Դիսպերսիայի օրենք

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Դիսպերսիա (այլ կիրառումներ)
Դիսպերսիայի օրենք կամ դիսպերսիոն համապատասխանություն ալիքների տեսության մեջ, կապ ալիքային վեկտորի և հաճախության մեջ

  
    
      
        ω
        =
        ω
        (
        
          k
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle \omega =\omega (\mathbf {k} )\,}
  

Այս օրենքը արտահայտում է ալիքի ժամանակային և տարածական պարաբերությունների կապը։ Դիսպերսիայի օրենքից կարելի է ստանալ ալիքի փուլային և խմբային արագությունները՝

  
    
      
        
          
            v
          
          
            p
            h
          
        
        =
        
          
            ω
            k
          
        
        ⋅
        
          
            
              k
            
            k
          
        
        
        ;
        
        
          
            v
          
          
            g
            r
          
        
        =
        
          
            
              d
              ω
            
            
              d
              
                k
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} _{ph}={\omega  \over k}\cdot {\mathbf {k}  \over k}\,;\quad \mathbf {v} _{gr}={d\omega  \over d\mathbf {k} }\,}
  

Դիսպերսիա հասկացությունը առաջին անգամ օպտիկայում հայտնվել է հատվածակողմով սպիտակ լույսի տարալուծմից հետո։ Դիսպերսիա անվանում են ալիքի փուլային արագության կախումը լուսային ալիքի հաճախությունից կամ երկարությունից,կամ օպտիկայում բեկման ցուցչի կախումը ալիքի հաճախությունից և երկարությունից տվյալ միջավայրում, եթե արագությունը կախված չէ ալիքի հաճախությունից կամ երկարությունից,ապա խոսքը դիսպերսիայի բացակայության մասին է։
Այսինքն,եթե գծային։ լույսի համար դիսպերսիայի օրենքը ապակու մեջ բերում է դիսպերսիայի դասական օրենքին։
Հիմնվելով քվանտային պատկերացումների վրա, որ ամեն մի ալիքի համապատասխանում է որոշակի մասնիկ կամ քվազիմասնիկ և հակառակը, դիսպերսիայի օրենքը կարելի է տարածել նաև մասնիկների համար։ Մասնավորապես,պինդ մարմնի ֆիզիկայում այս օրենքը կապ է հաստատում մասնիկի (օրինակ՝ էլեկտրոն, ֆոտոն) էներգիայի ևնրա ալիքային վեկտորի միջև։


== Շղթայի համար դուրսբերում ==
Ենթադրենք տրված է ատոմների միաչափ գծային շղթա 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   զանգվածով, որոնց միջև հեռավորությունը 
  
    
      
        
          u
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{n}}
   է։ Տեղադրենք 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   կարճ հեռավորության վրա 
  
    
      
        
          u
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{n}}
  ։ Այդ դեպքում շեղման փոքրության պատճառով ատոմների փողազդեցության ուժը կարելի է համարել քվազիառաձգական։
Նշանակումները՝

  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  ՝ ալիքային թիվ,

  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  ՝ հաճախություն։Հաշվի առնելով հարևան անդամները՝

  
    
      
        
          F
          
            n
          
        
        =
        −
        β
        (
        
          u
          
            n
          
        
        −
        
          u
          
            n
            +
            1
          
        
        )
        −
        β
        (
        
          u
          
            n
          
        
        −
        
          u
          
            n
            −
            1
          
        
        )
        =
        β
        (
        
          u
          
            n
            +
            1
          
        
        −
        2
        
          u
          
            n
          
        
        +
        
          u
          
            n
            −
            1
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle F_{n}=-\beta (u_{n}-u_{n+1})-\beta (u_{n}-u_{n-1})=\beta (u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1}),}
  
որտեղ՝
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  ՝ քվազիառաձգականության գործակիցն է։
Գրենք շարժման հավասարումը 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -րդ ատոմի համար՝ 
  
    
      
        m
        a
        =
        F
        
        ⟺
        
        m
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    d
                    
                      2
                    
                  
                  
                    u
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  d
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
        =
        β
        (
        
          u
          
            n
            +
            1
          
        
        −
        2
        
          u
          
            n
          
        
        +
        
          u
          
            n
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ma=F\quad \Longleftrightarrow \quad m{\cfrac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}=\beta (u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1})}
  
Թող հավասարումը ունենա հետևյալ տեսքը՝ 
  
    
      
        A
        
          e
          
            i
            (
            k
            d
            −
            ω
            t
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle Ae^{i(kd-\omega t)}.}
  ։
Այդ դեպքում՝ 
  
    
      
        −
        m
        
          ω
          
            2
          
        
        =
        β
        (
        
          e
          
            i
            k
            d
          
        
        +
        
          e
          
            −
            i
            k
            d
          
        
        −
        2
        )
        =
        −
        2
        β
        (
        1
        −
        cos
        ⁡
        k
        d
        )
        =
        −
        4
        β
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        k
        d
        
          /
        
        2
        )
        
        ⇒
        
        ω
        =
        ±
        
          ω
          
            m
          
        
        sin
        ⁡
        
          k
          d
          
            /
          
          2
        
        ,
      
    
    {\displaystyle -m\omega ^{2}=\beta (e^{ikd}+e^{-ikd}-2)=-2\beta (1-\cos kd)=-4\beta \sin ^{2}(kd/2)\quad \Rightarrow \quad \omega =\pm \omega _{m}\sin {kd/2},}
   որտեղ 

  
    
      
        
          ω
          
            m
          
        
        =
        2
        
          
            
              
                
                  
                
                
                  
                    β
                  
                
              
              
                
                  
                
                
                  
                    m
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{m}=2{\sqrt {\cfrac {\beta }{m}}}}
  ։Սա էլ հենց արտահայտում է հաճախության կապը ալիքային թվի հետ, այսինքն միատոմ շղթայի դիսպերսիայի օրենքը։


== Տես նաև ==
Ալիքների դիսպերսիա


== Նշումներ ==


== Գրականություն ==
Ֆեյնմանի դասախոսությունը դիսպերսիայի մասին