Կելվինի ձևափոխություն

Այս հոդվածը Կելվինի ձևափոխության մասին է, որն օգտագործվում է հարմոնիկ ֆունկցիաների հետազոտման ապարատում։

Անվերջ տարածություններում հարմոնիկ ֆունկցիաների հետազոտման ժամանակ հաճախ հարմար է լինում կցել անվերջ հեռու կետը(∞) Rn - ին։Կելվինի ձևափոխության օգնությամբ ստանալու ենք նոր ֆունկցիա, սակայն մինչ դրան անցնելը սկզբում հետազոտենք Rn տարածության ինվերսիան 0 կենտրոնով և R շառավղով շրջանի նկատմամբ։ Ցանկացած x կետի համապատասխանության մեջ դնենք x* կետը հետևյալ ձևով՝

  
    
      
        
          x
          
            ∗
          
        
        =
        
          
            
              R
              
                2
              
            
            
              
                |
              
              x
              
                
                  |
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        x
        .
      
    
    {\displaystyle x^{*}={\frac {R^{2}}{|x|^{2}}}x.}
  Մասնավորաբար R=1 - ի դեպքում այն կընդունի հետևյալ տեսքը

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  x
                  
                    /
                  
                  
                    |
                  
                  x
                  
                    
                      |
                    
                    
                      2
                    
                  
                  ,
                
                
                  x
                  
                    ≠
                  
                  0
                  ,
                  
                    ∞
                  
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  x
                  =
                  
                    ∞
                  
                
              
              
                
                  
                    ∞
                  
                  ,
                
                
                  x
                  =
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x/|x|^{2},&x{\neq }0,{\infty }\\0,&x={\infty }\\{\infty },&x=0\end{cases}}}
  Ցանկացած E⊂Rn բազմության համար սահմանենք E* բազմությունը հետևյալ կերպ՝
E* = {x* : x ∈ E}
Այս ձևափոխության կարևոր հատկույուններից մեկն այն է, որ այն արտապատկերում է անվերջ հեռու կետը 0-ի և հակառակը։
Տրված u ֆունկցիայի համար  E⊂Rn\{0} բազմության վրա սահմանենք K[u] ֆունկցիա E* բազմության վրա հետևյալ ձևով՝
  
    
      
        K
        [
        u
        ]
        (
        
          x
          
            ∗
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                |
              
              x
              
                
                  |
                
                
                  n
                  −
                  2
                
              
            
            
              R
              
                2
                n
                −
                4
              
            
          
        
        u
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              
                |
              
              
                x
                
                  ∗
                
              
              
                
                  |
                
                
                  n
                  −
                  2
                
              
            
          
        
        u
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              
                |
              
              
                x
                
                  ∗
                
              
              
                
                  |
                
                
                  n
                  −
                  2
                
              
            
          
        
        u
        
          (
          
            
              
                
                  R
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    x
                    
                      ∗
                    
                  
                  
                    
                      |
                    
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            
              x
              
                ∗
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle K[u](x^{*})={\frac {|x|^{n-2}}{R^{2n-4}}}u(x)={\frac {1}{|x^{*}|^{n-2}}}u(x)={\frac {1}{|x^{*}|^{n-2}}}u\left({\frac {R^{2}}{|x^{*}|^{2}}}x^{*}\right).}
  Մասնավորապես միավոր շրջանի դեպքում այն կստանա հետևյալ տեսքը՝
  
    
      
        K
        [
        u
        ]
        (
        x
        )
        =
        
          
            |
          
          x
          
            
              |
            
            
              2
              −
              n
            
          
        
        u
        (
        
          x
          
            ∗
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle K[u](x)={|x|^{2-n}}u(x^{*}).}
  K[u]-ն կոչվում է u ֆունկցիայի Կելվինի ձևափոխություն։Երբ n=2 ,ապա 
  
    
      
        K
        [
        u
        ]
        (
        x
        )
        =
        u
        (
        
          x
          
            ∗
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle K[u](x)=u(x^{*}).}
  Հեշտությամբ կարելի է համողվել, որ K[K[u]]=u
Կելվինի ձևափոխությունը նաև գծային է, այսինքն՝ եթե u-ն և v-ն տրված ֆունկցիաներ են E-ի վրա և b, c-ն հաստատուններ են, ապա
K[bu+cv]=bK[u]+cK[v], E* - ի վրա։
Կելվինի ձևափոխության կարևորագույն առանձնահատկությունն այն է , որ այն պահպանում է ֆունկցիայի հարմոնիկությունը,այսինքն՝ եթե u-ն հարմոնիկ ֆունկցիա Է E բազմության վրա, ապա K[u] - ն հարմոնիկ է E* բազմության վրա։


== References ==
J. L. Doob (2001)։ Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart։ Springer-Verlag։ ISBN 3-540-41206-9 
Paul Bourdon|Wade Ramey (2001)։ Harmonic Function Theory։ Springer-Verlag։ ISBN 978-0-387-95218-5