Քառանկյուն

Քառանկյուն, երկրաչափական պատկեր, որը կազմված է 4 գագաթից (դրանցից 3-ը մեկ ուղղի վրա ընկած չեն) և 4 ուղղից, որոնք միացնում են գագաթները։ Տարբերում են ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ քառանկյուններ։


== Քառանկյան տեսակները ==
Զուգահեռագիծ՝ քառանկյուն, որի հանդիպակած կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են և հավասար
Ուղղանկյուն՝ քառանկյուն, որի բոլոր անկյուններն ուղիղ են
Շեղանկյուն՝ քառանկյուն, որի բոլոր կողմերը հավասար են
Քառակուսի՝ քառանկյուն, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են, իսկ բոլոր կողմերը՝ հավասար
Սեղան՝ քառանկյուն, որի երկու հակադիր կողմերը զուգահեռ են
Դելտոիդ՝ քառանկյուն, որի իրար կապված երկու կողմերի երկու զույգ հավասար են


== Քառանիստ ==
Չնայած այս անվանումը կարող է համարժեք չլինել քառանկյան հետ, բայց նրան հաճախ տրվում է հավելյալ իմաստ։ Քառանկյուն է կոչվում այն 4 գծերը, որոնցից ցանկացած երկուսը զուգահեռ չեն և ցանկացած երեքը չեն անցնում մեկ կետով։


== Հիմնական տեղեկություններ ==
Քառանկյան անկյունների գումարը հավասար է 2π = 360°։
Քառանկյանը կարելի է արտագծել շրջանագիծ այն և միայն այն դեպքում, երբ հակադիր անկյունների գումարը հավասար է 180°՝(
  
    
      
         
        ∠
        A
        +
        ∠
        C
        =
        ∠
        B
        +
        ∠
        D
        =
        
          180
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle ~\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }}
  )

Ուռուցիկ քառանկյունը հանդիսանում է ներգծված շրջանագծով այն և միայն այն դեպքում, երբ հակադիր կողմերի երկարությունները հավասար են (
  
    
      
         
        A
        B
        +
        C
        D
        =
        B
        C
        +
        A
        D
      
    
    {\displaystyle ~AB+CD=BC+AD}
  )։
Էյլերի բանաձևը. Տրամագծերի հատույթի տարածության քառակուսու քառապատիկը հավասար է քառանկյան կողմերի քառակուսու և իր տրամագծերի քառակուսու տարբերությանը։
Քառանկյան միջին գիծը և քառանկյան տրամագծերի հատույթը միացնող հատվածը հատվում են և կիսվում։
Չորս հատվածները, որոնցից յուրաքանչյուրը քառանկյան գագաթը միացնում է մյուս 3 գագաթներից կազմված եռանկյան կենտրոնին, հատվում են քառանկյան կենտրոնում և բաժանվում 3։1 հարաբերությամբ հատվածների՝ հաշված գագաթից։
Քառանկյան երկու հանդիպակաց կողմեր ուղղահայաց են այն և միայն այն դեպքում, երբ մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարը հավասար է անկյունագծերի քառակուսիների գումարին։
Քառանկյան անկյունագծերը ուղղահայաց են այն և միայն այն դեպքում, որբ հակադիր կողմերի քառակուսիների գումարները հավասար են։
4 կամայական կետերի միջև ընկած 6 հեռավորությունները, որոնք վերցված են զույգ առ զույգ, կապված են հետևյալ հարաբերակցությամբ՝
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          (
          
            
              b
              
                2
              
            
            +
            
              d
              
                2
              
            
            +
            
              e
              
                2
              
            
            +
            
              f
              
                2
              
            
            −
            
              a
              
                2
              
            
            −
            
              c
              
                2
              
            
          
          )
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        
          d
          
            2
          
        
        
          (
          
            
              a
              
                2
              
            
            +
            
              c
              
                2
              
            
            +
            
              e
              
                2
              
            
            +
            
              f
              
                2
              
            
            −
            
              b
              
                2
              
            
            −
            
              d
              
                2
              
            
          
          )
        
