Բաժանելիության հայտանիշներ

Բաժանելիության հայտանիշ, ալգորիթմ, որը հնարավորություն է տալիս համեմատաբար արագ որոշել, արդյոք թիվը նախօրոք տրվածի բազմապատիկ է
: Եթե բաժանելիության հայտանիշը թույլատրում է պարզել ոչ միայն բաժանելիությունը նախօրոք տրված թվի վրա, այլ նաև բաժանումից ստացված մնացորդը, ապա այն անվանում են հավասարամնացորդայնության հայտանիշ։


== Գաղափար բաժանելիության մասին ==
Եթե 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   երկու ամբողջ թվերի համար գոյություն ունի այնպիսի 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   թիվ, որ 
  
    
      
        b
        
        q
        =
        a
        ,
      
    
    {\displaystyle b\,q=a,}
  , ապա ասում են, որ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թիվը բաժանվում է 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվի վրա։


== Բաժանելիության հայտանիշները հաշվարկման տասական համակարգում ==


=== 2-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Թիվը բաժանվում է 2- ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի, այսինքն՝ զույգ է։
Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        10
        
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        <
        10
        ,
        
        
          a
          
            1
          
        
        ⩾
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0},<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  10
                
              
              
                
                  A
                  −
                  2
                  ,
                
                
                  2
                  ⩽
                  A
                  <
                  10.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 10\\A-2,&2\leqslant A<10.\end{cases}}}
  Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։


=== 3-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Թիվը բաժանվում է 3-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում ՝ 3-ի վրա։
Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          10
          
            i
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            i
          
        
        <
        10
        ,
        
        i
        =
        0
        ,
        1
        ,
        
        …
        
        n
        ,
      
    
    {\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      ∑
                      
                        i
                        =
                        0
                      
                      
                        n
                      
                    
                    
                      a
                      
                        i
                      
                    
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  10
                  ,
                
              
              
                
                  A
                  −
                  3
                  ,
                
                
                  3
                  ⩽
                  A
                  <
                  10.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}{\sum _{i=0}^{n}a_{i}},&A\geqslant 10,\\A-3,&3\leqslant A<10.\end{cases}}}
  Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 154, 
  
    
      
        1
        +
        5
        +
        4
        =
        10
      
    
    {\displaystyle 1+5+4=10}
   և 
  
    
      
        1
        +
        0
        =
        1
      
    
    {\displaystyle 1+0=1}
   թվերը հավասարամնացորդ են 3-ի վրա բաժանելիս։


=== 4-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Թիվը բաժանվում է 4-ի վրա, երբ վերջին երկու թվանշանները 0-ներ են կամ կազմում են 4-ի վրա բաժանվող թիվ։ Օրինակ, 14676- վերջին երկու թվանշաններով կազմված է 76, որը բաժանվում է 4-ի վրա. 76:4=19: Երկնիշ թիվը բաժանվում է 4-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ,
երբ տասնյակի կրկնապատիկի և միավորի գումարը բաժանվում է 4-ի վրա։ Օրինակ, 42-ը չի բաժանվում 4-ի վրա, քանի որ 
  
    
      
        2
        ⋅
        4
        +
        2
        =
        10
      
    
    {\displaystyle 2\cdot 4+2=10}
   չի բաժանվում 4-ի վրա։
Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        100
        
        
          a
          
            2
          
        
        +
        10
        
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            0
          
        
        <
        10
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            1
          
        
        <
        10
        ,
        
        
          a
          
            2
          
        
        ⩾
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_{2}\geqslant 0,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  2
                  
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  10
                  ,
                
              
              
                
                  A
                  −
                  4
                  ,
                
                
                  4
                  ⩽
                  A
                  <
                  10.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-4,&4\leqslant A<10.\end{cases}}}
  Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 87, 
  
    
      
        8
        ⋅
        2
        +
        7
        =
        23
      
    
    {\displaystyle 8\cdot 2+7=23}
   և 
  
    
      
        2
        ⋅
        2
        +
        3
        =
        7
      
    
    {\displaystyle 2\cdot 2+3=7}
   թվերը հավասարամնացորդ են 4-ի վրա բաժանելիս։


=== 5-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Թիվը բաժանվում է 5-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 5-ի վրա։
Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        10
        
