Փոխանակման հավասարում

Փոխանակման հավասարում, մոնետար տնտեսությունում արտահայտում է հարաբերություն.

  
    
      
        M
        ⋅
        V
        =
        P
        ⋅
        Q
      
    
    {\displaystyle M\cdot V=P\cdot Q}
  որտեղ, տվյալ ժամանակահատվածի համար,

  
    
      
        M
        
      
    
    {\displaystyle M\,}
   տնտեսությունում շրջանառության մեջ գտնվող դրամական զանգվածի միջին ընդհանուր անվանական գումարն է
  
    
      
        V
        
      
    
    {\displaystyle V\,}
   փողի արագությունն է, դա միջին հաճախականությունն է, որի հետ ծախսվում է մի միավոր գումար

  
    
      
        P
        
      
    
    {\displaystyle P\,}
   գների մակարդակն է

  
    
      
        Q
        
      
    
    {\displaystyle Q\,}
   իրական ծախսերի ինդեքս (նոր արտադրված ապրանքների և ծառայությունների մասով)Այսպիսով, PQ- ն անվանական ծախսերի մակարդակն է։ Այս հավասարումը արագության սահմանման վերադասավորումն է՝ V = PQ / M։ Որպես այդպիսին, առանց որեւէ ենթադրության ներդրման, այն տավտոլոգիա է։ Փողի քանակական տեսությունը ենթադրություններ է առաջացնում փողի առաջարկի, գների մակարդակի և տոկոսադրույքների ազդեցությունը արագության վրա՝ տեսություն ստեղծելու գնաճի պատճառների և դրամավարկային քաղաքականության հետևանքների վերաբերյալ։
Ազգային եկամուտների և արտադրանքի հաշիվների լայն մատչելիությունից ավելի վաղ վերլուծության դեպքում փոխանակման հավասարումը ավելի հաճախ արտահայտվում էր գործարքների ձևով.

  
    
      
        M
        ⋅
        
          V
          
            T
          
        
        =
        P
        ⋅
        T
      
    
    {\displaystyle M\cdot V_{T}=P\cdot T}
  որտեղ

  
    
      
        
          V
          
            T
          
        
        
      
    
    {\displaystyle V_{T}\,}
   փողի գործարքների արագությունն է, այսինքն`այն միջին հաճախականությունն է այն բոլոր գործարքների հետ, որոնց վրա ծախսվում է մի միավոր (ներառյալ ոչ միայն ծախսերը նոր արտադրված ապրանքների և ծառայությունների վրա, այլև օգտագործված ապրանքների գնումները, փողը ներառող ֆինանսական գործարքները և այլն)։

  
    
      
        T
        
      
    
    {\displaystyle T\,}
   համախառն գործարքների իրական արժեքի ցուցիչ է։


== Հիմնադրամ ==
Փոխանակման հավասարման հիմքում ընկած է ավելի բարդ հարաբերություն։

  
    
      
        M
        ⋅
        
          V
          
            T
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        (
        
          p
          
            i
          
        
        ⋅
        
          q
          
            i
          
        
        )
        =
        
          
            p
          
          
            
              T
            
          
        
        ⋅
        
          q
        
      
    
    {\displaystyle M\cdot V_{T}=\sum _{i}(p_{i}\cdot q_{i})=\mathbf {p} ^{\mathrm {T} }\cdot \mathbf {q} }
  որտեղ․

  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
        
      
    
    {\displaystyle p_{i}\,}
   և 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}\,}
  -ին  i- րդ գործարքի համապատասխան գինը և քանակն են

  
    
      
        
          
            p
            
              T
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p^{T}} }
  -  
  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
        
      
    
    {\displaystyle p_{i}\,}
  -րդ շարքի վեկտորն է

  
    
      
        
          q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {q} }
   - 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}\,}
  -րդ սյունակի վեկտորն էՀավասարում՝

  
    
      
        M
        ⋅
        
          V
          
            T
          
        
        =
        P
        ⋅
        T
      
    
    {\displaystyle M\cdot V_{T}=P\cdot T}
  հիմնված է դասական երկպոտոմիայի ենթադրության վրա, այն է որ գների ընդհանուր բարձրացման կամ իջեցման եւ դրանց հիմքում ընկած  «իրական» տնտեսական փոփոխականների միջեւ համեմատաբար հստակ տարբերություն կա, եւ որ այդ տարբերությունը կարող է արձանագրվել գների ինդեքսի առումով, այնպես որ գնաճի կամ գնանկումային բաղադրիչները կարող են արդյունահանվել որպես P բազմապատկիչ, որը գների ընդհանուր մակարդակն է․

  
    
      
        M
        ⋅
        
          V
          
            T
          
        
        =
        P
        ⋅
        (
        
          
            p
          
          
            r
            e
            a
            l
          
          
            
              T
            
          
        
        ⋅
        
          q
        
        )
        =
        P
        ⋅
        T
      
    
    {\displaystyle M\cdot V_{T}=P\cdot (\mathbf {p} _{real}^{\mathrm {T} }\cdot \mathbf {q} )=P\cdot T}
  որտեղ 
  
    
      
        
          
            p
          
          
            r
            e
            a
            l
          
          
            
              T
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} _{real}^{\mathrm {T} }}
   հարաբերական գների շարքի վեկտորն է, և նույն կերպ

  
    
      
        M
        ⋅
        V
        =
        P
        ⋅
        Q
        .
      
