Էներգիայի պահպանման օրենք

Էներգիայի պահպանման օրենք, բնության հիմնարար օրենքներից է։ Ըստ այդ օրենքի՝ մեկուսացված ֆիզիկական համակարգի համար կարելի է ներմուծել մի սկալյար ֆիզիկական մեծություն՝ էներգիա, որը համակարգի պարամետրերի ֆունկցիա է և պահպանվում է ժամանակի ընթացքում։ Սահմանվել է փորձնականորեն։ Քանի որ էներգիայի պահպանման օրենքը վերաբերում է ոչ թե որոշակի մեծությունների և երևույթների, այլ արտացոլում է ընդհանրական, ամենուր և միշտ կիրառելի օրինաչափություն, ապա այն կարելի է անվանել ոչ թե էներգիայի պահպանման օրենք, այլ՝ սկզբունք։
Հիմնարար տեսանկյունից՝ ըստ Նյոթերի թեորեմի, էներգիայի պահպանման օրենքը ժամանակի համասեռության հետևանք է, այսինքն՝ համակարգի դիտարկման պահին ֆիզիկայի օրենքների անկախության հետևանք ժամանակից։ Այս իմաստով էներգիայի պահպանման օրենքն ունիվերսալ է, այսինքն՝ բնորոշ է ամենատարբեր ֆիզիկական բնույթով համակարգերին։ Ընդ որում այս պահպանման օրենքի իրականացումը յուրաքանչյուր որոշակի համակարգում հիմնավորվում է այդ համակարգի ենթարկվածությամբ իրեն բնորոշ դինամիկայի օրենքներին, որոնք տարբեր համակարգերի համար տարբեր են։
Պատմական պատճառներով ֆիզիկայի տարբեր բաժիններում էներգիայի պահպանման օրենքը ձևակերպվել է մյուսներից անկախ, ինչի հետ կապված ներմուծվել են էներգիայի տարբեր տեսակներ։ Ասում են, որ հնարավոր է մի տիպի էներգիայի անցում մյուսին, սակայն համակարգի լրիվ էներգիան, որը հավասար է տարբեր տիպի էներգիաների գումարին, պահպանվում է։ Քանի որ էներգիայի տեսակավորումը տարբեր տիպերի պայմանական է, այդ տեսակավորումը ոչ միշտ կարելի է անել միարժեքորեն։
Էներգիայի ամեն տիպի համար պահպանման օրենքը կարող է ունենալ ունիվերսալ ձևակերպումից տարբերվող տեսք։ Օրինակ, դասական մեխանիկայում ձևակերպվել է մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը, թերմոդինամիկայում՝ թերմոդինամիկայի առաջին սկզբունքը, էլեկտրադինամիկայում՝ Պոյնտինգի թեորեմը։
Մաթեմատիկական տեսանկյունից էներգիայի պահպանման օրենքը համարժեք է պնդմանը, որ տվյալ ֆիզիկական համակարգի դինամիկան բնութագրող դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգն ունի շարժման առաջին ինտեգրալ, որը կապված է ժամանակի հանդեպ շեղման նկատմամբ հավասարումների սիմետրիկության հետ։


== Օրենքի հիմնարար իմաստը ==
Էներգիայի պահպանման օրենքի հիմնարար իմաստը բացահայտվում է Նյոթերի թեորեմով։ Ըստ այդ թեորեմի, յուրաքանչյուր պահպանման օրենք միարժեքորեն համապատասխանում է ֆիզիկական համակարգը նկարագրող հավասարումների այս կամ այն սիմետրիային։ Մասնավորապես, էներգիայի պահպանման օրենքը համարժեք է ժամանակի համասեռությանը, այսինքն՝ համակարգը նկարագրող բոլոր օրենքների անկախությանը համակարգի դիտարկման պահից։
Այս պնդումի արտածումը կարելի է ստանալ, օրինակ, լագրանժյան ֆորմալիզմի հիման վրա։ Եթե ժամանակը համասեռ է, ապա համակարգը նկարագրող Լագրանժի ֆունկցիան բացահայտ կախված չէ ժամանակից, այդ պատճառով լրիվ ածանցյալն ըստ ժամանակի ունի հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              L
            
            
              
                
                  d
                
              
              t
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                q
                
                  i
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        +
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      q
                      ˙
                    
                  
                
                
                  i
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                q
                ¨
              
            
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}L}{{\rm {d}}t}}=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}}
  ։Այստեղ 
  
    
      
        L
        (
        
          q
          
            i
          
        
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle L(q_{i},{\dot {q}}_{i})}
  -ն Լագրանժի ֆունկցիան է, 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        ,
        
          
            
              
                q
                ¨
              
            
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i},{\dot {q}}_{i},{\ddot {q}}_{i}}
  -ը՝ ընդհանրացված կոորդինատները և համապատասխանաբար դրանց առաջին և երկրորդ ածանցյալներն ըստ ժամանակի։ Կիրառելով Լագրանժի հավասարումները՝ փոխարինենք 
  
    
      
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                q
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}}
   ածանցյալները 
  
    
      
        
          
            
              d
            
            
              
                
                  d
                
              
              t
            
          
        
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      q
                      ˙
                    
                  
                
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}
   արտահայտությամբ. 

