Թվաբանության հիմնական թեորեմ

Թվաբանության հիմնական թեորեմը. Ցանկացած բնական թիվ 
  
    
      
        n
        >
        1
      
    
    {\displaystyle n>1}
   կարելի է ներկայացնել 
  
    
      
        n
        =
        
          p
          
            1
          
        
        ⋅
        ⋯
        ⋅
        
          p
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle n=p_{1}\cdot \dots \cdot p_{k}}
   տեսքի, որտեղ 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          p
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}}
   պարզ թվեր են, ընդ որում` այդպիսի ներկայացումը միակն է մինչև հաջորդականության համաբազմապատկիչների հետևելու ճշգրտությամբ։
Միավորը նույնպես կարելի է հաշվել որպես զրոյական քանակի պարզ թվերի արտադրյալ՝ «դատարկ արտադրյալ»։
Որպես հետևանք՝ ցանկացած 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   բնական թիվ միակ եղանակով ներկայացված է 

  
    
      
        n
        =
        
          p
          
            1
          
          
            
              d
              
                1
              
            
          
        
        ⋅
        
          p
          
            2
          
          
            
              d
              
                2
              
            
          
        
        ⋅
        ⋯
        ⋅
        
          p
          
            k
          
          
            
              d
              
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle n=p_{1}^{d_{1}}\cdot p_{2}^{d_{2}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{d_{k}}}
   տեսքով, որտեղ 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
        <
        
          p
          
            2
          
        
        <
        ⋯
        <
        
          p
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}
  պարզ թվեր են և 
  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          d
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{1},\dots ,d_{k}}
  ՝ որոշ բնական թվեր։Այդպիսի 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   թվի ներկայացումը անվանում են նրա կանոնական վերլուծությունը պարզ համաբազմապատկիչների։


== Պատմություն ==
Հին հունական մաթեմատիկայում չի հանդիպում թվաբանության հիմնական թեորեմի ժամանակակից բանաձևումը։ Բայց Էվկլիդեսի «Սկզբունքներում» կա առաջադրություն, որը նրան համարժեք է։ Մասնավորապես, թեորեմը հեշտությամբ հետևում է այսպես կոչված Էվկլիդեսի լեմմայից ( VII գրքի առաջադրություն 30)։ Չկա ճշգրիտ ձևակերպում Լեժանդրի «Թվերի տեսության ներմուծում » (ֆր.՝ Essai sur la Théorie des Nombres) գրքում՝ գրված 1798 թվականին։ Նրա ճիշտ ձևակերպումը և ապացուցումը բերված է Գաուսի «Թվաբանական հետազոտություններ» (լատ.՝ Disquisitiones Arithmeticae) գրքում՝ հրատարակված 1801 թվականին։


== Հետևանքներ ==
Թվաբանության հիմնական թեորեմը տալիս է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի համար նրբագեղ արտահայտություն։Ա. Ը. Բ.
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
        =
        
          p
          
            1
          
          
            m
            i
            n
            (
            
              d
              
                1
              
            
            ,
            
              d
              
                1
              
              ′
            
            )
          
        
        ⋅
        
          p
          
            2
          
          
            m
            i
            n
            (
            
              d
              
                2
              
            
            ,
            
              d
              
                2
              
              ′
            
            )
          
        
        ⋅
        
          p
          
            3
          
          
            m
            i
            n
            (
            
              d
              
                3
              
            
            ,
            
              d
              
                3
              
              ′
            
            )
          
        
        ⋅
        
          p
          
            4
          
          
            m
            i
            n
            (
            
              d
              
                4
              
            
            ,
            
              d
              
                4
              
              ′
            
            )
          
        
        ⋯
        =
        ∏
        
          p
          
            i
          
          
            m
            i
            n
            (
            
              d
              
                i
              
            
            ,
            
              d
              
                i
              
              ′
            
            )
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (a,b)=p_{1}^{min(d_{1},d_{1}')}\cdot p_{2}^{min(d_{2},d_{2}')}\cdot p_{3}^{min(d_{3},d_{3}')}\cdot p_{4}^{min(d_{4},d_{4}')}\cdots =\prod p_{i}^{min(d_{i},d_{i}')},}
  
