Էներգիա-իմպուլսի թենզոր

Էներգիա-իմպուլսի թենզոր (երբեմն՝ լարվածություն-էներգիայի թենզոր, լարվածություն-էներգիա-իմպուլսի թենզոր),  թենզորական մեծություն ֆիզիկայում, որը նկարագրում է էներգիայի և իմպուլս հոսքը և խտությունը տարածաժամանակում, ընդհանրացնում է նյուտոնյան ֆիզիկայի լարվածության թենզորը։ Նյութի, ճառագայթման և ոչ գրավիտացիոն ուժային դաշտերի ատրիբուտն է։ Էներգիայի և իմպուլսի թենզորը հարաբերականության ընդհանուր տեսության Այնշտայնի դաշտի հավասարումներում գրավիտացիոն դաշտի աղբյուրն է, ճիշտ ինչպես զանգվածի խտություն գրավիտացիոն դաշտի աղբյուրն է նյուտոնյան գրավիտացիայում։


== Սահմանում ==
Էներգիայի և իմպուլսի թենզորում կիրառվում են վերին ինդեքսով փոփոխականներ (դրանք աստիճաններ չեն)։ Եթե կիրառվում են կորտեզյան կոորդինատներ ՄՄՀ միավորներով, ապա քառաչափ վեկտորի բաղադրիչները տրվում են x0 = t, x1 = x, x2 = y և x3 = z նշանակումներով, որտեղ t-ն ժամանակն է վայրկյաններով, x, y, z-ը՝ հեռավորությունը մետրերով։
Էներգիայի և իմպուլսի թենզորը սահմանվում է որպես երկրորդ ռանգի Tαβ թենզոր, որը տալիս է իմպուլսի վեկտորի α-րդ բաղադրիչի հոսքը հաստատուն xβ կոորդինատով մակերևույթով։ Հարաբերականության տեսությունում այս իմպուլսի վեկտորը տրվում է որպես 4-իմպուլս։ Հարաբերականության ընդհանուր տեսությունում էներգիայի և իմպուլսի թենզորը սիմետրիկ է՝

  
    
      
        
          T
          
            α
            β
          
        
        =
        
          T
          
            β
            α
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }.}
  Որոշ այլընտրանքային տեսություններում, ինչպես օրինակ Այնշտայն-Քարթանի տեսությունը, էներգիայի և իմպուլսի թենզորը կարող է կատարելապես սիմետրիկ չլինել ոչ զրոյական սպինային թենզորի պատճառով, ինչը երկրաչափորեն համապատասխանում է ոչ զրոյական ոլորման թենզորին։


== Թենզորի բաղադրիչների որոշումը ==
Քանի որ էներգիայի և իմպուլսի թենզորը երկրորդ ռանգի է, նրա բաղադրիչները կարելի է պատկերել 4 × 4 չափանի մատրիցի ձևով՝

  
    
      
        (
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        
          )
          
            μ
            ,
            ν
            =
            0
            ,
            1
            ,
            2
            ,
            3
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    T
                    
                      00
                    
                  
                
                
                  
                    T
                    
                      01
                    
                  
                
                
                  
                    T
                    
                      02
                    
                  
                
                
                  
                    T
                    
                      03
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    T
                    
                      10
                    
                  
                
                
                  
                    T
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    T
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  
                    T
                    
                      13
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    T
                    
                      20
                    
                  
                
                
                  
                    T
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    T
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  
                    T
                    
                      23
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    T
                    
                      30
                    
                  
                
                
                  
                    T
                    
                      31
                    
                  
                
                
                  
                    T
                    
                      32
                    
                  
                
                
                  
                    T
                    
                      33
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle (T^{\mu \nu })_{\mu ,\nu =0,1,2,3}={\begin{pmatrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{pmatrix}}}
  ։i-ով և k-ով կնշանակենք ինդեքսների փոփոխությունը 1-ից 3 միջակայքում։
Ժամանակ-ժամանակ բաղադրիչը ռելյատիվիստական զանվածի խտությունն է, այսինքն՝ էներգիայի խտությունը՝ բաժանած լույսի արագության քառակուսու վրա։ Այն հատուկ հետաքրքրության է արժանի, քանի որ պարզ ֆիզիկական մեկնաբանություն ունի։ Կատարյալ հեղուկի դեպքում այս բաղադրիչը

