Անվերջության խորհրդանիշ

Անվերջության խորհրդանիշ ∞, մաթեմատիկական խորհրդանշան, որ ներկայացնում է անվերջության հայեցակարգը։


== Պատմություն ==

Անվերջության խորհրդանիշը ժամանակակից մաթեմատիկական իմաստով պատկանում է անգլիացի մաթեմատիկոս Ջոն Վալիսին, որը առաջին անգամ խորհրդանիշն օգտագործել է 1655 թվականին իր «Կոնաձև հատույթների մասին» տրակտատում (լատ.՝ De sectionibus conicis): Իր գրքում Վալիսը ոչ մի ձևով չի բացատրել այդ նշանի ընտրությունը՝ անվերջությունը պատկերելու համար. որոշ ենթադրությունների համաձայն՝ դա կարող էր լինել հռոմեական թվերով 1000 գրելու տարբերակը (սկզբնապես ունեցել է CIƆ կամ CƆ տեսքը), կամ օմեգա տառի (ω)՝ հունական այբուբենի վերջին տառի տեսքը։
Լեոնարդ Էյլերն օգտագործել է անվերջության խորհրդանիշի հատուկ, բաց տարբերակ նրա համար, որպեսզի նշանակեր «բացարձակ անվերջությունը» (լատ.՝ absolutus infinitus)։ Անվերջության այդ խորհրդանիշը հետագայում ոչ ոքի կողմից չի գործածվել և ներկայացված չէ Յունիկոդում։


== Օգտագործում ==

Մաթեմատիկայում անվերջության խորհրդանիշն ամենից հաճախ օգտագործվում է պոտենցիալ անվերջությունը արտահայտելու համար, այլ ոչ թե ինչ-որ իրական անվերջ մեծ մեծությունների համար։ Օրինակ, սահմանի մաթեմատիկական արտահայտման համար.

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              2
              
                i
              
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              
                2
                
                  x
                
              
              −
              1
            
            
              2
              
                x
                −
                1
              
            
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2^{x}-1}{2^{x-1}}}=2}
  ,անվերջության նշանը կարելի է պայմանականորեն ձևափոխել այն իմաստով, որ փոփոխականը հասնում է ինչքան հնարավոր է շատ նշանակությունների (ձգտում է անվերջության), սակայն անվերջությանը հավասար նշանակություն չի ստանում։
Տոպոլոգիայում անվերջության նշանը նշանակվում է լրացուցիչ կետով, որը ներառվում է Ալեքսանդրովի միակետ կոմպակտիֆիկացիայի դեպքում։ Նմանապես, համալիր վերլուծության և պրոյեկտիվ երկրաչափության մեջ 
  
    
      
        ∞
      
    
    {\displaystyle \infty }
   խորհրդանիշը նշանակում է անվերջ հեռացված կետ։
Սակայն մաթեմատիկայի բնագավառներում, որտեղ անհրաժեշտություն է առաջանում համեմատել և տարբերել անվերջության տարբեր տեսակներ՝ կոնկրետ անվերջ մեծությունների համար 
  
    
      
        ∞
      
    
    {\displaystyle \infty }
   խորհրդանիշի փոխարեն գործածվում են ալ նշանակություններ։ Օրինակ, բազմությունների տեսության մեջ բնական թվերի անվերջ բազմության արմատական թիվը նշանակվում է 
  
    
      
        
          ℵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \aleph _{0}}
   խորհրդանիշով (կարդացվում է «ալեֆ-նուլ»), հաշվելի թվականների բազմության անվերջ արմատական թիվը նշանակվում է 
  
    
      
        
          ℵ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \aleph _{1}}
  , այդ դեպքում՝ 
  
    
      
        
          ℵ
          
            0
          
        
        <
        
          ℵ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}}
   տարբերակով։
Այլ ոլորտներում անվերջության խորհրդանիշը կարող է այլ իմաստ ունենալ. օրինակ, գրքերի գործում այն օգտագործվում է՝ ցույց տալու, որ գիրքը տպագրված է երկարակյաց թղթի վրա։


== Խորհրդանշում ==
Ժամանակակից միստիցիզմում անվերջության խորհրդանշանը հազվադեպ չէ, որ ներկայացվում է Ուրոբորոսի՝ սեփական պոչն ուտող օձի կերպարի տեսքով։
Վլադիմիր Նաբոկովն իր այնպիսի ստեղծագործություններում, ինչպիսիք են «Շնորհ» և «Գունատ կրակ» գրքերը, օգտագործում է 8-ի խորհրդանշական կերպարը (մասնավորապես՝ Մյոբիուսի ժապավենի և անվերջության խորհրդանշանի տեսքով) հեծանիվների անիվների ձևերի և կիսամոռացված մարդկանց նկարագրություններում։ «Գունատ կրակ» պոեմում հիշատակվում է, օրինակ, «լեմնիսկատայի հրաշքը»։


== Կոդավորում ==
Յունիկոդում անվերջությունը նշանակվում է ∞ խորհրդանիշով (U+221E), LaTeX մակրոպակետում՝ որպես 
  
    
      
        ∞
      
    
    {\displaystyle \infty }
   (\infty), գոյություն ունեն նաև կոդավորման այլ տարբերակներ։


== Ծանոթագրություններ ==