Ռունգե-Կուտտայի մեթոդ

Ռունգե-Կուտտայի մեթոդներ, թվային մեթոդների մեծ դաս` սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների և դրանց համակարգերի համար Կոշիի խնդիրը լուծելու համար։ Այս դասի առաջին մեթոդներն առաջարկվել են մոտ 1900 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոսներ Կարլ Ռունգեի և Մարտին Վիլհելմ Կուտտայի կողմից։
Ռունգե-Կուտտայի մեթոդների դասին են դասվում Էյլերի ակնհայտ մեթոդը և Էյլերի մոդիֆիկացված մեթոդը վերահաշվարկով, որոնք ներկայացնում են համապատասխանաբար ճշգրտության առաջին և երկրորդ կարգի մեթոդները։ Գոյություն ունեն ճշտության երրորդ կարգի ստանդարտ հստակ մեթոդներ, որոնք չեն ստացել լայն տարածում։ Առավել հաճախ օգտագործվում և տարբեր մաթեմատիկական փաթեթներում (Maple, MathCAD, Maxima) իրագործվել է դասական Ռունգե-Կուտտայի դասական մեթոդը, որն ունի ճշգրտության չորրորդ կարգ։ Բարձր ճշգրտությամբ հաշվարկներ կատարելիս ավելի ու ավելի հաճախ են օգտագործվում ճշգրտության հինգերորդ և վեցերորդ կարգերի մեթոդները։ Ավելի բարձր կարգի սխեմաների կառուցումը լի է հաշվարկային մեծ դժվարություններով։
Յոթերորդ կարգի մեթոդները պետք է ունենան առնվազն ինը փուլ, իսկ ութերորդ կարգի մեթոդները՝ առնվազն 11 փուլ։ 9-րդ և ավելի բարձր կարգերի (չունենալով, սակայն, մեծ գործնական նշանակություն) մեթոդների համար հայտնի չէ, թե որքան փուլեր են անհրաժեշտ ճշտության համապատասխան կարգի հասնելու համար։


== Ռունգե-Կուտտայի չորրորդ կարգի դասական մեթոդ ==
Ռունգե-Կուտտայի չորրորդ կարգի մեթոդը մշտական ինտեգրման քայլով հաշվարկման ժամանակ այնքան տարածված է, որ այն հաճախ կոչվում է պարզապես Ռունգե-Կուտտայի մեթոդ։
Դիտարկենք Կոշիի խնդիրը սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների առաջին կարգի համակարգի համար։ ( հետագայում՝ 
  
    
      
        
          y
        
        ,
        
          f
        
        ,
        
          
            k
          
          
            i
          
        
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {y} ,\mathbf {f} ,\mathbf {k} _{i}\in \mathbb {R} ^{n}}
  , а 
  
    
      
        x
        ,
        h
        ∈
        
          
            R
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x,h\in \mathbb {R} ^{1}}
  ).

  
    
      
        
          
            
              y
            
          
          ′
        
        =
        
          
            f
          
        
        (
        x
        ,
        
          
            y
          
        
        )
        ,
        
        
          
            y
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        
          
            
              y
            
          
          
            0
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\textbf {y}}'={\textbf {f}}(x,{\textbf {y}}),\quad {\textbf {y}}(x_{0})={\textbf {y}}_{0}.}
  Այդ դեպքում հետևյալ կետերում մոտավոր արժեքը հաշվարկվում է իտերացիոն բանաձևով.

  
    
      
        
          
            
              y
            
          
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        
          
            
              y
            
          
          
            n
          
        
        +
        
          
            h
            6
          
        
        (
        
          
            
              k
            
          
          
            1
          
        
        +
        2
        
          
            
              k
            
          
          
            2
          
        
        +
        2
        
          
            
              k
            
          
          
            3
          
        
        +
        
          
            
              k
            
          
          
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\textbf {y}}_{n+1}={\textbf {y}}_{n}+{h \over 6}({\textbf {k}}_{1}+2{\textbf {k}}_{2}+2{\textbf {k}}_{3}+{\textbf {k}}_{4})}
  Նոր արժեքի հաշվարկը տեղի է ունենում չորս փուլով.

