Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ (շրջանային ֆունկցիաներ, արկֆունկցիաներ), մաթեմատիկական ֆունկցիաներ, որոնք համարվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձը։ Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները հիմնականում լինում են վեց տեսակի.

արկսինուս (նշանակում
  
    
      
        :
        
          a
          r
          c
          s
          i
          n
        
        
        x
        ;
        
          a
          r
          c
          s
          i
          n
        
        
        x
      
    
    {\displaystyle :\mathrm {arcsin} \,x;\mathrm {arcsin} \,x}
   — սա այն անկյունն է, որի սինուսը հավասար է 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  )
արկկոսինուս (նշանակում։ 
  
    
      
        
          a
          r
          c
          c
          o
          s
        
        
        x
        ;
        
          a
          r
          c
          c
          o
          s
        
        
        x
      
    
    {\displaystyle \mathrm {arccos} \,x;\mathrm {arccos} \,x}
   — սա այն անկյունն է, որի կոսինուսը հավասար է 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   և այդպես շարունակ)
արկտանգենս (նշանակում։ 
  
    
      
        
          a
          r
          c
          t
          g
        
        
        x
      
    
    {\displaystyle \mathrm {arctg} \,x}
  ; գրականության մեջ նաև՝ 
  
    
      
        
          a
          r
          c
          t
          a
          n
        
        
        x
      
    
    {\displaystyle \mathrm {arctan} \,x}
  )
արկկոտանգենս (նշանակում։ 
  
    
      
        
          a
          r
          c
          c
          t
          g
        
        
        x
      
    
    {\displaystyle \mathrm {arcctg} \,x}
  ; գրականության մեջ՝ 
  
    
      
        
          a
          r
          c
          c
          o
          t
        
        
        x
      
    
    {\displaystyle \mathrm {arccot} \,x}
   կամ 
  
    
      
        
          a
          r
          c
          c
          o
          t
          a
          n
        
        
        x
      
    
    {\displaystyle \mathrm {arccotan} \,x}
  )
արկսեկանս (նշանակում։ 
  
    
      
        
          a
          r
          c
          s
          e
          c
        
        
        x
      
    
    {\displaystyle \mathrm {arcsec} \,x}
  )
արկկոսեկանս (նշանակում։ 
  
    
      
        
          a
          r
          c
          c
          o
          s
          e
          c
        
        
        x
      
    
    {\displaystyle \mathrm {arccosec} \,x}
  ; գրականության մեջ՝ 
  
    
      
        
          a
          r
          c
          c
          s
          c
        
        
        x
      
    
    {\displaystyle \mathrm {arccsc} \,x}
  )Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների անունները ստեղծվել են համապատասխան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին «արկ-» նախածանցը ավելացնելով (լատ.՝ arcus — աղեղ)։ Դա կապված է նրա հետ, որ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների երկրաչափական արժեքները կապված են միավոր շրջանագծի վրա այդ աղեղի երկարությունից (կամ անկյունից)։ Սովորական սինուսը հնարավորություն է տալիս աղեղից գտնել նրան ձգող լարը, իսկ հակադարձ ֆունկցիան որոշում է հակառակ խնդիրը։ Եռակնյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձ եղանակի մասին հայտնել է ավստրիացի մաթեմատիկոս Կարլ Շերֆերը (գերմ.՝ Karl Scherffer; 1716-1783), բայց դրա արմատները հիմնակում պատկանում էին Լագրանժին։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար առաջին հատուկ նշանը ստեղծել է Դանիել Բերնուլին՝ 1729 թվականին։ Անգլիական և գերմանական շատ դպրոցների մինչև 19-րդ դարի վերջը առաջարկում էին այլ նշանակումներ. 
  
    
      
        
          sin
          
            −
            1
          
        
        ,
        
          
            1
            sin
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin ^{-1},{\frac {1}{\sin }}}
  , սակայն դրանք չընդունվեցին։ Միայն երբեմն այլ գրականության և գիտական/ինժեներական հաշվիչներում արկսինուսի, արկկոսինուսի և այլնի համար օգտագործվում էր sin−1, cos−1 եղանակը, - դա ընդհանրապես ճիշտ չէր համարվում, քանի որ այդեղ կարող էր շփոթմունք լինել -1 աստիճանի դեպքում։
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձները երկիմաստ էին։ Այսինքն արկֆունկցիաների արժեքները իրենցից ներկայացնում էին բազմաթիվ անկյուններ (աղեղի), որի պատճառով համապատասխան ուղիղ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի համար ճիշտ էր տվյալ արժեքը։ Օրինակ, 
  
    
      
        arcsin
        ⁡
        1
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \arcsin 1/2}
   իրենից ներկայացնում է բազմաթիվ անկյուններ՝ 
  
    
      
        
          (
          
            
              
                π
                6
              
            
            ,
            
              
                
                  5
                  π
                
                6
              
            
            ,
            
              
                
                  13
                  π
                
                6
              
            
            ,
            
              
                
