Կովարիանտ և կոնտրավարիանտ թենզոր

Կովարիանտ և կոնտրավարիանտ թենզոր, հասկացություն, որը կարևոր դեր է խաղում հանրահաշվի, երկրաչափության և ֆիզիկայի զանազան բաժիններում։ Եթե 
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E^{n}}
  -ը 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -չափանի վեկտորական տարածություն է, իսկ 
  
    
      
        
          
            
              (
              
                e
                
                  i
                
              
              )
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {(e_{i})}}}
  -ն նրա որևէ բազիս, ապա 
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E^{n}}
  -ի ամեն մի վեկտոր, գծային ձև կամ գծային ձևափոխություն 
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E^{n}}
  -ի յուրաքանչյուր բազիսում որոշվում են թվերի որոշակի համակարգով, վեկտորը՝ իր կոորդինատներով, գծային ձևը՝ գործակիցներով, գծային ձևափոխութույնը՝ մատրիցով։ Մի բազիսից մյուսին անցնելիս տվյալ օբյեկտը որոշող թվերի համակարգը ձևափոխվում է որոշակի ձևով, ընդ որում ձևափոխման օրենքը տարբեր օբյեկտների համար տարբեր է։ Դիտարկվող օբյեկտի լրիվ բնութագրման համար անհրաժեշտ են ոչ միայն համապատասխան թվերի արժեքները, այլև թվերի համախմբության ձևափոխման օրենքը մյուս բազիսին անցնելու ժամանակ։ Ձևակերպումների հարմարության համար ընդունված է նշանակումների հետևյալ համակարգը։ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   վեկտորի կոորդինատները 
  
    
      
        
          
            
              (
              
                e
                
                  i
                
              
              )
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {(e_{i})}}}
   բազիսի նկատմամբ նշանակվում են 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{i}}
  -ով, 
  
    
      
        (
        i
        =
        1
        ,
        2
        ,
        .
        .
        .
        ,
        n
        )
      
    
    {\displaystyle (i=1,2,...,n)}
  ։ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   գծային ձևափոխության մատրիցի տարրերը նշանակվում են 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}^{j}}
  -ով, որտեղ վերևի ինդեքսը ցույց է տալիս տողի, իսկ ներքևի ինդեքսը՝ սյունի համարը։ Ինդեքսների այսպիսի դասավորվածության նպատակահարմարությունը պայմանավորված է գումարման վերաբերյալ հետևյալ համաձայնությամբ, եթե տված է 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   միանդամ արտահայտությունների գումար, ընդ որում գումարման 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
   ինդեքսը գումարի ընդհանուր անդամում հանդիպում է երկու անգամ՝ մի անգամ վերևում, մյուս անգամ ներքևում, ապա գումարման նշանը բաց է թողնվում։ Նոր բազիսին վերաբերվող մեծությունները նշանակվում են նույն նշաններով, բայց շտրիխներով նշված ինդեքսներով։ Եթե 
  
    
      
        
          p
          
            i
          
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{i}^{j}}
  -ն 
  
    
      
        
          
            
              (
              
                e
                
                  i
                
              
              )
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {(e_{i})}}}
  , բազիսից 
  
    
      
        
          
            
              (
              
                e
                
                  i
                
                ′
              
              )
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {(e_{i}')}}}
   բազիսին անցման մատրիցի տարրն է, իսկ 
  
    
      
        
          
            
              q
              
                i
              
              
                j
              
            
          
          
            
              
              ′
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {q_{i}^{j}}^{'}}
  -ն՝ ետադարձ անցման մատրիցի տարրը, ապա 
  
    
      
        
          
            
              (
              
                e
                
                  i
                
                ′
              
              )
            
            →
          
        
        =
        
          p
          
            i
          
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {(e_{i}')}}=p_{i}^{j}}
  , 
  
    
      
        
          
            
              (
              
                e
                
                  i
                
              
              )
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {(e_{i})}}}
   և 
  
    
      
        
          
            
              (
              
                e
                
                  i
                
              
              )
            
            →
          
        
        =
        
          
            
              q
              
                i
              
              
                j
              
            
          
          
            
              
              ′
            
          
        
        
          
            
              e
              
                i
              
              
                
