Հավանականություն

Հավանականություն, հնարավոր պատահույթի տեղի ունենալու հնարավորության մեծություն։ Տես հավանականության և վիճակագրության բառարան։ Հավանականությունը տատանվում է 0 -ից 1-ի սահմաններում, որտեղ 0-ն ցույց է տալիս պատահույթի անհնարինությունը, իսկ 1-ը՝ հավաստիությունը։ Ինչքան պատահույթի հավանականությունը մեծ է, այնքան ավելի հավանական է դրա տեղի ունենալը։ Հասարակ օրինակ է մետաղադրամը նետելու փորձը։ Երբ նետում ենք մետաղադրամը, երկու հնարավոր ելքերն («գերբ» և «գիր») իրար հավասար են, այսինքն «գերբ» ընկնելու հավանականությունը հավասար է «գիր» ընկնելու հավանականությանը, և քանի դեռ այլ հնարավոր ելքեր չկան, այդ երկու դեպքերի հավանականությունը մնում է 1/2 (0.5 կամ 50%)։
Այս հասկացությունները ձևակերպվել են աքսիոմատիկ մաթեմատիկական  հավանականության տեսության մեջ, որն օգտագործվում է այնպիսի գիտություններում, ինչպիսիք են մաթեմատիկան, վիճակագրությունը, ֆինանսները, մոլեխաղերը, բնական գիտությունները (հատկապես ֆիզիկան), արհեստական բանականությունը, հաշվողական գիտությունը, խաղերի տեսությունը և փիլոսոփայությունը։ Հավանականության տեսությունն օգտագործվում է նաև նկարագրելու համար բարդ համակարգերի հիմքում օգտագործվող մեխանիզմներն ու կարգավորումները։


== Մեկնաբանություններ ==
Պատահական, լավ մշակված և մաքուր տեսական փորձերի ժամանակ (ինչպիսին է մետաղդրամի նետումը) հավանականությունը կարող է նկարագրվել հնարավոր ելքերի թվով՝ յուրաքանչյուրին տալով որոշակի համարներ։ Օրինակ՝ մետաղադրամը երկու անգամ նետելու դեպքում կլինեն «գերբ-գերբ», «գերբ-գիր», «գիր-գերբ» և «գիր-գիր» հնարավոր ելքերը։ Գերբ-գերբ հնարավոր ելքի հավանականությունը 4 ելքի դեպքում 1 է, իսկ թվային տերմինով՝ 1/4, 0․25 կամ 25%։ Սակայն երբ անցնում ենք փորձնական կիրառության, առաջանում են երկու հիմնական մրցակցային կատեգորիաներ, որոնց կողմնակիցները հավանականության հիմնական բնույթի վերաբերյալ ունեն տարբեր տեսակետներ։
Օբյեկտիվիստները թվերով նկարագրում են որոշակի օբյեկտիվ կամ ֆիզիկական պատահույթներ։ Օբյեկտիվ հավանականության ամենատարածված տարբերակը պարբերական հավանականությունն է, որը պատահական իրադարձության հավանականությունն արտահայտում է ելքի հարաբերական հաճախականությամբ։ Այս ներկայացմամբ ելքի հավանականությունը երկարաժամկետում համարվում է հարաբերական հաճախական։ Այս հակադիր հավանականության փոփոխությունը, որը ներկայացնում է հավանականության որպես որոշակի փորձի միտում, ի հայտ է բերում հավաստի ելք, նույնիսկ եթե այն մեկ անգամ է կատարվում։
Սուբյեկտիվիստները թվերով ներկայացնում են սուբյեկտիվ հավանականությունը, այսինքն հավաստիության աստիճանը։ Հավաստիության աստիճանը ներկայացվում է հետևյալ կերպ՝ «այն գինը որով կվճարեք ռիսկի համար, մեզ կտա միավոր օգտակարություն Е-ի առկայության դեպքում, իսկ դրա բացակայության դեպքում՝ 0»։ Սուբյեկտիվ հավանականության ամենատարածված տարբերակը բայեսյան հավանականությունն է, որը ներառում է փորձագիտական գիտելիքներ, նաև փորձնական տեղեկատվություն։ Փորձագիտական գիտելիքը ներկայացվում է որոշակի (սուբյեկտիվ) հավանականության նախնական բաշխմամբ։ Այս տեղեկատվությունն ընդգրկվում է հավանականության ֆունկցիայի մեջ։ Նախնական և հավանական նորմալացված արժեքը առաջացնում է հավանականության հետագա բաշխում, որն առնչվում է ամբողջ ակտուալ տեղեկատվությանը։ Ըստ Աումանի համաձայնության թեորեմի՝ բայեսյան գործակիցները, որոնց նախնական հավաստիությունները նման են, կունենան նմանատիպ հետագա հավաստիություններ։ Այդուհանդերձ, տարբեր հավանականություններ կարող են տանել տարբեր եզրակացությունների անկախ նրանից, թե որքան են գործակիցները։


