Մեկ փոփոխականի քառակուսային ֆունկցիա

Քառակուսային ֆունկցիա, երկրորդ աստիճանի ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիա։ 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
      
    
    {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
   հավասարումը քառակուսային ֆունկցիա է և պարունակում է քառակուսի եռանդամ, որտեղ 
  
    
      
        a
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a\neq 0}
   և  
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }
   ։ Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլ է։ Քառակուսային ֆունկցիայի շատ հատկություններ կապված են պարաբոլի գագաթի հետ, որը որոշում է գրաֆիկի դիրքը և տեսքը։


== Հիմնական հատկություններ ==
Քառակուսային 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
      
    
    {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
    ֆունկցիայի շատ հատկություններ կախված են 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   գործակցի արժեքից։ Հետևյալ աղյուսակը ամփոփում է քառակուսի ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները։


== Գործակիցների ազդեցությունը գրաֆիկի ձևափոխության վրա ==


=== Քառակուսյին ֆունկցիայի գրառման ստանդարտ ձև ===


===  ===

  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  , 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   и 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
    իրական թվերը քառակուսի ֆունկցիայի ընդհանուր արձանագրման մեջ կոչվում են նրա գործակիցներ։ Այս դեպքում a գործակիցը ընդունված է անվանել ավագ, իսկ c  գործակիցը՝ ազատ։ Յուրաքանչյուր գործակցի փոփոխությունը հանգեցնում է պարաբոլի որոշակի փոխակերպումների։
a գործակցի արժեքով կարելի է դատել այն մասին, թե որ ուղղությամբ են ուղղված նրա ճյուղերը (վեր կամ վար) և գնահատել դրա ձգման կամ սեղմման աստիճանը օրդինատների առանցքի նկատմամբ։
Եթե 
  
    
      
        a
        >
        0
      
    
    {\displaystyle a>0}
  , ապա պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են դեպի վեր, այսինքն, նրա գագաթը գտնվում է ներքևում։
Եթե 
  
    
      
        a
        <
        0
      
    
    {\displaystyle a<0}
  , ապա պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են ներքև, այսինքն, նրա գագաթը գտնվում է վերևում։
Եթե 
  
    
      
        
          |
        
        a
        
          |
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle |a|<1}
  , ապա պարաբոլը սեղմվում է օրդինատների առանցքի վրա, այսինքն, կարծես ավելիկ այն է և հարթ։
Եթե 
  
    
      
        
          |
        
        a
        
          |
        
        >
        1
      
    
    {\displaystyle |a|>1}
  , ապա պարաբոլը ձգվել է օրդինատների առանցքի վրա, այսինքն, կարծես ավելի նեղ է և կտրուկ։
a գործակցի արժեքի ազդեցությունը առավել պարզապես թույլ է տալիս ցույց պատկերացնել ֆունկցիայի տեսքը կախված գործակցի արժեքից, այսինքն, այն դեպքում, երբ b=0 և C=0, ապա
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        a
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=ax^{2}}
  ։ Այն դեպքում, երբ 
  
    
      
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a=0}
   քառակուսի ֆունկցիան վերածվում է գծայինի։
c գործակիցը բնութագրում է պարաբոլայի զուգահեռ տեղափոխությունը օրդինատների առանցքի նկատմամբ (այսինքն՝ վեր կամ վար)։ Այս գործակցի արժեքը 1-ով բարձրացնելու դեպքում գրաֆիկը տեղափոխում է 1-ով։ Համապատասխանաբար, եթե դուք նվազեցնել գործակիցը պարաբոլը կտեղափոխվի ներքև։ Քանի որ, 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   գործակիցը նույնպես ազդում է պարաբոլայի վերին դիրքի վրա, ապա միայն c գործակցի արժեքից չի կարելի դատել այն մասին, թե արդյոք գագաթը գտնվում է աբսցիսների առանցքից բարձր կամ ցածր։

Ցանկացած 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
      
    
    {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
   տեսքի քառակուսային ֆունկցիայի ձևափոխումը 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        a
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}}
   տեսքի, թույլ է տալիս օգտվել երկանդամների կրճատ բազմապատկման բանաձևերից։

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
      
    
    {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
  

  
    
      
        =
        a
        ⋅
        
          (
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              
                b
                a
              
            
            ⋅
            x
          
          )
        
        +
        c
      
    
    {\displaystyle =a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x\right)+c}
  

  
    
      
        =
        a
        ⋅
        
          (
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              
                b
                a
              
