Գեոդեզիկ էֆեկտ

Գեոդեզիկ էֆեկտ (նաև՝ գեոդեզիկ պրեցեսիա, դե Սիտերի պրեցեսիա կամ դե Սիտերի էֆեկտ), կորացած տարածաժամանակում շարժվող պտտվող մարմնի առանցքի ուղղության փոփոխությանը էֆեկտը, որը կանխատեսվում է հարաբերականության ընդհանուր տեսությամբ։ Երկիր֊Լուսին համակարգի շարժումը ուղղելու համանման մոդել է առաջարկել Վիլհելմ դե Սիտերը 1916 թվականին։ 1918 թվականին դե Սիտերի աշխատանքը ընդլայնել են Յան Սխոուտենը, իսկ 1920֊ին՝ Ադրիան Ֆոկերը։ Էֆեկտը կիրառելի է նաև աստղագիտական մարմնի որոշակի պրեցեսիայի նկատմամբ, որը համարժեք է Լապլաս֊Լունգե֊Լենցի վեկտորին։
Գեոդեզիկ էֆեկտ տերմինը երկու թեթևակի տարբեր իմաստ ունի, քանի որ շարժվող մարմինը կարող է պտտվել կամ չպտտվել։ Չպտտվող մարմինները շարժվում են գեոդեզիկ գծերով, մինչդեռ պտտվող մարմինները շարժվում են թեթևակի տարբեր ուղեծրերով։
Դե Սիտերի պրեցեսիայի և Լենսե֊Թիրինգի պրեցեսիայի տարբերությունն այն է, որ դե Սիտերի էֆեկտի պատճառը կենտրոնական զանգվածի երկարությունն է, մինչդեռ Լենսե֊Թիրինգի պրեցեսիան կենտրոնական զանգվածի պտույտի պատճառով է։ Արդյունարար պրեցեսիան հաշվարկվում է՝ միավորելով դե իտերի պրեցեսիան և Լենսե֊Թիրինգի պրեցեսիան։


== Փորձնական հաստատում ==
Գեոդեզիկ էֆեկտը 0,5%֊ից մեծ ճշտությամբ հաստատվել է Gravity Probe B փորձով, որը չափում էր գիրոսկոպի առանցքի պտույտի թեքվածությունը Երկրի ուղեծրում։ Առաջին արդյունքները հրապարակվեցին 2007 թվականի ապրիլի 14-ին Ամերիկայի ֆիզիկոսների միության հանդիպման ժամանակ։


== Բանաձևեր ==
Արտածելու համար պրեցեսիայի բանաձևը, ենթադրենք, որ համակարգը գտնվում է պտտվող Շվարցշիլդի չափականությունում։ Չպտտվող չափականությունը

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        d
        
          t
          
            2
          
        
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  2
                  m
                
                r
              
            
          
          )
        
        −
        d
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            (
            
              1
              −
              
                
                  
                    2
                    m
                  
                  r
                
              
            
            )
          
          
            −
            1
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        (
        d
        
          θ
          
            2
          
        
        +
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        
        d
        
          ϕ
          
            ′
            
              2
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=dt^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi '^{2})}
  է, որտեղ  c = G = 1։

  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
   անկյունային արագությամբ պտտվող կոորդինատական համակարգը, ինչպիսին արբանյակն է շրջանագծային ուղեծրում, θ = π/2 հարթության մեջ գտնվում է դադարի վիճակում։ Դրանից ելնելով կստանանք

  
    
      
        d
        ϕ
        =
        d
        
          ϕ
          ′
        
        −
        ω
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle d\phi =d\phi '-\omega \,dt}
  ։Այս կոորդինատական համակարգում r շառավղային կոորդինատ ունեցող դիտորդը r֊ում գտնվող վեկտորը տեսնում է ω անկյունային արագությամբ պտտվող։ r֊ից տարբեր արժեքի դեպքում դիտորդը պտույտը տեսնում է այլ արագությամբ, ինչը պայմանավորված է ժամանակի ռելյատիվիստական դանդաղումով։ Շվարցշիլդի չափականությունը փոխակերպելով պտտվող համակարգի և ենթադրելով, որ 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  ֊ն հաստատուն է, կստանանք

