Թեյլորի շարք

Թեյլորի շարք, մաթեմատիկայում ֆունկցիան անվերջ շարքի տեսքով ներկայացում, որի անդամները ստացվում են որոշակի կետում ֆունկցիայի տարբեր կարգի ածանցյալների արժեքներից։
Թեյլորի շարքի հասկացությունը ձևակերպել է շոտլանդացի մաթեմատիկոս Ջեյմս Գրեգորին, սակայն ֆորմալ ներկայացրել է անգլիացի մաթեմատիկոս Բրուկ Թեյլորը 1715 թվականին։ Եթե Թեյլորի շարքի կենտրոնը 0-ն է, այն նաև կոչվում է Մակլորենի շարք՝ ի պատիվ շոտլանդացի մաթեմատիկոս Քոլին ՄաքԼորինի, որը 18-րդ դարում լայնորեն օգտագործել է Թեյլորի շարքի մասնավոր դեպքերը։
Ֆունկցիան կարելի է մոտարկել՝ օգտագործելով իր՝ Թեյլորի շարքի վերջավոր քանակությամբ անդամներ։ Թեյլորի թեորեմը նման մոտարկման համար քանակական գնահատական է տալիս։ Թեյլորի շարքերի վերջավոր քանակությամբ անդամներով կազմված բազմանդամը կոչվում է Թեյլորի բազմանդամ։ Ֆունկցիայի Թեյլորի շարքն այդ ֆունկցիայի Թեյլորի բազմանդամի սահմանն է, երբ աստիճանն աճում է, եթե սահմանը գոյություն ունի։ Ֆունկցիան կարող է հավասար չլինել իր Թեյլորի շարքին, նույնիսկ եթե Թեյլորի շարքը ցանկացած կերտում զուգամետ է։ Այն ֆունկցիաները, որոնք բաց միջակայքում (կամ շրջան կոմպլեքս հարթությունում) հավասար են իրենց Թեյլորի շարքին, կոչվում են անալիտիկ ֆունկցիաներ այդ միջակայքում։


== Սահմանում ==

  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետում ցանկացած կարգի ածանցյալ ունեցող իրական կամ կոմպլեքս 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիայի Թեյլորի շարքն աստիճանային շարք է,

  
    
      
        f
        (
        a
        )
        +
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              a
              )
            
            
              1
              !
            
          
        
        (
        x
        −
        a
        )
        +
        
          
            
              
                f
                ″
              
              (
              a
              )
            
            
              2
              !
            
          
        
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              
                f
                ‴
              
              (
              a
              )
            
            
              3
              !
            
          
        
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            3
          
        
        +
        ⋯
        ,
      
    
    {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots ,}
  կամ

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                f
                
                  (
                  n
                  )
                
              
              (
              a
              )
            
            
              n
              !
            
          
        
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n},}
  որտեղ 
  
    
      
        n
        !
      
    
    {\displaystyle n!}
  -ը 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ի ֆակտորիալն է, իսկ 
  
    
      
        
          f
          
            (
            n
            )
          
        
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle f^{(n)}(a)}
  -ը 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետում 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -րդ կարգի ածանցյալն է։ Ըստ սահմանման՝ 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ի 0-րդ ածանցյալը հավասար է հենց 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ին, իսկ 
  
    
      
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle (x-a)^{0}}
  -ը և 
  
    
      
        0
        !
      
    
    {\displaystyle 0!}
  -ը՝ 1-ի։ 
  
    
      
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a=0}
   դեպքում շարքը կոչվում է Մակլորենի շարք։


== Օրինակներ ==
Բազմանդամի Թեյլորի շարքը հենց այդ բազմանդամն է։

  
    
      
        
          
            1
            
              1
              −
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}}
  -ի Մակլորենի շարքը երկրաչափական շարք է

  
    
      
        1
        +
        x
        +
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            3
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots }
  հետևաբար՝ 
  
    
      
        a
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a=1}
   կետում 
  
    
      
        
          
            1
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{x}}}
  -ի Թեյլորի շարքն է՝

  
    
      
        1
        −
        (
        x
        −
        1
        )
        +
        (
        x
        −
        1
        
          )
          
            2
          
        
        −
        (
        x
        −
        1
        
          )
          
            3
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots }
  :Ինտեգրելով այս շարքը՝ ստանում ենք,  
  
    
      
        ln
        ⁡
        
          (
          1
          −
          x
          )
        
      
    
    {\displaystyle \ln {(1-x)}}
  -ի, Մակլորենի շարքը, որտեղ 
  
    
      
        ln
      
    
    {\displaystyle \ln }
  -ը բնական լոգարիթմն է

  
    
      
        −
        x
        −
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        −
        
          
            
              1
              3
            
          
        
        
          x
          
            3
          
        
        −
        
          
            
              1
              4
            
          
        
        
          x
          
            4
          
        
        −
        ⋯
      
    
    {\displaystyle -x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^{4}-\cdots }
  Համապատասխանաբար՝ 
  
    
      
        a
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a=1}
   կետում 
  
    
      
        log
        ⁡
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \log {x}}
  -ի Թեյլորի շարքն է՝

  
    
      
        (
        x
        −
        1
        )
        −
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        (
        x
        −
        1
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              1
              3
            
          
        
        (
        x
        −
        1
        
          )
          
            3
          
        
        −
        
          
            
              1
              4
            
          
        
        (
        x
        −
        1
        
          )
          
            4
          
        
        +
        ⋯
        ,
      
    
    {\displaystyle (x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,}
  Ընդհանուր առմամբ, զրոյից տարբեր կամայական 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետում 
  
    
      
        ln
        ⁡
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \ln {x}}
   ֆունկցիայի Թեյլորի շարքն է

  
    
      
        ln
        ⁡
        a
        +
        
          
            1
            a
          
        
        (
        x
        −
        a
        )
        −
        
          
            1
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                (
                
                  x
                  −
                  a
                
                )
              
              
                2
              
            
            2
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \ln a+{\frac {1}{a}}(x-a)-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+\cdots }
  ։
  
    
      
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a=0}
   կետում  
  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{x}}
   ցուցչային ֆունկցիայի Թեյլորի շարքն ունի

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        n
                      
                    
                    
                      n
                      !
                    
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      x
                      
                        0
                      
                    
                    
                      0
                      !
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        1
                      
                    
                    
                      1
                      !
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    
                      2
                      !
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    
                      3
                      !
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        4
                      
                    
                    
                      4
                      !
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        5
                      
                    
                    
                      5
                      !
                    
                  
                
                +
                ⋯
              
            
            
              
              
                
                =
                1
                +
                x
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    6
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        4
                      
                    
                    24
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        5
                      
                    
                    120
                  
                
                +
                ⋯
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}&={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\end{aligned}}}
  տեսքը, քանի որ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի նկատմամբ 
  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{x}}
  -ի ածանցյալը հավասար է 
  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{x}}
  -ի, իսկ 
  
    
      
        
          e
          
            0
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle e^{0}=1}
  ։ Արդյունքում՝ համարիչն ունենում է 
  
    
      
        (
        x
        −
        0
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (x-0)^{n}}
   տեսքը, իսկ հայտարարը՝ 
  
    
      
        n
        !
      
