Մյոբիուսի ֆունկցիա

Մյոբիուսի ֆունկցիա, մուլտիպլիկատիվ թվաբանական ֆունկցիա, որը կիրառվում է թվերի տեսության մեջ և կոմբինատորիկայում։ Անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Ավգուստ Մյոբիուսի պատվին, որը առաջին անգամ դիտարկել է այն 1831 թվականին։


== Սահմանում ==

  
    
      
        μ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \mu (n)}
   որոշված է բոլոր 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   բնական թվերի համար, ընդունում է -1,0,1 արժեքները՝ կախված 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   թվի պարզ արտադրիչների վերլուծման բնույթից։

  
    
      
        μ
        (
        n
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \mu (n)=1}
  , եթե 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը ազատ է քառակուսուց(չի բաժանվում ոչ մի պարզ թվի քառակուսու վրա), իսկ պարզ արտադրիչների վերլուծությունում արտադրիչների քանակը զույգ է։

  
    
      
        μ
        (
        n
        )
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \mu (n)=-1}
  , եթե 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը ազատ է քառակուսուց, իսկ պարզ արտադրիչների վերլուծությունում արտադրիչների քանակը կենտ է։

  
    
      
        μ
        (
        n
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mu (n)=0}
  , եթե 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը ազատ չէ քառակուսուց։Ըստ սահմանման ընդունված է համարել 
  
    
      
        μ
        (
        1
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \mu (1)=1}
  ։


== Հատկություններ ==
Մյոբիուսի ֆունկցիան մուլտիպլիկատիվ է՝ ցանկացած 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   փոխադարձ պարզ թվերի համար ճիշտ է 
  
    
      
        μ
        (
        a
        b
        )
        =
        μ
        (
        a
        )
        μ
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle \mu (ab)=\mu (a)\mu (b)}
   հավասարությունը։

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   ամբողջ թվի բոլոր բաժանարարների Մյոբիուսի ֆունկցիայի արժեքների գումարը հավասար է 0-ի։
  
    
      
        
          ∑
          
            d
            
              |
            
            n
          
        
        μ
        (
        d
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  1
                  ,
                
                
                  n
                  =
                  1
                  ,
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  n
                  >
                  1.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1,\\0,&n>1.\end{cases}}}
  Սա հետևում է այն բանից, որ ցանկացած ոչ դատարկ վերջավոր բազմության կենտ էլեմենտներով ենթաբազմությունների քանակը հավասար է զույգ էլեմենտներով ենթաբազմությունների քանակին։

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        μ
        (
        k
        )
        
          [
          
            
              n
              k
            
          
          ]
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\mu (k)\left[{\frac {n}{k}}\right]=1}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              μ
              (
              k
              n
              )
            
            k
          
        
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (kn)}{k}}=0,}
   որտեղ n -ը դրական ամբողջ թիվ է։

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              μ
              (
              k
              )
              ln
              ⁡
              k
            
            k
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln k}{k}}=-1}
  
Մյոբիուսի ֆունկցիան սերտ կապված է Ռիմանի զետա ֆունկցիայի  հետ։ Մյոբիուսի ֆունկցիայով են արտահայտվում Դիրիխլիեյի ֆունկցիայի շարքի գործակիցները, որոնք մուլտիպլիկատիվ հակադարձ են Ռիմանի զետա ֆունկցիային․
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              μ
              (
              n
              )
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              ζ
              (
              s
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}
  .Շարքը բացարձակ զուգամետ է 
  
    
      
        
          
            R
            e
          
        
        
        s
        >
        1
      
    
    {\displaystyle {\rm {Re}}\,s>1}
   ուղղի վրա, 
  
    
      
        
          
            R
            e
          
        
        
        s
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\rm {Re}}\,s=1}
   ուղղի վրա զուգամիտում է պայմանական, 
  
    
      
