Ալիքային ֆունկցիա

Ալիքային ֆունկցիա, քվանտամեխանիկական հավանականությունների ամպլիտուդ, որը նկարագրում է մասնիկի քվանտային վիճակը և վարքը։ Որպես կանոն, այն կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիա է։ Քանի որ Շրյոդինգերի հավասարումը մաթեմատիկորեն ալիքային հավասարման տեսակ է, ալիքային ֆունկցիայի վարքը որակապես հիշեցնում է այլ ալիքներ, ինչպես օրինակ ջրի ալիքները կամ լարի ալիքներ։ Անվանումը գալիս է այդտեղից։
Ընդունված է ալիքային ֆունկցիան նշանակել հունարեն «փսի» տառով՝ 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
   կամ 
  
    
      
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \Psi }
   (փոքրատառ կամ մեծատառ)։
Չնայած 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  -ն կոմպլեքս թիվ է, 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle |\psi |^{2}}
  -ն իրական է։ Այն տվյալ պահին տվյալ վայրում մասնիկի գտնվելու հավանականության խտությունն է։
Միավորների միջազգային համակարգում 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
  -ի միավորը կախված է համակարգից։ Եռաչափ դեպքում մեկ մասնիկի համար այն 
  
    
      
        
          m
          
            −
            3
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m^{-3/2}}
   է։ Չափողականություն չունեցող այս միավորը հետևանք է այն հանգամանքի, որ  
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle |\psi |^{2}}
  -ի ինտեգրալը եռաչափ տարածության տիրույթում չափողականություն չունեցող հավանականություն է (հավանականություն, որ մասնիկը գտնվում է այդ տիրույթում)։ Տարբեր թվով մասնիկների և չափումների համար այդ միավորները կարող են տարբեր լինել։
Ալիքային ֆունկցիան քվանտային մեխանիկայի առանցքային հասկացությունն է։ Նրանից են բխում քվանտային մեխանիկայի փիլիսոփայական դժվարությունները և խորհրդավոր հետևանքները, հարցերը, թե ինչ իմաստ ունի քվանտային մեխանիկան բնության մեջ և թե ինչպիսին է բնության վարքը ատոմական և ավելի փոքր սանդղակներում. հարցեր, որ այսօր էլ վիճելի են։


== Պատմություն ==
1920-1930-ական թթ. քվանտային մեխանիկան ձևավորվեց երկու տարբեր ճյուղերով՝ հաշվարկների (Լուի դը Բրոյլ, Էրվին Շրյոդինգեր, Պոլ Դիրակ և այլք ) և գծային հանրահաշվի (Վերներ Հայզենբերգ, Մաքս Բոռն, Վոլֆգանգ Պաուլի) ճանապարհով։ Առաջին ճյուղը հայտնի դարձավ «ալիքային մեխանիկա» անունով, երկրորդը՝ «մատրիցային մեխանիկա»։ Շրյոդինգերը ցույց տվեց, որ այդ երկու մոտեցումները համարժեք են։
1925 թ. դը Բրոյլը ձևակերպեց կապը ալիքի երկարության և իմպուլսի մոմենտի միջև, որն այժմ հայտնի է դը Բրոյլի հավասարում անունով։ Շրյոդինգերը սկսեց հավասարում փնտրել դը Բրոյլի ալիքը նկարագրելու համար, և 1926 թ. հրապարակեց այն։ Այդ հավասարումը հիմնված էր դասական մեխանիկայի էներգիայի փոխակերպման վրա։ Այժմ այն կոչվում է Շրյոդինգերի հավասարում։ Սակայն ոչ ոք, նույնիսկ Շրյոդինգերը և դը Բրոյլը, չկարողացան հասկանալ, թե ինչպես կարելի է մեկնաբանել այն և ինչ  իմաստ ուներ այդ ֆունկցիան
1924-27 թթ. Բորը, Հայզենբերգը և Բոռնը մշակեցին հավանականության լայնույթի գաղափարը, որը հայտնի է քվանտային մեխանիկայի կոպենհագենյան մեկնաբանություն անունով։ Քվանտային մեխանիկայի մի շարք մեկնաբանություններ կան, սակայն ամենակարևորը սա է, քանի որ այս ճանապարհով հնարավոր է հասկանալ քվանտային հաշվարկները։
1928 թ. Դիրակը, էլեկտրոնի համար արտածեց այս հավասարումը՝ կիրառելով հատուկ հարաբերականության տեսությունը և քվանտային մեխանիկան (Դիրակի հավասարում)։ Ալիքային ֆունկցիայի անսովոր բնույթը պարզա դարձավ այդ հավասարումից. այն ոչ միայն կոմպլեքս թիվ է, այլև՝ սպինոր , և սպինը ինքնաբերաբար մտնումէ ալիքային ֆունկցիայի հատկությունների մեջ։ Չնայած խնդիրներին, Դիրակը ձևակերպեց նաև այդ հավասարման ռելյատիվիստական տարբերակը։


== Ալիքային ֆունկցիայի ֆիզիկական իմաստը ==
Կոորդինատային պատկերացման համաձայն, 
  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        ⟨
        x
        
          |
          
            ψ
            (
            t
            )
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle }
   ալիքային ֆունկցիան՝

  
    
      
        
          |
          
            ψ
            (
            t
            )
          
          ⟩
        
        =
        ∫
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        
          |
          x
          ⟩
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx}
  ,
որտեղ 
  
    
      
        
          |
          x
          ⟩
        
        =
        
          |
          
            
              x
              
                1
              
            
            ,
            
              x
              
                2
              
            
            ,
            …
            ,
            
              x
              
                n
              
            
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left|x\right\rangle =\left|x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right\rangle }
  -ը կոորդինատային բազիսի վեկտորն է։ 
  
    
      
        
        Ψ
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \!\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)}
  -ն կախված է համակարգի կոորդինատներից (կամ ընդհանրացված կոորդինատներից)։ Ֆիզիկական իմաստ ունի ալիքային ֆունկցիայի մոդուլի քառակուսին՝ 
  
    
      
        
        
          
            |
            
              Ψ
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              ,
              
                x
                
                  2
                
              
              ,
              …
              ,
              
                x
                
                  n
                
              
              ,
              t
              )
            
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \!\left|\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)\right|^{2}}
  ։ Այն համակարգի գտնվելու 
  
    
      
         
        ω
      
    
    {\displaystyle ~\omega }
   հավանականության խտությունն է (դիսկրետ սկեկտրների համար՝ հավանականությունը) 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   պահին 
  
    
      
        
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          x
          
            01
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          x
          
            02
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        =
        
          x
          
            0
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \!x_{1}=x_{01},x_{2}=x_{02},\ldots ,x_{n}=x_{0n}}
   կոորդինատներով նկարագրվող դիրքում.

