Քանակական հարաբերականություն

Քանակական հարաբերականություն (անգլ.՝ numerical relativity), հարաբերականության հատուկ տեսության բնագավառ, որը մշակում և օգտագործում են հաշվողական մեթոդներում և ուժեղ գրավիտացիոն դաշտերի համակարգչային մոդելավորման   ֆիզիկական պրոցեսների ալգորիթմներում, երբ անհրաժեշտ է  թվապես լուծել Այնշտայնի հավասարումները։ Հիմնական Ֆիզիկական համակարգերը, որոնց նկարագրության համար անհրաժեշտ է քանակական հարաբերականությունը, վերաբերում են ռեյլատիվիստիկ աստղաֆիզիկային և ներառում են իրենց մեջ ուրիշ օբյեկտներ ու երևույթներ, որոնց ադեկվատ նկարագրության համար պետք է դիմել ընդհանուր հարաբերականության տեսությանը առանց թույլ դաշտերի սովորական մոտավորությունների և փոքր արագությունների (ինչպես նյուտոնյան բաշխման և խոտորման տեսության մեջ Ալբերտ Այնշտայնի հավասարումների ճշգրիտ լուծումների ֆոնի վրա)։
Այս բնագավառի մոդելավորումը Այնշտայնի հավասարումների բարդության և ոչ գծայնության պատճառով պահանջում է հատուկ քանակական մեթոդներ (օրինակ՝ հիպերբոլայնության և Կոշի խնդրի կոռեկտության դրվածքի ժամանակավոր էվոլյուցիան կախված է հավասարումների ներկայացումից, ինչպես նաև սկզբնական և սահմանային պայմաններից), ինչպես նաև ժամանակակից սուպերհամակարգիչներին հասնելի մեծ հաշվողական հզորության եռաչափ խնդիրներից շատերի համար։ Այս պահի համար քանակական հարաբերականության համար ակտուալ են ռեյլատիվիստիկ խիտ երկակի աստղերի մոդելավորման և նրանց հետ կապված գրավիտացիոն ալիքների բնագավառում հետազոտությունները, ինչպես և ուրիշ մաթեմատիկական և աստղաֆիզիկական պրոբլեմները։


