Ստյուարտի թեորեմ

Ստյուարտի թեորեմը կապ է հաստատում եռանկյան կողմերի և եռանկյան մի գագաթից դիմացի կողմին տարված հատողի երկարության միջև։ Թեորեմը անվանվել է շոտլանդացի մաթեմատիկոս Մեթյու Ստյուարտի պատվին, որը հրատարակել է թեորեմը 1746 թվականին։


== Թեորեմը ==
Դիցուք 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն, 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ն, և 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  -ն եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են։ Եթե 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
   հատվածը բաժանում է 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   կողմը 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   և 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   երկարությամբ հատվածների, ապա ըստ Ստյուարտի թեորեմի՝

  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
        m
        +
        
          c
          
            2
          
        
        n
        =
        a
        (
        
          d
          
            2
          
        
        +
        m
        n
        )
        
      
    
    {\displaystyle b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn)\,}
  Ապոլոնիուսի թեորեմը այս թեորեմի մասնավոր դեպքն է (երբ d-ն միջնագիծ է)։


== Ապացույց ==
Թեորեմը կարելի է ապացուցել հետևյալ եղանակով.
Դիցուք θ-ն m և d, իսկ θ′-ը՝ n և d հատվածների միջև ընկած անկյուններն են։ Սյդ անկյունները կից անկյուններ են, ուստի cos θ′ = −cos θ. Օգտվենք կոսինուսների թեորեմից θ և θ′ անկյունների համար.

  
    
      
        
          
            
              
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  m
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                −
                2
                d
                m
                cos
                ⁡
                θ
              
            
            
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  n
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                −
                2
                d
                n
                cos
                ⁡
                
                  θ
                  ′
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  n
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                +
                2
                d
                n
                cos
                ⁡
                θ
                .
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\b^{2}&=n^{2}+d^{2}-2dn\cos \theta '\\&=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta .\,\end{aligned}}}
  Առաջին հավասարումը բազմապատկենք n-ով, իսկ երկրորդը՝ m-ով, և ապա գումարենք մեկը մյուսին՝

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                m
                +
                
                  c
                  
                    2
                  
                
                n
              
            
            
              
              
                
                =
                n
                
                  m
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  n
                  
                    2
                  
                
                m
                +
                (
                m
                +
                n
                )
                
                  d
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                (
                m
                +
                n
                )
                (
                m
                n
                +
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                a
                (
                m
                n
                +
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&b^{2}m+c^{2}n\\&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n)(mn+d^{2})\\&=a(mn+d^{2})\\\end{aligned}}}
  


== Աղբյուրներ ==


== Արտաքին հղումներ ==
Hutton C., Gregory O. (1843)։ A Course of Mathematics II։ Longman, Orme & co.։ էջ 219 
[1] Թեորեմի մասին mathworld-ում
[2] Archived 2009-12-19 at the Wayback Machine., [3] Archived 2011-05-13 at the Wayback Machine. Թեորեմի մասին planetmath-ում