Քառակուսային բանաձև

Քառակուսային բանաձև, բանաձև է տարրական հանրահաշվում, որով կարող ենք քառակուսային հավասարումներ լուծել։ Քառակուսային հավասարումներ լուծելու այլ եղանակներ կան, ինչպես, օրինակ՝ ֆակտորիզացիան (ուղղակի ֆակտորիզացիա, խմբավորում), քառակուսին լրացնելը, գրաֆիկ գծելը և այլն։
Տրված է քառակուսային հավասարում՝ իր ընդհանուր տեսքով 
  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
  , որտեղ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  ֊ը անհայտն է, 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  ֊ն, 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  ֊ն և 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  ֊ն՝ հաստատուններ են, այնպես, որ 
  
    
      
        a
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a\neq 0}
  ։ Քառակուսային բանաձևը հետևյալն է․

Բանաձևի պլյուս֊մինուսի նշանը՝ 
  
    
      
        ±
      
    
    {\displaystyle \pm }
  , ցույց է տալիս, որ քառակուսային հավասարումը երկու արմատ ունի։ Առանձին գրելու դեպքում կստանանք հետևյալ երկու բանաձևերը․

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              −
              b
              +
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                
              
            
            
              2
              a
            
          
        
        
        
          և
        
        
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              −
              b
              −
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                
              
            
            
              2
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{և}}\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
  
Երկու արժեքներից յուրաքանչյուրը կոչվում է քառակուսային հավասարման արմատ (կամ՝ զրո)։ Երկրաչափորեն՝ արմատներն 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  ֊ի այն արժեքներն են ներկայացնում, որոնցում 
  
    
      
        y
        =
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
      
    
    {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
   հավասարմամբ սահմանված ցանկացած պարաբոլ կհատի 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  ֊երի առանցքը։
Քառակուսային հավասարումը կարող է նաև օգտակար լինել պարաբոլի համաչափության առանցքները և քառակուսային հավասարման իրական զրոների քանակը գտնելուն։


== Համարժեք ձևակերպումներ ==
Քառակուսային հավասարումը կարելի է գրել նաև հետևյալ տեսքով․

  
    
      
        x
        =
        
          
            
              −
              b
            
            
              2
              a
            
          
        
        ±
        
          
            
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                −
                4
                a
                c
              
              
                4
                
                  a
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
         
         
        ,
      
    
    {\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\ \ ,}
  
որը կարող ենք պարզեցնել․

  
    
      
        x
        =
        −
        
          (
          
            
              b
              
                2
                a
              
            
          
          )
        
        ±
        
          
            
              
                (
                
                  
                    b
                    
                      2
                      a
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            −
            
              
                c
                a
              
            
          
        
         
         
        :
      
    
    {\displaystyle x=-\left({\frac {b}{2a}}\right)\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\ \ :}
  
Բանաձևի այս տեսքը հարմար է կոմպլեքս արմատների առկայության դեպքում․ քառակուսի արմատից դուրս հատվածը կներկայացնի կոմպլեքս արմատի իրական մասը, իսկ քառակուսի արմատի տակ գտնվող արտահայտությունը՝ կեղծ մասը։ Քառակուսի արմատի տակ գտնվող արտահայտությունը դիսկրիմինանտ է։


=== Մյուլլերի մեթոդը ===
Պակաս հայտնի քառակուսային բանաձև է, որը օգտագործվում է Մյուլլերի մեթոդում, ինչպես նաև հայտնվում է Վիետի թեորեմում։ Տալիս է նույն արմատները՝ հետևյալ հավասարմամբ․

  
    
      
        x
        =
        
          
            
              −
              2
              c
            
            
              b
              ±
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              c
            
            
              −
              b
              ∓
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                   
                
              
            
          
        
         
         
        .
      
