Հեռավորություն (երկրաչափություն)

Հեռավորություն, երկու օբյեկտների կամ կետերի իրարից որքան հեռու լինելու թվային, քանակական չափումն է։ 
Ֆիզիկայում կամ ամենօրյա կենցաղային կյանքում հեռավորությունը կարող է վերաբերել ֆիզիկական երկարության կամ մեկ այլ չափանիշի վրա հիմնված գնահատականի։ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ից 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   կետ հեռավորորությունը երբեմն նշանակվում է որպես 
  
    
      
        
          |
        
        A
        B
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |AB|}
  ։ Դեպքերի մեծամասնությունում 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ից 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  -ից 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   հեռավորությունը նույնն է, և նույն բանն է նշանակում։ 
Մաթեմատիկայում հեռավորության ֆունկցիան կամ մետրիկան ֆիզիկական հեռավորության հասկացության ընդհանրացումն է․ այն ինչ-որ տարածության տարրերի իրար «մոտ լինելու» կամ իրարից «հեռու լինելու» հասկացությունների իմաստը սահմանելու ձև է։ 
Հոգեբանության և հասարակագիտություն մեջ հեռավորությունը ոչ-թվային չափում է։ Հոգեբանական հեռավորությունը նկարագրվում է որպես «այն տարբեր հնարավոր ձևերը, որոնցով առարկան հեռացված է» ինքն իրենից «ժամանակի, տարածության և հասարակական հեռավորության» առանցքներով։


== Սահմանում ==


=== Ֆիզիկական հեռավորություն ===
Ֆիզիկական հեռավորությունը մի քանի տարբեր բան կարող է նշանակել․

Ճանապարհորդած հեռավորություն․ երկու կետերի միջև անցած ճանապարհի երկարությունը։ Օրինակ՝ լաբիրինթի ելքը փնտրելու ընթացքում անցած ճանապարհի երկարությունը։Ուղիղ գծի հեռավորություն․ տարածության մեջ երկու կետերը միացնող հնարավոր ամենակարճ ճանապարհի (որը կարելի է անցնել առանց խոչընդոտների) երկարությունը․ սովորաբար սահմանվում է որպես Էվկլիդեսյան հեռավորություն։Գեոդեզիկ հեռավորություն․ երկու կետերը միացնող այնպիսի ամենակարճ ճանապարհի երկարությունը, որը մնում է նույն մակերևույթում․ օրինակ՝ Երկրագնդի կորի երկայնքով անցնող շրջանագծային հեռավորությունը։Սկզբնական կետը վերադարձող ճանապարհի երկարություն․ օրինակ՝ այն ճանապարհի, որն անցնում է ուղղահայաց վեր նետած գնդակը, կամ՝ Երկրագունդն իր ուղեծրով անցնելիս։Շրջանային հեռավորություն․ անիվի անցած ճանապարհի երկարությունը։ Սա օգտակար մեծություն է, օրինակ, մեխանիկական սարքերի կամ փոխադրամիջոցների նախագծման ժամանակ։ Նկատեք, որ անիվի պարագիծը հավասար է  
  
    
      
        2
        π
        r
      
    
    {\displaystyle 2\pi r}
   - ի, որտեղ 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  -ը շառավիղն է։ Ենթադրելով, որ շառավիղը հավասար է 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  -ի, յուրաքանչյուր պտույտի ընթացքում անցած ճանապարհի երկարությունը հավասար է 
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  :Հեռավորության որոշ անսովոր սահմանումներ օգտակար են իրական ֆիզիկական իրավիճակների մոդելավորման համար, բայց կարող են կիրառվել նաև տեսական մաթեմատիկայում․

«Մանհեթեն հեռավորություն»-ը ուղղագիծ հեռավորություն է։ Այն ստացել է իր անվանումը Նյու Յորքի Մանհեթեն շրջանի փողոցների ցանցային ճարտարապետության պատճառով։ Մանհեթենում տաքսիով երթևեկելիս անհրաժեշտ է որոշակի քանակությամբ խաչմերուկներ անցնել․ ուղիղ, կամ՝ հյուսիս, հարավ, արևելք կամ արևմուտք թեքումներով։ Երկու կետերի միջև ընկած «Մանհեթեն հեռավորություն»-ը խաչմերուկների միջև ընկած միավորների (անգլ.՝ block) քանակն է։«Շախմատի տախտակի հեռավորություն», պաշտոնապես սահմանված որպես Չեբիշևի հեռավորություն. շախմատի տախտակի վրա երկու քառակուսիների միջև տեղաշարժվելու համար թագավորին անհրաժեշտ քայլերի հնարավոր նվազագույն քանակը։Տիեզերագիտության մեջ հեռավորության չափումները բարդ են մասնավորապես տիեզերքի ընդլայնման և հարաբերականության տեսության նկարագրած ազդեցությունների (ինչպիսին է, օրինակ, շարժման մեջ գնտվող օբյեկտների երկարության կրճատումը) հետևանքով։


