Մնացորդով բաժանում

Մնացորդով բաժանում, թվաբանության, թվերի տեսության, հանրահաշվում և կրիպտոգրաֆիայում կարևոր դեր ունեցող թվաբանական գործողություն։ Հաճախ այս գործողությունը՝ ամբողջ և բնական թվերի համար, հետևյալ կերպ է սահմանվում․
Դիցուք, 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   -ն ամբողջ թվեր են, ընդորում,  
  
    
      
        b
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle b\neq 0}
  ։  
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   թվի մնացորդով բաժանում («բաժանելի»)  
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ի  («բաժանարար») նշանակում է գտնել ամբողջ 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   և 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   թվեր, որոնց դեպքում տեղի ունի  
  
    
      
        a
        =
        b
        ⋅
        q
        +
        r
      
    
    {\displaystyle a=b\cdot q+r}
  հավասարությունը։
Այսպիսով, մնացորդով բաժանման արդյունքը երկու ամբողջ թվեր են՝ 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   -ն կոչվում է թերի քանորդ, իսկ 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  -ը մնացորդ բաժանումից։ Մնացորդի պետք է բավարարի ևս մեկ պայմանի․ 
  
    
      
        0
        ⩽
        r
        <
        
          |
        
        b
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle 0\leqslant r<|b|}
  , այսինքն, մնացորդը պիտի լինի ոչ բացասական թիվ և բացարձակ արժեքով բաժանարարից փոքր։ Ամբողջ թվերի համար այս պայմանը միանշանակ է, այսինքն, վերը նշված պայմանների դեպքում գոյություն ունի 
  
    
      
        a
        =
        b
        ⋅
        q
        +
        r
      
    
    {\displaystyle a=b\cdot q+r}
   հավասարման միակ լուծում։ Մնացորդի 0-ի հավասար լինելու դեպքում ասում են, որ թվերը ամբողջությամբ բաժանվում են։
Օրինակ

Դրական 
  
    
      
        a
        =
        78
      
    
    {\displaystyle a=78}
   թվի և  
  
    
      
        b
        =
        33
      
    
    {\displaystyle b=33}
  -ի մնացորդով բաժանման դեպքում, կստանանք 
  
    
      
        q
        =
        2
      
    
    {\displaystyle q=2}
   թերի քանորդ և 
  
    
      
        r
        =
        12
      
    
    {\displaystyle r=12}
   մնացորդ։Ստուգում․ 
  
    
      
        78
        =
        33
        ⋅
        2
        +
        12.
      
    
    {\displaystyle 78=33\cdot 2+12.}
  Բաժանում

Բացասական 
  
    
      
        a
        =
        −
        78
      
    
    {\displaystyle a=-78}
   թվի և դրական  
  
    
      
        b
        =
        33
      
    
    {\displaystyle b=33}
  -ի մնացորդով բաժանման ժամանակ, կստանանք 
  
    
      
        q
        =
        −
        3
      
    
    {\displaystyle q=-3}
    թերի քանորդ  և  
  
    
      
        r
        =
        21
      
    
    {\displaystyle r=21}
   մնացորդ։Ստուգում․ 
  
    
      
        −
        78
        =
        33
        ⋅
        (
        −
        3
        )
        +
        21.
      
    
    {\displaystyle -78=33\cdot (-3)+21.}
  Բացասական  
  
    
      
        a
        =
        −
        9
      
    
    {\displaystyle a=-9}
   թվի և բացասական 
  
    
      
        b
        =
        −
        13
      
    
    {\displaystyle b=-13}
   -ի մնացորդով բաժանման ժամանակ, կստանանք  
  
    
      
        q
        =
        1
      
    
    {\displaystyle q=1}
   թերի քանորդ  և  
  
    
      
        r
        =
        4
      
    
    {\displaystyle r=4}
   մնացՍտուգում․ 
  
    
      
        −
        9
        =
        1
        ⋅
        (
        −
        13
        )
        +
        4.
      
    
    {\displaystyle -9=1\cdot (-13)+4.}
  Դրական 
  
    
      
        a
        =
        9
      
    
    {\displaystyle a=9}
   թվի և 
  
    
      
        b
        =
        90
      
    
    {\displaystyle b=90}
   մնացորդով բաժանման ժամանակ կստանան 
  
    
      
        q
        =
        0
      
    
    {\displaystyle q=0}
    թերի քանորդ  և  
  
    
      
        r
        =
        9
      
    
    {\displaystyle r=9}
   մնացորդ։Ստուգում․ 
  
    
      
        9
        =
        90
        ⋅
        0
        +
        9.
      
