Գնդոլորտային սեգմենտ

Գնդոլորտային սեգմենտ, մակերևույթ, որևէ հարթությունով հատված գնդոլորտի մաս։ Հարթությունը գունդը բաժանում է 2 սեգմենտի։ Փոքրը կոչվում է գնդոլորտային շրջան։ Եթե հարթությունը անցնում է գնդի կենտրոնով, ապա այդպիսի գնդային սեգմենտները կոչվում են կիսագնդեր։
Գնդային սեգմենտը, հիմք հանդիսացող շրջանով և գնդոլորտային սեգմենտով սահմանափակված մարմին է։


== Մակերևույթի մակերես և ծավալ ==
Եթե սեգմենտի հիմքի շառավիղը հավասար է 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  , բարձրությունը 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  , ապա գնդային սեգմենտի ծավալը հավասար է.

  
    
      
        V
        =
        
          
            
              π
              h
            
            6
          
        
        (
        3
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          h
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2})}
  ,սեգմենտի մակերևույթի մակերեսը հավասար է․

  
    
      
        A
        =
        2
        π
        r
        h
      
    
    {\displaystyle A=2\pi rh}
  կամ

  
    
      
        A
        =
        2
        π
        
          r
          
            2
          
        
        (
        1
        −
        cos
        ⁡
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )}
  .
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  , 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
   և  
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   պարամետրերը կապված են հետևյալ բանաձևերով․

  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        =
        (
        r
        −
        h
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        =
        
          r
          
            2
          
        
        +
        
          h
          
            2
          
        
        −
        2
        r
        h
        +
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2}}
  ,

  
    
      
        r
        =
        
          
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                h
                
                  2
                
              
            
            
              2
              h
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}}
  .Վերջին արտահայտությունը տեղադրելով երկրորդ հավասարման մեջ, կստանանք․

  
    
      
        A
        =
        2
        π
        
          
            
              (
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                h
                
                  2
                
              
              )
            
            
              2
              h
            
          
        
        h
        =
        π
        (
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          h
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2})}
  .Գնդի վերին (նկարում կապույտ) մասում 
  
    
      
        h
        =
        r
        −
        
          
            
              r
              
                2
              
            
            −
            
              a
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h=r-{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}
  , ներքին մասում 
  
    
      
        h
        =
        r
        +
        
          
            
              r
              
                2
              
            
            −
            
              a
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h=r+{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}
  , հետևապես, երկու մասերի համար էլ ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը․ 
  
    
      
        a
        =
        
          
            h
            (
            2
            r
            −
            h
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\sqrt {h(2r-h)}}}
   և կարելի է ուրիշ ծավալի բանաձև բերել․

  
    
      
        V
        =
        
          
            
              π
              
                h
                
                  2
                
              
            
            3
          
        
        (
        3
        r
        −
        h
        )
      
    
    {\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}
  .կամ պտտման մակերևութի ինտեգրման միջոցով․

  
    
      
        V
        =
        
          ∫
          
            x
          
          
            r
          
        
        π
        
          (
          
            
              r
              
                2
              
            
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
          )
        
        d
        x
        =
        π
        
          (
          
            
              
                2
                3
              
            
            
              r
              
                3
              
            
            −
            
              r
              
                2
              
            
            x
            +
            
              
                1
                3
              
            
            
              x
              
                3
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            π
            3
          
        
        
          r
          
            3
          
        
        (
        cos
        ⁡
        (
        θ
        )
        +
        2
        )
        (
        cos
        ⁡
        (
        θ
        )
        −
        1
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle V=\int _{x}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx=\pi \left({\frac {2}{3}}r^{3}-r^{2}x+{\frac {1}{3}}x^{3}\right)={\frac {\pi }{3}}r^{3}(\cos(\theta )+2)(\cos(\theta )-1)^{2}}
  .


== Օգտագործումը ==


=== Երկու հատվող գնդոլորտների հատում և միավորում ===
r1 և r2 ծավալներով երկու գնդոլորտների միավորված ծավալը․

  
    
      
        V
        =
        
          V
          
            (
            1
            )
          
        
        −
        
          V
          
            (
            2
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}}
  ,որտեղ

  
    
      
        
          V
          
            (
            1
            )
          
        
        =
        
          
            
              4
              π
            
            3
          
        
        
          r
          
            1
          
          
            3
          
        
        +
        
          
            
              4
              π
            
            3
          
        
        
          r
          
            2
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}}
  Հանդիսանում է 2 առանձին ծավալների գումարը․

  
    
      
        
          V
          
            (
            2
            )
          
        
        =
        
          
            
              π
              
                h
                
                  1
                
                
                  2
                
              
            
            3
          
        
        (
        3
        
          r
          
            1
          
        
        −
        
          h
          
            1
          
        
        )
        +
        
          
            
              π
              
                h
                
                  2
                
                
                  2
                
              
            
            3
          
        
        (
        3
        
          r
          
            2
          
        
        −
        
          h
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}
  Եթե d  < r1 + r2  գնդերի կենտրոնների հեռավորությունն է, ապա  h1 և h2 մեծությունների բացառումը բերում է 

  
    
      
        
          V
          
            (
            2
            )
          
        
        =
        
          
            π
            
              12
              d
            
          
        
