Թվերի տեսություն

Թվերի տեսություն, կամ ավելի վաղ օգտագործմամբ թվաբանություն, մաքուր մաթեմատիկայի ճյուղ է, որ հիմնականում նվիրված է ամբողջ թվերի ուսումնասիրությանը։ Մաթեմատիկայում ունեցած հիմնարար դերի համար, այն երբեմն անվանում են "Մաթեմատիկայի թագուհի"։ Թվերի տեսաբանները ուսումնասիրում են ինչպես պարզ թվերը, այնպես էլ ամբողջ թվերից կառուցված (այսինքն, ռացիոնալ թվերը) կամ որպես ամբողջ թվերի ընդհանրացումներից սահմանված օբյեկտների (այսինքն, հանրահաշվական թվեր) հատկությունները։
Ամբողջ թվերը կարող են դիտարկվել ինքնուրույն կամ հավասարումների լուծումներ (Դիոֆանտյան երկրաչափություն)։ Թվերի տեսության հարցերը հաճախ ավելի լավ են հասկացվում կոմպլեքս անալիզի օբյեկտներն (այսինքն, Ռիմանի զետա ֆունկցիա) ուսումնասիրելու միջոցով, որոնք ինչ որ ձևով (վերլուծական թվերի տեսություն) ծածկագրում են ամբողջ թվերի, պարզ թվերի կամ այլ թվային տեսական օբյեկտների հատկությունները։ Կարելի է նաև ուսումնասիրել իրական թվերը կապված ռացիոնալ թվերի հետ, օրինակ, ինչպես մոտարկվել էր վերջին դեպքում (Դիոֆանտյան մոտարկում)։
Թվերի տեսության վաղ տերմինը թվաբանություն էր։ Քսաներորդ դարի սկզբներին այն փոխարինվեց "թվերի տեսությամբ"։ "Թվաբանություն" բառը լայն հասարակության կողմից օգտագործվում է "տարրական հաշվարկների"  իմաստով, ինչպես նաև ձեռք է բերել այլ իմաստներ մաթեմատիկական տրամաբանության, որպես Պեանոյի թվաբանություն, և կոմպյուտերային գիտության, ինչպես  լողացող ստորակետով թվաբանության մեջ։ Թվերի տեսության համար թվաբանություն տերմինի օգտագործումը որոշակի հիմք ձեռք բերեց 20-րդ դարի երկրորդ կեսում, հնարավոր է մասնակիորեն ֆրաննսիական ազդեցության տակ։


== Պատմություն ==


=== Ծագում ===


==== Թվաբանության արշալույս ====
Թվաբանական բնույթի առաջին գտածոն սեղանի բեկոր է, կոտրված կավե կտոր պլիմպտոն 322 (Լարսա, Միջագետք, մոտ․ մ․թ․ա․ 1800 թվական) պարունակում է "Պյութագորյան եռյակների" ցուցակ, այսինքն, 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b,c)}
   այնպիսի ամբողջ թվեր, որ 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
  ։
Եռյակները չափազանց շատ են և չափազանց մեծ, որպեսզի ստացվեն կոպիտ ուժի մեթոդով։ Առաջին սյունի վերնագիրն ասում է․ "The takiltum of the diagonal which has been subtracted such that the width..."։

Աղյուսակի դասավորությունը ենթադրում է, որ այդ քանակության միջոցով այն կառուցվել է արտահայտելու, ժամանակակից լեզվով, հետևյալ հավասարությունը.

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  1
                  2
                
              
              
                (
                
                  x
                  −
                  
                    
                      1
                      x
                    
                  
                
                )
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        1
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                  2
                
              
              
                (
                
                  x
                  +
                  
                    
                      1
                      x
                    
                  
                
                )
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}}
  ,որը սովորական էր հին բաբելոնյան վարժություններում։ Եթե այլ մեթոդ է օգտագործվել, սկզբում եռյակներն են ձևավորել և այնուհետ վերադասավորել ըստ 
  
    
      
        c
        
          /
        
        a
      
    
    {\displaystyle c/a}
  , ենթադրաբար որպես «աղյուսակ» իրական օգտագործման համար, այսինքն, կիրառությունների տեսանկյունից։
Հայտնի չէ, թե ինչ կիրառություններ էին դրանք, կամ արդյոք եղել են, Բաբելոնյան աստղագիտությունը, օրինակ իրականում ոտքի կանգնեց ավելի ուշ։ Դրա փոխարեն ենթադրվում էր, որ աղյուսակը դպրոցական խնդիրների թվային օրինակներ էին։
Բաբելոնյան թվերի տեսությունը կամ ինչ փրկվել է  Բաբելոնյան մաթեմատիկայից, բաղկացած է այս միակ ապշեցուցիչ Բաբելոնլան հանրահաշիվ (երկրորդական դպրոցի "հանրահաշիվ") հատվածից։ Ավելի ուշ Նեոպլատոնիկ աղբյուրները հավաստում են, որ state that Պյութագորասը մաթեմատիկա է սովորել Բաբելոնացիներից։ Շատ ավելի վաղ աղբյուրները հավաստում են, որ Թալեսը և Պյութագորասը ճամփորդել և սովորել են Եգիպտոսում։
Էվկլիդեսը IX 21—34 ամենայն հավանականությամբ պյութագորիական էր, դա շատ պարզ նյութ էր ("կենտ անգամ զույգ զույգ է", "Եթե զույգ թիվը բաժանվում է կենտ թվի, ապա դրա կեսը նույնպես բաժանվում է այդ կենտ թվին"), սա այն ամենն է, որ անհրաժեշտ է ապացուցելու, որ 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
իռացիոնալ թիվ է։ Պյութագորյան միստիկները մեծ կարևորություն էին տալիս կենտ և զույգ թվերին
։ Բացահայտումը, որ 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
   իռացիոնալ է, վերագվում է վաղ պյութագորականներին (մինչ Թեոդորուսը)։ Հայտնաբերումը, որ թվերը կարող է նաև իռացիոնալ լինել, մաթեմատիկայի պատմության մեջ կարծես թե առաջացրել է առաջին հիմնարար ճգնաժամը, դրա ապացույցը երբեմն վերագրում են Հիպասուսին, ով հեռացվել կամ պառակտվել է Պյութագորյան աղանդից։ Դա ստիպեց տարանջատել մի կողմից թվերը (ամբողջ թվերը և ռացիոնալ թվերը՝ թվաբանության օբյեկտները), և մյուս կողմից երկարություններն ու համամասնությունները (որը մենք կստանանք իրական թվերով, ռացիոնալ կամ ոչ)։
Պյութագորյան ավանդույթը խոսում էր նաև այսպես կոչված բազմանկյան կամ ձևական թվերից։ Քառակուսի թվեր, խորանարդ թվեր և այլն, ավելի բնական են դիտվում, 
քան եռանկյուն թվեր, հնգանկյուն թվեր և այլն, , եռանկյուն և հնգանկյուն թվերի գումարների ուսումնասիրությունը արդյունավետ էին նոր ժամանակների վաղ շրջանում (17-րդ մինչև վաղ 19-րդ դար)։
Հին եգիպտական կամ Վեդայի աղբյուրներում ակնհայտ մաթեմատիկական նյութեր չկան, չնայած երկուսում էլ կա մի փոքր հանրահաշիվ։ Չինական մնացորդների թեորեմը ներկայացված է Sunzi Suanjing (մեր թվարկության 3-րդ, 4-րդ կամ -րդ դար)Չինական մաթեմատիկայում կա նաև թվանշանային միստիցիզմ, բայց ի տարբերություն Պյութագորականների, այն ոչ մի տեղ չի տանում։ Պյութագորյան կատարյալ թվերի նման, մոգական քառակուսիները սնահավատությունից անցել են թարմացման։


