موضوع مقاله: المان حجم | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # المان حجم | مقدمه: در ریاضیات، یک المان حجم یا عنصر حجم وسیله ای برای ادغام یک تابع با توجه به حجم در سیستم های مختصات مختلف مانند مختصات کروی و مختصات استوانه ای فراهم می کند. | ## بخش 1: المان حجم | بنابراین یک عنصر حجمی بیانی از فرم است جایی که مختصات هستند، به طوری که حجم هر مجموعهرا می توان توسط: مثلاً در مختصات کروی و بنابراین: . مفهوم عنصر حجمی به سه بعد محدود نمی شود: در دو بعد اغلب به عنوان عنصر مساحت شناخته می شود و در این تنظیم برای انجام انتگرال های سطحی مفید است. تحت تغییرات مختصات، عنصر حجم با مقدار مطلق تعیین کننده ژاکوبین تبدیل مختصات (با فرمول تغییر متغیرها) تغییر می کند. این واقعیت به عناصر حجم اجازه می دهد تا به عنوان یک نوع اندازه گیری در یک منیفولد تعریف شوند. در یک منیفولد متمایز پذیر جهت‌پذیر، یک عنصر حجمی معمولاً از یک فرم حجمی ناشی می‌شود: فرم دیفرانسیل درجه بالا. در یک منیفولد غیر قابل جهت‌یابی، عنصر حجم معمولاً قدر مطلق فرم حجمی (محلی تعریف شده) است: یک چگالی 1 را تعریف می‌کند. المان حجم در فضای اقلیدوسی در فضای اقلیدسی، عنصر حجم از حاصل ضرب دیفرانسیل مختصات دکارتی به دست می‌آید. | ## بخش 2: المان حجم | در سیستم های مختصات مختلف فرم : , , , عنصر حجم توسط ژاکوبین (تعیین کننده) تغییر مختصات تغییر می کند:: به عنوان مثال، در مختصات کروی (کنوانسیون ریاضی): این سه واحد مختصات کروی تعیین کننده ژاکوبین است: پس بنابراین عبارت برابر است با این رابطه است. این را می توان به عنوان یک مورد خاص از این واقعیت دید که فرم های دیفرانسیل از طریق عقب نشینی تبدیل می شوند مانند: عنصر حجمی یک زیرفضای خطی فضای فرعی خطی فضای اقلیدسی n بعدی Rn را در نظر بگیرید که توسط مجموعه ای از بردارهای مستقل خطی پوشیده شده است. برای یافتن عنصر حجمی زیرفضا، دانستن این واقعیت از جبر خطی مفید است که حجم متوازی الاضلاع که توسط جذر تعیین کننده ماتریس گرمیناست. هر نقطه p در زیرفضارا می توان مختصاتی داد به طوری که: در نقطه p، اگر یک متوازی الاضلاع کوچک با اضلاع تشکیل دهیم ، سپس حجم آن متوازی الاضلاع جذر تعیین کننده ماتریس گرام است. عنصر حجمی منیفولدها در یک منیفولد ریمانی جهت‌دار با بعد n، عنصر حجم یک فرم حجمی برابر با دوگانه هاج تابع ثابت واحد است.: در اینجا واحد امگا برابر با این رابطه است به طور معادل، عنصر حجم در مختصات دقیقاً تانسور Levi-Civita است:به طور معادل، عنصر حجم در مختصات،دقیقاً تانسور است . المان حجم در مساحت سطح Aیک مثال ساده از یک عنصر حجمی را می توان با در نظر گرفتن یک سطح دو بعدی که در فضای اقلیدسی n بعدی جاسازی شده است، کاوش کرد. یک زیر مجموعه را در نظر بگیرید: و یک تابع نقشه برداری: بنابراین یک سطح تعبیه شده در آن تعریف می شود . | ## بخش 3: المان حجم | در دو بعد، حجم فقط مساحت است و یک عنصر حجمی راهی برای تعیین مساحت قسمت هایی از سطح می دهد. بنابراین یک عنصر حجمی بیانی از فرم است که به فرد اجازه می دهد با محاسبه انتگرال، مساحت مجموعه B را که روی سطح قرار دارد محاسبه کند در اینجا عنصر حجم را در سطح پیدا خواهیم کرد که مساحت را به معنای معمولی مشخص می کند. متریک اقلیدسی در فضای n بعدی یک متریک القا می کند: در مجموعه U، با عناصر ماتریسی: تعیین کننده متریک توسط: برای یک سطح منظم، این تعیین کننده ناپدید نمی شود. اکنون یک تغییر مختصات روی U را در نظر بگیرید که توسط یک دیفئومورفیسم به دست می‌آید به طوری که مختصات بر حسب داده می شوند توسط ماتریس ژاکوبین است این تبدیل توسط این رابطه انجام می گردد. در مختصات جدید داریم: و بنابراین متریک به صورت تبدیل می شود: جایی که متریک عقب نشینی در سیستم مختصات v است. تعیین کننده است با توجه به ساختار فوق، درک اینکه چگونه عنصر حجم تحت یک تغییر مختصات با حفظ جهت گیری ثابت است، باید ساده باشد. | ## جمع‌بندی | مساحت یک زیر مجموعه توسط انتگرال داده می شود بنابراین، در هر دو سیستم مختصات، عنصر حجم همان عبارت را می گیرد: بیان عنصر حجم تحت تغییر مختصات ثابت است.