Ինտեգրալ հավասարումներ

Ինտեգրալ հավասարումներ, հավասարումներ, որոնք որոնելի ֆունկցիաների նկատմամբ պարունակում են ինտեգրման գործողություններ։ Առանձնապես կարևոր և բազմակողմանիորեն ուսումնասիրված գծային ինտեգրալ հավասարումների թվին են պատկանում

  
    
      
        
          a
        
        (
        p
        )
        φ
        (
        p
        )
        +
        
          ∫
          
            D
          
          

          
        
        k
        (
        p
        ,
        q
        )
        φ
        (
        q
        )
        d
        q
        =
        f
        (
        p
        )
        ,
        p
        ∈
        D
        ⊂
        
          R
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {a}(p)\varphi (p)+\int _{D}^{}k(p,q)\varphi (q)dq=f(p),p\in D\subset R^{n}}
   (1)

  
    
      
        
          a
        
        (
        x
        )
        φ
        (
        x
        )
        +
        
          ∫
          
            a
          
          
            x
          
        
        k
        (
        x
        ,
        y
        )
        φ
        (
        y
        )
        d
        y
        =
        f
        (
        x
        )
        ,
        x
        ∈
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle {a}(x)\varphi (x)+\int _{a}^{x}k(x,y)\varphi (y)dy=f(x),x\in (a,b)}
   (2)
հավասարումները, որտեղ 
  
    
      
        φ
        (
        p
        )
        ,
        φ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (p),\varphi (x)}
   որոնելի ֆունկցիաներ են. իսկ 
  
    
      
        
          a
        
        (
        p
        )
        ,
        f
        (
        p
        )
        ,
        k
        (
        p
        ,
        q
        )
        ,
        
          a
        
        (
        x
        )
        ,
        f
        (
        x
        )
        ,
        k
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle {a}(p),f(p),k(p,q),{a}(x),f(x),k(x,y)}
   նախապես տրված անընդհատ ֆունկցիաներ են իրենց որոշման տիրույթում։ 
  
    
      
        
          a
        
        (
        p
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {a}(p)=0}
   դեպքում (1)-ը կոչվում է Ֆրեդհոլմի առաջին սեռի, իսկ 
  
    
      
        
          a
        
        (
        p
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {a}(p)=1}
   դեպքում՝ Ֆրեդհոլմի երկրորդ սեռի ինտեգրալ հավասարում (շվեդ մաթեմատիկոս Ի. Ֆրեդհոլմի (Fredholm E. J., 1866–1927) անունով)։ Նմանապես, 
  
    
      
        
          a
        
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {a}(x)=0}
   դեպքում (2)-ը կոչվում է Վոլտերայի առաջին սեռի, իսկ 
  
    
      
        
          a
        
        (
        x
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {a}(x)=1}
   դեպքում՝ Վոլտերայի երկրորդ սեռի ինտեգրալ հավասարում (իտալացի մաթեմատիկոս Վ. Վոլտերայի (Volterra V., 1860–1940) անունով)։ Երբ 
  
    
      
        k
        (
        p
        ,
        q
        )
      
    
    {\displaystyle k(p,q)}
   ֆունկցիան (համապատասխանաբար 
  
    
      
        k
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle k(x,y)}
  -ը), որը կոչվում է ինտեգրալ հավասարման կորիզ, ունի

  
    
      
        k
        (
        p
        ,
        q
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          α
          
            1
          
        
        (
        p
        )
        
          β
          
            1
          
        
        (
        q
        )
      
    
    {\displaystyle k(p,q)=\sum _{k=1}^{N}\alpha _{1}(p)\beta _{1}(q)}
  
(
  
    
      
        k
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          α
          
            1
          
        
        (
        x
        )
        
          β
          
            1
          
        
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle k(x,y)=\sum _{k=1}^{N}\alpha _{1}(x)\beta _{1}(y)}
  )
մասնավոր տեսքը, (1) և (2) հավասարումների լուծումը բերվում է գծային հանրահաշվական հավասարումների լուծման։ Այն ինտեգրալ հավասարումները, որոնց կորիզն ունի ոչ ինտեգրելի եզակիություն (օրինակ, երբ 
  
    
      
        k
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        (
        x
        −
        y
        
          )
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle k(x,y)=(x-y)^{-1}}
  ), կոչվում են սինգուլյար ինտեգրալ հավասարում։ Ոչ գծային ինտեգրալ հավասարմներից կարևորներն են

  
    
      
        φ
        (
        x
        )
        +
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        k
        (
        x
        ,
        t
        ,
        φ
        (
        t
        )
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \varphi (x)+\int _{0}^{1}k(x,t,\varphi (t))dt}
  
Ուրիսոնի հավասարումը և նրա մասնավոր դեպքը՝

  
    
      
        φ
        (
        x
        )
        +
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        k
        (
        x
        ,
        t
        )
        F
        (
        t
        ,
        φ
        (
        t
        )
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \varphi (x)+\int _{0}^{1}k(x,t)F(t,\varphi (t))dt}
  
Համերշտայնի հավասարումը։
Ինտեգրալ հավասարումների տեսությունը արդի բնագիտության հզոր միջոցներից է և ունի ամենալայն ու բազմապիսի կիրառություններ։