=== Տեսական հեռավորություն ===
«Հեռավորություն» եզրույթը կիրառելի է նաև որպես անալոգիա՝ ոչ֊ֆիզիկական մեծությունների չափման համար։


==== Համակարգչային գիտություն ====
Համակարգչային գիտության մեջ գոյություն ունի երկու բառերի միջը «խմբագրման հեռավորություն»  հասկացությունը։ Օրինակ․ «քար» և «սար» բառերը, որոնք միայն մի տառով են իրարից տարբերվում (նրանց միջև խմբագրման հեռավորությունը 1 է), իրար ավելի մոտ են, քան «քար» և «ծառ» բառերը, որոնք իրարից երկու տառով են տարբերվում։ Այս հասկացությունն օգտագործում են, օրինակ, ուղղագրությունը ստուգող ծրագրերում և կոդերի տեսության մեջ, իսկ մաթեմատիկայում այն տարբեր պաշտոնական սահմանումներ ունի․

Լեվենշտայն հեռավորությունՀամմինգ հեռավորությունԼի հեռավորություն


==== Մաթեմատիկա ====
Մաթեմատիկայում մետրիկական տարածությունը բազմություն է, որի բոլոր անդամների միջև հեռավորությունը սահմանված է։ Այսպիսով տարբեր տեսակի «հեռավորություններ» կարելի է հաշվարկել. գրաֆերի տրավերսիա, բաշխումների ու կորերի համեմատություններ, և «տարածության» անսովոր սահմանումներ(օրինակ՝ բազմաձևություն) օգտագործելով։
Գրաֆերի տեսության հեռավության գաղափարը կարելի է օգտագործել սոցիալական ցանցեր նկարագրելու համար։ Օրինակ, Էրդոշի թիվը կամ Բեյքոնի թիվը ցույց է տալիս թե մարդը քանի հարաբերություն հեռավորության վրա է գտնվում, համապատասխանաբար, մաթեմատիկոս Պաուլ Էրդոշից կամ դերասան Քևին Բեյքոնից։


==== Այլ ====
Հոգեբանության, մարդկանց աշխարհագրության և հասարակական գիտություններում, հեռավորության տեսական հասկացությունը ոչ թե օբյեկտիվ չափման մասին է, այլ՝ անհատի սուբյեկտիվ փորձի նկարագրության։


== Ուղղորդված հեռավորության և տեղափոխության ==

Թե՛ տեղափոխությունը, թե՛ հեռավորությունը օբյեկտի շարժման չափումներ են։ Հեռավորությունը չի կարող բացասական լինել և երբեք չի նվազում։ Հեռավորությունը սկալյար է, իսկ տեղափոխությունը վեկտոր է, որը թե՛ ուղղություն ունի, թե՛՝ մեծություն։ Այն կարող է բացասական լինել, կամ՝ հավասար զրոյի, կամ՝ դրական։ Ուղղորդված հեռավորությունը շարժում չի չափում, այլ չափում է երկու կետերի իրարից տարանջատվածությունը, որը նույնպես կարող է լինել դրական, զրոյական կամ բացասական վեկտոր։ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   կետից 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   կետը կոր ճանապարհով հասած մեքենայի, անհատի, կենդանու կամ այլ օբյեկտի անցած հեռավորությունը տարանջատելի է կետերի միջև ընկած ուղիղ հեռավորությունից՝ ճանապարհորդի տեղափոխությունից։ Օրինակ, եթե ճանապարհը վերադառնում է սկզբնական կետ, տեղափոխությունը զրո է, քանի որ սկզբնակետն ու վերջնակետը համընկնում են։ Ընդհանուր առմամբ, ճանապարհորդած հեռավորությունը չի համընկնում ծայրակետերի միջև անցնող ուղիղ գծով պայմանավորված հեռավորության հետ, բացառությամբ այն դեպքի, երբ ճանապարհն այդ ուղիղ գիծն է։


