Հավասարում

Մաթեմատիկայում հավասարումը պնդում է, որը հաստատում է երկու արտահայտությունների հավասարությունը։ Հավասարում բառը և նրա իմաստը տարբեր լեզուներում կարող է տարբեր լինել․ օրինակ հայերենում, ինչպես և ֆրանսերենում, հավասարումը սահմանվում է որպես մի կամ մի քանի փոփոխական ունեցող հավասարություն, մինչդեռ անգլերենում կամայական հավասարություն հավասարում է։
Փոփոխականներ պարունակող հավասարում լուծել, նշանակում է գտնել փոփոխականների այն արժեքները, որոնց դեպքում հավասարումը ճիշտ է։ Փոփոխականները նաև կոչվում են անհայտներ, իսկ անհայտների այն արժեքները, որոնք բավարարում են հավասարմանը, կոչվում են հավասարման լուծումներ։ Կան երկու տիպի հավասարումներ․ նույնություններ և պայմանական հավասարումներ։ Նույնությունը ճիշտ է փոփոխականների բոլոր արժեքների համար Պայմանական հավասարումը ճիշտ է միայն փոփոխականների որոշակի արժեքների համար։
Հավասարումը գրվում է որպես երկու արտահայտություն, որոնք կապված են հավասարության նշանով ("="): Հավասարման նշանի երկու կողմերում արտահայտությունները կոչվում են հավասարման «ձախ կողմ» և «աջ կողմ»։
Հավասարման ամենատարածված տեսակը հանրահաշվական հավասարումն է, որում երկու կողմն էլ հանրահաշվական արտահայտություններ են։
Հանրահաշվական հավասարման յուրաքանչյուր կողմ պարունակում է մեկ կամ ավելի անդամ։ Օրինակ,

  
    
      
        A
        
          x
          
            2
          
        
        +
        B
        x
        +
        C
        =
        y
      
    
    {\displaystyle Ax^{2}+Bx+C=y}
  հավասարումն ունի ձախ կողմ

  
    
      
        A
        
          x
          
            2
          
        
        +
        B
        x
        +
        C
      
    
    {\displaystyle Ax^{2}+Bx+C}
  , որն ունի երեք անդամ և աջ կողմ՝ 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  , որը միայն մի անդամ ունի։ Անհայտներն են x և y, իսկ պարամետրերը՝  A, B և C.
Հավասարումը կշեռքի նմանակ է, որի թասերի վրա ծանրություններ են դրված։ Երբ հավասար ծանրություններ (ասենք հացահատիկի) դրված են երկու թասերի մեջ, երկու ծանրությունները բերելով հավասարակշռության ասում են, որ դրանք հավասար են։ Եթե մի թասից հանվում է հացահատկի որոշակի քանակություն, ապա նույնքան պետք է հեռացվի մյուս թասից, որպեսզի պահպանվի կշեռքի հավասարակշռությունը։ նույն կերպ, հավասարումը հավասարակշռության մեջ պահելու համար, գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման միևնույն գործողությունները պետք է կիրառվեն հավասարման երկու կողմերի նկատմամբ, որպեսզի այն ճիշտ մնա։
Երկրաչափության մեջ հավասարումներն օգտագործում են երկրաչափական մարմինները նկարագրելու համար։ Քանի որ դիտարկվող հավասարումները, ինչպիսիք են անբացահայտ հավասարումները կամ պարամետրիկ հավասարումները, անվերջ թվով լուծումներ ունեն, արդեն նպատակն էլ է փոխվում։ Բացահայտ լուծումներ գտնելու կամ դրանք հաշվելու փոխարեն, ինչն անհնար է, հավասարումներն օգտագործում են մարմինների հատկություններն ուսումնասիրելու համար։ Սա մաթեմատիկայի կարևոր բնագավառներից մեկի՝ հանրահաշվական երկրաչափության մեկնարկի գաղափարն է։
Հանրահաշիվն ուսումնասիրում է հավասարումների երկու գլխավոր ընտանիքներ՝ բազմանդամային հավասարումներ և դրանց թվում գծային հավասարումների մասնավոր դեպքը։ Միայն մեկ փոփոխականի դեպքում բազմանդամային հավասարումները ընդունում են P(x) = 0 տեսքը, որտեղ P-ն բազմանդամ է, իսկ գծային հավասարումն ունի հետևյալ տեսքը՝ ax + b = 0, որտեղ a և b պարամետրեր են. Ցանկացած ընտանիքի հավասարումներ լուծելու համար, օգտվում են ալգորիթմական կամ երկրաչափական մեթոդներից, որոնք սկիզբ են առնում գծային հանրահաշվից կամ մաթեմատիկական անալիզից։ Հանրահաշիվն ուսումնասիրում է նաև Դիոֆանտյան հավասարումները, որտեղ գործակիցները և լուծումներն ամբողջ թվեր են։ Օգտագործվող մեթոդները տարբեր են և սկիզբ են առնում թվերի տեսությունից։ Այս հավասարումները հիմնականումմ դժվար են, շատ հաճախ պահանջվում է գտնել լուծման գոյությունը կամ բացակայությունը և եթե դրանք դոյություն ունեն, հաշվել լուծումների քանակը։
Դիֆերենցիալ հավասարումները հավասարումներ են, որոնք ներառում են մեկ կամ մի քանի ֆունկցիա և դրանց ածանցյալները։ Դրանք լուծվում են գտնելով արտահայտություն ֆունկցիայի համար, որ ածանցյալներ չի պարունակում։ Դիֆերենցիալ հավասարումները օգտագործում են գործընթացները մոդեավորելու համար, որոնք ներառում են փոփոխականի փոփոխության տեմպերը և օգտագործվում են այնպիսի ոլորտներում, ինչպիսիք են ֆիզիկան, քիմիան, կենսաբանությունը և տնտեսագիտությունը։ .
"=" նշանը, որը առկա է յուրաքանչյուր հավասարման մեջ, 1557 թվականին ստեղծվել է Ռոբերտ Ռեկորդի կողմից, որը ենթադրում էր, որ ոչինչ չի կարող ավելի հավասար լինել քան միևնույն երկարության երկու զուգահեռ ուղիղ գծերը։


