موضوع مقاله: هرم پاسکال | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # هرم پاسکال | مقدمه: در ریاضیات هرم پاسکال آرایش سه بعدی از اعداد سه جزیی است؛ که ضرایب بسط سه جمله‌ای و توزیع آن می‌باشد. | ## بخش 1: هرم پاسکال | هرم پاسکال نظیر سه بعدی از مثلث پاسکال دو بعدی، که شامل اعداد دو جمله‌ای و مربوط به بسط دو جمله‌ای و توزیع دو جمله‌ای آن می‌باشد. اعداد دو جمله‌ای و سه جمله‌ای، ضرایب، بسط‌ها، توزیع‌ها، زیر مجموعه‌های ساخت‌های چند جمله‌ای با اسم‌های یکسان می‌باشند. هرم پاسکال با نام دقیق تر «چهار وجهی پاسکال» می‌باشد، زیرا دارای چهار سطح مثلثی است. (اهرام مصر باستان دارای پنج سطح بود: یک پایه مربعی و چهار مثلث اطراف آن) ساختار چهاروجهی به دلیل آن که چهاروجهی یک شیء سه بعدی است، ترسیم آن بر کاغذ یا نمایش آن بر صفحه کامپیوتر دشوار است. لایه‌های دیگر را می‌توان دربالای سر چهار وجهی که لایه‌های قبلی آن برداشته شده فرض کرد. مجموع مقادیر اعداد در nامین لایه 3n هر عدد در یک لایه، از مجموع اعداد نزدیک به خود در لایه بالایی به دست می‌آید. این ترتیب غیر خطی موارد زیر را آسان‌تر می‌کند: نمایش منسجمانه بسط سه جمله‌ای محاسبه ضرایب توزیع سه جمله‌ای. اعداد در امتداد سه لبه لایه n ام از اعداد خط n ام مثلث پاسکال می‌باشد؛ و تقریباً تمام خواص ذکر شده در بالا شباهت‌هایی با مثلث پاسکال و ضرایب چندگانه دارند. nامین لایه، ماتریسی با ضرایب مجزا[ماتریس ضرایب] (بدون متغیر یا نماها) از عبارت سه جمله‌ای (به عنوان مثال A + B + C) وجود دارد. A + B + C)1 × (A + B + C)n = (A + B + C)n+1) هر جمله در عبارت اول را در هر جمله در عبارت دوم ضرب می‌شود؛ و سپس ضرایب جملات یکسان (متغیر و نماهای مشابه) را با هم جمع می‌کنیم. توان‌ها، متغیرها و ضرایب اشاره شده که نوشته نشدند، ارتباط دیگری بین چهار وجهی را نمایش می‌دهد. برای لایه ۴ام داریم: توان‌های هر جملهٔ بسط به خوبی دیده می‌شود و این فرمول‌ها، ضرایب بسط (با انحصار به هر جمله) و ضرایب چهاروجهی لایه چهارم ساده می‌کنند. ارتباط توزیع چند جمله‌ای تعداد چهار وجهی‌ها را همچنین می‌توان در توزیع سه جمله‌ای یافت. این یک توزیع احتمال گسسته است که برای تعیین شانس ترکیبی از وقایع با توجه به سه پیش آمد ممکن که رخ می‌دهد؛ تعداد راه‌هایی که وقایع می‌توانند رخ بدهند ضربدر احتمالاتی است که روی می‌دهد. | ## بخش 2: هرم پاسکال | به عنوان مثال، در یک انتخابات سه جانبه، نامزدها این رای‌ها را اخذ کردند: A, 16%; B, 30%; C, 54%. شانس این که گروهی چهار نفره شامل رأی دهندگانی باشد به شرطی که ۱ رأی به Aو ۱ رأی به B و ۲ رأی به c داده باشند، چقدر است؟ × ۲!) ] × [ (16%)1 × (30%)1 × (54%)2] = ۱۲ × ۰٫۰۱۴۰ = ۱۷٪ عدد ۱۲ ضریب این احتمال است و این تعداد ترکیباتی است که این گروه "۱۱۲" می‌توانند پر کنند. عبارات برای همهٔ ۱۵ تای این ضرایب بدین سان است: صورت کسر (بالای خط) این کسرها برای همه عبارات یکسان است. این گروه، با حجم نمونه چهار نفره، نشان می‌دهد که ضرایب این ترتیب‌ها را می‌توان در لایه ۴ از چهار وجهی یافت. سه عدد در مخرج (زیر خط) تعدادی از اعضای گروه می‌باشد که به ترتیب به A، B، C رأی دادند. (بخوانید انتخاب ۰و۰و۴ از ۴) که مقادیر این عبارات، برابر ضرایب لایه چهارم چهاروجهی است؛ که می‌توان آن را به هر لایه با تغییر اندازه نمونه به n تعمیم داد. اضافه کردن ضرایب بین لایه‌ها اعداد هر لایه (n) در چندوجهی، مجموع سه عدد مجاور لایه قبلی[بالایی] (1-n) می‌باشد. در زیر اعداد لایه سوم، به صورت مایل، در بین اعداد درشت شده لایه چهارم، جا داده شده‌ است. ۱ ۴ ۶ ۴ ۱ ۱ ۳ ۳ ۱ ۴ ۱۲ ۱۲ ۴ ۳ ۶ ۳ ۶ ۱۲ ۶ ۳ ۳ ۴ ۴ ۱ ۱ ارتباط مورد نظر با عدد مرکزی پایین درلایه چهارم نشان داده شده‌است؛ که آن با ۳ عدد از لایه سوم محاصره شده‌است: ۶ از شمال، ۳ از جنوب شرقی و ۳ از جنوب غربی آن. (اعداد در لبه‌ها فقط ۲ عدد مجاور در لایه بالایی خود دارند و اعداد گوشه‌ای فقط یک عدد مجاور خود دارند و به همین دلیل همواره مقدار یک را دارا می‌باشند. اعدادی که نیستند را می‌توان صفر در نظر گرفت؛ پس مشکلی برای تعمیم وجود ندارد) این ارتباط بین لایه‌های مجاور، یک ارتباط خارق‌العاده نیست! این رابطه تنها زمانی که بسط سه جمله‌ای به شکل غیر خطی همانند فرمی که در این بخش (ارتباط بسط سه جمله‌ای) نشان داده شد، مرتب شود، به کار می‌آید. روابط بین ضرایب یک لایه در هر لایهٔ چندوجهی، همه اعداد به سادگی نسبتی از اعداد مجاور می‌باشند. | ## بخش 3: هرم پاسکال | رابطه در جفت اعداد مجاور افقی در لایه چهارم نشان داده شده‌است: 1 <1:4> 4 <2:3> 6 <3:2> 4 <4:1> 1 4 <1:3> 12 <2:2> 12 <3:1> 4 6 <1:2> 12 <2:1> 6 4 <1:1> 4 1 از آنجا که چهاروجهی دارای تقارن ۳طرفه است، رابطهٔ نسبتی، همانند مسیر افقی، در مسیرهای قطری نیز برقرار است (در هر دو طرف). برای مثال، یک نسبت در شکل بالا، ۴ <1:۳> ۱۲ می‌باشد که جملات مربوطه در بسط سه جمله‌ای، 4A3B1C0 و 12A2B1C1 است. قوانین زیر برای همه ضرایب جفت‌های مجاور جملات در بسط سه جمله‌ای بر قرار است: توان یکی از متغیرها بدون تغییر باقی می‌ماند و می‌توان از آن صرف نظر کرد. (B در این مثال) برای ۲ متغیر دیگر، توان یکی ۱ واحد افزایش و دیگری ۱ واحد کاهش می‌یابد. (عدد بزرگتر در جمله سمت چپ) ضرایب C نیز در این جملات ۰و۱ هستند (عدد بزرگتر در جمله سمت راست) ضرایب و توان‌های بزرگتر به هم مربوط می‌شوند: ۴ × ۳ = ۱۲ × ۱ ۴ / ۱۲ = ۱ / ۳ این روابط نسبت "۱:۳" را به دست می‌دهند. این رابطه نسبتی (تا حدودی طاقت فرسا) راه دیگری برای محاسبه ضرایب چهار ضلعی را فراهم می‌کند: ضریب جمله مجاور، برابر ضریب جمله فعلی ضربدر