Ա. Ը. Բ.
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
        =
        
          p
          
            1
          
          
            m
            a
            x
            (
            
              d
              
                1
              
            
            ,
            
              d
              
                1
              
              ′
            
            )
          
        
        ⋅
        
          p
          
            2
          
          
            m
            a
            x
            (
            
              d
              
                2
              
            
            ,
            
              d
              
                2
              
              ′
            
            )
          
        
        ⋅
        
          p
          
            3
          
          
            m
            a
            x
            (
            
              d
              
                3
              
            
            ,
            
              d
              
                3
              
              ′
            
            )
          
        
        ⋅
        
          p
          
            4
          
          
            m
            a
            x
            (
            
              d
              
                4
              
            
            ,
            
              d
              
                4
              
              ′
            
            )
          
        
        ⋯
        =
        ∏
        
          p
          
            i
          
          
            m
            a
            x
            (
            
              d
              
                i
              
            
            ,
            
              d
              
                i
              
              ′
            
            )
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (a,b)=p_{1}^{max(d_{1},d_{1}')}\cdot p_{2}^{max(d_{2},d_{2}')}\cdot p_{3}^{max(d_{3},d_{3}')}\cdot p_{4}^{max(d_{4},d_{4}')}\cdots =\prod p_{i}^{max(d_{i},d_{i}')},}
  Գիտենալով թվի վերլուծումը բազմապատկիչների՝ կարելի է անմիջապես ցույց տալ այդ թվի բոլոր բաժանարարները։
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   բնական թվի բաժանարար հանդիսանում է այնպիսի 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   բնական թիվ, որի համար 
  
    
      
        N
        =
        k
        ⋅
        l
      
    
    {\displaystyle N=k\cdot l}
  , որտեղ 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
   այլ բնական թիվ է։

Օրինակ՝ 
  
    
      
        N
        =
        1164
        =
        97
        ⋅
        3
        ⋅
        2
        ⋅
        2
        =
        
          97
          
            1
          
        
        ⋅
        
          3
          
            1
          
        
        ⋅
        
          2
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle N=1164=97\cdot 3\cdot 2\cdot 2=97^{1}\cdot 3^{1}\cdot 2^{2}}
  .
Պարզ թվերի վերլուծության տարբեր համակցություններն օգտագործելով՝ կարելի է կազմել տրված թվի բոլոր բաժանարարների բազմությունը։ Մեր օրինակի համար դա կլինի հետևալ բաժանարարները. 

  
    
      
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        97
        ,
        2
        ⋅
        2
        ,
        2
        ⋅
        3
        ,
        2
        ⋅
        97
        ,
        3
        ⋅
        97
        ,
        2
        ⋅
        2
        ⋅
        3
        ,
        2
        ⋅
        2
        ⋅
        97
        ,
        2
        ⋅
        3
        ⋅
        97
        ,
        2
        ⋅
        2
        ⋅
        3
        ⋅
        97
      
    
    {\displaystyle 1,2,3,97,2\cdot 2,2\cdot 3,2\cdot 97,3\cdot 97,2\cdot 2\cdot 3,2\cdot 2\cdot 97,2\cdot 3\cdot 97,2\cdot 2\cdot 3\cdot 97}
  Դրա համար, որպեսզի գտնենք տրված թվի բոլոր բաժանարարների քանակը , բավարար է տեսնել հոդվածի սկզբում նշված կանոնական վերլուծությունը։ 
  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          d
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{1},...,d_{k}}
   բնական թվերը  ոչ այլ ինչ են, եթե ոչ  
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          p
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1},...,p_{k}}
   տրված թվերի վերլուծությունում համապատասխան պարզ թվերը։ Այսպիսով՝ եթե ուզում ենք գտնել տրված թվի բոլոր բաժանարարների քանակը, բավարար է հաշվարկել 
  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          d
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{1},...,d_{k}}
   թվի բոլոր հնարավոր համակցությունների արժեքը։
Մեր օրինակում 2 թիվը հանդիպում է 2 անգամ։ Հետևաբար, 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   թվի բաժանարար գտնելիս, 
  
