Կարդինալ թվեր

Կարդինալ թվերը (կամ` կրճատ, կարդինալները) բնական թվերի ընդհանրացում են, որոնք  օգտագործվում են մաթեմատիկայում բազմության հզորությունը չափելու համար։ Վերջավոր բազմության հզորությունը բնական թիվ է և հավասար է բազմության անդամների քանակին։ Տրանսֆինիտ կարդինալ թվերը, որոնք հաճախ են նշանակվում եբրայերեն 
  
    
      
        ℵ
      
    
    {\displaystyle \aleph }
  (ալեֆ) տառով ու համապատասխան ինդեքսով, նկարագրում են անսահման բազմությունների հզորությունը։
Բազմության հզորությունը սահմանվում է փոխմիարժեք ֆունկցիաներով։ Երկու բազմություն նույն հզորությունն ունեն միայն և միայն այն դեպքում, եթե դրանց անդամների միջև մեկը֊մեկին փոխհամարժեքություն (բիեկցիա) գոյություն ունի։ Վերջավոր բազմությունների համար այս սահմանումն ինքըստինքյան բխում է չափի մասին բնական պատկերացումից։ Անսահման բազմությունների համար իրենց հզորության վարքագիծն ավելի բարդ է։ Գեորգ Կանտորի հիմունքային թեորեմներից մեկը ցույց է տալիս, որ երկու անսահման բազմություն կարող են տարբեր հզորություն ունենալ․ մասնավորապես իրական թվերի բազմության չափը մեծ է բնական թվերի բազմության չափից։ Անսահման բազմությունների համար նաև հնարավոր է, որ սեփական ենթաբազմության հզորությունը հավասար լինի ելակետային բազմության հզորությանը․ ինչը հնարավոր չէ վերջավոր բազմության սեփական ենթաբազմությունների համար։
Կարդինալ թվերի տրանսֆինիտ հաջորդականություն գոյություն ունի․ 
  
    
      
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        …
        ,
        n
        ,
        …
        ;
        
          ℵ
          
            0
          
        
        ,
        
          ℵ
          
            1
          
        
        ,
        
          ℵ
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          ℵ
          
            α
          
        
        ,
        …
        .
         
      
    
    {\displaystyle 0,1,2,3,\ldots ,n,\ldots ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\ }
  ։ Հաջորդականությունը սկսում է բնական թվերից՝ ներառյալ զրոն, վերջավոր հզորությունները ներկայացնելու համար, որոնց հաջորդում են ալեֆ թվերը` լավ կարգավորված բազմությունների անսահման հզորությունները ներկայացնելու համար։ Ալեֆ թվերն ունեն օրդինալ թվերով արտահայտված ինդեքսներ։ Ըստ ընտրության աքսիոմի ենթադրությունների, այս տրանսֆինիտ հաջորդականությունը ներառում է բոլոր կարդինալ թվերը։ Եթե ընտրության աքսիոմը մերժվում է, իրավիճակը զգալիորեն բարդանում է՝ ներառելով անսահմանության այնպիսի հզորություններ, որոնք չի կարելի ալեֆով արտահայտել։
Կարդինալությունը բազմությունների տեսության ուսումնասիրման առանձին ոլորտ է։ Այն նաև մաթեմատիկայի այլ ոլորտների՝ ներառյալ մոդելների տեսության, կոմբինատորիկայի, աբստրակտ հանրահաշվի և մաթեմատիկական անալիզի ուսումնասիրման օգտակար գործիք է։ Կատեգորիաների տեսության մեջ կարդինալ թվերը բազմությունների կատեգորիայի համար կմախք են կազմում։


== Պատմություն ==
Հզորության հասկացությունը՝ այնպես, ինչպես հիմա ենք այն ընկալում, առաջին անգամ ձևակերպել է Գեորգ Կանտորը՝ բազմությունների տեսության հիմնադիրը, 1874-1884 թվականներին։ Հզորությունը կարելի է օգտագործել վերջավոր բազմությունների որոշ հատկությունները համեմատելու համար։ Օրինակ․ 
  
    
      
        {
        1
        ,
        2
        ,
        3
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,2,3\}}
   և 
  
    
      
        {
        a
        ,
        b
        ,
        c
        }
      
    
    {\displaystyle \{a,b,c\}}
   բազմությունները հավասար չեն, բայց նույն հզորությունն ունեն՝ 3: Սա հաստատվում է երկու բազմությունների միջև առկա բիեկցիաներով (մեկը մեկին համապատասխանությամբ) - այդպիսի մի բիեկցիա է, օրինակ, 
  
    
      
        {
        1
        →
        a
        ,
        2
        →
        b
        ,
        3
        →
        c
        }
      
    
    {\displaystyle \{1\rightarrow a,2\rightarrow b,3\rightarrow c\}}
   համապատասխանությունը։
Կանտորը կիրառեց իր բիեկցիայի հասկացությունը անսահման բազմությունների նկատմամբ (օրինակ․ բնական թվերի բազմությունը՝ 
  
    
      
        
          N
        
        =
        {
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}}
  )։ Նա որոշեց 
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
  -ին հավասար հզորություն ունեցող ցանկացած բազմություն անվանել «հաշվելի անսահման բազմություն»․ նկատեք, որ բոլոր հաշվելի անսահման բազմությունները նույն հզորությունն ունեն։ Այս հզորությունը նշանակվում է 
  
    
      