=== Ուղղորդված հեռավորություն ===
Ուղղորդված հեռավորությունը կարելի է դիտարկել ուղիղ գծերի և կորերի երկայնքով։
Ուղիղ գծի երկայնքով ուղղորդված հեռավորությունները սկզբնակետի ու վերջնակետի միջև հեռավորությունն ու ուղղությունը ներկայացնող վեկտորներ են։ Էվկլիդեսյան վեկտորային տարածության մեջ ընկած 
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
   գծի վրա 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   կետի հեռավորությունն 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ից 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   ուղղությամբ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   - ից 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   հեռավորությունն է, եթե 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  -ին ընկած է 
  
    
      
        A
        B
      
    
    {\displaystyle AB}
   ճառագայթի վրա, բայց այդ հեռավորության բացասականն է, եթե 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  -ն ընկած է 
  
    
      
        B
        A
      
    
    {\displaystyle BA}
   ճառագայթի վրա։
Ուղղորդված հեռավորության մեկ այլ տեսակ է երկու տարբեր մասնիկների կամ կետային զանգվածների միջև ընկած հեռավորությունը ժամանակի տրված պահին։ Օրինակ, Երկրագնդի զանգվածի կենտրոն 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ի և Լուսնի զանգվածի կենտրոն 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  -ի միջև հեռավորությունը, որն ինքնին 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ից 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   շարժ չի ենթադրում, այս տեսակի մեջ է մտնում։
Կորի երկայնքով ուղղորդված հեռավորությունը վեկտոր չէ և ներկայաված է այդ կորի սեգմենտով՝ սահմանված ծայրակետերով և սկզբնակետից վերջնակետ իդեալական կամ իրական շարժման ուղղության մասին լրացուցիչ տեղեկությամբ։ Օրինակ, ծայրակետերի անունները՝ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  , կարող են ցույց տալ, որ շարժման ուղղությունը 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ից 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   է, եթե այբբենական կարգով կարգված հաջորդականության ենթադրություն կա։


=== Տեղափոխություն ===
Տեղափոխությունը (տես վերևում) մեխանիկայում սահմանված հատուկ ուղղորդված հեռավորություն է․ ուղղորդված հեռավորությունը կոչվում է տեղափոխություն, եթե այն 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ից 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   հեռավորությունն է ուղիղ գծի երկայնքով՝ այսինքն, երկու կետերի միջև հնարավոր նվազագույն հեռավորությունը, որտեղ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ն ու 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  -ն նույն մասնիկի զբաղեցրած դիրքերն են ժամանակի տարբեր պահերին։ Սա մասնիկի շարժում է ենթադրում։ Մասնիկի անցած հեռավորությունը մեծ է կամ հավասար իր տեղափոխությանը․ ընդ որում, հավասարությունը տեղի է ունենում միայն այն դեպքում, երբ մասնիկն ուղիղ գծով է շարժվում։


== Կիրառություն ==


=== Մաթեմատիկա ===


==== Երկրաչափություն ====
Անալիտիկ երկրաչափության մեջ Դեկարտյան կոորդինատային համակարգի երկու կետերի միջև Էվկլիդեսյան հեռավորությունը կարելի է հաշվել հեռավորության բանաձևով։ 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},y_{1})}
   և 
  
    
      
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{2},y_{2})}
   կետերի միջև հեռավորություն 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  -ն տրված է հետևյալ հավասարմամբ․
  
    
      
        d
        =
        
          
            (
            Δ
            x
            
              )
              
                2
              
            
            +
            (
            Δ
            y
            
              )
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              x
              
                1
              
            
            −
            
              x
              
                2
              
            
            
              )
              
                2
              
            
            +
            (
            
              y
              
                1
              
            
            −
            
              y
              
                2
              
            
            
              )
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}
  
Համապատասխանաբար եռաչափ տարածության 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        ,
        
          z
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}
   և 
  
    
      
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        ,
        
          z
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}
   կետերի միջև հեռավորությունը հավասար է․
  
    
      
        d
        =
        
          
            (
            Δ
            x
            
              )
              
                2
              
            
            +
            (
            Δ
            y
            
              )
              
                2
              
            
            +
            (
            Δ
            z
            
              )
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              x
              
                1
              
            
            −
            
              x
              
                2
              
            
            
              )
              
                2
              
            
            +
            (
            
              y
              
                1
              
            
            −
            
              y
              
                2
              
            
            
