Աբել-Պլանայի բանաձև

Աբել-Պլանայի բանաձևը մաթեմատիկայում հայտնի գումարման բանաձև է, որն իրարից անկախ ստացել են Նիլս Հենրիկ Աբելը (1823) և Ջովանի Անտոնիո Ամեդեո Պլանան (1820)։ Այդ բանաձևը հետևյալն է՝

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        f
        
          (
          k
          )
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        f
        
          (
          x
          )
        
        d
        x
        +
        
          
            1
            2
          
        
        f
        
          (
          0
          )
        
        +
        i
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              f
              
                (
                
                  i
                  x
                
                )
              
              −
              f
              
                (
                
                  −
                  i
                  x
                
                )
              
            
            
              
                e
                
                  2
                  π
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        d
        x
        :
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f\left(k\right)=\int _{0}^{\infty }f\left(x\right)dx+{\frac {1}{2}}f\left(0\right)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f\left(ix\right)-f\left(-ix\right)}{e^{2\pi x}-1}}dx:}
  Այն ճիշտ է այնպիսի 
  
    
      
        f
        
          (
          z
          )
        
      
    
    {\displaystyle f\left(z\right)}
   ֆունկցիաների համար, որոնք հոլոմորֆ են 
  
    
      
        Re
        ⁡
        (
        z
        )
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Re} (z)\geqslant 0}
   տիրույթում և այդ տիրույթում բավարարում են որոշակի աճման պայմանի։


== Ապացույց ==
Աբել-Պլանայի բանաձևի ստացման համար կարելի է օգտվել հետևյալ թեորեմից.Թեորեմ. Եթե 
  
    
      
        f
        
          (
          z
          )
        
      
    
    {\displaystyle f\left(z\right)}
   ֆունկցիան հոլոմորֆ է 
  
    
      
        a
        <
        Re
        ⁡
        (
        z
        )
        <
        b
      
    
    {\displaystyle a<\operatorname {Re} (z)<b}
   տիրույթում և բավարարում է հետևյալ անհավասարությանը՝

  
    
      
        
          |
          
            f
            
              (
              
                x
                +
                i
                y
              
              )
            
          
          |
        
        ⩽
        M
        
          e
          
            a
            
              |
              y
              |
            
          
        
        ,
        a
        <
        2
        π
        ,
      
    
    {\displaystyle \left\vert f\left(x+iy\right)\right\vert \leqslant Me^{a\left\vert y\right\vert },a<2\pi ,}
  
ապա 
  
    
      
        k
        ⩾
        a
        +
        1
        ,
        n
        ⩽
        b
        −
        1
        ,
        n
        >
        k
      
    
    {\displaystyle k\geqslant a+1,n\leqslant b-1,n>k}
   դեպքում և կամայական 
  
    
      
        0
        <
        θ
        <
        1
      
    
    {\displaystyle 0<\theta <1}
   համար

  
    
      
        
          ∑
          
            s
            =
            k
          
          
            n
          
        
        f
        
          (
          s
          )
        
        =
        
          ∫
          
            k
            +
            θ
            −
            1
          
          
            n
            +
            θ
          
        
        f
        
          (
          x
          )
        
        d
        x
        +
        
          
            1
            
              2
              i
            
          
        
        
          ∫
          
            θ
          
          
            θ
            +
            i
            ∞
          
        
        
          [
          
            f
            
              (
              
                n
                +
                z
              
              )
            
            −
            f
            
              (
              
                k
                −
                1
                +
                z
              
              )
            
          
          ]
        
        
          (
          
            cot
            ⁡
            π
            z
            +
            i
          
          )
        
        d
        z
        +
        
          
            1
            
              2
              i
            
          
        
        
          ∫
          
            θ
          
          
            θ
            −
            i
            ∞
          
        
        
          [
          
            f
            
              (
              
                k
                −
                1
                +
                z
              
              )
            
            −
            f
            
              (
              
                n
                +
                z
              
              )
            
          
          ]
        
        
          (
          
            cot
            ⁡
            π
            z
            −
            i
          
          )
        
        d
        z
        :
      
    
    {\displaystyle \sum _{s=k}^{n}f\left(s\right)=\int _{k+\theta -1}^{n+\theta }f\left(x\right)dx+{\frac {1}{2i}}\int _{\theta }^{\theta +i\infty }\left[f\left(n+z\right)-f\left(k-1+z\right)\right]\left(\cot \pi z+i\right)dz+{\frac {1}{2i}}\int _{\theta }^{\theta -i\infty }\left[f\left(k-1+z\right)-f\left(n+z\right)\right]\left(\cot \pi z-i\right)dz:}
  
Ապացույց.  Հետագա հաշվարկների համար արվում են հետևյալ նշանակումները. 
  
