Գալուայի խումբ

Գալուայի խումբ, խումբ, դաշտի ընդարձակման հետ զուգակցվող խումբ։ Կարևոր դեր է խաղում դաշտի ընդլայնման հետազոտման դեպքում, մասնավորապես՝ Գալուայի տեսության մեջ։ 1832 թվականին Էվարիստ Գալուան ներմուծեց մաթեմատիայում (խմբերի այդ հասկացության, բազմությունների) արմատների տեղափոխությունը։


== Սահմանում ==
Ենթադրենք K դաշտը հանդիսանում է P-ի Գալուայի ընդլայնված դաշտ։ K դաշտի փոխադարձաբար համարժեք պատկերումները՝ 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ը, իր վրա անվանում են ավտոմորֆ, եթե նա գումարը վերածում է գումարի, արտադրյալը՝ արտադրյալի, այսինքն՝ եթե K դաշտի ցանկացած 
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
   տարրերի համար ճիշտ է հավասարությունը․

  
    
      
        f
        (
        a
        +
        b
        )
        =
        f
        (
        a
        )
        +
        f
        (
        b
        )
        ,
        
        f
        (
        a
        b
        )
        =
        f
        (
        a
        )
        ⋅
        f
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b),\;f(ab)=f(a)\cdot f(b)}
  .Գալուայի խումբը տրված ընդլայնված դաշտի համար կոչվում է K դաշտի բոլոր ավտոմորֆիզմի համախումբ, պահպաննելով P դաշտի տարրեր։ 
  
    
      
        ∀
        a
        ∈
        P
        
        f
        (
        a
        )
        =
        a
      
    
    {\displaystyle \forall a\in P\;f(a)=a}
  .Սովորաբար նշանակում են G(K, P) կամ Gal(K, P).


== Հատկություն ==
Գալուայի խմբի վերջավոր ընդլայնումը վերջավոր է։ Նրա հաջորդականությունը (տարրերի քանակը) հավասար է [K:P] ընդլայնման աստիճանին։


== Օրինակներ ==
Եթե ընդլայնված դաշտը համընկնում է սկզբնականի հետ, ապա Գալուայի խումբը պարունակում է միայն մեկ տարր, միավոր՝ (նույնական автоморфизм).
Բնական թվերի դաշտի ընդլայնումը մինչև բոլոր կոմպլեքս թվերի դաշտի, Գալուայի խումբը պարունակում է 2 տարր՝ միավորը և կոմպլեքս համալուծը։

  
    
      
        
          Q
        
        [
        
          
            2
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]}
   ընդլայնված դաշտը կազմված է 
  
    
      
        a
        +
        b
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}
   տեսքի թվերից, որտեղ a, b-ն ռացիոնալ են։ Այստեղ Գալուայի խումբը պարունակում է 2 տարր՝ միավոր և երկրորդ գումարելին
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
   փոքրացնող նշանի գործողություն։
Ենթադրենք p-ն  պարզ թիվ է, դիտարկենք 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
   и 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            
              p
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}
   վերջավոր դաշտերը, նրանցից առաջինը բնական կերպով ներդրված է երկրորդին։ Գալուայի խմբի տրված ընդլայնումը՝ ցիկլային է, այն ծնում է Ֆրոբենիուսի ավտոմորֆիզմը՝
  
    
      
        x
        ↦
        
          x
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle x\mapsto x^{p}}
  .Հանրահաշվական հավասարման Գալույի խումբը։ Դիտարկենք չորրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            4
          
        
        +
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        +
        x
        +
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle P(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0}
  ։ Այն թույլ է տալիս հետևյալ ձևափոխումը x փոփոխականով։ 
  
    
      
        y
        =
        1
        
          /
        
        x
        ,
        y
        =
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        y
        =
        −
        (
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        +
        x
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle y=1/x,y=x^{2},y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)}
  .  
  
    
      
        y
        =
        1
        
          /
        
        x
      
    
    {\displaystyle y=1/x}
  -ի համար հետևում է 
  
    
      
        
          y
          
            4
          
        
        +
        
          y
          
            3
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        +
        y
        +
        1
        =
        (
        
          x
          
            4
          
        
        +
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        +
        x
        +
        1
        )
        
          /
        
        
          x
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)/x^{4}}
  , այսինքն՝ 
  
    
      
        P
        (
        y
        )
        =
        P
        (
        x
        )
        
          /
        
        
          x
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle P(y)=P(x)/x^{4}}
  .։ Ուստի 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle P(x)=0}
  -ից հետևում է, որ 
  
    
      
        P
        (
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle P(y)=0}
  ։ Դա ցույց է տալիս, որ 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle P(x)=0}
   հավասարումը թույլ է տալիս 
  
    
      
        y
        =
        1
        
          /
        
        x
      
    
    {\displaystyle y=1/x}
   ձևափոխությունը։ 
  
    
      
        y
        =
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=x^{2}}
  -ի համար ստացվում է 
  