              )
              
                2
              
            
            +
            (
            
              z
              
                1
              
            
            −
            
              z
              
                2
              
            
            
              )
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}}
  
Այս բանաձևերը հեշտությամբ կարելի է ստանալ ուղղանկյուն եռանկյուն կառուցելով՝ տրված երկու կետերի միջև անցնող գիծը որպես ներքնաձիգ ընդունելով, և օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը։ Հեռավորությունը հաշվելու բանաձևը կարելի է ընդհանրացնել աղեղի երկարությունը հաշվելու համար։ Այլ հեռավորությունների այլ բանաձևեր օգտագործվում են ոչ Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ։


==== Էվկլիդեսյան տարածություններ ====

  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
   Էվկլիդեսյան տարածության մեջ 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        …
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},x_{2}\ldots x_{n})}
   և 
  
    
      
        (
        
          y
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        ,
        …
        
          y
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots y_{n})}
   կետերի կետերի միջև հեռավորությունը կարելի է սահմանել Էվկլիդեսյան հեռավորությամբ (2-նորմային հեռավորություն) կամ այլ նորմերի վրա հիմնված հեռավորության գաղափարներով։
1-նորմային հեռավորությունը երբեմն կոչում են «տաքսիների նորմ» կամ «Մանհեթեն հեռավորություն», քանի որ այն ներկայացնում է այն հեռավորությունը, որը կանցնեն տաքսիով՝ ցանցային ճարտարապետություն ունեցող քաղաքում, որտեղ բոլոր փողոցները երկկողմանի են։ Այն տրված է հետևյալ բանաձևով․

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          |
          
            
              x
              
                i
              
            
            −
            
              y
              
                i
              
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|}
  2-նորմային հեռավորությունը Էվկլիդեսյան հեռավորությունն է․ Պյութագորասի թեորեմն՝ ընդհանրացված երկուսից ավելի կոորդինատների։ Այն հավասար է այն երկարությանը, որը կստանայինք կետերի միջև հեռավորությունը քանոնով չափելիս․ ներկայացնում է հեռավորության «բնական» գաղափարը։ Ֆիզիկական տարածության մեջ Էվկլիդեսյան հեռավորությունը, թերևս, ամենաբնականն է, քանի որ բացարձակ պինդ մարմնի երկարությունը (որպես մարմնի ծայրակետերի միջև Էվկլիդեսյան հեռավորություն) պպտվելիս չի փոխվում։ Այն տրված է հետևյալ բանաձևով․

  
    
      
        
          
            (
            
              
                ∑
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  n
                
              
              
                
                  |
                  
                    
                      x
                      
                        i
                      
                    
                    −
                    
                      y
                      
                        i
                      
                    
                  
                  |
                
                
                  2
                
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{2}\right)^{1/2}}
  
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   աստիճանի Մինկովսկու հեռավորությունը (
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  -նորմային հեռավորություն) տրված է 

  
    
      
        
          
            (
            
              
                ∑
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  n
                
              
              
                
                  |
                  
                    
                      x
                      
                        i
                      
                    
                    −
                    
                      y
                      
                        i
                      
                    
                  
                  |
                
                
                  p
                
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}}
  բանաձևով։ Նկատեք, որ անպայման չէ, որ 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  -ն ամբողջ թիվ լինի, բայց այն պետք է լինի 
  
    
      
        ≥
        1
      
    
    {\displaystyle \geq 1}
  , որպեսզի եռանկյան անհավասարությունը Նկատեք, որ անպայման չէ, որ 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  -ն ամբողջ թիվ լինի, բայց այն պետք է լինի 
  
    
      
        ≥
        1
      
    
    {\displaystyle \geq 1}
  , որպեսզի եռանկյան անհավասարությունը կիրառելի լինի։կիրառելի լինի։ 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  -նորմը հազվադեպ են օգտագործում 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  -ի 1 կամ 2-ից բացի այլ արժեքների համար, բայց տես սուպերէլիպս։
Անսահման նորմային հեռավորությունը, որը երբեմն կոչվում է նաև Չեբիշևի հեռավորություն, տրված է 

  
    
      
        
          lim
          
            p
            →
            ∞
          
        
        
          
            (
            
              
                ∑
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  n
                
              
              
