Ֆիբոնաչիի թվեր

Ֆիբոնաչիի թվեր կամ Ֆիբոնաչիի հաջորդականություն, թվային հաջորդականություն, որում առաջին երկու թվերն են 0 և 1, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ թիվը հավասար է նախորդ երկու թվերի գումարին։ Հաջորդականության կոչվում է ի պատիվ միջնադարյան մաթեմատիկոս Լեոնարդո Պիզացու, ով հայտնի է եղել, որպես Ֆիբոնաչի։
Ֆիբոնաչիի թվային հաջորդականությունը տրվում է 
  
    
      
        
          {
          
            F
            
              n
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{F_{n}\right\}}
   գծային ռեկուրենտ եղանակով.

  
    
      
        
          F
          
            0
          
        
        =
        0
        ,
        
        
          F
          
            1
          
        
        =
        1
        ,
        
        
          F
          
            n
          
        
        =
        
          F
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        
          F
          
            n
            −
            2
          
        
        ,
        
        n
        ⩾
        2
        ,
        
        n
        ∈
        
          Z
        
        .
      
    
    {\displaystyle F_{0}=0,\qquad F_{1}=1,\qquad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\quad n\geqslant 2,\quad n\in \mathbb {Z} .}
  


== Սահմանում ==
Ֆիբոնաչիի թվերի հերթականությունը որոշվում է հետևյալ կերպ՝

F0 =0
F1=1
Fn =Fn-1+ Fn-2Բերենք մի քանի անդամներ այդ հաջորդականությունից

0, 1, 1,2 , 3 ,5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 …Ֆիբոնաչիի հաջորդականությունը ավելի տեսանելի կերպով ունի հետևյալ տեսքը.

1: 1 + 1 = 2
2:     1 + 2 = 3
3:         2 + 3 = 5
4:             3 + 5 = 8
5:                 5 + 8 = 13
6:                     8 + 13 = 21
7:                         13 + 21 = 34
8:                              21 + 34 = 55
9:                                   34 + 55 = 89
...                                   
n:                                    Fn-2 + Fn-1 = Fn։     

Գույություն ունի նաև բացասական թվային հաջորդականություն ըստ հետհաշվարկի համարժեքության. 
  
    
      
        
          F
          
            n
          
        
        =
        
          F
          
            n
            +
            2
          
        
        −
        
          F
          
            n
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}}
  :


== Պատմություն ==
Այս թվերը ներկայացրեց 1202 թվականին Լեոնարդո Ֆիբոնաչչին, ով հայտնի է նաև որպես «Լեոնարդո Պիզացի»։ Սակայն հենց 19-րդ դարի մաթեմատիկոս Լուկասի «Ֆիբոնաչչիի թվերը» դարձավ համընդհանուր օգտագործելի։ Այնուամենայնիվ այդ թվերը հիշատակվել են ավելի վաղ՝ 1135 թվականին Գոպալան և Խեմաչանդրան `1150 թվականին։


