Մասսայական սպասարկման տեսություն

Մասսայական սպասարկման տեսություն, մաթեմատիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է պատահական բնույթ ունեցող պահանջների զանգվածային հոսքն սպասարկող համակարգեր։  Սպասարկման համակարգ է կոչվում ամեն մի ձեռնարկություն, ուր ժամանակի պատահական պահերին ստացվում են որոշակի ծառայություն կատարելու պատվերներ (օրինակ, ավտոմատ հեռախոսային կայան), ընդ որում, պատահական կարող է լինել նաև պատվերի կատարման տևողությունը։ Սպասարկման համակարգը բաղկացած է որոշակի թվով սպասարկող հարմարանքներից՝ գծերից։ Եթե հերթական պահանջը ստացվելու պահին կա սպասարկման ազատ գիծ, ապա վերջինս անմիջապես անցնում է պահանջի կատարմանը, իսկ եթե բոլոր գծերն զբաղված են, ապա տվյալ պահանջը կամ մերժվում է (կորուստներով համակարգ), կամ հերթի դրվում (առանց կորուստների համակարգ)։ Պահանջների հոսքը պատահական պրոցես է, որը պարզագույն դեպքում բնորոշվում է 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   ժամանակամիջոցում 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   պահանջներ ստացվելու 
  
    
      
        
          V
          
            k
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle V_{k}(t)}
   հավանականությունով։ Մեկ պահանջի կատարման 
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
   պատահական ժամանակը բնորոշվում է իր 
  
    
      
        F
        (
        t
        )
        =
        P
        (
        
          τ
        
        <
        t
        )
      
    
    {\displaystyle F(t)=P({\tau }<t)}
   բաշխման ֆունկցիայով։ Սպասարկման համակարգի աշխատանքը բնութագրող պարզագույն պարամետրերն են. ժամանակի է պահին 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   գիծ զբաղված լինելու 
  
    
      
        P
        n
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle Pn(t)}
   հավանականությունը, մերժման հավանականությունը (կորուստներով համակարգի համար), հերթի տևողությունը (առանց կորուստների համակարգի համար)։
Զանգվածային սպասարկման համակարգի հարցումները լինում են երկու տեսակ՝ հասարակ և ստացիոնար.

Հասարակ են կոչվում այն տվյալների հոսքերը, որոնք բաղկացած են միևնույն նախապատվությունը ունեցող տվյալներից
Ստացիոնար են կոչվում տվյալների այն հոսքերը, որտեղ յուրաքանչյուր 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   դեպքի ի հայտ գալը (
  
    
      
        t
        ,
        t
        +
        x
      
    
    {\displaystyle t,t+x}
  ) միջակայքում կախված չէ 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   ժամանակամիջոցից, այլ կապված է միային 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   երկարությունից, որում այն գտնվում է։Հասարակ հոսքերը անվանվում են նաև Պուասոնյան հոսքեր։ Պուասոնյան հոսքի դեպքում ՝
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   միջավայրում կատարվող գործողությունները կախված չեն մեկ այլ ցանկացած միջավայրում կատարվող գործողություններից։
Այսպես, օրինակ, եթե պահանջների հոսքը պուասոնյան է, այսինքն՝ 
  
    
      
        
          V
          
            k
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              λ
              
                
                  t
                
                
                  k
                
              
              
                
                  e
                
                
                  −
                  λ
                  
                    t
                  
                
              
            
            
              k
              l
            
          
        
        (
        
          λ
        
        >
        0
        )
      
    
    {\displaystyle V_{k}(t)={\frac {\lambda {t}^{k}{e}^{-\lambda {t}}}{kl}}({\lambda }>0)}
  , 
իսկ սպասարկման ժամանակի բաշխումը ցուցչային՝ 
  
    
      
        F
        (
        t
        )
        =
        1
        −
        
          
            e
          
          
            −
            β
            
              t
            
          
        
        ,
         
         
        t
        >
        0
        ,
        (
        β
        >
        0
        )
      
    
    {\displaystyle F(t)=1-{e}^{-\beta {t}},~~t>0,(\beta >0)}
   ապա 
  
    
      
        P
        k
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          P
          
            k
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle Pk=\lim _{n\to \infty }P_{k}(t)}
    հավանականությունները որոշվում են Էռլանգի բանաձևով.

  
    
      
        
          P
          
            k
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  1
                  
                    k
                    l
                  
                
              
              (
              
                
                  λ
                  β
                
              
              
                )
                
                  k
                
              
            
            
              
                ∑
                
                  k
                  =
                  0
                
                
                  n
                
              
              
                
                  1
                  
                    k
                    l
                  
                
              
              (
              
                
                  λ
                  β
                
              
              
                )
                
                  k
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{k}={\frac {{\frac {1}{kl}}({\frac {\lambda }{\beta }})^{k}}{\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {1}{kl}}({\frac {\lambda }{\beta }})^{k}}}}
  մասնավորապես, մերժման հավանականությունը որոշվում է 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  1
                  
                    k
                    l
                  
                
              
              (
              
                
                  λ
                  β
                
              
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              
                ∑
                
                  k
                  =
                  0
                
                
                  n
                
              
              
                
                  1
                  
                    k
                    l
                  
                
              
              (
              
                
                  λ
                  β
                
              
              
                )
                
                  k
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{n}={\frac {{\frac {1}{kl}}({\frac {\lambda }{\beta }})^{n}}{\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {1}{kl}}({\frac {\lambda }{\beta }})^{k}}}}
   բանաձևով։