    
    {\displaystyle x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}\ \ .}
  


=== Ձևակերպումներ՝ այլընտրանքային պարամետրիզացիայի հիման վրա ===
Քառակուսային հավասարման ստանդարտ պարամերիզացիան հետևյալն է․ 
  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
  ։ Որոշ աղբյուրներ՝ հատկապես հին աղբյուրները, օգտագործում են հետևյալ այլընտրանքային ձևակերպումը․

  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        −
        2
        
          b
          
            1
          
        
        x
        +
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax^{2}-2b_{1}x+c=0}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
        =
        −
        b
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle b_{1}=-b/2}
  , կամ 
  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        2
        
          b
          
            2
          
        
        x
        +
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+2b_{2}x+c=0}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
        =
        b
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle b_{2}=b/2}
  :
Այլընտրանքային ձևակերպումների համապատասխան բանաձևերը փոքր֊ինչ տարբերվող տեսք ունեն, բայց բովանդակայնորեն համարժեք են ստանդարտին։


== Բանաձևի ստացումը ==
Գիտական գրականության մեջ քառակուսային բանաձև ստանալու շատ մեթոդներ կան նկարագրված։ Ամենատարածվածը քառակուսու լրացման տեխնիկան է։ Այլընտրանքային մեթոդները երբեմն ավելի պարզ են, քան քառակուսին լրացնելը, և կարող են օգտակար լինել մաթեմատիկայի այլ ոլորտների հետ կապեր տեսնելուն։


=== Քառակուսին լրացնելով ===


==== Ստանդարտ մեթոդ ====
Բաժանեք քառակուսային հավասարումը 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  ֊ով, ինչը հնարավոր է, քանի որ 
  
    
      
        a
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a\neq 0}
    երաշխավորված է սահմանմամբ․

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          
            b
            a
          
        
        x
        +
        
          
            c
            a
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0}
  
Երկու կողմից հանեք 
  
    
      
        
          
            
              c
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dfrac {c}{a}}}
  ՝ ստանալով․

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          
            b
            a
          
        
        x
        =
        −
        
          
            c
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}}
  
Քառակուսային հավասարումն այժմ այն տեսքով է, որով հնարավոր է լրացնել քառակուսին։ Իրականում, հավասարման երկու կողմերին պարզապես հաստատուն ավելացնելով՝ կարող ենք ձախ կողմում ամբողջական քառակուսի ստանալ․

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          
            b
            a
          
        
        x
        +
        
          
            (
            
              
                b
                
                  2
                  a
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        −
        
          
            c
            a
          
        
        +
        
          
            (
            
              
                b
                
                  2
                  a
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}
  
որից ստանում ենք․

  
    
      
        
          
            (
            
              x
              +
              
                
                  b
                  
                    2
                    a
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        −
        
          
            c
            a
          
        
        +
        
          
            
              b
              
                2
              
            
            
              4
              
                a
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}}
  
Համապատասխանաբար, աջ կողմում անդամները վերադասավորելով և ընդհանուր հայտարարի բերելով կարող ենք ստանալ․

  
    
      
        
          
            (
            
              x
              +
              
                
                  b
                  
                    2
                    a
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              4
              a
              c
            
            
              4
              
                a
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}
  
Քառակուսին լրացված է։ Երկու կողմից քառակուսի արմատ հանելով ստանում ենք․

  
    
      
        x
        +
        
          
            b
            
              2
              a
            
          
        
        =
        ±
        
          
            
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              4
              a
              c
               
            
            
              2
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}}
  
Արդեն նպատակահարմար է անհայտները հավաքել հավասարման մի կողմում, հայտնիների՝ մյուս կողմում, վերջնական բանաձևը ստանալու համար․

  
    
      
        x
        =
        
          
            
              −
              b
              ±
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                   
                
              
            
            
              2
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}
  
Բանաձևի ստացման շատ այլընտրաքային ճանապարհներ կան՝ չնչին տարբերություններով․ հիմնական տարբերությունը 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ի հետ արվող փոփոխություններն են։


