Լորենց-գործոն

Լորենց-գործոն, (Լորենց-ֆակտոր), գործակից, որով փոխվում է շարժվող մարմնի ժամանակը, երկարությունը կամ ռելյատիվիստական զանգվածը։ Հանդիպում է հարաբերականության հատուկ տեսության որոշ բանաձևերում, արտածվում է Լորենցի ձևափոխություններից։ Անունն ստացել է լորենցյան էլեկտրադինամիկայից, որտեղ ավելի վաղ է ի հայտ եկել, հոլանդացի ֆիզիկոս Հենդրիկ Լորենցի անունով։
Սովորաբար նշանակվում է հունարեն փոքրատառ γ տառով, երբեմն՝ (հատկապես գերլուսային արագությունները քննարկելիս) մեծատառ Γ-ով։


== Սահմանում ==
Լորենց-գործոնը սահմանվում է որպես

  
    
      
        γ
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              
                v
                
                  2
                
              
              
                /
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              
                β
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              t
            
            
              d
              τ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}}
  որտեղ

v-ն իներցիալ հաշվարկման համակարգերի հարաբերական արագությունն է,
β-ն v-ի և c լույսի արագության հարաբերությունն է,
τ-ն դիտորդի սեփական ժամանակն է (դիտորդի սեփական հաշվարկման համակարգում),
t-ն՝ կոորդինատային ժամանակը,
c-ն՝ լույսի արագությունը վակուումում։Գործնականում ամենից հաճախ գործածվում է այս սահմանումը։ Կան նաև այլ սահմանումներ։
Սահմանումը լրացնելու համար որոշ հեղինակներ նաև հակադարձ մեծությունն են սահմանում՝

  
    
      
        α
        =
        
          
            1
            γ
          
        
        =
        
          
            1
            −
            
              v
              
                2
              
            
            
              /
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\ ,}
  տես արագությունների գումարման բանաձևը։


== Բանաձևեր ==
γ-ն հանդիպում է հարաբերականության հատուկ տեսության հետևյալ բանաձևերում․

Լորենցի ձևափոխություններ։ Պարզագույն դեպքը x-ի ուղղությամբ շարժումն է (ավելի ընդհանուր դեպքերը ներառում են կամայական ուղղություններ և պտույտներ), որը նկարագրում է, թե ինչպես են տարածաժամանակային կոորդինատները փոխվում մեկ իներցիալ համակարգից (x, y, z, t) մյուսին (x' , y' , z' , t' ) անցնելիս, եթե հարաբերական արագությունը v է՝
  
    
      
        
          t
          ′
        
        =
        γ
        
          (
          
            t
            −
            
              
                
                  v
                  x
                
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)}
  

  
    
      
        
          x
          ′
        
        =
        γ
        
          (
          
            x
            −
            v
            t
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle x'=\gamma \left(x-vt\right)}
  ։Այս ձևափոխությունների արդյունքը հետևյալն է՝

Ժամանակի դանդաղում։ Շարժվող ժամացույցով հաշվարկման համակարգում ժամանակը ժամացույցի ցույց տված երկու պահերի միջև ավելի մեծ է, քան դադարի վիճակում գտնվող հաշվարկման համակարգում նույն ժամակահատվածը (∆t)․
  
    
      
        Δ
        
          t
          ′
        
        =
        γ
        Δ
        t
        .
        
      
    
    {\displaystyle \Delta t'=\gamma \Delta t.\,}
  Երկարության կրճատում։ Շարժվող հաշվարկման համակարգում չափվող օբյեկտի երկարությունը (∆x' ) ավելի փոքր է, քան նույն օբյեկտի երկարությունը (∆x) դադարի վիճակում գտնվող համակարգում՝
  
    
      
        Δ
        
          x
          ′
        
        =
        Δ
        x
        
          /
        
        γ
        .
        
        
      
    
    {\displaystyle \Delta x'=\Delta x/\gamma .\,\!}
  Կիրառելով իմպուլսի և էներգիայի պահպանման օրենքները, ստանում ենք

Ռելյատիվիստական զանգված։ Շարժվող մարմնի m զանգվածը կախված է 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  -ից և m0 հանգստի զանգվածից՝
  
    
      
        m
        =
        γ
        
          m
          
            0
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle m=\gamma m_{0}.\,}
  Ռելյատիվիստական իմպուլս։ Ռելյատիվիստական իմպուլսի արտահայտությունը նույնն է, ինչ դասական իմպուլսինը, սակայն ռելյատիվիստական զանգվածի վերը բերված արտահայտությամբ․
  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        =
        m
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        γ
        
          m
          
            0
          
        
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}.\,}
  Ռելյատիվիստական կինետիկ էներգիա։ Թեթևակի ձևափոխվում է ռելյատիվիստական կինետիկ էներգիայի արտահայտությունը՝
  
    
      
        
          E
          
            k
          
        
        =
        E
        −
        
          E
          
            0
          
        
        =
        (
        γ
        −
        1
        )
        
          m
          
            0
          
        
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{k}=E-E_{0}=(\gamma -1)m_{0}c^{2}}
  ։


