Երեք խորանարդների խնդիր

Երեք խորանարդների խնդիր, խնդիր, որի նպատակը 
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          y
          
            3
          
        
        +
        
          z
          
            3
          
        
        =
        
          w
          
            3
          
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}\,}
   հավասարման լուծում հանդիսացող բոլոր ամբողջ թվերը գտնելն է։
Հատկանշական է, որ չնայած առաջարկվում է այս հավասարման մի քանի լուծում ռացիոնալ թվերի դեպքում, դրա լուծումն անհայտ է ամբողջ թվերի դեպքում։


== Ամբողջ թվերով լուծման օրինակներ ==
Ամենափոքր բնական լուծումներ.

  
    
      
        
          3
          
            3
          
        
        +
        
          4
          
            3
          
        
        +
        
          5
          
            3
          
        
        =
        
          6
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}
  

  
    
      
        
          1
          
            3
          
        
        +
        
          6
          
            3
          
        
        +
        
          8
          
            3
          
        
        =
        
          9
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 1^{3}+6^{3}+8^{3}=9^{3}}
  

  
    
      
        
          3
          
            3
          
        
        +
        
          10
          
            3
          
        
        +
        
          18
          
            3
          
        
        =
        
          19
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 3^{3}+10^{3}+18^{3}=19^{3}}
  

  
    
      
        
          7
          
            3
          
        
        +
        
          14
          
            3
          
        
        +
        
          17
          
            3
          
        
        =
        
          20
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 7^{3}+14^{3}+17^{3}=20^{3}}
  

  
    
      
        
          4
          
            3
          
        
        +
        
          17
          
            3
          
        
        +
        
          22
          
            3
          
        
        =
        
          25
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 4^{3}+17^{3}+22^{3}=25^{3}}
  

  
    
      
        
          18
          
            3
          
        
        +
        
          19
          
            3
          
        
        +
        
          21
          
            3
          
        
        =
        
          28
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 18^{3}+19^{3}+21^{3}=28^{3}}
  

  
    
      
        
          11
          
            3
          
        
        +
        
          15
          
            3
          
        
        +
        
          27
          
            3
          
        
        =
        
          29
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 11^{3}+15^{3}+27^{3}=29^{3}}
  

  
    
      
        
          2
          
            3
          
        
        +
        
          17
          
            3
          
        
        +
        
          40
          
            3
          
        
        =
        
          41
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{3}+17^{3}+40^{3}=41^{3}}
  

  
    
      
        
          6
          
            3
          
        
        +
        
          32
          
            3
          
        
        +
        
          33
          
            3
          
        
        =
        
          41
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 6^{3}+32^{3}+33^{3}=41^{3}}
  

  
    
      
        
          16
          
            3
          
        
        +
        
          23
          
            3
          
        
        +
        
          41
          
            3
          
        
        =
        
          44
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 16^{3}+23^{3}+41^{3}=44^{3}}
  Բացասական թվերով լուծումներ.

  
    
      
        −
        
          1
          
            3
          
        
        +
        
          9
          
            3
          
        
        +
        
          10
          
            3
          
        
        =
        
          12
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle -1^{3}+9^{3}+10^{3}=12^{3}}
  

  
    
      
        −
        
          2
          
            3
          
        
        +
        
          9
          
            3
          
        
        +
        
          15
          
            3
          
        
        =
        
          16
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle -2^{3}+9^{3}+15^{3}=16^{3}}
  

  
    
      
        −
        
          2
          
            3
          
        
        +
        
          15
          
            3
          
        
        +
        
          33
          
            3
          
        
        =
        
          34
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle -2^{3}+15^{3}+33^{3}=34^{3}}
  

  
    
      
        −
        
          2
          
            3
          
        
        +
        
          41
          
            3
          
        
        +
        
          86
          
            3
          
        
        =
        
          89
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle -2^{3}+41^{3}+86^{3}=89^{3}}
  

  
    
      
        −
        
          3
          
            3
          
        
        +
        
          22
          
            3
          
        
        +
        
          59
          
            3
          
        
        =
        
          60
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle -3^{3}+22^{3}+59^{3}=60^{3}}
  


== Լրիվ ռացիոնալ պարամետրեր ==
Գոդֆրի Հարոլդ Հարդիի և Ռայթի լուծումը.

