Վան դեր Պոլի օսցիլյատոր

Վան դեր Պոլի օսցիլյատոր, ոչ գծայնորեն մարող տատանումներով օսցիլյատոր։ Նկարագրվում է հետևյալ հավասարումով՝

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              x
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        μ
        (
        1
        −
        
          x
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              t
            
          
        
        +
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}
  , որտեղ

  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը t-ից կախված կետի կոորդինատն է,

  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  -ն մարման ընթացքում ոչ գծայնությունը և ուժը բնութագրող գործակից է։ 


== Պատմություն ==
Վան դեր Պոլի օսցիլյատորը առաջարկվել է հոլանդացի ինժեներ և ֆիզիկոս Բալտազար Վան դեր Պոլը «Ֆիլիպս»  ընկերությունում իր աշխատանքի ընթացքում։
Վան դեր Պոլի կողմից էր հայտնաբերվել կանգուն տատանումները, որոնք անվանվեցին ռելաքսացիոն, որոնք հայտնի էին որպես «սահմանային ցիկլեր»։
1927 թվականին Վան դեր Պոլը և իր գործընկեր Վան դեր Մարկը հայտնեցին, որ տրված հաճախությունների դեպքում գրանցվել է աղմուկ, որոնք միշտ գտնվում էին ալիքների սեփական հաճախություններին մոտ։ Սա դետերմինացված քաոսի առաջին հետազոտությունն էր։
Վան դեր Պոլի հավասարումը օգտագործվում է ֆիզիկայում և կենսաբանության մեջ։


== Երկչափ դեպք ==
Լենարի թեորեմի օգնությամբ, կարելի է ապացուցել, որ համակարգը ունի սահմանային ցիկլ։ Թեորեմից հետևում է, որ

  
    
      
        y
        =
        x
        −
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            3
          
        
        −
        
          
            1
            μ
          
        
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle y=x-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {1}{\mu }}{\frac {dx}{dt}}}
  :
Այստեղից կարելի է ստանալ Վան դեր Պոլի հավասարումը երկչափ դեպքի համար՝

  
    
      
        
          {
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        d
                        x
                      
                      
                        d
                        t
                      
                    
                  
                
                
                  
                  =
                  μ
                  
                    (
                    
                      x
                      −
                      
                        
                          1
                          3
                        
                      
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      −
                      y
                    
                    )
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        d
                        y
                      
                      
                        d
                        t
                      
                    
                  
                
                
                  
                  =
                  
                    
                      1
                      μ
                    
                  
                  x
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)\\{\frac {dy}{dt}}&={\frac {1}{\mu }}x\end{aligned}}\right.}
  : Կարելի է նաև կատարել 
  
    
      
        y
        =
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle y={\frac {dx}{dt}}}
   փոխարինումը։  Կստացվի՝

  
    
      
        
          {
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        d
                        x
                      
                      
                        d
                        t
                      
                    
                  
                
                
                  
                  =
                  y
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        d
                        y
                      
                      
                        d
                        t
                      
                    
                  
                
                
                  
                  =
                  μ
                  (
                  1
                  −
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  y
                  −
                  x
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y\\{\frac {dy}{dt}}&=\mu (1-x^{2})y-x\end{aligned}}\right.}
  :


== Ազատ տատանումներով օսցիլյատոր ==

Վան դեր Պոլի օսցիլյատորն ունի երկու ռեժիմ՝ երբ 
  
    
      
        μ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mu =0}
   և 
  
    
      
        μ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \mu >0}
  :
Պարզ է, որ երրորդ՝ 
  
    
      
        μ
        <
        0
      
    
    {\displaystyle \mu <0}
  , ռեժիմը գոյություն չունի, քանի որ շփումը չի կարող բացասական լինել։
1) Երբ 
  
    
      
        μ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mu =0}
  , այսինքն օսցիլյատորը դիտարկվում է որպես չմարող, վերոնշյալ հավասարումը ունի հետևյալ տեսքը՝

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              x
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+x=0}
  : Սա հարմոնիկ օսցիլյատորի հավասարումն է։
2) Երբ 
  
    
      
        μ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \mu >0}
   համակարգը ունի որոշակի սահմանային ցիկլ։ Որքան հեռու է 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  -ն զրոյից, օսցիլյատորի տատանումները այդքան քիչ են նման հարմոնիկին։


== Հարկադրական տատանումներ ==

Վան դեր Պոլի հարկադրական տատանումները որոշվում են հետևյալ բանաձևով՝

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              x
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        μ
        (
        1
        −
        
          x
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              t
            
          
        
        +
        x
        =
        A
        sin
        ⁡
        (
        ω
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=A\sin(\omega t)}
  , որտեղ

  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ն արտաքին հարմոնիկ աղբյուրի լայնույթն է, 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  -ն՝ անկյունային արագությունը։


== Ծանոթագրություններ ==


== Տես նաև ==
Դուֆֆինգի օսցիլյատոր
Չուայի շղթա
Քաոսի տեսություն


== Արտաքին հղումներ ==
Примеры фазовых портретов осциллятора Archived 2017-02-14 at the Wayback Machine..