Աստիճանային շարք

Աստիճանային շարք մեկ փոփոխականով, դա ֆորմալ հանրահաշվական արտահայտություն է։

  
    
      
        F
        (
        X
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          X
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},}
  որում գործակիցներ 
  
    
      
        
          
            a
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {a_{n}}}
   ընտրվում է մի ինչ որ 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle {R}}
   օղակից։


== Աստիճանային շարքերի տարածություն ==
Տարածությունը մեկ փոփոխականով աստիճանային շարքով և գործակիցներ 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle {R}}
  -ից նշանակում են
  
    
      
        R
        [
        [
        X
        ]
        ]
      
    
    {\displaystyle R[[X]]}
  .

  
    
      
        R
        [
        [
        X
        ]
        ]
      
    
    {\displaystyle R[[X]]}
   տարածությունը ունի դիֆերենցիալ հանրահաշվի կառուցվածք (կոմուտատիվ 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle {R}}
   օղակով, ամբողջական, միավորով, եթե այդպիսին է 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle {R}}
  ) օղակը։ Այն հաճախ օգտագործում են մաթեմատիկայում նկատի առնելով, որ նրանում հեշտ ներկայացնելի և լուծելի է ֆորմալ դիֆերենցիալ-հանրահաշվական և նույնիսկ ֆունկցիոնալ հարաբերակցությունը (տես․ մեթոդ ածանցավոր ֆունկցիաներ)։ Դրա օգտագործումով այդ հարաբերակցությունը փոխակերպվում է աստիճանական գործակիցներով հանրահաշվական հավասարման։ Եթե այն թույլատրվում է, ասում է ֆորմալ աստիճանային շարքի տրված խնդրի լուծման մասին։

  
    
      
        R
        [
        [
        X
        ]
        ]
      
    
    {\displaystyle R[[X]]}
  - ում սահմամված է գումարման, բազմապատկման, ֆորմալ դիֆերենցում և ֆորմալ վերադրում գործողությունները։
Ենթադրենք

  
    
      
        F
        (
        X
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          X
          
            n
          
        
        ,
        G
        (
        X
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          b
          
            n
          
        
        
          X
          
            n
          
        
        ,
        H
        (
        X
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          c
          
            n
          
        
        
          X
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},G(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n},H(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}.}
  Այդ ժամանակ։

  
    
      
        H
        =
        F
        +
        G
        ⇔
        ∀
        n
        
        
          c
          
            n
          
        
        =
        
          a
          
            n
          
        
        +
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle H=F+G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n}}
  

  
    
      
        H
        =
        F
        
        ⋅
        
        G
        ⇔
        ∀
        n
        
        
          c
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            +
            l
            =
            n
          
        
        
          a
          
            k
          
        
        
          b
          
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{k+l=n}a_{k}b_{l}}
  

  
    
      
        H
        =
        F
        ∘
        G
        ⇔
        ∀
        n
        
        
          c
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            s
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            s
          
        
        
          ∑
          
            
              k
              
                1
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              k
              
                s
              
            
            =
            n
          
        
        
          b
          
            
              k
              
                1
              
            
          
        
        
          b
          
            
              k
              
                2
              
            
          
        
        …
        
          b
          
            
              k
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle H=F\circ G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{s=1}^{n}a_{s}\sum \limits _{k_{1}+\dots +k_{s}=n}b_{k_{1}}b_{k_{2}}\dots b_{k_{s}}}
   (այդ դեպում անհրաժեշտ է, որ պահպանվի 
  
    
      
        
          b
          
            0
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle b_{0}=0}
  )

  
    
      
        H
        =
        
          F
          ′
        
        ⇔
        ∀
        n
        
        
          c
          
            n
          
        
        =
        (
        n
        +
        1
        )
        
          a
          
            n
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle H=F'\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{n+1}}
  


== Աստիճանային շարքի զուգամիտություն ==
Իրական կամ կոմպլեքս գործակիցներով ֆորմալ աստիճանային շարքից, գրառման ճանապարհով, ինչ որ 
  
    
      
        
          X
        
      
    
