Պասկալի հայտանիշ

Պասկալի հայտանիշ, մեթոդ, որն օգնում է ստանալու ցանկացած թվի վրա բաժանելիության հայտանիշները։ Իր տեսակով «բաժանելիության յուրահատուկ մեթոդ»։


== Ընդհանուր տեսքը ==
Դիցուք տրված է հաշվարկման տասական համակարգում 
  
    
      
        
          
            
              
                a
                
                  n
                
              
              
                a
                
                  n
                  −
                  1
                
              
              …
              
                a
                
                  2
                
              
              
                a
                
                  1
                
              
              
                a
                
                  0
                
              
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}}}
   տեսքով ներկայացված 
  
    
      
         
        A
      
    
    {\displaystyle ~A}
   բնական թիվը, որտեղ 
  
    
      
        
        
          a
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \!a_{0}}
   — միավորն է, 
  
    
      
        
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \!a_{1}}
   — տասնյակը և այլն։
Դիցուք 
  
    
      
         
        m
      
    
    {\displaystyle ~m}
   —ը ցանկացած բնական թիվ է, որի վրա ցանկանում ենք բաժանել և արտածել նրա վրա բաժանելիության հայտանիշը։
Գտնենք մնացորդների շարքը հետևյալ սխեմայով.

  
    
      
        
        
          r
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \!r_{1}}
   — 
  
    
      
         
        10
      
    
    {\displaystyle ~10}
  -ը 
  
    
      
         
        m
      
    
    {\displaystyle ~m}
  -ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ

  
    
      
        
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \!r_{2}}
   — 
  
    
      
        10
        ⋅
        
          r
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle 10\cdot r_{1}}
   -ը 
  
    
      
         
        m
      
    
    {\displaystyle ~m}
  -ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ

  
    
      
        
        
          r
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \!r_{3}}
   — 
  
    
      
        10
        ⋅
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 10\cdot r_{2}}
   -ը 
  
    
      
         
        m
      
    
    {\displaystyle ~m}
  -ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ

  
    
      
        
        
          r
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \!r_{n}}
   — 
  
    
      
        10
        ⋅
        
          r
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle 10\cdot r_{n-1}}
  -ը 
  
    
      
         
        m
      
    
    {\displaystyle ~m}
  -ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ
  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        ≡
        10
        
          
          (
          mod
          
          m
          )
        
      
    
    {\displaystyle r_{1}\equiv 10{\pmod {m}}}
  

  
    
      
        
          r
          
            i
          
        
        ≡
        10
        ⋅
        
          r
          
            i
            −
            1
          
        
        
          
          (
          mod
          
          m
          )
        
        ,
        
        i
        =
        
          
            
              2...
              n
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{i}\equiv 10\cdot r_{i-1}{\pmod {m}},\;i={\overline {2...n}}}
  Քանի որ մնացորդների քանակը վերջավոր է, ապա այս գործընթացն ավարտվում է (ոչ ուշ, քան 
  
    
      
         
        m
      
    
    {\displaystyle ~m}
   քայլից)և այլևս կարելի է չշարունակել։ Սկսած որևէ 
  
    
      
        i
        =
        
          i
          
            0
          
        
        ,
         
        
          r
          
            i
            +
            p
          
        
        =
        
          r
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle i=i_{0},~r_{i+p}=r_{i}}
   որտեղ 
  
    
      
         
        p
      
    
    {\displaystyle ~p}
  -ն 
  
    
      
         
        {
        
          r
          
            i
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle ~\{r_{i}\}}
   հաջորդականության ստացված պարբերություննէ։
Կարելի է ընդունել 
  
    
      
         
        
          r
          
            0
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle ~r_{0}=1}
  ։ Այդ դեպքում 
  
    
      
         
        A
      
    
    {\displaystyle ~A}
   ունի 
  
    
      
         
        m
      
    
    {\displaystyle ~m}
  - վրա բաժանելուց ստացված նույն մնացորդը, ինչ որ 
  
    
      
        
          r
          
            n
          
        
        ⋅
        
          a
          
            n
          
        
        +
        …
        +
        
          r
          
            2
          
        
        ⋅
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          r
          
            1
          
        
        ⋅
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{n}\cdot a_{n}+\ldots +r_{2}\cdot a_{2}+r_{1}\cdot a_{1}+a_{0}}
  . թիվը։


== Հիմնական մասնավոր դեպքեր ==


=== 2-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Այստեղ 
  
    
      
        
        m
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \!m=2}
  :
Քանի որ 
  
    
      
        10
         
        ⋮
         
        2
      
    
    {\displaystyle 10~\vdots ~2}
  , ապա 
  
    
      
