Երկգծային ձև

Ենթադրենք 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  -ը վեկտորական հարթություն է 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
   հարթության մեջ (ավելի հաճախ դիտարկվում են 
  
    
      
        K
        =
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle K=\mathbb {R} }
   և 
  
    
      
        K
        =
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle K=\mathbb {C} }
   հարթությունները)։
Երկգծային ձև կոչվում է 
  
    
      
        F
        :
        L
        ×
        L
        →
        K
      
    
    {\displaystyle F\colon L\times L\to K}
   ֆունկցիան, որը գծային է յուրաքանչյուր արգումենտի համար։

  
    
      
        F
        (
        x
        +
        z
        ,
        
        y
        )
        =
        F
        (
        x
        ,
        
        y
        )
        +
        F
        (
        z
        ,
        
        y
        )
      
    
    {\displaystyle F(x+z,\,y)=F(x,\,y)+F(z,\,y)}
  ,

  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        
        y
        +
        z
        )
        =
        F
        (
        x
        ,
        
        y
        )
        +
        F
        (
        x
        ,
        
        z
        )
      
    
    {\displaystyle F(x,\,y+z)=F(x,\,y)+F(x,\,z)}
  ,

  
    
      
        F
        (
        λ
        x
        ,
        
        y
        )
        =
        λ
        F
        (
        x
        ,
        
        y
        )
      
    
    {\displaystyle F(\lambda x,\,y)=\lambda F(x,\,y)}
  ,

  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        
        λ
        y
        )
        =
        λ
        F
        (
        x
        ,
        
        y
        )
      
    
    {\displaystyle F(x,\,\lambda y)=\lambda F(x,\,y)}
  ,Այստեղ 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ,
        z
        ∈
        L
      
    
    {\displaystyle x,y,z\in L}
   և 
  
    
      
        λ
        ∈
        K
      
    
    {\displaystyle \lambda \in K}
  
Երկգծային ձևը տենզորի (տենզորի կարգ (0,2)) հասկացության մասնավոր դեպքն է։


== Այլընտրանքային սահմանում ==
Վերջավոր հարթությունների դեպքում (օրինակ՝ 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  ) հիմնականում օգտագործվում է այլ սահմանում։
Ենթադրենք 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  -ը  վեկտորների բազմություն է 
  
    
      
        x
        =
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}
   տեսակի, որտեղ 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        ∈
        K
        ,
        i
        =
        
          
            
              1
              ,
              n
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}\in K,i={\overline {1,n}}}
  ։
Երկգծային ձևեր են կոչվում 
  
    
      
        F
        :
        L
        ×
        L
        →
        K
      
    
    {\displaystyle F\colon L\times L\to K}
   ֆունկցիաները 
  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            ,
            
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
            j
          
        
        
          x
          
            i
          
        
        
          y
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle F(x,y)=\sum _{i,\,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j}}
   տեսակի
որտեղ 
  
    
      
        x
        =
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}
   
  
    
      
        y
        =
        (
        
          y
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          y
          
            n
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}),}
    իսկ  
  
    
      
        
          a
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{ij}}
  ՝ 
  
    
      
        K
        .
      
    
    {\displaystyle K.}
   հարթությունից որոշ կոնստանտներ։
Այլ խոսքերով ասած, երկգծային ձևը ֆունկցիա է երկու խմբից 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   փոփոխականներով, որոնք համարվում են յուրաքանչյուր խմբի փոփոխականների նկատմամբ առաջին աստիճանի համասեռ բազմանդամներ։ 


== Կապակցված սահմանումներ ==

  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   երկգծային ձևը կոչվում է  սիմետրիկ, եթե 
  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        
        y
        )
        =
        F
        (
        y
        ,
        
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x,\,y)=F(y,\,x)}
   
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        L
      
    
    {\displaystyle x,y\in L}
   ցանկացած վեկտորների համար։

  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   երկգծային ձևը կոչվում է կոսոսիմետրիկ (հակասիմետրիկ), եթե 
  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        
        y
        )
        =
        −
        F
        (
        y
        ,
        
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x,\,y)=-F(y,\,x)}
   
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        L
      
    
    {\displaystyle x,y\in L}
   ցանկացած վեկտորների համար։

  
    
      
        x
        ∈
        L
      
    
    {\displaystyle x\in L}
   վեկտորը կոչվում է օրթոգոնալ (ավելի ճիշտ, աջից օրթոգոնալ) 
  
    
      
        M
        ⊂
        L
      
    
    {\displaystyle M\subset L}
   ենթահարթության մեջ 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  -ի նկատմամբ, եթե 
  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle F(x,\,y)=0}
   բոլոր 
  
