Կրամերի մեթոդ

Կրամերի մեթոդը գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծման մեթոդ է, որում հավասարումների թիվը համընկնում է ոչզրոյական մատրիցի գործակիցների համակարգի գլխավոր որոշիչին, ընդ որում այդպիսի հավասարումների լուծումը գոյություն ունի և միակն է։


== Մեթոդի նկարագրությունը ==

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   անհայտով 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   գծային հավասարումների համակարգի համար 

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      12
                    
                  
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  …
                  +
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                  =
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      21
                    
                  
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      22
                    
                  
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  …
                  +
                  
                    a
                    
                      2
                      n
                    
                  
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                  =
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋯
                  ⋯
                  ⋯
                  ⋯
                  ⋯
                  ⋯
                  ⋯
                  ⋯
                  ⋯
                  ⋯
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      n
                      1
                    
                  
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      n
                      2
                    
                  
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  …
                  +
                  
                    a
                    
                      n
                      n
                    
                  
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                  =
                  
                    b
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\\\end{cases}}}
  լուծումը (համակարգի ոչզրոյական 
  
    
      
        Δ
      
    
    {\displaystyle \Delta }
   մատրիցի որոշիչով) գրվում է հետևյալ տեսքով՝

  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        =
        
          
            1
            Δ
          
        
        
          
            |
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      ,
                      i
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      ,
                      i
                      +
                      1
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    a
                    
                      2
                      ,
                      i
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      2
                      ,
                      i
                      +
                      1
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    a
                    
                      2
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  …
                
                
                  …
                
                
                  …
                
                
                  …
                
                
                  …
                
                
                  …
                
                
                  …
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      1
                      ,
                      1
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      1
                      ,
                      i
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      1
                      ,
                      i
                      +
                      1
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      1
                      ,
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      n
                      1
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      ,
                      i
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      n
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      ,
                      i
                      +
                      1
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      n
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n-1,1}&\ldots &a_{n-1,i-1}&b_{n-1}&a_{n-1,i+1}&\ldots &a_{n-1,n}\\a_{n1}&\ldots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\ldots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}
  (համակարգի մատրիցի 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  -րդ սյունը փոխարինվում է ազատ անդամների սյունով)։
Մեկ այլ ձևով Կրամերի կանոնը ձևակերպվում է հետևյալ տեսքով՝ ցանկացած c1, c2, …, cn գործակիցների համար իրավացի է հետևյալ հավասարությունը՝

  
    
      
        (
        
          c
          
            1
          
        
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          c
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        )
        ⋅
        Δ
        =
        −
        
          
            |
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    a
                    
                      2
                      n
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  …
                
                
                  …
                
                
                  …
                
                
                  …
                
                
                  …
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      n
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      2
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      n
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    c
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    c
                    
                      n
                    
                  
                
                
                  0
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle (c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots +c_{n}x_{n})\cdot \Delta =-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}&b_{2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}&b_{n}\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&0\\\end{vmatrix}}}
  Այս ձևով Կրամերի մեթոդը իրավացի է առանց ենթադրության, որ 
  
    
      
        Δ
      
    
    {\displaystyle \Delta }
   զրոյից տարբեր է, նույնիսկ անհրաժեշտ չէ, որ համակարգի գործակիցները լինեն ամբողջական օղակի էլեմենտներ (համակարգի որոշիչը կարող է լինել նույնիսկ գործակիցների օղակում զրոյի բաժանարար)։ Կարելի է նույնիսկ ընդունել, որ 
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
        ,
        
          b
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{n}}
   և 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}
  , կամ 
  
    
      
        
          c
          
            1
          
        
        ,
        
          c
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          c
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{1},c_{2},...,c_{n}}
   կազմված են ոչ թե համակարգի գործակիցների օղակի էլեմենտներից, այլ այդ օղակի ինչ որ մոդուլը։ Այս տեսքով Կրամերի բանաձևը օգտագործվում է, օրինակ, Գրամի որոշիչի և Նակայամայի լեմմայի բանաձևերի ապացուցման համար։


== Օրինակ ==
Իրական գործակիցներով հավասարումների համակարգ՝

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      12
                    
                  
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      13
                    
                  
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  =
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      21
                    
                  
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      22
                    
                  
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      23
                    
                  
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  =
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      31
                    
                  
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      32
                    
                  
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      33
                    
                  
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  =
                  
                    b
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\\\end{cases}}}
  Որոշիչներ՝

  
    
      
        Δ
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      13
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      23
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      31
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      32
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      33
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        ,
         
         
        
          Δ
          
            1
          
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      13
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      23
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    b
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      32
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      33
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        ,
         
         
      
    
    {\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ }
  

  
    
      
        