  
    
      
        
          
            
              k
            
          
          
            1
          
        
        =
        
          
            f
          
        
        
          (
          
            
              x
              
                n
              
            
            ,
            
              
                
                  y
                
              
              
                n
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\textbf {k}}_{1}={\textbf {f}}\left(x_{n},{\textbf {y}}_{n}\right),}
  

  
    
      
        
          
            
              k
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            f
          
        
        
          (
          
            
              x
              
                n
              
            
            +
            
              
                h
                2
              
            
            ,
            
              
                
                  y
                
              
              
                n
              
            
            +
            
              
                h
                2
              
            
            
              
                
                  k
                
              
              
                1
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\textbf {k}}_{2}={\textbf {f}}\left(x_{n}+{h \over 2},{\textbf {y}}_{n}+{h \over 2}{\textbf {k}}_{1}\right),}
  

  
    
      
        
          
            
              k
            
          
          
            3
          
        
        =
        
          
            f
          
        
        
          (
          
            
              x
              
                n
              
            
            +
            
              
                h
                2
              
            
            ,
            
              
                
                  y
                
              
              
                n
              
            
            +
            
              
                h
                2
              
            
            
              
                
                  k
                
              
              
                2
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\textbf {k}}_{3}={\textbf {f}}\left(x_{n}+{h \over 2},{\textbf {y}}_{n}+{h \over 2}{\textbf {k}}_{2}\right),}
  

  
    
      
        
          
            
              k
            
          
          
            4
          
        
        =
        
          
            f
          
        
        
          (
          
            
              x
              
                n
              
            
            +
            h
            ,
            
              
                
                  y
                
              
              
                n
              
            
            +
            h
             
            
              
                
                  k
                
              
              
                3
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\textbf {k}}_{4}={\textbf {f}}\left(x_{n}+h,{\textbf {y}}_{n}+h\ {\textbf {k}}_{3}\right).}
  որտեղ  
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  -ը ցանցի քայլի չափն է 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ով։
Այս մեթոդն ունի ճշգրտության չորրորդ կարգ։ Սա նշանակում է, որ սխալը մեկ քայլում ունի  
  
    
      
        O
        (
        
          h
          
            5
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle O(h^{5})}
   կարգ,  և վերջավոր ինտեգրման միջակայքում ընդհանուր սխալն ունի   
  
    
      
        O
        (
        
          h
          
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle O(h^{4})}
   կարգը։


== Ռունգե-Կուտտայի ակնհայտ մեթոդներ ==
Ռունգե-Կուտտայի ակնհայտ մեթոդների ընտանիքը հանդիսանում է ինչպես Էյլերի ակնհայտ մեթոդի, այնպես էլ Ռունգե-Կուտտայի չորրորդ կարգի դասական մեթոդի ընդհանրացումը։ Այն տրվում է հետևյալ բանաձևերով․

  
    
      
        
          
            
              y
            
          
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        
          
            
              y
            
          
          
            n
          
        
        +
        h
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            s
          
        
        
          b
          
            i
          
        
        
          
            
              k
            
          
          
            i
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\textbf {y}}_{n+1}={\textbf {y}}_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}{\textbf {k}}_{i},}
  Որտեղ  h-ն ցանցի քայլի արժեքն է x-ով և նոր արժեքի հաշվարկը տեղի է ունենում s փուլով։

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      k
                    
                  
                  
                    1
                  
                
                =
              
              
                
                  
                    f
                  
                
                (
                
                  x
                  
                    n
                  
                
                ,
                
                  
                    
                      y
                    
                  
                  
                    n
                  
                
                )
                ,
              
            
            
              
                
                  
                    
                      k
                    
                  
                  
                    2
                  
                
                =
              
              
                
                  
                    f
                  
                
                (
                
                  x
                  
                    n
                  
                
                +
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                h
                ,
                
                  
                    
                      y
                    
                  
                  
                    n
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    21
                  
                
                h
                
                  
                    
                      k
                    
                  
                  
