Հանում

Հանում (նվազեցում), երկու արգումենտների (նվազելի և հանելի) օժանդակ մաթեմատիկական բինար գործողություն (թվաբանական գործողություն), որի արդյունքն իրենից ներկայացնում է նոր թիվ (տարբերություն), որը ստացվում է առաջին արգումենտը երկրորդ արգումենտի չափով պակասացնելիս։ Գրելիս հիմնականում նշանակվում է «մինուս» նշանով՝ 
  
    
      
        a
        −
        b
        =
        c
      
    
    {\displaystyle a-b=c}
  ։ Հանման գործողությունը գումարման գործողության հակառակն է։
Հանումը կարելի է գրելի հետևյալ՝ 
  
    
      
        
          
            S
            ¯
          
        
        (
        a
        ,
        b
        )
        =
        c
      
    
    {\displaystyle {\overline {S}}(a,b)=c}
   ընդհանուր տեսքով , որտեղ 
  
    
      
        a
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle a\in A}
   և 
  
    
      
        b
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle b\in A}
  ։ Այսինքն 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
  տարրերի յուրաքանչյուր զույգին համապատասխանում է 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  բազմության 
  
    
      
        c
        =
        a
        −
        b
      
    
    {\displaystyle c=a-b}
   տարրը, որը կոչվում է  
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
    թերի տարբերություն։
Հանումը հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ երկու արգումենտներն էլ պատկանում են միևնույն բազմությանը  (ունեն նույն տիպը)։Բացասակն թվերի առկայության դեպքում, տարբերությունը ավելի հարմար է դիտարկել  որպես գումարման տեսակ՝ գումարում բացասական թվերով։ Օրինակ՝ 
  
    
      
        5
        −
        2
        =
        3
      
    
    {\displaystyle 5-2=3}
  կարելի է դիտարկել որպես 
  
    
      
        5
        +
        (
        −
        2
        )
        =
        3
      
    
    {\displaystyle 5+(-2)=3}
   գումարում։
Իրական թվերի բազմություն մեջ գումարման ֆունկցիայի որոշման տիրույթի գրաֆիկն ունի հարթության տեսք, որն անցնում է կոորդինատային առանցքի սկզբնակետով և առանցքների նկատմամբ ունի 45° թեքություն։
Հանումն ունի մի քանի կարևոր հատկություններ (օրինակ 
  
    
      
        A
        =
      
    
    {\displaystyle A=}
  
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  -ի համար)՝

Հակատեղափոխականութուն՝  
  
    
      
        a
        −
        b
        =
        −
        (
        b
        −
        a
        )
        ,
        
        ∀
        a
        ,
        b
        ∈
         
        A
      
    
    {\displaystyle a-b=-(b-a),\quad \forall a,b\in \ A}
  
Ոչ զուգորդականություն՝ 
  
    
      
        (
        a
        −
        b
        )
        −
        c
        ≠
        a
        −
        (
        b
        −
        c
        )
        ,
        
        ∀
        a
        ,
        b
        ,
        c
        ∈
         
        A
      
    
    {\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c),\quad \forall a,b,c\in \ A}
  
Բաշխականություն՝ 
  
    
      
        x
        ⋅
        (
        a
        −
        b
        )
        =
        (
        x
        ⋅
        a
        )
        −
        (
        x
        ⋅
        b
        )
        ,
        
        ∀
        a
        ,
        b
        ∈
         
        A
      
    
    {\displaystyle x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A}
  
Երբ թվից հանում ենք  
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
   արդյունքում ստանում ենք սկզբնական թիվը՝ 
  
    
      
        x
        −
        0
        =
        x
        ,
        
        ∀
        x
        ∈
        A
        ,
        
        ∃
        0
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle x-0=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A}
  ːՈրպես օրինակ դիտարկենք աջ կողմի նկարում պատկերված 
  
    
      
        5
        −
        2
        =
        3
      
    
    {\displaystyle 5-2=3}
   գրությունը, նկարում հինգ խնձորից հանվում է երկու խնձոր, որի արդյունքում ստանում ենք երեք խնձոր։ Անհրաժեշտ է ուշադրություն դարձնել, որ հինգ խնձորից երկու տանձ հանել չի կարելի։ Բացի խնձորների հաշվարկից, հանումը կարող է ներկայացնել նաև այլ ֆիզիկական և աբստրակտ մեծությունների տարբերություն, ինչպիսիք են օրինակ՝ բացասական թվերը, կոտորակային թվերը, վեկտորները, ֆունկցիաները և այլն։


== Գրելաձև և տերմինաբանություն ==

Հանումը գրվում է արգումենտների միջև մինուս սիմվոլի «
  
    
      
        −
      
    
    {\displaystyle -}
  » կիրառմամբ, գրության այս ձևը կոչվում է ինֆիկսային նշանագրություն։ Տվյալ կոնտեկստում մինուս նշանը համարվում է բինար գործողություն։ Արդյունքը գրվում է հավասարման նշանի «
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  » կիրառմամբ, օրինակ՝

  
    
      
        a
        −
        b
        =
        c
      
    
    {\displaystyle a-b=c}
   ,

  
    
      
        6
        −
        3
        =
        3
      
    
    {\displaystyle 6-3=3}
   («վեց հանած երեք հավասար է երեք») ,

  
    
      
        64
        −
        35
        =
        29
      
    
    {\displaystyle 64-35=29}
    («վաթսունչորս հանած երեսունհինգ հավասար է քասանինը») ։Գրության մեջ օգտագործվող հանման նշանը շատ նման է այլ սիմվոլների, օրինակ՝ գծիկի, միացման գծիկի և այլն։ Սիմվոլի սխալ մեկնաբանությունից խուսափելու համար անհրաժեշտ է ուշադիր վերլուծել արտահայտությունը։


== Հատկություններ ==
Թվային 
  
    
      
        
          N
        
        ,
        
          Z
        
        ,
        
          Q
        
        ,
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }
   բազմություններում հանման գործողությունը ունի հետևյալ հիմնական հատությունները.

