Քառանիստ

Տետրաէդր կամ քառանիստ (հին հունարեն՝ τετρά-εδρον ← τέσσᾰρες / τέσσερες / τέττᾰρες / τέττορες / τέτορες «չորս» + ἕδρα «նստույք, հիմք»),  պարզագույն բազմանիստ, որի նիստերը հանդիսանում են չորս եռանկյուններ։
Քառանիստը հանդիսանում է եռանկյուն բուրգ։ Քառանիստն ունի 4 գագաթ, 4 նիստ, 6 կող։
Քառանիստը, որի բոլոր նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ է, կոչվում է կանոնավոր քառանիստ։ Կանոնավոր քառանիստը հանդիսանում է 5 կանոնավոր բազմանիստերից մեկը։
Քառանիստի յուրաքանչյուր գագաթով անցնում է 3 նիստ և 3 կող, յուրաքանչյուր կողով 2 նիստ։


== Էյլերի բանաձևը քառանիստի համար ==
Ըստ Էյլերի բանաձևի, ցանկացած բազմանիստի համար գագաթների թվին գումարենք նիստերի թիվը և հանենք կողմերի թիվը կստանանք 2։

4 + 4 - 6 = 2
2 = 2


== Քառանիստի տեսակներ ==


=== Հավասարանիստ քառանիստ ===

Բոլոր նիստերը իրենցից ներկայացնում են իրար հավասար եռանկյուններ։ Հավասարանիստ քառանիստի փռվածքը հանդիսանում է եռանկյուն՝ միջին գծերով բաժանված չորս հավասար եռանկյունների։ Հավասարանիստ քառանիստի նիստերի բարձրությունների հիմքերը, բարձրությունների միջնակետերը և բարձրությունների հատման կետերը ընկած են մեկ գնդային մակերևույթի վրա (12 կետերի գնդային մակերևույթ) (Եռանկյան համար Էյլերի շրջանագծի անալոգը)։
Հավասարանիստ քառանիստի հատկություններ.

Նրա բոլոր նիստերը հավասար են (կոնգրուէնտ են)։
Խաչվող կեղերը զույգ առ զույգ հավասար են։
Եռանիստ անկյունները հավասար են։
Հակադիր անկյունները հավասար են։
Մեկ կողի վրա հենված երկու հարթ անկյունները հավասար են։
Յուրաքանչյուր գագաթի հարթ անկյունների գումարը հավասար է 180°:
Քառանիստի փռվածքը եռանկյուն է կամ զուգահեռագիծ։
Արտագծած զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է։
Քառանիստն ունի համաչափության երեք առանցք։
Խաչվող կողերի ընհանուր ուղղահայացները զույգ առ զույգ ուղղահայաց են։
Միջին գծերը զույգ առ զույգ ուղղահայաց են։
Նիստերի պարագծերը հավասար են։
Նիստերի մակերեսները հավասար են։
Քառանիստի բարձրությունները հավասար են։
Հանդիպակած նիստերի ծանրության կենտրոնները գագաթներին միացնող հատվածներն իրար հավասար են։
Նիստերին արտագծած շրջանագծերի շառավղերը հավասար են։
Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ։
Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է ներգծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ։
Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթների կենտրոնները համընկնում են։
Ներգծած գնդային մակերևույթը նիստերին շոշափում է նիստերին արտագծած շրջանագծերի կենտրոններում։
Ներքին միավոր նորմալների գումարը (նիստերին ուղղահայաց միավոր վեկտորները) հավասար է զրոյի։
Բոլոր երկնիստ անկյունների գումարը հավասար է զրոյի։


== Քառանիստի ծավալ ==
Քառանիստի գագաթի կոորդինատներն են 
  
    
      
         
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ~\mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}
  ,

  
    
      
         
        
          
            r
          
          
            2
          
        
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ~\mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2})}
  , 
  
    
      
         
        
          
            r
          
          
            3
          
        
        (
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        
          y
          
            3
          
        
        ,
        
          z
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ~\mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3})}
  ,

  
    
      
         
        
          
            r
          
          
            4
          
        
        (
        
          x
          
            4
          
        
        ,
        
          y
          
            4
          
        
        ,
        
          z
          
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ~\mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4})}
  , որոնք հավասար են։

  
    
      
         
        V
        =
        
          
            1
            6
          
        
        
          
            |
            
              
                
                  1
                
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  1
                
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  1
                
                
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      3
                    
                  
                
              
              
                
                  1
                
                
                  
                    x
                    
                      4
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      4
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      4
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle ~V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}}
  


