Ամբողջ մաս

Մաթեմատիկայի մեջ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   իրական թվի ամբողջ մասը 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   –ի կլորացումն է մինչև մոտակա ամբողջը, դեպի փոքր կողմը։ Թվի ամբողջ մասը կոչվում է նաև անտյե (ֆր.՝ entier), կամ հատակ (անգլ.՝ floor)։ Հատակի հետ զուգահեռ գոյություն ունի զույգ ֆունկցիա՝ առաստաղ (անգլ.՝ ceiling), 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   կլորացում մինչև մոտակա ամբողջը՝ դեպի մեծ կողմը։


== Նշանակությունն ու օրինակներ ==

  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   թվի ամբողջ մասի նշանակման համար (
  
    
      
        [
        x
        ]
      
    
    {\displaystyle [x]}
  ) քառակուսի փակագծերը առաջին անգամ օգտագործել է Գաուսը 1808 թվականին՝ քառակուսային փոխադարձության օրենքի իր ապացույցում։ Այդ նշանակումը համարվում էր ստանդարտ, մինչև Կենեթ Այվերսոնը իր «A Programming Language» գրքում, որը հրատարակվել էր 1962 թվականին, չառաջարկեց 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   թվի կլորացումը մինչև մոտակա ամբողջը փոքր և մեծ կողմերով անվանել «հատակ» и «առաստաղ» 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   և համապատասխանաբար նշանակել 
  
    
      
        ⌊
        x
        ⌋
      
    
    {\displaystyle \lfloor x\rfloor }
   և 
  
    
      
        ⌈
        x
        ⌉
      
    
    {\displaystyle \lceil x\rceil }
   ։
Ժամանակակից մաթեմատիկայում օգտագործվում են երկու նշանակումներն էլ, 
  
    
      
        [
        x
        ]
      
    
    {\displaystyle [x]}
   և 
  
    
      
        ⌊
        x
        ⌋
      
    
    {\displaystyle \lfloor x\rfloor }
  , սակայն գոյություն ունի անցման տենդենց դեպի տերմինալոգիա և Այվերսոնի նշանակումներ։ Դրա պատճառներից մեկը «թվի ամբողջ մաս» հասկացության պոտենցիալ անորոշությունն է։ Օրինակ՝ 2,7 թվի ամբողջ մասը հավասար է 2, բայց հնարավոր է երկու կարծիք այն հարցում, թե ինչպես որոշել −2,7 թվի ամբողջ մասը։ Համաձայն այս հոդվածում տրված սահմանման 
  
    
      
        [
        x
        ]
        ≡
        ⌊
        x
        ⌋
        =
        −
        3
      
    
    {\displaystyle [x]\equiv \lfloor x\rfloor =-3}
  , սակայն որոշ հաշվիչների վրա գոյություն ունի թվի ամբողջ մասի INT ֆունկցիա, բացասական թվերի համար որոշվող ինչպես INT(-x) = -INT(x), այնպես որ INT(-2,7) = −2։ Այվերսոնի տերմինալոգիայում բացակայում են հնարավոր անորոշությունները․

  
    
      
        
          
            
              
                ⌊
                2
                
                  ,
                
                7
                ⌋
                =
                2
                ,
              
              
                ⌊
                −
                2
                
                  ,
                
                7
                ⌋
                =
                −
                3
                ,
              
            
            
              
                ⌈
                2
                
                  ,
                
                7
                ⌉
                =
                3
                ,
              
              
                ⌈
                −
                2
                
                  ,
                
                7
                ⌉
                =
                −
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}\lfloor 2{,}7\rfloor =2,&\lfloor -2{,}7\rfloor =-3,\\\lceil 2{,}7\rceil =3,&\lceil -2{,}7\rceil =-2\end{matrix}}}
  


== Սահմանում ==

  
    
      
        ⌊
        ⋅
        ⌋
        :
        x
        ↦
        ⌊
        x
        ⌋
      
    
    {\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor \colon x\mapsto \lfloor x\rfloor }
   հատակ ֆունկցիան սահմանվում է ինչպես ամենամեծ ամբողջ, փոքր կամ հավասար 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  ․

  
    
      
        ⌊
        x
        ⌋
        =
        max
        {
        n
        ∈
        
          Z
        
        ∣
        n
        ⩽
        x
        }
      
    
    {\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leqslant x\}}
  
  
    
