Օկտաէդր

Օկտաէդր (հուն․՝ οκτάεδρον, οκτώ «ութ» + έδρα «հիմք»), ութ նիստերից կազմված բազմանիստ:
Կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է հինգ ուռուցիկ կանոնավոր բազմանիստերից (այսպես կոչված պլատոնյան մարմիններ) մեկը, նրա նիստերը ութ հավասարակողմ եռանկյուններ են: Կանոնավոր օկտաէդրը.

երկակի է խորանարդին,
տետրաէդրի ամբողջական հատույթ է,
քառակուսային երկբուրգ է ցանկացած երեք օրթոգոնալ ուղղություններով,
եռանկյունային անտիպրիզմա է ցանկացած չորս ուղղություններով:Օկտաէդրը հիպերօկտաէդրի առավել ընդհանուր տարբերակն է եռաչափ տարածությունում:


== Կանոնավոր օկտաէդր ==
Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 8 եռանկյուն նիստ, 12 կող, 6 գագաթ, յուրաքանչյուր գագթից դուրս է գալիս 4 նիստ:


=== Չափեր ===
Եթե օկտաէդրի կողի երկարությունը հավասար է а, ապա օկտաէդրին արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է.

  
    
      
        
          r
          
            u
          
        
        =
        
          
            a
            2
          
        
        
          
            2
          
        
        ≈
        0.7071067
        ⋅
        a
      
    
    {\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.7071067\cdot a}
  ,
Օկտաէդրին ներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հաշվում են հետևյալ բանաձևով.

  
    
      
        
          r
          
            i
          
        
        =
        
          
            a
            6
          
        
        
          
            6
          
        
        ≈
        0.4082482
        ⋅
        a
        :
      
    
    {\displaystyle r_{i}={\frac {a}{6}}{\sqrt {6}}\approx 0.4082482\cdot a:}
  
Երկնիստ անկյունը. 
  
    
      
        α
        =
        2
        ϕ
        ≈
        109
        ,
        
          47
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha =2\phi \approx 109,47^{\circ }}
  , որտեղ 
  
    
      
        ϕ
        =
        a
        r
        c
        c
        o
        s
        (
        
          
            
              3
            
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \phi =arccos({\frac {\sqrt {3}}{3}})}
  :
Բոլոր կողերը շոշափող կիսաներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է

  
    
      
        
          r
          
            m
          
        
        =
        
          
            a
            2
          
        
        =
        0.5
        ⋅
        a
      
    
    {\displaystyle r_{m}={\frac {a}{2}}=0.5\cdot a}
  :


=== Օրթոգոնալ պրոյեկցիաները ===
Օկտաէդրն ունի չորս հատուկ օրթոգոնալ պրոյեկցիաներ՝ կենտրոնադրած կողով, գագաթով, նիստով և նիստի նորմալով: Երկրորդ և երրորդ դեպքը համապատասխանում են Կոքսետերի B2 և A2 հարթություններին:


=== Գնդային խճանկար ===
Օկտաէդրը կարելի է ներկայացնել որպես գնդային խճանկար և հարթության վրա պրոյեկտել տարածագրական պրոյեկցիայի օգնությամբ: Այդ պրոյեկցիան կոնֆորմ է, պահպանում է անկյունները, բայց ոչ երկարություններն ու մակերեսը: Գնդի վրայի հատվածները հարթության վրա արտապատկերվում են շրջանագծի աղեղների:


=== Դեկարտյան կոորդինատներ ===

  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
    երկարությամբ կողով օկտաէդրը կոորդինատների սկզբնակետից կարող է տեղադրվել այնպես, որ նրա բարձրություններն ընկած լինեն կոորդինատային առանցքների վրա: Այդ դեպքում գագաթների դեկարտյան կոորդինատները կլինեն.

(±1, 0, 0);
(0, ±1, 0);
(0, 0, ±1):x-y-z ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում օկտաէդրը դա (a, b, c) կետով կենտրոնով և r շառավղով բոլոր (x, y, z) կետերի բազմությունն է, այնպես, որ

  
    
      
        
          |
          
            x
            −
            a
          
          |
        
        +
        
          |
          
            y
            −
            b
          
          |
        
        +
        
          |
          
            z
            −
            c
          
          |
        
        =
        r
        :
      
    
    {\displaystyle \left|x-a\right|+\left|y-b\right|+\left|z-c\right|=r:}
  


=== Մակերես և ծավալ ===
a երկարությամբ կողով կանոնավոր օկտաէդրի լրիվ մակերևույթի մակերեսը հավասար է

