Գամմա ֆունկցիա

Գամմա-ֆունկցիա-մաթեմատիկական ֆունկցիա է,սովորաբար նշանակվում է 
  
    
      
        Γ
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma (z)}
  : Ներմուծվել է Լեոնարդ Էյլերի կողմից, իսկ իր գամմա-ֆունկցիայի նշանակությամբ պարտական ենք Ադրիեն-Մարի Լեժանդրին։

Գամմա-ֆունկցիան չափազանց մեծ կիրառություն ունի գիտության մեջ։ Հիմնական լայն կիրառության ոլորտներն են մաթեմատիկական անալիզ,հավանականությունների տեսություն, կոմբինատորիկա, վիճակագրություն, ատոմային ֆիզիկա, աստղաֆիզիկա, հիդրոդինամիկա, երկրաշարժագիտություն և տնտեսություն։ Մասնավորապես, գամմա-ֆունկցիան կիրառվում է ֆակտորիալ հասկացությունն ընդհանրացնելու իրական թվեր և կոմպլեքս թվեր փաստարկային արժեքների հետ։


== Սահմանումներ ==


=== Ինտեգրալի սահմանումը ===
Եթե կոմպլեքս 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   թվի իրական մասը  դրական է, ապա գամմա-ֆունկցիան որոշվում է բացարձակ համընկնող ինտեգրալի միջոցով։

  
    
      
        Γ
        (
        z
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        
          t
          
            
            z
            −
            1
          
        
        
          e
          
            −
            t
          
        
        
        d
        t
        ,
        
        z
        ∈
        
          C
        
        ,
        
        
          R
          e
        
        (
        z
        )
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \Gamma (z)=\int \limits _{0}^{\infty }\!t^{\,z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} ,\quad \mathrm {Re} (z)>0}
  Այս սահմանումը Լեժանդրը ստացել է Էյլերի սահմանումի բնօրինակից (1730 թվական)։

  
    
      
        Γ
        (
        z
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        (
        −
        ln
        ⁡
        
          x
        
        
          )
          
            z
            −
            1
          
        
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \Gamma (z)=\int \limits _{0}^{1}(-\ln {x})^{z-1}\,dx}
  
  
    
      
        x
        =
        
          e
          
            −
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle x=e^{-t}}
   փոփոխականի փոխարինման միջոցով, և մինչև օրս հենց Լեժանդրի այս սահմանումն է հայտնի որպես գամմա-ֆունկցիայի դասական սահմանում։  Դասական սահմանման կտորը մաս առ մաս ինտեգրելով ՝ կարելի է հեշտությամբ տեսնել, որ 
  
    
      
        Γ
        (
        z
        +
        1
        )
        =
        z
        Γ
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}
  .
Գամմա ֆունկցիայի արժեքների մոտավոր հաշվարկի համար ավելի հարմար է երրորդ բանաձևը, որը նույնպես ստացել ենք Էյուլերի սահմանումից ՝ կիրառելով հետևյալ  հավասարությունը 
  
    
      
        Γ
        (
        z
        )
        =
        Γ
        (
        z
        +
        1
        )
        
          /
        
        z
      
    
    {\displaystyle \Gamma (z)=\Gamma (z+1)/z}
   և փոխելով փոփոխականը 
  
    
      
        x
        =
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x=y^{2}}
  : 

  
    
      
        Γ
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              2
              
                z
                +
                1
              
            
            z
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        y
        (
        −
        ln
        ⁡
        
          y
        
        
          )
          
            z
          
        
        
        d
        y
      
    
    {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {2^{z+1}}{z}}\int \limits _{0}^{1}y(-\ln {y})^{z}\,dy}
  .Այս բանաձևի ինտեգրալը համընկնում է 
  
    
      
        
          R
          e
        
        (
        z
        )
        >
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Re} (z)>-1}
  -ի դեպքում, չնայած այն սովորաբար օգտագործվում է դրական իրական արժեքների արգումենտի համար 
(նախընտրելի արժեքները 1-ին մոտ են)։ Իրական 
  
    
      
        z
        >
        0
      
    
    {\displaystyle z>0}
   արժեքների դեպքում ինտեգրվելի ֆունկցիան ունի եզակի հատուկ կետ` 
  
    
      
        y
        =
        0
      
    
    {\displaystyle y=0}
   հատում առաջացնող, և եթե վերափոխեք այն այս պահին 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
   արժեքով, ապա կդառնա անընդհատ 
  
    
      
