Գծային հանրահաշիվ

Գծային հանրահաշիվ, մաթեմատիկայի ճյուղ, որ վերաբերում է գծային հավասարումների, ինչպիսիք են 

  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        
          x
          
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        =
        b
        ,
      
    
    {\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b,}
  գծային ֆունկցիաները, ինչպիսիք են

  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        ↦
        
          a
          
            1
          
        
        
          x
          
            1
          
        
        +
        …
        +
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n},}
  և դրանց ներկայացումը մատրիցների և վեկտորական տարածության միջոցով։
Գծային հանրահաշիվը կենտրոնական տեղ է գրավում մաթեմատիկայի համարյա բոլոր ճյուղերում։ Օրինակ, գծային հանրահաշիվը հիմնարար է երկրաչափության ժամանակակից ձևակերպումներում, ներառյալ հիմնական օբյեկտների, ինչպիսիք են ուղիղները, հարթությունները և պտույտները, սահմանումները։ Բացի այդ ֆունկցիոնալ անալիզը հիմնականում կարող է դիտարկվել որպես գծային հանրահաշվի կիրառություն ֆունկցիաների տարածությունների նկատմամբ։ Գծային հանրահաշիվը նաև օգտագործվում է բազմաթիվ գիտական և ճարտարագիտական բնագավառներում, քանի որ այն հնարավորություն է տալիս մոդելավորել շատ բնական երևույթներ և այդ մոդելների օգնությամբ արդյունավետ հաշվարկներ իրականացնել։ Ոչ գծային համակարգերի համար, որոնք հնարավոր չէ մոդելավորել գծային հանրահաշվի օգնությամբ, գծային հանրահաշիվը հաճախ օգտագործվում է որպես առաջին կարգի մոտարկում։


== Պատմություն ==
Միաժամանակյա գծային հավասարումների լուծման եղանակը, որն այժմ կոչվում է Գաուսյան մեթոդ, առկա է չինական Մաթեմատիկայի ինը գրքեր մաթեմատիկական տեքստում։ Դրա օգտագործումը ներկայացված է տասնութ խնդիրներում, երկուսից հինգ հավասարումներով։
Գծային հավասարումների համակարգերը Եվրոպայում հայտնվեցին  1637 թվականին Ռենե Դեկարտի կողմից երկրաչափության մեջ կոորդինատների ներմուծմամբ։ Փաստորեն, այս նոր երկրաչափության մեջ, որ սկսեց կոչվել Քարտեզյան, ուղիղներն ու հարթությունները ներկայացվում են գծային հավասարումներով և դրանց հատումները հաշվելը բերվում է գծային հավասարումների համակարգի լուծման։
Գծային համակարգերի լուծման առաջին համակարգված մեթոդները օգտագործում էին դետերմինանտներ, որ 1693 թվականին առաջինը դիտարկել էր Լայբնիցը։ 1750 թվականին Գաբրիել Կրամերը դրանք օգտագործեց գծային հավասարումների բացահայտ լուծումները ստանալու համար, որն այժմ կոչվում է Կրամերի կանոն։ Հետագայում, Գաուսը նկարագրեց բացառման մեթոդը, որը նախապես թվարկված էր որպես առաջընթաց գեոդեզիայում։
1844 թվականին Հերման Գրասմանը հրատարակեց իր "Ընդլայնման տեսությունը", որը ներառում էր հիմնարար նոր թեմաներ, որոնք այժմ միավորվում են գծային հանրահաշիվ անվան տակ։ 1848 թվականին Ջեյմս Ջոզեֆ Սիլվեստերը առաջարկեց matrix մատրիցա տերմինը, որը լատիներենից թարգմանվում է արգանդ։
Կոմպլեքս հարթության գաղափարներով գծային հանրահաշիվը զարգացում ապրեց։ Օրինակ, ℂ-ի թվերը w և z երկու թվերի տարբերությունը w – z, և ուղղի հատվածը 
  
    
      
        
          
            
              w
              z
            
            ¯
          
        
         
         
        
          and
        
         
         
        
          
            
              0
              (
              w
              −
              z
              )
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {wz}}\ \ {\text{and}}\ \ {\overline {0(w-z)}}}
   նույն երկարությունը և ուղղությունն ունեն։ Սեգմենտները համարժեք են։ Քվատերնիոնների քառաչափ ℍ համակարգը սկիզբ է առել 1843 թվականին։ Վեկտոր տերմինը առաջադրվել է որպես v = x i + y j + z k ներկայացնում է կետ տարածության մեջ։ p – q քվատերիոնային տարբերությունը ստեղծում է 
  
