Խառը վիճակ

Խառը վիճակ, քվանտային վիճակ, որը չի նկարագրվում վիճակի վեկտորով (ոչ էլ ալիքային ֆունկցիայով), այլ հանդիսանում է մաքուր քվանտային վիճակների խառնուրդ։ Դա նշանակում է, որ քվանտային համակարգը վորոշակի 
  
    
      
        
          ω
          
            1
          
        
        ,
        
          ω
          
            2
          
        
        .
        .
        .
        
          ω
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}...\omega _{n}}
   հավանականություններ ունի գտնվելու 
  
    
      
        
          |
        
        
          ψ
          
            1
          
        
        ⟩
        ,
        
          |
        
        
          ψ
          
            2
          
        
        ⟩
        .
        .
        .
        
          |
        
        
          ψ
          
            n
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi _{1}\rangle ,|\psi _{2}\rangle ...|\psi _{n}\rangle }
   վիճակի վեկտորներով նկարագրվող մաքուր վիճակներից յուրաքանչուրում։ Խառը վիճակի նկարագրման համար օգտագործվում է խտության մատրիցը։


== Խտության մատրից ==
Խտության մատրիցը սահմանվում է հետևյալ արտահայտությամբ

  
    
      
        
          
            
              ρ
              ^
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
          
          
            n
          
        
        
          ω
          
            i
          
        
        
          |
        
        
          ψ
          
            i
          
        
        ⟩
        ⟨
        
          ψ
          
            i
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum _{i}^{n}\omega _{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}
  ,
որտեղ 
  
    
      
        
          |
        
        
          ψ
          
            i
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi _{i}\rangle }
  -ով նշանակված է մաքուր վիճակի վեկտորը, իսկ 
  
    
      
        
          ω
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{i}}
  -ով — այդ վեկտորով նկարագրվող վիճակում գտնվելու հավանականությունը։ Մաքուր վիճակը նկարագրելու համար նույնպես կարելի է օգտագործել խտության մատրիցը։ 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle }
   մաքուր վիճակին համապատասխանում է 
  
    
      
        
          
            
              
                ρ
                ^
              
            
          
          
            մ
          
        
        =
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        ⟨
        ψ
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\rho }}_{\text{մ}}=|\psi \rangle \langle \psi |}
   խտության մատրիցը։


=== Հատկություններ ===

  
    
      
        
          
            
              ρ
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\rho }}}
  -ն հերմիտյան ոչ բացասական օպերատոր է, որը ունի միավոր հետք 
  
    
      
        
          
            T
            r
          
        
        (
        
          
            
              ρ
              ^
            
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            α
          
        
        ⟨
        α
        
          |
        
        
          
            
              ρ
              ^
            
          
        
        
          |
        
        α
        ⟩
        =
        1
        :
      
    
    {\displaystyle {\rm {Tr}}({\hat {\rho }})=\sum _{\alpha }\langle \alpha |{\hat {\rho }}|\alpha \rangle =1:}
   Այստեղ 
  
    
      
        
          |
        
        α
        ⟩
      
    
    {\textstyle |\alpha \rangle }
  -ով նշանակված վեկտորները ներկայացնում են ցանկացած բազիս։
խտության մատրիցի քառակուսու հետքը մեկից ոչ ավել է 
  
    
      
        
          
            T
            r
          
        
        (
        
          
            
              
                ρ
                ^
              
            
          
          
            2
          
        
        )
        ≤
        1
      
    
    {\displaystyle {\rm {Tr}}({\hat {\rho }}^{2})\leq 1}
  :
Որևէ ֆիզիկական մեծություն ներկայացնող 
  
    
      
        
          
            
              A
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {A}}}
   օպերատորի միջին մեծությունը տրվում է հետևյալ հետքով
  
    
      
        ⟨
        
          
            
              A
              ^
            
          
        
        ⟩
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          ω
          
            i
          
        
        ⟨
        
          ψ
          
            i
          
        
        
          |
        
        
          
