Շրյոդինգերի պատկերացում

Շրյոդինգերի պատկերացում, Շրյոդինգերի պատկեր, քվանտային մեխանիկայի ձևակերպում, որտեղ քվանտային վիճակի վեկտորը փոփոխվում է ժամանակի ընթացքում, բայց օպերատորները հաստատուն են մնում։ Սա տարբերվում է Հայզենբերգի ներկայացումից, որը վիճակը հաստատուն է պահում, մինչ քվանտային դիտարկելին (անգլ․ observable) փոփոխվում են ժամանակի ընթացքում, և փոխազդեցության ներկայացումից, որտեղ և վիճակը, և դիտարկելին փոփոխվում են ժամանակի ընթացքում։ Շրյոդինգերի և Հայզենբերգի պատկերացումները կապված են ակտիվ և պասիվ ձևափոխությունների հետ և կոմուտացման առնչությունները օպերատորների միջև պահպանվում են մմի պատկերից մյուսին անցնելիս։
Շրյոդինգերի պատկերում համակարգի վիճակը զարգանում է ժամանակի ընթացքում։ Փակ քվանտային համակարգի զարգացումը տրվում է ունիտար օպերատորով՝ ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորով։ Քանի որ ժամանակի ձևավորում է 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle }
   վիճակի վեկտոր t0պահին 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        (
        t
        )
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi (t)\rangle }
   վիճակի վեկտորին t պահին, ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը սովորաբար գրվում է 
  
    
      
        U
        (
        t
        ,
        
          t
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle U(t,t_{0})}
  , և ունենք

  
    
      
        
          |
        
        ψ
        (
        t
        )
        ⟩
        =
        U
        (
        t
        ,
        
          t
          
            0
          
        
        )
        
          |
        
        ψ
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
        ⟩
        .
      
    
    {\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}
  Այն դեպքում, երբ համակարգի համիլտոնյանը չի փոխվում ժամանակի ընթացքում, ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը ունի

  
    
      
        U
        (
        t
        ,
        
          t
          
            0
          
        
        )
        =
        
          e
          
            −
            i
            H
            (
            t
            −
            
              t
              
                0
              
            
            )
            
              /
            
            ℏ
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle U(t,t_{0})=e^{-iH(t-t_{0})/\hbar },}
  տեսքը, որտեղ էքսպոնենտը հաշվարկվում է Թեյլորի շարքի միջոցով։
Շրյոդինգերի պատկերացումն օգտակար է, երբ գործ ունենք ժամանակից անկախ համիլտոնյանի հետ H, այսինքն՝ 
  
    
      
        
          ∂
          
            t
          
        
        H
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \partial _{t}H=0}
  ։


== Հիմքը ==
Քվանտային մեխանիկայում քվանտամեխանիկական համակարգի վիճակը ներկայացվում է ψ(x, t) կոմպլեքս ալիքային ֆունկցիայով։ Ավելի աբստրակտ կերպով վիճակը կարող է ներկայացվել վիճակի վեկտորի տեսքով կամ փակագծային նշանակումներով (բրե֊քիտ նշանակումներ, անգլ․՝ bra-ket notation), 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle }
  ։ Այս նշանակումը հիլբերտյան տարածության տարր է՝ վեկտորական տարածություն, որը պարունակում է համակարգի բոլոր հնարավոր վիճակները։ Քվանտամեխանիկական օպերատորը ֆունկցիա է, որը որպես արգումենտ վերցնում է 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle }
   «քիտը» և ներկայացնում է այլ քիտ՝ 
  
    
      
        
          |
        
        
          ψ
          ′
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi '\rangle }
  ։
Քվանտային մեխանիկայի Շրյոդինգերի և Հայզենբերգի ներկայացումների տարբերությունները գործ ունեն ժամանակի ընթացքում փոխվող համակարգերի հետ, համակարգի՝ ժամանակից կախված բնույթը պետք է տեղի ունենա վիճակի վեկտորների և օպերատորների որոշ կոմբինացիայով։ Օրինակ, քվանտային ներդաշնակ տատանակը կարող է լինել 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle }
   վիճակում, որի համար իմպուլսի սպասվող արժեքները՝ 
  
    
      
        ⟨
        ψ
        
          |
        
        
          
            
              p
              ^
            
          
        
