Տատանողական կոնտուր

Տատանողական կոնտուր, օսցիլյատոր, որն իրենից ներկայացնում է էլեկտրական շղթա, որը պարունակում է իրար միացված (զուգորդված) ինդուկտիվություն ու կոնդենսատոր։ Նման շղթայում կարող են առաջանալ հոսանքի (ինչպես նաև լարման) տատանումներ։
Տատանողական կոնտուրը պարզագույն համակարգ է, որի մեջ կարող են ի հայտ գալ ազատ էլեկտրամագնիսական տատանումներ։
Կոնտուրի ռեզոնանսային հաճախականությունը կարող է բնութագրվել այսպես կոչված Թոմսոնի բանաձևով։

  
    
      
        
          f
          
            0
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              
                
                  L
                  C
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{0}={1 \over 2\pi {\sqrt {LC}}}}
  


== Շահագործման սկզբունքը ==
Ենթադրենք C ունակությամբ կոնդենսատորը լիցքավորված է մինչև U_0 լարում։ Կոնդենսատորուի էներգիան կլինի.  C(U^2)/2
Կոնդենսատորը կոճի ինդուկտիվության հետ միացնելիս շղթայի մեջ կհոսի հոսանք, ինչը կոճում կառաջացնի էլեկտրաշարժիչ ինքնաինդուկցիայի ուժ, որը ուղղված կլինի շղթայում հոսանքի նվազեցմանը։ Հոսանքը, որն առաջանում է այդ էլեկտրաշարժիչ ուժի հետևանքով (այն պայմանով, որ ինդուկտիվության կորուստ չի լինի) սկզբնականում հավասար կլինի կոնդենսատորի լիցքի հոսանքին, այսինքն	` արդյունահան հոսանքը հավասար կլինի զրոյի։ Գագաթի մագնիսական հոսանքը այդ սկզբնական պահին հավասար է զրոյի։
Այնուհետև շղթայում արդյունահան հոսանքը կաճի, իսկ կոնդենսատորի էներգիան կանցնի կոճ մինչ կոնդենսատորի լիակատար լիցքաթափումը։ Այդ պահին կոնդենսատորի էլետրական էներգիան հավասար է` 
  
    
      
        
          E
          
            C
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle E_{C}=0}
  ։ Իսկ ահա մագնիսական էներգիան, որը կենտրոնացված է կաճում, հակառակը, առավելագույնն է ու հավասար.

  
    
      
        
          E
          
            L
          
        
        =
        
          
            
              L
              
                I
                
                  0
                
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{L}={\frac {LI_{0}^{2}}{2}}}
  , Որտեղ 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
   — ը կոճի ինդուկտիվությունն է, 
  
    
      
        
          I
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{0}}
   — ը` հոսանքի առավելագույն արժեքը։ Դրանից հետո կսկսվի կոնդենսատորի վերալիցքավորում, այսինքն` հակառակ բևեռի լարումով կոնդենսատորի լիցքավորում։ Վերալիցքավորումը կլինի այնքան ժամանակ, քանի կոճի մագնիսական էներգիան չի վերածվել կոնդենսատորի էլեկտրական էներգիայի։ Կոնդենսատորը, այդ դեպքում, նորից կլիցքավորվի մինչև 
  
    
      
        −
        
          U
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle -U_{0}}
   լարում։Արդյունքում շղթայում առաջանում են տատանումներ, որոնց տևողությունը հակառակ համեմատական է կոնտուրի ներսում էներգիայի կորուստներին։ 
Ընդհանուր առմամբ, վեր նկարագրված գործընթացները զուգահեռ տատանողական կոնտուրներում կոչվում են հոսանքների ռեզոնանսներ, ինչը նշանակում է, որ ինդուկտիվության և ունակության շրջանակներում հոսում են հոսանքներ, տոկի մեծ մասը հոսում է ամբողջ կոնտուրով, ըստ որում՝ այդ հոսանքները ավելին են որոշակի թիվ անգամ, որը կոչվում է դիմացկունություն։ Այդ մեծ հոսանքերը չեն լքում կոնտուրի սահմանները, քանի որ դրանք հակափուլային են ու իրենք իրենց են փոխհատուցում։ Պետք է նշել նաև, որ զուգահեռ տատանողական կոնտուրի դիմադրությունը ռեզոնանսային հաճախության մեջ ձգտում է անսահմանության (ի տարբերություն հաջորդական տատանողական կոնտուրի, որի դիմադրությունը ռեզոնանսային հաճախականության շրջանակներում ձգտում է զրոյի), իսկ դա նրան անփոխարինելի ֆիլտրի է վերածում։
Պետք է նշել, որ պարզագույն տատանողական կոնտուրին զուգահեռ գոյություն ունեն նաև առաջին, երկրորդ և երրորդ տեսակի տատանողական կոնտուրներ, որոք հաշվի են առնում կորուստները ու ունեն այլ առանձնահատկություններ։


== Գործընթացների մաթեմատիկական նկարագրությունը ==
Ինդուկտիվության իդեալական կոճի վրա առկա լարումը ընթացիկ հոսանքի փոփոխման դեպքում.

  
    
      
        
          u
          
            L
          
        
        =
        −
        L
        
          
            
              d
              
                i
                
                  L
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{L}=-L{\frac {di_{L}}{dt}}}
  Հոսանքը, որն անցնոմ է իդեալական կոնդեսատորի միջով, այն պայմանով, որ նրանում առկա լարումը փոփոխվում է.

