Տանգենսների թեորեմ

Տանգենսների թեորեմ, եռանկյան երկու անկյունների տանգենսները և այդ անկյունների դիմաց ընկած կողմերի երկարություններն իրար հետ կապող թեորեմ։
Չնայած նրան, որ տանգենսների թոերեմն այնպիսի լայն հայտնիություն չունի, ինչպես սինուսների և կոսինուսների թեորեմները, բավականին օգտակար թեորեմա է, և կարող է կիրառվել այն դեպքերում, երբ հայտնի են եռանկյան երկու կողմերն ու մի անկյունը, կամ, ընդհակառակը, երկու անկյունը և մեկ կողմը։


== Պատմություն ==
Տանգենսների թեորեմը գնդային անկյունների համար XIII դարում նկարագրել է պարսկական մաթեմատիկ Նասր ալ-Դին Թուսին (1201—1274), որը նաև իր հինգ տոմանոց «Տրակտատ լիարժեք քառանկյան մասին» աշխատության մեջ հարթ եռանկյունների համար ներկայացրել է սինուսների թեորեման։
Թեորեմն անվանում են նաև «Ռեգիոմոնտանի բանաձև», գերմանացի աստղագետ և մաթեմատիկոս Յոհաննա Մյուլլերի պատվին, ով դուրս էր բերել այդ բանաձևը (լատ.՝ Regiomontanus): Մյուլլերին անվանեցին «Կյոնիգսբերժեց», գերմաներն՝ König՝ արքա, Berg՝ սար, իսկ լատիներեն «արքա» և «սար» ուղղական հովով՝ regis և montis: Այստեղից «Ռեգիոմոնտան»-ը Մյուլլերի լատինացված ազգանունն է։

Նկար 1-ում a, b, և c-ն եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են, α, β, և γ-ն համապատասխան կողմերի դիմաց ընկած անկյուներն են (դիմացի անկյունները)։ Տանգենսների թեորեմը պնդում է, որ

  
    
      
        
          
            
              a
              −
              b
            
            
              a
              +
              b
            
          
        
        =
        
          
            
              
                t
                g
              
              
                
                  
                    α
                    −
                    β
                  
                  2
                
              
            
            
              
                t
                g
              
              
                
                  
                    α
                    +
                    β
                  
                  2
                
              
            
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}:}
  


== Ապացույց ==
Տանգենսների թեորեմը կարելի է ապացուցել սինուսների թեորեմի միջոցով.

  
    
      
        
          
            a
            
              sin
              ⁡
              α
            
          
        
        =
        
          
            b
            
              sin
              ⁡
              β
            
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}:}
  Թող՝

  
    
      
        d
        =
        
          
            a
            
              sin
              ⁡
              α
            
          
        
        =
        
          
            b
            
              sin
              ⁡
              β
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},}
  որտեղից

  
    
      
        a
        =
        d
        sin
        ⁡
        α
      
    
    {\displaystyle a=d\sin \alpha }
  

  
    
      
        b
        =
        d
        sin
        ⁡
        β
        :
      
    
    {\displaystyle b=d\sin \beta :}
  Այստեղից հետևում է, որ

  
    
      
        
          
            
              a
              −
              b
            
            
              a
              +
              b
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              sin
              ⁡
              α
              −
              d
              sin
              ⁡
              β
            
            
              d
              sin
              ⁡
              α
              +
              d
              sin
              ⁡
              β
            
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              α
              −
              sin
              ⁡
              β
            
            
              sin
              ⁡
              α
              +
              sin
              ⁡
              β
            
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}:}
  Հայտնի եռանկյունաչափական նույնությունն օգտագործելով

  
    
      
        sin
        ⁡
        α
        ±
        sin
        ⁡
        β
        =
        2
        sin
        ⁡
        
          
            
              α
              ±
              β
            
            2
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            
              α
              ∓
              β
            
            2
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}},\;}
  ստանում ենք.

