Էյլեր-Մասկերոնի հաստատուն

Էյլեր-Մասկերոնի հաստատուն կամ Էյլերի հաստատուն- Մաթեմատիկական հաստատուն է, որը սահմանվում է որպես մասնակի սահմանի գումարի տարբերություն հարմոնիկ շարքի և բնական լոգարիթմով թվի.

  
    
      
        γ
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                k
                =
                1
              
              
                n
              
            
            
              
                1
                k
              
            
            −
            ln
            ⁡
            n
          
          )
        
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          (
          
            1
            +
            
              
                1
                2
              
            
            +
            
              
                1
                3
              
            
            +
            …
            +
            
              
                1
                n
              
            
            −
            ln
            ⁡
            n
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{1 \over k}-\ln n\right)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\ln n\right)}
  Հաստատունը ներմուծվել է 1735 թվին Լեոնարդ Էյլերի կողմից, ինքն էլ առաջարկել է դրա համար C նշանակումը, որը մինչև հիմա երբեմն կիրառվում է։ Իտալացի մաթեմատիկոս Լորենցո Մասկերոնին 1790 թվին հաշվեց 32 հաստատուն նշան (թիվ)։ Կարլ Անտոն Բրետշնայդերը առաջարկեց ժամանակակից նշանակումը` 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
   (հունական տառ«գամմա»)։
Թվերի տեսությունում հաստատունը հաճախ օգտագործում են

  
    
      
        
          e
          
            γ
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{\gamma }}
   ≈ 1,781 072 417 990 197 985 236 504 103 107 179 549 169 645 214 303 430 205 357 665 876 512 841 076 813 588 293 707 574 216 488 418 280…

  
    
      
        
          e
          
            γ
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                2
                1
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  2
                  
                    2
                  
                
                
                  1
                  ⋅
                  3
                
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            3
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    2
                    
                      3
                    
                  
                  ⋅
                  4
                
                
                  1
                  ⋅
                  
                    3
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            4
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    2
                    
                      4
                    
                  
                  ⋅
                  
                    4
                    
                      4
                    
                  
                
                
                  1
                  ⋅
                  
                    3
                    
                      6
                    
                  
                  ⋅
                  5
                
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            5
          
        
        ⋯
      
    
    {\displaystyle e^{\gamma }=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/4}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/5}\cdots }
  


==  ==
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
   թվի արժեքը

  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
   = 0,5772156649 0153286060 6512090082 4024310421 5933593992 3598805767 2348848677 2677766467 0936947063 2917467495 1463144724 9807082480 9605040144 8654283622 4173997644 9235362535 0033374293 7337737673 9427925952 5824709491 6008735203 9481656708 5323315177 6611528621 1995015079 8479374508 5705740029 9213547861 4669402960 4325421519 0587755352 6733139925 4012967420 5137541395 4911168510 2807984234 8775872050 3843109399 7361372553 0608893312 6760017247 9537836759 2713515772 2610273492 9139407984 3010341777 1778088154 9570661075 0101619166 3340152278 9358679654 9725203621 2879226555 9536696281 7638879272 6801324310 1047650596 3703947394 9576389065 7296792960 1009015125 1959509222 4350140934 9871228247 9497471956 4697631850 6676129063 8110518241 9744486783 6380861749 4551698927 9230187739 1072945781 5543160050 0218284409 6053772434 2032854783 6701517739 4398700302 3703395183 2869000155 8193988042 7074115422 2781971652 3011073565 8339673487 1765049194 1812300040 6546931429 9929777956 9303100503 0863034185 6980323108 3691640025 8929708909 8548682577 7364288253 9549258736 2959613329 8574739302
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
   թվի առաջին հազար արժեքը ստորակետից հետո։


== Հատկություններ ==
Էյլերի հաստատունը կարող է ներկայանալ որպես Ինտեգրալ

  
    
      
        γ
        =
        −
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              ln
              ⁡
              x
            
            
              e
              
                x
              
            
          
