Ներդաշնակ տատանումներ

Ներդաշնակ տատանումներ, ֆիզիկական մեծության պարբերական փոփոխությունները ժամանակի ընթացքում սինուսի կամ կոսինուսի օրենքով։ Գրաֆիկորեն պատկերվում են սինուսոիդով կամ կոսինուսոիդով և գրի առնվում

Տ= Asin(ωt+φ0)
կամ
Տ= Acos(ωt+φ0)
տեսքով, որտեղ

Տ-ը տատանվող մեծության արժեքն է ժամանակի t պահին,
A-ն տատանումների լայնույթն է,
ω-ն՝ անկյունային հաճախականությունը,
(ωt+φ0)-ն՝ փուլ(գումարային փուլ)
φ0-ն՝ սկզբնական փուլը։Ներդաշնակ տատանումները պարբերական պրոցեսներ են ։ T -ն պարբերություն է կոչվում, նվազագույն ժամանակահատվածը, որը հետևյալ հատկությունն ունի.

  
    
      
        u
        (
        t
        +
        T
        )
        =
        u
        (
        t
        )
        :
      
    
    {\displaystyle u(t+T)=u(t):}
  

  
    
      
        T
        =
        2
        π
        
          /
        
        w
        =
        1
        
          /
        
        f
      
    
    {\displaystyle T=2\pi /w=1/f}
   որտեղ 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ը տատանումների հաճախությունն է։
Էլեկտրամագնիսականության մեջ տեսությունում հանդիպում ենք ներդաշնակ տատանումներ նկարագրող ժամանակի և կոորդինատների սկալյար և վեկտորային ֆունկցիաների ։

  
    
      
        u
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        ,
        t
        )
        =
        u
        (
        
          
            r
            →
          
        
        ,
        t
        )
        =
        U
        m
        (
        r
        )
        c
        o
        s
        [
        w
        t
        +
        ψ
        (
        
          
            r
            →
          
        
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle u(x,y,z,t)=u({\overrightarrow {r}},t)=Um(r)cos[wt+\psi ({\overrightarrow {r}})]}
  

  
    
      
        u
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle u(x,y,z,t)}
  -ն սկալյար ֆունկցիա է․

  
    
      
        
          
            V
            →
          
        
        (
        r
        ,
        t
        )
        =
        V
        m
        x
        (
        
          
            r
            →
          
        
        )
        c
        o
        s
        [
        w
        t
        +
        ψ
        x
        (
        
          
            r
            →
          
        
        )
        ]
        
          
            i
            →
          
        
        +
        V
        m
        y
        (
        
          
            r
            →
          
        
        )
        c
        o
        s
        [
        w
        t
        +
        ψ
        y
        (
        
          
            
              r
              )
            
            →
          
        
        ]
        
          
            j
            →
          
        
        +
        V
        m
        z
        (
        
          
            r
            →
          
        
        )
        c
        o
        s
        [
        w
        t
        +
        ψ
        z
        (
        
          
            r
            →
          
        
        )
        ]
        
          
            k
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {V}}(r,t)=Vmx({\overrightarrow {r}})cos[wt+\psi x({\overrightarrow {r}})]{\overrightarrow {i}}+Vmy({\overrightarrow {r}})cos[wt+\psi y({\overrightarrow {r)}}]{\overrightarrow {j}}+Vmz({\overrightarrow {r}})cos[wt+\psi z({\overrightarrow {r}})]{\overrightarrow {k}}}
  

  
    
      
        
          
            V
            →
          
        
        (
        
          
            r
            →
          
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {V}}({\overrightarrow {r}},t)}
  -վեկտորային ֆունկցիա է, որը կախված է երեք սկալյար ֆունկցիաներից։
Եթե մասնավորապես, վեկտորի կեմպոնենտների սկզբնական ֆազերը հավասար են իրար, ապա.

  
    
      
        
          
            V
            →
          
        
        (
        
          
            r
            →
          
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            V
            →
          
        
        m
        (
        r
        )
        c
        o
        s
        [
        w
        t
        +
        ψ
        (
        
          
            r
            →
          
        
        )
        ]
        ,
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {V}}({\overrightarrow {r}},t)={\overrightarrow {V}}m(r)cos[wt+\psi ({\overrightarrow {r}})],}
   ուր 
  
    
      
        
          
            V
            →
          
        
        m
        =
        V
        m
        x
        
          
            i
            →
          
        
        +
        V
        m
        y
        
          
            j
            →
          
        
        +
        V
        m
        z
        
          
            k
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {V}}m=Vmx{\overrightarrow {i}}+Vmy{\overrightarrow {j}}+Vmz{\overrightarrow {k}}}
  

