Վեկտորական արտադրյալ

Վեկտորական արտադրյալ կամ երկրաչափական արտադրյալ, էվկլիդեսյան եռաչափ տարածության մեջ երկու վեկտորների արտադրյալ։ Իրենից ներկայացնում է այդ երկու վեկտորներին ուղղահայաց վեկտոր, որը երկարությունը  հավասար է նախնական վեկտորներով կազմված զուգահեռագծի մակերեսին, իսկ ուղղությունը որոշվում է նկարում տրված ձևով։ Եթե վեկտորներից գոնե մեկը զրոյական է (հավասար է զրոյի), ապա արտադրյալը նույնպես հավասար է զրոյի։
Երկու վեկտորների արտադրյալը հաշվելու համար, պիտի նախապես տալ տարածական կողմնորոշում։ Նախապես որոշել, թե վեկտորների եռյակներից որն է աջ, և որը ձախ, իսկ կոորդինատային համակարգը նշելու կարիք չկա, քանի որ դրանից արդյունքը կախված չէ։
Ի տարբերություն սկալյար արտադրյալի վեկտորական արտադրյալի արդյունքում ստացվում է վեկտոր։
Օգտագործվում է մի շարք տեխնիկական և ֆիզիկական հաշվարկներում։ Օրինակ․ իմպուլսի մոմենտը կամ Լորենցի ուժը գրառվում են վեկտորական արտադրյալի միջոցով։


== Պատմություն ==
Վեկտորական արտադրյալը, սկալյար արտադրյալի հետ միասին, ներմուծվել է Համիլտոնի կողմից 1846 թվականին, քվատերնիոնների  հաշվարկների հետ կապված։ Երկու քվատերնիոնների սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի։


== Սահմանում ==

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
   վեկտրի և 
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
   վեկտրի վեկտորական արտադրյալ կոչվում է 
  
    
      
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}}
  վեկտորը, որը բավարարաում է հետևյալ պայմաններին։

  
    
      
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}}
   վեկտրի երկարությունը հավասար է 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
   և 
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
   վեկտորների երկարությունների և նրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալին (այսինքն, նրանցով կառուցված զուգահեռագծի մակերեսին)։

  
    
      
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}}
  վեկտորը ուղղահայաց է 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
   և 
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  վեկտորներից յուրաքանչյուրին։

  
    
      
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}}
  -ն այնպես է ուղղված, որ 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}
   եռյակը հանդիսանում է աջ եռյակ[⇨].Նշանակվում է․

  
    
      
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        =
        [
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ]
        =
        [
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ]
        =
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ∧
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}=[{\vec {a}}{\vec {b}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {a}}\wedge {\vec {b}}.}
  


== Աջ և ձախ վեկտորական եռյակները էվկլիդեսյան եռաչափ տարածությունում ==

Դիտարկենք գծայնորեն իրարից անկախ,  
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}
   վեկտորների  եռյակը էվկլիդռսյան եռաչափ տարածությունում։ Կողմնորոշված տարածությունում դրանք լինելու են կամ աջ, կամ ձախ կողմնորոշման։


=== Երկրաչափական սահմանում ===
Տեղափոխենք վեկտորներն այնպես, որ նրանց սկզբնական կետերը համընկնեն։ Կարգավորված 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}
   եռյակը կոչվելու է աջ, եթե սկսած 
  
    
      
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}}
  վեկտրի վերջից, ամենակարճ 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  -ից 
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  պտույտը դիտորդին երևում է ժամսլաքին հակառակ ուղղությամբ։ Եթե ամենկրճ պտույտը երևում է ժամսլաքի ուղղությամբ,եռյակը կոչվում է ձախ։


=== Ձեռքի օգնությամբ որոշում ===
Եռյակը կարելի է որոշել նաև մարդու աջ ձեռքով, որտեղից էլ առաջացել է (աջ ձեռքի կանոն) արտահայտությունը։ Նկարի մեջ  
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  , 
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  , 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}}
   եռյակը հանդիսանում է աջ եռյակ։


