موضوع مقاله: آنسامبل آماری | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # آنسامبل آماری | مقدمه: در فیزیک، هنگرد آماری یا آنسامبل آماری به مجموعهٔ فرضی‌ای گفته می‌شود که شامل تعداد زیادی (گاهی تعداد نامتنهاهی‌ای) از یک سامانهٔ فیزیکی است. | ## بخش 1: آنسامبل آماری | این سامانه‌ها کپی‌هایی از یکدیگر هستند ولی هر کدام در یکی از وضعیت‌های ممکن (برای سامانه) قرار دارند. آنسامبل ترمودینامیکی نوع ویژه‌ای از هنگرد آماری است که در حالت تعادل قرار دارد و برای محاسبهٔ ویژگی‌های یک سیستم ترمودینامیکی به‌کار می‌رود. هنگردهای ترمودینامیکی هنگرد ریزبندادی در این هنگرد (آنسامبل)، انرژی کل سیستم و تعداد کل ذرات سیستم ثابت است. (سیستم نمی‌تواند انرژی یا ذره تبادل کند) هنگرد بندادی در این هنگرد (آنسامبل)، انرژی دقیقاً مشخص نیست ولی تعداد ذرات ثابت است. آنسامبل کانونیک برای توصیف سیستم بسته‌ای که در تبادل گرمایی ضعیف با حمام گرمایی است به کار می‌آید. این سیستم اگر در تبادل گرمایی ضعیف با سیستم‌های دیگر با دمای مشابه باشد در تعادل می‌ماند. هنگرد بزرگ‌بندادی در این آنسامبل نه انرژی ثابت است و نه تعداد ذرات ثابت، به جای اینها دما و پتانسیل شیمیایی ثابت هستند. در حالی که لازم است فرض کنیم که حمام حرارتی بسیار بزرگ است (یعنی یک حد ماکروسکوپی را در نظر بگیرید)، سیستم ممکن است کوچک یا بزرگ باشد. شرایط ایزوله مکانیکی سیستم برای اطمینان از مبادله انرژی با هیچ جسم خارجی به جز حمام حرارتی ضروری است. به‌طور کلی، مطلوب است که مجموعه متعارف را برای سیستم‌هایی که در تماس مستقیم با حمام حرارتی هستنداعمال کنیم، زیرا این تماس است که تعادل را تضمین می‌کند. در موقعیت‌های عملی، استفاده از مجموعه متعارف معمولاً ۱) با فرض اینکه تماس از نظر مکانیکی ضعیف است، یا ۲) با ادغام بخشی مناسب از اتصال حمام حرارتی در سیستم تحت تجزیه و تحلیل توجیه می‌شود، به طوری که تأثیر مکانیکی اتصال. هنگامی که انرژی کل ثابت است اما وضعیت داخلی سیستم ناشناخته است، توصیف مناسب مجموعه متعارف نیست، بلکه مجموعه میکروکانونیکال است. برای سیستم‌هایی که تعداد ذرات متغیر است (به دلیل تماس با مخزن ذرات)، توصیف صحیح مجموعه بزرگ متعارف است. | ## بخش 2: آنسامبل آماری | در کتاب‌های درسی فیزیک آماری برای سیستم‌های ذره‌ای در حال تعامل، این سه مجموعه از نظر ترمودینامیکی معادل فرض می‌شوند: نوسانات مقادیر ماکروسکوپی حول مقدار متوسط آن‌ها کوچک می‌شود و با گرایش تعداد ذرات به بی‌نهایت، تمایل به ناپدید شدن دارند. در حد اخیر که حد ترمودینامیکی نامیده می‌شود، محدودیت‌های متوسط به‌طور مؤثر به محدودیت‌های سخت تبدیل می‌شوند. فرض هم‌ارزی مجموعه به گیبس برمی گردد و برای برخی از مدل‌های سیستم‌های فیزیکی با فعل و انفعالات کوتاه برد و در معرض تعداد کمی از محدودیت‌های ماکروسکوپی تأیید شده‌است. با وجود این واقعیت که بسیاری از کتاب‌های درسی هنوز این پیام را دارند که هم‌ارزی مجموعه برای همه سیستم‌های فیزیکی وجود دارد، در دهه‌های گذشته نمونه‌های مختلفی از سیستم‌های فیزیکی پیدا شده‌اند که برای آنها شکسته شدن هم‌ارزی مجموعه رخ می‌دهد. مجموعه‌های نمونه توزیع بولتزمن سیستم‌های قابل تفکیک اگر یک سیستم توصیف شده توسط یک گروه متعارف را بتوان به بخش‌های مستقل جدا کرد (این اتفاق در صورتی رخ می‌دهد که قسمت‌های مختلف برهمکنش نداشته باشند)، و هر یک از آن بخش‌ها دارای یک ترکیب (ماده) ثابت باشد، آن‌گاه هر بخش می‌تواند به عنوان یک سیستم برای خود دیده شود و توسط یک مجموعه متعارف که دارای همان دمای کل است توصیف شود. علاوه بر این، اگر سیستم از چندین بخش مشابه تشکیل شده باشد، هر قسمت دقیقاً توزیع مشابهی با قسمت‌های دیگر دارد. به