Բազմությունների տեսություն

Բազմությունների տեսություն, մաթեմատիկայի ճյուղ, որն ուսումնասիրում է բազմություններ՝ օբյեկտների հավաքածուներ։ Չնայած ամեն տեսակի օբյեկտներ կարող են խմբավորվել բազմության մեջ, այնուամենայնիվ բազմությունների տեսությունը կիրառվում է մաթեմատիկական օբյեկտների վրա։ Բազմությունների տեսության լեզուն կիրառելի է համարյա բոլոր մաթեմատիկական օբյեկտների համար։
Բազմությունների տեսության ժամանակակից ուսումնասիրությունների սկիզբը դրվել է 1870 թվականին Գեորգ Կանտորի և Ռիխարդ Դեդեկինդի կողմից։ Պարզ բազմությունների տեսության մեջ պարադոքսների հայտնաբերումից հետո (օրինակ՝ Ռասսելի պարադոքս)` քսաներորդ դարի սկզբում, բազմաթիվ աքսիոմատիկ համակարգեր առաջարկվեցին, որոնցից ամենահայտնին Զերմելո-Ֆրենկելի բազմությունների տեսությունն է, ընտրության աքսիոմի հետ կամ առանց։
Բազմությունների տեսությունը` մասնավորապես Զերմելո-Ֆրենկելի բազմությունների տեսությունը ընտրության աքսիոմի հետ, սովորաբար դիտարկվում է որպես մաթեմատիկայի հիմք։ Բացի իր հիմնական դերից, բազմությունների տեսությունը մաթեմատիկայի առանձին ճյուղ է՝ հետազոտողների իր ակտիվ համայնքով։ Բազմությունների տեսության ժամանակակից հետազոտությունները ընդգրկում են թեմաների բազմազան հավաքածուներ, սկսած իրական թվերի առանցքի կառուցվածքից մինչև մեծ կարդինալների համապատասխանության ուսումնասիրմամբ։


== Պատմություն ==

Մաթեմատիկական թեմաները, որպես կանոն, ծնվում և զարգանում են բազմաթիվ հետազոտողների համագործակցության միջոցով։ Բազմությունների տեսությունը, սակայն, սկիզբ է առել 1874 թվականին Գեորգ Կանտորի «Բոլոր իրական հանրահաշվական թվերի առանձնահատկությունը» հոդվածով։
Մ.թ.ա. 5-րդ դարից մաթեմատիկոսները հույն մաթեմատիկոս Զենոն Էլեացին և վաղ հնդիկ մաթեմատիկոսները  պայքարում էին անվերջություն գաղափարի հետ։ Հատկապես ուշագրավ է 19-րդ դարի առաջին կեսի Բերնարդ Բոլցանոյի աշխատությունը։ Անվերջության ժամանակակից ընկալումը սկիզբ է առել Կանտորի Իրական անալիզ աշխատանքով։ 1872 թ Կանտորի և Դեդեկինդի հանդիպումը ազդեցություն գործեց Կանտորի մտածողության վրա և հանգեցրեց 1874 թվականի Կանտորի հայտնի աշխատանքին։
Կանտորի աշխատանքը իր օրերի մաթեմատիկոսներին բաժանեց երկու բեևեռների։ Կարլ Վեյերշտրասը և Դեդեկինդը աջակցում էին Կանտորին, իսկ, ներկայումս մաթեմատիկական կոնստրուկտիվիզմի հիմնադիր համարվող, Լեոպոլդ Կրոնեկերը՝ ոչ։ Կանտորյան բազմությունների տեսությունը ի վերջո լայն տարածում ստացավ շնորհիվ Կանտորյան այնպիսի գաղափարների, ինչպիսիք են բազմությունների միջև փոխմիարժեք համապատասխանություն, նրա պնդումը, որ կան ավելի շատ իրական թվեր քան ամբողջ թվերն են, Կանտորի դրախտը՝ անվերջության անվերջությունը, որպես արդյունք բազմության հզորություն գործողությունից։
Բազմությունների տեսության բնագավառում զարթոնքի հաջորդ ալիքը բարձրացավ 1900-ականներին, երբ բացահայտվեցին որ Կանտորյան բազմությունների տեսության մի քանի հակասություններ՝ անտինոմիաներ կամ պարադոքսներ։ Բերտրան Ռասելը և Էրնստ Զերմելոն իրարից անկախ գտան պարզագույն ամենահայտնի պարադոքսը, այժմ հայտի որպես Ռասելի պարադոքս․ դիտարկենք "բոլոր այն բազմությունների բազմությունը, որոնք իրենք իրենց անդամ չեն", ինչը տանում է հակասության, քանի որ այն պետք է լինի իր անդամ և չլինի իր անդամ։ 1899 թվականին Կանտորը ինքն իրեն հարց էր տվել «Ո՞րն է բոլոր բազմությունների բազմության կարդինալ թիվը», և ստացել համապատասխան պարադոքսը։ Ռասսելը 1903 թվականին իր՝ «Մաթեմատիկայի սկզբունքները» աշխատության մեջ անդրադարձել է իր պարադոքսին։
1906 թվականին Վիլյամ Հենրի և Գրեյս Չիսհոլ Յանգ ամուսինները անգլերենով հրապարակեցին Միավորների բազմությունների տեսություն Theory of Sets of Points գիրքը։
Բազությունների տեսության վիճակը այնպիսին էր, որ պարադոքսների վերաբերյալ բանավեճերը չհանգեցրեցին դրա վերացմանը։ Զերմելոյի 1908 թվականի և Աբրահամ Ֆրանկելի և Թորաֆ Սկոլեմի 1922 թվականին գործերը հանգեցրին ZFC աքսիոմների բազմության, որը դարձավ բազմությունների տեսության մեջ ամենահաճախ օգտագործվող աքսիոմների հավաքածուն։ Վերլուծաբանների աշխատանքը, ինչպիսին Հենրի Լեբեսգը, ցույց է տալիս բազմությունների տեսության հսկայական մաթեմատիկական օգտակարությունը, որը միահյուսվել է ժամանակակից մաթեմատիկայի կառուցվածքի մեջ։ Բազմությունների տեսությունը հիմնականում օգտագործվում է որպես հիմնարար համակարգ, չնայած որոշ տիրույթներում ինչպիսիք են հանրահաշվական երկրաչափություն և հանրահաշվական տոպոլոգիա տեսությունները, համարվում են նախընտրելի հիմք։