    
    {\displaystyle 9=90\cdot 0+9.}
  
  
    
      
        a
        =
        78
      
    
    {\displaystyle a=78}
   թվի և  
  
    
      
        b
        =
        26
      
    
    {\displaystyle b=26}
   մնացորդով բաժանման դեպքում կստանանք 
  
    
      
        q
        =
        3
      
    
    {\displaystyle q=3}
    թերի քանորդ և  
  
    
      
        r
        =
        0
      
    
    {\displaystyle r=0}
   մնացորդ։Մնացորդով բաժանում կարող է տեղի ունենալ ոչ միայն ամբողջ թվերի այլ նաև ուրիշ մաթեմատիկական օբյեկտների միջև (օրինակ բազմանդամների)։


== Սահմանում ==
Չխախտելով ամբողջ թվերի սահմանը, ստիպված ենք տարբերակել մնացորդով և ամբողջական բաժանումները, քանի որ զրո մնացորդը չի համարվում բնական թիվ, բացի այդ, թերի քանորդը, երբ բաժանվում է փոքր թիվը մեծ թվի վրա՝ պետք է հավասարվի զրոյի, ինչը դուրս է գալիս բնական թվերի սահմանից։ Նման արհեստական սահմանափակումները բարդացնում են սահմանումները, դրա համար կամ օգտագործվում է ընդլայնված բնական թվերի շարքը՝ զրոյի հետ միասին, կամ տեսությունը ձևակերպում է միանգամից ամբողջ թվերի համար։

  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   թվերի բաժանումից առաջացած թերի քանորդը գտնելու համար, անհրաժեշտ է սովորական ձևով բաժանել 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ին և կլորացնել արդյունքը մինչև մոտակա ամբողջ թիվը՝ փոքրի ուղղությամբ։

  
    
      
        q
        =
        
          ⌊
          
            
              a
              b
            
          
          ⌋
        
        ,
      
    
    {\displaystyle q=\left\lfloor {\frac {a}{b}}\right\rfloor ,}
   երբ  
  
    
      
        b
        >
        0
      
    
    {\displaystyle b>0}
  .որտեղ կիսափակագծերը 
  
    
      
        
          ⌊
          ⋅
          ⌋
        
      
    
    {\displaystyle \left\lfloor \cdot \right\rfloor }
   նշանակում են ամբողջ մասի առանձնացում։ Թերի քանորդի 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   արժեքը հաշվելը թույլ է տալիս հաշվել 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   մնացորդը հետևյալ բանաձևով։ 

  
    
      
        r
        =
        a
        −
        b
        ⋅
        q
        .
      
    
    {\displaystyle r=a-b\cdot q.}
  Բացասական բաժանարարի դեպքում անհրաժեշտ է ամբողջը կլորացնել մեծի ուղղությամբ։

  
    
      
        q
        =
        
          ⌈
          
            
              a
              b
            
          
          ⌉
        
        ,
      
    
    {\displaystyle q=\left\lceil {\frac {a}{b}}\right\rceil ,}
   երբ  
  
    
      
        b
        <
        0
      
    
    {\displaystyle b<0}
  .


== «mod» օպերացիան և կապը համեմատությունների հետ ==
Մնացորդի մեծությունը կարող է ստացվել բինար գործողությամբ՝ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ի և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ի քանորդից մնացորդի վերցմամբ, որը նշանակվում է որպես  mod 

  
    
      
        r
        =
        a
         
         
        
          mod
          
             
          
        
         
        b
        .
      
    
    {\displaystyle r=a~~{\bmod {~}}~b.}
  Հարկ է չշփոթել այդ նշանակումը բացարձակ արժեքի համեմատության 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   նշանակման հետ։ 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  -ի համար բանաձևը բերում է համեմատության կատարմանը։

  
    
      
        r
        ≡
        a
        
          
          (
          mod
          
          b
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle r\equiv a{\pmod {b}},}
  Այդ համեմատությունը չի ենթադրում 
  
    
      
        0
        ⩽
        r
        <
        
          |
        
        b
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle 0\leqslant r<|b|}
   անհավասարման տեղի ունենալու անհրաժեշտությունը,որի դեպքում 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   լինի մնացորդ։


== Ծրագրավորման մեջ ==
Բաժանման մնացորդի գտնելը հաճախ օգտագործվում է համակարգչային տեխնիկայում և հեռուստատեսային սարքավորումներում՝ ստուգիչ թվերի և սահմանափակ միջակայքերում պատահական թվերի ստացման համար։
Տարբեր ծրագրավորման լեզուներով մնացորդի վերցնելը տրված է աղյուսակում։ Օրինակ Պասկալով modգործողությունը հաշվում է բաժանման մնացորդը, իսկdiv-ը կատարում է ամբողջական բաժանում, որի ժամանակ մնացորդը անտեսվում է 


