Բաժանելիություն

Բաժանելիություն, թվաբանության և թվերի տեսության հիմնական հասկացություններից մեկը՝ կապված բաժանման գործողության հետ։ Բազմությունների տեսության տեսանկյունից ամբողջ թվերի բաժանելիությունը հանդիսանում է հարաբերություն՝ որոշված ամբողջ թվերի բազմության վրա։


== Սահմանում ==
Եթե որևէ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   ամբողջ թվերի համար գոյություն ունի այնպիսի 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   ամբողջ թիվ, որ 
  
    
      
        b
        q
        =
        a
      
    
    {\displaystyle bq=a}
  , ապա ասում են, որ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվի վրա կամ՝ 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թիվը տրոհում է 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թիվը։
Ընդ որում 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թիվը կոչվում է 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թվի բաժանարար, 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թիվը՝ բաժանելին, հանդիսանում է 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվի բազմապատիկ, իսկ 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   թիվը կոչվում է 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թիվը 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվի վրա բաժանելու արդյունքում ստացված քանորդ։
Թեև բաժանելիության հատկությունը սահմանված է ամբողջ թվերի բազմության վրա, սովորաբար դիտարկվում է միայն բնական թվերի բաժանելիությունը։ Մասնավորապես, բնական թվի բաժանարարների քանակի ֆունկցիան հաշվում է նրա միայն դրական բաժանարարները։


=== Նշանակումներ ===

  
    
      
        a
        
        ⋮
        
        b
      
    
    {\displaystyle a\,\vdots \,b}
   նշանակում է, որ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թիվը բաժանվում է 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվի վրա, կամ՝ որ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թիվը 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվի բազմապատիկն է։

  
    
      
        b
        ∣
        a
      
    
    {\displaystyle b\mid a}
   նշանակում է, որ 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թիվը տրոհում է 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թիվը, կամ, որ նույնն է՝ 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թիվը  
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թվի բաժանարարն է։


== Առնչվող սահմանումներ ==
Մեկից մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի առնվազն երկու բնական բաժանարար՝ մեկը և նույն թիվը։ Ընդ որում՝ այն բնական թվերը, որոնք ունեն ճիշտ երկու բաժանարար, կոչվում են պարզ, իսկ երկուսից ավելի բաժանարարներ ունեցողները՝ բաղադրյալ թվեր։ Մեկ թիվն ունի միայն մեկ բաժանարար և չի հանդիսանում ո՛չ պարզ, ո՛չ բաղադրյալ։

  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  -ից մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի գոնե մեկ պարզ բաժանարար։
Թվի սեփական բաժանարար է կոչվում այդ թվի՝ իրենից տարբեր ցանկացած բաժանարար։ Պարզ թվերն ունեն միայն մեկ սեփական բաժանարար՝ մեկ թիվը։
Անկախ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   ամբողջ թվի՝ 
  
    
      
        b
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle b\neq 0}
   ամբողջ թվի վրա բաժանելիությունից, 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թիվը միշտ կարելի է մնացորդով բաժանել 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվի վրա, այսինքն՝ ներկայացնել հետևյալ տեսքով.

  
    
      
        a
        =
        b
        
        q
        +
        r
        ,
      
    
    {\displaystyle a=b\,q+r,}
   որտեղ 
  
    
      
        0
        ⩽
        r
        <
        
          |
        
        b
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle 0\leqslant r<|b|}
  :Այս առնչության մեջ 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   թիվը կոչվում է թերի քանորդ, իսկ 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   թիվը՝ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թիվը 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ։ Ինչպես քանորդը, այնպես էլ մնացորդը որոշվում են միարժեքորեն։

  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվի վրա միայն այն դեպքում, երբ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թիվը 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվի վրա բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասար է 0-ի։Ցանկացած թիվ, որի վրա բաժանվում են ինչպես 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  , այնպես էլ 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվերը, կոչվում է նրանց ընդհանուր բաժանարար, այդ թվերից մեծագույնը կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար։ Ցանկացած թվազույգ ունի առնվազն երկու ընդհանուր բաժանարար՝ 
  
    
      
        +
        1
      
    
    {\displaystyle +1}
   և 
  
    
      
