Քառակուսացման բանաձևերի ցանկ

Քառակուսացման բանաձևերի ցանկ- տարբեր քառակուսացման բանաձևերի ցանկը՝ թվային ինտեգրման համար։


== Նշանակումը ==
Թվային ինտեգրման բանաձևը ընդհանուր տեսքը հետևյալն է․

  
    
      
        
          ∫
          
            
              Ω
              
                x
              
            
          
        
        f
        (
        x
        )
        d
        x
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            
              m
              
                g
              
            
          
        
        
          
            
              
                
                  w
                  
                    i
                  
                
                ~
              
            
          
          f
          (
          
            x
            
              i
            
          
          )
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            
              m
              
                g
              
            
          
        
        
          
            w
            
              i
            
          
          
            d
            e
            t
          
          (
          J
          (
          
            ξ
            
              i
            
          
          )
          )
          f
          (
          x
          (
          
            ξ
            
              i
            
          
          )
          )
        
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{\Omega _{x}}f(x)dx=\sum _{i=1}^{m_{g}}{{\widetilde {w_{i}}}f(x_{i})}=\sum _{i=1}^{m_{g}}{w_{i}\mathrm {det} (J(\xi _{i}))f(x(\xi _{i}))}}
  ,
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   -ինտեգրվող ֆունկցիան

  
    
      
        
          w
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{i}}
   -ինտեգրվող մեծությունը

  
    
      
        ξ
      
    
    {\displaystyle \xi }
   -  վարպետ-տարր կոորդինատային համակարգը․

  
    
      
        J
        (
        ξ
        )
        =
        
          
            
              ∂
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              ,
              …
              ,
              
                x
                
                  n
                
              
              )
            
            
              ∂
              (
              
                ξ
                
                  1
                
              
              ,
              …
              
                ξ
                
                  n
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle J(\xi )={\frac {\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial (\xi _{1},\dots \xi _{n})}}}
   Յակոբիի մատրիցա՝ վարպետ-տարրի անցնելու համար։Ինտեգրալի ադիտիվության հիման վրա, որպես 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
   ինտեգրման տիրույթ քննարկվում են պարզ տիրույթներ (եռանկյուն, քառանկյուն, հնգանկյուն)։ Բարդ երկրաչափության դեպքում՝ տիրույթը ներկայացվում է որպես պարզ տիրույթների միություն և հաշվվում են ինտեգրալները ըստ այդ տիրույթների։
Բնական կոորդինատները ներկայացվում են 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ,
        z
      
    
    {\displaystyle x,y,z}
   փոփոխականներով, իսկ վարպետ-տարրի նշանակման համար՝ 
  
    
      
        ξ
        ,
        η
        ,
        ζ
      
    
    {\displaystyle \xi ,\eta ,\zeta }
  ։


== Միաչափ ինտեգրալ ==

Միաչափ ինտեգրումը, դա հատվածով ինտեգրումն է։

Ինտեգրման տիրույթը  
  
    
      
        [
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          x
          
            1
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [x_{0},x_{1}]}
   հատվածն է․
Կառուցման տարրը 
  
    
      
        [
        −
        1
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [-1,1]}
  հատվածն է
Անցում վարպետ-տարրին՝  
  
    
      
        ξ
        (
        x
        )
        =
        2
        
          
            
              x
              −
              
                x
                
                  0
                
              
            
            
              
                x
                
                  1
                
              
              −
              
                x
                
                  0
                
              
            
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \xi (x)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1}
  ;
Անցում վարպետ-տարրից՝  
  
    
      
        x
        (
        ξ
        )
        =
        
          
            
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              −
              
                x
                
                  0
                
              
              )
              (
              ξ
              +
              1
              )
            
            2
          
        
        +
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x(\xi )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}}
  ;
Յակոբիի ինտեգրալ՝ 
  
    
      
        
          d
          e
          t
        
        (
        J
        (
        ξ
        )
        )
        =
        
          
            
              
                x
                
                  1
                
              
              −
              
                x
                
                  0
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ))={\frac {x_{1}-x_{0}}{2}}}
  .


== Երկչափ ինտեգրալ ==


=== Քառակուսի կառուցման տարր ===

Ինտեգրման տիրույթը՝ ուղղանկյուն 
  
    
      
        [
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          x
          
            1
          
        
        ]
        ×
        [
        
          y
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]}
  
Վարպետ-տարրը՝ քառակուսի 
  
    
      
        [
        −
        1
        ,
        1
        ]
        ×
        [
        −
        1
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [-1,1]\times [-1,1]}
  
Վարպետ-տարրի անցումը․
  
    
      
        ξ
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        2
        
          
            
              x
              −
              
                x
                
                  0
                
              
            
            
              
                x
                
                  1
                
              
              −
              
                x
                
                  0
                
              
            
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \xi (x,y)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1}
  

  
    
      
        η
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        2
        
          
            
              y
              −
              
                y
                
                  0
                
              
            
            
              
                y
                
                  1
                
              
              −
              
                y
                
                  0
                
              
            
