Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիայի բևեռ


== Որոշ սահմանումներ ==

  
    
      
        a
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle a\in A}
   կետը կոչվում է 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   բազմության մեկուսացված կետ, եթե գոյություն ունի այդ կետի այնպիսի շրջակայք, որի հատումը 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   բազմության հետ բաղկացած է միայն 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետից։

  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   պարամետրը կոչվում է կոմպլեքս փոփոխական, եթե այն ներկայացվում է 
  
    
      
        z
        =
        x
        +
        i
        y
      
    
    {\displaystyle z=x+iy}
   տեսքով, որտեղ 
  
    
      
        x
        =
        ℜ
        z
      
    
    {\displaystyle x=\Re z}
   և 
  
    
      
        y
        =
        ℑ
        z
      
    
    {\displaystyle y=\Im z}
   իրական թվեր են, իսկ 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  -ն կեղծ միավորն է՝ 
  
    
      
        i
        =
        
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
  ։
Կոմպլեքս փոփոխականի 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
   ֆունկցիան կոչվում է հոլոմորֆ (երբեմն նաև ռեգուլյար), եթե այն որոշված է 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
   կոմպլեքս հարթության որևէ բաց բազմությունում և կոմպլեքս դիֆերենցելի է դրա յուրաքանչյուր կետում։

  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   կետը կոչվում է կոմպլեքս փոփոխականի 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
   ֆունկցիայի եզակի կետ, եթե այդ կետում խախտվում է 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
   ֆունկցիայի անալիտիկությունը։

  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   կետը կոչվում է կոմպլեքս փոփոխականի 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
   ֆունկցիայի մեկուսացված եզակի կետ, եթե գոյություն ունի այդ եզակի կետի այնպիսի շրջակայք, որում 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
   ֆունկցիան միարժեք է և անալիտիկ։

  
    
      
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{0}}
   մեկուսացված եզակի կետը կոչվում է կոմպլեքս փոփոխականի 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
   ֆունկցիայի բևեռ, որը հոլոմորֆ է այդ կետի որոշակի սնամեջ շրջակայքում, եթե գոյություն ունի այդ ֆունկցիայի սահմանն այդ կետում և

  
    
      
        
          lim
          
            z
            →
            
              
                z
                
                  0
                
              
            
          
        
        f
        (
        z
        )
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{z\to {z_{0}}}f(z)=\infty }
  ։


== Բևեռի հայտանիշները ==

  
    
      
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{0}}
   կետը բևեռ է այն և միայն այն դեպքում, երբ 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
   ֆունկցիայի՝ այդ 
  
    
      
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{0}}
   կետի սնամեջ շրջակայքում Լորանի շարքի վերլուծության գլխավոր մասը պարունակում է զրոյից տարբեր միայն վերջավոր թվով անդամներ, այսինքն՝
  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          
            f
            
              k
            
          
        
        (
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          )
          
            k
          
        
        =
        P
        (
        z
        )
        +
        
          f
          
            −
            n
          
        
        (
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          )
          
            −
            n
          
        
        +
        …
        +
        
          f
          
            −
            1
          
        
        (
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          )
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f_{k}}(z-z_{0})^{k}=P(z)+f_{-n}(z-z_{0})^{-n}+\ldots +f_{-1}(z-z_{0})^{-1}}
  , 
որտեղ 
  
    
      
        P
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle P(z)}
   —ը Լորանի շարքի գլխավոր մասն է։
Եթե 
  
    
      
        
          f
          
            −
            n
          
        
        ≠
         
        0
      
    
    {\displaystyle f_{-n}\neq \ 0}
  , ապա 
  
    
      
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{0}}
   կետը կոչվում է 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -րդ կարգի (պատիկության)բևեռ։
Եթե 
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  , ապա բևեռը կոչվում է պարզ (միապատիկ)։

  
    
      
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{0}}
   կետը 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  -րդ կարգի բևեռ է այն և միայն այն դեպքում, երբ 
  
    
      
        
          lim
          
            z
            →
            
              
                z
                
                  0
                
              
            
          
        
        f
        (
        z
        )
        (
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          )
          
            k
            −
            1
          
        
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k-1}=\infty }
  , իսկ 
  
    
      
        
          lim
          
            z
            →
            
              
                z
                
                  0
                
              
            
          
        
        f
        (
        z
        )
        (
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          )
          
            k
          
        
        ≠
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k}\neq \infty }
  

  
    
      
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{0}}
   կետը 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  -րդ կարգի բևեռ է այն և միայն այն դեպքում, երբ այն 
  
    
      
        F
        (
        z
        )
        =
        
          
            1
            
              f
              (
              z
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(z)={\frac {1}{f(z)}}}
   ֆունկցիայի 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  -րդ կարգի զրոն է։


== Գրականություն ==
Մուսոյան Վ. Կոմպլեքս անալիզ - Եր., ԵՊՀ, 1990։
Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ. В 3 т., Т. 1 — М., Наука, 1969.