==== Երկրորդ մեթոդ ====
Վերջին մի քանի տասնամյակում հրատարակվաշ հանրահաշվական աշխատությունների մեծամասնությունը քառակուսին լրացնելու համար հետևյալ հաջորդականությունն է առաջարկում․

Բաժանել հավասարման երկու կողմը 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ով՝ միավոր գործակցով առաջատար անդամով բազմանդամ ստանալու համար։
Վերախմբավորել։
Հավասարման երկու կողմին 
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  b
                  
                    2
                    a
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}}
   ավելացնել։
Երկու կողմից քառակուսի արմատ հանել։
Մեկուսացնել 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  ֊ը։Քառակուսին լրացնելը երբեմն հնարավոր է իրականացնել ավելի պարզ ու կարճ հաջորդականությամբ․
Բազմապատկել յուրաքանչյուր կողմը 
  
    
      
        4
        a
      
    
    {\displaystyle 4a}
  ֊ով
Վերադասավորել։
Երկու կողմին 
  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle b^{2}}
   ավելացնել՝ քառակուսին լրացնելու համար։
Երկու կողմից քառակուսի արմատ հանել։
Մեկուսացել 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  ֊ը։Այսպիսով, քառակուսային բանաձևը կարող ենք ստանալ հետևյալ հաջորդականության արդյունքում․

  
    
      
        
          
            
              
                a
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                b
                x
                +
                c
              
              
                
                =
                0
              
            
            
              
                4
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                4
                a
                b
                x
                +
                4
                a
                c
              
              
                
                =
                0
              
            
            
              
                4
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                4
                a
                b
                x
              
              
                
                =
                −
                4
                a
                c
              
            
            
              
                4
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                4
                a
                b
                x
                +
                
                  b
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                −
                4
                a
                c
              
            
            
              
                (
                2
                a
                x
                +
                b
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                −
                4
                a
                c
              
            
            
              
                2
                a
                x
                +
                b
              
              
                
                =
                ±
                
                  
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    4
                    a
                    c
                  
                
              
            
            
              
                2
                a
                x
              
              
                
                =
                −
                b
                ±
                
                  
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    4
                    a
                    c
                  
                
              
            
            
              
                x
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      −
                      b
                      ±
                      
                        
                          
                            b
                            
                              2
                            
                          
                          −
                          4
                          a
                          c
                        
                      
                    
                    
                      2
                      a
                    
                  
                
                 
                 
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx+4ac&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx&=-4ac\\4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}&=b^{2}-4ac\\(2ax+b)^{2}&=b^{2}-4ac\\2ax+b&=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\2ax&=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .\end{aligned}}}
  Քառակուսային բանաձևի այս ստացման եղանակը բավականին հին է, և հայտնի էր Հնդկաստանում արդեն առնվազն 1025 թվականին։ Ի հակադրությունտ ստանդարտ ստացման՝ այս այլընտրաքային մեթոդը մինչև վերջին քայլը խուսափում է կոտորակների ու քառակուսային ֆունկցիաների կիրառումից, և այդպիսով երրորդ քայլից հետո ընդհանուր հայտարարի բերման համար վերադասավորում չի պահանջում։


==== Երրորդ մեթոդ ====
Առաջին՝ ստանդարտ մեթոդի նման, բաժանել հավասարման երկու կողմը 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  ֊ով՝ քառակուսային փոփոխականի գործակիցը 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
   դարձնելու համար․

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              b
              a
            
          
        
        x
        +
        
          
            
              c
              a
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{2}+{\dfrac {b}{a}}x+{\dfrac {c}{a}}=0}
  
Արտագրել հավասարումն ավելի սեղմ ու հեշտ ընթեռնելի ձևով․

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        B
        x
        +
        C
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{2}+Bx+C=0}
  
որտեղ 
  
    
      