Տարբերությունը տեղափոխական չէ, արգումենտների տեղերը փոխելիս տարբերությունը (հավասարությունը) փոխվում էՀակատեղափոխականություն՝  
  
    
      
        a
        −
        b
        ≠
        b
        −
        a
        ,
        
        ∀
        a
        ,
        b
        ∈
         
        A
      
    
    {\displaystyle a-b\neq b-a,\quad \forall a,b\in \ A}
  Տարբերությունը զուգորդական չէ՝ երեք և ավելի թվերի հաջորդական հանման ժամանակ գործողության կատրման հաջորդականությունը կարևոր է, սրանից կախված արդյունքը փոխվում էՀակազուգորդականություն՝ 
  
    
      
        (
        a
        −
        b
        )
        −
        c
        ≠
        a
        −
        (
        b
        −
        c
        )
        ,
        
        ∀
        a
        ,
        b
        ,
        c
        ∈
         
        A
      
    
    {\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c),\quad \forall a,b,c\in \ A}
  Հանումը բաշխական է, սա երկու բինար գործողությունների համաձայնություն է, որոշված տվյալ բազմության մեջ, հայտնի է նաև, որպես բաշխական օրենքԲաշխականություն՝ 
  
    
      
        x
        ⋅
        (
        a
        −
        b
        )
        =
        (
        x
        ⋅
        a
        )
        −
        (
        x
        ⋅
        b
        )
        ,
        
        ∀
        a
        ,
        b
        ∈
         
        A
      
    
    {\displaystyle x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A}
  
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  բազմության մեջ գոյություն ունի միակ չեզոք տարր, երբ թվից հանում ենք զրո (չեզոք տարր) ստանում ենք սկզբնականին հավասար թիվ՝Զրոյական տարր՝ 
  
    
      
        x
        −
        0
        =
        x
        ,
        
        ∀
        x
        ∈
        A
        ,
        
        ∃
        0
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle x-0=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A}
  Զրո հանելու գործողությունը իդեմպոտենտ է, այսինքն գործողության կրկնակի կատարումը տալիս է միևնույն արդյունքը, ինչ որ ոչ կրկնակինԻդեմպոտետություն՝ 
  
    
      
        x
        =
        x
        −
        0
        =
        (
        x
        −
        0
        )
        −
        0
        =
        (
        (
        x
        −
        0
        )
        −
        0
        )
        −
        .
        .
        .
        −
        0
        ,
        
        ∀
        x
        ∈
        A
        ,
        
        ∃
        0
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle x=x-0=(x-0)-0=((x-0)-0)-...-0,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A}
  ,Հակադիր տարրի տարբերությունը թիվը կրկնապատկում է՝ 
  
    
      
        a
        −
        (
        −
        a
        )
        =
        a
        +
        a
        =
        2
        a
        ,
        
        ∀
        a
        ∈
        A
        ,
        
        ∃
        −
        a
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle a-(-a)=a+a=2a,\quad \forall a\in A,\quad \exists -a\in A}
  ː
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
   բնական թվերի համար տարբերության արդյունքը միշտ չէ, որ որոշված է, որպեսիզի տարբերության արդյունքում ստանանք բնական թիվ նվազելին պետք է մեծ լինի հանելիիցː Բնական թվերի սահմանում անհնար է փոքր թվից հանել մեծըː

  
    
      
        
          Z
        
        ,
        
          Q
        
        ,
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }
  բազմություններում որոշված հանման գործողության արդյունքում ստանում ենք թիվ (տարբերություն) հենց այդ բազմությունից, հետևաբար հանման գործողությունը վերաբերում է փակ գործողություններին (փակ են այն գործողությունները որնց արդյունքները պատկանում են միևնույն բազմությանը), այսինքն թվերի 
  
    
      
        
          Z
        
        ,
        
          Q
        
        ,
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }
   բազմությունները ձևավորում են օղակներ հանման գործողությանը համապատասխանː
  
    
      
    
    {\displaystyle }
  


== Հանման գործողության կատարում ==
Հանման գործողությունը կարելի է պատկերացնել որպես որևէ սև արկղ որի մուտքի մոտ նվազելին և հանելին են, իսկ ելքի մոտ տարբերությունըː
Երկու թվերի հանման գործողության գործնական կատարման ժամանակ անհրաժեշտ է այն բերել ավելի պարզ գործողությունների կատարման՝ պարզ հանում, փոխառություն, համեմատություն և այլնː Սրա համար մշակվել են հանման մի քանի տարբերակներ թվերի, վեկտորների, կոտորակների և այլ մեծությունների համարː Բնական թվերի բազմության մեջ այժմ օգտագործվում է հանման կարգային ալգորիթմըː Ընդ որում հանումը անհրաժեշտ է դիտարկել որպես ընթացակարգ (ի տարբերություն գործողության)ː

Ինչպես տեսնում ենք գործեղությունը բավականին բարդ է, կազմված է որոշակի մեծ քանակի քայլերից և մեծ թվերի հանման ժամանակ կարող է զբաղեցնել տևական ժամանակː

Տվյալ կոնտեքստում պարզ հանումն իրենից ենթադրում է քսանից փոքր թվերի հանման գործողությունը, որը հերթությամբ կարող է բերվել դեկրիմենտացմանː Այն համարվում է դեկրիմենտացման հիպերօպերատոր՝

  
    
      
        a
        −
        b
        =
        
          h
          y
          p
          e
          r
          -
          1
        
        ⁡
        (
        a
        ,
        b
        )
        =
        hyper
        ⁡
        (
        a
        ,
        −
        1
        ,
        b
        )
        =
        
          a
          
            (
            −
            1
            )
          
        
        b
      
    
    {\displaystyle a-b=\operatorname {hyper-1} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,-1,b)=a^{(-1)}b}
  

  
    
      
        a
        
          
            
            
              (
              −
              1
              )
            
          
        
        b
        =
        a
        −
        b
        =
        
          
            
              
                1
                +
                1
                +
                ⋯
                +
                1
              
              ⏟
            
          
          
            a
          
        
        
          
            
              
                −
                1
                −
                1
                −
                ⋯
                −
                1
              