                  17
                  π
                
                6
              
            
            …
             
            (
            
              30
              
                ∘
              
            
            ,
            
              150
              
                ∘
              
            
            ,
            
              390
              
                ∘
              
            
            ,
            
              510
              
                ∘
              
            
            …
            )
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {\pi }{6}},{\frac {5\pi }{6}},{\frac {13\pi }{6}},{\frac {17\pi }{6}}\dots ~(30^{\circ },150^{\circ },390^{\circ },510^{\circ }\dots )\right)}
  , որի սինուսը հավասար է 
  
    
      
        1
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle 1/2}
  : Այս բազմաթիվ արժեքների արկֆունկցիային հատկացվում է իր հիմնական արժեքները, որոնք սովորաբար պետք է նկատի ունենալ երբ խոսվում է արկսինուս, արկկոսինուս և այլ ֆունկցիաների մասին։
Ընդհանուր առմամբ 
  
    
      
        −
        1
        ⩽
        α
        ⩽
        1
      
    
    {\displaystyle -1\leqslant \alpha \leqslant 1}
   պայմանի դեպքում 
  
    
      
        sin
        ⁡
        x
        =
        α
      
    
    {\displaystyle \sin x=\alpha }
   հավասարում կարող է ներկայանալ հետևյալ ձևով՝ 
  
    
      
        x
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        arcsin
        ⁡
        α
        +
        π
        n
        ,
         
        n
        =
        0
        ,
        ±
        1
        ,
        ±
        2
        ,
        …
         
        .
      
    
    {\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~.}
  


== Հիմնական նույնություններ ==

  
    
      
        arcsin
        ⁡
        x
        +
        arccos
        ⁡
        x
        =
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}}
  
  
    
      
        arctg
        
        x
        +
        arcctg
        
        x
        =
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arctg} \,x+\operatorname {arcctg} \,x={\frac {\pi }{2}}}
  


== Հիմնական հատկություններ ==


=== Գլխավոր արժեքներ ===


=== Կապը եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև ===
Եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները աղյուսակավորված են ներքևում.


=== Կապը հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև ===

Լրացուցիչ անկյուններ.

  
    
      
        
          
            
              
                arccos
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                
                  
                    π
                    2
                  
                
                −
                arcsin
                ⁡
                x
              
            
            
              
                arccot
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                
                  
                    π
                    2
                  
                
                −
                arctan
                ⁡
                x
              
            
            
              
                arccsc
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                
                  
                    π
                    2
                  
                
                −
                arcsec
                ⁡
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\[0.5em]\operatorname {arccot} x&={\frac {\pi }{2}}-\arctan x\\[0.5em]\operatorname {arccsc} x&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x\end{aligned}}}
  Բացասական արգումենտներ.

  
    
      
        
          
            
              
                arcsin
                ⁡
                (
                −
                x
                )
              
              
                
                =
                −
                arcsin
                ⁡
                x
              
            
            
              
                arccos
                ⁡
                (
                −
                x
                )
              
              
                
                =
                π
                −
                arccos
                ⁡
                x
              
            
            
              
                arctan
                ⁡
                (
                −
                x
                )
              
              
                
                =
                −
                arctan
                ⁡
                x
              
            
            
              
                arccot
                ⁡
                (
                −
                x
                )
              
              
                
                =
                π
                −
                arccot
                ⁡
                x
              
            
            
              
                arcsec
                ⁡
                (
                −
                x
                )
              
              
                
                =
                π
                −
                arcsec
                ⁡
                x
              
            
            
              
                arccsc
                ⁡
                (
                −
                x
                )
              
              
                
                =
                −
                arccsc
                ⁡
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin x\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos x\\\arctan(-x)&=-\arctan x\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot} x\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec} x\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc} x\end{aligned}}}
  Դրական արգումենտներ.

  
    
      
        
          
            
              
                arccos
                ⁡
                (
                1
                
                  /
                
                x
                )
              
              
                
                =
                arcsec
                ⁡
                x
              
            
            
              
                arcsin
                ⁡
                (
                1
                
                  /
                
                x
                )
              
              
                
                =
                arccsc
                ⁡
                x
              
            
            
              
                arctan
                ⁡
                (
                1
                
                  /
                
                x
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    π
                    2
                  
                
                −
                arctan
                ⁡
                x
                =
                arccot
                ⁡
                x
                
                ,
                
                  if
                
                x
                >
                0
              
            
            
              
                arctan
                ⁡
                (
                1
                
                  /
                
                x
                )
              
              
                
                =
                −
                
                  
                    π
                    2
                  
                
                −
                arctan
                ⁡
                x
                =
                arccot
                ⁡
                x
                −
                π
                
                ,
                
                   if
                
                x
                <
                0
              
            
            
              
                arccot
                ⁡
                (
                1
                
                  /
                
                x
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    π
                    2
                  
                
                −
                arccot
                ⁡
                x
                =
                arctan
                ⁡
                x
                
                ,
                
                   if
                
                x
                >
                0
              
            
            
              
                arccot
                ⁡
                (
                1
                
                  /
                
                x
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      3
                      π
                    