        B
        =
        
          
            
              b
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle B={\dfrac {b}{a}}}
   և 
  
    
      
        C
        =
        
          
            
              c
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle C={\dfrac {c}{a}}}
  ։ Լրացնել քառակուսին՝ առաջին երկու անդամին 
  
    
      
        
          
            
              
                B
                
                  2
                
              
              4
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dfrac {B^{2}}{4}}}
   գումարելով, իսկ երրորդից՝ հանելով․

  
    
      
        
          
            (
            
              x
              +
              
                
                  
                    B
                    2
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        
          (
          
            C
            −
            
              
                
                  
                    B
                    
                      2
                    
                  
                  4
                
              
            
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left(x+{\dfrac {B}{2}}\right)^{2}+\left(C-{\dfrac {B^{2}}{4}}\right)=0}
  
Խմբավորել ձախ կողմը՝ քառակուսիների տարբերություն ստանալու համար․

  
    
      
        
          
            (
            
              x
              +
              
                
                  
                    B
                    2
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            (
            
              
                
                  
                    
                      
                        B
                        
                          2
                        
                      
                      4
                    
                  
                
                −
                C
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left(x+{\dfrac {B}{2}}\right)^{2}-\left({\sqrt {{\dfrac {B^{2}}{4}}-C}}\right)^{2}=0}
  
Ֆակտորիզացնել այն․

  
    
      
        
          (
          
            x
            +
            
              
                
                  B
                  2
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    
                      
                        B
                        
                          2
                        
                      
                      4
                    
                  
                
                −
                C
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            x
            +
            
              
                
                  B
                  2
                
              
            
            −
            
              
                
                  
                    
                      
                        B
                        
                          2
                        
                      
                      4
                    
                  
                
                −
                C
              
            
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left(x+{\dfrac {B}{2}}+{\sqrt {{\dfrac {B^{2}}{4}}-C}}\right)\left(x+{\dfrac {B}{2}}-{\sqrt {{\dfrac {B^{2}}{4}}-C}}\right)=0}
  
ինչից հետևում է 

  
    
      
        x
        +
        
          
            B
            2
          
        
        +
        
          
            
              
                
                  B
                  
                    2
                  
                
                4
              
            
            −
            C
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x+{\frac {B}{2}}+{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-C}}=0}
  
կամ

  
    
      
        x
        +
        
          
            B
            2
          
        
        −
        
          
            
              
                
                  B
                  
                    2
                  
                
                4
              
            
            −
            C
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x+{\frac {B}{2}}-{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-C}}=0}
  
Հավասարումներից յուրաքանչյուրը կարող ենք լուծել 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  ֊ի համար՝ ստանալով․

  
    
      
        x
        =
        −
        
          
            
              B
              2
            
          
        
        −
        
          
            
              
                
                  
                    B
                    
                      2
                    
                  
                  4
                
              
            
            −
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle x=-{\dfrac {B}{2}}-{\sqrt {{\dfrac {B^{2}}{4}}-C}}}
    կամ  
  
    
      
        x
        =
        −
        
          
            
              B
              2
            
          
        
        +
        
          
            
              
                
                  
                    B
                    
                      2
                    
                  
                  4
                
              
            
            −
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle x=-{\dfrac {B}{2}}+{\sqrt {{\dfrac {B^{2}}{4}}-C}}}
  
Ներկայացնելով 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  ֊ի ու 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  ֊ի նախնական արժեքները՝ կստանաք օրիգինալ քառակուսային բանաձևը։


=== Փոխարինմամբ ===
Լուծման մեկ այլ տեխնիկա է փոխարինումը։ Այս տեխնիկայով մենք փոխարինում ենք 
  
    
      
        x
        =
        y
        +
        m
      
    
    {\displaystyle x=y+m}
   քառակուսային հավասարման մեջ և ստանում 
  
    
      
        a
        (
        y
        +
        m
        
          )
          