== Ստուգաբանություն ==

Հավանականություն տերմինը ծագել է լատիներեն պրոբաբիլիտաս բառից, որը նշանակում է «ազնվություն», որը եվրոպական իրավական գործում իշխանության ապացույցի չափման միավոր էր և հաճախ առնչվում էր ազնվության հետ։ Սա շատ է տարբերվում ժամանակակից հավանականությունից, որը փորձնական ապացույցի մեծություն է և գալիս է ինդուկտիվ փաստարկներից ու վիճակագրական եզրակացություններից։


== Պատմություն ==
Հավանականության գիտական տեսությունը հանդիսանում է ժամանակակից մաթեմատիկայի զարգացման հիմքը։ Մոլեխաղերի  պատմությունը ցույց է տալիս, որ քանակական հավանականության նկատմամբ կար մեծ հետաքրքրություն, բայց դրա ճշգրիտ մաթեմատիկական սահմանումն ի հայտ եկավ հետագայում։ Գոյություն ունի մաթեմատիկական հավանականության զարգացման դանդաղեցման մի քանի պատճառներ։ Մոլեխաղերը, որոնք մաթեմատիկական հավանականության զարգացման համար խթան էին հանդիսանում, մասնագետների համար դեռ համարվում էին սնահավատություն։
Ըստ Ռիչարդ Ջեֆրիի՝ «նախքան 17-րդ դարերի կեսերը հավանականություն տերմինը (լատիներեն՝ պրոբաբիլիս) նշանակել է ընդունելի և ընդունվել է կարծել, գործել իմաստով։ Հնարավոր գործողությունը կամ կարծիքը մեկն է, որը մարդիկ կարող են ունենալ որոշակի հանգամանքներում»։ Սակայն իրավական համատեքստում հավանականությունը կարող է նաև կիրառվել որպես հակառակ պնդում, որոնց համար կան լավ ապացույցներ։

16-րդ դարում իտալացի մաթեմատիկոս Ջերոլամո Կարդանոն ներկայացրեց սահմանված հավանականության արդյունավետությունը որպես նպաստավոր և աննպաստ ելքերի հարաբերություն (որը նշանակում է, որ իրադարձության հավանականությունը ներկայացվում է նպաստավոր ելքերի և բոլոր հնարավոր ելքերի հարաբերությամբ)։ Կարդանոյի տարական աշխատությունից զատ՝ հավանականությունների դոկտորինան ներկայացվել է նաև Պիեռ դը Ֆերմայի և Բլեզ Պասկալի կողմից (1654)։ Քրիստիան Հյույգենսը (1657) տվել է առարկայի գիտական մոտեցումը։ Յակոբ Բեռնուլիի Ենթադրությունների արվեստը (1713) և Աբրահամ դը Մուավրի Հավանականությունների դոկտորինան (1718) առարկան դասել են որպես մաթեմատիկայի ճյուղ։ Տես Իան Հաքինգի Հավանականությունների ելքը  և Ջեյմս Ֆրանկլինի ենթադրությունների գիտությունը մաթեմատիկական հավանականության պատմական զարգացման մեջ։Շեղումների տեսությունը ներկայացվել է Ռոջեր Քոթսի Opera Miscellanea-ում  (1722), բայց Թոմաս Սիմպսոնի 1755 թվականի (1756 թվականին տպագրված) հուշագրությունն առաջինը ներկայացրեց շեղումների դիտարկման տեսությունը։ Այս հուշագրության վերահրատարակումը հրաժարվում է այն աքսիոմից, որ դրական և բացասական շեղումները հավասարաչափ հնարավոր են, և որ նշանակելի սահմանները նշում են շեղումների ամբողջ շարքը։ Սիմպսոնը նաև քննարկում է շարունակական շեղումները և ներկայացնում է հավանականության կորը։

