موضوع مقاله: مستقل شرطی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # مستقل شرطی | مقدمه: در نظریه احتمال، استقلال شرطی شرایطی را توصیف می‌کند که در هنگام ارزیابی قطعیت یک فرضیه یک مشاهده بی‌ربط یا اضافی است. | ## بخش 1: مستقل شرطی | استقلال شرطی معمولاً بر حسب احتمال شرطی نوشته می‌شود، به عنوان یک مورد خاص که در آن احتمال رخداد یک رویداد با توجه به یک مشاهده غیر اطلاعاتی برابر با احتمال رخداد بدون آن مشاهده است. اگر رخداد مورد نظر ما باشد و و مشاهدات باشند، استقلال شرطی را می‌توان به صورت زیر بیان کرد: که احتمال پس از مشاهده و است. از آنجایی که احتمال رخداد به شرط همان احتمال با توجه به هر دو مشاهده و است، این برابری بیانگر آن است که هیچ کمکی به قطعیت نمی‌کند. در این مورد، گفته می‌شود که و مشروط به C مستقل هستند، به صورت نمادین نوشته شده‌است: . مفهوم استقلال شرطی برای نظریه‌های استنتاج آماری مبتنی بر گراف ضروری است، زیرا یک رابطه ریاضی بین مجموعه‌ای از گزاره‌های شرطی و یک گرافوئید برقرار می‌کند. گفته می‌شود که A و B مشروط به C مستقل هستند اگر و تنها اگر و: این ویژگی اغلب نوشته می‌شود: . به‌طور معادل، استقلال شرطی ممکن است به صورت زیر بیان شود: جایی که احتمال مشترک و به شرط است. اثبات تعریف معادل ارائه شده (تعریف احتمال شرطی) ( را در هر دو طرف ضرب کنید) ( را در هر دو طرف تقسیم کنید) (تعریف احتمال شرطی) جعبه‌های رنگی هر سلول میتواند در گروه رویداد های مختلفی قرار بگیرد که رنگ آن را مشخص میکنند. اما به شرط مستقل نیستند زیرا: آب و هوا و تأخیر فرض کنید دو رویداد A و B این باشند که دو نفر به موقع برای شام به خانه برسند و سومین رویداد درنوردید شهر توسط یک طوفان برفی باشد. در حالی که هر دو فرد در صورت وقوع طوفان به احتمال کمتری به موقع برای شام به خانه می‌رسند، این دو رویداد (A و B) همچنان مستقل از یکدیگر خواهند بود؛ یعنی دانستن اینکه اولی دیر رسیده‌است به شما نمی‌گوید که آیا فرد دیگر دیر خواهد رسید یا نه. البته در اینجا فرض شده‌است آنها در محله‌های مختلف زندگی کنند، مسافت‌های مختلفی را طی کنند و از روش‌های مختلف حمل و نقل استفاده کنند و اگر بدانیم آنها در یک محله زندگی می‌کنند، از حمل و نقل یکسان استفاده می‌کنند و در یک مکان کار می‌کنند، آنگاه این دو رویداد به صورت شرطی مستقل نیستند. (یعنی دو تاس مستقل هستند) با این حال، اگر نتیجه اولین تاس ۳ باشد، و شخصی در مورد رویداد سوم به شما بگوید - که مجموع دو نتیجه زوج است - در این صورت این واحد اطلاعات اضافی گزینه‌های نتیجه دوم را به یک عدد فرد محدود می‌کند. | ## بخش 2: مستقل شرطی | قد و دایره لغات قد و دایره لغات وابسته هستند زیرا افراد بسیار کوچک معمولاً کودک هستند و به خاطر واژگان اولیه خود شناخته می‌شوند. اما دانستن اینکه دو نفر ۱۹ ساله هستند (یعنی مشروط به سن) دلیلی وجود ندارد که فکر کنیم دایره لغات یک نفر بزرگتر است اگر به ما گفته شود قد آنها بلندتر است. سنسور ضد حریق یک سنسور ضد حریق را در نظر بگیرید که در صورت وجود دود در یک اتاق هشدار می‌دهد. حال رویداد A را هشدار دادن دستگاه، رویداد B را وجود آتش در اتاق و رویداد C را وجود دود در اتاق در نظر بگیرید. خیر؛ زیرا