            
            ⋅
            x
            +
            
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                
                  4
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            −
            
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                
                  4
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        +
        c
      
    
    {\displaystyle =a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)+c}
  

  
    
      
        =
        a
        ⋅
        
          (
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            2
            ⋅
            x
            ⋅
            
              
                b
                
                  2
                  a
                
              
            
            +
            
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                
                  4
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        −
        
          
            
              b
              
                2
              
            
            
              4
              a
            
          
        
        +
        c
      
    
    {\displaystyle =a\cdot \left(x^{2}+2\cdot x\cdot {\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c}
  

  
    
      
        =
        a
        ⋅
        
          
            (
            
              x
              +
              
                
                  b
                  
                    2
                    a
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              −
              
                b
                
                  2
                
              
            
            
              4
              a
            
          
        
        +
        
          
            
              4
              a
              c
            
            
              4
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle =a\cdot \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}}{4a}}+{\frac {4ac}{4a}}}
  

  
    
      
        =
        a
        ⋅
        
          
            (
            
              x
              −
              
                
                  
                    −
                    b
                  
                  
                    2
                    a
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              −
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              4
              a
              c
            
            
              4
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle =a\cdot \left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}}
  

  
    
      
        =
        a
        ⋅
        
          
            (
            
              x
              −
              
                x
                
                  0
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle =a\cdot \left(x-x_{0}\right)^{2}+y_{0}}
  , где 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        =
        
          
            
              −
              b
            
            
              2
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}={\frac {-b}{2a}}}
   и 
  
    
      
        
          y
          
            0
          
        
        =
        
          
            
              −
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              4
              a
              c
            
            
              4
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle y_{0}={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}}
  


== Ֆունկցիայի զրոներ ==

Քառակուսային ֆունկցիան երկրորդ աստիճանի ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիա է, ուստի այն կարող է ունենալ ոչ ավելի, քան երկու զրոներ իրական տիրույթում։
Առանց համապատասխան քառակուսի հավասարման լուծման, քառակուսային ֆունկցիայի զրոները որոշելը հնարավոր է դիսկրիմինանտի հաշվման միջոցով։

Անկախ դիսկրիմինանտի որոշմանձևից ճիշտ են հետևյալ պնդումները․

Եթե  
  
    
      
        D
        =
        0
      
    
    {\displaystyle D=0}
  , ապա պարաբոլի գագաթի աբսցիսը կլինի ֆունկցիայի միակ զրոն։
Եթե 
  
    
      
        D
        >
        0
      
    
    {\displaystyle D>0}
  , ապա ֆունկցիան ունի աբսցիսների առանցքի հետ երկու հատման կետ,այսինքն երկու զրո։
Եթե  
  
    
      
        D
        <
        0
      
    
    {\displaystyle D<0}
  , ապա ֆունկցիան զրոներ չունի, քանի որ գրաֆիկը չի հատվում աբսցիսների առանցքի հետ։
Օրինակ,  
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        2
        
          x
          
            2
          
        
        +
        8
        x
        +
        5
      
    
    {\displaystyle f(x)=2x^{2}+8x+5}
   ֆունկցիայի համար՝
  
    
      
        D
        =
        
          b
          
            2
          
        
        −
        4
        a
        c
        =
        
          8
          
            2
          
        
        −
        4
        ⋅
        2
        ⋅
        5
        =
        64
        −
        40
        =
        24
        >
        0
      
    
    {\displaystyle D=b^{2}-4ac=8^{2}-4\cdot 2\cdot 5=64-40=24>0}
  .Սա նշանակում է,որ տվյալ ֆունկցիան ունի երկու իրական  զրոներ։


== Դրսևորումներ գործնականում ==

Ազատ անկում կատարող մարմնի բարձրության կախումը ժամանակից․
Շրջանի չափերի կախումը իր գծային չափերից օրինակ՝ շառավղից։
Հավասարաչափ փոփոխական շարժման տեղափոխության կախումը ժամանակից։


== Տես նաև ==
Քառակուսային եռանդամ
Պարաբոլ


== Ծանոթագրություն ==


== Գրականություն ==
Сканави М.И. График квадратного трёхчлена // Элементарная математика. — 2-е изд., перераб. и доп. — М., 1974. — С. 130—133. — 592 с.
Каплан И.А. Тридцать третье практическое занятие (экстремум квадратичной функции) // Практические занятия по высшей математике. — 3-е изд. — Харьков, 1974. — С. 449—451.