Շեղումների առաջին երկու օրենքները ներկայացվել են Պիեռ Սիմոն Լապլասի կողմից։ Առաջին օրենքը հրապարակվեց 1774 թվականին և այն պնդում էր, որ շեղման հաճախականությունը կարող է արտահայտվել որպես շեղումների բազմակի մեծության ցուցչային ֆունկցիա։ Շեղումների երկրորդ օրենքը ներկայացվել է 1778 թվականին Լապլասի կողմից և այն պնդում է, որ շեղումների հաճախականությունը ներկայացվում է շեղման քառակուսու ցուցչային ֆունկցիայի միջոցով։ Շեղումների երկրորդ օրենքը կոչվում է Գաուսի օրենք կամ նորմալ բաշխում։
Դանիել Բեռնուլին (1778) ներկայացրել է հավանականության առավելագույն արժեքի սկզբունքները հակառակ շեղումների համակարգում։

Ադրիեն-Մարի Լեժանդրը (1805) զարգացրեց նվազագույն քառակուսիների մեթոդը (Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes): Լեժանդրի սկզբունքներից անկախ՝ իռլանդաամերիկացի գրող Ռոբերտ Ադրեինը՝ «Վերլուծողը» աշխատության հրապարակողը (1808), առաջինն ապացուցեց շեղման հարմարության օրենքը՝

  
    
      
        ϕ
        (
        x
        )
        =
        c
        
          e
          
            −
            
              h
              
                2
              
            
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \phi (x)=ce^{-h^{2}x^{2}},}
  որտեղ 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  -ն հաստատուն է, իսկ 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  -ն՝ գործակիցը, որը ցույց է տալիս կորից ներքև գտնվող հատվածը։ Նա տվեց երկու ապացույց, որոնք ըստ էության նույնն էին, ինչ որ Ջոն Հերշելինը (1850)։ Գաուսը առաջինն ապացուցեց այն, որը թվում էր՝ Եվրոպայում արդեն հայտնի էր (Ադրեյնից հետո՝ 3-րդը) 1809 թվականին։ Հետագա ապացույցները տվեցին Լապլասը (1810, 1812), Գաուսը (1823), Ջեյմս Այվորին (1825, 1826), Հագենը (1837), Ֆրիդրիխ Բեսելը (1838), Վ․Ֆ․ Դոնկինը (1844, 1856) և Մորգան Քրոֆտոնը (1870)։ Աջակիցներից էին նաև Էլիսը (1844), Դե Մորգանը (1864), Գլեյշերը (1872) և Ջիովանի Սկիապարելին (1875)։ Պետերսի (1856)  r-ի բանաձևը՝ դիտարկման հավանական շեղումը, շատ հայտնի է։ 19-րդ դարում հիմնական տեսության հեղինակներն էին Լապլասը, Սիլվեստր Լակրուան (1816), Լիթրոուն (1833), Ադոլֆ Կետլեն (1853), Ռիչարդ Դեդկինդ (1860), Հելմերտը (1872), Հերման Լավրենտը (1873), Լիեգրը, Դիդիոն և Կառլ Փիրսոնը։ Օգաստես դե Մորգանը և Ջորջ Բուլը բարելավեցին տեսության մեկնաբանումը։
Անդրեյ Մարկովը ներմուծեց մարկովյան շղթա հասկացությունը (1906), որը կարևոր դեր խաղաց ստոխաստիկ գործընթացների տեսության և դրա կիրառության մեջ։ Հավանականության ժամանակակից տեսությունը հիմնված է չափի թեորեմի վրա, որը զարգացվել է Անդրեյ Կոլմոգորովի կողմից (1931)։
Երկրաչափության տեսանկյունից  (տես ինտեգրալ երկրաչափություն) մեծ ազդեցություն ունեին «Կրթական ժամանակ» գրքի կողմնակիցները (Միլեր, Քրոֆթն, Մաքքոլ, Վոլսթենհոլմ, Վաթսոն և Արտեմաս Մարտին)։


