Անորոշ ինտեգրալ

Անորոշը ինտեգրալը 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle f(x)\,}
   ֆունկցիայի համար իր նախնական ֆունկցիայի բոլոր տվյալների ամբողջությունն է։
Եթե 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle f(x)\,}
   ֆունկցիան որոշված է և անընդհատ է 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
        
      
    
    {\displaystyle (a,b)\,}
   միջակայքում, իսկ իր նախնական 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle F(x)\,}
  -ը, այսինքն՝ 
  
    
      
        
          F
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle F'(x)=f(x)\,}
  , երբ 
  
    
      
        a
        <
        x
        <
        b
        
      
    
    {\displaystyle a<x<b\,}
  , ապա

  
    
      
        ∫
        f
        (
        x
        )
        d
        x
        =
        F
        (
        x
        )
        +
        C
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C,\,}
   
  
    
      
        a
        <
        x
        <
        b
        
      
    
    {\displaystyle a<x<b\,}
  ,որտեղ С-ն անկախ հաստատուն  է։

  
    
      
        d
        
          (
          
            ∫
            f
            (
            x
            )
            d
            x
          
          )
        
        =
        f
        (
        x
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx}
  

  
    
      
        ∫
        d
        (
        F
        (
        x
        )
        )
        =
        F
        (
        x
        )
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int d(F(x))=F(x)+C}
  

  
    
      
        ∫
        a
        ⋅
        f
        (
        x
        )
        d
        x
        =
        a
        ⋅
        ∫
        f
        (
        x
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int a\cdot f(x)dx=a\cdot \int f(x)dx}
  

  
    
      
        ∫
        (
        f
        (
        x
        )
        ±
        g
        (
        x
        )
        )
        d
        x
        =
        ∫
        f
        (
        x
        )
        d
        x
        ±
        ∫
        g
        (
        x
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx}
  
Եթե 
  
    
      
        ∫
        f
        (
        x
        )
        d
        x
        =
        F
        (
        x
        )
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}
  , ապա 
  
    
      
        ∫
        f
        (
        u
        )
        d
        u
        =
        F
        (
        u
        )
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int f(u)du=F(u)+C}
   ևս, որտեղ 
  
    
      
        u
        =
        φ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle u=\varphi (x)}
  , որը ածանցելի ֆունկցիա է անընդհատ ածանցյալով։


== Դիֆերենցիալով հիմքի կառուցում ==
Դիֆերենցիալով հիմքի կառուցման ժամանակ օգտագործվում են հետևյալ հատկությունները՝

  
    
      
        d
        u
        =
        d
        (
        u
        +
        C
        )
        
      
    
    {\displaystyle du=d(u+C)\,}
  

  
    
      
        d
        u
        =
        
          
            1
            a
          
        
        d
        (
        a
        u
        )
      
    
    {\displaystyle du={1 \over a}d(au)}
  

  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        u
        )
        ⋅
        d
        u
        =
        d
        (
        f
        (
        u
        )
        )
      
    
    {\displaystyle f'(u)\cdot du=d(f(u))}
  


== Ինտեգրման հիմնական մեթոդներ ==
1. Նոր արգումենտի ներմուծման մեթոդ։ Եթե

  
    
      
        ∫
        g
        (
        x
        )
        d
        x
        =
        G
        (
        x
        )
        +
        C
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \int g(x)dx=G(x)+C,\,}
  ապա

  
    
      
        ∫
        g
        (
        u
        )
        d
        u
        =
        G
        (
        u
        )
        +
        C
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \int g(u)du=G(u)+C,\,}
  որտեղ 
  
    
      
        u
        =
        φ
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle u=\varphi (x)\,}
  ՝ անընդհատ դիֆերենցվող ֆունկցիա։
2. Բաժանման մեթոդ։ Եթե

  
    
      
        g
        (
        x
        )
        =
        
          g
          
            1
          
        
        (
        x
        )
        +
        
          g
          
            2
          
        
        (
        x
        )
        ,
        
      
    
    {\displaystyle g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),\,}
  ապա

  
    
      
        ∫
        g
        (
        x
        )
        d
        x
        =
        ∫
        
          g
          
            1
          
        
        (
        x
        )
        d
        x
        +
        ∫
        
          g
          
            2
          
        
        (
        x
        )
        d
        x
        .
        
