Արտապատկերում

Արտապատկերում, ժամանակակից մաթեմատիկայի հիմնական գաղափարներից։ Եթե 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   բազմության յուրաքանչյուր 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   տարրի ինչ–որ ձևով համապատասխանեցված է 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
   բազմության որոշակի 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   տարր, ապա այդ համապատասխանությունն անվանում են 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   բազմության արտապատկերում 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  -ի մեջ և գրում 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f\colon X\to Y}
  , ընդ որում 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  -ն անվանում են 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի պատկեր և նշանակում 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
   (չի բացառվում, որ 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ի տարբեր տարրեր ունենան միևնույն պատկերը)։ Եթե 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   արտապատկերումն այնպիսին է, որ 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ի տարբեր տարրերի պատկերները տարբեր են, ապա 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ը կոչվում է ինյեկտիվ, իսկ եթե 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  -ի յուրաքանչյուր տարր 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ի որևէ տարրի պատկեր է, ապա 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ը կոչվում է սյուրյեկտիվ։ Եթե 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ը միաժամանակ և՛ ինյեկտիվ է, և՛ սյուրյեկտիվ, ապա այն կոչվում է բիյեկտիվ։ Օրինակ, եթե յուրաքանչյուր իրական թվի համապատասխանեցնենք նրա քառակուսին, ապա կունենանք բոլոր իրական թվերի 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   բազմության արտապատկերում 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ի մեջ։ Այս արտապատկերումը ինյեկտիվ չէ, որովհետև երկու տարբեր իրական թվեր՝ 
  
    
      
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {x}}}
  -ը և 
  
    
      
        −
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\sqrt {x}}}
  -ը (
  
    
      
        x
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle x\geq 0}
  ) ունեն միևնույն պատկերը։ Այն նաև սյուրյեկտիվ չէ, քանի որ ոչ մի բացասական թիվ որևէ իրական թվի պատկեր չէ։ Սակայն հիշյալ համապատասխանությունը, դիտարկված միայն դրական թվերի 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   բազմության վրա, 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ի բիյեկտիվ արտապատկերում է 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ի վրա, որովհետև տարբեր դրական թվերի պատկերները տարբեր են և յուրաքանչյուր 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   դրական թվի համար գոյություն ունի դրական թիվ՝ 
  
    
      
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {x}}}
  -ը, որի պատկերը 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ն է։

  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ի բոլոր այն տարրերի բազմությունը, որոնց պատկերները 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   արտապատկերման դեպքում ընկած են 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  -ի 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   ենթաբազմության մեջ, կոչվում է 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   ենթաբազմության նախապատկեր և նշանակվում է 
  
    
      
        
          f
          
            −
            2
          
        
        (
        B
        )
      
    
    {\displaystyle f^{-2}(B)}
  ։

  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  -ի բոլոր այն տարրերի բազմությունը, որոնցից յուրաքանչյուրը 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ի 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   ենթաբազմության ինչ–որ տարրի պատկերն է, կոչվում է 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   ենթաբազմության պատկեր և նշանակվում է 
  
    
      
        f
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle f(A)}
  ։
Եթե 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f\colon X\to Y}
   ինյեկտիվ արտապատկերում է, ապա 
  
    
      
        f
        (
        X
        )
        =
        
          Y
          ′
        
      
    
    {\displaystyle f(X)=Y'}
   բազմության յուրաքանչյուր 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   տարրին համապատասխանեցնելով նրա միակ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   նախապատկերը, կստանանք 
  
    
      
        
          f
          
            −
            1
          
        
        :
        
          Y
          ′
        
        →
        X
      
    
    {\displaystyle f^{-1}\colon Y'\to X}
   արտապատկերում, որն անվանվում է 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ի հակադարձ արտապատկերում։
Եթե 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f\colon X\to Y}
   և 
  
    
      
        g
        :
        Y
        →
        Z
      
    
    {\displaystyle g\colon Y\to Z}
  -ն կամայական արտապատկերումներ են, ապա 
  
    
      
        h
        :
        X
        →
        Z
      
    
    {\displaystyle h\colon X\to Z}
   արտապատկերում, որը 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ի յուրաքանչյուր 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   տարրի համապատասխանեցնում է 
  
    
      
        g
        (
        y
        )
        =
        E
        Z
      
    
    {\displaystyle g(y)=EZ}
  -ն որտեղ 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  , կոչվում է 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   և 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   արտապատկերումների կոմպոզիցիա և նշանակվում 
  
    
      
        
          g
          
            o
          
        
        f
      
    
    {\displaystyle g_{o}f}
  ։