Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ, ստորև ներկայացված են էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների անորոշ և որոշյալ ինտեգրալների ցանկերը։ Անորոշ ինտեգրալների համար ինտեգրման հաստատունը բաց է թողնված։


== Անորոշ ինտեգրալներ ==

  
    
      
        ∫
        
          e
          
            x
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \int e^{x}\;\mathrm {d} x=e^{x}}
  
  
    
      
        ∫
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        
          e
          
            f
            (
            x
            )
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          e
          
            f
            (
            x
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \int f'(x)e^{f(x)}\;\mathrm {d} x=e^{f(x)}}
  
  
    
      
        ∫
        
          e
          
            c
            x
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            1
            c
          
        
        
          e
          
            c
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \int e^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}e^{cx}}
  
  
    
      
        ∫
        
          a
          
            c
            x
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            1
            
              c
              ⋅
              ln
              ⁡
              a
            
          
        
        
          a
          
            c
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \int a^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c\cdot \ln a}}a^{cx}}
   
  
    
      
        a
        >
        0
        ,
         
        a
        ≠
        1
      
    
    {\displaystyle a>0,\ a\neq 1}
  
  
    
      
        ∫
        x
        
          e
          
            c
            x
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            
              e
              
                c
                x
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        (
        c
        x
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \int xe^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}}{c^{2}}}(cx-1)}
  
  
    
      
        ∫
        
          x
          
            2
          
        
        
          e
          
            c
            x
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          e
          
            c
            x
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                c
              
            
            −
            
              
                
                  2
                  x
                
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            
              
                2
                
                  c
                  
                    3
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \int x^{2}e^{cx}\;\mathrm {d} x=e^{cx}\left({\frac {x^{2}}{c}}-{\frac {2x}{c^{2}}}+{\frac {2}{c^{3}}}\right)}
  
  
    
      
        ∫
        
          x
          
            n
          
        
        
          e
          
            c
            x
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            1
            c
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        
          e
          
            c
            x
          
        
        −
        
          
            n
            c
          
        
        ∫
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        
          e
          
            c
            x
          
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            (
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  c
                
              
            
            )
          
          
            n
          
        
        
          
            
              e
              
                c
                x
              
            
            c
          
        
        =
        
          e
          
            c
            x
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            i
          
        
        
        
          
            
              n
              !
            
            
              (
              n
              −
              i
              )
              !
              
              
                c
                
                  i
                  +
                  1
                
              
            
          
        
        
        
          x
          
            n
            −
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \int x^{n}e^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}x^{n}e^{cx}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}e^{cx}\mathrm {d} x=\left({\frac {\partial }{\partial c}}\right)^{n}{\frac {e^{cx}}{c}}=e^{cx}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\,{\frac {n!}{(n-i)!\,c^{i+1}}}\,x^{n-i}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              e
              
                c
                x
              
            
            x
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        ln
        ⁡
        
          |
        
        x
        
          |
        
        +
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              c
              x
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              n
              ⋅
              n
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {e^{cx}}{x}}\;\mathrm {d} x=\ln |x|+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(cx)^{n}}{n\cdot n!}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              e
              
                c
                x
              
            
            
              x
              
                n
              
            
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            1
            
              n
              −
              1
            
          
        
        
          (
          
            −
            
              
                
                  e
                  
                    c
                    x
                  
                
                
                  x
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
              
            
            +
            c
            ∫
            
              
                
                  e
                  
                    c
                    x
                  
                
                
                  x
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
              
            
            
            
              d
            
            x
          
          )
        
        
        
          
            ( 
          
        
        n
        ≠
        1
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {e^{cx}}{x^{n}}}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{n-1}}\left(-{\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}+c\int {\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}\,\mathrm {d} x\right)\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          e
          
            c
            x
          
        
        ln
        ⁡
        x
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            1
            c
          
        
        
          (
          
            
              e
              
                c
                x
              
            
            ln
            ⁡
            
              |
            
            x
            
              |
            
            −
            Ei
            
            (
            c
            x
            )
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \int e^{cx}\ln x\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\left(e^{cx}\ln |x|-\operatorname {Ei} \,(cx)\right)}
  
  
    
      
        ∫
        
          e
          
            c
            x
          
        
        sin
        ⁡
        b
        x
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            
              e
              
                c
                x
              
            
            
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        (
        c
        sin
        ⁡
        b
        x
        −
        b
        cos
        ⁡
        b
        x
        )
        =
        
          
            
              e
              
                c
                x
              
            
            
