Կոշի-Ադամարի թեորեմ

Կոշի-Ադամարի թեորեմ (նաեւ, Ադամարի թեորեմը աստիճանային շարքերի մասին),  պնդում, որը գնահատում է աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը որոշ դեպքերում։ Անվանակոչվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներ Կոշիի եւ Ադամարի պատվին։ Թեորեմն առաջին անգամ հրապարակել է Կոշին, 1821 թվականին, սակայն այն աննկատ է մնացել մինչեւ Ադամարի վերահայտնաբերումը։ Ադամարն իր արդյունքները հրապարակել է 1888 թվականին։ Նա թեորեմը ներառել է 1892 թվականի իր դոկտորական դիսերտացիայում։


== Ձեւակերպումը ==
Դիցուք, 
  
    
      
        
          ∑
          
            ν
            =
            0
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          a
          
            ν
          
        
        (
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          )
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }}
   - ը 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   զուգամիտության շառավղով աստիճանային շարք է։ Այդ դեպքում՝

  
    
      
        (
        α
        )
      
    
    {\displaystyle (\alpha )}
   եթե 
  
    
      
        
          
            
              lim
              ¯
            
          
          
            ν
            →
            +
            ∞
          
        
        ⁡
        
          
            
              
                |
              
              
                a
                
                  ν
                
              
              
                |
              
            
            
              ν
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}
   վերին սահմանը գոյություն ունի եւ դրական է, ապա 
  
    
      
        R
        =
        
          
            1
            
              
                
                  
                    lim
                    ¯
                  
                
                
                  ν
                  →
                  +
                  ∞
                
              
              ⁡
              
                
                  
                    
                      |
                    
                    
                      a
                      
                        ν
                      
                    
                    
                      |
                    
                  
                  
                    ν
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R={\frac {1}{\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}}}
  ;

  
    
      
        (
        β
        )
      
    
    {\displaystyle (\beta )}
   եթե 
  
    
      
        
          
            
              lim
              ¯
            
          
          
            ν
            →
            +
            ∞
          
        
        ⁡
        
          
            
              
                |
              
              
                a
                
                  ν
                
              
              
                |
              
            
            
              ν
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0}
  , ապա 
  
    
      
        R
        =
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle R=+\infty }
  ;

  
    
      
        (
        γ
        )
      
    
    {\displaystyle (\gamma )}
   եթե 
  
    
      
        
          
            
              lim
              ¯
            
          
          
            ν
            →
            +
            ∞
          
        
        ⁡
        
          
            
              
                |
              
              
                a
                
                  ν
                
              
              
                |
              
            
            
              ν
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}
  վերին սահմանը գոյություն չունի, ապա 
  
    
      
        R
        =
        0
      
    
    {\displaystyle R=0}
  :


== Ապացույց ==

  
    
      
        (
        α
        )
      
    
    {\displaystyle (\alpha )}
   Դիցուք, 
  
    
      
        λ
        =
        
          
            
              lim
              ¯
            
          
          
            ν
            →
            +
            ∞
          
        
        ⁡
        
          
            
              
                |
              
              
                a
                
                  ν
                
              
              
                |
              
            
            
              ν
            
          
        
        ∈
        (
        0
        ;
        +
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle \lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\in (0;+\infty )}
  .
Եթե 
  
    
      
        z
        ∈
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle z\in \mathbb {C} }
   այնպիսի կետ է, որ 
  
    
      
        
          |
        
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          |
        
        <
        
          
            1
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle |z-z_{0}|<{\frac {1}{\lambda }}}
  , ապա  
  
    
      
        
          
            
              lim
              ¯
            
          
          
            ν
            →
            +
            ∞
          
        
        ⁡
        
          
            
              
                |
              
              
                a
                
                  ν
                
              
              
                
                  (
                  z
                  −
                  
                    z
                    
                      0
                    
                  
                  )
                
                
                  ν
                
              
              
                |
              
            
            
              ν
            
          
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle \varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}<1}
   եւ հնարավոր է գտնել այնպիսի 
  
    
      
        q
        <
        1
      
    
    {\displaystyle q<1}
   թիվ, որ գրեթե բոլոր 
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  -երի համար տեղի ունենա 
  
    
      
        
          
            
              
                |
              
              
                a
                
                  ν
                
              
              
                
                  (
                  z
                  −
                  
                    z
                    
                      0
                    
                  
                  )
                
                
                  ν
                
              
              
                |
              
            
            
              ν
            
          
        
        <
        q
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}<q\,}
   անհավասարությունը։ Այստեղից հետեւում է, որ 
  
    
      
        
          ∑
          
            ν
            =
            0
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          q
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }q^{\nu }}
   երկրաչափական պրոգրեսիան 
  
    
      
        
          ∑
          
            ν
            =
            0
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          |
        
        
          a
          
            ν
          
        
        
          
            (
            z
            −
            
              z
              
                0
              
            
            )
          
          
            ν
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}
   շարքի զուգամետ վերին սահման է, այսինքն՝ 
  
    
      
        R
        =
        
          
            1
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle R={\frac {1}{\lambda }}}
  :
Հակառակ դեպքում, այսինքն եթե 
  
    
      
        z
        ∈
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle z\in \mathbb {C} }
   բավարարում է  
  
    
      
        
          |
        
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          |
        
        >
        
          
            1
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle |z-z_{0}|>{\frac {1}{\lambda }}}
  պայմանին, ապա 
  
    
      
        
          
            
              lim
              ¯
            
          
          
            ν
            →
            +
            ∞
          
        
        ⁡
        (
        
          
            
              
                |
              
              
                a
                
                  ν
                
              
              
                |
              
            
            
              ν
            
          
        
