Հիպերբոլական ֆունկցիաներ

Հիպերբոլական ֆունկցիաներ, պատկանում են տարրական ֆունկցիաների դասին, որոնք արտահայտվում են էքսպոնենտայի միջոցով և սերտորեն կապված են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ։


== Սահմանում ==
Հիպերբոլական ֆունկցիաները տրվում են հետնյալ բանաձևերով.

հիպերբոլական սինուս
  
    
      
        sh
        ⁡
        x
        =
        
          
            
              
                e
                
                  x
                
              
              −
              
                e
                
                  −
                  x
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sh} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
  (անգլալեզու գրականությունում գրվում է 
  
    
      
        sinh
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \sinh(x)}
  )

հիպերբոլական կոսինուս
  
    
      
        ch
        ⁡
        x
        =
        
          
            
              
                e
                
                  x
                
              
              +
              
                e
                
                  −
                  x
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
  (անգլալեզու գրականությունում գրվում է 
  
    
      
        c
        o
        s
        h
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle cosh(x)}
  )

հիպերբոլական տանգենս
  
    
      
        th
        ⁡
        x
        =
        
          
            
              sh
              ⁡
              x
            
            
              ch
              ⁡
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              
                e
                
                  x
                
              
              −
              
                e
                
                  −
                  x
                
              
            
            
              
                e
                
                  x
                
              
              +
              
                e
                
                  −
                  x
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                e
                
                  2
                  x
                
              
              −
              1
            
            
              
                e
                
                  2
                  x
                
              
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {\operatorname {sh} x}{\operatorname {ch} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
  (անգլալեզու գրականությունում գրվում է 
  
    
      
        tanh
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \tanh(x)}
  )

հիպերբոլական կոտանգենս
  
    
      
        cth
        ⁡
        x
        =
        
          
            1
            
              th
              ⁡
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {cth} x={\frac {1}{\operatorname {th} x}}}
  Որոշ դեպքերում սահմանվում են

հիպերբոլական սեկանսը և կոսեկանսը
  
    
      
        sech
        ⁡
        x
        =
        
          
            1
            
              ch
              ⁡
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\operatorname {ch} x}}}
  

  
    
      
        csch
        ⁡
        x
        =
        
          
            1
            
              sh
              ⁡
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\operatorname {sh} x}}}
  


=== Երկրաչափական սահմանում ===

Հաշվի առնելով 
  
    
      
        
          ch
          
            2
          
        
        ⁡
        t
        −
        
          sh
          
            2
          
        
        ⁡
        t
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}t-\operatorname {sh} ^{2}t=1}
   հարաբերությունը հիպերբոլիկ ֆունկցիան տալիս են պարամետրական տեսքով 
  
    
      
         
        
          x
          
            2
          
        
        −
        
          y
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle ~x^{2}-y^{2}=1}
   (
  
    
      
        x
        =
        ch
        ⁡
        t
      
    
    {\displaystyle x=\operatorname {ch} t}
  , 
  
    
      
        y
        =
        sh
        ⁡
        t
      
    
    {\displaystyle y=\operatorname {sh} t}
  )։ Ընդ որում արգումենտը 
  
    
      
        t
        =
        2
        S
      
    
    {\displaystyle t=2S}
  , որտեղ 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   -ը 
  
    
      
        O
        Q
        R
      
    
    {\displaystyle OQR}
   կորագիծ եռանկյան մակերեսն է, վերցրած «+» նշանով, եթե սեկտորը գտնվում է 
  
    
      
        O
        X
      
    
    {\displaystyle OX}
   առանցքից վերև, և «-»՝ հակառակ դեպքում։ Ակնհայտ է, որ և հիպերբոլական ֆունկցիան սահմանվում է այդ պարամետրի միջոցով, օրինակ, հիպերբոլական սինուսի հավասարման պարամետրական տեսքն այսպիսին է՝ 
  
    
      
        x
        =
        t
        ,
        y
        =
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x=t,y=f(t)}
  , որտեղ 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)}
   - հիպերբոլայի օրդինատի կետն է, որն համապատասխանում է 
  
    
      
        t
        =
        2
        S
      
    
    {\displaystyle t=2S}
   մակերեսին։ Այս սահմանումը նման է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի սահմանմանը միավոր շրջանագծի միջոցով, որը նույնպես կարելի է կառուցել նման ձևով։


== Հատկություններ ==


=== Կապը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ ===
Հիպերբոլական ֆունկցիաներն արտահայտվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով կապված կեղծ արգումենտից.

