Ածանցյալ

Ֆունկցիայի ածանցյալ, ֆունկցիայի հետազոտման տարր, դիֆերենցիալ հաշվի հիմնական հասկացություններից, որ բնութագրում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը տվյալ կետում։
Ածանցյալը ֆունկցիայի աճի և արգումենտի աճի հարաբերության սահմանն է, երբ արգումենտի աճը ձգտում է զրոյի։
Ածանցյալի հաշվման գործողությունը կոչվում է դիֆերենցում, իսկ հակադարձ գործողությունը՝ ինտեգրում։


== Ֆունկցիայի ածանցելիություն ==

  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիան ածանցելի է 
  
    
      
        
          X
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{0}}
   կետում, եթե կամայական 
  
    
      
        
          h
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{n}}
   անվերջ փոքրի համար զուգամետ է 
  
    
      
        
          
            
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}}
   հաջորդականությունը։
Եթե 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիան ածանցելի է 
  
    
      
        
          X
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{0}}
   կետում, ապա 
  
    
      
        
          
            
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}}
   հաջորդականության սահմանն անվանում են 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի ածանցյալ 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետում և նշանակում 
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f'(x_{0})}
   (կարդացվում է՝ էֆ շտրիխ 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  )
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}}
  ։
Դիցուք 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  -ն այն բազմությունն է, որին պատկանող կետերում 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
   ֆունկցիան ածանցելի է։ Այդ բազմության յուրաքանչյուր 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   կետի համապատասխանեցնելով 
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f'(x)}
   թիվը, կստանանք 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
   բազմության վրա որոշված ֆունկցիա։ Այդ ֆունկցիան անվանում են 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
   ֆունկցիայի ածանցյալ և նշանակում՝ 
  
    
      
        
          f
          ′
        
      
    
    {\displaystyle f'}
   կամ 
  
    
      
        
          y
          ′
        
      
    
    {\displaystyle y'}
  ։


== Ածանցյալի ֆիզիկական իմաստները ==

  
    
      
        s
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle s(t)}
   օրենքով ուղղագիծ շարժվող մարմնի 
  
    
      
        V
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle V(t)}
   արագությունը ժամանակի 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   պահին հավասար է 
  
    
      
        s
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle s(t)}
   ֆունկցիայի ածանցյալին՝
  
    
      
        V
        (
        t
        )
        =
        
          s
          ′
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle V(t)=s'(t)}
  ։

Եթե ուղղագիծ շարժվող մարմնի արագությունը փոխվում է 
  
    
      
        V
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle V(t)}
   օրենքով, ապա նրա 
  
    
      
        a
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle a(t)}
   արագացումը ժամանակի 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   պահին հավասար է ֆունկցիայի ածանցյալին՝
  
    
      
        a
        (
        t
        )
        =
        
          V
          ′
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle a(t)=V'(t)}
  


== Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը ==

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        a
      
    
    {\displaystyle f(x)=a}
   հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետի և կամայական 
  
    
      
        
          h
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{n}}
   անվերջ փոքրի համար՝

  
    
      
        
          
            
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              −
              a
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        0
        :
      
    
    {\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}={\frac {a-a}{h_{n}}}=0:}
  
Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը զրոն է։


== Գծային ֆունկցիայի ածանցյալը ==

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        k
        x
        +
        b
      
    
    {\displaystyle f(x)=kx+b}
   գծային ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետի և կամայական 
  
    
      
        
          h
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{n}}
   անվերջ փոքրի համար՝

  
    
      
        
          
            
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              f
              (
              x
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          
            
              k
              (
              x
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              +
              b
              −
              k
              x
              −
              b
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        k
        :
      
    
    {\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}={\frac {k(x+h_{n})+b-kx-b}{h_{n}}}=k:}
  
Հետևաբար, 
  
    
      
        (
        k
        x
        +
        b
        
          )
          ′
        
        =
        k
      
    
    {\displaystyle (kx+b)'=k}
  ։


== Քառակուսային ֆունկցիայի ածանցյալը ==

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=x^{2}}
   ֆունկցիայի ածանցյալը՝

  
    
      
        
          
            
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          
            
              (
              x
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        2
        x
        +
        
          h
          
            n
          
        
        →
        2
        x
        :
      