    
      
        
          C
          
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{h}}
  -ը 
  
    
      
        k
        −
        1
        +
        θ
        <
        Re
        ⁡
        (
        z
        )
        <
        n
        +
        θ
        ,
        
          |
          
            Im
            ⁡
            (
            z
            )
          
          |
        
        <
        h
      
    
    {\displaystyle k-1+\theta <\operatorname {Re} (z)<n+\theta ,\left\vert \operatorname {Im} (z)\right\vert <h}
  ուղղանկյունն է, 
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  -ն 
  
    
      
        f
        
          (
          z
          )
        
        cot
        ⁡
        π
        z
      
    
    {\displaystyle f\left(z\right)\cot \pi z}
   ֆունկցիայի ինտեգրալն է 
  
    
      
        
          C
          
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{h}}
   կոնտուրով, 
  
    
      
        
          C
          
            h
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{h}^{+}}
  -ը 
  
    
      
        
          C
          
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{h}}
   կոնտուրի վերին կեսն է, իսկ 
  
    
      
        
          C
          
            h
          
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{h}^{-}}
  -ը ստորին կեսը, ընդ որում՝ 
  
    
      
        
          C
          
            h
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{h}^{+}}
  -ը և 
  
    
      
        
          C
          
            h
          
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{h}^{-}}
  -ը ուղղված են 
  
    
      
        z
        =
        k
        −
        1
        +
        θ
      
    
    {\displaystyle z=k-1+\theta }
   կետից դեպի 
  
    
      
        z
        =
        n
        +
        θ
      
    
    {\displaystyle z=n+\theta }
   կետը։ 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  -ի և 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ի վրա դրված պայմաններից հետևում է, որ 
  
    
      
        
          C
          
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{h}}
  -ը գտնվում է 
  
    
      
        a
        <
        Re
        ⁡
        (
        z
        )
        <
        b
      
    
    {\displaystyle a<\operatorname {Re} (z)<b}
   տիրույթում։ Ըստ մնացքների մասին թեորեմի՝

  
    
      
        J
        =
        2
        π
        i
        
          ∑
          
            s
            =
            k
          
          
            n
          
        
        R
        e
        
          s
          
            z
            =
            s
          
        
        f
        
          (
          z
          )
        
        cot
        ⁡
        π
        z
        =
        2
        i
        
          ∑
          
            s
            =
            k
          
          
            n
          
        
        f
        
          (
          s
          )
        
        :
      
    
    {\displaystyle J=2\pi i\sum _{s=k}^{n}Res_{z=s}f\left(z\right)\cot \pi z=2i\sum _{s=k}^{n}f\left(s\right):}
  
Մյուս կողմից ակնհայտ է, որ

  
    
      
        J
        =
        
          ∫
          
            
              C
              
                h
              
              
                −
              
            
          
        
        f
        
          (
          z
          )
        
        cot
        ⁡
        π
        z
        d
        z
        −
        
          ∫
          
            
              C
              
                h
              
              
                +
              
            
          
        
        f
        
          (
          z
          )
        
        cot
        ⁡
        π
        z
        d
        z
        =
        
          ∫
          
            
              C
              
                h
              
              
                −
              
            
          
        
        f
        
          (
          z
          )
        
        
          (
          
            cot
            ⁡
            π
            z
            −
            i
          
          )
        
        d
        z
        +
        i
        
          ∫
          
            
              C
              
                h
              
              
                −
              
            
          
        
        f
        
          (
          z
          )
        
        d
        z
        −
        
          ∫
          
            
              C
              
                h
              
              
                +
              
            
          
        
        f
        
          (
          z
          )
        
        
          (
          
            cot
            ⁡
            π
            z
            +
            i
          
          )
        
        d
        z
        +
        i
        
          ∫
          
            
              C
              
                h
              
              
                +
              
            
          
        
        f
        
          (
          z
          )
        
        d
        z
        :
      
