Բրետշնայդերի բանաձև

Երկրաչափության մեջ Բրետշնայդերի բանաձևը կապ է հաստատում ուռուցիկ քառանկյան A մակերեսի, a, b, c, d կողմերի, 
  
    
      
        α
        
      
    
    {\displaystyle \alpha \,}
   և 
  
    
      
        γ
        
      
    
    {\displaystyle \gamma \,}
  հանդիպակած անկյուների միջև՝

  
    
      
        A
        =
        
          
            (
            s
            −
            a
            )
            (
            s
            −
            b
            )
            (
            s
            −
            c
            )
            (
            s
            −
            d
            )
            −
            a
            b
            c
            d
            ⋅
            
              cos
              
                2
              
            
            ⁡
            
              (
              
                
                  
                    α
                    +
                    γ
                  
                  2
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}
  

  
    
      
        =
        
          
            (
            s
            −
            a
            )
            (
            s
            −
            b
            )
            (
            s
            −
            c
            )
            (
            s
            −
            d
            )
            −
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            a
            b
            c
            d
            [
            1
            +
            cos
            ⁡
            (
            α
            +
            γ
            )
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle ={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.}
  հավասարմամբ, որտեղ s-ը քառանկյան կիսապարագիծն է, 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  -ն և 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  -ն՝ երկու հանդիպակած անկյուններ։
Գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Անտոն Բրետշնայդերը ապացուցել է այս հավասարումը 1842 թվականին։ Հետաքրքրական է այն, որ նույն թվականին հավասարումը ապացուցել է նաև Կարլ Գեորգ Քրիստոնյա վոն Շտաուդի կողմից։


== Ապացույց ==

  
    
      
        △
        D
        A
        B
      
    
    {\displaystyle \triangle DAB}
   և 
  
    
      
        △
        B
        C
        D
      
    
    {\displaystyle \triangle BCD}
   նշանակենք համապատասխանաբար 
  
    
      
        
          
            
              A
            
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}
   և 
  
    
      
        
          
            
              A
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}
   տառերով։ Ըստ եռանկյան մակերեսի

  
    
      
        
          
            
              A
            
          
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              
                a
                b
                sin
                ⁡
                α
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}={\dfrac {ab\sin \alpha }{2}}}
  , 
  
    
      
        
          
            
              A
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                c
                d
                sin
                ⁡
                γ
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}={\dfrac {cd\sin \gamma }{2}}}
   ըստ մակերեսների աքսիոմի

  
    
      
        
          
            
              A
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              1
              4
            
          
        
        
          (
          
            
              a
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
            
              sin
              
                2
              
            
            ⁡
            α
            +
            2
            a
            b
            c
            d
            sin
            ⁡
            α
            sin
            ⁡
            γ
            +
            
              c
              
                2
              
            
            
              d
              
                2
              
            
            
              sin
              
                2
              
            
            ⁡
            γ
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\dfrac {1}{4}}\left(a^{2}b^{2}\sin ^{2}\alpha +2abcd\sin \alpha \sin \gamma +c^{2}d^{2}\sin ^{2}\gamma \right)}
   (1)
ըստ կոսինուսների թեորեմի e անկյունագիծը կարելի է ներկայացնել երկու եղանակով՝

  
    
      
        
          e
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        −
        2
        a
        b
        cos
        ⁡
        α
      
    
    {\displaystyle e^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha }
  

  
    
      
        
          e
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
        +
        
          d
          
            2
          
        
        −
        2
        c
        d
        cos
        ⁡
        γ
      
    
    {\displaystyle e^{2}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos \gamma }
   այստեղից՝

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        −
        2
        a
        b
        cos
        ⁡
        α
        =
        
          c
          
            2
          
        
        +
        
          d
          
            2
          
        
        −
        2
        c
        d
        cos
        ⁡
        γ
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha =c^{2}+d^{2}-2cd\cos \gamma }
   հավասարման երկու կողմերին գումարելով 
  
    
      
        2
        a
        b
        cos
        ⁡
        α
        −
        
          c
          
            2
          
        
        −
        
          d
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 2ab\cos \alpha -c^{2}-d^{2}}
   արտահայտությունը կստանանք

