Դաշտի տեսություն

Դաշտի տեսություն մաթեմատիկայում, վեկտորական և սկալյար դաշտերի հատկություններն ուսումնասիրող մաթեմատիկական տեսություն։


== Նկարագրություն ==


=== Սկալյար և վեկտորական դաշտեր ===
Մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի մի շարք խնդիրների ուսումնասիրությունը հանգեցվում է տարածության (կամ հարթության) տիրույթների ուսումնասիրման, որոնց յուրաքանչյուր Р կետին համապատասխանության մեջ է դրվում 
  
    
      
        u
        (
        P
        )
      
    
    {\displaystyle u(P)}
   թիվ (ջերմաստիճան, ճնշում, խտություն և ալն) կամ 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        (
        P
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}(P)}
   վեկտոր (արագություն, ուժ և այլն)։ Այդպիսի տիրույթները, իրենց մեջ որոշված 
  
    
      
        u
        (
        P
        )
      
    
    {\displaystyle u(P)}
   կամ 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        (
        P
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}(P)}
   ֆունկցիաներով, համապատասխանաբար կոչվում են սկալյար կամ վեկտորական դաշտեր։ Սկալյար դաշտի տրումը համարժեք է։
  
    
      
        u
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle u(x,y,z)}
  
թվային ֆունկցիայի, իսկ վեկտորական դաշտինը՝ առանցքների վրա

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        (
        P
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}(P)}
  -ի  
  
    
      
        
          a
          
            x
          
        
        ,
        
          a
          
            y
          
        
        ,
        
          a
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{x},a_{y},a_{z}}
  պրոյեկցիաների տրմանը։


=== Հաստատուն և փոփոխական դաշտեր ===
Եթե 
  
    
      
        u
        (
        P
        )
      
    
    {\displaystyle u(P)}
  , 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        (
        P
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}(P)}
   ֆունկցիաները ժամանակից կախված չեն, ապա դաշտը կոչվում է ստացիոնար (հաստատուն), հակառակ դեպքում՝ ոչ ստացիոնար (փոփոխական)։


=== Ոլորտային և գլանային դաշտեր ===
Սկալյար դաշտերը պատկերվում են 
  
    
      
        u
        (
        P
        )
        =
        c
        o
        n
        s
        t
      
    
    {\displaystyle u(P)=const}
   հավասարումով որոշվող մակարդակի մակերևույթների կամ մակարդակի գծերի օգնությամբ։ Եթե գոյություն ունի այնպիսի O կետ (Н առանցք), որ 
  
    
      
        u
        (
        P
        )
      
    
    {\displaystyle u(P)}
  -ն կախված է միայն ОР (P-ից Н) հեռավորությունից, ապա դաշտը կոչվում է կենտրոնական կամ ոլորտային (առանցքային կամ գլանային)։ Ոլորտային և գլանային դաշտերի մակարդակի մակերևույթները համապատասխանաբար ոլորտներ և գլաններ են։


=== Դաշտի գրադիենտ ===
Եթե 
  
    
      
        u
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle u(x,y,z)}
  -ը դիֆերենցելի Է, ապա սկալյար դաշտի յուրաքանչյուր կետի համապատասխանում է u-ի ամենաարագ աճի ուղղությունը ցույց տվող վեկտոր (գրադիենտ, անգլ.՝ gradu), որի երկարությունը հավասար է այդ ուղղությամբ u-ի աճման արագությանը։


=== Վեկտորական մակերևույթներ ===
Վեկտորական դաշտերի նկարագրման համար կիրառվում են գծեր, որոնք իրենց յուրաքանչյուր 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
   կետում ունեն 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        (
        P
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}(P)}
   վեկտորի ուղղությունը, այսինքն բավարարում են դիֆերենցիալ

  
    
      
        
          
            
              d
              x
            
            
              a
              
                x
              
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              y
            
            
              a
              
                y
              
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              z
            
            
              a
              
                z
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dx}{a_{x}}}={\frac {dy}{a_{y}}}={\frac {dz}{a_{z}}}}
  հավասարումների համակարգին։ Այդ գծերով կազմված մակերևույթը կոչվում է վեկտորական մակերևույթ և բնութագրվում է նրանով, որ յուրաքանչյուր 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        (
        P
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}(P)}
   վեկտոր ընկած է 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
   կետում մակերևույթի շոշափող հարթության վրա։ Փակ կորը հատող վեկտորական գծերով կազմված մակերևույթը կոչվում է վեկտորական խողովակ։ Դաշտը, կախված տարածության մեջ վեկտորների ունեցած դիրքից, կոչվում է հարթ (վեկտորներն ընկած են մի հարթության մեջ), հարթ-զուգահեռ (հարթության միևնույն կետին պրոյեկտվող բոլոր կետերում դաշտի վեկտորներն իրար հավասար են և զուգահեռ այդ հարթությանը), կենտրոնական (վեկտորներն ընկած են միևնույն կետով անցնող ուղիղների վրա) և այլն։