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  2
                  m
                
                r
              
            
            −
            
              r
              
                2
              
            
            β
            
              ω
              
                2
              
            
          
          )
        
        
          
            (
            
              d
              t
              −
              
                
                  
                    
                      r
                      
                        2
                      
                    
                    β
                    ω
                  
                  
                    1
                    −
                    2
                    m
                    
                      /
                    
                    r
                    −
                    
                      r
                      
                        2
                      
                    
                    β
                    
                      ω
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              
              d
              ϕ
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        d
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            (
            
              1
              −
              
                
                  
                    2
                    m
                  
                  r
                
              
            
            )
          
          
            −
            1
          
        
        −
        
          
            
              
                r
                
                  2
                
              
              β
              −
              2
              m
              r
              β
            
            
              1
              −
              2
              m
              
                /
              
              r
              −
              
                r
                
                  2
                
              
              β
              
                ω
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        d
        
          ϕ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)\left(dt-{\frac {r^{2}\beta \omega }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi \right)^{2}-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-{\frac {r^{2}\beta -2mr\beta }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi ^{2}}
  որտեղ 
  
    
      
        β
        =
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle \beta =\sin ^{2}(\theta )}
  ։ θ = π/2 հարթության մեջ պտտվող մարմնի համար կունենանք β = 1, իսկ մարմնի համաշխարհային գիծը ամբողջ ընթացքում կունենա հաստատուն տարածական կոորդինատներ։ Չափականությունը կանոնիկ ձևով՝

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        
          e
          
            2
            Φ
          
        
        
          
            (
            
              d
              t
              −
              
                w
                
                  i
                
              
              
              d
              
                x
                
                  i
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          k
          
            i
            j
          
        
        
        d
        
          x
          
            i
          
        
        
        d
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=e^{2\Phi }\left(dt-w_{i}\,dx^{i}\right)^{2}-k_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}
  ։Այս կանոնիկ ձևից կարող ենք հեշտությամբ որոշել գիրոսկոպի պտտման արագությունը սեփական ժամանակում․

  
    
      
        Ω
        =
        
          
            
              2
            
            4
          
        
        
          e
          
            Φ
          
        
        [
        
          k
          
            i
            k
          
        
        
          k
          
            j
            l
          
        
        (
        
          ω
          
            i
            ,
            j
          
        
        −
        
          ω
          
            j
            ,
            i
          
        
        )
        (
        
          ω
          
            k
            ,
            l
          
        
        −
        
          ω
          
            l
            ,
            k
          
        
        )
        
          ]
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  β
                
              
              ω
              (
              r
              −
              3
              m
              )
            
            
              r
              −
              2
              m
              −
              β
              
                ω
                
                  2
                
              
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
        =
        
          
            β
          
        
        ω
      
    
    {\displaystyle \Omega ={\frac {\sqrt {2}}{4}}e^{\Phi }[k^{ik}k^{jl}(\omega _{i,j}-\omega _{j,i})(\omega _{k,l}-\omega _{l,k})]^{1/2}={\frac {{\sqrt {\beta }}\omega (r-3m)}{r-2m-\beta \omega ^{2}r^{3}}}={\sqrt {\beta }}\omega }
  ,որտեղ վերջին հավասարությունը ճիշտ է միայն ազատ անկում կատարող դիտորդի դեպքում, որի համար արագացում չկա, ուստի 
  
    
      
        Φ
        
          ,
          
            i
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \Phi ,_{i}=0}
  ։ Դրանից ստանում ենք

  
    
      
        Φ
        
          ,
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              2
              m
              
                /
              
              
                r
                
                  2
                
              
              −
              2
              r
              β
              
                ω
                
                  2
                
              
            
            
              2
              (
              1
              −
              2
              m
              
                /
              
              r
              −
              
                r
                
                  2
                
              
              β
              
                ω
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \Phi ,_{i}={\frac {2m/r^{2}-2r\beta \omega ^{2}}{2(1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2})}}=0}
  ։Այս հավասարումը լուծելով ω֊ի համար, կստանանք

  
    
