Հիլբերտի աքսիոմատիկա

Հիլբերտի աքսիոմատիկա, էվկլիդեսյան երկրաչափության աքսիոմների համակարգ։ Մշակվել է Հիլբերտի կողմից, որպես ավելի ամբողջական, քան Էվկլիդեսի աքսիոմների համակարգը։


== Չսահմանվող հասկացություններ ==
Հիլբերտի աքսիոմների համակարգում, չսահմանվող հասկացություն են համարվում՝ կետը, ուղիղը և հարթությունը։ Կան նաև տարրական առնչություններ․

«Գտնվել միջև»՝ կիրառելի է երկու կետերի համար,
«Պարունակել»՝ կիրառելի է կետերի և ուղիղների, կետերի հարթությունների կամ ուղիղների և հարթությունների համար,
«Համընկնել» ՝ կիրառելի է հատվածների, անկյունների կամ եռանկյունների համար (երկրաչափորեն հավասար են), նշանակվում է պայմանական ≅ նշանով։Բոլոր կետերը, ուղիղներն ու հարթությունները համարվում են տարբեր, եթե հատուկ ցուցում չկա։


== Աքսիոմներ ==
20 աքսիոմ պարունակող համակարգը բաժանված է 5 խմբի։

պատկանելիության աքսիոմներ
հարթաչափական․
Ինչպիսին էլ լինեն A և B երկու կետերը, գոյություն ունի α ուղիղ, որին այդ կետերը պատկանում են։
Ինչպիսին էլ լինեն երկու տարբեր A և B կետերը, գոյությյուն ունի մեկից ոչ ավել ուղիղ, որին նրանք պատկանում են։
Յուրաքանչյուր α ուղղի համար գոյություն ունի առնվազն 2 կետ, որոնք պատկանում են այդ ուղղին։ Գոյություն ունեն առնվազն երեք կետեր, որոնք չեն պատկանում մեկ ուղղի։
տարածաչափական․
Ինչպիսին էլ լինեն A, B և C կետերը, որոնք չեն պատկանում մի ուղղի, գոյություն ունի հարթություն, որին նրանք պատկանում են, և ամեն հարթության պատկանում է գոնե մեկ կետ։
Ինչպիսին էլ լինեն A, B և C կետերը, որոնք չեն պատկանում մի ուղղի, գոյություն ունի մեկից ոչ ավել հարթություն, որին նրանք պատկանոմ են։
Հարթությանը պատկանող ուղղի վրա գտնվող A և B կետերը, նույնպես պատկանում են այդ հարթությանը։
Եթե գոյություն ունի α և β հարթություններին պատկանող A կետ, ապա գոյություն ունի նաև B կետը, որը նույնպես պատկանում է այդ հարթություններին։
Գույություն ունեն առնվազն չորս կետեր, որոնք չեն պատկանում միևնույն հարթությանը։
կարքային աքսիոմներ
գծային․
Եթե B կետը պատկանում է նույն ուղղին, որին պատկանում են А և С կետերը և ընկած է այդ կետերի միջև, ապա այդ А, В և С կետերը նույն ուղղի երեք տարբեր կետեր են, և В գտնվում է С և А միջև.
Ինչպիսին էլ լինեն երկու А և С կետերը, գոյություն ունի В կետը, որ գտնվում է նրանց միջև, և գոյություն ունի այնպիսի D կետ, որ C կետը  գտնվում է A և D միջև։
Մի ուղղին պատկանող երեք կետերից մեկը միշտ գտնվում է մյուս երկուսի միջև։
հարթաչափական։
Պաշի աքսիոմը։ Դիցուք՝ A, B, C կետերը պատկանում են մի ուղղի, իսկ a -ն  ABC  հարթության ուղիղ է, որը չի անցնում A, B, C կետերից և ոչ մեկով։ Եթե a ուղիղն անցնում է AB հատվածի որևէ կետով, ապա նա անպայման անցնում է AC կամ  BC հատվածներից մեկին պատկանող կետով։
համընկնման աքսիոմներ
գծային․
Եթե А և В կետերը պատկանում են а ուղղին և  А’ նույն ուղղին պատկանող կամ այլ а’  ուղղի պատկանող կետ է, ապա  А’ կետից տրված ուղղությամբ կգտնվի միայն մեկ В’ կետ, այնպիսին, որ А’B’ հատվածը հավասար է АВ։ Ամեն մի АВ հավասար է ВА հատվածին։
Եթե А’B’ և  А"B" հատվածները հավասար (կոնգրուենտ են) նույն АВ հատվածին, ապա նրանք հավասար են միմյանց։
Դիցուք՝ АВ և ВС  երկու հատվածները պատկանում են նույն ուղղին և չունեն ընդհանուր ներքին կետեր, և А’B’ և B’C’ նոյնպես պատկանում են նույն ուղղին և չունեն ընդհանուր կետեր, ապա եթե АВ հավասար է А’B’, իսկ ВС հավասար է B’C’ հատվածին, ապա АС հատվածը հավասար է А’C’ -ին
հարթաչափական․
Եթե տրված է ∠ABC և B’C' ճառագայթը, որն ընկած է այդ նկյան հարթության վրա, ապա գոյություն ունեն երկու B’D և B’E ճառագայթները, որոնք նույնպես ընկած են տրված անկյան հարթության մեջ, այնպիսիք, որ ∠DB’C' ≅ ∠ABC и ∠EB’C' ≅ ∠ABC.
Եթե երկու ABC և  A’B'C' եռնկյունների մոտ  AB≅A’B', AC≅A’C', ∠BAC ≅ ∠B’A'C', ապա տեղի ունի նաև ∠ABC ≅ ∠A’B'C' ∠ACB ≅ ∠A’C'B'։
հարթաչափական
Դիցուք՝ գոյություն ունի կամայական ուղիղ գիծ և դրանից դուրս մի A  կետ, ապա A  կետով և а ուղղով որոշվող հարթությունում կարելի է տանել մեկից որ ավել ուղիղ, որն անցնում է A  կետով և չի հատում  a ուղիղը։
անընդհատության աքսիոմներ
գծային
Արքիմեդի աքսիոմը—Եթե տրված են CD հատվածը և AB ճառագայթը, ապա գոյություն ունի n թիվը և  A1,…,An  կետերը AB հատվծի վրա, այնպես որ․ AjAj+1 ≅ CD, 
  