    
    {\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}={\frac {(x+h_{n})^{2}-x^{2}}{h_{n}}}=2x+h_{n}\rightarrow 2x:}
  
Հետևաբար՝ 
  
    
      
        (
        
          x
          
            2
          
        
        
          )
          ′
        
        =
        2
        x
      
    
    {\displaystyle (x^{2})'=2x}
  ։


== Հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը ==

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
   ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից տարբեր 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   կետում՝

  
    
      
        
          
            
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  1
                  
                    x
                    +
                    
                      h
                      
                        n
                      
                    
                  
                
              
              −
              
                
                  1
                  x
                
              
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            
              x
              (
              x
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
            
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}={\frac {{\frac {1}{x+h_{n}}}-{\frac {1}{x}}}{h_{n}}}=-{\frac {1}{x(x+h_{n})}}:}
  
Եթե 
  
    
      
        
          h
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{n}}
  -ն անվերջ փոքր է, ապա 
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        (
        x
        +
        
          h
          
            n
          
        
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(x+h_{n})=x}
  ։ Կիրառելով զուգամետ հաջորդականությունների քանորդի սահմանի վերաբերյալ թեորեմը, կստանք՝

  
    
      
        
          
            
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        →
        −
        
          
            1
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}\rightarrow -{\frac {1}{x^{2}}}:}
  

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
   ֆունկցիան ածանցելի է իր որոշման տիրույթի բոլոր կետերում և 
  
    
      
        
          
            (
            
              
                1
                x
              
            
            )
          
          ′
        
        =
        −
        
          
            1
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right)'=-{\frac {1}{x^{2}}}:}
  


== Ցուցչային ֆունկցիայի ածանցյալը ==

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}
   ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից տարբեր 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   կետում՝

  
    
      
        
          
            
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  x
                  +
                  
                    h
                    
                      n
                    
                  
                
              
              −
              
                
                  x
                
              
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          
            
              (
              
                
                  x
                  +
                  
                    h
                    
                      n
                    
                  
                
              
              −
              
                
                  x
                
              
              )
              (
              
                
                  x
                  +
                  
                    h
                    
                      n
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  x
                
              
              )
            
            
              
                h
                
                  n
                
              
              (
              
                
                  x
                  +
                  
                    h
                    
                      n
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  x
                
              
              )
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                
                  x
                  +
                  
                    h
                    
                      n
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  x
                
              
            
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}={\frac {{\sqrt {x+h_{n}}}-{\sqrt {x}}}{h_{n}}}={\frac {({\sqrt {x+h_{n}}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h_{n}}}+{\sqrt {x}})}{h_{n}({\sqrt {x+h_{n}}}+{\sqrt {x}})}}={\frac {1}{{\sqrt {x+h_{n}}}+{\sqrt {x}}}}:}
  
Հաշվի առնելով, որ 
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            (
            x
            +
            
              h
              
                n
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt {(x+h_{n})}}={\sqrt {x}}}
  , ստանում ենք՝

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              f
              (
              x
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              f
              (
              x
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              
                
                  x
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
  ։
Հետևաբար 
  
    
      
        (
        
          
            x
          
        
        
          )
          ′
        
        =
        
          
            1
            
              2
              
                
                  x
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle ({\sqrt {x}})'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
  ։


== Անընդհատ ֆունկցիայի թեորեմը ==
Եթե ֆունկցիան ածանցելի է որևէ կետում, ապա այդ կետում ֆունկցիան անընհատ է։


=== Ապացուցում ===
Եթե 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիան ածանցելի է 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետում, ապա կամայական 
  
    
      
        
          h
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{n}}
   անվերջ փոքրի համար

  
    
      
        
          β
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        −
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \beta _{n}={\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}-f'(x_{0})}
   հաջորդականությունն անվերջ փոքր է։ Այստեղից ստանում ենք ՝

  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        +
        
          h
          
            n
          
        
        )
        −
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ⋅
        
          h
          
            n
          
        
        +
        
          β
          
            n
          
        
        ⋅
        
          h
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})=f'(x_{0})\cdot h_{n}+\beta _{n}\cdot h_{n}}
  ։
Քանի որ 
  
