Բուրգ (երկրաչափություն)

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Բուրգ (այլ կիրառումներ)Բուրգ, բազմանիստ, որի նիստերից մեկը (կոչվում է հիմք) կամայական բազմանկյուն է, իսկ մյուս նիստերը (կոչվում են կողմնային նիստեր) եռանկյուններն են, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ։ Ըստ հիմքի անկյունների թվի՝ տարբերակում են եռանկյուն բուրգ, քառանկյուն բուրգ և այլն։ 
Բուրգը կոնի մասնավոր դեպք է։


== Բուրգի զարգացման պատմությունը երկրաչափության մեջ ==
Բուրգի երկրաչափության սկզբնավորվել է Հին Եգիպտոսում և Բաբելոնում, սակայն ակտիվ զարգացում ապրել է Հին Հունաստանում։ Բուրգի ծավալը հայտնի էր հին եգիպտացիներին։ Առաջին հույն մաթեմատիկոսը, որ պարզել է, թե ինչին է հավասար բուրգի ծավալը, եղել է Դեմոկրիտեսը, իսկ ապացուցել է այն Եվդոքս Կնիդոսցին։ Հին հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսը համակարգել է բուրգի մասին գիտելիքներն իր «Սկզբունքների» 12-րդ հատորում, ինչպես նաև ձևակերպել է բուրգի առաջին սահմանումը. երկրաչափական մարմին, որը սահմանափակված է հարթություններով, որոնք սկիզբ են առնում մեկ հարթությունից և հատվում են մեկ կետում (գիրք 11, սահմանում 12)։


== Բուրգի տարրեր ==

Կողմնային նիստեր – բուրգի նիստերը, որ ընդհանուր գագաթ ունեցող եռանկյուններ են։
Կողմնային կողեր – կողմնային նիստերի ընդհանուր կողմերը։
Բուրգի գագաթ – այն կետը, որը միացնում է կողմնային կողերը և ընկած չէ հիմքի հարթությունում։
Բարձրություն – բուրգի գագաթից նրա հիմքի հարթությանը տարված ուղղահայացի մի հատված (այդ հատվածի ծայրակետերն են բուրգի գագաթը և ուղղահայացի հիմքը)։
Բուրգի անկյունագծային հատույթ – բուրգի հատույթը, որը անցնում է գագաթով և հիմքի անկյունագծով։
Հիմք – բազմանկյուն, որին չի պատկանում բուրգի գագաթը։
Հարթագիծ – կանոնավոր բուրգի կողմնային նիստի բարձրությունը՝ տարված նրա գագաթից։n-անկյուն բուրգն ունի 2n կող (n-ը հիմքի կողերն են, n-ը՝ կողմնային կողերը), n+1 գագաթ և n+1 նիստ, ընդ որում՝ այդ նիստերից մեկը նրա հիմքն է, իսկ n-ը՝ կողմնային նիստերը։


== Բուրգի հատկությունները ==
Եթե բոլոր կողմնային կողերը հավասար են, ապա.

Բուրգի հիմքին կարելի է արտագծել շրջանագիծ, ընդ որում՝ բուրգի գագաթի պրոյեկցիան կլինի դրա կենտրոնում,
Կողմնային կողերը հիմքի հարթության հետ կազմում են հավասար անկյուններ,
Ճիշտ է նաև հակառակ դրույթը, այսինքն՝ եթե կողմնային կողերը հիմքհ հարթության հետ կազմում են հավասար անկյուններ, կամ եթե բուրգի հիմքին կարելի է արտագծել շրջանագիծ, որի կենտրոնը համընկնում է բուգի գագաթի պրոյեկցիայի հետ, ապա բուրգի բոլոր կողմնային կողերը հավասար են։Եթե կողմնային նիստերը հիմքի հարթության հետ կազմում են հավասար անկյուններ, ապա. 

