Իմպուլս (շարժման քանակ)

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Իմպուլս (այլ կիրառումներ)Իմպուլսը (շարժման քանակ) վեկտորական ֆիզիկական մեծություն է ունի արագության ուղղություն , մարմնի մեխանիկական շարժման չափը։ Դասական մեխանիկայում իմպուլսը հավասար է մարմնի 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   զանգվածի և 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
   արագության արտադրյալին և ունի արագության վեկտորի ուղղությունը.

  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        =
        m
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}
  :


== Հիմնական հասկացությունները միաչափ դեպքում ==


=== Մեկ մասնիկի դեպքը ===
Ավանդաբար մասնիկի իմպուլսը նշանակվում է 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   տառով։ Այն մարմնի զանգվածի և արագության արտադրյալն է՝

  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        =
        m
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}
  :Չափման միավորը զանգվածի և արագության միավորների արտադրյալն է։ ՄՄ համակարգում՝ կգ·մ/վ։ 
Լինելով վեկտորական մեծություն՝ իմպուլսն ունի մեծություն և ուղղություն։


=== Բազմաթիվ մասնիկների դեպքը ===
Համակարգի իմպուլսը այդ համակարգը կազմող բոլոր մասնիկների իմպուլսների գումարն է։ Եթե երկու մասնիկներ ունեն 
  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{1}}
   և 
  
    
      
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{2}}
   զանգվածն ու 
  
    
      
        
          v
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{1}}
   և 
  
    
      
        
          v
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{2}}
   արագությունը, ապա արդյունարար իմպուլսը՝ 

  
    
      
        p
        =
        
          p
          
            1
          
        
        +
        
          p
          
            2
          
        
        =
        
          m
          
            1
          
        
        
          v
          
            1
          
        
        +
        
          m
          
            2
          
        
        
          v
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p=p_{1}+p_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}
  :Համանման ձևով՝ երկուսից ավելի (
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  ) մասնիկների դեպքում՝

  
    
      
        p
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          m
          
            i
          
        
        
          
            v
          
          
            i
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle p=\sum _{i}m_{i}{v}_{i}:}
  


=== Իմպուլսի և ուժի կապը ===
Ըստ Նյուտոնի երկրորդ օրենքի, մասնիկի իմպուլսի փոփոխությունը հավասար է նրա վրա ազդող 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   ուժին՝

  
    
      
        F
        =
        
          
            
              d
              p
            
            
              d
              t
            
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle F={\frac {dp}{dt}}:}
  Եթե զանգվածը հաստատուն է, ապա

  
    
      
        F
        =
        m
        
          
            
              d
              v
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        m
        a
        ,
      
    
    {\displaystyle F=m{\frac {dv}{dt}}=ma,}
  այնպես որ ուժը հավասար է զանգվածի և արագացման արտադրյալին։


== Իմպուլսի պահպանման օրենքը ==
Նյուտոնի օրենքներից բխում է, որ փակ համակարգի արդյունարար իմպուլսը հաստատուն մեծություն է։ Ենթադրենք ունենք միմյանց հետ փոխազդող երկու մասնիկ։ Ըստ Նյուտոնի երրորդ օրենքի, դրանց վրա ազդող ուժերը հավասար են և հակառակ են ուղղված։ Ըստ առաջին օրենքի, 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
        =
        d
        
          p
          
            1
          
        
        
          /
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle F_{1}=dp_{1}/dt}
   և 
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
        =
        d
        
          p
          
            2
          
        
        
          /
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle F_{2}=dp_{2}/dt}
   : Այդտեղից

  
    
      
        
          
            
              d
              
                p
                
                  1
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              d
              
                p
                
                  2
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}},}
  կամ

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              p
              
                1
              
            
            +
            
              p
              
                2
              
            
          
          )
        
        =
        0
        :
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(p_{1}+p_{2}\right)=0:}
  Եթե մասնիկների արագությունները նշանակենք 
  
    
      
        
          u
          
            1
          
        
        ,
        
          u
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{1},u_{2}}
   փոխազդեցությունից առաջ և 
  
    
      
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        
          v
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{1},v_{2}}
  ՝ հետո, ապա