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        −
        
          c
          
            2
          
        
        −
        
          d
          
            2
          
        
        =
        2
        a
        b
        cos
        ⁡
        α
        −
        2
        c
        d
        cos
        ⁡
        γ
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}=2ab\cos \alpha -2cd\cos \gamma }
   կամ՝

  
    
      
        
          
            (
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
              −
              
                d
                
                  2
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        4
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        α
        −
        8
        a
        b
        c
        d
        ⋅
        cos
        ⁡
        α
        cos
        ⁡
        γ
        +
        4
        
          c
          
            2
          
        
        
          d
          
            2
          
        
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        γ
      
    
    {\displaystyle \left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}=4a^{2}b^{2}\cos ^{2}\alpha -8abcd\cdot \cos \alpha \cos \gamma +4c^{2}d^{2}\cos ^{2}\gamma }
   հավասարումը, որը համարժեք է

  
    
      
        
          
            1
            4
          
        
        
          (
          
            
              a
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
            
              cos
              
                2
              
            
            ⁡
            α
            −
            2
            a
            b
            c
            d
            ⋅
            cos
            ⁡
            α
            cos
            ⁡
            γ
            +
            
              c
              
                2
              
            
            
              d
              
                2
              
            
            
              cos
              
                2
              
            
            ⁡
            γ
          
          )
        
        −
        
          
            1
            16
          
        
        
          
            (
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
              −
              
                d
                
                  2
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(a^{2}b^{2}\cos ^{2}\alpha -2abcd\cdot \cos \alpha \cos \gamma +c^{2}d^{2}\cos ^{2}\gamma \right)-{\frac {1}{16}}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}=0}
   արտահայտությանը, որը տեղադրելով (1) հավասարման մեջ և օտվելով 
  
    
      
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        +
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}
   և 
  
    
      
        cos
        ⁡
        
          (
          
            x
            −
            y
          
          )
        
        =
        cos
        ⁡
        x
        cos
        ⁡
        y
        +
        sin
        ⁡
        x
        sin
        ⁡
        y
      
    
    {\displaystyle \cos \left({x-y}\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y}
   նույնություններից կստանանք

  
    
      
        
          
            
              A
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            1
            4
          
        
        
          (
          
            
              a
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
            +
            
              c
              
                2
              
            
            
              d
              
                2
              
            
            −
            2
            a
            b
            c
            d
            ⋅
            cos
            ⁡
            
              (
              
                α
                +
                γ
              
              )
            
          
          )
        
        −
        
          
            1
            16
          
        
        
          
            (
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
              −
              
                d
                
                  2
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{4}}\left(a^{2}b^{2}+c^{2}d^{2}-2abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)\right)-{\frac {1}{16}}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}}
  

  
    
      
        
          
            
              A
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            1
            16
          
        
        
          (
          
            4
            
              a
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
            +
            4
            
              c
              
                2
              
            
            
              d
              
                2
              
            
            −
            
              
                (
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    d
                    
                      2
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
          )
        
        −
        
          
            1
            2
          
        
        a
        b
        c
        d
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          (
          
            α
            +
            γ
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{16}}\left(4a^{2}b^{2}+4c^{2}d^{2}-\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}\right)-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)}
  

  
    
      
        
          
            
              A
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            1
            16
          
        
        
          (
          
            −
            
              a
              
                4
              
            
            −
            
              b
              
                4
              
            
            −
            
              c
              
                4
              
            
            −
            
              d
              
                4
              
            
            +
            2
            
              a
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
            +
            2
            
              a
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
            +
            2
            
              a
              
                2
              
            
            
              d
              
                2
              
            
            +
            2
            
              b
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
            +
            2
            
              b
              
                2
              
            
            
              d
              
                2
              
            
            +
            2
            
              c
              
                2
              
            
            
              d
              
                2
              
            
          
          )
        
        −
        
          
            1
            2
          
        
        a
        b
        c
        d
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          (
          
            α
            +
            γ
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{16}}\left(-a^{4}-b^{4}-c^{4}-d^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2a^{2}d^{2}+2b^{2}c^{2}+2b^{2}d^{2}+2c^{2}d^{2}\right)-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)}
  

