Հավասարաչափ զուգամիտություն

Հավասարաչափ զուգամիտություն, զուգամիտության կարևոր մասնավոր դեպք։ 
  
    
      
        {
        f
        n
        (
        x
        )
        }
      
    
    {\displaystyle \{fn(x)\}}
   ֆունկցիաների հաջորդականությունը հավասարաչափ զուգամիտում է սահմանային 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիային 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   բազմության վրա (նշանակվում է՝ 
  
    
      
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        
          ⇉
        
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f_{n}(x){\rightrightarrows }f(x)}
  , 
  
    
      
        x
        
          
            2
          
        
        X
      
    
    {\displaystyle x{\mathcal {2}}X}
  , եթե կամայական 
  
    
      
        
          ε
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle {\varepsilon }>0}
  -ի համար գոյություն ունի 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ից անկախ այնպիսի 
  
    
      
        N
        (
        
          ε
        
        )
      
    
    {\displaystyle N({\varepsilon })}
  , որ 
  
    
      
        
          |
        
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        −
        f
        (
        x
        )
        
          |
        
        <
        
          ε
        
      
    
    {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<{\varepsilon }}
   անհավասարությունը տեղի ունի կամայական 
  
    
      
        n
        >
        N
        
          ε
        
      
    
    {\displaystyle n>N{\varepsilon }}
  -ի դեպքում՝ բոլոր 
  
    
      
        x
        
          
            2
          
        
        X
      
    
    {\displaystyle x{\mathcal {2}}X}
  -երի համար միաժամանակ։ Գործնականում ավելի կիրառական է վերը նշվածին համարժեք հետևյալ սահմանումը. 
  
    
      
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        
          ⇉
        
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f_{n}(x){\rightrightarrows }f(x)}
  , 
  
    
      
        x
        
          
            2
          
        
        X
      
    
    {\displaystyle x{\mathcal {2}}X}
  , եթե 
  
    
      
        l
        i
        m
        S
        u
        p
        
          |
        
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        −
        f
        (
        x
        )
        
          |
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle limSup|f_{n}(x)-f(x)|=0}
  ։ 
  
    
      
        n
        
          →
        
        
          
            1
          
        
         
         
        x
        
          
            2
          
        
        X
      
    
    {\displaystyle n{\rightarrow }{\mathcal {1}}~~x{\mathcal {2}}X}
  
Օրինակ, 
  
    
      
        
          
            x
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {x^{n}}}
   ֆունկցիոնալ հաջորդականությունը 
  
    
      
        [
        0
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [0,1]}
   հատվածում զուգամիտում 
  
    
      
        
          φ
        
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\varphi }(x)=0}
   երբ 
  
    
      
        0
        
          ⪕
        
        x
        <
        1
      
    
    {\displaystyle 0{\eqslantless }x<1}
   և 
  
    
      
        
          φ
        
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\varphi }(x)=0}
   երբ 
  
    
      
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x=1}
   ֆունկցիային, սակայն՝ անհավասարաչափ, քանի որ 
  
    
      
        S
        u
        p
         
         
        
          |
        
        
          x
          
            n
          
        
        −
        
          φ
        
        (
        x
        )
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle Sup~~|x^{n}-{\varphi }(x)|}
  ։ 

  
    
      
        x
        
          
            2
          
        
        [
        0
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle x{\mathcal {2}}[0,1]}
  ։ Ընդ որում՝ կամայական 
  
    
      
        [
        0
        ,
        a
        ]
      
    
    {\displaystyle [0,a]}
  , 
  
    
      
        0
        <
        a
        <
        1
      
    
    {\displaystyle 0<a<1}
  
հատվածում տեղի ունի հավասարաչափ զուգամիտություն՝ 
  
    
      
        
          
            x
            
              n
            
          
        
        
          ⇉
        
        
          φ
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {x^{n}}{\rightrightarrows }{\varphi }(x)}
  , քանի որ 
  
    
      
        S
        u
        p
         
         
        
          |
        
        
          x
          
            n
          
        
        −
        
          φ
        
        (
        x
        )
        
          |
        
        =
        
          a
          
            n
          
        
        
          →
        
        0
      
    
    {\displaystyle Sup~~|x^{n}-{\varphi }(x)|=a^{n}{\rightarrow }0}
  , երբ 
  
    
      
        
          →
        
        
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\rightarrow }{\mathcal {1}}}
  ։ 
  
    
      
        x
        
          
            2
          
        
        [
        0
        ,
        2
        ]
      
    
    {\displaystyle x{\mathcal {2}}[0,2]}
  
Երկրաչափորեն հավասարաչափ զուգամիտությունը նշանակում է, որ կամայական 
  
    
      
        
          ε
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle {\varepsilon }>0}
  -ի համար ինչ-որ ո0 համարից սկսած բոլոր 
  
    
      
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f_{n}(x)}
  , 
  
    
      
        (
        n
        
          ⩾
        
        
          n
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (n{\geqslant }n_{0})}
   ֆունկցիաների գրաֆիկները ընկնում են սահմանային 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիայի գրաֆիկը շրջապատող 
  
    
      
        2
        
          ε
        
      
    
    {\displaystyle 2{\varepsilon }}
   լայնությամբ շերտի մեջ։ Հավասարաչափ զուգամիտող ֆունկցիոնալ հաջորդականություններն ունեն մի շարք կարևոր հատկություններ, օրինակ, 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ի վրա հավասարաչափ զուգամիտող անընդհատ ֆունկցիաների հաջորդականության սահմանային ֆունկցիան դարձյալ անընդհատ է 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ի վրա, անհավասարաչափ զուգամիտման դեպքում սահմանային ֆունկցիան կարող է լինել և խզվող։ Մաթեմատիկական անալիզում կարևոր դեր է խաղում Վայերշտրասի թեորեմը, փակ հատվածում անընդհատ կամայական ֆունկցիան կարող է ներկայացվել որպես հավասարաչափ զուգամիտող բազմանդամների (կամ եռանկյունաչափական բազմանդամների) հաջորդականության սահման։