Երկրաչափական պրոգրեսիա

Երկրաչափական պրոգրեսիա, 
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
        ,
         
        
          b
          
            2
          
        
        ,
         
        
          b
          
            3
          
        
        ,
         
        …
      
    
    {\displaystyle b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ \ldots }
   թվերի (պրոգրեսիայի ոչ զրոյական անդամների) այնպիսի հաջորդականություն, որտեղ յուրաքանչյուր անդամ (բացի առաջինից) հավասար է նախորդ անդամի և միևնույն 
  
    
      
        q
        
      
    
    {\displaystyle q\quad }
   թվի (պրոգրեսիայի հայտարարի) արտադրյալին՝

  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle b_{1}\not =0}
  , 
  
    
      
        q
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle q\not =0}
  ։ 
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
        ,
         
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        q
        ,
         
        
          b
          
            3
          
        
        =
        
          b
          
            2
          
        
        q
        ,
         
        …
        ,
         
        
          b
          
            n
          
        
        =
        
          b
          
            n
            −
            1
          
        
        q
      
    
    {\displaystyle b_{1},\ b_{2}=b_{1}q,\ b_{3}=b_{2}q,\ \ldots ,\ b_{n}=b_{n-1}q}
  


== Հատկություններ ==
Երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամ ստացվում է հետևալ բանաձևի միջոցով՝

  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            n
            −
            1
          
        
        
      
    
    {\displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}\quad }
  Եթե 
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle b_{1}>0}
   և 
  
    
      
        q
        >
        1
      
    
    {\displaystyle q>1}
  , պրոգրեսիան կոչվում է աճող, իսկ 
  
    
      
        0
        <
        q
        <
        1
      
    
    {\displaystyle 0<q<1}
   դեպքում՝ նվազող, իսկ 
  
    
      
        q
        =
        1
      
    
    {\displaystyle q=1}
   —ի դեպքում հաստատուն
Պրոգրեսիայի անվանումը կապված է միջին երկրաչափականի հետ (յուրաքանչյուր անդամ հավասար է նույն «հեռավորության» վրա գտնվող նախորդ և հաջորդ անդամների միջին երկրաչափականին)՝

  
    
      
        
          |
        
        
          b
          
            n
          
        
        
          |
        
        =
        
          
            
              b
              
                n
                −
                k
              
            
            
              b
              
                n
                +
                k
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle |b_{n}|={\sqrt {b_{n-k}b_{n+k}}},}
  


== Օրինակներ ==

  
    
      
        π
        ,
        π
        ,
        π
        ,
        π
      
    
    {\displaystyle \pi ,\pi ,\pi ,\pi }
   — երկրաչափական պրոգրեսիա 1 հայտարարով (և թվաբանական պրոգրեսիա 0 տարբերությամբ)
50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — անվերջ նվազող պրոգրեսիա -½ հայտարարով
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — տասներեք անդամներից բաղկացած պրոգրեսիա 2 հայտարարով


== Հատկություններ ==
Երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների լոգարիթմները (եթե որոշված են) կազմում են թվաբանական պրոգրեսիա։Ապացույց.
Դիցուք 
  
    
      
        
          w
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{n}}
  -ը հաջորդականություն է՝ 
  
    
      
        
          w
          
            n
          
        
        =
        
          log
          
            p
          
        
        ⁡
        
          b
          
            n
          
        
         
      
    
    {\displaystyle w_{n}=\log _{p}b_{n}\ }
  

  
    
      
        ∀
        n
        >
        1
        
        
          
            
              
                w
                
                  n
                  −
                  1
                
              
              +
              
                w
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                log
                
                  p
                
              
              ⁡
              
                b
                
                  n
                  −
                  1
                
              
              +
              
                log
                
                  p
                
              
              ⁡
              
                b
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                log
                
                  p
                
              
              ⁡
              
                b
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  n
                  −
                  2
                
              
              +
              
                log
                
                  p
                
              
              ⁡
              
                b
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  n
                
              
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                log
                
                  p
                
              
              ⁡
              (
              
                b
                
                  1
                
                
                  2
                
              
              
                q
                
                  2
                  n
                  −
                  2
                
              
              )
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              2
              ⋅
              
                log
                
                  p
                
              
              ⁡
              
                b
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
            2
          
        
        =
        
          log
          
            p
          
        
        ⁡
        
          b
          
            n
          
        
        =
        
          w
          
            n
          
        
         
      
    
    {\displaystyle \forall n>1\quad {\frac {w_{n-1}+w_{n+1}}{2}}={\frac {\log _{p}b_{n-1}+\log _{p}b_{n+1}}{2}}={\frac {\log _{p}b_{1}q^{n-2}+\log _{p}b_{1}q^{n}}{2}}={\frac {\log _{p}(b_{1}^{2}q^{2n-2})}{2}}={\frac {2\cdot \log _{p}b_{1}q^{n-1}}{2}}=\log _{p}b_{n}=w_{n}\ }
  
Ստացված հարաբերակցությունը բնորոշ է թվաբանական պրոգրեսիային.
  
