Չորս քառակուսիների նույնություն

Էյլերի նույնությունը չորս քառակուսիների մասին, մաթեմատիկական թեորեմ այն մասին, որ.
Չորս քառակուսիների գումարի արտադրյալը համարվում է չորս քառակուսիների գումար։
Իրոք,

  
    
      
        (
        
          a
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            3
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            4
          
          
            2
          
        
        )
        ∗
        (
        
          b
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            4
          
          
            2
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})*(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})\,}
  

  
    
      
        =
        (
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        −
        
          a
          
            3
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        −
        
          a
          
            4
          
        
        
          b
          
            4
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            3
          
        
        
          b
          
            4
          
        
        −
        
          a
          
            4
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle =(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}\,}
  

  
    
      
        +
        
        (
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            4
          
        
        +
        
          a
          
            3
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            4
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            4
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            3
          
        
        −
        
          a
          
            3
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            4
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle +\,(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}\,}
  Նույնությունն իրականացվում է ցանկացած կոմուտատիվ օղակի էլեմենտների համար, բայց եթե a_i և b_i իրական թվեր են, ապա նույնությունը կարող է վերաձևակերպվել կվատերնիոնների տերմիններով. երկու կվատերնիոնների արտադրյալի մոդուլը հավասար է արտադրիչների մոդուլների արտադրյալին.
|ab|= |a||b| ։


== Անալոգ նույնություններ ==
«Մեկ քառակուսու նույնություն»
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        ⋅
        
          b
          
            2
          
        
        =
        (
        a
        b
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}\cdot b^{2}=(ab)^{2}}
  
նշանակում է, որ երկու իրական թվերի արտադրյալի մոդուլը հավասար է արտադրիչների մոդուլների արտադրյալին.

  
    
      
        
          |
        
        a
        b
        
          |
        
        =
        
          |
        
        a
        
          |
        
        
          |
        
        b
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |ab|=|a||b|}
  ,«Երկու քառակուսիների նույնություն» (Բրահմագուպտայի նույնություն)
  
    
      
        (
        
          a
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
          
            2
          
        
        )
        ⋅
        (
        
          b
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
          
            2
          
        
        )
        =
        (
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cdot (b_{1}^{2}+b_{2}^{2})=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})^{2}}
  
նշանակում է, որ երկու կոմպլեքս թվերի արտադրյալի մոդուլը հավասար է արտադրիչների մոդուլների արտադրյալին.

  
    
      
        
          |
        
        a
        b
        
          |
        
        =
        
          |
        
        a
        
          |
        
        
          |
        
        b
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |ab|=|a||b|}
  ,«Ութ քառակուսիների նույնություն» նշանակում է, որ երկու օկտոնիոնների արտադրյալի մոդուլը հավասար է արտադրիչների մոդուլների արտադրյալին.
։ 
  
    
      
        
          |
        
        a
        b
        
          |
        
        =
        
          |
        
        a
        
          |
        
        
          |
        
        b
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |ab|=|a||b|}
  .Այս բոլոր դեպքերում ստացված ֆունկցիաները (որի քառակուսիների գումարը հավասար է ելակետային գումարների քառակուսիների արտադրյալին) ելակետային փոփոխականների երկգծային ֆունկցիաներ են։ Սակայն համանմանորեն «տասնվեց քառակուսիների նույնություն» գոյություն չունի։ Փոխարենը կա նման, (ցանկացած բնական N -ի դեպքում 2^N քառակուսիների համար) էականորեն այլ ֆունկցիա՝ ելակետային փոփոխականների միայն ռացիոնալ ֆունկցիաների համար (ըստ Ա. Կ. Պֆիստերի թեորեմի.)


== Պատմություն ==
Նույնությունը դուրս է բերել Լեոնարդ Էյլերը 1750 թվականին։ Դա իրականացվել է քվատերնիոնների երևան գալուց մոտ 100 տարի առաջ։
Էյլերի նույնությունն օգտագործել է Ժոզեֆ Լուի Լագրանժը իր չորս քառակուսիների գումարի մասին թեորեմի ապացուցման մեջ։


== Տես նաև ==
Լեոնարդ Էյլերի պատվին անվանված օբյեկտների ցանկ


== Ծանոթագրություններ ==