Բրահմագուպտայի բանաձև

Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ Բրահմագուպտայի բանաձևը կապ է հաստատում ներգծյալ քառանկյան կողմերի և մակերեսի միջև։


== Բանաձև ==
Եթե ներգծյալ քառանկյան մակերեսը K է, իսկ կողմերը՝ a, b, c, d, ապա՝

  
    
      
        K
        =
        
          
            (
            s
            −
            a
            )
            (
            s
            −
            b
            )
            (
            s
            −
            c
            )
            (
            s
            −
            d
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
  որտեղ s–ը քառանկյան կիսապարագիծն է և հավասար է՝

  
    
      
        s
        =
        
          
            
              a
              +
              b
              +
              c
              +
              d
            
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}
  Բանաձև եռանկյան համար Հերոնի բանաձևի ընդհանրացումն է։ Եռանկյունը կարելի է դիտել որպես քառանկյուն, որի կողմերից մեկը հավասար է զրոյի։ Այսպիսով, եթե d կողմը ընդունենք զրո, ապա ներգծյալ քառանկյունը վերածվում է ներգծյալ եռանկյան (քանի որ բոլոր եռանկյուններին հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ), իսկ Բրահմագուպտայի բանաձևը՝ Հերոնի բանաձևի պարզեցված ձևն է։
Կիսապարագծից չօգտվելու դեպքում Բրահմագուպտայի բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        K
        =
        
          
            1
            4
          
        
        
          
            (
            −
            a
            +
            b
            +
            c
            +
            d
            )
            (
            a
            −
            b
            +
            c
            +
            d
            )
            (
            a
            +
            b
            −
            c
            +
            d
            )
            (
            a
            +
            b
            +
            c
            −
            d
            )
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}},}
  որը հավասար է

  
    
      
        K
        =
        
          
            
              (
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              
                d
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
              +
              8
              a
              b
              c
              d
              −
              2
              (
              
                a
                
                  4
                
              
              +
              
                b
                
                  4
                
              
              +
              
                c
                
                  4
                
              
              +
              
                d
                
                  4
                
              
              )
            
            4
          
        
        ⋅
      
    
    {\displaystyle K={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}\cdot }
   հավասարմանը։


== Ապացույց ==


=== Եռանկյունաչափական ապացույց ===
Ներգծյալ քառանկյան K մակերեսը հավասար է △ADB և △BDC եռանկյունների գումարին (գծանկար)․

  
    
      
        =
        
          
            1
            2
          
        
        p
        q
        sin
        ⁡
        A
        +
        
          
            1
            2
          
        
        r
        s
        sin
        ⁡
        C
      
    
    {\displaystyle ={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C}
  ։Բայց քանի որ ABCD–ն ներգծյալ քառանկյուն է, ուրմեն ∠DAB = 180° − ∠DCB։ Հետևաբար՝ sin A = sin C։ Այստեղից՝

  
    
      
        K
        =
        
          
            1
            2
          
        
        p
        q
        sin
        ⁡
        A
        +
        
          
            1
            2
          
        
        r
        s
        sin
        ⁡
        A
      
    
    {\displaystyle K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A}
  
  
    
      
        
          K
          
            2
          
        
        =
        
          
            1
            4
          
        
        (
        p
        q
        +
        r
        s
        
          )
          
            2
          
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        A
      
    
    {\displaystyle K^{2}={\frac {1}{4}}(pq+rs)^{2}\sin ^{2}A}
  
  
    
      
        4
        
          K
          
            2
          
        
        =
        (
        p
        q
        +
        r
        s
        
          )
          
            2
          
        
        (
        1
        −
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        A
        )
        =
        (
        p
        q
        +
        r
        s
        
          )
          
            2
          
        
        −
        (
        p
        q
        +
        r
        s
        
          )
          
            2
          
        
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        A
        .
        
      
    
    {\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}(1-\cos ^{2}A)=(pq+rs)^{2}-(pq+rs)^{2}\cos ^{2}A.\,}
  Կոսինուսների թեորեմի օգնությամբ △ADB և △BDC եռանկյուներից հաշվելով ընդհանուր DB կողը, կստանանք՝

  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
        +
        
          q
          
            2
          
        
        −
        2
        p
        q
        cos
        ⁡
        A
        =
        
          r
          
            2
          
        
        +
        
          s
          
            2
          
        
        −
        2
        r
        s
        cos
        ⁡
        C
        .
        
      
    
    {\displaystyle p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.\,}
  Փոխարինելով cos C = −cos A (քանի որ A և C անկյունները հանդիպակաց են) և ձևափոխելով բանաձևը, կստանանք՝

  
    
      
        2
        (
        p
        q
        +
        r
        s
        )
        cos
        ⁡
        A
        =
        
          p
          
            2
          
        
        +
        
          q
          
            2
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        −
        
          s
          
            2
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle 2(pq+rs)\cos A=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.\,}
  Տեղադրելով սա մակերեսի բանաձևի մեջ՝ կունենանք՝

  
    
      
        4
        
          K
          
            2
          
        
        =
        (
        p
        q
        +
        r
        s
        
          )
          
            2
          
        
        −
        
          
            1
            4
          
        
        (
        
          p
          
            2
          
        
        +
        
          q
          
            2
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        −
        
          s
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}
  
  
    
      
        16
        
          K
          
            2
          
        
        =
        4
        (
        p
        q
        +
        r
        s
        
          )
          
