Մակերես

Մակերես, մեծություն, որն արտահայտում է երկչափ մակերևույթի կամ հարթության կոնտուրի չափը։ Մակերեսը կարելի է պատկերացնել որպես տված հաստությամբ մատերիալի քանակություն, որն անհրաժեշտ է ծածկելու կոնտուրով շրջափակված մակերևույթը կամ ներկի քանակությունը, որ անհրաժեշտ է այդ մակերևույթը մի շերտով ծածկելու համար։
Մակերեսը միավոր քառակուսիների այն քանակությունն է, որով ամբողջովին ծածկվում է տվյալ պատկերը։ Եթե, օրինակ, ասում են, որ պատկերի մակերեսը 16.3 սմ2 է, ապա դա նշանակում է, որ տվյալ պատկերն ամբողջովին ծածկելու համար անհրաժեշտ է 16.3 հատ 1×1 սմ չափսերով քառակուսիներ։ Պատկերի՝ միավոր քառակուսիների վերածումը կոչվում է՝ քառակուսացում։
Երկրաչափական պարզ պատկերները՝ եռանկյունիները, շրջանը և այլն, ունեն մակերեսը չափելու բանաձևեր։
Երկրաչափական պատկերների մակերեսի հաշվարկման ընդհանուր մեթոդն ապահովում է ինտեգրալային հաշվարկը։ Մակերեսի հիմնական գաղափարի ընդհանրացումը դարձավ բազմության չափանիշների տեսությունը, որը կիրառելի է երկրաչափական օբյեկտների ավելի լայն դասի համար։
Գործնականում մակերեսի մոտավոր հաշվարկման համար օգտագործում են հատուկ հաշվարկման սարք՝ պլանաչափ։


=== Մակերես հասկացողության սահմանում ===
Մակերեսը ֆունկցիա է, որն ունի հետևյալ հատկությունները.

Դրական, այսինքն մակերեսը միշտ դրական է;
Հավելում, այսինքն պատկերի մակերեսը հավասար է երկրաչափական տվյալ պատկերը կազմող այլ պատկերների մակերեսների գումարին՝ առանց ընդհանուր ներքին կետերի;
Անփոփոխություն, այսինքն համանման պատկերների մակերեսներն իրար հավասար են;
Նորմալացում, այսինքն միավոր քառակուսու մակերեսը հավասար է մեկի։


== Չափի միավորներ ==
Երկարության յուրաքանչյուր միավորին համապատասխանում է մակերեսի այն միավորը, որը տվյալ երկարության վրա կառուցված քառակուսու մակերեսն է։
Միավորների միջազգային համակարգում մակերեսի միավորն է քառակուսի մետրը, որն այդ համակարգի հիմնական միավորներից մեկն է։ Ընդ որում՝

1մ2=100սմ2=1000000մմ2=10-6կմ2:Քառակուսի մետրի գրառման ձևերն են՝ քառ.մ. մ.(մակերես), ք.մ. մ.(մակերես), մ2։


=== Այլ միավորներ ===
1ար=100 քառակուսի մետրՉնայած նրան, որ արը դուրս է եկել գործածությունից, հեկտարը հողի մակերեսի չափման լայնորեն գործածվող միավոր է՝
1հեկտար(հա)=100ար=10 000 քառակուսի մետր=0.01 քառակուսի կիլոմետր (կմ2)Հողի չափման մյուս տարածված միավորն է ակրը՝
1ակր=4 840 քառակուսի յարդ=43 560 քառակուսի ոտնաչափ=4046.86 քառակուսի մետր։Ակրը կազմում է հեկտարի մոտավորապես 40%-ը։


== Երկրաչափական պատկերների մակերեսների բանաձևեր ==


== Մակերեսների բանաձևեր ==


=== Շրջան ===

  
    
      
        
          S
        
        =
        π
        
          r
          
            2
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {S} =\pi r^{2}.\,}
   
  
    
      
        
          S
        
        =
        
          
            
              π
              
                d
                
                  2
                
              
            
            4
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\,}
    որտեղ r-ը շրջանի շառավիղն է իսկ d-ն տրամագիծը


=== Քառակուսի ===

  
    
      
        
          S
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {S} =a^{2}.\,}
  


=== Եռանկյուն ===

  
    
      
        
          S
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        b
        h
      
    
    {\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {1}{2}}bh}
  # 
  
    
      
        
          S
          
            △
            A
            B
            C
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        b
        
          h
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bh_{b}}
  , քանի որ 
  
    
      
         
        
          h
          
            b
          
        
        =
        a
        sin
        ⁡
        γ
      
    
    {\displaystyle \ h_{b}=a\sin \gamma }
  , ուստի

  
    
      
        
          S
          
            △
            A
            B
            C
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        a
        b
        sin
        ⁡
        γ
      
    
    {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }
  

  
    
      
        
          S
          
            △
            A
            B
            C
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        r
        (
        a
        +
        b
        +
        c
        )
        =
        p
        r
      
    
    {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}r(a+b+c)=pr}
  

  
    
      
        
          S
          
            △
            A
            B
            C
          
        
        =
        
          
            
              a
              b
              c
            
            
              4
              R
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {abc}{4R}}}
  

  
    
      
        
          S
          
            △
            A
            B
            C
          
        
        =
        
          
            p
            (
            p
            −
            a
            )
            (
            p
            −
            b
            )
            (
            p
            −
            c
            )
          
        
        =
        
          
            1
            4
          
        
        