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle }
  , ժամանակի ընթացքում փոխվում են սինուսոիդով։ Կարելի է հարցնել, թե սինուսոիդալ տատանումը պետք է արտացոլվի 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle }
   վիճակի վեկտորով, 
  
    
      
        
          
            
              p
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {p}}}
   իմպուլսի օպերատորով կամ թե երկուսն էլ։ Այս երեք ընտրություններն էլ ճիշտ են, առաջինը տալիս է Շրյոդինգերի պատկերացումը, երկրորդը՝ Հայզենբերգի պատկերացումը, երրորդը՝ փոխազդեցության պատկերացումը։


== Էվոլյուցիայի օպերատոր ==


=== Սահմանում ===
U(t, t0) ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը սահմանվում է որպես մի օպերատոր, որն ազդում է «քիտի» վրա t0 պահին՝ ստանալու համար քիտը ժամանակի մի այլ t պահին․

  
    
      
        
          |
        
        ψ
        (
        t
        )
        ⟩
        =
        U
        (
        t
        ,
        
          t
          
            0
          
        
        )
        
          |
        
        ψ
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
        ⟩
        .
      
    
    {\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}
  Փակագծային նշանակումներով ունենք ունենք

  
    
      
        ⟨
        ψ
        (
        t
        )
        
          |
        
        =
        ⟨
        ψ
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
        
          |
        
        
          U
          
            †
          
        
        (
        t
        ,
        
          t
          
            0
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}).}
  


=== Հատկություններ ===
ՈւնիտարությունԺամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը պետք է լինի ունիտար, քանի որ մենք պահանջ ենք դնում, որ վիճակի քիտի նորմը պետք է չփոխվի ժամանակի ընթացքում։ Այսինքն՝

  
    
      
        ⟨
        ψ
        (
        t
        )
        
          |
        
        ψ
        (
        t
        )
        ⟩
        =
        ⟨
        ψ
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
        
          |
        
        
          U
          
            †
          
        
        (
        t
        ,
        
          t
          
            0
          
        
        )
        U
        (
        t
        ,
        
          t
          
            0
          
        
        )
        
          |
        
        ψ
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
        ⟩
        =
        ⟨
        ψ
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
        
          |
        
        ψ
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }
  ։Ուստի,

  
    
      
        
          U
          
            †
          
        
        (
        t
        ,
        
          t
          
            0
          
        
        )
        U
        (
        t
        ,
        
          t
          
            0
          
        
        )
        =
        I
      
    
    {\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I}
  ։ՆույնականությունԵթե t = t0, ապա U֊ն նույնական օպերատոր է, քանի որ

  
    
      
        
          |
        
        ψ
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
        ⟩
        =
        U
        (
        
          t
          
            0
          
        
        ,
        
          t
          
            0
          
        
        )
        
          |
        
        ψ
        (
        
          t
          
            0
          
        
        )
        ⟩
        .
      
    
    {\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}
  ՓակումԷվոլյուցիան t0֊ից t կարելի է դիտարկել որպես երկու քայլանի ժամանակային էվոլյուցիա, սկզբում՝ t0֊ից t1 միջանկյալ վիճակին, և ապա՝ t1֊ից վերջնական t վիճակին։ Այսպիսով՝

  
    
      
        U
        (
        t
        ,
        
          t
          
            0
          
        
        )
        =
        U
        (
        t
        ,
        
          t
          
            1
          
        
        )
        U
        (
        
          t
          
            1
          
        
        ,
        
          t
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0})}
  ։


=== Դիֆերենցիալ հավասարումը ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորի համար ===
Ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորի t0 ինդեքսը կարելի է անտեսել, պայմանով, որ t0 = 0 և այն գրել որպես U(t)։ Շրյոդինգերի հավասարումը՝

  
    
      
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        
          |
        
        ψ
        (
        t
        )
        ⟩
        =
        H
        
          |
        
        ψ
        (
        t
        )
        ⟩
        ,
      
    
    {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle ,}
  որտեղ H֊ը համիլտոնյանն է։ Կիրառելով ժամանակի էվոլյուցիայի U օպերատորը՝ գրելու համար 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        (
        t
        )
        ⟩
        =
        U
        (
        t
        )
        
          |
        
        ψ
        (
        0
        )
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle }
  , կունենանք

  
    
