Գեորգ Կանտոր

Գեորգ Ֆերդինանդ Լյուդվիգ Ֆիլիպ Կանտոր (մարտի 3, 1845(1845-03-03)[…], Սանկտ Պետերբուրգ, Ռուսական կայսրություն - հունվարի 6, 1918(1918-01-06)[…], Հալե, Մերսբուրգ վարչական շրջան, Սաքսոնիա, Գերմանական կայսրություն), գերմանացի մաթեմատիկոս։ Ստեղծել է բազմությունների տեսությունը, որը դարձել է ժամանակակից մաթեմատիկայի հիմնարար տեսությունը։ Կանտորը ցույց է տվել երկու բազմությունների անդամների միջև փոխմիարժեք համապատասխանության կարևորությունը, սահմանել է անվերջ և լավ կարգավորված բազմությունները, ապացուցել է, որ իրական թվերը բնական թվերից «ավելի շատ են»։ Սահմանել է կարդինալ և օրդինալ թվերը և դրանց թվաբանությունը։ Կանտորի աշխատանքները մեծ փիլիսոփայական կարևորություն ունեն, ինչի մասին նա տեղյակ էր։
Կանտորի տրանսֆինիտ թվերի տեսությունը սկզբում համարվում էր ոչ ինտուիտիվ և քննադատվել է բազմաթիվ մաթեմատիկոսների և փիլիսոփաների կողմից, մինչև օրինակ՝ Լեոպոլդ Կրոնեկեր, Անրի Պուանկարե, Հերման Վեյլ, Լ․ Է․ Յ․ Բրաուեր և Լյուդվիգ Վիտգենշթայն։ Կանտորը, լինելով նվիրված լյութերական, հավատում էր, որ տեսությունը իրեն փոխանցվել է Աստծո միջոցով։ Որոշ քրիստոնյա աստվածաբաններ (հատկապես՝ նեոսխոլաստիկներ) կարծում էին, որ Կանտորի աշխատանքները հակասում են Աստծո էության մեջ բացարձակ անվերջության միակության գաղափարին, և համեմատում էին տրանսֆինիտ թվերի տեսությունը պանթեիզմի հետ։
Լեոպոլդ Կրոնեկերը Կանտորին անվանել է «գիտական շառլատան», «դավաճան» և «երիտասարդության շփոթեցնող»։ Կրոնեկերը չի ընդունել հանրահաշվական թվերի հաշվելիության և տրանսցենդենտ թվերի անհաշվելիության Կանտորի ապացույցները (այս արդյունքները այժմ մաթեմատիկայի ուսուցման ստանդարտ ծրագրում են)։ Կանտորի մահից տասնամյակներ անց Վիտգենշթայնը բազմությունների տեսության հասկացությունները անվանել է «բացարձակ անհեթեթություն», որը «ծիծաղելի է» և «սխալ»։ 1884 թվականից մինչև կյանքի վերջ կրկնվող դեպրեսիայի ցնցումների պատճառ են համարվել ժամանակակիցների քննադատությունները, սակայն որոշ հետազոտողներ կարծում են, որ այն հավաբանար երկբևեռ աֆեկտիվ խանգարման հետևանք է եղել։
1904 թվականին Լոնդոնի թագավորական ընկերությունը Կանտորին արժանացրել է Սիլվեստրի մեդալի, որը մաթեմատիկայի բնագավառում ընկերության ամենահեղինակավոր մրցանակն էր։ Դավիթ Հիլբերտը պաշտպանել է քննադատներից՝ ասելով. «Ոչ ոք չի կարող հեռացնել մեզ Կանտորի ստեղծած դրախտից»։


== Կյանք ==


=== Երիտասարդություն և կրթություն ===

Գեորգ Կանտորը ծնվել է 1845 թվականին Ռուսաստանի Սանկտ Պետերբուրգ քաղաքում և ապրել այնտեղ մինչև տասնմեկ տարեկանը։ Կանտորն ընտանիքի վեց երեխաներից ամենամեծն էր և համարվում էր տաղանդավոր ջութակահար։ Պապը՝ Ֆրանս Բոհմը (1788-1846), հայտնի երաժիշտ մենակատար էր Ռուսական կայսրական նվագախմբում։ Կանտորի հայրը Սանկտ Պետերբուգի ֆոնդային բորսայի անդամ էր։ Ընտանիքը 1856 թվականին Կանտորի հիվանդության պատճառով տեղափոխվել է Գերմանիա՝ սկզբում Վիսբադեն, իսկ հետո՝ Մայնի Ֆրանկֆուրտ, քանի որ այս քաղաքները Սանկտ Պետերբուրգից ավելի մեղմ ձմեռներ ունեին։ 1860 թվականին Կանտորն ավարտել է Դարմշտադտի «Ռեալշուլը», որտեղ աչքի է ընկել բարձր առաջադիմությամբ, հատկապես մաթեմատիկայի և եռանկյունաչափության բնագավառում։ 1862 թվականին Կանտորը ընդունվել է Ցյուրիխի տեխնիկական բարձրագույն դպրոց։ 1863 թվականի հունիսին մահացել է Կանտորի հայրը՝ նրան թողնելով նշանակալի ժառանգություն, որից հետո նա կրթությունը շարունակել է Բեռլինի Հումբոլդտի անվան համալսարանում՝ հաճախելով Լեոպոլդ Կրոնեկերի, Կառլ Վայերշտրասի և Էռնստ Էդուարդ Կումմերի դասախոսություններին։ 1866 թվականի ամառը անցկացրել է Գյոթինգենի համալսարանում, որն այդ ժամանակ մաթեմատիկական հետազոտությունների կենտրոն էր։ Կանտորը հիանալի ուսանող էր և դոկտորի աստիճան է ստացել 1867 թվականին։