== Ներածություն ==


=== Անալոգային ներկայացում ===

Հավասարումը կշեռքի անալօգն է՝ հավասարակշռություն կամ ճոճանակ։
Հավասարման յուրաքանչյուր կողմ համապատասխանում է հավասարակշռության մի կողմին։ Յուրաքանչյուր կողմում կարող են դրվել տարբեր մեծություններ․ եթե երկու կողմի ծանրությունները հավասար են, կշեռքը հավասարակշռում է, ուստի և հավասարակշռությունը ներկայացնող հավասարումը նույնպես հավասարակշռված է (եթե՝ ոչ, հավասարակշռության բացակայությունը ներկայացվում է անհավասարության միջոցով)։
Պատկերում x, y և z տարբեր մեծություններ են (այս դեպքում իրական թվեր), որ ներկայացված են կլոր կշռաքարերով՝ x, y, և z, և տարբեր քաշ ունեն։ Գումարման գործողությանը համապատասխանում է ծանրության ավելացում, հանմանը՝ հեռացում եղածից։ Երբ հավասարակշռությունն առկա է, յուրաքանչյուր կողմում ընդհանուր ծանրությունները միևնույնն են։


=== Պարամետրեր և անհայտներ ===
Հավասարումները հաճախ անհայտներից տարբեր անդամներ են պարունակում։ Այս անդամները, որոնք ենթադրվում են հայտնի, սովորաբար կոչվում են հաստատուններ, գործակիցներ կամ  պարամետրեր։
x և y անհայտներ և R պարամետր պարունակող հավասարման օրինակ․

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        
          R
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}
  Երբ R -ին տրվում է 2 (R = 2) արժեքը, այս հավասարումը կդիտարկվի որպես Դեկարտյան կոորդինատների համակարգում ուրվագծված 2 շառավղով մասնավոր շրջան։ Հետևաբար, եթե R-ը հայտնի չէ, ապա այն կներկայացնի շրջանի հավասարումն ընդհանրապես։
Սովորաբար, անհայտները նշանակվում են այբուբենի վերջում գտնվող տառերով, x, y, z, w, ..., մինչդեռ գործակիցները (պարամետրերը) նշանակվում են սկզբի տառերով՝ a, b, c, d, ... . Օրինակ, ընդհանուր քառակուսի հավասարումը սովորաբար գրվում է ax2 + bx + c = 0. Լուծումները գտնելու գործընթացը կամ, պարամետրերի առկայության դեպքում, անհայտները պարամետրերի միջոցով արտահայտելը, կոչվում է հավասարման լուծում։ Լուծումներ են կոչվում նաև այն լուծումները, որոնք պարամետրերի միջոցով ներկայացված արտահայտություններ են։
Հավասարումների սիստեմը դա մի քանի անհայտներով միաժամանակյա հավասարումների բազմություն է, որի համար ընդհանուր լուծում է փնտրվում։ Այսպիսով, սիստեմայի լուծումը դա յուրաքանչյուր անհայտի համար արժեքների բազմություն է, որոնք միասին ձևավորում են յուրաքանչյուր հավասարման լուծումը։ Օրինակ, 