  
    
      
        x
        =
        −
        a
        (
        b
        −
        3
        c
        )
        (
        
          b
          
            2
          
        
        +
        3
        
          c
          
            2
          
        
        )
        +
        
          a
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle x=-a(b-3c)(b^{2}+3c^{2})+a^{4}}
  

  
    
      
        y
        =
        
        a
        (
        b
        +
        3
        c
        )
        (
        
          b
          
            2
          
        
        +
        3
        
          c
          
            2
          
        
        )
        −
        
          a
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle y=\quad a(b+3c)(b^{2}+3c^{2})-a^{4}}
  

  
    
      
        z
        =
        
        
          a
          
            3
          
        
        (
        b
        −
        3
        c
        )
        −
        (
        
          b
          
            2
          
        
        +
        3
        
          c
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z=\quad a^{3}(b-3c)-(b^{2}+3c^{2})^{2}}
  

  
    
      
        w
        =
        
        
          a
          
            3
          
        
        (
        b
        +
        3
        c
        )
        −
        (
        
          b
          
            2
          
        
        +
        3
        
          c
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle w=\quad a^{3}(b+3c)-(b^{2}+3c^{2})^{2}}
  Ն. Էլկիես

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  x
                  =
                  d
                  (
                  −
                  (
                  s
                  +
                  r
                  )
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  (
                  
                    s
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  2
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  t
                  −
                  
                    s
                    
                      3
                    
                  
                  +
                  r
                  
                    s
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  2
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                  s
                  −
                  
                    r
                    
                      3
                    
                  
                  )
                  ,
                
              
              
                
                  y
                  =
                  d
                  (
                  
                    t
                    
                      3
                    
                  
                  −
                  (
                  s
                  +
                  r
                  )
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  (
                  
                    s
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  2
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  t
                  +
                  r
                  
                    s
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  2
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                  s
                  +
                  
                    r
                    
                      3
                    
                  
                  )
                  ,
                
              
              
                
                  z
                  =
                  d
                  (
                  −
                  
                    t
                    
                      3
                    
                  
                  +
                  (
                  s
                  +
                  r
                  )
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  (
                  
                    s
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  2
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  t
                  +
                  2
                  r
                  
                    s
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                  s
                  +
                  2
                  
                    r
                    
                      3
                    
                  
                  )
                  ,
                
              
              
                
                  w
                  =
                  d
                  (
                  (
                  s
                  −
                  2
                  r
                  )
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  (
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    s
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  t
                  +
                  
                    s
                    
                      3
                    
                  
                  −
                  r
                  
                    s
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  2
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                  s
                  −
                  2
                  
                    r
                    
                      3
                    
                  
                  )
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x=d(-(s+r)t^{2}+(s^{2}+2r^{2})t-s^{3}+rs^{2}-2r^{2}s-r^{3}),\\y=d(t^{3}-(s+r)t^{2}+(s^{2}+2r^{2})t+rs^{2}-2r^{2}s+r^{3}),\\z=d(-t^{3}+(s+r)t^{2}-(s^{2}+2r^{2})t+2rs^{2}-r^{2}s+2r^{3}),\\w=d((s-2r)t^{2}+(r^{2}-s^{2})t+s^{3}-rs^{2}+2r^{2}s-2r^{3})\end{cases}}}
  Գ. Ալեքսանդրով

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  x
                  =
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                  (
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                  +
                  
                    y
                    
                      0
                    
                  
                  )
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  (
                  
                    w
                    
                      0
                    
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    z
                    
                      0
                    
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  a
                  b
                  −
                  
                    y
                    
                      0
                    
                  
                  (
                  
                    w
                    
                      0
                    
                  
                  −
                  
                    z
                    
                      0
                    
                  
                  )
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  ,
                
              
              
                
                  y
                  =
                  
                    y
                    
                      0
                    
                  
                  (
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                  +
                  
                    y
                    
                      0
                    
                  
                  )
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  (
                  
                    w
                    
                      0
                    
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    z
                    
                      0
                    
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  a
                  b
                  −
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                  (
                  
                    w
                    
                      0
                    
                  
                  −
                  
                    z
                    
                      0
                    
                  
                  )
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  ,
                
              
              