      
        ⌈
        
        ⋅
        
        ⌉
        :
        x
        ↦
        ⌈
        x
        ⌉
      
    
    {\displaystyle \lceil \,\cdot \,\rceil \colon x\mapsto \lceil x\rceil }
   առաստաղ ֆունկցիան սահմանվում է ինչպես ամենափոքր ամբողջ, մեծ կամ հավասար 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  ․

  
    
      
        ⌈
        x
        ⌉
        =
        min
        {
        n
        ∈
        
          Z
        
        ∣
        n
        ⩾
        x
        }
      
    
    {\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geqslant x\}}
  Այդ սահմանումները էկվիվալենտ են հետևյալ անհավասարություններին (որտեղ n–ը ամբողջ թիվ է)․

  
    
      
        
          
            
              
                ⌊
                x
                ⌋
                =
                n
              
              
                
                ⟺
              
              
                n
                ⩽
                x
                <
                n
                +
                1
              
              
                
                ⟺
              
              
                x
                −
                1
                <
                n
                ⩽
                x
              
            
            
              
                ⌈
                x
                ⌉
                =
                n
              
              
                
                ⟺
              
              
                n
                −
                1
                <
                x
                ⩽
                n
              
              
                
                ⟺
              
              
                x
                ⩽
                n
                <
                x
                +
                1.
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =n&\Longleftrightarrow &n\leqslant x<n+1&\Longleftrightarrow &x-1<n\leqslant x\\\lceil x\rceil =n&\Longleftrightarrow &n-1<x\leqslant n&\Longleftrightarrow &x\leqslant n<x+1.\end{aligned}}}
  


== Հատկություններ ==
Ներքևում գրված բանաձևերում 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   և 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   տառերով նշանակված են իրական թվերը, իսկ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   և 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   տառերով՝ ամբողջները։ 


=== Հատակն ու առաստաղը ինչպես իրական փոփոխականով ֆունկցիաներ ===
Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաները իրական թվերի բազմությունը արտապատկերում են ամբողջ թվերի բազմության մեջ․

  
    
      
        ⌊
        
        ⋅
        
        ⌋
        :
        
          R
        
        →
        
          Z
        
        ,
        
        ⌈
        
        ⋅
        
        ⌉
        :
        
          R
        
        →
        
          Z
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \lfloor \,\cdot \,\rfloor \colon \mathbb {R} \to \mathbb {Z} ,\quad \lceil \,\cdot \,\rceil \colon \mathbb {R} \to \mathbb {Z} ,\quad }
  Հատակն ու առաստաղը մասամբ անընդհատ ֆունկցիաներ են։
Հատակն ու առաստաղը խզումով ֆունկցիաներ են․ բոլոր ամբողջաթվային կետերում տեղի է ունենում առաջի սեռի խզումներ միավորի հավասար թռիչքով։
Այդ դեպքում հատակ ֆունկցիան հանդիսանում է․

Կիսաանընդհատ վերևից և
Անընդհատ աջիցԱռաստաղ ֆունկցիան հանդիսանում է․

Կիսաանընդատ ներքևից և
Անընդհատ ձախից


=== Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաների կապը ===

  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   կամայական թվի համար ճիշտ է

  
    
      
        ⌊
        x
        ⌋
        ⩽
        x
        ⩽
        ⌈
        x
        ⌉
      
    
    {\displaystyle \lfloor x\rfloor \leqslant x\leqslant \lceil x\rceil }
   անհավասարությունը։
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   ամբողջ թվի համար հատակն ու առաստաղը համընկնում են․

  
    
      
        ⌊
        x
        ⌋
        =
        x
        
        ⟺
        
        x
        ∈
        
          Z
        
        
        ⟺
        
        ⌈
        x
        ⌉
        =
        x
      
    
    {\displaystyle \lfloor x\rfloor =x\quad \Longleftrightarrow \quad x\in \mathbb {Z} \quad \Longleftrightarrow \quad \lceil x\rceil =x}
  Եթե 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   ամբողջ չէ, ապա առաստաղ ֆունցիայի արժեքը միավորով մեծ է հատակ ֆունկցիայի արժեքից․

  
    
      
        ⌈
        x
        ⌉
        −
        ⌊
        x
        ⌋
        =
        
          
            {
            
              
                
                  1
                  ,
                
                
                  x
                  ∉
                  
                    Z
                  
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  x
                  ∈
                  
                    Z
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}1,&x\notin \mathbb {Z} \\0,&x\in \mathbb {Z} \end{cases}}}
  Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաները հանդիսանում են երկու առանցքներից մեկը մյուսի արտապատկերումները։

