Գծային արտապատկերում

Գծային արտապատկերում - փաստարկների և արժեքների ավելի ընդհանուր շարքի համար գծային թվային ֆունկցիայի ընդհանրացում (ավելի հստակ՝ 
  
    
      
        y
        =
        k
        x
      
    
    {\displaystyle y=kx}
  ) տեսքի ֆունկցիաներ։
Գծային արտապատկերումը, ի տարբերություն ոչ գծայինի, բավականին լավ ուսումնասիրված է, ինչը հնարավորություն է տալիս այն հաջողությամբ կիրառել ընդհանուր տեսության վրա, քանի որ նրանց հատկությունները կախված չեն մեծություններից։
Գծային օպերատորը (ձևափոխումը) հանդիսանում է իր վրա վեկտորային տարածության գծային արտապատկերման մասնավոր դեպք։


== Ֆորմալ սահմանումը ==

  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
   վեկտորային տարածության գծային արտապատկերումը 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
   դաշտի վրա 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
   վեկտորային տարածությունում նույն 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
   դաշտի համար (գծային օպերատոր 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  -ից 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  ) կոչվում է արտապատկերում՝

  
    
      
        f
        :
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle f\colon V\to W}
  ,որը բավարարում է գծային պայմանին՝

  
    
      
        f
        (
        x
        +
        y
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        +
        f
        (
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}
  ,

  
    
      
        f
        (
        α
        x
        )
        =
        α
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(\alpha x)=\alpha f(x)}
  .ցանկացած 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        V
      
    
    {\displaystyle x,y\in V}
   և 
  
    
      
        α
        ∈
        K
      
    
    {\displaystyle \alpha \in K}
  ։
Եթե 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
   և 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
    միևնույն վեկտորային տարածություններ են, ապա 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ը ոչ թե գծային արտապատկերում է, այլ գծային ձևափոխություն։
Եթե կատարվում է միայն առաջին հատկությունը, այդ դեպքում նման արտապատկերումը կոչվում է ադդիտիվ։


== Գծային արտապատկերումների տարածություն ==
Եթե 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
   հիմնական դաշտից սկալյարների գումարման և բազմապատկման գործողությունները սահմանենք որպես․

  
    
      
        (
        f
        +
        g
        )
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        +
        g
        (
        x
        )
        
        ∀
        x
        ∈
        V
      
    
    {\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad \forall x\in V}
  

  
    
      
        (
        k
        f
        )
        (
        x
        )
        =
        k
        f
        (
        x
        )
        
        ∀
        x
        ∈
        V
        ,
        ∀
        k
        ∈
        K
      
    
    {\displaystyle (kf)(x)=kf(x)\quad \forall x\in V,\forall k\in K}
  ապա 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  -ից 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
   բոլոր գծային արտապատկերումների բազմությունն իրենից կներկայացնի վեկտորային տարածություն, որը սովորաբար նշանակվում է 
  
    
      
        
          
            L
          
        
        (
        V
        ,
        W
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W)}
  -ով։


=== Սահմանափակ գծային օպերատորներ։ Օպերատորի նորմա։ ===
Եթե 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
   և 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
   վեկտորային տարածությունները հանդիսանում եմ տեղագրական տարածություններ, այսինքն, նրանց վրա որոշված են տեղագրություններ, որոնց նկատմամբ այդ տարածությունների գործողությունները անընդհատ են, ապա կարելի է որոշել սահմանափակ օպերատորի հասկացությունը – գծային օպերատորը կոչվում է սահմանափակ, եթե այն սահմանափակ բազմությունը տեղափոխում է սահմանափակին (մասնավորապես, բոլոր անընդհատ օպերատորները սահմանափակ են)։ Մասնավորապես, նորմավորված տարածություններում բազմությունները սահմանափակ են, եթե նրա յուրաքանչյուր տարի նորման սահանափակ է, հետևաբար, այս դեպքում օպերատորը կոչվում է սահմանափակ, եթե գոյություն ունի 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   թիվ այնպիսի, որ 
  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        V
        ,
        ‖
        A
        x
        
