Գծային հավասարումների համակարգ

Գծային հավասարումների համակարգ, հավասարումների համակարգ է, որոնցից յուրաքանչյուրը իրենից ներկայացնում է առաջին աստիճանի գծային հանրահաշվական հավասարում։
Դասական տարբերակում բոլոր գործակիցները, ազատ անդամները և անհայտները համարվում են բնական թվեր, բայց բոլոր ձևերն ու արդյունքները պահպանվում են ցանկացած դաշտերի համար օրինակ (կոմպլեքս թվերի)։
Գծային համակարգերի լուծումը գծային հանրահաշվի դասական խնդիրներից մեկն է, որը հիմնականում որոշում է նրա օբյեկտներն ու մեթոդները։ Գծային համակարգերի լուծումը կարևոր դեր է խաղում շատ թեքումային ուղղություններում, այդ թվում գծային ծրագրավորման մեջ։


== Սահմանումներ ==
Գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր տեսքը․

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      12
                    
                  
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  ⋯
                  +
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                  =
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      21
                    
                  
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      22
                    
                  
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  ⋯
                  +
                  
                    a
                    
                      2
                      n
                    
                  
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                  =
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  …
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      m
                      1
                    
                  
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      m
                      2
                    
                  
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  ⋯
                  +
                  
                    a
                    
                      m
                      n
                    
                  
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                  =
                  
                    b
                    
                      m
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\dots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}}
  Որտեղ՝ 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   — հավասարումների քանակն է, 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   —փոփոխականների քանակը, 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
   — անհայտներն են, որ պիտի որոշել, 
  
    
      
        
          a
          
            11
          
        
        ,
        
          a
          
            12
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            m
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{11},a_{12},\dots ,a_{mn}}
   գործակիցներն են, 
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
        ,
        
          b
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          b
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{m}}
  ազատ անդամները։ Գծային հավասարումների համակարգի գործակիցների  (
  
    
      
        
          a
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{ij}}
  ) ինդեկսները կազմվում են հետևյալ պայմանով՝ առաջինը (
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  ) հավասարման համարն է, երկրորդը (
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  ) — փոփոխականի համարն է, որից առաջ այն գտնվում է.
Համակարգը կոչվում են համասեռ, եթե նրա ազատ անդամները հավասար են զրոյի (
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
        =
        
          b
          
            2
          
        
        =
        …
        
          b
          
            m
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle b_{1}=b_{2}=\dots b_{m}=0}
  ), այլապես — ոչ համասեռ։
Գծային հավասարումների  համակարգը կոչվում է քառակուսային , եթե  հավասարումների քանակը հավասար է անհայտների քանակին (
  
    
      
        m
        =
        n
      
    
    {\displaystyle m=n}
  ). Համակարգը, որի անհայտների թիվը ավելին է քան հավասարումներինը, կոչվում է ուղղանկյուն համակարգ։
Համակարգի լուծումների 
  
    
      
        
          c
          
            1
          
        
        ,
        
          c
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          c
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}}
  թվերի  
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   բազմությունը, որը հանդիսանում է համակարգի լուծում,
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
  փոփոխականներում տեղադրելու դեպքում հավասարումը վերածում  է նույնության։
Համակարգը կոչվում է միասնական, եթե նա ունի գոնե մեկ լուծում, և ոչ միասնական, եթե նա չունի ոչ մի լուծում։


== Մատրիցային ձև ==
Համակարգը կարելի է ներկայացնել մատրիցի տեսքով․

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      2
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      m
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      2
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      n
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    b
                    
                      m
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}}
  կամ

  
    
      
        A
        x
        =
        b
      
    
    {\displaystyle Ax=b}
  .Այստեղ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   -ն համակարգի մատրիցն է, 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   -ը անհայտների սյունակը, իսկ 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ն ազատ անդամների սյունակն է։ Եթե 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մատրիցին աջից ավելացնել ազատ անդամների սյունակը, ապա ստացված մատրիցը կոչվում է ընդլայնված։


== Գծային  հավասարումների համարժեք համակարգեր ==
հավասարումների համակարգերը կոչվում են համարժեք, եթե նրանց լուծումները համընկնում են։ Լուծում չունեցող համակարգերը նույնպես համարժեք են։
Համակարգին համարժեք համակարգ կարելի է ստանալ, տրված համակարգի հավասարումներից մեկը բազմապատկենք կամ բաժանենք  նույն թվի վրա։

  
    
      
        A
        
          x
        
         
        =
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle A\mathbf {x} \ =\mathbf {b} }
   տեսքի հավասարումների համակարգը համարժեք է 
  
    
      
        C
        A
        
          x
        
         
        =
        C
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle CA\mathbf {x} \ =C\mathbf {b} }
  ։


== Լուծման ձևերը ==
Ուղղակի մեթոդները տալիս են այնպիսի ալգորիթմ, որի օգնությամբ կարելի է գտնել համակարգերի ճշգրիտ լուծումները։
Որոշ ուղղակի մեթոդներ․

Գաուսի մեթոդը
Գաուս-Ջորդանի մեթոդներ
Կրամերի մեթոդը
Պտտման մեթոդԿախված մոտեցումներից, մեթոդները բաժանվում են մի քանի տեսակի․

Մասնատման ձևով։ 
  
    
      
        (
        M
        −
        N
        )
        
          x
        
        =
        
          b
        
        ⇔
        M
        
          x
        
        =
        N
        
          x
        
        +
        
          b
        
        ⇒
        M
        
          
            x
          
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        N
        
          
            x
          
          
            n
          
        
        +
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle (M-N)\mathbf {x} =\mathbf {b} \Leftrightarrow M\mathbf {x} =N\mathbf {x} +\mathbf {b} \Rightarrow M\mathbf {x} ^{n+1}=N\mathbf {x} ^{n}+\mathbf {b} }
  
Զանազանման ձևով։ 
  
    
      
        A
        
          x
        
        =
        
          b
        
        ⇒
        ‖
        A
        
          x
        
        −
        
          b
        
        ‖
        →
        min
      
    
    {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow \|A\mathbf {x} -\mathbf {b} \|\rightarrow \min }
  
Պրոյեկցիոն ձևով ։ 
  
    
      
        A
        
          x
        
        =
        
          b
        
        ⇒
        (
        A
        
          x
        
        ,
        
          m
        
        )
        =
        (
        
          b
        
        ,
        
          m
        
        )
        ∀
        
          m
        
      
    
    {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow (A\mathbf {x} ,\mathbf {m} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {m} )\forall \mathbf {m} }
  


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
Куксенко С. П., Газизов Т. Р. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений с плотной матрицей. — Томск: Томский государственный университет, 2007. — 208 с. — ISBN 5-94621-226-5