Կոր

Կոր տոպոլոգիական տարածությունում, 
  
    
      
        
          R
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{1}}
   թվային ուղղի ցանկացած 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
        ,
        (
        a
        <
        b
        )
      
    
    {\displaystyle [a,b],(a<b)}
  , հատվածի անընդհատ արտապատկերում կամայական տոպոլոգիական տարածության մեջ։ Եթե 
  
    
      
        t
        ∈
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle t\in [a,b]}
   թվի իմաստը ժամանակն է, իսկ 
  
    
      
        x
        =
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x=f(t)}
   համապատասխան կետը՝ շարժվող կետի դիրքն է պահին, ապա երբ 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  -ն 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ից 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   ուղղությամբ անընդհատ անցնում է 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   հատվածը, 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)}
   կետը անցնում է որոշ «անընդհատ կոր»՝ 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   կորի «հետագիծը»։ Ընդ որում, թույլատրվում Է, որ շարժվող կետը ժամանակի տարբեր պահերին տարածության միևնույն կետով անցնի մի քանի անգամ կամ որոշ ժամանակահատվածում մնա «անշարժ»։ Դեռ ավելին, չեն բացառվում նաև 
  
    
      
        f
        :
        [
        a
        ,
        b
        ]
        →
        X
      
    
    {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow X}
   հաստատուն կորեր, որոնց համար 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   արտապատկերումը հաստատուն է, այսինքն յուրաքանչյուր 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  -ի համար 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
        =
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle f(t)=x_{0}}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  -ն 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   տարածության որևէ սևեռված կետ է։ Կորի 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)}
   կետերի անցման կարգը էական է, և այդ պատճառով յուրաքանչյուր 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   կորը ստանում է որոշ ուղղություն՝ 
  
    
      
        f
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle f(a)}
   սկզբնակետից դեպի 
  
    
      
        f
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle f(b)}
   վերջնակետը։ Նկարում այդ ուղղությունը նշվում է սլաքով։ 
  
    
      
        f
        :
        [
        a
        ,
        b
        ]
        →
        X
      
    
    {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow X}
   կորը կոչվում է փակ, եթե նրա ծայրակետերը համընկնում են 
  
    
      
        [
        f
        (
        a
        )
        =
        f
        (
        b
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle [f(a)=f(b)]}
  , և փակ պարզ կորը, եթե նաև 
  
    
      
        [
        f
        (
        
          t
          
            1
          
        
        )
        ≠
        f
        (
        
          t
          
            2
          
        
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle [f(t_{1})\neq f(t_{2})]}
   յուրաքանչյուր 
  
    
      
        
          t
          
            1
          
        
        ,
        
          t
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{1},t_{2}}
  -ի համար, որտեղ 
  
    
      
        a
        <
        t
        1
        <
        t
        2
        <
        b
      
    
    {\displaystyle a<t1<t2<b}
  ։ 
  
    
      
        
          R
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{n}}
   էվկլիդեսյան տարածության 
  
    
      
        
          f
          ′
        
      
    
    {\displaystyle f'}
   կորը կոչվում է անընդհատ դիֆերենցելի, եթե գոյություն ունի անընդհատ 
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{1}}
   ածանցյալ։ Անհրաժեշտ է ընդգծել, որ 
  
    
      
        f
        :
        [
        a
        ,
        b
        ]
        →
        X
      
    
    {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow X}
   կորը դա 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   արտապատկերումն է, և ոչ թե նրա 
  
    
      
        x
        =
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x=f(t)}
   կետերի բազմությունը։ 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   տարածության միևնույն ենթաբազմությունը կարող է դիտվել որպես կետերի բազմություն այդ տարածության տարբեր կորերի համար։ Օրինակ, դիցուք 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  -ն 
  
    
      
        
          R
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{2}}
   հարթության որևէ շրջանագիծ է, 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  -ն նրա կենտրոնը, իսկ 
  
    
      
        l
        ⊂
        
          R
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l\subset R^{2}}
  ‘ 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
   գագաթով սևեռված ճառագայթ։ Այդ շրջանագծի վրա ընտրենք շրջանցման դրական ուղղություն և կառուցենք 
  
    
      
        f
        :
        [
        0
        ,
        l
        ]
        →
        
          R
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f:[0,l]\rightarrow R^{2}}
   փակ կոր հետևյալ կերպ՝ 
  
    
      
        f
        (
        o
        )
      
    
    {\displaystyle f(o)}
  -ն 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
   ճառագայթի և 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   շրջանագծի հատման կետն է, իսկ 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)}
  -ն, 
  
    
      
