Սեղան (երկրաչափություն)

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Սեղան (այլ կիրառումներ)
Սեղան է կոչվում  այն քառանկյուն, որի երկու հանդիպակաց կողմերը զուգահեռ են միմյանց, իսկ մյուս երկուսը՝ ոչ։
Սեղանի զուգահեռ կողմերը կոչվում են հիմքեր։ (Օրինակ՝ նկարում AB-ն սեղանի փոքր հիմքն է, DC-ն՝ մեծ հիմքը)
Սեղանի ոչ զուգահեռ կողմերը կոչվում են սրունքներ։ (Օրինակ՝ նկարում AD-ն, BC-ն)
Սեղանները կարող են լինել հավասարասրուն և ուղղանկյուն։ Հավասարասրուն սեղան է կոչվում այն սեղանը, որի սրունքները (կողմնային կողերը) հավասար են միմյանց։ Իսկ ուղղանկյուն սեղան է կոչվում այն սեղանը, որի սրունքներից մեկը ուղղահայաց է հիմքերին։


== Սեղանի տարրերի սահմանումներ ==


=== Սեղանի տարրեր ===

Զուգահեռ կողմերը կոչվում են հիմքեր․
2 մյուս կողմերը կոչվում են սրունքներ.
Սրունքների միջնակետերը միացնող գիծը կոչվում է սեղանի միջին գիծ.


=== Սեղանների տեսակները ===
Այն սեղանները, որոնց սրունքները հավասար են կոչվում են հավասարասրուն սեղաններ։
Այն սեղանը, որն ունի ուղիղ անկյուն, կոչվում է ուղղանկյուն սեղան։
		


== Ընդհանուր հատկություններ ==
Սեղանի բարձրությունը
  
    
      
        h
        =
        
          
            
              c
              
                2
              
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            
              
                (
                
                  
                    
                      
                        
                          c
                          
                            2
                          
                        
                        −
                        
                          d
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        b
                        −
                        a
                      
                    
                  
                  +
                  b
                  −
                  a
                
                )
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-a\right)^{2}}}}
  
որտեղ 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   — մեծ հիմքն է, 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   — փոքր հիմքն է, 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   и 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
   — սրունքներ.
  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{1}}
  և 
  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{2}}
  անկյունագծերը, և կողմերը կապված են
  
    
      
        
          d
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          d
          
            2
          
          
            2
          
        
        =
        2
        a
        b
        +
        
          c
          
            2
          
        
        +
        
          d
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}}
    արտահայտությամբ։
Անկյունագծերը արտահայտվում են՝

  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
        =
        A
        C
        =
        
          
            a
            b
            +
            
              d
              
                2
              
            
            +
            
              
                
                  b
                  (
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    d
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  b
                  −
                  a
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{1}=AC={\sqrt {ab+d^{2}+{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}}
  

  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
        =
        B
        D
        =
        
          
            a
            b
            +
            
              c
              
                2
              
            
            −
            
              
                
                  b
                  (
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    d
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  b
                  −
                  a
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{2}=BD={\sqrt {ab+c^{2}-{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}}
  
Եվ ընդհակառակը՝

  
    
      
        a
        =
        
          
            
              
                (
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  d
                  
                    1
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                −
                (
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  d
                  
                    2
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
              
                2
                (
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  d
                  
                    1
                  
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  d
                  
                    2
                  
                  
                    2
                  
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}}
  

  
    
      
        b
        =
        
          
            
              
                (
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  d
                  
                    2
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                −
                (
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  d
                  
                    1
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
              
                2
                (
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  d
                  
                    1
                  
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  d
                  
                    2
                  
                  
                    2
                  
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}}
  

  
    
      
        c
        =
        
          
            
              
                a
                (
                
                  d
                  
                    2
                  
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                )
                +
                b
                (
                
                  d
                  
                    1
                  
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                )
              
              
                a
                +
                b
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c={\sqrt {\frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a+b}}}}
  

  
    
      
        d
        =
        
          
            
              
                a
                (
                
                  d
                  
                    1
                  
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                )
                +
                b
                (
                
                  d
                  
                    2
                  
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                )
              
              
                a
                +
                b
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d={\sqrt {\frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a+b}}}}
  
Եթե հայտնի է
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
   բարձրությունը,ապա

  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              b
              
                2
              
            
            +
            
              d
              
                2
              
            
            −
            2
            b
            
              
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  h
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              h
              
                2
              
            
            +
            
              
                (
                
                  b
                  −
                  
                    
                      