        [
        0
        ;
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [0;1]}
   ամբողջ հատվածում:Այսպիսով, ինտեգրալը հանդիսանում է  սեփական, ինչը պարզեցնում է թվային ինտեգրումը։ 
Գոյություն ունի բնօրինակ բանաձևի ուղղակի վերլուծական շարունակություն ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա, բացառությամբ ամբողջ թվերի, որը կոչվում է Ռիման-Հանկելի ինտեգրալ։

  
    
      
        Γ
        (
        z
        )
        =
        
          
            1
            
              
                e
                
                  i
                  2
                  π
                  z
                
              
              −
              1
            
          
        
        
          ∫
          
            L
          
        
        
        
          t
          
            
            z
            −
            1
          
        
        
          e
          
            −
            t
          
        
        
        d
        t
        ,
        
        z
        ∈
        
          C
        
        ∖
        
          Z
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{e^{i2\pi z}-1}}\int \limits _{L}\!t^{\,z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} .}
  Այստեղ 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
   եզրագիծը կոմպլեքս հարթության ցանկացած եզրագիծ է, շրջանցելով ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ 
  
    
      
        t
        =
        0
      
    
    {\displaystyle t=0}
   կետը, որը ձգտում է դրական իրական առանցքի երկայնքով դեպի անվերջություն։
Հետևյալ արտահայտությունները ծառայում են որպես գամմա ֆունկցիայի այլընտրանքային սահմանումներ։


=== Սահմանում ըստ Գաուսի ===
Այն ճիշտ է բոլոր կոմպլեքս 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  -ի, բացառությամբ 0 և ամբողջ բացասական թվերի համար.

  
    
      
        Γ
        (
        z
        )
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              n
              −
              1
              )
              !
              
              
                n
                
                  z
                
              
            
            
              z
              (
              z
              +
              1
              )
              (
              z
              +
              2
              )
              ⋯
              (
              z
              +
              n
              −
              1
              )
            
          
        
        ,
        
        z
        ∈
        
          C
        
        ∖
        {
        0
        ,
        −
        1
        ,
        −
        2
        ,
        …
        }
        .
      
    
    {\displaystyle \Gamma (z)=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {(n-1)!\,n^{z}}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+n-1)}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}
  


=== Սահմանում ըստ Էյլերի ===

  
    
      
        Γ
        (
        z
        )
        =
        
          
            1
            z
          
        
        
          ∏
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                (
                
                  1
                  +
                  
                    
                      1
                      n
                    
                  
                
                )
              
              
                
                  z
                
              
            
            
              1
              +
              
                
                  
                    z
                  
                  n
                
              
            
          
        
        ,
        
        z
        ∈
        
          C
        
        ∖
        {
        0
        ,
        −
        1
        ,
        −
        2
        ,
        …
        }
        .
      
    
    {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{\mathrm {z} }}{1+{\frac {\mathrm {z} }{n}}}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}
  


=== Սահմանում ըստ Վայերշտրասի ===

  
    
      
        Γ
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              e
              
                −
                γ
                z
              
            
            z
          
        
        
          ∏
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            (
            
              1
              +
              
                
                  z
                  n
                
              
            
            )
          
          
            −
            1
          
        
        
          e
          
            z
            
              /
            
            n
          
        
        ,
        
        z
        ∈
        
          C
        
        ∖
        {
        0
        ,
        −
        1
        ,
        −
        2
        ,
        …
        }
        .
      
    
    {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}
  որտեղ 
  
    
      
        γ
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                k
                =
                1
              
              
                n
              
            
            
              
                1
                k
              
            
            −
            ln
            ⁡
            
              n
            
          
          )
        
        ≈
        0
        ,
        57722
      
    
    {\displaystyle \gamma =\lim \limits _{n\to \infty }\left(\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln {n}\right)\approx 0,57722}
   — Էյլեր-Մասկերոնի հաստատուն.

Նշում։ Երբեմն օգտագործվում է այլընտրանքային Պի-ֆունկցիա, որը հանդիսանում է ֆակտորիալի ընդհանրացում և կապված է գամմա-ֆունկցիայի  
  
    
      
        Π
        (
        z
        )
        =
        Γ
        (
        z
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)}
   հարաբերակցության հետ:Հենց այս ֆունկցիայից (ոչ թե գամա-ֆունկցիայի) օգտվեց Գաուսը, Ռիմանը և XIX դարի գերմանացի շատ մաթեմատիկներ։


== Հատկություններ ==

Եթե 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   — ամբողջ ոչ բացասական թիվ է,

  
    
      
        Γ
        (
        z
        +
        1
        )
        =
        z
        !
      
