Սահմանների ցանկ

Սա ֆունկցիաների սահմանների (մաթեմատիկա) ցանկ է։ Նշանակումներ՝ a և b հաստատուն մեծություններ են, x փոփոխական մեծություն է։


== Սովորական ֆունկցիաների սահմաններ ==

  
    
      
        
          
            Եթե 
          
        
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        
          L
          
            1
          
        
        
          
             և 
          
        
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        g
        (
        x
        )
        =
        
          L
          
            2
          
        
        
          
             ուրեմն։
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mbox{Եթե }}\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}{\mbox{ և }}\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}{\mbox{ ուրեմն։}}}
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        
        [
        f
        (
        x
        )
        ±
        g
        (
        x
        )
        ]
        =
        
          L
          
            1
          
        
        ±
        
          L
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        
        [
        f
        (
        x
        )
        g
        (
        x
        )
        ]
        =
        
          L
          
            1
          
        
        ×
        
          L
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}}
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        
          
            
              f
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              L
              
                1
              
            
            
              L
              
                2
              
            
          
        
        
        
          
             եթե 
          
        
        
          L
          
            2
          
        
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad {\mbox{ եթե }}L_{2}\neq 0}
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        
        f
        (
        x
        
          )
          
            n
          
        
        =
        
          L
          
            1
          
          
            n
          
        
        
        
          
             եթե 
          
        
        n
        
          
            -ը դրական ամբողջ թիվ է
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L_{1}^{n}\qquad {\mbox{ եթե }}n{\mbox{-ը դրական ամբողջ թիվ է}}}
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        
        f
        (
        x
        
          )
          
            
              1
              n
            
          
        
        =
        
          L
          
            1
          
          
            
              1
              n
            
          
        
        
        
          
             եթե 
          
        
        n
        
          
            -ը դրական զույգ թիվ է, ուրեմն՝ 
          
        
        
          L
          
            1
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L_{1}^{1 \over n}\qquad {\mbox{ եթե }}n{\mbox{-ը դրական զույգ թիվ է, ուրեմն՝ }}L_{1}>0}
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        
          
            
              f
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              
                g
                ′
              
              (
              x
              )
            
          
        
        
        
          
             եթե 
          
        
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        g
        (
        x
        )
        =
        0
        
          
             կամ 
          
        
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        
          |
        
        g
        (
        x
        )
        
          |
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        
          |
        
        =
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\qquad {\mbox{ եթե }}\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\mbox{ կամ }}\lim _{x\to c}|g(x)|=\lim _{x\to c}|f(x)|=+\infty }
   (Լոպիտալի օրենքը)


== Կանոնավոր ֆունկցիաներ ==

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        a
        =
        a
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to c}a=a}
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        x
        =
        c
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to c}x=c}
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        a
        x
        +
        b
        =
        a
        c
        +
        b
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to c}ax+b=ac+b}
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        
          x
          
            r
          
        
        =
        
          c
          
            r
          
        
        
        
          
             եթե 
          
        
        r
        
          
            -ը դրական ամբողջ թիվ է
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to c}x^{r}=c^{r}\qquad {\mbox{ եթե }}r{\mbox{-ը դրական ամբողջ թիվ է}}}
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            
              0
              
                +
              
            
          
        
        
          
            1
            
              x
              
                r
              
            
          
        
        =
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty }
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            
              0
              
                −
              
            
          
        
        
          
            1
            
              x
              
                r
              
            
          
        
        =
        
          {
          
            
              
                
                  −
                  ∞
                  ,
                
                
                  
                    
                      եթե 
                    
                  
                  r
                  
                    
                      -ը կենտ է
                    
                  
                
              
              
                
                  +
                  ∞
                  ,
                
                
                  
                    
                      եթե 
                    
                  
                  r
                  
                    
                       -ը զույգ է
                    
                  
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{r}}}=\left\{{\begin{matrix}-\infty ,&{\mbox{եթե }}r{\mbox{-ը կենտ է}}\\+\infty ,&{\mbox{եթե }}r{\mbox{ -ը զույգ է}}\end{matrix}}\right.}
  


== Լոգարիթմական և աստիճանացույցական ֆունկցիաներ ==

  
    
      
        
