Կոտանգենսների թեորեմ

Կոտանգենսների թեորեմը, եռանկյունաչափական թեորեմ է, որը կապ է հաստատում եռանկյանը ներգծված շրջանագծի շառավղի և եռանկյան կողմերի երկարությունների միջև։ 


== Բանաձև ==

Դիցուք

  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  -ն եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են,

  
    
      
        A
        ,
        B
        ,
        C
      
    
    {\displaystyle A,B,C}
  -ը՝ համապատասխանաբար 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
   կողմերի դիմացի անկյունները,

  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  -ը՝ եռանկյանը ներգծված շրջանագծի շառավիղ

  
    
      
        p
        =
        
          
            
              a
              +
              b
              +
              c
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}
  -ը՝ եռանկյան կիսապարագիծը։Այդ դեպքում  տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը՝

  
    
      
        
          c
          t
          g
        
        
          
            A
            2
          
        
        =
        
          
            
              p
              −
              a
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {A}{2}}={\frac {p-a}{r}}}
  ,
  
    
      
        
          c
          t
          g
        
        
          
            B
            2
          
        
        =
        
          
            
              p
              −
              b
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {B}{2}}={\frac {p-b}{r}}}
  ,
  
    
      
        
          c
          t
          g
        
        
          
            C
            2
          
        
        =
        
          
            
              p
              −
              c
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}={\frac {p-c}{r}}}
  ,կամ դրանց համարժեք՝

  
    
      
        
          
            
              p
              −
              a
            
            
              
                c
                t
                g
              
              (
              A
              
                /
              
              2
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              p
              −
              b
            
            
              
                c
                t
                g
              
              (
              B
              
                /
              
              2
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              p
              −
              c
            
            
              
                c
                t
                g
              
              (
              C
              
                /
              
              2
              )
            
          
        
        =
        r
      
    
    {\displaystyle {\frac {p-a}{\mathrm {ctg} (A/2)}}={\frac {p-b}{\mathrm {ctg} (B/2)}}={\frac {p-c}{\mathrm {ctg} (C/2)}}=r}
  :Թեորեմը կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ.  կիսանկյան կոտանգենսը հավասար է կիսապարագծի և տրված անկյան դիմացի կողմի տարբերության հարաբերությանը ներգծված շրջանագծի շառավղին։


== Հետևություն ==
Կոտանգենսներից թեորեմից ներգծված շրջանագծի շառավղի համար ստացվում է

  
    
      
        r
        =
        
          
            
              
                1
                p
              
            
            (
            p
            −
            a
            )
            (
            p
            −
            b
            )
            (
            p
            −
            c
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle r={\sqrt {{\frac {1}{p}}(p-a)(p-b)(p-c)}}}
  ։Մյուս կողմից, քանի որ եռանկյան մակերեսը՝ 
  
    
      
        S
        =
        p
        r
      
    
    {\displaystyle S=pr}
  , ապա կարելի է ստանալ Հերոնի բանաձևը՝

  
    
      
        S
        =
        
          
            p
            (
            p
            −
            a
            )
            (
            p
            −
            b
            )
            (
            p
            −
            c
            )
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}
  


== Տես նաև ==
Սինուսների թեորեմ
Կոսինուսների թեորեմ
Հերոնի բանաձև
Եռանկյուն
Մակերես
Պարագիծ


== Ծանոթագրություններ ==