Հավանականության բաշխում

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Բաշխում (այլ կիրառումներ)Հավանականության բաշխում կամ պարզապես բաշխում, հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության հիմնական գաղափարներից։ Պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը (կամ հավանականությունների բաշխման օրենքը) տրվում է նրա 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        P
        (
        ξ
        <
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)=P(\xi <x)}
   բաշխման ֆունկցիայով կամ այնպիսի բնութագրով, որի օգնությամբ որոշակի կանոններով կարող է ստացվել նշված բաշխման ֆունկցիան։ Այսպես, հավանականությունների բաշխում․ կարող է տրվել 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        <
        ξ
        <
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}<\xi <x_{2}}
   անհավասարության հավանականությունը ներկայացնող 
  
    
      
        P
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P(x_{1},x_{2})}
   միջակայքի ֆունկցիայով։ Այդ դեպքում նրա բաշխման ֆունկցիան որոշվում է 
  
    
      
        >
        F
        (
        x
        )
        =
        P
        (
        −
        ∞
        <
        ξ
        <
        x
        )
        =
        P
        (
        −
        ∞
        ,
        x
        )
      
    
    {\displaystyle >F(x)=P(-\infty <\xi <x)=P(-\infty ,x)}
   բանաձևով։ Ընդհատ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է այդ մեծության հնարավոր 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n},...}
   արժեքների և նրանց համապատասխան 
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
        ,
        
          P
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          P
          
            n
          
        
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle P_{1},P_{2},...,P_{n},...}
   հավանականությունների նշմամբ, որտեղ 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle P_{n}\geq 0}
   և 
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          P
          
            n
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }P_{n}=1}
  ։ Այդ դեպքում 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          P
          
            n
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle F(x)=\sum _{n}P_{n}=1}
  , որտեղ գումարը տարածվում է այն 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  –երի վրա, որոնց համար 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        <
        x
      
    
    {\displaystyle x_{n}<x}
  ։ Անընդհատ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է նրա 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
   բաշխման խտությամբ, որտեղ 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle P(x)\geq 0}
  ; 
  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        P
        (
        x
        )
        d
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }P(x)dx=1}
  ։ Այդ դեպքում 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            x
          
        
        P
        (
        t
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}P(t)dt}
  ։ Կամայական 
  
    
      
        ξ
      
    
    {\displaystyle \xi }
   պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը կարող է տրվել ուղղի ցանկացած բորելյան 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
   բազմության համար որոշված և 
  
    
      
        ξ
      
    
    {\displaystyle \xi }
  -ն 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  -ին պատկանելու հավանականությունը ներկայացնող 
  
    
      
        P
        (
        E
        )
      
    
    {\displaystyle P(E)}
   ֆունկցիայով։ Եթե 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  -ն 
  
    
      
        (
        −
        ∞
        ,
        x
        )
      
    
    {\displaystyle (-\infty ,x)}
   միջակայքն է, ապա 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        P
        (
        E
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)=P(E)}
  ։
Հավանականությունների ընտրովի բաշխումը որոշվում է պատահական մեծության հետ արված 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   թվով անկախ փորձերի արդյունքում ստացված 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}
  -երի ընտրությամբ։ Այն տրվում է բաշխման ընտրովի 
  
    
      
        
          F
          
            n
          
          
            ∗
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F_{n}^{*}(x)}
   ֆունկցիայով, որպես ընտրության մեջ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ից փոքր արժեքների հաճախականություն, այսինքն՝ 
  
    
      
        
          F
          
            n
          
        
        ∗
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              m
              (
              x
              )
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{n}*(x)={\frac {m(x)}{n}}}
  ․ Երկչափ 
  
    
      
        (
        ξ
        ,
        η
        )
      
    
    {\displaystyle (\xi ,\eta )}
   պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է նրա 
  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        P
        (
        ξ
        <
        x
        ∩
        η
        <
        y
        )
      
