Ապոլոնիուսի թեորեմ

Ապոլոնիուսի թեորեմը կապ է հաստատում եռանկյան միջնագծի և նրա կողմերի երկարությունների միջև։

Սա Ստյուարտի թեորեմի մասնավոր դեպք է։ Հավասարասրուն եռանկյան դեպքում այն վերածվում է Պյութագորասի թեորեմի։ Քանի որ զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվելիս կիսում են իրար, Ապոլոնիուսի թեորեմը համարժեք է զուգահեռագծերի օրենքին։
Թեորեմը իր անունը կրում է հին հույն գիտնական Ապոլլոնիոսի պատվին։


== Ապացույց ==

Այս թեորեմը կարելի է դիտարկել որպես Ստյուարտի թեորեմ մասնավոր դեպք, այն կարելի է ապացուցել վեկտորների միջոցով։
Ստորև բերվում է մեկ այլ ապացույց, որն օգտագործում է կոսինուսների թեորեմը։
Դիցուք a-ն, b-ն և c-ն որևէ եռանկյան կողմերն են, իսկ d-ն a-ին տարված միջնագիծն է։ Միջնագիծը a-ն կբաժանի երկու m = 1/2 a երկարությամբ հատվածների։ a-ի և d-ի միջև ընկած անկյունը նշանակենք θ, իսկ θ′-ով նշանակենք նրա կից անկյունը (հետևաբար, cos θ′ = −cos θ)։ Օգտվենք կոսինուսների թեորեմից՝ θ և θ′ անկյունների համար.

  
    
      
        
          
            
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  m
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                −
                2
                d
                m
                cos
                ⁡
                θ
              
            
            
              
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  m
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                −
                2
                d
                m
                cos
                ⁡
                
                  θ
                  ′
                
                =
                
                  m
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                +
                2
                d
                m
                cos
                ⁡
                θ
                .
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\,\end{aligned}}}
  Այս երկու հավասարությունները գումարելով՝ կստանանք

  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
        =
        2
        
          m
          
            2
          
        
        +
        2
        
          d
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle b^{2}+c^{2}=2m^{2}+2d^{2}\,}
  որն էլ որ պահանջվում էր ապացուցել։


== Տեսեք նաև ==
Ստյուարտի թեորեմ


== Աղբյուրներ ==

Թեորեմի մասին PlanetMath-ում Archived 2012-03-30 at the Wayback Machine.