Մուավրի բանաձև

Մաթեմատիկայում, Մուավրի բանաձևը (անգլ.՝ de Moivre's formula  , նաև հայտնի է որպես Մուավրի թեորեմ և Մուավրի նույնություն), անվանվել է ի պատիվ Աբրահամ դե Մուավրի, պնդում է, որ ցանկացած x կոմպլեքս թվի (և, մասնավորապես ցանկացած իրական թվի)  և  n ամբողջ թվի համար

  
    
      
        (
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        +
        i
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        
          )
          
            n
          
        
        =
        cos
        ⁡
        (
        n
        x
        )
        +
        i
        sin
        ⁡
        (
        n
        x
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle (\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx),}
  որտեղ i֊ն  կեղծ միավորն է  (i2 = −1)։ Չնայած բանաձևը անվանված է Մուավրի պատվին, նա երբեք իր աշխատանքներում չի պնդել բանաձևը։ cos (x) + i sin (x) արտահայտությունը երբեմն հապավում են cis (x)
Բանաձևը կարևոր է, քանի որ այն կապում է կոմպլեքս թվերն ու եռանկյունաչափությունը։ Տարածելով ձախ մասը և այնուհետև համեմատելով իրական և կեղծ մասերը՝ x֊ը ընդունելով իրական՝ հնարավոր է ստանալ օգտակար արտահայտություններ cos(nx)֊ի և sin(nx)֊ի համար cos (x)֊ի և sin (x)֊ի տեսանկյունից։
Ինչպես գրված է, բանաձևը ընդունելի չէ n ոչ ամբողջ թվերի համար։ Այնուամենայնիվ, կան այս բանաձևի ընդհանրացումներ, որոնք ընդունելի են էքսպոնենտների համար։ Սա կարող է գործածվել n֊րդ  միավոր արմատներին պարզ արտահայտություններ տալուն, օրինակ, z կոմպլեքս թվերին այնպես, որ zn = 1։


== Էյլերի բանաձևից ածանցում ==
Չնայած որ պատմականորեն նախկինում ապացուցվել է, Մուավրի բանաձևը հեշտությամբ կարող է ստացվել Էյլերի բանաձևից

  
    
      
        
          e
          
            i
            x
          
        
        =
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        +
        i
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}
  և ամբողջ թվերի համար էքսպոնենցիալ կանոնից։

  
    
      
        
          
            (
            
              e
              
                i
                x
              
            
            )
          
          
            n
          
        
        =
        
          e
          
            i
            n
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}}
  Այնուհետև Էյլերի բանաձևով,

  
    
      
        
          e
          
            i
            (
            n
            x
            )
          
        
        =
        cos
        ⁡
        (
        n
        x
        )
        +
        i
        sin
        ⁡
        (
        n
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,}
  


== Ինդուկցիայով ապացույց (n ամբողջ թվի համար) ==
Մուավրի թեորեմի ճշմարտությունը հիմնվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայով բնական թվերի համար և ծավալվում բոլոր ամբողջ թվերի համար։ n ամբողջ թվերի համար, հետևյալ պնդումը նշանակենք S(n):

  
    
      
        (
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        +
        i
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        
          )
          
            n
          
        
        =
        cos
        ⁡
        (
        n
        x
        )
        +
        i
        sin
        ⁡
        (
        n
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle (\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx).}
  n > 0֊ի համար, մենք շարունակում ենք մաթեմատիկական ինդուկցիայով։ S(1)֊ը լիովին ճիշտ է։ Մեր վարկածի համար, մենք ենթադրում ենք S(k)֊ն ճիշտ է ինչ֊որ kբնական թվի համար։ Այսինքն մենք ենթադրում ենք

  
    
      
        
          
            (
            
              cos
              ⁡
              (
              x
              )
              +
              i
              sin
              ⁡
              (
              x
              )
            
            )
          
          
            k
          
        
        =
        cos
        ⁡
        
          (
          
            k
            x
          
          )
        
        +
        i
        sin
        ⁡
        
          (
          
            k
            x
          
          )
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle \left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).\,}
  Հիմա համարելով S(k + 1):

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    (
                    
                      cos
                      ⁡
                      (
                      x
                      )
                      +
                      i
                      sin
                      ⁡
                      (
                      x
                      )
                    
                    )
                  
                  
                    k
                    +
                    1
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    (
                    
                      cos
                      ⁡
                      (
                      x
                      )
                      +
                      i
                      sin
                      ⁡
                      (
                      x
                      )
                    
                    )
                  
                  
                    k
                  
                
                
