Պելի թիվ

Պելի թիվ, ամբողջ թիվ, երկուսից քառակուսի արմատին հավասար կոտորակների անվերջ շարքի մեջ մտնող, կոտորակների հայտարար։ Այդ շարքը սկսվում է հետևյալ կերպ  
  
    
      
        
          
            1
            1
          
        
        ,
        
          
            3
            2
          
        
        ,
        
          
            7
            5
          
        
        ,
        
          
            17
            12
          
        
        ,
        
          
            41
            29
          
        
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},\dots }
  , այսինքն, Պելի առաջին թվերը ՝ 1, 2, 5, 12 և 29 են։ Այդ նույն շարքի համարիչ են համարվում Պելի թվերին համարժեք թվերի կեսը կամ Պել-Լյուկի թվերը՝ անվերջ շարք, որը սկսվում է 2, 6, 14, 34 և 82 -ով։
Պելի թվերը և Պել-Լյուկի թվերը կարող ենք հաշվել՝ ֆիբոնաչիի թվերի նման, ռեկուրենտ հարաբերակցությամբ, և երկու շարքն էլ աճում են էքսպոնենցիալ ձևով, արծաթե հատման աստիճանին համեմատական՝ 
  
    
      
        1
        +
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}
  ։
Բացի կոտորակային շղթայից, Պելի թվերը կարելի է օգտագործել նաև որոշ համակցված խնդիրների թվարկման համար։
Պելի թվերի շարքը հայտնի է հին ժամանականերից։ Ինչպես Պելի հավասարումը, այնպես էլ Պելի թվերը, Լենարդ Էյլերի կողմից, սխալմամբ են վերագրված Պելին։ Դրանք իրականում Լյուկի շարքերի հետևանքներն են հանդիսանում։


== Պելի թվեր ==
Պելի թվերը տրվում են ռեկուրենտ գծային հարաբերակցությամբ՝

  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  0
                  ,
                  n
                  =
                  0
                  ;
                
              
              
                
                  1
                  ,
                  n
                  =
                  1
                
              
              
                
                  2
                  
                    P
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    P
                    
                      n
                      −
                      2
                    
                  
                  ,
                  n
                  >
                  1
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0,n=0;\\1,n=1\\2P_{n-1}+P_{n-2},n>1\end{cases}}}
  և հանդիսանում են Լյուկի շարքի մասնավոր դեպք։
Պելի առաջին մի քանի թվերը

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, … (A000129-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).
Պելի թվերը կարելի է արտահայտել հետևյալ բանաձևով՝

  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              (
              1
              +
              
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  n
                
              
              −
              (
              1
              −
              
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              2
              
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}
  n-ի մեծ արժեքների դեպքում 
  
    
      
        
          (
          1
          +
          
            
              2
            
          
          
            )
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})^{n}}
   տրված արտահայտության մեջ գլխավորում է, քանի որ, Պելի թվերը մոտավոր համեմատական են արծաթե հատման աստիճաններին
  
    
      
        
          (
          1
          +
          
            
              2
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})}
  , համանման ձևով՝ Ֆիբոնաչիի թվերը համեմատական են ոսկե հատմանը։
Հնարավոր է երրորդ սահմանումը, մատրիցայի ձևով

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  
                    P
                    
                      n
                      +
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    P
                    
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    P
                    
                      n
                    
                  
                
                
                  
                    P
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            
              (
              
                
                  
                    2
                  
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    1
                  
                  
                    0
                  
                
              
              )
            
          
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}
  Շատ նույնություններ կարող են ապացուցվել այս սահմանումներով, օրինակ, Ֆիբոնաչիի թվերի համար Կասինի նույնությանը համանման նույնությունը, որպես մատրիցային ձևի հետևանք բանաձև։

  
    
      
        
          P
          
            n
            +
            1
          
        
        
          P
          
            n
            −
            1
          
        
        −
        
          P
          
            n
          
          
            2
          
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},}
  


== Մոտարկում քառակուսի արմատ երկուսից ==
Պելի թվերը պատմականորեն առաջացել են երկուսից քառակուսի արմատի մոտարկումից։ Եթե երկու x և y մեծ մբողջ թվերը տալիս են Պելի հավասարման լուծում,

  
    
      
        
          
            x
            
              2
            
          
          −
          2
          
            y
            
              2
            
          
          =
          ±
          1
          ,
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}
  ապա դրանց 
  
    
      
        
          
            
              x
              y
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}
  հարաբերությունը մոտրակումն է 
  
    
      
        
          
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}
  ։ Այդ տիպի մոտարկման շարքն է․

  
    
      
        1
        ,
        
          
            3
            2
          
        
        ,
        
          
            7
            5
          
        
        ,
        
          
            17
            12
          
        
        ,
        
          
            41
            29
          
        
        ,
        
          
            99
            70
          
        
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }
  որտեղ՝ յուրաքանչյուր կոտորակի հայտարարը Պելի թիվ է, իսկ համարիչը հավասար է Պելի թվի և իր նախորդի գումարին։ Այսպիսով, մոտարկումն ունի հետևյալ տեսքը 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  P
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
                +
                
                  P
                  
                    n
                  
                
              
              
                P
                
                  n
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}}
  .