                  
                  ′
                
              
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {(e_{i})}}={q_{i}^{j}}^{'}{\overrightarrow {e_{i}^{'}}}}
  ։
Դիցուք տրված է 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
   օբյեկտը, որը հնարավորություն է տալիս 
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
        n
      
    
    {\displaystyle E_{n}n}
  -չափանի վեկտորական տարածության յուրաքանչյուր բազիսում սահմանել 
  
    
      
        
          n
          
            p
            +
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle n^{p+q}}
   թվեր՝ 
  
    
      
        
          a
          
            
              i
              
                1
              
            
            .
            .
            .
            
              i
              
                p
              
            
          
          
            
              j
              
                1
              
            
            .
            .
            .
            
              j
              
                q
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i_{1}...i_{p}}^{j_{1}...j_{q}}}
  , որոնցից յուրաքանչյուրն ստացվում է 
  
    
      
        
          i
          
            1
          
        
        .
        .
        .
        
          i
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle i_{1}...i_{p}}
   և 
  
    
      
        
          j
          
            1
          
        
        .
        .
        .
        
          j
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle j_{1}...j_{q}}
   ինդեքսներին տալով որոշակի արժեքներ 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  -ից 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  ։ 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  -ն կոչվում է 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   անգամ կովարիանտ և 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   անգամ կոնտրավարիանտ թենզոր 
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E^{n}}
  -ի նկատմամբ, եթե նոր բազիսին անցնելիս 
  
    
      
        
          a
          
            
              i
              
                1
              
            
            .
            .
            .
            
              i
              
                p
              
            
          
          
            
              j
              
                1
              
            
            .
            .
            .
            
              j
              
                q
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i_{1}...i_{p}}^{j_{1}...j_{q}}}
   մեծությունները ձևափոխվում են 
  
    
      
        
          a
          
            
              i
              
                1
              
              
                
                  
                  ′
                
              
            
            .
            .
            .
            
              i
              
                p
              
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
          
            
              j
              
                1
              
              
                
                  
                  ′
                
              
            
            .
            .
            .
            
              j
              
                q
              
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
        
        =
        
          p
          
            
              i
              
                1
              
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
          
            
              i
              
                1
              
            
          
        
        .
        .
        .
        
          p
          
            
              i
              
                p
              
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
          
            
              i
              
                p
              
            
          
        
        
          q
          
            
              j
              
                1
              
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
          
            
              j
              
                1
              
            
          
        
        .
        .
        .
        
          q
          
            
              j
              
                q
              
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
          
            
              j
              
                q
              
            
          
        
        
          a
          
            
              i
              
                1
              
            
            .
            .
            .
            
              i
              
                p
              
            
          
          
            
              j
              
                1
              
            
            .
            .
            .
            
              j
              
                q
              
            
          
        
        (
        ∗
        )
      
    
    {\displaystyle a_{i_{1}^{'}...i_{p}^{'}}^{j_{1}^{'}...j_{q}^{'}}=p_{i_{1}^{'}}^{i_{1}}...p_{i_{p}^{'}}^{i_{p}}q_{j_{1}^{'}}^{j_{1}}...q_{j_{q}^{'}}^{j_{q}}a_{i_{1}...i_{p}}^{j_{1}...j_{q}}(*)}
   բանաձևով։

  
    
      
        
          a
          
            
              i
              
                1
              
            
            .
            .
            .
            
              i
              
                p
              
            
          
          
            
              j
              
                1
              
            
            .
            .
            .
            
              j
              
                q
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i_{1}...i_{p}}^{j_{1}...j_{q}}}
   թվերը կոչվում են 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
   թենզորի բաղադրիչներ, իսկ 
  
    
      
        p
        +
        q
      
    
    {\displaystyle p+q}
   թիվը՝ նրա ռանգ կամ կարգ։ Եթե միաժամանակ 
  
    
      
        p
        >
        0
      
    
    {\displaystyle p>0}
   և 
  
    
      
        q
        >
        0
      
    
    {\displaystyle q>0}
  , ապա 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  -ն կոչվում է խառը թենզոր։ 
  
    
      
        p
        >
        0
        ,
        q
        =
        0
      
    
    {\displaystyle p>0,q=0}
   դեպքում 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  -ն կոչվում է 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   անգամ կովարիանտ թենզոր և 
  