                
                  |
                  
                    
                      x
                      
                        i
                      
                    
                    −
                    
                      y
                      
                        i
                      
                    
                  
                  |
                
                
                  p
                
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            p
          
        
        =
        max
        
          (
          
            
              |
            
            
              x
              
                1
              
            
            −
            
              y
              
                1
              
            
            
              |
            
            ,
            
              |
            
            
              x
              
                2
              
            
            −
            
              y
              
                2
              
            
            
              |
            
            ,
            …
            ,
            
              |
            
            
              x
              
                n
              
            
            −
            
              y
              
                n
              
            
            
              |
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}=\max \left(|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|,\ldots ,|x_{n}-y_{n}|\right)}
  բանաձևով։  Երկչափ տարածության մեջ դա շախմատի տախտակի վրա երկու քառակուսիների միջև տեղաշարժվելու համար թագավորին անհրաժեշտ քայլերի հնարավոր նվազագույն քանակն է։


==== Փոփոխական ձևակերպումներ ====
Տարածության մեջ երկու 
  
    
      
        A
        =
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        (
        0
        )
      
    
    {\displaystyle A={\vec {r}}(0)}
   և 
  
    
      
        B
        =
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        (
        T
        )
      
    
    {\displaystyle B={\vec {r}}(T)}
   կետերի միջև հեռավորությունը կարելի է գրել փոփոխական ձևակերպմամբ, որտեղ հեռավորությունը հետևյալ ինտեգրալի նվազագույն արժեքն է․

  
    
      
        D
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            T
          
        
        
          
            
              
                (
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        
                          
                            r
                            →
                          
                        
                      
                      (
                      t
                      )
                    
                    
                      ∂
                      t
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle D=\int _{0}^{T}{\sqrt {\left({\partial {\vec {r}}(t) \over \partial t}\right)^{2}}}\,dt}
  Այստեղ 
  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}(t)}
  -ն երկու կետերի միջև հետագիծն է, և ինտեգրալ 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  -ն ներկայացնում է այդ հետագծի երկարությունը։ Կետերի միջև հեռավորությունը ինտեգրալի նվագագույն արժեքն է, որը ստացվում է, երբ 
  
    
      
        r
        =
        
          r
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle r=r^{*}}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          r
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle r^{*}}
  -ն օպտիմալ հետագիծն է։ 
Հեշտ ընկալելի, «ամենաբնական» Էվկլիդեսյան դեպքում օպտիմալ հետագիծը պարզապես կետերը միացնող ուղիղ գիծն է․ լավ հայտնի է, որ երկու կետերի միջև հնարավոր ամենակարճ ճանապարհն ուղիղ գիծ է։ Համապատասխան ֆունկցիոնալի Էյլեր-Լագրանժ հավասարումը լուծելով ուղիղ գիծը կարելի է ստանալ նաև որպես պաշտոնական արդյունք։
Ոչ Էվկլիդեսյան բազմաձևություններում (կորություն ունեցող տարածություններում), որտեղ տարածության բնույթը ներկայացաված է 
  
    
      
        
          g
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{ab}}
   մետրիկ տենզորով, ինտեգրանդը պետք է ձևափոխել 
  
    
      
        
          
            
              g
              
                a
                c
              
            
            
              
                
                  
                    r
                    ˙
                  
                
              
              
                c
              
            
            
              g
              
                a
                b
              
            
            
              
                
                  
                    r
                    ˙
                  
                
              
              
                b
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {g^{ac}{\dot {r}}_{c}g_{ab}{\dot {r}}^{b}}}}
   արտահայտության՝ օգտագործելով Այնշտայնի գումարման պայմանականությունը։


==== Ընդհանրացում բարձր չափումների համար ====
Երկու օբյեկտների միջև հեռավորությունը կարելի է ընդհանրացնել նաև այն դեպքի համար, երբ օբյեկտները ոչ թե կետեր են, այլ՝ բարձր չափումների բազմաձևություններ․ օրինակ՝ տարածական կորեր։ Այդպիսով, կետերի միջև հեռավորությանը զուգահեռ կարելի է քննարկել նաև երկու լարերի միջև հեռավորության գաղափարը։ Սակայն ոչ-կետային օբյեկտների հետ աշխատելիս միմյանց հատելը կասեցնող հատկությունները, ինչպիսիք են, օրինակ՝ անընդարձակելիությունը, կորությունների սահմանափակումը և ոչ-տեղային փոխազդեցությունը, հեռավորության հասկացության համար առանցքային են դառնում։ 
Երկու բազմաձևությունների միջև հեռավորությունը երկու բազմաձևությունների միջև փոխակերպումը ներկայացնող, ընդհանուր հեռավորության ֆունկցիոնալի նվազեցման արդյունքում ստացված սկալյար մեծությունն է․