  
    
      
        ψ
        =
        ψ
        x
        =
        ψ
        y
        =
        ψ
        z
      
    
    {\displaystyle \psi =\psi x=\psi y=\psi z}
  
Ներդաշնակ տատանումների տեսությունում առհասարակ օգտագործում են կոմպլեքս լայնույթների մեթոդը։ Այդ մեթոդի իմաստն այն է, որ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փոխարեն օգտագործվում են էքսպոնենցիալներ։

  
    
      
        u
        =
        U
        m
        
          e
          
            j
            (
            w
            t
            +
            ψ
            )
          
        
        =
        U
        m
        
          e
          
            j
            w
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle u=Ume^{j(wt+\psi )}=Ume^{jwt}}
  

  
    
      
        U
        m
        =
        U
        m
        
          e
          
            j
            ψ
          
        
      
    
    {\displaystyle Um=Ume^{j\psi }}
   - այս մեծությունները տեղեկություններ են կրում ամպլիտուդից և սկզբնական փուլից և կոչվում են կոմպլեքս ամպլիտուդ։
Էյլերի բանաձևից սկալյար ֆունկցիայի համար կարող ենք գրել.

  
    
      
        u
        =
        R
        e
        u
        +
        R
        e
        U
        m
        
          e
          
            j
            w
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle u=Reu+ReUme^{jwt}}
  

  
    
      
        u
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        u
        +
        u
        )
      
    
    {\displaystyle u={\frac {1}{2}}(u+u)}
  
u - ն համալուծ մեծություն է։
Վեկտորային ֆունկցիայի տարբերակում կլինի.

  
    
      
        
          
            
              
                V
                m
              
              →
            
          
        
        =
        R
        e
        
          
            
              V
              →
            
          
        
        =
        R
        e
        
          
            
              
                V
                m
              
              →
            
          
        
        
          e
          
            j
            w
            t
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle {\vec {Vm}}=Re{\vec {V}}=Re{\vec {Vm}}e^{jwt}:}
  

  
    
      
        
          
            
              
                V
                m
              
              →
            
          
        
        =
        
          V
          
            m
            x
          
        
        
          e
          
            j
            
              ψ
              
                x
              
            
          
        
        
          
            
              i
              →
            
          
        
        +
        
          V
          
            m
            y
          
        
        
          e
          
            j
            
              ψ
              
                y
              
            
          
        
        
          
            
              j
              →
            
          
        
        +
        
          V
          
            m
            z
          
        
        
          e
          
            j
            
              ψ
              
                z
              
            
          
        
        
          
            
              k
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {Vm}}=V_{mx}e^{j\psi _{x}}{\vec {i}}+V_{my}e^{j\psi _{y}}{\vec {j}}+V_{mz}e^{j\psi _{z}}{\vec {k}}}
  

  
    
      
        
          
            
              V
              →
            
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          
            
              V
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              V
              →
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {V}}={\frac {1}{2}}({\vec {V}}+{\vec {V}})}
  
Կոմպլեքս լայնույթների մեթոդը զգալիորեն պարզեցնում է մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման ձևափոխությունները։ Պարզապես, դիֆերենցիալ հավասարման բոլոր անդամները բազմապատկվում են 
  
    
      
        e
        x
        p
        (
        j
        w
        t
        )
      
    
    {\displaystyle exp(jwt)}
   -ով։ Առանձնացնելով այդ անդամը՝ ստանում ենք ժամանակակից անկախ կոմպլեքս լայնույթի վերաբերյալ հավասարում, որի լուծման արդյունքը՝ կոմպլեքս ամպլիտուդը, բավական է բազմապատկել 
  
    
      
        e
        x
        p
        (
        j
        w
        t
        )
      
    
    {\displaystyle exp(jwt)}
   -ով և առանձնացնել իրական մասը, որն էլ կլինի որոնելի ֆիզիկական մեծությունը։
Կիրառենք այդ մեթոդը՝ փոխարինելով Մաքսվելի առաջին և երկրորդ հավասարումների 
  
    
      
        
          
            
              E
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              H
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              D
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              B
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              j
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {E}},{\vec {H}},{\vec {D}},{\vec {B}},{\vec {j}}}
   վեկտորները իրենց կոմպլեքս տեսքով.

