Ֆուրիեի շարք

Ֆուրիեի շարք, մաթեմատիկայում պարբերական ֆունկցիայի (որը կարող է լինել որևէ ազդանշան կամ ալիք) վերլուծությունն է ավելի պարզ ֆունկցիաների կամ տատանումների, այն է՝ սինուսոիդների (կամ կոմպսլեքս տեսքով՝ կոմպլեքս էքսպոնենցիալների) վերջավոր կամ անվերջ գումարի տեսքով։ Այդպես է անվանվել ի պատիվ Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժոզեֆ Ֆուրիեի, ով առաջինն է ուսումնասիրել այդ շարքերը ջերմահաղորդականության հավասարման կոնտեքստում։ Ֆուրիեյի շարքերի ուսումնասիրությունը Ֆուրիե-անալիզի ճյուղերից է, որն էլ իր հերթին մաս է կազմում Հարմոնիկ անալիզի։ Դեռ խորհրդային տարիներից Հայաստանում մի խումբ մաթեմատիկոսներ, մասնավորապես՝ ակադեմիկոս Ալեքսանդր Թալալյանը և իր ուսանողները, զբաղվում են Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությամբ։


== Սահմանումը ==
Ենթադրենք 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ը որևէ ինտեգրելի 
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  -պարբերական ֆունկցիա է՝ որոշված ամբողջ իրական թվային առանցքի վրա։ Մենք ցանկանում ենք այն ներկայացնել որպես հետևյալ տեսքի եռանկյունաչափական շարքի գումար.

  
    
      
        f
        (
        t
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          A
          
            n
          
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        (
        n
        t
        +
        
          ϕ
          
            n
          
        
        )
        ,
        
          A
          
            n
          
        
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}\cdot \sin(nt+\phi _{n}),A_{n}\geq 0}
  ։Կիրառելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարզագույն հատկությունները՝ շարքը կարելի է ձևափոխել և գրել՝

տեսքով։ 
Սակայն երբեմն նախընտրելի է առավել կոմպակտ

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          c
          
            n
          
        
        ⋅
        
          e
          
            i
            n
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot e^{int}}
  ներկայացումը, որը ստացվում է Ֆուրիեյի շարքից՝ կոմպլեքս էքսպոնենցիալի համար 

  
    
      
        
          e
          
            i
            x
          
        
        =
        cos
        ⁡
        x
        +
        i
        sin
        ⁡
        x
         
      
    
    {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\ }
  Էյլերի բանաձևից։
Եթե 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների վերջավոր գումար է, ապա կարելի է հեշտորեն համոզվել (օգտվելով եռանկյունաչափական համակարգի օրթոգոնալությունից), որ 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
   և 
  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{n}}
   գործակիցները որոշվում են հետևյալ բանաձևերով.

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          
            1
            π
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        f
        (
        t
        )
        ⋅
        cos
        ⁡
        (
        
          
            
              
                n
                t
              
              P
            
          
        
        )
         
        d
        t
      
    
    {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\cdot \cos({\tfrac {nt}{P}})\ dt}
  , 
  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
        =
        
          
            1
            π
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        f
        (
        t
        )
        ⋅
        sin
        ⁡
        (
        n
        t
        )
         
        d
        t
      
    
    {\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\cdot \sin(nt)\ dt}
  ,իսկ կոմպլեքս ներկայացմամբ՝

  
    
      
        
          c
          
            n
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        f
        (
        t
        )
        ⋅
        
          e
          
            −
            i
            n
            t
          
        
         
        d
        t
      
    
    {\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\cdot e^{-int}\ dt}
  բանաձևով։
Ընդհանուր դեպքում, տվյալ ինտեգրելի 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի համար կդիտարկենք 

  
    
      
        
          
            
              a
              
                0
              
            
            2
          
        
        +
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              a
              
                n
              
            
            cos
            ⁡
            (
            n
            t
            )
            +
            
              b
              
                n
              
            
            sin
            ⁡
            (
            n
            t
            )
          