==== Դասական Հունաստանը և վաղ Հելենիստական ժամանակաշրջանը ====
Բացի մի փոքր հատվածից, Դասական Հունաստանի մաթեմատիկան մեզ հայտնի է վաղ Հելլենիստական ժամանակաշրջանի կամ ոչ մաթեմատիկոս ժամանակակիցների հիշատակումներից ինչու ոչ նաև մաթեմատիկական աշխատանքների միջոցով։ Թվերի տեսության դեպքում, հիմնականում  համապատասխանաբար Պլատոյի և Էվկլիդեսի կողմից։
Թեև ասիական մաթեմատիկան ազդել է հունական և հելլենիստական ուսուցման վրա, կարծես թե հունական մաթեմատիկան նաև տեղական ավանդույթ է։
Եվսեբիոսը, PE X, 4-րդ գլխում հիշատակում է Պյութագորասին։

"Փաստացի Պյութագորասը, ջանաբար ուսումնասիրելով յուրաքանչյուր ազգի իմաստությունը, այցելել է Բաբելոնը, Եգիպտոսը և ողջ Պարսկաստանը, սովորել է մոգերի և քահանաների օգնությամբ․ ի հավելումն նա կապված է եղել և սովորել բրահմանների (հնդիկ փիլիսոփաներ) մոտ և մի մասից նա հուսանել է աստղագիտություն, ուրիշներից երկրաչափություն, երրորդներից թվաբանություն և երաժշտություն, և տարբեր բաներ, տարբեր ազգերից, և միայն հույն իմաստուն մարդկանցից ոչինչ չի ստացել՝  քանի որ նրանք իմաստության պակաս ունեին, այսպիսով, նա ինքն է դառնում հույներին կրթելու հեղինակը, տարածելով իր կողմից արտասահմանում ձեռք բերածը։"
Արիստոտելը հավաստում է, որ Պլատոյի փիլիսոփայությունը սերտորեն հետևում էր Պյութագորյան սկզբունքներին, և Ցիցերոնն էլ հաստատել է այս հայտարարությունը ("Նրանք ասում են, որ Պլատոն ամեն ինչ սովորել է Պյութագորասից")։
Պլատոն հափշտակված էր մաթեմատիկայով և հստակ տարանջատում էր թվաբանությունն ու հաշիվը։ Թվաբանության տակ նա ավելի շուտ հասկանում էր թվերի տեսականացում, քան այն ինչ թվաբանությունը կամ թվերի տեսությունը նշանակում էին։ Պլատոյի երկխոսություններից մեկի՝, իսկ ավելի կոնկրետ Theaetetus—ի հետ, որից մենք գիտենք, որ Թեոդորուսը ապացուցել է, որ 
  
    
      
        
          
            3
          
        
        ,
        
          
            5
          
        
        ,
        …
        ,
        
          
            17
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\dots ,{\sqrt {17}}}
   իռացիոնալ է։ Թեատետուսը, Պլատոյի նման, Թեոդորուսի աշակերտն էր։ Նա աշխատում էր տարբեր տիպի անհամատեղելիության տարբերակման վրա, հետևաբար, հնարավոր է թվային համակարգերի ուսումնասիրության մեջ առաջինը լիներ։ Պապուսի կողմից գրված Էվկլիդյան տարրեր X գրքում հիմնականում նկարագրված է Թեատետուսի աշխատանքը։
Էվկլիդեսը իր Տարրեր աշխատության մի մասը հատկացրել է պարզ թվերին և բաժանելիությանը, թեմաներ, որ միարժեքորեն վերաբերում են թվերի տեսությանը և հիմնական դեր ունեն (Գիրք VII - IX, Էվկլիդյան տարրեր)։ Մասնավորապես, նա տվեց երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու ալգորիթմը (Էվկլիդյան ալգորիթմ; Ta88e8, Prop. VII.2) և պարզ թվերի անվերջության առաջին հայտնի ապացույցը (Տարրեր, Prop. IX.20)։
1773 թվականին, Գոտհոլդ Լեսսինգը մակագիր հրատարակեց, որը նա գտել էր գրադանում աշխատելու ընթացքում, աշխատանքի ընթացքում։ Դա Արքիմեդեսի նամակն էր Էրատոսթենեսին։ Մակագիրը առաջարկել է այն, ինչը հետագայում հայտնի դարձավ, որպես Արքիմեդեսի խոշոր եղջերավոր անասունների խնդիր։ Դրա լուծումը (բացակայում է ձեռագրից) պահանջում է լուծել անորոշ քառակուսի հավասարում, որը հետագայում սխալմամբ անվանվեց Պելլի հավասարում։ Որքանով հայտնի է, այդպիսի հավասարումները առաջինը հաջողությամբ ուսումնասիրվել են հնդկական մաթեմատիկական դպրոցի կողմից։ Հայտնի չէ, արդյոք Արքիմեդեսն ինքը լուծման մեթոդն ուներ։


==== Դիոֆանտուս ====

Դիոֆանտուսի մասին շատ քիչ բան է հայտնի, հավանաբար նա ապրել է մեր թվարկության երրորդ դարում, այսինքն Էվկլիդեսից հինգ դար հետո։ 
Դիոֆանտուսի Թվաբանություն տասներեք գրքերից հունարեն բնօրինակով պահպանվել են վեցը, արաբական թարգմանությամբ՝ չորսը։ Թվաբանությունը մշակված խնդիրների հավաքածու է, որտեղ խնդիրը սովորաբար 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=z^{2}}
   կամ 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        
          w
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x,y,z)=w^{2}}
   տեսքի բազմանդամային հավասարումների համակարգի ռացիոնալ լուծումներ գտնելն է։ Այսպիսով, այսօր երբ մենք խոսում ենք Դիոֆանտյան հավասարումների մասին, ապա նկատի ունենք բազմանդամային հավասարումներ, որոնց համար պետք է գտնվեն ռացիոնալ կամ ամբողջ լուծումներ։
Կարելի է ասել Դիֆանտուսը ուսումնասիրում էր ռացիոնալ կետերը, այսինքն, կետերը, որոնց կոորդինատները ռացիոնալ են կորերի և հանրահաշվական բազմազանությունների վրա։ Ի տարբերություն դասական շրջանի հույների, ովքեր ստեղծեցին այն, ինչը երկրաչափական տերմիններով այժմ անվանում ենք երկրաչափական տերմիններով հիմնարար, Դիոֆանտուսը արեց այն, որը այսօր անվանում ենք հիմնարար հանրահաշվական երկրաչափություն։ Ժամանակակից լեզվով ասած ինչ Դիոֆանտուսն էր անում, դա բազմազանությունների համար ռացիոնալ պարամետրիզացիա գտնելն է, այսինքն, տրված