=== Ուսուցում և հետազոտություն ===
Բեռլինի համալսարանում Կանտորի դիպլոմային աշխատանքը (1867 թվական) վերաբերում էր թվերի տեսությանը։ Բեռլինի աղջիկների դպրոցում կարճ ժամանակ դասավանդելուց հետո Կանտորը աշխատանքի է անցել Հալլեի համալսարանում, որտեղ անցկացրել է իր ամբողջ գործունեությունը։ Իր հաբիլիտացիան նույնպես վերաբերում էր թվերի տեսությանը, որը նա ներկայացրել է 1869 թվականին՝ Հալլեի համալսարանում աշխատանքի անցնելու ժամանակ։
1874 թվականին Կանտորը ամուսնացել է Վալլե Գութմանի հետ։ Նրանք ունեցել են վեց երեխա, վերջինը (Ռուդոլֆ) ծնվել է 1886 թվականին։ Չնայած  ակադեմիական համեստ աշխատավարձին՝ Կանտորը կարողացել է բավարարել ընտանիքի պահանջները հոր ժառանգության միջոցով։ Հարցի լեռներում իրենց մեղրամսի ընթացքում Կանտորը ժամանակի մեծ մասն անցկացրել է Ռիխարդ Դեդեկինդի հետ մաթեմատիկական քննարկումերի վրա, որի հետ նա ծանոթացել էր երկու տարի առաջ։ Կանտորը 1872 թվականին դարձել է լրացուցիչ պրոֆեսոր (գերմ.՝ außerordentlicher Professor, ao. Prof.) իսկ 1879 թվականին՝ լրիվ պրոֆեսոր։ 34 տարեկանում նման բարձր աստիճանի հասնելը նշանավոր նվաճում էր, բայց Կանտորը ցանկանում էր կոչում ստանալ ավելի հեղինակավոր համալսարանից, մասնավորապես՝ Բեռլինից, որը այդ ժամանակ Գերմանիայի առաջատար համալսարանն էր։ Այնուամենայնիվ, նրա աշխատությունները շատ քննադատություններ ունեցան, որոնք խոչընդոտել են Կանտորի ցանկությանը։ Կրոնեկերը, որն այդ ժամանակ Բեռլինի համալսարանի մաթեմատիկայի բաժնի ղեկավարն էր, չէր ցանկանում Կանտորին որպես կոլեգա տեսնել՝ նրան ընկալելով որպես «երիտասարդության շփոթեցնող»։ Ավելին, Կրոնեկերը, լինելով Կանտորի նախկին դասախոսը և մաթեմատիկական հասարակության մեջ հարգված անձ, հիմնովին մերժում էր Կանտորի աշխատանքները, նույնիսկ դիտավորյալ հետաձգում էր Կանտորի առաջին խոշոր աշխատանքի հրատարակումը 1874 թվականին։ Կրոնեկերը, որն այժմ համարվում է կոնստրուկտիվ մաթեմատիկայի հիմնադիրներից մեկը, չէր ընդունում բազմությունների տեսության վերաբերյալ Կանտորի աշխատանքների մեծ մասը, քանի որ դրանք ենթադրում էին որոշակի հատկությունների բավարարող բազմությունների գոյությունը՝ առանց մասնավոր օրինակներ տալու։ Բեռլինի համալսարանի դիմումները միշտ մերժվել են, հիմնականում Կրոնեկերի ազդեցությամբ, ինչի պատճառով Կանտորը սկսեց մտածել, որ Կրոնեկերի դիրքորոշումը անհնար կդարձնի Հալլեից հեռանալը։ Էդուարդ Հեյնի մահվանից հետո 1881 թվականին Հալեի համալսարանում նրա զբաղեցրած պաշտոնը մնացել է թափուր։ Հալլեի համալսարանը ընդունել է Կանտորի առաջարկը, ըստ որի՝ պաշտոնը պետք է առաջարկվեր Դեդեկինդին, Հենրիխ Մ․ Վաբերին և Ֆրանս Մերթենսին համապատասխան հերթականությամբ, սակայն բոլորը մերժել են աշխատանքի հրավերը։ Ի վերջո, թափուր պաշտոնում նշանակվել է Ֆրիդրիխ Վանգերինը, որը երբեք Կանտորի հետ մոտ չի եղել։
1882 թվականին ավարտվել է Կանտորի և Դեդեկինդի նամակագրությունը, ըստ էության՝ Դեդեկինդի պաշտոնազրկման պատճառով։ Կանտորը նոր կարևոր նամակագրություն է սկսել շվեդ մաթեմատիկոս Մագնուս Միտտագ-Լեֆլերի հետ և շուտով սկսել է տպագրվել Միտտագ-Լեֆլերի ամսագրում՝ «Acta Mathematica»-ում։ Սակայն 1885 թվականին Միտտագ-Լեֆլերը անհանգստացած էր Կանտորի ուղարկած հոդվածի փիլիսոփայական բնույթի և նոր տերմինաբանության պատճառով։ Նա Կանտորին խնդրել է հետ վերցնել հոդվածը՝ ասելով, որ այն «․․․մոտավորապես 100 տարի առաջ է»։ Կանտորը համաձայնվել է, սակայն հետագայում խզել է Միտտագ-Լեֆլերի հետ հարաբերությունները և նամակագրությունը։ Երրորդ կողմի հետ նամակագրություններից մեկում Կանտորը գրել է. «․․․Ես պետք է սպասեմ մինչև 1984 թվականը, ինչը ինձ համար մեծ պահանջ է թվում... Բայց իհարկե ես այլևս չեմ ցանկանում լսել «Acta Mathematica»-ի մասին որևէ բան»։
Կանտորի առաջին տևական դեպրեսիան եղել է 1884 թվականի մայիսին։ Իր աշխատանքների քննադատությունը մեծ ազդեցություն է ունեցել Կանտորի վրա․ 1884 թվականի ընթացքում Միտտագ-Լեֆլերին գրած 52 նամակներից բոլորում նա հիշատակել է Կրոնեկերին։ Նամակներից մեկում Կանտորը գրել է.

Այս ճգնաժամի արդյունքում նա սկսել է հաճախել փիլիսոփայության դասախոսությունների։ Նա նաև սկսել է ակտիվ ուսումնասիրել Էլիզաբեթյան ժամանակաշրջանի գրականությունը՝ հույս ունենալով, որ կարող է գտնել փաստեր, որոնք կապացուցեն, որ Ուիլյամ Շեքսպիրին վերագրվող ստեղծագործությունների հեղինակը  Ֆրենսիս Բեկոնն է (տես՝ Շեքսպիրի հեղինակության հարց)։ Արդյունքում 1896 և 1897 թվականներից հրատարակել է երկու բրոշյուր։
Չնայած հետագայում շարունակել է կարևոր ներդրումները մաթեմատիկայում, այդ թվում Կանտորի անկյունային արգումենտը և Կանտորի թեորեմը, սակայն երբեք չի վերականգնել 1874-1884 թվականների ուշագրավ հոդվածների բարձր մակարդակը նույնիսկ Կրոնեկերի մահից հետո (1891 թվականի դեկտեմբերի 29)։ Ի վերջո նա կարողացել է հաշտվել Կրոնեկերի հետ, սակայն փիլիսոփայական անհամաձայնությունները և դժվարությունները շարունակել են բաժանել նրանց։
1889 թվականին Կանտորը նպաստել է Գերմանիայի մաթեմատիկական ընկերության ստեղծմանը և ղեկավարել է դրա առաջին հանդիպումը Հալլեում (1891 թվական), որտեղ նա առաջին անգամ ներկայացրել է անկյունային արգումենտը։ Չնայած նրա աշխատությունների հանդեպ Կրոնեկերի ընդդիմությանը՝ նրա հեղինակությունը բավական բարձր էր ընկերության առաջին նախագահ ընտրվելու համար։ Մի կողմ դնելով Կրոնեկերի թշնամանքը՝ Կանտորը նրան հանդիպման է հրավիրել, սակայն Կրոնեկերը չի կարողացել մասնակցել կնոջ առողջական վիճակի պատճառով։ Կանտորը նաև օժանդակել է Մաթեմատիկոսների առաջին միջազգային կոնֆերանսին, որը տեղի է ունեցել 1897 թվականին Ցյուրիխում։