    
    {\displaystyle J=\int _{C_{h}^{-}}f\left(z\right)\cot \pi zdz-\int _{C_{h}^{+}}f\left(z\right)\cot \pi zdz=\int _{C_{h}^{-}}f\left(z\right)\left(\cot \pi z-i\right)dz+i\int _{C_{h}^{-}}f\left(z\right)dz-\int _{C_{h}^{+}}f\left(z\right)\left(\cot \pi z+i\right)dz+i\int _{C_{h}^{+}}f\left(z\right)dz:}
  

  
    
      
        f
        
          (
          z
          )
        
      
    
    {\displaystyle f\left(z\right)}
   ֆունկցիայի ինտեգրալը կախված է միայն ինտեգրման կոնտուրի ծայրակետերից, ուստի 
  
    
      
        f
        
          (
          z
          )
        
      
    
    {\displaystyle f\left(z\right)}
  -ի ինտեգրալները՝ ըստ 
  
    
      
        
          C
          
            h
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{h}^{+}}
   և 
  
    
      
        
          C
          
            h
          
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{h}^{-}}
   կոնտուրների, կարելի է փոխարինել ինտեգրալներով՝ ըստ 
  
    
      
        
          (
          
            k
            −
            1
            +
            θ
            ,
            n
            +
            θ
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(k-1+\theta ,n+\theta \right)}
   միջակայքի։ Հետևաբար,

  
    
      
        J
        =
        2
        i
        
          ∫
          
            k
            −
            1
            +
            θ
          
          
            n
            +
            θ
          
        
        f
        
          (
          x
          )
        
        d
        x
        +
        
          ∫
          
            
              C
              
                h
              
              
                −
              
            
          
        
        f
        
          (
          z
          )
        
        
          (
          
            cot
            ⁡
            π
            z
            −
            i
          
          )
        
        d
        z
        −
        
          ∫
          
            
              C
              
                h
              
              
                +
              
            
          
        
        f
        
          (
          z
          )
        
        
          (
          
            cot
            ⁡
            π
            z
            +
            i
          
          )
        
        d
        z
        :
      
    
    {\displaystyle J=2i\int _{k-1+\theta }^{n+\theta }f\left(x\right)dx+\int _{C_{h}^{-}}f\left(z\right)\left(\cot \pi z-i\right)dz-\int _{C_{h}^{+}}f\left(z\right)\left(\cot \pi z+i\right)dz:}
  
Ակնհայտ է, որ

  
    
      
        
          ∫
          
            
              C
              
                h
              
              
                +
              
            
          
        
        f
        
          (
          z
          )
        
        
          (
          
            cot
            ⁡
            π
            z
            +
            i
          
          )
        
        d
        z
        =
        
          ∫
          
            θ
          
          
            θ
            +
            i
            h
          
        
        
          [
          
            f
            
              (
              
                k
                −
                1
                +
                z
              
              )
            
            −
            f
            
              (
              
                n
                +
                z
              
              )
            
          
          ]
        
        
          (
          
            cot
            ⁡
            π
            z
            +
            i
          
          )
        
        d
        z
        +
        
          ∫
          
            k
            −
            1
            +
            θ
            +
            i
            h
          
          
            n
            +
            θ
            +
            i
            h
          
        
        f
        
          (
          z
          )
        
        
          (
          
            cot
            ⁡
            π
            z
            +
            i
          
          )
        
        d
        z
        :
      
    
    {\displaystyle \int _{C_{h}^{+}}f\left(z\right)\left(\cot \pi z+i\right)dz=\int _{\theta }^{\theta +ih}\left[f\left(k-1+z\right)-f\left(n+z\right)\right]\left(\cot \pi z+i\right)dz+\int _{k-1+\theta +ih}^{n+\theta +ih}f\left(z\right)\left(\cot \pi z+i\right)dz:}
  
Օգտագործելով հետևյալ անհավասարությունները՝

  
    
      
        
          |
          
            
              ∫
              
                k
                −
                1
                +
                θ
                +
                i
                h
              
              
                n
                +
                θ
                +
                i
                h
              
            
            f
            
              (
              z
              )
            
            
              (
              
                cot
                ⁡
                π
                z
                +
                i
              