  
    
      
        ⌊
        −
        x
        ⌋
        =
        −
        ⌈
        x
        ⌉
        ,
        
        ⌈
        −
        x
        ⌉
        =
        −
        ⌊
        x
        ⌋
      
    
    {\displaystyle \lfloor -x\rfloor =-\lceil x\rceil ,\quad \lceil -x\rceil =-\lfloor x\rfloor }
  


=== Հատակ/առաստաղ՝ անհավասարություն ===
Իրական և ամբողջ թվերի միջև ցանկացած անհավասարություն հավասարազոր է իրական թվերի միջև հատակի և առաստաղի անհավասարությանը
․

  
    
      
        
          
            
              
                n
                ⩽
                x
              
              
                ⟺
              
              
                n
                ⩽
                ⌊
                x
                ⌋
              
              
                
                x
                ⩽
                n
              
              
                ⟺
              
              
                ⌈
                x
                ⌉
                ⩽
                n
              
            
            
              
                n
                <
                x
              
              
                ⟺
              
              
                n
                <
                ⌈
                x
                ⌉
              
              
                
                x
                <
                n
              
              
                ⟺
              
              
                ⌊
                x
                ⌋
                <
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}n\leqslant x&\Longleftrightarrow &n\leqslant \lfloor x\rfloor &\qquad x\leqslant n&\Longleftrightarrow &\lceil x\rceil \leqslant n\\n<x&\Longleftrightarrow &n<\lceil x\rceil &\qquad x<n&\Longleftrightarrow &\lfloor x\rfloor <n\end{matrix}}}
  Վերևի երկու անհավասարությունը հանդիսանում են հատակի և առաստաղի սահմանումների անմիջական հետևանքները, իսկ ներքևի երկուսը՝ վերևինների վերածումն է հակդարձից։
Հատակ/առաստաղ ֆունկցիաները հանդիսանում են մոնոտոն աճող ֆունկցիաներ․

  
    
      
        x
        ⩽
        y
        ⇒
        ⌊
        x
        ⌋
        ⩽
        ⌊
        y
        ⌋
        ,
        
        x
        ⩽
        y
        ⇒
        ⌈
        x
        ⌉
        ⩽
        ⌈
        y
        ⌉
      
    
    {\displaystyle x\leqslant y\Rightarrow \lfloor x\rfloor \leqslant \lfloor y\rfloor ,\quad x\leqslant y\Rightarrow \lceil x\rceil \leqslant \lceil y\rceil }
  


=== Հատակ/առաստաղ՝ գումարում ===
Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка
:

  
    
      
        ⌊
        x
        +
        n
        ⌋
        =
        ⌊
        x
        ⌋
        +
        n
        ,
        
        ⌈
        x
        +
        n
        ⌉
        =
        ⌈
        x
        ⌉
        +
        n
      
    
    {\displaystyle \lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n,\quad \lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n}
  Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:

  
    
      
        ⌊
        x
        ⌋
        +
        ⌊
        y
        ⌋
        ⩽
        ⌊
        x
        +
        y
        ⌋
        ⩽
        ⌊
        x
        ⌋
        +
        ⌊
        y
        ⌋
        +
        1
        ,
        
        ⌈
        x
        ⌉
        +
        ⌈
        y
        ⌉
        −
        1
        ⩽
        ⌈
        x
        +
        y
        ⌉
        ⩽
        ⌈
        x
        ⌉
        +
        ⌈
        y
        ⌉
      
    
    {\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leqslant \lfloor x+y\rfloor \leqslant \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\quad \lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1\leqslant \lceil x+y\rceil \leqslant \lceil x\rceil +\lceil y\rceil }
  


=== Հատակը/առաստաղը ֆունկցիայի նշանի տակ ===
Տեղի ունի հետևյալ առաջարկությունը․ Թող 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   –ը լինի անընդհատ մոնոտոն աճող ֆունկցիա, որոշված որոշակի շրջակայքում, օժտված

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        ∈
        
          Z
        
        ⇒
        x
        ∈
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} \Rightarrow x\in \mathbb {Z} }
   հատկությամբ։Այդ դեպքում՝

  
    
      
        ⌊
        f
        (
        x
        )
        ⌋
        =
        ⌊
        f
        (
        ⌊
        x
        ⌋
        )
        ⌋
        ,
        
        ⌈
        f
        (
        x
        )
        ⌉
        =
        ⌈
        f
        (
        ⌈
        x
        ⌉
        )
        ⌉
      
