Ներգծյալ քառանկյուն

Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ ներգծյալ են անվանում այն քառանկյունը որի բոլոր գագաթները գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա։ Ի տարբերություն եռանկյունների ոչ բոլոր քառանկյուններին է հնարավոր արտագծել շրջանագիծ։


== Հայտանիշներ ==
Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում, եթե քառանկյան կողմերի միջնուղահայացները հատվում են մի կետում։
Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում երբ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը հավասար է ուղիղ անյանը։ 
  
    
      
        A
        +
        C
        =
        B
        +
        D
        =
        π
        =
        
          180
          
            ∘
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle A+C=B+D=\pi =180^{\circ }.}
   Կամ որ նունն է՝
Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքու եթե քառանկյան յուրաքանչյուր անկյան արտաքին անկյունը հավասար է հանդիպակաց անկյան ներիքին անկյանը։
Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում, եթե քառանկյան կողմի և անկյունագծի կազմած անկյունը հավասար է հանդիպակաց կողմի և մյուս անկյունագծի կազմած անկյանը։
Պտղոմեոսի թեորեմը ցույց է տալիս որ ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ այն և միայն այն դեպքում, եթե քառանկյան անկյունագծերի արտադրյալը հավասար հանդիպակաց կողմերի արտադրյալների գումարին :էջ.25։

  
    
      
        
          p
          q
          =
          a
          c
          +
          b
          d
          .
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle pq=ac+bd.}
  Ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում երբ

  
    
      
        tan
        ⁡
        
          
            A
            2
          
        
        tan
        ⁡
        
          
            C
            2
          
        
        =
        tan
        ⁡
        
          
            B
            2
          
        
        tan
        ⁡
        
          
            D
            2
          
        
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}\tan {\frac {C}{2}}=\tan {\frac {B}{2}}\tan {\frac {D}{2}}=1.}
  Եթե AC և BD հատվածները հատվում են X կետում ապա ստացված քառանկյանը հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ միայն այն դեպքում եթե
  
    
      
        
          A
          X
          ⋅
          X
          C
          =
          B
          X
          ⋅
          X
          D
          .
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle AX\cdot XC=BX\cdot XD.}
  


== Մակերես ==
Ներգծյալ քառանկյան S մակերեսը կարելի է հաշվել Բրահմագուպտայի բանաձևով։

  
    
      
        S
        =
        
          
            (
            p
            −
            a
            )
            (
            p
            −
            b
            )
            (
            p
            −
            c
            )
            (
            p
            −
            d
            )
          
        
        
      
    
    {\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\,}
   որտեղ p-ն հավասար է քառանկյան կիսապարագծին իսկ a, b, c և d քառանկյան կողմերը։ Այս բանաձևը կարելի դիտարկել որպես Բրետշնայդերի բանաձևի մասնավոր դեպք։ d=0 դեպքում ներգծյալ քառանկյունը վերծվում է եռանկյան և իսկ բանաձևը Հերոնի բանաձևի։
Ներգծյալ քառանկյունը նույն կողմերն ունեցող քառանկյուներից ամենամեծն է։ Սա կարելի է ապացուցել Բրետշնեյդերի բանաձևի ինչպես նաև մաթեմատիկական անալիզի միջոցով։
Ուռուցիկ քառանկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել a, b, c, d կողմերով և a, b կողմերի կաղմած A անկյունով

  
    
      
        K
        =
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        (
        a
        b
        +
        c
        d
        )
        sin
        ⁡
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}}
   բանաձևով,կամ

  
    
      
        K
        =
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        (
        a
        c
        +
        b
        d
        )
        sin
        ⁡
        
          θ
        
      
    
    {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }}
  որտեղ θ անկյունագծերի կազմած անկյունն է։
Եթե A հավասար չէ ուղիղ անկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել նաև

  
    
      
        K
        =
        
          
            
              1
              4
            
          
        
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        
          b
          
            2
          
        
        −
        
          c
          
            2
          
        
        +
        
          d
          
            2
          
        
        )
        tan
        ⁡
        
          A
        
        .
      
