Հիպերբոլ


=== Սահմանում ===
Հիպերբոլ կոչվում է հարթության այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց հեռավորությունների տարբերության մոդուլը տրված երկու 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
   և 
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
   կետերի (որոնք կոչվում են հիպերբոլի ֆոկուսներ կամ կիզակետեր) հաստատուն է՝ ‎|‎ P 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
   - P
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
   | =2a, a>0===

 ‎

  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
   
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
   հատվածի երկարությունը, որը կնշանակենք 2c-ով, կոչվում է ֆոկուսային հեռավորություն, իսկ 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
   
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
  -ի միջնակետը՝ հիպերբոլի կենտրոն։
Հարթության վրա ուղղանկյուն կորդինատային համակարգն ընտրենք այնպես, որ Ox առանցքն անցնի 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
   և 
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
   կետերով, իսկ Oy առանցքը՝ 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
   
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
  -ի միջնակետով (դիտել նկարը)։
Այդ դեպքում 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
   և 
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
   կետերի կոորդինատները համապատասխանաբար կլինեն (-c;0) և (c;0)։ 
Դիցուք M(x;y)-ը հիպերբոլի կամայական կետ է. ըստ պարաբոլի սահմանման՝

‎|‎ P 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
   - P
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
   | =2a

կամ

P
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
   - P
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
  = ± 2a

Օգտվելով երկու կետերի հեռավորության բանաձևից՝ ստանում ենք՝ 

  
    
      
        
          
            (
            x
            +
            c
            
              )
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}
   - 
  
    
      
        
          
            (
            x
            −
            c
            
              )
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}
  = ± 2a (1)

Սա էլ հենց հանդիսանում է հիպերբոլի հավասարումը ընտրված կոորդինատային համակարգում։ Երկրորդ գումարելին 
տանենք հավասարման աջ մաս և երկու կողմը բարձրացնենք քառակուսի, 

  
    
      
        (
        x
        +
        c
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        4
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}}
   ± 4a
  
    
      
        
          
            (
            x
            −
            c
            
              )
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}
  
  
    
      
        +
        (
        x
        −
        c
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle +(x-c)^{2}+y^{2}}
  

Պարզ ձևափոխություններից հոտո ստանում ենք `

  
    
      
        (
        
          c
          
            2
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        )
        
          x
          
            2
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        
          y
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        (
        
          c
          
            2
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (c^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2})}
  

Քանի որ ( ըստ եռանկյան անահավասարության ) c>a, ապա 
  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle c^{2}-a^{2}>0}
  :Նշանակելով 
  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}}
  , կստանանք

  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        
          y
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}}
  

Կամ

  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
  , (2) 

որը կոչվում է հիպերբոլի կանոնական հավասարում։Ինչպես և էլիպսի դեպքում, կարելի է ցույց տալ, որ ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը (2)-ին բավարարող ցանկացած M(x;y) կետ բավարարում է նաև (1)-ին։
Ox առանցքը կոչվում է հիպերբոլի իրական առանցք Oy-ը` կեղծ առանցք։
2a-ն և 2b-ն կոչվում են հիպերբոլի իրական և կեղծ առանցքների երկարություններ։ w = 
  
    
      
        
          
            c
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {c}{a}}}
   -ն (որտեղ՝ w=ε) կոչվում է հիպորբոլի էքսցենտրիսիտետ։ Էլիպսի և հիպերբոլի համար x = - 
  
    
      
        
          
            a
            w
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{w}}}
   (որտեղ՝ w=ε) և x = 
  
    
      
        
          
            a
            w
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{w}}}
   (որտեղ՝ w=ε) ուղիղնեռը կոչվում են դիրեկտրիստներ։