این ترتیب، مجموعه متعارف دقیقاً توزیع بولتزمن (همچنین به عنوان آمار ماکسول-بولتزمن شناخته می‌شود) برای سیستم‌هایی با هر تعداد ذره ارائه می‌کند. در مقایسه، توجیه توزیع بولتزمن از مجموعه میکروکانونیکال فقط برای سیستم‌هایی با تعداد قطعات زیاد (یعنی در حد ترمودینامیکی) اعمال می‌شود. خود توزیع بولتزمن یکی از مهم‌ترین ابزارها در به‌کارگیری مکانیک آماری در سیستم‌های واقعی است، زیرا مطالعه سیستم‌هایی را که می‌توانند به بخش‌های مستقل جدا شوند (به عنوان مثال، ذرات در گاز، حالت‌های الکترومغناطیسی در یک حفره، پیوندهای مولکولی) به‌طور گسترده ساده می‌کند. در این سیستم‌ها لازم است به استفاده از بیان کامل مجموعه متعارف به منظور توصیف ترمودینامیک سیستم در هنگام ترموستات شدن آن به حمام حرارتی متوسل شود. مجموعه متعارف به‌طور کلی ساده‌ترین چارچوب برای مطالعات مکانیک آماری است و حتی به فرد اجازه می‌دهد تا راه حل‌های دقیقی را در برخی از سیستم‌های مدل در حال تعامل به دست آورد. یک مثال کلاسیک از این مدل، مدل Ising است که یک مدل اسباب‌بازی است که به‌طور گسترده برای پدیده‌های فرومغناطیس و تشکیل تک‌لایه خودآرایی شده بحث شده‌است و یکی از ساده‌ترین مدل‌هایی است که انتقال فاز را نشان می‌دهد. لارس اونساگر دقیقاً انرژی آزاد یک مدل آیزینگ شبکه مربعی با اندازه بی‌نهایت را در میدان مغناطیسی صفر، در مجموعه متعارف محاسبه کرد. | ## بخش 3: آنسامبل آماری | توصیفات دقیقی برای آنسامبل آماری به این دلیل که مفهوم زیرحالت یا microstate در مکانیک کوانتومی یا کلاسیک دارای دو تعریف متفاوت است بیان دلیل ریاضیاتی برای یک مجموعه آماری برای هر یک نوع خاصی دارد. در مکانیک کوانتوم آنسامبل آماری توصیف ساده ای را ارائه می‌دهد زیرا مورب سازی مجموعه ای مجزا از ریز حالت‌ها با انرژی‌های خاص را فراهم می‌سازد. همین ادعا در مکانیک کلاسیک پیچده تر به نظر می‌رسد زیرا به جای آن یک فضای فاز متعارف یکپارچه را شامل می‌شود و اندازه ریز حالت‌ها را می‌توان تا حدودی با اختیار تعیین کرد. مکانیک کوانتومی یک مجموعه آماری در مکانیک کوانتومی با یک ماتریس چگالی نشان داده می‌شود که در این فرمول عملگر انرژی کل سیستم عملگر نمایی ماتریس است. انرژی آزاد با شرط نرمال شدن احتمال که ماتریس چگالی اثری از یک داشته باشد تعیین می‌شود. اگر حالت‌های ویژه و مقادیر ویژه انرژی سیستم مشخص باشد مجموعه متعارف را می‌توان به شکلی ساده با استفاده از نماد براکتی (براکت نوتیشن) نوشت. با توجه به یک پایه کامل از حالت‌های ویژه انرژی نمایه شده توسط i مجموعه متعارف عبارتست از: که در آن مقادیر ویژه انرژی هستند که با تعیین می‌شوند به عبارت دیگر مجموعه ای از ریز حالت‌ها در مکانیک کوانتومی توسط مجموعه ای کامل از حالت‌های ساکن به دست می‌آید. در این مبنا ماتریس چگالی مورب است و ورودی‌های مورب هر کدام مستقیماً یک احتمال می‌دهند. مکانیک کلاسیک در مکانیک کلاسیک یک مجموعه آماری با یک تابع چگالی احتمال مشترک در فضای فاز سیستم نشان داده می‌شوند که در آن و مختصات درجات آزادی داخل سیستم هستند. به نحوی که به وضعیت فیزیکی هم بستگی دارد برای گاز سه بعدی تک اتمی n=3N در نظر گرفته می‌شود و همچنین درجات آزادی چرخشی و ارتعاشی در گازهای دو اتمی وجود خواهند داشت. برای تاکید بیش تر مقدار با توجه به اینکه یک تابع چگالی احتمال نرمال شده‌است تعیین می‌شود: این انتگرال روی کل فضای فازی گرفته می‌شود. به عبارت دیگر یک ریز حالت در مکانیک کلاسیک یک منطقه فضای فاز است و این ناحیه دارای حجمی است. | ## جمع‌بندی | و این بدان معنی است که هر ریز حالت طیفی از انرژی را در بر می‌گیرد اما این محدوده را می‌توان با انتخاب یک بسیار کوچک به‌طور دلخواه باریک کرد.