    
    {\displaystyle \lfloor f(x)\rfloor =\lfloor f(\lfloor x\rfloor )\rfloor ,\quad \lceil f(x)\rceil =\lceil f(\lceil x\rceil )\rceil }
  ամեն անգամ, երբ որոշված են 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        ,
        f
        (
        ⌊
        x
        ⌋
        )
        ,
        f
        (
        ⌈
        x
        ⌉
        )
      
    
    {\displaystyle f(x),f(\lfloor x\rfloor ),f(\lceil x\rceil )}
  ։
Մասնավորապես,

  
    
      
        
          ⌊
          
            
              
                x
                +
                m
              
              n
            
          
          ⌋
        
        =
        
          ⌊
          
            
              
                
                  ⌊
                  x
                  ⌋
                
                +
                m
              
              n
            
          
          ⌋
        
        ,
        
        
          ⌈
          
            
              
                x
                +
                m
              
              n
            
          
          ⌉
        
        =
        
          ⌈
          
            
              
                
                  ⌈
                  x
                  ⌉
                
                +
                m
              
              n
            
          
          ⌉
        
      
    
    {\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\left\lfloor x\right\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,\quad \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\left\lceil x\right\rceil +m}{n}}\right\rceil }
  եթե 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   և 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
    ամբողջ թվեր են և 
  
    
      
        n
        >
        0
      
    
    {\displaystyle n>0}
  ։


=== Հատակ/առաստաղ՝ գումարներ ===
Եթե 
  
    
      
        m
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle m,n}
   ամբողջ թվեր են, 
  
    
      
        m
        >
        0
      
    
    {\displaystyle m>0}
  , ապա

  
    
      
        n
        =
        
          ⌊
          
            
              n
              m
            
          
          ⌋
        
        +
        
          ⌊
          
            
              
                n
                +
                1
              
              m
            
          
          ⌋
        
        +
        ⋯
        +
        
          ⌊
          
            
              
                n
                +
                m
                −
                1
              
              m
            
          
          ⌋
        
      
    
    {\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor }
  Ընդհանրապես, եթե 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   կամայական իրական թիվ է, իսկ 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  ՝ ամբողջ դրական, ապա 

  
    
      
        ⌊
        m
        x
        ⌋
        =
        
          ⌊
          x
          ⌋
        
        +
        
          ⌊
          
            x
            +
            
              
                1
                m
              
            
          
          ⌋
        
        +
        ⋯
        +
        
          ⌊
          
            x
            +
            
              
                
                  m
                  −
                  1
                
                m
              
            
          
          ⌋
        
      
    
    {\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor }
  Տեղի ունի առավել ընդհանուր հարաբերություն
․

  
    
      
        
          ∑
          
            0
            ⩽
            k
            <
            m
          
        
        
          ⌊
          
            
              
                n
                k
                +
                x
              
              m
            
          
          ⌋
        
        =
        d
        
          ⌊
          
            
              x
              d
            
          
          ⌋
        
        +
        
          
            
              (
              m
              −
              1
              )
              (
              n
              −
              1
              )
            
            2
          
        
        +
        
          
            
              d
              −
              1
            
            2
          
        
        ,
        
        d
        =
        (
        m
        ,
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{0\leqslant k<m}\left\lfloor {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =d\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor +{\frac {(m-1)(n-1)}{2}}+{\frac {d-1}{2}},\quad d=(m,n)}
  Քանի որ այդ հավասարության աջ մասը սիմետրիկ է 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   և 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   նկատմամբ, ապա ճշմարիտ է հետևյալ փոխադարձության օրենքը․

  
    
      
        
          ∑
          
            0
            ⩽
            k
            <
            m
          
        
        
          ⌊
          
            
              
                n
                k
                +
                x
              
              m
            
          
          ⌋
        
        =
        
          ∑
          
            0
            ⩽
            k
            <
            n
          
        
        
          ⌊
          
            
              
                m
                k
                +
                x
              
              n
            
          
          ⌋
        
        ,
        
        m
        ,
        n
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \sum _{0\leqslant k<m}\left\lfloor {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =\sum _{0\leqslant k<n}\left\lfloor {\frac {mk+x}{n}}\right\rfloor ,\quad m,n>0}
  


=== Շարքով տրումը ===
Անտյե ֆունկցիան Հևիսայդի ֆունկցիայի օգնությամբ տրիվյալ ձևով ներկայացվում է շարքով․

  
    
      
        [
        x
        ]
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        n
        
