Ցիոլկովսկու հավասարում

Ցիոլկովսկու հավասարումը որոշում է այն արագությունը, որը ձեռք է բերում թռչող սարքը հրթիռային շարժչի ձգողության ազդեցությամբ, որն ուղղությամբ չի փոխվում, արտաքին ազդեցությունների բացակայության դեպքում։ Այդ արագությունը կոչվում է բնութագրիչ։

  
    
      
        V
        =
        I
        ⋅
        ln
        ⁡
        
          (
          
            
              
                M
                
                  1
                
              
              
                M
                
                  2
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle V=I\cdot \ln \left({\frac {M_{1}}{M_{2}}}\right)}
  ,
որտեղ՝

  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
   — թռչող սարքի վերջնական արագությունն է, որը մանևրի դեպքում տիեզերքում ուղեծրային մանևրերի ժամանակ և միջմոլորակային թռիչքների ժամանակ հաճախ նշանակվում է ΔV, նաև կոչվում է բնութագրիչ արագություն։

  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
   —  հրթիռային շարժիչի տեսակարար իմպուլսը (շարժիչի ձգողության հարաբերությունը վառելիքի զանգվածի վայրկյանային ծախսին);

  
    
      
        
          M
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{1}}
   — թռչող սարքի սկզբնական զանգված (օգտակար բեռնավորում + սարքի կառուցվածք + վառելիք);

  
    
      
        
          M
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{2}}
   — թռչող սարքի վերջնական զանգված (օգտակար բեռնավորում + սարքի կառուցվածք)։Այս հավասարումը դուրս էր բերվել Ցիոլկովսկու կողմից 1897 թ.-ի մայիսի 10-ի(մայիսի 22 գրիգորյան օրացույցով) «Հրթիռ» ձեռագրում։
Սակայն առաջինը հավասարումը լուծել էին անգլիացի հետազոտողներ Վ. Մուռը, նաև Պ. Գ. Թեյտը և Վ. Ջ. Սթիլը Քեմբրիջի համալսարանից համապատասխանաբար 1810—1811 և 1856 թվականներին։
Բազմաստիճան հրթիռների համար վերջնական արագությունը հաշշվում է որպես արագությունների գումար, որոնք ստացվում են Ցիոլկովսկու հավասարումից, ամեն աստիճանի համար առանձին, նաև ամեն աստիճանի բնութագրիչ արագությունը հաշվելու ժամանակ իր սկզբնական և վերջնական զանգվածներին ավելանում է բոլոր հոջորդ աստիճանների գումարային զանգվածը։
Ներմուծենք նշանակումները.

  
    
      
        
          M
          
            1
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{1i}}
   — լցավորված հրթիռի 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  -րդ աստիճանի զանգվածը;

  
    
      
        
          M
          
            2
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{2i}}
   — 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  -րդ աստիճանի զանգվածն առանց վառելիքի;

  
    
      
        
          I
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{i}}
   — 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  -րդ աստիճանի տեսակարար իմպուլսը ;

  
    
      
        
          M
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{0}}
   — օգտակար բեռնավորման զանգվածը;

  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   — հրթիռի աստիճանների քանակը։Հետևաբար Ցիոլկովսկու հավասարումը բազմաստիճան հրթիռի համար կարող է գրվել հետևյալ տեսքով.

  
    
      
        V
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          I
          
            i
          
        
        ⋅
        ln
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  M
                  
                    0
                  
                
                +
                
                  
                    ∑
                    
                      j
                      =
                      i
                    
                    
                      N
                    
                  
                
                
                  M
                  
                    1
                    j
                  
                
              
              
                
                  M
                  
                    0
                  
                
                +
                
                  
                    ∑
                    
                      j
                      =
                      i
                    
                    
                      N
                    
                  
                
                
                  M
                  
                    2
                    j
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle V=\sum _{i=1}^{N}I_{i}\cdot \ln \left({\frac {M_{0}+{\sum _{j=i}^{N}}M_{1j}}{M_{0}+{\sum _{j=i}^{N}}M_{2j}}}\right)}
  


