Մաթեմատիկական ապացույց

Մաթեմատիկական ապացույցը մաթեմատիկական պնդման համար տրամաբանական փաստարկ է, որը ցույց է տալիս, որ նշված դատողությունները տրամաբանորեն երաշխավորում են եզրակացությունը։ Փաստարկը կարող է օգտագործել նախկինում դուրս բերված այլ պնդումներ, ինչպիսիք թեորեմներն են, սակայն յուրաքանչյուր ապացույց սկզբունքորեն, կարող է կառուցվել՝ օգտագործելով միայն որոշ հիմնական կամ նախնական ենթադրություններ, որոնք հայտնի են որպես աքսիոմներ, մտահանգման ընդունելի կանոններով։ Ապացույցները ողջամիտ ակնկալիքը հաստատող, սպառիչ դեդուկտիվ հիմնավորման օրինակներ են, որոնք տրամաբանական որոշակիություն են ստեղծում, որոնք տարբերվում են էմպիրիկ փաստարկներից կամ ոչ սպառիչ ինդուկտիվ պատճառաբանությունից։ Չհաստատված ենթադրությունը, որի վերաբերյալ կարծիք կա, որ ճիշտ է, հայտնի է որպես վարկած, կամ հիպոթեզ, հետագա մաթեմատիկական մտահանգումների համար, հաճախ օգտագործվում է որպես ենթադրություն։
Ապացույցները, բնական լեզվի հետ մեկտեղ, որոնք սովորաբար երկիմաստություն են պարունակում, օգտագործում են որոշակի տրամաբանություն արտահայտող մաթեմատիկական սիմվոլներ։
Ապացույցների տեսության մեջ դիտարկվում են առանց բնական լեզվի օգտագործման, սիմվոլիկ լեզվով գրված, լիովին ֆորմալ ապացույցները։ Ֆորմալ և ոչ ֆորմալ ապացույցների տարբերությունը բերել է ընթացիկ և պատմական մաթեմատիկական փորձառության քննության՝ քվազի-էմպիկրիզմին մաթեմատիկայում, և այսպես կոչված ժողովրդական մաթեմատիկային, հիմնական մաթեմատիկական հանրության և այլ մշակույթներում բանավոր ավանդույթներին։ Մաթեմատիկայի փիլիսոփայությունը կապված է ապացույցներում լեզվի և տրամաբանության դերին և մաթեմատիկային որպես լեզու։


