Քառակուսի արմատ երկուսից

Քառակուսի արմատ 2-ից թիվը դրական թիվ է, որը ինքն իրենով բազմապատկելուց ստացվում է 2։ Նշանակումը՝ 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  :
Երկրաչափորեն քառակուսի արմատ երկուսը կարելի է պատկերացնել որպես 1 երկարություն ունեցող քառակուսու անկյունագիծ (դա բխում է Պյութագորասի թեորեմից)։ Հավանաբար այն եղել է մաթեմատիկայի պատմության մեջ հայտնի առաջին իռացիոնալ թիվը (այսինքն այնպիսի թիվ,որ կոտորակի միջոցով հնարավոր չէ ներկայացնել)։

Ամենաշատ օգտագործվող մոտավորությունը 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  -ի համար հանդիսանում է 
  
    
      
        
          
            
              99
              70
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {99}{70}}}
   կոտորակը։ Չնայած նրան, որ կոտորակի համարիչը և հայտարարը երկնիշ թվեր են, բայց ճշգրիտ թվից տարբերվում են 1/10000-ով։


== Պատմություն ==

Բաբելոնական կավե արձանագրությունը (մոտ մ․թ․ա․ 1800-1600 թվականներ) տալիս է 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  -ի ավելի ճշգրիտ արժեք, որը  կլորացվում է մինչև 6 ճշգրիտ տասնորդական թվերով։

  
    
      
        1
        +
        
          
            24
            60
          
        
        +
        
          
            51
            
              60
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            10
            
              60
              
                3
              
            
          
        
        =
        1.41421
        
          
            296
            ¯
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421{\overline {296}}:}
  Մեկ ուրիշ հին հնդկական Շուլբա սուտրա (մոտ  մ․թ․ա․800—200 թվականներ) մաթեմատիկական տեքստի համաձայն՝

  
    
      
        1
        +
        
          
            1
            3
          
        
        +
        
          
            1
            
              3
              ⋅
              4
            
          
        
        −
        
          
            1
            
              3
              ⋅
              4
              ⋅
              34
            
          
        
        =
        
          
            577
            408
          
        
        ≈
        1.414215686
        :
      
    
    {\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1.414215686:}
  Պյութագորասականները հայտնաբերեցին, որ քառակուսու անկյունագիծը անհամաչափ է կողմերի հետ, կամ ժամանակակից լեզվով ասած իռացիոնալ է։ Այս բացահայտման պայմանների և ժամանակի մասին որոշակի տվյալներ հայտնի չեն, բայց ավանդաբար այն վերագրվում է Գիպասին Մետապոնտից, ում այդ բացահայտման համար, ըստ տարբեր լեգենդների, կա՛մ սպանել են, կա՛մ էլ արտաքսել են, մեղադրելով պյութագորասականության գլխավոր ուսմունքը խախտելու համար, այսինքն, որ «բոլոր թվերը բնական են»։ Այդ պատճառով քառակուսի արմատ 2-ին երբեմն անվանում են նաև Պյութագորասի հաստատուն, որովհետև հենց պյութագորասականներն են ապացուցել թվի իռացիոնալությունը, այդպիսով նաև հայտնագործելով իռացիոնալ թվերի գոյության փաստը։


== Հաշվման ալգորիթմներ ==
Գոյություն ունեն 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
   թվի հաշվման տարբեր ալգորիթմներ։ Ալգորիթմի արդյունքում ստացվում է 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  -ի մոտավոր արժեքներ՝ սովորական կամ ամբողջ կոտորակների տեսքով։ Ամենատարածված մեթոդը, որ օգտագործվում է բազմաթիվ համակարգիչներում ու հաշվիչ սարքերում, քառակուսի արմատ հաշվելու բաբելոնական մեթոդն է, որի ալգորիթմը հետևյալն է՝

  
    
      
        
          a
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        
          
            
              
                a
                
                  n
                
              
              +
              
                
                  2
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                n
              
            
            2
          
        
        +
        
          
            1
            
              a
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}}
  Ինչքան շատ լինի ալգորիթմի կրկնությունը (այսինքն ո-ների քանակը), այդքան 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  -ի արժեքը կլինի ավելի ճշգրիտ։ Ամեն կրկնությունը մոտ երկու անգամ շատացնում է ճշգրիտ թվանշանների քանակը։ Բերենք մի քանի առաջին մոտարկումներ սկսած  
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a_{0}=1}
  -ից։