== Ընդհանուր տեղեկություններ ==

Քանակական հարաբերականության հիմնական նպատակը Գրավիտացիոն դաշտերի ուսումնասիրումն է, որոնց ճշգրիտ անալիտիկ ձևը հայտնի չէ։ Գրավիտացիոն դաշտի ձևը, որը որոնվում է հաշվարկների միջոցով, կարող է լինել ինչպես ամբողջովին դինամիկական, այնպես էլ ստացիոնար կամ ստատիկ, ինչպես նաև կարող է ընդգրկել նյութական դաշտեր։ Ընդհանուր հարաբերականության տեսության մեջ բոլոր դաշտերը, բացի գրավիտացիոնից, ընդունված է անվանել նյութական կամ վակուումային։ Ստացիոնար և ստատիկ լուծումների դեպքում քանակական մեթոդները կարող են կիրառվել այս կոնֆիգուրացիաների ստաբիլության ուսումնասիրման համար։ Իր հերթին, դինամիկական գրավիտացիոն դաշտերի դեպքում խնդիրը կարելի է բաժանել երկու մասի, որոնք պահանջում են լուծման տարբեր մեթոդներ՝ սկզբնական նշանակության և էվոլյուցիայի խնդիրներ։
Քանակական հարաբերականությունը կիրառվում է կոսմոլոգիական մոդելների, գրավիտացիոն կոլապսներում կրիտիկական երևույթների, ինչպես նաև սև խոռոչների և նեյտոնային աստղերի մասնակցությամբ պրոցեսների, հիմնականում նրանց միաձուլման ու խոտորումնրի ուսումնասիրման համար։ Այս դեպքերից յուրաքանչյուրի համար անհրաժեշտ է ժամանակատարածքային էվոլյուցիան վերահսկել, որի համար Այնշտայնի հավասարումները կարող են ներկայացվել մի քանի ձևերով։ Ավելի հանրամատչելի են Կոշի խնդրի մեթոդները, սակայն կիրառվում են նաև բնորոշման մեթոդները և մեթոդներ՝ հիմնված Ռեջեյի հաշվարկների վրա։ Թվարկված բոլոր մեթոդներն սկսում են գրավիտացիոն դաշտի հիպերմակերևույթի «լուսանկարից», այսինքն սկզբնական տվյալներից, իսկ հետո նրա էվոլյուցիան վերահսկում են մինչև մոտակա հիպերմակերևույթները՝ ընթանալով առաջ ժամանակի մեջ։
Քանակական անալիզի մնացած խնդիրների պես, քանակական հարաբերականության մեջ սևեռված ուշադրություն է դարձվում  թույլատրելի սկզբնական և սահմանային պայմաններով հաշվողական կայունությանը և քանակական լուծումների համապատասխանությանը։ Քանակական հարաբերականության յուրահատկությունն են հանդիսանում տրամաչափայինի առկայության ներմուծմամբ  և կոորդինատային պայմաններից առաջացած բարդությունները, ինչպես նաև Այնշտայնի հավասարումների տարբեր ներկայացումների և  ճշգրիտ քանակական լուծումներ ստանալու նրանց ազդեցության հնարավորությանբ։
Դաշտի դասական տեսության մեջ կիրառվող քանակական մեթոդիկաներից շատերը կիրառելի չեն ընդհանուր հարաբերականության տեսությունում, որով էլ այս շրջանում աշխատանքն տարբերվում է քանակական հարաբերականության շրջանի աշխատանքից։ Այնուամենայնիվ, քանակական հարաբերականությունը խոշորմասշտաբային խնդիրներում ունի շատ ընդհանուր տեսանկյուններ այլ հաշվողական գիտությունների, օրինակ Հաշվողական հիդրոդինամիկայի, Էլեկտադինամիկայի և Պինդ մարմնի մեխանիկայի հետ:Քանակական հարաբերականությամբ զբաղվող գիտնականները հաճախ աշխատում են կիրառական մաթեմատիկոսների հետ և առնչվում են մաթեմատիկայի այնպիսի բաժինների, ինչպիսիք են հաշվողական անալիզը, զուգահեռ հաշվարկները, մասնակի ածանցյալների դիֆերենցիալ հավասարումները և երկրաչափությունը։


