Պի (տառ)

Պին (հունարեն` πι), հունական այբուբենի տասնվեցերորդ տառն է։ Հունական այբուբենում թվային արժեքն է` 80։ Այդ տառից է առաջացել Կիրիլիցայի П տառը։


== Համագրություններ ==
Հայկական` Պ
Կիրիլիցայի` П
Լատինական` P
Թամիլական` ப்
Վրացական` პ
Եբրայական` פּ


== Նշանակումները ==

Մեծ Π տառով՝

Մաթեմատիկայում 
  
    
      
        
          ∏
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle \prod }
  -ով արտահայտվում է արտադրիչների արտադրյալը, այնպես, ինչպես 
  
    
      
        
          ∑
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle \sum }
  -ով՝ գումարը։Փոքրատառ π-ով՝

Մաթեմատիկական π ≈ 3.14159…, հաստատունը՝ շրջանագծի երկարության հարաբերությունը տրամագծին։

  
    
      
        π
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \pi (x)}
   ֆունկցիան 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ին չգերազանցող պարզ թվերի քանակն է։.
պի-մեզոն տարրական մասնիկըπ թվի հաշվարկման համար շատ մանաձևեր կան


=== Հարաբերություններ ===
Հայտնի են  
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   թվի կիրառման շատ տարբերակներ՝

Վիետի ֆորմուլան π թվի համար՝
  
    
      
        
          
            2
            π
          
        
        =
        
          
            
              2
            
            2
          
        
        ⋅
        
          
            
              2
              +
              
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        ⋅
        
          
            
              2
              +
              
                
                  2
                  +
                  
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            2
          
        
        ⋅
        …
      
    
    {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots }
  
pi  թվի կիրառմումը գործողությունների մեջ՝ 
  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        2
        ⋅
        θ
        )
        =
        2
        ⋅
        sin
        ⁡
        θ
        ⋅
        cos
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \sin(2\cdot \theta )=2\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta }
  , որի արդյունքում ստացվում է՝

  
    
      
        ϕ
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          
            
              ϕ
              2
            
          
        
        ⋅
        cos
        ⁡
        
          
            
              ϕ
              4
            
          
        
        ⋯
        =
        sin
        ⁡
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi \cdot \cos {\tfrac {\phi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {\phi }{4}}\cdots =\sin \phi }
  
մնում է ավելացնել 
  
    
      
        ϕ
        =
        
          
            
              π
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi ={\tfrac {\pi }{2}}}
  ր և կիրառել կրկնակի կոսինուսի բանաձևը՝Վալիսի բանաձև։
  
    
      
        
          
            2
            1
          
        
        ⋅
        
          
            2
            3
          
        
        ⋅
        
          
            4
            3
          
        
        ⋅
        
          
            4
            5
          
        
        ⋅
        
          
            6
            5
          
        
        ⋅
        
          
            6
            7
          
        
        ⋅
        
          
            8
            7
          
        
        ⋅
        
          
            8
            9
          
        
        ⋯
        =
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}
  Լայբնիցի շարք՝
  
    
      
        
          
            1
            1
          
        
        −
        
          
            1
            3
          
        
        +
        
          
            1
            5
          
        
        −
        
          
            1
            7
          
        
        +
        
          
            1
            9
          
        
        −
        ⋯
        =
        
          
            π
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}
  այլ շարքեր՝
  
    
      
        
          
            
              
                π
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      1
                      
                        16
                        
                          k
                        
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          8
                          
                            8
                            k
                            +
                            2
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          4
                          
                            8
                            k
                            +
                            3
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          4
                          
                            8
                            k
                            +
                            4
                          
                        
                      
                    
                    −
                    
                      
                        
                          1
                          
                            8
                            k
                            +
                            7
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      1
                      4
                    
                  
                
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      1
                      
                        16
                        
                          k
                        
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          8
                          
                            8
                            k
                            +
                            1
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          8
                          
                            8
                            k
                            +
                            2
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          4
                          
                            8
                            k
                            +
                            3
                          
                        
                      
                    
                    −
                    
                      
                        
                          2
                          
                            8
                            k
                            +
                            5
                          
                        
                      
                    
                    −
                    
                      
                        
                          2
                          
                            8
                            k
                            +
                            6
                          
                        
                      
                    
                    −
                    
                      
                        
                          1
                          
                            8
                            k
                            +
                            7
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      
                        (
                        −
                        1
                        
                          )
                          
                            k
                          
                        
                      
                      
                        4
                        
                          k
                        
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          2
                          
                            4
                            k
                            +
                            1
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          2
                          
                            4
                            k
                            +
                            2
                          
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          1
                          
                            4
                            k
                            +
                            3
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\pi &={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}+{\tfrac {4}{8k+4}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+1}}+{\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}-{\tfrac {2}{8k+5}}-{\tfrac {2}{8k+6}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\tfrac {2}{4k+1}}+{\tfrac {2}{4k+2}}+{\tfrac {1}{4k+3}}\right)\end{aligned}}}
  
  
    
