Ռիմանի ինտեգրալ

Ռիմանի  ինտեգրալ, մաթեմատիկական անալիզի ամենակարևոր հասկացություններից մեկը։ Այն ներմուծվել է 1854 թվականին Բեռնարդ Ռիմանի կողմից և իրենից ներկայացնում է ինտեգրալի հասկացության սկզբնական ձևակերպումը։


== Երկրաչափական ոչ ֆորմալ նկարագրություն ==

Ռիմանի գումարի (ուղղանկյունների գումարային մակերեսը) սահմանը, փոքրագույն բաժանումների դեպքում, տալիս է ենթագրաֆիկի մակերեսը։ Ռիմանը ձևակերպեց ինտեգրալի հասկացությունը, որը մշակվել էր Նյուտոնի և Լայբնիցի կողմից՝ որպես ենթագրաֆիկի (պատկեր, որն ընկած է ֆունկցիայի գրաֆիկի և աբցիսների առանցքի միջև) մակերես։
Ռիմանը ենթագրաֆիկը դիտարկել է որպես մի քանի ուղղահայաց ուղղանկյուններից բաղկացած պատկեր, որոնց հիմքերը միասին կազմում են ամբողջ ինտեգրվող միջակայքը և այն բաժանվում է համապատասխան քանակի փոքր հատվածների։
Տրված պատկերի S մակերեսը տրված 
  
    
      
        Δ
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta x_{i}}
   երկարությամբ հատվածների բաժանելիս հավասար կլինի հետևյալ ինտեգրալային գումարին.

  
    
      
        S
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        f
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
        Δ
        
          x
          
            i
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle S=\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i}:}
  Եթե գոյություն ունի սահման, որին ձգտում է S(ինտեգրալային գումար) մակերեսը յուրաքանչյուր բաժանման համար, որն իրականացվել է՝ մեծագույն 
  
    
      
        Δ
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta x_{i}}
   -ը ձգտեցնելով զրոյի, ապա այդ սահմանը կոչվում է Ռիմանի ֆունկցիայի ինտեգրալ միջակայքում։


=== Ինտեգրալային գումարի միջոցով ===
Թող, որ  
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   միջակայքում որոշված լինի 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  իրական ֆունկցիան։
Դիտարկենք միջակայքի բաժանումը (մասնատում)՝ 
  
    
      
        a
        =
        
          x
          
            0
          
        
        <
        
          x
          
            1
          
        
        <
        
          x
          
            2
          
        
        <
        ⋯
        <
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        <
        
          x
          
            n
          
        
        =
        b
      
    
    {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b}
  , որն իրենից ներկայացնում է միջակայքի բաժանված տարբեր հատվածների բազմությունը։
Այս մասնատումը 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   միջակայքը բաժանում է n հատ 
  
    
      
        [
        
          x
          
            i
            −
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            i
          
        
        ]
        ,
        
        i
        =
        1
        …
        n
      
    
    {\displaystyle [x_{i-1},x_{i}],\;i=1\dots n}
    միջակայքերի։ Ամենամեծ միջակայքի երկարությունը՝ 
  
    
      
        δ
        R
        =
        max
        (
        Δ
        
          x
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \delta R=\max(\Delta x_{i})}
  -ը կոչվում է բաժանման քայլ, որտեղ 
  
    
      
        Δ
        
          x
          
            i
          
        
        =
        
          x
          
            i
          
        
        −
        
          x
          
            i
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}
  -ը տարրական միջակայքի երկարությունն է։
Յուրաքանչյուր բաժանված միջակայքում նշենք մեկական կետ՝ 
  
    
      
        
          ξ
          
            i
          
        
        ∈
        [
        
          x
          
            i
            −
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            i
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}
  : Ինտեգրալային գումար համարվում է հետևյալ արտահայտությունը  
  
    
      
        
          σ
          
            x
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          f
          (
          
            ξ
            
              i
            
          
          )
          Δ
          
            x
            
              i
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{x}=\sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}}
  :
Եթե անկախ 
  
    
      
        
          ξ
          
            i
          
        
        ∈
        [
        
          x
          
            i
            −
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            i
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}
  -ի ընտրությունից, երբ բաժանման քայլը ձգտում է զրոյի, ինտեգրալային գումարը ձգտում է միևնույն թվի, ապա այդ թիվը կոչվում է 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի ինտեգրալ 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   միջակայքում, այսինքն՝ 

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
        =
        
          lim
          
            δ
            R
            →
            0
          
        
        
          σ
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{\delta R\to 0}\sigma _{x}}
  :
Այս դեպքում, 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիան կոչվում է ինտեգրվող (ըստ Ռիմանի) 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   միջակայքում, իսկ հակառակ դեպքում՝ չինտեգրվող (ըստ Ռիմանի) 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   միջակայքում։


== Հատկություններ ==
Ոչ այլասերված լինելը. 
  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        1
        
        d
        x
        =
        b
        −
        a
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}1\,dx=b-a}
  :
Դրական լինելը. եթե 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ինտեգրալային ֆունկցիան ոչ բացասական է, ապա նրա ինտեգրալը 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   միջակայքում նույնպես ոչ բացասական է։
Գծայնություն. եթե 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   և 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   ֆունկցիաներն ինտեգրելի են, և 
  
    
      
        α
        ,
        β
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }
  , ապա 
  
    
      
