Հերմիտի բազմանդամներ


== Սահմանում ==

Հերմիտի բազմանդամների թեորեմը ընդհանրապես որոշվում է արտահայտությամբ

  
    
      
        
          H
          
            n
          
          
            
              m
              a
              t
              h
            
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          e
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
          
        
        
          
            
              d
              
                n
              
            
            
              d
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle H_{n}^{\mathrm {math} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!}
  ;Ֆիզիկայում ընդհանրապես օգտագործվում են այլ արտահայտություններ

  
    
      
        
          H
          
            n
          
          
            
              p
              h
              y
              s
            
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          e
          
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              d
              
                n
              
            
            
              d
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!}
  .Առաջին տասնմեկ գլխավոր արտահայտությունները բազմանդամների (
  
    
      
        n
        =
        0
        ,
        1
        ,
        .
        .
        .
        ,
        10
      
    
    {\displaystyle n=0,1,...,10}
  ) համար։

  
    
      
        
          H
          
            0
          
        
        (
        x
        )
        =
        1
        
      
    
    {\displaystyle H_{0}(x)=1\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        (
        x
        )
        =
        x
        
      
    
    {\displaystyle H_{1}(x)=x\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            2
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        −
        1
        
      
    
    {\displaystyle H_{2}(x)=x^{2}-1\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            3
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            3
          
        
        −
        3
        x
        
      
    
    {\displaystyle H_{3}(x)=x^{3}-3x\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            4
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            4
          
        
        −
        6
        
          x
          
            2
          
        
        +
        3
        
      
    
    {\displaystyle H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            5
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            5
          
        
        −
        10
        
          x
          
            3
          
        
        +
        15
        x
        
      
    
    {\displaystyle H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            6
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            6
          
        
        −
        15
        
          x
          
            4
          
        
        +
        45
        
          x
          
            2
          
        
        −
        15
        
      
    
    {\displaystyle H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            7
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            7
          
        
        −
        21
        
          x
          
            5
          
        
        +
        105
        
          x
          
            3
          
        
        −
        105
        x
        
      
    
    {\displaystyle H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            8
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            8
          
        
        −
        28
        
          x
          
            6
          
        
        +
        210
        
          x
          
            4
          
        
        −
        420
        
          x
          
            2
          
        
        +
        105
        
      
    
    {\displaystyle H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            9
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            9
          
        
        −
        36
        
          x
          
            7
          
        
        +
        378
        
          x
          
            5
          
        
        −
        1260
        
          x
          
            3
          
        
        +
        945
        x
        
      
    
    {\displaystyle H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            10
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            10
          
        
        −
        45
        
          x
          
            8
          
        
        +
        630
        
          x
          
            6
          
        
        −
        3150
        
          x
          
            4
          
        
        +
        4725
        
          x
          
            2
          
        
        −
        945
        
      
    
    {\displaystyle H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945\,}
   ։Անալոգիական եղանակով որոշվում է առաջին տասնմեկ (
  
    
      
        n
        =
        0
        ,
        1
        ,
        .
        .
        .
        ,
        10
      
    
    {\displaystyle n=0,1,...,10}
  ) բազմանդամների ֆիզիկակական սահմանման համար։

  
    
      
        
          H
          
            0
          
        
        (
        x
        )
        =
        1
        
      
    
    {\displaystyle H_{0}(x)=1\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        (
        x
        )
        =
        2
        x
        
      
    
    {\displaystyle H_{1}(x)=2x\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            2
          
        
        (
        x
        )
        =
        4
        
          x
          
            2
          
        
        −
        2
        
      
    
    {\displaystyle H_{2}(x)=4x^{2}-2\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            3
          
        
        (
        x
        )
        =
        8
        
          x
          
            3
          
        
        −
        12
        x
        
      
    
    {\displaystyle H_{3}(x)=8x^{3}-12x\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            4
          
        
        (
        x
        )
        =
        16
        
          x
          
            4
          
        
        −
        48
        
          x
          
            2
          
        
        +
        12
        
      
    
