موضوع مقاله: معیارهای مقاوم‌مقیاس | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # معیارهای مقاوم‌مقیاس | مقدمه: در آمار، معیارهای مقاوم‌مقیاس روش‌هایی هستند که پراکندگی آماری را در یک نمونه از داده‌های عددی به شکلی کمّی اندازه‌گیری می‌کنند، در حالی که در برابر داده‌های پرت مقاومت نشان می‌دهند. | ## بخش 1: معیارهای مقاوم‌مقیاس | این معیارها در تضاد با معیارهای متعارف یا غیرمقاومِ مقیاس، مانند انحراف معیار نمونه، قرار دارند که به شدت تحت تأثیر داده‌های پرت قرار می‌گیرند. رایج‌ترین این آماره‌های مقاوم، دامنه بین‌چارکی (IQR) و میانه قدر مطلق انحراف (MAD) هستند. این آماره‌های مقاوم به‌ویژه به‌عنوان برآوردگرهایی برای یک پارامتر مقیاس استفاده می‌شوند و از مزایای مقاومت و همچنین کارایی بالاتر در داده‌های آلوده برخوردارند، هرچند به قیمت کاهش کارایی برای داده‌های تمیز از توزیع‌هایی مانند توزیع نرمال تمام می‌شود. برای روشن‌شدن مفهوم مقاومت، با افزایش مقدار تنها یک مشاهده، انحراف معیار می‌تواند به‌طور دلخواه بزرگ شود (این معیار دارای یک نقطه شکست صفر است، زیرا با یک نقطه منفرد آلوده می‌شود)، اما این نقص در آماره‌های مقاوم وجود ندارد. توجه داشته باشید که در حوزه‌هایی مانند مالی، فرض نرمال‌بودن می‌تواند منجر به قرار گرفتن در معرض ریسک بیش از حد شود، و برای کاهش ریسک‌های ناشی از کشیدگی غیرعادی (abnormal kurtosis) ممکن است به پارامترسازی بیشتری نیاز باشد. رویکردهای برآورد معیارهای مقاوم مقیاس می‌توانند به عنوان برآوردگرهای ویژگی‌های یک جمعیت به کار روند، خواه برای برآورد پارامتر باشند یا به عنوان برآوردگرهای مقدار مورد انتظار خودشان. برای مثال، برآوردگرهای مقاوم مقیاس برای برآورد انحراف معیار جمعیت استفاده می‌شوند، که عموماً در یک ضریب مقیاس ضرب می‌شوند تا به یک برآوردگر سازگار و نااریب تبدیل گردند؛ بخش پارامتر مقیاس: برآورد را ببینید. برای نمونه، اگر داده‌ها از یک توزیع نرمال پیروی کنند و معیار مربوط بر مقدار زیر تقسیم شود، دامنه بین‌چارکی می‌تواند به یک برآوردگر نااریب و سازگار برای انحراف معیار جمعیت تبدیل گردد: که در آن تابع خطای معکوس است. در موقعیت‌های دیگر، منطقی‌تر است که یک معیار مقاوم مقیاس را به عنوان برآوردگری برای مقدار مورد انتظار خودش در نظر بگیریم، که به عنوان جایگزینی برای انحراف معیار جمعیت در اندازه‌گیری مقیاس تفسیر می‌شود. به عنوان مثال، انحراف مطلق از میانه (MAD) در یک نمونه از توزیع کوشی استاندارد، برآوردگری برای MAD جمعیت است که در این حالت برابر با ۱ است، در حالی که واریانس جمعیت در این توزیع وجود ندارد. کارایی آماری برآوردگرهای مقاوم معمولاً برای داده‌های استخراج‌شده از توزیعی بدون داده‌های پرت (مانند توزیع نرمال)، در مقایسه با برآوردگرهای متعارف دارای کارایی آماری پایین‌تری