    
    {\displaystyle F(x,y)=P(\xi <x\cap \eta <y)}
   բաշխման ֆունկցիայով։ Մասնավորաբար, երկչափ ընդհատ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է հնարավոր 
  
    
      
        (
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        
          y
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{n},y_{m})}
   զույգերի բազմության և համապատասխան 
  
    
      
        
          P
          
            n
            m
          
        
        =
        P
        (
        ξ
        =
        
          x
          
            n
          
        
        ∩
        η
        =
        
          y
          
            m
          
        
        )
        ,
        n
        ,
        m
        =
        l
        ,
        2
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle P_{nm}=P(\xi =x_{n}\cap \eta =y_{m}),n,m=l,2,...}
   հավանականությունների նշմամբ, ընդ որում 
  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          ∑
          
            m
          
        
        
          P
          
            n
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle F(x,y)=\sum _{n}\sum _{m}P_{nm}}
  , որտեղ գումարները տարածվում են այն 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -երի և 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  -երի վրա, որոնց համար 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        <
        x
        ,
        
          y
          
            m
          
        
        <
        y
      
    
    {\displaystyle x_{n}<x,y_{m}<y}
  ։ Երկչափ անընդհատ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը տրվում է նրա 
  
    
      
        P
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle P(x,y)}
   խտության բաշխմամբ, այնպես որ 
  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            x
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            y
          
        
        P
        (
        x
        ,
        y
        )
        d
        x
        d
        y
      
    
    {\displaystyle F(x,y)=\int _{-\infty }^{x}\int _{-\infty }^{y}P(x,y)dxdy}
  ։ Կամայական երկչափ պատահական մեծության հավանականությունների բաշխումը կարող է տրվել հարթության բոլոր բորելյան բազմությունների համար որոշված և 
  
    
      
        (
        ξ
        ,
        η
        )
      
    
    {\displaystyle (\xi ,\eta )}
   կետը 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  -ին պատկանելու հավանականությունը ներկայացնող 
  
    
      
        P
        (
        E
        )
      
    
    {\displaystyle P(E)}
   ֆունկցիայով։ Եթե 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  -ն համընկնում է 
  
    
      
        (
        −
        ∞
        ,
        x
        ;
        −
        ∞
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (-\infty ,x;-\infty ,y)}
   երկչափ միջակայքի հետ, ապա 
  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        P
        (
        E
        )
      
    
    {\displaystyle F(x,y)=P(E)}
  ։


== Սահմանում ==
Սահմանում 1. Ենթադրենք տրված է 
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        
          
            F
          
        
        ,
        
          P
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
   հավանականային հարթություն, և դրա վրա որոշված է 
  
    
      
        X
        :
        Ω
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }
   պատահակական մեծություն։ Հիմնականում 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ը համարվում է 
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        
          
            F
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}
   չափելի հարթության չափելի ֆունկցիա 
  
    
      
        (
        
          R
        
        ,
        
          
            B
          
        
        (
        
          R
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          
            B
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}
   չափելի հարթության մեջ, նշանակում է Բորելյան բազմությունը 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  -ով։ Այդ դեպքում 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   պատահական մեծությունը առաջացնում է 
  
    
      
        
          
            P
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}
   հավանականային մեծություն 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  -ի վրա հետևյալ եղանակով՝

  
    
      
        
          
            P
          
          
            X
          
        
        (
        B
        )
        =
        
          P
        
        (
        
          X
          
            −
            1
          
        
        (
        B
        )
        )
        ,
        
        ∀
        B
        ∈
        
          
            B
          
        
        (
        
          R
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X^{-1}(B)),\;\forall B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).}
  

  
    
      
        
          
            P
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}
   մեծությունը կոչվում է պատահական 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   մեծության բաշխում։ Այլ կերպ ասած, 
  
    
      
        
          
