Մինկովսկու գումար

Երկրաչափությունում  էվկլիդյան տարածության մեջ գտնվող  դիրքային վեկտորների 2 բազմության Մինկովսկու գումարը  ձևավորվում է առաջին բազմության յուրաքանչյուր վեկտորի և երկրորդ բազմության յուրաքանչյուր վեկտորի գումարներով․

  
    
      
        A
        +
        B
        =
        {
        
          a
        
        +
        
          b
        
        
        
          |
        
        
        
          a
        
        ∈
        A
        ,
         
        
          b
        
        ∈
        B
        }
      
    
    {\displaystyle A+B=\{\mathbf {a} +\mathbf {b} \,|\,\mathbf {a} \in A,\ \mathbf {b} \in B\}}
  Նման կերպ ստացվում է նաև Մինկովսկու տարբերության սահմանումը․

  
    
      
        A
        −
        B
        =
        {
        
          c
        
        
        
          |
        
        
        
          c
        
        +
        B
        ⊆
        A
        }
      
    
    {\displaystyle A-B=\{\mathbf {c} \,|\,\mathbf {c} +B\subseteq A\}}
  Կարևոր է նկատել, որ  ընդհանուր առմամաբ  
  
    
      
        A
        −
        B
        ≠
        A
        +
        (
        −
        B
        )
      
    
    {\displaystyle A-B\neq A+(-B)}
  ։ Մինկովսկու գումարի և տարբերության կապի ճշգրիտ բանաձևը ներկայացվում է հետևյալ տեսքով 

  
    
      
        A
        −
        B
        =
        (
        
          A
          
            c
          
        
        +
        (
        −
        B
        )
        
          )
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle A-B=(A^{c}+(-B))^{c}}
  Հասկացությունը կոչվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Հերման Մինկովսկու անվամբ.


== Օրինակներ ==
Օրինակ, եթե մենք ունենք 2 բազմություններ, և յուրաքանչյուր բազմության մեջ կա երեք դիրքային վեկտոր՝ ներկայացնող 2 եռանկայան գագաթներ 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  -ում, հետևյալ կոորդինատներով

  
    
      
        A
        =
        {
        (
        1
        ,
        0
        )
        ,
        (
        0
        ,
        1
        )
        ,
        (
        0
        ,
        −
        1
        )
        }
      
    
    {\displaystyle A=\{(1,0),(0,1),(0,-1)\}}
  և

  
    
      
        B
        =
        {
        (
        0
        ,
        0
        )
        ,
        (
        1
        ,
        1
        )
        ,
        (
        1
        ,
        −
        1
        )
        }
        ,
      
    
    {\displaystyle B=\{(0,0),(1,1),(1,-1)\},}
  ապա նրանց Մինկովսկու գումարը կստացվի

  
    
      
        A
        +
        B
        =
        {
        (
        1
        ,
        0
        )
        ,
        (
        2
        ,
        1
        )
        ,
        (
        2
        ,
        −
        1
        )
        ,
        (
        0
        ,
        1
        )
        ,
        (
        1
        ,
        2
        )
        ,
        (
        0
        ,
        −
        1
        )
        ,
        (
        1
        ,
        −
        2
        )
        }
        ,
      
    
    {\displaystyle A+B=\{(1,0),(2,1),(2,-1),(0,1),(1,2),(0,-1),(1,-2)\},}
  որը համընկնում է հեքսագոնի գագաթների հետ։
Մինկովսկու գումարի համար զրոյական բազմությունը՝ {0}, պարունակող միայն զրոյական վեկտորը, 0 միավոր էլեմենտ է կամայական S վեկտորական ենթաբազմության համար 

  
    
      
        S
        +
        {
        0
        }
        =
        S
        .
      
    
    {\displaystyle S+\{0\}=S.}
  Դատարկ բազմությունը կարևոր է Մինկովսկու գումարի համար, քանի որ դատարկ բազմությունը վերացնում է ամեն մի այլ ենթաբազմություն՝ կամայական  վեկտորական տարածության S ենթաբազմության համար, իր և դատարկ բազմության գումարը դատարկ բազմություն է

  
    
      
        S
        +
        ∅
        =
        ∅
        .
      
    
    {\displaystyle S+\emptyset =\emptyset .}
  


== Մինկովսկու գումարի ուռուցիկ գծային կոմբինացիան ==
Մինկովսկու գումարը լավ է իրեն դրսևորում, երբ վերցնում ենք ուռուցիկ գծային կոմբինացիան, ինչպես նշված է հետևյալ հատկութկունում․

Յուրաքանչյուր ոչ դատարկ S1 և S2 ենթաբազմություննների Մինկովսկու գումարի ուռուցիկ գծային կոմբինացիան հավասար է իրենց ուռուցիկ գծային կոմբինացիաների Մինկովսկու գումարին․
  
    
      
        Conv
        ⁡
        (
        
          S
          
            1
          
        
        +
        
          S
          
            2
          
        
        )
        =
        Conv
        ⁡
        (
        
          S
          
            1
          
        
        )
        +
        Conv
        ⁡
        (
        
          S
          
            2
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Conv} (S_{1}+S_{2})=\operatorname {Conv} (S_{1})+\operatorname {Conv} (S_{2}).}
  Այս արդյունքը պահպանում է ավելի ընդհանուր կամայական ոչ դատարկ բազմությունների համար․

  
    
      
        Conv
        ⁡
        
          (
          
            ∑
            
              
                S
                
                  n
                
              
            
          
          )
        
        =
        ∑
        Conv
        ⁡
        (
        
          S
          
            n
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Conv} \left(\sum {S_{n}}\right)=\sum \operatorname {Conv} (S_{n}).}
  Մաթեմատիկայի տերմինաբանության մեջ Մինկովսկու գումարի օպերատորը և ուռուցիկ գծային կոմբինացիան կոմուտատիվ օպերատորներ են ։
Եթե  S -ը ուռուցիկ բազմություն է, ապա նույնպես ուռուցիկ բազմություն է։ Ավելին 

  
    
      
        μ
        S
        +
        λ
        S
        =
        (
        μ
        +
        λ
        )
        S
      
    
    {\displaystyle \mu S+\lambda S=(\mu +\lambda )S}
  կամայական 
  
    
      
        μ
        ,
        λ
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle \mu ,\lambda \geq 0}
  : Եվ հակառակը, եթե բաշխվածությունը տեղի ունի յուրաքանչյուր իրական 
  
    
      
        μ
        ,
        λ
      
    
    {\displaystyle \mu ,\lambda }
  -ի համար, ապա բազմությունը ուռուցիկ է․
Մինկովսկու գումարը գծայնորեն է գործում  2 չափանի տարածության մեջ գտնվող ուռուցիկ մարմնի պարամետրի վրա։ Ավելին, եթե K-ն հաստատուն լայնության կորի արտաքին մասն է․ ապա K-ի և իր 180° շրջման Մինկովսկու գումարը դիսկ է։ Այս երկու փաստերը կարող ենք միախառնել ստանալու Բարբիերի թեորեմի կարճ ապացույցը հաստատուն լայնության կորի պարամետրի վրա։


== Ծանոթագրություններ ==