=== Վեկտորական դաշտի հոսք ===
Վեկտորական դաշտի հոսք Տ մակերևույթով կոչվում է 

  
    
      
        
          ∬
          
            S
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        d
        s
        =
        
          ∬
          
            S
          
        
        
          a
          
            x
          
        
        d
        y
        d
        z
        +
        
          a
          
            y
          
        
        d
        s
        d
        x
        +
        
          a
          
            z
          
        
        d
        x
        d
        y
      
    
    {\displaystyle \iint \limits _{S}a_{n}ds=\iint \limits _{S}a_{x}dydz+a_{y}dsdx+a_{z}dxdy}
  ինտեգրալը, որտեղ 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
  -y 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        (
        P
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}(P)}
   վեկտորի պրոյեկցիան է մակերևույթի՝ իր ուղղությունն անընդհատորեն փոփոխող նորմալի ուղղության վրա։


=== Վեկտորական դաշտի ցիրկուլյացիա ===
Վեկտորական դաշտի շրջանառություն (ցիրկուլյացիա) 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
   փակ կորով կոչվում է 

  
    
      
        
          ∮
          
            L
          
        
        
          a
          
            r
          
        
        d
        s
        =
        
          ∮
          
            L
          
        
        
          a
          
            x
          
        
        d
        x
        +
        
          a
          
            y
          
        
        d
        y
        +
        
          a
          
            z
          
        
        d
        z
      
    
    {\displaystyle \oint _{L}a_{r}ds=\oint _{L}a_{x}dx+a_{y}dy+a_{z}dz}
  ինտեգրալը, որտեղ 
  
    
      
        
          a
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{r}}
  -ը 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        (
        P
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}(P)}
  -ի պրոյեկցիան է L կորի շոշափողի ուղղության վրա։


=== Վեկտորական դաշտի դիվերգենցիա և ռոտոր ===
Վեկտորական դաշտի փոփոխությունը որևէ կետի շրջակայքում առաջին մոտավորությամբ բնութագրվում է երկու մեծությունով՝ սկալյար, որը կոչվում է դաշտի տարամիտություն (դիվերգենցիա, 
  
    
      
        d
        i
        v
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle div{\vec {a}}}
  ) և վեկտորական, որը կոչվում է դաշտի մրրիկ (ռոտոր, 
  
    
      
        r
        o
        t
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle rot{\vec {a}}}
  )։


=== Պոտենցիալ (ոչ մրրկային) և սոլենոիդալ վեկտորական դաշտեր ===
Վեկտորական դաշտը կոչվում է պոտենցիալ՝ ոչ մրրկային (բնութագրվում է 
  
    
      
        r
        o
        t
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle rot{\vec {a}}=0}
   պայմանով), եթե 

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        (
        P
        )
        =
        g
        r
        a
        d
        u
        (
        P
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}(P)=gradu(P)}
  ։Վեկտորական դաշտը կոչվում է սոլենոիդալ (բնութագրվում է 
  
    
      
        d
        i
        v
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle div{\vec {a}}=0}
   պայմանով), եթե 

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        (
        P
        )
        =
        r
        o
        t
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        (
        P
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}(P)=rot{\vec {b}}(P)}
  ։Այս դեպքում 
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        (
        P
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}(P)}
  -ն կոչվում է 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        (
        P
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}(P)}
   դաշտի վեկտոր պոտենցիալ։


== Վեկտորական դաշտի գաղափարն այլ տարածություններում ==
Սկալյար և վեկտորական դաշտերի գաղափարները դիտարկվում են նաև ո-չափանի էվկլիդեսյան տարածության մեջ։


== Գրականություն ==
Кочин Н․ Е․, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 7 изд․, М․, 1951
Дубнов Я․ С․, Основы векторного исчисления, ч․1, 4 изд․, М․—Л․, 1950, ч․ 2, М․, 1952