          
            Եթե 
          
        
        a
        >
        1
        
      
    
    {\displaystyle {\mbox{Եթե }}a>1\,}
  , ուրեմն՝
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            
              0
              
                +
              
            
          
        
        
          log
          
            a
          
        
        ⁡
        x
        =
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty }
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          log
          
            a
          
        
        ⁡
        x
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty }
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            −
            ∞
          
        
        
          a
          
            x
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }a^{x}=0}
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          a
          
            x
          
        
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}=\infty }
  


== Եռանկյունաչափության ֆունկցիաներ ==

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            a
          
        
        sin
        ⁡
        x
        =
        sin
        ⁡
        a
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            a
          
        
        cos
        ⁡
        x
        =
        cos
        ⁡
        a
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            x
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          
            
              1
              −
              cos
              ⁡
              x
            
            x
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          
            
              1
              −
              cos
              ⁡
              x
            
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            
              n
              
                ±
              
            
          
        
        tan
        ⁡
        (
        π
        x
        +
        
          
            π
            2
          
        
        )
        =
        ∓
        ∞
        
        
          
             ցանկացած ամբողջ n-ի համար
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to n^{\pm }}\tan(\pi x+{\frac {\pi }{2}})=\mp \infty \qquad {\mbox{ ցանկացած ամբողջ n-ի համար}}}
  


== Անսահամանության մոտ ==

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        N
        
          /
        
        x
        =
        0
        
          
             ցանկացած իրական N-ի համար
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }N/x=0{\mbox{ ցանկացած իրական N-ի համար}}}
  

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        x
        
          /
        
        N
        =
        
          
            {
            
              
                
                  ∞
                  ,
                
                
                  N
                  >
                  0
                
              
              
                
                  
                    
                      գոյություն չունի
                    
                  
                  ,
                
                
                  N
                  =
                  0
                
              
              
                
                  −
                  ∞
                  ,
                
                
                  N
                  <
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/N={\begin{cases}\infty ,&N>0\\{\mbox{գոյություն չունի}},&N=0\\-\infty ,&N<0\end{cases}}}
  

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          x
          
            N
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  ∞
                  ,
                
                
                  N
                  >
                  0
                
              
              
                
                  1
                  ,
                
                
                  N
                  =
                  0
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  N
                  <
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{N}={\begin{cases}\infty ,&N>0\\1,&N=0\\0,&N<0\end{cases}}}
  

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          N
          
            x
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  ∞
                  ,
                
                
                  N
                  >
                  1
                
              
              
                
                  1
                  ,
                
                
                  N
                  =
                  1
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  N
                  <
                  1
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }N^{x}={\begin{cases}\infty ,&N>1\\1,&N=1\\0,&N<1\end{cases}}}
  

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          N
          
            −
            x
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        1
        
          /
        
        
          N
          
            x
          
        
        =
        0
        
          
             ցանկացած 
          
        
        N
        >
        1
        
          
             համար
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }N^{-x}=\lim _{x\to \infty }1/N^{x}=0{\mbox{ ցանկացած }}N>1{\mbox{ համար}}}
  

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          
            N
            
              x
            
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  1
                  ,
                
                
                  N
                  >
                  0
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  N
                  =
                  0
                
              
              
                
                  
                    
                      գոյություն չունի
                    
                  
                  ,
                
                
                  N
                  <
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{N}}={\begin{cases}1,&N>0\\0,&N=0\\{\mbox{գոյություն չունի}},&N<0\end{cases}}}
  

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          
            x
            
              N
            
          
        
        =
        ∞
        
          
             ցանկացած 
          
        
        N
        >
        0
        
          
             համար
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{N}]{x}}=\infty {\mbox{ ցանկացած }}N>0{\mbox{ համար}}}
  

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        log
        ⁡
        x
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }
  

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            
              0
              
                +
              
            
          
        
        log
        ⁡
        x
        =
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }
  


== Աղբյուրներ ==
Rudin, Walter (1964), Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill 
Apostol, Tom M., Mathematical Analysis, 2nd ed. Addison–Wesley, 1974. 0-201-00288-4
«Таблица пределов. Таблица пределов функций, формулы.»։ www.dpva.ru։ Վերցված է 2018 թ․ հուլիսի 3