Գնդային ֆունկցիաներ

Գնդային ֆունկցիաներ, ներկայացնում են Լապլասի հավասարման օրթոգոնալ լուծումների խմբի անկյունային մասը, արձանագրված գնդային կոորդինատներում։ Դրանք լայնորեն օգտագործվում են տիեզերական տարածքներում ֆիզիկական երևույթների ուսումնասիրման համար, որոնք սահմանափակվում են գնդային մակերեսներով և գնդային սիմետրիա ունեցող ֆիզիկական խնդիրների լուծման ժամանակ։ Գնդային ֆունկցիաները մեծ նշանակություն ունեն տեսության մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումների և տեսական ֆիզիկայի, մասնավորապես, ատոմների էլեկտրոնային ուղեծրերի հաշվարկման խնդիրների, գեոիդների գրավիտացիոն դաշտի, մոլորակների մագնիսական դաշտի և մնացորդային ճառագայթման ինտենսիվության հաշվարկների համար։


== Սահմանում ==

Գնդային ֆունկցիաներ հանդիսանում է գնդային կոորդինատային համակարգի Լապլասի օպերատորի սեփական ֆունկցիա (նշանակվում է 
  
    
      
        
          Y
          
            l
          
          
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}
  )։ Նրանք կազմում են երկչափ գնդային ֆունկցիայի հարթությունում օրթոնորմավորված համակարգ․

  
    
      
        ⟨
        
          Y
          
            l
          
          
            m
          
        
        ;
        
          Y
          
            l
          
          
            m
          
        
        ⟩
        =
        ∬
        
          |
        
        
          Y
          
            l
          
          
            m
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        sin
        ⁡
        
          θ
        
        
        d
        θ
        
        d
        φ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \langle Y_{l}^{m};Y_{l}^{m}\rangle =\iint |Y_{l}^{m}|^{2}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =1}
  

  
    
      
        ⟨
        
          Y
          
            l
          
          
            m
          
        
        ;
        
          Y
          
            
              l
              ′
            
          
          
            
              m
              ′
            
          
        
        ⟩
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        
          Y
          
            
              l
              ′
            
          
          
            
              m
              ′
            
            ∗
          
        
        
          Y
          
            l
          
          
            m
          
        
        sin
        ⁡
        
          θ
        
        
        d
        θ
        
        d
        φ
        =
        
          δ
          
            l
            
              l
              ′
            
          
        
        
          δ
          
            m
            
              m
              ′
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle Y_{l}^{m};Y_{l'}^{m'}\rangle =\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }Y_{l'}^{m'*}Y_{l}^{m}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =\delta _{ll'}\delta _{mm'}}
  ,որտեղ * նշանակում է կոմպլեքս զուգակցում, 
  
    
      
        
          δ
          
            l
            
              l
              ′
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta _{ll'}}
   -Կրոնեկերի նշան։
Գնդային ֆունկցիան ունի 
  
    
      
        
          Y
          
            l
          
          
            m
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          e
          
            i
            m
            φ
          
        
        
          Θ
          
            l
            m
          
        
        (
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle Y_{l}^{m}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{im\varphi }\Theta _{lm}(\theta )}
  , տեսքը․
որտեղ 
  
    
      
        
          Θ
          
            l
            m
          
        
        (
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle \Theta _{lm}(\theta )}
   ֆունկցիան հանդիսանումէ հավասարման արմատ
և ունի հետևյալ տեսքը․

  
    
      
        
          Θ
          
            l
          
          
            m
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  2
                  l
                  +
                  1
                
                2
              
            
            
              
                
                  (
                  l
                  −
                  m
                  )
                  !
                
                
                  (
                  l
                  +
                  m
                  )
                  !
                
              
            
          
        
        
          P
          
            l
          
          
            m
          
        
        (
        cos
        ⁡
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle \Theta _{l}^{m}={\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}P_{l}^{m}(\cos \theta )}
  Այստեղ 
  
    
      
        
          P
          
            l
          
          
            m
          
        
        (
        cos
        ⁡
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}
   -Լեժանդրի միավորված բազմանդամներն են, իսկ 
  
    
      
        m
        !
      
    
    {\displaystyle m!}
   -ֆակտորիալը։
Լեժանդրի բացասական 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   ունեցող միավորված բազմանդամները գրառվում են․

  
    
      
        
          P
          
            ℓ
          
          
            −
            m
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            m
          
        
        
          
            
              (
              ℓ
              −
              m
              )
              !
            