              )
            
            d
            z
          
          |
        
        ⩽
        
          (
          
            n
            −
            k
            +
            1
          
          )
        
        
          max
          
            k
            −
            1
            +
            θ
            ⩽
            x
            ⩽
            n
            +
            θ
          
        
        
          |
          
            f
            
              (
              
                x
                +
                i
                h
              
              )
            
          
          |
        
        ⋅
        
          |
          
            cot
            ⁡
            π
            
              (
              
                x
                +
                i
                h
              
              )
            
            +
            i
          
          |
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left\vert \int _{k-1+\theta +ih}^{n+\theta +ih}f\left(z\right)\left(\cot \pi z+i\right)dz\right\vert \leqslant \left(n-k+1\right)\max _{k-1+\theta \leqslant x\leqslant n+\theta }\left\vert f\left(x+ih\right)\right\vert \cdot \left\vert \cot \pi \left(x+ih\right)+i\right\vert ,}
  

  
    
      
        
          |
          
            cot
            ⁡
            π
            
              (
              
                x
                +
                i
                h
              
              )
            
            +
            i
          
          |
        
        <
        
          
            2
            
              
                e
                
                  2
                  π
                  h
                
              
              −
              1
            
          
        
        ,
        h
        >
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle \left\vert \cot \pi \left(x+ih\right)+i\right\vert <{\frac {2}{e^{2\pi h}-1}},h>0,}
  
ինչպես նաև հաշվի առնելով թեորեմի պայմաններում նշված անհավասարությունը, ստացվում է, որ

  
    
      
        
          |
          
            
              ∫
              
                k
                −
                1
                +
                θ
                +
                i
                h
              
              
                n
                +
                θ
                +
                i
                h
              
            
            f
            
              (
              z
              )
            
            
              (
              
                cot
                ⁡
                π
                z
                +
                i
              
              )
            
            d
            z
          
          |
        
        ⩽
        
          (
          
            n
            −
            k
            +
            1
          
          )
        
        M
        
          e
          
            a
            h
          
        
        
          
            2
            
              
                e
                
                  2
                  π
                  h
                
              
              −
              1
            
          
        
        
          
            →
            
              
                h
                →
                +
                ∞
              
            
            
          
        
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle \left\vert \int _{k-1+\theta +ih}^{n+\theta +ih}f\left(z\right)\left(\cot \pi z+i\right)dz\right\vert \leqslant \left(n-k+1\right)Me^{ah}{\frac {2}{e^{2\pi h}-1}}{\xrightarrow[{h\rightarrow +\infty }]{}}0,}
  
և այստեղից հետևում է, որ

  
    
      
        
          ∫
          
            
              C
              
                h
              
              
                +
              
            
          
        
        f
        
          (
          z
          )
        
        
          (
          
            cot
            ⁡
            π
            z
            +
            i
          
          )
        
        d
        z
        
          
            →
            
              
                h
                →
                +
                ∞
              
            
            
          
        
        
          ∫
          
            θ
          
          
            θ
            +
            i
            ∞
          
        
        
          [
          
            f
            
              (
              
                k
                −
                1
                +
                z
              
              )
            
            −
            f
            
              (
              
                n
                +
                z
              
              )
            
          
          ]
        
        
          (
          
            cot
            ⁡
            π
            z
            +
            i
          
          )
        
        d
        z
        :
      
    
    {\displaystyle \int _{C_{h}^{+}}f\left(z\right)\left(\cot \pi z+i\right)dz{\xrightarrow[{h\rightarrow +\infty }]{}}\int _{\theta }^{\theta +i\infty }\left[f\left(k-1+z\right)-f\left(n+z\right)\right]\left(\cot \pi z+i\right)dz:}
  
Նմանատիպ ձևով կարելի է ցույց տալ, որ

  
    
      
        
          ∫
          
            
              C
              
                h
              
              
                −
              
            
          
        
        f
        
          (
          z
          )
        
        
          (
          
            cot
            ⁡
            π
            z
            −
            i
          
          )
        
        d
        z
        
          
            →
            
              
                h
                →
                +
                ∞
              
            
            
          
        
        
          ∫
          
            θ
          
          
            θ
            −
            i
            ∞
          
        
        
          [
          
            f
            
              (
              
                k
                −
                1
                +
                z
              
              )
            
            −
            f
            
              (
              
                n
                +
                z
              
              )
            
          
          ]
        