    
    {\displaystyle n!}
  ։


== Պատմություն ==
Հույն փիլիսոփա Զենոն Էլեացին քննարկել է անվերջ շարքի անդամները գումարելով վերջավոր արժեք ստանալու խնդիրը, սակայն այն անհնար է համարել, ինչի արդյունքն է Զենոնի պարադոքսը։ Հետագայում, Արիստոտելը ներկայացրել է պարադոքսի փիլիսոփայական լուծումը, բայց մաթեմատիկական մասը չլուծված է մնացել մինչև Արքիմեդեսի սպառման մեթոդի մշակումը։ Լիու Հուին դարեր անց անկախ մշակել է նման մեթոդ։
14-րդ դարում Թեյլորի շարքի և նման մեթոդների առաջին օրինակները տվել է հնդիկ մաթեմատիկոս Մադհավա Սանգամագրամացին։ Չնայած իր աշխատանքները չեն պահպանվել, հետագա հնդիկ մաթեմատիկոսների գրառումները վկայում են, որ նա գտել է Թեյլորի շարքի մի քանի մասնավոր դեպքեր, ներառյալ՝ սինուս, կոսինուս, տանգես և արկտանգես եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ներկայացումը։ Աստղագիտության և մաթեմատիկայի Կերալա դպրոցը մինչև 16-րդ դարը համալրել է այս ֆունկցիաների ցանկը։
17-րդ դարում Ջեյմս Գրեգորին աշխատել է այս բնագավառում և հրատարակել է որոշ Մակլորանի շարքեր։ 1715 թվականին Բրուկ Թեյլորը, որի անվամբ հետագայում կոչվել են այս շարքերը, ապացուցել է ցանկացած ֆունկցիայի համար այս շարքը գտնելու ընդհանուր մեթոդը (եթե նման շարք գոյություն ունի)։
Մակլորանի շարքերը կոչվել են Էդինբուգի պրոֆեսոր Քոլին Մակլորենի անվամբ, որը 18-րդ դարում հրատարակել է Թեյլորի շարքի մասնավոր դեպք։


== Անալիտիկ ֆունկցիաներ ==

Եթե 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիան տրված է որևէ աստիճանային շարքով, կոմպլեքս հարթության 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   կենտրոնով  ինչ-որ բաց շրջանում (կամ բաց միջակայքում), որը զուգամետ է, ապա կասենք, որ ֆունկցիան այս շրջանում անալիտիկ է։ Այլ կերպ ասած, այս շրջանի 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի համար ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝
Այս բանաձևն ըստ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   անգամ ածանցնելով և 
  
    
      
        x
        =
        b
      
    
    {\displaystyle x=b}
   տեղադրելով կստանանք՝

  
    
      
        
          
            
              
                f
                
                  (
                  n
                  )
                
              
              (
              b
              )
            
            
              n
              !
            
          
        
        =
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}}
  այսինքն, աստիճանային շարքը հավասար է Թեյլորի շարքին։ Այսպիսով, ֆունկցիան 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   կենտրոնով բաց շրջանում անալիտիկ է այն և միայն այն դեպքում, երբ ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը շրջանի կամայական կետում զուգամիտում է ֆունկցիայի արժեքին։
Եթե 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիան կոմպլեքս հարթության կամայական կետում հավասար է իր Թեյլորի շարքին, ուրեմն ֆունկցիան կոչվում է ամբողջական ֆունկցիա։ Բազմանդամները, ցուցչային 
  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{x}}
   ֆունկցիան, և եռանկյունաչափական սինուս և կոսինուս ֆունկցիաներն ամբողջական ֆունկցիաների օրինակներ են։ Լոգարիթմը, տանգեսը, արկտանգեսը ոչ ամբողջական ֆունկցիաների օրինակներ են։ Այս ֆունկցիաների դեպքում Թեյլորի շարքը չի զուգամիտում, եթե 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը շատ հեռու է 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   կետից։ Այլ կերպ ասած, Թեյլորի շարքը տարամիտում է, երբ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   կետերի միջև հեռավորությունը մեծ է զուգամիտության շառավղից։ Թեյլորի շարքը կարող է օգտագործվել ամբողջական ֆունկցիաների արժեքը կամայական կետում հաշվելու համար, եթե որևէ կետում ֆունկցիայի և նրա բոլոր ածանցյալների արժեքը հայտնի է։
Թեյլորի շարքի կիրառություններից են՝

Թեյլորի բազմանդամի մասնակի անդամների գումարը կարող է օգտագործվել ֆունկցիայի մոտարկման համար։ Այս մոտարկումները լավ են, եթե բավարար քանակությամբ անդամներ են ներառվում։
Աստիճանային շարքերը կարելի է անդամ առ անդամ ածանցել և ինտեգրել, ինչը սովորաբար ավելի հեշտ է։
Կոմպլեքս հարթության բաց շրջանում անալիտիկ ֆունկցիան միակորեն ընդլայնվում է հոլոմորֆ ֆունկցիայի։ Սա կարևոր դեր ունի կոմպլեքս անալիզում։
Շարքի առաջին վերջավոր թվով անդամներն օգտագործվում են ֆունկցիաների արժեքը մոտարկելու համար։
Հարնահաշվական գործողությունները հեշտորեն կարել է կատարել աստիճանային շարքերի ներկայացման հետ․ օրինակ՝ Էյլերի բանաձևը հետևում է եռանկյունաչափական և աստիճանային ֆունկիցաների Թեյլորի շարքից։ Այս արդյունքը հիմնարար նշանակություն ունի այնպիսի բնագավառներում ինչպիսին է հարմոնիկ անալիզը։
Թեյլորի շարքի առաջին անդամներով մոտարկումներն այլ դեպքում անլուծելի խնդիրները կարող են սահմանափակված տիրույթում լուծելի դարձնել։ Այս մեթոդը հաճախ կիրառվում է ֆիզիկայում։


== Մոտարկման սխալ և զուգամիտում ==

Աջ կողմի գրաֆիկում ցույց է տրված 
  
    
      
        sin
        ⁡
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \sin {x}}
   ֆունկցայի մոտարկումը 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
   կետում։ Վարդագույն կորը 7-րդ կարգի Թեյլորի բազմանդամի գրաֆիկն է․

  
    
      
        sin
        ⁡
        
          (
          x
          )
        
        ≈
        x
        −
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              3
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                5
              
            
            
              5
              !
            
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                7
              
            
            
              7
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin \left(x\right)\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}}
  ։Այս մոտարկման սխալը չի գերազանցում 
  
    
      
        
          
            
              
                |
              
              x
              
                
                  |
                
                
                  9
                
              
            
            
              9
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {|x|^{9}}{9!}}}
  -ը։ Մասնավորապես՝ սխալը փոքր է 0.000003-ից, երբ 
  
    
      
        −
        1
        <
        x
        <
        1
      
    
    {\displaystyle -1<x<1}
  ։
Ի տարբերություն սինուս ֆունկցիայի, բնական լոգարիթմի ֆունկցիան ոչ բոլոր արժեքների դեպքում է լավ մոտարկվում իր Թեյլորի բազմանդամով։ Այսպես, աջ կողմի երկրորդ գրաֆիկում պատկերված է 
  
    
      
        ln
        ⁡
        
          (
          1
          +
          x
          )
        
      
    
    {\displaystyle \ln {(1+x)}}
   ֆունկցիան և 
  
    
      
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a=0}
   կետում դրա մի քանի Թեյլորի բազմանդամները։ Այս մոտարկումները զուգամիտում են ֆունկցիային միայն 
  
    
      
        −
        1
        <
        x
        ≤
        1
      
    
    {\displaystyle -1<x\leq 1}
   միջակայքում, որից դուրս գտնվող 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -երի համար ավելի բարձր կարգի բազմանդամներն ավելի վատ մոտարկումներ են 
  
    
      
        ln
        ⁡
        
          (
          1
          +
          x
          )
        
      
    
    {\displaystyle \ln {(1+x)}}
   ֆունկցիայի համար։ Ֆունկցիան իր Թեյլորի շարքով մոտարկելիս ստացված սխալը կոչում են մնացորդ և նշանակում են 
  
    
      
        
          R
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle R^{n}(x)}
  -ով։ Թեյլորի թեորեմի միջոցով հնարավոր է մոտարկել մնացորդը։
Ընդհանուր առմամբ, Թեյլորի շարքերը ոչ միշտ է զուգամիտում։ Իրականում զուգամետ Թեյլորի շարք ունեցող ֆունկցիաների բազմությունը ողորկ ֆունկցիաների բազմության Ֆրեշեի տարածությունում առաջին կատեգորիայի բազմություն է։ Նույնիսկ եթե 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը զուգամիտում է, դրա սահմանն անհրաժեշտորեն հավասար չէ 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  -ին։ Օրինակ՝