=== Հետագա կյանք և մահ ===
1884 թվականի հոսպիտալացումից հետո մինչև 1899 թվականը ոչ մի հիշատակում չկա, որ նա եղել է որևէ առողջարանում։ Երկրորդ հոսպիտալացումից կարճ ժամանակ անց՝ դեկտեմբերի 16-ին, մահացել է Կանտորի փոքր տղան՝ Ռուդոլֆը (Կանտորը դասախոսություն էր կարդում Բեկոնյան տեսության և Ուիլյամ Շեքսպիրի վերաբերյալ իր տեսակետների մասին), որից հետո մարել է մաթեմատիկայի հանդեպ Կանտորի հետաքրքրությունը։ Մի քանի տարի անց՝ 1903 թվականին, կրկին հոսպիտալացվել է։ Մեկ տարի անց՝ Մաթեմատիկոսների երրորդ միջազգային կոնֆերանսի ընթացքում, Հուլիոս Կյունինգը ներկայացրել է հոդված, որով փորձում էր ապացուցել, որ տրանսֆինիտ բազմությունների տեսության հիմնական սկզբունքները սխալ են։ Քանի որ հոդվածը կարդացվել էր իր դստեր և կոլեգաների ներկայությամբ, Կանտորը իրեն հանրայնորեն ստորացված էր զգում։ Չնայած Էռնստ Ցերմելոն դեռ մեկ օր չանցած ցույց է տվել, որ Կյունինգի ապացույցը սխալ է, Կանտորը ցնցված էր։ Կանտորը կյանքի մնացած տարիներին տառապել է քրոնիկական դեպրեսիայով, որի պատճառով բաց է թողել բազմաթիվ դասախոսություններ և հաճախակի այցելել տարբեր առողջարաններ։ 1904 թվականի իրադարձությունները հանգեցրել են երկու կամ երեք տարվա միջակայքերով բազմաթիվ հոսպիտալացումների։ Սակայն նա ամբողջությամբ չի հրաժարվել մաթեմատիկայից․ 1903 թվականի «Deutsche Mathematiker–Vereinigung» հանդիպմանը դասախոսություն է կարդացել բազմությունների տեսության պարադոքսների վերաբերյալ (Ռասելի պարադոքս, Կանտորի պարադոքս և Բուրալի-Ֆորտիի պարադոքս) և մասնակցել է 1904 թվականի Մաթեմատիկոսների միջազգային կոնֆերանսին (Հայդելբերգ)։
1911 թվականին հրավիրվել է Շոտլանդիայի Սուրբ Էնդրյուսի համալսարանի հիմնադրման 500-ամյակի տարեդարձին։ Կանտորը ընդունել է հրավերը՝ հույս ունենալով հանդիպել Բերտրան Ռասելին, որի նոր լույս տեսած «Principia Mathematica»  աշխատության մեջ բազմաթիվ հղումներ կային Կանտորի աշխատանքներին, սակայն հանդիպումը չի կայացել։ Հաջորդ տարի Սբ. Էնդրյուսի համալսարանը Կանտորին պատվավոր դոկտորի կոչում է շնորհել, բայց հիվանդության պատճառով նա չի կարողացել անձամբ ընդունել այն։
Կանտորը 1913 թվականին թոշակի է անցել՝ ապրելով աղքատության մեջ և Առաջին համաշխարհային պատերազմի տարիներին տառապել է թերսնուցումից։ Նրա 70-ամյակի տոնակատարությունները չեղյալ են համարվել պատերազմի պատճառով։ 1917 թվականի հունվարին վերջին անգամ տեղափոխվել է առողջարան, որտեղից նա շարունակաբար խնդրում էր կնոջը իրեն տուն տանել։ Գեորգ Կանտորը մահացել է սրտի կաթվածից 1918 թվականի հունվարի 6-ին առողջարանում, որտեղ անցկացրել էր կյանքի վերջին տարիները։


== Մաթեմատիկական աշխատանք ==
Կանտորի 1874-1884 թվականների աշխատանքերը բազմությունների տեսության ստեղծման հիմք են դարձել։ Նախքան իր աշխատությունները՝ բազմության գաղափարը էլեմենտար բնույթ էր կրում և անուղղակիորեն օգտագործվել էր Արիստոտելի ժամանակներից սկսած։ Ոչ ոք չէր մտածում, որ բազմությունների տեսությունը կարող է ոչ տրիվիալ բովանդակություն ունենալ։ Մինչև Կանտորը գոյություն ունեին վերջավոր բազմությունները (որոնք հեշտ է հասկանալ) և «անվերջ բազմությունը» (որը համարվում էր փիլիսոփայական թեմա, ոչ թե մաթեմատիկական)։ Ապացուցելով, որ գոյություն ունեն (անվերջ) տարբեր չափի անվերջ բազմություններ՝ Կանտորը ցույց է տվել, որ բազմությունների տեսությունը տրիվիալ չէ և ուսումնասիրության կարիք ունի։ Բազմությունների տեսությունը այժմ համարվում է ժամանակակից մաթեմատիկայի հիմնային տեսություն, քանի որ այն հնարավորություն է տալիս մաթեմատիկայի տարբեր բաժինների (օրինակ՝ հանրահաշիվ, մաթեմատիկական անալիզ, տոպոլոգիա) օբյեկտների (օրինակ՝ թվեր, ֆունկցիաներ) վերաբերյալ պնդումները ներկայացնել մեկ տեսության միջոցով։
Իր առաջին հոդվածներից մեկում Կանտորն ապացուցել է, որ իրական թվերի բազմությունը բնական թվերի բազմությունից «ավելի մեծ» է․ սա պատմության մեջ առաջին անգամ ցույց է տվել, որ գոյություն ունեն տարբեր չափի անվերջություններ։ Նա նաև առաջինն էր, որ գնահատել է փոխմիարժեք համապատասխանության կարևորությունը բազմությունների տեսությունում։ Օգտագործելով այս գաղափարը՝ նա բազմությունները բաժանել է վերջավոր և անվերջ խմբերի, վերջինս էլ՝ հաշվելի և անհաշվելի խմբերի։
Կանտորը մշակել է տոպոլոգիայի կարևոր հասկացությունները և ցույց է տվել նրանց և բազմության հզորության կապը։ Օրինակ՝ նա ցույց է տվել, որ Կանտորի բազմությունը (հայտնաբերել է Հենրի Ջոն Սթիվեն Սմիթը 1875 թվականին) ոչ մի տեղ խիտ չէ, բայց ունի նույն կարդինալ թիվը ինչ բոլոր իրական թվերի բազմությունը, մինչդեռ ռացիոնալ թվերը բոլոր կետերում խիտ են, բայց հաշվելի են։
Կանտորը ներկայացրել է բազմությունների տեսության հիմնարար հասկացություններ, օրինակ՝ բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունը։ Հետագայում նա ապացուցել է, որ A բազմության բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունը ավելի մեծ է, քան A բազմությունը՝ անգամ եթե A բազմությունը անվերջ է (տես՝ Կանտորի թեորեմ)։ Կանտորը մշակել է կարդինալ և օրդինալ թվերի տեսությունը։ Կարդինալ թվերի համար նա օգտագործում էր եբրայերենի 
  
    
      
        ℵ
      
    
    {\displaystyle \aleph }
   (ալեֆ) տառը, իսկ օրդինալների համար՝ հունարեն 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
   տառը։ Այս նշանակումը մինչև այժմ օգտագործվում է։
Հիլբերտի առաջին խնդիրը (կամ կոնտինուումի վարկած) ներկայացրել է Կանտորը (Դավիթ Հիլբերտը այն ներկայացրել է 1900 թվականին Փարիզում տեղի ունեցած մաթեմատիկական 2-րդ կոնգրեսում)։ 1905 թվականից Կանտորը նամակագրական կապ է սկսել բրիտանացի թարգմանիչ Ֆիլիպ Ջորդանի հետ՝ բազմությունների տեսության պատմության և Կանտորի կրոնական հայացքների մասին։


=== Թվերի տեսություն, եռանկյունաչափական շարքեր և օրդինալներ ===
Կանտորի առաջին տասը հոդվածները վերաբերում էին թվերի տեսությանը։ Հալլեի համալսարանի պրոֆեսոր Էդուարդ Հեյինի առաջարկով Կանտորը սկսել է զբաղվել մաթեմատիկական անալիզով։ Հեյինին Կանտորին առաջարկել է լուծել եռանկյունաչափական շարքերով ֆունկցիայի ներկայացման միակության խնդիրը, որից խուսափել էին Պետեր Գուստավ Լըժյոն Դիրիխլեը, Ռուդոլֆ Լիպշիցը, Բեռնարդ Ռիմանը և ինքը Հեյինին։ Կանտորը լուծել է այս խնդիրը 1869 թվականին։ Այս խնդրի լուծման ընթացքում նա հայտնաբերել է տրանսֆինիտ օրդինալները։ Կանտորը գտել է մի եղանակ, որով տրված 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   եռանկյունաչափական շարքից և 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   զրոների բազմությունից հնարավոր է ստանալ այլ եռանկյունաչափական շարք՝ 
  
