Իզոմորֆություն (մաթեմատիկա)

Իզոմորֆություն մաթեմատիկայում, ժամանակակից մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից։ Կազմավորվել, ձևակերպվել է որպես հանրահաշվական հասկացություն (խմբերի տեսության մեջ), սակայն էական նշանակություն է ստացել մաթեմատիկայի տարբեր բաժինների կառուցվածքը և կիրառման հնարավոր ոլորտը ընդհանուր տեսանկյունից հասկանալու համար։ Իզոմորֆություն հասկացությունը վերաբերում է որոշակի կառուցվածքով օժտված բազմություններին (խմբերին, դաշտերին և այլն)։ Իզոմորֆ օբյեկտների տարրական օրինակ են բոլոր իրական թվերի 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   բազմությունը՝ օժտված գումարման գործողությամբ, և դրական թվերի 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
   բազմությունը՝ օժտված բազմապատկման գործողությամբ։ Այս երկու օբյեկտների ներքին կառուցվածքը որոշակի իմաստով նույնն է։ Իրոք, եթե 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   բազմությունը արտապատկերենք 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
   բազմության վրա՝ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   թվին համապատասխանեցնելով 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  =
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  x թիվը (
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  >
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  ), ապա 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  =
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  1+
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  2 գումարին կհամապատասխանի 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  =
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  1
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  2 արտադրյալը, ուր 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  1=
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  1 և 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  2=
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  2 թվերը համապատասխանում են 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  1 և 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  2 թվերին։ Հակադարձ արտապատկերումն ունի 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  =
  
    
      
        l
        o
        g
      
    
    {\displaystyle log}
  
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   տեսքը։ 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  -ի տարրերի գումարմանը վերաբերող յուրաքանչյուր առաջադրությանը կարելի է համապատասխանեցնել 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  -ի տարրերի բազմապատկմանը վերաբերող որոշակի առաջադրություն։ Օրինակ, 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  -ում 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  =
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  1+
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  2+...+x
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   թվաբանական պրոգրեսիայի անդամների գումարը արտահայտվում է Sn=
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  (
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  +
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  )/
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
   բանաձևով, իսկ 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  -ում 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  =
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
  ...
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների արտադրյալը՝ 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  n=
  
    
      
        
          
            (
            
              y
              
                1
              
            
            
              y
              
                n
              
            
            
              )
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {(y_{1}y_{n})^{n}}}}
   բանաձևով (
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  -ում ո-ով բազմապատկելուն և 
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
  -ի բաժանելուն համապատասխանում են 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  -ում ո-րդ աստիճան բարձրացնելը և քառակուսի արմատ հանելը)։ Իզոմորֆության ընդհանուր սահմանումը տրվում է կատեգորիաների տեսության մեջ։ Մասնավորապես B և B՛ բազմությունները, օժտված համապատասխանաբար Տ և Տ՛ որոշակի կառուցվածքներով, կոչվում են իզոմորֆ, եթե դրանց միջև գոյություն ունի այնպիսի փոխմիարժեք համապատասխանություն, որի դեպքում Տ և Տ՝ կառուցվածքները փոխհամապատասխանում են միմյանց։ Համապատասխանությունը կոչվում է իզոմորֆ արտապատկերում կամ իզոմորֆություն։ Յուրաքանչյուր մաթեմատիկական տեսության աքսիոմները որոշում են այդ տեսությամբ ուսումնասիրվող օբյեկտները միայն իզոմորֆության ճշտությամբ, և ստացված արդյունքները հավասարապես վերաբերում են բոլոր իզոմորֆ օբյեկտներին։ Այդ իսկ պատճառով աքսիոմատիկական տեսությունը կարող է ունենալ տարբեր մեկնաբանություններ կամ մոդելներ (օրինակ, Լոբաչևսկու երկրաչափությունը)։ Տոպոլոգիայում իզոմորֆության տերմինի հանգունակն է հոմեոմորֆիզմը, բազմությունների տեսությունում՝ բիյեկցիան։