== Պատմություն և ստուգաբանություն ==

«Վստահություն» իրավական տերմինը նշանակում է հեղինակություն կամ հավաստիություն՝ փաստեր ապացուցելու համար, հեղինակություն կամ կարգավիճակ ունեցող անձանց կողմից տրված վկայության ուժ։
Խիստ մաթեմատիկական ապացույցներին նախորդել են նմանության փաստարկները, ինչպիսիք են նկարները և անալոգիաները։ Հավանաբար, եզրակացության գաղափարը առաջացել է երկրաչափության հետ կապված, որը ծագել է հողերի չափման գործնական խնդիրներից։ Մաթեմատիկական ապացույցի զարգացումը առաջին հերթին հին հունական մաթեմատիկայի արգասիքն է և նրա ամենամեծ նվաճումներից մեկը։ Թալեսը (մ.թ.ա. 624–546) և Հիպրոկրատ Քիոսը (մ.թ.ա. 470–410) տվեցին երկրաչափության թեորեմների առաջին հայտնի ապացույցները։ Եվդոքսը (մ.թ.ա. 408–355) և Թեետետոսը (մ.թ.ա. 417–369) ձևակերպել են թեորեմներ, բայց դրանք չեն ապացուցել։ Արիստոտելը (մ.թ.ա. 384–322) ասում էր, որ սահմանումները պետք է նկարագրեն հասկացությունը, որը սահմանվում է արդեն հայտնի մյուս հասկացությունների միջոցով։
Մաթեմատիկական ապացույցը հեղփոխականացվեց Էվկլիդեսի կողմից (մ․թ․ա․300), ով մտցրեց աքսիոմատիկ մեթոդ, որը մինչ այսօր օգտագործվում է։ Այն սկսվում է չսահմանված հասկացություններից և  աքսիոմներից, ենթադրվում է որ չսահմանված տերմիններն ինքնին ակնհայտ է որ ճիշտ են (հունարեն "axios", ինչ որ արժեքավոր բան)։ Այս հիմքի վրա մեթոդը թեորեմներն ապացուցում է օգտագործելով դեդուկտիվ տրամաբանություն։ Էվկլիդեսի Տարրեր գիրքը մինչև 20-րդ դար կարդում էր յուրաքանչյուրը, ով համարվում էր կրթված։ Ի հավելումն երկրաչափական թեորեմների, ինչպիսին Պյութագորի թեորեմն է,  Տարրերը նաև ծածկում էր թվերի տեսությունը, ներառյալ, որ քառակուսի արմատ երկուսիցը իռացիոնալ է և ապացույցն այն բանի որ պարզ թվերի քանակն անվերջ է։
Հետագա առաջընթացներ տեղի ունեցան միջնադարյան իսլամական մաթեմատիկայում։ Մինչ վաղ հունական ապացույցները հիմնականում կրում էին երկրաչափական ցուցադրություններ, մուսուլման մաթեմատիկոսների կողմից թվաբանության և հանրահաշվի զարգացումը ավելի ընդհանուր ապացույցներ էին օգտագործում, անկախ երկրաչափական ինտուիցիայից։ 10-րդ դարում Իրաքյան մաթեմատիկոս Al-Hashimi-ն թվերի հետ աշխատում էր որպես շարքեր և հանրահաշվական գործողություններ պարունակող առաջադրանքները, ներառյալ իռացիոնալ թվերի գոյությունը, ապացուցելու համար, անպայման չէ երկրաչափական օբյեկտների չափումներ կատարել։ Ալ-Ֆաղրիում (1000) Ալ-Կարաջին ինդուկցիոն մեթոդն օգտագործեց թվաբանական պրոգրեսիայի համար։ Նա այն օգտագործեց նաև բինոմալ թեորեմն ապացուցելու և Պասկալի եռանկյան հատկությունների համար։ Ալհազենը ապուցուցման եղանակները զարգացրեց "հակառակ ենթադրությունից ապացույցով", որպես առաջին փորձ կիրառելով այն Էվկլիդյան երկրաչափության զուգահեռության պոստուլատը ապացուցելու համար։
Ժամանակակից ապացույցների տեսությունը ապացույցները դիտարկում է որպես ինդուկտիվ սահմանված տվյալների կառուցվածք, որոնք չեն պահանջում աքսիոմների ճշմարիտ լինելը որևէ իմաստով։ Սա թույլ է տալիս զուգահեռ օգտագործել զուգահեռ մաթեմատիկական տեսություններ որպես տված ինտուիտիվ հասկացության ֆորմալ մոդելներ, որոնք հիմնված են աքսիոմաների ալտերնատիվ բազմության վրա, օրինակ, բազմությունների աքսիոմատիկ տեսություն և Ոչ-Էվկլիդյան երկրաչափություն։