  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
        
          u
          
            1
          
        
        +
        
          m
          
            2
          
        
        
          u
          
            2
          
        
        =
        
          m
          
            1
          
        
        
          v
          
            1
          
        
        +
        
          m
          
            2
          
        
        
          v
          
            2
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}:}
  Իմպուլսի պահպանման օրենքը կախված չէ փոխազդեցության ուժի բնույթից։


== Բազմաչափ դեպքը ==
Եռաչափ դեպքում իմպուլը և արագությունը տրվում են վեկտորներով։ 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ,
        z
      
    
    {\displaystyle x,y,z}
   առանցքներով կոորդինատական համակարգում արագության բաղադրիչները 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ,
        z
      
    
    {\displaystyle x,y,z}
   ուղղություններով համապատասխանաբար 
  
    
      
        
          v
          
            x
          
        
        ,
        
          v
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{x},v_{y}}
   և 
  
    
      
        
          v
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{z}}
   են։ Նշանակենք արագության վեկտորը

  
    
      
        
          v
        
        =
        
          (
          
            
              v
              
                x
              
            
            ,
            
              v
              
                y
              
            
            ,
            
              v
              
                z
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right),}
  իսկ իմպուլսի վեկտորը՝

  
    
      
        
          p
        
        =
        
          (
          
            
              p
              
                x
              
            
            ,
            
              p
              
                y
              
            
            ,
            
              p
              
                z
              
            
          
          )
        
        :
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{x},p_{y},p_{z}\right):}
  Այդ դեպքում իմպուլսի և արագության կապը կարելի է ստանալ՝ վերևի արտահայտության 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
   սկալյար մեծությունը փոխարինելով 
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
   վեկտորով՝

  
    
      
        
          p
        
        =
        m
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }
  Ցանկացած վեկտորական հավասարում կարելի է ներկայացնել սկալյար հավասարումների համակարգի տեսքով՝

  
    
      
        
          
            
              
                
                  p
                  
                    x
                  
                
              
              
                
                =
                m
                
                  v
                  
                    x
                  
                
              
            
            
              
                
                  p
                  
                    y
                  
                
              
              
                
                =
                m
                
                  v
                  
                    y
                  
                
              
            
            
              
                
                  p
                  
                    z
                  
                
              
              
                
                =
                m
                
                  v
                  
                    z
                  
                
                :
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{z}:\end{aligned}}}
  


== Այլ սահմանումներ ==


=== Ռելյատիվիստական մեխանիկա ===
Ռելյատիվիստական մեխանիկայում իմպուլսը սահմանվում է որպես

  
    
      
        
          p
        
        =
        γ
        
          m
          
            0
          
        
        
          v
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \,,}
  որտեղ 
  
    
      
        
          m
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{0}}
  -ն համակարգի ինվարիանտ զանգվածն է, 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  -ն՝ Լորենցի ֆակտորը.

  
    
      
        γ
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              (
              v
              
                /
              
              c
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\,,}
  
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  -ն մասնիկի արագությունն է, 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  -ն՝ լույսի արագությունը։ Արագությունը իմպուլսով արտահայտվում է

  
    
      
        
          v
        
        =
        
          
            
              
                c
                
                  2
                
              
              
                p
              
            
            
              (
              p
              c
              
                )
                
                  2
                
              
              +
              (
              
                m
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                c
                
                  2
                
              
              
                p
              
            
            E
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {c^{2}\mathbf {p} }{\sqrt {(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}}}}={\frac {c^{2}\mathbf {p} }{E}}\,,}
  բանաձևով, որտեղ 
  
    
      
        
          p
          =
          
            
              
                p
                
                  x
                
                
                  2
                
              
              +
              
                p
                
                  y
                
                
                  2
                
              
              +
              
                p
                
                  z
                
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle p={\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}
  -ն իմպուլսի մոդուլն է։
Դասական մեխանիկայի շրջանակներում ռելյատիվիստական իմպուլսը գրեթե հավասար է նյուտոնյան իմպուլսին. փոքր արագությունների դեպքում 
  
    
      
        y
        
          m
          
            0
          
        
        v
        ≈
        
          m
          
            0
          
        
        v
      
    
    {\displaystyle ym_{0}v\approx m_{0}v}
  :
Մարմնի 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
   լրիվ էներգիան 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   ռելյատիվիստական իմպուլսի հետ կապված է

  
    
      
        
