Ածանցման կանոններ

Այս հոդվածում ներկայացված է մաթեմատիկական անալիզում ֆունկցիայի ածանցման հիմնական կանոնները։


== Ածանցման տարրական կանոններ ==
Եթե հատուկ նշված չէ, ապա ցանկի ֆունկցիաները համարվում են իրական փոփոխականով և իրական արժեքով ֆունկցիաները, չնայած, ընդհանուր առամաբ այս բանաձևերը ճիշտ են, եթե այդ կետերում ֆունկցիաները լավ սահմանված են՝ ներառյալ կոմպլեքս թվերի դեպքում։


=== Ածանցումը գծային է ===
Կամայական 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   և 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   ֆունկցիաների և 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   իրական թվերի համար 
  
    
      
        h
        (
        x
        )
        =
        a
        f
        (
        x
        )
        +
        b
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)}
   ֆունկցիայի ածանցյալը ըստ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի հավասար է՝

  
    
      
        
          h
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        a
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        +
        b
        
          g
          ′
        
        (
        x
        )
        
          ։
        
      
    
    {\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x){\text{։}}}
  Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          
            
              d
              (
              a
              f
              +
              b
              g
              )
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        a
        
          
            
              d
              f
            
            
              d
              x
            
          
        
        +
        b
        
          
            
              d
              g
            
            
              d
              x
            
          
        
        
          ։
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}{\text{։}}}
  Մասնավոր դեպքեր․

Հաստատում արտադրիչի կանոն՝
  
    
      
        (
        a
        f
        
          )
          ′
        
        =
        a
        
          f
          ′
        
      
    
    {\displaystyle (af)'=af'}
  Գումարման կանոն՝
  
    
      
        (
        f
        +
        g
        
          )
          ′
        
        =
        
          f
          ′
        
        +
        
          g
          ′
        
      
    
    {\displaystyle (f+g)'=f'+g'}
  Հանման կանոն՝
  
    
      
        (
        f
        −
        g
        
          )
          ′
        
        =
        
          f
          ′
        
        −
        
          g
          ′
        
        .
      
    
    {\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}
  


=== Բազմապատկման կանոն ===
Կամայական f և g ֆունկցիաների համար h(x) = f(x) g(x) ֆունկցիայի ածանցյալը ըստ x-ի հավասար է՝

  
    
      
        
          h
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        (
        f
        g
        
          )
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        g
        (
        x
        )
        +
        f
        (
        x
        )
        
          g
          ′
        
        (
        x
        )
        
          ։
        
      
    
    {\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x){\text{։}}}
  Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          
            
              d
              (
              f
              g
              )
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              f
            
            
              d
              x
            
          
        
        g
        +
        f
        
          
            
              d
              g
            
            
              d
              x
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}
  


=== Բարդ ֆունկցիայի ածանցման կանոն ===

  
    
      
        h
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        g
        (
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle h(x)=f(g(x))}
   ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է՝

  
    
      
        
          h
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        
          f
          ′
        
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        ⋅
        
          g
          ′
        
        (
        x
        )
        
          ։
        
      
    
    {\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x){\text{։}}}
  Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        h
        (
        x
        )
        =
        
          
            d
            
              d
              z
            
          
        
        f
        (
        z
        )
        
          
            |
          
          
            z
            =
            g
            (
            x
            )
          
        
        ⋅
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        g
        (
        x
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)={\frac {d}{dz}}f(z)|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}
  որը հաճախ կրճատ գրվում է որպես

  
    
      
        
          
            
              d
              h
              (
              x
              )
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              f
              (
              g
              (
              x
              )
              )
            
            
              d
              g
              (
              x
              )
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              d
              g
              (
              x
              )
            
            
              d
              x
            
          
        
        
          ։
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}{\text{։}}}
  Դիֆերենցումը որպես 
  
    
      
        
          D
        
      
    
    {\displaystyle {\text{D}}}
   արտապատկերում դիտարկելու դեպքում բանաձևը հնարավոր է ներկայացնել ավելի պարզ տեսքով՝

  
    
      
        [
        
          D
        
        (
        h
        ∘
        g
        )
        
          ]
          
            x
          
        
        =
        [
        
          D
        
        h
        
          ]
          
            g
            (
            x
            )
          
        
        ⋅
        [
        
          D
        
        g
        
          ]
          
            x
          
        
        
        
          ։
        
      
    
    {\displaystyle [{\text{D}}(h\circ g)]_{x}=[{\text{D}}h]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,{\text{։}}}
  


=== Հակադարձ ֆունկցիայի օրենք ===
Եթե f ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան g-ն է, այսինքն՝ 
  
    
      
        g
        (
        f
        (
        x
        )
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle g(f(x))=x}
   և 
  
    
      
        f
        (
        g
        (
        y
        )
        )
        =
        y
        ,
      
    
    {\displaystyle f(g(y))=y,}
   ապա

  
    
      
        
          g
          ′
        
        =
        
          
            1
            
              
                f
                ′
              
              ∘
              g
            
          
        
        
          ։
        
      
    