                    1
                  
                
                )
                ,
              
            
            
              
                ⋯
              
              
            
            
              
                
                  
                    
                      k
                    
                  
                  
                    s
                  
                
                =
              
              
                
                  
                    f
                  
                
                (
                
                  x
                  
                    n
                  
                
                +
                
                  c
                  
                    s
                  
                
                h
                ,
                
                  
                    
                      y
                    
                  
                  
                    n
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    s
                    1
                  
                
                h
                
                  
                    
                      k
                    
                  
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    s
                    2
                  
                
                h
                
                  
                    
                      k
                    
                  
                  
                    2
                  
                
                +
                ⋯
                +
                
                  a
                  
                    s
                    ,
                    s
                    −
                    1
                  
                
                h
                
                  
                    
                      k
                    
                  
                  
                    s
                    −
                    1
                  
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{ll}{\textbf {k}}_{1}=&{\textbf {f}}(x_{n},{\textbf {y}}_{n}),\\{\textbf {k}}_{2}=&{\textbf {f}}(x_{n}+c_{2}h,{\textbf {y}}_{n}+a_{21}h{\textbf {k}}_{1}),\\\cdots &\\{\textbf {k}}_{s}=&{\textbf {f}}(x_{n}+c_{s}h,{\textbf {y}}_{n}+a_{s1}h{\textbf {k}}_{1}+a_{s2}h{\textbf {k}}_{2}+\cdots +a_{s,s-1}h{\textbf {k}}_{s-1})\end{array}}}
  Կոնկրետ մեթոդը որոշվում է 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
   թվով  և  
  
    
      
        
          b
          
            i
          
        
        ,
        
          a
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{i},a_{ij}}
   և  
  
    
      
        
          c
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{i}}
   գործակիցներով։ Այս գործակիցները հաճախ դասակարգվում են աղյուսակում (որը կոչվում է Բուտչերի աղյուսակ)։

  
    
      
        
          
            
              
                0
              
              
              
              
              
              
            
            
              
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                  a
                  
                    21
                  
                
              
              
              
              
              
            
            
              
                
                  c
                  
                    3
                  
                
              
              
                
                  a
                  
                    31
                  
                
              
              
                
                  a
                  
                    32
                  
                
              
              
              
              
            
            
              
                ⋮
              
              
                ⋮
              
              
                ⋮
              
              
                ⋱
              
              
              
            
            
              
                
                  c
                  
                    s
                  
                
              
              
                
                  a
                  
                    s
                    1
                  
                
              
              
                
                  a
                  
                    s
                    2
                  
                
              
              
                …
              
              
                
                  a
                  
                    s
                    s
                    −
                    1
                  
                
              
              
            
            
              
              
                
                  b
                  
                    1
                  
                
              
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
              
              
                …
              
              
                
                  b
                  
                    s
                    −
                    1
                  
                
              
              
                
                  b
                  
                    s
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}0&&&&&\\c_{2}&a_{21}&&&&\\c_{3}&a_{31}&a_{32}&&&\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &&\\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss-1}&\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s-1}&b_{s}\end{array}}}
  Ռունգ-Կուտտայի մեթոդի գործակիցները պետք է բավարարեն  
  
    
      
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            i
            −
            1
          
        
        
          a
          
            i
            j
          
        
        =
        
          c
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}}
   պայմանին 
  
    
      
        i
        =
        2
        ,
        …
        ,
        s
      
    
    {\displaystyle i=2,\ldots ,s}
   համար։ Եթե ​​պահանջվում է, որ մեթոդն ունենա 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
    կարգ, ապա պետք է բավարարի հետևյալ պայմանին․

  
    
      
        
          
            
              
                y
              
              ¯
            
          
        
        (
        h
        +
        
          x
          
            0
          
        
        )
        −
        
          
            y
          
        
        (
        h
        +
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        O
        (
        
          h
          
            p
            +
            1
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle {\bar {\textbf {y}}}(h+x_{0})-{\textbf {y}}(h+x_{0})=O(h^{p+1}),}
  որտեղ  
  
