Կոշիի խնդիր

Կոշիի խնդիր – դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության (սովորական և մասնակի ածանցյալով) հիմնական խնդիրներից մեկն է, որտեղ պահանջվում է գտնել (ինտեգրալ) դիֆերենցիալ հավասարման այնպիսի լուծում, որը բավարարի սկզբնական պայմաններին (սկզբնական տվյալներին)։
Կոշիի խնդիրը սովորաբար առաջանում է գործընթացների վերլուծության ժամանակ, որոնք որոշվում են դիֆերենցիալ օրենքների զարգացմամբ և սկզբնական վիճակով (որոնց մաթեմատիկական արտահայտությունները հանդիսանում են հավասարումները և սկզբնական պայմանները)։ Սրանով մոտիվացվում է տերմինալոգիան և ընտրության նշանակումը՝ սկզբնական տվյալները տրվում են 
  
    
      
        t
        =
        0
      
    
    {\displaystyle t=0}
  -ի, իսկ լուծումները որոնվում են 
  
    
      
        t
        >
        0
      
    
    {\displaystyle t>0}
  -ի դեպքերում։
Եզրային խնդիրներից Կոշիի խնդիրը տարբերվում է նրանով, որ միջակայքը, որում պետք է որոշված լինի որոնվող լուծումը, այստեղ նախօրոք չի նշվում։ Ամեն դեպքում Կոշիի խնդիրը կարելի է դիտարկել որպես եզրային խնդիրներից մեկը։
Հիմնական հարցերը, որոնք կապված են Կոշիի խնդրի հետ, այսպիսին են՝

գոյություն ունի (գոնե տեղային) Կոշիի խնդրի լուծում,
եթե լուծումը գոյություն ունի, ապա որն է նրա գոյության միջակայքը,
լուծումը արդյոք միակն է,
եթե լուծումը միակն է, ապա այն կոռեկտ է, այսինքն անընդհատ է (ինչ որ առումով) սկզբնական տվյալների նկատմամբ։Ասում են, որ Կոշիի խնդիրը ունի միակ լուծումը, եթե այն ունի 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
   լուծումը և ոչ մի այլ լուծում չի հանդիսանում ինտեգրալ կոր, որը 
  
    
      
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{0},y_{0})}
   կետի փոքր շրջակայքում ունի 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
   ուղղվածության դաշտին համընկնող ուղղվածության դաշտ։ 
  
    
      
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{0},y_{0})}
   կետը տալիս է սկզբնական պայմանը։


== Կոշիի խնդրի տարբեր դրվածքներ ==
առաջին կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարում, թույլատրելի ածանցյալի նկատմամբ՝
  
    
      
        
          {
          
            
              
                
                  
                    y
                    
                      ′
                    
                  
                  =
                  f
                  (
                  x
                  ,
                  y
                  )
                
              
              
                
                  y
                  (
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                  )
                  =
                  
                    y
                    
                      0
                    
                  
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y^{\prime }=f(x,y)\\y(x_{0})=y_{0}\end{matrix}}\right.}
  ,
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -րդ կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգ, թույլատրելի ածանցյալների նկատմամբ (
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -րդ կարգի սովորական համակարգ)`
  
    
      
        
          {
          
            
              
                
                  
                    
                      y
                      
                        ′
                      
                    
                    =
                    
                      f
                      
                        1
                      
                    
                    (
                    x
                    ,
                    
                      y
                      
                        1
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      y
                      
                        n
                      
                    
                    )
                  
                
                
                  
                    …
                  
                
                
                  
                    
                      y
                      
                        n
                      
                      
                        ′
                      
                    
                    =
                    
                      f
                      
                        n
                      
                    
                    (
                    x
                    ,
                    
                      y
                      
                        1
                      
                    
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      y
                      
                        n
                      
                    
                    )
                  
                
                
                  
                    
                      y
                      
                        1
                      
                    
                    (
                    
                      x
                      
                        0
                      
                    
                    )
                    =
                    
                      y
                      
                        01
                      
                    
                  
                
                
                  
                    …
                  
                
                
                  
                    
                      y
                      
                        n
                      
                    
                    (
                    
                      x
                      
                        0
                      
                    
                    )
                    =
                    
                      y
                      
                        0
                        n
                      
                    
                  
                
              
            
            
            ⟺
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y^{\prime }=f_{1}(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\\\ldots \\y_{n}^{\prime }=f_{n}(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\\y_{1}(x_{0})=y_{01}\\\ldots \\y_{n}(x_{0})=y_{0n}\end{matrix}}\iff \right.}
   
  
    
      
        
          {
          
            
              
                
                  
                    y
                    
                      ′
                    
                  
                  =
                  f
                  (
                  x
                  ,
                  y
                  )
                
              
              