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              L
            
            
              
                
                  d
                
              
              t
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        
          
            
              d
            
            
              
                
                  d
                
              
              t
            
          
        
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      q
                      ˙
                    
                  
                
                
                  i
                
              
            
          
        
        +
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      q
                      ˙
                    
                  
                
                
                  i
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                q
                ¨
              
            
          
          
            i
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          
            
              d
            
            
              
                
                  d
                
              
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  L
                
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          q
                          ˙
                        
                      
                    
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    q
                    ˙
                  
                
              
              
                i
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}L}{{\rm {d}}t}}=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}=\sum _{i}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)}
  ։Վերջին արտահայտությունն արտագրենք

  
    
      
        
          
            
              d
            
            
              
                
                  d
                
              
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                i
              
            
            
              
                
                  ∂
                  L
                
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          q
                          ˙
                        
                      
                    
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    q
                    ˙
                  
                
              
              
                i
              
            
            −
            L
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-L\right)=0}
  տեսքով։ Փակագծերի գումարն ըստ սահմանման կոչվում է համակարգի էներգիա, և քանի որ նրա լրիվ ածանցյալն ըստ ժամանակի զրո է, հետևաբար այն շարժման ինտեգրալ է (այսինքն՝ պահպանվում է)։


== Էներգիայի  պահպանման օրենքի մասնավոր ձևեր ==


=== Դասական մեխանիկա ===


==== Ձևակերպում ====
Նյուտոնյան մեխանիկայում ձևակերպվում է էներգիայի պահպանման օրենքի մասնավոր դեպքը՝ Մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը, որը հետևյալն է՝

Եթե մարմինների վրա ազդում են միայն կոնսերվատիվ ուժեր, ապա այդ մարմինների փակ համակարգի լրիվ  մեխանիկական էներգիան մնում է անփոփոխ։ 

Այլ կերպ ասած, եթե համակարգի վրա դիսիպատիվ ուժեր չեն ազդում (օրինակ՝ շփման ուժը), մեխանիկական էներգիան չի առաջանում ոչնչից և չի կարող անհետանալ։


==== Օրինակներ ====
Այս պնդումի դասական օրինակը զսպանակային կամ մաթեմատիկական ճոճանակն է, որի մարումը կարելի է անտեսել։ Զսպանակային ճոճանակի դեպքում տատանումների պրոցեսում դեֆորմացված զսպանակի պոտենցիալ էներգիան (որի մաքսիմումը բեռի ծայրային կետերում է) վերածվում է բեռի կինետիկ էներգիայի (որի մաքսիմումը հավասարակշռության դիրքով բեռի անցնելու ժամանակ է) և ընդհակառակը։ Մաթեմատիկական ճոճանակի դեպքում բեռի պոտենցիալ էներգիայի վարքը նույն կերպ է՝ ծանրության ուժի դաշտում։


==== Արտածումը Նյուտոնի հավասարումներից ====
Մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը կարելի է արտածել Նյուտոնի երկրորդ օրենքից, եթե հաշվի առնենք, որ կոնսերվատիվ համակարգում մարմնի վրա ազդող ուժերը պոտենցիալային են, և հետևաբար, կարող են ներկայացվել 

  
    
      
        
          
            
              F
              →
            
          
        
        =
        −
        ∇
        U
        
          (
          
            
              
                r
                →
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla U\left({\vec {r}}\right)}
  տեսքով, որտեղ 
  
    
      
        U
        
          (
          
            
              
                r
                →
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle U\left({\vec {r}}\right)}
  -ը նյութական կետի պոտենցիալ էներգիան է (
  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}}
  -ը տարածության կետի շառավիղ-վեկտորն է)։ Այս դեպքում Նյուտոնի երկրորդ օրենքը մեկ մասնիկի համար ունի 

  
    
      
        m
        
          
            
              
                d
              
              
                
                  
                    v
                    →
                  
                
              
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        −
        ∇
        U
        
          (
          
            
              
                r
                →
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=-\nabla U\left({\vec {r}}\right)}
  Տեսքը, որտեղ 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  -ը մասնիկի զանգվածն է, 
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  -ը՝ նրա արագության վեկտորը։ Այս հավասարման երկու մասերը սկայլար բազմապատկելով մասնիկի արագությամբ և նկատի առնելով, որ 
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        
          d
        
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        
          /
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}=\mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} t}
  , կստանանք

  
    
      
        m
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        
          
            
              
                d
              
              
                
                  
                    v
                    →
                  
                
              
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        −
        ∇
        U
        
          (
          
            
              
                r
                →
              
            
          
          )
        
        
          
            
              
                d
              
              
                
                  
                    r
                    →
                  
                
              
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle m{\vec {v}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=-\nabla U\left({\vec {r}}\right){\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}}
  ։Պարզ ձևափոխություններ կատարելով՝ կունենանք

  
    
      
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  m
                  
                    v
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
            +
            U
            (
            
              
                
                  r
                  →
                
              
            
            )
          
          ]
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {mv^{2}}{2}}+U({\vec {r}})\right]=0}
  ։Այստեղից անմիջականորեն բխում է, որ ըստ ժամանակի դիֆերենցվող մեծությունը պահպանվում է։ Այդ արտահայտությունը կոչվում է նյութական կետի մեխանիկական էներգիա։ Գումարման մեջ առաջին անդամը համապատասխանում է կինետիկ էներգիային, երկրորդը՝ պոտենցիալին։
Այս արտածումը կարելի է ընդհանրացնել նյութական կետերի համակարգի համար։


==== Էներգիայի ընդհանրացված ինտեգրալ ====
Ժամանակից անկախ Լագրանժի ֆունկցիայով և 

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                L
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        q
                        ˙
                      
                    
                  
                  
                    m
                  
                
              
            
          
          )
        
        −
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                q
                
                  m
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}=0}
  
պոտենցիալային ուժերով հոլոնոմ մեխանիկական համակարգի Լագրանժի հավասարումներն ունեն էներգիայի ընդհանրացված ինտեգրալ՝

  
    
      
        h
        =
        
          ∑
          
            m
            =
            1
          
          
            s
          
        
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      q
                      ˙
                    
                  
                
                
                  m
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            m
          
        
        −
        L
      
    
    {\displaystyle h=\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}-L}
  ։


=== Թերմոդինամիկա ===

Թերմոդինամիկայում պատմականորեն էներգիայի պահպանման օրենքը ձևակերպվում է որպես թերմոդինամիկայի առաջին սկզբունք.