    
      
        
          
            
              
                y
              
              ¯
            
          
        
        (
        h
        +
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\bar {\textbf {y}}}(h+x_{0})}
  -ը Ռունգե-Կուտտայի մեթոդով ստացված մոտեցումն է։ Բազմակի տարբերակումից հետո այս պայմանը վերածվում է բազմաբնույթ հավասարումների համակարգի՝ մեթոդի գործակիցների վերաբերյալ։


== Ռունգե-Կուտտայի ոչ ակնհայտ մեթոդներ ==
Մինչ այժմ նշված Ռունգե-Կուտտայի բոլոր մեթոդներն ակնհայտ մեթոդներ են։ Սակայն Ռունգե-Կուտտայի ակնհայտ մեթոդները, որպես կանոն, պիտանի չեն խիստ հավասարումների լուծման համար` նրանց բացարձակ կայունության փոքր շրջանի պատճառով։ Պարզ է, որ Ռունգե-Կուտտայի ակնհայտ մեթոդների անկայունությունը նաև լուրջ խնդիրներ է առաջ բերում մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների ածանցյալների լուծման մեջ։
Ռունգե-Կուտտայի մեթոդների անկայունությունը խթանել է ոչ ակնհայտ մեթոդների զարգացումը։ Ռունգե-Կուտտայի ոչ ակնհայտ մեթոդն ունի հետևյալ տեսքը։

  
    
      
        
          y
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        
          y
          
            n
          
        
        +
        h
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            s
          
        
        
          b
          
            i
          
        
        
          k
          
            i
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}
  որտեղ

  
    
      
        
          k
          
            i
          
        
        =
        f
        
          
            (
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        +
        
          c
          
            i
          
        
        h
        ,
        
          y
          
            n
          
        
        +
        h
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            s
          
        
        
          a
          
            i
            j
          
        
        
          k
          
            j
          
        
        
          
            )
          
        
        ,
        
        i
        =
        1
        ,
        …
        ,
        s
        .
      
    
    {\displaystyle k_{i}=f{\bigl (}x_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}{\bigr )},\quad i=1,\ldots ,s.}
  Հստակ մեթոդը բնութագրական է նրանով, որ  
  
    
      
        
          a
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{ij}}
   գործակիցների մատրիցան նրա համար ունի ցածր եռանկյունաձև տեսք (ներառյալ զրոյական գլխավոր անկյունագիծը), ի տարբերություն ակնհայտ մեթոդի, որտեղ մատրիցան ունի կամայական ձև։ Դա երևում է նաև Բատչերի աղյուսակում․

  
    
      
        
          
            
              
                
                  c
                  
                    1
                  
                
              
              
                
                  a
                  
                    11
                  
                
              
              
                
                  a
                  
                    12
                  
                
              
              
                …
              
              
                
                  a
                  
                    1
                    s
                  
                
              
            
            
              
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                  a
                  
                    21
                  
                
              
              
                
                  a
                  
                    22
                  
                
              
              
                …
              
              
                
                  a
                  
                    2
                    s
                  
                
              
            
            
              
                ⋮
              
              
                ⋮
              
              
                ⋮
              
              
                ⋱
              
              
                ⋮
              
            
            
              
                
                  c
                  
                    s
                  
                
              
              
                
                  a
                  
                    s
                    1
                  
                
              
              
                
                  a
                  
                    s
                    2
                  
                
              
              
                …
              
              
                
                  a
                  
                    s
                    s
                  
                
              
            
            
              
              
                
                  b
                  
                    1
                  
                
              
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
              
              
                …
              
              
                
                  b
                  
                    s
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  c
                
              
              
                A
              
            
            
              
              
                
                  
                    b
                    
                      T
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &A\\\hline &\mathbf {b^{T}} \\\end{array}}}
  Այս տարբերության հետևանքն այն է, որ անհրաժեշտ է ամեն քայլի լուծել հավասարումների համակարգը 
  
    
      
        
          k
          
            i
          
        
        ,
        i
        =
        1
        ,
        2
        ,
        .
        .
        .
        ,
        s
      
