Լամեի հաստատուններ

Լամեի հաստատուններ, դեֆորմացվող իզոտրոպ պինդ մարմնի որևէ կետում առաձգական լարման և դեֆորմացիայի բաղադրիչները կապող մեծություններ։ Կոչվում են ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Գաբրիել Լամեի անվամբ։ 
Լամեի հաստատուններով լարման և դեֆորմացիայի բաղադրիչների կապը գրվում է 

  
    
      
        σ
        =
        2
        μ
        ε
        +
        λ
        
        
          T
          r
        
        (
        ε
        )
        I
      
    
    {\displaystyle \sigma =2\mu \varepsilon +\lambda \;\mathrm {Tr} (\varepsilon )I}
  տեսքով, որտեղ OT-ն և X-և լարման նորմալ և շոշափող բաղադրիչներն են, e-ը՝ դեֆորմացիայի բաղադրիչները, X-ն և |ւ-ն՝ Լ. հ.։ Առաձգականության մոդուլների և v Պուասոնի գործակցի E հետ Լամեի հաստատունները կապված են 

  
    
      
        λ
        =
        
          
            
              ν
              E
            
            
              (
              1
              +
              ν
              )
              (
              1
              −
              2
              ν
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda ={\frac {\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}
  

  
    
      
        μ
        =
        
          
            E
            
              2
              (
              1
              +
              ν
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu ={\frac {E}{2(1+\nu )}}}
  առնչություններով, որտեղ E-ն երկայնական առաձգականության մոդուլն է, G-ն՝ սահքի մոդուլը։
Դիցուք եռաչափ տարածությունում տրված է կոորդինատների համակարգ՝ 
  
    
      
        {
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        ,
        
          q
          
            3
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{q_{1},q_{2},q_{3}\}}
  :Պատկերացնենք անվերջ փոքր վեկտոր 
  
    
      
        d
        s
      
    
    {\displaystyle ds}
  -ն՝ ներկայացված վեկտորների դեկարդյան 
  
    
      
        i
        ,
        j
        ,
        k
      
    
    {\displaystyle i,j,k}
   բազիսով և կորագիծ կոորդինատային համակարգում բազիսային վեկտորների 
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        
          e
          
            2
          
        
        ,
        
          e
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}
   հավաքածույով։

  
    
      
        d
        s
        =
        i
        d
        x
        +
        j
        d
        y
        +
        k
        d
        z
      
    
    {\displaystyle ds=idx+jdy+kdz}
  

  
    
      
        d
        s
        =
        
          e
          
            1
          
        
        d
        
          q
          
            1
          
        
        +
        
          e
          
            2
          
        
        d
        
          q
          
            2
          
        
        +
        
          e
          
            3
          
        
        d
        
          q
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle ds=e_{1}dq_{1}+e_{2}dq_{2}+e_{3}dq_{3}}
  
Որպեսզի 
  
    
      
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        ,
        
          q
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}}
   մեծությունները կարողանան դիտարկվել վորպես էլեմենտի կոորդինատներ, տարածության որոշակի մասում, անհրաժեշտ է հակառակ արտահայտությունը.

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  x
                  =
                  x
                  (
                  
                    q
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                    q
                    
                      2
                    
                  
                  ,
                  
                    q
                    
                      3
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  y
                  =
                  y
                  (
                  
                    q
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                    q
                    
                      2
                    
                  
                  ,
                  
                    q
                    
                      3
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  z
                  =
                  z
                  (
                  
                    q
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                    q
                    
                      2
                    
                  
                  ,
                  
                    q
                    
                      3
                    
                  
                  )
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x=x(q_{1},q_{2},q_{3})\\y=y(q_{1},q_{2},q_{3})\\z=z(q_{1},q_{2},q_{3})\end{cases}}}
  
(1)  Հավասարման մեջ դեկարդյան կոորդինատների դիֆերենցիալները արտահայտենք կորագծային կոորդինատների դիֆերենցիալներով.

