Կավարի տեսություն

Կավարի տեսություն, մաթեմատիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է մասնակի կարգավորված բազմությունների հանրահաշվական հատկությունները։ Կամայական ոչ դատարկ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   բազմության վրա որոշված երկտեղանի 
  
    
      
        ⩽
      
    
    {\displaystyle \leqslant }
   հարաբերությունը կոչվում է մասնակի կարգ, իսկ {
  
    
      
        A
        ,
        ⩽
      
    
    {\displaystyle A,\leqslant }
  } համակարգը՝ մասնակի կարգավորված բազմություն, եթե 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ի կամայական 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
   տարրերի համար բավարարված են հետևյալ պայմանները. 

  
    
      
        a
        ⩽
        a
      
    
    {\displaystyle a\leqslant a}
  ,
եթե 
  
    
      
        a
        ⩽
        b
      
    
    {\displaystyle a\leqslant b}
   և 
  
    
      
        b
        ⩽
        c
      
    
    {\displaystyle b\leqslant c}
  , ապա 
  
    
      
        a
        ⩽
        c
      
    
    {\displaystyle a\leqslant c}
  ,
եթե a\leqslant b և 
  
    
      
        b
        ⩽
        a
      
    
    {\displaystyle b\leqslant a}
  , ապա 
  
    
      
        a
        =
        b
      
    
    {\displaystyle a=b}
  ։Եթե 
  
    
      
        a
        ⩽
        b
      
    
    {\displaystyle a\leqslant b}
  , բայց 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն հավասար չէ 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ին, ապա ասում են, որ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն խիստ փոքր է 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ից և նշանակում՝ 
  
    
      
        a
        <
        b
      
    
    {\displaystyle a<b}
  ։ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   բազմությունը կոչվում է {
  
    
      
        A
        ,
        ⩽
      
    
    {\displaystyle A,\leqslant }
  } համակարգի հիմք։ Վերջավոր հիմք ունեցող մասնակի կարգավորված բազմությունը երբեմն հարմար է ներկայացնել գծագրի միջոցով՝ տարրերը տեղադրելով շերտ առ շերտ վարից վեր ըստ աճի և միմյանց միացնելով այն տարրերը, որոնք հարևան են ըստ կարգի, օրինակ՝ {
  
    
      
        A
        ,
        ⩽
      
    
    {\displaystyle A,\leqslant }
  } համակարգը կոչվում է կավար, եթե 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ի կամայական 
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
   տարրերի համար բավարարված են հետևյալ երկու պայմանները՝

ա. գոյություն ունի 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ին պատկանող 
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
   տարրերի ճշգրիտ վերին կոպարը ըստ 
  
    
      
        ⩽
      
    
    {\displaystyle \leqslant }
   հարաբերությանբ. գոյություն ունի 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ին պատկանող 
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
   տարրերի ճշգրիտ ստորին կոպարը ըստ 
  
    
      
        ⩽
      
    
    {\displaystyle \leqslant }
   հարաբերության
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
   տարրերի ճշգրիտ վերին կոպարը սովորաբար նշանակում են 
  
    
      
        a
        ∨
        b
      
    
    {\displaystyle a\vee b}
  , իսկ ստորինը՝ 
  
    
      
        a
        ∧
        b
      
    
    {\displaystyle a\wedge b}
  ։ {
  
    
      
        A
        ,
        ⩽
      
    
    {\displaystyle A,\leqslant }
  }  համակարգը կոչվում է վերին կիսակավար, եթե բավարարում է միայն ա. պայմանին, և ստորին կիսակավար, եթե բավարարում է միայն բ. պայմանին։ Գծագրում պատկերված համակարգը վերին կիսակավար է, բայց կավար չէ, որովհետև α և φ տարրերը չունեն ճշգրիտ ստորին կոպար։ Կավարի օրինակ է բոլոր բնական թվերի բազմությունը իր բնական կարգի հետ միասին, այդ դեպքում՝  
  
    
      
        a
        ∨
        b
        =
        m
        a
        x
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle a\vee b=max(a,b)}
  , 
  
    
      
        a
        ∧
        b
        =
        m
        i
        n
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle a\wedge b=min(a,b)}
  ։ Կավարը կոչվում է լրիվ, եթե նրա հիմքի յուրաքանչյուր ոչ դատարկ ենթաբազմություն ունի թե՝ ճշգրիտ վերին և թե՝ ճշգրիտ ստորին կոպար։ Վերջավոր հիմքով կավարները միշտ լրիվ են։ Բնական թվերով վերոհիշյալ կավարը լրիվ չէ։ 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   հատվածը, որտեղ 
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  -ն իրական թվեր են և 
  
