Թունելային երևույթ

Թունելային երևույթ, քվանտային թունելացում, քվանտամեխանիկական երևույթ, որը նկարագրում է մասնիկի անցումը պոտենցիալային արգելքով, երբ արգելքի բարձրությունը գերազանցում է մասնիկի էներգիան։ Թունելային երևույթն ունի մեծ նշանակություն ինչպես հիմնարար ֆիզիկայում, այնպես էլ կիրառություններում. թունելային երևույթի գոյությամբ են բացատրվում միջուկների ալֆա-տրոհումը, արևի վրա ընթացող ջերմամիջուկային ռեակցիաները և մի շարք այլ ֆիզիկական երևույթներ։ Թունելային երևույթի վրա է հիմնված թունելային դիոդի, տեսածրող թունելային մանրադիտակի և այլ սարքերի աշխատանքը։
Թունելային երևույթը բացառապես քվանտային երևույթ է և բացակայում է դասական ֆիզիկայում. այդպիսի երևույթի գոյությունը հակասում է դասական ֆիզիկայի օրենքներին։ Որպես թունելային երևույթի անալոգ ալիքային օպտիկայում կարելի է դիտարկել լուսային ալիքի թափանցումը անդրադարձնող միջավայր՝ ալիքի երկարության կարգի խորությամբ, այն դեպքում, երբ երկրաչափական օպտիկայի տեսակետից տեղի է ունենում լրիվ ներքին անդրադարձում։


== Պատմություն ==
Թունելային երևույթի հայտնաբերումն ու տեսության զարգացումը սկիզբ են առել ռադիոակտիվության ուսումնասիրություններից։ Ռադիոակտիվությունը հայտնաբերվել է Անրի Բեքերելի կողմից՝ 1896 թվականին։ Հայտնաբերումից 3 տարի հետո Էլսթերն ու Գեյթելը փորձնականորեն հայտնաբերեցին ռադիոակտիվ տրոհման էքսպոնենցիալ բնույթը, իսկ 1900 թվականին Ռեզերֆորդը ներմուծեց ռադիակտիվ տրոհման կիսապարբերության գաղափարը։ 1905 թվականին Էգոն Շվայլդլերը ցույց տվեց, որ ռադիոակտիվ տրոհումն ունի վիճակագրական բնույթ, իսկ 1906 թվականին Քոհլռաուշը էքսպերիմետալ համոզվեց դրանում։
Ֆրիդրիխ Հունդն առաջինն էր, ով ուշադրություն դարձրեց թունելային երևույթի վրա, երբ ուսումնասիրում էր կրկնակի հորում հիմնական վիճակը։ Թունելային երևույթի առաջին կիրառությունը ալֆա տրոհման մաթեմատիկական բացատրություն է, որը տրվել է Գեորգի Գամովի կողմից՝ 1928 թվականին, և նրանից անկախ Ռոնալդ Գուրնիի և Էդուարդ Քոնդոնի կողմից։ Նրանք լուծել էին Շրեդինգերի հավասարումը տեսական մոդել պոտենցիալի համար և ստացել առնչություն կիսատրոհման պարբերության և առաքման էներգիայի միջև։
Մաքս Բոռնը քննադատորեն է մոտեցել Գամովի աշխատանքին, քանի որ Գամովը ալֆա տրոհումը բացատրել էր՝ հիմնվելով կոմպլեքս համիլտոնյանի վրա, իսկ Բոռնը պնդում էր, որ քվատամեխանիկական համիլտոնյանը պետք է իրական մեծություն լինի՝ իրական սեփական ֆունկցիաներով։ Բոռնը խնդիրը լուծեց՝ հիմնվելով իրական համիլտոնյանի վրա և ստացավ նույն վերջնական արդյունքները։ Բոռնը նաև գլխի ընկավ, որ քվանտային թունելացումը հատուկ է ոչ միայն միջուկային ֆիզիկային, այլ հանդիսանում է ընդհանուր քվանտամեխանիկական սկզբունք։ Նրա առաջին օրինակը էլեկտրոնների սառը արտահոսքի երևույթն էր։