  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0}
  , հավասարման համար,նրա նպատակն էր գտնել երեք ռացիոնալ ֆունկցիաներ 
  
    
      
        
          g
          
            1
          
        
        ,
        
          g
          
            2
          
        
        ,
        
          g
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{1},g_{2},g_{3}}
   այնպիսիք, որ 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   և 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  , բոլոր արժեքների համար, որ

  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        =
        
          g
          
            i
          
        
        (
        r
        ,
        s
        )
      
    
    {\displaystyle x_{i}=g_{i}(r,s)}
  , 
  
    
      
        i
        =
        1
        ,
        2
        ,
        3
      
    
    {\displaystyle i=1,2,3}
   տալիս է լուծում 
  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        )
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0.}
  
Դիոֆանտուսը ուսոմնասիրել է նաև որոշ ոչ ռացիոնալ կորերի հավասարումներ, որոնց համար ոչ ռացիոնալ պարամետրիզացիան հնարավոր է։ Նա կարողացել է այդ կորերի վրա որոշ ռացիոնալ կետեր գտնել, որոնց միջոցով ստացվում է շոշափող կառուցվածք՝ փախակերպելով կոորդինատային երկրաչափության 
(որը Դիոֆանտուսի ժամանակ գոյություն չուներ), նրա մեթոդը կարելի է պատկերացնել որպես հայտնի ռացիոնալ կետում կորին շոշափող տանելև շոշափողի և կորի հատման այլ ռացիոնալ նոր կետ գտնել։ Դիոֆանտուսը դիմում է նաև այսպես կոչված հատող կոնստրուկցիայի մասնավոր դեպքին։
Հիմնականում զբաղված լինելով ռացիոնալ լուծումներով, նա ամբողջ թվերի հետ կապված որոշ արդյունքներ գրանցեց, մասնավորապես, որ յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ չորս ամբողջ թվերի քառակուսիների գումար է (չնայած նա երբեք այդքան հստակ չէր ձևակերպել)։


==== Արիաբհատա, Բրահմագումպտա, Բհասկարա ====
Թեև հունական աստղագիտությունը հավանաբար ազդել է հնդկական ուսուցման վրա, մինչև իսկ եռանկյունաչափության ստեղծման է բերել, սակայն թվում է, հնդկական մաթեմատիկան ինքնին տեղական ավանդույթ է, մասնավորապես, չկա որևէ ապացույց, որ Էվկլիդյան տարրերը Հնդկաստան են հասել մինչև 18-րդ դար։Արիաբհատան (մ․թ․ 476–550) ցույց է տվել, որ միաժամանակյա նմանությունների զույգերը 
  
    
      
        n
        ≡
        
          a
          
            1
          
        
        
          
            mod
            
              m
            
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle n\equiv a_{1}{\bmod {m}}_{1}}
  , 
  
    
      
        n
        ≡
        
          a
          
            2
          
        
        
          
            mod
            
              m
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle n\equiv a_{2}{\bmod {m}}_{2}}
   կարող են լուծվել կուտակա, կամ պուլվիրիզատոր մեթոդներով, այս եղանակը մոտ է (ընդհանրացված) Էվկլիդյան ալգորիթմին, որը հավանաբար անկախ հայտնագործվել է Հնդկաստանում։ Թվում է, Արիաբհատան նկատի ուներ աստղագիտական հաշվարկների կիրառությունները։Բրահմագումպտան (մ․թ․ 628) սկսեց անորոշ քառակուսի հավասարումների ուսումնասիրությունը՝ մասնավորապես, սխալ անվանված Պելլի հավասարումը, որում առաջինը Արքիմեդեսն էր հետաքրքրված, և որը արևմուտքում մինչ Ֆերմայի և Էյլերի ժամանակները չէին սկսել լուծել։ Ավելի ուշ սանսկրիտ հեղինակները կհետևեն օգտագործելով Բրահմագումպտայի տեխնիկական տերմինաբանությունը։ Պելլի հավասարման լուծման ընդհանուր եղանակը (Չակրավալայի կամ "ցիկլիկ մեթոդ") վերջնականապես գտել է Ջավադևան (հիշատակվել է տասնմեկերորդ դարում, հակառակ դեպքում նրա գործը կանհետանար); վաղ պահպանված ցուցանմուշը հիշատակված է Բհասկարա II-ի Bīja-gaṇita աշխատությունում (տասներկուերորդ դար)։Հնդկական մաթեմատիկան մինչև տասնութերորդ դարը հիմնականում անհայտ էր Եվրոպայում։1817 թվականին Հենրի Քոլբրուկը Բրահմագուպտայի և Բհասկարայի աշխատանքները թարգմանեց անգլերեն։


==== Մաթեմատիկան իսլամական ոսկե դարում ====

Իններորդ դարի սկզբներում խալիֆ Ալ-Մամունը հրահանգեց թարգմանել հույն մաթեմատիկոսների շատ աշխատանքներ և գոնե մի սանսկրիտ աշխատանք (Sindhind,
որը կարող է կամ չի կարող Բրահմագուպտայի աշխատանքը լինել)։
Դիոֆանտուսի գլխավոր Թվաբանություն աշխատանքը արաբերեն էր թարգմանվել Քուստա իբն Լուկայի կողմից։ (820–912).
al-Fakhri աշխատության մի մասը (Ալ-Կարաջի, 953 –  1029) ինչ որ չափով հիմնվում է դրա վրա։ Համաձայն Ռաշեդ Ռոշդիի, Ալ-Կարաջիի ժամանակակից Իբն ալ-Հայսամը գիտեր  ավելի ուշ կանվանվեր Վիլսոնի թեորեմ։


==== Արևմտյան Եվրոպան միջին դարերում ====
Բացի Ֆիբոնաչիի՝ ով կրթության տարիներին (1175–1200), ապրել և սովորել է հյուսիսային Աֆրիկայում և Կոնստանդնուպոլսում թվաբանական պրոգրեսիայի քառակուսիների աշխատությունից, Արևմտյան Եվրոպայում միջին դարերում թվերի տեսության բնագավառում ոչինչ չի արվել։ Եվրոպայում իրավիճակը սկսեց փոխվել ուշ Վերածննդի ժամանակաշրջանում, շնորհիվ հունական անտիկ գործերի նորացված ուսումնասիրության։ Դիոֆանտուսի Թվաբանություն գործի տեքստի ուղղումները և թարգմանությունը լատիներենի կատալիզատոր հանդիսացավ։


