Սահմանների տեսություն

Սահմանների տեսություն, տեսություն, որն արդի մաթեմատիկական անալիզի հիմքն է․ Սահմանների տեսության հիման վրա են կառուցվում դիֆերենցիալ հաշիվը, ինաեգրալ հաշիվը, շարքերի տեսությունը ևն։ Ուսումնասիրության հիմնական առարկան սահմանն է։ Սահմանների տեսության մեթոդի էությունն այն է, որ նախ առանձնացվում և հանգամանորեն ուսումնասիրվում են 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  -ի ձգտող փոփոխականները՝ անվերջ փոքր մեծությունները, և ապա սահմանների վերաբերյալ բոլոր հարցերը հանգեցվում այդ պարզագույն մասնավոր դեպքին։ Դրա համար հիմք է հանդիսանում հետնյալ դրույթը, եթե 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        →
        a
      
    
    {\displaystyle x_{n}\rightarrow a}
   (այստեղ և հետագայում ամենուրեք 
  
    
      
        n
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle n\rightarrow \infty }
  ), ապա 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        =
        a
        +
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}=a+a_{n}}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        →
        0
      
    
    {\displaystyle a_{n}\rightarrow 0}
   ե, հակադարձաբար, եթե 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        =
        a
        +
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}=a+a_{n}}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        →
        0
      
    
    {\displaystyle a_{n}\rightarrow 0}
  , ապա 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        →
        a
      
    
    {\displaystyle x_{n}\rightarrow a}
  ։ Սահմանների տեսութում նախ ապացուցվում են հետևյալ հիմնական առաջադրությունները, որոնց օգնությամբ էլ կառուցվում է ողջ տեսությունը։ 
Անվերջ փոքրերի հիմնական հատկությունները։
1․ Սահմանափակ թվով անվերջ փոքրերի գումարը անվերջ փոքր է (եթե 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        →
        0
      
    
    {\displaystyle a_{n}\rightarrow 0}
   
  
    
      
        
          β
          
            n
          
        
        →
        0
      
    
    {\displaystyle \beta _{n}\rightarrow 0}
   և, ապա նաև 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        ±
        
          β
          
            n
          
        
        →
        0
      
    
    {\displaystyle a_{n}\pm \beta _{n}\rightarrow 0}
  )։ 2․ Անվերջ փոքրի և սահմանափակ մեծության արտադրյալը անվերջ փոքր է (եթե 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        →
        0
      
    
    {\displaystyle a_{n}\rightarrow 0}
   և 
  
    
      
        ∣
        x
        ∣<
        c
      
    
    {\displaystyle \mid x\mid <c}
  , ապա 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        x
        →
        0
      
    
    {\displaystyle a_{n}x\rightarrow 0}
  )։ 
Հիմնական թեորեմներ սահմանների վերաբերյալ։ 
Եթե 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}}
  -ը և 
  
    
      
        
          y
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle y_{n}}
  -ը ունեն վերջավոր սահմաններ, ապա դրանց գումարը (տարբերությունը), արտադրյալը և քանորդը նույնպես ունեն վերջավոր սահմաններ, ընդ որում՝ 
  
    
      
        l
        i
        m
        x
        (
        
          x
          
            n
          
        
        ±
        
          y
          
            n
          
        
        )
        =
        l
        i
        m
        
          x
          
            n
          
        
        ±
        l
        i
        m
        
          y
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle limx(x_{n}\pm y_{n})=limx_{n}\pm limy_{n},}
   
  
    
      
        l
        i
        m
        (
        
          x
          
            n
          
        
        ⋅
        
          y
          
            n
          
        
        )
        =
        l
        i
        m
        
          x
          
            n
          
        
        ⋅
        l
        i
        m
        
          y
          
            n
          
        
        ,
        l
        i
        m
        
          
            
              y
              
                n
              
            
            
              x
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          
            
              l
              i
              m
              
                x
                
                  n
                
              
            
            
              l
              i
              m
              
                y
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          
            (
          
        
        l
        i
        m
        
          y
          
            n
          
        
        ≠
        0
        
          
            )
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle lim(x_{n}\cdot y_{n})=limx_{n}\cdot limy_{n},lim{y_{n} \over x_{n}}={limx_{n} \over limy_{n}}{\biggl (}limy_{n}\neq 0{\biggr )}:}
   
Եթե 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        =
        
          y
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}=y_{n}}
   և 
  
    
      
        
          y
          
            n
          
        
        →
        a
      
    
    {\displaystyle y_{n}\rightarrow a}
  , ապա նաև 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        →
        a
      
