Մատրիցների գումարում

Մատրիցների գումարումը մաթեմատիկական գործողություն է, իրականացվում է երկու մատրիցների համապատասխան տարրերի գումարմամբ։ Այլ գործողություններ՝ ինչպես, օրինակ, ուղղակի գումարը կամ Կրոնեկերյան գումարը, նույնպես կարող ենք որպես մատրիցների գումարում ընդունել։


== Կաննոններ ==


=== Համապատասխան տարրերի գումարում ===
Ցանկացած երկու մատրից, եթե ունեն իրար հավասար քանակությամբ տողեր ու սյունակներ, կարող են գումարվել՝ ըստ համապատասպան տարրերի։ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   մատրիցների գումարման պատասխան մատրիցը կունենա նույն քանակությամբ տողեր ու սյունակներ ինչ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ն և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  -ն։ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   մատրիցների գումարը գրառվում է որպես 
  
    
      
        A
        +
        B
      
    
    {\displaystyle A+B}
  ,  և հաշվվում է 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   մատրիցների համապատսխան տարրերը գումարելով․

  
    
      
        
          
            
              
                
                  A
                
                +
                
                  B
                
              
              
                
                =
                
                  
                    [
                    
                      
                        
                          
                            a
                            
                              11
                            
                          
                        
                        
                          
                            a
                            
                              12
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            a
                            
                              1
                              n
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            a
                            
                              21
                            
                          
                        
                        
                          
                            a
                            
                              22
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            a
                            
                              2
                              n
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          ⋮
                        
                        
                          ⋮
                        
                        
                          ⋱
                        
                        
                          ⋮
                        
                      
                      
                        
                          
                            a
                            
                              m
                              1
                            
                          
                        
                        
                          
                            a
                            
                              m
                              2
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            a
                            
                              m
                              n
                            
                          
                        
                      
                    
                    ]
                  
                
                +
                
                  
                    [
                    
                      
                        
                          
                            b
                            
                              11
                            
                          
                        
                        
                          
                            b
                            
                              12
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            b
                            
                              1
                              n
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            b
                            
                              21
                            
                          
                        
                        
                          
                            b
                            
                              22
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            b
                            
                              2
                              n
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          ⋮
                        
                        
                          ⋮
                        
                        
                          ⋱
                        
                        
                          ⋮
                        
                      
                      
                        
                          
                            b
                            
                              m
                              1
                            
                          
                        
                        
                          
                            b
                            
                              m
                              2
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            b
                            
                              m
                              n
                            
                          
                        
                      
                    
                    ]
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    [
                    
                      
                        
                          
                            a
                            
                              11
                            
                          
                          +
                          
                            b
                            
                              11
                            
                          
                        
                        
                          
                            a
                            
                              12
                            
                          
                          +
                          
                            b
                            
                              12
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            a
                            
                              1
                              n
                            
                          
                          +
                          
                            b
                            
                              1
                              n
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            a
                            
                              21
                            
                          
                          +
                          
                            b
                            
                              21
                            
                          
                        
                        
                          
                            a
                            
                              22
                            
                          
                          +
                          
                            b
                            
                              22
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            a
                            
                              2
                              n
                            
                          
                          +
                          
                            b
                            
                              2
                              n
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          ⋮
                        
                        
                          ⋮
                        
                        
                          ⋱
                        
                        
                          ⋮
                        
                      
                      
                        
                          
                            a
                            
                              m
                              1
                            
                          
                          +
                          
                            b
                            
                              m
                              1
                            
                          
                        
                        
                          
                            a
                            
                              m
                              2
                            
                          
                          +
                          
                            b
                            
                              m
                              2
                            
                          
                        
                        
                          ⋯
                        
                        
                          
                            a
                            
                              m
                              n
                            
                          
                          +
                          
                            b
                            
                              m
                              n
                            
                          
                        
                      
                    
                    ]
                  
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}\,\!}
  Ենթադրելով 
  
    
      
        A
        +
        B
        =
        C
      
    
    {\displaystyle A+B=C}
  , որտեղ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  ֊ն, 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  ֊ն, 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  ֊ն նույն չափումներն ունեցող մատրիցներ են, կարող ենք կանոնն ավելի համապարփակ ներկայացնել․

  
    
      
        
          c
          
            i
            j
          
        
        =
        
          a
          
            i
            j
          
        
        +
        
          b
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}
  Օրինակ․

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  3
                
              
              
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  1
                
                
                  2
                
              
            
            ]
          
        
        +
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  7
                
                
                  5
                
              
              
                
                  2
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                  +
                  0
                
                
                  3
                  +
                  0
                
              
              
                
                  1
                  +
                  7
                
                
                  0
                  +
                  5
                
              
              
                
                  1
                  +
                  2
                
                
                  2
                  +
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  3
                
              
              
                
                  8
                
                
                  5
                
              
              
                
                  3
                
                
                  3
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}
  Ճիշտ նույն կերպ հնարավոր է նաև նույն չափումներն ունեցող մատրիցներին հանել մեկը մյուսից։ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   մատրիցների տարբերությունը, որը գրառվում է որպես 
  