          (
          
            θ
            (
            x
            −
            n
            )
            −
            θ
            (
            x
            −
            n
            −
            1
            )
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle [x]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }n\left(\theta (x-n)-\theta (x-n-1)\right),}
  որտեղ շարքի յուրաքանչյուր մաս առաջացնում է ֆունկցիայի ինքնատիպ աստիճաններ։ Այդ շարքը բացարձակ համընկնում է, սակայն իր մասերի սխալ ձևափոխումը կարող է բերել «պարզեցված» շարքի

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        θ
        
          (
          
            x
            −
            n
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }\theta \left(x-n\right),}
  որը տրոհվում է։


== Կիրառություն ==
Հատակ/առաստաղ ամբողջաթվային ֆունկցիաները լայն կիրառում ունեն դիսկրետ մաթեմատիկայում և թվերի տեսության մեջ։ Ներքևում բերված են այդ ֆունկցիաների կիրառության որոշ օրինակներ։


=== Թվի գրառման մեջ թվանշանների քանակը ===
Դրական ամբողջ թվի գրառման մեջ թվանշանների թիվը b հիմքով համրանքի դիրքային համակարգում հավասար է

  
    
      
        ⌊
        
          log
          
            b
          
        
        ⁡
        n
        ⌋
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \lfloor \log _{b}n\rfloor +1}
  


=== Կլորացում ===

  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   մոտակա ամբողջ թիվը կարող է որոշվել

  
    
      
        (
        x
        )
        =
        ⌊
        x
        +
        0
        
          ,
        
        5
        ⌋
      
    
    {\displaystyle (x)=\lfloor x+0{,}5\rfloor }
   բանաձևով։


=== mod բինար գործողություն ===

«Մոդուլով մնացորդ» գործողությունը նշանակենք 
  
    
      
        x
        
          mod
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle x{\bmod {y}}}
   , հատակ ֆունկցիայի միջոցով կարող է որոշվել հետևյալ կերպ։ Եթե 
  
    
      
        x
        ,
        y
      
    
    {\displaystyle x,y}
    կամայական իրական թվեր են և 
  
    
      
        y
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle y\neq 0}
  , ապա 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  –ը 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  –ի վրա բաժանելիս թերի մասնավորը հավասար է

  
    
      
        ⌊
        x
        
          /
        
        y
        ⌋
      
    
    {\displaystyle \lfloor x/y\rfloor }
  ,իսկ մնացորդը՝

  
    
      
        x
        
        
          mod
          
            
          
        
        y
        =
        x
        −
        y
        ⌊
        x
        
          /
        
        y
        ⌋
      
    
    {\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y=x-y\lfloor x/y\rfloor }
  


=== Կոտորակային մաս ===

  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   իրական թվի կոտորակային մասն ըստ սահմանման հավասար է

  
    
      
        {
        x
        }
        =
        x
        
        
          mod
          
            
          
        
        1
        =
        x
        −
        ⌊
        x
        ⌋
      
    
    {\displaystyle \{x\}=x\,{\bmod {\,}}1=x-\lfloor x\rfloor }
  


=== Միջակայքի ամբողջ թվերի քանակը ===
Պահանջվում է գտնել 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   և 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
   ծայրակետերով փակ միջակայքում ամբողջ կետերի քանակը, այսինքն 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   ամբողջ թվերի քանակը, որոնք բավարարում են

  
    
      
        α
        ⩽
        n
        ⩽
        β
      
    
    {\displaystyle \alpha \leqslant n\leqslant \beta }
   անհավասարությանը։Հատակի/առաստաղի հատկությունների համաձայն այդ անհավասարությունը համարժեք է

  
    
      
        ⌈
        α
        ⌉
        ⩽
        n
        ⩽
        ⌊
        β
        ⌋
      
    
    {\displaystyle \lceil \alpha \rceil \leqslant n\leqslant \lfloor \beta \rfloor }
  :Դա հանդիսանում է 
  
    
      
        ⌈
        α
        ⌉
      
    
    {\displaystyle \lceil \alpha \rceil }
   և 
  
    
      
        ⌊
        β
        ⌋
      
    
    {\displaystyle \lfloor \beta \rfloor }
   ծայրակետերով փակ միջակայքի կետերի թիվը, հավասար՝ 
  
    
      
        ⌊
        β
        ⌋
        −
        ⌈
        α
        ⌉
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \lfloor \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1}
  :
Անալոգ ձևով կարելի է հաշվել այլ տիպի միջակայքերի ամբողջ կետերի քանակը։ Արդյունքների հատումը բերված է ներքևում.
.

