Xʸ = yˣ հավասարում

Թեև աստիճանի բարձրացումը տեղափոխական չէ, բայց 
  
    
      
        
          x
          
            y
          
        
        =
        
          y
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{y}=y^{x}}
   հավասարումը լուծում ունի որոշ 
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
   թվերի համար, օրինակ՝ 
  
    
      
        x
        =
        2
        ,
        y
        =
        4
      
    
    {\displaystyle x=2,y=4}
  ։


== Պատմություն ==

  
    
      
        
          x
          
            y
          
        
        =
        
          y
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{y}=y^{x}}
   հավասարումը հիշատակվել է Դանիել Բեռնուլիի՝ Քրիստիան Գոլդբախին ուղղված նամակում (29 հունիսի, 1728)։ Նամակում ասվում է, որ 
  
    
      
        x
        ≠
        y
      
    
    {\displaystyle x\neq y}
   դեպքում 
  
    
      
        (
        2
        ,
        4
        )
      
    
    {\displaystyle (2,4)}
   զույգն այդ հավասարման լուծում հանդիսացող միակ բնական թվերն են, չնայած գոյություն ունեն ռացիոնալ թվերով բազմաթիվ լուծումներ։ Գոլդբախի պատասխան նամակում (31 հունվարի, 1729) ներկայացվել է հավասարման լուծումը, որն ստացվել է 
  
    
      
        y
        =
        v
        x
      
    
    {\displaystyle y=vx}
   փոխարինմամբ։ Նմանատիպ լուծում է տվել Լեոնարդ Էյլերը։ Ի․ վան Հենգելը (J. van Hengel) նշել է, որ եթե 
  
    
      
        r
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle r,n}
   դրական ամբողջ թվեր են, 
  
    
      
        r
        ⩾
        3
      
    
    {\displaystyle r\geqslant 3}
   или 
  
    
      
        n
        ⩾
        3
        ,
      
    
    {\displaystyle n\geqslant 3,}
   ապա 
  
    
      
        
          r
          
            r
            +
            n
          
        
        >
        (
        r
        +
        n
        
          )
          
            r
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle r^{r+n}>(r+n)^{r},}
   այդպիսով՝ հավասարումը բնական թվերով լուծելու համար բավական է դիտարկել 
  
    
      
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x=1}
   и 
  
    
      
        x
        =
        2
      
    
    {\displaystyle x=2}
   դեպքերը։
Հավասարումը բազմիցս դիտարկվել է մաթեմատիկական գրականության մեջ։ 1960 թվականին այն ընդգրկվել է Պատնեմի անվան ուսանողական օլիմպիադայի առաջադրանքների ցանկում, ինչը Ա. Հաուսներին դրդել է ընդլայնել լուծումների թիվը հանրահաշվական թվերով։


== Լուծում իրական թվերով ==
Դրական իրական թվերով տրիվիալ լուծումների անսահման բազմությունը 
  
    
      
        x
        =
        y
      
    
    {\displaystyle x=y}
   հավասարման լուծումներն են։ Ոչ տրիվիալ լուծումներ կարելի է գտնել, եթե ընդունենք՝ 
  
    
      
        x
        ≠
        y
        ,
      
    
    {\displaystyle x\neq y,}
   
  
    
      
        y
        =
        v
        x
      
    
    {\displaystyle y=vx}
  ։
Այդ դեպքում՝

  
    
      
        (
        v
        x
        
          )
          
            x
          
        
        =
        
          x
          
            v
            x
          
        
        =
        (
        
          x
          
            v
          
        
        
          )
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle (vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}}
  ։Հավասարման երկու կողմերն էլ 
  
    
      
        
          
            
              1
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}
   աստիճան բարձրացնելու և հետո 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի բաժանելու դեպքում ստանում ենք․

  
    
      
        v
        =
        
          x
          
            v
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle v=x^{v-1}}
  ։Այդ դեպքում դրական իրական թվերով ոչ տրիվիալ լուծումներն արտահայտվում են որպես

  
    
      
        x
        =
        
          v
          
            
              1
              
                v
                −
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x=v^{\frac {1}{v-1}}}
  ,

  
    
      
        y
        =
        
          v
          
            
              v
              
                v
                −
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle y=v^{\frac {v}{v-1}}}
  ։Բնական թվերով 
  
    
      
        
          4
          
            2
          
        
        =
        
          2
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle 4^{2}=2^{4}}
   ոչ տրիվիալ լուծում կարելի է ստանալ, եթե 
  
    
      
        v
        =
        2
      
    
    {\displaystyle v=2}
   կամ 
  
    
      
        v
        =
        
          
            
              1
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle v={\tfrac {1}{2}}}
  ։


=== Լուծում Լամբերտի W ֆունկցիայի տերմիններով ===

  
    