    
    {\displaystyle \Gamma (z+1)=z!}
   .Գամմա ֆունկցիայի հիմնական հատկությունը դա նրա ռեկուրենտ հավասարումն է

  
    
      
        Γ
        (
        z
        +
        1
        )
        =
        z
        Γ
        (
        z
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z),}
  որը ըստ ֆիքսված սկզբնական պայմանի համաձայն միակ ձևով որոշում է լոգարիթմական ուռուցիկ լուծումը, այսինքն հենց ինքը` գամմա-ֆունկցիան (միակության թեորեմ).
Գամմա-ֆունկցիայի համար արդարացի է Էյլերի բանաձևի լրացումը

  
    
      
        Γ
        (
        1
        −
        z
        )
        Γ
        (
        z
        )
        =
        
          
            π
            
              sin
              ⁡
              π
              z
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi  \over \sin \pi z}}
  .Արդարացի է նաև և Գաուսի բազմապատկման բանաձևը

  
    
      
        Γ
        (
        z
        )
        Γ
        
          (
          
            z
            +
            
              
                1
                n
              
            
          
          )
        
        ⋯
        Γ
        
          (
          
            z
            +
            
              
                
                  n
                  −
                  1
                
                n
              
            
          
          )
        
        =
        
          n
          
            
              
                1
                2
              
            
            −
            n
            z
          
        
        ⋅
        (
        2
        π
        
          )
          
            
              
                n
                −
                1
              
              2
            
          
        
        Γ
        (
        n
        z
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right)=n^{{\frac {1}{2}}-nz}\cdot (2\pi )^{\frac {n-1}{2}}\Gamma (nz),}
  Այս բանաձևի մասնակի դեպքը, երբ n=2 գրվել է Լեժանդրի կողմից 

  
    
      
        Γ
        (
        z
        )
        
        Γ
        
          (
          
            z
            +
            
              
                1
                2
              
            
          
          )
        
        =
        
          2
          
            1
            −
            2
            z
          
        
        
        
          
            π
          
        
        
        Γ
        (
        2
        z
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}
  Գամմա-ֆունկցիան չունի զրոներ ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա։ 
  
    
      
        Γ
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma (z)}
   հանդիսանում է մերոմորֆ կոմպլեքս հարթությունում և  հասարակ առավելություն ունեցող 
  
    
      
        z
        =
        0
        ,
        
        −
        1
        ,
        
        −
        2
        ,
        
        −
        3
        ,
        
        …
      
    
    {\displaystyle z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots }
   կետերում։
Գամմա-ֆունկցիան ունի առաջին կարգի բևեռ  
  
    
      
        z
        =
        −
        n
      
    
    {\displaystyle z=-n}
  -ում ցանկացած բնական 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ի և զրոի համար, մնացքը այդ կետում տրվում է այսպես

  
    
      
        
          
            
              R
              e
              s
            
          
          
            z
            =
            −
            n
          
        
        
        Γ
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              n
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {\mathrm {Res} } _{z=-n}\,\Gamma (z)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}}
  .Օգտակար հատկություն, որը կարելի է ստանալ վերջնական սահմանումից.

  
    
      
        
          
            
              Γ
              (
              z
              )
            
            ¯
          
        
        =
        Γ
        (
        
          
            z
            ¯
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})}
  .Գամմա-ֆունկցիան դիֆերենցելի է անվերջ անգամ, և 
  
    
      
        
          Γ
          
            ′
          
        
        (
        x
        )
        =
        ψ
        (
        x
        )
        Γ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma ^{\prime }(x)=\psi (x)\Gamma (x)}
  , որտեղ 
  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \psi (x)}
  , հաճախ անվանում են «փսի-ֆունկցիա» կամ դիգամա-ֆունկցիա։ Գամմա-ֆունկցիան և բետա-ֆունկցիա կապված են հետևյալ հարաբերակցությամբ.

  
    
      
        
          B
        
        (
        x
        ,
        
        y
        )
        =
        
          
            
              Γ
              (
              x
              )
              Γ
              (
              y
              )
            
            
              Γ
              (
              x
              +
              y
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {B} (x,\;y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}
  .


== Գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմ ==
Մի շարք պատճառներով, գամմա ֆունկցիայի հետ մեկտեղ հաճախ դիտարկվում է և գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմը` սկզբնական դիգամա-ֆունկցիայի։ Դրա համար արդարացի են հետևյալ ինտեգրալ արտահայտությունները`

  
    
      
        ln
        ⁡
        Γ
        (
        z
        )
        
        =
        
        
          (
          
            z
            −
            
              
                1
                
                  
                  2
                  
                
              
            
          
          )
        
        
        ln
        ⁡
        z
        −
        z
        +
        
          
            1
            
              
              2
              
            
          
        
        ln
        ⁡
        2
        π
        +
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            
            ∞
          
        
        