    {\displaystyle {X}}
   իրական ֆորմալ փոփոխականի մեծությունից, իրական և կոմպլեքս դաշտում կարելի է ստանալ աստիճանային շարք։ Աստիճանային շարքը համարվում է զուգամիտվող (գումարվող), եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից և կոչվում է բացարձակ զուգամիտություն, եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից, վերցրած մոդուլով (նորմայով)։


=== Զուգամիտության հայտանիշներ ===
Աստիճանային շարքի համար գոյություն ունի մի քանի թեորեմ, նկարագրելով պայմանը և բնույթը զուգամիտության։

Աբելի առաջին թեորեմ։ Ենթադրենք 
  
    
      
        Σ
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Sigma \,a_{n}x^{n}}
   շարքը զուգամիտվում է 
  
    
      
        
          
            x
            
              0
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {x_{0}}}
   կետում։ Այդ ժամանակ այդ շարքը զուգամիտվում է բացարձակապես 
  
    
      
        
          
            |
          
          x
          
            |
          
          <
          
            |
          
          
            x
            
              0
            
          
          
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle {|x|<|x_{0}|}}
   շրջանում և հավասարաչափորեն այդ շրջանի 
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle {x}}
   ցանկացած կոմպակտ ենթաբազմությունում։ Հակադարձելով այդ թեորեմային, ստանում ենք, եթե աստիճանային շարքը տարամիտվում է 
  
    
      
        
          x
          =
          
            x
            
              0
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {x=x_{0}}}
   դեպքում, այն տարամիտվում է ցանկացած 
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle {x}}
   դեպքում, այնպիսիք որ 
  
    
      
        
          
            |
          
          x
          
            |
          
          >
          
            |
          
          
            x
            
              0
            
          
          
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle {|x|>|x_{0}|}}
  ։ Աբելի առաջին թեորեմայից նույնպես հետևում է, որ գոյություն ունի շրջանագծի այդպիսի 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle {R}}
   շառավիղ ( հնարավոր է, զրոյական կամ անվերջ), որ 
  
    
      
        
          
            |
          
          x
          
            |
          
          <
          R
        
      
    
    {\displaystyle {|x|<R}}
  -ի դեպքում շարքը զուգամիտում է բացարձակապես (և հավասարաչափորեն այդ շրջանի 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի 
  
    
      
        
          
            |
          
          x
          
            |
          
          <
          R
        
      
    
    {\displaystyle {|x|<R}}
  ) կոմպակտ ենթաբազմությունում, իսկ 
  
    
      
        
          
            |
          
          x
          
            |
          
          >
          R
        
      
    
    {\displaystyle {|x|>R}}
   դեպքում տարամիտում է։ Այդ 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   մեծությանը անվանում են շարքի զուգամիտության շառավիղ, իսկ 
  
    
      
        
          
            |
          
          x
          
            |
          
          <
          R
        
      
    
    {\displaystyle {|x|<R}}
   շրջանը՝ զուգամիտության շրջան։
Կոշի-Ադամարի բանաձև։ Աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը (եթե վերևի սահման գոյություն ունի և դրական է, Աստիճանային շարքի մասին Ադամարի թեորեմ) կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով․
  
    
      
        
          
            1
            R
          
        
        =
        
          
            
              
                lim
                ¯
              
            
            
              n
              →
              +
              ∞
            
          
        
        
        
          |
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          
            |
          
          
            1
            
              /
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {1 \over R}={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|a_{n}|^{1/n}}
  (Վերին սահմանի սահմանման առիթով 
  
    
      
        
          
            
              lim
              ¯
            
          
          
            n
            →
            +
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle \varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}
   տես․ «Հաջորդականության մասնակի սահման» հոդվածը)։
Ենթադրենք 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
   և 
  
    
      
        G
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle G(x)}
  , երկու աստիճանային շարք են 
  
    
      
        
          
            R
            
              F
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {R_{F}}}
   և 
  
    
      
        
          
            R
            
              G
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {R_{G}}}
   զուգամիտության շառավիղներով։ Այդ ժամանակ

  
    
      
        
          R
          
            F
            +
            G
          
        
        ≥
        min
        {
        
          R
          
            F
          
        
        ,
        
        
          R
          
            G
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle R_{F+G}\geq \min\{R_{F},\,R_{G}\}}
  

  
    
      
        