                
                  z
                  =
                  
                    z
                    
                      0
                    
                  
                  (
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                  +
                  
                    y
                    
                      0
                    
                  
                  )
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  (
                  
                    y
                    
                      0
                    
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    x
                    
                      0
                    
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  a
                  b
                  +
                  
                    w
                    
                      0
                    
                  
                  (
                  
                    w
                    
                      0
                    
                  
                  −
                  
                    z
                    
                      0
                    
                  
                  )
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  ,
                
              
              
                
                  w
                  =
                  
                    w
                    
                      0
                    
                  
                  (
                  
                    x
                    
                      0
                    
                  
                  +
                  
                    y
                    
                      0
                    
                  
                  )
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  (
                  
                    y
                    
                      0
                    
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    x
                    
                      0
                    
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  a
                  b
                  +
                  
                    z
                    
                      0
                    
                  
                  (
                  
                    w
                    
                      0
                    
                  
                  −
                  
                    z
                    
                      0
                    
                  
                  )
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}(x_{0}+y_{0})a^{2}+(w_{0}^{2}-z_{0}^{2})ab-y_{0}(w_{0}-z_{0})b^{2},\\y=y_{0}(x_{0}+y_{0})a^{2}-(w_{0}^{2}-z_{0}^{2})ab-x_{0}(w_{0}-z_{0})b^{2},\\z=z_{0}(x_{0}+y_{0})a^{2}-(y_{0}^{2}-x_{0}^{2})ab+w_{0}(w_{0}-z_{0})b^{2},\\w=w_{0}(x_{0}+y_{0})a^{2}-(y_{0}^{2}-x_{0}^{2})ab+z_{0}(w_{0}-z_{0})b^{2}\end{cases}}}
  


== Լուծման այլ օրինակներ ==
Յուրի Լիննիկ, 1940
  
    
      
        x
        =
        b
        (
        
          a
          
            6
          
        
        −
        
          b
          
            6
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x=b(a^{6}-b^{6})}
  

  
    
      
        y
        =
        a
        (
        
          a
          
            6
          
        
        −
        
          b
          
            6
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle y=a(a^{6}-b^{6})}
  

  
    
      
        z
        =
        b
        (
        2
        
          a
          
            6
          
        
        +
        3
        
          a
          
            3
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        +
        
          b
          
            6
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle z=b(2a^{6}+3a^{3}b^{3}+b^{6})}
  

  
    
      
        w
        =
        a
        (
        
          a
          
            6
          
        
        +
        3
        
          a
          
            3
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        +
        2
        
          b
          
            6
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle w=a(a^{6}+3a^{3}b^{3}+2b^{6})}
  

  
    
      
        x
        =
        
          a
          
            2
          
        
        (
        
          b
          
            6
          
        
        −
        7
        )
        +
        9
        a
        c
        −
        3
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x=a^{2}(b^{6}-7)+9ac-3c^{2}}
  

  
    
      
        y
        =
        
          a
          
            2
          
        
        
          
            [
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        (
        2
        
          b
          
            3
          
        
        +
        9
        )
        +
        7
        
          
            ]
          
        
        −
        3
        a
        c
        (
        2
        
          b
          
            3
          
        
        +
        3
        )
        +
        3
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=a^{2}{\big [}b^{3}(2b^{3}+9)+7{\big ]}-3ac(2b^{3}+3)+3c^{2}}
  

  
    
      
        z
        =
        
          a
          
            2
          
        
        b
        
          
            [
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        (
        
          b
          
            3
          
        
        +
        3
        )
        +
        2
        
          
            ]
          
        
        −
        3
        a
        b
        c
        (
        
          b
          
            3
          
        
        +
        2
        )
        +
        3
        b
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z=a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}+3)+2{\big ]}-3abc(b^{3}+2)+3bc^{2}}
  

  
    
      
        w
        =
        
          a
          
            2
          
        
        b
        
          
            [
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        (
        
          b
          
            3
          
        
        +
        6
        )
        +
        11
        
          
            ]
          
        
        −
        3
        a
        b
        c
        (
        
          b
          
            3
          
        
        +
        4
        )
        +
        3
        b
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle w=a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}+6)+11{\big ]}-3abc(b^{3}+4)+3bc^{2}}
  

