Կանոնավոր դոդեկաեդր

Կանոնավոր դոդեկաեդր (տասներկուանիստ) ( հին հունարեն՝ δώδεκα - «տասներկու» և εδρον -  «նիստ»), հինգ հնարավոր կանոնավոր բազմանիստերից մեկը։ Դոդեկաեդրը բաղկացած է տասներկու կանոնավոր հնգանկյուններից, որոնք հանդիսանում են նրա նիստերը։ Դոդեկաեդրի յուրաքանչյուր գագաթ հանդիսանում է երեք կանոնավոր հնգանկյունիների գագաթ։ Այսպիսով՝ դոդեկաեդրը կազմված է 12 նիստից (հնգանկյուն), 30 կողից և 20 գագաթից (յուրաքանչյուր գագաթից՝ 3 կող)։


== Պատմություն ==
Թերևս ամենահին տասներկուանիստի տեսքով իրը հայտնաբերվել է Իտալիայի հյուսիսում՝ Պադովայի մոտ, 19-րդ դարի վերջին, այն թվագրվում է մ.թ.ա. 500 թվականին և ենթադրաբար օգտագործվել է որպես զառախաղ էտրուսկների կողմից ։
Հին հույն գիտնականները իրենց աշխատություններում նշել են դոդեկաեդրի մասին։ Պլատոնը տարբեր դասական տարրեր համեմատեց կանոնավոր բազմանիստերի հետ։ Դոդեկաեդրի մասին Պլատոնը գրել է, որ «... Աստված սահմանեց այն Տիեզերքի համար և օգտագործեց որպես մոդել»։ Էվկլիդեսը իր «Սկզբունքներ» XIII գրքի 17-րդ նախադասության մեջ խորանարդի կողերին կառուցում է տասներկուանիստ:132-136։ Պապուս Ալեքսանդրիացին «Մաթեմատիկական ժողովածուում» զբաղվում է դոդեկաեդրի կառուցմամբ, ճանապարհին ապացուցելով, որ տասներկուանիստի գագաթները գտնվում են զուգահեռ հարթություններում:318-319։
Եվրոպական մի քանի երկրների տարածքում հայտնաբերվել են բազմաթիվ առարկաներ, որոնք կոչվում են հռոմեական դոդեկաեդրներ, որոնք թվագրվում են մեր թվարկությունից առաջ 2-3-րդ դարերով, որի նպատակը ամբողջովին պարզ չէ։


== Հիմնական բանաձևեր ==
Եթե որպես կողի երկարություն վերցնենք 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  , ապա տասներկուանիստի մակերևույթի մակերեսը հավասար է

  
    
      
        S
        =
        3
        
          a
          
            2
          
        
        
          
            5
            (
            5
            +
            2
            
              
                5
              
            
            )
          
        
        ≈
        20,645
        728807067602
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle S=3a^{2}{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\approx 20{,}645728807067602a^{2}}
  ։Տասներկուանիստի ծավալը

  
    
      
        V
        =
        
          
            
              a
              
                3
              
            
            4
          
        
        (
        15
        +
        7
        
          
            5
          
        
        )
        ≈
        7,663
        118960624632
        
          a
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle V={\frac {a^{3}}{4}}(15+7{\sqrt {5}})\approx 7{,}663118960624632a^{3}}
  ։Դոդեկաեդրին արտագծյալ գնդի շառավիղը

  
    
      
        R
        =
        
          
            a
            4
          
        
        (
        1
        +
        
          
            5
          
        
        )
        
          
            3
          
        
        ≈
        1,401
        2585384440734
        a
      
    
    {\displaystyle R={\frac {a}{4}}(1+{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}\approx 1{,}4012585384440734a}
  ։Դոդեկաեդրին ներգծյալ գնդի շառավիղը

  
    
      
        r
        =
        
          
            a
            4
          
        
        
          
            10
            +
            
              
                22
                
                  5
                
              
            
          
        
        ≈
        1,113
        5163644116066
        a
      
    
    {\displaystyle r={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+{\frac {22}{\sqrt {5}}}}}\approx 1{,}1135163644116066a}
  ։