    {\displaystyle H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            5
          
        
        (
        x
        )
        =
        32
        
          x
          
            5
          
        
        −
        160
        
          x
          
            3
          
        
        +
        120
        x
        
      
    
    {\displaystyle H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            6
          
        
        (
        x
        )
        =
        64
        
          x
          
            6
          
        
        −
        480
        
          x
          
            4
          
        
        +
        720
        
          x
          
            2
          
        
        −
        120
        
      
    
    {\displaystyle H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            7
          
        
        (
        x
        )
        =
        128
        
          x
          
            7
          
        
        −
        1344
        
          x
          
            5
          
        
        +
        3360
        
          x
          
            3
          
        
        −
        1680
        x
        
      
    
    {\displaystyle H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            8
          
        
        (
        x
        )
        =
        256
        
          x
          
            8
          
        
        −
        3584
        
          x
          
            6
          
        
        +
        13440
        
          x
          
            4
          
        
        −
        13440
        
          x
          
            2
          
        
        +
        1680
        
      
    
    {\displaystyle H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            9
          
        
        (
        x
        )
        =
        512
        
          x
          
            9
          
        
        −
        9216
        
          x
          
            7
          
        
        +
        48384
        
          x
          
            5
          
        
        −
        80640
        
          x
          
            3
          
        
        +
        30240
        x
        
      
    
    {\displaystyle H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x\,}
  

  
    
      
        
          H
          
            10
          
        
        (
        x
        )
        =
        1024
        
          x
          
            10
          
        
        −
        23040
        
          x
          
            8
          
        
        +
        161280
        
          x
          
            6
          
        
        −
        403200
        
          x
          
            4
          
        
        +
        302400
        
          x
          
            2
          
        
        −
        30240
        
      
    
    {\displaystyle H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240\,}
  Ընդհանուր հավասարումը Հերմիտի բազմանդամների համար ունի հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            0
          
          
            [
            n
            
              /
            
            2
            ]
          
        
        
          (
          −
          1
          
            )
            
              j
            
          
        
        
          
            
              n
              !
            
            
              j
              !
              (
              n
              −
              2
              j
              )
              !
            
          
        
        (
        2
        x
        
          )
          
            n
            −
            2
            j
          
        
        =
        
          x
          
            n
          
        
        −
        
          
            
              n
              (
              n
              −
              1
              )
            
            2
          
        
        
          x
          
            n
            −
            2
          
        
        +
        
          
            1
            4
          
        
        
          
            
              n
              (
              n
              −
              1
              )
              (
              n
              −
              2
              )
              (
              n
              −
              3
              )
            
            2
          
        
        
          x
          
            n
            −
            4
          
        
        −
        …
        ,
      
    
    {\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{j=0}^{[n/2]}{(-1)^{j}}{\frac {n!}{j!(n-2j)!}}(2x)^{n-2j}=x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}+{\frac {1}{4}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}}x^{n-4}-\ldots ,}
  


== Հատկություն ==

  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle H_{n}(x)}
   բազմանդամը պարունակում է անդամներ այնպիսի պարզությամբ, ինչպես որ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   թիվը։

  
    
      
        
          H
          
            2
            n
          
        
        (
        −
        x
        )
        =
        
          H
          
            2
            n
          
        
        (
        x
        )
        ,
         
         
        
          H
          
            2
            n
            +
            1
          
        
        (
        −
        x
        )
        =
        −
        
          H
          
            2
            n
            +
            1
          
        
        (
        x
        )
        ,
         
         
         
        n
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),~~H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),~~~n=0,1,2,\ldots }
  :

  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  -ի դեպքում ճշմարիտ են այսպիսի հարաբերակցությունները։

  
    
      
        
          H
          
            2
            n
          
        
        (
        0
        )
        =
        
          
            
              
                (
                −
                1
                
                  )
                  
                    n
                  
                
              
              
                2
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                (
                2
                n
                )
                !
              
              
                n
                !
              
