Աբելյան խումբ

Աբելյան (կամ տեղափոխական) խումբ, խումբ է, որում խմբային գործողությունը հանդիսանում է տեղափոխական, երբեմն ասում են,աբելյան խումբ 
  
    
      
        (
        G
        ,
        ∗
        )
      
    
    {\displaystyle (G,*)}
  , եթե 
  
    
      
        a
        ∗
        b
        =
        b
        ∗
        a
      
    
    {\displaystyle a*b=b*a}
   ցանկացած երկու տարրերի համար 
  
    
      
        a
        ,
        
        b
        ∈
        G
      
    
    {\displaystyle a,\;b\in G}
  ։ Սովորաբար աբելյան խմբի խմբային գործողությունների նշանակման համար օգտագործվում է հավելում (լատ.՝ additivus) գրառում,այսինքն՝ խմբային գործողությունները նշանակվում է 
  
    
      
        +
      
    
    {\displaystyle +}
   նշանով և անվանվում է գումարում։
Անվանումը տրված է նորվեգական մաթեմատիկոս Հ. Աբելի պատվին խմբի տեղադրման հետազոտությունում իր ներդրման համար։


== Օրինակներ ==
Զուգահեռ խմբի տեղափոխումը գծային տարածությունում։
Աբելյան ցանկացած ցիկլային խումբ 
  
    
      
        G
        =
        ⟨
        a
        ⟩
      
    
    {\displaystyle G=\langle a\rangle }
  ։ Իրոք ճիշտ է ցանկացած 
  
    
      
        x
        =
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x=a^{n}}
   և 
  
    
      
        y
        =
        
          a
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle y=a^{m}}
  , որ

  
    
      
        x
        y
        =
        
          a
          
            m
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          a
          
            m
            +
            n
          
        
        =
        
          a
          
            n
          
        
        
          a
          
            m
          
        
        =
        y
        x
      
    
    {\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}
  ։Մասնավորապես, ամբողջ թվի 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
   բազմությունը գումարման տեղափոխական խումբ է, դա ճիշտ է և հանման դասի 
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \,}
   համար։
Ցանկացած օղակ հանդիսանում է իր գումարման տեղափոխական (աբելյան) խումբ, օրինակ կարող է ծառայել 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
   իրական թվերի դաշտը թվերի գումարման գործողություններով։
Տեղափոխական օղակի հակադարձելի տարրերը (մասնավորապես, ցանկացած դաշտի ոչզրոյական տարրերը) կազմում են բազմապատկման աբելյան խումբ։ Օրինակ, աբելյան խումբ է ներկայացնում ոչզրոյական իրական թվերի բազմությունը բազմապատկման գործողություններով։


== Կապակցված սահմանումներ ==
Վեկտորական տարածությունում համաչափության համանմանությամբ, յուրաքանչյուր աբելյան խումբ ունի կարգ։ Այն որոշվում է ինչպես նվազագույն վեկտորական տարածության համաչափություն ռացիոնալ թվերի 
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
   դաշտում, որում ներդրվում է խմբի ֆակտորի հյուսումը։


== Հատկություններ ==
Իհարկե, իզոմորֆ աբելյան խմբերի ծնունդը ուղղակի ցիկլային խմբի գումար է։
իզոմորֆ աբելյան վերջավոր խմբերը ուղղակի ցիկլային վերջավոր խմբերի գումար է։
Ցանկացած աբելյան խմբեր ունեն սովորական կազմություն ամբողջ թվերի մոդուլը օղակի նկատմամբ։ Իրոք, դիցուք 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  ը բնական թիվ է, իսկ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  ը տեղափոխական խմբի տարր 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
   գործողությամբ, նշանակված +, այդ ժամանակ 
  
    
      
        n
        x
      
    
    {\displaystyle nx}
   կարելի է որոշել ինչպես 
  
    
      
        x
        +
        x
        +
        …
        +
        x
      
    
    {\displaystyle x+x+\ldots +x}
   (
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   անգամ) և 
  
    
      
        (
        −
        n
        )
        x
        =
        −
        (
        n
        x
        )
      
