Ընդլայնված թվային ուղիղ

Ընդլայնված թվային ուղիղ, իրական թվերի 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
   բազմություն , համալրված երկու անվերջ հեռու կետերով՝ 
  
    
      
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle +\infty }
   (դրական անվերջություն) և 
  
    
      
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle -\infty }
   (բացասական անվերջոթյուն), այսինքն, 
  
    
      
        
          
            
              R
            
            ¯
          
        
        =
        
          R
        
        ∪
        {
        +
        ∞
        }
        ∪
        {
        −
        ∞
        }
      
    
    {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{+\infty \}\cup \{-\infty \}}
  ։
Ընդվորում, ցանկացած իրական թվերի համար 
  
    
      
        x
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle x\in \mathbb {R} }
   , ըստ սահմանման ենթադրվում է 
  
    
      
        −
        ∞
        <
        x
        <
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle -\infty <x<+\infty }
   անհավասարության տեղի ունենալը։ Որոշ դիդակտիկ նյութերում օգտագործվում է անվերջ հեռու  
  
    
      
        ±
        ∞
      
    
    {\displaystyle \pm \infty }
   կետը, որը կապված չէ իրական թվերի շարքի հերթական համարով։
Իրական թվերի 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
   բազմությունը գծային համարակալված են  
  
    
      
        ⩽
      
    
    {\displaystyle \leqslant }
  -ի նկատմամբ, սակայն 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
   -ում չկան նվազագույն կամ առավելագույն տարրեր։ Եթե իրական թվերի համակարգը դիտարկենք որպես գծային համարակալված բազմություն, ապա դրա ընդլայնումը մինչև 
  
    
      
        
          
            
              R
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
  համակարգ հենց կայանում է 
  
    
      
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle +\infty }
  (առավելագույն) և 
  
    
      
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle -\infty }
  (նվազագույն) տարրերի ավելացման մեջ։
Դրա շնորհիվ համակարգում ցանկացած ոչ դատարկ բազմություն ունի հստակ վերին սահման (եթե բազմությունը վերևից սահմանափակ է, և 
  
    
      
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle +\infty }
  , եթե վերևից սահմանափակ չէ)։ Հանգունորեն, պնդում ճիշտ է նաև, հստակ ներքին սահմանի համար։ Դրանով է բացատրվում 
  
    
      
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle +\infty }
   և  
  
    
      
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle -\infty }
   ներմուծման հարմարավետությունը։


== Ընդլայնված թվային ուղղի  տոպոլոգիա ==


=== Բաց բազմություններ և շրջակայքեր ===
Կարգավորման առընչությունը 
  
    
      
        <
      
    
    {\displaystyle <}
   առաջ է բերում 
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
   տոպոլոգիան 
  
    
      
        
          
            
              R
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
  -ի վրա։ 
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  -ի տոպոլոգիայում բաց բազմություններ են հանդիսանում ամենատարբեր միջակայքերի միությունը ․

  
    
      
        (
        α
        ,
        β
        )
        =
        {
        x
        ∈
        
          
            
              R
            
            ¯
          
        
        :
        α
        <
        x
        <
        β
        }
        ,
        
        (
        α
        ,
        +
        ∞
        ]
        =
        {
        x
        ∈
        
          
            
              R
            
            ¯
          
        
        :
        x
        >
        α
        }
        ,
        
        [
        −
        ∞
        ,
        β
        )
        =
        {
        x
        ∈
        
          
            
              R
            
            ¯
          
        
        :
        x
        <
        β
        }
        ,
      
    
    {\displaystyle (\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x<\beta \},\quad (\alpha ,+\infty ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x>\alpha \},\quad [-\infty ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x<\beta \},}
  ,որտեղ  
  
    
      
        α
        ,
        β
        ∈
        
          
            
              R
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha ,\beta \in {\overline {\mathbb {R} }}}
  .

