Ձևեր (մաթեմատիկա)

Ձևեր մաթեմատիկայում, մի քանի փոփոխականի բազմանդամներ որոնց բոլոր անդամներն ունեն միևնույն աստիճանը։

  
    
      
        
          x
          
            1
          
          
            
              α
              
                1
              
            
          
        
        ⋅
        
          x
          
            2
          
          
            
              α
              
                2
              
            
          
        
        ⋅
        .
        .
        .
        ⋅
        
          x
          
            n
          
          
            
              α
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot x_{2}^{\alpha _{2}}\cdot ...\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}}
   տեսքի միանդամի աստիճան ասելով հասկանում ենք 
  
    
      
        
          α
          
            1
          
        
        +
        
          α
          
            2
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          α
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}}
   թիվը։ Այդ աստիճանը կոչվում է ձևի աստիճան։


== Կիրառություն ==
Ձևերը կիրառություն ունեն մաթեմատիկայի տարբեր բաժիններում, ինչպես նաև մեխանիկայում։ (
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}
  -ից 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -փոփոխականի գծային (առաջին աստիճանի) ձևի ընդհանուր տեսքն է 
  
    
      
        L
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        
          a
          
            1
          
        
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle L(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}
   գործակիցները թվեր են։
Կիրառություններում առավել կարևոր դեր են խաղում քառակուսային (երկրորդ աստիճանի) ձևերը։ Օրինակ, եթե շարժվող մեխանիկական համակարգի վիճակը մնում է մոտ կայունին, ապա նրա կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաները (եթե նրանք բացահայտորեն կախված չեն ժամանակից) համապատասխանաբար ներկայացվում են).

  
    
      
        
          q
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{k}}
  -երը կամ 
  
    
      
        
          q
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{k}}
  -երի բկատմամբ քառակուսային ձևերով։
Տարբեր աստիճանի ձևերը կիրառություններ ունեն հանրահաշվական երկրաչափության (հատկապես ինվարիանտների տեսության) և թվերի տեսության մեջ։


== Դիֆերենցիալ երկրաչափության և Ռիմանյան երկրաչափություն ==
Դիֆերենցիալ երկրաչափության և Ռիմանյան երկրաչափության մեջ, ինչպես նաև մաթեմատիկայի մի շարք այլ բաժիններում օգտագործվում են դիֆերենցիալ ձևեր։ Դիֆերենցիալ ձևը 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}
   փոփոխականների 
  
    
      
        d
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        d
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        d
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle dx_{1},dx_{2},...,dx_{n}}
   դիֆերենցիալների նկատմամբ բազմանդամ է, որի յուրաքանչյուր անդամ ունի միևնույն 
  
    
      
        k
         
        (
        k
        ≤
        n
        )
      
    
    {\displaystyle k\ (k\leq n)}
   աստիճանը, իսկ այդ բազմանդամի գործակիցները 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}
   փոփոխականների ֆունկցիաներ են (հաճախ որոշակի դասի պատկանող)։
Դիֆերենցիալ ձևի օրինակներ են մակերևույթների տեսության առաջին և երկրորդ քառակուսային ձև։ Ինտեգրալ հաշվի շատ արդյունքներ, օրինակ Գրինի բանաձևը, Ստոքսի բանաձևը, Գաուս-Օստոգրադսկու թեորեմը ըստ էության կարող են դիտվել որպես տարբեր աստիճանի դիֆերենցիալ ձևի միջև կապ հաստատող բանաձևեր։
Ընդհանրացնելով այդ առնչությունները, ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Է. Կարտանը կառուցեց արտաքին դիֆերենցման տեսությունը, որը կարևոր դեր է խաղում ժամանակակից մաթեմատիկայում։