Կրճատ բազմապատկման բանաձևեր

Կրճատ բազմապատկման բանաձևերը հաճախ հանդիպող բազմանդամների բազմապատկման ձևեր են։ Նրանցից շատերը հանդիսանում են Նյուտոնի բինոմի մասնավոր դեպքեր։ Այն ուսումնասիրվում է միջնակարգ դպրոցի հանրահաշիվ առարկայի դասավանդման ժամանակ։


== Բանաձևեր քառակուսիների համար ==

  
    
      
        (
        a
        +
        b
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        2
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
  

  
    
      
        (
        a
        −
        b
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        −
        2
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
  

  
    
      
         
        
          a
          
            2
          
        
        −
        
          b
          
            2
          
        
        =
        (
        a
        −
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        )
      
    
    {\displaystyle ~a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}
  


== Բանաձևեր խորանարդների համար ==

  
    
      
        (
        a
        +
        b
        
          )
          
            3
          
        
        =
        
          a
          
            3
          
        
        +
        3
        
          a
          
            2
          
        
        b
        +
        3
        a
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}
  

  
    
      
        (
        a
        −
        b
        
          )
          
            3
          
        
        =
        
          a
          
            3
          
        
        −
        3
        
          a
          
            2
          
        
        b
        +
        3
        a
        
          b
          
            2
          
        
        −
        
          b
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}
  

  
    
      
        
          a
          
            3
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
        
        =
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
  

  
    
      
        
          a
          
            3
          
        
        −
        
          b
          
            3
          
        
        =
        (
        a
        −
        b
        )
        (
        
          a
          
            2
          
        
        +
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}
  


== Բանաձևեր չորրորդ աստիճանի համար ==

  
    
      
        (
        a
        +
        b
        
          )
          
            4
          
        
        =
        
          a
          
            4
          
        
        +
        4
        
          a
          
            3
          
        
        b
        +
        6
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        +
        4
        a
        
          b
          
            3
          
        
        +
        
          b
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}}
  

  
    
      
        (
        a
        −
        b
        
          )
          
            4
          
        
        =
        
          a
          
            4
          
        
        −
        4
        
          a
          
            3
          
        
        b
        +
        6
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        −
        4
        a
        
          b
          
            3
          
        
        +
        
          b
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle (a-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}}
  

  
    
      
         
        
          a
          
            4
          
        
        −
        
          b
          
            4
          
        
        =
        (
        a
        −
        b
        )
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ~a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})}
  


== Բանաձևեր n-րդ աստիճանի համար ==

  
    
      
         
        
          a
          
            n
          
        
        −
        
          b
          
            n
          
        
        =
        (
        a
        −
        b
        )
        (
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        
          a
          
            n
            −
            2
          
        
        b
        +
        
          a
          
            n
            −
            3
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            n
            −
            3
          
        
        +
        a
        
          b
          
            n
            −
            2
          
        
        +
        
          b
          
            n
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ~a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}
  

  
    
      
         
        
          a
          
            2
            n
          
        
        −
        
          b
          
            2
            n
          
        
        =
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        
          a
          
            2
            n
            −
            1
          
        
        −
        
          a
          
            2
            n
            −
            2
          
        
        b
        +
        
          a
          
            2
            n
            −
            3
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        −
        .
        .
        .
        −
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            2
            n
            −
            3
          
        
        +
        a
        
          b
          
            2
            n
            −
            2
          
        
        −
        
          b
          
            2
            n
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ~a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})}
  , որտեղ 
  
    
      
        n
        ∈
        N
      
    
    {\displaystyle n\in N}
  

  
    
      
         
        
          a
          
            2
            n
          
        
        −
        
          b
          
            2
            n
          
        
        =
        (
        
          a
          
            n
          
        
        +
        
          b
          
            n
          
        
        )
        (
        
          a
          
            n
          
        
        −
        
          b
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ~a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})}
  

  
    
      
         
        
          a
          
            2
            n
            +
            1
          
        
        +
        
          b
          
            2
            n
            +
            1
          
        
        =
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        
          a
          
            2
            n
          
        
        −
        
          a
          
            2
            n
            −
            1
          
        
        b
        +
        
          a
          
            2
            n
            −
            2
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        −
        .
        .
        .
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            2
            n
            −
            2
          
        
        −
        a
        
          b
          
            2
            n
            −
            1
          
        
        +
        
          b
          
            2
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ~a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})}
  , որտեղ 
  
    
      
        n
        ∈
        N
      
    
    {\displaystyle n\in N}
  


== Բանաձևերի որոշ հատկություններ ==

  
    
      
         
        (
        a
        −
        b
        
          )
          
            2
            n
          
        
        =
        (
        b
        −
        a
        
          )
          
            2
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle ~(a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}}
  , որտեղ 
  
    
      
        n
        ∈
        N
      
    
    {\displaystyle n\in N}
  

  
    
      
         
        (
        a
        −
        b
        
          )
          
            2
            n
            +
            1
          
        
        =
        −
        (
        b
        −
        a
        
          )
          
            2
            n
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle ~(a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}}
  , որտեղ 
  
    
      
        n
        ∈
        N
      
    
    {\displaystyle n\in N}
  


== Աղբյուր ==
Մ.Յա.Վիգոդսկի, Տարրական մաթեմատիկայի տեղեկագիրք, Մոսկվա, 1958 թ․