Ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ

Ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ, ստորև ներկայացված են ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկերը։ Անորոշ ինտեգրալների համար ինտեգրման հաստատունը բաց է թողնված։


== Ինտեգրալներ ==

  
    
      
        ∫
        (
        a
        x
        +
        b
        
          )
          
            n
          
        
        d
        x
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      
                        (
                        a
                        x
                        +
                        b
                        
                          )
                          
                            n
                            +
                            1
                          
                        
                      
                      
                        a
                        (
                        n
                        +
                        1
                        )
                      
                    
                  
                  ,
                
                
                  n
                  ≠
                  −
                  1
                
              
              
                
                  
                    
                      1
                      a
                    
                  
                  ln
                  ⁡
                  
                    |
                    
                      a
                      x
                      +
                      b
                    
                    |
                  
                  ,
                
                
                  n
                  =
                  −
                  1
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int (ax+b)^{n}dx={\begin{cases}{\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}},&n\neq -1\\{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|,&n=-1\end{cases}}}
  
  
    
      
        ∫
        x
        (
        a
        x
        +
        b
        
          )
          
            n
          
        
        d
        x
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      
                        a
                        (
                        n
                        +
                        1
                        )
                        x
                        −
                        b
                      
                      
                        
                          a
                          
                            2
                          
                        
                        (
                        n
                        +
                        1
                        )
                        (
                        n
                        +
                        2
                        )
                      
                    
                  
                  (
                  a
                  x
                  +
                  b
                  
                    )
                    
                      n
                      +
                      1
                    
                  
                  ,
                
                
                  n
                  ∉
                  {
                  −
                  1
                  ,
                  −
                  2
                  }
                
              
              
                
                  
                    
                      x
                      a
                    
                  
                  −
                  
                    
                      b
                      
                        a
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                  ln
                  ⁡
                  
                    |
                    
                      a
                      x
                      +
                      b
                    
                    |
                  
                  ,
                
                
                  n
                  =
                  −
                  1
                
              
              
                
                  
                    
                      b
                      
                        
                          a
                          
                            2
                          
                        
                        (
                        a
                        x
                        +
                        b
                        )
                      
                    
                  
                  +
                  
                    
                      1
                      
                        a
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                  ln
                  ⁡
                  
                    |
                    
                      a
                      x
                      +
                      b
                    
                    |
                  
                  ,
                
                
                  n
                  =
                  −
                  2
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int x(ax+b)^{n}dx={\begin{cases}{\frac {a(n+1)x-b}{a^{2}(n+1)(n+2)}}(ax+b)^{n+1},&n\not \in \{-1,-2\}\\{\frac {x}{a}}-{\frac {b}{a^{2}}}\ln \left|ax+b\right|,&n=-1\\{\frac {b}{a^{2}(ax+b)}}+{\frac {1}{a^{2}}}\ln \left|ax+b\right|,&n=-2\end{cases}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            x
            
              (
              a
              x
              +
              b
              
                )
                
                  n
                
              
            
          
        
        d
        x
        =
        
          
            
              a
              (
              1
              −
              n
              )
              x
              −
              b
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              (
              n
              −
              1
              )
              (
              n
              −
              2
              )
              (
              a
              x
              +
              b
              
                )
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        ,
        
        n
        ∉
        {
        1
        ,
        2
        }
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {x}{(ax+b)^{n}}}dx={\frac {a(1-n)x-b}{a^{2}(n-1)(n-2)(ax+b)^{n-1}}},\quad n\not \in \{1,2\}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              
                x
                
                  
                    2
                    
                      n
                    
                  
                
              
              +
              1
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            
              2
              
                n
                −
                1
              
            
          
        
        
          {
          
            
              
                1
                
                  2
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
              
            
            
              [
              
                sin
                ⁡
                
                  (
                  
                    
                      
                        (
                        2
                        k
                        −
                        1
                        )
                        π
                      
                      
                        2
                        
                          n
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                arctan
                ⁡
                
                  [
                  
                    
                      (
                      
                        x
                        −
                        cos
                        ⁡
                        
                          (
                          
                            
                              
                                (
                                2
                                k
                                −
                                1
                                )
                                π
                              
                              
                                2
                                
                                  n
                                
                              
                            
                          
                          )
                        
                      
                      )
                    
                    csc
                    ⁡
                    
                      (
                      
                        
                          
                            (
                            2
                            k
                            −
                            1
                            )
                            π
                          
                          
                            2
                            
                              n
                            
                          
                        
                      
                      )
                    
                  
                  ]
                
              
              ]
            
            −
            
              
                1
                
                  2
                  
                    n
                  
                
              
            
            
              [
              
                cos
                ⁡
                
                  (
                  
                    
                      
                        (
                        2
                        k
                        −
                        1
                        )
                        π
                      