        
          (
          
            cot
            ⁡
            π
            z
            −
            i
          
          )
        
        d
        z
        :
      
    
    {\displaystyle \int _{C_{h}^{-}}f\left(z\right)\left(\cot \pi z-i\right)dz{\xrightarrow[{h\rightarrow +\infty }]{}}\int _{\theta }^{\theta -i\infty }\left[f\left(k-1+z\right)-f\left(n+z\right)\right]\left(\cot \pi z-i\right)dz:}
  
Ուստի

  
    
      
        J
        =
        2
        i
        
          ∫
          
            k
            −
            1
            +
            θ
          
          
            n
            +
            θ
          
        
        f
        
          (
          x
          )
        
        d
        x
        +
        
          ∫
          
            θ
          
          
            θ
            −
            i
            ∞
          
        
        
          [
          
            f
            
              (
              
                k
                −
                1
                +
                z
              
              )
            
            −
            f
            
              (
              
                n
                +
                z
              
              )
            
          
          ]
        
        
          (
          
            cot
            ⁡
            π
            z
            −
            i
          
          )
        
        d
        z
        +
        
          ∫
          
            θ
          
          
            θ
            +
            i
            ∞
          
        
        
          [
          
            f
            
              (
              
                n
                +
                z
              
              )
            
            −
            f
            
              (
              
                k
                −
                1
                +
                z
              
              )
            
          
          ]
        
        
          (
          
            cot
            ⁡
            π
            z
            +
            i
          
          )
        
        d
        z
        :
      
    
    {\displaystyle J=2i\int _{k-1+\theta }^{n+\theta }f\left(x\right)dx+\int _{\theta }^{\theta -i\infty }\left[f\left(k-1+z\right)-f\left(n+z\right)\right]\left(\cot \pi z-i\right)dz+\int _{\theta }^{\theta +i\infty }\left[f\left(n+z\right)-f\left(k-1+z\right)\right]\left(\cot \pi z+i\right)dz:}
  

Իրար հավասարեցնելով 
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  -ի համար ստացված երկու արտահայտությունները՝ ստացվում է թեորեմում նշված բանաձևը։ ♦
Դիցուք 
  
    
      
        f
        
          (
          z
          )
        
      
    
    {\displaystyle f\left(z\right)}
   ֆունկցիան հոլոմորֆ է 
  
    
      
        Re
        ⁡
        (
        z
        )
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Re} (z)>0}
   կիսահարթությունում և բավարարում է հետևյալ անհավասարությանը՝

  
    
      
        
          |
          
            f
            
              (
              
                x
                +
                i
                y
              
              )
            
          
          |
        
        <
        ϵ
        
          (
          x
          )
        
        
          e
          
            a
            
              |
              y
              |
            
          
        
        ,
        0
        <
        a
        <
        2
        π
        ,
      
    
    {\displaystyle \left\vert f\left(x+iy\right)\right\vert <\epsilon \left(x\right)e^{a\left\vert y\right\vert },0<a<2\pi ,}
  
որտեղ 
  
    
      
        ϵ
        
          (
          x
          )
        
        →
        0
      
    
    {\displaystyle \epsilon \left(x\right)\rightarrow 0}
  , երբ 
  
    
      
        x
        →
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle x\rightarrow +\infty }
  : Հաշվի առնելով, որ կամայական 
  
    
      
        0
        <
        θ
        <
        1
      
    
    {\displaystyle 0<\theta <1}
   համար

  
    
      
        
          |
          
            
              ∫
              
                θ
              
              
                θ
                ±
                i
                ∞
              
            
            f
            
              (
              
                n
                +
                z
              
              )
            
            
              (
              
                cot
                ⁡
                π
                z
                ±
                i
              
              )
            
            d
            z
          
          |
        
        ⩽
        ϵ
        
          (
          
            n
            +
            θ
          
          )
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        M
        
          e
          
            −
            
              (
              
                2
                π
                −
                a
              
              )
            
            y
          
        
        d
        y
        
          
            →
            
              
                n
                →
                ∞
              
            
            
          
        
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle \left\vert \int _{\theta }^{\theta \pm i\infty }f\left(n+z\right)\left(\cot \pi z\pm i\right)dz\right\vert \leqslant \epsilon \left(n+\theta \right)\int _{0}^{\infty }Me^{-\left(2\pi -a\right)y}dy{\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{}}0,}
  