                
                  y
                  (
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                  )
                  =
                  
                    y
                    
                      0
                    
                  
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y^{\prime }=f(x,y)\\y(x_{0})=y_{0}\end{matrix}}\right.}
  ,
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -րդ կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարում, թույլատրելի ավագ ածանցյալների նկատմամբ`
  
    
      
        
          {
          
            
              
                
                  
                    
                      y
                      
                        (
                        n
                        )
                      
                    
                    =
                    f
                    (
                    x
                    ,
                    y
                    ,
                    …
                    ,
                    
                      y
                      
                        (
                        n
                        −
                        1
                        )
                      
                    
                    )
                  
                
                
                  
                    y
                    (
                    
                      x
                      
                        0
                      
                    
                    )
                    =
                    
                      y
                      
                        01
                      
                    
                  
                
                
                  
                    …
                  
                
                
                  
                    
                      y
                      
                        (
                        n
                        −
                        1
                        )
                      
                    
                    (
                    
                      x
                      
                        0
                      
                    
                    )
                    =
                    
                      y
                      
                        0
                        n
                      
                    
                  
                
              
            
            
            ⟺
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y^{(n)}=f(x,y,\ldots ,y^{(n-1)})\\y(x_{0})=y_{01}\\\ldots \\y^{(n-1)}(x_{0})=y_{0n}\end{matrix}}\iff \right.}
   
  
    
      
        
          {
          
            
              
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                    
                      ′
                    
                  
                  =
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                  
                  (
                  =
                  
                    y
                    ′
                  
                  )
                
              
              
                
                  …
                
              
              
                
                  
                    y
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                    
                      ′
                    
                  
                  =
                  
                    y
                    
                      n
                    
                  
                  
                  (
                  =
                  
                    y
                    
                      (
                      n
                      −
                      1
                      )
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  
                    y
                    
                      n
                    
                    
                      ′
                    
                  
                  =
                  f
                  (
                  x
                  ,
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                  …
                  ,
                  
                    y
                    
                      n
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                  (
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                  )
                  =
                  
                    y
                    
                      01
                    
                  
                  
                  (
                  =
                  y
                  (
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                  )
                  )
                
              
              
                
                  …
                
              
              
                
                  
                    y
                    
                      n
                    
                  
                  (
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                  )
                  =
                  
                    y
                    
                      0
                      n
                    
                  
                  
                  (
                  =
                  
                    y
                    
                      (
                      n
                      −
                      1
                      )
                    
                  
                  (
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                  )
                  )
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y_{1}^{\prime }=y_{2}\quad (=y')\\\ldots \\y_{n-1}^{\prime }=y_{n}\quad (=y^{(n-1)})\\y_{n}^{\prime }=f(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\\y_{1}(x_{0})=y_{01}\quad (=y(x_{0}))\\\ldots \\y_{n}(x_{0})=y_{0n}\quad (=y^{(n-1)}(x_{0}))\end{matrix}}\right.}
  ,


== Կոշիի խնդրի լուծելիության թեորեմներ սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համար ==
Դիցուք 
  
    
      
        D
        ⊂
        
          R
          
            x
          
        
        ×
        
          R
          
            y
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle D\subset R_{x}\times R_{y}^{n}}
   տիրույթում դիտարկվում է Կոշիի խնդիրը՝

  
    
      
        
          {
          
            
              
                
                  
                    y
                    
                      ′
                    
                  
                  (
                  x
                  )
                  =
                  f
                  (
                  x
                  ,
                  y
                  (
                  x
                  )
                  )
                
              
              
                
                  y
                  (
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                  )
                  =
                  
                    y
                    
                      0
                    
                  
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y^{\prime }(x)=f(x,y(x))\\y(x_{0})=y_{0}\end{matrix}}\right.}
  ,որտեղ 
  
    
      
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        )
        ∈
        D
      
    
    {\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D}
  : Դիցուք 
  
    
      
        
          
            D
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {D}}}
  -ում առաջին մասը հանդիսանում է անընդհատ ֆունկցիա։ Այս ենթադրություններում տեղի ունի Պեանոյի թեորեմը, որը սահմանում է Կոշիի խնդրի լուծելիությունը։ Դիցուք 
  
    
      
        a
        >
        0
      
    
    {\displaystyle a>0}
   և 
  
    
      
        b
        >
        0
      
    
    {\displaystyle b>0}
   այնպիսին են, որ 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
   տիրույթին պատկանող փակ ուղղանկյուն է

  
    
      
        R
        =
        {
        (
        x
        ,
        y
        )
        :
        
          x
          
            0
          
        
        −
        a
        ≤
        x
        ≤
        
          x
          
            0
          
        
        +
        a
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        −
        b
        ≤
        y
        ≤
        
          y
          
            0
          
        
        +
        b
        }
      
    
    {\displaystyle R=\{(x,y):x_{0}-a\leq x\leq x_{0}+a,y_{0}-b\leq y\leq y_{0}+b\}}
  ,
այդ դեպքում 
  