            
              A
              ^
            
          
        
        
          |
        
        
          ψ
          
            i
          
        
        ⟩
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          ω
          
            i
          
        
        ⟨
        
          ψ
          
            i
          
        
        
          |
        
        
          
            
              A
              ^
            
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                α
              
            
            
              |
            
            α
            ⟩
            ⟨
            α
            
              |
            
          
          )
        
        
          |
        
        
          ψ
          
            i
          
        
        ⟩
        =
        
          ∑
          
            α
          
        
        ⟨
        α
        
          |
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                i
              
            
            
              ω
              
                i
              
            
            
              |
            
            
              ψ
              
                i
              
            
            ⟩
            ⟨
            
              ψ
              
                i
              
            
            
              |
            
            
              
                
                  A
                  ^
                
              
            
          
          )
        
        
          |
        
        α
        ⟩
        =
        
          
            T
            r
          
        
        (
        
          
            
              ρ
              ^
            
          
        
        
          
            
              A
              ^
            
          
        
        )
      
    
    {\textstyle \langle {\hat {A}}\rangle =\sum _{i}\omega _{i}\langle \psi _{i}|{\hat {A}}|\psi _{i}\rangle =\sum _{i}\omega _{i}\langle \psi _{i}|{\hat {A}}\left(\sum _{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha |\right)|\psi _{i}\rangle =\sum _{\alpha }\langle \alpha |\left(\sum _{i}\omega _{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|{\hat {A}}\right)|\alpha \rangle ={\rm {Tr}}({\hat {\rho }}{\hat {A}})}
  :
խտության մատրիցի էվոլյուցիան տրվում է ֆոն Նեյմանի հավասարությամբ    որտեղ 
  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}}
  -ը նկարագրվող համակարգի համիլտոնյանն է։


=== Մաքուր վիճակի խտության մատրիցը ===
Որպես մաքուր վիճակի չափանիշ, կարող է օգտագործվել հետևյալ պայմաններից մեկը.

  
    
      
        
          
            
              
                ρ
                ^
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              ρ
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\rho }}^{2}={\hat {\rho }}}
  ,

  
    
      
        
          
            T
            r
          
        
        (
        
          
            
              
                ρ
                ^
              
            
          
          
            2
          
        
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\rm {Tr}}({\hat {\rho }}^{2})=1}
  ,
ֆոն Նեյմանի Էնտրոպիայի զրոյական արժեքը 
  
    
      
        S
        =
        −
        T
        r
        (
        
          
            
              ρ
              ^
            
          
        
        ln
        ⁡
        (
        
          
            
              ρ
              ^
            
          
        
        )
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle S=-Tr({\hat {\rho }}\ln({\hat {\rho }}))=0}
  ։


== Խառը վիճակի և քվանտային վերադրման տարբերությունը ==
Խառը վիճակը տարբերվում է քվանտային վերադրումից։ Օրինակ երկաստիճան համակարգի դեպքում 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        >=
        
          c
          
            1
          
        
        
          |
        
        ↓>
        +
        
          c
          
            2
          
        
        
          |
        
        ↑>
      
    
    {\textstyle |\psi >=c_{1}|\downarrow >+c_{2}|\uparrow >}
   վեկտորը և 
  
    
      
        
          
            
              ρ
              ^
            
          
        
        =
        
          |
        
        
          c
          
            1
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          |
        
        ↓><↓
        
          |
        
        +
        
          |
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          |
        
        ↑><↑
        
          |
        
      
    
    {\textstyle {\hat {\rho }}=|c_{1}|^{2}|\downarrow ><\downarrow |+|c_{2}|^{2}|\uparrow ><\uparrow |}
   խտության մատրիցը նկարագրում էն տարբեր վիճակներ։ Նշված վերադրմանը համապատասխանող խտության մատրիցը հետևյալն է


== Ենթահամակարգի նկարագրությունը ==
Խտության մատրիցի օգտագործման անհրաժեշտությունը պարզվում է քվանտային համակարգի ենթահամակարգը դիտարկելիս։ Դիցուք 
  
    
      
        A
      
    
    {\textstyle A}
  -ն և 
  
    
      
        
          