=== Վաղ ժամանակակից թվերի տեսություն ===


==== Ֆերմա ====

Պիեռ դե Ֆերման (1601–1665) երբեք չի հրատարակել իր գրառումները, մասնավորապես, թվերի տեսությանը վերաբերող նրա աշխատանքները համարյա ամբողջությամբ ներառված են մաթեմատիկոսներին ուղղված նրա նամակներում և մասնավոր մարգինալ նշումներում։ Թվերի տեսության մեջ գրեթե ոչ մի ապացույց նա չի գրառել, այդ բնագավառում նա մոդելներ չուներ։ Նա բազմակիորեն կիրառել էր մաթեմատիկական ինդուկցիան, ներկայացնելով անվերջ անկման մեթոդը։
Ֆերմայի առաջին հետաքրքրությունների շարքում էին կատարյալ թվերը (որոնք նկարագրված են Էվկլիդեսի Տարրերում, IX դար) և բարեկամական թվերը,։ սա նրան ուղղորդեց դեպի ամբողջ թվերի բաժանելիություն, որը նրա նամակագրությունների մաս էր կազմում հենց սկզբից։ Դա նրան կապեց ժամանակի մաթեմատիկական համայնքի հետ։ 1643 թվականին նա արդեն խորությամբ ուսումնասիրել էր Դիոֆանտուսի աշխատանքների Բաչետի հրատարակությունը,  նրա հետաքրքրությունները տեղափոխվեցին դեպի Դիոֆանտուսի խնդիրները և քառակուսիների գումարներըh  (մշակվել է նաև Դիոֆանտուսի կողմից)։
Ֆերմայի ձեռքբերումները մաթեմատիկայում ներառում են․ 

Ֆերմայի փոքր թեորեմը (1640), պնդում է, եթե a-ն չի բաժանվում p պարզ թվի վրա, ապա 
  
    
      
        
          a
          
            p
            −
            1
          
        
        ≡
        1
        
          mod
          
            p
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\bmod {p}}.}
  Եթե a և b-ն փոխադարձ պարզ են, then 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}}
   չի բաժանվում որևէ պարզ կոնգրուենտ −1 մոդուլ 4-ով; և 1 մոդուլ 4-ի յուրաքանչյուր պարզ կոնգրուենտ կարող է ներկայացվել 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}}
   տեսքով։ Այս երկու պնդումները կատարվել են 1640 թվականին,  1659 թվականին Ֆերման Հույգենսին հայտնել է, որ վերջին պնդումը ինքն ապացուցել է անվերջ անկման մեթոդի միջոցով։ Ֆերման և Ֆրենիկլը միասին կատարել են որոշ աշխատանքներ քառակուսի ձևերի վրա (մի քանիսը սխալներով)։
Ֆերման անգլիացի մաթեմատիկոսներին որպես մարտահրավեր առաջ քաշեց 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        −
        N
        
          y
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}
   հավասարման լուծման խնդիրըխնդիրը (1657)։ Խնդիրը մի քանի ամսում լուծեցին Ուոլիսը և Բրունքերը։ Ֆերման նրանց լուծումը հիմնավորված համարեց, սակայն նշեց, որ նրանք տրամադրեցին ալգորիթմ առանց ապացույցի։ Նա հայտարարեց, որ ապացույցը կարող է արվել անկման եղանակով։
Ֆերման զարգացրեց կորերի վրա 0 և 1 դասի կետերի հայտնաբերման մեթոդները։ Ինչպես Դիոֆանդուսում գոյություն ունեն բազմաթիվ հատուկ եղանակներ, որ դասվում են շոշափողների, այլ ոչ հատողների կառուցման եղանակներին։
Դեոֆանտուսի դիտարկումների հավելվածում ֆերման պնդում և ապացուցում է (անկմամբ) (Obs. XLV) որ 
  
    
      
        
          x
          
            4
          
        
        +
        
          y
          
            4
          
        
        =
        
          z
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}
   ամբողջ թվերի մեջ տրիվիալ լուծում չունի։ Ֆերման նաև հիշեցնում է իրեն հետևողներին, որ   
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        +
        
          y
          
            3
          
        
        =
        
          z
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}
   ոչ տրիվիալ լուծումներ ունեն, և դա կարող է ապացուցվել անկման միչոցով։ Առաջին հայտնի ապացույցն արվել է Էյլերի կողմից (1753; իսկապես անկմամբ)։Ֆերմայի պնդումը ("Ֆերմայի վերջին թեորեմ") ցույց է տալիս, որ

  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        +
        
          y
          
            n
          
        
        =
        
          z
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}
   հավասարումը բոլոր 
  
    
      
        n
        ≥
        3
      
    
    {\displaystyle n\geq 3}
   լուծումներ գոյություն չունեն, միայն երևում է նրա սղագրություններում Դիոֆանտուսի նրա կրկնօրինակի լուսանցքներում։


==== Էյլեր ====

Թվերի տեսությամբ Լեոնարդ Էյլերի (1707–1783) հետաքրքրությունը շարժվեց 1729 թվականին, երբ նրա ընկեր, սիրողական մաթեմատիկոս  Գոլդբախը նրա ուշադրությունն է հրավիրում այդ հարցերի վերաբերյալ Ֆերմայի աշխատանքների վրա։ Այն անվանում էին Թվերի տեսության "վերածնունդ", Ֆերմայի հարաբերական անհաջողություններից հետո առարկային ժամանակակիցների ուշադրությանն հրավիրելու համար։ Թվերի տեսության Էյլերի աշխատանքը ներառում է․
Ֆերմայի պնդումների ապացույցներ Սա ներառում է Ֆերմայի փոքր թեորեմը (Էյլերի կողմից ընդհանրացված մինչև ոչ պարզ մոդուլ), փաստը, որ  
  
    
      
        p
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}
   այն և միայն այն դեպքում, երբ 
  
    
      
        p
        ≡
        1
        
          mod
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle p\equiv 1{\bmod {4}}}
  , սկզբնական աշխատանք, որ հաստատում է այն փաստը, որ յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ չորս քառակուսիների գումար է (առաջին ամբողջական ապացույցը տրվել է Ժոզեֆ Լուի Լագրանժի կողմից (1770), շուտով բարելավվել էր հենց Էյլերի կողմից), 
  