  
    
      
         
        ω
        =
        
          
            
              d
              P
            
            
              d
              V
            
          
        
        =
        
          
            |
            
              Ψ
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              ,
              
                x
                
                  2
                
              
              ,
              …
              ,
              
                x
                
                  n
                
              
              ,
              t
              )
            
            |
          
          
            2
          
        
        =
        
          Ψ
          
            ∗
          
        
        Ψ
      
    
    {\displaystyle ~\omega ={\frac {dP}{dV}}=\left|\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)\right|^{2}=\Psi ^{\ast }\Psi }
  ։

  
    
      
        
        Ψ
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \!\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)}
   նկարագրվող համակարգի տրված քվանտային վիճակի համար, 
  
    
      
         
        P
      
    
    {\displaystyle ~P}
   հավանականությունը, որ մասնիկը կգտնվի տարածության 
  
    
      
         
        V
      
    
    {\displaystyle ~V}
   վերջավոր ծավալով կամայական տիրույթում՝

  
    
      
        P
        =
        
          ∫
          
            d
            P
          
        
        =
        
          
            ∫
            
              V
            
          
          
            ω
          
          d
          V
        
        =
        
          
            ∫
            
              V
            
          
          
            
              Ψ
              
                ∗
              
            
            Ψ
          
          d
          V
        
      
    
    {\displaystyle P={\int {dP}}={\int \limits _{V}{\omega }dV}={\int \limits _{V}{\Psi ^{\ast }\Psi }dV}}
       
  
    
      
         
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle ~(1)}
  ։


== Ալիքային ֆունկցիային ներկայացվող պահանջները ==
Ալիքային ֆունկցիայի հավանակային իմաստը քվանտային մեխանիկայի շրջանակներում որոշակի սահմանափակումներ կամ պայմաններ է դնում ալիքային ֆունկցիայի վրա։ Այդ ստանդարտ պայմանները կոչվում են ալիքային ֆունկցիայի կանոնավորության պայմաններ։ Դրանք են.

Ալիքային ֆունկցիայի վերջավորության պայմանը։ Ալիքային ֆունկցիան չի կարող ընդունել անվերջ արժեքներ, այնպիսին, որ 
  
    
      
         
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle ~(1)}
   իտնեգրալը տարամետ դառնա։ Ուստի այն պայմանը պահանջում է, որ ալիքային ֆունկցիան լինի քառակուսային ինտեգրելի ֆունկցիա։ Մասնավորապես, նորմավորված ալիքային ֆունկցիայի խնդիրներում ալիքային ֆունկցիայի մոդուլի քառակուսին անվերջությունում պետք է ձգտի զրոյի։
Ալիքային ֆունկցիայի միարժեքության պայմանը։ Ալիքային ֆունկցիան պետք է միարժեք ֆունկցիա լինի կոորդինատներից և ժամանակից, քանի որ մասնիկի հայտնաբերման հավանականության խտությունը յուրաքանչյուր խնդրում պետք է միարժեքորեն որոշվի։ Գլանային կամ գնդային կոորդինատական համակարգում դիտարկելիս միարժեքության պայմանը հանգեցնում է ըստ անկյունային փոփոխականների ալիքային ֆունկցիայի պարբերականության։
Ալիքային ֆունկցիայի անընդհատության պայմանը։ Ժամանակի ցանկացած պահին ալիքային ֆունկցիան պետք է անընդհանտ ֆունկցիա լինի տարածական կոորդինատներից։ Բացի այդ, անընդհատ պետք է լինեն նաև ալիքային ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները՝ 
  
    
      
         
        
          
            
              ∂
              Ψ
            
            
              ∂
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle ~{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}}
  , 
  
    
      
         
        
          
            
              ∂
              Ψ
            
            
              ∂
              y
            
          
        
      
    
    {\displaystyle ~{\frac {\partial \Psi }{\partial y}}}
  , 
  
    
      
         
        
          
            
              ∂
              Ψ
            
            
              ∂
              z
            
          
        
      
    
    {\displaystyle ~{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}}
  ։ Այս մասնակի ածանցյալները միայն իդեալական ուժային դաշտերի բացառիկ դեպքերում կարող են խզում ունենալ տարածության այն կետերում, որտեղ ուժային դաշտը (որտեղ շարժվումէ մասնիկը) նկարագրող պոտենցիալ էներգիան ունի երկրորդ սեռի խզում։
Եթե այս պահանջները չեն բավարարվում, ալիքային ֆունկցիան հնարավոր չէ մեկնաբանել որպես հավանականության ամպլիտուդ, ալիքային ֆունկցիայի և նրա առաջին կարգի ածանցյալների արժեքները չեն կարող լինել վերջավոր և որոշված, այսինքն՝ հավանականությունները կարող են լինել անսահման և ոչ միարժեք որևէ դիրքում և ժամանակի որևէ պահին, ինչն անհեթեթություն է, քանի որ չի բավարարում հավանականության աքսիոմներին։ Առանց այս պահանջներին բավարարելու հնարավոր չէ նաև դիտարկվող քվանտային համակարգի չափումներ անցկացնել, քանի որ այն կարող է լինել անսահման և ունենալ մի քանի արժեքներ։


== Նորմավորման պայմաններ ==

  
    
      
        
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \!\Psi }
   ֆունկցիան իր իմաստին համապատասխան պետք բավարարի նորմավորման պայմանին, օրինակ, կոորդինատային պատկերացման մեջ այն պետք է ունենա հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          
            ∫
            