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            0
          
        
        <
        10
        ,
        
        
          a
          
            1
          
        
        ⩾
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  10
                  ,
                
              
              
                
                  A
                  −
                  5
                  ,
                
                
                  5
                  ⩽
                  A
                  <
                  10.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 10,\\A-5,&5\leqslant A<10.\end{cases}}}
  Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։


=== 7-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Հայտանիշ 1
Թիվը բաժանվում է 7 -ի, երբ տասնավորի եռապատիկի և միավորի գումարը բաժանվում է 7-ի։ Օրինակ, 154 -ը բաժանվում է 7-ի, քանի որ 
  
    
      
        15
        ⋅
        3
        +
        4
        =
        49
      
    
    {\displaystyle 15\cdot 3+4=49}
   բաժանվում է 7-ի։ Այլ օրինակ. 1001 թիվը բաժանվում է 7-ի, քանի որ 
  
    
      
        100
        ⋅
        3
        +
        1
        =
        301
        ,
        
        30
        ⋅
        3
        +
        1
        =
        91
        ,
        
        9
        ⋅
        3
        +
        1
        =
        28
        ,
        
        2
        ⋅
        3
        +
        8
        =
        14.
      
    
    {\displaystyle 100\cdot 3+1=301,\quad 30\cdot 3+1=91,\quad 9\cdot 3+1=28,\quad 2\cdot 3+8=14.}
   բաժանվում է 7-ի։
Այս հայանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        10
        
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            0
          
        
        <
        10
        ,
        
        
          a
          
            1
          
        
        ⩾
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  3
                  
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  10
                  ,
                
              
              
                
                  A
                  −
                  7
                  ,
                
                
                  7
                  ⩽
                  A
                  <
                  10.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end{cases}}}
  Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 87, 
  
    
      
        8
        ⋅
        3
        +
        7
        =
        31
        ,
      
    
    {\displaystyle 8\cdot 3+7=31,}
   
  
    
      
        3
        ⋅
        3
        +
        1
        =
        10
      
    
    {\displaystyle 3\cdot 3+1=10}
   և 
  
    
      
        1
        ⋅
        3
        +
        0
        =
        3
      
    
    {\displaystyle 1\cdot 3+0=3}
   թվերը հավասարամնացորդ են 7-ի վրա բաժանելիս։


=== 8-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Թիվը բաժանվում է 8-ի, երբ նրա գրառման մեջ վերջին երեք թվանշանները զրոներ են կամ կազմում են 8-ի բաժանվող թիվ։ Եռանիշ թիվը բաժանվում է 8-ի այն և միայն այն դեպքում, երբ միավորի, տասնավորի կրկնապատիկի և հարյուրավորի քառապատիկի գումարը բաժանվում է 8-ի։ Օրինակ, 952 թիվը բաժանվում է 8-ի, քանի որ

  
    
      
        9
        ⋅
        4
        +
        5
        ⋅
        2
        +
        2
        =
        48
      
    
    {\displaystyle 9\cdot 4+5\cdot 2+2=48}
   բաժանվում է 8-ի։
Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        1000
        
        
          a
          
            3
          
        
        +
        100
        
        
          a
          
            2
          
        
        +
        10
        
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            0
          
        
        <
        10
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            1
          
        
        <
        10
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            2
          
        
        <
        10
        ,
        
        
          a
          
            3
          
        
        ⩾
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle A=1000\,a_{3}+100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad 0\leqslant a_{2}<10,\quad a_{3}\geqslant 0,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  4
                  
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  2
                  
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  10
                  ,
                
              
              
                
                  A
                  −
                  8
                  ,
                
                
                  8
                  ⩽
                  A
                  <
                  10.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}4\,a_{2}+2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-8,&8\leqslant A<10.\end{cases}}}
  Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 567, 
  
    
      
        5
        ⋅
        4
        +
        6
        ⋅
        2
        +
        7
        =
        39
        ,
      
    
    {\displaystyle 5\cdot 4+6\cdot 2+7=39,}
   
  
    
      
        3
        ⋅
        2
        +
        9
        =
        15
      
    
    {\displaystyle 3\cdot 2+9=15}
   և 
  
    
      
