Բրահմագուպտա

Բրահմագուպտա (սանսկրիտ՝ ब्रह्मगुप्त, 598, Bhinmal, Jalore district, Jodhpur division, Ռաջասթան, Հնդկաստան - մոտ 665), հնդիկ մաթեմատիկ և աստղագետ։ Ղեկավարել է հնդկական Ուջայն քաղաքի աստղադիտարանը։ Էական ազդեցություն է ունեցել Բյուզանդիայում և իսլամական երկրներում աստղագիտության զարգացման վրա, աստղագիտական հաշվումների համար կիրառել է հանրահաշվական մեթոդներ, ներմուծել է զրոյի, դրական և բացասական մեծությունների հետ կատարվող գործողությունների կանոնները։ Մինչև մեր ժամանակները պահպանվել է նրա հիմնական երկը՝ «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» կամ «Բրահմայի համակարգի վերանայում»։ Գրվածքների մեծ մասը նվիրված է աստղագիտությանը, երկու գլուխները (12-րդ և 18-րդ)` մաթեմատիկային։


== Կենսագրություն ==
Բրահմագուպտան ծնվել է մոտավորապես 598 թվականին։ Դրա մասին հետևություն կարելի է անել «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» գրքից, որում նա հայտնում է, որ տեքստը գրել է 30 տարեկան հասակում 628 թվականին (Śaka 550)։ Բրահմագուպտան ծնվել է Բհիլամալեում (այժմ`Բհինմալ, Հնդկաստանի հյուսիս-արևմուտքում` Ռաջաստան նահանգում), որն այն ժամանակ Գուրջարա (Gurjara) դինաստիայի իշխանական մայրաքաղաքն էր։ Նրա հայրը եղել է Ջիսնուգուպտան։ Հնարավոր է, որ գիտնականն իր կյանքի մեծ մասն ապրել է Բհինմալեում Վյագրամուկհա կառավարչի օրոք (հնարավոր է նաև նրա հովանավորությամբ), այդ պատճառով էլ նրան հաճախ անվանում է Բհիլամակարյա (ուսուցիչ Բհիլամայից)։ Բրահմագուպտան եղել է Ուջայնի աստղադիտարանի ղեկավարը։ Այդ աստղադիտարանը, որտեղ աշխատել է նաև աստղագետ, մաթեմատիկոս Վարահամիհիրան, եղել է լավագույնը հին Հնդկաստանում։
Բրահմագուպտայի ուսումնասիրությունների վրա մեծ ազդեցություն են թողել նրա կրոնական հայացքները։ Լինելով ուղղափառ հինդուիստ` նա քննադատել է իր որոշ ժամանակակիցների, մասնավորապես` Արիաբհաթայի տիեզերագիտական հայացքները, ով պնդում էր, որ Երկիրը պտտվող գունդ է։ Բրահմագուպտան բանավիճում էր Արիաբհաթայի հետ արևի խավարումների հարցի շուրջ.

Չնայած Բրահմագուպտան ծանոթ է եղել Արիաբհաթայի աշխատանքներին, հայտնի չէ սակայն, թե արդյոք նա ծանոթ է եղել նաև հնդիկ մաթեմատիկոս, աստղագետ Բհասկարայի գործերին։ Բրահմագուպտայի աշխատանքները պարունակում են բազմաթիվ քննադատություններ` ուղղված իր ժամանակի աստղագետներին, իսկ «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» գրքի բովանդակությունը վկայում է ժամանակի հնդիկ գիտնականների մեջ եղած տարակարծությունների մասին։ Տարաձայնությունները հիմնականում պայմանավորված են եղել աստղագիտական պարամետրերի ու տեսությունների ընտրությամբ։ Բրահմագուպտայի տեսության հակառակորդների տեսակետների քննադատությունը ներկայացված է գրքի առաջին տասներկու գլուխներում և բացակայում է տասներեքերորդ և տասնութերորդ գլուխներում։
Արաբ գիտնական Ալ-Բիրունին իր «Կիտաբ այ Հինդ» գրքում (ոտ 1035 թվական) վերլուծել ու նկարագրել է հնդիկ աստղագետների գաղափարները։ Իր աշխատանքում նա հենվում է Բրահմագուպտայի տեսությունների վրա` որպես ամենահեղինակավորի։