== Պատմություն ==


=== Տեսական հիմքեր ===
Ալբերտ Այնշտայնը  1915 թվականին հրատարակել է ընդհանուր հարաբերականության տեսության վերջնական տարբերակը։ Այս տեսությունը, ինչպես և նրան նախորդող հատուկ հարաբերականության տեսությունը, նկարագրում են ժամանակը  և տարածությունը ինչպես մեկ միասնական օբյեկտ՝ տարածաժամանակային, որի էվոլյուցիան ենթարկվում է Այնշտայնի  հավասարումներին։ Դրանք կազմում են ոչ գծային կապված մասնավոր ածանցյալների դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը։ Այս հավասարումների դուրսբերումից մեկ հարյուրամյակ անց հայտնի դարձան Այնշտայնի  հավասարումների՝ միայն համեմատաբար ոչ մեծ թվով ֆիզիկական ռեյլատիվիստական ճշգրիտ լուծումները, և նրանց մեծամասնությունը դուրս բերվեցին բարձր համաչափության ենթադրությամբ, որը հավասարումների լուծումները հեշտացնում էր, ինչպես օրինակ, Ֆրիդմանի լուծումը իզոտոպ և համասեռ տիեզերքի համար։
Քանակական հարաբերականության բնագավառը ծագել է Այնշտայնի հավաասրումների լուծումների ֆիզիկական և ընդհանուր կիրառումների ուսումնասիրման ցանկությունից։ Նրանց այսպիսի լուծման անհրաժեշտ պայման հանդիսացավ միասնական քառաչափ տարածաժամանակայինի բաժանման  բերումը նորից առանձնացված եռաչափ տարածական և համասեռ ժամանակի, այսպես կոչված 3+1 բաժանման։ Ընդ որում դա կարող է իրականացվել բազմաթիվ տարբեր ճանապարհներով, որոնք ընդունակ են էականորեն պարզեցնել կամ բարդացնել վերջնական հավասարումների ինտեգրումը։ Առաջին լիովին հաջողված բաժանման փորձը իրականացվել է Ռիչարդ Արնովիտտի, Սթենլի Դեզերի և Չարլզ Միզների կողմից  1950-ական թվականների վերջում Պոլ Դիրակի նախանշած համիլտոնյան ֆորմալիզմի ճանապարհին:Այն պսակվեց այսպես կոչված ԱԴՄ-ֆորմալիզմ՝ Ֆորմալիզմ Արնովիտտի-Դեզերի-Միզների հավասարումների ստացմամաբ։ Չնայած տեխնիկական պատճառներով հենց այս հավասարումները պարզվեցին ոչ այնքան հարմար թվային ինտեգրման համար՝ նրանք ընդամենը թույլ հիպերբոլականկան են և դրա համար էլ հազվդեպ են կիրառվում իրական հաշվարկներում, քանակական հարաբերականությանը վերաբերող պրակտիկ մոտեցումների ճնշող մեծամասնության մեջ կիրառում են ԱԴՄ-ֆորմալիզմում կիրառվողին մոտ 3+1 բաժանումը։ Այսպիսի բաժանումը բերում է սկզբնական պայմանների սահմանափակմամբ Այնշտայնի հավասարումների փոխձևակերպմանը Կոշի հավասարումներին, որը արդեն տանում է համակարգիչներում քանակական լուծումներին։
Տարածաժամանակային կոորդինատները չեն կարող որոշված լինել միանշանակորեն, դրա համար, նույնիսկ սկզբնական հիպերմակերևույթի վրա կոորդինատների ֆիքսացիայի դեպքում էլ հարևան հիպերմակերևույթին անցման ժամանակ տարածաժամանակային կոորդինատները կարելի է «հրել» տարբեր ձևով տարբեր կետերում (արդեն հատուկ հարաբերական տեսության մեջ ժամանակի հոսքի ուղղությունն ու արագությունը չեն համընկնում տարբեր իներցիալ հաշվանքի համակարգերում), որը քանակական հարաբերականության առանձնահատկություններից է։ Դա տրամաչափային ազատություն է, որը չի ազդում ֆիզիկական պրոցեսների վրա, այլ միայն նրանց նկարագրությունը կոորդինատների տերմիններն է փոխում, և, հետևաբար, լուծվող հավասարումները արտահայտվում են ընթացքի ֆունկցիայի կամայական ընտրության ժամանակ 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   և 
  
    
      
        
          β
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta ^{i}}
  յի տեղաշարժի դեպքում, տարածաժամանակային կոորդինատներով ֆիքսման «հրող» կետերի սկզբնականից հարևան հիպերմակերևույթի ժամանակով առաջ՝ 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  յով, և տարածությունում կողք՝ 
  
    
      
        
          β
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta ^{i}}
  յի, համապատասխանաբար։ Այս ֆունկցիաների ըտրության հնարավորությունը հավասարումների լուծման համար պոտենցիալ առավելություն է, սակայն այդ կոորդինատների կամ տրամաչափային պայմանների շատ «բնական» ընտրություններ, ինչպես պարզվեց, արտահայտում են լուծումների թվային անհավասարակշռություններ՝ բերելով մոդելավորման խզմանը։