  
    
      
        
          
            2
          
        
        ≈
        
          
            577
            408
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}
   տեսքի մոտարկումները հայտնի էր Ք․ա երրորդ-չորրորդ դարերում Հնդկաստանի մաթեմատիկոսներին։Ք․ա. հինգերորդ դարի հունական մաթեմատիկոսները նույնպես գիտեին այդ մոտարկման մասին։ Պլատոնը(Plato) հղում է կատարում համարիչներին, որպես ռացիոնալ տրամագծեր։ Մեր թվարկության հինգերորդ դարում Թեոնոս Սմիրնացին օգտագործել է կողմ և տրամագիծ եզրերը, որպեսզի նկարագրի այդ շարքի հայտարարներն ու համարիչները։
Այդ մոտարկումները կարելի է ստանալ 
  
    
      
        
          
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}
   շղթայական կոտորակից․

  
    
      
        
          
            2
          
        
        =
        1
        +
        
          
            
              
                
              
              
                
                  1
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  2
                  +
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            2
                            +
                            
                              
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      1
                                    
                                  
                                
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      2
                                      +
                                      
                                        
                                          
                                            
                                              
                                            
                                            
                                              
                                                1
                                              
                                            
                                          
                                          
                                            
                                              
                                            
                                            
                                              
                                                2
                                                +
                                                
                                                  
                                                    
                                                      
                                                        
                                                      
                                                      
                                                        
                                                          1
                                                        
                                                      
                                                    
                                                    
                                                      
                                                        
                                                      
                                                      
                                                        
                                                          2
                                                          +
                                                          ⋱
                                                          
                                                        
                                                      
                                                    
                                                  
                                                
                                              
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.}
  


== Պյութագորասի եռյակներ ==

a, b, c  կողմերով Պյութագորասի եռանկյան համար Մարտինեսը (Martin 1875) գրում է, որ Պելի թվերով կարելի է կառուցել պյութագորասյան եռյակ, որոնցում  a և b տարբերվում են մեկով։ Ապա կարելի է կառուցել համարյա հավասարասրուն եռանկյուն, որում եռյակն ունի հետևյալ տեսքը․

  
    
      
        (
        2
        
          P
          
            n
          
        
        
          P
          
            n
            +
            1
          
        
        ,
        
          P
          
            n
            +
            1
          
          
            2
          
        
        −
        
          P
          
            n
          
          
            2
          
        
        ,
        
          P
          
            n
            +
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          P
          
            n
          
          
            2
          
        
        =
        
          P
          
            2
            n
            +
            1
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle (2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}).}
  Պյութագորասի եռյակը ստացվում է հետևյալ կերպ․

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….


== Հաշվարկներ և կապեր ==
Այս աղյուսակը տալիս է մի քանի արծաթե հատումների առաջին աստիճանները 
  
    
      
        δ
        =
        
          δ
          
            S
          
        
        =
        1
        +
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta =\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}}
   և դրա հետ կապված 
  
    
      
        
          
            
              δ
              ¯
            
          
        
        =
        1
        −
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {\delta }}=1-{\sqrt {2}}}
  .

Գործակիցները իրենցից ներկայացնում են 
  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{n}}
  Պելի թվերի զուգորդող թվերը և հանդիսանում են 
  
    
      
        
          H
          
            2
          
        
        −
        2
        
          P
          
            2
          
        
        =
        ±
        1
      
    
    {\displaystyle H^{2}-2P^{2}=\pm 1}
  հավասարման լուծումները։
Քառակուսի եռանկյուն թիվը՝ դա 
  
    
      
        N
        =
        
          
            
              t
              (
              t
              +
              1
              )
            
            2
          
        
        =
        
          s
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}
  է, համարյա հավասարասրուն պյութագորասյան թվերը հանդիսանում են 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
  ամբողջ լուծումներ,որտեղ 
  
    
      
        a
        +
        1
        =
        b
      
    
    {\displaystyle a+1=b}
  ։
Այս աղյուսակը կենտ 
  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{n}}
  թվերի բաշխումը երկու համարյա հավասար մասերի։ Դրանք քառակուսի եռանկյուն թվեր են, եթե n զույգ է, և համարյա հավասարասրուն պյութագորասյան եռյակ, եթե n կենտ է։


=== Սահմանում ===

  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{n}}
  Պելի թվին կից թվերը և 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{n}}
  Պելի թվերին կից թվերը կարելի է ստանալ, մի քանի համարժեք ձևերով։
Աստիճան բարձրացնենք․

  
    
      
        (
        1
        +
        
          
            2
          
        
        
          )
          
            n
          
        
        =
        
          H
          
            n
          
        
        +
        
          P
          
            n
          
        
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}
  
  
    
      
        (
        1
        −
        
          
            2
          
        
        
          )
          
            n
          
        
        =
        
          H
          
            n
          
        
        −
        
          P
          
            n
          
        
        
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.}
  Որտեղից հետևում է․

  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              (
              1
              +
              
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  n
                
              
              +
              (
              1
              −
              
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  n
                
              
            
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle H_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2}}.}
  և

  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
        
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              (
              1
              +
              
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  n
                
              
              −
              (
              1
              −
              
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  n
                
              
            
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2}}.}
  զույգ ռեկուրենտ հարաբերություններ․

  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  1
                  ,
                  n
                  =
                  0
                
              
              
                
                  
                    H
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                  +
                  2
                  
                    P
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                  ,
                  n
                  >
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1,n=0\\H_{n-1}+2P_{n-1},n>0\end{cases}}}
  

  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  0
                  ,
                  n
                  =
                  0
                  ;
                
              
              
                
                  
                    H
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    P
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                  ,
                  n
                  >
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0,n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1},n>0\end{cases}}}
  կամ մատրիցային ձևով․

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  
                    H
                    
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    P
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  2
                
              
              
                
                  1
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    H
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    P
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            
              (
              
                
                  
                    1
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    1
                  
                  
                    1
                  
                
              
              )
            
          
          
            n
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}
  Այսպիսով՝

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  
                    H
                    
                      n
                    
                  
                
                
                  2
                  
                    P
                    
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    P
                    
                      n
                    
                  
                
                
                  
                    H
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            
              (
              
                
                  
                    1
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    1
                  
                  
                    1
                  
                
              
              )
            
          
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.}
  


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==