Նաբլա օպերատոր

Նաբլա օպերատոր (Համիլտոնի օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, վեկտորական դիֆֆերենցիալ օպերատոր, որի բաղադրիչները, ըստ կոորդինատների, մասնակի ածանցյալներ են։ Նշանակվում է 
  
    
      
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla }
   (նաբլա) սիմվոլով։
Էվկլիդյան եռաչափ տարածության մեջ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատական համակարգում նաբլա օպերատորը ներկայացվում է հետևյալ կերպ՝

  
    
      
        ∇
        =
        
          
            ∂
            
              ∂
              x
            
          
        
        
          
            
              i
              →
            
          
        
        +
        
          
            ∂
            
              ∂
              y
            
          
        
        
          
            
              j
              →
            
          
        
        +
        
          
            ∂
            
              ∂
              z
            
          
        
        
          
            
              k
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ={\partial  \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial  \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial  \over \partial z}{\vec {k}}}
  

որտեղ 
  
    
      
    
    {\displaystyle }
  
  
    
      
        
          
            
              i
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              j
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              k
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}}
   -ն համապատասխանաբար  
  
    
      
        x
        ,
        y
        ,
        z
      
    
    {\displaystyle x,y,z}
   առանցքների միավոր վեկտորներն են։
Օգտագործվում է նաև հետևյալ գրառման ձևը՝

  
    
      
        ∇
        =
        
          {
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            ,
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            ,
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  z
                
              
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \nabla =\left\{{\partial  \over \partial x},{\partial  \over \partial y},{\partial  \over \partial z}\right\}}
  Նաբլա օպերատորի միջոցով բնական ճանապարհով ներկայացվում են վեկտորական անալիզի հիմնական հետևյալ գործողությունները՝ grad (գրադիենտ), div (դիվերգենցիա), rot (ռոտոր), ինչպես նաև Լապլասի օպերատորը։
Ներկայացված ձևով լայնորեն օգտագործվում է ֆիզիկայում և մաթեմատիկայում։
n-չափանի նաբլա օպերատոր հասկացության տակ հասկանում են n-չափանի տարածության մեջ գտնվող հետևյալ վեկտորը՝

  
    
      
        ∇
        =
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  1
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            1
          
        
        +
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            2
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ={\partial  \over \partial x_{1}}{\vec {e}}_{1}+{\partial  \over \partial x_{2}}{\vec {e}}_{2}+...+{\partial  \over \partial x_{n}}{\vec {e}}_{n}}
  , որտեղ 
  
    
      
    
    {\displaystyle }
  
  
    
      
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n}}
   վեկտորները համապատասխանաբար 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}
  առանցքների միավոր վեկտորներն են։Երբեմն նաբլա օպերատորի վերևում դրվում է սլաք՝ 
  
    
      
        
          
            
              ∇
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {\nabla }}}
  , օպերատորի վեկտորական բնույթն ընդգծելու համար։ Իմաստային առումով այն ոչնչով չի տարբերվում 
  
    
      
    
    {\displaystyle }
  

Երբեմն (երբ խոսքը վերաբերում է սկալյար ֆունկցիաների հետ աշխատանքին), նաբլա օպերատորը անվանում են գրադիենտի օպերատոր:
Դիտողություն՝ ֆիզիկայում մեր ժամանակներում Համիլտոնի օպերատոր անվանումը աշխատում են չօգտագործել, հատկապես քվանտային ֆիզիկայում, երբ հնարավոր է նաբլա օպերատորը շփոթել քվանտային համիլտոնյանի հետ, որը, ի տարբերություն դասական ֆիզիկայի, քվանտային ֆիզիկայում ունի օպերատորային բնույթ։


== Նաբլա օպերատորի հատկությունները ==
Այս օպերատորը իմաստ է ստանում, երբ գործածվում է սկալյար կամ վեկտորական ֆունկցիաների նկատմամբ։
Եթե սկալյարապես բազմապատկենք 
  
    
      
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla }
  -ն և 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  -ն, կստացվի հետևյալը՝

  
    