    
      
        
          d
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{3}}
   կարող է ընդունել 0-ից մինչև 2 ամբողջ արժեքները, այսինքն՝ կա 3 արժեք։ Նշանակում է, որ ընդհանուր բաժանարարների քանակը հաշվարկելու համար պետք է բազմապատկել 
  
    
      
        
          d
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{k}}
   տարբեր բազմապիսի արտահայտությունների քանակը։ Մեր դեպում ՝ 
  
    
      
        
          m
          
            d
            e
            l
          
        
        =
        2
        ⋅
        2
        ⋅
        3
        =
        12
      
    
    {\displaystyle m_{del}=2\cdot 2\cdot 3=12}
  

Այսպիսով կարելի է ներկայացնել երկու թվերի արտադրյալի հաշվումը՝
  
    
      
        a
        ⋅
        b
        =
        
          p
          
            1
          
          
            
              d
              
                1
              
            
            +
            
              d
              
                1
              
              ′
            
          
        
        
        
          p
          
            2
          
          
            
              d
              
                2
              
            
            +
            
              d
              
                2
              
              ′
            
          
        
        
        
          p
          
            3
          
          
            
              d
              
                3
              
            
            +
            
              d
              
                3
              
              ′
            
          
        
        
        
          p
          
            4
          
          
            
              d
              
                4
              
            
            +
            
              d
              
                4
              
              ′
            
          
        
        ⋯
        =
        ∏
        
          p
          
            i
          
          
            
              d
              
                i
              
            
            +
            
              d
              
                i
              
              ′
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle a\cdot b=p_{1}^{d_{1}+d_{1}'}\,p_{2}^{d_{2}+d_{2}'}\,p_{3}^{d_{3}+d_{3}'}\,p_{4}^{d_{4}+d_{4}'}\cdots =\prod p_{i}^{d_{i}+d_{i}'}.}
  Օրինակ՝ 
  
    
      
        68
        ⋅
        36
        =
        (
        2
        ⋅
        2
        ⋅
        17
        )
        ⋅
        (
        2
        ⋅
        2
        ⋅
        3
        ⋅
        3
        ⋅
        )
        =
        
          2
          
            4
          
        
        ⋅
        
          3
          
            2
          
        
        ⋅
        17
      
    
    {\displaystyle 68\cdot 36=(2\cdot 2\cdot 17)\cdot (2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot )=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 17}
  

Երբեմն, գտնելով ընդհանուր բաժանարարը, կարելի է ակներևաբար պարզեցնել երկու թվերի գումարի (տարբերության) հաշվումը։Օրինակ՝ (պարզեցնել արտահայտությունը)։ 
  
    
      
        
          8
          
            5
          
        
        +
        
          8
          
            3
          
        
        ⋅
        61
        =
        
          8
          
            3
          
        
        ⋅
        (
        
          8
          
            2
          
        
        +
        61
        )
        =
        
          8
          
            3
          
        
        ⋅
        125
        =
        
          8
          
            3
          
        
        ⋅
        
          5
          
            3
          
        
        =
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle 8^{5}+8^{3}\cdot 61=8^{3}\cdot (8^{2}+61)=8^{3}\cdot 125=8^{3}\cdot 5^{3}=...}
  


== Ապացույց (ինդուկցիայի մեթոդ) ==
Գոյություն։ Ապացուցենք 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   թվի վերլուծման գոյությունը։ Ենթադրենք, որ այն արդեն ապացուցված է ցանկացած ուրիշ թվի համար, որը փոքր է 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ից։ Եթե 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը պարզ է, ուրեմն գոյությունը ապացուցված է։ Եթե 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը բաղադրյալ է, ապա այն կարելի է ներկայացնել 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   երկու թվերի արտադրյալի տեսքով, որոնցից յուրաքանչյուրը մեծ է 1-ից, բայց փոքր 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ից։. 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվերը կամ հանդիսանում են պարզ, կամ կարող են վելուծվել պարզ թվերի արտադրյալի (արդեն վերևում ապացուցված է)։ Տեղադրելով նրանց վերլուծությունը 
  
