Բեսելի ֆունկցիաներ

Բեսելի ֆունկցիաները, ֆունկցիաների ընտանիք է, Բեսելի դիֆերենցիալ հավասարման կանոնական լուծումներն են։

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              y
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        x
        
          
            
              d
              
              y
            
            
              d
              
              x
            
          
        
        +
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        
          α
          
            2
          
        
        )
        y
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{2}{d^{2}y \over dx^{2}}+x{\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}
  
որտեղ 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  −ն կամայական իրական թիվ է (ընդհանուր առմամբ−կոմպլեքս) և կոչվում է կարգ։ Առավել հաճախ օգտագործվող Բեսելի ֆունկցիաները −ամբողջական կարգով ֆունկցիաներ են։ Չնայած նրան, որ 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   և 
  
    
      
        (
        −
        α
        )
      
    
    {\displaystyle (-\alpha )}
   առաջացնում է միևնույն հավասարումներ, սովորաբար համաձայնեցվում են, որ նրանց համապատասխանեն տարբեր ֆունկցիաներ (որը արվում է, օրինակ, որպեսզի Բեսելի ֆունկցիան լինի 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  -ով հարթ։
Բեսելի ֆունկցիաներն առաջին անգամ որոշված են եղել շվեյցարացի մաթեմատիկոս Դանիել Բերնուլի կողմից, բայց անվանվել են Ֆրիդրիխ Բեսելի պատվին։


== Կիրառությունը ==
Բեսելի հավասարումն առաջանում է Լապլասի հավասարման և Հելմհոլցի հավասարման լուծումներ գտնելու ժամանակ գլանաձև և գնդաձև կոորդինատների մեջ։ Հետևաբար, Բեսելի ֆունկցիաները օգտագործվում է ալիքի տարածման, ստատիկ պոտենցիալի, և նմանատիպ բազմաթիվ խնդիրների լուծման ժամանակ, օրինակ`

Էլեկտրամագնիսական ալիքները գլանաձև ալիքատարում
Ջերմահաղորդականությունը գլանաձև օբյեկտներում
Բարակ կլոր թաղանթի ձևերը
Լույսի ինտենսիվության բաշխումը, կլոր անցքի վրա
Հեղուկով լցված և իր առանցքի շուրջը պտտվող գլանում մասնիկների արագությունը
Ալիքային ֆունկցիաները գնդաձև սիմետրիկ պոտենցիալային արկղումԲեսելի ֆունկցիաները օգտագործվում են նաև այլ խնդիրների լուծման համար, օրինակ`ազդանշանների մշակման ժամանակ։


== Սահմանումներ ==
Քանի որ բերված հավասարումը համարվում է երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում, այն պետք է ունենա երկու գծային անկախ լուծումներ։ Սակայն կախված հանգամանքներից ընտրվում են այդ լուծումների տարբեր սահմանումներ։


=== Առաջին կարգի Բեսելի ֆունկցիաներ ===
Առաջին կարգի Բեսելի ֆունկցիաները, նշանակված 
  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle J_{\alpha }(x)}
  , դրանք հանդիսանում են լուծումներ, 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
   կետում վերջնական ամբողջ կամ ոչ բացասական 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  : Կոնկրետ ֆունկցիայի ընտրությունը և նրա նորմալացումը սահմանվում են (որոշվում են) նրա հատկություններով։ Կարելի է սահմանել այդ ֆունկցիաները օգտագործելով Թեյլորի շարքը զրոյի շուրջը (կամ ավելի ընդհանուր աստիճանային շարք ոչ ամբողջական 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  -ների դեպքում)։

  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            m
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  m
                
              
            
            
              m
              !
              Γ
              (
              m
              +
              α
              +
              1
            
          
        
        
          
            
              (
              
                
                  x
                  2
                
              
              )
            
          
          
            2
            m
            +
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{(-1)^{m} \over m!\Gamma (m+\alpha +1}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}
  
Այստեղ 
  
    
      
        Γ
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma (z)}
  -Էյլերի գամմա ֆունկցիան է, ֆակտորիալի ընդանրացումը ոչ ամբողջական արժեքների վրա։ Բեսելի ֆունկցիայի գրաֆիկը նման է սինուսոիդի, որի տատանումները մարում են համամասնորեն 
  
    
      
        
          1
        
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle 1 \over {\sqrt {x}}}
  , չնայած իրականում զրո ֆունկցիաները տեղաբաշխված են ոչ պարբերական։
Բերված են 
  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle J_{\alpha }(x)}
   գրաֆիկները 
  
    
      