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        sin
        ⁡
        (
        b
        x
        −
        ϕ
        )
        
        cos
        ⁡
        (
        ϕ
        )
        =
        
          
            c
            
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int e^{cx}\sin bx\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\sin bx-b\cos bx)={\frac {e^{cx}}{\sqrt {c^{2}+b^{2}}}}\sin(bx-\phi )\qquad \cos(\phi )={\frac {c}{\sqrt {c^{2}+b^{2}}}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          e
          
            c
            x
          
        
        cos
        ⁡
        b
        x
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            
              e
              
                c
                x
              
            
            
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        (
        c
        cos
        ⁡
        b
        x
        +
        b
        sin
        ⁡
        b
        x
        )
        =
        
          
            
              e
              
                c
                x
              
            
            
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        cos
        ⁡
        (
        b
        x
        −
        ϕ
        )
        
        cos
        ⁡
        (
        ϕ
        )
        =
        
          
            c
            
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int e^{cx}\cos bx\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\cos bx+b\sin bx)={\frac {e^{cx}}{\sqrt {c^{2}+b^{2}}}}\cos(bx-\phi )\qquad \cos(\phi )={\frac {c}{\sqrt {c^{2}+b^{2}}}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          e
          
            c
            x
          
        
        
          sin
          
            n
          
        
        ⁡
        x
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            
              
                e
                
                  c
                  x
                
              
              
                sin
                
                  n
                  −
                  1
                
              
              ⁡
              x
            
            
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              
                n
                
                  2
                
              
            
          
        
        (
        c
        sin
        ⁡
        x
        −
        n
        cos
        ⁡
        x
        )
        +
        
          
            
              n
              (
              n
              −
              1
              )
            
            
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              
                n
                
                  2
                
              
            
          
        
        ∫
        
          e
          
            c
            x
          
        
        
          sin
          
            n
            −
            2
          
        
        ⁡
        x
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \int e^{cx}\sin ^{n}x\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}\sin ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\sin x-n\cos x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\sin ^{n-2}x\;\mathrm {d} x}
  
  
    
      
        ∫
        
          e
          
            c
            x
          
        
        
          cos
          
            n
          
        
        ⁡
        x
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            
              
                e
                
                  c
                  x
                
              
              
                cos
                
                  n
                  −
                  1
                
              
              ⁡
              x
            
            
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              
                n
                
                  2
                
              
            
          
        
        (
        c
        cos
        ⁡
        x
        +
        n
        sin
        ⁡
        x
        )
        +
        
          
            
              n
              (
              n
              −
              1
              )
            
            
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              
                n
                
                  2
                
              
            
          
        
        ∫
        
          e
          
            c
            x
          
        
        
          cos
          
            n
            −
            2
          
        
        ⁡
        x
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \int e^{cx}\cos ^{n}x\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}\cos ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\cos x+n\sin x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\cos ^{n-2}x\;\mathrm {d} x}
  
  
    
      
        ∫
        x
        
          e
          
            c
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            1
            
              2
              c
            
          
        
        
        
          e
          
            c
            
              x
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int xe^{cx^{2}}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{2c}}\;e^{cx^{2}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          e
          
            −
            c
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            
              π
              
                4
                c
              
            
          
        
        erf
        ⁡
        (
        
          
            c
          
        
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \int e^{-cx^{2}}\;\mathrm {d} x={\sqrt {\frac {\pi }{4c}}}\operatorname {erf} ({\sqrt {c}}x)}
   (ուր 
  
    
      
        erf
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erf} }
  - ը   սխալի ֆունկցիան է)
  
    
      
        ∫
        x
        
          e
          
            −
            c
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        −
        
          
            1
            
              2
              c
            
          
        
        
          e
          
            −
            c
            
              x
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int xe^{-cx^{2}}\;\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2c}}e^{-cx^{2}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              e
              
                −
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        −
        
          
            
              e
              
                −
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
            x
          
        
        −
        
          
            π
          
        
        
          e
          r
          f
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {e^{-x^{2}}}{x^{2}}}\;\mathrm {d} x=-{\frac {e^{-x^{2}}}{x}}-{\sqrt {\pi }}\mathrm {erf} (x)}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              1
              
                σ
                
                  
                    2
                    π
                  
                
              
            
          
          
            e
            
              −
              
                
                  1
                  2
                
              
              
                
                  (
                  
                    
                      
                        x
                        −
                        μ
                      
                      σ
                    
                  
                  )
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            erf
            
            
              
                
                  x
                  −
                  μ
                
                
                  σ
                  
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \int {{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} \,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}
  
  
    
      
        ∫
        
          e
          
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          e
          
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                j
                =
                0
              
              
                n
                −
                1
              
            
            
              c
              
                2
                j
              
            
            
            
              
                1
                
                  x
                  
                    2
                    j
                    +
                    1
                  
                
              
            
          
          )
        
        +
        (
        2
        n
        −
        1
        )
        
          c
          
            2
            n
            −
            2
          
        
        ∫
        
          
            
              e
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              x
              
                2
                n
              
            
          
