Ռոտոր (դիֆերենցման օպերատոր)

Ռոտոր, վեկտորական դաշտի վրա կիրառվող վեկտորական դիֆերենցման օպերատոր։
Նշանակվում է տարբեր կերպ, օրինակ՝

  
    
      
        rot
      
    
    {\displaystyle \operatorname {rot} }
   (ռուսական գրականության մեջ),

  
    
      
        curl
      
    
    {\displaystyle \operatorname {curl} }
   (անգլալեզու գրականության մեջ,առաջարկվել է Մաքսվելի կողմից),
որպես նաբլա օպերատորի և վեկտորական դաշտի վեկտորական արտադրյալ՝ 
  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} }
  : Այս օպերատորի ազդեցությունը կոնկրետ F վեկտորական դաշտի վրա անվանում են F դաշտի ռոտոր և իրենից ներկայացնում է նոր վեկտորական դաշտ
  
    
      
        rot
        
        
          F
        
        ≡
        
          ∇
        
        ×
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {F} \equiv \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} }
  :


== Մաթեմատիկական բացատրություն ==

  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
   վեկտորական դաշտի 
  
    
      
        rot
        
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {a} }
  , որի պրոյեկցիա 
  
    
      
        
          rot
          
            
              n
            
          
        
        ⁡
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} }
  -ն յուրաքանչյուր n ուղղությամբ իրենից ներկայացնում է L կոնտուրով վեկտորական դաշտի շրջապտույտ։
L-ը ΔS հարթ մակերևույթի սահմանն է։
Պրոյեկցիայի համար ճիշտ է հետևյալ բանաձևը՝

  
    
      
        
          rot
          
            
              n
            
          
        
        ⁡
        
          a
        
        =
        
          lim
          
            Δ
            S
            →
            0
          
        
        
          
            
              
                ∮
                
                  L
                
              
              
                a
                ⋅
                
                d
                r
              
            
            
              Δ
              S
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint \limits _{L}\mathbf {a\cdot \,dr} }{\Delta S}}}
  :Պտույտի ուղղությունը վերցվում է այնպես, որ եթե նայենք 
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} }
  -ի ուղղությամբ, L-ը շրջանցվում է ժամսլաքի  ուղղությամբ։  Եռաչափ դեկարտյան կոորդինատների համակարգում ռոտորը որոշվում է հետևյալ կերպ՝

  
    
      
        rot
        
        (
        
          F
          
            x
          
        
        
          
            e
          
          
            x
          
        
        +
        
          F
          
            y
          
        
        
        
          
            e
          
          
            y
          
        
        +
        
          F
          
            z
          
        
        
          
            e
          
          
            z
          
        
        )
        =
      
    
    {\displaystyle \operatorname {rot} \;(F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{z})=}
  

  
    
      
        =
        
          (
          
            
              ∂
              
                y
              
            
            
              F
              
                z
              
            
            −
            
              ∂
              
                z
              
            
            
              F
              
                y
              
            
          
          )
        
        
          
            e
          
          
            x
          
        
        +
        
          (
          
            
              ∂
              
                z
              
            
            
              F
              
                x
              
            
            −
            
              ∂
              
                x
              
            
            
              F
              
                z
              
            
          
          )
        
        
          
            e
          
          
            y
          
        
        +
        
          (
          
            
              ∂
              
                x
              
            
            
              F
              
                y
              
            
            −
            
              ∂
              
                y
              
            
            
              F
              
                x
              
            
          
          )
        
        
          
            e
          
          
            z
          
        
        ≡
      
    
    {\displaystyle =\left(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\right)\mathbf {e} _{x}+\left(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\right)\mathbf {e} _{y}+\left(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\right)\mathbf {e} _{z}\equiv }
  

  
    
      
        ≡
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    F
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  
                    F
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  ∂
                  z
                
              
            
          
          )
        
        
          
            e
          
          
            x
          
        
        +
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    F
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  ∂
                  z
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  
                    F
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
          
          )
        
        
          
            e
          
          
            y
          
        
        +
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    F
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  
                    F
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
          
          )
        
        
          
            e
          
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle \equiv \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}}
    կամ

  
    
      
        (
        rot
        
        
          F
        
        
          )
          
            x
          
        
        =
        
          ∂
          
            y
          
        
        
          F
          
            z
          
        
        −
        
          ∂
          
            z
          
        
        
          F
          
            y
          
        
        ≡
        
          
            
              ∂
              
                F
                
                  z
                
              
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              
                F
                
                  y
                
              
            
            
              ∂
              z
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{x}=\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\equiv {\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}}
  

  
    
