Հանրահաշվական տոպոլոգիա

Հանրահաշվական տոպոլոգիա, մաթեմատիկայի բնագավառ, որտեղ հանրահաշվական հասկացությունների և մեթոդների օգնությամբ ուսումնասիրվում են երկրաչափական պատկերների այնպիսի հատկություններ, որոնք անփոփոխ են մնում հոմոտոպիաների (անընդհատ դեֆորմացիաների) ժամանակ։ Հոմոտոպիան հանրահաշվական տոպոլոգիայի հիմնական հասկացություններից է և սահմանվում է հետևյալ կերպ 
  
    
      
        f
        ,
        g
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f,g:X\rightarrow Y}
   անընդհատ արտապատկերումները, որտեղ 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   և 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
   տոպոլոգիական տարածություններ են, կոչվում են միմյանց (ազատ) հոմոտոպ, եթե գոյություն ունի 
  
    
      
        ϵ
        
          
            2
          
        
        [
        0
        ;
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle \epsilon {\mathcal {2}}[0;1]}
   պարամետրից կախված 
  
    
      
        
          h
          
            ϵ
          
        
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle h_{\epsilon }:X\rightarrow Y}
   անընդհատ արտապատկերումների այնպիսի ընտանիք, որ 
  
    
      
        
          h
          
            0
          
        
        =
        f
        ,
        
          h
          
            1
          
        
        =
        g
        ,
      
    
    {\displaystyle h_{0}=f,h_{1}=g,}
   և 
  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        
          h
          
            t
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x,t)=h_{t}(x)}
   բանաձևով որոշվող 
  
    
      
        F
        :
        X
        x
        [
        0
        ,
        1
        ]
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle F:Xx[0,1]\rightarrow Y}
   արտապատկերումը անընդհատ է։ Օրինակ, եթե 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ը կամայական տարածություն է, իսկ 
  
    
      
        Y
        ⊂
        
          R
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle Y\subset R^{0}}
  -ը՝ ուռուցիկ բազմություն, ապա յուրաքանչյուր երկու 
  
    
      
        f
        ,
        g
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f,g:X\rightarrow Y}
   արտապատկերումներ իրար հոմոտոպ են 
  
    
      
        [
        h
        (
        t
        )
        =
        (
        1
        −
        t
        )
        f
        (
        x
        )
        +
        t
        .
        g
        (
        x
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle [h(t)=(1-t)f(x)+t.g(x)]}
  ։ Յուրաքանչյուր այդպիսի 
  
    
      
        
          h
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{t}}
   ընտանիք (ինչպես նաև համապատասխան 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   արտապատկերումը) կոչվում է 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ը 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  -ի տանող հոմոտոպիական անընդհատ դեֆորմացիա։ Հանրահաշվական տոպոլոգիան ուսումնասիրում է տոպոլոգիական տարածությունների և անընդհատ արտապատկերումների հետևյալ հիմնական տիպերը՝ պոլիէդրները (սիմպլեքսային, վանդակային), բազմաձևությունները (տոպոլոգիական, ողորկ, անալիտիկ), շերտավորումները (վեկտորական, գլխավոր, ողորկ), անընդհատ, ողորկ անալիտիկ ներդրումները, ընկղմումները։ Հանրահաշվական տոպոլոգիայի հիմնական պրոբլեմներից են՝ բազմաձևությունների դասակարգումը հոմեոմորֆիզմի տարբեր ձևերի նկատմամբ, անընդհատ արտապատկերումների հոմոտոպիական դասակարգումը, պոլիէդրների և բազմաձևությունների դասակարգումը հոմոտոպիական համարժեքության նկատմամբ. 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   և 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
   տարածությունները կոչվում են հոմոտոպորեն համարժեք, եթե գոյություն ունեն այնպիսի 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\rightarrow Y}
   և 
  
    
      
        g
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle g:X\rightarrow Y}
   անընդհատ արտապատկերումներ, որ 
  
    
      
        g
        o
        f
      
    
    {\displaystyle gof}
   և 
  
    
      
        f
        o
        g
      
    
    {\displaystyle fog}
  -ն համապատասխանաբար հոմոտոպ են 
  
    
      
        
          1
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle 1_{x}}
  , 
  
    
      
        
          1
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle 1_{y}}
   նույնական արտապատկերումներին։ Հանրահաշվական տոպոլոգիայի ամենազարգացած բաժինը, որն ունի բազմաթիվ կարևոր կիրառություններ մաթեմատիկայի տարբեր բնագավառներում, հոմոլոգիաների տեսությունն է։ Հանրահաշվական տոպոլոգիայի կարևոր բաժիններից է հոմոտոպիաների տեսությունը, որի հիմնական հասկացություններից մեկը 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   տարածության 
  
    
      
        
          π
          
            n
          
        
        (
        X
        ,
        
          x
          
            0
          
        
        )
        n
      
    
    {\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})n}
  -չափանի հոմոտոպիական խումբն է. 
  
    
      
        
          π
          
            1
          
        
        (
        X
        ,
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}
   խումբը նաև կոչվում է Պուանկարեի խումբ։