Չևայի թեորեմ

ԹԵՈՐԵՄ։ Եթե ABC եռանկյան գագաթներից ելնող АD,BE,CF ուղիղները հատվում են մի կետում կամ իրար զուգահեռ են և նրա AB,BC,CA կողմերը կամ նրանց շարունակությունները հատվում են համապատասխանաբար F,D,E կետերում, ապա

  
    
      
        
          
            
              A
              F
            
            
              F
              B
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              B
              D
            
            
              D
              C
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              C
              E
            
            
              E
              A
            
          
        
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.}
  


== ԱՊԱՑՈՒՅՑ ==
Դիցուք ABC եռանկյան մեջ AD,BE,CF հատվածները հատվում են O կետում։ Նշանակենք 
  
    
      
        ∠
        A
        O
        E
      
    
    {\displaystyle \angle AOE}
  =
  
    
      
        ∠
        B
        O
        D
      
    
    {\displaystyle \angle BOD}
  =α,
  
    
      
        ∠
        C
        O
        E
      
    
    {\displaystyle \angle COE}
  =
  
    
      
        ∠
        B
        O
        F
      
    
    {\displaystyle \angle BOF}
  =β և 
  
    
      
        ∠
        C
        O
        D
      
    
    {\displaystyle \angle COD}
  =
  
    
      
        ∠
        A
        O
        F
      
    
    {\displaystyle \angle AOF}
  =γ։ Հաշվի առնելով, որ հավասար բարձրություններ ունեցող եռանկյունների հիմքերը հարաբերում են ինչպես նրանց մակերեսները, կունենանք՝

  
    
      
        
          
            
              E
              A
            
            
              C
              E
            
          
        
        =
        
          
            
              0.5
              ⋅
              A
              O
              ⋅
              O
              E
              ⋅
              sin
              ⁡
              ∠
              A
              O
              E
            
            
              0.5
              ⋅
              O
              E
              ⋅
              O
              C
              ⋅
              sin
              ⁡
              ∠
              C
              O
              E
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {EA}{CE}}={\frac {0.5\cdot AO\cdot OE\cdot \sin \angle AOE}{0.5\cdot OE\cdot OC\cdot \sin \angle COE}}.}
  

  
    
      
        
          
            
              D
              C
            
            
              B
              D
            
          
        
        =
        
          
            
              0.5
              ⋅
              C
              O
              ⋅
              O
              D
              ⋅
              sin
              ⁡
              ∠
              C
              O
              D
            
            
              0.5
              ⋅
              O
              D
              ⋅
              O
              B
              ⋅
              sin
              ⁡
              ∠
              A
              O
              E
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {DC}{BD}}={\frac {0.5\cdot CO\cdot OD\cdot \sin \angle COD}{0.5\cdot OD\cdot OB\cdot \sin \angle AOE}}.}
  

  
    
      
        
          
            
              F
              B
            
            
              A
              F
            
          
        
        =
        
          
            
              0.5
              ⋅
              B
              O
              ⋅
              O
              F
              ⋅
              sin
              ⁡
              ∠
              C
              O
              E
            
            
              0.5
              ⋅
              O
              F
              ⋅
              O
              A
              ⋅
              sin
              ⁡
              ∠
              C
              O
              D
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {FB}{AF}}={\frac {0.5\cdot BO\cdot OF\cdot \sin \angle COE}{0.5\cdot OF\cdot OA\cdot \sin \angle COD}}.}
  
Բազմապատկելով այս հավասարությունների համապատասխան մասերը, կստանանք՝

  
    
      
        
          
            
              A
              F
            
            
              F
              B
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              B
              D
            
            
              D
              C
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              C
              E
            
            
              E
              A
            
          
        
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.}
  
Եթե D,E,F կետերից որևէ երկուսը գտնվեն եռանկյան կողմերի շարունակությունների վրա, ապա թեորեմն ապացուցվում է նույն եղանակով։