== Եռանկյան և քառանիստի բանաձևերի համեմատում ==


== Քառանիստը ոչ էվկլիդյան տարածություններում ==


=== Ոչ էվկլիդյան քառանիստի ծավալ ===
Գոյություն ունեն ոչ էվկլիդյան քառանիստի ծավալի հաշվան բազում բանաձևեր ։ Օրինակ, հիպերբոլային քառանիստի համար Դերեվնին—Մեդնիխի բանաձևը  և գնդային քառանիստի համար Ջ. Մուրակամիի բանաձևը։ Գնդաձև տարածությունում և Լոբաչևսկու տարածությունում քառանիստի ծավալը, որպես կանոն, չեն արտահայտվում տարրական ֆունկցիաներով։


=== Քառանիստի երկնիստ անկյունների հարաբերություն ===

  
    
      
        det
        ⁡
        Ψ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \operatorname {det} \Psi >0}
   — գնդային քառանիստի համար։

  
    
      
        det
        ⁡
        Ψ
        <
        0
      
    
    {\displaystyle \operatorname {det} \Psi <0}
   — հիպերբոլային քառանիստի համար։
Որտեղ 
  
    
      
        Ψ
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  −
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    A
                    
                      2
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  −
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    A
                    
                      3
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  −
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    A
                    
                      4
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  −
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    A
                    
                      2
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
                
                  −
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    A
                    
                      3
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  −
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    A
                    
                      4
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  −
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    A
                    
                      3
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  −
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    A
                    
                      3
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
                
                  −
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    A
                    
                      4
                      ,
                      3
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  −
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    A
                    
                      4
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  −
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    A
                    
                      4
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  −
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    A
                    
                      4
                      ,
                      3
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi ={\begin{pmatrix}1&-\cos(A_{2,1})&-\cos(A_{3,1})&-\cos(A_{4,1})\\-\cos(A_{2,1})&1&-\cos(A_{3,2})&-\cos(A_{4,2})\\-\cos(A_{3,1})&-\cos(A_{3,2})&1&-\cos(A_{4,3})\\-\cos(A_{4,1})&-\cos(A_{4,2})&-\cos(A_{4,3})&1\\\end{pmatrix}}}
   -ն գնդային և հիպերբոլային քառանիստի երկնիստ անկյունների համար Գրամի մատրիցն է։

  
    
      
        
          A
          
            i
            ,
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{i,j}}
  -ն  i և j գագաթներով հակառակ դասավորված նիստերի կազմած անկյունն է։


=== Կոսինուսների թեորեմ ===

  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        
          A
          
            i
            ,
            j
          
        
        )
        =
        −
        
          
            
              Φ
              
                i
                ,
                j
              
            
            
              
                Φ
                
                  i
                  ,
                  i
                
              
              
                Φ
                
                  j
                  ,
                  j
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos(A_{i,j})=-{\frac {\Phi _{i,j}}{\sqrt {\Phi _{i,i}\Phi _{j,j}}}}}
   — գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար։

  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        
          α
          
            i
            ,
            j
          
        
        )
        =
        
          
            
              Ψ
              
                i
                ,
                j
              
            
            
              
                Ψ
                
                  i
                  ,
                  i
                
              
              
                Ψ
                
                  j
                  ,
                  j
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos(\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j}}{\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j,j}}}}}
   — գնդային քառանիստի համար։

  
    
      
        ch
        ⁡
        (
        
          α
          
            i
            ,
            j
          
        
        )
        =
        
          
            
              Ψ
              
                i
                ,
                j
              
            
            
              
                Ψ
                
                  i
                  ,
                  i
                
              
              
                Ψ
                
                  j
                  ,
                  j
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} (\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j}}{\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j,j}}}}}
   — հիպերբոլային քառանիստի համար։
Որտեղ 
  
    
      
        Φ
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      2
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      2
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      3
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      3
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi ={\begin{pmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1})\\\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})\\\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\alpha _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}}
   -ն գնդային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է։

  
    
      
        Φ
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      2
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      2
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      3
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      3
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi ={\begin{pmatrix}1&\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})\\\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})\\\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})\\\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}}
  -ն հիպերբոլային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է։

  
    
      
        
          α
          
            i
            ,
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{i,j}}
   -ն i և j գագաթների միջև տրված հեռավորությունն է։

  
    
      
        
          Ψ
          
            i
            ,
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi _{i,j}}
  -ն 
  
    
      
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \Psi }
   մատրիցային հանրահաշվական լրացումն է։


=== Սինուսների թեորեմ ===

  
    
      
        
          
            
              Φ
              
                1
                ,
                1
              
            
            
              Ψ
              
                1
                ,
                1
              
            
          
        
        =
        
          
            
