Էքսպոնենտ

Էքսպոնենտ, 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        exp
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=\exp(x)=e^{x}}
   ցուցչային ֆունկցիա, որտեղ 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
   -ն Էյլերի թիվն է 
  
    
      
        (
        e
        ≈
        2,718
        )
      
    
    {\displaystyle (e\approx 2{,}718)}
  .


== Որոշում ==
Էքսպոնենտալ ֆունկցիան կարող է որոշվել տարբեր համարժեք ձևերով։ Օրինակ՝ Թեյլորի շարքի միջոցով․

  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
        =
        1
        +
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        =
        1
        +
        x
        +
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              2
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              3
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                4
              
            
            
              4
              !
            
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }
  կամ սահմանի միջոցով․

  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            (
            
              1
              +
              
                
                  x
                  n
                
              
            
            )
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}
  
Այստեղ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը ցանկացած կոմպլեքս թիվ է։


== Հատկություններ ==

  
    
      
        (
        
          e
          
            x
          
        
        
          )
          ′
        
        =
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}
  , մասնավորապես, էքսպոնենտը՝ 
  
    
      
        
          y
          ′
        
        =
        y
      
    
    {\displaystyle y'=y}
   դիֆերենցիալ հավասարման միակ լուծումն է, 
  
    
      
        y
        (
        0
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle y(0)=1}
   սկզբնական տվյալով։ Բացի այդ, էքսպոնենտի միջոցով արտահայտվում է համասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների ընդհանուր լուծումները։
Էքսպոնենտը որոշված է ամբողջ իրական թվերի առանցքով։ Այն ամենուր աճում է և միշտ մեծ է զրոյից։
Էքսպոնենտը ուռուցիկ ֆունկցիա է։
Նրան հակադարձ ֆունկցիան ՝ բնական լոգարիթմն է 
  
    
      
        (
        ln
        ⁡
        x
        )
      
    
    {\displaystyle (\ln x)}
  ։
Ֆուրիեի ձևափոխություն էքսպոնենտի համար գույաություն չունի, եթե նրան ընդունենք որպես սովորական ֆունկցիա, իսկ եթե ընդունենք որպես ընդհանրացված, ապա այդպիսին կհամարվի Դիրակի դելտա-ֆունկցիան։
Լապլասի ձևափոխություն էքսպոնենտի համար գոյություն ունի․
Ածանցյալը զրոյում հավասար է մեկի,այդ պատճառով այդ կետում շոշափողը թեքված է 
  
    
      
        
          45
          
            ∘
          
        
         
        
          
            (
          
        
        
          
            π
            4
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle 45^{\circ }~{\Big (}{\frac {\pi }{4}}{\Big )}}
   աստիծանով։
Ցանկացած ցուցչային ֆունկցիայի նման, նրա հիմնական հատկությունն է․

  
    
      
        exp
        ⁡
        (
        a
        +
        b
        )
        =
        exp
        ⁡
        (
        a
        )
        exp
        ⁡
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)}
  .Այդպիսի հատկությամբ անընդհատ ֆունկցիան կամ նույնականորեն հավասար է 0, կամ ունի 
  
    
      
        exp
        ⁡
        (
        c
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \exp(cx)}
   տեսքը, որտեղ 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   հաստատուն է։։

  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
        =
        sh
        ⁡
        x
        +
        ch
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle e^{x}=\operatorname {sh} x+\operatorname {ch} x}
  , որտեղ 
  
    
      
        sh
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sh} }
   և 
  
    
      
        ch
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ch} }
   ՝ հիպերբոլական սինուս և կոսինուս են։


== Կոմպլեքս էքսպոնենտ ==

Կոմպլեքս էքսպոնենտը մաթեմատիկական ֆունկցիա է, որը տրվում է 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        
          e
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle f(z)=e^{z}}
  բանաձևով, որտեղ 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  -ը կոմպլեքս թիվ է։

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=e^{x}}
   իրական 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   փոփոխականով։
Որոշենք կապը՝

  
    
      
        
          e
          
            z
          
        
        =
        
          e
          
            x
            +
            i
            y
          
        
        =
        
          e
          
            x
          
        
        ⋅
        
          e
          
            i
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}}
  .
Այս ձևով որոշված արտահայտությունը իրական թվերի առանցքի վրա համընկնելու է իրական դասական  էքսպոնենտի հետ։ Լիարժեքության համար պետք է ցույց տալ, որ 
  
    
      
        
          e
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{z}}
  -ը բաժանվում է որոշակի, այդ ֆունկցիային ձգտող շարքի։
Ցույց տանք․

  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        
          e
          
            z
          
        
        =
        
          e
          
            x
          
        
        ⋅
        
          e
          
            i
            y
          
        
        =
        
          e
          
            i
            y
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
  
Տվյալ շարքի համապատասխանելիությունը հեշտությամբ ապացուցվում է․

  
    
      
        
          |
          
            
              e
              
                i
                y
              
            
            
              ∑
              
                n
                =
                0
              
              
                ∞
              
            
            
              
                
                  x
                  
                    n
                  
                
                
                  n
                  !
                
              
            
          
          |
        
        ≤
        
          |
          
            
              ∑
              
                n
                =
                0
              
              
                ∞
              
            
            
              
                
                  x
                  
                    n
                  
                
                
                  n
                  !
                
              
            
          
          |
        
        ≤
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          |
          
            
              
                x
                
                  n
                
              
              
                n
                !
              
            
          
          |
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                
                  |
                
                x
                
                  
                    |
                  
                  
                    n
                  
                
              
              
                n
                !
              
            
          
        
        =
        
          e
          
            
              |
            
            x
            
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{|x|}}
  .


=== h-էքսպոնենտ ===
հ-էքսպոնենտի ներմուծումը հիմնված է երկրորդ հրաշալի սահմանի վրա։

  
    
      
        
          e
          
            h
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        1
        +
        h
        
          )
          
            
              x
              h
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle e_{h}(x)=(1+h)^{\frac {x}{h}}.}
  

  
    
      
        h
        →
        0
      
    
    {\displaystyle h\to 0}
   դեպքում ստացվում է սովորական էքսպոնենտ.


== Հակադարձ ֆունկցիա ==
Էքսպոնենտալ ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան ՝ բնական լոգարիթմն է։ Նշանակվում է 
  
    
      
        ln
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \ln x}
  ։

  
    
      
        ln
        ⁡
        x
        =
        
          log
          
            e
          
        
        ⁡
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \ln x=\log _{e}x.}
  


== Տես նաև ==
Ցուցչային ֆունկցիա
Էքսպոնենտալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ


== Ծանոթագրություն ==


== Գրականություն ==
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.


== Արտաքին հղումներ ==
«Экспонента и число е: просто и понятно Archived 2015-09-25 at the Wayback Machine.» — перевод статьи An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained(անգլ.)