== Տեսություն ==
Ինչպես մնացած տեսությունները, հավանականության տեսությունն իր հասկացության ներկայացումն է ֆորմալ տերմինների միջոցով, որոնք կարող են քննարկվել նաև իրենց իմաստից անկախ։ Այս ֆորմալ տերմինները կիրառվում են մաթեմատիկական և տրամաբանական կանոնների կողմից, և ցանկացած արդյունք թարգմանվում է և հետ է վերադարձվում խնդրի տիրույթ։
Կարող ենք նշել հավանականությունը սահմանելու առնվազն երկու հաջողակ փորձ, որոնք են Կոլմոգորովի և Կոքսի սահմանումները։ Կոլմոգորովի սահմանման մեջ (տես հավանականության տարածք), իրավիճակները ներկայացվում են որպես իրադարձություններ, իսկ հավանականությունը՝ իրավիճակի տեղի ունենալու չափման միավոր։ Կոքսի տեսության մեջ հավանականությունն ընդունվում է որպես նախնական, և շեշտը դրվում է հավանականության արժեքներից պնդումների կայուն փոխակերպման վրա։ Երկու դեպքերում էլ հավանականության օրենքները նույնն են՝ չհաշված տեխնիկական մանրուքները։
Կան անորոշության չափման այլ մեթոդներ ևս, ինչպիսիք են Դեմպստեր-Շաֆերի կամ հնարավորության տեսությունը, բայց սրանք ըստ էապես տարբեր են և համատեղելի չեն հավանականության ընդունված օրենքների հետ։


== Կիրառություններ ==
Հավանականության տեսությունը կիրառվում է ամենօրյա կյանքում՝ ռիսկերի գնահատման և մոդելավորման ժամանակ։ Ապահովագրական շուկաներն օգտագործում են ակտուարական գիտություններ գները սահմանելու և առևտրային որոշումներ կայացնելու համար։ Պետությունները կիրառում են հավանականության մեթոդները, իրավունքների վերլուծությունները (երկարակեցության և ծերության հուսալիության տեսություն) և ֆինանսական կարգավորումները բնապահպանության կարգավորման համար։
Հավանականության տեսության կիրառման լավ օրինակ է Միջին Արևելքում նավթի գնի հետ կապված վեճերի հավանականության ազդեցությունը, որը օղակների էֆեկտով ազդում է ամբողջ տնտեսության վրա։ Վաճառողը կհասկանա, որ պատերազմի հետևանքով տվյալ ապրանքի գինը կընկնի կամ կբարձրանա, և դա ազդեցություն կունենա նաև մնացած վաճառողների կարծիքի վրա։ Հետևաբար հավանականության գնահատումը ո՛չ անկախ է, ո՛չ էլ չափազանց ռացիոնալ։ Վարքագծային ֆինանսների տեսությունը ստեղծվել է բացատրելու համար ամբոխի էֆեկտի ազդեցությունը գնի, քաղաքականության, խաղաղության և վեճերի վրա։
Ի լրումն ֆինանսական գնահատման, հավանականությունը կարող է օգտագործվել վերլուծելու համար միտումները կենսաբանության մեջ (օրինակ՝ հիվանդությունների տարածումը), նաև էկոլոգիայում (օրինակ՝ Պենետի կենսաբանական աղյուսակը)։ Ռիսկերի գնահատումը կարող է օգտագործվել որպես վիճակագրական գործիք հաշվարկելու համար անցանկալի իրադարձության կատարվելու հավանականությունը և կարող են օգտագործվել նաև արձանագրություններ այդպիսի հանգամանքներից խուսափելու համար։ Հավանականությունն օգտագործվում է մշակելու համար մոլեխաղերը, այնպես, որ խաղատները կարողանան վաստակել երաշխավորված շահույթ՝ միաժամանակ վճարելով մշտական հաճախորդներին, որպեսզի նրանք շարունակեն խաղալ։
Հավանականության գնահատման և միավորման ճշգրիտ մեթոդների բացահայտումը մեծապես փոխել է հասարակությանը։
Հավանականության մեկ այլ կարևոր կիրառությունն ամենօրյա կյանքում հուսալիությունն է։ Շատ սպառողական ապրանքներ, ինչպիսին են ավտոմեքենաները և էլեկտրոնային տեխնիկան, օգտագործում են հուսալիության տեսությունը իրենց ապրանքի նախագծման մեջ կրճատելու համար ձախողման հավանականությունը։ Ձախողման հավանականությունը կարող է ազդել ապրանքի երաշխիքի հետ կապված արտադրողի որոշումների վրա։
Արձանագրությունների լեզվի մոդելը և այլ վիճակագրական լեզուների մոդելները, որոնք օգտագործվում են բնական լեզվի գործընթացներում նույնպես հավանականության տեսության կիրառման օրինակներ են։