            2
          
        
        +
        b
        (
        y
        +
        m
        )
        +
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a(y+m)^{2}+b(y+m)+c=0}
   հավասարումը։ Բացելով փակագծերն ու անհայտի աստիճաններն իրար հետ հավաքելով ստանում ենք․

  
    
      
        a
        
          y
          
            2
          
        
        +
        y
        (
        2
        a
        m
        +
        b
        )
        +
        
          (
          
            a
            
              m
              
                2
              
            
            +
            b
            m
            +
            c
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ay^{2}+y(2am+b)+\left(am^{2}+bm+c\right)=0}
  
Քանի որ ո՛չ 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  ֊ի, ո՛չ 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  ֊ի համար որևէ սահմանափակում նկարագրված չէր, մենք կարող ենք 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  ֊ն այնպես ընտրել, որ միջին անդամն անհետանա։ Այսինքն՝ 
  
    
      
        2
        a
        m
        +
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 2am+b=0}
   կամ 
  
    
      
        m
        =
        
          
            
              
                −
                b
              
              
                2
                a
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle m={\dfrac {-b}{2a}}}
  : Հավասարման երկու կողմից ազատ անդամը հանելով, ապա՝ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  ֊ով բաժանելով (նկատեք, որ, ըստ սահմանման 
  
    
      
        a
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a\neq 0}
  ), ստանում ենք․

  
    
      
        
          y
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              −
              
                (
                
                  a
                  
                    m
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  b
                  m
                  +
                  c
                
                )
              
            
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle y^{2}={\frac {-\left(am^{2}+bm+c\right)}{a}}}
  
Փոխարինելով 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  ֊ի արժեքը․

  
    
      
        
          y
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              −
              
                (
                
                  
                    
                      
                        b
                        
                          2
                        
                      
                      
                        4
                        a
                      
                    
                  
                  +
                  
                    
                      
                        −
                        
                          b
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        2
                        a
                      
                    
                  
                  +
                  c
                
                )
              
            
            a
          
        
        =
        
          
            
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              4
              a
              c
            
            
              4
              
                a
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle y^{2}={\frac {-\left({\frac {b^{2}}{4a}}+{\frac {-b^{2}}{2a}}+c\right)}{a}}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}
  
Այդպիսով․

  
    
      
        y
        =
        ±
        
          
            
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              4
              a
              c
            
            
              2
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle y=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}}
  
Այժմ կարող ենք կրկին փոխարինել 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  ֊ի արժեքը՝ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  ֊ով արտահայտված, օգտագործելով 
  
    
      
        x
        =
        y
        +
        m
        =
        y
        −
        
          
            
              b
              
                2
                a
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x=y+m=y-{\dfrac {b}{2a}}}
   հավասարումը։ Արդյունքում կստանանք սովորական քառակուսային բանաձևը․

  
    
      
        x
        =
        
          
            
              −
              b
              ±
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                
              
            
            
              2
              a
            
          
        
         
         
        .
      
    
    {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .}
  


=== Հանրահաշվական նույնություններով ===
Հետևյալ մեթոդը պատմական տարբեր շրջաններում բազմաթիվ մաթեմատիկոսներ են օգտագործել․դիցուք, 
  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{1}}
  ֊ը և 
  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{2}}
  ֊ը ստանդարտ քառակուսային հավասարման արմատներն են։ Բանաձևի ստացումը սկսվում է հետևյալ նույնությամբ․

  
    
      
        (
        
          r
          
            1
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        (
        
          r
          
            1
          
        
        +
        
          r
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        −
        4
        
          r
          
            1
          
        
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (r_{1}-r_{2})^{2}=(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}}
  
Յուրաքանչյուր կողմից քառակուսի արմատ հանենք․

  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        =
        ±
        
          
            (
            
              r
              
                1
              
            
            +
            
              r
              
                2
              
            
            
              )
              