          R
          
            F
            ⋅
            G
          
        
        ≥
        min
        {
        
          R
          
            F
          
        
        ,
        
          R
          
            G
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle R_{F\cdot G}\geq \min\{R_{F},R_{G}\}}
  

  
    
      
        
          R
          
            
              F
              ′
            
          
        
        
        =
        
        
          R
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{F'}\,=\,R_{F}}
  Եթե շարքի համար 
  
    
      
        G
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle G(x)}
  -ը զրոյական ազատ անդամ է, ապա

  
    
      
        
          R
          
            F
            ∘
            G
          
        
        ≥
        
          
            
              R
              
                F
              
            
            
              
                R
                
                  F
                
              
              +
              1
            
          
        
        
          R
          
            G
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{F\circ G}\geq {R_{F} \over {R_{F}+1}}R_{G}}
  Հարցը 
  
    
      
        
          
            |
          
          x
          
            |
          
          =
          R
        
      
    
    {\displaystyle {|x|=R}}
   վերին սահմանի կետերում զուգամիտության շարքի մասին բավականին բարդ է շրջանի զուգամիտությունը և այստեղ ընդհանուր պատասխան չկա։ Ահա մի քանիսը շարքի զուգամիտության սահմանային կետերում շրջանի զուգամիտության մասին թեորեմայից։

Դալամբերի հայտանիշ։ Եթե 
  
    
      
        n
        >
        N
      
    
    {\displaystyle n>N}
   և 
  
    
      
        α
        >
        1
      
    
    {\displaystyle \alpha >1}
   դեպքում,
  
    
      
        
          |
          
            
              
                a
                
                  n
                
              
              
                a
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
          
          |
        
        ≥
        R
        
          (
          
            1
            +
            
              
                α
                n
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left|{a_{n} \over a_{n+1}}\right|\geq R\left(1+{\alpha  \over n}\right)}
   անհավասարությունը տեղի ունի,
ապա 
  
    
      
        Σ
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Sigma \,a_{n}x^{n}}
   աստիճանային շարքը զուգամիտվում է 
  
    
      
        
          
            |
          
          x
          
            |
          
          =
          R
        
      
    
    {\displaystyle {|x|=R}}
   շրջանի բոլոր կետերում և հավասարաչափ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ով։Դիրիխլիի հայտանիշ։ Եթե 
  
    
      
        Σ
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Sigma \,a_{n}x^{n}}
   աստիճանային շարքի բոլոր գործակիցները դրական են և 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
   հաջորդականությունը մոնոտոն զուգամիտվում է 0-ի, ապա այդ շարքը զուգամիտվում է 
  
    
      
        
          
            |
          
          x
          
            |
          
          =
          1
        
      
    
    {\displaystyle {|x|=1}}
   շրջանագծի բոլոր կետերում, բացի, գուցե 
  
    
      
        
          x
          =
          1
        
      
    
    {\displaystyle {x=1}}
   կետում։Աստիճանային շարքի գումարը, ինչպես 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   կոմպլեքս պարամետրի ֆունկցիա, հանդիսանում է վերլուծական ֆունկցիայի տեսության ուսումնասիրման առարկա։


== Փոփոխակումներ և ընդհանրացումներ ==
n փոփոխականով աստիճանային շարք, դա ֆորմալ հանրահաշվական տեսքի արտահայտություն է,

  
    
      
        F
        (
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        
          X
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          X
          
            n
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            
              k
              
                1
              
            
            ,
            
              k
              
                2
              
            
            ,
            …
            ,
            
              k
              
                n
              
            
            =
            0
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          a
          
            
              k
              
                1
              
            
            ,
            
              k
              
                2
              
            
            ,
            …
            ,
            
              k
              
                n
              
            
          
        
        
          X
          
            1
          
          
            
              k
              
                1
              
            
          
        
        
          X
          
            2
          
          
            
              k
              
                2
              
            
          
        
        …
        
          X
          
            n
          
          
            
              k
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum \limits _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}=0}^{+\infty }a_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\dots X_{n}^{k_{n}}}
   կամ բազմաինդեքս նշանակումներ,
  
    
      
        F
        (
        X
        )
        =
        
          ∑
          
            α
          
        
        
          a
          
            α
          
        
        