                    2
                  
                
                −
                arccot
                ⁡
                x
                =
                π
                +
                arctan
                ⁡
                x
                
                ,
                
                   if
                
                x
                <
                0
              
            
            
              
                arcsec
                ⁡
                (
                1
                
                  /
                
                x
                )
              
              
                
                =
                arccos
                ⁡
                x
              
            
            
              
                arccsc
                ⁡
                (
                1
                
                  /
                
                x
                )
              
              
                
                =
                arcsin
                ⁡
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(1/x)&=\operatorname {arcsec} x\\[0.3em]\arcsin(1/x)&=\operatorname {arccsc} x\\[0.3em]\arctan(1/x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x\,,{\text{if}}x>0\\[0.3em]\arctan(1/x)&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x-\pi \,,{\text{ if}}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot}(1/x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\arctan x\,,{\text{ if}}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot}(1/x)&={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x\,,{\text{ if}}x<0\\[0.3em]\operatorname {arcsec}(1/x)&=\arccos x\\[0.3em]\operatorname {arccsc}(1/x)&=\arcsin x\end{aligned}}}
  
  
    
      
        
          
            
              
                arccos
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                arcsin
                ⁡
                
                  
                    1
                    −
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                ,
                
                   if
                
                0
                ≤
                x
                ≤
                1
              
            
            
              
                arctan
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                arcsin
                ⁡
                
                  
                    x
                    
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      1
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}}\,,{\text{ if}}0\leq x\leq 1\\\arctan x&=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\end{aligned}}}
  
  
    
      
        
          
            
              
                arcsin
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                2
                arctan
                ⁡
                
                  
                    x
                    
                      1
                      +
                      
                        
                          1
                          −
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                arccos
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                2
                arctan
                ⁡
                
                  
                    
                      1
                      −
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      1
                      +
                      x
                    
                  
                
                
                ,
                
                   if
                
                −
                1
                <
                x
                ≤
                +
                1
              
            
            
              
                arctan
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                2
                arctan
                ⁡
                
                  
                    x
                    
                      1
                      +
                      
                        
                          1
                          +
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\\[0.5em]\arccos x&=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\,,{\text{ if}}-1<x\leq +1\\[0.5em]\arctan x&=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\end{aligned}}}
  


=== Արկտանգենսի գումարման բանաձև ===

  
    
      
        arctan
        ⁡
        u
        +
        arctan
        ⁡
        v
        =
        arctan
        ⁡
        
          (
          
            
              
                u
                +
                v
              
              
                1
                −
                u
                v
              
            
          
          )
        
        
          
          (
          mod
          
          π
          )
        
        
        ,
        
        u
        v
        ≠
        1
        
      
    
    {\displaystyle \arctan u+\arctan v=\arctan \left({\frac {u+v}{1-uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,}
  Ստացվածը տանգենսների գումարման բանաձևն է.

  
    
      
        tan
        ⁡
        (
        α
        +
        β
        )
        =
        
          
            
              tan
              ⁡
              α
              +
              tan
              ⁡
              β
            
            
              1
              −
              tan
              ⁡
              α
              tan
              ⁡
              β
            
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}\,,}
  

  
    
      
        α
        =
        arctan
        ⁡
        u
        
        ,
        
        β
        =
        arctan
        ⁡
        v
        
        :
      
    
    {\displaystyle \alpha =\arctan u\,,\quad \beta =\arctan v\,:}
  


== arcsin ֆունկցիան ==

Արկսինուս m թվից կոչվում է այն x անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար 
  
    
      
        sin
        ⁡
        x
        =
        m
        ,
        
        −
        
          
            π
            2
          
        
        ⩽
        x
        ⩽
        
          
            π
            2
          
        
        ,
        
        
          |
        
        m
        
          |
        
        ⩽
        1
        :
      
    
    {\displaystyle \sin x=m,\,-{\frac {\pi }{2}}\leqslant x\leqslant {\frac {\pi }{2}},\,|m|\leqslant 1:}
  

  
    
      
        y
        =
        sin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\sin x}
   ֆունկցիան անընդհատ է և սահմանափակ է իր թվային առանցքի վրա։ 
  
    
      
        y
        =
        arcsin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\arcsin x}
   ֆունկցիան համարվում է խիստ աճող։

  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        arcsin
        ⁡
        x
        )
        =
        x
        
      
    
    {\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\qquad }
  , 
  
    
      
        −
        1
        ⩽
        x
        ⩽
        1
      
    
    {\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1}
   միջակայքում,

  
    
      
        arcsin
        ⁡
        (
        sin
        ⁡
        y
        )
        =
        y
        
      
    
    {\displaystyle \arcsin(\sin y)=y\qquad }
  , 
  
    
      
        −
        
          
            π
            2
          
        
        ⩽
        y
        ⩽
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}}}
   միջակայքում,

  
    
      
        D
        (
        arcsin
        ⁡
        x
        )
        =
        [
        −
        1
        ;
        1
        ]
        
      
    
    {\displaystyle D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad }
   (որոշման տիրույթ),

  
    
      
        E
        (
        arcsin
        ⁡
        x
        )
        =
        
          [
          
            −
            
              
                π
                2
              
            
            ;
            
              
                π
                2
              
            
          
          ]
        
        
      
    
    {\displaystyle E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\qquad }
   (փոփոխման տիրույթ)։


=== arcsin ֆունկցիայի հատկություններ ===

  
    
      
        arcsin
        ⁡
        (
        −
        x
        )
        =
        −
        arcsin
        ⁡
        x
        
      
    
    {\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad }
   (ֆունկցիան կենտ է).

