Բնական լոգարիթմ

Բնական լոգարիթմը-դա լոգարիթմն է e հիմքով, որը իռացիոնալ հաստատուն է և հավասար է մոտ 2,72։ Այն նշանակվում է к 
  
    
      
        ln
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \ln x}
  , 
  
    
      
        
          log
          
            e
          
        
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \log _{e}x}
   կամ երբեմն ուղղակի 
  
    
      
        log
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \log x}
  , երբ հիմքը ենթադրվում է 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
   ։ Սովորաբար լոգարիթմատակ արտահայտությունը՝  
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
    բնական է, բայց այս հասկացությունը կարելի է ընդհանրացնել նաև կոմպլեքս թվերի համար։
Սահմանումից հետևում է, որ լոգարիթմական ֆունկցիան 
  
    
      
        y
        =
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle y=e^{x}}
   ցուցչային ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան է, ուստի նրանց գրաֆիկները համաչափ են առաջին և երրորդ քառորդների կիսորդի նկատմամբ։ Այն պատկանում է տրանսցենդենտ ֆունկցիաների դասին։
Բնական լոգարիթմները օգտակար են այն հանրահաշվական հավասարումների լուծման մեջ, որտեղ անհայտը ցուցիչում է։ Անփոխարինելի է մաթեմատիկական անալիզում, մաթեմատիկայի շատ բնագավառներում,կիրառական որոշ գիտություններում, ֆինանսական ոլորտի բազմաթիվ խնդիրներում(օրինակ բարդ տոկոսների հաշվման մեջ)։


== Սահմանում ==
x թվի բնական լոգարիթմ է կոչվում այն թիվը, որով պետք է աստիճան բարձրացնել e  հիմքը՝  x ստանալու համար։ Այլ կերպ ասած․ բնական լոգարիթմը՝ 
  
    
      
        ln
        ⁡
        a
      
    
    {\displaystyle \ln a}
   դա  
  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
        =
        a
      
    
    {\displaystyle e^{x}=a}
   հավասարման 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   լուծումն է։

Օրինակներ․

  
    
      
        ln
        ⁡
        e
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \ln e=1}
  , քանի որ 
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        =
        e
      
    
    {\displaystyle e^{1}=e}
  ;

  
    
      
        ln
        ⁡
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \ln 1=0}
  , քանի որ 
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle e^{0}=1}
  ։


== Իրական բնական լոգարիթմներ ==

  
    
      
        ln
        ⁡
        a
      
    
    {\displaystyle \ln a}
   բնական լոգարիթմը 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   իրական թվի համար նույնպես սահմանվում է և ճիշտ է ցանկացած դրական 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թվի համար։

Բնական լոգարիթմը ցանկացած դրական իրական a թվի համար սահմանվում է նաև երկրաչափորեն՝ որպես 
  
    
      
        y
        =
        
          
            1
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle y={\frac {1}{x}}}
   կորով սահմանափակված տիրույթի մակերես 
  
    
      
        [
        1
        ;
        a
        ]
      
    
    {\displaystyle [1;a]}
   հատվածի վրա։


=== Հատկությունները ===
Լոգարիթմի սահմանումից էլ հենց ստացվում է հիմնական լոգարիթմական նույնությունը։

  
    
      
        
          e
          
            ln
            ⁡
            a
          
        
        =
        a
      
    
    {\displaystyle e^{\ln a}=a}
  Կարևոր են նաև հետևյալ նույնությունները, որտեղ արժեքները համարվում են դրական․:

Այլ հատկություններ

Արգումենտի աճի հետ աճում է նաև լոգարիթմը․ եթե 
  
    
      
        0
        <
        x
        <
        y
        ,
      
    
    {\displaystyle 0<x<y,}
  , ապա 
  
    
      
        ln
        ⁡
        x
        <
        ln
        ⁡
        y
      
    
    {\displaystyle \ln x<\ln y}
  ;

  
    
      
        
          
            h
            
              1
              +
              h
            
          
        
        ⩽
        ln
        ⁡
        (
        1
        +
        h
        )
        ⩽
        h
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {h}{1+h}}\leqslant \ln(1+h)\leqslant h,}
  , եթե 
  
    
      
        h
        >
        −
        1
      
    
    {\displaystyle h>-1}
  ։


=== Կապը այլ հիմքով լոգարիթմի հետ ===
Լոգարիթմը կարող է որոշված լինել ոչ միայն 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
   հիմքի, այլ ցանկացած դրական  
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  -ից տարբեր հիմքի համար։ 