== Մաթեմատիկական մոտեցում ==

Կատարենք մի փորձ, որը կարող է ունենալ մի քանի արդյունք։ Բոլոր հնարավոր արդյունքների հավաքածուն կոչվում է փորձի պարզագույն իրադարձությունների տարածություն։ Պարզագույն իրադարձությունների տարածության ամբողջությունը ձևավորվում է՝ հաշվի առնելով հնարավոր արդյունքների բոլոր տարբեր հավաքածուները։ Օրինակ՝ զառի նետումը ենթադրում է վեց հնարավոր արդյունք։ Հնարավոր արդյունքների մի հավաքածուն ներկայացվում է կենտ թվերի միջոցով։ Հետևաբար, {1,3,5} ենթաբազմությունը համարվում է զառի նետման պարզագույն իրադարձությունների տարածության ամբողջության տարր։ Այս դեպքում {1,3,5}-ը զառի նետման հետևանքով կենտ թվեր ընկնելու պատահույթն է։ Եթե տվյալ կենտ թվերը զառի նետման հետևանքով իրոք ընկնեն, ապա կարող ենք ասել, որ պատահույթը տեղի է ունեցել։
Հավանականությունը յուրաքանչյուր պատահույթի գնահատումն է զրոյից մեկի սահմաններում, պայմանով, որ տվյալ պատահույթի հավանականությունը, որն իր մեջ ներառում է բոլոր հնարավոր արդյունքները (մեր օրինակում {1,2,3,4,5,6}) ընդունվի որպես մեկ։ Հաշվելով հավանականությունը՝ արժեքները պետք է բավարարեն այն պահանջները, որ փոխադարձաբար անհամատեղելի պատահույթների հավաքածուներին նայելիս (ոչ սովորական արդյունքներով պատահույթներ, օրինակ՝ {1,6}, {3}, և {2,4} պատահույթները փոխադարձաբար անհամատեղելի են)՝ պատահույթներից առնվազն մեկի տեղի ունենալու հավանականությունը ներկայացված լինի բոլոր առանձին պատահույթների հավանականությունների գումարով։
A պատահույթի հավանականությունը ներկայացվում է որպես 
  
    
      
        P
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle P(A)}
  , 
  
    
      
        p
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle p(A)}
   կամ 
  
    
      
        
          Pr
        
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{Pr}}(A)}
  : Հավանականության այս մաթեմատիկական սահմանումը կարող է պարզագույն պատահույթների և նույնիսկ անհամատեղելի պատահույթների տարածությունն անվերջ մեծացնել՝ օգտագործելով չափման հասկացությունը։
A պատահույթի հակադիր պատահույթը [ոչ A] պատահույթն է (երբ A-ն տեղի չի ունենում), որը հաճախ նշվում է որպես 
  
    
      
        
          
            A
            ¯
          
        
        ,
        
          A
          
            ∁
          
        
        ,
        ¬
        A
      
    
    {\displaystyle {\overline {A}},A^{\complement },\neg A}
  կամ 
  
    
      
        
          ∼
        
        A
      
    
    {\displaystyle {\sim }A}
  : Դրա հավանականությունը ներկայացվում է P(ոչ A) = 1 − P(A) տեսքով։ Օրինակ՝ վեցակողմ զառի նետման դեպքում վեց չընկնելու հավանականությունը հավասար է 1 - (վեց ընկնելու հավանականություն)
  
    
      
        =
        1
        −
        
          
            
              1
              6
            
          
        
        =
        
          
            
              5
              6
            
          
        
      
    
    {\displaystyle =1-{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {5}{6}}}
  : Տես լրիվ հավանականությունը ավելի մանրամասն բացատրության համար։
Եթե փորձի մեկ անգամ կատարման արդյունքում A և B  պատահույթները միաժամանակ տեղի ունենան, այդ երևույթը կկոչվի A և B  պատահույթների հավանականությունների հատում և կներկայացվի 
  
    
      
        P
        (
        A
        ∩
        B
        )
      
    
    {\displaystyle P(A\cap B)}
  տեսքով։


=== Անկախ պատահույթներ ===
Եթե երկու A և B  պատահույթներն անկախ են, ապա նրանց հավանականությունների հատումը կլինի

