Լագրանժի հավասարումներ (հիդրոմեխանիկա)

Լագրանժի հավասարումներ (հիդրոմեխանիկայում), անսեղմելի իդեալական հեղուկի շարժման հավասարումները՝ գրված Լագրանժի փոփոխականներով, ունեն հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          (
          
            X
            −
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  x
                
                
                  ∂
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          
            
              ∂
              x
            
            
              ∂
              
                a
                
                  i
                
              
            
          
        
        +
        
          (
          
            Y
            −
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  y
                
                
                  ∂
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          
            
              ∂
              y
            
            
              ∂
              
                a
                
                  i
                
              
            
          
        
        +
        
          (
          
            Z
            −
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  z
                
                
                  ∂
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          
            
              ∂
              z
            
            
              ∂
              
                a
                
                  i
                
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            ϱ
          
        
        
          
            
              ∂
              p
            
            
              ∂
              
                a
                
                  i
                
              
            
          
        
        ,
        
        (
        i
        =
        1
        ,
        2
        ,
        3
        )
        ,
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \left(X-{\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2}}}\right){\frac {\partial x}{\partial a_{i}}}+\left(Y-{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}\right){\frac {\partial y}{\partial a_{i}}}+\left(Z-{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\right){\frac {\partial z}{\partial a_{i}}}={\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial a_{i}}},\qquad (i=1,2,3),\qquad (1)}
  որտեղ 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   ժամանակն է, 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  , 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  , 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  ՝ մասնիկի կոորդինատները, 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
  , 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{2}}
  , 
  
    
      
        
          a
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{3}}
  ՝ պարամետրեր, որոնցով որոշվում են մասնիկների սկզբնական կոորդինատները, 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  , 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  , 
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
  ՝ ծավալային ուժերի պրոյեկցիաները, 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  ՝ ճնշումը, 
  
    
      
        ϱ
      
    
    {\displaystyle \varrho }
  ՝ խտությունը։
Լագրանժի հավասարումից որոշվում են միջավայրի մասնիկների շարժման հավասարումները։ Եթե հայտնի են 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  , 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  , 
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
  -ը, ինչպես նաև սկզբնական և եզրային պայմանները, ապա կոնկրետ խնդիրների լուծումը բերվում է 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  , 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  , 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  , 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  , 
  
    
      
        ϱ
      
    
    {\displaystyle \varrho }
  ն որոշելուն, որպես 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
  , 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{2}}
  , 
  
    
      
        
          a
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{3}}
  -ի ֆունկցիաներ։ Ընդ որում, օգտագործվում են նաև անխզելիության հավասարումը և միջավայրի վիճակի հավասարումը 
  
    
      
        ϱ
        =
        f
        (
        p
        )
      
    
    {\displaystyle \varrho =f(p)}
   տեսքով (անսեղմելի հեղուկների համար 
  
    
      
        ϱ
        =
        
          c
          o
          n
          s
          t
        
      
    
    {\displaystyle \varrho =\mathrm {const} }
  )։

  
    
      
        ϱ
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        
          a
          
            3
          
        
        ,
        t
        )
        
          
            |
            
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        x
                      
                      
                        ∂
                        
                          a
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        y
                      
                      
                        ∂
                        
                          a
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        z
                      
                      
                        ∂
                        
                          a
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        x
                      
                      
                        ∂
                        
                          a
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        y
                      
                      
                        ∂
                        
                          a
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        z
                      
                      
                        ∂
                        
                          a
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        x
                      
                      
                        ∂
                        
                          a
                          
                            3
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        y
                      
                      
                        ∂
                        
                          a
                          
                            3
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        z
                      
                      
                        ∂
                        
                          a
                          
                            3
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        =
        
          ϱ
          
            0
          
        
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        
          a
          
            3
          
        
        ,
        
          t
          
            0
          
        
        )
        
          
            |
            
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            0
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          a
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            0
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          a
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          z
                          
                            0
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          a
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            0
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          a
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            0
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          a
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          z
                          
