موضوع مقاله: فیلتر منطبق | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # فیلتر منطبق | مقدمه: فیلتر منطبق، فیلتر خطی بهینه برای بیشینه کردن نسبت سیگنال به نویز (SNR) در حضور نویز سفیدِ جمع‌شونده است. | ## بخش 1: فیلتر منطبق | فیلتر منطبق در رادار بسیار استفاده می‌شود، که در آن، سیگنال مشخصی گسیل می‌شود و سیگنال منعکس‌شده (دریافت‌شده) برای یافتن ویژگی‌های مشترک با سیگنال گسیل‌شده بررسی می‌شود. فیلتر منطبق دوبعدی معمولاً در پردازش تصویر استفاده می‌شود، برای نمونه، در بهبود SNR مشاهدات اشعهٔ ایکس. به‌دست آوردن به‌دست آوردن از راه جبر ماتریسی در این بخش، فیلتر منطبق برای یک سیستم زمان‌گسسته به دست می‌آید. روش به دست آوردن آن برای یک سیستم زمان‌پیوسته، مشابه است و جمع با انتگرال جایگزین می‌شود. اگرچه اغلب، فیلترها را به‌عنوان پاسخ ضربهٔ سیستم‌های هم‌گشت (Convolution) بیان می‌کنیم، همان‌طور که در بالا می‌بینیم (نظریه سیستم LTI را هم ببینید)، در نظر گرفتن فیلتر منطبق به‌عنوان ضرب داخلی بُرداری (ماتریس یک‌بعدی)، ساده‌تر است. از سوی دیگر، می‌توان این فیلتر خطی را ازین دیدگاه هم در نظر گرفت که نسبت سیگنال به نویز خروجی را بیشینه کند؛ به‌طور شهودی، فیلتر منطبق برهم‌بسته کردن سیگنال دریافت‌شده (یک بردار) با فیلتر (یک بردار دیگر) استوار است، به‌گونه‌ای‌که ضرب داخلی این دو بردار بیشینه شود. اگر نویز تصادفی جمع‌شونده را هم در سیگنال دریافت‌شده در نظر بگیریم، با انتخاب فیلتری که بر نویز، متعامد است (تعامد دو بردار)، توان نویز خروجی فیلتر، کمینه می‌شود؛ بنابراین، نسبت سیگنال به نویز، بیشینه می‌شود. از سیگنال مطلوب و نویز جمع‌شونده تشکیل شده‌است: ماتریس خودهمبستگی نویز - که ماتریسی دارای تقارن هرمیتی است - چنین است: که ، ترانهاد مزدوج است، و امید ریاضی (میانگین) است. حاصل‌ضرب داخلی فیلتر و سیگنال مشاهده‌شده‌است: نسبت سیگنال به نویز را به‌عنوان نسبت توان سیگنال مورد نظر خروجی به توان نویز خروجی تعریف می‌کنیم: و آن را چنین بازمی‌نویسیم: با انتخاب ، این مقدار را بیشینه می‌کنیم. مخرج تابع هدف را چنین می‌نویسیم: حال، چنین می‌شود: که آن را با دست‌کاری ماتریسی، چنین بازمی‌نویسیم؛ با بهره‌گیری از تقارن هرمیتیِ ماتریس خودهمبستگی ، می‌توان نوشت: یک کران بالا برای این عبارت پیدا می‌کنیم؛ با توجه به نابرابری کوشی-شوارتز: که یعنی مجذور حاصل‌ضرب داخلی دو بردار، حداکثر می‌تواند به اندازه حاصل‌ضرب تک‌تک بردارهای داخلی باشد. با توجه به این نابرابری: این کران بالا را می‌توان ساده کرد: وقتی به این کران بالا می‌رسیم که: که یک عدد حقیقی دلخواه است. برای تأیید این، آن را در عبارت که پیش‌تر به‌دست آورده بودیم می‌گذاریم: بنابراین، فیلتر منطبق بهینه چنین است: اغلب، در اثر نویز، متوسط توان خروجی فیلتر را به ۱ نرمال می‌کنیم؛ یعنی: این قید، بر اندازه‌ای از دلالت می‌کند که: بنابراین: و فیلتر h نرمال‌شده، چنین به‌دست می‌آید، اگر بخواهیم پاسخ ضربه فیلتر را برپایه سیستم کانولوشن بیان کنیم، صرفاً مزدوج مختلطِ زمان‌معکوسِ ورودیِ است. اگرچه فیلتر منطبق را برای سیستم زمان‌گسسته