    
      
        A
        −
        B
      
    
    {\displaystyle A-B}
   , հաշվվում է 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մատրիցի համապատասխան տարրերից 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   մատրիցի համապատասխան տարրը հանելով։ Այդպիսով, եթե 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   մատրիցների տարբերությունը 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   է, 

  
    
      
        
          c
          
            i
            j
          
        
        =
        
          a
          
            i
            j
          
        
        −
        
          b
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}}
  Օրինակ․

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  3
                
              
              
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  1
                
                
                  2
                
              
            
            ]
          
        
        −
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  7
                
                
                  5
                
              
              
                
                  2
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                  −
                  0
                
                
                  3
                  −
                  0
                
              
              
                
                  1
                  −
                  7
                
                
                  0
                  −
                  5
                
              
              
                
                  1
                  −
                  2
                
                
                  2
                  −
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  3
                
              
              
                
                  −
                  6
                
                
                  −
                  5
                
              
              
                
                  −
                  1
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{bmatrix}}}
  


=== Ուղղակի գումար ===
Մեկ այլ, ավելի հազվադեպ կիրառվող գործողություն է ուղղակի գումարը։ Գրառվում է ⊕ նշանով․ ի նկատի ունեցեք, որ Կրոնեկերյան գումարը նույն նշանն է օգտագործում, սակայն գործածման կոնտեքստից պիտի որ հասկանալի լինի թե ո՛ր գործողությունն է ենթադրվում։ Եթե ունենք մատրից 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  ՝ 
  
    
      
        m
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle m\times n}
   չափերով, և մատրից 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  ՝ 
  
    
      
        p
        ×
        q
      
    
    {\displaystyle p\times q}
   չափերով, նրանց ուղղակի գումարը ունի 
  
    
      
        (
        m
        +
        p
        )
        ×
        (
        n
        +
        q
        )
      
    
    {\displaystyle (m+p)\times (n+q)}
   չափեր, և սահմանվում է որպես․

  
    
      
        
          A
        
        ⊕
        
          B
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    A
                  
                
                
                  
                    0
                  
                
              
              
                
                  
                    0
                  
                
                
                  
                    B
                  
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  ⋯
                
                
                  0
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      m
                      1
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      n
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  ⋯
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  ⋯
                
                
                  0
                
                
                  
                    b
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    b
                    
                      1
                      q
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  0
                
                
                  ⋯
                
                
                  0
                
                
                  
                    b
                    
                      p
                      1
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    b
                    
                      p
                      q
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {B} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}}
  Օրինակ․

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  3
                
                
                  2
                
              
              
                
                  2
                
                
                  3
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        ⊕
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  6
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  3
                
                
                  2
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  2
                
                
                  3
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  6
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}
  Ուղղակի գումարը բլոկ մատրիցի հատուկ տեսակ է։ Մասնավորապես՝ մատրիցների ուղղակի գումարը անկյունագծային բլոկ մատրից է։
Ընդհանրականորեն, 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   մատրիցների ուղղակի գումարը սահմանված է հետևյալ բանաձևով․ 

  
    
      
        
          ⨁
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            A
          
          
            i
          
        
        =
        diag
        ⁡
        (
        
          
            A
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            A
          
          
            2
          
        
        ,
        
          
            A
          
          
            3
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            A
          
          
            n
          
        
        )
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      A
                    
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    0
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    0
                  
                
              
              
                
                  
                    0
                  
                
                
                  
                    
                      A
                    
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    0
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    0
                  
                
                
                  
                    0
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    
                      A
                    
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i}=\operatorname {diag} (\mathbf {A} _{1},\mathbf {A} _{2},\mathbf {A} _{3},\ldots ,\mathbf {A} _{n})={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {A} _{2}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &\mathbf {A} _{n}\\\end{bmatrix}}\,\!}
  որտեղ զրոները իսկապես զրոների բլոկեր են՝ այսինքն, զրոյական մատրիցներ։


=== Կրոնեկերյան գումար ===

Կրոնեկերյան գումարը, չնայած տարբերվում է ուղղակի գումարից, նույնպես գրառվում է «⊕» նշանով։ Սահմանումը տրվում է Կրոնեկերյան արտադրյալի՝ «⊗», և սովորական՝ համապատասխան տարրերի գումարման միջոցով․ եթե 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  ֊ն 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  ֊ը 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  ֊ի վրա մատրից է, իսկ 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  -ն՝ 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  ֊ը 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  ֊ի վրա, իսկ 
  
    
      
        
          
            I
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {I} _{k}}
  ֊ով նշանակում ենք 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   չափման միավոր մատրիցը, ապա Կրոնեկերյան գումարը հետևյալն է․

  
    
      
        
          A
        
        ⊕
        
          B
        
        =
        
          A
        
        ⊗
        
          
            I
          
          
            m
          
        
        +
        
          
            I
          
          
            n
          
        
        ⊗
        
          B
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .}
  


== Տեսեք նաև ==
Մատրիցների արտադրյալ
Վեկտորների գումարում


== Ծանոթագրություններ ==