            
          
        
        ,
         
         
        
          H
          
            2
            n
            +
            1
          
        
        =
        0
        ,
         
         
         
        n
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
      
    
    {\displaystyle H_{2n}(0)={\dfrac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\dfrac {(2n)!}{n!}},~~H_{2n+1}=0,~~~n=0,1,2,}
  ,

  
    
      
        
          H
          
            2
            n
          
        
        (
        0
        )
        =
        
          
            
              
                (
                −
                1
                
                  )
                  
                    n
                  
                
                (
                2
                n
                )
                !
              
              
                n
                !
              
            
          
        
        ,
         
         
        
          H
          
            2
            n
            +
            1
          
        
        =
        0
        ,
         
         
         
        n
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
      
    
    {\displaystyle H_{2n}(0)={\dfrac {(-1)^{n}(2n)!}{n!}},~~H_{2n+1}=0,~~~n=0,1,2,}
  .   (ֆիզիկական սահմանման ժամանակ)
  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle H_{n}(x)}
   բազմանդամը կարելի է պատկերասնել  
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
   մատրիցի որոշչի տեսքով։

  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          |
          
            
              
                
                  x
                
                
                  n
                  −
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  ⋯
                
                
                  0
                
              
              
                
                  1
                
                
                  x
                
                
                  n
                  −
                  2
                
                
                  0
                
                
                  ⋯
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  x
                
                
                  n
                  −
                  3
                
                
                  ⋯
                
                
                  0
                
              
              
                
                  ⋯
                
                
                  ⋯
                
                
                  ⋯
                
                
                  ⋯
                
                
                  ⋯
                
                
                  ⋯
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  ⋯
                
                
                  x
                
              
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle H_{n}(x)=\left|{\begin{array}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{array}}\right|}
  


=== Գումարման բանաձև ===
Հերմիտի բազմանդամների համար կա բազմապատկման հետևյալ բանաձևը։

  
    
      
        
          
            
              (
              
                a
                
                  1
                
                
                  2
                
              
              +
              
                a
                
                  2
                
                
                  2
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                a
                
                  n
                
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  
                    μ
                    2
                  
                
              
            
            
              μ
              !
            
          
        
        
          H
          
            μ
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                ⋯
                
                  a
                  
                    n
                  
                
                
                  x
                  
                    n
                  
                
              
              
                
                  a
                  
                    1
                  
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    2
                  
                  
                    2
                  
                
                +
                ⋯
                +
                
                  a
                  
                    n
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          ]
        
        =
        
          ∑
          
            
              m
              
                1
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              m
              
                n
              
            
            =
            μ
          
        
        
          
            
              a
              
                1
              
              
                
                  m
                  
                    1
                  
                
              
            
            
              
                m
                
                  1
                
              
              !
            
          
        
        ⋯
        
          
            
              a
              
                n
              
              
                
                  m
                  
                    n
                  
                
              
            
            
              
                m
                
                  n
                
              
              !
            
          
        
        
          H
          
            
              m
              
                1
              
            
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        ⋯
        
          H
          
            
              m
              
                n
              
            
          
        
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
         
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})^{\frac {\mu }{2}}}{\mu !}}H_{\mu }\left[{\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots a_{n}x_{n}}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}}\right]=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {a_{1}^{m_{1}}}{m_{1}!}}\cdots {\frac {a_{n}^{m_{n}}}{m_{n}!}}H_{m_{1}}(x_{1})\cdots H_{m_{n}}(x_{n})~.}
  Հեշտությամբ կարողենք տեսնել, որ հաջորդ բանաձևերը հանդիսանում են նրա մասնավոր դեպքերը։

  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        =
        ⋯
        =
        
          a
          
            n
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1}
  , 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
        =
        ⋯
        =
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}
  . ապա
  
    
      
        
          n
          
            
              μ
              2
            
          
        
        
          H
          
            μ
          
        
        (
        
          
            n
          
        
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            
              m
              
                1
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              m
              
                n
              
            
            =
            μ
          
        
        
          
            
              μ
              !
            
            
              
                m
                
                  1
                
              
              !
              ⋯
              
                m
                
                  n
                
              
              !
            