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    e
                    
                      −
                      
                        
                          1
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    եթե 
                  
                  x
                  ≠
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    եթե 
                  
                  x
                  =
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&{\text{եթե }}x\neq 0\\0&{\text{եթե }}x=0\end{cases}}}
  ֆունկցիան անվերջ ածանցելի է 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
   կետում, ընդ որում՝ այդ կետում բոլոր ածանցյալները հավասար են զրոյի։ Հետևաբար՝ 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
   կետում հաստատուն զրոյական ֆունկցիան է։ Սակայն, 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիան զրոյի հավասար չէ, հետևաբար սկզբնակետի շրջակայքում հավասար չէ իր Թեյլորի շարքին։ Այսպիսով, 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիան ոչ անալիտիկ ողորկ ֆունկցիայի օրինակ է։
Իրական անալիզում այս օրինակը ցույց է տալիս, որ գոյություն ունեն անվերջ ածանցելի 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիաներ, որոնց Թեյլորը շարքը հավասար չէ 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  -ին՝ նույնիսկ, եթե շարքը զուգամիտում է։ Ի տարբերություն սրա, կոմպլեքս անալիզում ուսումնասիրվող հոլոմորֆ ֆունկցիաները միշտ ունենում են զուգամիտող Թեյլորի շարք, և նույնիսկ մերոմորֆ ֆունկցիաների, որոնք կարող են եզակիություն ունենալ, Թեյլորի շարքը երբեք չի զուգամիտում ֆունկցիայի արժեքից տարբեր արժեքի։ Վերևում բերված օրինակը չի հակասում այս պնդմանը, քանի որ 
  
    
      
        
          e
          
            −
            
              
                1
                
                  z
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{-{\frac {1}{z^{2}}}}}
   ֆունկցիան չի ձգտում զրոյի, երբ 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  -ը ձգտում է զրոյի կոմպլեքս առանցքով, հետևաբար այն կոմպլեքս հարթությունում անընդհատ չէ և իր Թեյլորի շարքը սահմանված չէ 0 կետում։
Առհասարակ,  իրական և կոմպլեքս թվերի կամայական հաջորդականություն կարող է լինել իրական առանցքի վրա սահմանված անվերջ ածանցելի ֆունկցիայի՝ Թեյլորի շարքի գործակիցներ (Բորելի լեմմայի հետևանք)։ Արդյունքում, Թեյլորի շարքի զուգամիտության շառավիղը կարող է լինել զրո։ Նույնիսկ գոյություն իրական առանցքի վրա սահմանված ունեն անվերջ ածանցելի ֆունկցիաներ, որոնց Թեյլորի շարքի զուգամիտության շառավիղը զրո է կամայական կետում։
Հնարավոր չէ եզակի կետում ֆունկցիան ներկայացնել Թեյլորի շարքով․ այս դեպքերում հնարավոր է ֆունկցիան ներկայացնել շարքի տեսքով, եթե թույլատրվի 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   փոփոխականի բացասական ցուցիչով աստիճաններ (տես Լորանի շարք)։ Օրինակ` 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          e
          
            −
            1
            
              /
            
            
              x
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}
   ֆունկցիան հնարավոր է ներկայացնել Լորանի շարքով։


=== Ընդհանրացում ===
Գոյություն ունի Թեյլորի շարքի ընդհանրացում, որը 
  
    
      
        (
        0
        ,
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle (0,\infty )}
   միջակայքում կամայական սահմանափակ անընդհատ ֆունկցիայի համար զուգամիտում է ֆունկցիայի արժեքին՝ օգտվելով վերջավոր տարբերությունների հաշվից։ Մասնավորապես՝ Էինար Հիլլը կամայական 
  
    
      
        t
        >
        0
      
    
    {\displaystyle t>0}
   թվի համար ապացուցել է հետևյալ թեորեմը՝ 

  
    
      
        
          lim
          
            h
            →
            
              0
              
                +
              
            
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              t
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        
          
            
              
                Δ
                
                  h
                
                
                  n
                
              
              f
              (
              a
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        f
        (
        a
        +
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t)}
  ։Այստեղ 
  
    
      
        
          Δ
          
            h
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta _{h}^{n}}
  -ը 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
   չափի 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -րդ վերջավոր տարբերության օպերատորն է։ Այս շարքը Թեյլորի շարքից տարբերվում է նրանով, որ ածանցյալի փոխարեն օգտագործվում է վերջավոր տարբերություն․ շարքը նման է Նյուտոնի շարքին (տես Վերջավոր տարբերությունների հաշիվ)։ Եթե 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիան անալիտիկ է 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետում, ապա շարքի անդամները զուգամիտում են Թեյլորի շարքի անդամներին, հետևաբար՝ այս առումով ընդհանրացնում են սովորական Թեյլորի շարքը։
Ընդհանուր առմամաբ, կամայական 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}}
   անվերջ հաջորդականության համար ճիշտ է հետևյալ առնչությունը․ 

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              u
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        
          Δ
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        =
        
          e
          
            −
            u
          
        
        
          ∑
          
            j
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              u
              
                j
              
            
            
              j
              !
            
          
        
        
          a
          
            i
            +
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}}
  ։Մասնավորապես՝

  
    
      
        f
        (
        a
        +
        t
        )
        =
        
          lim
          
            h
            →
            
              0
              
                +
              
            
          
        
        
          e
          
            −
            
              
                t
                h
              
            
          
        
        
          ∑
          
            j
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        a
        +
        j
        h
        )
        
          
            
              
                (
                
                  
                    t
                    h
                  
                
                )
              
              
                j
              
            
            
              j
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-{\frac {t}{h}}}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {\left({\frac {t}{h}}\right)^{j}}{j!}}}
  ։Աջ կողմի շարքը 
  
    
      
        f
        (
        a
        +
        X
        )
      
    
    {\displaystyle f(a+X)}
   ֆունկցիայի մաթեմատիկական սպասումն է, որտեղ 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ը Պուասոնի բաշխմամբ պատահական փոփոխական է, որն ընդունում է 
  
    
      
        j
        h
      
    
    {\displaystyle jh}
   արժեքը 
  
    
      
        
          e
          
            −
            t
            
              /
            
            h
          
        
        
          
            
              (
              t
              
                /
              
              h
              
                )
                
                  j
                
              
            
            
              j
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{-t/h}{\frac {(t/h)^{j}}{j!}}}
   հավանականությամբ։ Հետևաբար՝

  
    
      
        f
        (
        a
        +
        t
        )
        =
        
          lim
          
            h
            →
            
              0
              
                +
              
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        a
        +
        x
        )
        d
        
          P
          
            
              
                t
                h
              
            
            ,
            h
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }f(a+x)dP_{{\frac {t}{h}},h}(x)}
  ։Այս նույնությունը ճիշտ է ըստ մեծ թվերի օրենքի։


== Որոշ հայտնի ֆունկցիաների Մակլորենի շարքերի ցանկ ==

Որոշ նշանավոր Մակլորենի շարքեր։ Այս բոլոր շարքերը վավեր են կոմպլեքս 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   արգումենտի համար։


=== Ցուցչային ֆունկցիա ===

  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{x}}
   ցուցչային ֆունկցիայի (
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
   հիմքով) Մակլորենի շարքն է՝

  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        =
        1
        +
        x
        +
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              2
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              3
              !
            
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }
  ։Այն զուգամենտ է ցանկացած 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի համար։


=== Բնական լոգարիթմ ===
Բնական լոգարիթմի (
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
   հիմքով) Մակլորենի շարքն է՝

  
    
      
        
          
            
              
                ln
                ⁡
                (
                1
                −
                x
                )
              
              
                
                =
                −
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        n
                      
                    
                    n
                  
                
                =
                −
                x
                −
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    2
                  
                
                −
                
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    3
                  
                
                −
                ⋯
                ,
              
            
            
              
                ln
                ⁡
                (
                1
                +
                x
                )
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                (
                −
                1
                
                  )
                  
                    n
                    +
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        n
                      
                    
                    n
                  
                
                =
                x
                −
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    3
                  
                
                −
                ⋯
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}}
  Որոնք զուգամետ են, երբ 
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle |x|<1}
   (
  
    
      
        ln
        ⁡
        
          (
          1
          −
          x
          )
        
      
    
    {\displaystyle \ln {(1-x)}}
   ֆունկցիան զուգամետ է, երբ 
  
    
      
        x
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle x=-1}
  , իսկ 
  
    
      
        ln
        ⁡
        
          (
          1
          +
          x
          )
        
      
    
    {\displaystyle \ln {(1+x)}}
  -ը՝ 
  
    
      
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x=1}
   դեպքում)։


=== Երկրաչափական շարքեր ===
Երկրաչափական շարքերը և նրանց ածանցյալներն ունեն Մակլորենի շարք․

