Կորագիծ ինտեգրալ

Կորագիծ ինտեգրալ մաթեմատիկական անալիզի հիմնական հասկացություն, հարթ, ողորկ 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
   կորի (որը տրված է 
  
    
      
        x
        =
        ϕ
        (
        t
        )
        ,
        y
        =
        ψ
        (
        t
        )
        ,
        
          t
          
            o
          
        
        ⩽
        t
        ⩽
        T
      
    
    {\displaystyle x=\phi (t),y=\psi (t),t_{o}\leqslant t\leqslant T}
   պարամետրական տեսքով) և նրա վրա որոշված անընդհատ 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
   ֆունկցիայի համար առաջին սեռի կորագիծ ինտեգրալ կարող է սահմանվել այսպես՝

  
    
      
        
          ∫
          
            G
          
        
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        
        d
        s
        =
        
          ∫
          
            
              t
              
                o
              
            
          
          
            T
          
        
        f
        (
        ϕ
        (
        t
        )
        ,
        ψ
        (
        t
        )
        )
        [
        (
        
          ϕ
          ′
        
        (
        t
        )
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        
          ψ
          ′
        
        (
        t
        
          )
          
            2
          
        
        )
        
          ]
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{G}f(x,y)\,ds=\int \limits _{t_{o}}^{T}f(\phi (t),\psi (t))[(\phi '(t))^{2}+(\psi '(t)^{2})]^{1/2}\,dt}
  ։


== Երկրորդ կարգի կորագիծ ինտեգրալ ==
Երկրորդ կարգի կորագիծ ինտեգրալ կարող է սահմանվել այսպես.

  
    
      
        
          ∫
          
            G
          
        
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        
        d
        x
        +
        g
        (
        x
        ,
        y
        )
        
        d
        y
        =
        
          ∫
          
            
              t
              
                o
              
            
          
          
            T
          
        
        [
        f
        (
        ϕ
        (
        t
        )
        ,
        ψ
        (
        t
        )
        )
        
          ϕ
          ′
        
        (
        t
        )
        +
        g
        (
        ϕ
        (
        t
        )
        ,
        ψ
        (
        t
        )
        )
        
          ψ
          ′
        
        (
        t
        )
        ]
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{G}f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy=\int \limits _{t_{o}}^{T}[f(\phi (t),\psi (t))\phi '(t)+g(\phi (t),\psi (t))\psi '(t)]\,dt}
  
բանաձևով։ Ինչպես նշված, այնպես էլ ավելի ընդհանուր բնույթի կորագիծ ինտեգրալները բնականորեն սահմանվում են նաև որպես որոշյալ ինտեգրալ գումարների սահմաններ։
Ենթադրենք 
  
    
      
        x
        o
        y
      
    
    {\displaystyle xoy}
   հարթության վրա տրված է 
  
    
      
        (
        
          
            
              
                A
                B
              
              ˘
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\breve {AB}})}
   ուղղելի կորը, որի վրա ընտրված է ուղղություն՝ 
  
    
      
        A
        ⟶
        B
      
    
    {\displaystyle A\longrightarrow B}
  : 
  
    
      
        
          
            
              
                A
                B
              
              ˘
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\breve {AB}}}
   կորը 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        ,
        
          A
          
            2
          
        
        ,
        
          A
          
            3
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          A
          
            i
          
        
        ,
        
          A
          
            i
          
        
        +
        1
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          A
          
            n
          
        
        −
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{i},A_{i}+1,...,A_{n}-1,}
   կետերով տրոհենք n մասերի։

  
    
      
        A
        i
      
    
    {\displaystyle Ai}
  -ի կոորդինատները նշանակենք 
  
    
      
        A
        i
        (
        
          x
          
            i
          
        
        ,
        
          y
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle Ai(x_{i},y_{i})}
  : Տրոհման կետերը համարակալենք կորի վերցրած ուղղության հետ։
Նշանակենք նաև 
  
    
      
        △
        
          x
          
            i
          
        
        =
        
          x
          
            i
            +
            1
          
        
        −
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \vartriangle x_{i}=x_{i+1}-x_{i}}
   և 
  
    
      
        △
        
          y
          
            i
          
        
        =
        
          y
          
            i
            +
            1
          
        
        −
        
          y
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \vartriangle y_{i}=y_{i+1}-y_{1}}
  , որտեղ 
  
    
      
        i
        =
        
          
            
              0
              ,
              n
              −
              1
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle i={\overline {0,n-1}}}
  :
Նշանակենք նաև 
  
    
      
        λ
        =
        max
        (
        
          A
          
            i
          
        
        ,
        
          A
          
            i
          
        
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \lambda =\max(A_{i},A_{i}+1)}
  :

  
    
      
        
          
            A
            
              i
            
          
          ,
          
            A
            
              i
            
          
          +
          1
        
      
    
    {\displaystyle {A_{i},A_{i}+1}}
   ուղղի վրա վերցնենք կամայական 
  
    
      
        
          M
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{i}}
   կետ, որի կոորդինատները նշանակենք 
  
    
      
        
          M
          
            i
          
        
        (
        
          
            ξ
            
              i
            
          
          ,
          
            η
            
              i
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle M_{i}({\xi _{i},\eta _{i}})}
  :
Դիտարկենք գումար՝ 
  
    
      
        σ
        x
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
            −
            1
          
        
        f
        (
        
          M
          
            i
          
        
        )
        ⋅
        △
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma x=\sum _{i=0}^{n-1}f(M_{i})\cdot \vartriangle x_{i}}
   (1)

  
    
      
        σ
        x
      
    
    {\displaystyle \sigma x}
  -ին անվանում են երկրորդ տիպի ինտեգրալի համար ինտեգրալային գումար։
Սահմանում: Եթե 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  -ն 0-ի ձգտելիս 
  
    
      
        σ
        x
      
    
    {\displaystyle \sigma x}
   ինտեգրալային գումարը, անկախ 
  
    
      
        
          
            
              
                A
                B
              
              ˘
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\breve {AB}}}
   կորի տրոհման եղանակից և անկախ 
  
    
      
        
          M
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{i}}
   կետի ընտրությունից ունի վերջավոր 
  
    
      
        ℑ
      
    
    {\displaystyle \Im }
   սահման, ապա 
  
    
      
        ℑ
      
    
    {\displaystyle \Im }
  -ն կոչվում է 
  
    
      
        
          f
          
            (
          
        
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f_{(}x,y)}
   ֆունկցիայի երկրորդ տիպի կորագիծ ինտեգրալ  
  
    
      
        (
        
          
            
              
                A
                B
              
              ˘
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\breve {AB}})}
   կորով։
Այն նշանակում ենք՝ 
  
    
      
        
          ∫
          
            (
            
              
                
                  
                    A
                    B
                  
                  ˘
                
              
            
            )
          
        
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        ≡
        ℑ
        ≡
        
          lim
          
            λ
            →
            0
          
        
        σ
        x
        =
        
          lim
          
            λ
            →
            0
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
            −
            1
          
        
        f
        (
        
          ξ
          
            i
          
        
        ,
        
          η
          
            i
          
        
        )
        △
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{({\breve {AB}})}f(x,y)\equiv \Im \equiv \lim _{\lambda \rightarrow 0}\sigma x=\lim _{\lambda \rightarrow 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i},\eta _{i})\vartriangle x_{i}}
  


== Տես նաև ==


== Ծանոթագրություններ ==