Սահման (մաթեմատիկա)

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ սահման (այլ կիրառումներ)
Սահման, արժեք մաթեմատիկայում, որին ֆունկցիան կամ հաջորդականությունը «ձգտում» են, երբ փոփոխականը «ձգտում» է որոշակի արժեքի։ Սահմանը հիմնական հասկացություն է մաթեմատիկական անալիզում և օգտգործվում է այնպիսի հասկացություններ սահմանելիս, ինչպիսիք են՝ անընդհատությունը, ածանցյալը և ինտեգրալը։
Հաջորդականության սահմանի ավելի ընդհանրացված գաղափարը տոպոլոգիական ցանցերի սահմանն է և սերտորեն կապված է կատեգորիաների տեսության սահմանի և ուղիղ սահմանի հետ։
Բանաձևերու ֆունկցիայի սահմանը սովորաբար նշանակվում է հետևյալ կերպ՝

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        L
        ,
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L,}
  և կարդացվում է «
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիայի սահմանը, երբ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը ձգտում է 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  -ի հավասար է 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  -ի»։ Այս փաստը նաև նշանակում են հետևյալ կերպ՝

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        →
        L
        
           as 
        
        x
        →
        c
      
    
    {\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }}x\to c}
  ։


== Ֆունկցիայի սահման ==

Ենթադրենք 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ը իրական ֆունկցիա է իսկ 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  -ն՝ իրական թիվ։ Հետևյալ արտահայտությունը

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        L
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}
  ինտուիտիվ նշանակում է, որ 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունցիայի արժեքը կամայական չափով կարող է մոտենալ 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  -ին՝ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   թիվը 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  -ին բավարար մոտ ընտրելու դեպքում։ Այդ դեպքում ասում են, որ «
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիայի սահմանը, երբ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը ձգտում է 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  -ի հավասար է 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  -ի»։
1821 թվականի Օգյուստեն Լուի Կոշին, հետագայում Կառլ Վայերշտրասը ձևակերպել են ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը, որ այժմ հայտնի է սահմանի (ε, δ) սահմանում անվամբ։ Այս սահմանումը օգտագործում է հունարենի փոքրատառ ε տառը՝ կամայական դրական փոքր թիվ ներկայացնելու համար, հետևաբար՝ 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիան կամայական չափով մոտենում է 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  -ին նշանակում է, որ 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիան, ի վերջո, գտնվում է 
  
    
      
        (
        L
        −
        ϵ
        ,
        L
        +
        ϵ
        )
      
    
    {\displaystyle (L-\epsilon ,L+\epsilon )}
   միջակայքում, ինչը նաև կարելի է գրառել բացարձակ արժեքի նշանակմամբ՝ 
  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        −
        L
        
          |
        
        <
        ϵ
      
    
    {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }
   Այս դեպքում «
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը ձգտում է 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  -ին» արտահայտությունը նշանակում է, որ մենք նկատի ունենք 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի այն արժեքները, որոնց հեռավորությունը 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  -ից ավելի փոքր է, քան δ-ն (հունարենի այբբենարանի փոքրատառ դելտա տառը)։ Այլ կերպ ասած, այն 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -երը, որոնք գտնվում են 
  
    
      
        (
        c
        −
        δ
        ,
        c
        +
        δ
        )
      
    
    {\displaystyle (c-\delta ,c+\delta )}
   կամ 
  
    
      
        (
        c
        ,
        c
        +
        δ
        )
      
    
    {\displaystyle (c,c+\delta )}
   միջակայքում, ինչը կարելի է գրել 
  
    
      
        0
        <
        
          |
        
        x
        −
        c
        
          |
        
        <
        δ
      
    
    {\displaystyle 0<|x-c|<\delta }
   տեսքով։ Արտահայտության առաջին անհավասարությունը 
  
    
      
        0
        <
        
          |
        
        x
        −
        c
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle 0<|x-c|}
   կարևոր է, քանի որ այն ցույց է տալիս, որ 
  
    
      
        x
        ≠
        c
      
    
    {\displaystyle x\neq c}
  ։
Սահմանի վերևի սահմանումը ճիշտ է անգամ եթե 
  
    
      
        f
        (
        c
        )
        ≠
        L
      
    
    {\displaystyle f(c)\neq L}
  ։ Տրված 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիան անգամ կարող է սահմանված չլինել 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   կետում։
Օրինակ, եթե

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              −
              1
            
            
              x
              −
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}}
  ուրեմն 
  
    
      
        f
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle f(1)}
  -ը սահմանված չէ, բայց երբ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը ձգտում է 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  -ի, 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  -ը ձգտում է 
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
  -ի.