هستند. با این حال، کارایی آن‌ها برای داده‌های استخراج‌شده از یک توزیع آمیخته یا از یک توزیع دم‌سنگین بالاتر است؛ شرایطی که در آن‌ها نباید از معیارهای غیرمقاوم مانند انحراف معیار استفاده کرد. به عنوان مثال، برای داده‌های استخراج‌شده از توزیع نرمال، کارایی انحراف مطلق از میانه برابر ۳۷٪ کارایی انحراف معیار نمونه است، در حالی که کارایی برآوردگر روسو-کروکس Qn برابر ۸۸٪ انحراف معیار نمونه محاسبه می‌شود. سایر دامنه‌های پیراسته، مانند دامنه بین دهکی (دامنه پیراسته ۱۰٪) نیز قابل استفاده هستند. | ## بخش 2: معیارهای مقاوم‌مقیاس | برای یک توزیع گاوسی، دامنه بین‌چارکی (IQR) با ، یعنی انحراف معیار، به شکل زیر در ارتباط است: یکی دیگر از معیارهای مقاوم مقیاس که به طور گسترده استفاده می‌شود، میانه قدر مطلق انحراف (MAD) است. این معیار برابر است با میانه قدرمطلق‌های تفاضل بین مقادیر داده‌ها و میانه کل مجموعه داده. برای یک توزیع گاوسی، ارتباط MAD با به این صورت است: برای جزئیات بیشتر، بخش رابطه با انحراف معیار را در مقاله اصلی میانه قدر مطلق انحراف مطالعه کنید. مقدار به صورت زیر تعریف می‌شود: مقدار به صورت زیر تعریف می‌شود: که در آن: ضریب ۲٫۲۲۱۹ یک ثابت سازگاری است، مجموعه شامل تمام قدرمطلق‌های تفاضل جفتی بین مشاهدات و است، و زیرنویس نشان‌دهنده -امین آماره ترتیبی است، و می‌باشد. هیچ‌یک از این دو معیار به برآورد مکان نیازی ندارند، زیرا صرفاً بر اساس تفاضل بین مقادیر محاسبه می‌شوند. هر دوی آن‌ها تحت توزیع گاوسی کارایی بالاتری نسبت به MAD دارند: کارایی معادل ۵۸٪ و کارایی معادل ۸۲٪ است. برای نمونه‌ای از یک توزیع نرمال، حتی برای حجم نمونه‌های بسیار کوچک (بایاس کمتر از ۱٪ برای ) تقریباً یک برآوردگر نااریب برای انحراف معیار جمعیت محسوب می‌شود. برای نمونه‌ای بزرگ از یک توزیع نرمال، مقدار تقریباً برآوردگری نااریب برای انحراف معیار جمعیت است. برای نمونه‌های کوچک یا متوسط، مقدار مورد انتظار تحت یک توزیع نرمال به طور چشمگیری به حجم نمونه وابسته است، از این رو برای کالیبره کردن مقیاس از ضرایب تصحیح نمونه-متناهی (که از یک جدول یا از طریق شبیه‌سازی به دست می‌آیند) استفاده می‌شود. این معیار به صورت زیر تعریف می‌شود: که در آن یک تابع مشخصه، میانه نمونه مجموعه ها، و معادله زیر برقرار است: جذر این مقدار، یک برآوردگر مقاوم مقیاس است؛ زیرا هرچه فاصله نقاط داده از مقدار میانه بیشتر شود، وزن آن‌ها کاهش می‌یابد، به طوری که نقاطی که بیش از ۹ واحد MAD از میانه فاصله دارند، هیچ‌گونه تأثیری در نتیجه نخواهند داشت. کارایی این روش دووزنی برای مجموعه‌های ۲۰ نمونه‌ای استخراج‌شده از توزیع‌های تولیدشدهٔ مصنوعی به همراه کشیدگی اضافی ("دم‌های کشیده") در حدود ۸۴٫۷٪ برآورد شده است. آن‌ها پیشنهاد می‌کنند که قابل‌محاسبه‌ترین (tractable) نسخه از این