Կոմպլեքս թիվ

Կոմպլեքս թիվը (կեղծ թիվը) իրական թվերի դաշտի ընդլայնումն է։ Ֆորմալ ձևով այն առաջացել է քառակուսի հավասարումներ լուծելու ժամանակ, որում հավասարման արմատի քառակուսին պետք է լինի բացասական թիվ։
Հետագայում գտել են, որ կոմպլեքս թվերի օգտագործումը հնարավորություն է տալիս հարմար և կոմպակտ ձևով ներկայացնել բազմաթիվ մաթեմատիկական մոդելներ, որոնք օգտագործվում են մաթեմատիկական ֆիզիկայում և այլ բնական գիտություններում /էլեկտրոտեխնիկա, հիդրոդինամիկա, քարտեզագրություն, քվանտային մեխանիկա, տատանումների տեսությունում, քաոսների տեսությունում և այլն.../։Կոմպլեքս թվերի բազմությունը սովորաբար նշանակում են 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  -ով /լատ.՝ Complex - կոմպլեքս բառից/։
Կոմպլեքս թվերի մեկ այլ տեսակ է Անոիսիեսը(հունարենից թարգմանաբար նշանակում է անիմաստություն  ανοησίες) : Նշանակում ենք ψ(փսի)) ψ=a/0 որտեղ aն կամայական հաստատուն թիվ է։ Գիտնականները տասնյակ հազարամյակներ շարունակ չեն կարողացել գտնել այս սահմանումը, սակայն 21րդ դարի գիտնական Գոռը գտավ այն, ով նաև հանդիսանում է Արիստոտելի կրտսեր ծոռը։ Նրա գրական կեղծանունն է Գլաֆիրա(որը թարգմանաբար նշանակում է բարեկազմ, նրբագեղ։


== Սահմանում ==
Կոմպլեքս թվերի դաշտը կարելի է հասկանալ որպես իրական թվերի դաշտի այնպիսի ընդլայնում, որում հավասարումը, որտեղ անհայտի քառակուսին բացասական է (օրինակ,
  
    
      
         
        
          z
          
            2
          
        
         
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \ z^{2}\ =-1}
   ), ունի լուծում։ Այլ ձևով կարելի է ասել, որ իրական թվերի դաշտը լրացվում է բացասական մեծությունների արմատներով, որոնք կոչվել են կեղծ թվեր։
Ցանկացած այսպիսի կեղծ թիվ կարելի է ներկայացնել երկու իրական թվերի և պարզ կեղծ արտադրիչի օգնությամբ՝ 
  
    
      
         
        x
        +
        i
        y
      
    
    {\displaystyle \ x+iy}
  , որտեղ 
  
    
      
         
        x
      
    
    {\displaystyle \ x}
  -ը և 
  
    
      
         
        y
      
    
    {\displaystyle \ y}
  -ը իրական թվեր են, իսկ 
  
    
      
         
        i
      
    
    {\displaystyle \ i}
  -ն՝ կեղծ միավոր։ Հիմք ընդունելով սա, կեղծ թիվը այժմ հաճախ անվանում են կոմպլեքս։ Կոմպլեքս թվի այսպիսի ներկայացումը կոչվում է հանրահաշվական։ Գոյություն ունեն կոմպլեքս թվերի ներկայացման այլ ձևեր։
Հաջորդ երկու պարզ մոդելները ցույց են տալիս, որ թվերի նման չհակասող համակարգի ստեղծումը հնարավոր է։ Բերված երկու սահմանումները բերում են իրական թվերի դաշտի 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
   ընդլայնման իզոմորֆությանը, ինչպես և 
  
    
      
         
        
          z
          
            2
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \ z^{2}+1}
   բազմանդամի դաշտերի այլ կառուցվածքներ։ Կոմպլեքս թվերը ստեղծում են հանրահաշվորեն փակ դաշտ, ինչը նշանակում է, որ կոմպլեքս գործակիցներով 
  
    
      
         
        n
      
    
    {\displaystyle \ n}
   աստիճանի բազմանդամը ունի ճիշտ 
  
    
      
         
        n
      
    
    {\displaystyle \ n}
   կոմպլեքս արմատներ (հանրահաշվի հիմնական թեորեմը)։ Սա հիմնական պատճառն է մաթեմատիկական հետազոտություններում կոմպլեքս թվերի լայն կիրառման համար։ 


=== Ստանդարտ մոդել ===

  
    