  
    
      
        
          T
          
            00
          
        
        =
        ρ
      
    
    {\displaystyle T^{00}=\rho }
  է, իսկ մյուս դեպքերում դատարկ տարածությունում էլեկտրամագնիսական դաշտի համար այն 

  
    
      
        
          T
          
            00
          
        
        =
        
          
            
              ϵ
              
                0
              
            
            2
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  E
                  
                    2
                  
                
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            
              B
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle T^{00}={\epsilon _{0} \over 2}\left({E^{2} \over c^{2}}+B^{2}\right)}
  է, որտեղ E-ն և B-ն համապատասխանաբար էլեկտրական և մագնիսական դաշտերն են։
Ռելյատիվիստական զանգվածի հոսքը xi մակերևույթով համարժեք է գծային իմպուլսի i-րդ բաղադրիչին՝

  
    
      
        
          T
          
            0
            i
          
        
        =
        
          T
          
            i
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle T^{0i}=T^{i0}}
  ։
  
    
      
        
          T
          
            i
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle T^{ik}}
  բաղադրիչները ներկայացնում են գծային իմպուլսի i-րդ բաղադրիչի հոսքը xk մակերևույթով։ Մասնավորապես, 

  
    
      
        
          T
          
            i
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle T^{ii}}
  ներկայացնում է նորմալ մեխանիկական լարվածությունը, որը, եթե անկախ է ուղղությունից, կոչվում է ճնշում։ Մնացած

  
    
      
        
          T
          
            i
            k
          
        
        
        i
        ≠
        k
      
    
    {\displaystyle T^{ik}\quad i\neq k}
  բաղադրիչները ներկայացնում են սահքի լարվածությունը։
Պինդ մարմնի ֆիզիկայում և հեղուկների մեխանիկայում լարվածության թենզորը սահմանվում է որպես էներգիայի և իմպուլսի թենզորի տարածական բաղադրիչը սեփական հաշվարկման համակարգում։ Այլ կերպ ասած, տեխնիկական էներգիայի և իմպուլսի թենզորը in տարբերվում է այս էներգիայի և իմպուլեսի թենզորից իմպուլսի անդամով։ 


=== Կովարիանտ և խառը ձևեր ===
Էներգիայի և իմպուլսի թենզորի կովարիանտ տեսքը տրվում է

  
    
      
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          T
          
            α
            β
          
        
        
          g
          
            α
            μ
          
        
        
          g
          
            β
            ν
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle T_{\mu \nu }=T^{\alpha \beta }g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu },}
  արտահայտությամբ, խառը տեսքը՝

  
    
      
        
          T
          
            μ
          
        
        
          

          
          
            ν
          
        
        =
        
          T
          
            μ
            α
          
        
        
          g
          
            α
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle T^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu }}
  արտահայտությամբ, իսկ թենզորի խտությամբ արտահայտված այն կլինի

  
    
      
        
          
            
              T
            
          
          
            μ
          
        
        
          

          
          
            ν
          
        
        =
        
          T
          
            μ
          
        
        
          

          
          
            ν
          
        
        
          
            −
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {T}}^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu }{}_{\nu }{\sqrt {-g}}}
  ։Կիրառված մետրիկ նշանային համաձայնությունը (−+++) է։


== Պահպանման օրենք ==


=== Հարաբերականության հատուկ տեսություն ===
Էներգիայի և իմպուլսի թենզորը պահպանվող Նյոթերի հոսանքն է, որը զուգորդվում է տարածաժամանակի զուգահեռ տեղափոխության հետ։
Ոչ գրավիտացիոն էներգիա-իմպուլսի դիվերգենցիան զրո է։ Այլ կերպ ասած, ոչ գրավիտացիոն էներգիան և իմպուլսը պահպանվում են՝ 

  
    
      
        0
        =
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        
          

          
          
            ;
            ν
          
        
        =
        
          ∇
          
            ν
          
        
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle 0=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }}
  ։Եթե գրավիտացիան աննշան է և տարածաժամանակի համար կիրառվել է կարտեզյան կոորդինատական համակարգ, սա կարելի է արտահայտել մասնակի ածանցյալներով որպես 

  
    
      
        0
        =
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        
          

          
          
            ,
            ν
          
        
        =
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle 0=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }}
  ։Դրա ինտեգրալային տեսքը կլինի

  
    
