Բաժանում (մաթեմատիկա)

Բաժանում (բաժանման գործողություն), բազմապատկմանը հակադարձ գործողություն։ Բաժանման պայմանական նշանն է զույգ կետերը «։»,  թեք «
  
    
      
        
          /
        
      
    
    {\displaystyle /}
  » կամ հորիզոնական «—» գիծը։
Այնպես, ինչպես արտադրյալը փոխարինում է միանման գումարելիների կրկնվող գումարին, բաժանումը փոխարինում է կրկնվող տարբերությանը։
Դիտարկենք, օրինակ 14 -ի բաժանումը 3-ի (14/3):
Քանի՞ 3 է տեղավորվում 14-ում։
Կրկնելով հանման գործողությունը 4 անգամ կտեսնենք, որ մնացորդ է մնում 2, այսինքն 14-ի մեձ 4 հատ 3 կա և 2 մնացորդ։
Այդ դեպքում 14-ը կոչվում է բաժանելի, 3-ը բաժանարար, 4-ը թերի քանորդ, իսկ 2-ը մնացորդ։
Բաժանմակ արդյունքը կոչվում է նաև հարաբերություն։


== Գրառման ձևեր և տերմինաբանություն ==
Բաժանումը կատարվում է բաժանման նշաններից մեկի օգտագործմամբ «
  
    
      
        
         
        
          /
        
        ,
         
        :
        ,
         
        −
      
    
    {\displaystyle \,~/,~:,~-}
  » ։ Բաժանման նշանը չունի հատուկ անուն, օրինակ գումարման նշանը անվանում ենք «պլյուս»։

Ակնհայտ է, որ ամենահին օգտագործվող նշանը թեք գիծն է(/)։ Առաջինը այն օգտագործել է անգլիացի մաթեմատիկ Վիլյամ Օտրեդը իր «Clavis Mathematicae» աշխատության մեջ (1631 թվական).
Գերմանացի մաթեմատիկոս Լեյբնիցը նախընտրում Էր բաժանման (:) երկու կետով նշանը։ Այդ նշանը նա օգտագործել է իր Acta eruditorum աշխատության մեջ (1684 թվական)։ Մինչև Լեյբնիցը այդ նշանն օգտագործել է Ջոնսոնը (1633 թվական)։
Յոհան Ռանըօգտագործեց օբելիուս  (÷) նշանը իր «Teutsche Algebra» աշխատության մեջ (1659 թվական),որը անվանում են նաև «անգլիական բաժանման նշան»։Շատ երկրներում հիմնականում օգտագործվում է (:) նշանը։ Թեք գիծը (/) օգտագործվում է հիմնականում համակարգչային տեքստերում։
Օրինակ․

  
    
      
        a
        :
        b
        =
        c
      
    
    {\displaystyle a:b=c}
   ․

  
    
      
        6
        :
        3
        =
        2
      
    
    {\displaystyle 6:3=2}
  («վեցը բաժանած երեքի հավասար է երկու») ․

  
    
      
        65
        :
        5
        =
        13
      
    
    {\displaystyle 65:5=13}
  («վաթսունհինգը բաժանած հինգի հավասար է տասներեքի») .


== Հատկություններ ==

  
    
      
        
          N
        
        ,
        
          Z
        
        ,
        
          Q
        
        ,
        
          R
        
        ,
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }
   թվային բազմությունների վրա բաժանումը ունի հետևյալ հատկությունները։

Արգումենտների տեղափոխությունից արդյունքը փոխվում է․
  
    
      
        a
        :
        b
        ≠
        b
        :
        a
        ;
      
    
    {\displaystyle a:b\neq b:a;}
  Երեք և ավելի թվերի հերթական բաժանման արժեքը կախված է գործողության հերթականությունից։
  
    
      
        (
        a
        :
        b
        )
        :
        c
        ≠
        a
        :
        (
        b
        :
        c
        )
        ;
      
    
    {\displaystyle (a:b):c\neq a:(b:c);}
  Բաժանումը աջից դիստրեբուտիվ է, ինչը կոչվում է նաև բաշխական օրենք
  
    
      
        (
        a
        +
        b
        )
        :
        x
        =
        (
        a
        :
        x
        )
        +
        (
        b
        :
        x
        )
        ,
         
        x
        ≠
        0
        ;
      
    
    {\displaystyle (a+b):x=(a:x)+(b:x),~x\neq 0;}
  

  
    
      
        x
        :
        1
        =
        x
        ;
      
    
    {\displaystyle x:1=x;}
  

  
    
      
        1
        :
        x
        =
        
          
            1
            x
          
        
        =
        
          x
          
            −
            1
          
        
        ,
         
        x
        ≠
        0
        ;
      
    
    {\displaystyle 1:x={\frac {1}{x}}=x^{-1},~x\neq 0;}
  
  
    
      
        0
        :
        x
        =
        0
        ,
        
        ∃
        0
        ∈
        A
        ,
         
        x
        ≠
        0
        ;
      
    
    {\displaystyle 0:x=0,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;}
  
  
    
      
        x
        :
        0
        =
        ∞
        ,
        
        ∃
        0
        ∈
        A
        ,
         
        x
        ≠
        0
        ;
      
    
    {\displaystyle x:0=\infty ,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;}
  
  
    
      
        x
        :
        (
        −
        x
        )
        =
        −
        1
        ,
        
        ∃
        !
        −
        x
        ∈
        A
        ,
         
        x
        ≠
        0.
      
