Եռանկյունաչափական նույնություններ

Եռանկյունաչափական նույնությունները մաթեմատիկական արտահայտություներ են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար, որոնք կատարվում են արգումենտի բոլոր արժեքների համար (ընդհանուր որոշման տիրույթից)։


== Հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևեր ==
Բանաձև (1)-ը հետևանք է Պյութագորասի թեորեմայից։ (2)-րդ և (3)-րդ բանաձևերը ստացվում են (1)-ին բանաձևից բաժանելով համապատասխանաբար 
  
    
      
         
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        α
      
    
    {\displaystyle ~\cos ^{2}\alpha }
  -ի և 
  
    
      
         
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        α
      
    
    {\displaystyle ~\sin ^{2}\alpha }
  -ի։


== Արգումենտի գումարի բանաձևերը ==
Բանաձև (6)-ը ստացվում է (4)-ը (5)-ի վրա բաժանելիս, իսկ (7)-րդ բանաձևը՝ (5)-ը (4)-ի բաժանելիս։


== Կրկնակի անկյան բանաձևերը ==
Կրկնակի անկյան բանաձևերը դուրս են բերվում (4), (5), (6) և (7) բանաձևերից, եթե հաշվի առնենեք, որ 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
   և 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   անկյունները հավասար են։


== Եռակի անկյան բանաձևերը ==


== Աստիճանի իջեցման բանաձևերը ==
Աստիճանի իջեցման բանաձևերը դուրս են բերվում (9)-րդ բանաձևերից։


== Ֆունկցիաների արտադրյալի ձևափոխման բանաձևեր ==


== Ֆունկցիաների գումարի ձևափոխման բանաձևեր ==


== Պարզագույն եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում ==

  
    
      
        sin
        ⁡
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle \sin x=a}
  եթե 
  
    
      
        
          |
        
        a
        
          |
        
        >
        1
      
    
    {\displaystyle |a|>1}
   — իրական լուծում չունի։
եթե 
  
    
      
        
          |
        
        a
        
          |
        
        ⩽
        1
      
    
    {\displaystyle |a|\leqslant 1}
   — լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ 
  
    
      
        x
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        arcsin
        ⁡
        a
        +
        π
        n
        ;
         
        n
        ∈
        
          Z
        
        :
      
    
    {\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} :}
  
  
    
      
        cos
        ⁡
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle \cos x=a}
  եթե 
  
    
      
        
          |
        
        a
        
          |
        
        >
        1
      
    
    {\displaystyle |a|>1}
   — իրական լուծում չունի։
եթե 
  
    
      
        
          |
        
        a
        
          |
        
        ⩽
        1
      
    
    {\displaystyle |a|\leqslant 1}
   — լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ 
  
    
      
        x
        =
        ±
        arccos
        ⁡
        a
        +
        2
        π
        n
        ;
         
        n
        ∈
        
          Z
        
        :
      
    
    {\displaystyle x=\pm \arccos a+2\pi n;\ n\in \mathbb {Z} :}
  
  
    
      
        tg
        
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle \operatorname {tg} \,x=a}
  լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ 
  
    
      
        x
        =
        arctg
        
        a
        +
        π
        n
        ;
         
        n
        ∈
        
          Z
        
        :
      
    
    {\displaystyle x=\operatorname {arctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} :}
  
  
    
      
        ctg
        
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ctg} \,x=a}
  լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ 
  
    
      
        x
        =
        arcctg
        
        a
        +
        π
        n
        ;
         
        n
        ∈
        
          Z
        
        :
      
    
    {\displaystyle x=\operatorname {arcctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} :}
  


== Օգտակար նույնություններ ==
Բանաձևերում 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   և 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   ամբողջ թվեր են։

  
    
      
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                4
              
            
            +
            x
          
          )
        
        =
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                4
              
            
            −
            x
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{4}}+x\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}-x\right).}
  

  
    
      
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                4
              
            
            −
            x
          
          )
        
        =
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                4
              
            
            +
            x
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{4}}-x\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}+x\right).}
  