      
        0
        =
        
          ∫
          
            ∂
            N
          
        
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          s
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle 0=\int _{\partial N}T^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{3}s_{\nu }}
  ,որտեղ N-ը տարածաժամանակի ցանկացած կոմպակտ քառաչափ տիրույթ է,  
  
    
      
        ∂
        N
      
    
    {\displaystyle \partial N}
  -ը դրա սահմանն է՝ եռաչափ հիպերմակերևույթ, իսկ 
  
    
      
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          s
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }}
  -ը սահմանի նորմալ տարրն է։
Հարթ տարածաժամանակում կիրառելով կարտեզյան կոորդինատները և միավորելով դա էներգիա-իմպուլսի թենզորի հետ, կարող ենք ցույց տալ, որ անկյունային մոմենտը նույնպես պահպանվում է՝ 

  
    
      
        0
        =
        (
        
          x
          
            α
          
        
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        −
        
          x
          
            μ
          
        
        
          T
          
            α
            ν
          
        
        
          )
          
            ,
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle 0=(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu })_{,\nu }}
  ։


=== Հարաբերականության ընդհանուր տեսություն ===
Եթե գրավիտացիան աննշան չէ կամ կիրառվում է կամայական կոորդինատական համակարգ, էներգիա-իմպուլսի դիվերգենցիան դեռ առկա չէ։ Բայց երբ կիրառվում է դիվերգենցիայի՝ կոորդինատներից անկախ սահմանումը, որը համապատասխանում է կովարիանտ ածանցյալին՝ 

  
    
      
        0
        =
        div
        ⁡
        T
        =
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        
          

          
          
            ;
            ν
          
        
        =
        
          ∇
          
            ν
          
        
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        
          

          
          
            ,
            ν
          
        
        +
        
          Γ
          
            μ
          
        
        
          

          
          
            σ
            ν
          
        
        
          T
          
            σ
            ν
          
        
        +
        
          Γ
          
            ν
          
        
        
          

          
          
            σ
            ν
          
        
        
          T
          
            μ
            σ
          
        
      
    
    {\displaystyle 0=\operatorname {div} T=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }}
  ,որտեղ
  
    
      
        
          Γ
          
            μ
          
        
        
          

          
          
            σ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}
  -ն Քրիստոֆելի սիմվոլն է, որը գրավիտացիոն ուժային դաշտն է։
Հետևաբար, եթե 
  
    
      
        
          ξ
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle \xi ^{\mu }}
  -ն որևէ Քիլինգի վեկտորական դաշտ է, ապա Քիլինգի վեկտորական դաշտի առաջացրած սիմետրիայի հետ զուգորդվող պահպանման օրենքը կարելի է արտահայտել որպես 

  
    
      
        0
        =
        
          ∇
          
            ν
          
        
        (
        
          ξ
          
            μ
          
        
        
          T
          
            μ
          
          
            ν
          
        
        )
        =
        
          
            1
            
              −
              g
            
          
        
        
          ∂
          
            ν
          
        
        (
        
          
            −
            g
          
        
         
        
          ξ
          
            μ
          
        
        
          T
          
            μ
          
          
            ν
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle 0=\nabla _{\nu }(\xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu })={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\nu }({\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu })}
  ։Սրա ինտեգրալային տեսքը՝

  
    
      
        0
        =
        
          ∫
          
            ∂
            N
          
        
        
          
            −
            g
          
        
         
        
          ξ
          
            μ
          
        
        
          T
          
            μ
          
          
            ν
          
        
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          s
          
            ν
          
        
        =
        
          ∫
          
            ∂
            N
          
        
        
          ξ
          
            μ
          
        
        
          
            
              T
            
          
          
            μ
          
          
            ν
          
        
         
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          s
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle 0=\int _{\partial N}{\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }=\int _{\partial N}\xi ^{\mu }{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }}
  ։