معیار، نسخه‌ای است که بر پایه توزیع تی استیودنت باشد. مثال فرض کنید در فرایند وزن‌کشی ۱۰۰۰ شیء، تحت شرایط عملیاتی روزمره، کاملاً محتمل است که اپراتور اشتباهی مرتکب شده و جرم نادرستی را گزارش کند (و در نتیجه منجر به پیدایش یک نوع خطای سیستماتیک شود). فرض کنید ۱۰۰ شیء وجود داشته باشد و اپراتور تک‌تک آن‌ها را وزن کند و سپس کل این فرایند را ده بار تکرار نماید. | ## بخش 3: معیارهای مقاوم‌مقیاس | در این حالت، می‌توان یک انحراف معیار نمونه برای هر شیء محاسبه کرد و به دنبال داده‌های پرت گشت. هر شیئی که انحراف معیار آن به طرز نامعمولی بزرگ باشد، احتمالاً دارای مقداری پرت در داده‌های محاسبه‌شده است. اگر اپراتور این فرایند را تنها سه بار تکرار می‌کرد، صرفاً با در نظر گرفتن مقدار میانه در سه اندازه‌گیری و با استفاده از می‌شد یک بازه اطمینان به دست آورد. در این سناریو، ۲۰۰ وزن‌کشی اضافی تنها برای تشخیص و تصحیح خطای اپراتور صورت گرفته و کمکی به بهبود بازه اطمینان نکرده است. در صورت تکرارهای بیشتر، می‌توان از یک میانگین پیراسته بهره برد، به نحوی که بزرگترین و کوچکترین مقادیر را حذف نموده و از مقادیر باقیمانده میانگین گرفت. با کمک محاسبات بوت‌استرپ می‌توان بازه اطمینانی ایجاد کرد که باریک‌تر از بازه حاصل از است، تا از طریق این میزان فعالیت‌های اضافی به نتایج بهتری دست یافت. این روش‌ها در برابر خطاهای موجود در رویه انجام کار – که فرضِ ثابت و معین بودن انحراف معیار ترازو (همان ) درکی از آن‌ها ندارد – مقاوم هستند. در کاربردهای عملی که احتمال وقوع خطای اپراتور یا نقص فنی ترازو وجود دارد، نمی‌توان به سادگی مفروضات زیربنایی محاسبات ساده آماری را پذیرفت. پیش از اعتماد به نتایج ۱۰۰ شیئی که هر کدام تنها سه بار وزن شده‌اند و محاسبه بازه‌های اطمینان آن‌ها از طریق ، لازم است وجود داده‌های پرت آزموده شده و تعداد معقولی از آن‌ها حذف گردند (آزمون این فرض که اپراتور دقیق عمل کرده است و اعمال اصلاحات لازم در صورتی که او بی‌نقص نبوده است). همچنین باید فرض این که داده‌ها واقعاً از یک توزیع نرمال با انحراف معیار پیروی می‌کنند را نیز مورد بررسی و آزمون قرار داد. پس از حذف مقادیر پرتِ مشهود، می‌توان برای هر شیء، مقدار میانه را از دو مقدار باقیمانده کسر کرد و به بررسی توزیع ۲۰۰ عدد به‌دست‌آمده نگاه انداخت. این توزیع باید یک توزیع نرمال با میانگین نزدیک به صفر و انحراف معیاری اندکی بزرگتر از باشد. با کمک یک محاسبه ساده صفحه‌گسترده با روش مونت‌کارلو، مقادیر نوعی انحراف معیار در حدود ۱۰۵ تا ۱۱۵٪ مقدار به دست می‌آید. همچنین می‌توان میانگین هر سه‌تایی را از مقادیر کم کرد و به بررسی توزیع ۳۰۰ مقدار حاصل پرداخت. | ## جمع‌بندی | در این حالت میانگین دقیقاً صفر خواهد بود، اما انحراف معیار باید قدری کوچکتر باشد (حدود ۷۵ تا ۸۵٪ از مقدار ).