  
    
      
        sh
        ⁡
        x
        =
        −
        i
        sin
        ⁡
        (
        i
        x
        )
        ,
        
        ch
        ⁡
        x
        =
        cos
        ⁡
        (
        i
        x
        )
        ,
        
        th
        ⁡
        x
        =
        −
        i
        tg
        ⁡
        (
        i
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sh} x=-i\sin(ix),\quad \operatorname {ch} x=\cos(ix),\quad \operatorname {th} x=-i\operatorname {tg} (ix)}
  .

  
    
      
        sh
        ⁡
        (
        i
        x
        )
        =
        i
        sin
        ⁡
        x
        ,
        
        ch
        ⁡
        (
        i
        x
        )
        =
        cos
        ⁡
        x
        ,
        
        th
        ⁡
        (
        i
        x
        )
        =
        i
        tg
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sh} (ix)=i\operatorname {sin} x,\quad \operatorname {ch} (ix)=\cos x,\quad \operatorname {th} (ix)=i\operatorname {tg} x}
  ։


=== Կարևոր հարաբերություններ ===
Հիպերբոլական ֆունկցիաները միմյանց հետ կապված են հետևյալ հարաբերություններով.

  
    
      
        
          ch
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        −
        
          sh
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1}
  
Զույգություն

  
    
      
        sh
        ⁡
        (
        −
        x
        )
        =
        −
        sh
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x}
  

  
    
      
        ch
        ⁡
        (
        −
        x
        )
        =
        ch
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x}
  

  
    
      
        th
        ⁡
        (
        −
        x
        )
        =
        −
        th
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} x}
  
Գումարման բանաձևեր

  
    
      
        sh
        ⁡
        (
        x
        ±
        y
        )
        =
        sh
        ⁡
        x
        
        ch
        ⁡
        y
        ±
        sh
        ⁡
        y
        
        ch
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {ch} x}
  

  
    
      
        ch
        ⁡
        (
        x
        ±
        y
        )
        =
        ch
        ⁡
        x
        
        ch
        ⁡
        y
        ±
        sh
        ⁡
        y
        
        sh
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {sh} x}
  

  
    
      
        th
        ⁡
        (
        x
        ±
        y
        )
        =
        
          
            
              th
              ⁡
              x
              ±
              th
              ⁡
              y
            
            
              1
              ±
              th
              ⁡
              x
              
              th
              ⁡
              y
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {th} (x\pm y)={\frac {\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y}{1\pm \operatorname {th} x\,\operatorname {th} y}}}
  

  
    
      
        cth
        ⁡
        (
        x
        ±
        y
        )
        =
        
          
            
              1
              ±
              cth
              ⁡
              x
              
              cth
              ⁡
              y
            
            
              cth
              ⁡
              x
              ±
              cth
              ⁡
              y
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {cth} (x\pm y)={\frac {1\pm \operatorname {cth} x\,\operatorname {cth} y}{\operatorname {cth} x\pm \operatorname {cth} y}}}
  
Կրկնակի անկյան բանաձևեր

  
    
      
        sh
        ⁡
        2
        x
        =
        2
        ch
        ⁡
        x
        
        sh
        ⁡
        x
        =
        
          
            
              2
              
              th
              ⁡
              x
            
            
              1
              −
              
                th
                
                  2
                
              
              ⁡
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sh} 2x=2\operatorname {ch} x\,\operatorname {sh} x={\frac {2\,\operatorname {th} x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}}
  

  
    
      
        ch
        ⁡
        2
        x
        =
        
          ch
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        +
        
          sh
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        =
        2
        
          ch
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        −
        1
        =
        1
        +
        2
        
          sh
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        =
        
          
            
