Կլայնի շիշ

Կլայնի շիշ, փակ միակողմանի մակերևույթ։ Առաջինը նկարագրել է գերմանացի մաթեմատիկոս Ֆելիքս Կլայնը 1882 թվականին։ Այն փողկապակցված է Մյոբիուսի ժապավենի հետ։ Հավանաբար արտահայտությունը գերմաներենից սխալ թարգմանության արդյունք է, ի սկզբանե անվանվելով «Կլայնի մակերևույթ» գերմ.՝ Kleinsche Fläche, այն թարգմանվել է որպես «Կլայնի շիշ» (գերմ.՝ Kleinsche Flasche)։
Կլայնի շիշը կարող է ստացվել երկու ծայրն էլ բաց խողովակից, եթե ճկելով այն, նեղ ծայրը անցկացվի իր պատի միջով և միմյանց «սոսնձվեն» (նույնացվեն) երկու շուրթերը՝ արտաքին, լայն շուրթը ծռելով ներս, իսկ ներքին, նեղ շուրթը՝ դուրս։ Այսպիսով, ստացվում է ինքնահատվող մակերևույթ։ Առանց ինքնահատման Կլայնի շիշը կարելի է կառուցել միայն քառաչափ տարածության մեջ։
Կլայնի շիշը պաշտոնապես կարելի է ստանալ սոսնձացման միջոցով 
  
    
      
        [
        0
        ,
        1
        ]
        ×
        [
        0
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [0,1]\times [0,1]}
  , բացահայտման միավոր 
  
    
      
        (
        0
        ,
        y
        )
        ∼
        (
        1
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (0,y)\sim (1,y)}
   երբ 
  
    
      
        0
        ⩽
        y
        ⩽
        1
      
    
    {\displaystyle 0\leqslant y\leqslant 1}
   և 
  
    
      
        (
        x
        ,
        0
        )
        ∼
        (
        1
        −
        x
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (x,0)\sim (1-x,1)}
   при 
  
    
      
        0
        ⩽
        x
        ⩽
        1
      
    
    {\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1}
  , ինչպես ներկայացվում է դիագրամում


== Պարամետրացում ==
Կլայնի շիշը ութնյակի ձևում ունի բավականին պարզ պարամետրացում.

  
    
      
        x
        =
        
          (
          
            r
            +
            cos
            ⁡
            
              
                u
                2
              
            
            sin
            ⁡
            v
            −
            sin
            ⁡
            
              
                u
                2
              
            
            sin
            ⁡
            2
            v
          
          )
        
        cos
        ⁡
        u
      
    
    {\displaystyle x=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\cos u}
  

  
    
      
        y
        =
        
          (
          
            r
            +
            cos
            ⁡
            
              
                u
                2
              
            
            sin
            ⁡
            v
            −
            sin
            ⁡
            
              
                u
                2
              
            
            sin
            ⁡
            2
            v
          
          )
        
        sin
        ⁡
        u
      
    
    {\displaystyle y=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\sin u}
  

  
    
      
        z
        =
        sin
        ⁡
        
          
            u
            2
          
        
        sin
        ⁡
        v
        +
        cos
        ⁡
        
          
            u
            2
          
        
        sin
        ⁡
        2
        v
      
    
    {\displaystyle z=\sin {\frac {u}{2}}\sin v+\cos {\frac {u}{2}}\sin 2v}
  


== Պատկերասրահ ==

		
		
		
		
		
		


===== Կառուցում =====

		
		
		
		
		


== Արտաքին հղումներ ==
Магазин стеклянных бутылок Клейна
Игры Торус Свободно распространяемые игры для Windows и Mac OS X, иллюстрирующие топологию тора и бутылки Клейна
Анимационный фильм о Бутылке Клейна, созданный в 2010 г. при Свободном Университете г. Берлин (Freie Universität Berlin), включает изображение поездки по Бутылке и изначальное описание Феликса Клейна.