          ‖
          
            W
          
        
        ⩽
        N
        ‖
        x
        
          ‖
          
            V
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall x\in V,\|Ax\|_{W}\leqslant N\|x\|_{V}}
  : Կարելի է ցույց տալ, որ նորմավորված տարածությունների դեպքում օպերատորների անընդհատությունը և սահմանափակությունը համարժեք են։ 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   հաստատուններից ամենափոքրը, որը բավարարում է վերևում նշված պայմանին, կոչվում է օպերատորի նորմա․

  
    
      
        ‖
        A
        ‖
        =
        
          sup
          
            ‖
            x
            ‖
            ≠
            0
          
        
        
          
            
              ‖
              A
              x
              ‖
            
            
              ‖
              x
              ‖
            
          
        
        =
        
          sup
          
            ‖
            x
            ‖
            =
            1
          
        
        
          ‖
          A
          x
          ‖
        
        :
      
    
    {\displaystyle \|A\|=\sup _{\|x\|\not =0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\sup _{\|x\|=1}{\|Ax\|}:}
  
Օպերատորի նորմայի հասկացության ներմուծումը հնարավորություն կտա դիտարկել գծային օպերատորների տարածությունը որպես նորմավորված գծային տարածություն (կարելի է ստուգել համապատասխան ակսիոմների կատարումը ներմուծված նորմայի համար)։ Եթե 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
   տարածությունը բանախովյան է, ապա գծային օպերատորների տարածությունը նույնպես բանախովյան է։


=== Հակադարձ օպերատոր ===

  
    
      
        
          A
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{-1}}
   օպերատորը կոչվում է հակադարձ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   գծային օպերատորին, եթե տեղի ունի․  
  
    
      
        
          A
          
            −
            1
          
        
        A
        =
        A
        
          A
          
            −
            1
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle A^{-1}A=AA^{-1}=1}
  ։

  
    
      
        
          A
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{-1}}
   օպերատորը, որը հակադարձ է 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   գծային օպերատորին, նույնպես հանդիսանում է գծային օպերատոր։ Եթե  
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   -ն գծային անընդհատ օպերատոր է, որն արտապատկերում է մի բանախովյան տարածությունը (կամ 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  -տարածություն) մյուսին, ապա հակադարձ օպերատորը նույնպես հանդիսանում է անընդհատ գծային օպերատոր։


=== Գծային արտապատկերման ===
Գծային արտապատկերման  – մատրից, որն արտահայտում է գծային արտապատկերում ինչ-որ բազիսում։ Որպեսզի այն ստանանք, անհրաժեշտ է ներազդել արտապատկերմամբ վեկտորների բազիսի վրա և ստացված վեկտորների (բազիսային վեկտորների պատկերներ) կոորդինատները գրել մատրիցի սյուներում։
Արտապատկերման մատրիցը նման է վեկտորի կոորդինատներին։ Այդ դեպքում վեկտորի վրա արտապատկերման գործողությունը հավասարազոր է մատրիցի և նույն բազիսում այդ վեկտորի կոորդինատի սյան արտադրյալին։
Ընտրենք 
  
    
      
        
          
            e
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{k}}
   բազիսը։ Դիցուք 
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} }
  -ը կամայական վեկտոր է։ Այն կարելի է ներկայացնել հետևյալ բազիսով՝

  
    
      
        
          x
        
        =
        
          x
          
            k
          
        
        
          
            e
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} =x^{k}\mathbf {e} _{k}}
  ,որտեղ 
  
    
      
        
          x
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{k}}
  -ն 
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} }
   վեկտորի կոորդինատն է նշված բազիսում։
Այստեղ, և հետագայում, առաջարկվում է միավորել ըստ համր ինդեկսների։
Դիցուք 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  -ն ցանկացած գծային արտապատկերում է։ Ներազդելով նախորդ հավասարման վրա երկու կողմերից, կստանանք՝

  
    
      
        
          A
          x
        
        =
        
          x
          
            k
          
        
        
          
            A
            e
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Ax} =x^{k}\mathbf {Ae} _{k}}
  ։
  
    
      
        
          