        
          ℵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \aleph _{0}}
  ` «Ալեֆ զրո» տառով։ Կանտորը նաև անվանեց անսահման թվերի հզորությունը ներկայացնող կարդինալ թվերը «տրասնֆինիտ կարդինալ թվեր»։
Կանտորն ապացուցեց, որ 
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
  -ի ցանկացած անսահմանափակ ենթաբազմություն նույն հզորությունն ունի, ինչ 
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
  -ը․ չնայած, որ պնդումն առաջին հայացքից հակահասկացական է։ Նա նաև ապացուցեց, որ բնական թվերի բոլոր կարգված զույգերի բազմությունը հաշվելի է․ ինչից բխում է, որ ռացիոնալ թվերի բազմությունը նույնպես հաշվելի է, քանի որ ցանկացած ռացիոնալ թիվ կարելի է ներկայացնել որպես ամբողջ թվերի կարգված զույգ։ Կանտորը հետագայում նաև ապացուցել է, որ բոլոր իրական հանրահաշվական թվերի բազմությունը նույնպես հաշվելի է․ ցանկացած իրական հանրահաշվական թիվ 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   ամբողջ թվերի գործակիցներով բազմանդամի լուծում է, ինչից բխում է, որ այն հնարավոր է ներկայացնել այդ գործակիցներով՝ ամբողջ թվերի վերջավոր ենթաբազմությամբ։ Այսինքն՝ գոյություն ունի այնպիսի 
  
    
      
        (
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
        ,
        
          a
          
            i
          
        
        ∈
        Z
      
    
    {\displaystyle (a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}),a_{i}\in Z}
   կարգավորված 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -շարք` 
  
    
      
        (
        
          b
          
            0
          
        
        ,
        
          b
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (b_{0},b_{1})}
   իրական թվերի զույգի հետ, որոնց համար 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  -ը հանդիսանում է 
  
    
      
        (
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})}
   գործակիցներով բազմանդամի  
  
    
      
        (
        
          b
          
            0
          
        
        ,
        
          b
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (b_{0},b_{1})}
    տիրույթում ընկած միակ լուծումը։
Իր 1874 թվականի «Բոլոր Իրական Հանրահաշվական Թվերի Հավաքածուի Հատկության մասին» աշխատության մեջ Կանտորն ապացուցում է, որ գոյություն ունեն 
  
    
      
        a
        l
        e
        p
        
          h
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle aleph_{0}}
  -ից ավելի բարձր մակարդակի կարդինալ թվեր՝ ցույց տալով, որ իրական թվերի բազմության հզորությունը մեծ է բնական թվերի բազմության հզորությունից։ Այս ապացույցն օգտագործում է ներփակված ինտերվալներ ներառող փաստարկներ, սակայն 1891 թվականին Կանտորը նույն արդյունքն ապացուցել է նաև բավականին խելացի, բայց ավելի պարզ՝ անկյունագծային փաստարկով։ Իրական թվերի բազմության հզորությունն արտահայտող նոր կարդինալ թիվը կոչվում է կոնտինուումի հզորություն. Կանտորն այն ներկայացրել է է 
  
    
      
        
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {c}}}
   նշանով։ 
Կանտորը նաև զարգացրել է կարդինալ թվերի ընդհանուր տեսության մեծ մասը։ Նա ապացուցել է, որ գոյություն ունի ամենափոքր տրանսֆինիտ թիվը՝ 
  
    
      
        
          ℵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \aleph _{0}}
  -ն, ինչպես նաև այն, որ ցանկացած կարդինալ թվի համար գոյություն ունի հաջորդ՝ ավելի մեծ կարդինալ թիվը, 
  
    
      
        (
        
          ℵ
          
            1
          
        
        ,
        
          ℵ
          
            2
          
        
        ,
        
          ℵ
          
            3
          
        
        ,
        …
        )
      
    
    {\displaystyle (\aleph _{1},\aleph _{2},\aleph _{3},\ldots )}
  ։
Կարդինալ թվերին վերաբերող դասական հարցերը (օրինակ՝ կոնտինուումի վարկածը) վերաբերում են երկու անսահման կարդինալների միջև ընկած կարդինալ թվի առկայությունը բացահայտելուն կամ նման առկայության հնարավորությունը հերքելուն։
Վերջին ժամանակներում մաթեմատիկոսներն ավելի ու ավելի մեծ կարդինալների հատկություններ են կարողանում նկարագրել։


=== Կոնտինուումի վարկած ===
Կանտորը ձևակերպել է նաև կոնտինուումի վարկածը․ սա այն առաջարկն է, որ իրական թվերի բազմության հզորությունը՝ 
  
    
      
        
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {c}}}
  -ն, հավասար է 
  
    
      
        
          ℵ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \aleph _{1}}
  -ին։ Այլ կերպ ասած՝ բնական թվերի բազմության հզորությունը ներկայացնող կարդինալ թվի ու իրական թվերի բազմության հզորությունը ներկայացնող կարդինալ թվի միջև կարդինալ թվեր չկան (ինչպես, օրինակ, 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  -ի ու 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  -ի միջև ամբողջ թվեր չկան)։ Այս վարկածն անկախ է բազմությունների տեսության ստանդարտ աքսիոմներից, ինչպես նաև՝ աքսիոմի ընտրությամբ Զերմելո-Ֆրենկելյան աքսիոմային համակարգից․ ստանդարտ ենթադրությունների հիմքով այն ո՛չ ապացուցել է հնարավոր, ո՛չ էլ՝ հերքել։
Համազոր ձևակերպում է հետևյալ պնդումը․ 
  
    
      
        
          ℵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \aleph _{0}}
  -ի և 
  
    
      
        
          2
          
            
              ℵ
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}
  -ի միջև ընկած կարդինալ թվեր չկան։ Նկատենք, որ 
  
    
      