Թերմոդինամիկական համակարգի ներքին էներգիայի փոփոխությունը համակարգը մի վիճակից մյուսին անցնելիս հավասար է համակարգի վրա արտաքին ուժերի կատարած աշխատանքի և համակարգին հաղորդված ջերմաքանակի  գումարին և կախված չէ եղանակից, որով իրականացվել է այդ անցումը։

Կամ

Համակարգի ստացած ջերմաքանակը ծախսվում է նրա ներքին էներգիայի փոփոխության և արտաքին ուժերի դեմ աշխատանք կատարելու վրա։

Մաթեմատիկական ձևակերպումով այս բանաձևը կարելի է արտահայտել հետևյալ կերպ՝

  
    
      
         
        Q
        =
        Δ
        U
        +
        A
      
    
    {\displaystyle ~Q=\Delta U+A}
  ,որտեղ 
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  -ն համակարգի ստացած ջերմաքանակն է, 
  
    
      
        Δ
        U
      
    
    {\displaystyle \Delta U}
  -ն՝ համակարգի ներքին էներգիայի փոփոխությունը, 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ն՝ համակարգի կատարած աշխատանքը։
Էներգիայի պահպանման օրենքը մասնավորապես պնդում է, որ գոյություն չունի առաջին սեռի հավերժական շարժիչ, այսինքն՝ հնարավոր չէ այնպիսի պրոցես, որի միակ արդյունքը աշխատանքն է՝ առանց այլ մարմիններում որևէ փոփոխությունների։


=== Հիդրոդինամիկա ===

Իդեալական հեղուկի հիդրոդինամիկայում էներգիայի պահպանման օրենքն ավանդաբար ձևակերպվում է Բեռնուլիի օրենքի տեսքով.

  
    
      
        
          
            
              v
              
                2
              
            
            2
          
        
        +
        w
        +
        g
        z
        =
        
          
            c
            o
            n
            s
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+w+gz={\rm {const}}}
  ,որտեղ 
  
    
      
         
        v
      
    
    {\displaystyle \ v}
  -ն հեղուկի հոսքի արագությունն է, 
  
    
      
         
        w
      
    
    {\displaystyle \ w}
  -ն՝ հեղուկի ջերմային ֆունկցիան, 
  
    
      
         
        g
      
    
    {\displaystyle \ g}
  -ն՝ ազատ անկման արագացումը, 
  
    
      
         
        z
      
    
    {\displaystyle \ z}
  -ը՝ կետի կոորդինատը ծանրության ուժի ուղղությամբ։ Եթե հեղուկի ներքին էներգիան չի փոխվում (հեղուկը չի սառչում և չի տաքանում), ապա Բեռնուլիի հավասարումը կարելի է գրել

  
    
      
        
          
            
              v
              
                2
              
            
            2
          
        
        +
        ∫
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              p
            
            ρ
          
        
        +
        g
        z
        =
        
          
            c
            o
            n
            s
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\int {\frac {{\rm {d}}p}{\rho }}+gz={\rm {const}}}
  տեսքով, որտեղ 
  
    
      
         
        p
      
    
    {\displaystyle \ p}
  -ն հեղուկի ճնշումն է, 
  
    
      
         
        ρ
        (
        p
        )
      
    
    {\displaystyle \ \rho (p)}
  -ն՝ խտությունը։ Անսեղմելի հեղուկի համար խտությունը հաստատուն մեծություն է, այդ պատճառով վերջին հավասարումը կարելի է ինտեգրել.

  
    
      
        
          
            
              v
              
                2
              
            
            2
          
        
        +
        
          
            p
            ρ
          
        
        +
        g
        z
        =
        
          
            c
            o
            n
            s
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}+gz={\rm {const}}}
  ։


=== Էլեկտրադինամիկա ===

Էլեկտրադինամիկայում էներգիայի պահպանման օրենքը պատմականորեն ձևակերպվել է Պոյնտինգի թեորեմի տեսքով (երբեմն կոչվում է նաև Ումով-Պոյնտինգի թեորեմ)։ Այն իրար է կապում էլեկտրամագնիսական էներգիայի հոսքի խտությունը, էլեկտրամագնիսական էներգիայի խտությունը և ջոուլյան կորուստների խտությունը։ Ձևակերպվում է հետևյալ կերպ՝

Որոշակի ժամանակահատվածում որոշակի ծավալով պարփակված էլեկտրամագնիսական էներգիայի փոփոխությունը հավասար է այդ ծավալը սահմանափակող մակերևույթով էլեկտրամագնիսական էներգիայի հոսքին և այդ ծավալում անջատված ջերմային էներգիայի քանակին՝ հակառակ նշանով։

Մաթեմատիկորեն սա գրվում է 

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          ∫
          
            V
          
        
        
          w
          
            e
            m
          
        
        d
        V
        =
        −
        
          ∮
          
            ∂
            V
          
        
        
          
            
              S
              →
            
          
        
        d
        
          
            
              σ
              →
            
          
        
        −
        
          ∫
          
            V
          
        
        
          
            
              j
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              E
              →
            
          
        
        d
        V
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int \limits _{V}w_{em}dV=-\oint \limits _{\partial V}{\vec {S}}d{\vec {\sigma }}-\int \limits _{V}{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}dV}
  ,որտեղ 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  -ն ծավալն է, 
  
    
      
        ∂
        V
      
    
    {\displaystyle \partial V}
  -ն՝ այդ ծավալով սահմանափակված մակերևույթը,

  
    
      
        
          w
          
            e
            m
          
        
        =
        
          
            1
            
              8
              π
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  E
                  →
                
              
            
            ⋅
            
              
                
                  D
                  →
                
              
            
            +
            
              
                
                  B
                  →
                
              
            
            ⋅
            
              
                
                  H
                  →
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle w_{em}={\frac {1}{8\pi }}\left({\vec {E}}\cdot {\vec {D}}+{\vec {B}}\cdot {\vec {H}}\right)}
  -ը՝ էլեկտրամագնիսական էներգիայի խտությունը,

  
    
      
        
          
            
              S
              →
            
          
        
        =
        
          
            c
            
              4
              π
            
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  E
                  →
                
              
            
            ×
            
              
                
                  H
                  →
                
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {S}}={\frac {c}{4\pi }}\left[{\vec {E}}\times {\vec {H}}\right]}
  -ն՝ Պոյնտինգի վեկտորը,
  
    
      
        
          
            
              j
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {j}}}
  -ն՝ հոսանքի խտությունը, 
  
