Ֆունկցիայի որոշման տիրույթ

Որոշման տիրույթ, բազմություն, որով տրված է ֆունկցիան։ Ֆունկցիան պետք է որոշված լինի այդ բազմության յուրաքանչյուր կետում։


== Սահմանում ==
Եթե ֆունկցիան տրված է 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   բազմության վրա, և 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   բազմությանը համապատասխանում է մեկ այլ բազմություն, ապա այս դեպքում 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  բազմությանը անվանում են ֆունկցիայի որոշման տիրույթ կամ որոշման տիրույթ։

  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   բազմությանն անվանում են 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի որոշման տիրույթ և նշանակում 
  
    
      
        D
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle D(f)}
   կամ 
  
    
      
        
          d
          o
          m
        
        
        f
      
    
    {\displaystyle \mathrm {dom} \,f}
   ( անգլ.՝ domain — «բազմություն»)։

  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի որոշման տիրույթը նշելու համար ընդունված է նաև հետևյալ գրելաձևը՝ 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f\colon X\to Y}
  ։ Սա նշանակում է, որ 
  
    
      
        D
        (
        f
        )
        =
        
          X
        
      
    
    {\displaystyle D(f)=\mathrm {X} }
   և 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  –ն արժեքներ է ընդունում 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
   բազմությունից։
Երբեմն հաշվի են առնվում նաև ֆունկցիայի ենթաբազմության վրա սահմանված կանոնները։ Հաճախ այդ կանոնը տրվում է ինչ–որ արտահայտությամբ, որը ցույց է տալիս, թե ինչ գործողություններ պետք է կատարել  
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   թվով 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   ստանալու համար։


== Օրինակներ ==
Թվային ֆունկցիաները որոշման տիրույթում ամենավառ օրինակներն են։ Չափը և ֆունկցիոնալությունը նույնպես հանդիսանում են որոշման տիրույթի կարևորագույն և բաղկացուցիչ մաս։


==== Թվային ֆունկցիա ====
Ընդունված է, որ 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   թվային բազմությունում որոշված է 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   թվային ֆունկցիան, եթե այն 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   բազմության ամեն մի  թվի համապատասխանեցնում է որևէ 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   թիվ՝ 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  ։
Թվային ֆունկցիաներ. այս ֆունկցիաները բաժանվում են երկու խմբի․

Իրական փոփոխականի՝ իրական արժեք ունեցող ֆունկցիաներ, որը տրվում է հետևյալ բանաձևով 
  
    
      
        f
        :
        
          R
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
  ,
ինչպես նաև կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիան, որը ունի հետևյալ տեսքը՝  
  
    
      
        f
        :
        
          C
        
        →
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }
  ,որտեղ 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  –ը իրական թվերի բազմությունն է, իսկ 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  –ն կոմպլեքս թվերի բազմությունն է։


==== Գծային ֆունկցիա ====

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)=x}
   ֆունկցիայի որոշման տիրույթը համընկնում է 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
   կամ 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  բազմության հետ։


==== Հիպերբոլ ====

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        1
        
          /
        
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)=1/x}
   ֆունկցիայի որոշման տիրույթը իրական թվերի բազմությունն է առանց զրոյի՝ 
  
    
      
        D
        (
        f
        )
        =
        
          R
        
        ∖
        {
        0
        }
      
    
    {\displaystyle D(f)=\mathbb {R} \setminus \{0\}}
    
  
    
      
        
          d
          o
          m
        
        
        f
        =
        
          C
        
        ∖
        {
        0
        }
      
    
    {\displaystyle \mathrm {dom} \,f=\mathbb {C} \setminus \{0\}}
  ,
քանի որ, կամայական արգումենտի դեպքում ֆունկցիայի արժեքների բազմությունում բացառվում է զրո արժեքը՝ կոտորակի հայտարարը զրո արժեք չի կարող ընդհունել։


