Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիա

Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիա (հայտնի է նաև արեաֆունկցիա կամ արեա-ֆունկցիա), տարրական ֆունկցիաների ընտանիք՝ սահմանվող որպես հիպերբոլական ֆունկցիաներին հակադարձ ֆունկցիաներ։ Այս ֆունկցիաները որոշում են միավոր հիպերբոլի սեկտորի մակերեսը x2 − y2 = 1։ Համանման ձևով՝ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆուկցիաները որոշում են միավոր շրջանագծի աղեղի երկարությունը x2 + y2 = 1։ Այս ֆունկցիաների համար հաճախ օգտագործվում են arcsinh, arcsh, arccosh, arcch, սակայն, դա սխալ է համարվում, քանի որ arc նշանակում է աղեղ (arcus), իսկ ar նշանակում է մակերես (area )։ Ավելի ճիշտ են համարվում arsinh, arsh  և այլն։

Կոմպլեքսային հարթության մեջ այդ ֆունկցիաները պարբերական են, իսկ նրանց հակադարձ ֆունկցիաները` բազմարժեք։


== Ֆունկցիայի որոշումը ==
Կոմպլեքսային հարթության մեջ ֆունկցիայի գլխավոր արժեքները կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևերով․

արեասինուս
  
    
      
        arsh
        
        z
        =
        ln
        ⁡
        (
        z
        +
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            +
            1
          
        
        
        )
        ;
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arsh} \,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,);}
  արեակոսինուս
  
    
      
        arch
        
        z
        =
        ln
        ⁡
        (
        z
        +
        
          
            z
            +
            1
          
        
        
          
            z
            −
            1
          
        
        
        )
        ;
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arch} \,z=\ln(z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,);}
  արեատնգենս
  
    
      
        arth
        
        z
        =
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        ln
        ⁡
        
          (
          
            
              
                1
                +
                z
              
              
                1
                −
                z
              
            
          
          )
        
        ;
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arth} \,z={\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+z}{1-z}}\right);}
  արեակոտանգենս
  
    
      
        arcth
        
        z
        =
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        ln
        ⁡
        
          (
          
            
              
                z
                +
                1
              
              
                z
                −
                1
              
            
          
          )
        
        ;
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arcth} \,z={\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z+1}{z-1}}\right);}
  արեասեկանս
  
    
      
        arsech
        
        z
        =
        ln
        ⁡
        
          (
          
            
              
                1
                z
              
            
            +
            
              
                
                  
                    1
                    z
                  
                
                +
                1
              
            
            
            
              
                
                  
                    1
                    z
                  
                
                −
                1
              
            
            
          
          )
        
        ;
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arsech} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\,\right);}
  արեակոսեկանս
  
    
      
        arcsch
        
        z
        =
        ln
        ⁡
        
          (
          
            
              
                1
                z
              
            
            +
            
              
                
                  
                    1
                    
                      z
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                +
                1
              
            
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arcsch} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right).}
  Քառակուսի արմատները այս բանաձևերում հանդիսանում են քառակուսի արմատի գլխավոր արժեքները։ Z կոմպլեքս թիվը, եթե ներկայացնենք որպես 
  
    
      
        z
        =
        r
        
          e
          
            i
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle z=re^{i\varphi }}
  , երբ 
  
    
      
        −
        π
        <
        φ
        ≤
        π
      
    
    {\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }
  ), իսկ լոգարիթմական ֆունկցիաները հանդիսանում են կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաներ, ապա  կարող ենք կատարել որոշակի պարզեցում։
Օրինակ՝
  
    
      
        
          
            x
            +
            1
          
        
        
          
            x
            −
            1
          
        
        =
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            −
            1
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x^{2}-1}},}
  որոնք միշտ չէ, որ ճիշտ են քառակուսի արմատի գլխավոր արժեքի համար։


== Ներկայացում շարքով ==

  
    
      
        
          
            
              
                arsh
                
                x
              
              
                
                =
                x
                −
                
                  (
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    3
                  
                
                +
                
                  (
                  
                    
                      
                        1
                        ⋅
                        3
                      
                      
                        2
                        ⋅
                        4
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        5
                      
                    
                    5
                  
                
                −
                
                  (
                  
                    
                      
                        1
                        ⋅
                        3
                        ⋅
                        5
                      
                      
                        2
                        ⋅
                        4
                        ⋅
                        6
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        7
                      
                    
                    7
                  
                
                +
                ⋯
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        (
                        −
                        1
                        
                          )
                          
                            n
                          
                        
                        (
                        2
                        n
                        )
                        !
                      
                      
                        
                          2
                          
                            2
                            n
                          
                        
                        (
                        n
                        !
                        