    
      
        
          
            
              E
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {E}}}
  -ն՝ էլեկտրական դաշտի լարվածությունը, 
  
    
      
        
          
            
              D
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {D}}}
  -ն՝ էլեկտրական դաշտի ինդուկցիան, 
  
    
      
        
          
            
              H
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {H}}}
  -ը՝ մագնիսական դաշտի լարվածությունը, 
  
    
      
        
          
            
              B
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {B}}}
  -ն՝ մագնիսական դաշտի ինդուկցիան։
Այս օրենքը մաթեմատիկորեն կարելի է գրել նաև դիֆերենցիալ տեսքով՝ 

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                w
                
                  e
                  m
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        −
        
          d
          i
          v
        
        
          
            
              S
              →
            
          
        
        −
        
          
            
              j
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              E
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial w_{em}}{\partial t}}=-\mathrm {div} {\vec {S}}-{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}}
  ։Արտահայտությունները գրված են գաուսյան միավորների համակարգում։


=== Ոչ գծային օպտիկա ===
Ոչ գծային օպտիկայում դիտարկվում է օպտիկական (և առհասարակ էլեկտրամագնիսական) ճառագայթման տարածումը միջավայրում՝ հաշվի առնելով այդ ճառագայթման բազմաքվանտային փոխազդեցությունը միջավայրի նյութի հետ։ Մասնավորապես, հետազոտությունների լայն շրջանակ վերաբերում է եռա- և քառալիքային փոխազդեցությանը, որոնց դեպքում տեղի է ունենում փոխազդեցություն համապատասխանաբար երեք և չորս ճառագայթման քվանտի հետ։ Քանի որ փոխազդեցության յուրաքանչյուր առանձին գործողություն ենթարկվում է էներգիայի և իմպուլսի պահպանման օրենքներին, հնարավորություն կա բավականաչափ ընդհանուր առնչություններ ձևակերպելու փոխազդող ալիքների մակրոսկոպիկ պարամետրերի միջև։ Այդ առնչությունները կոչվում են Մենլի-Ռոուի առնչություններ։
Որպես օրինակ դիտարկենք լույսի հաճախությունների գումարման երևույթը. ոչ գծային միջավայրում 
  
    
      
        
          ω
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{3}}
   հաճախությամբ ճառագայթման գեներացումը, որը հավասար է երկու այլ ալիքների 
  
    
      
        
          ω
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{1}}
   և 
  
    
      
        
          ω
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{2}}
   հաճախությունների գումարին։ Այս պրոցեսը եռալիքային պրոցեսի մասնավոր դեպք է. նյութի հետ սկզբնական ալիքների երկու քվանտնեի փոխազդեցության ժամանակ նրանք կլանվում են՝ ճառագայթելով երրորդ քվանտը։ Էներգիայի պահպանման օրենքի համաձայն, երկու սկզբնական քվանտների էներգիաների գումարը պետք է հավասար լինի նոր քվանտի էներգիային՝

  
    
      
        ℏ
        
          ω
          
            1
          
        
        +
        ℏ
        
          ω
          
            2
          
        
        =
        ℏ
        
          ω
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \hbar \omega _{1}+\hbar \omega _{2}=\hbar \omega _{3}}
  ։Այս հավասարությունից անմիջականորեն բխում է Մենլի-Ռոուի առնչություններից մեկը՝

  
    
      
        
          ω
          
            1
          
        
        +
        
          ω
          
            2
          
        
        =
        
          ω
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{3}}
  ,որն էլ արտահայտում է այն փաստը, որ գեներացված ճառագայթման հաճախությունը հավասար է երկու սկզբնական ալիքների հաճախությունների գումարին։


=== Ռելյատիվիստական մեխանիկա ===
Ռելյատիվիստական մեխանիկայում ներմուծվում է էներգիա-իմպուլսի 4-վեկտորի հասկացությունը (կամ պարզապես քառաչափ իմպուլս)։ Այն թույլ է տալիս էներգիայի և կանոնիկ իմպուլսի պահպանման օրենքները գրել միասնական ձևով, ինչը միաժամանակ լորենց-կովարիանտ է, այսինքն՝ չի փոխվում մի իներցիալ հաշվարկման համակարգից մյուսին անցնելիս։ Օրինակ, էլեկտրամագնիսական դաշտում լիցքավորված նյութական կետի շարժման ժամանակ պահպանման օրենքի կովարիանտ ձևն ունի

  
    
      
         
        
          
            
              d
              
                P
                
                  μ
                
              
            
            
              d
              τ
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ~{\frac {dP_{\mu }}{d\tau }}=0}
  տեսքը, որտեղ 
  
    
      
        
          P
          
            μ
          
        
        =
        
          p
          
            μ
          
        
        +
        
          
            q
            c
          
        
        
          A
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{\mu }=p_{\mu }+{\frac {q}{c}}A_{\mu }}
  -ն մասնիկի կանոնիկ քառաչափ իմպուլսն է, 
  
    
      
        
          p
          
            μ
          
        
        =
        
          (
          
            E
            
              /
            
            c
            ,
            
              p
              
                x
              
            
            ,
            
              p
              
                y
              
            
            ,
            
              p
              
                z
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle p_{\mu }=\left(E/c,p_{x},p_{y},p_{z}\right)}
  -ն՝ մասնիկի քառաչափ իմպուլսը, 
  
    
      
        E
        =
        m
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            1
            +
            
              p
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E=mc^{2}{\sqrt {1+p^{2}}}}
  -ն՝ էներգիան, 
  
    
      
        
          A
          
            μ
          
        
        =
        
          (
          
            φ
            ,
            −
            
              A
              
                x
              
            
            ,
            −
            
              A
              
                y
              
            
            ,
            −
            
              A
              
                z
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle A_{\mu }=\left(\varphi ,-A_{x},-A_{y},-A_{z}\right)}
  -ն՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի պոտենցիալի քառաչափ վեկտորը, 
  
    
      
         
        q
      
    
    {\displaystyle ~q}
  -ն և 
  
    
      
         
        m
      
    
    {\displaystyle ~m}
  -ը՝ մասնիկի լիցքը և զանգվածը, 
  
    
      
         
        τ
      
    
    {\displaystyle ~\tau }
  -ն՝ մասնիկի սեփական ժամանակը։
Կարևոր է նաև այն փաստը, որ նույնիսկ էներգիա-իմպուլսի պահպանման օրենքը տեղի չունենալու դեպքում (օրինակ, բաց համակարգում) պահպանվում է այդ 4-վեկտորի մոդուլը՝ մասնիկի հանգստի էներգիայի իմաստն ունեցող չափական բազմապատկչի ճշտությամբ.