== Ընդհանրացում ==


=== Իրական թվեր ===
Եթե 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   երկու թվեր պատկանում են իրական թվերի բազմությանը  և հավասար չեն զրոյի, ապա 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն  կարելի է բաժանել 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ի առանց մնացորդի, ընդ որում քանորդը իրականթիվ է։ Եթե ըստ պայմանի քանորդը պիտի լինի ամբողջ թիվ, ապա մնացորդը կլինիիրական թիվ,այսինքն կրող է լինել կոտորակային։
Ձևաբանորեն․ եթե  
  
    
      
        a
        ,
        b
        ∈
        
          R
        
        ,
        b
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,b\neq 0}
  , ապա 
  
    
      
        a
        =
        b
        q
        +
        r
      
    
    {\displaystyle a=bq+r}
  , որտեղ  
  
    
      
        0
        ⩽
        r
        <
        
          |
        
        b
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle 0\leqslant r<|b|}
  .

Օրինակ7,9 -ը  2,1-ի մնացորդով բաժանման դեպքում ․

  
    
      
        
          ⌊
          
            
              
                7
                
                  ,
                
                9
              
              
                2
                
                  ,
                
                1
              
            
          
          ⌋
        
        =
        3
      
    
    {\displaystyle \left\lfloor {\frac {7{,}9}{2{,}1}}\right\rfloor =3}
   (թերի քանորդ)․

  
    
      
        7
        
          ,
        
        9
        −
        3
        ⋅
        2
        
          ,
        
        1
        =
        1
        
          ,
        
        6
      
    
    {\displaystyle 7{,}9-3\cdot 2{,}1=1{,}6}
   (մնացորդ)։


=== Գաուսի ամբողջ թվեր ===
Գաուսյան թիվը, դա 
  
    
      
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle a+bi}
   տեսքի կոմպլեքս թիվ է, որտեղ a-ն և b-ն ամբողջ թվեր են և դրանց համար կարելի է սահմանել մնացորդով բաժանում։
Ցանկացած 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   գաուսի թիվ կարելի է բաժանել զրոյից տարբեր 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
   թվի վրա, այսինքն ներկայացնել հետևյալ տեսքով․

  
    
      
        u
        =
        v
        q
        +
        r
      
    
    {\displaystyle u=vq+r}
  ,որտեղ 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   քանորդը և  
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   մնացորդը գաուսյան թվեր են, ընդ որում 
  
    
      
        
          |
        
        r
        
          |
        
        <
        
          |
        
        v
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |r|<|v|}
  
Սակայն, ի տարբերություն ամբողջ թվերի, մնացորդը որոշվումը ոչ միանշանակ է։
Օրինակ․ 
  
    
      
        7
        +
        2
        i
      
    
    {\displaystyle 7+2i}
   կարելի է բաժանել 
  
    
      
        3
        −
        i
      
    
    {\displaystyle 3-i}
   ՝ երեք եղանակով։

  
    
      
        7
        +
        2
        i
        =
        (
        3
        −
        i
        )
        (
        2
        +
        i
        )
        +
        i
        =
        (
        3
        −
        i
        )
        (
        1
        +
        i
        )
        +
        3
        =
        (
        3
        −
        i
        )
        (
        2
        +
        2
        i
        )
        +
        (
        −
        1
        −
        2
        i
        )
        .
      
    
    {\displaystyle 7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i).}
  


=== Բազմանդամներ ===
Երկու 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   և  
  
    
      
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle g(x)}
   բազմանդամները մնացորդով բաժանելու համար պայման է ներմուծվում․
Մնացորդ բազմանդամի աստիճանը պիտի շատ անգամ փոքր լինի բաժանարարի աստիճանից։

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        q
        (
        x
        )
        g
        (
        x
        )
        +
        r
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)=q(x)g(x)+r(x)}
  , причём 
  
    
      
        deg
        ⁡
        (
        r
        )
        <
        deg
        ⁡
        (
        g
        )
      
    
    {\displaystyle \deg(r)<\deg(g)}
  .Օրինակ

  
    
      
        
          
            
              2
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              4
              x
              +
              5
            
            
              x
              +
              1
            
          
        
        =
        2
        x
        +
        2
      
    
    {\displaystyle {\frac {2x^{2}+4x+5}{x+1}}=2x+2}
   (մնացորդ 3), քանի որ 
  
    
      
        1
        =
        2
        
          x
          
            2
          
        
        +
        4
        x
        +
        5
        =
        (
        x
        +
        1
        )
        (
        2
        x
        +
        2
        )
        +
        3
      
    
    {\displaystyle 1=2x^{2}+4x+5=(x+1)(2x+2)+3}
  .


== Տես նաև ==
Էվկլիդեսի ալգորիթմ
Բաժանելիություն
Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար
Անընդհատ կոտորակ
Մոդուլով համեմատում


== Ծանոթագրություն ==