Սխալների ֆունկցիա

Սխալների ֆունկցիա (կոչվում է նաև հավանականության ինտեգրալ), ոչ տարրական ֆունկցիա, որը ծագել է հավանականության տեսության, վիճակագրության և մասնական ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության մեջ։ Այն սահմանվում է որպես.

  
    
      
        erf
        
        x
        =
        
          
            2
            
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            x
          
        
        
          e
          
            −
            
              t
              
                2
              
            
          
        
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}
  Սխալների լրացուցիչ ֆունկցիան,  որը նշանակվում է 
  
    
      
        erfc
        
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erfc} \,x}
   (երբեմն օգտագործվում է 
  
    
      
        Erf
        
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Erf} \,x}
   նշանակումը), որոշվում է սխալների ֆունկցիայի միջոցով՝

  
    
      
        erfc
        
        x
        =
        1
        −
        erf
        
        x
        =
        
          
            2
            
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            x
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            
              t
              
                2
              
            
          
        
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erfc} \,x=1-\operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}
  .Սխալների կոմպլեքս ֆունկցիան, որը նշանակվում է 
  
    
      
        w
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle w(x)}
  , նույնպես սահմանվում է սխալների ֆունկցիայի միջոցով.

  
    
      
        w
        (
        x
        )
        =
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        erfc
        
        (
        −
        i
        x
        )
      
    
    {\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\operatorname {erfc} \,(-ix)}
  .


== Հատկություններ ==
Սխալների ֆունկցիան կենտ է.
  
    
      
        erf
        
        (
        −
        x
        )
        =
        −
        erf
        
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erf} \,(-x)=-\operatorname {erf} \,x}
  Ցանկացած կոմպլեքս 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի համար տեղի է ունենում․
  
    
      
        erf
        
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
        =
        
          
            
              erf
              
              x
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erf} \,{\bar {x}}={\overline {\operatorname {erf} \,x}}}
  
որտեղ գիծը նշանակում է 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   թվի կոմպլեքս լծորդ։Սխալների ֆունկցիան չի կարող ներկայացվել տարրական ֆունկցիաների միջոցով, սակայն, բաժանելով ինտեգրվող արտահայտությունը Թեյլորի շարքին և ինտեգրելով ըստ անդամների, կարող ենք ստանալ դրա ներկայացումը շարքի ձևով։
  
    
      
        erf
        
        x
        =
        
          
            2
            
              π
            
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
              
                x
                
                  2
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            
              n
              !
              (
              2
              n
              +
              1
              )
            
          
        
        =
        
          
            2
            
              π
            
          
        
        
          (
          
            x
            −
            
              
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                3
              
            
            +
            
              
                
                  x
                  
                    5
                  
                
                10
              
            
            −
            
              
                
                  x
                  
                    7
                  
                
                42
              
            
            +
            
              
                
                  x
                  
                    9
                  
                
                216
              
            
            −
             
            ⋯
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \cdots \right)}
  
Այս հավասարությունը պահպանվում է (և շարքը համընկնում է) ինչպես ցանկացած իրական 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի, այնպես էլ ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա, համաձայն Դ'Ալամբերի հայտանիշի։ Հայտարարների հաջորդականությունը կազմում է A007680-ի հաջորդականությունը OEIS-ում հաջորդականություն․Շարքի տարրերի իտերատիվ հաշվարկման համար օգտակար է այն ներկայացնել այլընտրանքային ձևով՝
  
    
      
        erf
        
        x
        =
        
          
            2
            
              π
            
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            x
            
              ∏
              
                i
                =
                1
              
              
                n
              
            
            
              
                
                  −
                  (
                  2
                  i
                  −
                  1
                  )
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  i
                  (
                  2
                  i
                  +
                  1
                  )
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            2
            
              π
            
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            x
            
              2
              n
              +
              1
            
          
        
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(x\prod _{i=1}^{n}{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2n+1}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {-x^{2}}{i}}}
  
քանի որ 
  
    
      
        
          
            
              −
              (
              2
              i
              −
              1
              )
              
                x
                
                  2
                
              
            
            
              i
              (
              2
              i
              +
              1
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}}
   համաբազմապատկիչ է, որը շարքի 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  -րդ անդամը վերածում է 
  
    
      