  
    
      
        x
        =
        3
        
          a
          
            2
          
        
        (
        
          b
          
            6
          
        
        −
        7
        )
        −
        9
        a
        c
        −
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x=3a^{2}(b^{6}-7)-9ac-c^{2}}
  

  
    
      
        y
        =
        3
        
          a
          
            2
          
        
        
          
            [
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        (
        2
        
          b
          
            3
          
        
        −
        9
        )
        +
        7
        
          
            ]
          
        
        −
        3
        a
        c
        (
        2
        
          b
          
            3
          
        
        −
        3
        )
        +
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=3a^{2}{\big [}b^{3}(2b^{3}-9)+7{\big ]}-3ac(2b^{3}-3)+c^{2}}
  

  
    
      
        z
        =
        3
        
          a
          
            2
          
        
        b
        
          
            [
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        (
        
          b
          
            3
          
        
        −
        6
        )
        +
        11
        
          
            ]
          
        
        −
        3
        a
        b
        c
        (
        
          b
          
            3
          
        
        −
        4
        )
        +
        b
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z=3a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}-6)+11{\big ]}-3abc(b^{3}-4)+bc^{2}}
  

  
    
      
        w
        =
        3
        
          a
          
            2
          
        
        b
        
          
            [
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        (
        
          b
          
            3
          
        
        −
        3
        )
        +
        2
        
          
            ]
          
        
        −
        3
        a
        b
        c
        (
        
          b
          
            3
          
        
        −
        2
        )
        +
        b
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle w=3a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}-3)+2{\big ]}-3abc(b^{3}-2)+bc^{2}}
  Ռոջեր Հեթ-Բրաուն [1], 1993 г.
  
    
      
        x
        =
        9
        
          a
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle x=9a^{4}}
  

  
    
      
        y
        =
        3
        a
        −
        9
        
          a
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle y=3a-9a^{4}}
  

  
    
      
        z
        =
        1
        −
        9
        
          a
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle z=1-9a^{3}}
  

  
    
      
        w
        =
        1
      
    
    {\displaystyle w=1}
  Մորդել Լուիս Ջոուել, 1956 г.
  
    
      
        x
        =
        9
        
          a
          
            3
          
        
        b
        +
        
          b
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle x=9a^{3}b+b^{4}}
  

  
    
      
        y
        =
        9
        
          a
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle y=9a^{4}}
  

  
    
      
        z
        =
        −
        
          b
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle z=-b^{4}}
  

  
    
      
        w
        =
        9
        
          a
          
            4
          
        
        +
        3
        a
        
          b
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle w=9a^{4}+3ab^{3}}
  

  
    
      
        x
        =
        9
        
          a
          
            3
          
        
        b
        −
        
          b
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle x=9a^{3}b-b^{4}}
  

  
    
      
        y
        =
        9
        
          a
          
            4
          
        
        −
        3
        a
        
          b
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle y=9a^{4}-3ab^{3}}
  

  
    
      
        z
        =
        
          b
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle z=b^{4}}
  

  
    
      
        w
        =
        9
        
          a
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle w=9a^{4}}
  

  
    
      
        x
        =
        9
        
          a
          
            3
          
        
        b
        +
        
          b
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle x=9a^{3}b+b^{4}}
  

  
    
      
        y
        =
        9
        
          a
          
            3
          
        
        b
        −
        
          b
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle y=9a^{3}b-b^{4}}
  

  
    
      
        z
        =
        9
        
          a
          
            4
          
        
        −
        3
        a
        
          b
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle z=9a^{4}-3ab^{3}}
  

  
    
      
        w
        =
        9
        
          a
          
            4
          
        
        +
        3
        a
        
          b
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle w=9a^{4}+3ab^{3}}
  Հանրահաշվական երկրաչափության մեթոդով ստացած լուծումներ
  
    
      
        x
        =
        3
        a
        
          (
          
            
              a
              
                2
              
            
            +
            a
            b
            +
            
              b
              
                2
              
            
          
          )
        
        −
        9
      
    
    {\displaystyle x=3a\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)-9}
  

  
    
      
        y
        =
        
          
            (
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              a
              b
              +
              
                b
                
                  2
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        9
        a
      
    
    {\displaystyle y=\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)^{2}-9a}
  

  
    
      
        z
        =
        3
        
          (
          
            
              a
              
                2
              
            
            +
            a
            b
            +
            
              b
              
                2
              
            
          