            
              A
              ~
            
          
        
      
    
    {\textstyle {\tilde {A}}}
  -ն քվանտային համակարգեր են, որոնք որպես ամբողջություն նկարագրվում են  
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle }
   վեկտորով։ Կոմպոզիտային համակարգի 
  
    
      
        
          
            H
          
        
      
    
    {\textstyle {\mathcal {H}}}
   hիլբերտյան տարածությունը տենզորային արտադրյալն է  ենթահամակարգների տարածությունների 
  
    
      
        
          
            H
          
        
        =
        
          
            
              H
              
                A
              
            
          
        
        ⊗
        
          
            
              H
              
                
                  
                    A
                    ~
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\textstyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H_{A}}}\otimes {\mathcal {H_{\tilde {A}}}}}
  : Դա նշանակում է որ 
  
    
      
        
          
            H
          
        
      
    
    {\textstyle {\mathcal {H}}}
   տարածության բազիսը կարելի է կազմել 
  
    
      
        
          
            
              H
              
                A
              
            
          
        
      
    
    {\textstyle {\mathcal {H_{A}}}}
  -ի և 
  
    
      
        
          
            
              H
              
                
                  
                    A
                    ~
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\textstyle {\mathcal {H_{\tilde {A}}}}}
  -ի  
  
    
      
        
          |
        
        
          a
          
            i
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |a_{i}\rangle }
   և 
  
    
      
        
          |
        
        
          
            
              
                a
                ~
              
            
          
          
            j
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |{\tilde {a}}_{j}\rangle }
   բազիսներից վորպես տենզորային արտադրյալ 
  
    
      
        
          |
        
        
          a
          
            i
          
        
        ,
        
          
            
              
                a
                ~
              
            
          
          
            j
          
        
        ⟩
        =
        
          |
        
        
          a
          
            i
          
        
        ⟩
        ⊗
        
          |
        
        
          
            
              
                a
                ~
              
            
          
          
            j
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |a_{i},{\tilde {a}}_{j}\rangle =|a_{i}\rangle \otimes |{\tilde {a}}_{j}\rangle }
  :
Դիտարկենք 
  
    
      
        A
      
    
    {\textstyle A}
   ենթահամակարգում 
  
    
      
        f
      
    
    {\textstyle f}
    ֆիզիկական մեծության չափումը։ Աիդ մեծության միջինը տրվում է հետևյալ արտահայտությամբ

  
    
      
        ⟨
        ψ
        
          |
        
        
          
            
              f
              ^
            
          
        
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        =
        
          ∑
          
            i
            ,
            j
          
        
        
          ∑
          
            
              i
              ′
            
            ,
            
              j
              ′
            
          
        
        ⟨
        ψ
        
          |
        
        
          a
          
            i
          
        
        ,
        
          
            
              
                a
                ~
              
            
          
          
            j
          
        
        ⟩
        ⟨
        
          a
          
            i
          
        
        ,
        
          
            
              
                a
                ~
              
            
          
          
            j
          
        
        
          |
        
        
          
            
              f
              ^
            
          
        
        
          |
        
        
          a
          
            
              i
              ′
            
          
        
        ,
        
          
            
              
                a
                ~
              
            
          
          
            
              j
              ′
            
          
        
        ⟩
        ⟨
        
          a
          
            
              i
              ′
            
          
        
        ,
        
          
            
              
                a
                ~
              
            
          
          
            
              j
              ′
            
          
        
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        =
        
          ∑
          
            
              i
              ′
            
          
        
        
          [
          
            
              ∑
              
                i
              
            
            ⟨
            
              a
              
                
                  i
                  ′
                
              
            
            
              |
            
            
              (
              
                
                  ∑
                  
                    j
                  
                
                ⟨
                
                  
                    
                      
                        a
                        ~
                      
                    
                  
                  
                    j
                  
                
                
                  |
                
                ψ
                ⟩
                ⟨
                ψ
                
                  |
                
                
                  
                    
                      
                        a
                        ~
                      
                    
                  
                  
                    j
                  
                
                ⟩
              
              )
            