        (
        i
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (i+1)}
  , հաշվի առնելով առաջին 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   անդամը։Սխալների ֆունկցիան անսահմանության մեջ հավասար է մեկի, սակայն, դա ճիշտ է միայն իրական առանցքով անսահմանությանը մոտենալիս, քանի որ՝
Բարդ պլանում սխալների ֆունկցիան դիտարկելիս  
  
    
      
        z
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle z=\infty }
   կետը նրա համար էականորեն առանձնահատուկ կլինի։
Սխալների ֆունկցիայի ածանցյալը ուղղակիորեն բխում է ֆունկցիայի սահմանումից՝
  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        
        erf
        
        x
        =
        
          
            2
            
              π
            
          
        
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-x^{2}}.}
  Մասերով ինտեգրման մեթոդով ստացված սխալների ֆունկցիայի նախնական՝
  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        x
        erf
        ⁡
        (
        x
        )
        +
        
          
            
              e
              
                −
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              π
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle F(x)=x\operatorname {erf} (x)+{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}
  Սխալների հակադարձ ֆունկցիան շարք է․
  
    
      
        
          erf
          
            −
            1
          
        
        
        x
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              c
              
                k
              
            
            
              2
              k
              +
              1
            
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    π
                  
                  2
                
              
              x
            
            )
          
          
            2
            k
            +
            1
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}\,x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2k+1},}
  
որտեղ c0 = 1 և

  
    
      
        
          c
          
            k
          
        
        =
        
          ∑
          
            m
            =
            0
          
          
            k
            −
            1
          
        
        
          
            
              
                c
                
                  m
                
              
              
                c
                
                  k
                  −
                  1
                  −
                  m
                
              
            
            
              (
              m
              +
              1
              )
              (
              2
              m
              +
              1
              )
            
          
        
        =
        
          {
          
            1
            ,
            1
            ,
            
              
                7
                6
              
            
            ,
            
              
                127
                90
              
            
            ,
            …
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}}
  Հետևաբար շարքը կարող է ներկայացվել հետևյալ ձևով (նկատի ունենալ, որ կոտորակները կրճատված են)․

  
    
      
        
          erf
          
            −
            1
          
        
        
        x
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            π
          
        
        
          (
          
            x
            +
            
              
                
                  π
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                
                12
              
            
            +
            
              
                
                  7
                  
                    π
                    
                      2
                    
                  
                  
                    x
                    
                      5
                    
                  
                
                480
              
            
            +
            
              
                
                  127
                  
                    π
                    
                      3
                    
                  
                  
                    x
                    
                      7
                    
                  
                
                40320
              
            
            +
            
              
                
                  4369
                  
                    π
                    
                      4
                    
                  
                  
                    x
                    
                      9
                    
                  
                
                5806080
              
            
            +
            
              
                
                  34807
                  
                    π
                    
                      5
                    
                  
                  
                    x
                    
                      11
                    
                  
                
                182476800
              
            
            +
            …
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}\,x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(x+{\frac {\pi x^{3}}{12}}+{\frac {7\pi ^{2}x^{5}}{480}}+{\frac {127\pi ^{3}x^{7}}{40320}}+{\frac {4369\pi ^{4}x^{9}}{5806080}}+{\frac {34807\pi ^{5}x^{11}}{182476800}}+\dots \right).}
  [1]Հաջորդականությունները համարիչների ու հայտարարների կրճատումից հետո՝ A092676 և A132467 AE9IS-ում։ Հմաարիչների հաջորդականությունից կրճատումից առաջ`A002067 OEIS-ում։


== Կիրառություն ==
Եթե ​​մի շարք պատահական փոփոխականներ ենթարկվում են նորմալ բաշխմանը` 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
   ստանդարտ շեղումով, ապա հավանականությունը, որ մեծությունը շեղվում է միջինից ոչ ավելի, քան 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ով, հավասար է 
  
    
      
        erf
        
        
          
            a
            
              σ
              
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erf} \,{\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}}}
  ։
Սխալների ֆունկցիան և սխալների լրացուցիչ ֆունկցիան հանդիպում են որոշ դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման մեջ, օրինակ, ջերմային հաղորդակցության հավասարումները նախնական պայմաններով, որ նկարագրվում են Հևիսայդի ֆունկցիայով («աստիճանով»)։
Թվային օպտիկական հաղորդակցության համակարգերում բիթով սխալվելու հավանականությունը նույնպես արտահայտվում է սխալների ֆունկցիան օգտագործող բանաձևով։


