Բիո-Սավարի օրենք

Բիո-Սավարի օրենք, էլեկտրական հոսանքի ստեղծած մագնիսական դաշտի լարվածությունը որոշող օրենք։ Հայտնաբերել են ֆրանսիացի գիտնականներ Բիոն և Սավարը 1820 թվականին, իսկ ձևակերպումը ընդհանուր տեսքի է բերել Լապլասը։ Ըստ այդ օրենքի, տվյալ կետում (
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  ) հոսանքակիր հաղորդչի  
  
    
      
        Δ
        l
      
    
    {\displaystyle \Delta l}
   հատվածի առաջացրած մագնիսական դաշտի լարվածությունը՝ 
  
    
      
        Δ
        H
        =
        k
        
          
            
              I
              Δ
              l
              s
              i
              n
              θ
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta H=k{\frac {I\Delta lsin\theta }{r^{2}}}}
   հատվածով 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
   անցնող հոսանքի ուժն է (
  
    
      
        Δ
        l
      
    
    {\displaystyle \Delta l}
  –ի համար որպես ուղղություն ընտրվում է հոսանքի ուղղությունը), 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  -ն՝ 
  
    
      
        Δ
        l
      
    
    {\displaystyle \Delta l}
  –ի և 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   շառավիղ–վեկտորի կազմած անկյունը (
  
    
      
        Δ
        l
      
    
    {\displaystyle \Delta l}
  <<
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  ), 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  -ն՝ միավորների համակարգի ընտրությունից կախված համեմատականության գործակիցը։ 
  
    
      
        Δ
        H
      
    
    {\displaystyle \Delta H}
   վեկտորն ուղղահայաց է 
  
    
      
        Δ
        l
      
    
    {\displaystyle \Delta l}
  –ով և 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  -ով տարած 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
   հարթությանը, իսկ նրա ուղղությունը որոշվում է խցանահանի կանոնով։ Հոսանքակիր հաղորդչի ստեղծած մագնիսական դաշտի արդյունարար լարվածությունը 
  
    
      
        (
        H
        )
        M
      
    
    {\displaystyle (H)M}
   կետում հավասար է հաղորդչի բոլոր 
  
    
      
        Δ
        l
      
    
    {\displaystyle \Delta l}
   տարրերով պայմանավորված 
  
    
      
        Δ
        H
      
    
    {\displaystyle \Delta H}
   մեծությունների վեկտորական գումարին։ Մասնավորապես, 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
   հեռավորության վրա ուղիղ հոսանքակիր հաղորդչի մագնիսական դաշտի լարվածությունը՝ 
  
    
      
        H
        =
        k
        2
        I
        
          /
        
        d
        ,
      
    
    {\displaystyle H=k2I/d,}
   
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   շառավղով շրջանային կոնտուրի կենտրոնում՝ 
  
    
      
        H
        =
        k
        ⋅
        2
        π
        I
        
          /
        
        k
      
    
    {\displaystyle H=k\cdot 2\pi I/k}
  , կոնտուրի առանցքով կենտրոնից 
  
    
      
        d
        (
        d
        >>
        R
        )
      
    
    {\displaystyle d(d>>R)}
   հեռավորության վրա՝ 
  
    
      
        H
        =
        k
        ⋅
        2
        π
        
          R
          
            2
          
        
        I
        
          /
        
        
          d
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle H=k\cdot 2\pi R^{2}I/d^{3}}
  , իսկ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   գալարանի սոլենոիդի առանցքի վրա՝ 
  
    
      
        H
        =
        k
        ⋅
        4
        π
        n
        I
      
    
    {\displaystyle H=k\cdot 4\pi nI}
  ։ Բիո-Սավարի օրենքն արտահայտող բանաձևով կարելի է հաշվել նաև 
  
    
      
        Δ
        B
      
    
    {\displaystyle \Delta B}
   մագնիսական ինդուկցիան։ 
CGS համակարգի միավորներով հաշվելիս 
  
    
      
        Δ
        H
      
    
    {\displaystyle \Delta H}
  -ը պետք է բազմապատկել 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
   մագնիսական թափանցելիությամբ, իսկ SI համակարգի միավորներով հաշվելիս, 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  –ից բացի՝ նաև վակուումի  
  
    
      
        
          μ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{0}}
   մագնիսական թափանցելիությամբ (
  
    
      
        
          μ
          
            0
          
        
        =
        4
        π
        
          10
          
            −
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{0}=4\pi 10^{-7}}
   հն/մ)։