== Հիմնական հասկացություններ և նշագրություն ==
Բազմությունների տեսությունը սկսվում է o օբյեկտի և A բազմության միջև հիմնարար երկտեղ հարաբերությունից։ Եթե o-ն A բազմության տարր է, ապա օգտագործվում է o ∈ A նշագրումը։ Քանի որ բազմություններն օբյեկտներ են, ապա բազմությունները նույնպես կարող են բազմության տարր կամ անդամ լինել։
Դրանից բխում է երկու բազմությունների միջև ներառման կամ ենթաբազմության հարաբերությունը։ Եթե A բազմության բոլոր տարրերը նաև B բազմության տարրեր են, ապա A-ն B-ի ենթաբազմություն է՝ A ⊆ B։ Օրինակ {1, 2} -ը {1, 2, 3} -ի ենթաբազմություն է և ենթաբազմություն է նաև {2} -ը, բայց ոչ {1, 4} -ը։ Ըստ սահմանման բազմությունը ինքն իր ենթաբազմությունն է։ Այն դեպքերում, երբ այս հնարավորությունն անիմաստ է, սահմանվում է իսկական ենթաբազմություն տերմինը։  A-ն կոչվում է B-ի սեփական ենթաբազմություն, այն և միայն այն դեպքում, եթե A-ն B-ի ենթաբազմություն է, բայց  A-ն հավասար չէ B-ին։ Նշենք նաև, որ 1, 2 և 3-ը {1, 2, 3} -ի տարրեր են, բայց ոչ ենթաբազմություններ, իր հերթին ենթաբազմությունը, ինչպիսին {1}-ն է, {1, 2, 3}  բազմության տարր չի։
Ինչպես թվաբանության թվերի վրա երկտեղ գործողությունները, բազմությունների տեսությունում գործում են երկտեղ գործողությունները բազմությունների նկատմամբ։ 