      
        (
        rot
        
        
          F
        
        
          )
          
            y
          
        
        =
        
          ∂
          
            z
          
        
        
          F
          
            x
          
        
        −
        
          ∂
          
            x
          
        
        
          F
          
            z
          
        
        ≡
        
          
            
              ∂
              
                F
                
                  x
                
              
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              
                F
                
                  z
                
              
            
            
              ∂
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{y}=\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\equiv {\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}}
  

  
    
      
        (
        rot
        
        
          F
        
        
          )
          
            z
          
        
        =
        
          ∂
          
            x
          
        
        
          F
          
            y
          
        
        −
        
          ∂
          
            y
          
        
        
          F
          
            x
          
        
        ≡
        
          
            
              ∂
              
                F
                
                  y
                
              
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              
                F
                
                  x
                
              
            
            
              ∂
              y
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{z}=\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\equiv {\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}}
  
Այստեղ F-ը 
  
    
      
        
          F
          
            x
          
        
        ,
        
          F
          
            y
          
        
        ,
        
          F
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{x},F_{y},F_{z}}
   դեկարտյան կոմպոնենտներով վեկտորական դաշտ է, իսկ 
  
    
      
        
          
            e
          
          
            x
          
        
        ,
        
          
            e
          
          
            y
          
        
        ,
        
          
            e
          
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}}
  -ն դեկարտյան կոորդինատների օրթերն են։
Հարմարության համար կարելի է գրել՝

  
    
      
        rot
        
        
          F
        
        =
        
          ∇
        
        ×
        
          F
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        x
                      
                    
                  
                
              
              
                
              
              
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        y
                      
                    
                  
                
              
              
                
              
              
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        z
                      
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        ×
        
          F
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    
                      e
                    
                    
                      z
                    
                  
                
              
              
                
              
              
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        x
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        y
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        ∂
                        z
                      
                    
                  
                
              
              
                
              
              
                
                  
                    F
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    F
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    F
                    
                      z
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {rot} \;\mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}
  :


=== Կապված բացատրություն ===
Այն վեկտորական դաշտը, որի ռոտորը հավասար է զրոյի համարվում է պոտենցիալային։


=== Ընդհանրացում ===
Ռոտոր օպերատորի ընդհանարացումը ունի հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        (
        rot
        
        
          F
        
        
          )
          
            12
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    F
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  
                    F
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{12}=\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{2}}}\right)}
  

  
    
      
        (
        rot
        
        
          F
        
        
          )
          
            13
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    F
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  
                    F
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{13}=\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{3}}}\right)}
  

  
    
      
        (
        rot
        
        
          F
        
        
          )
          
            23
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    F
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  
                    F
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{23}=\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{3}}}\right)}
  ...
կամ

  
    
      
        (
        rot
        
        
          F
        
        
          )
          
            m
            n
          
        
        =
        
          ∂
          
            m
          
        
        
          F
          
            n
          
        
        −
        
          ∂
          
            n
          
        
        
          F
          
            m
          
        
        ≡
        
          
            
              ∂
              
                F
                
                  n
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  m
                
              
            
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              
                F
                
                  m
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{mn}=\partial _{m}F_{n}-\partial _{n}F_{m}\equiv {\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{m}}}-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}}
  m-ը և n-ը ընդունում են 1-ից մինչև դաշտի չափայնություն արժեքները։
Վերջինը կարելի է գրել՝

  
    
      
        rot
        
        
          F
        
        =
        ∇
        ∧
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {rot} \;\mathbf {F} =\nabla \wedge \mathbf {F} }
  Ռոտորը 2 վալենտականությամբ անտիսիմետրիկ թենզորային դաշտ է։


== Հիմնական հատկություններ ==


=== Հատկությունները անմիջապես ստացվում են դիֆերենցման սովորական կանոններից ===
Գծայնություն՝
  
    
      
        rot
        
        (
        a
        
          F
        
        +
        b
        
          G
        
        )
        =
        a
        
        rot
        ⁡
         
        
          F
        
        +
        b
        
        rot
        ⁡
         
        
          G
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {rot} \;(a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} +b\;\operatorname {rot} ~\mathbf {G} }
  ցանկացած F և G դաշտերի համար և ցանկացած a  և b հաստատունների համար։

Եթե 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  -ը սկալյար դաշտ է, իսկ F-ը՝ վեկտորական՝
  
    
      
        rot
        ⁡
         
        φ
        
          F
        
        =
        grad
        ⁡
         
        φ
         
        ×
        
          F
        
        +
        φ
        
        rot
        ⁡
         
        
          F
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \operatorname {rot} ~\varphi \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi ~\times \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} ,}
  կամ

