Վերջավոր դաշտ

Վերջավոր դաշտ, կամ ընդհանուր հանրահաշվում Գալուայի դաշտ, դաշտ, որը բաղկացած է վերջավոր թվով տարրերից, այս թիվը կոչվում է դաշտի կարգ։
Վերջավոր դաշտը սովորաբար նշանակվում է 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
   կամ 
  
    
      
        
          G
          F
        
        (
        q
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {GF} (q)}
   (հապավումը՝ Galois field-ից) և կոչվում է 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   կարգի Գալուայի դաշտ, որտեղ 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  -ն՝ դաշտի տարրերի թիվն է։ Վերջնական ճշտությամբ մինչև իզոմորֆիզմը վերջավոր դաշտը լիովին որոշվում է իր կարգով, որը միշտ հանդիսանում է ինչ-որ պարզ թվի աստիճան, այսինքն՝ 
  
    
      
        q
        =
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle q=p^{n}}
  , որտեղ 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  -ն պարզ թիվ է, 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը՝ ցանկացած բնական թիվ։ Ընդ որում 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   լինելու է այդ դաշտի բնութագիրը։
Վերջավոր դաշտի հասկացությունը օգտագործվում է թվերի տեսության, խմբերի տեսության ,  հանրահաշվական երկրաչափության և ծածկագիտություն մեջ։


== Սահմանում և հատկություններ ==
Վերջավոր դաշտ կոչվում է վերջավոր բազմությունը, որի վրա սահմանված են գումարման, բազմապատկման, հանման և բաժանման (բացի 0-ի բաժանումից) կամայական գործողություններ, ըստ աքսիոմների դաշտի։
Վերջավոր դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբը ցիկլային է։ Այսինքն, 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
   դաշտի ոչ բոլոր զրոյական տարրերն են ձևավորում խումբ բազմապատկման գործողության նկատմամբ (այս խումբը կոչվում է դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբ և նշանակում է 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            q
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}
  )։ Այս խումբը համարվում է ցիկլային, այսինքն այն ունի ծնիչ տարր, իսկ մնացած բոլոր տարրերը ստացվում են ծնիչի աստիճանններով։ Այսինքն, գոյություն ունի 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   գեներացնող տարր, այնպես, որ ցանկացած 
  
    
      
        a
        ∈
        
          
            F
          
          
            q
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle a\in \mathbb {F} _{q}^{*}}
   -ի համար կարելի է գրել.

  
    
      
        ∃
        n
        :
        
          g
          
            n
          
        
        =
        a
        
        mod
        
        
        q
      
    
    {\displaystyle \exists n:g^{n}=a\mod q}
  ։
Գեներացնող տարրը՝ 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            q
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}
  ,  կոչվում է նաև 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            q
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{q}.}
   դաշտի պարզունակ տարր։ 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
   դաշտը  պարունակում է 
  
    
      
        φ
        (
        q
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (q-1)}
   պարզունակ տարրեր, որտեղ 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  ՝ Էյլերի ֆունկցիան է։
Դաշտը ունի նաև մի շարք այլ հատկություններ.

Ըստ Ֆերմայի թեորեմի, 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
    դաշտի յուրաքանչյուր տարր բավարարում է 
  
    
      
        
          a
          
            q
          
        
        =
        a
      
    
    {\displaystyle a^{q}=a}
   հավասարմանը։

  
    
      
        
          
            F
          
          
            
              p
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}
   դաշտն իր մեջ պարունակում է 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            
              p
              
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}}
   ենթադաշտ այն և միայն այն ժամանակ, երբ 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   հանդիսանում է 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ի բաժանարար։
Եթե 
  
    
      
        f
        ∈
        
          
            F
          
          
            q
          
        
        [
        x
        ]
      
    
    {\displaystyle f\in \mathbb {F} _{q}[x]}
   -ը  
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   աստիճանի չբերվող բազմապատկման է, ապա 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            
              q
              
                m
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{q^{m}}}
   դաշտը պարունակում է նրա ցանկացած 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   արմատ, ընդ որում նրա բոլոր արմատների բազմությունն ունի 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            
              q
              
                m
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{q^{m}}}
   տեսքը։ Այսպիսով, 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            
              q
              
                m
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{q^{m}}}
   դաշտը հանդիսանում է 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   բազմանդամի վերլուծման դաշտը 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
   դաշտի վար։
Յուրաքանչյուր 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
   վերջավոր դաշտի և 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   բնական թվերի համար բոլոր նորմավորված, 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
   բազմանդամների արտադրյալը հավասար է 
  