              −
              ∞
            
            
              +
              ∞
            
          
          
            
              
                |
              
              Ψ
              
                |
              
            
            
              2
            
          
          
            d
            
              3
            
          
          
            
              r
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{|\Psi |}^{2}d^{3}{\textbf {r}}}=1}
  Ալիքային ֆունկցիայի նորմավորման պայմանը արտահայտում է այն փաստը, որ տրված ալիքային ֆունկցիայով մասնիկի հայտնաբերման հավանականությունը ամբողջ տարածության մեջ հավասար է մեկի։ Ընդհանուր դեպքում ինտեգրումը պետք է կատարվի ըստ բոլոր փոփոխականների, որոնցից կախված է ալիքային ֆունկցիան տրված պատկերացման համաձայն։


== Քվանտային վիճակների վերադրման սկզբունքը ==
Վերադրման սկզբունքի համաձայն, եթե համակարգը կարող է գտնվել 
  
    
      
        
        
          Ψ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \!\Psi _{1}}
   և 
  
    
      
        
        
          Ψ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \!\Psi _{2}}
   ալիքային ֆունկցիաներով նկարագրվող վիճակում, ապա յան կարող է գտնվել նաև

  
    
      
        
        
          Ψ
          
            Σ
          
        
        =
        
          c
          
            1
          
        
        
          Ψ
          
            1
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
        
          Ψ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \!\Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}}
  
ալիքային ֆունկցիայով նկարագրվող վիճակում։ 
  
    
      
        
        
          c
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \!c_{1}}
  -ն և 
  
    
      
        
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \!c_{2}}
  -ն կամայական կոմպլեքս թվեր են։
Ակնհայտ է, որ կարելի է խոսել ցանկացած թվով քվանտային վիճակների վերադրման մասին, այսինքն՝ համակարգի այնպիսի քվանտային վիճակի մասին, որը նկարագրվում է 
  
    
      
        
        
          Ψ
          
            Σ
          
        
        =
        
          c
          
            1
          
        
        
          Ψ
          
            1
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
        
          Ψ
          
            2
          
        
        +
        …
        +
        
          
            c
          
          
            N
          
        
        
          
            Ψ
          
          
            N
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          
            c
          
          
            n
          
        
        
          
            Ψ
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \!\Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+\ldots +{c}_{N}{\Psi }_{N}=\sum _{n=1}^{N}{c}_{n}{\Psi }_{n}}
   ալիքային ֆունկցիայով։
Այս վիճակում 
  
    
      
         
        
          
            c
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle ~{c}_{n}}
   գործակցի մոդուլի քառակուսին որոշում է հավանականությունը, որ չափման դեպքում համակարգը կլինի 
  
    
      
         
        
          
            Ψ
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle ~{\Psi }_{n}}
   ֆունկցիայով նկարագրվող վիճակում։
Այդ պատճառով նորմավորված ալիքային ֆունկցիայի համար 
  
    
      
         
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          
            |
            
              c
              
                n
              
            
            |
          
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle ~\sum _{n=1}^{N}\left|c_{n}\right|^{2}=1}
  ։


== Սահմանումը տարբեր դեպքերում ==


=== Զրո սպին ունեցող մեկ մասնիկի միաչափ դեպքը ===


==== Կոորդինատային ալիքային ֆունկցիա ====
Դիտարկենք սպին չունեցող մեկ մասնիկի պարզագույն՝ միաչափ դեպքը։ Նման մասնիկի վիճակը նկարագրվում է

  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,t)}
  ալիքային ֆունկցիայով, որտեղ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը կոորդինատն է, 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  -ն՝ ժամանակը։ Այս ֆունկցիան կոմպլեքս թիվ է։ 
  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,t)}
  -ն կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիա է։
Եթե մասնիկի հնարավոր է չափել մասնիկի կոորդինատը, ապա նրա գտնվելու վայրը որոշակի չէ, այլ նկարագրվում է հավանակային բաշխումով։ Հավանականությունը, որ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   կոորդինատը կգտնվի [
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  ] միջակայքում (
  
    
      
        a
        ≤
        x
        ≤
        b
      
    
    {\displaystyle a\leq x\leq b}
  )՝

  
    
      
        
          P
          
            a
            <
            x
            <
            b
          
        
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          |
        
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle P_{a<x<b}=\int \limits _{a}^{b}|\Psi (x,t)|^{2}\,\mathrm {d} x}
  է, որտեղ 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  -ն չափման ժամանակն է։ Այլ կերպ ասած, 
  
    
      
        
          |
        
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}}
  -ն այն հավանականության խտությունն է, որ մասնիկը ավելի շուտ կգտնվի 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   կետում, քան այլ տեղ։
Դա բերում է նորմավորման պայմանի՝

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          |
        
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|\Psi (x,t)|^{2}\,\mathrm {d} x=1}
  ,այսինքն՝ եթե հնարավոր են չափումներ, ապա կարելի է ասել, որ մասնիկը 100% հավանականությամբ գտնվում է ինչ-որ տեղ։


==== Իմպուլսային տարածության ալիքային ֆունկցիա ====
Իմպուլսային տարածությունում նույնպես մասնիկը ունի ալիքային ֆունկցիա՝

  
    
      
        Φ
        (
        p
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi (p,t)}
  ,որտեղ 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  -ն իմպուլսն է մեկ ուղղության վրա և կարող է ընդունել 
  
    
      
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle -\infty }
  -ից 
  
    
      
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle +\infty }
   ցանկացած արժեք, 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  -ն ժամանակն է։ Եթե մասնիկի իմպուլսը հնարավոր է չափել, արդյունքը նկարագրվում է հավանակային բաշխումով, ինչպես նախորդ դեպքում՝

  
    
      
        
          P
          
            a
            <
            p
            <
            b
          
        
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          |
        
        Φ
        (
        p
        ,
        t
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          d
        
        p
      
    
    {\displaystyle P_{a<p<b}=\int \limits _{a}^{b}|\Phi (p,t)|^{2}\mathrm {d} p}
  :Նորմավորման պայմանը ևս նման է նախորդ դեպքին՝

