Պաուլիի հավասարում

Պաուլիի հավասարում, Շրյոդինգեր-Պաուլիի հավասարում, Շրյոդինգերի հավասարման ձևակերպումը կիսաամբողջ սպինով մասնիկների համար, որը հաշվի է առնում մասնիկի սպինի փոխազդեցությունն արտաքին էլեկտրամագնիսական դաշտի հետ։ Այն Դիրակի հավասարման ոչ ռելյատիվիստական սահմանն է և կարող է օգտագործվել միայն լույսի արագությունից փոքր արագությամբ շարժվող մասնիկի դեպքում, այնպես որ ռելյատիվիստական էֆեկտները տեղի չունեն։ Ձևակերպել է Վոլֆգանգ Պաուլին 1927 թ.։


== Հավասարման տեսքը ==
m զանգվածով և q լիցքով մասնիկի համար, որը գտնվում է A = (Ax, Ay, Az) վեկտորական պոտենցիալով և ϕ սկալյար պոտենցիալով նկարագրվող էլեկտրամագնիսական դաշտում , Պաուլիի հավասարումը հետևյալն է՝

  
    
      
        
          [
          
            
              
                1
                
                  2
                  m
                
              
            
            (
            
              σ
            
            ⋅
            (
            
              p
            
            −
            q
            
              A
            
            )
            
              )
              
                2
              
            
            +
            q
            ϕ
          
          ]
        
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        =
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }
  ,
որտեղ σ = (σx, σy, σz) Պաուլիի մատրիցներն են՝ հարմարության համար վեկտորական տեսքով ներկայացված, p = −iħ∇-ն իմպուլսի օպերատորն է, որտեղ ∇ նշանակված է գրադիենտի օպերատորը և

  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    ψ
                    
                      +
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    ψ
                    
                      −
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}}
  երկու բաղադրիչային սպինորային ալիքային ֆունկցիան է, Դիրակի նշանակումներով գրված Երկչափ վեկտորով։
Համիլտոնյան օպերատորը՝

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              m
            
          
        
        (
        
          σ
        
        ⋅
        (
        
          p
        
        −
        q
        
          A
        
        )
        
          )
          
            2
          
        
        +
        q
        ϕ
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi }
  Պաուլիի մատրիցների պատճառով 2 × 2 մատրիցային օպերատոր է։ Տեղադրելով Շրյոդինգերի հավասարման մեջ՝ կստանանք Պաուլիի հավասարումը։ Համիլտոնյանը նման է էլեկտրամագնիսական դաշտի հետ փոխազդող դասական hամիլտոնյանին։ Կինետիկ էներգիայի բաղադրիչը ազատ մասնիկի համար էլեկտրամագնիսական դաշտի բացակայությամբ պարզապես p2/2m է, որտեղ p-ն կինետիկ իմպուլսն է, մինչդեռ էլեկտրամագնիսական դաշտի առկայությամբ ունենք p = P − qA կեղծ զույգը, որտեղ P-ն կանոնիկ իմպուլսն է։
Պաուլիի վեկտորական նույնականացման միջոցով կարելի է Պաուլիի մատրիցները հանել կինետիկ էներգիայի անդամից

  
    
      
        (
        
          σ
        
        ⋅
        
          a
        
        )
        (
        
          σ
        
        ⋅
        
          b
        
        )
        =
        
          a
        
        ⋅
        
          b
        
        +
        i
        
          σ
        
        ⋅
        
          (
          
            
              a
            
            ×
            
              b
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)}
  Ստանալու համար

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              m
            
          
        
        
          [
          
            
              
                (
                
                  
                    p
                  
                  −
                  q
                  
                    A
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            −
            q
            ℏ
            
              σ
            
            ⋅
            
              B
            
          
          ]
        
        +
        q
        ϕ
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi }
  որտեղ B = ∇ × A-ն մագնիսական դաշտն է։


== Կապը Շրյոդինգերի հավասարման և Դիրակի հավասարման հետ ==
Պաուլիի հավասարումը ոչ ռելյատիվիստական է, սակայն այն չի կանխատեսում սպինը։ Որպես այդպիսին, կարելի է մտածել, որ նա միջին տեղ է գրավում Շրյոդինհերի հայտնի հավասարման (կոմպլեքս սկալյար ալիքային ֆունկցիայով), որը ոչ ռելյատիվիստական է և չի կանխատեսում սպինը և Դիրակի հավասարման (կոմպլեքս չորս բաղադրիչով սպինորով) միջև, որն ամբողջովին ռելյատիվիստական է և կանխատեսում է սպինը։
Նշենք, որ Պաուլիի մատրիցների հետևանքով եթե A մագնիսական վեկտորական պոտենցիալը հավասար է զրոյի, ապա հավասարումն ընդունում է Շրյոդինգերի հավասարման տեսքը մասնիկի համար ϕ ամբողջովին էլեկտրական պոտենցիալով, բացառությամբ, որ այն ազդում է երկու բաղադրիչանի սպինորի վրա։ Այսպիսով, մենք կարող ենք տեսնել, որ մասնիկի սպինն ազդում է իր շարժման վրա միայն մագնիսական դաշտի ազդեցության դեպքում։


== Հատուկ դեպքեր ==
Երկու սպինորային բաղադրիչները բավարարում են Շրյոդինգերի հավասարմանը։ Արտաքին B դաշտի ազդեցությամբ Պաուլիի հավասարումը գրվում է

  
    
      
        
          
            
              
                i
                ℏ
                
                  
                    ∂
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                
                  |
                
                
                  ψ
                  
                    ±
                  
                
                ⟩
                =
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          (
                          
                            p
                          
                          −
                          q
                          
                            A
                          
                          
                            )
                            
                              2
                            
                          
                        
                        
                          2
                          m
                        
                      
                    
                    +
                    q
                    ϕ
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      1
                      ^
                    
                  
                
                
                  
                    |
                  
                
                ψ
                ⟩
              
              ⏟
            
          
          
            
              S
              c
              h
              r
              
                
                  
                    o
                    ¨
                  
                
              
              d
              i
              n
              g
              e
              r
               
              e
              q
              u
              a
              t
              i
              o
              n
            
          
        
        −
        
          
            
              
                
                  
                    
                      q
                      ℏ
                    
                    
                      2
                      m
                    
                  
                
                
                  σ
                
                ⋅
                
                  B
                
                
                  
                    |
                  
                
                ψ
                ⟩
              
              ⏟
            
          
          
            
              S
              t
              e
              r
              n
              
              G
              e
              r
              l
              a
              c
              h
              
              t
              e
              r
              m
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \underbrace {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\pm }\rangle =\left({\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}}{2m}}+q\phi \right){\hat {1}}\mathbf {|} \psi \rangle } _{\mathrm {Schr{\ddot {o}}dinger~equation} }-\underbrace {{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \mathbf {|} \psi \rangle } _{\mathrm {Stern\,Gerlach\,term} }}
  
որտեղ

  
    
      
        
          
            
              1
              ^
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}
  2 × 2 նույնականացման մատրիցն է, որը գործում է որպես նույնականացման օպերատոր։
Շտեռն-Գեռլախի տերմիններով կարելի է ստանալ սպինի կողմնորոշումը մեկ վալենտական էլեկտրոնով ատոմի համար։
Նման կերպ, մագնիսական դաշտում սպեկտչալ գծերի միաձուլման համար պատասխանատու անդամը կարելի է տեսնել Զեեմանի անոմալ էֆեկտում։


== Ծանոթագրություններ ==