      
         
        z
      
    
    {\displaystyle \ z}
   կարելի է արտահայտել որպես երկու իրական թվերի զույգ՝ 
  
    
      
         
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \ (x,y)}
  ։ Ներմուծենք այդպիսի զույգերի գումարման և բազմապատկման գործողությունները հետևյալ ձևով՝

  
    
      
         
        (
        x
        ,
        
        y
        )
        +
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
        
          y
          ′
        
        )
        =
        (
        x
        +
        
          x
          ′
        
        ,
        
        y
        +
        
          y
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \ (x,\;y)+(x',\;y')=(x+x',\;y+y')}
  ,

  
    
      
         
        (
        x
        ,
        
        y
        )
        ⋅
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
        
          y
          ′
        
        )
        =
        (
        x
        
          x
          ′
        
        −
        y
        
          y
          ′
        
        ,
        
        x
        
          y
          ′
        
        +
        y
        
          x
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \ (x,\;y)\cdot (x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx')}
  ։Այս մոդելում իրական թվերը հանդիսանում են կոմպլեքս թվերի ենթաբազմություն և ներկայացվում են 
  
    
      
         
        (
        x
        ;
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \ (x;0)}
   զույգի տեսքով, ընդ որում այդպիսի զույգերի հետ գործողությունները համընկնում են իրական թվերի գումարման և բազմապատկման գործողությունների հետ։ Զրոն ներկայացվում է 
  
    
      
         
        0
        =
        (
        0
        ;
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \ 0=(0;0)}
   զույգով, իսկ մեկը՝ 
  
    
      
         
        1
        =
        (
        1
        ;
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \ 1=(1;0)}
   զույգով, իսկ կեղծ միավորը՝ 
  
    
      
         
        i
        =
        (
        0
        ;
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \ i=(0;1)}
   զույգով։ Կոմպլեքս թվերի բազմությունում զրոն և մեկը ունեն նույն հատկությունները, ինչպես իրական թվերի բազմությունում, իսկ կեղծ թվի քառակուսին, ինչպես կարելի է ճշտել, հավասար է 
  
    
      
         
        (
        −
        1
        ;
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \ (-1;0)}
  , այսինքն՝ 
  
    
      
         
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \ -1}
  ։ 
Դժվար չէ ցույց տալ, որ վերևում նշված գործողություններն ունեն նույն հատկությունները, ինչ որ նմանատիպ գործողություններն իրական թվերի հետ։ Բացառություն են կազմում միայն հատկությունները, որոնք կապված են կարգերի համեմատման հետ (մեծ-փոքր), որովհետև հնարավոր չէ ընդլայնել միայնակ թվերի կարգը, նրանում ընդգրկելով թվերի զույգերի կարգավորումը, որպեսզի կարգերի համեմատման գործողությունները նախկինի պես լինեն համաձայնեցված։


=== Մատրիցային մոդել ===
Կոմպլեքս թվերը կարելի է ներկայացնել նաև իրական մատրիցայի ընտանիքի տեսքով՝ 
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  x
                
                
                  y
                
              
              
                
                  −
                  y
                
                
                  x
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}}
  
պարզ մատրիցային գումարումով և արտադրյալով։
Իրական միավորին կհամապատասխանի՝ 
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}
  ,
կեղծ միավորին՝ 
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
              
                
                  −
                  1
                
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}
  ։
Նման մատրիցային ներկայացում գոյություն ունի ցանկացած վերջավոր ընդլայնման համար։


== Գործողություններ կոմպլեքս թվերի հետ ==
Համեմատում՝
  
    
      
         
        a
        +
        b
        i
        =
        c
        +
        d
        i
      
    
    {\displaystyle \ a+bi=c+di}
   համեմատումը նշանակում է, որ 
  
    
      
         
        a
        =
        c
      
    
    {\displaystyle \ a=c}
   և 
  
    
      
         
        b
        =
        d
      
    
    {\displaystyle \ b=d}
   (երկու կոմպլեքս թվեր հավասար են մեկը մյուսին այն և միայն այն դեպքում, երբ հավասար են նրանց իրական և կեղծ մասերը)։

Գումարում՝
  
    
      
         
        (
        a
        +
        b
        i
        )
        +
        (
        c
        +
        d
        i
        )
        =
        (
        a
        +
        c
        )
        +
        (
        b
        +
        d
        )
        i
      
    
    {\displaystyle \ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
  ։

Հանում՝
  
    
      