    
    {\displaystyle k_{i},i=1,2,...,s}
   համար, որտեղ  
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  -ը փուլերի քանակն է։ Սա մեծացնում է հաշվարկային արժեքը, բայց բավարար չափով  
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
   դեպքում կարելի է կիրառել սեղմման արտացոլման սկզբունքը և լուծել այս համակարգը պարզ իտերացիայի մեթոդով։ Մեկ իտերացիայի դեպքում սա մեծացնում է հաշվարկային արժեքն ընդամենը երկու անգամ։
Մյուս կողմից, Ժան Կունցմանը (1961) Ջոն Բատչերը (1964) ցույց են տվել, որ ցանկացած 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
   փուլերի ցանկացած քանակի համար գոյություն ունի Ռունգե-Կուտտայի ոչ ակնհայտ մեթոդ ճշգրտության  
  
    
      
        p
        =
        2
        s
      
    
    {\displaystyle p=2s}
   կարգով։ Սա նշանակում է, օրինակ, որ վերը նկարագրված ակնհայտ քառափուլ չորրորդ կարգի մեթոդի համար գոյություն ունի ոչ ակնհայտ անալոգ ճշգրտության երկու անգամ ավելի մեծ կարգով։


== Ռունգե-Կուտտայի երկրորդ կարգի անուղղակի մեթոդ ==
Ռունգե-Կուտտայի ամենապարզ ոչ ակնհայտ մեթոդն Էյլերի «վերահաշվարկով» մոդիֆիկացված մեթոդն է։ Այն տրվում է հետևյալ բանաձևով.

  
    
      
        
          
            y
          
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        
          
            y
          
          
            n
          
        
        +
        h
        
          
            
              
                f
              
              (
              
                x
                
                  n
                
              
              ,
              
                
                  y
                
                
                  n
                
              
              )
              +
              
                f
              
              (
              
                x
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              ,
              
                
                  y
                
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+h{\frac {\mathbf {f} (x_{n},\mathbf {y} _{n})+\mathbf {f} (x_{n+1},\mathbf {y} _{n+1})}{2}}}
  
Նրա իրականացման համար յուրաքանչյուր փուլում անհրաժեշտ է առնվազն երկու իտերացիա (և ֆունկցիայի երկու հաշվարկ)։
Կանխատեսում.

  
    
      
        
          
            
              
                
                  y
                
                ~
              
            
          
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        
          
            y
          
          
            n
          
        
        +
        h
        
          f
        
        (
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        
          
            y
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }}_{n+1}=\mathbf {y} _{n}+h\mathbf {f} (x_{n},\mathbf {y} _{n})}
  .Ուղղում.

  
    
      
        
          
            y
          
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        
          
            y
          
          
            n
          
        
        +
        h
        
          
            
              
                f
              
              (
              
                x
                
                  n
                
              
              ,
              
                
                  y
                
                
                  n
                
              
              )
              +
              
                f
              
              (
              
                x
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              ,
              
                
                  
                    
                      
                        y
                      
                      ~
                    
                  
                
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+h{\frac {\mathbf {f} (x_{n},\mathbf {y} _{n})+\mathbf {f} (x_{n+1},{\tilde {\mathbf {y} }}_{n+1})}{2}}}
  .Երկրորդ բանաձևը հավասարեցման համակարգի լուծման պարզ իտերացիա է  
  
    
      
        
          
            y
          
          
            n
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {y} _{n+1}}
   համեմատութույամբ, որը գրվել է սեղմված արտացոլման  տեսքով։  Ճշգրտությունը բարձրացնելու համար իտերացիա-ուղղումը կարելի է կատարել մի քանի անգամ՝ փոխարինելով 
  
    
      
        
          
            
              
                
                  y
                
                ~
              
            
          
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        
          
            y
          
          
            n
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }}_{n+1}=\mathbf {y} _{n+1}}
  ։  Էյլերի «վերահաշվարկով» մոդիֆիկացված մեթոդն ունի ճշգրտության երկրորդ կարգ։


