Գրավիտացիոն պոտենցիալ

Գրավիտացիոն պոտենցիալ, կոորդինատների և ժամանակի սկալյար ֆունկցիա, որը բավարար է  գրավիտացիոն դաշտի լրիվ նկարագրման համար դասական մեխանիկայում։ Գրավիտացիոն պոտենցիալն ունի արագության քառակուսու չափականությունը և սովորաբար նշանակվում է 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
   տառով։ Հավասար է գրավիտացիոն դաշտի դիտարկվող կետում գտնվող նյութական կետի պոտենցիալ էներգիայի և այդ կետի զանգվածի հարաբերությանը։ Գրավիտացիոն պոտենցիալի հասկացությունն առաջին անգամ ներմուծել է Ադրիեն Մարի Լեժանդրը 18-րդ դարի վերջին։
Գրավիտացիայի ժամանակակից տեսություններում գրավիտացիոն պոտենցիալի դերում սովորաբար թենզորական դաշտերն են։ Այսպես, գրավիտացիայի ներկայիս ստանդարտ տեսությունում՝ հարաբերականության հատուկ տեսությունում գրավիտացիոն պոտենցիալի դերը խաղում է մետրիկ թենզորը։


== Գրավիտացիոն պոտենցիալ և շարժման հավասարումներ ==
Դասական մեխանիկայում մասնիկի շարժումը գրավիտացիոն դաշտում որոշվում է Լագրանժի ֆունկցիայով, որը իներցիալ հաշվարկման համակարգում հետևյալ տեսքն ունի՝

  
    
      
        L
        =
        
          
            
              m
              
                
                  
                    
                      q
                      ˙
                    
                  
                
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        −
        m
        φ
      
    
    {\displaystyle L={\frac {m{\dot {q}}^{2}}{2}}-m\varphi }
  , որտեղ 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  ֊ը մասնիկի զանգվածն է, 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  ֊ն՝ կոորդինատները, 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  ֊ն՝ գրավիտացիոն դաշտի պոտենցիալը։L լագրանժյանի համար արտահայտությունը տեղադրելով Լագրանժի հավասարման մեջ՝

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                
                  
                    q
                    ˙
                  
                
              
            
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              q
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}=0}
  ,ստանում ենք շարժման հավասարումները՝

  
    
      
        
          
            
              q
              ¨
            
          
        
        =
        −
        g
        r
        a
        d
        (
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle {\ddot {q}}=-grad(\varphi )}
  :


== Գրավիտացիոն պոտենցիալը և համարժեքության սկզբունքը ==
Դասական մեխանիկայում գրավիտացիոն դաշտում մասնիկի շարժման հավասարումները չեն պարունակում զանգվածը կամ մասնիկը բնութագրող այլ մեծություն։ Դա գրավիտացիոն դաշտի հիմնական հատկության՝ համարժեքության սկզբունքի արտահայտությունն է։


== Կետային մասնիկի և կամայական մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալը ==
Կետային մասնիկի գրավիտացիոն պոտենցիալը հավասար է 

  
    
      
        φ
        =
        −
        
          
            
              G
              m
            
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi =-{\frac {Gm}{R}}}
  ,որտեղ  
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  ֊ն գրավիտացիոն հաստատունն է, 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  ֊ը՝ մասնիկի զանգվածը, 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  ֊ը՝ հեռավորությունը մասնիկից։ Այս նույն բանաձևն արդարացի է ցանկացած մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալի համար, որի ներսում խտությունը սֆերրիկ սիմետրիկ է բաշխված։
Կամայական 
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
   խտությամբ բաշխված զանգվածով մարմնի համար գրավիտացիոն պոտենցիալը բավարարում է Պուասսոնի հավասարմանը․ 

  
    
      
        Δ
        φ
        =
        −
        4
        π
        G
        ρ
      
    
    {\displaystyle \Delta \varphi =-4\pi G\rho }
  ,որտեղ 
  
    
      
        Δ
      
    
    {\displaystyle \Delta }
  ֊ն Լապլասի օպերատորն է, 
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  ֊ն՝ զանգվածի բաշխման ծավալային խտությունը դիտարկվող կետում։ Այս հավասարման ընդհանուր  լուծումն ունի հետևյալ տեսքը՝ 

  
    
      
        φ
        =
        −
        G
        
          ∫
          
            V
          
        
        
          
            