    
    {\displaystyle M\cdot V=P\cdot Q.}
  2008 թվականին տնտեսագետ Էնդրյու Նագանոֆը (ռուս.՝ Эндрю Наганов) առաջարկել է փոխանակման հավասարման բաղկացուցիչ ձև, որտեղ հավասարման ձախ կողմում է՝ 
  
    
      
        M
        (
        V
        )
        d
        V
      
    
    {\displaystyle M(V)dV}
   ինտեգրալի նշանի տակ և աջ կողմում է  
  
    
      
        P
        i
        Q
        i
      
    
    {\displaystyle PiQi}
   գումարը, որտեղ i=1-ից մինչև 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  ։ Ընդհանուր առմամբ 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  -ը  կարող է լինել անվերջ. Այս բանաձեւի երկու տարբերակ կա․

  
    
      
        ∫
         
        M
        (
        V
        )
        d
        V
      
    
    {\displaystyle \int \ M(V)dV}
   = 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          
            k
            
              i
            
          
          
            
              P
            
            
              i
            
          
          
            
              Q
            
            
              i
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{N}{k_{i}\mathbf {P} _{i}\mathbf {Q} _{i}}}
  
և

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        M
        (
        V
        )
        d
        V
        ⩽
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          
            k
            
              i
            
          
          
            
              P
            
            
              i
            
          
          
            
              Q
            
            
              i
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}M(V)dV\leqslant \sum \limits _{i=1}^{N}{k_{i}\mathbf {P} _{i}\mathbf {Q} _{i}}}
  
Դիսպենսիվ մասշտաբային գործոնների համար ամենապարզ դեպքերը և 
  
    
      
        
          
            P
          
          
            i
          
        
        
          
            Q
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} _{i}\mathbf {Q} _{i}}
  -ն են։ 
  
    
      
        
          k
          
            i
          
        
        =
        ±
        1
      
    
    {\displaystyle k_{i}=\pm 1}
  , 
  
    
      
        
          
            P
          
          
            i
          
        
        
          
            Q
          
          
            i
          
        
        =
        c
        o
        n
        s
        t
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} _{i}\mathbf {Q} _{i}=const}
  
Նաև, 
  
    
      
        
          k
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{i}}
   կարող է որոշվել ֆազային հավաքածուների մեթոդով։
Եթե իրացվելիության գործառույթը 
  
    
      
        
          W
          ′
        
        (
        V
        )
        =
        M
        (
        V
        )
      
    
    {\displaystyle W'(V)=M(V)}
  , ապա, ըստ միջին արժեքի թեորեմի․

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              V
              
                m
                a
                x
              
            
          
        
        M
        (
        V
        )
        d
        V
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{0}^{V_{max}}M(V)dV}
   = 
  
    
      
        M
        (
        
          V
          
            m
          
        
        )
        
          V
          
            m
            a
            x
          
        
        =
        W
        (
        
          V
          
            m
            a
            x
          
        
        )
        −
        W
        (
        0
        )
      
    
    {\displaystyle M(V_{m})V_{max}=W(V_{max})-W(0)}
  
Նագանոֆի բանաձևը օգտագործվում է մանրամասն նկարագրելու գնաճի և գնանկումների գործընթացները, ինտերնետային առևտուրը և  կրիպտոարժույթները։


== Կիրառություն ==


=== Փողի քանակական տեսություն ===
Փողի քանակական տեսությունը առավել հաճախ արտահայտվում և բացատրվում է հիմնական տնտեսության մեջ` փոխանակման հավասարումով։ Օրինակ՝ շրջադարձային տեսությունը կարող էր սկսվել վերադասավորվելուց

  
    
      
        P
        =
        
          
            
              M
              ⋅
              V
            
            Q
          
        
      
    
    {\displaystyle P={\frac {M\cdot V}{Q}}}
  Եթե 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
   -ն և  
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
   -ն հաստատուն են կամ միմյանց հետ աճում են նույն ֆիքսված արագությամբ, ապա․

  
    
      
        
          
            
              d
              P
            
            P
          
        
        =
        
          
            
              d
              M
            
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dP}{P}}={\frac {dM}{M}}}
  և հետևաբար

  
    
      
        
          
            
              d
              P
              
                /
              
              P
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              M
              
                /
              
              M
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dP/P}{dt}}={\frac {dM/M}{dt}}}
  որտեղ

  
    
      
        t
        
      
    