  
    
      
        arcsin
        ⁡
        x
        >
        0
        
      
    
    {\displaystyle \arcsin x>0\,}
  , 
  
    
      
        0
        <
        x
        ⩽
        1
      
    
    {\displaystyle 0<x\leqslant 1}
  .

  
    
      
        arcsin
        ⁡
        x
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle \arcsin x=0\,}
  , 
  
    
      
        x
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle x=0.}
  

  
    
      
        arcsin
        ⁡
        x
        <
        0
        
      
    
    {\displaystyle \arcsin x<0\,}
  , 
  
    
      
        −
        1
        ⩽
        x
        <
        0.
      
    
    {\displaystyle -1\leqslant x<0.}
  

  
    
      
        arcsin
        ⁡
        x
        =
        
          {
          
            
              
                
                  arccos
                  ⁡
                  
                    
                      1
                      −
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                  ,
                  
                  0
                  ⩽
                  x
                  ⩽
                  1
                
              
              
                
                  −
                  arccos
                  ⁡
                  
                    
                      1
                      −
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                  ,
                  
                  −
                  1
                  ⩽
                  x
                  <
                  0
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}
  

  
    
      
        arcsin
        ⁡
        x
        =
        arctg
        ⁡
        
          
            x
            
              1
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \arcsin x=\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
  

  
    
      
        arcsin
        ⁡
        x
        =
        
          {
          
            
              
                
                  arcctg
                  
                  
                    
                      
                        1
                        −
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                      
                      x
                    
                  
                  ,
                  
                  0
                  <
                  x
                  ⩽
                  1
                
              
              
                
                  arcctg
                  
                  
                    
                      
                        1
                        −
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                      
                      x
                    
                  
                  −
                  π
                  ,
                  
                  −
                  1
                  ⩽
                  x
                  <
                  0
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}
  


=== arcsin ֆունկցիայի ստացում ===
Տրված է 
  
    
      
        y
        =
        sin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\sin x}
   ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, բայց դրա հակադարձ 
  
    
      
        y
        =
        arcsin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\arcsin x}
   ֆունկցիան մոնոտոն չի համարվում։ Դրա համար մենք նշում ենք, որ ֆունկցիան կտրուկ աճող է իր փոփոխման տիրույթի վրա՝ 
  
    
      
        
          [
          
            −
            
              
                π
                2
              
            
            ;
            
              
                π
                2
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}
  : 
  
    
      
        y
        =
        sin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\sin x}
   ֆունկցիայի յուրաքանչյուր արժեք 
  
    
      
        
          [
          
            −
            
              
                π
                2
              
            
            ;
            
              
                π
                2
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}
   միջակայքում հասնում է միակ արգումենտի արժեքին և այդ միջակայքում համարվում է 
  
    
      
        y
        =
        arcsin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\arcsin x}
   ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը համաչափ է 
  
    
      
        y
        =
        sin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\sin x}
   ուղղի նկատմամբ՝ 
  
    
      
        
          [
          
            −
            
              
                π
                2
              
            
            ;
            
              
                π
                2
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}
   միջակայքում։ (հակադարձ ֆունկցիաների գրաֆիկները համարվում են կոորդինատային 
  
    
      
        O
        x
        y
      
    
    {\displaystyle Oxy}
   հարթության առաջին և երրորդ քառորդների կիսորդը)


== arccos ֆունկցիան ==

Արկոսինուս m թվից կոչվում է այն x անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար 
  
    
      
        cos
        ⁡
        x
        =
        m
        ,
        
        0
        ⩽
        x
        ⩽
        π
        ,
        
          |
        
        m
        
          |
        
        ⩽
        1
        :
      
    
    {\displaystyle \cos x=m,\qquad 0\leqslant x\leqslant \pi ,|m|\leqslant 1:}
  

  
    
      
        y
        =
        cos
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\cos x}
   ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր որոշման տիրույթի վրա։ 
  
    
      
        y
        =
        arccos
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\arccos x}
   ֆունկցիան համարվում է խիստ նվազող։

  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        arccos
        ⁡
        x
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle \cos(\arccos x)=x}
  , 
  
    
      
        −
        1
        ⩽
        x
        ⩽
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1,}
  

  
    
      
        arccos
        ⁡
        (
        cos
        ⁡
        y
        )
        =
        y
      
    
    {\displaystyle \arccos(\cos y)=y}
  , 
  
    
      
        0
        ⩽
        y
        ⩽
        π
        .
      
