Գումար (մաթեմատիկա)

Գումար (լատ.՝ summa-ամբողջը, ընդհանուր քանակ) մաթեմատիկայում դա թվային մեծությունների (թվեր, ֆունկցիաներ, վեկտորներ, մատրիցներ) գումարման արդյունքն է։ Բոլոր դեպքերի համար ընդհանուր է բաշխումը և զուգորդությունը։

  
    
      
        a
        +
        b
        =
        b
        +
        a
      
    
    {\displaystyle a+b=b+a}
  

  
    
      
        a
        +
        (
        b
        +
        c
        )
        =
        (
        a
        +
        b
        )
        +
        c
      
    
    {\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}
  

  
    
      
        (
        a
        +
        b
        )
        ⋅
        c
        =
        a
        ⋅
        c
        +
        b
        ⋅
        c
      
    
    {\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}
  

  
    
      
        c
        ⋅
        (
        a
        +
        b
        )
        =
        c
        ⋅
        a
        +
        c
        ⋅
        b
      
    
    {\displaystyle c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b}
  Բազմությունների տեսությունում գումար կամ միավորում կոչվում է բազմությունը, որի անդամ են հանդիսանում միավորվող բազմություններին պատկանող և չկրկնվող բոլոր տարրերը։ Կարող է լինել նաև ավելի բարդ հանրահաշվական կառուցվածքների գումար, օրինակ՝ գծային տարածությունների, իդեալների գումար, կատեգորիաների գումար և այլն։


== Թվաբանական գումար ==
Դիցուք՝  
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
  բազմությունն ունի 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   անդամ, որոնք կազմում են  
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   ենթաբազմությունը և  
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   անդամները, որոնք կազմում են 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   ենթաբազմությունը (
  
    
      
        A
        ⊂
        
          N
        
        ,
        B
        ⊂
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle A\subset \mathbb {N} ,B\subset \mathbb {N} }
  , a և b - բնական թվեր են)։ Այդ դեպքում 
  
    
      
        a
        +
        b
      
    
    {\displaystyle a+b}
   թվաբանական գումարը կլինի 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   անդամների քանակը, որոնք կազմում են 
  
    
      
        C
        ⊂
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle C\subset \mathbb {N} }
   ենթաբազմությունը, որն առաջանում է  սկզբնական ենթաբազմությունների միավորումից  
  
    
      
        C
        =
        A
        ⊔
        B
      
    
    {\displaystyle C=A\sqcup B}
  ։


== Հանրահաշվական գումար ==
Մաթեմատիկորեն գումարը նշանակում են հունարեն մեծատար Σ (սիգմա)․

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            
              =
            
            ⁡
            m
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        =
        
          a
          
            m
          
        
        +
        
          a
          
            m
            +
            1
          
        
        +
        
          a
          
            m
            +
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}
  որտեղ․ i - գումարման ինդեքսն է, ai - փոփոխականն է, ցույց է տալիս յուրաքանչյուր անդամը, m - գումարման ներքին սահմանը, n -գումարման վերին սահմանը։  Նշանի տակ գրված «i = m» նշանակում է, որ i -ի սկզբնական արժեքը համարժեք է m -ին։ Այս գրառումից հետևում է,որ  i -ի արժեքը մեծանում է մեկով և կանգ կառնի, երբ i = n.։
Ծրագրավորման մեջ տվյալ գործողությանը համապատասխանում է- for.

Գրառման օրինակներ
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            
              =
            
            ⁡
            1
          
          
            100
          
        
        i
        =
        1
        +
        2
        +
        3
        +
        4
        +
        .
        .
        .
        +
        99
        +
        100
      
    
    {\displaystyle \sum _{i\mathop {=} 1}^{100}i=1+2+3+4+...+99+100}
  

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            
              =
            
            ⁡
            3
          
          
            6
          
        
        
          i
          
            2
          
        
        =
        
          3
          
            2
          
        
        +
        
          4
          
            2
          
        
        +
        
          5
          
            2
          
        
        +
        
          6
          
            2
          
        
        =
        86
      
    
    {\displaystyle \sum _{i\mathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86}
  Սահմանների նշումը կարելի է չանել,եթե գրառումից պարզ է։

  
    
      
        ∑
        
          a
          
            i
          
          
            2
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            
              =
            
            ⁡
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum a_{i}^{2}=\sum _{i\mathop {=} 1}^{n}a_{i}^{2}}
  Տվյալ միջակայքի բոլոր բնական  
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   թվերի գումարը գրառվում է․

  
    
      
        
          ∑
          
            0
            ≤
            k
            <
            100
          
        
        f
        (
        k
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}
  
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   բազմության 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  անդամների 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  գումարը 

  
    
      
        
          ∑
          
            x
            
              ∈
            
            ⁡
            S
          
        
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}
  
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
   թվի բաժանարար հանդիսացող 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   թվերի 
  
