0,(9)

0,(9) կամ 0,999… (
  
    
      
        0.
        
          
            
              9
              ¯
            
          
        
        ,
        0.
        
          
            
              9
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 0.{\bar {9}},0.{\dot {9}}}
  ) («զրո ամբողջ ինը պարբերական»), պարբերական տասնորդական կոտորակ, որն իրենից ներկայացնում է 1 թիվը։ Այլ բառերով՝ 

  
    
      
        1
        =
        0
        
          ,
        
        (
        9
        )
        .
      
    
    {\displaystyle 1=0{,}(9).}
  Այս հավասարությունն ունի մի քանի մաթեմատիկական ապացույցներ՝ հիմնված տեսական սահմանների վրա։


== Ապացույցներ ==


=== Հանրահաշվական ===


==== Սյունակով բաժանում ====
Հաճախ ռացիոնալ կոտորակը կարող է ներկայացվել տասնորդական տեսքով միայն անվերջ պոչով։ Օգտագործելով սյունակով բաժանումը՝ երկու ամբողջական թվերի բաժանումը, օրինակ՝ 
  
    
      
        
          
            1
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
   բերում է անվերջ 0,333… տասնորդական գրառմամբ, որտեղ թվերը անվերջ կրկնվում են։ Այդկերպ հեշտ ապացուցվում է 0,999… = 1 հավասարությունը։ 3-ը 3-ի բազմապատկումը բերում է 9-ի յուրաքանչյուր շարքում, այդ իսկ պատճառով 3 × 0,333… համարժեք է 0,999…։ Եվ 3 × 1⁄3 համարժեք է 1-ի, այդ իսկ պատճառով 0,999… = 1։


==== Թվերի տեղաշարժում ====
Երբ տասնորդական գրառմամբ թիվը բազմապատկվում է 10-ի, թվերը չեն փոխվում, սակայն յուրաքանչյուր շարքը շարժվում է մեկ թվով ձախ։ Հետևաբար, 10 × 0,999… = 9,999…, ինչը 9 անգամ ավել է, քան հիմնական թիվը։ Տեսնելու համար 0,999… հանենք 9,999…-ից, յուրաքանչյուր թիվ ստորակետից հետո անհետանում է, քանի որ 9 — 9 = 0 յուրաքանչյուր շարքի համար։ Վերջին քայլն օգտագործում է հանրահաշվի կանոնները․  

  
    
      
        
          
            
              
                x
              
              
                
                =
                0,999
                …
                ;
              
            
            
              
                10
                x
              
              
                
                =
                9,999
                …
                ;
              
            
            
              
                10
                x
                −
                x
              
              
                
                =
                9,999
                …
                −
                0,999
                …
                ;
              
            
            
              
                9
                x
              
              
                
                =
                9
                ;
              
            
            
              
                x
              
              
                
                =
                1
                ;
              
            
            
              
                0,999
                …
              
              
                
                =
                1.
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}x&=0{,}999\ldots ;\\10x&=9{,}999\ldots ;\\10x-x&=9{,}999\ldots -0{,}999\ldots ;\\9x&=9;\\x&=1;\\0{,}999\ldots &=1.\end{aligned}}}
  


==== Տարբերության գտնելը ====
Երկու թվերը հավասար են, եթե նրանց տարբերությունը հավասար է զրոյի։ Այսպես, պետք է գտնել 1-0,(9 արտահայտության լուծումը։ Սկզբում դիտարկենք առավել հեշտ օրինակը։ Գտնենք 1 և 0,9 թվերի տարբերությունը (առաջին իտերացիա), ապա ավելացնենք շարքի վերջին թվին ևս մեկ 9 (ստացվում է 0,99), գտնենք 1 թվի և նոր հանելիի՝ 0,99-ի (երկրորդ իտերացիա) տարբերությունը։ Ինչից հետո նույն սխեմայով որոշում ենք 1 և 0,999 (երրորդ իտերացիա) թվերի տարբերությունը և այլն․ 

  
    
      
        
          
            
              
                1
                −
                0
                
                  ,
                
                9
              
              
                
                =
                0
                
                  ,
                
                1
              
            
            
              
                1
                −
                0
                
                  ,
                
                99
              
              
                
                =
                0
                
                  ,
                
                01
              
            
            
              
                1
                −
                0,999
              
              
                
                =
                0,001
              
            
            
