Գալիլեյի ձևափոխություններ

Գալիլեյի ձևափոխություններ, դասական մեխանիկայում կոորդինատների և արագության ձևափոխություններ մի իներցիալ հաշվարկման համակարգից մյուսին անցնելիս։ Տերմինն առաջարկել է Ֆիլիպ Ֆրանկը 1909 թվականին։ Գալիլեյի ձևափոխությունները հիմնվում են Գալիլեյի հարաբերականության սկզբունքի վրա, ըստ որի հաշվարկման բոլոր համակարգերում ժամանակը նույնն է (բացարձակ ժամանակ)։
Գալիլեյի ձևափոխությունները Լորենցի ձևափոխությունների սահմանային (մասնավոր) դեպքն է, երբ արագությունը փոքր է վակուումում լույսի արագությունից։ Արեգակնային համակարգում մոլորակների շարժման արագության և ավելի մեծ արագությունների համար Գալիլեյի ձևափությունները մոտավորապես ճիշտ են շատ մեծ ճշգրտությամբ։


== Ձևափոխությունների համագիծ առանցքների դեպքում ==
Եթե S' իներցիալ հաշվարկման համակարգը շարժվում է S իներցիալ հաշվարկման համակարգի նկատմամբ 
  
    
      
        x
         
      
    
    {\displaystyle x\ }
   առանցքով հաստատուն 
  
    
      
        u
         
      
    
    {\displaystyle u\ }
   արագությամբ, իսկ կոորդինատների սկզբնակետը երկու համակարգերում համընկնում է ժամանակի սկզբնակետին, ապա Գալիլեյի ձևափոխությունները ունեն հետևյալ տեսքը․

  
    
      
        
          x
          ′
        
        =
        x
        −
        u
        t
        ,
         
      
    
    {\displaystyle x'=x-ut,\ }
  

  
    
      
        
          
            y
            ′
          
        
        =
        y
        ,
         
      
    
    {\displaystyle {y'}=y,\ }
  

  
    
      
        
          
            z
            ′
          
        
        =
        z
        ,
         
      
    
    {\displaystyle {z'}=z,\ }
  

  
    
      
        
          t
          ′
        
        =
        t
         
      
    
    {\displaystyle t'=t\ }
  կամ, կիրառելով վեկտորական նշանակումներ՝

  
    
      
        
          
            
              
                r
                ′
              
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        −
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        t
        ,
         
      
    
    {\displaystyle {\vec {r'}}={\vec {r}}-{\vec {u}}t,\ }
  

  
    
      
        
          t
          ′
        
        =
        t
         
      
    
    {\displaystyle t'=t\ }
  ։Վերջին բանաձևը ճիշտ է կոորդինատական առանցքների ցանկացած ուղղության դեպքում։
Ինչպես երևում է, սրանք պարզապես կոորդինատական համակարգի սկզբնակետի տեղափոխության բանաձևեր են՝ ժամանակից գծային կախվածություն ունեցող։
Այս ձևափոխություններից հետևում է երկու հաշվարկման համակարգում կետի արագության և արագացումների կապի առնչությունը․

  
    
      
        
          
            
              
                v
                ′
              
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        −
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\vec {v'}}={\vec {v}}-{\vec {u}},}
  

  
    
      
        
          
            
              
                a
                ′
              
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a'}}={\vec {a}}}
  ։


== Արագությունների ձևափոխման բանաձև ==
Դիֆերենցելով Գալիլեյի ձևափոխություններում 
  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}}
  ֊ը՝ կստանանք արագությունների ձևափոխման բանաձևը։ Համակարգի սկզբնակետի նկատմամբ մեկ այլ համակարգի կամայական շարժման դեպքում (եթե պտտական շարժումը բացակայում է) արագությունների ձևափոխման բանաձևը կարելի է ստանալ հետևյալ կերպ։ Դիտարկենք կոորդինատական համակարգի սկզբնակետի ձևափոխությունը կամայական 
  
    
      
        
          
