Ենսենի անհավասարություն

Մաթեմատիկայում  Ենսենի անհավասարությունը կոչվել է ի պատիվ դանիացի մաթեմատիկոս Յոհան Ենսենի, այն ներկայացնում է ֆունկցիայի միջինի և միջին արժեքի ֆունկցիայի միջև անհավարությունըը ։ Այն ապացուցվել է Ենսենի կողմից 1906 թվականին։ Ընդհանրապես անհավասարումը ներկայացվում է տարբեր տեսքերով, կախված թե ինչ բնագավառում է այն օգտագործվում, որոնցից մի քանիսը ներկայացված է ստորև։ Իր պարզագույն տեսքով անհավասարումն ասում է, որ միջին արժեքի ուռուցիկ վերափոխումը  փոքր է կամ հավասար ուռուցիկ վերափոխման միջին արժեքի, շատ պարզ է հետևանք է այն, որ գոգավոր ֆունկցիաների համար ճիշտ է հակառակը։
Ենսենի անհավասարումը ապացում է այն փաստը, որ ուռուցիկ ֆունկցիայի երկու կետերը միացնող  գծի գրաֆիկը ավելի բարձր է ընկած, քան ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը Ենսենի անհավարումն է 2 կետերի համար․ հատողը  ուռուցիկ ֆունկցիայի կշռված միջինն է (t ∈ [0,1]-ի համար),

  
    
      
        t
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        +
        (
        1
        −
        t
        )
        f
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}),}
  մինչդեռ ֆունկցիայի գրաֆիկը կշռված միջին արժեքների ֆունկցիան է,

  
    
      
        f
        
          (
          
            t
            
              x
              
                1
              
            
            +
            (
            1
            −
            t
            )
            
              x
              
                2
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right).}
  Ենսենի անհավասարությունը հետևյալն է

  
    
      
        f
        
          (
          
            t
            
              x
              
                1
              
            
            +
            (
            1
            −
            t
            )
            
              x
              
                2
              
            
          
          )
        
        ≤
        t
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        +
        (
        1
        −
        t
        )
        f
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).}
  Հավանականությունների տեսության մեջ այն հիմնականում ներկայացվում է հետևյալ կերպ․ Եթե X-ը Պատահական մեծություն է և φ-ն ուռուցիկ ֆունկցիա է, ապա

  
    
      
        φ
        
          (
          
            E
            ⁡
            [
            X
            ]
          
          )
        
        ≤
        E
        ⁡
        
          [
          
            φ
            (
            X
            )
          
          ]
        
        .
      
    
    {\displaystyle \varphi \left(\operatorname {E} [X]\right)\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].}
  


== Պնդումներ ==
Ենսենի անհավասարության դասական տեսքը ներառում է մի քանի թվեր և կշիռներ։ Անհավասարությունը կարող է սահմանվել շատ ընդհանրական և չափի տեսության և հավանականությունների տեսության լեզուներով։ Հավանակնությունների տեսության մեջ այն կարող է ընդհանրացվել ամբողջ ուժով։


=== Վերջավոր տեսք ===

  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  իրական ուռուցիկ ֆունկցիայի համար, արժեքների տիրույթում գտնվող  
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
   թվերով, և 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}}
   կշիռներով, Ենսենի անհավասարումը կարող է սահմանվել որպես․

  
    
      
        φ
        
          (
          
            
              
                ∑
                
                  a
                  
                    i
                  
                
                
                  x
                  
                    i
                  
                
              
              
                ∑
                
                  a
                  
                    i
                  
                
              
            
          
          )
        
        ≤
        
          
            
              ∑
              
                a
                
                  i
                
              
              φ
              (
              
                x
                
                  i
                
              
              )
            
            
              ∑
              
                a
                
                  i
                
              
            
          
        