        
          2
          
            
              ℵ
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}
  -ն ներկայացվում է նաև 
  
    
      
        
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {c}}}
   նշանով, որը Կանտորն օգտագործել է իրական թվերի բազմության՝ կոնտինուումի հզորությունը ներկայացնելու համար։ Ըստ վարկածի․ 
  
    
      
        
          2
          
            
              ℵ
              
                0
              
            
          
        
        =
        
          ℵ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}
  ։ 
Կոնտինուումի ընդհանրացված վարկածը պնդում է, որ ցանկացած 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   անսահման բազմության համար 
  
    
      
        
          |
        
        X
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |X|}
  -ի և 
  
    
      
        
          2
          
            
              |
            
            X
            
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{|X|}}
  -ի միջև ընկած կարդինալ թվեր չկան։


== Դրդապատճառներ ==

Ամենօրյա կիրառման մեջ հաշիվ պահող թիվ ու կարդինալ թիվ հասկացությունները նույնն են, և վերաբերում են հետևյալ շարքին․ 
  
    
      
        {
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}
  ։ Շարքը կարող ենք նույնականցնել որպես բնական թվերի բազմությունը՝ ավելացրած զրոն։ Հենց հաշիվ պահող թվերը կարող ենք պաշտոնապես սահմանել որպես վերջավոր կարդինալ թվեր։ Անսահման կարդինալները հանդիպում են միայն բարձր մակարդակի մաթեմատիկայում և տրամաբանության մեջ։
Ավելի պաշտոնապես՝ ցանկացած ոչ-զրոյական թիվ երկու տարբեր նպատակով կարելի է կիրառել․ բազմության չափը կամ շարքում անդամի դիրքը նկարագրելու համար։ Հեշտ է նկատել, որ վերջավոր բազմությունների ու շարքերի համար այդ երկու կիրառությունները համընկնում են․ դիրքը նկարագրող ցանկացած թվի համար կարող ենք համապատասխան չափի բազմություն կառուցել։ Օրինակ. 
  
    
      
        <
        a
        ,
        b
        ,
        c
        ,
        d
        …
        >
      
    
    {\displaystyle <a,b,c,d\ldots >}
   շարքում 
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
  -ը նկարագրում է 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   անդամի դիրքը, և մենք կարող ենք 
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
   տարր պարունակող բազմություն կառուցել․ 
  
    
      
        {
        a
        ,
        b
        ,
        c
        }
      
    
    {\displaystyle \{a,b,c\}}
  ։ Սակայն անսահման բազմությունների հետ գործ ունենալիս կենսական է տարբերակել երկու կիրառումների միջև, քանի որ անսահման բազմությունների համար դրանք տարբեր հասկացություններ են։ Դիրքի մասին խոսելիս հանգում ենք օրդինալ թվերի գաղափարին, իսկ չափի հասկացությունն ընդհանրացվում է այստեղ նկարագրված կարդինալ թվերով։
Կարդինալի պաշտոնական սահմանման հիմքում ընկած ներըմբռնումը տրված բազմության՝ առանց դրա անդամների տեսակին անդրադառնալու, հարաբերական չափի կամ դրա «որքան մեծ լինելու» հասկացության կառուցումն է։ Վերջավոր բազմությունների համար ամեն ինչ հեշտ է․ պարզապես կարելի է հաշվել բազմության անդամների քանակը։ Ավելի մեծ բազմությունների չափերը համեմատելու համար ավելի հղկված հասկացություններ են անհրաժեշտ։


=== Համեմատական հարաբերություն ===
Տրված 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
   և 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   բազմությունների համար, 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  -ը նվազագույնը 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ի չափ է, եթե գոյություն ունի 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\rightarrow Y}
   ինեկտիվ ֆունկցիա։ Այս ինեկտիվ համապատասխանությունը 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ի յուրաքանչյուր անդամ նույնակացնում է 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  -ի եզակի անդամի հետ։ 
Ավելի պարզ հասկանալու համար, օրինակ դիտարկենք․ ենթադրենք, ունենք 
  
    
      
        X
        =
        {
        1
        ,
        2
        ,
        3
        }
      
    
    {\displaystyle X=\{1,2,3\}}
   և 
  
    
      
        Y
        =
        {
        a
        ,
        b
        ,
        c
        ,
        d
        }
      
    
    {\displaystyle Y=\{a,b,c,d\}}
   բազմությունները, և հետևյալ համապատասխանությունը․

  
    
      
        1
        →
        a
      
    
    {\displaystyle 1\rightarrow a}
  

  
    
      
        2
        →
        b
      
    
    {\displaystyle 2\rightarrow b}
  

  
    
      
        3
        →
        c
      
    
    {\displaystyle 3\rightarrow c}
  որը 
  
    
      
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle X\rightarrow Y}
   ինեկցիա է։ Այսպիսով, կարող ենք եզրակացնել, որ 
  
    
      
        
          |
        
        Y
        
          |
        
        ≥
        
          |
        
        X
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |Y|\geq |X|}
  ։ 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
   տարրը իրեն համապատասխանող անդամ չունի, բայց դա խնդիր չէ, քանի որ ինեկցիան չի պահանջում որպեսզի պատասխանների տիրույթն ամբողջովին ծածկված լինի։ 
Չափի մասին ինեկտիվ ֆունկցիայի տրամաբանությամբ մտածելու առավելությունն այն է, որ այն կարելի է ընդարձակել անսահման բազմություններ ընդգրկելու համար։