    
      
        
          
            
              p
              q
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {pq}}}
  -ին համարժեք սեգմենտ։  
Այլ հիպերկոմպլեքս թվային համակարգեր նույնպես որպես բազիս օգտագործում են գծային տարածության գաղափարը։
Արթուր Քելին 1856 թվականին առաջադրեց մատրիցաների բազմապատկումը և մատրիցաների ինվերսիան, որով հնարավոր դարձավ ընդհանուր գծային խմբի ստեղծումը։ Խմբի ներկայացման մեխանիզմը հասանելի դարձավ կոմպլեքս և հիպեր կոմպլեքս թվերի նկարագրության համար։  Կարևոր է, որ Քելին մատրիցան նշանակել էր մեկ տառով, դրանով մատրիցան դիտարկելով որպես ամբողջական օբյեկտ։ Նա նաև գիտակցել էր մատրիցաների և դետերմինանտների կապը և գրել․ «Մատրիցաների տեսության մասին շատ բան կարելի է ասել, որը ըստ իս պետք է հետևի դետերմինանտների տեսությանը»։
Բենջամին Պիրսը հրապարակեց իր Գծային ասոցիատիվ հանրահաշիվ աշխատությունը (1872), իսկ նրա որդին՝ Չարլզ Սանդերս Պիրսը, հետագայում զարգացրեց այն։
Հեռագրական կապը պահանջում էր բացատրական համակարգ և 1873 թվականի Էլեկտրականության և մագնետիզմի ձեռնարկը սահմանել էր ուժերի դաշտի տեսությունը և ներկայացնելու համար պահանջվող դիֆերենցիալ երկրաչափությունը։ Գծային հանրահաշիվը հարթ դիֆերենցիալ երկրաչափություն է և օգտագործվում է բազմազանություններին հարող տարածքներում։ Տարածություն-ժամանակ սիմետրիաները արտահայտված են Լորենցի ձևափոխություններով, և գծային հանրահաշվի պատմության մեծ մասը Լորենցի ձևափոխությունների պատմությունն է։
Վեկտորական տարածության ժամանակակից և ավելի ճշգրիտ առաջին սահմանումը տվել է Պեանոն 1888 թվականին։ 1900 թվականին ի հայտ եկավ վերջավոր չափանի վեկտորական տարածության գծային ձևափոխությունների տեսությունը։ Գծային հանրահաշիվն իր ժամանակակից տեսքը ստացել է քսաներորդ դարի առաջին կեսում, երբ շատ նախորդ դարերի շատ գաղափարներ և մեթոդներ ընդհանրացվեցին որպես աբստրակտ հանրահաշիվ։ Կոմպյուտերների զարգացումը տարավ Գաուսյան բացառման և մատրիցաների տարանջատման արդյունավետ ալգորիթմների հետազոտությանը, և գծային հանրահաշիվը դարձավ մոդելավորման և նմանակման էական գործիք։


== Վեկտորական տարածություն ==

Մինչ 19-րդ դարը գծային հանրահաշիվը ներկայացվում էր գծային հավասարումների և մատրիցաների համակարգի միջոցով։ Ժամանակակից մաթեմատիկայում վեկտորական տարածությունների միջոցով ներկայացումն ավելի նախընտրելի է, քանի որ այն ավելի սինթետիկ է, ավելի ընդհանուր (չի սահմանափակվում վերջավոր չափանի դեպքով), և կոնցեպտուալ ավելի պարզ է, թեև ավելի աբստրակտ։
F դաշտի վրա (հաճախ իրական թվերի դաշտ) վեկտորական տարածությունը, դա երկու բինար գործողություններով հագեցած V բազմությունն է, որ բավարարում է հետևյալ աքսիոմներին։  
V-ի տարրերը կոչվում են վեկտորներ, իսկ F-ի տարրերը կոչվում են սկալյարներ։ Առաջին, վեկտորների գումարման գործողությունը, կամայական երկու վեկտորների v և w գումարման արդյունքում ստանում ենք երրորդ v + w վեկտորը։ Երկրորդ, սկալյար արտադրյալ գործողությունը, կամայական սկալյարի a սկալյարի և կամայական v վեկտորի համար արդյունքում ստանում ենք նոր վեկտոր av։ Աքսիոմները, որոնց պետք է բավարարեն գումարման և սկալյարով բազմապատկման գործողությունները, հետևյալն են (ստորև բերված ցանկում u, v և w կամայական վեկտորներ են V-ից, իսկ a և b կամայական սկալյարներ F դաշտից։