  
    
      
        ∇
        ×
        (
        φ
        
          F
        
        )
        =
        (
        ∇
        φ
        )
        ×
        
          F
        
        +
        φ
        
        (
        ∇
        ×
        
          F
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \times \mathbf {F} )}
  :Ռոտորի դիվերգենցիան հավասար է զրոյի՝
  
    
      
        div
        ⁡
         
        rot
        ⁡
         
        
          F
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} ~\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0}
   կամ 
  
    
      
        ∇
        ⋅
        (
        ∇
        ×
        
          F
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0}
  Ճիշտ է նաև հակառակը՝
  
    
      
        div
        ⁡
         
        
          F
        
        =
        0
        ⇒
        
          F
        
        =
        rot
        ⁡
         
        
          G
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} ~\mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {rot} ~\mathbf {G} }
  :

Եթե F-ը պոտենցիալային դաշտ է, ապա նրա ռոտորը հավասար է զրոյի՝
  
    
      
        
          F
        
        =
        grad
        ⁡
         
        φ
        ⇒
        rot
        ⁡
         
        
          F
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi \Rightarrow \operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0}
  : Ճիշտ է նաև հակառակը՝
  
    
      
        rot
        ⁡
         
        
          F
        
        =
        0
        ⇒
        
          F
        
        =
        grad
        ⁡
         
        φ
      
    
    {\displaystyle \operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi }
  :

Ռոտորի ռոտորի հավասար է դիվերգենցիայի գրադիենտին հանած լապլասիան՝
  
    
      
        rot
        ⁡
         
        rot
        ⁡
         
        
          F
        
        =
        grad
        ⁡
         
        div
        ⁡
         
        
          F
        
        −
        Δ
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {rot} ~\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\operatorname {div} ~\mathbf {F} -\Delta \mathbf {F} }
  


=== Ստոքսի թեորեմ ===
Ինչ-որ մակերևույթի սահման հանդիսացող փակ կոնտուրով ցիրկուլյացիան հավասար է այդ մակերևույթով այդ վեկտորի հոսքի ռոտորին։

  
    
      
        
          ∮
          
            ∂
            S
          
        
        
          F
        
        ⋅
        
        
          d
          l
        
        =
        
          ∫
          
            S
          
        
        (
        rot
        ⁡
         
        
          F
        
        )
        ⋅
        
        
          d
          S
        
      
    
    {\displaystyle \oint \limits _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \,\mathbf {dl} =\int \limits _{S}(\operatorname {rot} ~\mathbf {F} )\cdot \,\mathbf {dS} }
  : Ստոքսի թերոեմի մասնավոր դեպք է համարվում Գրինի թեորեմը։


== Ռոտորը կորագիծ կոորդինատներով ==


=== Ընդհանուր դեպք ===

  
    
      
        (
        
          r
          o
          t
        
         
        
          v
        
        
          )
          
            i
          
        
        =
        
          ε
          
            i
            j
            k
          
        
        
          g
          
            j
            m
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  m
                
              
            
          
        
        
          v
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathrm {rot} \ \mathbf {v} )_{i}=\varepsilon _{ijk}g^{jm}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}v^{k}}
  և
  
    
      
        (
        
          r
          o
          t
        
         
        
          v
        
        
          )
          
            n
          
        
        =
        
          g
          
            n
            i
          
        
        
          ε
          
            i
            j
            k
          
        
        
          g
          
            j
            m
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  m
                
              
            
          
        
        
          v
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathrm {rot} \ \mathbf {v} )^{n}=g^{ni}\varepsilon _{ijk}g^{jm}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}v^{k}}
  :


=== Օրթոգոնալ կորագիծ կոորդինատների դեպքը ===

  
    
      
        rot
        
        
          A
        
        =
        rot
        
        (
        
          
            q
            
              1
            
          
        
        
          A
          
            1
          
        
        +
        
          
            q
            
              2
            
          
        
        
          A
          
            2
          
        
        +
        
          
            q
            
              3
            
          
        
        
          A
          
            3
          
        
        )
        =
      
    
    {\displaystyle \operatorname {rot} \;\mathbf {A} =\operatorname {rot} \;(\mathbf {q_{1}} A_{1}+\mathbf {q_{2}} A_{2}+\mathbf {q_{3}} A_{3})=}
  

  
    
      
        =
        
          
            1
            
              
                H
                
                  2
                
              
              
                H
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            (
            
              A
              
                3
              
            
            
              H
              
                3
              
            
            )
            −
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            (
            
              A
              
                2
              
            
            
              H
              
                2
              
            
            )
          
          ]
        