== Հիմնական երկեր ==
Հայտնի է Բրահմագուպտայի երկու աշխատանք` Brahmasphutasiddhanta` Բրահմա-սպհուտա-սիդհանտա («Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում»), որը գրվել է 628 թվականին և Khandakhadyaka (Կհանդակհադյակա). գրվել է 665 թվականին։


=== «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» ===
«Բրահմա-սպհուտա-սիդհանտա» («Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» կամ «Բրահմայի համակարգի վերանայում») գիրքը Բրահմագուպտայի ամենահայտնի երկն է, որը նվիրված է մաթեմատիկային ու աստղագիտությանը։ Տրակտատը գրված է բանաստեղծությունների ձևով և պարունակում է միայն եզրակացություններ` առանց ապացույցների։ Աշխատանքը բաղկացած է 25 գլուխներից (որոշ աղբյուրներում նշվում է 24 գլուխ և ցանկի ու աղյուսակների հավելված)։
Առաջին տասը գլուխները, որոնք ժամանակի աստղագիտության ոգուն բնորոշ տեքստ են ներկայացնում, հաճախ դիտարկվում են առանձին` որպես աշխատության առաջին տարբերակ, քանի որ կան ձեռագրեր, որոնք պարունակում են միայն այս գլուխները։ Այս տեքստն անվանված է Daśādhyāyī։ Այն մասնավորապես պարունակում է միջին ու ճշգրիտ երկայնության հաշվարկներ, օրական պտույտի, Արևի և Լուսնի խավարման հաշվարկներ, երկնային մարմինների դիրքի փոփոխությունների հաշվարկման մեթոդներ (էֆիմերտե), նրանց ծագումն ու մայրամուտը, միավորումները (մոլորակների շքերթ)։
Հաջորդ 15 գլուխները պարունակում են առաջին գլուխների զգալի լրացումներ և ճշգրտումներ, ինչպես նաև մաթեմատիկային վերաբերող բաժիններ։ Մաթեմատիկային վերաբերող գլուխները պատկերացում են տալիս հնդիկ մաթեմատիկոսների մոտեցման երկու հիմնական եղանակների մասին` «գործողությունների մաթեմատիկա» կամ ալգորիթմներ և մաթեմատիկական հավասարումներ։ Գրքի 12-րդ գլուխը կրում է «Մաթեմատիկա» անվանումը. այն նվիրված է մաթեմատիկական պարզագույն գործողություններին, համաչափություններին, բազմապատկման առաջադրանքներին, որը կազմել է Բարհմագուպտայի ժամանակների գործնական մաթեմատիկայի հիմնական մասը։ 18-րդ գլուխը` «Ցրում», ուղիղ կապ ունի հանրահաշվի հետ, քանի որ այդպիսի եզր դեռևս գոյություն չուներ. այն անվանված է գլխում դիտարկված առաջին վարժությունը հաշվի առնելով։
8-րդ դարի երկրորդ կեսին, երբ Բաղդադի` Աբբասյանների արքայատոհմի խալիֆ  Աբդուլահ Մամունը (Աբու ալ Աբաս Աբդ Ալլահ ալ Մամուն, 712-775) առաքելությամբ եղել է Հնդկաստանում, Բաղդադ է հրավիրել Ուջայնի գիտնականներից մեկին` Կանկահին, ով ուսուցանել է աստղագիտության հնդկական համակարգը` հենվելով  «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» գրքի վրա։ Խալիֆը պատվիրել է գրքի թարգմանությունը արաբերենով, որն իրականացրել է մաթեմատիկոս, փիլիսոփա Իբրահիմ ալ Ֆազարին 771 թվականին։ Թարգմանությունը, որը կատարվել է աղյուսակների` զիջերի տեսքով` անհրաժեշտ մեկնաբանություններով ու ցուցումներով, ստացել է «Մեծ Սինդհինդ» անվանումը։ Հայտնի է, որ այս աշխատանքից է օգտվել Ալ-Խորեզմին աստղագիտության («Զիջ Ալ-Խորեզմի») և թվաբանության մասին («Աշխատություն հնդկական հաշվի մասին») իր աշխատությունները գրելիս։ Կա կարծիք, որ վերջինիս թարգմանությունը 11-րդ դարում լատիներենով արմատական դեր է ունեցել հաշվարկման այս համակարգի տարածման գործում։
«Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» աշխատությունը չինարեն է թարգմանվել 7-9-րդ դարերի մաթեմատիկոսների կողմից (հայտնի է չորս թարգմանություն)` դրանով նպաստելով չինացի գիտնականների շրջանում հաշվարկման տասական համակարգի տարածմանը։ 1817 թվականին մաթեմատիկային վերաբերող երկու գլուխներ թարգմանվել են անգլիացի արևելագետ Հենրի Թոմաս Կոլբրուկի կողմից։
860 թվականին հնդիկ մաթեմատիկոս Փրթուդակասվամին (Prthudakasvami) գրել է աշխատությանը նվիրված մեկնություններ, որը կոչվում է «Vāsanābhāṣya»։  Դրանից պահպանվել են միայն մի քանի ձեռագրեր։ Հայտնի են նաև ամբողջական աշխատության ու նրա առաջին տասը գլուխներին նվիրված մի քանի անանուն մեկնաբանություններ։ Հնդկաստանում Բրահմագուպտայի աշխատանքները հրատարակվել են 1902, 1966 թվականներին։


