Վինսենտի բանաձև

Վինսենտի բանաձևը դա երկու կապված իտերատիվ մեթոդներ են որոնք օգտագործվում են երկրագիտության մեջ երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը հաշվելու համար սֆերոիդի մակերեսին, նրանք ստեղծվել են Թադեոս Վինսենտի կողմից (1975 թ)։ Նրանք հիմնված էին այն ենթադրության վրա, որ Երկրի ձևը նման է ձգված սֆերոիդի, հետևաբար դա ավելի ձշգրիտ է քան մեծ տարածություն ունեցող շրջանակը որը անվանվում է գնդաձև Երկիր։
Առաջին (ուղիղ)մեթոդը համակարգում է գործունեության վայրի կետը, որը ցույց է տալիս հեռավորությունը և ազիմուտը ուրիշ կետից։ Երկրորդ (հակադարձ) մեթոդը համակարգում է աշխարհագրական հեռավորությունը և ազիմուտը երկու դիտարկված կետերի միջև։ Նրանք արդեն լայնորեն օգտագործվում են գեոդեզիայի մեջ որովհետև նրանք հավասար են 0.5 mm (0.020″) Երկրի էլիպսոյիդում.


== Ընդհանուր տեղեկություններ ==
Վինսենտի նպատակն էր արտահայտել առկա ալգորիթմի համար ուղիղ և հակառակ գեոդեսիկ խնդիրը նվազեցնելով ծրագրային երկարությունը։ Նրա չհրատակված հոդավածը (1975 թ)նշում է Wang 720 desk հաշվիչի օգտագործումը, որը ուներ ընդամենը մի քանի կիլոբայթ հիշողություն։ Ձեռք բերելով լավ երկարություն ունեցող գծեր, լուծումը օգտագործում է Legendre (1806), Bessel (1825)և Helmert (1880) դասական լուծումներ հիմնվելով լրացուցիչ ոլորտի վրա։
(Վինսենտեն ապավինում էր որ այդ մեթոդի ձևակերպումը ստեղծվել է Ռեյնսֆորդի կողմից, 1955 թ) Legendre ցույց է տալիս որ էլիպսակերպ գեոդեսիկը կարող է արտացոլվել մեծ շրջանում լրացուցիչ ոլորտը արտացոլումով աշխարհագրական լայնությունը նվազեցնելով ազիմուտի լայնությունով և կարգավորումով։ Լայնությունը էլիպսաձևի վրա և հեռավորությունը գեոդեսիկի երկայնքով հետո վերցված է ոլորտի երկարությունից սֆերայի վրա և arc երկարությունից մեց շրջանի երկայնքով պարզ ինտեգրալներով։ Bessel և Helmert-ը տրված է արագ համամիտող շարքի կողմից այս ինտեգրալների համար որոնք թույլ են տալիս գեոդեսիկին լինել հաշվարկված կամայական ճշգրտությամբ։
Որպեսզի նվազեցնել ծրագրի չափը, Վինսենտեն վերցրել է այս տեսակները, վերանայել է նրանց օգտագործման առաջին ժամկետը, և բեռնել է նրանց հրամանին ƒ3.: Դա հանգեցրեց կոմպակտ արտահայտություններին, որոնք վերաբերվում էին լայն և հեռավոր ինտեգրալներին։ Արտահայտւթյունները վեռցված էին Horner ձևից, քանի որ դա թույլ էր տալիս պոլինոմիալներին ճիշտ վերլուծվել, օգտագործելով միայն ժամանակավոր գրանցում։ Վերջապես, պարզ իտերատիվ տեխնիկան օգտագործվել է թաքնված խնդիրներ լուծելու համար; չնայած նրանք դանդաղ են (իսկ հակառակ դեպքում, այն մեթոդը երբեմն չի զուգադիմել), նրանք հանգեցնում են նվազագույն չափի ավելացման ծածկագրի։


