Կատեգորիաների տեսություն

Կատեգորիաների տեսություն, արդի մաթեմատիկայի վերացական բաժիններից. մաթեմատիկական օբյեկտներն ուսումնասիրում է դրանց կառուցվածքի հետ համաձայնեցված արտապատկերումների հետ։ Շնորհիվ իր համահյուսող և միասնականացնող դերի կատեգորիաների տեսությունը բազմությունների տեսության հետ կազմում է արդի մաթեմատիկայի հիմքը։
Կատեգորիաների տեսության ուսումնասիրության առարկան, ընդհանուր առմամբ, կատեգորիաներն ու ֆունկտորներն են։ Կատեգորիայի հասկացությունը կազմվում է երեք մասից. 

կատեգորիայի օբյեկտների համախմբություն,
յուրաքանչյուր 
  
    
      
        A
        ,
        B
      
    
    {\displaystyle A,B}
   օբյեկտների համար տրված 
  
    
      
        M
        o
        r
        (
        A
        ,
        B
        )
      
    
    {\displaystyle Mor(A,B)}
   մորֆիզմների բազմություն (որի տարրերը նշանակվում են 
  
    
      
        φ
        :
        A
        →
        B
      
    
    {\displaystyle \varphi :A\to B}
  ),
մորֆիզմների արտադրյալ կամ համադրություն, որը մորֆիզմների յուրաքանչյուր 
  
    
      
        φ
        :
        A
        →
        B
      
    
    {\displaystyle \varphi :A\to B}
   և  
  
    
      
        ψ
        :
        B
        →
        C
      
    
    {\displaystyle \psi :B\to C}
   զույգին համապատասխանեցնում է 
  
    
      
        
          ψ
          
            0
          
        
        φ
        :
        A
        →
        C
      
    
    {\displaystyle \psi _{0}\varphi :A\to C}
   մորֆիզմ։Կատեգորիայի մորֆիզմները և դրանց արտադրյալը պետք է բավարարեն հետևյալ պայմաններին.
ա. ցանկացած 
  
    
      
        φ
        :
        A
        →
        B
        ,
        ψ
        :
        B
        →
        C
        ,
        χ
        :
        C
        →
        D
      
    
    {\displaystyle \varphi :A\to B,\psi :B\to C,\chi :C\to D}
   մորֆիզմների եռյակի համար՝  
  
    
      
        χ
        ⋅
        (
        ψ
        ⋅
        φ
        )
        =
        (
        χ
        ⋅
        ψ
        )
        ⋅
        φ
      
    
    {\displaystyle \chi \cdot (\psi \cdot \varphi )=(\chi \cdot \psi )\cdot \varphi }
   (արտադրյալի զուգորդականություն), 
բ. կամայական 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   օբյեկտի համար գոյություն ունի այնպիսի 
  
    
      
        
          1
          
            A
          
        
        :
        A
        →
        A
      
    
    {\displaystyle 1_{A}:A\to A}
   մորֆիզմ, որ ինչպիսիք էլ լինեն  
  
    
      
        φ
        :
        A
        →
        B
      
    
    {\displaystyle \varphi :A\to B}
   և 
  
    
      
        ψ
        :
        C
        →
        A
      
    
    {\displaystyle \psi :C\to A}
   մորֆիզմները՝ 
  
    
      
        φ
        ⋅
        
          1
          
            A
          
        
        =
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi \cdot 1_{A}=\varphi }
   և 
  
    
      
        
          1
          
            A
          
        
        ⋅
        ψ
        =
        ψ
      
    
    {\displaystyle 1_{A}\cdot \psi =\psi }
   (միավոր մորֆիզմի գոյություն), 
գ. 
  
    
      
        M
        o
        r
        (
        A
        ,
        B
        )
      
    
    {\displaystyle Mor(A,B)}
   և 
  
    
      
        M
        o
        r
        (
        C
        ,
        D
        )
      
    
    {\displaystyle Mor(C,D)}
   բազմությունները չունեն ընդհանուր տարր, եթե 
  
    
      
        A
        ≠
        C
      
    
    {\displaystyle A\neq C}
   կամ 
  
    
      
        B
        ≠
        D
      
    
    {\displaystyle B\neq D}
  ։ 
Կատեգորիաների երկու տարրական օրինակ. 

