موضوع مقاله: بازتاب نقطه‌ای | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # بازتاب نقطه‌ای | مقدمه: در هندسه، بازتاب نقطه ای (وارونگی نقطه، وارونگی مرکزی، یا وارونگی از طریق یک نقطه) نوعی ایزومتریک فضای اقلیدسی است. | ## بخش 1: بازتاب نقطه‌ای | اگر تحت انعکاس نقطه ای از طریق مرکز خود ثابت باشد، گفته می‌شود که دارای تقارن مرکزی یا متقارن مرکزی است. انعکاس نقطه ای را می‌توان به عنوان یک تبدیل وابسته طبقه‌بندی کرد؛ یعنی یک تبدیل آفین ایزومتریک است که دقیقاً یک نقطه ثابت دارد که همان نقطه وارونگی است. واژه‌شناسی اصطلاح انعکاس سست است و برخی آن را سوء استفاده از زبان می‌دانند و وارونگی را ترجیح می‌دهند. چنین نقشه‌هایی پیچشی هستند، به این معنی که مرتبه ۲ دارند - آنها معکوس خودشان هستند: با اعمال دوبار آنها تابع همانی به دست می‌آید - که در مورد نقشه‌های دیگر به نام بازتاب نیز صادق است. به‌طور دقیق‌تر، بازتاب به بازتابی در یک ابرصفحه (𝑛−۱)بعدی فضای آفین اشاره دارد - یک نقطه روی خط، یک خط مستقیم در صفحه (هندسه)، یک صفحه در ۳ فضا)، با ابرصفحه ثابت، اما به‌طور گسترده‌تر. بازتاب به هر چرخش فضای اقلیدسی اعمال می‌شود و مجموعه ثابت (یک فضای وابسته به بعد k که در آن آینه نامیده می‌شود. از نظر جبر خطی، با فرض ثابت بودن مبدأ، چرخش‌ها دقیقاً نقشه‌های قطری با همه مقدارویژه و بردارویژه ۱ یا -۱ هستند. روی ۱ مقدار ویژه)، در حالی که انعکاس نقطه فقط دارای مقدار ویژه -۱ است (با تعدد n). اصطلاح وارونگی را نباید با هندسه وارونi اشتباه گرفت، جایی که وارونگی با توجه به یک دایره تعریف می‌شود. مثال‌ها پیوند= وجهی پیوند= وجهی متوازی الاضلاع در دو بعد، بازتاب نقطه ای همان دوران (هندسه) ۱۸۰ درجه است. در سه بعد، یک بازتاب نقطه ای را می‌توان به عنوان یک چرخش ۱۸۰ درجه ای توصیف کرد که با انعکاس در سراسر صفحه عمود بر محور چرخش ترکیب تابع شده است. در بعد n، بازتاب‌های نقطه ای اگر n زوج باشد، جهت‌گیری را حفظ می‌کنند و اگر n فرد باشد، جهت‌گیری را معکوس می‌کنند. فرمول با توجه به بردار a در فضای اقلیدسی Rn,، فرمول انعکاس a در سراسر نقطه p است. در هندسه اقلیدسی، وارونگی یک نقطه (هندسه) X نسبت به یک نقطه P یک نقطه X است به طوری که P نقطه وسط پاره‌خط با نقاط انتهایی X و X * است. این نگاشت یک تبدیل آفین پیچشی ایزومتری است که دقیقاً یک نقطه ثابت دارد که P است. بازتاب نقطه ای به عنوان یک مورد خاص از پوسته پوسته شدن یکنواخت یا یکنواختی هنگامی که نقطه وارونگی P با مبدأ منطبق است، بازتاب نقطه معادل یک مورد خاص از مقیاس یکنواخت است: مقیاس یکنواخت با ضریب مقیاس برابر با -۱. وقتی P با مبدأ منطبق نیست، بازتاب نقطه معادل یک مورد خاص از تبدیل همتتیک است: همگنی با مرکز همتتیک که با P منطبق است، و ضریب مقیاس -۱. به‌طور خاص، انعکاس نقطه در p و به دنبال آن بازتاب نقطه در q ترجمه توسط بردار 2 (q - p) است. مجموعه ای که از تمام بازتاب‌ها و ترجمه‌های نقطه ای تشکیل شده است، زیرگروه لی از گروه اقلیدسی است. این یک محصول نیمه مستقیم از Rn با یک گروه دوری از مرتبه ۲ است که گروه دوم بر روی Rn با نفی عمل می‌کند. بازتاب نقطه ای در ریاضیات انعکاس نقطه ای در مرکز یک کره، نقطه پادپایی را به دست می‌دهد. بازتاب نقطه ای در هندسه تحلیلی با توجه به نقطه و بازتاب آن با توجه به نقطه ، دومی نقطه وسط قطعه است. به همین خاطر، معادلات برای یافتن مختصات نقطه منعکس شده‌اند خاص است که در آن نقطه C دارای مختصات (۰٬۰) باشد. | ## بخش 2: بازتاب نقطه‌ای | (به پاراگراف زیر مراجعه کنید) خواص در فضای اقلیدسی زوج بعدی، مثلاً فضای 2N بعدی، وارونگی