        
          [
          
            
              
                1
                
                  
                    e
                    
                      x
                    
                  
                  −
                  1
                
              
            
            −
            
              
                1
                x
              
            
            +
            
              
                1
                2
              
            
          
          ]
        
        
          
            
              e
              
                −
                x
                z
              
            
            x
          
        
        
        d
        x
        
        ,
        
        Re
        ⁡
        
          z
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,}}\ln 2\pi +\!\int \limits _{0}^{\,\infty }\!\left[{\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2}}\right]{\frac {e^{-xz}}{x}}\,dx\,,\qquad \operatorname {Re} {z}>0}
  և

  
    
      
        ln
        ⁡
        Γ
        (
        z
        )
        
        =
        
        
          (
          
            z
            −
            
              
                1
                
                  
                  2
                  
                
              
            
          
          )
        
        
        ln
        ⁡
        z
        −
        z
        +
        
          
            1
            
              
              2
              
            
          
        
        ln
        ⁡
        2
        π
        +
        2
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            
            ∞
          
        
        
        
          
            
              
              arctg
              ⁡
              (
              x
              
                /
              
              z
              )
              
            
            
              
                e
                
                  2
                  π
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        d
        x
        
        ,
        
        Re
        ⁡
        
          z
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,}}\ln 2\pi +2\!\int \limits _{0}^{\,\infty }\!{\frac {\,\operatorname {arctg} (x/z)\,}{e^{2\pi x}-1}}\,dx\,,\qquad \operatorname {Re} {z}>0}
  Ժակ Բինեի տվյալները 1839-ը թվականին(այս բանաձևերը հաճախ կոչվում են նաև առաջին և երկրորդ Բինեի բանաձևեր համապատասխանաբար գամմա ֆունկցիայի լոգարիթմի համար)։ Մի քանի լավագույն ինտեգրալի բանաձևեր լոգարիթմի համար կան նաև Մալմստենի աշխատանքներում, Լերխի և մի այլոնց։ Այսպես Մալմստենը ստացավ բանաձև, որը նման էր Ժակ Բինեի առաջին բանաձևին

  
    
      
        ln
        ⁡
        Γ
        (
        z
        )
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            
            ∞
          
        
        
        
          [
          
            z
            −
            1
            −
            
              
                
                  1
                  −
                  
                    e
                    
                      −
                      (
                      z
                      −
                      1
                      )
                      x
                    
                  
                
                
                  1
                  −
                  
                    e
                    
                      −
                      x
                    
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
          
            
              e
              
                −
                x
              
            
            x
          
        
        
        d
        x
        
        ,
        
        Re
        ⁡
        
          z
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \ln \Gamma (z)\,=\int \limits _{0}^{\,\infty }\!\left[z-1-{\frac {1-e^{-(z-1)x}}{1-e^{-x}}}\right]{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx\,,\qquad \operatorname {Re} {z}>0}
  Իսկ Լերխը ցույց տվեց, որ հետևյալ տեսքի բոլոր ինտեգրալները 

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            
            ∞
          
        
        
        
          
            
              
              
                e
                
                  2
                  π
                  x
                
              
              
              cos
              ⁡
              φ
              −
              1
              
            
            
              
                e
                
                  4
                  π
                  x
                
              
              −
              2
              
                e
                
                  2
                  π
                  x
                
              
              
              cos
              ⁡
              φ
              +
              1
            
          
        
        arctg
        ⁡
        
          
            u
            x
          
        
        
        d
        x
        
        ,
        
        0
        <
        u
        ⩽
        1
        
        ,
        
        0
        <
        φ
        <
        2
        π
        u
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{0}^{\,\infty }\!{\frac {\,e^{2\pi x}\!\cos \varphi -1\,}{e^{4\pi x}-2e^{2\pi x}\!\cos \varphi +1}}\operatorname {arctg} {\frac {u}{x}}\;dx\,,\qquad 0<u\leqslant 1\,,\quad 0<\varphi <2\pi u}
  նույնպես բերվում են դեպի գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմները։ Մասնավորապես բանաձևը, որը նման է Բինեի երկրորդ բանաձևին «կապված» հայտարարով, ունի հետևյալ տեսքը`

  
    
      
        ln
        ⁡
        Γ
        (
        z
        )
        =
        −
        
          
            (
          
        
        z
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            )
          
        
        ⋅
        
          {
          
            1
            −
            ln
            ⁡
            
              
                (
              
            
            z
            −
            
              
                1
                2
              
            
            
              
                )
              
            
            
          
          }
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        ln
        ⁡
        2
        π
        −
        
        2
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        
          
            
              arctg
              ⁡
              
                
                  [
                
              
              x
              
                /
              
              
                