== Երևույթի ֆիզիկական մեկնաբանությունը ==
Թունելային երևույթը լրիվ քվանտամեխանիկական երևույթ է և չունի բացատրություն դասական մեխանիկայում։ Դասական և քվանտային մեխանիկաների մեկնաբանությունների տարբերությունը ցուցադրելու համար հարմար է թունելային երևույթին համապատասխան իրավիճակը համեմատել հետևյալ դասական իրավիճակի հետ. գնդակը շարժվում է դեպի H բարձրությամբ սարը՝ որոշակի սկզբնական 
  
    
      
        
          E
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{k}}
   կինետիկ էներգիայով։ Բոլոր տեսակի շփումներն ու դիմադրության ուժերը բացակայում են։ Դասական ֆիզիկայում էներգիայի պահպանման օրենքի համաձայն՝ առավելագույն բարձրությունը, որին կարող է հասնել 
  
    
      
        
          E
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{k}}
   կինետիկ էներգիայով գնդակը, հավասար է 
  
    
      
        
          h
          
            m
            a
            x
          
        
        =
        
          
            
              E
              
                k
              
            
            
              m
              g
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{max}={\frac {E_{k}}{mg}}}
  , որտեղ m-ը մասնիկի զանգվածն է, իսկ g-ն՝ ազատ անկման արագացումը։ Եթե գնդակի սկզբնական 
  
    
      
        
          E
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{k}}
   կինետիկ էներգիան փոքր է սարի գագաթին՝ 
  
    
      
        
          V
          
            0
          
        
        =
        m
        g
        H
      
    
    {\displaystyle V_{0}=mgH}
   պոտենցիալ էներգիայից, ապա 
  
    
      
        
          h
          
            m
            a
            x
          
        
        <
        H
      
    
    {\displaystyle h_{max}<H}
  , հետևաբար գնդակը չի կարողանա անցնել սարի վրայով։ Փոխարենը՝ 
  
    
      
        
          h
          
            m
            a
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{max}}
   բարձրության հասնելուց հետո կսկսի հետ սահել սարով ներքև։ Իսկ քվանտային դեպքում, երբ մասնիկը պոտենցիալային արգելքի առավելագույն 
  
    
      
        
          V
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{0}}
   բարձրությունից փոքր էներգիայով է մոտենում արգելքին, այն, այնուամենայնիվ, ունի արգելքն անցնելու հավանականություն։ Ստորև կտեսնենք, որ արգելքն անցնելը հնարավոր է անորոշությունների առնչությունների շնորհիվ, որի պատճառով մասնիկը ձեռք է բերում 
  
    
      
        
          V
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{0}}
   -ից մեծ էներգիա և անցնում է արգելքի վրայով։
Դասական և քվանտային դեպքերի տարբերությունները բխում են մատերիայի տարբեր մեկնաբանություններից։ Քվանտային մեխանիկայում մասնիկներն ունեն սկզբունքային տարբերություն. նրանց համար գործում է անորոշությունների սկզբունքը։ Անորոշությունների առնչության միջոցով մեկնաբանենք թունելացման երևույթը միաչափ շարժման համար։ Մասինկին պոտենցիալային արգելքի 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
   լայնությամբ հատվածում հայտնաբերելու համար նրա իմպուլսի անորոշությունը կլինի

  
    
      
        Δ
        p
        =
        
          
            ℏ
            
              2
              Δ
              x
            
          
        
        =
        
          
            ℏ
            
              2
              l
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta p={\frac {\hbar }{2\Delta x}}={\frac {\hbar }{2l}}}
  :Քանի որ անցման հավանականությունը որոշվում է 
  
    
      
        D
        =
        
          D
          
            0
          
        
        
          e
          
            −
            
              
                2
                ℏ
              
            
            
              ∫
              
                
                  x
                  
                    1
                  
                
              
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
            
            
              
                2
                m
                (
                V
                (
                x
                )
                −
                E
                )
              
            
            
            d
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle D=D_{0}e^{-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\,dx}}
   արտահայտությամբ, ապա անցման վերջավոր (զրոյի չձգտող) հավանականության դեպքում

  
    
      
        2
        
          
            2
            m
            (
            V
            (
            x
            )
            −
            E
            )
          
        
        ≈
        ℏ
      
    
    {\displaystyle 2{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\approx \hbar }
   ,հետևաբար կինետիկ էներգիայի անորոշությունը կլինի

  
    
      
        Δ
        
          E
          
            k
          
        
        =
        
          
            
