Էյլերի բանաձև

Էյլերի բանաձևը կապում է կոմպլեքս էքսպոնենտին եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ։ Անվանված է ի պատիվ Լեոնարդ Էյլերի, ով այն ստեղծել է։
Էյլերի բանաձևը պնդում է, որ ցանկացած 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   կոմպլեքս թվի (հիմնականում իրական ) համար տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝

  
    
      
        
          e
          
            i
            x
          
        
        =
        cos
        ⁡
        x
        +
        i
        sin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
  ,որտեղ 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  ֊ն մաթեմատիկական կարևորագույն հաստատուններից մեկն է, որը սահմանում է հետևյալ բանաձևը՝

  
    
      
        e
        =
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          
            (
            
              1
              +
              
                
                  1
                  x
                
              
            
            )
          
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}
  ,

  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  ֊ն կեղծ միավորն է։


== Պատմություն ==
Էյլերի բանաձևը առաջին անգամ ներկայացվել է անգլիացի մաթեմատիկոս Ռոջեր Կոտսի (Իսահակ Նյուտոնի օգնական) «Լոգոմետրիա» (լատ.՝ Logometria) հոդվածում, որը հրատարակվել է «Թագավորական հասարակության փիլիսոփայական աշխատանքներ» ամսագրում 1714 թվականին և տպագրվել է «Չափողականության ներդաշնակություն» (լատ.՝ Harmonia mensurarum) գրքում, որը հրատարակվել է 1722 թվականին՝ հեղինակի մահից հետո։ Կոտսը դուրս է բերել բանաձևը որպես ոչ մեծ առաջարկություն բազմաթիվ երկրաչափական կառուցումների մեջ, որը ժամանակակից մաթեմատիկական լեզվով թարգմանությունից և նշանների սխալների ուղղումից հետո ունի հետևյալ տեսքը՝:

  
    
      
        ln
        ⁡
        (
        cos
        ⁡
        x
        +
        i
        sin
        ⁡
        x
        )
        =
        i
        x
      
    
    {\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)=ix}
  ։Էյլերը հոդվածում 1740 թվականին և «Անվերջ նվազողների մուտքագրում անալիզում» (լատ.՝ Introductio in analysin infinitorum) գրքում (1748) հրապարակել է բանաձևը իր սովորական տեսքով՝ ստեղծելով ապացույց աստիճանային շարքերում անվերջ բաժանվողների աջ և ձախ մասերի հավասարության համար։ Ո՛չ Էյլերը, ո՛չ Կոտսը չէին պատկերացնում բանաձևի երկրաչափական մեկնաբանումը․ հասկացողությունը կոմպլեքս թվերի մասին, որպես Կոմպլեքս հարթության վրայի կետեր, հայտնվեց մոտ 50 տարի անց՝ Գասպար Վեսսելի շնորհիվ։


== Ածանցյալ բանաձևեր ==
Էյլերի բանաձևի շնորհիվ կարելի է որոշել 
  
    
      
        sin
      
    
    {\displaystyle \sin }
   և 
  
    
      
        cos
      
    
    {\displaystyle \cos }
   ֆունկցիաները հետևյալ եղանակով՝

  
    
      
        sin
        ⁡
        x
        =
        
          
            
              
                e
                
                  i
                  x
                
              
              −
              
                e
                
                  −
                  i
                  x
                
              
            
            
              2
              i
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}
  ,

  
    
      
        cos
        ⁡
        x
        =
        
          
            
              
                e
                
                  i
                  x
                
              
              +
              
                e
                
                  −
                  i
                  x
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}
  .Այնուհետև կարելի է ներմուծել կոմպլեքս փոփոխականի եռանկյունաչափական ֆունկցիայի գաղափարը։ Ենթադրենք 
  
    
      
        x
        =
        i
        y
      
    
    {\displaystyle x=iy}
  , այդ դեպքում։

  
    
      
        sin
        ⁡
        i
        y
        =
        
          
            
              
                e
                
                  −
                  y
                
              
              −
              
                e
                
                  y
                
              
            
            
              2
              i
            
          
        
        =
        i
        
          
            s
            h
          
        
        
        y
      
    
    {\displaystyle \sin iy={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}=i\mathop {\mathrm {sh} } \,y}
  ,

  
    
      
        cos
        ⁡
        i
        y
        =
        
          
            
              
                e
                
                  −
                  y
                
              
              +
              
                e
                
                  y
                
              
            