  
    
      
        P
        (
        A
        
          
             և 
          
        
        B
        )
        =
        P
        (
        A
        ∩
        B
        )
        =
        P
        (
        A
        )
        P
        (
        B
        )
        ,
        
      
    
    {\displaystyle P(A{\mbox{ և }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B),\,}
  օրինակ՝ երկու մետաղադրամ նետելիս՝ երկուսի մոտ էլ գիր ընկնելու հավանականությունը կլինի
  
    
      
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        ×
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        =
        
          
            
              1
              4
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}}
  :


=== Փոխադարձաբար անհամատեղելի պատահույթներ ===
Եթե փորձի արդյունքում A  և B  պատահույթները երբեք միասին հանդես չեն գալիս, դրանք կոչվում են փոխադարձաբար անհամատեղելի պատահույթներ։
Եթե երկու պատահույթներ փոխադարձաբար անհամատեղելի են, ապա երկուսի տեղի ունենլու հավանականությունը ներկայացվում է 
  
    
      
        P
        (
        A
        ∩
        B
        )
      
    
    {\displaystyle P(A\cap B)}
  տեսքով։

  
    
      
        P
        (
        A
        
          
             և 
          
        
        B
        )
        =
        P
        (
        A
        ∩
        B
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle P(A{\mbox{ և }}B)=P(A\cap B)=0}
  Եթե երկու պատահույթներ փոխադարձաբար անհամատեղելի են, ապա դրանցից մեկի տեղի ունենալու հավանականությունը ներկայացվում է 
  
    
      
        P
        (
        A
        ∪
        B
        )
      
    
    {\displaystyle P(A\cup B)}
  տեսքով։

  
    
      
        P
        (
        A
        
          
             կամ 
          
        
        B
        )
        =
        P
        (
        A
        ∪
        B
        )
        =
        P
        (
        A
        )
        +
        P
        (
        B
        )
        −
        P
        (
        A
        ∩
        B
        )
        =
        P
        (
        A
        )
        +
        P
        (
        B
        )
        −
        0
        =
        P
        (
        A
        )
        +
        P
        (
        B
        )
      
    
    {\displaystyle P(A{\mbox{ կամ }}B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-0=P(A)+P(B)}
  Օրինակ՝ վեցակողմ զառի 1 կամ 2 ընկնելու հավանականությունը ներկայացվում է հետևյալ կերպ՝ 
  
    
      
        P
        (
        1
        
          
             կամ 
          
        
        2
        )
        =
        P
        (
        1
        )
        +
        P
        (
        2
        )
        =
        
          
            
              1
              6
            
          
        
        +
        
          
            
              1
              6
            
          
        
        =
        
          
            
              1
              3
            
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle P(1{\mbox{ կամ }}2)=P(1)+P(2)={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{3}}:}
  


=== Փոխադարձաբար համատեղելի պատահույթներ ===
Եթե պատահույթները փոխադարձաբար անհամատեղելի չեն, ապա

  
    
      
        P
        
          (
          
            A
            
              
                 կամ 
              
            
            B
          
          )
        
        =
        P
        (
        A
        ∪
        B
        )
        =
        P
        
          (
          A
          )
        
        +
        P
        
          (
          B
          )
        
        −
        P
        
          (
          
            A
            
              
                 և
              
            
            B
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle P\left(A{\hbox{ կամ }}B\right)=P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A{\mbox{ և}}B\right).}
  Օրինակ՝ խաղաքարտերից պատահական կերպով մեկը վերցնելիս՝ սիրտ կամ կերպար պարունակող քարտ (կամ երկուսը միասին) վերցնելու հավանականությունը (J,Q,K) կլինի 
  
    
      
        
          
            
              13
              52
            
          
        
        +
        
          
            
              12
              52
            
          
        
        −
        
          
            
              3
              52
            
          
        
        =
        
          
            
              11
              26
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {13}{52}}+{\tfrac {12}{52}}-{\tfrac {3}{52}}={\tfrac {11}{26}}}
  , որովհետև եղած 52 քարտերից 13-ը սիրտ են, 12-ը պարունակում են կերպար, իսկ 3-ը՝ երկուսը միասին։ Վեջին 3 քարտերը վերցնելու հավանականություններն իրենց մեջ ներառում են բոլոր 13 սրտերը և 12 կերպարները, որոնք սակայն պետք է հաշվվեն մեկ անգամ։


