Տասնորդական լոգարիթմներ

Տասնորդական լոգարիթմը-դա լոգարիթմն է 10 հիմքով։ Այլ կերպ ասած 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվի տասնորդական լոգարիթմ է կոչվում 
  
    
      
        
          10
          
            x
          
        
        =
        b
        .
      
    
    {\displaystyle 10^{x}=b.}
   հավասարման լուծումը։ 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվի իրական տասնորդական լոգարիթմը գոյություն ունի, եթե 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  >0(կոմպլեքս տասնորդական լոգարիթմը գոյություն ունի ցանկացած 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  ≠0համար)։
ISO 31-11 միջազգային ստանդարտով նշանակվում է 
  
    
      
        lg
        
        b
      
    
    {\displaystyle \lg \,b}
  ։ օրինակներ

  
    
      
        lg
        
        1
        =
        0
        ;
        
        lg
        
        10
        =
        1
        ;
        
        lg
        
        100
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \lg \,1=0;\,\lg \,10=1;\,\lg \,100=2}
  

  
    
      
        lg
        
        1000000
        =
        6
        ;
        
        lg
        
        0
        
          ,
        
        1
        =
        −
        1
        ;
        
        lg
        
        0,001
        =
        −
        3
      
    
    {\displaystyle \lg \,1000000=6;\,\lg \,0{,}1=-1;\,\lg \,0{,}001=-3}
  Միջազգային գրականության մեջ,  երբեմն էլ որոշ հաշվիչների ստեղնաշարերի վրա կարելի է հանդիպել նաև 
  
    
      
        log
        ,
        Log
        ,
        Log10
      
    
    {\displaystyle \operatorname {log} ,\operatorname {Log} ,\operatorname {Log10} }
   նշանակումներին, ընդ որում առաջին երկուսը կարող են վերաբերվել նաև բնական լոգարիթմին։


== Հանրահաշվական հատկություններ ==
Աղյուսակում ենթադրվում է, որ փոփոխականների բոլոր արժեքները դրական են
Այն դեպքերում, երբ հնարավոր են փոփոխականի բացասական թույլատրելի արժեքներ, ապա արտադրյալը և քանորդը կներկայացվեն։ 

  
    
      
        lg
        ⁡
        
          |
        
        x
        y
        
          |
        
        =
        lg
        ⁡
        (
        
          |
        
        x
        
          |
        
        )
        +
        lg
        ⁡
        (
        
          |
        
        y
        
          |
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \lg |xy|=\lg(|x|)+\lg(|y|),}
  

  
    
      
        lg
        
        
          |
          
            
              x
              y
            
          
          |
        
        =
        lg
        ⁡
        (
        
          |
        
        x
        
          |
        
        )
        −
        lg
        ⁡
        (
        
          |
        
        y
        
          |
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \lg \!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\lg(|x|)-\lg(|y|),}
  Ցանկացած թվով արտադրիչների դեպքում։ 
  
    
      
        lg
        ⁡
        (
        
          x
          
            1
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        …
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        lg
        ⁡
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        +
        lg
        ⁡
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
        +
        ⋯
        +
        lg
        ⁡
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \lg(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\lg(x_{1})+\lg(x_{2})+\dots +\lg(x_{n})}
  
Բնական և տասնորդական լոգարիթմների կապը՝ 
  
    
      
        ln
        ⁡
        x
        ≈
        2,302
        59
         
        lg
        ⁡
        x
        ;
        
        lg
        ⁡
        x
        ≈
        0,434
        29
         
        ln
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x}
  ։
Լոգրիթմի նշանը կախված է լոգարիթմվող թվից․ եթե այն մեծ է 1-ից, ապա լոգարիթմը դրական է։ Եթե այն գտնվում է (0;1)միջակայքւմ, ապա լոգարիթմը բացասական է։Օրինակ․

  
    
      
        lg
        
        0,012
        =
        lg
        
        (
        
          10
          
            −
            2
          
        
        ×
        1
        
          ,
        
        2
        )
        =
        −
        2
        +
        lg
        
        1
        
          ,
        
        2
        ≈
        −
        2
        +
        0,079
        181
        =
        −
        1,920
        819
      
    
    {\displaystyle \lg \,0{,}012=\lg \,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg \,1{,}2\approx -2+0{,}079181=-1{,}920819}
  ։


== Տասնորդական լոգարիթմական ֆունկցիա ==
Լոգրիթմական ֆունկցիա է կոչվում 
  
    
      
        y
        =
        lg
        
        x
        .
      