    
    {\displaystyle x:(-x)=-1,\quad \exists !-x\in A,~x\neq 0.}
  


== Թվերի բաժանում ==


=== Բնական թվերի ===
Օգտագործում ենք բնական 
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
   թվերի սահմանումից, ինչպես համարժեք վերջավոր բազմության դաս։ Նշանակենք վերջավոր բազմությունների համարժեք 
  
    
      
        C
        ,
        A
        ,
        B
        ,
        R
      
    
    {\displaystyle C,A,B,R}
   դասակարգերը, փակագծերով տարբերակենք բիեկցիայով առաջացածները
  
    
      
        [
        C
        ]
        ,
        [
        A
        ]
        ,
        [
        B
        ]
        ,
        [
        R
        ]
      
    
    {\displaystyle [C],[A],[B],[R]}
  ։
Այդ դեպքում մաթեմատիկական բաժանման որոշվում է հետևյալ ձևով․

  
    
      
        
        [
        C
        ]
        =
        [
        A
        ]
        :
        [
        B
        ]
        =
        [
        →
        (
        A
        
          /
        
        B
        )
        ]
        
        &
        
        [
        R
        ]
      
    
    {\displaystyle \quad [C]=[A]:[B]=[\rightarrow (A/B)]\quad \&\quad [R]}
   -բաժանում  հավասար մասերի․

  
    
      
        
        [
        C
        ]
        =
        [
        A
        ]
        :
        [
        B
        ]
        =
        [
        A
        
          /
        
        (
        →
        B
        )
        ]
        
        &
        
        [
        R
        ]
      
    
    {\displaystyle \quad [C]=[A]:[B]=[A/(\rightarrow B)]\quad \&\quad [R]}
  -բաժանում պարունակությամբ․որտեղ․ 
  
    
      
        A
        
          /
        
        B
      
    
    {\displaystyle A/B}
   դա վերջնական բազմության բաժանումը հավասարաքանակ, չհատվող ենթաբազմությունների,այնպիսի, որ

  
    
      
        
          B
          
            α
          
        
        =
        
          B
          
            β
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle B_{\alpha }=B_{\beta },}
  
  
    
      
        
        
          ⋃
          
            α
            ∈
            C
          
        
        
          B
          
            α
          
        
        +
        R
        =
        A
        ,
      
    
    {\displaystyle \quad \bigcup \limits _{\alpha \in C}B_{\alpha }+R=A,}
   
  
    
      
        
        
          ⋂
          
            α
            ,
            β
            ∈
            C
          
        
        (
        
          B
          
            α
          
        
        ,
        
          B
          
            β
          
        
        ,
        R
        )
        =
        {
        ∅
        }
        ,
      
    
    {\displaystyle \quad \bigcap _{\alpha ,\beta \in C}(B_{\alpha },B_{\beta },R)=\{\emptyset \},}
   բոլոր գործակիցների համար 
  
    
      
        α
        ,
        β
        ∈
        C
      
    
    {\displaystyle \alpha ,\beta \in C}
  , այնպիսիք, որ 
  
    
      
        α
        ≠
        β
        ;
      
    
    {\displaystyle \alpha \not =\beta ;}
  

  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  -մնացորդն է, կամ բազմության մնացած տարրերը 
  
    
      
        {
        ∅
        }
        ⩽
        R
        <
        B
      
    
    {\displaystyle \{\emptyset \}\leqslant R<B}
  ,


=== Ամբողջ թվերի բաժանում ===
Թվերի բաժանումը էական տարբերություն չունի ամբողջ թվերի բաժանմամ ձևից, բավական է բաժանել դրանց բացարձակ արժեքները և հաշվի առնել նշանը։
Օրինակ՝  
  
    
      
        −
        7
        
          /
        
        (
        −
        3
        )
        =
        2
      
    
    {\displaystyle -7/(-3)=2}
   մնացորդը (-1) կամ 
  
    
      
        −
        7
        ≡
        2
        
          
          (
          mod
          
          3
          )
        
      
    
    {\displaystyle -7\equiv 2{\pmod {3}}}
  .
Ոչ միանշանկությունից դուրս գալու համար որոշված է մնացորդը ընդունել դրական թիվ։


=== Ռացիոնալ թվերի բաժանում ===
Կոտորակների բաժանում․


===  ===
  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
        :
        
          
            c
            d
          
        
        =
        
          
            
              a
              ⋅
              d
            
            
              b
              ⋅
              c
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              d
            
