Հաշվարկման դիրքային համակարգ

Հաշվարկման Դիրքային համակարգ (դիրքային համարակալում)- հաշվարկման համակարգ է, որտեղ թվի գրառման մեջ յուրաքանչյուր  թիվ կախված է իր դիրքից (կարգ)։


== Պատմություն ==
դիտել նաև տարբեր ազգերի հաշվարկման համակարգը
Դիրքային համարակալման գյուտը, որը հիմնված է թվերի տեղային նշանակության վրա, վերագրվում է շումերներին  և բաբելոններին։ Ավելր ուշ ժամանակահատվածում նման համարակալումը մշակվել է հնդիկների կողմից և ունեցել է անգնահատելի հետևանքներ քաղաքակրթության պատմություն մեջ։ Այսպիսի համակարգերի թվին է պատկանում տասական հաշվման համակարգը, որի ծագումը կապված է մատներով հաշվի հետ։ Միջին դարերի Եվրոպայում այն հայտնվեց իտալացի վաճառականների միջոցով, որոնք իրենց հերթին փոխառել էին այն արաբներից։


== Սահմանումներ ==
Հաշվարկման դիրքային համակարգը սահմանվում է 
  
    
      
        b
        >
        1
      
    
    {\displaystyle b>1}
   ամբողջ թվով , որը կոչվում է հաշվարկման համակարգի հիմքը։ Հաշվարկման համակարգի 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   հիմքը անվանում են նաև 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   -ական (մասնավորապես ՝ երկուական, երեքական, տասնորդական և այլն)։
Ամբողջ թվերը առանց 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   նշանի 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ական հաշվարկման համակարգում ներկայացվում են վերջավոր տեսքով գծային կոմբինացիա 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվի ատիճանի։

  
    
      
        x
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
            −
            1
          
        
        
          a
          
            k
          
        
        
          b
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}}
  , որտեղ 
  
    
      
         
        
          a
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \ a_{k}}
   — ամբողջ թվեր են, որոնք հետևյալ 
  
    
      
        0
        ≤
        
          a
          
            k
          
        
        ≤
        b
        −
        1.
      
    
    {\displaystyle 0\leq a_{k}\leq b-1.}
   անհավասարմանը  բավարարող թվեր են ։Յուրաքանչյուր բազիսային տարր 
  
    
      
         
        
          b
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \ b^{k}}
   այս դասավորությունում կոչվում է կարգավորություն( դիրք ), շարքերի ավագությունը  ու դրանց համապատասխանող թվերը որոշվում են ըստ թվերի կատեգորիայի (դիրքի) 
  
    
      
         
        k
      
    
    {\displaystyle \ k}
   թվով (ցուցիչի արժեքի նշանակությունը)։

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   թվի դիրքի օգնությամբ 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ական հաշվարկման համակարգում կարելի է գրառել ամբողջ թվերը 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  -ից մինչև 
  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle b^{n}-1}
  , այսինքն 
  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle b^{n}}
   տարբեր թվեր։


== Թվերի գրառումը ==
Եթե ​​անհամապատասխանություններ չկան (օրինակ, երբ բոլոր թվերը ներկայացված են որպես եզակի գրավոր նիշ), ապա 
  
    
      
         
        x
      
    
    {\displaystyle \ x}
   թիվը գրվում է որպես իր 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ական թվերի հաջորդականություն, որոնք նշված են նվազման կարգով` ձախից աջ։

  
    
      
        x
        =
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        
          a
          
            n
            −
            2
          
        
        …
        
          a
          
            0
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle x=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}.}
  Զրոյական 
  
    
      
         
        x
      
    
    {\displaystyle \ x}
   թվերի համար սկզբնական զրոները բաց ենք թողնում։
Հաշվառման համակարգերում` ներառյալ մինչև 36 հիմքով թվեր գրելու համար, որպես թվեր (նշան) օգտագործվում են արաբական թվերը (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) և հետո լատինական այբուբենի տառերը (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z): Որտեղ, a = 10, b = 11 և այլն, երբեմն x = 10:
Միաժամանակ մի  քանի հաշվման համակարգերի հետ աշխատելիս համակարգերը իրարից տարբերելու համար համակարգի հիմքը սովորաբար նշվում է ներքևի ինդեքսի տեսքով, որը գրվում է տասնորդական համակարգում։

  
    
      
        
          123
          
            10
          
        
      
    
    {\displaystyle 123_{10}}
   — 123 թիվը տասական հաշվման համակարգում է։

  
    
      
        
          173
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle 173_{8}}
   — նույն թիվը հաշվարկման ութական համակարգում է։

  
    
      
        
          1111011
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1111011_{2}}
   — նույն թիվը հաշվարկման երկուական համակարգում է։

  
    
      
        0001
         
        0010
         
        
          0011
          
            10
          
        
        =
        
          000100100011
          
            B
            C
            D
          
        
      
    
    {\displaystyle 0001\ 0010\ 0011_{10}=000100100011_{BCD}}
   — նույն թիվը բայց տասնական հաշվման համակարգերում երկուական կոդավորումով տասնական թիվ (BCD);