         
        
          r
          
            0
          
        
        =
        1
        ,
         
        
          r
          
            i
          
        
        =
        0
        ,
         
        i
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle ~r_{0}=1,~r_{i}=0,~i\in \mathbb {N} }
  . Այստեղից ստանում ենք հայտնի հայտանիշը. Թիվը 2-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդը հավասար է այդ թվի վերջին թվանշանը 2-ի բաժանելուց ստացված մանցորդին, կամ սովորաբար. Թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը զույգ է։


=== 3-ի և 9-ի վրա բաժանելիության հայտանիշները ===
Այստեղ 
  
    
      
        
        m
        =
        3
      
    
    {\displaystyle \!m=3}
   կամ 
  
    
      
        
        m
        =
        9
      
    
    {\displaystyle \!m=9}
  :
Քանի որ 
  
    
      
        
          10
          
            i
          
        
        ≡
        1
        (
        m
        o
        d
         
        3
        )
        ,
        i
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle 10^{i}\equiv 1(mod\ 3),i\in \mathbb {N} }
   (10-ը ինչպես 9-ի, այնպես էլ 3-ի բաժանելիս մնացորդում ստացվում է 1), ապա բոլոր 
  
    
      
         
        
          r
          
            i
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle ~r_{i}=1}
  : Նշանակում է, թիվը 3-ի (կամ 9-ի) վրա բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասար է նրա թվանշանների գումարը 3-ի (համապատասխանաբար՝ 9-ի) վրա բաժանելիս ստացված մնացորդին, կամ այլ կերպ, թիվը բաժանվում է 3-ի (կամ 9-ի), եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի (կամ 9-ի)։


=== 4-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Այստեղ 
  
    
      
         
        m
        =
        4
      
    
    {\displaystyle ~m=4}
  :
Գտնենք մնացորդների հաջորդականությունը.
  
    
      
         
        
          r
          
            0
          
        
        =
        1
        ,
         
        
          r
          
            1
          
        
        =
        2
        ,
         
        
          r
          
            i
          
        
        =
        0
        ,
         
        i
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle ~r_{0}=1,~r_{1}=2,~r_{i}=0,~i\in \mathbb {N} }
  : Այստեղից ստանում ենք հայտանիշը. թիվը 4-ի վրա բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասարէ 
  
    
      
         
        2
        ⋅
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle ~2\cdot a_{1}+a_{0}}
   -ը 4-ի վրա բաժանելիս ստացված մնացորդին, կամ, նկատի ունենալով, որ մնացորդը կախված է միայն վերջին երկու թվանշաններից, կստացվի. թիվը բաժանվում է 4-ի, եթե նրա վերջին երկու թվանշաններով կազմված թիվը բաժանվում է 4-ի ։


=== 5-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Այստեղ 
  
    
      
         
        m
        =
        5
      
    
    {\displaystyle ~m=5}
  .
Քանի որ 
  
    
      
        10
         
        ⋮
         
        5
      
    
    {\displaystyle 10~\vdots ~5}
  , ապա 
  
    
      
         
        
          r
          
            0
          
        
        =
        1
        ,
         
        
          r
          
            i
          
        
        =
        0
        ,
         
        i
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle ~r_{0}=1,~r_{i}=0,~i\in \mathbb {N} }
  . Այստեղից ստանում ենք հայտնի հայտանիշը. Թիվը 5-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդը հավասար է այդ թվի վերջին թվանշանը 5-ի բաժանելուց ստացված մանցորդին, կամ սովորաբար. Թիվը բաժանվում է 5-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը 0 է կամ 5։


=== 7-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Այստեղ 
  
    
      
        
        m
        =
        7
      
    
    {\displaystyle \!m=7}
  :
Գտնենք մնացորդները.

  
    
      
        10
        =
        1
        ⋅
        7
        +
        3
        ⇒
        
          r
          
            1
          
        
        =
        3
      
    
    {\displaystyle 10=1\cdot 7+3\Rightarrow r_{1}=3}
  

  
    
      
        10
        ⋅
        
          r
          
            1
          
        
        =
        4
        ⋅
        7
        +
        2
        ⇒
        
          r
          
            2
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle 10\cdot r_{1}=4\cdot 7+2\Rightarrow r_{2}=2}
  

  
    
      
        10
        ⋅
        
          r
          
            2
          
        
        =
        2
        ⋅
        7
        +
        6
        ⇒
        
          r
          
            3
          
        
        =
        6
      
    
    {\displaystyle 10\cdot r_{2}=2\cdot 7+6\Rightarrow r_{3}=6}
  

  
    