                      
                        2
                        
                          n
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                ln
                ⁡
                
                  |
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    2
                    x
                    cos
                    ⁡
                    
                      (
                      
                        
                          
                            (
                            2
                            k
                            −
                            1
                            )
                            π
                          
                          
                            2
                            
                              n
                            
                          
                        
                      
                      )
                    
                    +
                    1
                  
                  |
                
              
              ]
            
          
          }
        
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2^{n}}+1}}=\sum _{k=1}^{2^{n-1}}\left\{{\frac {1}{2^{n-1}}}\left[\sin \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\arctan \left[\left(x-\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\right)\csc \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\right]\right]-{\frac {1}{2^{n}}}\left[\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\ln \left|x^{2}-2x\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)+1\right|\right]\right\}+C}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              a
              x
              +
              b
            
          
        
        d
        x
        =
        
          
            1
            
              a
              
                3
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  (
                  a
                  x
                  +
                  b
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
                2
              
            
            −
            2
            b
            (
            a
            x
            +
            b
            )
            +
            
              b
              
                2
              
            
            ln
            ⁡
            
              |
              
                a
                x
                +
                b
              
              |
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{ax+b}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left({\frac {(ax+b)^{2}}{2}}-2b(ax+b)+b^{2}\ln \left|ax+b\right|\right)}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              (
              a
              x
              +
              b
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        d
        x
        =
        
          
            1
            
              a
              
                3
              
            
          
        
        
          (
          
            a
            x
            +
            b
            −
            2
            b
            ln
            ⁡
            
              |
              
                a
                x
                +
                b
              
              |
            
            −
            
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                
                  a
                  x
                  +
                  b
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{(ax+b)^{2}}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left(ax+b-2b\ln \left|ax+b\right|-{\frac {b^{2}}{ax+b}}\right)}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              (
              a
              x
              +
              b
              
                )
                
                  3
                
              
            
          
        
        d
        x
        =
        
          
            1
            
              a
              
                3
              
            
          
        
        
          (
          
            ln
            ⁡
            
              |
              
                a
                x
                +
                b
              
              |
            
            +
            
              
                
                  2
                  b
                
                
                  a
                  x
                  +
                  b
                
              
            
            −
            
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                
                  2
                  (
                  a
                  x
                  +
                  b
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{(ax+b)^{3}}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left(\ln \left|ax+b\right|+{\frac {2b}{ax+b}}-{\frac {b^{2}}{2(ax+b)^{2}}}\right)}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              (
              a
              x
              +
              b
              
                )
                
                  n
                
              
            
          
        
        d
        x
        =
        
          
            1
            
              a
              
                3
              
            
          
        
        
          (
          
            −
            
              
                1
                
                  (
                  n
                  −
                  3
                  )
                  (
                  a
                  x
                  +
                  b
                  
                    )
                    
                      n
                      −
                      3
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  2
                  b
                
                
                  (
                  n
                  −
                  2
                  )
                  (
                  a
                  x
                  +
                  b
                  
                    )
                    
                      n
                      −
                      2
                    
                  
                
              
            
            −
            
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                
                  (
                  n
                  −
                  1
                  )
                  (
                  a
                  x
                  +
                  b
                  
                    )
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{(ax+b)^{n}}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left(-{\frac {1}{(n-3)(ax+b)^{n-3}}}+{\frac {2b}{(n-2)(ax+b)^{n-2}}}-{\frac {b^{2}}{(n-1)(ax+b)^{n-1}}}\right),}
   для 
  
    
      
        
        n
        ∉
        {
        1
        ,
        2
        ,
        3
        }
      
    
    {\displaystyle \!n\not \in \{1,2,3\}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              x
              (
              a
              x
              +
              b
              )
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            b
          
        
        ln
        ⁡
        
          |
          
            
              
                a
                x
                +
                b
              
              x
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{x(ax+b)}}=-{\frac {1}{b}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              
                x
                
                  2
                
              
              (
              a
              x
              +
              b
              )
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            
              b
              x
            
          
        
        +
        
          
            a
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        ln
        ⁡
        
          |
          
            
              
                a
                x
                +
                b
              
              x
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}(ax+b)}}=-{\frac {1}{bx}}+{\frac {a}{b^{2}}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              
                x
                
                  2
                
              
              (
              a
              x
              +
              b
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        −
        a
        
          (
          
            
              
                1
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  (
                  a
                  x
                  +
                  b
                  )
                
              
            
            +
            
              
                1
                
                  a
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  x
                
              
            
            −
            
              
                2
                
                  b
                  
                    3
                  
                
              
            
            ln
            ⁡
            
              |
              
                
                  
                    a
                    x
                    +
                    b
                  
                  x
                
              
              |
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}(ax+b)^{2}}}=-a\left({\frac {1}{b^{2}(ax+b)}}+{\frac {1}{ab^{2}x}}-{\frac {2}{b^{3}}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|\right)}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              a
              b
            