ԱԴՄ-ֆորմալիզմի սկզբնական աշխատանքների հրատարակման ժամանակ համակարգչային տեխնիկայի զարգացումը թույլ չտվեց կատարել որոշ քանակի տրամաբանական չափերի հաշվարկներ ցանկացած խնդրի հավասարման համար։ Պատմականորեն Այնշտայնի հավասարումների քանակական լուծման առաջին փորձը նախաձենռվել է Հանի և Լինդկվիստոնի կողմից 1964 թվականին, որից հետո 1970-ական թվականներին  Սմարրի[en] և Էպպլիի։ Այս վաղ փորձերը կապված էին Միզների սկզբնական տվյալների էվոլյուցիայի հետ աքսիալ համաչափ տարածություններում (հայտնի որպես «2+1-չափում»)։ Համարյա նույն ժամանակ Ցվի Պիրանը գրեց առաջին կոդը, որը նկարագրում էր գրավիտացիոն ալիքների ճառագայթմամբ պայմանավորված գլանաձև-համաչափ համակարգի էվոլյուցիան։ Պիրանը իր մշակումներում դրեց քանակական հարաբերականության մեջ կիրառվող շատ կոնցեպցիաների սկիզբը, ինչպիսիսք են ազատ էվոլյուցիան (free evolution) և սահմանային էվոլյուցիայան (constrained evolution), դրանք մեթոդներ են, որորնք տարբեր ձևով են մոտենում ժամանակի մեջ սկզբնական սահմանային պրոբլեմի էվոլյուցիային։ Համաչափության կիրառումը իջեցրել է հաշվողական հիշողության հզորության անհրաժեշտ պահանջները՝ գիտնականներին թույլ տալով խնդրի լուծման համար օգտագործել այն ժամանակվա համակարգիչները։


=== Վաղ արդյունքները ===
Առաջին իրական հաշվարկները իսկական աստղաֆիզիկական խնդրի՝ պտույտով կոլապսի համար իրականացվել են 1980-ական թվականներին Ռիչարդ Սթարքի և Ցվի Պիրանի կողմից. նրանցում առաջին անգամ հաշվարկվեցին սև խոռոչի կողմից ճառագայթված գրավիտացիոն ալիքները։ Այս հրատարակումից ավելի քան երկու տասնամյակ անց մշակվեցին քանակական հարաբերականության բնագավառում ընդամենը մի քանի նոր արդյունքներ, հավանաբար, այս պրոբլեմների լուծման համար անհրաժեշտ բավական հզոր համակարգիչների բացակայության պատճառով։ 1990-ական թվականներին սև խոռոչների «Մեծ կոչի» Ալիյանսը (անգլ. Binary Black Hole Grand Challenge Alliance), օգտագործելով խնդրի ակսիալ համաչափությունից ծագած պարզեցումները, հաջողությամբ մոդելավորում էր երկու սև խոռոչների ճակատային բախումը։ Ստացված լուծման համար խումբը կարողացավ հաշվել իրադարձությունների հորիզոնը նախամշակման փուլում։
Այնշտայնի հավասարումների քանակական լուծումների հայտնի լուծումներից մի քանիսը լրիվ եռաչափ տարածական երկրաչափության մեջ կիզակետվել է շվարցշիլդյան չպտտվող սև խոռոչում, որը իրենից ներկայացնում է Այնշտայնի հավասարման ստատիկ և սֆերիկ-համաչափ լուծում։ Այն հիանալի թեստ է քանակական հարաբերականության մեթոդների համար, քանի որ, առաջինը՝ լուծումը հայտնի է ճշգրիտ անալիտիկ ձևով, որով կարելի է համեմատել քանակական արդյունքները, երկրորդ՝ այն ստատիկ է և նրան կարող է հարել  ժամանակի ընթացքում ցանկացած սև խոռոչ, երրորդ՝ այն պարունակում է քանակական մոդելավորման ամենից բարդ օբյեկտներից մեկը՝ կենտրոնում ֆիզիկական Գրավիտացիոն սինգուլյարությունը։ Այս լուծումն ստանալու առաջին փորձերից մեկը ձեռնարկվել է Աննիսոնի և համահեղինակների կողմից 1995 թվականին։
Այս աշխատանքում նրանք նշեցին. 