== Ասիմպտոտիկ բաշխում ==
Մեծ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -երի դեպքում օգտակար է ասիմպտոտիկ բաշխումը սխալների լրացուցիչ  ֆունկցիայի համար․

  
    
      
        erfc
        
        x
        =
        
          
            
              e
              
                −
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              x
              
                
                  π
                
              
            
          
        
        
          [
          
            1
            +
            
              ∑
              
                n
                =
                1
              
              
                ∞
              
            
            (
            −
            1
            
              )
              
                n
              
            
            
              
                
                  1
                  ⋅
                  3
                  ⋅
                  5
                  ⋯
                  (
                  2
                  n
                  −
                  1
                  )
                
                
                  (
                  2
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  
                    )
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
          
          ]
        
        =
        
          
            
              e
              
                −
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              x
              
                
                  π
                
              
            
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          
            
              (
              2
              n
              )
              !
            
            
              n
              !
              (
              2
              x
              
                )
                
                  2
                  n
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erfc} \,x={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.}
  Չնայած ցանկացած վերջնական 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի համար  այս շարքը տարբերվում է. գործնականում առաջին մի քանի անդամները բավարար են հաշվարկելու համար 
  
    
      
        erfc
        
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erfc} \,x}
    լավ ճշգրտությամբ, մինչդեռ Թեյլորի շարքը շատ դանդաղ է մոտարկվում։
Մեկ այլ մոտարկում տրվում է հետևյալ բանաձևով․

  
    
      
        (
        erf
        
        x
        
          )
          
            2
          
        
        ≈
        1
        −
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
            
              
                
                  4
                  
                    /
                  
                  π
                  +
                  a
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                  +
                  a
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {erf} \,x)^{2}\approx 1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}
  որտեղ

  
    
      
        a
        =
        
          
            8
            
              3
              π
            
          
        
        
          
            
              3
              −
              π
            
            
              π
              −
              4
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\frac {8}{3\pi }}{\frac {3-\pi }{\pi -4}}}
  


== Հարակից ֆունկցիաներ ==
Մինչև մասշտաբ և տեղափոխում սխալների ֆունկցիան համընկնում է նորմալ ինտեգրալ բաշխման հետ, որը նշանակվում է․

  
    
      
        Φ
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            (
          
        
        1
        +
        erf
        
        
          
            x
            
              2
            
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}{\biggl (}1+\operatorname {erf} \,{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\biggl )}}
  Հակադարձ ֆունկցիան դեպի 
  
    
      
        Φ
      
    
    {\displaystyle \Phi }
  ,  որը հայտնի է որպես նորմալ քանակական ֆունկցիա, երբեմն նշանակվում է 
  
    
      
        probit
      
    
    {\displaystyle \operatorname {probit} }
    և արտահայտվում է սխալների նորմալ ֆունկցիայի միջոցով, ինչպես․

  
    
      
        probit
        
        p
        =
        
          Φ
          
            −
            1
          
        
        (
        p
        )
        =
        
          
            2
          
        
        
        
          erf
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        (
        2
        p
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {probit} \,p=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)}
  Նորմալ ինտեգրալ բաշխումը ավելի հաճախ օգտագործվում է հավանականության տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ, մինչդեռ սխալների ֆունկցիան առավել հաճախ օգտագործվում է մաթեմատիկայի այլ բաժիններում։
Սխալների ֆունկցիան Միտտագ-Լեֆլերի տիպի ֆունկցիայի մասնավոր դեպքն է, և կարող է նաև ներկայացվել որպես փոփոխված հիպերգեոմետրիկ ֆունկցիա (Կումմերի ֆունկցիա)։

  
    
      
        erf
        
        x
        =
        
          
            
              2
              x
            
            
              π
            
          
        
        
          
          
            1
          
        
        
          F
          
            1
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                2
              
            
            ,
            
              
                3
                2
              
            
            ,
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-x^{2}\right)}
  Սխալների ֆունկցիան արտահայտվում է նաև Ֆրենելի ինտեգրալի միջոցով։ Կանոնավոր թերի գամմա p ֆունկցիայի և թերի գամմա ֆունկցիայի տերմիններով՝

  
    
      
        erf
        
        x
        =
        sign
        
        x
        
        P
        
          (
          
            
              
                1
                2
              
            
            ,
            
              x
              
                2
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              sign
              
              x
            
            
              
                π
              
            
          
        
        γ
        
          (
          
            
              
                1
                2
              
            
            ,
            
              x
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erf} \,x=\operatorname {sign} \,x\,P\left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatorname {sign} \,x \over {\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}
  


=== Ընդհանրացված սխալների ֆունկցիաներ ===

Որոշ հեղինակներ քննարկում են ավելի ընդհանուր ֆունկցիաներ

  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              n
              !
            
