Որոշիչ (մաթեմատիկա)

Գծային հանրահաշվում որոշիչը (կամ դետերմինանտը) սկալյար մեծություն է, որը կարող է հաշվվել և դրվել միանշանակ համապատասխանության ցանկացած քառակուսի մատրիցի։ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մատրիցի որոշիչը նշանակվում է հետևյալ ձևերով՝ 
  
    
      
        det
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \det(A)}
  , 
  
    
      
        
          |
        
        A
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |A|}
   կամ 
  
    
      
        Δ
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta (A)}
  ։

  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
   չափի 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   քառակուսի մատրիցի որոշիչը, տրված 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   կոմուտատիվ օղակի վրա, հանդիսանում է 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   օղակի էլեմենտ, որը հաշվվում է ներքևում բերված բանաձևով։
Այն «որոշում է» 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մատրիցի հատկությունը։ Մասնավորապես, 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մատրիցը հակադարձելի է այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա որոշիչը հանդիսանում է 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   օղակի շրջելի տարր։
Այն դեպքում, երբ 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  -ը դաշտ է, 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մատրիցի որոշիչը հավասար է զրոյի այն և միայն այն դեպքում, երբ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մատրիցայի ռանգը փոքր է 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ից կամ, եթե 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մատրիցի տողերի և սյուների համակարգը հանդիսանում է գծային կախված։


== Պատմությունը ==
Որոշիչների տեսությունն առաջացել է գծային հավասարումների համակարգի լուծման հետ կապված։
Որոշիչի հասկացությանն առավել մոտեցել են հին չինական «Մաթեմատիկան ինը գրքերում» դասագրքերի հեղինակները։
Եվրոպայում 2×2 մատրիցի որոշիչը հանդիպում է XVI դարում Կարդանոյի մոտ։ Ավելի բարձր չափերի համար Լեյբնիցը այն սահմանել է 1693 թվականին։ Առաջին հրապարակումը պատկանում է Կրամերին։ Որոշիչների տեսությունը ստեղծվել է Վանդերմոնդի, Լապլասի, Կոշիի և Յակոբիի կողմից։ Առաջին անգամ «որոշիչ» տերմինը հանդիպում է Գաուսի մոտ։
Ճապոնացի մաթեմատիկոս Սեկի Տակակաձուն որոշիչը օգտագործեց անկախ 1683 թվականին։


== Սահմանումը ==


=== Վերադասավորման միջոցով ===

  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
   չափի 
  
    
      
        A
        =
        (
        
          a
          
            i
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle A=(a_{ij})}
   քառակուսի մատրիցի համար նրա 
  
    
      
        det
        A
      
    
    {\displaystyle \det A}
   որոշիչը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝

  
    
      
        det
        A
        =
        
          ∑
          
            
              α
              
                1
              
            
            ,
            
              α
              
                2
              
            
            ,
            …
            ,
            
              α
              
                n
              
            
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            N
            (
            
              α
              
                1
              
            
            ,
            
              α
              
                2
              
            
            ,
            …
            ,
            
              α
              
                n
              
            
            )
          
        
        ⋅
        
          a
          
            1
            
              α
              
                1
              
            
          
        
        
          a
          
            2
            
              α
              
                2
              
            
          
        
        …
        
          a
          
            n
            
              α
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \det A=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}(-1)^{N(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}\cdot a_{1\alpha _{1}}a_{2\alpha _{2}}\dots a_{n\alpha _{n}}}
  ,որտեղ գումարումը կատարվում է բոլոր 
  
    
      
        
          α
          
            1
          
        
        ,
        
          α
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          α
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}
   թվերի 
  
    
      
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle 1,2,\dots ,n}
   վերադասավորումներով, իսկ 
  
    
      
        N
        (
        
          α
          
            1
          
        
        ,
        
          α
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          α
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle N(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}
   նշանակում է ինվերսիաների թիվը 
  
    
      
        
          α
          
            1
          
        
        ,
        
          α
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          α
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}
   վերադասավորումներում։
Այսպիսով, որոշիչում մտնում են 
  
    
      
        n
        !
      