== Թվային արժեքներ ==

Ստորև աղյուսակում ձախակողմյան սյունակում բերված է արագության արժեքը որպես լույսի արագության մաս (այսինքն՝ c-ի միավորներով)։ Մեջտեղի սյունակում համապատասխան Լորենց-գործոնն է, վերջինում՝ դրան հակադարձ մեծությունը։ Թավատառով նշված են ճշգրիտ արժեքները։


== Այլ ներկայացումներ ==
Լորենց-գործոնը գրելու այլ արտահայտություններ կան, բացի v-ի համար գրվածներից։ Դրանցում կարող են կիրառվել այլ մեծություններ, օրինակ՝ իմպուլսը՝

  
    
      
        γ
        =
        
          
            1
            +
            
              
                (
                
                  
                    p
                    
                      
                        m
                        
                          0
                        
                      
                      c
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}}
  Մաքսվել-Յուտների (Jüttner) բաշխումում կիրառվում է գամմայի այս արտահայտությունը։ Հիպերբոլական անկյան միջոցով Լորենց-գործոնը կարելի է գրել որպես

  
    
      
        γ
        =
        cosh
        ⁡
        φ
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              
                tanh
                
                  2
                
              
              ⁡
              φ
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              
                β
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \gamma =\cosh \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\,\!}
  որտեղ φ-ն հիպերբոլական անկյունն է, 
  
    
      
        tanh
        ⁡
        φ
        =
        β
        
        
      
    
    {\displaystyle \tanh \varphi =\beta \,\!}
  ։
Լորենց-գործակիցը կարելի է ներկայացնել նաև Թեյլորի շարքի միջոցով՝

  
    
      
        
          
            
              
                γ
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      1
                      
                        1
                        −
                        
                          β
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    n
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  β
                  
                    2
                    n
                  
                
                
                  ∏
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    n
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          2
                          k
                          −
                          1
                        
                        
                          2
                          k
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                1
                +
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                
                
                  β
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    
                      3
                      8
                    
                  
                
                
                  β
                  
                    4
                  
                
                +
                
                  
                    
                      5
                      16
                    
                  
                
                
                  β
                  
                    6
                  
                
                +
                
                  
                    
                      35
                      128
                    
                  
                
                
                  β
                  
                    8
                  
                
                +
                ⋯
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\&=1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}+{\tfrac {3}{8}}\beta ^{4}+{\tfrac {5}{16}}\beta ^{6}+{\tfrac {35}{128}}\beta ^{8}+\cdots \\\end{aligned}}}
  ։γ ≈ 1 + 1/2 β2 մոտարկումը կարելի է կիրառել՝ հաշվելու համար ռելյատիվիստիկ էֆեկտները ցածր արագությունների դեպքում։ Այն տեղի ունի v < 0.4 c-ի համար 1% -ի սխալից (v < 120,000 կմ/վ) մինչև v < 0.22 c-ի համար (v < 66,000 կմ/վ) միջակայքում։
Շարքի կրճատված արտահայտությունները ֆիզիկոսներին թույլ են տալիս հաստատել, որ հարաբերականության հատուկ տեսությունը ցածր արագությունների դեպքում վերածվում է նյուտոնյան մեխանիկայի։ Օրինակ՝ հարաբերականության հատուկ տեսությունում տեղի ունեն հետևյալ հավասարումները՝

  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        =
        γ
        m
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}}
  

  
    
      
        E
        =
        γ
        m
        
          c
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle E=\gamma mc^{2}\,}
  γ ≈ 1 և γ ≈ 1 + 1/2 β2 դեպքում դրանք կրճատվում են՝ բերվելով համապատասխան նյուտոնյան համարժեքներին․

  
    
      
        
          
            
              p
              →
            
          
        
        =
        m
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}
  

  
    
      
        E
        =
        m
        
          c
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        m
        
          v
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle E=mc^{2}+{\tfrac {1}{2}}mv^{2}}
  Լորենց-գործոնի հավասարումը կարելի է նաև շրջել՝ հանգելով

  
    
      
        β
        =
        
          
            1
            −
            
              
                1
                
                  γ
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}}
  արտահայտությանը, որի ասիմպտոտիկ տեսքը հետևյալն է՝

  
    
      
        β
        =
        1
        −
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        
          γ
          
            −
            2
          
        
        −
        
          
            
              1
              8
            
          
        
        
          γ
          
            −
            4
          
        
        −
        
          
            
              1
              16
            
          
        
        
          γ
          
            −
            6
          
        
        −
        
          
            
              5
              128
            
          
        
        
          γ
          
            −
            8
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots }
  ։Առաջին երկու անդամները հաճախ կիրառվում են γ-ի մեծ արժեքների դեպքում արագություններն արագ հաշվելու համար։ β ≈ 1 - 1/2 γ−2 մոտարկումը տեղի ունի  γ > 2 համար 1% թույլատրելի շեղման դեպքում, γ > 3,5 համար՝ 0,1% թույլատրելի շեղման դեպքում։


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
Merrifield Michael։ «γ – Lorentz Factor (and time dilation)»։ Sixty Symbols։ Brady Haran for the University of Nottingham 
Merrifield Michael։ «γ2 – Gamma Reloaded»։ Sixty Symbols։ Brady Haran for the University of Nottingham