        α
        f
        +
        β
        g
      
    
    {\displaystyle \alpha f+\beta g}
   ֆունկցիան նույնպես ինտեգրելի է և 
  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        (
        α
        f
        (
        x
        )
        +
        β
        g
        (
        x
        )
        )
        
        d
        x
        =
        α
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
        +
        β
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        g
        (
        x
        )
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx}
  :
Անընդհատություն. եթե  
  
    
      
        
          f
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{i}}
  ինտեգրվող ֆունկցիան համաչափ համընկնում է  
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի հետ 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   միջակայքում, ապա 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   -ը ինտեգրվող է, և 
  
    
      
        
          lim
          
            i
            →
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          f
          
            i
          
        
        (
        x
        )
        
        d
        x
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \lim _{i\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f_{i}(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}
  : (Վերջին բանաձևը կարելի է ստանալ 1-ից 3 հատկությունների և սահմանային ֆունկցիայի ինտեգրման կիրառման միջոցով:)
Միջակայքերի բաժանման ադդետիվություն (Մասերի գումարը հավասար է ամբողջին:). ընդունենք որ 
  
    
      
        a
        <
        b
        <
        c
      
    
    {\displaystyle a<b<c}
  : 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիան ինտեգրվող է 
  
    
      
        [
        a
        ,
        c
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,c]}
   միջակայքում միայն ու միայն այն դեպքում, երբ այն ինտեգրվող է 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   և 
  
    
      
        [
        b
        ,
        c
        ]
      
    
    {\displaystyle [b,c]}
   միջակայքերից յուրաքանչյուրում, և այդ դեպքում 
  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            c
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
        +
        
          ∫
          
            b
          
          
            c
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx}
  :
Ըստ Ռիմանի՝ ինտեգրվող ֆունկցիայի անընդհատությունը միջակայքերում (1-5 հատկությունների հետևանքը)։ Խզվող ֆունկցիաները կարող են լինել կամ չլինել ինտեգրվող։ Ըստ Ռիմանի չինտեգրվող  ֆունկցիայի օրինակ է անընդհատ խզվող Դիրիխլեյի ֆունկցիան։  Ըստ Ռիմանի ինտեգրվող ֆունկցիաների Լեբեգի չափանիշները. ֆունկցիան ինտեգրվող է, ըստ Ռիմանի՝ 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   միջակայքում միմիայն այն դեպքում, երբ այն սահմանափակ է տվյալ միջակայքում և խզման բազմաթիվ կետերում ունի զրոյական չափ (այսինքն՝ ծածկված լինեն անվերջ փոքր երկարությամբ հաշվելի ինտերվալներով)։
Եթե 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   ֆունկցիան հանդիսանում է 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  ֆունկցիայի նախնականը, ապա 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  ֆունկցիայի ինտեգրալը 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  միջակայքում կարելի է հաշվել Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձևով, և այն հավասար է 
  
    
      
        F
        (
        b
        )
        −
        F
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle F(b)-F(a)}
  : (Այն ոչ միայն ըստ Ռիմանի ինտեգրալի, այլ ցանկացած ինտեգրալի ընդհանուր հատկանիշն է, որը բավարարում է 1ի-ց 5 հատկություններին)։ Միջակայքում անընդհատ 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  ֆունկցիան միշտ ունի նախնական, և յուրաքանչյուր նախնական ունի հետևյալ տեսքը՝ 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            x
          
        
        f
        (
        t
        )
        d
        t
        +
        C
      
    
    {\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt+C}
  , որտեղ 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  -ն ինտեգրման հաստատունն է։


== Ռիմանի ինտեգրալի գոյության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը ==
Որպեսզի 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիան լինի ինտեգրվող 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  միջակայքում, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի  
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          ω
          
            i
          
        
        
          Δ
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\Delta _{i}}
   գումարը ձգտի զրոյի բաժանման 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
   երկարության հետ։ Այստեղ 
  
    
      
        
          ω
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{i}}
  -ն 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ֆունկցիայի տատանումն է 
  
    
      
        
          Δ
          
            i
          
        
        =
        [
        
          x
          
            i
            −
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            i
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \Delta _{i}=[x_{i-1},x_{i}]}
   հատվածում, 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
   տատանումը 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  բազմության վրա հավասար է հետևյալ տարբերությանը՝ 
  
    
      
        
          sup
          
            E
          
        
        f
        (
        x
        )
        −
        
          inf
          
            E
          
        
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \sup _{E}f(x)-\inf _{E}f(x)}
  , բաժանման երկարությունը՝ 
  
    
      
        d
        =
        
          sup
          
            i
          
        
        (
        
          x
          
            i
          
        
        −
        
          x
          
            i
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle d=\sup _{i}(x_{i}-x_{i-1})}
  :


== Պատմություն ==
Ինտեգրալի նման սահմանում տվել է Կոշը, բայց այն կիրառվում էր միայն անընդհատ ֆունկցիաների համար։
Ռիմանը 1854 թվականին (հրատարակվել է 1868 թվականին:101-103, իսկ ռուսերենով՝ առաջին անգամ  1914 թվականին) տվեց այդ սահմանումը առանց անընդհատության հաշվի առնելու։


== Տես նաև ==
Ստիլտյեսի ինտեգրալ


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов Математический анализ. Начальный курс. — 2-е, переработанное. — Издательство Московского Университета, 1985. — Т. 1. — 660 с.


== Արտաքին հղումներ ==
Таблицы неопределенных и определенных интегралов — EqWorld: Мир математических уравнений.
Строгое определение интеграла Римана.