3/2 = 1.5
17/12 = 1.416…
577/408 = 1.414215…
665857/470832 = 1.4142135623746…1997 թվականին ճապոնացի մաթեմատիկոս Յասումասա Կանադան 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
   թվի արժեքը ճշգրտեց, հասցնելով մինչև 137 438 953 444 թվանշան ստորակետից հետո։ 2007 թվականին ռեկորդը գերազանցվեց․ Սիգերու Կոնդոն 13 օր և 14 ժամում հաշվեց ստորակետից հետո 200 միլիարդ թվանշան՝ 3,6 ԳՀց հաճախականություն և 16 ԳԲ օպերացիոն հիշողություն ունեցող համակարգչի միջոցով։ Մաթեմատիկական հաստատունների շարքում միայն 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  -ն է որ ավելի ճշգրիտ է հաշվվել։


== Քառակուսի արմատ երկուսի հատկություններ ==

  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  -ի կեսը մոտավորապես հավասար է 0.70710 67811 86548, որը երկրաչափության և եռանկյունաչափության մեջ տալիս է տալիս է  45° անկյուն կազմող միավոր վեկտորների կոորդինատները՝

  
    
      
        
          
            
              2
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
            
          
        
        =
        cos
        ⁡
        (
        
          45
          
            ∘
          
        
        )
        =
        sin
        ⁡
        (
        
          45
          
            ∘
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos(45^{\circ })=\sin(45^{\circ })}
  
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  -ի հետաքրքիր հատկություններից մեկը հետևյալն է՝

  
    
      
         
        
          
            1
            
              
                
                  2
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
          
            2
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1}
  , որովհետև 
  
    
      
        (
        
          
            2
          
        
        +
        1
        )
        (
        
          
            2
          
        
        −
        1
        )
        =
        2
        −
        1
        =
        1
      
    
    {\displaystyle ({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {2}}-1)=2-1=1}
  Դա արծաթե հատման հատկություններից է գալիս։

  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  -ի մյուս հետաքրքիր հատկությունը հետևյալն է՝

  
    
      
        
          
            2
            +
            
              
                2
                +
                
                  
                    2
                    +
                    ⋯
                  
                
              
            
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=2}
  
Քառակուսի արմատ երկուսիցը կարող է արտահայտվել նաև կեղծ i միավորով, որը օգտագործվում է միայն քառակուսի արմատ հաշվելու և թվաբանական գործողությունների ժամանակ՝
  
    
      
        
          
            
              
                
                  i
                
              
              +
              i
              
                
                  i
                
              
            
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}}
   и 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  −
                  i
                
              
              −
              i
              
                
                  −
                  i
                
              
            
            
              −
              i
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.}
  
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  -ը նաև միայկ թիվն է, բացի 1-ից, որի անվերջ աստիճանը հավասար է իր քառակուսուն՝

  
    
      
        
          
            
              2
            
          
          
            
              
                
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      2
                    
                  
                  
                     
                    
                      ⋅
                      
                        
                          ⋅
                          
                            ⋅
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\ \cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=2}
  
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  -ը օգտագործվում է նաև 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   մոտավորության համար՝

  
    
      
        
          2
          
            m
          
        
        
          
            2
            −
            
              
                2
                +
                
                  
                    2
                    +
                    ⋯
                    +
                    
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
        →
        π
        
           as 
        
        m
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle 2^{m}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}\to \pi {\text{ as }}m\to \infty }
  Աբստրակտ հանրահաշվի տեսանկյունից՝ 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  -ը հանդիսանում է 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        −
        2
      
    
    {\displaystyle x^{2}-2}
   բազմանդամի արմատը, դրա համար համարվում է հանրահաշվական ամբողջ թիվ
  
    
      
        a
        +
        b
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}
   տեսքի բազմաթիվ թվեր, որտեղ  
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   -ն և  
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   -ն  ռացիոնալ թվեր են, որոնք ստեղծում են հանրահաշվական դաշտը։ Այն նշանակվում է այսպես՝ 
  
    
      
        
          Q
        
        [
        
          
            2
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]}
   և հանդիսանում է իրական թիվ։