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    
                      1
                      −
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  x
                  
                    n
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    1
                    
                      (
                      1
                      −
                      x
                      
                        )
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                n
                
                  x
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    1
                    
                      (
                      1
                      −
                      x
                      
                        )
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    2
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                      n
                      −
                      1
                      )
                      n
                    
                    2
                  
                
                
                  x
                  
                    n
                    −
                    2
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}}
  Այս բոլոր շարքերը զուգամետ են 
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle |x|<1}
   դեպքում։ Սրանք բոլորը բինոմական շարքերի մասնավոր օրինակներ դեպքեր են։


=== Բինոմական շարքեր ===
Բինոմական շարքերն աստիճանային շարքեր են

  
    
      
        (
        1
        +
        x
        
          )
          
            α
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
            
            
              α
              n
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}}
  որոնց գործակիցները հավասար են՝

  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              α
              n
            
            
              )
            
          
        
        =
        
          ∏
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              α
              −
              k
              +
              1
            
            k
          
        
        =
        
          
            
              α
              (
              α
              −
              1
              )
              ⋯
              (
              α
              −
              n
              +
              1
              )
            
            
              n
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}}
  ։(
  
    
      
        n
        =
        0
      
    
    {\displaystyle n=0}
   դեպքում արտադրյալը կոչվում է դատարկ արտադրյալ, որը հավասար է 1-ի)։ Այն կամայական իրական կամ կոմպլեքս 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   թվի համար զուգամետ է, երբ 
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle |x|<1}
  ։
Երբ 
  
    
      
        α
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \alpha =-1}
  , շարքը նույն նախորդ բաժնում նշված երկրաչափական շարքն է։ 
  
    
      
        α
        =
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}
   և 
  
    
      
        α
        =
        −
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha =-{\frac {1}{2}}}
   մասնավոր դեպքերում շարքն ունի հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          
            
              
                (
                1
                +
                x
                
                  )
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                =
                1
                +
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                
                x
                −
                
                  
                    
                      1
                      8
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    
                      1
                      16
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                −
                
                  
                    
                      5
                      128
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    4
                  
                
                +
                
                  
                    
                      7
                      256
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    5
                  
                
                −
                …
                ,
              
            
            
              
                (
                1
                +
                x
                
                  )
                  
                    −
                    
                      
                        1
                        2
                      
                    
                  
                
              
              
                
                =
                1
                −
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                
                x
                +
                
                  
                    
                      3
                      8
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  
                    
                      5
                      16
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  
                    
                      35
                      128
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    4
                  
                
                −
                
                  
                    
                      63
                      256
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    5
                  
                
                +
                …
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{8}}x^{2}+{\tfrac {1}{16}}x^{3}-{\tfrac {5}{128}}x^{4}+{\tfrac {7}{256}}x^{5}-\ldots ,\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {3}{8}}x^{2}-{\tfrac {5}{16}}x^{3}+{\tfrac {35}{128}}x^{4}-{\tfrac {63}{256}}x^{5}+\ldots \end{aligned}}}
  


=== Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ ===
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների և նրանց հակադարձ ֆունկցիաների Մակլորենի շարքերը՝ 

  
    
      
        
          
            
              
                sin
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                      −
                      1
                      
                        )
                        
                          n
                        
                      
                    
                    
                      (
                      2
                      n
                      +
                      1
                      )
                      !
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                    n
                    +
                    1
                  
                
              
              
              
                
                =
                x
                −
                
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    
                      3
                      !
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        5
                      
                    
                    
                      5
                      !
                    
                  
                
                −
                ⋯
              
              
              
                
                  բոլոր x-երի համար 
                
              
            
            
              
                cos
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                      −
                      1
                      
                        )
                        
                          n
                        
                      
                    
                    
                      (
                      2
                      n
                      )
                      !
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                    n
                  
                
              
              
              
                
                =
                1
                −
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    
                      2
                      !
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        4
                      
                    
                    
                      4
                      !
                    
                  
                
                −
                ⋯
              
              
              
                
                  բոլոր x-երի համար 
                
              
            
            
              
                tan
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      
                        B
                        
                          2
                          n
                        
                      
                      (
                      −
                      4
                      
                        )
                        
                          n
                        
                      
                      
                        (
                        
                          1
                          −
                          
                            4
                            
                              n
                            
                          
                        
                        )
                      
                    
                    
                      (
                      2
                      n
                      )
                      !
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                    n
                    −
                    1
                  
                
              
              
              
                
                =
                x
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    3
                  
                
                +
                
                  
                    
                      2
                      
                        x
                        
                          5
                        
                      
                    
                    15
                  
                
                +
                ⋯
              
              
              
                
                  երբ 
                
                
                  |
                
                x
                
                  |
                
                <
                
                  
                    π
                    2
                  
                
              
            
            
              
                sec
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                      −
                      1
                      
                        )
                        
                          n
                        
                      
                      
                        E
                        
                          2
                          n
                        
                      
                    
                    
                      (
                      2
                      n
                      )
                      !
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                    n
                  
                
              
              
              
                
                =
                1
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    
                      5
                      
                        x
                        
                          4
                        
                      
                    
                    24
                  
                
                +
                ⋯
              
              
              
                
                  երբ 
                
                
                  |
                
                x
                
                  |
                
                <
                
                  
                    π
                    2
                  
                
              
            
            
              
                arcsin
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                      2
                      n
                      )
                      !
                    
                    
                      
                        4
                        
                          n
                        
                      
                      (
                      n
                      !
                      
                        )
                        
                          2
                        
                      
                      (
                      2
                      n
                      +
                      1
                      )
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                    n
                    +
                    1
                  
                
              
              
              
                
                =
                x
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    6
                  
                
                +
                
                  
                    
                      3
                      
                        x
                        
                          5
                        
                      
                    
                    40
                  
                
                +
                ⋯
              
              
              
                
                  երբ 
                
                
                  |
                
                x
                
                  |
                
                ≤
                1
              
            
            
              
                arccos
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                
                  
                    π
                    2
                  
                
                −
                arcsin
                ⁡
                x
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    π
                    2
                  
                
                −
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                      2
                      n
                      )
                      !
                    
                    
                      
                        4
                        
                          n
                        
                      
                      (
                      n
                      !
                      
                        )
                        
                          2
                        
                      
                      (
                      2
                      n
                      +
                      1
                      )
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                    n
                    +
                    1
                  
                
              
              
              
                
                =
                
                  
                    π
                    2
                  
                
                −
                x
                −
                
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    6
                  
                
                −
                
                  
                    
                      3
                      
                        x
                        
                          5
                        
                      
                    
                    40
                  
                
                +
                ⋯
              
              
              
                
                  երբ 
                
                
                  |
                
                x
                
                  |
                
                ≤
                1
              
            
            
              
                arctan
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                      −
                      1
                      
                        )
                        
                          n
                        
                      
                    
                    
                      2
                      n
                      +
                      1
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                    n
                    +
                    1
                  
                
              
              
              
                
                =
                x
                −
                
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    3
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        5
                      
                    
                    5
                  
                
                −
                ⋯
              
              
              
                
                  երբ 
                
                
                  |
                
                x
                
                  |
                
                ≤
                1
                ,
                 
                x
                ≠
                ±
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{բոլոր x-երի համար }}\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{բոլոր x-երի համար }}\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{երբ }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{երբ }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{երբ }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{երբ }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{երբ }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}
  Բոլոր անկյունները ներկայացված են ռադիաներով։ 
  
    
      
        
          B
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{k}}
  -ը Բերնուլիի թիվն է, 
  
    
      
        
          E
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{k}}
  -ն՝ Էյլերի թիվը, որը սահմանված է 

  
    
      
        
          
            1
            
              cosh
              ⁡
              t
            
          
        
        =
        
          
            2
            
              
                e
                
                  t
                
              
              +
              
                e
                
                  −
                  t
                
              
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              E
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        ⋅
        
          t
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}}
  որտեղ 
  
    
      
        cosh
        ⁡
        
          t
        
      
    
    {\displaystyle \cosh {t}}
  -ը հիպերբոլական կոսինուսն է։


=== Հիպերբոլական ֆունկցիաներ ===
Հիպերբոլական ֆունկցիաների Մակլորենի շարքերն են՝

  
    
      
        
          
            
              
                sinh
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                        n
                        +
                        1
                      
                    
                    
                      (
                      2
                      n
                      +
                      1
                      )
                      !
                    