        0
        ⩽
        t
        ⩽
        1
      
    
    {\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1}
  , 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   շրջանագծի այնպիսի կետ է, որի համար 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
   ճառագայթի և 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
   կետը 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)}
   կետի հետ միացնող հատվածի միջև կազմված անկյունը հավասար է 
  
    
      
        2
        π
        t
      
    
    {\displaystyle 2\pi t}
   (տես նկարը)։ Պարզ է, որ փոխելով 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
   ճառագայթի դիրքը՝ կստանանք անթիվ բազմությամբ տարբեր կետեր, որոնց համար կետերի բազմությունը 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   շրջանագիծն է։ 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   տարածության բոլոր կորերի բազմությունում մտցվում է համարժեքության հարաբերություն հետևյալ կերպ՝ 
  
    
      
        f
        :
        [
        a
        ,
        b
        ]
        →
        X
      
    
    {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow X}
   և 
  
    
      
        g
        :
        [
        c
        ,
        d
        ]
        →
        X
      
    
    {\displaystyle g:[c,d]\rightarrow X}
   կետերը կոչվում են համարժեք, եթե տեղի ունի 
  
    
      
        f
        =
        g
        o
        h
      
    
    {\displaystyle f=goh}
   առնչությունը, որտեղ 
  
    
      
        h
        :
        [
        a
        ,
        b
        ]
        →
        [
        c
        ,
        d
        ]
      
    
    {\displaystyle h:[a,b]\rightarrow [c,d]}
  -ն 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   հատվածի այնպիսի տոպոլոգիական արտապատկերում է 
  
    
      
        [
        c
        ,
        d
        ]
      
    
    {\displaystyle [c,d]}
   հատվածի վրա, որի համար 
  
    
      
        h
        (
        a
        )
        =
        c
      
    
    {\displaystyle h(a)=c}
  , իսկ 
  
    
      
        h
        (
        b
        )
        =
        d
      
    
    {\displaystyle h(b)=d}
  ։ Եթե 
  
    
      
        f
        :
        [
        a
        ,
        b
        ]
        →
        X
      
    
    {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow X}
   որևէ կոր է, ապա կարելի է կառուցել այնպիսի 
  
    
      
        g
        :
        [
        0
        ,
        l
        ]
        →
        X
      
    
    {\displaystyle g:[0,l]\rightarrow X}
   կոր, որը լինի համարժեք 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   կորին։ Օրինակ, 
  
    
      
        g
        =
        f
        o
        h
      
    
    {\displaystyle g=foh}
  , որտեղ 
  
    
      
        h
        :
        [
        0
        ,
        l
        ]
        →
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle h:[0,l]\rightarrow [a,b]}
   տոպոլոգիական արտապատկերումը տրվում է 
  
    
      
        h
        (
        t
        )
        =
        (
        b
        −
        a
        )
        t
        +
        a
      
    
    {\displaystyle h(t)=(b-a)t+a}
   բանաձևով։ Այս հանգամանքը հնարավորություն է տալիս դիտարկել միայն այնպիսի կորեր, որոնց որոշման տիրույթը 
  
    
      
        [
        0
        ,
        l
        ]
      
    
    {\displaystyle [0,l]}
   հատվածն է։
Վերը նշված համարժեքության հարաբերության հետևանքով 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   տարածության բոլոր կորերի բազմությունը տրոհվում է իրար համարժեք կորերի դասերի։ Լրիվ խստությամբ 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   տարածության կորը կոչվում է յուրաքանչյուր այդպիսի համարժեքության դաս։ Կորի նշված գաղափարի հետ սերտորեն կապված է գծի բավականաչափ ընդհանուր գաղափարը։ Ժամանակակից տոպոլոգիան առաջադրեց գծի մասին պատկերացման ճշգրտության խնդիրը, որը լուծեց խորհրդային մաթեմատիկոս Պ. Ուրիսոնը (1921)։ Ըստ նրա սահմանման, գիծ է կոչվում յուրաքանչյուր միաչափ կոնտինուում, այսինքն միաչափ, կապակցված, բիկոմպակտ, հաուսդորֆյան տարածություն։ Հարթ գծի սահմանումը (որը համապատասխանում Է Ուրիսոնի սահմանման հետ) տվել է դեռևս Գ. Կանտորը, հարթ գծերը հաճախ անվանում են կանտորյան գծեր։ Որպեսզի 
  
    
      
        X
        ⊂
        
          R
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle X\subset R^{2}}
   կոնտինուումը լինի կանտորյան գիծ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  -ը 
  
    
      
        
          R
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{2}}
   հարթության նկատմամբ չունենա ոչ մի ներքին կետ։