      
    
    {\displaystyle \int g(x)dx=\int g_{1}(x)dx+\int g_{2}(x)dx.\,}
  3. Տեղադրման մեթոդ։ Եթե 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle g(x)\,}
  -ն անընդհատ է, ապա ենթադրելով 
  
    
      
        x
        =
        φ
        (
        t
        )
        ,
        
      
    
    {\displaystyle x=\varphi (t),\,}
  ,
որտեղ 
  
    
      
        φ
        (
        t
        )
        
      
    
    {\displaystyle \varphi (t)\,}
   անընդհատ է իր 
  
    
      
        
          φ
          ′
        
        (
        t
        )
        
      
    
    {\displaystyle \varphi '(t)\,}
   ածանցյալի հետ միասին, կստանանք

  
    
      
        ∫
        g
        (
        x
        )
        d
        x
        =
        ∫
        g
        (
        φ
        (
        t
        )
        )
        
          φ
          ′
        
        (
        t
        )
        d
        t
        .
        
      
    
    {\displaystyle \int g(x)dx=\int g(\varphi (t))\varphi '(t)dt.\,}
  4. Մասերով ինտեգրում։ Եթե 
  
    
      
        u
        
      
    
    {\displaystyle u\,}
   և 
  
    
      
        v
        
      
    
    {\displaystyle v\,}
  ՝ որոշ դիֆերենցվող ֆունկցիաներ են 
  
    
      
        x
        
      
    
    {\displaystyle x\,}
  -ից կախված, ապա

  
    
      
        ∫
        u
        d
        v
        =
        u
        v
        −
        ∫
        v
        d
        u
        .
        
      
    
    {\displaystyle \int udv=uv-\int vdu.\,}
  


== Հիմնական անորոշ ինտեգրալների աղյուսակ ==

  
    
      
        ∫
        0
        ⋅
        d
        x
        =
        C
        ;
        
      
    
    {\displaystyle \int 0\cdot dx=C;\,}
  

  
    
      
        ∫
        1
        ⋅
        d
        x
        =
        x
        +
        C
        ;
        
      
    
    {\displaystyle \int 1\cdot dx=x+C;\,}
  

  
    
      
        ∫
        
          x
          
            n
          
        
        d
        x
        =
        
          
            
              x
              
                n
                +
                1
              
            
            
              n
              +
              1
            
          
        
        +
        C
        
      
    
    {\displaystyle \int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\,}
   
  
    
      
        (
        n
        ≠
        −
        1
        )
        ;
        
      
    
    {\displaystyle (n\neq -1);\,}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            1
            x
          
        
        d
        x
        =
        ln
        ∣
        x
        ∣
        +
        C
        ;
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=\ln \mid x\mid +C;\,}
  

  
    
      
        ∫
        
          e
          
            x
          
        
        d
        x
        =
        
          e
          
            x
          
        
        +
        C
        ;
        
      
    
    {\displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C;\,}
  

  
    
      
        ∫
        
          a
          
            x
          
        
        d
        x
        =
        
          
            
              a
              
                x
              
            
            
              ln
              ⁡
              a
            
          
        
        +
        C
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,\,}
   
  
    
      
        (
        a
        >
        0
        ,
        a
        ≠
        1
        )
        ;
        
      
    
    {\displaystyle (a>0,a\neq 1);\,}
  

  
    
      
        ∫
        cos
        ⁡
        x
        
        d
        x
        =
        sin
        ⁡
        x
        +
        C
        ;
        
      
    
    {\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C;\,}
  : 
  
    
      
        ∫
        sin
        ⁡
        x
        
        d
        x
        =
        −
        cos
        ⁡
        x
        +
        C
        ;
        
      
    
    {\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C;\,}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              
                cos
                
                  2
                
              
              ⁡
              x
            
          
        
        =
        
          t
          g
        
        
        x
        +
        C
        ;
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C;\,}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              x
            
          
        
        =
        −
        
          c
          t
          g
        
        
        x
        +
        C
        ;
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\mathrm {ctg} \,x+C;\,}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              1
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        arcsin
        ⁡
        x
        +
        C
        =
        −
        arccos
        ⁡
        x
        +
        