  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
    հիմքով 
  
    
      
        
          log
          
            a
          
        
        ⁡
        b
      
    
    {\displaystyle \log _{a}b}
   լոգարիթմը կարելի է ձևափոխել  բնական լոգարիթմի և հակառակը․

  
    
      
        ln
        ⁡
        b
        =
        
          
            
              
                log
                
                  a
                
              
              ⁡
              b
            
            
              
                log
                
                  a
                
              
              ⁡
              e
            
          
        
        =
        
          log
          
            a
          
        
        ⁡
        b
        ⋅
        ln
        ⁡
        a
      
    
    {\displaystyle \ln b={\frac {\log _{a}b}{\log _{a}e}}=\log _{a}b\cdot \ln a}
  
  
    
      
        
          log
          
            a
          
        
        ⁡
        b
        =
        
          
            
              ln
              ⁡
              b
            
            
              ln
              ⁡
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}}
  Տասնորդական(
  
    
      
        lg
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \lg x}
  ) լոգարիթմի և բնական լոգարիթմի կապը․ 

  
    
      
        ln
        ⁡
        x
        ≈
        2,302
        59
         
        lg
        ⁡
        x
        ;
        
        lg
        ⁡
        x
        ≈
        0,434
        29
         
        ln
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x}
  Երկուական (
  
    
      
        lb
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {lb} x}
  ) լոգարիթմի և բնական լոգարիթմի կապը․

  
    
      
        ln
        ⁡
        x
        ≈
        0
        ,
        693147
        lb
        ⁡
        x
        ;
        
        lb
        ⁡
        x
        ≈
        1,442
        695
        ln
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \ln x\approx 0,693147\operatorname {lb} x;\quad \operatorname {lb} x\approx 1{,}442695\ln x}
  ։


=== Լոգարիթմական ֆունկցիա ===

Եթե լոգարիթմվող թիվը ընդունենք որպես փոփոխական, ապա կստանանք 
  
    
      
        y
        =
        ln
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\ln x}
   լոգարիթմական ֆունկցիան։ Այն որոշված է,երբ 
  
    
      
        x
        >
        0
      
    
    {\displaystyle x>0}
  ։ Արժեքների տիրույթն է՝ 
  
    
      
        E
        (
        y
        )
        =
        (
        −
        ∞
        ;
        +
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}
  ։ Այս կորը հաճախ անվանվում է լոգարիթմական։ Ֆունկցիան աճող է, անընդհատ ու դիֆերենցելի իրեն որոշման տիրույթում։
Աբցիսների առանցքը (
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  ) հանդիսանում է հորիզոնական ասիմպտոտ, քանի որ

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
            +
            0
          
        
        ln
        ⁡
        x
        =
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0+0}\ln x=-\infty }
  Բնական լոգարիթմի ածանցյալը հավասար է․

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        ln
        ⁡
        x
        =
        
          
            1
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}}
  ։Այս բանաձևի պարզության պատճառով է հենց լոգարիթմական ֆունկցիան կիրառվում մաթեմատիկական անալիզում և դիֆերենցիալ հավասարումներում։

Ինտեգրելով ածանցյալի բանաձևը  
  
    
      
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x=1}
  -ից մինչև 
  
    
      
        x
        =
        b
      
    
    {\displaystyle x=b}
   միջակայքը, մենք կստանաք․

  
    
      
        ln
        ⁡
        b
        =
        
          ∫
          
            1
          
          
            b
          
        
        
          
            
              d
              x
            
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \ln b=\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}}
  Այլ խոսքով․ բնական լոգարիթմը հավասար է 
  
    
      
        y
        =
        
          
            1
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle y={\frac {1}{x}}}
   հիպերբոլով սահմանափակված մակերեսին x միջակայքի համար։


=== Ֆունկցիայի անալիտիկ հատկությունները ===

  
    
      
        y
        =
        1
        
          /
        
        x
      
    
    {\displaystyle y=1/x}
   ֆունկցիայի նախնականը ունի հետևյալ տեսքը․

  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            x
          
        
        =
        ln
        ⁡
        
          |
        
        x
        
          |
        
        +
        C
        ,
      
    
    {\displaystyle \int {dx \over x}=\ln |x|+C,}
  որտեղ 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  -ն ինտեգրման հաստատունն է։ Քանի որ 
  
    
      
        y
        =
        1
        
          /
        
        x
      
    
    {\displaystyle y=1/x}
   ֆունկցիան կազմված է երկու ճյուղերից (մեկը դրական, մյուսը՝ բացասական 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -երի համար), ապա 
  