              ⏟
            
          
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle a{^{(-1)}}b=a-b=\underbrace {1+1+\dots +1} _{a}\underbrace {-1-1-\dots -1} _{b}}
  ,
որտեղ՝ 
  
    
      
        1
        +
        1
        +
        ⋯
        +
        1
      
    
    {\displaystyle 1+1+\dots +1}
   -ինկրիմենտացման գործողության հաջորդականությունն է, կատարվել է  
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
    անգամ,
  
    
      
        −
        1
        −
        1
        −
        ⋯
        −
        1
      
    
    {\displaystyle -1-1-\dots -1}
   - դեկրիմենտացման գործողության հաջորդականությունն է, իրականացված 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   անգամː
Հանման գործողությունը ավելի արագ և պարզ դարձնելու համար օգտվում են պարզ հանման աղյուսակային մեթոդիցː Սրա համար նախապես կազմում են 18-ից 0 թվերի տարբերության բոլոր կոմբինացիաները և այն վերցնում են հետևյալ աղյուսակից.

Այս գործընթացը կիրառելի է բնական և ամբողջ (նշանը հաշվի առնելով) թվերի բազմությունների համարː Այլ թվերի համար կիրառվում են ավելի բարդ ալգորիթմներː


== Թվերի հանում ==


=== Բնական թվեր ===
Օգտվենք 
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
   բնական թվերից որպես վերջավոր բազմությունների համարժեք դասː 
  
    
      
        C
        ,
        A
        ,
        B
      
    
    {\displaystyle C,A,B}
   վերջավոր բազմությունների համարժեքության դասերից բիեկցիայով առաջացած բազմությունները նշանակենք փակագծերի օգնությամբ՝ 
  
    
      
        [
        C
        ]
        ,
        [
        A
        ]
        ,
        [
        B
        ]
      
    
    {\displaystyle [C],[A],[B]}
  ː Այս դեպքում «հանման» թվաբանական գործողությունը սահմանվում է հետևյալ կորպ.

  
    
      
        [
        C
        ]
        =
        [
        A
        ]
        −
        [
        B
        ]
        =
        [
        A
        ∖
        B
        ]
      
    
    {\displaystyle [C]=[A]-[B]=[A\setminus B]}
  ,
որտեղ 
  
    
      
        A
        ∖
        B
        =
        {
        C
        ∈
        A
        ∣
        C
        ∉
        B
        ∣
        B
        ⊂
        A
        }
      
    
    {\displaystyle A\setminus B=\{C\in A\mid C\not \in B\mid B\subset A\}}
   — բազմությունների տարբերությունն էː Այս գործողությունը դասերի համար գրված է հակիրճ, այսինքն կախված չէ դասերի տարրերի ընտրությունից և համապատասխանում է ինդուկտիվ սահմանումներինː

  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  վերջավոր բազմության փոխադարձ միանշանակ պատկերումը 
  
    
      
        
          N
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle N_{a}}
  հատվածի վրա կարելի է հասկանալ որպես 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   բազմության տարրերի համարակալում՝
  
    
      
        
        A
        ∼
        
          N
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle \quad A\sim N_{a}}
  ː Համարակալման այս պրոցեսը կոչվում է «հաշիվ»ː Այսպիսով հաշիվը դա փոխադարձ միանշանակ համապատասխանությունն է բազմության տարրերի և բնական թվերի շարքի հատվածի միջևː

Կարգային համակարգում բնական թվերի հանման համար կիրառվում է թվերի նշանակման կարգային ալգորիթմըː Եթե տրած են երկու, այնպիսի բնական 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և  
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվեր, որ 
  
    
      
        a
        =
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        
          a
          
            n
            −
            2
          
        
        …
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
        b
        =
        
          b
          
            n
            −
            1
          
        
        
          b
          
            n
            −
            2
          
        
        …
        
          b
          
            0
          
        
        ,
        
        ∀
        
          a
          
            k
          
        
        ,
        
          b
          
            k
          
        
        ∈
        {
        P
        }
        ,
        
        ∀
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        ,
        
          b
          
            n
            −
            1
          
        
        ≠
        0
        ,
        
        a
        ⩾
        b
        ,
        
        ∃
        0
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle a=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0},\quad b=b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0},\quad \forall a_{k},b_{k}\in \{P\},\quad \forall a_{n-1},b_{n-1}\neq 0,\quad a\geqslant b,\quad \exists 0\in \mathbb {N} }
  
որտեղ՝ 
  
    
      
        
          a
          
            0
            …
            n
            −
            1
          
        
        =
        
          a
          
            k
          
        
        
          P
          
            k
          
        
        ,
        
        
          b
          
            0
            …
            n
            −
            1
          
        
        =
        
          b
          
            k
          
        
        
          P
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{0\dots n-1}=a_{k}P^{k},\quad b_{0\dots n-1}=b_{k}P^{k}}
  ,  
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   - թվի թվանշանների քանակն է 
  
    
      
        n
        ∈
        {
        1
        ,
        2
        ,
        …
        ,
        n
        }
      
    
    {\displaystyle n\in \{1,2,\dots ,n\}}
  , 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   - կարգի հերթական համարն է (դիրքը), 
  
    
      
        k
        ∈
        {
        0
        ,
        1
        ,
        …
        ,
        n
        −
        1
        }
      
    
    {\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n-1\}}
  , 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
   - հաշվարկման հիմնական համակարգն է, 
  
    
      
        {
        P
        }
      
    
    {\displaystyle \{P\}}
  -ն տվյալ հաշվարկման համակարգի թվային նշանների (թվերի) բազմությունն է
  
    
      
        {
        
          P
          
            2
          
        
        }
        =
        {
        0
        ,
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \{P_{2}\}=\{0,1\}}
  , 
  
    
      
        {
        
          P
          
            10
          
        
        }
        =
        {
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        4
        ,
        5
        ,
        6
        ,
        7
        ,
        8
        ,
        9
        }
      
    
    {\displaystyle \{P_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}
  , 
  
    
      
        {
        
          P
          
            16
          
        
        }
        =
        {
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        4
        ,
        5
        ,
        6
        ,
        7
        ,
        8
        ,
        9
        ,
        A
        ,
        B
        ,
        C
        ,
        D
        ,
        F
        }
      
