موضوع مقاله: توزیع چندنمایی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # توزیع چندنمایی | مقدمه: توزیع چندنمایی در آمار به توزیع احتمالی گفته می‌شود که بیش از یک نما (مد) داشته باشد؛ به بیان دیگر، تابع چگالی احتمال آن دارای بیش از یک قلهٔ محلی (بیشینهٔ محلی) است. | ## بخش 1: توزیع چندنمایی | در تحلیل‌های تک‌متغیره، رایج‌ترین شکل توزیع چندنمایی، توزیع دونمایی (bimodal) است که دقیقاً دو قله دارد. توزیع‌های چندنمایی در زمینه‌های گوناگونی از جمله زمین‌شناسی، زیست‌شناسی، اقتصادسنجی و اقلیم‌شناسی دیده می‌شوند. هنگامی که مجموعه‌ای از داده‌ها توزیع چندنمایی نشان می‌دهد، این امر اغلب بیانگر ناهمگنی نمونه یا وجود چند زیرگروه متمایز در جمعیت آماری است. یکی از روش‌های رایج برای ساختن توزیع چندنمایی، آمیختن چند توزیع تک‌نمایی با یکدیگر است؛ هرچند میان شمار مؤلفه‌های آمیزه و شمار نماهای توزیع حاصل رابطهٔ مستقیمی وجود ندارد. یک توزیع دونمایی ساده که آمیزهٔ دو توزیع نرمال با واریانس یکسان و میانگین متفاوت است. واژه‌شناسی هنگامی که دو نمای یک توزیع دونمایی نابرابر باشند، نمای بزرگ‌تر «نمای اصلی» و دیگری «نمای فرعی» نامیده می‌شود. کم‌بسامدترین مقدار میان دو نما، «پادنما» (antimode) خوانده می‌شود و اختلاف میان نمای اصلی و فرعی، دامنه نام دارد. رده‌بندی گالتونگ گالتونگ دستگاه رده‌بندی AJUS را برای توزیع‌ها معرفی کرد: A: توزیع تک‌نمایی — قله در میانه J: تک‌نمایی — قله در یکی از دو انتها U: دونمایی — قله در هر دو انتها S: دونمایی یا چندنمایی — چندین قله این رده‌بندی بعدها اندکی اصلاح شد: J (اصلاح‌شده): قله در سمت راست L: تک‌نمایی — قله در سمت چپ F: بدون قله (مسطح) بر پایهٔ این رده‌بندی، توزیع‌های دونمایی از گونهٔ S یا U هستند. نمونه‌ها توزیع‌های احتمالی از جمله توزیع‌های دونمایی مهم می‌توان به و توزیع بتا (در صورتی که هر دو پارامتر a و b کوچک‌تر از ۱ باشند) اشاره کرد. اگر: که در آن a و b ثابت و x و y متغیرهای نرمال با میانگین ۰ و انحراف معیار ۱ هستند، آنگاه R چگالی شناخته‌شده‌ای دارد که به‌صورت بیان می‌شود. توزیع یک متغیر تصادفی با توزیع t هنگامی که درجهٔ آزادی بیش از یک باشد، دونمایی است. در تحلیل ترافیک، حجم ترددْ در ساعات اوج صبح و عصر دو قله ایجاد می‌کند و الگوی مشابهی در توزیع روزانهٔ مصرف آب (دوش، آشپزی و بهره‌گیری از سرویس بهداشتی) دیده می‌شود. برخی ژن‌ها در باکتری‌ها نیز توزیع دونمایی بیان ژن را هم در شرایط عادی و هم در شرایط تنش نشان داده‌اند. | ## بخش 2: توزیع چندنمایی | خاستگاه‌ها ریاضیاتی یک توزیع دونمایی معمولاً به‌صورت آمیزهٔ دو توزیع پدید می‌آید. به بیان دقیق‌تر، متغیر تصادفی دونمایی X به‌صورت با احتمال یا با احتمال تعریف می‌شود که در آن Y و Z متغیرهای تصادفی تک‌نمایی و ضریب آمیختن است. آمیزه‌ای با دو مؤلفهٔ متمایز لزوماً دونمایی نیست و آمیزهٔ دو چگالی تک‌نمایی می‌تواند بیش از دو نما داشته باشد. پیوند مستقیمی میان شمار مؤلفه‌ها در یک آمیزه و شمار نماهای چگالی حاصل وجود ندارد. توزیع‌های ویژه توزیع‌های دونمایی، علی‌رغم فراوانی در مجموعه‌داده‌ها، کم‌تر بررسی شده‌اند. از جملهٔ توزیع‌های بررسی‌شده می‌توان به موارد زیر اشاره کرد: توزیع نمایی دونمایی توزیع آلفا-اسکیو-نرمال توزیع نرمال چوله-متقارن دونمایی آمیزه‌ای از که بر داده‌های شمارشی دونمایی برازش شده‌است دونمایی به‌طور طبیعی در توزیع فاجعهٔ تاخم (cusp catastrophe) نیز پدیدار می‌شود. زیست‌شناسی در زیست‌شناسی، چندین عامل در ایجاد توزیع دونمایی اندازهٔ جمعیت نقش دارند: توزیع آغازین اندازهٔ افراد توزیع نرخ رشد در میان افراد وابستگی نرخ رشد هر فرد به اندازه و زمان نرخ مرگ‌ومیر که ممکن است بر هر ردهٔ اندازه‌ای