  
    
      
         
        
          P
          
            μ
          
        
        
          P
          
            μ
          
        
        =
        
          m
          
            2
          
        
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ~P_{\mu }P^{\mu }=m^{2}c^{2}}
  ։


=== Քվանտային մեխանիկա ===
Քվանտային մեխանիկայում նույնպես հնարավոր է ձևակերպել էներգիայի պահպանման օրենքը մեկուսացված համակարգի համար։ Այսպես, Շրյոդինգերի պատկերացումով արտաքին փոփոխական դաշտերի բացակայության դեպքում համակարգի համիլտոնյանը կախված չէ ժամանակից և կարելի է ցույց տալ, որ Շրյոդինգերի հավասարման լուծում հանդիսացող ալիքային ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել

  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          c
          
            n
          
        
        
          ψ
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            i
            
              
                
                  
                    E
                    
                      n
                    
                  
                  t
                
                ℏ
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{n}c_{n}\psi _{n}(x)\exp \left(-i{\frac {E_{n}t}{\hbar }}\right)}
  տեսքով, որտեղ 
  
    
      
         
        ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \ \psi (x,t)}
  -ն համակարգի ալիքային ֆունկցիան է, 
  
    
      
         
        x
      
    
    {\displaystyle \ x}
  -ն՝ փոփոխականների համախումբը, որոնցից կախված է համակարգի վիճակը տվյալ քվանտային պատկերացման դեպքում, 
  
    
      
         
        
          ψ
          
            n
          
        
        (
        x
        ,
        t
        )
        ,
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \ \psi _{n}(x,t),E_{n}}
  -ն՝ համիլտոնյան օպերատորի սեփական ֆունկցիան և սեփական արժեքը, 
  
    
      
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \hbar }
  -ը՝ Պլանկի հաստատունը, 
  
    
      
         
        
          c
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \ c_{n}}
  -ն՝ համակարգի վիճակը բնութագրող հաստատուն կոմպլեքս գործակիցներ։ Ըստ սահմանման, քվանտային համակարգի միջին էներգիա է կոչվում

  
    
      
        E
        =
        ∫
        
          ψ
          
            ∗
          
        
        (
        x
        ,
        t
        )
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        (
        x
        )
        ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle E=\int \psi ^{*}(x,t){\hat {H}}(x)\psi (x,t)dx}
  ինտեգրալը, որտեղ 
  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}}
  -ը համակարգի համիլտոնյանն է։ Դժվար չէ տեսնել, որ այս ինտեգրալը կախված չէ ժամանակից.

  
    
      
        E
        =
        ∫
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          c
          
            n
          
          
            ∗
          
        
        
          ψ
          
            n
          
        
        (
        x
        
          )
          
            ∗
          
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            i
            
              
                
                  
                    E
                    
                      n
                    
                  
                  t
                
                ℏ
              
            
          
          )
        
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        (
        x
        )
        
          ∑
          
            m
          
        
        
          c
          
            m
          
        
        
          ψ
          
            m
          
        
        (
        x
        )
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            i
            
              
                
                  
                    E
                    
                      m
                    
                  
                  t
                
                ℏ
              
            
          
          )
        
        d
        x
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        ∫
        
          c
          
            n
          
          
            ∗
          
        
        
          ψ
          
            n
          
          
            ∗
          
        
        (
        x
        )
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        (
        x
        )
        
          c
          
            n
          
        
        
          ψ
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        d
        x
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          
            |
            
              c
              
                n
              
            
            |
          
          
            2
          
        
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E=\int \sum _{n}c_{n}^{*}\psi _{n}(x)^{*}\exp \left(i{\frac {E_{n}t}{\hbar }}\right){\hat {H}}(x)\sum _{m}c_{m}\psi _{m}(x)\exp \left(-i{\frac {E_{m}t}{\hbar }}\right)dx=\sum _{n}\int c_{n}^{*}\psi _{n}^{*}(x){\hat {H}}(x)c_{n}\psi _{n}(x)dx=\sum _{n}\left|c_{n}\right|^{2}E_{n}}
  ,որտեղ նաև կիրառված է համիլտոնյանի սեփական ֆունկցիաների օրթոնորմավորման հատկությունը։ Այսպիսով, փակ համակարգի էներգիան պահպանվում է։
Սակայն պետք է նշել, որ դասական մեխանիկայի հետ համեմատած, էներգիայի պահպանման քվանտային օրենքն ունի էական տարբերություն։ Օրենքի փորձարարական ստուգման համար անհրաժեշտ է անցկացնել չափումներ, որոնք իրենցից ներկայացնում են հետազոտվող համակարգի փոխազդեցությունը մի որոշ սարքի հետ։ Չափման պրոցեսի ընթացքում համակարգն արդեն մեկուսացված չէ, և նրա էներգիան կարող է չպահպանվել (տեղի է ունենում էներգիայի փոխանակություն սարքի հետ)։ Քվանտային մեխանիկայում չափումների պրոցեսում համակարգի գրգռման չափի համար գոյություն ունի հիմնարար սահմանափակում։ Սա հանգում է այսպես կոչված Հայզենբերգի անորոշությունների սկզբունքին, որը մաթեմատիկական ձևակերպումով կարելի է արտահայտել որպես

  
    
      
        Δ
        E
        Δ
        t
        ≥
        
          
            ℏ
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta E\Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}}
  ,որտեղ 
  
    
      