    
    {\displaystyle (-n)x=-(nx)}
  ։
Պնդումները և թեորեմները, ճիշտ են աբելյան խմբերի համար (այսինքն. մոդուլի նկատմամբ 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
   գլխավոր իդեալներ տիրույթ), հաճախ կարող են մոդուլը ընդհանրացնել կամայական գլխավոր իդեալների տիրույթի նկատմամբ։Բնորոշ օրինակ է հանդիսանում վերջավոր աբելյան խմբի դասակարգումը, որը կարող ենք ընդհանրացնել մինչև ցանկացած վերջավոր մոդեւլի դասակարգումը գլխավոր իդեալների տիրույթի նկատմամբ։
Հոմոմորֆիզմ բազմություն 
  
    
      
        Hom
        ⁡
        (
        G
        ,
        
        H
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\;H)}
   բոլոր խմբային հոմոմորֆիզմներից՝ 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  -ից 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  , նույնպես հանդիսանում է աբելյան խումբ։ Իրոք, դիցուք 
  
    
      
        f
        ,
        
        g
        :
        G
        →
        H
      
    
    {\displaystyle f,\;g:G\to H}
   երկու հոմոմորֆիզմ խումբ է աբելյան խմբերի միջև, այդ ժամանակ դրանց գումարը 
  
    
      
        f
        +
        g
      
    
    {\displaystyle f+g}
  , տրված ինչպես 
  
    
      
        (
        f
        +
        g
        )
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        +
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}
  , նույնպես հանդիսանում է հոմոմորֆիզմ (դա ճիշտ է,եթե 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
   չի հանդիսանում տեղափոխական խումբ)։
Աբելյան հասկացությունը սերտ կապված է կենտրոն 
  
    
      
        Z
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle Z(G)}
   հասկացության հետ, 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
   խումբը բազմություն է, կազմված նրա այն տարրերից,որոնք տեղափոխում են 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
   խմբի յուրաքանչյուր տարրի հետ և գլխավոր դեր յուրօրինակ «աբելյան չափումներում։»Աբելյան խումբ է, այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ նրա կենտրոնը համընկնում է ամբողջ խմբի կենտրոնի հետ։


== Վերջավոր աբելյան խմբեր ==
Վերջավոր աբելյան խմբի հիմնական թեորեմը ապացուցում է,որ ցանկացած վերջավոր աբելյան խումբը հնարավոր է ր ցիկլային ենթախմբի գումարը բաշխվում է ուղղի վրա, որի հաջորդականությունը հանդիսանում է պարզ թվերի աստիճաններ։ Վերջավոր աբելյան խմբի կազմության մասին թեորեմայի այդ հետևանքը ընդհանուր է դեպքի համար, երբ խումբը չունի անվերջ տարերի հաջորդականություն։ 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            m
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}
   իզոմորֆ է ուղղակի գումարին 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}
   և 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}
   այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   և 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   փոխադարձ պարզ են։
Հետևաբար, աբելյան խումբը կարելի է գրառել 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
   ուղղակի գումարի տեսքի

  
    
      
        
          
            Z
          
          
            
              k
              
                1
              
            
          
        
        ⊕
        …
        ⊕
        
          
            Z
          
          
            
              k
              
                u
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}}
  երկու տարբեր եղանակներով։

Որտեղ թիվ 
  
    
      
        
          k
          
            1
          
        
        ,
        
        …
        ,
        
        
          k
          
            u
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}}
   պարզ աստիճանի է։


== Վարիացիաներ և ընդհանրացումներ ==
Դիֆերենցիալ խումբը կոչվում է աբելյան խումբ 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {C} }
  , որում տրված է այսպիսի էնդոմորֆիզմ 
  
    
      
        d
        :
        
          C
        
        →
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle d\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }
  , որ 
  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle d^{2}=0}
  : Այդ էնդոմորֆիզմը անվանում են դիֆերենցիալ։ Դիֆերենցիալ խմբի տարրերին անվանում են շղթաներ, միջուկի տարրերը՝ 
  
    
      
        ker
        
        d
      
    
    {\displaystyle \ker \,d}
   ցիկլ, պատկերի տարրերը՝ 
  
    
      
        
          I
          m
        
        
        d
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Im} \,d}
   սահմանային։


== Տես նաև ==
Հանրահաշվական համակարգ


== Գրականություն ==
Винберг Э. Б.  Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7։


== Ծանոթագրություններ ==