                2
              
            
            −
            4
            
              r
              
                1
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{1}-r_{2}=\pm {\sqrt {(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}}}}
  
Քանի որ հավասարման քառակուսային անդամի գործակիցը՝ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  ֊ն, ըստ սահմանման 
  
    
      
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle \neq 0}
  , կարող ենք ստանդարտ հավասարումը բաժանել 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ի վրա՝ նույն արմատներն ունեցող քառակուսային բազմանդամ ստանալու համար․

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          
            b
            a
          
        
        x
        +
        
          
            c
            a
          
        
        =
        (
        x
        −
        
          r
          
            1
          
        
        )
        (
        x
        −
        
          r
          
            2
          
        
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        −
        (
        
          r
          
            1
          
        
        +
        
          r
          
            2
          
        
        )
        x
        +
        
          r
          
            1
          
        
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=(x-r_{1})(x-r_{2})=x^{2}-(r_{1}+r_{2})x+r_{1}r_{2}}
  
Այստեղից կարող ենք տեսնել, որ քառակուսային հավասարման արմատների գումարը պետք է հավասար լինի 
  
    
      
        −
        
          
            
              b
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\dfrac {b}{a}}}
  , իսկ արտադրյալը՝ 
  
    
      
        
          
            
              c
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dfrac {c}{a}}}
  ։ Այդպիսով, նույնությունը կարող ենք գրել հետևյալ տեսքով․

  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        =
        ±
        
          
            
              
                (
                
                  −
                  
                    
                      b
                      a
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            −
            4
            
              
                c
                a
              
            
          
        
        =
        ±
        
          
            
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                
                  a
                  
                    2
                  
                
              
            
            −
            
              
                
                  4
                  a
                  c
                
                
                  a
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
        =
        ±
        
          
            
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              4
              a
              c
            
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{1}-r_{2}=\pm {\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-4{\frac {c}{a}}}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}}
  

Այժմ,

  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              (
              
                r
                
                  1
                
              
              +
              
                r
                
                  2
                
              
              )
              +
              (
              
                r
                
                  1
                
              
              −
              
                r
                
                  2
                
              
              )
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              −
              
                
                  b
                  a
                
              
              ±
              
                
                  
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    4
                    a
                    c
                  
                  a
                
              
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              −
              b
              ±
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                
              
            
            
              2
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{1}={\frac {(r_{1}+r_{2})+(r_{1}-r_{2})}{2}}={\frac {-{\frac {b}{a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}}{2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
  
Քանի որ 
  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        =
        −
        
          r
          
            1
          
        
        −
        
          
            
              b
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{2}=-r_{1}-{\dfrac {b}{a}}}
  , եթե օգտագործենք 
  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              −
              b
              +
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                
              
            
            
              2
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
  , կստանանք․

  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              −
              b
              −
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                
              
            
            
              2
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
  
Իսկ եթե վերցնենք 
  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              −
              b
              −
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                
              
            
            
              2
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
  , կարող ենք հաշվել նաև հետևյալ բանաձևը․ 
  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              −
              b
              +
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                
              
            
            
              2
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
  ։
Արդյունքները ստանդարտ 
  
    
      
        ±
      
    
    {\displaystyle \pm }
   նշանով միացորելով, ստանում ենք քառակուսային հավասարման լուծումները գտնելու հետևյալ բանաձևը․

  
    
      
        x
        =
        
          
            
              −
              b
              ±
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                
              
            
            
              2
              a
            
          
        
         
         
        .
      