  
    
      
        
          
            
              a
              −
              b
            
            
              a
              +
              b
            
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              α
              −
              sin
              ⁡
              β
            
            
              sin
              ⁡
              α
              +
              sin
              ⁡
              β
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              sin
              ⁡
              
                
                  
                    α
                    −
                    β
                  
                  2
                
              
              cos
              ⁡
              
                
                  
                    α
                    +
                    β
                  
                  2
                
              
            
            
              2
              sin
              ⁡
              
                
                  
                    α
                    +
                    β
                  
                  2
                
              
              cos
              ⁡
              
                
                  
                    α
                    −
                    β
                  
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                t
                g
              
              
                
                  
                    α
                    −
                    β
                  
                  2
                
              
            
            
              
                t
                g
              
              
                
                  
                    α
                    +
                    β
                  
                  2
                
              
            
          
        
        :
        
        ◼
      
    
    {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}={\frac {2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}:\qquad \blacksquare }
  Երկու անկյունների սինուսների գումարի և տարբերության փոխարեն ապացույցի մեջ կարելի է կիրառել հետևյալ հայտնի նույնությունը.

  
    
      
        
          t
          g
        
        
          
            
              α
              ±
              β
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              α
              ±
              sin
              ⁡
              β
            
            
              cos
              ⁡
              α
              +
              cos
              ⁡
              β
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {tg} {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}}
  :


== Մոլվեյդի բանաձևերի կիրառմամբ մեկ այլ ապացույց ==
Մոլվեյդի բանաձևերն ունեն հետևյալ տեսքը
  
    
      
        
          
            
              a
              +
              b
            
            c
          
        
        =
        
          
            
              cos
              ⁡
              
                
                  
                    A
                    −
                    B
                  
                  2
                
              
            
            
              sin
              ⁡
              
                
                  C
                  2
                
              
            
          
        
        ;
      
    
    {\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} {\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {sin} {\frac {C}{2}}}};}
  

  
    
      
        
          
            
              a
              −
              b
            
            c
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              
                
                  
                    A
                    −
                    B
                  
                  2
                
              
            
            
              cos
              ⁡
              
                
                  C
                  2
                
              
            
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle {\frac {a-b}{c}}={\frac {\operatorname {sin} {\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {cos} {\frac {C}{2}}}}:}
  որտեղ 
  
    
      
        A
        ,
        
        B
        ,
        
        C
      
    
    {\displaystyle A,\;B,\;C}
  -ն համապատասխան գագաթներով եռանկյան անկյուններն են և 
  
    
      
        a
        ,
        
        b
        ,
        
        c
      
    
    {\displaystyle a,\;b,\;c}
  -ն՝ համապատասխանաբար 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   և 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  , 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   և 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  , 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   գագաթների միջև ընկած կողմերի երկարությունները։

Մասերի բաժանելով վերջին հավասարությունների աջ և ձախ մասերը և իրար հավասարեցնելով ստացված երկու արդյունքները, ունենում ենք.
  
    
      
        
          
            
              a
              +
              b
            
            
              a
              −
              b
            
          
        
        =
        
          
            
              
                c
                t
                g
              
              
                
                  C
                  2
                
              
            
            
              
                t
                g
              
              
                
                  
                    A
                    −
                    B
                  
                  2
                
              
            
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {A-B}{2}}}}:}
  Հաշվի առնելով, որ 
  
    
      
        
          c
          t
          g
        
        
          
            C
            2
          
        
        =
        
          c
          t
          g
        
        
          
            
              π
              −
              A
              −
              B
            
            2
          
        
        =
        
          t
          g
        
        
          
            
              A
              +
              B
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}=\mathrm {ctg} {\frac {\pi -A-B}{2}}=\mathrm {tg} {\frac {A+B}{2}}}
  , վերջնական ունենում ենք.
  
    
      
        
          
            
              a
              +
              b
            
            
              a
              −
              b
            
          
        
        =
        
          
            
              
                t
                g
              
              
                
                  
                    A
                    +
                    B
                  
                  2
                
              
            
            
              
                t
                g
              
              
                
                  
                    A
                    −
                    B
                  
                  2
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {A+B}{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {A-B}{2}}}},}
  ինչն էլ պահանջվում էր ապացուցել։


== Տես նաև ==
Եռանկյունների լուծում
Կոսինուսների թեորեմ
Կոտանգենսների թեորեմ
Սինուսների թեորեմ
Եռանկյունաչափական նույնություններ
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ


== Ծանոթագրություններ ==