Պուասոնի ինտեգրալ

Պուասոնի ինտեգրալ, մաթեմատիկական  ինտեգրալ հավասարում։ Բանաձևային տեսքը`

  
    
      
        I
        =
        ∫
        e
        x
        p
        (
        −
        
          x
          
            2
          
        
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle I=\int exp(-x^{2})dx}
   :
Պուասոնի ինտեգրալի իմաստն այն է, որ ինտեգրման միջակայքը անվերջ թվային առանցքն է։ Արգումենտի մեծ արժեքների դեպքում էքսպոնենտի արագ ձգումը զրոյի ապահովում է ինտեգրալի վերջավոր լինելը, չնայած ինտեգրման միջակայքի անվերջությանը։
Այն հավասար է 
  
    
      
        
          
            π
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {\pi }}}
  :


== Ապացույց ==

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      I
                      =
                      ∫
                      e
                      x
                      p
                      (
                      −
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      )
                      d
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      I
                      =
                      ∫
                      e
                      x
                      p
                      (
                      −
                      
                        y
                        
                          2
                        
                      
                      )
                      d
                      y
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}{\displaystyle I=\int exp(-x^{2})dx}\\{\displaystyle I=\int exp(-y^{2})dy}\end{cases}}}
                                                (1)
(1) հավասարումները ճիշտ են քանի որ որոշյալ ինտեգրալը կախված չէ ինտեգրման փոփոխականից։
Բազմապատկելով այս երկու ինտեգրալները, կստացվի՝

  
    
      
        I
        ⋅
        I
        =
        
          I
          
            2
          
        
        =
        ∬
        e
        x
        p
        (
        −
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        )
        )
        d
        x
        d
        y
      
    
    {\displaystyle I\cdot I=I^{2}=\iint exp(-(x^{2}+y^{2}))dxdy}
                  (2)
Դիտարկելով x-ն ու y-ն որպես կոորդինատական առանցքներ, կրկնակի ինտեգրալը կունենա անվերջ հարթությամբ ինտեգրման իմաստ և կարելի է հաշվել հարթության վրա այն կոորդինատային համակարգում, որը հարմար է տվյալ դեպքում։ Քանի որ էքսպոնենտի ցուցիչում գրված է բևեռային շառավղի արտահայտությունը բևեռային կոորդինատային համակարգում։

Անցնելով բևեռային համակարգի, (2) արտահայատությունը կգրվի հետևյալ կերպ՝

  
    
      
        
          I
          
            2
          
        
        =
        
          
            ∫
            
              0
            
            
              +
              ∞
            
          
          
            
              
                ∫
                
                  0
                
                
                  2
                  π
                
              
              
                e
                x
                p
                (
                −
                (
                
                  r
                  
                    2
                  
                
                )
                )
                r
                d
                r
                d
                φ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle I^{2}=\textstyle \int _{0}^{+\infty }\displaystyle \textstyle \int _{0}^{2\pi }\displaystyle exp(-(r^{2}))rdrd\varphi }
                               (3)
Այստեղ առաջին հերթին փոխարինվել է կոորդինատային համակարգի  
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}}
   արտահայտությունը բևեռային համակարգի 
  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle r^{2}}
  -ով, երկրորդ՝ դեկարտյան կորդինատային համակարգի մակերեսի 
  
    
      
        d
        x
        d
        y
      
    
    {\displaystyle dxdy}
   միավորը՝ բևեռային 
  
    
      
        d
        r
        d
        φ
      
    
    {\displaystyle drd\varphi }
   -ով, երրորդը՝ փոխվել են ինտեգրման սահմանները՝ համաձայն նոր փոփոխականների։
Այստեղ ենթաինտեգրալային արտահայտությունը վերածվում է երկու արտահայտությունների արտադրյալի, որոնցից յուրաքանչյուրը կախված է միայն մեկ փոփոխականից՝

  
    
      
        
          I
          
            2
          
        
        =
        
          
            ∫
            
              0
            
            
              ∞
            
          
          
            e
            x
            p
            (
            −
            (
            
              r
              
                2
              
            
            )
            )
            r
            d
            r
            
              
                ∫
                
                  0
                
                
                  2
                  π
                
              
              
                d
                φ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle I^{2}=\textstyle \int _{0}^{\infty }\displaystyle exp(-(r^{2}))rdr\textstyle \int _{0}^{2\pi }\displaystyle d\varphi }
                               (4)
Այս անորոշ ինտեգրալները կարելի է հեշտորեն հաշվել։ Հարկ է ուշադրություն դարձնել, որ (4)-ի առաջին ինտեգրալը 
  
    
      
        r
        d
        r
        =
        −
        
          (
          
            
              1
              2
            
          
          )
        
        d
        (
        −
        
          r
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle rdr=-\left({\frac {1}{2}}\right)d(-r^{2})}
    արտահայտության առկայությամբ տարբերվում է (1) ինտեգրալից, որտեղ դիֆերենցիալի և էքսպոնենտի տակ գտնվող արտահայտությունները չեն համընկնում։
(4)-ը կգրվի որպես՝

