Տոր (մակերևույթ)

Տոր (տորոիդ), պտտման մակերևույթ, որն ստացվում է շրջանագիծը պտտելով այն շրջանագծի շուրջը, որի վրա գտնվում է պտտվող շրջանագծի կենտրոնը, կամ շրջանագիծը պտտելով այն առանցքի շուրջը, որը գտնվում է շրջանագծի հարթության վրա, բայց չի հատում այն։
Երբեմն չի պահանջվում, որ առանցքը չհատի հարթությունը, այդ դեպքում տորը կոչվում է փակ, հակառակ դեպքում բաց։
Տորը կոմուտատիվ հանրահաշվական խմբի և Լիի խմբի օրինակ է։


== Պատմություն ==
Առաջին անգամ տորային մակերևույթները ուսումնասիրվել են հին հույն մաթեմատիկոս Արքիտասի կողմից, խորանարդի կրկնապատկման խնդրի լուծման ժամանակ։ Հին հույն մաթեմատիկոս Պերսեոսը գիրք գրեց՝ տորը առանցքին զուգահեռ հարթությամբ հատելուց ստացված մակերևույթների մասին։


== Տորի առանցք ==
Պտտման առանցքը կարող է հատել շրջանագիծը, շոշափել այն կամ գտնվել նրանից դուրս։ Առաջին երկու դեպքերում տորը կոչվում է փակ, իսկ երրորդ դեպքում կոչվում է փակ կամ օղակ։

Պտտման առանցքից հեռավորության փոփոխություն
		
		
		
		
		
		
Պտտվող շրջանագծի կենտրոնով գծված շրջանագիծը կոչվում է ուղղորդող։

Հատկություններ
		
		
		
		
		


== Հավասարումներ ==


=== Պարամետրական ===
Տորի պարամետրական հավասարումն է, կախված  R- պտտման առանցքի և կառուցող շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունից և r -կառուցող շրջանագծի շառավիղից․

  
    
      
        
          {
          
            
              
                
                  x
                  (
                  φ
                  ,
                  ψ
                  )
                  =
                
                
                  (
                  R
                  +
                  r
                  cos
                  ⁡
                  ψ
                  )
                  cos
                  ⁡
                  φ
                
              
              
                
                  y
                  (
                  φ
                  ,
                  ψ
                  )
                  =
                
                
                  (
                  R
                  +
                  r
                  cos
                  ⁡
                  ψ
                  )
                  sin
                  ⁡
                  φ
                
              
              
                
                  z
                  (
                  φ
                  ,
                  ψ
                  )
                  =
                
                
                  r
                  sin
                  ⁡
                  ψ
                
              
            
          
          
        
        
        φ
        ∈
        [
        0
        ,
        2
        π
        )
        ,
        ψ
        ∈
        [
        −
        π
        ,
        π
        )
      
    
    {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(\varphi ,\psi )=&(R+r\cos \psi )\cos \varphi \\y(\varphi ,\psi )=&(R+r\cos \psi )\sin \varphi \\z(\varphi ,\psi )=&r\sin \psi \\\end{matrix}}\right.\qquad \varphi \in [0,2\pi ),\psi \in [-\pi ,\pi )}
  


=== Հանրահաշվական ===
Ոչ պարամետրական հավասարումը նույն կոորդինատներով և նույն շառավիղներով չորրորդ աստիճանի է․

  
    
      
        
          
            (
            
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                y
                
                  2
                
              
              +
              
                z
                
                  2
                
              
              +
              
                R
                
                  2
                
              
              −
              
                r
                
                  2
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        4
        
          R
          
            2
          
        
        
          (
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}-4R^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=0}
  Այդպիսի մակերևույթը նույնպես չորրորդ աստիճանի է։
Գոյություն ունեն նաև այլ մակերևույթներ, ուրիշ աստիճանի.

  
    
      
        
          y
          
            2
          
        
        =
        
          x
          
            3
          
        
        +
        x
        +
        1
      
    
    {\displaystyle y^{2}=x^{3}+x+1}
  , որտեղ x, y -ը կոմպլեքս թվեր են։ Կոմպլեքա էլիպսային կորը խորանարդ աստիճանի կոր է։

  
    
      
        
          {
          
            
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                  =
                  1
                
              
              
                
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                  =
                  1
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=1\\z^{2}+t^{2}=1\\\end{matrix}}\right.}
   Տորի ներմուծումը քառաչափ տարածություն բերում է երկրորդ կարգի մակերևույթի։ Այդ մակերևույթի կորությունը հավասար է 0։


== Ծանոթագրություն ==


== Գրականություն ==
Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7