    
      
        n
        =
        a
        ⋅
        b
      
    
    {\displaystyle n=a\cdot b}
   - ի մեջ՝ կստանանք տրված 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   թվի վերլուծությունը պարզ թվերի։ Գոյությունը ապացուցված է:Միակություն։ Սկզբում ապացուցենք հետևյալ լեմման։ Եթե 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   թվի վերլուծությունը պարզ թվերի միակն է, ապա յուրաքանչյուր 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   պարզ բաժանարարը պետք է այդ վերլուծության մեջ մտնի։ Ենթադրենք 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   թիվը բաժանվում է 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  -ի, և  
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  -ն պարզ է։ Այդ դեպքում տրված թիվը կարելի ներկայացնել որպես 
  
    
      
        m
        =
        p
        ⋅
        
          m
          
            (
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle m=p\cdot m^{(1)}}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          m
          
            (
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle m^{(1)}}
  , բնական թիվ է։ Այդ ժամանակ 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  -ի վերլուծությունը կլինի 
  
    
      
        
          m
          
            (
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle m^{(1)}}
   թվի վերլուծությունը՝ ավելացրած 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   բազմապատկիչը։ Մեր ենթադրությամբ գոյություն ունի 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   թվի միակ վերլուծություն, հետևաբար  
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   թիվը պետք է հանդիպի նրանում։ Լեմման ապացուցված է։


== Այլ ապացույց (Էվկլիդեսի ապացույց) ==
Կարելի է ապացուցել թվաբանության հիմնական թեորեմը Էվկլիդեսի ալգորիթմի օգնությամբ:
Այստեղ Էվկլիդեսի ալգորիթմը կմասնակցի ոչ բացահայտ տեսքով, այլ կօգտագործվի նրա հետևանքը։

  
    
      
        n
        ⋅
        a
      
    
    {\displaystyle n\cdot a}
   և 
  
    
      
        n
        ⋅
        b
      
    
    {\displaystyle n\cdot b}
   ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   անգամ վերցրած a և b ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։

Այդ հետևանքից կարող ենք ապացուցել Էվկլիդեսի թեորեմը։

Եթե p-ն պարզ թիվ է, և երկու թվերի արտադրյալը բաժանվում է p-ի, ապա երկու բազմապատկիչներից գոնե մեկը կբաժանվի p-ի։

Հիմա օգտվենք տրված թեորեմից, որպեսզի ապացուցենք թվաբանության հիմնական թեորեմը։
Գոյություն։ հանդիսանում է Էվկլիդեսի թեորեմի հետևանք։ Այդ թեորեմի ապացուցման համար դիտարկենք p պարզ թիվը և 
  
    
      
        n
        ⋅
        a
      
    
    {\displaystyle n\cdot a}
   արտադրյալը։ Ենթադրենք 
  
    
      
        n
        ⋅
        a
      
    
    {\displaystyle n\cdot a}
  -ն բաժանվում է p-ի, բայց a-ն չի բաժանվում p-ի։ Քանի որ p-ն պարզ է, ապա նրա միակ բաժանարարներն են 1 և p թվերը։ Այդ դեպքում 1-ը p-ի և a-ի միակ ընդհանուր բաժանարարն է։ Հետևաբար Ա. Ը. Բ. 
  