  
    
      
        
          11120
          
            3
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle 11120_{3N}}
   — նույն թիվը, բայց ոչ սիմետրիկ երեքական հաշվարկման համակարգում։

  
    
      
        1
        i
        i
        i
        i
        
          0
          
            3
            S
          
        
        =
        
          177770
          
            3
            S
          
        
        =
        
          122220
          
            3
            S
          
        
        =
        +
        −
        −
        −
        −
        
          0
          
            3
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle 1iiii0_{3S}=177770_{3S}=122220_{3S}=+----0_{3S}}
   — նույն թիվը, բայց սիմետրիկ երեքական հաշվարկման համակարգում,  «i», «7», «2» և «−» նշանները նշանակում են «−1», «1»-ը և «+» նշանակում են «+1»:Որոշ ոլորտներում կիրառվում են հատուկ օրենքներ հիմքերի նշանակման համար։ Օրինակ, ծրագրավորման դեպքում,տասնվեցական համակարգը նշվում է.

ասսեմբլերում և ընդհանուր գրառումներ, որոնք կապված չեն որոշակի լեզվի, h տառով (hexadecimal-ից) թվի վերջում (սինտակսիս Intel):
Պասկալում «$» նշանը թվի սկզբում։
Սի-ում և այլ ուրիշ լեզուների 0x կամ 0X կոմբինացիաների ( hexadecimal-ից) սկզբում։Որոշ բարբառներում  Սի ծրագիրը ըստ «0x» անալոգիայի «0b» նախածանցը օգտագործվում է երկուական թվեր նշելու համար  («0b» նշումը ներառված չէ ANSI C ստանդարտում)։
Ռուսերեն հաշվիչների համար տասնական դիրքային համակարգում թվեր գրելու համար օգտագործվում էր այլընտրանքային համակարգի գրառում (ներկայացուցչական)  տասնական թվերի միակ ավելորդ  այլընտրանքային թվով «1111111111» = 10_  10  ամեն ելքից։


== Օրինակներ ==
2 — Հաշվարկման երկուական համակարգ (դիսկրետ մաթեմատիկայում, ինֆորմատիկայում, ծրագրավորումում)
3 — Հաշվարկման երեքական համակարգ
4 — Հաշվարկման չորսական համակարգ
8 — Հաշվարկման ութական համակարգ (ինֆորմատիկայում)
10 —Հաշվարկման տասական համակարգ
12 — Հաշվարկման տասներկուական համակարգ (լայնորեն օգտագործվում էր հին ժամանակներում, այժմ օգտագործվում է որոշ մասնավոր տարածքներում)
16 — Հաշվարկման տասնվեցական համակարգ (առավել տարածված է ծրագրավորումում, ինչպես նաև տառատեսակներում)
20 — Հաշվարկման քսանական համակարգ (օգտագործվել է մայաների և ացտեկների մոտ)
40 — Հաշվարկման քառասունական համակարգ (գտագործվում էր հին ժամանակներում, մասնավորապես, «сорок сороков» = 1600)
60 — Հաշվարկման վաթսունական համակարգ (օգտագործվում էր հին Վավիլոնում, իսկ ավելի ուշ` հին հունական աստղագետների կողմից՝ աստղերի անկյունային կոորդինատները չափելու (երկայնություն և լայնություն) և ժամանակը չափելու համար)։ Այսօր այն օգտագործվում է օրվա ժամանակը չափելու մեջ։


== Հատկությունները ==
Հաշվարկման դիրքային համակարգն ունի մի շարք հատկություններ.

Իրականում թվային համակարգի հիմքը միշտ գրվում է որպես 10; Օրինակ` երկուական թվային համակարգում 10 նշանակում է 2. Այս պնդումը չի տարածվում այլընտրանքային հաշվարկման համակարգի վրա, որում օգտագործում է միայն մեկ թիվ։
b-ական համակարգում x թվի գրառման համար հաշվարկման համակարգը պահանջում է 
  
    
      
        ⌊
        
          log
          
            b
          
        
        ⁡
        x
        ⌋
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \lfloor \log _{b}x\rfloor +1}
   թիվ, որտեղ 
  
    
      
        ⌊
        ⋅
        ⌋
      
    
    {\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }
   նշանակում է վերցնել թվի ամբողջ մասը։
Համեմատել թվերը, որոնք գրված են հաշվարկման դիրքային համակարգում կարելի է կարգերով` նախապես դրանք լրացնելով նույն քանակի զրոներով։ Այս դեպքում համեմատությունը կատարվում է ամենաբարձր կարգից մինչև ամենացածր կարգը, քանի դեռ մի կարգի թիվը մեծ չէ, քան մյուս կարգի համապատասխան թիվը։ Օրինակ՝ տասական համակարգում 321 և 312 թվերը համեմատելու համար համեմատում ենք ձախից աջ` յուրաքանչյու թվին համապատասխանող կարգի թվի հետ։
3 = 3 — թվերի համեմատման արդյունքը դեռ որոշված չէ։
2 > 1 — առաջի թիվը մեծ է (անկախ մնացած թվերից).Այսպիսով, թվերի բնական կարգը համապատասխանում է հաշվարկման դիրքային համակարգում դրանց գրառումներին լեքսոգրաֆիկ կարգի` պայմանով, որ այդ գրառումները լրացվեն նույն քանակի զրոներով։