        ⋅
        
          |
        
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          |
        
        )
        >
        1
      
    
    {\displaystyle \varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }({\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\cdot |z-z_{0}|)>1}
   եւ անվերջ թվով  
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
   համարների համար տեղի կունենա    
  
    
      
        
          |
        
        
          a
          
            ν
          
        
        
          
            (
            z
            −
            
              z
              
                0
              
            
            )
          
          
            ν
          
        
        
          |
        
        ⩾
        1
      
    
    {\displaystyle |a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|\geqslant 1}
   անհավասարությունը։ Հետեւաբար, 
  
    
      
        
          ∑
          
            ν
            =
            0
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          |
        
        
          a
          
            ν
          
        
        (
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          )
          
            ν
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }|}
   շարքը  
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   կետում տարամետ է, քանի որ նրա անդամները չեն ձգտում զրոյի։

  
    
      
        (
        β
        )
      
    
    {\displaystyle (\beta )}
   Դիցուք, 
  
    
      
        λ
        =
        
          
            
              lim
              ¯
            
          
          
            ν
            →
            +
            ∞
          
        
        ⁡
        
          
            
              
                |
              
              
                a
                
                  ν
                
              
              
                |
              
            
            
              ν
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0}
  : Այս դեպքում ցանկացած  
  
    
      
        z
        ∈
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle z\in \mathbb {C} }
  -ի համար 
  
    
      
        
          
            
              
                |
              
              
                a
                
                  ν
                
              
              
                
                  (
                  z
                  −
                  
                    z
                    
                      0
                    
                  
                  )
                
                
                  ν
                
              
              
                |
              
            
            
              ν
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}}
   հաջորդականությունը զուգամիտում է զրոյի։  Այդ իսկ պատճառով, եթե ընտրենք 
  
    
      
        q
        =
        q
        (
        z
        )
        ∈
        (
        0
        ;
        1
        )
      
    
    {\displaystyle q=q(z)\in (0;1)}
   թիվ, ապա գրեթե բոլոր 
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
   համարների համար տեղի կունենա 
  
    
      
        
          |
        
        
          a
          
            ν
          
        
        
          
            (
            z
            −
            
              z
              
                0
              
            
            )
          
          
            ν
          
        
        
          |
        
        <
        
          q
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle |a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|<q^{\nu }}
   անհավասարությունը, որտեղից, ինչպես եւ 
  
    
      
        (
        α
        )
      
    
    {\displaystyle (\alpha )}
   դեպքում, հետեւում է շարքի զուգամիտությունը 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   կետում։ Ֆորմալ՝ 
  
    
      
        R
        =
        
          
            1
            
              +
              0
            
          
        
        =
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle R={\frac {1}{+0}}=+\infty }
  :

  
    
      
        (
        γ
        )
      
    
    {\displaystyle (\gamma )}
   
  
    
      
        
          
            
              lim
              ¯
            
          
          
            ν
            →
            +
            ∞
          
        
        ⁡
        
          
            
              
                |
              
              
                a
                
                  ν
                
              
              
                |
              
            
            
              ν
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}
   վերին սահմանը 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
   - ում գոյություն չունի (այսինքն,  ֆորմալ՝ 
  
    
      
        λ
        =
        
          
            
              lim
              ¯
            
          
          
            ν
            →
            +
            ∞
          
        
        ⁡
        
          
            
              
                |
              
              
                a
                
                  ν
                
              
              
                |
              
            
            
              ν
            
          
        
        =
        +
        ∞
        ∈
        
          
            
              R
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=+\infty \in {\overline {\mathbb {R} }}}
  ) այն եւ միայն այն դեպքում, երբ 
  
    
      
        
          
            
              
                |
              
              
                a
                
                  ν
                
              
              
                |
              
            
            
              ν
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}
   հաջորդականությունը վերեւից սահմանափակ չէ։ Եթե 
  
    
      
        z
        ≠
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z\neq z_{0}}
  , ապա անսահմանափակ է նաեւ
  
    
      
        
          
            
              
                |
              
              
                a
                
                  ν
                
              
              
                
                  (
                  z
                  −
                  
                    z
                    
                      0
                    
                  
                  )
                
                
                  ν
                
              
              
                |
              
            
            
              ν
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}}
   հաջորդականությունը: Հետեւաբար՝ 
  
    
      
        
          ∑
          
            ν
            =
            0
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          a
          
            ν
          
        
        (
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          )
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }}
    շարքը 
  
    
      
        z
        ≠
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z\neq z_{0}}
   կետում տարամետ է։ Հարկ է նշել, որ 
  
    
      
        z
        =
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z=z_{0}}
   դեպքում 
  
    
      
        
          ∑
          
            ν
            =
            0
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          a
          
            ν
          
        
        (
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          )
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }}
   շարքը զուգամիտում է 
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{0}}
  -ի։  Վերջնական՝ 
  
    
      
        R
        =
        0
      
    
    {\displaystyle R=0}
   (այսինքն, ֆորմալ՝ 
  
    
      
        R
        =
        
          
            1
            
              +
              ∞
            
          
        
        =
        +
        0
      
    
    {\displaystyle R={\frac {1}{+\infty }}=+0}
  , փաստացի՝ 
  
    
      
        R
        =
        
          
            
              lim
              _
            
          
          
            ν
            →
            +
            ∞
          
        
        ⁡
        
          
            1
            
              
                
                  |
                
                
                  a
                  
                    ν
                  
                
                
                  |
                
              
              
                ν
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle R=\varliminf \limits _{\nu \to +\infty }{\frac {1}{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}=0}
  ):


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Գրաուերտ Գ., Լիբ Ի., Ֆիշեր Վ. Դիֆֆերենցիալ եւ ինտեգրալային հաշվարկներ, Մ., Мир, 1971