Ցուցչային ֆունկցիա

Ցուցչային ֆունկցիա,
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          a
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=a^{x}}
   տեսքի մաթեմատիկական ֆունկցիա է, որտեղ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն կոչվում է ցուցչի հիմք, իսկ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը՝ ցուցչի աստիճան։

Իրական դեպքում ցուցչի 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   հիմքը որոշակի ոչբացասական իրական թիվ է, իսկ ֆունկցիայի արգումենտը հանդիսանում է իրական ցուցչի աստիճան։
Կոմպլեքս ֆունկցիաների տեսությունում դիտարկվում է առավել ընդհանուր դեպք, երբ արգումենտը և աստիճանի ցուցիչը կարող են լինել կամայական կոմպլեքս թիվ։
Առավել ընդհանուր տեսքով՝ 
  
    
      
        
          u
          
            v
          
        
      
    
    {\displaystyle u^{v}}
  , մտցվել է Լեյբնիցի կողմից 1695 թվականին։Հատուկ առանձնացվում է այն դեպքը, երբ որպես աստիճանի հիմք հանդես է գալիս 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
   թիվը։ Այդպիսի ֆունկցիան կոչվում է էքսպոնենտային (իրական կամ կոմպլեքս)։


== Իրական ֆունկցիա ==


=== Ցուցչային ֆունկցիայի սահմանումը ===
Դիցուք 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն ոչբացասական իրական թիվ է, իսկ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը ռացիոնալ թիվ՝
  
    
      
        
          
            m
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {m}{n}}}
  ։ Այդ դեպքում 
  
    
      
        
          a
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{x}}
  -ը որոշվում է հետևյալ կանոններով՝

Եթե 
  
    
      
        x
        >
        0
      
    
    {\displaystyle x>0}
  , ապա 
  
    
      
        
          a
          
            x
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                m
              
            
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}
   ։
Եթե 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
   և 
  
    
      
        a
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a\neq 0}
   , ապա 
  
    
      
        
          a
          
            x
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a^{x}=1}
  ։

  
    
      
        
          0
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle 0^{0}}
   -ի արժեքը որոշված չէ։
Եթե 
  
    
      
        x
        <
        0
      
    
    {\displaystyle x<0}
   և 
  
    
      
        a
        >
        0
      
    
    {\displaystyle a>0}
   , ապա
  
    
      
        
          a
          
            x
          
        
        =
        
          
            1
            
              a
              
                
                  |
                
                x
                
                  |
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}}
  ։

  
    
      
        
          a
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{x}}
  -ի արժեքը 
  
    
      
        x
        <
        0
      
    
    {\displaystyle x<0}
  , 
  
    
      
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a=0}
  -ի դեպքում որոշված չէ։Ցանկացած 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   իրական ցուցչի դեպքում 
  
    
      
        
          a
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{x}}
  -ը կարելի է որոշել որպես 
  
    
      
        
          a
          
            
              r
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{r_{n}}}
   հաջորդականության սահման, որտեղ 
  
    
      
        
          r
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{n}}
  -ը 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ին ձգտող ռացիոնալ թիվ է։ Էքսպոնենտայի համար գոյություն ունեն նաև այլ սահմանում սահմանի օգնությամբ, օրինակ՝

  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            (
            
              1
              +
              
                
                  x
                  n
                
              
            
            )
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}
  ։


=== Հատկություններ ===

  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a^{0}=1}
  

  
    
      
        
          a
          
            x
            +
            y
          
        
        =
        
          a
          
            x
          
        
        ⋅
        
          a
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}}
  

  
    
      
        (
        
          a
          
            x
          
        
        
          )
          
            y
          
        
        =
        
          a
          
            x
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle (a^{x})^{y}=a^{xy}}
  

  
    
      
        (
        a
        b
        
          )
          
            x
          
        
        =
        
          a
          
            x
          
        
        
          b
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle (ab)^{x}=a^{x}b^{x}}
  Օգտագործելով 
  
    
      
        ln
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \ln x}
   բնական լոգարիթմի ֆունկցիան, կարելի է ցուցչային ֆունկցիան արտահայտել կամայական դրական հիմքով էքսպոնենտայի միջոցով՝

  
    
      
        
          a
          
            x
          
        
        =
        
          e
          
            x
            ⋅
            ln
            ⁡
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln a}}
  ։
Այս կապը հնարավորություն է տալիս սահմանափակվել էքսպոնենտայի հատկության ուսումնասիրմամբ։
Անալիտիկ հատկություններ՝

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        
          a
          
            x
          
        
        =
        (
        ln
        ⁡
        a
        )
        
          a
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=(\ln a)a^{x}}
  .
Մասնավորապես՝

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        
          e
          
            x
          
        
        =
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}
  

Շարքի վերածում՝ 
  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        =
        1
        +
        x
        +
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              2
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              3
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                4
              
            
            
              4
              !
            
          
        
        +
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+...}
  


=== Ասիմպտոտիկա ===
Ցուցչային ֆունկցիան աճում է դեպի անվերջություն ցանկացած աստիճանային ֆունկցիայից արագ՝

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              a
              
                x
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0}
  
Աճի արագ տեմպը կարող է նկարագրվել, օրինակ, թղթերը միմյանց վրա դնելու խնդրի օրինակով։


== Կոմպլեքս ֆունկցիա ==
Կոմպլեքս հարթության վրա էքսպոնենտայի ընդլայնման համար որոշենք այն նույն շարքի օգնությամբ, փոխարինելով իրական արգումենտը կոմպլեքսով՝

  
    
      
        
          e
          
            z
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              z
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        =
        1
        +
        z
        +
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              2
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              z
              
                3
              
            
            
              3
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              z
              
                4
              
            
            
              4
              !
            
          
        
        +
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+...}
  
Այդ ֆունկցիան ունի նույն հիմնական հանրահաշվական և անալիտիկ հատկությունները, ինչ որ իրականը։
  
    
      
        
          e
          
            i
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{ix}}
  շարքում առանձնացնելով իրական մասը կեղծից, մենք ստանում ենք հանրահայտ Էյլերի բանաձևը՝

  
    
      
        
          e
          
            i
            x
          
        
        =
        cos
        ⁡
        x
        +
        i
        sin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
  
Այսպիսով, կոմպլեքս էքսպոնենտան պարբերական է կեղծ առանցքի շուրջ։
Ցուցչային ֆունկցիան կամայական կոմպլեքս հիմքով և աստիճանի ցուցչով հեշտ է հաշվել կոմպլեքս էքսպոնենտայի և կոմպլեքս լոգարիթմի օգնությամբ։
Օրինակ՝ 
  
    
      
        
          i
          
            i
          
        
        =
        
          e
          
            i
            ln
            ⁡
            (
            i
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle i^{i}=e^{i\ln(i)}}
  , քանի որ 
  
    
      
        ln
        ⁡
        (
        i
        )
        =
        i
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \ln(i)=i{\frac {\pi }{2}}}
  (լոգարիթմի հիմնական արժեքը), վերջապես ստանում ենք՝

  
    
      
        
          i
          
            i
          
        
        =
        
          e
          
            i
            
              
                
                  i
                  π
                
                2
              
            
          
        
        =
        
          e
          
            −
            
              
                π
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle i^{i}=e^{i{\frac {i\pi }{2}}}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}}
  ։


== Տես նաև ==
Աստիճանի բարձրացում
Աստիճանային ֆունկցիա
Էքսպոնենտային ֆունկցիա


== Գրականություն ==
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.։ ФИЗМАТЛИТ, 2001. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2.