Առաջին չորս աքսիոմները նշանակում են, որ V-ն գումարման նկատմամբ աբելյան խումբ է։
Վեկտորական տարածության տարրերը տարբեր բնույթ ունեն։ Օրինակ, դրանք կարող են լինել հաջորդականություններ, ֆունկցիաներ, բազմանդամային օղակներ կամ մատրիցաներ։ Գծային հանրահաշիվը վերաբերում է հատկություններին, որոնք ընդհանուր են բոլոր վեկտորական տարածությունների համար։


=== Գծային արտապատկերումներ ===
Գծային արտապատկերումները վեկտորական տարածությունների միջև ձևափոխություն են, որ պահպանում են վեկտորական տարածության կառուցվածքը։ Տված V և W երկու վեկտորական տարածություններ են F դաշտի վրա, գծային արտապատկերումը այն արտապատկերումն է, որ

  
    
      
        T
        :
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle T:V\to W}
  որը համատեղելի է գումարման և սկալյար արտադրյալի հետ, այսինքն

  
    
      
        T
        (
        u
        +
        v
        )
        =
        T
        (
        u
        )
        +
        T
        (
        v
        )
        ,
        
        T
        (
        a
        v
        )
        =
        a
        T
        (
        v
        )
      
    
    {\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v),\quad T(av)=aT(v)}
  V տարածության կամայական վեկտորների u,v և F դաշտի  a սկալյարի համար։
Սա ենթադրում է V-ի ցանկացած u, v վեկտորների համար և F դաշտի a, b սկալյարների համար, տեղի ունի

  
    
      
        T
        (
        a
        u
        +
        b
        v
        )
        =
        T
        (
        a
        u
        )
        +
        T
        (
        b
        v
        )
        =
        a
        T
        (
        u
        )
        +
        b
        T
        (
        v
        )
      
    
    {\displaystyle T(au+bv)=T(au)+T(bv)=aT(u)+bT(v)}
  Երբ երկու վեկտորական տարածությունների միջև բիյեկտիվ գծային արտապատկերում գոյություն ունի (այսինքն երկրորդ տարածության կամայական վեկտոր կապված է առաջին տարածության ճիշտ մեկ վեկտորի հետ), ապա երկու տարածություններն իզոմորֆիկ են։ Քանի որ իզոմորֆիզմը պահպանում է գծային կառուցվածքը, ուստի երկու վեկտորական տարածությունները գծային հանրահաշվի տեսանկյունից "ըստ էության նույնն են"․ այն իմաստով որ վեկտորական տարածության հատկությունների միջոցով դրանք չեն կարող տարբերակվել։ Գծային հանրահաշվի էական հարցն է, արդյոք գծային արտապատկերումը իզոմորֆ է, թե ոչ, և եթե այն իզոմորֆիզմ չէ, ապա դրա արժեքների բազմության և զրոյի արտապատկերվող տարրերի բազմության գտնելը, կոչվում է արտապատկերման կեռնել։ Բոլոր այս հարցերը կարելի է լուծել Գաուսի մեթոդով կամ այս ալգորիթմի այլ տարբերակով։ 


=== Ենթատարածություններ, ինտերվալ և բազիս ===
Վեկտորական ենթաբազմությունների ուսումնասիրությունը, որոնք իրենք էլ վեկտորական տարածություններ են կիրառվող գործողությունների համար, հիմնարար է, ինչպես բազմաթիվ մաթեմատիկական կառուցվածքների համար։ Այս ենթաբազմությունները կոչվում են գծային ենթատարածություններ։ Ավելի ճշգրիտ, V վեկտորական տարածության գծային ենթատարածությունը F դաշտի նկատմամբ V-ի  W ենթաբազմությունն է, այնպես որ կամայական u, v վեկտորների համար W-ից, և կամայական a սկալյարի համար F-ից, u + v, au վեկտորներ են W-ից։ (Այս պայմանները բավարար են ենթադրելու, որ W-ն վեկտորական տարածություն է։)
Օրինակ, գծային արտապատկերման պատկերը և 0-ի հակադարձ պատկերը, արտապատկերմամբ, գծային ենթատարածություններ են։
Ենթատարածություններ ձևավորելու մեկ այլ կարևոր եղանակ է դիտարկել S վեկտորների բազմության բոլոր գծային կոմբինացիաները՝ բոլոր գումարների բազմությունը 

