موضوع مقاله: مدل آیزینگ | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # مدل آیزینگ | مقدمه: مدل آیزینگ (به انگلیسی: Ising Model)‌ (; ) که به افتخار فیزیکدان ارنست آیزینگ به نام او نامگذاری شده‌است یک مدل ریاضی از فرومغناطیس در مکانیک آماری است. | ## بخش 1: مدل آیزینگ | این مدل متشکل از متغیرهای گسسته است که نشان دهنده جهت گشتاور دوقطبی‌های اتم است و می‌تواند در یکی از دو حالت (+۱ یا -۱) باشد. این جهت چرخش‌ها به صورت یک گراف مشبکه (Lattice) قرار می‌گیرند به طوریکه هر جهت چرخش بتواند با همسایگان در تعامل باشد. این مدل اجازه می‌دهد تا انتقال فاز به عنوان یک مدل ساده از مدل اصلی شناسایی شود. مدل آیزینگ توسط فیزیکدان که این مدل را به عنوان یک مسئله به دانشجوی خود ارنست آیزینگ داده بود اختراع شد. اگرچه راه‌های زیادی برای حل آن ارائه شده، راه حل متداول ماتریس انتقال است گر چه وجود دارد که بیشتر به تئوری میدان کوانتومی مرتبط است. در ابعاد بالاتر از چهار، انتقال فاز مدل Ising با تئوری میدان میانگین توضیح داده‌می‌شود. تعریف یک مجموعه رئوس مشبکه Λ را در نظر بگیرید که هر کدام با مجموعهٔ رئوس مجاور (به عنوان مثال یک گراف) که تشکیل یک مشبکه d-بعدی را می‌دهند. برای هر رأس مشبکه k ∈ L یک متغیر گسسته σk وجود دارد به طوری که σk ∈ {+۱, -۱} که در واقع نشان دهنده جهت چرخش اتم در مدل واقعی است. یک پیکربندی برای چرخش σ = (σk)k ∈ Λ است که در واقع انتسابی برای هر رأس این مشبکه است. | ## بخش 2: مدل آیزینگ | توجه داشته باشید که علامت عبارت دوم در بالا در واقع باید مثبت باشد زیرا گشتاور مغناطیسی الکترون مخالف جهت چرخش آن است اما این عبارت به این صورت مصطلح‌تر است.See , Chapter 16. احتمال پیکربندی از توزیع بولتزمن با β ≥ ۰ به دست می‌آید: که در آن β = (kBT)−1 و ثابت نرمال‌سازی به صورت زیر است: برای یک تابع f از چرخش‌ها (که مشهود باشد) این مقدار از رابطه زیر که در واقع امید ریاضی f نشان داده می‌شود: احتمال پیکربندی Pβ(σ) نشان دهنده احتمال بودن در یک وضعیت با تنظیمات σ است به شرط اینکه در تعادل باشد. با استفاده از این علامت مرسوم مدل Ising را می‌توان نشانه تعامل که به این صورت است طبقه‌بندی کرد: اگر برای همه i, jها داشته باشیم: تعامل فرومغناطیس نامیده می‌شود تعامل پادفرومغناطیس نامیده می‌شود جهات چرخش غیر تعاملی هستند در غیر این صورت سیستم به نام غیر فرومغناطیس نامیده می‌شود. در مدل آیزینگ فرومغناطیس، جهت چرخش میل به تراز دارد: پیکربندی که در جهات چرخش مجاور که هم‌جهت باشند محتمل‌تر هستند. از طرف دیگر در یک مدل پادفرومغناطیس جهات چرخش همسایه تمایل دارند که جهات مخالفی داشته‌باشند. نشانه مصطلح H(σ) همچنین توضیح می‌دهد که چگونه یک چرخش رأس j با میدان خارجی تعامل دارد. اگر: رأس j تمایل دارد که در جهت مثبت قرار بگیرد رأس j تمایل دارد که در جهت منفی قرار بگیرد هیچ تأثیری از میدان خارجی بر جهت چرخش وجود ندارد. ساده‌سازی مدل Ising اغلب بدون در نظر گرفتن تعامل خارجی با مشبکه بررسی می‌شود که مانند قرار دادن h = ۰ برای همه رئوس است. با استفاده از این ساده‌سازی هامیلتونی به این صورت می‌شود: زمانی که میدان خارجی در همه جا صفر باشد یعنی h=۰، مدل Ising در تعویض مقادیر چرخش‌ها در همه رئوس متقارن است اما یک میدان غیر صفر این تقارن را از بین می‌برد. | ## بخش 3: مدل آیزینگ | یک ساده‌سازی دیگر این است که فرض کنیم همه همسایه‌های مجاور <ij> قدرت تعامل مشابهی دارند. در این صورت رابطه هامیلتونی به‌ای صورت می‌شود: سوالات تعداد قابل توجهی از سوالات در زمینهٔ احتمالاتی که دربارهٔ این مدل به ذهن می‌رسد در زمینه تعداد چرخش هاست: در یک پیکربندی معمولی بیشتر چرخش‌ها +۱ هستند یا -۱ یک به‌طور مساوی تقسیم شده‌اند. اگر یک چرخش در هر رأس i برابر ۱ باشد احتمال اینکه در رأس j هم برابر ۱ باشد چیست؟ به عبارتی برای هر β مثبت همبستگی‌های به فرم <σiσj> دارای کاهش از مرتبه نمایی با مقدار |i − j| هستند: در حالی که سیستم بی نظم است. بر این پایه این نتیجه او به اشتباه نتیجه گرفته بود که این مدل رفتار فازی را در هیچ ابعادی نشان نمی‌دهد. چرخش با مدل آیزینگ به اصطلاح چرخش، همچنین می‌تواند توضیح داده شود معمول هامیلتونی که در آن S-متغیرهای توصیف آیزینگ چرخش در حالی که J,i، k گرفته شده از یک توزیع تصادفی. برای چرخش عینک معمولی توزیع را انتخاب پادفرومغناطیس اوراق قرضه با احتمال p فرومغناطیس و اوراق قرضه با احتمال ۱ − pاست. | ## جمع‌بندی | این سیستم سزاوار علاقه خود را دارد؛ به خصوص یکی است "غیر ergodic" خواص منجر به عجیب و غریب آرامش رفتار.| توجه زیادی شده‌است و همچنین جذب مربوط به اوراق قرضه و سایت رقیق مدل آیزینگ به خصوص در دو بعد منجر به جذاب رفتار بحرانی است.