 Բազմությունների միավորում A և B բազմությունների գումարը՝ A ∪ B, բոլոր այն օբյեկտների բազմությունն է, որոնք     A կամ B բազմությունների կամ երկուսի միաժամանակ տարրերն են։ {1, 2, 3}  և {2, 3, 4}  բազմությունների գումարը {1, 2, 3, 4}  բազմությունն է։
 Բազմությունների հատում A և B բազմությունների հատումը՝ A ∩ B, բոլոր այն օբյեկտների բազմությունն է, որոնք միաժամանակ A և B բազմությունների տարրեր են։
 Բազմությունների տարբերություն U and A բազմությունների տարբերությունը՝ U \ A, U բազմության բոլոր այն տարրերի բազմությունն է, որոնք A բազմության տարրեր չեն։ {1, 2, 3} \ {2, 3, 4}  տարբերությունը {1}  բազմությունն է, մինչդեռ հակառակ {2, 3, 4} \ {1, 2, 3}  տարբերությունը հավասար է {4}  բազմությանը։
 Բազմության լրացում Երբ A-ն U-ի ենթաբազմություն է, U \ A տարբերությունը նաև կոչվում է A-ի լրացումը U-ում։ Այն դեպքերում, երբ կոնտեքստից պարզ է U-ի ընտրությունը, U \ A նշագրման փոխարեն օգտագործվում է Ac նշագրումը, հատկապես, երբ U-ն ունիվերսալ բազմություն է, ինչպես Վենն դիագրամների ուսումնասիրություններում։
Սիմետրիկ տարբերություն  A և B բազմությունների սիմետրիկ տարբերությունը՝ A △ B կամ A ⊖ B, այն բոլոր տարրերի բազմությունն է, որոնք միայն  A և B բազմություններից միայն մեկի տարր են (այն տարրերը, որոնք միայն մեկ բազմության մեջ են, այլ ոչ երկուսի)։ Օրինակ, {1, 2, 3}  և {2, 3, 4}  բազմությունների սիմետրիկ տարբերությունն է {1, 4} -ը։ Այն բազմությունների միավորման և հատման տարբերությունն է՝ (A ∪ B) \ (A ∩ B) կամ (A \ B) ∪ (B \ A)։
Դեկարտյան արտադրյալ A և B բազմությունների դեկարտյան արտադրյալը՝  A × B, այն բոլոր հնարավոր (a, b) կարգավորված զույգերի բազմությունն է, որտեղ a-ն A-ի տարր է և b-ն   B-ի։ {1, 2} և {red, white} բազմությունների դեկարտյան արտադրյալը հավասար է {(1, red), (1, white), (2, red), (2, white)}. բազմությանը։
հզոր բազմություն A-ի հզորությունը, այն բոլոր տարրերի բազմությունն է, որի տարրերը A-ի բոլոր հնարավոր ենթաբազմություններն են։ Օրինակ, {1, 2} -ի հզոր բազմությունը { {}, {1}, {2}, {1, 2} } -ն է։Դատարկ բազմությունը (տարրեր չպարունակող յուրահատուկ բազմություն, զրո բազմություն), բնական թվերի բազմությունը, իրական թվերի բազմությունը կարևոր նշանակություն ունեն։


== Որոշ օնտոլոգիա ==

Բազմությունը կոչվում է մաքուր բազմություն, եթե նրա բոլոր տարրերը բազմություններ են, դրանց բոլոր տարրերը բազմություններ են և այդպես շարունակ։ Օրինակ, միայն դատարկ բազմություն պարունակող {{}} բազմությունը ոչ դատարկ մաքուր բազմություն է։ Ժամանակակից բազմությունների տեսությունում, ընդուված է ուշադրությունը սահմանափակել մաքուր բազմությունների Ֆոն Նոյմանի տիեզերքով և բազմությունների աքսիոմատիկ տեսության շատ համակարգեր նախատեսված են աքսիոմատիզացնելու միայն մաքուր բազմությունները։ Այս սահմանափակումը բազմաթիվ առավելություններ ունի, և ընդանրությունն առանձնապես չի տուժում, քանի որ հիմնականում մաթեմատիկական հասկացությունները կարող են մոդելավորվել մաքուր բազմությունների միջոցով։ Ֆոն Նոյմանի տարածության մեջ բազմությունները կոմուլյատիվ հիերարխիայով են կազմակերպված, որը հիմնված է որքան խորն են դրանց տարրերը, տարրերի տարրերը և այլն ներդրված։ Այս հիերարխիայի յուրաքանչյուր բազմությանը տրանսֆինիտ ռեկուրսիայով տրվում է կարգային համար, հայտնի որպես ռանգ։ X մաքուր բազմության ռանգը սահմանվում է որպես X-ի բոլոր տարրերի ռանգերի իրավահաջորդների ամենափոքր վերին սահմանը։ Օրինակ, դատարկ բազմությունն ունի 0 ռանգ, մինչդեռ միայն դատարկ բազմություն պարունակող  {{}}  բազմությանը տրվում է ռանգ 1։ Յուրաքանչյուր a օրդինալի համար սահմանվում է Vα բազմություն, որը բաղկացած է α-ից փոքր ռանգ ունեցող մաքուր բազմություններից։ Ֆոն Նոյմանի ողջ տիեզերքը նշանակվում է V-ով։