== Նշագրման սիստեմ ==
Սահմանվում է հետևյալ նշագրման սիստեմ։


== Հակադարձ խնդիրներ ==
Վերցնելով երկու կետերի կոորդինատները (φ1, L1) և (φ2, L2), Հակադարձ խնդիրը կգտնի ազիմուտները α1, α2 և էլիփսակերպ տարածությունը s.
Հաշվենք U1, U2 և L, սահմանելով սկզբնական արժեքը λ = L. Այնուհետև իտերատիվ գնահատումը հետևյալ հավասարման համար, մինչև λ :

  
    
      
        sin
        ⁡
        σ
        =
        
          
            (
            cos
            ⁡
            
              U
              
                2
              
            
            sin
            ⁡
            λ
            
              )
              
                2
              
            
            +
            (
            cos
            ⁡
            
              U
              
                1
              
            
            sin
            ⁡
            
              U
              
                2
              
            
            −
            sin
            ⁡
            
              U
              
                1
              
            
            cos
            ⁡
            
              U
              
                2
              
            
            cos
            ⁡
            λ
            
              )
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin \sigma ={\sqrt {(\cos U_{2}\sin \lambda )^{2}+(\cos U_{1}\sin U_{2}-\sin U_{1}\cos U_{2}\cos \lambda )^{2}}}}
  
  
    
      
        cos
        ⁡
        σ
        =
        sin
        ⁡
        
          U
          
            1
          
        
        sin
        ⁡
        
          U
          
            2
          
        
        +
        cos
        ⁡
        
          U
          
            1
          
        
        cos
        ⁡
        
          U
          
            2
          
        
        cos
        ⁡
        λ
        
      
    
    {\displaystyle \cos \sigma =\sin U_{1}\sin U_{2}+\cos U_{1}\cos U_{2}\cos \lambda \,}
  
  
    
      
        σ
        =
        arctan
        ⁡
        
          
            
              sin
              ⁡
              σ
            
            
              cos
              ⁡
              σ
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \sigma =\arctan {\frac {\sin \sigma }{\cos \sigma }}\,}
  
  
    
      
        sin
        ⁡
        α
        =
        
          
            
              cos
              ⁡
              
                U
                
                  1
                
              
              cos
              ⁡
              
                U
                
                  2
                
              
              sin
              ⁡
              λ
            
            
              sin
              ⁡
              σ
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {\cos U_{1}\cos U_{2}\sin \lambda }{\sin \sigma }}\,}
  
  
    
      
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        α
        =
        1
        −
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        α
        
      
    
    {\displaystyle \cos ^{2}\alpha =1-\sin ^{2}\alpha \,}
  
  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        2
        
          σ
          
            m
          
        
        )
        =
        cos
        ⁡
        σ
        −
        
          
            
              2
              sin
              ⁡
              
                U
                
                  1
                
              
              sin
              ⁡
              
                U
                
                  2
                
              
            
            
              
                cos
                
                  2
                
              
              ⁡
              α
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \cos(2\sigma _{m})=\cos \sigma -{\frac {2\sin U_{1}\sin U_{2}}{\cos ^{2}\alpha }}\,}
  
  
    
      
        C
        =
        
          
            f
            16
          
        
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        α
        
          
            [
          
        
        4
        +
        f
        (
        4
        −
        3
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        α
        )
        
          
            ]
          
        
        
      
    
    {\displaystyle C={\frac {f}{16}}\cos ^{2}\alpha {\big [}4+f(4-3\cos ^{2}\alpha ){\big ]}\,}
  
  
    
      
        λ
        =
        L
        +
        (
        1
        −
        C
        )
        f
        sin
        ⁡
        α
        
          {
          
            σ
            +
            C
            sin
            ⁡
            σ
            
              [
              
                cos
                ⁡
                (
                2
                
                  σ
                  
                    m
                  
                
                )
                +
                C
                cos
                ⁡
                σ
                (
                −
                1
                +
                2
                
                  cos
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                (
                2
                
                  σ
                  
                    m
                  
                
                )
                )
              
              ]
            
          
          }
        
        
      
