Բաժանում զրոյի վրա

Զրոյի վրա բաժանումը մաթեմատիկայում տեղի է ունենում, երբ բաժանարարը (հայտարարը) զրո է։ Նման բաժանումը կարող է ունենալ 
  
    
      
        a
        
          /
        
        0
      
    
    {\displaystyle a/0}
   տեսքը, որտեղ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն համարիչն է։ Տարրական թվաբանության մեջ այդ արտահայտությունը իմաստ չունի, քանի որ չկա մի թիվ, որը բազմապատկելով զրոյով, կստանանք 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թիվը (ենթադրելով, որ 
  
    
      
        a
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a\neq 0}
  )։ Եվ քանի որ ցանկացած թիվ զրոյի բազմապատկելիս ստացվում է զրո, 
  
    
      
        0
        
          /
        
        0
      
    
    {\displaystyle 0/0}
   արտահայտությունը նույնպես չունի սահմանված արժեք։
Պատմականորեն, ամենավաղ արձանագրված տվյալներով 
  
    
      
        a
        
          /
        
        0
      
    
    {\displaystyle a/0}
   արտահայտությանը արժեքը նշանակելու անհնարության մասին կա Ջորջ Բերկլիի (1685 – 1753)՝ «criticism of infinitesimal calculus»-ում։
Ծրագրավորման մեջ զրոյի վրա բաժանելու դեպքում կարող է ծրագրի մեջ խնդիր առաջանալ։ Դա կախված է ծրագրավորման միջավայրից և այն թվի տեսակից, որի վրա կատարվում է բաժանումը։ Կարող է առաջացնել դրական կամ բացասական անվերջություն, բացառություն, սխալի ուղերձ, կարող է նաև ծրագիրը դադարի աշխատել կամ կարող է հանգեցնել հատուկ ոչ մի թիվ կոչված արժեքին (NaN)։


== Տարրական թվաբանության մեջ ==
Երբ բաժանումը բացատրվում է տարրական թվաբանական մակարդակով, այն հաճախ դիտվում է որպես մի շարք օբյեկտների միջև կիսում հավասար մասերի։ Որպես օրինակ, ենթադրենք ունենք տասը բլիթ, և այդ բլիթները պետք է հավասարաչափ բաժանենք սեղանի շուրջ նստած հինգ մարդկանց միջև։ Յուրաքանչյուր մարդ կստանա 
  
    
      
        
          
            
              10
              5
            
          
          =
          2
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle {\frac {10}{5}}=2}
   բլիթ։ Նմանապես, եթե կա տասը բլիթ և մեկ մարդ, նա կստանա 
  
    
      
        
          
            
              10
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle {\frac {10}{1}}}
   բլիթ։
Բայց 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  -ի վրա բաժանելու համար պետք է տանք հետևյալ հարցը՝ եթե բլիթները հավասարաչափ բաժանենք սեղանի շուրջ նստած 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
   մարդկանցից միջև, քանի՞ բլիթ կհասնի յուրաքանչյուրին։ 
  
    
      
        10
      
    
    {\displaystyle 10}
   բլիթները 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
   հավասար մասի բաժանելու հնարավոր ձև։ Մաթեմատիկական ժարգոնով կարելի է ասել, որ 
  
    
      
        10
      
    
    {\displaystyle 10}
   առարկաներ չեն կարող բաժանվել 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
   ենթաբազմությունների. այսինքն, 
  
    
      
        
          
            
              10
              0
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle {\frac {10}{0}}}
   արտահայտությունը տարրական թվաբանության մեջ կա՛մ համարվում է անիմաստ, կա՛մ՝ դատարկ բազմություն։
Մեկ այլ եղանակ կա համոզվելու, որ թիվը չի կարող բաժանվել զրոյի։ Բաժանումը միշտ կարող ենք ստուգել բազմապատկման միջոցով։ Դիտարկելով վերը բերված 
  
    
      
        10
        
          /
        
        0
      
    
    {\displaystyle 10/0}
  -ի օրինակը՝ նշանակենք 
  
    
      
        x
        =
        10
        
          /
        
        0
      
    
    {\displaystyle x=10/0}
  ։ Եթե 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը հավասար է տասը բաժանած զրոյի, ապա 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   անգամ զրո պետք է հավասար լինի տասի։ Բայց մենք գիտենք, որ չկա այնպիսի 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  , որը զրոյով բազմապատկելիս ստացվի 
  
    
      
