Եռանկյան միջնագիծ

Միջնագիծ (լատ.՝ mediāna) է կոչվում  եռանկյան գագաթը նրա հանդիպակաց կողմի միջնակետին միացնող գիծը։ Հաճախ միջնագիծ են անվանում նաև այդ հատվածը պարունակող ուղղին։ Միջնագծի եռանկյանը հատվող կետը կոչվում է միջնագծի հիմք։


== Հիմնական հատկություններ ==
Բոլոր երեք միջնագծերը հատվում են նույն կետում, որը կոչվում է եռանկյան ծանրության կենտրոն, և այդ կետով կիսվում են երկու մասի 2:1 հարաբերությամբ (հաշված գագաթից)։


== Հավասարասրուն եռանկյան միջնագծի հատկություններ ==
Հավասարասրուն եռանկյան երկու միջնագծերը տարված երկու հավասար կողմերին հավասար են, իսկ երրորդը՝ միաժամանակ հանդիսանում է նաև բարձրություն և կիսորդ։ Այստեղից հետևում է նաև, որ եթե եռանկյան երկու միջնագծերը հավասար են, ապա եռանկյունին հավասարասրուն է։
Հավասարակողմ եռանկյան երեք միջնագծերը հավասար են։


== Միջնագծերի հիմքերի հատկություններ ==


=== Ինը կետերի Էյլերի թեորեմ ===
Կամայական եռանկյան երեք բարձրության կետերը, երեք կողմերի միջնակետերը (միջնագծերի հիմքերը), երեք հատվածների միջնակետերը՝ որոնք միացնում են գագաթը եռանկյան ծանրության կենտրոնի հետ, միասին գտնվում են մի շրջանի վրա, որը կոչվում է ինը կետերի շրջանագիծ։


=== Միջին գիծ ===
Եռանկյան երկու միջնագծերի հիմքերը միացնող հատվածը հանդիսանում է նրա միջին գիծ։ Եռանկյան միջին գիծը միշտ զուգահեռ է այն կողմին, որի հետ չունի ընդհանուր կետ։


=== Թալեսի թեորեմ (հետևություն) ===
Եռանկյան միջին գիծը հավասար է նրան զուգահեռ կողմի երկարության կեսին։


== Այլ հատկություններ ==
Եթե եռանկյունին հավասարակողմ չէ, ապա նրա ցանկացած գագաթից տարված կիսորդը գտնվում է նույն գագաթից տարված միջնագծի և բարձրության միջև։
Միջնագիծը եռանկյունը բաժանում է երկու հավասարազոր մակերես ունեցող մասերի։
Երեք միջնագծերի միջոցով եռանկյունը բաժանվում է վեց հավասարազոր եռանկյունների։
Միջնագծերի հատվածներով կարելի է կառուցել եռանկյուն, որի մակերեսը հավասար կլինի եռանկյան մակերեսի 3/4֊ին։
Ուղղանկյուն եռանկյան միջնագիծը, տարված ուղիղ անկյան գագաթից, հավասար է ներքնաձիգի կեսին։
Եռանկյան մեծ կողմին համապատասխանում է փոքր միջնագիծը։
Տրված միջնագծերով եռանկյունը գոյություն ունի, եթե փոքր միջնագծերի երկարությունների գումարը մեծ է երրորդ միջնագծի երկարությունից։


== Հիմնական հարաբերակցություն ==
Տրված կողմերով եռանկյան միջնագծի հաշվման համար կիրառվում է Ապոլոնիուսի թեորեմը, որը դուրս է բերվում Ստյուարտի թեորեմի միջոցով։

  
    
      
        
          m
          
            c
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              2
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{c}={\frac {\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}}}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          m
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{c}}
   ֊ն 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   կողմի միջնագիծն է, իսկ 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  ֊ն եռանկյան կողմերը։Մասնավորապես կամայական եռանկյան միջնագծերի քառակուսիների գումարը կազմում է եռանկյան կողմերի քառակուսիների գումարի 3/4֊ին։

  
    
      
        
          m
          
            a
          
          
            2
          
        
        +
        
          m
          
            b
          
          
            2
          
        
        +
        
          m
          
            c
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            3
            4
          
        
        (
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}
  .Կարելի է նաև արտահայտել կամայական կողմի երկարությունը միջնագծերի միջոցով։
  
    
      
        a
        =
        
          
            2
            3
          
        
        
          
            2
            (
            
              m
              
                b
              
              
                2
              
            
            +
            
              m
              
                c
              
              
                2
              
            
            )
            −
            
              m
              
                a
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {2(m_{b}^{2}+m_{c}^{2})-m_{a}^{2}}}}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          m
          
            a
          
        
        ,
        
          m
          
            b
          
        
        ,
        
          m
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}}
  ֊ն  
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
   կողմերի համապատասխան միջնագծերն են։


== Գրականություն ==
Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника, 1902 год.


== Արտաքին հղումներ ==
Основные линии треугольника