در یک نقطه P معادل N چرخش بر روی زوایای π در هر صفحه از مجموعه دلخواه N صفحه متعامد متقابل در P است. این چرخش‌ها متقابلاً جابجایی هستند؛ بنابراین، وارونگی در یک نقطه در فضای زوج بعدی، ایزومتری حفظ جهت یا ایزومتریک مستقیم است. در فضای اقلیدسیبا ابعاد فرد، مثلاً فضای بعدی (2N + ۱)، معادل N چرخش بر روی π در هر صفحه از مجموعه دلخواه N صفحه متعامد متقابل در P است، همراه با بازتاب در بعد 2N. فضای فرعی که توسط این صفحات چرخشی پوشانده شده است؛ بنابراین، به جای حفظ جهت، معکوس می‌شود، ایزومتری غیرمستقیم است. از نظر هندسی در ۳ بعدی، معادل دوران (هندسه) حول محور از طریق P با زاویه ۱۸۰ درجه است، همراه با انعکاس در صفحه از طریق P که عمود بر محور است. نوع گروه یکی از سه نوع گروه تقارنی به صورت سه بعدی بدون تقارن چرخشی خالص است، به تقارن چرخه‌ای با n=۱ مراجعه کنید. گروه نقطه‌ای‌های زیر در سه بعد حاوی وارونگی هستند: C n h و D n h برای n زوج S 2 n و D n d برای n فرد T h، Oh , و من h ارتباط نزدیکی با معکوس در یک نقطه، انعکاس نسبت به یک صفحه (هندسه)است که می‌توان آن را به عنوان یک «وارونگی در یک صفحه» در نظر گرفت. مراکز وارونگی در کریستالوگرافی زمانی که نقطه ای وجود داشته باشد که تمام اتم‌ها بتوانند از طریق آن بازتاب کنند و در عین حال تقارن را حفظ کنند، مولکول‌ها دارای یک مرکز وارونگی هستند. در بلورنگاری وجود مراکز وارونگی بین ترکیبات مرکز متقارن و غیر متقارن تمایز قائل می‌شود. ساختارهای کریستالی از چند وجهی مختلف تشکیل شده‌اند که بر اساس تعداد هماهنگی و زوایای پیوند طبقه‌بندی می‌شوند. به عنوان مثال، چند وجهی چهار مختصات به عنوان هندسه مولکولی چهاروجهی طبقه‌بندی می‌شوند، در حالی که محیط‌های پنج مختصات بسته به زوایای پیوند می‌توانند هندسه مولکولی هرمی مربع یا هندسه مولکولی دو هرمی مثلثی باشند. همه ترکیبات کریستالی از تکرار یک بلوک ساختمانی اتمی که به عنوان سلول واحد شناخته می‌شود به دست می‌آیند و این سلول‌های واحد تعیین می‌کنند که کدام چند وجهی و به چه ترتیبی تشکیل می‌شوند. بسته به اینکه کدام اتم پیوند مشترک دارند، این چند وجهی از طریق اشتراک گوشه، لبه یا صورت به یکدیگر متصل می‌شوند. مراکز وارونگی حاوی چند وجهی به عنوان مرکز متقارن شناخته می‌شوند، در حالی که مراکز بدون آن غیرمتقارن هستند. هشت ضلعی مختصات شش وجهی نمونه ای از چند وجهی متقارن مرکزی است، زیرا اتم مرکزی به عنوان یک مرکز وارونگی عمل می‌کند که از طریق آن شش اتم پیوندی تقارن را حفظ می‌کنند. از سوی دیگر، چهار وجهی غیرمتقارن هستند زیرا وارونگی از طریق اتم مرکزی منجر به معکوس شدن چند وجهی می‌شود. توجه به این نکته مهم است که هندسه‌های پیوند با اعداد مختصات فرد باید غیرمتقارن باشند، زیرا این چند وجهی دارای مراکز وارونگی نیستند. چند وجهی واقعی در کریستال‌ها اغلب فاقد یکنواختی پیش‌بینی شده در هندسه پیوند آنها است. اعوجاج شامل تاب برداشتن چند وجهی به دلیل طول‌های پیوند غیر یکنواخت است که اغلب به دلیل جاذبه الکترواستاتیکی متفاوت بین هترواتم‌ها است. به عنوان مثال، یک مرکز تیتانیوم احتمالاً به‌طور مساوی به شش اکسیژن در یک هشت وجهی پیوند می‌خورد، اما اگر یکی از اکسیژن‌ها با فلوئور الکترونگاتیوی بیشتری جایگزین شود، اعوجاج رخ می‌دهد. اعوجاج‌ها هندسه ذاتی چند وجهی را تغییر نمی‌دهند - یک هشت وجهی تحریف شده هنوز به عنوان یک هشت وجهی طبقه‌بندی می‌شود، اما اعوجاج به اندازه کافی قوی می‌تواند بر تقارن مرکزی یک ترکیب تأثیر بگذارد. اختلال شامل اشغال دو یا چند مکان است که در آن یک اتم یک موقعیت کریستالوگرافی را در درصد معینی از چند وجهی