      
        ∇
        ϕ
        =
        
          
            
              ∂
              ϕ
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        
          
            
              i
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              ϕ
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        
          
            
              j
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              ϕ
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        
          
            
              k
              →
            
          
        
        =
        
          grad
        
        
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \nabla \phi ={\partial \phi  \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \phi  \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \phi  \over \partial z}{\vec {k}}=\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi }
  
որը իրենից ներկայացնում է 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
   ֆունկցիայի գրադիենտը։
Եթե 
  
    
      
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla }
  -ն և 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
   վեկտորը սկալյարապես բազմապատկենք, կստացվի հետևյալը՝

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        =
        
          ∇
          
            x
          
        
        
          a
          
            x
          
        
        +
        
          ∇
          
            y
          
        
        
          a
          
            y
          
        
        +
        
          ∇
          
            z
          
        
        
          a
          
            z
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                a
                
                  x
                
              
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                a
                
                  y
                
              
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                a
                
                  z
                
              
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        =
        
          div
        
        
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {a}}=\nabla _{x}a_{x}+\nabla _{y}a_{y}+\nabla _{z}a_{z}={\partial a_{x} \over \partial x}+{\partial a_{y} \over \partial y}+{\partial a_{z} \over \partial z}=\mathbf {\operatorname {div} } \,{\vec {a}}}
  ,
այսինքն 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
   վեկտորի դիվերգենցիան։
Եթե 
  
    
      
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla }
  -ն և 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
   վեկտորը վեկտորապես բազմապատկենք, կստացվի 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
   վեկտորի ռոտորը՝

  
    
      
        ∇
        ×
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    
                      
                        i
                        →
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        j
                        →
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        k
                        →
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        x
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        y
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        z
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      z
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      a
                      
                        z
                      
                    
                  
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      a
                      
                        y
                      
                    
                  
                
                
                  ∂
                  z
                
              
            
          
          )
        
        
          
            
              i
              →
            
          
        
         
        +
         
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      a
                      
                        x
                      
                    
                  
                
                
                  ∂
                  z
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      a
                      
                        z
                      
                    
                  
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
          
          )
        
        
          
            
              j
              →
            
          
        
         
        +
         
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      a
                      
                        y
                      
                    
                  
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  
                    
                      a
                      
                        x
                      
                    
                  
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
          
          )
        
        
          
            
              k
              →
            
          
        
        =
        
          rot
        
        
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times {\vec {a}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\partial  \over \partial x}&{\partial  \over \partial y}&{\partial  \over \partial z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{vmatrix}}=\left({\partial {a_{z}} \over \partial y}-{\partial {a_{y}} \over \partial z}\right){\vec {i}}\ +\ \left({\partial {a_{x}} \over \partial z}-{\partial {a_{z}} \over \partial x}\right){\vec {j}}\ +\ \left({\partial {a_{y}} \over \partial x}-{\partial {a_{x}} \over \partial y}\right){\vec {k}}=\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {a}}}
  Դիտողություն՝ երբեմն  
  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {a}}}
  -ի փոխարեն գրում են 
  
    
      
        (
        ∇
        ,
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\nabla ,{\vec {a}})}
  , իսկ 
  
    
      
        ∇
        ×
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times {\vec {a}}}
  -ի փոխարեն՝ 
  
    
      
        [
        ∇
        ,
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [\nabla ,{\vec {a}}]}
  :
  
    
      
        ∇
        ⋅
        ∇
        =
        
          ∇
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}
  -ը սկալյար օպերատոր է, որն անվանում են Լապլասի օպերատոր։ Այն նշվում է նաև
  
    
      
         
        Δ
      
    
    {\displaystyle \ \Delta }
   սիմվոլով։ Լապլասի օպերատորը դեկարտյան կոորդինատային համակարգում գրվում է հետևյալ կերպ՝

  
    
      
        Δ
        =
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}}
  :
Քանի որ նաբլա օպերատորը դիֆֆերենցիալ գործողություն է, կիրառման ժամանակ անհրաժեշտ է պահպանել ոչ միայն վեկտորական հանրահաշվի, այլև դիֆֆերենցման օրենքները։
Օրինակ՝

