Հաուսդորֆյան հեռավորություն

Մաթեմատիկայում, Հաուսդորֆյան հեռավորությունը կամ Հաուսդորֆյան տարածությունը, նաև կոչվում է Պոմպեյ—Հաուսդորֆյան հեռավորություն, չափում է, թե ինչ հեռավորության վրա են գտնվում մետրիկական տարածության մեջ գտնվող երկու ոչ դատարկ կոմպակտ ենթաբազմությունները։ Այն վերափոխում է ոչ դատարկ կոմպակտ ենթաբազմությունը մետրիկական տարախության իրական ձևի։ Այն կոչվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Ֆելիքս Հաուսդորֆֆի պատվին։
Այսպես ասած 2 բազմությունները մոտ են Հաուսդորֆյան տարածության մեջ, եթե յուրաքանչյուր կետ մի բազմությունից մոտ է ինչ-որ կետին մյուս բազմությունից։ Այլ կերպ ասած Հաուսդորֆյան հեռավորությունը, մի բազմության կետերից մյուս բազմությունից ամենահեռու գտնվող կետի հեռավորությունն է մյուս բազմության իրեն ամենամոտ կետից։
Ինչպես երևում է առաջին անգամ այս մեծությունը սահմանվել է Հաուսդորֆի կողմից իր գրքոում, առաջին անգամ 1914 թվականինտպագրված, չնայած շատ մոտ գաղափար է առաջ քաշվել Մորիս Ռենեի կողմից 1906-ին իր դոկտորական աշխատանքի մեջ։


== Սահամնում ==

Վերցնենք X և Y ոչ դատարկ ենթաբազմություները մետրիկական տարածության մեջ (M, d)։ Մենք սահմանում ենք իրենց Հաուսդորֆյան հեռավորությունը  d H(X, Y)

  
    
      
        
          d
          
            
              H
            
          
        
        (
        X
        ,
        Y
        )
        =
        max
        {
        
        
          sup
          
            x
            ∈
            X
          
        
        
          inf
          
            y
            ∈
            Y
          
        
        d
        (
        x
        ,
        y
        )
        ,
        
        
          sup
          
            y
            ∈
            Y
          
        
        
          inf
          
            x
            ∈
            X
          
        
        d
        (
        x
        ,
        y
        )
        
        }
        
          
            ,
          
        
        
      
    
    {\displaystyle d_{\mathrm {H} }(X,Y)=\max\{\,\sup _{x\in X}\inf _{y\in Y}d(x,y),\,\sup _{y\in Y}\inf _{x\in X}d(x,y)\,\}{\mbox{,}}\!}
   -ի միջոցով։որտեղ sup ներկայացնում է Սուպրեմիումը և inf-ը՝ Ինֆինիումը։
Համարժեքորեն

  
    
      
        
          d
          
            H
          
        
        (
        X
        ,
        Y
        )
        =
        inf
        {
        ϵ
        ≥
        0
        
        ;
         
        X
        ⊆
        
          Y
          
            ϵ
          
        
         
        
          
            and
          
        
         
        Y
        ⊆
        
          X
          
            ϵ
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle d_{H}(X,Y)=\inf\{\epsilon \geq 0\,;\ X\subseteq Y_{\epsilon }\ {\mbox{and}}\ Y\subseteq X_{\epsilon }\}}
  ,որտեղ

  
    
      
        
          X
          
            ϵ
          
        
        :=
        
          ⋃
          
            x
            ∈
            X
          
        
        {
        z
        ∈
        M
        
        ;
         
        d
        (
        z
        ,
        x
        )
        ≤
        ϵ
        }
      
    
    {\displaystyle X_{\epsilon }:=\bigcup _{x\in X}\{z\in M\,;\ d(z,x)\leq \epsilon \}}
   ,որը 
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
   շառավիղով ընդլայնված X բազմությունն է։


== Հատկություններ ==
Ընդհանուր դեպքում dH(X,Y)-ը կարող է լինել անվերջ․ Եթե  և՜ X-ը և՜ Y-ը սահամանփակ են, ապա երաշխավորված է, որ կլինի վերջավոր․
dH(X,Y) = 0, այն և միայն այն դեպքում, երն X-ն ու Y-ը ունեն նույն սահմանները․
Կամայական x  կետի համար M-ից և որևէ ոչ դատարկ Y և Z բազմությունները M-ից d(x,Y) ≤ d(x,Z) + dH(Y,Z), որտեղ d(x,Y)-ը  x  կետի և Y բազմության մեջ  x -ին ամենամոտ կետի հեռավորությունն է
|diameter(Y)-diameter(X)| ≤ 2 dH(X,Y), որտեղ diameter-ը բազմության շառավիղն է.։
Եթե X∩Y հատումը ոչ դատարկ բազմություն է, ապա գոյություն ունի r>0 հաստատուն , այնպիսին, որ կամայանկան X′ բազմություն, որի Հաուսդորֆյան հեռավորությունը X-ից փոքր է r-ից, հատում է նաև Y-ը ։


== Ծանոթագրություններ ==