        +
      
    
    {\displaystyle a^{2}c^{2}\left(b^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}-a^{2}-c^{2}\right)+b^{2}d^{2}\left(a^{2}+c^{2}+e^{2}+f^{2}-b^{2}-d^{2}\right)+}
  

  
    
      
        +
        
          e
          
            2
          
        
        
          f
          
            2
          
        
        
          (
          
            
              a
              
                2
              
            
            +
            
              c
              
                2
              
            
            +
            
              b
              
                2
              
            
            +
            
              d
              
                2
              
            
            −
            
              e
              
                2
              
            
            −
            
              f
              
                2
              
            
          
          )
        
        =
        (
        a
        b
        e
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        b
        c
        f
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        c
        d
        e
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        d
        a
        f
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle +e^{2}f^{2}\left(a^{2}+c^{2}+b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2}\right)=(abe)^{2}+(bcf)^{2}+(cde)^{2}+(daf)^{2}}
  .Այս հավասարումը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝

  
    
      
        
          |
          
            
              
                
                  0
                
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    d
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    f
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                
              
              
                
                  
                    e
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  1
                
              
              
                
                  
                    d
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    f
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
              
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
            
          
          |
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left|{\begin{matrix}0&a^{2}&e^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&f^{2}&1\\e^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&f^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{matrix}}\right|=0}
  


== Մակերես ==

  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{1}}
  , 
  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{2}}
   անկյունագծեր և նրանց միջև ընկած 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   անկյուն ունեցող ուռուցիկ քառանկյան մակերեսը հավասար է

  
    
      
        S
        =
        
          
            
              
                d
                
                  1
                
              
              
                d
                
                  2
                
              
              sin
              ⁡
              α
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle S={\frac {d_{1}d_{2}\sin \alpha }{2}}}
  
Կամայական քառանկյան մակերեսը հավասար է

  
    
      
        16
        
          S
          
            2
          
        
        =
        4
        
          d
          
            1
          
          
            2
          
        
        
          d
          
            2
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            (
            
              
                b
                
                  2
                
              
              +
              
                d
                
                  2
                
              
              −
              
                a
                
                  2
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 16S^{2}=4d_{1}^{2}d_{2}^{2}-\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)^{2}}
  , որտեղ 
  
    
      
        
          d
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{1}}
  , 
  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{2}}
   — անկյունագծեր, իսկ a, b, c, d —ն կողմերի երկարություններն են։

  
    
      
        S
        =
        
          
            (
            p
            −
            a
            )
            (
            p
            −
            b
            )
            (
            p
            −
            c
            )
            (
            p
            −
            d
            )
            −
            a
            b
            c
            d
            
              cos
              
                2
              
            
            ⁡
            θ
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\theta }},}
  , որտեղ p-ն կիսապարագիծն է, իսկ 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  -ն՝ քառանկյան հակառակ կողմերի կիսագումարը (կապ չունի, թե որ զույգն է վերցված, քանի որ եթե մի համադիր զույգի կիսագումարը հավասար է 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  , ապա մյուս անկյունների կիսագումարը հավասար կլինի 
  
    
      
        
          180
          
            ∘
          
        
        −
        θ
      
    
    {\displaystyle 180^{\circ }-\theta }
   և 
  
    
      
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        
          180
          
            ∘
          
        
        −
        θ
        )
        =
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta }
  )։


=== Բացառություններ ===
Եթե քառանկյունը և՛ ներգծված է, և՛ արտագծված, ապա 
  
    
      
        S
        =
        
          
            a
            b
            c
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle S={\sqrt {abcd}}}
  ։ Եթե այն արտագծված է, ապա մակերեսը հավասար է նրա պարագծի և ներգծված շրջանագծի շառավղի արտադրյալին։


=== Պատմություն ===
Հին Եգիպտոսում մի քանի այլ ազգեր մակերեսը հաշվելու համար օգտագործում էին ոչ ճիշտ բանաձև՝

  
    
      
        S
        =
        
          
            
              a
              +
              c
            
            2
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              +
              d
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}}
  ։


== Տես նաև ==
Կոսինուսների թեորեմ


== Ծանոթագրություններ ==