Ֆունկցիայի համադրույթ

Ֆունկցիայի համադրույթ (կամ ֆունկցիայի կոմպոզիցիա, կամ բարդ ֆունկցիա),  դա մեկ ֆունկցիայի կիրառումն է մյուսի արդյունքին:

  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
   և 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
    ֆունկցիաների կոմպոզիցիա են անվանում 
  
    
      
        G
        ∘
        F
      
    
    {\displaystyle G\circ F}
  , որը նշանակում է 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
   ֆունկցիայի օգտագործումը 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   ֆունկցիայի արդյունքին, այսինքն 
  
    
      
        (
        G
        ∘
        F
        )
        (
        x
        )
        =
        G
        (
        F
        (
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (G\circ F)(x)=G(F(x))}
  


== Սահմանում ==
Թող 
  
    
      
        F
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle F:X\to Y}
   և 
  
    
      
        G
        :
        F
        (
        X
        )
        →
        Z
      
    
    {\textstyle G:F(X)\to Z}
   — երկու ֆունկցիաներ են (
  
    
      
        F
        (
        X
        )
        ⊂
        Y
      
    
    {\displaystyle F(X)\subset Y}
  ). Այս դեպքում նրանց կոմպոզիցիան նշանակում է 
  
    
      
        G
        ∘
        F
        :
        X
        →
        Z
      
    
    {\displaystyle G\circ F:X\to Z}
   ֆունկցիան, որոշված հետևյալ հավասարումով.

  
    
      
        (
        G
        ∘
        F
        )
        (
        x
        )
        =
        G
        (
        F
        (
        x
        )
        )
        ,
        
        x
        ∈
        X
        .
      
    
    {\displaystyle (G\circ F)(x)=G(F(x)),\;x\in X.}
  


== Կապակցված սահմանումներ ==
«Բարդ ֆունկցիա» տերմինը կարող է օգտագործվել երկու ֆունկցիաների համադրույթների, այնուամենայնիվ, այն հաճախ օգտագործվում է այն դեպքում, երբ ֆունկցիայի մի քանի փոփոխականներին բաժին է ընկնում միանգամից մի քանի ֆունկցիաների մեկ կամ մի քանի սկզբնական փոփոխականներ: Օրինակ` բարդ կարելի է ասել հետևյալ տեսքի  
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
   ֆունկցիային

  
    
      
        G
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        F
        (
        u
        (
        x
        ,
        y
        )
        ,
        v
        (
        x
        ,
        y
        )
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),}
  որովհետև ինքը իրենից ներկայացնում է
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   ֆունկցիա, որը արդյունքում ստանում է 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   և 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
   ֆունկցիաների  արդյունքները:


== Կոմպոզիցիայի հատկությունները ==
Կոմպոզիցիա ասոցիատիվություն:

  
    
      
        (
        H
        ∘
        G
        )
        ∘
        F
        =
        H
        ∘
        (
        G
        ∘
        F
        )
        .
      
    
    {\displaystyle (H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).}
  
Եթե 
  
    
      
        F
        =
        
          
            i
            d
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle F=\mathrm {id} _{X}}
   — նույնական արտապատկերում է 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ի, այսինքն

  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        
          
            i
            d
          
          
            X
          
        
        (
        x
        )
        =
        x
        ,
        
        ∀
        x
        ∈
        X
        ,
      
    
    {\displaystyle F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\;\forall x\in X,}
  ապա

  
    
      
        G
        ∘
        
          
            i
            d
          
          
            X
          
        
        =
        G
        .
      
    
    {\displaystyle G\circ \mathrm {id} _{X}=G.}
  Եթե 
  
    
      
        G
        =
        
          
            i
            d
          
          
            Y
          
        
      
    
    {\displaystyle G=\mathrm {id} _{Y}}
   — նույնական արտապատկերում 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  -ի, այսինքն

  
    
      
        G
        (
        y
        )
        =
        
          
            i
            d
          
          
            Y
          
        
        (
        y
        )
        =
        y
        ,
        
        ∀
        y
        ∈
        Y
        ,
      
    
    {\displaystyle G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\;\forall y\in Y,}
  ապա

  
    
      
        
          
            i
            d
          
          
            Y
          
        
        ∘
        F
        =
        F
        .
      
    
    {\displaystyle \mathrm {id} _{Y}\circ F=F.}
  Դիտարկենք հարթության բոլոր բիեկցիա բազմության 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ը և նշանակենք 
  
    
      
        
          
            
              F
            
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}
  . Այսինքն, եթե 
  
    
      
        F
        ∈
        
          
            
              F
            
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle F\in {\mathcal {F}}_{X}}
  , ապա 
  
    
      
        F
        :
        X
        →
        X
      
    
    {\displaystyle F:X\to X}
   — բիեկցիա է: Այդ դեպքում ֆունկցիայի կոմպոզիցիան 
  
    
      
        
          
            
              F
            
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}
  -ից հանդիսանում է Բինար օպերացիա, իսկ 
  
    
      
        (
        
          
            
              F
            
          
          
            X
          
        
        ,
        ∘
        )
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{X},\circ )}
   — խումբ: 
  
    
      
        
          
            i
            d
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {id} _{X}}
   հանդիսանում է չեզօք տարր այդ խմբից: Հակադարձ  
  
    
      
        F
        ∈
        
          
            
              F
            
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle F\in {\mathcal {F}}_{X}}
   տարրին հանդիսանում է 
  
    
      
        
          F
          
            −
            1
          
        
        ∈
        
          
            
              F
            
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle F^{-1}\in {\mathcal {F}}_{X}}
   — Հակադարձ ֆունկցիան.

