موضوع مقاله: فرمول بارومتریک | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # فرمول بارومتریک | مقدمه: فرمول‌ بارومتریک معادله ریاضی مهمی است که برای درک و پیش بینی رفتار فشار جو در ارتفاعات مختلف استفاده می‌شود. | ## بخش 1: فرمول بارومتریک | از زمان اولین پیشرفتی که در این زمینه توسط پیر سیمون لاپلاس در قرن هجدهم به دست آمد؛ مفروضات اساسی فرمول‌های بارومتریک به صورت زیر بوده است: 1-در نظر گرفتن هوا به عنوان گاز ایده‌آل در حالت پایا 2-در نظر گرفتن فشار اتمسفر به عنوان فشار هیدرواستاتیک بر اساس قانون پاسکال با این حال، گازها از قانون پاسکال پیروی نمی کنند، زیرا مولکول‌ها به طور متوسط آنقدر از یکدیگر دور هستند که نمی‌توانند وزن مولکول‌های همسایه خود را در جهت عمودی منتقل کنند. اما توصیف ریاضی وابستگی فشار به ارتفاع برای اولین بار تنها پس از انتشار قانون بویل در سال 1662 امکان پذیر شد که رابطه معکوس بین فشار و حجم گاز ایده آل را نشان می‌دهد. فرمول فشارسنجی (بارومتریک) اولین بار در سال 1686 توسط فیزیکدان ادموند هالی منتشر شد، اما این فرمول بدون توسعه ریاضی منظم منتشر شد. اولین کسی که توسعه منظم فرمول فشارسنجی را در سال 1805 و در جلد چهارم اثر پنج جلدی خود یعنی مکانیک آسمانی، بیش از صد سال پس از انتشار این فرمول توسط هالی منتشر کرد، ریاضیدان و فیزیکدان پیر سیمون لاپلاس بود. | ## بخش 2: فرمول بارومتریک | در معادله اول که برای مدل استاندارد تروپوسفر استفاده می‌شود، فرض می‌شود که دما با ارتفاع از سطح دریا تغییر می‌کند. در معادله دوم که برای مدل استاندارد استراتوسفر است فرض می‌شود که دما با تغییر ارتفاع تغییر نمی‌کند، در این صورت معادله به صورت زیر در خواهد آمد: در روابط بالا داریم: =فشار مرجع =دمای مرجع (K) =نرخ افت دما (K/m) در ISA =ارتفاعی که فشار در آن محاسبه می‌شود(m) =ارتفاع سطح مرجع b =ثابت گاز جهانی: 8.3144598 J/(mol·K) =شتاب گرانشی: 9.80665 (m/s2) =جرم مولی هوای زمین: 0/0289644 کیلوگرم بر مول مقدار زیرخط b مطابق با هر یک از هفت لایه متوالی اتمسفر که در جدول زیر نشان داده شده‌است، از 0 تا 6 تغییر می‌کند. در این معادلات، g0 , M و *R هر یک ثابت‌های تک ارزشی هستند، در حالی که مطابق با جدول زیر P ،L ، T و h ثابت‌های چندارزشی هستند. شاخص bارتفاع از سطح دریافشار استاتیکدمای استاندارد(K)نرخ افت دماتوان g0 M / R L (m) (ft) (Pa) (inHg) (K/m) (K/ft) ۰ ۰ ۰ ۱۰۱ ۳۲۵٫۰۰ ۲۹٫۹۲۱۲۶ ۲۸۸٫۱۵ ۰٫۰۰۶۵ ۰٫۰۰۱۹۸۱۲ ۵٫۲۵۵۸ ۱ ۱۱ ۰۰۰ ۳۶٬۰۸۹ ۲۲ ۶۳۲٫۱۰ ۶٫۶۸۳۲۴۵ ۲۱۶٫۶۵ ۰٫۰ ۰٫۰ — ۲ ۲۰ ۰۰۰ ۶۵٬۶۱۷ ۵۴۷۴٫۸۹ ۱٫۶۱۶۷۳۴ ۲۱۶٫۶۵ -۰٫۰۰۱ -۰٫۰۰۰۳۰۴۸ -۳۴٫۱۶۲۶ ۳ ۳۲ ۰۰۰ ۱۰۴٬۹۸۷ ۸۶۸٫۰۲ ۰٫۲۵۶۳۲۵۸ ۲۲۸٫۶۵ -۰٫۰۰۲۸ -۰٫۰۰۰۸۵۳۴۴ -۱۲٫۲۰۰۹ ۴ ۴۷ ۰۰۰ ۱۵۴٬۱۹۹ ۱۱۰٫۹۱ ۰٫۰۳۲۷۵۰۶ ۲۷۰٫۶۵ ۰٫۰ ۰٫۰ — ۵ ۵۱ ۰۰۰ ۱۶۷٬۳۲۳ ۶۶٫۹۴ ۰٫۰۱۹۷۶۷۰۴ ۲۷۰٫۶۵ ۰٫۰۰۲۸ ۰٫۰۰۰۸۵۳۴۴ ۱۲٫۲۰۰۹ ۶ ۷۱ ۰۰۰ ۲۳۲٬۹۴۰ ۳٫۹۶ ۰٫۰۰۱۱۶۸۳۳ ۲۱۴٫۶۵ ۰٫۰۰۲ ۰٫۰۰۰۶۰۹۶ ۱۷٫۰۸۱۳ معادله چگالی عبارت‌های محاسبه چگالی تقریباً با محاسبه فشار یکسان هستند؛ تنها تفاوت آنها، وجود توان در معادله ۱ است. | ## بخش 3: فرمول بارومتریک | معادله اول برای مدل استاندارد تروپوسفر استفاده می‌شود که در آن رابطه دما با ارتفاع متغیر است؛ همچنین معادله دوم برای مدل استاندارد استراتوسفر کاربرد دارد که در آن دما ثابت فرض می‌شود. معادله ۱: که معادل نسبت فشار نسبی و تغییرات دما است: معادله ۲: در روابط بالا داریم: = چگالی جرمی (kg/m3) = دمای استاندارد (K) = نرخ افت دمای استاندارد (جدول زیر را ببینید) (K/m) در ISA = ارتفاع از سطح دریا (متر ژئوپتانسیل) = ثابت گاز جهانی 8.3144598 N·m/(mol·K) = شتاب گرانشی: 9.80665 (m/s2) = جرم مولی هوای زمین: 0/0289644 کیلوگرم بر مول مقدار زیرخط b مطابق با هر یک از هفت لایه متوالی اتمسفر که در جدول زیر نشان داده شده‌است، از ۰ تا ۶ متغیر است. در این معادلات، g0, M و *R هر یک ثابت‌های تک ارزشی هستند، در حالی که مطابق با جدول زیر ρ، L, T و h ثابت‌های چند ارزشی هستند. مقادیر به کار رفته برای M, g0 و *R مطابق با استاندارد آمریکا در سال ۱۹۷۶ نوشته شده‌است اما مقدار *R به‌طور ویژه با مقادیر استاندارد موجود برای این ثابت یکسان نیست. | ## جمع‌بندی | شاخص bارتفاع از سطح دریا (h)چگالی جرم دمای استاندارد (T K)نرخ افت دما (L) (m) (ft) (kg/m3) (slug/ft3) (K/m) (K/ft)0001.2250288.150.00650.0019812111 00036,089.240.36391216.650.00.0220 00065,616.790.08803216.65-0.001-0.0003048332 000104,986.870.01322228.65-0.0028-0.00085344447 000154,199.480.00143270.650.00.0551 000167,322.830.00086270.650.00280.00085344671 000232,939.630.000064214.650.0020.0006096 استخراج فرمول فرمول بارومتریک را می‌توان به کمک قانون گازهای ایده‌آل به دست آورد: با فرض بر اینکه فشار وارد شده، هیدرواستاتیک باشد: و با تقسیم 𝑑𝑃 بر عبارت 𝑃 رابطه زیر به دست می‌آید: با تعمیم این عبارت از سطح زمین تا ارتفاع z رابطه زیر به دست می‌آید: اگر تغییر دما را خطی فرض کرد و جرم مولی ثابت و شتاب گرانشی، اولین فرمول بارومتریک را به دست می‌آوریم: همچنین با ثابت فرض کردن دما و انتگرال‌گیری، فرمول دوم بارومتریک را به ما می‌دهد: در این فرمول، *R ثابت گاز است و عبارت R*T / Mg ارتفاع مقیاس را می‌دهد (تقریبا برابر ۸٫۴ کیلومتر برای تروپوسفر).