به‌شکلی متفاوت اثر بگذارد متیلاسیون DNA در ژنوم انسان و موش پویایی رونویسی در ناحیهٔ پیشبر توزیع دونمایی اندازهٔ کارگران مورچه بافنده از وجود دو ردهٔ متمایز کارگران — کارگران بزرگ و کارگران کوچک — ناشی می‌شود. توزیع پیامدهای شایستگی جهش‌ها، هم برای کل ژنوم و هم برای ژن‌های منفرد، اغلب دونمایی است؛ به‌طوری که بیشتر جهش‌ها یا خنثی‌اند یا کشنده و جهش‌های با پیامد میانه نسبتاً اندک‌اند. ویژگی‌های کلی آمیزهٔ دو توزیع تک‌نمایی با میانگین‌های متفاوت لزوماً دونمایی نیست. ترکیب توزیع قد مردان و زنان گاهی به‌عنوان نمونه‌ای از توزیع دونمایی یاد می‌شود؛ اما در واقع تفاوت میانگین قد مردان و زنان در برابر انحراف معیارشان آن‌قدر کوچک است که هنگام ترکیب دو منحنی، دونمایی ایجاد نمی‌شود. توزیع‌های دونمایی ویژگی جالبی دارند: بر خلاف توزیع‌های تک‌نمایی، میانگین ممکن است برآوردگر مقاوم‌تری نسبت به میانه باشد. آمیزهٔ دو توزیع نرمال آمیزهٔ دو توزیع نرمال پنج پارامتر برای برآورد دارد: دو میانگین، دو واریانس و پارامتر آمیختن. آمیزهٔ دو توزیع نرمال با انحراف معیار برابر تنها در صورتی دونمایی است که اختلاف میانگین‌های آن‌ها دست‌کم دو برابر انحراف معیار مشترک باشد. | ## بخش 3: توزیع چندنمایی | اگر واریانس‌ها برابر فرض شوند (حالت هم‌واریانس)، برآورد پارامترها ساده‌تر می‌شود. شرایط لازم و کافی برای دونمایی بودن آمیزهٔ توزیع‌های نرمال را ری و لیندسی شناسایی کرده‌اند. آمیزهٔ دو توزیع نرمال با جرم تقریباً برابر، کشیدگی منفی دارد؛ زیرا دو نما در دو سوی مرکز جرم، دُم‌های توزیع را عملاً کاهش می‌دهند. در مقابل، آمیزه‌ای با جرم‌های بسیار نابرابر کشیدگی مثبت دارد؛ زیرا توزیع کوچک‌تر دُم توزیع غالب را بلندتر می‌کند. آزمون‌های تک‌نمایی هنگامی که مؤلفه‌های آمیزه واریانس برابر دارند، آمیزه اگر و تنها اگر شرط زیر برقرار باشد تک‌نمایی است: یا که در آن p پارامتر آمیختن و: و μ۱ و μ۲ میانگین‌های دو توزیع نرمال و σ انحراف معیار مشترک آن‌هاست. آزمون زیر برای حالت p = ۱/۲ از سوی شیلینگ و همکاران توصیف شده‌است: فرض کنید: عامل جداسازی (S) برابر است با: اگر واریانس‌ها برابر باشند S = ۱. چگالی آمیزه اگر و تنها اگر شرط زیر برقرار باشد تک‌نمایی است: شرط کافی برای تک‌نمایی: اگر دو توزیع نرمال انحراف معیار برابر داشته باشند، شرط کافی برای تک‌نمایی: آمارهای خلاصه توزیع‌های دونمایی نمونهٔ شناخته‌شده‌ای از گمراه‌کنندگی آمارهای خلاصه مانند میانگین، میانه و انحراف معیار هستند. برای نمونه، در توزیع شکل ۱، میانگین و میانه هر دو نزدیک به صفر خواهند بود؛ حال آنکه صفر مقدار نوعی آن توزیع نیست. هرچند پیشنهادهایی ارائه شده، هنوز آمارهٔ خلاصهٔ پذیرفته‌شدهٔ همگانی برای سنجش کمّی پارامترهای یک توزیع دونمایی کلی وجود ندارد. D اشمن آمارهٔ D اشمن به‌صورت زیر تعریف می‌شود: که در آن μ۱ و μ۲ میانگین‌ها و σ۱ و σ۲ انحراف معیارها هستند. مقدار A از −۱ (دونمایی کامل) تا +۱ (تک‌نمایی کامل) تغییر می‌کند و به‌صورت زیر تعریف می‌شود: که در آن U درجهٔ تک‌نمایی توزیع، S شمار رده‌های دارای بسامد ناصفر و K شمار کل رده‌هاست. توزیع یکنواخت گسسته دارای A = ۰ است و هنگامی که همهٔ پاسخ‌ها در یک رده باشند A = +۱ خواهد بود. جداسازی دونمایی این شاخص فرض می‌کند که توزیع، آمیزهٔ دو توزیع نرمال با میانگین‌های (μ۱ و μ۲) و انحراف معیارهای (σ۱ و σ۲) است: ضریب دونمایی ضریب دونمایی سارل (b) به‌صورت زیر تعریف می‌شود: که در آن γ چولگی و κ کشیدگی (گشتاور چهارم استانداردشده حول میانگین) است. | ## جمع‌بندی | مقادیر بزرگ‌تر از ۵/۹ ممکن است نشان‌دهندهٔ توزیع دونمایی یا چندنمایی باشد؛ هرچند مقادیر مشابه می‌تواند از توزیع‌های تک‌نمایی با چولگی شدید نیز به دست آید.