== Աքսիոմատիկ բազմությունների տեսություն ==
Բազմությունների տարրական տեսությունը կարելի է ուսումնասիրել ոչ ֆորմալ և ինտուիտիվ ձևով, ուստի կարելի է դասավանդել տարրական դպրոցում, օգտագործելով Վենն դիագրամները։ Ինտուիտիվ մոտեցումը լռելայն ենթադրում է, որ բազմությունը կարող է ձևավորվել որևէ որոշակի պայմանի բավարարող բոլոր օբյեկտների դասից։ Այս ենթադրությունը ծնում է պարադոքսներ, որոնցից ամենապարզը և ամենահայտնին են Ռասելի պարադոքսը և Բուրալի-Ֆորտի պարադոքսը։ Աքսիոմատիկ բազմությունների տեսությունը ստեղծվել է բազմությունների տեսությունը այդպիսի պարադոքսներից զերծ պահելու համար։
Աքսիոմատիկ բազմություների տեսության լայնորեն ուսումնասիրված համակարգերը ենթադրում են, որ բոլոր բազմությունները կազմում են կոմյուլատիվ հիերարխիա։ Այդպիսի համակարգերը լինում են երկու տիպի, այնպիսիք, որոնց օնտոլոգիան բաղկացած է․

Միայն բազմություններից։ Սա ներառում էամենաընդհանուր աքսիոմատիկ բազմությունների տեսությունը, Զերմելո-Ֆրանկելի բազմությունների տեսություն (ZFC), որը ներառում է ընտրության աքսիոմը։ ZFC-ի ֆրագմենտները ներառում են․
Զերմելոյի բազմությունների տեսությունը, որը փոխարինման աքսիոմը փոխարինում է տարանջատման աքսիոմով։
Բազմությունների ընդհանուր տեսություն, Պեանոյի աքսիոմին և վերջավոր բազմություններին բավարարող Զերմելոյի բազմությունների տեսության փոքր հատված։
Կրիպկե-Պլատեկի բազմությունների տեսություն, որը բացառում է անվերջության աքսիոմները, բազմության հզորության աքսիոմը և ընտրության աքսիոմը և թուլացնում են տարանջատման սխեմայի աքսիոմy և փոխարինման սխեմայի աքսիոմը։
Բազմություններ և իսկական դասեր։ Սրանք ներառում են Ֆոն Նյուման-Բեռնեյս-Գյոդել բազմությունների տեսություն, որը միայն բազմություններին վերաբերող թեորեմների համար նույն ուժն ունի, ինչ ZFC-ն,իսկ Մորս-Կելլի բազմությունների տեսությունը և Տարսկի-Գրոտենդիեկ բազմությունների տեսությունը, որոնք երկուսն էլ ավելի ուժեղ են քան ZFC-ն։Վերոնշյալ համակարգերը կարող են մոդիֆիկացվել թույլատրելու պրո-տարրեր, օբյեկտներ, որոնք կարող են լինել բազմության անդամներ, բայց դրանք ինքնին բազմություններ չեն և չունեն որևէ անդամ։
Նոր Ֆոնդերի՝ NFU համակարգը (պրոտարրեր թույլատրող) և NF (դրանց բացառող) հիմնված չեն կոմուլյատիվ հիարխիայի վրա։ NF և NFU ներառում է "ամեն ինչի բազմություն, " որոնց համեմատ յուրաքանչյուր բազմություն լրացում ունի։ Այս համակարգերում պրոտարրերը կարևոր են, քանի որ NF, բայց ոչ NFU-ն ծնում է բազմություններ, որոնց համար ընտրության աքսիոման տեղի չունի։
Բազմությունների կոնստրուկտիվ տեսության համակարգերը, այնպիսիք, ինչպիսին CST, CZF, և IZF-ն են, դասական տրամբանության աքսիոմները փոխարինվել են ինստուիցիոնիստական տրամաբանության աքսիոմներով։ Այլ համակարգեր ընդունում են դասական տրամաբանությունը, բայց ցուցադրում ոչ ստանդարտ անդամության հարաբերություն։