    
      
        
          h
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{n}}
   և 
  
    
      
        
          β
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta _{n}}
   հաջորդականություններն անվերջ փոքր են. ուրեմն 
  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        +
        
          h
          
            n
          
        
        )
        −
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}
   հաջորդականությունը նույնպես անվերջ փոքր է։ Հետևաբար՝ 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիան 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետում անընդհատ է։


== Գումարի ածանցման կանոնը ==

Եթե 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   և 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   ֆունկցիաները ածանցելի են որևէ կետում, իսկ 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  -ն հաստատուն է, ապա 
  
    
      
        k
        ⋅
        f
        ,
        f
        +
        g
      
    
    {\displaystyle k\cdot f,f+g}
   և 
  
    
      
        f
        −
        g
      
    
    {\displaystyle f-g}
   ֆունկցիաները նույնպես ածանցելի են այդ կետում, ընդ որում՝
  
    
      
        (
        k
        ⋅
        f
        
          )
          ′
        
        =
        k
        ⋅
        
          f
          ′
        
        ,
         
         
         
        (
        f
        +
        g
        
          )
          ′
        
        =
        
          f
          ′
        
        +
        
          g
          ′
        
        ,
         
         
         
        (
        f
        −
        g
        
          )
          ′
        
        =
        
          f
          ′
        
        −
        
          g
          ′
        
      
    
    {\displaystyle (k\cdot f)'=k\cdot f',~~~(f+g)'=f'+g',~~~(f-g)'=f'-g'}
  ։


=== Ապացուցում ===
Դիցուք 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   և 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   ֆունկցիաներն ածանցելի են 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   կետում, և 
  
    
      
        
          h
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{n}}
  -ը կամայական անվերջ փոքր է։ Օգտվելով զուգամետ հաջորդականությունների հատկություններից, ստանում ենք՝

  
    
      
        
          
            
              (
              f
              (
              x
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              +
              g
              (
              x
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              )
              −
              (
              f
              (
              x
              )
              +
              g
              (
              x
              )
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          
            
              f
              (
              x
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              f
              (
              x
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        +
        
          
            
              g
              (
              x
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              g
              (
              x
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        →
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        +
        
          g
          ′
        
        (
        x
        )
        :
      
    
    {\displaystyle {\frac {(f(x+h_{n})+g(x+h_{n}))-(f(x)+g(x))}{h_{n}}}={\frac {f(x+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}+{\frac {g(x+h_{n})-g(x)}{h_{n}}}\rightarrow f'(x)+g'(x):}
  


=== Թեորեմի ֆիզիկական մեկնաբանությունը ===
Դիցուք գետափնյա նավամատույցից միաժամանակ սկսում են շարժվել լաստն ու շոգենավը։ Ենթադրենք ժամանակի կամայական 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   պահին շոգենավի հեռավորությունը լաստից 
  
    
      
        
          s
          
            1
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle s_{1}(t)}
   է, իսկ լաստի հեռավորությունը նավամատույցից՝ 
  
    
      
        
          s
          
            2
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle s_{2}(t)}
   է։ Դա կնշանակի, որ շոգենավը լաստից հեռանում է 
  
    
      
        
          V
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          s
          
            1
          
          ′
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle V_{1}(t)=s'_{1}(t)}
  արագությամբ, իսկ լաստը նավամատույցից՝ 
  
    
      
        
          V
          
            2
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          s
          
            2
          
          ′
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle V_{2}(t)=s'_{2}(t)}
   արագությամբ։ Պարզ է, որ եթե լաստն ու շոգենավը շարժվեն նույն ուղղությամբ, ապա 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   պահին շոգենավի հեռավորությունը նավամատույցից կլինի՝
  
    
      
        s
        (
        t
        )
        =
        
          s
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        +
        
          s
          
            2
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle s(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)}
  , իսկ եթե շարժվեն հակառակ ուղղություններով, ապա՝ 
  
    
      
        s
        (
        t
        )
        =
        
          s
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        −
        
          s
          
            2
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle s(t)=s_{1}(t)-s_{2}(t)}
  ։ Հետևաբար, եթե լաստն ու շոգենավը շարժվեն նույն ուղղությամբ, ապա շոգենավը նավամատույցից
կհեռանա