      
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        U
        (
        t
        )
        
          |
        
        ψ
        (
        0
        )
        ⟩
        =
        H
        U
        (
        t
        )
        
          |
        
        ψ
        (
        0
        )
        ⟩
      
    
    {\displaystyle i\hbar {\partial  \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle }
  ։Քանի որ 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        (
        0
        )
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi (0)\rangle }
   հաստատուն «քիտ» է («քիտ» վիճակը t = 0֊ում) և քանի որ վերևի հավասարումը հիլբերտյան տարածությունում ճիշտ է ցանկացած հաստատուն «քիտի» համար, ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը պետք է ենթարկվի

  
    
      
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        U
        (
        t
        )
        =
        H
        U
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle i\hbar {\partial  \over \partial t}U(t)=HU(t)}
  հավասարմանը։
Եթե համիլտոնյանն անկախ է ժամանակից, վերևի հավասարման լուծումը կլինի

  
    
      
        U
        (
        t
        )
        =
        
          e
          
            −
            i
            H
            t
            
              /
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}
  ։Քանի որ H֊ը օպերատոր է, էքսպոնենցիալ արտահայտությունը կհաշվարկվի Թեյլորի շարքի միջոցով՝

  
    
      
        
          e
          
            −
            i
            H
            t
            
              /
            
            ℏ
          
        
        =
        1
        −
        
          
            
              i
              H
              t
            
            ℏ
          
        
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  H
                  t
                
                ℏ
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots }
  ։Այսպիսով,

  
    
      
        
          |
        
        ψ
        (
        t
        )
        ⟩
        =
        
          e
          
            −
            i
            H
            t
            
              /
            
            ℏ
          
        
        
          |
        
        ψ
        (
        0
        )
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle }
  ։Նշենք, որ 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        (
        0
        )
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi (0)\rangle }
  ֊ն կամայական քիտ է։ Սակայն եթե սկզբնական «քիտը» համիլտոնյանի սեփական վիճակ է E սեփական արժեքով, կստանանք

  
    
      
        
          |
        
        ψ
        (
        t
        )
        ⟩
        =
        
          e
          
            −
            i
            E
            t
            
              /
            
            ℏ
          
        
        
          |
        
        ψ
        (
        0
        )
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle }
  ։Այսպիսով տեսնում ենք, որ համիլտոնյանի սեփական վիճակները ստացիոնար վիճակներ են։
Եթե համիլտոնյանը կախված է ժամանակից, բայց տարբեր պահերին համիլտոնյանները կոմուտացվում են, ապա ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը կարելի է գրել որպես

  
    
      
        U
        (
        t
        )
        =
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                i
                ℏ
              
            
            
              ∫
              
                0
              
              
                t
              
            
            H
            (
            
              t
              ′
            
            )
            
            d
            
              t
              ′
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}
  Եթե համիլտոնյանը կախված է ժամանակից, բայց տարբեր պահերի համիլտոնյաները չեն կոմուտացվում, ապա ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը կարելի է գրել որպես

  
    
      
        U
        (
        t
        )
        =
        
          T
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                i
                ℏ
              
            
            
              ∫
              
                0
              
              
                t
              
            
            H
            (
            
              t
              ′
            
            )
            
            d
            
              t
              ′
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle U(t)=\mathrm {T} \exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}
  որտեղ T֊ն ժամանակակարգավորված օպերատոր է, երբեմն հայտնի է Դայսոնի շարք անունով։


== Բոլոր պատկերացումների համեմատական աղյուսակ ==


== Տես նաև ==
Հայզենբերգի պատկերացում
Փոխազդեցության պատկերացում


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
Cohen-Tannoudji Claude, Bernard Diu, Frank Laloe (1977)։ Quantum Mechanics (Volume One)։ Paris: Wiley։ էջեր 312–314։ ISBN 0-471-16433-X 
Albert Messiah, 1966. Quantum Mechanics (Vol. I), English translation from French by G. M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons.
Merzbacher E., Quantum Mechanics (3rd ed., John Wiley 1998) p. 430-1 ISBN 0-471-88702-1
L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1977)։ Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory։ Vol. 3 (3rd ed.)։ Pergamon Press։ ISBN 978-0-08-020940-1  Online copy
R. Shankar (1994); Principles of Quantum Mechanics, Plenum Press, ISBN 978-0306447907 .
J. J. Sakurai (1993); Modern Quantum mechanics (Revised Edition), ISBN 978-0201539295 .