                  (
                
              
              z
              −
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              
                
                  )
                
              
              
                
                  ]
                
              
            
            
              
                e
                
                  2
                  π
                  x
                
              
              +
              1
            
          
        
        
        d
        x
        ,
        
        Re
        ⁡
        
          z
        
        >
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \ln \Gamma (z)=-{\biggl (}z-{\frac {1}{2}}{\biggr )}\cdot \left\{1-\ln {\biggl (}z-{\frac {1}{2}}{\biggr )}\!\right\}+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -\,2\!\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\operatorname {arctg} {\big [}x/{\big (}z-{\tfrac {1}{2}}{\big )}{\big ]}}{e^{2\pi x}+1}}\,dx,\qquad \operatorname {Re} {z}>{\frac {1}{2}}}
  
(նայել վարժ. 40-ը-ում)Բացի այդ, Մալմստենը նույնպես ստացավ ինտեգրալ բանաձևերի շարք գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմի համար, պարունակող լոգարիթմով հիպերբոլիկ ֆունկցիաներ ինտեգրալի նշանի տակ։ Մասնավորապես`

  
    
      
        ln
        ⁡
        Γ
        (
        z
        )
        =
        
        
          
            1
            2
          
        
        ln
        ⁡
        π
        
        −
        
        
          
            1
            2
          
        
        ln
        ⁡
        sin
        ⁡
        π
        z
        
        −
        
        
          
            
              2
              z
              −
              1
            
            2
          
        
        ln
        ⁡
        2
        π
        
        −
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              2
              π
              z
            
            
              2
              π
            
          
        
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        
        
          
            
              
              ln
              ⁡
              
                x
              
              
            
            
              
              ch
              ⁡
              
                x
              
              −
              cos
              ⁡
              2
              π
              z
              
            
          
        
        
        d
        x
        
        ,
        
        0
        <
        Re
        ⁡
        z
        <
        1
      
    
    {\displaystyle \ln \Gamma (z)=\,{\frac {1}{2}}\ln \pi \,-\,{\frac {1}{2}}\ln \sin \pi z\,-\,{\frac {2z-1}{2}}\ln 2\pi \,-\,{\frac {\sin 2\pi z}{2\pi }}\!\int \limits _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,\ln {x}\,}{\,\operatorname {ch} {x}-\cos 2\pi z\,}}\,dx\,,\qquad 0<\operatorname {Re} z<1}
  
(նայել վարժ.2, 29-հ, 30 -ում)Յարոսլավ Բլագուշինը ցույց տվեց, որ ռացիոնալ արգումենտով 
  
    
      
        z
        =
        k
        
          /
        
        n
      
    
    {\displaystyle z=k/n}
  , որտեղ 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   և 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   ամբողջ դրական թվեր են, այնպիսին, որ 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  -ն չի գերազանցում 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը, ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը  

  
    
      
        ln
        ⁡
        Γ
        
          
            (
          
        
        
        
          
            k
            n
          
        
        
        
          
            )
          
        
        =
        
          
            
              (
              n
              −
              2
              k
              )
              ln
              ⁡
              2
              π
            
            
              2
              n
            
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
          {
          
            ln
            ⁡
            π
            −
            ln
            ⁡
            sin
            ⁡
            
              
                
                  π
                  k
                
                n
              
            
          
          }
        
        +
      
    
    {\displaystyle \ln \Gamma {\biggl (}\!{\frac {k}{n}}\!{\biggr )}={\frac {(n-2k)\ln 2\pi }{2n}}+{\frac {1}{2}}\left\{\ln \pi -\ln \sin {\frac {\pi k}{n}}\right\}+}
  

  
    
      
        +
        
          
            1
            π
          
        
        
        
          ∑
          
            r
            =
            1
          
          
            n
            −
            1
          
        
        
          
            
              γ
              +
              ln
              ⁡
              
                r
              
            
            r
          
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        
          
            
              2
              π
              r
              k
            
            n
          
        
        −
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        sin
        ⁡
        
          
            
              2
              π
              k
            
            n
          
        
        ⋅
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        
        
          
            
              
              
                e
                
                  −
                  n
                  x
                
              
              
              ⋅
              ln
              ⁡
              
                x
              
              
            
            
              
              ch
              ⁡
              
                x
              
              −
              cos
              ⁡
              
                
                  
                    
                      2
                      π
                      k
                    
                    n
                  
                
              
              
            