    
    {\displaystyle x_{n}\rightarrow a}
  , եթե 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        ⩽
        
          y
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}\leqslant y_{n}}
   և 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        →
        a
      
    
    {\displaystyle x_{n}\rightarrow a}
  , 
  
    
      
        
          y
          
            n
          
        
        →
        b
      
    
    {\displaystyle y_{n}\rightarrow b}
  , ապա 
  
    
      
        a
        ⩽
        b
      
    
    {\displaystyle a\leqslant b}
   , եթե 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        ⩽
        
          z
          
            n
          
        
        ⩽
        
          y
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}\leqslant z_{n}\leqslant y_{n}}
   և 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        →
        a
      
    
    {\displaystyle x_{n}\rightarrow a}
  , 
  
    
      
        
          y
          
            n
          
        
        →
        a
      
    
    {\displaystyle y_{n}\rightarrow a}
  , ապա նաև
  
    
      
        
          z
          
            n
          
        
        →
        a
      
    
    {\displaystyle z_{n}\rightarrow a}
  ։ 
Սահմանի գոյության հայտանիշներ։ 
1․Անհրաժեշտ պայման։ Եթե 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}}
  -ը ունի վերջավոր սահման, ապա 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}}
  -ը սսհմանափակ է։ 
2 Բավարար պայման։ Վայերշտրասի հայտանիշը, եթե աճող (նվազող) հաջորդականությունը վերևից (ներքևից) սահմանափակ է, ապա ունի վերջավոր սահման, հակառակ դեպքում ձգտում է անվերջության։ 
3․ Անհրաժեշտ և բավարար պայման։ Բոլցանոյի–Կոշիիսկզբունքը․ 
  
    
      
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{n})}
   հաջորդականության վերջավոր սահմանի գոյության համար անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի ցանկացած 
  
    
      
        ε
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \varepsilon >0}
   թվի համար (որքան էլ այն փոքր վերցնենք) գոյություն ունենա 
  
    
      
        
          n
          
            o
          
        
        =
        
          n
          
            o
          
        
        (
        ε
        )
      
    
    {\displaystyle n_{o}=n_{o}(\varepsilon )}
  , որից մեծ ցանկացած 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  –ի և 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  -ի դեպքում 
  
    
      
        ∣
        
          x
          
            n
          
        
        −
        
          x
          
            m
          
        
        ∣<
        ε
      
    
    {\displaystyle \mid x_{n}-x_{m}\mid <\varepsilon }
  , այսինքն՝ հաջորդականության անդամները, բավականաչափ մեծ համարից սկսած, ցանկացած չափով մոտենան միմյանց։ 
Բերված բոլոր առաջադրությունները հանգունորեն ձևակերպվում են նաև ցանկացած ֆունկցիաների համար։ 
Անորոշություններ։ Անվերջ փոքրերի հատկություններում գումարելիների թվի և երկրորդ բազմապատկիչի սահմանափակ լինելը, հիմնական թեորեմներում սահմանների վերջավոր լինելը և քանորդի հայտարարի սահմանի ոչ 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
   լինելը էական պայմաններ են․ դրանց խախտվելու դեպքում առաջադրությունների եզրակացությունները կարող են ճիշտ չլինել։ Այսպես, օրինակ, երբ 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle x_{n}\rightarrow \infty }
   և 
  
    
      
        
          y
          
            n
          
        
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle y_{n}\rightarrow \infty }
   կամ 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        →
        0
      
    
    {\displaystyle x_{n}\rightarrow 0}
   և ,  ապա 
  
    
      
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              y
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {x_{n} \over y_{n}}}
  քանորդը կարող է ձգտել ցանկացած սահմանի (վերջավոր կամ անվերջ) կամ սահման չունենալ։   
Օրինակ,  

  
    
      
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              y
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              n
              +
              1
            
            n
          
        
        =
        a
        +
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {x_{n} \over y_{n}}={an+1 \over n}=a+{1 \over n}}
   (
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն ցանկացած թիվ է), 

Նույնը տեղի ունի 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        ⋅
        
          y
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}\cdot y_{n}}
   արտադրյալի համար՝ 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        →
        0
        ,
        
          y
          
            n
          
        
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle x_{n}\rightarrow 0,y_{n}\rightarrow \infty }
   դեպքում, 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        −
        
          y
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}-y_{n}}
   տարբերության համար՝ 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        →
        +
        ∞
        ,
        y
        →
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle x_{n}\rightarrow +\infty ,y\rightarrow +\infty }
  , դեպքում, և 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        +
        
          y
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}+y_{n}}
   գումարի համար՝ 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        →
        +
        ∞
        ,
        
          y
          
            n
          
        
        →
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle x_{n}\rightarrow +\infty ,y_{n}\rightarrow -\infty }
   դեպքում։ Այս դեպքերում, գիտենալով հանդերձ 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}}
  -ի և 
  