      
        
          ω
          
            2
          
        
        =
        
          
            m
            
              
                r
                
                  3
                
              
              β
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega ^{2}={\frac {m}{r^{3}\beta }}}
  ։Սա հիմնական Կեպլերի պարբերությունների օրենքն է, որը ռելյատիվիստորեն ճշգրիտ է, եթե արտահայտված է տրված պտտվող կոորդինատական համակարգի t ժամանակային կոորդինատի տերմիններով։ Պտտվող հաշվարկման համակարգում արբանյակը դադարի վիճակում է, բայց արբանյակի վրա գտնվող դիտորդը տեսնում է, որ գիրոսկոպի անկյունային մոմենտի վեկտորը պտտվում է ω արագությամբ։ Դիտորդը նաև տեսնում է, որ հեռավոր աստղերը պտտվում են, բայց նրանց պտույտի արագությունը մի թեթև տարբերվում է ժամանակի հապաղման պատճառով։ Եթե գիրոսկոպի սեփական ժամանակը τ է, ապա

  
    
      
        Δ
        τ
        =
        
          
            (
            
              1
              −
              
                
                  
                    2
                    m
                  
                  r
                
              
              −
              
                r
                
                  2
                
              
              β
              
                ω
                
                  2
                
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
        
        d
        t
        =
        
          
            (
            
              1
              −
              
                
                  
                    3
                    m
                  
                  r
                
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \Delta \tau =\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)^{1/2}\,dt=\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}\,dt}
  ։−2m/r տերմինը ներկայացվում է որպես գրավիտացիոն ժամանակի դանդաղում, մինչդեռ հավելյալ −m/r֊ը հաշվարկման Դիցուք α'֊ն պտտվող համակարգի կուտակվող պրեցեսիան է։ Քանի որ 
  
    
      
        
          α
          ′
        
        =
        Ω
        Δ
        τ
      
    
    {\displaystyle \alpha '=\Omega \Delta \tau }
  , պրեցեսիան հեռավոր աստղերի նկատմամբ հարաբերական ուղեծրի հանդեպ կտրվի

  
    
      
        α
        =
        
          α
          ′
        
        +
        2
        π
        =
        −
        2
        π
        
          
            β
          
        
        
          
            (
          
        
        
          
            (
            
              1
              −
              
                
                  
                    3
                    m
                  
                  r
                
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
        −
        1
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha =\alpha '+2\pi =-2\pi {\sqrt {\beta }}{\Bigg (}\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}-1{\Bigg )}}
  ։Արտահայտությամբ։ Առաջին աստիճանի Թեյլորի շարքի միջոցով կստանանք

  
    
      
        α
        ≈
        
          
            
              3
              π
              m
            
            r
          
        
        
          
            β
          
        
        =
        
          
            
              3
              π
              m
            
            r
          
        
        sin
        ⁡
        (
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle \alpha \approx {\frac {3\pi m}{r}}{\sqrt {\beta }}={\frac {3\pi m}{r}}\sin(\theta )}
  ։


== Թոմասի պրեցեսիա ==
Դե Սիտերի էֆեկտը միավորելով գրավիտացիայով կորացած տարածաժամանակի պատճառով առաջացած երկրաչափական էֆեկտին՝ կստանանք Թոմասի պրեցեսիան։ Հեղինակներից մեկը նկարագորում է այդպես, բայց մյուսները պնդում ե, որ «Թոմասի պրեցեսիան ի հայտ է գալիս Երկրի մակերևույթին գտնվող գիրոսկոպի համար․․․ բայց ոչ ազատ շարժվող արբանյակում գտնվող գիրոսկոպի համար»։ Բերված առաջին մեկնաբանությանը ներկայացվող առարկությունն այն է, որ պահանջվող Թոմասի պրեցեսիան սխալ նշանով է։


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Wolfgang Rindler (2006) Relativity: special, general, and cosmological (2nd Ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856731-8


== Արտաքին հղումներ ==
Gravity Probe B websites at NASA and Stanford University
Precession in Curved Space "The Geodetic Effect" Archived 2010-03-19 at the Wayback Machine.
Geodetic Effect