Մնացք

Մնացք, անալիտիկ ֆունկցիաների տեսության մեջ, մեկ փոփոխականի միարժեք 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
   անալիտիկ ֆունկցիայի մնացք այդ ֆունկցիայի առանձնացված և վերջավոր 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   եզակի կետում անվանում են 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
  -ի Լորանի շարքի 
  
    
      
        (
        z
        −
        a
        
          )
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle (z-a)^{-1}}
   անդամի 
  
    
      
        
          c
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{1}}
   գործակիցը։ Եթե 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  -ն 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կենտրոնով այնպիսի շրջանագիծ է, որի վրա և ներսում 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
  -ը 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ից բացի այլ եզակի կետեր չունի, ապա մնացքը 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետում 
  
    
      
        [
        R
        e
        s
        (
        f
        ;
        a
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle [Res(f;a)]}
   հավասար է՝ 
  
    
      
        R
        e
        s
        (
        f
        ;
        a
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∫
          
            γ
          
        
        f
        (
        z
        )
        d
        z
      
    
    {\displaystyle Res(f;a)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma }f(z)dz}
  ։ Մնացքների տեսության մեջ հիմնական է հետևյալ թեորեմը, եթե 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
  -ը միարժեք է և անալիտիկ 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
   միակապ տիրույթում, բացառությամբ առանձնացված եզակի կետերի, ապա՝ 
  
    
      
        
          ∫
          
            γ
          
        
        f
        (
        z
        )
        d
        z
        =
        2
        π
        i
         
         
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        R
        e
        s
        (
        f
        ;
        
          a
          
            k
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{\gamma }f(z)dz=2\pi i~~\sum _{k=1}^{n}Res(f;a_{k})}
  , որտեղ 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  -ն 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  -ում ընկած կամայական, փակ, պարզ կոր է, իսկ 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}
   կետերը՝ 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
  -ի եզակիությունները 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  -ի ներսում։ Քանի որ մնացքը համեմատաբար հեշտ է հաշվվում, ապա (1) բանաձևը ինտեգրալներ հաշվելու հարմար միջոց է։