Միջին թվաբանական

Միջին թվաբանական(մաթեմատիկայում և վիճակագրությունում), միջին արժեքի բազմաձևությունն է։Սահմանվում է որպես բազմության բոլոր տարրերի գումարի հարաբերությունը նրանց քանակին։
Առաջադրվել է պյութագորասակնների կողմից(միջին երկրաչափականի և միջին հարմոնիկի հետ միաժամանակ)։
Երբ բազմության տարրերի թիվը ձգտում է անսահմանության, միջին թվաբանականը ձգտում է պատահական մեծության մաթեմատիկական սպասմանը։


== Ներածություն ==
Նշանակենք թվերի բազմությունը X = (x1, x2, …, xn), ապա ընտրովի միջինը կնշանակվի փոփոխականի վրա հորիզոնական գծիկով  (
  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}}
  , կարդացվում է «x գծիկով»).
Թվերի համախմբի միջին թվաբանականը նշանակելու համար օգտագործվում է հունական μ տառը։ Պատահական մեծության դեպքում,որի համար որոշված է միջին արժեք, μ-ն   միջին հավանականն է կամ պատահական մեծության մաթեմատիկական սպասումը։ Եթե X  բազմությունը պատահական թվերի համախումբ է μ միջին հավանականով, ապա այդ համախմբից ցանկացած  xi  ընտրության համար μ = E{xi} հանդիսանում է այդ ընտրության մաթեմատիկական սպասումը։
Գործնականում  μ-ի և  
  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}}
   տարբերությունը կայանում էնրանում, որ μ-ն հանդիսանում է տիպիկ փոփոխական, քանի որ կարելի է տեսնել ընտրությունը, և ոչ թե ամբողջ համախումբը։ Այդ պատճառով էլ, եթե ընտրությունը լինի պատահական, ապա 
  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}}
   (բայց ոչ μ-ն)կարելին է ներկայհացնել որպես պատահական փոփոխական։
Երկու մեծություններն էլ հաշվվում են նույն կերպ․

  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
        =
        
          
            1
            n
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          x
          
            i
          
        
        =
        
          
            1
            n
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})}
  ։Տարրական հանրահաշվում ապացուցված է, որ n + 1 թվերի միջինը մեծ է  n թվերի միջինից այն և միայն այն դեպքում, երբ նոր թիվը ավելի մեծ է, քան հին միջինը, և փոքր է այն և միայն այն դեպքում, երբ նոր թիվը փոքր է միջինից, և չի փոխվում այն և միայն այն դեպքում, երբ նոր թիվը հավասար է միջինին։
Ինչքան մեծ է n-ը, այնքան հին և նոր միջին արժեքները քիչ են տարբերվում։
Նկատենք, որ գոյություն ունեն այլ «միջին արժեքներ», այդ թվում․ միջին աստիճանային, Կալմագորովի միջին, միջին հարմոնիկ, թվաբանա-երկրաչափական միջին։


=== Օրինակներ ===
Երեք թվերի միջին թվաբանականընստանալու համար հարկավոր է դրանք գումարել և բաժանել 3-ի․
  
    
      
        
          
            
              
                x
                
                  1
                
              
              +
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                x
                
                  3
                
              
            
            3
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}.}
  Չորս թվերի միջին թվաբանականընստանալու համար հարկավոր է դրանք գումարել և բաժանել 4-ի․
  
    
      
        
          
            
              
                x
                
                  1
                
              
              +
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                x
                
                  3
                
              
              +
              
                x
                
                  4
                
              
            
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}}
  ։


== Անընդհատ պատահական մեծություն ==
Եթե գոյություն ունի մեկ փոփոխականի 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
    ֆունկցիայիցծ ինտեգրալը, ապա այդ ֆունկցիայի միջին թվաբանականը 
  
    
      
        [
        a
        ;
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a;b]}
   հատվածի վրա որոշվում է որոշյալ ինտեգրալի օգնությամբ։

  
    
      
        
          
            
              
                f
                (
                x
                )
              
              ¯
            
          
          
            [
            a
            ;
            b
            ]
          
        
        =
        
          
            1
            
              b
              −
              a
            
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        d
        x
        .
      
