}}
  -ը միավորից արմատներն են։
Միավորի արմատները կարող ենք ներկայացնել նաև ցուցչային տեսքով.

  
    
      
        
          u
          
            k
          
        
        =
        
          e
          
            
              
                2
                π
                k
                i
              
              n
            
          
        
        ,
        
        k
        =
        0
        ,
        1
        ,
        .
        .
        .
        ,
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle u_{k}=e^{\frac {2\pi ki}{n}},\quad k=0,1,...,n-1}
  Այս բանաձևից հետևում է, որ միավորից արմատները միշտ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   են ու դրանք միշտ տարբեր են։


== Հաշվարկ ==


=== Երկրաչափական հաշվարկ ===
Ցանկացած արմատի բացարձակ արժեքը հավասար է 1։ Կոմպլեքս հարթության վրա միավորի արմատները առաջացնում են կանոնավոր բազմանկյան կողեր` ստեղծելով միավոր շրջանագիծ։ Մի կողմը միշտ հանդիսանում է 
  
    
      
        1
        +
        i
        0
      
    
    {\displaystyle 1+i0}
   կոմպլեքս միավորը։
Եթե 
  
    
      
        
          u
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{k}}
  -ն` միավորի արմատը, համարվում է 
  
    
      
        
          
            
              u
              
                k
              
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {u_{k}}}}
   թվի լծորդը, որեմն այդ թիվը նույնպես միավորի արմատ է։
Քննարկենք M-ը, որը միավոր շրջանագծի վրա կամայական կետ է հանդիսանում։ Եթե հեռավորությունների գումարը դուրս է մնում M կետից, ապա միավորի բոլոր արմատները հավասար են 2n։


=== Հանրահաշվական հաշվարկ ===
Միավորից արմատները իրենցից ներկայացնում են ամբողջ հանրահաշվական թվեր։
Միավորից արմատները առաջացնում են բազմապատկման կոմուտատիվ խմբեր։ Մասնավորապես, ցանկացած ամբողջ աստիճանի արմատ միավորից նույնպես համարվում է արմատ միավորից։ Հակադարձ տարրը` այդ խմբի ցանկացած տարրի համար համարվում է լծորդ։ Խմբի չեզոք տարրերը համարվում են կոմպլեքս միավորներ։
Միավորից արմատների խումբը ադիտիվ է 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}
  -ի հետ։ Այստեղից հետևում է, որ դրանք համարվում են ցիկլիկ խմբեր. պարզության համար մենք կարող ենք վերցնել ցանկացած 
  
    
      
        
          u
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{k}}
   տարր, որտեղ 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   ինդեքսըփոխադարձաբար պարզ է 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   թվի հետ.

Հետևանքներ.

  
    
      
        
          u
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{1}}
   միշտ համարվում է պարզ,
եթե 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը պարզ թիվ է, ապա ցանկացած արմատի աստիճանը` բացի 
  
    
      
        ±
        1
      
    
    {\displaystyle \pm 1}
  -ից, կազմում է ողջ խումբը,
պարզ արմատների թիվը հավասար է 
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)}
  , որտեղ 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
   ֆունկցիան Էյլերի ֆունկցիան է։
Եթե 
  
    
      
        n
        >
        1
      
    
    {\displaystyle n>1}
  , ապա միավորից ցանկացած աստիճանի 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   պարզ արամատը ունի հետևյալ բանաձևը.
  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
            −
            1
          
        
        
          u
          
            k
          
        
        =
        
          
            
              
                u
                
                  n
                
              
              −
              1
            
            
              u
              −
              1
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}u^{k}={\frac {u^{n}-1}{u-1}}=0}
  
  
    
      
        
          ∏
          
            k
            =
            1
          
          
            n
            −
            1
          
        
        
          |
        
        1
        −
        
          u
          
            k
          
        
        
          |
        
        =
        n
        
        (
        n
        >
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}|1-u_{k}|=n\qquad (n>1)}
  


=== Օրինակներ ===
Միավորից խորանարդ արմատներ.

  
    
      
        
          {
          
            1
            ;
             
            
              
                
                  −
                  1
                  +
                  i
                  
                    
                      3
                    
                  
                
                2
              
            
            ;
             
            
              
                
                  −
                  1
                  −
                  i
                  
                    
                      3
                    
                  
                
                2
              
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{1;\ {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}}
  Միավորից 4-րդ աստիճանի արմատներ.

  
    
      
        
          {
          
            1
            ;
             
            +
            i
            ;
             
            −
            1
            ;
             
            −
            i
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{1;\ +i;\ -1;\ -i\right\}}
  
5-րդ աստիճանի արմատի համար գոյություն ունի 4 կարևոր տարր.

  
    
      
        
          {
          
            
              e
              
                
                  
                    2
                    π
                    i
                    k
                  
                  5
                
              
            
            
              |
            
            k
            ∈
            {
            1
            ,
            2
            ,
            3
            ,
            4
            }
          
          }
        
        =
        
          {
          
            
              
              
                
                  
                    
                      u
                      
                        
                          5
                        
                      
                      −
                      1
                    
                    4
                  
                
                +
                v
                
                  
                    
                      
                        5
                        +
                        u
                        
                          
                            5
                          
                        
                      
                      8
                    
                  
                
                i
              
              |
            
            u
            ,
            v
            ∈
            {
            −
            1
            ,
            1
            }
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{e^{2\pi ik \over 5}|k\in \{1,2,3,4\}\right\}=\left\{\left.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}}{8}}}i\right|u,v\in \{-1,1\}\right\}}
  6-րդ աստիճանի համար օգտագործվող տարրերը երկուսն են.

  
    
      
        
          {
          
            
              
                
                  1
                  +
                  i
                  
                    
                      3
                    
                  
                
                2
              
            
            ,
            
              
                
                  1
                  −
                  i
                  
                    
                      3
                    
                  
                
                2
              
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}}
  


== Ծանոթագրություններ ==


== Տե՛ս նաև ==
Շրջանային բազմանդամ


== Գրականություն ==
Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9
Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
Milne James S. (1998)։ «Algebraic Number Theory»։ Course Notes։ Արխիվացված օրիգինալից 2012-04-02-ին։ Վերցված է 2016-08-08 


== Արտաքին հղումներ ==
Комплексные корни n-й степени из единицы и решение уравнений.