          
        
        
        d
        x
        
        ,
        
        k
        ≠
        
          
            n
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle +{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{r=1}^{n-1}{\frac {\gamma +\ln {r}}{r}}\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{n}}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int \limits _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{-nx}\!\cdot \ln {x}\,}{\,\operatorname {ch} {x}-\cos {\dfrac {2\pi k}{n}}\,}}\,dx\,,\qquad k\neq {\frac {n}{2}}}
  
(նայել հավելված C, а также упр. 60 и 58-ում)Ավելին, և առավել ընդհանուր դեպքում ինտեգրալները, որոնք պարունակում են հիպերբոլական ֆունկցիաներ լոգարիթմով (կամ արգտանգենսով) ինտեգրալի նշանի տակ, հաճախ բերվում է գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմին և իր ածանցյալին, այդ թվում նաև կոմպլեքս արգումենտով, նայել օրինակ վարժ. 4-b, 7-а и 13-b в-ում։
Գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմը ամուր կապված է նաև անալիտիկ շարունակությանը ընդհանրացված զետա-ֆունկցիայի։ 

  
    
      
        ln
        ⁡
        Γ
        (
        z
        )
        =
        
          ζ
          ′
        
        (
        0
        ,
        z
        )
        −
        
          ζ
          ′
        
        (
        0
        )
        =
        
          ζ
          ′
        
        (
        0
        ,
        z
        )
        +
        
          
            1
            2
          
        
        ln
        ⁡
        2
        π
      
    
    {\displaystyle \ln \Gamma (z)=\zeta '(0,z)-\zeta '(0)=\zeta '(0,z)+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi }
  Այս կարևոր փոխհարաբերություններ, ներմուծված Լերխի կողմից, թույլ է տալիս ստանալ մեծ քանակությամբ ինտեգրալի ներկայացում գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմի համար ընդհանրացված զետա-ֆունկցիայի հայտնի բանաձևերի միջոցով։
Ֆուրիեի շարքը գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմների համար ունի հետևյալ տեսքը` 

  
    
      
        ln
        ⁡
        Γ
        (
        x
        )
        =
        
          (
          
            
              
                1
                2
              
            
            −
            x
          
          )
        
        (
        γ
        +
        ln
        ⁡
        2
        )
        +
        (
        1
        −
        x
        )
        ln
        ⁡
        π
        −
        
          
            1
            2
          
        
        ln
        ⁡
        sin
        ⁡
        π
        x
        +
        
          
            1
            π
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              2
              π
              n
              x
              ⋅
              ln
              ⁡
              
                n
              
            
            n
          
        
        
        ,
        
        0
        <
        x
        <
        1
      
    
    {\displaystyle \ln \Gamma (x)=\left({\frac {1}{2}}-x\right)(\gamma +\ln 2)+(1-x)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin \pi x+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi nx\cdot \ln {n}}{n}}\,,\qquad 0<x<1}
  Այս բանաձևը հաճախ վերագրվում է Էռնստ Կումմերին, որը դուրս է բերել 1847 թվականին (հեղինակավոր գրականությունում  այս շարքը կոչվում է Կումմերի շարք գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմի համար)։ Բայց վերջերս բացահայտվել է, որ այս բանաձևը ստացվել է դեռևս 1842 թվականին Մալմստենի կողմից 
(նայել Յարոսլավ Բլագուշին).
Ֆուրիեի շարքի դասավորումից բացի, գոյություն ունի նաև ուրիշ շարքերի դասավորություն։ Առավել հայտնիներից մեկը Ստիռլինգի շարքն է`

  
    
      
        ln
        ⁡
        Γ
        (
        z
        )
        =
        
          (
          
            z
            −
            
              
                1
                
                  
                  2
                  
                
              
            
          
          )
        
        
        ln
        ⁡
        z
        −
        z
        +
        
          
            1
            
              
              2
              
            
          
        
        ln
        ⁡
        2
        π
        +
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          
            
              B
              
                2
                n
              
            
            
              2
              n
              (
              2
              n
              −
              1
              )
              
                z
                
                  2
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        +
        O
        (
        
          z
          
            −
            2
            N
            −
            1
          
        
        )
        
        ,
        
        
          |
        
        arg
        ⁡
        z
        
          |
        
        <
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,}}\ln 2\pi +\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}}+O(z^{-2N-1})\,,\qquad |\arg z|<{\frac {\pi }{2}}}
  Իր ստանդարտ գրության մեջ 

  
    
      
        ln
        ⁡
        Γ
        (
        z
        )
        =
        z
        ln
        ⁡
        z
        +
        O
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \ln \Gamma (z)=z\ln z+O(z)}
  որտեղ 
  
    
      
        
          B
          
            2
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{2n}}
  -ը նշանակում է Բեռնուլիի թվեր։
Ըստ գամմա-ֆունկցիայի Վայերշտրասի մեկնաբանության հետևում է ևս մեկ կարևոր շարքի ներկայացում`

  
    
      
        ln
        ⁡
        Γ
        (
        z
        )
        =
        −
        γ
        z
        −
        ln
        ⁡
        z
        +
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          [
          
            
              
                z
                n
              
            
            −
            ln
            
            
              (
              
                1
                +
                
                  
                    z
                    n
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln z+\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {z}{n}}-\ln \!\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\right]}
  .