  
    
      
        
          
            
              A
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            1
            16
          
        
        
          (
          
            −
            
              a
              
                4
              
            
            −
            
              b
              
                4
              
            
            −
            
              c
              
                4
              
            
            −
            
              d
              
                4
              
            
            +
            2
            
              a
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
            +
            2
            
              a
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
            +
            2
            
              a
              
                2
              
            
            
              d
              
                2
              
            
            +
            2
            
              b
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
            +
            2
            
              b
              
                2
              
            
            
              d
              
                2
              
            
            +
            2
            
              c
              
                2
              
            
            
              d
              
                2
              
            
            +
            8
            a
            b
            c
            d
            −
            8
            a
            b
            c
            d
          
          )
        
        −
        
          
            1
            2
          
        
        a
        b
        c
        d
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          (
          
            α
            +
            γ
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{16}}\left(-a^{4}-b^{4}-c^{4}-d^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2a^{2}d^{2}+2b^{2}c^{2}+2b^{2}d^{2}+2c^{2}d^{2}+8abcd-8abcd\right)-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)}
  

  
    
      
        
          
            
              A
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            1
            16
          
        
        (
        −
        a
        +
        b
        +
        c
        +
        d
        )
        ⋅
        (
        a
        −
        b
        +
        c
        +
        d
        )
        ⋅
        (
        a
        +
        b
        −
        c
        +
        d
        )
        ⋅
        (
        a
        +
        b
        +
        c
        −
        d
        )
        −
        
          
            1
            2
          
        
        a
        b
        c
        d
        −
        
          
            1
            2
          
        
        a
        b
        c
        d
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          (
          
            α
            +
            γ
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\frac {1}{16}}(-a+b+c+d)\cdot (a-b+c+d)\cdot (a+b-c+d)\cdot (a+b+c-d)-{\frac {1}{2}}abcd-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)}
  

  
    
      
        
          
            
              A
            
          
          
            2
          
        
        =
        (
        s
        −
        a
        )
        ⋅
        (
        s
        −
        b
        )
        ⋅
        (
        s
        −
        c
        )
        ⋅
        (
        s
        −
        d
        )
        −
        
          
            1
            2
          
        
        a
        b
        c
        d
        −
        
          
            1
            2
          
        
        a
        b
        c
        d
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          (
          
            α
            +
            γ
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}=(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)-{\frac {1}{2}}abcd-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \cos \left(\alpha +\gamma \right)}
  

  
    
      
        
          
            
              A
            
          
          
            2
          
        
        =
        (
        s
        −
        a
        )
        ⋅
        (
        s
        −
        b
        )
        ⋅
        (
        s
        −
        c
        )
        ⋅
        (
        s
        −
        d
        )
        −
        
          
            1
            2
          
        
        a
        b
        c
        d
        ⋅
        
          (
          
            1
            +
            cos
            ⁡
            
              (
              
                α
                +
                γ
              
              )
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}=(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)-{\frac {1}{2}}abcd\cdot \left(1+\cos \left(\alpha +\gamma \right)\right)}
  

  
    
      
        
          
            
              A
            
          
          
            2
          
        
        =
        (
        s
        −
        a
        )
        ⋅
        (
        s
        −
        b
        )
        ⋅
        (
        s
        −
        c
        )
        ⋅
        (
        s
        −
        d
        )
        −
        a
        b
        c
        d
        ⋅
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  α
                  +
                  γ
                
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}=(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\dfrac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}
  


== Տես նաև ==
Բրահմագուպտայի բանաձև


== Աղբյուրներ ==
Ayoub B. Ayoub: Generalizations of Ptolemy and Brahmagupta Theorems. Mathematics and Computer Education, Volume 41, Number 1, 2007, ISSN 0730-8639
E. W. Hobson: A Treatise on Plane Trigonometry. Cambridge University Press, 1918, pp. 204–205 (online copy)
C. A. Bretschneider.  Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 (online copy, German)
F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 (online copy, German)


== Արտաքին հղումներ ==
Weisstein, Eric W., "Bretschneider's formula", MathWorld.
Bretschneider's formula at proofwiki.org