Sgn

sgn (սիգնում, լատ.՝ signum-նշան), մասնակի հաստատուն ֆունկցիա, իրական արգումնենտի համար։ Նշանակվում է՝ 
  
    
      
        sgn
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sgn} x}
  ։ Սահմանվում է հետևյալ կերպ.

  
    
      
        sgn
        ⁡
        x
        =
        
          
            {
            
              
                
                   
                   
                  1
                  ,
                
                
                  x
                  >
                  0
                
              
              
                
                   
                   
                  0
                  ,
                
                
                  x
                  =
                  0
                
              
              
                
                  −
                  1
                  ,
                
                
                  x
                  <
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sgn} x={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}}
  Ֆունկցիան տարրական չէ։ Հաճախ օգտագործվում է հետևյալ ներկայացումը․

  
    
      
        sgn
        ⁡
        x
        =
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        
          |
        
        x
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {d}{dx}}|x|}
  Ընդ որում զրոյի մոդուլի ածանցյալը, որը սահմանված չէ, վերահաշվարկվում է ձախ և աջ համապատասխան ածանցյալների թվաբանական միջինով։
Ֆունկցիան օգտագործվում է ազդանշանների մշակման տեսության մեջ, մաթեմատիկական վիճակագրության և մաթեմատիկայի այլ ճյուղերում, որտեղ անհրաժեշտ է տալ թվի նշանը։


== Պատմություն և նշանակումներ ==

  
    
      
        sgn
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sgn} x}
   ֆունկցիան 1878 թվականին ներմուծեց Լեոպոլդ Կրոնեկերը, սկզբում նա այն այլ կերպ նշանակեց՝ 
  
    
      
        [
        x
        ]
      
    
    {\displaystyle [x]}
  ։ 1884 թվականին Կրոնեկերին անհրաժեշտ էր մի հոդվածում օգտագործել 
  
    
      
        sgn
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sgn} }
  –ի հետ նաև «ամբողջ մաս»ի ցույց տվող ֆունկցիան, որը նույնպես նշվում է քառակուսի փակագծերում։ Խառնաշփոթից խուսափելու նպատակով Կրոնեկերը ներմուծեց 
  
    
      
        s
        g
        n
        ⋅
        x
      
    
    {\displaystyle sgn\cdot x}
   նշանակումը, հենց այդ գրությունն էլ (առանց կետի) ընդունվեց գիտության մեջ։ Երբեմն ֆունկցիան նշանակվում է՝ 
  
    
      
        sign
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sign} x}
  ։


== Ֆունկցիայի հատկությունները ==
Որոշման տիրույթ՝ 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  ,
Արժեքների տիրույթ՝ 
  
    
      
        {
        −
        1
        ;
        0
        ;
        +
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \{-1;0;+1\}}
  ,
Որոշված է բոլոր արժեքների համար, բացի զրոյից,
Ֆունկցիան կենտ չէ

  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
   կետը հանդիսանում է առաջին կարգի խզման կետ է, քանի որ սահմանները աջից և ձախից համապատասխանաբար հավասար են ՝ 
  
    
      
        +
        1
      
    
    {\displaystyle +1}
   և 
  
    
      
        −
        1
      
    
    {\displaystyle -1}
  ։

  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        =
        sgn
        ⁡
        x
        ⋅
        x
      
    
    {\displaystyle |x|=\operatorname {sgn} x\cdot x}
   և 
  
    
      
        x
        =
        sgn
        ⁡
        x
        ⋅
        
          |
        
        x
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle x=\operatorname {sgn} x\cdot |x|}
    
  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} }
   համար։ Այլ կերպ ասած․

  
    
      
        sgn
        ⁡
        x
        =
        
          
            x
            
              
                |
              
              x
              
                |
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                |
              
              x
              
                |
              
            
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sgn} x={x \over |x|}={|x| \over x}}
   при 
  
    
      
        x
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle x\neq 0}
  .

