Ութ քառակուսիների նույնություն

Ութ քառակուսիների նույնություն, մաթեմատիկական թեորեմ այն մասին, որ


== Ապացույց ==
Իրոք.

  
    
      
        (
        
          a
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            3
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            4
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            5
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            6
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            7
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            8
          
          
            2
          
        
        )
        ⋅
        (
        
          b
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            4
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            5
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            6
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            7
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            8
          
          
            2
          
        
        )
        =
        
      
    
    {\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{6}^{2}+a_{7}^{2}+a_{8}^{2})\cdot (b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}+b_{5}^{2}+b_{6}^{2}+b_{7}^{2}+b_{8}^{2})=\,}
  
  
    
      
        (
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        −
        
          a
          
            3
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        −
        
          a
          
            4
          
        
        
          b
          
            4
          
        
        −
        
          a
          
            5
          
        
        
          b
          
            5
          
        
        −
        
          a
          
            6
          
        
        
          b
          
            6
          
        
        −
        
          a
          
            7
          
        
        
          b
          
            7
          
        
        −
        
          a
          
            8
          
        
        
          b
          
            8
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
      
    
    {\displaystyle (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}-a_{5}b_{5}-a_{6}b_{6}-a_{7}b_{7}-a_{8}b_{8})^{2}+\,}
  
  
    
      
        (
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            4
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        −
        
          a
          
            3
          
        
        
          b
          
            4
          
        
        +
        
          a
          
            6
          
        
        
          b
          
            5
          
        
        −
        
          a
          
            5
          
        
        
          b
          
            6
          
        
        −
        
          a
          
            8
          
        
        
          b
          
            7
          
        
        +
        
          a
          
            7
          
        
        
          b
          
            8
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
      
    
    {\displaystyle (a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}+a_{4}b_{3}-a_{3}b_{4}+a_{6}b_{5}-a_{5}b_{6}-a_{8}b_{7}+a_{7}b_{8})^{2}+\,}
  
  
    
      
        (
        
          a
          
            3
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        −
        
          a
          
            4
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            4
          
        
        +
        
          a
          
            7
          
        
        
          b
          
            5
          
        
        +
        
          a
          
            8
          
        
        
          b
          
            6
          
        
        −
        
          a
          
            5
          
        
        
          b
          
            7
          
        
        −
        
          a
          
            6
          
        
        
          b
          
            8
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
      
    
    {\displaystyle (a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2}+a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+a_{7}b_{5}+a_{8}b_{6}-a_{5}b_{7}-a_{6}b_{8})^{2}+\,}
  
  
    
      
        (
        
          a
          
            4
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            3
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            4
          
        
        +
        
          a
          
            8
          
        
        
          b
          
            5
          
        
        −
        
          a
          
            7
          
        
        
          b
          
            6
          
        
        +
        
          a
          
            6
          
        
        
          b
          
            7
          
        
        −
        
          a
          
            5
          
        
        
          b
          
            8
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
      
    
    {\displaystyle (a_{4}b_{1}+a_{3}b_{2}-a_{2}b_{3}+a_{1}b_{4}+a_{8}b_{5}-a_{7}b_{6}+a_{6}b_{7}-a_{5}b_{8})^{2}+\,}
  
  
    
      
        (
        
          a
          
            5
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        −
        
          a
          
            6
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        −
        
          a
          
            7
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        −
        
          a
          
            8
          
        
        
          b
          
            4
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            5
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            6
          
        
        +
        
          a
          
            3
          
        
        
          b
          
            7
          
        
        +
        
          a
          
            4
          
        
        
          b
          
            8
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
      
    
    {\displaystyle (a_{5}b_{1}-a_{6}b_{2}-a_{7}b_{3}-a_{8}b_{4}+a_{1}b_{5}+a_{2}b_{6}+a_{3}b_{7}+a_{4}b_{8})^{2}+\,}
  
  
    
      
        (
        
          a
          
            6
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            5
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        −
        
          a
          
            8
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        +
        
          a
          
            7
          
        
        
          b
          
            4
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            5
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            6
          
        
        −
        
          a
          
            4
          
        
        
          b
          
            7
          
        
        +
        
          a
          
            3
          
        
        
          b
          
            8
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
      
    
    {\displaystyle (a_{6}b_{1}+a_{5}b_{2}-a_{8}b_{3}+a_{7}b_{4}-a_{2}b_{5}+a_{1}b_{6}-a_{4}b_{7}+a_{3}b_{8})^{2}+\,}
  
  
    
      
        (
        
          a
          
            7
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            8
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            5
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        −
        
          a
          
            6
          
        
        
          b
          
            4
          
        
        −
        
          a
          
            3
          
        
        
          b
          
            5
          
        
        +
        
          a
          
            4
          
        
        
          b
          
            6
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            7
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            8
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
      
    
    {\displaystyle (a_{7}b_{1}+a_{8}b_{2}+a_{5}b_{3}-a_{6}b_{4}-a_{3}b_{5}+a_{4}b_{6}+a_{1}b_{7}-a_{2}b_{8})^{2}+\,}
  
  
    
      
        (
        
          a
          
            8
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        −
        
          a
          
            7
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            6
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        +
        
          a
          
            5
          
        
        
          b
          
            4
          
        
        −
        
          a
          
            4
          
        
        
          b
          
            5
          
        
        −
        
          a
          
            3
          
        
        
          b
          
            6
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            7
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            8
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle (a_{8}b_{1}-a_{7}b_{2}+a_{6}b_{3}+a_{5}b_{4}-a_{4}b_{5}-a_{3}b_{6}+a_{2}b_{7}+a_{1}b_{8})^{2}\,}
  


== Պատմություն ==
Նույնությունն առաջին անգամ բացահայտել է դանիացի մաթեմատիկոս Ֆերդինանտ Դեգենը մոտ 1818 թվականին։ Այս հրաշալի նույնությունը ևս երկու անգամ վերաբացահայտվել է. սկզբում Թոմաս Գրեյվսի կողմից 1483 թվականին, ապա՝ Արթուր Կելիի կողմից 1845 թվականին։ Կելին դուրս բերեց այն, աշխատելով կվատերնիոնների ընդհանրացման վրա, դրանց անվանելով օկտոնիոններ։ Հանրահաշվական եզրույթներով նույնությունը նշանակում է, որ երկու օկտոնիոնների արտադրյալի նորման հավասար է նրանց նորմաների արտադրյալին. 
  
    
      
        ‖
        a
        b
        ‖
        =
        ‖
        a
        ‖
        ‖
        b
        ‖
      
    
    {\displaystyle \|ab\|=\|a\|\|b\|}
  ։
Նման պնդումը ճիշտ է կվատերնիոնների («չորս քառակուսիների նույնություն»), կոմպլեքս թվերի, («երկու քառակուսիների նույնություն») և իրական թվերի համար։
1898 թվականին Ադոլֆ Գուրվիցն ապացուցեց, որ նմանատիպ նույնություն գոյություն չունի ոչ 16, ոչ այլ քառակուսիների թվի համար, բացառությամբ 1, 2, 4 և 8։


== Հղումներ ==
Degen’s eight-square identity (անգլ.)