=== Հաստատունություն ===
Ռունգե-Կուտտայի ոչ ակնհայտ մեթոդների առավելությունն ակնհայտների համեմատությամբ նրանց մեծ հաստատունությունն է, ինչը հատկապես կարևոր է խիստ հավասարումների լուծման ժամանակ։ Որպես օրինակ դիտարկենք y'  = λy գծային հավասարումը։ Ռունգե-Կուտտայի սովորական մեթոդը, որն օգտագործվում է այս հավասարման համար, հանգում է  
  
    
      
        
          y
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        r
        (
        h
        λ
        )
        
        
          y
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle y_{n+1}=r(h\lambda )\,y_{n}}
  , с r իտերացիային, որը հավասար է

  
    
      
        r
        (
        z
        )
        =
        1
        +
        z
        
          b
          
            T
          
        
        (
        I
        −
        z
        A
        
          )
          
            −
            1
          
        
        e
        =
        
          
            
              det
              (
              I
              −
              z
              A
              +
              z
              e
              
                b
                
                  T
                
              
              )
            
            
              det
              (
              I
              −
              z
              A
              )
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle r(z)=1+zb^{T}(I-zA)^{-1}e={\frac {\det(I-zA+zeb^{T})}{\det(I-zA)}},}
  որտեղ 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  -ն նշանակում միավորների վեկտոր-սյունակ։ 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   ֆունկցիան կոչվում է հաստատունության ֆունկցիա։ Բանաձևը ցույց է տալիս, որ  
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
    աստիճանի երկու պոլինոմների հարաբերակցություն է, եթե մեթոդը ունի 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
   փուլ։ Ակնհայտ մեթոդներն ունեն 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   ցածր եռանկյունաձև խիստ մատրիցա, որտեղից հետևում է, որ 
  
    
      
        det
        (
        I
        −
        z
        A
        )
        =
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle \det(I-zA)=1,}
  , և որ հաստատունության ֆունկցիան բազմանդամ է։
Այս օրինակի թվային լուծումը տալիս է  զրո հետևյալ պայմանի դեպքում՝ 
  
    
      
        
          |
        
        r
        (
        z
        )
        
          |
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle |r(z)|<1}
  , 
  
    
      
        z
        =
        h
        λ
      
    
    {\displaystyle z=h\lambda }
  ։ Այդպիսի r–երի բազմությունը կոչվում է բացարձակ հաստատունության ոլորտ։  Մասնավորապես, մեթոդը կոչվում է  A-հաստատուն, եթե բոլոր 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  -երը 
  
    
      
        
          
            Re
          
        
        (
        z
        )
        <
        0
      
    
    {\displaystyle {\textrm {Re}}(z)<0}
   գտնվում են բացարձակ հաստատունության ոլորտում։ Ռունգե-Կուտտայի ակնհայտ մեթոդի հաստատունության գործառույթը բազմանդամ է, ուստի Ռունգե-Կուտտայի ակնհայտ մեթոդներն սկզբունքորեն չեն կարող լինել A-հաստատուն։
Եթե ​​մեթոդը  ունի 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
    կարգ, ապա հաստատունության ֆունկցիան բավարարում է  
  
    
      
        r
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              e
            
          
          
            z
          
        
        +
        O
        (
        
          z
          
            p
            +
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle r(z)={\textrm {e}}^{z}+O(z^{p+1})}
   при 
  
    
      
        z
        →
        0
      
    
    {\displaystyle z\to 0}
   պայմանը։  Այսպիսով, հետաքրքրություն է ներկայացնում այս աստիճանի բազմանդամների հարաբերությունը, որը լավագույնս է մոտեցնում էքսպոնենցիալ ֆունկցիան։ Այս հարաբերությունները հայտնի են որպես Պադեի ապրոկսիմացիաներ։ 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   աստիճանի համարիչով  և 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
     աստիճանի  հայտարարով Պադեի ապրոկսիմացիան A հաստատուն է միայն այն ժամանակ, երբ 
  
