Անընդհատ ֆունկցիա

Անընդհատ ֆունկցիա , 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   հատվածի վրա որոշված մեկ իրական փոփոխականի

  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  ֆունկցիան կոչվում է անընդհատ 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  -ի 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետում, եթե

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            
              x
              
                0
              
            
          
        
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}
  սահմանը գոյություն ունի և հավասար է 
  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(x_{0})}
  –ի, կամ, համարժեքորեն, եթե յուրաքանչյուր 
  
    
      
        ε
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \varepsilon >0}
   թվի համար գոյություն ունի այնպիսի 
  
    
      
        δ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \delta >0}
   թիվ, որ

  
    
      
        
          |
        
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        
          |
        
        <
        δ
      
    
    {\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }
  անհավասարությունից հետևում է

  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        −
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        
          |
        
        <
        ε
      
    
    {\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon }
  ,որտեղ 
  
    
      
        x
        ∈
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle x\in [a,b]}
  ։
Եթե 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  –ն անընդհատ չէ 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետում, ապա կոչվում է խզվող այդ կետում։
Ֆունկցիան անընդհատ է 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  -ում, եթե այն անընդհատ է 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  -ի յուրաքանչյուր կետում։ Համանման եղանակով սահմանվում է նաև մի քանի իրական փոփոխականների ֆունկցիաների անընդհատությունը։ Բոլոր տարրական ֆունկցիաներն անընդհատ են իրենց որոշման տիրույթներում։
Մասնավորաբար, բազմանդամը, 
  
    
      
        sin
        ⁡
        x
        ,
        cos
        ⁡
        x
        ,
        
          a
          
            x
          
        
        (
        a
        >
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \sin x,\cos x,a^{x}(a>0)}
   և այլն ֆունկցիաներն անընդհատ են թվային առանցքի յուրաքանչյուր կետում։ Եթե 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  , 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle g(x)}
   ֆունկցիաներն անընդհատ են 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  -ում, ապա

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        ⋅
        g
        (
        x
        )
        ,
        f
        (
        x
        )
        +
        g
        (
        x
        )
        ,
        α
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)\cdot g(x),f(x)+g(x),\alpha f(x)}
  ֆունկցիաները, որտեղ 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  -ն իրական թիվ է, ևս անընդհատ են 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  -ում։
Եթե բացի այդ 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle g(x)}
  –ը զրո չի դառնում 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  -ի ոչ մի կետում, ապա

  
    
      
        
          
            
              f
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}
  -ը ևս անընդհատ է 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  -ում։Եթե 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիան անընդհատ է 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  -ում, ապա գոյություն ունեն 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  –ի այնպիսի 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   և 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
   կետեր, որ կամայական 
  
    
      
        x
        ∈
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle x\in [a,b]}
   կետի համար 
  
    
      
        f
        (
        c
        )
        ⩽
        f
        (
        x
        )
        ⩽
        f
        (
        d
        )
      
    
    {\displaystyle f(c)\leqslant f(x)\leqslant f(d)}
  , ընդ որում 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  –ն ընդունում է 
  
    
      
        [
        f
        (
        c
        )
        ,
        f
        (
        d
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle [f(c),f(d)]}
   հատվածին պատկանող յուրաքանչյուր արժեք։ Անընդհատ ֆունկցիան կարելի է հավասարաչափ մոտարկել բազմանդամներով։
Պարզվում է, որ այդ հատկությունը բնորոշ է միայն անընդհատ ֆունկցիայի համար, և այն կարելի է դնել հատվածում անընդհատ ֆունկցիայի սահմանման հիմքում («կոնստրուկտիվ» սահմանում)։


== Տես նաև ==
Անընդհատ արտապատկերում