Ֆերմայի թիվ

Ֆերմայի թվերը այս՝ 
  
    
      
        
          F
          
            n
          
        
        =
        
          2
          
            
              2
              
                n
              
            
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}
   տեսքի թվերն են, որտեղ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը ոչ բացասական ամբողջ թիվ է։ Ֆերմայի թվերի հաջորդականությունը սկսվում է այսպես.

3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, …


== Պատմություն ==
Այս տեսքի թվերի ուսումնասիրությունը սկսել է Ֆերման, և ըստ նրա առաջ քաշած հիպոթեզի դրանք բոլորը պարզ են։ Սակայն դա հերքել է Էյլերը 1732 թվին, վերլուծելով 
  
    
      
        
          F
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{5}}
  -ը պարզ արտադրիչների՝ 

  
    
      
        
          F
          
            5
          
        
        =
        4294967297
        =
        641
        ⋅
        6700417
      
    
    {\displaystyle F_{5}=4294967297=641\cdot 6700417}
  


== Հատկություններ ==
Հավասարակողմ n-անկյունը կարելի է կառուցել կարկինի և քանոնի միջոցով, այն և միայն այն դեպքում, եթե 
  
    
      
        n
        =
        
          2
          
            r
          
        
        ⋅
        
          p
          
            1
          
        
        ⋅
        
          p
          
            2
          
        
        ⋯
        
          p
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle n=2^{r}\cdot p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{k}}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{i}}
   տարբեր պարզ թվեր են։ (Գաուս-Վանցելի թեորեմ)

  
    
      
        
          2
          
            n
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle 2^{n}+1}
   թվերի շարքում պարզ կարող են լինել միայն Ֆերմայի թվերը (այսինքն n-ը պիտի լինի 2-ի աստիճան)։ Իսկապես, եթե 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ն ունի ոչ զույգ արտադրիչ 
  
    
      
        m
        >
        1
      
    
    {\displaystyle m>1}
  , ապա ըստ Բեզուի թեորեմի.

  
    
      
        
          2
          
            n
          
        
        +
        1
        =
        (
        
          2
          
            m
          
        
        +
        1
        )
        (
        1
        −
        
          2
          
            m
          
        
        +
        
          2
          
            2
            m
          
        
        −
        ⋯
        +
        
          2
          
            n
            −
            m
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle 2^{n}+1=(2^{m}+1)(1-2^{m}+2^{2m}-\cdots +2^{n-m}),}
  և այդ պատճառով 
  
    
      
        
          2
          
            n
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle 2^{n}+1}
  -ն չեն հանդիսանում պարզ։Ֆերմայի թվերի պարզությունը կարելի է էֆֆեկտիվորեն պարզել Պեպինի թեստի միջոցով։
Այս պահի դրությամբ հայտնի է միայն 5 Ֆերմայի պարզ թիվ. 3, 5, 17, 257 և 65537:
Հայտնի է, որ 
  
    
      
        
          F
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{n}}
   հանդիսանում են բաղադրյալ, եթե 
  
    
      
        5
        ≤
        n
        ≤
        32
      
    
    {\displaystyle 5\leq n\leq 32}
  ։


== Պարզ արտադրիչների վերլուծություն ==

  
    
      
        
          F
          
            0
          
        
        =
        
          2
          
            
              2
              
                0
              
            
          
        
        +
        1
        =
        
          2
          
            1
          
        
        +
        1
        =
        3
      
    
    {\displaystyle F_{0}=2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3}
  

  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
        =
        
          2
          
            
              2
              
                1
              
            
          
        
        +
        1
        =
        
          2
          
            2
          
        
        +
        1
        =
        5
      
    
    {\displaystyle F_{1}=2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5}
  

  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
        =
        
          2
          
            
              2
              
                2
              
            
          
        
        +
        1
        =
        
          2
          
            4
          
        
        +
        1
        =
        17
      
    
    {\displaystyle F_{2}=2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17}
  

  
    
      
        
          F
          
            3
          
        
        =
        
          2
          
            
              2
              
                3
              
            
          
        
        +
        1
        =
        
          2
          
            8
          
        
        +
        1
        =
        257
      
    
    {\displaystyle F_{3}=2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257}
  

  
    
      
        
          F
          
            4
          
        
        =
        
          2
          
            
              2
              
                4
              
            
          
        
        +
        1
        =
        
          2
          
            16
          
        
        +
        1
        =
        65537
      
    
    {\displaystyle F_{4}=2^{2^{4}}+1=2^{16}+1=65537}
  

  
    
