Եռանկյան անհավասարություն

Եռանկյան անհավասարություն, երկրաչափության , ֆունկցիոնալ վերլուծության և դրանց առնչվող առարկաներում հեռավորության ինտուիտիվ հատկություններից մեկը։ Այն պնդում է, որ եռանկյան ցանկացած կողմի երկարությունը միշտ փոքր է, քան մյուս 2 կողմերի երկարությունների գումարը։ Եռանկյան անհավասարությունը  չափային տարածության, նորմայի և այլնի սահմանման մեջ, ներառված է որպես աքսիոմ։ Դա հաճախ նաև թեորեմ է հանդիսանում տարբեր տեսություններում։


== Էվկլիդեսյան երկրաչափություն ==

Դիցուք՝ տրված է  
  
    
      
        Δ
        A
        B
        C
        .
      
    
    {\displaystyle \Delta ABC.}
   և 
  
    
      
        
          |
        
        A
        C
        
          |
        
        ⩽
        
          |
        
        A
        B
        
          |
        
        +
        
          |
        
        B
        C
        
          |
        
        ,
      
    
    {\displaystyle |AC|\leqslant |AB|+|BC|,}
   ընդորում  
  
    
      
        
          |
        
        A
        C
        
          |
        
        =
        
          |
        
        A
        B
        
          |
        
        +
        
          |
        
        B
        C
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |AC|=|AB|+|BC|}
   ստացվում է միայն այն դեպքում, երբ եռանկյան մեջ  
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   գտնվում է  
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   և 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   կետերի միջև, մի ուղղի վրա։
BD- ն՝ AB- ի շարունակությունն է (ըստ կառուցման):Ընդորում, β> α  և  AD> AC: Սակայն AD = AB + BD = AB + BC, այնպես, որ AB + BC> AC: Այս ապացույցը բերվում է Էվկլիդեսի տեսությունում( Գիրք 1)։
Ապացուցում է եռանկյան անհավասարությունը հետևյալ կերպ։ Նախ՝ ապացուցվում է թեորեմ այն մասին, որ եռանկյան արտաքին անկյունը մեծ է ներքին անկյունից, որը նրան կից չէ։ Դրանից բխում է թեորեմ,որ եռանկյունու մեծ կողմի հանդիպակած անկյունը մեծ է։ Հետագայում, օգտագործելով հակառակ եղանակը, մենք ապացուցում ենք այն թեորեմը, որ եռանկյան ավելի մեծ ներքին անկյան դիմաց գտնվում է մեծ կողմը, և այս թեորեմից դուրս է բերում եռանկյան անհավասարությունը։


== Նորմավորված տարածություն ==
Դիցուք՝ 
  
    
      
        (
        X
        ,
        ‖
        ⋅
        ‖
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\|\cdot \|)}
  ֊ն նորմավորված վեկտորական տարածությունն է, որտեղ  
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  ֊ը կամայական բազմություն է իսկ  
  
    
      
        ‖
        ⋅
        ‖
      
    
    {\displaystyle \|\cdot \|}
  ֊ը 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  ֊ի վրա որոշված նորմ։ Այդ դեպքում ըստ վերջինիս սահմանման ճիշտ է հետևյալ անհավասարությունը․

  
    
      
        ‖
        x
        +
        y
        ‖
        ⩽
        ‖
        x
        ‖
        +
        ‖
        y
        ‖
        ,
        
        ∀
        x
        ,
        y
        ∈
        X
        .
      
    
    {\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|,\quad \forall x,y\in X.}
  


== Մետրիկական տարածություն ==
Դիցուք՝ 
  
    
      
        (
        X
        ,
        ρ
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\rho )}
  ֊ն մետրիկական տարածություն է, որտեղ 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ը կամայական բազմություն է, իսկ  
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  -ն 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   -ի վրա որոշված մետրիկա։ Ըստ վերջինիս սահմանման

  
    
      
        ρ
        (
        x
        ,
        y
        )
        ⩽
        ρ
        (
        x
        ,
        z
        )
        +
        ρ
        (
        z
        ,
        y
        )
        ,
        
        x
        ,
        y
        ,
        z
        ∈
        X
        .
      
    
    {\displaystyle \rho (x,y)\leqslant \rho (x,z)+\rho (z,y),\quad x,y,z\in X.}
  


== Տարբերակում և ընդհանրացում ==

  
    
      
        d
        (
        x
        ,
        z
        )
        ⩽
        max
        (
        d
        (
        x
        ,
        y
        )
        ,
        d
        (
        y
        ,
        z
        )
        )
      
    
    {\displaystyle d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))}
   Եռանկյան մեծ անհավասարություն


=== Եռանկյան հակառակ անհավասարություն ===
Մետրական և նորմավորված տարածությունում եռանկյան անհավասարության հետևանքն է հանդիսանում հետևյալ անհավասարությունը․

  
    
      
        
          |
        
        ρ
        (
        x
        ,
        y
        )
        −
        ρ
        (
        x
        ,
        z
        )
        
          |
        
        ⩽
        ρ
        (
        y
        ,
        z
        )
        ,
        
        x
        ,
        y
        ,
        z
        ∈
        X
        .
      
    
    {\displaystyle |\rho (x,y)-\rho (x,z)|\leqslant \rho (y,z),\quad x,y,z\in X.}
  


=== Եռանկյան անհավասարությունը եռանիստ անկյան համար ===
Ուռուցիկ եռանիստ անկյան յուրաքանչյուր հարթ անկյուն փոքր է մյուս երկու հարթ անկյունների գումարից։


=== Կետերի կամայական թիվ ===
Նշանակենք 
  
    
      
        ρ
        (
        
          x
          
            i
          
        
        ,
        
          x
          
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \rho (x_{i},x_{j})}
  ֊ով 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
   և 
  
    
      
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{j}}
   կետերի հեռավորությունը։ Այդ դեպքում տեղի ունի հետևյալ անհավասարությունը՝ 
  
    
      
        ρ
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            m
          
        
        )
        ⩽
        ρ
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        )
        +
        ρ
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        )
        +
        .
        .
        .
        +
        ρ
        (
        
          x
          
            m
            −
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+...+\rho (x_{m-1},x_{m})}
  ։ Անհավասարությունը ստացվում է երեք կետերի համար եռանկյան անհավասարությունը հաջորդաբար կիրառելով․

  
    
      
        ρ
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            m
          
        
        )
        ⩽
        ρ
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        )
        +
        ρ
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            m
          
        
        )
        ⩽
        ρ
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        )
        +
        ρ
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        )
        +
        ρ
        (
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        
          x
          
            m
          
        
        )
        ⩽
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle \rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+\rho (x_{3},x_{m})\leqslant ...}
  


== Ծանոթագրություններ ==