            2
          
        
        =
        
          
            c
            h
          
        
        
        y
      
    
    {\displaystyle \cos iy={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\mathop {\mathrm {ch} } \,y}
  .Հանրահայտ Էյլերի նույնությունը, որը կապում է մաթեմատիկական ֆունդամենտալ հինգ հաստատունները՝ 1, 0, i, pi, e 

  
    
      
        
          e
          
            i
            π
          
        
        +
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
  համարվում է Էյլերի բանաձևի մասնավոր դեպք 
  
    
      
        x
        =
        π
      
    
    {\displaystyle x=\pi }
   դեպքում։


== Կիրառությունը կոմպլեքս անալիզում ==
Էյլերի բանաձևի շնորհիվ դուրս է բերվում կոմպլեքս թվի այսպես կոչվող եռանկյունաչափական և ընդհանուր տեսքը.

  
    
      
        x
        =
        a
        +
        i
        b
        =
        
          |
        
        x
        
          |
        
        (
        cos
        ⁡
        φ
        +
        i
        sin
        ⁡
        φ
        )
        =
        
          |
        
        x
        
          |
        
        
          e
          
            i
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle x=a+ib=|x|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|x|e^{i\varphi }}
  ։
Նշանակալի հետևանք կարելի է համարել նաև կոմպլեքս թվի կամայական աստիճանով բարձրացումը՝ 
  
    
      
        x
        =
        
          |
        
        x
        
          |
        
        
          e
          
            i
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle x=|x|e^{i\varphi }}
  , 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        =
        
          |
        
        x
        
          
            |
          
          
            n
          
        
        
          e
          
            n
            i
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{n}=|x|^{n}e^{ni\varphi }}
  ։ Տվյալ բանաձևի երկրաչափական իմաստը հետևյալն է․ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   թիվը 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   աստիճանով բարձրացնելիս՝ նրա հեռավորությունը կենտրոնից բարձրացվում է 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   աստիճան, իսկ շրջման անկյունը 
  
    
      
        O
        X
      
    
    {\displaystyle OX}
   առանցքում մեծանում է 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   անգամ։
Աստիճանով բարձրացման բանաձևը ճիշտ է ոչ միայն 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   ամբողջ թվերի համար, այլև՝ իրական թվերի։ Հիմնականում թվի ընդհանուր տեսքը թույլ է տալիս գտնել ցանկացած աստիճանի արմատներ ցանկացած կոմպլեքս թվից։


== Փոխադարձ կապը եռանկյունաչափության հետ ==
Էյլերի բաանաձևը ներկայացնում է մաթեմատիկական անալիզի և եռանկյունաչափության միջև կապ, ինչպես նաև թույլ է տալիս սինուս և կոսինուս ֆունկցիաների ինտերպրետացիա, որպես էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի կախույթային արժեքներ:

  
    
      
        cos
        ⁡
        x
        =
        
          R
          e
        
        {
        
          e
          
            i
            x
          
        
        }
        =
        
          
            
              
                e
                
                  i
                  x
                
              
              +
              
                e
                
                  −
                  i
                  x
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos x=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}}
  

  
    
      
        sin
        ⁡
        x
        =
        
          I
          m
        
        {
        
          e
          
            i
            x
          
        
        }
        =
        
          
            
              
                e
                
                  i
                  x
                
              
              −
              
                e
                
                  −
                  i
                  x
                
              
            
            
              2
              i
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sin x=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.}
  Վերը նշված հավասարումները կարող են ստացվել Էյլերի բանաձևի բաժանման կամ հանման եղանակով

  
    
      
        
          e
          
            i
            x
          
        
        =
        cos
        ⁡
        x
        +
        i
        sin
        ⁡
        x
        
      
    
    {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\;}
  
  
    
      
        
          e
          
            −
            i
            x
          
        
        =
        cos
        ⁡
        (
        −
        x
        )
        +
        i
        sin
        ⁡
        (
        −
        x
        )
        =
        cos
        ⁡
        x
        −
        i
        sin
        ⁡
        x
        
      
    
    {\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;}
  հետևող սինուսով կամ կոսինուսով լուծմամբ։
Ինչպես նաև այս բանաձևերը կարող են ծառայել կոմպլեքս փոփոխականով եռանկյունաչաափական ֆունկցիաների որոշմանը։ Օրինակ, կատարելով x = iy նշանակում, ստանում ենք՝

  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        i
        y
        )
        =
        
          
            
              
                e
                
                  −
                  y
                
              
              +
              
                e
                
                  y
                
              
            