== Էություն և նպատակ ==
Գործնականում ապացույցն արտահայտվում է բնական լեզվով և պնդման ճշմարտության մեջ համոզելու համար խիստ փաստարկ է։ Խստության չափանիշը ստանդարտ չէ և պատմության ընթացքում փոփոխությունների է ենթարկվել։ Կախված ենթադրվող լսարանից ապացույց տարբեր կերպ կարող է ներկայացվել։ Որպեսզի լսարանի կողմից ապացույցն ընդունվի, այն պետք է համապատասխանի խստության ընդունված րափանիշներին, անորոշ կամ ոչ լրիվ փաստարկները հնարավոր է մերժվեն։
Ապացույց հասկացությունը ձևավոևվել է մաթեմատիկական տրամաբանության ոլորտում։ Ֆորմալ ապացույցը գրվում է ֆորմալ լեզվով։ Ֆորմալ ապացույցը դա ֆորմալ լեզվով գրված բանաձևերի հաջորդականություն է, որ սկսվում է ենթադրությունից, և յուրաքանչյուր հաջորդ բանաձևը նախորդների տրամաբանական հետևությունն է։ Այս սահմանումը ապացույցը դարձնում է ուսումնասիրության առարկա։ Իրոք, ապացույցների տեսության ոլորտը ուսումնասիրում է ձևական ապացույցները և դրանց հատկությունները, որոնցից ամենահայտնի և զարմանալին այն է, որ համարյա բոլոր աքսիոմատիկ համակարգերը կարող են առաջացնել որոշակի չհիմնավորված պնդումներ, որոնք համակարգի ներսում ապացուցելի չեն։
Ֆորմալ ապացույցի սահմանումը նպատակ ունի ընդգրկել ապացույցների հայեցակարգն այնպես, ինչպես ընդունված է մաթեմատիկայի պրակտիկայում։ Այս սահմանման հիմնավորումը ենթադրում է, որ հրապարակված ապացույցը սկզբունքորեն կարող է վերաձևակերպվել ֆորմալ ապացույցի։ Սակայն բացի ավտոմատացված ապացույցի օգնականի կիրառումից, սա պրակտիկայում հազվադեպ է հանդիպում։ Փիլիսոփայության դասական հարցն է՝ մաթեմատիկական ապացույցներն արդյոք վերլուծական են, թե սինթետիկ, Կանտը, որ մտցրեց անալիտիկ-սինթետիկ տարբերությունը, կարծում էր, որ մաթեմատիկական ապացույցները սինթետիկ են, մինչդեռ Կուենը 1951 թվականին իր «Էմպիրիզմի երկու դոգմա» աշխատությունում պնդում էր, որ այդպիսի տարբերակումն անթույլատրելի է։
Ապացույցները կարող են հիացնել իրենց մաթեմատիկական գեղեցկությամբ։ Մաթեմատիկոս Պոլ Էրդյոսը հայտնի էր հատկապես էլեգանտ ապացույցները նկարագրելու համար, որ վերցնում էր հիպոթետիկ "The Book" հատորից, որը յուրաքանչյուր թեորեմի ամենագեղեցիկ ապացույցն էր պարունակում։  Proofs from THE BOOK գիրքը, հրապարակվել է 2003 թվականին և նվիրված է 32 ապացույցների ներկայացմանը, որոնք նրա խմբագիրները հատկապես գեղեցիկ են համարում։


== Մեթոդներ ==


=== Ուղիղ ապացույց ===
Ուղիղ ապացույցում եզրակացությունը դուրս է բերվում է տրամաբանորեն զուգակցելով աքսիոմները, սահմանումները և վաղ թեորեմները։ Օրինակ, ուղիղ ապացույցը կարող է օգտագործվել ապացուցելու որ երկու զույգ թվերի գումարը միշտ զույգ է։

Ենթադրենք x և y զույգ թվեր են։ Քանի որ նրանք զույգ են, ապա կարող են ներկայացվել x = 2a և y = 2b, որտեղ a և b ամբողջ թվեր են։ Ուստի x + y = 2a + 2b = 2(a+b). Այսպիսով x+y ունի 2 գործակից և ըստ սահմանման զույգ է։ Հետևաբար երկու զույգ թվերի գումարը զույգ է։Այս ապացույցն օգտագործում է զույգ թվերի սահմանումը, գումարման, բազմապատկման և բաշխելիության նկատմամ ամբողջ թվերի բազմության փակ լինելը։


=== Ապացույց մաթեմատիկական ինդուկցիայի միջոցով ===

Չնայած անվանմանը, մաթեմատիկական ինդուկցիան դեդուկցիոն մեթոդ է, ոչ թե ինդուկցիոն մտահանգման ձև։ Մաթեմատիկական ինդուկցիայի միջոցով ապացույցում "եզակի դեպքն" է ապացուցվում և "ինդուկցիայի կանոնը", որը հաստատում է յուրաքանչյուր պատահական դեպքի իրավացիությունը ենթադրում է հաջորդի իրավացիությունը։ Քանի որ ինդուկցիայի կանոնը կարելի է կիրառել բազմակի, ուստի բոլոր անվերջ դեպքերն ապացուցելի են։ Սրանով խուսափում ենք յուրաքանչյուր դեպքն առանձին ապացուցելու անհրաժեշտությունից։ Մաթեմատիկական ինդուկցիայի տարբերակ է անվերջ նվազման եղանակով ապացույցը, որը կարող է օգտագործվել, օրինակ, երկուսի քառակուսի արմատի իռացիոնալությունը ապացուցելու համար։
Մաթեմատիկական ինդուկցիայի միջոցով ապացույցի հաճախ հանդիպող կիրառումն այն է՝ ապացուցել, որևէ բնական թվի համար հայտնի որևէ հատկություն, ճշմարիտ է նաև բոլոր բնական թվերի համար։ մի թվի համար։
Ենթադրենք N = {1,2,3,4,...} բնական թվերի բազմություն է, և P(n) մաթեմատիկական պնդում է, որ տեղի ունի n բնական թվի համար N բազմությունից, այնպես որsuch that

