Երկուական լոգարիթմ

Երկուական լոգարիթմ-դա լոգարիթմն է 2 հիմքով։ Այլ կերպ ասած․ 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվի երկուական լոգարիթմը 
  
    
      
        
          2
          
            x
          
        
        =
        b
      
    
    {\displaystyle 2^{x}=b}
   հավասարման լուծումն է։

  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   իրական թվի երկուական լոգարիթմը գոյություն ունի, եթե 
  
    
      
        b
        >
        0
      
    
    {\displaystyle b>0}
  ։Համաձայն ISO 31-11 ստանդարտի, այն նշանակյվում է  
  
    
      
        lb
        ⁡
        b
        ,
      
    
    {\displaystyle \operatorname {lb} b,}
   
  
    
      
        lb
        ⁡
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {lb} (b)}
   կամ 
  
    
      
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        b
      
    
    {\displaystyle \log _{2}b}
  ։ Օրինակներ․

  
    
      
        lb
        ⁡
        1
        =
        0
        ;
        
        lb
        ⁡
        2
        =
        1
        ;
        
        lb
        ⁡
        16
        =
        4
      
    
    {\displaystyle \operatorname {lb} 1=0;\,\operatorname {lb} 2=1;\,\operatorname {lb} 16=4}
  

  
    
      
        lb
        ⁡
        0
        
          ,
        
        5
        =
        −
        1
        ;
        
        lb
        ⁡
        
          
            1
            256
          
        
        =
        −
        8
      
    
    {\displaystyle \operatorname {lb} 0{,}5=-1;\,\operatorname {lb} {\frac {1}{256}}=-8}
  ։


== Պատմություն ==
Երկուական լոգարիթմը իր առաջին կիրառությունը գտել է երաժշտության տեսության մեջ, երբ Լեոնարդ Էյլերը սահմանեց, որ երկու երաժշտական տոների հաճախությունների հարաբերության երկուական լոգարիթմը հավասար է այն օկտավաների քանակին, որոնք բաժանում են մի տոնը մյուսից։ Էյլերը հրապարակեց նաև 1-ից մինչև 8 ամբողջ թվերի երկուական լոգարիթմների աղյուսակը՝ յոթ տասնորդական ճշտությամբ։
Ինֆորմատիկայում էլ պարզ դարձավ, որ ինֆորմացիայի կոդավորման գործընթացում բիթերի քանակը հաշվելիս նույնպես կա երկուական լոգարիթմի անհրաժեշտությունը։ Այն կիրառվում է նաև կոմբինատորիկայում, բիոինֆորմատիկայում, կրիպտոգրաֆիայում և լուսանկարչությունում։ Երկուական լոգարիթմը կիրառվում է նաև ծրագրավորման համակարգերում։


== Հանրահաշվական հատկությունները ==
Աղյուսակում ենթադրվում է, որ բոլոր արժեքները դրական են։

Կան նաև բանաձևերի ընդհանրացումները այն դեպքերի համար, երբ փոփոխականները բացասական են․

  
    
      
        lb
        ⁡
        
          |
        
        x
        y
        
          |
        
        =
        lb
        ⁡
        (
        
          |
        
        x
        
          |
        
        )
        +
        lb
        ⁡
        (
        
          |
        
        y
        
          |
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \operatorname {lb} |xy|=\operatorname {lb} (|x|)+\operatorname {lb} (|y|),}
  

  
    
      
        lb
        
        
          |
          
            
              x
              y
            
          
          |
        
        =
        lb
        ⁡
        (
        
          |
        
        x
        
          |
        
        )
        −
        lb
        ⁡
        (
        
          |
        
        y
        
          |
        
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {lb} \!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\operatorname {lb} (|x|)-\operatorname {lb} (|y|)}
  ։Բանաձևը կարելի է ընդհանրացնել նաև ցանկացած քանակի արտադրիչների համար․