        
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum a_{i}x_{i}}{\sum a_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum a_{i}\varphi (x_{i})}{\sum a_{i}}}\qquad \qquad (1)}
  Եվ հակառակ անհավասարությունը, եթե 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  -ն գոգավոր է, որը ներկայացվում է հետևյալ տեսքով․

  
    
      
        φ
        
          (
          
            
              
                ∑
                
                  a
                  
                    i
                  
                
                
                  x
                  
                    i
                  
                
              
              
                ∑
                
                  a
                  
                    i
                  
                
              
            
          
          )
        
        ≥
        
          
            
              ∑
              
                a
                
                  i
                
              
              φ
              (
              
                x
                
                  i
                
              
              )
            
            
              ∑
              
                a
                
                  i
                
              
            
          
        
        .
        
        
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum a_{i}x_{i}}{\sum a_{i}}}\right)\geq {\frac {\sum a_{i}\varphi (x_{i})}{\sum a_{i}}}.\qquad \qquad (2)}
  Հավասարությունը գործում է միայն այն դեպքում, երբ  
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
        =
        ⋯
        =
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}
   կամ երբ 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  -ն գծային ֆունկցիա է, այսինք այն և ուռուցիկ է և գոգավոր։
Որպես մասսնավոր դեպք, եթե 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}}
   կշիռները բոլորը հավասար են, ապա (1) և (2) անհավասարությունները դառնում են

  
    
      
        φ
        
          (
          
            
              
                ∑
                
                  x
                  
                    i
                  
                
              
              n
            
          
          )
        
        ≤
        
          
            
              ∑
              φ
              (
              
                x
                
                  i
                
              
              )
            
            n
          
        
        
        
        (
        3
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\leq {\frac {\sum \varphi (x_{i})}{n}}\qquad \qquad (3)}
  

  
    
      
        φ
        
          (
          
            
              
                ∑
                
                  x
                  
                    i
                  
                
              
              n
            
          
          )
        
        ≥
        
          
            
              ∑
              φ
              (
              
                x
                
                  i
                
              
              )
            
            n
          
        
        
        
        (
        4
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {\sum \varphi (x_{i})}{n}}\qquad \qquad (4)}
  Օրինակ  log(x) ֆունկցիան գոգավոր է, այսպիսով տեղադրելով   
  
    
      
        φ
        (
        x
        )
        =
        log
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (x)=\log(x)}
   նախորդ անհավասարության մեջ՝ ստացվում է թվաբանական միջին- երկրաչափական միջին անհավասարությունը։

  
    
      
        log
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∑
                  
                    i
                    =
                    1
                  
                  
                    n
                  
                
                
                  x
                  
                    i
                  
                
              
              n
            
          
          )
        
        ≥
        
          
            
              
                ∑
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  n
                
              
              log
              
              
                (
                
                  x
                  
                    i
                  
                
                )
              
            
            n
          
        
        
        
          կամ
        
        
        
          
            
              
                x
                
                  1
                
              
              +
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                x
                
                  n
                
              
            
            n
          
        
        ≥
        
          
            
              
                x
                
                  1
                
              
              ⋅
              
                x
                
                  2
                
              
              ⋯
              
                x
                
                  n
                
              
            
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \log \!\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {\sum _{i=1}^{n}\log \!\left(x_{i}\right)}{n}}\quad {\text{կամ}}\quad {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}}
  


== Ծանոթագրություններ ==


== Հղումներ ==
David Chandler (1987)։ Introduction to Modern Statistical Mechanics։ Oxford։ ISBN 0-19-504277-8 
Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768–71.
Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone (1996)։ Analisi Matematica Due։ Liguori։ ISBN 978-88-207-2675-1 
Walter Rudin (1987)։ Real and Complex Analysis։ McGraw-Hill։ ISBN 0-07-054234-1 


== Արտաքին հղումներ ==
Jensen's Operator Inequality of Hansen and Pedersen.
Weisstein, Eric W., "Jensen's inequality", MathWorld.
Arthur Lohwater (1982)։ «Introduction to Inequalities»։ Online e-book in PDF format