Կարտոֆիլի պարադոքս

Կարտոֆիլի պարադոքս, մաթեմատիկական հաշվարկի օրինակ, որի արդյունքը հակասում է ինտուիցիային։ Այս պարադոքսը ներառում է կարտոֆիլի չորացումը աննշան թվացող քանակով, սակայն զանգվածի փոփոխության հաշվարկից հետո պարզվում է, որ այն ավելի մեծ է, քան ինտուիտիվորեն սպասվում էր։


== Նկարագրություն ==
Պարադոքսը ձևակերպված է հետևյալ կերպ.

«Կա 100 կգ կարտոֆիլ, որի քաշի 99 տոկոսը ջուր է։ Կարտոֆիլը չորանում է մինչև 98 տոկոս ջրի պարունակությունը։ Որքա՞ն է այժմ կարտոֆիլի զանգվածը»։Դեյվիդ Դարլինգի The Universal Book of Mathematics-ը խնդիրը սահմանում է հետևյալ կերպ.

«Ֆրեդը տուն է բերում 100 ֆունտ կարտոֆիլ, որը (լինելով կատարյալ մաթեմատիկական կարտոֆիլ) 99 տոկոսով ջուր է։ Նա թողնում է դրանք դրսում, որպեսզի չորանան ամբողջ գիշեր, ինչից հետո դրանցում ջրի պարունակությունը դառնում է 98 տոկոս։ Որքա՞ն նրանց նոր քաշը։ Անսպասելի պատասխան՝ 50 ֆունտ»Քուայնի պարադոքսների դասակարգման մեջ կարտոֆիլի պարադոքսը դասակարգվում է որպես «արժանահավատ»։


== Պարզ բացատրություններ ==


=== Մեթոդ 1 ===
Բացատրություններից մեկն սկսվում է նրանից, որ սկզբնական շրջանում չոր նյութի զանգվածը 1 կգ է, որը կազմում է 100 կգ-ի 1 %-ը։ Հետո հարց է տրվում՝ 1 կգ-ը քանի՞ կգ-ի 2 %-ն է։ Որպեսզի այս համամասնությունը կրկնակի մեծ դառնա, ընդհանուր զանգվածը պետք է լինի երկու անգամ քիչ։


=== Մեթոդ 2 ===
100 կգ կարտոֆիլ, 99 % ջուր (ըստ զանգվածի), նշանակում է 99 կգ ջուր և 1 կգ պինդ նյութ։ Այս հարաբերակցությունը 1:99 է:
Եթե ​​ջրի քանակը կրճատվում է մինչև 98 %, չոր նյութը կազմում է քաշի 2 %-ը: 2:98 հարաբերակցությունը կրճատվում է 1:49-ի: Քանի որ չոր նյութը դեռ կշռում է 1 կգ, ջուրը պետք է կշռի 49 կգ, այսինքն՝ ընդհանուր զանգվածը պետք է կլինի 50 կգ։


== Հանրահաշվի միջոցով բացատրություններ ==


=== Մեթոդ 1 ===
Ջրի գոլորշիացումից հետո մնացած ընդհանուր 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   զանգվածը պարունակում է 1 կգ մաքուր կարտոֆիլ և 
  
    
      
        (
        98
        
          /
        
        100
        )
        x
      
    
    {\displaystyle (98/100)x}
   ջուր։ Սա արտահայտվում է հետևյալ հավասարման մեջ.

  
    
      
        
          
            
              
                1
                +
                
                  
                    98
                    100
                  
                
                x
              
              
                
                =
                x
              
            
            
              
                ⟹
                1
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    50
                  
                
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}1+{\frac {98}{100}}x&=x\\\Longrightarrow 1&={\frac {1}{50}}x\end{aligned}}}
  որի լուծումը տալիս է 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   = 50 կգ։


=== Մեթոդ 2 ===
Թարմ կարտոֆիլի ջրի զանգվածը կազմում է 
  
    
      
        0
        
          ,
        
        99
        ⋅
        100
      
    
    {\displaystyle 0{,}99\cdot 100}
  :
Եթե 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը կարտոֆիլի չորացման ժամանակ կորցրած ջրի զանգվածն է, ապա  
  
    
      
        0
        
          ,
        
        98
        (
        100
        −
        x
        )
      
    
    {\displaystyle 0{,}98(100-x)}
  -ը  չորացրած կարտոֆիլի ջրի քաշն է։ Ահա.

  
    
      
        0
        
          ,
        
        99
        ⋅
        100
        −
        0
        
          ,
        
        98
        (
        100
        −
        x
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle 0{,}99\cdot 100-0{,}98(100-x)=x}
  Փակագծերի բացում և պարզեցում.

  
    
      
        
          
            
              
                99
                −
                (
                98
                −
                0
                
                  ,
                
                98
                x
                )
              
              
                
                =
                x
              
            
            
              
                99
                −
                98
                +
                0
                
                  ,
                
                98
                x
              
              
                
                =
                x
              
            
            
              
                1
                +
                0
                
                  ,
                
                98
                x
              
              
                
                =
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}99-(98-0{,}98x)&=x\\99-98+0{,}98x&=x\\1+0{,}98x&=x\end{aligned}}}
  Յուրաքանչյուր կողմում հանելով x բազմապատկիչ.

  
    
      
        
          
            
              
                1
                +
                0
                
                  ,
                
                98
                x
                −
                0
                
                  ,
                
                98
                x
              
              
                
                =
                x
                −
                0
                
                  ,
                
                98
                x
              
            
            
              
                1
              
              
                
                =
                0
                
                  ,
                
                02
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}1+0{,}98x-0{,}98x&=x-0{,}98x\\1&=0{,}02x\end{aligned}}}
  Եվ լուծումը.

  
    
      
        
          
            1
            
              0
              
                ,
              
              02
            
          
        
        =
        
          
            
              0
              
                ,
              
              02
              x
            
            
              0
              
                ,
              
              02
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{0{,}02}}={\frac {0{,}02x}{0{,}02}}}
  Ստացվում է կորցրած ջրի զանգվածը.

  
    
      
        50
        =
        x
      
    
    {\displaystyle 50=x}
  Եվ չորացրած կարտոֆիլի զանգվածը.

  
    
      
        100
        −
        x
        =
        100
        −
        50
        =
        50
      
    
    {\displaystyle 100-x=100-50=50}
  


== Հետևանք ==
Պատասխանը պահպանվում է չոր նյութի մասնաբաժնի ցանկացած կրկնապատկման դեպքում։ Օրինակ, եթե կարտոֆիլն ի սկզբանե պարունակում է 99,999 % ջուր, ապա այդ տոկոսը մինչև 99,998 % նվազեցնելը ևս պահանջում է զանգվածի կրկնակի կրճատում։


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
Weisstein, Eric W.։ «Potato Paradox» (անգլերեն)։ mathworld.wolfram.com։ Վերցված է 2018-08-14