      
        10
        ⋅
        
          r
          
            3
          
        
        =
        8
        ⋅
        7
        +
        4
        ⇒
        
          r
          
            4
          
        
        =
        4
      
    
    {\displaystyle 10\cdot r_{3}=8\cdot 7+4\Rightarrow r_{4}=4}
  

  
    
      
        10
        ⋅
        
          r
          
            4
          
        
        =
        5
        ⋅
        7
        +
        5
        ⇒
        
          r
          
            5
          
        
        =
        5
      
    
    {\displaystyle 10\cdot r_{4}=5\cdot 7+5\Rightarrow r_{5}=5}
  

  
    
      
        10
        ⋅
        
          r
          
            5
          
        
        =
        7
        ⋅
        7
        +
        1
        ⇒
        
          r
          
            6
          
        
        =
        1
        =
        
          r
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle 10\cdot r_{5}=7\cdot 7+1\Rightarrow r_{6}=1=r_{0}}
  , ցիկլը փակվում է։Հետևաբար,  ցանկացած 
  
    
      
        A
        =
        
          
            
              
                a
                
                  n
                
              
              
                a
                
                  n
                  −
                  1
                
              
              …
              
                a
                
                  2
                
              
              
                a
                
                  1
                
              
              
                a
                
                  0
                
              
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}}}
   թվի համար 7-ի վրա նրա բաժանելուց ստացված մանցորդը հավասար է.

  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        +
        3
        
          a
          
            1
          
        
        +
        2
        
          a
          
            2
          
        
        +
        6
        
          a
          
            3
          
        
        +
        4
        
          a
          
            4
          
        
        +
        5
        
          a
          
            5
          
        
        +
        
          a
          
            6
          
        
        +
        …
      
    
    {\displaystyle a_{0}+3a_{1}+2a_{2}+6a_{3}+4a_{4}+5a_{5}+a_{6}+\ldots }
   :


==== Օրինակ ====
Դիտարկենք 48916 թիվը։ Վերը ապացուցվածի համաձայն,

  
    
      
        48916
        ≡
        6
        +
        3
        ⋅
        1
        +
        2
        ⋅
        9
        +
        6
        ⋅
        8
        +
        4
        ⋅
        4
        =
      
    
    {\displaystyle 48916\equiv 6+3\cdot 1+2\cdot 9+6\cdot 8+4\cdot 4=}
  

  
    
      
        6
        +
        3
        +
        18
        +
        48
        +
        16
        =
        91
        ≡
        0
        (
        m
        o
        d
         
        7
        )
      
    
    {\displaystyle 6+3+18+48+16=91\equiv 0(mod\ 7)}
  ,նշանակում է, 48916 թիվը բաժանվում է 7-ի վրա։


=== 11 -ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Այստեղ 
  
    
      
        
        m
        =
        11
      
    
    {\displaystyle \!m=11}
  .
Քանի որ 
  
    
      
        
          10
          
            2
            n
          
        
        =
        99
        ⋅
        101
        …
        01
        +
        1
        ≡
        1
        (
        m
        o
        d
         
        11
        )
      
    
    {\displaystyle 10^{2n}=99\cdot 101\ldots 01+1\equiv 1(mod\ 11)}
  , ապա բոլոր 
  
    
      
         
        
          r
          
            2
            i
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle ~r_{2i}=1}
  , իսկ 
  
    
      
        
          r
          
            2
            i
            −
            1
          
        
        =
        10
        ≡
        −
        1
        (
        m
        o
        d
         
        11
        )
      
    
    {\displaystyle r_{2i-1}=10\equiv -1(mod\ 11)}
  : Այստեղից կարելի է ստանալ 11-ի վրա բաժանելիության պարզ հայտանիշը.

թիվը 11-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդը հավասար է նրա թվանշանների այն գումարը 11-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդին, որտեղ յուրաքանչյուր կենտ թվով արտահայտված դիրքում գտնվող թվանշանը (սկսած միավորից) վերցված է «−» նշանով։Այլ կերպ ասած.

եթե թվի բոլոր թվանշանները բաժանենք երկու խմբի այնպես, որ մի խմբում լինեն բոլոր կենտ դիրքերում գտնվող թվանշանները, մյուսում` զույգ, յուրաքանչյուր խմբում գումարենք բոլոր թվանշանները և ստացված գումարներից մեկից հանենք մյուսը, ապա ստացված թիվը 11-ի բաժանելուց ստացված մնացորդը կլինի նույնը, ինչ ելակետային թվի համար։


== Գրականություն ==
Признаки делимости Archived 2020-07-18 at the Wayback Machine. М., "Наука" 1988 г., 94 стр. 165 000 экз. (Популярные лекции по математике)