Բերտրանի պոստուլատ

Բերտրանի պոստուլատը թեորեմ է, ըստ որի կամայական ամբողջ թվի համար 
  
    
      
        n
        >
        3
      
    
    {\displaystyle n>3}
  , գոյություն ունի նվազագույնը մեկ այնպիսի պարզ թիվ 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  , որ

  
    
      
        n
        <
        p
        <
        2
        n
        −
        2
      
    
    {\displaystyle n<p<2n-2}
  Մեկ այլ բանաձև, որտեղ 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{n}}
  -ը 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -րդ պարզ թիվն է և 
  
    
      
        n
        ≥
        1
      
    
    {\displaystyle n\geq 1}
  

  
    
      
        
          p
          
            n
            +
            1
          
        
        <
        2
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}}
  Այս պնդումը առաջին անգամ առաջարկել է Ջոզեֆ Բերտրանը (1822-1900) 1845 թվականին։ Բերտրանը ստուգել է այն [2, 3 × 106] բոլոր թվերի համար։ Նրա պնդումը վերջնականորեն ապացուցվել է Չեբիշևի (Chebyshev) (1821-1894) կողմից 1852 թվականին։ Այժմ պոստուլատը հայտնի է նաև որպես Բերտրան-Չեբիշևի թեորեմ կամ Չեբիշևի թեորեմ։ Չեբիշևի թեորեմը կարելի է ներկայացնել 
  
    
      
        
          π
          (
          x
          )
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \pi (x)\,}
   ֆունկցիայի միջոցով, որտեղ 
  
    
      
        
          π
          (
          x
          )
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle \pi (x)\,}
  -ը 
  
    
      
        
          x
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle x\,}
  -ը չգերազանցող պարզ թվերի քանակն է։

  
    
      
        π
        (
        x
        )
        −
        π
        (
        
          
            
              x
              2
            
          
        
        )
        ≥
        1
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \pi (x)-\pi ({\tfrac {x}{2}})\geq 1,\,}
   բոլոր 
  
    
      
        
        x
        ≥
        2.
        
      
    
    {\displaystyle \,x\geq 2.\,}
  1919 թվականին Ռամանուջանը (1887-1920) օգտագործել է գամմա ֆունկցիան՝ ավելի պարզ ապացույց գտնելու համար, որից առաջացել են Ռամանուջանյան պարզ թվերը։ 1932 թվականին Էրդյոշը (Erdős) (1913-1996) հրապարակել է նմանատիպ ապացույց՝ օգտագործելով բինոմական գործակիցները և Չեբիշևի ֆունկցիան՝

  
    
      
        ϑ
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            p
            =
            2
          
          
            x
          
        
        ln
        ⁡
        (
        p
        )
      
    
    {\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p=2}^{x}\ln(p)}
  , որտեղ p ≤ x։


== Էրդյոշի թեորեմ ==
1934 թվականին Էրդյոշը ապացուցել է, որ կամայական բնական k թվի համար գոյություն ունի այնպիսի N բնական թիվ, որ բոլոր n > N թվերի համար գոյություն ունեն առնվազն k պարզ թվեր, որոնք ընկած են n-ի և 2n-ի միջև։ Համարժեք մի պնդում ապացուցել է Ռամանուջանը 1919 թվականին։
Պարզ թվերի թեորեմից (մինչև x ընկած պարզ թվերի քանակը մոտավորապես հավասար է x/ln(x)-ի) հետևում է, որ եթե x-ի փոխարեն տեղադրենք 2x, ապա անվերջ մեծ x-երի համար մինչև x ընկած պարզ թվերի քանակը հավասար է մինչև 2x ընկած պարզ թվերի քանակի կեսին։ Այս պատճառով անվերջ մեծ n բնական թվերի համար n-ից մինչև 2n ընկած պարզ թվերի քանակը հավասար է n/ln(n), որը շատ ավելի մեծ թիվ է, քան պնդում է Բերտրանի պոստուլատը։ Այսպիսով, Բերտրանի պոստուլատը ավելի թույլ թեորեմ է, քան պարզ թվերի թեորեմը։
Նմանատիպ, թեև չլուծված խնդիր է Լեժանդրի վարկածը, որը պնդում է, որ կամայական n բնական թվի համար գոյություն ունի այնպիսի p պարզ թիվ, որը բավարարում է հետևյալ պայմանին․ n2 < p < (n + 1)2։ Այս վարկածն ապացուցելիս պարզ թվերի թեորեմը չի օգնում, քանի որ անվերջ մեծ x-երի համար x2/ln(x2)-ը հավասար է (x + 1)2/ln((x + 1)2)-ին։


