Ռիկատիի հավասարում

Ռիկատիի հավասարում, 1-ին կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք ունեն հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        a
        (
        t
        )
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        (
        t
        )
        x
        +
        c
        (
        t
        )
        .
        
        (
        ∗
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=a(t)x^{2}+b(t)x+c(t).\quad (*)}
  Ռիկատիի հավասարումներ է կոչվում նաև 
  
    
      
        (
        ∗
        )
      
    
    {\displaystyle (*)}
  -ի բազմաչափ անալոգը, այսինքն 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
   անկախ փոփոխականներով սովորական դիֆֆերենցիալ հավասարումների համակարգը։ Այս դեպքում հավասարման աջ մասը 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   գործակցից կախված 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
   փոփոխականների երկրորդ կարգի բազմանդամ է։
Համասեռ, միաչափ Ռիկատիի հավասարումը կիրառում են մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերում՝ գծային հանրահաշվի մեջ, համիլտոնյան համակարգերում, վարիացիոն հաշիվներում, կոնֆորմ արտապատկերումներում, դաշտի քվանտային տեսությունում։


== Պատմություն ==
Հավասարման մասնավոր դեպք է հանդիսանում հետևյալը՝

  
    
      
        b
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        a
        
          t
          
            α
          
        
        ,
        
        (
        ∗
        ∗
        )
      
    
    {\displaystyle b{\frac {dx}{dt}}=x^{2}+at^{\alpha },\quad (**)}
  որտեղ 
  
    
      
        α
        ,
        
        a
        ,
        
        b
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle \alpha ,\,a,\,b\neq 0}
  -ն հաստատուններ են, որոնք հետազոտվել են իտալացի մաթեմատիկոս Յակոպո Ֆրանչեսկո Ռիկատիի և Բեռնուլի ընտանիքի (Դանիել, Յոհան, Նիկոլայ կրտսեր և Նիկոլայ ավագ) կողմից։
Նրանց կողմից է հայտնաբերվել նաև այն պայմանը, ըստ որի թույլատրվում է փոփոխականների անջատումը և, հետևաբար, 
  
    
      
        α
        =
        
          4
          n
        
        
          /
        
        
          (
          1
          −
          2
          n
          )
        
        ,
         
        n
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \alpha ={4n}/{(1-2n)},\ n\in \mathbb {N} }
   կամ 
  
    
      
        α
        =
        −
        2.
      
    
    {\displaystyle \alpha =-2.}
  քառակուսով ինտեգրումը թույլատրելի է։
Ընդհանուր լուծումը տրվում է գլանային կոորդինատներով։

  
    
      
        (
        ∗
        )
      
    
    {\displaystyle (*)}
   հավասարումը հաճախ անվանում են Ռիկատիի ընդհանուր հավասարում, իսկ 
  
    
      
        (
        ∗
        ∗
        )
      
    
    {\displaystyle (**)}
  -ն՝ Ռիկատիի հատուկ հավասարում։


== Հատկություններ ==
Ռիկատիի հավասարումը 
  
    
      
        a
        (
        t
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a(t)=0}
   դեպքում գծային է և քառակուսով ինտեգրելի է։
Ռիկատիի հավասարումը 
  
    
      
        c
        (
        t
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle c(t)=0}
   դեպքում վերածվում է Բեռնուլիի հավասարման և քառակուսով ինտեգրելի է, եթե կատարվում է 
  
    
      
        y
        =
        1
        
          /
        
        x
      
    
    {\displaystyle y=1/x}
   փոխարինումը։
Ռիկատիի հավասարման ընդհանուր լուծումը ինտեգրման հաստատունից կախված կոտորակագծային ֆունկցիա է։ Ճիշտ է նաև հակառակը՝ ցանկացած առաջին կարգի դիֆֆենցիալ հավասարում, որը բավարարում է այս պայմանին, համարվում է Ռիկատիի հավասարում։
Եթե 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            4
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x_{1}(t),\ldots ,x_{4}(t)}
  -երը Ռիկատիի հավասրաման մասնակի լուծումներն են, որոնք համապատասխանում են 
  
    
      
        
          c
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          c
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{4}}
   ինտեգրման հաստատուններին, ապա տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝
  
    
      
        
          
            
              
                x
                
                  3
                
              
              (
              t
              )
              ,
              
                x
                
                  1
                
              
              (
              t
              )
            
            
              
                x
                
                  3
                
              
              (
              t
              )
              ,
              
                x
                
                  2
                
              
              (
              t
              )
            
          
        
        :
        
          
            
              
                x
                
                  4
                
              
              (
              t
              )
              ,
              
                x
                
                  1
                
              
              (
              t
              )
            
            
              
                x
                
                  4
                
              
              (
              t
              )
              ,
              
                x
                
                  2
                
              
              (
              t
              )
            
          
        
        ≡
        
          
            
              
                c
                
                  3
                
              
              −
              
                c
                
                  1
                
              
            
            
              
                c
                
                  3
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        :
        
          
            
              
                c
                
                  4
                
              
              −
              
                c
                
                  1
                
              
            