    
    {\displaystyle \{P_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F\}}
  , երբ

  
    
      
        c
        =
        a
        −
        b
        ,
        
        
          c
          
            n
            −
            1
          
        
        
          c
          
            n
            −
            2
          
        
        …
        
          c
          
            0
          
        
        =
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        
          a
          
            n
            −
            2
          
        
        …
        
          a
          
            0
          
        
        −
        
          b
          
            n
            −
            1
          
        
        
          b
          
            n
            −
            2
          
        
        …
        
          b
          
            0
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle c=a-b,\quad c_{n-1}c_{n-2}\dots c_{0}=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}-b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0},}
  
Հանելով ըստ կարգերի կստանանք՝

  
    
      
        
          c
          
            0
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  −
                  
                    b
                    
                      0
                    
                  
                  ,
                  
                
                
                  
                    if 
                  
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  ⩾
                  
                    b
                    
                      0
                    
                  
                  
                     
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  +
                  P
                  −
                  
                    b
                    
                      0
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                  =
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                  −
                  1
                
                
                  
                    if 
                  
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  <
                  
                    b
                    
                      0
                    
                  
                  
                     
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{0}={\begin{cases}a_{0}-b_{0},\quad &{\text{if }}a_{0}\geqslant b_{0}{\text{ }}\\a_{0}+P-b_{0},\quad a_{1}=a_{1}-1&{\text{if }}a_{0}<b_{0}{\text{ }}\end{cases}}}
  

  
    
      
        
          c
          
            1
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                  −
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                
                
                  
                    if 
                  
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                  ⩾
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                  
                     
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  P
                  −
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  =
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  1
                
                
                  
                    if 
                  
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                  <
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                  
                     
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{1}={\begin{cases}a_{1}-b_{1},\quad &{\text{if }}a_{1}\geqslant b_{1}{\text{ }}\\a_{1}+P-b_{1},\quad a_{2}=a_{2}-1&{\text{if }}a_{1}<b_{1}{\text{ }}\end{cases}}}
  

  
    
      
        .
        .
        .
        
        
        .
        .
        .
        
        
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle ...\quad \quad ...\quad \quad ...}
  

  
    
      
        
          c
          
            n
            −
            1
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                  −
                  
                    b
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                
                
                  
                    if 
                  
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                  ⩾
                  
                    b
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                  
                     
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                  +
                  P
                  −
                  
                    b
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                  ,
                  
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                  =
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                  −
                  1
                
                
                  
                    if 
                  
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                  <
                  
                    b
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                  
                     
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{n-1}={\begin{cases}a_{n-1}-b_{n-1},\quad &{\text{if }}a_{n-1}\geqslant b_{n-1}{\text{ }}\\a_{n-1}+P-b_{n-1},\quad a_{n}=a_{n}-1&{\text{if }}a_{n-1}<b_{n-1}{\text{ }}\end{cases}}}
  Այսպիսով հանման գործեղությունը բրվում է բնական թվերի պարզ հանման 
  
    
      
        
          a
          
            k
          
        
        −
        
          b
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{k}-b_{k}}
   գործողության հաջորդական կատարման, անհրաժեշտության դեպքում փոխառության կիրառմամբ, որը կատարվում է կամ աղյուսակային մեթոդով կամ դեկրիմենտացմամբ (հաշվով)ː
Ցանկացած հաշվարկման համակարգում հանման գործողությունը կատարվում է նույն կանոննորով, ինչ որ տասնորդական հաշվարկման համակարգում, քանի որ դրանք բոլորը կատարվում են բազմանդամների համապատասխան գործողությունների կատարման կանոններին համապատասխանː Ընդ որում անհրաժեշտ է օգտվել տվյալ հաշվարկման համակարգի 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  հիմքին համապատասխան հանման աղյուսակիցː
Երկուական, տասնորդական և տասնվեցական համակարգերում հանման գործողության օրինակներ, հարմարավետության համար թվերը համապատասխան կարգերով գրված են իրար տակ, փոխառման նշանը գրվում է վերևից, բացակայող կարգերը ավելացվում են զրոներով՝

  
    
      
        
          
            
              
              
                .
              
              
                .
              
              
                
                  
                  
                    10
                  
                
              
              
              
                .
              
              
                
                  
                  
                    10
                  
                
              
            
            
              
              
                1
              
              
                1
              
              
                0
              
              
                1
              
              
                1
              
              
                0
              
            
            
              
                −
              
              
                0
              
              
                1
              
              
                1
              
              
                1
              
              
                0
              
              
                1
              
            
            
              
              
              
                1
              
              
                1
              
              
                0
              
              
                0
              
              
                1
              
            
          
        
        ,
        
        
        
          
            
              
              
                .
              
              
                
                  
                  
                    10
                  
                
              
              
            
            
              
              
                8
              
              
                4
              
              
                5
              
              
                6
              
              
                7
              
            
            
              
                −
              
              
                3
              
              
                7
              
              
                5
              
              
                4
              
              
                1
              
            
            
              
              
                4
              
              
                7
              
              
                0
              
              
                2
              
              
                6
              
            
          
        
        ,
        
        
        
          
            
              
              
                .
              
              
                
                  
                  
                    10
                  
                
              
              
              
              
                
                  
                  
                    .
                  