(i) P(1) ճիշտ է, այսինքն, P(n) ճիշտ է n = 1-ի համար։
(ii) P(n+1) ճիշտ է, երբ P(n) ճիշտ է, այսինքն, P(n) չիշտ լինելուց հետևում է, որ P(n+1) ճիշտ է։
Ապա P(n) ճիշտ է բոլոր բնական թվերի համար n։Օրինակ, մենք ինդուկցիայով կարող ենք ապացուցել, որ 2n − 1 տեսքի բոլոր դրական ամբողջ թվերը կենտ են։ 

Ենթադրենք P(n) ներկայացվում է այս տեսքով "2n − 1 կենտ է":
(i) n = 1-ի համար, 2n − 1 = 2(1) − 1 = 1, և 1 կենտ է, քանի որ այն 2-ի բաժանելիս 1 մնացորդ է տալիս։ Այսպիսով P(1)-ը ճիշտ է։
(ii) ցանկացած n-ի համար, եթե 2n − 1-ը կենտ է (P(n)), ապա (2n − 1) + 2 նույնպես պետք է կենտ լինի, կենտ թվին 2 գումարելով, կստանանք կենտ թիվ։  Սակայն (2n − 1) + 2 = 2n + 1 = 2(n+1) − 1, ուստի 2(n+1) − 1 կենտ է (P(n+1)).  So P(n) implies P(n+1).
Այսպիսով 2n − 1-ը կենտ է բոլոր n դրական ամբողջ թվերի համար։Հաճախ "մաթեմատիկական ինդուկցիայի միջոցով ապացույց" արտահայտության փոխարեն օգտագործվում է ավելի կարճ "իդուկցիայի միջոցով ապացույց" արտահայտությունը։


=== Ապացույց հակադարձից ===
Հակադարձից ապացույցը "եթե p ապա q" պնդումը փոխարինում է տրամաբանորեն համարժեք  "եթե ոչ q ապա ոչ p" պնդումով։
Օրինակ, հակադարձելիությունը կարելի է օգտագործել հետևյալ պնդման համար, տված 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   ամբողջ թվի համար, եթե 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}}
   զույգ է, ապա 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   զույգ է։

Ենթադրենք 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   զույգ չէ։ Այդ դեպքում 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   կենտ է։ Երկու կենտ թվերի արտադրյալը կենտ է, հետևաբար 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        x
        ⋅
        x
      
    
    {\displaystyle x^{2}=x\cdot x}
   կենտ է։ Այսպիսով 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}}
   կենտ չէ։ Քանի որ 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}}
   զույգ է, ապա ենթադրությունը սխալ էր, ուստի 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   պետք է զույգ լինի։


=== Ապացույց հակառակ պնդումից ===
Հակառակ պնդումից ապացույցը, նաև հայտնի որպես աբսուրդի հասցրած, եթե որևէ պնդում ենթադրվում է ճիշտ և տրամաբանական հակասություն է ծագում, հետևաբար պնդումը սխալ է։ Հայտնի օրինակ է 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
   իռացիոնալության ապացույցը։

Ենթադրենք 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
   ռացիոնալ թիվ է։ Ուստի այն կարող էներկայացվել 
  
    
      
        
          
            2
          
        
        =
        
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}
   որտեղ a և b զրոյից տարբեր փոխադարձ պարզ ամբողջ թվեր են։ Այսպիսով 
  
