Բեռնուլիի բազմանդամներ

Բեռնուլիի բազմանդամներ, մաթեմատիկական բազմանդամներ, որոնք անվանել են ի պատիվ շվեյցարացի մաթեմատիկոս Յակոբ Բեռնուլիի։ Դրանք առաջ են եկել հատուկ ֆունկցիաների ուսումնասիրման ժամանակ, մասնավորապես Ռիմանի և Գուրվիցի ζ-ֆունկցիաների ուսումնասիրման ժամանակ։ Նաև հանդիսանում է Ապելի շարքի մասնավոր դեպք։ Ի տարբերություն օրթոգոնալ բազմանդամների, Բեռնուլիի բազմանդամները յուրահատուկ են նրանով, որ արմատների քանակը 
  
    
      
         
        [
        0
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle \ [0,1]}
   միջակայքում կախված չէ բազմանդամի աստիճանի աճից։ Աստիճանի անվերջ աճի դեպքում, Բեռնուլիի բազմանդամը մոտենում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների։


== Արտահայտություն ==
Բեռնուլիի
  
    
      
         
        
          B
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \ B_{n}(x)}
   բազմանդամները կարելի է որոշել տարբեր մեթոդներով։


=== Ակնհայտ տեսք ===

  
    
      
        
          B
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          C
          
            n
          
          
            k
          
        
        
          B
          
            n
            −
            k
          
        
        
          x
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}B_{n-k}x^{k}}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          C
          
            n
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{n}^{k}}
  -ն բինոմային գործակիցն է, 
  
    
      
         
        
          B
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \ B_{k}}
  -ն՝ Բեռնուլիի թիվ,Կամ

  
    
      
        
          B
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            m
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            1
            
              m
              +
              1
            
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            m
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            k
          
        
        
          C
          
            m
          
          
            k
          
        
        (
        x
        +
        k
        
          )
          
            n
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}C_{m}^{k}(x+k)^{n}:}
  


=== Ածանցյալ ֆունկցիա ===
Բեռնուլիի ածանցյալ ֆունկցիան հետևյալն է՝

  
    
      
        
          
            
              t
              
                e
                
                  x
                  t
                
              
            
            
              
                e
                
                  t
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          B
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        
          
            
              t
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}:}
  


=== Ներկայացումը դիֆերենցիալ օպերատորներով ===

  
    
      
        
          B
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            D
            
              
                e
                
                  D
                
              
              −
              1
            
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}}
  , որտեղ 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
   -ն՝ ֆորմալ դիֆերենցիալ օպերատոր։


=== Ոչ բարձ աստիճանների համար ակնհայտ տեսք ===
Բեռնուլիի բազմանդամի մի քանի հարտահայտություններ

  
    
      
        
          B
          
            0
          
        
        (
        x
        )
        =
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle B_{0}(x)=1,}
  

  
    
      
        
          B
          
            1
          
        
        (
        x
        )
        =
        x
        −
        
          
            1
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}},}
  

  
    
      
        
          B
          
            2
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        −
        x
        +
        
          
            1
            6
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}},}
  

  
    
      
        
          B
          
            3
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            3
          
        
        −
        
          
            3
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        x
        ,
      
    
    {\displaystyle B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,}
  

  
    
      
        
          B
          
            4
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            4
          
        
        −
        2
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        −
        
          
            1
            30
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}},}
  

  
    
      
        
          B
          
            5
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            5
          
        
        −
        
          
            5
            2
          
        
        
          x
          
            4
          
        
        +
        
          
            5
            3
          
        
        
          x
          
            3
          
        
        −
        
          
            1
            6
          
        
        x
        ,
      
    
    {\displaystyle B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x,}
  

  
    
      
        
          B
          
            6
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            6
          
        
        −
        3
        
          x
          
            5
          
        
        +
        
          
            5
            2
          
        
        
          x
          
            4
          
        
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          
            1
            42
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.}
  


== Հատկություն ==


=== Սկզբնական տվյալներ ===
Սկզբնական տվյալները Բեռնուլիի բազմանդամի
  
    
      
         
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \ x=0}
   համար համավսար են Բեռնուլիի համապատասխան թվերին։

  
    
      
         
        
          B
          
            n
          
        
        (
        0
        )
        =
        
          B
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \ B_{n}(0)=B_{n}}
  .


=== Դիֆերենցում և ինտեգրում ===
Ածանցյալի որոշումը ածանցյալ ֆունկցիայից՝

  
    
      
        t
        
          e
          
            t
            x
          
        
        
          
            1
            
              
                e
                
                  t
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                B
                
                  n
                
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              n
              !
            