    
      
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{1}}
   զրոների բազմությամբ, որտեղ 
  
    
      
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{1}}
  -ը 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   բազմության սահմանային կետերի բազմությունն է։ Նմանապես, եթե 
  
    
      
        
          S
          
            k
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{k+1}}
  -ը 
  
    
      
        
          S
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{k}}
   բազմության սահմանային կետերի բազմությունն է, ուրեմն հնարավոր է կառուցել եռանկյունաչափական շարք, որի զրոները բազմությունը 
  
    
      
        
          S
          
            k
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{k+1}}
  -ն է։ Քանի որ 
  
    
      
        
          S
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{k}}
   բազմությունները փակ են, նրանք պարունակում են իրենց սահմանային կետերը և 
  
    
      
        S
        ,
        
          S
          
            1
          
        
        ,
        
          S
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle S,S_{1},S_{2},...}
   բազմությունների նվազող հաջորդականության հատումը կազմում է սահմանային բազմություն, որը կանվանենք 
  
    
      
        
          S
          
            ω
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{\omega }}
  ։ Կանտորը նկատեց, որ 
  
    
      
        
          S
          
            ω
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{\omega }}
   բազմությունը նույնպես պետք է ունենա 
  
    
      
        
          S
          
            ω
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{\omega +1}}
   սահմանային կետերի բազմություն, և այդպես շարունակ։ Նա ուներ նման բազմաթիվ օրինակներ, ինչի արդյունքում բնականորեն առաջացավ ω, ω + 1, ω + 2, ... թվերի անվերջ հաջորդականության գաղափարը։
1870-1872 թվականներին Կանտորը հրապարակել է եռանկյունաչափական շարքերի մասին հոդվածներ և մեկ հոդված, որտեղ իռացիոնալ թվերը սահմանում է որպես ռացիոնալ թվերի զուգամետ հաջորդականություններ։ Դեդեկինդը, որի հետ Կանտորը ընկերացրել էր 1872 թվականին, նույն թվականի իր հոդվածում, որտեղ նա սահմանում է իրական թվերը Դեդեկինդյան հատույթների միջոցով, հղում է անում Կանտորի հոդվածին։ Կանտորը դեմ էր անվերջ փոքրեր տեսությանը՝ համարելով այն «նողկանք» և «մաթեմատիկայի խոլերա բացիլ»։ Կանտորը նաև հրատարակել է անվերջ փոքրերի հակասականության ապացույց, որը սակայն սխալներ ուներ։


=== Բազմությունների տեսություն ===

Բազմությունների տեսության վերաբերյալ Կանտորի առաջին հոդվածը (1874 թվական)՝ «Բոլոր իրական հանրահաշվական թվերի հավաքածուի հատկության վերաբերյալ», (գերմ.՝ Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen),  հաճախ համարվում է բազմությունների տեսության սկզիբ։ Այս հոդվածում Կանտորը առաջին անգամ ապացուցել է, որ գոյություն ունեն տարբեր տեսակի անվերջություններ։ Նախկինում համարվում էր, որ բոլոր անվերջ բազմությունները «նույն քանակությամբ» տարրեր ունեն։ Կանտորը ապացուցել է, որ իրական թվերի բազմությունը և ամբողջ թվերի բազմությունը հավասարազոր չեն։ Այլ կերպ ասած՝ իրական թվերը հաշվելի չեն։ Այս հոդվածում ներկայացված ապացույցը տարբերվում էր 1891 թվականին իր կողմից ներկայացված անկյունային արգումենտից։ Կանտորի հոդվածը նաև պարունակում էր տրանսցենդենտ թվերի կառուցման նոր մեթոդ։ Տրանսցենդենտ թվերը առաջին անգամ կառուցել է Ժոզեֆ Լուիվիլը 1844 թվականին։
Այս արդյուքները ապացուցելու համար Կանտորը սկզբում ցույց տվեց, որ հանրահաշվական թվերը հնարավոր է ներկայացնել հաջորդականության տեսքով, այսինքն՝ հանրահաշվական թվերի բազմությունը հաշվելի է։ Հաջորդ քայլում Կանտորը ցույց է տվել, որ իրական թվերի կամայական հաջորդականության համար հնարավոր է կառուցել իրական թիվ, որը այդ հաջորդականության անդամ չէ։ Քանի որ իրական թվերի կամայական հաջորդականության համար հնարավոր է կառուցել իրական թիվ, որը հաջորդականության անդամ չէ, հետևաբար իրական թվերը հնարավոր չէ ներկայացնել հաջորդականության տեսքով (այլ կերպ ասած՝ իրական թվերը հաշվելի չեն)։ Այս մեթոդը իրական հանրահաշվական թվերի հաջորդականության վրա կիրառելով Կանտորը ստացավ տրանսցենդենտ թիվ։ Այս կառուցումները նաև Լուիվիլի թեորեմի (իրական թվերի կամայական միջակայքում գոյություն ունեն անվերջ քանակությամբ տրանսցենդենտ թվեր) նոր ապացույց էին։ Կանտորը իր հաջորդ հոդվածում ապացուցում է, որ տրանսցենդենտ թվերի բազմությունը և իրական թվերի բազմությունը նույն հզորությունն ունեն։
1879-1884 թվականների ընթացքում Կանտորը «Mathematische Annalen» ամսագրում հրատարակել է վեց հոդված, որոնք կազմում են իր բազմությունների տեսության հիմունքները։ Միևնույն ժամանակ աճում էր Կանտորի գաղափարների հանդեպ ընդդիմությունը։ Ընդդիմադիրների շարքում էր Լեոպոլդ Կրոնեկերը, որը ընդունում էր մաթեմատիկական հասկացությունները միայն այն դեպքում, երբ դրանք հնարավոր էր կառուցել վերջավոր քայլերի միջոցով։ Կրոնեկերի համար Կանտորի անվերջությունների հիերարխիան անընդունելի էր, քանի որ ակտուալ անվերջության գաղափարի ընդունումը կհանգեցներ պարադոքսների, որոնք մարտահրավեր կլինեին մաթեմատիկայի վավերության համար։ Կանտորը այդ շրջանում նաև ներկայացրել է Կանտորի բազմությունը։
Այս շարքի հինգերորդ հոդվածը («Ագրեգատների ընդհանուր տեսության հիմունքներ», գերմ.՝ Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre), տպագրված 1883 թվականին, նաև տպագրվել է որպես առանձին մենագրություն։ Հոդվածում Կանտորը պատասխանում է քննադատներին և ցույց է տալիս, որ տանսֆինիտ թվերը բնական թվերի համակարգային ընդլայնումն են։ Սկզբում սահմանում է լավ կարգավորված բազմությունները։ Օրդինալ թվերը հետագայում ներմուծվում են որպես լավ կարգավորված բազմությունների կարգավորված տիպեր։ Կանտորը հետո սահմանում է կարդինալ և օրդինալ թվերի գումարումը և բազմապատկումը։ 1885 թվականին Կանտորը ընդլայնում է կարգային տիպերի տեսությունը, այնպես, որ օրդինալ թվերը դառնում են կարգային տիպերի մասնավոր դեպք։
1891 թվականին տպագրված հոդվածում Կանտորը ներկայացում է անհաշվելի բազմությունների գոյության մասին իր հայտնի անկյունային արգումենտը։ Նույն գաղափարների միջոցով նա նաև ապացուցում է Կանտորի թեորեմը․ այն է՝ կամայական 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   բազմության հզորությունը ավելի փոքր է իր բոլոր ենթաբազմությունների բազմության հզորությունից։ Այս արգումենտը կարևոր նշանակություն է ունեցել դադարի խնդրի լուծման և Գյոդելի առաջին թեորեմի ապացուցման համար։ 1894 թվականին Կանտորը նաև գրել է Գալդբախի խնդրի մասին։

