موضوع مقاله: تاس‌های ناگذرا | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # تاس‌های ناگذرا | مقدمه: به مجموعه‌ای از تاس‌ها ناگذرا می‌گوییم اگر شامل سه تاس، A, B و C باشد، به صورتی که عدد تاس A به احتمال بیش از نیم، بیشتر از عدد B بوده و عدد تاس B نیز به احتمال بیش از نیم، بیشتر از C باشد، با این حال نتوان نتیجه گرفت که عدد تاس A به احتمال بیشتر از نیم از تاس C بزرگ‌تر است. | ## بخش 1: تاس‌های ناگذرا | به عبارت دیگر، اگر رابطهٔ “ در یک آزمایش، تاس X با احتمال بیشتر از نیم عددی بزرگ‌تر از تاس Y دارد “ را R بنامیم، مجموعه‌ای از تاس‌ها ناگذرا است اگر رابطهٔ R بر روی زوج مرتب‌هایی از تاس‌های مجموعه دارای خاصیت تراگذری نباشد. با استفاده از چنین مجموعه‌هایی از تاس‌ها، می‌توان بازی‌هایی اختراع کرد که نتیجهٔ آن‌ها به‌طور متوسط به نفع یکی از بازیکنان باشد. این تاس‌ها در دستهٔ جامع تناقض‌های ناگذرا قرار می‌گیرند که مطالعات بسیاری حول آن انجام می‌گیرد. به عنوان مثال یکی از معروف‌ترین مسائل در ناگذرایی، پارادوکس رای‌گیری است که اولین بار توسط مارکی دو کندورسه مطرح شد. 429-436 ثابت شده‌است که اگر احتمال برد تاس A از B را با p، احتمال برد B از C را با q و احتمال برد C از A را با r نمایش دهیم خواهیم داشت:‌ و برای q, p و r برابر در حالت بیشینه هر کدام هستند. بنابراین نمی‌توان به طور دقیق از تاس‌های ناگذرا برای مدل‌سازی مسئله انتخابات استفاده کرد. اگر این بازی با مجموعه‌ای از تاس‌های گذرا انجام شود، بازی یا عادلانه است یا به نفع اولین بازیکن، زیرا می‌تواند تاسی را انتخاب کند که بیشتر از نیمی از مواقع ببرد. اما اکنون مجموعه تاس‌های زیر را در نظر بگیرید: بر روی وجه‌های تاس A اعداد ۲و ۲و ۴و ۴و ۹و ۹ نوشته شده‌اند. | ## بخش 2: تاس‌های ناگذرا | در این مجموعه از تاس‌ها، احتمال برد A از B، برابر با احتمال برد B از C، برابر با احتمال برد C از A و برابر با است؛ بنابراین این مجموعه تاس‌ها ناگذرا هستند. در این صورت بازی به نفع نفر دوم خواهد بود، زیرا که می‌تواند تاسی را انتخاب کند که به احتمال تاس اول را شکست دهد. پس از چند شکست، دوستتان مشکوک می‌شود بنابراین شما استراتژی بازی را برای او توضیح می‌دهید. با این حساب دوست شما می‌تواند تاسی را انتخاب کند که با احتمال بیشتر از نیم از شما می‌برد. یکی از مجموعه تاس‌های ناگذرا معروف، تاس‌های افرون هستند که توسط دانشمند آماری بردلی افرون مطرح شده‌اند. این مجموعه شامل چهار تاس به صورت زیر می‌باشد: بر روی وجه‌های تاس A اعداد ۴و ۴و ۴و ۴و ۰و ۰ نوشته شده‌اند. احتمالات برای هر زوج متوالی میان تاس‌های بالا احتمال برد را محاسبه می‌کنیم: مقدار تاس B ثابت است بنابراین A آن را در حالات یعنی چهار حالتی که ۴ باشد شکست می‌دهد. احتمال برد C در برابر D را در دو حالت بررسی می‌کنیم: اگر C مقدرا ۶ بگیرد، مستقل از D می‌برد. | ## بخش 3: تاس‌های ناگذرا | اگر C مقدار ۲ بگیرد، تنها هنگامی می‌برد که D مقدار ۱ داشته باشد؛ بنابراین احتمال کل برد C می‌شود: به‌طور مشابه برای احتمال برد D در برابر A می‌شود پس به صورت خلاصه داریم: بهترین انتخاب اکنون با فرض این که تاس دوم به صورت تصادفی انتخاب می‌شود، احتمال برد هر تاس و درنتیجه بهترین انتخاب ممکن را بررسی می‌کنیم: احتمال برد A در برابر یک تاس تصادفی: احتمال برد B در برابر یک تاس تصادفی: احتمال برد C در برابر یک تاس تصادفی: احتمال برد D در برابر یک تاس تصادفی: بنابراین بهترین شانس برنده شدن برای تاس C با احتمال ۰٫۵۱۸۵ می‌باشد. تاس‌های ناگذرا برای بیشتر از دو بازیکن انواعی از تاس‌های ناگذرا پیشنهاد شده‌اند که می‌توانند همزمان با بیش از یک حریف رقابت کنند. حالت سه بازیکن در این بازی، اگر نفرات اول و دوم هر کدام تاسی انتخاب کنند، شخص سوم با توجه به خصوصیت تاس‌ها همچنان می‌تواند تاسی بردارد که شانس بیشتر در برنده شدن داشته باشد. تاس‌های اسکار پازل ساز هلندی اسکار ون دونتر مجموعه‌ای از هفت تاس ناگذرا، با مقادیر ۱ تا ۲۱ پیشنهاد داده‌است. مسئله یافتن حالت بیشینه برای احتمال برد تاس‌ها همچنان قابل بحث است و راه حلی به جز جستجوی فراگیر تا برای آن ارائه نشده است. بنابراین مستقل از این که دو رقیب دیگر چه تاسی انتخاب می‌کنند، نفر سوم می‌تواند تاسی بردارد که هر دو را شکست دهد. بافت یک بار تلاش کرد تا در یک بازی با تاس با استفاده از تاس‌های ناگذرای افرون، از بیل گیتس ببرد. این پیشنهاد فوراً موجب کنجکاوی گیتس شد بنابراین خواست تا تاس‌ها را بررسی کند، پس از آن اصرار کرد تا بافت اول انتخاب کند. | ## جمع‌بندی | شاید اگر بافت با مجموعه‌ای دارای خاصیت وارونگی بازی را ترتیب می‌داد، می‌توانست گیتز را شکست دهد، زیرا کافی بود تک مرحله‌ای یا دو مرحله‌ای بودن بازی را پس از انتخاب تاس‌ها اعلام نماید.