      
        π
        =
        2
        
          
            3
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  k
                
              
            
            
              
              
                3
                
                  k
                
              
              
              (
              2
              k
              +
              1
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi =2{\sqrt {3}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\,3^{k}\,(2k+1)}}}
  բազմակի շարքեր՝
  
    
      
        π
        =
        8
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          ∑
          
            m
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              (
              4
              m
              −
              2
              
                )
                
                  2
                  k
                
              
            
          
        
        =
        4
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          ∑
          
            m
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                m
                
                  2
                
              
              −
              
                k
                
                  2
                
              
            
            
              (
              
                m
                
                  2
                
              
              +
              
                k
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              360
              
                ∑
                
                  k
                  =
                  1
                
                
                  ∞
                
              
              
                ∑
                
                  m
                  =
                  1
                
                
                  k
                
              
              
                
                  1
                  
                    m
                    (
                    k
                    +
                    1
                    
                      )
                      
                        3
                      
                    
                  
                
              
            
            
              4
              
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k}}}=4\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}}{(m^{2}+k^{2})^{2}}}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3}}}}}}
  Սահմաններ՝
  
    
      
        π
        =
        
          lim
          
            m
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              m
              !
              
                )
                
                  4
                
              
              
              
                
                  2
                
                
                  4
                  m
                
              
            
            
              
                
                  [
                  
                    (
                    2
                    m
                    )
                    !
                  
                  ]
                
                
                  2
                
              
              
              m
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi =\lim \limits _{m\rightarrow \infty }{\frac {(m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[(2m)!\right]^{2}\,m}}}
  

  
    
      
        π
        =
        
          
            
              6
              
                
                  lim
                  
                    n
                    →
                    ∞
                  
                
                
                  ∏
                  
                    
                      
                        k
                        =
                        1
                      
                      
                        
                          p
                          
                            k
                          
                        
                        ∈
                        
                          P
                        
                      
                    
                  
                  
                    n
                  
                
                
                
                  (
                  
                    1
                    −
                    
                      
                        1
                        
                          p
                          
                            k
                          
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
          
        
        
        →
      
    
    {\displaystyle \pi ={\sqrt {\frac {6}{\lim \limits _{n\to \infty }\prod \limits _{k=1 \atop p_{k}\in \mathbf {P} }^{n}\,\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{2}}}\right)}}}\quad \to }
   здесь 
  
    
      
        
          p
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{k}}
   — простые числа

  
    
      
        π
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          2
          
            n
          
        
        ⋅
        
          
            2
            −
            
              
                2
                +
                
                  
                    2
                    +
                    
                      
                        2
                        +
                        ⋯
                        +
                        
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}}}}}
  , որտեղ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   հավասար է արտահայտության արմատին։Էյլեր (համընդհանուր անալիզ)՝
  
    
      
        
          e
          
            i
            π
          
        
        +
        1
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;}
  Հաստատուն մեծությունների այլ կապերի՝
  
    
      
        
          
            π
            e
          
        
        =
        2
        
          ∏
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  2
                  k
                  +
                  1
                
                
                  2
                  k
                  −
                  1
                
              
            
            )
          
          
            2
            k
            −
            1
          
        
        
          
            (
            
              
                k
                
                  k
                  +
                  1
                
              
            
            )
          
          
            2
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{2k-1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}
  

  
    
      
        π
        ⋅
        e
        =
        6
        
          ∏
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  2
                  k
                  +
                  3
                
                
                  2
                  k
                  +
                  1
                
              
            
            )
          
          
            2
            k
            +
            1
          
        
        
          
            (
            
              
                k
                
                  k
                  +
                  1
                
              
            
            )
          
          
            2
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}
  Պուասոնի ինտեգրալ կամ  Գաուսի ինտեգրալ՝
  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
         
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
          d
          x
        
        =
        
          
            π
          
        
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}}
  

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              B
              r
              (
              x
              )
            
            
              
                e
                
                  B
                  
                    r
                    
                      4
                    
                  
                  (
                  x
                  )
                
              
            
          
        
        d
        x
        =
        
          
            π
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {Br(x)}{\displaystyle e^{Br^{4}(x)}}}dx={\sqrt {\pi }},}
  , որտեղ 
  
    
      
        B
        r
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle Br(x)}
   — Բրինգի արմատն է։Ինտեգրալային սինուս`
  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              
                sin
                ⁡
                x
              
              x
            
          
          d
          x
        
        =
        π
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi }
  Արտահայտություն երկխոսության միջոցով`
  
    
      
        π
        =
        
          
            6
            
              ln
              
                2
              
            
            ⁡
            2
            +
            12
             
            
              Li
              
                2
              
            
            ⁡
            
              (
              
                
                  1
                  2
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi ={\sqrt {6\ln ^{2}2+12\ \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)}}}
  անկախ ինտեգրալով՝
  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              d
              x
            
            
              (
              x
              +
              1
              )
              
                
                  x
                
              
            
          
        
        =
        π
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi }
  


== Տես նաև ==
Հունական այբուբեն