Մեդիալ գործողություններ

Մեդիալ գործողությունները են կոչվում այն գործողությունները, որորնք բավարարում են  
  
    
      
        (
        x
        y
        )
        (
        z
        t
        )
        =
        (
        x
        z
        )
        (
        y
        t
        )
      
    
    {\displaystyle (xy)(zt)=(xz)(yt)}
   նույնությանը։
Դիցուք 
  
    
      
        I
        ⊆
        R
      
    
    {\displaystyle I\subseteq R}
   որևէ դրական երկարությամբ միջակայք է (փակ, բաց, կիսաբաց, վերջավոր կամ անվերջ)։
Կասենք, որ 
  
    
      
        (
        ⋅
        )
        :
        
          I
          
            2
          
        
        →
        I
      
    
    {\displaystyle (\cdot ):I^{2}\rightarrow I}
   երկտեղ գործողությունը ինքնահամընկնող (իդեմպոտենտ)  է, եթե տեղի ունի հետևյալ նույնությունը՝ 
  
    
      
        x
        x
        =
        x
      
    
    {\displaystyle xx=x}
  :
Կասենք, որ 
  
    
      
        (
        ⋅
        )
        :
        
          I
          
            2
          
        
        →
        I
      
    
    {\displaystyle (\cdot ):I^{2}\rightarrow I}
   երկտեղ գործողությունը տեղափոխական է, եթե տեղի ունի հետևյալ նույնությունը՝ 
  
    
      
        x
        y
        =
        y
        x
      
    
    {\displaystyle xy=yx}
  :
Եթե 
  
    
      
        ∘
        :
        
          I
          
            2
          
        
        →
        I
      
    
    {\displaystyle \circ :I^{2}\rightarrow I}
   երկտեղ գործողությունը անընդհատ է և խիստ մոնոտոն ըստ երկու փոփոխականների, և տեղի ունի հետևյալ պայմանները՝

  
    
      
        (
        x
        ∘
        y
        )
        ∘
        (
        z
        ∘
        t
        )
        =
        (
        x
        ∘
        z
        )
        ∘
        (
        y
        ∘
        t
        )
      
    
    {\displaystyle (x\circ y)\circ (z\circ t)=(x\circ z)\circ (y\circ t)}
     (Մեդիալություն)

  
    
      
        x
        ∘
        x
        =
        x
      
    
    {\displaystyle x\circ x=x}
                 (Ինքնահամընկնում)

  
    
      
        x
        ∘
        y
        =
        y
        ∘
        x
      
    
    {\displaystyle x\circ y=y\circ x}
        (Տեղափոխականություն),
ապա գոյություն ունի 
  
    
      
        k
        :
        I
        →
        R
      
    
    {\displaystyle k:I\rightarrow R}
   անընդհատ և խիստ մոնոտոն ֆունկցիա այնպիսին, որ 
  
    
      
        x
        ∘
        y
        =
        
          k
          
            −
            1
          
        
        
          (
          
            
              
                k
                (
                x
                )
                +
                k
                (
                y
                )
              
              2
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle x\circ y=k^{-1}\left({\frac {k(x)+k(y)}{2}}\right)}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          k
          
            −
            1
          
        
        :
        k
        (
        I
        )
        →
        I
      
    
    {\displaystyle k^{-1}:k(I)\rightarrow I}
   ֆունկցիան որոշվում է հետևյալ կերպ՝ 
  
    
      
        
          k
          
            −
            1
          
        
        (
        k
        (
        x
        )
        )
        =
        x
        ,
        ∀
        x
        ∈
        I
      
    
    {\displaystyle k^{-1}(k(x))=x,\forall x\in I}
  :
Եթե 
  
    
      
        N
        :
        
          I
          
            2
          
        
        →
        I
      
    
    {\displaystyle N:I^{2}\rightarrow I}
   երկտեղ գործողությունը մեդիալ է, իդեմպոտենտ, անընդհատ և խիստ մոնոտոն ըստ երկու փոփոխականների, ապա գոյություն ունի այնպիսի 
  
    
      
        k
        :
        I
        →
        R
      
    
    {\displaystyle k:I\rightarrow R}
   անընդհատ և խիստ մոնոտոն ֆունկցիա և այնպիսի 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ∈
        R
      
    
    {\displaystyle a,b\in R}
  , 
  
    
      
        a
        +
        b
        =
        1
        ,
        a
        ,
        b
        ≠
        1
      