    
    {\displaystyle \lambda =L+(1-C)f\sin \alpha \left\{\sigma +C\sin \sigma \left[\cos(2\sigma _{m})+C\cos \sigma (-1+2\cos ^{2}(2\sigma _{m}))\right]\right\}\,}
  
  
    
      
        
          u
          
            2
          
        
        =
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        α
        
          
            
              
                a
                
                  2
                
              
              −
              
                b
                
                  2
                
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle u^{2}=\cos ^{2}\alpha {\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\,}
  
  
    
      
        A
        =
        1
        +
        
          
            
              u
              
                2
              
            
            16384
          
        
        
          {
          
            4096
            +
            
              u
              
                2
              
            
            
              [
              
                −
                768
                +
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                (
                320
                −
                175
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                )
              
              ]
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle A=1+{\frac {u^{2}}{16384}}\left\{4096+u^{2}\left[-768+u^{2}(320-175u^{2})\right]\right\}}
  
  
    
      
        B
        =
        
          
            
              u
              
                2
              
            
            1024
          
        
        
          {
          
            256
            +
            
              u
              
                2
              
            
            
              [
              
                −
                128
                +
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                (
                74
                −
                47
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                )
              
              ]
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle B={\frac {u^{2}}{1024}}\left\{256+u^{2}\left[-128+u^{2}(74-47u^{2})\right]\right\}}
  
  
    
      
        Δ
        σ
        =
        B
        sin
        ⁡
        σ
        
          
            {
          
        
        cos
        ⁡
        (
        2
        
          σ
          
            m
          
        
        )
        +
        
          
            
              1
              4
            
          
        
        B
        
          
            [
          
        
        cos
        ⁡
        σ
        
          
            (
          
        
        −
        1
        +
        2
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        2
        
          σ
          
            m
          
        
        )
        
          
            )
          
        
        −
        
          
            
              1
              6
            
          
        
        B
        cos
        ⁡
        (
        2
        
          σ
          
            m
          
        
        )
        (
        −
        3
        +
        4
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        σ
        )
        
          
            (
          
        
        −
        3
        +
        4
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        2
        
          σ
          
            m
          
        
        )
        
          
            )
          
        
        
          
            ]
          
        
        
          
            }
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta \sigma =B\sin \sigma {\Big \{}\cos(2\sigma _{m})+{\tfrac {1}{4}}B{\big [}\cos \sigma {\big (}-1+2\cos ^{2}(2\sigma _{m}){\big )}-{\tfrac {1}{6}}B\cos(2\sigma _{m})(-3+4\sin ^{2}\sigma ){\big (}-3+4\cos ^{2}(2\sigma _{m}){\big )}{\big ]}{\Big \}}}
  
  
    
      
        s
        =
        b
        A
        (
        σ
        −
        Δ
        σ
        )
        
      
    
    {\displaystyle s=bA(\sigma -\Delta \sigma )\,}
  
  
    
      
        
          α
          
            1
          
        
        =
        arctan
        ⁡
        
          (
          
            
              
                cos
                ⁡
                
                  U
                  
                    2
                  
                
                sin
                ⁡
                λ
              
              
                cos
                ⁡
                
                  U
                  
                    1
                  
                
                sin
                ⁡
                
                  U
                  
                    2
                  
                
                −
                sin
                ⁡
                
                  U
                  
                    1
                  
                
                cos
                ⁡
                
                  U
                  
                    2
                  
                
                cos
                ⁡
                λ
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{1}=\arctan \left({\frac {\cos U_{2}\sin \lambda }{\cos U_{1}\sin U_{2}-\sin U_{1}\cos U_{2}\cos \lambda }}\right)}
  
  
    
      
        
