موضوع مقاله: گستران | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # گستران | مقدمه: مجله فرادرس، گسترنده-منحنی یا اینولوت نوع خاصی از منحنی است که به شکل یا منحنی دیگری وابسته است. | ## بخش 1: گستران | گستران یک منحنی، مکان هندسی یک نقطه روی یک قطعه نخ کشیده است که نخ یا از روی منحنی باز می‌شود یا دور آن پیچیده می‌شود. این مفهوم توسط خانواده منحنی‌های غلتان تعمیم می‌یابد؛ یعنی گستران‌های یک منحنی، غلتان‌های (رولت‌های) منحنی هستند که توسط یک خط مستقیم ایجاد می‌شوند. مفاهیم گستران و گسترندهٔ (evolute) یک منحنی توسط کریستیان هویگنس در اثر خود با عنوان ساعت آونگی (۱۶۷۳) معرفی شد، جایی که او نشان داد که گستران یک چرخ‌زاد هنوز یک چرخ‌زاد است، بنابراین روشی برای ساخت چرخ‌زاد ارائه داد که دارای ویژگی مفید این است که دوره آن مستقل از دامنه نوسان است. گستران یک منحنی پارامتری فرض کنید یک منحنی در صفحه باشد که انحنا آن هیچ جا صفر نیست و ، سپس منحنی با نمایش پارامتری یک گستران از منحنی داده شده است. + با اضافه کردن یک عدد دلخواه اما ثابت به انتگرال ، یک گستران متناظر با یک نخ که به اندازه افزایش یافته است (مانند یک توپ نخ که قبل از باز شدن مقداری نخ از آن آویزان است) به دست می‌آید. از این رو، گستران را می‌توان با ثابت و/یا اضافه کردن یک عدد به انتگرال تغییر داد (به گستران‌های یک سهمی نیمه‌مکعبی مراجعه کنید). برای به دست آوردن ویژگی‌های یک منحنی منظم، بهتر است فرض کنیم طول قوس پارامتر منحنی داده شده باشد، که منجر به ساده‌سازی‌های زیر می‌شود: and ، که انحنا و بردار نرمال واحد است. برای گستران به دست می‌آید: and و عبارت: در نقطه گستران منظم نیست (زیرا )، و از نتیجه می‌شود: نرمال گستران در نقطه ، مماس منحنی داده شده در نقطه است. خانواده گستران‌ها و خانواده مماس‌های منحنی اصلی یک دستگاه مختصات متعامد را تشکیل می‌دهند. این را می‌توان با ساختن یک نگاشت که توسط تعریف می‌شود، به صورت بصری مشاهده کرد، که در آن پارامتری طول قوس منحنی است و زاویه شیب منحنی در نقطه است. با این نگاشت، گستران‌ها در یک فرایند سه مرحله‌ای به دست می‌آیند: نگاشت به ، سپس به سطح در ، سپس با حذف محور z آن را به تصویر کنید: که در آن هر ثابت حقیقی است. | ## بخش 2: گستران | از آنجایی که نگاشت در همه دارای مشتق غیرصفر است، تیزه‌های گستران فقط در جایی می‌توانند رخ دهند که مشتق عمودی باشد (موازی با محور z)، که فقط در جایی می‌تواند رخ دهد که سطح در دارای یک صفحه مماس عمودی باشد. به‌طور کلی، سطح در دو حالت دارای صفحات مماس عمودی است: جایی که سطح منحنی را لمس می‌کند و جایی که منحنی دارای یک نقطه عطف است. تیزه از مرتبه ۳/۲ برای نوع اول، می‌توان با گستران یک دایره، با معادله زیر شروع کرد: سپس را قرار داده و برای کوچک بسط دهید تا به دست آید: بنابراین منحنی مرتبه ۳/۲ ، یک سهمی نیمه‌مکعبی، به دست می‌آید. تیزه‌های مرتبه ۳/۲ روی منحنی مکعبی هستند، در حالی که تیزه‌های مرتبه ۵/۲ روی محور x (خط مماس در نقطه عطف) هستند. قوس از تا طول دارد و مماس در زاویه دارد؛ بنابراین، گستران شروع شده از در فاصله دارای فرمول پارامتری زیر است: آن را تا مرتبه بسط دهید، به دست می‌آید: که یک تیزه از مرتبه ۵/۲ است. به صراحت، می‌توان برای بسط چند جمله‌ای ارضا شده توسط حل کرد: یا که به وضوح شکل تیزه را نشان می‌دهد. با ارزیابی معادله گستران داده شده در بالا، به دست می‌آید: برای معادله پارامتری گستران دایره. توجه کنید که چگونه گستران‌ها و مماس‌ها یک دستگاه مختصات متعامد را تشکیل می‌دهند. گستران‌های یک سهمی نیمه‌مکعبی معادله پارامتری یک سهمی نیمه‌مکعبی را توصیف می‌کند. گسترش نخ به اندازه محاسبات بعدی را بسیار ساده می‌کند و به دست می‌آید: حذف منجر به می‌شود که نشان می‌دهد این گستران یک سهمی است. سایر گستران‌ها بنابراین منحنی‌های موازی یک سهمی هستند و سهمی نیستند، زیرا منحنی‌هایی از درجه شش هستند. | ## بخش 3: گستران | گستران‌های یک زنجیره‌وار برای زنجیره‌وار ، بردار مماس است و، به عنوان طول آن است؛ بنابراین طول قوس از نقطه (۰, ۱) برابر است با از این رو گستران شروع شده از (۰, ۱) توسط پارامتری می‌شود و بنابراین یک کشانده (تراکتریکس) است. از ، (پس از استفاده از برخی فرمول‌های مثلثاتی) به دست می‌آید: و از این رو معادلات گستران متناظر عبارتند از: که چرخ‌زاد قرمز منتقل شده در نمودار را توصیف می‌کنند. از این رو گستران‌های چرخ‌زاد منحنی‌های موازی چرخ‌زاد زیر هستند: (منحنی‌های موازی یک چرخ‌زاد، چرخ‌زاد نیستند) گستران و گسترنده گسترنده یک منحنی داده شده شامل مراکز انحنای است. کاربرد رایج‌ترین پروفیل‌های دندانه‌های چرخ‌دنده مدرن، گستران‌های یک دایره هستند. در یک دستگاه چرخ‌دنده گستران، دندانه‌های دو چرخ‌دنده درگیر در یک نقطه لحظه‌ای واحد که در امتداد یک خط مستقیم حرکت می‌کند، تماس پیدا می‌کنند. نیروهایی که دندانه‌های در تماس بر یکدیگر وارد می‌کنند نیز از این خط پیروی می‌کنند و بر دندانه‌ها عمود هستند. سامانه چرخ‌دنده گستران که این شرایط را حفظ می‌کند، از قانون اساسی چرخ‌دنده‌ها پیروی می‌کند: نسبت سرعت‌های زاویه‌ای بین دو چرخ‌دنده باید در طول حرکت ثابت بماند. با دندانه‌هایی با شکل‌های دیگر، سرعت‌ها و نیروها با درگیر شدن دندانه‌های متوالی بالا و پایین می‌روند و منجر به لرزش، سر و صدا و سایش بیش از حد می‌شوند. به همین دلیل، تقریباً تمام سامانه‌های چرخ‌دنده مسطح مدرن یا گستران یا سیستم مرتبط چرخ‌دنده چرخ‌زاد هستند.V. frame|سازوکار یک کمپرسور غلتشی گستران یک دایره همچنین یک شکل مهم در کمپرسور است، زیرا یک کمپرسور غلتشی می‌تواند بر اساس این شکل ساخته شود. کمپرسورهای اسکرال صدای کمتری نسبت به کمپرسورهای معمولی تولید می‌کنند و ثابت شده است که بازده مکانیکی بالایی دارند. | ## جمع‌بندی | راکتور ایزوتوپی با شار بالا از عناصر سوختی به شکل گستران استفاده می‌کند، زیرا این عناصر اجازه می‌دهند یک کانال با عرض ثابت بین آنها برای خنک‌کننده وجود داشته باشد.