            P
          
          
            X
          
        
        (
        B
        )
        =
        
          P
        
        (
        X
        ∈
        B
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X\in B)}
  , այդպիսով 
  
    
      
        
          
            P
          
          
            X
          
        
        (
        B
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)}
   սահմանում է այն բանի հավանականությունը, որ 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   պատահական մեծությունը ընկնում է 
  
    
      
        B
        ∈
        
          
            B
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}
   բազմության մեջ։


== Բաշխում առաջադրելու եղանակներ ==
Սահմանում 2. Ֆունկցիա 
  
    
      
        
          F
          
            X
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            P
          
          
            X
          
        
        (
        (
        −
        ∞
        ,
        x
        ]
        )
        =
        
          P
        
        (
        X
        ⩽
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}((-\infty ,x])=\mathbb {P} (X\leqslant x)}
   կոչվում է 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   պատահական մեծության (կոմուլյատիվ) ֆունկցիայի բաշխում։ Հավանականության հատկություններից բխում է
Թեորեմ 1. 
  
    
      
        
          F
          
            X
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F_{X}(x)}
   բաշխման ֆունկցիան ցանկացած պատահական մեծության բավարարում է հետևյալ երեք հատկություններով։

  
    
      
        
          F
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{X}}
  —սկզբնական ֆունկցիա,

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            −
            ∞
          
        
        
          F
          
            X
          
        
        (
        x
        )
        =
        0
        ,
        
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          F
          
            X
          
        
        (
        x
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0,\;\lim _{x\to \infty }F_{X}(x)=1}
  ;

  
    
      
        
          F
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{X}}
   անընդհատ է աջից։Այն փաստից, որ Բորելյան բազմությունը իրական թվերի մեջ առաջանում է 
  
    
      
        {
        (
        −
        ∞
        ,
        x
        ]
        
          }
          
            x
            ∈
            
              R
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \{(-\infty ,x]\}_{x\in \mathbb {R} }}
   տիպի ինտերվալների ընտանիքից, հետևում է
Թեորեմ 2. Ցանկացած 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
   ֆունկցիա, որը բավարարում է վերը նշված երեք հատկություններին, համարվում է ինչ-որ 
  
    
      
        
          
            P
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}
  -ի (բաշխում) բաշխման ֆունկցիա։
Հավանականությունների բաշխումների համար, որոնք ունեն որոշակի հատկություններ, կան ավելի առաջադրելու համար հարմարավետ եղանակներ։


=== Դիսկրետ բաշխում ===
Սահմանում 3. Պատահական մեծությունը համարվում է պարզ կամ դիսկրետ, եթե այն ընդունում է ոչ ավելի, քան հաշվելի թվերի նշանակությունը։ Այսինքն՝

  
    
      
        X
        (
        ω
        )
        =
        
          a
          
            i
          
        
        ,
        
        ∀
        ω
        ∈
        
          A
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle X(\omega )=a_{i},\;\forall \omega \in A_{i}}
  , որտեղ 
  
    
      
        {
        
          A
          
            i
          
        
        
          }
          
            i
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }}
  ՝ 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
   մասնատում։
Այդ դեպքում պարզ պատահական մեծության բաշխումը տրվում է 
  
    
      
        
          
            P
          
          
            X
          
        
        (
        B
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            :
            
              a
              
                i
              
            
            ∈
            B
          
        
        
          P
        
        (
        
          A
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)=\sum _{i:a_{i}\in B}\mathbb {P} (A_{i})}
  : Նշանակելով 
  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
        =
        
          P
        
        (
        
          A
          
            i
          
        
        )
        p
        (
        
          a
          
            i
          
        
        )
        =
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{i}=\mathbb {P} (A_{i})p(a_{i})=p_{i}}
  ՝ կարելի է նշանակել 
  
