Կիսապարագիծ

Կիսապարագիծ, բազմանկյան կիսապարագիծ, նրա պարագծի կեսին հավասար մեծություն։ Չնայած, որ կիսապարագիծը հանդիսանում է պարագծի շատ պարզ ածանցիալը, հաճախ է հանդիպում եռանկյան  և այլ երկրաչափական պատկերների բանաձևերում։ Նրան տվել են առանձին անվանում և բանաձևերում նշանակում են P տառով։


== Եռանկյուններ ==

Կիսապարագիծը հաճախ օգտագործվում եռանկյունների համար։ a, b և c կողմերով եռանկյան կիսապարագծի բանաձևն է․

  
    
      
        p
        =
        
          
            
              a
              +
              b
              +
              c
            
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}.}
  


=== Հատկություններ ===
Նկ․1․-ում ցույց են տրված եռանկյան A, B, C կողմերը և  A', B', C',  շրջանագծերի շոշափման կետերը։ Այդ դեպքում․

  
    
      
        p
        =
        
          |
        
        A
        B
        
          |
        
        +
        
          |
        
        
          A
          ′
        
        B
        
          |
        
        =
        
          |
        
        A
        B
        
          |
        
        +
        
          |
        
        A
        
          B
          ′
        
        
          |
        
        =
        
          |
        
        A
        C
        
          |
        
        +
        
          |
        
        
          A
          ′
        
        C
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle p=|AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C|}
  

  
    
      
        =
        
          |
        
        A
        C
        
          |
        
        +
        
          |
        
        A
        
          C
          ′
        
        
          |
        
        =
        
          |
        
        B
        C
        
          |
        
        +
        
          |
        
        
          B
          ′
        
        C
        
          |
        
        =
        
          |
        
        B
        C
        
          |
        
        +
        
          |
        
        B
        
          C
          ′
        
        
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle =|AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.}
  Երեք հատվածները, որոնք միացնում են գագաթները հանդիպակած կողմի շոշափման կետերի հետ, հատվում են մի կետում, որը կոչվում է Հեգելի կետ։
Դիտարկենք այն հատվածները, որոնք կողմի միջնակետերը միացնում են այն կետերի հետ, որ հեռացված են կողմի երկայնքով կիսապարագծի չափով։ Կտեսնենք, որ դրանք հատվում են մի կետում։ Այդ կետը կոչվում է Շպիկերի շրջանագծի կենտրոն։ Շպիկերի կենտրոնը եռանկյան ծանրության կենտրոնն է։
Եռանկյան ներգծված շրջանագծի կենտրոնով անցնող ուղիղը բաժանում է պարագիծը երկու հավասար մասերի՝ այն և միայն այն դեպքում, երբ այն բաժանում է մակերեսը երկու հավասար մասերի։
Եռանկյան կիսապարագիծը հավասար է միջնագծերով կազմված եռանկյան պարագծին։
Առանկյան ամենամեծ կողմը մեծ չէ կիսապարագծից։


=== Կիսապարագծով բանաձևեր ===
Ցանկացած եռանկյան մակերեսը հավասար է իր ներգծած շրջանագծի r շառավղի և  p կիսապարագծի արտադրյալին։

  
    
      
        S
        =
        r
        p
        .
      
    
    {\displaystyle S=rp.}
  Հերոնի բանաձևը եռանկյան s մակերեսը հաշվելու համար (a, b, c  եռանկյան կողմեր, p կիսապարագիծ)։

  
    
      
        S
        =
        
          
            p
            
              (
              
                p
                −
                a
              
              )
            
            
              (
              
                p
                −
                b
              
              )
            
            
              (
              
                p
                −
                c
              
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle S={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}.}
  Արտագծած  շրջանագծի R  շառավիղը կարելի է հաշվել կիսապարագծի  և կողմերի երկարության միջոցով։

  
    
      
        R
        =
        
          
            
              a
              b
              c
            
            
              4
              
                
                  p
                  (
                  p
                  −
                  a
                  )
                  (
                  p
                  −
                  b
                  )
                  (
                  p
                  −
                  c
                  )
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle R={\frac {abc}{4{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}.}
  Այս բանաձևը կարելի է դուրս բերել սինուսների թեորեմից։
Ներգծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է․

  
    
      
        r
        =
        
          
            
              
                (
                p
                −
                a
                )
                (
                p
                −
                b
                )
                (
                p
                −
                c
                )
              
              p
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle r={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}.}
  Կոտանգենսների թեորեմը տալիս է եռանկյան գագաթի անկյան մեծության կեսի տանգենսը կիսապարագծով։
a կողմի դիմացի անկյան կիսորդի երկարությունը հավասար է․

  
    
      
        
          t
          
            a
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                
                  b
                  c
                  p
                  (
                  p
                  −
                  a
                  )
                
              
            
            
              b
              +
              c
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcp(p-a)}}}{b+c}}.}
  Ուղղանկյուն եռանկյան արտագծած շրջանագծի շառավիղը հավասար է ներգնաձիգի կեսին։
Կիսապարագիծը հավասար է ներգծած շրջանագծի շառավղի և արտագծած շառավղի կրկնապատիկի գումարին։
Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է․

  
    
      
        s
        =
        (
        p
        −
        a
        )
        (
        p
        −
        b
        )
      
    
    {\displaystyle s=(p-a)(p-b)}
  , որտեղ a և b  էջերն են։


== Քառանկյուններ ==
a, b, c  և d  կողմերով քառանկյան կիսապարագծի հաշվման բանաձևըն է․

  
    
      
        p
        =
        
          
            
              a
              +
              b
              +
              c
              +
              d
            
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}.}
  Քառանկյան մակերեսը հավասար է նրան ներգծած շրջանագծի շառավղի և կիսապարագծի արտադրյալին․

  
    
      
        S
        =
        r
        p
        .
      
    
    {\displaystyle S=rp.}
  Բրահմագուպտայի բանաձևը քառանկյան մակերեսի համար․

  
    
      
        S
        =
        
          
            
              (
              
                p
                −
                a
              
              )
            
            
              (
              
                p
                −
                b
              
              )
            
            
              (
              
                p
                −
                c
              
              )
            
            
              (
              
                p
                −
                d
              
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle S={\sqrt {\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\left(p-d\right)}}.}
  Բրետշնայդերի բանաձևն իր մեջ ընդհանրացնում է բոլոր տիպի ուռուցիկ քառանկյունների մակերեսների բանաձևերը։

  
    
      
        S
        =
        
          
            (
            p
            −
            a
            )
            (
            p
            −
            b
            )
            (
            p
            −
            c
            )
            (
            p
            −
            d
            )
            −
            a
            b
            c
            d
            ⋅
            
              cos
              
                2
              
            
            ⁡
            
              (
              
                
                  
                    α
                    +
                    γ
                  
                  2
                
              
              )
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}},}
  որեղ 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  -ն և  
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  -ն հանդիպակած անկյուններ են։


== Կանոնավոր բազմանկյուն ==
Ուռուցիկ կանոնավոր քառանկյան մակերեսը հավասար է իր կիսապարագծի և կենտրոնից, կաղմերից մեկի հեռավորության արտադրյալին։


== Ծանոթագրություն ==


== Գրականություն ==
Roger A. Johnson Advanced Euclidean Geometry. — Dover Publ., 2007. (Переиздание книги 1929 года)


== Արտաքին հղումներ ==
Մաթեմատիկա
Երկրաչափություն
Եռանկյուն
Պարագիծ
Հերոնի բանաձև