Ռացիոնալ ֆունկցիա

Ռացիոնալ ֆունկցիա, այն ֆունկցիան, որը ներկայացվում է այնպիսի  կոտորակի տեսքով, որի  համարիչը և հայտարարը բազմանդամ են։  Ռացիոնալ արտահայտությունը  այն  հանրահաշվական արտահայտություն է, որի ներկայացման մեջ չկան  արմատներ։


== Սահմանումներ ==
Ռացիոնալ ֆունկցիա կոչվում է    
  
    
      
        
          
            
              
                P
                
                  n
                
              
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                x
                
                  n
                
              
              )
            
            
              
                Q
                
                  m
                
              
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                x
                
                  m
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})}}}
      տեսքի ֆունկցիան,  որտեղ  
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}
  ,  
  
    
      
        
          Q
          
            m
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})}
   —ը ցանկացած քանակի պարամետր ունեցող   բազմանդամներ են։
Ֆունկցիան գոյություն ունի փոփոխականի ցանկացած արժեքի դեպքում, բացի 
  
    
      
        
          Q
          
            m
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})}
  -ի  զրո ընդունած արժեքների դեպքում։


=== Ռացիոնալ արտահայտություն ===
Ռացիոնալ արտահայտությունը հանրահաշվական արտահայտություն է, որը չի պարունակում   արմատանշան։ Ալյ կերպ  ասած, դա մեկ կամ մի քանի հանրահաշվական մեծություններ են (թվեր և  փոփոխականներ), որոնք միմյանց հետ կապված են թվաբանական  գործողության նշաններով՝  գումարումով, հանումով, բազմապատկումով, բաժանումով, ամբողջ ցուցիչով աստիճանի բարձրացումով, ինչպես նաև տարբեր տեսակի փակագծերով, օրինակ 

  
    
      
        x
        +
        
          x
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x+x^{-1}}
  

  
    
      
        
          
            x
            
              y
              −
              
                z
                
                  −
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {x}{y-z^{-3}}}}
  Ցանկացած ռացիոնալ արտահայտություն կարելի է ներկայացնել ռացիոնալ ֆունկցիայի տեսքով։


== Հատուկ դեպքեր ==
 Մեկ փոփոխականով ռացիոնալ ֆունկցիան կոչվում է  
  
    
      
        R
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              P
              (
              x
              )
            
            
              Q
              (
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}
   տեսքի ֆունկցիա, որտեղ 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
  -ը և 
  
    
      
        Q
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle Q(x)}
  -ը  մեկ փոփոխականով բազմանդամներ  են։
Ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիան  ներկայացվում է  
  
    
      
        
          
            
              P
              (
              x
              )
            
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {P(x)}{1}}}
   տեսքով, որտեղ  
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը փոփոխականն է։
Կոտորակառացիոնալ  ֆունկցիա  է կոչվում այն  իրական պարամոտրերով ռացիոնալ ֆունկցիա, որի պարամետրերը չեն հանդիսանում ռացիոնալ թվեր։
Երկու գծային ֆունկցիաների  հարաբերությունը կոչվում է  կոտորակագծային ֆունկցիա։


== Հատկություններ ==
Ցանկացած արտահայտություն, որը ստացվում է  
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
   փոփոխականների և թվաբանական չորս նշանների կիրառմամբ ստանում ենք   ռացիոնալ ֆունկցիա։
Ռացիոնալ ֆունկցիաների բազմությունը հանրահաշվական գործողությունների և համադրման օպերատորի  նկատմամբ  փակ է, ինչպես նաև դաշտ է  այն դեպքում, եթե բազմանդամի գործակիցները պատկանում են ինչ-որ դաշտ։
Ցանկացած ռացիոնալ ֆունկցիա կարող ենք ներկայացնել սովորական կոտորակների գումարի տեսքով, այն կիրառվում է  ինտեգրման մեջ։


== Սովորական կոտորակներ ==
Գոյություն ունեն կանոնավոր և անկանոն  ռացիոնալ կոտորակներ, սովորական կոտորակների նման։ Ռացիոնալ կոտորակը կոչվում է կանոնավոր, եթե համարիչի կարգը փոքր է հայտարարինից և կոչվում է կանոնավոր և անկանոն՝ եթե համարիչինը մեծ է հայտարարինից։
Ցանկացած անկանոն կոտորակ կարող է ներկայացվել ամբողջ թվի և կանոնավոր  կոտորակի գումարի տեսքով։

  
    
      
        
          
            
              
                P
                
                  n
                
              
              (
              x
              )
            
            
              
                Q
                
                  m
                
              
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        
          P
          
            n
            −
            m
          
          ′
        
        (
        x
        )
        +
        
          
            
              
                P
                
                  m
                  −
                  1
                
                
                  
                    
                    ″
                  
                
              
              (
              x
              )
            
            
              
                Q
                
                  m
                
              
              (
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}=P'_{n-m}(x)+{\frac {P_{m-1}^{''}(x)}{Q_{m}(x)}}}
  
Ցանկացած իրական գործակիցներով ռացիոնալ կոտորակ կարելի է ներկայացնել   ռացիոնալ կոտորակների գումարի տեսքով, որոնց հայտարարը հանդիսանում  է 
  
    
      
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle (x-a)^{k}}
   -ն 
  
    
      
        (
        a
      
    
    {\displaystyle (a}
  -ն  
  
    
      
        Q
        (
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle Q(x))}
  -ի իրական արմատն է  կամ 
  
    
      
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        p
        x
        +
        q
        
          )
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle (x^{2}+px+q)^{k}}
  -ն (որտեղ 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        p
        x
        +
        q
      
    
    {\displaystyle x^{2}+px+q}
   չունի իրական արմատներ), ընդ որում 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  -ի աստիճանը մեծ չէ  
  
    
      
        Q
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle Q(x)}
    բազմանդամի համապատասխան բազմապատիկ արմատի աստիճանից։ Այս պնդման  հիման վրա  է ապացուցվում ռացիոնալ  ֆունկցիայի  ինտեգրելիության մասին թեորեմը։ Ցանկացած ռացիոնալ ֆունկցիա կարող է ինտեգրվել տարրական ֆունկցիաների միջոցով։ Այս թեորեմի միջոցով  ռացիոնալ ֆունկցիաների դասը մաթեմատիկական անալիզի մեջ դառնում է նշանակալից։
Այս ամենի հետ է կապված   Օստրոգրադսկու մեթոդը,  որը 1844 թվականին առաջարկել է մաթեմատոկոս Միխայիլ Օստրոգրադսկին ։


== Տես նաև ==
Ռացիոնալ թիվ
Ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ


== Ծանոթագրություններ ==