  
    
      
        
          
            D
          
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            L
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            T
          
        
        
          {
          
            
              
                
                  
                    (
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            
                              
                                r
                                →
                              
                            
                          
                          (
                          s
                          ,
                          t
                          )
                        
                        
                          ∂
                          t
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            λ
            
              [
              
                
                  
                    
                      
                        (
                        
                          
                            
                              ∂
                              
                                
                                  
                                    r
                                    →
                                  
                                
                              
                              (
                              s
                              ,
                              t
                              )
                            
                            
                              ∂
                              s
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                −
                1
              
              ]
            
          
          }
        
        
        d
        s
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {D}}=\int _{0}^{L}\int _{0}^{T}\left\{{\sqrt {\left({\partial {\vec {r}}(s,t) \over \partial t}\right)^{2}}}+\lambda \left[{\sqrt {\left({\partial {\vec {r}}(s,t) \over \partial s}\right)^{2}}}-1\right]\right\}\,ds\,dt}
  Այս կրկնակի ինտեգրալը երկու պոլիմերների միջև կոնֆորմացիայի ընդհանրացված հեռավորության ֆունկցիոնալն է, որտեղ 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  -ը տարածական պարամետր է, իսկ 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  -ն պսեվդո-ժամանակ է։ Սա նշանակում է, որ 
  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        (
        s
        ,
        t
        =
        
          t
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}(s,t=t_{i})}
   վեկտորը պոլիմեր / լարային կոնֆորմացիան է ժամանակի 
  
    
      
        
          t
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{i}}
   պահին, և պարամետրիզացված է լարի երկայնքով՝ 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  -ի չափով։ Նմանապես, 
  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        (
        s
        =
        S
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}(s=S,t)}
   վեկտորը լարի անսահման փոքր սեգմենտի հետագիծն է՝ ամբողջ լարի 
  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        (
        s
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}(s,0)}
   կոմնֆորմացիայից 
  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        (
        s
        ,
        T
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}(s,T)}
   կոնֆորմացիա փոխակերպման ընթացքում։ 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
   համագործակցով անդամը Լագրանժ բազմապատկիչ է, որի դերը փոխակերպման ընթացքում պոլիմերի երկարության անփոփոխականությունն ապահովելն է։ Եթե երկու դիսկրետ պոլիմերները չեն ընդարձակվում, ապա նրանց միջև փոխակերպման նվազագույն հեռավորությունը բացառապես ուղիղ գիծ չի պահանջում, նույնիսկ Էվկլիդեսյան մետրիկայի վրա։ Այսպիսի ընդհանրացված հեռավորությունը հնարավոր կիրառումներ ունի սպիտակուցի ֆոլդինգի խնդրում։
Չնայած այս ընդհանրացված հեռավորությունը նման է Նամբու-Գոտո գործողությանը լարերի տեսության մեջ, հստակ համապատասխանություն գոյություն չունի, քանի որ եռաչափ տարածության Էվկլիդեսյան հեռավորությունը դասական հարաբերական լարի համար նվազեցրած տարածաժամանակային հեռավորությանն անհամարժեք է։


==== Հանրահաշիվ ====
Հանրահաշվական հեռավորությունը հաճախ է կիրառվում համակարգչային տեսողության մեջ՝ մասնավորապես նվազագույն քառակուսու գնահատման համար։

  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   կետի հեռավորությունը 
  
    
      
        
          x
          
            T
          
        
        C
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{\text{T}}Cx=0}
   հավասարությամբ տրված կորի կամ մակերեսից (ինչպիսիք, օրինակ, միատար կոորդինատների կոնական հատույթները) հեռավորությունը հավասար է պարզապես 
  
    
      
        
          A
          
            T
          
        
        C
        A
      
    
    {\displaystyle A^{\text{T}}CA}
  ։ Այն կարող է երկրաչափական հեռավորության համար որպես «նախնական ենթադրություն» ծառայել՝ կորի գնահատականն ավելի ճշգրիտ մեթոդներով (ինչպիսին է, օրինակ, ոչ-գծային քառակուսիների մեթոդը) զտելու համար։