Թվերով թվաբանական գործողություններ։ Հաշվարկման դիրքային համակարգը թույլ է տալիս հեշտությամբ կատարել գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում և մնացորդով բաժանում՝ իմանալով միայն բազմապատկման աղյուսակը, իսկ վերջին երեք գործողությունների համար նաև բազմապատկման աղյուսակը համապատասխան համակարգում (տե՛ս, օրինակ, Սյունակով բաժանում)։


== Անցում այլ հիմքի ==


=== Անցում տասական հաշվման համակարգ ===
Եթե թիվը 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ական հաշվարկման համակարգում հավասար է

  
    
      
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        
        
          a
          
            n
            −
            2
          
        
        …
        
        
          a
          
            1
          
        
        
        
          a
          
            0
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle a_{n-1}\;a_{n-2}\ldots \;a_{1}\;a_{0},}
  ապա անցումը տասական հաշվարկման համակարգ հաշվում ենք հետևյալ գումարով

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
            −
            1
          
        
        
          a
          
            k
          
        
        ⋅
        
          b
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}a_{k}\cdot b^{k}}
  կամ, ավելի տեսողական ձևով։

  
    
      
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        ⋅
        
          b
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        
          a
          
            n
            −
            2
          
        
        ⋅
        
          b
          
            n
            −
            2
          
        
        +
        …
        +
        
          a
          
            1
          
        
        ⋅
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
        ⋅
        
          b
          
            0
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle a_{n-1}\cdot b^{n-1}+a_{n-2}\cdot b^{n-2}+\ldots +a_{1}\cdot b^{1}+a_{0}\cdot b^{0},}
  կամ, վերջապես Հորների սխեմայի տեսքով։

  
    
      
        (
        (
        …
        (
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        ⋅
        b
        +
        
          a
          
            n
            −
            2
          
        
        )
        ⋅
        b
        +
        
          a
          
            n
            −
            3
          
        
        )
        …
        )
        ⋅
        b
        +
        
          a
          
            0
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle ((\ldots (a_{n-1}\cdot b+a_{n-2})\cdot b+a_{n-3})\ldots )\cdot b+a_{0}.}
  Օրինակ`

1011002 =
= 1 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 =
= 1 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 =
= 32 + 8 + 4 + 0 = 4410


=== Անցում տասական հաշվման համակարգ ===
Ամբողջ մասըՀաջորդականորեն բաժանել տասնորդական թվի ամբողջ մասը հիմքերի, մինչև տասնորդական թիվը կհավասարվի զրոյի
Բաժանման արդյունքում ստացված մնացորդները հանդիսանում են ցանկալի համարի թվեր։ Նոր համակարգում թվերը գրվում է սկսած վերջին մնացորդից։Կոտորակային մասըՏասնորդական թվի կոտորակային մասը բազմապատկենք այն  համակարգի հիմքով, որտեղ պետք է փոխանցենք թիվը։ Առանձնացնում ենք ամբողջ մասը։ Շարունակում ենք բազմապատկել կոտորակային մասը նոր համակարգի հիմքով, մինչև չի հավասարվի զրոյի։
Նոր համակարգում նշված թվերը բազմապատկման արդյունքների ամբողջ մասերն են` դրանց ստացմանը համապատասխան կարգով։Օրինակ
  
    
      
        
          44
          
            10
          
        
      
    
    {\displaystyle 44_{10}}
   անցնենք երկուական համակարգ։

44 բաժանում ենք 2. քանորդ 22, մնացորդ 0
22 բաժանում ենք 2. քանորդ 11, մնացորդ 0
11 բաժանում ենք 2. քանորդ  5, մնացորդ 1
 5 բաժանում ենք 2. քանորդ  2, մնացորդ 1
 2 բաժանում ենք 2. քանորդ  1, մնացորդ 0
 1 բաժանում ենք 2. քանորդ  0, մնացորդ 1

Քանորդը հավասար է զրո, բաժանումը ավարտված է։ Հիմա գրենք բոլոր մնացորդները ներքևից վերև կստանանք 
  
    
      
        
          101100
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 101100_{2}}
   թիվը։


=== Անցում երկուական հաշվման համակարգից ութական և տասնվեցական համակարգեր ===
Այս տեսակի գործողությունների համար կա պարզեցված ալգորիթմ։
Ութականի  համար` մենք բաժանում ենք փոխանցվող թիվը 2 հիմքով որոշակի քանակի (2-ը բարձրացվում է այն աստիճանի, որը պահանջվում է, որպեսզի ստանանք այն համակարգի հիմքը, որին պատրաստվում ենք փոխանցել (2³ = 8), այս դեպքում ՝ 3, այսինքն ՝ եռյակ)։ Մենք վերափոխում ենք եռյակները ըստ եռյակների աղյուսակի.

