Կոմպլեքս անալիտիկ բազմաձևություն

Կոմպեքս անալիտիկ բազմաձևություն, ռիմանյան մակերևույթի ընդհանրացում բազմաչափ դեպքի համար։ Ավելի ճշգրիտ՝ կոմպեքս անալիտիկ բազմաձևություն է կոչվում ամեն մի հաուսդորֆյան տոպոլոգիական տարածություն՝ ծածկված շրջակայքերով, որոնցից յուրաքանչյուրը հոմեոմորֆ է 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -չափանի էվկլիդեսյան կոմպլեքս տարածության որևէ տիրույթի, այնպես, որ յուրաքանչյուր երկու այդպիսի շրջակայքերի հատույթում առաջինի և երկրորդի լոկալ կոորդինատների կախումը տրվում է անալիտիկ ֆունկցիաների միջոցով։ Այսպիսով, տրված հոմեոմորֆիզմով կոմպեքս անալիտիկ բազմաձևության յուրաքանչյուր կետի համապատասխանեցվում են 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   հատ կոմպլեքս թվեր, որոնք և կոչվում են լոկալ կոորդինատներ։ Եթե 
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        .
        ,
        
          z
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{1},....,z_{n}}
  -ը և 
  
    
      
        
          ω
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        .
        ,
        
          ω
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{1},....,\omega _{n}}
  -ը լոկալ կոորդինատներ են երկու այդպիսի շրջակայքերում, ապա վերջիններիս հատույթում 
  
    
      
        
          ω
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{i}}
  -ն ֆունկցիա է 
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        .
        ,
        
          z
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{1},....,z_{n}}
  -ից՝ 
  
    
      
        
          ω
          
            i
          
        
        =
        
          u
          
            i
          
        
        (
        
          z
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        .
        ,
        
          z
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \omega _{i}=u_{i}(z_{1},....,z_{n})}
  , ընդ որում 
  
    
      
        
          u
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{i}}
   ֆունկցիաները անալիտիկ են։ Կոմպեքս անալիտիկ բազմաձևություն, որպես տոպոլոգիական տարածություն, պետք է լինի զույգ չափանի (իրական իմաստով) և կողմնորոշելի։ Այս պայմանները, սակայն, բավարար չեն, որպեսզի տվյալ տոպոլոգիական տարածության հիման վրա կառուցվի կոմպեքս անալիտիկ բազմաձևություն։ Կոմպեքս անալիտիկ բազմաձևության 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   ենթաբազմությունը կոչվում է անալիտիկ բազմություն, եթե այդ կոմպեքս անալիտիկ բազմաձևության ամեն մի կետի որևէ 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
   շրջակայքում գոյություն ունեն վերջավոր թվով անալիտիկ ֆունկցիաներ, որոնց ընդհանուր զրոները համընկնում են 
  
    
      
        U
        ∩
        A
      
    
    {\displaystyle U\cap A}
  -ի հետ։ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -չափանի պրոյեկտիվ կոմպլեքս տարածության մեջ գտնվող յուրաքանչյուր կոմպակտ կոմպեքս անալիտիկ բազմաձևություն անալիտիկ բազմություն է։