    
      
        
          x
          
            4
          
        
        +
        
          y
          
            4
          
        
        =
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{2}}
   հավասարման ոչ զրոյական ամբողջ լուծումների բացակայությունը (նկատի ունենալով Ֆերմայի վերջին թեորեմի n=4, n=3 դեպքը, որը Էյլերն ապացուցեց համապատասխան մեթոդով)։
Պելլի հավասարում, առաջին անգամ սխալ անվանում է ստացել Էյլերի կողմից։ նա գրել էր շարունակական կոտորակների և Պելլի հավասարման միջև։
Թվերի անալիտիկ տեսություն։ Նրա չորս քառակուսիների գումարներ, թվերի տրոհում, հնգանկյուն թվեր և բաշխում գործում, Էյլերն առաջին անգամ  օգտագործում է ինչը կարող է դիտարկվել որպես վերլուծություն (մասնավորապես, անվերջ շարքեր) թվերի տեսության մեջ։ Քանի որ նա ապրել է կոմպլեքս անալիզի զարգացումից առաջ, նրա աշխատանքների մեծ մասը սահմանափակված են աստիճանային շարքերի ֆորմալ մանիպուլացիայով։ Այնուամենայնիվ, նա շատ ուշագրավ աշխատանք է արել (չնայած ոչ լիովին խիստ), որը հետագայում կոչվելու է Ռիմանի զետա ֆունկցիա։
Քառակուսային ձևեր։ Էյլերը, Ֆերմային հետևելով, շարունակեց հետազոտությունը այն հարցի շուրջ, թե որ պարզ թվերը կարելի է ներկայացնել      
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        N
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+Ny^{2}}
   տեսքով, դրանցից որոշները քառակուսային փոխադարձություն են ենթադրում։ 
Դիոֆանտային հավասարումներ։ Էյլերն աշխատել է 0 և1 դասերի Դիոֆանտյան հավասարումների վրա։ Մասնավորապես, նա ուսումնասիրել է Դիոֆանտուսի աշխատանքը, փորձել է այն համակարգել, սակայն այդպիսի ջանքերի համար ժամանակը դեռևս չէր հասունացել՝ հանրահաշվական երկրաչափությունը դեռևս սաղմնային վիճակում էր։ Նա նկատել էր, որ գոյություն ունի կապ Դիոֆանտյան խնդրի և էլիպսային ինտեգրալների միջև, որոնց հետազոտությունը ինք սկսեց։


==== Լագրանժ, Լեժանդր և Գաուս ====

Ժոզեֆ Լուի Լագրանժը (1736–1813) առաջինն էր, որ Ֆերմայի և Էյլերի որոշ աշխատանքների և դիտարկումների ամբողջական ապացույցները տվեց՝ օրինակ, Լագրանժի չորս քառակուսիների թեորեմը և Պելլի հավասարման    was the first to give full proofs of some of Fermat's and Euler's work and observations – for instance, the four-square theorem and the basic theory of the misnamed "Պելլի հավասարման" հիմնական տեսությունը (որի համար ալգորիթմական լուծում գտել են Ֆերման և նրա ժամանակակիցները, ինչպես նաև Ջայադևան  և Բաշկարա II-ը ավելի վաղ։) Նա քառակուսային ձևերն ուսումնասիրել է իր ողջ ընդհանրությամբ (ի տարբերություն 
  
    
      
        m
        
          X
          
            2
          
        
        +
        n
        
          Y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle mX^{2}+nY^{2}}
  ) — սահմանելով դրանց համարժեքության հարաբերությունը, ցույց տալով ինչպես դրանք կրճատել և այլն։
Ադրիեն-Մարի Լեժանդրը (1752–1833) առաջինը ներկայացրեց քառակուսային փոխադարձության օրենքը։ Նա նաև ենթադրեց, որքան կարևոր է պարզ թվերի թեորեմը և թվաբանական պրոգրեսիայի վերաբերյալ Դիրիխլեի թեորեմը։ Նա տվել է 
  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        
          y
          
            2
          
        
        +
        c
        
          z
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}
   հավասարման լիարժեք մշակումը և աշխատեց քառակուսի ձևերի երկայնքով, որ հետագայում լիարժեք զարգացվեց Գաուսի կողմից։ Ծեր տարիքում, նա առաջինն ապացուցեց "Ֆերմայի վերջին թեորեմը" 
  
    
      
        n
        =
        5
      
    
    {\displaystyle n=5}
  -ի համար։ (ավարտին հասցնելով Պետեր Գուստավ Լըժյոն Դիրիխլե, և վերագրելով երկուսին, իրեն և Սոֆի Ժերմենին)։

Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսը (1777–1855) իր Թվաբանական հետազոտություններ (1798) գրքում, ապացուցում է քառակուսային փոխադարձության օրենքը և զարգացնում քառակուսային ձևերի տեսությունը (մասնավորապես, սահմանելով դրանց կազմը)։ Նա նաև առաջարկեց որոշ հիմնարար նշումներ (համընկնումներ) և հաշվարկային հարցերին, ներառյալ առաջնայնության թեստերը, բաժին նվիրեց։ ՀետազոտոThe last section of the Հետազոտությունների վերջին բաժինը կապ ստեղծեց մեկից արմատների և թվերի տեսության միջև․

Շրջանի բաժանման տեսությունը...որը դիտարկվում է բաժին 7-ում, ինքն իրենով չի պատկանում թվաբանությանը, սակայն դրա սկզբունքները կարելի է դուրս բերել միայն բարձրագույն թվաբանությունից։
Հավանաբար այս եղանակով է Գաուսը առաջին քայլերն արել Էվարիստ Գալուայի աշխատության և հանրահաշվական թվերի տեսության հանդեպ։


=== Հասունությունը և բաժանումը ենթադաշտերի ===

Տասնիններորդ դարից սկսած աստիճանաբար տեղի ունեցան հետևյալ զարգացումները․

Թվերի տեսության (կամ բարձրագույն թվաբանության) ինքնադրսևորումը, որպես առանձին ուսումնասիրության առարկա, բարձրացավ։
Ժամանակակից թվերի տեսության համար անհրաժեշտ են ժամանակակից մաթեմատիկայի շատ ուղղություններ՝ կոմպլեքս անալիզ, խմբերի տեսություն, Գալուայի տեսություն՝ ուղեկցվելով վերլուծություններում և աբստրակցիայով հանրահաշվում։
Թվերի տեսության մոտավոր բաժանումը ժամանակակից ենթաճյուղերի, մասնավորապես անալիտիկ և հանրահաշվական թվերի տեսության։Կարելի է ասել, որ հանրահաշվական թվերի տեսությունը սկսվում է փոխադարձության և արմատ մեկից խնդիրների ուսումնասիրությունից, բայց իսկապես ձևավորվեց աբստրակտ հանրահաշվի և վաղ հանրահաշվական երկրաչափության ձարգացման միջոցով։ Անալիտիկ տվյալների տեսության մեկնարկային կետը Թվաբանական պրոգրեսիաների վերաբերյալ Դիրիխլեի թեորեմն է (1837),  որի ապացույցը L-ֆունկցիաներն է մտցնում և ներառում է որոշ ասիմպտոտիկ անալիզ և իրական փոփոխականի սահմանափակման պրոցես։ Անալիտիկ գաղափարների առաջին օգտագործումը իրականում գալիս է Էյլերից (1730s),  ով օգտագործեց ձևական աստիճանային շարքերը և ոչ խիստ (կամ անորոշ) սահմանափակող արգումենտներ։ Կոմպլեքս վերլուծությունը  թվերի տեսության մեջ օգտագործվեց ավելի ուշ․ Բերնհարդ Ռիմանի (1859) զետա ֆունկցիան կանոնական մեկնարկային կետ է, Յակոբի չորս քառակուսիների թեորեմը (1839), որ նախորդում է դրան, ի սկզբանե վերաբերում է ուրիշ շերտի, որն այժմ առաջատար տեղ է գրավում անալիտիկ թվերի տեսության մեջ (մոդուլյար ֆունկցիաներ)։
Յուրաքանչյուր ենթադաշտի պատմությունը համառոտ ներկայացված է ստորև, առանձին բաժնով։ Յուրաքանչյուր ոլորտում ամենահետաքրքիր հարցերից շատերը բաց են և ակտիվորեն աշխատում են։