          
        
        
          H
          
            
              m
              
                1
              
            
          
        
        (
        x
        )
        ⋯
        
          H
          
            
              m
              
                n
              
            
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle n^{\frac {\mu }{2}}H_{\mu }({\sqrt {n}}x)=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {\mu !}{m_{1}!\cdots m_{n}!}}H_{m_{1}}(x)\cdots H_{m_{n}}(x)}
  .
  
    
      
        n
        =
        2
      
    
    {\displaystyle n=2}
  , 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a_{1}=a_{2}=1}
  , 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          
            2
          
        
        x
        ,
         
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          
            2
          
        
        y
      
    
    {\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}x,~x_{2}={\sqrt {2}}y}
  . ապա
  
    
      
        
          2
          
            μ
          
        
        
          H
          
            μ
          
        
        (
        x
        +
        y
        )
        =
        
          ∑
          
            p
            +
            q
            +
            r
            +
            s
            =
            μ
          
        
        
          
            
              μ
              !
            
            
              p
              !
               
              q
              !
               
              r
              !
               
              s
              !
            
          
        
        
          H
          
            p
          
        
        (
        x
        )
        
          H
          
            q
          
        
        (
        x
        )
        
          H
          
            p
          
        
        (
        y
        )
        
          H
          
            q
          
        
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle 2^{\mu }H_{\mu }(x+y)=\sum _{p+q+r+s=\mu }{\frac {\mu !}{p!~q!~r!~s!}}H_{p}(x)H_{q}(x)H_{p}(y)H_{q}(y)}
  .
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        =
        ⋯
        =
        
          a
          
            n
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1}
  , 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
        =
        ⋯
        =
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}
  . ապա
  
    
      
        
          n
          
            
              μ
              2
            
          
        
        
          H
          
            μ
          
        
        (
        
          
            n
          
        
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            
              m
              
                1
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              m
              
                n
              
            
            =
            μ
          
        
        
          
            
              μ
              !
            
            
              
                m
                
                  1
                
              
              !
              ⋯
              
                m
                
                  n
                
              
              !
            
          
        
        
          H
          
            
              m
              
                1
              
            
          
        
        (
        x
        )
        ⋯
        
          H
          
            
              m
              
                n
              
            
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle n^{\frac {\mu }{2}}H_{\mu }({\sqrt {n}}x)=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {\mu !}{m_{1}!\cdots m_{n}!}}H_{m_{1}}(x)\cdots H_{m_{n}}(x)}
  .
  
    
      
        n
        =
        2
      
    
    {\displaystyle n=2}
  , 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a_{1}=a_{2}=1}
  , 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          
            2
          
        
        x
        ,
         
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          
            2
          
        
        y
      
    
    {\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}x,~x_{2}={\sqrt {2}}y}
  . ապա
  
    
      
        
          2
          
            μ
          
        
        
          H
          
            μ
          
        
        (
        x
        +
        y
        )
        =
        
          ∑
          
            p
            +
            q
            +
            r
            +
            s
            =
            μ
          
        
        
          
            
              μ
              !
            
            
              p
              !
               
              q
              !
               
              r
              !
               
              s
              !
            
          
        
        
          H
          
            p
          
        
        (
        x
        )
        
          H
          
            q
          
        
        (
        x
        )
        
          H
          
            p
          
        
        (
        y
        )
        
          H
          
            q
          
        
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle 2^{\mu }H_{\mu }(x+y)=\sum _{p+q+r+s=\mu }{\frac {\mu !}{p!~q!~r!~s!}}H_{p}(x)H_{q}(x)H_{p}(y)H_{q}(y)}
  .


== Դիֆերենցումի և ռեկուրենտի հարաբերակցությունը ==


== Օրթոգոնալություն ==
Հերմիտի բազմանդամը ստեղծում է լիքը օրթոգոնալ սիստեմ 
  
    
      
        (
        −
        ∞
        ,
        +
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
   ինտերվալում 
  
    
      
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle e^{-x^{2}/2}\,\!}
   կամ 
  
    
      
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle e^{-x^{2}}\,\!}
   զանգվածով, կախված սահմանումից։

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          H
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        
          H
          
            m
          
        
        (
        x
        )
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
          
        
        
        d
        x
        =
        n
        !
        