              ρ
              d
              V
            
            r
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \varphi =-G\int _{V}{\frac {\rho dV}{r}},}
  ,որտեղ r֊ը dV ծավալի տարրի հեռավորությունն է դաշի դիտարկվող կետից, իսկ ինտեգրումը կատարվում է դաշտը ստեղծող մարմնի ամբողջ ծավալով։  Սիմետրիկ մարմնի գրավիտացիոն պոտենցիալը սիմետրիկ է։


== Գրավիտացիոն պոտենցիալը և պոտենցիալ էներգիան ==
Մասնիկի պոտենցիալ էներգիան գրավիտացիոն դաշտում հավասար է նրա զանգվածի և դաշտի պոտենցիալի արտադրյալին։ Զանգվածի կամայական բաշխման դեպքում պոտենցիալ էներգիայի համար ճիշտ է

  
    
      
        U
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ∫
        
          μ
          φ
          d
          V
        
        ,
        
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle U={\frac {1}{2}}\int {\mu \varphi dV},\qquad \qquad (1)}
  արտահայտությունը, որտեղ 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  ֊ն մարմնի զանգվածի խտությունն է, 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  ֊ն՝ գրավիտացիոն պոտենցիալը, 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  ֊ն՝ մարմնի  ծավալը։


== Հաստատուն գրավիտացիոն դաշտի գրավիտացիոն պոտենցիալ ==
Կամայական մարմնի համար գրավիտացիոն պոտենցիալի բանաձևն ունի

  
    
      
        φ
        =
        −
        G
        
          (
          
            
              
                M
                
                  R
                  
                    0
                  
                
              
            
            +
            
              
                1
                6
              
            
            
              D
              
                α
                β
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    
                      X
                      
                        α
                      
                    
                  
                  ∂
                  
                    
                      X
                      
                        β
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                1
                
                  R
                  
                    0
                  
                
              
            
            +
            .
            .
            .
          
          )
        
        
        
        (
        2
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \varphi =-G\left({\frac {M}{R_{0}}}+{\frac {1}{6}}D_{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}}{\partial {X_{\alpha }}\partial {X_{\beta }}}}{\frac {1}{R_{0}}}+...\right)\qquad \qquad (2),}
  տեսքը, որտեղ 
  
    
      
        M
        =
        ∫
        μ
        d
        V
      
    
    {\displaystyle M=\int \mu dV}
  ֊ը համակարգի լրիվ զանգվածն է, իսկ 

  
    
      
        
          D
          
            α
            β
          
        
        =
        ∫
        μ
        (
        3
        
          x
          
            α
          
        
        
          x
          
            β
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        
          δ
          
            α
            β
          
        
        )
        d
        V
      
    
    {\displaystyle D_{\alpha \beta }=\int \mu (3x_{\alpha }x_{\beta }-r^{2}\delta _{\alpha \beta })dV}
  մեծությունները կարելի է անվանել զանգվածի քվադրուպոլմոմենտի թենզոր։ Սովորական

  
    
      
        
          J
          
            α
            β
          
        
        =
        ∫
        μ
        (
        
          r
          
            2
          
        
        
          δ
          
            α
            β
          
        
        −
        
          x
          
            α
          
        
        
          x
          
            β
          
        
        )
        d
        V
      
    
    {\displaystyle J_{\alpha \beta }=\int \mu (r^{2}\delta _{\alpha \beta }-x_{\alpha }x_{\beta })dV}
  իներցիայի մոմենտի թենզորի հետ այն կապված է

  
    
      
        
          D
          
            α
            β
          
        
        =
        
          J
          
            γ
            γ
          
        
        
          δ
          
            α
            β
          
        
        −
        3
        
          J
          
            α
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{\alpha \beta }=J_{\gamma \gamma }\delta _{\alpha \beta }-3J_{\alpha \beta }}
  առնչություններով։


== Մոլորակների  գրավիտացիոն պոտենցիալը ==
Ընդհանուր դեպքում ցանկացած տիեզերական մարմնիի գրավիտացիոն պոտենցիալը կարելի է վերլուծել ըստ սֆերիկ ֆունկցիաների՝

  
    
      
        U
        =
        
          
            
              G
              M
            
            r
          
        
        
          (
          
            1
            −
            
              ∑
              
                n
                =
                2
              
              
                ∞
              
            
            
              J
              
                n
              
            
            
              
                (
                
                  
                    R
                    r
                  
                
                )
              
              
                n
              
            
            
