Կանոնավոր եռանկյուն

Կանոնավոր (հավասարակողմ) եռանկյուն, կանոնավոր բազմանկյուն է երեք կողմերով, կանոնավոր բազմանկյուններից ամենապարզը։ Եռանկյան բոլոր կողմերը իրար հավասար են, հավասար են նաև անկյունները և յուրաքանչյուրը 60° է։


== Հատկություններ ==

Եթե կողմի երկարությունը նշանակենք a, արտագծած շրջանագծի շառավիղը R և ներգծած շրջանագծի շառավիղը r, ապա.

Ներգծած շրջանագծի շառավիղը՝
  
    
      
        r
        =
        
          
            
              3
            
            6
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a}
  Արտագծած շրջանագծի շառավիղը.
  
    
      
        R
        =
        
          
            
              3
            
            3
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle R={\frac {\sqrt {3}}{3}}a}
  Բարձրությունները, կիսորդները և միջնագծերը համընկնում են.
  
    
      
        h
        =
        m
        =
        l
        =
        
          
            
              3
            
            2
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle h=m=l={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}
  Արտագծած շրջանագծի շառավիղը հավասար է ներգծված շրջանագծի շառավղի կրկնապատիկին.
  
    
      
        R
        =
        2
        r
      
    
    {\displaystyle R=2r}
  


=== Կողմերը ===

  
    
      
        
          a
          =
          b
          =
          c
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle a=b=c}
  

  
    
      
        
          
            
              1
              a
            
          
          +
          
            
              1
              b
            
          
          +
          
            
              1
              c
            
          
          =
          
            
              
                25
                R
                r
                −
                2
                
                  r
                  
                    2
                  
                
              
              
                4
                R
                r
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}={\frac {\sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}}
   


=== Պարագիծ ===

  
    
      
        
          P
          =
          2
          R
          +
          (
          3
          
            
              3
            
          
          −
          4
          )
          r
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle P=2R+(3{\sqrt {3}}-4)r}
  

  
    
      
        
          
            P
            
              2
            
          
          =
          3
          
            r
            
              2
            
          
          +
          12
          R
          r
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle P^{2}=3r^{2}+12Rr}
   

  
    
      
        
          
            P
            
              2
            
          
          =
          3
          
            
              3
            
          
          T
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle P^{2}=3{\sqrt {3}}T}
   

  
    
      
        
          P
          =
          3
          
            
              3
            
          
          r
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle P=3{\sqrt {3}}r}
  

  
    
      
        
          P
          =
          
            
              
                3
                
                  
                    3
                  
                
              
              2
            
          
          R
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle P={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R}
  

  
    
      
        P
        =
        3
        a
        =
        3
        
          
            3
          
        
        R
        =
        6
        
          
            3
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle P=3a=3{\sqrt {3}}R=6{\sqrt {3}}r}
  


=== Անկյուններ ===

  
    
      
        
          A
          =
          B
          =
          C
          =
          
            60
            
              ∘
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle A=B=C=60^{\circ }}
  

  
    
      
        
          cos
          ⁡
          
            A
          
          +
          cos
          ⁡
          
            B
          
          +
          cos
          ⁡
          
            C
          
          =
          
            
              3
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle \cos {A}+\cos {B}+\cos {C}={\frac {3}{2}}}
  

  
    
      
        
          sin
          ⁡
          
            
              A
              2
            
          
          sin
          ⁡
          
            
              B
              2
            
          
          sin
          ⁡
          
            
              C
              2
            
          
          =
          
            
              1
              8
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\sin {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}={\frac {1}{8}}}
   


=== Մակերես ===

  
    
      
        
          S
          =
          
            
              
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
              
                4
                
                  
                    3
                  
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle S={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad }
   

  
    
      
        
          S
          =
          
            
              
                3
              
              4
            
          
          (
          a
          b
          c
          
            )
            
              
                
                
                  
                    2
                    3
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle S={\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{^{\frac {2}{3}}}}
   

  
    
      
        S
        =
        
          
            
              3
            
            4
          
        
        
          a
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              3
              
                
                  3
                
              
            
            4
          
        
        
          R
          
            2
          
        
        =
        3
        
          
            3
          
        
        
          r
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              3
            
            36
          
        
        
          P
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle S={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}=3{\sqrt {3}}r^{2}={\frac {\sqrt {3}}{36}}P^{2}}
  
Կանոնավոր եռանկյուններով կարելի է հարթություն ստանալ։
Կանոնավոր եռանկյան մեջ ինը կետերի շրջանագիծը համընկնում է ներգծված շրջանագծի հետ։


== Կանոնավոր սֆերիկ եռանկյուն ==
Ցանկացած 60°-ից 180°-ի համար գոյություն ունի կանոնավոր սֆերիկ եռանկյուն տվյալ անկյան չափերով։


== Կանոնավոր եռանկյան կառուցում ==


== Թեորեմներ հավասարակողմ եռանկյան մասին ==
Նապոլեոնի խնդիրը
Սիմսոնի ուղիղ
Վիվիանի թեորեմը
Մորլի թեորեմ
Նապոլեոնի թեորեմ
Պոմպեույի թեորեմը
Թեբոյի 1 և 2 թեորեմները
Ապոլլոնիայի կետերը
Տորիչելիի կետերը


== Տես նաև ==
Եռանկյան հիանալի կետեր
Հավասարակողմ եռանկյուն
Չևայի թեորեմ
Եռանկյուն
Ռյոլոյի եռանկյուն


== Ծանոթագրություններ ==