به‌دست آوردیم، با چند جایگزینی می‌توانیم آن را به سیستم زمان‌پیوسته تعمیم دهیم؛ با فرض سیگنال ، نویز و فیلتر ، را با تابع خودهمبستگیِ زمان‌پیوستهٔ نویز، جایگزین می‌کنیم. به‌دست آوردن از راه ضرائب لاگرانژ می‌توان فیلتر منطبق را با حل مسئله بیشینه‌سازی از راه ضرائب لاگرانژ هم به‌دست‌آورد. فیلتر منطبق تلاش می‌کند تا نسبت سیگنال به نویز خروجی یک سیگنال معیّن فیلترشده - که نویز تصادفی جمع‌شونده، آن را آلوده - را بیشینه کند. برای صورت، داریم: و در مخرج، نسبت سیگنال به نویز چنین می‌شود اگر مخرج را به ۱ محدود کنیم، مسئله بیشینه کردن ، به بیشینه کردن صورت، ساده می‌شود. می‌توان نشان داد که این مقدار ویژه برابر است با: پس فیلتر منطبق بهینه چنین است: این همان نتیجه‌ای است که در بخش پیشین به‌دست آمد. تفسیر به‌عنوان برآوردگر حداقل مربعات به‌دست آوردن فیلتر کردن منطبق را می‌توان یک برآوردگر حداقل مربعات برای مکان و مقیاس بهینه یک مدل معین تفسیر کرد: که نویز ناهم‌بسته با میانگین صفر است. فرض شود که سیگنال که یک نسخه مقیاس‌شده و شیفت‌یافتهٔ یک دنبالهٔ دانستهٔ باشد: می‌خواهیم برآوردهای بهینهٔ و شیفتِ نامعلومِ و ضریبِ را با کمینه کردن حداقل مربعات اختلاف دنباله مشاهده‌شده و به دست آوریم: خواهیم دید که مناسب، فیلتر منطبق است. داریم: جمله اول در براکت‌ها، ثابت است، زیرا سیگنال مشاهده‌شده، در دست است و هیچ اثری روی راه‌حل بهینه ندارد. امید ریاضی جمله آخر هم ثابت است، زیرا نویز، ناهمبسته (uncorrelated) و میانگین آن صفر است؛ بنابراین می‌توانیم هر دو عبارت را از بهینه‌سازی کنار بگذاریم. | ## بخش 2: فیلتر منطبق | پس‌از معکوس‌کردن علامت، مسئله بهینه‌سازی معادل، چنین می‌شود: با صفر کردن مشتقِ نسبت به ، یک پاسخ تحلیلی برای چنین می‌شود: با گذاشتن این در تابع هدف، به یک مسئله بیشینه‌سازی - تنها بر حسب - ساده می‌شود: صورت را می‌توان با استفاده از نابرابری کوشی-شوارتز، بالاکران‌دار (upper bounded) کرد: مسئله بهینه‌سازی، وقتی برابری در این عبارت برقرار باشد، به بیشینهٔ موردنظر دست می‌یابد. با در نظر گرفتن نابرابری کوشی-شوارتز، تنها وقتی چنین می‌شود که: برای ثابت‌های دلخواه ناصفر یا ، و پاسخ بهینه چنین خواهد بود: . انتخاب دلخواه ، فیلتر منطبق را چنین به‌دست می‌دهد: گویی فیلتر، آینهٔ سیگنال است. دنبالهٔ فیلترشده وقتی بیشینهٔ می‌شود که تا جای ممکن (با معیار حداقل مربعات) بر منطبق شود. اگر سیگنال فرستاده‌شده، هیچ پارامتر نامعلومی (مانند زمان رسیدن، دامنه،...) نداشت، آنگاه فیلتر منطبق، برپایه لم نیمن-پیرسون، احتمال خطا را کمینه می‌کرد. اما، ازآنجاکه سیگنال، عموماً با پارامترهای نامعلوم - که در فرایند فیلتر کردن تخمین زده یا برازش می‌شوند - تعیین می‌شود، فیلتر منطبق، در واقع یک آمارهٔ درست‌نمایی بیشینهٔ تعمیم‌یافته را شکل می‌دهد. سری زمانی فیلترشده ممکن است به‌عنوان (یا متناسب با) تابع درست‌نمایی (درست‌نماییِ شرطیِ بیشینه، به‌عنوان تابعی از زمان) تفسیر شود. این، براین‌که "احتمال خطا (در مفهوم نیمن و پیرسون؛ یعنی بیشینه کردن احتمال آشکارسازی درست سیگنال به‌ازای یک احتمال هشدار