        1
        ⋅
        2
        +
        5
        =
        7
      
    
    {\displaystyle 1\cdot 2+5=7}
   թվերը հավասարամնացորդ են 8-ի վրա բաժանելիս։


=== 11-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Հայտանիշ 1․ Թիվը բաժանվում է 11-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ կենտ համարներով դիրքերում գրված թվերի գումարի և զույգ համարներով դիրքերում գրված թվերի գումարի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 11-ի։ Օրինակ, 9163627 թիվը բաժանվում է 11-ի, քանի որ 
  
    
      
        
          |
          
            (
            9
            +
            6
            +
            6
            +
            7
            )
            −
            (
            1
            +
            3
            +
            2
            )
          
          |
        
        =
        22
      
    
    {\displaystyle \left|(9+6+6+7)-(1+3+2)\right|=22}
   բաժանվում է 11-ի։ Այլ օրինակ. 99077-ը բաժանվում է 11-ի, քանի որ 
  
    
      
        
          |
          
            (
            9
            +
            0
            +
            7
            )
            −
            (
            9
            +
            7
            )
          
          |
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left|(9+0+7)-(9+7)\right|=0}
   բաժանվում է 11-ի։
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան․

  
    
      
        A
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          10
          
            i
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            i
          
        
        <
        10
        ,
        
        i
        =
        0
        ,
        1
        ,
        
        …
        
        n
        ,
      
    
    {\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          |
          
            
              ∑
              
                i
                =
                0
              
              
                n
              
            
            
              
                (
                
                  −
                  1
                
                )
              
              
                i
              
            
            
              a
              
                i
              
            
          
          |
        
        ,
        
        A
        ⩾
        11.
      
    
    {\displaystyle F(A)=\left|\sum _{i=0}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,\quad A\geqslant 11.}
  Հայտանիշ 2. Թիվը բաժանվում է 11-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ երկուական թվանշաններով (սկսած միավորից) կազմված թվերի գումարը բաժանվում է 11-ի։ Օրինակ, 103785 թիվը բաժանվում է 11-ի, քանի որ 
  
    
      
        10
        +
        37
        +
        85
        =
        132
      
    
    {\displaystyle 10+37+85=132}
   և 
  
    
      
        01
        +
        32
        =
        33.
      
    
    {\displaystyle 01+32=33.}
   բաժանվում են 11-ի։
Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          100
          
            i
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            i
          
        
        <
        100
        ,
        
        i
        =
        0
        ,
        1
        ,
        
        …
        
        n
        ,
      
    
    {\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    ∑
                    
                      i
                      =
                      0
                    
                    
                      n
                    
                  
                  
                    a
                    
                      i
                    
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  100
                  ,
                
              
              
                
                  A
                  −
                  11
                  ,
                
                
                  11
                  ⩽
                  A
                  <
                  100.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum _{i=0}^{n}a_{i},&A\geqslant 100,\\A-11,&11\leqslant A<100.\end{cases}}}
  Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 123456, 
  
    
      
        12
        +
        34
        +
        56
        =
        102
      
    
    {\displaystyle 12+34+56=102}
   և 
  
    
      
        1
        +
        2
        =
        3
      
    
    {\displaystyle 1+2=3}
   թվերը հավասարամնացորդ են 11-ի վրա բաժանելիս։


=== 13-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Հայտանիշ 1։ Թիվը բաժանվում է 13-ի վրա, երբ տասնյակների և միավորների քառապատիկի գումարը բաժանվում է 13- ի վրա։ Օրինակ.
949-ը բաժանվում է 13-ի վրա, քանի որ 
  
    
      
        94
        +
        9
        ⋅
        4
        =
        130
      
    
    {\displaystyle 94+9\cdot 4=130}
   և 
  
    
      
        13
        +
        0
        ⋅
        4
        =
        13
      
    
    {\displaystyle 13+0\cdot 4=13}
   թվերը բաժանվում են 13-ի վրա։
- երբ տասնյակների և միավորի իննապատիկի տարբերությունը բաժանվում է 13-ի վրա։ Օրինակ
949-ը բաժանվում է 13-ի վրա, քանի որ 
  
    
      
        94
        −
        9
        ⋅
        9
        =
        13
      
    
    {\displaystyle 94-9\cdot 9=13}
   թիվը բաժանվում է 13-ի վրա։
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        10
        