            A
            e
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Ae} _{k}}
   վեկտորը նույնպես ներկայացնենք նշված բազիսում, կստանանք՝

  
    
      
        
          
            A
            e
          
          
            k
          
        
        =
        
          a
          
            k
          
          
            j
          
        
        
          
            e
          
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Ae} _{k}=a_{k}^{j}\mathbf {e} _{j}}
  ,որտեղ 
  
    
      
        
          a
          
            k
          
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{k}^{j}}
  -ն 
  
    
      
        
          
            A
            e
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Ae} _{k}}
  -ի 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  -րդ վեկտորի 
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  -րդ կոորդինատը է։
Նախորդ բանաձևում տեղադրելով ընդլայնում, կստանանք՝

  
    
      
        
          A
          x
        
        =
        
          x
          
            k
          
        
        
          a
          
            k
          
          
            j
          
        
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        =
        (
        
          a
          
            k
          
          
            j
          
        
        
          x
          
            k
          
        
        )
        
          
            e
          
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Ax} =x^{k}a_{k}^{j}\mathbf {e} _{j}=(a_{k}^{j}x^{k})\mathbf {e} _{j}}
  ։
  
    
      
        
          a
          
            k
          
          
            j
          
        
        
          x
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{k}^{j}x^{k}}
   արտահայտությունը, որն ընդգրկված է փակագծերի մեջ, նունն է, ինչ որ մատրիցի և սյան արտադրյալը։ Այսպիով, 
  
    
      
        
          a
          
            k
          
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{k}^{j}}
   մատրիցը 
  
    
      
        
          x
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{k}}
   սյան հետ բազմապատկելիս արդյունքում կստացվի 
  
    
      
        
          A
          x
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Ax} }
   վեկտորի կոորդինատը, որն առաջանում է 
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} }
   վեկտորի վրա 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
   օպերատորի գործողության արդյունքում, ինչն էլ պետք էր ստանալ։
 Մեկնաբանություն՝ Եթե ստացված մատրիցում տեղերով փոխարինենք մի քանի տողեր և սյուներ, այդ դեպքում, ընդհանրապես ասած, կստանանք արդեն մեկ այլ մատրից, որը համապատասխանում է 
  
    
      
        
          
            e
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{k}}
   բազիսային էլեմենտների հավաքածուին։ Այլ խոսքերով,  առաջարկվում է խստորեն պահել բազիսային էլեմենտների հաջորդականությունը։


=== Փոխակերպման օրինակ ===

Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ տեսքի 2×2 չափի մատրիցը՝

  
    
      
        
          A
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  a
                
                
                  c
                
              
              
                
                  b
                
                
                  d
                
              
            
            ]
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\,}
  այն կարող է դիտարկվել որպես մատրից ձևափոխված միավոր քառակուսուց (0, 0), (a, b), (a + c, b + d) և (c, d) գագաթներով զուգահեռակողմի։
Զուգահեռակողմը, որը ցույց է տրված աջ կողմում, ստացվում է 'A մատրիցի և 
  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
              
            
            ]
          
        
        ,
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
              
            
            ]
          
        
        ,
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
              
              
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}
   ու 
  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
              
              
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}
   վեկտոր-սյուների արտադրյալի արդյունքում։ Այս վեկտորները համապատասխանում են միավոր քառակուսու գագաթներին։
Հաջորդ աղյուսակում բերված են 2 × 2 չափի մատրիցի օրինակներ իրական թվերի համար նրանց համապատասխան R2 գծային ձևափոխության։ Կապույտ գույնով նշանակված են ցանցի սկզբնական կոորդինատները, իսկ կանաչով՝ փոխակերպված։ Կոորդինատների (0,0) սկզբնակետը նշված է սև կետով։ 


== Կարևոր մասնավոր դեպքեր ==
Գծային տեսք — գծային արտապատկերում, որի համար 
  
    
      
        W
        =
        K
      
    
    {\displaystyle W=K}
  :    
  
    
      
        f
        :
        V
        →
        K
      
    
    {\displaystyle f\colon V\to K}
  ։
Գծային էնդոֆորմիզմ — գծային արտապատկերում, որի համար 
  
