موضوع مقاله: زیرفضای خطی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # زیرفضای خطی | مقدمه: مبدأ (۰, ۰) توسط دایره‌های سبز علامت‌گذاری شده‌است، و به هرکدام از ۱-زیرفضا تعلق دارد، درحالیکه هرکدام از ۲۴ نقطه باقیمانده دقیقاً به یکی تعلق دارد؛ ویژگی که برای ۱-زیرفضا روی هر میدانی در همه ابعاد درست است. | ## بخش 1: زیرفضای خطی | 16-17, § 10، یک زیرمجموعه از یک فضای برداری بزرگتر است که همچنان ویژگی‌های یک فضای برداری را داشته باشد. تعریف اگر یک فضای برداری باشد و یک زیرمجموعه از آن باشد (با همان میدان و عملگرها و تنها مجموعه بردارهای زیرمجموعه)، را زیرفضای می‌نامیم اگر همچنان اصول موضوعی یک فضای برداری در آن صدق کند. اجتماع دو زیرفضای زیرفضای می‌شود اگر و تنها اگر یکی از زیرفضاها زیرفضای دیگری باشد. اگر اشتراک زیرفضاها مجموعهٔ ناتهی صفر باشد در آن صورت به جمع آنها جمع مستقیم می‌گوییم و با نمایش می‌دهیم. به شکل معادل، جمع را مستقیم می‌نامیم اگر هر عنصر آن را تنها بتوان به صورت یکتا به شکل جمع نوشت که در آن . همچنین می‌توان گفت یک جمع مستقیم است اگر و تنها اگر تنها راه نوشتن این باشد که هر باشد. مثال I فرض کنید که میدان K برابر مجموعه R از اعداد حقیقی باشد، و فرض کنید که فضای برداری V یک فضای مختصات حقیقی R3 باشد. مثال II دوباره فرض کنید R یک میدان باشد، اما اکنون فرض کنید که فضای برداری V برابر صفحه دکارتی R2 باشد. | ## بخش 2: زیرفضای خطی | اثبات: فرض کنید باشد و برابر عناصر W باشد، یعنی نقطه‌هایی در صفحه که p1 = p2 و q1 = q2 برقرار باشد. فرض کنید p = (p1, p2) یک عنصر از W باشد، یعنی، یک نقطه در صفحه به اینصورت که p1 = p2 باشد، و فرض کنید c یک نرده‌ای در R باشد. در کل، هر زیرمجموعه از فضای مختصات حقیقی Rn که توسط یک سامانه معادلات خطی همگن تعریف شده‌است منجر به یک زیرفضا خواهد شد. (معادلهٔ مثال I برابر z = ۰ بود و معادله در مثال II برابر x = y بود) به صورت هندسی، این زیرفضاها برابر نقاط، خطوط، صفحات و فضاهایی هستند که از نقطه ۰ رد می‌شوند. مثال III دوباره فرض کنید که میدان برابر R باشد، اما اکنون فرض کنید فضای برداری V برابر مجموعه RR از همه توابع از R به R باشد. مثال IV میدان و فضای برداری را مثل قبل در نظر بگیرید، اما اکنون مجموعه Diff(R) از همه توابع دیفرانسیل‌پذیر را در نظر بگیرید. ویژگی‌های زیرفضاها از تعریف فضاهای برداری، به این نتیجه می‌رسیم که زیرفضاها غیرتهی هستند، و تحت جمع و ضرب نرده‌ای بسته اند. به صورت هم‌ارز، زیرفضاها را می‌توان توسط خاصیت بسته‌بودن تحت ترکیب‌های خطی معین نمود؛ یعنی، یک مجموعه غیرتهی W اگر و تنها اگر یک زیرفضا است که هر ترکیب خطی از تعداد متناهی عنصر W هم به W متعلق باشد. | ## بخش 3: زیرفضای خطی | تعریف هم‌ارز بیان می‌کند که معادل آن است که ترکیب‌های خطی از دو عنصر را در یک لحظه درنظر بگیریم. در یک فضای برداری توپولوژیکی X، نیازی نیست که یک زیرفضای W به صورت توپولوژیکی بسته باشد، بلکه یک زیرفضای متناهی-بعد همیشه بسته‌است. توصیف‌ها توصیف‌های زیرفضاها شامل مجموعه راه‌حل برای یک سامانه معادلات خطی همگن است، زیرمجموعه فضای اقلیدسی که توسط یک سامانه از معادلات پارامتری خطی همگن توصیف می‌شود؛ پوشش از یک گردآوردی از بردارها، و فضای تهی، فضای ستونی و فضای سطری از یک ماتریس. از نظر هندسی (مخصوصا تحت میدان اعداد حقیقی و زیرمیدان‌هایش)، یک زیرفضا یک مسطح در یک n-فضا است که از مبدأ عبور می‌کند. یک توصیف طبیعی از یک ۱-فضا برابر ضرب نرده‌ای از یک بردار غیر-صفر v به همه مقادیر نرده‌ای ممکن است. ۱-زیرفضاهایی که توسط دو بردار تعیین می‌شود در صورتی برابرند که اگر و تنها اگر یک بردار از دیگری توسط ضرب نرده‌ای قابل دستیابی باشد: این ایده توسط پوشش خطی به ابعاد بالاتر تعمیم می‌یابد، اما ملاک تساوی k-فضاها که توسط مجموعه‌های k بردار تعیین می‌شود خیلی ساده نیست. توصیف دوگان توسط تابعی‌های خطی ارائه می‌شود (که معمولاً به صورت معادلات خطی پیاده‌سازی می‌شود). | ## جمع‌بندی | زیرفضاهای کوبعد ۱ که توسط دو تابعی خطی تعیین شده‌اند، برابرند، اگر و تنها اگر یک تابعی از دیگری توسط ضرب نرده‌ای قابل دستیابی باشد (در فضای دوگان): این به کوبعدهای بالاتر توسط یک سامانه معادلات تعمیم می‌یابد.