Բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցում

Շղթայական կանոն (բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցման կանոնը) հնարավորություն է տալիս հաշվել մեկ կամ մի քանի ֆունկցիաների կոմպոզիցիայի ածանցյալը։ Եթե 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիան 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետում ածանցելի է, իսկ 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   ֆունկցիան 
  
    
      
        
          y
          
            0
          
        
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}
   կետում ունի ածանցյալ, ապա 
  
    
      
        h
        (
        x
        )
        =
        g
        (
        f
        (
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle h(x)=g(f(x))}
   ֆունկցիան նույնպես ունի ածանցյալ 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետում։


== Պատմություն ==
Շղթայական կանոնը առաջին անգամ օգտագործվել է Լայբնիցի կողմից։ Նա այն օգտագործել է 
  
    
      
        
          
            a
            +
            b
            z
            +
            c
            
              z
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {a+bz+cz^{2}}}}
   ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվելու համար՝ որպես քառակուսի արմատային ֆունկցիայի և 
  
    
      
        a
        +
        b
        z
        +
        c
        
          z
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle a+bz+cz^{2}\!}
   ֆունկցիայի համադրույթ(կոմպազիցիա)։ Առաջին անգամ նշել է 1676 թվականին իր հուշագրություններում։ Շղթայական կանոնը չի երևում Լեոնարդ Էյլերի և ոչ մի գրքում, չնայած դրանք գրվել են Լայբնիցի հայտնագործությունից հարյուր տարի անց։


== Միակողմանի դեպք ==
Դիցուք տրված են թվային ուղղի վրա որոշված 
  
    
      
        f
        :
        U
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        →
        V
        (
        
          y
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f:U(x_{0})\to V(y_{0})}
   ֆունկցիաները, որտեղ 
  
    
      
        
          y
          
            0
          
        
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),}
   և 
  
    
      
        g
        :
        V
        (
        
          y
          
            0
          
        
        )
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle g:V(y_{0})\to \mathbb {R} }
  ։ Դիցուք այդ ֆունկցիաները նաև դիֆերենցելի են․ 
  
    
      
        f
        ∈
        
          
            D
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ,
        
        g
        ∈
        
          
            D
          
        
        (
        
          y
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0})}
  ։ Ապա նրանց կոմպոզիցիան նույնպես կլինի դիֆերենցելի․ 
  
    
      
        h
        =
        g
        ∘
        f
        ∈
        
          
            D
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle h=g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),}
   և նրա ածանցյալը կունենա հետևյալ տեսքը․

  
    
      
        
          h
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        
          g
          ′
        
        
          
            (
          
        
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        
          
            )
          
        
        ⋅
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})}
  ։


=== Դիտողություն ===
Լեյբնիցի նշանակումներում շղթայական կանոնը 
  
    
      
        y
        =
        y
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=y(x)}
   ֆունկցիայի ածանցյալի համար, որտեղ 
  
    
      
        x
        =
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x=x(t)}
   ընդունում է հետևյալ տեսքը

  
    
      
        
          h
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        
          g
          ′
        
        
          
            (
          
        
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        
          
            )
          
        
        ⋅
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).}
  


=== Առաջին կարգի դիֆերենցիալի ինվարիանտությունը ===

  
    
      
        
          y
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle y_{0}}
   կետում դիֆերենցելի 
  
    
      
        z
        =
        g
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle z=g(y)}
   ֆունկցիան ունի

  
    
      
        d
        z
        =
        
          g
          ′
        
        (
        
          y
          
            0
          
        
        )
        
        d
        y
      
    
    {\displaystyle dz=g'(y_{0})\,dy}
   տեսքը, որտեղ
  
    
      
        d
        y
      
    
    {\displaystyle dy}
   —ը 
  
    
      
        y
        →
        
          y
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle y\to y_{0}}
   ֆունկցիայի դիֆերենցիալ արտապատկերումն է

  
    
      
        d
        y
        (
        h
        )
        =
        h
        ,
        
        h
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} }
  ։Դիցուք այժմ 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
        ,
        
        x
        ∈
        U
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ,
        
        f
        ∈
        
          
            D
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x),\;x\in U(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}
  ։ Ապա 
  
    
      
        d
        y
        =
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle dy=f'(x_{0})\,dx}
   և համաձայն շղթայական կանոնի

  
    
      
        d
        z
        =
        
          g
          ′
        
        
          
            (
          
        
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        
          
            )
          
        
        ⋅
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        
        d
        x
        =
        
          g
          ′
        
        (
        
          y
          
            0
          
        
        )
        
        d
        y
      
    
    {\displaystyle dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy}
  ։Այսինքն առաջին կարգի դիֆերենցիալի բանաձևը մնում է նույնը։


