Շրջված մատրից

Շրջված մատրից - 
  
    
      
        
          A
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{T}}
   մատրից, որը ստացվում է սկզբնական 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մատրիցից տողերը սյուներով փոխարինման արդյունքում։
։
Այլ կերպ, 
  
    
      
        m
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle m\times n}
   չափի 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
    մատրիցի շրջված 
  
    
      
        
          A
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{T}}
   մատրիցը, որն ունի 
  
    
      
        n
        ×
        m
      
    
    {\displaystyle n\times m}
   չափեր, որոշվում է 
  
    
      
        
          A
          
            i
            j
          
          
            T
          
        
        =
        
          A
          
            j
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{ij}^{T}=A_{ji}}
   բանաձևով։
Օրինակ,

  
    
      
        
          
            
              [
              
                
                  
                    1
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    3
                  
                  
                    4
                  
                
              
              ]
            
          
          
            
              T
            
          
        
        
        
        
        
        =
        
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  3
                
              
              
                
                  2
                
                
                  4
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}
   և 
  
    
      
        
          
            
              [
              
                
                  
                    1
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    3
                  
                  
                    4
                  
                
                
                  
                    5
                  
                  
                    6
                  
                
              
              ]
            
          
          
            
              T
            
          
        
        
        
        
        
        =
        
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  3
                
                
                  5
                
              
              
                
                  2
                
                
                  4
                
                
                  6
                
              
            
            ]
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}
  Այսինքն, շրջված մատրիցը ստանալու համար բավական է սկզբնական մատրիցում յուրաքանչյուր տող փոխարինել սյան տեսքով նույն հաջորդականությամբ։


== Շրջված մատրիցների հատկությունները ==
Կրկնակի  
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մատրիցը հավասար է սկզբնական 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մատրիցին՝
  
    
      
        (
        
          A
          
            T
          
        
        
          )
          
            T
          
        
        =
        A
      
    
    {\displaystyle (A^{T})^{T}=A}
  Մատրիցների գումարի շրջված մատրիցը հավասար է առանձին-առանձին շրջված մատրիցների գումարին՝
  
    
      
        (
        A
        +
        B
        
          )
          
            T
          
        
        =
        
          A
          
            T
          
        
        +
        
          B
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}
  Մատրիցների արտադրյալի շրջված մատրիցը հավասար է հակառակ հերթականությամբ առանձին-առանձին շրջված մատրիցների արտադրյալին՝
  
    
      
        (
        A
        B
        
          )
          
            T
          
        
        =
        
          B
          
            T
          
        
        
          A
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}
  Փոխակերպման դեպքում կարելի է դուրս բերել գործակիցը՝
  
    
      
        (
        λ
        A
        
          )
          
            T
          
        
        =
        λ
        
          A
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}}
  Շրջված մատրիցի որոշիչը հավասար է սկզբնական մատրիցի որոշիչին՝
  
    
      
        det
        A
        =
        det
        
          A
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle \det A=\det A^{T}}
  


== Առնչվող սահմանումներ ==
Սիմետրիկ մատրից – մատրից է, որը բավարարում է 
  
    
      
        
          S
          
            T
          
        
        =
        S
      
    
    {\displaystyle S^{T}=S}
   հարաբերակցությանը։
Որպեսզի 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   մատրիցը լինի սիմետրիկ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ․

  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   մատրիցը լինի քառակուսային,
մատրիցի էլեմենտները, որոնք սիմետրիկ են գլխավոր անկյունագծին, լինեն հավասար, այսինքն՝ 
  
    
      
        
          S
          
            i
            j
          
        
        =
        
          S
          
            j
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{ij}=S_{ji}}
  ։Հակասիմետրիկ (կոսոսիմետրիկ) մատրից (հակասիմետրիկ,  կոսիմետրիկ) — մատրից, որը բավարարում է 
  
    
      
        
          A
          
            T
          
        
        =
        −
        A
      
    
    {\displaystyle A^{T}=-A}
   հարաբերակցությանը։
Որպեսզի 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մատրիցը լինի հակասիմետրիկ, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի.

  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   մատրիցը լինի քառակուսային,
մատրիցի էլեմենտները, որոնք սիմետրիկ են գլխավոր անկյունագծին, լինեն հավասար ըստ մոդուլի և հակադիր ըստ նշանի, այսինքն՝ 
  
    
      
        
          A
          
            i
            j
          
        
        =
        −
        
          A
          
            j
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{ij}=-A_{ji}}
  ։Այստեղից հետևում է, որ հակասիմետրիկ մատրիցի գլխավոր անկյունագծի էլեմենտները հավասար են զրոյի՝ 
  
    
      
        
          A
          
            i
            i
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A_{ii}=0}
  ։
Ցանկացած 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
   քառակուսային մատրիցի համար տեղի ունի 
  
    
      
        M
        =
        S
        +
        A
      
    
    {\displaystyle M=S+A}
   ներկայացումը, որտեղ 
  
    
      
        S
        =
        
          
            
              M
              +
              
                M
                
                  T
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle S={\frac {M+M^{T}}{2}}}
  -ը սիմետրիկ մասն է, իսկ 
  
    
      
        A
        =
        
          
            
              M
              −
              
                M
                
                  T
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\frac {M-M^{T}}{2}}}
  -ը՝ հակասիմետրիկ մասը։


== Ծանոթագրություններ ==