    
      
        
          x
          
            
              q
              
                n
              
            
          
        
        −
        x
        :
      
    
    {\displaystyle x^{q^{n}}-x:}
   Մասնավորապես, այդպիսի բազմանդամների աստիճանների գումարը հավասար է 
  
    
      
        
          q
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle q^{n}}
  ։

  
    
      
        
          
            F
          
          
            q
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{q},}
   դաշտի վրա բերվող n աստիճանի նորմավորված բազմանդամների 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            q
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{q},}
   թիվը որոշվում է 
  
    
      
        N
        (
        q
        ,
        n
        )
        =
        
          
            1
            n
          
        
        
          ∑
          
            d
            
              |
            
            n
          
        
        μ
        (
        d
        )
        
          q
          
            
              n
              d
            
          
        
      
    
    {\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d|n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}}
   բանաձևով, որտեղ 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
   Մյոբիուսի ֆունկցիան է։ Այս պնդումը հետևում է 
  
    
      
        
          q
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            d
            
              |
            
            n
          
        
        d
        N
        (
        q
        ,
        d
        )
      
    
    {\displaystyle q^{n}=\sum _{d|n}dN(q,d)}
   բանաձևից։


== Պարզ թվով տարրերով դաշտ ==
Պարզ կարգի ցանկացած դաշտ կարող է ներկայացվել տարրերի հանման օղակով (այսինքն, 
  
    
      
        
          
            G
            F
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {GF} _{p}}
   տարրերով ցանկացած դաշտ իզոմորֆ է հանման 
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        (
        p
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /(p)}
   օղակին)։ Վերջնական դաշտի առավել հայտնի օրինակներից է՝ ըստ 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   պարզ թվի մոդուլի հանման դասերի դաշտը, որը նշանակվում է 
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        (
        p
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /(p)}
  -ով։ Այդ դաշտը կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ.

  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   պարզ թվի համար դաշտի տարրերը կլինեն 
  
    
      
        {
        0
        ,
        1
        ,
        .
        .
        .
        ,
        p
        −
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \{0,1,...,p-1\}}
   թվերը։ Գումարումը և բազմապատկումը սահմանվում են որպես թվերի ավելացում և բազմապատկվում արդյունքի բերվում 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   մոդուլի միջոցով։ Ստորև տրված են նման դաշտեր երկրու և երեք տարերով։


== Նվազեցվող օղակների հետ կապը ==
Չպետք է շփոթել վերջնական դաշտերը 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            
              p
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}
   և նվազեցումների օղակները 
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        (
        
          p
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /(p^{n})}
  ։ Միայն այն ժամանակ, երբ թիվը պարզ է, օղակը համարվում է նվազեցվող ։
Երբ n > 1 նվազեցված օղակը 
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        (
        
          p
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /(p^{n})}
   դաշտ չի համարվում։ Օրինակ՝

  
    
      
        
          
            F
          
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{8}}
   ցանկացած տարրի համար ճիշտ է 
  
    
      
        x
        +
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x+x=0}
  ։
Օղակը 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}
  , Հաշվելով    

  
    
      
        x
        +
        x
      
    
    {\displaystyle x+x}
   մենք կստանանք 0 միայն երկու դեպքում, երբ 
  
    
      
        x
        =
        4
        ,
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=4,x=0}
  ։ Այս օղակը ունի զրոյական բաժանարար։


== Վերջավոր դաշտերի բնութագրիչ ==
Յուրաքանչյուր վերջավոր դաշտի բնութագրիչը հանդիսանում է պարզ թիվ։ Թող՝ 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  -ն լինի վերջավոր դաշտ։ Այդ դեպքում այն բաղկացած է 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{n}}
   տարրերից, որտեղ 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   դաշտի բնութագրիչը 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   է, իսկ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   բնական թիվը՝ 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   դաշտի կարգն է իր պարզ ենթադաշտի վրա.
Վերջավոր դաշտի գոյության և միակության թեորեմի համաձայն, յուրաքանչյուր 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   պարզ և 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   բնական թվերի համար գոյություն ունի վերջավոր դաշտ՝ 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{n}}
   տարրերով և 
  
    
      
        q
        =
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle q=p^{n}}
   տարրերով ցանկացած վերջավոր դաշտ իզոմորֆ է բազմանդամի վերլուծման 
  
