موضوع مقاله: تابع هیون | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # تابع هیون | مقدمه: تابع هیون، از توابع خاص در علم ریاضیات با نماد (Hℓ(a,q;α,β،γ,δ;z، تابعی هولومورفیک و پاسخ یک معادله دیفرانسیل معمولی خطیِ مرتبه دو با ضرایب غیرثابت به نام معادله هیون است که به افتخار ریاضیدان آلمانی، کارل هیون به این اسم نامیده می‌شود. | ## بخش 1: تابع هیون | حل این معادله تحت عنوان تابع هیون، از طریق تکنیک حل معادلات دیفرانسیل با کمک سری‌های توانی، بر پایه تئوری فوکس-فروبنیوس امکانپذیر است. گونه‌هایی از معادلات هیون، تحت عنوان معادلات کانفلوئنت هیون، با داشتن یک یا چند نقطه منفرد نامنظم وجود دارند که دارای ویژگی‌های ریاضی متعددی، من‌جمله ارتباطی تنگاتنگ با برخی از معادلات دیفرانسیلِ مولدِ پاره‌ای از توابع خاص هستند. در کل، معادله هیون، حالتی عمومی از معادلات دیفرانسیلی نظیر معادلات گاوس هایپرژئومتریک، کانفلوئنت هایپرژئومتریک، لامه، اینس، بسل، لِژندر و لگِر استPeter A. که به همین علت تابع هیون روابط اثبات شده گوناگونی با بعضی از این توابع مانند توابع لامه و توابع هایپرژئومتریک پیدا کرده‌است. همچنین تابع هیون به صورت بسطی از توابعی مانند توابع هایپرژئومتریک و توابع ریمان پی قابل نمایش است. دسته‌ای خاص از پاسخهای معادله هیون مشهور به توابع هیون موجودند که در نقطه واحد دستگاه مختصات، تحلیلی هستند، همچنین دسته‌ای دیگر از پاسخهای این معادله تحت نام چندجمله‌ای‌های هیون در تمام نقاط منفرد منظم متناهی معادله هیون، دارای رفتاری تحلیلی‌اند. توابع و چندجمله ای‌های هیون، خواص متعددی دارند که می‌توان به وجود تعامد در آن‌ها اشاره کرد. معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای متعددی در علوم فیزیک و مهندسی، پس از اعمال روش جداسازی متغیرها منجر به بروز تابع هیون می‌شوند. امروزه، نرم‌افزارهای ریاضی گوناگونی قادر به محاسبه تابع عمومی هیون و چندجمله ای‌ها و توابع هیون با دقت و سرعت بالایی هستند. معادله هیون را می‌توان یک معادله دیفرانسیل معمولی خطی و از دسته معادلات فوکسین مرتبه دو با داشتن چهار نقطه تکینگی در نقاط برشمرد. لازم به ذکر است که نقاطِ منفردِ منظمِ ، به ترتیب جفت اکسپاننت هایی(پاسخهای معادله مشخصه) به شرح و و و دارند . بدین منظور، حالتی کلی از یک معادله فوکسین مرتبه دو را با 1+N نقطه تکینگی در و ، به صورت زیر در نظر بگیرید. در این حالت، جفت پاسخهای معادله مشخصه متناظر با نقاط متناهیِ برابر با و جفت پاسخ معادله مشخصه متناظر با برابر با خواهد بود. معادله هیون بر اساس توابع مثلثاتی با تغییر متغیر می‌توان به حالتی مثلثاتی از معادله هیون دست پیدا کرد. معادله هیون بر اساس توابع ژاکوبی بیضوی با جایگذاری و معادله هیون بر اساس توابع ژاکوبی بیضوی به صورت زیر قابل نمایش است. پاسخ معادله هیون پاسخ بر پایه تئوری فوکس-فروبنیوس حول نقطه 0=z پاسخ معادله هیون، با نماد بر پایه یک سری توانی بر اساس تئوری فوکس-فروبنیوس، حول نقطه با احتساب مقدار در این نقطه و اکسپاننت قابل نوشتن است. در صورتی که مقدار اکسپاننت دیگر٬٬ عدد صحیح مثبتی نباشد یا به عبارتی دیگر ، پاسخ معادله هیون بر ناحیه موجود و تحلیلی و به صورت سری توانی زیر است. ضرایب این سری توانی از رابطه‌ای بازگشتی با احتساب ٬ ٬ و به شرح زیر به دست می آیند. | ## بخش 2: تابع هیون | در صورتی که مقدار اکسپاننت دوم،٬ مقدار صحیح مثبتی باشد، یا ، پاسخ معادله هیون به صورت زیر است. پاسخ بر پایه تئوری فوکس-فروبنیوس حول سایر نقاط تکین پاسخ حول نقطه با احتساب اکسپاننت برابر با مقدار زیر است. پاسخهای مربوطه معادله هیون، حول نقطه با احتساب اکسپاننت‌های و به ترتیب به صورتهای زیر قابل محاسبه هستند. همچنین در با در نظر گرفتن اکسپاننت‌های و می‌توان به ترتیب جواب‌های معادله هیون را به مانند زیر نمایش داد. توابع هیون به ازای دسته مقادیری از ثابت کمکی q، تابع هیون یا در نقطه و در نتیجه بر بازه تحلیلی می‌شود. این مقادیر ٬ با استفاده از کسرهایی نامتناهی به صورت و با جایگذاری ٬ ٬ به دست می آیند. در حالتی عمومی تر به ازای هر می‌توان دسته‌ای از مقادیر پیدا کرد که تابع هیون، در نقاط و تحلیلی باشد. به این گروه از تابع‌های هیون که در دو نقطه از چهار نقطه تکین در معادله دیفرانسیل هیون پاسخی تحلیلی دارند، توابع هیون می‌گویند که با نماد نمایش داده می‌شوند. چندجمله‌ای‌های هیون چندجمله‌ای های هیون، چندجمله‌ای‌هایی از درجه n هستند که بر سه نقطه متناهی تکین معادله هیون ، تحلیلی اند و با نماد نشان داده می‌شوند. در چندجلمه ای‌های هیون، و با احتساب هست، به عبارتی .