            
              (
              ℓ
              +
              m
              )
              !
            
          
        
        
          P
          
            ℓ
          
          
            m
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x)}
  Լապլասի հավասարման լուծումը գնդաձև համակարգերում ունի այսպես կոչված գնդային գործառույթ, որը ձեռք է բերվում գնդաձև ֆունկցիայի բազմապատկմամբ շառավղային հավասարման լուծման վրա։


== Իրական ձև ==

Գնդային ֆունկցիաների համար անկյունից կախվածության ձևը 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
   կոմպլեքս էքսպոնենտ է։ Օգտագործելով Էյլերի բանաձևը, կարելի է մուտքագրել իրական գնդաձև ֆունկցիաները։
Երբեմն դրանք ավելի հարմար է օգտագործել պայմանավորված նրանով, որ իրական գործառույթները կարող են ավելի տեսանելի ցուցադրվել, ի տարբերություն բարդի։

  
    
      
        
          
            
              
                
                  Y
                  
                    ℓ
                    m
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    {
                    
                      
                        
                          
                            
                              
                                i
                                
                                  
                                    2
                                  
                                
                              
                            
                            
                              (
                              
                                
                                  Y
                                  
                                    ℓ
                                  
                                  
                                    m
                                  
                                
                                −
                                (
                                −
                                1
                                
                                  )
                                  
                                    m
                                  
                                
                                
                                
                                  Y
                                  
                                    ℓ
                                  
                                  
                                    −
                                    m
                                  
                                
                              
                              )
                            
                          
                        
                        
                          
                             
                          
                           
                          m
                          <
                          0
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              Y
                              
                                ℓ
                              
                              
                                0
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                             
                          
                           
                          m
                          =
                          0
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              
                                1
                                
                                  
                                    2
                                  
                                
                              
                            
                            
                              (
                              
                                
                                  Y
                                  
                                    ℓ
                                  
                                  
                                    −
                                    m
                                  
                                
                                +
                                (
                                −
                                1
                                
                                  )
                                  
                                    m
                                  
                                
                                
                                
                                  Y
                                  
                                    ℓ
                                  
                                  
                                    m
                                  
                                
                              
                              )
                            
                          
                        
                        
                          
                             
                          
                           
                          m
                          >
                          0.
                        
                      
                    
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    {
                    
                      
                        
                          
                            
                              
                                2
                              
                            
                            
                            (
                            −
                            1
                            
                              )
                              
                                m
                              
                            
                            
                            Im
                            ⁡
                            [
                            
                              
                                Y
                                
                                  ℓ
                                
                                
                                  
                                    |
                                  
                                  m
                                  
                                    |
                                  
                                
                              
                            
                            ]
                          
                        
                        
                          
                             
                          
                           
                          m
                          <
                          0
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              Y
                              
                                ℓ
                              
                              
                                0
                              
                            
                          
                        
                        
                          
                             
                          
                           
                          m
                          =
                          0
                        
                      
                      
                        
                          
                            
                              
                                2
                              
                            
                            
                            (
                            −
                            1
                            
                              )
                              
                                m
                              
                            
                            
                            Re
                            ⁡
                            [
                            
                              
                                Y
                                
                                  ℓ
                                
                                
                                  m
                                
                              
                            
                            ]
                          
                        
                        
                          
                             
                          
                           
                          m
                          >
                          0.
                        
                      
                    
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}\displaystyle {i \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\operatorname {Im} [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\operatorname {Re} [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}}
  Հակառակ ձևափոխությունը․

  
    
      
        
          Y
          
            ℓ
          
          
            m
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      
                        1
                        
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                    
                      (
                      
                        
                          Y
                          
                            ℓ
                            
                              |
                            
                            m
                            
                              |
                            
                          
                        
                        −
                        i
                        
                          Y
                          
                            ℓ
                            ,
                            −
                            
                              |
                            
                            m
                            
                              |
                            
                          
                        
                      
                      )
                    
                  
                
                
                  
                     
                  
                   
                  m
                  <
                  0
                
              
              
                
                  
                    
                      Y
                      
                        ℓ
                        0
                      
                    
                  
                
                
                  
                     
                  
                   
                  m
                  =
                  0
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          (
                          −
                          1
                          
                            )
                            
                              m
                            
                          
                        
