Բեզուի թեորեմ

Բեզուի թեորեմը պնդում է, որ 
  
    
      
        (
        x
        −
        a
        )
      
    
    {\displaystyle (x-a)}
   երկանդամի վրա 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
   բազմանդամի բաժանման մնացորդը հավասար է 
  
    
      
        P
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle P(a)}
  :
Ենթադրվում է, որ բազմանդամի գործակիցները ընկած են միավորով ինչ-որ կոմուտատիվ օղակի մեջ (օրինակ, իրական թվերի կամ կոմպլեքս թվերի դաշտը)։


== Ապացույց ==

  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
   բազմանդամը մնացորդով բաժանում ենք 
  
    
      
        x
        −
        a
      
    
    {\displaystyle x-a}
   երկանդամի վրա.

  
    
      
        P
        (
        x
        )
        =
        (
        x
        −
        a
        )
        Q
        (
        x
        )
        +
        R
        (
        x
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle P(x)=(x-a)Q(x)+R(x),}
  որտեղ 
  
    
      
        R
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle R(x)}
  -ը մնացորդն է։ Քանի որ 
  
    
      
        deg
        ⁡
        R
        (
        x
        )
        <
        deg
        ⁡
        (
        x
        −
        a
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \deg R(x)<\deg(x-a)=1}
  , ապա 
  
    
      
        R
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle R(x)}
  -ը 0-ից ոչ բարձր աստիճանի բազմանդամ է, այսինքն՝ հաստատուն։ Փոխարինելով 
  
    
      
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x=a}
  , քանի որ 
  
    
      
        (
        a
        −
        a
        )
        Q
        (
        a
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (a-a)Q(a)=0}
  , ունենում ենք 
  
    
      
        P
        (
        a
        )
        =
        R
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle P(a)=R(a)}
  :


== Հետևություններ ==

  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թիվը հանդիսանում է 
  
    
      
        p
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p(x)}
   բազմանդամի արմատ այն և միայն այն դեպքում, երբ 
  
    
      
        p
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p(x)}
  -ը 
  
    
      
        x
        −
        a
      
    
    {\displaystyle x-a}
   երկանդամի վրա բաժանվում է առանց մնացորդի (այստեղից, մասնավորապես հետևում է, որ 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
   բազմանդամի արմատների բազմությունը նույնական է 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle P(x)=0}
   հավասարման արմատների բազմությանը)։
Բազմանդամի ազատ անդամը բաժանվում է ամբողջ գործակիցներով բազմանդամի ցանկացած ամբողջ արմատի վրա (եթե մեծ գործակիցը հավասար է 1-ի, ապա բոլոր ռացիոնալ արմատները հանդիսանում են նաև ամբողջներ)։
Թող 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն լինի 
  
    
      
        A
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle A(x)}
   ամբողջ գործակիցներով բերված բազմանդամի ամբողջ արմատ։ Այդ դեպքում կամայական 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   ամբողջի համար 
  
    
      
        A
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle A(k)}
   թիվը բաժանվում է 
  
    
      
        a
        −
        k
      
    
    {\displaystyle a-k}
  :


== Կիրառում ==
Բեզուի թեորեմը և նրա հետևանքները թույլ են տալիս հեշտությամբ գտնել ռացիոնալ գործակիցներով պոլինոմալ հավասարումների ռացիոնալ արմատները։


== Տես նաև ==
Հանրահաշվի հիմնական թեորեմ


== Ծանոթագրություններ ==


== Աղբյուրներ ==
Геометрия, Том 2, Берже М., 1984