    
      
        p
        (
        
          a
          
            i
          
        
        )
        =
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle p(a_{i})=p_{i}}
  : Ակնհայտ է, որ 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          p
          
            i
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1}
  : Օգտագործելով 
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} }
   թվային ադիտիվություն, հեշտությամբ ցույց կտանք, որ այդ ֆունկցիան միանշանակ սահմանում է 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ը։
Սահմանում 4. Ֆունկցիա 
  
    
      
        p
        (
        
          a
          
            i
          
        
        )
        =
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle p(a_{i})=p_{i}}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          p
          
            i
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1}
   հաճախ անվանում են դիսկրետ բաշխում։
Օրինակ 1. Ենթադրենք 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   ֆունկցիան նշանակված է այնպես, որ 
  
    
      
        p
        (
        −
        1
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p(-1)={\frac {1}{2}}}
   և 
  
    
      
        p
        (
        1
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p(1)={\frac {1}{2}}}
  : Այդ ֆունկցիան ունի 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  , որի համար 
  
    
      
        
          P
        
        (
        X
        =
        ±
        1
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} (X=\pm 1)={\frac {1}{2}}}
   (Բերնուլլի բաշխում)։
Թեորեմ 3. Դիսկրետ բաշխումն ունի հետևյալ հատկությունները.
1. 
  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle p_{i}\geqslant 0}
  
2. 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          p
          
            i
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1}
  


=== Վանդակավոր բաշխում ===
Սահմանում 5. Վանդակավոր են կոչվում ֆունկցիայի դիսկրետ բաշխմամբ բաշխումները, և ֆունկցիայի բաշխման խզման կետից ստեղծում են 
  
    
      
        a
        +
        n
        h
      
    
    {\displaystyle a+nh}
  , որտեղ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն իրական թիվ է, 
  
    
      
        h
        >
        0
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle h>0,n}
  -ը ամբողջ թիվ է։
Օրինակ 2. Պուասոնի բաշխում համարվում է վանդակավոր։
Օրինակ 3. Բինոմական բաշխումը համարվում է վանդակավոր։
Թեորեմ 4. Որպեսզի 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   ֆունկցիայի բաշխումը լինի վանդակավոր 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
   քայլով, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի դրա բնութագրիչ 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիան բավարարի 
  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        2
        π
        
          /
        
        h
        )
        
          |
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle |f(2\pi /h)|=1}
   պայմանին։
Ապացույց։
Անհրաժեշտ պայման։ Նշանակենք 
  
    
      
        
          {
          
            a
            +
            n
            h
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{a+nh\right\}}
   բազմություն, որը պարունակում է 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   ֆունկցիայի բոլոր խզման կետերը և 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        =
        F
        (
        a
        +
        n
        h
        )
        −
        F
        (
        a
        +
        n
        h
        −
        0
        )
      
    
    {\displaystyle p_{n}=F(a+nh)-F(a+nh-0)}
  : Այդ դեպքում 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          p
          
            n
          
        
        exp
        ⁡
        
          [
          
            i
            (
            a
            +
            n
            h
            )
            t
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle f(t)=\sum _{n}p_{n}\exp \left[i(a+nh)t\right]}
  : Հետևում է 
  
    
      
        f
        (
        
          
            
              2
              π
            
            h
          
        
        )
        =
        exp
        ⁡
        (
        i
        
          
            
              2
              π
              a
            
            h
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f({\frac {2\pi }{h}})=\exp(i{\frac {2\pi a}{h}})}
   և 
  
    
      
        
          |
          
            f
            (
            
              
                
                  2
                  π
                
                h
              
            
            )
          
          |
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \left|f({\frac {2\pi }{h}})\right|=1}
  :
Բավարար պայման։ Եթե 
  
    
      
        
          |
          
            f
            (
            
              
                
                  2
                  π
                
                h
              
            
            )
          
          |
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \left|f({\frac {2\pi }{h}})\right|=1}
  , ապա 
  
    
      
        f
        (
        
          
            