1895-1897 թվականներին Կանտորը «Mathematische Annalen» ամսագրում, որի խմբագիրը Ֆելիքս Կլայնն էր, հրատարակել է երկու մասանոց հոդված, որոնք իր վերջին նշանակալի հոդվածներին էին բազմությունների տեսության վերաբերյալ։ Առաջին հոդվածը սկսում է բազմության, ենթաբազմության և այլն սահմանումներով, որոնք այժմ նույնպես ընդունելի են։ Կարդինալների և օրդինալների թվաբանությունը վերանայվել է։ Կանտորը ցանկանում էր երկրորդ հոդվածում ներառել կոնտինուումի վարկածի ապացույցը, սակայն ստիպված էր մշակել լավ կարգավորված բազմությունների և օրդինալ թվերի տեսությունը։ Կանտորը փորձել է ապացուցել, որ եթե 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ն և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  -ն բազմություններ են այնպես, որ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ն համարժեք է 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  -ի ինչ-որ ենթաբազմության և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  -ն համարժեք է 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ի ինչ-որ ենթաբազմության, ուրեմն 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   բազմությունները համարժեք են։ Ավելի վաղ Էրնստ Շրյոդերը ձևակերպել էր այս թեորեմը, սակայն իր, ինչպես և Կանտորի ապացույցը սխալ էր։ 1898 թվականին Ֆելիքս Բեռնշտայնը ապացուցել է թեորեմը, որը այժմ կոչվում է Կանտոր-Շրյոդեր-Բեռնշտայն թեորեմ։


==== Փոխմիարժեք համապատասխանություն ====

1874 թվականին Կանտորը Crelle ամսագրում հրատարակել է հոդված, որտեղ առաջին անգամ ներկայացվում էր փոխմիարժեք համապատասխանության գաղափարը, չնայած նա չի օգտագործել այդ արտահատությունը։ Նա փորձում էր փոխմիարժեք համապատասխանություն գտնել միավոր քառակուսու կետերի և միավոր հատվածի կետերի մեջ։ 1877 թվականին Ռիխարդ Դեդեկինդին ուղղված նամակում Կանտորը ապացուցել է ավելի ուժեղ պնդում․ կամայական բնական 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   թվի համար գոյություն ունի փոխմիարժեք համապատասխանություն միավոր հատվածի և 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   չափանի տարածության բոլորի կետերի միջև։ Այս բացահայտման մասին Կանտորը գրել է՝ «Je le vois, mais je ne le crois pas!» («Ես տեսնում եմ, բայց չեմ հավատում դրան»։)։ Այս արդյունքը կարևոր հետևանքներ ունի երկրաչափության և չափականության գաղափարի համար։
1878 թվականին Crelle ամսագրին ուղարկեց մեկ այլ հոդված, որտեղ նա սահմանում էր փոխմիարժեք համապատասխանությունը և ներկայացնում էր բազմության հզորության (տերմինը վերցրել էր Յակոբ Շտերներից) կամ համարժեքության գաղափարը, այն է՝ երկու բազմություններ համարժեք են (ունեն նույն հզորությունը), եթե նրանց մինչև գոյություն ունի փոխմիարժեք համապատասխանություն։ Ըստ Կանտորի սահմանման՝ հաշվելի բազմությունները այն բազմություններն են, որոնք փոխմիարժեք համապատասխանություն ունեն բնական թվերի հետ։ Ապացուցել է, որ ռացիոնալ թվերը հաշվելի են։ Նա նաև ապացուցել է, որ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   չափանի Էվկլիդեսյան 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
   տարածությունները ունեն նույն հզորությունը, ինչ իրական թվերի բազմությունը, ինչպես նաև 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  -ի հաշվելի քանակությամբ դեկարդյան արտադրյալը։ Չնայած հաշվելի բազմության հասկացության լայնորեն օգտագործմանը՝ նա չի օգտագործել «հաշվելի» անվանումը մինչև 1883 թվականը։ Կանտորը նաև քննարկել է չափականության վերաբերյալ իր հայացքները՝ շեշտելով, որ միավոր հատվածի և միավոր քառակուսու միջև փոխմիարժեք արտապատկերումը անընդհատ չէ։
Կրոնեկերին դուր չի եկել այս հոդվածը, ինչի պատճառով Կանտորը ցանկացել է հետ վերցնել այն, սակայն Դեդեկինդի և Կառլ Վայերշտրասի աջակցության շնորհիվ հոդվածը հրատարակվել է։ Այնուամենայնիվ, Կանտորը այլևս հոդված չի ուղարկել Crelle ամսագրին։


==== Կոնտինուումի վարկած ====

Կանտորը առաջինն է ձևակերպել Հիլբերտի առաջին խնդիրը (Կոնտինուումի վարկածը), ըստ որի՝ գոյություն չունի բազմություն, որի հզորությունը մեծ է բնական թվերի բազմության հզորությունից և փոքր իրական թվերի բազմության հզորությունից (համարժեքորեն՝ իրական թվերի հզորությունը ճիշտ 
  
    
      
        
          ℵ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \aleph _{1}}
   է, ոչ թե առնվազն 
  
    
      
        
          ℵ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \aleph _{1}}
  )։ Կանտորը հավատում էր, որ Կոնտինուումի վարկածը ճիշտ է և տարիներ շարունակ փորձել է ապացուցել այն։
Հատագայում Կուրտ Գյոդելի և Պոլ Քոհենի աշխատանքները (համապատասխանաբար 1940 և 1963 թվականներին) ցույց են տվել, որ կոնտինուումի վարկածը հնարավոր չէ ո՛չ ապացուցել, ո՛չ ժխտել օգտվելով բազմությունների ստանդարտ տեսությունից։