          C
          ′
        
        (
        
          C
          ′
        
        =
        
          
            π
            2
          
        
        +
        C
        )
        ;
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C'(C'={\frac {\pi }{2}}+C);\,}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              1
              +
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          a
          r
          c
          t
          g
        
        
        x
        +
        C
        ;
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C;\,}
  

  
    
      
        ∫
        
          c
          h
        
        
        x
        d
        x
        =
        
          s
          h
        
        
        x
        +
        C
        ;
        
      
    
    {\displaystyle \int \mathrm {ch} \,xdx=\mathrm {sh} \,x+C;\,}
  

  
    
      
        ∫
        
          s
          h
        
        
        x
        d
        x
        =
        
          c
          h
        
        
        x
        +
        C
        ;
        
      
    
    {\displaystyle \int \mathrm {sh} \,xdx=\mathrm {ch} \,x+C;\,}
  Յուրաքանչյուր հավասարման ձախ մասում նախնական ֆունկցիայի ածանցյալն է (բայց որոշված) համապատասխան ինտեգրալի տակ ընկած ֆունկցիայի համար, իսկ աջ մասում՝ որոշված նախնական ֆունկցիան, որին նաև ավելացվում է այնպիսի 
  
    
      
        C
        
      
    
    {\displaystyle C\,}
  , որ պահպանվի հավասարությունը ֆունկցիաների միջև։
Այս բանաձևերում նախնական ֆունկցիաները որոշված են և անընդհատ են այն միջակայքերում, որում որոշված են և անընդհատ ինտեգրալի տակ ընկած ֆունկցիաները։ Այս օրինաչափությունը պատահական չէ, քանի որ ինչպես վերը նշված է, ցանկացած անընդհատ ֆունկցիա ինչ-որ միջակայքում ունի իր անընդհատ նախնական ֆունկցիան։


== Լուծման օրինակներ ==

  
    
      
        1.
      
    
    {\displaystyle 1.}
  
  
    
      
        ∫
        
          x
          
            2
          
        
        
        d
        x
        =
        ∫
        
          x
          
            n
          
        
        
        d
        x
        =
        
          
            
              x
              
                n
                +
                1
              
            
            
              n
              +
              1
            
          
        
        +
        C
        =
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            3
          
        
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int x^{2}\,dx=\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C={\frac {x^{3}}{3}}+C}
  

  
    
      
        2.
      
    
    {\displaystyle 2.}
  
  
    
      
        ∫
        (
        
          a
          
            x
          
        
        +
        cos
        ⁡
        x
        )
        
        d
        x
        =
        ∫
        
          a
          
            x
          
        
        
        d
        x
        +
        ∫
        cos
        ⁡
        x
        
        d
        x
        =
        
          
            
              a
              
                x
              
            
            
              ln
              ⁡
              a
            
          
        
        +
        sin
        ⁡
        x
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int (a^{x}+\cos x)\,dx=\int a^{x}\,dx+\int \cos x\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+\sin x+C}
  

  
    
      
        3.
      
    
    {\displaystyle 3.}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              1
              +
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              d
              x
            
            
              1
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              1
              +
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              1
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        C
        =
        
          a
          r
          c
          t
          g
        
        
        x
        +
        arcsin
        
        x
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}+{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}+\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}+C=\mathrm {arctg} \,x+\arcsin \,x+C}
  


== Տես նաև ==
Նախնական ֆունկցիա
Որոշյալ ինտեգրալ
Վերլուծության հիմնական թեորեմ
Ինտեգրալի նշան
Թվային ինտեգրում
Ինտեգրման մեթոդներ
Տարրական ֆունկցիաների ինտեգրման ցանկ
Ինտեգրալների աղյուսակ
Ինտեգրալ հաշիվ


== Հղումներ ==
Weisstein, Eric W., "Integral", MathWorld.
Wolfram Integrator — ինտեգրալների առցանց հաշվարկում Mathematica համակարգի օգնությամբ
Ինտեգրալների առցանց հաշվիչ
Онлайн калькулятор интегралов с подробным пошаговым решением на русском языке