                  
                
              
              
              
                
                =
                x
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    
                      3
                      !
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        5
                      
                    
                    
                      5
                      !
                    
                  
                
                +
                ⋯
              
              
              
                
                  բոլոր x-երի համար 
                
              
            
            
              
                cosh
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                        n
                      
                    
                    
                      (
                      2
                      n
                      )
                      !
                    
                  
                
              
              
              
                
                =
                1
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    
                      2
                      !
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        4
                      
                    
                    
                      4
                      !
                    
                  
                
                +
                ⋯
              
              
              
                
                  բոլոր x-երի համար 
                
              
            
            
              
                tanh
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      
                        B
                        
                          2
                          n
                        
                      
                      
                        4
                        
                          n
                        
                      
                      
                        (
                        
                          
                            4
                            
                              n
                            
                          
                          −
                          1
                        
                        )
                      
                    
                    
                      (
                      2
                      n
                      )
                      !
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                    n
                    −
                    1
                  
                
              
              
              
                
                =
                x
                −
                
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    3
                  
                
                +
                
                  
                    
                      2
                      
                        x
                        
                          5
                        
                      
                    
                    15
                  
                
                −
                
                  
                    
                      17
                      
                        x
                        
                          7
                        
                      
                    
                    315
                  
                
                +
                ⋯
              
              
              
                
                  երբ 
                
                
                  |
                
                x
                
                  |
                
                <
                
                  
                    π
                    2
                  
                
              
            
            
              
                arsinh
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                      −
                      1
                      
                        )
                        
                          n
                        
                      
                      (
                      2
                      n
                      )
                      !
                    
                    
                      
                        4
                        
                          n
                        
                      
                      (
                      n
                      !
                      
                        )
                        
                          2
                        
                      
                      (
                      2
                      n
                      +
                      1
                      )
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                    n
                    +
                    1
                  
                
              
              
              
              
              
                
                  երբ 
                
                
                  |
                
                x
                
                  |
                
                ≤
                1
              
            
            
              
                artanh
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                        n
                        +
                        1
                      
                    
                    
                      2
                      n
                      +
                      1
                    
                  
                
              
              
              
              
              
                
                  երբ 
                
                
                  |
                
                x
                
                  |
                
                ≤
                1
                ,
                 
                x
                ≠
                ±
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{բոլոր x-երի համար }}\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{բոլոր x-երի համար }}\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{երբ }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&&&{\text{երբ }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&&&{\text{երբ }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}}
  
  
    
      
        
          B
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{k}}
  -ը Բերնուլիի թիվն է։


== Թեյլորի շարքի հաշվում ==
Մեծ թվով ֆունկցիաների համար գոյություն ունեն Թեյլորի շարքի հաշվման որոշ մեթոդներ։ Այն կարելի է հաշվել օգտվելով հենց շարքի սահմանումից, սակայն այս պարագայում հաճախ անհրաժեշտ է լինում առաջին մի քանի անդամների տեսքից գտնել գործակիցների համար ընդհանուր բանաձև։ Օգտվելով արդեն հայտնի Թեյլորի շարքերից կարելի է գտնել այլ ֆունկցիաների Թեյլորի շարքերը՝ օգտագործելով գումարման, հանման, բաժանման կամ բազմապատկման գործողություններ։ Որոշ դեպքերում հնարավոր է պարբերաբար մասերով ինտեգրման միջոցով կառուցել Թեյլորի շարք։ Հնարավոր է նաև օգտագործել համակարգչային հանրահաշվական մեթոդներ՝ Թեյլորի շարք գտնելու համար։


=== Առաջին օրինակ ===
Այս ֆունկցիայի Մակլորենի շարքի 7-րդ անդամը գտնելու համար

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        ln
        ⁡
        (
        cos
        ⁡
        x
        )
        ,
        
        x
        ∈
        
          (
          
            −
            
              
                π
                2
              
            
            ,
            
              
                π
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}
  ,կարելի է այն ներկայացնել այս տեսքով։

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        ln
        ⁡
        
          
            (
          
        
        1
        +
        (
        cos
        ⁡
        x
        −
        1
        )
        
          
            )
          
        
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\!}
  :Բնական լոգարիթմի Թեյլորի շարքը հավասար է՝ (օգտագործելով միևնույն կարգի ֆունկցիաների նշանակումը)

  
    
      
        ln
        ⁡
        (
        1
        +
        x
        )
        =
        x
        −
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            2
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            3
          
        
        +
        
          O
        
        
          (
          
            x
            
              4
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{O}\left(x^{4}\right)\!}
  իսկ կոսինուս ֆունկցիայինը՝

  
    
      
        cos
        ⁡
        x
        −
        1
        =
        −
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            2
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                4
              
            
            24
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                6
              
            
            720
          
        
        +
        
          O
        
        
          (
          
            x
            
              8
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle \cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+{O}\left(x^{8}\right)\!}
  ։Վերջինս ունի զրո հաստատուն անդամ, ինչը թույլ է տալիս առաջին շարքի մեջ տեղադրել երկրորդ շարքը՝ միևնույն կարգի ֆունկցիաների նշանակմամբ ազատվելով 7-ից բարձր կարգ ունեցող անդամներից՝

  
    
      
        
          
            
              
                f
                (
                x
                )
              
              
                
                =
                ln
                ⁡
                
                  
                    (
                  
                
                1
                +
                (
                cos
                ⁡
                x
                −
                1
                )
                
                  
                    )
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                (
                cos
                ⁡
                x
                −
                1
                )
                −
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                
                (
                cos
                ⁡
                x
                −
                1
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    
                      1
                      3
                    
                  
                
                (
                cos
                ⁡
                x
                −
                1
                
                  )
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  O
                
                
                  (
                  
                    (
                    cos
                    ⁡
                    x
                    −
                    1
                    
                      )
                      
                        4
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  (
                  
                    −
                    
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          x
                          
                            4
                          
                        
                        24
                      
                    
                    −
                    
                      
                        
                          x
                          
                            6
                          
                        
                        720
                      
                    
                    +
                    
                      O
                    
                    
                      (
                      
                        x
                        
                          8
                        
                      
                      )
                    
                  
                  )
                
                −
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  
                    (
                    
                      −
                      
                        
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        
                          
                            x
                            
                              4
                            
                          
                          24
                        
                      
                      +
                      
                        O
                      
                      
                        (
                        
                          x
                          
                            6
                          
                        
                        )
                      
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    3
                  
                
                
                  
                    (
                    
                      −
                      
                        
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                          2
                        
                      
                      +
                      O
                      
                        (
                        
                          x
                          
                            4
                          
                        
                        )
                      
                    
                    )
                  
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  O
                
                
                  (
                  
                    x
                    
                      8
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        4
                      
                    
                    24
                  
                
                −
                
                  
                    
                      x
                      
                        6
                      
                    
                    720
                  
                
                −
                
                  
                    
                      x
                      
                        4
                      
                    
                    8
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        6
                      
                    
                    48
                  
                
                −
                
                  
                    
                      x
                      
                        6
                      
                    
                    24
                  
                
                +
                O
                
                  (
                  
                    x
                    
                      8
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    2
                  
                
                −
                
                  
                    
                      x
                      
                        4
                      
                    
                    12
                  
                
                −
                
                  
                    
                      x
                      
                        6
                      
                    
                    45
                  
                
                +
                O
                
                  (
                  
                    x
                    
                      8
                    
                  
                  )
                
                
                  ։
                
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\\&=(\cos x-1)-{\tfrac {1}{2}}(\cos x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(\cos x-1)^{3}+{O}\left((\cos x-1)^{4}\right)\\&=\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+{O}\left(x^{8}\right)\right)-{\frac {1}{2}}\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{O}\left(x^{6}\right)\right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+O\left(x^{4}\right)\right)^{3}+{O}\left(x^{8}\right)\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}-{\frac {x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{48}}-{\frac {x^{6}}{24}}+O\left(x^{8}\right)\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O\left(x^{8}\right){\text{։}}\end{aligned}}\!}
  Քանի որ կուսինուսը զույգ ֆունկցիա է, բոլոր կենտ աստիճանի անդամների 
  
    
      
        x
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        
          x
          
            5
          
        
        ,
        
          x
          
            7
          
        
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle x,x^{3},x^{5},x^{7},...}
   գործակիցները զրո են։


=== Երկրորդ օրինակ ===
Ենթադրենք ցանկանում ենք գտնել

  
    
      
        g
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              e
              
                x
              
            
            
              cos
              ⁡
              x
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle g(x)={\frac {e^{x}}{\cos x}}\!}
  ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը 0 կետում։ Ունենալով աստիճանային ֆունկցիայի և կոսինուսի Թեյլորի շարքրը՝

  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        =
        1
        +
        x
        +
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              2
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              3
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                4
              
            
            
              4
              !
            