  
    
      
        V
        (
        t
        )
        =
        
          s
          ′
        
        (
        t
        )
        =
        
          s
          
            1
          
          ′
        
        (
        t
        )
        +
        
          s
          
            2
          
          ′
        
        (
        t
        )
        =
        
          V
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        +
        
          V
          
            2
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle V(t)=s'(t)=s'_{1}(t)+s'_{2}(t)=V_{1}(t)+V_{2}(t)}
  
արագությամբ, իսկ հակառակ ուղղություններով շարժվելու դեպքում՝

  
    
      
        V
        (
        t
        )
        =
        
          s
          ′
        
        (
        t
        )
        =
        
          s
          
            1
          
          ′
        
        (
        t
        )
        −
        
          s
          
            2
          
          ′
        
        (
        t
        )
        =
        
          V
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        −
        
          V
          
            2
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle V(t)=s'(t)=s'_{1}(t)-s'_{2}(t)=V_{1}(t)-V_{2}(t)}
  


== Արտադրյալի ածանցման կանոնը ==

Եթե 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   և 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   ֆունկցիաներն ածանցելի են որևէ կետում, ապա այդ կետում ածանցելի է նաև 
  
    
      
        f
        ⋅
        g
      
    
    {\displaystyle f\cdot g}
   ֆունկցիան, ընդ որում՝
  
    
      
        (
        f
        ⋅
        g
        
          )
          ′
        
        =
        
          f
          ′
        
        ⋅
        g
        +
        f
        ⋅
        
          g
          ′
        
      
    
    {\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}
  ։


=== Ապացուցում ===
Դիցուք 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   և 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   ֆունկցիաներն ածանցելի են 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   կետում, և 
  
    
      
        
          h
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{n}}
  -ը կամայական անվերջ փոքր է։ Հեշտ է ստուգել, որ

  
    
      
        f
        (
        x
        +
        
          h
          
            n
          
        
        )
        ⋅
        g
        (
        x
        +
        
          h
          
            n
          
        
        )
        −
        f
        (
        x
        )
        ⋅
        g
        (
        x
        )
        =
        g
        (
        x
        +
        
          h
          
            n
          
        
        )
        ⋅
        [
        f
        (
        x
        +
        
          h
          
            n
          
        
        )
        −
        f
        (
        x
        )
        ]
        +
        f
        (
        x
        )
        ⋅
        [
        g
        (
        x
        +
        
          h
          
            n
          
        
        )
        −
        g
        (
        x
        )
        ]
        :
      
    
    {\displaystyle f(x+h_{n})\cdot g(x+h_{n})-f(x)\cdot g(x)=g(x+h_{n})\cdot [f(x+h_{n})-f(x)]+f(x)\cdot [g(x+h_{n})-g(x)]:}
  
Քանի որ 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   ֆունկցիան 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   կետում ածանցելի է, ուրեմն այն անընդհատ է 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   կետում։
Հետևաբար, 
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        g
        (
        x
        +
        
          h
          
            n
          
        
        )
        =
        g
        (
        x
        )
        :
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }g(x+h_{n})=g(x):}
  
Օգտվելով զուգամետ հաջորդականությունների գումարի և արտադրյալի վերաբերյալ թեորեմից՝ երկու առնչություններից ստանում ենք.

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              f
              (
              x
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              ⋅
              g
              (
              x
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              f
              (
              x
              )
              ⋅
              g
              (
              x
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        g
        (
        x
        +
        
          h
          
            n
          
        
        )
        ⋅
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              f
              (
              x
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              f
              (
              x
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        +
        f
        (
        x
        )
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              g
              (
              x
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              g
              (
              x
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        ⋅
        g
        (
        x
        )
        +
        f
        (
        x
        )
        ⋅
        
          g
          ′
        
        (
        x
        )
        :
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x+h_{n})\cdot g(x+h_{n})-f(x)\cdot g(x)}{h_{n}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }g(x+h_{n})\cdot \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}+f(x)\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {g(x+h_{n})-g(x)}{h_{n}}}=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x):}
  