    
      
        [
        
          x
          
            0
          
        
        −
        α
        ,
        
          x
          
            0
          
        
        +
        α
        ]
      
    
    {\displaystyle [x_{0}-\alpha ,x_{0}+\alpha ]}
   հատվածի վրա, որտեղ 
  
    
      
        α
        =
        min
        {
        a
        ,
        b
        
          /
        
        M
        }
      
    
    {\displaystyle \alpha =\min\{a,b/M\}}
  , 
  
    
      
        M
        =
        
          max
          
            (
            x
            ,
            y
            )
            ∈
            R
          
        
        
          |
        
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle M=\max \limits _{(x,y)\in R}|f(x,y)|}
  , գոյություն ունի Կոշիի լուծումը։ Նշված հատվածը կոչվում է Պեանոյի հատված։ Նշենք, որ Պեանոյի թեորեմի տեղային բնույթը կապված չէ աջ մասի հարթ լինելուց։ Օրինակ, 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          y
          
            2
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=y^{2}+1}
   և 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        =
        0
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x_{0}=0,y_{0}=0}
  -ի համար 
  
    
      
        y
        (
        x
        )
        =
        tan
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y(x)=\tan(x)}
  -ի լուծումը գոյություն ունի միայն 
  
    
      
        (
        −
        π
        ,
        π
        )
      
    
    {\displaystyle (-\pi ,\pi )}
   միջակայքում։ Նշենք նույնպես, որ առանց լրացուցիչ ենթադրությունների աջ մասի հարթ լինելուց, պետք չէ երաշխավորել Կոշիի խնդրի լուծման եզակի լինելը։ Օրինակ, 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          
            y
          
        
        ,
        
          x
          
            0
          
        
        =
        0
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(x,y)={\sqrt {y}},x_{0}=0,y_{0}=0}
  –ի համար հնարավոր է մեկից ավելի լուծումներ։
Որպեսզի ձևակերպենք Կոշիի խնդրի լուծման միակության մասին թեորեմը, պետք է լրացուցիչ սահմանափակումներ դնել նրա աջ մասի վրա։ Կասենք որ, 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
   ֆունկցիան բավարարում է Լիֆշիցի պայմանին 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  -ի վրա կախված 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  -ից, եթե գոյություն ունի այնպիսի 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
   հաստատուն, որ

  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        x
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        )
        −
        f
        (
        x
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        )
        
          |
        
        ≤
        L
        
          |
        
        
          y
          
            1
          
        
        −
        
          y
          
            2
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|\leq L|y_{1}-y_{2}|}
  
բոլոր 
  
    
      
        (
        x
        ,
        
          y
          
            i
          
        
        )
        ∈
        D
        ,
        i
        =
        1
        ,
        2...
      
    
    {\displaystyle (x,y_{i})\in D,i=1,2...}
  -ի համար։
Դիցուք 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
  -ի աջ մասը լրացուցիչ բավարարում է Լիֆշիցի պայմանին 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  -ի վրա կախված 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  -ից, այդ դեպքում Կոշիի խնդիրը չի կարող ունենալ 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  -ում մեկից ավելի լուծում։
Նշենք նույնպես, որ թեև այս թեորեմը ունի գլոբալ բնույթ, այնուամենայնիվ նա չի հաստատում գլոբալ լուծման գոյությունը։
Գլոբալ լուծման գոյության համար անհրաժեշտ է կիրառել ըստ 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  -ի աջ մասի աճի պայմանի։ Դիցուք 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիան բավարարում է 
  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        
          |
        
        ≤
        A
        (
        
          |
        
        y
        
          |
        
        +
        1
        )
        ,
         
        (
        x
        ,
        y
        )
        ∈
        D
      
    
    {\displaystyle |f(x,y)|\leq A(|y|+1),\ (x,y)\in D}
   պայմանին, որտեղ 
  
    
      
        A
        >
        0
      
    
    {\displaystyle A>0}
   հաստատունը կախված չէ ոչ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ից և ոչ էլ 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  -ից, այդ դեպքում Կոշիի խնդիրը ունի լուծում 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  -ում։ Մասնավորապես, այս թեորեմից հետևում է, որ գծային հավասարումների համար (անընդհատ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   գործակիցներով) Կոշիի խնդիրը ունի գլոբալ լուծում։


== Տես նաև ==
Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ
Հատուկ լուծում
եզրային խնդիր
Էյլերի մեթոդը
Ռինգե-Կուտի մեթոդը
Պեանոյի թեորեմը


== Գրականություն ==
А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников - Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения, издательство-Физматлит, 2005
Ф.Хартман - Обыкновенные дифференциальные уравнения, издательство - Мир, 1972