موضوع مقاله: تعادل کامل لغزش دست | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # تعادل کامل لغزش دست | مقدمه: تعادل کامل لغزش دست یک پالایشی از تعادل نش است که توسط راینهارد سیلتن ریاضی‌دان و اقتصاد دان برجسته آلمانی مطرح شد. | ## بخش 1: تعادل کامل لغزش دست | تعادل کامل لغزش دست، تعادلی است که در آن برای کاربر (هرچند با احتمال ناچیز) این امکان را در نظر می‌گیرد که استراتژی‌های ناخواسته انتخاب کند. به عبارتی دیگر این احتمال برای بازکنان موجود است که استراتژی‌های ناخواسته داشته باشد. مجموعه استراتژی و استراتژی مختلط مجموعه استراتژی یک بازیکن تعیین می‌کند که برای این بازیکن، بازی کردن کدام استراتژی‌ها ممکن است. اگر برای یک بازیکن تعدادی استراتژی گسسته وجود داشته باشد، مجموعه استراتژی این بازیکن متناهی است. به عنوان نمونه در بازی سنگ، کاغذ، قیچی، هر بازیکن مجموعه استراتژی متناهی {سنگ، کاغذ، قیچی} را دارد. به عنوان مثال، در یک مزایده که میزان افزایش قیمت طبق یک قانون است، استراتژی‌ها گسسته هستند و مجموعه استراتژی نامتناهی است {۱۰ هزار تومان، ۲۰ هزار تومان، ۳۰ هزار تومان و…}. همچنین، بازی بریدن کیک دارای استراتژی‌های کراندار و پیوسته در مجموعه استراتژی‌ها است {بریدن هر جا بین ۰٪ تا ۱۰۰٪ از کیک}. یک استراتژی خالص تعریف کاملی از این که یک بازیکن چگونه بازی خواهد کرد ارائه می‌دهد. این استراتژی حرکتی را که یک بازیکن برای هر موقعیتی که با آن روبه‌رو خواهد شد باید انجام دهد، تعریف می‌کند. مجموعه استراتژی یک بازیکن مجموعه‌ای است از استراتژی‌های خاصی که برای آن بازیکن ممکن است. این استراتژی به یک بازیکن اجازه می‌دهد به صورت تصادفی یک استراتژی خالص را برگزیند. چون احتمال‌ها پیوسته هستند استراتژی‌های مختلط نامتناهی برای یک بازیکن وجود دارد، حتی اگر مجموعه استراتژی‌های آن متناهی باشد. البته می‌توان یک استراتژی خالص را نوع خاصی از استراتژی مختلط دانست که در آن یک استراتژی خالص خاص با احتمال ۱ و بقیه استراتژی‌ها با احتمال ۰ انتخاب می‌شوند. یک استراتژی کاملاً مختلط، استراتژی مختلطی است که در آن بازیکن یک احتمال اکیداً مثبت به هر استراتژی خالص می‌دهد. به عبارتی دقیق تر فرض کنید یک بازی متناهی است و یک استراتژی کاملاً مختلط است اگر برای هر عدد . به صورت بسیار خلاصه و مفهومی می‌توان گفت تعادل نش به حالت پایداری در یک بازی گفته می‌شود که با فرض ثابت بودن راهبرد سایر بازیکنان، یک بازیکن با تغییر بازی خود نتواند به شرایط بهتری دست یابد. با استفاده از مفاهیم نظریه بازی‌ها می‌توان این موضوع را به صورت رسمی بیان و مدل کرد. | ## بخش 2: تعادل کامل لغزش دست | مجموعه را به عنوان بازی با بازیکن در نظر بگیرید، که در آن مجموعه استراتژی‌ها برای بازیکن است، مجموعه‌ای از فضای استراتژی آن است و تابع بهره‌مندی آن است را به عنوان فضای استراتژی همهٔ بازیکنان به جز بازیکندر نظر بگیرید. هر بازیکن به ازای هر