              
                …
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}1-0{,}9&=0{,}1\\1-0{,}99&=0{,}01\\1-0{,}999&=0{,}001\\\ldots \\\end{aligned}}}
  Այսպես, իտերացիայի համարի բարձրացման համար հանելին ձգտում է 0,(9)-ի, իսկ տարբերությունը՝ զրոյի։ Եվ ընդհանուր դեպքում այս իրադրությունը կարելի է գրառել հետևյալ կերպ․ 

  
    
      
        
          
            
              
                1
                −
                0
                
                  ,
                
                
                  
                    
                      
                        99
                        …
                        9
                      
                      ⏟
                    
                  
                  
                    n
                  
                
              
              
                
                =
                0
                
                  ,
                
                
                  
                    
                      
                        00
                        …
                        0
                      
                      ⏟
                    
                  
                  
                    m
                    =
                    n
                    −
                    1
                  
                
                1
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}1-0{,}\underbrace {99\ldots 9} _{n}&=0{,}\underbrace {00\ldots 0} _{m=n-1}1,\\\end{aligned}}}
  որտեղ n՝ իտերացիայի համար (հանելիում ստորակետից հետո ինների քանակությունը),m՝ զրոյի և տարբերության միավորի միջև զրոների քանակությունը։
1-0,(9) տարբերությունը գտնելու համար իտերացիայի համարը հավասարեցնենք անվերջության․ 
  
    
      
        n
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle n=\infty }
  ։ Այդ դեպքում 
  
    
      
        m
        =
        n
        −
        1
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle m=n-1=\infty }
  .
Այդկերպ, որոնելի տարբերությունը ձևականորեն ունի զրոների անվերջ քանակություն ստորակետից հետո, որոնցից հետո գալիս է միավորը

  
    
      
        1
        −
        0
        
          ,
        
        (
        9
        )
        =
        [
        0
        
          ,
        
        (
        0
        )
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle 1-0{,}(9)=[0{,}(0)1]}
  ։Իրականում, եթե ստորակետից հետո գտնվում են բազում թվեր (տվյալ դեպքում զրոները), ապա նրան հաջորդող շարքում անհնար է ավելացնել որևէ թիվ, քանի որ նման շարք գոյություն չունի։ Այս դեպքում որոնելի տարբերությունը ստորակետից հետո կլինի զրոների ամբողջություն, որը երբեք չի ավարտվի (զրոների անվերջություն), և հետևապես միավորները բոլոր զրոներից հետո չեն լինի։ Այսկերպ, տարբերությունը կներկայացվի մաքուր պարբերական կոտորակի տեսքով, որն ունի զրո ամբողջական մաս և պարբերություն՝ բաղկացած մեկ զրոյից․ 0,(0), ինչը 0 թվի ներկայացումն է պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով․

  
    
      
        0
        
          ,
        
        (
        0
        )
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle 0{,}(0)=0.}
  Այսպիսով,

  
    
      
        1
        −
        0
        
          ,
        
        (
        9
        )
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle 1-0{,}(9)=0,}
  ինչը նշանակում է․

  
    
      
        1
        =
        0
        
          ,
        
        (
        9
        )
        .
      
    
    {\displaystyle 1=0{,}(9).}
  


=== Վերլուծականներ ===
Ընդհանուր տեսքով 0,999… թիվը կարելի է գրառել որպես 
  
    
      
        
          b
          
            0
          
        
        .
        
          b
          
            1
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        
          b
          
            4
          
        
        
          b
          
            5
          
        
        …
      
    
    {\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}b_{5}\dots }
  


==== Անվերջ հաջորդականություններ ====
Տասնորդական համակարգի որոշմանը համապատասխան հաշվարկեք շարքի գումարը․ 

  
    
      
        
          b
          
            0
          
        
        .
        
          b
          
            1
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        
          b
          
            4
          
        
        …
        =
        
          b
          
            0
          
        
        +
        
          b
          
            1
          
        
        (
        
          
            
              1
              10
            
          
        
        )
        +
        
          b
          
            2
          
        
        (
        
          
            
              1
              10
            
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
        
        (
        
          
            
              1
              10
            
          
        
        
          )
          
            3
          
        
        +
        
          b
          
            4
          
        
        (
        
          
            
              1
              10
            
          
        
        
          )
          
            4
          
        
        +
        ⋯
        .
      