=== Պայմանական պատահույթներ ===
Պայմանական հավանականությունը A պատահույթի հավանականությունն է B պատահույթի տեղի ունենալուց կախված։ Պայմանական հավանականությունը ներկայացվում է 
  
    
      
        P
        (
        A
        ∣
        B
        )
      
    
    {\displaystyle P(A\mid B)}
  տեսքով և արտաբերվում է «A պատահույթի հավանականություն B պայմանի դեպքում»։ Այն ներկայացվում է հետևյալ կերպ՝

  
    
      
        P
        (
        A
        ∣
        B
        )
        =
        
          
            
              P
              (
              A
              ∩
              B
              )
            
            
              P
              (
              B
              )
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.\,}
  Եթե 
  
    
      
        P
        (
        B
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle P(B)=0}
  , ապա 
  
    
      
        P
        (
        A
        ∣
        B
        )
      
    
    {\displaystyle P(A\mid B)}
  որպես այդպիսին չի սահմանվում։ Սակայն, հնարավոր է սահմանել պայմանական հավանականություն որոշ անհնարին պատահույթների դեպքում՝ օգտագործելով պատահույթների (որոնք, օրինակ, բխում են շարունակական պատահական փոփոխականներից) σ-algebra հնարավոր արժեքների բազմությունը։
Օրինակ՝ 2 կարմիր և 2 կապույտ գնդակների պայուսակում (ընդամենը՝ 4 գնդակ), կարմիր գնդակ հանելու հավանականությունը կլինի 
  
    
      
        1
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle 1/2}
  , սակայն երկրորդ գնդակը հանելիս՝ կարմիր կամ կապույտ գնդակ հանելու հավանականությունը կախված է նրանից, թե նախորդ անգամ ինչ գնդակ է հանվել։ Օրինակ՝ եթե առաջին փորձի արդյունքում հանվում է կարմիր գնդակ, ապա երկրորդ անգամ կարմիր գնդակ հանելու հավանականությունը դառնում է 
  
    
      
        1
        
          /
        
        3
      
    
    {\displaystyle 1/3}
  , քանի որ մնացել են միայն 1 կարմիր և 2 կապույտ գնդակներ։


=== Հակադիր հավանականություն ===
Հավանականության տեսության և դրա կիրառության մեջ Բայեսի կանոնը վերաբերվում է 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}}
   և 
  
    
      
        
          A
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{2}}
  հետագա և նախնական պատահույթների անհամատեղելիությանը 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  պատահույթի պայմանի դեպքում։ 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}}
  և 
  
    
      
        
          A
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{2}}
  պատահույթների անհամատեղելիությունը ներկայացվում է երկու պատահույթների հավանականությունների հարաբերությամբ։ Կամայական 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  պատահույթի դեպքում կանոնը վերաձևակերպվում է որպես հետագա և նախնական հավանականությունների համարժեքություն՝ 
  
    
      
        P
        (
        A
        
          |
        
        B
        )
        ∝
        P
        (
        A
        )
        P
        (
        B
        
          |
        
        A
        )
      
    
    {\displaystyle P(A|B)\propto P(A)P(B|A)}
  , որտեղ համարժեքության նշանը ցույց է տալիս, որ ձախակողմյա հատվածը համարժեք է (այլ կերպ ասած՝ հավասար) աջակողմյա հատվածին տրված 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  պատահույթի պայմանի դեպքում։ Այսպես կրկին հետ ենք վերադառնում Լապլասին (1774) և Կուռնոյին (1843)։ Տես Ֆինբերգ (2005)։ Տես հակադիր հավանականությունը և Բայեսի կանոնը։