        −
        1
      
    
    {\displaystyle -1}
  : Եթե այլ ընդհանուր բաժանարարներ չկան, ապա այդ թվերը կոչվում են փոխադարձ պարզ։
Երկու 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   ամբողջ թվեր կոչվում են հավասարապես բաժանելի 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   ամբողջ թվի վրա, եթե և՛ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թիվը, և՛ 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թիվը բաժանվում է 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   թվի վրա, կամ ո՛չ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թիվը, և ո՛չ էլ 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թիվը չի բաժանվում նրա վրա։
Ասում են, որ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թիվը 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվի բազմապատիկ է, եթե 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվի վրա։ Եթե 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվերի վրա, ապա այն կոչվում է այդ թվերի ընդհանուր բազմապատիկ։ Այդպիսի ամենափոքր բնական թիվը կոչվում է 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ։


== Հատկություններ ==
Նշում. այս բաժնի բոլոր բանաձևերում ենթադրվում է, որ 
  
    
      
        a
        ,
        
        b
        ,
        
        c
      
    
    {\displaystyle a,\,b,\,c}
   ամբողջ թվեր են։Ցանկացած ամբողջ թիվ հանդիսանում է զրոյի բաժանարար, և քանորդը հավասար է զրոյի.
  
    
      
        
        0
        
        ⋮
        
        a
        :
      
    
    {\displaystyle \quad 0\,\vdots \,a:}
  Ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է մեկի.
  
    
      
        
        a
        
        ⋮
        
        1
        :
      
    
    {\displaystyle \quad a\,\vdots \,1:}
  Զրոյի վրա բաժանվում է միայն զրոն.
  
    
      
        a
        
        ⋮
        
        0
        
        ⇒
        
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a\,\vdots \,0\quad \Rightarrow \quad a=0}
  , ընդ որում՝ քանորդն այս դեպքում որոշված չէ։Մեկը բաժանվում է միայն մեկի վրա.
  
    
      
        1
        
        ⋮
        
        a
        
        ⇒
        
        a
        =
        ±
        1
        :
      
    
    {\displaystyle 1\,\vdots \,a\quad \Rightarrow \quad a=\pm 1:}
  Ցանկացած 
  
    
      
        a
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a\neq 0}
   ամբողջ թվի համար կգտնվի այնպիսի 
  
    
      
        b
        ≠
        a
        ,
      
    
    {\displaystyle b\neq a,}
   ամբողջ թիվ, որի դեպքում 
  
    
      
        b
        
        ⋮
        
        a
        :
      
    
    {\displaystyle b\,\vdots \,a:}
  
Եթե 
  
    
      
        a
        
        ⋮
        
        b
      
    
    {\displaystyle a\,\vdots \,b}
   և 
  
    
      
        
          |
          b
          |
        
        >
        
          |
          a
          |
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left|b\right|>\left|a\right|,}
   ապա 
  
    
      
        a
        
        =
        
        0
        :
      
    
    {\displaystyle a\,=\,0:}
   Այստեղից էլ հետևում է, որ եթե 
  
    
      
        a
        
        ⋮
        
        b
      
    
    {\displaystyle a\,\vdots \,b}
   և 
  
    
      
        a
        ≠
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle a\neq 0,}
   ապա 
  
    
      
        
          |
          a
          |
        
        ⩾
        
          |
          b
          |
        
        :
      
    
    {\displaystyle \left|a\right|\geqslant \left|b\right|:}
  
Որպեսզի 
  
    
      
        a
        
        ⋮
        
        b
        ,
      
    
    {\displaystyle a\,\vdots \,b,}
   անհրաժեշտ է և բավարար, որ 
  
    
      
        
          |
          a
          |
        
        ⋮
        
          |
          b
          |
        
        :
      
    
    {\displaystyle \left|a\right|\vdots \left|b\right|:}
  
Եթե 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        
        ⋮
        
        b
        ,
        
        
          a
          
            2
          
        
        
        ⋮
        
        b
        ,
        
        …
        ,
        
        
          a
          
            n
          
        
        
        ⋮
        
        b
        ,
      
    
    {\displaystyle a_{1}\,\vdots \,b,\,a_{2}\,\vdots \,b,\,\dots ,\,a_{n}\,\vdots \,b,}
   ապա 
  
    
      
        
          (
          
            
              a
              
                1
              
            
            +
            
              a
              
                2
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              a
              
                n
              
            
          
          )
        
        
        ⋮
        
        b
        :
      
    
    {\displaystyle \left(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}\right)\,\vdots \,b:}
  
Բնական թվերի բաժանելիության առնչությունը հանդիսանում է ոչ խիստ կարգի հարաբերակցություն, և մասնավորաբար, այն
անդրադարձական է, այսինքն՝  ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է ինքն իր վրա.
  