      
        
          y
          
            x
          
        
        =
        
          x
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle y^{x}=x^{y}}
   հավասարման լուծումը կարելի է արտահայտել Լամբերտի 
  
    
      
        W
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle W(x)}
   ոչ տարրական W ֆունկցիայով 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   փոփոխականով․

  
    
      
        
          y
          
            x
          
        
        =
        
          x
          
            y
          
        
        ⟺
        
          y
          
            
              1
              y
            
          
        
        =
        
          x
          
            
              1
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow y^{\frac {1}{y}}=x^{\frac {1}{x}}}
  , կատարենք փոխարինում՝ 
  
    
      
        x
        =
        
          
            1
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle x={\frac {1}{z}}}
  :

  
    
      
        
          y
          
            
              1
              y
            
          
        
        =
        
          
            (
          
        
        
          
            1
            z
          
        
        
          
            
              )
            
          
          
            1
            ÷
            
              
                1
                z
              
            
          
        
        ⟺
        
          
            (
          
        
        
          
            1
            z
          
        
        
          
            
              )
            
          
          
            z
          
        
        =
        
          y
          
            
              1
              y
            
          
        
        ⟺
        
          z
          
            −
            z
          
        
        =
        
          y
          
            
              1
              y
            
          
        
        ⟺
        
          z
          
            z
          
        
        =
        
          y
          
            −
            
              
                1
                y
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle y^{\frac {1}{y}}={\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{1\div {\frac {1}{z}}}\Longleftrightarrow {\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{-z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{z}=y^{-{\frac {1}{y}}}}
  
Այդ դեպքում 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   փոփոխականը կարելի է արտահայտել Լամբերտի W ֆունկցիայով․ 
  
    
      
        z
        =
        
          e
          
            W
            
              
                (
              
            
            ln
            ⁡
            
              
                (
              
            
            
              y
              
                −
                
                  
                    1
                    y
                  
                
              
            
            
              
                )
              
            
            
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle z=e^{W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}}
  
Վերջնական լուծումը կունենա հետևյալ տեսքը․ 
  
    
      
        x
        =
        
          e
          
            −
            W
            
              
                (
              
            
            ln
            ⁡
            
              
                (
              
            
            
              y
              
                −
                
                  
                    1
                    y
                  
                
              
            
            
              
                )
              
            
            
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x=e^{-W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}}
  
Մասնավորապես, հաշվի առնելով տվյալ ֆունկցիայի ոչ միանշանակությունը, 
  
    
      
        
          e
          
            −
            
              
                1
                e
              
            
          
        
        ⩽
        
          y
          
            −
            
              
                1
                y
              
            
          
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant y^{-{\frac {1}{y}}}<1}
   կամ 
  
    
      
        
          e
          
            
              1
              e
            
          
        
        ⩽
        
          y
          
            
              1
              y
            
          
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle e^{\frac {1}{e}}\leqslant y^{\frac {1}{y}}<1}
   միջակայքում հավասարումը կունենա երկու արմատ՝ 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2}}
  ։
Թե պարամետրերից որը (
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   կամ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  ) կլինի փոփոխական, ըստ էության կարևոր չէ, և հավասարումը կմնա նույնը։
Եթե 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  (կամ 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  ) փոփոխականի դեպքում ճիշտ է 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  (կամ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  )<
  
    
      
        
          e
          
            
              1
              e
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{\frac {1}{e}}}
   անհավասարությունը, ապա իրական թվերի մեջ արմատներ չկան։


=== Լուծում երկրորդ աստիճանի սուպերարմատի տերմիններով ===

  
    
      
        
          y
          
            x
          
        
        =
        
          x
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle y^{x}=x^{y}}
   հավասարումը 
  
    
      
        
          y
          
            x
          
        
        =
        b
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        
           
        
        y
        ,
        b
        =
        c
        o
        n
        s
        t
      
    
    {\displaystyle y^{x}=bx^{n},{\text{ }}y,b=const}
   հավասարման մասնավոր դեպք է, երբ 
  
    
      
        b
        =
        1
      
    
    {\displaystyle b=1}
   և 
  
    
      
        n
        =
        y
      
    
    {\displaystyle n=y}
  ։  Այս արժեքները տեղադրելով լուծման ընդհանուր բանաձևում, հեշտ է գտնել սկզբնական հավասարման լուծումը․

  
    
      
        
          y
          
            x
          
        
        =
        
          x
          
            y
          
        
        ⟺
        
          x
          
            1
            ,
            2
            ,
            3
          
        
        =
        y
        
          log
          
            y
          
        
        ⁡
        
          
            (
          
        
        
          

          
          
            
              1
              2
            
          
        
        
          
            (
          
        
        
          y
          
            ±
            
              
                1
                
                  y
                  ×
                  
                    
                      1
                      
                        y
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        
          
            
              )
            
          
          
