Կատարյալ թիվ

Կատարյալ թիվ, այն բնական թիվն է, որը հավասար է իրենից բացի, իր բոլոր բաժանարարների գումարին։ 


== Պատմություն ==
Նշված հատկություն ունեցող թվերով հետաքրքրվել են դեռևս հին հույները, ովքեր նկատել էին, որ այդպիսի թվեր շատ քիչ կան բնական թվերի մեջ և նրանց տվել են «կատարյալ» անունը (հին հունարեն՝ τέλειος αριθμός). Կատարյալ թվերն ուսումնասիրելով, հույն փիլիսոփա Էվկլիդեսը եկավ այն եզրակացության, որ, եթե որևէ k բնական թվի դեպքում 2k-1 թիվը պարզ է, ապա n=2k-1(2k-1) թիվը կատարյալ է։
2k−1 տեսքի պարզ թվերն ստացել են Մերսենի թվեր անունը՝ թվերի տեսությունն ու կատարյալ թվերն ուսումնասիրած տասնյոթերորդ դարի վանական Մարեն Մերսենի պատվին։


== Օրինակներ ==

Հին հույներին հայտնի են եղել 6, 28, 496 և 8128 կատարյալ թվերը և նրանց թվացել է, թե այլ կատարյալ թիվ չկա Հույն մաթեմատիկոս Նիկոմաքոսը նշել է 8128 կատարյալ թիվը դեռևս մ.թ.ա. 100 թ.։ 1456-ից 1461 թթ. ժամանակահատվածում գրված ձեռագրում մի անհայտ մաթեմատիկոս արել է ամենավաղ հղումը հինգերորդ կատարյալ 33 550 336 թվի մասին, որն այդ ժամանակ հայտնաբերված է եղել։ 1588 թ. իտալացի մաթեմատիկոս Պիետրո Կատալդին հայտնաբերել է վեցերորդ (8 589 869 056) և յոթերորդ (137 438 691 328) կատարյալ թվերը։


== Հատկություններ ==
Յուրաքանչյուր կատարյալ թիվ հավասար է առաջին 2(k−1)/2 հատ կենտ թվերի խորանարդների գումարին՝

  
    
      
        
          
            
              
                6
              
              
                
                =
                
                  2
                  
                    1
                  
                
                (
                
                  2
                  
                    2
                  
                
                −
                1
                )
              
              
              
                
                =
                1
                +
                2
                +
                3
                ,
              
            
            
              
                28
              
              
                
                =
                
                  2
                  
                    2
                  
                
                (
                
                  2
                  
                    3
                  
                
                −
                1
                )
              
              
              
                
                =
                1
                +
                2
                +
                3
                +
                4
                +
                5
                +
                6
                +
                7
                =
                
                  1
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  3
                  
                    3
                  
                
                ,
              
            
            
              
                496
              
              
                
                =
                
                  2
                  
                    4
                  
                
                (
                
                  2
                  
                    5
                  
                
                −
                1
                )
              
              
              
                
                =
                1
                +
                2
                +
                3
                +
                ⋯
                +
                29
                +
                30
                +
                31
              
            
            
              
              
              
              
                
                =
                
                  1
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  3
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  5
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  7
                  
                    3
                  
                
                ,
              
            
            
              
                8128
              
              
                
                =
                
                  2
                  
                    6
                  
                
                (
                
                  2
                  
                    7
                  
                
                −
                1
                )
              
              
              
                
                =
                1
                +
                2
                +
                3
                +
                ⋯
                +
                125
                +
                126
                +
                127
              
            
            
              
              
              
              
                
                =
                
                  1
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  3
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  5
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  7
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  9
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  11
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  13
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  15
                  
                    3
                  
                
                ,
              
            
            
              
                33550336
              
              
                
                =
                
                  2
                  
                    12
                  
                
                (
                
                  2
                  
                    13
                  
                
                −
                1
                )
              
              
              
                
                =
                1
                +
                2
                +
                3
                +
                ⋯
                +
                8189
                +
                8190
                +
                8191
              
            
            
              
              
              
              
                
                =
                
                  1
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  3
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  5
                  
                    3
                  
                
                +
                ⋯
                +
                
                  123
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  125
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  127
                  
                    3
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}6&=2^{1}(2^{2}-1)&&=1+2+3,\\[8pt]28&=2^{2}(2^{3}-1)&&=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},\\[8pt]496&=2^{4}(2^{5}-1)&&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3},\\[8pt]8128&=2^{6}(2^{7}-1)&&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3},\\[8pt]33550336&=2^{12}(2^{13}-1)&&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}.\end{aligned}}}
  


== Կենտ կատարյալ թվեր ==
Մինչև հիմա կենտ կատարյալ թվեր չեն հայտնաբերվել, սակայն, չի ապացուցվել նաև, թե նրանք չկան։ Ապացուցված է, որ կենտ կատարյալ թիվը, եթե այն կա, ունի 75-ից ոչ պակաս պարզ բաժանարար։
Կենտ կատարյալ թվեր որոնելով կա զբաղվող հատուկ նախագիծ՝ OddPerfect.org Archived 2018-11-06 at the Wayback Machine.։


== Ծանոթագրություններ ==