        (
        
          r
          
            1
          
        
        +
        
          r
          
            2
          
        
        −
        d
        
          )
          
            2
          
        
        
          (
          
            
              d
              
                2
              
            
            +
            2
            d
            (
            
              r
              
                1
              
            
            +
            
              r
              
                2
              
            
            )
            −
            3
            (
            
              r
              
                1
              
            
            −
            
              r
              
                2
              
            
            
              )
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)}
   արտահայտությանը։


=== Հավասար լայնության շրջաններով սահմանափակված մակերևույթի մակերես ===
Հավասար լայնության շրջաններով սահմանափակված մակերևույթի մակերեսը հանդիսանում է 2 համապատասխան գնդոլորտների սեգմենտների մակերեսների տարբերությունը։ r  շառավղով գնդոլորտի և  φ1 և φ2  լայնությունների համար, մակերեսը հավասար է։

  
    
      
        A
        =
        2
        π
        
          r
          
            2
          
        
        
          |
        
        sin
        ⁡
        
          ϕ
          
            1
          
        
        −
        sin
        ⁡
        
          ϕ
          
            2
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle A=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|}
  .


== Ընդհանրացում ==


=== Հիպերգնդոլորտի սեգմենտ ===

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -աչափ հիպերգնդոլորտի ծավալը, 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
   բարձրությամբ 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   շառավղով 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -աչափ էվկլիդեսյան տարածությունում որոշվում է ․

  
    
      
        V
        =
        
          
            
              
                π
                
                  
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                    2
                  
                
              
              
              
                r
                
                  n
                
              
            
            
              
              Γ
              
                (
                
                  
                    
                      n
                      +
                      1
                    
                    2
                  
                
                )
              
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            arccos
            ⁡
            
              (
              
                
                  
                    r
                    −
                    h
                  
                  r
                
              
              )
            
          
        
        
          sin
          
            n
          
        
        ⁡
        (
        t
        )
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(t)\,\mathrm {d} t}
  որտեղ՝  
  
    
      
        Γ
      
    
    {\displaystyle \Gamma }
   (գամմա ֆունկցիա) տրվում է  
  
    
      
        Γ
        (
        z
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          t
          
            z
            −
            1
          
        
        
          
            e
          
          
            −
            t
          
        
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}
  արտահայտությամբ։
Մակերևույթի 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մակերեսի բանաձևը կարող է գրվել 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -աչափ գնդի մակերևույթի մակերեսի տերմիններով։

  
    
      
        
          A
          
            n
          
        
        =
        
          2
          
            π
            
              n
              
                /
              
              2
            
          
          
            /
          
          Γ
          [
          
            
              n
              2
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}}
  

  
    
      
        A
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          A
          
            n
          
        
        
        
          r
          
            n
            −
            1
          
        
        
          I
          
            (
            2
            r
            h
            −
            
              h
              
                2
              
            
            )
            
              /
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  n
                  −
                  1
                
                2
              
            
            ,
            
              
                1
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}
  ,որտեղ  
  
    
      
        0
        ≤
        h
        ≤
        r
      
    
    {\displaystyle 0\leq h\leq r}
  .
Ճիշտ են նաև հետևյալ բանաձևերը․
  
    
      
        A
        =
        
          A
          
            n
          
        
        
          p
          
            n
            −
            2
          
        
        (
        q
        )
        ,
        V
        =
        
          V
          
            n
          
        
        
          p
          
            n
          
        
        (
        q
        )
      
    
    {\displaystyle A=A_{n}p_{n-2}(q),V=V_{n}p_{n}(q)}
  , որտեղ
  
    
      
        q
        =
        1
        −
        h
        
          /
        
        r
        (
        0
        ≤
        q
        ≤
        1
        )
        ,
        
          p
          
            n
          
        
        (
        q
        )
        =
        (
        1
        −
        
          G
          
            n
          
        
        (
        q
        )
        
          /
        
        
          G
          
            n
          
        
        (
        1
        )
        )
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2}
  ,

  
    
      
        
          G
          
            n
          
        
        (
        q
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            q
          
        
        (
        1
        −
        
          t
          
            2
          
        
        
          )
          
            (
            n
            −
            1
            )
            
              /
            
            2
          
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt}
  .

  
    
      
        n
        =
        2
        k
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n=2k+1}
  դեպքում

  
    
      
        
          G
          
            n
          
        
        (
        q
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            k
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            i
          
        
        
          
            
              (
            
            
              k
              i
            
            
              )
            
          
        
        
          
            
              q
              
                2
                i
                +
                1
              
            
            
              2
              i
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}}
  .
Ցույց է տրվում, որ  
  
    
      
        n
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle n\to \infty }
   և 
  
    
      
        q
        
          
            n
          
        
        =
        
          const 
        
      
    
    {\displaystyle q{\sqrt {n}}={\text{const }}}
  դեպքում․ 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        (
        q
        )
        →
        1
        −
        F
        (
        
          q
          
            
              n
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}})}
  ։


== Գրականություն ==
А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин, П. С. Александров Основные понятия сферической геометрии // Энциклопедия элементарной математики. Книга 4 - Геометрия. — Москва: ГИФМЛ, 1963.


== Ծանոթագրություններ ==