==== Բացարձակ անվերջություն, լավ կարգավորության թեորեմ և պարադոքսներ ====
1883 թվականին Կանտորը բաժանեց անվերջությունը տրանսֆինիտ և բացարձակ մասերի։
Ի տարբերություն բացարձակի՝ տրանսֆինիտը կարող էր «մեծանալ»։ Օրինակ՝ α օրդինալը տրանսֆինիտ է, քանի որ այն հնարավոր է մեծացնել α + 1-ի։ Բայց, օրդինալները կազմում են բացարձակ անվերջ հաջորդականություն է, որը հնարավոր չէ մեծացնել, քանի որ գոյություն չունեն այլ օրդինալներ, որոնք հնարավոր է ավելացնել դրան։ 1883 թվականին Կանտորը ներկայացրել է լավ կարգավորության սկզբունքը, ըստ որի՝ «կամայական բազմություն հնարավոր է լավ կարգավորել» և նշել, որ այդ սկզբունքը «մտքի օրենք է»։
Կանտորը օգտագործել է բացարձակ անվերջության գաղափարը այլ ապացույցներում ևս։ Մոտ 1895 թվականին նա սկսում է դիտարկել լավ կարգավորության սկզբունքը որպես թեորեմ և փորձում է ապացուցել այն։ 1899 թվականին նա Դեդեկինդին ուղարկում է համարժեք ալեֆի թեորեմի (կամայական անվերջ բազմության հզորությունը ալեֆ է) ապացույց։ Սկզբում նա սահմանում է երկու պատիկություններ․ անհակասական պատիկություններ (բազմություններ) և հակասական պատիկություններ (բացարձակ անվերջ պատիկություններ)։ Հետո ենթադրելով, որ օրդինալները բազմություն են կազմում՝ հանգել է հակասության, ինչից հետևում է, որ օրդինալները հակասական պատիկություն են։ Նա օգտագործել է հակասական պատիկությունը ալեֆի թեորեմը ապացուցելու համար։ 1932 թվականին Ցերմելոն քննադատել է Կանտորի ապացույցը։
Կանտորը խուսափել է պարադոքսներից՝ նկատելով, որ գոյություն ունի երկու տեսակի պատիկություն։ Իր բազմությունների տեսությունում բոլոր օրդինալները բազմություն դիտարկելու արդյունքում ստացված հակասությունները պարզապես նշանակում էին, որ օրդինալները հակասական պատիկություն են։ Մինչդեռ Բերտրան Ռասելը բոլոր հավաքածուները դիտարկում էր որպես բազմություններ, որը հանգեցնում էր պարադոքսների։ Ռասելի բազմությունների տեսությունում օրդինալները բազմություն էին, հետևաբար ստացված հակասությունը նշանակում էին, որ տեսությունը հակասական է։ 1901-1903 թվականների ընթացքում Ռասելը գտավ երեք պարադոքս, ինչը նշանակում էր, որ տեսությունը հակասական է (Ռասելի պարադոքս, Կանտորի պարադոքս և Բուրալի-Ֆորտիի պարադոքս)։ Ռասելը պարադոքսները անվանել է Կանտորի և Բուրալի-Ֆորտիի պատվին, չնայած նրանք չէին հավատում, որ պարադոքս են գտել։
1908 թվականին Ցերմելոն հրատարակել է բազմությունների տեսության աքսիոմատիկ համակարգը։ Աքսիոմատիկ համակարգի մշակման հիմնական դրդապատճառները պարադոքսների լուծումն էր և լավ կարգավորության թեորեմի ապացույցը։ Ցերմելոն ապացուցել էր այս թեորեմը դեռ 1904 թվականին՝ օգտվելով ընտրության աքսիոմից, բայց այդ ապացույցը քննադատվել էր բազմաթիվ պատճառներով: Այս աքսիոմները հիմք հանդիսացան նոր ապացույցի համար և լուծեցին պարադոքսները՝ խստացնելով բազմության սահմանումը։ 
1923 թվականին Ջոն ֆոն Նոյմանը մշակեց աքսիոմատիկ համակարգ, որը լուծում էր պարադոքսները՝ օգտագործելով Կանտորի մոտեցմանը նման մոտեցում։ Մասնավորապես՝ որոշ հավաքածուներ բազմություններից անջատ դիտարկելը։ Ըստ ֆոն Նոյմանի՝ դասը չափազանց մեծ է բազմություն լինելու համար, եթե հնարավոր է նրա և բոլոր բազմությունների դասի միջև փոխմիարժեք համապատասխանություն գտնել։ Նա բազմությունը սահմանել է որպես ինչ-որ դասի անդամ դաս․ ըստ աքսոմի՝ դասը բազմություն չէ այն և միայն այն դեպքում, երբ դասի և բոլոր բազմությունների դասի միջև փոխմիարժեք համապատասխանություն գոյություն ունի։ Այս աքսիոմը նշանակում է, որ նման մեծ դասերը բազմություններ չեն, հետևաբար պարադոքսները վերանում են, քանի որ դրանք չեն կարող որևէ դասի անդամ լինել։ Ֆոն Նոյմանը օգտագործել է այս աքսիոմը լավ կարգավորության թեորեմը ապացուցելու համար․ ինչպես և Կանտորը, նա ենթադրել է, որ օրդինալները կազմում են բազմություն։ Առաջացած հակասությունը նշանակում է, որ բոլոր օրդինալների դասը բազմություն չէ։ Օգտվելով աքսոմից՝ նա կառուցել է փոխմիարժեք համապատասխանություն այս դասի և բոլոր բազմությունների դասի միջև։ Այս համապատասխանությունը լավ կարգավորում է բոլոր բազմությունների դասը, ինչը համապատասխանում է լավ կարգավորության թեորեմին։ 1930 թվականին Ցերմելոն սահմանել է բազմությունների տեսության մոդել, որը բավարարում էր ֆոն Նոյմանի աքսիոմին։


== Փիլիսոփայություն, կրոն, գրականություն և Կանտորի մաթեմատիկա ==
Ակտուալ անվերջության գոյության գաղափարը կարևոր խնդիր է մաթեմատիկայի, փիլիսոփայության և կրոնի համար։ Կրոնի և մաթեմատիկայի կապի ուղղափառության պահպանման հարցը երկար ժամանակ անհանգստացնում էր Կանտորին, չնայած ոչ այնպես, ինչպես իր քննադատներին։ Այս խնդիրների մասին նա գրել է իր «Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre» հոդվածի ներածությունում, որտեղ շեշտում է անվերջության վերաբերյալ իր և փիլիսոփայական տեսակետների կապը։ Կանտորի համար իր մաթեմատիկական հայացքները ներքուստ կապված էին իրենց փիլիսոփայական և աստվածաբանական հետևություններին․ նա բացարձակ անվերջությունը նույնացնում էր Աստծո հետ, և համարում էր, որ տրանսֆինիտ թվերի վերաբերյալ իր աշխատանքները Աստծո հետ ուղղակի շփում են եղել, և որ Աստված ընտրել է Կանտորին այդ գաղափարները աշխարհի առաջ բացահայտելու համար։
Որոշ մաթեմատիկոսներ անվերջությունը դիտարկում էին որպես աբստրակտ հասկացություն, որը մաթեմատիկորեն օրինական չէր և մերժում էին դրա գոյությունը։ Երեք խոշոր դպրոցների մաթեմատիկոսները (կոնստրուկտիվիզմ, ինտուիցիոնիզմ և ֆինիտիզմ) այս հարցում ընդդիմացել են Կանտորի տեսություններին։ Կոնստրուկտիվիստների համար, ինչպես օրինակ Կրոնեկերը, ակտուալ անվերջության գաղափարը անընդունելի էր, քանի որ նրանք սկզբունքորեն չէին ընդունում ոչ կոնստրուկտիվ ապացույցները, ինչպես օրինակ Կանտորի անկյունային արգումենտը։ Ինտուիցոնիստները նույնպես մերժում են ակտուալ անվերջության գոյության գաղափարը, սակայն նրանք այդ եզրակացությանը հանգում են այլ ճանապարհով։ Նախ և առաջ, Կանտորը ապացուցում էր տրանսֆինիտ թվերի գոյությունը որպես մաթեմատիկական օբյեկտներ օգտվելով մաթեմատիկական տրամաբանությունից, մինչդեռ ինտուիցոնիստները կարծում էին, որ մաթեմատիկական օբյեկտները չեն կարող վերածվել տրամաբանական ասույթների, այլ պետք է ստեղծվեն ինտուիցիայից ելնելով։ Երկրորդը, անվերջության գաղափարը անընդունելի է ինտուիցոնիստների համար, քանի որ մարդու միտքը չի կարող ինտուիտիվորեն կառուցել անվերջ բազմություններ։ Մաթեմատիկոսներ Լ․ Է․ Յ․ Բրաուերը և Անրի Պուանկարեն քննարդատել են Կանտորի աշխատանքները ինտուիցիոնիզմի տեսանկյունից։ Լյուդվիգ Վիտգենշթայնի քննադատությունները ֆինիտիզմի տեսանկյունից էին։ Որոշ քրիստոնյա աստվածաբաններ (հատկապես՝ նեոսխոլաստիկներ) կարծում էին, որ Կանտորի աշխատանքները հակասում են Աստծո էության մեջ բացարձակ անվերջության միակության գաղափարին։ Կանտորը մտածում էր, որ այս տեսակետը անվերջության թյուրըմբռնման արդյունք է, և հավատացած էր, որ բազմությունների տեսությունը կարող է լուծել այս խնդիրը։
Կանտորը նաև հավատացած էր, որ տրանսֆինիտ թվերի իր տեսությունը դեմ է մատերիալիզմին և դետերմինիզմին, և զարմացած էր, որ Հալլեի համալսարանում ինքը միակն էր, որ դետերմինիզմի հետևորդ չէր։
1888 թվականին Կանտորը հրապարակեց որոշ փիլիսոփաների հետ իր նամակագրությունը, որոնք բազմությունների տեսության փիլիսոփայական հետևանքների մասին էին։ Կանտորը նամակագրական կապի մեջ էր քրիստոնյա փիլիսոփաների, ինչպես օրինակ՝ Թիլման Պեշի և Յոզեֆ Հոնթայմի, աստվածաբանների այդ թվում Ջոհան Բատիստ Ֆրանզելինի հետ, որը մի անգամ տրանսֆինիտ թվերի տեսությունը համեմատել է պանթեիզմի հետ։ Կանտորը նույնիսկ նամակ է գրել Հռոմի Պապ Լևոն XIII-ին։
Թվերի բնույթի վերաբերյալ Կանտորի փիլիսոփայությունը թույլ է տվել նրան առաջ քաշել և ապացուցել հասկացություններ, որոնք հեռու են ֆիզիկական երևույթների հիմքից։ Այս մետաֆիզիկական համակարգի միակ սահմանափակումը այն էր, որ բոլոր մաթեմատիկական հասկացությունները պետք է չունենան ներքին հակասություն և պետք է բխեն գոյություն ունեցող սահմանումներից, աքսիոմներից և թեորեմներից։ Ըստ Կանտորի՝ «մաթեմատիկայի էությունը իր ազատությունն է»։ Այս գաղափարները համապատասխանում էին Էդմունդ Հուսերլի գաղափարների հետ, որի հետ Կանտորը հանդիպել էր Հալլեում։
Միևնույն ժամանակ Կանտորը դեմ էր անվերջ փոքրերի գաղափարին՝ այն համարելով «նողկանք» և «մաթեմատիկայի խոլերա բացիլ»։
Կանտորի 1883 թվականի հոդվածը ցույց է տվել, որ նա տեղյակ էր իր գաղափարների նկատմամբ ընդդիմադիր կարծիքներից։ Այսպիսով Կանտորը երկար ժամանակ է հատկացնում իր նախկին աշխատությունները հիմնավորելուն՝ նշելով, որ մաթեմատիկական հասկացությունները կարող են ազատորեն ներկայացվել, քանի դեռ հակասության չեն հանգում և սահմանված են նախկինում հաստատված հասկացությունների միջոցով։ Նա նաև հղում է արել անվերջության վերաբերյալ Արիստոտելի, Ռենե Դեկարտի, Ջորջ Բերկլիի, Գոթֆրիդ Լայբնիցի և Բերնարդ Բոլցանոյի գաղափարներին։