    
      
        μ
        (
        d
        )
      
    
    {\displaystyle \mu (d)}
   գումար։ 

  
    
      
        
          ∑
          
            d
            
              |
            
            n
          
        
        
        μ
        (
        d
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{d|n}\;\mu (d)}
  Մի քանի սիմվոլներ կարող են ընդհանրացնել․

  
    
      
        
          ∑
          
            ℓ
            ,
            
              ℓ
              ′
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            ℓ
          
        
        
          ∑
          
            
              ℓ
              ′
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{\ell ,\ell '}=\sum _{\ell }\sum _{\ell '}}
  


=== Անվերջ գումար ===
Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ որոշվում է շարքի հասկացությունը, որպես անվերջ թվով գումարելիների գումարը։


==== Օրինակ ====
1. Թվաբանական պրոգրեսիայի գումար․

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        (
        
          a
          
            0
          
        
        +
        b
        ⋅
        i
        )
        =
        (
        n
        +
        1
        )
        
          
            
              
                a
                
                  0
                
              
              +
              
                a
                
                  n
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}}
    2. Երկրաչափական պրոգրեսիայի գումար․

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            0
          
        
        ⋅
        
          b
          
            i
          
        
        =
        
          a
          
            0
          
        
        ⋅
        
          
            
              1
              −
              
                b
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            
              1
              −
              b
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{n+1}}{1-b}}}
    3.
  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          k
          
            3
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  n
                  (
                  n
                  +
                  1
                  )
                
                2
              
            
            ]
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                ∑
                
                  k
                  =
                  1
                
                
                  n
                
              
              k
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}k\right)^{2}}
  

  4. 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              (
              
                
                  1
                  p
                
              
              )
            
          
          
            i
          
        
        =
        
          
            p
            
              p
              −
              1
            
          
        
        
          (
          
            1
            −
            
              
                1
                
                  p
                  
                    n
                    +
                    1
                  
                
              
            
          
          )
        
        ,
        
        p
        ≠
        1
        ,
        n
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right),\quad p\neq 1,n\geq 0}
  

  5. 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        i
        
          p
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              n
              
                p
                
                  n
                  +
                  2
                
              
              −
              (
              n
              +
              1
              )
              
                p
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              +
              p
            
            
              (
              p
              −
              1
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
        
        p
        ≠
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1}
  

  6. 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          p
          
            i
          
        
        =
        (
        p
        −
        1
        )
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
            −
            1
          
        
        (
        (
        n
        −
        i
        )
        
          p
          
            i
          
        
        )
        +
        n
        +
        1
        ,
        
        p
        ≠
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p^{i}=(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1,\quad p\neq 1}
  

Հարկ է նշել,որ   
  
    
      
        p
        =
        10
         
      
    
    {\displaystyle p=10\ }
   դեպքում 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          10
          
            i
          
        
        =
        9
        ⋅
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            n
            −
            1
          
        
        (
        (
        n
        −
        i
        )
        
          10
          
            i
          
        
        )
        +
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}10^{i}=9\cdot \sum _{i=0}^{n-1}((n-i)10^{i})+n+1}
  , շարքը հավասարություն է, որ ունի հետևյալ տեսքը․
  
    
      
        1
        =
        9
        ⋅
        0
        +
        1
        ,
        
        11
        =
        9
        ⋅
        1
        +
        2
        ,
        
        111
        =
        9
        ⋅
        12
        +
        3
        ,
        
        1111
        =
        9
        ⋅
        123
        +
        4
        ,
        
        11111
        =
        9
        ⋅
        1234
        +
        5
      
    
    {\displaystyle 1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234+5}
  


=== Անորոշ գումար ===
Անորոշ գումար 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}}
   ըստ 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
   կոչվում է 
  
    
      
        f
        (
        i
        )
      
    
    {\displaystyle f(i)}
  ֆունկցիան, նշանակվում է 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
          

          
        
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}^{}a_{i}}
  ,
что 
  
    
      
        ∀
        i
        :
        f
        (
        i
        +
        1
        )
        −
        f
        (
        i
        )
        =
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \forall i:f(i+1)-f(i)=a_{i}}
  .


=== Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձև ===
Եթե գտնվել է անորոշ գումար
  
    
      
        
          ∑
          
            i
          
          

          
        
        
          a
          
            i
          
        
        =
        f
        (
        i
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{i}^{}a_{i}=f(i)}
  , ապա  
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            a
          
          
            b
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        =
        f
        (
        b
        +
        1
        )
        ,
        f
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=a}^{b}a_{i}=f(b+1),f(a)}
  .


== Տես նաև ==
Գումարում
Արտադրյալ


== Ծանոթագրություն ==


== Գրականություն ==
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7-е. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — 608 с. — 100 000 экз.