Կեպլերի հավասարում

Կեպլերի հավասարում, նկարագրում է մարմի շարժումը էլիպսային ուղեծրով (երկու մարմինների խնդրում) և ունի հետևյալ տեսքը

  
    
      
        E
        −
        e
        
        sin
        ⁡
        E
        =
        M
      
    
    {\displaystyle E-e\,\sin E=M}
  
որտեղ՝ 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  -էքսցենտիկ անոմալիան է, 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  - ուղեծրի էքսցենտրիսիտետն է, а 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  -միջին անոմալիան է։.Առաջին անգամ այս հավասարումն ստացել է աստղագետ Յոհան Կեպլերը 1619 թվականին։ Այն մեծ դեր ունի երկնային մեխանիկայում։


== Կեպլերի հավասարման տարբերակներ ==
Կեպլերի դասական հավասարումը նկարագրում է միայն էլիպսային հետագծով շարժումները, այսինքն, 
  
    
      
        0
        ≤
        e
        <
        1
      
    
    {\displaystyle 0\leq e<1}
  դեպքերի համար։ Հիպերբոլով շարժման դեպքում
  
    
      
        (
        e
        >
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (e>1)}
  մարմինը ենթարկվում է Կեպլերի հիպերբոլական հավասարմանը։ Ուղղագիծ շարժման դեպքում՝ 
  
    
      
        (
        e
        =
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (e=-1)}
  , նկարագրվում է Կեպլերի շառավղային հավասարմանը, իսկ պարաբոլական շարժման դեպքում՝
  
    
      
        (
        e
        =
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (e=1)}
  , օգտագործվում է Բարկերի հավասարումը։ 
  
    
      
        e
        <
        0
      
    
    {\displaystyle e<0}
  դեպքին համապատասխան ուղեծրեր գոյություն չունեն։


== Կեպլերի հավասարմանը բերող խնդիրներ ==
Քննարկենք այն մարմնի շարժումը, որը շարժվում է ուղեծրով՝ այլ մարմնի գրավիտացիոն դաշտում։ Գտնենք մարմնի դիրքի և ժամանակի կապը։ Կեպլերի երկրորդ օրենքից հետևում է, որ

  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            
              d
              ϑ
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            c
            o
            n
            s
            t
          
        
        =
        
          
            μ
            a
            
              (
              
                1
                −
                
                  e
                  
                    2
                  
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r^{2}{\frac {d\vartheta }{dt}}={\rm {const}}={\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)}}}
  .Որտեղ 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  -մարմնից մինչև գրացիտացիոն կենտրոն եղած հեռավորությունն է , 
  
    
      
        ϑ
      
    
    {\displaystyle \vartheta }
  -իրական անոմալիան է, 
  
    
      
        μ
        =
        G
        
          M
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu =GM_{0}}
  -գրավիտացիոն հաստատունի և ձգող մարմնի զանգվածի արտադրյալն է,  
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ուղեծրի մեծ կիսաառանցքն է։ Այստեղից կարելի է ստանալ ուղեծրով շարժման ժամանակի կախումը իրական անոմալիայից․

  
    
      
        t
        −
        
          t
          
            0
          
        
        =
        
          
            1
            
              μ
              a
              
                (
                
                  1
                  −
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ϑ
          
        
        
          r
          
            2
          
        
        d
        ϑ
      
    
    {\displaystyle t-t_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)}}}\int \limits _{0}^{\vartheta }r^{2}d\vartheta }
  .Այստեղ 
  
    
      
        
          t
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{0}}
  -պերիկենտրոնով (մոտակա կենտրոն) անցման ժամանակն է։
Խնդրի լուծման շարունակությունը կախված է մարմնի շարժման ուղեծրի տեսակից։


=== Էլիպսային ուղեծիր ===
Բևեռային կոորդինատային համակարգում էլիպսի հավասարումն ունի հետևյալ տեսքը․

  
    
      
        r
        =
        
          
            
              a
              (
              1
              −
              
                e
                
                  2
                
              
              )
            
            
              1
              +
              e
              cos
              ⁡
              
                ϑ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos {\vartheta }}}}
  Ժամանակի համար հավասարումը կստանա այս տեսքը․

  
    
      
        t
        −
        
          t
          
            0
          
        
        =
        
          
            
              
                (
                
                  a
                  
                    (
                    
                      1
                      −
                      
                        e
                        
                          2
                        
                      
                    
                    )
                  
                
                )
              
              
                3
                
                  /
                
                2
              
            
            
              μ
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ϑ
          
        
        
          
            
              d
              ϑ
            
            
              (
              1
              +
              e
              cos
              ⁡
              
                ϑ
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle t-t_{0}={\frac {\left(a\left(1-e^{2}\right)\right)^{3/2}}{\sqrt {\mu }}}\int \limits _{0}^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+e\cos {\vartheta })^{2}}}}
  Որպեսզի ինտեգրալը հաշվեն կտարում են հետևյալ նշանակումը․

  
    
      
        tg
        ⁡
        
          
            ϑ
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                1
                +
                e
              
              
                1
                −
                e
              
            
          
