Հիպերերկրաչափական շարք

Հիպերերկրաչափական շարք՝

  
    
      
        F
        (
        
          α
        
        ,
        
          β
        
        ,
        
          γ
        
        ,
        
          χ
        
        )
        =
        1
        +
        
          
            
              
                α
              
               
              .
              
                β
              
            
            
              
                1
              
               
              .
              
                γ
              
            
          
        
         
        
          χ
        
        +
        
          
            
              
                α
              
              (
              
                α
              
              +
              1
              )
              
                β
              
              (
              
                β
              
              +
              1
              )
            
            
              1
               
               
              .2
               
              
                γ
              
               
              (
              
                γ
              
              +
              1
              )
            
          
        
        
          χ
        
        +
      
    
    {\displaystyle F({\alpha },{\beta },{\gamma },{\chi })=1+{\frac {{\alpha }~.{\beta }}{{1}~.{\gamma }}}~{\chi }+{\frac {{\alpha }({\alpha }+1){\beta }({\beta }+1)}{1~~.2~{\gamma }~({\gamma }+1)}}{\chi }+}
  
  
    
      
        +
        
          
            
              α
              (
              
                α
              
              +
              1
              )
              (
              
                α
              
              +
              2
              )
              
                β
              
              (
              
                β
              
              +
              1
              )
              (
              
                β
              
              +
              2
              )
            
            
              
                1
                
                  .
                
              
              
                2
                
                  .
                
              
              
                3
                
                  .
                
              
              
                γ
              
              (
              
                γ
              
              +
              1
              )
              (
              
                γ
              
              +
              2
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle +{\frac {\alpha ({\alpha }+1)({\alpha }+2){\beta }({\beta }+1)({\beta }+2)}{1^{.}2^{.}3^{.}{\gamma }({\gamma }+1)({\gamma }+2)}}}
  տեսքի շարք, երկրաչափական պրոգրեսիայի ընդհանրացումն է։ Հիպերերկրաչափական շարքը իմաստ ունի, երբ 
  
    
      
        
          γ
        
      
    
    {\displaystyle {\gamma }}
  -ն զրո կամ բացասական ամբողջ թիվ չէ։ Հիպերերկրաչափական շարքը զուգամետ է 
  
    
      
        
          |
        
        
          χ
        
        
          |
        
        <
        
          ι
        
      
    
    {\displaystyle |{\chi }|<{\iota }}
   դեպքում, իսկ եթե նաև՝

  
    
      
        
          γ
        
        >
        
          α
        
        +
        
          β
        
      
    
    {\displaystyle {\gamma }>{\alpha }+{\beta }}
  , ապա զուգամետ է նաև 
  
    
      
        
          χ
        
        =
        
          ι
        
      
    
    {\displaystyle {\chi }={\iota }}
   դեպքում և տեղի ունի Գաուսի բանաձևը՝

  
    
      
        F
        (
        
          α
        
        ,
        
          β
        
        ,
        
          γ
        
        ,
        
          ι
        
        )
        =
        
          
            
              
                Γ
              
              (
              
                γ
              
              )
              
                Γ
              
              (
              
                γ
              
              −
              
                α
              
              −
              
                β
              
              )
            
            
              
                Γ
              
              (
              
                γ
              
              −
              
                α
              
              )
              (
              
                γ
              
              −
              
                β
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F({\alpha },{\beta },{\gamma },{\iota })={\frac {{\Gamma }({\gamma }){\Gamma }({\gamma }-{\alpha }-{\beta })}{{\Gamma }({\gamma }-{\alpha })({\gamma }-{\beta })}}}
  ,
որտեղ 
  
    
      
        
          Γ
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\Gamma }(x)}
  -ը գամմա ֆունկցիան է։ 
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        <
        
          ι
        
      
    
    {\displaystyle |x|<{\iota }}
   դեպքում հիպերերկրաչափական շարքով որոշվող անալիտիկ ֆունկցիան կոչվում է հիպերերկրաչափական ֆունկցիա, որը կարևոր դեր է խաղում դիֆերենցիալ հավասարումների տեսությունում։ Հիպերերկրաչափական շարք առաջին անգամ ուսումնասիրել է Լ. Էյլերը (1778 թվականին), ապա, ավելի հանգամանորեն, Կ. Գաուսը (1813 թվականին)։