== Հրթիռի իրական և բնութագրիչ արագությունների տարբերությունը ==
Քանի որ իրական թռիչքի պայմաններում հրթիռի վրա բացի շարժիչների ձգողությունից ազդում են նաև այլ ուժեր՝ արագություն, որը ձեռք են բերում հրթիռները նման թռիչքների ժամանակ, որպես կանոն, ավելի ցածր բնութագրիչից կորուստների պատճառով, որոնք առաջանում են գրավիտացիայի ուժերից, շրջապատի դիմադրությունը և այլն։
Աղյուսակ 1-ում բերված են Սատուրն V հրթիռի արագությունները Ապոլլոն տիեզերանավից անջատվելիս դեպի Լուսին թռիչքի հետագիծը։


== Ցիոլկովսկու հավասարման օգտագործումը հրթիռներ պրոյեկտելու ժամանակ ==
Դուրս բերվելով XIХ դարում՝ Ցիոլկովսկու հավասարումը մինչ այսօր մաթեմատիկական սարքի կարևոր մասն է, որն օգտագործվում է հրթիռներ պրոյեկտելու համար, մասնավորապես, իրենց հիմանական զանգվածային բնութագրիչները որոշելիս։
Հավասարումը ոչ բարդ ձևափոխությունների ճանապարհով կստանանք հետևյալ հավասարումը.

 
  
    
      
        
          
            
              M
              
                1
              
            
            
              M
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          e
          
            V
            
              /
            
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {M_{1}}{M_{2}}}=e^{V/I}}
      (1)
Այս հավասարումը տալիս է հրթիռի սկզբնական և վերջնական զանգվածների միջև հրթիռի վերջնական արագության և տեսակարար իմպուլսի որոշված արժեքների դեպքում։
Ներմուծենք հետևայալ նշանակումները։

  
    
      
        
          M
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{0}}
   — օգտակար բեռի զանգվածը;

  
    
      
        
          M
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{k}}
   — հրթիռի կառուցածքի զանգվածը;

  
    
      
        
          M
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{t}}
   — վառելիքի զանգվածը։Հրթիռի կառուցածքի զանգվածը արժեքների մեծ դիապազոնում գրեթե գծապես է կախված վառելիքի զանգվածից. ինչքան շատ է վառելիքի պաշարը, այնքան մեծ են դրան պահելու տարողությունների չափսերն ու զանգվածները, մեծ է կառուցվածքի տանող տարրերի զանգվածը, ավելի հզոր (հետևաբար, ավելի ծանր) շարժիչային սարքը։ Արտահայտենք այս կախվածությունը հետևյալ տեսքով։

 
  
    
      
        
          M
          
            k
          
        
        =
        
          
            
              M
              
                t
              
            
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{k}={\frac {M_{t}}{k}}}
  ,    (2) где 
  
    
      
        
        k
      
    
    {\displaystyle \,k}
   — գործակից, որը ցույց է տալիս, թե ինչ քանակի վառելիքն է համակվում կառուցվածքի զանգվածի միավորին։ Ռացիոնալ կառուցման դեպքում այս գործակիցը առաջին հերթին կախված է կառուցվածքային նյութերի բնութագրերից (խտություն և ամրություն), որոնց օգտագործում են հրթիռ կառուցելու ժամանակ։ Ինչքան ամուր և թեթև լինեն օգտագործվող նյութերը, այնքան բարձր է գործակցի արժեքը 
  
    
      
        
        k
      
    
    {\displaystyle \,k}
  . Այս գործակիցը կախված է նաև վառելիքի միջին խտությունից (ավելի ցածր խտությամբ վառելիքի համար անհրաժեշտ են ավելի մեծ և ծանր տարածություններ, ինչը բերում է արժեքի նվազմանը 
  
    
      
        
        k
      
    
    {\displaystyle \,k}
  ).
Հավասարում (1)-ը գրվել հետևյալ ձևով.

  
  
    
      
        
          
            
              
                M
                
                  0
                
              
              +
              
                M
                
                  t
                
              
              +
              
                M
                
                  t
                
              
              
                /
              
              k
            
            
              
                M
                
                  0
                
              
              +
              
                M
                
                  t
                
              
              
                /
              
              k
            
          
        
        =
        
          e
          
            V
            
              /
            
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {M_{0}+M_{t}+M_{t}/k}{M_{0}+M_{t}/k}}=e^{V/I}}
  , 
ինչն էլ պարզագույն ձևափոխության ճանապարհով գալիս է հետևյալ տեսքի.