        
        ⋅
        tg
        ⁡
        
          
            E
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\vartheta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {E}{2}}}
  ժամանակի հավասարումը ունենում է հետևյալ տեսքը․

  
    
      
        t
        −
        
          t
          
            0
          
        
        =
        
          
            
              
                a
                
                  3
                
              
              μ
            
          
        
        
          (
          
            E
            −
            e
            sin
            ⁡
            E
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle t-t_{0}={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}\left(E-e\sin E\right)}
  
  
    
      
        
          
            
              
                a
                
                  3
                
              
              μ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}
   մեծությունը մարմնի  շարժման արագությունն է ուղեծրով։ Երկնային մեխանիկայում այս մեծության համար օգտագործվում է «միջին շարժում»  տերմինը։ Միջին շարժման և ժամանակի  M արտադրյալը կոչվում է միջին անոմալիա։
Կեպլերի էլիպսական հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը։

  
    
      
        E
        −
        e
        sin
        ⁡
        E
        =
        M
      
    
    {\displaystyle E-e\sin E=M}
  


=== Հիպերբոլային ուղեծիր ===
Բևեռային կոորդինատային համակարգում հիպերբոլի հավասարումըն ունի նույն տեսքը, ինչ տեսք ունի էլիպսի հավասարումը։ Նշանակում է՝ ինտեգրալը նույնպես կլինի նմանատիպ, չնայած այս դեպքում չի կարելի օգտագործել էքսցենտրիկ անոմալիան։ Օգտվենք հիպերբոլի պարամետրական ներկայացման ձևից

  
    
      
        x
        =
        −
        a
        
        
          c
          h
        
        
        H
      
    
    {\displaystyle x=-a\,\mathrm {ch} \,H}
  , 
  
    
      
        y
        =
        a
        
          
            
              e
              
                2
              
            
            −
            1
          
        
        
        
          s
          h
        
        
        H
      
    
    {\displaystyle y=a{\sqrt {e^{2}-1}}\,\mathrm {sh} \,H}
  .
Այդ դեպքում հիպերբոլի համար․

  
    
      
        r
        =
        a
        
          (
          
            e
            
            
              c
              h
            
            
            H
            −
            1
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle r=a\left(e\,\mathrm {ch} \,H-1\right)}
  ,իսկ  
  
    
      
        ϑ
      
    
    {\displaystyle \vartheta }
   և 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  միջև կապը կունենա հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          t
          g
        
        
        
          
            ϑ
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                e
                +
                1
              
              
                e
                −
                1
              
            
          
        
        
        
          t
          h
        
        
        
          
            H
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {tg} \,{\frac {\vartheta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\,\mathrm {th} \,{\frac {H}{2}}}
  .Համապատասխան ձևափոխություններից հետո կունենանք՝

  
    
      
        M
        =
        e
        
        
          s
          h
        
        
        H
        −
        H
      
    
    {\displaystyle M=e\,\mathrm {sh} \,H-H}
  
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  հիպերբոլական էքսցենտիկական անոմալիան է։ Քանի որ, 
  
    
      
        
          s
          h
        
        
        H
        =
        −
        i
        sin
        ⁡
        
          i
          H
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {sh} \,H=-i\sin {iH}}
  , ապա վեջին հավասարումը կարելի է ձևափոխել հետևյալ կերպ․

  
    
      
        M
        =
        −
        e
        i
        sin
        ⁡
        
          i
          H
        
        −
        H
        =
        i
        
          (
          
            i
            H
            −
            e
            sin
            ⁡
            
              i
              H
            
          
          )
        
        =
        i
        
          (
          
            E
            −
            e
            sin
            ⁡
            E
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle M=-ei\sin {iH}-H=i\left(iH-e\sin {iH}\right)=i\left(E-e\sin E\right)}
  .Այստեղից հետևում է՝ 
  
    
      
        E
        =
        i
        H
      
    
    {\displaystyle E=iH}
  .


=== Պարաբոլային ուղեծիր ===
Պարաբոլի հավասարումը բևեռային կոորդինատներով ունի հետևյալ տեսքը․

  
    
      
        r
        =
        
          
            
              2
              
              
                r
                
                  π
                
              
            
            
              1
              +
              cos
              ⁡
              ϑ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r={\frac {2\,r_{\pi }}{1+\cos \vartheta }}}
  
որտեղ 
  
    
      
        
          r
          
            π
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\pi }}
  -պերիկենտրոնից հեռավորությունը։ Կեպլերի օրենքը պարաբոլական հետագծով շարժման ժամանակ

  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        
        
          
            
              d
              ϑ
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            c
            o
            n
            s
            t
          
        
        =
        
          
            2
            
            μ
            
            
              r
              
                π
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r^{2}\,{\frac {d\vartheta }{dt}}={\rm {const}}={\sqrt {2\,\mu \,r_{\pi }}}}
  
որտեղից էլ ստացվում է շարժման ժամանակի ինտեգրալը։

  
    
      
        t
        −
        
          t
          
            0
          
        
        =
        2
        
        
          r
          
            π
          
        
        
        
          
            
              