              1
              +
              
                th
                
                  2
                
              
              ⁡
              x
            
            
              1
              −
              
                th
                
                  2
                
              
              ⁡
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} 2x=\operatorname {ch} ^{2}x+\operatorname {sh} ^{2}x=2\operatorname {ch} ^{2}x-1=1+2\operatorname {sh} ^{2}x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}}
  

  
    
      
        th
        ⁡
        2
        x
        =
        
          
            
              2
              th
              ⁡
              x
            
            
              1
              +
              
                th
                
                  2
                
              
              ⁡
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {th} 2x={\frac {2\operatorname {th} x}{1+\operatorname {th} ^{2}x}}}
  

  
    
      
        cth
        ⁡
        2
        x
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        th
        ⁡
        x
        +
        cth
        ⁡
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {cth} 2x={\frac {1}{2}}(\operatorname {th} x+\operatorname {cth} x)}
  

  
    
      
        th
        ⁡
        x
        =
        
          
            
              ch
              ⁡
              2
              x
              −
              1
            
            
              sh
              ⁡
              2
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              sh
              ⁡
              2
              x
            
            
              1
              +
              ch
              ⁡
              2
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {\operatorname {ch} 2x-1}{\operatorname {sh} 2x}}={\frac {\operatorname {sh} 2x}{1+\operatorname {ch} 2x}}}
  

  
    
      
        ch
        ⁡
        2
        x
        ±
        sh
        ⁡
        2
        x
        =
        (
        sh
        ⁡
        x
        ±
        ch
        ⁡
        x
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} 2x\pm \operatorname {sh} 2x=(\operatorname {sh} x\pm \operatorname {ch} x)^{2}}
  
Բազմակի անկյունների բանաձևեր

  
    
      
        sh
        ⁡
        3
        x
        =
        4
        
          sh
          
            3
          
        
        ⁡
        x
        +
        3
        sh
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sh} 3x=4\operatorname {sh} ^{3}x+3\operatorname {sh} x}
  

  
    
      
        ch
        ⁡
        3
        x
        =
        4
        
          ch
          
            3
          
        
        ⁡
        x
        −
        3
        ch
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} 3x=4\operatorname {ch} ^{3}x-3\operatorname {ch} x}
  

  
    
      
        th
        ⁡
        3
        x
        =
        th
        ⁡
        x
        
          
            
              3
              +
              
                th
                
                  2
                
              
              ⁡
              x
            
            
              1
              +
              3
              
                th
                
                  2
                
              
              ⁡
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {th} 3x=\operatorname {th} x{\frac {3+\operatorname {th} ^{2}x}{1+3\operatorname {th} ^{2}x}}}
  

  
    
      
        sh
        ⁡
        5
        x
        =
        16
        
          sh
          
            5
          
        
        ⁡
        x
        +
        20
        
          sh
          
            3
          
        
        ⁡
        x
        +
        5
        sh
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sh} 5x=16\operatorname {sh} ^{5}x+20\operatorname {sh} ^{3}x+5\operatorname {sh} x}
  

  
    
      
        ch
        ⁡
        5
        x
        =
        16
        
          ch
          
            5
          
        
        ⁡
        x
        −
        20
        
          ch
          
            3
          
        
        ⁡
        x
        +
        5
        ch
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} 5x=16\operatorname {ch} ^{5}x-20\operatorname {ch} ^{3}x+5\operatorname {ch} x}
  

  
    
      
        th
        ⁡
        5
        x
        =
        th
        ⁡
        x
        
          
            
              
                th
                
                  4
                
              
              ⁡
              x
              +
              10
              
                th
                
                  2
                
              
              ⁡
              x
              +
              5
            
            
              5
              
                th
                
                  4
                
              
              ⁡
              x
              +
              10
              
                th
                
                  2
                
              
              ⁡
              x
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {th} 5x=\operatorname {th} x{\frac {\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+5}{5\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+1}}}
  
Արտադրյալ

  
    
      
        sh
        ⁡
        x
        
        sh
        ⁡
        y
        =
        
          
            
              ch
              ⁡
              (
              x
              +
              y
              )
              −
              ch
              ⁡
              (
              x
              −
              y
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sh} x\,\operatorname {sh} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{2}}}
  

