Ռիմանի զետա ֆունկցիա

Ռիմանի զետա ֆունկցիան կամ Էյլեր-Ռիմանի զետա ֆունկցիան իրենից ներկայացնում է կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիա, սահմանված ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա, որը հետևյալ Դիրիխլեի շարքի անալիտիկ շարունակությունն է.

  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                s
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}
  Այս շարքը զուգամետ է  
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  -ի միայն այն արժեքների համար, որոնց իրական մասը խիստ մեծ է 1-ից.

  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  -ի այլ  արժեքների համար Ֆունկցիայի  ավելի ընդհանուր ներկայացումները տրված են ստորև։ Զետա ֆունկցիան էական դեր է խաղում անալիտիկ թվերի տեսությունում և ունի բազմաթիվ կիրառություններ ֆիզիկայում, հավանականությունների տեսությունում ինչպես նաև կիրառական ստատիստիկայում։
Որպես իրական փոփոխականի ֆունկցիա այն առաջինը սահմանվել և ուսումնասիրվել է Լեոնարդ Էյլերի կողմից։ Բեռնարդ Ռիմանի կողմից 1859 թվականին հրապարակվել է հայտնի Ռիմանի մենագրությունը՝ "Տրված թիվը չգերազանցող պարզ թվերի քանակի մասին" վերնագրով։ Այդ հոդվածում Էյլերի սահմանած ֆունկցիան ընդլայնվել է կոմպլեքս փոփոխականների համար, կառուցվել է դրա մերոմորֆ շարունակությունը ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ, ապացուցվել է ֆունկցիոնալ հավասարումը ինչպես նաև ցույց է տրվել այդ ֆունկցիայի ոչ տրիվիալ զրոների և պարզ թվերի բաշխման առնչությունը։
Ռիմանի զետա ֆունկցիայի արժեքները դրական զույգ կետերում հաշվվել են դեռ Էյլերի կողմից։ Դրանցից առաջինը՝  
  
    
      
        ζ
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta (2)}
  -ը, այսպես կոչված, Բասելի խնդրի պատասխանն է։ Հետագայում՝ 1979 թվականին Ապերին ապացուցել է 
  
    
      
        ζ
        (
        3
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta (3)}
  -ի իռացիոնալությունը։ Էյլերին հայտնի են եղել նաև զետա ֆունկցիայի արժեքները բացասական ամբողջ կետերում։ Դրանք ռացիոնալ թվեր են և էական դեր են խաղում մոդուլյար ձևերի տեսության մեջ։ Գոյություն ունեն Ռիմանի զետա ֆունկցիայի տարատեսակ ընդհանրացումներ. Դիրիխլեի շարքերը, Դիրիխլեի L-ֆունկցիաները ինչպես նաև մի շարք այլ L-ֆունկցիաներ։


== Սահմանում ==
Հակառակ այլ կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների համար ընդունված նշանակմանը՝ Ռիմանի զետա ֆունկցիայի արգումենտը սովորաբար նշանակում են 
  
    
      
        s
        =
        σ
        +
        i
        t
      
    
    {\displaystyle s=\sigma +it}
  , որտեղ 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  -ն և 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  -ն 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  -ի համապատասխանաբար իրական և կեղծ մասերն են։ 
Հետևյալ շարքը զուգամիտում է բոլոր s կոմպլեքս թվերի համար, որոնց իրական մասը խիստ մեծ է 1-ից.

  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          n
          
            −
            s
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              
                s
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              2
              
                s
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              3
              
                s
              
            
          
        
        +
        ⋯
        
        σ
        =
        Re
        ⁡
        (
        s
        )
        >
        1
        :
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots \qquad \sigma =\operatorname {Re} (s)>1:}
  Այդպիսի s-երի համար զետա ֆունկցիայի արժեքը սահմանվում է որպես շարքի գումարը։ Փոփոխականի նույն արժեքների համար զետա ֆունկցիայի համարժեք սահմանում կարելի է համարել հետևյալ ինտեգրալը.

  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        =
        
          
            1
            
              Γ
              (
              s
              )
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              
                e
                
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        
          x
          
            s
          
        
        
          
            
              
                d
              
              x
            
            x
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{e^{x}-1}}\,x^{s}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},}
  որտեղ

  
    
      
        Γ
        (
        s
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            x
          
        
        
        
          x
          
            s
          
        
        
          
            
              
                d
              
              x
            
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,x^{s}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}
  հայտնի գամմա ֆունկցիան է։
Պարզվում է այս ֆունկցիան կարելի է մերոմորֆ կերպով շարունակել ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ։ Երբ 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  -ը մոտենում է 1 կետին, զետա ֆունկցիայի արժեքը ձգտում է հարմոնիկ շարքի գումարին, այդպիսով՝ 
  
    
      
        s
        =
        1
      
    
    {\displaystyle s=1}
   կետը հանդիսանում է այս ֆունկցիայի բևեռ։ Այն ֆունկցիայի միակ բևեռն է և այդ կետում 

  
    
      
        
          lim
          
            s
            →
            1
          
        
        (
        s
        −
        1
        )
        ζ
        (
        s
        )
        =
        1
        :
      
    
    {\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=1:}
  Այսպիսով՝ զետա ֆունկցիան մերոմորֆ ֆունկցիա է ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ։ Այն ունի միակ պարզ բևեռ՝ 
  
    
      
        s
        =
        1
      
    
    {\displaystyle s=1}
   և այդ կետում մնացքը հավասար է 1-ի։


== Ծանոթագրություններ ==