                            0
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          a
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            0
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          a
                          
                            3
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          y
                          
                            0
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          a
                          
                            3
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          z
                          
                            0
                          
                        
                      
                      
                        ∂
                        
                          a
                          
                            3
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        
        
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \varrho (a_{1},a_{2},a_{3},t){\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial a_{1}}}&{\frac {\partial y}{\partial a_{1}}}&{\frac {\partial z}{\partial a_{1}}}\\{\frac {\partial x}{\partial a_{2}}}&{\frac {\partial y}{\partial a_{2}}}&{\frac {\partial z}{\partial a_{2}}}\\{\frac {\partial x}{\partial a_{3}}}&{\frac {\partial y}{\partial a_{3}}}&{\frac {\partial z}{\partial a_{3}}}\end{vmatrix}}=\varrho _{0}(a_{1},a_{2},a_{3},t_{0}){\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{0}}{\partial a_{1}}}&{\frac {\partial y_{0}}{\partial a_{1}}}&{\frac {\partial z_{0}}{\partial a_{1}}}\\{\frac {\partial x_{0}}{\partial a_{2}}}&{\frac {\partial y_{0}}{\partial a_{2}}}&{\frac {\partial z_{0}}{\partial a_{2}}}\\{\frac {\partial x_{0}}{\partial a_{3}}}&{\frac {\partial y_{0}}{\partial a_{3}}}&{\frac {\partial z_{0}}{\partial a_{3}}}\end{vmatrix}}\qquad \qquad (2)}
  Ընդհանուր մեխանիկայում, մեխանիկական համակարգի շարժման հավասարումներն ընդհանրացված կոորդինատներով համակարգի համար Լագրանժի հավասարումը ընդհանուր դեպքում ունի 
  
    
      
        d
        
          /
        
        t
        d
        t
      
    
    {\displaystyle d/tdt}
   տեսքը, որտեղ 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  -երը ընդհանրացված կոորդինատներն են, որոնց թիվը հավասար է մեխանիկական համակարգի ազատության աստիճանների թվին, զույքերը՝ ընդհանրացված արագությունները, 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  -երը՝ ընդհանրացված ուժերը, 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  -ն՝ համակարգի կինետիկ էներգիան, արտահայտված 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  -երով։ q1-երով, համակարգի ազատության աստիճանների թիվը։
(1) և (2) հավասարումները կոչվում են նաև Լագրանժի երկրորդ սեռի հավասարումներ։ Գոյություն ունեն նաև Լագրանժի առաջին սեռի հավասարումներ, որոնք դեկարտյան կոորդինատներով գրված շարժման սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ են, միայն կապերի հակազդումների փոխարեն պարունակում են հակազդումներին համեմատական անորոշ բազմապատկիչներ։ Առանձին առավելություններ այդ հավասարումները չունեն U օգտագործվում նն հազվադեպ, հիմնականում կապերի հակազդումները որոշելու համար, երբ համակարգի շարժման օրենքը որոշված է ուրիշ եղանակով (օրինակ, (1) կամ (2) հավասարումներից)։


== Գրականություն ==
Кларк Д., Макчесни M.  Динамика реальных газов. — М.: Мир, 1967. — 566 с.
Кочин H. E., Кибель И. A., Pозе H. В.  Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. 6-е изд. — М.: Физматгиз, 1963. — 584 с.
Кочин H. E., Кибель И. A., Pозе H. В.  Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. 4-е изд. — М.: Физматгиз, 1963. — 728 с.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.  Гидродинамика. 5-е изд. — М.: Наука, 1988. — 736 с.
Лойцянский Л. Г.  Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. — 840 с. — ISBN 5-7107-6327-6.
Прандтль Л.  Гидроаэромеханика. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1949. — 520 с.
Седов Л. И.  Механика сплошной среды. Том 1. — М.: Наука, 1970. — 492 с.
Седов Л. И.  Механика сплошной среды. Том 2. — М.: Наука, 1970. — 568 с.