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          
            |
            
              Φ
              
                (
                
                  p
                  ,
                  t
                
                )
              
            
            |
          
          
            2
          
        
        
          d
        
        p
        =
        1
        :
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|\Phi \left(p,t\right)\right|^{2}\mathrm {d} p=1:}
  


==== Կապը ալիքային ֆունկցիաների միջև ====
Կոորդինատային և իմպուլսային տարածությունների ալիքային ֆունկցիաներըը մեկը մյուսի Ֆուրիեի ձևափոխություններն են, հետևաբար երկուսն էլ պարունակում են միևնույն ինֆորմացիան և դրանցից միայն մեկը բավարար չէ մասնիկի որևէ հատկություն հաշվարկելու համար։ Միաչափ դեպքում

  
    
      
        
          
            
              
                Φ
                (
                p
                ,
                t
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      2
                      π
                      ℏ
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  e
                  
                    −
                    i
                    p
                    x
                    
                      /
                    
                    ℏ
                  
                
                Ψ
                (
                x
                ,
                t
                )
                
                  d
                
                x
              
            
            
              
              
                
                ↿⇂
              
            
            
              
                Ψ
                (
                x
                ,
                t
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      2
                      π
                      ℏ
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    −
                    ∞
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  e
                  
                    i
                    p
                    x
                    
                      /
                    
                    ℏ
                  
                
                Φ
                (
                p
                ,
                t
                )
                
                  d
                
                p
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (p,t)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-ipx/\hbar }\Psi (x,t)\mathrm {d} x\\&\upharpoonleft \downharpoonright \\\Psi (x,t)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{ipx/\hbar }\Phi (p,t)\mathrm {d} p.\end{aligned}}}
  Երբեմն 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   իմպուլսի փոխարեն օգտագործվում է 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   ալիքային վեկտորը, քանի որ դրանք կապված են դը Բրոյլի առնչություններով՝

  
    
      
        p
        =
        ℏ
        k
        :
      
    
    {\displaystyle p=\hbar k:}
  Համապատասխան տարածությունը կոչվում է 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  -տարածություն։ . Քանի որ 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  -ն և 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  -ն հաստատունի ճշտությամբ համարժեք են, տարբերություն չկա, թե դրանցից որն է օգտագործվում։ Գործնականում առավել հաճախ կիրառվում է կոորդինատային տարածության ալիքային ֆունկցիան։


==== Նորմավորման պայմաններ ====

  
    
      
        1
        D
      
    
    {\displaystyle 1D}
   տիրույթում 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
   և 
  
    
      
        x
        =
        L
      
    
    {\displaystyle x=L}
  -ով սահմանափակված մասնիկի ալիքային ֆունկցիան՝

  
    
      
        
          
            
              
                Ψ
                (
                x
                ,
                t
                )
              
              
                
                =
                A
                
                  e
                  
                    i
                    (
                    k
                    x
                    −
                    ω
                    t
                    )
                  
                
                ,
              
              
                x
                ∈
                [
                0
                ,
                L
                ]
              
            
            
              
                Ψ
                (
                x
                ,
                t
                )
              
              
                
                =
                0
                ,
              
              
                x
                ∉
                [
                0
                ,
                L
                ]
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (x,t)&=Ae^{i(kx-\omega t)},&x\in [0,L]\\\Psi (x,t)&=0,&x\notin [0,L]\\\end{aligned}}}
  :Նորմավորելու համար պետք է գտնենք 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   կամայական հաստատունի արժեքը, որը հաշվարկվում է

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          |
        
        Ψ
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          
            d
          
        
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|\Psi |^{2}{\rm {d}}x=1}
  -ից։
  
    
      
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \Psi }
  -ից ունենք 
  
    
      
        
          |
        
        Ψ
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle |\Psi |^{2}}
  ;

  
    
      
        
          |
        
        Ψ
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        
          A
          
            2
          
        
        
          e
          
            i
            (
            k
            x
            −
            ω
            t
            )
          
        
        
          e
          
            −
            i
            (
            k
            x
            −
            ω
            t
            )
          
        
        =
        
          A
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle |\Psi |^{2}=A^{2}e^{i(kx-\omega t)}e^{-i(kx-\omega t)}=A^{2},}
  Այնպես որ ինտեգրալը դառնում է

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            0
          
        
        0
        
          
            d
          
        
        x
        +
        
          ∫
          
            0
          
          
            L
          
        
        
          A
          
            2
          
        
        
          
            d
          
        
        x
        +
        
          ∫
          
            L
          
          
            ∞
          
        
        0
        
          
            d
          
        
        x
        =
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{0}0{\rm {d}}x+\int \limits _{0}^{L}A^{2}{\rm {d}}x+\int \limits _{L}^{\infty }0{\rm {d}}x=1,}
  ուստի հաստատունը՝

  
    
      
        
          A
          
            2
          
        
        L
        =
        1
        →
        A
        =
        
          
            1
            
              L
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle A^{2}L=1\rightarrow A={\frac {1}{\sqrt {L}}}.}
  Նորմավորված ալիքային ֆունկցիան (տրված տիրույթում)՝

  
    
      
        Ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        
          
            1
            
              L
            
          
        
        
          e
          
            i
            (
            k
            x
            −
            ω
            t
            )
          
        
        ,
        
        x
        ∈
        [
        0
        ,
        L
        ]
        .
      