    
    {\displaystyle n!}
   գումարելիներ, որոնք անվանվում են նաև «որոշիչի անդամներ»։
Համարժեք բանաձևը՝

  
    
      
        det
        A
        =
        
          ∑
          
            
              i
              
                1
              
            
            ,
            
              i
              
                2
              
            
            ,
            …
            ,
            
              i
              
                n
              
            
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          ε
          
            
              i
              
                1
              
            
            
              i
              
                2
              
            
            …
            
              i
              
                n
              
            
          
        
        ⋅
        
          a
          
            1
            
              i
              
                1
              
            
          
        
        
          a
          
            2
            
              i
              
                2
              
            
          
        
        …
        
          a
          
            n
            
              i
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \det A=\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\cdot a_{1i_{1}}a_{2i_{2}}\dots a_{ni_{n}}}
  ,որտեղ 
  
    
      
        
          ε
          
            
              i
              
                1
              
            
            
              i
              
                2
              
            
            …
            
              i
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}}
   գործակիցները (Լևի-Չիվի սիմվոլներ) հավասար են՝

0, եթե ոչ բոլոր 
  
    
      
        
          i
          
            1
          
        
        ,
        
          i
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          i
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}
   ինդեքսներն են տարբեր,
1, եթե բոլոր 
  
    
      
        
          i
          
            1
          
        
        ,
        
          i
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          i
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}
   ինդեքսները տարբեր են և 
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  …
                
                
                  n
                
              
              
                
                  
                    i
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    i
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    i
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        ∈
        
          S
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\dots &n\\i_{1}&i_{2}&\dots &i_{n}\end{pmatrix}}\in S_{n}}
   վերադասավորումները զույգ են,
−1, եթե բոլոր 
  
    
      
        
          i
          
            1
          
        
        ,
        
          i
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          i
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}
   ինդեքսները տարբեր են և 
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  …
                
                
                  n
                
              
              
                
                  
                    i
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    i
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    i
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        ∈
        
          S
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\dots &n\\i_{1}&i_{2}&\dots &i_{n}\end{pmatrix}}\in S_{n}}
   վերադասավորումները կենտ են։


=== Ասիմպտոտիկ կառուցում (հատկությունների հիման վրա որոշում) ===
Որոշիչի հասկացությունը կարող է ներդրվել իր հատկության հիման վրա։ Մասնավորապես, իրական մատրիցի որոշիչ կոչվում է 
  
    
      
        det
        :
        
          
            R
          
          
            n
            ×
            n
          
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \det :\mathbb {R} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {R} }
   ֆունկցիան, որը բավարարում է երեք պայմանների՝

  
    
      
        det
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \det(A)}
   — 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մատրիցի տողերի (սյուների) կոսոսիմետրիկ ֆունկցիա,

  
    
      
        det
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \det(A)}
   — 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մատրիցի տողերի (սյուների) պոլիգծային ֆունկցիա,

  
    
      
        det
        (
        E
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \det(E)=1}
  , որտեղ 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  -ն 
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
   չափի միավոր մատրից է։


== Մատրիցի որոշիչի արժեքը ==
Առաջին կարգի մատրիցի դետերմինանտի արժեքը հավասար է այդ մաատրիցի միակ էլեմենտին՝

  
    
      
        Δ
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        =
        
          a
          
            11
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}\end{vmatrix}}=a_{11}}
  


=== 2 x 2 մատրից ===

  
    
      
        2
        ×
        2
      
    
    {\displaystyle 2\times 2}
   մատրիցի համար որոշիչը հաշվվում է հետևյալ ձևով՝

  
    
      
        Δ
        =
        
          
            |
            
              
                
                  a
                
                
                  b
                
              
              
                
                  c
                
                
                  d
                
              
            
            |
          
        
        =
        a
        d
        −
        b
        c
      
    
    {\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc}
  Այս 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մատրիցը կարող է դիտարկվել ինչպես գծային արտապատկերման մատրից՝ ձևափոխված միավոր քառակուսուց (0, 0), (a, b), (a + c, b + d) և (c, d) գագաթներով զուգահեռագծից։

  
    
      
        
          |
        
        a
        d
        −
        b
        c
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |ad-bc|}
   որոշիչի բացարձակ արժեքը հավասար է այդ զուգահեռակողմի մակերեսին, և, այսպիսով, ցույց է տալիս գործակիցը, որի վրա մասշտաբայնացվում է մակերեսը 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ի փոխակերպման դեպքում։
Որոշիչի նշանով արժեքը (զուգահեռագծի «օրենտավորված մակերես») գործակցից բացի նույնպես ցույց է տալիս մասշտաբայնացումը, այն կատարում է 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ի փոխակերպման արտապատկերում։