              P
              
                n
              
            
            (
            sin
            ⁡
            θ
            )
            +
            
              ∑
              
                n
                =
                2
              
              
                ∞
              
            
            
              ∑
              
                k
                =
                2
              
              
                n
              
            
            
              
                (
                
                  
                    R
                    r
                  
                
                )
              
              
                n
              
            
            (
            
              C
              
                n
                m
              
            
            cos
            ⁡
            (
            m
            λ
            )
            +
            
              S
              
                n
                m
              
            
            sin
            ⁡
            (
            m
            λ
            )
            )
            
              P
              
                n
              
              
                k
              
            
            (
            sin
            ⁡
            θ
            )
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle U={\frac {GM}{r}}\left(1-\sum _{n=2}^{\infty }J_{n}\left({\frac {R}{r}}\right)^{n}P_{n}(\sin \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {R}{r}}\right)^{n}(C_{nm}\cos(m\lambda )+S_{nm}\sin(m\lambda ))P_{n}^{k}(\sin \theta )\right)}
  ։Այստեղ 
  
    
      
        r
        ,
        θ
        ,
        λ
      
    
    {\displaystyle r,\theta ,\lambda }
  ֊ը դիտարկվող կետի սֆերիկ կոորդինատներն են, 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{n}}
  ֊ն՝ Լեժանդրի n-րդ կարգի բազմանդամը, 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{n}^{k}}
  ֊ը՝  Լեժանդրի միակցված բազմանդամները, 
  
    
      
        
          J
          
            n
          
        
        ,
        
          C
          
            n
            m
          
        
        ,
        
          S
          
            n
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{n},C_{nm},S_{nm}}
  ֊ը՝ գրավիտացիոն մոմենտները։


== Գրավիտացիոն պոտենցիալը և մարմնի գրավիտացիոն էներգիան ==
Մարմնի գրավիտացիոն էներգիանն ստացվում է՝ ինտեգրելով (1) արտահայտությունը մարմնի ծավալով, պոտենցիալի համար օգտագործելով  (2) արտահայտությունը։  m զանգվածով,  a շառավղով, զանգվածի խտության հավասարաչափ բաշխումով գնդի համար ստացվում է մարմնի  U գրավիտացիոն էներգիայի արտահայտությունը՝

  
    
      
        U
        =
        
          
            
              −
              3
              G
              
                m
                
                  2
                
              
            
            
              5
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle U={\frac {-3Gm^{2}}{5a}}}
  ։


== Գրավիտացիոն պոտենցիալը և հարաբերականության ընդհանուր տեսությունը ==
հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ նյութական կետի շարժման հավասարումը գրավիտացիոն դաշտում ունի  

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              d
              
                s
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          Γ
          
            r
            s
          
          
            i
          
        
        
          
            
              d
              
                x
                
                  r
                
              
            
            
              d
              s
            
          
        
        
          
            
              d
              
                x
                
                  s
                
              
            
            
              d
              s
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{ds^{2}}}+\Gamma _{rs}^{i}{\frac {dx^{r}}{ds}}{\frac {dx^{s}}{ds}}=0}
  ,տեսքը, որտեղ 
  
    
      
        
          Γ
          
            r
            s
          
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              g
              
                i
                k
              
            
            2
          
        
        (
        
          
            
              d
              
                g
                
                  k
                  r
                
              
            
            
              d
              
                x
                
                  s
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              d
              
                g
                
                  k
                  s
                
              
            
            
              d
              
                x
                
                  r
                
              
            
          
        
        −
        
          
            
              d
              
                g
                
                  r
                  s
                
              
            
            
              d
              
                x
                
                  k
                
              
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \Gamma _{rs}^{i}={\frac {g^{ik}}{2}}({\frac {dg_{kr}}{dx^{s}}}+{\frac {dg_{ks}}{dx^{r}}}-{\frac {dg_{rs}}{dx^{k}}})}
  ֊ն  Քրիստոֆելի սիմվոլներն են, 
  
    
      
        
          g
          
            i
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{ik}}
  ֊ն մետրիկ թենզորն է, որը հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ բնութագրում է գրավիտացիոն դաշտը։
Այս շարժման հավասարումները համեմատելով 
  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              d
              φ
            
            
              d
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {d\varphi }{dx^{i}}}}
   շարժման հավասարումների հետ տեսնում ենք, որ  
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
   գրավիտացիո պոտենցիալի դերը հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ խաղում է մետրիկ թենզորը։ 
Լույսի արագությունից փոքր արագությունների և թույլ հաստատուն գրավիտացիոն դաշտերի դեպքում շարժման հավասարումներն ընդունում են