در صورت دانستن رخداد هر کدام، احتمال رخ دادن دیگری افزایش پیدا می‌کند. استقلال شرطی متغیرهای تصادفی دو متغیر تصادفی و با توجه به سومین متغیر تصادفی گسسته ، به صورت شرطی مستقل هستند اگر و تنها اگر آنها در توزیع احتمال شرطی خود به شرط مستقل باشند. به این معنا که، و به شرط مستقل هستند اگر و فقط اگر، با توجه به هر مقدار از ، توزیع احتمال برای همه مقادیر و توزیع احتمال برای همه مقادیر باشند؛ یعنی:جایی که تابع توزیع تجمعی و به شرط است. دو رویداد و با توجه به جبر σ به صورت شرطی مستقل هستند اگر جایی که نشان دهنده انتظار مشروط تابع شاخص رویداد است ، ، با توجه به جبر سیگما . به این معنا که، دو متغیر تصادفی و با توجه به جبر σ یا به صورت شرطی مستقل هستند اگر معادله بالا برای به ازای هر که در و که در صدق کند. دو متغیر تصادفی و با توجه به یک متغیر تصادفی، مشروط به مستقل هستند اگر آنها به شرط (W)σ مستقل باشند که (W)σ جبر σ تولید شده توسط W است؛ یعنی: یا این خوانده می‌شود " مستقل از است به شرط "؛ شرطی شدن برای کل رویداد به صورت زیر اعمال می‌شود: "( مستقل از ) به شرط ". اگر مجموعه ای از مقادیر قابل شمارش را فرض شود، این معادل استقلال شرطی X و Y برای رویدادهای به شکل است. استقلال شرطی بیش از دو رویداد یا بیش از دو متغیر تصادفی به‌طور مشابه تعریف می‌شود. | ## بخش 3: مستقل شرطی | زمانی که W = ۰ است و را دو رویداد مستقل فرض کنید که هر کدام دارای مقدار ۰ با احتمال ۰٫۹۹ و در غیر این صورت مقدار ۱ هستند. این به این دلیل است که Pr(X = ۰) = ۰٫۵، اما اگر Y = ۰ پس به احتمال بسیار زیاد W = ۰ و بنابراین X = ۰ است و می‌رسیم به Pr(X = 0| Y = ۰) > ۰٫۵. استقلال شرطی بردارهای تصادفی دو بردار تصادفی و با توجه به بردار تصادفی سوم ، به صورت شرطی مستقل هستند اگر و فقط در صورتی که آنها در توزیع تجمعی مشروط به خود مستقل باشند. موارد استفاده در استنتاج بیزی فرض کنید p نسبت رأی دهندگانی باشد که در رفراندوم پیش روی «آری» خواهند داد. در انجام یک نظرسنجی ، n رای‌دهنده را به‌طور تصادفی از بین جمعیت انتخاب می‌شوند.X i میتواد ۰ یا ۱ باشد و نشان می‌دهد آیا رای‌دهنده iام رای «بله» می‌دهد یا نه. در یک رویکرد بیزی به استنتاج آماری، یک توزیع احتمال را به p اختصاص می‌دهیم، و احتمالات را به‌عنوان درجاتی از اعتقاد به این که p در هر بازه‌ای است تفسیر کنیم. در آن مدل، متغیرهای تصادفی X 1، …، X n مستقل نیستند، اما با توجه به مقدار p به صورت شرطی مستقل هستند. به‌طور خاص، اگر تعداد زیادی از X‌ها برابر با ۱ مشاهده شود، این به معنای احتمال شرطی بالا است، با توجه به آن مشاهده، که p نزدیک به ۱ است، و بنابراین احتمال شرطی بالا، با توجه به آن مشاهده، که X بعدی که باید مشاهده شود برابر با ۱ خواهد بود. تقارن تجزیه اثبات (معنی ) (متغیر B را با ادغام کردن آن نادیده بگیرید) اثبات اتحادیه ضعیف اثبات بر اساس فرض، . اختصار اثبات این خاصیت را می‌توان با توجه ثابت کرد ، که هر برابری آن توسط و ، به ترتیب. | ## جمع‌بندی | نکته فنی: از آنجایی که این مفاهیم برای هر فضای احتمالی صدق می‌کنند، اگر کسی یک جهان فرعی را با شرطی کردن همه چیز بر روی متغیر دیگری در نظر بگیرد، همچنان پابرجا خواهد بود.