    {\displaystyle t\,}
   -ն ժամանակն է։Այսինքն, եթե 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  -ն և 
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  -ն հաստատուն լինեն կամ նույն ֆիքսված տեմպերով աճեն, ապա գնաճի մակարդակը ճիշտ հավասար կլինի դրամական զանգվածի աճի տեմպին։
Քանակական տեսության հակառակորդը պարտավոր չէր լինի մերժել փոխանակման հավասարումը, բայց դրա փոխարեն կարող էր փոխել փոխհատուցման ռեակցիաները (ուղղակի կամ անուղղակի) 
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  -ն կամ 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  -ից 
  
    
      
        
          
            
              d
              M
              
                /
              
              M
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dM/M}{dt}}}
  ։


=== Փողի պահանջարկ ===
Տնտեսագետներ Ալֆրեդ Մարշալը, Ա. Ս. Պիգուն եւ Ջոն Մեյնարդ Քեյնսը, որոնք կապված են Քեմբրիջի համալսարանի հետ, կենտրոնանալով փողի պահանջարկի վրա, այլ ոչ թե փողի առաջարկի վրա, պնդում էին, որ դրամական զանգվածի որոշակի մասը չի օգտագործվի գործարքների համար, այլ կպահվի զենքի վրա կանխիկ փողի հարմարավետության եւ անվտանգության համար։ Կանխիկի այս համամասնությունը սովորաբար ներկայացված է որպես 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  , և անվանական եկամտի մի մասը՝ (
  
    
      
        n
        Y
      
    
    {\displaystyle nY}
  )։
Economists  Alfred Marshall, A.C. Pigou, and John Maynard Keynes, associated with Cambridge University, focusing on money demand instead of money supply, argued that a certain portion of the money supply will not be used for transactions, but instead it will be held for the convenience and security of having cash on hand.  This proportion of cash is commonly represented as 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  , a portion of nominal income (
  
    
      
        n
        Y
      
    
    {\displaystyle nY}
  ). (Քեմբրիջի տնտեսագետները նաև կարծում էին, որ հարստությունը դեր կխաղա, բայց հարստությունը հաճախ բացակայում է պարզության համար։ Դրամական մնացորդների պահանջարկի Քեմբրիջի հավասարումը հետևյալն է.

  
    
      
        
          M
          
            D
          
        
        =
        k
        ⋅
        n
        Y
      
    
    {\displaystyle M_{D}=k\cdot nY}
  
որը, հաշվի առնելով դասական երկատվությունը եւ այն փաստը, որ իրական եկամուտները պետք է հավասար լինի ծախսերի 
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  -ին, համարժեք

  
    
      
        
          M
          
            D
          
        
        =
        k
        ⋅
        P
        ⋅
        Q
      
    
    {\displaystyle M_{D}=k\cdot P\cdot Q}
  
Ենթադրենք, որ տնտեսությունը գտնվում է հավասարակշռության մեջ (
  
    
      
        
          M
          
            D
          
        
        =
        M
      
    
    {\displaystyle M_{D}=M}
  ), որ իրական եկամուտը էկզոգեն է, և այդ k- ն ամրագրված է կարճաժամկետ հեռանկարում, Քեմբրիջի հավասարումը համարժեք է k- ի հակադարձմանը հավասար արագության փոխանակման հավասարմանը.

  
    
      
        M
        ⋅
        
          
            1
            k
          
        
        =
        P
        ⋅
        Q
      
    
    {\displaystyle M\cdot {\frac {1}{k}}=P\cdot Q}
  Փողերի պահանջարկի գործառույթը հաճախ հայեցակարգվում է իրացվելիության գործառույթի առումով, 
  
    
      
        L
        (
        r
        ,
        Y
        )
      
    
    {\displaystyle L(r,Y)}
  ,

  
    
      
        
          M
          
            D
          
        
        =
        P
        ⋅
        L
        (
        r
        ,
        Y
        )
      
    
    {\displaystyle M_{D}=P\cdot L(r,Y)}
  
որտեղ 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  -ը իրական եկամուտ է և 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  -ը իրական տոկոսադրույքն է։ Եթե 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
   համարվում է 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  -ի ֆունկցիան, հետևաբար հավասարումը կլինի․

  
    
      
        L
        (
        r
        ,
        Q
        )
        =
        
          
            Q
            
              V
              (
              r
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle L(r,Q)={\frac {Q}{V(r)}}}
  


== Պատմություն ==
Փոխանակման հավասարումը կազմել է Ջոն Ստյուարտ Միլը, ով ընդլայնվել է Դեյվիդ Հյումի գաղափարների վրա։ Հանրահաշվական ձևակերպումը գալիս է Իրվինգ Ֆիշերից, 1911։


== Նշումներ ==


== Ծանոթագրություներ ==
Michael D. Bordo (1987). "equation of exchange," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 2, pp. 175–77.
Milton Friedman (1987.  “quantity theory of money”, in The New Palgrave: A Dictionary of Economics ), v. 4, pp. 3–20.