  
    
      
        
          i
          
            C
          
        
        =
        C
        
          
            
              d
              
                u
                
                  C
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle i_{C}=C{\frac {du_{C}}{dt}}}
  Կիրխհոֆի կանոններից, որոնք նախատեսված են շղթայի համար, որը կազմված է զուգահեռաբար միացված կոնդենսատորից ու կոճից հետևում է, որ.

  
    
      
        
          u
          
            L
          
        
        =
        
          u
          
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{L}=u_{C}}
  , — լարումների համար,և

  
    
      
        
          i
          
            C
          
        
        =
        
          i
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle i_{C}=i_{L}}
   —հոսանքների համար։Համատեղ լուծելով տարբերակված հավասարումների համակարգը (տարբերակելով հավասարումներից մեկը ու տեղադրելով մյուսի մեջ) մենք ստանում ենք՝

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              i
              (
              t
              )
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              L
              C
            
          
        
        i
        (
        t
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}i(t)=0}
  Սա սեփական 
  
    
      
        ω
        =
        
          
            1
            
              L
              C
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}
   տատանումների շրջափուլային հաճախականությամբ ներդաշնակ տատանակի տարբերակված, դիֆերենցիալ հավասարումն է (այն կոչվում է ներդաշնակ տատանակի սեփական հաճախականություն)։
Երկրորդ կարգի այս հավասարման լուծում է հանդիսանում արտահայտությունը, որը կախված է երկու սկզբնական պայմաններից.

  
    
      
        i
        (
        t
        )
        =
        
          I
          
            a
          
        
        sin
        ⁡
        (
        
          ω
        
        t
        +
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle i(t)=I_{a}\sin({\omega }t+\varphi )}
  որտեղ 
  
    
      
        
          I
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{a}}
   — ը որոէ անփոփոխ թիվ է, որը բնորոշվում է սկզբնական պայմաններով, որոնք կոչվում են տատանումների ամպլիտուդա, 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
   —ն ևս որոշակի մշտական է, որը կախված է սկզբնական պայմաներից, որոնք կոչվում են սկզբանական փուլ։
Օրինակ, 
  
    
      
        φ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \varphi =0}
   սկզբնական պայմանների ու ամպլիտուդային կզբնական 
  
    
      
        
          I
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{a}}
   հոսանքի դեպքում լուծումը հանգեցվում է.

  
    
      
         
        i
        (
        t
        )
        =
        
          I
          
            a
          
        
        sin
        ⁡
        (
        
          ω
        
        t
        )
      
    
    {\displaystyle ~i(t)=I_{a}\sin({\omega }t)}
  Լուծումը կարող է գրառվել հետևյալ տեսքով.

  
    
      
         
        i
        (
        t
        )
        =
        
          I
          
            a
            1
          
        
        sin
        ⁡
        (
        
          ω
        
        t
        )
        +
        
          I
          
            a
            2
          
        
        cos
        ⁡
        (
        
          ω
        
        t
        )
      
    
    {\displaystyle ~i(t)=I_{a1}\sin({\omega }t)+I_{a2}\cos({\omega }t)}
  Որտեղ 
  
    
      
        
          I
          
            a
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{a1}}
   և 
  
    
      
        
          I
          
            a
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{a2}}
   — нը որոշակի կոնստանտներ են, որոնք կապված են 
  
    
      
        
          I
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{a}}
   ամպլիտուդայի ու 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
   շրջափուլի հետ հետևյալ եռանկյունաչափական հարաբերակցություններով.

  
    
      
         
        
          I
          
            a
            1
          
        
        =
        
          I
          
            a
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          φ
          )
        
      
    
    {\displaystyle ~I_{a1}=I_{a}\cos {(\varphi )}}
  ,

  
    
      
         
        
          I
          
            a
            2
          
        
        =
        
          I
          
            a
          
        
        sin
        ⁡
        
          (
          φ
          )
        
      
    
    {\displaystyle ~I_{a2}=I_{a}\sin {(\varphi )}}
  .


== Տատանողական կոնտուրի կոմպլեքսային դիմադրությունը (իմպեդանս) ==
Տատանողական կոնտուրը կարող է դիտարկվել որպես երկբևեռային, որն իրենից ներկայացնում է կոնդենսատորի ու ինդուկտիվության կոճի զուգահեռ միացում։ Նման երկբևեռայինի կոմպլեքսային դիմադրությունը կարելի է գրառել որպես

  
    
      
        
          
            
              z
              ^
            
          
        
        (
        i
        ω
        )
        
        =
        
          
            
              i
              ω
              L
            
            
              1
              −
              
                ω
                
                  2
                
              
              L
              C
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {z}}(i\omega )\;={\frac {i\omega L}{1-\omega ^{2}LC}}}
  որտեղ i — ն թվացյալ միավոր է։
Նման երկբևեռայինի համար կարող է բնորոշվել բնութագրական հաճախականություն (կամ էլ ռեզոնանսային հաճախականություն), երբ տատանողական կոնտուրի իմպեդանսը ձգտում է անսահմանության։
Այդ հաճախականությունը հավասար է.

  
    
      
        
          ω
          
            h
          
        
        =
        
          
            1
            
              L
              C
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{h}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}
  և համընկնում է իր արժեքով տատանողական կոնտուրի սեփական հաճախության հետ։
Այս հավասարումից ենթադրվում է, որ միևնույն հաճախականության վրա կարող են աշխատել բազում կոնտուրներ L և C տարատեսակ մեծություններով, բայց միատեսակ LC արտադրմամբ։