    
    {\displaystyle 0\leqslant y\leqslant \pi .}
  

  
    
      
        D
        (
        arccos
        ⁡
        x
        )
        =
        [
        −
        1
        ;
        1
        ]
        ,
      
    
    {\displaystyle D(\arccos x)=[-1;1],}
   (որոշման տիրույթ),

  
    
      
        E
        (
        arccos
        ⁡
        x
        )
        =
        [
        0
        ;
        π
        ]
        .
      
    
    {\displaystyle E(\arccos x)=[0;\pi ].}
   (փոփոխման տիրույթ)։


=== arccos ֆունկցիայի հատկություններ ===

  
    
      
        arccos
        ⁡
        (
        −
        x
        )
        =
        π
        −
        arccos
        ⁡
        x
        
      
    
    {\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x\,}
   (ֆունկցիան համաչափ է կոորդինատային հարթության 
  
    
      
        
          (
          
            0
            ;
            
              
                π
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right)}
   կետի նկատմամբ), համարվում է ո՛չ զույգ, ո՛չ կենտ ֆունկցիա։

  
    
      
        arccos
        ⁡
        x
        >
        0
        
      
    
    {\displaystyle \arccos x>0\,}
  , 
  
    
      
        −
        1
        ⩽
        x
        <
        1.
      
    
    {\displaystyle -1\leqslant x<1.}
  

  
    
      
        arccos
        ⁡
        x
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle \arccos x=0\,}
  , 
  
    
      
        x
        =
        1.
        
      
    
    {\displaystyle x=1.\,}
  

  
    
      
        arccos
        ⁡
        x
        =
        
          
            π
            2
          
        
        −
        arcsin
        ⁡
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.}
  

  
    
      
        arccos
        ⁡
        x
        =
        
          {
          
            
              
                
                  arcsin
                  ⁡
                  
                    
                      1
                      −
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                  ,
                  
                  0
                  ⩽
                  x
                  ⩽
                  1
                
              
              
                
                  π
                  −
                  arcsin
                  ⁡
                  
                    
                      1
                      −
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                  ,
                  
                  −
                  1
                  ⩽
                  x
                  <
                  0
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}
  

  
    
      
        arccos
        ⁡
        x
        =
        
          {
          
            
              
                
                  arctg
                  
                  
                    
                      
                        1
                        −
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                      
                      x
                    
                  
                  ,
                  
                  0
                  <
                  x
                  ⩽
                  1
                
              
              
                
                  π
                  +
                  arctg
                  
                  
                    
                      
                        1
                        −
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                      
                      x
                    
                  
                  ,
                  
                  −
                  1
                  ⩽
                  x
                  <
                  0
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \arccos x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\pi +\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}
  

  
    
      
        arccos
        ⁡
        x
        =
        2
        arcsin
        ⁡
        
          
            
              
                1
                −
                x
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2}}}}
  

  
    
      
        arccos
        ⁡
        x
        =
        2
        arccos
        ⁡
        
          
            
              
                1
                +
                x
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2}}}}
  

  
    
      
        arccos
        ⁡
        x
        =
        2
        arctg
        ⁡
        
          
            
              
                1
                −
                x
              
              
                1
                +
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \arccos x=2\operatorname {arctg} {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}
  


=== arccos ֆունկցիայի ստացում ===
Տրված է 
  
    
      
        y
        =
        cos
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\cos x}
   ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտան, սակայն նրա հակադարձ 
  
    
      
        y
        =
        arccos
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\arccos x}
   ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով մենք դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները՝ 
  
    
      
        [
        0
        ;
        π
        ]
      
    
    {\displaystyle [0;\pi ]}
  : 
  
    
      
        y
        =
        cos
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\cos x}
   միջակայքում ֆունկցիան մոնոտոն նվազող է և իր բոլոր արժեքները ընդունում է միայն մեկ անգամ, իսկ 
  
    
      
        [
        0
        ;
        π
        ]
      
    
    {\displaystyle [0;\pi ]}
   միջակայքում 
  
    
      
        y
        =
        arccos
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\arccos x}
   ֆունկցիայի հակադարձն է, որի գրաֆիկը 
  
    
      
        y
        =
        x
      
    
    {\displaystyle y=x}
   ուղղի նկատմամբ համաչափ է 
  
    
      
        y
        =
        cos
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\cos x}
   ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ՝ 
  
    
      
        [
        0
        ;
        π
        ]
      
    
    {\displaystyle [0;\pi ]}
   միջակայքում։


== arctg ֆունկցիան ==

Արկտանգենս m թվից կոչվում է այն 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   անկյունը՝ արտահայտված ռադիանով, որի համար 
  
    
      
        tg
        
        α
        =
        m
        ,
        
        −
        
          
            π
            2
          
        
        <
        α
        <
        
          
            π
            2
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha =m,\qquad -{\frac {\pi }{2}}<\alpha <{\frac {\pi }{2}}:}
  

  
    
      
        y
        =
        arctg
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\operatorname {arctg} x}
   ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր որոշման տիրույթի վրա։ 
  
