Անվերջ փոքր և անվերջ մեծ

Անվերջ փոքր, թվային ֆունկցիա կամ հաջորդականություն, որը ձգտում է զրոյի։
Անվերջ մեծ, թվային ֆունկցիա կամ հաջորդականություն, որը ձգտում է որոշակի նշանի անվերջության։


== Անվերջ փոքրերի և մեծերի հաշիվ ==
Անվերջ փոքրերի հաշիվ, հաշվարկ, որն իրականացվում է անվերջ փոքր մեծությունների հետ, որոնց ժամանակ ածանցված արդյունքը դիտարկվում է որպես անվերջ փոքրերի անվերջ գումար։ Անվերջ փոքր մեծությունների հաշիվը ընդհանուր հասկացություն է համարվում դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվների համար, որոնք միասին կազմում են ժամանակակից բարձրագույն մաթեմատիկայի հիմքը։ Անվերջ փոքր մեծության հասկացությունը սերտորեն կապված է սահմանի հասկացության հետ։


=== Անվերջ փոքր ===

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
   հաջորդականությունն անվանում են անվերջ փոքր, եթե 
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}
  ։ Օրինակ, 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}}
   թվերի հաջորդականությունն անվերջ փոքր է։
Ֆունկցիան անվանում են անվերջ փոքր 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետի շրջակայքում, եթե 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            
              x
              
                0
              
            
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=0}
  ։
Ֆունկցիան անվանում են անվերջ փոքր անվերջության վրա, եթե 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            +
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=0}
   կամ 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            −
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=0}
  ։
Անվերջ փոքր է համարվում նաև այն ֆունկցիան, որն իրենից ներկայացնում է ֆունկցիայի և իր սահմանի տարբերությունը, այսինքն եթե 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            +
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        a
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=a}
  , ապա 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        −
        a
        =
        α
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)-a=\alpha (x)}
  , 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            +
            ∞
          
        
        (
        f
        (
        x
        )
        −
        a
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }(f(x)-a)=0}
  ։


=== Անվերջ մեծ ===
Ներքևում ներկայացված բոլոր բանաձևերում հավասարության աջ մասի անվերջությունը որոշակի նշան ունի (կամ «պլյուս», կամ «մինուս»)։ Այսինքն, օրինակ, 
  
    
      
        x
        sin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle x\sin x}
   ֆունկցիան, որն երկու կողմից էլ սահամանափակ չէ, չի համարվում անվերջ մեծ ֆունկցիա, երբ 
  
    
      
        x
        →
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle x\to +\infty }
  ։

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
   հաջորդականությունը անվանում են անվերջ մեծ, եթե 
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }
  ։
Ֆունկցիան անվանում են անվերջ մեծ 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետի շրջակայքում, եթե 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            
              x
              
                0
              
            
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty }
  ։
Ֆունկցիան անվանում են անվերջ մեծ անվերջության վրա, եթե 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            +
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=\infty }
   կամ 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            −
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty }
  ։


=== Անվերջ փոքրերի հատկությունները ===
Վերջավոր թվի և անվերջ փոքր ֆունկցիայի հանրահաշվական գումարը անվերջ փոքր ֆունկցիա է։
Անվերջ փոքրերի արտադրյալը անվերջ փոքր է։
Անվերջ փոքր հաջորդականության և սահմանափակ հաջորդականության արտադրյալն անվերջ փոքր է։ Որպես հետևանք, անվերջ փոքր թվի և հաստատունի արտադրյալը անվերջ փոքր է։
Եթե 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
  -ը անվերջ փոքր հաջորդականություն է, որն պահպանում է իր նշանը, ապա 
  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
        =
        
          
            1
            
              a
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{n}={\frac {1}{a_{n}}}}
  -ը անվերջ փոքր հաջորդականություն է։


== Անվերջ փոքրերի համեմատումը ==


=== Սահմանումներ ===
Ենթադրենք, մենք ունենք 
  
    
      
        α
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \alpha (x)}
   և 
  
    
      
        β
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \beta (x)}
   անվերջ փոքրերը (կամ անվերջ փոքր հաջորդականությունները) միևնույն 
  