                          )
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                        n
                        +
                        1
                      
                    
                    
                      (
                      2
                      n
                      +
                      1
                      )
                    
                  
                
                ,
                
                
                  |
                  x
                  |
                
                <
                1.
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}}}
  
  
    
      
        
          
            
              
                arch
                
                x
              
              
                
                =
                ln
                ⁡
                2
                x
                −
                
                  (
                  
                    
                      (
                      
                        
                          1
                          2
                        
                      
                      )
                    
                    
                      
                        
                          x
                          
                            −
                            2
                          
                        
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      (
                      
                        
                          
                            1
                            ⋅
                            3
                          
                          
                            2
                            ⋅
                            4
                          
                        
                      
                      )
                    
                    
                      
                        
                          x
                          
                            −
                            4
                          
                        
                        4
                      
                    
                    +
                    
                      (
                      
                        
                          
                            1
                            ⋅
                            3
                            ⋅
                            5
                          
                          
                            2
                            ⋅
                            4
                            ⋅
                            6
                          
                        
                      
                      )
                    
                    
                      
                        
                          x
                          
                            −
                            6
                          
                        
                        6
                      
                    
                    +
                    ⋯
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                ln
                ⁡
                2
                x
                −
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        (
                        2
                        n
                        )
                        !
                      
                      
                        
                          2
                          
                            2
                            n
                          
                        
                        (
                        n
                        !
                        
                          )
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        −
                        2
                        n
                      
                    
                    
                      (
                      2
                      n
                      )
                    
                  
                
                ,
                
                x
                >
                1.
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arch} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1.\end{aligned}}}
  
  
    
      
        
          
            
              
                arth
                
                x
              
              
                
                =
                x
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    3
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        5
                      
                    
                    5
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        7
                      
                    
                    7
                  
                
                +
                ⋯
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                        n
                        +
                        1
                      
                    
                    
                      (
                      2
                      n
                      +
                      1
                      )
                    
                  
                
                ,
                
                
                  |
                  x
                  |
                
                <
                1.
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arth} \,x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}}}
  
  
    
      
        
          
            
              
                arcsch
                
                x
                =
                arsh
                ⁡
                
                  
                    1
                    x
                  
                
              
              
                
                =
                
                  x
                  
                    −
                    1
                  
                
                −
                
                  (
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        −
                        3
                      
                    
                    3
                  
                
                +
                
                  (
                  
                    
                      
                        1
                        ⋅
                        3
                      
                      
                        2
                        ⋅
                        4
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        −
                        5
                      
                    
                    5
                  
                
                −
                
                  (
                  
                    
                      
                        1
                        ⋅
                        3
                        ⋅
                        5
                      
                      
                        2
                        ⋅
                        4
                        ⋅
                        6
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        −
                        7
                      
                    
                    7
                  
                
                +
                ⋯
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        (
                        −
                        1
                        
                          )
                          
                            n
                          
                        
                        (
                        2
                        n
                        )
                        !
                      
                      
                        
                          2
                          
                            2
                            n
                          
                        
                        (
                        n
                        !
                        
                          )
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        −
                        (
                        2
                        n
                        +
                        1
                        )
                      
                    
                    
                      (
                      2
                      n
                      +
                      1
                      )
                    
                  
                
                ,
                
                
                  |
                  x
                  |
                
                >
                1.
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned}}}
  
  
    
      
        
          
            
              
                arsech
                
                x
                =
                arch
                ⁡
                
                  
                    1
                    x
                  
                
              
              
                
                =
                ln
                ⁡
                
                  
                    2
                    x
                  
                
                −
                
                  (
                  
                    
                      (
                      
                        
                          1
                          2
                        
                      
                      )
                    
                    
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      (
                      
                        
                          
                            1
                            ⋅
                            3
                          
                          
                            2
                            ⋅
                            4
                          
                        
                      
                      )
                    
                    
                      
                        
                          x
                          
                            4
                          
                        
                        4
                      
                    
                    +
                    
                      (
                      
                        
                          
                            1
                            ⋅
                            3
                            ⋅
                            5
                          
                          
                            2
                            ⋅
                            4
                            ⋅
                            6
                          
                        
                      
                      )
                    
                    
                      
                        
                          x
                          
                            6
                          
                        
                        6
                      
                    
                    +
                    ⋯
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                ln
                ⁡
                
                  
                    2
                    x
                  
                
                −
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    1
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        (
                        2
                        n
                        )
                        !
                      
                      
                        
                          2
                          
                            2
                            n
                          
                        
                        (
                        n
                        !
                        
