Անշարժ կետ

Անշարժ կետ, մաթեմատիկայում ֆունկցիայի տիրույթի տարր, որտեղ ֆունկցիայի արժեքը հավասար է այդ կետին, այլ կերպ ասած՝  
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)=x}
   հավասարման լուծումը։ Օրինակ  եթե  
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        −
        3
        x
        +
        3
      
    
    {\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+3}
  -ը իրական թվերի վրա սահմանված ֆունկցիա է, ապա  
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ի անշարժ կետերն են  
  
    
      
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x=1}
   և 
  
    
      
        x
        =
        3
      
    
    {\displaystyle x=3}
  , քանի որ 
  
    
      
        f
        (
        1
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle f(1)=1}
   և 
  
    
      
        f
        (
        3
        )
        =
        3
      
    
    {\displaystyle f(3)=3}
  ։
Սա նշանակում է, որ 
  
    
      
        f
        (
        f
        (
        .
        .
        .
        f
        (
        x
        )
        .
        .
        .
        )
        )
        =
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle f(f(...f(x)...))=f^{n}(x)=x}
    կամայական x անշարժ կետի համար, ինչը կարևոր դիտարկում է ֆունկցիան ռեկուրսիվ հաշվելու համար։ Անշարժ կետերի բազմությունը երբեմն կոչում են անշարժ բազմություն։
Ամեն ֆունկցիաները չէ, որ ունեն անշարժ կետեր, օրինակ, 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        x
        +
        1
      
    
    {\displaystyle f(x)=x+1}
   ֆունկցիան անշարժ կետեր չունի, քանի որ 
  
    
      
        x
        =
        x
        +
        1
      
    
    {\displaystyle x=x+1}
  ։ արտահայտությունը կամայական իրական թվի համար սխալ է։ Գրաֆիկորեն 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ը 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի անշարժ կետ է, եթե 
  
    
      
        (
        x
        ,
        f
        (
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (x,f(x))}
   կետը գտնվում է 
  
    
      
        y
        =
        x
      
    
    {\displaystyle y=x}
   ուղղի վրա, այլ կերպ ասած՝ 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի գրաֆիկը հատվում է 
  
    
      
        y
        =
        x
      
    
    {\displaystyle y=x}
   ուղղի հետ։
Այն կետերը, որը վերադառնում են ինքին իրեն որոշակի թվով լուծումներից հետո 
  
    
      
        f
        (
        f
        (
        …
        f
        (
        x
        )
        …
        )
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle f(f(\dots f(x)\dots ))=x}
  , կոչվում են պարբերական, մասնավորապես, անշարժ կետերը 1 պարբերությամբ կետեր են։ Պրոյեկտիվ երկրաչափությունում պրոեկտիվության անշարժ կետը կոչվում է կրկնակի կետ։


== Ձգող անշարժ կետեր ==

  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   արտապատկերման  
  
    
      
        x
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle x=f(x)}
   անշարժ կետը ձգող է, եթե 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  -ի նախնական կիրառումը 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   -ի նկատմամբ 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ին բավականին մոտ կետի վրա, կձգտի 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -ի։

  
    
      
        
          
            
              
                f
                (
                f
                (
                …
                f
                (
                y
                )
                …
                )
                )
              
              ⏟
            
          
          
            n
          
        
        →
        x
        ,
        
        n
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle \underbrace {f(f(\dots f(y)\dots ))} _{n}\rightarrow x,\quad n\rightarrow \infty }
  .Ընդ որում պահանջվում է, որ ամեն ինտերեցիայի արդյունքում ստացվող կետը X կետի շրջակա որոշակի տարացքից դուրս չընկն, որպեսզի X կետը լինի ասիմտոտապես հաստատուն։
Մասնաորապես, որպեսզի կետը լինի ձգող՝ բավարար պայման է հանդիսանում 
  
    
      
        
          |
        
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        
          |
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle |f'(x)|<1}
  ։


=== Նյուտոնի մեթոդ ===
Ձգող անշարժ կետի գաղափարի առաջին օգտագործումը հանդիսանում է Նյուտոնի մեթոդը, որի դեպքում հավասարման լուծումը հանդիսանում է ձգող անշարժ կետ, այդ իսկ պատճառով կարելի է այն գտնել, որպես շատ արագ մոտարկվող թվերի սահման, որոնք ստացվում են մեթոդի կրկնակի կիրառմամբ։
Այդ մեթոդի կիրառման ամենահայտնի օրինակ է հանդիսանում  
  
    
      
        a
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle a\geqslant 0}
    թվի քառակուսի արմատի հաշվումը, որպես արտապատկերման ինտերացիայի սահման․

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              
                
              
              
                
                  x
                  +
                  
                    
                      a
                      x
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\cfrac {x+{\frac {a}{x}}}{2}}}
  .


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1976. — Гл. 2, п. 4.
Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. - М.: Наука, 1975. — Гл. 5.
Agarwal R. P., Meehan M., O'Regan D. Fixed Point Theory and Applications. - Cambridge University Press, 2001. - ISBN 0-521-80250-4.
Borisovich Yu. G., Gel'man B. D., Myshkis A. D., Obukhovskii V. V. Multivalued mappings // Journal of Soviet Mathematics, 1984. - Vol. 24, Issue 6, pp 719–791.
Fitzpatrick P. M., Petryshyn W. V. Fixed point theorems for multivalued noncompact acyclic mappings // Pacific Journal of Mathematics, 54:2, 1974.