Ուռուցիկ բազմություն

Ուռուցիկ բազմություն, բազմություն աֆֆինիում կամ վեկտորական տարածությունում, որի մեջ գտնվող երկու կետերից կազմված հատվածի բոլոր կետերը նույնպես պատկանում են տվյալ բազմությանը։


== Սահմանումներ ==
Դիցուք՝ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   աֆֆինիումը կամ վեկտորական տարածությունը գտնվում է վերը նշված իրական թվերի  
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
   բազմությունում։

  
    
      
        K
        ⊂
        A
      
    
    {\displaystyle K\subset A}
   բազմությունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե դրա հետ ցանկացած երկու 
  
    
      
        x
        ,
        
        y
        ∈
        K
      
    
    {\displaystyle x,\;y\in K}
   կետերում 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
   բազմությունը ներառում է հատվածի բոլոր 
  
    
      
        x
        y
      
    
    {\displaystyle xy}
   կետերը՝ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   բազմությանը միացնող 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   և 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   կետերով։ Այս հատվածը կարելի է ներկայացնել որպես

  
    
      
        
          ⋃
          
            t
            ∈
            [
            0
            ;
            
            1
            ]
          
        
        {
        x
        +
        t
        ⋅
        
          
            
              x
              y
            
            →
          
        
        }
        .
      
    
    {\displaystyle \bigcup \limits _{t\in [0;\;1]}\{x+t\cdot {\overrightarrow {xy}}\}.}
  


== Առնչվող սահմանումներ ==
Սահմանված 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
   վեկտորական տարածության 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  -ն անվանում ենք բացարձակ ուռուցիկ,  եթե այն ուռուցիկ և հավասարակշռված է։


== Օրինակներ ==

  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
   բազմության ուռուցիկ ենթաբազմությունները (շատ իրական թվեր) 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  -ի միջակայքերն են։
Երկչափ էվկլիդյան տարածքում ուռուցիկ ենթաբազմությունների օրինակներ են (
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  ) կանոնավոր բազմանկյունները։
Եռաչափ էվկլիդային տարածության մեջ ուռուցիկ ենթաբազմությունների (
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
  ) օրինակներ են մարմնի արքիմեդները և կանոնավոր բազմանիստները։
Թելա Կեպլերի՝ Պուանսոյի մարմինները (կանոնավոր աստղային բազմանկյունները) ոչ ուռուցիկ բազմությունների օրինակներ են։


== Հատկություններ ==
Ուռուցիկ բազմությունը տոպոլոգիական գծային տարածության մեջ կապակցված կամ գծային կապակցվածություն ունեցող հոմոտոպիկ համարժեք կետ է։
Կապակցման առումով ուռուցիկ բազմությունը կարող է սահմանվել հետևյալ կերպ. բազմությունը ուռուցիկ է, եթե նրա հատման կետը միացված է որևէ (իրական) գծի հետ։
Դիցուք՝ 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
   ուռուցիկ բազմությունը գծային տարածության մեջ է։ Ապա 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
   բազմությանն են պատկանում ցանկացած 
  
    
      
        
          u
          
            1
          
        
        ,
        
        
          u
          
            2
          
        
        ,
        
        …
        ,
        
        
          u
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{1},\;u_{2},\;\ldots ,\;u_{r}}
   տարրերը և բոլոր ոչ բացասական 
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        ,
        
        
          λ
          
            2
          
        
        ,
        
        …
        ,
        
        
          λ
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1},\;\lambda _{2},\;\ldots ,\;\lambda _{r}}
   կետերը, այնպես որ 
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        +
        
          λ
          
            2
          
        
        +
        …
        +
        
          λ
          
            r
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\ldots +\lambda _{r}=1}
  , վեկտորը

  
    
      
        w
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            r
          
        
        
          λ
          
            k
          
        
        
          u
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle w=\sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}}
  պատկանի 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
   բազմությանը
Վեկտոր 
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
  -ն կոչվում է տարրերի ուռուցիկ համադրություն՝ 
  
    
      
        
          u
          
            1
          
        
        ,
        
        
          u
          
            2
          
        
        ,
        
        …
        ,
        
        
          u
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{1},\;u_{2},\;\ldots ,\;u_{r}}
  ։Ուռուցիկ խմբերի ցանկացած շարքի հատումից առաջանում է ուռուցիկ բազմություն՝ ուռուցիկ ենթաբազմություններից ձևավորվելով ամբողջական ցանց։ Դրանից հետևում է, որ ցանկացած 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   գծային տարածության ենթաբազմությունում է ամենափոքր ուռուցիկ բազմությունը։ Այս բազմությունն 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ն պարունակող բոլոր ուռուցիկ բազմությունների հատման կետն է և կոչվում է 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ի ուռուցիկ բազմություն։
Փակ ուռուցիկ բազմությունները կարող են սահմանվել որպես փակ  կիսատարածությունների հատման կետեր (հիպերհարթության միայն մի մասում ընկած տարածության բազմաթիվ կետեր)։ Վերը նշվածից պարզ է դառնում, որ նման հատման կետերը ուռուցիկ և փակ բազմություններ են։ Ապացուցելու համար, որ յուրաքանչյուր ուռուցիկ բազմություն կարող է հատման կետ լինել, կարելի է օգտագործել օժանդակ հիպերհարթության թեորեմը, որը ֆունկցիոնալ վերլուծության Հանա-Բանախի թեորեմայի մասնավոր դեպքն է։
Հելլի թեորեմ։ Ենթադրենք, որ 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
   ուռուցիկ ենթաբազմությունների վերջնական խմբում ցանկացած  
  
    
      
        d
        +
        1
      
    
    {\displaystyle d+1}
   հատման կետ ոչ դատարկ է։ Այդ դեպքում հատման կետերում այս խմբի բոլոր ենթաբազմությունները ոչ դատարկ են։

  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  -ում միավոր մակերեսի ցանկացած ուռուցիկ բազմություն կարելի է դնել 2 մակերեսի եռանկյան մեջ։


== Տատանումներ և ընդհանրացումներ ==
Առանց որևէ փոփոխության սահմանումը աշխատում է աֆֆինինի տարածությունների`իրական թվերի դաշտի կամայական ընդլայնման վրա։


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
Тиморин В. А. Комбинаторика выпуклых многогранников. — М.: МЦНМО, 2002. — 16 с. — ISBN 5-94057-024-0։


== Արտաքին հղումներ ==
Ուռուցիկ բազմությունների լեկցիա, Նիլ Լաուրթզենի նշումները, Աարհուս համալսարան, 2010 թվականի մարտ