    
    {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .}
  


== Պատմությունը ==
Քառակուսային հավասարումներ լուծելու ամենավաղ հայտնաբերված եղանակը երկրաչափականն է։ Բաբելոնյան սեպագիր հուշատախտակներում խնդիրներ կան, որոնք կարելի է լուծել քառակուսային հավասարում ներկայացնելով։ Եգիպտական Բեռլինի Պապիրուսը, որը ժամանակագրվում է Միջին Թագավորության (մ․թ․ա․ 2050 ֊ մ․թ․ա․ 1650 թվականներ) ժամանակաշրջան, երկու անդամով քառակուսային հավասարումների լուծման եղանակներ է պարունաում։
Հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսը (մ․թ․ա․ 300) իր Սկզբունքներ երկի երկրորդ գրքում քառակուսային հավասարումներ լուծեու երկրաչափական եղանակներ է նկարագրել։ Քառակուսային հավասարման կանոնները հանդիպում են նաև չինական Ինը Գլուխ Մաթեմատիկական Արվեստի մասին աշխատությունում (մ․թ․ա․ 200)։ Իր Թվաբանություն աշխատությունում հույն մաթեմատիկոս Դիոֆանտը (մոտ․ 250 թվական) քառակուսային հավասարումներ է լուծում հանրահաշվականին ավելի մոտ եղանակով, քան Էվկլիդեսի նկարագրած երկրաչափական հանրահաշիվն էր։ Դիոֆանտի եղանակը հավասարման միայն մի լուծումն է գտնում, նույնիսկ այն դեպքում, երբ երկու արմատներն էլ դրական են։
Հնդիկ մաթեատիկոս Բրահմագուպտան (597–668 թվականներ) հստակ նկարագրել է քառակուսային բանաձևն իր Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում գրքում, որը հրատարակվել է 628 թվականին, սակայն նկարագրել է այն բառերով՝ առանց նշաններ օգտագործելու։ Բրահմագուպտայի՝ 
  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        =
        c
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx=c}
   քառակուսային հավասարում լուծելու առաջարկած եղանակը հետևյալն էր․ «բացարձակ թվի (քառակուսու գործակցի) քառապատիկի արտադրյալին գումարե՛ք միջին անդամի (գործակցի) քառակուսին; նույնի քառակուսի արմատը, հանած միջին անդամը (միջին անդամի գործակիցը), բաժանած քառակուսու (գործակցի) կրկնապատիկով, (և կստանաք) արժեքը»։ Ինչը համարժեք է 
  
    
      
        x
        =
        
          
            
              
                
                  4
                  a
                  c
                  +
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
              −
              b
            
            
              2
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}
   բանաձևին։
9֊րդ դարի պարսիկ մաթեմատիկոս Մուհամեդ իբն Մուսա Խորեզմին հանրահաշվորեն քառակուսային հավարումներ է լուծել։ Բոլոր հնարավոր դեպքերը հաշվի առնող առաջին բանաձևը հայտնաբերել է Սիմոն Սթևինը 1594 թվականին։ 1637 թվականին Ռենե Դեկարտը հրատարակել է Երկրաչափությունը, որտեղ ներկայացրել է մեր՝ այսօր օգտագործվող քառակուսային բանաձևի կիրառման հատուկ դեպքերը։


== Կիրառումներ ==


=== Երկրաչափական կիրառում ===
Պարաբոլը ցանկացած կոր է, որի 
  
    
      
        x
        ,
        y
      
    
    {\displaystyle x,y}
   - կոորդինատները սահմանվում են երկրորդ աստիճանի բազմանդամով․ 
  
    
      
        y
        =
        p
        (
        x
        )
        =
        
          a
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        x
        +
        
          a
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle y=p(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}
  , որտեղ 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  -ն ներկայացնում է երկրորդ աստիճանի բազմանդամը, իսկ 
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{0},a_{1}}
   և 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a_{2}\neq 0}
   գործակից հաստատուններ են, որոնց ինդեքսները համընկնում են իրենց համապատասխան անհայտի աստիճանին։ Երկրաչափական մեկնաբանությամբ, քառակուսային բանաձևը սահմանում է այն կետերը, որտեղ պարաբոլը կհատի 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  ֊երի առանցքը։ Ավելին․ եթե քառակուսային հավասարումը դիտարկվի երկու անդամով․ 

