Ծավալ

Ծավալ, մարմնի կամ նյութի զբաղեցրած տարածության քանակական բնութագիրը, երկրաչափական մարմինը բնորոշող հիմնական հասկացություններից։


== Ծավալի հաշվումը ==
Ծավալի միավոր է համարվում միավոր կողով խորանարդի ծավալը։ Պարզագույն դեպքում մարմնի ծավալը հաշվվում է իր պարունակած միավոր խորանարդների քանակով։ Ավելի բարդ դեպքերում մարմնի ծավալը հաշվում են հետևյալ կերպ. A մարմինն ու իր շրջակայքը փոխուղղահայաց հարթություններով տրոհում են a երկարության կող ունեցող խորանարդների։ V (a)-ով նշանակենք բոլոր այն խորանարդների ծավալների գումարը, որոնք ամբողջությամբ ընդգրկված են A-ի մեջ, իսկ W (a)-ով՝ բոլոր այն խորանարդներինը, որոնք A-ի հետ ունեն գոնե մեկ ընդհանուր կետ։ a-ն փոքրացնելիս V (a)-ն աճում է, իսկ W (a)-ն՝ նվազում, ընդ որում՝ միշտ V(a)≤W(a)։ V (a)-ն և W (a)-ն ունեն նույն սահմանը (երբ a-ն ձգտում է 0-ի), որը և կոչվում է A մարմնի ծավալ։
Ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատների համակարգում A մարմնի ծավալը հաշվվում է

  
    
      
        V
        =
        
          ∭
          
            A
          
        
        d
        x
        d
        y
        d
        z
      
    
    {\displaystyle V=\iiint \limits _{A}dxdydz}
   և
  
    
      
        V
        =
        
          ∫
          
            
              Z
              
                1
              
            
          
          
            
              Z
              
                2
              
            
          
        
        S
        (
        z
        )
        d
        z
      
    
    {\displaystyle V=\int \limits _{Z_{1}}^{Z_{2}}S(z)dz}
   բանաձևերով, որտեղ առաջին ինտեգրալը տարածված է A մարմնով, իսկ երկրորդը՝ A-ի՝ Z առանցքի վրա ունեցած պրոյեկցիայով։Ընդհանուր աֆինական կոորդինատական համակարգում ծավալը հաշվվում է

  
    
      
        V
        =
        
          ∭
          
            A
          
        
        
          
            g
          
        
         
        d
        
          x
          
            1
          
        
        d
        
          x
          
            2
          
        
        d
        
          x
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle V=\iiint \limits _{A}{\sqrt {g}}\ dx_{1}dx_{2}dx_{3}}
   բանաձևով, որտեղ 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  -ն 
  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        
          g
          
            i
            j
          
        
        d
        
          x
          
            1
          
        
        d
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{1}dx^{j}}
   հիմնական քառակուսային ձևի դիսկրիմինանտն է։Ընդհանրացնելով այս բանաձևը՝ մուծվում է ո-չափանի ծավալի հասկացությունը.

  
    
      
        V
        =
        
          
            
              
                ∫
                ∫
                …
                ∫
              
              ⏟
            
          
          
            n
             
            
              հատ
            
          
        
        
          
            g
          
        
         
        d
        
          x
          
            1
          
        
        …
        d
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle V=\underbrace {\int \int \dots \int } _{n\ {\text{հատ}}}{\sqrt {g}}\ dx_{1}\dots dx_{n}}
  


== Չափի միավորները ==
Երկարության յուրաքանչյուր միավորից ստացվում է ծավալի համապատասխան միավոր, որն իրենից ներկայացնում է այդ միավորով կողով խորանարդ։ Օրինակ, խորանարդ սանտիմետրը (սմ3) կլինի այն խորանարդի ծավալը, որի կողերն ունեն 1 սմ երկարություն։
Չափերի միավորների SI միջազգային համակարգում ծավալի հիմնական միավորն է խորանարդ մետրը (մ3)։ Մետրական համակարգի մեջ է մտնում նաև լիտրը (Լ), որպես հեղուկների և սորուն նյութերի ծավալի միավոր։ Լիտրը 10 սանտիմետրանոց խորանարդի ծավալն է՝
1 լիտր=(10սմ)3=1000 խորանարդ սանտիմետր=0.001 խորանարդ մետր,հետևաբար՝
1 խորանարդ մետր=1000 լիտրՓոքր քանակի հեղուկների ծավալները հաճախ չափվում են միլիլիտրերով՝
1 միլիլիտր=0.001 լիտր=1 խորանարդ սանտիմետր։Կան նաև ծավալի այլ ավանդական չափի միավորներ՝ թեյի գդալ, ճաշի գդալ, փինթ, գալոն, բարել, բուշել և այլն։


== Երկրաչափական մարմինների ծավալների բանաձևեր ==


=== Միևնույն շառավղով և բարձրության կոնի, գնդի և գլանի ծավալների հարաբերակցությունը ===

Վերևում բերված բանաձևերը կարելի է օգտագործել ցույց տալու համար, որ միևնույն շառավիղ և բարձրություն ունեցող կոնի, գնդի և գլանի ծավալները հարաբերվում են ինչպես 1 ։ 2 ։ 3.
Եթե շառավիղը r է, բարձրությունը՝ h, ապա կոնի ծավալը կլինի՝

  
    
      
        
          
            
              1
              3
            
          
        
        π
        
          r
          
            2
          
        
        h
        =
        
          
            
              1
              3
            
          
        
        π
        
          r
          
            2
          
        
        (
        2
        r
        )
        =
        (
        
          
            
              2
              3
            
          
        
        π
        
          r
          
            3
          
        
        )
        ×
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi r^{2}h={\tfrac {1}{3}}\pi r^{2}(2r)=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 1,}
  գնդինը՝

  
    
      
        
          
            
              4
              3
            
          
        
        π
        
          r
          
            3
          
        
        =
        (
        
          
            
              2
              3
            
          
        
        π
        
          r
          
            3
          
        
        )
        ×
        2
        ,
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 2,}
  իսկ գլանինը՝

  
    
      
        π
        
          r
          
            2
          
        
        h
        =
        π
        
          r
          
            2
          
        
        (
        2
        r
        )
        =
        (
        
          
            
              2
              3
            
          
        
        π
        
          r
          
            3
          
        
        )
        ×
        3.
      
    
    {\displaystyle \pi r^{2}h=\pi r^{2}(2r)=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 3.}
  Գնդի և գլանի ծավալների 2 ։ 3 հարաբերությունը հայտնաբերել է Արքիմեդեսը։


=== Ինտեգրալ հաշվումը ===