موضوع مقاله: هرم دودویی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # هرم دودویی | مقدمه: می‌توان به این داده‌ساختار به عنوان یک درخت دودویی نگاه کرد با این تفاوت که باید دو محدودیت را در نظر بگیریم. | ## بخش 1: هرم دودویی | اول اینکه‌ای درخت، درخت دودویی کامل است، در همهٔ سطح‌های این درخت این ویژگی برقرار است به جز احتمالاً سطح اخر که در سطح اخر گره‌ها از چپ به راست پر هستند (خاصیت ظاهری). اگر همه گره‌ها از فرزندانشان کوچک‌ترمساوی باشند هرم کمینه و اگر همه گره‌ها بزرگ‌ترمساوی از فرزندانشان باشند هرم بیشینه نامگذاری می‌شوند (خاصیت هرم). به این دلیل اینکه ترتیب فرزندان در هرم به‌طورمشخص نیست می‌توان جای آن‌ها را عوض کرد مگراینکه خاصیت ظاهری نقض شود. درج برای درج کردن الگوریتم به صورت زیر است: اضافه کردن عنصر جدید به سطح پایین هرم عنصر اضافه شده را با پدرش مقایسه کنید، اگر ترتیب آن‌ها درست بود الگوریتم متوقف می‌شود درغیراینصورت جای آن را با پدرش عوض می‌کنیم و سپس مرحله قبلی را تکرار می‌کنیم. تعداد عملیات مورد نیاز به تعداد سطح‌هایی که عنصر جدید برای پیدا کردن مکان مناسب برای ارضا کردن ویژگی هرم باید طی کند بستگی دارد به همین دلیل به‌طور متوسط این عملیات در زمان (O(log n انجام می‌شود. به عنوان مثال یک هرم بیشینه را در نظر بگیریم: 150px حال می‌خواهیم گره با کلید ۱۵ را درج کنیم: 150px با توجه به اینکه هنوز ویژگی هرم بیشینه رعایت نشده‌است باید جای جای ریشه با فرزند سمت راست عوض کرد. 150px حذف روش حذف کردن ریشه هرم و بازسازی هرم به منظور حفظ ویژگی آن پایین-هرم نامیده می‌شود که این روش به صورت زیر است: ریشه هرم را با آخرین عنصر آخرین سطح جابه‌جا کنید مقایسه کنید ریشه را با فرزندانش اگر ویژگی هرم برقرار بود الگوریتم متوقف می‌شود در غیراینصورت جای ان را با فرزندانش عوض کنید و مرحله قبلی را تکرار کنید. به عنوان مثال می‌خواهیم گره با کلید ۱۱ را حذف کنیم: 150px ۱۱ را حذف می‌کنیم و با ۴ جابه‌جا می‌کنیم 150px حال مرحله ۳ الگوریتم را انجام می‌دهیم 150px در بدترین حالت ریشه جدید باید تا پایین‌ترین سطح بیاید تا ویژگی هرم برقرار شود، این جمله معنی می‌دهد که عملیات حذف با ارتفاع درخت رابطه دارد که به‌طور متوسط (O(log n است. روش بهینه با قرار دادن عناصر به صروت دلخواه در یک درخت دودویی شروع می‌شود سپس از پایین‌ترین سطح شروع می‌کند و به سمت بالا حرکت می‌کند. به دلیل اینکه ارتفاع درخت است، درست کردن ویژگی هرم همهٔ زیردرخت‌ها برابر است با: که مقدار واقعی عبارت بالا برابر است با: ،. که (s2(n برابر است با جمع همهٔ رقم‌های نماینده‌های دودویی n و (e2(n توان دو در فاکتوگیری اول n است. هیچ فضایی برای اشاره‌گر نیاز نیست، درعوض گره فرزندان و پدر به وسیلهٔ حساب کردن شاخص‌های آرایه پیدا می‌شوند. جزییات به موقعیت ریشه بستگی دارد که به نوبه خود به محدودیت زبان برنامه‌نویسی مورد استفاده برای پیاده‌سازی بستگی دارد. | ## بخش 2: هرم دودویی | n را تعداد عناصر هرم در نظر بگبرید و i را هم مقدار دلخواه اندیس آرایه، اگر ریشه را در اندیس صفر قرار دهیم انگاه اندیس هر عنصر به صورت زیر می‌شود: فرزندان و پدرشان اگر ریشه در اندیس ۱ قرار بگیرد، اندیس هر عنصر به صورت زیر می‌شود: فرزندان و پدرشان این پیاده‌سازی هم‌چنین برای استفاده به عنوان صف اولویت مناسب است. عملیات هرم‌بالا/هرم‌پایین می‌تواند در شرایط یک آرایه به صورت زیر اعلام شود: فرض کنید که ویژگی هرم نگه می‌دارد برای مشخصه‌های b, b+1, ... فرض کنید اندیس j بزرگترین بچه[ a[i در هرم بیشینه (کوچکترین فرزند در درخت کمینه) باشد. تابع غربال کردن به پایین عملی می‌کنددم-بازگشتیرا تا برای همه عناصر ویژگی هرم برقرار باشد. مقدار شاخص در هر تکرار دوبرابر کار می‌کند، به‌طوری‌که تعداد مراحل حداکثر برابر است باlog2 e برای یک هرم بزرگ و استفاده کردن از حافظه مجازی ذخیره کردن در آرایه به صورت بالا ناکارآمد است.