000 0 100 4
001 1 101 5
010 2 110 6
011 3 111 7

Տասնվեցական  համար` մենք բաժանում ենք փոխանցվող թիվը 2 հիմքով որոշակի քանակի (2-ը բարձրացվում է այն աստիճանի, որը պահանջվում է, որպեսզի ստանանք այն համակարգի հիմքը, որին պատրաստվում ենք փոխանցել (24=16), այս դեպքում ՝ 4, այսինքն ՝ քառյակ)։ Մենք վերափոխում ենք քառյակները ըստ քառյակների աղյուսակի.

0000 0 0100 4 1000 8 1100 C 
0001 1 0101 5 1001 9 1101 D
0010 2 0110 6 1010 A 1110 E
0011 3 0111 7 1011 B 1111 F

Օրինակ.

վերափոխել 1011002
Ութական — 101 100 → 548
Տասնվեցական — 0010 1100 → 2C16


=== Անցում ութական և տասնվեցական համակարգերից երկուական ===
Այս տեսակի գործողությունների համար կա պարզեցված ալգորիթմ-դարձգիր։
ՈՒթականի համար — վերափոխենք աղյուսակը եռյակ տեսքի

0 000 4 100
1 001 5 101
2 010 6 110
3 011 7 111

Տասնվեցականի համար — վերափոխենք աղյուսակը քառյակ տեսքի 

0 0000 4 0100 8 1000 C 1100 
1 0001 5 0101 9 1001 D 1101
2 0010 6 0110 A 1010 E 1110
3 0011 7 0111 B 1011 F 1111

Օրինակ`

վերափոխենք
548 → 101 100
2C16 → 0010 1100


=== Անցում 2-ական համակարգից 8-ական և 16-ական համակարգ ===
Անցումը երկուական թվային համակարգի կոտորակային մասից 8 և 16 հիմքերով թվային համակարգերի կատարվում է նույն կերպ, ինչպես և թվի ամբողջ մասերը, բացառությամբ այն բանի որ բաժանումը  օկտավայի և քառյակի վրա անցնում է տասնորդական կետի աջ կողմում, բացակայող կարգերը լրացվում են զրոներով աջից։ Օրինակ, վերը նշված 1100,0112 թիվը կունենա 14,38 կամ C,616 տեսքը։


=== Անցումը կամայական հաշվարկման համակարգից տասական ===
Դիտարկենք 2-ական 1100,0112 թվի անցումը տասականի։ Թվի ամբողջ մասը հավասար է 12-ի (դիտենք վերև), իսկ անցումը կատորակային մասի դիտարկենք մանրամասնորեն

  
    
      
        0
        ,
        011
        =
        0
        ⋅
        
          2
          
            −
            1
          
        
        +
        1
        ⋅
        
          2
          
            −
            2
          
        
        +
        1
        ⋅
        
          2
          
            −
            3
          
        
        =
        0
        +
        0
        ,
        25
        +
        0
        ,
        125
        =
        0
        ,
        375.
      
    
    {\displaystyle 0,011=0\cdot 2^{-1}+1\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}=0+0,25+0,125=0,375.}
  Այսպիսով 1100,0112 = 12,37510.
Նման ձևով կատարվում է ցանկացած հաշվարկման համակարգի անցումը, միայն «2» -ի փոխարեն դրվում է տվյալ համակարգի հիմքը։
Անցման հարմարության համար ամբողջական և կոտորակային մասերը անցում են կատարում առանձին, և արդյունքը այնուհետև միացնում են։


=== Տասական համակարգի անցումը կամայական համակարգի ===
Կոտորակային մասի անցումը այլ հաշվարկային համակարգեր անհրաժեշտ է ամբողջ մասը զրոյացնել և սկսել արդյունքը բազմապատկել ստացված թվի հաշվարկման համակարգի հիմքով, որով ուզում եք անցում կատարել։ Եթե ​​բազմապատկման արդյունքում ամբողջ թվով մասերը նորից հայտնվում են, ապա դրանք պետք է կրկնակի վերածել զրոյի ՝ նախապես հիշելով (գրառելով) արդյունքում ստացված ամբողջ թիվ արժեքը։ Գործողությունը ավարտվում է, երբ կոտորակային մասը ամբողջությամբ դառնում է զրո։ Ստորև բերված է թվի անցման օրինակ `103,625  10  2-ական հաշվարկման համակարգ։
Անցում կատարենք ամբողջ մասը ըստ կանոնի, ներկայացված վերևում, ստանում ենք 10310 = 11001112.

0,625 բաժանենք 2. կոտորակային մաս 0,250. ամբողջ մաս 1.
0,250 բաժանենք 2. կոտորակային մաս 0,500. ամբողջ մաս 0.
0,500 բաժանենք 2. կոտորակային մաս 0,000. ամբողջ մաս 1.