  
    
      
        x
        =
        
          
            
              −
              b
              ±
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                   
                
              
            
            
              2
              a
            
          
        
        =
        −
        
          
            b
            
              2
              a
            
          
        
        ±
        
          
            
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              4
              a
              c
               
            
            
              2
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}}
  Համաչափության առանցքը կհամընկնի 
  
    
      
        x
        =
        −
        
          
            
              b
              
                2
                a
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x=-{\dfrac {b}{2a}}}
   ուղղի հետ։ Մյուս անդամը՝ 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                −
                4
                a
                c
              
              
                2
                a
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dfrac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}}
  , ներկայացնում է արմատների հեռավորությունը համաչափության առանցքից։ Արմատներից մեկը «դրական»՝ դեպի աջ, հեռավորություն ունի, մյուսը՝ «բացասական», դեպի ձախ։ 
Եթե արմատների հեռավորությունը համաչափության առանցքից հասնում է զրոյի, համաչափության առանցքի արժեքը հավասար կլինի արմատի արժեքին՝ այն 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   արժեքին, որում ֆունկցիայի արժեքը հավասար է զրոյի։ Այսինքն՝ քառակուսային հավասարումը միայն մի լուծում ունի։ Հանրահաշվորեն սա նշանակում է, որ 
  
    
      
        
          
            
              b
              
                2
              
            
            −
            4
            a
            c
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}=0}
  , այսինքն․ 
  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
        −
        4
        a
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle b^{2}-4ac=0}
  ։ Նկատեք, որ հավասարման ձախ հատվածը պարզապես դիսկրիմինանտն է։
Դիսկրիմինանտի արժեքը ցույց է տալիս, թե պարաբոլը քանի զրո կունենա։ Երեք հնարավոր դեպք կա․ դիսկրիմինանտը կարող է լինել դրական, ինչի դեպքում հեռավորությունը նույնպես դրական կլինի, և պարաբոլը երկու զրո կունենա, հավասարումն էլ, համապատասխանաբար՝ երկու իրական լուծում։ Սակայն, երբ դիսկրիմինանտը բացասական է, հեռավորությունը կեղծ է՝ կոմպլեք արմատ 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
    թվի որևէ իրական բազմատիկ, ինչը նշանակում է, որ պարաբոլի զրոները կոմպլեքս թվեր են։ 
Քառակուսային հավասարման կոմպլեքս արմատները կոմպլեքս զույգեր են, որոնց իրական մասի արժեքը հավասար է համաչափության առանցքի արժեքին։ Նման պարաբոլը որևէ իրական 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   արժեքի համար 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -երի առանցքը չի հատի։


=== Տարածական անալիզ ===
Եթե 
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
   և 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   հաստատուններն անմիավոր չեն, 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի միավորը պետք է հավասար լինի 
  
    
      
        
          
            
              b
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dfrac {b}{a}}}
   մեծության միավորին, քանի որ հավասարման 
  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ax^{2}}
   և 
  
    
      
        b
        x
      
    
    {\displaystyle bx}
   անդամները պետք է նույն միավորն ունենան։ Ավելին՝ նույն տրամաբանությամբ 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   հաստատունի միավորը պետք է համընկնի 
  
    
      
        
          
            
              
                b
                
                  2
                
              
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dfrac {b^{2}}{a}}}
   մեծության միավորին, ինչը կարող ենք հաստատել առանց հավասարումը լուծելու։ Այս փաստը հնարավորություն է տալիս քառակուսային հավասարումը լուծելուց առաջ ստուգել, արդյո՞ք ֆիզիկական մեծություններ արտահայտող հավասարումը ճիշտ է սահմանված, թե՞՝ ոչ։


== Տեսեք նաև ==
Դիսկրիմինանտ
Հանրահաշվի հիմնական թեորեմ
Վիետի թեորեմ


== Ծանոթագրություններ ==