        
        
        
          d
        
        x
        
        
          
             
          
        
        n
        >
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle \int e^{x^{2}}\,\mathrm {d} x=e^{x^{2}}\left(\sum _{j=0}^{n-1}c_{2j}\,{\frac {1}{x^{2j+1}}}\right)+(2n-1)c_{2n-2}\int {\frac {e^{x^{2}}}{x^{2n}}}\;\mathrm {d} x\quad {\mbox{ }}n>0,}
  
ուր  
  
    
      
        
          c
          
            2
            j
          
        
        =
        
          
            
              1
              ⋅
              3
              ⋅
              5
              ⋯
              (
              2
              j
              −
              1
              )
            
            
              2
              
                j
                +
                1
              
            
          
        
        =
        
          
            
              (
              2
              j
              )
              
              !
            
            
              j
              !
              
              
                2
                
                  2
                  j
                  +
                  1
                
              
            
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle c_{2j}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2j-1)}{2^{j+1}}}={\frac {(2j)\,!}{j!\,2^{2j+1}}}\ .}
  

  
    
      
        
          ∫
          
            
              
                
                  x
                  
                    
                      x
                      
                        
                          ⋅
                          
                            
                              ⋅
                              
                                x
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                ⏟
              
            
            
              m
            
          
          
          d
          x
          =
          
            ∑
            
              n
              =
              0
            
            
              m
            
          
          
            
              
                (
                −
                1
                
                  )
                  
                    n
                  
                
                (
                n
                +
                1
                
                  )
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
              
              
                n
                !
              
            
          
          Γ
          (
          n
          +
          1
          ,
          −
          ln
          ⁡
          x
          )
          +
          
            ∑
            
              n
              =
              m
              +
              1
            
            
              ∞
            
          
          (
          −
          1
          
            )
            
              n
            
          
          
            a
            
              m
              n
            
          
          Γ
          (
          n
          +
          1
          ,
          −
          ln
          ⁡
          x
          )
          
          
            
              ( 
            
          
          x
          >
          0
          
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\int \underbrace {x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{x}}}}} _{m}\,dx=\sum _{n=0}^{m}{\frac {(-1)^{n}(n+1)^{n-1}}{n!}}\Gamma (n+1,-\ln x)+\sum _{n=m+1}^{\infty }(-1)^{n}a_{mn}\Gamma (n+1,-\ln x)\qquad {\mbox{( }}x>0{\mbox{)}}}}
  

  
    
      
        ∫
        
          
            1
            
              a
              
                e
                
                  λ
                  x
                
              
              +
              b
            
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            x
            b
          
        
        −
        
          
            1
            
              b
              λ
            
          
        
        ln
        ⁡
        
          (
          
            a
            
              e
              
                λ
                x
              
            
            +
            b
          
          )
        
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {1}{ae^{\lambda x}+b}}\;\mathrm {d} x={\frac {x}{b}}-{\frac {1}{b\lambda }}\ln \left(ae^{\lambda x}+b\right)\,}
    
  
    
      
        b
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle b\neq 0}
  , 
  
    
      
        λ
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle \lambda \neq 0}
  ,  
  
    
      
        a
        
          e
          
            λ
            x
          
        
        +
        b
        >
        0
        
        .
      
    
    {\displaystyle ae^{\lambda x}+b>0\,.}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              e
              
                2
                λ
                x
              
            
            
              a
              
                e
                
                  λ
                  x
                
              
              +
              b
            
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            1
            
              
                a
                
                  2
                
              
              λ
            
          
        
        
          [
          
            a
            
              e
              
                λ
                x
              
            
            +
            b
            −
            b
            ln
            ⁡
            
              (
              
                a
                
                  e
                  
                    λ
                    x
                  
                
                +
                b
              
              )
            
          
          ]
        
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {e^{2\lambda x}}{ae^{\lambda x}+b}}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{a^{2}\lambda }}\left[ae^{\lambda x}+b-b\ln \left(ae^{\lambda x}+b\right)\right]\,}
     
  
    
      
        a
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a\neq 0}
  , 
  
    
      
        λ
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle \lambda \neq 0}
  ,  
  
    
      
        a
        
          e
          
            λ
            x
          
        
        +
        b
        >
        0
        
        .
      