        1
        
          /
        
        2
        <
        
          
            R
            e
          
        
        
        s
        <
        1
      
    
    {\displaystyle 1/2<{\rm {Re}}\,s<1}
   միջակայքում պայմանական զուգամիտությունը համարժեք է Ռիմանի հիպոթեզին, իսկ 
  
    
      
        
          
            R
            e
          
        
        
        s
        <
        1
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle {\rm {Re}}\,s<1/2}
   դեպքում շարքը չի զուգամետում։
Երբ 
  
    
      
        
          
            R
            e
          
        
        
        s
        >
        1
      
    
    {\displaystyle {\rm {Re}}\,s>1}
   ճիշտ է նաև․

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                |
              
              μ
              (
              n
              )
              
                |
              
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        =
        
          
            
              ζ
              (
              s
              )
            
            
              ζ
              (
              2
              s
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              μ
              (
              p
              n
              )
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        =
        
          
            
              p
              
                s
              
            
            
              (
              1
              −
              
                p
                
                  s
                
              
              )
              ζ
              (
              s
              )
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (pn)}{n^{s}}}={\frac {p^{s}}{(1-p^{s})\zeta (s)}},}
   որտեղ p — պարզ թիվ է։
Մյոբիուսի ֆունկցիան կապված է նաև Մերտենսի ֆունկցիայի հետ, որը կապված է  Ռիմանի զետա ֆունկցիայի զրոյական կետերի հետ։
  
    
      
        M
        (
        n
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        μ
        (
        k
        )
        .
      
    
    {\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k).}
  Ճշմարիտ են նաև․
  
    
      
        
          
            1
            x
          
        
        
          ∑
          
            n
            ≤
            x
          
        
        μ
        (
        n
        )
        =
        o
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{x}}\sum \limits _{n\leq x}\mu (n)=o(1)}
   երբ 
  
    
      
        x
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle x\rightarrow \infty }
  

  
    
      
        
          
            1
            x
          
        
        
          ∑
          
            n
            ≤
            x
          
        
        
          |
        
        μ
        (
        n
        )
        
          |
        
        =
        
          
            1
            
              ζ
              (
              2
              )
            
          
        
        +
        O
        (
        
          
            1
            
              x
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{x}}\sum \limits _{n\leq x}|\mu (n)|={\frac {1}{\zeta (2)}}+O({\frac {1}{\sqrt {x}}})}
  ,Բազմության զրոների գծային խտությունը հավասար է 
  
    
      
        1
        −
        1
        
          /
        
        ζ
        (
        2
        )
        =
        0
        ,
        3920729
      
    
    {\displaystyle 1-1/\zeta (2)=0,3920729}
  , իսկ միավորների խտությունը՝ 
  
    
      
        1
        
          /
        
        2
        ζ
        (
        2
        )
        =
        0
        ,
        30396355
      
    
    {\displaystyle 1/2\zeta (2)=0,30396355}
  ։


== Մյոբիուսի հղում ==


=== Մյոբիուսի հղման առաջին բանաձև ===
Երկու թվաբանական 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   և 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   ֆունկցիաների համար

  
    
      
        g
        (
        n
        )
        =
        
          ∑
          
            d
            
            ∣
            
            n
          
        
        f
        (
        d
        )
      
    
    {\displaystyle g(n)=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)}
  այն և միայն այն դեպքում, երբ

  
    
      
        f
        (
        n
        )
        =
        
          ∑
          
            d
            
            ∣
            
            n
          
        
        μ
        (
        d
        )
        g
        
          (
          
            
              n
              d
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d}}\right)}
  ։


=== Մյոբիուսի հղման երկրորդ բանաձևը ===
Երկու իրական 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   և 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle g(x)}
    ֆունկցիաների համար, որոնք որոշված են 
  
    
      
        x
        ⩾
        1
      
    
    {\displaystyle x\geqslant 1}
    համար

  
    
      
        g
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            ⩽
            x
          
        
        f
        
          (
          
            
              x
              n
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle g(x)=\sum _{n\leqslant x}f\left({\frac {x}{n}}\right)}
  այն և միայն այն դեպքում, երբ