  
    
      
        sh
        ⁡
        x
        
        ch
        ⁡
        y
        =
        
          
            
              sh
              ⁡
              (
              x
              +
              y
              )
              +
              sh
              ⁡
              (
              x
              −
              y
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {sh} (x+y)+\operatorname {sh} (x-y)}{2}}}
  

  
    
      
        ch
        ⁡
        x
        
        ch
        ⁡
        y
        =
        
          
            
              ch
              ⁡
              (
              x
              +
              y
              )
              +
              ch
              ⁡
              (
              x
              −
              y
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}{2}}}
  

  
    
      
        th
        ⁡
        x
        
        th
        ⁡
        y
        =
        
          
            
              ch
              ⁡
              (
              x
              +
              y
              )
              −
              ch
              ⁡
              (
              x
              −
              y
              )
            
            
              ch
              ⁡
              (
              x
              +
              y
              )
              +
              ch
              ⁡
              (
              x
              −
              y
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {th} x\,\operatorname {th} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}}}
  
Գումարներ

  
    
      
        sh
        ⁡
        x
        ±
        sh
        ⁡
        y
        =
        2
        sh
        ⁡
        
          
            
              x
              ±
              y
            
            2
          
        
        ch
        ⁡
        
          
            
              x
              ∓
              y
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sh} x\pm \operatorname {sh} y=2\operatorname {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x\mp y}{2}}}
  

  
    
      
        ch
        ⁡
        x
        +
        ch
        ⁡
        y
        =
        2
        ch
        ⁡
        
          
            
              x
              +
              y
            
            2
          
        
        ch
        ⁡
        
          
            
              x
              −
              y
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} x+\operatorname {ch} y=2\operatorname {ch} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x-y}{2}}}
  

  
    
      
        ch
        ⁡
        x
        −
        ch
        ⁡
        y
        =
        2
        sh
        ⁡
        
          
            
              x
              +
              y
            
            2
          
        
        sh
        ⁡
        
          
            
              x
              −
              y
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} x-\operatorname {ch} y=2\operatorname {sh} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {sh} {\frac {x-y}{2}}}
  

  
    
      
        th
        ⁡
        x
        ±
        th
        ⁡
        y
        =
        
          
            
              sh
              ⁡
              (
              x
              ±
              y
              )
            
            
              ch
              ⁡
              x
              
              ch
              ⁡
              y
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y={\frac {\operatorname {sh} (x\pm y)}{\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y}}}
  
Աստիճանի նվազեցման բանաձևեր

  
    
      
        
          ch
          
            2
          
        
        ⁡
        
          
            x
            2
          
        
        =
        
          
            
              ch
              ⁡
              x
              +
              1
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x+1}{2}}}
  

  
    
      
        
          sh
          
            2
          
        
        ⁡
        
          
            x
            2
          
        
        =
        
          
            
              ch
              ⁡
              x
              −
              1
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x-1}{2}}}
  
Ածանցյալներ

  
    
      
        (
        sh
        ⁡
        x
        
          )
          
            ′
          
        
        =
        ch
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {sh} x)^{\prime }=\operatorname {ch} x}
  

  
    
      
        (
        ch
        ⁡
        x
        
          )
          
            ′
          
        
        =
        sh
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {ch} x)^{\prime }=\operatorname {sh} x}
  

  
    
      
        (
        th
        ⁡
        x
        
          )
          
            ′
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                ch
                
                  2
                
              
              ⁡
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {th} x)^{\prime }={\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}}
  

  
    
      
        (
        cth
        ⁡
        x
        
          )
          
            ′
          
        
        =
        −
        
          
            1
            
              
                sh
                
                  2
                
              
              ⁡
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {cth} x)^{\prime }=-{\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}}
  

  
    
      
        sh
        ⁡
        x
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            x
          
        
        ch
        ⁡
        t
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sh} x=\int \limits _{0}^{x}\operatorname {ch} tdt}
  

  
    
      
        ch
        ⁡
        x
        =
        1
        +
        
          ∫
          
            0
          
          
            x
          
        
        sh
        ⁡
        t
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} x=1+\int \limits _{0}^{x}\operatorname {sh} tdt}
  