=== Բնագավառի զարգացումը ===
Հետագա տարիների ընթացքում համակարգիչների հզորացմանը զուգահեռ տարատեսակ հետազոտական խմբերի կողմից մշակվել են հաշվարկների էֆեկտիվությունը բարձրացնելու համար ալտերնատիվ տեխնիկաներ։ Սկզբից Lazarus խումբը մշակեց մեթոդներ, որոնք օգտագործեցին սև խոռոչների միաձուլման ոչ գծային ԱԴՄ-հավասարումը լուծող կարճ մոդելավորման նախկին արդյունքներն այն բանի համար, որպեսզի ապահովեն միայնակ սև խոռոչի խոտորման գծային հավասարումների տեսության ավելի կայուն կոդի սկզբնական տվյալները։ Հետագայում սև խոռոչների մոդելավորման հարաբերություններում մշակվեցին երկու տեխնիկաներ՝ (1) բացառումը և (2) «խայթոցների» մեթոդը, որոնք թույլ էին տալիս հավասարումների լուծումների մեջ խուսափել ֆիզիկական սինգուլյարության հետ կապված պրոբլեմներից։ Այս մեթոդների համադրումը գտնված համապատասխան կոորդինատական պայմանների հետ 2005 թվականին թույլ տվեցին երկակի սև խոռոչների մոդելավորման մեջ առաջընթաց իրականացնել, որի սկզբնաղբյուրը Պրետորիուսի աշխատանքն էր։ Մի քանի տարի անց նոր մեթոդների քանակական հավասարակշռությունը թույլ տվեց արդեն մոդելավորել երկակի սև խոռոչների պրակտիկորեն կամայական կոնֆիգուրացիաներ, որոնք նկարագրում են իրար շուրջ տասնյակ և հարյուրավոր պտույտներ։ Բացի դրանից քանակական հարաբերականության մեջ սկսեցին կիրառվել հաշվարկման ցանցի հարմարեցված փոքրացման մեթոդները, որոնք կիրառվում են հաշվողական հիդրոդինամիկայում։


=== Lazarus նախագիծ ===
Lazarus նախագիծը (1998-2005) թվականին մշակվել է «Մեծ կոչից» հետո ինչպես աստղաֆիզիկական ռելեվանտային արդյունքների դուրս բերման մեթոդիկա այն ժամանակվա համար հասանելի երկակի սև խոռոչների համադրման կարճ քանակական մոդելավորման պրոցեսների միաձուլումից։ Այն ժամանակ սուպերհամակարգիչների վրա Այնշտայնի հավասարումների ինտեգրման հայտնի բոլոր փորձերը երկակի սև խոռոչների տարածաժամանակային տարբեր տեսակի անկայունություններ պատճառով չէին կարող առաջ շարժվել նույնիսկ համակարգի մեկ լրիվ պտույտից հետո։ Նախագծի սահմաններում հետազոտողները զուգակցում էին մոտ մեթոդները մինչև Պոստնյուտոնյան հետագիծը և խոռոչների զույգի մեկին փոխարկվելուց հետո (միայնակ սև խոռոչների խոտորումները) բուն պրոցեսի ամբողջական քանակական լուծումների հետ։
Lazarus նախագծի մոտեցումը այն ժամանակվա համար ամենահարմար մոտեցումն էր երկակի սև խոռոչների պրոբլեմի համար և տվեց բազմաթիվ ճշգրիտ աստղաֆիզիկական կից արդյունքներ, ինչպիսիք են գրավիտացիոն ալիքներով էներգիայի և անկյունային մոմենտի փոխանցումը, սև խոռոչների միաձուլման ժամանակ առաջացած իմպուլսը և սև խոռոչում ծագող անկյունային մոմենտի, իմպուլսի  և վերջնական զանգվածի նշանակությունը։
Նախագծի մեթոդները թույլ տվեցին նաև հաշվարկել միաձուլման պրոցեսում ճառագայթված գրավիտացիոն ալիքների դետալական ձևերը. այն կարևոր էր Գրավիտացիոն տելեսկոպի համար, և նախանշեցին, որ սև խոռոչների բախումը ընթանում է տիեզերքում առավել հզոր էներգիայի շպրտմամբ, երբ վայրկյանի ընթացքում գրավիտացիոն ճառագայթման տեսքով ավելի շատ էներգիա է ազատվում, քան տիեզերքի բոլոր աստղերը կճառագայթեյին նրա գոյության ընթացքում. գրավիտացիոն ճառագայթումը տանում է համակարգի բերված զանգվածի մի քանի տոկոսը։