    
    {\displaystyle a+b=1,a,b\neq 1}
   իրական թվեր, որ 
  
    
      
        N
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          k
          
            −
            1
          
        
        (
        a
        k
        (
        x
        )
        +
        b
        k
        (
        y
        )
        )
      
    
    {\displaystyle N(x,y)=k^{-1}(ak(x)+bk(y))}
  ։
Եթե 
  
    
      
        N
        :
        
          I
          
            2
          
        
        →
        I
      
    
    {\displaystyle N:I^{2}\rightarrow I}
   երկտեղ գործողությունը մեդիալ է, անընդհատ և խիստ մոնոտոն ըստ երկու փոփոխականների, ապա գոյություն ունի այնպիսի 
  
    
      
        k
        :
        I
        →
        R
      
    
    {\displaystyle k:I\rightarrow R}
   անընդհատ և խիստ մոնոտոն ֆունկցիա և այնպիսի 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
        ∈
        R
        ,
        a
        b
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a,b,c\in R,ab\neq 0}
   իրական թվեր, որ 
  
    
      
        N
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          k
          
            −
            1
          
        
        (
        a
        k
        (
        x
        )
        +
        b
        k
        (
        y
        )
        +
        c
        )
      
    
    {\displaystyle N(x,y)=k^{-1}(ak(x)+bk(y)+c)}
  ։


== ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՄԵԴԻԱԼ ԶՈՒՅԳԵՐ ==
Դիցուք 
  
    
      
        I
        ⊆
        R
      
    
    {\displaystyle I\subseteq R}
   ենթաբազմությունը որևէ դրական երկարությամբ միջակայք է (փակ, բաց, կիսաբաց, վերջավոր կամ անվերջ), իսկ 
  
    
      
        M
        ,
        N
        :
        
          I
          
            2
          
        
        →
        I
      
    
    {\displaystyle M,N:I^{2}\rightarrow I}
   երկտեղ գործողությունները որոշված են միևնույն 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
   բազմության վրա։ Կասենք, որ 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
   և 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   երկտեղ գործողությունների 
  
    
      
        (
        M
        ,
        N
        )
      
    
    {\displaystyle (M,N)}
   զույգը մեդիալ է, եթե տեղի ունի հետևյալ նույնությունը՝

  
    
      
        N
        (
        M
        (
        x
        ,
        y
        )
        ,
        M
        (
        z
        ,
        t
        )
        )
        )
        =
        M
        (
        N
        (
        x
        ,
        z
        )
        ,
        N
        (
        y
        ,
        t
        )
        )
      
    
    {\displaystyle N(M(x,y),M(z,t)))=M(N(x,z),N(y,t))}
  ։
Դիցուք 
  
    
      
        M
        ,
        N
        :
        
          I
          
            2
          
        
        →
        I
      
    
    {\displaystyle M,N:I^{2}\rightarrow I}
   երկտեղ գործողությունների զույգը մեդիալ է, ընդ որում, 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  -ն ու  
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  -ն անընդհատ են և խիստ մոնոտոն ըստ երկու փոփոխականների և 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  -ը մեդիալ է։ Այդ դեպքում 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  -ը ևս մեդիալ է։
Դիցուք 
  
    
      
        ⋅
        :
        
          I
          
            2
          
        
        →
        I
      
    
    {\displaystyle \cdot :I^{2}\rightarrow I}
   կամայական երկտեղ գործողություն է։ Կասենք որ 
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
    գործողությունը նախամեդիալ է, եթե տեղի ունի հետևյալ նույնությունը՝

  
    
      
        (
        x
        y
        )
        (
        z
        x
        )
        =
        (
        x
        z
        )
        (
        y
        x
        )
      
    
    {\displaystyle (xy)(zx)=(xz)(yx)}
  :
Դիցուք 
  
    
      
        ∘
        ,
        ⋅
        :
        
          I
          
            2
          
        
        →
        I
      
    
    {\displaystyle \circ ,\cdot :I^{2}\rightarrow I}
   երկտեղ գործողությունների զույգը մեդիալ է, ընդ որում այդ գործողությունները անընդհատ են, խիստ մոնոտոն և նախամեդիալ, իսկ 
  
    
      
        ∘
      
    
    {\displaystyle \circ }
   գործողությունը  ինքնահամընկնող է։ Այդ դեպքում 
  
    
      
        ∘
      
    
    {\displaystyle \circ }
   և 
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
   գործողությունները մեդիալ են։


== Լրացուցիչ ==