        10
      
    
    {\displaystyle 10}
   (կամ զրոյիից բացի այլ թիվ)։ Իսկ եթե 
  
    
      
        10
      
    
    {\displaystyle 10}
  -ի փոխարեն գրենք 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  , կստանանք 
  
    
      
        x
        =
        0
        
          /
        
        0
      
    
    {\displaystyle x=0/0}
  ։ Այս դեպքում 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը կարող է լինել ցանկացած արժեք։


== Հանրահաշվում ==


=== Բաժանումը՝ բազմապատկման հակառակ գործողություն ===
Այս հասկացությամբ բաժանումը հանրահաշվում ներկայացվում է որպես բազմապատկման հակառակ գործողություն։ Օրինակ՝

  
    
      
        
          
            6
            3
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle {\frac {6}{3}}=2}
  ,ուրեմն 2-ը այն անհայտ մեծության արժեքն է, որի դեպքում ճիշտ է

  
    
      
        ?
        ×
        3
        =
        6
      
    
    {\displaystyle ?\times 3=6}
  արտահայտությունը։
Մինչդեռ

  
    
      
        
          
            6
            0
          
        
        =
        
        x
      
    
    {\displaystyle {\frac {6}{0}}=\,x}
  արտահայտությունը պահանջում է այնպիսի արժեք, որի դեպքում ճիշտ լինի

  
    
      
        x
        ×
        0
        =
        6
      
    
    {\displaystyle x\times 0=6}
  հավասարումը։ Բայց ցանկացած թիվ զրոյով բազմապատկելիս կստանանք զրո։ Այսինքն՝ չկա այնպիսի թիվ, որը կբավարարի այդ հավասարմանը։

  
    
      
        
          
            0
            0
          
        
        =
        
        x
      
    
    {\displaystyle {\frac {0}{0}}=\,x}
  արտահայտությունը պահանջում է այնպիսի արժեք, որի դեպքում ճիշտ կլինի

  
    
      
        x
        ×
        0
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x\times 0=0}
  հավասարումը։
Նորից, ցանկացած թիվ զրոյով բազմապատկելիս կստանանք զրո։ Հետևաբար, այս դեպքում ցանկացած թիվ բավարարում է ներքևի հավասարմանը, բայց չի կարող բավարարել վերևինին։
Այսպիսով, 
  
    
      
        0
        
          /
        
        0
      
    
    {\displaystyle 0/0}
   տեսքի արտահայտությունը կոչվում է անորոշություն։


===  ===
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  -ի վրա բաժանելիս առաջացող շփոթություններ
Հնարավոր է ունենալ զրոյի վրա բաժանման այնպիսի հանրահաշվական արգումենտի դեպք, որը կհանգեցնի կեղծ ապացույցների, ինչպես օրինակ՝ 
  
    
      
        1
        =
        2
        ,
        3
        =
        4
        ,
        8
        =
        20
      
    
    {\displaystyle 1=2,3=4,8=20}
   և այլն։
Օրինակ՝ ընդունելով, որ

  
    
      
        0
        ×
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 0\times 1=0}
  

  
    
      
        0
        ×
        2
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 0\times 2=0}
  ,պետք է ճիշտ լինի

  
    
      
        0
        ×
        1
        =
        0
        ×
        2.
        
      
    
    {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,}
  հավասարությունը։ Այս հավասարության երկու կողմերը բաժանելով զրոյի, կստանանք՝

  
    
      
        
          
            
              0
              0
            
          
          ×
          1
          =
          
            
              0
              0
            
          
          ×
          2
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2}
  ։Պարզեցնելով այդ արտահայտությունը՝ կստանանք, որ

  
    
      
        1
        =
        2.
        
      
    
    {\displaystyle 1=2.\,}
  Այստեղ տրամաբանական սխալը ոչ ակնհայտ ենթադրությունն էր, ըստ որի 0-ի վրա բաժանելը նույնպիսի հատկություններով թույլատրելի մաթեմատիկական գործողություն է, ինչպես ցանկացած թվի վրա բաժանելն է։


== Պատմական դեպքեր ==
1997 թվականի սեպտեմբերի 21-ին ամերիկյան «USS Yorktown (CG-48)»-ի հրթիռային հածանավի տվյալների հեռակա կառավարման համակարգում զրոյի վրա բաժանման հետևանքով շարքից դուրս եկան բոլոր ցանցային սարքերը, ինչի հետևանքով խափանվեց նավի շարժիչ համակարգը։


== Ծանոթագրություններ ==