    {\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}{\text{։}}}
  Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              y
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                d
                y
              
              
                d
                x
              
            
          
        
        
          ։
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}{\text{։}}}
  


== Աստիճանի կանոններ, բազմանդամներ, քանորդներ և հակադարձի կանոն ==


=== Բազմանդամի ածանցիալ ===
Եթե
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=x^{r}}
  , որտեղ 
  
    
      
        r
        ≠
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle r\neq 0,}
   ապա 

  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        r
        
          x
          
            r
            −
            1
          
        
        
          ։
        
      
    
    {\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}{\text{։}}}
  Երբ 
  
    
      
        r
        =
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle r=1,}
   սա ապա 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        x
        ,
      
    
    {\displaystyle f(x)=x,}
   հետևաբար՝ 
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle f'(x)=1}
  ։
Այս, գումարման և հաստատունով բազմապատկման կանոնի միջոցով հնարավոր է հաշվել կամայական բազմանդամի ածանցիալ։


=== Հակադարձ ֆունկցիայի կանոն ===
Կամայական չանհետացող f ֆունցիայի դեպքում 
  
    
      
        h
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              f
              (
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}
   ֆունցկայի ածանցյալն է՝

  
    
      
        
          h
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        −
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              (
              f
              (
              x
              )
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}}
   որտեղ f-ը զրոյական չէ։Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          
            
              d
              (
              1
              
                /
              
              f
              )
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            
              f
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              d
              f
            
            
              d
              x
            
          
        
        
          ։
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}{\text{։}}}
  Հակադարձ ֆունկցիայի կանոնը կարելի է ստանալ կամ քանորդի կանոնից կամ աստիճանի կանոնի և բարդ ֆունկցիայի կանոնի համադրությամբ։


=== Քանորդների կանոն ===
Եթե f և g ֆունկցիաների համար

  
    
      
        
          
            (
            
              
                f
                g
              
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          
            
              
                f
                ′
              
              g
              −
              
                g
                ′
              
              f
            
            
              g
              
                2
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }
   որտեղ g-ը զրոյական չէ։Սա կարելի է ստանալ բազմապատկման և հակադարձ ֆունկցիաների կանոնից։


=== Ընդհանուր աստիճանային կանոն ===
Տարրական աստիճանային կանոնը կարող է ընդհանրացվել։ Ամենաընդհանուր աստիճանային կանոնը ֆունկցիոնալ աստիճանային կանոնն է․ կամայական f և g ֆունկցիաների համար՝

  
    
      
        (
        
          f
          
            g
          
        
        
          )
          ′
        
        =
        
          
            (
            
              e
              
                g
                ln
                ⁡
                f
              
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          f
          
            g
          
        
        
          (
          
            
              f
              ′
            
            
              
                g
                f
              
            
            +
            
              g
              ′
            
            ln
            ⁡
            f
          
          )
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }
  եթե երկու կողմն էլ լավ սահմանված են։
Հատուկ դեպքերից են՝

եթե 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            a
          
        
        
      
    
    {\textstyle f(x)=x^{a}\!}
  , ապա 
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        a
        
          x
          
            a
            −
            1
          
        
      
    
    {\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}
  երբ a-ն տարբեր է զրոյից իսկ x-ը՝ դրական։
Հակադարձ ֆունկցիայի կանոնը այս դեպքում կարելի է դիտարկել որպես սրա մասնավոր դեպք, երբ 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
        =
        −
        1
        
      
    
    {\textstyle g(x)=-1\!}
  ։


== Լոգարիթմական և ցուցչային ֆունկցիաների ածանցյալներ ==

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        
          (
          
            c
            
              a
              x
            
          
          )
        
        =
        
          a
          
            c
            
              a
              x
            
          
          ln
          ⁡
          c
        
        ,
        
        c
        >
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0}
  այս հավասարումը ճիշտ է կամայական c-ի համար, բայց 
  
    
      
        c
        <
        0
      
    
    {\textstyle c<0}
   դեպքում ածանցյալը կոմպլեքս թիվ է։

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        
          (
          
            e
            
              a
              x
            
          
          )
        
        =
        a
        
          e
          
            a
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}}
  
  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        
          (
          
            
              log
              
                c
              
            
            ⁡
            x
          
          )
        
        =
        
          
            1
            
              x
              ln
              ⁡
              c
            
          
        
        ,
        
        c
        >
        0
        ,
        c
        ≠
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}
  վերևում նշված հավասարումը ճիշտ է կամայական c թիվի համար, բայց 
  
    
      
        c
        <
        0
        
      
    
    {\textstyle c<0\!}
    դեպքում ածանցյալը կոմպլեքս թիվ է։

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        
          (
          
            ln
            ⁡
            x
          
          )
        
        =
        
          
            1
            x
          
        
        ,
        
        x
        >
        0.
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.}
  
  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        
          (
          
            ln
            ⁡
            
              |
            
            x
            
              |
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            x
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x}.}
  
  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        
          (
          
            x
            
              x
            
          
          )
        
        =
        
          x
          
            x
          
        
        (
        1
        +
        ln
        ⁡
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}
  