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            ⩽
            x
          
        
        μ
        (
        n
        )
        g
        
          (
          
            
              x
              n
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)}
  ։Այստեղ 
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            ⩽
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n\leqslant x}}
   գումարը  մեկնաբանվում է որպես 
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ⌊
            x
            ⌋
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }}
  ։


== Մյոբիուսի ընդհանրացված թեորեմը ==
Դիցուք տրված է որոշակի կարգավորված բազմություն 
  
    
      
        ≺
      
    
    {\displaystyle \prec }
   հարաբերությամբ։ Համարենք, որ 
  
    
      
        a
        ≼
        b
        
        ⟺
        
        a
        ≺
        b
        ∨
        a
        =
        b
      
    
    {\displaystyle a\preccurlyeq b\iff a\prec b\lor a=b}
  ։


=== Սահմանում ===
Մյոբիուսի ընդհանրացված ֆունկցիան  որոշվում է

  
    
      
        
          
            μ
            
              A
            
            
              ∗
            
          
        
        (
        a
        ,
        b
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  1
                  ,
                
                
                  a
                  =
                  b
                
              
              
                
                  −
                  
                    ∑
                    
                      a
                      ≼
                      z
                      ≺
                      b
                    
                  
                  
                    
                      
                        μ
                        
                          A
                        
                        
                          ∗
                        
                      
                    
                    (
                    a
                    ,
                    z
                    )
                  
                  ,
                
                
                  a
                  ≺
                  b
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  b
                  ≺
                  a
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mu _{A}^{*}}(a,b)={\begin{cases}1,&a=b\\-\sum \limits _{a\preccurlyeq z\prec b}{{\mu _{A}^{*}}(a,z)},&a\prec b\\0,&b\prec a\end{cases}}}
   ռեկուրենտ առընչությամբ։


=== Հղման բանաձևը ===
Դիցուք g և f ֆունկցիաները ընդունում են իրական արժեքներ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   բազմության վրա և տեղի ունի 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            y
            ≼
            x
          
        
        
          f
          (
          y
          )
        
      
    
    {\displaystyle g(x)=\sum \limits _{y\preccurlyeq x}{f(y)}}
   պայմանը։

Ապա 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            y
            ≼
            x
          
        
        
          
            
              μ
              
                A
              
              
                ∗
              
            
          
          (
          y
          ,
          x
          )
          g
          (
          y
          )
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=\sum \limits _{y\preccurlyeq x}{{\mu _{A}^{*}}(y,x)g(y)}}
  ։


=== Կապը Մյոբիուսի դասական ֆունկցիայի հետ ===
Եթե 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   բազմության փոխարեն դիտարկենք բնական թվերի բազմությունը, իսկ 
  
    
      
        a
        ≺
        b
      
    
    {\displaystyle a\prec b}
   հարաբերության փոխարեն 
  
    
      
        a
        ∣
        b
        ∧
        a
        ≠
        b
      
    
    {\displaystyle a\mid b\land a\not =b}
   հարաբերությունը, ապա կստանանք  
  
    
      
        
          
            μ
            
              
                N
              
            
            
              ∗
            
          
        
        (
        a
        ,
        b
        )
        =
        μ
        
          (
          
            
              b
              a
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\mu _{\mathbb {N} }^{*}}(a,b)=\mu \left({\frac {b}{a}}\right)}
  , որտեղ 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
   - Մյոբիուսի դասական ֆունկցիան է։


== Տես նաև ==
Դիրիխլեյի բանաձևը


== Գրականություն ==
Ի․ Մ․ Վինոգրադով, Թվերի տեսության հիմունքներ, 9-րդ հրատարակություն, Մ․1981։
Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.


== Արտաքին հղումներ ==
Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №5(չաշխատող հղում), 2013.
Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №6(չաշխատող հղում), 2013.
Обобщённая формула обращения Мёбиуса