Լեբեգի ինտեգրալ

Լեբեգի ինտեգրալ,  արդի մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից։ Դիցուք 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        .
        ,
        
          A
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1},....,A_{n}}
  -ը 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   հատվածի որևէ չափելի տրոհում է, այսինքն 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}}
   բազմությունները չափելի են (տես Չափ բազմության), զույգ առ զույգ չեն հատվում և նրանց գումարը 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  -ն է։ 

  
    
      
        S
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle S(x)}
  -ը կոչվում է պարզ ֆունկցիա, եթե 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}}
  -ի վրա հաստատուն է, ասենք, հավասար է 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
  : 
  
    
      
        S
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle S(x)}
  -ի Լեբեգի ինտեգրալը կոչվում է 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          Q
          
            i
          
        
        μ
        
          A
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}Q_{i}\mu A_{i}}
   արտահայտությունը և նշանակվում՝ 
  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        S
        (
        x
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}S(x)dx}
   (
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  -ն լեբեգյան չափն է)։ Եթե 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  -ը ոչ բացասական և չափելի ֆունկցիա է, ապա ըստ սահմանման 
  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        d
        x
        =
        
          sup
          
            0
            ⩽
            S
            ⩽
            f
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        S
        (
        x
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\sup _{0\leqslant S\leqslant f}\int _{a}^{b}S(x)dx}
  , որտեղ supremum-ը վերցվում է բոլոր հնարավոր չափելի պարզ ֆունկցիաների 
  
    
      
        (
        0
        ⩽
        S
        ⩽
        f
        )
      
    
    {\displaystyle (0\leqslant S\leqslant f)}
   դասում։ 
Քանի որ կամայական չափելի 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  -ը ներկայացվում է ոչ բացասական չափելի ֆունկցիաների տարբերությամբ՝ 
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        −
        
          f
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{1}-f_{2}}
  , ապա  
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  -ի Լեբեգի ինտեգրալ են անվանում
  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          f
          
            1
          
        
        (
        x
        )
        d
        x
        −
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          f
          
            2
          
        
        (
        x
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}f_{1}(x)dx-\int _{a}^{b}f_{2}(x)dx}
   արտահայտությունը (
  
    
      
        ∞
        −
        ∞
      
    
    {\displaystyle \infty -\infty }
   դեպքը բացառվում է) և նշանակում՝ 
  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}
   կամ 
  
    
      
        (
        L
        )
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle (L)\int _{a}^{b}f(x)dx}
  : Լեբեգի ինտեգրալի այս սահմանումը պիտանի է շատ ավելի ընդհանուր իրավիճակում, մասնավորապես, եթե 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  -ն փոխարինվի 
  
    
      
        (
        a
        ,
        +
        ∞
        )
        ,
        (
        −
        ∞
        ,
        b
        )
        ,
        (
        −
        ∞
        ,
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle (a,+\infty ),(-\infty ,b),(-\infty ,\infty )}
   բազմություններով։ Այս դեպքում ստացվող ընդհանրացումները պարունակում են Ռիմանի բացարձակ զուգամետ (բայց ոչ պայմանական) անիսկական ինտեգրալները։ Ռիմանի իմաստով ինտեգրելի ֆունկցիան ինտեգրելի է նաև Լեբեգի իմաստով (հակառակը ճիշտ չէ) և այդ ինտեգրալները համընկնում են։ Եթե 
  
    
      
        (
        L
        )
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle (L)\int _{a}^{b}f(x)dx}
   վերջավոր է, ապա 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ը կոչվում է հանրագումարելի ֆունկցիա։ Մաթեմատիկական առօրյայում հանդիպող բոլոր սահմանափակ ֆունկցիաները հանրագումարելի են։ Լեբեգի ինտեգրալի հիմնական արժանիքներից է այն, որ բավական «ճկուն» է սահմանային գործողություններ կատարելիս։ Օրինակ, եթե 
  
    
      
        
          f
          
            n
          
        
        ,
        g
      
    
    {\displaystyle f_{n},g}
   ֆունկցիաները հանրագումարելի են, 
  
    
      
        
          |
        
        
          f
          
            n
          
        
        
          |
        
        ⩽
        g
        ,
        
          f
          
            n
          
        
        →
        f
      
    
    {\displaystyle |f_{n}|\leqslant g,f_{n}\to f}
   եթե 
  
    
      
        n
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle n\to \infty }
  , ապա 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ը նույնպես հանրագումարելի է և 
  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        d
        x
        
          →
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}f_{n}(x)dx\to _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)dx}
  :
Լեբեգի ինտեգրալը զգալիորեն լայնացրեց դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի հիմնական՝ նախնական ֆունկցիան գտնելու բանաձևի շրջանակները


== Տես նաև ==
Ինտեգրալ հաշիվ


== Ծանոթագրություններ ==