== Մասնավոր նշանակություն ==
Գամմա-ֆունկցիայի ամբողջ ու կիսաամբողջ արգումենտները արտահայտվում են տարրական ֆունկցիաների միջոցով:Մասնավորապես

  
    
      
        Γ
        (
        1
        )
        =
        0
        !
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \Gamma (1)=0!=1}
  

  
    
      
        Γ
        (
        2
        )
        =
        1
        !
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \Gamma (2)=1!=1}
  

  
    
      
        Γ
        (
        3
        )
        =
        2
        !
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \Gamma (3)=2!=2}
  

  
    
      
        Γ
        (
        4
        )
        =
        3
        !
        =
        6
      
    
    {\displaystyle \Gamma (4)=3!=6}
  

  
    
      
        Γ
        (
        5
        )
        =
        4
        !
        =
        24
      
    
    {\displaystyle \Gamma (5)=4!=24}
  

  
    
      
        Γ
        
          (
          
            
              
                1
                2
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            π
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.}
  

  
    
      
        Γ
        
          (
          
            
              
                3
                2
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        
          
            π
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.}
  

  
    
      
        Γ
        
          (
          
            
              
                5
                2
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              3
              4
            
          
        
        
          
            π
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}.}
  

  
    
      
        Γ
        
          (
          
            
              
                7
                2
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              15
              8
            
          
        
        
          
            π
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}.}
  

  
    
      
        Γ
        
          (
          
            −
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
          
          )
        
        =
        −
        2
        
          
            π
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)=-2{\sqrt {\pi }}.}
  

  
    
      
        Γ
        
          (
          
            −
            
              
                
                  3
                  2
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              4
              3
            
          
        
        
          
            π
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}.}
  

  
    
      
        Γ
        
          (
          
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            +
            n
          
          )
        
        =
        
          
            
              (
              2
              n
              )
              !
            
            
              
                4
                
                  n
                
              
              n
              !
            
          
        
        
          
            π
          
        
        =
        
          
            
              (
              2
              n
              −
              1
              )
              !
              !
            
            
              2
              
                n
              
            
          
        
        
        
          
            π
          
        
        =
        
          
            π
          
        
        ⋅
        
          [
          
            
              
                
                  (
                
                
                  
                    n
                    −
                    
                      
                        1
                        2
                      
                    
                  
                  n
                
                
                  )
                
              
            
            n
            !
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}
  

  
    
      
        Γ
        
          (
          
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            −
            n
          
          )
        
        =
        
          
            
              (
              −
              4
              
                )
                
                  n
                
              
              n
              !
            
            
              (
              2
              n
              )
              !
            
          
        
        
          
            π
          
        
        =
        
          
            
              (
              −
              2
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              (
              2
              n
              −
              1
              )
              !
              !
            
          
        
        
        
          
            π
          
        
        =
        
          
            π
          
        
        
          /
        
        
          [
          
            
              
                
                  (
                
                
                  
                    −
                    
                      
                        1
                        2
                      
                    
                  
                  n
                
                
                  )
                
              
            
            n
            !
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}
  Գամմա-ֆունկցիայի արժեքները 1/4 և 1/3 կետերում հանդիսանում է մանրամասն ուսումնասիրության առարկա Էյլերի, Գաուսի և Լեժանդրի համար, սակայն նրանք չկարողացան հաշվարկել այս արժեքները փակ տեսքով։
Գոյություն ունի հետևյալ  արտահայտությունները ոչ փակ տեսքի Γ(1/4)-ի համար

  
    
      
        Γ
        (
        
          
            
              1
              4
            
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                (
                2
                π
                
                  )
                  
                    
                      3
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  A
                  G
                  M
                
                (
                
                  
                    2
                  
                
                ,
                1
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {\frac {(2\pi )^{\frac {3}{2}}}{\mathrm {AGM} ({\sqrt {2}},1)}}}}
  

  
    
      
        Γ
        (
        
          
            
              1
              4
            
          
        
        )
        =
        (
        2
        π
        
          )
          
            
              3
              4
            
          
        
        
          ∏
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          t
          h
        
        
          (
          
            
              