=== Կհանդակհադյակա ===
Բրահմագուպտայի երկրորդ գործը «Կհանդակհադյակա» աշխատությունն է (A Piece Eatable), որը գրվել է 665 թվականին։ Այն բաղկացած է 8 գլուխներից։ Աշխատության մեջ Բրահմագուպտան ճշգրտել ու պարզեցրել է աստղագիտական մի շարք հաշվարկներ` հիմնականում օգտվելով Արիաբհաթայի առաջարկած համակարգից։ Բացի այդ, այն ներառում է սինուսների հաշվարկման միջարկման բանաձև։ 8-րդ դարում «Կհանդակհադյական» թարգմանվել է արաբերեն «Արկանդ» անվանումով։
Գրքի մեկնաբանություններ են գրվել 864, 966, 1040, 1180 թվականներին. դրանցից մի քանիսը չեն պահպանվել։ Գիրքը տպագրվել է Կալկաթայում 1925 և 1941 թվականներին։ Անգլերեն թարգմանությունն իրականացրել է Սենգուպտան (Prabodh Chandra Sengupta) 1934 թվականին։


== Ներդրում մաթեմատիկայի ասպարեզում ==
Իր «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» աշխատության մեջ Բրահմագուպտան տվել է զրոյի սահմանումը` որպես թվից այդ նույն թիվը հանելու արդյունք։ Նա առաջիններից մեկն էր, ով սահմանել է դրական, բացասական թվերի և զրոյի հանրահաշվական գործողություններ` ընդ որում դրական թվերը դիտարկելով որպես ունեցվածք, իսկ բացասական թվերը` պարտք։ Այնուհետև Բրահմագուպտան փորձել է ընդարձակել հանրահաշիվը` տալով զրոյի բաժանման բնորոշումը։ Բրահմագուպտայի տեսակետի համաձայն.