    
    {\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {L}}}e^{i(kx-\omega t)},\quad x\in [0,L].}
  


=== 0 սպին ունեցող մի քանի մասնիկները միաչափ դեպքում ===
Նախորդ ալիքային ֆունկցիան կարելի է ընդհանրացնել 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   մասնիկների միաչափ դեպքի համար՝

  
    
      
        Ψ
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        
          x
          
            N
          
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (x_{1},x_{2},\cdots x_{N},t)}
  :Հավանականությունը, որ 1 մասնիկը 
  
    
      
        
          R
          
            1
          
        
        =
        [
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          b
          
            1
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle R_{1}=[a_{1},b_{1}]}
   միջակայքում է, 2 մասնիկը՝ 
  
    
      
        
          R
          
            2
          
        
        =
        [
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        
          b
          
            2
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle R_{2}=[a_{2},b_{2}]}
   միջակայքում և այլն, 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   մասնիկը՝ 
  
    
      
        
          R
          
            N
          
        
        =
        [
        
          a
          
            N
          
        
        ,
        
          b
          
            N
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle R_{N}=[a_{N},b_{N}]}
   միջակայքում, եթե բոլոր չափումներն իրականացվում են միաժամանակ 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   պահին՝

  
    
      
        
          P
          
            
              x
              
                1
              
            
            ∈
            
              R
              
                1
              
            
            ,
            
              x
              
                2
              
            
            ∈
            
              R
              
                2
              
            
            ⋯
            
              x
              
                N
              
            
            ∈
            
              R
              
                N
              
            
          
        
        =
        
          ∫
          
            
              a
              
                1
              
            
          
          
            
              b
              
                1
              
            
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            1
          
        
        
          ∫
          
            
              a
              
                2
              
            
          
          
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            2
          
        
        ⋯
        
          ∫
          
            
              a
              
                N
              
            
          
          
            
              b
              
                N
              
            
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            N
          
        
        
          |
        
        Ψ
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ⋯
        
          x
          
            N
          
        
        ,
        t
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{x_{1}\in R_{1},x_{2}\in R_{2}\cdots x_{N}\in R_{N}}=\int \limits _{a_{1}}^{b_{1}}\mathrm {d} x_{1}\int \limits _{a_{2}}^{b_{2}}\mathrm {d} x_{2}\cdots \int \limits _{a_{N}}^{b_{N}}\mathrm {d} x_{N}|\Psi (x_{1}\cdots x_{N},t)|^{2}}
  Նորմավորման պայմանը կդառնա՝

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            1
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            2
          
        
        ⋯
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            N
          
        
        
          |
        
        Ψ
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ⋯
        
          x
          
            N
          
        
        ,
        t
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x_{1}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x_{2}\cdots \int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x_{N}|\Psi (x_{1}\cdots x_{N},t)|^{2}=1}
  :
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   միաչափ ինտեգրալներից յուրաքանչյուրը մեկ մասնիկի համար է։


=== 0 սպինով մեկ մասնիկը եռաչափ դեպքում ===


==== Կոորդինատային տարածության ալիքային ֆունկցիա ====

Եռաչափ դեպքում մեկ մասնիկի ալիքային ֆունկցիան համանման է վերը նկարագրված միաչափ դեպքին՝

  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
  որտեղ 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  -ը մասնիկի դիրքն է եռաչափ տարածության մեջ (
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  –ով նշանակված է 
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y,z)}
  , ը), իսկ 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  -ն ժամանակն է։ Ինչպես միշտ, 
  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
  -ն կոմպլեքս թիվ է։ Եթե մասնիկի դիրքը չափվում է 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   պահին, ապա 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   տիրույթում գտնվելու հավանականությունը եռաչափ ինտեգրալ է ըստ 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   տիրույթի՝

  
    
      
        
          P
          
            
              r
            
            ∈
            R
          
        
        =
        
          ∫
          
            R
          
        
        
          
            |
            
              Ψ
              (
              
                r
              
              ,
              t
              )
            
            |
          
          
            2
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle P_{\mathbf {r} \in R}=\int \limits _{R}\left|\Psi (\mathbf {r} ,t)\right|^{2}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }
  
  
    
      
        
          d
          
            3
          
        
        r
      
    
    {\displaystyle d^{3}r}
   ծավալային էլեմենտը երբեմն գրվում է նաև 
  
    
      
        
          d
          
            V
          
        
      
    
    {\displaystyle d^{V}}
   կամ "
  
    
      
        
          d
          
            x
          
        
        
          d
          
            y
          
        
        
          d
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle d^{x}d^{y}d^{z}}
   ։ Նորմավորման պայմանը՝

  
    
      
        
          ∫
          
            
              a
              l
              l
              
              s
              p
              a
              c
              e
            
          
        
        
          
            |
            
              Ψ
              (
              
                r
              
              ,
              t
              )
            
            |
          
          
            2
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
        
        =
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{\rm {all\,space}}\left|\Psi (\mathbf {r} ,t)\right|^{2}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =1,}
  Որտեղ բոլոր ինտեգրալները եռաչափ դեպքի համար են։


==== Իմպուլսային տարածության ալիքային ֆունկցիան ====
Եռաչափ իմպուլսային տարածության ալիքային ֆունկցիան՝

  
    
      
        Φ
        (
        
          p
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi (\mathbf {p} ,t)}
  որտեղ 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  -ն իմպուլսն է եռաչափ տարածության մեջ, իսկ 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  -ն՝ ժամանակը։ Իմպուլսի երեք բաղադրիչները 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ,
        z
      
    
    {\displaystyle x,y,z}
   դեկարտյան կոորդինատական համակարգում յուրաքանչյուր ուղղությամբ կարող են ունենալ 
  
    
      
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle -\infty }
  -ից մինչև 
  
    
      
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle +\infty }
  ։

  
    
      
        
          p
          
            x
          
        
        ,
        
          p
          
            y
          
        
        ,
        
          p
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{x},p_{y},p_{z}}
   իմպուլսի բաղադրիչների չափելու հավանականությունը համապատասխանաբար 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle b,c}
  և 
  
    
      
        d
        ,
        e
      
    
    {\displaystyle d,e}
  և 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   միջև տրվում է

  
    
      
        
          P
          
            
              p
              
                x
              
            
            ∈
            [
            a
            ,
            b
            ]
            ,
            
              p
              
                y
              
            
            ∈
            [
            c
            ,
            d
            ]
            ,
            
              p
              
                z
              
            
            ∈
            [
            e
            ,
            f
            ]
          
        
        =
        
          ∫
          
            e
          
          
            f
          
        
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          
            |
            
              Φ
              
                (
                
                  
                    p
                  
                  ,
                  t
                
                )
              