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \eta (x,y)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1}
  ;Վարպետ-տարրից անցումը․
  
    
      
        x
        (
        ξ
        ,
        η
        )
        =
        
          
            
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              −
              
                x
                
                  0
                
              
              )
              (
              ξ
              +
              1
              )
            
            2
          
        
        +
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x(\xi ,\eta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}}
  

  
    
      
        y
        (
        ξ
        ,
        η
        )
        =
        
          
            
              (
              
                y
                
                  1
                
              
              −
              
                y
                
                  0
                
              
              )
              (
              η
              +
              1
              )
            
            2
          
        
        +
        
          y
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle y(\xi ,\eta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2}}+y_{0}}
  ;Յակոբիան․ 
  
    
      
        
          d
          e
          t
        
        (
        J
        (
        ξ
        ,
        η
        )
        )
        =
        
          
            
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              −
              
                x
                
                  0
                
              
              )
              (
              
                y
                
                  1
                
              
              −
              
                y
                
                  0
                
              
              )
            
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})}{4}}}
  .Քառակուսով ինտեգրելու բանաձևերից շատերը կարելի է ստանալ, հատվածներով ինտեգրելու բանաձևերի կոմբինացիաներով։ Այդ մեթոդների օրինակներ են հանդիսանում ուղղնկյան, սեղանի և գաուսի -2 մեթոդները։


=== Եռանկյուն կառուցման տարր ===

Ինտեգրման տիրույթը եռանկյուն է կառուցված 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        )
        ,
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        )
        ,
        (
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        
          y
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}
   գագաթներով ․
Վարպետ-տարրը եռանկյուն է կառուցված 
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        )
        ,
        (
        1
        ,
        0
        )
        ,
        (
        0
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0),(1,0),(0,1)}
   գագաթներով .Վարպետ-տարրին անցնելու համար օգտագործվում է բարոցենտրական կոորդինատները (L-կոորդինատներ), նշանակենք դրանք՝  
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        ,
        
          λ
          
            2
          
        
        ,
        
          λ
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}
  .

  
    
      
        
          λ
          
            i
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          α
          
            i
            1
          
        
        x
        +
        
          α
          
            i
            2
          
        
        y
        +
        
          α
          
            i
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{i}(x,y)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3}}
  L-կոորդինատների գործակիցները հաշվելու համար օգտագործվում է 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
   մատրիցը՝

  
    
      
        D
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      3
                    
                  
                
              
              
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{pmatrix}}}
  Գործակիցների 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  -ին հետ անցման մատրիցը 
  
    
      
        
          A
        
        =
        
          D
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {A} =D^{-1}}
   է։

Վարպետ-տարրին անցումը՝
  
    
      
        ξ
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          λ
          
            1
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \xi (x,y)=\lambda _{1}(x,y)}
  

  
    
      
        η
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          λ
          
            2
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \eta (x,y)=\lambda _{2}(x,y)}
  Վարպետ-տարրրից անցումը՝
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  x
                
              
              
                
                  y
                
              
              
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          A
        
        
          
            (
            
              
                
                  ξ
                
              
              
                
                  η
                
              
              
                
                  1
                  −
                  ξ
                  −
                  η
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=\mathrm {A} {\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\1-\xi -\eta \end{pmatrix}}}
  Յակոբիան՝ 
  
    
      
        
          d
          e
          t
        
        (
        J
        (
        ξ
        ,
        η
        )
        )
        =
        
          d
          e
          t
        
        (
        D
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))=\mathrm {det} (D)}
  .


== Եռաչափ ինտեգրալ ==


=== Խորանարդային կառուցման տարր ===

Ինտեգրման տիրույթը 
  
    
      
        [
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          x
          
            1
          
        
        ]
        ×
        [
        
          y
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        ]
        ×
        [
        
          z
          
            0
          
        
        ,
        
          z
          
            1
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]\times [z_{0},z_{1}]}
  զուգահեռանիստն է․
Վարպետ-տարրը 
  
    
      
        [
        −
        1
        ,
        1
        ]
        ×
        [
        −
        1
        ,
        1
        ]
        ×
        [
        −
        1
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [-1,1]\times [-1,1]\times [-1,1]}
   խորանարդն է․
Անցում վարպետ-տարրին՝
  
    
      
        ξ
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        2
        
          
            
              x
              −
              
                x
                
                  0
                
              
            
            
              
                x
                
                  1
                
              
              −
              
                x
                
                  0
                
              
            
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \xi (x,y,z)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1}
  

  
    
      
        η
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        2
        
          
            
              y
              −
              
                y
                
                  0
                
              
            
            
              
                y
                
                  1
                
              
              −
              
                y
                
                  0
                
              
            
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \eta (x,y,z)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1}
  

  
    
      
        ζ
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        2
        
          
            
              z
              −
              
                z
                
                  0
                
              
            
            
              
                z
                
                  1
                
              
              −
              
                z
                
                  0
                
              
            
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \zeta (x,y,z)=2{\frac {z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}-1}
  Անցում վարպետ-տարրից՝
  