Այսպիսով վերևից ներքև ստանում ենք 1012 թիվը։ Դրա համար 103,62510 = 1100111,1012Նման ձևով կատարվում է անցում ցանկացած հիմքով հաշվարկման համակարգի։
Անմիջապես պետք է նշել, որ այս օրինակը հատուկ ընտրված է, ընդհանուր պարագայում շատ հազվադեպ է հնարավոր ավարտել անցումը թվի կոտորակային մասից տասական համակարգից այլ հաշվարկման համակարգեր, դրա համար ճնշող մեծամասնության դեպքում անցումը կարող է իրականացվել շատ փոքր սխալի միջոցով։ Ստորակետից հետո որքան շատ թիվ կա, այնքան ավելի ճշգրիտ է մոտարկման արդյունքը։ Այս բառերը ստուգելը շատ հեշտ է, եթե փորձեք, օրինակ, փոխել 0.626 թիվը երկուական կոդով։


== Փոփոխություններ և ընդհանրացումներ ==


=== Ռացիոնալ թվերի գրառումը ===

  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   Ռացիոնալ թիվը  
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ական հաշվարկման համակարգում ներկայացված է գծային կոմբինացիայի տեսքով (ընդհանուր առմամբ, անվերջ) 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվի աստիճանի։

  
    
      
        x
        =
        (
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        
          a
          
            n
            −
            2
          
        
        …
        
          a
          
            1
          
        
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          c
          
            1
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        …
        
          )
          
            b
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
            −
            1
          
        
        
          a
          
            k
          
        
        
          b
          
            k
          
        
        +
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          c
          
            k
          
        
        
          b
          
            −
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle x=(a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_{1}a_{0},c_{1}c_{2}\ldots )_{b}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}}
  որտեղ 
  
    
      
        
          a
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{k}}
   թվերն են Ամբողջ մասի (մինչև ստորակետը), 
  
    
      
        
          c
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{k}}
   թվերն են Տասնորդական մասի (ստորակետից հետո), 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   - ամբողջ թիվ թվանշանների տեղը։

  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ական հաշվարկման համակարգում վերջնական գրառումը տարածվում է միայն ռացիոնալ թվերին՝ ներկայացված հետևյալ տեսքով` 
  
    
      
        
          
            q
            
              b
              
                m
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {q}{b^{m}}}}
  , որտեղ 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   և 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   ամբողջ թվերն են.

  
    
      
        
          
            q
            
              b
              
                m
              
            
          
        
        =
        (
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        
          a
          
            n
            −
            2
          
        
        …
        
          a
          
            1
          
        
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          c
          
            1
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        …
        
          c
          
            −
            m
          
        
        
          )
          
            b
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
            −
            1
          
        
        
          a
          
            k
          
        
        
          b
          
            k
          
        
        +
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            m
          
        
        
          c
          
            k
          
        
        
          b
          
            −
            k
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {q}{b^{m}}}=(a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_{1}a_{0},c_{1}c_{2}\ldots c_{-m})_{b}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}c_{k}b^{-k},}
  որտեղ 
  
    
      
        (
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        
          a
          
            n
            −
            2
          
        
        …
        
          a
          
            1
          
        
        
          a
          
            0
          
        
        
          )
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_{1}a_{0})_{b}}
   и 
  
    
      
        (
        
          c
          
            1
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        …
        
          c
          
            −
            m
          
        
        
          )
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle (c_{1}c_{2}\ldots c_{-m})_{b}}
   ներկայացնում են 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ական գրառումները համապատասխանաբար քանորդի և բաժանման մնացորդի  
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  -ն  
  
    
      
        
          b
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle b^{m}}
  -ի։
Ռացիոնալ թվերը, որոնք չեն կարող ներկայացվել 
  
    
      
        
          
            q
            
              b
              
                m
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {q}{b^{m}}}}
   տեսքով, գրվում են որպես պարբերական կոտորակներ։


=== Սիմետրիկ հաշվարկման համակարգ ===
 'Սիմետրիկ (հավասարակշռված, դիրքային) հաշվարկման համակարգերը'  տարբերվում են նրանով, որ օգտագործում են թվեր ոչ թե 
  
    
      
        {
        0
        ,
        1
        ,
        …
        ,
        b
        −
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \{0,1,\ldots ,b-1\}}
  , բազմանդամներից, այլ
  
    
      
        
          {
          
            0
            −
            
              (
              
                
                  
                    
                      b
                      −
                      1
                    
                    2
                  
                
              
              )
            
            ,
            1
            −
            
              (
              
                
                  
                    
                      b
                      −
                      1
                    
                    2
                  
                
              
              )
            
            ,
            …
            ,
            (
            b
            −
            1
            )
            −
            
              (
              
                
                  
                    
                      b
                      −
                      1
                    
                    2
                  
                
              