    
      
        
          x
          
            q
          
        
        −
        x
      
    
    {\displaystyle x^{q}-x}
   դաշտի նկատմամբ՝ 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
   դաշտի վրա։ Տվյալ թեորեմը մեզ թույլ է տալիս խոսել տրված 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   կարգի, բավականին սահմանված դաշտի մասին (այսինքն, Գաուլայի դաշտի մասին, որը բաղկացած է՝ 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   տարրից)։


== Կառուցում ==

  
    
      
        
          
            F
          
          
            
              p
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}
   դաշտը n > 1 -ի դեպքում կարելի է կառուցվել որպես 
  
    
      
        
          K
        
        =
        
          
            F
          
          
            p
          
        
        [
        x
        ]
        
          /
        
        (
        f
        (
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))}
   ֆակտոր օղակ, որտեղ 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   -ը  
  
    
      
        
          
            F
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
   դաշտի նկատմամբ nաստիճանի չբերվող բազմանդամ է։ Այսպիսով, 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{n}}
   տարրից դաշտ կառուցելու համար բավական է գտնել 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   աստիճանի, 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
   դաշտի վրա չբերվող բազմանդամ (նման բազմությունները միշտ գոյություն ունի)։ 
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
   դաշտի տարրերը հանդիսանում են 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ից փոքր աստիճաններով, 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
   -ից գործակիցներով, 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   բազմանդանով ծնված բազմանդամների տարբերության դաս։

  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   տարրը համարվում է 
  
    
      
        α
        =
        x
        +
        (
        f
        (
        x
        )
        )
        ∈
        
          
            F
          
          
            p
          
        
        [
        x
        ]
        
          /
        
        (
        f
        (
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \alpha =x+(f(x))\in \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))}
   բազմանդամի արմատը և 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            p
          
        
        [
        x
        ]
        
          /
        
        (
        f
        (
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))}
   դաշտը ծնվում է այդ տարրով՝ 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
   դաշտում, հետևաբար անցումը 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
   դաշտից 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            p
          
        
        [
        x
        ]
        
          /
        
        (
        f
        (
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))}
   դաշտ անվանում են 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   չբերվող բազմանդամի արմատի միավորումը 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
   դաշտին։


== Օրինակներ ==


=== Երկու տարրերից կազմված դաշտ ===

  
    
      
        
          
            F
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{2}}
   դաշտը բաղկացած է երկու տարրերից, սակայն այն կարող է տրված լինել տարբեր եղանակներով՝ կախված տարրերի ընտրությունից և նրա վրա  գումարման և բազմապատկամ գործողությունների սահմանելուց։

Որպես երկու՝ «0» և «1», թվերից բաղկացած բազմություն, որտեղ գումարման և բազմապատկման գործողությունը սահմանվում են ինչպես բերված արդյունքների 2 մոդուլով թվերի գումարում և բազմապատկում.Որպես «ՍԽԱԼ» (F) և «ՃԻՇՏ» (T) երկու տրամաբանական օբեկտների բազմություն, որի վրա գումարման և բազմապատկման գործողությունները սահմանվում են որպես բուլյան գործողություններ համապատասխանաբար «բացառող կամ» և «և».Ակնհայտ է, որ տրված դաշտերը միմիանց իզոմորֆ են, այսինքն, դրանք իրականում առաջադրանքի տրման երկու տարբեր եղանակներ են։


=== Երեք տարրերից կազմված դաշտ ===
Դաշտը 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            3
          
        
        =
        {
        0
        ,
        1
        ,
        2
        }
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{3}=\{0,1,2\}}
   -ն է։ Գումարումը և բազմապատկումը սահմանված են ինչպես 3 մոդուլով թվերի գումարում և բազմապատկում։ 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{3}}
   գործողությունների աղյուսակը ունի հետևյալ տեսքը.


=== Չորս տարրերից կազմված դաշտ ===

  
    
      
        
          
            F
          
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{4}}
   դաշտը կարելի է ներկայացնել որպես 
  
    
      
        {
        0
        ,
        1
        ,
        α
        ,
        α
        +
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \{0,1,\alpha ,\alpha +1\}}
   բազմություն (որտեղ 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   -ը 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        x
        +
        1
      
    
    {\displaystyle f(x)=x^{2}+x+1}
   բազմանդամի արմատն է 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{2}}
   դաշտի վրա, այսինքն՝ 
  
    
      
        
          α
          
            2
          
        
        =
        −
        α
        −
        1
        =
        α
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \alpha ^{2}=-\alpha -1=\alpha +1}
  ): 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{4}}
   գործողությունների աղյուսակներն ունեն հետևյալ տեսքը.