          α
          
            2
          
        
        =
        arctan
        ⁡
        
          (
          
            
              
                cos
                ⁡
                
                  U
                  
                    1
                  
                
                sin
                ⁡
                λ
              
              
                −
                sin
                ⁡
                
                  U
                  
                    1
                  
                
                cos
                ⁡
                
                  U
                  
                    2
                  
                
                +
                cos
                ⁡
                
                  U
                  
                    1
                  
                
                sin
                ⁡
                
                  U
                  
                    2
                  
                
                cos
                ⁡
                λ
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{2}=\arctan \left({\frac {\cos U_{1}\sin \lambda }{-\sin U_{1}\cos U_{2}+\cos U_{1}\sin U_{2}\cos \lambda }}\right)}
  Երկու մոտ տրամագծորեն հակառակ կետերի միջև, իտերատիվ բանաձևը չի կարող զուգամիտել։


== Ուղիղ խնդիր ==
Սկսում ենք հաշվարկման հետևյալ տարբերակը։

  
    
      
        tan
        ⁡
        
          U
          
            1
          
        
        =
        (
        1
        −
        f
        )
        tan
        ⁡
        
          ϕ
          
            1
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \tan U_{1}=(1-f)\tan \phi _{1}\,}
  
  
    
      
        
          σ
          
            1
          
        
        =
        arctan
        ⁡
        
          (
          
            
              
                tan
                ⁡
                
                  U
                  
                    1
                  
                
              
              
                cos
                ⁡
                
                  α
                  
                    1
                  
                
              
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{1}=\arctan \left({\frac {\tan U_{1}}{\cos \alpha _{1}}}\right)\,}
  
  
    
      
        sin
        ⁡
        α
        =
        cos
        ⁡
        
          U
          
            1
          
        
        sin
        ⁡
        
          α
          
            1
          
        
        ;
        
        
        
        
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        α
        =
        (
        1
        −
        sin
        ⁡
        α
        )
        (
        1
        +
        sin
        ⁡
        α
        )
      
    
    {\displaystyle \sin \alpha =\cos U_{1}\sin \alpha _{1};\,\,\,\,\cos ^{2}\alpha =(1-\sin \alpha )(1+\sin \alpha )}
  
  
    
      
        
          u
          
            2
          
        
        =
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        α
        
          
            
              
                a
                
                  2
                
              
              −
              
                b
                
                  2
                
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle u^{2}=\cos ^{2}\alpha {\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\,}
  
  
    
      
        A
        =
        1
        +
        
          
            
              u
              
                2
              
            
            16384
          
        
        
          {
          
            4096
            +
            
              u
              
                2
              
            
            
              [
              
                −
                768
                +
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                (
                320
                −
                175
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                )
              
              ]
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle A=1+{\frac {u^{2}}{16384}}\left\{4096+u^{2}\left[-768+u^{2}(320-175u^{2})\right]\right\}}
  
  
    
      
        B
        =
        
          
            
              u
              
                2
              
            
            1024
          
        
        
          {
          
            256
            +
            
              u
              
                2
              
            
            
              [
              
                −
                128
                +
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                (
                74
                −
                47
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                )
              
              ]
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle B={\frac {u^{2}}{1024}}\left\{256+u^{2}\left[-128+u^{2}(74-47u^{2})\right]\right\}}
  Այնուհետև, օգտագործում ենք սկզբնական արժեքը 
  
    
      
        σ
        =
        
          
            
              s
              
                b
                A
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma ={\tfrac {s}{bA}}}
  :

  
    
      
        2
        
          σ
          
            m
          
        
        =
        2
        
          σ
          
            1
          
        
        +
        σ
        
      
    
    {\displaystyle 2\sigma _{m}=2\sigma _{1}+\sigma \,}
  
  
    
      
        Δ
        σ
        =
        B
        sin
        ⁡
        σ
        
          
            {
          
        
        cos
        ⁡
        (
        2
        
          σ
          
            m
          
        
        )
        +
        
          
            
              1
              4
            
          
        
        B
        
          
            [
          
        
        cos
        ⁡
        σ
        
          
            (
          
        
        −
        1
        +
        2
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        2
        
          σ
          
            m
          
        
        )
        
          
            )
          
        
        −
        
          
            
              1
              6
            
          
        