                        
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                    
                      (
                      
                        
                          Y
                          
                            ℓ
                            
                              |
                            
                            m
                            
                              |
                            
                          
                        
                        +
                        i
                        
                          Y
                          
                            ℓ
                            ,
                            −
                            
                              |
                            
                            m
                            
                              |
                            
                          
                        
                      
                      )
                    
                  
                
                
                  
                     
                  
                   
                  m
                  >
                  0.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell 0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {(-1)^{m} \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}}
  Երբեմն իրական գնդաձև ֆունկցիաները անվանում են տարածքային, տեսերալ և սեկտորային։
m > 0 ֆունկցիաները կախված են անկյան կոսինուսից, իսկ  m < 0  -սինուսից։

  
    
      
        
          Y
          
            ℓ
            m
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    (
                    −
                    1
                    
                      )
                      
                        m
                      
                    
                    
                      
                        2
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                              2
                              ℓ
                              +
                              1
                            
                            
                              4
                              π
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              (
                              ℓ
                              −
                              
                                |
                              
                              m
                              
                                |
                              
                              )
                              !
                            
                            
                              (
                              ℓ
                              +
                              
                                |
                              
                              m
                              
                                |
                              
                              )
                              !
                            
                          
                        
                      
                    
                     
                    
                      P
                      
                        ℓ
                      
                      
                        
                          |
                        
                        m
                        
                          |
                        
                      
                    
                    (
                    cos
                    ⁡
                    θ
                    )
                     
                    sin
                    ⁡
                    (
                    
                      |
                    
                    m
                    
                      |
                    
                    φ
                    )
                  
                
                
                  
                    
                       
                    
                  
                  m
                  <
                  0
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            2
                            ℓ
                            +
                            1
                          
                          
                            4
                            π
                          
                        
                      
                    
                     
                    
                      P
                      
                        ℓ
                      
                      
                        m
                      
                    
                    (
                    cos
                    ⁡
                    θ
                    )
                  
                
                
                  
                    
                       
                    
                  
                  m
                  =
                  0
                
              
              
                
                  
                    (
                    −
                    1
                    
                      )
                      
                        m
                      
                    
                    
                      
                        2
                      
                    
                    
                      
                        
                          
                            
                              2
                              ℓ
                              +
                              1
                            
                            
                              4
                              π
                            
                          
                        
                        
                          
                            
                              (
                              ℓ
                              −
                              m
                              )
                              !
                            
                            
                              (
                              ℓ
                              +
                              m
                              )
                              !
                            
                          
                        
                      
                    
                     
                    
                      P
                      
                        ℓ
                      
                      
                        m
                      
                    
                    (
                    cos
                    ⁡
                    θ
                    )
                     
                    cos
                    ⁡
                    (
                    m
                    φ
                    )
                  
                
                
                  
                    
                       
                    
                  
                  m
                  >
                  0
                  
                  .
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{\ell m}={\begin{cases}\displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{(\ell -|m|)! \over (\ell +|m|)!}}}\ P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\mbox{ }}m<0\\\displaystyle {\sqrt {2\ell +1 \over 4\pi }}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\mbox{ }}m=0\\\displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\mbox{ }}m>0\,.\end{cases}}}
  


== Պտույտներ ==

Ուումնասիրենք Էյլերի 
  
    
      
        α
        ,
        β
        ,
        γ
        ,
      
    
    {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,}
   անկյամբ պտտված 
  
    
      
        
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {R}}}
   կոորդինատային համակարգը, որը ձևափոխում է 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
   միավոր վեկտորը 
  
    
      
        
          
            
              r
            
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbf {r} }'}
  -ի։ Ընդ որում, նոր կոորդինատային համակարգում  
  
    
      
        
          
            
              r
            
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbf {r} }'}
   վեկտրի  
  
    
      
        
          θ
          ′
        
        ,
        
          φ
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \theta ',\varphi '}
   անկյունները արտահայտվում են հետևյալ եղանակով․

  
    
      
        cos
        ⁡
        
          θ
          
            ′
          
        
        =
        cos
        ⁡
        θ
        cos
        ⁡
        β
        +
        sin
        ⁡
        θ
        sin
        ⁡
        β
        cos
        ⁡
        (
        φ
        −
        α
        )
      
    
    {\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=\cos \theta \cos \beta +\sin \theta \sin \beta \cos(\varphi -\alpha )}
  