  
    
      
        a
        ∈
        
          
            
              R
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}}
   կետի 
  
    
      
        U
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle U(a)}
   շրջակայք է կոչվում ցանկացած բաց բազմություն, որը պարունակում է այդ կետը։ 
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
   տոպոլոգիայի բաց բազմությունների սահմանման համաձայն՝ ցանկացած 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետի շրջակայք ներառում է տրված տեսակի միջակայքերից մեկը, որը պարունակում է 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետը։
Մաթեմատիկական անալիզի ծրագրում սովորաբար ներմուծում են 
  
    
      
        
          U
          
            ε
          
        
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle U_{\varepsilon }(a)}
   կետի 
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  շրջակայքի  մասնավոր հասկացությունը, որտեղ(
  
    
      
        ε
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \varepsilon >0}
  )։

  
    
      
        a
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle a\in \mathbb {R} }
  դեպքում, այսինքն, երբ,  
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն թիվ է, 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ի  
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  - շրջակայք կոչվում է

  
    
      
        
          U
          
            ε
          
        
        (
        a
        )
        
          
            =
            
              d
              e
              f
            
          
        
        (
        a
        −
        ε
        ,
        a
        +
        ε
        )
        .
      
    
    {\displaystyle U_{\varepsilon }(a){\overset {\mathrm {def} }{=}}(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).}
  բազմությունը։Եթե 
  
    
      
        a
        =
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle a=+\infty }
  , ապա։

  
    
      
        
          U
          
            ε
          
        
        (
        +
        ∞
        )
        
          
            =
            
              d
              e
              f
            
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                ε
              
            
            ,
            +
            ∞
          
          ]
        
        ,
      
    
    {\displaystyle U_{\varepsilon }(+\infty ){\overset {\mathrm {def} }{=}}\left({\frac {1}{\varepsilon }},+\infty \right],}
  ,իսկ եթե  
  
    
      
        a
        =
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle a=-\infty }
  , ապա։

  
    
      
        
          U
          
            ε
          
        
        (
        −
        ∞
        )
        
          
            =
            
              d
              e
              f
            
          
        
        
          [
          
            −
            ∞
            ,
            −
            
              
                1
                ε
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle U_{\varepsilon }(-\infty ){\overset {\mathrm {def} }{=}}\left[-\infty ,-{\frac {1}{\varepsilon }}\right).}
  ։
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  -շրջակայքի հասկացությունը անվերջ թվերի համար սահմանվում է այնպես, որ բոլոր դեպքերում, երբ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն իրական թիվ է կամ անվերջություններից մեկն է, ապա 
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
   թվի փոքրացման հետ փոքրանում է նաև նրա շրջակայքը․ 
  
    
      
        0
        <
        
          ε
          
            1
          
        
        <
        
          ε
          
            2
          
        
        ⇒
        
          U
          
            
              ε
              
                1
              
            
          
        
        (
        a
        )
        ⊂
        
          U
          
            
              ε
              
                2
              
            
          
        
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle 0<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}\Rightarrow U_{\varepsilon _{1}}(a)\subset U_{\varepsilon _{2}}(a)}
  .


=== Սահմաններ ===

  
    
      
        
          
            
              R
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
   -ում բոլոր սահմանների տեսակները տեղավորվում են նույն սահմանման մեջ։
Դիցուք՝ 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        
          
            
              R
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle f\colon X\to {\overline {\mathbb {R} }}}
  , որտեղ  
  
    
      
        X
        ⊂
        
          
            
              R
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle X\subset {\overline {\mathbb {R} }}}
  . Մասնավորապես 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   կարող է լինել իրական ֆունկցիա, իրական փոփոխականով։
Դիցուք՝ 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        a
        ∈
        
          
            
              R
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0},a\in {\overline {\mathbb {R} }}}
  . Այդ դեպքում․

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            
              x
              
                0
              
            
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        a
        
          
            
              
              ⟺
              
            
            
              d
              e
              f
            
          
        
        ∀
        ε
        >
        0
        
        ∃
        δ
        >
        0
        
        ∀
        x
        ∈
        X
        
        (
        x
        ∈
        
          U
          
            δ
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ⇒
        f
        (
        x
        )
        ∈
        
          U
          
            ε
          
        
        (
        a
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=a{\overset {\mathrm {def} }{\iff }}\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in X\;(x\in U_{\delta }(x_{0})\Rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon }(a))}
  


== Ծանոթագրություն ==


== Գրականություն ==
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4
Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1
Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — ISBN 5-8114-0443-3