Պյութագորասի թեորեմ

Պյութագորասի թեորեմը ցույց է տալիս ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերակցությունը։ 
Թեորեմը ձևակերպվում է հետևյալ կերպ՝ Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին։ Ներքնաձիգը ուղիղ անկյան դիմացի կողմն է, էջերը՝ ուղիղ անկյան կից կողմերը։
Պյութագորասի թեորեմը կարող է գրառվել հավասարման տեսքով, որը ցույց է տալիս եռանկյան a, b էջերի և c ներքնաձիգի միջև եղած կապը՝
a2+b2=c2:Այս հավասարմանը հաճախ ասում են Պյութագորասի հավասարում։
Պյութագորասի թեորեմը հույն մաթեմատիկոս Պյութագորասի (մ.թ.ա. 570 թ.- մ.թ.ա. 495 թ.) անունով է, ում վերագրվում է նրա հայտնագործումը և ապացուցումը։
Պյութագորասի թեորեմն ունի բազմաթիվ ապացույցներ՝ ավելի շատ, քան որևէ այլ թեորեմ։


== Ապացույցներ ==


=== Նման եռանկյունների մեթոդ ===

Դիցուք ABC-ն A ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյուն է։
A գագաթից տանենք AD բարձրությունը։
ADC և ABC եռանկյունները նման եռանկյուններ են ըստ երկու անկյունների։
Նմանապես BAD եռանկյունը նման է ABC եռանկյանը։
Մտցնենք հետևյալ նշանակումները

  
    
      
        
          |
        
        A
        B
        
          |
        
        =
        a
        ,
        
          |
        
        A
        C
        
          |
        
        =
        b
        ,
        
          |
        
        B
        C
        
          |
        
        =
        c
        
      
    
    {\displaystyle |AB|=a,|AC|=b,|BC|=c\,}
  ստացանք

  
    
      
        
          
            a
            c
          
        
        =
        
          
            
              
                |
              
              B
              D
              
                |
              
            
            a
          
        
        ;
        
          
            b
            c
          
        
        =
        
          
            
              
                |
              
              C
              D
              
                |
              
            
            b
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {|BD|}{a}};{\frac {b}{c}}={\frac {|CD|}{b}}.}
  ինչը համարժեք է

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        =
        c
        ⋅
        
          |
        
        B
        D
        
          |
        
        ;
        
          b
          
            2
          
        
        =
        c
        ⋅
        
          |
        
        C
        D
        
          |
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}=c\cdot |BD|;b^{2}=c\cdot |CD|.\,}
  Գումարելով կստանանք

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        c
        ⋅
        
          (
          
            
              |
            
            B
            D
            
              |
            
            +
            
              |
            
            C
            D
            
              |
            
          
          )
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c\cdot \left(|BD|+|CD|\right)=c^{2}.}
  կամ

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}
  , ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։


=== Պյութագորասի ընդհանրացված թեորեմ ===
Կոսինուսների թեորեմը   երբեմն  անվանում   են  Պյութագորասի ընդհանրացված   թեորեմ։  Այս    անվանումը   պայմանավորված   է  նրանով,   որ  կոսինուսների   թեորեմը   իր   մեջ   ներառում   է   նաև  Պյութագորասի թեորեմը՝   որպես   մասնավոր   դեպք։   Իրոք,   եթե  ABC  եռանկյան    A  անկյունը  ուղիղ   է,   ապա  cosA=cos900=0:  Կոսինուսների   թեորեմով   կստացվի՝ a2=b2+c2-2bccos900 ,   որտեղից   էլ a2=b2+c2:
Օգտվելով   թեորեմից՝   կարելի   է պարզել   նաև   եռանկյան  տեսակը՝   սուրանկյուն,  ուղղանկյուն   կամ  բութանկյուն։   Մասնավորապես,   եթե

a2=b2+c2,   ապա  եռանկյունը   ուղղանկյուն  է,
a2 < b2+c2 ,   ապա եռանկյունը   սուրանկյուն   է,
a2 > b2+c2,    ապա    եռանկյունը    բութանկյուն  է։  Ընդ  որում  a>b,  a>c:


=== Վերադասավորումներով ապացույց ===