Կրոնեկերյան արտադրյալ

Մաթեմատիկայում Կրոնեկերյան արտադրյալը, որը նշանակվում է ⊗, կամայական երկու մատրիցների մաթեմաթիկական գործողություն է, որի արդյունքում ստանում ենք քառակուսի մատրից։ Դա վեկտորներից դեպի մատրիցներ կատարվող արտաքին արտադրյալի գործողության ընդհանրացումն է (որը ունի նույն նշանակումը)։ Կրոնեկերյան արտադրյալը տարբերվում է մատրիցների սովորական բազմապատկումից, որը հիմնովին այլ գործողություն է։ Կրոնեկերյան արտադրյալը երբեմն նաև կոչվում է մատրիցների ուղիղ արտադրյալ։
Կրոնեկերյան արտադրյալը անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Լեոպոլդ Կրոնեկերի  (1823-1891) պատվին, չնայած քիչ փաստեր կան, որ առաջինը նա է սահմանել և օգտագործել այն։ Կրոնեկերյան արտադրյալը այլ կերպ կոչվում է նաև «Զեհֆուսի մատրից», Ջոհան Ջորջ Զեհֆուսի պատվին, ով 1858 թվականին նկարագրել է այս գործողությունը, բայց այժմ ամենալայն տարածված տերմինը Կրոնեկերյան արտադրյալն է։


== Սահմանում ==
Եթե A֊ն m × n մատրից է և B֊ն p × q մատրից, ապա Կրոնեկերյան արտադրյալ A ⊗ B մատրիցների համար կստացվի pm × qn քառակուսային մատրից։

  
    
      
        
          A
        
        ⊗
        
          B
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                  
                    B
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                  
                    B
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      m
                      1
                    
                  
                  
                    B
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      n
                    
                  
                  
                    B
                  
                
              
            
            ]
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}\mathbf {B} &\cdots &a_{1n}\mathbf {B} \\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}\mathbf {B} &\cdots &a_{mn}\mathbf {B} \end{bmatrix}},}
  Բացահայտ տեսքով՝

  
    
      
        
          
            A
          
          ⊗
          
            B
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                  
                    b
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                  
                    b
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                  
                    b
                    
                      1
                      q
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      1
                      q
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                  
                    b
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                  
                    b
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                  
                    b
                    
                      2
                      q
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      2
                      q
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
                
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                  
                    b
                    
                      p
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                  
                    b
                    
                      p
                      2
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                  
                    b
                    
                      p
                      q
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      p
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      p
                      2
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      p
                      q
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                
                  ⋮
                
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      m
                      1
                    
                  
                  
                    b
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      1
                    
                  
                  
                    b
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      1
                    
                  
                  
                    b
                    
                      1
                      q
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      1
                      q
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      m
                      1
                    
                  
                  
                    b
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      1
                    
                  
                  
                    b
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      1
                    
                  
                  
                    b
                    
                      2
                      q
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      2
                      q
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
                
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      m
                      1
                    
                  
                  
                    b
                    
                      p
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      1
                    
                  
                  
                    b
                    
                      p
                      2
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      1
                    
                  
                  
                    b
                    
                      p
                      q
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      p
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      p
                      2
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      m
                      n
                    
                  
                  
                    b
                    
                      p
                      q
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} }={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.}
  Կարճ ասած, մենք ունենք

  
    
      
        (
        A
        ⊗
        B
        
          )
          
            p
            (
            r
            −
            1
            )
            +
            v
            ,
            q
            (
            s
            −
            1
            )
            +
            w
          
        
        =
        
          a
          
            r
            s
          
        
        
          b
          
            v
            w
          
        
      
    
    {\displaystyle (A\otimes B)_{p(r-1)+v,q(s-1)+w}=a_{rs}b_{vw}}
  
Նմանապես

  
    
      
        (
        A
        ⊗
        B
        
          )
          
            i
            ,
            j
          
        
        =
        
          a
          
            ⌈
            (
            i
            )
            
              /
            
            p
            ⌉
            ,
            ⌈
            (
            j
            )
            
              /
            
            q
            ⌉
          
        
        
          b
          
            i
            −
            ⌊
            (
            i
            −
            1
            )
            
              /
            
            p
            ⌋
            p
            ,
            j
            −
            ⌊
            (
            j
            −
            1
            )
            
              /
            
            q
            ⌋
            q
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (A\otimes B)_{i,j}=a_{\lceil (i)/p\rceil ,\lceil (j)/q\rceil }b_{i-\lfloor (i-1)/p\rfloor p,j-\lfloor (j-1)/q\rfloor q}.}
  
