Կոսինուսների թեորեմ

Կոսինուսների թեորեմը կապ է հաստատում եռանկյան կողմերի երկարությունների և երկու կողմերի միջև ընկած անկյան կոսինուսի միջև։
Թեորմի ձևակերպումը.

Եռանկյան ցանկացած կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին՝ հանած այդ կողմերի և նրանցով կազմված անկյան կոսինուսի կրկնապատիկ արտադրյալը՝
  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        −
        2
        a
        b
        cos
        ⁡
        γ
         
      
    
    {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \ }
  ։Այն հանդիսանում է Պյութագորասի թեորեմի ընդհանրացված տարբերակը։ Երբ γ անկյունը ուղիղ է (90° կամ π/2 ռադիան), կոսինուսների թեորեմը վերածվում է Պյութագորասի թեորեմին.

  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,}
  Եռանկյան տարբեր կողմերի միջև ընկած անկյունները ընտրելիս՝ այն կստանա հետևյալ տեսքը.

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        =
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
        −
        2
        b
        c
        cos
        ⁡
        α
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \,}
  

  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
        −
        2
        a
        c
        cos
        ⁡
        β
        
      
    
    {\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \,}
  ։


== Ապացույց եռանկյունաչափական մեթոդով ==

c կողմին ուղղահայաց տարեք (Նկար 1). այդ դեպքում

  
    
      
        c
        =
        a
        cos
        ⁡
        β
        +
        b
        cos
        ⁡
        α
        
        .
      
    
    {\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha \,.}
  Երկու կողմերը բազմապատկելով c-ով՝, կստանաք

  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        =
        a
        c
        cos
        ⁡
        β
        +
        b
        c
        cos
        ⁡
        α
        .
        
      
    
    {\displaystyle c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha .\,}
  Մյուս ուղղահայացները տանելով՝ կստանաք

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        =
        a
        c
        cos
        ⁡
        β
        +
        a
        b
        cos
        ⁡
        γ
        ,
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}=ac\cos \beta +ab\cos \gamma ,\,}
  
  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
        =
        b
        c
        cos
        ⁡
        α
        +
        a
        b
        cos
        ⁡
        γ
        .
        
      
    
    {\displaystyle b^{2}=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma .\,}
  Վերջին երկու հավասարությունները գումարելով՝ կստանաք

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        a
        c
        cos
        ⁡
        β
        +
        b
        c
        cos
        ⁡
        α
        +
        2
        a
        b
        cos
        ⁡
        γ
        .
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma .\,}
  Առաջին հավասարումը երկրորդ հավասարումից հանելով՝ կստանանք

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        −
        
          c
          
            2
          
        
        =
        −
        a
        c
        cos
        ⁡
        β
        −
        b
        c
        cos
        ⁡
        α
        +
        a
        c
        cos
        ⁡
        β
        +
        b
        c
        cos
        ⁡
        α
        +
        2
        a
        b
        cos
        ⁡
        γ
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=-ac\cos \beta -bc\cos \alpha +ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma \,}
  ,որը կարելի է պարզեցնել հետևյալ տեսքի.

  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        −
        2
        a
        b
        cos
        ⁡
        γ
        .
        
      
    
    {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\,}
  Այս ապացուցման հարմարությունն այն է, որ կարիք չկա առանձին դիտարկել սուր և բութ γ անկյան դեպքերը։


== Ապացույց վեկտորների օգտագործմամբ ==
Թեորեմը կարելի է ապացուցել՝ օգտվելով վեկտորների գումարման կանոնից և վեկտորների սկալյար արտադրյալի բանաձևից

  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        =
        ‖
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ‖
        ‖
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        ‖
        cos
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta }
  ։
Նկար 2-ից երևում է, որ 

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        −
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}-{\vec {c}}\,,}
  ։Հաշվի առնելով դա՝

  
    
      
        
          
            
              
                ‖
                
                  
                    
                      a
                      →
                    
                  
                
                
                  ‖
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                ‖
                
                  
                    
                      b
                      →
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      c
                      →
                    
                  
                
                
                  ‖
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                (
                
                  
                    
                      b
                      →
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      c
                      →
                    
                  
                
                )
                ⋅
                (
                
                  
                    
                      b
                      →
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      c
                      →
                    
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                ‖
                
                  
                    
                      b
                      →
                    
                  
                
                
                  ‖
                  
                    2
                  
                
                +
                ‖
                
                  
                    
                      c
                      →
                    
                  
                
                
                  ‖
                  
                    2
                  
                
                −
                2
                
                  
                    
                      b
                      →
                    
                  
                
                ⋅
                
                  
                    
                      c
                      →
                    
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {b}}-{\vec {c}}\Vert ^{2}\\&=({\vec {b}}-{\vec {c}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {c}})\\&=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}.\end{aligned}}}
  ։Այսպիսով, ստացանք

  
    
      
        ‖
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        
          ‖
          
            2
          
        
        =
        ‖
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        
          ‖
          
            2
          
        
        +
        ‖
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        
          ‖
          
            2
          
        
        −
        2
        ‖
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ‖
        ‖
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        ‖
        cos
        ⁡
        (
        θ
        )
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos(\theta ),\,}
  որը համարժեք է կոսինուսների թեորեմի հավասարմանը։