              )
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{0-\left({\tfrac {b-1}{2}}\right),1-\left({\tfrac {b-1}{2}}\right),\ldots ,(b-1)-\left({\tfrac {b-1}{2}}\right)\right\}}
   բազմանդամներից։  Որպեսզի թվերը լինեն ամբողջ, պետք է  
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  - ն լինի կենտ։ Սիմետրիկ հաշվարկման համակարգերում չի պահանջում թվի նշանի լրացուցիչ նշանակումներ։ Բացի այդ, սիմետրիկ համակարգերում հաշվարկներն ավելի հարմար են, քանի որ դրանք չեն պահանջում հատուկ կլորացման կանոններ- դա տանում է պարզապես լրացուցիչ դիրքերի հեռացման, ինչը կտրուկ նվազեցնում է հաշվարկման համակարգված սխալները։
Առավել հաճախ օգտագործվող սիմետրիկ Հաշվարկման երեքական համակարգ 
  
    
      
        {
        −
        1
        ,
        0
        ,
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \{-1,0,1\}}
   թվերով։ Այն օգտագործվում է Երեքական լոգիկայում և տեխնիկապես իրականացվել է «Сетунь» համակարգչային մեքենայում։


=== Բացասական հիմքեր ===
Կան դիրքավորման համակարգեր, որոնք ունեն բացասական հիմքեր, որոնք կոչվում են Բացասական հիմքով դիրքային հաշվարկման համակարգ։

-2 — բացասական հիմքով-երկուական հաշվարկման համակարգան
-3 — բացասական հիմքով երեքական հաշվարկման համակարգան
-10 — բացասական հիմքով-տասական հաշվարկման համակարգան


=== Ոչ ամբողջ թվային հիմքեր ===
Երբեմն դիտարկվում են նաև դիրքային հաշվարկման համակարգերը ոչ ամբողջ թվային հիմքերով. ռացիոնալ, իռացիոնալ, տրանսցենդենտ։
Նման հաշվարկման համակարգերի օրինակներն են հանդիսանում.

եթե b = ⅓ - ռացիոնալ կոտորակային հիմքով հաշվարկման համակարգ, որը թույլ է տալիս եռյակ հակադարձելի ռեգիստրի առանցքների վրա կատարել բազմապատկում և բաժանում ամբողջ թվերով։
եթե b = ½ - հաշվարկման համակարգ ռացիոնալ կոտորակային հիմքերով։
եթե  b  = φ = 1.61 ... Բերգմանի իռացիոնալ հիմքով հաշվարկման համակարգն է, որը հավասար է «ոսկե հատմանը»


=== Կոմպլեքս հիմքեր ===
Դիրքային հաշվարկման համակարգի հիմքերը կարող են լինել նաև կոմպլեքս թվեր։
Դրա հետ մեկտեղ թվերը ունեն վերջավոր բազմության որոշակի իմաստ, որոնք  բավարարում են այն պայմաններին, որոնք թույլ են տալիս կատարել թվաբանական գործողություններ ուղղակիորեն հենց այդ հաշվարկման համակարգերի թվերով։
Մասնավորապես` կոմպլեքս հիմքով դիրքային հաշվարկման համակարգում կարելի է առանձնացնել երկուական, որոնցում օգտագործվում են ընդամենը երկու թիվ` 0 և 1։

Օրինակներ`Այսուհետ դիրքային հաշվարկման համակարգը կգրենք հետևյալ կերպ` 
  
    
      
        ⟨
        ρ
        ,
        A
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle \rho ,A\rangle }
  ,որտեղ 
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
   -հաշվարկման համակարգի հիմքն է, իսկ A -թվերի բազմությունը։ Մասնավորապես A բազմությունը կարող է ունենալ հետևյալ տեսքը

  
    
      
        
          B
          
            R
          
        
        =
        {
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        R
        −
        1
        }
        ,
      
    
    {\displaystyle B_{R}=\{0,1,2,\dots ,R-1\},}
  

  
    
      
        
          D
          
            R
          
        
        =
        {
        −
        
          r
          
            1
          
        
        ,
        −
        
          r
          
            1
          
        
        +
        1
        ,
        …
        ,
        −
        1
        ,
        0
        ,
        1
        ,
        …
        ,
        
          r
          
            2
          
        
        −
        1
        ,
        
          r
          
            2
          
        
        }
        ,
      
    
    {\displaystyle D_{R}=\{-r_{1},-r_{1}+1,\dots ,-1,0,1,\dots ,r_{2}-1,r_{2}\},}
   որտեղ 
  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        ,
        
          r
          
            2
          
        
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle r_{1},r_{2}\geq 0}
   և 
  
    
      
        R
        =
        
          r
          
            1
          
        
        +
        
          r
          
            2
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle R=r_{1}+r_{2}+1}
  . եթե 
  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle r_{1}=0}
   բազմությունը 
  
    
      
        
          D
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{R}}
   վերածվում է 
  
    
      
        
          B
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{R}}
   բազմության։Կոմպլեքս հիմքով հաշվարկման համակարգի օրինակներ հանդիսանում են (հետագայում j — Կեղծ միավոր)։

  
    
      
        ⟨
        ρ
        =
        j
        
          
            R
          
        
        ,
        
          B
          
            R
          
        
        ⟩
        .
      
