Լոպիտալի կանոն

Լոպիտալի թեորեմ
(նաև Լոպիտալ-Բեռնուլլի կանոն), մեթոդ, որով հաշվում են այն ֆունկցիաների սահմանները, որոնք պարունակում են 
  
    
      
        0
        
          /
        
        0
      
    
    {\displaystyle 0/0}
   և  
  
    
      
        ∞
        
          /
        
        ∞
      
    
    {\displaystyle \infty /\infty }
   տեսքի անորոշություններ։  Թեորեմը պնդում է, որ որոշ պայմանների դեպքում ֆունկցիայում հարաբերության սահմանը հավասար է  անդամների ածանցյալների հարաբերության սահմանին։


== Ձևակերպումը ==
Եթե  
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        ,
        
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x),\,g(x)}
   ֆունկցիաները որոշված են որևէ 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
   տիրույթին պատկանող 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետում, որտեղ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն իրական թիվ է կամ 
  
    
      
        +
        ∞
        ,
        −
        ∞
        ,
        ∞
      
    
    {\displaystyle +\infty ,-\infty ,\infty }
   սիմվոլներից մեկը, ընդ որում

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            a
          
        
        
          f
          (
          x
          )
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            a
          
        
        
          g
          (
          x
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to a}{f(x)}=\lim _{x\to a}{g(x)}=0}
   կամ 
  
    
      
        ∞
      
    
    {\displaystyle \infty }
  ;

  
    
      
        
          g
          ′
        
        (
        x
        )
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle g'(x)\neq 0}
    
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
   տիրույթում;
գոյություն ունի 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            a
          
        
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              
                g
                ′
              
              (
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
  ;ապա գոյություն ունի 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            a
          
        
        
          
            
              f
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            a
          
        
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              
                g
                ′
              
              (
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
  ։
Սահմանը կարող է լինել նաև միակողմանի։


== Պատմություն ==
Նման անորոշությունների բացահայտման մեթոդը հրապարակվել է 1696 թվականին Գիյոմ Լոպիտալի հեղինակած «Analyse des Inﬁniment Petits» դասագրքում։ Իսկ մեթոդը առաջին անգամ հայտնաբերել է մաթեմատիկոս Իոհանն Բեռնուլլին։


== Օրինակներ ==

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              5
              x
            
            
              3
              x
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          
            
              2
              x
              +
              5
            
            3
          
        
        =
        
          
            5
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}+5x}{3x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+5}{3}}={\frac {5}{3}}}
  

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              
                x
                
                  3
                
              
              +
              4
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              7
              x
              +
              9
            
            
              
                x
                
                  3
                
              
              +
              3
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              3
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              8
              x
              +
              7
            
            
              3
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              6
              x
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              6
              x
              +
              8
            
            
              6
              x
              +
              6
            
          
        
        =
        
          
            6
            6
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{3}+4x^{2}+7x+9}{x^{3}+3x^{2}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+8x+7}{3x^{2}+6x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {6x+8}{6x+6}}={\frac {6}{6}}=1}
   Այստեղ կարելի է Լոպիտալի կանոնը կիրառել 3 անգամ։ Բայց կարելի է վարվել նաև այլ կերպ․ անհրաժեշտ է համարիչը և հայտարարը բաժանել 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   անհայտի ամենաբարձր աստիճանի վրա(այս դեպքում 
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}}
  ).  Այս օրինակը կլինի

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              1
              +
              4
              
                /
              
              x
              +
              7
              
                /
              
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              9
              
                /
              
              
                x
                
                  3
                
              
            
            
              1
              +
              3
              
                /
              
              x
            
          
        
        =
        
          
            1
            1
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1+4/x+7/x^{2}+9/x^{3}}{1+3/x}}={\frac {1}{1}}=1}
  

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              e
              
                x
              
            
            
              x
              
                a
              
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              e
              
                x
              
            
            
              a
              ⋅
              
                x
                
                  a
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        =
        …
        =
        
          lim
          
            x
            →
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              e
              
                x
              
            
            
              a
              !
            
          
        
        =
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{a}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots =\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a!}}=+\infty }
   — կանոնը կիրառել 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   անգամ;

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                a
              
            
            
              ln
              ⁡
              
                x
              
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              a
              
                x
                
                  a
                  −
                  1
                
              
            
            
              1
              x
            
          
        
        =
        a
        ⋅
        
          lim
          
            x
            →
            +
            ∞
          
        
        
          
            x
            
              a
            
          
        
        =
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{a}}{\ln {x}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {ax^{a-1}}{\frac {1}{x}}}=a\cdot \lim _{x\to +\infty }{x^{a}}=+\infty }
   при 
  
    
      
        a
        >
        0
      
    
    {\displaystyle a>0}
  ;

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              
                ∫
                
                  x
                
                
                  +
                  ∞
                
              
              
                e
                
                  −
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
              d
              t
            
            
              
                x
                
                  −
                  1
                
              
              
                e
                
                  −
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              −
              
                e
                
                  −
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            
              −
              
                x
                
                  −
                  2
                
              
              
                e
                
                  −
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
              (
              1
              +
              2
              
                x
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              1
              +
              2
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\int \limits _{x}^{+\infty }e^{-t^{2}}dt}{x^{-1}e^{-x^{2}}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {-e^{-x^{2}}}{-x^{-2}e^{-x^{2}}(1+2x^{2})}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{1+2x^{2}}}={\frac {1}{2}}}
  .


== Հետևանք ==
Ենթադրենք  
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիան ոոշված է  
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետում, և գոյություն ունի 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            a
          
        
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        A
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)=A}
  ,  ապա 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիան դիֆերենցելի է նաև 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետում և 
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        a
        )
        =
        A
      
    
    {\displaystyle f'(a)=A}
   (այսինքն 
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f'(x)}
   անընդհատ է 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետում)։ Ապացույցի համար բավարար է կիրառել Լոպիտալի կանոնը
  
    
      
        
          
            
              f
              (
              x
              )
              −
              f
              (
              a
              )
            
            
              x
              −
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}
   հարաբերության նկատմամբ։


== Տես նաև ==
Լոպիտալի կանոնի անալոգն է հանդիսանում Շտոլցի թեորեման։


== Ծանոթագրություններ ==