վերը նշված թեորեմից անմիջապես հետևում է, որ

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          {
          
            
              ∑
              
                s
                =
                1
              
              
                n
              
            
            f
            
              (
              s
              )
            
            −
            
              ∫
              
                θ
              
              
                n
                +
                θ
              
            
            f
            
              (
              x
              )
            
            d
            x
          
          }
        
        =
        
          
            1
            
              2
              i
            
          
        
        
          ∫
          
            θ
          
          
            θ
            −
            i
            ∞
          
        
        f
        
          (
          z
          )
        
        
          (
          
            cot
            ⁡
            π
            z
            −
            i
          
          )
        
        d
        z
        −
        
          
            1
            
              2
              i
            
          
        
        
          ∫
          
            θ
          
          
            θ
            +
            i
            ∞
          
        
        f
        
          (
          z
          )
        
        
          (
          
            cot
            ⁡
            π
            z
            +
            i
          
          )
        
        d
        z
        :
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left\{\sum _{s=1}^{n}f\left(s\right)-\int _{\theta }^{n+\theta }f\left(x\right)dx\right\}={\frac {1}{2i}}\int _{\theta }^{\theta -i\infty }f\left(z\right)\left(\cot \pi z-i\right)dz-{\frac {1}{2i}}\int _{\theta }^{\theta +i\infty }f\left(z\right)\left(\cot \pi z+i\right)dz:}
  
Այս բանաձևը նույնպես կոչվում է Աբել-Պլանայի բանաձև։ Այստեղ կարելի է անցում կատարել 
  
    
      
        θ
        →
        0
      
    
    {\displaystyle \theta \rightarrow 0}
   սահմանին։ Հաշվի առնելով, որ 
  
    
      
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z=0}
   կետը հանդիսանում է բևեռ այդ բանաձևի աջ մասի ենթաինտեգրալային արտահայտությունների համար և, հետևաբար, շրջանցելով այն փոքր 
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
   շառավղով 
  
    
      
        
          C
          
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{\rho }}
   շրջանագծի աղեղներով և ձգտեցնելով 
  
    
      
        ρ
        →
        0
      
    
    {\displaystyle \rho \rightarrow 0}
  , ստացվում է

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        f
        
          (
          k
          )
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        d
        x
        f
        
          (
          x
          )
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        f
        
          (
          0
          )
        
        +
        i
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        d
        x
        
          
            
              f
              
                (
                
                  i
                  x
                
                )
              
              −
              f
              
                (
                
                  −
                  i
                  x
                
                )
              
            
            
              
                e
                
                  2
                  π
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f\left(k\right)=\int _{0}^{\infty }dxf\left(x\right)+{\frac {1}{2}}f\left(0\right)+i\int _{0}^{\infty }dx{\frac {f\left(ix\right)-f\left(-ix\right)}{e^{2\pi x}-1}}:}
  
Սա Աբել-Պլանայի բանաձևն է՝ գրված ստանդարտ տեսքով։


== Աբել-Պլանայի ընդհանրացված բանաձև ==
Արամ Սահարյանի կողմից ստացվել է Աբել-Պլանայի ընդհանրացված բանաձևը՝

  
    
      
        
          lim
          
            b
            →
            ∞
          
        
        
          {
          
            p
            .
            v
            .
            
              ∫
              
                a
              
              
                b
              
            
            d
            x
            f
            
              (
              x
              )
            
            −
            R
            
              [
              
                f
                
                  (
                  z
                  )
                
                ,
                g
                
                  (
                  z
                  )
                
              
              ]
            
          
          }
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          ∫
          
            a
            −
            i
            ∞
          
          
            a
            +
            i
            ∞
          
        
        d
        z
        
          [
          
            g
            
              (
              z
              )
            
            +
            σ
            
              (
              z
              )
            
            f
            
              (
              z
              )
            
          
          ]
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \lim _{b\rightarrow \infty }\left\{p.v.\int _{a}^{b}dxf\left(x\right)-R\left[f\left(z\right),g\left(z\right)\right]\right\}={\frac {1}{2}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }dz\left[g\left(z\right)+\sigma \left(z\right)f\left(z\right)\right],}
  որտեղ

  
    
      
        σ
        
          (
          z
          )
        