  
    
      
        d
        x
        =
        
          
            
              ∂
              x
            
            
              ∂
              
                q
                
                  1
                
              
            
          
        
        d
        
          q
          
            1
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              x
            
            
              ∂
              
                q
                
                  2
                
              
            
          
        
        d
        
          q
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              x
            
            
              ∂
              
                q
                
                  3
                
              
            
          
        
        d
        
          q
          
            3
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle dx={\partial x \over \partial q_{1}}dq_{1}+{\partial x \over \partial q_{2}}dq_{2}+{\partial x \over \partial q_{3}}dq_{3},}
  

  
    
      
        d
        y
        =
        
          
            
              ∂
              y
            
            
              ∂
              
                q
                
                  1
                
              
            
          
        
        d
        
          q
          
            1
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              y
            
            
              ∂
              
                q
                
                  2
                
              
            
          
        
        d
        
          q
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              y
            
            
              ∂
              
                q
                
                  3
                
              
            
          
        
        d
        
          q
          
            3
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle dy={\partial y \over \partial q_{1}}dq_{1}+{\partial y \over \partial q_{2}}dq_{2}+{\partial y \over \partial q_{3}}dq_{3},}
  

  
    
      
        d
        z
        =
        
          
            
              ∂
              z
            
            
              ∂
              
                q
                
                  1
                
              
            
          
        
        d
        
          q
          
            1
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              z
            
            
              ∂
              
                q
                
                  2
                
              
            
          
        
        d
        
          q
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              z
            
            
              ∂
              
                q
                
                  3
                
              
            
          
        
        d
        
          q
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle dz={\partial z \over \partial q_{1}}dq_{1}+{\partial z \over \partial q_{2}}dq_{2}+{\partial z \over \partial q_{3}}dq_{3}}
  
այդ դեպքում.

  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        =
        i
        
          
            
              ∂
              x
            
            
              ∂
              
                q
                
                  1
                
              
            
          
        
        +
        j
        
          
            
              ∂
              y
            
            
              ∂
              
                q
                
                  1
                
              
            
          
        
        +
        k
        
          
            
              ∂
              z
            
            
              ∂
              
                q
                
                  1
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle e_{1}=i{\partial x \over \partial q_{1}}+j{\partial y \over \partial q_{1}}+k{\partial z \over \partial q_{1}},}
  

  
    
      
        
          e
          
            2
          
        
        =
        i
        
          
            
              ∂
              x
            
            
              ∂
              
                q
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        j
        
          
            
              ∂
              y
            
            
              ∂
              
                q
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        k
        
          
            
              ∂
              z
            
            
              ∂
              
                q
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle e_{2}=i{\partial x \over \partial q_{2}}+j{\partial y \over \partial q_{2}}+k{\partial z \over \partial q_{2}},}
  

  
    
      
        
          e
          
            3
          
        
        =
        i
        
          
            
              ∂
              x
            
            
              ∂
              
                q
                
                  3
                
              
            
          
        
        +
        j
        
          
            
              ∂
              y
            
            
              ∂
              
                q
                
                  3
                
              
            
          
        
        +
        k
        
          
            
              ∂
              z
            
            
              ∂
              
                q
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{3}=i{\partial x \over \partial q_{3}}+j{\partial y \over \partial q_{3}}+k{\partial z \over \partial q_{3}}}
  
Եթե կոորդինատների 
  
    
      
        {
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        ,
        
          q
          
            3
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{q_{1},q_{2},q_{3}\}}
   համակարգը ուղղանկյուն է, ապա տարածության յուրաքանչյուր կետում 
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        
          e
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1},e_{2}}
   և 
  
    
      
        
          e
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{3}}
   վեկտորները զույգ առ զույգ ուղղանկյուն են։

  
    
      
        
          e
          
            i
          
        
        
          e
          
            j
          
        
        =
        ‖
        
          e
          
            i
          
        
        
          ‖
          
            2
          
        
        
          δ
          
            i
          
        
        j
      
    
    {\displaystyle e_{i}e_{j}=\lVert e_{i}\rVert ^{2}\delta _{i}j}
  
Որտեղ 
  
    
      
        ‖
        
          e
          
            i
          
        
        ‖
      
    
    {\displaystyle \lVert e_{i}\rVert }
   -ն 
  
    
      
        
          e
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{i}}
  վեկտորի նորմն է,

  
    
      
        
          δ
          
            i
          
        
        j
      
    
    {\displaystyle \delta _{i}j}
  -ն Կրոնեկերի դելտա-սիմվոլը, որը որոշվում է հետևյալ բանաձևով.

