Դիոֆանտյան հավասարում

Մաթեմատիկայում Դիֆանտյան հավասարում, այնպիսի հավասարում է, որը պարունակում է սովորաբար երկու կամ ավելի անհայտ։ Ի տարբերություն սովորական գծային հավասարումների Դիոֆանտյան հավասարումների պահանջն է գտնել հավասարման այնպիսի լուծումներ, որոնք կպատկանեն ամբողջ թվերի բազմությանը։ Գծային դիֆանտանտային հավասարումը հիմնականում կազմվում է կամ զրոյական, կամ առաջին աստիճանի որոշակի միանդամների գումարից։ Ցուցչային Դիոֆանտյան հավասարումը մի այնպիսի հավասարում է, որում անհայտ կարող են հանդիսանալ նաև հավասարման ցուցիչները։
Դիոֆանտյան խնդիրներում հիմնականում տրված է լինում ավելի քիչ հավասարումներ, քան անհայտներն են և պահանջվում է գտնել այնպիսի լուծումներ, որոնք կբավարարեն բոլոր հավասարումների պահանջներին։
«Դիոֆանտյան» բառը կապված է 3-րդ դարի ​​մաթեմատիկոս Դիոֆանտուսին, ով նմանատիպ հավասարումների ուսումնասիրություններ է կատարել և առաջին մաթեմատիկոսներից էր, ով սկսեց հանրահաշվում օգտագործել, որոշակի սիմվոլներ։ Մաթեմատիկայի այն ճյուղը, որը ուսումնասիրում է դիոֆանտյան հավասարումները, կոչվում է Դիոֆանտյան անալիզ։


== Օրինակներ ==
Բերված Դիոֆանտյան հավասարումներում w, x, y, և z  տառերը տրված են, որպես անհայտներ, իսկ մնացած տառերը հաստատուն են։


== Գծային Դիոֆանտյան հավասարումներ ==


=== Մեկ հավասարում ===
Պարզագույն Դիոֆանտյան հավասարումէ հանդիսանում հետևյալը՝ ax + by = c, որտեղ a, b և c  տրված ամբողջ թվեր են։ Լուծումները բնութագրվում են հետևյալ թեորեմով՝

Այս Դիոֆանտյան հավասարումը ունի լուծում  (որտեղ x և y  տրված ամբողջ թվեր են) եթե միայն c թիվը հանդիսանում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար a և b  թվերի համար, ավելին եթե (x, y) թվազույգը կարող է հանդիսանալ հավասարման լուծում, ապա հավասարման մյուս լուծումը ունի հետևյալ կազմությունը՝ (x + kv, y − ku), որտեղ k թիվը կամայական թիվ է, իսկ u և v թվերը քանորդ են հանդիսանում a և b թվերի(համապատասխանաբար) համար։


=== Չինական մնացորդի թեորեմ ===
Չինական մնացորդի թեորեմը ներկայացնում է  մի շատ կարևոր դաս, որը բնութագրում է Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգը։ Դիցուք՝ n1, …, nk  թվերը և k  փոխադարձաբար պարզ են և մեծ են մեկից, իսկ a1, …, ak  թվերը k քանորդ, N  թիվը հանդիսանա արտադրյալ n1 ··· nk. թվերի համար, ապա ըստ թեորեմի հավասարման լուծումների միջակայքը կպատկանի 0 ≤ x < N, ընդ որում՝

  
    
      
        
          
            
              
                x
              
              
                
                =
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  n
                  
                    1
                  
                
                
                
                  x
                  
                    1
                  
                
              
            
            
              
              
                
                ⋮
              
            
            
              
                x
              
              
                
                =
                
                  a
                  
                    k
                  
                
                +
                
                  n
                  
                    k
                  
                
                
                
                  x
                  
                    k
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\&\vdots \\x&=a_{k}+n_{k}\,x_{k}\end{aligned}}}
  


=== Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգեր ===
Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգեր կարելի է լուծել օգտվելով մատրիքսներից։ Օգտագործելով մատրիքսի գրառման ձևը համակարգում գտնվող յուրաքանչյուր հավասարման համար, կստանանք հետևյալը՝

A X = C,որտեղ A -ն m × n  չափի մատրիքս է, իսկ X-ը և C-ն ունեն համապատասխանաբար հետևյալ չափերը՝ n × 1 և m × 1:
Վերը նշված հավասարումից բացի հաճախ օգտագործվում է նաև այս հավասարումը՝

B = [bi,j] = UAVՈրտեղ bi,i  հավասար չէ զրոյի, իսկ i  թիվը մեծ չէ k-ից։ Բանաձևի մնացած բոլոր անդամները կարող են լինել զրոներ։ Հավասարումը երբեմն ներկայացվում է նաև այսպես՝

B (V−1X) = UC.ընդ որում՝

bi,i yi = di for 1 ≤ i ≤ k,
0 yi = di for k < i ≤ n:Գրվածը համարժեք է հետևյալին. Տրված սյունակային մատրիքսը լուծում ունի որոշ x դրական ամբողջ թվերի համար, եթե միայն x = Vy հավասարումը որոշված է այնպիսի y-ի համար, որ By = D:
Եթե բանաձևում տեղադրենք տրված փոփոխականի այնպիսի արժեքներ, ինչպիսիք են՝ i ≤ k և di = 0 for i > k, ապա մատրիքսը կունեա հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        V
        
        
          [
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        d
                        
                          1
                        
                      
                      
                        b
                        
                          1
                          ,
                          1
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        d
                        
                          k
                        
                      
                      
                        b
                        
                          k
                          ,
                          k
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    h
                    
                      k
                      +
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    h
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
          
          ]
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle V\,\left[{\begin{array}{c}{\frac {d_{1}}{b_{1,1}}}\\\vdots \\{\frac {d_{k}}{b_{k,k}}}\\h_{k+1}\\\vdots \\h_{n}\end{array}}\right]\,,}
  որտեղ hk+1, ..., hn  կամայական ամբողջ թվեր են։


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
Diophantine Equation. From MathWorld at Wolfram Research.
Diophantine Equation Archived 2016-03-08 at the Wayback Machine.. From PlanetMath.
Dario Alpern's Online Calculator. Retrieved 18 March 2009