== Կիրառություններ ==
Բազմաթիվ մաթեմատիկական հասկացություններ ճշգրիտ կարող են սահմանվել միայն բազմությունների տեսության հասկացությունների միջոցով։ Օրինակ, բազմազան մաթեմատիկական կառուցվածքներ, ինչպիսիք գրաֆները, օղակները, վեկտորական տարածությունները կարող են սահմանվել որպես տարբեր աքսիոմատիկ հատկությունների բավարարող բազմություններ։ Համարժեքությունը և կարգի հարաբերությունները ամենուրեք են մաթեմատիկայում, և մաթեմատիկական հարաբերությունների տեսությունը կարելի է նկարագրել բազմությունների տեսության լեզվով։
Բազմությունների տեսությունը խոստումնալից հիմնարար համակարգ է մաթեմատկայի մեծ մասի համար։ Մաթեմատիկայի հիմունքների առաջին հատորի հրապարակումից սկսած, պնդվում էր, որ մաթեմատիկական թեորեմների մեծ մասը նույնիսկ բոլորը կարող են դուրս բերվել բազմությունների տեսության մի շարք աքսիոմների միջոցով, լրացնելով առաջին կարգի կամ երկրորդ կարգի տրամաբանության բազմաթիվ սահմանումներով։ Օրինակ, բնական թվերի և ռեալ թվերի հատկությունները կարող են դուրս բերվել բազմությունների տեսությունում, քանի որ յուրաքանչյուր թվային համակարգ կարող է նույնականացվել համարժեք դասերի բազմության հետ, համապատասխան համարժեքության հարաբերության ներքո, որի դաշտը որևէ անվերջ բազմություն է։
Բազմությունների տեսությունը որպես մաթեմատիկական անալիզի, տոպոլոգիայի, աբստրակտ հանրահաշվի և դիսկրետ մաթեմատիկայի հիմք անվիճելի է՝ մաթեմատիկոսներն ընդունում են, որ, սկզբունքորեն, որ այդ բնագվառների թեորեմները կարող են դուրս բերվել բազմությունների տեսության համապատասխան սահմանումներից և աքսիոմներից։ Սակայն քիչ թվով բարդ մաթեմատիկական թեորեմների դուրս բերումն է հաստատվել բազմությունների տեսության միջոցներով, քանի որ դրանց ապացույցները շատ ավելի երկար են, քան հենց այդ ճյուղի մաթեմատիկոսների կողմից ներկայացրած ապացույցները։ Մի հաստատման նախագիծ՝ Մետամաթը պարունակում է մարդկանց կողմից գրված, կոմփյուտերների կողմից հաստատված ավելի քան 12,000 ZFC բազմությունների տեսության, պրեդիկատների տրամաբանության և ասույթների տրամաբանության թեորեմներ։


== Ուսումնասիրության ոլորտներ ==
Բազմությունների տեսությունը, իր բազմաթիվ փոխկապակցված  ենթադաշտերով, մաթեմատիկական հետազոտության հիմնական ոլորտն է։


=== Կոմբինատոր բազմությունների տեսություն ===

Կոմբինատոր բազմությունների տեսությունը վերաբերում է վերջավոր կոմբինատորիկայի ընդլայնմանը դեպի անվերջ բազմություններ։ Այն ներառում է կարդինալ թվաբանության և Ռամսեի թեորեմի ընդլայնումների ուսումնասիրությունը, ինչպիսին Էրդոս-Ռադո թեորեմն է։