Զրոյի վրա բաժանելիս արդյունքում ստացվում է զրո։
Դրական կամ բացասական թվերի բաժանումը զրոյի վրա կոտորակ է, որի հայտարարը զրո է։
Զրոն դրական կամ բացասական թվի բաժանելիս ստացվում է զրո։Բրահմագուպտան առաջարկել է բազմանիշ թվերի աղյուսակային բաժանման երեք եղանակ (մեկը` հիմնական և երկուսը` պարզեցված), որոնք մոտ են այն համակարգին, որը կիրառվում է ներկայումս։ Հիմնական մեթոդը Բրահմագուպտան անվանել է «gomutrika», որը թարգմանաբար նշանակում է «կովի մեզի հետագիծ» (անգլ.՝ "like the trajectory of cow's urine")։
Բրահմագուպտան առաջարկել է նաև քառակուսի արմատի հաշվարկման մոտավոր բանաձև, որը նման է Նյուտոնի ինտերացիոն բանաձևին (Newton-Raphson), ax²+c=y² տեսքի որոշ քառակուսի հավասարումների լուծման եղանակ, ax+c=by տեսքի գծային հավասարումների լուծման եղանակ` կիրառելով հաջորդական կոտորակների եղանակը։
Բրահմագուպտան սահմանել է առաջին n թվերի քառակուսիների ու խորանարդների գումարը` պնդելով, որ քառակուսիների գումարը թվերի գումարն է բազմապատկած քայլերի թվի կրկնապատիկով, մեծացրած մեկ միավորով և բաժանած երեքի։ Խորանարդների գումարը մեկից մինչև տվյալ թվի գումարի քառակուսին է։ Բանաձևերը, որոնք կարելի է գրանցել որպես ..., բերվում են առանց ապացույցների։
«Կհանդակհադյական» աշխատության մեջ Բրահմագուպտան առաջարկել է երկրորդ կարգի ներածման բանաձևը, որը 1.000 տարի անց դուրսբերված Նյուտոն - Ստիրլինգի բանաձևի մասնավոր դրսևորում է։ Նա օգտագործել է այն իր կազմած եռանկյունաչափական աղյուսակներում սինուսի նշանակության արտածման համար։ Բանաձևը տալիս է  f ֆունկցիայի նշանակության արժեքը, նրա արգումենտի a + xh արժեքի դեպքում, երբ նրա մեծությունն արդեն հայտնի է a − h, a և a + h կետերում։ Այն բնորոշվում է հետևյալ կերպ. 
  
    
      
        f
        (
        a
        +
        x
        h
        )
        ≈
        f
        (
        a
        )
        +
        x
        
          (
          
            
              
                Δ
                f
                (
                a
                )
                +
                Δ
                f
                (
                a
                −
                h
                )
              
              2
            
          
          )
        
        +
        
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              
                Δ
                
                  2
                
              
              f
              (
              a
              −
              h
              )
            
            
              2
              !
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x\left({\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}\right)+{\frac {x^{2}\Delta ^{2}f(a-h)}{2!}},}
  , որտեղ Δ-ն առաջին կարգի վերջավոր տարբերությունների հաշվի գործարկիչն է, այսինքն` 
  
    
      
        Δ
        f
        (
        a
        )
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        f
        (
        a
        +
        h
        )
        −
        f
        (
        a
        )
        :
      
    
    {\displaystyle \Delta f(a)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f(a+h)-f(a):}
  ։
Ընդ որում, Բրահմագուպտան չի մատնանշել, որ բանաձևը ճիշտ է միայն քառանկյան համար, որը կարելի է ներգծել շրջանին, այդ պատճառով էլ որոշ տեսաբաններ այստեղ ենթադրում են Բրահմագուպտայի սխալը։

Հայտնի է Բրահմագուպտայի ևս մեկ բանաձև կամայական եռանկյան նշյալ շրջանագծի շառավղի համար. 
  
    
      
        R
        =
        
          
            
              a
              b
            
            
              2
              
                h
                
                  c
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              b
              c
            
            
              2
              
                h
                
                  a
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              c
            
            
              2
              
                h
                
                  b
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle R={\frac {ab}{2h_{c}}}={\frac {bc}{2h_{a}}}={\frac {ac}{2h_{b}}},}
  , որտեղ եռանկյան կողմերն են` ha, hb, իսկ նրա բարձրությունը` hc։
Բրահմագուպտան առաջարկել է շրջանի մեջ ներգծված քառանկյան մակերեսի հաշվարկումը։ Բրահմագուպտայի բանաձևը եռանկյան մակերեսի հաշվարկման Հերոնի բանաձևի ընդհանրացումն է։ Այսպես, շրջանին ներգծված քառանկյան S մակերեսը` a, b, c, d կողմերով և p տրամագծի կեսով, հավասար է 
  
    
      
        S
        =
        
          
            (
            p
            −
            a
            )
            (
            p
            −
            b
            )
            (
            p
            −
            c
            )
            (
            p
            −
            d
            )
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}:}
  


=== Բրահմագուպտայի նույնություն ===
Բրահմագուպտայի նույնությունը պնդում է, որ երկու քառակուսիների գումարի արտադրյալը երկու քառակուսիների գումարն է, ընդ որում դա արտահայտվում է հետևյալ կերպ.