Օգտագործելով 
  
    
      
        i
        %
        p
        =
        i
        −
        ⌊
        i
        
          /
        
        p
        ⌋
        p
      
    
    {\displaystyle i\%p=i-\lfloor i/p\rfloor p}
  , որտեղ 
  
    
      
        i
        %
        p
      
    
    {\displaystyle i\%p}
  ֊ն նշանակվում է որպես մնացորդ 
  
    
      
        i
        
          /
        
        p
      
    
    {\displaystyle i/p}
  , սա կարող է գրվել ավելի համաչափ տեսքով 

  
    
      
        (
        A
        ⊗
        B
        
          )
          
            i
            ,
            j
          
        
        =
        
          a
          
            ⌈
            (
            i
            )
            
              /
            
            p
            ⌉
            ,
            ⌈
            (
            j
            )
            
              /
            
            q
            ⌉
          
        
        
          b
          
            (
            i
            −
            1
            )
            %
            p
            +
            1
            ,
            (
            j
            −
            1
            )
            %
            q
            +
            1
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (A\otimes B)_{i,j}=a_{\lceil (i)/p\rceil ,\lceil (j)/q\rceil }b_{(i-1)\%p+1,(j-1)\%q+1}.}
  Եթե A և B մատրիցները նեռկայացնում են գծային ձևափոխություններ V1 → W1 և V2 → W2, ապա․ համապատասխանաբար A ⊗ B ներկայացնում են տենզոռային արտադրյալ V1 ⊗ V2 → W1 ⊗ W2.


=== Օրինակներ ===

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  2
                
              
              
                
                  3
                
                
                  4
                
              
            
            ]
          
        
        ⊗
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  5
                
              
              
                
                  6
                
                
                  7
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                  
                    
                      [
                      
                        
                          
                            0
                          
                          
                            5
                          
                        
                        
                          
                            6
                          
                          
                            7
                          
                        
                      
                      ]
                    
                  
                
                
                  2
                  
                    
                      [
                      
                        
                          
                            0
                          
                          
                            5
                          
                        
                        
                          
                            6
                          
                          
                            7
                          
                        
                      
                      ]
                    
                  
                
              
              
                
                  3
                  
                    
                      [
                      
                        
                          
                            0
                          
                          
                            5
                          
                        
                        
                          
                            6
                          
                          
                            7
                          
                        
                      
                      ]
                    
                  
                
                
                  4
                  
                    
                      [
                      
                        
                          
                            0
                          
                          
                            5
                          
                        
                        
                          
                            6
                          
                          
                            7
                          
                        
                      
                      ]
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                  ×
                  0
                
                
                  1
                  ×
                  5
                
                
                  2
                  ×
                  0
                
                
                  2
                  ×
                  5
                
              
              
                
                  1
                  ×
                  6
                
                
                  1
                  ×
                  7
                
                
                  2
                  ×
                  6
                
                
                  2
                  ×
                  7
                
              
              
                
                  3
                  ×
                  0
                
                
                  3
                  ×
                  5
                
                
                  4
                  ×
                  0
                
                
                  4
                  ×
                  5
                
              
              
                
                  3
                  ×
                  6
                
                
                  3
                  ×
                  7
                
                
                  4
                  ×
                  6
                
                
                  4
                  ×
                  7
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  5
                
                
                  0
                
                
                  10
                
              
              
                
                  6
                
                
                  7
                
                
                  12
                
                
                  14
                
              
              
                
                  0
                
                
                  15
                
                
                  0
                
                
                  20
                
              
              
                
                  18
                
                
                  21
                
                
                  24
                
                
                  28
                
              
            
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&2{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\3{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&4{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\times 0&1\times 5&2\times 0&2\times 5\\1\times 6&1\times 7&2\times 6&2\times 7\\3\times 0&3\times 5&4\times 0&4\times 5\\3\times 6&3\times 7&4\times 6&4\times 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&10\\6&7&12&14\\0&15&0&20\\18&21&24&28\end{bmatrix}}.}
  Նմանապես

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  −
                  4
                
                
                  7
                
              
              
                
                  −
                  2
                
                
                  3
                
                
                  3
                
              
            
            ]
          
        
        ⊗
        
          
            [
            
              
                
                  8
                
                
                  −
                  9
                
                
                  −
                  6
                
                
                  5
                
              
              
                
                  1
                
                
                  −
                  3
                
                
                  −
                  4
                
                
                  7
                
              
              