                2
                
                
                  r
                  
                    π
                  
                
              
              μ
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ϑ
          
        
        
          
            
              d
              ϑ
            
            
              (
              1
              +
              cos
              ⁡
              ϑ
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle t-t_{0}=2\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+\cos \vartheta )^{2}}}}
  
Կատրենք եռանկյունաչափական նշանակում։

  
    
      
        z
        =
        
          
            t
            g
          
        
        
        
          
            ϑ
            2
          
        
        ,
        
        ϑ
        =
        2
        
        
          
            a
            r
            c
            t
            g
          
        
        
        z
        ,
        
        d
        ϑ
        =
        
          
            
              2
              
              d
              z
            
            
              1
              +
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
        
        cos
        ⁡
        ϑ
        =
        
          
            
              1
              −
              
                z
                
                  2
                
              
            
            
              1
              +
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle z={\rm {tg}}\,{\frac {\vartheta }{2}},\quad \vartheta =2\,{\rm {arctg}}\,z,\quad d\vartheta ={\frac {2\,dz}{1+z^{2}}},\quad \cos \vartheta ={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}}
  
և ձևափոխենք ինտեգրալը

  
    
      
        t
        −
        
          t
          
            0
          
        
        =
        4
        
        
          r
          
            π
          
        
        
        
          
            
              
                2
                
                
                  r
                  
                    π
                  
                
              
              μ
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              
                t
                g
                
              
            
            
              
                ϑ
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                
                  
                
                
                  
                    d
                    z
                  
                
              
              
                
                  
                
                
                  
                    1
                    +
                    
                      z
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                (
                
                  1
                  +
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            1
                            −
                            
                              z
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            1
                            +
                            
                              z
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          r
          
            π
          
        
        
        
          
            
              
                2
                
                
                  r
                  
                    π
                  
                
              
              μ
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              
                t
                g
                
              
            
            
              
                ϑ
                2
              
            
          
        
        (
        1
        +
        
          z
          
            2
          
        
        )
        
        d
        z
        =
        
          r
          
            π
          
        
        
        
          
            
              
                2
                
                
                  r
                  
                    π
                  
                
              
              μ
            
          
        
        
          
            
            
              (
              
                z
                +
                
                  
                    
                      z
                      
                        3
                      
                    
                    3
                  
                
              
              )
            
            |
          
          
            0
          
          
            
              
                t
                g
                
              
            
            
              
                ϑ
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle t-t_{0}=4\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}{\frac {\cfrac {dz}{1+z^{2}}}{\left(1+{\cfrac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}\right)^{2}}}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}(1+z^{2})\,dz=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left.\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}\right)\right|_{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}}
  
Կստանանք վերջնական տեսքը․

  
    
      
        t
        −
        
          t
          
            0
          
        
        =
        
          r
          
            π
          
        
        
        
          
            
              
                2
                
                
                  r
                  
                    π
                  
                
              
              μ
            
          
        
        
          (
          
            
              
                t
                g
                
              
            
            
              
                ϑ
                2
              
            
            +
            
              
                1
                3
              
            
            
              
                t
                
                  g
                  
                    3
                  
                
                
              
            
            
              
                ϑ
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle t-t_{0}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left({\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\rm {tg^{3}\,}}{\frac {\vartheta }{2}}\right)}
  
Այս բանձևը հայտնի է որպես Բարկերի հավասարում։


== Կեպլերի հավասարման լուծում ==
Ցանկացած իրական M -ի համար էլիպսական և հիպերբոլական դեպքերում Կեպլերի հավասարման լուծումը գոյություն ունի և միակն է։ Շրջանային ուղեծրի  (e = 0) համար Կեպլերի հավասարումն ունի շատ պարզ  М = E տեսքը։ Կեպլերի հավասարման ընդհանուր լուծումը կարելի է գրառել Ֆուրյեի շարքի տեսքով։

  
    
      
        E
        =
        M
        +
        2
        ⋅
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            1
            n
          
        
        
          J
          
            n
          
        
        
          (
          
            n
            
            e
            
          
          )
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        
          n
          M
        
      
    
    {\displaystyle E=M+2\cdot \sum _{n=1}^{n}{\frac {1}{n}}J_{n}\left(n\,e\,\right)\cdot \sin {nM}}
  ,որտեղ՝

  
    
      
        
          J
          
            m
          
        
        
          (
          x
          )
        
        =
        
          
            1
            π
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            m
            E
            −
            x
            sin
            ⁡
            
              E
            
          
          )
        
        d
        E
      
    
    {\displaystyle J_{m}\left(x\right)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\cos \left(mE-x\sin {E}\right)dE}
  Բեսելի ֆունկցիան է։


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Д. Е. Охоцимский, Ю. Г. Сихарулидзе. Основы механики космического полета.. — Москва: «Наука», 1990.
В. Е. Жаров Сферическая астрономия. — Фрязино, 2006. — С. 480. — ISBN ISBN 5-85099-168-9
Г. М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.
Лукьянов Л.Г., Ширмин Г. И. Лекции по небесной механике. — Алматы, 2009. — С. 276.