    
      
        y
        =
        1
        
          /
        
        x
      
    
    {\displaystyle y=1/x}
  -ի նախնականների ընտանիքը նույնպես կազմված է երկու ենթաընտանիքներից, ընդ որում նրանց ինտեգրման հաստատունները անկախ են միմյանցից։

Բնական լոգարիթմից անորոշ ինտեգրալը հեշտ է գտնել մասերով ինտեգրմամբ։

  
    
      
        ∫
        
          ln
          ⁡
          x
          
          
            d
          
          x
        
        =
        x
        ln
        ⁡
        x
        −
        x
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int {\ln x\,\mathrm {d} x}=x\ln x-x+C}
  Մաթեմատիկական անալիզում և Դիֆերենցիալ հավասարումների տեսությունում մեծ դեր ունի 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիայի լագարիթմական ածանցյալ հասկացությունը․

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        ln
        ⁡
        (
        f
        (
        x
        )
        )
        =
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              f
              (
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)}}}
  ։


=== Լոգարիթմի հաշվման մեթոդներ ===
Բնական լոգարիթմը վերլուծենք ըստ Թեյլորի շարքի․

Այս շարքը, որը կոչվում է Մերկատորի շարք, զուգամիտում է, երբ  
  
    
      
        −
        1
        <
        x
        ⩽
        1
      
    
    {\displaystyle -1<x\leqslant 1}
  ։ Մասնավորապես․

Շարքը զուգամիտում է դանդաղ։ Նրանից կարելի է ստանալ առավել հարմար բանաձև․

Այս շարքը արդեն արագ է զուգամիտում։ Բացի այդ, բանաձևի ձախ մասով կարելի է արտահայտել ցանկացած դրական թվի լոգարիթմ։ Այս ալգորիթմով հնարավոր է հաշվել լոգարիթմների արժեքները, բայց այն դժվար է։ 
Շատ թվանշանների առկայության դեպքում Թեյլորի շարքով հաշվարկը էֆեկտիվ չէ։ Կիրառելի է որպես այլընտրանքային միջոց Նյուտոնի մեթոդը։ Դիտարկվում է հետևյալ բանաձևը․
։

  
    
      
        ln
        ⁡
        x
        ≈
        
          
            π
            
              2
              M
              (
              1
              ,
              4
              
                /
              
              s
              )
            
          
        
        −
        m
        ln
        ⁡
        2
      
    
    {\displaystyle \ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2}
  որտեղ 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
   դա 1 և 4/s-ի թվաբանա-երկրաչափական միջինն է։

  
    
      
        s
        =
        x
        
        
          2
          
            m
          
        
        >
        
          2
          
            p
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle s=x\,2^{m}>2^{p/2}}
  ։


=== Օգտակար սահմաններ ===
Բերենք մի քանի օգտակար սահմանների օրինակներ լոգարիթմների համար ․

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          
            
              ln
              ⁡
              (
              1
              +
              x
              )
            
            x
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}
  

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            
              0
              
                +
              
            
          
        
        
          x
          
            b
          
        
        ln
        ⁡
        x
        =
        0
        
        (
        b
        >
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\ln x=0\quad (b>0)}
  

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              ln
              ⁡
              x
            
            
              x
              
                b
              
            
          
        
        =
        0
        
        (
        b
        >
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x^{b}}}=0\quad (b>0)}
  

  
    
      
        ln
        ⁡
        x
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        n
        
          (
          
            
              
                x
                
                  n
                
              
            
            −
            1
          
          )
        
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        n
        
          (
          
            1
            −
            
              
                1
                
                  x
                  
                    n
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)}
  

  
    
      
        ln
        ⁡
        x
        =
        
          lim
          
            h
            →
            0
          
        
        
          
            
              
                x
                
                  h
                
              
              −
              1
            
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle \ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}}
  


=== Անընդհատ կոտորակներ ===
Լոգարիթմի ներկայացման համար կիրառվում են մի քանի անընդհատ կոտորակներ․

  
    
      
        ln
        ⁡
        (
        1
        +
        x
        )
        =
        
          
            
              x
              
                1
              
            
            1
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            2
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            3
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                4
              
            
            4
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                5
              
            
            5
          
        
        −
        ⋯
        =
        
          
            
              
                
              
              
                
                  x
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  1
                  −
                  0
                  x
                  +
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              1
                              
