موضوع مقاله: درباره گزاره‌های تصمیم‌ناپذیر از اصول ریاضیات و سیستم‌های مرتبط | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # درباره گزاره‌های تصمیم‌ناپذیر از اصول ریاضیات و سیستم‌های مرتبط | مقدمه: این اثر در اصل به زبان آلمانی در جلد ۱۹۳۱ مجله ریاضی موناتشفت فور ماتماتیک منتشر شد. | ## بخش 1: درباره گزاره‌های تصمیم‌ناپذیر از اصول ریاضیات و سیستم‌های مرتبط | چندین ترجمه انگلیسی از این مقاله به صورت چاپی منتشر شده‌است و در دو مجموعه از مقالات منطق ریاضی کلاسیک گنجانده شده‌است. این مقاله شامل قضایای ناتمامیت گودل است، که اکنون نتایج اساسی در منطق است و پیامدهای زیادی برای اثبات سازگاری در ریاضیات دارد. این مقاله همچنین برای معرفی تکنیک‌های جدیدی که گودل برای اثبات قضایای ناقص بودن ابداع کرد، شناخته‌شده‌است. طرح کلی و نتایج کلیدی نتایج اصلی به‌دست آمده از این مقاله، قضایای ناتمامییت اول و دوم گودل است که تأثیر زیادی در زمینه منطق ریاضی داشته‌است. به منظور اثبات نتایج، گودل روشی را معرفی کرد که اکنون به نام شماره‌گذاری گودل معروف است. در این روش به هر جمله و برهان صوری در محاسبات مرتبه اول یک عدد طبیعی خاص اختصاص داده می‌شود. گودل نشان می‌دهد که بسیاری از ویژگی‌های این اثبات‌ها را می‌توان در هر نظریه‌ای از حساب که برای تعریف توابع بازگشتی اولیه باشد، تعریف کرد. | ## بخش 2: درباره گزاره‌های تصمیم‌ناپذیر از اصول ریاضیات و سیستم‌های مرتبط | (اصطلاحات معاصر برای توابع بازگشتی و توابع بازگشتی اولیه هنوز در زمان انتشار مقاله ایجاد نشده بود) گودل برای آنچه که اکنون توابع بازگشتی اولیه شناخته می‌شود، از کلمه رکورسیو (: :بازگردان) استفاده کرد. از آن‌جا که روش شماره‌گذاری گودل جدید بود، برای جلوگیری از هرگونه ابهام، فهرستی از ۴۵ تعریف رسمی صریح از توابع بازگشتی اولیه و روابط مورد استفاده برای دست‌کاری و آزمایش اعداد گودل ارائه کرد. او از این فهرست ا برای ارائه یک تعریف صریح از فرمول استفاده کرد، که اگر و فقط اگر عدد گودل یک جمله باشد و یک عدد طبیعی وجود داشته باشد که عدد گودل یک برهان باشد درست است. دومین تکنیک جدیدی که گودل در این مقاله ابداع کرد، استفاده از جملات خودارجاعی بود. گودل نشان داد که پارادوکس‌های کلاسیک خودارجاعی، مانند «این گزاره نادرست است» را می‌توان به‌عنوان جملات رسمی خودارجاعی حسابی بازنویسی کرد. به‌طور غیررسمی، جمله‌ای که برای اثبات اولین قضیه ناقص بودن گودل به‌کار می‌رود می‌گوید: «این جمله قابل اثبات نیست». این واقعیت که چنین ارجاعی را می‌توان در حساب بیان کرد تا زمانی که مقاله گودل منتشر شده بود، شناخته‌شده نبود. | ## بخش 3: درباره گزاره‌های تصمیم‌ناپذیر از اصول ریاضیات و سیستم‌های مرتبط | کار مستقل آلفرد تارسکی در مورد قضیه تعریف‌ناپذیری او تقریباً در همان زمان انجام شد اما تا سال ۱۹۳۶ منتشر نشد. بررسی غیرقابل تصمیم‌گیری: مقالات اساسی در مورد گزاره‌های غیرقابل تصمیم، مسائل حل‌نشدنی و توابع قابل محاسبه. غیرقابل تصمیم‌گیری: مقالات اساسی در مورد گزاره‌های غیرقابل تصمیم، مسائل حل‌نشدنی و توابع قابل محاسبه، ریون، نیویورک. کورت گودل (۱۹۳۱)، «درباره مقالات اساسی در مورد گزاره‌های غیرقابل تصمیم، مسائل حل‌نشدنی و توابع قابل محاسبه». «دربارهٔ مقالات اساسی در مورد گزاره‌های غیرقابل تصمیم، مسائل حل‌نشدنی و توابع قابل محاسبه». تجدیدچاپ شده در ترجمه انگلیسی در آثار گردآوری‌شده گودل، جلد دوم، سولومان ففرمن و همکاران، ویرایش. مروری بر «در مورد گزاره‌های رسمی غیرقابل تصمیم‌گیری از اصول ریاضیات و و سیستم‌های مرتبط». | ## جمع‌بندی | «در مورد گزاره‌های غیرقابل تصمیم‌گیری از اصول ریاضیات و سیستم‌های مرتبط» در صفحه وب ویلهلم ک.