Համիլտոնի ֆունկցիա

Համիլտոնի ֆունկցիա կամ համիլտոնյան, մեխանիկական համակարգի դինամիկան նկարագրող ֆունկցիա դասական մեխանիկայի ձևակերպումով, որը կախված է ընդհանրացված կոորդինատներից, իմպուլսներից և, հավանական է, ժամանակից։ Տրվում է

  
    
      
        H
        (
        p
        ,
        q
        )
      
    
    {\displaystyle H(p,q)}
  կամ

  
    
      
        H
        (
        p
        ,
        q
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle H(p,q,t)}
  արտահայտություններով, որտեղ 
  
    
      
        p
        =
        (
        
          p
          
            1
          
        
        ,
        
          p
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          p
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle p=(p_{1},p_{2},...,p_{n})}
  -ն տվյալ համակարգը նկարագրող ընդհանրացված իմպուլսների լրից հավաքածուն է (n-ը ազատության աստիճանների թիվ է),

  
    
      
        q
        =
        (
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        
          q
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          q
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle q=(q_{1},q_{2},...,q_{n})}
  -ը՝ ընդհանրացված կոորդինատների լրիվ հավաքածուն։Քվանտային մեխանիկայում և դաշտի քվանտային տեսությունում համիլտոնյանը կամ Համիլտոնի օպերատորը, որը նկարագրում է համակարգի ժամանակային էվոլյուցիան, համապատասխանում է դասական ֆիզիկայի Համիլտոնի ֆունկցիային և նրա ընդհանրացումն է։
Քվանտային մեխանիկայի և դաշտի քվանտային տեսության ըստ հետագծերի ինտեգրալներով ձևակերպման մեջ կիրառվում է նաև դասական Համիլտոնի ֆունկցիան։
Համիլտոնի ֆունկցիան հանդես է գալիս փոքրագույն գործողության սկզբունքում, Համիլտոնի կանոնիկ հավասարումներում (շարժման հավասարումների հնարավոր ձևերից մեկը դասական մեխանիկայում) և Համիլտոն-Յակոբիի հավասարումներում՝ հանդիսանալով համիլտոնյան մեխանիկայի հիմքը։
Կոնսերվատիվ համակարգերի համար Համիլտոնի ֆունկցիան ներկայացնում է լրիվ էներգիան (արտահայտված որպես կոորդինատների և իմպուլսների ֆունկցիա), այսինքն՝ դասական իմաստով համակարգի կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաների գումարը։
Համիլտոնի ֆունկցիան Լեժանդրի ձևափոխությունների միջոցով կապված է լագրանժյանի հետ հետևյալ առնչությամբ՝ 

  
    
      
        H
        =
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              
                
                  q
                  →
                
              
              ˙
            
          
        
        −
        L
      
    
    {\displaystyle H={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {q}}}-L}
  ,որտեղ 
  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}}
  -ն մասնիկի ընդհանրացված իմպուլսն է, 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  q
                  →
                
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\vec {q}}}}
  -ն՝ ընդհանրացված արագությունը։


== Ֆիզիկական իմաստը ==
Ըստ էության Համիլտոնի ֆունկցիան իրենից ներկայացնում է լոկալ դիսպերսիայի օրենք, որը 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
   քվանտային հաճախությունը (ալիքային ֆունկցիայի տատանումների հաճախությունը) արտահայտում է 
  
    
      
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {k} }
   ալիքային վեկտորով տարածության յուրաքանչյուր 
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} }
   կետի համար.

  
    
      
        ω
        =
        H
        (
        
          k
        
        ,
        
          x
        
        )
      
    
    {\displaystyle \omega =H(\mathbf {k} ,\mathbf {x} )}
  Այսպես, դասական մոտարկմամբ (ալիքային վեկտորի բարձր հաճախություն և մեծություն և 
  
    
      
        
          x
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} }
  -ից համեմատաբար փոքր կախվածություն) այս օրենքը բավականաչափ ակնհայտ նկարագրում է ալիքային փաթեթի շարժումը Համիլտոնի կանոնիկ հավասարումների միջոցով, որոնցից մեկը 
  
    
      
        (
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        =
        ∂
        H
        
          /
        
        ∂
        
          p
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\dot {q}}_{i}=\partial H/\partial p_{i})}
  -ն է և մեկնաբանվում է որպես դիսպերսիայի օրենքից ստացված խմբային արագության բանաձև, իսկ մյուսները՝ 
  
    
      
        (
        
          
            
              
                p
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        =
        −
        ∂
        H
        
          /
        
        ∂
        
          q
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\dot {p}}_{i}=-\partial H/\partial q_{i})}
  ՝ որպես ալիքային վեկտորի փոփոխություն, մասնավորապես՝ պտույտ որոշակի տիպի անհամասեռ միջավայրում ալիքի տարաժման ժամանակ։


== Նշումներ ==


== Գրականություն ==
Механика, том 1. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Под ред. Л. П. Питаевского. 4-е изд., 224 с., 2007, 2 000 экз., ISBN 978-5-9221-0819-5