موضوع مقاله: شبکه متقابل | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # شبکه متقابل | مقدمه: در استفاده معمولی، شبکه اولیه (که تبدیل آن با شبکه متقابل نشان داده می‌شود) یک تابع فضایی تناوبی در فضای واقعی است که به عنوان شبکه مستقیم شناخته می‌شود. | ## بخش 1: شبکه متقابل | در حالی که شبکه مستقیم در فضای واقعی وجود دارد و معمولاً به عنوان یک شبکه فیزیکی شناخته می‌شود (مانند شبکه یک کریستال)، شبکه متقابل در فضای فرکانس‌های فضایی وجود دارد که به عنوان فضای متقابل یا فضای k شناخته می‌شود. در فیزیک کوانتومی، فضای متقابل با توجه به تناسب ارتباط نزدیکی با فضای تکانه دارد. شبکه متقابل یک شبکه متقابل معادل شبکه مستقیم اصلی است، زیرا معادلات تعیین‌کننده با توجه به بردارهای فضای واقعی و متقابل متقارن هستند. از نظر ریاضی، بردارهای شبکه مستقیم و متقابل به ترتیب بردارهای کوواریانت و متضاد را نشان می‌دهند. شبکه متقابل نقش اساسی در بیشتر مطالعات تحلیلی ساختارهای تناوبی، به ویژه در تئوری پراش دارد. در پراش نوترون، هلیوم و اشعه ایکس، به دلیل شرایط لائو، تفاوت تکانه بین پرتوهای ایکس ورودی و پراش یک کریستال یک بردار شبکه متقابل است. فضای متقابل فضای متقابل (که -space نیز نامیده می‌شود) راهی برای تجسم نتایج تبدیل فوریه یک تابع فضایی فراهم می‌کند. فضای متقابل فضایی است که بر روی آن تبدیل فوریه یک تابع فضایی در فرکانس‌های فضایی یا بردار موج امواج صفحه تبدیل فوریه نشان داده می‌شود. در کاربردهای فیزیکی، مانند کریستالوگرافی، هر دو فضای واقعی و متقابل اغلب دو یا سه بعدی هستند. در حالی که ابعاد فضایی این دو فضای مرتبط یکسان خواهد بود، فضاها در واحدهای طول خود متفاوت خواهند بود، به طوری که وقتی فضای واقعی دارای واحدهای طول L باشد، فضای متقابل آن دارای واحدهای یک تقسیم بر طول L یا معکوس L خواهد بود. به‌طور کلی، یک شبکه هندسی یک آرایه نامتناهی و منظم از رئوس (نقاط) در فضا است که می‌تواند به صورت بردار به عنوان شبکه براوه مدل شود. برخی از شبکه‌ها ممکن است کج باشند، به این معنی که خطوط اولیه آنها ممکن است لزوماً در زاویه قائم نباشند. ) منطقه بریلوین یک سلول ابتدایی (به‌طور خاص یک سلول ویگنر-سایتز) از شبکه متقابل است که به دلیل قضیه بلوخ نقش مهمی در فیزیک حالت جامد ایفا می‌کند. | ## بخش 2: شبکه متقابل | در ریاضیات محض، فضای دوگانه اشکال خطی و شبکه دوتایی، تعمیم انتزاعی تری از فضای متقابل و شبکه متقابل ارائه می‌دهند. یک شبکه دو بعدی فضایی واقعی (نقاط قرمز) با بردارهای اولیه و به ترتیب با فلش‌های آبی و سبز نشان داده می‌شوند. از این می‌بینیم که وقتی هر ترکیب عدد صحیحی از مبنای بردار شبکه متقابل است و (یعنی هر بردار شبکه متقابل)، امواج صفحه حاصله دارای تناوب یکسانی با شبکه هستند - یعنی هر ترجمه از نقطه (نارنجی نشان داده شده‌است) تا یک نقطه ( قرمز نشان داده شده‌است)، مقدار موج صفحه یکسان است. این می تواند دستکاری های ریاضی خاصی را ساده کند و ابعاد شبکه متقابل را در واحدهای فرکانس فضایی بیان می‌کند. اینکه کدام تعریف از مشبک استفاده شود، به شرطی که این دو با هم مخلوط نشده باشند، سلیقه ای است. شبکه‌های متقابل از کریستال‌های مختلف شبکه‌های متقابل برای سیستم کریستالی مکعبی به شرح زیر است. بنابراین گفته می‌شود که شبکه مکعبی خود دوگانه است و در فضای متقابل دارای تقارن مشابه فضای واقعی است. سپس از فرمول‌های شناخته شده، می‌توانید