          )
        
        (
        a
        +
        b
        )
        +
        9
      
    
    {\displaystyle z=3\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)(a+b)+9}
  

  
    
      
        w
        =
        
          
            (
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              a
              b
              +
              
                b
                
                  2
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        9
        (
        a
        +
        b
        )
      
    
    {\displaystyle w=\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)^{2}+9(a+b)}
  Ռամանուջան
  
    
      
        x
        =
        3
        
          a
          
            2
          
        
        +
        5
        a
        b
        −
        5
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x=3a^{2}+5ab-5b^{2}}
  

  
    
      
        y
        =
        4
        
          a
          
            2
          
        
        −
        4
        a
        b
        +
        6
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=4a^{2}-4ab+6b^{2}}
  

  
    
      
        z
        =
        5
        
          a
          
            2
          
        
        −
        5
        a
        b
        −
        3
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z=5a^{2}-5ab-3b^{2}}
  

  
    
      
        w
        =
        6
        
          a
          
            2
          
        
        −
        4
        a
        b
        +
        4
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle w=6a^{2}-4ab+4b^{2}}
  

  
    
      
        x
        =
        
          a
          
            7
          
        
        −
        3
        
          a
          
            4
          
        
        (
        1
        +
        b
        )
        +
        a
        (
        2
        +
        6
        b
        +
        3
        
          b
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x=a^{7}-3a^{4}(1+b)+a(2+6b+3b^{2})}
  

  
    
      
        y
        =
        2
        
          a
          
            6
          
        
        −
        3
        
          a
          
            3
          
        
        (
        1
        +
        2
        b
        )
        +
        1
        +
        3
        b
        +
        3
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=2a^{6}-3a^{3}(1+2b)+1+3b+3b^{2}}
  

  
    
      
        z
        =
        
          a
          
            6
          
        
        −
        1
        −
        3
        b
        −
        3
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z=a^{6}-1-3b-3b^{2}}
  

  
    
      
        w
        =
        
          a
          
            7
          
        
        −
        3
        
          a
          
            4
          
        
        b
        +
        a
        (
        3
        
          b
          
            2
          
        
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle w=a^{7}-3a^{4}b+a(3b^{2}-1)}
  

  
    
      
        x
        =
        −
        
          a
          
            2
          
        
        +
        9
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x=-a^{2}+9ab+b^{2}}
  

  
    
      
        y
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        7
        a
        b
        −
        9
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=a^{2}+7ab-9b^{2}}
  

  
    
      
        z
        =
        2
        
          a
          
            2
          
        
        −
        4
        a
        b
        +
        12
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z=2a^{2}-4ab+12b^{2}}
  

  
    
      
        w
        =
        2
        
          a
          
            2
          
        
        +
        10
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle w=2a^{2}+10b^{2}}
  Անհայտ հեղինակ, 1825
  
    
      
        x
        =
        
          a
          
            9
          
        
        −
        
          3
          
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle x=a^{9}-3^{6}}
  

  
    
      
        y
        =
        −
        
          a
          
            9
          
        
        +
        
          3
          
            5
          
        
        
          a
          
            3
          
        
        +
        
          3
          
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle y=-a^{9}+3^{5}a^{3}+3^{6}}
  

  
    
      
        z
        =
        
          3
          
            3
          
        
        
          a
          
            6
          
        
        +
        
          3
          
            5
          
        
        
          a
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle z=3^{3}a^{6}+3^{5}a^{3}}
  

  
    
      
        w
        =
        
          3
          
            2
          
        
        
          a
          
            7
          
        
        +
        
          3
          
            4
          
        
        
          a
          
            4
          
        
        +
        
          3
          
            6
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle w=3^{2}a^{7}+3^{4}a^{4}+3^{6}a}
  Դ. Լեմեր 1955
  
    
      
        x
        =
        3888
        
          a
          
            10
          
        
        −
        135
        
          a
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle x=3888a^{10}-135a^{4}}
  

  
    
      
        y
        =
        −
        3888
        
          a
          
            10
          
        
        −
        1296
        
          a
          
            7
          
        
        −
        81
        
          a
          
            4
          
        
        +
        3
        a
      
    
    {\displaystyle y=-3888a^{10}-1296a^{7}-81a^{4}+3a}
  

  
    
      
        z
        =
        3888
        
          a
          
            9
          
        
        +
        648
        
          a
          
            6
          
        
        −
        9
        
          a
          
            3
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle z=3888a^{9}+648a^{6}-9a^{3}+1}
  