  
    
      
        
          
            
              
                3
                x
                +
                5
                y
              
              
                
                =
                2
              
            
            
              
                5
                x
                +
                8
                y
              
              
                
                =
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}}
  սիստեման ունի եզակի լուծում x = −1, y = 1.


=== Նույնություններ ===

An Նույնությունը հավասարում է, որը ճիշտ է նրա բոլոր փոփոխականների բոլոր հնարավոր արժեքների համար։ Շատ նույնություններ հայտնի են հանրահաշվում և հաշիվներում։ Հավասարման լուծման ընթացքում, նույնությունն օգտագործվում է հավասարումը պարզեցնելու համար, այն լուծելու համար դարձնելով ավելի հեշտ։
Հանրահաշվում նույնության օրինակ է քառակուսիների տարբերությունը

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        −
        
          y
          
            2
          
        
        =
        (
        x
        +
        y
        )
        (
        x
        −
        y
        )
      
    
    {\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)}
  որը ճիշտ է x և y բոլոր արժեքների համար։
Եռանկյունաչափությունը բնագավառ է, ուր բազում նույնություններ գոյություն ունեն, դրանք օգտակար են եռանկյունաչափական հավասրումները ձևափոխելու և լուծելու ընթացքում։ Դրանցից երկուսը, որ ներառում են սինուսը և կոսինուս ֆունկցիաները։

  
    
      
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        θ
        )
        +
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        θ
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}
  և

  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        2
        θ
        )
        =
        2
        sin
        ⁡
        (
        θ
        )
        cos
        ⁡
        (
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )}
  որոնք երկուսն էլ ճիշտ են θ-ի բոլոր արժեքների համար։
Օրինակ, հավասարմանը բավարարող θ-ի արժեքները գտնելու համար

  
    
      
        3
        sin
        ⁡
        (
        θ
        )
        cos
        ⁡
        (
        θ
        )
        =
        1
        
        ,
      
    
    {\displaystyle 3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,}
  որտեղ θ հայտնի է որ 0 և 45 աստիճանների միջև է, օգտագործելով վերևի նույնությունը կարող ենք

  
    
      
        
          
            3
            2
          
        
        sin
        ⁡
        (
        2
        θ
        )
        =
        1
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,}
  տալով θ-ի լուծումը

  
    
      
        θ
        =
        
          
            1
            2
          
        
        arcsin
        ⁡
        
          (
          
            
              2
              3
            
          
          )
        
        ≈
        
          20.9
          
            ∘
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.}
  Քանի որ սինուսը պարբերական ֆունկցիա է, ապա անվերջ լուծումներ կգտնվեն, եթե θ-ի վրա սահմանափակումներ չդրվեն։ Այս օրինակում սահմանափակումը, որ θ-ն ընկած է 0 և 45 աստիճանների միջակայքում, ենթադրվում է, որ կա միայն մեկ լուծում։


== Հատկություններ ==
Երկու հավասարումներ կամ հավասարումների համակարգեր համարժեք են, եթե դրանք ունեն լուծումների միևնույն փաթեթը։ Հետևյալ գործողությունները, հավասարումը կամ հավասարումների համակարգը ձևափոխում են համարժեքի, պայմանով, որ դրանք իմաստ ունեն այն արտահայտությունների համար, որոնց նկատմամբ կիրառվում են․ 

Հավասարման երկու կողմերին նույն մեծությունը գումարել կամ հանել։ Սա ցույց է տալիս, որ յուրաքանչյուր հավասարում համարժեք է հավասարմանը, որի աջ կողմը զրո է։
Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկել կամ բաժանել զրոյից տարբեր մեծության վրա։
Նույնության կիրառում, հավասարման մի կողմը ձևափոխելու համար։ Օրինակ արտահայտության բացում կամ արտահայտության պարզեցում։
Հավասարումների սիստեմայի համար․ հավասարման երկու կողմին ավելացնել այլ հավասարման համապատասխան կողմերը բազմապատկած միևնույն մեծությամբ։Եթե հավասարման երկու կողմերի նկատմամբ կիրառվում է որևէ ֆունկցիա, ստացված հավասարումը իր լուծումների մեջ ներառում է սկզբնական հավասարման լուծումները, սակայն կարող է ունենալ այլ՝ կողմնակի լուծումներ։ Օրինակ, 
  
    
      
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x=1}
   հավասարումն ունի 
  
    
      
        x
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle x=1.}
   լուծումը։ Երկու կողմը քառակուսի բարձրացնելով  կունենանք  
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}=1}
   հավասարումը, որը բացի նախորդ լուծումից, կունենա նաև կողմնակի 
  
    
      
        x
        =
        −
        1.
      