== Ֆիբոնաչիի թվերը բնության մեջ ==
Հենց ինքը Ֆիբոնաչչին հիշատակվում էր կապված հետևյալ առաջադրանքի հետ որն է. «Մի մարդ դրեց զույգ ճագարներին կալլի մեջ, որը շրջապատված էր ցանկապատով։ Քանի զույգ ճագար կարող է ծնվել մեկ տարվա ընթացքում, որ ամեն ամիս սկսած հաջորդ ամսից ամեն ճագարի զույգը ծննդաբերում է մեկ զույգ։»
Խնդրի լուծման թվերի հերթականությունը համընկնում է նրա անունով թվերի հերթականության հետ։ Ֆիբոնաչչիի ներկայացրած իրավիճակը ավելի շատ մտքի խաղ է, քան թե իրական բնություն։
Հնդիկ մաթեմատիկոս Հոպալը և Խեմաչանդրան այս թվերի հերթականությունը հիշատակում էին ռիթմիկ նկարների թվաքանակի հետ, որոնք ձևավորվում էին երկար և կարճ վանկային ոտանավորների շարունակելիությամբ, կամ էլ ուժեղ և թույլ երաժշտության բաժիններով։ Այդպիսի նկարների թիվը ունենալով ամբողջ ո արժեքը հավասար է Fn։
Ֆիբոնաչչիի թվերը հանդիպում են նաև Կեպլերի 1611 – թվականի աշխատանքի մեջ, որը վերաբերվում էր այն թվերին, որոնք հանդիպում են բնության մեջ (աշխատանք «վեցանկյուն փաթիլի մասին»)։
Հետաքրքիր է 1000-թերթիկ բույսի օրինակը, որի մոտ թերթիկների քանակի համար (հետևաբար և ծաղիկներինը) միշտ գոյություն ունի Ֆիբոնաչչիի թիվը։ Դրա պատճառը շատ պարզ է։ Լինելով ի սկզբանե միակ «стебл»-ով այդ «стебл»-ը բաժանվում է երկուսի։ Այնուհետև գլխավոր «стебл»-ից առաջանում է ևս մեկը, այնուհետև առաջին երկու «стебл»-ները նորից բաժանվում են, հետո մնացած բոլորը, բացի վերջին երկուսից և այդպես շարունակ։
Այսպիսով ամեն մի «стебл»-ը իր ի հայտ գալուց հետո բաց է թողնում մեկ բաժանումը, իսկ հետո սկսում է բաժանվել հերթական աստիճանների հերթականության վրա, որը և տալիս է արդյունքում Ֆիբոնաչչիի թվերը։ Կարճ ասած բազմաթիվ ծաղիկների մոտ (օրինակ շուշանի) թերթերի քանակի հերթականությունը համարվում է Ֆիբոնաչչիի թիվ։ Բնության մեջ հայտնի է նաև «ֆիլոտաքսիսի » երևույթը, որպես օրինակ կարելի է բերել արևածաղիկի հատիկների դասավորությունը։ Եթե վերևից նայենք նրանց դասավորությանը, ապա կարելի է տեսնել երկու տեսակի պարույր վերադրված իրար վրա։ Որոշները ոլորված են ժամսլաքի ուղղությամբ, իսկ որոշները ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ։ Պարզվում է որ այս պարույների թվերը մոտավորապես համընկնում են Ֆիբոնաչչիի երկու թվերի հետ՝ 34, 55 կամ 89, 144։ Նմանատիպ փաստեր կան նաև որոշ ծաղիկների մոտ, ինչպես նաև սոճիի, անանասի, «брокколи» և այլ բույսերի մոտ։ Մի շարք բույսերի որոշ տվյալների համար (դրանց 90 տոկոսը) ճիշտ է հետևյալ հետաքրքիր փաստը։ Նայենք որևէ տերևի և սկսենք իջնել տերևի սկզբից այնքան ժամանակ մինչև չհասնենք տերևի այն հատվածին, որտեղից սկսվում է ցողունը (նույնպես տեղակայված նույն ուղղությամբ)։ Սկսենք հաշվել մեզ հանդիպող բոլոր տերևները, որոնք տեղակայված են սկզբնական և վերջնական տերևների բարձրության հիմքի վրա։ Համարակալելով դրանք մենք անընդմեջ կսկսենք պտտվել ցողունի շուրջ պարույրի օրինակով։ Կախված պտտման ուղղությունից, կամ հակառակ, մենք կստանանք տարբեր «витков» թվեր, բայց պարզվում է որ այդ թվերը հաշվարկված ժամսլաքի ուղղությամբ, և հանդիպակաց տերևների քանակը կազմում են Ֆիբոնաչչիի թվերի երեք թվերի հերթականությունը։
Չնայած կարելի է նշել որ կան բույսեր, որոնց համար վերը նշված թվերը կտան այլ թվերի հերթականություն։ Այդ պատճառով չենք կարող ասել, որ ֆիլոտաքսիսը օրենք է։ Այն ավելի շատ գրավիչ տենդենց է։


== Հատկություններ ==
Ֆիբոնաչչիի թվերը ունեն շատ հետքրքիր հատկություններ։
.Այստեղ դրանցից մի քանիսն են.
.Կասիննիի արժեքը .
Fn+1F n-1 - F n 2 = (-1) n ։
Լրացման օրենքը
F n+k =F k F n + 1 + F k – 1 F n
Նախորդ հավասարությունից հետևում է 
F 2n = Fn(F n+1 + F n-1)
Նախորդ հավասարությունից ինդուկցիայի միջոցով կարող ենք ստանալ որ Fnk միշտ բազմապատիկ է Fn-ին։
Ճիշտ է և փոխադարձ հետևյալ պնդումը.
Եթե Fm-ը «кратно» Fn- ին, ապա m-ը «кратно»(պատիկ) է n-ին։ 
“НОД” հավասարությունը
Ինչ վերաբերում է Էվկլիդի ալգորիթմին, Ֆիբոնաչչիի թվերը ավելի հիանալի հատկություններ ունեն։ Նրանք ամենավատ ալգորիթմական մուտք գործվող թվերն են։


=== Ֆիբոնաչիի թվերի համակարգը ===
Ցեկենդորֆի թեորեման.
Յուրաքանչյուր բնական ո թիվ միայն մեկ անգամ կարող ենք ներկայացնել Ֆիբոնաչչիի թվի տեսքով.
Որտեղ, ,…, (այստեղ չենք կարող գրել Ֆիբոնաչչիի երկու հարևան թվեր).
Այստեղից հետևում է, որ յուրաքանչյուր թիվ կարելի է միանշանակ գրել Ֆիբոնաչչիի թվային համակարգում։
Օրինակ’
Բայց ոչ մի թվում չենք կարող երկու 1-եր գրել կողք-կողքի։


== Տես նաև ==
Ոսկե հատում
Ռեկուրսիա


== Ծանոթագրություններ ==