Կոմբինատորային տոպոլոգիա

Կոմբինատորային տոպոլոգիա (անգլ.՝ Combinatorial topology), հանրահաշվական աուկոլոգիայի մաս. ուսումնասիրում է այնպիսի աուկոլոգիական տարածությունները, որոնց հնարավոր է կանոնավոր կերպով տրոհել պարզագույն մասերի՝ սիմպլեքսների։
Rn էվկլիդեսյան տարածության A ենթաբազմությունը կոչվում է r-չափանի (ուղղագիծ) սիմպլեքս, եթե այն գագաթներ կոչվող այնպիսի a0, a1, ..., ar (r < n) կետերի ուռուցիկ թաղանթն է, որոնք միաժամանակ չեն պատկանում Rn-ի ոչ մի (r-1)-չափանի հարթության։ r-չափանի սիմպլեքսը հատվածի, եռանկյան և տետրաէդրի ընդհանրացումն է բազմաչափ դեպքի համար։ Եթե B սիմպլեքսի յուրաքանչյուր գագաթ միաժամանակ A սիմպլեքսի գագաթ է, ապա B-ն անվանում են A-ի նիստ։ Կոմբինատորային տոպոլոգիայի հիմնական գաղափարներից մեկը կոմպլեքսն է, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ՝ Rn էվկլիդեսյան տարածության սիմպլեքսների K վերջավոր համակարգը կոչվում է երկրաչափական սիմպլեքսային կոմպլեքս կամ ուղղակի կոմպլեքս Rn-ում, եթե տեղի ունեն հետևյալ պայմանները՝ 

Եթե A\inK, ապա A-ի յուրաքանչյուր նիստ նույնպես պատկանում է K համակարգին։
K համակարգին պատկանող յուրաքանչյուր երկու սիմպլեքս կամ չեն հատվում, կամ դրանց հատույթը յուրաքանչյուրի համար նիստ է։ K կոմպլեքսին պատկանող բոլոր սիմպլեքսների կետերի բազմությունը կոչվում է K-ի մարմին և նշանակվում՝ (K)։ Rn-ի P ենթաբազմությունը կոչվում է ուղղագիծ պոլիէդր, եթե նա որևէ K կոմպլեքսի մարմին է, այսինքն՝ P= (K), ընդ որում K-ն կոչվում է P պոլիէդրի սիմպլեքսային տրոհում կամ տրիանգուլյացիա։ Ուղղագիծ պոլիէդր է խորանարդը. նրա տրիանգուլյացիան ստանալու համար հարկավոր է խորանարդի յուրաքանչյուր նիստը անկյունագծերով բաժանել չորս եռանկյունների և բոլոր ստացված եռանկյունների վրա կառուցել այնպիսի տետրաէդրներ, որոնց համար ընդհանուր գագաթ լինի խորանարդի կենտրորնը։ Ուղղագիծ սիմպլեքսների և պոլիէդրների հետ դիտարկվում են նաևդրանց տոպոլոգիական պատկերները, որոնց անվանում են համապատասխանաբար կորագիծ սիմպլեքսներ և կորագիծ պոլիէդրներ։ Կորրագիծ պոլիէդրներ են, օրինակ, գունդը, ոլորտը, տորը, հարթ օղակը։ Ոլորտի պարզագույն կորագիծ տրիանգուլյացիա կարելի է ստանալ, եթե մենք նրան ներգծենք տետրաէդր և վերջինիս որևէ ներքին կետից տետրաէդրի եզրը պրոյեկտենք ոլորտի վրա։Կոմբինատորային տոպոլոգիայի հիմնական խնդիրն է պոլիէդրների տոպոլոգիական հետազոտումը։ Կոմպլեքսները խաղում են միայն օժանդակ դեր պոլիէդրների ներկայացման և դրանց տոպոլոգիական ինվարիանտների կառուցման համար։
Կոմբինատորային տոպոլոգիայի հնագույն և ամենազարգացած ապարատը հոմոլոգիաների տեսությունն է, որի հիմքերը դրվել են ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ա. Պուանկարեի աշխատություններում (1895)։ Այդ տեսությունը կապ է հաստատում տոպոլոգիական և հանրահաշվական գաղափարների միջև՝ տոպոլոգիական խնդիրը վերածելով հանրահաշվականի։ Եթե P-ն պոլիէդր է, իսկ K-ն՝ նրա տրիանգուլյացիան, ապա յուրաքանչյուր q ամբողջ թվի համար կառուցվում է աբելյան խումբ, որը կոչվում է K սիմպլեքսի q չափանի Բետտիի կամ հոմոլոգիական խումբ։ Վերջինս իզոմորֆիզմի ճշտությամբ կախված չէ կոմբինատորային տոպոլոգիայի ընտրությունից կոչվում է P պոլիէդրի q-չափանի հոմոլոգիական խումբ ու նշանակվում Hq (P)։ Հոմոլոգիական խմբերը կարևոր տոպոլոգիական ինվարիանտներ են, հետևաբար, մի շարք դեպքերում կարող են պոլիէդրները տոպոլոգորեն տարբերել։ 1934 թվականին խորհրդային մաթեմատիկոս Ա. Ն. Կոլմոգորովը և ամերիկացի մաթեմատիկոս Ջ. Ալեքսանդերը միմյանցից անկախ կամայական q ամբողջ թվի համար սահմանեցին P պոլիէդրի q չափանի Hq (P) կոհոմոլոգիական խումբը, դրանով իսկ ստեղծելով հոմոլոգիաների տեսությանը երկակի՝ կոհոմոլոգիաների տեսությունը, որն ավելի ընդլայնեց հոմոլոգիական գաղափարների կիրառման բնագավառը։ Տոպոլոգիայի զարգացման համար նշանակալից դեր խաղաց Պ. Ս. Ալեքսանդրովի մտցրած «ծածկույթի ջիղ» գաղափարը, որը հնարավորություն տվեց ընդհանուր հոմոլոգիական հասկացությունները տարածել կամայական տոպոլոգիական տարածությունների վրա՝ դրանով, իսկ իրականացնելով ընդհանուր և կոմբինատորային տոպոլոգիաների սինթեզը, որի հետևանքով ստեղծվեց նոր ուղղություն՝ ընդհանուր Կոմբինատորային տոպոլոգիա։