Թեյլորի բանաձև

Թեյլորի բանաձև, դիֆերենցիալ հաշվի բանաձև, 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կետում 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   անգամ դիֆերենցելի 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիան 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ի որևէ շրջակայքում ներկայացնում է 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        a
        )
        +
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              a
              )
            
            
              1
              !
            
          
        
        (
        x
        −
        a
        )
        +
        
          
            
              
                f
                ″
              
              (
              a
              )
            
            
              2
              !
            
          
        
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            2
          
        
        +
        .
        .
        .
        
          
            
              
                f
                
                  n
                
              
              (
              a
              )
            
            
              n
              !
            
          
        
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            n
          
        
        +
        
          R
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+...{\frac {f^{n}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n}(x)}
   տեսքով (արտածել է Բրուկ Թեյլորը)։ 
Եթե 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ի շրջակայքում 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիան ունի 
  
    
      
        (
        n
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (n+1)}
   կարգի ածանցյալ, ապա

  
    
      
        
          R
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              
                f
                
                  n
                  −
                  1
                
              
              (
              ξ
              )
              (
              a
              )
            
            
              (
              n
              +
              1
              )
              !
            
          
        
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            n
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{n-1}(\xi )(a)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}}
  , որտեղ 
  
    
      
        ξ
        ∈
        (
        a
        ,
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \xi \in (a,x)}
  :
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  -ի 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ում 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   անգամ անընդհատ դիֆերենցելիության դեպքում 
  
    
      
        
          R
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle R_{n}(x)}
  , երբ 
  
    
      
        x
        →
        a
      
    
    {\displaystyle x\rightarrow a}
   բարձր կարգի անվերջ փոքր է 
  
    
      
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (x-a)^{n}}
  -ի նկատմամբ։