  
    
      
        1
        ±
        sin
        ⁡
        x
        =
        2
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                4
              
            
            ±
            
              
                x
                2
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle 1\pm \sin x=2\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {x}{2}}\right).}
  

  
    
      
        1
        +
        cos
        ⁡
        x
        =
        2
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        
          (
          
            
              x
              2
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle 1+\cos x=2\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).}
  

  
    
      
        1
        −
        cos
        ⁡
        x
        =
        2
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        
          (
          
            
              x
              2
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle 1-\cos x=2\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).}
  

  
    
      
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        =
        
          
            1
            
              1
              +
              
                ctg
                
                  2
                
              
              ⁡
              x
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sin ^{2}x={\frac {1}{1+\operatorname {ctg} ^{2}x}}.}
  

  
    
      
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        =
        
          
            1
            
              1
              +
              
                tg
                
                  2
                
              
              ⁡
              x
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {1}{1+\operatorname {tg} ^{2}x}}.}
  

  
    
      
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        −
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        y
        =
        sin
        ⁡
        (
        x
        −
        y
        )
        ⋅
        sin
        ⁡
        (
        x
        +
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \sin ^{2}x-\sin ^{2}y=\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).}
  

  
    
      
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        −
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        y
        =
        −
        sin
        ⁡
        (
        x
        −
        y
        )
        ⋅
        sin
        ⁡
        (
        x
        +
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \cos ^{2}x-\cos ^{2}y=-\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).}
  

  
    
      
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        −
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        y
        =
        cos
        ⁡
        (
        x
        −
        y
        )
        ⋅
        cos
        ⁡
        (
        x
        +
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \cos ^{2}x-\sin ^{2}y=\cos(x-y)\cdot \cos(x+y).}
  

  
    
      
        sin
        ⁡
        2
        x
        +
        sin
        ⁡
        2
        y
        =
        2
        cos
        ⁡
        (
        x
        −
        y
        )
        ⋅
        sin
        ⁡
        (
        x
        +
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \sin 2x+\sin 2y=2\cos(x-y)\cdot \sin(x+y).}
  

  
    
      
        sin
        ⁡
        2
        x
        −
        sin
        ⁡
        2
        y
        =
        2
        sin
        ⁡
        (
        x
        −
        y
        )
        ⋅
        cos
        ⁡
        (
        x
        +
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \sin 2x-\sin 2y=2\sin(x-y)\cdot \cos(x+y).}
  

  
    
      
        cos
        ⁡
        2
        x
        +
        cos
        ⁡
        2
        y
        =
        2
        cos
        ⁡
        (
        x
        −
        y
        )
        ⋅
        cos
        ⁡
        (
        x
        +
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \cos 2x+\cos 2y=2\cos(x-y)\cdot \cos(x+y).}
  

  
    
      
        cos
        ⁡
        2
        x
        −
        cos
        ⁡
        2
        y
        =
        −
        2
        sin
        ⁡
        (
        x
        −
        y
        )
        ⋅
        sin
        ⁡
        (
        x
        +
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \cos 2x-\cos 2y=-2\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).}
  

  
    
      
        sin
        ⁡
        2
        x
        +
        cos
        ⁡
        2
        y
        =
        2
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                4
              
            
            +
            x
            −
            y
          
          )
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                4
              
            
            +
            x
            +
            y
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sin 2x+\cos 2y=2\sin \left({\frac {\pi }{4}}+x-y\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{4}}+x+y\right).}
  

  
    
      
        sin
        ⁡
        2
        x
        −
        cos
        ⁡
        2
        y
        =
        −
        2
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                4
              
            
            −
            x
            −
            y
          
          )
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                4
              
            
            −
            x
            +
            y
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sin 2x-\cos 2y=-2\sin \left({\frac {\pi }{4}}-x-y\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{4}}-x+y\right).}
  

  
    
