Մարող տատանումներ

Մարող տատանումներ, ֆիզիկական մեծության պարբերական փոփոխումներ, որոնց առավելագույն շեղումը հավասարակշռության վիճակի նկատմամբ (պայմանական ամպլիտուդ, 
  
    
      
        
          X
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{0}}
  ) նվազում է ժամանակի ընթացքում։ Մարող տատանումներից են ազատ կամ սեփական տատանումները, որոնց ամպլիտուդը նվազում է տատանման էներգիայի կորուստների պատճառով։ Մեխանիկական համակարգում էներգիայի կորուստը պայմանավորված է շփումով և արտաքին միջավայր ճառագայթվող առաձգական ալիքներով, իսկ էլեկտրական համակարգում՝ հաղորդիչների ակտիվ դիմադրությամբ, դիէլեկտրիկ և ֆեռոմագնիսական միջավայրերի կլանմամբ և էլեկտրամագնիսական ալիքների ճառագայթմամբ։ Միևնույն նշանի երկու իրար հաջորդող ամպլիտուդային արժեքների միջև ընկած ժամանակամիջոցը (
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  ) պայմանականորեն կոչվում է մարող տատանումների պարբերություն։ Հաստատուն պարամետրերով գծային համակարգերում ազատ տատանումների ամպլիտուդը նվազում է էքսպոնենտային 
  
    
      
        u
        (
        t
        )
        =
        A
        cos
        ⁡
        (
        ω
        t
        +
        q
        )
      
    
    {\displaystyle u(t)=A\cos(\omega t+q)}
   օրենքով (նկ․), որտեղ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  -ն մարման ցուցիչն է, 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  -ն՝ ժամանակը, 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  -ն՝ «անկյունային հաճախականությունը»։ Վերջինս որոշվում է 
  
    
      
        ω
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              T
            
          
        
        
          
            
              
                
                  ω
                  
                    0
                  
                
              
              
                2
              
            
            −
            
              a
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega ={\frac {1}{2\pi T}}{\sqrt {{\omega _{0}}^{2}-a^{2}}}}
   արտահայտությամբ, որտեղ 
  
    
      
        
          ω
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{0}}
  -ն տատանողական համակարգի անկյունային հաճախականությունն է կորուստների բացակայության դեպքում։

Պարզագույն էլեկտրական տատանողական կոնտուրի դեպքում 
  
    
      
        a
        =
        
          
            R
            
              2
              L
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\frac {R}{2L}}}
  , որտեղ 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  -ը կոնտուրի ակտիվ դիմադրությունն է, 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  -ը՝ ինդուկտիվությունը։ Պարզագույն մեխանիկական տատանողական համակարգի դեպքում մածուցիկ միջավայրում առաձգական ուժի ազդեցությանը ենթարկվող 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   զանգվածի համար 
  
    
      
        a
        =
        
          
            b
            
              2
              m
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\frac {b}{2m}}}
  , որտեղ 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  -ն առաձգական ուժի և արագության համեմատականության գործակիցն է։ Մարող տատանողական պրոցեսը հաճախ բնութագրվում է մարման դեկրեմենտով։


== Զսպանակավոր ճոճանակի մարող տատանումներ ==

Դիտարկենք զսպանակավոր չոչանակի տատանումները( այն ենթարկվում է Հուկի օրենքին), որի մի ծայրը ամրացված է ,մյուս ծայրին ամրացված է m զանգվածով մարմինը։ Տատանումները կատարվում են այնպիսի միջավայրում, որտեղ դիմադրույան ուժը ուղիղ համեմատակն է արագությանը, (c  համեմատականության գործակցով)։
Նյուտոնի երկրորդ օրենքը այս դեպքում կունենա հետևյալ տեսքը․

  
    
      
        m
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              
                F
                
                  c
                
              
              →
            
          
        
        +
        
          
            
              
                F
                
                  y
                
              
              →
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle m{\vec {a}}={\vec {F_{c}}}+{\vec {F_{y}}},}
  
որտեղ 
  
    
      
        
          F
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{c}}
  -շփման ուժն է, իսկ  
  
    
      
        
          F
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{y}}
  ՝ առաձգականության ուժն է․

  
    
      
        
          F
          
            c
          
        
        =
        −
        c
        v
      
    
    {\displaystyle F_{c}=-cv}
  , 
  
    
      
        
          F
          
            y
          
        
        =
        −
        k
        x
      
    
    {\displaystyle F_{y}=-kx}
  , այսինքն,

  
    
      
        m
        a
        +
        c
        v
        +
        k
        x
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle ma+cv+kx=0,}
  
կամ դիֆերենցիալ տեսքով

  
    
      
        
          
            
              x
              ¨
            
          
        
        +
        
          
            c
            m
          
        
        
          
            
              x
              ˙
            
          
        
        +
        
          
            k
            m
          
        
        x
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle {\ddot {x}}+{c \over m}{\dot {x}}+{k \over m}x=0,}
  
որտեղ 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  -ն (Հուկի օրենքում) կոշտությունն է, 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  ՝ շփման գործակիցն է․
Պարզության համար ներմուծվում է հետևյալ նշանակումը ՝
  
    
      
        
          ω
          
            0
          
        
        =
        
          
            
              k
              m
            
          
        
        ,
        
        ζ
        =
        
          
            c
            
              2
              
                
                  k
                  m
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k \over m}},\qquad \zeta ={c \over 2{\sqrt {km}}}.}
  

  
    
      
        
          ω
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{0}}
  -ն սեփական հաճախությանն է, 
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  -ն մարման գործակիցն է։
Այդ դեպքում դիֆերենցիալ հավասարման տեսքն է՝

  
    
      
        
          
            
              x
              ¨
            
          
        
        +
        2
        ζ
        
          ω
          
            0
          
        
        
          
            
              x
              ˙
            
          
        
        +
        
          ω
          
            0
          
          
            2
          
        
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0}
  
Փոխարինենք 
  
    
      
        x
        =
        
          e
          
            λ
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle x=e^{\lambda t}}
  , կստանանք բնութագրական հավասարում    
  
    
      
        
          λ
          
            2
          
        
        +
        2
        ζ
        
          ω
          
            0
          
        
        λ
        +
        
          ω
          
            0
          
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lambda ^{2}+2\zeta \omega _{0}\lambda +\omega _{0}^{2}=0}
  , որի արմատները հաշվվում են հետևյալ բանաձևով․

  
    
      
        
          λ
          
            ±
          
        
        =
        
          ω
          
            0
          
        
        (
        −
        ζ
        ±
        
          
            
              ζ
              
                2
              
            
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \lambda _{\pm }=\omega _{0}(-\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-1}})}
  


== Տես նաև ==
Սեյսմոօսցիլիատոր
Մարման դեկրեմենտ