Կրկնակի ճոճանակներ

Կրկնակի ճոճանակ՝  ճոճանակ մեկ այլ ճոճանակին կպած,  ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի դինամիկական համակարգերի բնագավառում։  Կրկնակի  ճոճանակը հանդիսանում է պարզ ֆիզիկական համակարգ, որը ցուցաբերում է սկզբնական պայմաններից կախված, տարատեսակ դինամիկ վարք։ Ճոճանակի շարժումը ղեկավարվում է սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներով։  Որոշ էներգիաների համար նրա շարժումը կարող ենք քաոսային համարել։


==== Վերլուծություն ====
Կարելի է դիտարկել կրկնակի ճոճանակների մի քանի տարբերակներ՝ երկու օղակները կարող են լինել միատեսակ կամ ունենալ տարբեր զանգվածներ ու երկարություններ, նրանք կարող են լինել պարզ ճոճանակներ կամ ֆիզիկական ճոճանակներ,  շարժումը  կարող է տեղի ունենալ երեք չափումներով կամ սահմանափակված ուղղահայց հարթությամբ։ Հետագա վերլուծության ժամանակ օղակները ընտրված են այնպես, ինչպես 
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
   երկարությամբ և 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   զանգվածով միատեսակ ֆիզիկական ճոճանակներ, և նրանց շարժումը սահմանափակված է երկու չափումներով։ Ֆիզիկական ճոճանակի զանգվածը տեղաբաշխված է նրա ամբողջ երկարությամբ։ Եթե  զանգվածը բաշխված է հավասարաչափ, ապա յուրաքանչյուր օղակի զանգվածի կենտրոնը համընկնում է իր երկրաչափական կենտրոնի հետ և օղակը ունենում է այսպիսի իներցիայի մոմենտ 
  
    
      
        
          I
          =
          
            
              1
              12
            
          
          m
          
            ℓ
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle I={\frac {1}{12}}m\ell ^{2}}
  ՝ այդ կետի համար։

Յուրաքանչյուր օղակի միջև եղած անկյունները կարելի է օգտագործել և ուղղահայց՝ որպես ընդհանրացված կոորդինատներ, որոշելով  համակարգի կոնֆիգուրացիայի տարածությունը։ Եթե դեկարտյան կոորդինատային համակարգի սկզբնակետը դնենք առաջին ճոճանակի կախման կետում, ապա այդպիսի համակարգի զանգվածի կենտրոնը կգտնվի՝

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  =
                  
                    
                      ℓ
                      2
                    
                  
                  sin
                  ⁡
                  
                    θ
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    y
                    
                      1
                    
                  
                  =
                  −
                  
                    
                      ℓ
                      2
                    
                  
                  cos
                  ⁡
                  
                    θ
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {\ell }{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}=-{\frac {\ell }{2}}\cos \theta _{1}\end{cases}}}
  
իսկ մյուսինը՝

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  =
                  ℓ
                  
                    (
                    
                      sin
                      ⁡
                      
                        θ
                        
                          1
                        
                      
                      +
                      
                        
                          1
                          2
                        
                      
                      sin
                      ⁡
                      
                        θ
                        
                          2
                        
                      
                    
                    )
                  
                
              
              
                
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                  =
                  −
                  ℓ
                  
                    (
                    
                      cos
                      ⁡
                      
                        θ
                        
                          1
                        
                      
                      +
                      
                        
                          1
                          2
                        
                      
                      cos
                      ⁡
                      
                        θ
                        
                          2
                        
                      
                    
                    )
                  
                  .
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x_{2}=\ell \left(\sin \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}=-\ell \left(\cos \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right).\end{cases}}}
  Այս ինֆորմացիան բավական է, որպեսզի գրառենք Լագրանժի հավասարումները։


=== Լագրանժյան ===
Լագրանժյանը հանդիսանում է կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաների տարբերությունը՝

  
    
      
        
          
            
              
                L
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                m
                
                  (
                  
                    
                      v
                      
                        1
                      
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      v
                      
                        2
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                I
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          
                            
                              
                                θ
                                ˙
                              
                            
                          
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          
                            
                              
                                θ
                                ˙
                              
                            
                          
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                −
                m
                g
                
                  (
                  
                    
                      y
                      
                        1
                      
                    
                    +
                    
                      y
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                m
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          
                            
                              
                                x
                                ˙
                              
                            
                          
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          
                            
                              
                                y
                                ˙
                              
                            
                          
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          
                            
                              
                                x
                                ˙
                              
                            
                          
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          
                            
                              
                                y
                                ˙
                              
                            
                          
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                I
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          
                            
