Խորանարդ հավասարում

Խորանարդ հավասարում, երրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում, ընդհանուր տեսքն է՝ 
  
    
      
        a
        
          x
          
            3
          
        
        +
        b
        
          x
          
            2
          
        
        +
        c
        x
        +
        d
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
  , որտեղ 
  
    
      
        a
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a\neq 0}
  ։ Խ. հ. 
  
    
      
        x
        =
        y
        −
        b
        
          /
        
        3
        a
      
    
    {\displaystyle x=y-b/3a}
   տեղադրությամբ բերվում է «թերի», կանոնիկ տեսքի՝ 
  
    
      
        
          y
          
            3
          
        
        +
        p
        y
        +
        q
        =
        0
      
    
    {\displaystyle y^{3}+py+q=0}
  , որը լուծվում է Կարդանոյի բանաձևով՝
Լուծումը կարող է տրվել Սցիպիոս դել Ֆերոյի և Տարտագալիայի մեթոդներով, որը հրատարակվել է Գերալամո Կարդանոյի կողմից 1545 թ.-ինՄեթոդը թույլ է տալիս հավասարումը բերել թերի խորանարդ հավասարման.

  
    
      
        
          t
          
            3
          
        
        +
        p
        t
        +
        q
        =
        0
        
        .
        
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle t^{3}+pt+q=0\,.\qquad (2)}
  Մենք ներկայացնում ենք u և v փոփոխականների կապը հետևյալ հավասարման տեսքով.

  
    
      
        u
        +
        v
        =
        t
        
      
    
    {\displaystyle u+v=t\,}
  և (2) հավասարումից օգտվելով այն կարելի է բերել հետևյալ հավասարման.

  
    
      
        
          u
          
            3
          
        
        +
        
          v
          
            3
          
        
        +
        (
        3
        u
        v
        +
        p
        )
        (
        u
        +
        v
        )
        +
        q
        =
        0
        
        (
        3
        )
        
      
    
    {\displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0\qquad (3)\,}
  ։Եվ այստեղ էլ Կառնոն առաջ է քաշում ևս մի պայման՝ u և v փոփոխականների համար։ 

  
    
      
        3
        u
        v
        +
        p
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle 3uv+p=0\,}
  ։Քանի որ (3) հավասարման մեջ առաջին փակագիծն անհետանում է, մենք ստանում ենք 
  
    
      
        
          u
          
            3
          
        
        +
        
          v
          
            3
          
        
        =
        −
        q
      
    
    {\displaystyle u^{3}+v^{3}=-q}
   և 
  
    
      
        
          u
          
            3
          
        
        
          v
          
            3
          
        
        =
        −
        
          p
          
            3
          
        
        
          /
        
        27
      
    
    {\displaystyle u^{3}v^{3}=-p^{3}/27}
  . հավասարումները։ Որտեղից 
  
    
      
        
          u
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle u^{3}}
   և 
  
    
      
        
          v
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle v^{3}}
   հավասարման երկու արմատներն են։ 

  
    
      
        
          z
          
            2
          
        
        +
        q
        z
        −
        
          
            
              p
              
                3
              
            
            27
          
        
        =
        0
        
        .
      
    
    {\displaystyle z^{2}+qz-{p^{3} \over 27}=0\,.}
  Այստեղից, Կարդանոն, որը չգիտեր կոմպլեքս թվերի մասին, ենթադրում է, որ թիվը ռեալ է և այն որոշվում է հետևյալ հավասարմամբ. 
  
    
      
        
          
            
              q
              
                2
              
            
            4
          
        
        +
        
          
            
              p
              
                3
              
            
            27
          
        
        >
        0
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}>0\,.}
  
Լուծելով այս հավասարումը մենք կարող ենք 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   և 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
   փոփոխականների արժեքները փոխարինել մեր արդյունքներով և ունենալ.

