Գունդ

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Գունդ (այլ կիրառումներ)Գնդի մակերևույթը (գնդոլորտը կամ սֆերան (հուն․՝ σφαῖρα)) տարածության այն կետերի երկրաչափական տեղն է, որոնք հավասարահեռ են մի կետից։ Այդ կետը կոչվում է գնդոլորտի կենտրոն, իսկ գնդոլորտի որևէ կետ նրա կենտրոնի հետ միացնող հատվածը կոչվում է գնդի շառավիղ։ Ոլորտով պարփակված և ոլորտի կենտրոնը պարունակող տարածության մասը կոչվում է գունդ։ Գունդը կառաջանա որպես պտտական մարմին, եթե շրջանը կամ կիսաշրջանը պտտենք տրամագծի շուրջը։


== Անալիտիկ երկրաչափություն ==
Անալիտիկ երկրաչափության տեսակետից ոլորտը 2-րդ կարգի կենտրոնավոր մակերևույթ է, որի հավասարումը ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգում ունի 

  
    
      
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        y
        −
        b
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        z
        −
        c
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          R
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}}
  տեսքը, որտեղ a, b, c-ն ոլորտի կենտրոնի կոորդինատներն են։


== Գունդը բնութագրող բանաձևերը ==

  
    
      
        V
        =
        
          
            
              π
              
                d
                
                  3
                
              
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle V={\frac {\pi d^{3}}{6}}}
  
Գնդի հասկացությունը մետրական տարածության մեջ բնականորեն ընդանրացնում է գնդի հասկացությունը էվկլիդյան երկրաչափությունում։


== Գնդային գոտի ==

Գնդային գոտի կոչվում է սֆերայի այն մասը, որն առնված է գունդը հատող երկու զուգահեռ հարթությունների միջև, իսկ գնդի համապատասխան մասը կոչվում է գնդային շերտ։ Եթե այդ երկու զուգահեռ հարթություններից մեկը շոշափում է սֆերան, ապա ստացվում է գնդային սեգմենտ։ Եթե այդ հարթություններից մեկը շոշափում է գնդոլորտը, իսկ մյուսը անցնում է գնդի կենտրոնով, ապա ստանում ենք կիսագունդ։


== Գնդային սեկտոր ==

Գնդային սեկտոր կոչվում է այն մարմիննը, որը ստացվում է գնդային սեգմենտից և կոնից։
Այն դեպքում, երբ սեգմենտը փոքր է կիսագնդից, գնդային սեկտորը ստացվում է սեգմենտը լրացնելով սեգմենտի հետ նույն հիմքը ունեցող և գնդի կենտրոնը գագաթ ունեցող կոնով։ Իսկ եթե սեգմենտը մեծ է կիսագնդից, ապա գնդային սեկտորը ստացվում է այդ սեգմենտից հեռացնելով նրա հետ ընդհանուր հիմք և գնդի կենտրոնը գագաթ ունեցող կոնը։ Գնդային գոտու մակերևույթի մակերեսը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝ 
  
    
      
        S
        =
        2
        π
        R
        h
      
    
    {\displaystyle S=2\pi Rh}
   որտեղ 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  -ը գնդի շառավիղն է, 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  -ը՝ գնդային գոտու բարձրությունը, 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  -ն մոտավորապես հավասար է 3.14։
Եթե գնդի շառավիղը 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   է, իսկ սեգմենտի բարձրությունը՝ 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  , ապա գնդային սեկտորի ծավալը հաշվում է 
  
    
      
        V
        =
        
          
            2
            3
          
        
        π
        
          R
          
            2
          
        
        h
      
    
    {\displaystyle V={\frac {2}{3}}\pi R^{2}h}
   բանաձևով։


=== Թեորեմ ===
Գնդի ցանկացած հարթ հատույթ շրջան է։ Ընդ որում, եթե գնդի շառավիղը հավասար է 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  , իսկ հատման հարթության հեռավորությունը գնդի կենտրոնից հավասար է 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  , ապա հատույթի շառավիղը հավասար է 
  
    
      
        r
        =
        
          
            
              R
              
                2
              
            
            −
            
              d
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-d^{2}}}}
  ։


== Ապացույց ==

Դիցուք 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  -ն գնդի կենտրոնն է, 
  
    
      
        
          O
          ′
        
      
    
    {\displaystyle O'}
  -ը գնդի կենտրոնի պրոյեկցիան է հատույթի հարթության վրա, 
  
    
      
        O
        
          O
          ′
        
        =
        
          |
        
        x
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle OO'=|x|}
  , 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ն սֆերայի և հատույթի հարթությանը պատկանող որևէ կետ է։ Ստացված 
  
    
      
        O
        
          O
          ′
        
        A
      
    
    {\displaystyle OO'A}
   եռանկյունում 
  
    
      
        ∠
        O
        
          O
          ′
        
        A
        =
        
          90
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle \angle OO'A=90^{\circ }}
   ։ Հետևաբար 
  
    
      
        
          O
          ′
        
        A
        =
        
          
            O
            
              A
              
                2
              
            
            −
            
              O
              ′
            
            
              O
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle O'A={\sqrt {OA^{2}-O'O^{2}}}}
   
  
    
      
        =
        
          
            
              R
              
                2
              
            
            −
            
              |
            
            x
            
              
                |
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle ={\sqrt {R^{2}-|x|^{2}}}}
  ։ Այստեղից հետևում է, որ 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  -ն պատկանում է հատույթի հարթության մեջ ընկած 
  
    
      
        
          O
          ′
        
      
    
    {\displaystyle O'}
   կենտրոնով և 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   շառավղով շրջանագծին։ Դժվար չէ ստուգել, որ այդ շրջանագծի ցանկացած կետն ընկած է տրված սֆերայի վրա։


== Գնդին ներգծված և արտագծված մարմիններ ==
Բազմանիստը կոչվում է գնդային մակերևույթին արտագծած, եթե գնդային մակերևույթը շոշափում է նրա բոլոր նիստերը։ Այդ դեպքում գնդային մակերևույթըկոչվում է ներգծված բազմանիստին։ 

Բազմանիստը կոչվում է ներգծած գնդային մակերևույթին, եթե նրա բոլոր գագաթները ընկած են գնդային մակերևույթի վրա։ Այդ դեպքում գնդային մակերևույթըկոչվում է արտագծված բազմանիստին։ 

Եթե կանոնավոր պրիզմային կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ, ապա գնդային մակերևույթի կենտրոնը բազմանիստի հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետն է։
Կանոնավոր պրիզմային արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը բազմանիստի հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետն է։
Կանոնավոր բուրգին ներգծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը գտնվում է բուրգի բարձրության վրա։
Կանոնավոր բուրգին արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը գտնվում է բուրգի բարձրության կամ նրա շարունակության վրա։
Գնդային մակերևույթը կոչվում է ներգծված գլանին, եթե այն շոշափում է գլանի հիմքերը և բոլոր ծնորդները։
Գնդային մակերևույթը կոչվում է ներգծված կոնին, եթե այն շոշափում է կոնի հիմքը և բոլոր ծնորդները։
Գլանը կոչվում է ներգծված գնդային մակերևույթին, եթե գլանի հիմքերը գնդային մակերևույթի հատույթներ են։


== Ծանոթագրություններ ==