Կառնոյի թեորեմ

Թեորեմ։ Եռանկյանն արտագծած շրջանագծի կենտրոնից եռանկյան կողմերն ունեցած հեռավորությունների գումարը հավասար է ներգծած և արտածած շրջանագծերի շառավիղների գումարին։


== Ապացուցում ==
Դիցուք 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  -ն 
  
    
      
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle ABC}
   եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնն է։ Այդ կետի հեռավորությունները եռանկյան 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
   կողմերից նշանակենք համապատասխանաբար 
  
    
      
        G
        ,
        H
        ,
        F
        :
        G
        D
        H
        B
      
    
    {\displaystyle G,H,F:GDHB}
   քառանկյանը կարելի է արտագծել շրջանագիծ(
  
    
      
        ∠
        
          D
          H
          B
        
        =
        90
        ,
        ∠
        
          D
          G
          B
        
        =
        90
        =>
        ∠
        
          D
          H
          B
        
        +
        ∠
        
          D
          G
          B
        
        =
        180
      
    
    {\displaystyle \angle {DHB}=90,\angle {DGB}=90=>\angle {DHB}+\angle {DGB}=180}
  )։ Նկատենք, որ ըստ Պտղոմեոսի թեորեմի

  
    
      
        A
        P
        ⋅
        
          B
          ′
        
        
          C
          ′
        
        =
        
          C
          ′
        
        P
        ⋅
        A
        
          B
          ′
        
        +
        
          B
          ′
        
        P
        ⋅
        A
        
          C
          ′
        
      
    
    {\displaystyle AP\cdot B'C'=C'P\cdot AB'+B'P\cdot AC'}
  
կամ 
  
    
      
        R
        ⋅
        
          
            a
            2
          
        
        =
        P
        
          C
          ′
        
        ⋅
        
          
            b
            2
          
        
        +
        P
        
          C
          ′
        
        ⋅
        
          
            c
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R\cdot {\frac {a}{2}}=PC'\cdot {\frac {b}{2}}+PC'\cdot {\frac {c}{2}}}
   (1)
Դիտարկենք 
  
    
      
        B
        
          C
          ′
        
        O
        
          A
          ′
        
      
    
    {\displaystyle BC'OA'}
   և 
  
    
      
        C
        
          A
          ′
        
        O
        
          B
          ′
        
      
    
    {\displaystyle CA'OB'}
   քառանկյունները։ Կստանանք՝

  
    
      
        R
        ⋅
        
          
            c
            2
          
        
        =
        P
        
          B
          ′
        
        ⋅
        
          
            a
            2
          
        
        +
        P
        
          A
          ′
        
        ⋅
        
          
            b
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R\cdot {\frac {c}{2}}=PB'\cdot {\frac {a}{2}}+PA'\cdot {\frac {b}{2}}}
   (2)

  
    
      
        R
        ⋅
        
          
            b
            2
          
        
        =
        P
        
          A
          ′
        
        ⋅
        
          
            c
            2
          
        
        +
        P
        
          C
          ′
        
        ⋅
        
          
            a
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R\cdot {\frac {b}{2}}=PA'\cdot {\frac {c}{2}}+PC'\cdot {\frac {a}{2}}}
   (3)
Գումարելով (1), (2), (3) հավասարությունները, կստանանք՝

  
    
      
        R
        ⋅
        p
        =
        P
        A
        ⋅
        
          
            
              b
              +
              c
            
            2
          
        
        +
        P
        B
        ⋅
        
          
            
              a
              +
              c
            
            2
          
        
        +
        P
        C
        ⋅
        
          
            
              a
              +
              b
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R\cdot p=PA\cdot {\frac {b+c}{2}}+PB\cdot {\frac {a+c}{2}}+PC\cdot {\frac {a+b}{2}}}
  
որտեղ 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  -ն 
  
    
      
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle ABC}
   եռանկյան կիսապարագիծն է։

  
    
      
        R
        ⋅
        p
        =
        P
        A
        ⋅
        (
        p
        −
        
          
            a
            2
          
        
        )
        +
        P
        B
        ⋅
        (
        p
        −
        
          
            b
            2
          
        
        )
        +
        P
        C
        ⋅
        (
        p
        −
        
          
            c
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle R\cdot p=PA\cdot (p-{\frac {a}{2}})+PB\cdot (p-{\frac {b}{2}})+PC\cdot (p-{\frac {c}{2}})}
  

  
    
      
        R
        ⋅
        p
        =
        (
        P
        A
        +
        P
        B
        +
        P
        C
        )
        ⋅
        p
        −
        (
        
          
            
              a
              ⋅
              P
              A
            
            2
          
        
        +
        
          
            
              b
              ⋅
              P
              B
            
            2
          
        
        +
        
          
            
              c
              ⋅
              P
              C
            
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle R\cdot p=(PA+PB+PC)\cdot p-({\frac {a\cdot PA}{2}}+{\frac {b\cdot PB}{2}}+{\frac {c\cdot PC}{2}})}
  

  
    
      
        R
        ⋅
        p
        =
        (
        P
        A
        +
        P
        B
        +
        P
        C
        )
        ⋅
        p
        −
        S
      
    
    {\displaystyle R\cdot p=(PA+PB+PC)\cdot p-S}
  

  
    
      
        R
        ⋅
        p
        =
        (
        P
        A
        +
        P
        B
        +
        P
        C
        )
        ⋅
        p
        −
        p
        r
      
    
    {\displaystyle R\cdot p=(PA+PB+PC)\cdot p-pr}
   որտեղից՝

  
    
      
        R
        +
        r
        =
        P
        A
        +
        P
        B
        +
        P
        C
      
    
    {\displaystyle R+r=PA+PB+PC}