  
    
      
        
          grad
        
        (
        ϕ
        ψ
        )
        =
        
          ∇
        
        (
        ϕ
        ψ
        )
        =
        ψ
        
          ∇
        
        ϕ
        +
        ϕ
        
          ∇
        
        ψ
        =
        ψ
        
        
          grad
        
        
        ϕ
        +
        ϕ
        
        
          grad
        
        
        ψ
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\operatorname {grad} } (\phi \psi )=\mathbf {\nabla } (\phi \psi )=\psi \mathbf {\nabla } \phi +\phi \mathbf {\nabla } \psi =\psi \,\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi +\phi \,\mathbf {\operatorname {grad} } \,\psi }
  

  
    
      
        div
        ⁡
        (
        
          grad
        
        
        ϕ
        )
        =
        ∇
        ⋅
        (
        ∇
        ϕ
        )
        =
        (
        ∇
        ⋅
        ∇
        )
        ϕ
        =
        
          ∇
          
            2
          
        
        ϕ
        =
        Δ
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi )=\nabla \cdot (\nabla \phi )=(\nabla \cdot \nabla )\phi =\nabla ^{2}\phi =\Delta \phi }
  :
Այսինքն՝ ածանցյալ արտահայտությունը, որը կախված է երկու դաշտերից արտահայտությունների գումար է, որոնցից յուրաքանչյուրում դիֆֆերնցման է ենթարկվում դաշտերից միայն մեկը։
Կապված այն բանի հետ, թե նաբլա օպերատորը դաշտերից որի վրա է ազդում, ընդունված է համարել, որ յուրաքանչյուր օպերատոր գործում է իրենից աջ գտնվող արտահայտության վրա և չի ազդում իրենից ձախ գտնվող որևէ արտահայտության վրա։
Եթե անհրաժեշտ է, որ օպերատորը գործի իրենից ձախ գտնվող դաշտի վրա, որևէ կերպ նշում են համապատասխան դաշտը, օրինակ ուղղահայաց սլաք են դնում՝

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  
                    v
                    →
                  
                
              
              
                ↓
              
            
          
        
        ⋅
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}={\stackrel {\downarrow }{\vec {v}}}\cdot \nabla }
  Գրառման նման ձևը հաճախ օգտագործվում է միջանկյալ ձևափոխությունների մեջ։ Անհարմարություններից խուսափելու համար վերջնական պատասխանում աշխատում են ազատվել ուղղահայաց սլաքից։


== Երկրորդ կարգի օպերատորներ ==
Քանի որ կան վեկտորապես և սկալյարապես բազմապատկման տարբեր ձևեր կան նաբլա օպերատորի միջոցով հնարավոր է լինում դիֆֆերենցման տարբեր ձևեր ստանալ։ Վեկտորական և սկալյարապես բազմապատկումների շնորհիվ ստացվել են 2 -րդ կարգի հետևյալ 7 արտահայտությունները՝

  
    
      
        
          div
        
        
        (
        
          grad
        
        
        f
        )
        =
        ∇
        ⋅
        (
        ∇
        f
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \cdot (\nabla f)}
  

  
    
      
        
          rot
        
        
        (
        
          grad
        
        
        f
        )
        =
        ∇
        ×
        (
        ∇
        f
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \times (\nabla f)}
  

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          ∇
          
            2
          
        
        f
      
    
    {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f}
  

  
    
      
        
          grad
        
        
        (
        
          div
        
        
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
        =
        ∇
        (
        ∇
        ⋅
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\operatorname {grad} } \,(\mathbf {\operatorname {div} } \,{\vec {v}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})}
  

  
    
      
        
          div
        
        
        (
        
          rot
        
        
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
        =
        ∇
        ⋅
        (
        ∇
        ×
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})}
  

  
    
      
        
          rot
        
        
        (
        
          rot
        
        
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
        =
        ∇
        ×
        (
        ∇
        ×
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})}
  

  
    
      
        Δ
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta {\vec {v}}=\nabla ^{2}{\vec {v}}}
  