    
    {\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots =b_{0}+b_{1}({\tfrac {1}{10}})+b_{2}({\tfrac {1}{10}})^{2}+b_{3}({\tfrac {1}{10}})^{3}+b_{4}({\tfrac {1}{10}})^{4}+\cdots .}
  0,999…-ի համար կիրառենք հատվող երկարաչափական պրոգրեսիայի գումարի մասին տեսությունը․

Եթե 
  
    
      
        
          |
        
        r
        
          |
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle |r|<1}
   , ապա 
  
    
      
        a
        r
        +
        a
        
          r
          
            2
          
        
        +
        a
        
          r
          
            3
          
        
        +
        ⋯
        =
        
          
            
              a
              r
            
            
              1
              −
              r
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}.}
  Զուգամիտության շառավիղ (պրոգրեսիայի հայտարար) 
  
    
      
        r
        =
        
          
            
              1
              10
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r=\textstyle {\frac {1}{10}}}
  , և այդկերպ․

  
    
      
        0.999
        …
        =
        9
        (
        
          
            
              1
              10
            
          
        
        )
        +
        9
        (
        
          
            
              1
              10
            
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        9
        (
        
          
            
              1
              10
            
          
        
        
          )
          
            3
          
        
        +
        ⋯
        =
        
          
            
              9
              (
              
                
                  
                    1
                    10
                  
                
              
              )
            
            
              1
              −
              
                
                  
                    1
                    10
                  
                
              
            
          
        
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle 0.999\ldots =9({\tfrac {1}{10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.}
  Նման ապացույցը (10-ի և 9,999…-ի էկվիվալենտության մասին) հրապարակվել է 1770 թվականին Լեոնարդ Էյլերի կողմից «Հանրահաշվի տարրեր» գրքում։

Համամիտվող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը հայտնի էր մինչ Էյլերը։ 1811 թվականին թողարկված An Introduction to Algebra դասագիրքը ևս կիրառում է երկարաչափական պրոգրեսիան 0,(9) թվի համար։ XIX դարում գումարման նման կանոնի արձագանքը դարձավ փաստ․ շարքի գումարը պետք է հաջորդականության մասնակի գումարների սահմանը։
Հաջորդականությունը (x0, x1, x2, …) ունի x սահման այն և միայն այն ժամանակ, երբ |x − xn| անվերջ փոքր է n աճով։ 0.999… = 1 հաստատումը կարող է փոփոխվել որպես սահման․

  
    
      
        0.999
        …
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        0.
        
          
            
              
                99
                …
                9
              
              ⏟
            
          
          
            n
          
        
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            9
            
              10
              
                k
              
            
          
        
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          (
          
            1
            −
            
              
                1
                
                  10
                  
                    n
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        1
        −
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              10
              
                n
              
            
          
        
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle 0.999\ldots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1.}
  Վերջին 
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              10
              
                n
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0}
   քայլն արվում է այն հիմքով, որ իրական թվերը բավարարում են Արքիմեդի աքսիոմը։


== Կիրառություն ==
Կան բազում կիրառություններ, օրինակ՝ թվերի տարրական տեսության մեջ։ 1802 թվականին H. Goodwin-ը հրապարակեց ուսումնասիրություն, որ նա հայտնաբերել էր պարզ թվերը բաժանելիս, օրինակ․ 

1/7 = 0,142857142857… և 142 + 857 = 999.
1/73 = 0,0136986301369863… և 0136 + 9863 = 9999.1836 թվականին Միդին ընդհանրացրեց հետազոտության արդյունքները մինչ Միդիի թեորեմը։


== Մշակույթում ==
The Straight Dope նորությունների սյունակում ապացուցվում է 0,999… 1⁄3 և սահմանների օգնությամբ՝ խոսելով չհասկանալու մասին․ 

Ասվում է․ ,999~-ը իրականում ներկայացնում է ոչ թե թիվ, այլ գործողություն։ Թիվը գտնելու համար մենք պետք է կանգենցնենք այդ գործողությունը։ Եվ այդ պահին ,999~ = 1 հավասարությունը պարզապես քանդվում է։
Հիմարություն.

0,999…-ի մասին հարցը դարձել է այնքան տարածված թեմա, որ թողարկել է հետևյալը․

Մենք շատ ուրախ ենք փակել այս թեմայի մասին գիրքը հավերժ։ Մենք վկա ենք եղել տանջանքների և անհանգստության՝ կապված այն բանի հետ, թե 0,999~ հավասարվում է 1-ի կամ ոչ, և մենք հպարտությամբ ներկայացնում ենք հետևյալ ապացույցը, որը որոշում է մեր գնորդների համար այդ խնդիրը։

Ապա հաջորդում են ապացույցներ՝ հիմնված 10-ի վրա բազմապատկման և սահմանների մասին։


== Ծանոթագրություններ ==