Հազարամյակի մրցանակային խնդիրներ

Հազարամյակի մրցանակային խնդիրներ (Millennium Prize Problems), կազմված են յոթ մաթեմատիկական խնդիրներից, որոնք բնութագրվում են որպես․ «Դասական կարևոր խնդիրներ, որոնց լուծումը երկար տարիներ չի հայտնաբերվել»։ Այս խնդիրներից յուրաքանչյուրի լուծման համար Քլեյի մաթեմատիկայի ինստիտուտի կողմից առաջարկվում է պարգևատրում՝ 1 000 000 ԱՄՆ դոլարի չափով։ Հայտարարելով մրցանակը՝ Քլեյի ինստիտուտը զուգահեռներ անցկացրեց Հիլբերտի խնդիրների ցուցակի հետ, որոնք ներկայացվել են 1900 թվականին և էական ազդեցություն են թողել XX-րդ դարի մաթեմատիկայի վրա։ Հիլբերտի 23 խնդիրներից մեծամասնությունն արդեն լուծված էր, և միայն մեկը՝ Ռիմանի հիպոթեզը, ընդգրկվեց հազարամյակի խնդիրների ցուցակում։ 
2017 թվականի տվյալներով յոթ խնդիրներից միայն մեկը՝ Պուանկարեյի հիպոթեզն է լուծվել (նրա լուծման համար Գրիգորի Պերելմանն արժանացել է Ֆիլդսի մրցանակի և հրաժարվել է ընդունել այն)։


== Խնդիրների ցուցակ ==


=== P և NP դասերի հավասարություն ===
Եթե ինչ-որ հարցի դրական պատասխան կարելի է արագ (բազմանդամային ժամանակում) ստուգել (օգտագործելով որոշակի աջակցող տեղեկատվություն, որը կոչվում է վկայագիր), արդյո՞ք ճիշտ է, որ հենց այս հարցի պատասխանը (վկայագրի հետ միասին) կարելի է արագ գտնել։ Առաջին տեսակի խնդիրները պատկանում են P դասին, երկրորդը՝ NP դասին։ Այս դասերի հավասարության խնդիրը համարվում է ալգորիթմների տեսության կարևորագույն խնդիրներից մեկը։ 


=== Հոդջի հիպոթեզ ===
Հանրահաշվական երկրաչափության կարևորագույն խնդիրներից է։ Հիպոթեզը նկարագրում է նախագծային կոմպլեքս բազմազանության կոհոմոլոգիայի դասերը՝ իրագործելով հանրահաշվական ենթաբազմազանություն։


=== Պուանկարեյի հիպոթեզ (ապացուցված է) ===
Համարվում է տեղաբանության առավել հայտնի խնդիրներից մեկը։ Ավելի պարզ ասած, այն պնդում է, որ ցանկացած եռաչափ «օբյեկտ», որն ունի եռաչափ գնդի որոշակի հատկություններ (օրինակ՝ նրա ներսում ցանկացած հանգույց պիտի լինի ձգվող), պետք է լինի գունդ՝ դեֆորմացիայի ճշտությամբ։
Պուանկարեյի հիպոթեզն ապացուցելու համար մրցանակի է արժանացել ռուս մաթեմատիկ Գ․ Պերելմանը, ով 2002 թվականին հրատարակեց աշխատությունների շարք, որոնցից բխում է Պուանկարեյի հիպոթեզների վավերականությունը։


=== Ռիմանի հիպոթեզ ===
Հիպոթեզը պնդում է, որ Ռիմանի զետա ֆունկցիայի բոլոր ոչ տրիվյալ (այսինքն՝ ոչ զրոյական կեղծ մասով) զրոները ունեն 1/2-ի հավասար իրական մաս։ Նրա ապացույցը կամ ժխտումը թվերի տեսության համար կունենա հեռու գնացող հետևանքներ, հատկապես՝ պարզ թվերի բաշխման բնագավառում։ Ռիմանի հիպոթեզն ութերորդն էր Հիլբերտի ցուցակում։ Ռիմանի հիպոթեզի հակաօրինակի հրապարակման դեպքում Քլեյի համալսարանի գիտնականների խորհուրդն իրավունք ունի որոշելու, թե կարելի է արդյոք տվյալ հակաօրինակը համարել խնդրի վերջնական լուծում, թե խնդիրը պետք է վերաձևակերպել ավելի նեղ ձևով և թողնել բաց (վերջին դեպքում հակաօրինակի հեղինակին կարող է տրվել փոքր մրցանակ)։


=== Յանգ-Միլսի տեսություն ===
Խնդիրը տարրական մասնիկների ֆիզիկայի ոլորտից է։ Պահանջվում է ապացուցել, որ ցանկացած 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
   պարզ, կոմպակտ, տրամաչափիչ խմբի համար Յանգ-Միլսիի քվանտային տեությունը, 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
   տարածության համար գոյություն ունի և ունի ոչ զրոյական զանգվածի թերություն։ Այս պնդումը համապատասխանում է փորձարարական տվյալներին և թվային մոդելավորմանը, այնուամենայնիվ դա ապացուցել առ այսօր չի հաջողվել։


=== Նավիե-Ստոքսի հավասարումների գոյությունը և հարթությունը ===
Նավիե-Ստոքսի հավասարումը նկարագրում է մածուցիկ հեղուկի շարժումը։ Հիդրոդինամիկայի կարևորագույն խնդիրներից է։


=== Բիրչ - Սվիններտոն-Դայերի հիպոթեզ ===
Հիպոթեզը կապված է էլիպտիկ կորի ռացիոնալ լուծումների հետ։


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
А. М. Вершик «Что полезно математике? Размышления о премиях Clay Millenium»
Մաթեմատիկայում հազարամյակի մեծ մարտահրավերները
Հազարամյակի խնդիրներ Archived 2009-01-16 at the Wayback Machine.