              Δ
              
                p
                
                  2
                
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        =
        
          V
          
            0
          
        
        −
        E
        ,
      
    
    {\displaystyle \Delta E_{k}={\frac {\Delta p^{2}}{2m}}=V_{0}-E,}
  որտեղ 
  
    
      
        
          V
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{0}}
  -ն պոտենցիալային արգելքի առավելագույն բարձրությունն է։ Այստեղից հստակ երևում է, որ կինետիկ էներգիայի անորոշությունը ընդունակ է մասնիկի էներգիան ավելացնել այնքան, որ այն գերազանցի 
  
    
      
        
          V
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{0}}
  -ն, դրանով իսկ հնարավոր դարձնելով մասնիկի անցումը պոտենցիալային արգելքի վրայով։


== Մաթեմատիկական նկարագրություն ==
Ստորև ներկայացված է թունելային երևույթի նկարագրությունը միաչափ շարժման համար. պոտենցիալային արգելքից անդրադարձման և արգելքով թունելելու հավանականություններն հաշվելու համար լուծված է Շրեդինգերի ժամանակից անկախ (ստացիոնար) հավասարումը միաչափ շարժման համար։ Միաչափ շարժման Շրեդինգերի ստացիոնար հավասարումը մի մասնիկի համար ունի հետևյալ տեսքը

  
    
      
        
          
            
              d
              
                2
              
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        Ψ
        (
        x
        )
        +
        
          
            
              2
              m
            
            
              ℏ
              
                2
              
            
          
        
        
          (
          
            E
            −
            V
            (
            x
            )
          
          )
        
        Ψ
        (
        x
        )
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)\Psi (x)=0,}
  որտեղ 
  
    
      
        Ψ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (x)}
  -ը մասնիկի ստացիոնար վիճակի ալիքային ֆունկցիան է, 
  
    
      
        V
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle V(x)}
  -ը արտաքին դաշտի պոտենցիալն է (պոտենցիալային արգելքը), 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  -ը՝ մասնիկի զանգվածը, 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  -ն՝ ստացիոնար վիճակի էներգիան, իսկ 
  
    
      
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \hbar }
  -ը՝ Պլանկի բերված հաստատունը։


=== Ուղղանկյուն պոտենցիալային արգելք ===

Ուղղանկյուն պոտենցիալային արգելքի դեպքում Շրեդինգերի ստացիոնար հավասարումը պետք է լուծել երեք տիրույթներում, որից հետո հարևան տիրույթների համար ստացված ալիքային ֆունկցիաները պետք ա «կարել» իրար՝ ելնելով ալիքային ֆունկցիայի վրա դրվող ստանդարտ պայմաններից։ Առաջին տիրույթում ալիքային ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը

  
    
      
        
          Ψ
          
            1
          
        
        =
        A
        
          e
          
            i
            
              k
              
                0
              
            
            x
          
        
        +
        
          A
          ′
        
        
          e
          
            −
            i
            
              k
              
                0
              
            
            x
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \Psi _{1}=Ae^{ik_{0}x}+A'e^{-ik_{0}x},}
  որտեղ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ն և 
  
    
      
        
          A
          ′
        
      
    
    {\displaystyle A'}
  -ը հաստատուններ են, իսկ 
  
    
      
        
          k
          
            0
          
        
        =
        
          
            
              2
              m
              E
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{0}={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}}
  ։ Առաջին գումարելին իրենից ներկայացնում է ձախից դեպի արգելքը տարածվող ալիք, իսկ երկրորդը՝ արգելքից անդրադարձած և դեպի ձախ տարածվող ալիքը։ 
Երկրորդ տիրույթում ալիքային ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը

  
    
      
        
          Ψ
          
            2
          
        
        =
        B
        
          e
          
            i
            k
            x
          
        
        +
        
          B
          ′
        
        
          e
          
            −
            i
            k
            x
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \Psi _{2}=Be^{ikx}+B'e^{-ikx},}
  որտեղ 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  -ն և 
  
    
      
        
          B
          ′
        
      
    
    {\displaystyle B'}
  -ը հաստատուններ են, իսկ 
  
    
      
        k
        =
        
          
            