نادرست (false alarm) معین) لزوماً بهینه نیست" دلالت می‌کند. آنچه نسبت سیگنال به نویز (SNR) نامیده می‌شود - که بناست با فیلتر منطبق، بیشینه شود - در واقع به مربوط می‌شود، که نسبت درست‌نمایی بیشینهٔ مشروط است. برای یک طیف نامعلوم، فیلتر منطبق به روش تکرار قدرتمندتری، و چه‌بسا با در نظر گرفتن نویز غیرگاوسی تعمیم داده شود.Röver, C. تفسیر در حوزهٔ فرکانس در حوزهٔ فرکانس، فیلتر منطبق، طوری به مؤلفه‌های طیفی وزن می‌دهد که نسبت سیگنال به نویز را بیشینه کند؛ یعنی جاهایی که دامنهٔ مؤلفه‌های فرکانسی نویز در طیف، نسبتاً کم هستند، به مؤلفه‌های سیگنال وزن بیشتری می‌دهد، و برعکس؛ بنابراین، یک پاسخ فرکانسی ناصاف (non-flat) دارد، اما این ناصافی در کاربردهایی مانند رادار و مخابرات دیجیتال، که شکل‌موج سیگنال مشخص است و هدف، تشخیص سیگنال در نویز پس‌زمینه است، نگرانی ندارد. از دیدگاه فنی، فیلتر منطبق یک روش حداقل مربعات وزن‌دار برپایهٔ داده‌های ناهم‌واریانس حوزهٔ فرکانس است، که وزن‌ها باتوجه‌به طیف نویز تعیین می‌شوند (بخش پیشین را ببینید)، یا معادل آن، یک روش کمترین مربعات به داده‌های سفیدشده اعمال می‌شود. برای نمونه، فرض کنید که می‌خواهیم فاصله یک جسم را از راه بازتاب سیگنال از آن به‌دست آوریم؛ یک پالس سینوسی خالص ۱ هرتزی به‌سوی جسم گسیل می‌کنیم. فرض می‌کنیم که سیگنال بازتابیده از جسم، نسخه‌ای ضعیف‌شده و تغییرفازیافته از سیگنال گسیل‌شده در کنار نویز جمع‌شونده باشد. برای یافتن فاصله جسم، پالس دریافت‌شده را با پاسخ ضربهٔ یک فیلتر منطبق، هم‌بسته (correlate) می‌کنیم، که آن هم در حضور نویز سفید ناهم‌بسته، سینوسی خالص ۱ هرتزی است. وقتی خروجی فیلتر از آستانه‌ای معین فراتر رود، با احتمال زیاد نتیجه می‌گیریم که سیگنال دریافت‌شده، از جسم بازتابیده است. با در نظر گرفتن سرعت انتشار موج و اختلاف زمان میان لحظهٔ گسیل شدن سیگنال و لحظهٔ آشکار شدن سیگنال در خروجی فیلتر، فاصله جسم را تخمین می‌زنیم. اگر شکل پالس را به روشی خاص تغییر دهیم، نسبت سیگنال به نویز و دقت تخمین فاصله پس‌از فیلتر کردن را می‌توان بهبود بخشید: این روشی است که فشرده‌سازی پالس نام دارد. افزون‌براین، فیلتر منطبق را می‌توان در تخمین پارامتر هم به‌کار برد (نظریه تخمین را ببینید). در بازگشت به نمونه پیشین، می‌خواهیم سرعت یک جسم متحرک را تخمین بزنیم؛ برای بهره‌گیری از اثر داپلر، می‌خواهیم فرکانس سیگنال دریافت‌شده را تخمین بزنیم (رادار داپلر). برای این کار، ممکن است سیگنال دریافت‌شده را با چندین فیلتر منطبق سینوسی در فرکانس‌های مختلف هم‌بسته کنیم. | ## بخش 3: فیلتر منطبق | فیلتر منطبق با بیشترین خروجی، به احتمال زیاد، فرکانس سیگنال بازتابیده را نشان می‌دهد و به ما کمک می‌کند تا سرعت شعاعی جسم - یعنی سرعت نسبی به‌سوی ناظر یا دورشونده از آن - را تعیین کنیم. DFT، یک ورودی -تایی مختلط را با فیلتر منطبق از توابع نمایی مختلط در فرکانس مختلف، هم‌بسته می‌کند، و یک خروجی -تایی مختلط از دامنه‌ها و فازهای مؤلفه‌های سینوسی به‌دست می‌دهد. در یک سیستم مخابراتی که پیام‌های باینری را از راه یک کانال نویزی، از فرستنده به