=== Հավանականությունների հաշվարկման համառոտ ներկայացումը ===


== Պատահականության և հավանականության կապը քվանտային մեխանիկայում ==

Դետերմինիստական աշխարհում, որը հիմնված է նյուտոնյան հասկացության վրա, հավանականություն ընդհանրապես չպետք է լիներ, եթե բոլոր պայմանները լինեին հայտնի (Լապլասի Սատանա), (բայց կան դեպքեր, երբ նախնական պայմանների զգայունությունը գերազանցում է այն չափելու մեր կարողությանը)։ Խաղանիվի (ռուլետկա,) օրինակով եթե ձեռքի ուժը և այդ ուժի պարբերությունը հայտնի է, ապա թիվը, որի վրա գնդակը կանգ կառնի, հայտնի կլինի (չնայած, ինչպես ցույց է տալիս Թոմաս Բասի «Նյուտոնյան խաղատուն» գիրքը, որպես փորձ սա ճիշտ կլինի միայն այն խաղանիվի դեպքում, որը ճշգրտորեն հարթեցված չէ)։ Սա նաև ենթադրում է անիվի հետ կապված իներցիայի և շփման ուժի գիտելիքներ, ինչպես նաև իմացություն գնդակի քաշի, հարթության, գնդաձևության, պտտելու ժամանակ տատանումների և այլնի մասին։ Հավանականության սահմանումը, հետևաբար, կարող է ավելի օգտակար լինել ռուլետկայի պարբերական պտույտների ելքերի որոշման դեպքում, քան նյուտոնյան մեխանիկան։ Ֆիզիկոսները նույն իրավիճակին են հանգում գազերի կինետիկ տեսության դեպքում, որտեղ համակարգը չնայած սկզբունքորեն որոշիչ լինելուն այնքան բարդ է (մոլեկուլների քանակով, որտեղ մեկ մոլի մոլային զանգվածը, ըստ Ավոգադրոյի հաստատունի, կազմում է 6.02×1023), որ կիրառելի է միայն դրա հատկությունների վիճակագրական սահմանումները։
Հավանականության տեսությունն անհրաժեշտ է բացատրելու համար քվանտային երևույթը։ 20-րդ դարասկզբում ֆիզիկոսների հեղափոխական բացահայտումը ֆիզիկական գործընթացների պատահական բնույթն էր, որն ի հայտ էր գալիս ենթաատոմային մակարդակներում և կառավարվում էր քվանտային մեխանիկայի օրենքներով։ Ալիքաձև ֆունկցիան զարգանում է որոշակիորեն, բայց ըստ Կոպենհագենի մեկնաբանման՝ արդյունքը պարզաբանվում էր ալիքաձև ֆունկցիայի անկման միջոցով դիտարկման ավարտին։ Սակայն դետերմինիզմի կորուստը հանուն ինստրումենտալիզմի այդպես էլ չապացուցվեց։ Ալբերտ Այնշտայնը Մաքս Բոռնին ուղղված նամակում գրել է՝ «Ես համոզված եմ, որ Աստված զառ չի խաղում»։ Ինչպես Այնշտայնը, Էրվին Շրյոդինգերը, ով բացահայտեց ալիքաձև ֆունկցիան, հավատում էր, որ քվանտային մեխանիկան դետերմինացված իրականության վիճակագրական մոտավորությունն է։ Չափման վիճակագրական մեխանիկայի ժամանակակից մեկնաբանություններում քվանտային դեկոգերենցիան անդրադառնում է հավանական փորձնական արդյունքների գնահատմանը։


== Տես նաև ==

Հավանականությունների տեսություն
Վիճակագրություն
Հավանականության խտություն


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Kallenberg, O. (2005) Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer-Verlag, New York. 510 pp. 0-387-25115-4
Kallenberg, O. (2002) Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. 650 pp. 0-387-95313-2
Olofsson, Peter (2005) Probability, Statistics, and Stochastic Processes, Wiley-Interscience. 504 pp 0-471-67969-0.


== Արտաքին հղումներ ==

Virtual Laboratories in Probability and Statistics (Univ. of Ala.-Huntsville)
Կաղապար:In Our Time
Probability and Statistics EBook
Edwin Thompson Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science. Preprint: Washington University, (1996). — HTML index with links to PostScript files and PDF (first three chapters)
People from the History of Probability and Statistics (Univ. of Southampton)
Probability and Statistics on the Earliest Uses Pages (Univ. of Southampton)
Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics on Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
A tutorial on probability and Bayes' theorem devised for first-year Oxford University students
[1] pdf file of An Anthology of Chance Operations (1963) at UbuWeb
Introduction to Probability – eBook Archived 2011-07-27 at the Wayback Machine., by Charles Grinstead, Laurie Snell Source Archived 2012-03-25 at the Wayback Machine. (GNU Free Documentation License)
(անգլերեն) Կաղապար:It icon Bruno de Finetti, Probabilità e induzione, Bologna, CLUEB, 1993. 88-8091-176-7 (digital version)
Richard P. Feynman's Lecture on probability.