Կոտելնիկովի թեորեմ

Կոտելնիկովի թեորեմ (անգլալեզու գրականությունում՝ Նայկվիստ-Շենոնի թեորեմ, հաշվարկների թեորեմ), ազդանշանների թվային մշակման բնագավառի հիմնարար պնդումներից, որը կապ է հաստատում անընդհատ և դիսկրետ ազդանշանների միջև և ըստ որի՝ «0-ից  
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{1}}
   հաճախություններից կազմված ցանկացած  
  
    
      
        F
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle F(t)}
   ֆունկցիա կարելի է ցանկացած ճշտությամբ անընդհատ փոխանցել միմյանցից 
  
    
      
        1
        
          /
        
        (
        2
        
          f
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle 1/(2f_{1})}
   վայրկյան հետևող թվերի օգնությամբ»։
Թեորեմի ապացուցման ժամանակ հաճախային սպեկտրի վրա դրվում է 
  
    
      
        0
        <
        ω
        <
        
          ω
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle 0<\omega <\omega _{1}}
   սահմանափակումը, որտեղ е 
  
    
      
        ω
        =
        2
        π
        f
      
    
    {\displaystyle \omega =2\pi f}
  ։


== Պարզաբանում ==
Իդեալական դեպքում  ազդանշանը սկսվում է անվերջ երկար ժամանակ առաջ և չի ավարտվում, ինչպես նաև ժամանակային բնութագրում խզման կետեր չունի։ Եթե ազդանշանի ժամանակային կախվածության ֆունկցիան որևէ սեռի խզում ունի, սպեկտրալ հզորությունը ոչ մի կետում զրո չի դառնում։ Հենց դա է ենթադրվում «վերևից  
  
    
      
        
          f
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{c}}
   վերջավոր հաճախությամբ սահմանափակված սպեկտր» հասկացությունը։
Բնականաբար իրական ազդանշանները (օրինակ՝ ձայնը թվային կրիչում) չունեն այդպիսի հատկություններ, քանի որ վերջավոր են ժամանակի մեջ և սովորաբար խզումներ ունեն ժամանակային բնութագրում։ Համապատասխանաբար՝ նրանց սպեկտրի լայնությունն անվերջ է։ Նման դեպքում ազդանշանի լրիվ վերականգնումը հնարավոր չէ, և Կոտելնիկովի թեորեմից բխում են հետևյալ հետևանքները :

ցանկացած անալոգ ազդանշան կարելի է նախընտրած ճշտությամբ վերականգնել ըստ իր դիսկրետ հաշվարկի, վերցրած 
  
    
      
        f
        >
        2
        
          f
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle f>2f_{c}}
   հաճախությամբ, որտեղ 
  
    
      
        
          f
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{c}}
  -ն իրական ազդանշանի սպեկտրով սահմանափակված առավելագույն հաճախությունն է։
եթե ազդանշանում առավելագույն հաճախությունը հավասար է կամ չի գերազանցում դիսկրետացման հաճախության կեսը (սպեկտրի վերադրում), ապա գոյությունը չունի ազդանշանը դիսկրետից անալոգի առանց աղավաղումների վերականգնելու եղանակ։Ավելի լայն ասած՝ Կոտելնիկովի թեորեմը պնդում է, որ 
  
    
      
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x(t)}
   անընդհատ ազդանշանը կարելի է ներկայացնել հետևյալ ինտերպոլյացիոն տեսքով՝ 

  
    
      
        x
        (
        t
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        x
        (
        k
        Δ
        )
        sinc
        ⁡
        
          [
          
            
              
                π
                Δ
              
            
            (
            t
            −
            k
            Δ
            )
          
          ]
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k\Delta )\operatorname {sinc} \left[{\frac {\pi }{\Delta }}(t-k\Delta )\right],}
  որտեղ 
  
    
      
        sinc
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        
          /
        
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(x)/x}
  -ը 
  
    
      
        s
        i
        n
        c
      
    
    {\displaystyle sinc}
   ֆունկցիան է։ Դիսկրետացման ինտերվալը բավարարում է 
  
    
      
        0
        <
        Δ
        ⩽
        
          
            1
            
              2
              
                f
                
                  c
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 0<\Delta \leqslant {\frac {1}{2f_{c}}}}
   սահմանափակմանը։ Տվյալ շարքի ակնթարթային արժեքները 
  
    
      
        x
        (
        k
        Δ
        )
      
    
    {\displaystyle x(k\Delta )}
   ազդանշանի դիսկրետ հաշվարկներ են։


== Պատմություն ==
Անգլալեզու գրականությունում այս թեորեմը հաճախ կոչում են Նայկվիստի թեորեմ՝ հղելով վերջինիս «Certain topics in telegraph transmission theory» (1928) աշխատությանը։ Սակայն այս աշխատության մեջ քննարկվում է միայն իմպուլսային ազդանշանի հաղորդման համար կապի գծերի պահանջվող շերտը (հետևելու հաճախությունը պետք է փոքր լինի շերտի կրկնապատիկից)։ Ուստի հաշվարկների թեորեմի կոնտեքստում ճիշտ է խոսել միայն Նայկվիստի հաճախության մասին։ Մոտավորապես նույն ժամանակ նույն արդյունքն է ստացել Կառլ Կուպֆմյուլլերը։ Այս աշխատանքներում խոսք չկա դիսկրետ հաշվարկներով ելքային ազդանշանի լրիվ վերականգնման մասին։ Թեորեմը ձևակերպել և ապացուցել է Վլադիմիր Կոտելնիկովը  1933 թվականին «Եթերի և հաղորդալարերի թողունակային հատկության մասին էլեկտրակապում» աշխատության մեջ, որտեղ, մասնավորապես, թեորեմը ձևակերպվել է հետևյալ կերպ.: «0-ից 
  