            
            |
          
          
            2
          
        
        
          d
        
        
          p
          
            x
          
        
        
          d
        
        
          p
          
            y
          
        
        
          d
        
        
          p
          
            z
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle P_{p_{x}\in [a,b],p_{y}\in [c,d],p_{z}\in [e,f]}=\int \limits _{e}^{f}\int \limits _{c}^{d}\int \limits _{a}^{b}\left|\Phi \left(\mathbf {p} ,t\right)\right|^{2}\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z},}
  բանաձևով, որտեղից նորմավորումը՝

  
    
      
        
          ∫
          
            
              a
              l
              l
              
              s
              p
              a
              c
              e
            
          
        
        
          
            |
            
              Φ
              
                (
                
                  
                    p
                  
                  ,
                  t
                
                )
              
            
            |
          
          
            2
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          p
        
        =
        1
        :
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{\rm {all\,space}}\left|\Phi \left(\mathbf {p} ,t\right)\right|^{2}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {p} =1:}
  Ինչպես կոորդինատային դեպքում, 
  
    
      
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        p
        =
        d
        
          p
          
            x
          
        
        d
        
          p
          
            y
          
        
        d
        
          p
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle {d}^{3}p=dp_{x}dp_{y}dp_{z}}
  -ն եռաչափ իմպուլսային տարածության ծավալի էլեմենտն է։


==== Կապը ալիքային ֆունկցիաների միջև ====
Նախորդ երկու դեպքերի Ֆուրիեի ձևափոխությունների համար կունենանք

  
    
      
        
          
            
              
                Φ
                (
                
                  p
                
                ,
                t
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      
                        
                          (
                          
                            2
                            π
                            ℏ
                          
                          )
                        
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    
                      a
                      l
                      l
                      
                      s
                      p
                      a
                      c
                      e
                    
                  
                
                
                  e
                  
                    −
                    i
                    
                      r
                    
                    ⋅
                    
                      p
                    
                    
                      /
                    
                    ℏ
                  
                
                Ψ
                (
                
                  r
                
                ,
                t
                )
                
                  
                    d
                  
                  
                    3
                  
                
                
                  r
                
              
            
            
              
              
                
                ↿⇂
              
            
            
              
                Ψ
                (
                
                  r
                
                ,
                t
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      
                        
                          (
                          
                            2
                            π
                            ℏ
                          
                          )
                        
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ∫
                  
                    
                      a
                      l
                      l
                      
                      s
                      p
                      a
                      c
                      e
                    
                  
                
                
                  e
                  
                    i
                    
                      r
                    
                    ⋅
                    
                      p
                    
                    
                      /
                    
                    ℏ
                  
                
                Φ
                (
                
                  p
                
                ,
                t
                )
                
                  
                    d
                  
                  
                    3
                  
                
                
                  p
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {p} ,t)&={\frac {1}{\sqrt {\left(2\pi \hbar \right)^{3}}}}\int \limits _{\rm {all\,space}}e^{-i\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} /\hbar }\Psi (\mathbf {r} ,t)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \\&\upharpoonleft \downharpoonright \\\Psi (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\sqrt {\left(2\pi \hbar \right)^{3}}}}\int \limits _{\rm {all\,space}}e^{i\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} /\hbar }\Phi (\mathbf {p} ,t)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {p} .\end{aligned}}}
  


=== 0 սպինով բազմաթիվ մասնիկները եռաչափ դեպքում ===
Բազմաթիվ մասնիկները որպես կանոն նկարագրվում են մեկ ալիքային ֆունկցիայով։ Այս փաստը, որ մեկ ալիքային ֆունկցիան նկարագրում է շատ մասնիկներ, ստեղծում է քվանտային խճճվածություն և Այնշտայն-Պոդոլսկի-Ռոզենի պարադոքսը։ 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   մասնիկների ալիքային ֆունկցիան՝

  
    
      
        Ψ
        (
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            r
          
          
            2
          
        
        ⋯
        
          
            r
          
          
            N
          
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)}
  որտեղ 
  
    
      
        
          r
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{i}}
  -ն 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  -րդ մասնիկի դիրքն է եռաչափ տարածությունում, 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  -ն՝ ժամանակը։ Եթե բոլոր մասնիկների դիրքերը միաժամանակ են չափվում 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   պահին, հավանականությունը, որ 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
   մասնիկը 
  
    
      
        
          R
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{1}}
   տիրույթում է և 
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
   մասնիկը՝ 
  
    
      
        
          R
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{2}}
   տիրույթում, և այլն, կլինի՝

  
    
      
        
          P
          
            
              
                r
              
              
                1
              
            
            ∈
            
              R
              
                1
              
            
            ,
            
              
                r
              
              
                2
              
            
            ∈
            
              R
              
                2
              
            
            ⋯
            
              
                r
              
              
                N
              
            
            ∈
            
              R
              
                N
              
            
          
        
        =
        
          ∫
          
            
              R
              
                1
              
            
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        
          ∫
          
            
              R
              
                2
              
            
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          
            2
          
        
        ⋯
        
          ∫
          
            
              R
              
                N
              
            
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          
            N
          
        
        
          |
        
        Ψ
        (
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        ⋯
        
          
            r
          
          
            N
          
        
        ,
        t
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{\mathbf {r} _{1}\in R_{1},\mathbf {r} _{2}\in R_{2}\cdots \mathbf {r} _{N}\in R_{N}}=\int \limits _{R_{1}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{1}\int \limits _{R_{2}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int \limits _{R_{N}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{N}|\Psi (\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},t)|^{2}}
  Նորմավորման պայմանը՝

  
    
      
        
