Սեդրակյանի անհավասարություն

Անհավասարությունը հայտնի է Սեդրակյանի անհավասարություն, Էնգըլի տեսք և Տիտուի լեմմա անուններով՝ համապատասխանաբար ըստ Նաիրի Սեդրակյանի 1997 թվականի «Մի անհավասարության կիրառության մասին» հոդվածի, Արթուր Էնգըլի 1998 թվականի «Խնդիրներ լուծելու ռազմավարություններ» և Տիտու Անդրեեսկուի 2003 թվականի «Մաթեմատիկական օլիմպիական գանձեր» գրքերի։ Անհավասարությունն ուղիղ հետևանք է Կոշի-Բունյակովսկու անհավասարության։ Այդուհանդերձ, իր հոդվածում Սեդրակյանը նկատել է, որ անհավասարության այս գրելաձևն ունի խիստ օգտակար նոր կիրառություններ, և ցույց է տվել բազմաթիվ օրինակներ, թե ինչպես այն կարող է օգտագործվել տարատեսակ անհավասարություններ ապացուցելու համար։ «Հանրահաշվական անհավասարություններ» գրքում Սեդրակյանը տալիս է այս անհավասարության մի քանի ընդհանրացում։


== Անհավասարության ձևակերպումը ==
Կամայական 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        
          a
          
            3
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}}
   իրական և 
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
        ,
        
          b
          
            2
          
        
        ,
        
          b
          
            3
          
        
        ,
        …
        ,
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n}}
   դրական թվերի համար՝ 
  
    
      
        
          
            
              a
              
                1
              
              
                2
              
            
            
              b
              
                1
              
            
          
        
        +
        
          
            
              a
              
                2
              
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            
              a
              
                n
              
              
                2
              
            
            
              b
              
                n
              
            
          
        
        ≥
        
          
            
              (
              
                a
                
                  1
                
              
              +
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                a
                
                  n
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              
                b
                
                  1
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                b
                
                  n
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\frac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+\cdots +{\frac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}\geq {\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}}}}
  ։


== Ուղղակի կիրառություններ ==
Օրինակ 1․ Նեսբիթի անհավասարություն․
Եթե 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  -ն դրական թվեր են, ապա

  
    
      
        
          
            a
            
              b
              +
              c
            
          
        
        +
        
          
            b
            
              a
              +
              c
            
          
        
        +
        
          
            c
            
              a
              +
              b
            
          
        
        ≥
        
          
            3
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}}
  ։
Օրինակ 2. Միջազգային մաթեմատիկական օլիմպիադա (IMO) 1995.
Եթե 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  -ն դրական թվեր են, և 
  
    
      
        a
        b
        c
        =
        1
      
    
    {\displaystyle abc=1}
   , ապա 
  
    
      
        
          
            1
            
              
                a
                
                  3
                
              
              (
              b
              +
              c
              )
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              
                b
                
                  3
                
              
              (
              b
              +
              c
              )
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              
                c
                
                  3
                
              
              (
              a
              +
              b
              )
            
          
        
        ≥
        
          
            3
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{a^{3}(b+c)}}+{\frac {1}{b^{3}(b+c)}}+{\frac {1}{c^{3}(a+b)}}\geq {\frac {3}{2}}}
  ։
Օրինակ 3․
Եթե 
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  -ն դրական թվեր են, ապա 
  
    
      
        8
        (
        
          a
          
            4
          
        
        +
        
          b
          
            4
          
        
        )
        ≥
        (
        a
        +
        b
        
          )
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle 8(a^{4}+b^{4})\geq (a+b)^{4}}
  ։
Օրինակ 4․
Եթե 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  -ն դրական թվեր են, ապա 
  
    
      
        
          
            1
            
              a
              +
              b
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              b
              +
              c
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              a
              +
              c
            
          
        
        ≥
        
          
            9
            
              2
              (
              a
              +
              b
              +
              c
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {9}{2(a+b+c)}}}
  ։


== Ապացույցներ ==
Օրինակ 1․
Ունենք, որ 
  
    
      
        
          
            a
            
              b
              +
              c
            
          
        