=== Բազմությունների դիսկրիպտիվ տեսություն ===

Բազմությունների դիսկրիպտիվ տեսությունը իրական ուղղի ենթաբազմությունների, և ավելի ընդհանուր, Լեհական տարածության ենթաբազմությունների ուսումնսիրությունն է։ Այն սկսվում է Բորելյան հիերարխիայի կետային դասերի ուսումնասիրությունից և ընդլայնվում է դեպի ավելի բարդ հիերարխիաներ, ինչպիսիք պրոյեկցիոն և Վայի հիերարխաներն են։ Բորելյան բազմության շատ հատկություններ կարող են ստեղծվել ZFC-ում, սակայն այս հատկությունների ապացույցն ավելի բարդ բազմությունների համար, պահանջում է որոշակիության և խոշոր կարդինալների հետ կապված լրացուցիչ աքսիոմատներ։
Արդյունավետ դիսկրիպտիվ բազմությունների տեսությունը գտնվում է բազմությունների տեսության և ռեկուրսիվ տեսության միջև։ Այն ներառում է մակերեսային կետային դասերի ուսումնասիրությունը, և սերտ կապված է հիպերթվաբանական տեսությանը։ Շատ դեպքերում դասական դիսկրիպտիվ բազմությունների տեսության արդյունքներն ունեն արդյունավետ տարբերակներ, որոշ դեպքերում նոր արդյունքները ստանում են սկզբում արդյունավետ տարբերակը, ապացուցելով և այնուհետ ("հարաբերականորեն") ավելի լայնորեն այն կիրառելի դարձնում։
Հետազոտությունների վերջին բնագավառը վերաբերում է Բորելի համազորության հարաբերությանը և ավելի բարդ սահմանվող համազորության հարաբերություններին։ Սա ունի կարևոր կիրառություններ մաթեմատիկայի շատ բնագավառներում ինվարիանտների ուսումնասիրության համար։ 


=== Անորոշ բազմությունների տեսություն ===

Բազմությունների տեսությունում ինչպես Կանտորը սահմանաել է և Զերմելոն և Ֆրանկը աքսիոմզտիզացրել են, օբյեկտ, որ կամ բազմության անդամ է կամ՝ ոչ։  Անորոշ բազմությունների տեսությունում այս պայմանը Լոտֆի Զադեի կողմից թուլացվել է՝ օբյեկտն ունի բազմության անդամության աստիճան՝0 և 1-ի միջակայքում ընկած թիվ։ Օրինակ, անձի անդամությունը "բարձրահասակ մարդկանց" բազմմությանը ավելի ճկուն է, քան պարզապես այո կամ ոչ պատասխանը և կարող է ռեալ թիվ լինել, ասենք 0.75։


=== Ներքին մոդելների տեսություն ===

Զերմելո-Ֆրանկելի բազմությունների տեսության ներքին մոդել է կոչվում տրանզիտիվ դասը, որ պարունակում է բոլոր օրդինալները և բավարարում է ZF-ի բոլոր աքսիոմներին։ Ներքին մոդելի կանոնական օրինակ է Գյոդելի կողմից զարգացրած L կոնստրուկտիվ տարածությունը։ 
Ներքին մոդելների ուսումնասիրությունը կարևորման պատճառներից մեկն այն է, որ այն կարող է օգտագործվել արդյունքների համաձայնեցվածությունն ապացուցելու համար։ Օրինակ, կարելի է ցույց տալ, որ անկախ նրանից ZF-ի V մոդելը բավարարում է կոնտինիում հիպոթեզին կամ ընտրության աքսիոմին, սկզբնական մոդելի ներսում կառուցած L ներքին մոդելը կբավարարի երկուսին էլ՝ թե ընդհանրացված կոնտինիում հիպոթեզին և թե ընտրության աքսիոմին։  Այսպիսով, ենթադրությունը, որ ZF-ը համաձայնեցված է (ամենաքիչը մի մոդել ունի) նշանակում է, որ ZF-ը միաժամանակ համաձայնեցված է երկու այդ սկզբունքների հետ։
Ներքին մոդելների ուսումնասիրությունը ընդունված է դետերմինացվածության և մեծ կարդինալների ուսումնասիրության մեջ, հատկապես, երբ դիտարկվող աքսիոմներն, ինչպիսիք դետերմիացվածության աքսիոմներն են, ընտրության աքսիոմի հետ գտնվում են հակասության մեջ։ Նույնիսկ, եթե բազմությունների տեսության կոնկրետ մոդելը բավարարում է ընտրության աքսիոմին, բացառված չէ, որ ներքին մոդելը կարող է չբավարարել ընտրության աքսիոմին։  Օրինակ, մեծ կարդինալների գոյությունը ենթադրում է, որ գոյություն ունի ներքին մոդել, որ բավարարում է դետերմինության աքսիոմին (և հետևաբար չի բավարարում ընտրության աքսիոմին)։


=== Խոշոր կարդինալներ ===

Խոշոր կարդինալը հավելյալ հատկությամբ կարդինալ թիվ է։ Բազմաթիվ այդպիսի հատկություններ են ուսումնասիրվում, ներառյալ անմատչելի կարդինալներ չափելի կարդինալներ և և էլի շատ։ Այս հատկությունները ենթադրում են, որ կարդինալը չափազանց մեծ պետք է լինի, այն դեպքում, երբ Զերմելո-Ֆրանկելի բազմությունների տեսության մեջ գոյություն ունի չապացուցվող մասնավոր հատկությամբ կարդինալ։ 


