Նյուտոնի երկանդամ

Նյուտոնի երկանդամ, բանաձև, որը հնարավորություն է տալիս ցանկացած աստիճանի բազմանդամ վերլուծել և ներկայացնել անդամների գումարի տեսքով.

  
    
      
        (
        a
        +
        b
        
          )
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          a
          
            n
            −
            k
          
        
        
          b
          
            k
          
        
        =
        
          
            
              (
            
            
              n
              0
            
            
              )
            
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              1
            
            
              )
            
          
        
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        b
        +
        ⋯
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          a
          
            n
            −
            k
          
        
        
          b
          
            k
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              n
            
            
              )
            
          
        
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+\dots +{n \choose k}a^{n-k}b^{k}+\dots +{n \choose n}b^{n}}
  որտեղ 
  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              n
              !
            
            
              k
              !
              (
              n
              −
              k
              )
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}
  -ը համարվում է երկանդամի գործակից, իսկ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը ցանկացած բնական թիվ։ Այս բանաձևը հայտնի է եղել հնդկական և իսլամական մաթեմատիկայում։ Նյուտոնը ստեղծել է այս բանաձևը ցանկացած աստիճանի համար՝ նույնիսկ իրական և կոմպլեքս թվերի համար։


== Ապացույց ==


== Ընդհանրացում ==
Նյուտոնի երկանդամի բանաձևը հանդիսանում է 
  
    
      
        (
        1
        +
        x
        
          )
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle (1+x)^{r}}
   ֆունկցիայի մասնավոր դեպքը՝ Թեյլորի շարքից.

  
    
      
        (
        1
        +
        x
        
          )
          
            r
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
            
            
              r
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle (1+x)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}}
  ,որտեղ r-ը կարող է լինել կոմպլեքս թիվ։ Այս ընդլայման գործակիցները կան բանաձևի մեջ.

  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              r
              k
            
            
              )
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              k
              !
            
          
        
        
          ∏
          
            n
            =
            0
          
          
            k
            −
            1
          
        
        (
        r
        −
        n
        )
        =
        
          
            
              r
              (
              r
              −
              1
              )
              (
              r
              −
              2
              )
              ⋯
              (
              r
              −
              (
              k
              −
              1
              )
              )
            
            
              k
              !
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}\,}
  Այս շարքում՝

  
    
      
        (
        1
        +
        z
        
          )
          
            α
          
        
        =
        1
        +
        α
        

        
        z
        +
        
          
            
              α
              (
              α
              −
              1
              )
            
            2
          
        
        
          z
          
            2
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          
            
              α
              (
              α
              −
              1
              )
              ⋯
              (
              α
              −
              n
              +
              1
              )
            
            
              n
              !
            
          
        
        
          z
          
            n
          
        
        +
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle (1+z)^{\alpha }=1+\alpha {}z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+...+{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+...}
  
  
    
      
        
          |
        
        z
        
          |
        
        ≤
        1
      
    
    {\displaystyle |z|\leq 1}
  
Մասնավորապես եթե 
  
    
      
        z
        =
        
          
            1
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle z={\frac {1}{m}}}
   և 
  
    
      
        α
        =
        x
        ⋅
        m
      
    
    {\displaystyle \alpha =x\cdot m}
  , ապա ստացվում է այսպես.

  
    
      
        
          
            (
            
              1
              +
              
                
                  1
                  m
                
              
            
            )
          
          
            x
            m
          
        
        =
        1
        +
        x
        +
        
          
            
              x
              m
              (
              x
              m
              −
              1
              )
            
            
              2
              
              
                m
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          
            
              x
              m
              (
              x
              m
              −
              1
              )
              ⋯
              (
              x
              m
              −
              n
              +
              1
              )
            
            
              n
              !
              
              
                m
                
                  n
                
              
            
          
        
        +
        …
        .
      
    
    {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2\;m^{2}}}+...+{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!\;m^{n}}}+\dots .}
  Երբ 
  
    
      
        m
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle m\to \infty }
   և 
  
    
      
        
          lim
          
            m
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              
                1
                +
                
                  
                    1
                    m
                  
                
              
              )
            
            
              m
            
          
        
        =
        e
      
    
    {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}}=e}
   ապա.

  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
        =
        1
        +
        x
        +
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        +
        …
        ,
      
    
    {\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\dots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\dots ,}
  :


=== Բազմանդամային թեորեմ ===
Այս բանաձևը կարելի է ընդհանրացնել ցանկացած թվի համար.

  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          x
          
            m
          
        
        
          )
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            
              k
              
                j
              
            
            ⩾
            0
            ,
            
              k
              
                1
              
            
            +
            
              k
              
                2
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              k
              
                m
              
            
            =
            n
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              
                
                  k
                  
                    1
                  
                
                ,
                
                  k
                  
                    2
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  k
                  
                    m
                  
                
              
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            1
          
          
            
              k
              
                1
              
            
          
        
        …
        
          x
          
            m
          
          
            
              k
              
                m
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum \limits _{k_{j}\geqslant 0,k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}\ldots x_{m}^{k_{m}},}
  ,որտեղ 
  
    
      
        
          
            
              
                (
              
              
                n
                
                  
                    k
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                    k
                    
                      2
                    
                  
                  ,
                  …
                  ,
                  
                    k
                    
                      m
                    
                  
                
              
              
                )
              
            
          
          =
          
            
              
                n
                !
              
              
                
                  k
                  
                    1
                  
                
                !
                
                  k
                  
                    2
                  
                
                !
                ⋯
                
                  k
                  
                    m
                  
                
                !
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m}!}}}
  ։


== Պատմություն ==
Երկար ժամանակ համարվում էր, որ բնական ցուցիչով աստիճանի համար այս բանաձևը, հայտնաբերել է Բլեզ Պասկալը՝ 17-րդդարում։ Մի քանի պատմաբաններ կարծում էին, որ այս բանաձևը հայտնաբերել է ճապոնացի մաթեմաթիկոս Յանու Խուեյուն, որը ապրել է 18-րդդարում, և նույնիսկ իսլամական մաթեմաթիկոս ատ Տուին (18-րդդար) և ալ Կաշին (15-րդդար)։
1676 թվականին Իսահակ Նյուտոնը ամփոփել է այս բանաձևը։


== Գեղարվեստական գրականության մեջ ==
Գեղարվեստական գրականության մեջ Նյուտոնի երկանդամը հիշատակվում է մի քանի համատեքստերում, որտեղ խոսվում է բարդ բաների մասին։

Արթուր Կոնան Դոյլի «Հոլմսի վերջին գործը» պատմվածքի մեջ, Հոլմսը ասում է մաթեմաթիկայի պրոֆեսոր Մորիարտիին.Հայտնի է Մ. Ա. Բուլգակովի «Վարպետը և Մարգարիտան» վեպի մեջբերումը. «Իմացի՛ր, Նյուտոնի երկանդամը»։ Ավելի ուշ այդ արտահայտությունը հիշատակվել է Ա. Ա. Տարկովսկու «Ստալկեր» ֆիլմում։


== Տես նաև ==
Կրճատ բազմապատկման բանաձևեր
Երկանդամի գործակից


== Ծանոթագրություններ ==