Քվանտորներ

Քվանտոր՝ տրամաբանական գործողությունների ընդհանուր անվանումն է, որ սահմանափակում է դատողության ճշմարտության շրջանակը և ստեղծում ասույթ։ Ամենից հաճախ նշվում է.

Ընդհանրության քվանտոր (նշանակում են ՝ 
  
    
      
        ∀
      
    
    {\displaystyle \forall }
  , կարդացվում է՝ «ցանկացած…», «կամայական…», «յուրաքանչյուր…», «բոլոր…», «ամեն մի…»)։
Գոյության քվանտոր (նշանակում են՝ 
  
    
      
        ∃
      
    
    {\displaystyle \exists }
  , կարդացվում է՝ «գոյություն ունի…» կամ «կա…»)։Մաթեմատիկական տրամաբանության մեջ քվանտորի վերագրումը բանաձևի կոչվում է պարտադիր կամ քվանտիֆիկացում։


== Օրինակներ ==

  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
  –ով նշանակենք «x-ը բաժանվում է 9-ի» ասույթը։ Օգտագործելով ընդհանրության քվանտորը,մենք կարող ենք բանաձևը գրել հետևյալ ասույթների տեսքով (ճշմարիտ, կեղծ)․

ցանկացած բնական թիվ 9-ի բազմապատիկ է,
յուրաքանչյուր բնական թիվ 9-ի բազմապատիկ է,
բոլոր բնական թվերը 9-ի բազմապատիկներ են,այս եղանակով՝

  
    
      
        (
        ∀
        x
        ∈
        
          N
        
        )
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle (\forall x\in \mathbb {N} )P(x)}
  .Հետևյալ (արդեն ճշմարիտ) ասույթներում օգտագործում են գոյության քվանտորները․

կան բնական թվեր, որոնք բաժանվում են 9-ի,
կա 9-ի վրա բաժանվող բնական թիվ,
առնվազն մեկ բնական թիվ 9-ի բազմապատիկ է։Բանաձևային տեսքով՝

  
    
      
        (
        ∃
        x
        ∈
        
          N
        
        )
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle (\exists x\in \mathbb {N} )P(x)}
  .


== Ներածություն ==
Թող 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   բազմության վրա 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
   դատողությունը լինի՝  «
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   պարզ թիվը կենտ է»։ Այս դատողության սկզբում դնենք «ցանկացած» բառը։ Մենք ստանում ենք կեղծ ասույթ «ցանկացած 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   պարզ թիվ կենտ է» (այս պնդումը կեղծ է, քանի որ 2-ը զույգ պարզ թիվ է)։

  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
   դատողությունից առաջ դնենք «գոյություն ունի» բառերը, կստանանք ճշմարիտ ասույթ․ «Գոյություն ունի 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   պարզ թիվ, որը կենտ է»(օրինակ, 
  
    
      
        x
        =
        3
      
    
    {\displaystyle x=3}
  )
Այս օրինակում, կարելի է դատողությունը փոխարինել ասույթով՝ դատողությունից առաջ դնելով հետևյալ բառերը («բոլոր», «գոյություն ունի» և այլ), որոնց՝ տրամաբանությամբ, անվանում են քվանտորներ։


== Քվանտորները մաթեմատիկական տրամաբանության մեջ ==

  
    
      
        ∀
        x
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \forall xP(x)}
   ասույթը նշանակում է, որ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   փոփոխականի արժեքների տիրույթը ընկած է 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
   ճշմարիտ դատողության բազմությունում։(«
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  –ի բոլոր արժեքների համար ճշմարիտ է»)։

  
    
      
        ∃
        x
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \exists xP(x)}
   ասույթ նշանակում է, որ 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
   դատողության ճշմարտության տիրույթը դատարկ չէ։(«Գոյություն ունի 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  , որ այս պնդումը ճշմարիտ է»)։


=== Գործողություններ քվանտորներով ===
Քվանտորների ժխտման կանոնը՝  օգտագործվում է քվանտոր պարունակող ասույթների ժխտումները կառուցելու համար, և ունի հետևյալ տոսքը․

  
    
      
        ¬
        (
        ∀
        x
        )
        P
        (
        x
        )
        =
        (
        ∃
        x
        )
        ¬
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \lnot (\forall x)P(x)=(\exists x)\lnot P(x)}
  
  
    
      
        ¬
        (
        ∃
        x
        )
        P
        (
        x
        )
        =
        (
        ∀
        x
        )
        ¬
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \lnot (\exists x)P(x)=(\forall x)\lnot P(x)}
  

  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   ասույթների տրամաբանական գումարը՝ 
  
    
      
