Միտտագ-Լեֆլերի տիպի ֆունկցիաներ

Միտտագ-Լեֆլերի տիպի ֆունկցիաներ, ֆունկցիաների դասեր, որոնք կարևոր դեր են խաղում կոմպլեքս փոփոխականի տեսության մեջ և կիրառություններում։ Միտտագ-Լեֆլերի տիպի ֆունկցիաներ են կոչվում 
  
    
      
        
          E
        
        ρ
        (
        z
        ,
        μ
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              z
              
                k
              
            
            
              Γ
              (
              μ
              +
              k
              ∖
              ρ
              )
            
          
        
         
         
        (
        μ
        >
        0
        ,
        ρ
        >
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {E} \rho (z,\mu )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (\mu +k\setminus \rho )}}~~(\mu >0,\rho >0)}
   տեսքի ֆունկցիաները։ 
  
    
      
        
          E
        
        ρ
        (
        z
        ,
        μ
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {E} \rho (z,\mu )}
  -ն 
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
   կարգի ն 1 տիպի ամբողջ ֆունկցիա է։ Մի շարք տարրական ֆունկցիաներ 
  
    
      
        
          E
        
        ρ
        (
        z
        ,
        μ
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {E} \rho (z,\mu )}
  -ի մասնավոր դեպքեր են․

  
    
      
        
          
            E
          
          
            1
          
        
        (
        z
        ,
        1
        )
        =
        
          e
          
            z
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathrm {E} _{1}(z,1)=e^{z},}
   
  
    
      
        
          
            E
          
          
            
              1
              2
            
          
        
        (
        
          z
          
            2
          
        
        ,
        1
        )
        =
        c
        h
        
          
            z
          
        
        ,
         
         
        
          
            E
          
          
            1
          
        
        (
        z
        ,
        2
        )
        =
        
          
            
              
                e
                
                  z
                
              
              −
              1
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {E} _{\frac {1}{2}}(z^{2},1)=ch{\sqrt {z}},~~\mathrm {E} _{1}(z,2)={\frac {e^{z}-1}{2}}}
  ։

  
    
      
        
          E
        
        ρ
        (
        z
        ,
        μ
        )
        ,
        μ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \mathrm {E} \rho (z,\mu ),\mu =1}
  (մասնավոր) դեպքում մտցրել է Միտտագ-Լեֆլերը (1903), տարամետ շարքերի պես նոր գումարման մեթոդ առաջարկելու կապակցությամբ, ընդհանուր դեպքում դիտարկել է Վիմանը (1905)։ Միտտագ-Լեֆլերի տիպի ֆունկցիաներ են հանդես գալիս, օրինակ, 
  
    
      
        (
        x
        −
        t
        
          )
          
            
              
                1
                ρ
              
            
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle (x-t)^{{\frac {1}{\rho }}-1}}
   կորիզով վոլտերրայի տիպի ինտեգրալ հավաարման ռեզոլվենտում, ինչպես նաև մեխանիկայի որոշ խնդիրներում։ Միտտագ-Լեֆլերի տիպի ֆունկցիաների առավել կարևոր հատկությունները ստացվում են

  
    
      
        
          E
        
        ρ
        (
        z
        ,
        μ
        )
        =
        
          
            ρ
            
              2
              π
              i
            
          
        
         
         
        
          ∫
          
            γ
          
        
        
          
            
              
                e
                
                  
                    z
                    
                      ρ
                    
                  
                
              
              
                ξ
                
                  ρ
                  (
                  1
                  −
                  μ
                  )
                
              
            
            
              ξ
              −
              z
            
          
        
        d
        .
        ξ
        ,
         
         
        
          E
        
        ρ
        (
        z
        ,
        μ
        )
        =
        ρ
        
          z
          
            ρ
            (
            1
            −
            μ
            )
          
        
        
          e
          
            
              z
              
                ρ
              
            
          
        
        +
        
          
            ρ
            
              2
              π
              i
            
          
        
         
         
        
          ∫
          
            γ
          
        
        
          
            
              
                e
                
                  
                    z
                    
                      ρ
                    
                  
                
              
              
                ξ
                
                  ρ
                  (
                  1
                  −
                  μ
                  )
                
              
            
            
              ξ
              −
              z
            
          
        
        d
        ξ
      
    
    {\displaystyle \mathrm {E} \rho (z,\mu )={\frac {\rho }{2\pi i}}~~\int \limits _{\gamma }{\frac {e^{z^{\rho }}\xi ^{\rho (1-\mu )}}{\xi -z}}d.\xi ,~~\mathrm {E} \rho (z,\mu )=\rho z^{\rho (1-\mu )}e^{z^{\rho }}+{\frac {\rho }{2\pi i}}~~\int \limits _{\gamma }{\frac {e^{z^{\rho }}\xi ^{\rho (1-\mu )}}{\xi -z}}d\xi }
  
ինտեգրալ ներկայացումներից։ (1)-ից ն (2)-ից ստացվում են ասիմպտոտիկ բանաձևեր՝ մոդուլով մեծ z-երի համար՝ 
  
    
      
        
          |
        
        arg
        ⁡
        z
        
          |
        
        <
        
          
            π
            
              2
              ρ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle |\arg z|<{\frac {\pi }{2\rho }}}
   անկյան ներսում 
  
    
      
        
          E
        
        ρ
        (
        μ
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {E} \rho (\mu ,z)}
   մոտավորապես 
  
    
      
        
          e
          
            
              z
              
                ρ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{z^{\rho }}}
   է, անկյունից դուրս՝ 
  
    
      
        
          
            1
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{z}}}
  ։ Հիմնականում այս հատկությունները հնարավորություն տվեցին Մ․ Մ․ Ջրբաշյանին ստեղծելու կոմպլեքս տիրույթում ինտեգրալ ձևափոխությունների և ինտեգրալ ներկայացումների մի տեսություն, որը Ֆուրիե-Պլանշերելի և Վիներ-Պելիի դասական տեսությունների բնական և հեռու գնացող ընդհանրացումներն են։