Քվանտային ներդաշնակ օսցիլյատոր

Քվանտային ներդաշնակ օսցիլյատոր, սովորական հարմոնիկ օսցիլյատորի քվանտային անալոգը։ Այս դեպքում դիտարկվում են ոչ թե մասնիկի վրա ազդող ուժերը, այլ համիլտոնյանը, այսինքն հարմոնիկ օսցիլյատորի լրիվ էներգիան, ընդ որում՝ պոտենցիալ էներգիան կոորդինատից ունի քառակուսային կախվածություն։
Քվանտային հարմոնիկ օսցիլյատորի մոդելը ծառայում է մոլեկուլների տատանողական շարժման առաջին մոտավորությամբ ուսումնասիրման համար։
Ավելի ճշգրիտ հաշվարկների (օրինակ տատանման մեծ լայնույթով տատանումների դեպքում) կարելի է կիրառել պոտենցիալների ավելի ճշգրիտ մոդելներ, օրինակ՝ Մորզեի պոտենցիալ։
Քվանտային հարմոնիկ օսիլյատորը քվանտային համակարգ է, որի համար ստացվում է Շրյոդինգերի հավասարման ճշգրիտ լուծումը։


== Հարմոնիկ օսցիլյատորի խնդիրը կոորդինատական ներկայացմամբ ==

m զանգվածով և ω սեփական հաճախությամբ քվանտային օսցիլյատորի համիլտոնյանը ունի հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  
                    p
                    ^
                  
                
              
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        +
        
          
            
              m
              
                ω
                
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      q
                      ^
                    
                  
                
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}{\hat {q}}^{2}}{2}}}
  :
Կոորդինատական ներկայացմամբ՝ 
  
    
      
        
          
            
              p
              ^
            
          
        
        =
        −
        i
        ℏ
        ∂
        
          /
        
        ∂
        x
      
    
    {\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \partial /\partial x}
  , 
  
    
      
        
          
            
              q
              ^
            
          
        
        =
        x
      
    
    {\displaystyle {\hat {q}}=x}
  : Հարմոնիկ օսցիլյատորի էներգիական մակարդակների որոնման խնդիրը բերվում է այնպիսի E թվերի որոշմանը, որոնց դեպքում հետևյալ դիֆերենցիալ հավասարումը ունի լուծում՝
  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        ψ
        (
        x
        )
        +
        
          
            
              m
              
                ω
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        ψ
        (
        x
        )
        =
        E
        ψ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x)+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}\psi (x)=E\psi (x)}
  :
Անվերջությունում 
  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (x)}
   ալիքային ֆունկցիայի անվերջ նվազման պայմանից հետևում է, որ լուծում կստացվի էներգիաների հետևյալ ընդհատ արժեքների դեպքում՝
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
        =
        ℏ
        ω
        
          (
          
            n
            +
            
              
                1
                2
              
            
          
          )
        
        
         
        n
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)\,\ n=0,1,2,\ldots }
  Վերջնական պատասխանը ունի հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          ψ
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              
                2
                
                  n
                
              
              n
              !
            
          
        
        ⋅
        
          
            (
            
              
                
                  m
                  ω
                
                
                  π
                  ℏ
                
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            4
          
        
        ⋅
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                
                  m
                  ω
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  2
                  ℏ
                
              
            
          
          )
        
        ⋅
        
          H
          
            n
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    m
                    ω
                  
                  ℏ
                
              
            
            x
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),}
  
որտեղ 
  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{n}}
  -ը Էրմիտի բազմանդամներն են՝
  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          e
          
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              d
              
                n
              
            
            
              d
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}}
  :
Վերոնշյալ E-ի սպեկտրը հետաքրքրություն է ներկայացնում 2 պատճառով։ Նախ՝ էներգիական մակարդակները դիսկրետ են և էներգիական մակարդակների տարերությունը հաստատուն է և հավասար է 
  
    
      
        ℏ
        ω
      
    
    {\displaystyle \hbar \omega }
  , հետո՝ փոքրագույն էներգիան հավասար է 
  
    
      
        ℏ
        ω
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \hbar \omega /2}
  : Այդ մակարդակը կոչվում է հիմնական, վակուում կամ զրոյական տատանման մակարդակ։


=== Առաջացման և վերացման օպերատոր ===
Հարմոնիկ օսցիլյատորի սպեկտրը ավելի հեշտ ստացվում է առաջացման և վերացման օպերատորների օգնությամբ։
Առաջացման օպերատոր՝