    
      
        b
        
          
            2
          
        
        =
        a
      
    
    {\displaystyle b{\sqrt {2}}=a}
  ։ Երկու մասը քառակուսի բարձրացնելով, կունենանք 2b2 = a2։ Քանի որ ձախ կողմի արտահայտությունը բաժանվում է 2-ի, ուստի աջ կողմի արտահայտությունն էլ պետք է բաժանվի 2-։ Այսինքն, a2 զույգ է, որից հետևում է, որ a-ն նույպես պետք է զույգ լինի, as seen in the proposition above (in Proof by Contraposition). Այսպիսով, մենք կարող ենք գրել a = 2c, որտեղ c նույնպես ամբողջ թիվ է։ Տեղադրելով սկզբնական հավասարման մեջ, ստանում ենք 2b2 = (2c)2 = 4c2։ Երկու կողմը 2-ի բաժանելով, կստանանք b2 = 2c2։ Սակայն միևնույն փաստարկով b2-ը բաժանվում է 2-ի, ուստի b-ն պետք է զույգ լինի։ Սակայն, եթե a և b երկուսն էլ զույգ են, ապա նրանք ունեն ընդհանուր բաժանարար։ Սա հակասում է մեր նախկին պնդմանը, որ a և b փոխադարձ պարզ են, ուստի մենք ստիպված ենք եզրակացնել որ 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
   իռացիոնալ թիվ է։


=== Ապացույց կառուցման միջոցով ===
Կառուցման միջոցով, կամ օրինակի միջոցով ապացույցը դա տվյալ հատկությամբ օրինակի կառուցումն է, ցույց տալու որ այն գոյություն ունի։ Օրինակ, Ժոզեֆ Լուիվիլը տրանսցենդենտ թվերի գոյությունն ապացուցել է կառուցելով տրանսցենդենտ թվի ակնհայտ օրինակ։ Մեթոդը կարող է օգտագործվել նաև կոնտրօրինակ կառուցելու համար՝ որոշակի հատկությամբ չեն օժտված բոլոր էլեմենտները։


=== Ապացույց սպառման միջոցով ===
Սպառման միջոցով ապացույցում, եզրակացությունը հանգվում է խնդիրը բաժանելով վերջավոր թվով դեպքերի և յուրաքանչյուրն առանձին ապացուցելով։ Դեպքերի քանակը երբեմն կարող է շատ մեծ լինել։ Օրինակ, չորս գույների թեորեմի առաջին ապացույցը 1,936 դեպքերի դիտարկում էր։ Ապացույցը վիճարկելի էր, քանի որ դեպքերի մեծ մասը ստուգվել էին համակարգչի միջոցով։ Չորս գույների թեորեմի ամենակարճ ապացույցը 600 դեպքեր է ներառում։


=== Հավանական ապացույց ===
Հավանական ապացույցը այն է, որի դեպքում, օգտագործելով հավանականության տեսության մեթոդները, ցույց է տրվում, որ օրինակը հաստատ գոյություն ունի։
Հավանական ապացույցը, ինչպես կառուցման ապացույցը, գոյության թեորեմը ներկայացնելու բազմաթիվ եղանակներից մեկն է։
Հավանական մեթոդով որոնվում է տվյալ հատկությունն ունեցող առարկա, դիտարկելով մեծ թվով թեկնածուներ։ Յուրաքանչյուր թեկնածուի համար ընտրության որոշակի հավանականություն է տրվում, ապա ապացուցվում, որ գոյություն ունի ոչ զրոյական հավանականություն, որ ընտրված թեկնածուն կունենա տրված հատկությունԸ։ Սա չի մատնանշում, թե որ թեկնածուներն ունեն տվյալ հատկությունը, սակայն հավանականությունը չի կարող լինել դրական, առանց գոնե մեկի։
Հավանական ապացույցը չպետք է շփոթել փաստարկի հետ, որ թեորեմը հավանաբար ճիշտ է։ Կոլացի վարկածը ցույց է տալիս թե որքան հեռու է նմանակությունը իսկական ապացույցից։  Չնայած մաթեմատիկոսների մեծ մասը տրված օբյեկտի հատկությունների վերաբերյալ հավանական ապացույցը չեն համարում իսկական, որոշ մաթեմատիկոսներ և փիլիսոփաներ պնդում են, որ մի քանի տեսակի հավանական ապացույցներ, ինչպիսին պարզության ստուգման համար հավանական Ռաբինի ալգորիթմը նույնքան լավն է, որքան իսկական մաթեմատիկական ապացույցը։


=== Կոմբինատոր ապացույց ===
Կոմբինատոր ապացույցը հաստատում է տարբեր արտահայտությունների համարժեքությունը՝ ցույց տալով, որ նրանք տարբեր եղանակներով են հաշվում միևնույն առարկան։ Հաճախ երկու բազմությունների փոխմիարժեք համապատասխանությունը օգտագործվում է ցույց տալու որ դրանց երկու կողմերի արտահայտությունները հավասար են։ Այլընտրանքայնորեն, միևնույն բազմության չափի կրկնակի հաշվարկի փաստարկը երկու տարբեր արտահայտություն է՝ կրկին ցույց տալով, որ երկու արտահայտություններն էլ հավասար են։