٬ مقدارهای ویژه ماتریس زیر با درنظرگرفتن می‌باشند. رابطه تابع هیون با سایر توابع تابع هیون، با توابع گاوس هایپرژئومتریک و توابع لامه در ارتباط است. ارتباط با توابع گاوس هایپرژئومتریک تابع هیون، روابط متعددی با توابع گاوس هایپرژئومتریک داردR. همچنین روابطی موجود هستند که در آن‌ها متغیر z در تبدیل از تابع هیون به معادلی به صورت یک تابع هایپرژئومتریک، تغییر توانی نمی‌یابد یا به صورت چندجمله‌ای ظاهر نمی‌شود، بلکه تنها تحت تغییرات جبری قرار میگیردG. می‌توان با تغییر متغیر ، معادله هیون را بر حسب متغیر نمایش داد، به‌طوری‌که ٬ ٬ ٬ ٬ . تعامد توابع و چندجمله ای‌های هیون، به ترتیب دارای نوعی تعامد یگانه و دوگانه هستندA. تعامد یگانه در توابع هیون اگر باشد، آنگاه تعامد زیر برقرار است: در رابطه بالا، نقطه‌ای دلخواه بر بازه است. مسیر انتگرالگیری از نقطه شروع شده و شامل انتگرالگیری بر ناحیه پُکهَمر حول دو نقطه 0 و 1 بوده و در نهایت به نقطه ختم می‌شود. تعامد دوگانه در چندجمله ایهای هیون چندجمله ای‌های هیون، ٬ با شرط از تعامد دوگانه زیر تبعیت می‌کنند. | ## بخش 3: تابع هیون | در رابطه بالا، و و مسیرهای انتگرالگیری بر ناحیه پُکهَمر بین هریک از دو نقطه ٬ ٬ هستند. روابط انتگرالی رابطه انتگرالی یگانه در صورتی که یکی از پاسخهای معادله هیون باشد، می‌توان ، پاسخی دیگر از معادله هیون را بر اساس رابطه‌ای انتگرالی، با انتخاب ناحیه انتگرالگیری مناسبِ ، به صورت زیر نشان داد. در این رابطه، تابع وزن رابطه انتگرالی و کِرنِل رابطه انتگرالی است که میبایست در رابطه زیر صدق کند. در رابطه بالا، اپراتور هیون بر اساس متغیر می‌باشد و مسیر باید رابطه را برقرار سازد، به‌طوری‌که . رابطه انتگرالی دوگانه اگر یکی از جواب‌های معادله هیون و جوابی دیگر از این معادله باشد، می‌توان رابطه‌ای انتگرالی به شرح زیر بین این دو پاسخ از معادله پیدا کرد. تابع وزن رابطه انتگرالی به صورت است و کرنل میباید در معادله دیفرانسیل چند متغیره صادق باشد. در نهایت با اعمال تغییر متغیرهای مذکور، کرنل رابطه انتگرالی، میبایست معادله دیفرانسیل چند متغیره زیر را ارضا کند. در رابطه بالا ٬٬ ترکیبهایی خطی از توابع بسل نوع اول و دوم و و ثابتهای جداسازی هستند، به‌طور مثال: با تغییر متغیرهایی بر اساس دستگاه مختصات کروی، می‌توان به صورتی دیگر از معادله کرنل رسید. بسط بر اساس توابع هایپرژئومتریک فرض کنید جواب معادله هیون باشد و بتوان آن را به صورت بسطی از توابع ریمان پی نشان داد. به‌طوری‌که: در سه رابطه بالا، و میباید در عبارت صدق کنند که بر این اساس، می‌توان به مقادیر گوناگونی از این دو پارامتر و در نتیجه بسطهای مختلفی بر اساس توابع هایپرژئومتریک رسید. مثلاً اگر: شرط برقرار می‌شود و می‌توان به بسطی بر اساس توابع هایپرژئومتریک دست یافت که در آن: در زیر مقادیری از و که در شرط صادق هستند قرار داده شده‌اند. و و و و و صورتهای کانفلوئنت معادله هیون صورت کانفلوئنت معادله هیون به نوعی از معادلات هیون گفته می‌شود که حداقل یکی از نقاط منفرد منظم این معادله، تبدیل به یک نقطه منفرد نامنظم گردیده باشد. کانفلوئنت مضاعف معادله هیون این معادله به شکل زیر نمایش داده می‌شود و حاوی دو نقطه منفرد نامنظم از درجه یک در است. معادله بای کانفلوئنت هیون معادله بای کانفلوئنت هیون شامل نقطه منفرد منظم در و نقطه منفرد نامنظم از درجه دو در است. معادله تری کانفلوئنت هیون معادله تری کانفلوئنت هیون تنها یک نقطه منفرد نامنظم از درجه سه در دارد. معادله کانفلوئنت هیون این معادله، دربرگیرنده معادلاتی است که منجر به توابعی چون توابع متیو، تابع موج کولمب و تابع موج در مختصات اسفرویدال می‌شود و دارای دو نقطه منفرد منظم در و و یک نقطه منفرد نامنظم در با درجه یک است. | ## جمع‌بندی | نرم‌افزارهای مرتبط با توابع هیون این تابع توسط بعضی از نرم‌افزارهای ریاضی مانند میپل قابل محاسبه است و نمایش است.