  
    
      
        th
        ⁡
        x
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            x
          
        
        
          
            
              d
              t
            
            
              
                ch
                
                  2
                
              
              ⁡
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {th} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\operatorname {ch} ^{2}t}}}
  
Ինտեգրալներ

  
    
      
        ∫
        sh
        ⁡
        x
        
        d
        x
        =
        ch
        ⁡
        x
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C}
  

  
    
      
        ∫
        ch
        ⁡
        x
        
        d
        x
        =
        sh
        ⁡
        x
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C}
  

  
    
      
        ∫
        th
        ⁡
        x
        
        d
        x
        =
        ln
        ⁡
        ch
        ⁡
        x
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int \operatorname {th} x\,dx=\ln \operatorname {ch} x+C}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            1
            
              
                ch
                
                  2
                
              
              ⁡
              x
            
          
        
        
        d
        x
        =
        th
        ⁡
        x
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\,dx=\operatorname {th} x+C}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            1
            
              
                sh
                
                  2
                
              
              ⁡
              x
            
          
        
        
        d
        x
        =
        −
        cth
        ⁡
        x
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}\,dx=-\operatorname {cth} x+C}
  


=== Անհավասարություններ ===
Բոլոր 
  
    
      
        x
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle x\in \mathbb {R} }
   համար տեղի ունի՝ 

  
    
      
        0
        ≤
        ch
        ⁡
        x
        −
        1
        ≤
        
          |
        
        sh
        ⁡
        x
        
          |
        
        <
        ch
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle 0\leq \operatorname {ch} x-1\leq |\operatorname {sh} x|<\operatorname {ch} x}
  

  
    
      
        
          |
        
        th
        ⁡
        x
        
          |
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle |\operatorname {th} x|<1}
  


=== Աստիճանային շարքերի ձևափոխություն ===

  
    
      
        sh
        
        x
        =
        x
        +
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              3
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                5
              
            
            
              5
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                7
              
            
            
              7
              !
            
          
        
        +
        …
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                2
                n
                +
                1
              
            
            
              (
              2
              n
              +
              1
              )
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sh} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
  

  
    
      
        ch
        
        x
        =
        1
        +
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              2
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                4
              
            
            
              4
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                6
              
            
            
              6
              !
            
          
        
        +
        …
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                2
                n
              
            
            
              (
              2
              n
              )
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} \,x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
  

  
    
      
        th
        
        x
        =
        x
        −
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            3
          
        
        +
        
          
            
              2
              
                x
                
                  5
                
              
            
            15
          
        
        −
        
          
            
              17
              
                x
                
                  7
                
              
            
            315
          
        
        +
        …
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                2
                
                  2
                  n
                
              
              (
              
                2
                
                  2
                  n
                
              
              −
              1
              )
              
                B
                
                  2
                  n
                
              
              
                x
                
                  2
                  n
                  −
                  1
                
              
            
            
              (
              2
              n
              )
              !
            
          
        
        ,
        
        
          |
        
        x
        
          |
        
        <
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {th} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}}
  

  
    
      
        cth
        
        x
        =
        
          
            1
            x
          
        
        +
        
          
            x
            3
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            45
          
        
        +
        
          
            
              2
              
                x
                
                  5
                
              
            
            945
          
        
        +
        …
        =
        
          
            1
            x
          
        
        +
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                2
                
                  2
                  n
                
              
              
                B
                
                  2
                  n
                
              
              
                x
                
                  2
                  n
                  −
                  1
                
              
            
            
              (
              2
              n
              )
              !
            
          
        
        ,
        
        0
        <
        
          |
        
        x
        
          |
        
        <
        π
      
    
    {\displaystyle \operatorname {cth} \,x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\ldots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi }
   (Լորանի շարք)Այստեղ 
  
    
      
        
          B
          
            2
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{2n}}
   - Բեռնուլիի թիվն է։


=== Գրաֆիկներ ===


== Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիաներ ==
Կարդում են ареа_ (-սինուս և այլն) - լատ.՝ «area» - «մակերես»։ 

  
    
      
        Arsh
        ⁡
        x
        =
        ln
        ⁡
        (
        x
        +
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Arsh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}
   - հակադարձ հիպերբոլական սինուս, հիպերբոլական արկսինուս, արկսինուս.
  