== Հատկություններ ==
Տասներկուանիստի բոլոր գագաթները՝ հինգական, գտնվում են չորս զուգահեռ հարթություններում՝ դրանցից յուրաքանչյուրում կազմելով կանոնավոր հնգանկյուն։
Տասներկուանիստի ցանկացած երկու կից նիստերով կազմված երկնիստ անկյունը հավասար է arccos(−1/√5) = 116.565051177078°։
20 գագաթներից յուրաքանչյուրի հարթ անկյունների գումարը 324 ° է, եռանիստ անկյունը հավասար է arccos(−11/5√5) ≈ 2,9617 ստեռադիան։
Տասներկուանիստին կարելի է ներգծել խորանարդ այնպես, որ խորանարդի կողմերը հանդիսանան տասներկուանիստի անկյունագծեր։
Տասներկուանիստն ունի երեք աստղային տեսք։
Տասներկուանիստին կարելի է ներգծել հինգ խորանարդ։ Եթե տասներկուանիստի հնգանկյուն նիստերը փոխարինենք հարթ հնգանկյուն աստղերով այնպես, որ տասներկուանիստի կողերը վերանան, ապա մենք ստանում ենք հինգ հատվող խորանարդի տարածություն։ Տասներկուանիստը, որպես այդպիսին, կվերանա։ Փակ բազմանկյան փոխարեն կհայտնվի հինգ ուղղանկյուն բաց երկրաչափական համակարգ։ Կամ հինգ եռաչափ տարածությունների համաչափ հատում։
Կամայական նիստին զուգահեռ ամենամոտ հարթությունը, որն ունի հինգ գագաթ՝ տվյալ նիստին չպատկանող, գտնվում է այս նիստին ներգծված շրջանագծի շառավղի երկարության վրա։ Եվ այս հինգ գագաթների շուրջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է շրջաններից մեկի տրամագծին։ Այս երկու մեծությունները համապատասխանաբար հավասար են՝ 
  
    
      
        
          
            
              
                5
                +
                
                  
                    5
                  
                
              
              10
            
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}a}
   և 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  5
                
              
              +
              1
            
            2
          
        
        ⋅
        
          
            
              
                5
                +
                
                  
                    5
                  
                
              
              10
            
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}a}
  , որտեղ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  –ն դոդեկաեդրի կողի երկարությունն է։


== Դոդեկաեդրի համաչափության տարրեր ==
Դոդեկաեդրն ունի համաչափության կենտրոն և համաչափության 15 առանցք:Առանցքներից յուրաքանչյուրն անցնում է հակառակ՝ զուգահեռ, կողերի միջնակետերով։
Դոդեկաեդրն ունի 15 համաչափության հարթություն։ Համաչափության ցանկացած հարթություն յուրաքանչյուր նիստով անցնում է հակառակ՝ զուգահեռ, կողի գագաթով և միջնակետով։


== Կապը գնդային մակերևույթի հետ ==
Կանոնավոր դոդեկաեդր առաջանում է նաև գնդի մակերևույթում՝ կանոնավոր հնգանկյուններով։


== Հետաքրքիր փաստեր ==
Ռադիոլյարյան Circorrhegma dodecahedra- ն, որը նկարագրեց Էռնստ Հեկկելը 1887 թվականին, ունի դոդեկաեդրի մոտավոր տեսք։
2003 թվականին, WMAP տիեզերանավի տվյալների վերլուծության ժամանակ, առաջ քաշվեց վարկած, որ տիեզերքը  Պուանկարեի տասներկուանիստ տարածություն է։


== Մշակույթի մեջ ==
Դոդեկաեդրը օգտագործվում է որպես պատահական թվերի գեներատոր (այլ զառերի հետ միասին) սեղանի դերախաղերում և նշվում է d12 (զառախաղ)։
Սեղանի օրացույցները պատրաստվում են թղթե դոդեկաեդրի տեսքով, որտեղ տասներկու ամիսներից յուրաքանչյուրը գտնվում է կողերից մեկում։
Megaminx-ը նման է կուբիկ Ռուբիկի, միայն դոդեկաեդրի նմանությամբ։ Ընդհանուր 62 մաս` 12 կենտրոն, 20 անկյուն և 30 կող։


== Տես նաև ==
Դոդեկաեդր
Վիննենջերի բազմանիստերի մոդելների ցանկ
Բազմանիստ


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
Editable printable net of a dodecahedron with interactive 3D view
The Uniform Polyhedra