== Հարաբերականության ընդհանուր տեսություն ==
Հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ էներգիա-իմպուլսի սիմետրիկ թենզորը գործում է որպես տարածաժամանակի կորության աղբյուր, և գրավիտացիայի տրամաչափային ձևափոխության հետ զուգակցվող հոսանքի խտությունն է։ 
Հարաբերականության ընդհանուր տեսությունում հարաբերականության հատուկ տեսության մեջ կիրառվող մասնակի ածանցյալները փոխարինվում են կովարիանտ ածանցյալներով։ Սա նշանակում է, որ անխզելիության հավասարումը այլևս չի նշանակում, որ թենզորով արտահայտված ոչ գրավիտացիոն էներգիան և իմպուլսը բացարձակ պահպանվում են, այսինքն՝ գրավիտացիոն դաշտը կարող է աշխատանք կատարել նյութի վրա և հակառակը։ Նյուտոնյան գրավիտացիայի դասական սահմանում սա պարզ մեկնաբանություն ունի․ էներգիան վերածվում է գրավիտացիոն պոտենցիալ էներգիայի, որը չի ներառվում թենզորում, իսկ իմպուլսը դաշտի միջոցով հաղորդվում է մյուս մարմիններին։ Հանաբերականության ընդհանուր տեսությունում Լանդաու-Լիֆշիցի փսևդոթենզորը միակ միջոցն է՝ սահմանելու էներգիայի և իմպուլսի խտությունների գրավիտացիոն դաշտը։ Այսպիսի որևէ լարվածության-էներգիայի փսևդոթենզոր կարելի է լոկալ անհետացնել կոորդինատային ձևափոխության միջոցով։
Կորացած տարածաժամանակում տարածանման ինտեգրալը այժմ կախված է տարածանման շերտից։ Ընդհանուր կորացած տարածությունում էներգիա-իմպուլսի վեկտոր սահմանելու միջոց չկա։


=== Այնշտայնի դաշտի հավասարումներ ===

Հարաբերականության ընդհանուր տեսությունում լարվածության թենզորն ուսումնասիրվում է Այնշտայնի դաշտի հավասարումների կոնտեքստում, որոնք հաճախ գրվում են որպես

  
    
      
        
          R
          
            μ
            ν
          
        
        −
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        R
        
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          
            
              8
              π
              G
            
            
              c
              
                4
              
            
          
        
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu },}
  որտեղ 
  
    
      
        
          R
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{\mu \nu }}
  -ը Ռիչչիի թենզորն է, 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  -ը՝ Ռիչչիի սկալյարը (Ռիչչիի թենզորի թենզորական կրճատումը), 
  
    
      
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        
      
    
    {\displaystyle g_{\mu \nu }\,}
  -ն՝ մետրիկ թենզորը, իսկ 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  -ն՝ գրավիտացիոն հաստատունը։


== Էներգիա-իմպուլսի թենզորը հատուկ դեպքերում ==


=== Մեկուսացված մասնիկ ===
Հարաբերականության հատուկ տեսությունում m զանգվածով և 
  
    
      
        
          
            x
          
          
            p
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} _{\text{p}}(t)}
   հետագծով մասնիկի լարվածություն-էներգիան

  
    
      
        
          T
          
            α
            β
          
        
        (
        
          x
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            
              m
              
              
                v
                
                  α
                
              
              (
              t
              )
              
                v
                
                  β
                
              
              (
              t
              )
            
            
              1
              −
              (
              v
              
                /
              
              c
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        
        δ
        (
        
          x
        
        −
        
          
            x
          
          
            p
          
        
        (
        t
        )
        )
        =
        E
        
          
            
              
                v
                
                  α
                
              
              (
              t
              )
              
                v
                
                  β
                
              
              (
              t
              )
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
        
        δ
        (
        
          x
        
        −
        
          
            x
          
          
            p
          
        
        (
        t
        )
        )
      
    
    {\displaystyle T^{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,t)={\frac {m\,v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t))=E{\frac {v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{c^{2}}}\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t))}
  է, որտեղ 
  
    
      
        (
        
          v
          
            α
          
        
        
          )
          
            α
            =
            0
            ,
            1
            ,
            2
            ,
            3
          
        
        
      
    
    {\displaystyle (v^{\alpha })_{\alpha =0,1,2,3}\!}
  -ն արագության վեկտորն է (չպետք է շփոթել 4-արագության հետ), 

  
    
      
        (
        
          v
          
            α
          
        
        
          )
          
            α
            =
            0
            ,
            1
            ,
            2
            ,
            3
          
        
        =
        
          (
          
            1
            ,
            
              
                
                  d
                  
                    
                      x
                    
                    
                      p
                    
                  
                
                
                  d
                  t
                
              
            
            (
            t
            )
          
