موضوع مقاله: منحنی اژدها | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # منحنی اژدها | مقدمه: منحنی اژدها احتمالاً بیشتر به‌عنوان شکلی شناخته می‌شود که از تا کردن مکرر یک نوار کاغذی به نصف ایجاد می‌شود، اگرچه منحنی‌های دیگری نیز وجود دارند که با نام منحنی اژدها شناخته می‌شوند و به روش‌های متفاوتی تولید می‌شوند. | ## بخش 1: منحنی اژدها | اژدهای های‌وی اژدهای های‌وی (که با نام‌های اژدهای هارتر–های‌وی یا اژدهای پارک ژوراسیک نیز شناخته می‌شود) نخستین بار توسط فیزیکدان‌های ناسا، جان های‌وی، بروس بنکس و ویلیام هارتر بررسی شد. این منحنی در سال ۱۹۶۷ توسط مارتین گاردنر در ستون بازی‌های ریاضی در مجله ساینتیفیک آمریکن توصیف شد. این منحنی همچنین در صفحات عنوان‌بندی بخش‌های رمان پارک ژوراسیک نوشته مایکل کرایتون ظاهر شد. اگر به جای صفحه مختلط از جفت‌های اعداد حقیقی استفاده شود، این دو تابع به‌صورت زیر خواهند بود: تا کردن اژدها منحنی اژدهای های‌وی را می‌توان با تا کردن یک نوار کاغذی ایجاد کرد، که در واقع روش اصلی کشف آن بود. اگر در این مرحله نوار را باز کنید و هر تای آن را به یک چرخش ۹۰ درجه‌ای تبدیل کنید، دنباله چرخش‌ها RRL خواهد بود، یعنی دومین تکرار منحنی اژدهای های‌وی. اگر نوار را دوباره از وسط به سمت راست تا کنید، دنباله چرخش‌های آن پس از باز شدن RRLRRLL خواهد بود، که سومین تکرار منحنی اژدهای های‌وی است. با ادامه این فرایند، تکرارهای بیشتری از منحنی ایجاد می‌شوند (اگرچه در عمل، نوار پس از چهار یا پنج تکرار بیش از حد ضخیم می‌شود و دیگر نمی‌توان آن را به‌درستی تا کرد). | ## بخش 2: منحنی اژدها | هر تکرار را می‌توان با کپی کردن تکرار قبلی، افزودن یک R، و سپس یک کپی دیگر از تکرار قبلی به‌صورت معکوس، اما با جایگزینی L و R، به‌دست‌آورد. یکی از روش‌های کاشی‌کاری آن جایگزینی هر ضلع یک کاشی‌کاری مربعی با یک منحنی اژدها است، که از تعریف بازگشتی منحنی، با شروع از یک پاره‌خط، استفاده می‌کند. برای منحنی اژدهایی با طول بخش اولیه برابر با ۱، مساحت آن برابر با ۱/۲ است، که از کاشی‌کاری‌های آن در صفحه قابل مشاهده است. این منحنی همچنین مجموعه حدی سیستم تکرارشونده زیر است: که در آن، شکل اولیه توسط مجموعه زیر تعریف می‌شود: . این منحنی را همچنین می‌توان به‌صورت یک نگارال توصیف کرد که تنها نیاز به افزودن یک بخش دیگر در رشته اولیه دارد: زاویه ۹۰ درجه رشته اولیه: FX+FX+ قوانین بازنویسی رشته: X X+YF Y FX−Y. این منحنی همچنین مکان نقاطی در صفحه مختلط است که هنگام نمایش در پایه ، قسمت صحیح یکسانی دارند. این منحنی مجموعه حدی سیستم تکرارشونده زیر است: اژدهای لوی منحنی لوی C گاهی با نام اژدهای لوی نیز شناخته می‌شود.. | ## بخش 3: منحنی اژدها | وقوع منحنی اژدها در مجموعه‌های حل پس از به‌دست‌آوردن مجموعه‌ای از حل‌های یک معادله دیفرانسیل خطی، هر ترکیب خطی از این حل‌ها نیز، به دلیل اصل برهم‌نهی، معادله اصلی را ارضا خواهد کرد. به بیان دیگر، می‌توان با اعمال یک تابع بر مجموعه‌ای از حل‌های موجود، حل‌های جدیدی به دست آورد. این فرایند مشابه روشی است که در آن یک سیستم تابع بازگشتی (IFS) نقاط جدیدی را در یک مجموعه تولید می‌کند، اگرچه همه IFSها تابع‌های خطی نیستند. به‌طور مشابه، مجموعه‌ای از چندجمله‌ای لیتلوود را می‌توان از طریق اعمال تکرارشونده مجموعه‌ای از توابع به دست آورد. برای بعضی مقادیر ، توابع زیر را تعریف می‌کنیم: با شروع از مقدار ، می‌توان با استفاده مکرر از این توابع به تعداد مرتبه، تمام چندجمله‌ای‌های لیتلوود تا درجه را تولید کرد. به عنوان مثال: مشاهده می‌شود که برای مقدار ، این دو تابع معادل فرمول‌بندی IFS برای منحنی اژدهای های‌وی هستند. به بیان دیگر، منحنی اژدهای های‌وی، تا یک تکرار مشخص، مجموعه تمام چندجمله‌ای‌های لیتلوود تا یک درجه معین را توصیف می‌کند، هنگامی که این چندجمله‌ای‌ها در نقطه مقداردهی شوند. | ## جمع‌بندی | در واقع، با ترسیم تعداد کافی از ریشه‌های چندجمله‌ای‌های لیتلوود، ساختارهایی مشابه منحنی اژدها در نقاطی نزدیک به این مختصات ظاهر می‌شوند.