            −
            1
          
        
        ⟺
        
          x
          
            1
            ,
            2
            ,
            3
          
        
        =
        −
        y
        
          log
          
            y
          
        
        ⁡
        
          
            (
          
        
        
          

          
          
            
              1
              2
            
          
        
        
          
            (
          
        
        
          y
          
            ±
            
              
                1
                y
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y\times {\sqrt[{y}]{1}}}}}{\Bigr )}{\biggr )}^{-1}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=-y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y}}}{\Bigr )}{\biggr )}}
  
Այս լուծումը ավելի ամբողջական է, քանի որ այն թույլ է տալիս գտնել բացասական իրական արմատներ, եթե դրանք գոյություն ունեն (քանի որ լոգարիթմը, ի տարբերություն նախորդ լուծման աստիճանացույցների, կարող է զրոյից փոքր լինել)։ Երրորդ արմատի գոյությունը բացատրվում է զույգ 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  -ի դեպքում 
  
    
      
        
          y
          
            x
          
        
        =
        
          x
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle y^{x}=x^{y}}
   և 
  
    
      
        
          y
          
            x
          
        
        =
        (
        −
        x
        
          )
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle y^{x}=(-x)^{y}}
   հավասարումների համարժեքությամբ, սակայն գործնականում գոյություն ունի առավելագույնը երկու վավեր արմատ (բանաձևի երրորդ արմատը պարտադիր է կողմնակի է) այն պատճառով, 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        
          

          
          
            
              1
              2
            
          
        
        z
      
    
    {\displaystyle f(z)={}^{\frac {1}{2}}z}
   երկրորդ աստիճանի սուպերարմատի ֆունկցիան վերոնկարագրյալ  
  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        
          z
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle f(z)=z^{z}}
   ֆունկցիայի հակադարձն է (
  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        
          

          
          
            2
          
        
        z
      
    
    {\displaystyle f(z)={}^{2}z}
  ), որն արտահայտվում է Լամբերտի W ֆունկցիայի միջոցով, որն իր հերթին չի կարող ունենալ երկուսից ավելի վավեր արժեք։
Այս լուծումից բխում է նույնական հավասարում․ 
  
    
      
        −
        y
        
          log
          
            y
          
        
        ⁡
        
          

          
          
            
              1
              2
            
          
        
        (
        
          y
          
            −
            
              
                1
                y
              
            
          
        
        )
        =
        
          
            1
            
              
                

                
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              (
              
                y
                
                  −
                  
                    
                      1
                      y
                    
                  
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}}
  ։ Դա հեշտ է ապացուցել՝ վերը նշված երկու լուծումները հավասարեցնելով միմյանց։ 

  
    
      
        −
        y
        
          log
          
            y
          
        
        ⁡
        
          

          
          
            
              1
              2
            
          
        
        (
        
          y
          
            −
            
              
                1
                y
              
            
          
        
        )
        =
        
          
            1
            
              
                

                
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              (
              
                y
                
                  −
                  
                    
                      1
                      y
                    
                  
                
              
              )
            
          
        
        ⟺
        
          

          
          
            
              1
              2
            
          
        
        (
        
          y
          
            −
            
              
                1
                y
              
            
          
        
        )
        
          log
          
            y
          
        
        ⁡
        
          

          
          
            
              1
              2
            
          
        
        (
        
          y
          
            −
            
              
                1
                y
              
            
          
        
        )
        =
        −
        
          
            1
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle -y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}\Longleftrightarrow {}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}}
  , ապա, ըստ լոգարիթմի և երկրորդ աստիճանի սուպերարմատի հատկությունների․

  
    
      
        
          log
          
            y
          
        
        ⁡
        
          
            (
          
        
        
          

          
          
            
              1
              2
            
          
        
        (
        
          y
          
            −
            
              
                1
                y
              
            
          
        
        )
        
          
            
              )
            
          
          
            
              

              
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            (
            
              y
              
                −
                
                  
                    1
                    y
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        −
        
          
            1
            y
          
        
        ⟺
        
          log
          
            y
          
        
        ⁡
        (
        
          y
          
            −
            
              
                1
                y
              
            
          
        
        )
        =
        −
        
          
            1
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle \log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}}){\biggr )}^{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}=-{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow \log _{y}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}}
  ։ Ապացուցված նույնությունը 
  
    
      
        b
        =
        −
        y
      
    
    {\displaystyle b=-y}
   առավել ընդհանուր դեպքի մասնավորն է։


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
«Rational Solutions to x^y = y^x»։ CTK Wiki Math։ Արխիվացված է օրիգինալից 2021-08-15-ին։ Վերցված է 2022-11-10 
«x^y = y^x - commuting powers»։ Arithmetical and Analytical Puzzles։ Torsten Sillke։ Արխիվացված է օրիգինալից 2015-12-28-ին 
dborkovitz (2012-01-29)։ «Parametric Graph of x^y=y^x»։ GeoGebra