          E
          
            2
          
        
        =
        (
        p
        c
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        
          m
          
            0
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}\,}
  առնչությամբ, որտեղ 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  -ով նշանակված է 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  -ի մեծությունը (մոդուլը)։ Իմպուլսի և էներգիայի ռելյատիվիստական կապը տեղի ունի նաև զանգված չունեցող մասնիկների համար, ինչպիսին ֆոտոնն է։ Տեղադրելով 
  
    
      
        
          m
          
            0
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle m_{0}=0}
  , կստանանք, որ

  
    
      
        E
        =
        p
        c
        
        :
      
    
    {\displaystyle E=pc\,:}
  Ե՛վ զանգված ունեցող, և՛ զանգված չունեցող մասնիկների համար ռելյատիվիստական իմպուլսը կապված է 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
   դը Բրոյլի ալիքի երկարության հետ

  
    
      
        p
        =
        ℏ
        
          /
        
        λ
        
      
    
    {\displaystyle p=\hbar /\lambda \,}
  առնչությամբ, որտեղ 
  
    
      
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \hbar }
  -ը Պլանկի հաստատունն է։


=== Ընդհանրացված իմպուլսը տեսական մեխանիկայում ===
Տեսական մեխանիկայում համակարգի լագրանժյանի ածանցյալը ըստ ընդհանրացված արագության կոչվում է ընդհանրացված իմպուլս 

  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                
                  L
                
              
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      q
                      ˙
                    
                  
                
                
                  i
                
              
            
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle p_{i}={{\partial {\mathcal {L}}} \over {\partial {\dot {q}}_{i}}}:}
  Ազատ մասնիկի համար Լագրանժի ֆունկցիան ունի 
  
    
      
        
          
            L
          
        
        =
        −
        m
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            1
            −
            
              v
              
                2
              
            
            
              /
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}
   տեսքը, որտեղից ստացվում են վերը բերված հավասարումները։
Փակ համակարգի լագրանժյանի կախված չլինելը համակարգի դիրքից բխում է տարածության համասեռությունից. լավ մեկուսացված համակարգի վարքը կախված չէ տարածության մեջ նրա զբաղեցրած դիրքից։ Ըստ Նյոտերի թեորեմի, այդ համասեռությունից բխում է որոշակի ֆիզիկական մեծության պահպանումը։ Հենց այդ մեծությունն էլ կոչվում է իմպուլս։


=== Քառաչափ ձևակերպումը ===
Ռելյատիվիստական քառաչափ իմպուլսը ինվարիանտ է Լորենցի ձևափոխությունների նկատմամբ։ Սահմանվում է որպես

  
    
      
        
          P
        
        =
        (
        E
        
          /
        
        c
        ,
        
          p
          
            x
          
        
        ,
        
          p
          
            y
          
        
        ,
        
          p
          
            z
          
        
        )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} =(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})\,,}
  որտեղ 
  
    
      
        E
        =
        γ
        
          m
          
            0
          
        
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle E=\gamma m_{0}c^{2}}
  -ն համակարգի ամբողջ ռելյատիվիստական էներգիան է, 
  
    
      
        
          p
          
            x
          
        
        ,
        
          p
          
            y
          
        
        ,
        
          p
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{x},p_{y},p_{z}}
  -ը համապատասխանաբար ռելյատիվիստական իմպուլսի 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ,
        z
      
    
    {\displaystyle x,y,z}
   բաղադրիչներն են։
Քառաչափ իմպուլսի 
  
    
      
        
          |
        
        P
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |P|}
   մոդուլը հավասար է 
  
    
      
        
          m
          
            0
          
        
        c
      
    
    {\displaystyle m_{0}c}
  , ուստի

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        
          P
        
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        (
        E
        
          /
        
        c
        
          )
          
            2
          
        
        −
        
          p
          
            2
          
        
        =
        (
        
          m
          
            0
          
        
        c
        
          )
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle ||\mathbf {P} ||^{2}=(E/c)^{2}-p^{2}=(m_{0}c)^{2}\,}
  ինչը ինվարիանտ է բոլոր հաշվարկման համակարգերում։ Փակ համակարգում պահպանվում է ամբողջ քառաչափ իմպուլսը, ինչի հետևանքով իմպուլսի և էներգիայի պահպանման օրենքները կարելի է ներառել մեկ հավասարման մեջ։ Օրինակ, 
  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{1}}
   և 
  