== Քանորդի ածանցման կանոնը ==

Թեորեմ 1։ Եթե 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   ֆունկցիան ածանցելի է 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   կետում և 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle g(x)\neq 0}
  , ապա այդ կետում ածանցելի է նաև 
  
    
      
        
          
            1
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{g}}}
   ֆունկցիան, ընդ որում

  
    
      
        
          
            (
            
              
                1
                g
              
            
            )
          
          ′
        
        =
        −
        
          
            
              g
              ′
            
            
              g
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {1}{g}}\right)'=-{\frac {g'}{g^{2}}}}
  ։


=== Ապացուցում ===
Դիցուք 
  
    
      
        
          h
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{n}}
  -ն անվերջ փոքր է։ Պարզ ձևափոխություններով ստանում ենք՝

  
    
      
        
          
            
              
                
                  1
                  
                    g
                    (
                    x
                    +
                    
                      h
                      
                        n
                      
                    
                    )
                  
                
              
              −
              
                
                  1
                  
                    g
                    (
                    x
                    )
                  
                
              
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            
              g
              (
              x
              )
              g
              (
              x
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              g
              (
              x
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              g
              (
              x
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\frac {1}{g(x+h_{n})}}-{\frac {1}{g(x)}}}{h_{n}}}=-{\frac {1}{g(x)g(x+h_{n})}}\cdot {\frac {g(x+h_{n})-g(x)}{h_{n}}}:}
  
Քանի որ 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   ֆունկցիան ածանցելի և հետևաբար՝ անընդհատ է 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   կետում, ուստի

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              g
              (
              x
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              g
              (
              x
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          g
          ′
        
        (
        x
        )
        ,
         
         
         
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        g
        (
        x
        +
        
          h
          
            n
          
        
        )
        =
        g
        (
        x
        )
        :
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {g(x+h_{n})-g(x)}{h_{n}}}=g'(x),~~~\lim _{n\rightarrow \infty }g(x+h_{n})=g(x):}
  
Թեորեմ 2։ Եթե 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   և 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   ֆունկցիաններն ածանցելի են 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   կետում և 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle g(x)\neq 0}
  , ապա այդ կետում ածանցելի է նաև 
  
    
      
        
          
            f
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f}{g}}}
   ֆունկցիան, ընդ որում

  
    
      
        
          
            (
            
              
                f
                g
              
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          
            
              
                f
                ′
              
              ⋅
              g
              −
              f
              ⋅
              
                g
                ′
              
            
            
              g
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'\cdot g-f\cdot g'}{g^{2}}}}
  ։


=== Ապացուցում ===
Օգտվելով նախորդ թեորեմից և արտադրյալի ածանցման կանոնից, ստանում ենք՝

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  f
                  (
                  x
                  )
                
                
                  g
                  (
                  x
                  )
                
              
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          
            (
            
              f
              (
              x
              )
              ⋅
              
                
                  1
                  
                    g
                    (
                    x
                    )
                  
                
              
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        ⋅
        
          
            1
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
        +
        f
        (
        x
        )
        
          
            (
            
              
                1
                
                  g
                  (
                  x
                  )
                
              
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
        +
        f
        (
        x
        )
        
          (
          
            −
            
              
                
                  
                    g
                    ′
                  
                  (
                  x
                  )
                
                
                  
                    g
                    
                      2
                    
                  
                  (
                  x
                  )
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              x
              )
              g
              (
              x
              )
              −
              f
              (
              x
              )
              
                g
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              
                g
                
                  2
                
              
              (
              x
              )
            
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'=\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right)'=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\left({\frac {1}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)}{g(x)}}+f(x)\left(-{\frac {g'(x)}{g^{2}(x)}}\right)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}:}
  


== Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը ==

Թեորեմ 1։ Եթե 
  
    
      
        t
        =
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle t=g(x)}
   ֆունկցիան ածանցելի է 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետում, իսկ 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(t)}
   ֆունկցիան՝ 
  
    
      
        
          t
          
            0
          
        
        =
        g
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle t_{0}=g(x_{0})}
   կետում, ապա 
  
    
      
        F
        =
        f
        ∘
        g
      
    
    {\displaystyle F=f\circ g}
   ֆունկցիան ածանցելի է 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետում, և

  
    
      
        
          F
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        
          f
          ′
        