         
        (
        a
        +
        b
        i
        )
        −
        (
        c
        +
        d
        i
        )
        =
        (
        a
        −
        c
        )
        +
        (
        b
        −
        d
        )
        i
      
    
    {\displaystyle \ (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
  ։

Բազմապատկում՝
  
    
      
         
        (
        a
        +
        b
        i
        )
        ⋅
        (
        c
        +
        d
        i
        )
        =
        a
        c
        +
        b
        c
        i
        +
        a
        d
        i
        +
        b
        d
        
          i
          
            2
          
        
        =
        (
        a
        c
        −
        b
        d
        )
        +
        (
        b
        c
        +
        a
        d
        )
        i
      
    
    {\displaystyle \ (a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i}
  ։

Բաժանում՝
  
    
      
         
        
          
            
              a
              +
              b
              i
            
            
              c
              +
              d
              i
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              c
              +
              b
              d
            
            
              
                c
                
                  2
                
              
              +
              
                d
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          (
          
            
              
                b
                c
                −
                a
                d
              
              
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  d
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        i
      
    
    {\displaystyle \ {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+\left({\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\right)i}
  ։

Մասնավորապես,՝
  
    
      
         
        
          
            1
            
              a
              +
              b
              i
            
          
        
        =
        
          
            a
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          (
          
            
              b
              
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  b
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        i
      
    
    {\displaystyle \ {\frac {1}{a+bi}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-\left({\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\right)i}
  ։


== Երկրաչափական մոդել ==

Հարթության վրա դիտարկենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը։ Յուրաքանչյուր կոմպլեքս թվին 
  
    
      
         
        z
        =
        x
        +
        i
        y
      
    
    {\displaystyle \ z=x+iy}
   հարթության վրա համապատասխանեցնենք 
  
    
      
         
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \ (x,y)}
   կոորդինատներով կետը (ինչպես նաև շառավիղ-վեկտորը, որը միացնում է կոորդինատների սկզբնակետը այդ կետի հետ)։ Այդպիսի հարթությունը կոչվում է կոմպլեքս (կամ Արգանի հարթություն)։ Նրանում իրական թվերը զբաղեցնում են հորիզոնական հարթությունը, իսկ կեղծ միավորը պատկերվում է ուղղահայաց առանցքի միավորին՝ այդ պատճառով հորիզոնական և ուղղահայաց առանցքները կոչվում են համապատասխանաբար իրական և կեղծ առանցքներ։
Հաճախ հարմար է դիտարկել նաև կոմպլեքս հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը, որում կետի կոորդինատները հանդիսանում են կոորդինատի սկզբնակետից հեռավորությունը (մոդուլը) և կետի շառավիղ-վեկտորի անկյունը (նկարում ցույց է տրված կապույտ սլաքով) հորիզոնական առանցքի նկատմամբ (արգումենտ)։
Այս ներկայացման ձևում կոմպլեքս թվերի գումարը համապատասխանում է շառավիղ-վեկտորների վեկտորային գումարին։ Կոմպլեքս թվերի արտադրյալի ժամանակ նրանց մոդուլները բազմապատկվում են, իսկ արգումենտները գումարվում։ Եթե երկրորդ արտադրիչի մոդուլը հավասար է 1-ի, նրան բազմապատկելը երկրաչափորեն նշանակում է առաջին թվի շառավիղ-վեկտորի պտույտը անկյունով, որն հավասար է երկրորդ թվի արգումենտին։ Այս փաստը ցույց է տալիս տատանումների տեսությունում կոմպլեքս ներկայացման լայն ներկայացումը, որտեղ <մոդուլ> և <արգումենտ> տերմինների փոխարեն օգտագործվում է <ամպլիտուդա> և <փուլ> տերմինները։
Հարթության վրա կոմպլեքս թվերը որպես կետեր ներկայացնելը, իսկ կոմպլեքս թվի վրա բազմապատկելը որպես այդ հարթության գծային ձևափոխություն հնարավոր է այն պատճառով, որ կոմպլեքս թիվը հանդիսանում է երկչափ հանրահաշիվ իրական թվերի դաշտի վրա։Կոմպլեքս թվի երկրաչափական մոդելը լայնորեն օգտագործվում է հարթաչափությունում, բազմաթիվ հարթաչափական թեորեմաներ կարելի է ապացուցել որպես որոշակի կոմպլեքսային նույնություններ։ Հաճախ այս մեթոդը տալիս է ավելի պարզ ապացույց։


== Ծանոթագրություններ ==