        B
        cos
        ⁡
        (
        2
        
          σ
          
            m
          
        
        )
        (
        −
        3
        +
        4
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        σ
        )
        
          
            (
          
        
        −
        3
        +
        4
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        2
        
          σ
          
            m
          
        
        )
        
          
            )
          
        
        
          
            ]
          
        
        
          
            }
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta \sigma =B\sin \sigma {\Big \{}\cos(2\sigma _{m})+{\tfrac {1}{4}}B{\big [}\cos \sigma {\big (}-1+2\cos ^{2}(2\sigma _{m}){\big )}-{\tfrac {1}{6}}B\cos(2\sigma _{m})(-3+4\sin ^{2}\sigma ){\big (}-3+4\cos ^{2}(2\sigma _{m}){\big )}{\big ]}{\Big \}}}
  
  
    
      
        σ
        =
        
          
            s
            
              b
              A
            
          
        
        +
        Δ
        σ
        
      
    
    {\displaystyle \sigma ={\frac {s}{bA}}+\Delta \sigma \,}
  Մի անգամ σ-ն օգտագործվեց որպես ճշտության գնահատող։

  
    
      
        
          ϕ
          
            2
          
        
        =
        arctan
        ⁡
        
          (
          
            
              
                sin
                ⁡
                
                  U
                  
                    1
                  
                
                cos
                ⁡
                σ
                +
                cos
                ⁡
                
                  U
                  
                    1
                  
                
                sin
                ⁡
                σ
                cos
                ⁡
                
                  α
                  
                    1
                  
                
              
              
                (
                1
                −
                f
                )
                
                  
                    
                      sin
                      
                        2
                      
                    
                    ⁡
                    α
                    +
                    (
                    sin
                    ⁡
                    
                      U
                      
                        1
                      
                    
                    sin
                    ⁡
                    σ
                    −
                    cos
                    ⁡
                    
                      U
                      
                        1
                      
                    
                    cos
                    ⁡
                    σ
                    cos
                    ⁡
                    
                      α
                      
                        1
                      
                    
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{2}=\arctan \left({\frac {\sin U_{1}\cos \sigma +\cos U_{1}\sin \sigma \cos \alpha _{1}}{(1-f){\sqrt {\sin ^{2}\alpha +(\sin U_{1}\sin \sigma -\cos U_{1}\cos \sigma \cos \alpha _{1})^{2}}}}}\right)\,}
  
  
    
      
        λ
        =
        arctan
        ⁡
        
          (
          
            
              
                sin
                ⁡
                σ
                sin
                ⁡
                
                  α
                  
                    1
                  
                
              
              
                cos
                ⁡
                
                  U
                  
                    1
                  
                
                cos
                ⁡
                σ
                −
                sin
                ⁡
                
                  U
                  
                    1
                  
                
                sin
                ⁡
                σ
                cos
                ⁡
                
                  α
                  
                    1
                  
                
              
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle \lambda =\arctan \left({\frac {\sin \sigma \sin \alpha _{1}}{\cos U_{1}\cos \sigma -\sin U_{1}\sin \sigma \cos \alpha _{1}}}\right)\,}
  
  
    
      
        C
        =
        
          
            f
            16
          
        
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        α
        
          
            [
          
        
        4
        +
        f
        (
        4
        −
        3
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        α
        )
        
          
            ]
          
        
        
      
    
    {\displaystyle C={\frac {f}{16}}\cos ^{2}\alpha {\big [}4+f(4-3\cos ^{2}\alpha ){\big ]}\,}
  
  
    
      
        L
        =
        λ
        −
        (
        1
        −
        C
        )
        f
        sin
        ⁡
        α
        
          {
          
            σ
            +
            C
            sin
            ⁡
            σ
            
              [
              
                cos
                ⁡
                (
                2
                
                  σ
                  
                    m
                  
                
                )
                +
                C
                cos
                ⁡
                σ
                (
                −
                1
                +
                2
                
                  cos
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                (
                2
                
                  σ
                  
                    m
                  
                
                )
                )
              