Հետևաբար, 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  -ի արժեքը կարող է 
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
  -ին կամայական չափով մոտ լինել՝ 1-ին բավարար մոտ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   ընտրելու դեպքում։
Այլ կերպ ասած, 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            1
          
        
        
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              −
              1
            
            
              x
              −
              1
            
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2}
  ։
Սա կարելի է հաշվել հանրահաշվորեն. մեկից տարբեր կամայական 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   թվի համար 
  
    
      
        
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              −
              1
            
            
              x
              −
              1
            
          
        
        =
        
          
            
              (
              x
              +
              1
              )
              (
              x
              −
              1
              )
            
            
              x
              −
              1
            
          
        
        =
        x
        +
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}
  ։
Քանի որ 
  
    
      
        x
        +
        1
      
    
    {\displaystyle x+1}
   ֆունկցիան անընդհատ է 1 կետում, սահմանը գնելու համար կարելի է ֆունկցիայի մեջ տեղադրել 
  
    
      
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x=1}
   արժեքը, հետևաբար՝ 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            1
          
        
        
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              −
              1
            
            
              x
              −
              1
            
          
        
        =
        1
        +
        1
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2}
  ։
Իրական թվերից բացի սահմանված է ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։ Օրինակ՝

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              2
              x
              −
              1
            
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={2x-1 \over x}}
  f(100) = 1.9900
f(1000) = 1.9990
f(10000) = 1.99990Շատ մեծ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   արժեքների դեպքում 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիայի արժեքը 2-ին կամայական չափով մոտ կարող է լինել։ Այս դեպքում ասում են, որ 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիան ձգտում է 2-ի, երբ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը ձգտում է անվերջության։ Այս փաստը նշանակում են հետևյալ կերպ՝

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              2
              x
              −
              1
            
            x
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2}
  ։


== Հաջորդականության սահման ==

Ենթադրենք 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle a_{1},a_{2},...}
  -ը իրական թվերի հաջորդականություն է։ Ասում են, որ 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
   իրական թիվը այս հաջորդականության սահմանն է, եթե

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        =
        L
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}
  ,որը կարդում են՝

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
   հաջորդականությանը սահմանը, երբ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը ձգտում է անվերջության, 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
   է։Այս արտահայտությունը նշանակում է, որ 

Կամայական 
  
    
      
        ϵ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \epsilon >0}
   իրական թվի համար գոյություն ունի այնպիսի 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   բնական թիվ, որ բոլոր 
  
    
      
        n
        >
        N
      
    
    {\displaystyle n>N}
   թվերի համար ճիշտ է 
  
    
      
        
          |
        
        
          a
          
            n
          
        
        −
        L
        
          |
        
        <
        ϵ
      
    
    {\displaystyle |a_{n}-L|<\epsilon }
   արտահայտությունը։Ինտուիտիվ սա նշանակում է, որ ի վերջո հաջորդականության բոլոր անդամները սահմանին կամայական չափով մոտ կլինեն, քանի որ 
  
    
      
        
          |
        
        
          a
          
            n
          
        
        −
        L
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |a_{n}-L|}
   բացարձակ արժեքը 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
  -ի և 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  -ի հեռավորությունն է։ Ոչ բոլոր հաջորդականությունները ունեն սահման։ Սահման ունեցող հաջորդականությունները կոչվում են զուգամետ հաջորդականություններ, իսկ չունեցողները՝ տարամետ։ Զուգամետ հաջորդականությունները ունեն մեկ սահման։
Հաջորդականության և ֆունկցիայի սահմանները սերտորեն կապված են։ Օրինակ՝ 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
   հաջորդականության սահմանը, երբ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը ձգտում է անվերջության, նույնն է ինչ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   բնական թվերի վրա սահմանված ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
Weisstein, Eric W., "Limit", MathWorld.
Mathwords: Limit,