            2
          
        
        =
        cosh
        ⁡
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \cos(iy)={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y)}
  
  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        i
        y
        )
        =
        
          
            
              
                e
                
                  −
                  y
                
              
              −
              
                e
                
                  y
                
              
            
            
              2
              i
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            i
          
        
        
          
            
              
                e
                
                  y
                
              
              −
              
                e
                
                  −
                  y
                
              
            
            2
          
        
        =
        i
        sinh
        ⁡
        (
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \sin(iy)={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{y}-e^{-y} \over 2}=i\sinh(y).}
  Կոմպլեքս էքսպոնենտները թույլ են տալիս եռանկյունաչափական հաշվարկները պարզեցնել, քանի որ դրանցով ավելի հեշտ է կառավարել, քան սինուսոիդ կոմպոնենտներով։ Մոտեցումներից մեկը նախատեսում է էքսպոնենցիալ համապատասխան արտահայտության մեջ սինուսոիդ փոխարկում։ Օրինակ ՝

  
    
      
        
          
            
              
                cos
                ⁡
                x
                ⋅
                cos
                ⁡
                y
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      (
                      
                        e
                        
                          i
                          x
                        
                      
                      +
                      
                        e
                        
                          −
                          i
                          x
                        
                      
                      )
                    
                    2
                  
                
                ⋅
                
                  
                    
                      (
                      
                        e
                        
                          i
                          y
                        
                      
                      +
                      
                        e
                        
                          −
                          i
                          y
                        
                      
                      )
                    
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                ⋅
                
                  
                    
                      
                        e
                        
                          i
                          (
                          x
                          +
                          y
                          )
                        
                      
                      +
                      
                        e
                        
                          i
                          (
                          x
                          −
                          y
                          )
                        
                      
                      +
                      
                        e
                        
                          i
                          (
                          −
                          x
                          +
                          y
                          )
                        
                      
                      +
                      
                        e
                        
                          i
                          (
                          −
                          x
                          −
                          y
                          )
                        
                      
                    
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  [
                  
                    
                      
                        
                          
                            
                              
                                e
                                
                                  i
                                  (
                                  x
                                  +
                                  y
                                  )
                                
                              
                              +
                              
                                e
                                
                                  −
                                  i
                                  (
                                  x
                                  +
                                  y
                                  )
                                
                              
                            
                            2
                          
                          ⏟
                        
                      
                      
                        cos
                        ⁡
                        (
                        x
                        +
                        y
                        )
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          
                            
                              
                                e
                                
                                  i
                                  (
                                  x
                                  −
                                  y
                                  )
                                
                              
                              +
                              
                                e
                                
                                  −
                                  i
                                  (
                                  x
                                  −
                                  y
                                  )
                                
                              
                            
                            2
                          
                          ⏟
                        
                      
                      
                        cos
                        ⁡
                        (
                        x
                        −
                        y
                        )
                      
                    
                  
                  ]
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}\cdot {\frac {(e^{iy}+e^{-iy})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\left[\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} _{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} _{\cos(x-y)}\right].\end{aligned}}}
  Մյուս մոտեցման իմաստը սինուսոիդ ֆունկցիայի ներկայացումն է իրական թվերում և մանիպուլյացիայի ձևակերպումը անմիջականորեն կոմպլեքս արտահայտության հետ։ Օրինակ՝

  
    
      
        
          
            
              
                cos
                ⁡
                (
                n
                x
                )
              
              
                
                =
                
                  R
                  e
                
                {
                 
                
                  e
                  
                    i
                    n
                    x
                  
                
                 
                }
                =
                
                  R
                  e
                
                {
                 
                
                  e
                  
                    i
                    (
                    n
                    −
                    1
                    )
                    x
                  
                
                ⋅
                
                  e
                  
                    i
                    x
                  
                
                 
                }
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  R
                  e
                
                {
                 
                
                  e
                  
                    i
                    (
                    n
                    −
                    1
                    )
                    x
                  
                
                ⋅
                (
                
                  e
                  
                    i
                    x
                  
                
                +
                
                  e
                  
                    −
                    i
                    x
                  
                
                −
                
                  e
                  
                    −
                    i
                    x
                  
                
                )
                 
                }
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  R
                  e
                
                {
                 
                
                  e
                  
                    i
                    (
                    n
                    −
                    1
                    )
                    x
                  
                
                ⋅
                
                  
                    
                      
                        (
                        
                          e
                          
                            i
                            x
                          
                        
                        +
                        
                          e
                          
                            −
                            i
                            x
                          
                        
                        )
                      
