Լոգարիթմական ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ

Լոգարիթմական ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ, ստորև ներկայացված են լոգարիթմական ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկերը։ Անորոշ ինտեգրալների համար ինտեգրման հաստատունը բաց է թողնված։
Հաշվի առնել, որ բոլոր դեպքերում 
  
    
      
        x
        >
        0
      
    
    {\displaystyle x>0}
  ։


== Ինտեգրալների ցանկ ==

  
    
      
        ∫
        ln
        ⁡
        a
        x
        
        d
        x
        =
        x
        ln
        ⁡
        a
        x
        −
        x
      
    
    {\displaystyle \int \ln ax\;dx=x\ln ax-x}
  
  
    
      
        ∫
        ln
        ⁡
        (
        a
        x
        +
        b
        )
        
        d
        x
        =
        
          
            
              (
              a
              x
              +
              b
              )
              ln
              ⁡
              (
              a
              x
              +
              b
              )
              −
              a
              x
            
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle \int \ln(ax+b)\;dx={\frac {(ax+b)\ln(ax+b)-ax}{a}}}
  
  
    
      
        ∫
        (
        ln
        ⁡
        x
        
          )
          
            2
          
        
        
        d
        x
        =
        x
        (
        ln
        ⁡
        x
        
          )
          
            2
          
        
        −
        2
        x
        ln
        ⁡
        x
        +
        2
        x
      
    
    {\displaystyle \int (\ln x)^{2}\;dx=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x}
  
  
    
      
        ∫
        (
        ln
        ⁡
        x
        
          )
          
            n
          
        
        
        d
        x
        =
        x
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
            −
            k
          
        
        
          
            
              n
              !
            
            
              k
              !
            
          
        
        (
        ln
        ⁡
        x
        
          )
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \int (\ln x)^{n}\;dx=x\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\frac {n!}{k!}}(\ln x)^{k}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              ln
              ⁡
              x
            
          
        
        =
        ln
        ⁡
        
          |
        
        ln
        ⁡
        x
        
          |
        
        +
        ln
        ⁡
        x
        +
        
          ∑
          
            k
            =
            2
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              ln
              ⁡
              x
              
                )
                
                  k
                
              
            
            
              k
              ⋅
              k
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{\ln x}}=\ln |\ln x|+\ln x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              (
              ln
              ⁡
              x
              
                )
                
                  n
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          
            x
            
              (
              n
              −
              1
              )
              (
              ln
              ⁡
              x
              
                )
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              n
              −
              1
            
          
        
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              (
              ln
              ⁡
              x
              
                )
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        
        
          
            ( 
          
        
        n
        ≠
        1
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          x
          
            m
          
        
        ln
        ⁡
        x
        
        d
        x
        =
        
          x
          
            m
            +
            1
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ln
                  ⁡
                  x
                
                
                  m
                  +
                  1
                
              
            
            −
            
              
                1
                
                  (
                  m
                  +
                  1
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
        
          
            ( 
          
        
        m
        ≠
        −
        1
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \int x^{m}\ln x\;dx=x^{m+1}\left({\frac {\ln x}{m+1}}-{\frac {1}{(m+1)^{2}}}\right)\qquad {\mbox{( }}m\neq -1{\mbox{)}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          x
          
            m
          
        
        (
        ln
        ⁡
        x
        
          )
          
            n
          
        
        
        d
        x
        =
        
          
            
              
                x
                
                  m
                  +
                  1
                
              
              (
              ln
              ⁡
              x
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              m
              +
              1
            
          
        
        −
        
          
            n
            
              m
              +
              1
            
          
        
        ∫
        
          x
          
            m
          
        
        (
        ln
        ⁡
        x
        
          )
          
            n
            −
            1
          
        
        d
        x
        
        
          
            ( 
          
        
        m
        ≠
        −
        1
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\;dx={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq -1{\mbox{)}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              (
              ln
              ⁡
              x
              
                )
                
                  n
                
              
              
              d
              x
            
            x
          
        
        =
        
          
            