  
    
      
        
          u
          
            3
          
        
        =
        −
        
          
            q
            2
          
        
        +
        
          
            
              
                
                  q
                  
                    2
                  
                
                4
              
            
            +
            
              
                
                  p
                  
                    3
                  
                
                27
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle u^{3}=-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}
   և 
  
    
      
        
          v
          
            3
          
        
        =
        −
        
          
            q
            2
          
        
        −
        
          
            
              
                
                  q
                  
                    2
                  
                
                4
              
            
            +
            
              
                
                  p
                  
                    3
                  
                
                27
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle v^{3}=-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}
  ։Եվ քանի որ այս թվերը ըստ Կարդանոյի ռեալ են, մենք ստանում ենք.

  
    
      
        
          t
          
            1
          
        
        =
        u
        +
        v
        =
        
          
            
              −
              
                
                  q
                  2
                
              
              +
              
                
                  
                    
                      
                        q
                        
                          2
                        
                      
                      4
                    
                  
                  +
                  
                    
                      
                        p
                        
                          3
                        
                      
                      27
                    
                  
                
              
            
            
              3
            
          
        
        +
        
          
            
              −
              
                
                  q
                  2
                
              
              −
              
                
                  
                    
                      
                        q
                        
                          2
                        
                      
                      4
                    
                  
                  +
                  
                    
                      
                        p
                        
                          3
                        
                      
                      27
                    
                  
                
              
            
            
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{1}=u+v={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}}
  Բարդ խորանարդային հավասարումը լուծելիս ունենում ենք երկու կոմպլեքս արմատներ։ Այն փաստը, որ 
  
    
      
        u
        v
      
    
    {\displaystyle uv}
   արտադրյալն իրական թիվ է, մենք ստանում ենք, որ
  
    
      
        
        
          
            
              
                −
                1
              
              2
            
          
        
        +
        i
        
          
            
              
                3
              
              2
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \,{\tfrac {-1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\,}
   և մյուս կողմից 
  
    
      
        
        
          
            
              
                −
                1
              
              2
            
          
        
        −
        i
        
          
            
              
                3
              
              2
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \,{\tfrac {-1}{2}}-i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\,}
  ։
Եթե 
  
    
      
        
          
            
              q
              
                2
              
            
            4
          
        
        +
        
          
            
              p
              
                3
              
            
            27
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\,}
   պարտադիր չէ, որ խորանարդ հավասարման արժեքը լինի դրական, ապա մենք կարող ենք որոշել 
  
    
      
        
          u
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle u^{3}}
   արժեքը։ Քանի որ մենք 
  
    
      
        
          v
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle v^{3}}
   խորանարդ հավասարման համար ուղիղ լուծման ճանապարհ չունենք, ապա այն մենք կարող ենք լուծել հետևյալ հավասարմամբ. 
  
    
      
        v
        =
        −
        
          
            p
            
              3
              u
            
          
        
      
    
    {\displaystyle v=-{\frac {p}{3u}}}
  , որը մեզ կտա 

  
    
      
        u
        =
        
          
            
              −
              
                
                  q
                  2
                
              
              −
              
                
                  
                    
                      
                        q
                        
                          2
                        
                      
                      4
                    
                  
                  +
                  
                    
                      
                        p
                        
                          3
                        
                      
                      27
                    
                  
                
              
            
            
              3
            
          
        
        
        (
        4
        )
      
    
    {\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}\qquad (4)}
  և

  
    
      
        t
        =
        u
        −
        
          
            p
            
              3
              u
            
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle t=u-{\frac {p}{3u}}\,.}
  Նշենք որ արմաատի նշանը չի ազդում 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   փոփոխականի վրա, որովհետև նրա արժեքների փոփոխումը բերում է 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   և 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
   փոփխականների արժեքի փոփոխման։ Մենք ընտրում ենք մինուս նշանը ունենալով, որ 
  
    
      
        u
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle u\neq 0}
  , երբ 
  
    
      
        p
        =
        0
      
    
    {\displaystyle p=0}
   և 
  
    
      
        q
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle q\neq 0}
   թիվը զրոյի վրա բաժանվելուց խուսափելու համար։ Այս ընտրության դեպքում 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   փոփոխականի համար վերը նշված արտահայտությունները միշտ աշխատում են՝ բացառությամբ երբ 
  
    
      
        p
        =
        q
        =
        0
      
    
    {\displaystyle p=q=0}
  , որտեղ երկրորդ մասը դառնում է 
  
    
      
        0
        
          /
        
        0
      
    
    {\displaystyle 0/0}
  ։ Այս դեպքում մենք ունենում ենք եռակի արմատ. 
  