    
    {\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.}
   բանաձևովՆերգծյալ քառանկյան մակերեսը կարելի է արտահայտել նաև արտագծյալ շրջանագծի շառավղի միջոցով հետևյալ բանաձևի միջոցով՝

  
    
      
        
          K
          =
          2
          
            R
            
              2
            
          
          sin
          ⁡
          
            A
          
          sin
          ⁡
          
            B
          
          sin
          ⁡
          
            θ
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }}
  որպես ուղղակի հետևանք

  
    
      
        K
        ≤
        2
        
          R
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle K\leq 2R^{2}}
  անհավասարությունը հավասար է այն և միայն այն դեպքում երբ քառանկյունը քառակուսի է։


== Անկյունագծեր ==
Եթե ներգծյալ քառանկյան գագաթներն են A, B, C, D և kողմերը a=AB, b=BC, c=CD և d=DA անկյունագծեր AC-ի և BD-ի համապատասխանաբար p և q արժեքները կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևերով՝

  
    
      
        p
        =
        
          
            
              
                (
                a
                c
                +
                b
                d
                )
                (
                a
                d
                +
                b
                c
                )
              
              
                a
                b
                +
                c
                d
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}}
  

  
    
      
        q
        =
        
          
            
              
                (
                a
                c
                +
                b
                d
                )
                (
                a
                b
                +
                d
                c
                )
              
              
                a
                d
                +
                b
                c
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}}}.}
  Ըստ Պտղոմեոսի երկրորդ թեորեմի՝

  
    
      
        
          
            p
            q
          
        
        =
        
          
            
              a
              d
              +
              c
              b
            
            
              a
              b
              +
              c
              d
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+cb}{ab+cd}}}
  
Օգտագործելով նույն թեորեմը ստանում են ակյունագծերի գումարի բանաձևը՝

  
    
      
        p
        +
        q
        ≥
        2
        
          
            a
            c
            +
            b
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}}
  
Արտահայտությունները հավասար են միայն այն դեպքում երբ անկյունագծերը հավասար են։
Ցանկացաց ուռուցիկ ներգծյալ քառանկյան աանկյունագծերը հատվելիս քառանկյունը տրոհում են չորս եռանյուների, ընդ որում հանդիպակաց եռանկյունները նման են։
Եթե ABCD-ն ներգծյալ քառանկյուն է ընդ որում AC և BD ուղիղների հատման կետը E-ն է ունեմն՝

  
    
      
        
          
            
              A
              E
            
            
              C
              E
            
          
        
        =
        
          
            
              A
              B
            
            
              C
              B
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              A
              D
            
            
              C
              D
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}}
  


== Անկյուներ ==
a, b, c, d կողմերով s կիսապարագծով և a, b կողմերով կաղմված A անկյամբ ներգծյալ քառանկյան A անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները տրվում են հետևյալ բանաձևերով

  
    
      
        cos
        ⁡
        A
        =
        
          
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                d
                
                  2
                
              
              −
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              2
              (
              a
              d
              +
              b
              c
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}}}
  

  
    
      
    
    {\displaystyle }
  
  
    
      
        sin
        ⁡
        A
        =
        
          
            
              2
              
                
                  (
                  s
                  −
                  a
                  )
                  (
                  s
                  −
                  b
                  )
                  (
                  s
                  −
                  c
                  )
                  (
                  s
                  −
                  d
                  )
                
              
            
            
              (
              a
              d
              +
              b
              c
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}}}
  

  
    
      
        tan
        ⁡
        
          
            A
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                (
                s
                −
                a
                )
                (
                s
                −
                d
                )
              
              
                (
                s
                −
                b
                )
                (
                s
                −
                c
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}}
  
Անկյունագծերի կազմած θ  անկյան տանգենսը հավասար է՝

  
    
      
        tan
        ⁡
        
          
            θ
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                (
                s
                −
                b
                )
                (
                s
                −
                d
                )
              
              
                (
                s
                −
                a
                )
                (
                s
                −
                c
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}}
  
Եթե a և c հանդիպակաց հատվածների շարունակությունները հատվելիս կազմում են 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
   անկյուն ապա՝

  
    
      
        cos
        ⁡
        
          
            ϕ
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                (
                s
                −
                b
                )
                (
                s
                −
                d
                )
                (
                b
                +
                d
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
              
                (
                a
                b
                +
                c
                d
                )
                (
                a
                d
                +
                b
                c
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos {\frac {\phi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}}
  


== Պարամեշվարայի բանաձև ==
Քառանկյան արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը կարելի է արտահայտել քառանկյան a, b, c, d կողմերով Պարամեշվարայի բանաձև օգնությամբ

  
    
      
        R
        =
        
          
            1
            4
          
        
        
          
            
              
                (
                a
                b
                +
                c
                d
                )
                (
                a
                c
                +
                b
                d
                )
                (
                a
                d
                +
                b
                c
                )
              
              
                (
                s
                −
                a
                )
                (
                s
                −
                b
                )
                (
                s
                −
                c
                )
                (
                s
                −
                d
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}}
  
որտեղ s-ը քառանկյան կիսապարագիծն է։


== Տես նաև ==
Քառանկյուն


== Ծանոթագրություններ ==