    
      
        a
        <
        b
      
    
    {\displaystyle a<b}
  , իր բնական կարգի հետ միասին կազմում է լրիվ կավար։ Եթե {
  
    
      
        A
        ,
        ⩽
      
    
    {\displaystyle A,\leqslant }
  } մասնակի կարգավորված բազմության համար գոյություն ունի այնպիսի 
  
    
      
        a
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle a\in A}
   տարր, որ կամայական 
  
    
      
        b
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle b\in A}
   բավարարում է 
  
    
      
        b
        ⩽
        a
      
    
    {\displaystyle b\leqslant a}
   պայմանին, ապա 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն կոչվում է {
  
    
      
        A
        ,
        ⩽
      
    
    {\displaystyle A,\leqslant }
  } համակարգի առավելագույն տարր։ Հանգունորեն սահմանվում է նվազագույն տարրը։ Գծագրում 
  
    
      
        δ
      
    
    {\displaystyle \delta }
  -ն առավելագույն տարր է, իսկ նվազագույն տարր գոյություն չունի։ Առավելագույն տարրը նշանակում են 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
   նշանով, նվազագույնը՝ 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
   նշանով։ Եթե 
  
    
      
        a
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle a\in A}
   և գոյություն չունի այնպիսի 
  
    
      
        b
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle b\in A}
  , որ 
  
    
      
        a
        <
        b
      
    
    {\displaystyle a<b}
  , ապա 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   տարրը անվանում են մաքսիմալ։ Նման ձևով սահմանվում է մինիմալ տարրը։ Գծագրում 
  
    
      
        δ
      
    
    {\displaystyle \delta }
  -ն մաքսիմալ տարր է, իսկ 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   և 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
   տարրերը՝ մինիմալ։ 
Կավարը կոչվում է բաշխական, եթե նրա կամայական 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
   տարրերի համար տեղի ունի 
  
    
      
        a
        ∧
        (
        b
        ∨
        c
        )
        =
        (
        a
        ∧
        b
        )
        ∨
        (
        a
        ∧
        c
        )
      
    
    {\displaystyle a\land (b\vee c)=(a\land b)\vee (a\land c)}
   առընչություն։ Կավարի տեսությունում մեծ դեր են խաղում այնպիսի կավարները (կոչվում են լրացումներով կավարներ), որոնք բաշխական են, ունեն 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
   և 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  , յուրաքանչյուր 
  
    
      
        a
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle a\in A}
   տարրին համապատասխանում է այնպիսի 
  
    
      
        
          
            
              a
              ¯
            
          
        
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle {\bar {a}}\in A}
   տարր, որ 
  
    
      
        a
        ∨
        
          
            
              a
              ¯
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a\vee {\bar {a}}=1}
   և 
  
    
      
        a
        ∧
        
          
            
              a
              ¯
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a\land {\bar {a}}=0}
  ։ Լրացումներով բաշխական կավարները, որ կոչվում են բուլյան կավարներ (նաև բուլյան հանրահաշիվներ), Կավարի տեսության խորապես զարգացած բաժիններից են և լայն կիրառություններ ունեն մաթեմատիկայի տարբեր բնագավառներում, տեխնիկայում։ Պարզագույն բուլյան կավարների հիմքը բաղկացած է միայն երկու տարրից՝ 
  
    
      
        0
        ,
        1
      
    
    {\displaystyle 0,1}
  , և կոչվում է երկարժեք բուլյան հանրահաշիվ։ Կավարի տեսության գաղափարներն ու մեթոդները լայն կիրառություններ են գտել հանրահաշվի մաթեմատիկական տրամաբանության, պրոյեկտիվ և աֆինական երկրաչափությունների, չափի տեսության, ֆունկցիոնալ անալիզի, տոպոլոգիայի, հավանականությունների տեսության, քվանտային ու ալիքային մեխանիկայի, հարաբերականության տեսության մեջ։ Պատմականորեն կավարների ուսումնասիրությունն սկսել է անգլիական մաթեմատիկոս Ջորջ Բուլը 1847-ին, որը հետագայում բուլյան հանրահաշիվ կոչված կավարների հատկությունները կիրառել է իր ստեղծած ասույթների տրամաբանության մեջ։ Կավարի գաղափարի արդի սահմանումը տվել է գերմանական մաթեմատիկոս Էրնստ Շրյոդերը, 1890-ին։


== Գրականություն ==
Բիրկգոֆ Գ., «Теория Структур», Մոսկվա, 1952
Սկրոնյակով Լ. Ա., «Элементы теории структур», Մոսկվա, 1970
Սիկորսկի Ռ., Булевы алгебры, пер.с англ., Մոսկվա, 1969