=== Օրինակ ===
Դիցուք 
  
    
      
        h
        (
        x
        )
        =
        (
        3
        
          x
          
            2
          
        
        −
        5
        x
        
          )
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle h(x)=(3x^{2}-5x)^{7}}
   ։ Ապա 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
   ֆունկցիան կարելի է գրել 
  
    
      
        h
        =
        g
        ∘
        f
        ,
      
    
    {\displaystyle h=g\circ f,}
   կոմպոզիցիայի տեսքով, որտեղ

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        3
        
          x
          
            2
          
        
        −
        5
        x
        ,
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=3x^{2}-5x,\;}
  

  
    
      
        g
        (
        y
        )
        =
        
          y
          
            7
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle g(y)=y^{7}.\;}
  Առանձին դիֆերենցելով այդ ֆունկցիան՝

  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        6
        x
        −
        5
        ,
        
      
    
    {\displaystyle f'(x)=6x-5,\;}
  

  
    
      
        
          g
          ′
        
        (
        y
        )
        =
        7
        
          y
          
            6
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle g'(y)=7y^{6},\;}
  կստանանք

  
    
      
        
          h
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        7
        (
        3
        
          x
          
            2
          
        
        −
        5
        x
        
          )
          
            6
          
        
        ⋅
        (
        6
        x
        −
        5
        )
      
    
    {\displaystyle h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5)}
  ։


== Բազմաստիճան դեպք ==
Դիզուք տրված են 
  
    
      
        f
        :
        U
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ⊂
        
          
            R
          
          
            m
          
        
        →
        V
        (
        
          y
          
            0
          
        
        )
        ⊂
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle f:U(x_{0})\subset \mathbb {R} ^{m}\to V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n},}
   և 
  
    
      
        g
        :
        V
        (
        
          y
          
            0
          
        
        )
        ⊂
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        →
        
          
            R
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle g:V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}}
   ֆունկցիաները, որտեղ 
  
    
      
        
          y
          
            0
          
        
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}
  ։  Ենթադրենք նաև, որ այդ ֆունկցիաները դիֆերենցելի են․ 
  
    
      
        f
        ∈
        
          
            D
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}
   և 
  
    
      
        g
        ∈
        
          
            D
          
        
        (
        
          y
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle g\in {\mathcal {D}}(y_{0})}
  ։ Ապա նրանց կոմպոզիցիան նույնպես դիֆերենցելի է և այդ դիֆերենցիալը ունի

  
    
      
        d
        h
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        d
        g
        (
        
          y
          
            0
          
        
        )
        ∘
        d
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle dh(x_{0})=dg(y_{0})\circ df(x_{0})}
   տեսքը։Մասնավոր դեպքում, Յակոբիի մատրից  
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
   ֆունկցիան հանդիսանում է 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   և 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիաների Յակոբիի մատրիցների արտադրյալը։

  
    
      
        
          
            
              ∂
              (
              
                h
                
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                h
                
                  p
                
              
              )
            
            
              ∂
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                x
                
                  m
                
              
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              (
              
                h
                
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                h
                
                  p
                
              
              )
            
            
              ∂
              (
              
                y
                
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                y
                
                  n
                
              
              )
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              ∂
              (
              
                y
                
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                y
                
                  n
                
              
              )
            
            
              ∂
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                x
                
                  m
                
              
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}={\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\cdot {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}.}
  


=== Հետևանքներ ===
Երկու ֆունկցիաների Յակոբյան կոմպոզիցիան դա անհատական ֆունկցիաների յակոբյանների արտադրայալն է․

  
    
      
        
          |
          
            
              
                ∂
                (
                
                  h
                  
                    1
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  h
                  
                    n
                  
                
                )
              
              
                ∂
                (
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  x
                  
                    n
                  
                
                )
              
            
          
          |
        
        =
        
          |
          
            
              
                ∂
                (
                
                  h
                  
                    1
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  h
                  
                    n
                  
                
                )
              
              
                ∂
                (
                
                  y
                  
                    1
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  y
                  
                    n
                  
                
                )
              
            
          
          |
        
        ⋅
        
          |
          
            
              
                ∂
                (
                
                  y
                  
                    1
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  y
                  
                    n
                  
                
                )
              
              
                ∂
                (
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  x
                  
                    n
                  
                
                )
              
            
          
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right\vert =\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\right\vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right\vert .}
  Բարդ ֆունկցիայի մասնավոր ածանցյալի համար ճշմարիտ է․

  
    
      
        
          
            
              ∂
              h
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              ∂
              g
              (
              
                y
                
                  0
                
              
              )
            