=== Ինը տարրերից կազմված դաշտ ===

  
    
      
        
          
            F
          
          
            9
          
        
        =
        
          G
          F
        
        (
        
          3
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{9}=\mathrm {GF} (3^{2})}
   դաշտի կառուցման համար բավարար է գտնել 2-րդ կարգի, 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{3}}
   -ի վրա չբերվող նորմավորված բազմանդամ։ Այդպիսի բզմանդամներ են հանդիսանում.

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}+1}
   -ի համար որոնվող դաշտը 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            9
          
        
        =
        
          
            Z
          
          
            3
          
        
        [
        x
        ]
        
          /
        
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)}
   -ն է (եթե 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}+1}
  -ի փոխարեն վերձնենք այլ բազմություն, ապա կստացվի նոր դաշտ, հնին իզոմորֆ)։ Ստորև բերված աղյուսակում 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
   սիմվոլը նշանակում է 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   բազմության համաժեքության դաս՝ 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            3
          
        
        [
        x
        ]
        
          /
        
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)}
   ֆակտոր իղակում, 
  
    
      
        
          i
          
            2
          
        
        +
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle i^{2}+1=0}
   հավասարմանը բավարարող։

  
    
      
        
          
            F
          
          
            9
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{9}}
   գումարման աղյուսակը սահմանվում է 
  
    
      
        1
        +
        1
        +
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 1+1+1=0}
   հարաբերությունից ելնելով։

  
    
      
        
          
            F
          
          
            9
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{9}}
   -ում բազմապատկման աղյուսակը սահմանվում է 
  
    
      
        
          i
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle i^{2}=-1}
   հարաբերությունից։


=== 16 տարրերից կազմված դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբ ===
Երբ 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            16
          
        
        =
        
          G
          F
        
        (
        
          2
          
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{16}=\mathrm {GF} (2^{4})}
   դաշտը կազմվում է 
  
    
      
        
          x
          
            4
          
        
        +
        x
        +
        1
      
    
    {\displaystyle x^{4}+x+1}
   չբերվող բազմանդամի օգնությամբ, ընդլայման տարրերը տրվում են բազմանդամի գործակցների հավաքածուներով, որը ստացվում է 
  
    
      
        
          x
          
            4
          
        
        +
        x
        +
        1
      
    
    {\displaystyle x^{4}+x+1}
   բազմանդամի վրա բաժանման մնացորդում՝ գրված աստիճանների աճման կարգով։ Մուլտիպլիկատիվ խումբը ծնվում է 
  
    
      
        α
        =
        x
      
    
    {\displaystyle \alpha =x}
   տարրով, որը գրի առնվում որպես (0, 1, 0, 0)


== Ուսումնասիրության պատմություն ==
Վերջավոր դաշտերի տեսության սկիզբը սկսվում է 17-րդ և 18-րդ դարերից։ Այս թեմայի շուրջ աշխատել են գիտնականներ ինչպիսիք են Պիեռ դը Ֆերման, Լեոնարդ Էյլերը, Ժոզեֆ Լուի Լագրանժը և Ադրիեն-Մարի Լեժանդրը, որոնց կարելի է համարել պարզ կարգի վերջավոր դաշտերի տեսությունների հիմնադիրներ։ Այնուամենայնիվ, վերջավոր դաշտերի ընդհանուր տեսությունը մեծ հետաքրքրություն է ներկայացնում, սկսած Կառլ Գաուսի և Էվարիստ Գալուայի աշխատանքներից։ Որոշ ժամանակ այս տեսությունը կիրառություն գտավ միայն հանրահաշվի և թվերի տեսության մեջ, սակայն հետագայում շփման նոր եզրեր են ի հայտ եկել հանրահաշվական երկրաչափության, կոմբինատորիկայի և կոդավորման տեսության հետ։