=== Ոչ կառուցողական ապացույց ===
Ոչ կառուցողական ապացույցը հաստատում է, որ որոշակի հատկությամբ մաթեմատիկական օբյեկտը գոյություն ունի, առանց բացատրության, թե ինչպես գտնել այն գտնել։ Հաճախ 
այն հակասությունից ապացույցի ձև է ստանում, որով օբյեկտի գոյություն չունենալը անհնարին է դառնում։  Ի հակադրություն, կառուցողական ապացույցը հաստատում է որոշակի առարկայի գոյությունը՝ ցույց տալով այն գտնելու մեթոդը։ Ոչ կառուցողական ապացույցի հայտնի օրինակը ցույց է տալիս, որ գոյություն ունեն երկու իռացիոնալ a և b such թվեր, որ 
  
    
      
        
          a
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{b}}
   ռացիոնալ է։:

Կամ 
  
    
      
        
          
            
              2
            
          
          
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}
   ռացիոնալ թիվ է և մենք ապացուցեցինք (take 
  
    
      
        a
        =
        b
        =
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a=b={\sqrt {2}}}
  ), կամ 
  
    
      
        
          
            
              2
            
          
          
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}
   իռացիոնալ է, ուստի կարող ենք գրել 
  
    
      
        a
        =
        
          
            
              2
            
          
          
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}
   և 
  
    
      
        b
        =
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle b={\sqrt {2}}}
  . Ստացվում է 
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  2
                
              
              
                
                  2
                
              
            
            )
          
          
            
              2
            
          
        
        =
        
          
            
              2
            
          
          
            2
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2}
  , որը և ռացիոնալ թիվ է այս տեսքով 
  
    
      
        
          a
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{b}}
  ։


=== Վիճակագրական ապացույց մաքուր մաթեմատիկայում ===
"Վիճակագրական ապացույց" արտահայտությունը կարող է օգտագործվել տեխնիկապես, կամ խոսակցության մեջ մաքուր մաթեմատիկական ոլորտներում, ինչպիսիք են գաղտնալսումները, քաոսային շարքերը, հավանական կամ անալիտիկ թվերի տեսությունը։ Այն ավելի հազվադեպ է օգտագործվում վիճակագրության մեջ։


=== Համակարգչային ապացույցներ ===
Մինչև քսաներորդ դար ենթադրվում էր, որ սկզբունքորեն ցանկացած հավաստիությունը կարող է ստուգվել բանիմաց մաթեմատիկոսի կողմից և վավերացնել։ Այնուամենայնիվ, համակարգիչները այժմ օգտագործվում են երկուստեք՝ թեորեմներն ապացուցելու և չափազանց երկար հաշվարկներ իրականացնելու համար։ Չորս գույների թեորեմը համակարգչի օգնությամբ ապացույցի օրինակ է։ Որոշ մաթեմատիկոսներ անհանգստացած են, որ համակարգչային ծրագրում կամ դրա հաշվարկների ժամանակ հնարավոր սխալի առկայությունը կասկածի տակ են դնում համակարգչային ծրագրերի օգնությամբ ապացույցների վավերականությունը։ Գործնականում, համակարգչի օգնությամբ ապացույցում սխալի հավանականությունը կարող է նվազեցվել՝ ավելորդությունները և ինքնաստուգումները հաշվարկներում ներառելու միջոցով, և զարգացնելով բազմաթիվ անկախ մոտեցումներ և ծրագրեր։ Սխալները երբեք լիովին բացառված չեն նաև մարդկանց կողմից ապացույցների ստուգման դեպքում, հատկապես, եթե ապացույցը բնական լեզվով է և սխալներն ու ենթադրությունները բացահայտելու համար խորը մաթեմատիկական պատկերացում է պահանջում։