=== Հավասարություն ===
Նույն տրամաբանությունից կարող ենք սահմանել նաև հավասարության հարաբերություն․ 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   և 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
   բազմությունները նույն հզորությունը (կարդինալությունն) ունեն, եթե գոյություն ունի 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\rightarrow Y}
   բիեկտիվ ֆունկցիա։ Ըստ Շրոդեր-Բերնշտայն թեորեմի, սա համազոր է ասելու, որ գոյություն ունի թե՛ 
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f_{1}:X\rightarrow Y}
  , թե՛ 
  
    
      
        
          f
          
            2
          
        
        :
        Y
        →
        X
      
    
    {\displaystyle f_{2}:Y\rightarrow X}
   ինեկտիվ ֆունկցիա։ Եթե հավասարության պայմանները բավարարված են, կարող ենք գրառել․ 
  
    
      
        
          |
        
        X
        
          |
        
        =
        
          |
        
        Y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |X|=|Y|}
  ։
Ինքնին բազմության կարդինալ թիվը հաճախ սահմանվում է որպես նվազագույն օրդինալ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն, որի համար ճիշտ է 
  
    
      
        
          |
        
        a
        
          |
        
        =
        
          |
        
        X
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |a|=|X|}
   պնդումը․ սա կոչվում է ֆոն Նոյմանի կարդինալ նշանակում։ Այս սահմանումն իմաստ ունի միայն եթե ապացուցված է, որ ցանկացած բազմություն ինչ-որ օրդինալին հավասար հզորություն ունի։ Այդ պնդումը հայտնի է որպես լավ կարգավորման սկզբունք։


=== Հիլբերտի պարադոքս ===
Անսահման բազմությունների կարդինալությունը պատկերավոր ներկայացնելու համար հաճախ է օգտագործվում անսահման հյուրանոցի պարադոքսը, հայտնի որպես Հիլբերտի «Գրանդ» հյուրանոցի պարադոքս։ 
Ենթադրենք, որ գոյություն ունի անսահման քանակությամբ սենյակներով հյուրանոց՝ իր ընդունարանի աշխատակցով։ Հյուրանոցն ամբողջորեն ամրագրված է, երբ նոր հյուրեր են գալիս։ Սակայն հնարավոր է նրանց տեղավորել՝ առաջին սենյակի հյուրին խնդրելով, որ տեղափոխվի երկրորդ սենյակ, երկորդ սենյակում մնացող հյուրին՝ որ տեղափոխվի երրորդ սենյակ, և այդպես շարունակ․ ազատ թողնելով առաջին սենյակը նոր եկած հյուրերի համար։ Մենք կարող ենք այս տեղափոխության ֆունկցիան ներկայացնել որպես․

  
    
      
        1
        →
        2
      
    
    {\displaystyle 1\rightarrow 2}
  

  
    
      
        2
        →
        3
      
    
    {\displaystyle 2\rightarrow 3}
  

  
    
      
        …
      
    
    {\displaystyle \ldots }
  

  
    
      
        n
        →
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n\rightarrow n+1}
  

  
    
      
        …
      
    
    {\displaystyle \ldots }
  Այս բիեկցիան ցույց է տալիս, որ 
  
    
      
        {
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}
   բազմության հզորությունը հավասար է 
  
    
      
        {
        2
        ,
        3
        ,
        4
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle \{2,3,4,\ldots \}}
   բազմության հզորությանը։ Այն նաև հիմք է հանդիսանում անսահման բազմության հետևյալ սահմանմանը․ ցանկացած բազմություն 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  , որն ունի այնպիսի սեփական ենթաբազմություն 
  
    
      
        
          X
          ′
        
      
    
    {\displaystyle X'}
  , որի համար ճիշտ է 
  
    
      
        
          |
        
        X
        
          |
        
        =
        
          |
        
        
          X
          ′
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |X|=|X'|}
   հավասարումը, անսահման բազմություն է (մասնավորապես՝ Դեդեկինդ-անսահման բազմություն)։ Նկատենք, որ 
  
    
      
        {
        2
        ,
        3
        ,
        4
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle \{2,3,4,\ldots \}}
  -ը 
  
    
      
        {
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}
   բազմության սեփական ենթաբազմություն է։
Երբ մեծ օբյեկտներ ենք քննարկում, կարող է հարց առաջանալ․ արդյո՞ք այս անսահման բազմությունների համար հաշվողական հաջորդականության հասկացությունը համընկնում է այստեղ սահմանված կարդինալի հասկացության հետ։ Պարզվում է, որ ոչ․ եթե գոյություն ունի «անսահմանությունից մեկով ավել» չափման բազմություն, այն պիտի նույն հզորությունն ունենա, ինչ ելակետային անսահմանությունը։ Քանակի համար մեկ այլ պաշտոնական հասակցություն կարելի է օգտագործել՝ օրդինալը, որը հիմնված է հաշվելու գաղափարի վրա։ Ուսումնասիրելով կբացահայտենք, որ վերջավոր թվերի տիրույթից դուրս գալուն պես կարդինալության ու օրդինալության հասկացությունները տարանջատվում են։


== Պաշտոնական սահմանում ==


=== Ըստ ընտրության աքսիոմի ===
Ընտրության աքսիոմը ենթադրելով, 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   բազմության կարդինալությունը պաշտոնապես կարելի է սահմանել որպես այն փոքրագույն օրդինալ թիվ 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  , որի համար գոյությունի ունի 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        α
      
    
    {\displaystyle f:X\rightarrow \alpha }
   բիեկտիվ ֆունկցիա։ Սա հայտնի է նաև որպես ֆոն Նոյմանի կարդինալ նշանակում։ 
Եթե ընտրության աքսիոմը տրված չէ որպես ենթադրություն, այլ մոտեցում է անհրաժեշտ։ 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   բազմության հզորության ամենահին սահմանումն է (անուղղակի նշված Կանտորի աշխատություններում, և ուղղակի՝ «Principia Mathematica»-ում)․  
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  ֊ի հետ համաքանակ բոլոր բազմությունների 
  