        
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \gamma =-\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\ln x}{e^{x}}}\,dx}
  

  
    
      
        
          γ
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            e
            
              −
              x
            
          
          
            ln
            
              2
            
          
          ⁡
          x
        
        
        d
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}=\int \limits _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln ^{2}x}\,dx.}
  

  
    
      
        −
        
          
            
              1
              4
            
          
        
        (
        γ
        +
        2
        ln
        ⁡
        2
        )
        
          
            π
          
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            e
            
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
          ln
          ⁡
          x
        
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle -{\tfrac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}=\int \limits _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx}
  
Կարող է նաև ներկայանալ Գամմա ֆունկցիայի Ածանցյալ

  
    
      
        γ
        =
        −
        
          Γ
          
            
              
              ′
            
          
        
        (
        1
        )
        =
        −
        Ψ
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \gamma =-\Gamma ^{'}(1)=-\Psi (1)}
  
Մինչև հիմա չի պարզվել, հանդիսանում է արդյոք այդ թիվը ռացիոնալ։ Սակայն Շղթայական կոտորակի տեսությունը ցույց է տալիս, որ եթե Էյլեր-Մասկերոնի հաստատունը ռացիոնալ կոտորակ է, ապա հայտարարը պետք է մեծ լինի  
  
    
      
        
          10
          
            242080
          
        
      
    
    {\displaystyle 10^{242080}}
  .

  
    
      
        
          
            
              
                γ
              
              
                
                =
                
                  
                    3
                    2
                  
                
                −
                ln
                ⁡
                2
                −
                
                  ∑
                  
                    m
                    =
                    2
                  
                  
                    ∞
                  
                
                (
                −
                1
                
                  )
                  
                    m
                  
                
                
                
                  
                    
                      m
                      −
                      1
                    
                    m
                  
                
                [
                ζ
                (
                m
                )
                −
                1
                ]
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  lim
                  
                    n
                    →
                    ∞
                  
                
                
                  [
                  
                    
                      
                        
                          2
                          
                          n
                          −
                          1
                        
                        
                          2
                          
                          n
                        
                      
                    
                    −
                    ln
                    
                    n
                    +
                    
                      ∑
                      
                        k
                        =
                        2
                      
                      
                        n
                      
                    
                    
                      (
                      
                        
                          
                            1
                            k
                          
                        
                        −
                        
                          
                            
                              ζ
                              (
                              1
                              −
                              k
                              )
                            
                            
                              n
                              
                                k
                              
                            
                          
                        
                      
                      )
                    
                  
                  ]
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      2
                      
                        n
                      
                    
                    
                      e
                      
                        
                          2
                          
                            n
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ∑
                  
                    m
                    =
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                  
                    
                      2
                      
                        m
                        
                        n
                      
                    
                    
                      (
                      m
                      +
                      1
                      )
                      !
                    
                  
                
                
                  ∑
                  
                    t
                    =
                    0
                  
                  
                    m
                  
                
                
                  
                    1
                    
                      t
                      +
                      1
                    
                  
                
                −
                n
                
                ln
                ⁡
                2
                +
                O
                
                  (
                  
                    
                      1
                      
                        
                          2
                          
                            n
                          
                        
                        
                        
                          e
                          
                            
                              2
                              
                                n
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\ln \,n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]\\&={\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right).\end{aligned}}}
  
  
    
      
        γ
        =
        
          lim
          
            m
            →
            ∞
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            m
          
        
        
          
            
              (
            
            
              m
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  k
                
              
            
            k
          
        
        ln
        ⁡
        (
        k
        !
        )
      
    
    {\displaystyle \gamma =\lim \limits _{m\to \infty }\sum \limits _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\ln(k!)}
  

  
    
      
        γ
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          {
          
            
              
                
                  Γ
                  (
                  
                    
                      1
                      n
                    
                  
                  )
                  Γ
                  (
                  n
                  +
                  1
                  )
                  
                  
                    n
                    
                      1
                      +
                      1
                      
                        /
                      
                      n
                    
                  
                