=== 3 x 3 մատրից ===

  
    
      
        3
        ×
        3
      
    
    {\displaystyle 3\times 3}
   մատրիցի որոշիչը կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով՝

  
    
      
        Δ
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      13
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      23
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      31
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      32
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      33
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        =
        
          a
          
            11
          
        
        
          
            |
            
              
                
                  
                    a
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      23
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      32
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      33
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        −
        
          a
          
            12
          
        
        
          
            |
            
              
                
                  
                    a
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      23
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      31
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      33
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        +
        
          a
          
            13
          
        
        
          
            |
            
              
                
                  
                    a
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      22
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      31
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      32
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        =
      
    
    {\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}=}
  

  
    
      
        =
        
          a
          
            11
          
        
        
          a
          
            22
          
        
        
          a
          
            33
          
        
        −
        
          a
          
            11
          
        
        
          a
          
            23
          
        
        
          a
          
            32
          
        
        −
        
          a
          
            12
          
        
        
          a
          
            21
          
        
        
          a
          
            33
          
        
        +
        
          a
          
            12
          
        
        
          a
          
            23
          
        
        
          a
          
            31
          
        
        +
        
          a
          
            13
          
        
        
          a
          
            21
          
        
        
          a
          
            32
          
        
        −
        
          a
          
            13
          
        
        
          a
          
            22
          
        
        
          a
          
            31
          
        
      
    
    {\displaystyle =a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}}
  Երրորդ կարգի որոշչի հարմար հաշվարկի համար կարելի է օգտվել Սարյուսի կանոնից կամ եռանկյան կանոնից։
Մատրիցի որոշիչը, որը կազմված է 
  
    
      
        
          a
        
        ,
        
          b
        
        ,
        
          c
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }
   վեկտորներից, հավասար է աջ դեկարտյան կոորդինատների համակարգի խառը արտադրյալին։ Նմանապես երկչափ դեպքում, այդ մատրիցի որոշիչը հավասար է զուգահեռակողմի օրենտավորված ծավալին, ձգված 
  
    
      
        
          a
        
        ,
        
          b
        
        ,
        
          c
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }
  -ով։


=== N × N մատրից ===
Ընհանուր դեպքում, 
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
   կարգի մատրիցի համար (2-րդ կարգից մեծ) որոշիչը կարելի է հաշվել, կիրառելով ռեկուրսիայի հետևյալ բանաձևը՝

  
    
      
        Δ
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            1
            +
            j
          
        
        
          a
          
            1
            j
          
        
        
          
            
              
                M
                ¯
              
            
          
          
            j
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          
            
              
                M
                ¯
              
            
          
          
            j
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {M}}_{j}^{1}}
  -ն 
  
    
      
        
          a
          
            1
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1j}}
   տարրի լրացուցիչ մինորն է։ Այս բանաձևը կոչվում է տրոհում ըստ տողերի։Դժվար չէ ապացուցել, որ մատրիցի տրանսպոնացման դեպքում նրա որոշիչը չի փոխվում (այլ կերպ ասած, նմանատիպ տրոհումը ըստ առաջին սյան նույնպես ճշմարիտ է, այսինքն, տալիս է նույն արդյունքը, ինչպես նաև ըստ տողի նրա տրոհումը)՝

  
    
      
        Δ
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            i
            +
            1
          
        
        
          a
          
            i
            1
          
        
        
          
            
              
                M
                ¯
              
            
          
          
            1
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}}
  ։
Նույնպես ճշմարիտ է նմանատիպ տրոհումը ցանկացած տողի (սյան) համար՝

  
    
      
        Δ
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            i
            +
            j
          
        
        
          a
          
            i
            j
          
        
        
          
            
              
                M
                ¯
              
            
          
          
            j
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}}
  ։
Վերը նշված բանաձևերի ընդհանրացումը հանդիսանում է դետերմինանտի տրոհումը ըստ Լապլասի (Լապլասի թեորեմը), որը հնարավորություն է տալիս հաշվել որոշիչը ցանկացած 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   տողով (սյունով)՝

