Եզակի կետ (դիֆերենցիալ հավասարումներ)

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Եզակի կետ (այլ կիրառումներ)
Դիֆերենցիալ հավասարման եզակի կետ, դիֆերենցիալ հավասարման եզակի կետում

  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              P
              (
              x
              ,
              y
              )
            
            
              Q
              (
              x
              ,
              y
              )
            
          
        
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle {dy \over dx}={\frac {P(x,y)}{Q(x,y)}}\qquad (1)}
  հավասարման աջ մասի համարիչն ու հայտարարը միաժամանակ հավասարվում են զրոյի (P-ն և Q-ն անընդհատորեն դիֆերենցելի ֆունկցիաներ են)։
Ընդունելով, որ եզակի կետը համընկնում է կոորդինատների սկզբնակետի հետ և կիրառելով Թեյլորի բանաձևը՝ (1) հավասարումը կարելի է ներկայացնել 

  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              c
              x
              +
              d
              y
              +
              
                P
                
                  1
                
              
              (
              x
              ,
              y
              )
            
            
              a
              x
              +
              b
              y
              +
              
                Q
                
                  1
                
              
              (
              x
              ,
              y
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {dy \over dx}={\frac {cx+dy+P_{1}(x,y)}{ax+by+Q_{1}(x,y)}}}
  տեսքով, որտեղ 
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{1}}
  ֊ը և 
  
    
      
        
          Q
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle Q_{1}}
  ֊ը 
  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
  ֊ի համեմատ անվերջ փոքր են։ Եզակի կետի շրջակայքում ինտեգրալ կորերի (դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումները երկրաչափորեն պատկերող
կորերի) վարքը կախված է 

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  
                    a
                    −
                    λ
                  
                
                
                  b
                
              
              
                
                  c
                
                
                  
                    d
                    −
                    λ
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}{a-\lambda }&b\\c&{d-\lambda }\end{pmatrix}}=0}
  բնութագրիչ հավասարման 
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}}
   և 
  
    
      
        
          λ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{2}}
   արմատներից։ 
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        =
        
          λ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}}
   կամ 
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        ≠
        
          λ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}}
   և 
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        
          λ
          
            2
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}>0}
   դեպքերում եզակի կետը կոչվում է հանգույց, 
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        ≠
        
          λ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}}
   և 
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        
          λ
          
            2
          
        
        <
        0
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}<0}
   դեպքում՝ թամբ, 
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        =
        
          λ
          
            2
          
        
        =
        α
        +
        i
        β
        0
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\alpha +i\beta 0}
  , 
  
    
      
        α
        ,
        β
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle \alpha ,\beta \neq 0}
   դեպքում՝ կիզակետ (ֆոկուս)։ 
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        =
        
          λ
          
            2
          
        
        =
        ±
        +
        i
        β
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\pm +i\beta }
  , 
  
    
      
        β
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle \beta \neq 0}
   դեպքում եզակի կետը կարող է լինել կենտրոն, կիզակետ կամ ավելի բարդ բնույթ ունենալ։ Օրինակ, կոորդինատների սկզբնակետը 

  
    
      
        
          y
          ′
        
        =
        2
        
          
            y
            x
          
        
        ,
        
          y
          ′
        
        =
        −
        
          
            y
            x
          
        
        ,
        
          y
          ′
        
        =
        
          
            
              x
              +
              y
            
            
              x
              −
              y
            
          
        
        ,
        
          y
          ′
        
        =
        −
        
          
            x
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle y'=2{\frac {y}{x}},y'=-{\frac {y}{x}},y'={\frac {x+y}{x-y}},y'=-{\frac {x}{y}}}
  դիֆերենցիալ հավասարումների համար համապատասխանաբար հանգույց է(նկ․ 3), թամբ (նկ․ 4), կիզակետ (նկ․ 5) և կենտրոն (նկ․ 6)։