    
    {\displaystyle {\overline {f(x)}}_{[a;b]}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx.}
  Այստեղ ենթադրվում է,որ 
  
    
      
        b
        >
        a
      
    
    {\displaystyle b>a}
  ։


== Միջին թվաբանականի կիրառության որոշ դժվարություններ ==


=== Խստության բացակայություն ===
Չնայած այն բանին, որ միջին թվաբանականը հաճախ է կիրառվում միջին արժեքների հաշվման ժամանակ, սակայն այն չի վերաբերվում խիստ վիճակագրությանը։ Այն կարող է ենթարկվել խիստ շեղումների։ Հատկանշական է, որ մեծ գարծակիցներով բաշխումների դեպքում միջին թվաբանականը կարող է չհամընկնել «միջին» հասկացության հետ։ Դասական օրինակ է հանդիսանում միջին եկամտի հաշվարկը։ Միջին թվաբանակը հնարավոր է ճիշտ չմեկնաբանվի կիսորդի(մեդիանի) կարգավիճակում, այդ պատչառով մեծ եկամուտներ ունեցոցները կարող է ավելի շատ ստացվեն, քան իրականում են։ «Միջին» եկամուտը նշանակում է, որ մարդկանց մեծամասնության եկամուտը մոտ է այս թվին։  Այս «միջին»  եկամուտը ավելի մեծ է, քան մարդկանց մեծամասնության եկամուտը, քանի որ բարձր եկամուտը, որը մեծ շեղում է միջինից, ստիպում է, որ միջին թվաբանականը է խստորեն շեղվի (ի տարբերություն, միջին եկամուտը «դիմադրում է» այդպիսի շեղումով)։ Այնուամենայնիվ, այս «միջին» եկամուտը ոչինչ չի ասում միջին եկամտի մոտ գտնվող մարդկանց թվաքանակի մասին (և ոչինչ չի ասում այն ​​մասին, թե որքանով է հասուն եկամտի մոտ գտնվող մարդկանց թիվը)։ Այսպես կարող եք սխալ եզրակացություն անել, որ մարդկանց մեծամասնության եկամուտներն ավելի բարձր են, քան իրականում կան։ Օրինակ ՝ Վաշինգտոնի Մեդինա նահանգի «միջին» զուտ եկամտի մասին հաշվետվությունը, որը հաշվարկվում է որպես բոլոր ռեզիդենտների տարեկան զուտ եկամուտների թվաբանական միջին, հաշվառված կլինի զարմանալիորեն մեծ թվով ՝ Բիլ Գեյթսի պատճառով։ Դիտարկենք նմուշը (1, 2, 2, 2, 3, 9)։ Թվաբանության միջին ցուցանիշը 3,17 է, բայց վեց արժեքներից հինգը այս միջինից ցածր են։


=== Բարդ տոկոսներ ===
Եթե ​​թվերը պետք է բազմապատկվեն, այլ ոչ թե ավելացվեն, ապա պետք է օգտագործեք երկրաչափական միջինը, այլ ոչ թե թվաբանական միջինը։ Ամենից հաճախ, այս դեպքը տեղի է ունենում ֆինանսների մեջ ներդրումների վերադարձի հաշվարկման ժամանակ։
Օրինակ․ եթե առաջին տարում բաժնետոմսերը նվազել են 10% -ով և երկրորդ տարում աճել են 30% -ով, ապա ճիշտ չէ այս երկու տարիների ընթացքում «միջին» աճը հաշվարկել որպես թվաբանական միջին (-10% + 30%) / 2 = 10%; ճիշտ միջինն այս դեպքում տրված է կուտակային տարեկան աճի տեմպով, որի դեպքում տարեկան աճը կազմում է ընդամենը 8.16653826392% ≈ 8.2%:
Դրա պատճառն այն է, որ ամեն անգամ տոկոսադրույքն ունի նոր ելակետ. 30% -ը առաջին տարվա սկզբից ցածր է թվի 30% -ից, եթե սկզբնական շրջանում ֆոնդային արժեքը 30 դոլար է և ընկել 10% -ով, ապա դրանք երկրորդ տարվա սկզբին են 27 դոլար։ Եթե ​​ֆոնդային բորսան աճում է 30% -ով, ապա երկրորդ տարվա վերջին արժե 35.1 դոլար։ Այս աճի թվաբանական միջին ցուցանիշը 10% է, բայց քանի որ բաժնետոմսը 2 տարվա ընթացքում ընդամենը 5.1 դոլար է, միջին 8,2% աճը տալիս է վերջնական արդյունքը `35.1 $:
Այս աճի թվաբանական միջինը 10% է, բայց քանի որ բաժնետոմսը 2 տարվա ընթացքում ընդամենը 5.1 դոլար է, միջին 8,2% աճը տալիս է վերջնական արդյունքը `35.1 $:

[$ 30 (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35,1 դոլար]։ Եթե ​​նույն ձևով օգտագործենք 10% թվաբանական միջինը, ապա մենք չենք ստանա իրական արժեք `[30 $ (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36.3 $]: Երկրորդ տարվա վերջում բարդ տոկոսը կլինի 90 % * 130 % = 117 % , այսինքն ընդհանուր աճը 17 %, իսկ տարեկան միջին բարդ տոկոսը  
  
    
      
        
          
            117
            %
          
        
        ≈
        108.2
        %
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {117\%}}\approx 108.2\%}
  , այսինքն միջին տարեկան աճը 8,2 %։


=== Ուղղությունները ===
Հատուկ զգուշություն պետք է ցուցաբերվի որոշ փոփոխականների թվաբանական միջինի հաշվարկման ժամանակ, որոնք փոփոխվում են որոշ պարբերությամբ(օրինականկյուն)։ Օրինակ  10 և 3590 միջինը հավասար է 
  
    
      
        
          
            
              
                1
                
                  ∘
                
              
              +
              
                359
                
                  ∘
                
              
            
            2
          
        
        =
      
    
    {\displaystyle {\frac {1^{\circ }+359^{\circ }}{2}}=}
  1800։ Այս թիվը չիշտ չէ երկու պատճառով․

Նախ անկյունները սահմանված են 00-3600 միջակայքում (կամ 0-2π, երբ հաշվում ենք ռադիաններով)։ Այլ կերպ ասած․ այդ թվերի զույգը կարելի է գրել (1° և −1°) կամ  (1° և 719°). Միջին արժեքները կտարբերվեն․ 
  
    
      
        
          
            
              
                1
                
                  ∘
                
              
              +
              (
              −
              
                1
                
                  ∘
                
              
              )
            
            2
          
        
        =
        
          0
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1^{\circ }+(-1^{\circ })}{2}}=0^{\circ }}
  , 
  
    
      
        
          
            
              
                1
                
                  ∘
                
              
              +
              
                719
                
                  ∘
                
              
            
            2
          
        
        =
        
          360
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1^{\circ }+719^{\circ }}{2}}=360^{\circ }}
  ։
Երկրորդ․ այս դեպքում 0 ° արժեքը (համարժեք է 360 °)  կլինի երկրաչափորեն ավելի լավ միջին արժեքը, քանի որ թվերը  0 ° -ից ավելի քիչ են շեղվում, քան ցանկացած այլ արժեքից (0 ° արժեքը ունի ամենափոքր դիսպերսիան։
1 ° թիվը շեղվում է 0 ° -ից ընդամենը 1 ° -ով;
1 ° թիվը շեղվում է հաշվարկված միջինից `180 ° -ից հավասար, 179 ° -ով։Նման դեպքերի համար որպես միջին ընտրվում է ամենափոքր դիսպերսիայով թիվը։  Նաև հանելու փոխարեն օգտագործվում է մոդուլային հեռավորությունը (այսինքն ՝հեռավորությունը շրջանագծով)։ Օրինակ ՝ 1 ° -ից մինչև 359 ° միջև ընկած մոդուլային հեռավորությունը 2 ° է, ոչ թե 358 ° (359 ° -ից մինչև 360 ° == 0 ° -ի միջև ընկած շրջանի վրա - 1 ° , 0 ° -ից մինչև 1 ° - նաև 1 °, ընդհանուրով ՝ 2 °):


== Տես նաև ==
Թվաբանական պրոգրեսիա
Թվաբանական համամասնություն
Շվեյցերի անհավասարում


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
«Арифметическая средняя»։ Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ)։ Սանկտ Պետերբուրգ։ 1890–1907 
Финансовая математика. Дисперсия. Среднее арифметическое. Среднеквадратическое отклонение. Коэффициент вариации Archived 2020-09-19 at the Wayback Machine. / Методики финансового анализа