            
              b
              c
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}={\frac {ad}{bc}}}
  


=== Իրական թվերի բաժանում ===
Իրական թվերի բազմությունը, անընդհատ կարգավորված դաշտ է, որը նշանակվում է 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  . Իրական թվերի հետ թվաբանական գործողությունները համարվում են ռացիոնալ թվերի հետ կատարվող գործողությունների անընդհատ շարունակություն։

  
    
      
        α
        =
        ±
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        
          a
          
            2
          
        
        …
        
          a
          
            n
          
        
        …
        =
        {
        
          a
          
            n
          
        
        }
        ,
      
    
    {\displaystyle \alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},}
  

  
    
      
        β
        =
        ±
        
          b
          
            0
          
        
        ,
        
          b
          
            1
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        …
        
          b
          
            n
          
        
        …
        =
        {
        
          b
          
            n
          
        
        }
        ,
      
    
    {\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},}
  Եթե ՝ 
  
    
      
        α
        =
        [
        
          a
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \alpha =[a_{n}]}
   և  
  
    
      
        β
        =
        [
        
          b
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \beta =[b_{n}]}
  , ապա դրանց  քանորդ համարվում է  
  
    
      
        γ
        =
        [
        
          c
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \gamma =[c_{n}]}
  , որը որոշվում է
  
    
      
        {
        
          a
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{a_{n}\}}
   և  
  
    
      
        {
        
          b
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{b_{n}\}}
  :

  
    
      
        γ
        =
        α
        :
        β
        
          
            =
            def
          
        
        [
        
          a
          
            n
          
        
        ]
        :
        [
        
          b
          
            n
          
        
        ]
        =
        [
        
          a
          
            n
          
        
        
          /
        
        
          b
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \gamma =\alpha :\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]:[b_{n}]=[a_{n}/b_{n}]}
  ,իրական 
  
    
      
        γ
        =
        α
        :
        β
      
    
    {\displaystyle \gamma =\alpha :\beta }
   թիվը բավարարում է հետևյալ պայմանին՝

  
    
      
        ∀
        
          a
          ′
        
        ,
        
          a
          ″
        
        ,
        
          b
          ′
        
        ,
        
          b
          ″
        
        ∈
        
          Q
        
        ;
         
         
         
         
        (
        
          a
          ′
        
        ⩽
        α
        ⩽
        
          a
          ″
        
        )
        ∧
        (
        
          b
          ′
        
        ⩽
        β
        ⩽
        
          b
          ″
        
        )
        ⇒
        (
        
          a
          ′
        
        :
        
          b
          ′
        
        ⩽
        α
        
          /
        
        β
        ⩽
        
          a
          ″
        
        :
        
          b
          ″
        
        )
        ⇒
        (
        
          a
          ′
        
        :
        
          b
          ′
        
        ⩽
        γ
        ⩽
        
          a
          ″
        
        :
        
          b
          ″
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \alpha /\beta \leqslant a'':b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \gamma \leqslant a'':b'').}
  Այսպիսով, երկու իրական 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   և 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
   թվերի քանորդ հանդիսանում է իրական 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
   թիվը, որը գտնվում էբոլոր  
  
    
      
        
          a
          ′
        
        :
        
          b
          ′
        
      
    
    {\displaystyle a':b'}
   տեսքի քանորդների մեջ մի կողմից, մյուս կողմից 
  
    
      
        
          a
          ″
        
        :
        
          b
          ″
        
      
    
    {\displaystyle a'':b''}
  քանորդների միջև։

  
    
      
        γ
        =
        π
        :
        e
      
    
    {\displaystyle \gamma =\pi :e}
   բաժանման օրինակ, մինչև երրորդ թվի ճշտությամբ․

Կլորացնենք տրված թվերը մինչև 4-րդ թվի ճշտությամբ․
Ստանում ենք՝ 
  
    
      
        π
        ≈
        3.1416
        ,
         
        e
        ≈
        2.7183
      
    
    {\displaystyle \pi \approx 3.1416,\ e\approx 2.7183}
  ․
Բաժանում ենք սյունակով՝ 
  
    
      
        γ
        =
        π
        :
        e
        ≈
        3.1416
        :
        2.7183
        ≈
        1.1557
      
    
    {\displaystyle \gamma =\pi :e\approx 3.1416:2.7183\approx 1.1557}
  ․
Կլորացնենք երրորդ թվի ճշտությամբ՝ 
  
    
      
        γ
        ≈
        1.156
      
    
    {\displaystyle \gamma \approx 1.156}
  .


== Տես նաև ==
Բաժանելիության հայտանիշներ
Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար
Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ
Բազմանդամների բաժանումը սյունակով
Մնացորդով բաժանում


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Ильин В.А. и др. Математический анализ. Начальный курс.. — МГУ, 1985. — Т. 1. — 662 с.
Системы счисления. — Вологда: ГОУ СПО «Вологодский машиностроительный техникум», 2006. — С. 3. — 16 с.