    
      
        V
        =
        W
      
    
    {\displaystyle V=W}
  (օպերատոր)։    
  
    
      
        f
        :
        V
        →
        V
      
    
    {\displaystyle f\colon V\to V}
  ։
Նույնական օպերատոր (միակ օպերատոր)— 
  
    
      
        x
        ↦
        x
      
    
    {\displaystyle x\mapsto x}
   օպերատոր, որը արտապատկերում է տարածության յուրաքանչյուր էլեմենտ իր վրա։ Այդ օպերատորի նորման հավասար է մեկի (նորմավորված տարածությունների համար)։
Զրոյական արտապատկերում — օպերատոր, որը ձևափոխում է 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  -ի յուրաքանչյուր էլեմենտ 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  -ի զրոյական էլեմենտի։
Պրոյեկտոր — օպերատոր, որը ենթատարածության վրա համեմատում է յուրաքանչյուր 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ին իր պրոյեկցիայի հետ։
Համակցված արտապատկերում 
  
    
      
        A
        ∈
        L
        (
        V
        )
      
    
    {\displaystyle A\in L(V)}
   արտապատկերմանը — 
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{*}}
  -ն 
  
    
      
        
          V
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle V^{*}}
  -ի վրա  արտապատկերում, տրված 
  
    
      
        
          A
          
            ∗
          
        
        f
        (
        x
        )
        :=
        f
        (
        A
        x
        )
      
    
    {\displaystyle A^{*}f(x):=f(Ax)}
   հարաբերակցությամբ։
Ինքնահամակցված օպերատոր — օպերատոր հիլբերտյան տարածության վրա, որը համընկնում է իր համակցված օպերատորի հետ։ Հաճախ այդպիսի օպերատորները անվանում են հիպերմաքսիմալ էրմիտիկ։
Էրմիտիկ կամ սիմետրիկ օպերատոր — այնպիսի 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   օպերատոր, որը որոշված է հիլբերտյան ենթատարածության վրա։ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   որոշման տիրույթի բոլոր 
  
    
      
        x
        ,
        y
      
    
    {\displaystyle x,y}
   զույգերի համար 
  
    
      
        (
        A
        x
        ,
        y
        )
        =
        (
        x
        ,
        A
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (Ax,y)=(x,Ay)}
  ։ Ամենուրեք որոշված բոլոր օպերատորների համար այդ հատկությունը համընկնում է ինքնահամակցման հետ։
Ունիտար օպերատոր — օպերատոր, որի որոշման և արժեքների տիրույթը ամբողջ տարածությունն է, որը պահպանում է  
  
    
      
        (
        A
        x
        ,
        A
        y
        )
        =
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (Ax,Ay)=(x,y)}
   սկալյար արտադրյալը։ Մասնավորապես, ունիտար օպերատորը պահպանում է ցանկացած 
  
    
      
        ‖
        A
        x
        ‖
        =
        
          
            (
            A
            x
            ,
            A
            x
            )
          
        
        =
        
          
            (
            x
            ,
            x
            )
          
        
        =
        ‖
        x
        ‖
      
    
    {\displaystyle \|Ax\|={\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {(x,x)}}=\|x\|}
   վեկտորի նորման։ Ունիտարին հակադարձ օպերատորը համընկնում է 
  
    
      
        
          A
          
            −
            1
          
        
        =
        
          A
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{-1}=A^{*}}
   համակցված օպերատորի հետ։ Ունիտար օպերատորի նորման հավասար է 1-ի։ К իրական դաշտի դեպքում ունիտար օպերատորը կոչվում է օրթոգոնալ։


== Առնչվող հասկացություններ ==
Գծային արտապատկերման  
  
    
      
        f
        :
        V
        →
        W
      
    
    {\displaystyle f\colon V\to W}
   միջուկ է կոչվում 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
   ենթաբազմությունը, որը արտապատկերվում է զրոյի։
  
    
      
        
          
            Ker
          
        
        
        f
        =
        {
        x
        ∈
        V
        ∣
        f
        (
        x
        )
        =
        0
        }
      
