موضوع مقاله: جبر دمورگان | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # جبر دمورگان | مقدمه: در ریاضیات، جبر دمورگان (به نام آگوستوس دمورگان، ریاضیدان و منطق دان بریتانیایی) ساختاری است که شامل عناصر مقابل است true)A، ∨، ∧، 0(false)، ۱، ¬) = A به گونه ای که: (A، ∨، ∧، ۰، ۱) یک ساختار منطقی محدود است و ¬ یک دگرگونی (نقیض) در دمورگان است: ¬(x ∧ y) = ¬ x ∨ ¬ y و ¬¬ x = x. | ## بخش 1: جبر دمورگان | (یعنی چرخشی حاصل آن نیز در قوانین دمورگان صدق می‌کند) ¬ x ∨ x = ۱ (قانون وسط حذف شده) که نشان می‌دهد از بین یک گزاره و نقیض آن حتماً یکی درست است بنابراین فصل آنها یک گزاره همیشه درست یا توتولوژی است. ¬ x ∧ x = ۰ (قانون عدم تناقض) که نشان می‌دهد از بین یک گزاره و نقیض آن حتماً یکی غلط است بنابراین عطف آنها یک گزاره همیشه غلط یا تناقض خواهد بود. در این جبر هر قانون دیگری را نتیجه می‌دهد و اثبات می‌کند و هر جبری که این قوانین در آن صادق باشد را یک جبر بولی می‌نامیم و به جبرهای جدید می‌رسیم. به عنوان مثال با قوانین بالا داریم: ¬۱ = ¬۱ ∨ ۰ = ¬۱ ∨ ¬¬۰ = ¬(۱ ∧ ¬۰) = ¬¬۰ = ۰ بنابراین ¬ یک اتومورفیسم دوگانه از (A , ∨، ∧، ۰، ۱) است. جبرهای دِمورگان حدود سال ۱۹۳۵ توسط گریگوره مویسیل معرفی شدند، هرچند در ابتدا بدون محدودیت داشتن ۰ و ۱ معرفی شده بودند. در جبرهای دِمورگان امروزی، وجود ۰ و ۱ الزامی است، اما در ابتدا مویسیل این شرط را قرار نداده بود) بعدها، این جبرها در مدرسهٔ لهستانی (به عنوان مثال توسط راسیووا) با نام‌های مختلفی مانند «جبرهای شبه-بولی» و همچنین توسط جی.ای. لاتیس یک ساختار جبری است که در آن هر دو عضو دارای کوچک‌ترین کران بالا و بزرگ‌ترین کران پایین هستند. این جبرها همچنین در مدرسهٔ منطق جبری آرژانتینی توسط آنتونیو مونتیرو بیشتر مورد مطالعه قرار گرفتند. | ## بخش 2: جبر دمورگان | منطق فازی: منطقی است که با مقادیر درستی بین ۰ و ۱ سروکار دارد، برخلاف منطق کلاسیک که فقط مقادیر ۰ (نادرست) و ۱ (درست) را دارد. F < B < T یعنی عطف دو گزاره ارزشی بین ۰ و ۱ دارد، F < N < T یعنی فصل دو گزاره ارزشی بین ۰ و ۱ دارد و B و N قابل مقایسه نیستند. [۱] جبر کلینی اگر جبر دمورگان علاوه بر قوانین قبلی دارای قوانین مقابل باشد x ∧ ¬x ≤ y ∨ ¬y، به آن می‌گویند جبر کلینی.[۱ ۲] (این مفهوم نباید با مفهوم دیگر کلینی در عبارات منظم اشتباه شود) این مفهوم همچنین به عنوان یک عادی i- ساختار نوشته توسط کالمن شناخته می‌شود. مثال‌هایی از جبرهای کلینی (به معنایی که در بالا تعریف شد) عبارتند از: گروه‌های مرتب‌شده با لاتیس، جبرهای پُست و جبرهای ووکاشیه‌ویچ. [توضیح: این ساختارهای جبری، ویژگی‌های خاصی دارند که آنها را در دسته‌ی جبرهای کلینی قرار می‌دهد. برای مثال، همه‌ی آنها دارای عملگرهایی هستند که مشابه «و»، «یا» و «نقیض» در منطق عمل می‌کنند و قوانین خاصی را برآورده می‌کنند.] جبرهای بولی نیز این تعریف از جبر کلین را برآورده می‌کنند. [توضیح: جبرهای بولی، جبرهای کلینی هستند که در آنها قانون وسط وسط حذف شده و قانون عدم تناقض برقرار است.] ساده‌ترین جبر کلین که بولی نیست، منطق سه‌مقداری کلین (K3) است. K3 برای اولین بار در مقالهٔ کلین با عنوان «دربارهٔ نمادگذاری برای اعداد ترتیبی» (۱۹۳۸) ظاهر شد. | ## بخش 3: جبر دمورگان | راه دیگر این است که ¬x ∧ x = ۰ (یعنی قانون عدم تناقض) را حفظ کنیم، اما قانون وسط حذف شده و قانون نقیض مضاعف را کنار بگذاریم. این رویکرد (که نیم-مکمل‌سازی نامیده می‌شود) حتی برای یک نیم-لاتیس (با عمل "و") نیز به‌خوبی تعریف شده است؛ اگر مجموعهٔ نیم-مکمل‌ها یک بزرگ‌ترین عضو داشته باشد، معمولاً شبه‌مکمل نامیده می‌شود. با این حال، اگر فقط قانون ضعیف‌تر ¬x ∨ ¬¬x = ۱ مورد نیاز باشد، جبرهای استون حاصل می‌شوند. به‌طور کلی‌تر، هم جبرهای دِمورگان و هم جبرهای استون، زیرمجموعه‌های مناسبی از جبرهای اکهام هستند. تعریف کوتاه برخی مفاهیم به کار رفته در مقاله نیم-مکمل‌سازی:در این رویکرد، به‌جای اینکه نقیض یک عنصر، مکمل کامل آن باشد (مانند جبرهای بولی)، تنها یک «نیم-مکمل» برای آن در نظر گرفته می‌شود که قانون عدم تناقض را برآورده کند. نیم-لاتیس: یک ساختار جبری با یک عمل دوتایی (معمولاً "و") که شرکت‌پذیر و جابه‌جایی است. جبرهای استون: نوعی جبر که قانون عدم تناقض و قانون ضعیف‌تر ¬x ∨ ¬¬x = ۱ را برآورده می‌کند. | ## جمع‌بندی | جبرهای اکهام: نوعی جبر کلی‌تر که جبرهای دِمورگان و استون زیرمجموعه‌هایی از آن هستند.