  
    
      
        w
        =
        1
      
    
    {\displaystyle w=1}
  Վ. Բ. Լաբկովսկի
  
    
      
        x
        =
        4
        
          b
          
            2
          
        
        −
        11
        b
        −
        21
      
    
    {\displaystyle x=4b^{2}-11b-21}
  

  
    
      
        y
        =
        3
        
          b
          
            2
          
        
        +
        11
        b
        −
        28
      
    
    {\displaystyle y=3b^{2}+11b-28}
  

  
    
      
        z
        =
        5
        
          b
          
            2
          
        
        −
        7
        b
        +
        42
      
    
    {\displaystyle z=5b^{2}-7b+42}
  

  
    
      
        w
        =
        6
        
          b
          
            2
          
        
        −
        7
        b
        +
        35
      
    
    {\displaystyle w=6b^{2}-7b+35}
  Էյլեր և Բինե
  
    
      
        x
        =
        1
        −
        (
        a
        −
        3
        b
        )
        (
        
          a
          
            2
          
        
        +
        3
        
          b
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x=1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2})}
  

  
    
      
        y
        =
        −
        1
        +
        (
        a
        +
        3
        b
        )
        (
        
          a
          
            2
          
        
        +
        3
        
          b
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle y=-1+(a+3b)(a^{2}+3b^{2})}
  

  
    
      
        z
        =
        −
        a
        −
        3
        b
        +
        (
        
          a
          
            2
          
        
        +
        3
        
          b
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z=-a-3b+(a^{2}+3b^{2})^{2}}
  

  
    
      
        w
        =
        −
        a
        +
        3
        b
        +
        (
        
          a
          
            2
          
        
        +
        3
        
          b
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle w=-a+3b+(a^{2}+3b^{2})^{2}}
  Հարդի և Ռայթ
  
    
      
        x
        =
        a
        (
        
          a
          
            3
          
        
        −
        2
        
          b
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x=a(a^{3}-2b^{3})}
  

  
    
      
        y
        =
        b
        (
        2
        
          a
          
            3
          
        
        −
        
          b
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle y=b(2a^{3}-b^{3})}
  

  
    
      
        z
        =
        b
        (
        
          a
          
            3
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle z=b(a^{3}+b^{3})}
  

  
    
      
        w
        =
        a
        (
        
          a
          
            3
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle w=a(a^{3}+b^{3})}
  

  
    
      
        x
        =
        a
        (
        
          a
          
            3
          
        
        −
        
          b
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x=a(a^{3}-b^{3})}
  

  
    
      
        y
        =
        b
        (
        
          a
          
            3
          
        
        −
        
          b
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle y=b(a^{3}-b^{3})}
  

  
    
      
        z
        =
        b
        (
        2
        
          a
          
            3
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle z=b(2a^{3}+b^{3})}
  

  
    
      
        w
        =
        a
        (
        
          a
          
            3
          
        
        +
        2
        
          b
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle w=a(a^{3}+2b^{3})}
  Գ. Ալեքսանդրով 1972
  
    
      
        x
        =
        7
        
          a
          
            2
          
        
        +
        17
        a
        b
        −
        6
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x=7a^{2}+17ab-6b^{2}}
  

  
    
      
        y
        =
        42
        
          a
          
            2
          
        
        −
        17
        a
        b
        −
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=42a^{2}-17ab-b^{2}}
  

  
    
      
        z
        =
        56
        
          a
          
            2
          
        
        −
        35
        a
        b
        +
        9
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z=56a^{2}-35ab+9b^{2}}
  

  
    
      
        w
        =
        63
        
          a
          
            2
          
        
        −
        35
        a
        b
        +
        8
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle w=63a^{2}-35ab+8b^{2}}
  

  
    
      
        x
        =
        7
        
          a
          
            2
          
        
        +
        17
        a
        b
        −
        17
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x=7a^{2}+17ab-17b^{2}}
  