  
    
      
        S
        =
        2
        
          a
          
            2
          
        
        
          
            3
          
        
        ≈
        3.46410162
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle S=2a^{2}{\sqrt {3}}\approx 3.46410162a^{2}}
  :Օկտաէդրի ծավալը (V) հաշվարկվում է

  
    
      
        V
        =
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    3
                  
                
              
            
          
        
        
          
            2
          
        
        
          a
          
            3
          
        
        ≈
        0.471404521
        
          a
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle V={\begin{matrix}{1 \over 3}\end{matrix}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 0.471404521a^{3}}
  
բանաձևով:Այսպիսով, նույն երկարությամբ կողով օկտաէդրի ծավալը չորս անգամ մեծ է տետրաէդրի ծավալից, իսկ մակերևույթի մակերեսը մեծ է երկու անգամ  (քանի որ մակերևույթը կազմված է 8 եռանկյուններից, իսկ տետրաէդրը՝ 4):
Եթե օկտաէդրը ձգենք, որպեսզի տեղի ունենա հետևյալ հավասարությունը.

  
    
      
        
          |
          
            
              x
              
                x
                
                  m
                
              
            
          
          |
        
        +
        
          |
          
            
              y
              
                y
                
                  m
                
              
            
          
          |
        
        +
        
          |
          
            
              z
              
                z
                
                  m
                
              
            
          
          |
        
        =
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle \left|{\frac {x}{x_{m}}}\right|+\left|{\frac {y}{y_{m}}}\right|+\left|{\frac {z}{z_{m}}}\right|=1,}
  մակերեսի և ծավալի բանաձևերը վերածվում են՝

  
    
      
        A
        =
        4
        
        
          x
          
            m
          
        
        
        
          y
          
            m
          
        
        
        
          z
          
            m
          
        
        ×
        
          
            
              
                1
                
                  x
                  
                    m
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            
              
                1
                
                  y
                  
                    m
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            
              
                1
                
                  z
                  
                    m
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A=4\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}\times {\sqrt {{\frac {1}{x_{m}^{2}}}+{\frac {1}{y_{m}^{2}}}+{\frac {1}{z_{m}^{2}}}}}}
  

  
    
      
        V
        =
        
          
            4
            3
          
        
        
        
          x
          
            m
          
        
        
        
          y
          
            m
          
        
        
        
          z
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}}
  Բացի այդ, ձգված օկտաէդրի իներցիայի մոմենտների տենզորը հավասար կլինի.

  
    
      
        I
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      1
                      10
                    
                  
                  m
                  (
                  
                    y
                    
                      m
                    
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    z
                    
                      m
                    
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    
                      1
                      10
                    
                  
                  m
                  (
                  
                    x
                    
                      m
                    
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    z
                    
                      m
                    
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  
                    
                      1
                      10
                    
                  
                  m
                  (
                  
                    x
                    
                      m
                    
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    y
                    
                      m
                    
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{10}}m(y_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}+y_{m}^{2})\end{bmatrix}}}
  Այն բերվում է կանոնավոր օկտաէդրի հավասարման, երբ. 
  
    
      
        
          x
          
            m
          
        
        =
        
          y
          
            m
          
        
        =
        
          z
          
            m
          
        
        =
        a
        
        
          
            
              2
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{m}=y_{m}=z_{m}=a\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}}
  :


=== Երկրաչափական կապեր ===

Երկու երկակի տետրաէդրերի ներքին (ընդհանուր) փոխդասավորվածության մաս է կազմում օկտաէդրը, իսկ հենց այդ փոխդասավորությունը կոչվում է աստղաձև օկտաէդր (լատ. stella octangula): Փոխդասավորվածությունը հանդիսանում է օկտաէդրի աստղաձև միակ ձևը: Հետևաբար, կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է կանոնավոր տետրաէդրից կողի կեսի երկայնքով չորս կանոնավոր տետրաէդրերով հատույթ: Օկտաէդրի գագաթները ընկած են տետրաէդրի կողերի մեջտեղում և օկտաէդրը տետրաէդրի հետ կապված է նույն ձևով, ինչպես խորանարդաօկտաէդրը և իկոսոդոեկտաէդրը կապված են պլատոնյան մնացած մարմինների հետ:
Օկտաէդրը պլատոնյան մարմինների շրջանակում յուրահատուկ է նրանով, որ միայն նա յուրաքանչյուր գագաթին կից ունի զույգ թվով նիստեր:
Օկտաէդրը համարվում է 4-կապանի: Դա նշանակում է, որ պետք է հեռացնել չորս գագաթները, որպեսզի մնացածները հեռացնեն: Դա 4-կապանի 4 սիմպլիցիալ լավ ծածկույթով բազմանիստերից մեկն է, որը նշանակում է, որ  գագաթների ամենաշատ անկախ բազմությունները ունեն նույն չափը: Այդ հատկություններով մնացած երեք բազմանիստերն են հնգանկյուն երկբուրգը, սիամական դոդեկաէդրը և 12 գագաթներով և 20 եռանկյուն նիստերով անկանոն բազմանիստը:

Օկտաէդրը կարելի է ներգծել տետրաէդրին, ընդ որում օկտաէդրի 8 նիստերից 4-ը կլինեն համադրված տետրաէդրի չորս նիստերի հետ, օկտաէդրի բոլոր վեց գագաթները կլինեն համադրված տետրաէդրի վեց կողերի միջնակետերի հետ:
Օկտաէդրը կարելի է ներգծել խորանարդին, ընդ որում օկտաէդրի բոլոր վեց գագաթները համադրված կլինեն խորանարդի վեց նիստերի կենտրոնների հետ:
Օկտաէդրին կարելի է ներգծել խորանարդ, ընդ որում խորանարդի բոլոր ութ գագաթները տեղակայված կլինեն օկտաէդրի ութ նիստերի կենտրոններում:


=== Համասեռ գունավորում և սիմետրիա ===
Գոյություն ունի համասեռ գունավորմամբ 5 օկտաէդրեր, անվանված են ըստ իրենց նիստերի գույների. 1212, 1112, 1111:
Օկտաէդրի համաչափության խումբ է հանդիսանում 48 կարգի Oh հիպերօկտաէդրալ եռաչափ խումբը: Այդ խմբի ենթախմբերի կազմի մեջ է մտնում D3d (12 կարգի)՝ եռանկյուն անտիպրիզմայի համաչափության խումբը,  D4h (16 կարգի)՝ քառակուսային երկբուրգի համաչափության խումբը և Td (24 կարգի)՝ ամբողջությամբ հատած տետրաէդրի համաչափության խումբ: Այդ համաչափությունները կարելի է ընդգծել նիստերի տարատեսակ գունավորման ճանապարհով:


=== Փռվածքներ ===
Գոյություն ունի օկտաէդրի 12 փռվածք:


=== Երկակիություն ===
Օկտաէդրը երկակի է խորանարդին:


=== Հատույթ ===
Համասեռ տետրահեմիհեկսաէդրը համարվում է կանոնավոր օկտաէդրի տետրաէդրալ համաչափության հետ հատույթ, որը պահպանում է կողերի և գագաթների դասավորությունը: Հատույթն ունի չորս եռանկյուն նիստեր և 3 կենտրոնական քառակուսի:


== Ոչ կանոնավոր օկտաէդրեր ==
Հաջորդ բազմանիստերը կոմբինատոր համարժեք են կանոնավոր օկտաէդրին: Նրանք բոլորն ունեն վեց գագաթ, ութ եռանկյուն նիստեր և տասներկու կողեր, ինչը համապատասխանում է կանոնավոր օկտաէդրի պարամետրերին:

Եռանկյուն անտիպրիզմաներ՝ երկու նիստերն իրենցից ներկայացնում են զուգահեռ հարթություններում ընկած և համաչափության ընդհանուր առանք ունեցող հավասարակողմ եռանկյուններ: Մյուս վեց եռանկյունները հավասարակողմ են:
Քառանկյուն երկբուրգեր, որի մեջ ամենաքիչը մեկ էկվատորիալ քառանկյունը ընկած է հարթության մեջ: Կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է հատուկ դեպք, երբ բոլոր երեք քառանկյունները համդիսանում են հարթ քառակուսիներ:
Շոնխարդտի բազմանիստ, ոչ ուռուցիկ բազմանիստ, որն առանց նոր գագաթներ ներմուծելու հնարավոր չէ տրոհել տետրաէդրերի:


=== Այլ ուռուցիկ ութանիստեր ===
Ընդհանուր առմամբ, օկտաէդր կարող է անվանվել ութ նիստ ունեցող բազմանիստը: Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 6 գագաթ և 12 կող՝ մինիմալ թիվ օկտաէդրի համար: Ոչ կանոնավոր ութանիստերը կարող են ունենալ մինչև 12 գագաթ և 18 կող:

Գոյություն ունի 257 տոպոլոգիապես տարբեր ուռուցիկ ութանիստեր, հայելային արտապատկերումները բացառած: Մասնավորապես, գոյություն ունի 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 ութանիստեր համապատասխանաբար 6-ից մինչև 12 գագաթների թվով:
Որոշ ոչ կանոնավոր ութանիստեր.

