Մերսենի թիվ

Մերսենի թվեր են համարվում Mn = 2n - 1 տեսքի թվերը, որտեղ n-ը բնական թիվ է, իսկ Mn-ը՝ պարզ։ Անունն ստացել են 17-րդ դարում դրանք ուսումնասիրած ֆրանսիացի վանական Մարեն Մերսենի պատվին։
Մերսենի թվերի հաջորդականությունը սկսում է այս կերպ՝ 

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, … :Երբեմն Մերսենի թվեր անվանում են Mp թվերին, որտեղ p-ն պարզ թիվ է։ Այդ հաջորդականությունը սկսում է այսպես՝ 

3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607, 536870911, 2147483647, … :2013 թ. փետրվարի դրությամբ հայտնի է Մերսենի 48 թիվ։ Ամենամեծ հայտնի 257 885 161 − 1 պարզ թիվը Մերսենի պարզ թիվ է։ 1997-ից սկսած, Մերսենի բոլոր նոր թվերը հայտնաբերվել են  “Great Internet Mersenne Prime Search” (GIMPS) ինտերնետային հաշվողական նախագծով։


== Հատկություններ ==
Եթե Mn-ը պարզ թիվ է, ապա n-ը նույնպես պարզ է։ Հակառակն, ընդհանուր առմամբ, ճիշտ չէ, ամենափոքր օրինակ է հանդիսանում՝ 
  
    
      
        
          M
          
            11
          
        
        =
        2047
        =
        23
        ⋅
        89
      
    
    {\displaystyle M_{11}=2047=23\cdot 89}
  :
Mp թվի ցանկացած բաժանարար պարզ p-ի համար ունի 2pk+1 տեսք, որտեղ k-ն բնական թիվ է (Ֆերմայի փոքր թեորեմի հետևանք)։
Ամեն զույգ կատարյալ թիվ ունի 
  
    
      
        
          M
          
            p
          
        
        (
        
          M
          
            p
          
        
        +
        1
        )
        
          /
        
        2
        =
        
          2
          
            p
            −
            1
          
        
        (
        
          2
          
            p
          
        
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle M_{p}(M_{p}+1)/2=2^{p-1}(2^{p}-1)}
   տեսքը, որտեղ Մերսենի 
  
    
      
        
          M
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{p}}
   թիվը հանդիսանում է պարզ (ապացուցել է Էյլերը)։


== Մերսենի պարզ թվերը ==
Մերսենի թվերը հայտնի դարձան, կապված Լյուկ-Լամերի բավականին արդյունավետ պարզության հայտանիշի հետ, որի շնորհիվ, Մերսենի պարզ թվերը արդեն բավականին ժամանակ է, ինչ ամենամեծ հայտնի պարզ թվերն են։ 
Մերսենի 45-րդ պարզ թիվը 
  
    
      
        
          M
          
            43112609
          
        
        =
        
          2
          
            43112609
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle M_{43112609}=2^{43112609}-1}
   թիվն է, որը հայտնաբերվել է 2008 թվի օգոստոսին։ Տասնորդական գրության դեպքում 
  
    
      
        
          M
          
            43112609
          
        
        =
        
          2
          
            43112609
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle M_{43112609}=2^{43112609}-1}
   թիվն է, որը հայտնաբերվել է 2008 թվի օգոստոսին։ Տասնորդական գրության դեպքում 

  
    
      
        
          M
          
            43112609
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{43112609}}
  -ի երկարությունը 12978189 թվանշան է, ինչը թույլ տվեց այն հայտնաբերած GIMPS-ին 2009 թվին ստանալու տասը միլիոնից ոչ պակաս թվանշան պարունակող պարզ թիվ գտնելու համար Electronic Frontier Foundation-ի սահմանած 100 000 ԱՄՆ դոլար մրցանակը։


== Ընդհանրացումներ ==
Մերսենի կրկնակի թվերը սահմանվում են հետևյալ կերպ՝ 
  
    
      
        M
        
          M
          
            n
          
        
        =
        
          M
          
            
              M
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          2
          
            
              2
              
                n
              
            
            −
            1
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle MM_{n}=M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1}
  .Այսօրվա դրությամբ հայտնի են այդ տեսքի միայն չորս պարզ թիվ՝ n = 2, 3, 5, 7 դեպքում։


== Բաց խնդիրներ ==
Մերսենի պարզ թվերի քանակի անվերջությունը և դրանց ասիմպտոտիկան։

  
    
      
        
          M
          
            
              M
              
                61
              
            
          
        
        =
        
          2
          
            
              2
              
                61
              
            
            −
            1
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle M_{M_{61}}=2^{2^{61}-1}-1}
   թվի պարզությունը։


== Կիրառությունը ==
Գործնականում Մերսենի պարզ թվերը կիրառվում են մեծ պարբերականության կեղծ պատահական թվերի գեներատորներ կառուցելու համար։


== Ուշագրավ փաստ ==
Փոքր մոլորակով թիվ 8191 աստերոիդի անունն ի պատիվ Մերին Միրսենի, դրել են (8191) Միրսեն, քանի որ 8191-ը Միրսենի պարզ թիվ է։(3 Յունոնան, 7 Իրիսը, 31 Եւփրոսինեն և 127 Հովհաննան հայտնաբերվել և անուններ են ստացել 19-րդ դարի ընթացքում։)


== Աղբյուրներ ==