Գծային համակարգ


== Գծային համակարգերի շարժման ըստ կարևորության ղեկավարելիության մասին ==
Դիտարկենք հետևյալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը՝

  
    
      
        
          
            
              
                
                  x
                  ˙
                
              
            
            
              j
            
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          ∑
          
            s
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              a
              
                j
                s
              
            
          
          (
          t
          )
          
            
              x
              
                s
              
            
          
        
        +
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            k
          
        
        
          
            α
            
              i
            
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                s
                =
                1
              
              
                
                  r
                  
                    i
                  
                
              
            
            
              
                b
                
                  j
                  s
                
                
                  (
                  i
                  )
                
              
              (
              t
              )
              
                u
                
                  s
                
                
                  (
                  i
                  )
                
              
            
          
          )
        
        
        
        (
        j
        =
        1
        ,
        .
        .
        .
        ,
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {{\dot {x}}_{j}}(t)=\sum \limits _{s=1}^{n}{{a_{js}}(t){x_{s}}}+\sum \limits _{i=1}^{k}{\alpha _{i}}\left({\sum \limits _{s=1}^{r_{i}}{b_{js}^{(i)}(t)u_{s}^{(i)}}}\right)\quad \quad (j=1,...,n)}
  (1.1)
Սահմանենք (1.1) համակարգի լրիվ ղեկավարելիությունը։
 Սահմանում  [1]։ (1.1) համակարգը կանվանենք լրիվ ղեկավարելի 
  
    
      
        
          [
          
            
              
                t
                
                  0
                
              
            
            ,
            
              
                t
                
                  1
                
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \left[{{t_{0}},{t_{1}}}\right]}
   ժամանակահատվածի վրա, եթե 
  
    
      
        {
        
          
            u
            
              (
              1
              )
            
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            u
            
              (
              k
              )
            
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{{u^{(1)}},\ldots ,{u^{(k)}}\}}
   ղեկավարումների համախմբությունից կարելի է գտնել այնպիսի ղեկավարումներ, որոնց ազդեցությամբ (1.1) համակարգը կամայական 
  
    
      
        x
        (
        
          
            t
            
              0
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x({t_{0}})}
   սկզբնական դիրքից կարելի է տեղափոխել կամայական 
  
    
      
        x
        (
        
          
            t
            
              1
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x({t_{1}})}
   վերջնական դիրք։
(1.1) համակարգի ղեկավարելիության ուսումնասիրության համար նպատակահարմար է կատարել հետևյալ նշանակումները [1]

  
    
      
        B
        (
        t
        ,
        α
        )
        =
        (
        
          α
          
            1
          
        
        
          B
          
            (
            1
            )
          
        
        (
        t
        )
        ,
        …
        ,
        
          α
          
            k
          
        
        
          B
          
            (
            k
            )
          
        
        (
        t
        )
        )
        ,
        
        U
        =
        
          (
          
            
              
                
                  
                    u
                    
                      (
                      1
                      )
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    u
                    
                      (
                      k
                      )
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle B(t,\alpha )=(\alpha _{1}B^{(1)}(t),\ldots ,\alpha _{k}B^{(k)}(t)),\,U=\left({\begin{array}{c}u^{(1)}\\\vdots \\u^{(k)}\end{array}}\right)}
  (1.2)
Այստեղ 
  
    
      
        B
        (
        t
        ,
        α
        )
      
    
    {\displaystyle B(t,\alpha )}
   մատրիցը ունի 
  
    
      
        (
        n
        ×
        r
        )
      
    
    {\displaystyle (n\times r)}
   չափողականություն, որտեղ 
  
    
      
        r
        =
        
          
            
              ∑
              k
            
            
              i
              =
              1
            
          
        
        
          r
          
            i
          
        
        ,
        
        α
      
    
    {\displaystyle r={\underset {i=1}{\overset {k}{\sum }}}r_{i},\,\alpha }
   պարամեարերի համախմբությունը, իսկ U վեկտոր-սյան չափողականությունը հավասար է r։
Հաշվի առնելով (1.2) նշանակումները (1.1) համակարգը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով

  
    
      
        
          
            
              x
              ˙
            
          
        
        =
        A
        (
        t
        )
        x
        +
        B
        (
        t
        ,
        α
        )
        U
      
    
    {\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x+B(t,\alpha )U}
  (1.3)
Ենթադրենք 
  
    
      
        A
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle A(t)}
   և 
  
    
      
        B
        (
        t
        ,
        α
        )
      
    
    {\displaystyle B(t,\alpha )}
   մատրիցների էլեմենտները համապատասխանաբար ունեն ընդհուպ մինչև 
  
    
      
        (
        n
        −
        2
        )
      
    
    {\displaystyle (n-2)}
  –րդ և 
  
    
      
        (
        n
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (n-1)}
  –րդ կարգի անընդհատ ածանցյալներ ըստ t-ի, 
  
    
      
        
          [
          
            
              
                t
                
                  0
                
              
            