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          c
          
            2
          
        
        
          Γ
          
            44
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-c^{2}\Gamma _{44}^{i}}
  տեսքը 
  
    
      
        i
        =
        1
        ,
        2
        ,
        3
      
    
    {\displaystyle i=1,2,3}
   տարածական և 
  
    
      
        
          x
          
            4
          
        
        =
        c
        t
      
    
    {\displaystyle x^{4}=ct}
   ժամանակային կոորդինատների համար։ Անտեսելով ըստ ժամանակի ածանցյալները, 
  
    
      
        
          Γ
          
            44
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma _{44}^{i}}
  ֊ի փոխարեն կարելի է տեղադրել 
  
    
      
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              d
              
                g
                
                  44
                
              
            
            
              d
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {dg_{44}}{dx^{i}}}}
   և այսպիսով ստանալ 

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              d
              φ
            
            
              d
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {d\varphi }{dx^{i}}}}
  շարժման նյուտոնյան հավասարումները։ Այստեղ 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
   գրավիտացիոն պոտենցիալը և մետրիկ թենզորի 
  
    
      
        
          g
          
            44
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{44}}
   բաղադրիչները կապված են  

  
    
      
        φ
        =
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        (
        
          g
          
            44
          
        
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi =-{\frac {1}{2}}c^{2}(g_{44}+1)}
  , 
  
    
      
        
          g
          
            44
          
        
        =
        −
        
          (
          
            1
            +
            
              
                
                  2
                  φ
                
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle g_{44}=-\left(1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}\right)}
  առնչություններով։
Քանի որ դադարի վիճակում գտնվող ժամացույցի համաշխարհային գիծը հավասար է 

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        
          g
          
            44
          
        
        (
        d
        
          x
          
            4
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=g_{44}(dx^{4})^{2}}
  ,իսկ ժամանակը՝  

  
    
      
        t
        =
        
          
            
              x
              
                4
              
            
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle t={\frac {x^{4}}{c}}}
  ,ապա ժամացույցի դանդաղումը գրավիտացիոն դաշտում կլինի 

  
    
      
        
          t
          
            g
          
        
        =
        
          
            t
            
              −
              
                g
                
                  44
                
              
            
          
        
        =
        
          
            t
            
              1
              +
              
                
                  
                    2
                    φ
                  
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
        
        ≈
        t
        (
        1
        −
        
          
            φ
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle t_{g}={\frac {t}{\sqrt {-g_{44}}}}={\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}}}}\approx t(1-{\frac {\varphi }{c^{2}}})}
  ։Գրավիտացիոն պոտենցիալի ավելի փոքր արժեքով կետում Ժամանակի ընթացքի հարաբերական դանդաղումը  համեմատած ավելի մեծ գրավիտացիոն պոտենցիալով կետի հետ հավասար է այդ կետերում գրավիտացիոն պոտենցիալի տարբերության և լույսի արագության քառակուսու հարաբերությանը։


== Տես նաև ==
Նյուտոնի դասական ձգողության տեսություն


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., «Теоретическая физика», учебное пособие для вузов, в 10 т. / т. 1, «Механика», 5-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2002, 224 с., ISBN 5-9221-0055-6 (т. 1), гл. 1 «Уравнения движения», п. 2 «Принцип наименьшего действия», с. 10-14;
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., «Теоретическая физика», уче. пособ. для вузов, в 10 т. / т. 2, «Теория поля», 8-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2001, 536 с., ISBN 5-9221-0056-4 (т. 2), гл. 10 «Частица в гравитационном поле», п. 81 «Гравитационное поле в нерелятивистской механике», с. 304—306; гл. 12 «Поле тяготеющих тел», п. 99 «Закон Ньютона», с. 397—401;
С. Вейнберг, «Гравитация и космология», Принципы и приложения общей теории относительности, пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова, под ред. Я. А. Смородинского, «Платон», 2000, ISBN 5-80100-306-1, ч. 2 «Общая теория относительности», гл. 3 «Принцип эквивалентности», п. 4 «Ньютоновское приближение», с. 92-93;
К. В. Холшевников, И. И. Никифоров Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах: Учебное пособие. — С-Пб., 2008. — 72 с., ББК 22.6.
Жарков В. Н. Внутреннее строение Земли и планет. — М.: Наука, 1978. — 192 с.