Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումներ

Մասնական ածանցյալներով հավասարումներ, հավասարումներ, որոնցում անհայտը մի քանի փոփոխականի ֆունկցիա է, ընդ որում՝ այդ հավասարումը, բացի անհայտ ֆունկցիայից, պարունակում է նաև այդ ֆունկցիայի մասնական ածանցյալները, ինչպես նաև անկախ փոփոխականներ։  Այսպիսով, եթե 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  -ը տրված ֆունկցիա է, ապա 
  
    
      
        u
        =
        u
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle u=u(x_{1},x_{2},...,x_{n})(n)}
   փոփոխականի անհայտ ֆունկցիայի նկատմամբ մասնական ածանցյալներով հավասարումները ունի հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        F
        
          
            (
            
              
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                ,
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                ,
                .
                .
                .
                ,
                
                  x
                  
                    n
                  
                
                ,
                
                  
                    
                      
                        δ
                      
                      
                        u
                      
                    
                    
                      
                        δ
                      
                      
                        
                          x
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                
                ,
                
                  
                    
                      
                        δ
                      
                      
                        u
                      
                    
                    
                      
                        δ
                      
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
                ,
                .
                .
                .
                
                  
                    
                      
                        δ
                      
                      
                        u
                      
                    
                    
                      
                        δ
                      
                      
                        
                          x
                          
                            n
                          
                        
                      
                    
                  
                
                ,
                .
                .
                .
                ,
              
              
                
                  
                    
                      
                        δ
                      
                      
                        
                          k
                          
                            1
                          
                        
                        +
                        
                          k
                          
                            2
                          
                        
                        +
                        .
                        .
                        .
                        +
                        
                          k
                          
                            n
                          
                        
                      
                    
                    n
                  
                  
                    
                      
                        
                          δ
                        
                        
                          k
                          1
                        
                      
                      
                        
                          x
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          δ
                        
                        
                          k
                          2
                        
                      
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                    .
                    .
                    .
                    
                      
                        
                          δ
                        
                        
                          k
                          n
                        
                      
                      
                        
                          x
                          
                            n
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle F{\left({x_{1},x_{2},...,x_{n},{\frac {{\delta }{u}}{{\delta }{x_{1}}}},{\frac {{\delta }{u}}{{\delta }{x_{2}}}},...{\frac {{\delta }{u}}{{\delta }{x_{n}}}},...,}{\frac {{\delta }^{k_{1}+k_{2}+...+k_{n}}n}{{{\delta }^{k1}{x_{1}}}{{\delta }^{k2}{x_{2}}}...{{\delta }^{kn}{x_{n}}}}}\right)}}
  
  
    
      
        =
        0
         
         
         
         
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle =0~~~~(1)}
  
  
    
      
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (1)}
   հավասարման մեջ 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  -ի մասնական ածանցյալների ամենաբարձր կարգը կոչվում է 
  
    
      
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (1)}
   հավասարման կարգ։ Եթե 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   ֆունկցիան ըստ յուրաքանչյուր արգումենտի (բացառությամբ գուցե 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2}...,x_{n}}
  երի) գծային է, ապա 
  
    
      
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (1)}
  -ը կոչվում է գծային հավասարում։ 
Այսպես՝

  
    
      
        
          
            ∑
            
              i
              ,
              j
              =
              1
            
            
              n
            
          
        
        
          
            a
            
              i
            
          
          j
        
         
        
          
            
              
                
                  δ
                
                
                  2
                
              
              
                u
              
            
            
              
                δ
              
              
                
                  x
                  
                    i
                  
                
              
              
                
                  x
                  
                    j
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sum _{i,j=1}^{n}}{a_{i}j}~{\frac {{\delta }^{2}{u}}{{\delta }{x_{i}}{x_{j}}}}}
  +
  
    
      
        
          
            ∑
            
              i
              =
              1
            
            
              n
            
          
        
         
        
          b
          i
        
        
          
            
              
                δ
              
              u
            
            
              
                δ
              
              
                x
                
                  1
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sum _{i=1}^{n}}~{bi}{\frac {{\delta }u}{{\delta }x_{1}}}}
  +
  
    
      
        
          C
          u
          =
          f
        
         
         
         
        
          (
          2
          )
        
      
    
    {\displaystyle {Cu=f}~~~{(2)}}
  տեսքի հավասարումը (
  
    
      
        
          a
          
            i
            j
          
        
        =
        
          a
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{ij}=a_{ij}}
  , 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ն, 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  -ն, 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ը) փոփոխականների հայտնի ֆունկցիաներ են, իսկ 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  -ն՝ նույն փոփոխականների անհայտ ֆունկցիա) գծային, երկրորդ կարգի մասնական ածանցյալներով հավասարումներ է։
Մտցվում է մասնական ածանցյալներով հավասարումների դասակարգում, այն առավել պարզ է 
  
    
      
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle (2)}
   տեսքի հավասարումների համար. եթե

  
    
      
        Q
        (
        λ
        )
        =
        
          
            |
            
              
                
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                  −
                  
                    λ
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  .
                  .
                  .
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                
                  
                    a
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      22
                    
                  
                  −
                  
                    λ
                  
                
                
                  .
                  .
                  .
                
                
                  
                    a
                    
                      2
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                
                  .
                  .
                  .
                
                
                  .
                  .
                  .
                
                
                  .
                  .
                  .
                
                
                  .
                  .
                  .
                
              
              
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      2
                    
                  
                
                
                  .
                  .
                  .
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      n
                    
                  
                  −
                  
                    λ
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle Q(\lambda )={\begin{vmatrix}&a_{11}-{\lambda }&a_{12}&...&a_{1n}\\&a_{21}&a_{22}-{\lambda }&...&a_{2n}\\&...&...&...&...\\&a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}-{\lambda }\end{vmatrix}}}
  
  
    
      
        (
        λ
        )
      
    
    {\displaystyle (\lambda )}
  -ի նկատմամբ հանրահաշվական հավասարման բոլոր արմատներն ունեն նույն նշանը, ապա 
  
    
      
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle (2)}
   հավասարումը անվանում են էլիպսական տիպի, եթե արմատներից մեկն ունի մյուս 
  
    
      
        (
        n
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (n-1)}
  -ին հակադիր նշան, ապա՝ հիպերբոլական, և եթե մեկ արմատը 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
   է, իսկ մյուսները նույն նշանի՝ պարաբոլական։
Մասնական ածանցյալներով հավասարումներին բերվող խնդիրների համար մտցվում է կոռեկտության հասկացություն, խնդիրը կոչվում է կոռեկտ, եթե համապատասխան մասնական ածանցյալներով հավասարմմն լուծումը գոյություն ունի, միակն է և կայուն՝ խնդրի պայմանների փոքր փոփոխությունները առաջ են բերում լուծման փոքր փոփոխություն։


== Տես նաև ==
Մաթեմատիկական ֆիզիկայի հավասարումներ