==== Ռացիոնալ՝ կոտորակային  ֆունկցիաներ ====
Այս ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը․

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              
                a
                
                  0
                
              
              +
              
                a
                
                  1
                
              
              x
              +
              ⋯
              +
              
                a
                
                  m
                
              
              
                x
                
                  m
                
              
            
            
              
                b
                
                  0
                
              
              +
              
                b
                
                  1
                
              
              x
              +
              ⋯
              +
              
                b
                
                  n
                
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}}}}
  Այն իրենից ներկայացնում է իրական ուղիղ կամ կոմպլեքս հարթություն բացառած վերջավոր քանակի այն կետերը, որոնք 
  
    
      
        
          b
          
            0
          
        
        +
        
          b
          
            1
          
        
        x
        +
        ⋯
        +
        
          b
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0}
   հավասարման լուծումներն են։
Այդ կետերը անվանում են 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի բևեռներ։
Օրինակ՝  
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              2
              x
            
            
              
                x
                
                  2
                
              
              −
              4
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4}}}
   ֆունկցիան որոշված է բոլոր այն կետերում, որտեղ հայտարարը հավասար չէ զրոյի՝ 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        −
        4
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle x^{2}-4\neq 0}
  ։ Հետևաբար ֆունկցիայի որոշման տիրույթը կլինի՝  
  
    
      
        D
        (
        f
        )
        =
        
          R
        
        ∖
        {
        ±
        2
        }
      
    
    {\displaystyle D(f)=\mathbb {R} \setminus \{\pm 2\}}
   կամ կարող ենք գրել հետևյալ տեսքով՝ 
  
    
      
        D
        (
        f
        )
        =
        (
        −
        ∝
        ;
        −
        2
        )
        ∪
        (
        −
        2
        ;
        2
        )
        ∪
        (
        2
        ;
        +
        ∝
        )
      
    
    {\displaystyle D(f)=(-\varpropto ;-2)\cup (-2;2)\cup (2;+\varpropto )}
  ։


=== Չափ ===
Եթե ​​ֆունկցիայի որոշման տիրույթի յուրաքանչյուր կետ ինչ–որ բազմություն է, օրինակ՝ տրված բազմության ենթաբազմությունը, ապա ասում են՝ տրված է բազմության ֆունկցիան։
Չափը ֆունկցիայի այնպիսի օրինակ  է, որում որոշման տիրույթ է հանդիսանում տրված բազմության ենթաբազմությունների ինչ որ համախումբ, որը կարող է ներկայանալ օրինակ՝ որպես բազմությունների օղակ կամ կիսաօղակ։
Օրինակ՝ որոշյալ ինտեգրալը ներկայանում է ֆունկցիայի կողմնորոշված տարածություն։


=== Ֆունկցիոնալ ===
Թող 
  
    
      
        
          F
        
        =
        {
        f
        ∣
        f
        :
        X
        →
        
          R
        
        }
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} =\{f\mid f\colon X\to \mathbb {R} \}}
   լինի 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   բազմությունից 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
   բազմության վրա տրված ֆունկցիա։ Այդ դեպքում սահմանենք 
  
    
      
        F
        :
        
          F
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle F\colon \mathbb {F} \to \mathbb {R} }
   ֆունկկցիա։ Նման ֆունկցիաներին անվանում են ֆունկցիոնալ։
Եթե, օրինակ, 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ∈
         
        X
      
    
    {\displaystyle x_{0}\in ~X}
   նշված կետի համար ֆունկցիան որոշված է, ապա կարելի է որոշել  
  
    
      
        F
        (
        f
        )
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle F(f)=f(x_{0})}
   ֆունկցիան, որը տրված կետում ունի նույն իմաստը, ինչ–որ  
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիան 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետում։


== Տես նաև ==
Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթ


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Функция, математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X
А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
Дж. Л. Келли Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
В. А. Зорич Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
Г. Е. Шилов Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65 — 69. — 528 с.