  
    
      
        (
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        )
        (
        
          c
          
            2
          
        
        +
        
          d
          
            2
          
        
        )
        =
        (
        a
        c
        −
        b
        d
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        a
        d
        +
        b
        c
        
          )
          
            2
          
        
        =
        (
        a
        c
        +
        b
        d
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        a
        d
        −
        b
        c
        
          )
          
            2
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}:}
  
Օրինակ`

  
    
      
        (
        
          1
          
            2
          
        
        +
        
          4
          
            2
          
        
        )
        (
        
          2
          
            2
          
        
        +
        
          7
          
            2
          
        
        )
        =
        
          26
          
            2
          
        
        +
        
          15
          
            2
          
        
        =
        
          30
          
            2
          
        
        +
        
          1
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}.}
  


=== Բրահմագուպտայի թեորեմ ===

Դիցուք` ունենք ներգծված քառանկյուն, որի տրամագծերը փոխուղղահայաց են։ Նրանց հատման կետից ուղղահայաց տանենք կողմերից մեկին։ Եթե տրամագծերի հատման կետից շարունակենք ուղղահայացը, ապա այն քառանկյան հակառակ կողմը կբաժանի երկու հավասար մասերի։


=== Բրահմագուպտայի խնդիր ===
Բրահմագուպտայի խնդիր - Կարկինի և քանոնի օգնությամբ կառուցել քառանկյուն իր չորս կողմերով. Լուծումներից մեկն օգտագործում է Ապոլլոնի շրջանագիծը։


== Ներդրում աստղագիտության ոլորտում ==
Բրահմագուպտան կարծում էր, որ Երկիրն անշարժ է. չի պտտվում իր առանցքի շուրջ։ Իր «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» աշխատության մեջ նա ենթադրում էր, որ տարվա տևողությունը 365 օր, 6 ժամ, 5 րոպե և 19 վայրկյան է։ Հնարավոր է, որ այս բնորոշումը նա վերցրել է Արիաբհաթայից։
Բրահմագուպտայի աստղագիտական պատկերացումները, որոնք շարադրված են «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» գրքում, վկայում են նրա հետազոտական ու գիտական կանխատեսման բարձր մակարդակի մասին։ Այսպես, աշխատության յոթերորդ գլխում, որը կոչվում է «Լուսնի խավարման մասին», Բրահմագուպտան մերժում է պատկերացումն այն մասին, որ Լուսինը Արևից ավելի հեռու է գտնվում, քան Երկիրը։

Բրահմագուպտան մեկնաբանում է, որ քանի որ Լուսինն ավելի մոտ է Երկրին, քան Արևը, Լուսնի լուսավորվածության աստիճանը կախված է Արևի ու Լուսնի փոխադարձ դիրքից, և այն կարելի է հաշվարկել` ելնելով երկնային այս երկու մարմինների անկյան մեծությունից։
Աստղագիտության մեջ Բրահմագուպտայի կարևոր ներդրումներից է ժամանակի ընթացքում երկնային մարմինների դիրքի, նրանց ծագման ու մայրամուտի, մոլորակների շքերթների, ինչպես նաև Արևի ու Լուսնի խավարումների հաշվարկման եղանակները (էֆիմերտե)։ Բրահմագուպտան քննադատության է ենթարկում պուրանների տիեզերագիտական հայացքներն այն մասին, որ Երկրիը հարթ է և կիսատ։ Նա պնդում է, որ Երկիրն ու երկինքն ունեն գնդի ձև, և որ Երկիրը շարժվում է։ 1030 թվականին աստղագետ Աբու ալ Ռայհան ալ Բիրունին իր «Թարիհ ալ Հինդ» աշխատության մեջ մեկնաբանել է Բրահմագուպտայի աշխատությունը։ Բիրունին նշել է, որ Երկրի` գնդաձև լինելու տեսակետի հակառակորդներին Բրահմագուպտան պատասխանել է.