              2
              π
            
            h
          
        
        )
        =
        exp
        ⁡
        (
        i
        
          
            
              2
              π
              a
            
            h
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f({\frac {2\pi }{h}})=\exp(i{\frac {2\pi a}{h}})}
   ինչ-որ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   իրական թվի համար։ Այդ դեպքում 
  
    
      
        ∫
        exp
        ⁡
        
          [
          
            
              
                i
                2
                π
                (
                x
                −
                a
                )
              
              h
            
          
          ]
        
        d
        F
        (
        x
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \int \exp \left[{\frac {i2\pi (x-a)}{h}}\right]dF(x)=1}
  ։ Այս հավասարությունից հետևում է 
  
    
      
        ∫
        (
        1
        −
        cos
        ⁡
        
          [
          
            
              
                2
                π
                (
                x
                −
                a
                )
              
              h
            
          
          ]
        
        )
        d
        F
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \int (1-\cos \left[{\frac {2\pi (x-a)}{h}}\right])dF(x)=0}
  : Ֆունկցիայի տակ գտնվող ֆունկցիայի ոչ բացասականության դեպքում, 
  
    
      
        
          {
          
            x
            :
            1
            −
            cos
            ⁡
            
              [
              
                
                  
                    2
                    π
                    (
                    x
                    −
                    a
                    )
                  
                  h
                
              
              ]
            
            >
            0
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{x:1-\cos \left[{\frac {2\pi (x-a)}{h}}\right]>0\right\}}
   բազմության չափը հավասար է զրոյի։ Այդպիսով 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   ֆունկցիայի բաշխումը կարող է ունենալ սեփական բարձրության կետերով կետեր միայն 
  
    
      
        
          {
          
            a
            +
            n
            h
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{a+nh\right\}}
   բազմությունից։
Այս թեորեմի հետևանքն է վանդակավոր բաշխման հետևյալ հատկությունները։ Եթե 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   ֆունկցիայի 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
   քայլով վանդակավոր բաշխումը համարվում է 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
   և 
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
   ֆունկցիաների բաշխման շղթա 
  
    
      
        F
        =
        
          F
          
            1
          
        
        ∗
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F=F_{1}*F_{2}}
  , ապա 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
  -ը և 
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
  -ը նույնպես համարվում են վանդակավոր 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
   քայլով։
Ապացույց։ Նշանակենք 
  
    
      
        f
        ,
        
          f
          
            1
          
        
        ,
        
          f
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f,f_{1},f_{2}}
   բնութագրիչ ֆունկցիաներով 
  
    
      
        F
        ,
        
          F
          
            1
          
        
        ,
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F,F_{1},F_{2}}
   ֆունկցիաների բաշխումները։ Այդ դեպքում 
  
    
      
        
          |
          
            
              f
              
                1
              
            
            (
            
              
                
                  2
                  π
                
                h
              
            
            )
          
          |
        
        
          |
          
            
              f
              
                2
              
            
            (
            
              
                
                  2
                  π
                
                h
              
            
            )
          
          |
        
        =
        
          |
          
            f
            (
            
              
                
                  2
                  π
                
                h
              
            
            )
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left|f_{1}({\frac {2\pi }{h}})\right|\left|f_{2}({\frac {2\pi }{h}})\right|=\left|f({\frac {2\pi }{h}})\right|}
  : Քանի որ ցանկացած բնութագրիչ ֆունկցիայի մոդուլը իրական թվերի առանցքի վրա չի գերազանցում 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  -ը, ապա 
  
    
      
        
          |
          
            
              f
              
                1
              
            
            (
            
              
                
                  2
                  π
                
                h
              
            
            )
          
          |
        
        =
        
          |
          
            
              f
              
                2
              
            
            (
            
              
                
                  2
                  π
                
                h
              
            
            )
          
          |
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \left|f_{1}({\frac {2\pi }{h}})\right|=\left|f_{2}({\frac {2\pi }{h}})\right|=1}
   և ապացույցը ավարտված է։