  
    
      
        
          M
          
            t
          
        
        =
        
          
            
              
                M
                
                  0
                
              
              ⋅
              k
              ⋅
              (
              
                e
                
                  V
                  
                    /
                  
                  I
                
              
              −
              1
              )
            
            
              k
              +
              1
              −
              
                e
                
                  V
                  
                    /
                  
                  I
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{t}={\frac {M_{0}\cdot k\cdot (e^{V/I}-1)}{k+1-e^{V/I}}}}
      (3)
Ցիոլկովսկու հավասարման հետևյալ ձևը թույլ է տալիս հաշվել վառելիքի զանգվածը, որն անհրաժտ է միաստիճան հրթիռի տրված բնութագրիչ արագությանը հասնելու համար, օգտակար զանգվածի դեպքում, տեսակարար իմպուլսի և գործակցի արժեքներին 
  
    
      
        
        k
      
    
    {\displaystyle \,k}
  :

Բնականաբեր, այլ հավասարումն ունի լուծում, միայն երբ արժեքը, որ ստացվում է սկզբնական տվյալների տեղադրումով, դրական է։ Քանի որ էքսպոնենտան դրականի արգումենտի համար միշտ մեծ է 1-ից, հավասարման համարիչը միշտ դրական է, հետևաբար, դրական պիտի լինի նաև այդ հավասարման հայտարարը. 
  
    
      
        
        
        k
        +
        1
        −
        
          e
          
            V
            
              /
            
            I
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \,\!k+1-e^{V/I}>0}
    , այլ կերպ ասված,   
  
    
      
        
        k
        >
        
          e
          
            V
            
              /
            
            I
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \,k>e^{V/I}-1}
      (4) 
Այս անհավասարումը հանդիսանում է հասանելիության չափանիշ միաստիճան հրթիռի 
  
    
      
        
        V
      
    
    {\displaystyle \,V}
   արագությամբ, տեսակարար իմպուլսի տրված արժեքներով 
  
    
      
        
        I
      
    
    {\displaystyle \,I}
   և գործակցով 
  
    
      
        
        k
      
    
    {\displaystyle \,k}
  : Եթե անհավասարությունը չի իրականացվում, տրված արագությունը չի կարող հասնվել։


== Ցիոլկովսկու ընդհանրեցված հավասարում ==
Հրթիռի համար, որը թռչում է արագությամբ, որը մոտ է լույսի արագությանը ճիշտ է Ցիոլկովսկու ընդհանրեցված հավասարումը.

  
    
      
        
          
            
              M
              
                2
              
            
            
              M
              
                1
              
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                  −
                  
                    
                      V
                      c
                    
                  
                
                
                  1
                  +
                  
                    
                      V
                      c
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            
              c
              
                2
                I
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {M_{2}}{M_{1}}}=\left({\frac {1-{\frac {V}{c}}}{1+{\frac {V}{c}}}}\right)^{\frac {c}{2I}}}
  ,որտեղ 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   - լույսի արագություն։ Ֆոտոնային հրթիռի համար 
  
    
      
        I
        =
        c
      
    
    {\displaystyle I=c}
   և հավասարումն ունի հետևյալ տեսքը.

  
    
      
        
          
            
              M
              
                1
              
            
            
              M
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                1
                +
                
                  
                    V
                    c
                  
                
              
              
                1
                −
                
                  
                    V
                    c
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {M_{1}}{M_{2}}}={\sqrt {\frac {1+{\frac {V}{c}}}{1-{\frac {V}{c}}}}}}
  ,Ֆոտոնային հրթիռի արագությունը որոշվում է այս բանաձևով.

  
    
      
        
          
            V
            c
          
        
        =
        
          
            
              1
              −
              
                
                  (
                  
                    
                      
                        M
                        
                          2
                        
                      
                      
                        M
                        
                          1
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  2
                
              
            
            
              1
              +
              
                
                  (
                  
                    
                      
                        M
                        
                          2
                        
                      
                      
                        M
                        
                          1
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {V}{c}}={\frac {1-\left({\frac {M_{2}}{M_{1}}}\right)^{2}}{1+\left({\frac {M_{2}}{M_{1}}}\right)^{2}}}}
  ,


== Ծանոթագրություններ ==