    
      
        [
        X
        ]
      
    
    {\displaystyle [X]}
   կարգը։ Սա չի աշխատում Զերմելո-Ֆրենկելյան կամ այլ առնչվող աքսիոմատիկ բազմությունների տեսության համակարգերում, քանի որ եթե 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ը դատարկ չէ, ապա վերը նշված հավաքածուն բազմություն լինելու համար չափազանց մեծ է։ 
Իրականում, եթե 
  
    
      
        X
        ≠
        ∅
      
    
    {\displaystyle X\neq \emptyset }
  , տիեզերքից դեպի 
  
    
      
        [
        X
        ]
      
    
    {\displaystyle [X]}
   ինեկցիա գոյություն ունի․ կամայական 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   բազմության համար, 
  
    
      
        m
        →
        {
        m
        }
        ×
        X
      
    
    {\displaystyle m\rightarrow \{m\}\times X}
  ։ Այդպիսով, չափի սահմանափակման աքսիոմի համաձայն, 
  
    
      
        [
        X
        ]
      
    
    {\displaystyle [X]}
  -ը սեփական կարգ է։ Այս սահմանումը, սակայն, չի աշխատում տեսակների տեսության և առնչվող համակարգերում․ բայց, եթե սահմանափակենք կարգը միայն նվազագույն կարգ ունեցող 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ին համաքանակներով, այն կաշխատի։ Սա հնարք է, որն առաջարկել է Դեյնա Սքոտտը․ այն աշխատում է, քանի որ ցանկացած տրված կարգով օբյեկտների հավաքածու բազմություն է։


=== Հարաբերական մեծություն ===
Կարդինալ թվերի կարգը՝ թվերի հարաբերական մեծությունը, պաշտոնապես սահմանվում է հետևյալ կերպ․ 
  
    
      
        
          |
        
        X
        
          |
        
        ≤
        
          |
        
        Y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |X|\leq |Y|}
  , եթե գոյություն ունի 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\rightarrow Y}
   ինեկցիա։ Ըստ Շրոդեր-Բերնշտայն թեորեմի․ եթե 
  
    
      
        
          |
        
        X
        
          |
        
        ≤
        
          |
        
        Y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |X|\leq |Y|}
   և 
  
    
      
        
          |
        
        Y
        
          |
        
        ≤
        
          |
        
        X
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |Y|\leq |X|}
  , ապա 
  
    
      
        
          |
        
        X
        
          |
        
        =
        
          |
        
        Y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |X|=|Y|}
  ։ Ընտրության աքսիոմը համազոր է հետևյալ պնդմանը․ կայամական տրված 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   և 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
   բազմությունների համար ճիշտ է կա՛մ 
  
    
      
        
          |
        
        X
        
          |
        
        ≤
        
          |
        
        Y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |X|\leq |Y|}
  , կա՛մ՝ 
  
    
      
        
          |
        
        Y
        
          |
        
        ≤
        
          |
        
        X
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |Y|\leq |X|}
   անհավասարումը։ Այսինքն․ անհավասարումներից նվազագույնը մեկը ճիշտ է։


=== Դեդեկինդ անսահմանություն ===

  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   բազմությունը Դեդեկինդ-անսահման է, եթե գոյություն ունի 
  
    
      
        Y
        ⊂
        X
      
    
    {\displaystyle Y\subset X}
  , որի համար ճիշտ է 
  
    
      
        
          |
        
        X
        
          |
        
        =
        
          |
        
        Y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |X|=|Y|}
   հավասարումը․ իսկ Դեդեկինդ֊վերջավոր է, եթե նման բազմություն գոյություն չունի։ Վերջավոր կարդինալները պարզապես բնական թվերն են. այն իմաստով, որ 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   բազմությունը վերջավոր է միայն և միայն եթե գոյություն ունի 
  
    
      
        n
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
  , որի համար ճիշտ է 
  
    
      
        
          |
        
        X
        
          |
        
        =
        
          |
        
        n
        
          |
        
        =
        n
      
    
    {\displaystyle |X|=|n|=n}
   հավասարումը․ պայմանին չհամապատասխանող ցանկացած այլ բազմություն անսահման է։
Ընտրության աքսիոմը ենթադրելով, կարող ենք ապացուցել, որ Դեդեկինդ հասկացությունը համապատասխանում է ստանդարտին։ Նաև հնարավոր է ապացուցել, որ 
  
    
      
        
          ℵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \aleph _{0}}
  -ն՝ բնական թվերի բազմության հզորությունը, փոքրագույն անսահման կարդինալն է․ այսինք․ ցանկացած անսահման բազմություն ունի 
  
    
      
        
          ℵ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \aleph _{0}}
   հզորությամբ ենթաբազմություն։ Հաջորդ՝ ավելի մեծ կարդինաը, 
  
    
      
        
          ℵ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \aleph _{1}}
  -ն է, և այդպես շարունակ։  Յուրաքանչյուր օրդինալ 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  ֊ի համար, գոյություն ունի համապատասխան կարդինալ թիվ՝ 
  
    
      
        
          ℵ
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle \aleph _{\alpha }}
  , և այդ ցանկը ամբողջովին թվարկում է բոլոր անսահման կարդինալ թվերը։