          
            2
            π
          
        
         
        
          δ
          
            
              n
              m
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}/2}\,dx=n!{\sqrt {2\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}}
  ,

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          H
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        
          H
          
            m
          
        
        (
        x
        )
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        x
        =
        
          2
          
            n
          
        
        n
        !
        
          
            π
          
        
         
        
          δ
          
            
              n
              m
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx=2^{n}n!{\sqrt {\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}}
  , (ֆիզիկական սահմանման ժամանակ)որտեղ 
  
    
      
        
          δ
          
            m
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta _{mn}}
  -ը Կրոնեկերայի դելտա-սիմվոլն է։
Էրմիտի բազմանդամների օրթոգոնալության կարևոր հետևանք է հանդիսանում Հերմիտի բազմանդամների շարքում տարբեր ֆունկցիաների վերլուծման հնարավորությունը։ Յուրաքանչյուր ոչ բացասական 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   ամբողջ թվի համար ճշմարիտ է արտահայտությունը։

  
    
      
        
          
            
              x
              
                p
              
            
            
              p
              !
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            k
            ≤
            p
            
              /
            
            2
          
        
        
          
            1
            
              2
              
                k
              
            
          
        
        
          
            1
            
              k
              !
              (
              p
              −
              2
              k
              )
              !
            
          
        
        
          H
          
            p
            −
            2
            k
          
        
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {x^{p}}{p!}}=\sum _{k=0}^{k\leq p/2}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {1}{k!(p-2k)!}}H_{p-2k}(x).}
  
Դրանից բխում է կապ 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
   ֆունկցիայի տարալուծված գործակցի միջև և 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          A
          
            n
          
        
        
          H
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)}
   ֆունկցիայի տարալուծված գործակցի միջև, որը անվանում են Նիլս Նիլսոնի կապ։

  
    
      
        
          A
          
            n
          
        
        =
        
          
            1
            
              n
              !
            
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              2
              
                k
              
            
          
        
        
          
            
              (
              n
              +
              2
              k
              )
              !
            
            
              k
              !
            
          
        
        
          a
          
            n
            +
            2
            k
          
        
        ,
         
         
         
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          
            1
            
              n
              !
            
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  k
                
              
            
            
              2
              
                k
              
            
          
        
        
          
            
              (
              n
              +
              2
              k
              )
              !
            
            
              k
              !
            
          
        
        
          A
          
            n
            +
            2
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!}}a_{n+2k},~~~a_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!}}A_{n+2k}}
  
Օրինակ Կումերիկ տարալուծված ֆունկցիան կունենա հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          

          
          
            1
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        (
        α
        ,
        γ
        ;
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              α
              ,
              n
              )
            
            
              (
              γ
              ,
              n
              )
              (
              1
              ,
              n
              )
            
          
        
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            2
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  α
                  +
                  n
                
                2
              
            
            ,
            
              
                
                  α
                  +
                  n
                  +
                  1
                
                2
              
            
            ;
            
              
                
                  γ
                  +
                  n
                
                2
              
            
            ,
            
              
                
                  γ
                  +
                  n
                  +
                  1
                
                2
              
            
            ;
            
              
                1
                2
              
            
          
          )
        
        
          H
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        ,
         
         
         
        (
        a
        ,
        b
        )
        ≡
        
          
            
              Γ
              (
              a
              +
              b
              )
            
            
              Γ
              (
              a
              )
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ,\gamma ;x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha ,n)}{(\gamma ,n)(1,n)}}{}_{2}F_{2}\left({\frac {\alpha +n}{2}},{\frac {\alpha +n+1}{2}};{\frac {\gamma +n}{2}},{\frac {\gamma +n+1}{2}};{\frac {1}{2}}\right)H_{n}(x),~~~(a,b)\equiv {\frac {\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)}},}
  