  
    
      
        lb
        ⁡
        (
        
          x
          
            1
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        …
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        lb
        ⁡
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        +
        lb
        ⁡
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
        +
        ⋯
        +
        lb
        ⁡
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {lb} (x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\operatorname {lb} (x_{1})+\operatorname {lb} (x_{2})+\dots +\operatorname {lb} (x_{n})}
  ։Կապը տասնորդական և բնական լոգարիթմների միջև․

  
    
      
        lb
        ⁡
        x
        ≈
        1,442
        695
        ln
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {lb} x\approx 1{,}442695\ln x}
  

  
    
      
        lb
        ⁡
        x
        ≈
        3,321
        928
        lg
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {lb} x\approx 3{,}321928\lg x}
  ։


== Երկուական լոգարիթմական ֆունկցիա ==
Եթե լոգարիթմվող թիվը դիտարկենք որպես փոփոխակն, ապա կստանանք 
  
    
      
        y
        =
        lb
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\operatorname {lb} x}
   լոգարիթմական ֆունկցիան։ Այն որոշվածէ բոլոր 
  
    
      
        x
        >
        0
      
    
    {\displaystyle x>0}
   համար, արժեքների տիրույթն է՝  
  
    
      
        E
        (
        y
        )
        =
        (
        −
        ∞
        ;
        +
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}
  ։ Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը հաճախ անվանում են լոգարիթմական, որը 
  
    
      
        y
        =
        
          2
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle y=2^{x}}
   ֆունկցիայի համար հակադարձ ֆունկցիա է։ Ֆունկցիան մոնոտոն աճող է, անընդհատ և դիֆերենցելի է ամենուրեք, որտեղ նա որոշված է։Ածանցյալի բանաձևն է․

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        lb
        ⁡
        x
        =
        
          
            
              lb
              ⁡
              e
            
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {lb} x={\frac {\operatorname {lb} e}{x}}}
  Աբցիսների առանցքը՝ 
  
    
      
        (
        x
        =
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (x=0)}
   հանդիսանում է հորիզոնական ասիմպտոտ, քանի որ․

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
            +
            0
          
        
        lb
        ⁡
        x
        =
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0+0}\operatorname {lb} x=-\infty }
  ։


== Կիրառությունը ==


=== Ինֆորմացիայի տեսություն ===

  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   բնական թվի երկուական լոգարիթմը հնարավորություն է տալիս հաշվելու 
  
    
      
        b
        (
        N
        )
      
    
    {\displaystyle b(N)}
   թվի թվանշանների քանակը այդ թվի համակարգչային ներկայացման մեջ․

  
    
      
        b
        (
        N
        )
        =
        ⌊
        lb
        ⁡
        N
        ⌋
        +
        1
      
    
    {\displaystyle b(N)=\lfloor \operatorname {lb} N\rfloor +1}
   (փակագիծը նշանակում է թվի ամբողջ մասը)։


=== Կոմբինատորիկա ===
Եթե երկուական ծառը պարունակում է 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   հանգույց, ապա նրա բարձրությունը փոքր չէ  
  
    
      
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        n
      
    
    {\displaystyle \log _{2}n}
   (հավասարություն կստացվի այն դեպքում, երբ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը հանդիսանում է   2-ի աստիճան)։


=== Այլ կիրառություններ ===
Օլիմպիական խաղերի օղակների թիվը հավասար է մրցումների մասնակիցների թվի երկուական լոգարիթմին։
Երաժշտության մեջ, որպեսզի որոշվի, թե քանի մասի է բաժանվում օկտավան, անհրաժեշտ է որոշել 
  
    
      
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        
          
            3
            2
          
        
        ≈
        0,585
      
    
    {\displaystyle \log _{2}{\frac {3}{2}}\approx 0{,}585}
   թվի ռացիոնալ մոտարկումը։ Եթե այն վերածվի սովորական կոտորակի՝ (7/12) ապա կհիմնավորվի օկտավան 12 կիսատոների դասական բաժանումը ։


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.


== Արտաքին հղումներ ==
Таблица двоичных логарифмов целых чисел от 1 до 100. Archived 2019-08-12 at the Wayback Machine.