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            0
          
        
        <
        10
        ,
        
        
          a
          
            1
          
        
        ⩾
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  4
                  
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  40
                  ,
                
              
              
                
                  A
                  −
                  13
                  ,
                
                
                  13
                  ⩽
                  A
                  <
                  40.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{1}+4\,a_{0},&A\geqslant 40,\\A-13,&13\leqslant A<40.\end{cases}}}
  Հայտանիշ 2։ Տրված թվի մեջ ընդգծելով վերջին երեք թվանշանները, ստացված թվից հանում են մնացած թվանշաններով կազմված թիվը (կամ հակառակը, կախված այն բանից, թե այդ թվերից որն է ավելի մեծ); եթե տարբերությունը 0 է կամ 13-ի վրա բաժանվող թիվ, ապա տրված թիվը բաժանվում է 13-ի վրա։


=== 17-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Թիվը բաժանվում է 17-ի վրա այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորի հնգապատիկի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 17-ի վրա։ Օրինակ, 1615-ը բաժանվում է 17-ի վրա, քանի որ 
  
    
      
        
          |
          
            161
            −
            5
            ⋅
            5
          
          |
        
        =
        136
      
    
    {\displaystyle \left|161-5\cdot 5\right|=136}
   և 
  
    
      
        
          |
          
            13
            −
            5
            ⋅
            6
          
          |
        
        =
        17
      
    
    {\displaystyle \left|13-5\cdot 6\right|=17}
  բաժանվում են 17-ի վրա։
-երբ տասնյակների և միավորի տասներկուապատիկի գումարի մոդուլը բաժանվում է 17-ի վրա։ Օրինակ, 1615-ը բաժանվում է 17-ի վրա, քանի որ

  
    
      
        
          |
          
            161
            +
            12
            ⋅
            5
          
          |
        
        =
        221
      
    
    {\displaystyle \left|161+12\cdot 5\right|=221}
   և 
  
    
      
        
          |
          
            22
            +
            12
            ⋅
            1
          
          |
        
        =
        34
      
    
    {\displaystyle \left|22+12\cdot 1\right|=34}
   թվերը բաժանվում են 17-ի վրա։
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        10
        
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            0
          
        
        <
        10
        ,
        
        
          a
          
            1
          
        
        ⩾
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    |
                    
                      
                        a
                        
                          1
                        
                      
                      −
                      5
                      
                      
                        a
                        
                          0
                        
                      
                    
                    |
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  40
                  ,
                
              
              
                
                  A
                  −
                  17
                  ,
                
                
                  17
                  ⩽
                  A
                  <
                  40.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-5\,a_{0}\right|,&A\geqslant 40,\\A-17,&17\leqslant A<40.\end{cases}}}
  


=== 19-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Թիվը բաժանվում է 19-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորի կրկնապատիկի գումարը բաժանվում է 19-ի վրա։ Օրինակ, 1197-ը բաժանվում է 19-ի, քանի որ 19-ի բաժանվում են 
  
    
      
        119
        +
        2
        ⋅
        7
        =
        133
      
    
    {\displaystyle 119+2\cdot 7=133}
   և 
  
    
      
        13
        +
        2
        ⋅
        3
        =
        19
        :
      
    
    {\displaystyle 13+2\cdot 3=19:}
  
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        10
        
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            0
          
        
        <
        10
        ,
        
        
          a
          
            1
          
        
        ⩾
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  2
                  
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  20
                  ,
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  A
                  =
                  19.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{1}+2\,a_{0},&A\geqslant 20,\\0,&A=19.\end{cases}}}
  


=== 23-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Հայտանիշ 1։ Թիվը բաժանվում է 23-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ հարյուրյակի և վերջին երկու թվանշաններով կազմված թվի եռապատիկի գումարը բաժանվում է 23-ի վրա։ Օրինակ, 28842-ը բաժանվում է 23-ի վրա, քանի որ 
  
    
      
        288
        +
        3
        ⋅
        42
        =
        414
      
    
    {\displaystyle 288+3\cdot 42=414}
   և 
  
    
      