    
    {\displaystyle x=-1.}
   լուծումը։ Ավելին, եթե ֆունկսիան որոշ արժեքներով սահմանված չէ (օրինակ՝ 1 /  x , որը սահմանված չէ  x  = 0 համար), այդ արժեքներով գոյություն ունեցող լուծումները կարող են կորել։ Այսպիսով, հավասարման դեպքում այդպիսի վերափոխումը կիրառելիս, անհրաժեշտ է զգուշություն ցուցաբերել։
Վերոնշյալ վերափոխումները հիմք են հանդիսանում հավասարման լուծման տարրական մեթոդների մեծ մասի համար, ինչպես նաև որոշ ոչ տարրականների, ինչպիսին Գաուսի մեթոդն է։


== Հանրահաշիվ ==


=== Բազմանդամային հավասարումներ ===

Ընդհանուր առմամբ, հանրահաշվական հավասարումը կամ բազմանդամային հավասարումը հետևյալ տեսքն ունի․

  
    
      
        P
        =
        0
      
    
    {\displaystyle P=0}
  , կամ
  
    
      
        P
        =
        Q
      
    
    {\displaystyle P=Q}
  որտեղ P և Q որոշակի (իրական թվեր, կոմպլեքս թվեր, և այլն), հաճախ ռացիոնալ թվերի դաշտից, գործակիցներով բազմանդամներ են։ Հանրահաշվական հավասարումը կարող է լինել միաչափ, եթե այն միայն մեկ փոփոխական է ներառում։ Մյուս կողմից բազմանդամային հավասարումը կարող է ներառել մի քանի փոփոխական, և կոչվել բազմաչափ (մի քանի փոփոխականներ, x, y, z, և այլն)։ Բազմանդամմային հավասարում տերմինը նախընտրելի է հանրահաշվական հավասարում տերմինից։
Օրինակ,

  
    
      
        
          x
          
            5
          
        
        −
        3
        x
        +
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{5}-3x+1=0}
  միաչափ ամբողջ գործակիցներով հանրահաշվական (բազմանդամային) հավասարում է և 

  
    
      
        
          y
          
            4
          
        
        +
        
          
            
              x
              y
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            3
          
        
        −
        x
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        −
        
          
            1
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}
  ռացիոնալ թվերով բազմաչափ բազմանդամային հավասարում է։
Ռացիոնալ գործակիցներով բազմանդամային հավասարումներից որոշները, բայց ոչ բոլորը, լուծումներ ունեն, որոնք վերջավոր գործողություններով հանրահաշվական արտահայտություններ են։ Սա հնարավոր է կատարել երկու, երեք, կամ չորս աստիճանի բազմանդամային հավասարումների համար, բայց հինգ և ավելի աստիճանների դեպքում որոշ, ոչ բոլոր, ինչպես ցույց է տալիս Աբել-Ռուֆինիի թեորեմը։ Մեծածավալ հետազոտություններ են կատարվել միաչափ հանրահաշվական հավասարումների լուծումների իրական կամ կոմպլեքս լուծումների ճշգրիտ մոտարկումները հաշվարկելու արդյունավետության վերաբերյալ։


=== Գծային հավասարումների համակարգեր ===

Գծային հավասարումների համակարգը (կամ գծային համակարգը) գծային հավասարումների հավաքածու է, որը ներառում է փոփոխականների միևնույն բազմությունը։ Օրինակ,

  
    
      
        
          
            
              
                3
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                2
                y
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                z
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                1
              
              
            
            
              
                2
                x
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                2
                y
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                4
                z
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                −
                2
              
              
            
            
              
                −
                x
              
              
              
                
                +
                
              
              
              
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                
                y
              
              
              
                
                −
                
              
              
              
                z
              
              
              
                
                =
                
              
              