            ,
            
              
                t
                
                  1
                
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \left[{{t_{0}},{t_{1}}}\right]}
   հատվածի գոնե ինչ-որ 
  
    
      
        t
        =
        
          
            t
            
              ∗
            
          
        
      
    
    {\displaystyle t={t_{*}}}
   կետի շրջակայքում։ Այդ 
  
    
      
        t
        =
        
          
            t
            
              ∗
            
          
        
      
    
    {\displaystyle t={t_{*}}}
   կետի շրջակայքում ներմուծենք 
  
    
      
        
          
            L
            
              k
            
          
        
        (
        t
        ,
        α
        )
      
    
    {\displaystyle {L_{k}}(t,\alpha )}
   մատրիցները հետևյալ ռեկուրենտ (անդրադարձ) առնչություններով՝

  
    
      
        
          
            L
            
              1
            
          
        
        (
        t
        ,
        α
        )
        =
        B
        (
        t
        ,
        α
        )
        ,
        
        
          
            L
            
              j
            
          
        
        (
        t
        ,
        α
        )
        =
        A
        (
        t
        )
        
          
            L
            
              j
              −
              1
            
          
        
        (
        t
        ,
        α
        )
        −
        
          
            
              d
              
                
                  L
                  
                    j
                    −
                    1
                  
                
              
              (
              t
              ,
              α
              )
            
            
              d
              t
            
          
        
        ,
        
        (
        j
        =
        2
        ,
        .
        .
        .
        ,
        n
        )
      
    
    {\displaystyle {L_{1}}(t,\alpha )=B(t,\alpha ),\;{L_{j}}(t,\alpha )=A(t){L_{j-1}}(t,\alpha )-{\frac {d{L_{j-1}}(t,\alpha )}{dt}},\;(j=2,...,n)}
  (1.4)
Հետևաբար, համաձայն [2], (1.3) ոչ ստացիոնար համակարգի համար տեղի ունի հետևյալ թեորեմը (լրիվ ղեկավարելիության բավարար պայմանը) [1]
 Թեորեմ 1:  Դիցուք 
  
    
      
        
          [
          
            
              
                t
                
                  0
                
              
            
            ,
            
              
                t
                
                  1
                
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \left[{{t_{0}},{t_{1}}}\right]}
   հատվածում գոյություն ունի 
  
    
      
        t
        =
        
          
            t
            
              ∗
            
          
        
      
    
    {\displaystyle t={t_{*}}}
   կետ, որում

  
    
      
        K
        (
        t
        ,
        α
        )
        =
        {
        
          
            L
            
              1
            
          
        
        (
        t
        ,
        α
        )
        ,
        …
        ,
        
          
            L
            
              n
            
          
        
        (
        t
        ,
        α
        )
        }
      
    
    {\displaystyle K(t,\alpha )=\{{L_{1}}(t,\alpha ),\ldots ,{L_{n}}(t,\alpha )\}}
  (1.5)
մատրիցի ռանգը հավասար է n-ի։ Այդ դեպքում (1.3) համակարգը լրիվ ղեկավարելի է հատվածի վրա։
Եթե (1.3) համակարգը ստացիոնար է, այսինքն՝

  
    
      
        
          
            
              x
              ˙
            
          
        
        =
        A
        x
        +
        B
        (
        α
        )
        U
      
    
    {\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(\alpha )U}
  (1.6)
ապա 
  
    
      
        K
        (
        t
        ,
        α
        )
        =
        K
        (
        α
        )
      
    
    {\displaystyle K(t,\alpha )=K(\alpha )}
   մատրիցը, համաձայն (1.4)-ի կընդունի հետևյալ պարզ տեսքը

  
    
      
        K
        (
        α
        )
        =
        {
        B
        (
        α
        )
        ,
        A
        B
        (
        α
        )
        ,
        …
        ,
        
          
            A
            
              n
              −
              1
            
          
        
        B
        (
        α
        )
        }
      
    
    {\displaystyle K(\alpha )=\{B(\alpha ),AB(\alpha ),\ldots ,{A^{n-1}}B(\alpha )\}}
  (1.7)
(1.5)-ը և (1.7)-ը Կալմանի մատրիցներն են համապատասխանաբար ոչ ստացիոնար՝ (1.3) և ստացիոնար՝ (1.6) համակարգերի համար։
 Թեորեմ 2:  Որպեսզի (1.6) ստացիոնար համակարգը լինի լրիվ ղեկավարելի կամայական 
  
    
      
        
          [
          
            
              
                t
                
                  0
                
              
            
            ,
            
              
                t
                
                  1
                
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \left[{{t_{0}},{t_{1}}}\right]}
   հատվածի վրա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ ղեկավարելիության 
  
    
      
        K
        (
        α
        )
      
    
    {\displaystyle K(\alpha )}
   (1.7) մատրիցի ռանգը հավասար լինի n-ի։
Այս թեորեմների ապացույցը կատարվում է [2]-ում բերված համանման թեորեմների ապացույցների ձևով։
Հարկ է նշել, որ մի քանի 
  