        4
        +
        3
        ⋅
        14
        =
        46
      
    
    {\displaystyle 4+3\cdot 14=46}
   բաժանվում են 23-ի։
Հայտանիշ 2։ Թիվը բաժանվում է 23-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ տասնյակի և միավորի յոթապատիկի գումարը բաժանվում է 23-ի։
Հայտանիշ 3։ Թիվը բաժանվում է 23-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ հարյուրյակի, տասնյակների յոթապատիկի և միավորի եռապատիկի գումարը բաժանվում է 23-ի։ Օրինակ, 437-ը բաժանվում է 23-ի, քանի որ 
  
    
      
        4
        +
        7
        ⋅
        3
        +
        3
        ⋅
        7
        =
        46
      
    
    {\displaystyle 4+7\cdot 3+3\cdot 7=46}
  -ը բաժանվում է 23-ի։


=== 27-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Թիվը բաժանվում է 27-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 27-ի վրա բաժանվում է միավորից սկսած՝ երեքական թվանշաններով կազմված թվերի գումարը։
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          1000
          
            i
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            i
          
        
        <
        1000
        ,
        
        i
        =
        0
        ,
        1
        ,
        
        …
        
        n
        ,
      
    
    {\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    ∑
                    
                      i
                      =
                      0
                    
                    
                      n
                    
                  
                  
                    a
                    
                      i
                    
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  1000
                  ,
                
              
              
                
                  A
                  −
                  27
                  ,
                
                
                  27
                  ⩽
                  A
                  <
                  1000.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum _{i=0}^{n}a_{i},&A\geqslant 1000,\\A-27,&27\leqslant A<1000.\end{cases}}}
  


=== 29-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Թիվը բաժանվում է 29-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորների եռապատիկի գումարը բաժանվում է 29-ի վրա։
Օրինակ, 261-ը բաժանվունէ 29-ի, քանի որ 
  
    
      
        26
        +
        3
        ⋅
        1
        =
        29
      
    
    {\displaystyle 26+3\cdot 1=29}
   բաժանվում է 29-ի։
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        10
        
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            0
          
        
        <
        10
        ,
        
        
          a
          
            1
          
        
        ⩾
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  3
                  
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  30
                  ,
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  A
                  =
                  29.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{1}+3\,a_{0},&A\geqslant 30,\\0,&A=29.\end{cases}}}
  


=== 31-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Թիվը բաժանվում է 31-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորների եռապատիկի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 31-ի վրա։ Օրինակ,
217-ը բաժանվում է 31-ի, քանի որ 
  
    
      
        
          |
          
            21
            −
            3
            ⋅
            7
          
          |
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left|21-3\cdot 7\right|=0}
   բաժանվում է 31-ի։
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        10
        
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            0
          
        
        <
        10
        ,
        
        
          a
          
            1
          
        
        ⩾
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          |
          
            
              a
              
                1
              
            
            −
            3
            
            
              a
              
                0
              
            
          
          |
        
        ,
        
        A
        ⩾
        31.
      
    
    {\displaystyle F(A)=\left|a_{1}-3\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 31.}
  


=== 37-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Հայտանիշ 1: Թիվը բաժանվում է 37-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ միավորից սկսած՝ տրված թիվը երեքական թվանշաններով խմբավորելիս ստացված թվերի գումարը 37-ի բազմապատիկ է։
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          1000
          
            i
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            i
          
        
        <
        1000
        ,
        
        i
        =
        0
        ,
        1
        ,
        
        …
        
        n
        ,
      
    
    {\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    ∑
                    
                      i
                      =
                      0
                    
                    
                      n
                    
                  
                  
                    a
                    
                      i
                    
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  1000
                  ,
                
              
              
                
                  A
                  −
                  37
                  ,
                
                
                  37
                  ⩽
                  A
                  <
                  1000.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum _{i=0}^{n}a_{i},&A\geqslant 1000,\\A-37,&37\leqslant A<1000.\end{cases}}}
  Այս ֆուկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։
Հայտանիշ 2: Թիվը բաժանվում է 37-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 37-ի վրա բաժանվում է հարյուրյակի եռապատիկի ու տասնյակի քառապատիկի գումարի և միավորի յոթապատիկի տարբերության մոդուլը։ Օրինակ, 481 թիվը բաժանվում է 37-ի, քանի որ

  
    
      
        
          |
          
            3
            ⋅
            4
            +
            4
            ⋅
            8
            −
            7
          
          |
        
        =
        37
      
    
    {\displaystyle \left|3\cdot 4+4\cdot 8-7\right|=37}
   -ը բաժանվում է 37-ի։
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        100
        
        
          a
          
            2
          
        
        +
        10
        
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            0
          
        
        <
        10
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            1
          
        
        <
        10
        ,
        
        
          a
          
            2
          
        
        ⩾
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_{2}\geqslant 0,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          |
          
            3
            
            
              a
              
                2
              
            
            +
            4
            
            
              a
              
                1
              
            
            −
            7
            
            
              a
              
                0
              
            
          
          |
        
        ,
        
        A
        ⩾
        37.
      