        (
        g
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        )
        ⋅
        
          g
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        :
      
    
    {\displaystyle F'(x_{0})=f'(g(x_{0}))\cdot g'(x_{0}):}
  
Թեորեմ 2։ Եթե 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիան ածանցելի է, ապա 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        k
        x
        +
        b
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)=f(kx+b)}
   ֆունկցիան նույնպես ածանցելի է, և

  
    
      
        
          F
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        k
        ⋅
        
          f
          ′
        
        (
        k
        x
        +
        b
        )
        :
      
    
    {\displaystyle F'(x)=k\cdot f'(kx+b):}
  


=== Ապացուցում ===
Դիցուք 
  
    
      
        
          h
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{n}}
  -ն անվերջ փոքր է։ Այդ դեպքում անվերջ փոքր է նաև 
  
    
      
        k
        ⋅
        
          h
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle k\cdot h_{n}}
   հաջորդականությունը, ուստի

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              F
              (
              x
              +
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              F
              (
              x
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              f
              (
              k
              x
              +
              k
              
                h
                
                  n
                
              
              +
              b
              )
              −
              f
              (
              k
              x
              +
              b
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        k
        ⋅
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              f
              (
              k
              x
              +
              b
              +
              k
              
                h
                
                  n
                
              
              )
              −
              f
              (
              k
              x
              +
              b
              )
            
            
              k
              
                h
                
                  n
                
              
            
          
        
        =
        k
        ⋅
        
          f
          ′
        
        (
        k
        x
        +
        b
        )
        :
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {F(x+h_{n})-F(x)}{h_{n}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(kx+kh_{n}+b)-f(kx+b)}{h_{n}}}=k\cdot \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(kx+b+kh_{n})-f(kx+b)}{kh_{n}}}=k\cdot f'(kx+b):}
  


== Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները ==

  
    
      
        (
        
          x
          
            a
          
        
        
          )
          ′
        
        =
        a
        ⋅
        
          x
          
            a
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle (x^{a})'=a\cdot x^{a-1}}
  

  
    
      
        (
        sin
        ⁡
        x
        
          )
          ′
        
        =
        cos
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle (\sin x)'=\cos x}
  

  
    
      
        (
        cos
        ⁡
        x
        
          )
          ′
        
        =
        −
        sin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x}
  

  
    
      
        (
        
          t
          g
        
         
        x
        
          )
          ′
        
        =
        
          
            1
            
              
                cos
                
                  2
                
              
              ⁡
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathrm {tg} \ x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}}
  

  
    
      
        (
        
          c
          t
          g
        
         
        x
        
          )
          ′
        
        =
        −
        
          
            1
            
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathrm {ctg} \ x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}}
  

  
    
      
        (
        
          e
          
            x
          
        
        
          )
          ′
        
        =
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}
  

  
    
      
        (
        
          a
          
            x
          
        
        
          )
          ′
        
        =
        
          a
          
            x
          
        
        ln
        ⁡
        a
      
    
    {\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a}
  

  
    
      
        (
        ln
        ⁡
        x
        
          )
          ′
        
        =
        
          
            1
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}}
  

  
    
      
        (
        
          log
          
            a
          
        
        ⁡
        x
        
          )
          ′
        
        =
        
          
            1
            
              x
              ln
              ⁡
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}}
  

  
    
      
        (
        arcsin
        ⁡
        x
        
          )
          ′
        
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
  

  
    
      
        (
        arccos
        ⁡
        x
        
          )
          ′
        
        =
        −
        
          
            1
            
              1
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
  

  
    
      
        (
        
          a
          r
          c
          t
          g
        
         
        x
        
          )
          ′
        
        =
        
          
            1
            
               
              
                1
                +
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathrm {arctg} \ x)'={\frac {1}{\ {1+x^{2}}}}}
  

  
    
      
        (
        
          a
          r
          c
          c
          t
          g
        
         
        x
        
          )
          ′
        
        =
        −
        
          
            1
            
               
              
                1
                +
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathrm {arcctg} \ x)'=-{\frac {1}{\ {1+x^{2}}}}}
  


== Ծանոթագրություններ ==
Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքները։ Հեղինակ Ֆիխտենգոլց [1](չաշխատող հղում)