Եռանկյան բարձրություն

Եռանկյան բարձրություն, եռանկյան գագաթից հանդիպակաց կողմին կամ այն պարունակող ուղղին տարված ուղղահայաց։ Եռանկյան տեսակից կախված, բարձրությունը կարող է գտնվել եռանկյան ներսում(սուրանկյուն եռանկյան համար), համընկնել նրա կողմի հետ(ուղղանկյուն եռանկյան համար հանդիսանում է էջ), կամ անցնել եռանկյան արտաքին տիրույթով(բութանկյուն եռանկյան համար)։


== Եռանկյան երեք բարձրությունների հատման կետի (օրթոկենտրոնի) հատկությունները ==

Եռանկյան բարձրությունները հատվում են մեկ կետում, որը կոչվում է օրթոկենտրոն։ Այս պնդումը հեշտ է ապացուցել, կիրառելով ցանկացած 
  
    
      
        A
        ,
         
        B
        ,
         
        C
        ,
         
        E
      
    
    {\displaystyle A,\ B,\ C,\ E}
   կետերի (որոնց պատկանելիությունը միևնույն հարթությանը պարտադիր չէ) համար վեկտորական նույնությունը.

  
    
      
        
          
            
              E
              A
            
            →
          
        
        ⋅
        
          
            
              B
              C
            
            →
          
        
        +
        
          
            
              E
              B
            
            →
          
        
        ⋅
        
          
            
              C
              A
            
            →
          
        
        +
        
          
            
              E
              C
            
            →
          
        
        ⋅
        
          
            
              A
              B
            
            →
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {EA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {EB}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {EC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0}
  (Նույնության ապացուցման համար պետք է օգտվել 

  
    
      
        
          
            
              A
              B
            
            →
          
        
        =
        
          
            
              E
              B
            
            →
          
        
        −
        
          
            
              E
              A
            
            →
          
        
        ,
        
        
          
            
              B
              C
            
            →
          
        
        =
        
          
            
              E
              C
            
            →
          
        
        −
        
          
            
              E
              B
            
            →
          
        
        ,
        
        
          
            
              C
              A
            
            →
          
        
        =
        
          
            
              E
              A
            
            →
          
        
        −
        
          
            
              E
              C
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {EB}}-{\overrightarrow {EA}},\,{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {EC}}-{\overrightarrow {EB}},\,{\overrightarrow {CA}}={\overrightarrow {EA}}-{\overrightarrow {EC}}}
  բանաձևերից։
Որպես E կետ պետք է վերցնել եռանկյան երկու բարձրությունների հատման կետը։)


=== Հավասարասրուն եռանկյան բարձրությունների հատկությունները ===
Եթե եռանկյան երկու բարձրությունները հավասար են, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է (Շտեյներ-Լեմուսի թեորեմ), իսկ երրորդ բարձրությունը միաժամանակ հանդիսանում է այն անկյան կիսորդն ու միջնագիծը, որից այն դուրս է գալիս։
Ճշմարիտ է և հակադարձը. հավասարասրուն եռանկյան երկու բարձրությունները հավասար են, իսկ երրորդ բարձրությունը միաժամանակ հանդիսանում է միջնագիծ և կիսորդ։
Հավասարակողմ եռանկյան բոլոր երեք բարձրությունները հավասար են։
Հավասարասրուն եռանկյան՝ հիմքին հանդիպակաց անկյան գագաթից դուրս եկող բարձրությունը միջնագիծ է և կիսորդ։


== Եռանկյան բարձրությունների հիմքերի հատկությունները ==
Եռանկյան բարձրությունների հիմքերը կազմում են, այսպես կոչված, օրթոեռանկյուն, որն օժտված է սեփական հատկություններով։
Օրթոեռանկյանն արտագծված շրջանագիծը Էյլերի շրջանագիծն է։ Այդ շրջանագծի վրա գտնվում են եռանկյան երեք կողմերի միջնակետերը և օրթոկենտրոնը եռանկյան գագաթներին միացնող երեք հատվածների միջնակետերը։
Վերջին հատկության այլ ձևակերպում.
Էյլերի թեորեմը ինը կետերի շրջանագծի համար.Ցանկացած եռանկյան երեք բարձրությունների հիմքերը, նրա երեք կողմերի միջնակետերը (միջնագծերիհիմքերը ) և օրթոկենտրոնը եռանկյան գագաթներին միացնող երեք հատվածների միջնակետերը գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա (ինը կետերի շրջանագծի վրա)։