== Ավելի լավ արդյունքներ ==
Պարզ թվերի թեորեմից հետևում է, որ կամայական իրական 
  
    
      
        ϵ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \epsilon >0}
   թվի համար գոյություն ունեն այնպիսի 
  
    
      
        
          n
          
            0
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle n_{0}>0}
   և 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   պարզ թվեր, որ բոլոր 
  
    
      
        n
        >
        
          n
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle n>n_{0}}
   համար տեղի ունի 
  
    
      
        n
        <
        p
        <
        (
        1
        +
        ϵ
        )
        n
      
    
    {\displaystyle n<p<(1+\epsilon )n}
   անհավասարումը։ Հեշտությամբ կարելի է ապացուցել, որ

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              π
              (
              (
              1
              +
              ϵ
              )
              n
              )
              −
              π
              (
              n
              )
            
            
              n
              
                /
              
              log
              ⁡
              n
            
          
        
        =
        ϵ
        ,
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\pi ((1+\epsilon )n)-\pi (n)}{n/\log n}}=\epsilon ,}
  որից հետևում է, որ 
  
    
      
        π
        (
        (
        1
        +
        ϵ
        )
        n
        )
        −
        π
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \pi ((1+\epsilon )n)-\pi (n)}
   արտահայտությունը ձգտում է անվերջության։
Ոչ ասիմպտոտային սահմանները նույնպես ապացուցված են։ 1952 թվականին Ջիտսուրո Նագուրան (Jitsuro Nagura) ապացուցել է, որ n ≥ 25-ի համար գոյություն ունի այնպիսի պարզ թիվ, որը ընկած է n-ի և (1 + 1/5)n-ի միջև։
1976 թվականին Լոուել Շոնֆելդը (Lowell Schoenfeld) ցույց է տվել, որ n ≥ 2010760-ի համար միշտ գոյություն ունի այնպիսի պարզ թիվ, որ ընկած է n-ի և (1 + 1/16597)n-ի միջև։
1998 թվականին Պիեր Դուսարտը (Pierre Dusart) իր դոկտորական թեզում լավացրեց այդ արդյունքը՝ ցույց տալով, որ k ≥ 463, pk+1 ≤ (1 + 1/(ln2pk))pk-ի, և, մասնավորապես, x ≥ 3275-ի համար գոյություն ունի այնպիսի պարզ թիվ, որը ընկած է 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի և (1 + 1/(2ln2x))x-ի միջև։
Բեյքերը, Հարմանը և Պինցը ապացուցեցին, որ բոլոր մեծ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -երի համար գոյություն ունի գոնե մեկ պարզ թիվ, որն ընկած է 
  
    
      
        [
        x
        ,
        
        x
        +
        O
        (
        
          x
          
            21
            
              /
            
            40
          
        
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle [x,\,x+O(x^{21/40})]}
   միջակայքում։
Բերտրանի պոստուլատի ընդհանրացումները ստացվում են նաև պարզ մեթոդներով։ 2006 թվականին Մ․ Էլ Բախռաուին (M. El Bachraoui) ապացուցել է, որ գոյություն ունի պարզ թիվ 2n-ի և 3n-ի միջև։ 2011 թվականին Էնդի Լուն (Andy Loo) ապացուցեց, որ գոյություն ունի պարզ թիվ 3n-ի և 4n-ի միջև։ Ավելին, նա ապացուցեց, որ երբ n-ը ձգտում է անվերջության, 3n-ի և 4n-ի միջև գոյություն ունեցող պարզ թվերի քանակը նույնպես ձգտում է անվերջության՝ ընդհանրացնելով Էրդյոշի ու Ռամանուջանի ստացած արդյունքները։ Այս ապացույցներից ոչ մեկը չի պահանջում խորը անալիզի գիտելիքներ։