=== Անընդհատ բաշխումներ ===
Անընդհատ բաշխումը ատոմներ չունեցող բաշխում է։


=== Բացարձակապես անընդհատ բաշխում ===
Բացարձակապես անընդհատ անվանում են այն բաշխումները, որոնք ունեն հավանականության խտություն։ Այդպիսի բաշխումների կոմուլյատիվ ֆունկցիաները բացարձակ անընդհատ են Լեբեգի իմաստով։
Սահմանում 6. 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   պատահական մեծության բաշխումը կոչվում է բացարձակապես անընդհատ, եթե կա ոչ բացասական այնպիսի 
  
    
      
        
          f
          
            X
          
        
        :
        
          R
        
        →
        
          
            R
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{X}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}
   ֆունկցիա, որ 
  
    
      
        
          
            P
          
          
            X
          
        
        (
        B
        )
        ≡
        
          P
        
        (
        X
        ∈
        B
        )
        =
        
          ∫
          
            B
          
        
        
          f
          
            X
          
        
        (
        x
        )
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)\equiv \mathbb {P} (X\in B)=\int \limits _{B}f_{X}(x)\,dx}
  : 
  
    
      
        
          f
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{X}}
   ֆունկցիան այդ դեպքում կոչվում է 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   պատահական մեծության բաշխման խտություն։
Օրինակ 4. Ենթադրենք 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle f(x)=1}
  , երբ 
  
    
      
        0
        ⩽
        x
        ⩽
        1
      
    
    {\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1}
  , և 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  ՝ հակառակ դեպքում։ Այդ ժամանակ 
  
    
      
        
          P
        
        (
        a
        <
        X
        <
        b
        )
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        1
        
        d
        x
        =
        b
        −
        a
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} (a<X<b)=\int \limits _{a}^{b}1\,dx=b-a}
  , եթե 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
        ⊂
        [
        0
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle (a,b)\subset [0,1]}
  :
Ակնհայտ է, որ ցանկացած 
  
    
      
        
          f
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{X}}
   խտության բաշխման համար 
  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          f
          
            X
          
        
        (
        x
        )
        
        d
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx=1}
   ճիշտ է։ Ճիշտ է նաև հակադարձ պնդումը։
Թեորեմ 5. Եթե 
  
    
      
        f
        :
        
          R
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
   ֆունկցիան այնպիսին է, որ

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        ⩾
        0
        ,
        
        ∀
        x
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f(x)\geqslant 0,\;\forall x\in \mathbb {R} }
  ;

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1}
  ,ապա գոյություն ունի 
  
    
      
        
          
            P
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}
   բաշխում այնպիսին, որ 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  -ը համարվում է դրա խտությունը։
Նյուտոնի-Լեյբնիցի բանաձևի ուղղակի կիրառումը հանգեցնում է պարզ հարաբերության կոմուլյատիվ ֆունկցիայի և բացարձակ անընդհատ բաշխման խտության միջև։
Թեորեմ 6. Եթե 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  -ը բաշխման անընդհատ խտությունն է, իսկ 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
  -ը նրա կոմուլյատիվ ֆունկցիան, ապա

  
    
      
        
          F
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        ,
        
        ∀
        x
        ∈
        
          R
        
        ,
      
    
    {\displaystyle F'(x)=f(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ,}
  

  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            x
          
        
        f
        (
        t
        )
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt}
  ։Էմպիրիկ տվյալներով բաշխման կառուցման ժամանակ պետք է խուսափել հաշվարկի կլորացման սխալանքից։


=== Սինգուլյար բաշխում ===
Սինգուլյար են կոչվում այն բաշխումները, որոնք  կենտրոնացած են զրոյական չափողականության բազմության վրա (սովորաբար Լեբեգի չափ)։


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Рамачандран Б. Теория характеристических функций. — М.: Наука, 1975. — 224 с.