              Φ
              
                2
                ,
                2
              
            
            
              Ψ
              
                2
                ,
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            
              Φ
              
                3
                ,
                3
              
            
            
              Ψ
              
                3
                ,
                3
              
            
          
        
        =
        
          
            
              Φ
              
                4
                ,
                4
              
            
            
              Ψ
              
                4
                ,
                4
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\Phi _{1,1}}{\Psi _{1,1}}}={\frac {\Phi _{2,2}}{\Psi _{2,2}}}={\frac {\Phi _{3,3}}{\Psi _{3,3}}}={\frac {\Phi _{4,4}}{\Psi _{4,4}}}}
   — գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար։


=== Արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղ ===

  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  1
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      2
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
              
              
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      2
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
              
              
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      3
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
              
              
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      3
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  
                    
                      1
                      
                        
                          cos
                          
                            2
                          
                        
                        ⁡
                        (
                        R
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1})&1\\\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})&1\\\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\alpha _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\cos ^{2}(R)}}\\\end{vmatrix}}=0}
   — գնդային քառանիստի համար։
Արտահայտության մեկ այլ գրառում. 
  
    
      
        
          
            1
            
              cos
              ⁡
              (
              R
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              
                |
              
              
                
                  
                    Φ
                    
                      1
                      ,
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    n
                    
                      1
                    
                  
                  →
                
              
              +
              
                
                  
                    Φ
                    
                      2
                      ,
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    n
                    
                      2
                    
                  
                  →
                
              
              +
              
                
                  
                    Φ
                    
                      3
                      ,
                      3
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    n
                    
                      3
                    
                  
                  →
                
              
              +
              
                
                  
                    Φ
                    
                      4
                      ,
                      4
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    n
                    
                      4
                    
                  
                  →
                
              
              
                |
              
            
            
              det
              ⁡
              Φ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {n_{1}}}+{\sqrt {\Phi _{2,2}}}{\overrightarrow {n_{2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}{\overrightarrow {n_{3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}{\overrightarrow {n_{4}}}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          
            
              n
              
                1
              
            
            →
          
        
        ,
        
          
            
              n
              
                2
              
            
            →
          
        
        ,
        
          
            
              n
              
                3
              
            
            →
          
        
        ,
        
          
            
              n
              
                4
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {n_{1}}},{\overrightarrow {n_{2}}},{\overrightarrow {n_{3}}},{\overrightarrow {n_{4}}}}
   քառանիստի նիստերի նորմալներն են։
Կամ քառանիստի գագաթի կոորդինատներով. 
  
    
      
        
          
            1
            
              cos
              ⁡
              (
              R
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              
                |
              
              
                
                  |
                  
                    
                      
                        0
                      
                      
                        
                          
                            
                              i
                              
                                1
                              
                            
                            →
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              i
                              
                                2
                              
                            
                            →
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              i
                              
                                3
                              
                            
                            →
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              i
                              
                                4
                              
                            
                            →
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        1
                      
                      
                        
                          X
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        
                          Y
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        
                          Z
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        
                          T
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        1
                      
                      
                        
                          X
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        
                          Y
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        
                          Z
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        
                          T
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        1
                      
                      
                        
                          X
                          
                            3
                          
                        
                      
                      
                        
                          Y
                          
                            3
                          
                        
                      
                      
                        
                          Z
                          
                            3
                          
                        
                      
                      
                        
                          T
                          
                            3
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        1
                      
                      
                        
                          X
                          
                            4
                          
                        
                      
                      
                        
                          Y
                          
                            4
                          
                        
                      
                      
                        
                          Z
                          
                            4
                          
                        
                      
                      
                        
                          T
                          
                            4
                          
                        
                      
                    
                  
                  |
                
              
              
                |
              
            
            
              det
              ⁡
              Φ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\begin{vmatrix}0&{\overrightarrow {i_{1}}}&{\overrightarrow {i_{2}}}&{\overrightarrow {i_{3}}}&{\overrightarrow {i_{4}}}\\1&X_{1}&Y_{1}&Z_{1}&T_{1}\\1&X_{2}&Y_{2}&Z_{2}&T_{2}\\1&X_{3}&Y_{3}&Z_{3}&T_{3}\\1&X_{4}&Y_{4}&Z_{4}&T_{4}\\\end{vmatrix}}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}}
  :

  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  1
                
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      2
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
              
              
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      2
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
              
              
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      3
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
              
              
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  ch
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      3
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  
                    
                      1
                      
                        
                          ch
                          
                            2
                          
                        
                        ⁡
                        (
                        R
                        )
                      
