Սկալյար արտադրյալ

Սկալյար արտադրյալ (երբեմն՝ ներքին արտադրյալ), գործողություն երկու վեկտորների միջև. արդյունքը թիվ է, (երբ դիտարկվում են վեկտորներ, թվերը հաճախ անվանվում են սկալյարներ) որը կախված չէ կոորդինատային համակարգից և բնութագրում է վեկտոր-արտադրիչների երկարություններն ու անկյունը դրանց միջև։ Տրված գործողությանը համապատասխանում է x վեկտորի երկարության բազմապատկումը x վեկտորի վրա y վեկտորի պրոյեկցիայով։ Այս գործողությունը սովորաբար դիտարկվում է որպես տեղափոխական և գծային ըստ յուրաքանչյուր արտադրիչի։
Սովորաբար օգտագործվում է հետևյալ նշանակումներից մեկը.

  
    
      
        ⟨
        
          a
        
        ,
        
          b
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }
  ,

  
    
      
        (
        
          a
        
        ,
        
          b
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}
  ,

  
    
      
        
          a
        
        ⋅
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }
  ,(կամ Դիրակի նշանակումը), որը հաճախ օգտագործվում է քվանտային մեխանիկայում

  
    
      
        ⟨
        a
        
          |
        
        b
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle a|b\rangle }
  .Սովորաբար ենթադրվում է, որ սկալյար արտադրյալը որոշված է դրականորեն, այսինքն՝

  
    
      
        ⟨
        
          a
        
        ,
        
          a
        
        ⟩
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle >0}
   բոլոր a-երի համար (
  
    
      
        a
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a\not =0}
  ).Հակառակ դեպքում արտադրյալը կոչվում է ինդեֆինիտ կամ անորոշ։


== Սահմանում ==

  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {L} }
   վեկտորական տարածությունում կոմպլեքս թվերի 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
   (կամ իրական թվերի 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  ) դաշտի նկատմամբ սկալյար արտադրյալ կոչվում է 
  
    
      
        ⟨
        x
        ,
        y
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle x,y\rangle }
   ֆունկցիան, որը որոշված է 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle x,y\in \mathbb {L} }
   ցանկացած տարրերի համար և ընդունում է արժեքներ 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
   - ում (կամ 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  -ում)։ Ֆունկցիան բավարարում է հետևյալ պայմաններին.

  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {L} }
   տարածության ցանկացած երեք 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2}}
   և 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   տարրերի և 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  -ի (կամ 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  -ի) ցանկացած 
  
    
      
        α
        ,
        β
      
    
    {\displaystyle \alpha ,\beta }
   թվերի համար ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը. 
  
    
      
        ⟨
        α
        
          x
          
            1
          
        
        +
        β
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        y
        ⟩
        =
        α
        ⟨
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        y
        ⟩
        +
        β
        ⟨
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        y
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle \alpha x_{1}+\beta x_{2},y\rangle =\alpha \langle x_{1},y\rangle +\beta \langle x_{2},y\rangle }
  ;
ցանկացած 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   և 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  -ի համար ճիշտ է 
  
    
      
        ⟨
        y
        ,
        x
        ⟩
        =
        
          
            
              ⟨
              x
              ,
              y
              ⟩
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}}
   հավասարությունը;
ցանկացած 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի համար ունենք 
  
    
      
        ⟨
        x
        ,
        x
        ⟩
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}
  , ընդ որում
  
    
      
        ⟨
        x
        ,
        x
        ⟩
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \langle x,x\rangle =0}
   միայն 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
   դեպքում։


== Հանրահաշվական սահմանում ==
n-աչափ իրական տարածությունում a = [a1, a2, ..., an] և b = [b1, b2, ..., bn] երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը սահմանվում է ինչպես.

  
    
      
        
          a
        
        ⋅
        
          b
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          b
          
            i
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            n
          
        
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}
  :Օրինակ, եռաչափ տարածությունում [1, 3, −5] և [4, −2, −1] վեկտորների արտադրյալը կհաշվարկվի այսպես.

  
    
      
        
          
            
              
                 
                [
                1
                ,
                3
                ,
                −
                5
                ]
                ⋅
                [
                4
                ,
                −
                2
                ,
                −
                1
                ]
              
              
                
                =
                1
                ⋅
                4
                +
                3
                ⋅
                (
                −
                2
                )
                +
                (
                −
                5
                )
                ⋅
                (
                −
                1
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                4
                −
                6
                +
                5
              
            
            
              
              
                
                =
                3.
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}}
  a = [a1, a2, ..., an] և b = [b1, b2, ..., bn] կոմպլեքս վեկտորների համար սկալյար արտադրյալը կլինի.

  
    
      
        
          a
        
        ⋅
        
          b
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          
            
              b
              
                i
              
            
            ¯
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        
          
            
              b
              
                1
              
            
            ¯
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          
            
              b
              
                2
              
            
            ¯
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            n
          
        
        
          
            
              b
              
                n
              
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}}
  :Օրինակ, 

  
    
      
        [
        1
        +
        i
        ,
        2
        ]
        ⋅
        [
        2
        +
        i
        ,
        i
        ]
        =
        (
        1
        +
        i
        )
        ⋅
        (
        
          
            
              2
              +
              i
            
            ¯
          
        
        )
        +
        2
        ⋅
        
          
            i
            ¯
          
        
        =
        (
        1
        +
        i
        )
        ⋅
        (
        2
        −
        i
        )
        +
        2
        ⋅
        (
        −
        i
        )
        =
        3
        −
        i
      
    
    {\displaystyle [1+i,2]\cdot [2+i,i]=(1+i)\cdot ({\overline {2+i}})+2\cdot {\overline {i}}=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i}
  


== Երկրաչափական սահմանում ==
== Օրինակներ ==AB վեկտորի և BC վեկտորի սկալյար արտադրյալ


== Հատկություններ ==
Կոսինուսների թեորեմը հեշտությամբ արտածվում է սկալյար արտադրյալի կիրառմամբ.
  