Երկրի ձգողական ուժի մասին Բրահմագուպտան ասել է.


== Երկեր ==
Բրահմագուպտայի հիմնական աշխատությունը «Բրահմայի ուսմունքի կատարելագործում» գիրքն է (628), որ բաղկացած է 25 բաժիններից (որոշ աղբյուրներում նշվում է 24 գլուխ և ցանկի ու աղյուսակների հավելված)։

Երկրագնդի դիրքի, երկնքի ու երկրի ձևերի մասին։
Լուսատուների պտույտի և ժամանակի բնորոշման մասին. այն մասին, թե ինչպես որոշել լուսատուների դիրքի միջինը. աղեղի սինուսի բնորոշումը։
Լուսատուների աղյուսակի կազմման մասին։
Երեք խնդիրների մասին, մասնավորապես` ստվերի, օրվա ավարտված մասի և հորոսկոպի, ինչպես նաև այն մասին` ինչպես կարելի է դրանցից մեկից հետևություն անել մյուսի մասին։
Այն մասին, թե ինչպես են լուսատուները երևում Արևի ճառագայթներից և ինչպես են թաքնվում դրանց հետևում։
Այն մասին, թե ինչպես է երևում լուսնի մահիկը և նրա երկու եղջյուրների մասին։
Լուսնի խավարման մասին։
Արևի խավարման մասին։
Լուսնի ստվերի մասին։
Լուսատուների միավորման ու հակադրության մասին։
Լուսատուների լայնության մասին։
Քննադատություն այն բանի մասին, ինչը պարունակում են գրքերն ու աղյուսակները, ճիշտը սխալից տարբերելու մասին։
Հանրահաշվի և հեռավորությունների հաշվարկում և այլ դեպքերում նրա կիրառման մասին։
Լուսատուների միջին դիրքի ճշգրտման մասին։
Լուսատուների աղյուսակի ուղղման մասին։
Երեք խնդիրների ճշգրիտ հետազոտման մասին։
Խավարումների շեղումների մասին։
Լուսնի մահիկի ու նրա երկու եղջյուրների ի հայտ գալու ճշգրիտ բնորոշման մասին։
«Կուտակա» մեթոդի մասին։
Բանաստեղծական չափերի ու չափումների հաշվարկներ։
Շրջակայքի ու իրերի մասին։
Ժամանակի չափման չորս չափանիշների մասին` Արևով, մայրամուտով, Լուսնով ու լուսնային փուլերով։
Թվերի նշանների մասին այդ առարկայի գրական ստեղծագործություններում։
Մաթեմատիկան չօգտագործած ապացույցների մասին։Բրահմագուպտայի երկրորդ աշխատությունը` «Կհանդակհադյական» (655), նույնպես արմատական աշխատություն է աստղագիտությունից։


== Ծանոթագրություններ ==


== Տես նաև ==
Բրահմագուպտայի բանաձև
Եռանկյունների լուծում


== Գրականություն ==
Brahmagupta, Bhaskara, Colebrooke H.-T. Algebra, with arithmetic and mensuration, from Sanscrit of Brahmagupta and Bhascara. — John Murray, 1817. — 378 p. (անգլ.)
Plofker K. Mathematics in India // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A sourcebook / Editor Katz V. J.. — Princeton University Press, 2007. — 685 p. (անգլ.)Ван дер Варден Б. Л. Уравнение Пелля в математике греков и индийцев. Успехи математических наук, 31, вып. 5(191), 1976, с. 57-70.
Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. — М.։ Наука, 1977.
Юшкевич А. П. История математики в средние века. — М.: Физматгиз, 1961.
Gupta R. C. Brahmagupta’s formulas for the area and diagonals of a cyclic quadrilateral. The Mathematics Education, 8, 1974, p. 33-36.
Sarasvati Amma T. A. Geometry in ancient and medieval India. Delhi։ Motilal Banarsidass, 1979.
История математики, т.1, М., 1970.
Еремеева А. И., Цицин Ф. А. История астрономии (основные этапы развития астрономической картины мира). Изд. МГУ, 1989.