  
    
      
        ctg
        ⁡
        
          (
          
            
              φ
              
                ′
              
            
            +
            γ
          
          )
        
        =
        ctg
        ⁡
        (
        φ
        −
        α
        )
        cos
        ⁡
        β
        −
        
          
            
              ctg
              ⁡
              θ
              sin
              ⁡
              β
            
            
              sin
              ⁡
              (
              φ
              −
              α
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\varphi ^{\prime }+\gamma \right)=\operatorname {ctg} (\varphi -\alpha )\cos \beta -{\frac {\operatorname {ctg} \theta \sin \beta }{\sin(\varphi -\alpha )}}}
  Նոր կոորդինատային համակարգում 
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
   և 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   գործակցով գնդային ֆունկցիան ներկայանալի է դառնալու նույն 
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
   գործակցով, բայց տարբեր 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  -ով գծային կոմբինացիայի տեսքով։ Գծային կոմբինացիայում կոմպլեքս զուգակցվում են D-Վագների մատրիցաները;

  
    
      
        
          
            
              D
              ^
            
          
        
        (
        α
        ,
        β
        ,
        γ
        )
        
          Y
          
            l
          
          
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        φ
        )
        =
        
          Y
          
            ℓ
          
          
            m
          
        
        (
        
          θ
          ′
        
        ,
        
          φ
          ′
        
        )
        =
        
          ∑
          
            
              m
              ′
            
            =
            −
            ℓ
          
          
            ℓ
          
        
        [
        
          D
          
            m
            
              m
              ′
            
          
          
            (
            ℓ
            )
          
        
        (
        α
        ,
        β
        ,
        γ
        )
        
          ]
          
            ∗
          
        
        
          Y
          
            ℓ
          
          
            
              m
              ′
            
          
        
        (
        θ
        ,
        φ
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{\ell }^{m}(\theta ',\varphi ')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}Y_{\ell }^{m'}(\theta ,\varphi ),}
  


== Հարթ ալիքի տարալուծումը գնդային ֆունկցիաներով ==
Կոմպլեք էքսպոնենտը կարող է ներկայացվել՝ ըստ գնդային ֆունկցիաների, տարալուծման տեսքով

  
    
      
        
          e
          
            i
            
              k
            
            ⋅
            
              r
            
          
        
        =
        4
        π
        
          ∑
          
            l
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          i
          
            l
          
        
        
          j
          
            l
          
        
        (
        k
        r
        )
        
          ∑
          
            m
            =
            −
            l
          
          
            l
          
        
        
          Y
          
            l
          
          
            m
            ∗
          
        
        
          (
          
            
              
                r
              
              
                
                  |
                
                r
                
                  |
                
              
            
          
          )
        
        
          Y
          
            l
          
          
            m
          
        
        
          (
          
            
              
                k
              
              
                
                  |
                
                k
                
                  |
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=4\pi \sum _{l=0}^{\infty }i^{l}j_{l}(kr)\sum _{m=-l}^{l}Y_{l}^{m*}\left({\frac {\mathbf {r} }{|r|}}\right)Y_{l}^{m}\left({\frac {\mathbf {k} }{|k|}}\right)}
  Այստեղ  
  
    
      
        
          j
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              π
              
                2
                x
              
            
          
        
        
          J
          
            n
            +
            
              
                1
                2
              
            
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)}
   - Բեսելի գնդային ֆունկցիան է։


== Տես նաև ==
Գնդային ֆունկցիաների ցանկը


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика|1989}-математические дополнения


== Հավելվածներ ==
SHTOOLS: Fortran 95 software archive
HEALPIX: Fortran 90 and C++ software archive
SpherePack: Fortran 77 software archive
SpharmonicKit: C software archive
Frederik J Simons: Matlab software archive
NFFT: C subroutine library (fast spherical Fourier transform for arbitrary nodes)
Shansyn: spherical harmonics package for GMT/netcdf grd files
SHAPE: Spherical HArmonic Parameterization Explorer


== Արտաքին հղումներ ==
Spherical harmonics applied to Acoustic Field analysis on Trinnov Audio’s research page
Spherical Harmonics by Stephen Wolfram and Nodal Domains of Spherical Harmonics by Michael Trott, The Wolfram Demonstrations Project
An accessible introduction to spherical harmonics (by J. B. Calvert)
Spherical harmonics entry at Citizendium