بردارهای پایه شبکه متقابل را محاسبه کنید. این بردارهای شبکه متقابل اف سی سی نشان دهنده بردارهای پایه یک شبکه واقعی بی سی سی هستند. توجه داشته باشید که بردارهای پایه یک شبکه بی سی سی واقعی و شبکه متقابل یک اف سی سی از نظر جهت به یکدیگر شباهت دارند اما نه از نظر بزرگی. بنابراین گفته می شود که شبکه شش ضلعی ساده خود دوگانه است و در فضای متقابل همانند فضای واقعی دارای تقارن است. مجموعه خودسرانه اتم‌ها چپ|قاب| سایه شبکه متقابل کربن-پنتاکون با وجه ۱۱۸ اتمی که هنگام تقاطع کره اوالد به رنگ قرمز در پراش روشن می‌شود. یکی از مسیرهای شبکه متقابل مجموعه ای دلخواه از اتم‌ها، از ایده امواج پراکنده در حد فراونهوفر (فصل فوکوس پشتی لنز) به عنوان مجموع دامنه‌های سبک هویگنس از همه نقاط پراکندگی (در این مورد از هر اتم منفرد).B. | ## بخش 3: شبکه متقابل | برای حالت خاص یک کریستال تناوبی نامتناهی، دامنه پراکنده F = MF hkl از سلول‌های واحد M (مانند موارد بالا) فقط برای مقادیر صحیح از صفر غیر صفر است. برای در نظر گرفتن اثرات ناشی از اندازه کریستال محدود، البته باید از یک پیچش شکل برای هر نقطه یا معادله بالا برای یک شبکه محدود استفاده شود. چه آرایه اتم‌ها محدود باشد یا نامتناهی، می‌توان یک «شبکه متقابل شدت» I[g] را نیز تصور کرد که از طریق رابطه معمولی I = F * F به شبکه دامنه F مربوط می‌شود که در آن F * مزدوج مختلط F است. همچنین می‌توان از این برای پیش‌بینی تأثیر شکل نانوکریستالیت، و تغییرات ظریف در جهت‌گیری پرتو، بر پیک‌های پراش شناسایی‌شده استفاده کرد، حتی اگر در برخی جهات خوشه فقط یک اتم ضخامت داشته باشد. در سمت پایین، محاسبات پراکندگی با استفاده از شبکه متقابل اساساً یک موج صفحه فرود را در نظر می‌گیرند؛ بنابراین پس از اولین نگاه به اثرات شبکه متقابل (پراکندگی سینماتیک)، اثرات گسترش پرتو و پراکندگی چندگانه (یعنی دینامیکی) نیز ممکن است مهم باشد. تعمیم یک شبکه دوگانه در واقع دو نسخه در ریاضیات از مفهوم شبکه دوگانه انتزاعی، برای یک شبکه معین L در فضای برداری واقعی V، با بعد محدود وجود دارد. اولی که مستقیماً ساختار شبکه متقابل را تعمیم می‌دهد، از تحلیل فوریه استفاده می‌کند. گروه دوگانه V ^ تا V دوباره یک فضای برداری واقعی است و زیر گروه بسته آن L ^ dual to L یک شبکه در V ^ است؛ بنابراین، L ^ کاندیدای طبیعی برای شبکه دوگانه، در فضای برداری متفاوت (با همان بعد) است. اما با توجه به شناسایی این دو، که در هر صورت تا حد اسکالر به خوبی تعریف شده‌است، وجود Q به شخص اجازه می‌دهد تا با شبکه دوگانه به L صحبت کند در حالی که در V باقی می‌ماند. در ریاضیات، شبکه دوگانه یک شبکه معین L در یک گروه توپولوژیکی فشرده محلی آبلیانی G، زیرگروه L * از گروه دوگانه G است که از همه نویسه‌های پیوسته که در هر نقطه از L برابر با یک هستند، است. در ریاضیات گسسته، شبکه مجموعه‌ای از نقاط گسسته محلی است که توسط تمام ترکیبات خطی انتگرالی از بردارهای مستقل خطی dim = n در Rn توصیف می‌شود . شبکه دوگانه سپس با تمام نقاط در گستره خطی شبکه اصلی (معمولاً همه Rn) با این ویژگی که یک عدد صحیح از حاصلضرب داخلی با همه عناصر شبکه اصلی ایجاد می‌شود، تعریف می‌شود. | ## جمع‌بندی | بسته آموزشی و یادگیری DoITPoMS در مورد فضای متقابل و شبکه متقابل همان‌طور که در فصل‌های ۴ و ۵ نشان داده شده‌است، به راحتی کریستالوگرافی را بیاموزید و چگونه شبکه متقابل پدیده پراش را توضیح می‌دهد.