Համիլտոնյան (քվանտային մեխանիկա)

Համիլտոնյան (նշանակվում է 
  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}}
   կամ H), համակարգի լրիվ էներգիայի օպերատորը քվանտային մեխանիկայում։ Կոչվել է իռլանդացի մաթեմատիկոս Ուիլյամ Համիլտոնի անունով։
Համիլտոնյանի սպեկտրը հնարավոր արժեքների բազմությունն է համակարգի լրիվ էներգիայի փոփոխության դեպքում։ Սպեկտրը կարող է լինել դիսկրետ կամ անընդհատ։ Կարող է նաև այնպիսի դեպք լինել (օրինակ՝ կուլոնյան պոտենցիալը), երբ սպեկտրը բաղկացած է ընդհատ և անընդհատ մասերից։
Քանի որ էներգիան իրական մեծություն է, համիլտոնյանը ինքնահամալուծ օպերատոր է։


== Շրյոդինգերի հավասարում ==

Համիլտոնյանը հարուցում է քվանտային վիճակների ժամանակավոր փոփոխություն։ Եթե 
  
    
      
        
          |
          
            ψ
            (
            t
            )
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }
  -ն համակարգի վիճակն է t պահին, ապա

  
    
      
        H
        
          |
          
            ψ
            (
            t
            )
          
          ⟩
        
        =
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        
          |
          
            ψ
            (
            t
            )
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial  \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle }
  :Այս հավասարումը կոչվում է Շրյոդինգերի հավասարում (այն նույն տեսքն ունի, ինչ Համիլտոն-Յակոբիի հավասարումը դասական մեխանիկայում)։ Իմանալով վիճակը ժամանակի սկզբնական պահին (t = 0), մենք կարող ենք լուծել Շրյոդինգերի հավասարումը և ստանալ վիճակի վեկտորը ժամանակի ցանկացած հաջորդ պահի համար։ Մասնավորապես, եթե H-ը կախված չէ ժամանակից, ապա

  
    
      
        
          |
          
            ψ
            (
            t
            )
          
          ⟩
        
        =
        
          e
          
            −
            i
            H
            t
            
              /
            
            ℏ
          
        
        
          |
          
            ψ
            (
            0
            )
          
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle }
  Էքսպոնենտի օպերատորը Շրյոդինգերի հավասարման աջ մասում որոշվում է ըստ H-ի աստիճանային շարքով։
Ըստ հոմոմորֆ հատկությունների,

  
    
      
        U
        =
        
          e
          
            −
            i
            H
            t
            
              /
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}
  օպերատորն ունիտար է։ Դա փակ քվանտային համակարգի ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորն է (կամ պրոպագատորը)։
Եթե համիլտոնյանը կախված չէ ժամանակից, {U(t)}-ն միապարամետրական խումբ է կազմում, որտեղից հետևում է принцип детального равновесия.


== Համիլտոնյանի արտահայտությունը կոորդինատային պատկերացումով ==


=== Ազատ մասնիկ ===
Եթե մասնիկը պոտենցիալ էներգիա չունի, ապա համիլտոնյանը ամենապարզն է։ Մեկ չափողականության դեպքում

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}
  Եռաչափ դեպքում

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        =
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        Δ
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }
  


=== Պոտենցիալ փոս ===
V = V0 հաստատուն պոտենցիալով (ժամանակից և կոորդինատներից անկախ) մասնիկի համար մեկ չափողականության դեպքում համիլտոնյանը՝

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          V
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}}
  Եռաչափ դեպքում

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        +
        
          V
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}}
  ։


=== Պարզագույն հարմոնիկ տատանակ ===
Պարզ հարմոնիկ տատանակի համար միաչափ դեպքում պոտենցիալը կախված է կոորդինատից (բայց ոչ ժամանակից) որպես

  
    
      
        V
        =
        
          
            k
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              m
              
                ω
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2},}
  որտեղ տատանակի անկյունային հաճախությունը, k առաձգականության գործակիցը և m զանգվածը բավարարում են

  
    
      
        
          ω
          
            2
          
        
        =
        
          
            k
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}
  առնչությանը, այդ պատճառով համիլտոնյանի տեսքը հետևյալն է՝

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              m
              
                ω
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}
  ։Եռաչափ դեպքում համիլտոնյանը ընդունում է

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              m
              
                ω
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2}}
  տեսքը, որտեղ r եռաչափ շառավիղ-վեկտորի մեծությունը որոշվում է որպես

  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        =
        
          r
        
        ⋅
        
          r
        
        =
        
          |
        
        
          r
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}
  ։Լրիվ համիլտոնյանը միաչափ համիլտոնյանների գումարն է՝

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      H
                      ^
                    
                  
                
                =
                −
                
                  
                    
                      ℏ
                      
                        2
                      
                    
                    
                      2
                      m
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            2
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            2
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            y
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            2
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            z
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                
                  
                    
                      m
                      
                        ω
                        
                          2
                        
                      
                    
                    2
                  
                
                (
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  y
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  z
                  
                    2
                  
                
                )
              
            
            
              
                =
                
                  (
                  
                    −
                    
                      
                        
                          ℏ
                          
                            2
                          
                        
                        
                          2
                          m
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            2
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          m
                          
                            ω
                            
                              2
                            
                          
                        
                        2
                      
                    
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                
                  (
                  
                    −
                    
                      
                        
                          ℏ
                          
                            2
                          
                        
                        
                          2
                          m
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            2
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            y
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          m
                          
                            ω
                            
                              2
                            
                          
                        
                        2
                      
                    
                    
                      y
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                
                  (
                  
                    −
                    
                      
                        
                          ℏ
                          
                            2
                          
                        
                        
                          2
                          m
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            2
                          
                        
                        
                          ∂
                          
                            z
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          m
                          
                            ω
                            
                              2
                            
                          
                        
                        2
                      
                    
                    
                      z
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\\\end{aligned}}}
  ։


== Դաշտի քվանտային տեսություն ==
Դաշտի դասական տեսությունում ընդհանրացված կոորդինատների դերը կատարում են դաշտի ֆունկցիաները տարածաժամանակի յուրաքանչյուր կետում, իսկ դաշտի քվանտային տեսությունում դրանք վերածվում են օպերատորների։ Փոխազդող դաշտերի համակարգի համար համիլտոնյանն իրենից ներկայացնում է ազատ դաշտերի էներգիաների և փոխազդեցության էներգիաների օպերատորների գումար։ Ի տարբերություն լագրանժյանյի, համիլտոնյանը չի տալիս համակարգի բացահայտ ռելյատիվիստական-ինվարիանտ նկարագրություն․ էներգիան տարբեր իներցիալ համակարգերում տարբեր է, չնայած ռելյատիվիստական համակարգերի համար կարելի է ապացուցել այդ ինվարիանտությունը։


== Գրականություն ==
The Feynman Lectures on Physics, Volume III
Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Физматлит, 2008. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — 3000 экз. — ISBN 978-5-9221-0530-9