          ∫
          
            
              a
              l
              l
              
              s
              p
              a
              c
              e
            
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        
          ∫
          
            
              a
              l
              l
              
              s
              p
              a
              c
              e
            
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          
            2
          
        
        ⋯
        
          ∫
          
            
              a
              l
              l
              
              s
              p
              a
              c
              e
            
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          
            N
          
        
        
          |
        
        Ψ
        (
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        ⋯
        
          
            r
          
          
            N
          
        
        ,
        t
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{\rm {all\,space}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{1}\int \limits _{\rm {all\,space}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int \limits _{\rm {all\,space}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{N}|\Psi (\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},t)|^{2}=1}
  (altogether, this is 3N one-dimensional integrals).
Քվանտային մեխանիկայում հիմնարար տարբերություն կա նույնական մասնիկների և զանազանելի մասնիկների միջև։ Օրինակ, ցանկացած երկու էլեկտրոններ միանգամայն անզանազանելի են միմյանցից։ Ֆիզիկայի օրենքները թույլ չեն տալիս "տարբերակման նշան" դնել որևէ էլեկտրոնի վրա՝ դրան հետևելու համար ։ Դա իր հերթին պահանջ է դնում նաև ալիքային ֆունկցիայի վրա։ Օրինակ, եթե 1 և 2 մասնիկները անզանազանելի են, ապա

  
    
      
        Ψ
        
          (
          
            
              r
            
            ,
            
              
                r
                ′
              
            
            ,
            
              
                r
              
              
                3
              
            
            ,
            
              
                r
              
              
                4
              
            
            ,
            ⋯
          
          )
        
        =
        ±
        Ψ
        
          (
          
            
              
                r
                ′
              
            
            ,
            
              r
            
            ,
            
              
                r
              
              
                3
              
            
            ,
            
              
                r
              
              
                4
              
            
            ,
            ⋯
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \Psi \left(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} ,\mathbf {r} _{3},\mathbf {r} _{4},\cdots \right)=\pm \Psi \left(\mathbf {r'} ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{3},\mathbf {r} _{4},\cdots \right)}
  որտեղ 
  
    
      
        +
      
    
    {\displaystyle +}
   նշանի դեպքը վերաբերում է բոզոններին, իսկ 
  
    
      
        −
      
    
    {\displaystyle -}
   նշանը դրվում է, եթե մասնիկները ֆերմիոններ են։ Ավելի ճշգրիտ պնդումը՝

  
    
      
        Ψ
        
          (
          
            
              r
            
            ,
            
              
                r
                ′
              
            
            ,
            
              
                r
              
              
                3
              
            
            ,
            
              
                r
              
              
                4
              
            
            ,
            ⋯
          
          )
        
        =
        
          
            (
            
              −
              1
            
            )
          
          
            2
            s
          
        
        Ψ
        
          (
          
            
              
                r
                ′
              
            
            ,
            
              r
            
            ,
            
              
                r
              
              
                3
              
            
            ,
            
              
                r
              
              
                4
              
            
            ,
            ⋯
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \Psi \left(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} ,\mathbf {r} _{3},\mathbf {r} _{4},\cdots \right)=\left(-1\right)^{2s}\Psi \left(\mathbf {r'} ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{3},\mathbf {r} _{4},\cdots \right)}
  որտեղ 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  -ը սպինային քվանտային թիվն է.

ամբողջ թիվ բոզոնների համար՝ 
  
    
      
        s
        ∈
        
          {
          
            ±
            1
            ,
            ±
            2
            ,
            ±
            3
            ⋯
          
          }
        
        ,
      
    
    {\displaystyle s\in \left\{\pm 1,\pm 2,\pm 3\cdots \right\},}
  
կիսաամբողջ թիվ ֆերմիոնների համար՝ 
  
    
      
        s
        ∈
        
          {
          
            ±
            
              
                1
                2
              
            
            ,
            ±
            
              
                3
                2
              
            
            ⋯
          
          }
        
        :
      
    
    {\displaystyle s\in \left\{\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}}\cdots \right\}:}
  Ալիքային ֆունկցիան կոչվում է սիմետրիկ (նշանը չի փոխվում բոզոնների փոխատեղման դեպքում) և հակասիմետրիկ (նշանի փոփոխություն ֆերմիոնների փոխատեղման դեպքում)։ Ալիքային ֆունկցիայի այս հատկությունը հայտնի է Պաուլիի արգելման սկզբունք անունով։

  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   փոխազդող մասնիկների համար ալիքային ֆունկցիան ֆունկցիա է բոլոր մասնիկների կոորդինատներից և ժամանակից և չի կարող տարանջատվել առանձին մասնիկների ալիքային ֆունկցիաների։ Այնուամենայնիվ, չփոխազդող մասնիկների համար ժամանակից անկախ պոտենցիալի եդպքում ալիքային փունկցիան կարելի է ներկայացնել մասնիկների առանձին ալիքային ֆունկցիաների արտադրյալի տեսքով՝

  
    
      
        Ψ
        =
        ϕ
        (
        t
        )
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            N
          
        
        ψ
        (
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        )
        =
        ϕ
        (
        t
        )
        ψ
        (
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        )
        ψ
        (
        
          
            r
          
          
            2
          
        
        )
        ⋯
        ψ
        (
        
          
            r
          
          
            N
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \Psi =\phi (t)\prod _{i=1}^{N}\psi (\mathbf {r} _{i})=\phi (t)\psi (\mathbf {r} _{1})\psi (\mathbf {r} _{2})\cdots \psi (\mathbf {r} _{N}).}
  


=== Սպին ունեցող մեկ մասնիկը եռաչափ դեպքում ===

Սպին ունեցող մասնիկի համար ալիքային ֆունկցիան կարող է գրվել «սպինային կոորդինատային տարածությունում»՝

  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        
          s
          
            z
          
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)}
  
  
    
      
        
          s
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle s_{z}}
  -ը սպինի պրոյեկցիայի քվանտային թիվն է կամայականորեն ընտրված 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   առանցքով։ Ի տարբերություն 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  -ի և 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  -ի, 
  
    
      
        
          s
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle s_{z}}
   պարամետրը դիսկրետ փոփոխական է։ Օրինակ, 
  
    
      
        1
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle 1/2}
   սպինով մասնիկի համար 
  
    
      
        
          s
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle s_{z}}
  -ը կարող է լինել միայն 
  
    
      
        +
        1
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle +1/2}
   կամ 
  
    
      
        −
        1
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle -1/2}
   (Ընդհանուր դեպքում, 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
   սպինի համար 
  
    
      
        
          s
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle s_{z}}
  -ը կարող է լինել 
  
    
      
        s
        ,
        s
        −
        1
        ,
        .
        .
        .
        ,
        −
        s
      