    
      
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{2}}
   հանգստի զանգվածներով և 
  
    
      
        
          v
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{1}}
   և 
  
    
      
        
          v
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{2}}
   սկզբնական արագություններով երկու մասնիկների բախման դեպքում 
  
    
      
        
          v
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{3}}
   և 
  
    
      
        
          v
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{4}}
   վերջնական արագությունները կարելի է գտնել քառաչափ իմպուլսի պահպանման օրենքից՝ 

  
    
      
        
          
            P
          
          
            1
          
        
        +
        
          
            P
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            P
          
          
            3
          
        
        +
        
          
            P
          
          
            4
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}=\mathbf {P} _{3}+\mathbf {P} _{4}\,,}
  որտեղ

  
    
      
        
          
            P
          
          
            i
          
        
        =
        
          m
          
            i
          
        
        
          γ
          
            i
          
        
        (
        c
        ,
        
          
            v
          
          
            i
          
        
        )
        :
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} _{i}=m_{i}\gamma _{i}(c,\mathbf {v} _{i}):}
  Առաձգական բախման դեպքում հանգստի զանգվածը մնում է անփոփոխ (
  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
        =
        
          m
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{1}=m_{3}}
   և 
  
    
      
        
          m
          
            2
          
        
        =
        
          m
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{2}=m_{4}}
  )։ Ոչ առաձգական բախման դեպքում հանգստի զանգվածը աճում է՝ պայմանավորված ջերմային էներգիայի աճով։ 
Քառաչափ իմպուլսի պահպանումը կարելի է մեկնաբանել որպես տարածություն-ժամանակի համասեռության արդյունք։


=== Իմպուլսը քվանտային մեխանիկայում ===
Քվանտային մեխանիկայում իմպուլսը սահմանվում է որպես ալիքային ֆունկցիայի օպերատոր։ Հայզենբերգի անորոշությունների սկզբունքը տալիս է ճշտության սահմանը, որով կարելի է իմանալ համակարգի իմպուլսը և կոորդինատը։ Քվանտային մեխանիկայում իմպուլսը և կոորդինատը համալուծ մեծություններ են։
Մեկ մասնիկի համար իմպուլսի օպերատորը կորդինատական պատկերացումով կարելի է գրել որպես

  
    
      
        
          p
        
        =
        
          
            ℏ
            i
          
        
        ∇
        =
        −
        i
        ℏ
        ∇
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} ={\hbar  \over i}\nabla =-i\hbar \nabla \,,}
  որտեղ 
  
    
      
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla }
  -ն նաբլա-օպերատորն է, 
  
    
      
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \hbar }
  -ը՝ Պլանկի բերված հաստատունը, 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  -ն՝ կեղծ միավորը։ Այլ պատկերացումներով իմպուլսի օպերատորը այլ տեսք ունի։ Օրինակ, իմպուլսային պատկերացումով այն ներկայացվում է որպես

  
    
      
        
          p
        
        ψ
        (
        p
        )
        =
        p
        ψ
        (
        p
        )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} \psi (p)=p\psi (p)\,,}
  որտեղ 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   օպերատորը, գործելով 
  
    
      
        Ψ
        (
        p
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (p)}
   ալիքային ֆունկցիայի վրա, բերում է նրան, որ վերջինս բազմապատկվում է 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  -ով։ Համանման ձևով կորդինատի օպերատորի ազդեցությունը 
  
    
      
        Ψ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \Psi (x)}
   ալիքային ֆունկցիայի վրա կհանգեցներ վերջինիս բազմապատկմանը 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ով։


=== Էլեկտրամագնիսական դաշտի իմպուլսը ===
Մասնիկի լրիվ իմպուլսը էլեկտրամագնիսական դաշտում հավասար է

  
    
      
        
          p
        
        =
        
          
            
              m
              
                v
              
            
            
              1
              −
              
                v
                
                  2
                
              
              
                /
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        q
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+q\mathbf {A} }
  որտեղ 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  -ը էլեկտրամագնիսական դաշտի վեկտորական պոտենցիալն է։


== Տես նաև ==
Ուժի իմպուլս


== Հղումներ ==