موضوع مقاله: دل‌گون | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # دل‌گون | مقدمه: در هندسه، دل‌گون یک منحنی مسطح است که توسط یک نقطه در محیط یک دایره که به دور یک دایره ثابت با شعاع یکسان می‌غلتد، رسم می‌شود. | ## بخش 1: دل‌گون | همچنین می‌توان آن را به عنوان یک برون‌چرخ‌زاد با یک نقطه بازگشت (تیزه) تعریف کرد. همچنین نوعی مارپیچ سینوسی و یک وارون منحنی سهمی با کانون به عنوان مرکز وارونگی است. میکروفون الگوی دریافت صوت‌شناسی را نشان می‌دهد که وقتی در دو بعد رسم می‌شود، شبیه یک دل‌گون است (هر صفحه دوبعدی شامل خط مستقیم سه‌بعدی بدنه میکروفون). به دست می‌آید: معادله پارامتری: و از اینجا نمایش در دستگاه مختصات قطبی: با معرفی جایگزینی‌های و پس از حذف جذر، نمایش ضمنی در دستگاه مختصات دکارتی به دست می‌آید: اثبات نمایش پارامتری یک اثبات را می‌توان با استفاده از اعداد مختلط و توصیف رایج آنها به عنوان صفحه مختلط ایجاد کرد. در صفحه مختلط، چرخش حول نقطه (مبدأ) با زاویه را می‌توان با ضرب یک نقطه (عدد مختلط) در انجام داد. یک نقطه از دل‌گون با چرخاندن مبدأ حول نقطه و سپس چرخاندن حول با همان زاویه تولید می‌شود: از اینجا نمایش پارامتری بالا را به دست می‌آوریم: (توابع مثلثاتی and استفاده شدند.) ویژگی‌های متریکی برای دل‌گون که در بالا تعریف شد، فرمول‌های زیر برقرار هستند: مساحت ، طول کمان و شعاع انحنا اثبات این گزاره‌ها در هر دو مورد از نمایش قطبی دل‌گون استفاده می‌کند. C2 نقاط میانی وترهای گذرنده از نوک روی محیط دایره مولد ثابت قرار دارند (به تصویر مراجعه کنید). از این رو اثبات C2 برای اثبات از نمایش در صفحه مختلط (به بالا مراجعه کنید) استفاده می‌شود. برای نقاط و نقطه میانی وتر برابر است با که روی محیط دایره با نقطه میانی و شعاع قرار دارد (به تصویر مراجعه کنید). | ## بخش 2: دل‌گون | از این رو دل‌گون دارای نمایش قطبی و وارون منحنی آن است که یک سهمی (به سهمی مراجعه کنید) با معادله در مختصات دکارتی است. یک بررسی دقیق نشان می‌دهد: نقاط میانی دایره‌ها روی محیط دایره مولد ثابت قرار دارند. (دایره مولد، وارون منحنی خط هادی سهمی است.) این ویژگی منجر به روش ساده زیر برای رسم یک دل‌گون می‌شود: یک دایره و یک نقطه روی محیط آن را انتخاب کنید، دایره‌هایی را که شامل هستند با مرکز روی رسم کنید، و پوشش این دایره‌ها را رسم کنید. این روش به لوئیجی کرمونا نسبت داده می‌شود: یک دایره رسم کنید، محیط آن را به قسمت‌های با فاصله مساوی با نقطه تقسیم کنید (تصویر را ببینید) و آنها را به ترتیب شماره‌گذاری کنید. معادله مماس دل‌گون با نمایش قطبی r = 2(1 + cos φ) از نمایش پارامتری بردار نرمال را به دست می‌آوریم. معادله مماس برابر است با: با کمک فرمول‌های مثلثاتی و تقسیم بعدی بر ، معادله مماس را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد: معادله وتر دایره با نقطه میانی (1,0) و شعاع ۳ برای معادله خط قاطع که از دو نقطه می‌گذرد، به دست می‌آید: با کمک فرمول‌های مثلثاتی و تقسیم بعدی بر ، معادله خط قاطع را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد: نتیجه‌گیری به‌رغم اینکه دو زاویه معانی متفاوتی دارند (به تصویر مراجعه کنید)، برای به خط یکسانی می‌رسیم. از این رو هر خط قاطع دایره که در بالا تعریف شد، مماس بر دل‌گون نیز هست: «دل‌گون پوشش وترهای یک دایره است». توجه:** اثبات را می‌توان با کمک «شرایط پوشش» (به بخش قبل مراجعه کنید) از یک دسته ضمنی منحنی‌ها انجام داد: دسته خطوط قاطع یک دایره (به بالا مراجعه کنید) است و برای پارامتر ثابت t، هر دو معادله نشان دهنده خطوط هستند. اگر در صفحه یک منبع نور در نقطه‌ای روی محیط دایره‌ای باشد که هر پرتویی را بازتاب می‌کند، آنگاه پرتوهای بازتاب شده در داخل دایره مماس بر یک دل‌گون هستند. | ## بخش 3: دل‌گون | توجه: برای چنین ملاحظاتی معمولاً بازتاب‌های چندگانه در دایره نادیده گرفته می‌شوند. مماس در نقطه دایره دارای معادله زیر است: پای عمود از نقطه روی مماس، نقطه با فاصله نامعلوم تا مبدأ است. به‌طور خاص: برای یک منحنی با شعاع انحنای ، گسترنده دارای نمایش زیر است: با به عنوان نرمال واحد به‌طور مناسب جهت‌دهی شده. برای یک دل‌گون به دست می‌آید: «گسترنده» یک دل‌گون یک دل‌گون دیگر است که یک سوم کوچکتر است و در جهت مخالف قرار دارد (به تصویر مراجعه کنید). اثبات برای دل‌گون با نمایش پارامتری نرمال واحد به صورت زیر است: و شعاع انحنا بنابراین معادلات پارامتری گسترنده عبارتند از: این معادلات یک دل‌گون را توصیف می‌کنند که یک سوم کوچکتر است، ۱۸۰ درجه چرخیده و به اندازه در امتداد محور x منتقل شده است. برای دل‌گون‌ها موارد زیر صادق است: (دسته دوم را می‌توان به عنوان بازتاب دسته اول در محور y در نظر گرفت. به نمودار مراجعه کنید.) اثبات برای یک منحنی داده شده در دستگاه مختصات قطبی توسط یک تابع ، رابطه زیر با مختصات دکارتی برقرار است: و برای مشتقات تقسیم معادله دوم بر اول، شیب دکارتی خط مماس بر منحنی در نقطه را به دست می‌دهد: برای دل‌گون‌ها با معادلات و به ترتیب به دست می‌آید: و (شیب هر منحنی فقط به بستگی دارد و نه به پارامترهای یا !) از این رو این بدان معناست که هر منحنی از دسته اول، هر منحنی از دسته دوم را به صورت متعامد قطع می‌کند. در آنالیز مختلط، تصویر هر دایره‌ای که از مبدأ عبور می‌کند تحت نگاشت یک دل‌گون است. یک کاربرد این نتیجه این است که مرز مؤلفه دوره ۱ مرکزی مجموعه مندلبرو یک دل‌گون است که با معادله پارامتری زیر داده می‌شود: مجموعه مندلبرو شامل تعداد نامتناهی از کپی‌های کمی تحریف شده از خودش است و پیاز مرکزی هر یک از این کپی‌های کوچکتر، یک دل‌گون تقریبی است. | ## جمع‌بندی | همچنین، کاتاکاستیک یک مخروط نسبت به پرتوهای موازی با یک خط مولد، سطحی است که مقطع آن یک دل‌گون است.