Արտադրական ֆունկցիա

Արտադրական ֆունկցիա, տնտեսամաթեմատիկական քանակական կախվածություն արտադրանքի ծավալի և արտադրական գործոնների, օրինակ՝ ռեսուրսների ծախսերի, տեխնոլոգիաների մակարդակի միջև։ Կարող է արտահայտվել որպես իզոքվանտների բազմություն։
Ագրեգացված արտադրական ֆունկցիան կարող է արտահայտել գյուղատնտեսության արտադրանքի ծավալներն ամբողջությամբ։
Ժամանակի որոշակի պահին կամ ժամանակի տարբեր պահերի արտադրության ծավալի վրա ազդող գործոնների վերլուծությունից կախված՝ արտադրական ֆունկցիաները բաժանվում են  ստատիկ արտադրական ֆունկցիաների 
  
    
      
        P
        =
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}
   և դինամիկ 
  
    
      
        P
        =
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            k
          
        
        (
        t
        )
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P=f(x_{1}(t),...,x_{k}(t),...,x_{n})}
  : Ըստ ներքին կառուցվածքի՝ առանձնացվում են գծային (
  
    
      
        P
        =
        
          a
          
            1
          
        
        
          ⋅
        
        
          x
          
            1
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          a
          
            n
          
        
        
          ⋅
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle P=a_{1}{\cdot }x_{1}+...+a_{n}{\cdot }x_{n}}
  ), մուլտիպլիկատիվ-աստիճանական ձևերը (
  
    
      
        P
        =
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          x
          
            i
          
          
            α
          
        
        
          
            
            
              
                
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P=\prod _{i=1}^{N}x_{i}^{\alpha }{^{_{i}}}}
  , որևէ գործոնի բացակայության դեպքում նման ֆունկցիաները ձգտում են զրոյի)։


== Նեոդասական արտադրական ֆունկցիա ==
Դիցուք, 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  ՝ արտադրանքն է, իսկ 
  
    
      
        x
        =
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}
  ՝ արտադրության գործոնները (սովորաբար 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  ՝ կապիտալը և 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  ՝ աշխատանքը)։ 
  
    
      
        Y
        =
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle Y=F(x)}
   արտադրական ֆունկցիան նեոդասական է, եթե կատարվում են հետևյալ պայմանները.
1) Գործոնների դրական և նվազող սահմանային արտադրողականություն.

  
    
      
        
          F
          
            
              x
              
                i
              
            
          
          
            
              
              ′
            
          
        
        >
        0
        ,
        
          F
          
            
              x
              
                i
              
            
          
          
            
              
              ″
            
          
        
        <
        0
      
    
    {\displaystyle F_{x_{i}}^{'}>0,F_{x_{i}}^{''}<0}
  2) Մասշտաբից կայուն հատույց.

  
    
      
        F
        (
        λ
        x
        )
        =
        λ
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(\lambda x)=\lambda F(x)}
  Այստեղից հետևում է, մասնավորապես, որ արտադրական ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել որպես 
  
    
      
        Y
        
          /
        
        
          x
          
            i
          
        
        =
        f
        (
        x
        
          /
        
        
          x
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle Y/x_{i}=f(x/x_{i})}
  , մասնավորապես, երկու գործոնների՝ կապիտալի և աշխատանքի համար, սովորաբար ներկայացնում են հետևյալ կերպ՝ 
  
    
      
        Y
        
          /
        
        L
        =
        f
        (
        K
        
          /
        
        L
        )
      
    
    {\displaystyle Y/L=f(K/L)}
  , այսինքն՝ աշխատանքի արտադրողականության կախվածություն իր կապիտալազինվածությունից։ Բացի այդ՝ կատարված է Էյլերի թեորեմը միասեռ ֆունկցիաների մասին. 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          F
          
            
              x
              
                i
              
            
          
          
            
              
              ′
            
          
        
        
          x
          
            i
          
        
        =
        Y
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{x_{i}}^{'}x_{i}=Y}
  :
3) Ինադայի պայմաններ.

  
    
      
        
          lim
          
            
              x
              
                i
              
            
            →
            0
          
        
        
          F
          
            
              x
              
                i
              
            
          
          
            
              
              ′
            
          
        
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x_{i}\rightarrow 0}F_{x_{i}}^{'}=\infty }
  , 
  
    
      
        
          lim
          
            
              x
              
                i
              
            
            →
            ∞
          
        
        
          F
          
            
              x
              
                i
              
            
          
          
            
              
              ′
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{x_{i}\rightarrow \infty }F_{x_{i}}^{'}=0}
  Ինադայի առաջին պայմանը նշանակում է, որ բոլոր գործոններն անհրաժեշտ են արտադրության համար։ Երկրորդ՝ արտադրանքի ծավալը անսահմանափակ աճում է յուրաքանչյուր գործոնի անսահմանափակ աճի դեպքում։
4) Լրացուցիչ հատկություն է արտադրական ռեսուրսի «կարևորությունը». ռեսուրսը կարևոր է համարվում, եթե արտադրանքի համար պահանջվում է ռեսուրսի դրական ծավա.

  
    
      
        F
        (
        0
        ,
        L
        )
        =
        F
        (
        K
        ,
        0
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle F(0,L)=F(K,0)=0}
  :


== Արտադրական ֆունկցիաների օրինակներ ==

Քոբ-Դուգլասի արտադրական ֆունկցիա. 
  
    
      
        Y
        =
        A
        ×
        
          L
          
            λ
          
        
        ×
        
          K
          
            1
            −
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle Y=A\times L^{\lambda }\times K^{1-\lambda }}
  , որտեղ ենթադրվում է արտադրության ծավալի ճկունությունը՝ ըստ արտադրության գործոնների։
CES արտադրական ֆունկցիա. 
  
    
      
        Y
        =
        A
        
          ⋅
        
        
          
            (
          
        
        (
        1
        −
        α
        )
        
          ⋅
        
        
          K
          
            −
            ρ
          
        
        +
        α
        
          ⋅
        
        
          L
          
            −
            ρ
          
        
        
          
            
              )
            
          
          
            −
            
              
                β
                ρ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Y=A{\cdot }{\Big (}(1-\alpha ){\cdot }K^{-\rho }+\alpha {\cdot }L^{-\rho }{\Big )}^{-{\frac {\beta }{\rho }}}}
  
Գծային արտադրական ֆունկցիա. 
  
    
      
        Y
        =
        a
        K
        +
        b
        L
      
    
    {\displaystyle Y=aK+bL}
  
Լեոնտևի արտադրական ֆունկցիա. 
  
    
      
        Y
        =
        min
        (
        K
        
          /
        
        a
        ,
        L
        
          /
        
        b
        )
      
    
    {\displaystyle Y=\min(K/a,L/b)}
  


== Ծանոթագրություններ ==