  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        
          (
          
            f
            (
            x
            
              )
              
                g
                (
                x
                )
              
            
          
          )
        
        =
        g
        (
        x
        )
        f
        (
        x
        
          )
          
            g
            (
            x
            )
            −
            1
          
        
        
          
            
              d
              f
            
            
              d
              x
            
          
        
        +
        f
        (
        x
        
          )
          
            g
            (
            x
            )
          
        
        ln
        ⁡
        
          (
          f
          (
          x
          )
          )
        
        
          
            
              d
              g
            
            
              d
              x
            
          
        
        ,
        
        
          եթե 
        
        f
        (
        x
        )
        >
        0
        ,
        
           և եթե 
        
        
          
            
              d
              f
            
            
              d
              x
            
          
        
        
           և 
        
        
          
            
              d
              g
            
            
              d
              x
            
          
        
        
           գոյություն ունեն։
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{եթե }}f(x)>0,{\text{ և եթե }}{\frac {df}{dx}}{\text{ և }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ գոյություն ունեն։}}}
  
  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        
          (
          
            
              f
              
                1
              
            
            (
            x
            
              )
              
                
                  f
                  
                    2
                  
                
                (
                x
                
                  )
                  
                    
                      
                        (
                        
                          .
                          .
                          .
                        
                        )
                      
                      
                        
                          f
                          
                            n
                          
                        
                        (
                        x
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          [
          
            
              ∑
              
                k
                =
                1
              
              
                n
              
            
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      k
                    
                  
                
              
            
            
              (
              
                
                  f
                  
                    1
                  
                
                (
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                
                  )
                  
                    
                      f
                      
                        2
                      
                    
                    (
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    
                      )
                      
                        
                          
                            (
                            
                              .
                              .
                              .
                            
                            )
                          
                          
                            
                              f
                              
                                n
                              
                            
                            (
                            
                              x
                              
                                n
                              
                            
                            )
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
        
          
            
              |
            
          
          
            
              x
              
                1
              
            
            =
            
              x
              
                2
              
            
            =
            .
            .
            .
            =
            
              x
              
                n
              
            
            =
            x
          
        
        ,
        
           եթե 
        
        
          f
          
            i
            <
            n
          
        
        (
        x
        )
        >
        0
        
           և 
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ եթե }}f_{i<n}(x)>0{\text{ և }}}
   
  
    
      
        
          
            
              d
              
                f
                
                  i
                
              
            
            
              d
              x
            
          
        
        
           գոյություն ունի։ 
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ գոյություն ունի։ }}}
  


=== Լոգարիթմական ածանցյալ ===
Լոգարիթմական ածանցյալը ֆունկցիայի լոգարիթմի ածանցման կանոնը այլ կերպ նշելու ձև է (բարդ ֆունկցյաի ածանցման կանոնով)․

  
    
      
        (
        ln
        ⁡
        f
        
          )
          ′
        
        =
        
          
            
              f
              ′
            
            f
          
        
        
      
    
    {\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }
   եթե f-ը դրական է։Լոգարիթմական ածանցյալի մեթոդի միջոցով հնարավոր է նախքան ածանցումը լոգարիթմի և դրա ածանցման կանոնների միջոցով պարզեցնել որոշակի արտահայտություններ։  Լոգարիթմների միջոցով հնարավոր է ազատվել ցուցիչներից, արտադրյալը վերածել գումարի, բաժանումը՝ հանման, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է պարզեցնել հետագա ածանցումը։


== Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ ==
Ընդունված է սահմանել երկու արգումենտով արկտանգես ֆունկցիա՝ 
  
    
      
        arctan
        ⁡
        (
        y
        ,
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle \arctan(y,x)\!}
  ։ Այս ֆունկցիայի արժեքները գտնվում են 
  
    
      
        [
        −
        π
        ,
        π
        ]
        
      
    
    {\displaystyle [-\pi ,\pi ]\!}
   միջակայքում և արտահայտում է 
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
        
      
    
    {\displaystyle (x,y)\!}
   կետի քառորդը։ Առաջին և չորրորդ քառորդների համար (այսինքն՝ 
  
    
      
        x
        >
        0
        
      
    
    {\displaystyle x>0\!}
  ) 
  
    
      
        arctan
        ⁡
        (
        y
        ,
        x
        >
        0
        )
        =
        arctan
        ⁡
        (
        y
        
          /
        
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)\!}
  ։ Այս ֆունկցայի մասնակի ածանցյալներն են՝


== Հիպերբոլական ֆունկցիաների ածանցյալներ ==


== Հատուկ ֆունկցիաների ածանցյալներ ==


== Տես նաև ==
Վեկտորական անալիզի բանաձևեր
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
Հիպերբոլական ֆունկցիաներ
Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիա


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Մաթեմատիկական անալիզի տարրերը։ Հեղինակ Ֆիխտենգոլց
Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, 978-0-07-154855-7.
The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, 978-0-521-57507-2.
Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, 978-0-521-86153-3
NIST Handbook of Mathematical Functions, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, 978-0-521-19225-5.