    
    {\displaystyle \langle \rho =j{\sqrt {R}},B_{R}\rangle .}
  Օրինակ։ 
  
    
      
        ⟨
        ρ
        =
        ±
        j
        
          
            2
          
        
        ,
        {
        0
        ,
        1
        }
        ⟩
        ;
      
    
    {\displaystyle \langle \rho =\pm j{\sqrt {2}},\{0,1\}\rangle ;}
  

  
    
      
        ⟨
        ρ
        =
        
          
            2
          
        
        
          e
          
            ±
            j
            π
            
              /
            
            2
          
        
        ,
        
          B
          
            2
          
        
        ⟩
        .
      
    
    {\displaystyle \langle \rho ={\sqrt {2}}e^{\pm j\pi /2},B_{2}\rangle .}
  Օրինակ։ 
  
    
      
        ⟨
        ρ
        =
        −
        1
        ±
        j
        ,
        {
        0
        ,
        1
        }
        ⟩
        ;
      
    
    {\displaystyle \langle \rho =-1\pm j,\{0,1\}\rangle ;}
  

  
    
      
        ⟨
        ρ
        =
        2
        
          e
          
            j
            π
            
              /
            
            3
          
        
        ,
        {
        0
        ,
        1
        ,
        
          e
          
            2
            j
            π
            
              /
            
            3
          
        
        ,
        
          e
          
            −
            2
            j
            π
            
              /
            
            3
          
        
        }
        ⟩
        ;
      
    
    {\displaystyle \langle \rho =2e^{j\pi /3},\{0,1,e^{2j\pi /3},e^{-2j\pi /3}\}\rangle ;}
  

  
    
      
        ⟨
        ρ
        =
        
          
            R
          
        
        ,
        
          B
          
            R
          
        
        ⟩
        ,
      
    
    {\displaystyle \langle \rho ={\sqrt {R}},B_{R}\rangle ,}
   որտեղ 
  
    
      
        φ
        =
        ±
        arccos
        ⁡
        
          (
          −
          β
          
            /
          
          2
          
            
              R
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \varphi =\pm \arccos {(-\beta /2{\sqrt {R}})}}
  , 
  
    
      
        β
        <
        min
        {
        R
        ,
        2
        
          
            R
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \beta <\min\{R,2{\sqrt {R}}\}}
   — ամբողջ դրական թիվ է, որը կարող է ունենալ մի քանի նշանակություն տրված R համար;

  
    
      
        ⟨
        ρ
        =
        −
        R
        ,
        
          A
          
            R
          
          
            2
          
        
        ⟩
        ,
      
    
    {\displaystyle \langle \rho =-R,A_{R}^{2}\rangle ,}
   որտեղ բազմությունը 
  
    
      
        
          A
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{R}^{2}}
   կազմված է կոմպլեքս թվերից 
  
    
      
        
          r
          
            m
          
        
        =
        
          α
          
            m
          
          
            1
          
        
        +
        j
        
          α
          
            m
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{m}=\alpha _{m}^{1}+j\alpha _{m}^{2}}
   տեսքի, իսկ թիվը 
  
    
      
        
          α
          
            m
          
        
        ∈
        
          B
          
            R
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \alpha _{m}\in B_{R}.}
   Օրինակ։ 
  
    
      
        ⟨
        −
        2
        ,
        {
        0
        ,
        1
        ,
        j
        ,
        1
        +
        j
        }
        ⟩
        ;
      
    
    {\displaystyle \langle -2,\{0,1,j,1+j\}\rangle ;}
  

  
    
      
        ⟨
        ρ
        =
        
          ρ
          
            2
          
          

          
        
        ,
        {
        0
        ,
        1
        }
        ⟩
        ,
      
    
    {\displaystyle \langle \rho =\rho _{2}^{},\{0,1\}\rangle ,}
   որտեղ 
  
    
      
        
          ρ
          
            2
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  (
                  −
                  2
                  
                    )
                    
                      1
                      
                        /
                      
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    
                      if
                    
                  
                   
                  m
                   
                  
                    
                      even
                    
                  
                  ,
                
              
              
                
                  j
                  (
                  −
                  2
                  
                    )
                    
                      (
                      m
                      −
                      1
                      )
                      
                        /
                      
                      2
                      m
                    
                  
                
                
                  
                    
                      if
                    
                  
                   
                  m
                   
                  
                    
                      odd
                    
                  
                  .
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho _{2}={\begin{cases}(-2)^{1/2}&{\mbox{if}}\ m\ {\mbox{even}},\\j(-2)^{(m-1)/2m}&{\mbox{if}}\ m\ {\mbox{odd}}.\end{cases}}}
   .Երկուական կոմպլեքս հաշվարկման համակարգՆերքևում թվարկված են հիմքերը երկուական դիրքային հաշվարկման համակարգի և թվարկված 2, −2 և −1 թվերը նրանցում։

  
    
      
        ρ
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \rho =2}
  : 
  