    
      
        x
        (
        ξ
        ,
        η
        ,
        ζ
        )
        =
        
          
            
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              −
              
                x
                
                  0
                
              
              )
              (
              ξ
              +
              1
              )
            
            2
          
        
        +
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}}
  

  
    
      
        y
        (
        ξ
        ,
        η
        ,
        ζ
        )
        =
        
          
            
              (
              
                y
                
                  1
                
              
              −
              
                y
                
                  0
                
              
              )
              (
              η
              +
              1
              )
            
            2
          
        
        +
        
          y
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle y(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2}}+y_{0}}
  ;

  
    
      
        z
        (
        ξ
        ,
        η
        ,
        ζ
        )
        =
        
          
            
              (
              
                z
                
                  1
                
              
              −
              
                z
                
                  0
                
              
              )
              (
              ζ
              +
              1
              )
            
            2
          
        
        +
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(z_{1}-z_{0})(\zeta +1)}{2}}+z_{0}}
  ;Յակոբիան՝ 
  
    
      
        
          d
          e
          t
        
        (
        J
        (
        ξ
        ,
        η
        ,
        ζ
        )
        )
        =
        
          
            
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              −
              
                x
                
                  0
                
              
              )
              (
              
                y
                
                  1
                
              
              −
              
                y
                
                  0
                
              
              )
              (
              
                z
                
                  1
                
              
              −
              
                z
                
                  0
                
              
              )
            
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})(z_{1}-z_{0})}{8}}}
  .Քանի որ բարձր կարգի ինտեգրալները մեծ քանակով կետեր են պարունակում ՝ դրանք կդիտարկենք առանձին։

Կարգ 7, կետերի քանակը 34․


=== Քառանիստ վարպետ տարր ===

Ինտեգրման տիրույթը՝ քառանիստ է 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            1
          
        
        )
        ,
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        )
        ,
        (
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        
          y
          
            3
          
        
        ,
        
          y
          
            3
          
        
        )
        ,
        (
        
          x
          
            4
          
        
        ,
        
          y
          
            4
          
        
        ,
        
          z
          
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{3},y_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4},z_{4})}
   գագաթներով։
Վարպետ-տարրը՝ քառաննիստ է   
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        ,
        0
        )
        ,
        (
        1
        ,
        0
        ,
        0
        )
        ,
        (
        0
        ,
        1
        ,
        0
        )
        ,
        (
        0
        ,
        0
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
   գագաթներով։Եռանկայն նման այստեղ էլ վարպետ-տարրին անցնելու համար օգտվում են քառանիստի L-կոորդինատից, որոնց կնշանակենք 
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        ,
        
          λ
          
            2
          
        
        ,
        
          λ
          
            3
          
        
        ,
        
          λ
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\lambda _{4}}
  :

  
    
      
        
          λ
          
            i
          
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        
          α
          
            i
            1
          
        
        x
        +
        
          α
          
            i
            2
          
        
        y
        +
        
          α
          
            i
            3
          
        
        z
        +
        
          α
          
            i
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{i}(x,y,z)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3}z+\alpha _{i4}}
  Գործակիցների մատրիցան որոշվում է որպես 
  
    
      
        
          A
        
        =
        
          D
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {A} =D^{-1}}
  , որտեղ

  
    
      
        D
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    x
                    
                      4
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      4
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    z
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  
                    z
                    
                      4
                    
                  
                
              
              
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&y_{4}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}&z_{4}\\1&1&1&1\end{pmatrix}}}
  Անցում վարպետ-տարրի՝
  
    
      
        ξ
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        
          λ
          
            1
          
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \xi (x,y,z)=\lambda _{1}(x,y,z)}
  

  
    
      
        η
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        
          λ
          
            2
          
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \eta (x,y,z)=\lambda _{2}(x,y,z)}
  

  
    
      
        ζ
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        
          λ
          
            3
          
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta (x,y,z)=\lambda _{3}(x,y,z)}
  Վարպետ-տարրից անցում՝
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  x
                
              
              
                
                  y
                
              
              
                
                  z
                
              
              
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
        =
        D
        
          
            (
            
              
                
                  ξ
                
              
              
                
                  η
                
              
              
                
                  ζ
                
              
              
                
                  1
                  −
                  ξ
                  −
                  η
                  −
                  ζ
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\\zeta \\1-\xi -\eta -\zeta \end{pmatrix}}}
  Յակոբիան՝ 
  
    
      
        
          d
          e
          t
        
        (
        J
        (
        ξ
        ,
        η
        ,
        ζ
        )
        )
        =
        
          d
          e
          t
        
        (
        D
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))=\mathrm {det} (D)}
  .


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. — Москва: Наука, 1981. — С. 336.


== Արտաքին հղումներ ==
«Numerical Integration over the Triangular Domain» (անգլերեն)։ Արխիվացված է օրիգինալից 2014-07-14-ին։ Վերցված է 2014-06-12  
«Numerical Integration over the Tetrahedral Domain» (անգլերեն)։ Արխիվացված է օրիգինալից 2014-07-14-ին։ Վերցված է 2014-06-12