        Δ
        E
      
    
    {\displaystyle \Delta E}
  -ն էներգիայի չափվող արժեքի միջին քառակուսային շեղումն է մի շարք չափումների միջին արժեքից, 
  
    
      
        Δ
        t
      
    
    {\displaystyle \Delta t}
  -ն չափումներից յուրաքանչյուրի ընթացքում համակարգի փոխազդեցության տևողությունն է սարքի հետ։
Չափումների ճշտության այդ հիմնարար սահմանափակումով պայմանավորված՝ քվանտային մեխանիկայում խոսում են միջին էներգիայի պահպանման օրենքի մասին (մի շարք չափումների արդյունքում ստացված էներգիայի միջին արժեքի իմաստով)։


=== Հարաբերականության ընդհանուր տեսություն ===
Լինելով հարաբերականության հատուկ տեսության ընդհանրացումը, հարաբերականության ընդհանուր տեսությունը կիրառում է քառաչափ իմպուլսի ընդհանրացված հասկացությունը՝ էներգիա-իմպուլսի թենզորը։ Պահպանման օրենքը ձևակերպվում է համակարգի էներգիա-իմպուլսի թենզորի համար և մաթեմատիկական տեսքով գրվում է որպես

  
    
      
         
        
          T
          
            ν
            ;
            μ
          
          
            μ
          
        
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle ~T_{\nu ;\mu }^{\mu }=0,}
  որտեղ կետ-ստորակետը նշանակում է կովարիանտ ածանցյալ։
Հարաբերականության ընդհանուր տեսությունում, խստորեն ասած, էներգիայի պահպանման օրենքը միայն լոկալ է գործում։ Դրա պատճառն այն է, որ այդ օրենքը ժամանակի համասեռության հետևանք է, մինչդեռ հարաբերականության ընդհանուր տեսությունում ժամանակն անհամասեռ է և փոփոխվում է՝ կախված տարածաժամանակում մարմինների և դաշտերի առկայությունից։ Պետք է նշել, որ գրավիտացիոն դաշտի էներգիա--իմպուլսի պատշաճ սահմանված պսևդոթենզորի դեպքում կարելի է հասնել գրավիտացիոն փոխազդող մարմինների և դաշտերի լրիվ էներգիայի պահպանմանը։ Սակայն ներկայումս գրավիտացիոն դաշտի էներգիան ներմուծելու ընդունված եղանակ չկա, քանի որ առաջարկված տարբերակները տարբեր թերություններ ունեն։ Օրինակ, գրավիտացիոն դաշտի էներգիան սկզբունքորեն չի կարող սահմանվել որպես թենզոր կոորդինատների ընդհանուր ձևափոխության նկատմամբ։


== Բացահայտման պատմություն ==


=== Մինչև 19-րդ դար ===
Էներգիայի պահպանման օրենքի բացահայտման փիլիսոփայական նախադրյալները դրել էին դեռ դասական փիլիսոփաները։ Ռենե Դեկարտն իր «Փիլիսոփայության սկզբունքներում» (1644) տվել է պարզ, չնայած ոչ քանակական, ձևակերպում.

Սակայն Դեկարտը շարժման քանակ ասելով հասկանում էր զանգվածի և արագության բացարձակ արժեքի արտադրյալը, այսինքն՝ իմպուլսի մոդուլը։
Լայբնիցն իր «Դեկարտի հիշարժան սխալի ապացույցը» (1686 թ.) և «Դինամիկայի ուրվագիծ» (1695 թ.) տրակտատներում ներմուծում է «կենդանի ուժ» (Vis viva) հասկացությունը, որը նա սահմանում է որպես մարմնի զանգվածի և արագության քառակուսու արտադրյալ (ժամանակակից նշանակումներով՝ կինետիկ էներգիայի կրկնապատիկը)։ Բացի այդ, Լայբնիցը հավատում էր ամբողջ «կենդանի ուժի» պահպանմանը։ Շփման պատճառով դանդաղեցումը բացատրելու համար նա առաջարկեց, որ «կենդանի ուժի» կորած մասը հաղորդվում է ատոմներին.

Սակայն Լայբնիցն իր կռահումների ոչ մի փորձարարական ապացույց չի բերում։ Նա դեռ չի մտածում այն մասին, որ ատոմների վերցրած այդ նույն էներգիան հենց ջերմությունն է։
Դեկարտի նման մի տեսակետ է արտահայտել Միխայիլ Լոմոնոսովը 18-րդ դարում։ Էյլերին ուղղված նամակում (5 հուլիսի, 1748 թվական) նա ձևակերպում է «համընդհանուր բնական օրենք»՝ կրկնելով դա իր «Դատողություն մարմինների պինդ և հեղուկ լինելու մասին» (1760) դիսերտացիայում։


=== 19-րդ դար ===
Էներգիայի պահպանման օրենքը հաստատող առաջին փորձերից մեկը 1807 թվականին Ժոզեֆ Գեյ-Լյուսակի անցկացրած փորձն էր։ Փորձելով ապացուցել, որ գազի ջերմունակությունը կախված է նրա ծավալից, Լյուսակն ուսումնասիրեց գազից ընդարձակումը դատարկության մեջ և նկատեց, որ այդ ընթացքում գազի ջերմաստիճանը չի փոխվում։ Սակայն նրան չհաջողվեց բացատրել այդ փաստը։
19-րդ դարի սկզբին մի շարք փորձերով ցույց տրվեց, որ էլեկտրական հոսանքը կարող է ունենալ քիմիական, ջերմային, մագնիսական և էլեկտրադինամիկական ազդեցություններ։ Այս բազմազանությունը Մայքլ Ֆարադեյին մղեց կարիծք հայտնելու, որ մատերիայի ուժերի դրսևորման տարբեր ձևերն ունեն ընդհանուր ծագում, այսինքն՝ կարող են վերածվել մեկը մյուսի։ Այս տեսակետով, ըստ էության, կանխասվում է էներգիայի պահպանման օրենքը։


