Թվի քառակուսի

Թվի քառակուսի (հանրահաշիվ), հանրահաշվայկան գործողություն 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   թվի հետ, որը հավասար է թվի ու իր արտադրյալին 
  
    
      
        x
        ⋅
        x
      
    
    {\displaystyle x\cdot x}
  , և գրառվում է 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}}
  ձևով։ 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}}
  -ու հաշվումը մաթեմատիկական գործողություն է, որը կոչվում է քառակուսի բարձրացնել։

Ամբողջ, ոչ բացասական թվերի քառակուսիներ շարքը (A000290-ի հաջորդականությունը OEIS-ում)

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, …Պատմականորեն այս շարքի բնական թվերը կոչվում են «քառակուսի» թվեր։


== Ներկայացման ձևեր ==
Բնական 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   թվի քառակուսին կարելի է ներկայացնել առաջին 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   կենտ թվերի արտադրյալի տեսքով։

1: 
  
    
      
        1
        =
        1
      
    
    {\displaystyle 1=1}
  
2: 
  
    
      
        4
        =
        1
        +
        3
      
    
    {\displaystyle 4=1+3}
  
…
7: 
  
    
      
        49
        =
        1
        +
        3
        +
        5
        +
        7
        +
        9
        +
        11
        +
        13
      
    
    {\displaystyle 49=1+3+5+7+9+11+13}
  
…Ահա բնական թվի քառակուսին ներկայացնելու ևս մեկ ձև։

  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
        =
        1
        +
        1
        +
        2
        +
        2
        +
        …
        +
        (
        n
        −
        1
        )
        +
        (
        n
        −
        1
        )
        +
        n
      
    
    {\displaystyle n^{2}=1+1+2+2+\ldots +(n-1)+(n-1)+n}
  
Օրինակ․

1: 
  
    
      
        1
        =
        1
      
    
    {\displaystyle 1=1}
  
2: 
  
    
      
        4
        =
        1
        +
        1
        +
        2
      
    
    {\displaystyle 4=1+1+2}
  
…
4: 
  
    
      
        16
        =
        1
        +
        1
        +
        2
        +
        2
        +
        3
        +
        3
        +
        4
      
    
    {\displaystyle 16=1+1+2+2+3+3+4}
  
…Առաջին 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   բնական թվերի քառակուսին հաշվվում է հետևյալ բանաձևով։

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          k
          
            2
          
        
        =
        
          1
          
            2
          
        
        +
        
          2
          
            2
          
        
        +
        
          3
          
            2
          
        
        +
        …
        +
        
          n
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              n
              (
              n
              +
              1
              )
              (
              2
              n
              +
              1
              )
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
  
Դուրսբերում․ Ձև 1․
Դիտարկենք 1-ից 
  
    
      
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n+1}
  բնական թվերի խորանարդների գումարը։

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          k
          
            3
          
        
        +
        (
        n
        +
        1
        
          )
          
            3
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        (
        k
        +
        1
        
          )
          
            3
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        (
        
          k
          
            3
          
        
        +
        3
        
          k
          
            2
          
        
        +
        3
        k
        +
        1
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          k
          
            3
          
        
        +
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        3
        
          k
          
            2
          
        
        +
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        3
        k
        +
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        1
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          k
          
            3
          
        
        +
        3
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          k
          
            2
          
        
        +
        3
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        k
        +
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=\sum _{k=0}^{n}(k+1)^{3}=\sum _{k=0}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+\sum _{k=0}^{n}3k^{2}+\sum _{k=0}^{n}3k+\sum _{k=0}^{n}1=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1}
  
Կստանանք․

  
    
      
        (
        n
        +
        1
        
          )
          
            3
          
        
        =
        3
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          k
          
            2
          
        
        +
        3
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        k
        +
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        1
        =
        3
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          k
          
            2
          
        
        +
        3
        
          
            
              (
              n
              +
              1
              )
              n
            
            2
          
        
        +
        (
        n
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (n+1)^{3}=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3{\frac {(n+1)n}{2}}+(n+1)}
  
Բազմապատկենք 2-ով և խմբավորենք։

  
    
      
        6
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          k
          
            2
          
        
        =
        2
        (
        n
        +
        1
        
          )
          
            3
          
        
        −
        3
        (
        n
        +
        1
        )
        n
        −
        2
        (
        n
        +
        1
        )
        =
        (
        n
        +
        1
        )
        (
        2
        (
        n
        +
        1
        
          )
          