  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        
          v
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          v
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            k
          
        
        
          v
          
            k
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\cdots +a_{k}v_{k},}
  որտեղ v1, v2, ..., vk պատկանում են V-ին, իսկ a1, a2, ..., ak պատկանում են F-ին, ձևավորում է գծային ենթատարածություն, որ կոչվում է S-ի գծային ծածկույթ։ The span of S-ի սպանը նաև այն պարունակող գծային ենթատարածությունների հատումն է։ Այլ կերպ ասած այն (ամենափոքրը ներառման հարաբերության համար) S-ը պարունակող գծային տարածություն է։
Վեկտորների բազմությունն գծային անկախ է, եթե այդ վեկտորներից ոչ մեկը մյուսներից ոչ մեկի սպանում չի։ Համարժեքորեն վեկտորների  S բազմությունը գծային անկախ է, եթե զրո վեկտորը որպես S-ի տարրերի գծային կոմբինացիա ներկայացնելու միակ եղանակը, բոլոր 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle a_{i}.}
   գործակիցների զրո վերցնելն է։
Վեկտորների բազմությունը, որ ընդգրկում է վեկտորական տարածություն, կոչվում է ընդգրկող բազմություն, կամ գեներացնող բազմություն։ Եթե  If a spanning set S գեներացնող բազմությունը գծային կախյալ է (այսինքն գծային անկախ չէ), ապա S-ի որևէ w տարր, S-ի այլ տարրերի ընդլայնման մեջ է, եթե w-ն S-ից հեռացնենք, ապա ընդլայնումը չի փոխվի։ Կարելի է S-ից այնքան տարր հեռացնել, մինչև ստանանք գծային անկախ ընդլայնված բազմություն։ Գծային անկախ բազմությունը, որ ծնում է V վեկտորական տարածությունը, կոչվում է V-ի բազիս։ Բազիսների կարևորությունը նրանում է, որ կան միաժամանակ մինիմալ գեներացնող բազմություններ և մաքսիմալ անկախ բազմություններ։ Ավելի ճշգրիտ, եթե S-ը գծային անկախ բազմություն է, իսկ T-ն ընդգրկող բազմություն է, այնպես որ 
  
    
      
        S
        ⊆
        T
        ,
      
    
    {\displaystyle S\subseteq T,}
  , ապա գոյություն ունի B բազիս, որ 
  
    
      
        S
        ⊆
        B
        ⊆
        T
        .
      
    
    {\displaystyle S\subseteq B\subseteq T.}
  
V վեկտորական տարածության ցանկացած երկու բազիս ունեն միևնույն հզորությունը, որը կոչվում է V վեկտորական տարածության չափ։ Սա վեկտորական տարածության չափի թեորեմն է։ Ավելին, միևնույն F դաշտի վրա, երկու վեկտորական տարածություններ իզոմորֆ են, միայն և միայն այն դեպքում, եթե նրանք միևնույն չափն ունեն։
Եթե V-ի որևէ բազիս (հետևաբար և յուրաքանչյուր բազիս) վերջավոր թվով տարրեր ունի, ապա V-ն վերջավոր չափանի վեկտորական տարածություն է։ Եթե U-ն V-ի ենթաբազմություն է, ապա dim U ≤ dim V։ V-ի վերջավոր չափանիության դեպքում, չափերի հավասարությունն արտահայտվում է U = V։
Եթե U1-ն և U2-ն V-ի ենթաբազմություններ են, ապա

  
    
      
        dim
        ⁡
        (
        
          U
          
            1
          
        
        +
        
          U
          
            2
          
        
        )
        =
        dim
        ⁡
        
          U
          
            1
          
        
        +
        dim
        ⁡
        
          U
          
            2
          
        
        −
        dim
        ⁡
        (
        
          U
          
            1
          
        
        ∩
        
          U
          
            2
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \dim(U_{1}+U_{2})=\dim U_{1}+\dim U_{2}-\dim(U_{1}\cap U_{2}),}
  որտեղ 
  
    
      
        
          U
          
            1
          
        
        +
        
          U
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{1}+U_{2}}
   նշանակում է 
  
    
      
        
          U
          
            1
          
        
        ∪
        
          U
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle U_{1}\cup U_{2}.}
  -ի ընդլայնում։