    
      
        n
        ⋅
        p
      
    
    {\displaystyle n\cdot p}
   և 
  
    
      
        n
        ⋅
        a
      
    
    {\displaystyle n\cdot a}
   հավասար է n-ի։ Ակնհայտ է, որ 
  
    
      
        n
        ⋅
        p
      
    
    {\displaystyle n\cdot p}
   բաժանվում է p-ի։ Հետևաբար, քանի որ երկու թվերի ցանկացած ընդհանուր բաժանարար հանդիսանում է բաժանարար նաև նրանց Ա. Ը. Բ-ի համար, իսկ p-ն հանդիսանում է 
  
    
      
        n
        ⋅
        p
      
    
    {\displaystyle n\cdot p}
   և 
  
    
      
        n
        ⋅
        a
      
    
    {\displaystyle n\cdot a}
   թվերի ընդհանուր բաժանարար, այսինքն՝ n-ը բաժանվում է p-ի։
Միակություն։ ենթադրենք n թիվը ունի երկու պարզ թվերի վերլուծություն.

  
    
      
        n
        =
        
          p
          
            1
          
        
        ⋅
        
          p
          
            2
          
        
        ⋅
        
          p
          
            3
          
        
        ⋅
        .
        .
        .
        =
        
          p
          
            1
          
          ′
        
        ⋅
        
          p
          
            2
          
          ′
        
        ⋅
        
          p
          
            3
          
          ′
        
        ⋅
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle n=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}\cdot ...=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdot p'_{3}\cdot ...}
  Քանի որ 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
          ′
        
        ⋅
        
          p
          
            2
          
          ′
        
        ⋅
        
          p
          
            3
          
          ′
        
        ⋅
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle p'_{1}\cdot p'_{2}\cdot p'_{3}\cdot ...}
   բաժանվում է 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  -ի, ապա կամ 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle p'_{1}}
  , կամ 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
          ′
        
        ⋅
        
          p
          
            3
          
          ′
        
        ⋅
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle p'_{2}\cdot p'_{3}\cdot ...}
   բաժանվում է 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  -ի։ Եթե 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle p'_{1}}
  -ն բաժանվում է 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  -ի, ապա 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
          ′
        
        =
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p'_{1}=p_{1}}
  , քանի որ երկու այդ թվերը հանդիսանում են պարզ։ Եթե 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
          ′
        
        ⋅
        
          p
          
            3
          
          ′
        
        ⋅
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle p'_{2}\cdot p'_{3}\cdot ...}
   բաժանվում է 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
  -ի, ապա շարունակենք նախորդ դատողությունները։ Վերջ ի վերջո, հասնում ենք արդյունքի, որ 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
          ′
        
        ,
        
          p
          
            2
          
          ′
        
        ,
        
          p
          
            3
          
          ′
        
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle p'_{1},p'_{2},p'_{3},...}
   թվերից ցանկացածը հավասար է 
  
    
      
        
          p
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{1}}
   թվին։ Հետևաբար հանգում ենք եզրակացության, որ երկու վերլուծություններն էլ համընկնում են։ Այսպիսով միակություն ապացուցված է։


== ԹՀԹ օղակներում ==
Դիտարկենք թվաբանության հիմնական թեորեմն ավելի ընդհանուր դեպքում՝ սահմանված կարգով օղակներում և Էվկլիդեսյան օղակներում։


=== ԹՀԹ գաուսյան ամբողջ թվերի օղակում ===
Թվաբանության հիմնական թեորեման ունի իր տեղը գաուսյան ամբողջ թվերի օղակում։
Ապացուցման գաղափարը հանդիսանում է տրված օղակում թվերի մնացորդով բաժանման ալգորիթմի գտնելը։
Օղակը, որն ունի մնացորդով բաժանման ալգորիթմ, անվանում են էվկլիդեսյան։ Ցանկացած էվկլիդեսյան օղակի համար թվաբանության հիմնական թեորեմի ապացուցումը կարելի է կատարել այնպես, ինչպես բնական թվերի համար։


=== Ոչ միակ վերլուծությունը օղակում ===
Բայց տրված թեորեմի գործողությունը չի տարածվում ամբողջ օղակում ։
Դիտարկենք, օրինակ, 
  
