موضوع مقاله: ... + ۴ + ۳ + ۲ + ۱ | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # ... + ۴ + ۳ + ۲ + ۱ | مقدمه: + ۴ + ۳ + ۲ + ۱ یک سری نامتناهی واگرا از اعداد طبیعی متوالی است که با هم جمع می‌شوند. | ## بخش 1: ... + ۴ + ۳ + ۲ + ۱ | با استفاده از نمادها و تعریف‌های ریاضی، این سری به این صورت نمایش داده می‌شود: همگرایی سری را می‌توان با بررسی کمیت حد و استفاده از مقایسه‌های زیر تعیین کرد: اگر 0 باشد، آنگاه سری واگرا است. به‌طور کلی اگر تابع مربوط مثبت، ادامه‌دار و در حال افزایش باشد، آنگاه سری واگرا است. اگر فرض کنیم مجموعه فوق را داریم و آن را S نامیده‌ایم، مجموع عدد ۱ تا n که خود یک تصاعد حسابی با قدر نسبت یک هست، از رابطه فوق به دست می‌آید. از آنجا که دنباله یک مجموع جزئی نمی‌تواند به یک سری محدود شود، مجموع ندارد چون کراندار نیست. در ابتدا به نظر می‌رسد که این سری ارزش معناداری ندارد، اما اگر آن را دستکاری کنیم به نتایج جالبی می‌رسیم. در بسیاری از موارد در ریاضیات از روش‌های جمع برای تخصیص عدد حتی به یک سری واگرا استفاده می‌شود. در ابتدا به نظر می‌رسد که این نیز بینهایت شود، اما با چند عمل ساده یک عدد برای آن به دست آورده می‌شود. با استفاده از چند روش می‌توان به رابطه معروف زیر رسید که با یک فرمول بیان می‌شود.. در این سری، مجموعه ذکر شده نباید به عنوان یک سری بی‌نهایت تفسیر شود، چون چیزی که ما داریم واحد در نظر می‌گیریم دو تا چیز کاملاً بی ربط به یکدیگرند و اساساً از نظر ریاضی نوعی مغلطه و غلط است. اما این روش در برخی مباحث مانند: تئوری کوانتوم و آنالیز مختلط و نظریهٔ ریسمان کاربرد دارد. علت مشهور بودن این رابطه این است که نشان می‌دهد میان ریاضی و فیزیک در مواردی تناقض وجود دارد. درست است که در ریاضیات از روش‌های جمع بسیاری برای تخصیص عدد به سری واگرا استفاده می‌شود، اما بعضی قوی تر از دیگری هستند. نمونه جالب آن جمع سزارو است که برای استفاده از سری واگرای گراندی استفاده می‌شود. سری گراندی به صورت روبه رو است: جمع هابل نیز روش قدرتمند دیگری است که نه تنها سری گراندی را با جمعبندی می‌کند، حتی سری‌های پیچیده تری مانند را به جمع‌بندی می‌کند که توسط لئونارد اویلر حل شده است. چون جمع سزار و آبل روی سرهای نوسانی کار می‌کنند و نمی‌توانند یک پاسخ متناهی را به یک سری که به می‌شود را تولید کنند.بسیاری از تعاریف ابتدایی از مجموع یک سری واگرا، پایدار و خطی هستند، و هر روشی که هم پایدار و هم خطی باشد نمی‌تواند سری را با یک مقدار محدود جمع کند. روش‌های دیگر برای این کار وجود دارد مانند:استفاده از تابع زتا ریمان و جمع رامانوجان. رامانوجان، ریاضی‌دان هندی دو روش برای حل مسله استخراج کرد که در فصل۸ اولین دفتر یادداشت خود آن را نوشت. قسمت دوم اعداد را با فاصله می‌چینیم که در ضمن کم کردن، بتوان یک سری نوسانی به دست آورد. با الگوی زیر مواجه می‌شویم: اگر به جای ،۱ بگذاریم همان سری مورد نظر تولید می‌شود. در این حالت با برابر قرار دادن آنها خواهیم داشت: در حالت کلی، دستکاری یک مجموعه نامتناهی به گونه ای که یک متناهی به دست آید، نادرست است. برای مثال اگر اعداد رو به صورت دلخواه جابجا کنیم به نتایجی مانند: ۱=۲ دست می‌یابیم که سازگار نیستند. یا مثلاً اگر صفرها در موقعیت دلخواه درج شوند، در مرحله با قانون جمع همانی قابل توجیه نیست. مثلا:اگر به جای s،۱ بگذاریم، به صورت روبه رو است: سری دیریکلت زمانی واگرا می‌شود که s کوچکتر یا مساوی منفی یک باشد؛ بنابراین سری . | ## بخش 2: ... + ۴ + ۳ + ۲ + ۱ | مزیت مهم معرفی تابع زتا ریمان این است که می‌توان آن را برای مقادیر دیگر s، با ادامه تحلیلی تعریف کرد. اما طبق تعریف کلاسیک زتا،s باید بزرگ‌تر از یک باشد؛ یعنی تابع زتا را برای هر s نمی‌توان