== Գլխավոր ենթաուղղություններ ==


=== Տարրական գործիքներ ===
Տարրական տերմինը սովորաբար նշանակում է ապացուցման մեթոդ, որ չի օգտագործում կոմպլեքս անալիզ։ Օրինակ, պարզ թվերի օրենքը  սկզբում ապացուցվել է կոմպլեքս անալիզի օգտագործմամբ, 1896 թվականին, սակայն տարրական ապացույցը գտնվել է միայն 1949 թվականին, Պոլ Էրդյոշի և Աթլե Սելբերգի կողմից։ Տերմինն ինքնին որոշակի չէ․ օրինակ, ապացույցները հիմնված կոմպլեքս Աբել-Տաուբերի թեորեմի վրա հաճախ դիտվում են բավականաչափ տեղեկացնող, բայց ոչ տարրական, չնայած ավելի շատ օգտագործում է Ֆուրյեր անալիզ, քան կոմպլեքս անալիզ որպես այդպիսին։ Այստեղ, ինչպես ամենուրեք, տարրական ապացույցը ընթերցողների մեծ մասի համար կարող է լինել ավելի երկար և դժվար, քան ոչ տարրականը։
Թվերի տեսությունը հայտնի է որպես բնագավառ, որի արդյունքները կարող են հասանելի լինել ոչ մասնագետի։ Միևնույն ժամանակ, այդ արդյունքների ապացույցները այդքան էլ հասանելի չեն, մասնավորապես այն պատճառով, որ այնտեղ օգտագործվող գործիքների շրջանակը որոշ չափով անհամեմատ լայն է մաթեմատիկայի ներսում։


=== Թվերի անալիտիկ տեսություն ===

Անալիտիկ թվերի տեսությունը կարող է սահմանվել

իր գործիքների տերմիններով, ինչպես ամբողջ թվերի ուսումնասիրությունը իրական և կոմպլեքս անալիզի գործիքների միջոցով,
իր պրոբլեմների տերմիններով, որպես թվերի տեսության մեջ չափի և խտության գնահատականների ուսումնասիրություն, ի տարբերություն նույնությունների։Որոշ թեմաներ սովորաբար դիտարկվում են որպես Անալիտիկ թվերի տեսության մաս, օրինակ մաղերի տեսությունը ավելի լավ են ներկայացված երկրորդ, քան առաջին սահմանմամբ․ մաղերի տեսության միմասն օգտագործում է փոքքր վերլուծություններ, սակայն այն դեռևս վերաբերում է անալիտիկ թվերի տեսությանը։
Անալիտիկ թվերի տեսության օրինակներ են․ պարզ թվի թեորեմը, the Գոլդբախի հիպոթեզը (կամ երկվորյակները, կամ Հարրդի-Լիթլվուդի հիպոթեզը),  Վարինգի պրոբլեմը և Ռիմանի հիպոթեզը։ Անալիտիկ թվերի տեսության որոշ կարևոր գործիքներ են շրջանաձև մեթոդը, մաղի մեթոդը և L-ֆունկցիաները (կամ, ավելի շուտ դրանց հատկությունների ուսումնասիրությունը)։ Մոդուլյար ձևերի (և ավելի ընդհանուր ավտոմորֆիկ ձևերի) տեսությունը նույնպես գնալով ավելի կենտրոնական տեղ են զբաղեցնում անալիտիկ թվերի տեսության գործիքաշարում։
Հանրահաշվական թվերի մասին կարելի է վերլուծական հարցեր տալ և կարելի է անալիտիկ գործիքներն օգտագործել այդպիսի հարցերի պատասխանելու համար, այսպիսով հանրահաշվական թվերի տեսությունն ու անալիտիկ թվերի տեսությունները հատվում են։ Օրինակ, կարելի է սահմանել պարզ իդեալ (պարզ թվերի ընդհանրացումը հանրահաշվական թվերի տիրույթում) և հարցնել մինչև որոշակի չափսի քանի պարզ իդեալ գոյություն ունի։ Այս հարցին կարելի է պատասխանել Դեդեկինդի զետա ֆունկցիայի, որը Ռիմանի զետա ֆունկցիայի, ընդհանրացումն է, հետազոտության միջացով։ Սա անալիտիկ թվերի տեսության ընդհանուր ընթացակարգի՝ ճիշտ կառուցված կոմպլեքսարժեքով ֆունկցիայի անալիտիկ վարքագծից հաջորդականության բաշխման մասին տեղեկություն ստանալու օրինակ է (այստեղ, պարզ իդեալներ կամ պարզ թվեր)։


=== Հանրահաշվական թվերի տեսություն ===
Հանրահաշվական թիվը, դա կոմպլեքս թիվ է, որը ռացիոնալ գործակիցներով որևէ բազմանդամային հավասարման՝ 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(x)=0}
   լուծում է, օրինակ, 
  
    
      
        
          x
          
            5
          
        
        +
        (
        11
        
          /
        
        2
        )
        
          x
          
            3
          
        
        −
        7
        
          x
          
            2
          
        
        +
        9
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{5}+(11/2)x^{3}-7x^{2}+9=0}
   հավասարման յուրաքանչյուր լուծում հանրահաշվական թիվ է։ Հանրահաշվական թվերի դաշտերը նույնպես անվանվում են հանրահաշվական թիվ դաշտեր, կամ կարճ թիվ դաշտեր։ Հանրահաշվկան թվերի տեսությունը ուսումնասիրում է հանրահաշվական թիվ դաշտեր։ Այսպիսով, անալիտիկ և հանրահաշվական թվերի տեսությունը կարող է և համընկնում են՝ առաջինը որոշվում է իր մեթոդներով, երկրորդը՝ իր ուսումնասիրության օբյեկտներով։
Կարելի է պնդել, որ պարզագույն տեսակի թվային դաշտերը (քառակուսային դաշտ) ուսումնասիրվել են Գաուսի կողմից, քանի որ քառակուսային ձևերի քննարկումները Disquisitiones arithmeticae աշխատությունում կարելի է վերաձևակերպել իդեալների և նորմերի տերմիններով քառակուսային դաշտերում։ Քառակուսային դաշտը բաղկացած է 
  
    
      
        a
        +
        b
        
          
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}
   տեսքի բոլոր թվերից, որտեղ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   ռացիոնալ թվեր են, իսկ 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  -ն ֆիքսված ռացիոնալ թիվ է, որի քառակուսի արմատը ռացիոնալ չէ։ Այդ առումով տասնմեկերորդ դարի չակրավալա մեթոդը ժամանակակից տերմիններով բերվում է իրական քառակուսային դաշտից միավորներ գտներու ալգորիթմին։ Այնուամենայնիվ ոչ Բասկարան, ոչ Գաուսը չգիտեին թվերի դաշտերի մասին որպես այդպիսիք։
Առարկայի հիմքերը դրվել են տասնիններորդ դարի վերջում, երբ իդեալ թվերը,  իդեալների տեսությունը և գնահատման տեսությունը ստեղծվեցին, դրանք հանրահաշվական թվերի դաշտերի յուրահատուկ ֆակտորիզացիայի բացակայության դեմ պայքարի երեք փոխադարձ լրացնող եղանակներ են։ Օրինակ, ռացիոնալներով և  
  