  
    
      
        
          δ
          
            i
          
        
        j
        =
        
          δ
          
            j
          
        
        i
        =
        
          
            {
            
              
                
                  1
                  ,
                  i
                  =
                  j
                
              
              
                
                  0
                  ,
                  i
                  ≠
                  j
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta _{i}j=\delta _{j}i={\begin{cases}1,i=j\\0,i\neq j\end{cases}}}
  

  
    
      
        
          e
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{i}}
   վեկտորի նորմ անվանում են նաև Լամեի գործակից` 
  
    
      
        
          H
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{i}}
  , 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
   կոորդինատի համար 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
   կետում։

  
    
      
        
          H
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              
                (
              
            
            
              
                
                  ∂
                  x
                
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  )
                
              
              
                2
              
            
            +
            
              
                (
              
            
            
              
                
                  ∂
                  y
                
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  )
                
              
              
                2
              
            
            +
            
              
                (
              
            
            
              
                
                  ∂
                  z
                
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  )
                
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{i}={\sqrt {{\biggl (}{\partial x \over \partial q_{i}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\partial y \over \partial q_{i}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\partial z \over \partial q_{i}}{\biggr )}^{2}}}}
  ,   
  
    
      
        (
        i
        =
        1
        ,
        2
        ,
        3
        )
      
    
    {\displaystyle (i=1,2,3)}
  
(1)  և (2) բանաձևերից հետևում է որ, ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում կամայական թեքի կորության երկարության դիֆերենցիալի քառակուսին կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ.

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        d
        
          x
          
            2
          
        
        +
        d
        
          y
          
            2
          
        
        +
        d
        
          z
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},}
  

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        
          H
          
            1
          
          
            2
          
        
        d
        
          q
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          H
          
            2
          
          
            2
          
        
        d
        
          q
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        
          H
          
            3
          
          
            2
          
        
        d
        
          q
          
            3
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=H_{1}^{2}dq_{1}^{2}+H_{2}^{2}dq_{2}^{2}+H_{3}^{2}dq_{3}^{2}}
  
Եթե 
  
    
      
        {
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        ,
        
          q
          
            3
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{q_{1},q_{2},q_{3}\}}
   համակարգից երկու կոորդինատներ ֆիքսենք, ապա (7) հավասարումը կբերվի, Լամեի գործակիցների համար, հետևյալ տեսքի.

  
    
      
        
          H
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              s
            
            
              ∂
              
                q
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{i}={\partial s \over \partial q_{i}}}
    
  
    
      
        (
        i
        =
        1
        ,
        2
        ,
        3
        )
      
    
    {\displaystyle (i=1,2,3)}
  
Արդյունքում մենք ստանում ենք Լամեի գործակիցների հաշվարկի մեկ այլ միջոց, համաձայն որի բավական է նշել կոորդինատային 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
   գծի անվերջ փոքր էլեմենտի կորի երկարության հարաբերությունը 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
   կոորդինատի դիֆերենցիալին:Օրինակ գլանային կոորդինատների համակարգում 
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
   և 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   կոորդինատային գծերն են հանդիսանում կիսաուղիղը և ուղիղը համապատասխանաբար, որի հետևանքով 
  
    
      
        
          H
          
            ρ
          
        
        =
        
          H
          
            z
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle H_{\rho }=H_{z}=1}
   :Քանի որ կոորդինատային 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
   գիծ հանդիսանում է 
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
   շառավղով շրջանագիծը, ապա 
  
    
      
        d
        s
        =
        ρ
        d
        φ
      
    
    {\displaystyle ds=\rho d\varphi }
   և 
  
    
      
        
          H
          
            φ
          
        
        =
        ρ
        :
      
    
    {\displaystyle H_{\varphi }=\rho :}
  Կորագիծ կոորդինատային համակարգում ծավալի էլեմենտը որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

  
    
      
        d
        V
        =
        
          H
          
            1
          
        
        
          H
          
            2
          
        
        
          H
          
            3
          
        
        d
        
          q
          
            1
          
        
        d
        
          q
          
            2
          
        
        d
        
          q
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle dV=H_{1}H_{2}H_{3}dq_{1}dq_{2}dq_{3}}
  
Այդ դեպքում գլանային կոորդինատային համակարգում `

  
    
      
        d
        V
        =
        ρ
        d
        ρ
        d
        φ
        d
        z
      
    
    {\displaystyle dV=\rho d\rho d\varphi dz}
  
Գնդային կոորդինատային համակարգում՝

  
    
      
        d
        V
        =
        
          r
          
            2
          
        
        sin
        ⁡
        θ
        d
        r
        d
        φ
        d
        θ
        :
      
    
    {\displaystyle dV=r^{2}\sin \theta drd\varphi d\theta :}