    
      
        y
        =
        arctg
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle y=\operatorname {arctg} x}
   ֆունկցիան համարվում է խիստ աճող։

  
    
      
        tg
        
        (
        arctg
        
        x
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {tg} \,(\operatorname {arctg} \,x)=x}
  , 
  
    
      
        x
        ∈
        
          R
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}
  

  
    
      
        arctg
        
        (
        tg
        
        y
        )
        =
        y
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arctg} \,(\operatorname {tg} \,y)=y}
  , 
  
    
      
        −
        
          
            π
            2
          
        
        <
        y
        <
        
          
            π
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},}
  

  
    
      
        D
        (
        arctg
        
        x
        )
        =
        (
        −
        ∞
        ;
        ∞
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle D(\operatorname {arctg} \,x)=(-\infty ;\infty ),}
  

  
    
      
        E
        (
        arctg
        
        x
        )
        =
        
          (
          
            −
            
              
                π
                2
              
            
            ;
            
              
                π
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle E(\operatorname {arctg} \,x)=\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)}
  


=== arctg ֆունկցիայի հատկություններ ===

  
    
      
        arctg
        ⁡
        (
        −
        x
        )
        =
        −
        arctg
        ⁡
        x
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} x\qquad }
  

  
    
      
        arctg
        ⁡
        x
        =
        arcsin
        ⁡
        
          
            x
            
              1
              +
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
  

  
    
      
        arctg
        ⁡
        x
        =
        arccos
        ⁡
        
          
            1
            
              1
              +
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arctg} x=\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
  , x > 0

  
    
      
        arctg
        ⁡
        x
        =
        arcctg
        ⁡
        
          
            1
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arctg} x=\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x}}}
  


=== arctg ֆունկցիայի ստացում ===
Տրված է 
  
    
      
        y
        =
        tg
        
        x
      
    
    {\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x}
   ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, իսկ նրա հակադարձ 
  
    
      
        y
        =
        arctg
        ⁡
         
        x
      
    
    {\displaystyle y=\operatorname {arctg} \ x}
   ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ աճող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ՝ 
  
    
      
        
          (
          
            −
            
              
                π
                2
              
            
            ;
            
              
                π
                2
              
            
          
          )
        
        :
      
    
    {\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right):}
   Այդ միջակայքի վրա 
  
    
      
        y
        =
        tg
        ⁡
         
        x
      
    
    {\displaystyle y=\operatorname {tg} \ x}
   ֆունկցիան խիստ մոնոտոն աճող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ, ուստի 
  
    
      
        
          (
          
            −
            
              
                π
                2
              
            
            ;
            
              
                π
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)}
   միջակայքի վրա այն համարվում է 
  
    
      
        y
        =
        arctg
        ⁡
         
        x
      
    
    {\displaystyle y=\operatorname {arctg} \ x}
   ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը 
  
    
      
        y
        =
        tg
        
        x
      
    
    {\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x}
   ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ հակադարձ է 
  
    
      
        y
        =
        x
      
    
    {\displaystyle y=x}
   ուղղի նկատմամբ՝ 
  
    
      
        
          (
          
            −
            
              
                π
                2
              
            
            ;
            
              
                π
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)}
   հատվածում։


== arcctg ֆունկցիան ==

Արկկոտանգենս m թվից կոչվում է այն x անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար 
  
    
      
        ctg
        
        x
        =
        m
        ,
        
        0
        <
        x
        <
        π
        :
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ctg} \,x=m,\qquad 0<x<\pi :}
  

  
    
      
        y
        =
        arcctg
        
        x
      
    
    {\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}
   ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր ոչոշման տիրույթի վրա։ 
  
    
      
        y
        =
        arcctg
        
        x
      
    
    {\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}
   Ֆունկցիան համարվում է խիստ նվազող։

  
    
      
        ctg
        
        (
        arcctg
        
        x
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ctg} \,(\operatorname {arcctg} \,x)=x}
  , 
  
    
      
        x
        ∈
        
          R
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}
  

  
    
      
        arcctg
        
        (
        ctg
        
        y
        )
        =
        y
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arcctg} \,(\operatorname {ctg} \,y)=y}
  , 
  
    
      
        0
        <
        y
        <
        π
        ,
      
    
    {\displaystyle 0<y<\pi ,}
  

  
    
      
        D
        (
        arcctg
        
        x
        )
        =
        (
        −
        ∞
        ;
        ∞
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle D(\operatorname {arcctg} \,x)=(-\infty ;\infty ),}
  

  
    
      
        E
        (
        arcctg
        
        x
        )
        =
        (
        0
        ;
        π
        )
        :
      
    
    {\displaystyle E(\operatorname {arcctg} \,x)=(0;\pi ):}
  


=== arcctg ֆունկցիայի հատկություններ ===

  
    
      
        arcctg
        
        (
        −
        x
        )
        =
        π
        −
        arcctg
        
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arcctg} \,(-x)=\pi -\operatorname {arcctg} \,x}
   (ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է 
  
    
      
        
          (
          
            0
            ;
            
              
                π
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right)}
   կետի նկատմամբ)։