    
      
        t
        =
        0
      
    
    {\displaystyle t=0}
  .
Բայց խնդրի լուծման համար նշենք ևս մի քանի տարբերակներ, երբ խնդիրը հանգեցվում է քիչ քանակությունով քառակասի և խորանարդ արմատների գտնելուն.

Եթե 
  
    
      
        p
        =
        q
        =
        0
      
    
    {\displaystyle p=q=0}
   մենք ունենում ենք երեք արտատ

  
    
      
        t
        =
        0.
        
      
    
    {\displaystyle t=0.\,}
  
Եթե 
  
    
      
        p
        =
        0
      
    
    {\displaystyle p=0}
   և 
  
    
      
        q
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle q\neq 0}
   ապա

  
    
      
        u
        =
        −
        
          
            q
            
              3
            
          
        
        
           and 
        
        v
        =
        0
      
    
    {\displaystyle u=-{\sqrt[{3}]{q}}{\text{ and }}v=0}
  
և երեք արմատները 
  
    
      
        −
        q
      
    
    {\displaystyle -q}
   խորանարդ արմատներն են։
Եթե 
  
    
      
        p
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle p\neq 0}
   և 
  
    
      
        q
        =
        0
      
    
    {\displaystyle q=0}
   ապա

  
    
      
        u
        =
        
          
            
              p
              3
            
          
        
        
        
          and
        
        
        v
        =
        −
        
          
            
              p
              3
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle u={\sqrt {p \over 3}}\qquad {\text{and}}\qquad v=-{\sqrt {p \over 3}},}
  
այս դեպքում երեք արմատները հետևյալն են.

  
    
      
        t
        =
        u
        +
        v
        =
        0
        ,
        
        t
        =
        
          ω
          
            1
          
        
        u
        −
        
          
            p
            
              3
              
                ω
                
                  1
                
              
              u
            
          
        
        =
        
          
            −
            p
          
        
        ,
        
        t
        =
        
          
            u
            
              ω
              
                1
              
            
          
        
        −
        
          
            
              
                ω
                
                  1
                
              
              p
            
            
              3
              u
            
          
        
        =
        −
        
          
            −
            p
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle t=u+v=0,\qquad t=\omega _{1}u-{p \over 3\omega _{1}u}={\sqrt {-p}},\qquad t={u \over \omega _{1}}-{\omega _{1}p \over 3u}=-{\sqrt {-p}},}
  
որտեղ

  
    
      
        
          ω
          
            1
          
        
        =
        
          e
          
            i
            
              
                
                  2
                  π
                
                3
              
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        +
        
          
            
              
                3
              
              2
            
          
        
        i
        .
      
    
    {\displaystyle \omega _{1}=e^{i{\frac {2\pi }{3}}}=-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i.}
  
Ի վերջո, եթե 
  
    
      
        4
        
          p
          
            3
          
        
        +
        27
        
          q
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0}
   և 
  
    
      
        p
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle p\neq 0}
  , ստացվում է կրկնակի արմատ և պարզագույն արմատ, որոնք կարող են լինել ռացիոնալ 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   և 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   փոփոխականների տեսանկյունից, բայց այս արտահայտությունն արմատից անմիջապես չենք կարող ստանալ.

  
    
      
        
          t
          
            1
          
        
        =
        
          t
          
            2
          
        
        =
        −
        
          
            
              3
              q
            
            
              2
              p
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle t_{1}=t_{2}=-{\frac {3q}{2p}}\quad }
   և 
  
    
      
        
        
          t
          
            3
          
        
        =
        
          
            
              3
              q
            
            p
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle \quad t_{3}={\frac {3q}{p}}\,.}
  


== Ծանոթագրություններ ==