Էլիպսոիդ

Էլիպսոիդ, եռաչափ տարածության մեջ մակերևույթ, որը ստացվում է երեք փոխուղղահայաց առանցքների երկայնքով գնդի դեֆորմացիայով։ Էլիպսոիդի կանոնական հավասարումը դեկարտյան կոորդինատներով, որոնք համապատասխանում են էլիպսոիդի դեֆորմացիայի առանցքներին.

  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        =
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,}
   որտեղ 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  -ն՝ կամայական դրական թվեր են։A, b, c-ի մեծությունները կոչվում են էլիպսոիդի կիսաառանցքներ։ Էլիպսոիդն իրենից ներկայացնում է երկրորդ կարգի մակերեսների հնարավոր ձևերից մեկը։
Այն դեպքում, երբ կիսաառանցքների զույգն ունի նույն երկարությունը, էլիպսոիդը կարող է ստացվել էլիպսի իր առանցքներից մեկի շուրջ պտույտից։ Նման էլիպսոիդը անվանում են պտտման էլիպսոիդ։
Էլիպսոիդն Երկիր մակերևույթի ավելի վառ օրինակ է, քան՝ գունդը։
Էլիպսոիդի պարամետրական հավասարումն է.

  
    
      
        
          
            
              
                x
              
              
                
                =
                a
                sin
                ⁡
                (
                θ
                )
                cos
                ⁡
                (
                φ
                )
                ,
              
            
            
              
                y
              
              
                
                =
                b
                sin
                ⁡
                (
                θ
                )
                sin
                ⁡
                (
                φ
                )
                ,
              
            
            
              
                z
              
              
                
                =
                c
                cos
                ⁡
                (
                θ
                )
                ,
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sin(\theta )\cos(\varphi ),\\y&=b\sin(\theta )\sin(\varphi ),\\z&=c\cos(\theta ),\end{aligned}}\,\!}
  որտեղ

  
    
      
        0
        ≤
        θ
        ≤
        π
        ,
        
        0
        ≤
        φ
        <
        2
        π
        :
      
    
    {\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi :}
  Պտտման էլիպսոիդի մակերևույթի մակերեսն է.

  
    
      
        S
        =
        4
        π
        
          b
          
            2
          
        
        
          (
          
            1
            +
            
              
                2
                3
              
            
            
              e
              
                2
              
            
            +
            
              
                3
                5
              
            
            
              e
              
                4
              
            
            +
            
              
                4
                7
              
            
            
              e
              
                6
              
            
            +
            .
            .
            .
            +
            
              
                
                  k
                  +
                  1
                
                
                  2
                  k
                  +
                  1
                
              
            
            
              e
              
                2
                k
              
            
            +
            .
            .
            .
          
          )
        
        :
      
    
    {\displaystyle S=4\pi b^{2}\left(1+{\frac {2}{3}}e^{2}+{\frac {3}{5}}e^{4}+{\frac {4}{7}}e^{6}+...+{\frac {k+1}{2k+1}}e^{2k}+...\right):}
  Տարրական ֆունկցիաներով՝

  
    
      
        
          S
          
            
              o
              b
              l
              a
              t
              e
            
          
        
        =
        2
        π
        
          a
          
            2
          
        
        
          (
          
            1
            +
            
              
                
                  1
                  −
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                
                e
              
            
            
              a
              r
              t
              h
            
            
            e
          
          )
        
        
        
          
            ,
          
        
        
        
          e
          
            2
          
        
        =
        1
        −
        
          
            
              c
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        
        (
        c
        <
        a
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle S_{\rm {oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\mathrm {arth} \,e\right)\quad {\mbox{,}}\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\quad (c<a),}
  

  
    
      
        
          S
          
            
              p
              r
              o
              l
              a
              t
              e
            
          
        
        =
        2
        π
        
          a
          
            2
          
        
        
          (
          
            1
            +
            
              
                c
                
                  a
                  e
                
              
            
            
              sin
              
                −
                1
              
            
            ⁡
            e
          
          )
        
        
        
        
          
            ,
          
        
        
        
        
          e
          
            2
          
        
        =
        1
        −
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
        (
        c
        >
        a
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle S_{\rm {prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\sin ^{-1}e\right)\quad \qquad {\mbox{,}}\;\quad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}\quad (c>a),}
  Oblate, prolate համապատասխանաբար սեղմում և ձգում։
Էլիպսոիդ է կոչվում նաև էլիպսոիդի մակերևույթով սահմանափակված մարմինը։ Էլիպսոիդի ծավալն է.

  
    
      
        V
        =
        
          
            4
            3
          
        
        π
        a
        b
        c
        :
      
    
    {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc:}
  
		
		
		


== Գրականություն ==
Бобылёв Д. К., (1890–1907)։ «Эллипсоид»։ Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ)։ Սանկտ Պետերբուրգ 
Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф., Высшая математика. Первый семестр / интерактивный компьютерный учебник.


== Ծանոթագրություններ ==