օբյեկտներ համարենք հարթության բոլոր եռանկյունների բազմությունը, կամայական 
  
    
      
        A
        ,
        B
      
    
    {\displaystyle A,B}
   եռանկյունների համար 
  
    
      
        M
        o
        r
        (
        A
        ,
        B
        )
      
    
    {\displaystyle Mor(A,B)}
  ՝ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ն 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  -ին տանող բոլոր հոմոտետիաների բազմությունը, իսկ մորֆիզմների համադրություն՝ հոմոտետիաների արտադրյալը։
Օբյեկտներ համարենք հարթության բոլոր շրջանագծերը, 
  
    
      
        M
        o
        r
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle Mor(a,b)}
  -ն՝ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   շրջանագիծը 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   շրջանագծին տանող հոմոտետիաների բազմությունը, իսկ մորֆիզմների համադրություն՝ հոմոտետիաների արտադրյալը (այս օրինակներում 
  
    
      
        M
        o
        r
        (
        A
        ,
        B
        )
      
    
    {\displaystyle Mor(A,B)}
   և 
  
    
      
        M
        o
        r
        (
        C
        ,
        D
        )
      
    
    {\displaystyle Mor(C,D)}
   բազմությունների հավասար հոմոտետիաները համարվում են տարբեր մորֆիզմներ, եթե 
  
    
      
        A
        ≠
        C
      
    
    {\displaystyle A\neq C}
   կամ 
  
    
      
        B
        ≠
        D
      
    
    {\displaystyle B\neq D}
  ։
Դիցուք ունենք երկու կատեգորիա՝ Ա և Բ։ Ասում են, որ տրված է 
  
    
      
        Φ
      
    
    {\displaystyle \Phi }
   կովարիանտ (կոնտրավարիանտ) ֆունկտոր Ա-ից Բ, եթե Ա-ի յուրաքանչյուր 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   օբյեկտին համապատասխանեցված է Բ-ի որոշակի 
  
    
      
        Φ
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi (A)}
   օբյեկտ և Ա-ի յուրաքանչյուր 
  
    
      
        φ
        :
        A
        →
        B
      
    
    {\displaystyle \varphi :A\to B}
   մորֆիզմին՝ Բ-ի 
  
    
      
        Φ
        (
        φ
        )
        :
        Φ
        (
        A
        )
        →
        Φ
        (
        B
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi (\varphi ):\Phi (A)\to \Phi (B)}
   [համապատասխանաբար 
  
    
      
        Φ
        (
        φ
        )
        :
        Φ
        (
        B
        )
        →
        Φ
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi (\varphi ):\Phi (B)\to \Phi (A)}
  ] մորֆիզմը, ընդ որում բավարարվում են հետևյալ պայմանները, 
ա. մորֆիզմների համադրության պատկերը համընկնում է մորֆիզմների պատկերների համադրության հետ, այսինքն՝ ցանկացած 
  
    
      
        φ
        :
        A
        →
        B
      
    
    {\displaystyle \varphi :A\to B}
   և 
  
    
      
        ψ
        :
        B
        →
        C
      
    
    {\displaystyle \psi :B\to C}
   մորֆիզմների համար 
  
    
      
        Φ
        (
        
          ψ
          
            0
          
        
        φ
        )
        =
        Φ
        (
        
          ψ
          
            0
          
        
        )
        Φ
        (
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi (\psi _{0}\varphi )=\Phi (\psi _{0})\Phi (\varphi )}
   [համապատասխանաբար  
  
    
      
        Φ
        (
        
          φ
          
            0
          
        
        ψ
        )
        =
        Φ
        (
        
          φ
          
            0
          
        
        )
        Φ
        (
        ψ
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi (\varphi _{0}\psi )=\Phi (\varphi _{0})\Phi (\psi )}
  ],
բ. յուրաքանչյուր միավոր մորֆիզմի պատկերը միավոր մորֆիզմ է՝ 
  
    
      
        Φ
        (
        
          1
          
            A
          
        
        )
        =
        
          1
          
            Φ
            (
            A
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi (1_{A})=1_{\Phi (A)}}
  ։ Օրինակ, եռանկյանը համապատասխանեցնելով նրան ներգծված շրջանագիծ, իսկ եռանկյունների հոմոտետիային՝ ներգծյալ շրջանագծերի համապատասխան հոմոտետիան, կստանանք ֆունկտոր վերը նշված օրինակների առաջին կատեգորիայից երկրորդի մեջ։
Կատեգորիաների տեսության դերն ու նշանակությունը մաթեմատիկայում որոշվում է նրանով, որ այնպիսի հիմնական մաթեմատիկական հասկացություններ, ինչպիսիք են բազմությունները և նրանց արտապատկերումները, խմբերը և նրանց հոմոմորֆիզմները, տոպոլոգիական տարածություններն ու նրանց հոմոմորֆիզմները են, կազմում են կատեգորիա, ընդ որում կատեգորիաների տեսությունը հնարավորություն է տալիս մասնավոր տիպի կատեգորիաներն ուսումնասիրող գիտությունների սահմաններում ծագած հասկացություններին նայել նոր, ավելի ընդհանուր տեսանկյունից։ Կատեգորիա հասկացությունը սահմանել են Էյլենբերգն ու Մակլեյնը (1945)։ Կատեգորիաների տեսության զարգացումը 50-ական թվականներին գլխավոր առմամբ կապված էր հոմոլոգիաների տեսության և հանրահաշվական տոպոլոգիայի բուռն զարգացման հետ։ Ներկայումս կատեգորիաների տեսությունը մաթեմատիկայի արագ զարգացող ճյուղերից է և հետզհետե վերածվում է ինքնուրույն գիտության։