== Մատրիցաներ ==

Մատրիցաները հնարավորություն են ընձեռնում գործողություններ իրականացնել վերջավոր վեկտորական տարածությունների և գծային արտապատկերումների հետ։ Մատրիցաների տեսությունը, հետևաբար, գծային հանրահաշվի կարևոր մասն է։
Ենթադրենք V-ն վերջավոր չափանի վեկտորական տարածություն է F դաշտի վրա, (v1, v2, ..., vm)-ն  V-ի բազիսն է (այսպիսով m-ը V-ի չափն է)։ Համաձայն բազիսի սահմանման 

  
    
      
        
          
            
              
                (
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  a
                  
                    m
                  
                
                )
              
              
                
                ↦
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                
                  v
                  
                    1
                  
                
                +
                ⋯
                
                  a
                  
                    m
                  
                
                
                  v
                  
                    m
                  
                
              
            
            
              
                
                  F
                  
                    m
                  
                
              
              
                
                →
                V
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1},\ldots ,a_{m})&\mapsto a_{1}v_{1}+\cdots a_{m}v_{m}\\F^{m}&\to V\end{aligned}}}
  
  
    
      
        
          F
          
            m
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle F^{m},}
   բիյեկցիան է, F-ի m տարրերի հաջորդականությունների բազմության արտապատկերումը V-ի վրա։ Սա վեկտորական տարածությունների իզոմորֆիզմ է, եթե 
  
    
      
        
          F
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle F^{m}}
   պահպանում է վեկտորական տարածության ստանդարտ կառուցվածքը, որտեղ վեկտորների գումարման և սկալյարով բազմապատկման գործողությունները իրականացվել են կոմպոնենտ առ կոմպոնենտ։
Այս իզոմորֆիզմը թույլ է տալիս վեկտորը ներկայացնել այդ իզոմորֆիզմի նկադմամբ իր ինվերս պատկերով, այսինքն կամ 
  
    
      
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{m})}
   կոորդինատային վեկտորով, կամ 

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      m
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{bmatrix}}.}
  սյուն մատրիցայով։
Ենթադրենք W-ն մեկ այլ վերջավոր չափանի վեկտորական տարածություն է (հնարավոր է նույն), 
  
    
      
        (
        
          w
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          w
          
            n
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle (w_{1},\ldots ,w_{n}),}
   բազիսով, W-ից V f գծային արտապատկերումը լավ  ներկայացվում է բազիսային տարրերի վրա, այսինքն 
  
    
      
        (
        f
        (
        
          w
          
            1
          
        
        )
        ,
        …
        ,
        f
        (
        
          w
          
            n
          
        
        )
        )
        .
      
    
    {\displaystyle (f(w_{1}),\ldots ,f(w_{n})).}
   Այսպիսով f արտապատկերումը ներկայացվում է սյունակ մատրիցների տողով։ Այսինքն, եթե 

  
    
      
        f
        (
        
          w
          
            j
          
        
        )
        =
        
          a
          
            1
            ,
            j
          
        
        
          v
          
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            m
            ,
            j
          
        
        
          v
          
            m
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle f(w_{j})=a_{1,j}v_{1}+\cdots +a_{m,j}v_{m},}
  for j = 1, ..., n, ապա f ներկայացվում է

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                      ,
                      1
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      ,
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  …
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      m
                      ,
                      1
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      ,
                      n
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&\ldots &a_{1,n}\\\vdots &\ldots &\vdots \\a_{m,1}&\ldots &a_{m,n}\end{bmatrix}},}
  m տողերով և n սյուներով։
Մատրիցաների բազմապատկումը սահմանվում է հետևյալ կերպ․ երկու մատրիցաների արտադրյալը մատրիցա է, որը համապատասխան արտապատկերման ֆունկցիաների սուպերպոզիցիայի միջոցով ստացված ֆունկցիայի մատրիցան է։ Մատրիցայի և սյուն մատրիցայի արտադրյալը սյուն մատրիցա է, որ ներկայացնում է արտապատկերման արդյունքը տված վեկտորի վրա։ Դրանից հետևում է, որ վերջավոր չափանի վեկտորական տարածության տեսությունը և մատրիցաների տեսությունը միևնույն հասկացության ներկայացման երկու տարբեր լեզուներ են։
Երկու մատրիցաներ, որոնք միևնույն գծային ձևափոխությունները ներկայացնում են տարբեր բազիսների օգնությամբ, կոչվում են նման։ Համապատասխանաբար, երկու մատրիցաներ նման են, եթե մեկը կարելի է ձևափոխել մյուսին տարրական տող և սյուն գործողությունների միջոցով։ W-ից V գծային արտապատկերումը ներկայացնող մատրիցայի համար, տողի գործողությանը համապատասխանում է V-ի բազիսի փոփոխությանը, իսկ սյան գործողությունը W-ի բազիսի փոփոխությանը։ Միավոր մատրիցային նման յուրաքանչյուր մատրիցա, հնարավոր է սահմանակից է զրո տողերի և զրո սյուների։ Վեկտորական տարածության տերմիններով, սա նշանակում է, որ ցանկացած W-ից V գծային արտապատկերման համար, գոյություն ունի բազիս, W-ի բազիսի մասն է, բիյեկտիվորեն արտապատկերվում է V-ի բազիսի մի մասի վրա, և and that the remaining basis elements of W-ի մնացած բազիսի տարրերը, եթե մնացել են, արտապատկերվում են զրոյի (սա գծային հանրահաշվի ֆունդամենտալ թեորեմի արտահայտման ձևն է)։ գաուսի մեթոդը այս տարրական գործողությունները գտնելու հիմնական ալգորիթմն է և այս թեորեմի ապացույցը։