Բավականաչափ հարթ դաշտերի համար (երկու անգամ անընդհատ դիֆֆերենցելի) այդ օպերատորները անկախ չեն։
Նրանցից երկուսը միշտ հավասար են 0-ի`
  
    
      
        
          rot
        
        
        (
        
          grad
        
        
        f
        )
        =
        ∇
        ×
        (
        ∇
        f
        )
        =
        (
        ∇
        ×
        ∇
        )
        f
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \times (\nabla f)=(\nabla \times \nabla )f=0}
  

  
    
      
        
          div
        
        
        (
        
          rot
        
        
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
        =
        ∇
        ⋅
        (
        ∇
        ×
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
        =
        (
        ∇
        ×
        ∇
        )
        ⋅
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})=(\nabla \times \nabla )\cdot {\vec {v}}=0}
  
Երկուսը միշտ համընկնում են՝

  
    
      
        
          div
        
        
        (
        
          grad
        
        
        f
        )
        =
        ∇
        ⋅
        (
        ∇
        f
        )
        =
        (
        ∇
        ⋅
        ∇
        )
        f
        =
        
          ∇
          
            2
          
        
        f
        =
        Δ
        f
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f=\nabla ^{2}f=\Delta f}
  
Մնացած երեքը կապված են հետևյալ արտահայտությամբ՝

  
    
      
        (
        ∇
        ×
        (
        ∇
        ×
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
        )
        =
        ∇
        (
        ∇
        ⋅
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}}))=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})-\nabla ^{2}{\vec {v}}}
  
Եվս մեկը կարելի է ներկայացնել թենզորական ձևափոխության միջոցով՝

  
    
      
        ∇
        (
        ∇
        ⋅
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
        =
        ∇
        ⋅
        (
        ∇
        ⊗
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {v}})}
  


== Պատմություն ==

1853 թվականին Վ. Ռ. Համիլտոնը մտցրեց այդ օպերատորը և որպես սիմվոլ մտածեց 
  
    
      
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla }
   նշանը, որը շուռ տված Δ (դելտա) տառն է։ Համիլտոնն այն անվանել էր «ատլեդ» (դելտա բառը տառերի հակառակ հերթականությամբ), սակայն ավելի ուշ անգլիացի գիտնականները, որոնց թվում նաև Պ. Գ Հեվիսայդը սկսեցին այդ սիմվոլը անվանել «նաբլա», քանի որ այն արտաքնապես նման էր հին սիրիական նաբլա կոչվող երաժշտական գործիքին։ Օպերատորն անվանվեց Համիլտոնի օպերատոր կամ նաբլա օպերատոր։
Կարծիք կա, որ 
  
    
      
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla }
  -ն փյունիկերեն լեզվի տառ է, որի առաջացումը կապված է տավիղի նմանվող երաժշտական գործիքի հետ։ «ναβλα»-ն (նաբլա) հին հուներենում նշանակում է «տավիղ»։


== Օրինակ ==

  
    
      
        z
        =
        x
        y
        ,
        ∇
        z
        =
        
          
            
              ∂
              z
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        
          
            
              i
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              z
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        
          
            
              j
              →
            
          
        
        =
        y
        
          
            
              i
              →
            
          
        
        +
        x
        
          
            
              j
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle z=xy,\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial z \over \partial y}{\vec {j}}=y{\vec {i}}+x{\vec {j}}}
  

  
    
      
        z
        =
        30
        y
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        ∇
        z
        =
        
          
            
              ∂
              z
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        
          
            
              i
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              z
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        
          
            
              j
              →
            
          
        
        =
        90
        y
        
          x
          
            2
          
        
        
          
            
              i
              →
            
          
        
        +
        30
        
          x
          
            3
          
        
        
          
            
              j
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle z=30yx^{3},\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial z \over \partial y}{\vec {j}}=90yx^{2}{\vec {i}}+30x^{3}{\vec {j}}}
  


== Տես նաև ==
Նաբլա օպերատորը տարբեր կոորդինատական համակարգերում


== Ծանոթագրություններ ==