  
    
      
        Δ
        =
        
          ∑
          
            1
            ⩽
            
              j
              
                1
              
            
            <
            …
            <
            
              j
              
                k
              
            
            ⩽
            n
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            
              i
              
                1
              
            
            +
            …
            +
            
              i
              
                k
              
            
            +
            
              j
              
                1
              
            
            +
            …
            +
            
              j
              
                k
              
            
          
        
        
          M
          
            
              j
              
                1
              
            
            …
            
              j
              
                k
              
            
          
          
            
              i
              
                1
              
            
            …
            
              i
              
                k
              
            
          
        
        
          
            
              
                M
                ¯
              
            
          
          
            
              j
              
                1
              
            
            …
            
              j
              
                k
              
            
          
          
            
              i
              
                1
              
            
            …
            
              i
              
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta =\sum _{1\leqslant j_{1}<\ldots <j_{k}\leqslant n}(-1)^{i_{1}+\ldots +i_{k}+j_{1}+\ldots +j_{k}}M_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{k}}{\bar {M}}_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{k}}}
  ։


=== Հաշվարկի այլընտրանքային մեթոդներ ===
Ջոնսոնի կոնդենսացիայի մեթոդ, որը հիմնված է ռեկուրսիվ բանաձևի վրա՝
  
    
      
        det
        (
        M
        )
        =
        
          
            
              det
              (
              
                M
                
                  1
                
                
                  1
                
              
              )
              det
              (
              
                M
                
                  k
                
                
                  k
                
              
              )
              −
              det
              (
              
                M
                
                  1
                
                
                  k
                
              
              )
              det
              (
              
                M
                
                  k
                
                
                  1
                
              
              )
            
            
              det
              (
              
                M
                
                  1
                  ,
                  k
                
                
                  1
                  ,
                  k
                
              
              )
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \det(M)={\frac {\det(M_{1}^{1})\det(M_{k}^{k})-\det(M_{1}^{k})\det(M_{k}^{1})}{\det(M_{1,k}^{1,k})}},}
   որտեղ 
  
    
      
        
          M
          
            1
          
          
            1
          
        
        ,
        
          M
          
            k
          
          
            k
          
        
        ,
        
          M
          
            1
          
          
            k
          
        
        ,
        
          M
          
            k
          
          
            1
          
        
        ,
        
          M
          
            1
            ,
            k
          
          
            1
            ,
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{1}^{1},M_{k}^{k},M_{1}^{k},M_{k}^{1},M_{1,k}^{1,k}}
   մատրիցներ են, որոնք ստացվում են հիմնական մատրիցից համապատասխան տեղերի և սյուների ջնջման միջոցով։


== Որոշիչի հիմնական հատկությունները ==
Այս հատկությունները արտացոլում են որոշիչների տեսության հիմնական արդյունքները, որոնց կիրառությունը դուրս է գալիս այս տեսության սահմաններից՝

  
    
      
        det
        E
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \det E=1}
   (միավոր մատրիցի որոշիչը հավասար է 1-ի);

  
    
      
        det
        c
        A
        =
        
          c
          
            n
          
        
        det
        A
      
    
    {\displaystyle \det cA=c^{n}\det A}
   (
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   չափի մատրիցների տարածության վրա որոշիչը հանդիսանում է 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   աստիճանի միատար ֆունկցիա);

  
    
      
        det
        
          A
          
            T
          
        
        =
        det
        A
      
    
    {\displaystyle \det A^{T}=\det A}
   (Մատրիցի որոշիչը չի փոխվում նրա տրանսպոնացման դեպքում);

  
    
      
        det
        (
        A
        B
        )
        =
        det
        A
        ⋅
        det
        B
      
    
    {\displaystyle \det(AB)=\det A\cdot \det B}
   (Մատրիցների արտադրյալի որոշիչը հավասար է նրանց որոշիչների արտադրյալին, 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   մատրիցները նույն կարգի քառակուսային մատրիցներ են);

  
    
      
        det
        
          A
          
            −
            1
          
        
        =
        (
        det
        A
        
          )
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \det A^{-1}=(\det A)^{-1}}
  , ընդ որում 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մատրիցը հակադարձելի է այն և միայն այն դեպքում, երբ հակադարձելի է նրա 
  