Ութանկյուն պրիզմա. Երկու նիստերը հանդիսանում են զուգահեռ կանոնավոր վեցանկյուններ, վեց քառակուսիներ զույգ առ զույգ միացնում են վեցանկյունների համապատասխան կողմերը:
Յոթանկյուն բուրգ. Մեկ նիստը հանդիսանում է յոթանկյուն (հիմնականում կանոնավոր), իսկ մնացած յոթ նիստերը հանդիսանում են եռանկյուններ (հիմնականում հավասարասրուն): Հնարավոր չէ, որպեսզի բոլոր եռանկյուն նիստերը լինեն հավասարակողմ:
Հատած տետրաէդր. Տետրաէդրի չորս նիստերը հատվում են մինչև կանոնավոր վեցանկյուններ և հատած գագաթների տեղում ձևավորվում են երեք հավելյալ հավասարակողմ եռանկյուն նիստեր :
Քառանկյուն տրապեցոէդր. Ութ նիստերը կոնգրուենտ են դելտոիդներին:


== Օկտաէդրերը ֆիզիկական աշխարհում ==


=== Օկտաէդրերը բնության մեջ ===

Բնական մի շարք խորանարդային բյուրեղներ ունեն օկտաէդրի տեսք: Դրանք են. ալմաստը, ալյումինակալիումի սուլֆատը, նատրիումի քլորիդը, պերովսկիտը, օլիվինը, ֆլյուորիտը, շպինելը:
Օկտաէդրի ձև ունեն մաքուր մետաղների (նիկել, պղինձ, մագնեզիում, տիտան, լանթան և շատ ուրիշներ) պլատոնափաթեթային կառուցվածքների մեջ միջատոմային դատարկությունները (անցքեր):
Կամասիտի համաձուլվածքների թիթեղը օկտաէդրիտային երկնաքարերում տեղավորված են ութանիստ օկտաէդրի ութ նիստերին զուգահետ:


=== Օկտաէդրն արվեստի և մշակույթի մեջ ===

Խաղերի մեջ օկտաէդրի տեսքի զառը կոչվում է «d8»:
Եթե օկտաէդրի յուրաքանչյուր կող փոխարինենք միաօհմ ռեզիստրով, հանդիպակաց գագաթների միջև դիմադրությունը կկազմի 1/2 Օհմ, իսկ կից գագաթների միջև՝ 5/12 Օհմ.
Երաժշտական յոթ նոտաներ օկտաէդրի գագաթների վրա կարելի է դասավորել այնպես, որ յուրաքանչյուր կող ներկայացնի  ներդաշնակ զույգ, իսկ յուրաքանչյուր նիստ՝ ներդաշնակ եռյակ:
Հակատանկային ոզնին ունի երեք շեղակի օկտաէդրի ձև:


=== Տետրաէդալ կապ ===
Կրկնվող տետրաէդրերից և օկտաէդրերից կազմված կմախքը 1950-ական թվականներին հայտնաբերել է Ֆուլլերը և այն հայտնի է որպես տարածական շրջանակ և համարվում է ամուր կառույց:


== Կապված բազմանիստեր ==
Կանոնավոր օկտաէդր կարելի է ստանալ իրար հաջորդող նիստերի վրա ավելացնելով չորս տետրաէդրեր: Բոլոր ութ նիստերին տետրադրեր ավելացնելը ձևավորում է աստղաձև օկտաէդր:


=== Տետրատետրաէդր ===
Կանոնավոր օկտաէդրը կարելի է դիտարկել որպես ամբողջական հատած տետրաէդր և կարող է անվանվել տետրատետրաէդր: Դա կարելի է ցույց տալ երկու գույնով ներկված մոդելով: Այդ գունավորմամբ օկտաէդրն ունենում է տետրաէդրալ համաչափություն:


== Տես նաև ==
Կոմպլեքս միացություններ


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==


== Արտաքին հղումներ ==
Կաղապար:Mathworld
Klitzing Polytopes, 3D convex uniform polyhedra
Editable printable net of an octahedron with interactive 3D view
Paper model of the octahedron
K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra
The Uniform Polyhedra
Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
Conway Notation for Polyhedra Try: dP4