              2
              m
              (
              E
              −
              
                V
                
                  0
                
              
              )
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle k={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}}
  ։ Նկատենք, որ k մեծությունը կեղծ է այն դեպքում, երբ մասնիկի 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
   էներգիան փոքր է արգելքի 
  
    
      
        
          V
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{0}}
   բարձրությունից, և իրական՝ այն դեպքում, երբ մասնիկի էներգիան մեծ է արգելքի բարձրությունից։ Ստորև քննարկված են արդյունքներ ինչպես իրական, այնպես էլ կեղծ դեպքերի համար։
Երրորդ տիրույթում՝

  
    
      
        
          Ψ
          
            3
          
        
        =
        C
        
          e
          
            i
            
              k
              
                0
              
            
            x
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \Psi _{3}=Ce^{ik_{0}x},}
  Այստեղ բացակայում է աջից դեպի արգելքը տարածվող ալիքին համապատասխան գումարելին, քանի որ խնդրի դրվածքի համաձայն դիտարկում ենք ձախից արգելքի վրա ընկնող մասնիկի անցումն ու անդրադարձումը, և արգելքից աջ չունենք մասնիկների աղբյուրներ։
Տիրույթների հատման կետերում (
  
    
      
        x
        =
        −
        a
      
    
    {\displaystyle x=-a}
   և 
  
    
      
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x=a}
   կետերում) ալիքային ֆունկցիայի և նրա ածանցյալի անընդհատության պայմաններից 
  
    
      
        A
        ,
        
          A
          ′
        
        ,
        B
        ,
        
          B
          ′
        
      
    
    {\displaystyle A,A',B,B'}
   և 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   գործակիցների համար ստացվում են հետևյալ առնչությունները

  
    
      
        A
        
          e
          
            −
            i
            
              k
              
                0
              
            
            a
          
        
        +
        
          A
          ′
        
        
          e
          
            i
            
              k
              
                0
              
            
            a
          
        
        =
        B
        
          e
          
            −
            i
            k
            a
          
        
        +
        
          B
          ′
        
        
          e
          
            i
            k
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle Ae^{-ik_{0}a}+A'e^{ik_{0}a}=Be^{-ika}+B'e^{ika}}
  

  
    
      
        
          k
          
            0
          
        
        (
        A
        
          e
          
            −
            i
            
              k
              
                0
              
            
            a
          
        
        −
        
          A
          ′
        
        
          e
          
            i
            
              k
              
                0
              
            
            a
          
        
        )
        =
        k
        (
        B
        
          e
          
            −
            i
            k
            a
          
        
        −
        
          B
          ′
        
        
          e
          
            i
            k
            a
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle k_{0}(Ae^{-ik_{0}a}-A'e^{ik_{0}a})=k(Be^{-ika}-B'e^{ika})}
  

  
    
      
        B
        
          e
          
            i
            k
            a
          
        
        +
        
          B
          ′
        
        
          e
          
            −
            i
            k
            a
          
        
        =
        C
        
          e
          
            i
            
              k
              
                0
              
            
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle Be^{ika}+B'e^{-ika}=Ce^{ik_{0}a}}
  

  
    
      
        k
        (
        B
        
          e
          
            i
            k
            a
          
        
        −
        
          B
          ′
        
        
          e
          
            −
            i
            k
            a
          
        
        )
        =
        
          k
          
            0
          
        
        C
        
          e
          
            i
            
              k
              
                0
              
            
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle k(Be^{ika}-B'e^{-ika})=k_{0}Ce^{ik_{0}a}}
  Այս չորս հավասարումները թույլ են տալիս գտնել բոլոր հինգ հաստատունների հարաբերությունները (կան, որ նույնն է, բոլոր հաստատուններն արտահայտել նրանցից մեկի միջոցով), իսկ հաստատունների ճշգրիտ արժեքները կստացվեն, երբ հաշվի կառնենք նաև ալիքային ֆունկցիայի նորմավորումը։ Սակայն անցման և անդրադարձման հավանականությունների հաշվման համար հաստատունների հարաբերության արժեքն իմանալը բավարար է։ Աջից դեպի արգելքը տարածվող մասնիկի հավանականությունների հոսանքի խտությունը համեմատական է 
  
    
      
        
          |
        
        A
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle |A|^{2}}
   մեծությանը, արգելքից անդրադարձողներինը՝ 
  