  
    
      
        
          
            
              E
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              
                E
                →
              
            
          
          
            m
          
        
        e
        x
        p
        (
        j
        w
        t
        )
        ,
        
          
            
              H
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              
                H
                →
              
            
          
          
            m
          
        
        e
        x
        p
        (
        j
        w
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {E}}={\vec {E}}_{m}exp(jwt),{\vec {H}}={\vec {H}}_{m}exp(jwt)}
   և այլն։
Տեղադրենք և ավելացնենք 
  
    
      
        e
        x
        p
        (
        j
        w
        t
        )
        .
      
    
    {\displaystyle exp(jwt).}
  

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  r
                  o
                  t
                  
                    
                      
                        
                          H
                          →
                        
                      
                    
                    
                      m
                    
                  
                  =
                  j
                  w
                  
                    
                      
                        
                          D
                          →
                        
                      
                    
                    
                      m
                    
                  
                  +
                  
                    
                      
                        
                          j
                          →
                        
                      
                    
                    
                      m
                    
                  
                
              
              
                
                  r
                  o
                  t
                  
                    
                      
                        
                          E
                          →
                        
                      
                    
                    
                      m
                    
                  
                  =
                  −
                  j
                  w
                  
                    
                      
                        
                          B
                          →
                        
                      
                    
                    
                      m
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}rot{\vec {H}}_{m}=jw{\vec {D}}_{m}+{\vec {j}}_{m}\\rot{\vec {E}}_{m}=-jw{\vec {B}}_{m}\end{cases}}}
  
Ստացանք ժամանակակից անկախ հավասարումների համակարգ՝ կոմպլեքս լայնոիյթների վերաբերյալ։
Հեշտ է համոզվել, որ div-ով Մաքսվելի հավասարումները այս հավասարումների հետևանքն են։ Մաքսվելի երրորդ և չորրորդ հավասարումները կարելի է դուրս բերել այս երկու էլեկտրադինամիկայի հիմնական հավասարումներից, վերցնելով դրանց երկու կողմերի div-ն, հաշվի առնելով վեկտորային անալիզի 
  
    
      
        d
        i
        v
        r
        o
        t
        
          
            
              F
              →
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle divrot{\vec {F}}=0}
   հաստատումը և լիցքի պահպանման օրենքը 
  
    
      
        d
        i
        v
        
          
            
              
                j
                →
              
            
          
          
            m
          
        
        =
        −
        j
        w
        
          ρ
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle div{\vec {j}}_{m}=-jw\rho _{m}}
  :
Բացառելով ինդուկցիաներն ու հոսանքի խտությունը, թողնելով միայն լարվածությունները հավասարման աջ կողմը կստացվի՝

  
    
      
        j
        w
        
          
            
              
                D
                →
              
            
          
          
            m
          
        
        +
        
          
            
              
                j
                →
              
            
          
          
            m
          
        
        =
        j
        w
        t
        
          ε
          
            0
          
        
        (
        ε
        −
        j
        
          
            σ
            
              w
              
                ε
                
                  0
                
              
            
          
        
        )
        
          
            
              
                E
                →
              
            
          
          
            m
          
        
        +
        
          
            
              
                j
                →
              
            
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle jw{\vec {D}}_{m}+{\vec {j}}_{m}=jwt\varepsilon _{0}(\varepsilon -j{\frac {\sigma }{w\varepsilon _{0}}}){\vec {E}}_{m}+{\vec {j}}_{m}}
  :
Այստեղ 
  
    
      
        ε
        =
        ε
        −
        j
        
          
            σ
            
              w
              
                ε
                
                  0
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon -j{\frac {\sigma }{w\varepsilon _{0}}}}
  -կոմպլեքս դիէլեկտրիկի թափացելիությունն է։
Արդյունքում կստանանք.

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  r
                  o
                  t
                  
                    
                      
                        
                          H
                          →
                        
                      
                    
                    
                      m
                    
                  
                  =
                  j
                  w
                  
                    ε
                    
                      0
                    
                  
                  ε
                  
                    
                      
                        
                          E
                          →
                        
                      
                    
                    
                      m
                    
                  
                  +
                  
                    
                      
                        
                          j
                          →
                        
                      
                    
                    
                      m
                    
                  
                
              
              
                
                  r
                  o
                  t
                  
                    
                      
                        
                          E
                          →
                        
                      
                    
                    
                      m
                    
                  
                  =
                  −
                  j
                  w
                  
                    μ
                    
                      0
                    
                  
                  μ
                  
                    
                      
                        
                          H
                          →
                        
                      
                    