          )
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (v^{\alpha })_{\alpha =0,1,2,3}=\left(1,{\frac {d\mathbf {x} _{\text{p}}}{dt}}(t)\right)\,,}
  δ-ն Դիրակի դելտա ֆունկցիան է, իսկ 
  
    
      
        E
        =
        
          
            
              p
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
            +
            
              m
              
                2
              
            
            
              c
              
                4
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}
  -ն՝ մասնիկի էներգիան։


=== Հավասարակշռության մեջ գտնվող հեղուկի լարվածություն-էներգիան ===
թերմոդինամիկական հավասարակշռության մեջ գտնվող կատարյալ հեղուկի համար լարվածություն-էներգիայի թենզորը մասնավորապես պարզ տեսք ունի՝ 

  
    
      
        
          T
          
            α
            β
          
        
        
        =
        
          (
          
            ρ
            +
            
              
                p
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          u
          
            α
          
        
        
          u
          
            β
          
        
        +
        p
        
          g
          
            α
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle T^{\alpha \beta }\,=\left(\rho +{p \over c^{2}}\right)u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }}
  ,որտեղ 
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  -ն զանգված-էներգիայի խտությունն է (կիլոգրամ-մետր-խորանարդ), 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  -ն հիդրոստատիկ ճնշումն է (պասկալներով), 
  
    
      
        
          u
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle u^{\alpha }}
  -ն հեղուկի 4-արագությունն է, 
  
    
      
        
          g
          
            α
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle g^{\alpha \beta }}
  -ն՝ մետրիկ թենզորի հակադարձը։
4-արագությունը բավարարում է

  
    
      
        
          u
          
            α
          
        
        
          u
          
            β
          
        
        
          g
          
            α
            β
          
        
        =
        −
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}}
  արտահայտությանը։
Հեղուկին կցված իներցիալ հաշվարկման համակարգում, որը կոչվում է նաև հեղուկի սեփական հաշվարկման համակարգ, 4-արագությունը կլինի 

  
    
      
        (
        
          u
          
            α
          
        
        
          )
          
            α
            =
            0
            ,
            1
            ,
            2
            ,
            3
          
        
        =
        (
        1
        ,
        0
        ,
        0
        ,
        0
        )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (u^{\alpha })_{\alpha =0,1,2,3}=(1,0,0,0)\,,}
  մետրիկ թենզորի հակադարձը պարզապես

  
    
      
        (
        
          g
          
            α
            β
          
        
        
          )
          
            α
            ,
            β
            =
            0
            ,
            1
            ,
            2
            ,
            3
          
        
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  −
                  
                    c
                    
                      −
                      2
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle (g^{\alpha \beta })_{\alpha ,\beta =0,1,2,3}\,=\left({\begin{matrix}-c^{-2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)}
  է, իսկ լարվածություն-էներգիայի թենզորն անկյունագծային մատրից է՝

  
    
      
        (
        
          T
          
            α
            β
          
        
        
          )
          
            α
            ,
            β
            =
            0
            ,
            1
            ,
            2
            ,
            3
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  ρ
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  p
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  p
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  p
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle (T^{\alpha \beta })_{\alpha ,\beta =0,1,2,3}=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right)}
  ։


=== Էլեկտրամագնիսական լարվածություն-էներգիայի թենզոր ===
Աղբյուրներ չպարունակող էլեկտրամագնիսական դաշտի համար Հիլբերտի լարվածություն-էներգիայի թենզորը 

  
    
      
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        
          (
          
            
              F
              
                μ
                α
              
            
            
              g
              
                α
                β
              
            
            
              F
              
                ν
                β
              
            
            −
            
              
                1
                4
              
            
            
              g
              
                μ
                ν
              
            
            
              F
              
                δ
                γ
              
            
            
              F
              
                δ
                γ
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)}
  է, որտեղ 
  
    
      
        
          F
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{\mu \nu }}
  -ը էլեկտրամագնիսական դաշտի թենզորն է։


=== Սկալյար դաշտ ===

Կլայն-Գորդոնի հավասարմանը բավարարող 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
   սկալյար դաշտի համար լարվածություն-էներգիայի թենզորը

  
    
      
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            m
          
        
        (
        
          g
          
            μ
            α
          
        
        
          g
          
            ν
            β
          
        
        +
        
          g
          
            μ
            β
          
        
        
          g
          
            ν
            α
          
        
        −
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        
          g
          
            α
            β
          
        
        )
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          
            
              ϕ
              ¯
            
          
        