    
      
        
          |
        
        
          A
          ′
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle |A'|^{2}}
   մեծությանը, իսկ արգելքն անցածներինը (արգելքից դեպի աջ շարժվողներինը)` 
  
    
      
        
          |
        
        C
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle |C|^{2}}
   մեծությանը։ Արգելքից անդրադարձման հավանականությունը կլինի

  
    
      
        R
        =
        
          
            
              
                |
              
              
                A
                ′
              
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
            
            
              
                |
              
              A
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R={\frac {|A'|^{2}}{|A|^{2}}}}
  իսկ անցման հավանականությունը`

  
    
      
        D
        =
        
          
            
              
                |
              
              C
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
            
            
              
                |
              
              A
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle D={\frac {|C|^{2}}{|A|^{2}}}}
   :Արգելքի բարձրությունից մեծ էներգիաների դեպքում (
  
    
      
        E
        >
        
          V
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle E>V_{0}}
  ) անցման և անդրադարձման հավանականությունների համար ստացվում են հետևյալ արտահայտությունները՝

  
    
      
        R
        =
        
          
            1
            
              1
              +
              
                
                  
                    4
                    E
                    (
                    E
                    −
                    
                      V
                      
                        0
                      
                    
                    )
                  
                  
                    
                      V
                      
                        0
                      
                      
                        2
                      
                    
                    s
                    i
                    
                      n
                      
                        2
                      
                    
                    k
                    l
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R={\frac {1}{1+{\frac {4E(E-V_{0})}{V_{0}^{2}sin^{2}kl}}}}}
   ; 
  
    
      
        D
        =
        
          
            1
            
              1
              +
              
                
                  
                    
                      V
                      
                        0
                      
                      
                        2
                      
                    
                    s
                    i
                    
                      n
                      
                        2
                      
                    
                    k
                    l
                  
                  
                    4
                    E
                    (
                    E
                    −
                    
                      V
                      
                        0
                      
                    
                    )
                  
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle D={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}sin^{2}kl}{4E(E-V_{0})}}}},}
  որտեղ 
  
    
      
        l
        =
        2
        a
      
    
    {\displaystyle l=2a}
   արգելքի լայնությունն է։ Արգելքի բարձրությունից փոքր էներգիաների դեպքում (
  
    
      
        E
        <
        
          V
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle E<V_{0}}
  )` 

  
    
      
        R
        =
        
          
            1
            
              1
              +
              
                
                  
                    4
                    E
                    (
                    
                      V
                      
                        0
                      
                    
                    −
                    E
                    )
                  
                  
                    
                      V
                      
                        0
                      
                      
                        2
                      
                    
                    s
                    
                      h
                      
                        2
                      
                    
                    
                      k
                      
                        1
                      
                    
                    l
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R={\frac {1}{1+{\frac {4E(V_{0}-E)}{V_{0}^{2}sh^{2}k_{1}l}}}}}
   ; 
  
    
      
        D
        =
        
          
            1
            
              1
              +
              
                
                  
                    
                      V
                      
                        0
                      
                      
                        2
                      
                    
                    s
                    
                      h
                      
                        2
                      
                    
                    
                      k
                      
                        1
                      
                    
                    l
                  
                  
                    4
                    E
                    (
                    
                      V
                      
                        0
                      
                    
                    −
                    E
                    )
                  
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle D={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}sh^{2}k_{1}l}{4E(V_{0}-E)}}}},}
  որտեղ 
  
    
      
        
          k
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              2
              m
              (
              
                V
                
                  0
                
              
              −
              E
              )
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{1}={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}}
   :
Երկու դեպքում էլ R և D գործակիցների գումարը հավասար է 1։ Սա այն փաստն է արտահայտում, որ մասնիկը արգելքով անցնելոց կամ անդրադառնալուց բացի ուրիշ հնարավորություն չունի. մասնիկը 1 հավանականությամբ անցնում կամ անդրադառնում է։ Կարևոր է նկատել, որ 
  
    
      
        E
        >
        
          V
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle E>V_{0}}
   դեպքում անդրադարձման հավանականությունը զրոյից տարբեր է։ Դասական ֆիզիկայում մասնիկի անդրադարձումը այսպիսի իրավիճակում բացառվում է. դասական ֆիզիկայում 
  
    
      
        R
        =
        0
      
    
    {\displaystyle R=0}
  : Իսկ 
  
    
      