            
              |
            
            
              a
              
                i
              
            
            ⟩
            ⟨
            
              a
              
                i
              
            
            
              |
            
            
              
                
                  f
                  ^
                
              
            
            
              |
            
            
              a
              
                
                  i
                  ′
                
              
            
            ⟩
          
          ]
        
        =
        
          ∑
          
            
              i
              ′
            
          
        
        ⟨
        
          a
          
            
              i
              ′
            
          
        
        
          |
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                j
              
            
            ⟨
            
              
                
                  
                    a
                    ~
                  
                
              
              
                j
              
            
            
              |
            
            ψ
            ⟩
            ⟨
            ψ
            
              |
            
            
              
                
                  
                    a
                    ~
                  
                
              
              
                j
              
            
            ⟩
          
          )
        
        
          
            
              f
              ^
            
          
        
        
          |
        
        
          a
          
            
              i
              ′
            
          
        
        ⟩
        =
        
          
            
              T
              r
            
          
          
            A
          
        
        (
        
          
            
              
                ρ
                ^
              
            
          
          
            A
          
        
        
          
            
              f
              ^
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \langle \psi |{\hat {f}}|\psi \rangle =\sum _{i,j}\sum _{i',j'}\langle \psi |a_{i},{\tilde {a}}_{j}\rangle \langle a_{i},{\tilde {a}}_{j}|{\hat {f}}|a_{i'},{\tilde {a}}_{j'}\rangle \langle a_{i'},{\tilde {a}}_{j'}|\psi \rangle =\sum _{i'}\left[\sum _{i}\langle a_{i'}|\left(\sum _{j}\langle {\tilde {a}}_{j}|\psi \rangle \langle \psi |{\tilde {a}}_{j}\rangle \right)|a_{i}\rangle \langle a_{i}|{\hat {f}}|a_{i'}\rangle \right]=\sum _{i'}\langle a_{i'}|\left(\sum _{j}\langle {\tilde {a}}_{j}|\psi \rangle \langle \psi |{\tilde {a}}_{j}\rangle \right){\hat {f}}|a_{i'}\rangle ={\rm {Tr}}_{A}({\hat {\rho }}_{A}{\hat {f}})}
  
Այստեղ 
  
    
      
        
          
            
              
                ρ
                ^
              
            
          
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\rho }}_{A}}
  -յով նշանակված է 
  
    
      
        A
      
    
    {\textstyle A}
   ենթահամակարգի խտության մատրիցը որը տրվում է 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        ⟨
        ψ
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}
   օպերատորի մասնակի հետքով։ Կարեվոր է նշել որ չնայած ամբողջական համակարգի մաքուր վիճակում գտնվելուն, նրա ենթահամակարգը ընդհանուր առմամբ գտնվում է խառը վիճակում։ Միայն  
  
    
      
        A
      
    
    {\textstyle A}
   և 
  
    
      
        
          
            
              A
              ~
            
          
        
      
    
    {\textstyle {\tilde {A}}}
   ենթահամակարգերի խճճված չլինելու դեպքում նրանցից յուրաքանչյուրը նույնպես կգտնվի մաքուր վիճակում։ Այդ դեպքում 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        =
        
          |
        
        
          ψ
          
            A
          
        
        ⟩
        ⊗
        
          |
        
        
          ψ
          
            
              
                A
                ~
              
            
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle =|\psi _{A}\rangle \otimes |\psi _{\tilde {A}}\rangle }
  իսկ  
  
    
      
        
          
            
              
                ρ
                ^
              
            
          
          
            A
          
        
        =
        
          |
        
        
          ψ
          
            A
          
        
        ⟩
        ⟨
        
          ψ
          
            A
          
        
        
          |
        
      
    
    {\textstyle {\hat {\rho }}_{A}=|\psi _{A}\rangle \langle \psi _{A}|}
  :


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
F. Schwabl Quantum mechanics. — Мunich: Springer-Verlag, 2007. — 424 с. — P. 371-377.
Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — Москва: Физматлит, 2004. — С. 61-65. — 800 с.