    
    {\displaystyle y=\lg \,x.}
   բանաձևով տրվող ֆունկցիան, որը որոշված է ցանկացած 
  
    
      
        x
        >
        0
      
    
    {\displaystyle x>0}
   արժեքների համար։Արժեքների տիրույթն է 
  
    
      
        E
        (
        y
        )
        =
        (
        −
        ∞
        ;
        +
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}
  ։ Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը անվանում են լագարիթմական կոր։
Ֆունկցիան մոնոտոն աճող է, անընդհատ և դիֆերենցելի իր որոշման տիրույթում։ Ածանցյալը տրվում է

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        lg
        
        x
        =
        
          
            
              lg
              
              e
            
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\lg \,x={\frac {\lg \,e}{x}}}
   բանաձևով։
  
    
      
        (
        x
        =
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (x=0)}
   հորիզոնական առանցքը հանդիսանում է հորիզոնական ասիմպտոտ, քանի որ 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
            +
            0
          
        
        lg
        
        x
        =
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0+0}\lg \,x=-\infty }
  ։


== Կիրառությունը ==

Տասնորդական լոգարիթմները կիրառովում էին նույնիսկ նախքան 1970-ական թվականներին կոմպակտ էլեկտրոնային հաշվիչների հայտանգործումը։ Նրանք հնարավորություն էին տալիս պարզեցնել ու հեշտացնել հաշվարկները․ արտադրյալը փոխարինելով գումարով, քանորդը՝ տարբերությամբ։ Նման կերպ հեշտացնում էին աստիճան բարձրացնելը և արմատ հանելը։ հեշտ է որոշել նաև 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   թվի լոգրիթմի ամբողջ մասը՝ 
  
    
      
        [
        lg
        ⁡
        x
        ]
      
    
    {\displaystyle [\lg x]}
  ։

եթե 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  ≥1, ապա 
  
    
      
        [
        lg
        ⁡
        x
        ]
      
    
    {\displaystyle [\lg x]}
  -ը 1-ով փոքր է 
  
    
      
        [
        x
        ]
      
    
    {\displaystyle [x]}
  -ից
եթե 0<
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  <1, ապա  
  
    
      
        l
        g
        x
      
    
    {\displaystyle lgx}
  -ին ամենամոտ թիվը հավասար է 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   թվի ընդհանուր զրոների քանակին մինչև առաջին ոչ զրոյական նիշը։ Սա նշանակում է, որ տասնորդական լոգարիթմները հաշվելու համար բավարար է ունենալ լոգարիթմական աղյաուսակ 1-10 թվերի սահմաններում։ Այդպիսի աղյուսակներ գոյություն են ունեցել դեռևս սկաժ 16-րդ դարից և անփոխարինելի են եղել գիտնականների ու ինժեներների համար։ Մեր օրերում տասնորդական լոգարիթմները փոխարինվում են բնականով։Ուշադրություն պետք է դարձնել այն փաստին, որ բոլոր 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   թվերի համար նույն 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
   է քանի որ

  
    
      
        lg
        ⁡
        (
        n
        )
        =
        lg
        ⁡
        
          (
          
            x
            ×
            
              10
              
                C
              
            
          
          )
        
        =
        lg
        ⁡
        (
        x
        )
        +
        lg
        ⁡
        
          (
          
            10
            
              C
            
          
          )
        
        =
        lg
        ⁡
        (
        x
        )
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \lg(n)=\lg \left(x\times 10^{C}\right)=\lg(x)+\lg \left(10^{C}\right)=\lg(x)+C}
  ,որտեղ 
  
    
      
        1
        <
        x
        <
        10
      
    
    {\displaystyle 1<x<10}
  ։


== Պատմություն ==
Տասնորդական լոգարիթմների աղյուսակը 1-ից մինչև 1000 թվերի համար հրատարակել է 1617թվականին Օքսֆորդի համալսարանի պրոֆեսոր Հենրի Բրիգսը։ Այդ պատճառով էլ տասնորդական լոգարիթմները երբեմն անվանում են բրիգսյան։ Սակայն դրանց մեջ սխալներ հայտնաբերվեցին։ Առաջին ճշգրիտ աղյուսակը հայտնվեց 1852 թվականին Բեռլինում(Բրեմիկերի աղյուսակ).
։ Ռուսաստանում առաջին աղյուսակը հրատարակվեց  Լ․ Մագնիցկու կողմից 1703 թվականին։ ԽՍՀՄ-ում թողարկվեցին մի քանի ձեռնարկներ․

Վ․Մ․ Բրադիս «Քառանիշ մաթեմատիկական աղյուսակներ»
Գ․Վեգա «Տասանիշ լոգարիթմական աղյուսակներ»։


== Գրականություն ==
Մ․Յա․ Վիգոդսկի «Տարրական մաթեմատիկայի տեղեկագիրք»,Մոսկվա 1978
Տ․ Կորն, Գ․ Կորն «Մաթեմատիկայի տեղեկագիրք»
Գ․Մ․ Ֆիխտենգոլց «Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվ»
Մ․Ի․ Սկանավի,Վ․Վ․ Զայցեվ «Տարրական մաթեմատիկա»
Յ․Ուսպենսկի «Լոգարիթմների պատմություն»։


== Ծանոթագրություններ ==