              (
              ln
              ⁡
              x
              
                )
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            
              n
              +
              1
            
          
        
        
        
          
            ( 
          
        
        n
        ≠
        −
        1
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x}}={\frac {(\ln x)^{n+1}}{n+1}}\qquad {\mbox{( }}n\neq -1{\mbox{)}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              ln
              ⁡
              
                
                  x
                  
                    n
                  
                
              
              
              d
              x
            
            x
          
        
        =
        
          
            
              (
              ln
              ⁡
              
                
                  x
                  
                    n
                  
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              2
              n
            
          
        
        
        
          
            ( 
          
        
        n
        ≠
        0
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {\ln {x^{n}}\;dx}{x}}={\frac {(\ln {x^{n}})^{2}}{2n}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 0{\mbox{)}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              ln
              ⁡
              x
              
              d
              x
            
            
              x
              
                m
              
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ln
              ⁡
              x
            
            
              (
              m
              −
              1
              )
              
                x
                
                  m
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        −
        
          
            1
            
              (
              m
              −
              1
              
                )
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  m
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        
        
          
            ( 
          
        
        m
        ≠
        1
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {\ln x\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {\ln x}{(m-1)x^{m-1}}}-{\frac {1}{(m-1)^{2}x^{m-1}}}\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              (
              ln
              ⁡
              x
              
                )
                
                  n
                
              
              
              d
              x
            
            
              x
              
                m
              
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              (
              ln
              ⁡
              x
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              (
              m
              −
              1
              )
              
                x
                
                  m
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        +
        
          
            n
            
              m
              −
              1
            
          
        
        ∫
        
          
            
              (
              ln
              ⁡
              x
              
                )
                
                  n
                  −
                  1
                
              
              d
              x
            
            
              x
              
                m
              
            
          
        
        
        
          
            ( 
          
        
        m
        ≠
        1
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x^{m}}}=-{\frac {(\ln x)^{n}}{(m-1)x^{m-1}}}+{\frac {n}{m-1}}\int {\frac {(\ln x)^{n-1}dx}{x^{m}}}\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              
                x
                
                  m
                
              
              
              d
              x
            
            
              (
              ln
              ⁡
              x
              
                )
                
                  n
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              x
              
                m
                +
                1
              
            
            
              (
              n
              −
              1
              )
              (
              ln
              ⁡
              x
              
                )
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              m
              +
              1
            
            
              n
              −
              1
            
          
        
        ∫
        
          
            
              
                x
                
                  m
                
              
              d
              x
            
            
              (
              ln
              ⁡
              x
              
                )
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        
        
          
            ( 
          
        
        n
        ≠
        1
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {x^{m}\;dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {m+1}{n-1}}\int {\frac {x^{m}dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              x
              ln
              ⁡
              x
            
          
        
        =
        ln
        ⁡
        
          |
          
            ln
            ⁡
            x
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln \left|\ln x\right|}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              
                x
                
                  n
                
              
              ln
              ⁡
              x
            
          
        
        =
        ln
        ⁡
        
          |
          
            ln
            ⁡
            x
          
          |
        
        +
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            k
          
        
        
          
            
              (
              n
              −
              1
              
                )
                
                  k
                
              
              (
              ln
              ⁡
              x
              
                )
                
                  k
                
              
            
            
              k
              ⋅
              k
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{n}\ln x}}=\ln \left|\ln x\right|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(n-1)^{k}(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              x
              (
              ln
              ⁡
              x
              
                )
                
                  n
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            
              (
              n
              −
              1
              )
              (
              ln
              ⁡
              x
              
                )
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        
        
          
            ( 
          
        
        n
        ≠
        1
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{x(\ln x)^{n}}}=-{\frac {1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
  
  
    
      
        ∫
        ln
        ⁡
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        )
        
        d
        x
        =
        x
        ln
        ⁡
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        )
        −
        2
        x
        +
        2
        a
        
          tan
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          
            x
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle \int \ln(x^{2}+a^{2})\;dx=x\ln(x^{2}+a^{2})-2x+2a\tan ^{-1}{\frac {x}{a}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            x
            