    
    {\displaystyle F(A)=\left|3\,a_{2}+4\,a_{1}-7\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 37.}
  Հայտանիշ 3: Թիվը բաժանվում է 37-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 37-ի վրա բաժանվում է հարյուրյակի և միավորի տասնապատիկի գումարի և տասնյակի տասնմեկապատիկի տարբերության մոդուլը։ Օրինակ, 481 թիվը բաժանվում է 37-ի, քանի որ

  
    
      
        
          |
          
            4
            −
            11
            ⋅
            8
            +
            10
            ⋅
            1
          
          |
        
        =
        74
      
    
    {\displaystyle \left|4-11\cdot 8+10\cdot 1\right|=74}
   բաժանվում է 37-ի։
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        100
        
        
          a
          
            2
          
        
        +
        10
        
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            0
          
        
        <
        10
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            1
          
        
        <
        10
        ,
        
        
          a
          
            2
          
        
        ⩾
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_{2}\geqslant 0,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    |
                    
                      
                        a
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      11
                      
                      
                        a
                        
                          1
                        
                      
                      +
                      10
                      
                      
                        a
                        
                          0
                        
                      
                    
                    |
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  100
                  ,
                
              
              
                
                  A
                  −
                  37
                  ,
                
                
                  37
                  ⩽
                  A
                  <
                  100.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}\left|a_{2}-11\,a_{1}+10\,a_{0}\right|,&A\geqslant 100,\\A-37,&37\leqslant A<100.\end{cases}}}
  


=== 41-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Հայտանիշ 1: Թիվը բաժանվում է 41-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակի և միավորի քառապատիկի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 41-ի վրա։
Օրինակ, 943-ը բաժանվում է 41-ի վրա, քանի որ 
  
    
      
        
          |
          
            94
            −
            4
            ⋅
            3
          
          |
        
        =
        82
      
    
    {\displaystyle \left|94-4\cdot 3\right|=82}
   և 
  
    
      
        
          |
          
            8
            −
            4
            ⋅
            2
          
          |
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left|8-4\cdot 2\right|=0}
   բաժանվում են 41-ի վրա։
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        10
        
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            0
          
        
        <
        10
        ,
        
        
          a
          
            1
          
        
        ⩾
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          |
          
            
              a
              
                1
              
            
            −
            4
            
            
              a
              
                0
              
            
          
          |
        
        ,
        
        A
        ⩾
        41
      
    
    {\displaystyle F(A)=\left|a_{1}-4\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 41}
  Հայտանիշ 2։ Որպեսզի ստուգենք, թե արդյոք թիվը բաժանվում է 41-ի վրա, պետք է այն աջից դեպի ձախ տրոհենք մասերի, յուրաքանչյուրում՝ հինգ թվանշան։ Ապա պետք է յուրաքանչյուր խմբում աջից առաջին թվանշանը բազմապատկել 1-ով, երկրորդը՝ 10-ով, երրորդը՝ 18-ով, չորրորդը՝ 16-ով, հինգերորդը՝ 37-ով և ստացված բոլոր արտադրյալները գումարել։ Եթե արդյունքը բաժանվում է 41-ի վրա, այդ և միայն այդ դեպքում տրված թիվը կբաժանվի 41-ի վրա։


=== 59-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Թիվը բաժանվում է 59-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակի և միավորի վեցապատիկի գումարը բաժանվում է 59-ի վրա։ Օրինակ, 767-ը բաժանվում է 59-ի վրա, քանի որ 
  
    
      
        76
        +
        6
        ⋅
        7
        =
        118
      
    
    {\displaystyle 76+6\cdot 7=118}
   և 
  
    
      