=== Բացառման մեթոդը ===
(անգլ. excision technique) բացառման մեթոդում, որը առաջին անգամ  1990-ականներին է առաջադրվել,Իրադարձությունների հորիզոնում տարածաժամանակայինի մի մասը, որը պարուրում է սև խոռոչի սինգուլյարությունը, պարզապես բացառվում է էվոլյուցիայից։ Տեսականորեն դա չի կարող ազդել լուծման վրա իրադարձությունների հորիզոնից դուրս պատճառի սկզբունքի հետևանքով և հորիզոնի հատկությունների՝ քանի որ ոչ մի ձևի ֆիզիկական փոխազդեցություն հորիզոնի տակ չի կարող ազդել նրանից դուրս ֆիզիկայի վրա։ Այսպիսով, եթե սև խոռոչի ներսում պարզապես չլուծվի, ապա նրանից դուրս այնուամենայնիվ կարելի է ստանալ ճշգրիտ իրական լուծում։ Կարելի է «բացառել» ներքին դինամիկան, սինգուլյարությունը պարուրող հորիզոնի վրա դուրս եկող ճառագայթների սահմանային պայմանները բացակայության ահմանը դնելով։
Բացառման մեթոդը մշակվել է մի քանի տարվա ընթացքում, այդ թվում գտնվել են տրամաչափային պայմաններ, որոնք մեծացրել են լուծման արարողակարգի կայունությունը, և ցուցադրվել է հաշվողական ցանցի վրայով բացառված շրջանների հատկությունը։ 2005 թվականին այս մեթոդի միջոցով հրատարակվեց երկու սև խոռոչների միաձուլման և ուղեծրի առաջին կայուն հաշվարկը։


=== «Խայթոցների» մեթոդը ===
«Խայթոցների» մեթոդում (անգլ. puncture method) լուծումը բաժանվում է անալիտիկ մասի, որը պարունակում է սև խոռոչի սինգուլյարությունը՝ խայթոց, և հաշվարկի վրա կառուցված մասի, որը չի պարունակում սինգուլյարությունը։ Այս մեթոդը չի հանդիսանում Բրիլ-Լինդկվիստի ալգորիթմի ընդհանրացումը հանգստի վիճակում սև խոռոչի սկզբնական տվյալների համար և կարող է հետագայում ընդհանրացվել Բոուեն-Յորքի ալգորիթմի պտտվող և շարժվող սև խոռոչների սկզբնական պայմանների համար։ Մինչ 2005 թվականը բոլոր հրատարակված օրինակներում պահանջվում էր մեթոդի կիրառումը, որպեսզի մոդելավորման ողջ պրոցեսի ընթացքում բոլոր խայթոցների կոորդինատները ֆիքսվեն։ Իհարկե, սև խոռոչները, գտնվելով իրար անմիջական մոտ, կշարժվեն գրավիտացիոն ուժերի ազդեցությամբ, այսպիսով, խայթոցների ֆիքսված կոորդինատները նշանակում են, որ կոորդինատների համակարգները դառնում են «ձգված» կամ «աղավաղված», որը բերում է մոդելավորման որոշ էտապներում թվային անհավասարակշռության։ Անալոգային էֆեկտները պահանջում են այլ մեթոդի՝ սինգուլյարության  խուսափման կիրառմանը, երբ սև խոռոչները մոդելավորման ժամանակ ձևավորվում են մատերիայի կոլապսի միջոցով, իսկ կոորդինատական պայմանները ընտրվում են այնպես, որ ժամանակի ընթացքում էվոլյուցացված եռաչափ հիպերմակերևույթը չի հասնում մինչ հաշվարկի վերջ սինգուլյարության՝ ձևավորելով ձգված «պոզ» նրա շուրջ։
2005 թվականին հետազոտողները առաջին անգամ կոորդինատների համակարգում ցուցադրեցին խայթոցների շարժումը, այսպիսով լուծելով մեթոդի նախկին պրոբլեմներից մի քանիսը, որը թույլ տվեց ճշգրտորեն հետևել սև խոռոչների երկարատև էվոլյուցիան։ 
Ընտրելով համապատասխան կոորդինատական պայմաններ և կատարելով սինգուլյարության շրջակայքում ֆիզիկական դաշտերի կոպիտ անալիտիկ մոտավորություններ (քանի որ սև խոռոչից ոչ մի ֆիզիկական էֆեկտ չի կարող դուրս գալ, և ապպրոկսիմացիայի կոպտությունը կարևոր չէ)՝ կարելի է ստանալ ինչպես իրար շուրջ պտտվող երկու սև խոռոչների խնդրի թվային լուծումները, այնպես էլ ճշգրտորեն հաշվել նրանց գրավիտացիոն ճառագայթումը։