    
      
        sh
        ⁡
        (
        Arsh
        ⁡
        x
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sh} (\operatorname {Arsh} x)=x}
  :

  
    
      
        Arch
        ⁡
        x
        =
        ln
        ⁡
        
          (
          
            x
            +
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                −
                1
              
            
          
          )
        
        ;
        x
        ≥
        1
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Arch} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1}
   - հակադարձ հիպերբոլական կոսինուս, հիպերբոլական արկկոսինուս, արկկոսինուս;

  
    
      
        Arth
        ⁡
        x
        =
        ln
        ⁡
        
          (
          
            
              
                1
                −
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
              
                1
                −
                x
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ln
        ⁡
        
          (
          
            
              
                1
                +
                x
              
              
                1
                −
                x
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Arth} x=\ln \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}
   - հակադարձ հիպերբոլական տանգենս, հիպերբոլական արկտանգենս, արկտանգենս;

  
    
      
        Arcth
        ⁡
        x
        =
        ln
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                −
                1
              
              
                x
                −
                1
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ln
        ⁡
        
          (
          
            
              
                x
                +
                1
              
              
                x
                −
                1
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Arcth} x=\ln \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)}
   - հակադարձ հիպերբոլական կոտանգենս, հիպերբոլական արկկոտանգենս, արկկոտանգենս;

  
    
      
        Arsch
        ⁡
        x
        =
        ±
        ln
        ⁡
        
          (
          
            
              
                1
                +
                
                  
                    1
                    −
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              x
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Arsch} x=\pm \ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)}
   - հակադարձ հիպերբոլական սեկանս, հիպերբոլական արկսեկանս, արկսեկանս;

  
    
      
        Arcsch
        ⁡
        x
        =
        
          {
          
            
              
                
                  ln
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      
                        
                          1
                          −
                          
                            
                              1
                              +
                              
                                x
                                
                                  2
                                
                              
                            
                          
                        
                        x
                      
                    
                    )
                  
                  ,
                  
                  x
                  <
                  0
                
              
              
                
                  ln
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      
                        
                          1
                          +
                          
                            
                              1
                              +
                              
                                x
                                
                                  2
                                
                              
                            
                          
                        
                        x
                      
                    
                    )
                  
                  ,
                  
                  x
                  >
                  0
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Arcsch} x=\left\{{\begin{array}{l}\ln \left({\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right),\quad x<0\\\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right),\quad x>0\end{array}}\right.}
   - հակադարձ հիպերբոլական կոսեկանս, հիպերբոլական արկկոսեկանս, արկկոսեկանս։


=== Գրաֆիկներ ===

Որոշ հակադարձ հիպերբոլական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև՝

  
    
      
        Arsh
        ⁡
        x
        =
        −
        i
        arcsin
        ⁡
        (
        −
        i
        x
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Arsh} x=-i\arcsin(-ix),}
  

  
    
      
        Arsh
        ⁡
        (
        i
        x
        )
        =
        i
        arcsin
        ⁡
        x
        ,
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Arsh} (ix)=i\arcsin x,}
  

  
    
      
        arcsin
        ⁡
        x
        =
        −
        i
        Arsh
        ⁡
        (
        i
        x
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \arcsin x=-i\operatorname {Arsh} (ix),}
  

  
    
      
        arcsin
        ⁡
        (
        i
        x
        )
        =
        −
        i
        Arsh
        ⁡
        (
        −
        x
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \arcsin(ix)=-i\operatorname {Arsh} (-x),}
  որտեղ i -ն կեղծ միավորն է։
Այս ֆունկցիաները ունեն շարքերով ներկայացման այսպիսի տեսքեր՝

  
    
      
        Arsh
        ⁡
        x
        =
        x
        −
        
          (
          
            
              1
              2
            
          
          )
        
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            3
          
        
        +
        
          (
          
            
              
                1
                ⋅
                3
              
              
                2
                ⋅
                4
              
            
          
          )
        
        
          
            
              x
              
                5
              
            
            5
          
        
        −
        
          (
          
            
              
                1
                ⋅
                3
                ⋅
                5
              
              
                2
                ⋅
                4
                ⋅
                6
              
            
          
          )
        
        
          
            
              x
              
                7
              
            
            7
          
        
        +
        …
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              
                (
                −
                1
                
                  )
                  
                    n
                  
                
                (
                2
                n
                )
                !
              
