Հակադարձ ֆունկցիա

Հակադարձ ֆունկցիա, օրենք, որը հակադարձում է տրված ֆունկցիայով արտահայտված կախվածությունը։ Այսպես, եթե 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  -ը տրված ֆունկցիան է, ապա 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   փոփոխականը, դիտարկված որպես 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   փոփոխականի ֆունկցիա՝ 
  
    
      
        x
        =
        ϕ
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle x=\phi (y)}
   կլինի 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  -ի հակադարձ ֆունկցիան, ընդ որում, 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  -ի որոշման տիրույթը իր հակադարձ ֆունկցիայի փոփոխման տիրույթն է և հակառակը։ Օրինակ, 
  
    
      
        y
        =
        3
        x
        +
        1
      
    
    {\displaystyle y=3x+1}
   և 
  
    
      
        y
        =
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\log _{2}x}
   ֆունկցիաների հակադարձ ֆունկցիաներն են, համապատասխանաբար, 
  
    
      
        x
        =
        
          
            1
            3
          
        
        (
        y
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle x={\frac {1}{3}}(y-1)}
   և 
  
    
      
        x
        =
        
          2
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle x=2^{y}}
   ֆունկցիաները։ Եթե 
  
    
      
        x
        =
        ϕ
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle x=\phi (y)}
  -ը 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  -ի հակադարձ ֆունկցիան է, ապա նաև 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  -ը 
  
    
      
        x
        =
        ϕ
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle x=\phi (y)}
  -ի հակադարձ ֆունկցիան է, այս իմաստով դրանք կոչվում են փոխհակադարձ ֆունկցիաներ։ Վերջիններիս գրաֆիկները սիմետրիկ են 
  
    
      
        y
        =
        x
      
    
    {\displaystyle y=x}
   ուղղի նկատմամբ։ Տրված ֆունկցիայի հակադարձը միշտ չէ, որ գոյություն ունի։ Անընդհատ ֆունկցիայի համար հակադարձ ֆունկցիայի գոյության պայմանը տրված ֆունկցիայի խիստ մոնոտոն լինելն է։ Այսպիսով, եթե մոնոտոն, անընդհատ 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
   ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան նշանակենք 
  
    
      
        y
        =
        
          f
          
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f^{-1}(x)}
  , ապա 
  
    
      
        
          f
          
            −
            1
          
        
        [
        f
        (
        x
        )
        ]
        =
        f
        [
        
          f
          
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
        ]
        =
        x
      
    
    {\displaystyle f^{-1}[f(x)]=f[f^{-1}(x)]=x}
  ։