    
      
        
          
            −
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {-5}}}
   թվով գեներացված դաշտում, 
  
    
      
        6
      
    
    {\displaystyle 6}
   թիվը կարող է ներկայացվել երկու եղանակով, որպես 
  
    
      
        6
        =
        2
        ⋅
        3
      
    
    {\displaystyle 6=2\cdot 3}
   և

  
    
      
        6
        =
        (
        1
        +
        
          
            −
            5
          
        
        )
        (
        1
        −
        
          
            −
            5
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}
  , 
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
  , 
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
  , 
  
    
      
        1
        +
        
          
            −
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}}
   և

  
    
      
        1
        −
        
          
            −
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle 1-{\sqrt {-5}}}
  
փոխադարձաբար պարզ են և դա ավելի պաչզ ասած նման է պարզ թվերին ամբողջ թվերի մեջ)։ Իդեալ թվերի առաջացման սկզբնական խթանը (ըստ Կումմերի) կարծես թե գալիս է բարձրագույն փոխադարձության օրենքների ուսումնասիրություննից,i.e., քառակուսային փոխադարձության ընդհանրացումից։
Թվային դաշտերը հաճախ ուսումնասիրվում են որպես ավելի փոքր դաշտերի ընդլայնումներ։ L դաշտը կանվանենք K դաշտի ընդլայնում, եթե L-ը պարունակում է K-ն
(օրինակ, C կոմպլեքս թվերը R իրական թվերի ընդլայնումն է, և R իրական թվերը Qռացիոնալ թվերի ընդլայնումն է)։
Տված թվերի դաշտի հնարավոր ընդլայնումների դասակարգումը բարդ է և մասնակիորեն բաց խնդիր է։ Աբելյան ընդլայնումը, այսինքն K-ի L ընդլայնումը, որոնց համար Գալուայի խումբը Gal(L/K) L-ը K-ի վրա դա Աբելյան խումբ է։
Իրենց դասակարգումը եղել է դասերի դասակարգման տեսության ծրագրի օբյեկտը, որը սկսվել է ուսումնասիրվել 19-րդ դարի վերջերում (մասնակի Կրոնեկերի և Այզենշտայնի կողմից) արդեն նոր 1900—1950 թվականներին խորացված հետազոտվել է։
Հանրահաշվական թվերի տեսության մեջ հետազոտությունների շրջանակ է Իվասավայի տեսությունը։ Լեգլադսի ծրագիրը համարվում է հիմնական լայնամաշտաբ հետազոտված ծրագիրն է մաթեմատիկայում։


=== Դիոֆանտյան երկրաչափություն ===
Դիոֆանտյան երկրաչափություն հիմնական խնդիրն է գտնել, թե երբ լուծում ունի Դիոֆանտինի հավասարումը և նրանց քանակը։ Ընտրված մոտեցումը հավասարման լուծումները դիտարկում է, որպես երկրաչափական օբյեկտ։

Օրինակ, երկու փոփոխականով հավասարումը ներկայացնում է կորը հարթության մեջ։ Ավելի ընդհանուր, հավասարումը կամ հավասարումների համակարգը երկու կամ ավելի փոփոխականներով սահմանում է կոր, մակերևույթ կամ այլ օբյեկտ n-չափանի տարածությունում։ Դիոֆանտյան երկրաչափության խնդիրներից է, թե արդյոք գոյություն ունեն կորի կամ մակերևույթի վրա ռացիոնալ կամ ամբողջ թվային կորդինատներով կետեր։ Եթե գույություն ունեն, քանիսն են նրանք և ինչպես են բաշխված։ Այնուհետև հարց է ծագում վերջավոր են արդյո՞ք այդպիսի կետերը։
Քննարկենք Պյութագորասի հավասարումը 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
   մեզ հետաքրքրում է նրա ռացիոնալ լուծումները, այսինքն գտնել այնպիսի 
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  , որ x և y լինեն ռացիոնալ։ Նույն է, եթե քննարկենք 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
   հավասարման ամբողջ լուծոիմները։ Վերջին հավասարման յուրաքանչյուր լուծում տալիս է նաև առաջին հավասարման լուծումները 
  
    
      
        x
        =
        a
        
          /
        
        c
      
    
    {\displaystyle x=a/c}
  , 
  
    
      
        y
        =
        b
        
          /
        
        c
      
    
    {\displaystyle y=b/c}
  ։ Նաև այդ լուծումները համընկնում են 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
  (շրջանագիծ) հավասարումով ներկայացված կորի վրա ռացիոնալ կորդինատների հետ։
Վերաձևակերպելով հավասարման հարցերը կորերի վրա կետերի կերպով այն դարձնում է ավելի հարմար։ Ռացիոնալ կամ ամբողջ թվերի վերջավոր լինելը կամ չպատկանելը կորին լուծում են հանդիսանում 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=0}
   հավասարման համար, որտեղ 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ը երկու փոփոխականով բազմանդամ է և էապես կախված է կորի տեսակից։ Տեսակը կորշենք հետևյալ կերպ՝ 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=0}
   փոփոխականներ կարող են լինել նաև կոմպլեքս թվեր այնուհետև 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=0}
   որոշում է երկչափանի մակերևույթ քառաչափ տարածության մեջ (քանի որ երկու կոմպլեքս փոփոխականները կարող են վերլուծվել չորս իրական փոփոխականների, այսինքն քառաչափ տարածության)։ 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=0}
   տեսակով կորոշենք հարթության մեջ տորոիդի անցքերի քանակը։ Այլ երկրաչափական պատկերացումները նույնքան կարևոր են։