            2
          
        
        −
        (
        
          p
          
            2
          
        
        +
        
          q
          
            2
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        −
        
          s
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle 16K^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}.}
  Հավասարման աջ կողմը a2 − b2 = (a − b)(a + b) տեսքի է, ուստի կարելի է ձևափոխել

  
    
      
        [
        2
        (
        p
        q
        +
        r
        s
        )
        −
        
          p
          
            2
          
        
        −
        
          q
          
            2
          
        
        +
        
          r
          
            2
          
        
        +
        
          s
          
            2
          
        
        ]
        [
        2
        (
        p
        q
        +
        r
        s
        )
        +
        
          p
          
            2
          
        
        +
        
          q
          
            2
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        −
        
          s
          
            2
          
        
        ]
        
      
    
    {\displaystyle [2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}]\,}
  որը հավասար է հետևյալ հավասարումներին՝

  
    
      
        =
        [
        (
        r
        +
        s
        
          )
          
            2
          
        
        −
        (
        p
        −
        q
        
          )
          
            2
          
        
        ]
        [
        (
        p
        +
        q
        
          )
          
            2
          
        
        −
        (
        r
        −
        s
        
          )
          
            2
          
        
        ]
        
      
    
    {\displaystyle =[(r+s)^{2}-(p-q)^{2}][(p+q)^{2}-(r-s)^{2}]\,}
  
  
    
      
        =
        (
        q
        +
        r
        +
        s
        −
        p
        )
        (
        p
        +
        r
        +
        s
        −
        q
        )
        (
        p
        +
        q
        +
        s
        −
        r
        )
        (
        p
        +
        q
        +
        r
        −
        s
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle =(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).\,}
  Ներմուծելով S = p + q + r + s2 կիսապարագիծը,

  
    
      
        16
        
          K
          
            2
          
        
        =
        16
        (
        S
        −
        p
        )
        (
        S
        −
        q
        )
        (
        S
        −
        r
        )
        (
        S
        −
        s
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle 16K^{2}=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).\,}
  և քառակուսի արմատ հանելով կստանանք՝

  
    
      
        K
        =
        
          
            (
            S
            −
            p
            )
            (
            S
            −
            q
            )
            (
            S
            −
            r
            )
            (
            S
            −
            s
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle K={\sqrt {(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}}.}
  


=== Ոչ-եռանկյունաչափական հավասարում ===
Բանաձևը կարելի է նաև ապացուցել օգտվելով եռանկյան մակերեսի Հերոնի բանաձից՝ հաշվելով նման երկու եռանկյուները։


== Ընդլայնում ոչ ներգծյալ քառանկյունների համար ==
Ոչ ներգծյալ քառանկյան դեպքում Բրահմագուպտայի բանաձևը կարելի է վերաձևակերպել օգվելով քառանկյան երկու հանդիպակաց անկյուններից.

  
    
      
        K
        =
        
          
            (
            s
            −
            a
            )
            (
            s
            −
            b
            )
            (
            s
            −
            c
            )
            (
            s
            −
            d
            )
            −
            a
            b
            c
            d
            
              cos
              
                2
              
            
            ⁡
            θ
          
        
      
    
    {\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}}
  որտեղ θ-ն կամայական երկու հանդիպակաց անկյունների կիսագումարն է։ (Անկյունների ընտրությունը էական չէ, քանի որ տարբերությունը հավասար է 180° − θ։ Քանի որ cos(180° − θ) = −cos θ, ուրեմն՝ cos2(180° − θ) = cos2 θ։) Այս ավելի ընդլայնված բանաձևը հայտնի է Բրետշնայդերի բանաձև անվամբ։
Ներգծյալ քառանկյան հատկության համաձայն՝ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը հավասար է 180°։ Ուստի, ներգծյալ քառանկյան դեպքում θ–ն 90° է, հետևաբար, Բրետշնայդերի բանաձևը ստանում է Բրահմագուպտայի բանաձևի տեսքը․

  
    
      
        a
        b
        c
        d
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        =
        a
        b
        c
        d
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        
          (
          
            90
            
              ∘
            
          
          )
        
        =
        a
        b
        c
        d
        ⋅
        0
        =
        0
        ,
        
      
    
    {\displaystyle abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,\,}
  Սրանից հետևում է, որ տրված կողմերով քառանկյուններից ամենամեծ մակերեսն ունի ներգծյալ քառանկյունը։
Ցանկացած ուռուցիկ քառանկյան մակերես հավասար է՝

  
    
      
        K
        =
        
          
            (
            s
            −
            a
            )
            (
            s
            −
            b
            )
            (
            s
            −
            c
            )
            (
            s
            −
            d
            )
            −
            
              
                
                  1
                  4
                
              
              (
              a
              c
              +
              b
              d
              +
              p
              q
              )
              (
              a
              c
              +
              b
              d
              −
              p
              q
              )
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}\,}
  որտեղ p–ն և q–ն քառանկյան անկյունագծերն են։ Ներգծյալ քառանկյան դեպքում, ըստ Պտղոմեոսի թեորեմի, pq = ac + bd և այս բանաձևը վերածվում է Բրահմագուպտայի բանաձևի։


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
Weisstein, Eric W. "Brahmagupta's Formula". MathWorld. 
This article incorporates material from proof of Brahmagupta's formula on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.