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}1&\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})&1\\\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})&1\\\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}(R)}}\\\end{vmatrix}}=0}
   — հիպերբոլոյաին քառանիստի համար։


=== Ներգծած գնդային մակերևույթի շառավիղ ===

  
    
      
        
          
            1
            
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              (
              r
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              
                Φ
                
                  1
                  ,
                  1
                
              
              +
              
                Φ
                
                  2
                  ,
                  2
                
              
              +
              
                Φ
                
                  3
                  ,
                  3
                
              
              +
              
                Φ
                
                  4
                  ,
                  4
                
              
              +
              2
              
                
                  
                    Φ
                    
                      1
                      ,
                      1
                    
                  
                  
                    Φ
                    
                      2
                      ,
                      2
                    
                  
                
              
              cos
              ⁡
              (
              
                α
                
                  1
                  ,
                  2
                
              
              )
              +
              2
              
                
                  
                    Φ
                    
                      1
                      ,
                      1
                    
                  
                  
                    Φ
                    
                      3
                      ,
                      3
                    
                  
                
              
              cos
              ⁡
              (
              
                α
                
                  1
                  ,
                  3
                
              
              )
              +
              2
              
                
                  
                    Φ
                    
                      1
                      ,
                      1
                    
                  
                  
                    Φ
                    
                      4
                      ,
                      4
                    
                  
                
              
              cos
              ⁡
              (
              
                α
                
                  1
                  ,
                  4
                
              
              )
              +
              2
              
                
                  
                    Φ
                    
                      2
                      ,
                      2
                    
                  
                  
                    Φ
                    
                      3
                      ,
                      3
                    
                  
                
              
              cos
              ⁡
              (
              
                α
                
                  2
                  ,
                  3
                
              
              )
              +
              2
              
                
                  
                    Φ
                    
                      2
                      ,
                      2
                    
                  
                  
                    Φ
                    
                      4
                      ,
                      4
                    
                  
                
              
              cos
              ⁡
              (
              
                α
                
                  2
                  ,
                  4
                
              
              )
              +
              2
              
                
                  
                    Φ
                    
                      3
                      ,
                      3
                    
                  
                  
                    Φ
                    
                      4
                      ,
                      4
                    
                  
                
              
              cos
              ⁡
              (
              
                α
                
                  3
                  ,
                  4
                
              
              )
            
            
              det
              ⁡
              Φ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\sin ^{2}(r)}}={\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3,3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2}}}\cos(\alpha _{1,2})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3}}}\cos(\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{3,3}}}\cos(\alpha _{2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _{3,3}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{3,4})}{\operatorname {det} \Phi }}}
   — գնդային քառանիստի համար։
Արտահայտության մեկ այլ գրառում. 
  
    
      
        
          
            1
            
              sin
              ⁡
              (
              r
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              
                |
              
              
                
                  
                    Φ
                    
                      1
                      ,
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    r
                    
                      1
                    
                  
                  →
                
              
              +
              
                
                  
                    Φ
                    
                      2
                      ,
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                  →
                
              
              +
              
                
                  
                    Φ
                    
                      3
                      ,
                      3
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    r
                    
                      3
                    
                  
                  →
                
              
              +
              
                
                  
                    Φ
                    
                      4
                      ,
                      4
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    r
                    
                      4
                    
                  
                  →
                
              
              
                |
              
            
            
              det
              ⁡
              Φ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\sin(r)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {r_{1}}}+{\sqrt {\Phi _{2,2}}}{\overrightarrow {r_{2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}{\overrightarrow {r_{3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}{\overrightarrow {r_{4}}}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          
            
              r
              
                1
              
            
            →
          
        
        ,
        
          
            
              r
              
                2
              
            
            →
          
        
        ,
        
          
            
              r
              
                3
              
            
            →
          
        
        ,
        
          
            
              r
              
                4
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}},{\overrightarrow {r_{3}}},{\overrightarrow {r_{4}}}}
   քառանիստի գագաթի միավոր շառավիղ վեկտորներն են։

  
    
      
        
          
            1
            
              
                sh
                
                  2
                
              
              ⁡
              (
              r
              )
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                Φ
                
                  1
                  ,
                  1
                
              
              +
              
                Φ
                
                  2
                  ,
                  2
                
              
              +
              
                Φ
                
                  3
                  ,
                  3
                
              
              +
              
                Φ
                
                  4
                  ,
                  4
                
              
              +
              2
              
                
                  
                    Φ
                    
                      1
                      ,
                      1
                    
                  
                  
                    Φ
                    
                      2
                      ,
                      2
                    
                  
                
              
              ch
              ⁡
              (
              
                α
                
                  1
                  ,
                  2
                
              
              )
              +
              2
              
                
                  