    
      
        a
        =
        m
        +
        i
        ⋅
        n
        ⋅
        
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle a=m+i\cdot n\cdot {\sqrt {5}}}
   տեսքի կոմպլեքս թիվ, որտեղ 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  , 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   ամբողջ թվեր են։ Այդպիսի թվերի գումարը և արտադրյալը կլինեն նույն տեսքի թվեր։
Այդ ժամանակ կստանանք սահմանված կարգով օղակ 
  
    
      
        N
        (
        a
        )
        =
        
          m
          
            2
          
        
        +
        5
        ⋅
        
          n
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle N(a)=m^{2}+5\cdot n^{2}=a^{2}}
  :
Այդ օղակում 6 թվի համար գոյություն ունեն երկու տարբեր վերլուծություններ 
  
    
      
        6
        =
        2
        ⋅
        3
        =
        (
        1
        −
        i
        ⋅
        
          
            5
          
        
        )
        ⋅
        (
        1
        +
        i
        ⋅
        
          
            5
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-i\cdot {\sqrt {5}})\cdot (1+i\cdot {\sqrt {5}})}
  : Մնում է ապացուցել, որ 
  
    
      
        2
        ,
        3
        ,
        1
        ±
        i
        ⋅
        
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle 2,3,1\pm i\cdot {\sqrt {5}}}
   թիվը հանդիսանում է պարզ։ Ապացուցենք, որ 2 թիվը պարզ է։
Ենթադրենք 
  
    
      
        2
        =
        (
        
          m
          
            1
          
        
        +
        i
        ⋅
        
          n
          
            1
          
        
        ⋅
        
          
            5
          
        
        )
        ⋅
        (
        
          m
          
            2
          
        
        +
        i
        ⋅
        
          n
          
            2
          
        
        ⋅
        
          
            5
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle 2=(m_{1}+i\cdot n_{1}\cdot {\sqrt {5}})\cdot (m_{2}+i\cdot n_{2}\cdot {\sqrt {5}})}
  .
այդ ժամանակ 
  
    
      
        4
        =
        (
        
          m
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        5
        ⋅
        
          n
          
            1
          
          
            2
          
        
        )
        ⋅
        (
        
          m
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        5
        ⋅
        
          n
          
            2
          
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle 4=(m_{1}^{2}+5\cdot n_{1}^{2})\cdot (m_{2}^{2}+5\cdot n_{2}^{2})}
  .
հետևաբար, 
  
    
      
        
          m
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        5
        ⋅
        
          n
          
            1
          
          
            2
          
        
        =
        
          m
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        5
        ⋅
        
          n
          
            2
          
          
            2
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle m_{1}^{2}+5\cdot n_{1}^{2}=m_{2}^{2}+5\cdot n_{2}^{2}=2}
  .
Բայց մեր օղակում չկա սահմանված կարգով 2, հետևաբար այդպիսի վերլուծություն հնարավոր չէ, դրա համար 2-ը պարզ է։ Հանգունորեն դիտարկվում են 
  
    
      
        3
        ,
        1
        ±
        i
        ⋅
        
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle 3,1\pm i\cdot {\sqrt {5}}}
   թվերը։
Օղակը, որում թվաբանության հիմնական թեորեմը կատարվում է, կոչվում է ֆակտորիալ։


== Տես նաև ==
Հանրահաշվի հիմնական թեորեմ
Անալիզի հիմնական թեորեմ
Պարզ թիվ
Էվկլիդեսի ալգորիթ
Թվաբանության հիմնական թեորեմն ապացուցող տեսանյութ


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Жиков В.В. Основная теорема арифметики // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6. — № 3. — С. 112–117.
Г. Дэвенпорт. Высшая арифметика. — Наука, 1965. — С. 15-38. — 176 с.
Л. А. Калужин. Основная теорема арифметики. — Популярные лекции по математике. — М.: Наука, 1969. — 32 с.
И. М. Виноградов. Основы теории чисел. — Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с. — 10 000 экз.
Р. Курант, Г. Роббинс. Дополнение к главе I, § 4.2 // Что такое математика? — МЦНМО, 2000. — 568 с.