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                a
                
                  2
                
              
            
          
        
        ln
        ⁡
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        )
        
        d
        x
        =
        
          
            1
            4
          
        
        
          ln
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}\ln(x^{2}+a^{2})\;dx={\frac {1}{4}}\ln ^{2}(x^{2}+a^{2})}
  
  
    
      
        ∫
        sin
        ⁡
        (
        ln
        ⁡
        x
        )
        
        d
        x
        =
        
          
            x
            2
          
        
        (
        sin
        ⁡
        (
        ln
        ⁡
        x
        )
        −
        cos
        ⁡
        (
        ln
        ⁡
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \int \sin(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))}
  
  
    
      
        ∫
        cos
        ⁡
        (
        ln
        ⁡
        x
        )
        
        d
        x
        =
        
          
            x
            2
          
        
        (
        sin
        ⁡
        (
        ln
        ⁡
        x
        )
        +
        cos
        ⁡
        (
        ln
        ⁡
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \int \cos(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)+\cos(\ln x))}
  
  
    
      
        ∫
        
          e
          
            x
          
        
        
          (
          
            x
            ln
            ⁡
            x
            −
            x
            −
            
              
                1
                x
              
            
          
          )
        
        
        d
        x
        =
        
          e
          
            x
          
        
        (
        x
        ln
        ⁡
        x
        −
        x
        −
        ln
        ⁡
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \int e^{x}\left(x\ln x-x-{\frac {1}{x}}\right)\;dx=e^{x}(x\ln x-x-\ln x)}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            1
            
              e
              
                x
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                x
              
            
            −
            ln
            ⁡
            x
          
          )
        
        
        d
        x
        =
        
          
            
              ln
              ⁡
              x
            
            
              e
              
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {1}{e^{x}}}\left({\frac {1}{x}}-\ln x\right)\;dx={\frac {\ln x}{e^{x}}}}
  
  
    
      
        ∫
        
          e
          
            x
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                
                  ln
                  ⁡
                  x
                
              
            
            −
            
              
                1
                
                  x
                  
                    ln
                    
                      2
                    
                  
                  ⁡
                  x
                
              
            
          
          )
        
        
        d
        x
        =
        
          
            
              e
              
                x
              
            
            
              ln
              ⁡
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int e^{x}\left({\frac {1}{\ln x}}-{\frac {1}{x\ln ^{2}x}}\right)\;dx={\frac {e^{x}}{\ln x}}}
  
  
    
      
        ∫
        ⋅
        ⋅
        ⋅
        ∫
        ln
        ⁡
        x
        
        d
        x
        ⋅
        ⋅
        ⋅
        
        d
        x
        =
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        
          (
          
            ln
            
            x
            −
            
              ∑
              
                k
                =
                1
              
              
                n
              
            
            
              
                1
                k
              
            
          
          )
        
        +
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
            −
            1
          
        
        
          C
          
            k
          
        
        
          
            
              x
              
                k
              
            
            
              k
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int \cdot \cdot \cdot \int \ln x\;dx\cdot \cdot \cdot \;dx={\frac {x^{n}}{n!}}\left(\ln \,x-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)+\sum _{k=0}^{n-1}C_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}}
  


== Տես նաև ==
Ֆունկցիայի ածանցյալ
Ածանցելի ֆունկցիաներ


== Գրականություն ==


=== Գրքեր ===
Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е издание). М.։ Наука, 1963. ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб։ «Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева», 1995.-176 с. ISBN 5-85529-029-8.
D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.
M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. ISBN 0-486-61272-4


=== Ինտեգրալների աղյուսակներ ===
Ինտեգրալներ EqWorld-ում
S.O.S. Մաթեմատիկա


=== Ինտեգրալների հաշվում ===
The Integrator (Wolfram Research)
Թվեր