    
      
        2
        =
        (
        10
        
          )
          
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle 2=(10)_{\rho }}
   (Բնական հիմքով հաշվարկման համակարգ);

  
    
      
        ρ
        =
        −
        2
      
    
    {\displaystyle \rho =-2}
  : 
  
    
      
        2
        =
        (
        110
        
          )
          
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle 2=(110)_{\rho }}
  , 
  
    
      
        −
        2
        =
        (
        10
        
          )
          
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle -2=(10)_{\rho }}
  , 
  
    
      
        −
        1
        =
        
          11
          
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle -1=11_{\rho }}
   (Բացասական հիմքով դիրքային հաշվարկման համակարգ);

  
    
      
        ρ
        =
        −
        
          ρ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho =-\rho _{2}}
  : 
  
    
      
        2
        =
        (
        10100
        
          )
          
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle 2=(10100)_{\rho }}
  , 
  
    
      
        −
        2
        =
        (
        100
        
          )
          
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle -2=(100)_{\rho }}
  , 
  
    
      
        −
        1
        =
        
          101
          
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle -1=101_{\rho }}
   (Կոմպլեքս հիմքով հաշվարկման համակարգ);

  
    
      
        ρ
        =
        j
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho =j{\sqrt {2}}}
  : 
  
    
      
        2
        =
        (
        10100
        
          )
          
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle 2=(10100)_{\rho }}
  , 
  
    
      
        −
        2
        =
        (
        100
        
          )
          
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle -2=(100)_{\rho }}
  , 
  
    
      
        −
        1
        =
        (
        101
        
          )
          
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle -1=(101)_{\rho }}
   (Կոմպլեքս հիմքով հաշվարկման համակարգ);

  
    
      
        ρ
        =
        −
        1
        +
        j
      
    
    {\displaystyle \rho =-1+j}
  : 
  
    
      
        2
        =
        (
        1100
        
          )
          
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle 2=(1100)_{\rho }}
  , 
  
    
      
        −
        2
        =
        (
        11100
        
          )
          
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle -2=(11100)_{\rho }}
  , 
  
    
      
        −
        1
        =
        (
        11101
        
          )
          
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle -1=(11101)_{\rho }}
   (Կոմպլեքս հիմքով հաշվարկման համակարգ);

  
    
      
        ρ
        =
        
          
            
              −
              1
              +
              j
              
                
                  7
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho ={\frac {-1+j{\sqrt {7}}}{2}}}
  : 
  
    
      
        2
        =
        (
        1010
        
          )
          
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle 2=(1010)_{\rho }}
  , 
  
    
      
        −
        2
        =
        (
        110
        
          )
          
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle -2=(110)_{\rho }}
  , 
  
    
      
        −
        1
        =
        (
        111
        
          )
          
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle -1=(111)_{\rho }}
   (Կոմպլեքս հիմքով հաշվարկման համակարգ


=== Ոչ ցուցչային ֆունկցիայի հաշվարկման համակարգ ===
Մասնավոր դեպքում ցուցչային հաշվարկման համակարգ հանդիսանում են դիրքային հաշվարկման համակարգերը ցուցչային կախվածությամբ։ Ցուցչային կախվածության փոխարեն կարող են լինել նաև ուրիշ կախվածություններ։ Օրինակ`հիպերօպերատոր հաշվարկման համակարգը 

  
    
      
        
          
            
              hyper4
              ⁡
              (
              a
              ,
              b
              )
              =
              hyper
              ⁡
              (
              a
              ,
              4
              ,
              b
              )
              =
              
                a
                
                  (
                  4
                  )
                
              
              b
              =
              a
              ↑↑
              b
              =
            
            
               
            
          
        
        
        
          
            
              
                
                  a
                  
                    
                      a
                      
                        
                          ⋅
                          
                            
                              ⋅
                              
                                a
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                ⏟
              
            
            
              b
              
                
                   times
                
              
            
          
        
        
        
          
            
              =
              a
              →
              b
              →
              2
            
            
               
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\operatorname {hyper4} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,4,b)=a^{(4)}b=a\uparrow \uparrow b= \atop {\ }}\quad {\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}  \atop {b{\mbox{ times}}}}\quad {=a\to b\to 2 \atop {\ }}}
  թույլ է տալիս գրել մեծ դիապազոնային թվերը նույն թվի նշանով։


== Հղումներ ==
Ի. Յագլոմ Հաշվարկման համակարգ // Квант. — 1970. — № 6.
Դիրքային հաշվարկման համակարգ։ Մի դիրքային համակարգից թվերի փոխանցումը այլ համակարգ:Թվաբանական գործողություններ դիրքային հաշվարկման համակարգի թվերով // Введение в информатику. Լաբորատոր աշխատանքներ / Հեղինակ Ա. Պ. Շեստակով. — Պերմ: Պերմ, 1999.
Պասպելով Դ. Ա. Арифметические основы вычислительных машин дискретного действия. — Բարձրագույն դպրոց.


== Ծանոթագրություններ ==