    
      
        y
        ∈
        M
      
    
    {\displaystyle y\in M}
   համար։ 
  
    
      
        x
        ∈
        L
      
    
    {\displaystyle x\in L}
   վեկտորների ամբողջությունը, օրթոգոնալ 
  
    
      
        M
        ⊂
        L
      
    
    {\displaystyle M\subset L}
   ենթահարթության մեջ տրված 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   երկգծային ձևի նկատմամբ, կոչվում է օրթոգոնալ լրացում 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  -ի նկատմամբ 
  
    
      
        M
        ⊂
        L
      
    
    {\displaystyle M\subset L}
   ենթահարթության համար և նշանակվում է 
  
    
      
        
          M
          
            ⊥
          
        
      
    
    {\displaystyle M^{\perp }}
  ։

  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   երկգծային ձևի արմատ կոչվում է 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  -ի նկատմամբ  
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
    հարթության օրթոգոնալ լրացում, այսինքն՝ 
  
    
      
        x
        ∈
        L
      
    
    {\displaystyle x\in L}
   վեկտորների 
  
    
      
        
          L
          
            ⊥
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{\perp }}
   ամբողջություն, որոնց համար 
  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle F(x,\,y)=0}
   բոլոր 
  
    
      
        y
        ∈
        L
      
    
    {\displaystyle y\in L}
   դեպքում։


== Հատկություններ ==

  
    
      
        W
        (
        L
        ,
        L
        )
      
    
    {\displaystyle W(L,L)}
   երկգծային բոլոր ձևերի բազմությունները, որոնք տրված են ֆիքսված ազատ հարթության վրա, համարվում են գծային հարթություն։
Ցանկացած երկգծային ձև կարելի է պատկերացնել սիմետրիկ և հակասիմետրիկ ձևերի գումարի տեսքով։
Ընտրված 
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          e
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}
   
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  -ում բազիսում ցանկացած 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   երկգծային ձև միանշանակ սահմանվում է մատրիցով
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  F
                  (
                  
                    e
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    e
                    
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  F
                  (
                  
                    e
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  …
                
                
                  F
                  (
                  
                    e
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    e
                    
                      n
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  F
                  (
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    e
                    
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  F
                  (
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  …
                
                
                  F
                  (
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    e
                    
                      n
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  F
                  (
                  
                    e
                    
                      n
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    e
                    
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  F
                  (
                  
                    e
                    
                      n
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  …
                
                
                  F
                  (
                  
                    e
                    
                      n
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    e
                    
                      n
                    
                  
                  )
                
              
            
            )
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}F(e_{1},\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n})\\F(e_{2},\,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\ldots &F(e_{2},\,e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n},\,e_{n})\end{pmatrix}},}
  այնպես, որ ցանկացած 
  
    
      
        x
        =
        
          x
          
            1
          
        
        
          e
          
            1
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        
          e
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          x
          
            n
          
        
        
          e
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+\cdots +x^{n}e_{n}}
   և 
  
    
      
        y
        =
        
          y
          
            1
          
        
        
          e
          
            1
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        
          e
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          y
          
            n
          
        
        
          e
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle y=y^{1}e_{1}+y^{2}e_{2}+\cdots +y^{n}e_{n}}
   վեկտորների համար

  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        
        y
        )
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  F
                  (
                  
                    e
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    e
                    
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  F
                  (
                  
                    e
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  …
                
                
                  F
                  (
                  
                    e
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    e
                    
                      n
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  F
                  (
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    e
                    
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  F
                  (
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  …
                
                
                  F
                  (
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    e
                    
                      n
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  F
                  (
                  
                    e
                    
                      n
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    e
                    
                      1
                    
                  
                  )
                
                
                  F
                  (
                  
                    e
                    
                      n
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  …
                
                
                  F
                  (
                  
                    e
                    
                      n
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    e
                    
                      n
                    
                  
                  )
                
              
            
            )
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    y
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle F(x,\,y)={\begin{pmatrix}x^{1}&x^{2}&\ldots &x^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F(e_{1},\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n})\\F(e_{2},\,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\ldots &F(e_{2},\,e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n},\,e_{n})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y^{1}\\y^{2}\\\vdots \\y^{n}\end{pmatrix}},}
  այսինքն՝

  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        
        y
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            ,
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          f
          
            i
            j
          
        
        
        
          x
          
            i
          
        
        
          y
          
            j
          
        
        ,
         
        
        
          f
          
            i
            j
          
        
        =
        F
        (
        
          e
          
            i
          
        
        ,
        
        
          e
          
            j
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle F(x,\,y)=\sum _{i,j=1}^{n}f_{ij}\,x^{i}y^{j},\ \quad f_{ij}=F(e_{i},\,e_{j}).}
  Դա նաև նշանակում է, որ երկգծային ձևը լիովին որոշվում է իր նշանակություններով բազիսի վեկտորների վրա։