    
      
        det
        A
      
    
    {\displaystyle \det A}
   որոշիչը;
Գոյություն ունի 
  
    
      
        A
        X
        =
        0
      
    
    {\displaystyle AX=0}
   հավասարման ոչզրոյական լուծում այն և միայն այն դեպքում, երբ 
  
    
      
        det
        A
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \det A=0}
   (կամ էլ 
  
    
      
        det
        A
      
    
    {\displaystyle \det A}
  -ը պետք է լինի ոչհասարակ զրոյի բաժանարար այն դեպքում, երբ 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  -ը ոչամբողջական օղակ է)։


=== Որոշիչը որպես տողերի (սյուների) մատրիցի ֆունկցիա ===
Որոշիչների տեսությունը ուսումնասիրելիս օգտակար է հաշվի առնել, որ այդ տեսության հիմքում ընկած է մատրիցի տողերով և սյուներով մանիպուլիացիան՝ մշակված Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսի (Գաուսի ձևափոխում) կողմից։ Այդ ձևափոխությունների էությունը տանում է մատրիցների տողերի (սյուների) և նրանց տեղափոխությունների վրա գծային գործողությունների։ Այդ ձևափոխությունները բավականին պարզ ձևով արտացոլվում են որոշիչի վրա և նրանց ուսումնասիրությունը հարմար է սկզբնական մատրիցը «մասնատել» տողերի (կամ սյուների) և ընդունել որոշիչը որպես ֆունկցիա, որոշված տողերի (սյուների) հավաքածուի վրա։ Հետագայում 
  
    
      
        
          
            
              
                A
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {A}}_{i}}
   տառերով նշանակվում են 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մատրիցի տողերը (սյուները)։ 

1. Որոշիչ - մատրիցի տողերի (սյուների) բազմագծային ֆունկցիա։Բազմագծայնությունը նշանակում է յուրաքանչյուր արգումենտով ֆունկցիայի գծայնություն մյուս արգումենտների ֆիկսած արժեքների դեպքում՝

  
    
      
        det
        (
        
          
            
              
                A
                ^
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        α
        
          
            
              
                A
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        +
        β
        
          
            
              
                
                  A
                  ′
                
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            
              
                A
                ^
              
            
          
          
            n
          
        
        )
        =
        α
        det
        (
        
          
            
              
                A
                ^
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            
              
                A
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            
              
                A
                ^
              
            
          
          
            n
          
        
        )
        +
        β
        det
        (
        
          
            
              
                A
                ^
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            
              
                
                  A
                  ′
                
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            
              
                A
                ^
              
            
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \det({\hat {A}}_{1},\ldots ,\alpha {\hat {A}}_{i}+\beta {\hat {A'}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{n})=\alpha \det({\hat {A}}_{1},\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{n})+\beta \det({\hat {A}}_{1},\ldots ,{\hat {A'}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{n})}
  
2. Որոշիչ - մատրիցի տողերի (սյուների) կոսիմետրիկ ֆունկցիա, այսինքն, մատրիցի երկու տողերի (սյուների) տեղափոխման արդյունքում նրա որոշիչը բազմապատկվում է −1-ով։

  
    
      
        det
        (
        …
        ,
        
          
            
              
                A
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            
              
                A
                ^
              
            
          
          
            j
          
        
        ,
        …
        )
        =
        −
        det
        (
        …
        ,
        
          
            
              
                A
                ^
              
            
          
          
            j
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            
              
                A
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        ,
        …
        )
      
    
    {\displaystyle \det(\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{j},\ldots )=-\det(\ldots ,{\hat {A}}_{j},\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots )}
  
3. Եթե մատրիցի երկու տողեր (սյուներ) համընկնում են, ապա նրա որոշիչը հավասար է զրոյի՝

  
    
      
        
          
            
              
                A
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              
                A
                ^
              
            
          
          
            j
          
        
        ⟹
        det
        (
        …
        ,
        
          
            
