Աֆինական ձևափոխություն

Աֆինական ձևափոխություն (լատ.՝  affinis – կից, հարևան), հարթության (տարածության) կետային փոխմիարժեք համապատասխանություն, երբ ուղղագիծ դասավորությամբ ցանկացած երեք կետերի համապատասխանում են ուղղագիծ դասավորված կետեր։ Աֆինական ձևափոխություն ուղիղը ձևափոխում է ուղղի, պահպանում ուղիղների գուգահեռությունը, ուղղի վրա գտնվող 
  
    
      
        A
        ,
        B
        ,
        C
      
    
    {\displaystyle A,B,C}
   կետերի 
  
    
      
        A
        B
        =
        B
        C
      
    
    {\displaystyle AB=BC}
   պարզ հարաբերությունը։ Բացի այդ, տարածության աֆինական ձևափոխություն հարթությունը ձևափոխում է հարթության՝ պահպանելով հարթությունների զուգահեռությունը։ Հարթության աֆինական ձևափոխություն անալիտիկորեն իրականացվում է 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        a
        +
        x
        +
        
          b
          
            1
          
        
        y
        +
        
          c
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        x
        +
        
          b
          
            2
          
        
        y
        +
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{1}=a+x+b_{1}y+c_{1},y^{1}=a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}
   բանաձևերով, որտեղ (
  
    
      
        x
        ,
        y
      
    
    {\displaystyle x,y}
  ) և (
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{1},y^{1}}
  )-ը համապատասխանաբար կետի և նրա աֆինական պատկերի կոորդինատներն են որևէ դեկարտյան կոորդինատական համակարգում, ընդ որում՝ 

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\neq 0}
  :Իրար հաջորդող ցանկացած երկու աֆինական ձևափոխությունների արդյունքը նորից աֆինական ձևափոխություն է, որը կոչվում է նրանց արտադրյալ։ Աֆինական ձևափոխությունների բազմությունը այդպիսի «բազմապատկման» գործողության նկատմամբ կազմում է խումբ։ Հարթ (տարածական) պատկերի այն հատկությունը, որը չի փոխվում (ինվարիանտ է մնում) հարթության (տարածության) ցանկացած աֆինական ձևափոխությունյան ժամանակ, կոչվում է նրա աֆինական հատկություն (աֆինական ինվարիանտ)։ Հարթ (տարածական) պատկերների աֆինական հատկություններն ուսումնասիրող երկրաչափությունը կոչվում է հարթության (տարածության) աֆինական երկրաչափություն։ էվկլիդեսյան երկրաչափության «ուղիղ», «ուղիղների զուգահեռություն», «եռանկյուն», «մակերեսների, ծավալների հարաբերություն» և այլ գաղափարներ մնում են ինվարիանտ աֆինական ձևափոխությունների նկատմամբ։ Մինչդեռ, օրինակ, հատվածի, անկյան, մակերեսի, ծավալի և այլ մեծություններ փոփոխվում են որոշ աֆինական ձևափոխությունների դեպքում, հետևաբար աֆինական ինվարիանտներ չեն։