Քառակուսի արմատ

Քառակուսի արմատ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   (2-րդ աստիճանի արմատ, 
  
    
      
        
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {a}}}
  ), այն ոչ բացասական 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   թիվն է, որը քառակուսի բարձրացնելիս հավասար է 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  ։ Հավասարազոր սահմանում․ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ի քառակուսի արմատը՝ 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        a
        .
      
    
    {\displaystyle x^{2}=a.}
  հավասարման լուծումը հանդիսացող թիվն է։ 
  
    
      
        
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {a}}}
   արժեքի հաշվման գործողությունը կոչվում է «քառակուսի արմատի հանում»  
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թվից։
Ավելի հաճախ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   և 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թվերը իրական թվեր են, բայց գոյություն ունի նաև կոմպլեքս թվերի և այլ մաթեմատիկական օբյեկտների համար արված ընդհանրացում։ Օրինակ՝ իրական թվերի համար․ 
  
    
      
        
          
            9
          
        
        =
        ±
        3
        ,
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {9}}=\pm 3,}
   որովհետև 
  
    
      
        
          
            (
            ±
            3
            )
          
          
            2
          
        
        =
        9.
      
    
    {\displaystyle {(\pm 3)}^{2}=9.}
  Քառակուսի արմատն ունի երկու արժեք, որոնք հակադարձ թվեր են, այսինքն, նույն արժեքն ունեցող, նշանով տարբերվող թվեր են, ինչը դժվարացնում է արմատների հետ աշխատանքը։ Միանշանակություն ապահովելու համար ներմուծում են թվաբանական արմատ հասկացությունը։ Մեր օրինակում դա 3-ն է։


=== Ռացիոնալ թվեր ===
Ռացիոնալ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -երի դեպքում 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x^{2}=a}
  հավասարումը միշտ չէ, որ ռացիոնալ լուծում ունի։ Նույնիսկ դրական 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -երի դեպքում, այս հավասարումը լուծում ունի միայն ու միայն այն դեպքում, երբ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ի թե՛ հայտարարը, և թե՛ համարիչը, հանդիսանում են քառակուսային թվեր։
Ռացիոնալ թվից արմատից ստացված անընդհատ կոտորակը պարբերական է, որը մի կողմից ապահովում է լավ ռացիոնալ,մյուս կողմից սահմանափակոիմ է մոտարկում ն ճշգրտությունը․ 
  
    
      
        
          |
        
        
          
            r
          
        
        −
        p
        
          /
        
        q
        
          |
        
        >
        
          
            1
            
              C
              
                q
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle |{\sqrt {r}}-p/q|>{\frac {1}{Cq^{2}}}}
  , որտեղ 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   կախված է 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  ։ Ճիշտ է նաև, որ ցանկացած շղթայական կոտորակ, քառակուսային իռացիոնալություն է հանդիսանում։


=== Իրական թվեր ===
Թեորեմ։ Ցանկացած դրական 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թվի համար գոյություն ունի երկու իրական արմատ,որոնք հավասար են մոդուլով և հակադարձ նշանով։
Ոչ բացասական  
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թվից ոչ բացասական արմատ կոչվում է թվաբանական քառակուսի արմատ և նշանակվում է արմատի նշանով 
  
    
      
        
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {a}}}
  ։


=== Կոմպլեքս թվեր ===
Կոմպլեքս թվերի դեպքում, լուծումները միշտ երկուսն են և տարբերվում են միայն նշանով(բացառությամբ զրոյի)։ Հաճախ այն նշանակում են՝ 
  
    
      
        
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {a}}}
  ,  սակայն պիտի դա անել զգուշությամբ։ Տարածված սխալ է՝

  
    
      
        −
        1
        =
        (
        
          
            −
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
            −
            1
            
              )
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            1
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle -1=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1}
   (ինչը, իհարկե, սխալ է)Սխալը ստացվում է, քանի որ քառակուսի արմատը բազմանշանակ ֆունկցիա է։ Մասնավորապես, 1-ից քառակուսի արմատը երկու լուծում ունի՝ -1 և +1։
Կոմպլեքս թվից քառակուսի արմատ հանելու համար հարմար է օգտագործել կոմպլեքս թվի գրառման էքսպոնենցիալ ձևը։
Եթե