      
        
          F
          
            5
          
        
        =
        
          2
          
            
              2
              
                5
              
            
          
        
        +
        1
        =
        
          2
          
            32
          
        
        +
        1
        =
        4294967297
        =
        (
        5
        ⋅
        
          2
          
            5
            +
            2
          
        
        +
        1
        )
        ⋅
        (
        52347
        ⋅
        
          2
          
            5
            +
            2
          
        
        +
        1
        )
        =
        641
        ⋅
        6700417
      
    
    {\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=(5\cdot 2^{5+2}+1)\cdot (52347\cdot 2^{5+2}+1)=641\cdot 6700417}
  

  
    
      
        
          F
          
            6
          
        
        =
        
          2
          
            
              2
              
                6
              
            
          
        
        +
        1
        =
        
          2
          
            64
          
        
        +
        1
        =
        18446744073709551617
        =
        (
        1071
        ⋅
        
          2
          
            6
            +
            2
          
        
        +
        1
        )
        ⋅
        (
        
          262
          ′
        
        
          814
          ′
        
        
          145
          ′
        
        745
        ⋅
        
          2
          
            6
            +
            2
          
        
        +
        1
        )
        =
        274177
        ⋅
        67280421310721
      
    
    {\displaystyle F_{6}=2^{2^{6}}+1=2^{64}+1=18446744073709551617=(1071\cdot 2^{6+2}+1)\cdot (262'814'145'745\cdot 2^{6+2}+1)=274177\cdot 67280421310721}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  F
                  
                    7
                  
                
                =
                
                  2
                  
                    
                      2
                      
                        7
                      
                    
                  
                
                +
                1
                =
                
                  2
                  
                    128
                  
                
                +
                1
              
              
                =
              
              
                340282366920938463463374607431768211457
                =
              
            
            
              
              
                =
              
              
                (
                116
                
                503
                
                103
                
                764
                
                643
                ⋅
                
                  2
                  
                    7
                    +
                    2
                  
                
                +
                1
                )
                ⋅
                (
                11
                
                141
                
                971
                
                095
                
                088
                
                142
                
                685
                ⋅
                
                  2
                  
                    7
                    +
                    2
                  
                
                +
                1
                )
                =
              
            
            
              
              
                =
              
              
                59
                
                649
                
                589
                
                127
                
                497
                
                217
                ⋅
                5
                
                704
                
                689
                
                200
                
                685
                
                129
                
                054
                
                721
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{lll}F_{7}=2^{2^{7}}+1=2^{128}+1&=&340282366920938463463374607431768211457=\\&=&(116\,503\,103\,764\,643\cdot 2^{7+2}+1)\cdot (11\,141\,971\,095\,088\,142\,685\cdot 2^{7+2}+1)=\\&=&59\,649\,589\,127\,497\,217\cdot 5\,704\,689\,200\,685\,129\,054\,721\end{array}}}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  F
                  
                    8
                  
                
                =
                
                  2
                  
                    
                      2
                      
                        8
                      
                    
                  
                
                +
                1
                =
                
                  2
                  
                    256
                  
                
                +
                1
              
              
                =
              
              
                115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937
                =
              
            
            
              
              
                =
              
              
                (
                3853149761
                ⋅
                157
                ⋅
                
                  2
                  
                    8
                    +
                    3
                  
                
                +
                1
                )
                ⋅
              
            
            
              
              
              
                <
                (
                1057372046781162536274034354686893329625329
                ⋅
                31618624099079
                ⋅
                13
                ⋅
                7
                ⋅
                5
                ⋅
                3
                ⋅
                
                  2
                  
                    8
                    +
                    3
                  
                
                +
                1
                )
                =
              
            
            
              
              
                =
              
              
                1238926361552897
                ⋅
                93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{lll}F_{8}=2^{2^{8}}+1=2^{256}+1&=&115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937=\\&=&(3853149761\cdot 157\cdot 2^{8+3}+1)\cdot \\&&<(1057372046781162536274034354686893329625329\cdot 31618624099079\cdot 13\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 2^{8+3}+1)=\\&=&1238926361552897\cdot 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321\end{array}}}
  


== Հղումներ ==
Леонид Дурман «Гонки по вертикали. Числа Ферма от Эйлера до наших дней: սկիզբ Archived 2009-08-22 at the Wayback Machine., շարունակություն Archived 2009-08-22 at the Wayback Machine., ավարտ Archived 2009-08-22 at the Wayback Machine.». №№ 393-395, 2001. (այլընտրանքային հղում)