== Գծային համակարգեր ==

Գծային հավասարումների համակարգերը գծային հանրահաշվի հիմնարար մաս են կազմում։ Պատմականորեն գծային հանրահաշիվը և մատրիցաների տեսությունը ստեղծվել են այսպիսի համակարգեր լուծելու համար։ Գծային հանրահաշվի ժամանակակից՝ վեկտորական տարածությունների և մատրիցաների միջոցով ներկայացման մեջ, շատ խնդիրներ կարող են ներկայացվել գծային համակարգերի տերմիններով։
Օրինակ, ենթադրենք

  
    
      
        
          
            
              
                2
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                y
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                z
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                8
              
            
            
              
                −
                3
                x
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                y
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                2
                z
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                −
                11
              
            
            
              
                −
                2
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                y
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                2
                z
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                −
                3
              
            
          
        
        
        
          (S)
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3\end{alignedat}}\qquad {\text{(S)}}}
  գծային համակարգ է։
Այսպիսի համակարգին համապատասխան մատրիցան

  
    
      
        M
        
          [
          
            
              
                
                  2
                
                
                  1
                
                
                  −
                  1
                
              
              
                
                  −
                  3
                
                
                  −
                  1
                
                
                  2
                
              
              
                
                  −
                  2
                
                
                  1
                
                
                  2
                
              
            
          
          ]
        
        
          .
        
      
    
    {\displaystyle M\left[{\begin{array}{rrr}2&1&-1\\-3&-1&2\\-2&1&2\end{array}}\right]{\text{.}}}
  և իր աջ անդամ վեկտորը

  
    
      
        v
        =
        
          
            [
            
              
                
                  8
                
              
              
                
                  −
                  11
                
              
              
                
                  −
                  3
                
              
            
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle v={\begin{bmatrix}8\\-11\\-3\end{bmatrix}}.}
  Ենթադրենք T-ն M մատրիցային համապատասխանող գծային ձևափոխությունն է։ (S) համակարգի լուծումը 

  
    
      
        X
        =
        
          
            [
            
              
                
                  x
                
              
              
                
                  y
                
              
              
                
                  z
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle X={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}
  վեկտորն է, այնպես որ 

  
    
      
        T
        (
        X
        )
        =
        v
        ,
      
    
    {\displaystyle T(X)=v,}
  այսինքն v-ի նախապատկերի տարրը ըստ T-ի։
Ենթադրենք (S')-ը ասոցիատիվ համասեռ համակարգ է, որտեղ հավասարումների աջ մասերը զրոյացվել են։ (S')-ի լուծումները հենց T-ի կեռնելի տարրերն են, կամ համարժեքորեն M։
Գաուսի մեթոդը բաղկացած է ընդլայնված մատրիցայի նկատմամբ տողերի տարրական գործողություններից

  
    
      
        M
        
          [
          
            
              
                
                  2
                
                
                  1
                
                
                  −
                  1
                
                
                  8
                
              
              
                
                  −
                  3
                
                
                  −
                  1
                
                
                  2
                
                
                  −
                  11
                
              
              
                
                  −
                  2
                
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  −
                  3
                
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle M\left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}
  այն տեղավորելու նվազեցված տողերի մեջ։ Այս տողային գործողությունները հավասարումների համակարգի լուծումների բազմությունը չեն փոխում։ Օրինակում նվազեցված էշելոնի ձևն է  