=== Որոշակիություն ===

Որոշակիությունը վերաբերում է փաստին, որ համապատասխան ենթադրությունների դեպքում, ամբողջական տեղեկատվությամբ երկու խաղացողով կոնկրետ խաղերը հենց սկզբից որոշակի են, այն իմաստով, որ մի խաղացողը պետք է ունենա հաղթող ռազմավարություն։ Այս ռազմավարությունների գոյությունը կարևոր հետևանքներ ունի բազմությունների դիսկրիպտիվ տեսության մեջ, քանի որ ենթադրությունը, որ խաղերի ավելի լայն դաս է որաշակի, հաճախ նկատի է առնվում, որ բազմությունների ավելի լայն դաս տոպոլոգիական հատկություն կունենա։ Որոշակիության աքսիոմը (AD) ուսումնասիրության կարևոր օբյեկտ է, չնայած այն անհամեմատելի է ընտրության աքսիոմին, AD-ն ենթադրում է, որ իրական ուղղի բոլոր ենթաբազմությունները լավ են դրսևորվում (մասնավորապես չափելի են և կատարյալ բազմության հատկությամբ)։ AD-ն կարող է օգտագործվել ապացուցելու, որ Վադջ աստիճաններն ունեն էլեգանտ կառուցվածք։


=== Հարկադրում ===

Պոլ Կոենը ZFC-ի մոդելի որոնման ընթացքում ֆորսինգի այնպիսի մոդել է հայտնագործում, որում կոնտինիում հիպոթեզը տեղի չունի, կամ ZF-ի մոդել, որում ընտրության աքսիոմը տեղի չունի։ Ֆորսինգը բազմությունների տեսության որևէ տված մոդելին միացնում է լրացուցիչ բազմություններ, որպեսզի ստեղծի սկզբնական մոդելի կառուցվածքով և հատկություններով (այսինքն, "հարկադիր") ավելի խոշոր մոդել։ Օրինակ, Կոենի կառուցվածքին միացնում է իրական թվերի լրացուցիչ ենթաբազմություններ, առանց սկզբնական մոդելի կարդինալ թվերի որևէ փոփոխության։ Ֆորսինգը նաև հարաբերական համադրության ստուգման երկու մեթոդներից մեկն է՝ վերջավոր մեթոդների օգնությամբ, մյուս մեթոդը Բուլյան արժեքներով մոդելների մեթոդն է։ 


=== Կարդինալ ինվարիանտներ ===

Կարդինալ ինվարիանտը կարդինալ թվով չափվող իրական ուղղի հատկություն է։ Օրինակ, իրական թվերի մնացորդային բազմությունների լավ ուսումնասիրված ինվարիանտը, որոնց միավորումը ողջ իրական ուղիղն է, ամենափոքր հզորությունն է։ Դրանք ինվարիանտ են այն իմաստով, որ բազմությունների տեսության յուրաքանչյուր երկու իզոմորֆիկ մոդելներ պետք է յուրաքանչյուր ինվարիանտի համար տան նույն կարդինալը։ Բազմաթիվ կարդինալ ինվարիանտներ են ուսումնասիրված, և դրանց միջև հարաբերությունները հաճախ բարդ են և վերաբերում են բազմությունների տեսության աքսիոմներին։  


=== Բազմությունների տեսական տոպոլոգիա ===

Բազմությունների տեսական տոպոլոգիան ուսումնասիրում է ընդհանուր տոպոլոգիայի հարցերը, որոնք իրենց բնույթով բազմությունների տեսությանն են վերաբերում, կամ դրանց լուծման համար պահանջվում է բազմությունների տեսության նորարական մեթոդներ։ Այդ թեորեմների մեծ մասը ZFC-ից անկախ են, դրանց ապացույցի համար ավելի խիստ աքսիոմներ են պահանջվում։ Հայտնի խնդիր է Մուրի տարածական խնդիրը, ընդհանուր տոպոլոգիայի խնդիր, որն ինտենսիվ հետազոտությունների առարկա էր։ Մուրի տարածական խնդրի հարցը վերջնականապես պարզվեց, որ անկախ է ZFC-ից։