              
                A
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            
              
                A
                ^
              
            
          
          
            j
          
        
        ,
        …
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\hat {A}}_{i}={\hat {A}}_{j}\Longrightarrow \det(\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{j},\ldots )=0}
  Ուշադրություն։ 1-3 հատկությունները հանդիսանում են որոշիչի հիմնական հատկություններ որպես տողերի (սյուների) ֆունկցիա, որոնք հեշտ է ապացուցել անմիջապես իրենց սահմանումներից։ 2-րդ հատկությունը (կոսիմետրիկությունը) հանդիսանում է 1-ին և 3-րդ հատկությունների տրամաբանական հետևանքը։ 3-րդ հատկությունը հանդիսանում է 2-րդ հատկության տրամաբանական հետևանքը, եթե 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   օղակում 2-րդ տարրը (այսինքն, 1 + 1) չի համընկնում զրոյին և չի հանդիսանում զրոյի բաժանարար։ 1-ին և 3-րդ հատկություններից հետևում են նաև այսպիսի հատկություններ՝

4. Որոշիչի ինչ-որ տողի (սյան) էլեմենտների ընդհանուր արտադրիչը կարելի է դուրս բերել որպես որոշիչի նշան (1-ին հատկության հետևանք)։
5. Եթե մատրիցի գոնե մի տող (սյուն) զրոյական է, ապա որոշիչը հավասար է զրոյի (4-րդ հատկության հետևանք)։
6. Եթե մատրիցի երկու (կամ ավելի) տողեր (սյուներ) գծային կախված, ապա նրա որոշիչըհավասար է զրոյի (1-ին և 3-րդ հատկությունների հետևանք)։
7. Ցանկացած տողին (սյանը) այլ տողի (սյան) գծային կոմբինացիայի ավելացման դեպքում որոշիչի արժեքը չի փոխվում (1-ին և 6-րդ հատկությունների հետևանք)։Փաստը, որն ունի հիմնարար նշանակություն, հանդիսանում է որոշիչի ունիվերսալությունը որպես ամբողջական ռանգի բազմագծային կոսիմետրիկ ֆունկցիա, որի արգումենտները հանդիսանում են 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
   (կամ վերջավոր բազիսով 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  -ի 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   մոդուլը) վեկտորային տարածության տարրեր։ Ճշմարիտ է հետևյալը՝

Թեորեմ։ դիցուք 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  -ն 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -րդ կարգի ազատ 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   մոդուլն է (
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -նիշային վեկտորային տարածություն 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  -ի վրա, եթե 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  -ը դաշտ է)։ դիցուք 
  
    
      
        φ
        (
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        
          X
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          X
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}
  -ը 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  -նիշային ֆունկցիա է 
  
    
      
        
          V
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle V^{n}}
  -ի վրա, որը բավարարում է 1-ից 3-րդ հատկություններին։ Այդ դեպքում 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
   տարածության 
  
    
      
        
          E
          
            1
          
        
        ,
        
          E
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{1},E_{2},\dots ,E_{n}}
   բազիսի ընտրության դեպքում գոյություն ունի այնպիսի 
  
    
      
        
          c
          
            0
          
        
        =
        φ
        (
        
          E
          
            1
          
        
        ,
        
          E
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          E
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle c_{0}=\varphi (E_{1},E_{2},\dots ,E_{n})}
   հաստատուն, որ ցանկացած 
  
    
      
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        
          X
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          X
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}
   արժեքների դեպքում ճշմատրտ է հավասարությունը՝

  
    
      
        φ
        (
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        
          X
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          X
          
            n
          
        
        )
        =
        
          c
          
            0
          
        
        det
        (
        
          
            
              
                X
                ^
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            
              
                X
                ^
              
            
          
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            
              
                X
                ^
              
            
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=c_{0}\det({\hat {X}}_{1},{\hat {X}}_{2},\dots ,{\hat {X}}_{n})}
  ,որտեղ 
  
    
      
        
          
            
              
                X
                ^
              
            
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {X}}_{i}}
  -ը 
  
    
      
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{i}}
   վեկտորի սյան կոորդինատն է 
  
    
      
        
          E
          
            1
          
        
        ,
        
          E
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{1},E_{2},\dots ,E_{n}}
   բազիսի նկատմամբ։


=== Որոշիչ և կողմնորոշված ծավալ ===
դիցուք 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}
   երեք վեկտորներ են 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
   տարածությունում։ Նրանք ձևավորում են զուգահեռանիստ, որի գագաթները գտնվում են 
  
