−1

Մաթեմատիկայում -1-ը 1 թվի գումարման հակադիրն է, այսինքն՝ այն թիվը, որը 1-ին գումարելիս արդյունքում ստացվում է 0։ Բացասական ամբողջ թիվ, որը մեծ է բացասական երկուսից (-2) և փոքր զրոյից։
Բացասական մեկը կապված է Էյլերի նույնության (
  
    
      
        
          e
          
            i
            π
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle e^{i\pi }=-1}
  ), որը հաճախ համարվում է մաթեմատիկայի ամենագեղեցիկ արտահայտությունը։
Ծրագրավորման մեջ -1-ը տարածված սկզբնական արժեք է ամբողջ թվերի համար։ Որոշ դեպքերում ցույց է տալիս, որ փոփոխականը օգտակար ինֆորմացիա չի պարունակում։
Ծրագրավորման լեզուներում −1-ը կարող է օգտագործվել զանգվածի վերջին (կամ վերջից 2-րդ) տարրը համարակալելու համար՝ կախված նրանից, թե առաջին տարրը համարակալված է 0-ով թե 1-ով։


== Հանրահաշվական հատկություններ ==
Թիվը -1-ով բազմապատկելը համարժեք է թվի նշանը դրականից բացասական կամ բացասական դրական փոխելուն։ Այս հատկությունը կարելի է ապացուցել՝ օգտվելով բաշխման օրենքից և այն աքսիոմից, որ 1-ը բազմապատկական նույնություն է։ Տրված իրական x թվի համար,

  
    
      
        x
        +
        (
        −
        1
        )
        ⋅
        x
        =
        1
        ⋅
        x
        +
        (
        −
        1
        )
        ⋅
        x
        =
        (
        1
        +
        (
        −
        1
        )
        )
        ⋅
        x
        =
        0
        ⋅
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0}
  որտեղ օգտագործվեց միայն այն փաստը, որ կամայական x իրական թվի և 0-ի արտադրյալը 0 է, կրճատման հատկությունից հետևում է՝

  
    
      
        0
        ⋅
        x
        =
        (
        0
        +
        0
        )
        ⋅
        x
        =
        0
        ⋅
        x
        +
        0
        ⋅
        x
        
      
    
    {\displaystyle 0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,}
  
Այլ կերպ ասած,

  
    
      
        x
        +
        (
        −
        1
        )
        ⋅
        x
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle x+(-1)\cdot x=0\,}
  այսպիսով −1 · x-ը կամ -x-ը x թվի թվաբանական հակադարձն է։


=== -1-ի քառակուսի ===
−1 թվի քառակուսին (այսինքն՝ -1 անգամ -1) հավասար է 1։ Հետևաբար, երկու բացասական իրական թվերի արտադրյալը դրական է։
Այս արդյունքը հանրահաշվորեն կարելի է ապացուցել օգտվելով հետևյալ հավասարությունից՝

  
    
      
        0
        =
        −
        1
        ⋅
        0
        =
        −
        1
        ⋅
        [
        1
        +
        (
        −
        1
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle 0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]}
  Առաջին հավասարությունը հետևում է արդեն ստացված արդյունքից։ Երկրորդը՝ այն փաստից, որը -1-ը 1-ի գումարման հակադարձն է. այն թիվը, որը 1-ին գումարելիս ստացվում է 0։ Այժմ, օգտվելով բաշխման կանոնից, ստանում ենք՝

  
    
      
        0
        =
        −
        1
        ⋅
        [
        1
        +
        (
        −
        1
        )
        ]
        =
        −
        1
        ⋅
        1
        +
        (
        −
        1
        )
        ⋅
        (
        −
        1
        )
        =
        −
        1
        +
        (
        −
        1
        )
        ⋅
        (
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle 0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)}
  Երկրորդ հավասարությունը հետևում է այն փաստից, որ 1-ը բազմապատկական նույնություն է։ Բայց հավասարության երկու կողմերին 1 գումարելով կստանանք՝