Բուրգի հիմքին կարելի է ներգծել շրջանագիծ, ընդ որում` բուրգի գագաթի պրոյեկցիան համընկնում է նրա կենտրոնի հետ,
Կողմնային նիստերի բարձրությունները հավասար են,
Բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և կողմնային նիստի բարձրության արտադրյալի կեսին։


== Բուրգը երկրաչափական այլ մարմինների հետ կապող թեորեմներ ==


=== Գունդ ===
Բուրգին կարելի է արտագծել գնդային մակերևույթ այն դեպքում, երբ բուրգի հիմքում ընկած է այնպիսի բազմանկյուն, որի շուրջ կարելի է արտագծել շրջանագիծ (անհրաժեշտ և բավարար պայման)։ Գնդի կենտրոնը կլինի կողմնային կողերի միջնակետերով անցնող և նրանց ուղղահայաց հարթությունների հատման կետը։ Այս թեորեմից հետևում է, որ յուրաքանչյուր եռանկյուն բուրգի, ինչպես նաև ցանկացած կանոնավոր բուրգի կարելի է արտագծել գունդ։
Բուրգին կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ այն դեպքում, երբ բուրգի ներքին երկնիստ անկյունների կիսորդային հարթությունները հատվում են մեկ կետում (անհրաժեշտ ու բավարար պայման)։ Այդ կետը կլինի գնդի կենտրոնը։


=== Կոն ===
Կոնը կոչվում է բուրգին ներգծված, եթե նրանց գագաթները համընկնում են, իսկ կոնի հիմքը ներգծված է բուրգի հիմքին։ Կոնը կարելի է ներգծել բուրգին միայն այն դեպքում, երբ բուրգի հարթագծերը միմյանց հավասար են (անհրաժեշտ և բավարար պայման)։
Կոնը արտագծված է բուրգին, երբ նրանց գագաթները համընկնում են, իսկ կոնի հիմքը արտագծած է բուրգի հիմքին։ Ընդ որում՝ կոնը բուրգին կարելի է արտագծել միայն այն դեպքում, երբ բուրգի կողմնային կողերը հավասար են (անհրաժեշտ և բավարար պայման)։
Այդպիսի կոների և բուրգերի բարձրությունները հավասար են։


=== Գլան ===
Գլանը կոչվում է բուրգին ներգծված, եթե նրա մի հիմքը համընկնում է բուրգի հիմքին զուգահեռ հարթությանը պատկանող հատույթին ներգծված շրջանագծին, իսկ մյուս հիմքը պատկանում է բուրգի հիմքի հարթությանը։
Գլանը կոչվում է բուրգին արտագծված, եթե բուրգի գագաթը պատկանում է նրա մի հիմքին, իսկ մյուս հիմքը արտագծված է բուրգի հիմքին։ Ընդ որում՝ բուրգին կարելի է գլան արտագծել միայն այն դեպքում, երբ բուրգի հիմքը այնպիսի բազմանկյուն է, որին կարելի է ներգծել շրջանագիծ (անհրաժեշտ ու բավարար պայման)։


== Բուրգին վերաբերող բանաձևեր ==
Բուրգի ծավալը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևերով.
  
    
      
        V
        =
        
          
            1
            3
          
        
        S
        h
        ,
      
    
    {\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sh,}
  
որտեղ 
  
    
      
         
        S
      
    
    {\displaystyle \ S}
  -ը հիմքի մակերեսն է, իսկ 
  
    
      
         
        h
      
    
    {\displaystyle \ h}
  -ը՝ բարձրությունը։

  
    
      
        V
        =
        
          
            1
            6
          
        
        
          V
          
            p
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle V={\frac {1}{6}}V_{p},}
  
որտեղ 
  
    
      
         
        
          V
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \ V_{p}}
  -ը զուգահեռանիստի ծավալն է։Եռանկյուն բուրգի (տետրաեդր) ծավալը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով.
  