          
        
        
          t
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle te^{tx}{\frac {1}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}t^{n}}
  .Ձախ մասը տարբերվում է միայն 
  
    
      
         
        t
      
    
    {\displaystyle \ t}
   բազմապատկիչով, այդպիսով՝

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                B
                
                  n
                
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              n
              !
            
          
        
        
          t
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                B
                
                  n
                
              
              (
              x
              )
            
            
              n
              !
            
          
        
        
          t
          
            n
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}(x)}{n!}}t^{n+1}}
  .Հավասարացնելով գործակիցները նույն
  
    
      
         
        t
      
    
    {\displaystyle \ t}
   աստիճանի դեպքում, ապա կստանանք՝

  
    
      
        
          
            
              
                B
                
                  n
                
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              n
              !
            
          
        
        =
        
          
            
              
                B
                
                  n
                  −
                  1
                
              
              (
              x
              )
            
            
              (
              n
              −
              1
              )
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {B'_{n}(x)}{n!}}={\frac {B_{n-1}(x)}{(n-1)!}}}
  ,որտեղից

  
    
      
         
        
          B
          
            n
          
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        n
        
          B
          
            n
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \ B'_{n}(x)=nB_{n-1}(x)}
  . (ֆունկցիաները, որոնք բավարարում են նման հատկությանը, անվանում են Ապելի շարք)։Վերջին հավասարումից հետևում է Բեռնուլիի շարքի ինտեգրման օրենքը։

  
    
      
         
        
          B
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          B
          
            n
          
        
        +
        n
        
          ∫
          
            0
          
          
            x
          
        
        
          B
          
            n
            −
            1
          
        
        (
        t
        )
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \ B_{n}(x)=B_{n}+n\int _{0}^{x}B_{n-1}(t)\,dt}
  .Նույնպես օգտակար հատկություն է հավասարակշռության հատկությունը։

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          B
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        d
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0}
   (երբ 
  
    
      
        n
        >
        0
      
    
    {\displaystyle n>0}
   )


=== Թեորեմ արգումենտի բազմապատկման մասին ===
Եթե m-ը կամայական բնական թիվ է, ապա՝

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          B
          
            n
          
        
        (
        m
        x
        )
        
          
            
              t
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        =
        
          
            
              t
              
                e
                
                  m
                  x
                  t
                
              
            
            
              
                e
                
                  t
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
          
            1
            m
          
        
        
          e
          
            m
            x
            t
          
        
        
          
            
              m
              t
              (
              1
              +
              
                e
                
                  t
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                e
                
                  (
                  m
                  −
                  1
                  )
                  t
                
              
              )
            
            
              
                e
                
                  m
                  t
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
          
            1
            m
          
        
        
          ∑
          
            s
            =
            0
          
          
            m
            −
            1
          
        
        
          
            
              
                e
                
                  
                    (
                    
                      x
                      +
                      
                        
                          s
                          m
                        
                      
                    
                    )
                  
                  m
                  t
                
              
              m
              t
            
            
              
                e
                
                  m
                  t
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
          
            1
            m
          
        
        
          ∑
          
            s
            =
            0
          
          
            m
            −
            1
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                B
                
                  n
                
              
              
                (
                
                  x
                  +
                  
                    
                      s
                      m
                    
                  
                
                )
              
              
                m
                
                  n
                
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        
          t
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(mx){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {te^{mxt}}{e^{t}-1}}={\frac {1}{m}}e^{mxt}{\frac {mt(1+e^{t}+\cdots +e^{(m-1)t})}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m-1}{\frac {e^{\left(x+{\frac {s}{m}}\right)mt}mt}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)m^{n}}{n!}}t^{n}.}
  Այստեղից բխում է արգումենտի բազմապատկման օրենքը՝

  
    
      
        
          B
          
            n
          
        
        (
        m
        x
        )
        =
        
          m
          
            n
            −
            1
          
        
        
          ∑
          
            s
            =
            0
          
          
            m
            −
            1
          
        
        
          B
          
            n
          
        
        
          (
          
            x
            +
            
              
                s
                m
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{s=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)}
  .


=== Համաչափություն ===

  
    
      
         
        
          B
          
            n
          
        
        (
        1
        −
        x
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          B
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \ B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),}
  

  
    
      
         
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          B
          
            n
          
        
        (
        −
        x
        )
        =
        
          B
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        +
        n
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle \ (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}:}
  


== Արտաքին հղումներ ==
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York.