                              
                                θ
                                ˙
                              
                            
                          
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          
                            
                              
                                θ
                                ˙
                              
                            
                          
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                −
                m
                g
                
                  (
                  
                    
                      y
                      
                        1
                      
                    
                    +
                    
                      y
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}L&={\frac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}}
  Առաջին գումարելին մարմնի զանգվածի կենտրոնի գծային կինետիկ էներգիան է, երկրորդ գումարելին յուրաքանչյուր առանցքի զանգվածի կենտրոնի պտտման կինետիկ էներգիան է։ Վերջին գումարելին մարմնի պոտենցիալ էներգիան համասեռ գրավիտացիոն դաշտում։ 
Համեմատելով կոորդինատներն ու խմբավորելով հավասարումները՝ կունենանք

  
    
      
        L
        =
        
          
            1
            6
          
        
        m
        
          ℓ
          
            2
          
        
        
          [
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        θ
                        ˙
                      
                    
                  
                  
                    2
                  
                
              
              
                2
              
            
            +
            4
            
              
                
                  
                    
                      
                        θ
                        ˙
                      
                    
                  
                  
                    1
                  
                
              
              
                2
              
            
            +
            3
            
              
                
                  
                    
                      θ
                      ˙
                    
                  
                
                
                  1
                
              
            
            
              
                
                  
                    
                      θ
                      ˙
                    
                  
                
                
                  2
                
              
            
            cos
            ⁡
            (
            
              θ
              
                1
              
            
            −
            
              θ
              
                2
              
            
            )
          
          ]
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        m
        g
        ℓ
        
          (
          
            3
            cos
            ⁡
            
              θ
              
                1
              
            
            +
            cos
            ⁡
            
              θ
              
                2
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle L={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]+{\frac {1}{2}}mg\ell \left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).}
  

Ամփոփված իմպուլները կարելի է այսպես գրել

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    p
                    
                      
                        θ
                        
                          1
                        
                      
                    
                  
                  ≡
                  
                    
                      
                        ∂
                        L
                      
                      
                        ∂
                        
                          
                            
                              
                                
                                  θ
                                  ˙
                                
                              
                            
                            
                              1
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  =
                  
                    
                      1
                      6
                    
                  
                  m
                  
                    ℓ
                    
                      2
                    
                  
                  
                    [
                    
                      8
                      
                        
                          
                            
                              
                                θ
                                ˙
                              
                            
                          
                          
                            1
                          
                        
                      
                      +
                      3
                      
                        
                          
                            
                              
                                θ
                                ˙
                              
                            
                          
                          
                            2
                          
                        
                      
                      cos
                      ⁡
                      (
                      
                        θ
                        
                          1
                        
                      
                      −
                      
                        θ
                        
                          2
                        
                      
                      )
                    
                    ]
                  
                
              
              
                
              
              
                
                  
                    p
                    
                      
                        θ
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                  ≡
                  
                    
                      
                        ∂
                        L
                      
                      
                        ∂
                        
                          
                            
                              
                                
                                  θ
                                  ˙
                                
                              
                            
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  =
                  
                    
                      1
                      6
                    
                  
                  m
                  
                    ℓ
                    
                      2
                    
                  
                  
                    [
                    
                      2
                      
                        
                          
                            
                              
                                θ
                                ˙
                              
                            
                          
                          
                            2
                          
                        
                      
                      +
                      3
                      
                        
                          
                            
                              
                                θ
                                ˙
                              
                            
                          
                          
                            1
                          
                        
                      
                      cos
                      ⁡
                      (
                      
                        θ
                        
                          1
                        
                      
                      −
                      
                        θ
                        
                          2
                        
                      
                      )
                    
                    ]
                  
                  .
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}p_{\theta _{1}}\equiv {\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]\\\\p_{\theta _{2}}\equiv {\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right].\end{cases}}}
  Այս արտահայտությունները կարելի է ձևափոխել, որպեսզի ստացվի

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            θ
                            ˙
                          
                        
                      
                      
                        1
                      
                    
                  
                  =
                  
                    
                      6
                      
                        m
                        
                          ℓ
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        2
                        
                          p
                          
                            
                              θ
                              
                                1
                              
                            
                          
                        
                        −
                        3
                        cos
                        ⁡
                        (
                        
                          θ
                          
                            1
                          
                        
                        −
                        
                          θ
                          
                            2
                          
                        
                        )
                        
                          p
                          
                            
                              θ
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                      
                        16
                        −
                        9
                        
                          cos
                          
                            2
                          
                        
                        ⁡
                        (
                        
                          θ
                          
                            1
                          
                        
                        −
                        
                          θ
                          
                            2
                          
                        
                        )
                      