        
          
            q
            
              1
            
          
        
         
        +
      
    
    {\displaystyle ={\frac {1}{H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{3}H_{3})-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{2}H_{2})\right]\mathbf {q_{1}} \ +}
  

  
    
      
        +
         
        
          
            1
            
              
                H
                
                  3
                
              
              
                H
                
                  1
                
              
            
          
        
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            (
            
              A
              
                1
              
            
            
              H
              
                1
              
            
            )
            −
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            (
            
              A
              
                3
              
            
            
              H
              
                3
              
            
            )
          
          ]
        
        
          
            q
            
              2
            
          
        
         
        +
      
    
    {\displaystyle +\ {\frac {1}{H_{3}H_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{1}H_{1})-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{3}H_{3})\right]\mathbf {q_{2}} \ +}
  

  
    
      
        +
         
        
          
            1
            
              
                H
                
                  1
                
              
              
                H
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          [
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            (
            
              A
              
                2
              
            
            
              H
              
                2
              
            
            )
            −
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            (
            
              A
              
                1
              
            
            
              H
              
                1
              
            
            )
          
          ]
        
        
          
            q
            
              3
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle +\ {\frac {1}{H_{1}H_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{2}H_{2})-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{1}H_{1})\right]\mathbf {q_{3}} ,}
  որտեղ Hi-ն Լամեի գործակիցն է։


== Օրինակներ ==
Դիտարկենք հետևյալ վեկտորական դաշտը՝

  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        −
        
          x
          
            2
          
        
        
          
            e
          
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle F(x,y)=-x^{2}\mathbf {e} _{y}}
  : Գրաֆիկի տեսքը հետևյալն է՝  
Կիրառելով ռոտոր օպերատորը, կստացի՝
  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        
          F
        
        =
        0
        
          
            e
          
          
            x
          
        
        +
        0
        
          
            e
          
          
            y
          
        
        +
        
          
            ∂
            
              ∂
              x
            
          
        
        (
        −
        
          x
          
            2
          
        
        )
        
          
            e
          
          
            z
          
        
        =
        −
        2
        x
        
          
            e
          
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =0\mathbf {e} _{x}+0\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial }{\partial x}}(-x^{2})\mathbf {e} _{z}=-2x\mathbf {e} _{z}}
  Քանի որ ռոտորը յուրաքանչյուր կետում նույնը չէ, գրաֆիկը կստացվի հետևյալ կերպ՝


=== Ընդհանուր օրինակներ ===
Դիտարկենք ∇ × [ v × F ] օրինակը։ Օգտագործելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգը, կարելի է ցույց տալ, որ՝

  
    
      
        
          ∇
          ×
        
        
          (
          
            v
            ×
            F
          
          )
        
        =
        
          [
          
            
              (
              
                ∇
                ⋅
                F
              
              )
            
            +
            
              F
              ⋅
              ∇
            
          
          ]
        
        
          v
        
        −
        
          [
          
            
              (
              
                ∇
                ⋅
                v
              
              )
            
            +
            
              v
              ⋅
              ∇
            
          
          ]
        
        
          F
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\nabla \times } \left(\mathbf {v\times F} \right)=\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } \right]\mathbf {v} -\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } \right]\mathbf {F} \ .}
  Եթե v-ն և ∇-ն փոխենք տեղերով, կստացվի՝

  
    
      
        
          v
           
          ×
        
        
          (
          
            ∇
            ×
            F
          
          )
        
        =
        
          ∇
          
            F
          
        
        
          (
          
            v
            ⋅
            F
          
          )
        
        −
        
          (
          
            v
            ⋅
            ∇
          
          )
        
        
          F
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{F}\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\left(\mathbf {v\cdot \nabla } \right)\mathbf {F} \ ,}
  որը համարվում է ֆեյմանյան գրառում՝ ∇F ներքին ինդեքսով։ Այն նշանակում է, որ F ինդեքսով գրադիենտը վերաբերվում է միայն F-ին։  Այլ օրինակ՝
∇ × [ ∇ × F ]:
Կիրառելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգ, կարելի է գրել՝

  
    
      
        ∇
        ×
        
          (
          
            ∇
            ×
            F
          
          )
        
        =
        
          ∇
        
        (
        
          ∇
          ⋅
          F
        
        )
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          F
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} \ ,}
  որը կարելի է համարել առաջին օրինակի մասնակի դեպքը, երբ v → ∇:


== Տե՛ս նաև ==
Վեկտորական անալիզ
Գրինի թեորեմ
Վեկտորական անալիզի բանաձևեր


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
The idea of curl of a vector field
Curl BetterExplained