Վիետի թեորեմ

Վիետի թեորեմ, թեորեմ քառակուսային հավասարումների մասին։ Թեորեմը ձևակերպել է ֆրանսիացի գիտնական, մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետը (1540-1603)։


== Թեորեմ ==


== Օրենքներ ==

  
    
      
        P
        (
        x
        )
        =
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        +
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            1
          
        
        x
        +
        
          a
          
            0
          
        
        
      
    
    {\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\,}
  Եթե դիսկրիմինանտը ոչ բացասական է.

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  ⋯
                  +
                  
                    x
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                  =
                  −
                  
                    
                      
                        
                          a
                          
                            n
                            −
                            1
                          
                        
                        
                          a
                          
                            n
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  (
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  +
                  ⋯
                  +
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                  )
                  +
                  (
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                  +
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  
                    x
                    
                      4
                    
                  
                  +
                  ⋯
                  +
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                  )
                  +
                  ⋯
                  +
                  
                    x
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                  =
                  
                    
                      
                        
                          a
                          
                            n
                            −
                            2
                          
                        
                        
                          a
                          
                            n
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  

                  
                  
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  …
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                  =
                  (
                  −
                  1
                  
                    )
                    
                      n
                    
                  
                  
                    
                      
                        
                          a
                          
                            0
                          
                        
                        
                          a
                          
                            n
                          
                        
                      
                    
                  
                  .
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}
  
  
    
      
        
          ∑
          
            1
            ≤
            
              i
              
                1
              
            
            <
            
              i
              
                2
              
            
            <
            ⋯
            <
            
              i
              
                k
              
            
            ≤
            n
          
        
        
          x
          
            
              i
              
                1
              
            
          
        
        
          x
          
            
              i
              
                2
              
            
          
        
        ⋯
        
          x
          
            
              i
              
                k
              
            
          
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            k
          
        
        
          
            
              a
              
                n
                −
                k
              
            
            
              a
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}
  


== Հակադարձ թեորեմ ==
Վիետի թեորեմը կարելի է ձևակերպել նաև ընդհանուր տեսքի քառակուսային հավասարման համար.

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        +
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            1
          
        
        x
        +
        
          a
          
            0
          
        
        =
        
          a
          
            n
          
        
        (
        x
        −
        
          x
          
            1
          
        
        )
        (
        x
        −
        
          x
          
            2
          
        
        )
        ⋯
        (
        x
        −
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})}
  Եթե ընդհանուր տեսքի քառակուսային հավասարումն ունի ոչ բացասական տարբերիչ և եթե երկու x-երը հավասարման արմատներն են, ապա՝

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x_{1}=1}
   և 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        7
      
    
    {\displaystyle x_{2}=7}
  

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        3
      
    
    {\displaystyle x_{1}=3}
   և 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        5
      
    
    {\displaystyle x_{2}=5}
  


== Տես նաև ==
Թալեսի թեորեմ
Քառակուսային հավասարում


== Ծանոթագրություններ ==