    
      
        
        a
        
        ⋮
        
        a
        :
      
    
    {\displaystyle \quad a\,\vdots \,a:}
  
փոխանցական է, այսինքն՝ եթե 
  
    
      
        a
        
        ⋮
        
        b
      
    
    {\displaystyle a\,\vdots \,b}
   և 
  
    
      
        b
        
        ⋮
        
        c
        ,
      
    
    {\displaystyle b\,\vdots \,c,}
   ապա 
  
    
      
        a
        
        ⋮
        
        c
        :
      
    
    {\displaystyle a\,\vdots \,c:}
  
հակասիմետրիկ (հակահամաչափ) է, այսինքն՝ եթե 
  
    
      
        a
        
        ⋮
        
        b
      
    
    {\displaystyle a\,\vdots \,b}
   և 
  
    
      
        b
        
        ⋮
        
        a
        ,
      
    
    {\displaystyle b\,\vdots \,a,}
   ապա 
  
    
      
        a
        
        =
        
        b
        :
      
    
    {\displaystyle a\,=\,b:}
  Ամբողջ թվերի համակարգում բավարարվում են այս երեք հատկություններից առաջին երկուսը; օրինակ՝ 
  
    
      
        2
        
        ⋮
        
        −
        2
      
    
    {\displaystyle 2\,\vdots \,-2}
   և 
  
    
      
        −
        2
        
        ⋮
        
        2
        ,
      
    
    {\displaystyle -2\,\vdots \,2,}
   սակայն 
  
    
      
        2
        ≠
        −
        2
        :
      
    
    {\displaystyle 2\neq -2:}
  


== Բաժանարարների քանակը ==

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   բնական թվի դրական բաժանարարների քանակը, որը սովորաբար նշանակվում է 
  
    
      
        τ
        (
        n
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \tau (n),}
   հանդիսանում է բազմապատկական ֆունկցիա, նրա համար ճշմարիտ է Դիրիխլեի ասիմպտոտիկ բանաձևը.

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            N
          
        
        τ
        (
        n
        )
        =
        N
        ln
        ⁡
        N
        +
        (
        2
        
        γ
        −
        1
        )
        N
        +
        O
        
          (
          
            N
            
              θ
            
          
          )
        
        :
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\tau (n)=N\ln N+(2\,\gamma -1)N+O\left(N^{\theta }\right):}
  Այստեղ 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  -ն՝ Էյլեր — Մասկերոնիի հաստատունն է, իսկ 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  -ի համար Դիրիխլեն ստացել է 
  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
   արժեքը։ Այս արդյունքը բազմիցս բարելավվել է, և ներկայումս հայտնի ամենալավ արդյունքն է՝ 
  
    
      
        θ
        =
        
          
            131
            416
          
        
      
    
    {\displaystyle \theta ={\frac {131}{416}}}
   (2003 թվականին ստացել է Հաքսլին)։ Սակայն, 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  -ի փոքրագույն արժեքը, որի դեպքում այդ բանաձևը կլինի ճշմարիտ, հայտնի չէ (ապացուցված է, որ այն փոքր չէ, քան 
  
    
      
        
          
            1
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4}}}
  ):
Ընդ որում՝ n մեծ թվի միջին բաժանարարն աճում է ինչպես 
  
    
      
        
          
            
              
                c
                
                  1
                
              
              n
            
            
              ln
              ⁡
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {c_{1}n}{\sqrt {\ln n}}}}
  , ինչը հայտնաբերել է Ա. Կարացուբան։ Մ. Կորոլյովի համակարգչային գնահատմամբ՝ 
  
    
      
        
          c
          
            1
          
        
        =
        
          
            1
            π
          
        
        
          ∏
          
            p
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  p
                  
                    3
                    
                      /
                    
                    2
                  
                
                
                  p
                  −
                  1
                
              
            
            ln
            ⁡
            
              (
              
                1
                +
                
                  
                    1
                    p
                  
                
              
              )
            
          
          )
        
        ≈
        0,713
        8067
      
    
    {\displaystyle c_{1}={\frac {1}{\pi }}\prod _{p}\left({\frac {p^{3/2}}{\sqrt {p-1}}}\ln \left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\approx 0{,}7138067}
  :


== Ընդհանրացումներ ==
Բաժանելիության հասկացությունը ընդհանրացվում է կամայական օղակների վրա, օրինակ՝ գաուսյան ամբողջ թվերը կամ բազմանդամների օղակը։


== Տես նաև ==
Բաժանում (մաթեմատիկա)
Մնացորդով բաժանում
Բաժանելիության հայտանիշներ
Օղակ (մաթեմատիկա)


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 38. — 94 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6
Делимость // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 95. — 352 с.


== Արտաքին հղումներ ==
Տեսանյութ բաժանելիության մասին