      
        
          sin
          
            3
          
        
        ⁡
        x
        +
        
          cos
          
            3
          
        
        ⁡
        x
        =
        (
        sin
        ⁡
        x
        +
        cos
        ⁡
        x
        )
        (
        1
        −
        sin
        ⁡
        x
        cos
        ⁡
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \sin ^{3}x+\cos ^{3}x=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x).}
  

  
    
      
        
          sin
          
            4
          
        
        ⁡
        x
        +
        
          cos
          
            4
          
        
        ⁡
        x
        =
        1
        −
        2
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        =
        1
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        2
        x
        )
        =
        
          
            3
            4
          
        
        +
        
          
            1
            4
          
        
        cos
        ⁡
        (
        4
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \sin ^{4}x+\cos ^{4}x=1-2\sin ^{2}x\,\cos ^{2}x=1-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}(2x)={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{4}}\cos(4x).}
  

  
    
      
        
          sin
          
            6
          
        
        ⁡
        x
        +
        
          cos
          
            6
          
        
        ⁡
        x
        =
        1
        −
        3
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        =
        1
        −
        3
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        +
        3
        
          sin
          
            4
          
        
        ⁡
        x
        =
        1
        −
        
          
            3
            4
          
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        2
        x
        )
        =
        
          
            5
            8
          
        
        +
        
          
            3
            8
          
        
        cos
        ⁡
        (
        4
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \sin ^{6}x+\cos ^{6}x=1-3\sin ^{2}x\,\cos ^{2}x=1-3\sin ^{2}x+3\sin ^{4}x=1-{\frac {3}{4}}\sin ^{2}(2x)={\frac {5}{8}}+{\frac {3}{8}}\cos(4x).}
  

  
    
      
        1
        ±
        tg
        ⁡
        x
        =
        
          
            
              
                
                  2
                
              
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  
                    
                      π
                      4
                    
                  
                  ±
                  x
                
                )
              
            
            
              cos
              ⁡
              x
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle 1\pm \operatorname {tg} x={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\pm x\right)}{\cos x}}.}
  

  
    
      
        1
        ±
        ctg
        ⁡
        x
        =
        
          
            
              
                
                  2
                
              
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  
                    
                      π
                      4
                    
                  
                  ±
                  x
                
                )
              
            
            
              sin
              ⁡
              x
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle 1\pm \operatorname {ctg} x={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\pm x\right)}{\sin x}}.}
  

  
    
      
        tg
        ⁡
        x
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              2
              x
            
            
              cos
              ⁡
              2
              x
              +
              1
            
          
        
        =
        
          
            
              1
              −
              cos
              ⁡
              2
              x
            
            
              sin
              ⁡
              2
              x
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {tg} x={\frac {\sin 2x}{\cos 2x+1}}={\frac {1-\cos 2x}{\sin 2x}}.}
  

  
    
      
        
          ctg
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        −
        
          tg
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        =
        
          
            
              4
              cos
              ⁡
              2
              x
            
            
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              2
              x
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}x-\operatorname {tg} ^{2}x={\frac {4\cos 2x}{\sin ^{2}2x}}.}
  

  
    
      
        sin
        ⁡
        3
        x
        =
        4
        sin
        ⁡
        x
        ⋅
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                3
              
            
            +
            x
          
          )
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                3
              
            
            −
            x
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sin 3x=4\sin x\cdot \sin \left({\frac {\pi }{3}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{3}}-x\right).}
  

  
    
      
        tg
        ⁡
        3
        x
        =
        tg
        ⁡
        x
        ⋅
        tg
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                3
              
            
            +
            x
          
          )
        
        ⋅
        tg
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                3
              
            
            −
            x
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {tg} 3x=\operatorname {tg} x\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}-x\right).}
  

  
    
      
        sin
        ⁡
        5
        x
        =
        16
        sin
        ⁡
        x
        ⋅
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                5
              
            
            +
            x
          
          )
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                5
              
            
            −
            x
          
          )
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  2
                  π
                
                5
              
            
            +
            x
          
          )
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  2
                  π
                
                5
              
            
            −
            x
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sin 5x=16\sin x\cdot \sin \left({\frac {\pi }{5}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{5}}-x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{5}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{5}}-x\right).}
  