  
    
      
        arcctg
        
        x
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arcctg} \,x>0}
   ցանկացած 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի համար։

  
    
      
        arcctg
        
        x
        =
        
          {
          
            
              
                
                  arcsin
                  ⁡
                  
                    
                      1
                      
                        1
                        +
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  ,
                  
                  x
                  ⩾
                  0
                
              
              
                
                  π
                  −
                  arcsin
                  ⁡
                  
                    
                      1
                      
                        1
                        +
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  ,
                  
                  x
                  <
                  0
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arcctg} \,x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x<0\end{matrix}}\right.}
  

  
    
      
        arcctg
        ⁡
        x
        =
        π
        
          /
        
        2
        −
        arctg
        ⁡
        x
        :
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arcctg} x=\pi /2-\operatorname {arctg} x:}
  


=== arcctg ֆունկցիայի ստացում ===
Տրված է 
  
    
      
        y
        =
        ctg
        
        x
      
    
    {\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x}
   ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, իսկ նրա հակադարձ 
  
    
      
        y
        =
        arcctg
        
        x
      
    
    {\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}
   ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ՝ 
  
    
      
        (
        0
        ;
        π
        )
      
    
    {\displaystyle (0;\pi )}
  : Այս միջակայքում 
  
    
      
        y
        =
        ctg
        
        x
      
    
    {\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x}
   ֆունկցիան խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ, ուստի 
  
    
      
        (
        0
        ;
        π
        )
      
    
    {\displaystyle (0;\pi )}
   միջակայքում համարվում է 
  
    
      
        y
        =
        arcctg
        
        x
      
    
    {\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}
   ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը 
  
    
      
        y
        =
        x
      
    
    {\displaystyle y=x}
   ուղղի նկատմամաբ համաչափ է 
  
    
      
        y
        =
        ctg
        
        x
      
    
    {\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x}
   ֆունկցիայի գրաֆիկին՝ 
  
    
      
        (
        0
        ;
        π
        )
      
    
    {\displaystyle (0;\pi )}
   միջակայքում։
Արկկոտանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է արկտանգենս ֆունկցիայի միջոցով, վերջինս օրդինատների առանցքով արտապատկերելով (որը պետք է փոխարինել արգումենտի նշանով. 
  
    
      
        x
        →
        −
        x
      
    
    {\displaystyle x\rightarrow -x}
  ) և բարձրացնելով վերև π/2 միավորով. դա կարող ենք տերկայացնել հետևյալ բանաձևով՝ 
  
    
      
        arcctg
        ⁡
        x
        =
        arctg
        ⁡
        (
        −
        x
        )
        +
        π
        
          /
        
        2
        :
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arcctg} x=\operatorname {arctg} (-x)+\pi /2:}
  


== arcsec ֆունկցիան ==

  
    
      
        
          arcsec
        
        
        (
        x
        )
        
        =
        arccos
        ⁡
        
          (
          
            
              1
              x
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathop {\operatorname {arcsec} } \,(x)\,=\operatorname {arccos} \left({\frac {1}{x}}\right)\,}
  


== arccosec ֆունկցիան ==

  
    
      
        
          arccosec
        
        
        (
        y
        )
        
        =
        arcsin
        ⁡
        
          (
          
            
              1
              y
            
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathop {\operatorname {arccosec} } \,(y)\,=\operatorname {arcsin} \left({\frac {1}{y}}\right)\,}
  


== Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալ ==

  
    
      
        (
        arcsin
        ⁡
        x
        
          )
          ′
        
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
  
  
    
      
        (
        arccos
        ⁡
        x
        
          )
          ′
        
        =
        −
        
          
            1
            
              1
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
  
  
    
      
        (
        arctg
        
        x
        
          )
          ′
        
        =
        
          
            1
            
               
              1
              +
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {arctg} \,x)'={\frac {1}{\ 1+x^{2}}}}
  
  
    
      
        (
        arcctg
        
        x
        
          )
          ′
        
        =
        −
        
          
            1
            
               
              1
              +
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {arcctg} \,x)'=-{\frac {1}{\ 1+x^{2}}}}
  


== Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալ ==


=== Անորոշ ինտեգրալներ ===
Իրական և կոմպլեքս x-երի համար.

  
    
      
        
          
            
              
                ∫
                arcsin
                ⁡
                x
                
                d
                x
              
              
                
                

                
                =
                x
                
                arcsin
                ⁡
                x
                +
                
                  
                    1
                    −
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                +
                C
                ,
              
            
            
              
                ∫
                arccos
                ⁡
                x
                
                d
                x
              
              
                
                

                
                =
                x
                
                arccos
                ⁡
                x
                −
                
                  
                    1
                    −
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                +
                C
                ,
              
            
            
              
                ∫
                arctg
                
                x
                
                d
                x
              
              
                
                

                
                =
                x
                
                arctg
                
                x
                −
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                ln
                ⁡
                
                  (
                  
                    1
                    +
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                C
                ,
              
            
            
              
                ∫
                arcctg
                
                x
                
                d
                x
              
              
                