    
      
        x
        →
        a
      
    
    {\displaystyle x\to a}
   մեծության դեպքում։

Եթե 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            a
          
        
        
          
            β
            α
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {\beta }{\alpha }}=0}
  , ապա 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
   անվերջ փոքրը ավելի բարձր մակարդակի անվերջ փոքր է, քան 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  -ն։ Նշանակում են 
  
    
      
        β
        =
        o
        (
        α
        )
      
    
    {\displaystyle \beta =o(\alpha )}
   կամ β≺α։
Եթե 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            a
          
        
        
          
            β
            α
          
        
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {\beta }{\alpha }}=\infty }
  , ապա 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
   անվերջ փոքրը ավելի ցածր մակարդակի անվերջ փոքր է, քան 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  -ն։ Համապատասխանաբար, 
  
    
      
        α
        =
        o
        (
        β
        )
      
    
    {\displaystyle \alpha =o(\beta )}
   կամ α≺β։
Եթե 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            a
          
        
        
          
            β
            α
          
        
        =
        c
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {\beta }{\alpha }}=c}
   (սահմանը վերջավոր է և հավասար չէ 0-ի), ապա 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  -ն և 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  -ն համարվում են միևնույն մակարդակի անվեջ փոքր մեծություններ։ Սա նշանակում են որպես α≍β կամ որպես 
  
    
      
        β
        =
        O
        (
        α
        )
      
    
    {\displaystyle \beta =O(\alpha )}
   և 
  
    
      
        α
        =
        O
        (
        β
        )
      
    
    {\displaystyle \alpha =O(\beta )}
   հարաբերությունների միաժամանակ կատարում։ Նկատենք, որ որոշ աղբյուրներում կարելի է հանդիպել նշանակում, որտեղ որպես մակարդակների միևնույնություն օգտագործվում է միայն մեկ «O մեծ» հարաբերություն, ինչը համարվում է տվյալ նշանի ազատ օգտագործում։
Եթե 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            a
          
        
        
          
            β
            
              α
              
                m
              
            
          
        
        =
        c
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {\beta }{\alpha ^{m}}}=c}
   (սահմանը վերջավոր է և հավասար չէ 0-ի), ապա 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
   անվերջ փոքր նեծությունը 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  -րդ կարգի անվերջ փոքր է, համեմատած 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  -ի հետ։Այսպիսի սահմանների հաշվման համար օգտագործվում է Լոպիտալի կանոնը։


=== Համեմատման օրինակներ ===

  
    
      
        
          x
          →
          0
        
      
    
    {\displaystyle {x\to 0}}
   դեպքում 
  
    
      
        
          x
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{5}}
  -ն ավելի բարձր մակարդակի փոքր է, քան 
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}}
  -ը, քանի որ 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          
            
              x
              
                5
              
            
            
              x
              
                3
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{5}}{x^{3}}}=0}
  ։ Մյուս կողմից, 
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}}
  -ն ավելի ցածր մակարդակի անվերջ փոքր է, քան 
  
    
      
        
          x
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{5}}
  -ը, քանի որ 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              x
              
                5
              
            
          
        
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{3}}{x^{5}}}=\infty }
  ։Օգտագործելով О-նշանակումը, ստացված արդյունքները կարելի է գրել հետևյալ տեսքով՝ 
  
    
      
        
          x
          
            5
          
        
        =
        o
        (
        
          x
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x^{5}=o(x^{3})}
  ։
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          
            
              2
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              6
              x
            
            x
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          
            
              2
              x
              +
              6
            
            1
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        (
        2
        x
        +
        6
        )
        =
        6
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {2x^{2}+6x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+6}{1}}=\lim _{x\to 0}(2x+6)=6}
  , այսինքն, երբ 
  
    
      
        x
        →
        0
      
    
    {\displaystyle x\to 0}
  , 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        2
        
          x
          
            2
          
        
        +
        6
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x}
   և 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle g(x)=x}
   ֆունկցիաները համարվում են նույն մակարդակի անվերջ փոքրեր։Տվյալ դեպքում ճշմարիտ են հետևյալ գրառումները՝ 
  
    
      
        2
        
          x
          
            2
          
        
        +
        6
        x
        =
        O
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle 2x^{2}+6x=O(x)}
   և 
  
