Միջին երկրաչափական

Միջին երկրաչափական -մի քանի դրական իրական թվերի համար այն թիվն է, որով կարելի է փոխարինել թվերից յուրաքանչյուրը այնպես, որ այդ թվերի արտադրյալը մնա անփոփոխ։Առավել ճշգրիտ․

  
    
      
        G
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                x
                
                  1
                
              
              
                x
                
                  2
                
              
              ⋯
              
                x
                
                  n
                
              
            
            
              n
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                ∏
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  n
                
              
              
                x
                
                  i
                
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}}
  ։Երկու թվերի միջին երկրաչափականը կոչվում է նաև «միջին համամասնական» , քանի որ երկու 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
   և 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{2}}
   թվերի 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   միջին երկրաչափականը օժտված է հետևյալ հատկությամբ․ 
  
    
      
        
          
            
              a
              
                1
              
            
            g
          
        
        =
        
          
            g
            
              a
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a_{1}}{g}}={\frac {g}{a_{2}}}}
  , այսինքն․ միջին երկրաչափականը հարաբերվում է առաջին թվին այնպես, ինչպես երկրորդ թիվը միջին երկրաչափականին։


== Հատկությունները ==
ինչպես ցանկացած միջին արժեք՝ միջին երկրաչափականը ընկած է այդ թվերի մեծագույն և փոքրագույն արծեքների միջև․
  
    
      
        min
        ⁡
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        ⩽
        G
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        ⩽
        max
        ⁡
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {min} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant \operatorname {max} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
  Երկու 
  
    
      
        a
        =
        
          A
          
            0
          
        
        ,
        b
        =
        
          G
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle a=A_{0},b=G_{0}}
   թվերի միջին երկրաչափականը այդ թվերի միջին թվաբանական- հարմոնիկն է, այսինքն հավասար է երկու հաջորդականությունների սահմանին․
  
    
      
        
          A
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              
                A
                
                  i
                  −
                  1
                
              
              +
              
                G
                
                  i
                  −
                  1
                
              
            
            2
          
        
        ,
        
        
          G
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              A
              
                i
                −
                1
              
            
            
              G
              
                i
                −
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{i}={\frac {A_{i-1}+G_{i-1}}{2}},\quad G_{i}={\sqrt {A_{i-1}G_{i-1}}}}
  երկու թվերի միջին երկրաչափականը հավասար է այդ թվերի միջին թվաբանականի և միջին հարմոնիկի միջին եկլրաչափականին ։


== Կշռված երկրաչափական միջին ==

Կշռված երկրաչափական միջինը  իրական թվերի 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
   խմբի համար  
  
    
      
        
          w
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          w
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}
   իրական զանգվածներով որոշվում է հետևյալ կերպ․

  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                ∏
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  n
                
              
              
                x
                
                  i
                
                
                  
                    w
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            
              ∑
              
                i
                =
                1
              
              
                n
              
            
            
              w
              
                i
              
            
          
        
        =
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            
              
                1
                
                  
                    ∑
                    
                      i
                      =
                      1
                    
                    
                      n
                    
                  
                  
                    w
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
            
            
              ∑
              
                i
                =
                1
              
              
                n
              
            
            
              w
              
                i
              
            
            ln
            ⁡
            
              x
              
                i
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right)}
  Այն դեպքում, երբ բոլոր զանգվածները իրար հավասար են, կշռված երկրաչափական միջինը հավասար է միջին երկրաչափականին։


== Երկրաչափության մեջ ==

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին իջեցրած բարձրությունը հավասար է ներքնաձիգի վրա էջերի պրոյեկցիաների միջին երկրաչափականին։ Իսկ յուրաքանչյուր էջ հավասար է ներքնաձիգի և նրա վրա այդ էջի պրոյեկցիայի միջին երկրաչափականին։ Սա հնարավորություն է տալիս երկրաչափորեն կառուցելու երկու հատվածների միջին երկրաչափականը․ հարկավոր է կառուցել շրջանագիծ, որի տրամագիծը այդ երկու հատվածների գումարն է, իսկ հատվածների միացման կետում կանգնեցված ուղղահայացը մինչև շրջանագծի հետ հատումը կլինի որոնելի մեծությունը
Մինչև գնդի հորիզոն հեռավորությունը հավասար է գնդի ամենամոտ և ամենահեռու կետերի հեռավորությունների միջին երկրաչափականին։


== Ֆինանսական ==
Երկրաչափական միջինը ժամանակ առ ժամանակ օգտագործվել է ֆինանսական ցուցանիշները հաշվարկելու համար (միջին ցուցանիշը գերազանցում է ինդեքսի բաղադրիչները)։ Օրինակ ՝ նախկինում FT 30 ինդեքսը օգտագործում էր երկրաչափական միջակայք։ Այն նաև օգտագործվում է Միացյալ Թագավորությունում և Եվրոպական Միությունում վերջերս ներդրված « RPIJ » գնաճի չափման մեջ։
Սա ազդեցություն է թողնում ցուցանիշի վրա շարժվող շարժումների ազդեցությանը `թվաբանության միջին օգտագործման համեմատությամբ։


== Համեմատությունը թվաբանական միջինի հետ ==
Դրական թվերի ոչ դատարկ տվյալների հավաքածուի երկրաչափական միջինը միշտ առավելագույնը դրանց թվաբանական միջինն է։ Հավասարությունը ձեռք է բերվում միայն այն դեպքում, երբ տվյալների ամբողջ շարքում բոլոր համարները հավասար են. հակառակ դեպքում երկրաչափական միջինը փոքր է։ Օրինակ․ 242-ի և 288-ի երկրաչափական միջին ցուցանիշը հավասար է 264-ին, մինչդեռ դրանց թվաբանական միջինը 265 է։ Մասնավորապես, սա նշանակում է, որ երբ ոչ միանման թվերի մի շարք ենթակա է միջին պահպանման տարածման , այսինքն ` հավաքածուն իրարից ավելի «տարածվում» է, իսկ թվաբանական միջինը թողնելով անփոփոխ ՝ դրանց երկրաչափական միջին քանակը նվազում է ։


== Ընդհանրացում ==
Միջին երկրաչափականը կարելի է դիտարկել որպես միջին աստիճաննայինների սահման․
  
    
      
        
          A
          
            g
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                
                  x
                  
                    1
                  
                  
                    g
                  
                
                +
                …
                +
                
                  x
                  
                    n
                  
                  
                    g
                  
                
              
              n
            
            
              g
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{g}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{g}]{\frac {x_{1}^{g}+\ldots +x_{n}^{g}}{n}}}}
   при 
  
    
      
        g
        →
        0
      
    
    {\displaystyle g\to 0}
  .

Միջին երկրաչափականը հանդիսանում է Կալմագորովի միջին երբ 
  
    
      
        ϕ
        (
        x
        )
        =
        log
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \phi (x)=\log x}
  ։


== Տես նաև ==
Երկրաչափական պրոգրեսիա
Երկրաչափական համամասնություն
Շվեյցերի անհավասարում


== Ծանոթագրություններ ==