          
        
        +
        ⋯
        
      
    
    {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \!}
  

  
    
      
        cos
        ⁡
        x
        =
        1
        −
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              2
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                4
              
            
            
              4
              !
            
          
        
        −
        ⋯
        
      
    
    {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \!}
  ,Կարելի է ենթադրել, որ աստիճանային շարքն է՝

  
    
      
        
          
            
              e
              
                x
              
            
            
              cos
              ⁡
              x
            
          
        
        =
        
          c
          
            0
          
        
        +
        
          c
          
            1
          
        
        x
        +
        
          c
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          c
          
            3
          
        
        
          x
          
            3
          
        
        +
        ⋯
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots \!}
  ,այնուհետև բազմապատկելով հայտարարի հետ և տեղադրելով կոսինուսի շարքը, ստանում ենք՝

  
    
      
        
          
            
              
                
                  e
                  
                    x
                  
                
              
              
                
                =
                
                  (
                  
                    
                      c
                      
                        0
                      
                    
                    +
                    
                      c
                      
                        1
                      
                    
                    x
                    +
                    
                      c
                      
                        2
                      
                    
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      c
                      
                        3
                      
                    
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    +
                    ⋯
                  
                  )
                
                cos
                ⁡
                x
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  (
                  
                    
                      c
                      
                        0
                      
                    
                    +
                    
                      c
                      
                        1
                      
                    
                    x
                    +
                    
                      c
                      
                        2
                      
                    
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      c
                      
                        3
                      
                    
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    +
                    
                      c
                      
                        4
                      
                    
                    
                      x
                      
                        4
                      
                    
                    +
                    ⋯
                  
                  )
                
                
                  (
                  
                    1
                    −
                    
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                        
                          2
                          !
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          x
                          
                            4
                          
                        
                        
                          4
                          !
                        
                      
                    
                    −
                    ⋯
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  c
                  
                    0
                  
                
                −
                
                  
                    
                      c
                      
                        0
                      
                    
                    2
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    
                      c
                      
                        0
                      
                    
                    
                      4
                      !
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    4
                  
                
                +
                
                  c
                  
                    1
                  
                
                x
                −
                
                  
                    
                      c
                      
                        1
                      
                    
                    2
                  
                
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  
                    
                      c
                      
                        1
                      
                    
                    
                      4
                      !
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    5
                  
                
                +
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  
                    
                      c
                      
                        2
                      
                    
                    2
                  
                
                
                  x
                  
                    4
                  
                
                +
                
                  
                    
                      c
                      
                        2
                      
                    
                    
                      4
                      !
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    6
                  
                
                +
                
                  c
                  
                    3
                  
                
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                −
                
                  
                    
                      c
                      
                        3
                      
                    
                    2
                  
                
                
                  x
                  
                    5
                  
                
                +
                
                  
                    
                      c
                      
                        3
                      
                    
                    
                      4
                      !
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    7
                  
                
                +
                
                  c
                  
                    4
                  
                
                
                  x
                  
                    4
                  
                
                +
                ⋯
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots \right)\cos x\\&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)\\&=c_{0}-{\frac {c_{0}}{2}}x^{2}+{\frac {c_{0}}{4!}}x^{4}+c_{1}x-{\frac {c_{1}}{2}}x^{3}+{\frac {c_{1}}{4!}}x^{5}+c_{2}x^{2}-{\frac {c_{2}}{2}}x^{4}+{\frac {c_{2}}{4!}}x^{6}+c_{3}x^{3}-{\frac {c_{3}}{2}}x^{5}+{\frac {c_{3}}{4!}}x^{7}+c_{4}x^{4}+\cdots \end{aligned}}\!}
  ։Հավաքելով մինչև 4-րդ կարգի անդամները՝ 

  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
        =
        
          c
          
            0
          
        
        +
        
          c
          
            1
          
        
        x
        +
        
          (
          
            
              c
              
                2
              
            
            −
            
              
                
                  c
                  
                    0
                  
                
                2
              
            
          
          )
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          (
          
            
              c
              
                3
              
            
            −
            
              
                
                  c
                  
                    1
                  
                
                2
              
            
          
          )
        
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          (
          
            
              c
              
                4
              
            
            −
            
              
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                2
              
            
            +
            
              
                
                  c
                  
                    0
                  
                
                
                  4
                  !
                
              
            
          
          )
        
        
          x
          
            4
          
        
        +
        ⋯
        
      
    
    {\displaystyle e^{x}=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}\right)x^{3}+\left(c_{4}-{\frac {c_{2}}{2}}+{\frac {c_{0}}{4!}}\right)x^{4}+\cdots \!}
  
  
    
      
        
          c
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{i}}
   անդամի արժեքը կարելի է գտնել՝ համեմատելով 
  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{x}}
  -ի գործակիցների հետ․

  
    
      
        
          
            
              e
              
                x
              
            
            
              cos
              ⁡
              x
            
          
        
        =
        1
        +
        x
        +
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              2
              
                x
                
                  3
                
              
            
            3
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                4
              
            
            2
          
        
        +
        ⋯
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\frac {2x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{2}}+\cdots \!}
  ։


=== Երրորդ օրինակ ===

  
    
      
        (
        1
        +
        x
        )
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle (1+x)e^{x}}
   ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը գտնելու համար կարելի է օգտագործել 
  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{x}}
  -ի շարքը․

  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        =
        1
        +
        x
        +
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              2
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              3
              !
            
          
        
        +
        
          
            
              x
              
                4
              
            
            
              4
              !
            
          
        
        +
        ⋯
        .
      
    
    {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots .}
  Այսպիսով,

  
    
      
        
          
            
              
                (
                1
                +
                x
                )
                
                  e
                  
                    x
                  
                
              
              
                
                =
                
                  e
                  
                    x
                  
                
                +
                x
                
                  e
                  
                    x
                  
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        n
                      
                    
                    
                      n
                      !
                    
                  
                
                +
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        n
                        +
                        1
                      
                    
                    
                      n
                      !
                    
                  
                
                =
                1
                +
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        n
                      
                    
                    
                      n
                      !
                    
                  
                
                +
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        n
                        +
                        1
                      
                    
                    
                      n
                      !
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                1
                +
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        n
                      
                    
                    
                      n
                      !
                    
                  
                
                +
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        n
                      
                    
                    
                      (
                      n
                      −
                      1
                      )
                      !
                    
                  
                
                =
                1
                +
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        1
                        
                          n
                          !
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        1
                        
                          (
                          n
                          −
                          1
                          )
                          !
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  x
                  
                    n
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                1
                +
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      n
                      +
                      1
                    
                    
                      n
                      !
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    n
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      n
                      +
                      1
                    
                    
                      n
                      !
                    
