Վալլիսի բանաձև

Վալլիսի բանաձև (Վալլիսի արտադրյալ), բանաձև, որն π թիվն արտահայտում է  ռացիոնալ կոտորակների անվերջ արտադրյալների տեսքով։

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    π
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  ∏
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      4
                      
                        n
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      4
                      
                        n
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      1
                    
                  
                
                =
                
                  ∏
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          2
                          n
                        
                        
                          2
                          n
                          −
                          1
                        
                      
                    
                    ⋅
                    
                      
                        
                          2
                          n
                        
                        
                          2
                          n
                          +
                          1
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    (
                  
                
                
                  
                    2
                    1
                  
                
                ⋅
                
                  
                    2
                    3
                  
                
                
                  
                    )
                  
                
                ⋅
                
                  
                    (
                  
                
                
                  
                    4
                    3
                  
                
                ⋅
                
                  
                    4
                    5
                  
                
                
                  
                    )
                  
                
                ⋅
                
                  
                    (
                  
                
                
                  
                    6
                    5
                  
                
                ⋅
                
                  
                    6
                    7
                  
                
                
                  
                    )
                  
                
                ⋅
                
                  
                    (
                  
                
                
                  
                    8
                    7
                  
                
                ⋅
                
                  
                    8
                    9
                  
                
                
                  
                    )
                  
                
                ⋅
                
                ⋯
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \\\end{aligned}}}
  


== Պատմություն ==
1655 թվականին Ջոն Վալլիսն առաջարկել է π  թիվը որոշելու բանաձև․

  
    
      
        
          
            π
            2
          
        
        =
        
          ∏
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              2
              n
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              (
              2
              n
              −
              1
              )
              (
              2
              n
              +
              1
              )
            
          
        
        =
        
          
            2
            1
          
        
        ⋅
        
          
            2
            3
          
        
        ⋅
        
          
            4
            3
          
        
        ⋅
        
          
            4
            5
          
        
        ⋅
        
          
            6
            5
          
        
        ⋅
        
          
            6
            7
          
        
        ⋅
        
          
            8
            7
          
        
        ⋅
        
          
            8
            9
          
        
        ⋅
        
          
            10
            9
          
        
        ⋅
        
          
            10
            11
          
        
        ⋅
        …
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {10}{9}}\cdot {\frac {10}{11}}\cdot \ldots }
  Ջոն Վալլիսը դա ստացել է՝ հաշվելով շրջանի մակերեսը։ Պատմականորեն Վալլիսի բանաձևը կարևորվում էր որպես անվերջ արտադրյալների առաջին օրինակներից մեկը։


== Ապացուցում ==
Օգտագործվում է Էյլերի անվերջ արտադրյալները սինիուսի ֆոինկցիայի համար

  
    
      
        
          
            
              sin
              ⁡
              x
            
            x
          
        
        =
        
          ∏
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    n
                    
                      2
                    
                  
                  
                    π
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}
  ։Ենթադրենք 
  
    
      
        x
        =
        π
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle x=\pi /2}
  , այդ դեպքում՝

  
    
      
        
          
            2
            π
          
        
        =
        
          ∏
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            1
            −
            
              
                1
                
                  4
                  
                    n
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right),}
  
  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    π
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  ∏
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        4
                        
                          n
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        4
                        
                          n
                          
                            2
                          
                        
                        −
                        1
                      
                    
                  
                  )
                
                =
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∏
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                      2
                      n
                      )
                      (
                      2
                      n
                      )
                    
                    
                      (
                      2
                      n
                      −
                      1
                      )
                      (
                      2
                      n
                      +
                      1
                      )
                    
                  
                
                =
                
                  
                    2
                    1
                  
                
                ⋅
                
                  
                    2
                    3
                  
                
                ⋅
                
                  
                    4
                    3
                  
                
                ⋅
                
                  
                    4
                    5
                  
                
                ⋅
                
                  
                    6
                    5
                  
                
                ⋅
                
                  
                    6
                    7
                  
                
                ⋅
                
                  
                    8
                    7
                  
                
                ⋅
                
                  
                    8
                    9
                  
                
                ⋅
                …
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)=\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots \end{aligned}}}
  


== Կիրառությունը ==
Այս արտադրյալը  շատ դանդաղ է զուգամիտում, հետևաբար,  
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   թվի գործնական հաշվարկի համար Վալլիսի բանաձևի քիչ կիրառելի է։
Այնուամենայնիվ, այն օգտակար է տարբեր տեսական հետազոտություններում, օրինակ, Ստրիլինգի բանաձևի դուրսբերման ժամանակ, այն էլ եթե այս բանաձում մի փոքր փոփոխվի ավարտը․

  
    
      
        π
        ≈
        
          [
          
            
              ∏
              
                n
                =
                1
              
              
                m
                −
                1
              
            
            
              
                
                  (
                  2
                  n
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  (
                  2
                  n
                  −
                  1
                  )
                  (
                  2
                  n
                  +
                  1
                  )
                
              
            
          
          ]
        
        ⋅
        
          [
          
            
              
                
                  2
                  m
                
                
                  2
                  m
                  −
                  1
                
              
            
            ⋅
            
              (
              
                
                  
                    
                      2
                      m
                    
                    
                      2
                      m
                      +
                      1
                    
                  
                
                ⋅
                
                  
                    1
                    4
                  
                
                +
                1
              
              )
            
            +
            
              
                3
                4
              
            
          
          ]
        
        =
        
          
            2
            1
          
        
        ⋅
        
          
            2
            3
          
        
        ⋅
        
          
            4
            3
          
        
        ⋅
        
          
            4
            5
          
        
        ⋅
        
          
            6
            5
          
        
        ⋅
        
          
            6
            7
          
        
        ⋅
        
          [
          
            
              
                8
                7
              
            
            ⋅
            
              (
              
                
                  
                    8
                    9
                  
                
                ⋅
                
                  
                    1
                    4
                  
                
                +
                1
              
              )
            
            +
            
              
                3
                4
              
            
          
          ]
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \pi \approx \left[\prod _{n=1}^{m-1}{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}\right]\cdot \left[{\frac {2m}{2m-1}}\cdot \left({\frac {2m}{2m+1}}\cdot {\frac {1}{4}}+1\right)+{\frac {3}{4}}\right]={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \left[{\frac {8}{7}}\cdot \left({\frac {8}{9}}\cdot {\frac {1}{4}}+1\right)+{\frac {3}{4}}\right],}
  ապա զուգամիտման արագությունը մեծանում է մոտ հինգ անգամ։


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
Վալլիսի բանաձև
Վալլիսի բանաձևի դուրսբերում