  
    
      
        M
        
          [
          
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  2
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  3
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  −
                  1
                
              
            
          
          ]
        
        ,
      
    
    {\displaystyle M\left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right],}
  որ ցույց է տալիս (S)-ի եզակի լուծում ունենալը։

  
    
      
        
          
            
              
                x
              
              
                
                =
                2
              
            
            
              
                y
              
              
                
                =
                3
              
            
            
              
                z
              
              
                
                =
                −
                1.
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}x&=2\\y&=3\\z&=-1.\end{aligned}}}
  Գծային համակարգերի այս մատրիցային ինտերպրետացիայից հետևում է, որ նույն մեթոդը կարելի է կիրառել գծային համակարգերի լուծման, մատրիցաների նկատմամբ շատ գործողությունների և գծային ձևափոխությունների համար, որոնք ներառում են մատրիցաների ռանգերի, կեռնելների, հակադարձ մատրիցաների հաշվարկը։


== Էնդոմորֆիզմներ և քառակուսային մատրիցաներ ==

Գծային էնդոմորֆիզմը դա գծային ձևափոխություն է, որը V վեկտորական տարածությունն արտապատկերում է ինքն իր վրա։ 
Եթե V-ը n տարրերից կազմված բազիս ունի, այդպիսի էնդոմորֆիզմը ներկայացվում է  n չափանի քառակուսի մատրիցայով։
Ընդհանուր գծային արտապատկերումների համեմատ, գծային էնդոմորֆիզմները և քառակուսի մատրիցաները որոշ առանձնահատկություններ ունեն, որոնք դրանց ուսումնասիրությունը դարձնում են գծային հանրահաշվի կարևոր մաս։ Այն օգտագործվում է մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերում, ներառյալ երկրաչափական ձևափոխությունները, կոորդինատների փոփոխությունները, քառակուսային ձևերը և այլն։


=== Դետերմինանտ ===
Քառակուսի մատրիցայի դետերմինանտը բազմանդամային ֆունկցիա է, այն և միայն այն ժամանակ, երբ հակադարձ մատրիցայի դետերմինանտը զրո չէ։ Սա բխում է նրանից, որ մատրիցաների արտադրյալի դետերմինանտը դետերմինանտների արտադրյալն է և հետևաբար մատրիցան հակադարձելի է այն և միայն այն դեպքում, եթե նրա դետերմինանտը հակադարձելի է։
Կրամերի մեթոդը, n անհայտով n գծային հավասարումների համակարգի լուծումը դետերմինանտների տերմիններով արտահայտում է փակ ձևով։ Կրամերի մեթոդը օգտակար է լուծման մասին դատողություններ անելու համար, սակայն, բացի n = 2 կամ 3, այն հազվադեպ է օգտագործվում լուծումը գտնելու համար, քանի որ Գաուսի մեթոդն ավելի արագ ալգորիթմ է տալիս։
The Էնդոմորֆիզմի դետերմինանտը էնդոմորֆիզմը որոշ կարգավորված բազիսի տերմիններով ներկայացվող մատրիցայի դետերմինանտն է։ Այս սահմանումն իմաստ ունի քանի որ այս դետերմինանտն անկախ է բազիսի ընտրությունից։


=== Իրական արժեքներ և իրական վեկտորներ ===
Եթե f-ը V վեկտորական տարածության գծային էնդոմորֆիզմ է F դաշտի վրա, ապա f-ի իրական վեկտորը դա v ոչ զրոյական վեկտորն է V-ից, այնպես որ f(v) = av որևէ a սկալյարի համար F-ից։ a սկալյարը f-ի ինքնարժեքն է։
Եթե V-ն վերջավոր վեկտորական տարածություն է և բազիսն էլ ընտրված է is finite, and a basis has been chosen, f ֆունկցիան և v վեկտորը համապատասխանաբար կարող են ներկայացվել M քառակուսի մատրիցայով և z սյուն մատրիցայով։ Իրական վեկտորներ և իրական արժեքներ ներկայացնող հավասարումը հետևյալ տեսքն է ընդունում։

  
    
      
        M
        z
        =
        a
        z
        :
      
    
    {\displaystyle Mz=az:}
  I միավոր մատրիցան օգտագործելով, որի բոլոր տարրերը զրո են, բացառությամբ գլխավոր անկյունագծի, որոնք հավասար են մեկի, հավասարաումը կարող է ներկայացվել

