Աստիճանային ֆունկցիա

Աստիճանային ֆունկցիա, 
  
    
      
        −
        y
        =
        
          x
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle -y=x^{a}}
   տեսքի ֆունկցիա է, որտեղ 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   (աստիճանի ցուցիչ) որոշակի իրական թիվ է։
Հաճախ աստիճանային են համարվում նաև տեսքի 
  
    
      
        y
        =
        k
        
          x
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle y=kx^{a}}
  ֆունկցիաները, որտեղ 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  -ն որոշակի մասշտաբային արտադրիչ է։ Գոյություն ունի նաև աստիճանային ֆունկցիայի կոմպլեքս ընդհանրացումը։ Պրակտիկայում աստիճանի ցուցիչը գրեթե միշտ հանդիսանում է ամբողջ կամ ռացիոնալ թիվ։


== Իրական ֆունկցիա ==


=== Որոշման տիրույթը ===
Եթե ցուցչի աստիճանը ամբողջ թիվ է, ապա կարելի է դիտարկել աստիճանային ֆունկցիան ամբողջ թվային առանցքի վրա (բացառությամբ, հնարավոր է, զրո)։ Ընդհանուր դեպքում աստիճանային ֆունկցիան որոշված է 
  
    
      
        x
        >
        0
      
    
    {\displaystyle x>0}
  -ի դեպքում։ Եթե 
  
    
      
        a
        >
        0
      
    
    {\displaystyle a>0}
  ,ապա ֆունկցիան որոշված է նաև 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  դեպքի համար, այլապես զրոն հանդիսանում է իր հատուկ կետը։


=== Ռացիոնալ աստիճանային ցուցիչ ===
Աստիճանային ֆունկցիաները 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   բնական ցուցչի դեպքում անվանում են 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -րդ աստիճանի պարաբոլաներ։
  
    
      
        a
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a=1}
   դեպքում ստացվում է ֆունկցիան, որը կոչվում է ուղիղ համեմատական կախվածություն։

  
    
      
        y
        =
        
          x
          
            −
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle y=x^{-n}}
   տեսքի ֆունկցիայի գրաֆիկը, որտեղ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -ը բնական թիվ է, անվանում են 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -րդ աստիճանի հիպերբոլա։
  
    
      
        a
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle a=-1}
  դեպքում ստացվում է 
  
    
      
        
          
            k
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {k}{x}}}
   ֆունկցիան, որը կոչվում է հակադարձ համեմատական կախվածություն։
Եթե 
  
    
      
        a
        =
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\frac {1}{n}}}
  , ապա ֆունկցիան հանդիսանում է 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -րդ աստիճանի թվաբանական արմատ։Օրինակ, Կեպլերի երրորդ օրենքից հետևում է, որ արևի շուրջ մոլորակի պտտման 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
   պարբերությունը կախված է իր ուղեծրի 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   մեծ կիսաառանցքից հետևյալ հարաբերությամբ՝ 
  
    
      
        T
        =
        k
        
          A
          
            
              3
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T=kA^{\frac {3}{2}}}
  (կիսախորանարդ պարաբոլա)։

		


=== Հատկություններ ===
Ֆունկցիան անընդհատ և անսահմանափակ դիֆերենցելի է բոլոր կետերում, որոնց շրջակայքում նա որոշված է։ Զրոն, ընդհանրապես ասած, հանդիսանում է հատուկ կետ։ Օրինակ, 
  
    
      
        y
        =
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle y={\sqrt {x}}}
   ֆունկցիան որոշված է զրոյում և նրա աջ շրջակայքում, բայց նրա ածանցյալը՝
  
    
      
        y
        =
        
          
            1
            
              2
              
                
                  x
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle y={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
   , զրո կետում որոշված չէ։

  
    
      
        (
        0
        ;
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle (0;\infty )}
   միջակայքում ֆունկցիան մոնոտոն աճում է 
  
    
      
        a
        >
        0
      
    
    {\displaystyle a>0}
  -ի դեպքում և մոնոտոն նվազում է 
  
    
      
        a
        <
        0
      
    
    {\displaystyle a<0}
  -ի դեպքում։ Ֆունկցիայի արժեքը այս միջակայքում դրական է։
Ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է. 
  
    
      
        (
        
          x
          
            a
          
        
        
          )
          ′
        
        =
        a
        
          x
          
            a
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle (x^{a})'=ax^{a-1}}
  
Անորոշ ինտեգրալն է .ա) եթե 
  
    
      
        a
        ≠
        −
        1
      
    
    {\displaystyle a\neq -1}
  , ապա 
  
    
      
        ∫
        
          x
          
            a
          
        
        d
        x
        =
        
          
            
              x
              
                a
                +
                1
              
            
            
              a
              +
              1
            
          
        
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int x^{a}dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C}
  ,
բ) եթե 
  
    
      
        a
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle a=-1}
   ստանում ենք. 
  
    
      
        ∫
        
          
            1
            x
          
        
        d
        x
        =
        ln
        ⁡
        
          |
        
        x
        
          |
        
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=\ln |x|+C}
  ։


== Կոմպլեքս ֆունկցիա ==

  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   կոմպլեքս փոփոխականի աստիճանային ֆունկցիան, ընդհանրապես ասած, որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

  
    
      
        y
        =
        
          z
          
            c
          
        
        =
        
          e
          
            c
            ⋅
            ln
            ⁡
            (
            z
            )
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle y=z^{c}=e^{c\cdot \ln(z)}:}
  Այստեղ 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   աստիճանի ցուցիչը որոշակի կոմպլեքս թիվ է։ Ֆունկցիայի արժեքը, որը համապատասխանում է լոգարիթմի գլխավոր արժեքին, անվանում են աստիճանի գլխավոր արժեք։ Օրինակ,
  
    
      
        
          i
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle i^{i}}
  -ի արժեքը հավասար է 
  
    
      
        
          e
          
            −
            (
            4
            k
            +
            1
            
              )
              
                
                  π
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{-(4k+1)^{\frac {\pi }{2}}}}
   որտեղ 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  -ն կամայական ամբողջ է, իսկ նրա գլխավոր արժեքն է 
  
    
      
        
          e
          
            i
            ln
            ⁡
            (
            i
            )
          
        
        =
        
          e
          
            −
            
              
                π
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{i\ln(i)}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}}
  ։
Ֆունկցիայի կոմպլեքս աստիճանը բավականին տարբերվում է իր իրական անալոգից։ Կոմպլեքս լոգարիթմի բազմարժեքության արդյունքում նա, ընդհանրապես ասած, նույնպես կարող է ընդունել անսահման շատ արժեքներ։ Սակայն երկու պրակտիկորեն կարևոր դեպքերը դիտարկվում են առանձին։

Բնական ցուցչի դեպքում ֆունկցիայի աստիճանը միարժեք է և 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -շերտանի։
Եթե աստիճանի ցուցիչը դրական ռացիոնալ թիվ է, այսինքն 
  
    
      
        
          
            p
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {p}{q}}}
   տեսքի կոտորակ (անկրճատելի), 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   ֆունկցիան կնդունի 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   տարբեր արժեքներ։


== Տես նաև ==
Լոգարիթմ
Բազմանդամ
Աստիճանի բարձրացում


== Ծանոթագրություններ ==


== Արտաքին հղումներ ==
Степенная функция.