Թեորեմ։ Ցանկացած եռանկյան մեջ երկու բարձրությունների հիմքերը միացնող հատվածը առանձնացնում է տրվածին նման եռանկյուն


== Եռանկյան բարձրությունների այլ հատկություններ ==
Ոչ հավասարասրուն եռանկյան ներքին կիսորդը գտնվում է այն միջնագծի և բարձրության միջև, որոնք տարված են նույն գագաթից, ինչ այդ կիսորդը։
Սուրանկյուն եռանկյան մեջ երկու բարձրություները նրանից առանձնացնում են նման եռանկյուններ։
Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ուղիղ անկյան գագաթից տարված բարձրությունն այդ եռանկյունը տրոհում են տրվածին նման երկու եռանկյունների։


== Եռանկյան բարձրություններից փոքրագույնի  հատկությունները ==
Եռանկյան բարձրություններից փոքրագույնն օժտված է մի շարք էքստրեմալ հատկություններով։Օրինակ.

Եռանկյան հարթությանը պատկանող ուղիղների վրա եռանկյան օրթոգոնալ պրոյեկցիաներից փոքրագույնի երկարությունը հավասար է եռանկյան փոքրագույն բարձրությանը։
Եռանկյան պարագծով երկու կետերի՝ միմյանց ընդառաջ անընդհատ շարժվելիս, նրանց մեծագույն հեռավորությունը առաջին հանդիպումից մինչև երկրորդը, չի կարող փոքր լինել եռանկյան փոքրագույն բարձրության երկարությունից։
Եռանկյան փոքրագույն բարձրությունը միշտ անցնում է եռանկյան ներքին տիրույթով։


== Հիմնական հարաբերակցություններ ==

  
    
      
        
          h
          
            a
          
        
        =
        b
        
          ⋅
        
        sin
        ⁡
        γ
        =
        c
        
          ⋅
        
        sin
        ⁡
        β
        ,
      
    
    {\displaystyle h_{a}=b{\cdot }\sin \gamma =c{\cdot }\sin \beta ,}
  ։

  
    
      
        
          h
          
            a
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                ⋅
              
              S
            
            a
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle h_{a}={\frac {2{\cdot }S}{a}},}
   որտեղ 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   — եռանկյան մակերեսն է, 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   — եռանկյան այն կողմի երկարությունն է, որին տարված է բարձրությունը։

  
    
      
        
          h
          
            a
          
        
        =
        
          
            
              b
              
                ⋅
              
              c
            
            
              2
              
                ⋅
              
              R
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle h_{a}={\frac {b{\cdot }c}{2{\cdot }R}},}
   որտեղ 
  
    
      
        b
        
          ⋅
        
        c
      
    
    {\displaystyle b{\cdot }c}
   - կողմնային կողերի արտադրյալն է, 
  
    
      
        R
        −
      
    
    {\displaystyle R-}
  -ը՝ արտագծված շրջանագծի շառավիղը։

  
    
      
        
          h
          
            a
          
        
        :
        
          h
          
            b
          
        
        :
        
          h
          
            c
          
        
        =
        
          
            1
            a
          
        
        :
        
          
            1
            b
          
        
        :
        
          
            1
            c
          
        
        =
        (
        b
        
          ⋅
        
        c
        )
        :
        (
        a
        
          ⋅
        
        c
        )
        :
        (
        a
        
          ⋅
        
        b
        )
        .
      
    
    {\displaystyle h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=(b{\cdot }c):(a{\cdot }c):(a{\cdot }b).}
  

  
    
      
        
          
            1
            
              h
              
                a
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              h
              
                b
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              h
              
                c
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{r}}}
  , որտեղ 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   — ներգծյալ շրջանագծի շառավիղն է։

  
    
      
        S
        =
        
          
            1
            
              (
              
                
                  1
                  
                    h
                    
                      a
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  1
                  
                    h
                    
                      b
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  1
                  
                    h
                    
                      c
                    
                  
                
              
              )
              
                ⋅
              
              (
              
                
                  1
                  
                    h
                    
                      a
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  1
                  
                    h
                    
                      b
                    
                  
                
              
              −
              
                
                  1
                  
                    h
                    
                      c
                    
                  
                
              
              )
              
                ⋅
              
              (
              
                
                  1
                  
                    h
                    
                      a
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  1
                  
                    h
                    
                      c
                    
                  
                
              
              −
              
                
                  1
                  
                    h
                    
                      b
                    
                  
                
              
              )
              
                ⋅
              
              (
              
                
                  1
                  
                    h
                    
                      b
                    
                  
                
              
              +
              
                
                  1
                  
                    h
                    
                      c
                    
                  
                