              ]
            
          
          }
        
        
      
    
    {\displaystyle L=\lambda -(1-C)f\sin \alpha \left\{\sigma +C\sin \sigma \left[\cos(2\sigma _{m})+C\cos \sigma (-1+2\cos ^{2}(2\sigma _{m}))\right]\right\}\,}
  
  
    
      
        
          α
          
            2
          
        
        =
        arctan
        ⁡
        
          (
          
            
              
                sin
                ⁡
                α
              
              
                −
                sin
                ⁡
                
                  U
                  
                    1
                  
                
                sin
                ⁡
                σ
                +
                cos
                ⁡
                
                  U
                  
                    1
                  
                
                cos
                ⁡
                σ
                cos
                ⁡
                
                  α
                  
                    1
                  
                
              
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{2}=\arctan \left({\frac {\sin \alpha }{-\sin U_{1}\sin \sigma +\cos U_{1}\cos \sigma \cos \alpha _{1}}}\right)\,}
  Եթե նախնական կոտը գտնվում Հյուսիսային կամ Հարավային բևեռում, ապա առաջին հավասարումը անորոշ է։
Եթե նախնական ազիմուտը ուղղված է Արևմուտք կամ Արևելք, ապա երկրորդ հավասարումը անորոշ է։ 
Եթե երկարժեք atan2 ֆունկցիայի տեսակն է օգտագործվում, ապա այս արժեքները սովորաբար գործածվում են ճիշտ։


== Վինսենթի ձևափոխությունը ==
Այս նամակում, ուղղված Survey Review-ին 1976 թ, Վինսեթը առաջարկեց փոխարինել իր արտահայտությունները A-ով և B-ով, մի պարզ բանաձևով, օգտագործելով Հելմերթի ընդարձակ պարամետրը՝ k1։

  
    
      
        A
        =
        
          
            
              1
              +
              
                
                  1
                  4
                
              
              (
              
                k
                
                  1
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              1
              −
              
                k
                
                  1
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\frac {1+{\frac {1}{4}}(k_{1})^{2}}{1-k_{1}}}}
  

  
    
      
        B
        =
        
          k
          
            1
          
        
        (
        1
        −
        
          
            
              3
              8
            
          
        
        (
        
          k
          
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle B=k_{1}(1-{\tfrac {3}{8}}(k_{1})^{2})}
  
որտեղ  
  
    
      
        
          k
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  (
                  1
                  +
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
              
              −
              1
            
            
              
                
                  (
                  1
                  +
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
              
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{1}={\frac {{\sqrt {(1+u^{2})}}-1}{{\sqrt {(1+u^{2})}}+1}}}
  


== Մոտավոր տրամագծորեն հակառակ կետերը ==
Ինչպես վերը նշվեց, հակառակ պրոբլեմի ինտերատիվ լուծումը դառնում է զուգադիմված կամ դանդաղորեն զուգադիմում է մոտավոր տրամագծորեն հակառակ կետերին։ Դանդաղ զուգադիպման օրինակ է հանդիսանում (φ1, L1) = (0°, 0°) և (φ2, L2) = (0.5°, 179.5°) WGS84 էլիփսոիդի համար։ Սա պահանջում է մոտավորապես 130 իտերատիաներ, 1 mm արդյունքի հասնելուն համար։ Կախված նրանից, թե ինչպես է կարգավորված մեթոդը կիրառվում ալգորիթմը կարող է վերադարձնել ճիշտ արդյունքի, (19936288.579 m), ոչ ճիշտ արդյունքի կամ սխալ ինդիկատորի։ Ոչ ճիշտ արդյունքի օրինակը ներկայացվում է NGS online utility-ի կողմից, որը բերում է տարածության մոտ 5 km, որը շատ երկար է։ Այս դեպքերում Վինսենթը առաջարկում է զուգադիպման արագացնող մեթոդը (Rapp, 1973)։
Զուգատիպման կարգավորվող մեթոդի ձախողումը (φ1, L1) = (0°, 0°) է և (φ2, L2) = (0.5°, 179.7°), WGS84 էլիթսոիդի համար։ Մի ոչ տպագրված հաշվետվության մեջ Վինսենթը (1975b) ներկայացրեց իտերատիվ սխեմայի այլընտրանքային տարբերակ՝ այսպիսի դեպքերը կարգավորելու համար։ Սա բերում է ճիշտ արդյունքի 19944127.421 m, մոտավորապես 60 իտերատիայի; այնուամենայնիվ ուրիշ դեպքերում հազարավոր իտերացիաներ կարող են գոյություն ունենալ։
Նյութոնի մեթոդը հաջողությամբ օգտագործվեց արագ զուգադիպումների ժամանակ բոլոր զույգերի ներմուծած միավորների համար (Կարնի, 2011).