نوشت. این تابع به تابع زتای اویلر معروف است که بعدها با روش ادمه تحلیلی به زتا ریمان رسانده شد. تابعη(s) با یک سری دیریکله متناوب تعریف می‌شود؛ بنابراین هم تراز با یافته‌های قبلی، دو سری به هم نزدیک و در نهایت برابر می‌شوند به صورت زیر تعریف می‌شوند: حال محاسبه η(-۱) کار ساده ای است، زیرا تابع دیریکلت برابر با سری هابل است که تعریف کننده آن است. با حد یک طرفه، در همسایگی چپ آن داریم: با تقسیم بر -۳ به دست می‌آید: منظم سازی تابع قطع روش منظم سازی با استفاده از تابع برش می‌تواند مجموعه را برای رسیدن به ساده کند. ساده‌سازی، یک پل مفهومی بین منظم سازی تابع زتا، آنالیز مختلط، جمع رامانوجان با میانبر به فرمول اویلر-مک لارین است. به جای آن، این روش مستقیماً بر روی تبدیل محافظه کارانه سری عمل می‌کند و از آنالیز حقیقی استفاده می‌کند. ایده اصلی این است که سری گسسته غیر نوسانی بدرفتار ، با سری هموار و ساده شده جایگزین شود. این نرمال سازی، چیزی متفاوت تر از آنی است که در معادلات دیفرانسیل استفاده می‌شود. سپس می‌توان ثابت کرد که مجموع این سری هموار شده، مجانب می‌باشد که C در آن یک عدد ثابت است که به f بستگی دارد. ولی انبساط مجانبی به f بستگی ندارد، بلکه همان مقداری است که توسط ادامه تحلیلی، به دست آمده. رامانوجان در نامه دومش به گادفری هارولد هاردی نوشت:" جمع رامانوجان روشی برای جداکردن جمله ثابت در فرمول اویلر-مک لارین است که برای پیدا کردن یک مجموع جزئی برای یک سری کاربرد دارد. با تنظیم کردن f(x) = x، اولین مشتق ،۱ می‌شود و تمامی جملات دیگراز بین می‌روند؛ بنابراین جواب به دست می‌آید:. این به این معناست که مشتق‌های مرتبه بالای f، سریع دچار فروپاشی می‌شوند و باقی جملات فرمول اویلر-مکلارین به سمت صفر گرایش پیدا می‌کنند. شرط منظم بودن سری‌ها، از استفاده جمع رامانوجان در سری‌های فاصله دار مانند: جلوگیری می‌کند. به همین دلیل هاردی احتیاط زیادی را هنگام استفاده از جمع رامانوجان برای سری‌های شناخته شده برای یافتن مجموع سری‌های مرتبط توصیه می‌کند. شکست روش‌های جمع خطی پایدار روش‌هایی که سری‌های همگرا را به یک مقدار مشخص جمع می‌کنند، نمی‌توانند سری‌های واگرا را به یک مقدار مشخص جمع بزنند. (پایدار به این معنی است که با اضافه کردن یک عبارت به ابتدای سری، مجموع آن، با مقدار عبارت اضافه شده افزایش می‌یابد) می‌توان به صورت زیر آن را توضیح داد: اگر برابر با مقدار زیر باشد سپس به هر دو طرف معادله یک صفر اضافه کنیم با شرط ثابت خطی بودن، می‌توان دو معادله بالا را از هم کم کرد. با اضافه کردن مجدد دو صفر به دو طرف معادله به دست می‌آید: و دوباره با کم کردن دو سری بالایی به دست می‌آید: که منجر به یک تناقض منطقی می‌شود. فیزیک نظریهٔ ریسمان در نظریه ریسمان بوزونیک، نظریه اصلی ریسمان، تلاش می‌شود انرژی ممکن سطوح یک رشته محاسبه شود، به خصوص کم‌ترین سطح انرژی یا حد صفر آن. به صورت عامیانه یعنی هر نوسان رشته را می‌توان به عنوان مجموعه ای از نوسانگرهای هماهنگ کوانتومی مستقل D-2 مشاهده کرد. اگر بسامد نوسان ω باشد، انرژی در یک نوسان گر که به هماهنگ n-ام کمک می‌کند برابرnħω/۲ می‌باشد؛ بنابراین در استفاده از سری واگرا، جمع تمامی هماهنگ‌ها، برابر می‌باشد. در نهایت این واقعیت است، همراه با قضیه گودار-تورن، که منجر به عدم سازگاری نظریه ریسمان بوزونی در ابعادی غیر از ۲۶ می‌شود، یعنی ناسازگاری نظریه ریسمان بوزونی در ۲۵ به بعد فضا و ۲۶ به بعد زمان تمام می‌شود... | ## بخش 3: ... + ۴ + ۳ + ۲ + ۱ | اثر کاسیمیر هندریک کاسیمیر، فیزیکدان هلندی مشاهده‌ای انجام داده است که به اثر کاسیمیر مشهور است. از نظر فیزیک کلاسیک (نیوتونی) در اینجا هیچ اتفاقی روی نمی‌دهد، اما مقدار بسیار کمی انرژی وجود که به عنوان حد انرژی