Լագրանժի թեորեմը չորս քառակուսիների գումարի մասին

Լագրանժի չորս քառակուսիների գումարի մասին թեորեմը պնդում է, որ

Թեորեմի ապացույցը իրենից ներկայացնում է ալգորիթմ, որը թույլ է տալիս գտնել 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   թվի համար նման ներկայացման ձև 
  
    
      
        O
        (
        
          N
          
            2
          
        
        l
        o
        
          g
          
            2
          
        
        
          N
        
        )
      
    
    {\displaystyle O(N^{2}log_{2}{N})}
  :
Թեորեմը հանդիսանում է Վարինգի խնդրի լուծումը 
  
    
      
        n
        =
        2
      
    
    {\displaystyle n=2}
   աստիճանի համար։ Քանի որ այս տեսքի թվերը 
  
    
      
        
          4
          
            m
          
        
        (
        8
        n
        +
        7
        )
        ,
        
        m
        ,
        
        n
        =
        0
        ,
        
        1
        ,
        
        2
        ,
        
        …
      
    
    {\displaystyle 4^{m}(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\ldots }
   չեն կարող ներկայացվել երեք քառակուսիների գումարով, ապա Լագրանժի թեորեմը տալիս է Հարդիի ֆունկցիայի երկու արժեքներից մեկը 
  
    
      
        G
        (
        2
        )
        =
        4
      
    
    {\displaystyle G(2)=4}
  :


== Օրինակներ ==

  
    
      
        
          
            
              
                3
              
              
                
                =
                
                  1
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  1
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  1
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  0
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                31
              
              
                
                =
                
                  5
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  2
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  1
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  1
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                310
              
              
                
                =
                
                  17
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  4
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  2
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  1
                  
                    2
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}3&=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2}\\31&=5^{2}+2^{2}+1^{2}+1^{2}\\310&=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2}.\end{aligned}}}
  


== Պատմություն ==
Թեորեմի պնդումն առաջին անգամ հայտնվել է Դիոֆանտի Թվաբանության մեջ, որը թարգմանվել էր լատիներեն Բաշեի կողմից 1621 թվականին։ Թեորեմի համար կարևոր լեմման այն մասին, որ չորս քառակուսիների գումարի արտադրյալը դա չորս քառակուսիների գումարն է ապացուցել է Էյլերը, ով մոտ էր հենց թեորեմի ապացույցին շատ բաներ է արել հատուկ Լագրանժի համար։ Սակայն Լագրանժը Էյլերից առաջ անցավ և ապացուցեց թեորեմը 1770 թվականին։


== Ծանոթագրություններ ==