  
    
      
        tg
        ⁡
        5
        x
        =
        tg
        ⁡
        x
        ⋅
        tg
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                5
              
            
            +
            x
          
          )
        
        ⋅
        tg
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                5
              
            
            −
            x
          
          )
        
        ⋅
        tg
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  2
                  π
                
                5
              
            
            +
            x
          
          )
        
        ⋅
        tg
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  2
                  π
                
                5
              
            
            −
            x
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {tg} 5x=\operatorname {tg} x\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}}-x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}}-x\right).}
  

  
    
      
        sin
        ⁡
        7
        x
        =
        64
        sin
        ⁡
        x
        ⋅
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                7
              
            
            +
            x
          
          )
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                7
              
            
            −
            x
          
          )
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  2
                  π
                
                7
              
            
            +
            x
          
          )
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  2
                  π
                
                7
              
            
            −
            x
          
          )
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  3
                  π
                
                7
              
            
            +
            x
          
          )
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  3
                  π
                
                7
              
            
            −
            x
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sin 7x=64\sin x\cdot \sin \left({\frac {\pi }{7}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{7}}-x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{7}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{7}}-x\right)\cdot \sin \left({\frac {3\pi }{7}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {3\pi }{7}}-x\right).}
  

  
    
      
        tg
        ⁡
        7
        x
        =
        tg
        ⁡
        x
        ⋅
        tg
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                7
              
            
            +
            x
          
          )
        
        ⋅
        tg
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                7
              
            
            −
            x
          
          )
        
        ⋅
        tg
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  2
                  π
                
                7
              
            
            +
            x
          
          )
        
        ⋅
        tg
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  2
                  π
                
                7
              
            
            −
            x
          
          )
        
        ⋅
        tg
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  3
                  π
                
                7
              
            
            +
            x
          
          )
        
        ⋅
        tg
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  3
                  π
                
                7
              
            
            −
            x
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {tg} 7x=\operatorname {tg} x\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}}-x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}}-x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}}-x\right).}
  

  
    
      
        sin
        ⁡
        n
        x
        =
        
          2
          
            n
            −
            1
          
        
        
          ∏
          
            k
            =
            0
          
          
            n
            −
            1
          
        
        sin
        ⁡
        
          (
          
            x
            +
            
              
                
                  π
                  k
                
                n
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sin nx=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\sin \left(x+{\frac {\pi k}{n}}\right).}
  

  
    
      
        tg
        ⁡
        
          
            [
          
        
        (
        2
        n
        +
        1
        )
        x
        
          
            ]
          
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          ∏
          
            k
            =
            0
          
          
            2
            n
          
        
        tg
        ⁡
        
          (
          
            x
            +
            
              
                
                  π
                  k
                
                
                  2
                  n
                  +
                  1
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {tg} {\big [}(2n+1)x{\big ]}=(-1)^{n}\prod \limits _{k=0}^{2n}\operatorname {tg} \left(x+{\frac {\pi k}{2n+1}}\right).}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        sin
        ⁡
        (
        k
        x
        )
        =
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  n
                  +
                  1
                
                2
              
            
            x
          
          )
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  
                    
                      n
                      x
                    
                    2
                  
                
                )
              
            
            
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  
                    x
                    2
                  
                
                )
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\sin(kx)=\sin \left({\frac {n+1}{2}}x\right){\frac {\sin \left({\frac {nx}{2}}\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        cos
        ⁡
        (
        k
        x
        )
        =
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  n
                  +
                  1
                
                2
              
            
            x
          
          )
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  
                    
                      n
                      x
                    
                    2
                  
                
                )
              
            
            
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  
                    x
                    2
                  
                
                )
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\cos(kx)=\cos \left({\frac {n+1}{2}}x\right){\frac {\sin \left({\frac {nx}{2}}\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        sin
        ⁡
        
          
            [
          
        
        (
        2
        k
        −
        1
        )
        x
        
          
            ]
          