              
                0
              
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}
  x, y, z երեք փոփոխականներով երեք հավասարումների համակարգ է։ Գծային համակարգի լուծումը դա փոփոխականներին այնպիսի թվերի վերագրում է, որոնք միաժամանակ բավարարում են բոլոր հավասարումներին։ Վերոնշյալ հավասարումների համակարգի լուծումներն են․ 

  
    
      
        
          
            
              
                x
              
              
                
                
                =
                
              
              
                1
              
            
            
              
                y
              
              
                
                
                =
                
              
              
                −
                2
              
            
            
              
                z
              
              
                
                
                =
                
              
              
                −
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}}
  քանի որ դրանք բոլոր երեք հավասարումները վավեր են դարձնում։ Համակարգ բառը մատնանշում է, որ հավասարումները պետք է դիտարկել հավաքական, այլ ոչ՝ առանձին, առանձին։
Մաթեմատիկայում գծային համակարգերի տեսությունը գծային հանրահաշվի՝ ժամանակակից մաթեմատիկայի բնագավառների մեծ մասում օգտագործվող առարկայի, հիմքն ու հիմնարար մասն է։ Լուծումներ գտնելու համակարգչային ալգորիթմները թվային գծային հանրահաշվի կարևոր մասն են և նշանակալի դեր ունեն ֆիզիկայում, ճարտարագիտության, քիմիայի, համակարգչային գիտության և տնտեսագիտության մեջ։ Ոչ գծային հավասարումները հաճախ կարող են մոտարկվել գծային հավասարումներով, մաթեմատիկական մոդել ստեղծելու օգտակար եղանակ կամ համեմատաբար բարդ համակարգերի համակարգչային մոդելավորում։


== Երկրաչափություն ==


=== Անալիտիկ երկրաչափություն ===

Էվկլիդյան երկրաչափության մեջ կոորդինատների բազմությունը հնարավոր է համապատասխանեցնել տարածության յուրաքանչյուր կետի, օրինակ օրթոգոնալ ցանցի միջոցով։ Այս մեթոդը հնարավորություն է ընձեռնում երկրաչափական մարմինները բնութագրել հավասարումների միջոցով։ Եռաչափ տարածության մեջ հարթությունը կարող է արտահայտվել որպես 
  
    
      
        a
        x
        +
        b
        y
        +
        c
        z
        +
        d
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax+by+cz+d=0}
   տիպի հավասարման լուծումների բազմություն, որտեղ 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
   և 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
   իրական թվեր են, իսկ 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ,
        z
      
    
    {\displaystyle x,y,z}
   անհայտներ, որոնք համապատասխանում են օրթոգոնալ ցանցի միջոցով տրված համակարգի կետերի կոորդինատներին։  
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
   արժեքները հավասարմամբ որոշված հարթությանը ուղղահայաց վեկտորի կոորդինտներն են։ Ուղիղը ներկայացվում է որպես երկու հարթությունների փոխհատում, այսինքն մի գծային հավասարման լուծումների բազմություն, որի արժեքները 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  -ից են, կամ երկու գծային հավասարումների լուծումների բազմություն, արժեքները՝  
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}
  -ից։
Կոնական հատույթը դա 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}
   հավասարումով տրված կոնի և հարթության փոխհատումն է։ Այլ խոսքերով, տարածության բոլոր կոնիքսները սահմանվում են որպես հարթության հավասարման և տված կոնի հավասարման լուծումների բազմությունը։
Հավասարումների օգտագործումը հնարավորություն է ընձեռնում երկրաչափական խնդիրների լուծման համար օգտագործել մաթեմատիկայի լայն բնագավառը։ Երկրաչափական մարմինները հավասարումների տեսքի բերելով, Դեկարտյան համակարգը երկրաչափական խնդիրները ձևափոխում է անալիտիկ պրոբլեմի, սա հենց անալիտիկ երկրաչափություն է։ Դեկարտի ներկայացրած այս տեսակետը հարստացնում է և ձևափոխում է հին հույների կողմից ներկայացրած երկրաչափության տեսակը։
Ներկայումս, անալիտիկ երկրաչափությունը իրենից ներկայացնում է մաթեմատիկայի ակտիվ ճյուղ։ Չնայած հավասարումները դեռևս օգտագործվում են երկրաչափական մարմինները ներկայացնելու համար, այն նաև օգտագործում է ավելի բարդ տեխնիկաներ, ինչպիսիք են ֆունկցիոնալ անալիզը և գծային հանրահաշիվը։