== Իռացիոնալության ապացույցներ ==
Ընդունենք հակառակը (հակասման սկզբունք), ենթադրենք 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  -ը ռացիոնալ թիվ է, այսինքն այն կարող ենք գրել 
  
    
      
        
          
            m
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {m}{n}}}
   կոտորակի տեսքով, որտեղ 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  -ը և 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը ամբողջ թվեր են։ Այդ հավասարության երկու կողմերը քառակուսի բարձրացնենք՝

  
    
      
        
          
            2
          
        
        =
        
          
            m
            n
          
        
        ⇒
        2
        =
        
          
            
              m
              
                2
              
            
            
              n
              
                2
              
            
          
        
        ⇒
        
          m
          
            2
          
        
        =
        2
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}}
  m2-ից ամբողջ արմատ է դուրս գալիս 2-ը,իսկ 2n2-ից ամբողջ արմատ դուրս չի գալիս, հետևաբար  m2=2n2 հավասարությունը անհնար է։
Այսինքն արված ենթադրությունը սխալ է, և 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  -ը իռացիոնալ թիվ է։


== Անընդհատ կոտորակ ==
Քառակուսի արմատը երկուսը կարելի է ներկայացնել անընդհատ կոտորակի տեսքով՝

  
    
      
         
        
          
            2
          
        
        =
        1
        +
        
          
            
              
                
              
              
                
                  1
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  2
                  +
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            2
                            +
                            
                              
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      1
                                    
                                  
                                
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      2
                                      +
                                      
                                        
                                          
                                            
                                              
                                            
                                            
                                              
                                                1
                                              
                                            
                                          
                                          
                                            
                                              
                                            
                                            
                                              
                                                2
                                                +
                                                ⋱
                                              
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}}
  Անընդհատ կոտորակը տալիս է  թվի մոտավոր արժեքին արագորեն հասնող լուծում։ Հաշվելու մեթոդը հեշտ է․ եթե նախորդ համապատասխանող կոտորակը 

  
    
      
        
          
            m
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {m}{n}}}
  -ն է,  ապա հաջորդը կլինի 
  
    
      
        
          
            
              m
              +
              2
              n
            
            
              m
              +
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {m+2n}{m+n}}}
  ։  Այստեղ զուգամիտության արագությունը ավելի դանդաղ է աճում, քան Նյուտոնի մեթոդում, բայց հեշտ է հաշվողական գործընթացը։ Առանձնացնենք առաջին մի քանի մոտավորությունները՝

  
    
      
        
          
            3
            2
          
        
        ;
         
        
          
            7
            5
          
        
        ;
         
        
          
            17
            12
          
        
        ;
         
        
          
            41
            29
          
        
        ;
         
        
          
            99
            70
          
        
        ;
         
        
          
            239
            169
          
        
        ;
         
        
          
            577
            408
          
        
        ;
         
        
          
            1393
            985
          
        
        ;
         
        
          
            3363
            2378
          
        
        …
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{2}};\ {\frac {7}{5}};\ {\frac {17}{12}};\ {\frac {41}{29}};\ {\frac {99}{70}};\ {\frac {239}{169}};\ {\frac {577}{408}};\ {\frac {1393}{985}};\ {\frac {3363}{2378}}\dots }
  
Վերջին անընդհատ կոտորակի քառակուսին մոտավորապես հավասար է 2,000000177.


== Թղթի ձևաչափ ==

  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  -ը օգտագործվում է նաև ISO 216 ստանդարտի թղթի ձևաչափը սահմանելու համար։ Թղթի կողմերի հարաբերակցությունը հավասար է՝

  
    
      
        1
        :
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1:{\sqrt {2}}}
  ։ Թղթի կարճ կողմին  զուգահեռ երկու հավասար մասերի բաժանումից ստացվում են նույն հարաբերակցության երկու թղթեր։ Դա թույլ է տալիս թղթերը համարակալել ըստ թղթի չափսի նվազմամբ՝ А0, А1, А2, А3, А4,…


== Տե՛ս նաև ==
Իռացիոնալ թվեր
Վիետի թեորեմ


== Գրականություն ==
Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8


== Արտաքին հղումներ ==
Pythagoras's Constant(անգլ.)։


== Ծանոթագրություններ ==