Գրինի բանաձևեր

Գրինի բանաձևեր, տիրույթով և նրա եզրագծով տարածված ինտեգրալների միջև կապ հաստատող բանաձևեր։
Սա անվանվել է ի պատիվ Ջորջ Գրինի։ Սա որոշ թեորեմների հատուկ բանալի է, որոնք կապված են երկչափ տարածությունների հետ։

  
    
      
        
          ∮
          
            C
          
        
        (
        L
        
        d
        x
        +
        M
        
        d
        y
        )
        =
        
          ∬
          
            D
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  M
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  L
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
          
          )
        
        
        d
        x
        
        d
        y
      
    
    {\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}
  և

  
    
      
        
          ∮
          
            C
          
        
        L
        
        d
        x
        =
        
          ∬
          
            D
          
        
        
          (
          
            −
            
              
                
                  ∂
                  L
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
          
          )
        
        
        d
        A
        
        
          (
          1
          )
        
      
    
    {\displaystyle \oint _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(1)} }
  և

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ∬
                  
                    D
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      L
                    
                    
                      ∂
                      y
                    
                  
                
                
                d
                A
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    a
                  
                  
                    b
                  
                
                
                
                  ∫
                  
                    
                      g
                      
                        1
                      
                    
                    (
                    x
                    )
                  
                  
                    
                      g
                      
                        2
                      
                    
                    (
                    x
                    )
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      L
                    
                    
                      ∂
                      y
                    
                  
                
                (
                x
                ,
                y
                )
                
                d
                y
                
                d
                x
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    a
                  
                  
                    b
                  
                
                
                  
                    {
                  
                
                L
                (
                x
                ,
                
                  g
                  
                    2
                  
                
                (
                x
                )
                )
                −
                L
                (
                x
                ,
                
                  g
                  
                    1
                  
                
                (
                x
                )
                )
                
                  
                    }
                  
                
                
                d
                x
                .
                
                
                  (
                  3
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dA&=\int _{a}^{b}\,\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,dx.\qquad \mathrm {(3)} \end{aligned}}}
  


== Աղբյուրներ ==
Calculus (5th edition), F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.
Advanced Calculus (3rd edition), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.