                    
                      m
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}rot{\vec {H}}_{m}=jw\varepsilon _{0}\varepsilon {\vec {E}}_{m}+{\vec {j}}_{m}\\rot{\vec {E}}_{m}=-jw\mu _{0}\mu {\vec {H}}_{m}\end{cases}}}
  
Գրառման պարզության համար 
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
   և 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  -ի կետերը այլևս չենք նշելու։
Կոմպլեքս ամպլիտուդների մեթոդը կիրառելիս Մաքսվելի հավասարումների ցանկացած անդամ պետք է դիտարկենք կոմպլեքս հարթությունում ՝ ընդլայնելով նրա ֆիզիկական բովանդակությունը։ Այդպես՝
  
    
      
        ε
        =
        
          ε
          ′
        
        +
        j
        
          ε
          ″
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon '+j\varepsilon ''}
  , 
  
    
      
        μ
        =
        
          μ
          ′
        
        +
        j
        
          μ
          ″
        
      
    
    {\displaystyle \mu =\mu '+j\mu ''}
  
Եվ հարմոնիկ տատանումների դեպքում,

  
    
      
        
          
            
              
                D
                →
              
            
          
          
            m
          
        
        =
        
          ε
          
            0
          
        
        ε
        
          
            
              
                E
                →
              
            
          
          
            m
          
        
        
          e
          
            −
            j
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {D}}_{m}=\varepsilon _{0}\varepsilon {\vec {E}}_{m}e^{-ja}}
  

  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   անկյունը 
  
    
      
        
          
            
              D
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {D}}}
   վեկտորի 
  
    
      
        
          
            
              E
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {E}}}
   -ից փուլային ուշացումն է.

  
    
      
        ε
        (
        c
        o
        s
        a
        −
        j
        s
        i
        n
        a
        )
        =
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon (cosa-jsina)=\varepsilon }
  :
Ընդունենք նաև հետևյալ արժեքները ։

  
    
      
        t
        g
        δ
        =
        
          
            
              ε
              ″
            
            
              ε
              ′
            
          
        
      
    
    {\displaystyle tg\delta ={\frac {\varepsilon ''}{\varepsilon '}}}
  

  
    
      
        t
        g
        δ
        =
        
          
            
              μ
              ″
            
            
              μ
              ′
            
          
        
      
    
    {\displaystyle tg\delta ={\frac {\mu ''}{\mu '}}}
  
ուր առաջին 
  
    
      
        δ
      
    
    {\displaystyle \delta }
  -ն կոչվում է էլեկտրական կորուտների անկյուն, իսկ երկրորդը մագնիսական կորուստների անկյուն ։

  
    
      
        ε
        =
        
          ε
          ′
        
        (
        1
        −
        j
        t
        g
        δ
        )
        =
        
          |
        
        ε
        
          |
        
        
          e
          
            −
            j
            δ
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon '(1-jtg\delta )=|\varepsilon |e^{-j\delta }}
  

  
    
      
        μ
        =
        
          μ
          ′
        
        (
        1
        −
        j
        t
        g
        δ
        )
        =
        j
        
          |
        
        μ
        
          |
        
        
          e
          
            −
            j
            δ
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu =\mu '(1-jtg\delta )=j|\mu |e^{-j\delta }}
  


== Ներդաշնակ տատանումների առանձնահատկությունները ==
Ներդաշնակ տատանումները տատանումների մյուս տեսակների մեջ կարևոր տեղ են գրավում երկու պատճառով․

բնության մեջ և տեխնիկայում հաճախ են հանդիպում ներդաշնակ տատանումներին նման տատանողական պրոցեսներ (օրինակ, ճոճանակի փոքր տատանումները)։
համարյա անփոփոխ հատկություններով համակարգերից շատերը (օրինակ, Էլեկտրական շղթաները, որոնց ինդուկտիվությունը, ունակությունը և դիմադրությունը կախված չեն լարումից և հոսանքի ուժից) ներդաշնակ տատանումների նկատմամբ իրենց յուրահատուկ ձևով են դրսևորում, այդ համակարգերի կատարած հարկադրական տատանումները ներդաշնակ տատանումների ներգործությամբ ընդունում են վերջիններիս ձևը։Այլ կերպ ասած՝ շատ դեպքերում ներդաշնակ տատանումները տատանումների միակ տեսակն են, որոնց ձևը վերարտադրելիս չի աղավաղվում։ Դրանով է պայմանավորված ներդաշնակ տատանումների կարևոր նշանակությունը, ինչպես նաև ոչ ներդաշնակ սպեկտրի տեսքով ներկայացնելու հնարավորությունը։