                  (
                  
                    cos
                    ⁡
                    (
                    x
                    )
                    +
                    i
                    sin
                    ⁡
                    (
                    x
                    )
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  [
                  
                    cos
                    ⁡
                    
                      (
                      
                        k
                        x
                      
                      )
                    
                    +
                    i
                    sin
                    ⁡
                    
                      (
                      
                        k
                        x
                      
                      )
                    
                  
                  ]
                
                
                  (
                  
                    cos
                    ⁡
                    (
                    x
                    )
                    +
                    i
                    sin
                    ⁡
                    (
                    x
                    )
                  
                  )
                
              
              
              
                
                
                  ինդուկցիայի վարկածով
                
              
            
            
              
              
                
                =
                cos
                ⁡
                
                  (
                  
                    k
                    x
                  
                  )
                
                cos
                ⁡
                (
                x
                )
                −
                sin
                ⁡
                
                  (
                  
                    k
                    x
                  
                  )
                
                sin
                ⁡
                (
                x
                )
                +
                i
                
                  [
                  
                    cos
                    ⁡
                    
                      (
                      
                        k
                        x
                      
                      )
                    
                    sin
                    ⁡
                    (
                    x
                    )
                    +
                    sin
                    ⁡
                    
                      (
                      
                        k
                        x
                      
                      )
                    
                    cos
                    ⁡
                    (
                    x
                    )
                  
                  ]
                
              
            
            
              
              
                
                =
                cos
                ⁡
                
                  [
                  
                    
                      (
                      
                        k
                        +
                        1
                      
                      )
                    
                    x
                  
                  ]
                
                +
                i
                sin
                ⁡
                
                  [
                  
                    
                      (
                      
                        k
                        +
                        1
                      
                      )
                    
                    x
                  
                  ]
                
              
              
              
                
                
                  եռանկյունաչափական նույնություններով
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{k+1}&=\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{k}\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)&&\qquad {\text{ինդուկցիայի վարկածով}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos(x)-\sin \left(kx\right)\sin(x)+i\left[\cos \left(kx\right)\sin(x)+\sin \left(kx\right)\cos(x)\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]&&\qquad {\text{եռանկյունաչափական նույնություններով}}\end{alignedat}}}
  Տե՛ս անկյունների գումար և տարբերության նույնություններ։
Մենք եզրակացնում ենք, որ S(k) ենթադրում է S(k + 1)։ Մաթեմատիկական ինդուկցիայի սկզբունքով հետևում է, որ արդյունքը ճիշտ է բոլոր բնական թվերի համար։ S(0)֊ն լիովին ճիշտ է, քանի որ cos(0x) + i sin(0x) = 1 + 0i = 1։ Վերջապես, բացասական ամբողջ թվերի դեպքում, մենք համարում ենք  −n էքսպոնենտը  n բնական թվի համար։

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    (
                    
                      cos
                      ⁡
                      (
                      x
                      )
                      +
                      i
                      sin
                      ⁡
                      (
                      x
                      )
                    
                    )
                  
                  
                    −
                    n
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    [
                    
                      
                        (
                        
                          cos
                          ⁡
                          (
                          x
                          )
                          +
                          i
                          sin
                          ⁡
                          (
                          x
                          )
                        
                        )
                      
                      
                        n
                      
                    
                    ]
                  
                  
                    −
                    1
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    [
                    
                      cos
                      ⁡
                      (
                      n
                      x
                      )
                      +
                      i
                      sin
                      ⁡
                      (
                      n
                      x
                      )
                    
                    ]
                  
                  
                    −
                    1
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                cos
                ⁡
                (
                −
                n
                x
                )
                +
                i
                sin
                ⁡
                (
                −
                n
                x
                )
                .
                
                (
                ∗
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{-n}&=\left[\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{n}\right]^{-1}\\&=\left[\cos(nx)+i\sin(nx)\right]^{-1}\\&=\cos(-nx)+i\sin(-nx).\qquad (*)\\\end{aligned}}}
  Հավասարումը (*) նույնության արդյունք է

  
    
      
        
          z
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            
              
                z
                ¯
              
            
            
              
                |
              
              z
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}},}
  z = cos (nx) + i sin (nx) համար։ Այդ պատճառով,  S(n)֊ը բավարարում է բոլոր n ամբողջ թվերին։


