Վեկտորական տարածություն

Վեկտորական տարածություն (հաճախ՝ գծային տարածություն), վեկտորների խումբ, որոնք կարող են գումարվել իրար կամ բազմապատկվել թվով (սկալյարով)։ Սկալյարները հաճախ վերցվում են իրական թվերից, բայց գոյություն ունեն վեկտորական տարածություններ, որոնց համար սկալյար բազմապատկումը սահմանված է կոմպլեքս թվերով, ռացիոնալ թվեր կամ ցանկացած այլ դաշտով։ Վեկտորական տարածությունում վեկտորների գումարումը և սկալյարով բազմապատկումը պետք է բավարարի որոշոկի աքսիոմների։
Էվկլիդեսյան վեկտորները վեկտորական տարածության օրինակներ են։ Նրանք արտահայտում են ֆիզիկական մեծություններ, ինչպես օրինակ՝ ուժ (ցանկացած նույն տեսակի երկու ուժ կարող է գումարվել, և բազմապատկվել սկալյարով)։ Նույն սկզբունքով, բայց ավելի երկրաչափական տեսանկյունից, եռաչափ տարածության մեջ տեղափոխությունն արտահայտող վեկտորները վեկտորական տարածության օրինակներ են։ Վեկտորական տարածությունում վեկտորները պարտադիր չէ, որ սլաքների տեսք ունենան նախորդ օրինակների նման․ վեկտորները՝ որոշակի հատկություններով աբստրակտ մաթեմատիկական օբյեկտներ են, որոնք երբեմն կարող են պատկերվել սլաքների տեսքով։


== Սահմանում ==

  
    
      
        {
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        .
        .
        .
        .
        }
        =
        L
      
    
    {\displaystyle \{x_{0},x_{1},x_{2}....\}=L}
   էլեմենտների բազմությունը կոչվում է գծային տարածություն, եթե տեղի ունեն հետևյալ պնդումները՝

  
    
      
        ∀
        x
        ,
        y
        ∈
        L
      
    
    {\displaystyle \forall x,y\in L}
   համապատասխանության մեջ է դրած ինչ-որ 
  
    
      
        z
        ∈
        L
      
    
    {\displaystyle z\in L}
  , որը կոչվում է 
  
    
      
        x
        ,
        y
      
    
    {\displaystyle x,y}
   գումար՝ 
  
    
      
        x
        +
        y
      
    
    {\displaystyle x+y}
  ,

  
    
      
        ∀
        λ
      
    
    {\displaystyle \forall \lambda }
   իրական թվին և 
  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        L
      
    
    {\displaystyle \forall x\in L}
   համապատասխանության մեջ է դրած 
  
    
      
        z
        ∈
        L
      
    
    {\displaystyle z\in L}
  , որը կոչվում է 
  
    
      
        λ
        ∗
        x
      
    
    {\displaystyle \lambda *x}
   արտադրյալ։


=== Հատկություններ ===
Վերոհիշյալ գործողությունները՝ գումարումը և բազմապատկումը, բավարարում են հետևյալ ութ աքսիոմներին՝

  
    
      
        x
        +
        y
        =
        y
        +
        x
      
    
    {\displaystyle x+y=y+x}
  , գումարումը կոմուտատիվ է

  
    
      
        (
        x
        +
        y
        )
        +
        z
        =
        x
        +
        (
        y
        +
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}
  , գումարումը ասոցիատիվ է
գոյություն ունի տարածության մեջ զրոյական էլեմենտ, այնպիսին որ, 
  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        L
      
    
    {\displaystyle \forall x\in L}
   ճիշտ է 
  
    
      
        x
        +
        0
        =
        x
      
    
    {\displaystyle x+0=x}
  
կամայական էլեմենտի ունի իր հակադիրը՝ 
  
    
      
        x
        +
        
          x
          
            
              
              ′
            
          
        
        =
        0
        ,
        x
        ,
        
          x
          
            
              
              ′
            
          
        
        ∈
        L
      
    
    {\displaystyle x+x^{'}=0,x,x^{'}\in L}
  
գոյություն ունի միավոր՝ 
  
    
      
        E
        ∗
        x
        =
        x
        ,
        ∀
        x
        ∈
        L
      
    
    {\displaystyle E*x=x,\forall x\in L}
  

  
    
      
        (
        λ
        ∗
        μ
        )
        ∗
        x
        =
        λ
        ∗
        (
        μ
        ∗
        x
        )
        ,
        ∀
        x
        ∈
        L
      
    
    {\displaystyle (\lambda *\mu )*x=\lambda *(\mu *x),\forall x\in L}
  , որտեղ 
  
    
      
        λ
        ,
        μ
      
    
    {\displaystyle \lambda ,\mu }
   իրական թվեր են

  
    
      
        (
        λ
        +
        μ
        )
        ∗
        x
        =
        λ
        ∗
        x
        +
        μ
        ∗
        x
        ,
        ∀
        x
        ∈
        L
      
    
    {\displaystyle (\lambda +\mu )*x=\lambda *x+\mu *x,\forall x\in L}
  , որտեղ 
  
    
      
        λ
        ,
        μ
      
    
    {\displaystyle \lambda ,\mu }
   իրական թվեր են

  
    
      
        λ
        (
        x
        +
        y
        )
        =
        λ
        ∗
        x
        +
        λ
        ∗
        y
        ,
        ∀
        x
        ,
        y
        ∈
        L
      
    
    {\displaystyle \lambda (x+y)=\lambda *x+\lambda *y,\forall x,y\in L}
  


== Գծային տարածության բազիս և չափողականություն ==

  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
   գծային տարածության 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ,
        z
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle x,y,z...}
   էլեմենտները կոչվում են գծորեն կախված, եթե գոյություն ունեն 
  
    
      
        α
        ,
        β
        ,
        γ
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ...}
   այնպիսին, որ միաժամանակ զերո չեն և 
  
    
      
        α
        x
        +
        β
        y
        +
        γ
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \alpha x+\beta y+\gamma z=0}
  :

  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
   գծային տարածության 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ,
        z
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle x,y,z...}
   էլեմենտները կոչվում են գծորեն անկախ, եթե գոյություն չունեն նման սկալյարներ, այսինքն այդ համախմբից չկա այնպիսին, որը կարտահայտվի մյուսների գծային կոմբինացիաով։
Եթե էլեմենտների համախումբը պարունակում է զրոյական էլեմենտը, հետևաբար դրանք գծորեն կախված են։

  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
   գծային տարածության 
  
    
      
        
          l
          
            1
          
        
        ,
        
          l
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        
          l
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{1},l_{2},...l_{n}}
   համախումբը կոչվում է բազիս այդ տարածության մեջ, եթե դրանք գծորեն անկախ են և այդ տարածության կամայական 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   էլեմենտի համար գոյություն ունեն այնպիսի 
  
    
      
        α
        ,
        β
        ,
        γ
      
    
    {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
   սկալյարներ, որ 
  
    
      
        x
        =
        α
        
          l
          
            1
          
        
        +
        β
        
          l
          
            2
          
        
        +
        .
        .
        .
        γ
        
          l
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x=\alpha l_{1}+\beta l_{2}+...\gamma l_{n}}