Հենման ֆունկցիա

Մաթեմատիկայում ոչ դատարկ փակ ուռուցիկ A բազմության, որը գտնվում է   
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  –ում, հենման ֆունկցիան՝  hA–ն, բնութագրում է A–ի  հենման հիպերհարթությունների հեռավորությունները կորդինատային կենտրոնից։ Յուրաքանչյուր ոչ դատարակ փակ ուռուցիկ A բազմությունը միակ ձևով է որոշվում hA–ից։ Ավելին հենման ֆունկցիան A ուռուցիկ բազմության համար մրցում է շատ այլ բնական երկրաչափական օպերատորների հետ, ինչպիսիք են շրջումը, Մինկովսկու գումարը և այլ օպերատորներ։ Այս հատկությունների շնորհիվ հենման ֆունկցիան Ուռուցիկ Երկրաչափության մեջ հիմնական գաղափարներից է։


== Սահմանում ==
Հենման ֆունկցիան  
  
    
      
        
          h
          
            A
          
        
        :
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle h_{A}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
   տես

. A ոչ դատարակ ուռուցիկ  
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  -ում բազմության համար տրվում է հետևյալ կերպ.

  
    
      
        
          h
          
            A
          
        
        (
        x
        )
        =
        sup
        {
        x
        ⋅
        a
        :
        a
        ∈
        A
        }
        ,
      
    
    {\displaystyle h_{A}(x)=\sup\{x\cdot a:a\in A\},}
  
  
    
      
        x
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
  ;Ներկայացումը ստացվում է ավելի ինտուիտիվ, երբ  
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը միավոր վեկտոր է. այսինք, երբ A-ն գտնվում է փակ կիսահարթության մեջ։

  
    
      
        {
        y
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        :
        y
        ⋅
        x
        ⩽
        
          h
          
            A
          
        
        (
        x
        )
        }
      
    
    {\displaystyle \{y\in \mathbb {R} ^{n}:y\cdot x\leqslant h_{A}(x)\}}
  Եւ առնվազն մի կետ կա A-ի սահմանային տիրույթում, որ գտնվում է

  
    
      
        H
        (
        x
        )
        =
        {
        y
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        :
        y
        ⋅
        x
        =
        
          h
          
            A
          
        
        (
        x
        )
        }
      
    
    {\displaystyle H(x)=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:y\cdot x=h_{A}(x)\}}
  այս կիսահարթության մեջ։ H(x) հիպերհարթությունը այդ պատճառով կոչվում է X միավոր վեկտորին հենված արտաքին կիսահարթություն ։ Արտաքին բառը կարևոր է այստեղ, քանի որ X-ի ուղղոությունը շատ կարևոր է դեր է խաղում։ H(x) բազմությունը ընդհանուր առմամբ տարբեր է H(-x)-ից։ Այս դեպքում  hA -ն H(x)-ի հեռավորությունն է կենտրոնից։


== Օրինակներ ==
A={a}  միատարր բազմության հենման ֆունցիան ներկայացվում է

  
    
      
        
          h
          
            A
          
        
        (
        x
        )
        =
        x
        ⋅
        a
      
    
    {\displaystyle h_{A}(x)=x\cdot a}
   տեսքով։
Էվկլիդյան B1 միավոր գնդի հենման ֆունցիան ներկայացվում է   
  
    
      
        
          h
          
            
              B
              
                1
              
            
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          |
        
        x
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle h_{B_{1}}(x)=|x|}
   տեսքով։


== Հատկություններ ==


=== Որպես A-ից կախված ֆունկցիա ===
Վերափոխված կամ ընդլայնված բազմությունների հենման ֆունկցիան սերտ կապ ունի հիմական A բազմությոնից

  
    
      
        
          h
          
            α
            A
          
        
        (
        x
        )
        =
        α
        
          h
          
            A
          
        
        (
        x
        )
        ,
        
        α
        ≥
        0
        ,
        x
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{\alpha A}(x)=\alpha h_{A}(x),\qquad \alpha \geq 0,x\in \mathbb {R} ^{n}}
  և

  
    
      
        
          h
          
            A
            +
            b
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          h
          
            A
          
        
        (
        x
        )
        +
        x
        ⋅
        b
        ,
        
        x
        ,
        b
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle h_{A+b}(x)=h_{A}(x)+x\cdot b,\qquad x,b\in \mathbb {R} ^{n}.}
  ավելի ընդհանրացված տեսքը․

  
    
      
        
          h
          
            A
            +
            B
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          h
          
            A
          
        
        (
        x
        )
        +
        
          h
          
            B
          
        
        (
        x
        )
        ,
        
        x
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle h_{A+B}(x)=h_{A}(x)+h_{B}(x),\qquad x\in \mathbb {R} ^{n},}
  որտեղ A + B-ն  Մինկովսկու գումար-ն է․

  
    
      
        A
        +
        B
        :=
        {
        
        a
        +
        b
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        ∣
        a
        ∈
        A
        ,
         
        b
        ∈
        B
        
        }
        .
      
    
    {\displaystyle A+B:=\{\,a+b\in \mathbb {R} ^{n}\mid a\in A,\ b\in B\,\}.}
  2 ոչ դատարկ  կոմպակտ ուռուցիկ բազմությունների Հաուսդորֆյան հեռավորությունը՝  
  
    
      
        
          d
          
            
              H
            
          
        
        (
        A
        ,
        B
        )
        =
        ‖
        
          h
          
            A
          
        
        −
        
          h
          
            B
          
        
        
          ‖
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{\mathrm {H} }(A,B)=\|h_{A}-h_{B}\|_{\infty }}
   -ն կարող են ներկայացվեն հենման ֆունկցիայի տեսքով։

  
    
      
        
          d
          
            
              H
            
          
        
        (
        A
        ,
        B
        )
        =
        ‖
        
          h
          
            A
          
        
        −
        
          h
          
            B
          
        
        
          ‖
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{\mathrm {H} }(A,B)=\|h_{A}-h_{B}\|_{\infty }}
  որտեղ, աջ կողմի արտահայտության մեջ միավոր նորմն է օգտագործվում։
Հենման ֆունկցիայի հատկությունները, որպես A բազմությունից ֆունկցիա, երբեմն ընդհանրացվում է ասույթով, որ 
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  :A 
  
    
      
        ↦
      
    
    {\displaystyle \mapsto }
   h A արտածում է ոչ դատարկ կոմպակտ ուռուցիկ բազմությունները միավոր գնդի վրա որոշված միակ ֆունկցիայի միջոցով, որի դրական համասեռ 
ընդլայնումը ուռուցիկ է։


== Ծանոթագրություններ ==