                  
                
                
                  x
                  
                    n
                  
                
                :
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(n-1)!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n!}}+{\frac {1}{(n-1)!}}\right)x^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}:\end{aligned}}}
  


== Թեյլորի շարքը որպես սահմանում ==
Սովորաբար հանրահաշվական ֆունկցիաները սահմանվում են հանրահաշվական հավասարումներով, իսկ տրանսցենդենտալ ֆունկցիաները՝ ինչ-որ հատկությամբ, օրինակ՝ դիֆերենցիալ հավասարմամբ։ Օրինակ՝ ցուցչային ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որը կամայական կետում հավասար է իր ածանցյալին, իսկ սկզբնակետում՝ 1-ի։ Սակայն, անալիտիկ ֆունկցիաները կարելի է նաև սահմանել իրենց Թեյլորի շարքով։
Թեյլորի շարքը մաթեմատիկայի բազմաթիվ բնագավառներում օգտագործվում է ֆունկցիաներ և օպերատորներ սահմանելու համար։ Այս մեթոդն առավելապես օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ ֆունկցիաների դասական սահմանումները չեն աշխատում։ Օրինակ, օգտագործելով Թեյլորի շարքերը հնարավոր է անալիտիկ ֆունկցիաներն ընդլայնել մատրիցների և օպերատորների բազմության վրա։
Այլ բնագավառներում, ինչպես օրինակ ֆորմալ անալիզում, ավելի հարմար է աշխատել աստիճանային շարքերի հետ։ Այսպիսով, հաճախ դիֆերենցյալ հավասարման լուծումը սահմանում են որպես աստիճանային ֆունկցիա, այն հույսով, որ հետագայում հնարավոր կլինի ապացուցել, որ այն հավասար է ցանկալի լուծման Թեյլորի շարքին։


== Թեյլորի շարքը մի քանի փոփոխականների համար ==
Թեյլորի շարքը հնարավոր է ընդհանրացնել նաև մի քանի փոփոխականով ֆունկցիաների համար

  
    
      
        
          
            
              
                T
                (
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  x
                  
                    d
                  
                
                )
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    
                      n
                      
                        1
                      
                    
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                ⋯
                
                  ∑
                  
                    
                      n
                      
                        d
                      
                    
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      (
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      −
                      
                        a
                        
                          1
                        
                      
                      
                        )
                        
                          
                            n
                            
                              1
                            
                          
                        
                      
                      ⋯
                      (
                      
                        x
                        
                          d
                        
                      
                      −
                      
                        a
                        
                          d
                        
                      
                      
                        )
                        
                          
                            n
                            
                              d
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        n
                        
                          1
                        
                      
                      !
                      ⋯
                      
                        n
                        
                          d
                        
                      
                      !
                    
                  
                
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            
                              n
                              
                                1
                              
                            
                            +
                            ⋯
                            +
                            
                              n
                              
                                d
                              
                            
                          
                        
                        f
                      
                      
                        ∂
                        
                          x
                          
                            1
                          
                          
                            
                              n
                              
                                1
                              
                            
                          
                        
                        ⋯
                        ∂
                        
                          x
                          
                            d
                          
                          
                            
                              n
                              
                                d
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                (
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  a
                  
                    d
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                f
                (
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  a
                  
                    d
                  
                
                )
                +
                
                  ∑
                  
                    j
                    =
                    1
                  
                  
                    d
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      f
                      (
                      
                        a
                        
                          1
                        
                      
                      ,
                      …
                      ,
                      
                        a
                        
                          d
                        
                      
                      )
                    
                    
                      ∂
                      
                        x
                        
                          j
                        
                      
                    
                  
                
                (
                
                  x
                  
                    j
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    j
                  
                
                )
                +
                
                  
                    1
                    
                      2
                      !
                    
                  
                
                
                  ∑
                  
                    j
                    =
                    1
                  
                  
                    d
                  
                
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    d
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          2
                        
                      
                      f
                      (
                      
                        a
                        
                          1
                        
                      
                      ,
                      …
                      ,
                      
                        a
                        
                          d
                        
                      
                      )
                    
                    
                      ∂
                      
                        x
                        
                          j
                        
                      
                      ∂
                      
                        x
                        
                          k
                        
                      
                    
                  
                
                (
                
                  x
                  
                    j
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    j
                  
                
                )
                (
                
                  x
                  
                    k
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    k
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                
                
                
                +
                
                  
                    1
                    
                      3
                      !
                    
                  
                
                
                  ∑
                  
                    j
                    =
                    1
                  
                  
                    d
                  
                
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    d
                  
                
                
                  ∑
                  
                    l
                    =
                    1
                  
                  
                    d
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          3
                        
                      
                      f
                      (
                      
                        a
                        
                          1
                        
                      
                      ,
                      …
                      ,
                      
                        a
                        
                          d
                        
                      
                      )
                    
                    
                      ∂
                      
                        x
                        
                          j
                        
                      
                      ∂
                      
                        x
                        
                          k
                        
                      
                      ∂
                      
                        x
                        
                          l
                        
                      
                    
                  
                
                (
                
                  x
                  
                    j
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    j
                  
                
                )
                (
                
                  x
                  
                    k
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    k
                  
                
                )
                (
                
                  x
                  
                    l
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    l
                  
                
                )
                +
                ⋯
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots \end{aligned}}}
  Օրինակ, 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   և 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   փոփոխականներից կախված 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
   ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
   կետում մինչև երկրորդ կարգ հավասար է՝

  
    
      
        f
        (
        a
        ,
        b
        )
        +
        (
        x
        −
        a
        )
        
          f
          
            x
          
        
        (
        a
        ,
        b
        )
        +
        (
        y
        −
        b
        )
        
          f
          
            y
          
        
        (
        a
        ,
        b
        )
        +
        
          
            1
            
              2
              !
            
          
        
        
          
            (
          
        
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            2
          
        
        
          f
          
            x
            x
          
        
        (
        a
        ,
        b
        )
        +
        2
        (
        x
        −
        a
        )
        (
        y
        −
        b
        )
        
          f
          
            x
            y
          
        
        (
        a
        ,
        b
        )
        +
        (
        y
        −
        b
        
          )
          
            2
          
        
        
          f
          
            y
            y
          
        
        (
        a
        ,
        b
        )
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}}
  որտեղ 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ի ինդեքսներում գրվածները ցույց են տալիս համապատասխան մասնակի ածանցյալները։
Սկալյար արժեքով և մի քանի փոփոխականից կախված ֆունկցիայի երկրորդ կարգի Թեյլորի շարքը կարելի է գրել այսպես՝

  
    
      
        T
        (
        
          x
        
        )
        =
        f
        (
        
          a
        
        )
        +
        (
        
          x
        
        −
        
          a
        
        
          )
          
            
              T
            
          
        
        D
        f
        (
        
          a
        
        )
        +
        
          
            1
            
              2
              !
            
          
        
        (
        
          x
        
        −
        
          a
        
        
          )
          
            
              T
            
          
        
        
          {
          
            
              D
              
                2
              
            
            f
            (
            
              a
            
            )
          
          }
        
        (
        
          x
        
        −
        
          a
        
        )
        +
        ⋯
        ,
      
    
    {\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a} )\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,}
  որտեղ 
  
    
      
        D
        f
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle Df(a)}
  -ը 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի գրադիենտն է 
  
    
      
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x=a}
   կետում, իսկ 
  
    
      
        
          D
          
            2
          
        
        f
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle D^{2}f(a)}
  -ը՝ Հեսսյան մատրիցը։ Թեյլորի շարքը կարելի է գրել նաև հետևյալ տեսքով՝

  
    
      
        T
        (
        
          x
        
        )
        =
        
          ∑
          
            
              |
            
            α
            
              |
            
            ≥
            0
          
        
        
          
            
              (
              
                x
              
              −
              
                a
              
              
                )
                
                  α
                
              
            
            
              α
              !
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                
                
                  α
                
              
            
            f
          
          )
        
        (
        
          a
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha !}}\left({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}f\right)(\mathbf {a} ),}
  որն առաջին բանաձևի կրճատ գրելաձևն է և նման է մեկ փոփոխականով ֆունկցիաների Թեյլորի շարքի տեսքին։


=== Օրինակ ===

Հետևյալ ֆունկցիայի երկրորդ կարգի Թեյլորի շարքը 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
        =
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)=(0,0)}
   կետում հաշվելու համար

  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          e
          
            x
          
        
        log
        ⁡
        (
        1
        +
        y
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=e^{x}\log(1+y),}
  նախ պետք է հաշվել անհրաժեշտ բոլոր մասնակի ածանցյալները՝

  
    
      
        
          
            
              
                
                  f
                  
                    x
                  
                
              
              
                
                =
                
                  e
                  
                    x
                  
                
                ln
                ⁡
                (
                1
                +
                y
                )
              
            
            
              
                
                  f
                  
                    y
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      e
                      
                        x
                      
                    
                    
                      1
                      +
                      y
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  f
                  
                    x
                    x
                  
                
              
              
                
                =
                
                  e
                  
                    x
                  
                
                ln
                ⁡
                (
                1
                +
                y
                )
              
            
            
              
                
                  f
                  
                    y
                    y
                  
                
              
              
                
                =
                −
                
                  
                    
                      e
                      
                        x
                      
                    
                    
                      (
                      1
                      +
                      y
                      
                        )
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  f
                  
                    x
                    y
                  
                
              
              
                