    
      
        
          y
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle y_{n}}
  -ի սահմանները, նրանց գումարի, արտադրյալի կամ քանորդի սահմանի մասին որոշակի բան ասել հնարավոր չէ։ Այս նկատառումով էլ այդպիսի արտահայտություններն անվանում են անորոշություններ։ Գոյություն ունեն յոթ տիպի անորոշւսթյուններ․
0.∞, ∞-∞, 00, 1∞, ∞0: Ս․ տ․ տալիս է անորոշ արտահայտությունների սահմանները գտնելու՝ անորոշությունները բացելու պարզ կանոննելը, որոնք հիմնված են վերը նշված առաջադրությունների, ինչպես և դիֆերենցիալ հաշվի որոշ բանաձևերի վրա։
Տեսական ու կիրառական շատ հարցերում անհրաժեշտություն է առաջանում միմյանց հետ բաղդատելու երկու անվերջ փոքրերի նվազման կամ երկու անվերջ մեծերի աճման արագությունները, որ կատարվում է դրանց հարաբերությունների սահմանի օգնությամբ և հանգեցնում դրանց համար տարբեր կարգեր սահմանլու գաղափարին, եթե, ապա an և βn կոչվում են համարժեք անվերջ փոքրեր (գրվում Է՝ аn~βn), եթե, ապա аn և βn-ը նույն կարգի են [գրվում Է՝ аn= 0(βn)], եթե, ապա аn և βn-ը նկատմամբ բարձրկարգի անվերջ փոքր է [գրվում Է՝ аn=о(βn)]։ Հանգունորեն սահմանվում են նաև անվերջ մեծերի կարգերը։
Պատմական տեղեկություններ։ Սահմանային անցման գործողություններ կատարել են դեռևս հին հույները։ Նրանք, թեպետև բացահայտ չեն մուծել «սահման» հասկացությունը և որևէ ընդհանուր կանոն չեն ձևակերպել, սակայն երկրաչափական պատկերների մակերեսներ ու ծավալներ հաշվելիս յուրաքանչյուր առանձին դեպքում ապացուցել են մեծությունների մոնոտոն և սահմանափակ հաջորդականության սահմանի գոյությունն ու միակությունը։
Սահմանների տեսութ ստեղծելու առաջին քայլերն արել են XVII դ․, limes (լատ․ սահման) տերմինն առաջին անգամ գործածել է Ի․ Նյուտոնը (1686)։ XVIII դ․ Սահմանների տեսութունը օգտագործվել է միայն դիֆերենցիալ հաշվի ստացած առանձին արդյունքներ բացատրելու համար, սակայն չի հանդիսացել որպես ամբողջ նոր հաշիվը հիմնավորելու միջոց։ Արդի Սահմանների տեսութուն սկսել է ձևավորվել XIX դ․ սկզբներին՝ կապված ֆունկցիաների բավականաչափ լայն դասերի ընդհանուր հատկությունները զուտ թվաբանորեն հետազոտելու հարցերի հետ։ Օ․ Կոշրն 1821–23 թթ․ թվաբանորեն ձևակերպել է սահմանի հասկացությունը, մշակել Սահմանների տեսությունը և նրա հիման վրա կառուցել անվերջ փոքրերի հաշիվը։ Սակայն, Կոշիի մշակած Սահմանների տեսություում հիմնական դեր է կատարում ոչ թե սահմանի բուն սահմանումը, այլ Բոլցանոյի–Կոշիի սկզբունքը, որն արտահայտում է վերջավոր սահմանի ձգտող մեծության փոփոխման ներքին էությունը։ Սահմանի այժմյան «ε–δ» սահմանումը պատկանում է Կ․ Վայերշտրասին (1880)։


== Գրականություն ==
Սմիրնով Վ․ Ի․, Բարձրագույն մաթեմատիկայի դասընթաց, հ․ 1, Ե․, 1948։
Ֆիխտենգոլց Գ․ Մ․, Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքները, հ․ 1, Ե․, 1970։
Александров П-С․, Введение в общую теорию множеств и функций, М․–Л․, 1948:
Никольский С․ М․, Курс математического анализа, т․ 1–2, М․, 1973․