== Վերջին մոտեցումներ և ենթադաշտեր ==


=== Հավանական թվերի տեսություն ===
Վերցնենք պատահական թիվ ընկած մեկի և միլիոնի միջև։ Որքանո՞վ է հավանական, որ այն կլինի պարզ թիվ։ Սա, ընդամենը, քանի պարզ թիվ կա մեկի և միլիոնի միջև, խնդիրը պարզելու ևս մեկ եղանակ է։ Այնուհետ, միջինում, քանի՞ պարզ բաժանարար այն ունի։ Քանի՞ բաժանարար այն կունենա ընդհանրապես և ի՞նչ հավանականությամբ։ Ի՞նչ հավանականությամբ այն կունենա միջինից ավել կամ պակաս պարզ բաժանարարներ։
Հավանական թվերի տեսության մեծ մասը կարելի է դիտարկել որպես փոփոխականների, որոնք գրեթե, բայց ոչ լիովին փոխադարձ անկախ են, ուսումնասիրության կարևոր հատուկ դեպք։ Օրինակ, պատահարը, որ մեկի և միլիոնի միջև ընկած թիվը երկուսի բաժանվում է և պատահարը, որ այն երեքի էլ  է բաժանվում գրեթե անկախ է, բայց ոչ լիովին։
Երբեմն ասվում է, որ հավանական կոմբինատորիկան օգտագործում է այն փաստը, որ այն ինչ տեղի է ունենում 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  -ից մեծ հավանականությամբ, երբեմն պետք է տեղի ունենա, հավասար ճշտությամբ կարելի է ասել, որ հավանական թվերի տեսության շատ կիրառություններ կախված են այն փաստից, որ ինչն անսովոր է, հազվադեպ կկատարվի։ Եթե որոշ հանրահաշվական օբյեկտներ (ասենք, որոշ հավասարումների ռացիոնալ կամ ամբողջական լուծումներ) կարող են հայտնվել որոշակի խելամիտ բաշխման շարքում, դրանից հետևում է, որ դրանք քիչ են, սա հավանականից բխող շատ որոշակի ոչ հավանական պնդում է։
Երբեմն, ոչ խիստ հավանական մոտեցումը հանգեցնում է մի շարք էվրիստիկ ալգորիթմների և բաց պրոբլեմների, մասնավորապես Կրամերի հիպոթեզին։


=== Թվաբանական կոմբինատորիկա ===
Ենթադրենք A բազմությունը բաղկացած է N ամբողջ թվերից։ Նկատենք, որ A + A = { m + n | m, n ∈ A } բազմությունը պարունակում է ցանկացած երկու էլեմենտների գումարը։ Արդյո՞ք A + A ավելի մեծ է քան A։ Արժեքները իրար մո՞տ են։ Եթե A + A արժեքը մոտ է A-ին, ապա արդյո՞ք պետք է A-ն ունենա մեծ քանակությամբ թվաբանական կառուցվածք, օրինակ,  A-ն նմա՞ն է թվաբանական պրոգրեսիաային։
Եթե սկսենք բավականին "հաստ" անսահմանափակ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   բազմությունից, արդյոք այն թվաբանական պրոգրեսիայում պարունակում է շատ տարեր՝ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  , 
  
    
      
        a
        +
        b
        ,
        a
        +
        2
        b
        ,
        a
        +
        3
        b
        ,
        …
        ,
        a
        +
        10
        b
      
    
    {\displaystyle a+b,a+2b,a+3b,\ldots ,a+10b}
  ։ Կարո՞ղ ենք մեծ թվերը ներկայացնել, որպես 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ի տարրերի գումար։
Այս հարցերը բնորոշ են թվաբանական կոմբինատորիկային։ Նա իր մեջ պարունակում է ադիտիվ թվերի տեսությունը (վերաբերվում է յուրահատուկ բազմության՝ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ի, թվաբանական արժեքներին, ինչպիսիքն են պարզ թվերը կամ քառակուսիները), ներառում է նաև որոշ հատված թվերի երկրաչափությունից։ Նույնպես օգտագործվում է ադիտիվ կոմբինատորիկա տերմինը, սակայն 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   բազմությունը անպայման չէ, որ ամբողջ թիվ լինի, ավելի շուտ ոչ կոմուտատիվ խմբի ենթաբազմություն, որոնց համար բազմապատկման նշանը ավելացման նշան չէ։ Նրանք նաև կարող են լինել օղակի ենթաբազմություն, որի դեպքում 
  
    
      
        A
        +
        A
      
    
    {\displaystyle A+A}
   և 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  ·
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ի աճը համեմատելի է։


=== Հաշվարկներ թվերի տեսության մեջ ===
Քանի դեռ ալգորիթմ բառը ծանոթ էր միայն Ալ-Խորեզմի ընթերցողներին, մանրակրկիտ լուծման մեթոդների բացատրությունը հայտնի էր ավելի վաղ, քան ապացույցները, այդ մեթոդները (ալգորիթմները) այնքան հին են, որքան ցանկացած ճանաչելի մաթեմատիկոս (հին եգիպտացի, բաբելոնացի, վեդիկ, չինացի)։ Ապացույցները պատկանում են դասական ժամանակաշրջանի հույներին։
Ներկայումս մենք դա անվանում ենք Էվկլիդեսի ալգորիթմ։ Իր հիմնական ձևով (ավելի կոնկրետ, որապես ալգորիթմ ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար հաշվելու համար) նա Սկզբունքներ Գիրք VII-ում առաջարկվում է, որպես Նախադասություն 2, ճշտության ապացույցի հետ միասին։ Ամեն դեպքում, այն ձևը, որը հաճախ օգտագործվում է թվերի տեսության մեջ (ավելի կոնկրետ, որպես ալգորիթմ ամբողջ արմատներ գտնելու 
  
    
      
        a
        x
        +
        b
        y
        =
        c
      
    
    {\displaystyle ax+by=c}
   հավասարությունից, կամ, ինչը նույնն է՝ գտնել արմատների քանակը, որոնց գոյությունը ապահովում է մնացորդների մասին չինական թեորեմը) առաջին անգամ ներկայացվել է Արիաբխատայի (5–6-րդ դարաշրջանում), ալգորիթմի անունը եղել է kuṭṭaka, առանց ճշտության ապացույցի։
Կա երկու հիմնական խնդիրներ՝ "կարո՞ղ ենք դա հաշվել" և "հնարավո՞ր է արագ հաշվել"։ Յուրաքանչյուրը կարող է ստուգել պարզ է թիվը, թե ոչ։ Եթե ոչ՝ բաժանել այն պարզ անդամների։ Իսկ արագ անելը, դա ուրիշ խնդիր է։ Մենք գիտենք արագ ալգորիթմ պարզությունը ստուգելու համար, չհաշված իր մեծ աշխատանքը (երկու ուղղությամբ՝ տեսական և գործնական)։ Բայց իրականում, որպես այդպիսին չկա արագ ալգորիթմ պարզությունը ստուգելու համար։
Հաշվարկման բարդությունները կարող է օգտակար լինել՝ արդի արձանագրություններում, ծածկագրման հաղորդագրության համար (օրինակ, RSA)։
Որոշ բաներ հնարավոր չէ հաշվել ընդհանրապես, իրականում ապացույցը ճիշտ է մասնակի դեպքերի համար։ Որպես մասնակի դեպք 1970 թվականին դա ապացույցվեց, Հիլբերտի 10-րդ խնդրի լուծման մեջ։ Ապացուցվեց, որ գոյություն չունի այդպիսի, Թյուրինգի մեքենա, որը կարող է լուծել բոլոր Դիոֆանտյան հավասարությունները։


== Մրցանակներ ==
Ամերիկայի մաթեմատիկոսների միությունը պարգևատրվել է Քոուլի մրցանակով, թվերի տեսության մեջ կատարած հետազոտությունների համար։ Ավելին թվերի տեսությունը մաթեմատիկայի երեք ենթաճյուղերից մեկն է, որը պարգևատրվել է Ֆերմայի մրցանակով։


== Նշումներ ==


== Ծանոթագրություններ ==