    
      
        x
        =
        O
        (
        2
        
          x
          
            2
          
        
        +
        6
        x
        )
      
    
    {\displaystyle x=O(2x^{2}+6x)}
  ։Երբ 
  
    
      
        
          x
          →
          0
        
      
    
    {\displaystyle {x\to 0}}
  , 
  
    
      
        2
        
          x
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 2x^{3}}
   անվերջ փոքր մեծությունը երրորդ կարգի անվերջ փոքր է 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի հետ համեմատած, քանի որ 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          
            
              2
              
                x
                
                  3
                
              
            
            
              x
              
                3
              
            
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {2x^{3}}{x^{3}}}=2}
  , 
  
    
      
        0
        
          ,
        
        7
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 0{,}7x^{2}}
   անվերջ փոքրը՝ երկրորդ կարգի, 
  
    
      
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {x}}}
   անվերջ փոքրը՝ 0,5-րդ կարգի։


== Համարժեք մեծություններ ==


=== Սահմանումներ ===
Եթե 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            a
          
        
        
          
            β
            α
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {\beta }{\alpha }}=1}
  , ապա 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   և 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
   անվերջ փոքր և անվերջ մեծ մեծությունները անվանում են համարժեքներ (նշանակվում է որպես 
  
    
      
        α
        ∼
        β
      
    
    {\displaystyle \alpha \thicksim \beta }
  )։
Ակնհայտ է, որ համարժեք մեծությունները համարվում են նույն կարգի անվերջ փոքր (անվերջ մեծ) մեծությունների մասնավոր դեպքեր։
Երբ 
  
    
      
        α
        (
        x
        )
        
          
            →
            
              
                x
                →
                
                  x
                  
                    0
                  
                
              
            
            
          
        
        0
      
    
    {\displaystyle \alpha (x){\xrightarrow[{x\to x_{0}}]{}}0}
  , տեղի են ունենում համարժեքության հետևյալ հարաբերությունները (որպես հետևանք, այսպես կոչված, նշանավոր սահմանների)՝

  
    
      
        sin
        ⁡
        α
        (
        x
        )
        ∼
        α
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \sin \alpha (x)\thicksim \alpha (x)}
  ;

  
    
      
        
          t
          g
        
        
        α
        (
        x
        )
        ∼
        α
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha (x)\thicksim \alpha (x)}
  ;

  
    
      
        arcsin
        ⁡
        
          α
          (
          x
          )
        
        ∼
        α
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \arcsin {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x)}
  ;

  
    
      
        
          a
          r
          c
          t
          g
        
        
        α
        (
        x
        )
        ∼
        α
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {arctg} \,\alpha (x)\thicksim \alpha (x)}
  ;

  
    
      
        
          log
          
            a
          
        
        ⁡
        (
        1
        +
        α
        (
        x
        )
        )
        ∼
        α
        (
        x
        )
        ⋅
        
          
            1
            
              ln
              ⁡
              
                a
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \log _{a}(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x)\cdot {\frac {1}{\ln {a}}}}
  , где 
  
    
      
        a
        >
        0
      
    
    {\displaystyle a>0}
  ;

  
    
      
        ln
        ⁡
        (
        1
        +
        α
        (
        x
        )
        )
        ∼
        α
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \ln(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x)}
  ;

  
    
      
        
          a
          
            α
            (
            x
            )
          
        
        −
        1
        ∼
        α
        (
        x
        )
        ⋅
        ln
        ⁡
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle a^{\alpha (x)}-1\thicksim \alpha (x)\cdot \ln {a}}
  , где 
  
    
      
        a
        >
        0
      
    
    {\displaystyle a>0}
  ;

  
    
      
        
          e
          
            α
            (
            x
            )
          
        
        −
        1
        ∼
        α
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle e^{\alpha (x)}-1\thicksim \alpha (x)}
  ;

  
    
      
        1
        −
        cos
        ⁡
        
          α
          (
          x
          )
        
        ∼
        
          
            
              
                α
                
                  2
                
              
              (
              x
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1-\cos {\alpha (x)}\thicksim {\frac {\alpha ^{2}(x)}{2}}}
  ;

  
    
      
        (
        1
        +
        α
        (
        x
        )
        
