Հերոնի բանաձև

Հերոնի բանաձևը թույլ է տալիս որոշել եռանկյան մակերեսը (S) երեք կողմերի (a, b, c) միջոցով։

  
    
      
        S
        =
        
          
            p
            (
            p
            −
            a
            )
            (
            p
            −
            b
            )
            (
            p
            −
            c
            )
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}
  
որտեղ p-ն եռանկյան կիսապարագիծն է՝ 
  
    
      
        p
        =
        
          
            
              a
              +
              b
              +
              c
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}
  .


== Ապացույց. ==

  
    
      
        S
        =
        
          
            1
            2
          
        
        a
        b
        ⋅
        sin
        ⁡
        
          γ
        
      
    
    {\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }}
  ,որտեղ 
  
    
      
         
        γ
      
    
    {\displaystyle \ \gamma }
  ՝ եռանկյան a և b կողմերով կազմված անկյունն է։
Կոսինուսների թեորեմի համաձայն՝

  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        −
        2
        a
        b
        ⋅
        cos
        ⁡
        γ
        ,
      
    
    {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,}
  Այստեղից՝

  
    
      
        cos
        ⁡
        γ
        =
        
          
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              2
              a
              b
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},}
  Ուրեմն

  
    
      
         
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        γ
        =
        1
        −
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        γ
        =
        (
        1
        −
        cos
        ⁡
        γ
        )
        (
        1
        +
        cos
        ⁡
        γ
        )
        =
      
    
    {\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}
  
  
    
      
        =
        
          
            
              2
              a
              b
              −
              
                a
                
                  2
                
              
              −
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              2
              a
              b
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              2
              a
              b
              +
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              2
              a
              b
            
          
        
        =
      
    
    {\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=}
  
  
    
      
        =
        
          
            
              
                c
                
                  2
                
              
              −
              (
              a
              −
              b
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              2
              a
              b
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              (
              a
              +
              b
              
                )
                
                  2
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              2
              a
              b
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              4
              
                a
                
                  2
                
              
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        (
        c
        −
        a
        +
        b
        )
        (
        c
        +
        a
        −
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        −
        c
        )
        (
        a
        +
        b
        +
        c
        )
      
    
    {\displaystyle ={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}
  .Նկատելով, որ 
  
    
      
        a
        +
        b
        +
        c
        =
        2
        p
      
    
    {\displaystyle a+b+c=2p}
  , 
  
    
      
        a
        +
        b
        −
        c
        =
        2
        p
        −
        2
        c
      
    
    {\displaystyle a+b-c=2p-2c}
  , 
  
    
      
        a
        +
        c
        −
        b
        =
        2
        p
        −
        2
        b
      
    
    {\displaystyle a+c-b=2p-2b}
  , 
  
    
      
        c
        −
        a
        +
        b
        =
        2
        p
        −
        2
        a
      
    
    {\displaystyle c-a+b=2p-2a}
  , ստանում ենք՝

  
    
      
        sin
        ⁡
        γ
        =
        
          
            2
            
              a
              b
            
          
        
        
          
            p
            (
            p
            −
            a
            )
            (
            p
            −
            b
            )
            (
            p
            −
            c
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}
  Այսպիսով

  
    
      
        S
        =
        
          
            1
            2
          
        
        a
        b
        sin
        ⁡
        γ
        =
        
          
            p
            (
            p
            −
            a
            )
            (
            p
            −
            b
            )
            (
            p
            −
            c
            )
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}
  


== Տես նաև ==
Եռանկյուն
Մակերես
Պարագիծ
Կոսինուսների թեորեմ
Հերոն Ալեքսանդրիացի


== Հղումներ ==
Եռանկյան մակերեսը Archived 2016-03-05 at the Wayback Machine.