        α
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
      
    
    {\displaystyle \alpha =0,1,2}
   արժեքների համար։

Եթե 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  -ն թի հանդիսանում ամբողջ թիվ, 
  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle J_{\alpha }(x)}
   և 
  
    
      
        
          J
          
            −
            α
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle J_{-\alpha }(x)}
   ֆունկցիաները գծայնորեն անկախ են, հետևաբար համարվում են հավասարման լուծումներ։ Բայց եթե

  
    
      
        
          J
          
            −
            α
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            α
          
        
        
          J
          
            α
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x)}
  
Այն նշանակում է, որ այս դեպքում ֆունկցիաները գծային կախված են։ Ապա հավասարման երկրորդ լուծումը կլինի երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիան։


=== Բեսելի ինտեգրալներ ===

  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   ամբողջ արժեքների համար Բեսելի ֆունկցիային կարելի է տալ ուրիշ սահմանում, օգտագործելով ինտեգրալային պատկերումը։

  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            π
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        cos
        ⁡
        (
        α
        τ
        −
        x
        sin
        ⁡
        τ
        )
        d
        τ
      
    
    {\displaystyle J_{\alpha }(x)={1 \over \pi }\int \limits _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )d\tau }
  
Այս մոտեցումը օգտագործել է Բեսելը, որի օգնությամբ ուսումնասիրել է ֆունկցիայի որոշ հատկություններ։
Հնարավոր է նաև այլ ինտեգրալային պատկերումը։

  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            π
          
          
            π
          
        
        
          e
          
            i
            (
            α
            τ
            −
            x
            sin
            ⁡
            τ
            )
          
        
        d
        τ
      
    
    {\displaystyle J_{\alpha }(x)={1 \over 2\pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}d\tau }
  


== Հատկություններ ==


=== Օրթոգոնալ ===
Ենթադրենք 
  
    
      
        
          μ
          
            1
          
        
        ,
        
          μ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}
   Բեսելի 
  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle J_{\alpha }(x)}
   ֆունկցիայի զրոներն են։ Ապա

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          x
          
            J
            
              α
            
          
          (
          
            μ
            
              1
            
          
          x
          )
          
            J
            
              α
            
          
          (
          
            μ
            
              2
            
          
          x
          )
          d
          x
        
        =
        
          {
          
            
              
                
                  0
                
                
                  
                    
                      ;
                    
                  
                  
                  
                    μ
                    
                      1
                    
                  
                  ≠
                  
                    μ
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
              
              
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                  (
                  
                    J
                    
                      α
                    
                    ′
                  
                  (
                  
                    μ
                    
                      1
                    
                  
                  )
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ;
                    
                  
                  
                  
                    μ
                    
                      1
                    
                  
                  =
                  
                    μ
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{1}{xJ_{\alpha }(\mu _{1}x)J_{\alpha }(\mu _{2}x)dx}=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}\neq \mu _{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J'_{\alpha }(\mu _{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}=\mu _{2}\end{matrix}}\right.}
  


=== Ասիմպտոտիկա ===
Առաջին և երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիաների համար հայտնի են ասիմպտոտիկ բանաձևեր։ Փոքր փաստարկների դեպքում 
  
    
      
        (
        0
        <
        x
        <<
        
          
            α
            +
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (0<x<<{\sqrt {\alpha +1}})}
   և ոչ բացասական 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  -ի դեպքում նրանք հետևյալն են`

  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
        (
        x
        )
        ⟶
        
          
            1
            
              Γ
              (
              α
              +
              1
              )
            
          
        
        
          
            
              (
              
                
                  x
                  2
                
              
              )
            
          
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{\alpha }(x)\longrightarrow {1 \over {\Gamma (\alpha +1)}}{\left({x \over 2}\right)}^{\alpha }}
  

  
    
      
        
          Y
          
            α
          
        
        (
        x
        )
        ⟶
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      2
                      π
                    
                  
                  [
                  ln
                  ⁡
                  (
                  x
                  
                    /
                  
                  2
                  )
                  +
                  γ
                  ]
                
                
                  
                    
                      ;
                    
                  
                  
                  α
                  =
                  0
                
              
              
                
                  −
                  
                    
                      
                        Γ
                        (
                        α
                        )
                      
                      π
                    
                  
                  
                    
                      (
                      
                        
                          2
                          π
                        
                      
                      )
                    
                    
                      α
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ;
                    
                  
                  
                  α
                  >
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{\alpha }(x)\longrightarrow {\begin{cases}{2 \over \pi }[\ln(x/2)+\gamma ]&{\mbox{;}}\quad \alpha =0\\-{\Gamma (\alpha ) \over \pi }\left({2 \over \pi }\right)^{\alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\\\end{cases}}}
  