==== Սադի Կառնո ====

Կատարված աշխատանքի և անջատված ջերմության միջև քանակական կապ հաստատելու առաջին հետազոտությունները կատարել է Սադի Կառնոն։ 1824 թվականին նա հրատարակեց «Մտորումներ կրակի շարժիչ ուժի և այդ ուժը զարգացնելու ընդունակ մեքենաների մասին» վերնագրով ոչ մեծ գրքույկը (ֆր.՝ Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres а développer cette puissance), որը սկզբում անհայտ մնաց։ Հրատարակությունից 10 տարի անց այն պատահաբար նկատեց Կլայպերոնը, որը Կառնոյի շարադրանքին արդիական անալիտիկ և գրաֆիկական ձևավորում տվեց և նույն վերնագրով վերահրատարակեց «Journal de l'Ecole Polytechnique» ամսագրում։ Ավելի ուշ այն վերահրատարակեց նաև «Annalen der Physik und Chemie»-ն։ Կառնոյի վաղաժամ մահից հետո (խոլերայից) նրա եղբայրը հրատարակեց օրագրերը։ Դրանցում, մասնավորապես, Կառնոն գրում է.

Ճշտիվ հայտնի չէ, թե ինչ դատողություններով է Կառնոն հանգել իր եզրակացություններին, սակայն իրենց բնույթով դրանք համարժեք են ժամանակակից պատկերացումներին այն մասին, որ մարմնի վրա կատարած աշխատանքը վերածվում է նրա ներքին էներգիայի, այսինքն՝ ջերմության։ Օրագրերում Կառնոն նաև գրում է։

Սակայն Կառնոյին չհաջողվեց ավելի ճշգրիտ քանակական առնչություն գտնել կատարված աշխատանքի և անջատված ջերմության միջև։


==== Ջեյմս Ջոուլ ====

Օրենքի քանակական ապացույցը մի շարք դասական փորձերով տվել է Ջեյմս Ջոուլը։ Ջրով լցված անոթում նա տեղավորեց երկաթյա միջուկով սոլենոիդ, որը պտտվում է էլեկտրամագնիսի դաշտում։ Ջոուլը չափեց կոճում շփման հետևանքով անջատված ջերմության քանակը էլեկտրամագնիսի փակ և բաց փաթույթների դեպքում։ Համեմատելով այդ մեծությունները՝ նա եկավ եզրակացության, որ անջատվող ջերմության քանակը ուղիղ համեմատական է հոսանքի ուժի քառակուսուն և ստեղծվում է մեխանիկական ուժերով։ Հետագայում Ջոուլը կատարելագործեց սարքավորումը՝ ձեռքով պտտվող կոճը փոխարինելով ընկնող բեռի միջոցով պտտվող կոճով։ Դա թույլ տվեց անջատվող ջերմության մեծությունը կապել բեռի էներգիայի փոփոխության հետ։

Այս արդյունքները շարադրվեցին 1843 թվականին նրա «Մագնիսաէլեկտրականության և ջերմության մեխանիկական երևույթի մասին» աշխատանքում։
1847-1850 թվականների աշխատանքներում Ջոուլը տալիս է էլ ավելի ճշգրիտ ջերմության մեխանիկական համարժեք։


==== Ռոբերտ Մայեր ====

Էներգիայի պահպանման օրենքի ընդհանրականությունը առաջինը գիտակցեց և ձևակերպեց գերմանացի բժիշկ Ռոբերտ Մայերը։ Մարդու օրգանիզմի կենսագործունեությունը հետազոտելիս նա հարց առաջադրեց. կփոխվի՞ կերակուրը մարսելու համար օրգանիզմի անջատած ջերմությունը, եթե այդ դեպքում այն աշխատանք կատարի։ Եթե ջերմության քանակը չփոխվեր, ապա միևնույն քանակությամբ կերակուրից աշխատանքը ջերմություն դարձնելու ճանապարհով (օրինակ՝ շփման միջոցով) հնարավոր կլիներ ստանալ ավելի շատ ջերմություն։ Իսկ եթե ջերմության քանակությունը փոխվում է, ապա, հետևաբար, աշխատանքը և ջերմությունը պետք է ինչ-որ կերպ կապված լինեն իրար և սննդի վերամշակման պրոցեսի հետ։ Նման դատողությունները Մայերին հանգեցրին որակական տեսքով էներգիայի պահպանման օրենքին.

Շարժումը, ջերմությունը և, ինչպես մտադրվել ենք ցույց տալ հետագայում, էլեկտրականությունը իրենցից ներկայացնում են երևույթներ, որոնք կարող են բերվել մի ուժի, որոնք փոփոխում են միմյանց և վերածվում են միմյանց որոշակի օրենքով։

Մայերին է պատկանում էներգիայի պահպանման օրենքի ընդհանրացումը երկնային մարմինների համար։ Նա պնդում է, որ Արեգակից Երկրին հաղորդվող ջերմությունը պետք է ուղեկցվի Արեգակի վրա քիմիական փոխակերպումներով կամ մեխանիկական աշխատանքով.

Բնության համընդհանուր օրենքը, որը թույլ չի տալիս որևէ բացառություն, ասում է, որ ջերմություն առաջանալու համար պետք է որոշակի ծախս։ Այդ ծախսը, որքան էլ բազմազան լինի այն, միշտ կարելի է բերել երկու գլխավոր կատեգորիաների, այն է՝ կամ քիմիական նյութի կամ մեխանիկական աշխատանքի։ 

Մայերն իր մտքերը շարադրել է 1841 թվականի «Ուժերի քանակական և որակական սահմանման մասին» աշխատանքում, որը սկզբում ուղարկում է այն ժամանակների առաջատար «Annalen der Physik und Chemie» ամսագրին։ Գլխավոր խմբագիր Յոհան Պոգենդորֆը մերժում է այն, որից հետո հոդվածը հրատարակվում է «Annalen der Chemie und Pharmacie», որտեղ մնում է չնկատված մինչև 1862 թվականը, երբ այն նկատում է Ռուդոլֆ Կլաուզիուսը։


