Շոշափող

Շոշափող, ուղիղ, որն անցնում է կորի տվյալ կետով և այդ կետում համընկնում է նրա հետ։ 


== Խիստ Սահմանումը ==
Դիցուք, 
  
    
      
        f
        :
        U
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ⊂
        
          R
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
   ֆունցիան սահմանվում է որոշակի 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
   կետի շրջակայքում և դրանում դիֆերենցելի է՝ 
  
    
      
        f
        ∈
        
          
            D
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}
  ։ 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափող 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետում, կոչվում է այն գծային ֆունցիայի գրաֆիկը, որը տրվում է հետևյալ հավասարմամբ՝
։ 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        +
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ,
        
        x
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\in \mathbb {R} }
  .
Եթե 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունցիան 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետում ունի 
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        ±
        ∞
        ,
      
    
    {\displaystyle f'(x_{0})=\pm \infty ,}
   անվերջ ածանցյալներ, ապա այդ կետում շոշափող կոչվում է ուղղահայաց ուղիղը, որը տրվում է հետևյալ բանաձևով
։ 
  
    
      
        x
        =
        
          x
          
            0
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle x=x_{0}.}
  


== Ծանոթագրություն ==
Հենց սահմանումից հետևում է, որ շոշափողի գրաֆիկն անցնում է 
  
    
      
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}
   կետով։ Կորի շոշափողի ու Ох առանցքի միջև ընկած 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   անկյունը բավարարում է հետևյալ հավասարմանը

  
    
      
        tg
        
        α
        =
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        k
        ,
      
    
    {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha =f'(x_{0})=k,}
  որտեղ 
  
    
      
        tg
      
    
    {\displaystyle \operatorname {tg} }
  –ը նշանակում է տանգենս, իսկ 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle \operatorname {k} }
  –ը՝ շոշափողի թեքման կոեֆիցենտ։

  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետում ածանցյալը հավասար է այդ կետում 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
   ֆունկցիայի շոշափողի թեքման կոեֆիցենտին։


== Շոշափողը որպես հատողի սահմանային վիճակ ==

Դիցուք 
  
    
      
        f
        :
        U
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f\colon U(x_{0})\to \mathbb {R} }
   և 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ∈
        U
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle x_{1}\in U(x_{0}).}
   Այս դեպքում ուղիղը, որն անցում է 
  
    
      
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}
   և 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},f(x_{1}))}
   կետերով տրվում է հետևյալ հավասարմամբ՝

  
    
      
        y
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        +
        
          
            
              f
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              )
              −
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              
                x
                
                  1
                
              
              −
              
                x
                
                  0
                
              
            
          
        
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle y=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).}
  Այդ ուղիղն անցնում է 
  
    
      
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}
   կետով յուրաքանչյուր 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ∈
        U
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle x_{1}\in U(x_{0}),}
   և նրա թեքման 
  
    
      
        α
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \alpha (x_{1})}
   անկյունը բավարարում է հետևյալ հավասարմանը՝

  
    
      
        tg
        
        α
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        =
        
          
            
              f
              (
              
                x
                
                  1
                
              
              )
              −
              f
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              
                x
                
                  1
                
              
              −
              
                x
                
                  0
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha (x_{1})={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}.}
  Հաշվի առնելով, որ 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունցիայի ածանցյալը գոյություն ունի 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x_{0},}
   կետում, անցնելով 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        →
        
          x
          
            0
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x_{1}\to x_{0},}
   սահմանը, ստանում ենք, որ գոյություն ունի նաև հետևյալ սահմանը՝

  
    
      
        
          lim
          
            
              x
              
                1
              
            
            →
            
              x
              
                0
              
            
          
        
        tg
        
        α
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        =
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \lim \limits _{x_{1}\to x_{0}}\operatorname {tg} \,\alpha (x_{1})=f'(x_{0}),}
  իսկ արկտանգենսի անընդհատության դեպքում և հետևյալ սահմանային անկյունը

  
    
      
        α
        =
        arctg
        
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \alpha =\operatorname {arctg} \,f'(x_{0}).}
  
  
    
      
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}
   կետով անցնող և թեքման սահմանային անկյուն ունեցող ուղիղը, որը բավարարում է 
  
    
      
        tg
        
        α
        =
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha =f'(x_{0}),}
   տրվում է շոշափողի բանաձևով

  
    
      
        y
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        +
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).}
  


== Շրջանագծի շոշափողներ ==

Ուղիղը, որը շրջանագծի հետ մեկ ընդհանուր կետ ունի և ընկած է նրա հարթության մեջ, կոչվում է շրջանագծի շոշափող։


=== Հատկություններ ===
Շրջանագծի շոշափողն ուղղահայաց է շոշափման կետով տարված շառավղին։
Մի կետից տարված շոշափողի հատվածները հավասար են և հավասար անկյուններ են կազմում այդ կետով ու շրջանագծի կենտրոնով անցնող ուղղի հետ։


== Վարիացիաները և ընդհանրացումները ==


=== Միակողմանի կիսաշոշափողներ ===
Եթե գոյություն ունի աջ ածանցյալ 
  
    
      
        
          f
          
            +
          
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        <
        ∞
        ,
      
    
    {\displaystyle f'_{+}(x_{0})<\infty ,}
   ապա ֆունկցիայի գրաֆիկի աջ կիսաշոշափողը 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետում կոչվում է ճառագայթ։
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        +
        
          f
          
            +
          
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ,
        
        x
        ⩾
        
          x
          
            0
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle y=f(x_{0})+f'_{+}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\geqslant x_{0}.}
  Եթե գոյություն ունի ձախ ածանցյալ 
  
    
      
        
          f
          
            −
          
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        <
        ∞
        ,
      
    
    {\displaystyle f'_{-}(x_{0})<\infty ,}
   ապա 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի գրաֆիկի ձախ կիսաշոշափողը 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետում կոչվում է ճառագայթ։
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        +
        
          f
          
            −
          
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ,
        
        x
        ⩽
        
          x
          
            0
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle y=f(x_{0})+f'_{-}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\leqslant x_{0}.}
  Եթե գոյություն ունի անվերջ աջ ածանցյալ 
  
    
      
        
          f
          
            +
          
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        +
        ∞
        
        (
        −
        ∞
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle f'_{+}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),}
   ապա 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունցիայի աջ կիսաշոշափողը 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կետում կոչվում է ճառագայթ։
  
    
      
        x
        =
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
        y
        ⩾
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        
        (
        y
        ⩽
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        )
        .
      
    
    {\displaystyle x=x_{0},\;y\geqslant f(x_{0})\;(y\leqslant f(x_{0})).}
  Եթե գոյություն ունի անվերջ ձախ ածանցյալ 
  
    
      
        
          f
          
            −
          
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        =
        +
        ∞
        
        (
        −
        ∞
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle f'_{-}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),}
   ապա 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունցիայի գրաֆիկի աջ կիսաշոշափողը 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
   կոտում կոչվում է ճառագայթ։
  
    
      
        x
        =
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
        y
        ⩽
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        
        (
        y
        ⩾
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        )
        .
      
    
    {\displaystyle x=x_{0},\;y\leqslant f(x_{0})\;(y\geqslant f(x_{0})).}
  


== Գրականություն ==
Շոշափող // Բրոքհաուսի և Էֆրոնի հանրագիտարանային բառարան։ 86 հատորով (82 հիմնական հատոր և 4 լրացուցիչ)՝ 1890—1907։