== Տեղեկագրություն ==
Bessel F. W. (2010)։ «The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements (1825)»։ Astron. Nachr. 331 (8): 852–861։ arXiv:0908.1824։ doi:10.1002/asna.201011352.  English translation of Astron. Nachr. 4, 241–254 (1825). 
Helmert F. R. (1964)։ Mathematical and Physical Theories of Higher Geodesy, Part 1 (1880)։ St. Louis: Aeronautical Chart and Information Center։ Վերցված է 2011 թ․ հուլիսի 30.  English translation of Die Mathematischen und Physikalischen Theorieen der Höheren Geodäsie, Vol. 1 (Teubner, Leipzig, 1880). 
Karney C. F. F. (February 2011)։ Geodesics on an ellipsoid of revolution (Technical report)։ arXiv:1102.1215։ Վերցված է 2011 թ․ օգոստոսի 1–ին  
Legendre A. M. (1806)։ «Analyse des triangles tracės sur la surface d'un sphėroïde»։ Mém. de l'Inst. Nat. de France (1st sem.): 130–161։ Վերցված է 2011 թ․ հուլիսի 30 
Rainsford H. F. (1955)։ «Long geodesics on the ellipsoid»։ Bull. Géod. 37 (1): 12–22։ doi:10.1007/BF02527187 
Rapp R. H. (March 1993)։ Geometric Geodesy, Part II (Technical report)։ Ohio State University։ Վերցված է 2011 թ․ օգոստոսի 1–ին  
Vincenty T. (April 1975a)։ «Direct and Inverse Solutions of Geodesics on the Ellipsoid with application of nested equations»։ Survey Review։ XXIII (misprinted as XXII) (176): 88–93։ Վերցված է 2009 թ․ հուլիսի 11  
Vincenty T. (April 1976)։ «Correspondence»։ Survey Review։ XXIII (180): 294  
Vincenty T. (August 1975b)։ Geodetic inverse solution between antipodal points (Technical report)։ DMAAC Geodetic Survey Squadron։ Վերցված է 2011 թ․ հուլիսի 28  
Geocentric Datum of Australia (GDA) Reference Manual (PDF)։ Intergovernmental committee on survey and mapping (ICSM)։ February 2006։ ISBN 0-9579951-0-5։ Արխիվացված է օրիգինալից 2009 թ․ հունիսի 26-ին։ Վերցված է 2009 թ․ հուլիսի 11  


== Արտաքին հղումներ ==
Online calculators from Geoscience Australia:
Vincenty Direct (destination point)
Vincenty Inverse (distance between points)
Calculators from the U.S. National Geodetic Survey:
Online and downloadable PC-executable calculation utilities, including forward (direct) and inverse problems, in both two and three dimensions (accessed 2011-08-01).
Online calculators with JavaScript source code by Chris Veness (Creative Commons Attribution license)։
Vincenty Direct (destination point)
Vincenty Inverse (distance between points)
GeographicLib provides a utility Geod (with MIT/X11 licensed source code) for solving direct and inverse geodesic problems. Compared to Vincenty, this is about 1000 times more accurate (error = 15 nm) and the inverse solution is complete. Here is an online version of Geod.