  
    
      
        
          I
          
            2
          
        
        =
        
          
            ∫
            
              0
            
            
              ∞
            
          
          
            d
            e
            x
            p
            (
            −
            (
            
              r
              
                2
              
            
            )
            )
            
              
                ∫
                
                  0
                
                
                  2
                  π
                
              
              
                d
                φ
                =
                −
                
                  (
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                  )
                
                (
                0
                −
                1
                )
                2
                π
                =
                π
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle I^{2}=\textstyle \int _{0}^{\infty }\displaystyle dexp(-(r^{2}))\textstyle \int _{0}^{2\pi }\displaystyle d\varphi =-\left({\frac {1}{2}}\right)(0-1)2\pi =\pi }
  
Ստացվում է Պուասոնի ինտեգրալի հետևյալ արտահայտությունը՝

  
    
      
        I
        =
        
          
            ∫
            
              −
              ∞
            
            
              ∞
            
          
          
            e
            x
            p
            (
            −
            
              x
              
                2
              
            
            )
            d
            x
            =
            
              
                π
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle I=\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle exp(-x^{2})dx={\sqrt {\pi }}}
  :


== Ընդհանրացում և վարիացիա ==
Պուասոնի ինտեգրալի հիմք և ընդհանրացում է համարվում Գաուսյան ինտերգրալը (նաև անվանում են Էյլեր-Պուասոնի ինտերգալ), որը գաուսյան ֆունկցիայի ինտեգրա է։


=== Վարիացիաներ ===
Մաստշտաբավորված գաուսյան ֆունկցիայի գաուսյան ինտերգրալները՝

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        α
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
            
              /
            
            
              β
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        x
        =
        α
        β
        
          
            π
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\alpha e^{-x^{2}/\beta ^{2}}\,dx=\alpha \beta {\sqrt {\pi }}}
  ,և բազմաչափ գաուսյան ինտեգրալները՝

  
    
      
        ∫
        α
        
          e
          
            −
            (
            
              x
              
                2
              
            
            
              /
            
            
              β
              
                1
              
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
            
              /
            
            
              β
              
                2
              
              
                2
              
            
            +
            
              z
              
                2
              
            
            
              /
            
            
              β
              
                3
              
              
                2
              
            
            +
            …
            )
          
        
        
        d
        x
        d
        y
        d
        z
        ⋯
        =
        α
        
          β
          
            1
          
        
        
          β
          
            2
          
        
        
          β
          
            3
          
        
        …
        
          
            
              π
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int \alpha e^{-(x^{2}/\beta _{1}^{2}+y^{2}/\beta _{2}^{2}+z^{2}/\beta _{3}^{2}+\dots )}\,dxdydz\dots =\alpha \beta _{1}\beta _{2}\beta _{3}\dots {\sqrt {\pi ^{n}}}}
  ,պազրորեն բերվում են սովորական միաչափ ինտեգրալների (ինտեգրումը կատարվում է ողջ տարածությունով)։
Վերոնշյալը վերաբերվում է նաև հետևյալ տեսքի բազմաչափ ինտեգրալներին՝

  
    
      
        ∫
        
          e
          
            x
            M
            x
          
        
        
        d
        
          x
          
            1
          
        
        d
        
          x
          
            2
          
        
        d
        
          x
          
            3
          
        
        …
        d
        
          x
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              
                π
                
                  n
                
              
              
                
                  |
                
                det
                (
                M
                )
                
                  |
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int e^{xMx}\,dx_{1}dx_{2}dx_{3}\dots dx_{n}={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{|\det(M)|}}}}
  , որտեղ x-ը վեկտոր է, իսկ M-ը՝ բացասական սեփական թվերով սիմետրիկ մատրից։Գործնական խնդիրներում (օրինակ` գաուսյան ֆունկցիայի ֆուրյե-ձևափոխության ժամանակ), հաճախ ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            a
            
              x
              
                2
              
            
            +
            b
            x
            +
            c
          
        
        
        d
        x
        =
        
          
            
              π
              a
            
          
        
        
        
          e
          
            
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                
                  4
                  a
                
              
            
            +
            c
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}+bx+c}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\,e^{{\frac {b^{2}}{4a}}+c},}
  


== Պատմություն ==

Առաջին անգամ գաուսյան ինտեգրալը հայտաբերել է Էյլերը 1729 թվականին, հետո Պուասոնը գտել է հաշվման պարզ մեթոդ։
Այդ պատճառով այն անվանվում է էյլեր-պուասոնի ինտեգրալ։


== Գրականություն ==
Վ. Ֆ. Մորոզով, «Պուասոնի ինտեգրալը և նրա ածանցյալները», Երևանի համալսարանի հրատարակչություն, Երևան 2002։