  
    
      
        a
        =
        
          |
        
        a
        
          |
        
        
          e
          
            i
            ϕ
          
        
      
    
    {\displaystyle a=|a|e^{i\phi }}
  ,ապա (տես. Մուավրի բանաձև)

  
    
      
        
          
            a
          
        
        =
        
          
            
              |
            
            a
            
              |
            
          
        
        
          e
          
            i
            (
            ϕ
            +
            2
            π
            k
            )
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {a}}={\sqrt {|a|}}e^{i(\phi +2\pi k)/2}}
  ,որտեղ մոդուլից քառակուսի արմատը ընդունվում է որպես հանրահաշվական արժեք, իսկ k -ն կարող է ընդունել k = 0 և k = 1 արժեքները։ Արդյունքում ստացվում է երկու տարբեր արժեքներ։
Գոյություն ունի նաև  
  
    
      
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle a+bi}
  -ից արմատի զուտ հանրահաշվական ներկայացում։ Արմատի արժեքները ունեն հետևյալ տեսքը՝ 
  
    
      
        ±
        (
        c
        +
        d
        i
        )
      
    
    {\displaystyle \pm (c+di)}
  , որտեղ

  
    
      
        c
        =
        
          
            
              
                a
                +
                
                  
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}
  

  
    
      
        d
        =
        sgn
        ⁡
        (
        b
        )
        
          
            
              
                −
                a
                +
                
                  
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d=\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}
  Որտեղ sgn-ն «նշան» ֆունկցիան է, իսկ արմատները նշանակում են ոչ բացասական իրական թվից սովորական թվաբանական արմատ։ Բանաձևը հեշտությամբ ստուգվում է  
  
    
      
        c
        +
        d
        i
      
    
    {\displaystyle c+di}
   քառակուսի բարձրացնելով։
Օրինակ՝ 
  
    
      
        3
        +
        4
        i
      
    
    {\displaystyle 3+4i}
  -ից քառակուսի արմատի համար ստացվում է երկու արժեք․ 
  
    
      
        2
        +
        i
        ;
        
        −
        2
        −
        i
        .
      
    
    {\displaystyle 2+i;\;-2-i.}
  


== Քառակուսի արմատը որպես տարրական ֆունկցիա ==

Քառակուսի արմատը տարրական ֆունկցիա է և  
  
    
      
        
          x
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{\alpha }}
  աստիճանային ֆունկցիայի 
  
    
      
        α
        =
        1
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \alpha =1/2}
   մասնավոր դեպքն է։   
  
    
      
        x
        >
        0
      
    
    {\displaystyle x>0}
  դեպքում, հանրահաշվական քառակուսի արմատը հարթ ֆունկցիա է, 0-ում աջից անընդհատ է և չի դիֆերենցվում։ Երկարժեք ֆունկցիա է, որի ճյուղերը միանում են 0-ում։


== Քառակուսի արմատը տարրական երկրաչափությունում ==
Քառակուսի արմատը  սերտորեն կապված է տարրական երկրաչափության հետ։Դիցուք՝ տրված է 1 երկարությամբ հատված, ապա կարկինի և քանոնի օգնությամբ կարելի է կառուցել միայն ու միայն այն հատվածները, որոնց երկարությունները գրառվում են՝ ոչ ավելի, քան ամբողջ թիվ ,չորս թվաբանական գործողություն, և քառակուսի արմատ պարունկող արտահայտությամբ։


== Տես նաև ==
Քառակուսի արմատի օր
Հերոնի բանաձևը
Քառակուսային հավասարում
Արմատ(մաթեմատիկա)
Խորանարդ արմատ


== Ծանոթագրություն ==


== Արտաքին հղումներ ==
Алгоритмы вычисления квадратного корня
A geometric view of the square root algorithm
Соловьев Ю., Старый алгоритм