گیرنده می‌فرستد، می‌توان از فیلتر منطبق برای تشخیص پالس‌های فرستاده‌شده در سیگنال دریافت‌شدهٔ آلوده به نویز بهره برد. از دیدگاه ریاضی، یک دنباله به روش NRZ را می‌توان دنباله‌ای از پالس‌های یکه یا توابع مستطیلی شیفت‌یافته در نظر گرفت. برای بیت -ام، پالس چنین وزن‌دار می‌شود، پیام را - به‌عنوان مجموع پالس‌های یکهٔ شیفت‌یافته - با نشان می‌دهیم: که بازهٔ یک بیت است و تابع مستطیلی است. بنابراین، سیگنال فرستاده‌شده چنین است: 400x400پیکسل اگر کانال نویزی را با یک کانال AWGN مدل کنیم، نویز گاوسی سفید به سیگنال افزوده می‌شود. سیگنال دریافت‌شده در گیرنده، به‌ازای نسبت سیگنال به نویز ۳ دسی‌بل، چنین شکلی دارد: 400x400پیکسل در نگاه نخست، دنبالهٔ فرستاده‌شده در شکل چندان قابل تشخیص نیست. نویزی با توان نسبتاً زیاد به سیگنال فرستاده‌شده افزوده شده (نسبت سیگنال به نویز کم است). اگر گیرنده از این سیگنال در لحظه‌های درست نمونه بردارد، پیام باینری حاصل می‌تواند نادرست باشد. برای افزایش نسبت سیگنال به نویز، سیگنال دریافت‌شده را از یک فیلتر منطبق می‌گذرانیم. در اینجا، فیلتر باید با یک پالس NRZ (معادل "۱" در روش NRZ) منطبق باشد؛ پاسخ ضربهٔ فیلتر منطبق ایده‌آل - با فرض نویز سفید ناهم‌بسته - باید نسخهٔ مقیاس‌شدهٔ مزدوج مختلطِ زمان‌معکوسِ سیگنالی باشد که به‌دنبال آن هستیم: در این حالت، به‌سبب تقارن، مزدوج مختلط زمان‌معکوس ، در واقع همان است؛ بنابراین پاسخ ضربهٔ فیلتر منطبق، همین است. پس از هم‌گشت کردن (correlate) سیگنال دریافت‌شده با این فیلتر منطبق، سیگنال حاصل، ، چنین است: که نشان‌دهنده هم‌گشت کردن است. 400x400پیکسل اکنون می‌توان از خروجی فیلتر در لحظه‌های نمونه‌برداری درست، با اطمینان نمونه برداشت و با آستانه مناسب مقایسه کرد و در نتیجه دنبالهٔ فرستاده‌شده را در گیرنده به‌درستی آشکار کرد. 400x400پیکسل نجوم امواج گرانشی فیلتر منطبق در نجوم امواج گرانشی، نقشی بنیادی دارد. نخستین مشاهده امواج گرانشی، با کمک فیلتر کردن مقیاس‌بزرگ خروجی هر آشکارساز برای سیگنال‌های مشابه الگوی موردنظر، و به‌دنبال‌آن غربال‌گری برای محرک‌های هم‌زمان و منسجم میان هر دو ابزار، ممکن شد. احتمال هشدار نادرست، و با آن، معنی‌داری آماری آشکارسازی، سپس به‌کمک روش‌های بازنمونه‌گیری ارزیابی شد. استنتاج پارامترهای منبع اخترفیزیکی به‌کمک روش‌های بیزی برپایهٔ مدل‌های نظری پارامتری برای شکل موج سیگنال و برپایهٔ احتمال ویتل، کامل شد. یکی دیگر از نمونه‌های پسین کاربرد فیلتر منطبق، تشخیص و تخمین پارامتر امواج گرانشی است. زیست‌شناسی جانورانی که در محیط‌های نسبتاً ایستا زندگی می‌کنند، ویژگی‌های نسبتاً ثابتی از محیط را درک می‌کنند. این، تکامل فیلترهایی را فراهم می‌کند که با سیگنال موردنظر با بیشترین نسبت سیگنال به نویز مطابقت دارند؛ یعنی فیلتر منطبق. | ## جمع‌بندی | حسگرهایی که جهان را از راه چنین فیلتر منطبقی درک می‌کنند، اطلاعاتی را که مغز می‌تواند از دنیای بیرون دریافت کند، به‌شدت محدود می‌کند، اما در نهایت، مغز را از محاسبات پیچیده‌تر برای استخراج اطلاعات موردنیاز برای انجام کاری مشخص، بی‌نیاز می‌کند.