              
                
                  2
                  
                    2
                    n
                  
                
                (
                n
                !
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          
            
              x
              
                2
                n
                +
                1
              
            
            
              2
              n
              +
              1
            
          
        
        ,
        
        x
        <
        1
        ;
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Arsh} x=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad x<1;}
  
  
    
      
        Arch
        ⁡
        x
        =
        ln
        ⁡
        (
        2
        x
        )
        −
        
          (
          
            
              (
              
                
                  1
                  2
                
              
              )
            
            
              
                
                  x
                  
                    −
                    2
                  
                
                2
              
            
            +
            
              (
              
                
                  
                    1
                    ⋅
                    3
                  
                  
                    2
                    ⋅
                    4
                  
                
              
              )
            
            
              
                
                  x
                  
                    −
                    4
                  
                
                4
              
            
            +
            
              (
              
                
                  
                    1
                    ⋅
                    3
                    ⋅
                    5
                  
                  
                    2
                    ⋅
                    4
                    ⋅
                    6
                  
                
              
              )
            
            
              
                
                  x
                  
                    −
                    6
                  
                
                6
              
            
            +
            …
          
          )
        
        =
        ln
        ⁡
        (
        2
        x
        )
        −
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              
                (
                −
                1
                
                  )
                  
                    n
                  
                
                (
                2
                n
                )
                !
              
              
                
                  2
                  
                    2
                    n
                  
                
                (
                n
                !
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          
            
              x
              
                −
                2
                n
              
            
            
              2
              n
            
          
        
        ,
        
        x
        >
        1
        ;
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Arch} x=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\ldots \right)=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\quad x>1;}
  
  
    
      
        Arth
        ⁡
        x
        =
        x
        +
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            3
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                5
              
            
            5
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                7
              
            
            7
          
        
        +
        …
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                2
                n
                +
                1
              
            
            
              2
              n
              +
              1
            
          
        
        ,
        
        
          |
        
        x
        
          |
        
        <
        1
        :
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad |x|<1:}
  Արտասահմանյան գրականության մեջ հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիաները հաճախ ներկայացնում են բացասական առաջին աստիճանի տեսքով, օրինակ, 
  
    
      
        Arth
        
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Arth} \,x}
   գրում են 
  
    
      
        
          tanh
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {tanh} ^{-1}x}
   տեսքով (ընդ որում 
  
    
      
        (
        tanh
        
        x
        
          )
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {tanh} \,x)^{-1}}
   նշանակում է այլ ֆունկցիա՝ 
  
    
      
        cth
        
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {cth} \,x}
  ), և այլն։


== Պատմություն ==
Հիպերբոլիկ ֆունկցիաների մասին առաջին տեղեկությունները հայտնվել են անգլիացի մաթեմատիկոս Աբրահամ դե Մուավրի (1707, 1722) աշխատություններում։ Ժամանակակից սահմանումը և նրանց մանրակրկիտ ուսումնասիրությունը կատարել է Վինչենցո Ռիկկատին 1757 թվականին («Opusculorum», հատոր 1-ին), նա էլ առաջարկեց այն նշանակել 
  
    
      
        sh
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sh} }
  , 
  
    
      
        ch
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} }
  -ով։ Ռիկկատին հաշվի էր առել միավոր հիպերբոլի դիտարկումը (տես #Սահմանում բաժնի նկարը)։
Հիպերբոլիկ ֆունկցիաների անկախ հայտնագործումը և հատկությունների հետագա ուսումնասիրությունը կատարվել է Իհոան Լամբերտի կողմից 1768 թվականին, ով հաստատեց բանաձևերի լայն պարալլելիզմ սովորական և հիպերբոլական եռանկյունաչափություններում։ Հետագայում Նիկոլայ Լոբաչևսկին օգտագործեց այդ պարալլելիզմը, փորձելով ապացուցել ոչէվկլիդյան երկրաչափության ոչհակասականությունը, որում սովորական եռանկյունաչափությունը փոխարինվում է հիպերբոլականով։
Հիպերբոլական ֆունկցիաների նշանակումներում ստեղծվել է տարատեսակություն։ Օրինակ, Բրոկգաուզի և Էֆրոնայի հանրագիտարանում օգտագործվում է 
  