        11
        +
        6
        ⋅
        8
        =
        59
      
    
    {\displaystyle 11+6\cdot 8=59}
   թվերը բաժանվում են 59-ի վրա։
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        10
        
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            0
          
        
        <
        10
        ,
        
        
          a
          
            1
          
        
        ⩾
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  6
                  
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  60
                  ,
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  A
                  =
                  59
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{1}+6\,a_{0},&A\geqslant 60,\\0,&A=59\end{cases}}}
  


=== 79-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Թիվը բաժանվում է 79-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակի և միավորի ութապատիկի գումարը բաժանվում է 79-ի վրա։ Օրինակ,
711-ը բաժանվում է 79-ի վրա, քանի որ 
  
    
      
        71
        +
        8
        ⋅
        1
        =
        79
      
    
    {\displaystyle 71+8\cdot 1=79}
   բաժանվում է 79-ի վրա։
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        10
        
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            0
          
        
        <
        10
        ,
        
        
          a
          
            1
          
        
        ⩾
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  8
                  
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  80
                  ,
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  A
                  =
                  79.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{1}+8\,a_{0},&A\geqslant 80,\\0,&A=79.\end{cases}}}
  


=== 99-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Թիվը բաժանվում է 99-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 99-ի վրա բաժանվում է երկուական թվանշաններից (սկսած միավորից) կազմված թվերի գումարը։
Օրինակ, 12573 -ը բաժանվում է 99-ի վրա, քանի որ 
  
    
      
        1
        +
        25
        +
        73
        =
        99
      
    
    {\displaystyle 1+25+73=99}
   բաժանվում է 99-ի վրա։
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          100
          
            i
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            i
          
        
        <
        100
        ,
        
        i
        =
        0
        ,
        1
        ,
        
        …
        
        n
        ,
      
    
    {\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    ∑
                    
                      i
                      =
                      0
                    
                    
                      n
                    
                  
                  
                    a
                    
                      i
                    
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  100
                  ,
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  A
                  =
                  99.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum _{i=0}^{n}a_{i},&A\geqslant 100,\\0,&A=99.\end{cases}}}
  Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 123456, 
  
    
      
        12
        +
        34
        +
        56
        =
        102
      
    
    {\displaystyle 12+34+56=102}
   և 
  
    
      
        1
        +
        2
        =
        3
      
    
    {\displaystyle 1+2=3}
  
թվերը հավասարամնացորդ են 99-ի վրա բաժանելիս։


=== 101-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը ===
Թիվը բաժանվում է 101-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ երկուական թվանշաններով (սկսած միավորից) կազմված կենտ խմբերով թվերի՝ (վերցված «+» նշանով) և զույգ խմբերով թվերի (վերցված «-» նշանով) հանրահաշվական գումարի մոդուլը բաժանվում է 101-ի վրա։ Օրինակ, 590547-ը բաժանվում ` 101-ի վրա, քանի որ 
  
    
      
        
          |
          
            59
            −
            5
            +
            47
          
          |
        
        =
        101
      
    
    {\displaystyle \left|59-5+47\right|=101}
   բաժանվում է 101-ի վրա։


== Բաժանելիության ընդհանուր հայտանիշներ ==


=== Բաժանելիության հայտանիշը բաժանարարի վրա, որի ցուցիչը հաշվարկման համակարգի հիմքն է ===
Եթե որոշ 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   և 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   թվերի համար 
  
    
      
        
          t
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle t^{n}}
   թիվը բաժանվում է 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   բնական թվի վրա, ապա

  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   հիմքով հաշվարկման համակարգում գրառված ցանկացած 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   ամբողջ թիվ հավասարամնացորդ է նրա 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   փոքր թվանշաններով կազմված թվին։
Այս հատկությունը թույլատրում է ստանալ հաշվարկան համակարգի հիմքին հավասար ցուցիչ ունեցող թվի վրա բաժանելիության և հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        
          t
          
            n
          
        
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            0
          
        
        <
        
          t
          
            n
          
        
        ,
        
        
          a
          
            1
          
        
        ⩾
        0
        ,
        
        
          t
          
            n
          
        
        