== Նախնիներ ==

Կանտորի հայրական կողմից տատը և պապը եղել են Կոպենհագենից, բայց Նապոլեոնյան պատերազմների պատճառով փախել են Ռուսաստան։ Կանտորի տատիկի և պապիկի մասին շատ քիչ տեղեկություն է պահպանվել։ Կանտորը իր կյանքի ընթացքում հաճախ համարվել է հրեա, բայց նրան նաև կոչել են ռուս, գերմանացի և դանիացի։
Յակոբ Կանտորը՝ Կանտորի պապիկը, իր երեխաներին տվել է քրիստոնեական սրբերի անունները։ Բացի դա, տատիկի բարեկամներից ոմանք Ցարական քաղաքացիական ծառայությունում էին, որը չէր ընդունում հրեաներին, եթե նրանք քրիստոնյա չդառնային։ Կանտորի հայրը՝ Գեորգ Վալդեմար Կանտորը, լյութերական էր, իսկ նրա և որդու նամակագրությունը ցույց էր տալիս, որ երկուսն էլ նվիրված լյութերական են։ Գեորգ Վալդեմարի ծագման կամ կրթության մասին շատ քիչ է հայտնի։ Նրա մայրը՝ Մարիա Աննա Բոհմը, ավստրոհունգարացի էր՝ ծնված Սանկտ Պետերբուգում։ Նա մկրտված կաթոլիկ էր, բայց ամուսնությունից հետո դարձել էր բողոքական։ Կանտորի եղբայրը՝ Լուիսը, մորն ուղղված նամակներից մեկում գրում է. 

Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ նա հրեական նախնիներ ունի։
1930-ական թվականների փաստաթղթերը կասկածի տակ են առնում նրա հրեական ծագումը․

Էրիկ Թեմփլ Բելլը իր «Մաթեմատիկայի մարդիկ» գրքում Կանտորին ներկայացնում է որպես «երկու կողմից մաքուր հրեա», չնայած երկու ծնողներն էլ մկրտված են։ 1971 թվականին բրիտանացի պատմաբան Գրատան-Գինեսը իր հոդվածներից մեկում (անգլ.՝ Towards a Biography of Georg Cantor) գրում է, որ չի կարողանում Կանտորի հրեական ծագման համար փաստեր գտնել (նա նաև նշել է, որ Կանտորի կինը հրեա է)։
1896 թվականին Փոլ Թաներին ուղղված նամակում Կանտորը նշում է, որ հայրական տատիկը և պապիկը Կոպենհագենի սաֆարդյան հրեաների համայնքի անդամ են եղել։
Բացի դա, Կանտորի մայրական հարազատներից մեկը՝ հունգարացի ջութակահար Յոզեֆ Բոհմը, հրեա էր, ինչը նշանակում է, որ Կանտորի մայրը առնվազն կիսով չափ հրեա էր։
Բերնարդ Ռասելին ուղղված նամակներից մեկում Կանտորը իր նախնիներին նկարագրում է հետևյալ կերպ՝


== Կենսագրության մասին ==
Մինչև 1970-ական թվականները Կանտորի կենսագրության վերաբերյալ հիմնական ակադեմիական հրատարակությունները երկու կարճ մենագրություններ էին՝ Արթուր Մորից Շյոնֆլիսի (1927, հիմնականում Միտտագ-Լեֆլերի հետ համակագրությունը) և Ֆրաենկելի (1930)։ Երկուսն էլ երկրորդ կամ երրորդ ձեռքից էին և նրա անձնական կյանքի վերաբերյալ առանձնապես տեղեկություններ չէին պարունակում։ Բացը հիմնականում լրացրել է Էրիկ Թեմփլ Բելլի «Մաթեմատիկայի մարդիկ» (1937) գիրքը, որը Կանտորի ժամանակակից կենսագիրները անվանել են «Մաթեմատիկայի պատմության վերաբերյալ հավանաբար ամենաընթերցված ժամանակակից գիրքը» և «ամենավատերից մեկը»։ Բելլը Կանտորի և իր հոր հարաբերությունները ներկայացնում է որպես Էդիպյան բարդույթ, Կանտորի և Կրոնեկերի տարբերությունները որպես երկու հրեաների վեճ։ Ըստ Գրատան-Գինեսի (1971)՝ այս պնդումներից ոչ մեկը պատմական հիմք չունի, բայց դրանք կարելի է գտնել այդ ժամանակաշրջանի շատ գրքերի մեջ։ Լեգենդներից մեկի համաձայն էլ (Բելլից անկախ) Կանտորի հայրը գտնված երեխա է, որին Սանկտ Պետերբուրգ են բերել անհայտ ծնողներ։


