Դ'Ալամբերի հայտանիշ

Մաթեմատիկական հայտանիշ, որն առաջարկել է Դ՛Ալամբերը (ֆր.՝ Jean Le Rond D'Alembert):
Այն վերաբերում է ոչ բացասական անդամներով թվային շարքերին։


== Հայտանիշ ==
Դիցուք տրված է դրական անդամներով

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
    
  
    
      
        (
        
          a
          
            n
          
        
        >
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (a_{n}>0)}
   (3) շարքը և՝ 
  
    
      
        ∃
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              
                a
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              
                a
                
                  n
                
              
            
          
          )
        
        =
        K
      
    
    {\displaystyle \exists \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)=K}
  :
Այդ դեպքում, եթե՝
1. 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  <1, ապա (3) շարքը զուգամետ է։
2. 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  >1 (
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  -ն կարող է լինել +
  
    
      
        ∞
      
    
    {\displaystyle \infty }
  ), ապա (3)-ը տարամետ է։
3. 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  =1, ապա ոչինչ պնդել հնարավոր չէ (կան և զուգամետ և տարամետ շարքերի օրինակներ)։


== Ապացույց ==


=== Առաջին կետի ապացույց ===
Եթե 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  <1, ապա որևէ 
  
    
      
        q
        ∈
        (
        D
        ;
        1
        )
      
    
    {\displaystyle q\in (D;1)}
   թվի համար կունենանք՝ 
  
    
      
        ∃
        N
        ,
        ∀
        n
        ⩾
        N
        :
        0
        <
        
          (
          
            
              
                a
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              
                a
                
                  n
                
              
            
          
          )
        
        <
        q
        <
        1
        :
      
    
    {\displaystyle \exists N,\forall n\geqslant N:0<\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)<q<1:}
  
Այստեղից՝ 
  
    
      
        
          (
          
            
              
                a
                
                  N
                  +
                  1
                
              
              
                a
                
                  N
                
              
            
          
          )
        
        <
        q
        ,
        
          (
          
            
              
                a
                
                  N
                  +
                  2
                
              
              
                a
                
                  N
                  +
                  1
                
              
            
          
          )
        
        <
        q
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          (
          
            
              
                a
                
                  n
                
              
              
                a
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
          )
        
        <
        q
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right)<q,\left({\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\right)<q,...,\left({\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\right)<q}
     
  
    
      
        (
        n
        >
        N
        )
      
    
    {\displaystyle (n>N)}
  :
Բազմապատկելով այս 
  
    
      
        n
        −
        N
      
    
    {\displaystyle n-N}
   թվով անհավասարությունները, կստանանք՝

  
    
      
        
          (
          
            
              
                a
                
                  n
                
              
              
                a
                
                  N
                
              
            
          
          )
        
        <
        
          q
          
            n
          
        
        −
        N
        :
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {a_{n}}{a_{N}}}\right)<q^{n}-N:}
  
Ուրեմն՝

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        <
        
          
            
              a
              
                N
              
            
            
              q
              
                N
              
            
          
        
        ⋅
        
          q
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}<{\frac {a_{N}}{q^{N}}}\cdot q^{n}}
   շարքաը զուգամետ է (0<
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  <1), ապա զուգամետ է նաև շարք (3)-ը (տես. 1, դիտ. 2):


=== Երկրորդ կետի ապացույց ===
Եթե 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  >1, ապա 
  
    
      
        ∃
        N
        ,
        ∀
        n
        ⩾
        N
        :
        
          (
          
            
              
                a
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              
                a
                
                  n
                
              
            
          
          )
        
        >
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle \exists N,\forall n\geqslant N:\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)>1,}
   ուրեմն 
  
    
      
        
          a
          
            n
            +
            1
          
        
        >
        
          a
          
            n
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle a_{n+1}>a_{n}>0}
   
  
    
      
        (
        n
        ≥
        N
        )
      
    
    {\displaystyle (n\geq N)}
  : Այստեղից հետևում է, որ 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
   հաջորդականությունը մոնոտոն աճող է, և, ուրեմն՝ 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        ↛
        0
      
    
    {\displaystyle a_{n}\nrightarrow 0}
  : Որտեղից հետևում է (3) շարքի տարամիտությունը։


=== Երրորդ կետի ապացույց ===
Ցույց տալու համար, որ 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  =1 դեպքում ոչինչ պնդել հնարավոր չէ, կարելի է բերել հետևյալ օրինակները։
Օրինակ 1`

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n},}
   
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          
            1
            
              n
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n_{2}}}}
  :
Այս շարքը զուգամետ է, և պարզ է, որ 
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              
                a
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              
                a
                
                  n
                
              
            
          
          )
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)=1}
  :
Օրինակ 2`

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n},}
   
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}}
  :
Այս շարքը տարամետ է, բայց էլի՝ 
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              
                a
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              
                a
                
                  n
                
              
            
          
          )
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)=1}
  :


== Գրականություն ==
Ա.Գ. Ղալումյան, Ա.Ս. Սարգսյան, «Մաթեմատիկական անալիզ», ԵՊՀ Հրատարակչություն, Երևան 2009։