توان متغیر با کاهش توانی تقسیم بر توان متغیر با افزایش توانی می‌باشد. در روزهای گذشته، کامپیوترهای شخصی و ماشین حساب‌های جیبی از این شیوه به عنوان میانبر دانش آموز برای نوشتن بسط دوجمله‌ای بدون بسط جبری خسته‌کننده یا محاسبات فاکتوریل ناشیانه استفاده می‌شد. این رابطه نیز تنها زمانی که بسط سه جمله‌ای به شکل غیر خطی همانند فرمی که در این بخش (ارتباط بسط سه جمله‌ای) نشان داده شد، مرتب شود، به کار می‌آید. روابط در مثلث پاسکال می‌دانید که اعداد روی سه یال بیرونی لایه nام چهاروجهی، همانند اعداد سطر nام مثلث پاسکال می‌باشد. این روابط با مقایسه لایه چهارم چهاروجهی و خط چهارم مثلث پاسکال به خوبی نشان داده خواهد شد. این رابطه، راحت‌ترین و سریع‌ترین راه محاسبهٔ هر لایه از چهاروجهی می‌باشد بدون نیاز به محاسبهٔ فاکتوریل که به سرعت اعداد بزرگی را تولید می‌کند. ویژگی‌های دیگر توان‌سازی لایهٔ تصادفی را می‌توان در یک مرحله با فرمول زیر به دست آورد: که در آن b مبنا و d تعداد ارقام هریک از ضرایب چندجمله‌ای مرکزی می‌باشد که سپس ارقام حاصل آن را با d(n+1) بسته‌بندی می‌نماییم؛ به اندازه d جدا کرده و و صفرهای پیشرو را حذف می‌کنیم. مثال‌ها برای مبنای b = 10, n = 5, d = ۲: = 10000000001015 = ۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۵۰۵۰۰۰۰۰۰۱۰۲۰۱۰۰۰۰۰۱۰۳۰۳۰۱۰۰۰۰۵۲۰۳۰۲۰۰۵۰۱۰۵۱۰۱۰۰۵۰۱ ۱ ۱ ۱ ۰۰۰۰۰۰۰۰۰۵۰۵ ۰۰ ۰۰ ۰۰ ۰۰ ۰۵ ۰۵ .. | ## جمع‌بندی | مجموع ضرایب ردیف‌ها در یک لایه با جمع کردن اعداد هر ردیف در لایه n در هرم پاسکال، داریم: که b مبنا و d تعداد ارقام مجموع ردیف میانی (دارای بیش‌ترین مجموع) برای مبنای b = ۱۰: ۱ ~ ۱ \ ۱ ~ ۱ \ ۱ ~ ۱ \ ۱ ~ ۱ \ ۱ ~ ۱ ۱ \ ۱ ~ ۲ \ ۲ \ ۲ ~ ۴ \ ۳ \ ۳ ~ ۰۶ \ ۴ \ ۴ ~ ۰۸ ۱ ۱ \ ۲ \ ۱ ~ ۴ \ ۳ \ ۶ \ ۳ ~ ۱۲ \ ۶ \۱۲ \ ۶ ~ ۲۴ ۱ ۲ ۱ \ ۳ \ ۳ \ ۱ ~ ۰۸ \ ۴ \۱۲ \۱۲ \ ۴ ~ ۳۲ ۱ ۴ ۴ ۱ \ ۴ \ ۶ \ ۴ \ ۱ ~ ۱۶ ۱ ۰۶ ۱۲ ۰۸ ۱ ۰۸ ۲۴ ۳۲ ۱۶ 120 121 122 1023 1024 مجموع ضرایب ستون‌ها در یک لایه با جمع کردن اعداد هر ردیف در لایه n در هرم پاسکال، داریم: که b مبنا و d تعداد ارقام مجموع ردیف میانی (دارای بیش‌ترین مجموع) برای مبنای b = ۱۰: ۱ |۱| |۱| |۱| | ۱| | ۱| ۱| |۱ |۲| |۲| |۳| |۳| | ۴| | ۴| | ۵| | ۵| ۱ ۱| |۲| |۱ |۳| |۶| |۳| | ۶| |۱۲| | ۶| |۱۰| |۲۰| |۱۰| ۱ ۱ ۱ ۱| |۳| |۳| |۱ | ۴| |۱۲| |۱۲| | ۴| |۱۰| |۳۰| |۳۰| |۱۰| ۱ ۲ ۳ ۲ ۱ ۱| | ۴| | ۶| | ۴| | ۱ | ۵| |۲۰| |۳۰| |۲۰| | ۵| ۱ ۳ ۶ ۷ ۶ ۳ ۱ ۱| | ۵| |۱۰| |۱۰| | ۵| | ۱ ۱ ۰۴ ۱۰ ۱۶ ۱۹ ۱۶ ۱۰ ۰۴ ۰۱ ۱ ۰۵ ۱۵ ۳۰ ۴۵ ۵۱ ۴۵ ۳۰ ۱۵ ۰۵ ۰۱ 1110 1111 1112 1113 101014 101015 کاربرد در ژنتیک، معمولاً از هرم پاسکال برای پیدا کردن نسبت بین ژنوتیپ‌های مختلف در یک عبور مشابه استفاده می‌شود که توسط بررسی خطی که معادل تعداد فنوتیپ (ژنوتیپ + ۱) است انجام می‌شود.