Ռիմանի երկրաչափություն

Ռիմանի երկրաչափություն (Էլիպտիկ երկրաչափություն), երեք «մեծագույն երկրաչափություններից» մեկը (Էվկլիդեսյան, Լոբաչևսկու և Ռիմանի)։ Եթե Էվկլիդեսյան երկրաչափությունը կառուցված է այնպիսի մակերևույթների վրա, որոնք ունեն հաստատուն զրո Գաուսյան կորություն, Լոբաչսկու երկրաչափությունը՝ հաստատուն բացասական կորություն, ապա Ռիմանի երկրաչափությունը գործում է հաստատուն դրական Գաուսյան կորություն ունեցող մակերևույթների դեպքում (գունդ)։ Պատմականորեն, Ռիմանի երկրաչափությունը հայտնվել է մյուս երկու երկրաչափություններից ավելի ուշ՝ 1854 թվականին։


== Ընդհանուր գաղափարներ ==
Ռիմանի երկրաչափության մեջ ուղիղը որոշվում է երկու կետերով, հարթությունը՝ երեք, երկու հարթությունների հատման գիծը ուղիղ գիծ է… բայց տվյալ կետից չի կարելի ուղղին տանել ոչ մի զուգահեռ ուղիղ։ Ռիմանի երկրաչափության մեջ (ինչպես նաև գնդային երկրաչափությունում) գոյություն ունի հետևյալ պնդումը. «Եռանկյան անկյունների գումարը մեծ է 180°-ից», իսկ բանաձևը տրվում է հետևյալ տեսքով՝ 

  
    
      
        
        Σ
        =
        π
        +
        
          S
        
        
          /
        
        
          
            R
            
              2
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \,\Sigma =\pi +{S}/{R^{2}},}
  
որտեղ 
  
    
      
        
        Σ
      
    
    {\displaystyle \,\Sigma }
  ` եռանկյան անկյունների գումարն է, իսկ 
  
    
      
        
        R
      
    
    {\displaystyle \,R}
  ` այն գնդի շառավիղը, որի վրա գործում է երկրաչափությունը։
Ռիմանի երկրաչափությունը ընդհանուր առմամբ նման է գնդային երկրաչափությանը, սակայն վերջինիս մեջ երկու ուղիղներ ունեն երկու, իսկ Ռիմանի երկրաչափության մեջ՝ ընդամենը մեկ հատման կետ։ Այդ իսկ պատճառով, հաճախ Ռիմանի երկրաչափությանը անվանում են երկրաչափություն գնդի վրա, որում հակադիր կետերը նույնականացված են (այս մեթոդով գնդոլորտից ստանում են պրոյեկտիվ հարթություն)։
Դիտարկենք 
  
    
      
        
        E
      
    
    {\displaystyle \,E}
   եռաչափ տարածությունում 
  
    
      
        
        O
      
    
    {\displaystyle \,O}
   կենտրոնով 
  
    
      
        
        S
      
    
    {\displaystyle \,S}
   գունդ։ Յուրաքանչյուր կետ, որը գտնվում է գնդի վրա (
  
    
      
        A
        ∈
        S
      
    
    {\displaystyle A\in S}
  ), գնդի 
  
    
      
        
        O
      
    
    {\displaystyle \,O}
   կենտրոնի հետ որոշում է ուղիղ (
  
    
      
        l
        ⊂
        E
      
    
    {\displaystyle l\subset E}
  ), այսինքն, պրոյեկտիվ 
  
    
      
        
        Π
      
    
    {\displaystyle \,\Pi }
   հարթության որոշակի 
  
    
      
        
        
          A
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \,A_{*}}
   կետ։ 
  
    
      
        A
        →
        
          A
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle A\to A_{*}}
   համադրությունը որոշում է 
  
    
      
        S
        →
        Π
      
    
    {\displaystyle S\to \Pi }
   արտապատկերումը։ 
  
    
      
        
        S
      
    
    {\displaystyle \,S}
  -ի մեծ շրջանները (գնդային երկրաչափության մեջ ուղիղներ) անցնում են պրոյեկտիվ 
  
    
      
        
        Π
      
    
    {\displaystyle \,\Pi }
   հարթության ուղիղների, ընդ որում՝ միևնույն 
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
        ∈
        Π
      
    
    {\displaystyle A_{*}\in \Pi }
   կետին անցնում են գնդի երկու կետեր (
  
    
      
        A
        ∈
        S
      
    
    {\displaystyle A\in S}
   և իր տրամագծորեն հակադիր 
  
    
      
        
          A
          ′
        
        ∈
        S
      
    
    {\displaystyle A'\in S}
   կետը)։ 
  
    
      
        
        E
      
    
    {\displaystyle \,E}
   տարածության Էվկլիդեսյան շարժումները, որոնք 
  
    
      
        
        S
      
    
    {\displaystyle \,S}
   գնդին արտապատկերում են իր վրա, տալիս են 
  
    
      
        
        Π
      
    
    {\displaystyle \,\Pi }
   պրոյեկտիվ հարթության հստակ վերափոխումներ, որոնք հանդիսանում են Ռիմանի երկրաչափության շարժումներ։ Ռիմանի երկրաչափությունում կամայական ուղիղներ հատվում են, քանի որ դա պրոյեկտիվ հարթության հատկությունն է, և, այսպիսով, Ռիմանի երկրաչափությունում չկան զուգահեռ ուղիղներ։
Ռիմանի երկրաչափությունը չի հանդիսանում բացարձակ երկրաչափություն։ Ռիմանի երկրաչափության մեջ գոյություն չունի նման գաղափար, որ C կետը գտնվում է A և B կետերի միջև, որն էլ հենց բացարձակ երկրաչափության գլխավոր պայմաններից մեկն է։ Իրականում՝ պրոյեկտիվ 
  