            
              ∂
              
                y
                
                  i
                
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        ,
        
        j
        =
        1
        ,
        …
        m
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial h(x_{0})}{\partial x_{j}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(y_{0})}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x_{j}}},\quad j=1,\ldots m}
  ։


=== Օրինակ ===
Դիցուք տրված է երեք փոփոխականներով 
  
    
      
        h
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        sin
        ⁡
        x
        +
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        x
        +
        y
        +
        z
        )
        −
        
          
            2
            
              x
              
                2
              
            
            +
            5
            
              y
              
                3
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle h(x,y,z)=\sin x+\cos ^{2}(x+y+z)-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}\;}
    ֆունկցիան և պահանջվում է գտնել նրա մասնական ածանցյալը ըստ  
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   փոփոխականի։ 

  
    
      
        h
        
      
    
    {\displaystyle h\;}
   ֆունկցիան կարող է գրվել որպես  
  
    
      
        h
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        f
        (
        u
        ,
        v
        ,
        w
        )
      
    
    {\displaystyle h(x,y,z)=f(u,v,w)}
  ,  որտեղ

  
    
      
        f
        (
        u
        ,
        v
        ,
        w
        )
        =
        u
        +
        
          v
          
            2
          
        
        +
        w
        ,
        
      
    
    {\displaystyle f(u,v,w)=u+v^{2}+w,\;}
  

  
    
      
        u
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        sin
        ⁡
        x
        ,
        
      
    
    {\displaystyle u(x,y,z)=\sin x,\;}
  

  
    
      
        v
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        cos
        ⁡
        (
        x
        +
        y
        +
        z
        )
        ,
        
      
    
    {\displaystyle v(x,y,z)=\cos(x+y+z),\;}
  

  
    
      
        w
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        −
        
          
            2
            
              x
              
                2
              
            
            +
            5
            
              y
              
                3
              
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle w(x,y,z)=-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}.\;}
  Ապա 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
   ֆունկցիայի մասնական ածանցյալը ըստ  
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
    փոփոխականի կունենա հետևյալ տեսքը․

  
    
      
        
          
            
              ∂
              h
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              u
            
          
        
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              v
            
          
        
        
          
            
              ∂
              v
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              w
            
          
        
        
          
            
              ∂
              w
            
            
              ∂
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial w}}{\frac {\partial w}{\partial x}}}
  Հաշվենք ածանցյալները․

  
    
      
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              u
            
          
        
        =
        1
        ,
        
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              v
            
          
        
        =
        2
        v
        ,
        
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              w
            
          
        
        =
        1
        ,
        
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        cos
        ⁡
        x
        ,
        
        
          
            
              ∂
              v
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        −
        sin
        ⁡
        (
        x
        +
        y
        +
        z
        )
        ,
        
        
          
            
              ∂
              w
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              2
              x
            
            
              2
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              5
              
                y
                
                  3
                
              
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial u}}=1,\;{\frac {\partial f}{\partial v}}=2v,\;{\frac {\partial f}{\partial w}}=1,\;{\frac {\partial u}{\partial x}}=\cos x,\;{\frac {\partial v}{\partial x}}=-\sin(x+y+z),\;{\frac {\partial w}{\partial x}}=-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}.\;}
  Տեղադրելով գտնված ածանցյալները․

  
    
      
        
          
            
              ∂
              h
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        1
        ⋅
        cos
        ⁡
        x
        
        +
        
        2
        ⋅
        
          
            (
          
        
        cos
        ⁡
        (
        x
        +
        y
        +
        z
        )
        
          
            )
          
        
        ⋅
        
          
            (
          
        
        −
        sin
        ⁡
        (
        x
        +
        y
        +
        z
        )
        
          
            )
          
        
        
        +
        
        1
        ⋅
        
          (
          
            −
            
              
                
                  2
                  x
                
                
                  2
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  5
                  
                    y
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}=1\cdot \cos x\quad +\quad 2\cdot {\Bigl (}\cos(x+y+z){\Bigl )}\cdot {\Bigl (}-\sin(x+y+z){\Bigl )}\quad +\quad 1\cdot \left(-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}\right)}
  Արդյունքում

  
    
      
        
          
            
              ∂
              h
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        cos
        ⁡
        x
        −
        sin
        ⁡
        (
        2
        x
        +
        2
        y
        +
        2
        z
        )
        −
        
          
            
              2
              x
            
            
              2
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              5
              
                y
                
                  3
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}=\cos x-\sin(2x+2y+2z)-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}.}
  


== Գրականություն ==
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
Գ․Մ․Ֆիխտենգոլց; Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվ,6-րդ հրատ․, — Մ.: Նաուկա, 1966. — էջ 680։


== Ծանոթագրություններ ==