    
      
        sinhyp
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sinhyp} }
  , 
  
    
      
        coshyp
      
    
    {\displaystyle \operatorname {coshyp} }
   նշանակումը, իսկ ռուսալեզու գրականությունում ամրագրվել է 
  
    
      
        sh
        ,
        ch
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sh} ,\operatorname {ch} }
   նշանակումը, անգլալեզու գրականությունում՝ 
  
    
      
        sinh
        ,
        cosh
      
    
    {\displaystyle \sinh ,\cosh }
  ։


== Կիրառություններ ==
Հիպերբոլական ֆունկցիաները հաճախ հանդիպում են տարբեր ինտեգրալների հաշվման ժամանակ։ Ռացիոնալ ֆունկցիաների որոշ ինտեգրալներ և ռադիկալներ պարունակող ֆունկցիաներ բավականին հեշտ կարելի է հաշվել փոփոխականների փոխարինման օգնությամբ հիպերբոլական ֆունկցիաների միջոցով։
Նմանապես, 
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  cos
                  ⁡
                  x
                
                
                  sin
                  ⁡
                  x
                
              
              
                
                  −
                  sin
                  ⁡
                  x
                
                
                  cos
                  ⁡
                  x
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix}}}
   տեսքի մատրիցաները նկարագրում են էվկլիդյան տարածության երկչափ պտույտները, 
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  
                    
                      c
                      h
                    
                  
                  
                  x
                
                
                  
                    
                      s
                      h
                    
                  
                  
                  x
                
              
              
                
                  
                    
                      s
                      h
                    
                  
                  
                  x
                
                
                  
                    
                      c
                      h
                    
                  
                  
                  x
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathop {\mathrm {ch} } \,x&\mathop {\mathrm {sh} } \,x\\\mathop {\mathrm {sh} } \,x&\mathop {\mathrm {ch} } \,x\end{pmatrix}}}
   մատրիցաները նկարագրում են Մինկովսկու տարածության երկչափ պարզ պտույտները։ Այդ իսկ պատճառով հիպերբոլական ֆունկցիաները հաճախ հանդիպում են հարաբերականության տեսությունում։
Միատար կապը կամ շղթան ազատ կասեցվում են իրենց ծայրերին, ընդունում է 
  
    
      
        y
        =
        a
        
        
          
            c
            h
          
        
        
        
          
            x
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle y=a\,\mathop {\mathrm {ch} } \,{\frac {x}{a}}}
   ֆունկցիայի գրաֆիկի տեսքը (որի պատճառով հիպերբոլական կոսինուսի գրաֆիկը որոշ դեպքերում անվանում են շղթայական գիծ)։ Այս առանձնահատկությունը օգտագործում են կամարների նախագծման ժամանակ, քանի որ կամարը շրջված շղթայական գծի տեսքով առավել հաջող ձևով է բաշխում ծանրությունը։


== Գրականություն ==
Բուգրով Յ.Ս., Նիկոլսկի Ս.Մ.։ Բարձրագույն մաթեմատիկա։ Դիֆֆերենցիալ հավասարումներ։ Կրկնակի ինտեգրալներ։ Շարքեր։ Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաներ։ - Մոսկվա։ Գիտություն։ 1985 - էջ 464։


== Արտաքին հղումներ ==
GonioLab: Եռանկյունաչափական և հիպերբոլական ֆունկցիաների ինտերակտիվ ներկայացում Java Web Start -ով Archived 2007-10-06 at the Wayback Machine.
Մաթեմատիկական նշաններ
Հակադարձ եռանկյունաչափական և հիպերբոլական ֆունկցիաներ (անգլերեն)