Էլիպս

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Էլիպս (այլ կիրառումներ)
Ձվածիրը, կամ Էլիպսը երկրաչափական պատկեր է։ Էլիպս է կոչվում հարթության այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց հեռավորությունների գումարը տրված երկու 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
   և 
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
   կետերից հաստատուն է և մեծ է 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}F_{2}}
   հատվածի երկարությունից։
Այդ հաստատունը կնշանակենք 2a-ով։ 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
  -ը և 
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
  -ը կոչվում են էլիպսի ֆոկուսներ, իսկ 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}F_{2}}
   հատվածի երկարությունը կնշանակենք 2c-ով, և կանվանենք ֆոկուսային հեռավորություն։


== Էլիպսի հավասարումը ==
Հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգն ընտրենք այնպես, որ Ox առանցքն անցնի 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
   և 
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
   կետերով, իսկ Oy առանցքը՝ 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}F_{2}}
   հատվածի միջնակետով։
Այս դեպքում, ըստ սահմանման, էլիպսի ցանկացած P(x, y) կետի համար՝

 P
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
   + P
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
   = 2a 
Հաշվի առնելով, որ 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
   կետի կոորդինատներն են 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
  (-c;0) , իսկ 
  
    
      
        
          F
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{2}}
   կետինը 
  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}}
  (c;0), երկու կետի հեռավորության բանաձևից ստանում ենք՝

 
  
    
      
        
          
            (
            x
            +
            c
            
              )
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            (
            x
            −
            c
            
              )
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        =
        2
        a
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a}
   
Սա էլ հենց հանդիսանում է էլիպսի հավասարումը ընտրված կոորդինատային համակարգում։ Փորձենք այն գրել կոմպակտ տեսքով։ Դրա համար երկրորդ գումարելին տեղափոխենք հավասարման աջ մաս և երկու կողմերը բարձրացնենք քառակուսի՝

 
  
    
      
         
        (
        x
        +
        c
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        4
        
          a
          
            2
          
        
        −
        4
        a
        
          
            (
            x
            −
            c
            
              )
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        +
        (
        x
        −
        c
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ~(x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+(x-c)^{2}+y^{2}}
   
Պարզեցումներից հետո ստանում ենք՝

 
  
    
      
         
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        
          c
          
            2
          
        
        )
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          y
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        
          c
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ~(a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})}
   
Քանի որ 
  
    
      
         
        a
        >
        c
      
    
    {\displaystyle ~a>c}
  , ապա 
  
    
      
         
        
          a
          
            2
          
        
        −
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ~a^{2}-c^{2}}
   > 0 ։ Նշանակենք 
  
    
      
         
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        −
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ~b^{2}=a^{2}-c^{2}}
  , ուստի 
  
    
      
        b
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            −
            
              c
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}
  
հետևաբար հավասարումը կընդունի հետևյալ տեսքը՝

 
  
    
      
         
        
          b
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          y
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ~b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}}
   
կամ

 
  
    
      
         
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle ~{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
   
որը կոչվում է էլիպսի կանոնական հավասարում ։
Այստեղ 2a-ն և 2b-ն կոչում են էլիպսի համապատասխանաբար մեծ և փոքր առանցքների երկարություններ, իսկ կոորդինատների սկզբնակետը՝ էլիպսի կենտրոն։ 
  
    
      
        e
        =
        
          
            c
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle e={\frac {c}{a}}}
   թիվը կոչվում է էլիպսի էքսցենտրիսիտետ ։ Կոորդինատային առանցքների հետ հատման կետերը կոչվում են էլիպսի գագաթներ։


=== Դիտողություն ===
Նշենք, որ իրականում մենք ցույց տվեցինք, որ(1) հավասարմանը բավարարող ցանկացած M(x;y) բավարարում է նաև (2) հավասարմանը։ Կարելի է ցույց տալ, որ ճիշտ է նաև հակառակը, այսինքն (2)-ին բավարարող ցանկացած M(x;y) կետ բավարարում է նաև (1)-ին։
Օրինակ։ Գտնել հետևյալ հավասարումով տրված էլիպսի ֆոկուսների հեռավորությունը և էքսցենտրիսիտետը։

  
    
      
         
        3
        
          x
          
            2
          
        
        +
        4
        
          y
          
            2
          
        
        =
        5
      
    
    {\displaystyle ~3x^{2}+4y^{2}=5}
   


==== Լուծում ====
հավասարման երկու մասը բաժանելով 5-ի՝ ստանում ենք

 
  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              5
              3
            
          
        
        +
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              5
              4
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {x^{2}}{\frac {5}{3}}}+{\frac {y^{2}}{\frac {5}{4}}}=1}
   
ուստի 
  
    
      
        a
        =
        
          
            
              5
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\sqrt {\frac {5}{3}}}}
  ; 
  
    
      
        b
        =
        
          
            
              5
              4
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b={\sqrt {\frac {5}{4}}}}
  

  
    
      
         
        
          
            c
            
              2
            
          
        
        =
        
          
            a
            
              2
            
          
        
        −
        
          
            b
            
              2
            
          
        
        =
        
          
            5
            3
          
        
        −
        
          
            5
            4
          
        
        =
        
          
            5
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle ~{c^{2}}={a^{2}}-{b^{2}}={\frac {5}{3}}-{\frac {5}{4}}={\frac {5}{12}}}
   ,
  
    
      
         
        2
        c
        =
        2
        
          
            
              5
              12
            
          
        
      
    
    {\displaystyle ~2c=2{\sqrt {\frac {5}{12}}}}
  

  
    
      
        e
        =
        
          
            
              5
              12
            
          
        
        :
        
          
            
              5
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e={\sqrt {\frac {5}{12}}}:{\sqrt {\frac {5}{3}}}}
   = 
  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
  
001


== Գրականություն ==
Ի․ Պրիվալով "Անալիտիկ երկրաչափություն" Գրքի օնլայն տարբերակը Archived 2021-08-13 at the Wayback Machine.