== Որոշ օբյեկտներ՝ անվանված ի պատիվ Կանտորի ==
Կանտոր. հարվածային խառնարան Լուսնի հակառակ կողմում։
Կանտորի բազմություն. կոնտինուալ բազմություն զրոյական չափման հատվածի վրա
Կանտորի մեդալ. մաթեմատիկական մրցանակ, որը շնորհվում է Գերմանական մաթեմատիկական ընկերության կողմից
Կանտորի թեորեմ. բազմությունների տեսության դասական հաստատում
Կանտորի ֆունկցիա (Կանտորի սանդուղք)


== Նշումներ ==


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Joseph Dauben, Joseph W. (1977), «Georg Cantor and Pope Leo XIII: Mathematics, Theology, and the Infinite», Journal of the History of Ideas 38 (1):  85–108, doi:10.2307/2708842 .
Dauben, Joseph W. (1979), Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite, Boston: Harvard University Press, ISBN 978-0-691-02447-9 .
Dauben, Joseph (2004) [1993], «Georg Cantor and the Battle for Transfinite Set Theory», Proceedings of the 9th ACMS Conference (Westmont College, Santa Barbara, CA), pp. 1–22 . Internet version published in Journal of the ACMS 2004.
Ewald, William B., ed։ (1996), From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853271-2 .
Grattan-Guinness, Ivor (1971), «Towards a Biography of Georg Cantor», Annals of Science 27 (4):  345–391, doi:10.1080/00033797100203837 .
Grattan-Guinness, Ivor (2000), The Search for Mathematical Roots: 1870–1940, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05858-0 .
Hallett, Michael (1986), Cantorian Set Theory and Limitation of Size, New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853283-5 .
Moore, Gregory H. (1982), Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development & Influence, Springer, ISBN 978-1-4613-9480-8 .
Moore, Gregory H. (1988), «The Roots of Russell's Paradox», Russell 8:  46–56, doi:10.15173/russell.v8i1.1732, https://escarpmentpress.org/russelljournal/article/viewFile/1732/1758 .
Moore, Gregory H.; Garciadiego, Alejandro (1981), «Burali-Forti's Paradox: A Reappraisal of Its Origins», Historia Mathematica 8 (3):  319–350, doi:10.1016/0315-0860(81)90070-7, http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0315086081900707 .
Purkert, Walter (1989), «Cantor's Views on the Foundations of Mathematics», The History of Modern Mathematics, Volume 1, Academic Press, pp. 49–65, ISBN 978-0-12-599662-4 .
Purkert, Walter; Ilgauds, Hans Joachim (1985), Georg Cantor: 1845–1918, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-0-8176-1770-7 .
Suppes, Patrick (1972) [1960], Axiomatic Set Theory, New York: Dover, ISBN 978-0-486-61630-8 . Although the presentation is axiomatic rather than naive, Suppes proves and discusses many of Cantor's results, which demonstrates Cantor's continued importance for the edifice of foundational mathematics.
Zermelo, Ernst (1908), «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I», Mathematische Annalen 65 (2):  261–281, doi:10.1007/bf01449999, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0065&DMDID=DMDLOG_0018 .
Zermelo, Ernst (1930), «Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre», Fundamenta Mathematicae 16:  29–47, doi:10.4064/fm-16-1-29-47, http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm16/fm1615.pdf .
van Heijenoort, Jean (1967), From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, Harvard University Press, ISBN 978-0-674-32449-7 .


== Մատենագրություն ==
Կանտորի կյանքի վերաբերյալ հին աղբյուրներին պետք է վերաբերվել զգուշությամբ։ Տես՝ Կենսագրություն


=== Առաջնային գրականությունը անգլերեն ===
Cantor, Georg (1955) [1915], Philip Jourdain, ed։, Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers, New York: Dover, ISBN 978-0-486-60045-1, https://archive.org/details/contributionstot003626mbp .


=== Առաջնային գրականությունը գերմաներեն ===
Cantor, Georg (1874), «Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 77 (77):  258–262, doi:10.1515/crll.1874.77.258, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/download/PPN243919689_0077/PPN243919689_0077___LOG_0014.pdf 
Cantor, Georg (1878), «Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 84 (84):  242–258, doi:10.1515/crll.1878.84.242, http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002156806 .
Georg Cantor (1879)։ «Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (1)»։ Mathematische Annalen 15 (1): 1–7։ doi:10.1007/bf01444101 
Georg Cantor (1880)։ «Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (2)»։ Mathematische Annalen 17 (3): 355–358։ doi:10.1007/bf01446232 
Georg Cantor (1882)։ «Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (3)»։ Mathematische Annalen 20 (1): 113–121։ doi:10.1007/bf01443330 
Georg Cantor (1883)։ «Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (4)»։ Mathematische Annalen 21 (1): 51–58։ doi:10.1007/bf01442612 
Georg Cantor (1883)։ «Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (5)»։ Mathematische Annalen 21 (4): 545–591։ doi:10.1007/bf01446819  Published separately as: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre.
Georg Cantor (1891)։ «Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre»։ Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1: 75–78 
Cantor Georg (1895)։ «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)»։ Mathematische Annalen 46 (4): 481–512։ doi:10.1007/bf02124929։ Արխիվացված է օրիգինալից April 23, 2014-ին 
Cantor Georg (1897)։ «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2)»։ Mathematische Annalen 49 (2): 207–246։ doi:10.1007/bf01444205 
Cantor, Georg (1932), Ernst Zermelo, ed։, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts, Berlin: Springer, արխիվացված  օրիգինալից February 3, 2014-ին, https://web.archive.org/web/20140203234213/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN237853094&DMDID=DMDLOG_0001&L=1 . Almost everything that Cantor wrote. Includes excerpts of his correspondence with Dedekind (p. 443–451) and Fraenkel's Cantor biography (p. 452–483) in the appendix.


=== Երկրորդական գրականություն ===
Aczel, Amir D. (2000), The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbala, and the Search for Infinity, New York: Four Walls Eight Windows Publishing . 0-7607-7778-0. A popular treatment of infinity, in which Cantor is frequently mentioned.
Dauben, Joseph W. (June 1983), «Georg Cantor and the Origins of Transfinite Set Theory», Scientific American 248 (6):  122–131, doi:10.1038/scientificamerican0683-122 
Ferreirós, José (2007), Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought, Basel, Switzerland: Birkhäuser . 3-7643-8349-6 Contains a detailed treatment of both Cantor's and Dedekind's contributions to set theory.
Paul Halmos, Paul (1998) [1960], Naive Set Theory, New York & Berlin: Springer . 3-540-90092-6
Հիլբերտ Դավիթ (1926)։ «Über das Unendliche»։ Mathematische Annalen 95: 161–190։ doi:10.1007/BF01206605 
Hill, C. O.; Rosado Haddock, G. E. (2000), Husserl or Frege? Meaning, Objectivity, and Mathematics, Chicago: Open Court . 0-8126-9538-0 Three chapters and 18 index entries on Cantor.
Meschkowski, Herbert (1983), Georg Cantor, Leben, Werk und Wirkung (Georg Cantor, Life, Work and Influence, in German), Vieweg, Braunschweig 
Penrose, Roger (2004), The Road to Reality, Alfred A. Knopf . 0-679-77631-1 Chapter 16 illustrates how Cantorian thinking intrigues a leading contemporary theoretical physicist.
Rucker, Rudy (2005) [1982], Infinity and the Mind, Princeton University Press . 0-553-25531-2 Deals with similar topics to Aczel, but in more depth.
Ռոդիխ, Վիկտոր (2007), «Wittgenstein's Philosophy of Mathematics», in Էդվարդ Ն․ Զալթա, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, http://plato.stanford.edu/entries/wittgenstein-mathematics/ .
Արզումանյան Մակիչ, ed. (1979)։ Հայկական սովետական հանրագիտարան (հայերեն) 5։ Երևան: Հայկական հանրագիտարան հրատարակչություն։ էջ 243  CS1 սպաս․ հայերենը նշված է (link)