Էյլերի բնութագիր

Էյլերի բնութագիր կամ  Էյլեր-Պուանկարայի  բնութագիր, բնութագիր է տոպոլոգիական տարածության. Էյլերի տարածության բնութագիրը  

  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   սովորաբար նշանակում են  
  
    
      
        χ
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle \chi (X)}
  ։


== Սահմանում ==
Վերջավոր  Կոմլեքս վանդակների համար (մասնավորապես վերջավոր симплициального комплекса) համար  Էյլերի բնութագիրը    կարող է սահմանվել ինչպես նշանափոփոխման գումար

  
    
      
        χ
        =
        
          k
          
            0
          
        
        −
        
          k
          
            1
          
        
        +
        
          k
          
            2
          
        
        −
        .
        .
        .
        ,
      
    
    {\displaystyle \chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-...,}
  որտեղ 
  
    
      
        
          k
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{i}}
   ցույց է տալիս վանդակների թվի չափականությունը  
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  .Ցանկացած տոպոլոգիական տարածության  Էյլերի բնութագիրը կարող է  լինել որոշված  Բետտի թվի  միջոցով  
  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{n}}
   ինչպես նշանափոփոխման գումար։

  
    
      
        χ
        =
        
          b
          
            0
          
        
        −
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        −
        
          b
          
            3
          
        
        +
        
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle \chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,...}
  Այդ սահմանումը իմաստ ունի միայն, եթե Բետտի թիվը վերջավոր է և բավականին շատ թվացուցիչների համար զրոյանում են։
Վերջին սահմանումը ընդհանրացնում է նախորդը և ընդհանրացնում է ուրիշ ցանկացած գործակիցներով հոմոլոգիան


== Հատկություն ==
Էյլերի բնութագիրը հանդիսանում է  հոմոտոպիկ ինվարիանտ՝այսինքն պահպանվում է հոմոտոպիկ համարժեքությունը տապալոգիական տարածությունում։
Մասնավորապես, Էյլերի բնութագիրը տոպոլագիական ինվարիանտ է։


=== Բազմանիստերի էյլերյան բնութագիրը ===
Երկչափանի տոպոլոգիական բազմանիստի Էյլերյան բնութագիրը  կարող է հաշվել։ 
  
    
      
        χ
        =
        Γ
        −
        
          
            P
          
        
        +
        
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle \chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}}
   բանաձևով,որտեղ где Г, Р и В համապատասխանաբար նիստերի, կողերի և գագաթների թվն է։ մ ասնավորապես, միակցված բազմանիստի համար ճիշտ է Էյլերի բանաձևը։
: 
  
    
      
        Γ
        −
        
          
            P
          
        
        +
        
          
            B
          
        
        =
        χ
        (
        
          S
          
            2
          
        
        )
        =
        2.
      
    
    {\displaystyle \Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}=\chi (S^{2})=2.}
  Օրինակ, Էյլերի բնութագիրը խորանարդի համար  հավասար է 6 − 12 + 8 = 2, իսկ եռանկյուն բուրգի համար՝  4 − 6 + 4 = 2.


=== Գաուս-Բոննի թեորեմը ===
Երկչափ կոմպակտ  կողմորոշված  ռիմանյան բազմակերպության (մակերևույթի) 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   համար առանց սահմանների գոյություն ունի 
Գաուս -Բոննի բանաձևը, կապում է էյլերյան բնութագիրը 
  
    
      
        χ
        (
        S
        )
      
    
    {\displaystyle \chi (S)}
    գաուսյան թեքվածության 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
   բազմակերպության հետ։ 
  
    
      
        
          ∫
          
            S
          
        
        K
        
        d
        σ
        =
        2
        π
        χ
        (
        S
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{S}K\;d\sigma =2\pi \chi (S),}
  
որտեղ
  
    
      
        d
        σ
      
    
    {\displaystyle d\sigma }
   — մակերևույթի մակերեսի տարր է 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  .

Գոյություն ունի Գաուս-Բոննի  ընդհանրացնող բանաձև երկչափ բազմակերպության եզրերի համար։
Գոյություն ունի Գաուս -Բոննի ընդհանրացող բանաձև քառաչափ ռիմանյան բազմակերպության հայտնի բազմակերպությունը, ինչպես Գաուս-Բոննի-Չեռնի թեորեմ  կամ Գաուս-Բոննի ընդհանրացող բանաձև։
Գոյություն ունի նույնպես Գաուս-Բոննի թեորեմի դիսկրետ անալոգը,համաձայն,որի Էյլերի բնութագիրը  հավասար է  բազմանիստի դեֆեկտների дефектов полиэдра գումարին, բաժանած 
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }
  .
Գոյություն ունի Գաուս-Բոնի բանաձևի կոմբինոտորական անալոգը։


== Կողմնորոշիչ և ոչ կողմորոշիչ մակերևույթներ ==
Էյլերի բնութագիրը կողնորոշված գունդը ձեռքերով արտահայտում է բանաձևով 
  
    
      
        χ
        (
        X
        )
        =
        2
        −
        2
        g
      
    
    {\displaystyle \chi (X)=2-2g}
  , որտեղ g-ն ձեռքերի թիվն է, ոչ կողմնորոշված մակերևույթի համար բանաձևը երևում է, ինչպես  
  
    
      
        χ
        (
        X
        )
        =
        2
        −
        g
      
    
    {\displaystyle \chi (X)=2-g}
  .


== Էյլերի բնութագրի մեծությունը ==


== Պատմություն ==
1752 թվականին Էյլերը հրապարակել է բանաձևը, կապելով միմյանց եռչափանի բազմանիստի նիստերը։ Բնագրի աշխատանքում բանաձևը ներկայացվում է 
  
    
      
         
        S
        +
        H
        =
        A
        +
        2
      
    
    {\displaystyle ~S+H=A+2}
    տեսքով,
որտեղ  S-ը գագաթների թիվն է, H-ը՝ նիստերի քանակը, A-ն՝ կողերի քանակը։
Ավելի վաղ այդ բանաձևը հանդիպում է Ռընե Դեկարտի ձեռագրերում, հրատարակված  XVIII դարում։
1899 թվականին Պուանկարեն  ընդհանրացրեց այդ բանաձևը  N-չափելի բազմանիստի դեպքում։

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            N
            −
            1
          
        
        
          
            (
            −
            1
            )
          
          
            i
          
        
        
          A
          
            i
          
        
        =
        1
        +
        
          
            (
            −
            1
            )
          
          
            N
            −
            1
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{N-1}{(-1)}^{i}A_{i}=1+{(-1)}^{N-1},}
  որտեղ 
  
    
      
        
          A
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{i}}
   i-ն չափելի նիստերի,  N-ը չափելի բազմանիստի քանակն է։
Եթե ձևականորեն  համարենք բազմանիստը իր սեփական միակ նիստի չափականությունն է N,։ Բանաձևը կարելի է  գրառել ավելի պարզ տեսքի։

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            N
          
        
        
          
            (
            −
            1
            )
          
          
            i
          
        
        
          A
          
            i
          
        
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{N}{(-1)}^{i}A_{i}=1.}
  


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7-12.
Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.
Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).
Ю. М. Бурман Эйлерова характеристика Летняя школа «Современная математика», 2012, г. Дубна