Խառն արտադրյալ

Խառն արտադրյալ, երեք վեկտորների, առաջինի և երկրորդի վեկտորական արտադրյալի և երրորդի սկալյար արտադրյալը։ 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}
   վեկտորների խառն արտադրյալը նշանակվում է 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}}
  ։ Խառն արտադրյալը հավասար է 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}
   վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռանիստի ծավալին՝ վերցրած դրական նշանով, եթե 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}
   եռյակը կողմնորոշված է ինչպես կոորդինատական միավոր վեկտորները, և բացասական նշանով՝ հակառակ դեպքում։ Խառն արտադրյալը հավասար է զրոյի միմիայն այն դեպքում, երբ երեք վեկտորներն էլ զուգահեռ են միևնույն հարթությանը։ Խառն արտադրյալը հավասար է վեկտորների կոորդինատներից կազմված երրորդ կարգի որոշիչին՝ 

  
    
      
        (
        
          a
        
        ,
        
          b
        
        ,
        
          c
        
        )
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    a
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      z
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    b
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      z
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    c
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    c
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    c
                    
                      z
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.}
  Խառն արտադրյալը կախված է արտադրիչների կարգից.

  
    
      
        (
        
          a
        
        ,
        
          b
        
        ,
        
          c
        
        )
        =
        (
        
          b
        
        ,
        
          c
        
        ,
        
          a
        
        )
        =
        (
        
          c
        
        ,
        
          a
        
        ,
        
          b
        
        )
        =
        −
        (
        
          b
        
        ,
        
          a
        
        ,
        
          c
        
        )
        =
        −
        (
        
          c
        
        ,
        
          b
        
        ,
        
          a
        
        )
        =
        −
        (
        
          a
        
        ,
        
          c
        
        ,
        
          b
        
        )
        ;
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {a} )=(\mathbf {c} ,\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=-(\mathbf {b} ,\mathbf {a} ,\mathbf {c} )=-(\mathbf {c} ,\mathbf {b} ,\mathbf {a} )=-(\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {b} );}