    
      
        
          
            
              0
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {0}},{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}},{\vec {a}}+{\vec {b}},{\vec {c}}+{\vec {a}},{\vec {b}}+{\vec {c}},{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}}
   շառավիղ-վեկտորների կետերիում։ Այդ զուգահեռանիստը կարող է ձևավորվել, եթե 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}
   վեկտորները կոմպլանար են (գտնվում են մի հարթության վրա, գծային կախված են)։

  
    
      
        
          
            V
            o
            l
          
        
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})}
   օրենտավորված ծավալի ֆունկցիան որոշվում է որպես զուգահեռանիստի ծավալ, ձևավորված այդ վեկտորներով, և վերցված են «+» նշանով, եթե 
  
    
      
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})}
   վեկտորների եռյակը դրական է օրենտացված, և «-» նշանով, եթե այն օրենտացված է բացասական։

  
    
      
        
          
            V
            o
            l
          
        
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})}
   ֆունկցիան բազմագծային է և կոսիմետրիկ։ Ակնհայտ է, որ 3-րդ հատկությունը կատարված է։ Այս ֆունկցիայի բազմագծայնությունը ապացուցելու համար բավական է ապացուցել նրա գծայնությունն ըստ 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
   վեկտորի։ Եթե 
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}},{\vec {c}}}
   վեկտորը գծային կախված է, 
  
    
      
        
          
            V
            o
            l
          
        
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})}
  -ի արժեքը կլինի զրոյական, անկախ 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
   վեկտորից, և նշանակում է, նրանից գծային կախված է։ Եթե 
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}},{\vec {c}}}
   վեկտորը գծային կախված է, նշանակենք 
  
    
      
        
          
            
              n
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {n}}}
  -ով միավոր նոմինալ վեկտորը 
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}},{\vec {c}}}
   վեկտորների հարթության վրա այնպիսին, որ 
  
    
      
        
          
            V
            o
            l
          
        
        (
        
          
            
              n
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        )
        >
        0
      
    
    {\displaystyle {\rm {Vol}}({\vec {n}},{\vec {b}},{\vec {c}})>0}
  ։ Այդ դեպքում զուգահեռանիստի օրիենտավորված ծավալը հավասար է հիմքի մակերեսի, որը կազմված է 
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}},{\vec {c}}}
   վեկտորներով, և 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
   վեկտորից չկախված և 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
   վեկտորի պրոյեկցիայի հիմքի նորմալի հանրահաշվական մեծության, որը հավասար է 
  
    
      
        ⟨
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              n
              →
            
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle {\vec {a}},{\vec {n}}\rangle }
   սկալյար մեծությունների արտադրյալին և հանդիսանում է մեծություն, որը գծային կախված է 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
   վեկտորին։ Ըստ 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  -ի գծայնությունը ապացուցված է, և նմանատիպ ձևով ապացուցվում է մնացած արգումենտներով գծայնույունը։
Կիրառելով որոշիչի որոշիչի ունիվերսալության թեորեմը որպես կոսիմետրիկ բազմագծային ֆունկցիա, կստանանք, որ 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
   տարածության 
  
    
      
        (
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            2
          
        
        ,
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})}
   օրթոնորմավորված բազիսի ընտրության դեպքում՝

  
    
      
        
          
            V
            o
            l
          
        
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        )
        =
        
          
            V
            o
            l
          
        
        (
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            2
          
        
        ,
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            3
          
        
        )
        det
        
          
            (
            
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    c
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    c
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        det
        
          
            (
            
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    c
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    c
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})={\rm {Vol}}({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}}
  ,որտեղ 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
        ,
        
          b
          
            i
          
        
        ,
        
          c
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i},b_{i},c_{i}}
  -ը 
  
    
      
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})}
   վեկտորի կոորդինատներն են ընտրված բազիսում։
Այսպիսով, վեկտորների գործակիցների մատրիցայի որոշիչը ըստ օրթոնորմավորված բազիսի ունի զուգահեռանիստի օրենտավորված ծավալի իմաստ, կառուցված այդ վեկտորներով։
Վերոնշյալները առանց էական փոփոխության տեղափոխվում է կամայական չափի 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
   տարածության վրա։


== Ծանոթագրություններ ==