Որտեղ 
  
    
      
        
          

          
          
            2
          
        
        
          F
          
            2
          
        
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ;
        
          b
          
            1
          
        
        ,
        
          b
          
            2
          
        
        ;
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {}_{2}F_{2}(a_{1},a_{2};b_{1},b_{2};x)}
   -ը գեր-երկրաչափական ֆունկցիայի երկրորդական դասավորության ընթանրացումն է, իսկ 
  
    
      
        Γ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma (x)}
  -ը գամմա ֆունկցիան է։


=== Տարալուծված ֆունկցիաներ, որոնց մեջ բացակայում է աստիճանացույց ===
Ցանկացած ֆունկցիայի համար, որը գրվում է որպես 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            p
          
        
        
          c
          
            k
          
        
        
          e
          
            
              α
              
                k
              
            
            x
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{p}c_{k}e^{\alpha _{k}x},}
  -ի աստիճանացույցի վերդիրք, կարելի է գրել հաջորդ տարալուծվածները Հերմիտի բազմանդամներով։

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          A
          
            n
          
        
        
          H
          
            n
          
        
        (
        x
        )
         
        ,
         
         
         
        
          A
          
            n
          
        
        =
        
          
            1
            
              n
              !
            
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            p
          
        
        
          c
          
            k
          
        
        
          α
          
            k
          
          
            n
          
        
        
          e
          
            
              
                α
                
                  k
                
                
                  2
                
              
              2
            
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)~,~~~A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=1}^{p}c_{k}\alpha _{k}^{n}e^{\frac {\alpha _{k}^{2}}{2}}~.}
  
Տարալուծված հիպերբոլական ֆունկցիաները և եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ունեն հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          c
          h
        
        
        
          t
          x
        
        =
        
          e
          
            
              
                t
                
                  2
                
              
              2
            
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              t
              
                2
                n
              
            
            
              (
              2
              n
              )
              !
            
          
        
        
          H
          
            2
            n
          
        
        (
        x
        )
        ,
         
         
         
        
          s
          h
        
        
        
          t
          x
        
        =
        
          e
          
            
              
                t
                
                  2
                
              
              2
            
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              t
              
                2
                n
                +
                1
              
            
            
              (
              2
              n
              +
              1
              )
              !
            
          
        
        
          H
          
            2
            n
            +
            1
          
        
        (
        x
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathrm {ch} \,{tx}=e^{\frac {t^{2}}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{(2n)!}}H_{2n}(x),~~~\mathrm {sh} \,{tx}=e^{\frac {t^{2}}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{2n+1}}{(2n+1)!}}H_{2n+1}(x),}
  
  
    
      
        cos
        ⁡
        
          t
          x
        
        =
        
          e
          
            −
            
              
                
                  t
                  
                    2
                  
                
                2
              
            
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          
            
              t
              
                2
                n
              
            
            
              (
              2
              n
              )
              !
            
          
        
        
          H
          
            2
            n
          
        
        (
        x
        )
        ,
         
         
         
        sin
        ⁡
        
          t
          x
        
        =
        
          e
          
            −
            
              
                
                  t
                  
                    2
                  
                
                2
              
            
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          
            
              t
              
                2
                n
                +
                1
              
            
            
              (
              2
              n
              +
              1
              )
              !
            
          
        
        
          H
          
            2
            n
            +
            1
          
        
        (
        x
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \cos {tx}=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{2n}}{(2n)!}}H_{2n}(x),~~~\sin {tx}=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{2n+1}}{(2n+1)!}}H_{2n+1}(x),}
  


== Դիֆերենցիալ հավասարումները ==

  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle H_{n}(x)}
   Հերմիտի բազմանդամները հանդիսանում են գծային դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումներ

  
    
      
        
          y
          ″
        
        (
        x
        )
        −
        2
        x
        
          y
          ′
        
        (
        x
        )
        +
        n
        y
        (
        x
        )
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle y''(x)-2xy'(x)+ny(x)=0\,}
  
