Ֆունկցիայի էքստրեմում

Ֆունկցիայի էքստրեմում, մաթեմատիկայում տրված բազմության ֆունկցիայի ամենամեծ կամ ամենափոքր կետն է։ Կետը, որին էքստրեմումը հասնում է, կոչվում է էքստրեմումի կետ։ Ըստ այդմ, եթե հասնում է ամենափոքր կետին, էքստրեմումի կետը կոչվում է մինիմումի կետ, իսկ եթե ամենամեծին՝ մաքսիմումի կետ։ Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ առանձնանում է «տեղական էքստրեմում» հասկացությունը։


== Սահմանումներ ==
Եթե 
  
    
      
        f
        :
        M
        ⊂
        
          R
        
        →
        
          R
        
        ,
      
    
    {\displaystyle f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}
   и 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ∈
        
          M
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}\in M^{0}}
  , ապա 
  
    
      
        f
        .
      
    
    {\displaystyle f.}
  -ի որոշման տիրույթի ներքին կետը կոչվում է ֆունկցիայի տեղական մաքսիմում։ Եթե 
  
    
      
        
          
            
              U
              ˙
            
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\dot {U}}(x_{0})}
  , ապա 
  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        
          
            
              U
              ˙
            
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        
        f
        (
        x
        )
        ≥
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\geq f(x_{0}).}
  ։

։ 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   է կոչվում 
  
    
      
        f
        ,
      
    
    {\displaystyle f,}
   ֆունկցիայի տեղական մինիմումը, եթե գոյություն ունի 
  
    
      
        
          
            
              U
              ˙
            
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\dot {U}}(x_{0})}
   հարթություն, որի համար
։ 
  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        
          
            
              U
              ˙
            
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        
        f
        (
        x
        )
        ≥
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\geq f(x_{0}).}
  ։ Եթե տարբերությունը չափազանց մեծ է, ապա 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  -ն կոչվում է խիստ սահմանափակ տարածության համապատասխանաբար մինիմում կամ մաքսիմում կետը։

  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   է կոչվում հիմնական մաքսիմում կետ, եթե
։ 
  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        M
        
        f
        (
        x
        )
        ≤
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ;
      
    
    {\displaystyle \forall x\in M\quad f(x)\leq f(x_{0});}
  

  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   է կոչվում հիմնական մինիմում կոտ, եթե
։ 
  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        M
        
        f
        (
        x
        )
        ≥
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \forall x\in M\quad f(x)\geq f(x_{0}).}
  
  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(x_{0})}
   ֆունկցիայի նշանակությունը անվանում են հիմնական մաքսիմում կամ մինիմում՝ կախված իրավիճակից։ Մինիմում կամ մաքսիմում համարվող կետերը կոչվում են հիմնական էքստրեմումի կետեր։


== Նշում ==

  
    
      
        M
        ,
      
    
    {\displaystyle M,}
   տարածությունում բաժանված 
  
    
      
        f
        ,
      
    
    {\displaystyle f,}
   ֆունկցիան կարող է ունենալ և մեկից ավել հիմնական և բացարձակ էքստրեմումներ։ Օրինակ՝ 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        x
        ,
        
        x
        ∈
        (
        −
        1
        ,
        1
        )
        .
      
    
    {\displaystyle f(x)=x,\;x\in (-1,1).}
  


== Հիմնական էքստրեմումների գոյության պարտադիր պայմաններ ==
Ֆերմայի թեորեմից հետևում է՝Օրինակ, եթե 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  -ը 
  
    
      
         
        f
      
    
    {\displaystyle ~f}
   ֆունկցիայի էքստրեմումի կետն է 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   տարածքում, ապա
կա՛մ 
  
    
      
         
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ~f'(x_{0})}
   գոյություն չունի, կա՛մ 
  
    
      
         
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ~f'(x_{0})=0}
  .


== Բավականաչափ պայմաններ հիմնական էքստրեմումների գոյության համար ==
Օրինակ, եթե 
  
    
      
        f
        ∈
        C
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f\in C(x_{0})}
  -ն շարունակական է 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ∈
        
          M
          
            0
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x_{0}\in M^{0},}
   տիրույթում և եթե գոյություն ունեն վերջավոր կամ անվերջ միակողմանի ածանցյալներ՝ 
  
    
      
         
        
          f
          
            +
          
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ,
        
          f
          
            −
          
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ~f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})}
  , ապա
  
    
      
        
          f
          
            +
          
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        <
        0
        ,
        
        
          f
          
            −
          
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        >
        0
      
    
    {\displaystyle f'_{+}(x_{0})<0,\;f'_{-}(x_{0})>0}
  պայմանում 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  -ն հանդիսանում է խիստ սահմանափակ մաքսիմումի կետ։ Իսկ եթե 

  
    
      
        
          f
          
            +
          
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        >
        0
        ,
        
        
          f
          
            −
          
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        <
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle f'_{+}(x_{0})>0,\;f'_{-}(x_{0})<0,}
  ապա 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   հանդիսանում է խիստ սահմանափակ մինիմումի կետ։
Նկատենք, որ այս ֆունկցիայի դեպքում ոչ դիֆերենցելի 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետը

։ 
  
    
      
         
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ~f'(x_{0})=0}
   и 
  
    
      
         
        
          f
          ″
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        <
        0
      
    
    {\displaystyle ~f''(x_{0})<0}
  պայմանում 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  -ը հանդիսանում է հիմնական մաքսիմումի կետը, իսկ

  
    
      
         
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ~f'(x_{0})=0}
   и 
  
    
      
         
        
          f
          ″
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        >
        0
      
    
    {\displaystyle ~f''(x_{0})>0}
  պայմանում 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  -ը հանդիսանում է հիմնական մինիմումի կետը։

։ 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիան 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետում դիֆերենցելի է 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   անգամ և 
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        
          f
          ″
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        ⋯
        =
        
          f
          
            (
            n
            −
            1
            )
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f'(x_{0})=f''(x_{0})=\dots =f^{(n-1)}(x_{0})=0}
  , իսկ 
  
    
      
        
          f
          
            (
            n
            )
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle f^{(n)}(x_{0})\neq 0}
  ։Եթե 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ն հաշվելի է և 
  
    
      
        
          f
          
            (
            n
            )
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        <
        0
      
    
    {\displaystyle f^{(n)}(x_{0})<0}
  , ապա 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   հիմնական մաքսիմումի կետն է։
Եթե 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ն հաշվելի է և 
  
    
      
        
          f
          
            (
            n
            )
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        >
        0
      
    
    {\displaystyle f^{(n)}(x_{0})>0}
  , ապա 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  -ն հիմնական մինիմումի կետն է։
Եթե 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ն անհաշիվ է, ապա էքստրեմում գոյություն չունի։