    
      
        
        Π
      
    
    {\displaystyle \,\Pi }
  հարթության ուղղու վրա արտապատկերվում է մեծ շրջան 
  
    
      
        
        S
      
    
    {\displaystyle \,S}
   գնդի վրա, ընդ որում՝ գնդի երկու տրամագծորեն հակադիր 
  
    
      
        
        A
      
    
    {\displaystyle \,A}
   և 
  
    
      
        
        
          A
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \,A'}
   կետերը անցնում են մի կետի (
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
        ∈
        Π
      
    
    {\displaystyle A_{*}\in \Pi }
  )։ Նույն ձևով՝ 
  
    
      
        
        B
        ,
        
          B
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \,B,B'}
   կետերը անցնում են 
  
    
      
        
          B
          
            ∗
          
        
        ∈
        Π
      
    
    {\displaystyle B_{*}\in \Pi }
   կետի և 
  
    
      
        
        C
        ,
        
          C
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \,C,C'}
   կետերը՝ 
  
    
      
        
          C
          
            ∗
          
        
        ∈
        Π
      
    
    {\displaystyle C_{*}\in \Pi }
   կետի։ Այսպիսով, կարելի է հավասարապես եզրակացնել, որ 
  
    
      
        
        
          C
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \,C_{*}}
   կետն ինչպես ընկած է, այնպես էլ ընկած չէ 
  
    
      
        
        
          A
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \,A_{*}}
   և 
  
    
      
        
        
          B
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \,B_{*}}
   կետերի միջև։


== Էլիպտիկ տարածություն ==
Եռաչափ էլիպտիկ երկրաչափությունը օգտագործում է 3-գունդ S3, և այդ կետերը հասանելի են քուատերնիոնների տեսությունում վերսորների օգնությամբ։ 
Վերսորն իրենից ներկայացնում է առաջին կարգի քուատերնիոն, որը պետք է ունենա հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          e
          
            a
            r
          
        
        =
        cos
        ⁡
        a
        +
        r
        sin
        ⁡
        a
        ,
        
        
          r
          
            2
          
        
        =
        −
        1.
      
    
    {\displaystyle e^{ar}=\cos a+r\sin a,\quad r^{2}=-1.}
  Սկիզբը տրվում է a = 0 դեպքում և կազմում է վերսորներից բաղկացած տոպոլոգիական շարք։ Տրված 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  -ի համար, վերսորները՝ 

  
    
      
        
          e
          
            a
            r
          
        
        ,
        
        0
        ≤
        a
        <
        π
        ,
      
    
    {\displaystyle e^{ar},\quad 0\leq a<\pi ,}
  կազմում են էլիպտիկ գիծ։ Ինքնակամ 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   վերսորի համար հեռավորությունը կլինի այն θ-ն, որի դեպքում cos θ = (u + u∗)/2, քանի որ այս բանաձևն իրենից ներկայացնում է քուատերնիոնի սկալյար մասը։
Էլիպտիկ շարժումը նկարագրվում է քուատերնիոնի մոդելավորմամբ՝

  
    
      
        q
        ↦
        u
        q
        v
        ,
      
    
    {\displaystyle q\mapsto uqv,}
  որտեղ 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  -ն և 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  -ն կոնկրետ վերսորներ են։ Կետերի միջև հեռավորությունները նույնն են, ինչ էլիպտիկ շարժման հայելային կետերի միջև հեռավորությունները։ Այն դեպքում, երբ 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  -ն և 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  -ն հանդիսանում են զուգորդված քուատերնիոններ, շարժումը վերածվում է տարածական պտույտի, և նրանց վեկտորային մասը հանդիսանում է պտտման առանցք։ Այն դեպքում, երբ u = 1, էլիպտիկ շարժումը կոչվում է աջակողմյան Քլիֆորդի տեղափոխություն։ Իսկ եթե v = 1, ապա շարժումը կոչվում է ձախակողմյան Քլիֆորդի տեղափոխություն։

  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   վերսորով անցնող էլիպտիկ գծերը կարող են լինել հետևյալ տեսքի՝

  
    
      
        {
        u
        
          e
          
            a
            r
          
        
        :
        0
        ≤
        a
        <
        π
        }
      
    
    {\displaystyle \lbrace ue^{ar}:0\leq a<\pi \rbrace }
   կամ 
  
    
      
        {
        
          e
          
            a
            r
          
        
        u
        :
        0
        ≤
        a
        <
        π
        }
      
    
    {\displaystyle \lbrace e^{ar}u:0\leq a<\pi \rbrace }
  ` ֆիքսված 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   -ի դեպքում։Նրանք բոլորը՝ 1-ի միջով, էլիպտիկ գծի երկայնքով 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  -ի աջակողմյան և ձախակողմյան Քլիֆորդի տեղափոխություններ են։ Էլիպտիկ տարածություն առաջանում է S3-ի վրա տրամագծորեն հակադիր կետերի ի հայտ գալու ժամանակ։
Էլիպտիկ տարածությունն ունի հատուկ ձևեր ու կառուցվածքներ, որոնք կոչվում են Քլիֆորդյան զուգահեռներ և մակերևույթներ։


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.։ ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 584 с. — ISBN 5-9221-0267-2.
Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.։ Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.։ ВИНИТИ, 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
Берже М. Геометрия. — Пер. с франц. — в 2 т. — М.։ Мир, 1984. — Том II, часть V։ Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.—М., 1948.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.։ Физматлит, 2009.
Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.։ Наука, 1990.
Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.։ УРСС, 2007.
Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — Любое издание.