Եթե 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   հանդիսանում է բնական թիվը, ապա վերոհիշյալ հավասարում ամբողջ լուծումը գրվում է ինչպես

  
    
      
        y
        (
        x
        )
        =
        A
        
          H
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        +
        B
        
          h
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle y(x)=AH_{n}(x)+Bh_{n}(x)\,}
  ,
որտեղ 
  
    
      
        A
        ,
        B
      
    
    {\displaystyle A,B}
   կամայական հաստատուններ են, իսկ 
  
    
      
        
          h
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle h_{n}(x)}
   ֆունկցիան կոչվում է Էրմիտի ֆունկցիայի երկրորդ տիպ։ Այս ֆունկցիաները չեն հանգում բազմանդամներին և դրանց կարելի է արտահայտել միայն տրանսցենդենտ ֆունկցիաների՝ 
  
    
      
        
          e
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{x^{2}/2}}
   և 
  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            x
          
        
        
          e
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
          
        
        d
        z
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{x}e^{z^{2}/2}dz}
   միջոցով։


== Արտահայտում ==
Հերմիտի բազմանդամները առաջարկում են այսպիսի արտահայտություններ։

  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              n
              !
            
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          ∮
          
            Γ
          
        
        
          
            
              e
              
                z
                x
                −
                
                  z
                  
                    2
                  
                
                
                  /
                
                2
              
            
            
              z
              
                n
                +
                1
              
            
          
        
        
        d
        z
      
    
    {\displaystyle H_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\Gamma }{\frac {e^{zx-z^{2}/2}}{z^{n+1}}}\,dz}
  
Որտեղ 
  
    
      
        Γ
      
    
    {\displaystyle \Gamma }
   ուրվագիծն է, որը ներառում է կոորդինատի սկիզբը

  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        (
        x
        +
        i
        y
        
          )
          
            n
          
        
        
          e
          
            −
            
              
                
                  y
                  
                    2
                  
                
                2
              
            
          
        
        d
        y
      
    
    {\displaystyle H_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}dy}
  .


== Կապ այլ հատուկ ֆունկցիաների հետ ==
Կապ Կումմերի ֆունկցիայի հետ.
  
    
      
        
          H
          
            2
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              2
              
                n
              
            
          
        
        
          
            
              (
              2
              n
              )
              !
            
            
              n
              !
            
          
        
         
        
          

          
          
            1
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        
          (
          
            −
            n
            ;
            
              
                1
                2
              
            
            ;
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                2
              
            
          
          )
        
         
        ,
         
         
         
        
          H
          
            2
            n
            +
            1
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              2
              
                n
              
            
          
        
        
          
            
              (
              2
              n
              +
              1
              )
              !
            
            
              n
              !
            
          
        
        x
         
        
          

          
          
            1
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        
          (
          
            −
            n
            ;
            
              
                3
                2
              
            
            ;
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle H_{2n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n)!}{n!}}~{}_{1}F_{1}\left(-n;{\frac {1}{2}};{\frac {x^{2}}{2}}\right)~,~~~H_{2n+1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n+1)!}{n!}}x~{}_{1}F_{1}\left(-n;{\frac {3}{2}};{\frac {x^{2}}{2}}\right)}
  Կապ Լագերրի բազմանդամների հետ.
  
    
      
        
          H
          
            2
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        −
        2
        
          )
          
            n
          
        
        
        n
        !
        
        
          L
          
            n
          
          
            (
            −
            1
            
              /
            
            2
            )
          
        
        (
        
          x
          
            2
          
        
        
          /
        
        2
        )
        
        
        ,
         
         
         
        
          H
          
            2
            n
            +
            1
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        −
        2
        
          )
          
            n
          
        
        
        n
        !
        
        x
        
        
          L
          
            n
          
          
            (
            1
            
              /
            
            2
            )
          
        
        (
        
          x
          
            2
          
        
        
          /
        
        2
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle H_{2n}(x)=(-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2}/2)\,\!,~~~H_{2n+1}(x)=(-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^{2}/2)\,\!}