  
    
      
        (
        M
        −
        a
        I
        )
        z
        =
        0
        :
      
    
    {\displaystyle (M-aI)z=0:}
  Քանի որ z-ը ենթադրվում է, որ զրո չէ, ինչը նշանակում է, որ M – aI-ը եզակի մատրիցա է և հետևաբար 
  
    
      
        det
        (
        M
        −
        a
        I
        )
      
    
    {\displaystyle \det(M-aI)}
   հավասար է զրոյի։ Այսպիսով  իրական արժեքները բազմանդամի արմատներն են։ 

  
    
      
        det
        (
        x
        I
        −
        M
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \det(xI-M).}
  Եթե V-ն n չափանի վեկտորական տարածություն է, այն n աստիճանի մոնիկ բազմանդամ է, որ կոչվում է մատրիցան (կամ էնդոմորֆիզմը) բնութագրող բազմանդամ, և ամենաշատը գոյություն ունեն n իրական արժեքներ։
Եթե f-ի մատրիցայի համար գոյություն ունի միայն իսկական վեկտորներից կազմված բազիս, ապա մատրիցան այդ բազիսի վրա շատ պարզ կառուցվածք ունի, այն անկյունագծային մատրիցա է, որի գլխավոր անկյունագծի գրառումներն իսկական արժեքներ են, իսկ մյուս գրառումները՝ զրո։ Այս դեպքում էնդոմորֆիզմն ու մատրիցան կոչվում են անկյունագծային։ Ավելի ընդհանուր, էնդոմորֆիզմն ու մատրիցան կոչվում են անկյունագծային, եթե դրանք անկյունագծայինեն դառնում սկալյարների դաշտն ընդլայնելուց հետո։ Այս ընդլայնման տեսանկյունից եթե բնութագրող բազմանդամը քառակուսի մատրիցա չէ, ապա մատրիցան անկյունագծային է։


== Երկակիություն ==
Գծային ձևը V վեկտորական տարածության գծային արտապատկերումն է F դաշտի վրա F-ի սկալյարների դաշտին, որ ինքնին դիտարկվում է որպես վեկտորական տարածություն։  Equipped by pointwise addition and multiplication by a scalar, the linear forms form a vector space, called the dual space of V, and usually denoted 
  
    
      
        
          V
          
            ∗
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle V^{*}.}
  
If 
  
    
      
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          v
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}
   is a basis of V (this implies that V is finite-dimensional), then one can define, for i = 1, ..., n, a linear map 
  
    
      
        
          v
          
            i
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{i}^{*}}
   such that 
  
    
      
        
          v
          
            i
          
          
            ∗
          
        
        (
        
          e
          
            i
          
        
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle v_{i}^{*}(e_{i})=1}
   and 
  
    
      
        
          v
          
            i
          
          
            ∗
          
        
        (
        
          e
          
            j
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle v_{i}^{*}(e_{j})=0}
   if j ≠ i. These linear maps form a basis of 
  
    
      
        
          V
          
            ∗
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle V^{*},}
   called the dual basis of 
  
    
      
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          v
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}.}
   (If V is not finite-dimensional, the 
  
    
      
        
          v
          
            i
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{i}^{*}}
   may be defined similarly; they are linearly independent, but do not form a basis.)
For v in V, the map

  
    
      
        f
        →
        f
        (
        v
        )
      
    
    {\displaystyle f\to f(v)}
  is a linear form on 
  
    
      
        
          V
          
            ∗
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle V^{*}.}
   This defines the canonical linear map from V into 
  
    
      
        
          V
          
            ∗
            ∗
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle V^{**},}
   the dual of 
  
    
      
        
          V
          
            ∗
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle V^{*},}
   called the bidual of V. This canonical map is an isomorphism if V is finite-dimensional, and this allows identifying V with its bidual. (In the infinite dimensional case, the canonical map is injective, but not surjective.)
There is thus a complete symmetry between a finite-dimensional vector space and its dual. This motivates the frequent use, in this context, of the bra–ket notation

  
    
      
        ⟨
        f
        ,
        x
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle f,x\rangle }
  for denoting fԿաղապար:Space(x).


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
Արա Ալեքսանյան, Գծային հանրահաշիվ, Երևան, «Երևանի համալսարանի հրատարակչություն» — 171 էջ, ISBN 5-8084-0808-3։
Vahagn Mikaelian, Linear Algebra, Theory and Algorithms։