موضوع مقاله: گسترنده | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # گسترنده | مقدمه: مجله فرادرس، گسترنده-منحنی یا اولوت یک منحنی هموار، مکان هندسی (مجموعه) تمام مراکز انحنای محلی آن منحنی است. | ## بخش 1: گسترنده | اگر C یک منحنی هموار با شعاع انحنای غیر صفر و متناهی باشد و E گسترنده C باشد، آنگاه C یک گستران از E است. مقادیر حدی اگر شعاع انحنای C به یک حداقل یا حداکثر محلی معمولی برسد، گسترنده C یک نقطه تکین دارد که به شکل یک تیزه دیده می‌شود. اگر C یک منحنی بسته محدب هموار با شعاع انحنای متناهی در همه جا باشد (به ویژه، بدون بخش‌های مستقیم)، و p نقطه‌ای از صفحه باشد که روی گسترنده C قرار ندارد، آنگاه فاصله C تا p دارای تعداد محدودی کمینه محلی است، و این تعداد برابر است با یک به اضافه (مقدار مطلق) عدد پیچش گسترنده C در اطراف p. مثال در شکل بیضی بالا، شعاع انحنا به چهار فرینه (اکسترمم) محلی می‌رسد، هر بار در نقاط تقاطع با محورها؛ بنابراین، چهار نقطه تکین روی گسترنده وجود دارد که در شکل به صورت برآمدگی‌های تیز قابل مشاهده است. نقاط صفحه که در داخل گسترنده قرار دارند، دارای دو کمینه محلی برای فاصله تا بیضی هستند. در هندسه دیفرانسیل منحنی‌ها، گسترنده یک منحنی، مکان هندسی همه مراکز انحنای آن است. به عبارت دیگر، هنگامی که مرکز انحنای هر نقطه روی منحنی رسم شود، شکل حاصل گسترنده آن منحنی خواهد بود؛ بنابراین، گسترنده یک دایره یک نقطه واحد در مرکز آن است. برای هر نقطه p در M و هر بردار v که در p قرار دارد و بر M عمود است، نقطه p + v را به آن مرتبط می‌کنیم. گسترنده‌ها ارتباط نزدیکی با گستران‌ها دارند: یک منحنی گسترنده هر یک از گستران‌های خود است. تاریخچه آپولونیوس (حدود ۲۰۰ میلادی) در کتاب V از کتاب خود «مقاطع مخروطی» به گسترنده‌ها پرداخت. | ## بخش 2: گسترنده | با این حال، گاهی اوقات کریستیان هویگنس (۱۶۷۳) به عنوان اولین کسی که آنها را مطالعه کرد، شناخته می‌شود. هویگنس نظریه خود را در مورد گسترنده‌ها در حدود سال ۱۶۵۹ تدوین کرد تا به حل مشکل یافتن خم هم‌زمانی کمک کند، که به نوبه خود به او در ساخت یک آونگ هم‌زمان کمک کرد. این به این دلیل بود که منحنی تاتوکرون یک چرخ‌زاد است و چرخ‌زاد دارای ویژگی منحصر به فردی است که گسترنده آن نیز یک چرخ‌زاد است. در واقع، نظریه گسترنده‌ها به هویگنس اجازه داد تا به نتایج زیادی دست یابد که بعداً با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال به دست آمد. گسترنده یک منحنی پارامتری اگر نمایش پارامتری یک منحنی در صفحه باشد که انحنای آن هیچ جا صفر نیست و شعاع انحنای آن و نرمال واحد به سمت مرکز انحنا باشد، آنگاه گسترنده منحنی داده شده را توصیف می‌کند. برای به دست آوردن خواص یک منحنی منظم، استفاده از طول قوس منحنی داده شده به عنوان پارامتر آن، به دلیل و (به فرمول‌های فرنه-سره مراجعه کنید) مفید است. از این رو بردار مماس گسترنده برابر است با: از این معادله می‌توان ویژگی‌های زیر را برای گسترنده به دست آورد: در نقاطی که است، گسترنده *منظم نیست*. به این معنی که: در نقاطی که دارای انحنای حداکثر یا حداقل هستند (رئوس منحنی داده شده)، گسترنده دارای *تیزه* است. (به نمودارهای گسترنده‌های سهمی، بیضی، دایره و گرده‌گون مراجعه کنید) برای هر کمانی از گسترنده که شامل تیزه‌ای نیست، طول کمان برابر است با تفاوت بین شعاع‌های انحنا در نقاط انتهایی آن. این واقعیت منجر به اثبات ساده‌ای از قضیه تیت-کنسر در مورد تو در تو بودن دایره‌های بوسان می‌شود. | ## بخش 3: گسترنده | خطوط نرمال منحنی داده شده در نقاط با انحنای غیر صفر، مماس بر گسترنده هستند، و نرمال‌های منحنی در نقاط با انحنای صفر، مجانب گسترنده هستند. (در نمودار: سهمی آبی یک گستران از سهمی نیمه‌مکعبی قرمز است که در واقع گسترنده سهمی آبی است) اثبات ویژگی آخر: فرض کنید در بخش مورد نظر باشد. یک گستران از گسترنده را می‌توان به صورت زیر توصیف کرد: که یک گسترش ثابت نخ است (به گستران مراجعه کنید). با و به دست می‌آید این به این معنی است: برای گسترش نخ ، منحنی داده شده بازتولید می‌شود. اثبات: یک منحنی موازی با فاصله از منحنی داده شده دارای نمایش پارامتری و شعاع انحنای است (به منحنی موازی مراجعه کنید). از این رو گسترنده منحنی موازی برابر است با: مثال‌ها گسترنده یک سهمی برای سهمی با نمایش پارامتری از فرمول‌های بالا معادلات زیر به دست می‌آیند: که یک سهمی نیمه‌مکعبی را توصیف می‌کند. گسترنده یک چرخ‌زاد برای چرخ‌زاد با نمایش پارامتری ، گسترنده به صورت زیر خواهد بود: که یک کپی جابجا شده از خودش را توصیف می‌کند. گسترنده منحنی‌های لگاریتمی-زیبایی‌شناختی گسترنده یک منحنی لگاریتمی-زیبایی‌شناختی، یک منحنی لگاریتمی-زیبایی‌شناختی دیگر است. گسترنده‌های برخی از منحنی‌ها گسترندهٔ یک سهمی یک سهمی نیمه‌مکعبی است (به بالا مراجعه کنید)، یک بیضی یک ستاره‌گون نامتقارن است (به بالا مراجعه کنید)، یک خط یک نقطه در بی‌نهایت است، یک گُرده‌گون، یک نفروئید (نصف اندازه، به نمودار مراجعه کنید) است، یک ستاره‌گون یک ستاره‌گون (دو برابر بزرگتر) است، یک دل‌گون یک دل‌گون (کاردیوئید) (یک سوم کوچکتر) است، یک دایره مرکز آن است، یک دلتاگون (دلتوئید) (سه برابر بزرگتر) است، یک چرخ‌زاد یک چرخ‌زاد همنهشت است، یک مارپیچ لگاریتمی همان مارپیچ لگاریتمی است، یک کشانده (تراکتریکس) یک زنجیره‌وار است. | ## جمع‌بندی | برای هر نقطه روی منحنی، بردار از نقطه به مرکز انحنا را در نظر بگیرید و آن را طوری انتقال دهید که از مبدأ شروع شود.