        
        =
        
          
            
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              n
              x
            
            
              sin
              ⁡
              x
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\sin {\big [}(2k-1)x{\big ]}={\frac {\sin ^{2}nx}{\sin x}}.}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            [
          
        
        (
        2
        k
        −
        1
        )
        x
        
          
            ]
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              2
              n
              x
            
            
              2
              sin
              ⁡
              x
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\cos {\big [}(2k-1)x{\big ]}={\frac {\sin 2nx}{2\sin x}}.}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            
              2
              π
              k
            
            
              2
              n
              +
              1
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\cos {\frac {2\pi k}{2n+1}}=-{\frac {1}{2}}.}
  

  
    
      
        
          ∏
          
            k
            =
            1
          
          
            n
            −
            1
          
        
        sin
        ⁡
        
          
            
              k
              π
            
            n
          
        
        =
        
          
            n
            
              2
              
                n
                −
                1
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}.}
  

  
    
      
        
          ∏
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        sin
        ⁡
        
          
            
              k
              π
            
            
              2
              (
              n
              +
              1
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              n
              +
              1
            
            
              2
              
                n
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n}\sin {\frac {k\pi }{2(n+1)}}={\frac {\sqrt {n+1}}{2^{n}}}.}
  

  
    
      
        
          ∏
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        sin
        ⁡
        
          
            
              k
              π
            
            
              2
              n
              +
              1
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              n
              +
              1
            
            
              2
              
                n
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n}\sin {\frac {k\pi }{2n+1}}={\frac {\sqrt {2n+1}}{2^{n}}}.}
  

  
    
      
        
          ∏
          
            k
            =
            1
          
          
            2
            n
            −
            1
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            
              k
              π
            
            n
          
        
        =
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
              −
              1
            
            
              2
              
                2
                n
                −
                1
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{2n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {(-1)^{n}-1}{2^{2n-1}}}.}
  

  
    
      
        
          ∏
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              2
              
                k
              
            
            x
          
          )
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  
                    2
                    
                      n
                      +
                      1
                    
                  
                  x
                
                )
              
            
            
              
                2
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              sin
              ⁡
              x
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{n}\cos \left(2^{k}x\right)={\frac {\sin \left(2^{n+1}x\right)}{2^{n+1}\sin x}}.}
  

  
    
      
        
          ∏
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            x
            
              2
              
                k
              
            
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              2
              x
            
            
              
                2
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  
                    x
                    
                      2
                      
                        n
                      
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{n}\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin 2x}{2^{n+1}\sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}}.}
  

  
    
      
        
          ∏
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            x
            
              2
              
                k
              
            
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            
              
                2
                
                  n
                
              
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  
                    x
                    
                      2
                      
                        n
                      
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin x}{2^{n}\sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}}.}
  

  
    
      
        
          ∏
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            x
            
              2
              
                k
              
            
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              2
              x
            
            
              2
              x
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{\infty }\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin 2x}{2x}}.}
  

  
    
      
        
          ∏
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            x
            
              2
              
                k
              
            
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            x
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{\infty }\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin x}{x}}.}
  

  
    
      
        cos
        ⁡
        
          20
          
            ∘
          
        
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          40
          
            ∘
          
        
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          80
          
            ∘
          
        
        =
        
          
            1
            8
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}.}
  

  
    
      
        cos
        ⁡
        
          
            π
            7
          
        
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          
            
              4
              π
            
            7
          
        
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          
            
              5
              π
            
            7
          
        
        =
        
          
            1
            8
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {4\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {5\pi }{7}}={\frac {1}{8}}.}
  

  
    
      
        cos
        ⁡
        
          
            π
            7
          
        
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          
            
              2
              π
            
            7
          
        
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          
            
              4
              π
            
            7
          
        
        =
        −
        
          
            1
            8
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {2\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {4\pi }{7}}=-{\frac {1}{8}}.}
  

