Լարումների թենզոր

Լարումների թենզորը (երբեմն Կոշու լարումների թենզոր) — երկրորդ աստիճանի թենզոր է, որը բաղկացած է ինը մեծություններից, որոնք ներկայացնում են բեռնված մարմնի կամայական կետում մեխանիկական լարումները։ Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում այդ ինը մեծությունների գրվում են աղյուսակի տեսքով, որի գլխավոր անկյունագծում գտնվում են լարման վեկտորների նորմալ բաղադրիչները երեք փոխուղղահայաց հարթակներում,որոնք անցնում են միջավայրի դիտարկվող կետով, իսկ մնացած դիրքերում — վեկտորների լարման շոշափող բաղադրիչները այդ հարթակներում։

  
    
      
        
          σ
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{ij}}
   լարման թենզորի բաղադրիչները դեկարտյան համակարգում՝ 
  
    
      
        O
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle Ox_{i}}
   (այսինքն 
  
    
      
        O
        x
        y
        z
      
    
    {\displaystyle Oxyz}
  ), դուրս է բերվում հետևյալ կերպ։ Դիտարկվում է հոծ միջավայրի անվերջ փոքր ծավալով մարմին, որը ունի խորանարդի տեսք, որի եզրերը ուղղահայաց են կոորդինատական առանցքներին եւ ունեն 
  
    
      
        d
        
          S
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle dS_{i}}
   մակերես։ Յուրաքանչյուր եզրին գործում են 
  
    
      
        d
        
          F
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle dF_{i}}
   մակերեսային ուժեր։ Եթե այդ ուժերի պրոյեկցիաները 
  
    
      
        O
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle Ox_{j}}
   առանցքների վրա նշանակենք 
  
    
      
        d
        
          F
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle dF_{ij}}
  -ով , ապա լարման թենզորի բաղադրիչների և մակերեսային ուժերի պրոյեկցիաների միջև տեղի կունենա հետևյալ կապը․

  
    
      
        
          σ
          
            i
            j
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                F
                
                  i
                  j
                
              
            
            
              d
              
                S
                
                  i
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {dF_{ij}}{dS_{i}}}}
  այստեղ 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
   ինդեքսով  գումարում չի կատարվում։ 
  
    
      
        
          σ
          
            11
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{11}}
  , 
  
    
      
        
          σ
          
            22
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{22}}
  , 
  
    
      
        
          σ
          
            33
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{33}}
   բաղադրիչները (
  
    
      
        
          σ
          
            x
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{xx}}
  , 
  
    
      
        
          σ
          
            y
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{yy}}
  , 
  
    
      
        
          σ
          
            z
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{zz}}
  ) նորմալ լարումներն են, որոնք նկարագրում են 
  
    
      
        d
        
          F
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle dF_{i}}
   ուժերի պրոյեկցիաները դիտարկվող 
  
    
      
        d
        
          S
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle dS_{i}}
   եզրերի նորմալ ուղղության վրա․

  
    
      
        
          σ
          
            11
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                F
                
                  11
                
              
            
            
              d
              
                S
                
                  1
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{11}={\frac {dF_{11}}{dS_{1}}}}
       և այլն։
  
    
      
        
          σ
          
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{12}}
  , 
  
    
      
        
          σ
          
            23
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{23}}
  , 
  
    
      
        
          σ
          
            31
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{31}}
   բաղադրիչները (
  
    
      
        
          τ
          
            x
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau _{xy}}
  , 
  
    
      
        
          τ
          
            y
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau _{yz}}
  , 
  
    
      
        
          τ
          
            z
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau _{zx}}
  ) շոշափող լարումներն են, որոնք նկարագրում են 
  
    
      
        d
        
          F
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle dF_{i}}
   ուժերի պրոյեկցիաները դիտարկվող 
  
    
      
        d
        
          S
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle dS_{i}}
   եզրերի շոշափող ուղղության վրա․

  
    
      
        
          σ
          
            12
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                F
                
                  12
                
              
            
            
              d
              
                S
                
                  1
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{12}={\frac {dF_{12}}{dS_{1}}}}
        և այլն։Հոծ միջավայրի սեփական իմպուլսի մոմենտի, ինչպես նաև մակերևույթային և ծավալային ուժերի բացակայության դեպքում լարման թենզորի սիմետրիկ է, որը հետևանք է իմպուլսի մոմենտի հավասարակշռության հավասարման. Օրինակ  առաձգականության տեսության և հիդրոդինամիկայի մեջ իդեալական հեղուկի լարման թենզորը սիմետրիկ է։


== Լարման թենզորը ռելյատիվիստական ֆիզիկայում ==
 Հարաբերականության տեսության տեսանկյունից լարման թենզորի բաղադրիչները էներգիայի-իմպուլսի թենզորի ինը տարածական բաղադրիչներն են.


== Լարման թենզորը դասական էլեկտրոդինամիկայում ==
Դասական էլեկտրոդինամիկայում էլեկտրամագնիսական դաշտի լարման թենզորը (Մաքսվելի լարման թենզոր) Միավորների միջազգային համակարգում ունի հետևյալ տեսքը.

  
    
      
        
          T
          
            i
            j
          
        
        =
        
          E
          
            i
          
        
        
          D
          
            j
          
        
        +
        
          B
          
            i
          
        
        
          H
          
            j
          
        
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        (
        
          E
        
        ⋅
        
          D
        
        +
        
          B
        
        ⋅
        
          H
        
        )
        =
        
          E
          
            i
          
        
        
          D
          
            j
          
        
        +
        
          B
          
            i
          
        
        
          H
          
            j
          
        
        −
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        W
        ,
      
    
    {\displaystyle T_{ij}=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} )=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-\delta _{ij}W,}
  որտեղ 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
   էլեկտրամագնիսական դաշտերի էներգիայի խտությունն է։


== Գրականություն ==
Седов Л. И.  Механика сплошной среды. Том 1.  М.: Наука, 1970.  492 c.
Трусделл К.  Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред.  М.: Наука, 1975.  592 с.
Димитриенко Ю. И.  Нелинейная механика сплошной среды.  М.: Физматлит, 2010.