Անալիտիկ ֆունկցիա

Անալիտիկ ֆունկցիան Ժ. Լ. Լագրանժն անվանել է այն 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
   ֆունկցիաները, որոնք ներկայացնելի են՝

  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        
          a
          
            0
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        (
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        )
        +
        
          a
          
            2
          
        
        (
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)=a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^{2}(1)}
  (1) զուգամետ աստիճանային շարքի տեսքով, ուր 
  
    
      
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{0}}
  -ն մի որոշակի սևեռյալ արժեք է։
Ն. Աբելն ապացուցել է, որ եթե այդ շարքը զուգամետ Է 
  
    
      
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{0}}
  -ից տարբեր 
  
    
      
        z
        =
        
          z
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle z=z_{1}}
   արժեքի համար, ապա այն զուգամետ է նաև յուրաքանչյուր կոմպլեքս 
  
    
      
        z
        =
        x
        +
        i
        y
      
    
    {\displaystyle z=x+iy}
   արժեքի համար, եթե 
  
    
      
        
          |
        
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          |
        
        <
        
          |
        
        
          z
          
            1
          
        
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |z-z_{0}|<|z_{1}-z_{0}|}
  ։
(1) շարքը զուգամետ է կամ միայն 
  
    
      
        z
        =
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z=z_{0}}
   կետում, կամ էլ 
  
    
      
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{0}}
  
կենտրոնով շրջանում։ Այս երկրորդ դեպքում ասում են, որ 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
   ֆունկցիան անալիտիկ է 
  
    
      
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{0}}
   կետում։
Անջատելով (1) շարքի իրական և կեղծ մասերը՝ կստանանք.

  
    
      
        w
        =
        f
        (
        z
        )
        +
        φ
        (
        x
        ,
        y
        )
        +
        i
        ψ
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle w=f(z)+\varphi (x,y)+i\psi (x,y)}
  ուր 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  -ն և 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  -ն բացահայտ կգրվեն 
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},...}
  , գործակիցների և 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ,
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x,y,z_{0}}
   թվերի միջոցով։

  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
   և 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
   ֆունկցիաները բավարարում են Կոշու և Ռիմանի

  
    
      
        
          
            
              ∂
              φ
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        
          |
        
        
          
            
              ∂
              ψ
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}=|{\frac {\partial \psi }{\partial y}}|}
  , 
  
    
      
        
          
            
              ∂
              ψ
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        −
        
          |
        
        
          
            
              ∂
              φ
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        
          |
        
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}=-|{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}|(2)}
  հավասարումներին։ Ճիշտ է նաև հակադարձը. եթե 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
   և 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
   ֆունկցիաները բավարարում են (2) պայմաններին և գրված ածանցյալներն անընդհատ են, ապա

  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        φ
        (
        x
        ,
        y
        )
        +
        i
        ψ
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)=\varphi (x,y)+i\psi (x,y)}
  ֆունկցիան կլինի անալիտիկ ֆունկցիա այն տիրույթում, ուր բավարարվում են (2) պայմանները։
Երբ 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
   անալիտիկ ֆունկցիան իրական է արգումենտի իրական արժեքի համար, այն կոչվում է իրական անալիտիկ ֆունկցիա։ Անալիտիկ ֆունկցիայի դասին են պատկանում տարրական ֆունկցիաների մեծամասնությունը (օրինակ 
  
    
      
        
          e
          
            z
          
        
        ,
        sin
        ⁡
        z
        ,
        
          z
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{z},\sin z,z^{n}}
  ), ինչպես նաև շատ ո՛չ տարրական ֆունկցիաներ։


== Գրականություն ==
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.