                    
                  
                
              
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            θ
                            ˙
                          
                        
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                  =
                  
                    
                      6
                      
                        m
                        
                          ℓ
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        8
                        
                          p
                          
                            
                              θ
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                        −
                        3
                        cos
                        ⁡
                        (
                        
                          θ
                          
                            1
                          
                        
                        −
                        
                          θ
                          
                            2
                          
                        
                        )
                        
                          p
                          
                            
                              θ
                              
                                1
                              
                            
                          
                        
                      
                      
                        16
                        −
                        9
                        
                          cos
                          
                            2
                          
                        
                        ⁡
                        (
                        
                          θ
                          
                            1
                          
                        
                        −
                        
                          θ
                          
                            2
                          
                        
                        )
                      
                    
                  
                  .
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}{{\dot {\theta }}_{1}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}\\\\{{\dot {\theta }}_{2}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.\end{cases}}}
  Էյլեր-Լագրանժի հավասարումներից ստացվող շարժման հավասարումները, կարելի է գրել որպես՝

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            p
                            ˙
                          
                        
                      
                      
                        
                          θ
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                  =
                  
                    
                      
                        ∂
                        L
                      
                      
                        ∂
                        
                          θ
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                  =
                  −
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                  m
                  
                    ℓ
                    
                      2
                    
                  
                  
                    [
                    
                      
                        
                          
                            
                              
                                θ
                                ˙
                              
                            
                          
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              
                                θ
                                ˙
                              
                            
                          
                          
                            2
                          
                        
                      
                      sin
                      ⁡
                      (
                      
                        θ
                        
                          1
                        
                      
                      −
                      
                        θ
                        
                          2
                        
                      
                      )
                      +
                      3
                      
                        
                          g
                          ℓ
                        
                      
                      sin
                      ⁡
                      
                        θ
                        
                          1
                        
                      
                    
                    ]
                  
                
              
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            p
                            ˙
                          
                        
                      
                      
                        
                          θ
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  =
                  
                    
                      
                        ∂
                        L
                      
                      
                        ∂
                        
                          θ
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  =
                  −
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                  m
                  
                    ℓ
                    
                      2
                    
                  
                  
                    [
                    
                      −
                      
                        
                          
                            
                              
                                θ
                                ˙
                              
                            
                          
                          
                            1
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              
                                θ
                                ˙
                              
                            
                          
                          
                            2
                          
                        
                      
                      sin
                      ⁡
                      (
                      
                        θ
                        
                          1
                        
                      
                      −
                      
                        θ
                        
                          2
                        
                      
                      )
                      +
                      
                        
                          g
                          ℓ
                        
                      
                      sin
                      ⁡
                      
                        θ
                        
                          2
                        
                      
                    
                    ]
                  
                  .
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}{{\dot {p}}_{\theta _{1}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{1}\right]\\\\{{\dot {p}}_{\theta _{2}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{2}\right].\end{cases}}}
  Վերջին չորս հավասարումները հանդիսանում են տրվյալ ընթացիկ վիճակով ժամանակային համակարգի զարգացման բանաձևերն են։ Հնարավոր չէ առաջ անցնել և անալիտիկորեն ինտեգրել այդ հավասարումները, որպեսզի բանաձևեր ստանանք θ1 և θ2-ի համար, որպես ժամանակից ֆունկցիաներ։ Սակայն, հնարավոր է կատարել անդամային ինտեգրում, օգտագործելով Ռունգե-Կուտտեյի մեթոդը կամ համանման տեխնիկա։


== Ծանոթագրություններ ==


== Տես նաև ==
Double inverted pendulum
Pendulum (mathematics)
Mid-20th century physics textbooks use the term "double pendulum" to mean a single bob suspended from a string which is in turn suspended from a V-shaped string. This type of pendulum, which produces Lissajous curves, is now referred to as a Blackburn pendulum.


== Գրականություն ==

Animations and explanations of a double pendulum and a physical double pendulum (two square plates) by Mike Wheatland (Univ. Sydney)
Interactive Open Source Physics JavaScript simulation with detailed equations double pendulum
Interactive Javascript simulation of a double pendulum
Double pendulum physics simulation from www.myphysicslab.com using open source JavaScript code
Simulation, equations and explanation of Rott's pendulum
Comparison videos of a double pendulum with the same initial starting conditions ՅուԹյուբում
Double Pendulum Simulator - An open source simulator written in C++ using the Qt toolkit.
Online Java simulator Archived 2022-08-16 at the Wayback Machine. of the Imaginary exhibition.