=== Հաշվարկման ցանցի ադապտիվ մանրացումը ===
Հաշվարկման ցանցի ադապտիվ մանրացումը՝ որպես թվային մեթոդ, ֆիզիկայում կիրառվել է շատ ավելի վաղ՝ նախքան քանակական հարաբերականության զարգացումը։ Վերջինիս մեջ այն առաջին անգամ կիրառվել է 1980-ական թվականներին Չոպտուիկի  Սկալյար դաշտի կոլապսի կրիտիկական երևույթների պրոցեսների ուսումնասիրության աշխատանքներում, երբ դաշտի կոնֆիգուրացիաները գտնվում են սև խոռոչի սահմանային կազմավորման և տարածության մեջ նրա սահմանային ցաքուցրիվ լինելու մեջ։ 
Նախնական աշխատանքները միաչափ էին, քանի որ օգտագործվել էր գնդաձև համաչափությունը, իսկ հետո մեթոդը ընդհանրացվել էր երկու չափումների համար։ Մանրացման երկչափ մեթոդները կիրառվել են նաև Ոչ համասեռ կոսմոլոգիայի և շվարցշիլդյան սև խոռոչների ուսումնասիրման ժամանակ։ Այժմ ադապտիվ մանրացման մեթոդները դարձել են քանակական հարաբերականության մեջ ստանդարտ գործիք և օգտագործվում են սև խոռոչների ու այլ կոմպակտ օբյեկտների, ինչպես և պատահարներից առաջացած գրավիտացիոն ալիքների տարածման ուսումնասիրման համար։


== Ժամանակակից զարգացումը ==

Քանակական հարաբերականության վերաբերյալ մինչ մեր ժամանակները յուրաքանչյուր տարի գրվում են տասնյակ և հարյուրավոր հոդվածներ, որոնք ներկայացնում են ընդհանուր հարաբերականության տեսության մաթեմատիկայի, գրավիտացիոն ալիքների և աստղաֆիզիկայի բնագավառի արդյունքների լայն սպեկտր, որ ստացվել են իրար շուրջ պտտվող սև խոռոչների խնդրի լուծման ժամանակ։ Այդ ժամանակ օգտագործված մեթոդներն ընդհանրացվել են աստղաֆիզիկական բինարային համակարգերի ուսումնասիրության համար, որոնք ներառում են նեյտրոնային աստղեր, սև խոռոչներ և բազմաթիվ սև խոռոչներ։
Այս աշխատանքներում նաև նշվում է, որ երկու պտտվող սև խոռոչների միաձուլումից ստացված խոռոչը կարող է զարգացնել 4000 և նույնիսկ 10000կմ/վ արագություն, որը հնարավորություն է տալիս նրան ցանկացած ծանոթ գալակտիկայի սահմաններից դուրս գալ։ Մոդելավորումը թույլ է տալիս նաև էներգիայի արտահոսք միաձուլման ժամանակ, որը կարող է կազմել հանգստի զանգվածի ավելի քան 8 %-ը, և սև խոռոչի պտտման առանցքի կտրուկ փոփոխության հնարավորություն, որն էլ բացատրում է ռադիոգալակտիկաներում Ռեյլատիվիստիկ շիթի ուղղության փոփոխությունները։ Ուսումնասիրման կարևոր ուղղություն է համարվում նաև միաձուլվող սև խոռոչների գրավիտացիոն ճառագայթման ձևի կատալոգի ստեղծումը, առանց որի այդ ազդանշանների որոնումը տրված LIGO և VIRGO տիպի դետեկտորները ունենում են պակաս զգայնություն։
Քանակական հարաբերականության ժամանակակակից մեթոդների ճշգրտությունը գրավիտացիոն ալիքների հայտնագործումից հետո պրակտիկայում անմիջականորեն դարձել է հնարավոր ստուգել։ GW150914 ազդանշանը  4 %  սխալմունքի սահմաններում համընկնում է քանակական հարաբերականությանբ կանխագուշակմանը։


