Մաթեմատիկական ճոճանակ

Մաթեմատիկական ճոճանակ, փակ համակարգ, որի մեջ ընդգրկված են թելը, թելի երկարությունից մի քանի անգամ փոքր տրամագծով և ծանր գունդը։ Ճոճանակների մաթեմատիկան ընդհանուր առմամբ բավականին բարդ է։ Պայմանների պարզեցմամբ կարելի է դիտարկել պարզ ճոճանակ, որի դեպքում շարժման հավասարումները լուծելի են փոքր անկյան տատանումների համար։
Ընդհանուր դեպքում մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումները հարմոնիկ չեն․ տատանման պարբերությունը կախված է լայնույթից։ Եթե տատանումները փոքր են, ապա պարբերությունը կարելի է որոշել

  
    
      
        T
        =
        2
        π
        
          
            
              L
              g
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over g}}}
  բանաձևով, որտեղ T-ն պարբերությունն է, L-ը՝ թելի երկարությունը, g-ն՝ ազատ անկման արագացումը։


== Շարժման հավասարման լուծում ==


=== Ներդաշնակ տատանումներ ===
Ճոճանակի փոքր տատանումները հանդիսանում են ներդաշնակ տատանումներ։ Դա նշանակում է, որ հավասարակշռության վիճակից ճոճանակի շեղումը փոփոխվում է սինուսի կամ կոսինուսի օրենքով։

  
    
      
        x
        =
        A
        sin
        ⁡
        (
        
          θ
          
            0
          
        
        +
        ω
        t
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle x=A\sin(\theta _{0}+\omega t),}
  որտեղ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   — տատանման լայնույթն է, 
  
    
      
        
          θ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \theta _{0}}
   — տատանման սկզբնական փուլ, 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
   —շրջանային հաճախություն։


=== Ոչ գծային ճոճանակ ===
Ավելի մեծ լայնույթով տատանումների հավասարումն ավելի բարդ տեսք ունի։

  
    
      
        sin
        ⁡
        
          
            x
            2
          
        
        =
        ϰ
        ⋅
        sn
        ⁡
        (
        ω
        t
        ;
        ϰ
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \sin {\frac {x}{2}}=\varkappa \cdot \operatorname {sn} (\omega t;\varkappa ),}
  որտեղ  
  
    
      
        sn
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sn} }
   — Յակոբի սինուսն է.  
  
    
      
        ϰ
        <
        1
      
    
    {\displaystyle \varkappa <1}
  համար,նա պարբերական ֆունկցիա է,փոքր 
  
    
      
        ϰ
      
    
    {\displaystyle \varkappa }
  -ի համարհամընկնում է սովորական սինուսի հետ։

  
    
      
        ϰ
      
    
    {\displaystyle \varkappa }
   պարամետրը որոշվում է

  
    
      
        ϰ
        =
        
          
            
              ε
              +
              
                ω
                
                  2
                
              
            
            
              2
              
                ω
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \varkappa ={\frac {\varepsilon +\omega ^{2}}{2\omega ^{2}}},}
  որտեղ 
  
    
      
        ε
        =
        
          
            E
            
              m
              
                L
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon ={\frac {E}{mL^{2}}}}
   — ճոճանակի էներգիան է t−2Ոչ գծային ճոճանակի տատանման պարբերությունը որոշվում է․

  
    
      
        T
        =
        
          
            
              2
              π
            
            Ω
          
        
        ,
        
        Ω
        =
        
          
            π
            2
          
        
        
          
            ω
            
              K
              (
              ϰ
              )
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle T={\frac {2\pi }{\Omega }},\quad \Omega ={\frac {\pi }{2}}{\frac {\omega }{K(\varkappa )}},}
  
  
    
      
        T
        =
        
          T
          
            0
          
        
        
          {
          
            1
            +
            
              
                (
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            
              sin
              
                2
              
            
            ⁡
            
              (
              
                
                  α
                  2
                
              
              )
            
            +
            
              
                (
                
                  
                    
                      1
                      ⋅
                      3
                    
                    
                      2
                      ⋅
                      4
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            
              sin
              
                4
              
            
            ⁡
            
              (
              
                
                  α
                  2
                
              
              )
            
            +
            ⋯
            +
            
              
                [
                
                  
                    
                      
                        (
                        
                          2
                          n
                          −
                          1
                        
                        )
                      
                      !
                      !
                    
                    
                      
                        (
                        
                          2
                          n
                        
                        )
                      
                      !
                      !
                    
                  
                
                ]
              
              
                2
              
            
            
              sin
              
                2
                n
              
            
            ⁡
            
              (
              
                
                  α
                  2
                
              
              )
            
            +
            …
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle T=T_{0}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots \right\}}
  ,որտեղ 
  
    
      
        
          T
          
            0
          
        
        =
        2
        π
        
          
            
              L
              g
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}
   — փոքր տատանումների պարբերությունն է, 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   — ճոճանակի առավելագույն շեղումն է ուղղահայացից։
Մինչև 1 ռադիան (≈60°) անկյունների դեպքում․

  
    
      
        T
        =
        
          T
          
            0
          
        
        
          (
          
            1
            +
            
              
                1
                4
              
            
            
              sin
              
                2
              
            
            ⁡
            
              (
              
                
                  α
                  2
                
              
              )
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle T=T_{0}\left(1+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right).}
  


== Տես նաև ==
Ճոճանակներ
Ֆուկոյի ճոճանակ
Ֆիզիկական ճոճանակ


== Ծանոթագրություն ==


== Աղբյուրներ ==
Ազատ տատանումներ։ Մաթեմատիկական ճոճանակ(ռուս.)
Ֆիզիկական հանրագիտարան(ռուս.)