                        d
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      
                        h
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{1}={\sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}}
  

  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              b
              
                2
              
            
            +
            
              c
              
                2
              
            
            −
            2
            b
            
              
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  h
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              h
              
                2
              
            
            +
            
              
                (
                
                  b
                  −
                  
                    
                      
                        c
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      
                        h
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{2}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}}
  


== Ներգծված և արտագծված շրջանագծեր ==
Արտագծված շրջանագծի շառավիղը՝
  
    
      
        R
        =
        
          
            
              b
              c
              
                d
                
                  1
                
              
            
            
              4
              
                
                  p
                  (
                  p
                  −
                  b
                  )
                  (
                  p
                  −
                  c
                  )
                  (
                  p
                  −
                  
                    d
                    
                      1
                    
                  
                  )
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                a
                b
                +
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
              
                4
                −
                
                  
                    (
                    
                      
                        
                          b
                          −
                          a
                        
                        c
                      
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R={\frac {bcd_{1}}{4{\sqrt {p(p-b)(p-c)(p-d_{1})}}}}={\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4-\left({\frac {b-a}{c}}\right)^{2}}}}}
  
որտեղ 
  
    
      
        p
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        b
        +
        c
        +
        
          d
          
            1
          
        
        )
        
        ,
        
        c
      
    
    {\displaystyle p={\frac {1}{2}}(b+c+d_{1})\,,\,c}
   — սրունք, 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   — մեծ հիմք, 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   — փոքր հիմք, 
  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
        =
        
          d
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{1}=d_{2}}
   — հավասարասրուն սեղանի անկյունագծերըԵթե 
  
    
      
        a
        +
        b
        =
        2
        c
      
    
    {\displaystyle a+b=2c}
  , ապա հավասարասրուն սեղանին կարելի է ներգծել,
  
    
      
        r
        =
        
          
            h
            2
          
        
        =
        
          
            
              a
              b
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle r={\frac {h}{2}}={\frac {\sqrt {ab}}{2}}}
    շառավղով շրջանագիծ։


== Սեղանի մակերեսը ==

  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   սեղանի հիմքերի և 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
   — բարձրության միջոցով՝
  
    
      
        S
        =
        
          
            
              (
              a
              +
              b
              )
            
            2
          
        
        h
      
    
    {\displaystyle S={\frac {(a+b)}{2}}h}
  
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   միջին գծի և 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
   բարձրության միջոցով՝
  
    
      
        S
        =
        
          m
          h
        
      
    
    {\displaystyle S=\displaystyle mh}
  միջին գիծը հավասար է հիմքերի կիսագումարին՝
  
    
      
        m
        =
        
          
            
              (
              a
              +
              b
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m={\frac {(a+b)}{2}}}
  սեղանի մակերեսը 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  , 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   հիմքերի և 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   և 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
   ոչ զուգահեռ կողմերի միջոցով՝
  
    
      
        S
        =
        
          
            
              a
              +
              b
            
            
              4
              
                |
              
              a
              −
              b
              
                |
              
            
          
        
        
          
            (
            a
            +
            c
            +
            d
            −
            b
            )
            (
            a
            +
            d
            −
            b
            −
            c
            )
            (
            a
            +
            c
            −
            b
            −
            d
            )
            (
            b
            +
            c
            +
            d
            −
            a
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle S={\frac {a+b}{4|a-b|}}{\sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.}
  հավասարասրուն սեղանի մակերեսը 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   ներգծված շրջանագծի շառավիղի և հիմքին կից 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   անկյան միջոցով՝
  
    
      
        S
        =
        
          
            
              4
              
                r
                
                  2
                
              
            
            
              sin
              ⁡
              
                α
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}}
  մասնավորապես, եթե տվյալ անկյունը 30° է, ապա
  
    
      
        S
        =
        
          8
          
            r
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S=\displaystyle 8r^{2}}
  հավասարասրուն սեղանի մակերեսը 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   կողմի և 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   մեծ հիմքին կից 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
   անկյան միջացով։
  
    
      
        S
        =
        (
        a
        −
        c
        cos
        ⁡
        
          γ
        
        )
        c
        sin
        ⁡
        
          γ
        
        =
        (
        b
        +
        c
        cos
        ⁡
        
          γ
        
        )
        c
        sin
        ⁡
        
          γ
        
      
    
    {\displaystyle S=(a-c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }=(b+c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }}
  


== Ծանոթագրություն ==