              
              −
              
                
                  1
                  
                    h
                    
                      a
                    
                  
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}}
  , որտեղ 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   - ը եռանկյան մակերեսն է։

  
    
      
        a
        =
        
          
            2
            
              
                h
                
                  a
                
              
              
                ⋅
              
              
                
                  (
                  
                    
                      1
                      
                        h
                        
                          a
                        
                      
                    
                  
                  +
                  
                    
                      1
                      
                        h
                        
                          b
                        
                      
                    
                  
                  +
                  
                    
                      1
                      
                        h
                        
                          c
                        
                      
                    
                  
                  )
                  
                    ⋅
                  
                  (
                  
                    
                      1
                      
                        h
                        
                          a
                        
                      
                    
                  
                  +
                  
                    
                      1
                      
                        h
                        
                          b
                        
                      
                    
                  
                  −
                  
                    
                      1
                      
                        h
                        
                          c
                        
                      
                    
                  
                  )
                  
                    ⋅
                  
                  (
                  
                    
                      1
                      
                        h
                        
                          a
                        
                      
                    
                  
                  +
                  
                    
                      1
                      
                        h
                        
                          c
                        
                      
                    
                  
                  −
                  
                    
                      1
                      
                        h
                        
                          b
                        
                      
                    
                  
                  )
                  
                    ⋅
                  
                  (
                  
                    
                      1
                      
                        h
                        
                          b
                        
                      
                    
                  
                  +
                  
                    
                      1
                      
                        h
                        
                          c
                        
                      
                    
                  
                  −
                  
                    
                      1
                      
                        h
                        
                          a
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\frac {2}{h_{a}{\cdot }{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}}}
  , 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   - եռանկյան կողմը, որին տարված է 
  
    
      
        
          h
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{a}}
   բարձրությունը։
Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը.
  
    
      
        
          h
          
            c
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          ⋅
        
        
          
            4
            
              a
              
                2
              
            
            −
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle h_{c}={\frac {1}{2}}{\cdot }{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}},}
  որտեղ 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   — ն հիմքն է։

  
    
      
        h
        =
        a
        
          ⋅
        
        
          
            
              3
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle h=a{\cdot }{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
   — հավասարակողմ եռանկյան բարձրություն։


== Թեորեմ ուղղանկյուն եռանկյան բարձրության մասին ==
Եթե ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ուղիղ անկյան գագաթից տարված 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
   բարձրությունը 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   ներքնաձիգը տրոհում է 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   և 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   էջերին համապատասխան 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   և 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   հատվածների, ապա ճշմարիտ են հետևյալ հավասարությունները.

  
    
      
        
          h
          
            2
          
        
        =
        n
        
          ⋅
        
        m
      
    
    {\displaystyle h^{2}=n{\cdot }m}
  

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        =
        c
        
          ⋅
        
        n
      
    
    {\displaystyle a^{2}=c{\cdot }n}
  ; 
  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
        =
        c
        
          ⋅
        
        m
      
    
    {\displaystyle b^{2}=c{\cdot }m}
  

  
    
      
        h
        
          ⋅
        
        c
        =
        a
        
          ⋅
        
        b
      
    
    {\displaystyle h{\cdot }c=a{\cdot }b}
  


== Թեորեմ պրոյեկցիաների մասին ==
Թեորեմ պրոյեկցիաների մասին։ 
  
    
      
        c
        =
        a
        cos
        ⁡
        β
        +
        b
        cos
        ⁡
        α
        ;
         
        a
        =
        b
        cos
        ⁡
        γ
        +
        c
        cos
        ⁡
        β
        ;
         
        b
        =
        c
        cos
        ⁡
        α
        +
        a
        cos
        ⁡
        γ
      
    
    {\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha ;\ a=b\cos \gamma +c\cos \beta ;\ b=c\cos \alpha +a\cos \gamma }
  .
Պրոյեկցիաների մասին թեորեմից հետևում է, որ, օրինակ, 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   գագաթից տարված բարձրությունը հանդիպակաց 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   կողմը տրոհում է երկու մասի՝ 
  
    
      
        a
        cos
        ⁡
        β
      
    
    {\displaystyle a\cos \beta }
   և 
  
    
      
        b
        cos
        ⁡
        α
      
    
    {\displaystyle b\cos \alpha }
  , հաշված 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   գագաթից դեպի 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  -ն։


== Տես նաև ==
Եռանկյուն
Ուղղանկյուն եռանկյուն
Հավասարասրուն եռանկյուն
Եռանկյան միջնագիծ
Օրթոկենտրոն
Կիսորդ


== Հղումներ ==