==== Հերման Հերմհոլց ====

Մայերի դատողությունները և Ջոուլի փորձերը ապացուցեցին մեխանիկական աշխատանքի և ջերմության համարժեքությունը՝ ցույց տալով, որ անջատված ջերմության քանակը հավասար է կատարված աշխատանքին և ընդհակառակը։ Սակայն էներգիայի պահպանման օրենքի ձևակերպումը ճիշտ տերմիններով առաջին անգամ տվել է Հերման Հելմհոլցը։ Ի տարբերություն իր նախորդների, Հերմհոլցը էներգիայի պահպանման օրենքը կապում էր հավերժական շարժիչների գոյության անհնարինության հետ։ Իր դատողություններում նա ելնում էր նյութի կառուցվածքի մեխանիստական պատկերացումներից՝ մատերիան ներկայացնելով որպես մեծաքանակ նյութական կետերի համախումբ, որոնք միմյանց հետ փոխազդում են կենտրոնական ուժերի միջոցով։ Ելնելով այդպիսի մոդելից՝ Հելմհոլցը ուժերի բոլոր տեսակները (որոնք ավելի ուշ կոչվեցին էներգիայի տեսակներ) հանգեցնում էր երկու մեծ տիպերի՝ շարժվող մարմինների կենդանի ուժերի (ժամանակակից ընկալումով՝ կինետիկ էներգիայի) և լարվածության ուժերի (պոտենցիալ էներգիայի)։ Այդ ուժերի պահպանման օրենքը նա ձևակերպեց հետևյալ տեսքով.:

Այստեղ Հելմհոլցը կենդանի ուժ ասելով հասկանում է նյութական կետերի կինետիկ էներգիան, իսկ լարվածության ուժ ասելով՝ պոտենցիալ էներգիան։ Հելմհոլցն առաջարկում էր կատարված աշխատանքի չափ համարել mq² մեծության կեսը (որտեղ m-ը կետի զանգվածն է, q-ն՝ արագությունը), և ձևակերպված օրենքը արտահայտում էր հետևյալ մաթեմատիկական տեսքով՝

  
    
      
        −
        ∑
        
          [
          
            
              ∫
              
                
                  r
                  
                    a
                    b
                  
                
              
              
                
                  R
                  
                    a
                    b
                  
                
              
            
            
              φ
              
                a
                b
              
            
            
              d
            
            
              r
              
                a
                b
              
            
          
          ]
        
        =
        ∑
        
          
            
              
                m
                
                  a
                
              
              
                Q
                
                  a
                
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        −
        ∑
        
          
            
              
                m
                
                  a
                
              
              
                q
                
                  a
                
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle -\sum \left[\int \limits _{r_{ab}}^{R_{ab}}\varphi _{ab}\mathrm {d} r_{ab}\right]=\sum {\frac {m_{a}Q_{a}^{2}}{2}}-\sum {\frac {m_{a}q_{a}^{2}}{2}}}
  ,որտեղ 
  
    
      
        
          Q
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle Q_{a}}
  -ն և 
  
    
      
        
          q
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{a}}
  -ն մարմնի արագություններն են համապատասխանաբար 
  
    
      
        
          R
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{ab}}
   և 
  
    
      
        
          r
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{ab}}
   դիրքերում, իսկ 
  
    
      
        
          φ
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{ab}}
  -ն «r ուղղությամբ ազդող ուժի մեծությունն է» և «համարվում է դրական, եթե կա ձգողություն, և բացասական, եթե դիտվում է վանողություն...»։
Այսպիսով, Հելմհոլցի գլխավոր նորամուծությունը պոտենցիալ ուժի և պոտենցիալ էներգիայի հասկացություններն էին, ինչը թույլ տվեց հետագայում ընդհանրացնել ֆիզիկայի բոլոր բաժինների էներգիայի պահպանման օրենքները։


=== «Էներգիա» բառի ներմուծումը ===
«Կենդանի ուժ» հասկացությունից «էներգիա» հասկացության անցումը տեղի ունեցավ 19-րդ դարի երկրորդ կեսի սկզբին և կապված էր այն բանի հետ, որ ուժ հասկացությունը արդեն զբաղեցրել էր նյուտոնյան մեխանիկան։ Էներգիայի հասկացությունն հենց այդ իմաստով դեռ 1807 թվականին ներմուծել էր Թոմաս Յունգը իր «Բնական փիլիսոփայության և մեխանիկական արվեստի դասախոսությունների դասընթաց» գրքում (անգլ.՝ «A course of lectures on natural philosophy and the mechanical arts»)։ Էներգիայի առաջին խիստ սահմանումը տվել է Ուիլյամ Թոմսոնը 1852 թվականին «Ջերմության դինամիկական տեսություն մասին» աշխատանքում.


== Օրենքի փիլիսոփայական նշանակությունը ==
Էներգիայի պահպանման օրենքի բացահայտումը ազդեցություն ունեցավ ոչ միայն ֆիզիկական գիտությունների զարգացման վրա, այլև՝ 19-րդ դարի փիլիսոփայության։
Ռոբերտ Մայերի անվան հետ է կապվում այսպես կոչված բնագիտական էներգետիզմի ծագումը՝ մի աշխարհայացք, որը գոյություն ունեցող ամեն ինչ կապում է էներգիայի, նրա շարժման և փոխակերպման հետ։ Մասնավորապես, նյութը և ոգին այս պատկերացումով էներգիայի ձևեր են։ Էներգետիզմի այս ուղղության գլխավոր ներկայացուցիչը գերմանացի քիմիկոս Վիլհելմ Օստվալդն էր, որի փիլիսոփայության բարձրագույն իմպերատիվ դարձավ «Ոչ մի էներգիա իզուր մի՛ ծախսիր, օգտագործի՛ր այն» կարգախոսը։


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Էներգիայի պահպանման օրենքը ֆեյնմանյան դասախոսություններում
Э. Шмутцер. Симметрии и законы сохранения в физике. — М.: Мир, 1974. — 160 с.
Alan P. Lightman Great ideas in physics: the conservation of energy, the second law of thermodynamics, the theory of relativity, and quantum mechanics. — 3rd Ed. — McGraw-Hill Professional, 2000. — 300 с. — ISBN 0071357386