    
      
        
          |
        
        B
        C
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  B
                  C
                
                →
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        (
        
          
            
              
                A
                C
              
              →
            
          
        
        −
        
          
            
              
                A
                B
              
              →
            
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        ⟨
        
          
            
              
                A
                C
              
              →
            
          
        
        −
        
          
            
              
                A
                B
              
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              
                A
                C
              
              →
            
          
        
        −
        
          
            
              
                A
                B
              
              →
            
          
        
        ⟩
        =
        
          
            
              
                
                  A
                  C
                
                →
              
            
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              
                
                  A
                  B
                
                →
              
            
          
          
            2
          
        
        −
        2
        ⟨
        
          
            
              
                A
                C
              
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              
                A
                B
              
              →
            
          
        
        ⟩
        =
        
          |
        
        A
        B
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        +
        
          |
        
        A
        C
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        −
        2
        
          |
        
        A
        B
        
          |
        
        
          |
        
        A
        C
        
          |
        
        cos
        ⁡
        
          
            
              A
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle |BC|^{2}={\vec {BC}}^{2}=({\vec {AC}}-{\vec {AB}})^{2}=\langle {\vec {AC}}-{\vec {AB}},{\vec {AC}}-{\vec {AB}}\rangle ={\vec {AC}}^{2}+{\vec {AB}}^{2}-2\langle {\vec {AC}},{\vec {AB}}\rangle =|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|\cos {\hat {A}}}
  Անկյունը վեկտորների միջև.

  
    
      
        α
        =
        arccos
        ⁡
        
          
            
              ⟨
              
                a
              
              ,
              
                b
              
              ⟩
            
            
              ⟨
              
                a
              
              ,
              
                a
              
              ⟩
              ⟨
              
                b
              
              ,
              
                b
              
              ⟩
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }{\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle }}}}
  
Վեկտորների կազմած անկյան գնահատումը.

  
    
      
        ⟨
        
          a
        
        ,
        
          b
        
        ⟩
        =
        
          |
        
        
          a
        
        
          |
        
        ⋅
        
          |
        
        
          b
        
        
          |
        
        ⋅
        cos
        ⁡
        ∠
        
          (
          
            a
          
          ,
          
            b
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}}
   բանաձևում նշանը որոշվում է միայն անկյան կոսինուսով (նորմաները միշտ դրական են)։ Այդ պատճառով սկալյար արտադրյալը > 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը սուր է, և < 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը բութ է։

  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
   վեկտորի պրոյեկցիան 
  
    
      
        
          e
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} }
   միավոր վեկտորով սահմանված ուղղության վրա.

  
    
      
        
          a
          
            e
          
        
        =
        ⟨
        
          a
        
        ,
        
          e
        
        ⟩
        =
        
          |
        
        
          a
        
        
          |
        
        
          |
        
        
          e
        
        
          |
        
        cos
        ⁡
        ∠
        
          (
          
            a
          
          ,
          
            e
          
          )
        
        =
        
          |
        
        
          a
        
        
          |
        
        cos
        ⁡
        ∠
        
          (
          
            a
          
          ,
          
            e
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle a_{e}=\langle \mathbf {a} ,\mathbf {e} \rangle =|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}}
  , քանի որ 
  
    
      
        
          |
        
        
          e
        
        
          |
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle |\mathbf {e} |=1}
  

  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
   և 
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
   վեկտորների օրթոգոնալության (ուղղահայացության) պայմանը.
  
    
      
        
          a
        
        ⊥
        
          b
        
        ⇔
        ⟨
        
          a
        
        ,
        
          b
        
        ⟩
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \bot \mathbf {b} \Leftrightarrow \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =0}
  
  
    
      
        
          a
        
         
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \ }
   և 
  
    
      
        
          b
        
         
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} \ }
   երկու վեկտորներով կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է.
  
    
      
        
          
            ⟨
            
              a
            
            ,
            
              a
            
            ⟩
            ⟨
            
              b
            
            ,
            
              b
            
            ⟩
            −
            ⟨
            
              a
            
            ,
            
              b
            
            
              ⟩
              
                2
              
            
          
        
         
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle -\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle ^{2}}}\ }
  


=== Կոշի - Բունյակովսկու անհավասարություն ===
Գծային տարածության ցանկացած 
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} }
   և 
  
    
      
        
          y
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {y} }
   էլեմենտների համար տեղի ունի հետևյալ անհավասարությունը [1] Archived 2009-02-27 at the Wayback Machine.

  
    
      
        |
        ⟨
        x
        ,
        y
        ⟩
        
          |
          
            2
          
        
        ≤
        ⟨
        x
        ,
        x
        ⟩
        ⟨
        y
        ,
        y
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \vert \langle x,y\rangle \vert ^{2}\leq \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle }
  :


== Պատմություն ==
Սկալյար արտադրյալը ներմուծվել է Ուիլյամ Համիլտոնի կողմից 1846 թվականին, վեկտորական արտադրյալի հետ միաժամանակ, կապված քվատերնիոնների հետ, համապատասխանաբար ինչպես երկու այնպիսի քվատերնիոնների արտադրյալի սկալյար և վեկտորական մասեր, որոնց սկալյար մասը հավասար է զրոյի։


== Տես նաև ==
Խառն արտադրյալ
Հիլբերտյան տարածություն
Վեկտորական արտադրյալ


== Ծանոթագրություններ ==