و دیگری را در موقعیت‌های باقیمانده اشغال می‌کند. این اختلال می‌تواند بر تقارن مرکزی چند وجهی خاص نیز تأثیر بگذارد، بسته به اینکه آیا اشغال بر روی یک مرکز وارونگی موجود تقسیم شده است یا خیر. | ## بخش 3: بازتاب نقطه‌ای | کریستال‌ها به سی و دو گروه نقطه کریستالوگرافی طبقه‌بندی می‌شوند که توصیف می‌کنند چگونه چند وجهی‌های مختلف خود را در فضا در ساختار توده قرار می‌دهند. وجود چند وجهی غیرمتقارن تضمین نمی‌کند که گروه نقطه یکسان باشد-دو شکل غیرمتقارن را می‌توان در فضا به گونه ای جهت داد که شامل یک مرکز وارونگی بین این دو باشد. دو تا چهار وجهی روبروی هم می‌توانند یک مرکز وارونگی در وسط داشته باشند، زیرا جهت‌گیری به هر اتم اجازه می‌دهد تا یک جفت بازتابی داشته باشد. معکوس نیز صادق است، زیرا چند وجهی متقارن متقارن را می‌توان مرتب کرد تا یک گروه نقطه ای غیرمتقارن را تشکیل دهد. عدم تقارن از طریق مراکز وارونگی می‌تواند به نواحی کریستال اجازه دهد تا با نور ورودی به‌طور متفاوتی تعامل داشته باشند. طول موج، فرکانس و شدت نور در معرض تغییر است زیرا تابش الکترومغناطیسی با حالات انرژی مختلف در سراسر ساختار تعامل دارد. در گروه فضایی Pna21 متقارن و متقارن متبلور می‌شود و یک کریستال غیر خطی مفید است. KTP برای لیزرهای دوپه شده با نئودیمیم با دو برابر فرکانس، با استفاده از یک ویژگی نوری غیرخطی به نام نسل هارمونیک دوم استفاده می‌شود. کاربردهای مواد غیرخطی هنوز در حال تحقیق است، اما این ویژگی‌ها از وجود (یا فقدان آن) یک مرکز وارونگی ناشی می‌شود. وارونگی با توجه به مبدأ وارونگی با توجه به مبدأ مربوط به وارون جمعی بردار موقعیت و همچنین ضرب اسکالر در -۱ است. این عملیات با هر نگاشت خطی دیگر جابجا می‌شود، اما نه با ترجمه: در مرکز گروه خطی عمومی قرار دارد. «وارونگی» بدون اشاره به «در یک نقطه»، «در یک خط» یا «در یک صفحه» به معنای این وارونگی است. در ریاضیات، بازتاب از طریق مبدأ به بازتاب نقطه ای فضای اقلیدسی Rn در سرتاسر مبدأ (ریاضیات) دستگاه مختصات دکارتی اشاره دارد. انعکاس از طریق مبدأ یک تبدیل متعامد مربوط به ضرب اسکالر در -۱ است، و همچنین می‌تواند به صورت نوشته شود، جایی که 𝐼 ماتریس همانی است. نمایندگی‌ها به عنوان ماتریس قطری، در هر پایه با ماتریسی با -۱ در قطر نشان داده می‌شود، و همراه با همانی، مرکز گروه متعامد 𝑂(𝑛) است. بنابراین در بعد زوج جهت‌گیری را حفظ می‌کند، بنابراین عنصری از گروه متعامد خاص SO(2n) است، و جهت‌گیری را در ابعاد فرد معکوس می‌کند، بنابراین عنصری از SO(2n + 1) نیست و در عوض تقسیمی از نقشه است که را به عنوان یک محصول مستقیم داخلی نشان می‌دهد. هر شکل درجه دوم را حفظ می‌کند، یعنی ، و بنابراین عنصری از هر گروه متعامد نامشخص نیز هست. به‌طور مشابه، این طولانی‌ترین عنصر گروه متعامد با توجه به مجموعه بازتاب‌ها است: عناصر گروه متعامد همه حداکثر طول n نسبت به مجموعه بازتاب‌ها دارند و بازتاب از مبدأ دارای طول n است. اگرچه در این مورد منحصر به فرد نیست: سایر ترکیبات حداکثر چرخش (و احتمالاً بازتاب) نیز حداکثر طول دارند. هندسه در SO(2r)، بازتاب از طریق مبدأ دورترین نقطه از عنصر همانی با توجه به متریک معمول است. در O(2r + 1)، انعکاس از طریق مبدأ در SO(2r+1) نیست (در جزء غیر همانی است)، و هیچ معنای طبیعی وجود ندارد که در آن «نقطه دورتر» از هر چیز دیگری باشد. این امر به ویژه برای حتی گروه‌های چرخشی، به عنوان گیج کننده است، و بنابراین در هر دو -۱ و ۲ بالابر قرار دارند. | ## جمع‌بندی | انعکاس از طریق هویت به خودشکلی جبر کلیفورد گسترش می‌یابد که به آن انطباق اصلی یا گرایش درجه می‌گویند.