=== Գալուայի ներդրումը ===

1830 թվականին տասնութամյա Էվարիստ Գալուան աշխատանք հրատարակեց, որը հիմք դրեց վերջավոր դաշտերի ընդհանուր տեսությանը։ Այդ աշխատանքում Գալուան (կապված փոփոխականների և հանրահաշվական հավասարումների տեսության հետազոտության հետ) ներ է մուծում համեմատության երևակայական 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
        ≡
        0
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle F(x)\equiv 0{\pmod {p}}}
   արմատը, որտեղ 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
  -ն p մոդուլով չբերվող, 
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
   աստիճանի կամայական բազմանդամ է։ Դրանից հետո դիտարկվում է  
  
    
      
        A
        =
        
          a
          
            0
          
        
        +
        
          
            a
            
              1
            
          
        
        i
        +
        
          
            a
            
              2
            
          
        
        
          i
          
            2
          
        
        +
        …
        +
        
          a
          
            ν
            −
            1
          
        
        
          i
          
            ν
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle A=a_{0}+{a_{1}}i+{a_{2}}i^{2}+\ldots +a_{\nu -1}i^{\nu -1}}
   ընդհանուր արտահայտությունը, որտեղ 
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          a
          
            ν
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{\nu -1}}
  ՝ p մոդուլով որոշ ամբողջական թվեր։ Եթե այդ թվերին տանք բոլոր հնարավոր արժեքները, ապա 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   արտահայտությունը կընդունի 
  
    
      
        
          p
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{\nu }}
   արժեքը։ Այնուհետև Գալուան ցույց է տալիս, որ այդ արժեքները դաշտ են ձևավորում և այդ դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբը համարվում է ցիկլիկ։ Այսպիսով, այս աշխատանքը համարվում է վերջավոր դաշտերի ընդհանուր տեսության հիմքը։ Ի տարբերություն նախորդների՝ միայն 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
   դաշտը դիտարկող, Գալուան հետազոտում է արդեն 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            
              p
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}
   դաշտերը, որոնք իր պատվին սկսեցին անվանել Գալուայի դաշտ։
Իրականում, այս ուղղությամբ առաջին աշխատանքը գրել է Գաուսը մոտավորապես 1797 թվականին, սակայն նրա կյանքի ընթացքում այս ուսումնասիրությունը երբեք չի հրատարակվել։ Այս ուսումնասիրությունը հավանաբար անտեսվել է նրա գրությունների խմբագրի կողմից և այդ իսկ պատճառով այս աշխատանքը լույս է տեսել միայն նրա մահից հետո՝ 1893 թվականին։


=== Հետագա զարգացում ===
1893 թվականին մաթեմաթիկոս Էլիակիմ Գաստինգս Մուրը ապացուցեց վերջավոր դաշտերի դասակարգման թեորեմ, որը հաստատում էր, որ յուրաքանչյուր վերջավոր դաշտ հանդիսանում է Գալուայի դաշտ, այսինքն՝ 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{n}}
   անդամներով յուրաքանչյուր դաշտ իզոմորֆ է 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
   -ից գործակիցներով բազմանդամների և 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   աստիճանի չբերվող բազմանդամի հանման մոդուլի դասի դաշտին։ Այդ տարի էլ կատարվում է վերջավոր դաշտերին աքսոմատիկ մոտեցում ցուցաբերելու առաջին փորձը, որը իրականացրել է Հենրիխ Մարտինը, ով իր աշխատանքում փորձել է համատեղել մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերում առաջացած հասկացությունները, այդ թվում նաև վերջավոր դաշտերի հասկացությունը։ Այնուհետև, 1905 թվականին, Ժոզեֆ Վեդդերբյորնը ապացուցում է Վեդդերբյորնի թեորեմն այն մասին, որ յուրաքանչյուր վերջավոր մարմին կոմուտատիվ է, այսինքն՝ դաշտ է համարվում։ Աքսիոմատիկ դաշտի ժամանակակից սահմանումը (վերջավոր դաշտերով որպես մասնավոր դեպք) պատկանում է Էրնեստ Շտայնիցին և շարադրվել է նրա 1910 թվականի աշխատությունում։


== Կիրառում ==


=== Դիոֆանտյան հավասարում ===
Դիոֆանտովի հավասարումը հանդիսանում է ամբողջ գործակիցներով հավասարում, որտեղ փոփոխականները նաև ընդունում են ամբողջ թվի արժեքներ։ Նման հավասարումների քննարկման մեծ ալիք է առաջացրել Ֆերման՝ ձևավորելով իր թեորեմները։ Ֆերմայի թեորեմը պնդում է, որ եթե 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   պարզ թիվ է, որը չի հանդիսանում մեկ այլ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   բաժանարար, ապա 
  