=== Հանրանաշվական որոշում ===
Պետք է կազմել մատրից, որի առաջին տողը կազմված է 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
   վեկտորի կոորդինտներից, երկրորդը՝ 
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
   վեկտորի և երրորդը՝ 
  
    
      
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}}
  վեկտորի կոորդինատներից։ Այնուհետև, որոշիչի նշանից կախված, կարելի է կատարել հետևյալ հետևությունները։

Եթե որոշիչը դրական է, ապա եռյակն ունի կոորդինատային համակարգի ունեցած կողմնորոշումը։
Եթե որոշիչը բացասական է, ապա եռյակը հակառակ է ուղղված կոորդինատային համակարգի ուղղությանը
Եթե որոշիչը հավասար է զրոյի,ապա վեկտորները գծայնորեն կախման մեջ են։


== Հատկություններ ==


=== Վեկտորական արտադրյալի երկրաչափական հատկություններ ===

Զուգահեռագծի 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   մակերեսը հավասար է նույն սկիզբն ունեցող 
  
    
      
        [
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]}
  վեկտորների վեկտորական արտադրյալի մոդուլին։ (տես. Նկ․1)
Եթե 
  
    
      
        
          
            
              e
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e}}}
   միավոր վեկտորըընտրված է այնպես, որ 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              e
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {e}}}
   եռյակը աջ է, իսկ  
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  -ը զուգահեռագծի մակերեսն է, ապա վեկտորական արտադրյալի համար ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը
  
    
      
        [
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ]
        =
        S
        ⋅
        
          
            
              e
              →
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=S\cdot {\vec {e}}.}
  Եթե 
  
    
      
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}}
  -ն կամայական վեկտոր է, 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  -ն կամայական հարթություն, որը պարունկում է այդ վեկտորը, 
  
    
      
        
          
            
              g
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {g}}}
  -ն միավոր վեկտոր է, օրթոգոնալ է 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  հարթության նկատմամբ, և 
  
    
      
        
          
            
              e
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              g
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e}},{\vec {c}},{\vec {g}}}
  եռյակը աջ է, ապա  
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   հարթության վրա գտնվող ցանկացած 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
   վեկտորի համար ճիշտ է հետևյալ արատահայտությունը։
  
    
      
        [
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        ]
        =
        
          
            P
            r
          
          
            
              
                e
                →
              
            
          
        
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          |
        
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        
          |
        
        ⋅
        
          
            
              g
              →
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {c}}]=\mathrm {Pr} _{\vec {e}}{\vec {a}}\cdot |{\vec {c}}|\cdot {\vec {g}}.}
  Վեկտորական և սկալյար արտադրյալների օգնությամբ կարելի է հաշվել նույն սկիզբն ունեցող վեկտորներով կազմված զուգահեռանիստի ծավալը (տես նկ․ 2)։ Այդպիսի արտադրյալը կոչվում է վեկտորների խառը արտադրյալ։
  
    
      
        V
        =
        
          |
        
        ⟨
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
        [
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        ]
        ⟩
        
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle V=|\langle {\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]\rangle |.}
  Դա կարելի է անել երկու եղանակով։

  
    
      
        V
        =
        ⟨
        [
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ]
        ,
        
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        ⟩
        =
        ⟨
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
        [
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        ]
        ⟩
        .
      
    
    {\displaystyle V=\langle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}],\;{\vec {c}}\rangle =\langle {\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]\rangle .}
  


=== Վեկտորական արտադրյալի հանրահաշվական հատկություններ ===


== Տես նաև ==
Վեկտորների արտադրյալ

Վեկտորների սկալյար արտադրյալ
Վեկտորների խառը արտադրյալ (միայն 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
  -ում)
Կրկնակի արտադրյալ (վեկտորական-վեկտորական միայն 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
  -ում)Այլ

Ռոտոր
Դիվերգենց


== Ծանոթագրություն ==


== Գրականություն ==
Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. АН СССР: Изд-во «НАУКА», М. 1965.


== Արտաքին հղումներ ==
Многомерное векторное произведение
Векторное произведение и его свойства. Примеры решения задач
В. И. Гервидс (10.03.2011)։ «Правое и левое вращение» (flash)։ НИЯУ МИФИ։ Վերցված է 2011-05-03