            
              
                c
                
                  4
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
        
        (
        ∗
        ∗
        ∗
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {x_{3}(t),x_{1}(t)}{x_{3}(t),x_{2}(t)}}:{\frac {x_{4}(t),x_{1}(t)}{x_{4}(t),x_{2}(t)}}\equiv {\frac {c_{3}-c_{1}}{c_{3}-c_{2}}}:{\frac {c_{4}-c_{1}}{c_{4}-c_{2}}}.\quad (***)}
  
  
    
      
        (
        ∗
        ∗
        ∗
        )
      
    
    {\displaystyle (***)}
   հավասարության ձախ մասը մասնավոր լուծումների կրկնակի կապակցություն է։ Այն համարվում է Ռիկատիի հավասարման առաջին ինտեգրալը։ Այսպիսով, հավասրաման ընդհանուր լուծումը վերականգվում է 
  
    
      
        (
        ∗
        ∗
        ∗
        )
      
    
    {\displaystyle (***)}
   մասնակի լուծումների 3 անկախ մասերով։


== Ընդհանրացում ==
Ռիկատիի մատրիցային հավասարում է անվանվում հետևյալ դիֆֆերենցիալ հավասարումը՝

  
    
      
        
          
            
              d
              X
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        X
        A
        (
        t
        )
        X
        +
        
          B
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        X
        +
        X
        
          B
          
            2
          
        
        (
        t
        )
        +
        C
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=XA(t)X+B_{1}(t)X+XB_{2}(t)+C(t)}
  Այն կախված է 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -րդ կարգի 
  
    
      
        X
        =
        (
        
          x
          
            i
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle X=(x_{ij})}
  -ից, որտեղ 
  
    
      
        A
        ,
        
          B
          
            1
          
        
        ,
        
          B
          
            2
          
        
        ,
        C
      
    
    {\displaystyle A,B_{1},B_{2},C}
  -ն 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -րդ կարգի տրված քառակուսային մատրիցներ են, որոնք կախված են փոփոխական 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   գործակիցներից։
Վարիացիոն հաշիվներում կարևոր դեր է կատարում Ռիկատիի մատրիցային հավասարման հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          
            
              d
              W
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        (
        R
        (
        t
        )
        +
        W
        )
        ⋅
        
          P
          
            −
            1
          
        
        (
        t
        )
        ⋅
        (
        
          R
          
            ∗
          
        
        (
        t
        )
        +
        W
        )
        ,
        Q
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=(R(t)+W)\cdot P^{-1}(t)\cdot (R^{*}(t)+W),Q(t)}
  ,  այն իրենից ներկայացնում է 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -րդ կարգի 
  
    
      
        W
        =
        (
        
          w
          
            i
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle W=(w_{ij})}
   քառակուսային մատրիցից կախվածություն, որտեղ 
  
    
      
        P
        ,
        Q
        ,
        R
      
    
    {\displaystyle P,Q,R}
  -ն 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   փոփոխական գործակիցներից կախված 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -րդ կարգի քառակուսային մատրիցներ են։ Ընդ որում 
  
    
      
        det
        P
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle \det P\neq 0}
  :  Այն կապված է Յակոբի հավասարման հետ, որը տրվում է հետևյալ ինտեգրալային ֆունկցիոնալի 
  
    
      
        
          
            
              x
              ^
            
          
        
        (
        ⋅
        )
      
    
    {\displaystyle {\widehat {x}}(\cdot )}
   հաստատուն կետում երկրորդ վարիացիայի համար՝
  
    
      
        J
        =
        ∫
        f
        (
        t
        ,
        x
        ,
        
          
            
              x
              ˙
            
          
        
        )
        
        d
        t
        ,
        
        x
        =
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle J=\int f(t,x,{\dot {x}})\,dt,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}
  :
Այդ դեպքում մատրիցները ստացվում են հետևյալ կերպ՝
  
    
      
        P
        (
        t
        )
        =
        
          
            (
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ˙
                    
                  
                
                
                  i
                
              
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ˙
                    
                  
                
                
                  j
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        
          
            
              |
            
          
          
            
              
                
                  x
                  ^
                
              
            
            (
            t
            )
          
        
        ,
         
        
        Q
        (
        t
        )
        =
        
          
            (
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        
          
            
              |
            
          
          
            
              
                
                  x
                  ^
                
              
            
            (
            t
            )
          
        
        ,
         
        
        R
        (
        t
        )
        =
        
          
            (
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
              ∂
              
                
                  
                    
                      x
                      ˙
                    
                  
                
                
                  j
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        
          
            
              |
            
          
          
            
              
                
                  x
                  ^
                
              
            
            (
            t
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle P(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\dot {x}}_{i}\partial {\dot {x}}_{j}}}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat {x}}(t)},\ \,Q(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat {x}}(t)},\ \,R(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial {\dot {x}}_{j}}}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat {x}}(t)}}
  :


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
Егоров А. И. Уравнения Риккати, — Физматлит, Москва, 2001.
Лауфер М. Я. О решении уравнений Риккати // Лауфер М. Я. Избранные задачи математической физики. Сб. статей.— Северодвинск: НТО кораблестроителей им. акад. А. Н. Крылова, Севмашвтуз, Северодв. отд-ние Ломоносов. фонда, 2005.— стр. 137—140.— ISBN 5-7723-0605-9.


== Արտաքին հղումներ ==
Wolfram Math. World: Riccati Differential Equation
Eq. World: General Riccati equation