            2
          
        
        −
        3
        n
        −
        2
        )
        =
        (
        n
        +
        1
        )
        (
        2
        
          n
          
            2
          
        
        +
        n
        )
        =
        n
        (
        n
        +
        1
        )
        (
        2
        n
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle 6\sum _{k=0}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1)(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          k
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              n
              (
              n
              +
              1
              )
              (
              2
              n
              +
              1
              )
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
         (Պնդումներում օգտագործվում է հետևյալ բանաձևը։ 
  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        k
        =
        
          
            
              (
              n
              +
              1
              )
              n
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k={\frac {(n+1)n}{2}}}
  , որի դուրսբերումը նման է արդեն դուրսբերվածին։)Դուրսբերում․ Ձև 2․ 
Անհայտ գործակիցների մեթոդ․

Նկատենք, որ 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   աստիճանի ֆունկցիայի գումարը արտահայտված է ինչպես 
  
    
      
        N
        +
        1
      
    
    {\displaystyle N+1}
  աստիճանի ֆունկցիա։

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          k
          
            2
          
        
        =
        f
        (
        n
        )
        =
        A
        
          n
          
            3
          
        
        +
        B
        
          n
          
            2
          
        
        +
        C
        n
        +
        D
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D}
  

  
    
      
        f
        (
        0
        )
        =
        0
        ;
        f
        (
        1
        )
        =
        1
        ;
        f
        (
        2
        )
        =
        5
        ;
        f
        (
        3
        )
        =
        14
      
    
    {\displaystyle f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14}
  
Կստանանք գծային հավասարումների համակարգ փնտրվող գործակիցների նկատմամբ։

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  0
                  A
                  +
                  0
                  B
                  +
                  0
                  C
                  +
                  D
                  =
                  0
                
              
              
                
                  A
                  +
                  B
                  +
                  C
                  +
                  D
                  =
                  1
                
              
              
                
                  8
                  A
                  +
                  4
                  B
                  +
                  2
                  C
                  +
                  D
                  =
                  5
                
              
              
                
                  27
                  A
                  +
                  9
                  B
                  +
                  3
                  C
                  +
                  D
                  =
                  14
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}0A+0B+0C+D=0\\A+B+C+D=1\\8A+4B+2C+D=5\\27A+9B+3C+D=14\\\end{cases}}}
  
Լուծելով կստանանք․  
  
    
      
        A
        =
        
          
            1
            3
          
        
        ,
        B
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        C
        =
        
          
            1
            6
          
        
        ,
        D
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A={\frac {1}{3}},B={\frac {1}{2}},C={\frac {1}{6}},D=0}
  
Այսպիսով․

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          k
          
            2
          
        
        =
        f
        (
        n
        )
        =
        
          
            1
            3
          
        
        
          n
          
            3
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
          n
          
            2
          
        
        +
        
          
            1
            6
          
        
        n
        +
        0
        =
        
          
            
              n
              (
              n
              +
              1
              )
              (
              2
              n
              +
              1
              )
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n+0={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
  


== Կոմպլեքս թվի քառակուսի ==
Կոմպլեք թվի հանրահաշվական տեսքի քառակուսին կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևերով։

  
    
      
        
          
            (
            
              a
              +
              b
              i
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          (
          
            
              a
              
                2
              
            
            −
            
              b
              
                2
              
            
          
          )
        
        +
        2
        a
        b
        i
        .
      
    
    {\displaystyle \left(a+bi\right)^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right)+2abi.}
  Նմանատիպ եռանկյունաչափական բանաձև կոմպլեքս թվի համար։

  
    
      
        
          
            (
            
              r
              
                (
                
                  cos
                  ⁡
                  ϕ
                  +
                  i
                  sin
                  ⁡
                  ϕ
                
                )
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        
          r
          
            2
          
        
        
          (
          
            cos
            ⁡
            
              2
              ϕ
            
            +
            i
            sin
            ⁡
            
              2
              ϕ
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left(r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)\right)^{2}=r^{2}\left(\cos {2\phi }+i\sin {2\phi }\right).}
  


== Երկրաչափական իմաստ ==
Թվի քառակուսին հավասար է այն քառակուսու մակերեսին, որի կողմը հավասար է տրված թվին։


== Գրականություն ==
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики. Пер. с англ. —М.: Мир, 1998. —703 с.


== Տես նաև ==
Քառակուսի արմատի հաշվումը քառակուսի բարձրացնելու հակառակ ֆունկցիան է։
Թվի խորոնարդ
Ավելի բարձր աստիճանների ընդհանրացում 


== Ծանոթագագրություն ==