Պոտենցիալի տեսություն

Պոտենցիալի տեսություն, մաթեմատիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է սուբհարմոնիկ ֆունկցիաներ, ունակություններ, չափի ցրումներ՝ տարբեր տեսանկյուններից և այլ հարակից հարցեր։


== Պոտենցիալ դաշտեր ==
Պոտենցիալի տեսությունը առաջացել է մաթեմատիկական ֆիզիկայի այն բաժնից, որն ուսումնասիրում է մարմինների, լիցքերի և այլ օբյեկտների առաջացրած ուժային դաշտեր։ Ուժային դաշտը (վեկտորական դաշտը)՝

  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        ,
        )
        =
        [
        
          a
          
            1
          
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        ,
        
          a
          
            3
          
        
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}(x,y,z,)=[a_{1}(x,y,z),a_{2}(x,y,z),a_{3}(x,y,z)]}
  կոչվում է պոտենցիալ դաշտ, եթե գոյության ունի այնպիսի սկալյար 
  
    
      
        v
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle v(x,y,z)}
   ֆունկցիա (որն անվանում են a դաշտի պոտենցիալ ֆունկցիա) որ՝ 

  
    
      
        
          
            
              ∂
              v
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial x}}=a_{1}}
  , 
  
    
      
        
          
            
              ∂
              v
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial y}}=a_{2}}
  , 
  
    
      
        
          
            
              ∂
              v
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        =
        
          a
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial z}}=a_{3}}
  :Պոտենցիալ դաշտեր են, մասնավորաբար, գրավիտացիոն դաշտը, էլեկտրաստատիկ դաշտը և այլն։ Օրինակ՝ 
  
    
      
        A
        =
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        
          a
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle A=(a_{1},a_{2},a_{3})}
   կետում կենտրոնացված m զանգվածը իր շուրջը ստեղծում է ուժային դաշտ, որի պոտենցիալ ֆունկցիան (նյուտոնյան պոտենցիալ) ունի հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        V
        (
        B
        )
        =
        
          
            
              γ
              ⋅
              m
            
            
              
                |
              
              A
              −
              B
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle V(B)={\frac {\gamma \cdot m}{|A-B|}}}
  որտեղ 
  
    
      
        B
        =
        (
        
          b
          
            1
          
        
        ,
        
          b
          
            2
          
        
        ,
        
          b
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle B=(b_{1},b_{2},b_{3})}
  , իսկ 
  
    
      
        
          |
          
            A
            −
            B
          
          |
        
        =
        
          
            (
            
              a
              
                1
              
            
            −
            
              b
              
                1
              
            
            
              )
              
                2
              
            
            +
            (
            
              a
              
                2
              
            
            −
            
              b
              
                2
              
            
            
              )
              
                2
              
            
            +
            (
            
              a
              
                3
              
            
            −
            
              b
              
                3
              
            
            
              )
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\vert A-B\right\vert ={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}}}}
  -ն 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   և 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   կետերի հեռավորությունն է, 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  -ն՝ գրավիտացիոն հաստատունը։
Մի քանի կետերում կենտրոնացված զանգվածների ստեղծած ուժային դաշտի պոտենցիալը հավասար է առանձին զանգվածների ստեղծած ուժային դաշտերի պոտենցիալների գումարին։
Եթե զանգվածը բաշխված է 
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
   խտությամբ, ապա դրա ստեղծած ուժային դաշտի ․ պոտենցիալ ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        V
        (
        B
        )
        =
        γ
        ⋅
        ∭
        
          
            
              ρ
              (
              A
              )
              d
              A
            
            
              
                |
              
              A
              −
              B
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle V(B)=\gamma \cdot \iiint {\frac {\rho (A)dA}{|A-B|}}}
  Այն 
  
    
      
        V
        (
        B
        )
      
    
    {\displaystyle V(B)}
   ֆունկցիաները, որոնք կարելի է ներկայացնել վերը գրված տեսքով (
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  -ն ոչ բացասական ֆունկցիա է), սուբհարմոնիկ են․ այս է պատճառը, որ սուբհարմոնիկ ֆունկցիաներն ընդհանրապես պոտենցիալի տեսության ուսումնասիրության կարևորագույն օբյեկտներից են։
1960-ական թվականներին պարզվեց, որ պոտենցիալի տեսության որոշ բաժիններ («Մաքսիմումի սկզբունքին» բավարարող կորիզների հետազոտություններ) և հավանականությունների տեսության որոշ բաժիններ (Մարկովյան պրոցեսների և կիսախմբերի տեսություն) իրականում միասնական տեսություն են։


== Կիրառություններ ==
Պոտենցիալի տեսությունն ունի մի շարք կիրառություններ, օրինակ՝ օգտակար հանածոների հայտնաբերման և դրանց քանակի գնահատման համար օգտվում են գրավիմետրիայի մեթոդից, որի տեսական հիմքը պոտենցիալի տեսության հակադարձ խնդիրն է. այն է, գտնել մարմնի ձևը և խտությունը՝ ունենալով մարմնի՝ իրենից դուրս ստեղծած դաշտի պոտենցիալը։