Թվաբանական պրոգրեսիա

Թվաբանական պրոգրեսիան թվային հաջորդականություն է, որն ունի հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ,
         
        
          a
          
            1
          
        
        +
        d
        ,
         
        
          a
          
            1
          
        
        +
        2
        d
        ,
         
        …
        ,
         
        
          a
          
            1
          
        
        +
        (
        n
        −
        1
        )
        d
        ,
         
        …
      
    
    {\displaystyle a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots }
  ,այսինքն այնպիսի հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամը (բացի առաջինից) ստացվում է նախորդ անդամին միևնույն 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
   թիվը գումարելով՝

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        d
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d\quad }
  Ցանկացած (n-րդ) անդամը որոշվում է ընդհանուր անդամի բանաձևով՝

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        +
        (
        n
        −
        1
        )
        d
      
    
    {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
  Թվաբանական պրոգրեսիան մոնոտոն է, այսինքն աճում է 
  
    
      
        d
        >
        0
      
    
    {\displaystyle d>0}
   դեպքում և նվազում 
  
    
      
        d
        <
        0
      
    
    {\displaystyle d<0}
   դեպքում։
Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը՝

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        +
        (
        n
        −
        1
        )
        d
      
    
    {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
  -ն առաջին անդամն է, իսկ 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  -ն՝ նրա տարբերությունը։


== Առաջին ==
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   անդամների գումարը
Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   անդամների գումարը 
  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        +
        …
        +
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}
   կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով՝

  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              
                a
                
                  1
                
              
              +
              
                a
                
                  n
                
              
            
            2
          
        
        ⋅
        n
      
    
    {\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
  -ը — պրոգրեսիայի առաջին անդամն է, 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
  -ը — 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -րդ անդամը, 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը — գումարման ենթակա անդամների քանակը.
  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                a
                
                  1
                
              
              +
              (
              n
              −
              1
              )
              d
            
            2
          
        
        ⋅
        n
      
    
    {\displaystyle S_{n}={\frac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}\cdot n}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
  -ը — առաջին անդամն է, 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  -ն — պրոգրեսիայի տարբերությունը, 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   — գումարման ենթակա անդամների քանակը.Ապացույց.
Գրառենք տվյալ գումարը երկու եղանակով։

  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            3
          
        
        +
        …
        +
        
          a
          
            n
            −
            2
          
        
        +
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}}
  

  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        =
        
          a
          
            n
          
        
        +
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        
          a
          
            n
            −
            2
          
        
        +
        …
        +
        
          a
          
            3
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots +a_{3}+a_{2}+a_{1}}
   - նույն գումարը հակառակ կարգով.
Այժմ գումարենք երկու հավասարություններն իրար (աջ մասում նույն ուղղահայացի տակ գտնվող գումարելիները հաջորդաբար իրար գումարելով)՝

  
    
      
        2
        
          S
          
            n
          
        
        =
        (
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            n
          
        
        )
        +
        (
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        )
        +
        (
        
          a
          
            3
          
        
        +
        
          a
          
            n
            −
            2
          
        
        )
        +
        …
        +
        (
        
          a
          
            n
            −
            2
          
        
        +
        
          a
          
            3
          
        
        )
        +
        (
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        )
        +
        (
        
          a
          
            n
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+\ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})}
  
Ստացված բոլոր գումարելիներն իրար հավասար են՝ 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
        +
        
          a
          
            n
            −
            i
            +
            1
          
        
        ,
        i
        =
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=1,2,\ldots ,n}
  
Օգտվելով ընդհանուր անդամի բանաձևից կստանանք՝

  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
        +
        
          a
          
            n
            −
            i
            +
            1
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        +
        (
        i
        −
        1
        )
        d
        +
        
          a
          
            1
          
        
        +
        (
        n
        −
        i
        +
        1
        −
        1
        )
        d
        =
        2
        
          a
          
            1
          
        
        +
        (
        n
        −
        1
        )
        d
        ,
        i
        =
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,i=1,2,\ldots ,n}
  
որտեղ յուրաքանչյուր անդամ անկախ հերթականությունից հավասար է 
  
    
      
        2
        
          a
          
            1
          
        
        +
        (
        n
        −
        1
        )
        d
      
    
    {\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}
  ։ Մասնավորապես, 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            n
          
        
        =
        2
        
          a
          
            1
          
        
        +
        (
        n
        −
        1
        )
        d
      
    
    {\displaystyle a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d}
  ։
Քանի որ ընդհանուր անդամների քանակն է 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  , ուրեմն

  
    
      
        2
        
          S
          
            n
          
        
        =
        (
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            n
          
        
        )
        ⋅
        n
        ⇒
        
          S
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              
                a
                
                  1
                
              
              +
              
                a
                
                  n
                
              
            
            2
          
        
        ⋅
        n
      
    
    {\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n\Rightarrow S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}
  


== Տես նաև ==
Երկրաչափական պրոգրեսիա
Հաջորդականություն (մաթեմատիկա)


== Հղումներ ==
Թվաբանական և երկրաչափական պրոգրեսիա Archived 2012-09-07 at the Wayback Machine.
Մաթեմատիկա. Գագիկ Աղեկյանի անձնական կայք