موضوع مقاله: نرخ همگرایی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # نرخ همگرایی | مقدمه: (توجه کنید که لزوماً این مقدار وجود ندارد و می‌تواند حد یک دنباله بی‌نهایت باشد (همانند دنباله رو به رو: ) که در اینصورت اصطلاح نرخ «واگرایی» در عوض نرخ «همگرایی» برای آن تعریف می‌گردد). | ## بخش 1: نرخ همگرایی | همان‌طور که ذکر شود نرخ همگرایی توسط حد دنباله تعیین می‌گردد و از آنجا که حد دنباله اطلاعاتی راجع به جملات اولیهٔ دنباله (هر تعدادِ محدودی از اعضای ابتدای دنباله) به ما نمی‌دهد لذا «نرخ همگرایی» و «حد» هیچ‌کدام هیچ اطلاعی راجع به ابتدای دنباله به ما نمی‌دهند و هر دو مفاهیمی برای کاوشِ رفتار دنباله در بی‌نهایت اند. مفهوم نرخ همگرایی در هنگام کارکردن با برخی دنباله‌ها از اهمیت ویژه ای برخوردار است، برای مثال دنباله تقریباً اعشاری (دنبالهٔ تقریبات یک عدد (مثلاً A) دنباله ای است که اعضای دنباله رفته رفته به عدد مدنظر(A) نزدیک تر می‌شوند و این نزدیکی عموماً به این صورت است که جمله بعدی نسبت به جمله قبلی یک دهم دقت بیشتر دارد، به عنوان مثال درادامه دنباله تقریبات عدد پی(π) آورده شده‌است:. همان‌طور که مطرح گردید نرخ همگرایی برای بررسی دنباله تقریباتی که از یک روش تکراری محاسبه ای(iterative) همانند گاوس سیدل (یا هر روش موفق همگرایِ تکراری دیگری) از اهمیت ویژه ای برخوردار است چرا که تعیین اینکه این محاسبات تا چه حد ادامه پیدا کند از اهمیت ویژه ای برخوردار است زیرا هرچه تعداد محاسباتی که برای به دست آوردن دقتی خاص انجام می‌شود کمتر باشد هزینه ای کمتری (اعم از زمان و حافظه) مصرف می‌شود و تعیین کرانِ پایینِ تعدادِ محاسباتِ لازم به کمک نرخ همگرایی انجام می‌گیرد. از جمله کاربردهای دیگر نرخ همگرایی می‌توان به مسایلی که به «گسسته سازیِ پروسه‌های پیوسته» می‌پردازند اشاره کرد. سرعت همگرایی برای روندهای تکراری(itereative) مفاهیم پایه فرض کنید که دنباله دلخواه به عدد همگراست ۱- می‌گوییم این دنباله به صورت خطی به عدد همگراست اگر وجود داشته باشد ضریبی همانند به طوری که داشته باشیم: که در اینصورت به نرخ همگرایی می‌گویند. ۲- می‌گوییم این دنباله به صورت فراخطی (سریع تر از خطی) به عدد همگراست اگر: ۳- می‌گوییم این دنباله به صورت فروخطی (کندتر از خطی) به عدد همگراست اگر: ۴- اگر دنباله ای که همگرایی فروخطی دارد شرط زیر را ارضا کند: در این صورت همگرایی دنباله همگرایِ لگاریتمی است یعنی می‌گوییم این دنباله به صورت لگاریتمی به عدد همگراست. | ## بخش 2: نرخ همگرایی | دنباله‌های فراخطی به کمک تعریف زیر به رده‌بندی همگرایی‌های فراخطی می‌پردازیم: می‌گوییم دنباله با شدت به همگراست (توجه: ) اگر داشته باشیم که: توجه کنید که یک عدد مثبت است (و لزوماً کوچکتر از ۱ نیست). و می‌تواند عددی غیر صحیح باشد به عنوان مثال در روش سکانت روش سکانت دارای نرخ φ ≈ 1.618 است. به ازای برخی مقادیر خاص نام هایِ به خصوصی درنظر گرفته شده‌است: ۱-اگر برابر ۲ باشد به دنباله همگرای مربعی (مرتبه ۲) گویند. یکی از روش‌های کاربردیِ محاسبه برای دنباله محاسبه دنبالهٔ زیر است که به عدد همگراست: بهبود و گسترش تعریف فوق اشکال تعاریف فوق در این است که این تعاریف برخی دنباله هارا که همگرااند اما سرعت همگراییشان متغیر است را درنظر نمی‌گردد، برای مثال دنباله زیر (با جمله عمومی )را درنظر بگیرید، داریم: همان‌طور که مشاهده می‌کنید این دنباله همگراست ولی در رده دسته‌بندی‌های ذکر شده قرار نمی‌گیرد لذا در برخی مواقع تعریف گسترش یافته زیر را درنظر می‌گیرند: تحت تعریف زیر دنباله با حداقل شدت همگرا است اگر وجود داشته باشد دنباله ای همانند به قسمی که شرط زیر ارضا شود: و داریم که دنباله به عدد با نرخ همگراییِ (طبق تعریفِ پیشین) همگراست. تعریف ریاضی:می‌گوییم دنباله به عدد L با شدت p همگرا می‌شود اگر وجود داشته باشد عدد ثابت C به طوریکه که به صورت روبه رو نمایش داده می‌شود: ،(جهت آشنایی با به نماد O بزرگ مراجعه کنید). لازم است ذکر شود که از تعریف اخیر گفته شده در حل و بررسی معادلات دیفرانسیل معمولی(ODE) استفاده می‌شود. | ## بخش 3: نرخ همگرایی | (جهت آشنایی با معادلات دیفرانسیل معمولی به معادلات دیفرانسیل معمولی مراجعه کنید). یکی از روش‌های رایج و کاربردی جهت محاسبهٔ نرخ همگرایی برای روندهای گسسته سازی استفاده کردن از فرمول زیراست: که در اینجا و نشان دهندهٔ خطاهای جدید و قدیم اند با توجه به قدم هایِ محاسبه ایِ و . ۲- دنباله عددی باجمله عمومی که در قسمت قبل مطرح گردید را درنظر بگیرید، همان‌طور که مشاهده می‌کنید این دنباله با شدت (به ازای هر عدد ) همگراست، علی ذلک می‌توان گفت که این دنباله با نرخ نمایی همگراست. (با استناد به تعریف ذکر شده در قسمت گسسته سازی) توجه کنید که طبق توافق قسمت قبل (روندهای تکراری) این دنباله با نرخ خطی همگرا بود. (جهت اطلاع بیشتر به پارامترGTE مراجعه کنید.) روش‌های ارتقای نرخ همگرایی دنباله‌ها همان‌طور که در ابتدا مطرح شد به کمک نرخ همگرایی می‌توان در محاسبات صرفه جویی کرد زیرا به کمک آن (نرخ همگرایی) می‌توانیم حداقل تعداد تکرار لازم جهت رسیدن به دقت مطلوب را محاسبه کرد و سپس فقط تا همان تعداد مرحله محاسبات را ادامه داد. | ## جمع‌بندی | حال جالب است بدانید که روش‌هایی وجود دارد که نرخ همگرایی یک دنباله را افزایش می‌دهند به این طریق که از دنبالهٔ ابتدایی موجود دنباله ای می‌سازد که از نرخ همگرایی بیشتری نسبت به دنباله اولیه برخوردار است و بدین طریق در محاسبات انجامی صرف جویی بیشتری می‌کند.