== Կոսինուս և սինուսի համար բանաձև ==
Լինելով կոմպլեքս թվերիհավասարում, այդ մեկը անպայմանորեն ունի հավասարման իրական մասերի և կեղծ մասերի անդամների հավասարություն։ Եթե  x֊ը, հետևաբար նաև cos x֊ն ու sin x֊ը, իրական թվեր են, ապա այս մասերի նույնությունը կարող է գրվել օգտագործելով բինոմական գործակիցներ։ Այս բանաձևը տրվել էր 16֊րդ դարի մաթեմատիկոս Ֆրանցիսկոս Վիետի կողմից

  
    
      
        
          
            
              
                sin
                ⁡
                (
                n
                x
                )
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    n
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      n
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  cos
                  
                    k
                  
                
                ⁡
                x
                
                
                  sin
                  
                    n
                    −
                    k
                  
                
                ⁡
                x
                
                sin
                ⁡
                
                  (
                  
                    
                      
                        (
                        n
                        −
                        k
                        )
                        π
                      
                      2
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
                cos
                ⁡
                (
                n
                x
                )
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    n
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      n
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  cos
                  
                    k
                  
                
                ⁡
                x
                
                
                  sin
                  
                    n
                    −
                    k
                  
                
                ⁡
                x
                
                cos
                ⁡
                
                  (
                  
                    
                      
                        (
                        n
                        −
                        k
                        )
                        π
                      
                      2
                    
                  
                  )
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(nx)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}x\,\sin ^{n-k}x\,\sin \left({\frac {(n-k)\pi }{2}}\right)\\\cos(nx)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}x\,\sin ^{n-k}x\,\cos \left({\frac {(n-k)\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}
  ։Այս երկու հավասարումներից յուրաքանչյուրում, վերջնական եռանկյունաչափական ֆունկցիան հավասար է 1 կամ ֊1 կամ 0, այդպիսով հեռացնելով գումարնեից յուրաքանչյուրում մուտքագրումների կեսը։ Այս հավասարումներն իրականում x կոմպլեքս թվերի համար անգամ ընդունելի են, քանի որ երկու կողմերն էլ  x֊ի ամբողջական ֆունկցիաներ են (այսինքն հոլոմորֆիկ են ողջ կոմպլեքս հարթության վրա), և երկու այսպիսի ֆունկցիաները, որ համընկնում են իրական առանցքի վրա, անպայմանորեն համընկնում են ամենուրեք։ Ահա n = 2 և n = 3֊ի համար այս հավասարումների կոնկրետ օրինակներ․

  
    
      
        
          
            
              
                cos
                ⁡
                (
                2
                x
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    (
                    
                      cos
                      ⁡
                      
                        x
                      
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  (
                  
                    
                      
                        (
                        
                          cos
                          ⁡
                          
                            x
                          
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    1
                  
                  )
                
              
              
              
                
                =
                2
                
                  
                    (
                    
                      cos
                      ⁡
                      
                        x
                      
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
                −
                1
              
            
            
              
                sin
                ⁡
                (
                2
                x
                )
              
              
                
                =
                2
                
                  (
                  
                    sin
                    ⁡
                    
                      x
                    
                  
                  )
                
                
                  (
                  
                    cos
                    ⁡
                    
                      x
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
                cos
                ⁡
                (
                3
                x
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    (
                    
                      cos
                      ⁡
                      
                        x
                      
                    
                    )
                  
                  
                    3
                  
                
                +
                3
                cos
                ⁡
                
                  x
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        (
                        
                          cos
                          ⁡
                          
                            x
                          
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    1
                  
                  )
                
              
              
              
                
                =
                4
                
                  
                    (
                    
                      cos
                      ⁡
                      
                        x
                      
                    
                    )
                  
                  
                    3
                  
                
                −
                3
                cos
                ⁡
                
                  x
                
              
            
            
              
                sin
                ⁡
                (
                3
                x
                )
              
              
                
                =
                3
                
                  
                    (
                    
                      cos
                      ⁡
                      
                        x
                      
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  (
                  
                    sin
                    ⁡
                    
                      x
                    
                  
                  )
                
                −
                
                  
                    (
                    
                      sin
                      ⁡
                      
                        x
                      
                    
                    )
                  
                  
                    3
                  
                
              
              
              
                
                =
                3
                sin
                ⁡
                
                  x
                
                −
                4
                
                  
                    (
                    
                      sin
                      ⁡
                      
                        x
                      
                    
                    )
                  