                          )
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                        n
                      
                    
                    
                      2
                      n
                    
                  
                
                ,
                
                0
                <
                x
                ≤
                1.
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arch} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1.\end{aligned}}}
  
  
    
      
        
          
            
              
                arcth
                
                x
                =
                arth
                ⁡
                
                  
                    1
                    x
                  
                
              
              
                
                =
                
                  x
                  
                    −
                    1
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        −
                        3
                      
                    
                    3
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        −
                        5
                      
                    
                    5
                  
                
                +
                
                  
                    
                      x
                      
                        −
                        7
                      
                    
                    7
                  
                
                +
                ⋯
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      x
                      
                        −
                        (
                        2
                        n
                        +
                        1
                        )
                      
                    
                    
                      (
                      2
                      n
                      +
                      1
                      )
                    
                  
                
                ,
                
                
                  |
                  x
                  |
                
                >
                1.
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcth} \,x=\operatorname {arth} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned}}}
  Ասիմպտոտիկ ներկայացումը arsh x  տրվում է բանաձևով․

  
    
      
        arsh
        
        x
        =
        ln
        ⁡
        2
        x
        +
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              
                −
                1
              
              )
            
            
              n
              −
              1
            
          
          
            
              
                
                  (
                  
                    2
                    n
                    −
                    1
                  
                  )
                
                !
                !
              
              
                2
                n
                
                  (
                  
                    2
                    n
                  
                  )
                
                !
                !
              
            
          
        
        
          
            1
            
              x
              
                2
                n
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arsh} \,x=\ln 2x+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}.}
  


== Ածանցիալներ ==

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    d
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                arsh
                
                x
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    1
                    
                      1
                      +
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                .
              
            
            
              
                
                  
                    d
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                arch
                
                x
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    1
                    
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      1
                    
                  
                
                .
              
            
            
              
                
                  
                    d
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                arth
                
                x
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    1
                    
                      1
                      −
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                .
              
            
            
              
                
                  
                    d
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                arcth
                
                x
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    1
                    
                      1
                      −
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                .
              
            
            
              
                
                  
                    d
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                arsech
                
                x
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    
                      −
                      1
                    
                    
                      x
                      (
                      x
                      +
                      1
                      )
                      
                      
                        
                          
                            
                              1
                              −
                              x
                            
                            
                              1
                              +
                              x
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                .
              
            
            
              
                
                  
                    d
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                arcsch
                
                x
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    
                      −
                      1
                    
                    
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      
                      
                        
                          1
                          +
                          
                            
                              1
                              
                                x
                                
                                  2
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsh} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arch} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}={\frac {-1}{x(x+1)\,{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {-1}{x^{2}\,{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}.\\\end{aligned}}}
  Իրական x-երի համար․

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    d
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                arsech
                
                x
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    
                      ∓
                      1
                    
                    
                      x
                      
                      
                        
                          1
                          −
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                ;
                
                ℜ
                {
                x
                }
                ≷
                0.
              
            
            
              
                
                  
                    d
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                arcsch
                
                x
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    
                      ∓
                      1
                    
                    
                      x
                      
                      
                        
                          1
                          +
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                ;
                
                ℜ
                {
                x
                }
                ≷
                0.
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1-x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1+x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0.\end{aligned}}}
  Ածանցման օրինակ, եթե θ = arsh x, ապա՝

  
    
      
        
          
            
              d
              
              arsh
              
              x
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              θ
            
            
              d
              sh
              ⁡
              θ
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              ch
              ⁡
              θ
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              +
              
                sh
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              +
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsh} \,x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\operatorname {sh} \theta }}={\frac {1}{\operatorname {ch} \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}
  


== Հիպերբոլական և հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցկիաների կոմբինացիա ==

  
    
      
        
          
            
              
              
                sh
                ⁡
                (
                arch
                
                x
                )
                =
                
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    1
                  
                
                ,
                
                
                
                  |
                
                x
                
                  |
                
                >
                1
                ;
              
            
            
              
              
                sh
                ⁡
                (
                arth
                
                x
                )
                =
                
                  
                    x
                    
                      1
                      −
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                ,
                
                
                −
                1
                <
                x
                <
                1
                ;
              
            
            
              
              
                ch
                ⁡
                (
                arsh
                
                x
                )
                =
                
                  
                    1
                    +
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                ;
              
            
            
              
              
                ch
                ⁡
                (
                arth
                
                x
                )
                =
                
                  
                    1
                    
                      1
                      −
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                ,
                
                
                −
                1
                <
                x
                <
                1
                ;
              
            
            
              
              
                th
                ⁡
                (
                arsh
                
                x
                )
                =
                
                  
                    x
                    
                      1
                      +
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                ;
              
            
            
              
              
                th
                ⁡
                (
                arch
                
                x
                )
                =
                
                  
                    
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      1
                    
                    x
                  
                
                ,
                
                
                
                  |
                
                x
                
                  |
                
                >
                1.
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sh} (\operatorname {arch} \,x)={\sqrt {x^{2}-1}},\quad \quad |x|>1;\\&\operatorname {sh} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \quad -1<x<1;\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arsh} \,x)={\sqrt {1+x^{2}}};\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \quad -1<x<1;\\&\operatorname {th} (\operatorname {arsh} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}};\\&\operatorname {th} (\operatorname {arch} \,x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\quad \quad |x|>1.\end{aligned}}}
  


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
Inverse hyperbolic functions
Inverse hyperbolic functions Archived 2013-04-13 at the Wayback Machine.