Լայբնիցի շարք

Լայբնիցի շարք, շարքն ուսումնասիրած գերմանացի մաթեմատիկոս Լայբնիցի անունով կոչված նշանահեթափոխ շարք (չնայած նրան, որ այդ շարքը հայտնի է եղել ավելի շուտ).

  
    
      
        1
        −
        
          
            1
            3
          
        
        +
        
          
            1
            5
          
        
        −
        
          
            1
            7
          
        
        +
        
          
            1
            9
          
        
        −
        
          
            1
            11
          
        
        +
        
          
            1
            13
          
        
        −
        
          
            1
            15
          
        
        +
        
          
            1
            17
          
        
        −
        
          
            1
            19
          
        
        +
        
          
            1
            21
          
        
        −
        ⋯
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              2
              n
              +
              1
            
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{21}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}:}
  Այս շարքի զուգամիտությունն անմիջապես հետևում է Լայբնիցի նշանահերթափոխ շարքերի մասին թեորեմից։ Լայբնիցը ցույց տվեց, որ շարքի գումարը հավասար է 
  
    
      
        
          
            π
            4
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}:}
   Այս հայտնագործությունը առաջին անգամ ցույց տվեց, որ պի թիվը, որը սկզբնապես սահմանված է երկրաչափության մեջ, Իրականում համընդհանուր մաթեմատիկական հաստատուն է. հետագայում այս փաստը մշտապես նոր հաստատում է գտել։


== Զուգամիտության արագություն ==
Լայբնիցի շարքը զուգամիտում է շատ դանդաղ։ Ստորև բերված աղյուսակը ցույց է տալիս 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   շարքին զուգամիտության արագությունը՝ բազմապատկած չորսով։


== Պատմություն ==
Լայբնիցի շարքը հեշտությամբ ստացվում է արկտանգենսի՝ Թեյլորի շարքի վերլուծմամբ.

  
    
      
        arctg
        ⁡
        x
        =
        x
        −
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            3
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                5
              
            
            5
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                7
              
            
            7
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots }
  Տեղադրելով 
  
    
      
        x
        =
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle x=1,}
   մենք ստանում ենք Լայբնիցի շարքը։
Արկտանգենսի համար Թեյլորի շարքն առաջին անգամ առաջ բերեց Մաթեմատիկոս Մադխավան, ով Կերալայի աստղագիտության և մաթիմատիկայի դպրոցի հիմնադիրն էր (XIV դար)։ Մեդխավան օգտագործեց շարքը 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   թիվը հաշվելու համար։ Սակայն լայբնիցի շարքը 
  
    
      
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x=1}
  -ով, ինչպես ցույց է տրված վերևում, զուգամիտում է շատ դանդաղ, այդ պատճառով Մեդխավան տեղադրեց 
  
    
      
        x
        =
        
          
            
              3
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x={\frac {\sqrt {3}}{3}}}
   և ստացավ ավելի արագ զուգամիտող շարք։

  
    
      
        π
        =
        
          
            12
          
        
        
          (
          
            1
            −
            
              
                1
                
                  3
                  ⋅
                  3
                
              
            
            +
            
              
                1
                
                  5
                  ⋅
                  
                    3
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            −
            
              
                1
                
                  7
                  ⋅
                  
                    3
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            +
            ⋯
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}
  Առաջին 21 գումարելիների գումարը տալիս է 
  
    
      
        3,141
        59265359
      
    
    {\displaystyle 3{,}14159265359}
  , ընդ որում բոլոր նշանները, բացի վերջինից, ճիշտ են։
Մեդխավայի և իր աշակերտների ջանքերը հայտնի չէին Եվրոպայում XVII դարում, և արկտանգենսի վերլուծումը իրենցից անկախ հայտնագործեցին Գրեգորի Ջեյմսը (1671) և Լայբնիցը (1676)։ Այդ պատճառով, որոշ աղբյուրներ առաջարկում են շարքն անվանել «Մադխավա-Լայբնիցի շարք» կամ «Գրեգորի-Լայբնիցի շարք»։ Գրեգորին, այնուամենայնիվ, աշդ շարքը չէր կապում 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   թվի հետ։


== Զուգամիտության արագացում ==
Լայբնիցի շարքի ևս մեկ ձևափոխություն, որն այն դարձնում է 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   թվի հաշվարկի համար ավելի պիտանի, դա այդ շարքի անդամների զույգ առ զույգ միավորումն է։ Արդյունքում ունենում ենք հետևյալ շարքը.

  
    
      
        
          
            π
            4
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                
                  4
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            −
            
              
                1
                
                  4
                  n
                  +
                  3
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            2
            
              (
              4
              n
              +
              1
              )
              (
              4
              n
              +
              3
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}}
  Հաշվարկի հետագա օպտիմալացման համար կարելի է կիրառել Էյլեր-Մակլորենի բանաձևը և օգտագործելով թվային ինտեգրման մեթոդները։


== Տես նաև ==
Հարմոնիկ շարք


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — 216 с. — ISBN 978-5-382-00174-6
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. 2. — 864 с. — ISBN 5-9221-0157-9


== Արտաքին հղումներ ==
Wolfram MathWorld կայքում