    
    {\displaystyle {\mbox{Ker}}\,f=\{x\in V\mid f(x)=0\}}
  
Գծային արտապատկերման միջուկը ձևավորում է ենթատարածություն գծային 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
    տարածությունում։
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   գծային արտապատկերման պատկեր կոչվում է հետևյալ 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
   ենթաբազմությունը՝

  
    
      
        
          
            Im
          
        
        
        f
        =
        {
        f
        (
        x
        )
        ∈
        W
        ∣
        x
        ∈
        V
        }
      
    
    {\displaystyle {\mbox{Im}}\,f=\{f(x)\in W\mid x\in V\}}
  
Գծային արտապատկերման պատկերը ձևավորում է ենթատարածություն 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
   գծային տարածությունում։

  
    
      
        M
        ⊂
        V
      
    
    {\displaystyle M\subset V}
    ենթաբազմության պատկեր 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   գծային փոխակերպուման նկատմամբ կոչվում է 
  
    
      
        A
        M
        =
        {
        A
        x
        :
        x
        ∈
        M
        }
      
    
    {\displaystyle AM=\{Ax:x\in M\}}
   բազմությունը։

  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
   և 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
   գծային տարածությունների ուղիղ արտադրյալի արտապատկերումը 
  
    
      
        f
        :
        V
        ×
        U
        →
        W
      
    
    {\displaystyle f\colon V\times U\to W}
   գծային 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
   տարածքին կոչվում է բիգծային, եթե այն գծային է նրա երկու արգումենտներով։  
  
    
      
        f
        :
        
          A
          
            1
          
        
        ×
        ⋯
        ×
        
          A
          
            n
          
        
        →
        B
      
    
    {\displaystyle f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B}
   մեծ թվերի գծային տարածությունների ուղիղ արտադրյալի արտապատկերումը կոչվում է բազմագծային, եթե այն գծային է իր բոլոր արգումենտներով։

  
    
      
        
          
            
              L
              ~
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {L}}}
   օպերատորը կոչվում է գծային տարասեռ (կամ աֆինացված), եթե այն ունի այսպիսի տեսք՝

  
    
      
        
          
            
              L
              ~
            
          
        
        =
        L
        +
        v
      
    
    {\displaystyle {\tilde {L}}=L+v}
  որտեղ 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
   գծային օպերատոր է, իսկ 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  -ն՝ վեկտոր։Դիցուկ 
  
    
      
        A
        :
        V
        →
        V
      
    
    {\displaystyle A:V\to V}
  ։ 
  
    
      
        M
        ⊂
        V
      
    
    {\displaystyle M\subset V}
   ենթատարածությունը կոչվում է ինվարիանտ գծային արտապատկերման նկատմամբ, եթե 
  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        M
        ,
        A
        x
        ∈
        M
      
    
    {\displaystyle \forall x\in M,Ax\in M}
  Ինվարիանտության չափանիշը։ Դիցուկ 
  
    
      
        M
        ⊂
        X
      
    
    {\displaystyle M\subset X}
  -ն այնպիսի ենթատարածություն է, որ 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   տրոհվում է 
  
    
      
        X
        =
        M
        ⊕
        N
      
    
    {\displaystyle X=M\oplus N}
   ուղիղ գումարին։ Այդ դեպքում 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
   ինվարիանտ է 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   գծային արտապատկերման նկատմամբ այն և միայն այն դեպքում, երբ 
  
    
      
        
          P
          
            M
          
        
        A
        
          P
          
            M
          
        
        =
        A
        
          P
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{M}AP_{M}=AP_{M}}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          P
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{M}}
  -ը պրոյեկտոր 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
   ենթատարածության վրա։Ֆակտոր-օպերատորներ։ Դիցուկ 
  
    
      
        A
        :
        V
        →
        V
      
    
    {\displaystyle A:V\to V}
  -ը գծային օպերատոր է և դիցուկ 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  -ը ինչ-որ ինվարիանտ է այդ ենթաբազմության օպերատորի նկատմամբ։ Ձևավորենք ֆակտոտարածություն 
  