        E
        <
        
          V
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle E<V_{0}}
   դեպքում դասական ֆիզիկայի օրենքների համաձայն 
  
    
      
        D
        =
        0
      
    
    {\displaystyle D=0}
  , սակայն վերը ստացված քվանտային արտահայտության համաձայն` քվանտային ֆիզիկայում 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  -ն զրոյից տարբեր է. կա զրոյից տարբեր հավանականություբ, որ մասնիկը կանցնի արգելքը (հենց սա էլ իրենից ներկայացնում է քվանտային թունելացումը)։


=== Կամայական տեսքի պոտենցիալային արգելք ===
Կամայական տեսքի պոտենցիալային արգելքի միջով անցման հավանականությունը հաշվելու համար արգելքը կարելի է բաժանել այնքան նեղ մասերի, որ մասերից յուրաքանչյուրն հնարավոր լինի համարել ուղղանկյուն, այնուհետև յուրաքանչյուր ուղղանկյան համար գրել անցման հավանականությունը, այնուհետև բոլոր ուղղանկյունների անցման հավանականությունները բազմապատկել իրար։ Երբ ուղղանկյուն արգելքն ունի շատ փոքր Δx լայնություն, անցման հավանականությունը կլինի

  
    
      
        D
        ≈
        
          e
          
            −
            
              
                2
                ℏ
              
            
            
              
                2
                m
                (
                
                  V
                  
                    0
                  
                
                −
                E
                )
              
            
            Δ
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle D\approx e^{-{\frac {2}{\hbar }}{\sqrt {2m(V_{0}-E)}}\Delta x}}
  Հետևաբար, կամայական 
  
    
      
        V
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle V(x)}
   արգելքի համար թունելման հավանականությունը կլինի

  
    
      
        D
        =
        
          D
          
            0
          
        
        
          e
          
            −
            
              
                2
                ℏ
              
            
            
              ∫
              
                
                  x
                  
                    1
                  
                
              
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
            
            
              
                2
                m
                (
                V
                (
                x
                )
                −
                E
                )
              
            
            
            d
            x
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle D=D_{0}e^{-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\,dx},}
  որտեղ 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}}
  -ը և 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}}
  -ը 
  
    
      
        E
        =
        V
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle E=V(x)}
   հավասարման լուծումներն էն (ուղղանկյուն արգելքի դեպքում 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        −
        a
      
    
    {\displaystyle x_{1}=-a}
   և 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x_{2}=a}
  )։ Դասական ֆիզիկայում 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}}
  -ն ու 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}}
  -ը դարձակետերն են։


== Մակրոսկոպիկ դրսևորումներ ==

Քվանտային թունելացումը մակրոսկոպիկ կերպով դրսևորվում է այնպիսի համակարգերում, որտեղ միաժամանակ թունելում են շատ մեծ քանակությամբ մասնիկներ։ Թունելային երևույթի մակրոսկոպիկ դրսևորումներն են՝

p-n անցումով լիցքակիրների թունելացումը։ Այս երևույթի հիման վրա է աշխատում թունելային դիոդը։
լիցքակիրների թունելացումը գերհաղորդականության վիճակում գտնվող երկու մետաղների միջև գտնվող բարակ մեկուսիչ շերտով։ Այս երևույթն է ընկած Ջոզեֆսոնի էֆեկտի հիմքում։


== Տես նաև ==
Քվանտային մեխանիկա
Դասական ֆիզիկա
Ջոզեֆսոնի երևույթ
Թունելային դիոդ
Սքանավորող թունելային մանրադիտակ
Ալֆա-տրոհում
Էլեկտրոնների սառը արտահոսք
Շրեդինգերի հավասարում
Ալիքային ֆունկցիա


== Գրականություն ==
Mohsen Razavy, "Quantum Theory of Tunneling", World scientific, 2003
Սահակյան Գ. Ս., Չուբարյան Է. Վ., Քվանտային մեխանիկա, Երրորդ վերամշակված և լրացված հրատարակություն, ԵՊՀ հրատարակչություն, Երևան 2009
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики: Т. III. Квантовая механика(нерелятивистская теория), 6-е изд., испр., ФИЗМАТЛИТ 2004, ISBN 5-9221-0530-2.


== Ծանոթագրություններ ==