          )
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          c
          
            n
          
        
        ⋅
        
          e
          
            i
            n
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos(nt)+b_{n}\sin(nt)\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot e^{int}}
  եռանկյունաչափական շարքը, որտեղ 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
  , 
  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{n}}
   և 
  
    
      
        
          c
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{n}}
   գործակիցները որոշվում են վերը նշված բանաձևերով և այն կանվանենք 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարք։ 
Դասական Ֆուրիե-անալիզն ուսումնասիրում է Ֆուրիեի շարքերի զուգամիտությունը և տարամիտությունը, դրանց պայմանները։


== Ներկայացում ==
Ֆունկցիայի եռանկյունաչափական շարքով վերլուծությունը հասկանալու համար դիտարկենք

  
    
      
        f
        (
        t
        )
        =
        A
        ⋅
        sin
        ⁡
        (
        λ
        t
        +
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)=A\cdot \sin(\lambda t+\phi )}
  ֆունկցիան, որտեղ 
  
    
      
        A
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle A\geq 0}
  ։ 
Սովորաբար 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  -ով նշվում է ժամանակը, իսկ 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)}
   ֆունկցիան՝ ալիքային տատանումը նկարագրող թվային պարամետրերից որևէ մեկի կախումը ժամանակից։
Վերոնշյալ բանաձևով որոշվող տատանումը կոչվում է հարմոնիկ (ներդաշնակ) տատանում։ Եթե, օրինակ, 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)}
  -ով նկարագրելու լինենք ճոճանակի շեղումը հավասարակշռության դիրքից, ապա այդ կերպ է կտատանվի հավասարակշռության դիրքից շեղված առանց դիմադրության տատանվող ճոճանակը (մաթեմատիկական ճոճանակ)։ Նմանատիպ բանաձևով են որոշվում նաև հավասարաչափ շրջանագծային շարժում կատարող կետի կոորդինատները։ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ն կոչվում է տատանման ամպլիտուդ, 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  -ն՝ հաճախականություն, իսկ 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  -ն՝ փուլ (սկզբնական շեղում)։
Եթե երկու ալիք վերադրվում են, արդյունքում ստացված նոր ալիքի տատանումները նկարագրող թվային գործակիցները սովորաբար հավասար են լինում առանձին ալիքների համապատասխան գործակիցների գումարին (վերադրման սկզբունք, տե՛ս w:Superposition principle)։ Հետևաբար, եթե ունենք 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   տարբեր ներդաշնակ տատանումներ՝

  
    
      
        
          f
          
            n
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          A
          
            n
          
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        (
        
          λ
          
            n
          
        
        t
        +
        
          ϕ
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f_{n}(t)=A_{n}\cdot \sin(\lambda _{n}t+\phi _{n})}
  ,նրանց վերադրումից առաջացած նոր ալիքի համար կստացվի՝

  
    
      
        f
        (
        t
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            N
          
        
        
          A
          
            n
          
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        (
        
          λ
          
            n
          
        
        t
        +
        
          ϕ
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cdot \sin(\lambda _{n}t+\phi _{n})}
  ։Պարզագույն դեպքում, բոլոր 
  
    
      
        
          λ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{n}}
  -երը որևէ թվի պատիկներ են, ինչը նշանակում է, որ 
  
    
      
        
          f
          
            n
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f_{n}(t)}
  -երը ունեն ընդհանուր պարբերություն։ Մասշտաբը փոխելով՝ առանց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք ենթադրել, որ 
  
    
      
        
          λ
          
            n
          
        
        =
        n
      
    
    {\displaystyle \lambda _{n}=n}
  , այսինքն դիտարկում ենք 
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  -պարբերական տատանումները (ընդհանուր դեպքը՝ առանց վերջին ենթադրության, մաթեմատիկայում առանձին ուսումնասիրության առարկա է. տե՛ս w:Almost periodic functions)։ Այդ դեպքում

  
    
      
        f
        (
        t
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            N
          
        
        
          A
          
            n
          
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        (
        n
        t
        +
        
