Հարմոնիկ անալիզ

Հարմոնիկ անալիզ, մաթեմատիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է պարբերական ֆունկցիաները եռանկյունաչափական շարքերի և ինտեգրալների վերլուծելու հարցերը։ Հարմոնիկ անալիզի հիմնական խնդիրներից մեկը 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   պարբերական ֆունկցիան եռանկյունաչափական շարքի գումարի տեսքով ներկայացնելն է, այսինքն՝ պարբերական ֆունկցիան տրոհել պարզ հարմոնիկ բաղադրիչների։ 
  
    
      
        T
        =
        2
        π
      
    
    {\displaystyle T=2\pi }
   պարբերություն ունեցող 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիայի համար այդպիսի վերլուծությունն ունի

  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  =
  
    
      
        
          
            
              a
              
                0
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}}
   + 
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathcal {1}}}
   
  
    
      
        (
        
          a
          
            n
          
        
        c
        o
        s
        n
        x
        +
        
          b
          
            n
          
        
        s
        i
        n
        n
        x
        )
      
    
    {\displaystyle (a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)}
   տեսքը, որտեղ 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
   և 
  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{n}}
   գործակիցները որոշվում են

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
  =
  
    
      
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{n}}}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            −
            π
          
          
            +
            π
          
        
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{+\pi }}
   
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        c
        o
        n
        s
        n
        x
        d
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)consnxdx}
  , 
  
    
      
        n
        =
        (
        0
        ,
        1
        ,
        2...
        )
      
    
    {\displaystyle n=(0,1,2...)}
  

  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{n}}
  =
  
    
      
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{n}}}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            −
            π
          
          
            +
            π
          
        
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{+\pi }}
  
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        s
        i
        n
        n
        x
        d
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)sinnxdx}
  , 
  
    
      
        n
        =
        (
        1
        ,
        2...
        )
      
    
    {\displaystyle n=(1,2...)}
  
բանաձևերով։ Կանգունորեն, 
  
    
      
        (
        −
        
          
            1
          
        
        ,
        +
        
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (-{\mathcal {1}},+{\mathcal {1}})}
   միջակայքում արված 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիան որոշակի պայմանների դեպքում ներկայացվում է Ֆուրիեի ինտեգրալով՝ 

  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  =
  
    
      
        
          
            1
            π
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}}
   
  
    
      
        
          ∫
          
            −
            
              
                1
              
            
          
          
            +
            
              
                1
              
            
          
        
        d
        z
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-{\mathcal {1}}}^{+{\mathcal {1}}}dz}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            −
            
              
                1
              
            
          
          
            +
            
              
                1
              
            
          
        
        f
        (
        t
        )
        c
        o
        s
        z
        (
        t
        −
        x
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-{\mathcal {1}}}^{+{\mathcal {1}}}f(t)cosz(t-x)dt}
  ,
որը կարելի է գրել նաև կոմպլեքս տեսքով՝

  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  =
  
    
      
        
          
            1
            π
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            −
            
              
                1
              
            
          
          
            +
            
              
                1
              
            
          
        
        
          e
          
            −
            i
            x
            u
          
        
         
         
        d
        u
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-{\mathcal {1}}}^{+{\mathcal {1}}}e^{-ixu}~~du}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            −
            
              
                1
              
            
          
          
            +
            
              
                1
              
            
          
        
        f
        (
        t
        )
        
          e
          
            i
            u
            t
          
        
         
         
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-{\mathcal {1}}}^{+{\mathcal {1}}}f(t)e^{iut}~~dt}
   ,
Վերշինս տրոհվում է երկու բանաձևերի՝

  
    
      
        F
        (
        u
        )
      
    
    {\displaystyle F(u)}
  =
  
    
      
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            −
            
              
                1
              
            
          
          
            
              1
            
          
        
        f
        (
        t
        )
        
          e
          
            i
            u
            t
          
        
         
         
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-{\mathcal {1}}}^{\mathcal {1}}f(t)e^{iut}~~dt}
  

  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  =
  
    
      
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            −
            
              
                1
              
            
          
          
            
              1
            
          
        
         
         
        F
        (
        u
        )
        
          e
          
            −
            i
            u
            x
          
        
         
        d
        u
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-{\mathcal {1}}}^{\mathcal {1}}~~F(u)e^{-iux}~du}
  ։

  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
  -ը կոչվում է 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիայի Ֆուրիեի ձևափոխություն։ Ֆուրիեի շարքերը և ձևափոխությունների տեսությունները կարևոր դեր են խաղում մաթեմատիկայի մի շարք բաժիններում, ֆիզիկայում, էլեկտրատեխնիկայում, ռադիոֆիզիկայում և այլն։ Հարմոնիկ անալիզի վերը նշված հարցերը ուսումնասիրել են դեռևս Բ. Ռիմանը, Ա. Լեբեգը, հետագայում սովետական մաթեմատիկոսներ Ն. Ն. Լուզինը, Դ. Ե. Մենշովը, Ա. Ն. Կոլմոգորովը, Ն. Կ. Բարին։ Հայ մաթեմատիկոսներից այդ բնագավառում զգալի ավանդ են ներդրել Մ. Մ. Ջրբաշյանը և Ա. Ա. Թալալյանը։