          
        
        arctan
        ⁡
        
          
            
              a
              x
            
            b
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{a^{2}x^{2}+b^{2}}}={\frac {1}{ab}}\arctan {\frac {ax}{b}}\,\!}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              (
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                a
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            x
            
              2
              
                a
                
                  2
                
              
              (
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                a
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              2
              
                a
                
                  3
                
              
            
          
        
        arctan
        ⁡
        
          
            x
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}={\frac {x}{2a^{2}(x^{2}+a^{2})}}+{\frac {1}{2a^{3}}}\arctan {\frac {x}{a}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              (
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                a
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  3
                
              
            
          
        
        =
        
          
            x
            
              4
              
                a
                
                  2
                
              
              (
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                a
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              3
              x
            
            
              8
              
                a
                
                  4
                
              
              (
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                a
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        +
        
          
            3
            
              8
              
                a
                
                  5
                
              
            
          
        
        arctan
        ⁡
        
          
            x
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{3}}}={\frac {x}{4a^{2}(x^{2}+a^{2})^{2}}}+{\frac {3x}{8a^{4}(x^{2}+a^{2})}}+{\frac {3}{8a^{5}}}\arctan {\frac {x}{a}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              
                x
                
                  2
                
              
              −
              
                a
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            a
          
        
        
        
          a
          r
          t
          a
          n
          h
        
        
          
            x
            a
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              a
            
          
        
        ln
        ⁡
        
          
            
              a
              −
              x
            
            
              a
              +
              x
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}=-{\frac {1}{a}}\,\mathrm {artanh} {\frac {x}{a}}={\frac {1}{2a}}\ln {\frac {a-x}{a+x}},}
   для 
  
    
      
        
        
          |
        
        x
        
          |
        
        <
        
          |
        
        a
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \!|x|<|a|}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              
                x
                
                  2
                
              
              −
              
                a
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            a
          
        
        
        
          a
          r
          c
          o
          t
          h
        
        
          
            x
            a
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              a
            
          
        
        ln
        ⁡
        
          
            
              x
              −
              a
            
            
              x
              +
              a
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}=-{\frac {1}{a}}\,\mathrm {arcoth} {\frac {x}{a}}={\frac {1}{2a}}\ln {\frac {x-a}{x+a}},}
   для 
  
    
      
        
        
          |
        
        x
        
          |
        
        >
        
          |
        
        a
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \!|x|>|a|}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              a
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              b
              x
              +
              c
            
          
        
        =
        
          
            2
            
              4
              a
              c
              −
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        arctan
        ⁡
        
          
            
              2
              a
              x
              +
              b
            
            
              4
              a
              c
              −
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\arctan {\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}},}
   для 
  
    
      
        
        4
        a
        c
        −
        
          b
          
            2
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \!4ac-b^{2}>0}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              a
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              b
              x
              +
              c
            
          
        
        =
        
          
            2
            
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              4
              a
              c
            
          
        
        
        
          a
          r
          t
          a
          n
          h
        
        
          
            
              2
              a
              x
              +
              b
            
            
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              4
              a
              c
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              4
              a
              c
            
          
        
        ln
        ⁡
        
          |
          
            
              
                2
                a
                x
                +
                b
                −
                
                  
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    4
                    a
                    c
                  
                
              
              
                2
                a
                x
                +
                b
                +
                
                  
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    4
                    a
                    c
                  
                
              
            
          
          |
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}={\frac {2}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\,\mathrm {artanh} {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}={\frac {1}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\ln \left|{\frac {2ax+b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2ax+b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\right|,}
   для 
  
    
      
        
        4
        a
        c
        −
        
          b
          
            2
          
        
        <
        0
      
    
    {\displaystyle \!4ac-b^{2}<0}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              a
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              b
              x
              +
              c
            
          
        
        =
        −
        
          
            2
            
              2
              a
              x
              +
              b
            
          
        
        
        
          
            (for 
          
        
        4
        a
        c
        −
        
          b
          
            2
          
        
        =
        0
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}=-{\frac {2}{2ax+b}}\qquad {\mbox{(for }}4ac-b^{2}=0{\mbox{)}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            x
            
              a
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              b
              x
              +
              c
            
          
        
        d
        x
        =
        
          
            1
            
              2
              a
            
          
        
        ln
        ⁡
        
          |
          
            a
            
              x
              
                2
              
            
            +
            b
            x
            +
            c
          
          |
        
        −
        
          
            b
            
              2
              a
            
          
        
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              a
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              b
              x
              +
              c
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {x}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {1}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+c\right|-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              m
              x
              +
              n
            
            
              a
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              b
              x
              +
              c
            