== Անլուծելի հայտարարություններ ==
Պնդումը, որը աքսիոմների բազմությունից ոչ ապացուցելի է, ոչ մերժելի, կոչվում են անլուծելի։ Զուգահեռության պոստուլատը դրանցից մեկն է։ Այն ոչ ապացուցելի է, ոչ մերժելի Էվկլիդյան երկրաչափության մնացած աքսիոմներից։
Մաթեմատիկոսները ցույց են տվել շատ պնդումներ, որ ոչ ապացուցելի են, ոչ մերժելի են Ցերմելո-Ֆրանկելի բազմությունների տեսության մեջ։
Գյոդելի անավարտության առաջին թեորեմը ցույց է տալիս, որ մաթեմատիկական շատ աքսիոմատիկ համակարգեր կունենան անլուծելի պնդումներ։


== Փորձարարական մաթեմատիկա ==
Չնայած վաղ մաթեմատիկոսները, ինչպիսին է Կնիդուս Եվդոկոսը, չեն օգտագործել ապացույցներ, էվկլիդեսից մինչև 19-րդ և 20-րդ դարերի վերջերը մաթեմատիկայի զարգացման հիմնական մասն էին կազմում ապացույցները։ 1960-ականների կոմպյութերային հզորացմանը զուգահեռ, փորձարարական մաթեմատիկայում նշանակալի աշխատանք սկսվեց մաթեմատիկական օբյեկտների ուսումնասիրության ոլորտում ապացույց-թեորեմ շրջանակներից դուրս, Այս մեթոդների վաղ պիոներները նպատակ ունեին, որ գործն ի վերջո ներառվի դասական ապացույց-թեորեմի շրջանակներում, օրինակ. ֆրակտալ երկրաչափության վաղ զարգացումը, որն, ի վերջո, այդքան ներկառուցված էր։


== Առնչվող հասկացություններ ==


=== Տեսողական ապացույց ===
Չնայած պաշտոնական ապացույց չէ, բայց մաթեմատիկական թեորեմի տեսողական ներկայացումը երբեմն կոչվում է «ապացույց առանց բառերի»։ Ստորև բերված ձախ նկարը Պյութագորասի թեորեմի պատմական տեսողական ապացույցի օրինակ է (3,4,5) եռանկյան դեպքում։

		
		


=== Տարրական ապացույց ===
Տարրական ապացույցն օգտագործում է միայն հիմնական միջոցները։ Մասնավորապես տերմինն օգտագործվում էթվերի տեսության մեջ հղվելու ապացույցներին, որոնք չեն օգտագործում կոմպլեքս անալիզ։ Որոշ ժամանակ կարծիք կար, որ որոշակի թեորեմներ, ինչպես պարզ թվերի թեորեմը, միայն «բարձրագույն» մաթեմատիկայի միջոցով կարող են ապացուցվել։
Այնուամենայնիվ, ժամանակի ընթացքում այս արդյունքները վերաապացուցվեցին օգտվելով միայն տարրական տեխնիկայից։


=== Երկսյուն ապացույց ===

Երկու զուգահեռ սյուներ օգտագործող ապացույցի եղանակը հաճախ օգտագործվում է Միացյալ Նահանգների տարրական երկրաչափության դասերում։
 Ապացույցը գրված է երկու սյունակում որպես տողերի շարքեր։ Յուրաքանչյուր տողում ձախ սյունը պարունակում է մի առաջարկ, մինչդեռ աջ սյունակում կա հակիրճ բացատրություն այն մասին, թե ինչպես է ձախակողմյան համապատասխան սյունակի առաջարկը կամ աքսիոման, վարկածը կարող է տրամաբանորեն բխել նախորդ առաջարկներից։ Ձախ սյունը սովորաբար վերնագրված է «Հայտարարություններ», իսկ աջ սյունը՝ «Պատճառներ» 


=== "Մաթեմատիկական ապացույցի" խոսակցական օգտագործումը ===
"Մաթեմատիկական ապացույց" արտահայտությունը օգտագործվում է ոչ մասնագետների կողմից, հիշատակելու որ օգտագործում են մաթեմատիկական մեթոդներ, կամ մաթեմատիկական առարկաներ քննարկելու համար, ինչպիսին թվերն են, առօրյա կյանքից ինչ որ բան ներկայացնելու համար, կամ փաստարկներում օգտագործվող տվյալները թվային են։ Այն երբեմն օգտագործվում է "վիճակագրական ապացույցի" իմաստով, հատկապես, երբ օգտագործվում է տվյալների հիման վրա փաստարկներում։