    
      
        
          
            u
            
              (
              i
              )
            
          
        
        
        (
        i
        =
        1
        ,
        .
        .
        .
        ,
        k
        )
      
    
    {\displaystyle {u^{(i)}}\;(i=1,...,k)}
   ղեկավարող ազդեցություններով համակարգի ղեկավարման հնարավորության դեպքում, լրիվ ղեկավարելիության հատկությունը ընդունում է առանձնահատուկ տեսք։
Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ համակարգը

  
    
      
        
          {
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            x
                          
                          
                            1
                          
                        
                        ˙
                      
                    
                  
                  =
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  2
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    α
                    
                      1
                    
                  
                  
                    u
                    
                      1
                    
                  
                  −
                  
                    α
                    
                      2
                    
                  
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            x
                          
                          
                            2
                          
                        
                        ˙
                      
                    
                  
                  =
                  2
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    α
                    
                      1
                    
                  
                  
                    u
                    
                      1
                    
                  
                  −
                  
                    α
                    
                      2
                    
                  
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}{\dot {{x}_{1}}}=x_{1}+2x_{2}+\alpha _{1}u_{1}-\alpha _{2}u_{2}\\{\dot {{x}_{2}}}=2x_{1}+x_{2}+\alpha _{1}u_{1}-\alpha _{2}u_{2}\end{array}}\right.}
  (1.8)
Կազմենք այս համակարգի համար Կալմանի մատրիցները (երբ 
  
    
      
        
          
            α
            
              2
            
          
        
        =
        0
        ,
        
        
          
            α
            
              1
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\alpha _{2}}=0,\;{\alpha _{1}}=0}
   և միաժամանակ 
  
    
      
        
          
            α
            
              1
            
          
        
        ≠
        0
        ,
        
        
          
            α
            
              2
            
          
        
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle {\alpha _{1}}\neq 0,\;{\alpha _{2}}\neq 0}
   դեպքերում)։

  
    
      
        
          K
          
            1
          
        
        (
        
          α
          
            1
          
        
        )
        =
        
          (
          
            
              
                
                  
                    α
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  3
                  
                    α
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    α
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  3
                  
                    α
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle K_{1}(\alpha _{1})=\left({\begin{array}{cc}\alpha _{1}&3\alpha _{1}\\\alpha _{1}&3\alpha _{1}\end{array}}\right),\,}
  

  
    
      
        
          K
          
            2
          
        
        (
        
          α
          
            2
          
        
        )
        =
        
          (
          
            
              
                
                  −
                  
                    α
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    α
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    α
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    α
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle K_{2}(\alpha _{2})=\left({\begin{array}{cc}-\alpha _{2}&\alpha _{2}\\\alpha _{2}&-\alpha _{2}\end{array}}\right),\,}
  

  
    
      
        K
        (
        
          α
          
            1
          
        
        ,
        
          α
          
            2
          
        
        )
        =
        
          (
          
            
              
                
                  
                    α
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    α
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  3
                  
                    α
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    α
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    α
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    α
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  3
                  
                    α
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    α
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle K(\alpha _{1},\alpha _{2})=\left({\begin{array}{cccc}\alpha _{1}&-\alpha _{2}&3\alpha _{1}&\alpha _{2}\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&3\alpha _{1}&\alpha _{2}\end{array}}\right)}
  
Ղեկավարելիության մատրիցների տեսքերից երևում է, որ (1.8) համակարգը առանձին-առանձին ըստ 
  
    
      
        
          
            u
            
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {u_{1}}}
   ղեկավարման կամ 
  
    
      
        
          
            u
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {u_{2}}}
   ղեկավարման լրիվ ղեկավարելի չէ, քանի որ 
  
    
      
        
          
            K
            
              1
            
          
        
        (
        
          
            α
            
              1
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {K_{1}}({\alpha _{1}})}
   և 
  
    
      
        
          
            K
            
              2
            
          
        
        (
        
          
            α
            
              2
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {K_{2}}({\alpha _{2}})}
   մատրիցների ռանգերը հավասար չեն 2-ի։ Իսկ 
  
    
      
        
          
            u
            
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {u_{1}}}
   և 
  
    
      
        
          
            u
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {u_{2}}}
   ղեկավարումների միաժամանակ առկայության դեպքում 
  
    
      
        K
        (
        
          
            α
            
              1
            
          
        
        ,
        
          
            α
            
              2
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle K({\alpha _{1}},{\alpha _{2}})}
   մատրիցի ռանգը 2 է, այսինքն՝ (1.8) համակարգը 
  
    
      
        
          
            u
            
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {u_{1}}}
   և 
  
    
      
        
          
            u
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {u_{2}}}
   ղեկավարումների համախմբությամբ լրիվ ղեկավարելի է։


== Արտաքին հղումներ ==
Ֆեյնմանի դասախոսությունը գծային համակարգերի մասին