                
              
              
                
                  
                  
                    10
                  
                
              
            
            
              
              
                C
              
              
                5
              
              
                6
              
              
                D
              
              
                E
              
              
                4
              
            
            
              
                −
              
              
                0
              
              
                F
              
              
                2
              
              
                A
              
              
                1
              
              
                F
              
            
            
              
              
                B
              
              
                6
              
              
                4
              
              
                3
              
              
                C
              
              
                5
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}&.&.&_{10}&&.&_{10}\\&1&1&0&1&1&0\\-&0&1&1&1&0&1\\\hline &&1&1&0&0&1\end{array}},\quad \quad {\begin{array}{ccccccc}&.&_{10}&\\&8&4&5&6&7\\-&3&7&5&4&1\\\hline &4&7&0&2&6\end{array}},\quad \quad {\begin{array}{ccccccc}&.&_{10}&&&_{.}&_{10}\\&C&5&6&D&E&4\\-&0&F&2&A&1&F\\\hline &B&6&4&3&C&5\end{array}}}
  


=== Ամբողջ թվեր ===
Ամբողջ թվերի բազմությունը 
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
  բնական թվերի ընդլայնումն է, որն առաջանում է 
  
    
      
        −
        n
      
    
    {\displaystyle -n}
   տեսքի բացասական թվերի ավելացմաբː Ամբողջ թվերի բազմությունը նշանակում են 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  -ովː Ամբողջ թվերի հետ կատարվող հանրահաշվական գործողությունները սահմանվում են որպես բնական թվերի համապատասխան գործողությունների անընդհատ շարունակությունː
Բացասական թվերի առկայությունը թույլ է տալիս հանումը դիտարկել (և սահմանել), որպես գումարման տարատեսակ՝ բացասական թվի գումարումː Ի տարբերություն բնական թվերի ամբողջ թվերը թվային առանցքի վրա ուղղված են հակառակ ուղղությամբ, սա որոշակիորեն փոխում է հանման գործողության ընթացքըː Անհրաժեշտ է հաշվի առնել թվերի փոխադարձ ուղվածությունները, այստեղ հնարավոր են մի քանի տարբերակներ.

Եթե երկու արգումենտներն էլ դրական են, ապա՝ 
  
    
      
        c
        =
        a
        −
        b
      
    
    {\displaystyle c=a-b}
  ,
Եթե բացասական է արգումենտներից միայն մեկը, ապա՝ 
  
    
      
        c
        =
        −
        a
        −
        b
        =
        −
        (
        a
        +
        b
        )
      
    
    {\displaystyle c=-a-b=-(a+b)}
  կամ 
  
    
      
        c
        =
        a
        −
        (
        −
        b
        )
        =
        a
        +
        b
      
    
    {\displaystyle c=a-(-b)=a+b}
  ,
Եթե երկու արգումենտներն էլ բացասական են, ապա՝ 
  
    
      
        c
        =
        (
        −
        a
        )
        −
        (
        −
        b
        )
        =
        −
        a
        +
        b
        =
        b
        −
        a
      
    
    {\displaystyle c=(-a)-(-b)=-a+b=b-a}
  ːԱյստեղ և հաջորդիվ ևս օգտագործվելու է կարգային հանման ալգորիթմըː Օրինակ դիտարկենք հետևյալ արտահայտությունը՝ 
  
    
      
        −
        6
        −
        4
        =
        −
        10
      
    
    {\displaystyle -6-4=-10}
  , քանի որ 
  
    
      
        −
        6
      
    
    {\displaystyle -6}
  և 
  
    
      
        4
      
    
    {\displaystyle 4}
   թվերն ունեն տարբեր նշաններ, մինուսը դուրս բերենք փակագծերից 
  
    
      
        −
        6
        −
        4
        =
        −
        (
        6
        +
        4
        )
      
    
    {\displaystyle -6-4=-(6+4)}
  , շարունակելով կատարել հանման գործողությունը կստանանք 
  
    
      
        −
        10
      
    
    {\displaystyle -10}
  ː


=== Ռացիոնալ թվեր ===
Ռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակում են 
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  (անգլ.՝ quotient «քանորդ») և կարող է գրվել հետևյալ կերպ՝   
  
    
      
        
          Q
        
        =
        
          {
          
            
              
                m
                n
              
            
            ∣
            m
            ∈
            
              Z
            
            ,
            n
            ∈
            
              N
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}}
  
Սովորական՝  
  
    
      
        ±
        
          
            m
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}}
   տեսքի կոտորակային ռացիոնալ թվերի հանման համար, անհրաժեշտ է դրանք ընդհանուր հայտարարի բերելː
Եթե տրված են երկու այնպիսի  
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և  
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  ռացիոնալ թվեր, որ 
  
    
      
        a
        =
        
          
            
              m
              
                a
              
            
            
              n
              
                a
              
            
          
        
        ,
        b
        =
        
          
            
              m
              
                b
              
            
            
              n
              
                b
              
            
          
        
        
        ∀
        
          m
          
            a
          
        
        ,
        
          n
          
            a
          
        
        ,
        
          m
          
            b
          
        
        ,
        
          n
          
            b
          
        
        ∈
        
          N
        
        
        ∀
        
          
            n
            
              a
            
          
        
        ,
        
          
            n
            
              b
            
          
        
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}\quad \forall m_{a},n_{a},m_{b},n_{b}\in \mathbb {N} \quad \forall {n_{a}},{n_{b}}\neq 0}
   (կոտորակները չեն կրճատվում), ապա՝
  
    
      
        c
        =
        a
        −
        b
        =
        
          
            
              m
              
                a
              
            
            
              n
              
                a
              
            
          
        
        −
        
          
            
              m
              
                b
              
            
            
              n
              
                b
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                m
                
                  a
                
              
              ⋅
              
                n
                
                  b
                
              
            
            
              
                n
                
                  a
                
              
              ⋅
              
                n
                
                  b
                
              
            
          
        
        −
        
          
            
              
                n
                
                  a
                
              
              ⋅
              
                m
                
                  b
                
              
            
            
              
                n
                
                  a
                
              
              ⋅
              
                n
                
                  b
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                m
                
                  a
                
              
              ⋅
              
                n
                
                  b
                
              
              −
              
                m
                
                  b
                
              
              ⋅
              
                n
                
                  a
                
              
            
            
              
                n
                
                  a
                
              
              ⋅
              
                n
                
                  b
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c=a-b={\frac {m_{a}}{n_{a}}}-{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}-{\frac {n_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}-m_{b}\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}}
   , կամ անհրաժեշտ է գտնել հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըː Գործողությունների հաջորդականությունը հետևյալն է.