== Կարդինալ թվաբանություն ==
Բնական թվերի սովորական թվաբանական գործողությունների ընդհանրացմամբ կարող ենք թվաբանություն սահմանել կարդինալ թվերի համար։ Հնարավոր է ապացուցել, որ վերջավոր կարդինալների համար այդ գործողությունները կհամընկնեն  բնական թվերի թվաբանական գործողությունների հետ։ Ավելին՝ այս գործողությունները սովորական թվաբանության հետ ընդհանուր շատ հատկություններ կունենան։


=== Հաջորդող կարդինալ ===

Եթե ընտրության աքսիոմը ճիշտ է,յուրաքանչյուր կարդինալ 
  
    
      
        κ
      
    
    {\displaystyle \kappa }
   ունի իրեն հաջորդող կարդինալ, որը նշանակում ենք որպես 
  
    
      
        
          κ
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa ^{+}}
  , որտեղ 
  
    
      
        κ
        <
        
          κ
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa <\kappa ^{+}}
  , և նրանց միջև որևէ կարդինալներ չկան։ Առանց ընտրության աքսիոմի, բայց՝ օգտագործելով Հարտոգսի թեորեմը, հնարավոր է ցույց տալ, որ կամայական կարդինալ 
  
    
      
        κ
      
    
    {\displaystyle \kappa }
  -ի համար գոյություն ունի մի այնպիսի նվազագույն կարդինալ 
  
    
      
        
          κ
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa ^{+}}
  , որոնց համար ճիշտ է 
  
    
      
        
          κ
          
            +
          
        
        ≰
        κ
      
    
    {\displaystyle \kappa ^{+}\nleq \kappa }
   անհավասարումը։
Վերջավոր կարդինալ 
  
    
      
        κ
      
    
    {\displaystyle \kappa }
  -ի համար հաջորդողը պարզապես 
  
    
      
        κ
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \kappa +1}
  -ն է՝ հաջորդող օրդինալը։ Անսահման կարդինալների համար այդպիսի օրինաչափություն չկա։


=== Գումարում ===
Եթե 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ը և 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  ֊ը տարանջատված բազմություններ են, դրանց գումարումը տրված է իրենց միավորումով։ Եթե բազմությունները տարանջատված չեն, դրանք կարելի է փոխարինել հավասար հզորություն ունեցող տարանջատված բազմություններով։ Օրինակ․ 
  
    
      
        X
        →
        X
        ×
        {
        0
        }
      
    
    {\displaystyle X\rightarrow X\times \{0\}}
   և 
  
    
      
        Y
        →
        Y
        ×
        {
        1
        }
      
    
    {\displaystyle Y\rightarrow Y\times \{1\}}
  ։
Բազմությունների հզորությունների գումարումը կարելի է սահմանել որպես․ 
  
    
      
        
          |
        
        X
        
          |
        
        +
        
          |
        
        Y
        
          |
        
        =
        
          |
        
        X
        ∪
        Y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |X|+|Y|=|X\cup Y|}
  ։
Նշանակենք 
  
    
      
        x
        =
        
          |
        
        X
        
          |
        
        ,
        y
        =
        
          |
        
        Y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle x=|X|,y=|Y|}
   և 
  
    
      
        z
        =
        
          |
        
        Z
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle z=|Z|}
   ինչ-որ 
  
    
      
        X
        ,
        Y
      
    
    {\displaystyle X,Y}
   և 
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
   բազմությունների համար։ Կարդինալ գումարման հատկություններն են․

Զրոն գումարման չեզոք տարրն է․ 
  
    
      
        x
        +
        0
        =
        0
        +
        x
        =
        x
      
    
    {\displaystyle x+0=0+x=x}
   ցանկացած 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  ֊ի համար։ Նկատեք, որ 
  
    
      
        0
        =
        
          |
        
        ∅
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle 0=|\emptyset |}
  ։Գումարումը զուգորդական է․ 
  
    
      
        (
        x
        +
        y
        )
        +
        z
        =
        x
        +
        (
        y
        +
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}
  ։Գումարումը տեղափոխական է. 
  
    
      
        x
        +
        y
        =
        y
        +
        x
      
    
    {\displaystyle x+y=y+x}
  ։Գումարումը երկու արգումենտով ոչ֊նվազող է․ 
  
    
      
        x
        ≤
        y
        →
        (
        (
        x
        +
        z
        ≤
        y
        +
        z
        )
      
    
    {\displaystyle x\leq y\rightarrow ((x+z\leq y+z)}
   և 
  
    
      
        (
        z
        +
        x
        )
        ≤
        (
        z
        +
        y
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (z+x)\leq (z+y))}
  ։Ընտրության աքսիոմը ենթադրելով, անսահման կարդինալների գումարումը նույնպես կարելի է հեշտությամբ սահմանել․ 
  
    
      
        x
        +
        y
        =
        max
        {
        x
        ,
        y
        }
      
    
    {\displaystyle x+y=\max\{x,y\}}
  , եթե կա՛մ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը, կա՛մ 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  -ն անսահման են։


=== Բազմապատկում ===
Կարդինալների բազմապատկման սահմանումն օգտագործում է Դեկարտյան արտադրյալը. 
  
