Թվային հաջորդականություն

Թվային հաջորդականություն, թվային տարրերի հաջորդականություն, մաթեմատիկական անալիզի հիմնական դիտարկման առարկա։


== Սահմանում ==
Օբյեկտների կարգավորված ցանցը կոչվում է հաջորդականություն։


== Եղանակներ ==
Գոյություն ունի հաջորդականության տրման երեք առավել կարևոր եղանակ՝ անալիտիկ (բանաձևով), բառային նկարագրով և ռեկուրենտ։


=== Հաջորդականության տրման անալիտիկ եղանակ ===
Սահմանում 1.
Եթե թվային արժեքներ ընդունող 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   ֆունկցիայի որոշման տիրույթ է հանդիսանում բնական թվերի բազմությունը՝ n∈N, ապա այդպիսի ֆունկցիային անվանում են անվերջ թվային հաջորդականություն, կամ պարզապես, հաջորդականություն, իսկ 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        =
        f
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle x_{n}=f(n)}
   թվերը կոչվում են հաջորդականության անդամներ։
Հաջորդականությունը նշանակում են 
  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        }
        ,
        {
        
          x
          
            n
          
        
        
          }
          
            1
          
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}\},\{x_{n}\}_{1}^{\infty }}
   կամ

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        
          x
          
            4
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},...,x_{n},...}
   (1)

  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        ,
        
          
            1
            5
          
        
        ,
        
          
            1
            8
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          
            1
            
              3
              n
              −
              1
            
          
        
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{8}},...,{\frac {1}{3n-1}},...}
   (2)

  
    
      
        
          
            3
            2
          
        
        ,
        
          
            4
            9
          
        
        ,
        
          
            5
            28
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          
            
              n
              +
              2
            
            
              
                n
                
                  3
                
              
              +
              1
            
          
        
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{2}},{\frac {4}{9}},{\frac {5}{28}},...,{\frac {n+2}{n^{3}+1}},...}
   (3)

  
    
      
        −
        2
        ,
        0
        ,
        −
        2
        ,
        .
        .
        .
        ,
        −
        2
        ,
        0
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle -2,0,-2,...,-2,0,...}
   (4)

  
    
      
        5
        ,
        5
        ,
        5
        ,
        .
        .
        .
        ,
        5
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle 5,5,5,...,5,...}
   (5)
(4) հաջորդականությունում 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        =
        −
        1
        +
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}=-1+(-1)^{n}}
  , իսկ (5), ում՝ 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        =
        5
      
    
    {\displaystyle x_{n}=5}
  :
Դիցուք ունենք 
  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}\}}
  -ը և 
  
    
      
        {
        
          y
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{y_{n}\}}
  -ը թվային հաջորդականություններ են։ Նրանց գումար, տարբերություն, արտադրյալ և քանորդ են կոչվում համապատասխանաբար՝ 
  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        +
        
          y
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}+y_{n}\}}
  , 
  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        −
        
          y
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}-y_{n}\}}
  , 
  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        ⋅
        
          y
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}\centerdot y_{n}\}}
  , 
  
    
      
        {
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              y
              
                n
              
            
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\}}
  , 
  
    
      
        (
        
          y
          
            n
          
        
        ≠
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (y_{n}\neq 0)}
   հաջորդականությունները։
Սահմանում 2:

  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}\}}
   հաջորդականությունը կոչվում է վերևից (ներքևից) սահմանափակ, եթե գոյություն ունի այնպիսի M (m) թիվ, որ ցանկացած n բնական թվի համար տեղի ունի անհավասարությունը՝

  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        ⪕
        M
      
    
    {\displaystyle x_{n}\eqslantless M}
   
  
    
      
        (
        
          x
          
            n
          
        
        ⩾
        m
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{n}\geqslant m)}
  :
Սահմանում 3:

  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}\}}
  
հաջորդականությունը կոչվում է սահմանափակ, եթե այն լինի և՛ վերևից, և՛ ներքևից սահմանափակ:
Սահմանում 4:

  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}\}}
  
հաջորդականությունը կոչվում է անսահմանափակ, եթե ցանկացած 
  
    
      
        L
        >
        0
      
    
    {\displaystyle L>0}
   թվի համար 
  
    
      
        
          x
          
            k
          
        
        ∈
        {
        
          x
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle x_{k}\in \{x_{n}\}}
  : 
  
    
      
        
          |
        
        
          x
          
            k
          
        
        
          |
        
        >
        L
        :
      
    
    {\displaystyle |x_{k}|>L:}
  


==== Օրինակներ ====
Օրինակ 1:

  
    
      
        −
        5
        ,
        −
        10
        ,
        −
        15
        ,
        .
        .
        .
        ,
        −
        5
        n
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle -5,-10,-15,...,-5n,...}
  
հաջորդականությունը սահմանափակ է միայն վերևից, ներքևից սահմանափակ չէ։
Օրինակ 2:

  
    
      
        1
        ,
        6
        ,
        11
        ,
        .
        .
        .
        ,
        5
        n
        −
        4
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle 1,6,11,...,5n-4,...}
  
հաջորդականությունը սահմանափակ է միայն ներքևից, վերևից սահմանափակ չէ։
Օրինակ 3:

  
    
      
        3
        ,
        
          
            3
            2
          
        
        ,
        
          
            3
            
              2
              
                2
              
            
          
        
        .
        .
        .
        ,
        
          
            3
            
              
                2
                
                  n
                
              
              −
              1
            
          
        
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle 3,{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2^{2}}}...,{\frac {3}{2^{n}-1}},...}
  
հաջորդականությունը սահմանափակ է և՛ վերևից, և՛ ներքևից։
Օրինակ 4:

  
    
      
        −
        2
        ,
        
          2
          
            2
          
        
        ,
        −
        3
        ,
        
          3
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        −
        n
        ,
        
          n
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle -2,2^{2},-3,3^{2},...,-n,n^{2},...}
  
հաջորդականությունը սահմանափակ չէ ո՛չ վերևից, ո՛չ էլ ներքևից։


=== Հաջորդականության բառային նկարագիր ===
Հաջորդականության բառային նկարագրում, այսինքն պարզ թվերի հաջորդականություն և տասնորդական կոտորակներ։


==== Օրինակներ ====
ա) Պարզ թվերի հաջորդականություն
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...
բ) Տասնորդական կոտորակներ, որոնց ամբողջ մասը 0-ն է, իսկ կոտորակային մասում 1-եր են, որոնց քանակը հավասար է անդամի համարին
0.1, 0.11, 0.111, 0.1111, 0.11111, ...


=== Հաջորդականության տրման ռեկուրենտ եղանակ ===
Հաջորդականության տրման ռեկուրենտ եղանակը դա այն է, երբ նշվում է օրենք, որի միջոցով գտնվում է հաջորդականության 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -րդ անդամը, եթե հայտնի են բոլոր նախորդ անդամները:Այս դեպքում իմանալով հաջորդականության առաջին անդամը, կարողանում ենք գտնել երկրորդը, իմանալով երկրորդը՝ գտնում ենք երրորդը, և այդպես շարունակ կարողենք գտնել ինչքան որ հարկավոր է։
Հաջորդականության տրման այս եղանակը կոչվում է 'ռեկուրենտ' (լատիներեն recurrentis՝ անդրադարձ բառից)։


==== Օրինակ ====
Ունենք 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        4
      
    
    {\displaystyle x_{1}=4}
  , 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        =
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        5
      
    
    {\displaystyle x_{n}=x_{n-1}+5}
  , եթե 
  
    
      
        n
        =
        2
        ,
        3
        ,
        4
        ,
        5
        ,
        6
        ,
        7
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle n=2,3,4,5,6,7,...}
  , հաշվենք 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        
          x
          
            4
          
        
        ,
        
          x
          
            5
          
        
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},...}
   հաջորդականությունը.

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        4
      
    
    {\displaystyle x_{1}=4}
  

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          x
          
            2
            −
            1
          
        
        +
        5
        =
        
          x
          
            1
          
        
        +
        5
        =
        4
        +
        5
        =
        9
      
    
    {\displaystyle x_{2}=x_{2-1}+5=x_{1}+5=4+5=9}
  

  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        =
        
          x
          
            3
            −
            1
          
        
        +
        5
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        5
        =
        9
        +
        5
        =
        14
      
    
    {\displaystyle x_{3}=x_{3-1}+5=x_{2}+5=9+5=14}
  

  
    
      
        
          x
          
            4
          
        
        =
        
          x
          
            4
            −
            1
          
        
        +
        5
        =
        
          x
          
            3
          
        
        +
        5
        =
        14
        +
        5
        =
        19
      
    
    {\displaystyle x_{4}=x_{4-1}+5=x_{3}+5=14+5=19}
  

  
    
      
        
          x
          
            5
          
        
        =
        
          x
          
            5
            −
            1
          
        
        +
        5
        =
        
          x
          
            4
          
        
        +
        5
        =
        19
        +
        5
        =
        24
      
    
    {\displaystyle x_{5}=x_{5-1}+5=x_{4}+5=19+5=24}
  
Այսպիսով ստացանք՝ 4, 9, 14, 19, 24, ... հաջորդականությունը։


== Գրականություն ==
Օհանյան Վ. Հ. «Մաթեմատիկական անալիզ», Երևան 2008, Գլուխ 3, էջ 34, 35։
Ս. Մ. Նիկոլսկի, Մ.Կ. Պոտապով, Ն.Ն. Րեշետնիկով, Ա.Վ. Շևկին, Հանրահաշիվ, 9-րդ դասարան, Անտարես, 2013


== Ծանոթագրություններ ==