Գտնում ենք հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը՝ 
  
    
      
        M
        =
        [
        
          n
          
            a
          
        
        ,
        
          n
          
            b
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle M=[n_{a},n_{b}]}
  ː
Բազմապատկում ենք առաջին կոտորակի համարիչը և հայտարարը՝ 
  
    
      
        
          
            M
            
              n
              
                a
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {M}{n_{a}}}}
  ː
Բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի համարիչ և հայտարարը՝ 
  
    
      
        
          
            M
            
              n
              
                b
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {M}{n_{b}}}}
  ːԱյս գործողությունից հետո կոտորակների հայտարարները համընկնում են (հավասար են 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  -ի)ː Մի շարք պարզ դեպքերում սա հերթացնում է հանման գործեղությունը, բայց մեծ թվերի դեպքում հաշվարկները զգալիորեն բարդանում ենː 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  -ի փոխարեն կարելի է վերցնել ցանկացած այլ ընդհանուր բազմապատիկː
Հանման օրինակ՝

  
    
      
        
          
            2
            3
          
        
        −
        
          
            1
            5
          
        
        =
        
          
            
              2
              ⋅
              5
            
            
              3
              ⋅
              5
            
          
        
        −
        
          
            
              3
              ⋅
              1
            
            
              3
              ⋅
              5
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              ⋅
              5
              −
              3
              ⋅
              1
            
            
              3
              ⋅
              5
            
          
        
        =
        
          
            
              10
              −
              3
            
            15
          
        
        =
        
          
            7
            15
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}={\frac {2\cdot 5}{3\cdot 5}}-{\frac {3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {2\cdot 5-3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {10-3}{15}}={\frac {7}{15}}}
  
Եթե երկու կոտորակների հայտարարները համընկնում են ապա՝

  
    
      
        
          
            1
            4
          
        
        −
        
          
            2
            4
          
        
        =
        
          
            
              1
              −
              2
            
            4
          
        
        =
        −
        
          
            1
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{4}}-{\frac {2}{4}}={\frac {1-2}{4}}=-{\frac {1}{4}}}
  
Եթե հայտարարները բազմապատիկ են մեկ այլ թվի, ապա ձևավորում ենք միայն մի կոտորակ՝

  
    
      
        
          
            3
            8
          
        
        −
        
          
            1
            4
          
        
        =
        
          
            3
            8
          
        
        −
        
          
            
              1
              ⋅
              2
            
            
              4
              ⋅
              2
            
          
        
        =
        
          
            
              3
              −
              1
              ⋅
              2
            
            8
          
        
        =
        
          
            1
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{8}}-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{8}}-{\frac {1\cdot 2}{4\cdot 2}}={\frac {3-1\cdot 2}{8}}={\frac {1}{8}}}
  
Ռացիոնալ թվերի «հանման» թվաբանական գործողությունը վերաբերում է փակ գործողություններինː


=== Իրական թվեր ===
Անվերջ տասնորդական կոտորակների տեսքով ներկայացված իրական թվերի հետ կատարվող հանրահաշվական գործողությունները սահմանվում են որպես ռացիոնալ թվերի համապատասխան գործողությունների անընդհատ շարունակություն ː

Եթե տրված են երկու անվերջ տանորդական կոտորակային թվեր՝ 
  
    
      
        α
        =
        ±
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        
          a
          
            2
          
        
        …
        
          a
          
            n
          
        
        …
        =
        {
        
          a
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\}}
  ,
 
  
    
      
        β
        =
        ±
        
          b
          
            0
          
        
        ,
        
          b
          
            1
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        …
        
          b
          
            n
          
        
        …
        =
        {
        
          b
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\}}
  
սահմանված համապատասխան ռացիոնալ թվերի ֆունկցիոնալ հաջորդականություններով, նշանակված որպես՝ 
  
    
      
        α
        =
        [
        
          a
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \alpha =[a_{n}]}
   և 
  
    
      
        β
        =
        [
        
          b
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \beta =[b_{n}]}
  , ապա նրանաց տարբերությունը կլինի 
  
    
      
        γ
        =
        [
        
          c
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \gamma =[c_{n}]}
  , սահմանված 
  
    
      
        {
        
          a
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{a_{n}\}}
   և  
  
    
      
        {
        
          b
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{b_{n}\}}
   հաջորդականությունների տարբերությամբ՝

  
    
      
        γ
        =
        α
        −
        β
        
          
            =
            def
          
        
        [
        
          a
          
            n
          
        
        ]
        −
        [
        
          b
          
            n
          
        
        ]
        =
        [
        
          a
          
            n
          
        
        −
        
          b
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \gamma =\alpha -\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]-[b_{n}]=[a_{n}-b_{n}]}
  ,
  
    
      
        γ
        =
        α
        −
        β
      
    
    {\displaystyle \gamma =\alpha -\beta }
   իրական թիվը բավարարում է հետևյալ պայմանին՝

  
    
      
        ∀
        
          a
          ′
        
        ,
        
          a
          ″
        
        ,
        
          b
          ′
        
        ,
        
          b
          ″
        
        ∈
        
          Q
        
        ;
         
         
         
         
        (
        
          a
          ′
        
        ⩽
        α
        ⩽
        
          a
          ″
        
        )
        ∧
        (
        
          b
          ′
        
        ⩽
        β
        ⩽
        
          b
          ″
        
        )
        ⇒
        (
        
          a
          ′
        
        −
        
          b
          ′
        
        ⩽
        α
        −
        β
        ⩽
        
          a
          ″
        
        −
        
          b
          ″
        
        )
        ⇒
        (
        
          a
          ′
        
        −
        
          b
          ′
        
        ⩽
        γ
        ⩽
        
          a
          ″
        
        −
        
          b
          ″
        
        )
      
    
    {\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'-b'\leqslant \alpha -\beta \leqslant a''-b'')\Rightarrow (a'-b'\leqslant \gamma \leqslant a''-b'')}
  ː Այսպիսով երկու  
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   և  
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
   իրական թվերի տարբերությունը այնպիսի  
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
   իրական թիվ է, որը մի կողմից պարունակվում է բոլոր 
  
    
      
        
          a
          ′
        
        −
        
          b
          ′
        
      
    