          X
          
            α
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle F(X)=\sum \limits _{\alpha }a_{\alpha }X^{\alpha },}
  որտեղ 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ը 
  
    
      
        X
        =
        (
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        
          X
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          X
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}
   վեկտորն է, 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  -ն ՝ 
  
    
      
        α
        =
        (
        
          k
          
            1
          
        
        ,
        
          k
          
            2
          
        
        ,
        …
        
          k
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \alpha =(k_{1},k_{2},\dots k_{n})}
   մուլտիինդեքսը, 
  
    
      
        
          X
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{\alpha }}
  -ն 
  
    
      
        
          X
          
            α
          
        
        =
        
          X
          
            1
          
          
            
              k
              
                1
              
            
          
        
        
          X
          
            2
          
          
            
              k
              
                2
              
            
          
        
        …
        
          X
          
            n
          
          
            
              k
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{\alpha }=X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\dots X_{n}^{k_{n}}}
   միանդամը։ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   պարամետրերով և 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   գործակիցներով աստիճանային շարքի տարածությունը նշանակվում է՝ 
  
    
      
        R
        [
        [
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        
          X
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          X
          
            n
          
        
        ]
        ]
      
    
    {\displaystyle R[[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]]}
  ։ Նրանում սահմանված է գումարման, բազմապատկման, յուրաքանչյուր փոփոխականի դիֆերենցման և 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -տեղային վերադրման գործողություններ։ Ենթադրենք

  
    
      
        F
        (
        X
        )
        =
        
          ∑
          
            α
          
        
        
          a
          
            α
          
        
        
          X
          
            α
          
        
        ,
        G
        (
        X
        )
        =
        
          ∑
          
            α
          
        
        
          b
          
            α
          
        
        
          X
          
            α
          
        
        ,
        H
        (
        X
        )
        =
        
          ∑
          
            α
          
        
        
          c
          
            α
          
        
        
          X
          
            α
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle F(X)=\sum \limits _{\alpha }a_{\alpha }X^{\alpha },G(X)=\sum \limits _{\alpha }b_{\alpha }X^{\alpha },H(X)=\sum \limits _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }.}
  Ապա.

  
    
      
        H
        =
        F
        +
        G
        ⇔
        ∀
        
          α
        
        
        
          c
          
            α
          
        
        =
        
          a
          
            α
          
        
        +
        
          b
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle H=F+G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c_{\alpha }=a_{\alpha }+b_{\alpha }}
  

  
    
      
        H
        =
        F
        
        ⋅
        
        G
        ⇔
        ∀
        
          α
        
        
        
          c
          
            α
          
        
        =
        
          ∑
          
            β
            +
            γ
            =
            α
          
        
        
          a
          
            β
          
        
        
          b
          
            γ
          
        
      
    
    {\displaystyle H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c_{\alpha }=\sum \limits _{\beta +\gamma =\alpha }a_{\beta }b_{\gamma }}
  

  
    
      
        H
        =
        
          
            
              ∂
              F
            
            
              ∂
              
                X
                
                  i
                
              
            
          
        
        ⇔
        ∀
        (
        
          k
          
            1
          
        
        ,
        
          k
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          k
          
            n
          
        
        )
        
        
          c
          
            
              k
              
                1
              
            
            ,
            
              k
              
                2
              
            
            ,
            …
            ,
            
              k
              
                n
              
            
          
        
        =
        (
        
          k
          
            i
          
        
        +
        1
        )
        
          a
          
            (
            
              k
              
                1
              
            
            ,
            
              k
              
                2
              
            
            ,
            …
            ,
            
              k
              
                i
              
            
            +
            1
            ,
            …
            ,
            
              k
              
                n
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle H={\partial F \over \partial X_{i}}\Leftrightarrow \forall (k_{1},k_{2},\dots ,k_{n})\,c_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}=(k_{i}+1)a_{(k_{1},k_{2},\dots ,k_{i}+1,\dots ,k_{n})}}
  
  
    
      
        R
        [
        [
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        
          X
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          X
          
            n
          
        
        ]
        ]
      
    
    {\displaystyle R[[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]]}
   տարածության մասին կարելի է գործնականում ասել նույնը, ինչ և 
  
    
      
        R
        [
        [
        X
        ]
        ]
      
    
    {\displaystyle R[[X]]}
  ։