        A
        ∨
        B
      
    
    {\displaystyle A\lor B}
    
  
    
      
        
          
            (
          
        
        A
      
    
    {\displaystyle {\bigl (}A}
   կամ 
  
    
      
        B
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle B{\bigr )}}
   ասույթը ճշմարիտ է, եթե ճշմարիտ է 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   ասույթներից գոնե մեկը, և կեղծ է, եթե երկուսն էլ կեղծ են։

  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   ասույթների տրամաբանական արտադրյալը՝ 
  
    
      
        A
        ∧
        B
      
    
    {\displaystyle A\land B}
    
  
    
      
        
          
            (
          
        
        A
      
    
    {\displaystyle {\bigl (}A}
  և 
  
    
      
        B
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle B{\bigr )}}
    ասույթը ճշմարիտ է, եթե ճշմարիտ են և՛ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  –ն, և՛ 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  –ն  և կեղծ է, եթե դրանցից գոնե մեկը կեղծ է։
Երրորդի բացառման օրենքը՝ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   և 
  
    
      
        ¬
        A
      
    
    {\displaystyle \lnot A}
    
  
    
      
        
          
            (
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bigl (}}
  ոչ 
  
    
      
        A
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle A{\bigr )}}
  ասույթներից մեկը ճշմարիտ է, մյուսը՝ կեղծ։


=== Դե Մորգանի օրենքները ===

  
    
      
        ¬
        
          
            (
          
        
        A
        ∨
        B
        
          
            )
          
        
        ⇔
        
          
            (
          
        
      
    
    {\displaystyle \lnot {\bigl (}A\lor B{\bigr )}\Leftrightarrow {\bigl (}}
  
  
    
      
        ¬
        A
        
          
            )
          
        
        ∧
      
    
    {\displaystyle \lnot A{\bigr )}\land }
  
  
    
      
        
          
            (
          
        
        ¬
        B
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bigl (}\lnot B{\bigr )}}
  ,

  
    
      
        ¬
        
          
            (
          
        
        A
        ∧
        B
        
          
            )
          
        
        ⇔
        
          
            (
          
        
      
    
    {\displaystyle \lnot {\bigl (}A\land B{\bigr )}\Leftrightarrow {\bigl (}}
  
  
    
      
        ¬
        A
        
          
            )
          
        
        ∨
      
    
    {\displaystyle \lnot A{\bigr )}\lor }
  
  
    
      
        
          
            (
          
        
        ¬
        B
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bigl (}\lnot B{\bigr )}}
  ։


== Ստեղծման պատմություն ==
Փիլիսոփաները վաղուց ուշադրություն են դարձրել տրամաբանական գործողություններին, որոնք սահմանափակում են դատողության ճշմարտության տիրույթը, բայց դրանք
գործողությունների առանձին դասի չեն բաժանել։ Այսպիսով, Թոմաս Հոբսը հավատում էր, որ դրանք հանդիսանում են անունների մասեր։
Չնայած, տրամաբանական քվանտորում  կոնստրուկցիաները լայնորեն կիրառվում էին ինչպես գիտական, այնպես էլ ամենօրյա խոսքում,սակայն դրանց հրապարակումը տեղի ունեցավ միայն 1879 թվականին, Ֆրեգեի «Հայեցակարգերի հաշիվը» գրքում։ Ֆրեգեի նշանակումները նման էին խոշոր գրաֆիկական կոնստրուկցիաների և չէին ընդունվում։
Դրանից հետո առաջարկվեցին շատ ավելի հաջող խորհրդանիշներ, Չարլզ Փիրսի կողմից 1885 թ.առաջարկված 
  
    
      
        ∃
      
    
    {\displaystyle \exists }
   գոյության քվանտոր ընդհանուր առմամբ ընդունեցին (անգլ.՝ Exists՝  գոյություն ունի բառի առաջին տառի շրջված տեսքը), և 
  
    
      
        ∀
      
    
    {\displaystyle \forall }
   ընդհանրության քվանտորի համար (գերմ.՝ Alle– «բոլոր», «ցանկացած»), Գերհարդ Գենցենի կողմից 1935 թ.-ին՝ գոյության քվանտորի նմանությամբ։ «Քվանտոր» և «քվանտիֆիկացում» եզրույթները առաջարկել է նաև Փիրսը։


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Клини С. К. Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72—80, 130—138
Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. Изд. 3-е, стереотипное. — М.: КомКнига, 2006. — 240 с.
Новиков П. С. Элементы математической логики. — М.: Наука, 1973. — 400 с.
Чёрч А. Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, с. 42—48.


== Արտաքին հղումներ ==
Քվանտոր