        
          ∂
          
            β
          
        
        ϕ
        −
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        m
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            
              ϕ
              ¯
            
          
        
        ϕ
      
    
    {\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta })\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi }
  է։


== Լարվածություն-էներգիայի տարբեր սահմանումներ ==
Ոչ գրավիտացիոն լարվածություն-էներգիայի մի քանի անհամարժեք սահմանումներ կան։


=== Հիլբերտի լարվածություն-էներգիայի թենզոր ===
Սահմանվում է որպես ֆունկցիոնալ ածանցյալ՝

  
    
      
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          
            
              −
              2
            
            
              −
              g
            
          
        
        
          
            
              δ
              (
              
                
                  
                    L
                  
                
                
                  
                    m
                    a
                    t
                    t
                    e
                    r
                  
                
              
              
                
                  −
                  g
                
              
              )
            
            
              δ
              
                g
                
                  μ
                  ν
                
              
            
          
        
        =
        −
        2
        
          
            
              δ
              
                
                  
                    L
                  
                
                
                  
                    m
                    a
                    t
                    t
                    e
                    r
                  
                
              
            
            
              δ
              
                g
                
                  μ
                  ν
                
              
            
          
        
        +
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        
          
            
              L
            
          
          
            
              m
              a
              t
              t
              e
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}
  ,որտեղ 
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            
              m
              a
              t
              t
              e
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}
  -ը գործողության լագրանժյանի խտության ոչ գրավիտացիոն մասն է։ Այն սիմետրիկ է և տրամաչափային ինվարիանտ։


=== Կանոնիկ լարվածություն-էներգիայի թենզոր ===
Նյոթերի թեորեմը նշանակում է, որ տարածության և ժամանակի միջով զուգահեռ տեղափոխության հետ զուգակցվող պահպանվող հոսանք գոյություն ունի։ Այն կոչվում է կանոնիկ լարվածություն-էներգիայի թենզոր։ Ընդհանրապես սա ոչ սիմետրիկ է, և եթե որևէ տրամաչափային տեսություն ունենք, այն կարող է տրամաչափային ինվարիանտ չլինել։
Հարաբերականության ընդհանուր տեսությունում զուգահեռ տեղափոխությունները կոորդինատական համակարգի նկատմամբ են և որպես այդպիսին ենթական չեն կովարիանտ ձևափոխության։


=== Բելինֆանտե-Ռոզենֆելդի լարվածություն-էներգիայի թենզոր ===
Սպինի կամ այլ սեփական անկյունային մոմենտի առկայության դեպքում կանոնիկ Նյոթերի լարվածություն-էներգիայի թենզորը չի պահպանում սիմետրիկությունը։ Բելինֆանտե-Ռոզենֆելդի լարվածություն-էներգիայի թենզորը կազմվում է կանոնիկ լարվածություն-էներգիայի թենզորից, և սպինային հոսանքը պետք է լինի սիմետրիկ և պահպանվող։ Հարաբերականության ընդհանուր տեսությունում այս ձևափոխված թենզորը համաձայնվում է Հիլբերտի լարվածություն-էներգիայի թենզորի հետ։


== Գրավիտացիոն էներգիա-իմպուլս ==
Ըստ համարժեքության սկզբունքի՝ գրավիտացիոն էներգիա-իմպուլսը միշտ լոկալ կանհետանա որևէ ընտրված համակարգի որևէ ընտրված կետում, ուստի գրավիտացիոն էներգիա-իմպուլսը չի կարող արտահայտվել ոչ զրոյական թենզորով, և պետք է փսևդոթենզոր կիրառենք։
Հարաբերականության ընդհանուր տեսությունում գրավիտացիոն լարվածություն-էներգիա-իմպուլսի փսևդովեկտորի բազմաթիվ հնարավոր տարբեր սահմանումներ կան, այդ թվում՝ Այնշտայնի փսևդոթենզորը և Լանդաու-Լիֆշիցի փսևդոթենզորը։ Լանդաու-Լիֆշիցի փսևդոթենզորը համապատասխան կոորդինատական համակարգ ընտրելու միջոցով կարելի է զրո դարձնել տարածաժամանակի ցանկացած իրադարձության դեպքում։


== Ծանոթագրություններ ==