    
    {\displaystyle ae^{\lambda x}+b>0\,.}
  


== Որոշյալ ինտեգրալներ ==

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          e
          
            x
            ⋅
            ln
            ⁡
            a
            +
            (
            1
            −
            x
            )
            ⋅
            ln
            ⁡
            b
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          
            (
            
              
                a
                b
              
            
            )
          
          
            x
          
        
        ⋅
        b
        
        
          d
        
        x
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          a
          
            x
          
        
        ⋅
        
          b
          
            1
            −
            x
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            
              a
              −
              b
            
            
              ln
              ⁡
              a
              −
              ln
              ⁡
              b
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{0}^{1}e^{x\cdot \ln a+(1-x)\cdot \ln b}\;\mathrm {d} x=\int \limits _{0}^{1}\left({\frac {a}{b}}\right)^{x}\cdot b\;\mathrm {d} x=\int \limits _{0}^{1}a^{x}\cdot b^{1-x}\;\mathrm {d} x={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}}
   
  
    
      
        a
        >
        0
        ,
         
        b
        >
        0
        ,
         
        a
        ≠
        b
      
    
    {\displaystyle a>0,\ b>0,\ a\neq b}
  

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            a
            x
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            1
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            a
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              π
              a
            
          
        
        
        (
        a
        >
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi  \over a}}\quad (a>0)}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            a
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            
              π
              a
            
          
        
        
        (
        a
        >
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi  \over a}}\quad (a>0)}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            a
            
              x
              
                2
              
            
            ±
            2
            b
            x
            +
            c
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            
              π
              a
            
          
        
        
          e
          
            −
            
              
                
                  a
                  c
                  −
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
                a
              
            
          
        
        
        (
        a
        >
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}\pm 2bx+c}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{-{\frac {ac-b^{2}}{a}}}\quad (a>0)}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        x
        
          e
          
            −
            a
            (
            x
            −
            b
            
              )
              
                2
              
            
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        b
        
          
            
              π
              a
            
          
        
        
        (
        a
        >
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }xe^{-a(x-b)^{2}}\,\mathrm {d} x=b{\sqrt {\pi  \over a}}\quad (a>0)}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        
          e
          
            −
            a
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              π
              
                a
                
                  3
                
              
            
          
        
        
        (
        a
        >
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi  \over a^{3}}}\quad (a>0)}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        
          e
          
            −
            a
            x
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      
                        Γ
                        (
                        n
                        +
                        1
                        )
                      
                      
                        a
                        
                          n
                          +
                          1
                        
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  n
                  >
                  −
                  1
                  ,
                  a
                  >
                  0
                  )
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        n
                        !
                      
                      
                        a
                        
                          n
                          +
                          1
                        
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  n
                  =
                  0
                  ,
                  1
                  ,
                  2
                  ,
                  …
                  ,
                  a
                  >
                  0
                  )
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {\Gamma (n+1)}{a^{n+1}}}&(n>-1,a>0)\\{\frac {n!}{a^{n+1}}}&(n=0,1,2,\ldots ,a>0)\\\end{cases}}}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            a
            x
          
        
        sin
        ⁡
        b
        x
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            b
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        (
        a
        >
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bx\,\mathrm {d} x={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            a
            x
          
        
        cos
        ⁡
        b
        x
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            a
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        (
        a
        >
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax}\cos bx\,\mathrm {d} x={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        x
        
          e
          
            −
            a
            x
          
        
        sin
        ⁡
        b
        x
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            
              2
              a
              b
            
            
              (
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        (
        a
        >
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }xe^{-ax}\sin bx\,\mathrm {d} x={\frac {2ab}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        x
        
          e
          
            −
            a
            x
          
        
        cos
        ⁡
        b
        x
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            
              
                a
                
                  2
                
              
              −
              
                b
                
                  2
                
              
            
            
              (
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        (
        a
        >
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }xe^{-ax}\cos bx\,\mathrm {d} x={\frac {a^{2}-b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
          e
          
            x
            cos
            ⁡
            θ
          
        
        d
        θ
        =
        2
        π
        
          I
          
            0
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)}
   (
  
    
      
        
          I
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{0}}
   -ն առաջին կարգի Բեսսելի ֆունկցիա է )
  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
          e
          
            x
            cos
            ⁡
            θ
            +
            y
            sin
            ⁡
            θ
          
        
        d
        θ
        =
        2
        π
        
          I
          
            0
          
        
        
          (
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}
  
  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                s
                −
                1
              
            
            
              
                e
                
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        d
        x
        ,
        =
        Γ
        (
        s
        )
        ζ
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,dx,=\Gamma (s)\zeta (s)}
  


== Տես նաև ==
Ֆունկցիայի ածանցյալ
Ածանցելի ֆունկցիաներ


== Գրականություն ==


=== Գրքեր ===
Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е издание). М.։ Наука, 1963. ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб։ «Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева», 1995.-176 с. ISBN 5-85529-029-8.
D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.
M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. ISBN 0-486-61272-4


=== Ինտեգրալների աղյուսակներ ===
Ինտեգրալներ EqWorld-ում
S.O.S. Մաթեմատիկա


=== Ինտեգրալների հաշվում ===
The Integrator (Wolfram Research)
Թվեր