                    Φ
                    
                      1
                      ,
                      1
                    
                  
                  
                    Φ
                    
                      3
                      ,
                      3
                    
                  
                
              
              ch
              ⁡
              (
              
                α
                
                  1
                  ,
                  3
                
              
              )
              +
              2
              
                
                  
                    Φ
                    
                      1
                      ,
                      1
                    
                  
                  
                    Φ
                    
                      4
                      ,
                      4
                    
                  
                
              
              ch
              ⁡
              (
              
                α
                
                  1
                  ,
                  4
                
              
              )
              +
              2
              
                
                  
                    Φ
                    
                      2
                      ,
                      2
                    
                  
                  
                    Φ
                    
                      3
                      ,
                      3
                    
                  
                
              
              ch
              ⁡
              (
              
                α
                
                  2
                  ,
                  3
                
              
              )
              +
              2
              
                
                  
                    Φ
                    
                      2
                      ,
                      2
                    
                  
                  
                    Φ
                    
                      4
                      ,
                      4
                    
                  
                
              
              ch
              ⁡
              (
              
                α
                
                  2
                  ,
                  4
                
              
              )
              +
              2
              
                
                  
                    Φ
                    
                      3
                      ,
                      3
                    
                  
                  
                    Φ
                    
                      4
                      ,
                      4
                    
                  
                
              
              ch
              ⁡
              (
              
                α
                
                  3
                  ,
                  4
                
              
              )
            
            
              det
              ⁡
              Φ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}(r)}}=-{\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3,3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2}}}\operatorname {ch} (\alpha _{1,2})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3}}}\operatorname {ch} (\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{4,4}}}\operatorname {ch} (\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{3,3}}}\operatorname {ch} (\alpha _{2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4}}}\operatorname {ch} (\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _{3,3}\Phi _{4,4}}}\operatorname {ch} (\alpha _{3,4})}{\operatorname {det} \Phi }}}
   — հիպերբոլային քառանիստի համար։


=== Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնների միջև հեռավորություն ===

  
    
      
        
          
            
              cos
              ⁡
              (
              d
              )
            
            
              sin
              ⁡
              (
              r
              )
              cos
              ⁡
              (
              R
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  
                    Φ
                    
                      1
                      ,
                      1
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    Φ
                    
                      2
                      ,
                      2
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    Φ
                    
                      3
                      ,
                      3
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    Φ
                    
                      4
                      ,
                      4
                    
                  
                
              
            
            
              det
              ⁡
              Φ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\cos(d)}{\sin(r)\cos(R)}}={\frac {{\sqrt {\Phi _{1,1}}}+{\sqrt {\Phi _{2,2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}}
   — գնդային քառանիստի համար։


=== Քառանիստի բանաձևերը բարիցենտրիկ կոորդինատներով ===
Ներգծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.
  
    
      
        
          
            J
          
          
            r
          
        
        (
        
          
            
              Φ
              
                1
                ,
                1
              
            
          
        
        ,
        
          
            
              Φ
              
                2
                ,
                2
              
            
          
        
        ,
        
          
            
              Φ
              
                3
                ,
                3
              
            
          
        
        ,
        
          
            
              Φ
              
                4
                ,
                4
              
            
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} _{r}({\sqrt {\Phi _{1,1}}},{\sqrt {\Phi _{2,2}}},{\sqrt {\Phi _{3,3}}},{\sqrt {\Phi _{4,4}}}).}
   — գնդային քառանիստի համար։

Արտագծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.
  
    
      
        
          
            J
          
          
            R
          
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  0
                
                
                  
                    
                      J
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      J
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      J
                      
                        3
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      J
                      
                        4
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      1
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      1
                      ,
                      3
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      1
                      ,
                      4
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  1
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      2
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      2
                      ,
                      3
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      2
                      ,
                      4
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  1
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      3
                      ,
                      4
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  1
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  
                    α
                    
                      4
                      ,
                      3
                    
                  
                  )
                
                
                  1
                
              
            
            |
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf {J_{4}} \\1&1&\cos(\alpha _{1,2})&\cos(\alpha _{1,3})&\cos(\alpha _{1,4})\\1&\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{2,3})&\cos(\alpha _{2,4})\\1&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{3,4})\\1&\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\alpha _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{vmatrix}}.}
   — գնդային քառանիստի համար։


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Матизен В. Э., Дубровский. Из геометрии тетраэдра «Квант», № 9, 1988 г. С.66.
Заславский А. А. Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра // Математическое просвещение, сер. 3 (2004), № 8, стр. 78-92.
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 3. Треугольники и тетраэдры.2009 г.