        ⋮
        
        m
        ,
      
    
    {\displaystyle A=t^{n}a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<t^{n},\quad a_{1}\geqslant 0,\quad t^{n}\,\vdots \,m,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  
                    t
                    
                      n
                    
                  
                  ,
                
              
              
                
                  A
                  −
                  m
                  ,
                
                
                  m
                  ⩽
                  A
                  <
                  
                    t
                    
                      n
                    
                  
                  .
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant t^{n},\\A-m,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}}
  Օրինակ, հաշվարկման տասական համակարգում այն թույլ է տալիս ստանալ 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 և այլ թվերի վրա բաժանելիության հայտանիշները։


===  ===
  
    
      
        
          t
          
            n
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle t^{n}-1}
   բաժանարարի վրա բաժանելիության հայտանիշ
Եթե որոշ 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   և 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   բնական թվերի համար 
  
    
      
        
          t
          
            n
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle t^{n}-1}
   թիվը բաժանվում է 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   բնական թվի վրա, ապա 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   հիմքով հաշվարկման համակարգում գրառված ցանկացած 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   ամբողջ թիվ հավասարաբաժան է այն թվերի գումարի հետ, որոնք ստացվում են 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ական թվանշաններով խմբերի տրոհելիս` սկսած ամենափոքրից։ Այս հայտանիշը թույլ է տալիս ստանալ 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  -ի վրա բաժանելիության հայտանիշը։
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

  
    
      
        A
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          t
          
            i
            n
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        ,
        
        0
        ⩽
        
          a
          
            i
          
        
        <
        
          t
          
            n
          
        
        ,
        
        
        
          (
          
            
              t
              
                n
              
            
            −
            1
          
          )
        
        
        ⋮
        
        m
        ,
      
    
    {\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}t^{in}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<t^{n},\quad \quad \left(t^{n}-1\right)\,\vdots \,m,}
  

  
    
      
        F
        (
        A
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    ∑
                    
                      i
                      =
                      0
                    
                    
                      n
                    
                  
                  
                    a
                    
                      i
                    
                  
                  ,
                
                
                  A
                  ⩾
                  
                    t
                    
                      n
                    
                  
                  ,
                
              
              
                
                  A
                  −
                  m
                  ,
                
                
                  m
                  ⩽
                  A
                  <
                  
                    t
                    
                      n
                    
                  
                  .
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum _{i=0}^{n}a_{i},&A\geqslant t^{n},\\A-m,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}}
  Օրինակ, հաշվարկման տասական համակարգում այն թույլ է տալիս ստանալ 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999 և այլ թվերի վրա բաժանելիության հայտանիշները։


== Բաժանելիության հայտանիշները հաշվարկման այլ համակարգերում ==
Հաշվարկման այլ համակարգերում բաժանելիության հայտանիշները դրանց անալոգն են տասական համակարգում։ Մասնավորապես, հաշվարկման ցանկացած համակարգում (թվերը գրառված են այն համակարգում, որում այդ պահին աշխատում ենք).

թիվը բաժանվում է 10n- վրա, եթե այն վերջանում է n զրոներով։Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը հավասար է k, ապա ցանկացած թիվ բաժանվում է k-1-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ նրա թվանշանների գումարն առանց մնացորդի բաժանվում է k-1-ի վրա։ Մասնավորապես.

թիվը բաժանվում է (10-1)-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է (10-1)-իԵթե հաշվարկման համակարգի հիմքը կենտ է, ապա թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 2-ի։
Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը հավասար է k, ապա ցանկացած թիվ բաժանվում է (k+1)-ի այն և միայն այն ժամանակ, երբ կենտ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների
գումարը զույգ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարից տարբերվում է (k+1)-ի բաժանվող թվով։ Մասնավորապես,

թիվը բաժանվում է 11-ի, եթե կենտ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարը կամ հավասար է զույգ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարին, կամ նրանից տարբերվում է 11-ի բաժանվող թվով։Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը բաժանվում է որևէ k թվի վրա, ապա ցանկացած թիվ բաժանվում է k-ի այն և միայն այն ժամանակ, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է k-ի։ Մասնավորապես,

եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը զույգ է, ապա թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի։


== Տես նաև ==
Պասկալի հայտանիշ


== Գրականություն ==
Воробьев Н. Н. «Признаки делимости» Москва, Наука 1988


== Ծանոթագրություններ ==