== Կոնտուրով հոսող հոսանքի համար ==
Դիցուք, 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
   անընդհատ հոսանքը հոսում է 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
   կոնտուրով, որը գտնվում է վակուումում։ Եթե 
  
    
      
        
          
            r
          
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{0}}
   կետն է, որի նկատմամբ դիտարկվում է դաշտը, ապա մագնիսական դաշտի ինդուկցիան այդ կետում արտահայտվում է ինտեգրալով`

  
    
      
        
          B
        
        (
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            γ
          
        
        
          
            
              I
              [
              d
              
                r
              
              ×
              (
              
                
                  r
                
                
                  0
                
              
              −
              
                r
              
              )
              ]
            
            
              
                |
              
              
                
                  r
                
                
                  0
                
              
              −
              
                r
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            γ
          
        
        
          
            
              I
              [
              d
              
                r
              
              ×
              
                
                  e
                  
                    r
                    ,
                    
                      r
                      
                        o
                      
                    
                  
                
              
              ]
            
            
              (
              
                
                  r
                
                
                  0
                
              
              −
              
                r
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\mathbf {r} \times (\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}}={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\mathbf {r} \times \mathbf {e_{r,r_{o}}} ]}{(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )^{2}}},}
  Իսկ եթե որպես հաշվարկման կետ վերցնենք այն կետը, որտեղ պետք է գտնենք մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորը,ապա բանաձևը հեշտանում է` 

  
    
      
        d
        
          
            
              B
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          
            
              I
              [
              
                
                  
                    r
                    →
                  
                
              
              ×
              d
              
                
                  
                    r
                    →
                  
                
              
              ]
            
            
              r
              
                3
              
            
          
        
        =
        
          
            I
            
              10
              
                7
              
            
          
        
        
          
            
              [
              
                
                  
                    r
                    →
                  
                
              
              ×
              d
              
                
                  
                    r
                    →
                  
                
              
              ]
            
            
              r
              
                3
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle d{\vec {B}}={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r}}]}{r^{3}}}={\frac {I}{10^{7}}}{\frac {[{\vec {r}}\times d{\vec {r}}]}{r^{3}}},}
  
  
    
      
        d
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle d\mathbf {B} }
   - ի ուղղությունը ուղղահայաց է այն հարթությանը, ուր գտնվում են 
  
    
      
        d
        
          l
        
        ≡
        d
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r} }
   և 
  
    
      
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}
   վեկտորները։ Մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորի ուղղությունը կարելի է որոշել աջ պտուտակի կանոնով։ Միավորների միջազգային համակարգում 
  
    
      
        d
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle d\mathbf {B} }
  -ի վեկտորի մոդուլը որոշվում է`

  
    
      
        d
        B
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          
            
              I
              d
              l
              sin
              ⁡
              α
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle dB={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2}}}.}
  Վեկտորական պոտենցիալը տրվում է ինտեգրալով`

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            γ
          
        
        
          
            
              I
              (
              
                r
              
              )
              
                d
                l
              
            
            
              
                |
              
              
                
                  r
                
                
                  0
                
              
              −
              
                r
              
              
                |
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I(\mathbf {r} )\mathbf {dl} }{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}.}
  


== Բաշխված հոսանքների համար ==
Այն դեպքում, երբ մագնիսական դաշտի աղբյուր հանդիսանում են բաշխվող հոսանքները, որոնք բնութագրվում են վեկտորական դաշտի խտության հոսանքով` 
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  , Բիո Սավարի օրենքը Միավորների միջազգային համակարգում կընդունի հետևյալ տեսքը`

  
    
      
        
          B
        
        (
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        ∫
        
          
            
              [
               
              
                j
              
              d
              V
              ,
               
              
                
                  r
                
                
                  0
                
              
              −
              
                r
              
               
              ]
            
            
              
                |
              
              
                
                  r
                
                
                  0
                
              
              −
              
                r
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}},}
   ,որտեղ j = j(r), dV - ծավալի տարրն է, իսկ ինտեգրումը տարածվում է ամբողջ միջակայքում, որտեղ j≠0.
Վեկտորական պոտենցիալը տրվում է ինտեգրալով`

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        ∫
        
          
            
              
                j
              
              (
              
                r
              
              )
              d
              V
            
            
              
                |
              
              
                
                  r
                
                
                  0
                
              
              −
              
                r
              
              
                |
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )dV}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}.}