موضوع مقاله: فرمول هاورسین | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # فرمول هاورسین | مقدمه: فرمول هاورسین فاصله دایره بزرگ بین دو نقطه روی یک کره را با توجه به طول و عرض جغرافیایی آن ها تعیین می‌کند. | ## بخش 1: فرمول هاورسین | این فرمول در جهت‌یابی کاربر دارد که یک مورد خاص از یک فرمول کلی‌تر در مثلثات کروی، قانون هاورسین‌ها است که اضلاع و زوایای مثلث‌های کروی را به هم مرتبط می‌کند. اولین جدول هاورسین‌ها به زبان انگلیسی توسط جیمز اندرو در سال ۱۸۰۵ منتشر شد، اما فلوریان کایوری استفاده قبلی را به خوزه د مندوزا و ریوس در سال ۱۸۰۱ نسبت می‌دهد. فرمول فرض می‌کنیم زاویه مرکزی بین دو نقطه روی یک کره باشد: جایی که d فاصله بین دو نقطه در امتداد یک دایره بزرگ از کره است. فرمول هاورسین به هاورسین (یعنی ) اجازه می‌دهد که مستقیماً از عرض جغرافیایی (نمایش داده شده با ) و طول جغرافیایی (نمایش ) دو نقطه محاسبه شود: یا برای اجتناب از استفاده از کسینوس‌هایی که باعث کاهش وضوح در زوایای کوچک می‌شوند: جایی که , عرض جغرافیایی نقطه ۱ و ۲ است. برای حل فاصله ، آرک هاورسین (harsine معکوس) را به یا از تابع آرکسین (سینوس معکوس) استفاده کنید: یا به‌طور واضح تر: همان‌طور که در زیر توضیح داده شد، فرمول مشابهی را می‌توان با استفاده از کسینوس (که گاهی قانون کروی کسینوس نامیده می‌شود، که با قانون کسینوس‌ها برای هندسه صفحه اشتباه گرفته نمی‌شود) به جای هارسین نوشت، اما اگر این دو نقطه به هم نزدیک باشند (مثلاً یک کیلومتر روی زمین) ممکن است به می‌شود، که منجر به پاسخ نادرست است. | ## بخش 2: فرمول هاورسین | هر کدام از این فرمول‌ها زمانی که روی زمین اعمال می‌شود، فقط یک تقریب است چون زمین یک کره کامل نیست: شعاع زمین بین ۶۳۵۶٫۷۵۲ کیلومتر در قطب و ۶۳۷۸٫۱۳۷ کیلومتر در خط استوا متغیر است و مهمتر از آن، شعاع انحنای یک خط شمالی -جنوبی در سطح زمین در قطب (≈۶۳۹۹٫۵۹۴ کیلومتر) و در خط استوا (≈۶۳۳۵٫۴۳۹ کیلومتر) است که ۱٪ بیشتر است— بنابراین نمی‌توان فرمول هارسین و قانون کسینوس را بهتر از ۰٫۵٪ تضمین کرد. روش‌های دقیق‌تری که بیضی بودن زمین را در نظر می‌گیرند با فرمول‌های وینسنتی و فرمول‌های دیگر در مقالهٔ فاصله جغرافیایی ارائه شده‌است. اگر طول این سه ضلع (از تا )، (از تا ) و (از به ) باشد و زاویه گوشه مقابل ضلع باشد، قانون هاورسین‌ها بیان می‌کند. از آنجایی که این یک کره واحد است، طول‌های ، ، و به سادگی برابر با زوایایی هستند (بر حسب رادیان) که توسط آن اضلاع از مرکز کره متمایل می‌شوند (برای یک کره غیر واحد، هر یک از این طول کمان برابر است. برای به دست آوردن فرمول هاورسین بخش قبل از این قانون، به سادگی حالت خاصی را در نظر می‌گیریم که در آن قطب شمال است، در حالی که و دو نقطه‌ای هستند که جدایی آنها با تعیین می‌شود. | ## بخش 3: فرمول هاورسین | در این صورت، و هستند (یعنی هم عرض جغرافیایی)، جدایی طول جغرافیایی ، و فاصله مورد نظر است. برای استخراج قانون هاورسین‌ها، با قانون کروی کسینوس‌ها شروع می‌شود: همان‌طور که در بالا ذکر شد، این فرمول یک روش نامطلوب برای حل زمانی است که کوچک است. اثبات می‌توان فرمول را ثابت کرد: با تبدیل نقاط داده شده توسط طول و عرض جغرافیایی آنها به مختصات دکارتی و سپس گرفتن ضرب نقطه آنها. دو نکته را در نظر بگیرید در کره واحد، داده شده توسط عرض جغرافیایی آنها و طول جغرافیایی : این نمایش‌ها بسیار شبیه مختصات کروی هستند، با این حال عرض جغرافیایی به عنوان زاویه از استوا اندازه‌گیری می‌شود و نه قطب شمال. این نقاط در مختصات دکارتی نمایش زیر را دارند: از اینجا می‌توانیم مستقیماً تلاش کنیم تا حاصل ضرب نقطه‌ای را محاسبه کنیم و ادامه دهیم، اما با توجه به واقعیت زیر، فرمول‌ها به‌طور قابل توجهی ساده‌تر می‌شوند: اگر کره را در امتداد محور z بچرخانیم، فاصله بین دو نقطه تغییر نخواهد کرد. | ## جمع‌بندی | توجه داشته باشید که ملاحظات مشابه در مورد تبدیل عرض‌های جغرافیایی اعمال نمی‌شود - افزودن یک ثابت به عرض‌های جغرافیایی ممکن است فاصله بین نقاط را تغییر دهد.