Գլանաձև պարաբոլական կոորդինատական համակարգ

Գլանաձև պարաբոլական կոորդինատական համակարգ (պարաբոլական գլանի կոորդինատներ )

  
    
      
        (
        u
        ,
        
        v
        ,
        
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (u,\;v,\;z)}
  ,  կոորդինատական համակարգ, որը հանդիսանում է դեկարտյան 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  ` ապլիկատի ավելացումով պարաբոլական կոորդինատների ընդհանրացում։
Գոյություն ունի այդ կոորդինատների մի քանի կողմնորոշում։ Առավել տարածված է հետևյալ կողմնորոշման ձևը։

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  x
                  =
                  
                    
                      
                        c
                        2
                      
                    
                  
                  (
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    v
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  ,
                
              
              
                
                  y
                  =
                  c
                  u
                  v
                  ,
                
              
              
                
                  z
                  =
                  z
                  ,
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x={\dfrac {c}{2}}(u^{2}-v^{2}),\\y=cuv,\\z=z,\end{cases}}}
  որտեղ 
  
    
      
        c
        >
        0
      
    
    {\displaystyle c>0}
  -ն չափային բազմապատկիչն է։

  
    
      
        u
        =
        
          c
          o
          n
          s
          t
        
      
    
    {\displaystyle u=\mathrm {const} }
   և 
  
    
      
        v
        =
        
          c
          o
          n
          s
          t
        
      
    
    {\displaystyle v=\mathrm {const} }
   մակարդակի մակերևույթը պարբոլական գլանի հիմքն է, որը ձևավորող բաղադրիչները զոոգահեռ են 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   առանցքին։


== Կապը այլ կոորդինատական համակարգերի հետ ==


=== Ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգ՝ ===
  
    
      
        (
        x
        ,
        
        y
        ,
        
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (x,\;y,\;z)}
  

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  x
                  =
                  
                    
                      
                        c
                        2
                      
                    
                  
                  (
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    v
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  ,
                
              
              
                
                  y
                  =
                  c
                  u
                  v
                  ,
                
              
              
                
                  z
                  =
                  z
                  ,
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x={\dfrac {c}{2}}(u^{2}-v^{2}),\\y=cuv,\\z=z,\end{cases}}}
  


=== Գլանային կոորդինատական համակարգ՝ ===
  
    
      
        (
        ρ
        ,
        
        φ
        ,
        
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (\rho ,\;\varphi ,\;z)}
  

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  ρ
                  =
                  
                    
                      
                        c
                        2
                      
                    
                  
                  (
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    v
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  ,
                
              
              
                
                  φ
                  =
                  
                    a
                    r
                    c
                    t
                    g
                  
                  
                    (
                    
                      
                        
                          
                            2
                            u
                            v
                          
                          
                            
                              u
                              
                                2
                              
                            
                            −
                            
                              v
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                  ,
                
              
              
                
                  z
                  =
                  z
                  .
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\dfrac {c}{2}}(u^{2}+v^{2}),\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {2uv}{u^{2}-v^{2}}}\right),\\z=z.\end{cases}}}
  


== Լամեի գործակից ==
Լամեի գործակիցը տվյալ կոորդինատական համակարգում ունի հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    H
                    
                      u
                    
                  
                  =
                  c
                  
                    
                      
                        u
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        v
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                  ,
                
              
              
                
                  
                    H
                    
                      v
                    
                  
                  =
                  c
                  
                    
                      
                        u
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        v
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                  ,
                
              
              
                
                  
                    H
                    
                      z
                    
                  
                  =
                  1.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}H_{u}=c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}},\\H_{v}=c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}},\\H_{z}=1.\end{cases}}}
  


== Հիմնական դիֆերենցիալ օպերատորների արտահայտությունները ==


=== Գրադիենտ ===

  
    
      
        
          g
          r
          a
          d
        
        
        F
        (
        u
        ,
        
        v
        ,
        
        z
        )
        =
        
          
            1
            
              c
              
                
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    v
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  F
                
                
                  ∂
                  u
                
              
            
            
              
                
                  
                    e
                    →
                  
                
              
              
                u
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  F
                
                
                  ∂
                  v
                
              
            
            
              
                
                  
                    e
                    →
                  
                
              
              
                v
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            
              ∂
              F
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            z
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathrm {grad} \,F(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left({\frac {\partial F}{\partial u}}{\vec {e}}_{u}+{\frac {\partial F}{\partial v}}{\vec {e}}_{v}\right)+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\vec {e}}_{z}.}
  


=== Դիվերգենցիա ===

  
    
      
        
          d
          i
          v
        
        
          
            
              A
              →
            
          
        
        (
        u
        ,
        
        v
        ,
        
        z
        )
        =
        
          
            1
            
              c
              (
              
                u
                
                  2
                
              
              +
              
                v
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  u
                
              
            
            
              (
              
                
                  
                    
                      u
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      v
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  A
                  
                    u
                  
                
              
              )
            
            +
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  v
                
              
            
            
              (
              
                
                  
                    
                      u
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      v
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  A
                  
                    v
                  
                
              
              )
            
          
          ]
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                A
                
                  z
                
              
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathrm {div} {\vec {A}}(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u}\right)+{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v}\right)\right]+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}.}
  


=== Ռոտոր ===

  
    
      
        
          r
          o
          t
        
        
        
          
            
              A
              →
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              c
              
                
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    v
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  v
                
              
            
            
              A
              
                z
              
            
            −
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  z
                
              
            
            (
            c
            
              
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  v
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              A
              
                v
              
            
            )
          
          ]
        
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            u
          
        
        +
        
          
            1
            
              c
              
                
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    v
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  z
                
              
            
            (
            c
            
              
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  v
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              A
              
                u
              
            
            )
            −
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  u
                
              
            
            
              A
              
                z
              
            
          
          ]
        
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            v
          
        
        +
      
    
    {\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {A}}={\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial v}}A_{z}-{\frac {\partial }{\partial z}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})\right]{\vec {e}}_{u}+{\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial z}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})-{\frac {\partial }{\partial u}}A_{z}\right]{\vec {e}}_{v}+}
  

  
    
      
        +
        
          
            1
            
              c
              (
              
                u
                
                  2
                
              
              +
              
                v
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  u
                
              
            
            (
            c
            
              
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  v
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              A
              
                v
              
            
            )
            −
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  v
                
              
            
            (
            c
            
              
                
                  u
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  v
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              A
              
                u
              
            
            )
          
          ]
        
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            z
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle +{\frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})-{\frac {\partial }{\partial v}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})\right]{\vec {e}}_{z}.}
  


=== Լապլասիան ===

  
    
      
        Δ
        F
        (
        u
        ,
        
        v
        ,
        
        z
        )
        =
        
          
            1
            
              
                c
                
                  2
                
              
              (
              
                u
                
                  2
                
              
              +
              
                v
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  F
                
                
                  ∂
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  F
                
                
                  ∂
                  
                    v
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          ]
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              F
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Delta F(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}.}
  


== Տես նաև ==
Ուղղանկյուն (Դեկարտյան) կոորդինատական համակարգ


== Արտաքին հղումներ ==
Weisstein, Eric W., "Parabolic Cylindrical Coordinates", MathWorld.