                      ⏟
                    
                  
                  
                    2
                    cos
                    ⁡
                    (
                    x
                    )
                  
                
                −
                
                  e
                  
                    i
                    (
                    n
                    −
                    2
                    )
                    x
                  
                
                 
                }
              
            
            
              
              
                
                =
                cos
                ⁡
                [
                (
                n
                −
                1
                )
                x
                ]
                ⋅
                2
                cos
                ⁡
                (
                x
                )
                −
                cos
                ⁡
                [
                (
                n
                −
                2
                )
                x
                ]
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(nx)&=\mathrm {Re} \{\ e^{inx}\ \}=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix}-e^{-ix})\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace {(e^{ix}+e^{-ix})} _{2\cos(x)}-e^{i(n-2)x}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}}
  Տրված բանաձևը օգտագործվում է n ամբողջ թվերով cos(nx)֊ի և կամավոր x նշանակությունների (ռադիաններով) ռեկուրսիվ հաշվարկման համար։


== Ապացույց ==
Էյլերի բանաձևի ապացույցը կարելի է ներկայացնել Մակլորենի շարքը օգտագործելով։ 
  
    
      
        
          e
          
            i
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{ix}}
   ֆունկցիան տեղադրելով Մակլորենի շարք a = 0 կետի մոտակայքում 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   աստիճանով։ Կստանանք

  
    
      
        
          e
          
            i
            x
          
        
        =
        1
        +
        
          
            
              i
              x
            
            
              1
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              (
              i
              x
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              2
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              (
              i
              x
              
                )
                
                  3
                
              
            
            
              3
              !
            
          
        
        +
        …
        =
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                
                  2
                  !
                
              
            
            +
            
              
                
                  x
                  
                    4
                  
                
                
                  4
                  !
                
              
            
            −
            
              
                
                  x
                  
                    6
                  
                
                
                  6
                  !
                
              
            
            +
            …
          
          )
        
        +
        i
        
          (
          
            
              
                x
                
                  1
                  !
                
              
            
            −
            
              
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                
                  3
                  !
                
              
            
            +
            
              
                
                  x
                  
                    5
                  
                
                
                  5
                  !
                
              
            
            −
            
              
                
                  x
                  
                    7
                  
                
                
                  7
                  !
                
              
            
            +
            …
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle e^{ix}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)}
  
Բայց

  
    
      
        1
        −
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              2
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                4
              
            
            
              4
              !
            
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                6
              
            
            
              6
              !
            
          
        
        +
        …
        =
        cos
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle 1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\cos x}
  

  
    
      
        
          
            x
            
              1
              !
            
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              3
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                5
              
            
            
              5
              !
            
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                7
              
            
            
              7
              !
            
          
        
        +
        …
        =
        sin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle {\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sin x}
  
Այդ պատճառով 
  
    
      
        
          e
          
            i
            x
          
        
        =
        cos
        ⁡
        x
        +
        i
        sin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
  , ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։


== Կոմպլեքս թվի ընդհանուր տեսք ==
Կոմպլեքս թվերի ընդհանուր և եռանկյունաչափական տեսքերը կապված են միմյանց Էյլերի բանաձևով։
Ենթադրենք 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   կոմպլեքս թիվը եռանկյունաչափական վիճակում ունի 
  
    
      
        z
        =
        r
        (
        cos
        ⁡
        φ
        +
        i
        sin
        ⁡
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}
   տեսք։ Էյլերի բանաձևի հիմքի վրա փակագծերի արտահայտությունը կարելի է փոխարինել ընդհանուր տեսքով։ Արդյունքում կստանանք 

  
    
      
        z
        =
        r
        
          e
          
            i
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle z=re^{i\varphi }}
  Այս գրելաձևը կոչվում է կոմպլեքս թվի ընդհանուր տեսք։ Ինչպես եռանկյունաչափական տեսքում, այստեղ էլ 
  
    
      
        r
        =
        
          |
        
        z
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle r=|z|}
   ,  
  
    
      
        φ
        =
        arg
        ⁡
        z
      
    
    {\displaystyle \varphi =\arg z}
  .


== Տես նաև ==
Մուավրի բանաձև
Լեոնարդ Էյլերի պատվին անվանված օբյեկտների ցանկ


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Гутов А. З. Аналог формулы Эйлера для обобщённых синуса и косинуса // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Орёл, 2006. С. 35—37. Archived 2020-09-25 at the Wayback Machine.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 530 с.