        ≡
        s
        g
        n
        
          (
          
            Im
            ⁡
            (
            z
            )
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \sigma \left(z\right)\equiv sgn\left(\operatorname {Im} (z)\right)}
  ,

  
    
      
        R
        
          [
          
            f
            
              (
              z
              )
            
            ,
            g
            
              (
              z
              )
            
          
          ]
        
        ≡
        π
        i
        
          [
          
            
              ∑
              
                k
              
            
            R
            e
            
              s
              
                z
                =
                
                  z
                  
                    g
                    ,
                    k
                  
                
              
            
            g
            
              (
              z
              )
            
            +
            
              ∑
              
                k
              
            
            σ
            
              (
              
                z
                
                  f
                  ,
                  k
                
              
              )
            
            R
            e
            
              s
              
                z
                =
                
                  z
                  
                    f
                    ,
                    k
                  
                
              
            
            f
            
              (
              z
              )
            
          
          ]
        
        ,
      
    
    {\displaystyle R\left[f\left(z\right),g\left(z\right)\right]\equiv \pi i\left[\sum _{k}Res_{z=z_{g,k}}g\left(z\right)+\sum _{k}\sigma \left(z_{f,k}\right)Res_{z=z_{f,k}}f\left(z\right)\right],}
  որում գումարումը կատարվում է ըստ 
  
    
      
        
          z
          
            f
            ,
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{f,k}}
   և 
  
    
      
        
          z
          
            g
            ,
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{g,k}}
   բևեռների, որոնք դասավորված են աճման կարգով՝ 
  
    
      
        Re
        ⁡
        (
        
          z
          
            j
            ,
            k
          
        
        )
        ⩽
        Re
        ⁡
        (
        
          z
          
            j
            ,
            k
            +
            1
          
        
        )
        ,
        j
        =
        f
        ,
        g
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Re} (z_{j,k})\leqslant \operatorname {Re} (z_{j,k+1}),j=f,g}
  :
Ընդ որում, 
  
    
      
        f
        
          (
          z
          )
        
      
    
    {\displaystyle f\left(z\right)}
  -ը և 
  
    
      
        g
        
          (
          z
          )
        
      
    
    {\displaystyle g\left(z\right)}
  -ը մերոմորֆ ֆունկցիաներ են կոմպլեքս 
  
    
      
        z
        =
        x
        +
        i
        y
      
    
    {\displaystyle z=x+iy}
   հարթության 
  
    
      
        a
        ⩽
        x
        ⩽
        b
      
    
    {\displaystyle a\leqslant x\leqslant b}
   տիրույթում, իսկ 
  
    
      
        
          z
          
            f
            ,
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{f,k}}
   և 
  
    
      
        
          z
          
            g
            ,
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{g,k}}
   կետերը, համապատասխանաբար,  
  
    
      
        f
        
          (
          z
          )
        
      
    
    {\displaystyle f\left(z\right)}
  -ի և 
  
    
      
        g
        
          (
          z
          )
        
      
    
    {\displaystyle g\left(z\right)}
  -ի բևեռներն են 
  
    
      
        a
        <
        x
        <
        b
      
    
    {\displaystyle a<x<b}
   տիրույթում (ենթադրվում է, որ 
  
    
      
        Im
        ⁡
        (
        
          z
          
            f
            ,
            k
          
        
        )
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Im} (z_{f,k})\neq 0}
  ), և 
  
    
      
        f
        
          (
          z
          )
        
      
    
    {\displaystyle f\left(z\right)}
   ու 
  
    
      
        g
        
          (
          z
          )
        
      
    
    {\displaystyle g\left(z\right)}
   ֆունկցիաները բավարարում են հետևյալ պայմաններին՝

  
    
      
        
          lim
          
            h
            →
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            a
            ±
            i
            h
          
          
            b
            ±
            i
            h
          
        
        d
        z
        
          [
          
            g
            
              (
              z
              )
            
            ±
            f
            
              (
              z
              )
            
          
          ]
        
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle \lim _{h\rightarrow \infty }\int _{a\pm ih}^{b\pm ih}dz\left[g\left(z\right)\pm f\left(z\right)\right]=0,}
  

  
    
      
        
          lim
          
            b
            →
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            b
          
          
            b
            ±
            i
            ∞
          
        
        d
        z
        
          [
          
            g
            
              (
              z
              )
            