    
      
        0
        ⩽
        j
        <
        n
      
    
    {\displaystyle 0\leqslant j<n}
  , որտեղ A0 համընկնում է A-ի հետ, և B-ն ընկած է A և An
«Գծի ամբողջականությունը»։ Ուղղի վրա առնվազն մեկ լրացուցիչ կետ ավելացնելու դեպքում հակասություն է առաջանում պատկանելիության աքսիոմներից մեկի հետ, կարգի, համընկման առաջին երկու աքսոմաների կամ Արքիմեդի աքսիոմի հետ։


== 21-րդ աքսիոմ ==
Հիլբերտը ի սկզբանե ներմուծել է 21-րդ աքսիոմը (1899 թվական)։
«Մի ուղղի վրա գտնվող ցանկացած 4 կետերի կատելի է նշանակել A, B, C, և D տառերով այնպես, որ B կետը գտնվի A և C կետերի միջև, ինչպես նաև A և D կետերի միջև, C կետը  գտնվել A և D, ինչպես նաև B և D կետերի միջև»։
Էլիակիմ Գաստինգս Մուրը և Ռոբերտ Լի Մուրը՝ 1902 թվականին, իրարից անկախ, ապացուցեցին, որ այս աքսիոմը ավելորդ է։


== Լիարժեքություն և ոչ հակասականություն ==
Ինչպես Ալֆրեդ Թարսկին (1951 թվականին) ապացուցեց, Հիլբերտի աքսիոմատիկան տրամաբանորեն ավարտուն է, այսինքն, այնտեղ առկա երկրաչափական հասկացությունների մասին ցանկացած (ֆորմալ) արտահյտություն կարելի է ապացուցել կամ հերքել։ Այն նաև հակասական չէ, եթե հակասական է թվաբանությունը։


== Պատմություն ==
Էվկլիդեսյան երկրաչափության աքստիոմատիկ սխեման հրատարակվել է 1899 թվականին Դեյվիդ Հիլբերտի «Festschrift» տոնակական հատորում, որը նվիրված է Գոթթինգենում Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսին  և նրա ընկեր Ֆիզիկոս Վիլհելմ Կայինին նվիրված հուշարձանի բացմանը։ Այժմ «Երկրաչափության հիմունքները» լույս է տեսել աշխարհի բազմաթիվ լեզուներով, ռուսերենից երկու հրատարակություններից մեկը ստորև բերված է հղումներով։


== Աքսիոմների այլ համակարգեր ==
Հիլբերտյան համակարգի ստեղծողները․

Էվկլիդես
Պաշեն
Շուր
Պեանո
Վերոնեզե
Մ․Պիերի (1899 թվական)Մոտ են հիլբերտյանին․

Վ․Ֆ․Կահան (1902 թվական)
Օ․Վեբլեն (1904 թվական)
Ա. ԿոլմոգորովԱվելի ժամանակակից աքսիոմատիկաներ․

Ալեքսանդրովի աքսիոմատիկա
Տարսկովի աքսիոմատիկա
Բիրհոֆի աքսիոմատիկա
Վեյլի աքսիոմատիկա


== Հղումներ ==
Д. Гильберт. Основания геометрии. Archived 2011-07-28 at the Wayback Machine. Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. Л., «Сеятель», 1923—152 с.
Герман Вейль. Давид Гильберт и его математические труды.


== Ծանոթագրություններ ==