            
              
                r
                →
              
            
          
          
            o
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}_{o}}
   վեկտորով։ K հաշվարկման համակարգում A մարմնի շառավիղ֊վեկտորը նշանակենք 
  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}}
  ,
իսկ K' ֊ում՝ 
  
    
      
        
          
            
              
                r
                ′
              
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r'}}}
  ։ Ինչպես միշտ դասական մեխանիկայում, այստեղ ևս ենթադրվում է, որ 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   ժամանակը հաշվարկման երկու համակարգերում նույնն է, և բոլոր շառավիղ֊վեկտորները կախված են այդ ժամանակից՝ 
  
    
      
        
          
            
              
                r
                →
              
            
          
          
            o
          
        
        =
        
          
            
              
                r
                →
              
            
          
          
            o
          
        
        (
        t
        )
        ,
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        (
        t
        )
        ,
        
          
            
              
                r
                ′
              
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              
                r
                ′
              
              →
            
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}_{o}={\vec {r}}_{o}(t),{\vec {r}}={\vec {r}}(t),{\vec {r'}}={\vec {r'}}(t)}
  ։
Այս դեպքում ժամանակի ցանկացած պահին

  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              
                r
                →
              
            
          
          
            o
          
        
        +
        
          
            
              
                r
                ′
              
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{o}+{\vec {r'}}}
  և մասնավորապես, հաշվի առնելով, որ

  
    
      
        Δ
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        (
        t
        +
        Δ
        t
        )
        −
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        (
        t
        )
        ,
         
        Δ
        
          
            
              
                r
                →
              
            
          
          
            o
          
        
        =
        
          
            
              
                r
                →
              
            
          
          
            o
          
        
        (
        t
        +
        Δ
        t
        )
        −
        
          
            
              
                r
                →
              
            
          
          
            o
          
        
        (
        t
        )
        ,
         
        Δ
        
          
            
              
                r
                ′
              
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              
                r
                ′
              
              →
            
          
        
        (
        t
        +
        Δ
        t
        )
        −
        
          
            
              
                r
                ′
              
              →
            
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta {\vec {r}}={\vec {r}}(t+\Delta t)-{\vec {r}}(t),~\Delta {\vec {r}}_{o}={\vec {r}}_{o}(t+\Delta t)-{\vec {r}}_{o}(t),~\Delta {\vec {r'}}={\vec {r'}}(t+\Delta t)-{\vec {r'}}(t)}
  ,կունենանք

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      r
                      →
                    
                  
                
                (
                t
                )
                =
                
                  
                    
                      
                        r
                        →
                      
                    
                  
                  
                    o
                  
                
                (
                t
                )
                +
                
                  
                    
                      
                        r
                        ′
                      
                      →
                    
                  
                
                (
                t
                )
              
            
            
              
                
                  
                    
                      r
                      →
                    
                  
                
                (
                t
                +
                Δ
                t
                )
                =
                
                  
                    
                      
                        r
                        →
                      
                    
                  
                  
                    o
                  
                
                (
                t
                +
                Δ
                t
                )
                +
                
                  
                    
                      
                        r
                        ′
                      
                      →
                    
                  
                
                (
                t
                +
                Δ
                t
                )
              
            
          
        
        
          
            }
          
        
        
        ⇒
        
        Δ
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        =
        Δ
        
          
            
              
                r
                →
              
            
          
          
            o
          
        
        +
        Δ
        
          
            
              
                r
                ′
              
              →
            
          
        
        
        ⇒
        
        
          
            
              Δ
              
                
                  
                    r
                    →
                  
                
              
            
            
              Δ
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              Δ
              
                
                  
                    
                      r
                      →
                    
                  
                
                
                  o
                
              
            
            
              Δ
              t
            
          
        
        +
        
          
            
              Δ
              
                
                  
                    
                      r
                      ′
                    
                    →
                  
                
              
            
            