==== Ընդհանուր չափում ====
Մաթեմատիկայում, մասնավորապես երկրաչափության մեջ, հեռավորությունը 
  
    
      
        d
        :
        M
        ×
        M
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle d:M\times M\rightarrow \mathbb {R} }
   ֆունկցիա է, որտեղ 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  -ը որևէ տրված բազմություն է, իսկ 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  -ը՝ իրական թվերի բազմությունը։ Կամայական 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        M
        ×
        M
      
    
    {\displaystyle x,y\in M\times M}
   կետերի համար այն պետք է բավարարի հետևյալ պայմանները․

լինի ոչ-բացասական․ 
  
    
      
        d
        (
        x
        ,
        y
        )
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle d(x,y)\geq 0}
  , ընդ որում, 
  
    
      
        d
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle d(x,y)=0}
   միայն և միայն այն դեպքում, երբ 
  
    
      
        x
        =
        y
      
    
    {\displaystyle x=y}
  ։ Հեռավորությունը դրական է երկու տարբեր կետերի միջև, և զրո է կետից ինքն իրեն։լինի սիմմետրիկ․ 
  
    
      
        d
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        d
        (
        y
        ,
        x
        )
      
    
    {\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}
  : Հեռավորությունը նույնն է երկու ուղղություններով։բավարարի եռանկյան անհավասարությունը. 
  
    
      
        d
        (
        x
        ,
        z
        )
        ≤
        d
        (
        x
        ,
        y
        )
        +
        d
        (
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}
  ։ Երկու կետերի միջև հեռավորությունը կամայական ճանապարհի երկարությանը համեմատած ամենակարճն է։Նման ֆունկցիան կոչվում է մետրիկա։ 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
   բազմության հետ այն կազմում է մետրիկական տարածություն։
Օրինակ, երկու իրական թվեր 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   և 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  -ի միջև հեռավորորթյունը սովորաբար տրված է որպես դրանց տարբերությունը․ 
  
    
      
        d
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          |
        
        x
        −
        y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle d(x,y)=|x-y|}
  ։ Սահմանումը բավարարում է վերևում նշված երեք պայմաններին և համապատասխանում է իրական ուղղի ստանդարտ տոպոլոգիային։ Սակայն տրված բազմության անդամների միմյանցից հեռավորության հասկացությունը ընդամենը սահմանման ընտրության հարց է։ 
Այլ վավեր ընտրություն է 
  
    
      
        
          d
          ′
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle d'(x,y)=0}
   երբ 
  
    
      
        x
        =
        y
      
    
    {\displaystyle x=y}
   և 
  
    
      
        
          d
          ′
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle d'(x,y)=1}
   երբ 
  
    
      
        x
        ≠
        y
      
    
    {\displaystyle x\neq y}
   սահմանմամբ տրված ֆունկցիան։ Այն նույնպես մետրիկա է, բայց բոլորովին այլ տոպոլոգիայի՝ «դիսկրետ տոպոլոգիայի» է հանգեցնում։


==== Բազմությունների տեսություն ====
Նույն օբյեկտների միջև հեռավորության տարբեր սահմանումներ են հնարավոր։ Օրինակ, երկնային մարմինների մակերեսից մակերես և ծանրության կենտրոնից ծանրության կենտրոն հեռավորությունները պետք չէ շփոթել։ 
Տրված մետրիկական տարածության ու իր երկու ոչ֊դատարկ սեփական ենթաբազմությունների միջև հեռավորության երկու տարածված սահմանումներ կան․

Եթե 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ն և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  -ն մետրիկական տարածության սեփական ենթաբազմություններ են, իրենց միջև հեռավորությունը յուրաքանչյուրի անդամ կետերի միջև հնարավոր հեռավորությունների նվազագույնն է․
  
    
      
        d
        (
        A
        ,
        B
        )
        =
        
          inf
          
            x
            ∈
            A
            ,
            
               
            
            y
            ∈
            B
          
        
        d
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle d(A,B)=\inf _{x\in A,{\text{ }}y\in B}d(x,y)}
  ։Սա սիմմետրիկ նախամետրիկա է։ Քանի որ երկու շոշափող, բայց իրար հետ ընդհանուր տարրեր չունեցող երկու բազմությունների միջև հեռավորությունը զրո է, բազմությունների այնպիսի հավաքածուի վրա, որի որոշ տարրեր իրար շոշափում են, բայց իրար հետ չեն հատվում, այն «բաժանարար» չէ։ Այն նաև հեմիմետրիկ չէ․ այլ կերպ ասած` եռանկյան անհավասարությունը բավարարում է միայն հատուկ դեպքերում։ Նշանակում է, միայն հատուկ դեպքերում է բազմությունների հավաքածուն այս ֆունկցիայի հետ մետրիկական տարածություն կազմում։
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   բազմության և 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   կետի միջև հեռավորությունը կետի և բազմության բոլոր անդամների միջև հեռավորության ինֆինիումն է։ Սա համապատասխանում է այն դեպքին, եթե դիտարկում ենք 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   և 
  