                
                  Γ
                  (
                  2
                  +
                  n
                  +
                  
                    
                      1
                      n
                    
                  
                  )
                
              
            
            −
            
              
                
                  n
                  
                    2
                  
                
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left\{{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+1/n}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right\}}
  

  
    
      
        
          γ
          +
          ζ
          (
          2
          )
          =
          
            ∑
            
              k
              =
              2
            
            
              ∞
            
          
          
            (
            
              
                
                  1
                  
                    ⌊
                    
                      
                        k
                      
                    
                    
                      ⌋
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
              −
              
                
                  1
                  k
                
              
            
            )
          
          =
          
            ∑
            
              k
              =
              2
            
            
              ∞
            
          
          
            
              
                k
                −
                ⌊
                
                  
                    k
                  
                
                
                  ⌋
                  
                    2
                  
                
              
              
                k
                ⌊
                
                  
                    k
                  
                
                
                  ⌋
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          =
          
            
              1
              2
            
          
          +
          
            
              2
              3
            
          
          +
          
            
              1
              
                2
                
                  2
                
              
            
          
          
            ∑
            
              k
              =
              1
            
            
              2
              ×
              2
            
          
          
            
              k
              
                k
                +
                
                  2
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          +
          
            
              1
              
                3
                
                  2
                
              
            
          
          
            ∑
            
              k
              =
              1
            
            
              3
              ×
              2
            
          
          
            
              k
              
                k
                +
                
                  3
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          +
          …
          .
        
      
    
    {\displaystyle {\gamma +\zeta (2)=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}{k\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\times 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\times 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\dots .}}
  

  
    
      
        2
        γ
        =
        
          lim
          
            z
            →
            0
          
        
        
          
            1
            z
          
        
        
          {
          
            
              
                1
                
                  Γ
                  (
                  1
                  +
                  z
                  )
                
              
            
            −
            
              
                1
                
                  Γ
                  (
                  1
                  −
                  z
                  )
                
              
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle 2\gamma =\lim \limits _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right\}}
  

  
    
      
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            
              3
              
                γ
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          lim
          
            z
            →
            0
          
        
        
          
            1
            z
          
        
        
          {
          
            
              
                1
                
                  Ψ
                  (
                  1
                  −
                  z
                  )
                
              
            
            −
            
              
                1
                
                  Ψ
                  (
                  1
                  +
                  z
                  )
                
              
            
          
          }
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}=\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right\}.}
  

  
    
      
        γ
        =
        ln
        ⁡
        π
        −
        4
        ln
        ⁡
        Γ
        (
        
          
            
              3
              4
            
          
        
        )
        +
        
          
            4
            π
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            k
            +
            1
          
        
        
          
            
              ln
              ⁡
              (
              2
              k
              +
              1
              )
            
            
              2
              k
              +
              1
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \gamma =\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {3}{4}})+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\ln(2k+1)}{2k+1}}.}
  

  
    
      
        
          e
          
            −
            γ
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        ln
        ⁡
        x
        
          ∏
          
            p
            ⩽
            x
          
        
        
          (
          
            1
            −
            
              
                1
                p
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle e^{-\gamma }=\lim \limits _{x\to \infty }\ln x\prod \limits _{p\leqslant x}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            p
            ⩽
            x
          
        
        
          
            
              ln
              ⁡
              p
            
            
              p
              −
              1
            
          
        
        =
        ln
        ⁡
        x
        −
        γ
        +
        o
        (
        1
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{p\leqslant x}{\frac {\ln p}{p-1}}=\ln x-\gamma +o(1).}
  

  
    
      
        γ
        =
        1
        −
        
          ∫
          
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              {
              x
              }
            
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        d
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \gamma =1-\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\{x\}}{x^{2}}}dx.}
  


== Դիտել նաև ==
Լեոնարդ Էյլերի պատվին անվանված օբյեկտների ցանկ


== Ծանոթագրություններ ==