    {\displaystyle a'-b'}
  , մյուս կողմից բոլոր 
  
    
      
        
          a
          ″
        
        −
        
          b
          ″
        
      
    
    {\displaystyle a''-b''}
   տարբերություններումː
Գործնականում որպեսիզի հանենք երկու  
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   և  
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  թվերը, անհրաժեշտ է դրանք փոխարինել պահանջվող ճշտությամբ մոտավոր ռացիոնալ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և  
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  թվերեվː Որպես 
  
    
      
        α
        −
        β
      
    
    {\displaystyle \alpha -\beta }
  -ի մոտավոր տարբերություն վերցնում են 
  
    
      
        a
        −
        b
      
    
    {\displaystyle a-b}
   ռացիոնալ թվերի տարբերությունըː Ընդ որում կարևոր չէ, թե որ կողմից (պակասորդի թե ավելցուկի) են վերցված թվերը, դրանք մոտեցնում են  
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  -ին և 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  -ինː Գումարումը կատարվում է համաձայն կարգաին գումարման ալգորիթմիː
Մոտավոր թվերի հանման ժամանակ նրանց բացարձակ սխալանքները գումարվում են 
  
    
      
        Δ
        (
        a
        −
        b
        )
        =
        Δ
        a
        +
        Δ
        b
      
    
    {\displaystyle \Delta (a-b)=\Delta a+\Delta b}
  , որպես թվի բացարձակ սխալանք վերցվում է տվյալ թվի վերջին թվանշանի կեսըː Տարբերության հարաբերական սխալանքը հավասար է արգումենտների ամենամեծ և ամենափոքր հարաբերական սխալանքների տարբերությանը, գործնականում վերցվում է ամենամեծ սխալանքը 
  
    
      
        δ
        (
        a
        −
        b
        )
        =
        m
        a
        x
        (
        δ
        a
        ,
        δ
        b
        )
      
    
    {\displaystyle \delta (a-b)=max(\delta a,\delta b)}
  ː Ստացված արդյունքը կլորացվում է մինչև թվի առաջին ճիշտ իրական արժեքը, մոտավոր թվի իրական արժեքը համարվում է ճիշտ, եթե թվի բացարձակ սխալանքը չի գերազանցում այդ թվին համապատասխանող կարգի միավորի կեսըː
Հանման օրինակ՝  
  
    
      
        γ
        =
        π
        −
        e
      
    
    {\displaystyle \gamma =\pi -e}
  , ստորակետից հետո մինչև 3 թվի ճշտությամբ՝

Կլորացնում ենք տրված թիվը ստորակետից հետո մինչև 4-րդ թվանշանը (հանման ճշտության բարձրցման համար),
Կստանանք՝ 
  
    
      
        π
        ≈
        3.1416
        ,
        
        e
        ≈
        2.7183
      
    
    {\displaystyle \pi \approx 3.1416,\quad e\approx 2.7183}
  ,
Հանում ենք ըստ կարգերի՝ 
  
    
      
        γ
        =
        π
        −
        e
        ≈
        3.1416
        −
        2.7183
        ≈
        0.4233
      
    
    {\displaystyle \gamma =\pi -e\approx 3.1416-2.7183\approx 0.4233}
  ,
Կլորացնում ենք մինչև ստորակետից հետո 3-րդ թվանշանը՝ 
  
    
      
        γ
        ≈
        0.423
      
    
    {\displaystyle \gamma \approx 0.423}
  ː


=== Գրաֆիկ ===
Իրական թվերի տարբերության ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հարթության տեսք, որն անցնում է կոորդինատային առանցքի սկզբնակետով և թեքվում է առանցքի հանդեպ 45° աստիճան անկյան տակː

Քանի որ 
  
    
      
        
          N
        
        ⊂
        
          Z
        
        ⊂
        
          Q
        
        ⊂
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }
  , ապա այս բազմությունների համար ևս հանման ֆունկցիայի որոշման տիրույթը կպատկանի այս հարթությանըː


=== Կոմպլեքս թվեր ===

Կոմպլեքս թվերի բազմությունը թվաբանական գործողություների հետ միասին համարվում է դաշտ և սովորաբար նշանակվում է 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
   սիմվոլովː
Կոմպլեքս թվերը մեկը մյուից հանվում են իրական և կեղծ մասերի իրարից հանելու ճանապարհովː Սա նշանակում է, որ՝

  
    
      
        c
        +
        f
        i
        =
        (
        a
        +
        d
        i
        )
        −
        (
        b
        +
        e
        i
        )
        =
        (
        a
        −
        b
        )
        +
        (
        d
        −
        e
        )
        i
        ,
         
      
    
    {\displaystyle c+fi=(a+di)-(b+ei)=(a-b)+(d-e)i,\ }
  որտեղ՝  
  
    
      
        c
        ,
        a
        ,
        b
        ,
        d
        ,
        e
        ,
        f
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle c,a,b,d,e,f\in \mathbb {R} }
  ,  
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
   — կեղծ միավորն էː Կոմպլեքս հարթության մեջ կոմպլեքս թվերը որպես վեկտորներ օգտագործելու ժամանակ կոմպլեքս թվերի հանմանը կարելի է տալ հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանությունը՝ 
  
    
      
        a
        +
        d
        i
      
    
    {\displaystyle a+di}
   և 
  
    
      
        b
        +
        e
        i
      
    
    {\displaystyle b+ei}
   կոմպլեքս թվերի տարբերությունը, որոնք կոմպլեքս հարթության մեջ ներկայացված են վեկտորներ տեսքով, իրենից ներկայացնում է վեկտոր, որը միացնում է նավազելի և հանելի վեկտորների ծայրերը և ուղղված է հանելիից դեպի նվազելի, այն համարվում է վեկտորների տարբերություն և համապատասխանաբար կոմպլեքս թվերի տարերություն (նույն  արդյունքը կստանանք եթե նվազելի վեկտորին ավելացնենք հանելի վեկտորի հակադարձը)ː
Համանմանորեն n չափանի կոմպլեքս թվերի համար. 
  