    
      
        
          b
          
            n
          
          
            2
          
        
        =
        
          b
          
            n
            −
            i
          
        
        
          b
          
            n
            +
            i
          
        
        ,
        i
        <
        n
      
    
    {\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i},i<n}
  Ապացույց.

  
    
      
        
          b
          
            n
          
          
            2
          
        
        =
        
          b
          
            n
          
        
        
          b
          
            n
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            n
            −
            1
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            n
            −
            1
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            n
            −
            1
            −
            i
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            n
            −
            1
            +
            i
          
        
        =
        
          b
          
            n
            −
            i
          
        
        
          b
          
            n
            +
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}}
  

Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների արտադրյալը կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով՝
։ 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
        =
        (
        
          b
          
            1
          
        
        ⋅
        
          b
          
            n
          
        
        
          )
          
            
              n
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2}}}
  ,Ապացույց.

  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
        =
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          b
          
            i
          
        
        =
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            i
            −
            1
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
          
            n
          
        
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          q
          
            i
            −
            1
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
          
            
              n
              2
            
          
        
        
          b
          
            1
          
          
            
              n
              2
            
          
        
        
          q
          
            
              
                n
                (
                0
                +
                (
                n
                −
                1
                )
                )
              
              2
            
          
        
        =
        (
        
          b
          
            1
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            n
            −
            1
          
        
        
          )
          
            
              n
              2
            
          
        
        =
        (
        
          b
          
            1
          
        
        
          b
          
            n
          
        
        
          )
          
            
              n
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n-1))}{2}}=(b_{1}b_{1}q^{n-1})^{\frac {n}{2}}=(b_{1}b_{n})^{\frac {n}{2}}}
  

Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   անդամների գումարը՝
։ 
  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    ∑
                    
                      i
                      =
                      1
                    
                    
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      i
                    
                  
                  =
                  
                    
                      
                        
                          b
                          
                            1
                          
                        
                        
                          q
                          
                            n
                          
                        
                        −
                        
                          b
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        q
                        −
                        1
                      
                    
                  
                  =
                  
                    
                      
                        
                          b
                          
                            1
                          
                        
                        (
                        
                          q
                          
                            n
                          
                        
                        −
                        1
                        )
                      
                      
                        q
                        −
                        1
                      
                    
                  
                  ,
                
                
                  
                    
                      if 
                    
                  
                  q
                  ≠
                  1
                
              
              
                
                  n
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                
                
                  
                    
                      if 
                    
                  
                  q
                  =
                  1
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{n}={\begin{cases}\sum _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}q^{n}-b_{1}}{q-1}}={\frac {b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}}
  Ապացույց.

Գումարի միջոցով՝
։ 
  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            i
            −
            1
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          ∑
          
            i
            =
            2
          
          
            n
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            i
            −
            1
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        +
        q
        
          ∑
          
            i
            =
            2
          
          
            n
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            i
            −
            2
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        +
        q
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
            −
            1
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            i
            −
            1
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        +
        q
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            i
            −
            1
          
        
        −
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            n
          
        
        ⇒
      
    
    {\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}\Rightarrow }
  


=== ։ ===
  
    
      
        ⇒
        (
        1
        −
        q
        )
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            i
            −
            1
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        −
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            n
          
        
        ⇒
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            i
            −
            1
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        
          
            
              1
              −
              
                q
                
                  n
                
              
            
            
              1
              −
              q
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Rightarrow (1-q)\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n}\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}}
  
Եթե 
  
    
      
        
          |
          q
          |
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle \left|q\right|<1}
  , ապա 
  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
        →
        0
      
    
    {\displaystyle b_{n}\to 0}
   երբ 
  
    
      
        n
        →
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle n\to +\infty }
  , և
։ 
  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        →
        
          
            
              b
              
                1
              
            
            
              1
              −
              q
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{n}\to {b_{1} \over 1-q}}
   այն դեպքում երբ 
  
    
      
        n
        →
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle n\to +\infty }
  .


== Տես նաև ==
Թվաբանական պրոգրեսիա
Հաջորդականություն (մաթեմատիկա)