                π
                k
              
              2
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{4}})=(2\pi )^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\mathrm {th} \left({\frac {\pi k}{2}}\right)}
  

  
    
      
        Γ
        (
        
          
            
              1
              4
            
          
        
        )
        =
        
          A
          
            3
          
        
        
          e
          
            −
            
              
                G
                π
              
            
          
        
        
          
            π
          
        
        
          2
          
            
              1
              6
            
          
        
        
          ∏
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            (
            
              1
              −
              
                
                  1
                  
                    2
                    k
                  
                
              
            
            )
          
          
            k
            (
            −
            1
            
              )
              
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{4}})=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}}{\sqrt {\pi }}2^{\frac {1}{6}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{k(-1)^{k}}}
  որտեղ AGM-թվաբանական-երկրաչափական միջին, G — Կատալանի հաստատուն և A — Գլեյշեր-Կինկելինի հաստատուն։


== Ընդհանրացումներ ==
Դասական ինտեգրալի սահմանման մեջ գամմա-ֆունկցիայի ինտեգրալի սահմնաչափերը ֆիքսված են։ Դիտարկվում են նաև ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան, 
ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիա[en], որոշված անալոգ ինտեգրալով` փոփոխականի վերին կամ ստորին ինտեգրման սահմանաչափով։ Տարբերվում է վերևի ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան, որը հաճախ անվանում են երկու արգումենտների գամմա-ֆունկցիա`

  
    
      
        Γ
        (
        a
        ,
        z
        )
        =
        
          ∫
          
            
              z
            
          
          
            ∞
          
        
        
        
          
            e
            
              −
              t
            
          
          
            t
            
              a
              −
              1
            
          
          
          d
          t
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma (a,z)=\int \limits _{\mathrm {z} }^{\infty }\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}}
  և ներքևի ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան, որը նշանակվում է փոքրատառ «գամմա» տառով`

  
    
      
        γ
        (
        a
        ,
        z
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              z
            
          
        
        
        
          
            e
            
              −
              t
            
          
          
            t
            
              a
              −
              1
            
          
          
          d
          t
        
      
    
    {\displaystyle \gamma (a,z)=\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}}
  .Երբեմն ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան նշանակում են ինչպես`

  
    
      
        I
        (
        z
        ,
        a
        )
        =
        
          
            1
            
              Γ
              (
              a
              )
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              z
            
          
        
        
        
          
            e
            
              −
              t
            
          
          
            t
            
              a
              −
              1
            
          
          
          d
          t
        
      
    
    {\displaystyle I(z,a)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}}
  .


== Դիտել նաև ==
Լեոնարդ Էյլերի պատվին անվանված օբյեկտների ցանկ
K-ֆունկցիա
Բարնսի G-ֆունկցիա
Բետա ֆունկցիա
Գամմա-բաշխում
Թերի գամմա-ֆունկցիա


== Գրականություն և հղումներ ==
Վ. Յա.Արսենին Մաթեմատիկական ֆիզիկա:հիմնական հավասարումներ և հատուկ ֆունկցիաներ,X գլուխ, էջ. 225—233. Գիտություն, Մոսկվա, 1966.
Մ.Ա. Եվգրաֆով և այլք Անալիտիկ ֆունկցիաների թեորեաների խնդիրների ժողովածու, էջ. 307—316. Գիտություն, Մոսկվա, 1969.
Գ.Մ.Ֆիխտենգոլց. Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի դասընթաց (7-րդ հրատարակչություն), XIV գլուխ, էջ. 750—794. Գիտություն, Մոսկվա, 1969.
Ա. Ի. Մարկուշեվիչ Անալիտիկ ֆունկցիայի թեորեմա (2-րդ հրատարակչություն), 2 հատոր, էջ. 303—324.Գիտություն, Մոսկվա, 1968.
Ն. Ն. Լեբեդև Հատուկ ֆունկցիաներ և նրանց կիրառումները (2-րդ հրատարակչություն), I գլուխ, էջ. 11—27. ФМ, Մոսկվա, 1963.
Ա. Ֆ. Նիկիֆորով և Վ. Բ. ՈւվարովՄաթեմատիկական ֆիզիկայի հատուկ ֆունկցիաները, էջ. 263—268. Գիտություն, Մոսկվա, 1978.
R. Campbell. Les intégrales eulériennes et leurs applications, Dunod, Paris, 1966.
M. Godefroy. La fonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie, Gauthier-Villars, Paris, 1901.
E. Artin. Einführung in die Theorie der Gammafunktion, Teubner, Leipzig, 1931.
N. Nielson. Handbuch der Theorie der Gammafunktion, Teubner, Leipzig, 1906.


== Ծանոթագրություններ ==