== Առարկություններն ընդդեմ բազմությունների տեսության, որպես մաթեմատիկայի հիմք ==
Բազմությունների տեսության հենց առաջին քայլերից որոշ մաթեմատիկոսներ ընդդիմանում էին Կանտորի տեսությանը՝ բազմությունների տեսությունը որպես մաթեմատիկայի հիմք ընդունելուն։ Բազմությունների տեսության դեմ ամենատարածված առարկությունը,որ հնչեցրել էր Լեոպոլդ Կրոնեկերը բազմությունների տեսության վաղ տարիներին, սկսվում է մաթեմատիկական կոնստրուկտիվիզմի տեսակետից, որ մաթեմատիկան կապված է հաշվարկների հետ։ Եթե այս տեսակետն ընդունվում է, ապա անվերջ բազմությունների գործածումը նաիվ և աքսիոմատիկ բազմությունների տեսություն են մտցնում մաթեմատիկական մեթոդներ և օբյեկտներ, որոնք սկզբունքորեն հաշվարկելի չեն։ Կոնստրուկտիվիզմի, որպես մաթեմատիկայի հիմքի փոխարինման հնարավորությունը էականորեն բարձրացավ Էրետ Բիշոպի   Կոնստրուկտիվ անալիզի հիմունքները հեղինակավոր գրքով։
Անրի Պուանկարեի կողմից առաջադրած առարկությունն այն էր, որ հատկորոշման սխեմայի աքսիոմների, փոխարինման սխեմայի աքսիոմների, ինչպես նաև բազմության հզորության աքսիոմի օգտագործմամբ բազմությունների սահմանումը ներկայացնում է անկանխատեսելիությունը որպես մաթեմատիկական օբյեկտների սահմանման մեջ շրջանաձև տեսակը։ Կանխատեսելի հիմնավորված մաթեմատիկայի ծավալը չնայած փոքր է քան ընդհանուր առմամբ ընդունված Զերմելո-Ֆրենկելի տեսությունը, շատ ավելի մեծ է քան կոնստրուկտիվ մաթեմատիկան, այնքան,որ Սողոմոն Ֆեֆերմանն ասել է "բոլոր գիտականորեն կիրառելի վերլուծությունները կարող են դուրս բերվել օգտագործելով կանխատեսելի մեթոդները"։
Լյուդվիգ Վիտգենշտայնը խոտանեց բազմությունների տեսությունը։ Նա գրել է, որ "բազմությունների տեսությունը սխալ է", քանի որ այն կառուցվում է կեղծ սիմվոլիզմի, "անհեթեթության" վրա, ունի "վնասակար արտահայտություններ", և անիմաստ է խոսել "բոլոր թվերի" մասին։ Մաթեմատիկայի հիմունքների մասին Վիտգենշտայնի տեսակետները հետագայում քննադատվեցին Ջորջ Կրայսելի և Պոլ Բերնայսի կողմից, և հետազոտվեցին  Կրիսպին Րայթի և այլոց կողմից։
Կատեգորիաների տեսության տեսաբանները առաջադրեցին տոպոս տեսությունը, որպես այլընտրանք, դասական աքսիոմատիկ բազմությունների տեսությանը։ Տոպոս տեսությունը կարող է մեկնաբանել այդ տեսության տարբեր այլընտրանքներ, այդպիսիք, ինչպիսին մաթեմատիկական կոնստրուկտիվիզմը, վերջավոր բազմությունների տեսությունը, հաշվարկելի բազմությունների տեսությունը։ Տոպոսը նաև   ֆորսինգի և քննարկման համար ZF-ից անկախ ընտրության բնական միջավայր է տալիս, ինչպես նաև անիմաստ տոպոլոգիայի և քարե տարածության հիմք է ապահովում։
Հետազոտության ակտիվ ոլորտը միաշերտ հիմքերն են և դրա հետ կապված տիպերի հոմեոպատիկ տեսությունը։ Այստեղ բազմությունները կարող են սահմանվել որպես բազմությունների բարձր ինդուկտիվ տիպերից առաջացող բազմությունների ունիվերսալ հատկություններով տիպերի որոշակի տեսակներ։ Սկզբունքները, ինչպիսիք ընտրության աքսիոմն է և երրորդի բացառման օրենքը առաջ են գալիս տարբեր ձևերի սպեկտրում, որոնցից մի քանիսը կարող են ապացուցվել, մյուսները, որ համապատասխանում են դասական գաղափարներին․ սա թույլ է տալիս ավելի մանրամասն քննարկել այդ աքսիոմների ազդեցությունը մաթեմատիկայի վրա։


== Ծանոթագրություններ ==