== Տես նաև ==
Ընդհանուր հարաբերականության տեսության մաթեմատիկական ձևակերպում
Պոստնյուտոնյան տարալուծում
Պտտման առանցքի շրջապտույտ
Ֆրեյմվորք Cactus


== Ծանոթագրություններ ==


== Գրականություն ==
ՀանրագիտարաններChoptuik M. W. Computational Methods in General Relativity: The Theory(անգլ.) // Encyclopedia of mathematical physics  / Ed. by Françoise J. P., Naber G. L., Tsun T. S. — Elsevier, 2006. — Vol. 1. — P. 604—610. — ISBN 9780125126601.ԴասագրքերBaumgarte T. W., Shapiro S. L. Numerical Relativity: Solving Einstein's Equations on the Computer. — Cambridge University Press, 2010. — ISBN 9780521514071
Alcubierre M. Introduction to 3+1 Numerical Relativity. — Oxford University Press, 2008. — ISBN 9780199205677
Bona C., Palenzuela-Luque C., Bona-Casas C. Elements of Numerical Relativity and Relativistic Hydrodynamics: From Einstein's Equations to Astrophysical Simulations. — 2-е изд. — Springer-Verlag, 2009. — (Lecture Notes in Physics, Том 783). — ISBN 9783642011634
Gourgoulhon E. 3+1 Formalism in General Relativity: Bases of Numerical Relativity. — Springer-Verlag, 2012. — (Lecture Notes in Physics, Том 846). — ISBN 9783642245244


== Արտաքին հղումներ ==
ԱկնարկներCook G. Initial Data for Numerical Relativity(անգլ.) // Living Reviews in Relativity. — 2000. — Т. 3. — № 5. —  —  —  — Обзорная статья с детальным обсуждением численной относительности.
Stergioulas N. Rotating Stars in Relativity(անգլ.) // Living Reviews in Relativity. — 2003. — Т. 6. — № 3. —  —  —  — Техничная обзорная статья о вращающихся звёздах с разделом о применениях численной относительности.
Fryer C. L., New K. C. B. Gravitational Waves from Gravitational Collapse(անգլ.) // Living Reviews in Relativity. — 2011. — Т. 14. — № 1. —  —  — Обзор методов и результатов моделирования гравитационных волн от коллапса.
Shibata M., Taniguchi K. Coalescence of Black Hole-Neutron Star Binaries(անգլ.) // Living Reviews in Relativity. — 2011. — Т. 14. — № 6. —  —  — Обзор физических процессов в процессе поглощения нейтронной звезды чёрной дырой и их численного моделирования, а также полученных результатов симуляций.
Winicour J. Characteristic Evolution and Matching(անգլ.) // Living Reviews in Relativity. — 2012. — Т. 15. — № 2. —  —  — Обзор перспективной методики решения уравнений Эйнштейна не в виде задачи Коши, а в виде задачи с начальными значениями на характеристиках, что позволяет непосредственно извлекать формы гравитационно-волнового сигнала из численных симуляций.
Faber J. A., Rasio F. A. Binary Neutron Star Mergers(անգլ.) // Living Reviews in Relativity. — 2012. — Т. 15. — № 8. —  —  —  — Обзор физических процессов в слияниях нейтронных звёзд и их численного моделирования, а также полученных результатов симуляций.
Sarbach O., Tiglio M. Continuum and Discrete Initial-Boundary Value Problems and Einstein's Field Equations(անգլ.) // Living Reviews in Relativity. — 2012. — Т. 15. — № 9. —  —  —  — Обзор проблемы начальных значений и проблемы представления непрерывных уравнений Эйнштейна сеточной дискретной их версией.ՏարբերA Relativity Tutorial at Caltech Archived 2014-05-30 at the Wayback Machine. — Вводный курс основных концепций численной относительности.
Численная относительность на arXiv.