                =
                
                  f
                  
                    y
                    x
                  
                
                =
                
                  
                    
                      e
                      
                        x
                      
                    
                    
                      1
                      +
                      y
                    
                  
                
                
                  ։
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}}\\[6pt]f_{xx}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}\\[6pt]f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}{\text{։}}\end{aligned}}}
  Թեյլորը բազմանդամի գործակիցները գտնելու համար պետք է գտնել ածանցյալների արժեքները 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
   կետում,

  
    
      
        
          
            
              
                
                  f
                  
                    x
                  
                
                (
                0
                ,
                0
                )
              
              
                
                =
                0
              
            
            
              
                
                  f
                  
                    y
                  
                
                (
                0
                ,
                0
                )
              
              
                
                =
                1
              
            
            
              
                
                  f
                  
                    x
                    x
                  
                
                (
                0
                ,
                0
                )
              
              
                
                =
                0
              
            
            
              
                
                  f
                  
                    y
                    y
                  
                
                (
                0
                ,
                0
                )
              
              
                
                =
                −
                1
              
            
            
              
                
                  f
                  
                    x
                    y
                  
                
                (
                0
                ,
                0
                )
              
              
                
                =
                
                  f
                  
                    y
                    x
                  
                
                (
                0
                ,
                0
                )
                =
                1
                
                  ։
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0\\f_{y}(0,0)&=1\\f_{xx}(0,0)&=0\\f_{yy}(0,0)&=-1\\f_{xy}(0,0)&=f_{yx}(0,0)=1{\text{։}}\end{aligned}}}
  Տեղադրելով այս արժեքներն ընդհանուր ֆունկցիայի մեջ, կստանանք՝

  
    
      
        T
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        f
        (
        a
        ,
        b
        )
        +
        (
        x
        −
        a
        )
        
          f
          
            x
          
        
        (
        a
        ,
        b
        )
        +
        (
        y
        −
        b
        )
        
          f
          
            y
          
        
        (
        a
        ,
        b
        )
        +
        
          
            1
            
              2
              !
            
          
        
        
          
            (
          
        
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            2
          
        
        
          f
          
            x
            x
          
        
        (
        a
        ,
        b
        )
        +
        2
        (
        x
        −
        a
        )
        (
        y
        −
        b
        )
        
          f
          
            x
            y
          
        
        (
        a
        ,
        b
        )
        +
        (
        y
        −
        b
        
          )
          
            2
          
        
        
          f
          
            y
            y
          
        
        (
        a
        ,
        b
        )
        
          
            )
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle T(x,y)=f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}+\cdots }
  որը նույնն է ինչ՝

  
    
      
        
          
            
              
                T
                (
                x
                ,
                y
                )
              
              
                
                =
                0
                +
                0
                (
                x
                −
                0
                )
                +
                1
                (
                y
                −
                0
                )
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  
                    (
                  
                
                0
                (
                x
                −
                0
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                +
                2
                (
                x
                −
                0
                )
                (
                y
                −
                0
                )
                +
                (
                −
                1
                )
                (
                y
                −
                0
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    )
                  
                
                +
                ⋯
              
            
            
              
              
                
                =
                y
                +
                x
                y
                −
                
                  
                    
                      y
                      
                        2
                      
                    
                    2
                  
                
                +
                ⋯
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\Big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\Big )}+\cdots \\&=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots \end{aligned}}}
  Քանի որ 
  
    
      
        ln
        ⁡
        (
        1
        +
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \ln(1+y)}
   ֆունկցիան անալիտիկ է, երբ 
  
    
      
        
          |
        
        y
        
          |
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle |y|<1}
  , կստանանք՝

  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
        ln
        ⁡
        (
        1
        +
        y
        )
        =
        y
        +
        x
        y
        −
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            2
          
        
        +
        ⋯
        ,
        
        
          |
        
        y
        
          |
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots ,\qquad |y|<1}
  ։


== Համեմատություն Ֆուրիեի շարքի հետ ==

Եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարքը հնարավորություն է տալիս պարբերական ֆունկցիաները (կամ 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   փակ միջակայքում սահմանված ֆունկցիաները) ներկայացնել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների անվերջ գումարի տեսքով (սինուսի և կոսինուսի)։ Այս տեսանկյունից Ֆուրիեի շարքը նման է Թեյլորի շարքին, քանի որ վերջինն էլ թույլ է տալիս ֆունկցիան ներկայանցել աստիճանների անվերջ գումարի տեսքով։ Այնուամենայնիվ, երկու շարքերը որոշ հարցերում տարբերվում են․

  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիայի Թեյլորի շարքի (
  
    
      
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x=a}
   կետում) բոլոր վերջավոր մասերը 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետում հավասար են 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ին։ Սակայն, Ֆուրիեի շարքը հաշվվում է ամբողջ միջակայքն ինտեգրելով, հետևաբար՝ սովորաբար գոյություն չունի այնպիսի կետ, որտեղ շարքի բոլոր վերջավոր մասերը հավասար են ֆունկցիայի արժեքին։
Թեյլորի շարքի հաշվարկը պահանջում է կետի կամայական փոքր շրջակայքում ֆունկցիայի իմացություն, մինչդեռ, Ֆուրիեի շարքի հաշվարկը պահանջում է ամբողջ տիրույթում ֆունկցիայի իմացություն։ Այս տեսանկյունից կարելի է ասել, որ Թեյլորի շարքը «լոկալ» է իսկ Ֆուրիեի շարքը՝ «գլոբալ»։
Թեյլորի շարքը սահմանված է այն ֆունկցիաների համար, որոնք ինչ-որ կետում անվերջ ածանցելի են, մինչդեռ Ֆուրիեի շարքը սահմանված է կամայական ինտեգրելի ֆունկցիայի համար։ Ֆունկցիան անգամ կարող է ոչ մի կետում դիֆերենցելի չլինել։ (Օրինակ՝ 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  -ը կարող է լինել Վայերշտրասի ֆունկցիա)։
Նույնիսկ եթե Թեյլորի շարքն ունի դրական զուգամիտության շառավիղ, շարքը կարող է չհամընկնել ֆունկցիայի հետ, բայց եթե ֆունկցիան անալիտիկ է, ապա շարքը կետ առ կետ զուգամիտում է ֆունկցիային և հավասարաչափորեն զուգամիտում է զուգամետ միջակայքի կամայական կոմպակտ ենթաբազմությունում։ Իսկ Ֆուրիեի շարքի դեպքում եթե ֆունկցիան 
  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{2}}
  -ից է (ֆունկցիայի քառակուսին Լեբեգի իմաստով ինտեգրելի է), ապա շարքը զուգամիտում է միջին քառակուսային իմաստով, բայց կետ առ կետ կամ հավասարաչափ զուգամիտության համար հավելյալ պայմաններ են պետք (օրինակ՝ եթե ֆունկցիան պարբերական է և 
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{1}}
   դասից, ապա զուգամիտությունը հավասարաչափ է)։
Գործնականում ֆունկցիան ցանկալի է մոտարկել վերջավոր անդամներով (օրինակ՝ Թեյլորի բազմանդամով կամ եռանկյունաչափական շարքերի վերջավոր գումարով)։ Թեյլորի շարքի դեպքում շարքի հաշվման կետի շրջակայքում մոտարկման սխալը փոքր է, բայց կարող է շատ մեծ լինել այդ կետից հեռու կետերում։ Ֆուրիեի շարքի դեպքում սխալը բաշխված է ֆունկցիայի ամբողջ որոշման տիրույթի վրա։


== Ծանոթագրություններ ==


== Աղբյուրներ ==
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Abramowitz and Stegun, New York: Dover Publications, Ninth printing 
Thomas, George B., Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th տպ.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7 
Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd տպ.), Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1 
Ռուդին Ուոլթեր (1975)։ Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքներ։ Երևան: Լույս։ էջ 368 


== Արտաքին հղումներ ==

Hazewinkel, Michiel, ed։ (2001), «Taylor series», Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/t092320 
Weisstein, Eric W., "Taylor Series", MathWorld.
"Discussion of the Parker-Sochacki Method" (անգլ.)
Taylor series revisited for numerical methods at Numerical Methods for the STEM Undergraduate (անգլ.)
Taylor series (անգլ.)
Inverse trigonometric functions Taylor series (անգլ.)
«Essence of Calculus: Taylor series» (անգլերեն)  – via YouTube