                                2
                              
                            
                            x
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            2
                            −
                            1
                            x
                            +
                            
                              
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      
                                        2
                                        
                                          2
                                        
                                      
                                      x
                                    
                                  
                                
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      3
                                      −
                                      2
                                      x
                                      +
                                      
                                        
                                          
                                            
                                              
                                            
                                            
                                              
                                                
                                                  3
                                                  
                                                    2
                                                  
                                                
                                                x
                                              
                                            
                                          
                                          
                                            
                                              
                                            
                                            
                                              
                                                4
                                                −
                                                3
                                                x
                                                +
                                                
                                                  
                                                    
                                                      
                                                        
                                                      
                                                      
                                                        
                                                          
                                                            4
                                                            
                                                              2
                                                            
                                                          
                                                          x
                                                        
                                                      
                                                    
                                                    
                                                      
                                                        
                                                      
                                                      
                                                        
                                                          5
                                                          −
                                                          4
                                                          x
                                                          +
                                                          ⋱
                                                        
                                                      
                                                    
                                                  
                                                
                                              
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \ln(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\dots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}}
  
  
    
      
        ln
        ⁡
        
          (
          
            1
            +
            
              
                
                  2
                  x
                
                y
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              
                
              
              
                
                  2
                  x
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  y
                  +
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            x
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            1
                            +
                            
                              
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      x
                                    
                                  
                                
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      3
                                      y
                                      +
                                      
                                        
                                          
                                            
                                              
                                            
                                            
                                              
                                                2
                                                x
                                              
                                            
                                          
                                          
                                            
                                              
                                            
                                            
                                              
                                                1
                                                +
                                                
                                                  
                                                    
                                                      
                                                        
                                                      
                                                      
                                                        
                                                          2
                                                          x
                                                        
                                                      
                                                    
                                                    
                                                      
                                                        
                                                      
                                                      
                                                        
                                                          5
                                                          y
                                                          +
                                                          
                                                            
                                                              
                                                                
                                                                  
                                                                
                                                                
                                                                  
                                                                    3
                                                                    x
                                                                  
                                                                
                                                              
                                                              
                                                                
                                                                  
                                                                
                                                                
                                                                  
                                                                    1
                                                                    +
                                                                    ⋱
                                                                  
                                                                
                                                              
                                                            
                                                          
                                                        
                                                      
                                                    
                                                  
                                                
                                              
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
              
              
                
                  2
                  x
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  y
                  +
                  x
                  −
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            (
                            1
                            x
                            
                              )
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            3
                            (
                            y
                            +
                            x
                            )
                            −
                            
                              
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      (
                                      2
                                      x
                                      
                                        )
                                        
                                          2
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      5
                                      (
                                      y
                                      +
                                      x
                                      )
                                      −
                                      
                                        
                                          
                                            
                                              
                                            
                                            
                                              
                                                (
                                                3
                                                x
                                                
                                                  )
                                                  
                                                    2
                                                  
                                                
                                              
                                            
                                          
                                          
                                            
                                              
                                            
                                            
                                              
                                                7
                                                (
                                                y
                                                +
                                                x
                                                )
                                                −
                                                ⋱
                                              
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \ln \left(1+{\frac {2x}{y}}\right)={\cfrac {2x}{y+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{3y+{\cfrac {2x}{1+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(y+x)-\ddots }}}}}}}}}
  


== Պատմություն ==
Բնական լոգարիթմի մասին առաջին տեղեկությունները հայտնվեցին 1619 թվականին, երբ լոնդոնցի մաթեմատիկայի ուսուցիչ Ջոն Սպենդելը վերահրատարակեց Նեպերի լոգարիթմական աղյուսակը՝ լրացնելով այն բնական լոգարիթմի աղյուսակներով։ 1649 թվականին բելգիացի մաթեմատիկոս Գրեգուար դը Սեն-Վենսանը ցույց տվեց, որ 
  
    
      
        y
        =
        
          
            1
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle y={\frac {1}{x}}}
   հիպերբոլով սահմանափակված պատկերի մակերեսը փոխվում է լոգարիթմական օրենքով, և առաջարկեց դրանց անվանել «հիպերբոլական» լոգարիթմներ։
«Բնական լոգարիթմ» տերմինը առաջին անգամ օգտագործել է Նիկոլաս Մերկատորը իր «Logarithmotechnia» աշխատությունում, որը հրապարակվեց 1668 թվականին։ Այստեղ Մերկատորը ներկայացրեց լոգարիթմի վերլուծությունը Մերկատորի շարքով։
XVII—XVIII դարերում Գոթֆրիդ Լայբնիցը և Իոհան Բեռնուլլին բնական լոգարիթմը փորձեցին տարածել կոմպլեքս թվերի վրա, բայց ստեղծել ամբողջական տեսություն նրանց չհաջողվեց։ Բացասական և կոմպլեքս թվերի լոգարիթմների տեսությունը հրապարակվեց 1747-1751 թվականներին Էյլերի կողմից, և չի տարբերվում ժամանակակից տեսությունից։