  
    
      
        #
        {
        n
        ∈
        
          Z
        
        :
        α
        ⩽
        n
        ⩽
        β
        }
        =
        ⌊
        β
        ⌋
        −
        ⌈
        α
        ⌉
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha \leqslant n\leqslant \beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1}
  

  
    
      
        #
        {
        n
        ∈
        
          Z
        
        :
        α
        ⩽
        n
        <
        β
        }
        =
        ⌈
        β
        ⌉
        −
        ⌈
        α
        ⌉
      
    
    {\displaystyle \#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha \leqslant n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lceil \alpha \rceil }
  

  
    
      
        #
        {
        n
        ∈
        
          Z
        
        :
        α
        <
        n
        ⩽
        β
        }
        =
        ⌊
        β
        ⌋
        −
        ⌊
        α
        ⌋
      
    
    {\displaystyle \#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha <n\leqslant \beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lfloor \alpha \rfloor }
  

  
    
      
        #
        {
        n
        ∈
        
          Z
        
        :
        α
        <
        n
        <
        β
        }
        =
        ⌈
        β
        ⌉
        −
        ⌊
        α
        ⌋
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha <n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lfloor \alpha \rfloor -1}
  (
  
    
      
        #
        M
      
    
    {\displaystyle \#M}
   -ով նշանակված է 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
   բազմության հզորությունը)։
Առաջին երեք արդյունքները ճշմարիտ են բոլոր 
  
    
      
        α
        ⩽
        β
      
    
    {\displaystyle \alpha \leqslant \beta }
   համար, իսկ չորորդը՝ միայն 
  
    
      
        α
        <
        β
      
    
    {\displaystyle \alpha <\beta }
   դեպքում։


=== Սպեկտրի մասին Ռելեի թեորեմը ===
Թող 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   և 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
   լինեն իռացիոնալ դրական թվեր լինեն, կապված

  
    
      
        
          
            1
            α
          
        
        +
        
          
            1
            β
          
        
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}=1.}
   հարաբերությամբ։Այդ դեպքում թվերի շարքում

  
    
      
        ⌊
        α
        ⌋
        ,
        ⌊
        β
        ⌋
        ,
        ⌊
        2
        α
        ⌋
        ,
        ⌊
        2
        β
        ⌋
        ,
        …
        ,
        ⌊
        m
        α
        ⌋
        ,
        ⌊
        m
        β
        ⌋
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle \lfloor \alpha \rfloor ,\lfloor \beta \rfloor ,\lfloor 2\alpha \rfloor ,\lfloor 2\beta \rfloor ,\ldots ,\lfloor m\alpha \rfloor ,\lfloor m\beta \rfloor ,\ldots }
  յուրաքանչյուր բնական 
  
    
      
        n
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
   ճշտությամբ հանդիպում է մեկ անգամ։
Այլ խոսքերով՝

  
    
      
        {
        m
        α
        ∣
        m
        ∈
        
          N
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{m\alpha \mid m\in \mathbb {N} \}}
   և 
  
    
      
        {
        m
        β
        ∣
        m
        ∈
        
          N
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{m\beta \mid m\in \mathbb {N} \}}
   հաջորդականությունները, որոնք կոչվում ենԲեթիի հաջորդականություն, կազմում են բնական շարքի պառակտումը։


== Ինֆորմատիկայի մեջ ==


=== Ծրագրավորման լեզուներում ===
Շատ ծրագրավորման լեզուներում գոյություն ունի հատակ/առաստակ ֆունկցիաների  floor(), ceil() ներկայացումը։


=== Էջատման համակարգում ===
TeX (и LaTeX) -ում հատակի/առաստաղի 
  
    
      
        ⌊
      
    
    {\displaystyle \lfloor }
  , 
  
    
      
        ⌋
      
    
    {\displaystyle \rfloor }
  , 
  
    
      
        ⌈
      
    
    {\displaystyle \lceil }
  , 
  
    
      
        ⌉
      
    
    {\displaystyle \rceil }
   սիմվոլների համար գոյություն ունի \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil հատուկ հրահանգները։ Քանի որ վիքի -ն օգտագործում է LaTeX մաթեմատիկական բանաձևերի հավաքագրման համար, ապա այս հոդվածում ևս օգտագործված են հենց այդ հրահանգները։


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3
М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко. Алгебра и начала анализа. — АО Столетие, 1996.