                

                
                =
                x
                
                arcctg
                
                x
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                ln
                ⁡
                
                  (
                  
                    1
                    +
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                C
                ,
              
            
            
              
                ∫
                arcsec
                ⁡
                x
                
                d
                x
              
              
                
                

                
                =
                x
                
                arcsec
                ⁡
                x
                −
                ln
                ⁡
                
                  (
                  
                    x
                    
                      (
                      
                        1
                        +
                        
                          
                            
                              
                                
                                  x
                                  
                                    2
                                  
                                
                                −
                                1
                              
                              
                                x
                                
                                  2
                                
                              
                            
                          
                        
                        
                      
                      )
                    
                    
                  
                  )
                
                +
                C
                ,
              
            
            
              
                ∫
                arccosec
                
                x
                
                d
                x
              
              
                
                

                
                =
                x
                
                arccosec
                
                x
                +
                ln
                ⁡
                
                  (
                  
                    x
                    
                      (
                      
                        1
                        +
                        
                          
                            
                              
                                
                                  x
                                  
                                    2
                                  
                                
                                −
                                1
                              
                              
                                x
                                
                                  2
                                
                              
                            
                          
                        
                        
                      
                      )
                    
                    
                  
                  )
                
                +
                C
                :
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcctg} \,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C:\end{aligned}}}
  Իրական թվերի համար՝ x ≥ 1:

  
    
      
        
          
            
              
                ∫
                arcsec
                ⁡
                x
                
                d
                x
              
              
                
                

                
                =
                x
                
                arcsec
                ⁡
                x
                −
                ln
                ⁡
                
                  (
                  
                    x
                    +
                    
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                        −
                        1
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                C
                ,
              
            
            
              
                ∫
                arccosec
                
                x
                
                d
                x
              
              
                
                

                
                =
                x
                
                arccosec
                
                x
                +
                ln
                ⁡
                
                  (
                  
                    x
                    +
                    
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                        −
                        1
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                C
                :
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C:\end{aligned}}}
  


== Կիրառությունը երկրաչափության մեջ ==

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները օգտագործում են եռանկյան անկյունները գտնելու համար, եթե հայտնի են նրա կողմները, օրինակ կոսինուսների թեորեմի միջոցով։
Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ այդ ֆունկցիաները միանգամից տալիս են անկյունը.

α = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctg (a/b) = arccosec (c/a) = arcsec (c/b) = arcctg (b/a)


== Կապը բնական լոգարիթմների հետ ==

  
    
      
        
          
            
              
                arcsin
                ⁡
                z
              
              
                
                

                
                =
                −
                i
                ln
                ⁡
                (
                i
                z
                +
                
                  
                    1
                    −
                    
                      z
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                )
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}}
  
  
    
      
        
          
            
              
                arccos
                ⁡
                z
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    
                      π
                      2
                    
                  
                
                +
                i
                ln
                ⁡
                (
                i
                z
                +
                
                  
                    1
                    −
                    
                      z
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                )
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}}
  
  
    
      
        
          
            
              
                arctg
                
                z
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    
                      i
                      2
                    
                  
                
                (
                ln
                ⁡
                (
                1
                −
                i
                z
                )
                −
                ln
                ⁡
                (
                1
                +
                i
                z
                )
                )
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arctg} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{aligned}}}
  
  
    
      
        
          
            
              
                arcctg
                
                z
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    
                      i
                      2
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    ln
                    ⁡
                    
                      (
                      
                        
                          
                            
                              z
                              −
                              i
                            
                            z
                          
                        
                      
                      )
                    
                    −
                    ln
                    ⁡
                    
                      (
                      
                        
                          
                            
                              z
                              +
                              i
                            
                            z
                          
                        
                      
                      )
                    
                  
                  )
                
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcctg} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {z-i}{z}}\right)-\ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right),\end{aligned}}}
  
  
    
      
        
          
            
              
                arcsec
                ⁡
                z
              
              
                
                

                
                =
                arccos
                ⁡
                
                  (
                  
                    z
                    
                      −
                      1
                    
                  
                  )
                
                =
                
                  
                    
                      π
                      2
                    
                  
                
                +
                i
                ln
                ⁡
                
                  (
                  
                    
                      
                        1
                        −
                        
                          
                            
                              1
                              
                                z
                                
                                  2
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          i
                          z
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right),\end{aligned}}}
  
  
    
      
        
          
            
              
                arccosec
                
                z
              
              
                
                

                
                =
                arcsin
                ⁡
                
                  (
                  
                    z
                    
                      −
                      1
                    
                  
                  )
                
                =
                −
                i
                ln
                ⁡
                
                  (
                  
                    
                      
                        1
                        −
                        
                          
                            
                              1
                              
                                z
                                
                                  2
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          i
                          z
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccosec} \,z&{}=\arcsin \left(z^{-1}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right).\end{aligned}}}
  


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — Т. 3. — с. 1135.
Обратные тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220–221. — 352 с.
Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции


== Տես նաև ==
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
Եռանկյունաչափության պատմություն