    
      
        m
        ≤
        n
        ≤
        m
        +
        2
      
    
    {\displaystyle m\leq n\leq m+2}
  ։

  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
   փուլ ունեցող Հաուս-Լեժանդրի մեթոդն ունի 
  
    
      
        2
        s
      
    
    {\displaystyle 2s}
   կարգ,  այդ պատճառով նրա հաստատունության ֆունկցիան Պադեի մոտեցումն է 
  
    
      
        m
        =
        n
        =
        s
      
    
    {\displaystyle m=n=s}
  ։  Հետևում է, որ մեթոդը A-հաստատուն է։ Սա ցույց է տալիս, որ   Ռունգե-Կուտտայի A-հաստատուն մեթոդները կարող են լինել կամայականորեն բարձր կարգի։ Ի տարբերություն դրա, Ադամսի մեթոդների A-հաստատունության կարգը չի կարող գերազանցել երկուսը։


== Ծրագրավորման ալգորիթմական լեզուներով լուծման օրինակ ==

կատարելով y '= z փոխարինումը և 4y-ը տեղափոխելով աջ կողմ, ստանում ենք հետևյալ համակարգը.

C # ծրագրում օգտագործվում է RungeKutta աբստրակտ դասը, որի մեջ պետք է վերափոխվի F վերացական մեթոդը, որը սահմանում է հավասարումների աջ կողմերը։


== MATLAB միջավայրում լուծման օրինակ ==
Դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգերի լուծումը Ռունգե-Կուտտայի մեթոդով հանդիսանում է լուծումների ամենատարածված թվային մեթոդներից մեկը տեխնիկայում։ MATLAB-ի միջավայրում իրականացվել է նրա տեսակներից մեկը՝ Դորման-Փրինսի մեթոդը։ Հավասարումների համակարգի լուծման համար անհրաժեշտ է նախ գրել ածանցյալները հաշվող ֆունկցիաները, այսինքն` y = g(x, y, z) և z = cos(3x) − 4y = f(x, y, z) ֆունկցիաները, ինչի մասին նշված է վերևում։ Կատալոգներից մեկում, որը հասանելի է MATLAB համակարգից, պետք է ստեղծել տեքստային ֆայլ runge.m անունով (օրինակ)  և հետևյալ բովանդակությամբ (MATLAB 5.3 տարբերակի համար)։

Ֆայլի անվանումը և ֆունկցիայի անվանումը պետք է լինեն նույնը, բայց այն կարող է լինել նախկինում չօգտագործված։
Այնուհետև պետք է ստեղծել հիմնական ֆայլ, օրինակ՝ main.m անունով, որը կկատարի հիմնական հաշվարկները։ Այս հիմնական ֆայլը պարունակում է հետևյալ տեքստը՝

Քանի որ MATLAB-ը կենտրոնացած է մատրիցների հետ աշխատելու համար, Ռունգե-Կուտտայի մեթոդի լուծումը շատ հեշտ է կատարվում մի շարք x-ի համար, ինչպես, օրինակ, ծրագրի բերված օրինակում։ Այստեղ լուծումն է՝ ֆունկցիայի գրաֆիկը 0-ից մինչև x_fin ժամանակների սահմանում.

ODE45 ֆունկցիայի արդյունքում ստացված x և y փոփոխականները արժեքային վեկտորներ են։ Ակնհայտ է, որ վերը տրված կոնկրետ օրինակի լուծումը երկրորդ x տարրն է, քանի որ առաջին արժեքը 0 է, ինտեգրման քայլը՝ h = 0.1, իսկ որոնվող արժեքը՝ x = 0.1: MATLAB հրամանի պատուհանում հետևյալ տեքստի մուտքագրումը կտա ցանկալի լուծում.

Պատասխան՝ y1 = 0,98768


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Hairer E., Wanner G.  Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems. 2nd ed. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1996. — ISBN 978-3-540-60452-5
Iserles A.  A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations. — Cambridge: Cambridge University Press, 1996. — ISBN 978-0-521-55655-2
Süli E., Mayers D.  An Introduction to Numerical Analysis. — Cambridge: Cambridge University Press, 2003. — ISBN 0-521-00794-1