Ընդհանրացված ֆունկցիա

Ընդհանրացված ֆունկցիա,  ֆունկցիայի դասական գաղափարն ընդհանրացնող մաթեմատիկական հասկացություն, որի հիմքում ընկած է այն փաստը, որ ամեն մի 
  
    
      
        x
        ∈
        
          R
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x\in R^{n}}
   կետի շրջակայքում ըստ
Լեբեգի ինտեգրելի 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիան 
  
    
      
        (
        f
        ∈
        
          L
          
            1
          
        
        (
        l
        o
        c
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (f\in L_{1}(loc))}
   որոշվում է (համարյա ամենուրեք), եթե հայտնի են 
  
    
      
        ∫
        f
        φ
        
          d
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \int \limits f\varphi d_{x}}
   ինտեգրալների արժեքները «փորձնական» 
  
    
      
        
          φ
        
      
    
    {\displaystyle {\varphi }}
   ֆունկցիաների որոշակի  
  
    
      
        D
        =
        
          φ
        
      
    
    {\displaystyle D={\varphi }}
   բազմության վրա։ Ընդհանրացված ֆունկցիաների տեսությունն առավել բեղմնավոր է ստացվում, երբ 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  -ն այն անվերջ դիֆերենցելի ֆունկցիաների բազմությունն է, որոնցից յուրաքանչյուրը որոշակի 
  
    
      
        
          R
          
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{\varphi }}
   շառավղով գնդից դուրս հավասար է զրոյի, իսկ 

  
    
      
        
          φ
          
            n
          
        
        →
        φ
        
        (
        
          φ
          
            n
          
        
        ,
        φ
        ∈
        D
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi _{n}\rightarrow \varphi \qquad (\varphi _{n},\varphi \in D)}
  

  
    
      
        n
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle n\rightarrow \infty }
  զուգամիտությունը նշանակում է, որ բոլոր 
  
    
      
        
          φ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi _{n}}
  –երը հավասար են զրոյի միևնույն 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   շառավղով գնդից դուրս և բոլոր 
  
    
      
        
          
            
              
                ∂
                
                  k
                
              
              
                φ
                
                  n
                
              
            
            
              
                ∂
                
                  
                    α
                    
                      1
                    
                  
                  .
                  .
                  .
                  .
                
              
              
                ∂
                
                  
                    α
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          D
          
            α
          
        
        
          ∂
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial ^{k}\varphi _{n}}{\partial ^{\alpha _{1}....}\partial ^{\alpha _{n}}}}=D^{\alpha }\partial _{n}}
   ածանցյալները հավասարաչափ զուգամիտում են։ Այդ դեպքում 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  -ն գծային տոպոլոգիական (հաշվելի–նորմավորված) տարածություն է և հետևաբար կարելի է դիտարկել նրա համալուծ տարածությունը, այսինքն՝ 
  
    
      
        f
        :
        D
        →
        R
      
    
    {\displaystyle f:D\rightarrow R}
   գծային (անընդհատ) ֆունկցիոնալների տարածությունը։ Յուրաքանչյուր այդպիսի 
  
    
      
        f
        (
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle f(\varphi )}
   ֆունկցիոնալ կոչվում է ընդհանրացված ֆունկցիա։ Ընդ որում 
  
    
      
        f
        (
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle f(\varphi )}
  ի փոխարեն ընդունված է գրել նաև 
  
    
      
        (
        f
        ,
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle (f,\varphi )}
  : Այսպիսով, ընդհանրացված ֆունկցիան որոշված է 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
   փորձնական ֆունկցիաների դասում և ընդունում է իրական արժեքներ, իսկ 
  
    
      
        (
        f
        ∈
        
          L
          
            1
          
        
        (
        l
        o
        c
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (f\in L_{1}(loc))}
   դասական ֆունկցիաները 
  
    
      
        
          D
          ′
        
      
    
    {\displaystyle D'}
  –ի մեջ են ընդգրկվում այն իմաստով, որ համապատասխան 
  
    
      
        (
        f
        ,
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle (f,\varphi )}
   ընդհանրացված ֆունկցիան կարելի է սահմանել 
  
    
      
        (
        f
        ,
        φ
        )
        =
        ∫
        f
        φ
        
          d
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle (f,\varphi )=\int \limits f\varphi d_{x}}
   բանաձևով, քանի որ աջ մասը պատկանում է 
  
    
      
        
          D
          ′
        
      
    
    {\displaystyle D'}
  –ին։
  
    
      
        
          D
          ′
        
      
    
    {\displaystyle D'}
  –ը շատ լայն դաս է։ Մասնավորապես այդ դասին է պատկանում ֆիզիկայում հայտնի 
  
    
      
        δ
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \delta (x-x_{0})}
   Դիրակի ֆունկցիան, այսինքն՝  
  
    
      
        (
        δ
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ,
        φ
        )
        =
        φ
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\delta (x-x_{0}),\varphi )=\varphi (x_{0})}
   ֆունկցիոնալը։ 
  
    
      
        
          D
          
            α
          
        
        f
        ,
        (
        f
        ∈
        
          D
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle D^{\alpha }f,(f\in D')}
   սահմանվում է որպես 
  
    
      
        (
        
          D
          
            α
          
        
        f
        ,
        φ
        )
        =
        (
        f
        ,
        (
        −
        1
        
          )
          
            
              |
            
            x
            
              |
            
          
        
        
          D
          
            α
          
        
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle (D^{\alpha }f,\varphi )=(f,(-1)^{|x|}D^{\alpha }\varphi )}
   ֆունկցիոնալ, ուստի ընդհանրացված ֆունկցիաներն ունեն բոլոր կարգի ածանցյալներ։ Ընդհանրացված ֆունկցիայի այս գաղավւարը մտցրել է Ս. Լ. Սոբոլևը, իսկ նրա հետագա զարգացումը և կիրառությունները կապված են առաջին հերթին Լ. Շվարցի անվան հետ։ Ընդհանրացված ֆունկցիայներն այժմ լայն կիրառություն են գտել մաթեմատիկայում և ֆիզիկայում՝ մասնավորապես քվանտային տեսության մեջ։