    
      
        
          f
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{c}}
   հաճախություններից կազմված ցանկացած 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)}
  , ֆունկցիա կարելի է ցանկացած ճշտությամբ անընդհատ հաղորդել միմյանցից 
  
    
      
        1
        
          /
        
        (
        2
        
          f
          
            c
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle 1/(2f_{c})}
   վայրկյան» հետո եկող թվերի օգնությամբ։ Նրանից անկախ այս թեորեմը 1949 թվականին (16 տարի անց) ապացուցել է  Կլոդ Շենոնը, այդ պատճառով արևմտյան գրականության մեջ այս թեորեմը հաճախ անվանում են Շենոնի թեորեմ։ 1999 թվականին Էդուարդ Ռեյնի միջազգային գիտական ֆոնդը (Գերմանիա) ընդունեց Կոտելնիկովի առաջայնությունը՝  նրան պարգևատրելով հաղորդակցության բնագավառում  առաջին անգամ մաթեմատիկորեն ճշգրիտ ձևակերպված ու ապացուցված հաշվարկների թեորեմի «հիմնարար հետազոտության համար» անվանակարգում։ Պատմական հետազոտությունները, սակայն, ցույց են տալիս, որ հաշվարկների թեորեմը ավելի վաղ մաթեմատիկորեն դիտարկվել է բազմաթիվ գիտնականների կողմից՝ ինչպես որպես անընդհատ ազդանշանը դիսկրետներով վերականգնելու հնարավորության պնդում, այնպես էլ որպես վերականգնման եղանակ։ Մասնավորապես, առաջին մասը ձևակերպվել է դեռ 1897 թվականին Էմիլ Բորելը։


== Վարիացիաներ և ընդհանրացումներ ==
Սահմանափակ սպեկտր ունեցող ազդանշանները մոտարկելու տարբեր եղանակներ են առաջարկվել վերջերս, որոնք ընդհանրացնում են հաշվարկների թեորեմը. Այսպես, 
  
    
      
        s
        i
        n
        c
      
    
    {\displaystyle sinc}
   ֆունկցիաներով արմատական շարքի փոխարեն, որոնք ցածր հաճախությունների իդեալական զտիչի իմպուլսային բնութագրիչի շեղված կրկնօրինակներն են, կարելի է կիրառել 
  
    
      
        s
        i
        n
        c
      
    
    {\displaystyle sinc}
    ֆունկցիաների փաթաթումների վերջավոր կամ անվերջ շարքեր։ Օրինակ,  ճիշտ է 
  
    
      
        (
        supp
        ⁡
        
          
            
              x
              ^
            
          
        
        =
        [
        −
        
          f
          
            c
          
        
        ,
        
          f
          
            c
          
        
        ]
        )
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {supp} {\hat {x}}=[-f_{c},f_{c}])}
    վերջավոր սպեկտր ունեցող 
  
    
      
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x(t)}
    անընդհատ ֆունկցիայի Կոտելնիկովի շարքի հետևյալ ընդհանրացումը ատոմար ֆունկցիաների Ֆուրիեի ձևափոխությունների հիման վրա.

  
    
      
        x
        (
        t
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        x
        (
        k
        Δ
        )
        
          ∏
          
            n
            =
            1
          
          
            M
          
        
        sinc
        ⁡
        
          [
          
            
              
                π
                
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                  Δ
                
              
            
            (
            t
            −
            k
            Δ
            )
          
          ]
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k\Delta )\prod _{n=1}^{M}\operatorname {sinc} \left[{\frac {\pi }{a^{n-1}\Delta }}(t-k\Delta )\right],}
  որտեղ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
   պարամետրերը բավարարում են 
  
    
      
        
          a
          
            M
            −
            1
          
        
        (
        a
        −
        2
        )
        +
        1
        >
        0
      
    
    {\displaystyle a^{M-1}(a-2)+1>0}
   անհավասարությանը, իսկ դիսկրետացման ինտերվալը՝

  
    
      
        0
        <
        Δ
        ⩽
        
          
            1
            
              2
              
                f
                
                  c
                
              
            
          
        
        
          [
          
            1
            +
            
              
                
                  
                    a
                    
                      M
                      −
                      1
                    
                  
                  +
                  1
                
                
                  
                    a
                    
                      M
                      −
                      1
                    
                  
                  (
                  a
                  −
                  1
                  )
                
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle 0<\Delta \leqslant {\frac {1}{2f_{c}}}\left[1+{\frac {a^{M-1}+1}{a^{M-1}(a-1)}}\right]}
  ։


== Ծանոթագրություններ ==