    
      
        
          |
        
        X
        
          |
        
        ⋅
        
          |
        
        Y
        
          |
        
        =
        
          |
        
        X
        ×
        Y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |X|\cdot |Y|=|X\times Y|}
  ։
Նշանակենք 
  
    
      
        x
        =
        
          |
        
        X
        
          |
        
        ,
        y
        =
        
          |
        
        Y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle x=|X|,y=|Y|}
   և 
  
    
      
        z
        =
        
          |
        
        Z
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle z=|Z|}
   ինչ-որ 
  
    
      
        X
        ,
        Y
      
    
    {\displaystyle X,Y}
   և 
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
   բազմությունների համար։ 
Զրոյի հետ բազմապատկումը հետևում է այս կանոններին․

  
    
      
        x
        ⋅
        0
        =
        0
        ⋅
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x\cdot 0=0\cdot x=0}
  
  
    
      
        x
        ⋅
        y
        =
        0
        →
        (
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x\cdot y=0\rightarrow (x=0}
   կամ 
  
    
      
        y
        =
        0
        )
      
    
    {\displaystyle y=0)}
  Կարդինալ բազմապատկման հատկություններն են․

Մեկը բազմապատկման չեզոք տարրն է․ 
  
    
      
        x
        ⋅
        1
        =
        1
        ⋅
        x
        =
        x
      
    
    {\displaystyle x\cdot 1=1\cdot x=x}
   ցանկացած 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  ֊ի համար։ Նկատեք, որ 
  
    
      
        1
        =
        
          |
        
        
          a
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle 1=|{a}|}
  ։Բազմապատկումը զուգորդական է․ 
  
    
      
        (
        x
        ⋅
        y
        )
        ⋅
        z
        =
        x
        ⋅
        (
        y
        ⋅
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}
  ։Բազմապատկումը տեղափոխական է. 
  
    
      
        x
        ⋅
        y
        =
        y
        ⋅
        x
      
    
    {\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}
  ։Բազմապատկումը երկու արգումենտով ոչ֊նվազող է․ 
  
    
      
        x
        ≤
        y
        →
        (
        (
        x
        ⋅
        z
        ≤
        y
        ⋅
        z
        )
      
    
    {\displaystyle x\leq y\rightarrow ((x\cdot z\leq y\cdot z)}
   և 
  
    
      
        (
        z
        ⋅
        x
        )
        ≤
        (
        z
        ⋅
        y
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (z\cdot x)\leq (z\cdot y))}
  ։Բազմապատկումը գումարման նկատմամբ բաշխական է․
  
    
      
        z
        ⋅
        (
        x
        +
        y
        )
        =
        z
        ⋅
        x
        +
        z
        ⋅
        y
      
    
    {\displaystyle z\cdot (x+y)=z\cdot x+z\cdot y}
  ,

  
    
      
        (
        x
        +
        y
        )
        ⋅
        z
        =
        x
        ⋅
        z
        +
        y
        ⋅
        z
      
    
    {\displaystyle (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z}
  ։Ընտրության աքսիոմը ենթադրելով, անսահման կարդինալների բազմապատկումը նույնպես կարելի է հեշտությամբ սահմանել․ 
  
    
      
        x
        ⋅
        y
        =
        max
        {
        x
        ,
        y
        }
      
    
    {\displaystyle x\cdot y=\max\{x,y\}}
  , եթե կա՛մ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը, կա՛մ 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  -ն անսահման են, և երկուսն էլ ոչ-զրոյական են։


=== Էքսպոնենտ ===
Էքսպոնենտի օպերացիան տրված է հետևյալ հավասարմամբ․ 
  
    
      
        
          |
        
        X
        
          
            |
          
          
            
              |
            
            Y
            
              |
            
          
        
        =
        
          |
        
        
          X
          
            Y
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |X|^{|Y|}=|X^{Y}|}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          X
          
            Y
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{Y}}
  -ը` բազմությունների էքսպոնենտը, հավասար է 
  
    
      
        f
        :
        Y
        →
        X
      
    
    {\displaystyle f:Y\rightarrow X}
   բոլոր ֆունկցիաների բազմությանը։ 

  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   բազմության հզոր բազմության կարդինալությունը 
  
    
      
        
          2
          
            
              |
            
            X
            
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{|X|}}
  -ն է։ Նկատենք, որ Կանտորի անկյունագծային փաստարկը ցույց է տալիս, որ 
  
    
      
        
          2
          
            
              |
            
            X
            
              |
            
          
        
        >
        
          |
        
        X
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle 2^{|X|}>|X|}
   ցանկացած 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ի համար։ Սա նաև ցույց է տալիս, որ մեծագույն կարդինալ գոյություն չունի, քանի որ ցանկացած ենթադրվող մեծագույն կարդինալ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի համար գոյություն ունի ավելի մեծը՝ 
  
    
      
        
          2
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{x}}
  ։ Իրականում կարդինալների դասը սեփական դաս է։ Այս ապացույցը, սակայն, չի աշխատում որոշ բազմությունների տեսությունում, մասնավորապես՝ Նոր Հիմունքներում։
Օգտագործելով Քյոնիգի թեորեմը, ցանկացած անսահման կարդինալ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի համար կարելի է ապացուցել, որ 
  
    
      
        x
        <
        
          x
          
            c
            f
            (
            x
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle x<x^{cf(x)}}
   և 
  
    
      
        x
        <
        c
        f
        (
        
          2
          
            x
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x<cf(2^{x})}
  , որտեղ 
  
    
      
        c
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle cf(x)}
  ֊ը 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի համավերջավորությունն է՝ cofinality։
Նշանակենք 
  
    
      
        x
        =
        
          |
        
        X
        ≠
        ∅
        
          |
        
        ,
        y
        =
        
          |
        
        Y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle x=|X\neq \emptyset |,y=|Y|}
   և 
  
    
      
        z
        =
        
          |
        
        Z
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle z=|Z|}
   ինչ-որ 
  
    
      
        X
        ,
        Y
      
    
    {\displaystyle X,Y}
   և 
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
   բազմությունների համար։ Կարդինալ էքսպոնենտի հատկություններն են․

