Ուղղանկյուն եռանկյուն

Ուղղանկյուն եռանկյուն կոչվում է այն եռանկյունը, որի 1 անկյունը ուղիղ է։ Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև հարաբերությունը հիմք է հանդիսանում եռանկյունաչափության համար։
Ուղղանկյուն եռանկյան ամենամեծ կողմը կոչվում է ներքնաձիգ, իսկ մյուս երկու կողմերը՝ էջեր։

Եթե ուղղանկյուն եռանկյան բոլոր կողմերը հանդիսանում են ամբողջ թվեր, ապա այդ եռանկյան կողմերի երկարությունները կազմում են Պյութագորասյան եռյակներ:


== Հիմնական հատկություններ ==
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է։ Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունները հավասար են 45°։
Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30°-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին։
Եթե ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված է ներքնաձիգին բարձրություն, որը ներգնաձիգը բաժանում է 2 անհավասար մասերի, ապա բարձրության քառակուսին հավասար է այդ երկու անհավասար մասերի արտադրյալին։Մակերես
Ինչպես ցանկացած եռանկյան մակերես, ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է հիմքի և բարձրության արտադրյալի կեսին։ Եթե եռանկյան մակերեսը նշանակենք T- ով, ապա կունենանք հետևյալ բանաձևը`

  
    
      
        T
        =
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        a
        b
      
    
    {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}
  որտեղ a-ն և b-ն ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են։
Բարձրություններ

Եթե ուղղանկյուն եռանկյան գագաթից տարված է բարձրություն, որը եռանկյունը բաժանում է երկու նման եռանկյունների, որոնք նման են միմյանց և նաև նման են մեծ եռանկյանը, ապա
Ներքնաձիգին տարված բարձրությունը հանդիսանում է երկրաչափական միջին մեծություն` ներքնաձիգի երկու անհավասար մասերի համար։
Եռանկյան յուրաքանչյուր էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին կամ նրա հատվածներին հարակից են էջերին։Ըստ հավասարման`

  
    
      
        
          
            f
            
              2
            
          
          =
          d
          e
          ,
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle f^{2}=de,}
  

  
    
      
        
          
            b
            
              2
            
          
          =
          c
          e
          ,
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce,}
  

  
    
      
        
          
            a
            
              2
            
          
          =
          c
          d
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd}
  որտեղ a, b, c, d, e, f ցույց են տրված գծագրում։ Ինչպես`

  
    
      
        f
        =
        
          
            
              a
              b
            
            c
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}
  Բարձրության և ներքնաձիքի իրար կապող բանաձևերից մեկը հետևյալն է`

  
    
      
        
          
            1
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              f
              
                2
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}
  Պյութագորասի թեորեմ
Ըստ Պյութագորասի թեորեմի`ուղղանկյուն եռանկայն ներքնաձիգի երկարության քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին։
Արտահայտված բանաձևով`

  
    
      
        
          
            a
            
              2
            
          
          +
          
            b
            
              2
            
          
          =
          
            c
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
  որտեղ c-ն հանդիսանում է եռանկյան ներքնաձիգը, իսկ a-ն և b-ն` էջերը։
Ներգծված և արտագծված եռանկյան շառավիղներ
Եթե ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծված է շրջանագիծ և եթե այն նշանակենք r-ով, ապա այն հավասար կլինի`

  
    
      
        r
        =
        
          
            
              a
              +
              b
              −
              c
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              a
              b
            
            
              a
              +
              b
              +
              c
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}
  Ուղղանկյուն առանկյանն արտագծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է ներքնաձիգի կեսին․

  
    
      
        R
        =
        
          
            c
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}
  Ուղղանկյուն եռանկյանն արտագծված և ներգծված շրջանագծերի գումարը հավասար է եռանկյան էջերի կեսին.

  
    
      
        R
        +
        r
        =
        
          
            
              a
              +
              b
            
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle R+r={\frac {a+b}{2}}.}
  Եթե պետք է գտնել ուղղանկյուն եռանկյան էջի երկարությունը, ներգծված շրջանագծի միջոցով, ապա օգտվում ենք հետևյալ բանաձևից`

  
    
      
        
          a
          =
          
            
              
                2
                r
                (
                b
                −
                r
                )
              
              
                b
                −
                2
                r
              
            
          
          .
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.}
  


== Բնութագրեր ==


=== Կողմեր և կիսապարագիծ ===

  
    
      
        
          
            a
            
              2
            
          
          −
          
            b
            
              2
            
          
          =
          (
          a
          −
          b
          )
          (
          a
          +
          b
          )
          =
          
            c
            
              2
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)=c^{2}\quad }
  

  
    
      
        
          (
          s
          −
          a
          )
          (
          s
          −
          b
          )
          =
          s
          (
          s
          −
          c
          )
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}
  

  
    
      
        
          s
          =
          2
          R
          +
          r
          .
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle s=2R+r.}
  

  
    
      
        
          a
          2
          +
          b
          2
          +
          c
          2
          =
          8
          
            R
            
              2
            
          
          .
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle a2+b2+c2=8R^{2}.}
  


=== Անկյուններ ===

  
    
      
        
          cos
          ⁡
          
            A
          
          cos
          ⁡
          
            B
          
          cos
          ⁡
          
            C
          
          =
          0.
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}
  

  
    
      
        
          
            sin
            
              2
            
          
          ⁡
          
            A
          
          +
          
            sin
            
              2
            
          
          ⁡
          
            B
          
          +
          
            sin
            
              2
            
          
          ⁡
          
            C
          
          =
          2.
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}
  

  
    