                  
                    3
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2x)&=\left(\cos {x}\right)^{2}+\left(\left(\cos {x}\right)^{2}-1\right)&&=2\left(\cos {x}\right)^{2}-1\\\sin(2x)&=2\left(\sin {x}\right)\left(\cos {x}\right)\\\cos(3x)&=\left(\cos {x}\right)^{3}+3\cos {x}\left(\left(\cos {x}\right)^{2}-1\right)&&=4\left(\cos {x}\right)^{3}-3\cos {x}\\\sin(3x)&=3\left(\cos {x}\right)^{2}\left(\sin {x}\right)-\left(\sin {x}\right)^{3}&&=3\sin {x}-4\left(\sin {x}\right)^{3}\\\end{aligned}}}
  cos(nx)֊ի համար բանաձևի աջ կողմը իրականում TnՉեբիշեվի բազմանդամի Tn(cos x) արժեքն է cos x֊ով։


== Ոչ ամբողջ թվերի համար ձախողում և ընդհանրացում ==
Մուավրի բանաձևը ուժի մեջ չէ ոչ ամբողջ աստիճանների համար։  Մուավրի բանաձևի ածանցումը ներառում է n ամբողջ թվով բարձրացրած կոմպլեքս թիվ։ Եթե կոմպլեքս թիվը բարձրացրած է ոչ ամբողջ թվով, արդյունքը բազմարժեք ֆունկցիա է (տե՛ս Աստիճանի և լոգարիթմի նույնությունների ձախողում)։ Օրինակ, երբ n = 12, Մուավրի բանաձևը տալիս է հետևյալ արդյունքները՝

for x = 0 բանաձևը տալիս է 11⁄2 = 1, և
for x = 2 բանաձևը տալիս է 11⁄2 = −1Սա սահմանում է երկու տարբեր արժեքներ միևնույն 11⁄2 արտահայտության համար, այդպիսով բանաձևը կայուն չէ այս դեպքում։
Մյուս կողմից,  1 և −1 արժեքները երկուսն էլ 1֊ի արմատներն են։ Ավելի ընդհանրական, եթե  z֊ը  և w֊ն կոմպլեքս թվեր են, ապա

  
    
      
        
          
            (
            
              cos
              ⁡
              z
              +
              i
              sin
              ⁡
              z
            
            )
          
          
            w
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}}
  բազմարժեք է, մինչդեռ

  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        w
        z
        )
        +
        i
        sin
        ⁡
        (
        w
        z
        )
        
      
    
    {\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,}
  ոչ։ Այնուամենայնիվ, միշտ կա դեպք, որտեղ

  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        w
        z
        )
        +
        i
        sin
        ⁡
        (
        w
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)}
  is one value of

  
    
      
        
          
            (
            
              cos
              ⁡
              z
              +
              i
              sin
              ⁡
              z
            
            )
          
          
            w
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,}
  


=== Կոմպլեքս թվերի արմատներ ===
Այս հոդվածում Մուավրի բանաձևի տարբերակի համեստ ընդլայնումը կարող է օգտագործվել կոմպլեքս թվի (equivalently, 1nրդ աստիճան) n֊րդ արմատները գտնելու համար։
Եթե z֊ը կոմպլեքս թիվ է գրված հարթության տեսքով որպես

  
    
      
        z
        =
        r
        
          (
          
            cos
            ⁡
            (
            x
            )
            +
            i
            sin
            ⁡
            (
            x
            )
          
          )
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle z=r\left(\cos(x)+i\sin(x)\right),\,}
  ապա  n n֊րդ արմատները z֊ի տրվում են

  
    
      
        
          r
          
            
              1
              n
            
          
        
        
          [
          
            cos
            ⁡
            
              (
              
                
                  
                    x
                    +
                    2
                    π
                    k
                  
                  n
                
              
              )
            
            +
            i
            sin
            ⁡
            
              (
              
                
                  
                    x
                    +
                    2
                    π
                    k
                  
                  n
                
              
              )
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle r^{\frac {1}{n}}\left[\cos \left({\frac {x+2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2\pi k}{n}}\right)\right]}
  որտեղ k֊ն ընկած է 0 ֊ից n − 1 ամբողջ թվերի մեջ։
Երբեմն այս բանաձևը հայտնի է որպես Մուավրի բանաձև։


== Զուգահեռներ այլ կարգավորումներում ==


=== Հիպերբոլիկ եռանկյունաչափություն ===
Քանի որ cosh x + sinh x = ex, Մուավրի բանաձևի անալոգը ևս հարմար է հիպերբոլիկ եռանկյունաչափությանը։ Բոլոր n ∈ ℤ համար

  
    
      
        (
        cosh
        ⁡
        x
        +
        sinh
        ⁡
        x
        
          )
          
            n
          
        
        =
        cosh
        ⁡
        n
        x
        +
        sinh
        ⁡
        n
        x
      