          )
          
            μ
          
        
        −
        1
        ∼
        μ
        ⋅
        α
        (
        x
        )
        ,
        
        μ
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle (1+\alpha (x))^{\mu }-1\thicksim \mu \cdot \alpha (x),\quad \mu \in \mathbb {R} }
  , այդ իսկ պատճառով օգտագործում են հետևյալ արտահայտությունը
  
    
      
        
          
            
              1
              +
              α
              (
              x
              )
            
            
              n
            
          
        
        ≈
        
          
            
              α
              (
              x
              )
            
            n
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{n}]{1+\alpha (x)}}\approx {\frac {\alpha (x)}{n}}+1}
  , որտեղ 
  
    
      
        α
        (
        x
        )
        
          
            →
            
              
                x
                →
                
                  x
                  
                    0
                  
                
              
            
            
          
        
        0
      
    
    {\displaystyle \alpha (x){\xrightarrow[{x\to x_{0}}]{}}0}
  ։


=== Թեորեմ ===
Երկու անվերջ փոքր կամ անվերջ մեծ մեծությունների (հարաբերության) մասնավոր սահմանը չի փոխվի, եթե նրանից մեկը (կամ երկուսն էլ) փոխարինենք համարժեք մեծությամբ։Այս թեորեմն ունի կիրառական նշանակություն սահմաններ գտնելու ժամանակ (տես՝ օրինակը)։


=== Օգտագործման օրինակներ ===
Գտնել 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              2
              x
            
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin 2x}{x}}}
  ։Փոխարինելով 
  
    
      
        sin
        ⁡
        2
        x
      
    
    {\displaystyle \sin 2x}
  -ը 
  
    
      
        2
        x
      
    
    {\displaystyle 2x}
   համարժեք մեծությամբ, ստանում ենք՝

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              2
              x
            
            x
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          
            
              2
              x
            
            x
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin 2x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x}{x}}=2}
  ։Գտնել 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            
              
                π
                2
              
            
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              4
              cos
              ⁡
              x
              )
            
            
              cos
              ⁡
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\sin(4\cos x)}{\cos x}}}
  ։Քանի որ 
  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        4
        cos
        ⁡
        x
        )
        ∼
        
          4
          cos
          ⁡
          x
        
      
    
    {\displaystyle \sin(4\cos x)\thicksim {4\cos x}}
  , երբ 
  
    
      
        x
        →
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x\to {\frac {\pi }{2}}}
  , կստանանք, որ՝

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            
              
                π
                2
              
            
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              4
              cos
              ⁡
              x
              )
            
            
              cos
              ⁡
              x
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            
              
                π
                2
              
            
          
        
        
          
            
              4
              cos
              ⁡
              x
            
            
              cos
              ⁡
              x
            
          
        
        =
        4
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\sin(4\cos x)}{\cos x}}=\lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {4\cos x}{\cos x}}=4}
  ։Հաշվել 
  
    
      
        
          
            1
            
              ,
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {1{,}2}}}
  ։Եթե հաշվենք, օգտագործելով համարժեք մեծությունը, կստանանք՝ 
  
    
      
        
          
            1
            
              ,
            
            2
          
        
        ≈
        1
        +
        
          
            
              0
              
                ,
              
              2
            
            2
          
        
        =
        1
        
          ,
        
        1
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {1{,}2}}\approx 1+{\frac {0{,}2}{2}}=1{,}1}
  ։ Իսկ եթե հաշվենք հաշվիչով (ստանանք առավել ճշտգրիտ արժեքը), կստանանք՝ 
  
    
      
        
          
            1
            
              ,
            
            2
          
        
        ≈
        1,095
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {1{,}2}}\approx 1{,}095}
  ։ Այսինքն, սխալը կազմում է մոտ 0,005 (1%-ից էլ պակաս), այսինքն այս մեթոդն օգտակար է իր պարզության շնորհիվ, երբ գործ ունենք ոչ այնքան նուրբ հաշվարկների հետ։


== Տես նաև ==
«O» մեծ և «o» փոքր
Դիֆերենցիալ (մաթեմատիկա)
Հաջորդականության սահման
Ֆունկցիայի սահման
Անվերջ փոքր