    
      
        (
        ∗
        )
      
    
    {\displaystyle (*)}
   բանաձևը ստանում է 
  
    
      
        
          a
          
            
              i
              
                1
              
              
                
                  
                  ′
                
              
            
            .
            .
            .
            
              j
              
                p
              
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
        
        =
        
          p
          
            
              i
              
                1
              
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
          
            
              i
              
                1
              
            
          
        
        .
        .
        .
        
          p
          
            
              i
              
                p
              
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
          
            
              i
              
                p
              
            
          
        
        
          a
          
            
              i
              
                1
              
            
            .
            .
            .
            
              i
              
                p
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i_{1}^{'}...j_{p}^{'}}=p_{i_{1}^{'}}^{i_{1}}...p_{i_{p}^{'}}^{i_{p}}a^{i_{1}...i_{p}}}
   տեսքը։ 
  
    
      
        p
        =
        0
        ,
        q
        >
        0
      
    
    {\displaystyle p=0,q>0}
   դեպքում 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  -ն անվանում են 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   անգամ կոնտրավարիանտ թենզոր և 
  
    
      
        (
        ∗
        )
      
    
    {\displaystyle (*)}
   բանաձևը ստանում է 
  
    
      
        
          a
          
            
              j
              
                1
              
              
                
                  
                  ′
                
              
            
            .
            .
            .
            
              j
              
                q
              
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
        
        =
        .
        .
        .
        
          q
          
            
              j
              
                1
              
            
          
          
            
              j
              
                1
              
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
        
        .
        .
        .
        
          q
          
            
              j
              
                q
              
            
          
          
            
              j
              
                q
              
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
        
        
          a
          
            
              j
              
                1
              
            
            .
            .
            .
            
              j
              
                q
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{j_{1}^{'}...j_{q}^{'}}=...q_{j_{1}}^{j_{1}^{'}}...q_{j_{q}}^{j_{q}^{'}}a^{j_{1}...j_{q}}}
   տեսքը։ Մեկ ռանգի թենզորները անվանում են վեկտորներ։ Յուրաքանչյուր թիվ (սկալյար) ձևականորեն անվանում են 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
   ռանգի թենզոր։ Թենզորների օրինակներ.
1. 
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E^{n}}
  -ի 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   վեկտորի կոորդինատները մի բազիսից մյուսին անցնելիս ձևափոխվում է են 
  
    
      
        
          x
          
            
              i
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
        
        =
        
          q
          
            i
          
          
            
              i
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
        
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{i^{'}}=q_{i}^{i^{'}}x^{i}}
   բանաձևով, հետևաբար, յուրաքանչյուր 
  
    
      
        x
        ∈
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x\in E^{n}}
   վեկտոր կոնտրավարիանտ թենզոր է 
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E^{n}}
  -ի նկատմամբ։
2. 
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E^{n}}
  -ի վրա տրված 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   գծային ձևի գործակիցները մի բազիսից մյուսին անցնելիս ձևափոխվում են 
  
    
      
        
          a
          
            
              i
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
        
        =
        
          p
          
            
              i
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
          
            i
          
        
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i^{'}}=p_{i^{'}}^{i}a_{i}}
   բանաձևով, հետևաբար յուրաքանչյուր 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   գծային ձև կովարիանտ թենզոր է 
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E^{n}}
  -ի նկատմամբ։
3. 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   գծային ձևափոխության մատրիցի տարրերը մի բազիսից մյուսին անցնելիս ձևափոխվում են 
  
    
      
        
          a
          
            
              i
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
          
            
              j
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
        
        =
        
          p
          
            
              i
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
          
            i
          
        
        
          q
          
            j
          
          
            
              j
              
                
                  
                  ′
                
              
            
          
        
        
          a
          
            i
          
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i^{'}}^{j^{'}}=p_{i^{'}}^{i}q_{j}^{j^{'}}a_{i}^{j}}
   բանաձևով, հետևաբար 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ն երկրորդ ռանգի խառը թենզոր է 
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E^{n}}
  -ի նկատմամբ, ընդ որում՝ մեկ անգամ կովարիանտ և մեկ անգամ կոնտրավարիանտ։