          
            (
            a
            +
            b
            +
            c
            )
            (
            b
            +
            c
            −
            a
            )
            (
            a
            +
            c
            −
            b
            )
            (
            a
            +
            b
            −
            c
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={1 \over 4}{\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}}
   - Հերոնի բանաձև

  
    
      
        
          S
          
            △
            A
            B
            C
          
        
        =
        
          
            
              
                a
                
                  2
                
              
              sin
              ⁡
              β
              sin
              ⁡
              γ
            
            
              2
              sin
              ⁡
              α
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}}
  

  
    
      
        
          S
          
            △
            A
            B
            C
          
        
        =
        
          2
          
            R
            
              2
            
          
          sin
          ⁡
          α
          sin
          ⁡
          β
          sin
          ⁡
          γ
        
      
    
    {\displaystyle S_{\triangle ABC}={2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }}
  

  
    
      
        
          S
          
            △
            A
            B
            C
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            |
            
              
                
                  
                    x
                    
                      A
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      A
                    
                  
                
                
                  1
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      B
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      B
                    
                  
                
                
                  1
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      C
                    
                  
                
                
                  
                    y
                    
                      C
                    
                  
                
                
                  1
                
              
            
            |
          
        
        =
        
          
            
              |
              
                
                  x
                  
                    A
                  
                
                (
                
                  y
                  
                    B
                  
                
                −
                
                  y
                  
                    C
                  
                
                )
                +
                
                  x
                  
                    B
                  
                
                (
                
                  y
                  
                    C
                  
                
                −
                
                  y
                  
                    A
                  
                
                )
                +
                
                  x
                  
                    C
                  
                
                (
                
                  y
                  
                    A
                  
                
                −
                
                  y
                  
                    B
                  
                
                )
              
              |
            
            2
          
        
        =
      
    
    {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}={\frac {\left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})\right|}{2}}=}
  
  
    
      
        =
        
          
            
              |
              
                (
                
                  x
                  
                    B
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    A
                  
                
                )
                (
                
                  y
                  
                    C
                  
                
                −
                
                  y
                  
                    A
                  
                
                )
                −
                (
                
                  x
                  
                    C
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    A
                  
                
                )
                (
                
                  y
                  
                    B
                  
                
                −
                
                  y
                  
                    A
                  
                
                )
              
              |
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ={\frac {\left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})\right|}{2}}}
  

  
    
      
        
          S
          
            △
            A
            B
            C
          
        
        =
        
          
            
              a
              b
            
            2
          
        
        =
        
          r
          
            2
          
        
        +
        2
        r
        R
      
    
    {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {ab}{2}}=r^{2}+2rR}
   - ուղղանկյուն եռանկյան համար

  
    
      
        
          S
          
            △
            A
            B
            C
          
        
        =
        
          
            
              c
              
                2
              
            
            
              2
              (
              c
              t
              g
              α
              +
              c
              t
              g
              β
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {c^{2}}{2(ctg\alpha +ctg\beta )}}}
   - եթե հայտնի է եռանկյան մեկ կողմը և նրան կից անկյուններըՈրտեղ

  
    
      
         
        
          h
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle \ h_{b}}
   - 
  
    
      
         
        b
      
    
    {\displaystyle \ b}
   կողմիին տարված բարձրությունն է,

  
    
      
        p
        =
        
          
            
              a
              +
              b
              +
              c
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}
   - պարագծի կեսն է,

  
    
      
         
        r
      
    
    {\displaystyle \ r}
   - ներգծած շրջանի շառավիղն է,

  
    
      
         
        R
      
    
    {\displaystyle \ R}
   - արտագծած շրջանի շառավիղն է,

  
    
      
         
        (
        
          x
          
            A
          
        
        ,
        
          y
          
            A
          
        
        )
        ;
        (
        
          x
          
            B
          
        
        ,
        
          y
          
            B
          
        
        )
        ;
        (
        
          x
          
            C
          
        
        ,
        
          y
          
            C
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \ (x_{A},y_{A});(x_{B},y_{B});(x_{C},y_{C})}
   - եռանկյան գագաթների կոորդինատներն են։


=== Սեղան ===

  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   և 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   սեղանի հիմքերի 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   միջին գծի և 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
   — բարձրության միջոցով՝

  
    
      
        S
        =
        
          
            
              (
              a
              +
              b
              )
            
            2
          
        
        h
        =
        
          m
          h
        
      
    
    {\displaystyle S={\frac {(a+b)}{2}}h=\displaystyle mh}
  
սեղանի մակերեսը 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  , 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   հիմքերի և 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   և 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
   ոչ զուգահեռ կողմերի միջոցով՝

  
    
      
        S
        =
        
          
            
              a
              +
              b
            
            
              4
              
                |
              
              a
              −
              b
              
                |
              
            
          
        
        
          
            (
            a
            +
            c
            +
            d
            −
            b
            )
            (
            a
            +
            d
            −
            b
            −
            c
            )
            (
            a
            +
            c
            −
            b
            −
            d
            )
            (
            b
            +
            c
            +
            d
            −
            a
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle S={\frac {a+b}{4|a-b|}}{\sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.}
  
հավասարակողմ սեղանի մակերեսը 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   ներգծված շրջանագծի շառավիղի և հիմքին կից 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   անկյան միջոցով՝

  
    
      
        S
        =
        
          
            
              4
              
                r
                
                  2
                
              
            
            
              sin
              ⁡
              
                α
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}}
  
մասնավորապես, եթե տվյալ անկյունը 30° է, ապա

  
    
      
        S
        =
        
          8
          
            r
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S=\displaystyle 8r^{2}}