    
      
        
          y
          
            4
          
        
        +
        
          y
          
            3
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        +
        y
        +
        1
        =
        
          x
          
            8
          
        
        +
        
          x
          
            6
          
        
        +
        
          x
          
            4
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+1}
  ։ Այդ հավասարման բաժանումը 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
   սկզբնական հավասարման տալիս է 
  
    
      
        P
        (
        y
        )
        =
        (
        
          x
          
            4
          
        
        −
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        −
        x
        +
        1
        )
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(y)=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)P(x)}
  ։ Այսպիսով 
  
    
      
        y
        =
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=x^{2}}
   ձևափոխությունը նույնպես թույլատրում է 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
  հավասարմանը։ Նման ձևով 
  
    
      
        y
        =
        −
        (
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        +
        x
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)}
   ձևափոխությունների համար կարելի է ստանալ ձևափոխության հետևյալ բանաձևը՝ 
  
    
      
        P
        (
        y
        )
        =
        (
        
          x
          
            8
          
        
        +
        3
        
          x
          
            7
          
        
        +
        6
        
          x
          
            6
          
        
        +
        9
        
          x
          
            5
          
        
        +
        9
        
          x
          
            4
          
        
        +
        7
        
          x
          
            3
          
        
        +
        4
        
          x
          
            2
          
        
        +
        x
        +
        1
        )
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(y)=(x^{8}+3x^{7}+6x^{6}+9x^{5}+9x^{4}+7x^{3}+4x^{2}+x+1)P(x)}
  ։ Օգտագործելով 
  
    
      
        
          x
          
            4
          
        
        =
        −
        (
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        +
        x
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle x^{4}=-(x^{3}+x^{2}+x+1)}
   տեղափոխությունը գտնում ենք, որ 
  
    
      
        
          x
          
            5
          
        
        =
        x
        ∗
        
          x
          
            4
          
        
        =
        −
        (
        
          x
          
            4
          
        
        +
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        +
        x
        )
        =
        1
        ,
        
          x
          
            6
          
        
        =
        x
        ∗
        
          x
          
            5
          
        
        =
        x
      
    
    {\displaystyle x^{5}=x*x^{4}=-(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x)=1,x^{6}=x*x^{5}=x}
   և այլն։ Այժմ ապացուցենք, որ 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
   հավասարումը թույլ է տալիս անվերջ ձևափոխությունների 
  
    
      
        y
        =
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle y=x^{n}}
   խմբեր, որտեղ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը ընդունում է բոլոր ամբողջ (դրական և բացասական) արժեքները, բազմապատիկ հինգի։ Դրա համար անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ թույլատրվում է 
  
    
      
        y
        =
        
          x
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle y=x^{3}}
   ձևափոխությունը։ Դրա համար ունենք 
  
    
      
        P
        (
        y
        )
        =
        
          x
          
            12
          
        
        +
        
          x
          
            9
          
        
        +
        
          x
          
            6
          
        
        +
        
          x
          
            3
          
        
        +
        1
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            4
          
        
        +
        x
        +
        
          x
          
            3
          
        
        +
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle P(y)=x^{12}+x^{9}+x^{6}+x^{3}+1=x^{2}+x^{4}+x+x^{3}+1=0}
   ձևափոխությունը։ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ի բացասական ամբողջ արժեքները ստացվում է 
  
    
      
        y
        =
        1
        
          /
        
        x
      
    
    {\displaystyle y=1/x}
   ձևափոխության օգտագործումից։ Դժվար չէ ապացուցել, որ ստացված ձևափոխությունները կազմում են խումբ։ Կազմած խմբի 
  
    
      
        y
        =
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle y=x^{n}}
   փոխարկումը տեղափոխում է 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
   հավասարման յուրաքանչյուր արմատ այդ նույն հավասարման արմատի։ Այժմ հետևենք ինչպես է 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
   հավասարման յուրաքանչյուր արմատ ձևափոխվում այդ խմբի ձևափոխությունների ազդեցության տակ։ Հանրահաշվի կուրսից հայտնի է, որ 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
  -ն հավասարման արմատները հանդիսանում են թվեր՝ 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        z
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          z
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        =
        
          z
          
            3
          
        
        ,
        
          x
          
            4
          
        
        =
        
          z
          
            4
          
        
        ,
        z
        =
        
          e
          
            2
            ∗
            π
            ∗
            i
            
              /
            
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}=z,x_{2}=z^{2},x_{3}=z^{3},x_{4}=z^{4},z=e^{2*\pi *i/5}}
  ։ 
  
    
      
        y
        =
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=x^{2}}
   ձևափոխությունը տեղափոխում է 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}}
   արմատը 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}}
  -ում, արմատ 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}}
   -ը՝ 
  
    
      
        
          x
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{4}}
  -ում, արմատ 
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{3}}
  -ը՝ 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}}
  -ում, արմատ 
  