    
    {\displaystyle s,s-1,...,-s}
  ։)։ Եթե մասնիկի դիրքը և սպինը միաժամանակ են չափվում t պահին, հավանականությունը, որ այն 
  
    
      
        
          R
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{1}}
   մեկ տիրույթում է և սպինի պրոյեկցիայի քվանտային թիվը 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   է՝

  
    
      
        
          P
          
            
              r
            
            ∈
            R
            ,
            
              s
              
                z
              
            
            =
            m
          
        
        =
        
          ∫
          
            R
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
        
        
          |
        
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        ,
        m
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{\mathbf {r} \in R,s_{z}=m}=\int \limits _{R}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} |\Psi (\mathbf {r} ,t,m)|^{2}}
  Նորմավորման պայմանը՝

  
    
      
        
          ∑
          
            
              a
              l
              l
              
            
            
              s
              
                z
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              a
              l
              l
              
              s
              p
              a
              c
              e
            
          
        
        
          |
        
        Ψ
        (
        
          r
        
        ,
        t
        ,
        
          s
          
            z
          
        
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          r
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{\mathrm {all\,} s_{z}}\int \limits _{\rm {all\,space}}|\Psi (\mathbf {r} ,t,s_{z})|^{2}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =1}
  ;Քանի որ սպինային քվանտային թիվը դիսկրետ արժեքներ է ընդունում, այս պայմանը պետք է գրվի որպես բոլոր արժեքների գումար, ոչ թե ինտեգրալ։


=== Սպին ունեցող բազմաթիվ մասնիկները եռաչափ դեպքում ===
Համանման ձևով, սպին ունեցող 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   մասնիկների ալիքային ֆունկցիան՝

  
    
      
        Ψ
        (
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            r
          
          
            2
          
        
        ⋯
        
          
            r
          
          
            N
          
        
        ,
        
          s
          
            z
            
            1
          
        
        ,
        
          s
          
            z
            
            2
          
        
        ⋯
        
          s
          
            z
            
            N
          
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1},s_{z\,2}\cdots s_{z\,N},t)}
  :Հավանականությունը, 
  
    
      
        
          s
          
            z
            
            1
          
        
        =
        
          m
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle s_{z\,1}=m_{1}}
   սպինով 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
   մասնիկը կգտնվի 
  
    
      
        
          R
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{1}}
   տիրույթում և 
  
    
      
        
          s
          
            z
            
            2
          
        
        =
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle s_{z\,2}=m_{2}}
    սպինով 
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
   մասնիկը կգտնվի 
  
    
      
        
          R
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{2}}
   տիրույթում և այլն՝

  
    
      
        P
        =
        
          ∫
          
            
              R
              
                1
              
            
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        
          ∫
          
            
              R
              
                2
              
            
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          
            2
          
        
        ⋯
        
          ∫
          
            
              R
              
                N
              
            
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          
            N
          
        
        
          
            |
            
              Ψ
              
                (
                
                  
                    
                      r
                    
                    
                      1
                    
                  
                  ⋯
                  
                    
                      r
                    
                    
                      N
                    
                  
                  ,
                  
                    m
                    
                      1
                    
                  
                  ⋯
                  
                    m
                    
                      N
                    
                  
                  ,
                  t
                
                )
              
            
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P=\int \limits _{R_{1}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{1}\int \limits _{R_{2}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int \limits _{R_{N}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{N}\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},m_{1}\cdots m_{N},t\right)\right|^{2}}
  Նորմավորման պայմանը՝

  
    
      
        
          ∑
          
            
              s
              
                z
                
                N
              
            
          
        
        ⋯
        
          ∑
          
            
              s
              
                z
                
                2
              
            
          
        
        
          ∑
          
            
              s
              
                z
                
                1
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              a
              l
              l
              
              s
              p
              a
              c
              e
            
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        
          ∫
          
            
              a
              l
              l
              
              s
              p
              a
              c
              e
            
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          
            2
          
        
        ⋯
        
          ∫
          
            
              a
              l
              l
              
              s
              p
              a
              c
              e
            
          
        
        
          
            d
          
          
            3
          
        
        
          
            r
          
          
            N
          
        
        
          
            |
            
              Ψ
              
                (
                
                  
                    
                      r
                    
                    
                      1
                    
                  
                  ⋯
                  
                    
                      r
                    
                    
                      N
                    
                  
                  ,
                  
                    s
                    
                      z
                      
                      1
                    
                  
                  ⋯
                  
                    s
                    
                      z
                      
                      N
                    
                  
                  ,
                  t
                
                )
              
            
            |
          
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{s_{z\,N}}\cdots \sum _{s_{z\,2}}\sum _{s_{z\,1}}\int \limits _{\rm {all\,space}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{1}\int \limits _{\rm {all\,space}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int \limits _{\rm {all\,space}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{N}\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\right|^{2}=1}
  Չփոխազդող մասնիկների համար ժամանակից անկախ պոտենցիալի դեպքում ալիքային ֆունկցիան առանձին մասնիկների ալիքային ֆունկցիաների արտադրյալն է՝

  
    
      
        Ψ
        =
        ϕ
        (
        t
        )
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            N
          
        
        ψ
        (
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        ,
        
          s
          
            z
            
            i
          
        
        )
        =
        ϕ
        (
        t
        )
        ψ
        (
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        ,
        
          s
          
            z
            
            1
          
        
        )
        ψ
        (
        
          
            r
          
          
            2
          
        
        ,
        
          s
          
            z
            
            2
          
        
        )
        ⋯
        ψ
        (
        
          
            r
          
          
            N
          
        
        ,
        
          s
          
            z
            
            N
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \Psi =\phi (t)\prod _{i=1}^{N}\psi (\mathbf {r} _{i},s_{z\,i})=\phi (t)\psi (\mathbf {r} _{1},s_{z\,1})\psi (\mathbf {r} _{2},s_{z\,2})\cdots \psi (\mathbf {r} _{N},s_{z\,N}).}
  


== Տե՛ս նաև ==
Բոզոն
Ֆերմիոն


== Ծանոթագրություններ ==