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        sgn
        ⁡
        x
        =
        2
        ⋅
        δ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sgn} x=2\cdot \delta (x)}
  , որտեղ 
  
    
      
        δ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \delta (x)}
   — Դիրակ դելտայի ֆունկցիան է,

  
    
      
        sgn
        ⁡
        x
        ⋅
        sgn
        ⁡
        y
        =
        sgn
        ⁡
        (
        x
        ⋅
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sgn} x\cdot \operatorname {sgn} y=\operatorname {sgn}(x\cdot y)}
  .

  
    
      
        sgn
        ⁡
        x
        =
        
          
            2
            π
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              t
              x
            
            t
          
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin tx}{t}}dt}
  .


== Ֆունկցիայի ընդհանրացումը կոմպլեքս արգումենտի համար ==

  
    
      
        sgn
        ⁡
        z
        =
        
          
            {
            
              
                
                  z
                  
                    /
                  
                  
                    |
                  
                  z
                  
                    |
                  
                  ,
                
                
                  z
                  ≠
                  0
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  z
                  =
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sgn} z={\begin{cases}z/|z|,&z\neq 0\\0,&z=0\end{cases}}}
  Ֆունկցիայի նշված ներկայացումը հնարավորություն է տալիս կոմպլեքս արգումենտի համար ֆունկցիայի հնարավոր ընդհանրացումներից մեկը։ Ընդ որում 
  
    
      
        z
        
          /
        
        
          |
        
        z
        
          |
        
        =
        cos
        ⁡
        φ
        +
        i
        sin
        ⁡
        φ
        =
        
          e
          
            i
            φ
          
        
      
    
    {\displaystyle z/|z|=\cos \varphi +i\sin \varphi =e^{i\varphi }}
  , где 
  
    
      
        φ
        =
        Arg
        ⁡
        z
      
    
    {\displaystyle \varphi =\operatorname {Arg} z}
   — կոմպլեքս թվի արգումենտ։ Երբ
  
    
      
        z
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle z\neq 0}
    
  
    
      
        sgn
        ⁡
        z
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sgn} z}
   ֆունկցիայի արդյունքը հանդիսանում է միավոր շառավղով շրջանագծի կետ, 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  –ին մոտ թիվ։ Այս ընդհանրացման իմաստը կայանում է նրանում, որ միավոր երկարությամբ շառավիղ–վեկտորի միջոցով ներկայացումը կոմպլեքս հարթության վրա ճիշտ չէ 
  
    
      
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z=0}
   թվի համար։ Բևեռային կոորդինատների համար այդ նույն ուղղությունն է տալիս 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
   անկյունը։

  
    
      
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z=0}
   թվին համապատասխան անորոշ ուղղությունը արտահայտվում է ֆունկցիայի զրոյական արժեքով։ Այսպիսով՝  signum ֆունկցիան որոշված է  Haskell լեզվի կոմպլեքս թվերի ստանդարտ գրադարանում։

Ֆունկցիայի ընդհանրացման մյուս տարբերակը նշանակվում է՝ 
  
    
      
        csgn
      
    
    {\displaystyle \operatorname {csgn} }
  , որը որոշվում է հետևյալ կերպ․
  
    
      
        csgn
        ⁡
        (
        z
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  1
                  ,
                
                
                  Re
                  ⁡
                  z
                  >
                  0
                
              
              
                
                  −
                  1
                  ,
                
                
                  Re
                  ⁡
                  z
                  <
                  0
                
              
              
                
                  sgn
                  ⁡
                  Im
                  ⁡
                  z
                
                
                  Re
                  ⁡
                  z
                  =
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1,&\operatorname {Re} z>0\\-1,&\operatorname {Re} z<0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Im} z&\operatorname {Re} z=0\end{cases}}}
  Այս ներկայացումը օգտագործվում է  Mathcad и Maple հավելվածներում։


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964. — 608 с.
Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.