=== Դեկարտյան հավասարումներ ===
Դեկարտյան կոորդինատային համակարգը կոորդինատային համակարգ է, որը հարթության յուրաքանչյուր կետ եզակի կերպով ներկայացնում է թվերի զույգի միջոցով՝  կոորդինատներով։ Կոորդինատները  դրական և բացասական թվեր են, որ ներկայացնում են կետից մինչև երկու ուղղահայաց ֆիքսված ուղղորդված ուղիղները՝ առանցքները, հեռավորությունները։
Նույն սկզբունքով տարածության յուրաքանչյուր կետ կարող է ներկայացվել եռաչափ Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում։ Եռյակն իրենից ներկայացնում է կետից երեք փոխադարձ ուղղահայաց ուղիղների միջև եղած հեռավորությունները։

Դեկարտյան կոորդինատները 17-րդ դարում հայտնագործեց Ռենե Դեկարտը, ինչը մաթեմատիկայում հեղափոխություն առաջացրեց, ապահովելով առաջին համակարգված կապը Էվկլիդյան երկրաչափության և հանրահաշվի միջև։ Դեկարտյան կոորդինատային համակարգն օգտագործելով երկրաչափական մարմինները, ինչպիսին կորերն են կարող են նկարագրվել, Դեկարտյան հավասարումներով․  հանրահաշվական հավասարումներով, որ ներառում են կոնտուրների վրա ընկած կետերը։ Օրինակ, հարթության վրա 2 շառավղով շրջանագիծը, մասնավոր դեպքում կենտրոնով կոորդինատների սկզբնակետում, կարող է նկարագրվել որպես բոլոր կետերի բազմություն, որոնց x and y կոորդինատները բավարարում են x2 + y2 = 4 հավասարմանը։


=== Պարամետրական հավասարումներ ===
Կորի պարամետրական հավասարումը ներկայացնում է կորի կետերի կոորդինատները, որպես ֆունկցիաներ պարամետր կոչվող փոփոխականներից։ Օրինակ,

  
    
      
        
          
            
              
                x
              
              
                
                =
                cos
                ⁡
                t
              
            
            
              
                y
              
              
                
                =
                sin
                ⁡
                t
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}}
  միավոր շրջանի պարամետրական հավասարումներ են, որտեղ t պարամետր է։ Այս հավասարումները միասին կոչվում են կորի պարամետրական ներկայացում։
Պարամետրական հավասարում հասկացությունը ընդհանրացվել է մինչև ավելի բարձր չափայնության մակերևույթներ, բազմաձևություններ և հանրահաշվական բազմազանություններ, որտեղ հավասարումների քանակը հավասար է տարածության չափին որտեղ բազմաձևությունը դիտարկվում է։


== Թվերի տեսություն ==


=== Դիոֆանտյան հավասարումներ ===

Դիոֆանտյան հավասաարումը երկու կամ ավելի անհայտներով բազմանդամային հավասարում է, որի համար միայն ամբողջ լուծումներ են փնտրվում (ամբողջ լուծումը դա այնպիսի լուծում է, որ բոլոր անհայտները ամբողջ արժեքներ են ստանում)։ A Գծային Դիոֆանտյան հավասարումը զրո կամ մեկ աստիճանի երկու միանդամների գումարների միջև հավասարում է։ Գծային Դիոֆանտյան հավասարման օրինակ է ax + by = c որտեղ a, b, և c հաստատուններ են։ Էքսպոնենցիալ Դիոֆանտյան հավասարումը հավասարում է, որում անդամների ցուցիչները կարող են անհայտներ լինել։
Դիոֆանտյան պրոբլեմները ավելի քիչ հավասարումներ ունեն քան անհայտ փոփոխականներ և ներառում են ամբողջ լուծումներ գտնել, որոնք ճշգրտորեն բավարարում են բոլոր հավասարումների համար։ Ավելի տեխնիկական լեզվով ասած նրանք սահմանում են հանրահաշվական կոր, հանրահաշվական մակերևույթ, կամ ավելի ընդհանուր օբյեկտ և հարցնում ցանցերի մասին։
The word Դիոֆանտյան բառը վերաբերում է 3-րդ դարի հույն մաթեմատիկոս Դիոֆանտուսին Ալեքսանդրիայից, ով ուսումնասիրեց այդպիսի հավասարումները և առաջինը սիմվոլիզմը բերեց հանրահաշիվ։ Դիոֆանտուսի կողմից սկսած Դիոֆանտյան պրոբլեմների մաթեմատիկական ուսումնասիրությունը այժմ կոչվում է Դիոֆանտյան անալիզ.