  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x^{0}=1}
  , մասնավորապես․ 
  
    
      
        
          0
          
            0
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle 0^{0}=1}
  ։ Տես․ դատարկ ֆունկցիա։Եթե 
  
    
      
        x
        ≥
        1
      
    
    {\displaystyle x\geq 1}
  , ապա 
  
    
      
        
          0
          
            x
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 0^{x}=0}
  ։ Նկատենք, որ 0-ի ու 1-ի միջև ընկած կարդինալ թվեր չկան։
  
    
      
        
          1
          
            x
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle 1^{x}=1}
  ։
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        x
      
    
    {\displaystyle x^{1}=x}
  ։ Նկատենք, որ չնայած այս հավասարումը ճիշտ է կամայական, ոչ֊զրոյական 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  ֊ի համար, 1-ը չեզոք տարր չէ, քանի որ 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ≠
        
          1
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{1}\neq 1^{x}}
   ցանկացած 
  
    
      
        x
        ≠
        1
      
    
    {\displaystyle x\neq 1}
  -ի համար։
  
    
      
        
          x
          
            y
            +
            z
          
        
        =
        
          x
          
            y
          
        
        
          
             
          
        
        
          x
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{y+z}=x^{y}{\mbox{ }}x^{z}}
  
  
    
      
        
          x
          
            y
            
              
                 
              
            
            z
          
        
        =
        (
        
          x
          
            y
          
        
        
          )
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{y{\mbox{ }}z}=(x^{y})^{z}}
  
  
    
      
        (
        x
        
          
             
          
        
        y
        
          )
          
            z
          
        
        =
        
          x
          
            z
          
        
        
          
             
          
        
        
          y
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle (x{\mbox{ }}y)^{z}=x^{z}{\mbox{ }}y^{z}}
  Էքսպոնենտը երկու արգումենտով ոչ֊նվազող է․

  
    
      
        (
        1
        ≤
        x
      
    
    {\displaystyle (1\leq x}
   և 
  
    
      
        y
        ≤
        z
        )
      
    
    {\displaystyle y\leq z)}
   
  
    
      
        →
        
          x
          
            y
          
        
        ≤
        
          x
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle \rightarrow x^{y}\leq x^{z}}
  
  
    
      
        x
        ≤
        y
        →
        
          x
          
            z
          
        
        ≤
        
          y
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle x\leq y\rightarrow x^{z}\leq y^{z}}
  Բոլոր մնացած հատկությունները ենթադրում են ընտրության աքսիոմը․

եթե 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը և 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  -ը երկուսն էլ վերջավոր են և 
  
    
      
        >
        1
      
    
    {\displaystyle >1}
  , իսկ 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  -ն անսահման է, ապա 
  
    
      
        
          x
          
            z
          
        
        =
        
          y
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{z}=y^{z}}
  եթե 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը անսահման է, իսկ 
  
    
      
        y
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle y\neq 0}
  -ն՝ վերջավոր, ապա 
  
    
      
        
          x
          
            y
          
        
        =
        x
      
    
    {\displaystyle x^{y}=x}
  եթե 
  
    
      
        2
        ≤
        x
      
    
    {\displaystyle 2\leq x}
   և 
  
    
      
        1
        ≤
        y
      
    
    {\displaystyle 1\leq y}
  , և դրանցից գոնե մեկն անսահման է, ապա․ 
  
    
      
        m
        a
        x
        {
        x
        ,
        
          2
          
            y
          
        
        }
        ≤
        
          x
          
            y
          
        
        ≤
        m
        a
        x
        {
        
          2
          
            x
          
        
        ,
        
          2
          
            y
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle max\{x,2^{y}\}\leq x^{y}\leq max\{2^{x},2^{y}\}}
  ։


==== Լոգարիթմ ====
Եթե 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ն անսահման կարդինալ թիվ է, իր համար լոգարիթմը սահմանվում է որպես այն նվազագույն կարդինալ թիվ 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  -ը, որը բավարարում է 
  
    
      
        x
        ≤
        
          2
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle x\leq 2^{y}}
   անհավասարումը։
Անսահման կարդինալների լոգարիթմներն օգտաակար են մաթեմատիկայի որոշ ոլորտներում՝ օրինակ, տոպոլոգիական տարածությունների կարդինալ ինվարիանտների ուսումնասիրության մեջ, չնայած դրանք չունեն դրական իրական թվերի լոգարիթմների որոշ հատկություններ։


== Տես նաև ==
Ալեֆ թվեր
Բեթ թվեր
Մեծագույն կարդինալի պարադոքս
Ներառման-Բացառման սկզբունք
Մաթեմատիկական նշաններ


== Ծանոթագրություններ ==


=== Աղբյուրներ ===


=== Գրականություն ===
Դոբեն, Ջոզեֆ Վորրեն (1990), Գեորգ Կանտոր․ Նրա Մաթեմատիկան և Անսահմանության Փիլիսոփայությունը, Փրինսթոն: Փրինսթոնի համալսարան, ISBN 0691-02447-2, https://archive.org/details/georgcantorhisma0000daub Հան Հանս (1956)։ «Գլուխ 2»։ Անսահմանություն, «Մաթեմատիկայի Աշխարհ»։ Հատոր 3։ Նյու Յորք․ Սայմոն և Շուսթեր Փոլ Հալմոշ (1960)։ Պարզ Բազմությունների Տեսություն։ Վան Նոսթրանդ Կազմակերպություն, վերահրատարակած 1974 թվ-ին Շպրինգեր֊Վերլագի կողմից, Նյու Յորք։ ISBN 0-387-90092-6