            
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            x
          
        
        
          e
          
            −
            
              t
              
                n
              
            
          
        
        
        
          d
        
        t
        =
        
          
            
              n
              !
            
            
              π
            
          
        
        
          ∑
          
            p
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            p
          
        
        
          
            
              x
              
                n
                p
                +
                1
              
            
            
              (
              n
              p
              +
              1
              )
              p
              !
            
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}\,.}
  Նշանակալի մասնավոր դեպքերն են՝

  
    
      
        
          E
          
            0
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle E_{0}(x)}
   — կոորդինատների սկզբոց անցնող ուղիղ գիծ՝ 
  
    
      
        
          E
          
            0
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            x
            
              e
              
                
                  π
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}}
  

  
    
      
        
          E
          
            2
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle E_{2}(x)}
   — սխալների ֆունկցիա 
  
    
      
        erf
        
        x
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erf} \,x}
  ։
  
    
      
        n
        !
      
    
    {\displaystyle n!}
  -ի բաժանվելուց հետո կենտ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ով բոլոր 
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{n}}
  -երը նման տեսք ունեն (բայց ոչ նույնական)։ Զույգ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ով բոլոր 
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{n}}
  -երը նույնպես նման եհ, բայց ոչ նույնական 
  
    
      
        n
        !
      
    
    {\displaystyle n!}
  -ի բաժանելուց հետո։ Բոլոր ընդհանրացված սխալնների ֆունկցիաների 
  
    
      
        n
        >
        0
      
    
    {\displaystyle n>0}
   դեպքում  նույնպես նման են 
  
    
      
        x
        >
        0
      
    
    {\displaystyle x>0}
   կիսաառանցքի վրա։

  
    
      
        x
        >
        0
      
    
    {\displaystyle x>0}
   կիսաառանցքի վրա բոլոր ընդհանրացված ֆունկցիաները կարող են արտահայտվել գամմա ֆունկցիայի միջոցով.

  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              Γ
              (
              n
              )
              
                (
                
                  Γ
                  
                    (
                    
                      
                        1
                        n
                      
                    
                    )
                  
                  −
                  Γ
                  
                    (
                    
                      
                        
                          1
                          n
                        
                      
                      ,
                      
                        x
                        
                          n
                        
                      
                    
                    )
                  
                
                )
              
            
            
              π
            
          
        
        ,
        
        
        x
        >
        0
      
    
    {\displaystyle E_{n}(x)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right)}{\sqrt {\pi }}},\quad \quad x>0}
  Հետևաբար, մենք կարող ենք արտահայտել սխալների ֆունկցիան գամմա ֆունկցիայի միջոցով։

  
    
      
        erf
        
        x
        =
        1
        −
        
          
            
              Γ
              
                (
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                  ,
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
                )
              
            
            
              π
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erf} \,x=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}{\sqrt {\pi }}}}
  


=== Սխալների լրացուցիչ ֆունկցիայի կրկնվող ինտեգրալներ ===
Սխալների լրացուցիչ ֆունկցիայի  
  
    
      
        
          
            I
            
              n
            
          
          e
          r
          f
          c
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {I^{n}erfc} }
   կրկնվող ինտեգրալները սահմանվում են որպես՝

  
    
      
        
          
            I
            
              0
            
          
          e
          r
          f
          c
        
        
        z
        =
        erfc
        
        z
      
    
    {\displaystyle \operatorname {I^{0}erfc} \,z=\operatorname {erfc} \,z}
  ,

  
    
      
        
          
            I
            
              n
            
          
          e
          r
          f
          c
        
        
        z
        =
        
          ∫
          
            z
          
          
            ∞
          
        
        
          
            I
            
              n
              -
              1
            
          
          e
          r
          f
          c
        
        
        ζ
        
        d
        ζ
        ,
      
    
    {\displaystyle \operatorname {I^{n}erfc} \,z=\int \limits _{z}^{\infty }\operatorname {I^{n-1}erfc} \,\zeta \,d\zeta ,}
   
  
    
      
        n
        >
        0
      
    
    {\displaystyle n>0}
  -ի համար։Դրանք կարելի է բաշխել շարքով՝

  
    
      
        
          
            I
            
              n
            
          
          e
          r
          f
          c
        
        
        z
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              z
              
                )
                
                  j
                
              
            
            
              
                2
                
                  n
                  −
                  j
                
              
              j
              !
              