      
        
          
            cos
            
              2
            
          
          ⁡
          
            A
          
          +
          
            cos
            
              2
            
          
          ⁡
          
            B
          
          +
          
            cos
            
              2
            
          
          ⁡
          
            C
          
          =
          1.
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}
  

  
    
      
        
          sin
          ⁡
          
            2
            A
          
          =
          sin
          ⁡
          
            2
            B
          
          =
          2
          sin
          ⁡
          
            A
          
          sin
          ⁡
          
            B
          
          .
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}
  


=== Մակերես ===

  
    
      
        
          T
          =
          
            
              
                a
                b
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle T={\frac {ab}{2}}}
  

  
    
      
        
          T
          =
          
            r
            
              a
            
          
          
            r
            
              b
            
          
          =
          r
          
            r
            
              c
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}
  

  
    
      
        
          T
          =
          r
          (
          2
          R
          +
          r
          )
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle T=r(2R+r)}
  


=== Արտագծված և ներգծված շրջանագծեր ===

  
    
      
        
          r
          =
          s
          −
          c
          =
          (
          a
          +
          b
          −
          c
          )
          
            /
          
          2
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2}
  

  
    
      
        
          
            r
            
              a
            
          
          =
          s
          −
          b
          =
          (
          a
          −
          b
          +
          c
          )
          
            /
          
          2
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2}
  

  
    
      
        
          
            r
            
              b
            
          
          =
          s
          −
          a
          =
          (
          −
          a
          +
          b
          +
          c
          )
          
            /
          
          2
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2}
  

  
    
      
        
          
            r
            
              c
            
          
          =
          s
          =
          (
          a
          +
          b
          +
          c
          )
          
            /
          
          2
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2}
  

  
    
      
        
          
            r
            
              a
            
          
          +
          
            r
            
              b
            
          
          +
          
            r
            
              c
            
          
          +
          r
          =
          a
          +
          b
          +
          c
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}
  

  
    
      
        
          
            r
            
              a
            
            
              2
            
          
          +
          
            r
            
              b
            
            
              2
            
          
          +
          
            r
            
              c
            
            
              2
            
          
          +
          
            r
            
              2
            
          
          =
          
            a
            
              2
            
          
          +
          
            b
            
              2
            
          
          +
          
            c
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}
  

  
    
      
        
          r
          =
          
            
              
                
                  r
                  
                    a
                  
                
                
                  r
                  
                    b
                  
                
              
              
                r
                
                  c
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}}
  


=== Բարձրություններ և միջնագծեր ===

  
    
      
        
          h
          =
          
            
              
                a
                b
              
              c
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle h={\frac {ab}{c}}}
  
Միջնագծի երկարությունը հավասար է արտագծված շրջանագծի շառավղին։
ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը նաև հնարավոր է գտնել «Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունների թեորեմի» միջոցով։


== Ուղղանկյուն եռանկյան հավասարութան հայտանիշեր ==
1․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան էջը և նրան առընթեր սուր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ ուղղանկյուն եռանկյան էջին և նրան առընթեր անկյանը, ապա այդ երկու եռանկյունները հավասար են։
2․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը և նրան առընթեր սուր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ եռանկյան ներքնաձիգին և առընթեր սուր անկյանը, ապա այդ եռանկյունները հավասար են։
3․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան 2 էջերը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ եռանկյան 2 էջերին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են։
4․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը և էջը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ եռանկյան ներքնաձիգին և էջին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են։


== Հատուկ ուղղանկյուն եռանկյուն ==
Ուղղանկյուն եռանկյան հատուկ ձևերը երկուսն են`

Այն ուղղանկյուն եռանկյունը, որի անկյունները հավասար են` 30-60-90
Այն ուղղանկյուն եռանկունը, որի անկյունները հավասար են` 45-45-90Դիտարկենք առաջին դեպքը, եթե ուղղանկյուն եռանկյան մեջ անկյուններից մեկը հավասար է 30 աստիճանի, ապա օգտվում ենք ուղղանկյուն եռանկյան հատկություններից մեկից, ըստ որի`
Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30 աստիճանի դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:
Դիտարկելով երկրորդ դեպքը, նկատում ենք, որ ուղղանկյուն եռանկյան երկու անկյունները իրար հավասար են, այսինքն` ստանում ենք հավասարասրուն աղղանկյուն եռանկյուն, որի երկու կողմերը հավասար են։


=== Կեպլերի եռանկյուն ===
Դիտարկենք եռանկյուն, որի մեջ ունենք հետևյալ կետերը` H, G, A: Ընդ որում կետերը համապատասխանաբար հանդիսանում են տվյալ եռանկյան հարմոնիկ միջին մեծությունը, երկրաչափական միջին մեծությունը և թվաբանական միջին մեծությունը։
Ըստ Կեպլերի ունենում ենք հետևյալ բանաձևը`

  
    
      
        
          
            A
            H
          
        
        =
        
          
            
              A
              
                2
              
            
            
              G
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            
              G
              
                2
              
            
            
              H
              
                2
              
            
          
        
        =
        ϕ
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi \,}
  և

  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
        =
        
          ϕ
          
            3
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}=\phi ^{3},\,}
  որտեղ 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
   հավասար է 
  
    
      
        
          
            
              
                1
                +
                
                  
                    5
                  
                
              
              2
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.\,}
  


== Աղբյուրներ ==
Երկրաչափության 7-րդ դասարանի դասագիրք


== Արտաքին հղումներ ==
Calculator for right triangles Archived 2017-09-30 at the Wayback Machine.
Advanced right triangle calculator


== Ծանոթագրություններ ==