        +
        
          
            b
            
              a
              +
              c
            
          
        
        +
        
          
            c
            
              a
              +
              b
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            
              a
              (
              b
              +
              c
              )
            
          
        
        +
        
          
            
              b
              
                2
              
            
            
              b
              (
              a
              +
              c
              )
            
          
        
        +
        
          
            
              c
              
                2
              
            
            
              c
              (
              a
              +
              b
              )
            
          
        
        ≥
        
          
            
              (
              a
              +
              b
              +
              c
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              2
              (
              a
              b
              +
              b
              c
              +
              a
              c
              )
            
          
        
        ≥
        
          
            3
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}={\frac {a^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {b^{2}}{b(a+c)}}+{\frac {c^{2}}{c(a+b)}}\geq {\frac {(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac)}}\geq {\frac {3}{2}}}
  ։
Օրինակ 2․
Ունենք, որ 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  (
                
              
              
                
                  1
                  a
                
              
              
                
                  
                    )
                  
                
                
                  2
                
              
            
            
              a
              (
              b
              +
              c
              )
            
          
        
        +
        
          
            
              
                
                  (
                
              
              
                
                  1
                  b
                
              
              
                
                  
                    )
                  
                
                
                  2
                
              
            
            
              b
              (
              a
              +
              c
              )
            
          
        
        +
        
          
            
              
                
                  (
                
              
              
                
                  1
                  c
                
              
              
                
                  
                    )
                  
                
                
                  2
                
              
            
            
              c
              (
              a
              +
              b
              )
            
          
        
        ≥
        
          
            
              
                
                  (
                
              
              
                
                  1
                  a
                
              
              +
              
                
                  1
                  b
                
              
              +
              
                
                  1
                  c
                
              
              
                
                  
                    )
                  
                
                
                  2
                
              
            
            
              2
              (
              a
              b
              +
              b
              c
              +
              a
              c
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              b
              +
              b
              c
              +
              a
              c
            
            2
          
        
        ≥
        
          
            
              3
              
                
                  
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                    
                      c
                      
                        2
                      
                    
                  
                  
                    3
                  
                
              
            
            2
          
        
        =
        
          
            3
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\Big (}{\frac {1}{a}}{\Big )}^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {{\Big (}{\frac {1}{b}}{\Big )}^{2}}{b(a+c)}}+{\frac {{\Big (}{\frac {1}{c}}{\Big )}^{2}}{c(a+b)}}\geq {\frac {{\Big (}{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}{\Big )}^{2}}{2(ab+bc+ac)}}={\frac {ab+bc+ac}{2}}\geq {\frac {3{\sqrt[{3}]{a^{2}b^{2}c^{2}}}}{2}}={\frac {3}{2}}}
  ։
Օրինակ 3․
Ունենք, որ 
  
    
      
        
          a
          
            4
          
        
        +
        
          b
          
            4
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                4
              
            
            1
          
        
        +
        
          
            
              b
              
                4
              
            
            1
          
        
        ≥
        
          
            
              (
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        ≥
        
          
            
              
                
                  (
                
              
              
                
                  
                    (
                    a
                    +
                    b
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                  
                  2
                
              
              
                
                  
                    )
                  
                
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              (
              a
              +
              b
              
                )
                
                  4
                
              
            
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{4}+b^{4}={\frac {a^{4}}{1}}+{\frac {b^{4}}{1}}\geq {\frac {(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}}\geq {\frac {{\Big (}{\frac {(a+b)^{2}}{2}}{\Big )}^{2}}{2}}={\frac {(a+b)^{4}}{8}}}
  ։
Օրինակ 4․
Ունենք, որ 
  
    
      
        
          
            1
            
              a
              +
              b
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              b
              +
              c
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              a
              +
              c
            
          
        
        ≥
        
          
            
              (
              1
              +
              1
              +
              1
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              2
              (
              a
              +
              b
              +
              c
              )
            
          
        
        =
        
          
            9
            
              2
              (
              a
              +
              b
              +
              c
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {(1+1+1)^{2}}{2(a+b+c)}}={\frac {9}{2(a+b+c)}}}
  ։


== Ծանոթագրություններ ==