صفر شناخته می‌شود؛ یعنی کمترین انرژی ممکن همان است، درست مانند حد انرژی موجود در صفر کلوین(۲۷۳- درجهٔ سانتی گراد) که کمترین دمایی است که انسان توانسته به آن برسد. با حساب کردن متوجه می‌شویم که میزان نیرو و چگالی انرژی در سه بعد متناسب با تابع زتای منفی سه است که برابر با است. +۴+۳+۲+۱ یا همان تابع زتای منفی یک نیز می‌توان برای محاسبه نیرو در اثر کاسیمیر برای یک میدان اسکالر در یک بعد استفاده کرد. یک تابع قطع نمایی برای صاف کردن سری کافی است، که نشان دهنده این واقعیت است که حالت‌های پرانرژی خودسرانه توسط صفحات رسانا مسدود نمی‌شوند. تنها چیزی که باقی می‌ماند عبارت ثابت ۱/۱۲- است و علامت منفی این نتیجه در نیرو نشان دهنده این واقعیت است که پدیده کاسیمیر عجیب و جالب است. طبق گفتهٔ موریس کلاین، کارهای اویلر برای حل سرهای واگرا متکی بر بسط توابع بود که از آن،... به گفته ریموند ایوب، این حقیقت که سری زتای واگرا، با سری هابل قابل جمع شدن نیست، اویلر را از استفاده آزادانه از تابع زتا مانند تابع eta منع کرد، به همین دلیل نمی‌توانست تابع را جمع کند و به یک مجموعه جزئی برساند.. برخی دیگر نویسندگان این مجموع را به اویلر نسبت داده‌اند و عنوان می‌کنند که اویلر رابطه بین توابع زتا و اتا را به اعداد صحیح منفی با استفاده از ادامه تحلیلی گسترش داده است... اویلر اشاره می‌کند که سری‌هایی از این نوع می‌توانند به صورت یک مجموعه متناهی و منفی دربیایند، همچنین وی توضیح می‌دهد که برای سری‌های هندسی به چه معناست، اما او توضیحی دربارهٔ سری . در رسانه در رمان کارمند هندی، نوشته دیوید لیویت، صحنه‌ای وجود دارد که جان لیتل‌وود و هاردی در مورد مفهوم این سری صحبت می‌کنند. آنها به این نتیجه رسیدند که رامانوجان ζ(-۱) را دوباره کشف کرده است، و در نامه دوم خود خط «دیوانه نشین» را به عنوان نشانه ای از اینکه رامانوجان با آنها بازی می‌کند در نظر می‌گیرند.. سایمن مک برنی در نمایشنامه عدد در حال ناپدید شدن در سال ۲۰۰۷، در ابتدای سکانس به تمرکز روی این سری می‌پردازد. شخصیت اول فیلم، روث، وارد سالن سخنرانی می‌شود و ایده یک سری واگرا را مطرح می‌کند و قبل از اینکه اسم آن را اعلام کند می‌گوید:می‌خواهم یک چیز جالب به شما نشان دهم، یعنی -= . همان‌طور که روث مشغول گرفتن مشتق از معادله تابع زتا بود، یکی از بازیگران رو به تماشاچیان می‌کند و اقرار می‌کند که آنها بازیگر هستند ولی ریاضیات واقعی است. در ژانویه ۲۰۱۴، نامبرفیل، یک یوتیوبر، ویدیویی در مورد سری‌ها ساخت که در ماه اول بیش از یک و نیم میلیون بازدید خورد.. این ویدیوی هشت دقیقه‌ای توسط تونی پادیلا، استاد فیزیک دانشگاه ناتینگهام، گفته شد. همچنین نامبرفیل یک ویدیوی ۲۱ دقیقه‌ای دیگر را نیز با حضور ادموند کوپلند، فیزیکدان دانشگاه ناتینگهام که توضیحات بیشتری در مورد چگونگی جواب سری=. پس از انتقاد تماشاگران ویدیو از پادیلا بابت عدم دقت، او یادداشتی در وبلاگ خودش نوشت تا رابطه میان سری دیریکله را ادامه تحلیلی که در ویدیو توضیح داده بود، واضح تر بیان کند.. ادوارد فرنکل، ریاضی‌دان، در یادداشتی برای این ویدیو نوشت: پوشش این موضوع در مجلهٔ اسمیتسونیان، ویدیوی نامبرفیل را مغلطه وار و گمراه کننده توصیف می‌کند و اشاره می‌کند تفسیر جمع این سری مساوی - و براساس تعریف متفاوتی از علامت برابری درست شده است. در این تعریف متفاوت از علامت برابری که در ادامه تحلیلی استفاده می‌شود، این علامت به معنای برابری نیست بلکه به معنای «مرتبط با یکدیگر» است. ویدیوی نامبرفیل توسط ریاضیدان آلمانی، بورکارد پلاستر، به همان شیوه مورد نقد قرار گرفت و تا سال ۲۰۲۳، حدود۲٫۷ میلیون بازدید گرفت. | ## جمع‌بندی | همچنین فیلمی به اسم مردی که بینهایت را می‌دانست از داستان زندگی رامانوجان ساخته شده است.