  
    
      
        (
        
          
            
              F
            
          
          
            X
          
        
        ,
        ∘
        )
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{X},\circ )}
   խումբը, ընդհանրապես կոմուտատիվ չէ, այսինքն 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
        ∘
        
          F
          
            2
          
        
        ≠
        
          F
          
            2
          
        
        ∘
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}\circ F_{2}\not =F_{2}\circ F_{1}}
  .


== Լրացուցիչ հատկություններ ==
Թող 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\to Y}
   ֆունկցիան ունի 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետում սահման 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            a
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        b
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b}
  , իսկ   
  
    
      
        g
        :
        f
        (
        X
        )
        ⊂
        Y
        →
        Z
      
    
    {\displaystyle g:f(X)\subset Y\to Z}
   ֆունկցիան  ունի 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   կետում սահման 
  
    
      
        
          lim
          
            y
            →
            b
          
        
        g
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{y\to b}g(y)}
  . Այդ դեպքում, եթե գոյություն ունի  
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետին չպատկանող միջակայք, որի հատումը 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   բազմանդամին արտապատկերում է 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\to Y}
   ֆունկցիային  
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   կետին չպատկանող միջակայքին, ապա 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետում գոյություն ունի սահման 
  
    
      
        g
        ∘
        f
        :
        X
        →
        Z
      
    
    {\displaystyle g\circ f:X\to Z}
   ֆունկցիայի կոմպոզիցիայի և տեղի ունի հետևյալ հավասարումը.  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            a
          
        
        g
        (
        f
        (
        x
        )
        )
        =
        
          lim
          
            y
            →
            b
          
        
        g
        (
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to a}g(f(x))=\lim _{y\to b}g(y).}
  
Եթե  
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\to Y}
   ֆունկցիան ունի 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետում սահման 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            a
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        b
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b}
  , իսկ 
  
    
      
        g
        :
        f
        (
        X
        )
        ⊂
        Y
        →
        Z
      
    
    {\displaystyle g:f(X)\subset Y\to Z}
   ֆունկցիան անընդհատ է 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   կետում, ապա այդ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետում գոյություն ունի ֆունկցիայի կոմպոզիցիայի սահման 
  
    
      
        g
        ∘
        f
        :
        X
        →
        Z
      
    
    {\displaystyle g\circ f:X\to Z}
   և տեղի ունի հավասարությունը.  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            a
          
        
        g
        (
        f
        (
        x
        )
        )
        =
        g
        (
        
          lim
          
            x
            →
            a
          
        
        f
        (
        x
        )
        )
        =
        g
        (
        b
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to a}g(f(x))=g(\lim _{x\to a}f(x))=g(b).}
  
Կոմպոզիցիան անընդհատ ֆունկցիայի անընդհատ է: Թող 
  
    
      
        (
        X
        ,
        
          
            
              T
            
          
          
            X
          
        
        )
        ,
        (
        Y
        ,
        
          
            
              T
            
          
          
            Y
          
        
        )
        ,
        (
        Z
        ,
        
          
            
              T
            
          
          
            Z
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})}
   — տոպոլոգիական հարթություն է: Թող 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\to Y}
   և 
  
    
      
        g
        :
        f
        (
        X
        )
        ⊂
        Y
        →
        Z
      
    
    {\displaystyle g:f(X)\subset Y\to Z}
   — երկու ֆունկցիա են, 
  
    
      
        
          y
          
            0
          
        
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}
  , 
  
    
      
        f
        ∈
        C
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f\in C(x_{0})}
   և 
  
    
      
        g
        ∈
        C
        (
        
          y
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle g\in C(y_{0})}
  . Այդ դեպքում 
  
    
      
        g
        ∘
        f
        ∈
        C
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle g\circ f\in C(x_{0})}
  .
Կոմպոզիցիան դիֆերենցիալ ֆունկցիայի դիֆերենցելի է: Թող 
  
    
      
        f
        ,
        g
        :
        
          R
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
  , 
  
    
      
        
          y
          
            0
          
        
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}
  , 
  
    
      
        f
        ∈
        
          
            D
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}
   և 
  
    
      
        g
        ∈
        
          
            D
          
        
        (
        
          y
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle g\in {\mathcal {D}}(y_{0})}
  . Այդ դեպքում 
  
    
      
        g
        ∘
        f
        ∈
        
          
            D
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}
  , և
  
    
      
        (
        g
        ∘
        f
        
          )
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        
          g
          ′
        
        (
        
          y
          
            0
          
        
        )
        ⋅
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})}
  .


== Տես նաև ==
Կոմբինատորային տրամաբանություն
Լամբդա արտահայտություն
Ֆունկցիոնալ քառակուսի արմատ
Կոմպոզիցիայի ռանգ


== Գրականություն ==
ՀԱԿԱԴԱՐՁ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅԱՆ ՄԱՍԻՆ: «Մաթեմատիկան դպրոցում» գիտամեթոդական ամսագիր № 1, 2 0 1 0 թ . — Գլխավոր խմբագիր Հ.Միքայելյան


== Ծանոթագրություններ ==