    
      
        
          a
          
            p
            −
            1
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}
  ։ Վերջավոր դաշտերի տեսության մեջ այս տեսությունը հանդիսանում է Լագրանժի թեորեմի ակնհայտ հետևանք, որը կիրառվում է 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   տարրով ծնված մուլտիպլիկատիվ ենթախմբի նկատմամբ, քանի որ 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
   դաշտի ամբողջ մուլտիպլիկատիվ խումբը բաղկացած է 
  
    
      
        p
        −
        1
      
    
    {\displaystyle p-1}
   տարրերից։
Ֆերման նկատել է, որ միակ պարզ թվերը, որոնք կարող են ներկայացնել երկու քառակուսիների գումարով, դրանք այն պարզ թվերն են, որոնք տալիս են 1 մնացորդ 4-ի վրա բաժանելիս։ Մասնավորապես, նա նշում է, որ

  
    
      
        5
        =
        
          1
          
            2
          
        
        +
        
          2
          
            2
          
        
        ,
        
        13
        =
        
          2
          
            2
          
        
        +
        
          3
          
            2
          
        
        ,
        
        17
        =
        
          1
          
            2
          
        
        +
        
          4
          
            2
          
        
        ,
        
        29
        =
        
          2
          
            2
          
        
        +
        
          5
          
            2
          
        
        ,
        
        37
        =
        
          1
          
            2
          
        
        +
        
          6
          
            2
          
        
        ,
        
        41
        =
        
          4
          
            2
          
        
        +
        
          5
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle 5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29=2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.}
  
1640 թվականի դեկտեմբերի 25-ին թվագրված իր նամակում Մարենա Մերսեննուին Ֆերման առաջարկում է լուծել 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        p
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=p}
   հավասարումը։
Հուլիոս Դեդեկինդը ուսումնասիրել է այս հավասարումը 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
   վերջավոր դաշտում, որտեղ այն ընդունում է այս տեսքը 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=0}
  ։ Եթե 
  
    
      
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle b=0}
  , ապա հավասարումը տրիվյալ է։ Հակառակ դեպքում, երկու մասերը կարելի է բաժանել 
  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle b^{2}}
   -ի և փոփոխելով ստանալ 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{2}+1=0}
   տեսքի հավասարում։ Բազմապատկելով 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        −
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{2}-1=0}
   -ով ստացվում է 
  
    
      
        
          x
          
            4
          
        
        −
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{4}-1=0}
   հավասարումը։ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը համարելով 4 կարգի մուլտիպլիկատիվ ենթախմբի գեներատոր, p-ի վրա կարելի է ստանալ անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ, որոնց դեպքում հավասարումը ունի լուծում։ Ֆերմա — Էյլեր թեորեմի հետագա ապացույցը, որը տարել է Դեդեկինդը, չի օգտագործում վերջավոր դաշտերի հասկացություններ և այն կարելի է գտնել համապատասխան հոդվածում։


=== Ուղղիչ կոդերի տեսություն ===
Ուղղիչ կոդերի տեսության ստեղծման տարի է համարվում 1948 թվականը, երբ հրապարակվել Է Կլոդ Շենոնի հոդվածը, որում նա ցույց է տալիս, որ որևէ ալիքով ինֆորմացիայի փոխանցման ժամանակ սխալների առկայությունը այդ թվում կախված է ալիքի փոխանցման արագության և անցանելիության կարողության հարաբերակցությունից։ Փոխանցման արագությունը պետք է լինի ավելի անցանելիության կարողությունից բարձր։ Շենոնը ապացույցներ է ներկայացրել, սակայն դրանք ճանաչվել են ոչ անկախ։
Ռիչարդ Հեմինգն առաջարկել է կառուցողական մոտեցում, դրանով իսկ տվյալ թեմատիկային վերաբերվող հոդվածներին զարգացման վեկտոր հաղորդելով։ Իր աշխատանքում Հեմինգը ստեղծել է պարզ կոդ, որը որոշակի ձևով ուղղում է սխալները։ Հեմինգն ուղղիչ կոդերը դիտարկում է միայն 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{2}}
   դաշտի վրա։ Շուտով նմանատիպ կոդեր ստեղծվեցին կամայական վերջնական դաշտերի վրա 1949 թվականին Գոլեյում ։ Սակայն այդ տեսության մեջ ամենամեծ ներդրումը այնուամենայնիվ Հեմինգին է պատկանում։