    
      
        
          x
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{4}}
  -ը 
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{3}}
  -ում։ Ստացված տեղափոխությունները նշանակում են  
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            4
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{4},x_{3})}
  ։ Նման ձևով կարելի է ցույց տալ, որ 
  
    
      
        y
        =
        
          x
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle y=x^{3}}
   ձևափոխությունները բերվում է 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        
          x
          
            4
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},x_{3},x_{4},x_{2})}
   տեղափոխության։ 
  
    
      
        y
        =
        1
        
          /
        
        x
      
    
    {\displaystyle y=1/x}
   ձևափոխությունը բերվում է 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            4
          
        
        )
        ,
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},x_{4}),(x_{2},x_{3})}
   տեղափոխության։ Մնացած ձևափոխությունները չի տալիս նոր տեղափոխության։ Այսպիսով 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
   հավասարման արմատների 
  
    
      
        y
        =
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle y=x^{n}}
   ձևափոխությունների խումբը մակածում է չորս կարգավորված վերջավոր խմբերի, կազմված հետևալ տարերից է 
  
    
      
        1
        ,
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            4
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        )
        ,
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        
          x
          
            4
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        )
        ,
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            4
          
        
        )
        ,
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle 1,(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3}),(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2}),(x_{1},x_{4}),(x_{2},x_{3})}
  ։ Այդ վերջավոր խմբերին անվանում են 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
   հավասարման Գալուայի խմբեր.


== Կիրառում ==


=== Դաշտի ընդլայնում ===
Դիտարկենք դաշտի ընդլայման հաջորդկան օղակները՝ 
  
    
      
        
          L
          
            1
          
        
        ⊂
        
          L
          
            2
          
        
        ⊂
        ⋯
        ⊂
        
          L
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle L_{1}\subset L_{2}\subset \cdots \subset L_{n}.}
   Կառուցենք դաշտի համար Գալուայի խմբերը եզրային օղակներում՝ 
  
    
      
        G
        =
        G
        a
        l
        (
        
          L
          
            n
          
        
        ,
        
          L
          
            1
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle G=Gal(L_{n},L_{1}).}
   Համաձայն Գալուայի տեսության հիմնական թեորեմի՝ օղակում 
  
    
      
        
          L
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{k}}
   դաշտի յուրաքանչյուր միջակայքի ընդլայնումը համապատասխանում է G խմբի 
  
    
      
        
          G
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{k}}
   ենթախմբին, այսինքն ընդլայնված դաշտի օղակը կարելի է համադրել ենթախմբի ներդրված օղակին, որը նեղանում է G-ից մինչև տրիվիալ ենթախմբերի։ Եթե անմիջապես դիտենք միջակայքային դաշտը (այսինքն՝ 
  
    
      
        
          L
          
            1
          
        
        ⊂
        X
        ⊂
        
          L
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{1}\subset X\subset L_{n}}
   տեսքի դաշտը), տրված համապատասխանությունը հանդիսանում է դաշտի միջակայքային բազմություններից բիեկցիա Գալուայի խմբերի ենթախմբերի բազմությունում։ Այդ ենթախմբերում, տվյալ համապատասխան նորմալ ընդլայնումը, հանդիսանում է G նորմալ ենթախումբ և ընհակառակը։
Խմբերի տեսության օգնությամբ այս համապատասխանությունը թույլ է տալիս հետազոտել դաշտեր ընդլայնումը։ Օրինակ․ նրանից անմիջապես հետևում է դաշտերի միջակայքային թիվը տրված նորմալ ընդլայնման համար միշտ վերջավոր է (ինչպես ենթախմբի թիվը վերջավոր խմբերում)։


=== Հանրահաշվական հավասարում ===
Հանրահաշվական հավասարման հիմնական դաշտը կոչվում է թվերի համախումբ, որը կարելի է ստանալ այդ հավասարման գործակիցներից գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանմանգործողությունների օգնությամբ։ Դաշտերի վերլուծումը անվանում են թվերի համախումբ, որը կարելի է ստանալ այդ գործողություններով վերջավոր թվի օգնությամբ, ելնելեվ գործակիցներից և հավասարման արմատներից։ Ընդհանուր դեպքում դաշտը կազմված է միայն դաշտի վերլուծման ենթադաշտից։
Ընդունված է Գալուայի խումբը, դաշտի վերլուծման կազմված ավտոմորֆությունից, անվանել այդ հավասարման Գալուայի խումբ։ G(K, P)Գալուայի խմբից ցանկացած ավտոմորֆիզմ փոխադրում է ցանկացած բազմանդամի արմատ P դաշտի վրա, նորից այդ նույն բազմանդամի արմատ։ Այսպիսով, հանրահաշվական հավասարման Գալուայի խումբը չունենալով բազմապատիկ արմատ, կարելի է դիտել ինչպես խմբերի տեղափոխություն (հենց այդպես դիտարկեց նույն ինքը՝ Էվարիստ Գալուան)։


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Galois Representations
Артин Э. Теория Галуа. М.: МЦНМО, 2008. ISBN 978-5-94057-062-2.