  
    
      
        cos
        ⁡
        
          
            π
            9
          
        
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          
            
              2
              π
            
            9
          
        
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          
            
              4
              π
            
            9
          
        
        =
        
          
            1
            8
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {2\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {1}{8}}.}
  

  
    
      
        cos
        ⁡
        
          
            π
            9
          
        
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          
            
              5
              π
            
            9
          
        
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          
            
              7
              π
            
            9
          
        
        =
        
          
            1
            8
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {5\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {7\pi }{9}}={\frac {1}{8}}.}
  

  
    
      
        cos
        ⁡
        
          24
          
            ∘
          
        
        +
        cos
        ⁡
        
          48
          
            ∘
          
        
        +
        cos
        ⁡
        
          96
          
            ∘
          
        
        +
        cos
        ⁡
        
          168
          
            ∘
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.}
  

  
    
      
        
          
            
              
              
                cos
                ⁡
                
                  (
                  
                    
                      
                        2
                        π
                      
                      21
                    
                  
                  )
                
                +
                cos
                ⁡
                
                  (
                  
                    2
                    ⋅
                    
                      
                        
                          2
                          π
                        
                        21
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                cos
                ⁡
                
                  (
                  
                    4
                    ⋅
                    
                      
                        
                          2
                          π
                        
                        21
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                

                
                
                

                
                +
                cos
                ⁡
                
                  (
                  
                    5
                    ⋅
                    
                      
                        
                          2
                          π
                        
                        21
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                cos
                ⁡
                
                  (
                  
                    8
                    ⋅
                    
                      
                        
                          2
                          π
                        
                        21
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                cos
                ⁡
                
                  (
                  
                    10
                    ⋅
                    
                      
                        
                          2
                          π
                        
                        21
                      
                    
                  
                  )
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}
  
Следующая формула приводится в двух вариантах для угла 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   заданного в градусах и радианах:

  
    
      
        tg
        ⁡
        α
        =
        
          
            
              
                360
                
                  ∘
                
              
              ⋅
              α
            
            π
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              (
              
                180
                
                  ∘
                
              
              k
              −
              
                90
                
                  ∘
                
              
              +
              α
              )
              (
              
                180
                
                  ∘
                
              
              k
              −
              
                90
                
                  ∘
                
              
              −
              α
              )
            
          
        
        =
        2
        α
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              (
              k
              −
              1
              
                /
              
              2
              
                )
                
                  2
                
              
              
                π
                
                  2
                
              
              −
              
                α
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {360^{\circ }\cdot \alpha }{\pi }}\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(180^{\circ }k-90^{\circ }+\alpha )(180^{\circ }k-90^{\circ }-\alpha )}}=2\alpha \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(k-1/2)^{2}\pi ^{2}-\alpha ^{2}}}.}
  

  
    
      
        arctg
        ⁡
        
          
            1
            2
          
        
        +
        arctg
        ⁡
        
          
            1
            3
          
        
        =
        
          
            π
            4
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arctg} {\frac {1}{2}}+\operatorname {arctg} {\frac {1}{3}}={\frac {\pi }{4}}.}
  


== Երկրաչափական հավասարումներ ==
Եռանկյունաչափության հավասարումներ, հանրահաշվական հավասարումներ անհայտ արգումենտի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նկատմամբ։ 


== Ընդհանուր բնութագիր ==

Վերջինների միջև տարբեր առնչությունների օգնությամբ եռանկունաչափության հավասարումները միշտ բերվում են միևնույն ֆունկցիայի հանրահաշվական հավասարման։ Եռանկյունաչափության հավասարումները լուծվում են ավելի պարզ, եթե հնարավոր է հավասարման ձախ մասը վերածել տարբեր եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալի։ Օրինակ, sinx+sin2x+sin3x=0 հավասարումը կարելի է բերել և sin2x(2cosx+1) = 0 տեսքի և sinx-ի նկատմամբ խորանարդ հավասարման։ Եռանկյունաչափական հավասարումների տեսքը երբեմն հնարավոր է պարզեցնել օժանդակ արգումենտ մուծելով։