    
      
        V
        
          /
        
        
        
          
            ∼
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle V/\,{\overset {M}{\sim }}}
   ըստ 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
   ենթատարածության։ Այդ դեպքում ֆակտոր-օպերատորը կոչվում է 
  
    
      
        
          A
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{+}}
   օպերատորը, որը կիրառվում է 
  
    
      
        V
        
          /
        
        
        
          
            ∼
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle V/\,{\overset {M}{\sim }}}
  -ի վրա 
  
    
      
        ∀
        
          x
          
            +
          
        
        ∈
        V
        
          /
        
        
        
          
            ∼
            M
          
        
        ,
        
          A
          
            +
          
        
        
          x
          
            +
          
        
        =
        [
        A
        x
        ]
      
    
    {\displaystyle \forall x^{+}\in V/\,{\overset {M}{\sim }},A^{+}x^{+}=[Ax]}
   կանոնով, որտեղ 
  
    
      
        [
        A
        x
        ]
      
    
    {\displaystyle [Ax]}
  -ը ֆակտոտարածության դասից է և պարունակում է 
  
    
      
        A
        x
      
    
    {\displaystyle Ax}
  -ը։
Երկակի տարածությունների մեջ տրված է դեպի հակառակ ուղությունը գնացող երկակի արտապատկերում։


== Օրինակներ ==
Միատար գծային օպերատորների օրինակներ՝

դիֆերենցացման օպերատոր՝ 
  
    
      
        L
        {
        x
        (
        ⋅
        )
        }
        =
        y
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              d
              x
              (
              t
              )
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle L\{x(\cdot )\}=y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}}
  ;
ինտեգրման օպերատոր՝ 
  
    
      
        y
        (
        t
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            t
          
        
        
        x
        (
        τ
        )
        
        d
        τ
      
    
    {\displaystyle y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau }
  ;
որոշակի ֆունկցիայի վրա բազմապատկման օպերատոր՝ 
  
    
      
        φ
        (
        t
        )
        :
        y
        (
        t
        )
        =
        φ
        (
        t
        )
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (t)\colon y(t)=\varphi (t)x(t)}
  ;
տրված «կշռով» ինտեգրացման օպերատոր՝ 
  
    
      
        φ
        (
        t
        )
        :
        y
        (
        t
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            t
          
        
        
        x
        (
        τ
        )
        
          φ
        
        (
        τ
        )
        
        d
        τ
      
    
    {\displaystyle \varphi (t)\colon y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau ){\varphi }(\tau )\,d\tau }
  ;

  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետում 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի արժեքի հաշվման օպերատոր՝  
  
    
      
        L
        {
        f
        }
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle L\{f\}=f(x_{0})}
  ;
վեկտորի և մատրիցի արտադրյալի օպերատոր՝ 
  
    
      
        b
        =
        A
        x
      
    
    {\displaystyle b=Ax}
  ;
վեկտորի շրջադարձի օպերատոր։Ոչ միատարր գծային օպերատորների օրինակներ՝

ցանկացած աֆինյան արտապատկերումներ;

  
    
      
        y
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              d
              x
              (
              t
              )
            
            
              d
              t
            
          
        
        +
        φ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}+\varphi (t)}
  ;

  
    
      
        y
        (
        t
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            t
          
        
        
        x
        (
        τ
        )
        
        d
        τ
        +
        φ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau +\varphi (t)}
  ;

  
    
      
        y
        (
        t
        )
        =
        
          φ
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        x
        (
        t
        )
        +
        
          φ
          
            2
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle y(t)=\varphi _{1}(t)x(t)+\varphi _{2}(t)}
  ;որտեղ 
  
    
      
        φ
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (t)}
  , 
  
    
      
        
          φ
          
            1
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi _{1}(t)}
   և 
  
    
      
        
          φ
          
            2
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi _{2}(t)}
  -ն որոշակի ֆունկցիաներ են, իսկ 
  
    
      
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x(t)}
  -ն օպերատորի կողմից փոխակերպված ֆունկցիա։


== Ծանոթագրություններ ==