Վերջավոր տարբերությունների հաշիվ

Վերջավոր տարբերությունների հաշիվ, մաթեմատիկայի բաժին, որտեղ ֆունկցիաներն ուսումնասիրվում են արգումենտի ընդհատ փոփոխման դեպքում, ի տարբերություն դիֆերենցիալ հաշվի և ինտեգրալ հաշվի, որտեղ արգումենտը համարվում է անընդհատ փոփոխվող։
Վերջավոր տարբերություն են անվանում հետևյալ տիպի առնչությունները․ 
  
    
      
        Δ
        f
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        f
        (
        
          x
          
            x
            +
            1
          
        
        )
        −
        f
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta f(x_{n})=f(x_{x+1})-f(x_{n})}
   (1-ին կարգի տարբերություն), 
  
    
      
        
          Δ
          
            2
          
        
        f
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        Δ
        f
        (
        
          x
          
            n
            +
            1
          
        
        )
        −
        Δ
        f
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta ^{2}f(x_{n})=\Delta f(x_{n+1})-\Delta f(x_{n})}
   (2-րդ կարգի տարբերություն), 
  
    
      
        
          Δ
          
            k
          
        
        f
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        
          Δ
          
            k
            −
            1
          
        
        f
        (
        
          x
          
            n
            +
            1
          
        
        )
        −
        
          Δ
          
            k
            −
            1
          
        
        f
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta ^{k}f(x_{n})=\Delta ^{k-1}f(x_{n+1})-\Delta ^{k-1}f(x_{n})}
   (k-րդ կարգի տարբերություն), որտեղ 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        =
        
          x
          
            0
          
        
        +
        n
        h
      
    
    {\displaystyle x_{n}=x_{0}+nh}
  , 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  -ը հաստատուն է, 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը՝ ամբողջ թիվ։
Վերջավոր տարբերությունների դերը ընդհատ արգումենտի ֆունկցիաների տեսությունում նույնն է, ինչ ածանցյալների դերն անընդհատ արգումենտի ֆունկցիաների տեսությունում։ Այս երկու հասկացությունները կապվում են

  
    
      
        
          lim
          
            h
            →
            0
          
        
        
          
            
              
                Δ
                
                  n
                
              
              f
              (
              x
              )
            
            
              h
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          f
          
            (
            n
            )
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\Delta ^{n}f(x)}{h^{n}}}=f^{(n)}(x)}
  բանաձևով, որտեղ հ–ը արգումենտի երկու հարևան արժեքների տարբերությունն է։ Վերջավոր տարբերությունների հաշիվը մեծ կիրառություն ունի թվային անալիզի մի շարք բաժիններում (միջարկում, թվային դիֆերենցում և ինտեգրում, դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման թվային մեթոդներ)։ Վերջավոր տարբերությունների հաշվի կարևոր բաժիններից մեկը նվիրված է 

  
    
      
        F
        [
        x
        ,
        Δ
        f
        (
        x
        )
        ,
        .
        .
        .
        
          Δ
          
            n
          
        
        f
        (
        x
        )
        ]
        =
        0
      
    
    {\displaystyle F[x,\Delta f(x),...\Delta ^{n}f(x)]=0}
  տեսքի տարբերական հավասարումների լուծմանը, որը շատ բաներով նման է դիֆերենցիալ հավասարումների լուծմանը։ Վերջավոր տարբերությունների հաշվում մեծ նշանակություն ունի ֆունկցիաների գումարման, այսինքն մեծ 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  -ի դեպքում 
  
    
      
        f
        (
        a
        )
        +
        f
        (
        a
        +
        h
        )
        +
        .
        .
        .
        +
        f
        (
        a
        +
        k
        h
        )
      
    
    {\displaystyle f(a)+f(a+h)+...+f(a+kh)}
   գումարի ճշգրիտ կամ մոտավոր արժեքը գտնելու խնդիրը։ Այն լուծվում է 

  
    
      
        
          ∑
          
            m
            =
            0
          
          
            k
            −
            1
          
        
        f
        (
        a
        +
        m
        h
        )
        =
        F
        (
        a
        +
        k
        h
        )
        −
        F
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{m=0}^{k-1}f(a+mh)=F(a+kh)-F(a)}
  բանաձևով, որտեղ 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
  -ը 
  
    
      
        Δ
        F
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta F(x)=f(x)}
   տարբերական հավասարման լուծումն է։ Վերջավոր տարբերությունների հաշվի այս բանաձևն ինտեգրալ հաշվի հիմնական բանաձևի՝ որոշյալ ինտեգրալը նախնականով արտահայտող բանաձևի հանգունակն է։