=== Հանրահաշվական և տրանսցենդենտ թվեր ===

Հանրահաշվական թիվը դա մեկ փոփոխականով, ամբողջ գործակիցներով, ոչ զրոյական բազմանդամային հավասարման լուծում է։ Ոչ հանրահաշվական թվերը կոչվում են տրանսցենդենտ թվեր։ Համարյա բոլոր իրական և կոմպլեքս թվերը տրանսցենդենտ են։


=== Հանրահաշվական երկրաչափություն ===

Հանրահաշվական երկրաչափությունը մաթեմատիկայի ճյուղ է, որ դասականորեն բազմանդամային հավասարումների լուծումներն է ուսումնասիրում։ Ժամանակակից հանրահաշվական երկրաչափությունը հիմնված է աբստրակտ հանրահաշվի ավելի աբստրակտ տեխնիկայի վրա, հատկապես կոմուտատիվ հանրահաշվի, երկրաչափության խնդիրները, երկրաչափական լեզվով։
Հանրահաշվական երկրաչափության ուսումնասիրության հիմնական օբյեկտները հանրահաշվական բազմազանություններն են, որոնք բազմանդամային հավասարումների համակարգերի լուծումների բազմության դրսևորումներն են։ Ամենաշատ ուսումնասիրված հանրահաշվական բազմազանությունների օրինակներ են․ հանրահաշվական կորեր, որոնք ներառում են ուղիղներ, շրջաններ, պարաբոլաներ, էլիպսներ, հիպերբոլաներ, և այլն։ Հարթուրյան կետը պատկանում է հանրահաշվական կորին, եթե նրա կոորդինատները բավարարում են տրված բազմանդամային հավասարմանը։ Հիմնական խնդիրները ներառում են հատուկ հետաքրքրության կետերի ուսումնասիրությունը, ինչպես, կորի եզակի կետը, թեքման կետերը և անսահմանության կետերը։ Ավելի բարդ հարցերը ներառում են կորի տոպոլոգիան և տարբեր հավասարումներով տրված կորերի հարաբերությունները։


== Դիֆերենցիալ հավասարումներ ==

Դիֆերենցիալ հավասարումը դա մաթեմատիկական հավասարում է, որը կապ է հաստատում ֆունկցիայի և ածանցյալի միջև։ Կիրառություններում, սովորաբար ֆունկցիան ներկայացնում է ֆիզիկական մեծություններ, իսկ ածանցյալներըէ նրանց փոփոխման արագությունը, իսկ հավասարումը սահմանում է այդ երկուսի միջև հարաբերակցությունը։ Քանի որ այդպիսի հարաբերությունները չափազանց տարածված են, դիֆերենցիալ հավասարումները կարևոր դեր են խաղում բազմաթիվ բնագավառներում․ ֆիզիկա, ճարտարագիտություն, տնտեսագիտություն և կենսաբանություն։
Մաքուր մաթեմատիկայում դիֆերենցիալ հավասարումներն ուսումնասիրվում են տարբեր տեսանկյուններից, որոնք հիմնականում կապված են լուծումների՝ հավասարմանը բավարարող ֆունկցիաների բազմության հետ։ Միայն պարզագույն դիֆերենցիալ հավասարումներն են լուծելի պարզ բանաձևերով, այնուամենայնիվ տված դիֆերենցիալ հավասարման լուծումների որոշ հատկություններ կարող են որոշվել առանց ճշգրիտ բանաձևը գտնելու։
Եթե լուծման բացահայտ բանաձև չկա, լուծումը կարող է մոտարկվել համակարգիչների օգնությամբ։ Դինամիկ համակարգերի տեսությունը շեշտը դնում է դիֆերենցիալ հավասարումներով նկարագրվող համակարգերի որակական վերլուծության վրա, մինչդեռ շատ թվային մեթոդներ մշակվել են տրված ճշգրտությամբ լուծումները գտնելու համար։


=== Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ ===

Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումը դա հավասարում է, որ պարունակում է մեկ փոփոխականի ֆունկցիա և նրա ածանցյալները։ "Սովորական" տերմինն օգտագործվում է ի հակադրություն մասնակի դիֆերենցիալ հավասարման, որը կարող է ունենալ մեկից ավելի անկախ անհայտներ։
Գծային դիֆերենցիալ հավասարումները, որոնց լուծումները կարող են գումարվել և գործակիցներով բազմապատկվել, լավ և հասկանալի սահմանված են և ճշգրիտ փակ-տիպի լուծումներ են ստացվում։ Ի հակադրություն, սովորական դիֆերենցիալ հավասարումները, որոնք չունեն հավելյալ լուծումներ, գծային չեն, իսկ դրանց լուծումը շատ ավելի բարդ է, քանի որ դրանք հազվադեպ կարելի է ներկայացնել տարրական ֆունկցիաներով փակ ձևով. փոխարենը սովորական դիֆերենցիաալ հավասարումների լուծումները շարքերի կամ ինտեգրալների տեսքով են։ Գրաֆիկական կամ թվային սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների մեթոդները, որոնք կիրառվում են անհատի կամ համակարհչի օգնությամբ, կարող են մոտարկել սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումները, հնարավոր է նաև օգտակար ինֆորմացիա տրամադրեն, որ հաճախ չի բավարարում ճշգրիտ, անալիտիկ լուծումների բացակայության ժամանակ։


=== Մասնակի դիֆերենցիալ հավասարում ===

Մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումը դա դիֆերենցիալ հավասաում է, որը պարունակում է մեկից ավել անհայտներով ֆունկցիաներ և դրանց ածանցյալները։ (Այն տարբերվում է սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներից, որոնք գործ ունեն մեկ փոփոխականի ֆունկցիաների և դրանց ածանցյալների հետ։) Մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումները [մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումները խնդիրները ձևակերպում են օգտագործելով մի քանի փոփոխականի ֆունկցիաներ և լուծում են հաշվելով կամ ստեղծում համապատասխան համակարգչային մոդելը։
Մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումները կարող են օգտագործվել երևույթների շատ մեծ շրջանակ նկարագրելու համար, ինչպիսիք են ձայնը, ջերմությունը, էլեկտրոստատիստիկան, էլեկտրադինամիկան, հիդրոաերոդինամիկան, առաձգականությունը կամ քվանտային մեխանիկան։ Այս իրարից տարբեր թվացող երևույթները կարող են ներկայացվել մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների տերմիններով։ Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներները հաճախ մոդելավորում են մեկ չափանի դինամիկ համակարգերը, մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումները մոդելավորում են բազմաչափ համակարգերը։ Մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումները իրենց ընդհանրացումն են գտնում ստոխաստիկ դիֆերենցիալ հավասարումներում։


== Հավասարումների տեսակներ ==
Հավասարումները դասակարգվում են ըստ նրանում ներառված գործողությունների և մեծությունների տեսակների․ 

Հանրահաշվական կամ բազմանդամային հավասարում է այն հավասարումը, որի երկու կողմում էլ բազմանդամներ են։ Դրանք նաև դասակարգվում են ըստ բազմանդամի աստիճանի․
գծային հավասարում մեկ աստիճանի համար
քառակուսի հավասարում երկու աստիճանի համար
խորանարդ հավասարում երեք աստիճանի համար
քառաստիճանի հավասարում չորս աստիճանի համար և այդպես շարունակ
Դիոֆանտյան հավասարում հավասարում է, որտեղ անհայտները ամբողջ թվեր են։
Տրանսցենդենտ հավասարում հավասարում է, որտեղ անհայտները ներառում են տրանսցենդենտ ֆունկցիաներ
Պարամետրական հավասարում հավասարում է, որի լուծումները արտահայտվում են այլ փոփոխականներից՝ պարամետրերից, ֆունկցիայի տեսքով
ֆունկցիոնալ հավասարում հավասարում է, որի անհայտները ավելի շուտ ֆունկցիաներ են, քան պարզ մեծություններ
Հավասարումներ, որ ներառում են ածանցյալներ, ինտեգրալներ
Դիֆերենցիալ հավասարումը հավասարում է, որ ներառում է անհայտ ֆունկցիաների ածանցյալներ և ֆունկցիաներն ու ածանցյալները նույն կետում են գնահատվում, օրինակ այսպես՝ 
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f'(x)=x^{2}}
  ։ Դիֆերենցաիլ հավասարումները բաժանվում են երկու դասի՝ սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ և մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ։
Ինտեգրալ հավասարումը ֆունկցիոնալ հավասարում է, որ ներառում է անհայտ ֆունկցիայի նախնականը։և նմանատիպ այլ ենթադասեր։


== Նշումներ ==


== Ծանոթագրություններ ==