== Կոմպլեքս լոգարիթմներ ==
Կոմպլեքս լոգարիթմը  անալիտիկ ֆունկցիա է, որը ստացվում է իրական լոգարիթմը կոմպլեքս հարթության վրա տարածելով  (բացի 0-ից)։ Կոմպլեքս լոգարիթմի ֆունկցիան բազմարժեք է։
Սահմանում Կոմպլեքս 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
    թվի 
  
    
      
        
          L
          n
        
        
        z
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Ln} \,z}
   բնական լոգարիթմը դա 
  
    
      
        
          e
          
            w
          
        
        =
        z
        .
      
    
    {\displaystyle e^{w}=z.}
   հավասարման լուծումն է 
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
   ։

  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
    ոչ զրոյական թիվը կարելի է ներկայացնել   
  
    
      
        z
        =
        r
        ⋅
        
          e
          
            i
            (
            φ
            +
            2
            π
            k
            )
          
        
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle z=r\cdot e^{i(\varphi +2\pi k)}\;\;,}
   բանաձևով, որտեղ 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   —կամայակն ամբողջ թիվ է

Ապա 
  
    
      
        
          L
          n
        
        
        z
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Ln} \,z}
   որոշվում է

  
    
      
        
          L
          n
        
        
        z
        =
        ln
        ⁡
        r
        +
        i
        
          (
          
            φ
            +
            2
            π
            k
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right)}
   բանաձևով։ Այստեղ 
  
    
      
        ln
        
        r
        =
        ln
        
        
          |
        
        z
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \ln \,r=\ln \,|z|}
    իրական լոգարիթմն է։ Այսպիսով․
  
    
      
        
          L
          n
        
        
        z
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Ln} \,z}
   կոմպլեքս լոգարիթմը գոյություն ունի ցանկացած 
  
    
      
        z
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle z\neq 0}
   համար, և նրա իրական մասը որոշվում է միանշանակորեն, իսկ կեղծ մասը ունի անվերջ բազմությամբ լուծումներ՝ տարբերվելով միմյանցից 
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
   արժեքով։

Բացասական թվի լոգարիթմը որոշվում է։

  
    
      
        
          L
          n
        
        (
        −
        x
        )
        =
        ln
        ⁡
        x
        +
        i
        π
        (
        2
        k
        +
        1
        )
        
        (
        x
        >
        0
        ,
         
        k
        =
        0
        ,
        ±
        1
        ,
        ±
        2
        …
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Ln} (-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )}
   բանաձևովՕրինակներ

  
    
      
        ln
        ⁡
        (
        1
        )
        =
        0
        ;
        
        
          L
          n
        
        (
        1
        )
        =
        2
        k
        π
        i
      
    
    {\displaystyle \ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i}
  

  
    
      
        ln
        ⁡
        (
        −
        1
        )
        =
        i
        π
        ;
        
        
          L
          n
        
        (
        −
        1
        )
        =
        (
        2
        k
        +
        1
        )
        i
        π
      
    
    {\displaystyle \ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi }
  

  
    
      
        ln
        ⁡
        (
        i
        )
        =
        i
        
          
            π
            2
          
        
        ;
        
        
          L
          n
        
        (
        i
        )
        =
        i
        
          
            
              4
              k
              +
              1
            
            2
          
        
        π
      
    
    {\displaystyle \ln(i)=i{\frac {\pi }{2}};\;\mathrm {Ln} (i)=i{\frac {4k+1}{2}}\pi }
  Բնական լոգարիթմի ֆունկցիաները կոմպլեքս հարթության վրա(գլխավոր ճյուղ)
		
		
		
		


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
Переиздание: АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.
Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
Ա․Գ․Սվեշնիկով, Ա․Ն․Տիխոնով; Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների տեսություն, Մ․, Նաուկա,1966,էջ304։
Գ․Մ․Ֆիխտենգոլց; Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվ,6-րդ հրատ․, — Մ.: Նաուկա, 1966. — էջ 680։