            ±
            f
            
              (
              z
              )
            
          
          ]
        
        =
        0
        :
      
    
    {\displaystyle \lim _{b\rightarrow \infty }\int _{b}^{b\pm i\infty }dz\left[g\left(z\right)\pm f\left(z\right)\right]=0:}
  Աբել-Պլանայի ընդհանրացված բանաձևից, մասնավորապես,  
  
    
      
        b
        =
        n
        +
        a
        ,
        0
        <
        a
        <
        1
      
    
    {\displaystyle b=n+a,0<a<1}
   և 
  
    
      
        g
        
          (
          z
          )
        
        =
        −
        i
        f
        
          (
          z
          )
        
        cot
        ⁡
        π
        z
      
    
    {\displaystyle g\left(z\right)=-if\left(z\right)\cot \pi z}
   դեպքում, երբ 
  
    
      
        f
        
          (
          z
          )
        
      
    
    {\displaystyle f\left(z\right)}
  -ը անալիտիկ ֆունկցիա է, ստացվում է Աբել-Պլանայի բանաձևը։


== Կիրառությունները ֆիզիկայում ==
Ֆիզիկայի որոշ խնդիրներում դիտարկվում են սահմանների առկայությամբ այնպիսի մոդելներ, որոնց սահմաններին դինամիկ փոփոխականները բավարարում են որոշակի պայմանների։ Դաշտի քվանտային տեսությունում այդ սահմանային պայմանները ձևափոխում են դաշտերի քվանտային ֆլուկտուացիաների սպեկտրը, իսկ դրա հետևանքով փոխվում են ֆիզիկական մեծությունների միջին արժեքները։ Սա հայտնի Կազիմիրի էֆեկտն է, որը ֆիզիկական վակուումի ոչ տրիվիալ հատկությունների միակ մակրոսկոպական դրսևորումն է։ Կան այս երևույթի տեսական ուսումնասիրության տարբեր եղանակներ՝ մոդաների գումարման մեթոդ, Գրինի ֆունկցիայի ֆորմալիզմ, զետա-ֆունկցիայի ռեգուլյարիզացիայի մեթոդ և այլն։ Այստեղ գլխավորը ի հայտ եկող տարամիտություններն առանձնացնելն ու հեռացնելն է։ Մոդաների գումարման մեթոդով ֆիզիկական մեծությունների (օրինակ՝ էներգիա-իմպուլսի թենզորի) վակուումային միջինները հաշվելիս հաճախ կարիք է լինում ստանալ որոշակի ֆունկցիայի գումարը՝ ըստ ամբողջ թվերի, այնուհետև այդ գումարից հանել համապատասխան մեծությունը սահմանների բացակայությամբ տարածության դեպքում։ Հանվող մեծությունը հաճախ ներկայացվում է ինտեգրալի տեսքով։ Այդ գումարը և ինտեգրալը, առանձին վերցրած, տարամիտող են և դրանց վերջավոր տարբերությունը հարմար է ստանալ Աբել-Պլանայի բանաձևի միջոցով։ Այս տեսանկյունից Աբել-Պլանայի բանաձևը կիրառելի է այն դեպքերում, երբ սեփական մոդաները պարզ կախվածություն ունեն քվանտային թվերից և բացահայտ կերպով տրված են։ Ավելի բարդ դեպքերում, երբ սեփական մոդաները որոշված չեն բացահայտ կերպով և հանդիսանում են որոշակի տրանսցենդենտ հավասարման լուծումներ, հարմար է օգտվել Աբել-Պլանայի ընդհանրացված բանաձևից։ Սահմանների առկայությամբ կոր ֆոնային տարածաժամանակների համար Աբել-Պլանայի ընդհանրացված բանաձևի կիրառումը վակուումային միջիններից առանձնացնում է այն մասերը, որոնք համապատասխանում են վակուումի բևեռացմանը այն դեպքում, երբ սահմաններ չկան։ Արդյունքում սահմաններով պայմանավորված մասերը ներկայացվում են այնպիսի ինտեգրալների տեսքով, որոնք զուգամիտում են սահմաններից հեռու կետերի համար։ Այսպիսով՝ Աբել-Պլանայի բանաձևի ընդհանրացումն էապես ընդլայնում է դրա կիրառությունների տիրույթը։


== Աղբյուրներ ==