              Γ
              
                (
                
                  1
                  +
                  
                    
                      
                        n
                        −
                        j
                      
                      2
                    
                  
                
                )
              
            
          
        
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \operatorname {I^{n}erfc} \,z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}}\,,}
  որտեղից հետևում են համաչափության հատկությունները՝

  
    
      
        
          
            I
            
              2
              m
            
          
          e
          r
          f
          c
        
        
        (
        −
        z
        )
        =
        −
        
          
            I
            
              2
              m
            
          
          e
          r
          f
          c
        
        
        z
        +
        
          ∑
          
            q
            =
            0
          
          
            m
          
        
        
          
            
              z
              
                2
                q
              
            
            
              
                2
                
                  2
                  (
                  m
                  −
                  q
                  )
                  −
                  1
                
              
              (
              2
              q
              )
              !
              (
              m
              −
              q
              )
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {I^{2m}erfc} \,(-z)=-\operatorname {I^{2m}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}
  և

  
    
      
        
          
            I
            
              2
              m
              +
              1
            
          
          e
          r
          f
          c
        
        
        (
        −
        z
        )
        =
        
          
            I
            
              2
              m
              +
              1
            
          
          e
          r
          f
          c
        
        
        z
        +
        
          ∑
          
            q
            =
            0
          
          
            m
          
        
        
          
            
              z
              
                2
                q
                +
                1
              
            
            
              
                2
                
                  2
                  (
                  m
                  −
                  q
                  )
                  −
                  1
                
              
              (
              2
              q
              +
              1
              )
              !
              (
              m
              −
              q
              )
              !
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {I^{2m+1}erfc} \,(-z)=\operatorname {I^{2m+1}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}\,}
  


== Իրականացումներ ==
C լեզվի ստանդարտում (ISO / IEC 9899: 1999, կետ 7.12.8) նախատեսված է 
  
    
      
        erf
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erf} }
   սխալների ֆունկցիան և 
  
    
      
        erfc
      
    
    {\displaystyle \operatorname {erfc} }
   սխալների լրացուցիչ ֆունկցիան։ Ֆունկցիաները հայտարարվում են վերնագրի ֆայլերում՝ math.h (C-ի համար) կամ cmath (C++-ի համար)։ Այնտեղ են հայտարարված են ֆունկցիաների զույգերը՝ erff(), erfcf() և erfl(), erfcl(): Առաջին զույգն ստանում և վերադարձնում է float տիպի արժեքները, իսկ երկրորդը՝ long double տիպի արժեքները։ Համապատասխան գործառույթները պարունակվում են նաև նախագծի Math գրադարանում։
Java լեզվում java.lang.Math մաթեմատիկական ֆունկցիաների ստանդարտ գրադարանը չի պարունակում սխալների ֆունկցիան։ Erf դասը կարելի է գտնել org.apache.commons.math.special փաթեթում՝ Apache ծրագրային հիմնադրամի կողմից տրամադրված ոչ ստանդարտ գրադարանից։
Համակարգչային հանրահաշվային Maple, Matlab, Mathematica և Maxima  համակարգերը պարունակում են սխալների սովորական և լրացուցիչ ֆունկցիաներ, ինչպես նաև դրանց հակադարձ ֆունկցիաներ։
Python-ում սխալների ֆունկցիան մատչելի է math ստանդարտ գրադարանից` սկսած 2.7 տարբերակից։ Նաև սխալների ֆունկցիան,   լրացուցիչ սխալների ֆունկցիան և շատ այլ հատուկ ֆունկցիաներ սահմանվում են SciPy ծրագրի Special մոդուլում։
Erlang լեզվի սխալների ֆունկցիան և սխալների լրացուցիչ ֆունկցիան հասանելի են ստանդարտ math մոդուլից։


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), «Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd տպ.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=259 
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. — Т. 7.
Nikolai G. Lehtinen (April 2010)։ «Error functions»։ Վերցված է 2019-05-25 


== Արտաքին հղումներ ==
MathWorld — Erf
Онлайновый калькулятор Erf и много других специальных функций (до 6 знаков)
Онлайновый калькулятор, вычисляющий в том числе Erf