              Δ
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{o}(t)+{\vec {r'}}(t)\\{\vec {r}}(t+\Delta t)={\vec {r}}_{o}(t+\Delta t)+{\vec {r'}}(t+\Delta t)\end{matrix}}{\Bigg \}}\quad \Rightarrow \quad \Delta {\vec {r}}=\Delta {\vec {r}}_{o}+\Delta {\vec {r'}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {\Delta {\vec {r}}_{o}}{\Delta t}}+{\frac {\Delta {\vec {r'}}}{\Delta t}}}
  
  
    
      
        ⇒
        
        <
        
          
            
              V
              →
            
          
        
        >=<
        
          
            
              
                V
                →
              
            
          
          
            o
          
        
        >
        +
        <
        
          
            
              
                V
                ′
              
              →
            
          
        
        >
      
    
    {\displaystyle \Rightarrow \quad <{\vec {V}}>=<{\vec {V}}_{o}>+<{\vec {V'}}>}
  ,
որտեղ

  
    
      
        <
        
          
            
              V
              →
            
          
        
        >
      
    
    {\displaystyle <{\vec {V}}>}
  ֊ն A մարմնի միջին արագությունն է K համակարգի նկատմամբ,

  
    
      
        <
        
          
            
              
                V
                →
              
            
          
          ′
        
        >
      
    
    {\displaystyle <{\vec {V}}'>}
  ֊ը А մարմնի միջին արագությունն է K'  համակարգի նկատմամբ,

  
    
      
        <
        
          
            
              
                V
                →
              
            
          
          
            o
          
        
        >
      
    
    {\displaystyle <{\vec {V}}_{o}>}
  ֊ն K'  համակարգի միջին արագությունն է K֊ի նկատմամբ։Եթե 
  
    
      
        Δ
        t
        →
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta t\rightarrow 0}
  , ապա միջին արագությունները համընկնում են ակնթարթայինին․

  
    
      
        
          
            
              V
              →
            
          
        
        
        =
        
          lim
          
            Δ
            t
            →
            0
          
        
        
        
          
            (
          
        
        <
        
          
            
              
                V
                →
              
            
          
          
            o
          
        
        >
        +
        <
        
          
            
              
                V
                ′
              
              →
            
          
        
        >
        
          
            )
          
        
        =
        
          
            
              
                V
                →
              
            
          
          
            o
          
        
        +
        
          
            
              
                V
                ′
              
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {V}}\;=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\;{\Bigg (}<{\vec {V}}_{o}>+<{\vec {V'}}>{\Bigg )}={\vec {V}}_{o}+{\vec {V'}}}
  կամ

  
    
      
        
          
            
              V
              →
            
          
        
        
        =
        
          
            
              
                V
                →
              
            
          
          
            o
          
        
        +
        
          
            
              
                V
                ′
              
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {V}}\;={\vec {V}}_{o}+{\vec {V'}}}
  ինչպես միջին, այնպես էլ՝ ակնթարթային արագությունների համար։
Այսպիսով, մարմնի արագությունը կոորդինատների անշարժ համակարգի նկատմամբ հավասար է կոորդինատների շարժական համակարգի նկատմամբ մարմնի արագության և անշարժ համակարգի նկատմամբ շարժման համակարգի արագության վեկտորական գումարին։ Նույնը կարելի է ստանալ արագացումների համար։


== Գալիլեյի ձևափոխությունները ոչ ռելյատիվիստական քվանտային մեխանիկայում ==
Ոչ ռելյատիվիստական Քվանտային մեխանիկայում Շրյոդինգերի հավասարումը ինվարիանտ է Գալիլեյի ձևափոխությունների նկատմամբ։ Այս փաստից կարևոր հետևանքներ են բխում․ Գալիլեյի ձևափոխությունների հետ կապված մի շարք քվանտամեխանիկական օպերատորների գոյությունը (Շրյոդինգերի խումբ), տարբեր զանգվածներով մասնիկներին համապատասխանող ալիքային ֆունկցիաների վերադրման արգելքը (Բարգմանի թեորեմ), Գալիլեյի ձևափոխություններից բխող քվանտամեխանիկական ինվարիանտների գոյությունը։


== Ծանոթագրություններ ==