          ϕ
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cdot \sin(nt+\phi _{n})}
  ։Նման վերջավոր գումարի միջոցով կարող ենք ներկայացնել բազմաթիվ 
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  -պարբերական տատանումներ, սակայն ոչ բոլորը։ Դա հստակ էր անգամ Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրության ակունքներում կանգնած մաթեմատիկոսների համար։ Ուստի, հաջորդ բնական քայլը կլիներ փորձել ներկայացնել անվերջ գումարի տեսքով՝ 

  
    
      
        f
        (
        t
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          A
          
            n
          
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        (
        n
        t
        +
        
          ϕ
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}\cdot \sin(nt+\phi _{n})}
  ։Սակայն Ֆուրիեյի ժամանակներում ֆունկցիաների անվերջ շարքի գումարը հստակորեն սահմանված չէր. անցավ որոշ ժամանակ, մինչև մաթեմատիկոսներին կհաջողվեր իմաստավորել Ֆուրեի ձևակերպած գաղափարները։ Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությունը հետագայում հիմք դարձավ բազմաթիվ նոր մաթեմատիկական տեսությունների և հայտնագործությունների, օրինակ՝ Գեորգ Կանտորի Բազմությունների տեսությունը, որը համարվում է մաթեմատիկայի հիմնարար տեսություներից մեկը։ Բազմությունների տեսությունը ստեղծելի՝ Կանտորը զբաղվում էր Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությամբ։


== Երկրաչափական մեկնաբանություն ==
Նկատենք, որ 

  
    
      
        f
        (
        t
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            N
          
        
        
          A
          
            n
          
        
        ⋅
        sin
        ⁡
        (
        n
        t
        +
        
          ϕ
          
            n
          
        
        )
        ,
        
          A
          
            n
          
        
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cdot \sin(nt+\phi _{n}),A_{n}\geq 0}
  վերջավոր գումարին կարելի է տալ հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանությունը․ պատկերացնենք՝ ունենք հաջորդական շրջանագծեր, այնպես որ առաջին շրջանագիծն ունի 
  
    
      
        
          A
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{0}}
   շառավիղ, որի կենտրոնը կոորդինական առանցքի սկզբնակետում է։ Հաջորդ շրջանագիծն ունի 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}}
   շառավիղ, որի կենտրոնը 
  
    
      
        (
        
          A
          
            0
          
        
        cos
        ⁡
        (
        0
        t
        +
        
          ϕ
          
            0
          
        
        )
        ,
        
          A
          
            0
          
        
        sin
        ⁡
        (
        0
        t
        +
        
          ϕ
          
            0
          
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (A_{0}\cos(0t+\phi _{0}),A_{0}\sin(0t+\phi _{0}))}
   կետում է և այսպես շարունակ (նման նրան, թե ինչպես է Երկիրը պտտվում արեգակի շուրջը, Լուսինն էլ՝ Երկրի)։ Եթե այս շրջանագծերը տեղադրենք «ամեն հաջորդի կենտրոնը մյուսի ընթացիկ կետում» սկզբունքով, ապա վերջին շրջանագծի 
  
    
      
        
          (
          
            
              A
              
                N
              
            
            cos
            ⁡
            (
            N
            t
            +
            
              ϕ
              
                N
              
            
            )
            ,
            
              A
              
                N
              
            
            sin
            ⁡
            (
            N
            t
            +
            
              ϕ
              
                N
              
            
            )
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(A_{N}\cos(Nt+\phi _{N}),A_{N}\sin(Nt+\phi _{N})\right)}
   դիրքին համապատասխանող կետի 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   կոորդինատը 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   պահին կլինի 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)}
  -ն։

		