    
      
        V
        =
        
          
            1
            6
          
        
        
          a
          
            1
          
        
        
          a
          
            2
          
        
        d
        sin
        ⁡
        φ
        ,
      
    
    {\displaystyle V={\frac {1}{6}}a_{1}a_{2}d\sin \varphi ,}
  
որտեղ 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1},a_{2}}
   հատվող կողերն են, 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  -ն՝ 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
   և 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{2}}
   կողերի հեռավորությունը, 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  -ը՝  
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
   և 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{2}}
   կազմած անկյունը,Կողմնային մակերևույթի մակերեսը կոմնային նիստերի մեկերեսների գումարն է.
  
    
      
        
          S
          
            b
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
          
          

          
        
        
          S
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{b}=\sum _{i}^{}S_{i}}
  Լրիվ մակերևույթի մակերեսը կողմնային մակերևույթի մակերեսի և հիմքի մակերեսի գումարն է.
  
    
      
         
        
          S
          
            p
          
        
        =
        
          S
          
            b
          
        
        +
        
          S
          
            o
          
        
      
    
    {\displaystyle \ S_{p}=S_{b}+S_{o}}
  Կանոնավոր բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով.
  
    
      
        
          S
          
            b
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        P
        a
        =
        
          
            n
            2
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        sin
        ⁡
        α
      
    
    {\displaystyle S_{b}={\frac {1}{2}}Pa={\frac {n}{2}}b^{2}\sin \alpha }
  
որտեղ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն հարթագիծն է, 
  
    
      
         
        P
      
    
    {\displaystyle \ P}
  -ն՝ հիմքի պարագիծը, 
  
    
      
         
        n
      
    
    {\displaystyle \ n}
  -ն հիմքի կողմերի թիվը, 
  
    
      
         
        b
      
    
    {\displaystyle \ b}
  -ն՝ կողմնային կողը, 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  -ն՝ գագաթին կից հարթ անկյունը։


== Բուրգի հատուկ ձևեր ==


=== Կանոնավոր բուրգ ===
Բուրգը կոչվում է կանոնավոր, եթե դրա հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, իսկ գագաթը պրոյեկցվում է նրա հիմքի կենտրոնում։ Այդ դեպքում այն ունի հետևյալ հատկությունները.

Կանոնավոր բուրգի կողմնային կողերը հավասար են,
Կանոնավոր բուրգի բոլոր կողմնային նիստերը համընկնող հավասարասրուն եռանկյուններն են,
Յուրաքանչյուր կանոնավոր բուրգի կարելի է ինչպես ներգծել, այնպես էլ արտագծել շրջանագիծ,
Եթե ներգծած և արտագծած շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են, ապա բուրգի գագաթին կից հարթ անկյունների գումարը հավասար է 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  , իսկ նրանցից յուրաքանչյուրը համապատասխանաբար 
  
    
      
        
          
            π
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi }{n}}}
  , որտեղ n-ը բազմանկյան հիմքի կողմերի թիվն է,
Կանոնավոր բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և հարթագծի արտադրյալի կեսին։


=== Ուղղանկյուն բուրգ ===
Բուրգը կոչվում է ուղղանկյուն, եթե նրա կողմնային կողերից մեկը ուղղահայաց է հիմքին։ Այդ դեպքում այս կողն էլ բուրգի բարձրությունն է։


=== Տետրաէդր ===
Տետրաէդր կոչվում է եռանկյուն բուրգը։ Տետրաէդրի նիստերից յուրաքանչյուրը կարող է համարվել բուրգի հիմքը։ Բացի այդ, մեծ տարբերություն կա «կանոնավոր եռանկյունի բուրգ» և «կանոնավոր քառանիստ» հասկացությունների միջև։ Կանոնավոր եռանկյուն բուրգը կանոնավոր եռանկյուն հիմքով բուրգ է (նիստերը պետք է լինեն հավասարասրուն եռանկյուններ)։ Կանոնավոր տետրաէդր է այն քառանիստը, որի բոլոր նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ են։


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4
Калинин А. Ю., Терешин Д. А. Стереометрия. 11 класс. — 2-е изд. — М.: Физматкнига, 2005. — 332 с. — ISBN 5-89155-134-9
Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — 175 с. — 60 000 экз. — ISBN 978-5-09-019708-3