    
      
        A
        =
        
          a
          
            1
          
        
        1
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          i
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            n
          
        
        
          i
          
            n
          
        
        ,
         
         
         
        B
        =
        
          b
          
            1
          
        
        1
        +
        
          b
          
            2
          
        
        
          i
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          b
          
            n
          
        
        
          i
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle A=a_{1}1+a_{2}i_{2}+\dots +a_{n}i_{n},~~~B=b_{1}1+b_{2}i_{2}+\dots +b_{n}i_{n}}
  
  
    
      
        C
        =
        A
        −
        B
        =
        (
        
          a
          
            1
          
        
        1
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          i
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            n
          
        
        
          i
          
            n
          
        
        )
        −
        (
        
          b
          
            1
          
        
        1
        +
        
          b
          
            2
          
        
        
          i
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          b
          
            n
          
        
        
          i
          
            n
          
        
        )
        =
      
    
    {\displaystyle C=A-B=(a_{1}1+a_{2}i_{2}+\dots +a_{n}i_{n})-(b_{1}1+b_{2}i_{2}+\dots +b_{n}i_{n})=}
   
  
    
      
        =
        (
        
          a
          
            1
          
        
        −
        
          b
          
            1
          
        
        )
        1
        +
        (
        
          a
          
            2
          
        
        −
        
          b
          
            2
          
        
        )
        
          i
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        (
        
          a
          
            n
          
        
        −
        
          b
          
            n
          
        
        )
        
          i
          
            n
          
        
        =
        
          c
          
            1
          
        
        1
        +
        
          c
          
            2
          
        
        
          i
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          c
          
            n
          
        
        
          i
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle =(a_{1}-b_{1})1+(a_{2}-b_{2})i_{2}+\dots +(a_{n}-b_{n})i_{n}=c_{1}1+c_{2}i_{2}+\dots +c_{n}i_{n}}
  


=== Էքսպոնենցիալ գրելաձև ===
Էքսպոնենցիալ գրության ժամանակ թվերը գրվում են  
  
    
      
        a
        =
        ±
        x
        ⋅
        
          P
          
            ±
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n}}
   տեսքով, որտեղ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը մանտիսն է, 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle P^{n}}
  -ը թվի բնութագիրն է, 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
   -ն հաշվարկման համակարգի հիմքըː Էքսպոնենցիալ ձևով գրված երկու թվերի հանման համար անհրաժեշտ է որպեսիզի նրանց բնութագրերը լինեն նույնըː Համաձայն բաշխականության հատկության՝  
  
    
      
        a
        ⋅
        
          P
          
            n
          
        
        −
        b
        ⋅
        
          P
          
            n
          
        
        =
        (
        a
        −
        b
        )
        ⋅
        
          P
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a\cdot P^{n}-b\cdot P^{n}=(a-b)\cdot P^{n}}
  ː
Օրինակ՝

  
    
      
        2.3
        ⋅
        
          10
          
            −
            5
          
        
        −
        5.67
        ⋅
        
          10
          
            −
            6
          
        
        =
        2.34
        ⋅
        
          10
          
            −
            5
          
        
        −
        0.567
        ⋅
        
          10
          
            −
            5
          
        
        =
        (
        2.34
        −
        0.567
        )
        ⋅
        
          10
          
            −
            5
          
        
        =
        1.773
        ⋅
        
          10
          
            −
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle 2.3\cdot 10^{-5}-5.67\cdot 10^{-6}=2.34\cdot 10^{-5}-0.567\cdot 10^{-5}=(2.34-0.567)\cdot 10^{-5}=1.773\cdot 10^{-5}}
  


=== Կամայական թվերի հանում ===
Տարբեր բազմությունների պատկանող թվերի հանման ժամանակ անհրաժեշտ է ավելի թույլ հզորությամբ բազմության թվերը ընդլայնել ավելի հզոր թվերի կողմը, կամ հնարավորության դեպքում երկու թվերն էլ ընդլայնել դրանք հավասարեցնելովː Օրինակ եթե անհրաժեշտ է  
  
    
      
        9
        ,
        56
      
    
    {\displaystyle 9,56}
   ռացիոնալ թվից հանել բնական 
  
    
      
        4
      
    
    {\displaystyle 4}
   թիվը, ապա օգտվելով այն բանից որ բնական թվերը համարվում են ռացիոնալ թվերի ենթախումբ  
  
    
      
        4
      
    
    {\displaystyle 4}
   բնական թիվը ընդլայնոմ ենք մինչև  
  
    
      
        4
        ,
        00
      
    
    {\displaystyle 4,00}
   ռացիոնալ թիվ և իրարից հանում ենք երկու ռացիոնալ թվեր 
  
    
      
        9
        ,
        56
        −
        4
        ,
        00
        =
        5
        ,
        56
      
    
    {\displaystyle 9,56-4,00=5,56}
  ː Համանմանորեն հաշվի առնելով, որ 
  
    
      
        
          N
        
        ⊂
        
          Z
        
        ⊂
        
          Q
        
        ⊂
        
          R
        
        ⊂
        
          C
        
        ⊂
        
          H
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} }
   կարելի է իրարից հանել նաև տարբեր բազմությունների թվերː


== Տես նաև ==
Գումար
Գումարում
Բազմապատկում


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Ильин В.А. и др. Математический анализ. Начальный курс.. — МГУ, 1985. — Т. 1. — 662 с.
Эндертон Г. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7
Барсуков А.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов.. — Просвещение, 1966. — 296 с.
Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы, книга для учащихся.. — Просвещение, 1988. — 416 с.
Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение.. — Ассоциация XXI век, 2005. — 272 с. — ISBN 5-89308-193-5
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6
В.И. Игошин КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА : статья. — Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, 2010.
Кононюк А.Е. Обобщенная теория моделирования.. — Освіта України, 2012. — Т. 2. — 548 с. — ISBN 978-966-7599-50-8
Тире, минус и дефис, или Черты русской типографики : [арх. 24 Օգոստոսի 2011] // Ководство / Артемий Лебедев. — 2003. — § 97 (15 հունվարի).
Conway, John B. Функция одной комплексной переменной = Functions of One Complex Variable I. — Springer Science, 1986. — 322 с. — ISBN 0-387-90328-3