=== Տվյալների օգտագործմամբ վիճակագրական ապացույց ===
Տվյալների օգտագործմամբ "Վիճակագրական ապացույցը" վերաբերում է վիճակագրության կիրառմանը, տվյալների վերլուծությանը կամ Բայեսյան վերլուծություններին, տվյալների հավանականության վերաբերյալ առաջարկություններ դուրս բերելու համար։ Վիճակագրությունում թեորեմմ ստեղծելու համար մաթեմատիկական ապացույցն օգտագործելը սովորաբար մաթեմատիկական ապացույց չէ, քանի որենթադրությունները, որոնցից հավանական պնդումներ են դուրս բերվում, ստուգելու համար պահանջում են էմպիրիկ ապացույցներ մաթեմատիկայից դուրս։ Ֆիզիկայում, բացի վիճակագրական մեթոդներից, "վիճակագրական ապացույցը" կարող է վերաբերել մասնագիտացված մաթեմատիկական ֆիզիկայից, որոնք կիրառվել են մասնիկների ֆիզիկայի փորձի կամ ֆիզիկական տիեզերագիտության մեջ դիտորդական ուսումնասիրության տվյալները վերլուծելու համար։ "Վիճակագրական ապացույցը"  կարող է վերաբերվել նաև չմշակված տվյալներին կամ համոզող դիագրամներին։


=== Ինդուկտիվ տրամաբանական ապացույցներ և Բայեսյան վերլուծություններ ===
Ինդուկտիվ տրամաբանություն օգտագործող ապացույցները չնայած բնույթով համարվում են մաթեմատիկական, փորձում են որոշակիության աստիճանի մտահանգումներ կատարել, ինչը գործում է հավանականությանը նման ձևով և կարող է լինել պակաս որոշակի։ Ինդուկտիվ տրամաբանությունը չպետք է շփոթել մաթեմատիկական ինդուկցիայի հետ։
Բայեսյան վերլուծությունը օգտագործում է Բայեսի թեորեմը՝ թարմացնելու համար վարկածի հավանականությունը, երբ նոր ապացույցներ կամ տեղեկություններ են ձեռք բերվում։


=== Ապացույցները որպես մտավոր օբյեկտներ ===
Հոգեբանականությունը մաթեմատիկական ապացույցները դիտարկում է որպես հոգեբանական կամ մտավոր օբյեկտներ։ Մաթեմատիկոս-փիլիսոփաներ, այնպիսիք, ինչպիսին Լայբնիցն է, Ֆրեգեն և Կառնապը տարբեր կերպ քննադատել են այս մոտեցումը և փորձել են մշակել մտքերի լեզվի սեմանտիկան, որով մաթեմատիկական ապացույցի չափորոշիչները հնարավոր կլիներ կիրառելփորձարարական գիտության նկատմամբ։


=== Մաթեմատիկական ապացույցների մեթոդների ազդեցությունը մաթեմատիկայից դուրս ===
Փիլիսոփա մաթեմատիկոսներն, ինչպիսին Սպինոզան, փիլիսոփայական փաստարկները փորձել են ձևակերպել աքսիոմատիկ ձևաչափով, որով և մաթեմատիկական ապացույցների չափորոշիչները կարող են կիրառվել ընդհանուր փիլիսոփայության մեջ։ Մյուս մաթեմատիկոս-փիլիսոփաները մաթեմատիկական ապացույցի և բանականության չափորոշիչները օգտագործել մաթեմատիկայից դուրս պնդումներ անելու, սակայն ունենալով մաթեմատիկական ապացույցների հիմնավորումների որոշակիությունը, այնպիսին, ինչպիսին Դեկարտի  cogito փաստարկը։


== Ապացույցի ավարտ ==

Երբեմն  "Q.E.D." հապավումն է գրվում, ապացույցի ավարտը նշելու համար։ Վերջինս "Quod Erat Demonstrandum" արտահայտության հապավումն է, որը լատիներեն նշանակում է "այն ինչ պետք էր ապացուցել"։ Ավելի տարածված այլընտրանք է քառակուսին կամ ուղղանկյունը, ինչպիսիք են □ կամ ∎, որոնք հայտնի են որպես «գերեզմանաքար» կամ «հալմոս» ՝  Պոլ Հալմոսի անվան պատվին։


== Ծանոթագրություններ ==