Օղակ (մաթեմատիկա)

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Օղակ (այլ կիրառումներ)
Դիցուք՝ 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
   բազմության վրա տրված են երկու գործողություն, որոնցից առաջինն անվանենք "գումարում", երկրորդը՝ "բազմապատկում"։
Համապատասխանաբար օգտվենք " + " և " 
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
   " նշաններից։


== Սահմանում ==

  
    
      
        (
      
    
    {\displaystyle (}
   
  
    
      
        G
        ,
      
    
    {\displaystyle G,}
   
  
    
      
        +
        ,
      
    
    {\displaystyle +,}
   
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
   
  
    
      
        )
      
    
    {\displaystyle )}
   համակարգը կոչվում է օղակ, եթե՝
1. 
  
    
      
        (
      
    
    {\displaystyle (}
   
  
    
      
        G
        ,
      
    
    {\displaystyle G,}
   
  
    
      
        +
      
    
    {\displaystyle +}
   
  
    
      
        )
      
    
    {\displaystyle )}
   համակարգը տեղափոխելի խումբ է,
2. 
  
    
      
        (
      
    
    {\displaystyle (}
   
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
   
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   
  
    
      
        )
      
    
    {\displaystyle )}
   
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
   
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   = 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
   
  
    
      
        (
      
    
    {\displaystyle (}
   
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
   
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   
  
    
      
        )
      
    
    {\displaystyle )}
   (բազմապատկումն օժտված է զուգորդականությամբ),
3․ 
  
    
      
        (
      
    
    {\displaystyle (}
   
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   
  
    
      
        +
      
    
    {\displaystyle +}
   
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   
  
    
      
        )
      
    
    {\displaystyle )}
   
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
   
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   = 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
   
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   + 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
   
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   և 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
   
  
    
      
        (
      
    
    {\displaystyle (}
   
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   
  
    
      
        +
      
    
    {\displaystyle +}
   
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   
  
    
      
        )
      
    
    {\displaystyle )}
   = 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
   
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   + 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
   
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   (բազմապատկումն օժտված է բաշխականությամբ գումարման նկատմամբ)
Եթե տեղի ունի նաեւ լրացուցիչ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
   
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   = 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
   
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   պայմանը, ապա օղակը կոչվում է տեղափոխելի (աբելյան)։
Եթե 
  
    
      
        ∃
         
        1
        ∈
        G
        :
        ∀
         
        a
        ∈
        G
        
        a
        ⋅
        1
        =
        1
        ⋅
        a
        =
        a
      
    
    {\displaystyle \exists \ 1\in G:\forall \ a\in G\quad a\cdot 1=1\cdot a=a}
  , ապա օղակը կոչվում է միավորով, 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  -ն էլ՝ նրա միավորը։
Օղակներ են, օրինակ, ամբողջ թվերի 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
   բազմությունը, մնացքների 
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        n
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
   բազմությունը։
Տեղափոխելի օղակը կոչվում է դաշտ, եթե ցանկացած ոչ զրոյական տարր ունի հակադարձ ըստ բազմապատկման, այսինքն՝ 
  
    
      
        ∀
        a
        ≠
        0
         
        ∃
        b
        :
        a
        b
        =
        b
        a
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \forall a\neq 0~\exists b:ab=ba=1}
  
Դաշտեր են, օրինակ, 
  
    
      
        
          Q
        
        ,
         
        
          R
        
        ,
         
        
          C
        
        ,
         
        
          Q
        
        [
        
          
            3
          
        
        ]
        ,
         
        
          Z
        
        
          /
        
        p
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} ,~\mathbb {R} ,~\mathbb {C} ,~\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}],~\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
   բազմությունները պարզ 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  -երի դեպքում։


== Հատկություններ ==
Առանց ապացույցի բերենք որոշ հայտնի դրույթներ՝ օղակների և դաշտերի վերաբերյալ՝ա) Եթե օղակի մի քանի տարրերի արտադրյալի մեջ գոնե մի արտադրիչը 0 է, ապա այդ արտադրյալը հավասար է զրոյի։ Այնինչ հակառակ պնդումն, ընդհանրապես ասած, ճիշտ չէ, այսինքն՝ հնարավոր է, որ
  
    
      
        a
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a\neq 0}
   և 
  
    
      
        b
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle b\neq 0}
  , բայց 
  
    
      
        a
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ab=0}
  ։ Այս պարագայում 
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
   կոչվում են զրոյի բաժանարարներ։


== Ծանոթագրություններ ==