عضو مجموعه اعداد صحیح، استراتژی را انتخاب کند، پروفایل استراتژی آن به صورت و تابع بهره‌مندی آن به صورت نتیجه داده می‌شود. به عنوان مثال، در استراتژی انتخاب شده توسط بازیکن i و همچنین استراتژی‌های انتخاب شده توسط تمام بازیکنان دیگر. نمای استراتژی یک تعادل نش است اگر هیچ انحراف یک سویی در استراتژی توسط هر بازیکن واحد با یکی دیگر از بازیکنان سودآور نمی‌باشد؛ که به این معنا خواهد بود که: تعادل کامل لغزش دست در ابتدا یک بازی مبهم را تعریف می‌کنیم. بازی مبهم دقیقاً گونه ای بازی پایه است با این تفاوت که بازیکن تنها مجاز به استفاده از استراتژی کاملاً مخلوط است. همان‌طور که گفته شد استراتژی کاملاً مخلوط به استراتژی ای گفته می‌شود که هر استراتژی با احتمال ناصفر بازی شود. یک بازیکن گاهی مواقع استراتژی متفاوتی را از استراتژی‌های قابل پیش‌بینی انتخاب می‌کند که این دقیقاً همان مفهوم لغزش دست است. این مجموعه استراتژی را به عنوان تعادل کامل لغزش دست در نظر می‌گیریم اگر یک دنباله ای از بازی‌های مبهم که در بالا تعریف کردیم وجود داشته باشد که وابسته به بازی پایه هستند و مجموعه ای از تعادل‌های نش وجود داشته باشند که همگرا به هستند. به بیانی دقیق تر می‌توان گفت، یک استراتژی پروفایل را تعادل کامل لغزش دست می‌گوییم اگر دنباله ای از تمام استراتژی پروفایل همگرا به خود باشد به طوری که برای هر عدد برقرار باشد. مثال بازی زیر را در نظر بگیرید، در این بازی نفر اول دارای مجموعه استراتژی و نفر دوم دارای استراتژی‌های است. برای راحتی کار فرض کنید استراتژی‌های همان بالا و پایین هستند و استراتژی همان چپ و راست هستند. فرض کنید بازیکن۱ به صورت ترکیبی بازی می‌کند و به احتمال ، را بازی می‌کند و به احتمال ، را بازی می‌کند. فرض کنید بازیکن دوم را بازی کند در این صورت می‌دانیم که امید ریاضی سودش برابر خواهد شد با: حال حالت دیگر را در نظر بگیرید که بازیکن دوم را بازی کند. در این حالت سود امیدریاضی سود بازیکن دوم برابر خواهد شد با: به‌طور مشخص بازیکن دوم در زمانی که بازی کند سود بیشتری خواهد داشت و این موضوع به این علت است که: که می‌دانیم درست است. به طریق کاملاً مشابه اگر بازیکن اول بداند که وزن برای بازکن دوم بیشتر از است پس وزن کمی را برای انتخاب قرار می‌دهد. برای این منظور داریم: فرض کنید نفر دوم استراتژی ترکیبی را انتخاب کند که در آن به احتمال ، را بازی می‌کند و به احتمال ، را بازی می‌کند. پس در این حالت امید ریاضی سود بازیکن اول برابر خواهد بود با: و در صورتی که بازی کند امید ریاضی سودش برابر خواهد بود با: پس با توجه به این نکته که است پس انتخاب مناسب تر خواهد بود. | ## بخش 3: تعادل کامل لغزش دست | پس به این علت که بازیکن اول علاقه دارد وزن را بیشتر کند و وزن را کمتر به راحتی می‌توان دید که یک تعادل کامل لغزش دست نیست. S.38-40 تعریف رسمی با کمک بازی مبهم در این بخش می‌خواهیم با کمک یک بازی مبهم تعریف رسمی از