Որտեղ 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  —Էյլեր-Մասկերոնի հաստատունն է (0.5772...), իսկ 
  
    
      
        Γ
      
    
    {\displaystyle \Gamma }
  -Էյլերի գամմա ֆունկցիան է։ Մեծ փաստարկների համար 
  
    
      
        (
        x
        >>
        
          |
        
        
          α
          
            2
          
        
        −
        
          
            1
            4
          
        
        
          |
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x>>|\alpha ^{2}-{1 \over 4}|)}
   բանաձևերը ունեն հետևյալ տեսքը`

  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
        (
        x
        )
        ⟶
        
          
            
              2
              
                π
                x
              
            
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            (
            
              x
              −
              
                
                  
                    α
                    π
                  
                  2
                
              
              −
              
                
                  π
                  4
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{\alpha }(x)\longrightarrow {\sqrt {2 \over \pi x}}\cos {\left(x-{\alpha \pi  \over 2}-{\pi  \over 4}\right)}}
  

  
    
      
        
          Y
          
            α
          
        
        (
        x
        )
        ⟶
        
          
            
              2
              
                π
                x
              
            
          
        
        sin
        ⁡
        
          
            (
            
              x
              −
              
                
                  
                    α
                    π
                  
                  2
                
              
              −
              
                
                  π
                  4
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{\alpha }(x)\longrightarrow {\sqrt {2 \over \pi x}}\sin {\left(x-{\alpha \pi  \over 2}-{\pi  \over 4}\right)}}
  


=== Հիպերերկրաչափական շարք ===
Բեսելի ֆունկցիաները կարող են արտահայտվել հիպերերկրաչափական ֆունկցիաների միջոցով։

  
    
      
        
          J
          
            α
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              (
              z
              
                /
              
              2
              
                )
                
                  α
                
              
            
            
              Γ
              (
              α
              +
              1
              )
            
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        α
        +
        1
        ;
        −
        
          z
          
            2
          
        
        
          /
        
        4
        )
      
    
    {\displaystyle J_{\alpha }(z)={(z/2)^{\alpha } \over \Gamma (\alpha +1)}F_{1}(\alpha +1;-z^{2}/4)}
  
Այսպիսով ամբողջ 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  -ների դեպքում Բեսելի ֆունկցիան եզակի անալիտիկ է, իսկ ոչ ամբողջի դեպքում`բազմակի անալիտիկ:


=== Գեներացնող ֆունկցիա ===
Առաջին կարգի և ամբողջական կարգի Բեսելի ֆունկցիաների համար գոյություն ունի պատկերացում որոշակի ձևի ֆունկցիայի Լորանի շարքի գործակիցների միջոցով`

  
    
      
        
          e
          
            
              
                z
                2
              
            
            
              (
              
                w
                −
                
                  
                    1
                    w
                  
                
              
              )
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          J
          
            n
          
        
        (
        z
        )
        
          w
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{{z \over 2}\left(w-{1 \over w}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)w^{n}}
  


== Հարաբերակցություն ==


=== Գումարման թեորեմա ===
Ցանկացած ամբողջ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ի և կոմպլեքս 
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{1},z_{2}}
  -ի համար կատարվում է`

  
    
      
        
          J
          
            n
          
        
        (
        
          z
          
            1
          
        
        +
        
          z
          
            2
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          J
          
            k
          
        
        (
        
          z
          
            1
          
        
        )
        
          J
          
            n
            −
            k
          
        
        (
        
          z
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle J_{n}(z_{1}+z_{2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }J_{k}(z_{1})J_{n-k}(z_{2})}
  


=== Ինտեգրալային արտահայտություններ ===
Ցանկացած 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   (այդ թվում կոմպլեքս) կատարվում է`

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            a
            t
          
        
        
          J
          
            n
          
        
        (
        b
        t
        )
        
          d
        
        t
        =
        
          
            
              b
              
                n
              
            
            
              
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
              (
              
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
              
              +
              a
              
                )
                
                  n
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-at}J_{n}(bt)\mathrm {d} t={\frac {b^{n}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a)^{n}}}}
  
այս բանաձևի հատուկ դեպք է հանդիսանում ներքևի արտահայտությունը

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            a
            t
          
        
        
          J
          
            0
          
        
        (
        b
        t
        )
        
          d
        
        t
        =
        
          
            1
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-at}J_{0}(bt)\mathrm {d} t={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}
  


== Գրականություն ==
Ватсон Г.  Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
Бейтмен Г., Эрдейи А.  Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.  Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.