Էյլերյան ինտեգրալներ

Էյլերյան ինտեգրալներ, բետա 
  
    
      
        (
        B
        (
        x
        ,
        y
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (B(x,y))}
   և գամմա 
  
    
      
        (
        Γ
        (
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (\Gamma (x))}
   ֆունկցիաների ընդհանուր անվանումը։ Բետա և գամմա ֆունկցիաները 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   և 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   արգումենտների դրական արժեքների համար սահմանվում են 
  
    
      
        
          B
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          t
          
            x
            −
            1
          
        
        (
        1
        −
        t
        
          )
          
            y
            −
            1
          
        
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt}
   և 
  
    
      
        Γ
        (
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            
              0
            
          
          
            ∞
          
        
        
        
          
            e
            
              −
              1
            
          
          
            t
            
              x
              −
              1
            
          
          
          d
          t
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma (x)=\int \limits _{\mathrm {0} }^{\infty }\!{e^{-1}t^{x-1}\,dt}}
   բացարձակ զուգամետ ինտեգրալների միջոցով և անընդհատ են համապատասխանաբար հարթության (
  
    
      
        x
        >
        0
        ,
        y
        >
        0
      
    
    {\displaystyle x>0,y>0}
  ) մասում և 
  
    
      
        (
        0
        ,
        +
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle (0,+\infty )}
   կիսառանցքի վրա։ 
  
    
      
        B
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle B(x,y)}
  և 
  
    
      
        (
        Γ
        (
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (\Gamma (x))}
   ֆունկցիաները համապատասխանաբար բինոմային գործակիցների 
  
    
      
        (
        
          C
          
            m
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (C_{m}^{n})}
   և ֆակտորիալի 
  
    
      
        (
        n
        !
        )
      
    
    {\displaystyle (n!)}
   գաղափարները ընդհանրացնում են անընդհատ փոփոխվող արգումենտի համար։ Մասնավոր դեպքում, երբ 
  
    
      
        x
        ,
        y
      
    
    {\displaystyle x,y}
  -ը բնական թվեր են՝ 
  
    
      
        B
        (
        n
        ,
        m
        )
        =
        
          
            1
            
              m
              
                C
                
                  m
                  +
                  n
                  −
                  1
                
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        ,
        Γ
        (
        n
        +
        1
        )
        =
        n
        !
      
    
    {\displaystyle B(n,m)={\frac {1}{mC_{m+n-1}^{n-1}}},\Gamma (n+1)=n!}
  : Էյլերյան ինտեգրալների միջև 
  
    
      
        B
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          
            
              Γ
              (
              x
              )
              Γ
              (
              y
              )
            
            
              Γ
              (
              x
              +
              y
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}
   կապի շնորհիվ 
  
    
      
        B
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle B(x,y)}
   ֆունկցիայի ուսումնասիրությունը բերում է 
  
    
      
        Γ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma (x)}
  -ի ուսումնասիրությանը։ Ունեն լայն կիրառություն, մեծ դեր են խաղում հատուկ ֆունկցիաների տեսությունում։ Էյլերյան ինտեգրալների առաջին անգամ ուսումնասիրել են Ի. Նյուտոնն ու Ջ. Վալիսը։ Հետագայում դրանք ավելի մանրամասն ուսումնասիրել է Լ. Էյլերը։ Էյլերյան ինտեգրալներ անվանումը տվել է մաթեմատիկոս Լեժանդրը։