=== Ծածկագրություն ===
Վերջնավոր դաշտերը լայն կիրառություն են ստացել ծածկագիտության մեջ։ Հիմնարար աշխատանք է համարվում ծածկագրության մասին բաց բանալիով Դիֆֆի և Հելմանի հոդվածը, որի մեջ ներկայացված է բանալիների փոխանակման արձանագրություն։ Այս աշխատանքում օգտագործվել են որոշակի տեսքի վերջավոր դաշտեր։ Ավելի ուշ ի հայտ եկան վերջավոր դաշտերի վրա հիմնված բազմաթիվ կրիպտոգրաֆական արձանագրություններ և կրիպտոգրաֆական համակարգեր։ Դրանց թվին են պատկանում Էլ-Գամալի սխեման, Advanced Encryption Standard, Շնորրի սխեման, Չաումայի (կույր ստորագրություն) ալգորիթմը, XTR կրիպտոգրաֆական համակարգը և շատ ուրիշներ։ Ժամանակակից կրիպտոգրաֆիայի մեջ հիմնական օբյեկ հանդիսացող Էլիպտական կորերի վրա հիմնված ալգորիթմները նույնպես օգտագործում են վերջավոր դաշտեր։
Բացի այդ, հաճախ կոդավորման որակը կախված է մեծ պարզ թվերի արագ գեներացնելու կարողությունից։ Համապատասխանաբար, խնդիր է ծագում թվի՝ պարզ արտադրիչների վերլուծման ալգորիթմի կառուցման (այս կամ այն թվի պարզության որոշում)։ Միխայել Ռաբինը հրապարակել է ուսումնասիրություն, որում նա առաջարկում է պարզության թեստ՝ հիմնված դաշտի մուլտիպլիկատիվ խմբի հատկությունների վրա։


=== Այլ ===

1960 թվականին Ռեյ Բոուզը և Ռոյ-Չոուդխուռին հրապարակեցին աշխատանք, որում հետազոտել են բազմանդամների ընտանիքը վերջավոր դաշտում։ Ալեքսիս Հոկվինգն ընդհանրացրեց նրանց տեսությունը, ինչը հանգեցրեց ԲՉՀ կոդի ստեղծմանը, որի մասնավոր դեպքը Ռիդ - Սոլոմոնի հայտնի կոդն է, որը ունի շատ լայն կիրառություն։ Այն օգտագործվում է ձայնագրման և ընթերցման ժամանակ՝ օպերատիվ հիշողության կարգավորիչներում, տվյալների արխիվացման, ինֆորմացիայի կոշտ սկավառակների (ECC) և CD/DVD վրա ձայնագրման համար։ Հատկանշական է, որ տեղեկատվության զգալի ծավալի վնասման կամ սկավառակային կրիչի մի քանի հատվածների վնասման դեպքում Ռիդա - Սոլոմոնի կոդը թույլ է տալիս վերականգնել կորցրած տեղեկատվության մեծ մասը։ ԲՉՀ կոդը օգտագործվում է ՆԱՍԱ -ի որոշ զոնդերի (ինչպիսին է Վոյաջերը) կապի համակարգում։


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Винберг Э. Б.  Курс алгебры. — новое изд.,  перераб. и доп. — М.: МЦНМО, 2011. — 592 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-685-3
Лидл Р., Нидеррайтер Г.  Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1988. — 430 с. — ISBN 5-03-000065-8
Журавлев Ю. И., Флеров Ю. А., Вялый М. Н.  Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — 2-е изд. — М.: МЗ Пресс, 2007. — 224 с. — 1000 экз. — ISBN 5-94073-101-5
Васильев К. К., Глушков В. А., Дормидонтов А. В., Нестеренко А. Г.  Теория электрической связи. — Ульяновск: УлГТУ, 2008. — 452 с. — ISBN 978-5-9795-0203-8
Steinitz, Ernst.  Algebraische Theorie der Körper(գերմ.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1910. — Т. 137. — С. 167-309.
Diffie W., Hellman M. E. New Directions in Cryptography // IEEE Trans. Inf. Theory / F. Kschischang — IEEE, 1976. — Vol. 22, Iss. 6. — P. 644—654. — ISSN 0018-9448; 1557-9654 — doi:10.1109/TIT.1976.1055638</includeonly
Kleiner, Israel.  A History of Abstract Algebra. — Birkhäuser, 2007. — ISBN 978-0-8176-4684-4