== Ընդհանրացումներ ==
Ֆուրիեի շարքերը կարելի է սահմանել ցանկացած պարբերական ֆունկցիայի համար՝ փոխելով մասշտաբը։ Երբ պարբերությունը ձգտում է անվերջության, ինքնըստինքյան հանգում ենք Ֆուրիեի ձևափոխությանը։ Վեջինս Ֆուրիեի շարքերի անալոգն է ոչ պարբերական ֆունկցիաների համար։
Ավելի աբստրակտ մոտեցումը հնարավորություն է տալիս Ֆուրիեյի ձևափոխությունները սահմանել Լոկալ կոմպակտ աբելյան խմբերի վրա։ Մաթեմատիկայի՝ նմանատիպ հարցերն ուսումնասիրող բաժինը կոչվում է Աբստրակտ հարմոնիկ անալիզ։ Ավելի ընդհանուր՝ Ֆուրեյի շարքը կարելի դիտարկել Գելֆանդի ձևափոխություն շրջանագծի պտույտների խմբով ծնված խմբային հանրահաշվի վրա։
Ֆուրիեյի ձևափոխությունը հնարավոր է սահմանել նաև գրաֆների և բազմաձևությունների վրա։ Այստեղ մոտեցումը Լապլաս-Բերտրամի օպերատորի սպեկտրալ տեսության միջոցով է՝ ի տարբերություն Աբստրակտ Հարմոնիկ անալիզի առավել հանրահաշվական մոտեցման։
Մեկ այլ ընդհանրացում է եռանկյունաչափական շարքերի փոխարեն այլ ֆունցկիաներ դիտարկելը։ Քսաներորդ դարի երկրորդ կեսում սա ակտիվ բնագավառ էր և կապված էր համակարգերի բազիսության (հետագայում՝ ֆրեյմ) ուսումնասիրության հետ։


== Կիրառություններ ==
Ժամանակակից տեխնոլոգիաների զարգացումը բազմաթիվ հարցերում պարտական է Ֆուրիեյի հայտնագործությանը։ Այն ժամանակակից ինժեներների ամենկարևոր գործիքներից մեկն է։ 
Օրինակ, Ռիմանն-Լեբեգի լեմման պնդում է, որ ազդանշանում մեծ հաճախականությունների ներդրումը փոքր է։ Քանի որ մեծ հաճախականությունները պատասխանատու են խզման կետերի համար, նրանց գործակիցները հարմար ձևով ընտրված ֆիլտրերի միջոցով զրոյացնելը հնարավորություն է տալիս մոդիֆիկացնել ֆունկցիան՝ պահպանելով նրա հիմնական մասը և վերացնելով խզման կետերը։ Այս սկզբունքն է ընկած վնասված նկարների կամ ֆայլերի վերակագնման, արխիվացիայի, աղմուկի հեռացման մեթոդների և այլքի հիմքում։ Երբեմն եռանկյունաչափական համակարգի փոխարեն օգտագործվում են այլ համակարգեր, ինչպես օրինակ Վեյվելեթներ, Շիրլեթներ, սակայն հիմնական սկզբունքը նույնն է և հաճախ հանգեցվում է եռանկյունաչափական համակարգով որոշվող հաճախականությունների անալիզին։
Մաթեմատիկայում ևս Ֆուրիեի շարքերն ունեն բազում կիրառություններ, օրինակ՝ մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները լուծման գործում և այլն։


== Աղբյուրներ ==


== Գրականություն ==
Grafakos, Loukas (2008), Classical Fourier analysis, Graduate Texts in Mathematics, 249 (2nd տպ.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09432-8, ISBN 978-0-387-09431-1 
Grafakos, Loukas (2009), Modern Fourier analysis, Graduate Texts in Mathematics, 250 (2nd տպ.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09434-2, ISBN 978-0-387-09433-5 
Zygmund, A. (2002) [1935], Trigonometric series. Vol. I, II, Cambridge Mathematical Library (3rd տպ.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89053-3 
Katznelson Yitzhak (1976)։ «An introduction to harmonic analysis» (Second corrected ed.)։ New York: Dover Publications, Inc։ ISBN 0-486-63331-4 
Nina K. Bary, A treatise on trigonometric series, Vols. I, II. Authorized translation by Margaret F. Mullins. A Pergamon Press Book. The Macmillan Co., New York 1964.
Körner, T.W. (1988), Fourier Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0521389917 


== Արտաքին հղումներ ==
Գրառումներ Ֆուրիեի ձևոփոխության մասին (անգլ.)