تعادل کامل لغزش دست ارائه کنیم: تعریفی ساده از یک بازی مبهم بازی مبهم یک گونه ای از بازی پایه است، به طوری که در آن هر بازیکن باید تمام استراتژی‌های ناخالص را با احتمال مثبت بازی کند. به عبارتی دیگر می‌توان گفت به یک بازی پایه ای مبهم می‌گوییم اگر تمام استراتژی‌های بازی شده توسط بازیکن‌ها به صورت مخلوط بوده و در هر استراتژی مخلوط بازی شده تمام استراتژی‌های خالص با احتمال ناصفر بازی شده باشند. اگر بخواهیم این بیانمان را با استفاده از ریاضی دقیق تر کنیم می‌توان نوشت که در این بازی‌ها اگر برای بازیکن دلخواه ، بدانیم مجموعه استراتژی‌های خالص است و همچنین در استراتژی مخلوط که این بازیکن بازی کرده بدانیم که، به احتمال بازی شده‌است، آنگاه داریم . S.94 - 95 تعریف رسمی در ابتدا می‌دانیم که یک بازی استراتژیک به شکل زیر خواهد بود: که در آن داریم که همچنین بیانگر مجموعه بازیکنان است و نشان دهنده مجموعه ای از استراتژی‌های ترکیبی مبتنی بر توزیع احتمالی استراتژی‌های خالص است. برای هر بازیکن در نظر بگیرید که استراتژی خالص که بیانگر مجموعه ای از احتمال‌های بازی شده‌است داریم که و همچنین: پس در مورد مقدار استراتژی‌های مخلوط در بازی‌های مبهم داریم که: که در آن می‌دانیم: . این بدان معناست که بازیکن ام هر یک از استراتژی‌های خالص خود را حداقل باید با احتمال بازی کند تا در بازی مبهم داشته باشیم: که در آن می‌دانیم است، یک تعادل نش بازی مبهم است و یک تعادل در بازی اصلی است. در این صورت می‌توان گفت تعریف رسمی مفهوم تعادل بازی لغزش دست به شکل زیر بیان می‌شود: S.111 - 113 مثال در ابتدا، بازی ای را در نظر بگیرید که جدول بازده آن به شکل روبرو باشد. در حالت بازی‌های معمول به وضوح مشخص است که در دو شرایط عادی (چپ، بالا) و (راست، پایین) تعادل نش هستند. اگر حتی احتمال ناچیزی مانند باشد که بازیکن دوم چپ بازی کند در این حالت بهترین پاسخ بازیکن اول برابر با بالا خواهد بود. حال در حالتی که بازی مبهم باشد بازیکن اول باید با احتمالی ناصفر پایین را نیز بازی کند! در این حالت باید کمترین میزان احتمال ممکن را در باید در نظر گرفت، پس می‌نویسیم که به طریق مشابه می‌توان تعریف کرد که . پس با توجه به استدلال‌های بالا می‌توان گفت: که این بدان معناست که اگر احتمال خطا را به صفر برسانیم آنگاه تعادل بازی مبهم به سمت یک تعادل بازی اصلی خواهد رفت. قضیه‌های معروف و کاردبردی برای بازی‌های دو نفره می‌توان دید که مجموعه تعادل کامل لغزش دست با مجموعه تعادل‌هایی که تشکیل شده از دو استراتژی غیر مغلوب هستند، متمایز هستند. همان‌طور که در بالا دیدیم استراتژی یک تعادل کامل لغزش دست نیست اما مشخصا هیچ استراتژی دیگری نمی‌تواند آن را مغلوب کند. می‌دانیم که طبق قضیه تعادل نش برای این بازی (به عبارتی بهتر برای هر بازی) یک تعادل نش مانند وجود دارد. | ## جمع‌بندی | بدون کم شدن از کلیت مسئله فرض می‌کنیم زیر دنباله، همان خود دنباله است و حدش است.