(تقریباً) هر سطر که در یک صفحه (حافظه کامپیوتر) متفاوت است، هرم‌های دودویی هستند که زیردرخت‌ها را در یک حافظه منفرد نگه می‌دارند، تعداد حافظه‌های قابل دسترسی به بالا از عامل ده را کاهش می‌دهد.Poul-Henning Kamp. بهتر است که شما به‌طور ساده دو آرایه هرم را ادغام کنید و سپس از حاصل یک هرم دودویی بسازید.Chris L. یک الگوریتم برای جداکردن یک هرم دودویی با n عنصر و تبدیل به دو هرم دودویی با n-k عنصر k عنصر، به‌ترتیب، براساس یک دیدگاه جدید هرم به عنوان مجموعه مرتب‌شده زیرهرم ارائه شد.. این دیدگاه جدید همچنین به‌طور مفهومی الگوریتم ساده برای ادغام دو هرم ارائه می‌دهد. وقتی که ادغام یک کار رایج است، پیاده‌سازی یک هرم متفاوت توصیه می‌شود، مانند هرم دوجمله‌ای که در (O(log n ادغام می‌شود. به علاوه یک هرم دودویی می‌تواند با یک داده‌ساختار درخت دودویی مرسوم پیاده‌سازی شود، اما یک نکته برای پیدا کردن عنصر مجاور آخرین سطح روی هرم دودویی وجود دارد. این عنصر می‌تواند به صورت الگوریتمی پیدا شود یا با اضافه کردن اصلاعات اضافی به گره‌هاکه نخ نامیده می‌شود مانند اضافه کردن یک فیلد بعدی به هر گره پیدا شود. می‌توان با اصلاح ساختار هرم هر دو عنصر کوچکترین و بزرگترین در (O(log n پیدا کرد. این الگوریتم‌ها تقریباً متاوب هستند، اما در هر مرحله باید ردیف‌های متاوب را با مقایسه‌های متناوب در نظر بگیریم. | ## بخش 3: هرم دودویی | اشتقاق معادلات شاخص در یک آرایه هرم، پدر و فرزندان می‌توانند با یک حساب ساده روی مشخصه (اندیس) آرایه پیدا شوند. در این بخش به بررسی معدلات مشتق شده هرم وقتی که اندیس ریشه در آرایه صفر است و یادداشت‌هایی وقتی اندیس ریشه در آرایه یک است را می‌پردازیم. برای جلوگیری از ابهام، سطح را فاصله از ریشه معنی می‌کنیم، به‌طوری‌که خود ریشه در سطح صفر هست. گره‌های فرزندان به‌طور عمومی گره که در اندیس i هست، فرزند سمت راست ان در اندیس2i+۲ هست. گره i را در سطح L در نظر بگیرید، و توجه کنید که هر سطح l دقیقاً گره شمامل می‌شود. این مشاهدات را برای نتیجه در کنار هم قرار می‌دهیم تا عبارت زیر برای اندیس اخرین عنصر در لایه l بدست بیاید j را گره‌های بعد از گره i در نظر بگیرید، به‌طوری که: هر کدام از گره‌های j باید دقیقاً دو فرزند داشته باشند، بنابراین باید وجود داشته باشد گره برای جداسازی 's فرزند راست از انتهای خودش لایه به عنوان مورد نیاز. توجه کنید که فرزند سمت چپ یک گره یک مکان قبل تر از فرزند سمت راست است بنابراین: . اگر ریشه به جای اندیس صفر در اندیس یک باشد، اندیس آخرین گره در هر سطح برابر است با . گره پدر هر گره یا فرزند سمت چپ یا فرزند سمت راست پدر خودش هست، بنابراین: در نتیجه: حال عبارت را در نظر بگیرید. اگر گره i فرزند سمت چپ باشد، به‌طور بدیهی این نتیجه بدست می‌اید، اگرچه، اگر گره i فرزند راست باشد این نتیجه درست است. بنابراین، با صرف‌نظر از اینکه گره i فرزند سمت راست یا چپ است، پدر این گره با عبارت زیر حساب می‌شود: مین-هیپ مین-هیپ دارای ویژگی مین-هیپ است. | ## جمع‌بندی | در واقع برای هر گره به جز ریشه، رابطهٔ زیر صدق می‌کند: کوچک‌ترین عضو هرم در ریشه قرار دارد.