          
        
        d
        x
        =
        
          
            m
            
              2
              a
            
          
        
        ln
        ⁡
        
          |
          
            a
            
              x
              
                2
              
            
            +
            b
            x
            +
            c
          
          |
        
        +
        
          
            
              2
              a
              n
              −
              b
              m
            
            
              a
              
                
                  4
                  a
                  c
                  −
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
        arctan
        ⁡
        
          
            
              2
              a
              x
              +
              b
            
            
              4
              a
              c
              −
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {mx+n}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {m}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+c\right|+{\frac {2an-bm}{a{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}\arctan {\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}},}
   для 
  
    
      
        
        4
        a
        c
        −
        
          b
          
            2
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \!4ac-b^{2}>0}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              m
              x
              +
              n
            
            
              a
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              b
              x
              +
              c
            
          
        
        d
        x
        =
        
          
            m
            
              2
              a
            
          
        
        ln
        ⁡
        
          |
          
            a
            
              x
              
                2
              
            
            +
            b
            x
            +
            c
          
          |
        
        −
        
          
            
              2
              a
              n
              −
              b
              m
            
            
              a
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                
              
            
          
        
        
        
          a
          r
          t
          a
          n
          h
        
        
          
            
              2
              a
              x
              +
              b
            
            
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              4
              a
              c
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {mx+n}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {m}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+c\right|-{\frac {2an-bm}{a{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\,\mathrm {artanh} {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}}},}
   для 
  
    
      
        
        4
        a
        c
        −
        
          b
          
            2
          
        
        <
        0
      
    
    {\displaystyle \!4ac-b^{2}<0}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              m
              x
              +
              n
            
            
              a
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              b
              x
              +
              c
            
          
        
        d
        x
        =
        
          
            m
            
              2
              a
            
          
        
        ln
        ⁡
        
          |
          
            a
            
              x
              
                2
              
            
            +
            b
            x
            +
            c
          
          |
        
        −
        
          
            
              2
              a
              n
              −
              b
              m
            
            
              a
              (
              2
              a
              x
              +
              b
              )
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {mx+n}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {m}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+c\right|-{\frac {2an-bm}{a(2ax+b)}},}
   для 
  
    
      
        
        4
        a
        c
        −
        
          b
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \!4ac-b^{2}=0}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              (
              a
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              b
              x
              +
              c
              
                )
                
                  n
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              a
              x
              +
              b
            
            
              (
              n
              −
              1
              )
              (
              4
              a
              c
              −
              
                b
                
                  2
                
              
              )
              (
              a
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              b
              x
              +
              c
              
                )
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              (
              2
              n
              −
              3
              )
              2
              a
            
            
              (
              n
              −
              1
              )
              (
              4
              a
              c
              −
              
                b
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              (
              a
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              b
              x
              +
              c
              
                )
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}={\frac {2ax+b}{(n-1)(4ac-b^{2})(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}+{\frac {(2n-3)2a}{(n-1)(4ac-b^{2})}}\int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}\,\!}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            x
            
              (
              a
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              b
              x
              +
              c
              
                )
                
                  n
                
              
            
          
        
        d
        x
        =
        
          
            
              b
              x
              +
              2
              c
            
            
              (
              n
              −
              1
              )
              (
              4
              a
              c
              −
              
                b
                
                  2
                
              
              )
              (
              a
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              b
              x
              +
              c
              
                )
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        −
        
          
            
              b
              (
              2
              n
              −
              3
              )
            
            
              (
              n
              −
              1
              )
              (
              4
              a
              c
              −
              
                b
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              (
              a
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              b
              x
              +
              c
              
                )
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {x}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}dx={\frac {bx+2c}{(n-1)(4ac-b^{2})(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}-{\frac {b(2n-3)}{(n-1)(4ac-b^{2})}}\int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}\,\!}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              x
              (
              a
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              b
              x
              +
              c
              )
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              c
            
          
        
        ln
        ⁡
        
          |
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              
                a
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                b
                x
                +
                c
              
            
          
          |
        
        −
        
          
            b
            
              2
              c
            
          
        
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              a
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              b
              x
              +
              c
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{x(ax^{2}+bx+c)}}={\frac {1}{2c}}\ln \left|{\frac {x^{2}}{ax^{2}+bx+c}}\right|-{\frac {b}{2c}}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}
  


== Տես նաև ==
Ֆունկցիայի ածանցյալ
Ածանցելի ֆունկցիաներ


== Գրականություն ==


=== Գրքեր ===
Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е издание). М.։ Наука, 1963. ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб։ «Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева», 1995.-176 с. ISBN 5-85529-029-8.
D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.
M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. ISBN 0-486-61272-4


=== Ինտեգրալների աղյուսակներ ===
Ինտեգրալներ EqWorld-ում
S.O.S. Մաթեմատիկա


=== Ինտեգրալների հաշվում ===
The Integrator (Wolfram Research)
Թվեր