  
    
      
        
          
            
              
                a
                ^
              
            
          
          
            +
          
        
        =
        
          
            
              (
              m
              ω
              
                
                  
                    q
                    ^
                  
                
              
              −
              
                i
              
              
                
                  
                    p
                    ^
                  
                
              
              )
            
            
              2
              ℏ
              ω
              m
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {a}}^{+}={\frac {(m\omega {\hat {q}}-{i}{\hat {p}})}{\sqrt {2\hbar \omega m}}}}
  :
Վերացման օպերատոր՝

  
    
      
        
          
            
              a
              ^
            
          
        
        =
        
          
            
              (
              m
              ω
              
                
                  
                    q
                    ^
                  
                
              
              +
              
                i
              
              
                
                  
                    p
                    ^
                  
                
              
              )
            
            
              2
              ℏ
              ω
              m
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {a}}={\frac {(m\omega {\hat {q}}+{i}{\hat {p}})}{\sqrt {2\hbar \omega m}}}}
  :
Նրանց կոմենտատորը ստացվում է հետևյալ կերպ՝

  
    
      
        [
        
          
            
              a
              ^
            
          
        
        ,
        
          
            
              
                a
                ^
              
            
          
          
            +
          
        
        ]
        =
        
          
            
              a
              ^
            
          
        
        
          
            
              
                a
                ^
              
            
          
          
            +
          
        
        −
        
          
            
              
                a
                ^
              
            
          
          
            +
          
        
        
          
            
              a
              ^
            
          
        
        =
        
          
            i
            ℏ
          
        
        (
        
          
            
              p
              ^
            
          
        
        
          
            
              q
              ^
            
          
        
        −
        
          
            
              q
              ^
            
          
        
        
          
            
              p
              ^
            
          
        
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{+}]={\hat {a}}{\hat {a}}^{+}-{\hat {a}}^{+}{\hat {a}}={\frac {i}{\hbar }}({\hat {p}}{\hat {q}}-{\hat {q}}{\hat {p}})=1}
  :
Առաջացման և վերացման օպերատորների միջոցով համիլտոնյանը գրվում է հետևյալ կերպ՝

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        =
        ℏ
        ω
        
          (
          
            
              
                
                  
                    a
                    ^
                  
                
              
              
                +
              
            
            
              
                
                  a
                  ^
                
              
            
            +
            
              
                1
                2
              
            
          
          )
        
        =
        ℏ
        ω
        
          (
          
            
              
                
                  n
                  ^
                
              
            
            +
            
              
                1
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{+}{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left({\hat {n}}+{\frac {1}{2}}\right)}
  ,  որտեղ 
  
    
      
        
          
            
              n
              ^
            
          
        
        =
        
          
            
              
                a
                ^
              
            
          
          
            +
          
        
        
          
            
              a
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {n}}={\hat {a}}^{+}{\hat {a}}}
   մակարդակի համարի օպերատորն է։


== Ոչ հարմոնիկ օսցիլյատոր ==
Ոչ հարմոնիկ օսցիլյատորի դեպքում պոտենցիալ էներգիան կոորդինատից ոչ քառակուսային է կախված։ Էներգիայի արտահայտության համար վերցնում են Թեյլորի շարքի մինչև երրորդ անդամը՝

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  
                    p
                    ^
                  
                
              
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          ω
          
            2
          
        
        
          
            
              
                q
                ^
              
            
          
          
            2
          
        
        +
        λ
        
          
            
              
                q
                ^
              
            
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}={{\hat {p}}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}{\hat {q}}^{2}+\lambda {\hat {q}}^{3}}
  :
Առաջացման և վերացման օպերատորների միջոցով խորանարդային անդամը ունի հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        λ
        
          
            (
            
              
                ℏ
                
                  2
                  m
                  ω
                
              
            
            )
          
          
            
              3
              2
            
          
        
        (
        
          
            
              a
              ^
            
          
        
        +
        
          
            
              
                a
                ^
              
            
          
          
            +
          
        
        
          )
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda \left({\hbar  \over 2m\omega }\right)^{3 \over 2}({\hat {a}}+{\hat {a}}^{+})^{3}}
  :


== Տես նաև ==
Լանդաուի մակարդակներ
Հարմոնիկ օսցիլյատոր


== Գրականություն ==
Լ. Դ. Լանդաու, Ե. Մ. Լիֆշից, «Քվանտային մեխանիկա (ոչ ռելյատիվիստիկ տեսություն)», 1974։