    
      
        
          S
          ′
        
      
    
    {\displaystyle S'}
   բազմությունների միջև հեռավորությունները, որտեղ 
  
    
      
        
          S
          ′
        
        =
        {
        p
        }
      
    
    {\displaystyle S'=\{p\}}
  ։Հաուսդորֆյան հեռավորությունը։ Այս հեռավորությամբ սահմանված մետրիկական տարածության ոչ֊դատարկ կոմպակտ ենթաբազմությունների բազմությունը նույնպես մետրիկական տարածություն է։


==== Գրաֆերի տեսություն ====
Գրաֆերի տեսության մեջ երկու գագաթների միջև հեռավորությունը նրանց միացնող հնարավոր ամենակարճ ճանապարհի երկարությունն է։


==== Վիճակագրություն ====

Վիճակագրության և տեղեկատվական երկրաչափության մեջ վիճակագրական հեռավորության տարբեր տեսակներ կան։ Հիշարժան են տարամիտությունները․ մասնավորապես՝ Բրեգման տարամիտություններն ու f-տարամիտությունները։ Վիճակագրական հեռավորությունը ներառում և ընդհանրականացնում է «երկու հավանականության բաշխումների միջև տարբերության» շատ հասկացություններ և հնարավորություն է տալիս դրանք երկրաչափորեն ուսումնասիրելու՝ որպես վիճակագրական բազմաձևություններ։ 
Ամենատարրականը Էվկիդեսյան հեռավորության քառակուսին է, որը նվազագույն քառակուսիների մեթոդի հիմք է կազմում․ սա ամենահիմնարար Բրեգման տարամիտությունն է։ Բրեգման տարամիտությանը համապատասխանող վիճակագրական բազմաձևությունները համապատասխան երկրաչափության մեջ հարթ են, հնարավորություն տալով Պյութագորասի թեորեմին (որն ավանդաբար ճիշտ է Էվկլիդեսյան հեռավորության քառակուսու համար) նման թեորեմի կիրառմանը օպտիմիզացիայի տեսության եզրակացրած գծային հակադարձ խնդիրների համար։
Ինֆորմացիայի տեսության մեջ ամենակարևորը հարաբերական էնտրոպիան է, որը հնարավորություն է տալիս առավելագույն հավանականության գնահատումը երկրաչափորեն ուսունասիրելու․ սա ամենահիմնարար 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -տարամիտությունն է, ինչպես նաև՝ Բրեգման տարամիտություն է (և միակ տարամիտությունն է, որ թե՛ 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   է, թե՛՝ Բրեգման)։
Այլ կարևոր վիճակագրական հեռավորություններ են Մահալանոբիս հեռավորությունը, էներգիայի հեռավորությունը և այլն։


==== Այլ ====
Կանբերրա հեռավորություն. Մանհեթեն հեռավորության ոչ-միավոր արժեքներով տեսակն է։ Օգտագործվում է համակարգչային գիտության մեջ։


=== Հոգեբանություն ===
Հոգեբանական հեռավորությունը սահմանվում է որպես «տարբեր ձևեր, որոնցով առարկան հեռացված է» անհատից «ժամանակային, սոցիալական հեռավորության, կամ հիպոթետիկության» չափումներով։ Հոգեբանական հեռավորության և մտածելու աբստրակտության աստիճանի միջև հարաբերությունը քննարկվում է կոնստրուալ մակարդակների տեսությունում, որը որոշումներ ընդունելու խնդրի կմախք է։


== Տես նաև ==
ԵրկարությունՀեռաչափՍոցիալական հեռավորություն


== Ծանոթագրություններ ==


=== Աղբյուրներ ===


=== Գրականություն ===
Դեզա Ի․, Դեզա Մ․ (2006)։ Հեռավորություններ Բառարան։ Elsevier։ ISBN 0-444-52087-2