    
    {\displaystyle (\cosh x+\sinh x)^{n}=\cosh nx+\sinh nx}
  Նաև, եթե n ∈ ℚ, ապա (cosh x + sinh x)n  մեկ արժեքը կարող է լինել cosh nx + sinh nx:


=== Քվատերնիոններ ===
Քվատերնիոնների արմատը գտնելու համար գոյություն ունի Մուավրի բանաձևի անալոգ։ Հետևյալ տեսքով քվատերնիոնը

  
    
      
        d
        +
        a
        
          
            
              i
              ^
            
          
        
        +
        b
        
          
            
              j
              ^
            
          
        
        +
        c
        
          
            
              k
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d+a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }
  կարող է ներկայացվել

  
    
      
        q
        =
        k
        (
        cos
        ⁡
        θ
        +
        ε
        sin
        ⁡
        θ
        )
        
        
          f
          o
          r
        
        
        0
        ≤
        θ
        <
        2
        π
      
    
    {\displaystyle q=k(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad \mathrm {for} \;0\leq \theta <2\pi }
  Այս տեսքում,

  
    
      
        k
        =
        
          
            
              d
              
                2
              
            
            +
            
              a
              
                2
              
            
            +
            
              b
              
                2
              
            
            +
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle k={\sqrt {d^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}},}
  և եռանկյունաչափական ֆունկցիաները սահմանվում են որպես 

  
    
      
        cos
        ⁡
        θ
        =
        
          
            d
            k
          
        
        
        
          a
          n
          d
        
        
        sin
        ⁡
        θ
        =
        ±
        
          
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              
                c
                
                  2
                
              
            
            k
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \cos \theta ={\frac {d}{k}}\quad \mathrm {and} \quad \sin \theta =\pm {\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{k}}.}
  Այս դեպքում այդ a2 + b2 + c2 ≠ 0,

  
    
      
        ε
        =
        ±
        
          
            
              a
              
                
                  
                    i
                    ^
                  
                
              
              +
              b
              
                
                  
                    j
                    ^
                  
                
              
              +
              c
              
                
                  
                    k
                    ^
                  
                
              
            
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \varepsilon =\pm {\frac {a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},}
  այսնինքն՝ միավոր վեկտոր։ Սա տանում է Մուավրի բանաձևի բազմաձևության՝

  
    
      
        
          q
          
            n
          
        
        =
        
          k
          
            n
          
        
        (
        cos
        ⁡
        n
        θ
        +
        ε
        sin
        ⁡
        n
        θ
        )
        .
      
    
    {\displaystyle q^{n}=k^{n}(\cos n\theta +\varepsilon \sin n\theta ).}
  


==== Օրինակ ====

  
    
      
        Q
        =
        1
        +
        
          
            
              i
              ^
            
          
        
        +
        
          
            
              j
              ^
            
          
        
        +
        
          
            
              k
              ^
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle Q=1+\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} ,}
  խորանարդ արմատ բարձրացնելու համար, քվատերնիոնը պետք է գրել 

  
    
      
        Q
        =
        2
        
          (
          
            cos
            ⁡
            
              
                π
                3
              
            
            +
            ε
            sin
            ⁡
            
              
                π
                3
              
            
          
          )
        
        
        
          w
          h
          e
          r
          e
        
        
        ε
        =
        
          
            
              
                
                  
                    i
                    ^
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    j
                    ^
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    k
                    ^
                  
                
              
            
            
              3
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle Q=2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+\varepsilon \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\qquad \mathrm {where} \;\varepsilon ={\frac {\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {3}}}.}
  Այնուհետև խորանարդ արմատները տրվում են

  
    
      
        
          
            Q
            
              3
            
          
        
        =
        
          
            2
            
              3
            
          
        
        (
        cos
        ⁡
        θ
        +
        ε
        sin
        ⁡
        θ
        )
        
        θ
        =
        
          
            π
            9
          
        
        ,
        
          
            
              7
              π
            
            9
          
        
        ,
        
          
            
              13
              π
            
            9
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{Q}}={\sqrt[{3}]{2}}(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad \theta ={\frac {\pi }{9}},{\frac {7\pi }{9}},{\frac {13\pi }{9}}.}
  


== Ծանոթագրություններ ==
Abramowitz Milton & Stegun Irene A. (1964)։ Handbook of Mathematical Functions։ New York: Dover Publications։ էջ 74։ ISBN 0-486-61272-4 .


== Արտաքին հղումներ ==
De Moivre's Theorem for Trig Identities by Michael Croucher, Wolfram Demonstrations Project