                
                  2
                
                
                  8
                
                
                  −
                  8
                
                
                  −
                  3
                
              
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  −
                  5
                
                
                  −
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  8
                
                
                  −
                  9
                
                
                  −
                  6
                
                
                  5
                
                
                  −
                  32
                
                
                  36
                
                
                  24
                
                
                  −
                  20
                
                
                  56
                
                
                  −
                  63
                
                
                  −
                  42
                
                
                  35
                
              
              
                
                  1
                
                
                  −
                  3
                
                
                  −
                  4
                
                
                  7
                
                
                  −
                  4
                
                
                  12
                
                
                  16
                
                
                  −
                  28
                
                
                  7
                
                
                  −
                  21
                
                
                  −
                  28
                
                
                  49
                
              
              
                
                  2
                
                
                  8
                
                
                  −
                  8
                
                
                  −
                  3
                
                
                  −
                  8
                
                
                  −
                  32
                
                
                  32
                
                
                  12
                
                
                  14
                
                
                  56
                
                
                  −
                  56
                
                
                  −
                  21
                
              
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  −
                  5
                
                
                  −
                  1
                
                
                  −
                  4
                
                
                  −
                  8
                
                
                  20
                
                
                  4
                
                
                  7
                
                
                  14
                
                
                  −
                  35
                
                
                  −
                  7
                
              
              
                
                  −
                  16
                
                
                  18
                
                
                  12
                
                
                  −
                  10
                
                
                  24
                
                
                  −
                  27
                
                
                  −
                  18
                
                
                  15
                
                
                  24
                
                
                  −
                  27
                
                
                  −
                  18
                
                
                  15
                
              
              
                
                  −
                  2
                
                
                  6
                
                
                  8
                
                
                  −
                  14
                
                
                  3
                
                
                  −
                  9
                
                
                  −
                  12
                
                
                  21
                
                
                  3
                
                
                  −
                  9
                
                
                  −
                  12
                
                
                  21
                
              
              
                
                  −
                  4
                
                
                  −
                  16
                
                
                  16
                
                
                  6
                
                
                  6
                
                
                  24
                
                
                  −
                  24
                
                
                  −
                  9
                
                
                  6
                
                
                  24
                
                
                  −
                  24
                
                
                  −
                  9
                
              
              
                
                  −
                  2
                
                
                  −
                  4
                
                
                  10
                
                
                  2
                
                
                  3
                
                
                  6
                
                
                  −
                  15
                
                
                  −
                  3
                
                
                  3
                
                
                  6
                
                
                  −
                  15
                
                
                  −
                  3
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-4&7\\-2&3&3\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}8&-9&-6&5\\1&-3&-4&7\\2&8&-8&-3\\1&2&-5&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8&-9&-6&5&-32&36&24&-20&56&-63&-42&35\\1&-3&-4&7&-4&12&16&-28&7&-21&-28&49\\2&8&-8&-3&-8&-32&32&12&14&56&-56&-21\\1&2&-5&-1&-4&-8&20&4&7&14&-35&-7\\-16&18&12&-10&24&-27&-18&15&24&-27&-18&15\\-2&6&8&-14&3&-9&-12&21&3&-9&-12&21\\-4&-16&16&6&6&24&-24&-9&6&24&-24&-9\\-2&-4&10&2&3&6&-15&-3&3&6&-15&-3\end{bmatrix}}}
  


== Աղբյուրներ ==
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1991), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1, https://books.google.com/books?id=LeuNXB2bl5EC&q=%22Kronecker+product%22 .
Jain, Anil K. (1989), Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-336165-0, https://books.google.com/books?id=GANSAAAAMAAJ&q=%22Kronecker+product%22 .
Steeb, Willi-Hans (1997), Matrix Calculus and Kronecker Product with Applications and C++ Programs, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-02-3241-2 
Steeb, Willi-Hans (2006), Problems and Solutions in Introductory and Advanced Matrix Calculus, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-256-916-5, https://books.google.com/books?id=CSDbVU1Eg3UC&q=%22Kronecker+product%22 


== Արտաքին հղումներ ==
Hazewinkel, Michiel, ed։ (2001), «Tensor product», Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/t092410 
Կաղապար:Planetmath reference
MathWorld Kronecker Product
New Kronecker product problems
Earliest Uses: The entry on The Kronecker, Zehfuss or Direct Product of matrices has historical information.
Generic C++ and Fortran 90 codes for calculating Kronecker products of two matrices.
RosettaCode Kronecker Product (in more than 30 languages).


== Ծանոթագրություններ ==