  
    
      
        y
        =
        17
        
          a
          
            2
          
        
        −
        17
        a
        b
        −
        7
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=17a^{2}-17ab-7b^{2}}
  

  
    
      
        z
        =
        14
        
          a
          
            2
          
        
        −
        20
        a
        b
        +
        20
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z=14a^{2}-20ab+20b^{2}}
  

  
    
      
        w
        =
        20
        
          a
          
            2
          
        
        −
        20
        a
        b
        +
        14
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle w=20a^{2}-20ab+14b^{2}}
  

  
    
      
        x
        =
        21
        
          a
          
            2
          
        
        +
        23
        a
        b
        −
        19
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x=21a^{2}+23ab-19b^{2}}
  

  
    
      
        y
        =
        19
        
          a
          
            2
          
        
        −
        23
        a
        b
        −
        21
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=19a^{2}-23ab-21b^{2}}
  

  
    
      
        z
        =
        18
        
          a
          
            2
          
        
        +
        4
        a
        b
        +
        28
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z=18a^{2}+4ab+28b^{2}}
  

  
    
      
        w
        =
        28
        
          a
          
            2
          
        
        +
        4
        a
        b
        +
        18
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle w=28a^{2}+4ab+18b^{2}}
  

  
    
      
        x
        =
        3
        
          a
          
            2
          
        
        +
        41
        a
        b
        −
        37
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x=3a^{2}+41ab-37b^{2}}
  

  
    
      
        y
        =
        37
        
          a
          
            2
          
        
        −
        41
        a
        b
        −
        3
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=37a^{2}-41ab-3b^{2}}
  

  
    
      
        z
        =
        36
        
          a
          
            2
          
        
        −
        68
        a
        b
        +
        46
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z=36a^{2}-68ab+46b^{2}}
  

  
    
      
        w
        =
        46
        
          a
          
            2
          
        
        −
        68
        a
        b
        +
        36
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle w=46a^{2}-68ab+36b^{2}}
  

  
    
      
        x
        =
        −
        4
        
          a
          
            2
          
        
        +
        22
        a
        b
        −
        9
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x=-4a^{2}+22ab-9b^{2}}
  

  
    
      
        y
        =
        36
        
          a
          
            2
          
        
        −
        22
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=36a^{2}-22ab+b^{2}}
  

  
    
      
        z
        =
        40
        
          a
          
            2
          
        
        −
        40
        a
        b
        +
        12
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z=40a^{2}-40ab+12b^{2}}
  

  
    
      
        w
        =
        48
        
          a
          
            2
          
        
        −
        40
        a
        b
        +
        10
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle w=48a^{2}-40ab+10b^{2}}
  Կորովև, 2012
  
    
      
        x
        =
        −
        (
        2
        
          a
          
            2
          
        
        −
        2
        a
        b
        −
        
          b
          
            2
          
        
        )
        c
        
          d
          
            3
          
        
        −
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        
          c
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle x=-(2a^{2}-2ab-b^{2})cd^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}c^{4}}
  

  
    
      
        y
        =
        
        (
        2
        
          a
          
            2
          
        
        −
        2
        a
        b
        −
        
          b
          
            2
          
        
        )
        
          c
          
            3
          
        
        d
        +
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        
          d
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle y=\quad (2a^{2}-2ab-b^{2})c^{3}d+(a^{2}-ab+b^{2})^{2}d^{4}}
  

  
    
      
        z
        =
        
        (
        
          a
          
            2
          
        
        +
        2
        a
        b
        −
        2
        
          b
          
            2
          
        
        )
        
          c
          
            3
          
        
        d
        −
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        
          d
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle z=\quad (a^{2}+2ab-2b^{2})c^{3}d-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}d^{4}}
  

  
    
      
        w
        =
        
        (
        
          a
          
            2
          
        
        +
        2
        a
        b
        −
        2
        
          b
          
            2
          
        
        )
        c
        
          d
          
            3
          
        
        −
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        
          c
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle w=\quad (a^{2}+2ab-2b^{2})cd^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}c^{4}}
  որտեղ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  , 
  
    
      
        b
        
        ,
        
        c
        
      
    
    {\displaystyle b\,,\,c\,}
   և 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
   — ցանկացած ամբողջ թիվ են։


== Ծանոթագրություններ ==