  
    
      
        W
        (
        L
        ,
        L
        )
      
    
    {\displaystyle W(L,L)}
   հարթության չափականությունը 
  
    
      
        dim
        ⁡
        W
        (
        L
        ,
        L
        )
        =
        (
        dim
        ⁡
        L
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \dim W(L,L)=(\dim L)^{2}}
  ։
Չնայած նրան, որ 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   երկգծային ձևի մատրիցը կախված է բազիսի ընտրությունից, երկգծային ձևի մատրիցի ռանգը ցանկացած բազիսում նույնն է, այն կոչվում է 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   երկգծային ձևի ռանգ։ Երկգծային ձևը կոչվում է ոչ այլասերված, եթե դրա կարգը հավասար է 
  
    
      
        dim
        ⁡
        L
      
    
    {\displaystyle \dim L}
  :
Ցանկացած 
  
    
      
        M
        ⊂
        L
      
    
    {\displaystyle M\subset L}
   ենթահարթության համար 
  
    
      
        
          M
          
            ⊥
          
        
      
    
    {\displaystyle M^{\perp }}
   օրթոգոնալ լրացումը համարվում է 
  
    
      
        
          M
          
            ⊥
          
        
        ⊂
        L
      
    
    {\displaystyle M^{\perp }\subset L}
   ենթահարթություն։

  
    
      
        dim
        ⁡
        
          L
          
            ⊥
          
        
        =
        dim
        ⁡
        L
        −
        r
      
    
    {\displaystyle \dim L^{\perp }=\dim L-r}
  , որտեղ 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  -ը 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   երկգծային ձևի ռանգ է։


== Երկգծային ձևի մատրիցի փոխակերպումը բազիսի փոխարինման ժամանակ ==
Նոր բազիսում երկգծային ձևի մատրիցը կապված է այն մատրիցի հետ, որը ներկայացնում է իրեն հին բազիսում այն մատրիցի միջոցով, որը հակադարձ է նոր բազիս տեղափոխվող մատրիցին (Յակոբի մատրից), որի միջոցով ձևավորվում են վեկտորի կոորդինատները։
Այլ կերպ ասած, եթե վեկտորի կոորդինատները 
  
    
      
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{i}}
   հին բազիսում սահմանվում են կոորդինատներով նոր 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{i}}
  -ում  
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
   մատրիցի միջոցով

  
    
      
        
          X
          
            i
          
        
        =
        ∑
        
          β
          
            j
          
          
            i
          
        
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{i}=\sum \beta _{j}^{i}x^{j}}
  , կամ 
  
    
      
        X
        =
        β
        x
      
    
    {\displaystyle X=\beta x}
   մատրիցային արտահայտությամբ, ապա 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   երկգծային ձևը ցանկացած 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   և 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   վեկտորների վրա կգրվի, որպես

  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        
        y
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            ,
            j
          
        
        
          F
          
            i
            j
          
        
        
          X
          
            i
          
        
        
          Y
          
            j
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            ,
            j
            ,
            k
            ,
            m
          
        
        
          F
          
            i
            j
          
        
        
          β
          
            k
          
          
            i
          
        
        
          β
          
            m
          
          
            j
          
        
        
          x
          
            k
          
        
        
          y
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle F(x,\,y)=\sum _{i,j}F_{ij}X^{i}Y^{j}=\sum _{i,j,k,m}F_{ij}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}x^{k}y^{m}}
  ,այսինքն մատրիցի կոմպոնենտները, որոնք ներկայացնում են երկգծային ձևը նոր բազիսում, կլինեն

  
    
      
        
          f
          
            k
            m
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            ,
            j
          
        
        
          F
          
            i
            j
          
        
        
          β
          
            k
          
          
            i
          
        
        
          β
          
            m
          
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{km}=\sum _{i,j}F_{ij}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}}
  ,կամ մատրիցային ձևով՝

  
    
      
        f
        =
        
          β
          
            T
          
        
        F
        β
      
    
    {\displaystyle f=\beta ^{T}F\beta }
  ,

  
    
      
        β
        =
        
          α
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta =\alpha ^{-1}}
  , որտեղ 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  ՝ 
  
    
      
        x
        =
        α
        X
      
    
    {\displaystyle x=\alpha X}
   կոորդինատների ուղիղ փոխակերպման մատրիցն է։


== Տես նաև ==
Քառակուսային ձև
Երկգծային օպերացիա
Երկգծային փոխակերպում


== Գրականություն ==
Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
Гельфанд И. М., Линейная алгебра Archived 2003-07-06 at the Wayback Machine.. Курс лекций.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.