  
    
      
        (
        −
        1
        )
        ⋅
        (
        −
        1
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}
  Վերոնշյալ փաստարկը գործում է կամայական օղակում (աբստրակտ հանրահաշվի հասկացություն, որը ամբողջ և իրական թվերի ընդլայնում է)։


=== −1-ի քառակուսի արմատ ===
Չնայած -1-ը չունի իրական թառակուսի արմատ, կոմպլեքս 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  թիվը բավարարում է 
  
    
      
        
          i
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle i^{2}=-1}
   հատկությանը, հետևաբար կարող է համարվել -1-ի քառակուսի արմատ։ Բացասական մեկից բացի միակ կոմպլեքս թիվը, որի քառակուսին 1 է, 
  
    
      
        −
        i
      
    
    {\displaystyle -i}
  -ն է։ Քվատերնիոնների հանրահաշվում, որը իր մեջ ներառում է կոմպլեքս հարթությունը, 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}=-1}
  հավասարումը ունի անթիվ բազմությամբ լուծումներ։


== Բացասական աստիճան ==
Զրոյից տարբեր իրական թվի աստիճան բարձրացնելու գործողությունը կարելի է սահմանել նաև բացասական աբողջ ցուցիչների համար։ Ըստ սահմանման 
  
    
      
        
          x
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            1
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}
  ։ Այս սահմանումը կարելի է ընդլայնել բոլոր բացասական ամբողջ թվերի վրա՝ պահպանելով աստիճան բարձրացնելու 
  
    
      
        
          x
          
            a
          
        
        ⋅
        
          x
          
            b
          
        
        +
        
          x
          
            a
            +
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}+x^{a+b}}
   (կամայական իրական 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվերի համար) հատկությունը։
Բացասական աստիճանը կարելի է ընդլայնել օղակի շրջելի էլեմենտների համար` 
  
    
      
        
          x
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{-1}}
   արտահայտությունը սահմանելով որպես 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի բազմապատկական նույնություն։
Մատրիցների կամ ֆունկցիաների վերտողում գրվող -1-ը աստիճան բարձրացնելու իմաստ չունի. այն համապատասխանաբար նշանակում է հակադարձ ֆունկցիա և հակադարձ մատրից։ Օրինակ, 
  
    
      
        
          f
          
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f^{-1}(x)}
  -ը 
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f^{1}(x)}
   ֆունկցիայի հակադարձն է, կամ 
  
    
      
        
          sin
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \sin ^{-1}{x}}
  -ը՝ 
  
    
      
        arcsin
        ⁡
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \arcsin {x}}
   հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիան է։


== Համակարգչային ներկայացում ==
Համակարգիչների մեծ մասում բացասական մեկը ներկայացվում է երկուսի լրացում կոդի միջոցով։ Նման համակարգերում -1-ը ներկայացվում է ամբողջությամբ մեկերից բաղկացած բիթերով։ Օրինակ՝ 8 բիթ ամբողջ թվով (նշանով) -1-ը կներկայացվի "11111111" տեսքով (Հաշվարկման տասնվեցական համակարգով՝ "FF")։ Նույն սիմվոլային տողը աննշան ամբողջ թիվ ներկայացնելու դեպքում n քանակությամբ 1-ը կհամապատասխանի 
  
    
      
        
          2
          
            n
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 2^{n}-1}
   (հնարավոր ամենամեծ թիվը n երկարութմաբ բիթերի սիմվոլային տողը կարող է ներկայացնել)։ Այսինքն, այս դեպքում "11111111"-ը ներկայացնում է 
  
    
      
        
          2
          
            8
          
        
        −
        1
        =
        255
      
    
    {\displaystyle 2^{8}-1=255}
  ։


== Ծանոթագրություններ ==


== Աղբյուրներ ==
Mathematical analysis and applications By Jayant V. Deshpande, 1-84265-189-7