          Δ
          
            2
          
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      13
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      23
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      31
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      33
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        ,
         
         
        
          Δ
          
            3
          
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      31
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      32
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\\\end{vmatrix}}}
  Որոշիչներում համապատասխան անհայտով գործակիցների սյունը փոխարինվում է համակարգի ազատ անդամների սյունով։
Լուծում՝

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              Δ
              
                1
              
            
            Δ
          
        
        ,
         
         
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              Δ
              
                2
              
            
            Δ
          
        
        ,
         
         
        
          x
          
            3
          
        
        =
        
          
            
              Δ
              
                3
              
            
            Δ
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}={\frac {\Delta _{1}}{\Delta }},\ \ x_{2}={\frac {\Delta _{2}}{\Delta }},\ \ x_{3}={\frac {\Delta _{3}}{\Delta }}}
  Օրինակ՝

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  2
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  5
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  4
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  =
                  30
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  3
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  2
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  =
                  150
                
              
              
                
                  2
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  10
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  9
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  =
                  110
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}2x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=30\\x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=150\\2x_{1}+10x_{2}+9x_{3}=110\\\end{cases}}}
  Որոշիչներ՝

  
    
      
        Δ
        =
        
          
            |
            
              
                
                  2
                
                
                  5
                
                
                  4
                
              
              
                
                  1
                
                
                  3
                
                
                  2
                
              
              
                
                  2
                
                
                  10
                
                
                  9
                
              
            
            |
          
        
        =
        5
        ,
         
         
        
          Δ
          
            1
          
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  30
                
                
                  5
                
                
                  4
                
              
              
                
                  150
                
                
                  3
                
                
                  2
                
              
              
                
                  110
                
                
                  10
                
                
                  9
                
              
            
            |
          
        
        =
        −
        760
        ,
         
         
      
    
    {\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}2&5&4\\1&3&2\\2&10&9\\\end{vmatrix}}=5,\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\110&10&9\\\end{vmatrix}}=-760,\ \ }
  
  
    
      
        
          Δ
          
            2
          
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  2
                
                
                  30
                
                
                  4
                
              
              
                
                  1
                
                
                  150
                
                
                  2
                
              
              
                
                  2
                
                
                  110
                
                
                  9
                
              
            
            |
          
        
        =
        1350
        ,
         
         
        
          Δ
          
            3
          
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  2
                
                
                  5
                
                
                  30
                
              
              
                
                  1
                
                
                  3
                
                
                  150
                
              
              
                
                  2
                
                
                  10
                
                
                  110
                
              
            
            |
          
        
        =
        −
        1270.
      
    
    {\displaystyle \Delta _{2}={\begin{vmatrix}2&30&4\\1&150&2\\2&110&9\\\end{vmatrix}}=1350,\ \ \Delta _{3}={\begin{vmatrix}2&5&30\\1&3&150\\2&10&110\\\end{vmatrix}}=-1270.}
  
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        −
        
          
            760
            5
          
        
        =
        −
        152
        ,
         
         
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          
            1350
            5
          
        
        =
        270
        ,
         
         
        
          x
          
            3
          
        
        =
        −
        
          
            1270
            5
          
        
        =
        −
        254
      
    
    {\displaystyle x_{1}=-{\frac {760}{5}}=-152,\ \ x_{2}={\frac {1350}{5}}=270,\ \ x_{3}=-{\frac {1270}{5}}=-254}
  


== Հաշվարկային բարդություն ==
Կրամերի մեթոդը պահանջում է 
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
   չափի 
  
    
      
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n+1}
  -րդ որոշիչի հաշվում։ Գաուսի մեթոդի կիրառման դեպքում որոշիչների հաշվարկի համար գումարման և բազմապատկման գործողությունների պարզ էլեմենտար բարդության մեթոդը ունի 
  
    
      
        O
        (
        
          n
          
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle O(n^{4})}
   կարգ, որը ավելի բարդ է, քան Գաուսի մեթոդով համակարգի ուղիղ լուծման դեպքում։ Այդ իսկ պատճառով, հաշվարկի համար ժամանակի ծախսատարության տեսանկյունից, համարվում է ոչնպատակահարմար։ Սակայն 2010 թվականին ցույց է տրվել, որ Կրամերի մեթոդը կարող է իրականացվել 
  
    
      
        O
        (
        
          n
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle O(n^{3})}
   բարդությամբ, որը համեմատելի է Գաուսի մեթոդի բարդությանը։


== Գրականություն ==
Ի․Ա․ Մացև։ Գծային հանրահաշվի հիմունքները։ 3-րդ հրատ․, վերամշակված, Մոսկվա,  «Նաուկա», 1970 թվական — 400 էջ


== Տես նաև ==
Գաուսի մեթոդ


== Ծանոթագրություն ==