موضوع مقاله: مقیاس لگاریتمی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # مقیاس لگاریتمی | مقدمه: ویژگی‌های مقیاس لگاریتمی اعداد ورودی لگاریتم محدوده گسترده دارد اعداد ورودی در محدوده گسترده‌ای هستند، و خروجی این مقیاس، نمایشی فشرده از اعداد شده‌است. | ## بخش 1: مقیاس لگاریتمی | در اینجا محدوده گسترده یعنی بزرگترین عدد در داده، صدها یا هزارها بار بزرگتر از کوچکترین عدد داده است. غیرخطی است این مقیاس غیرخطی است، یعنی اعداد ۱۰ و ۲۰ و ۶۰ و ۷۰ در یک مقیاس لاگ به یک اندازه از هم جدا نیستند. بلکه اعداد ۱۰، ۱۰۰، و ۶۰ و ۶۰۰ به یک اندازه از هم جدا هستند؛ بنابراین تغییر یک واحد فاصله در این مقیاس به معنی آن است که آن عدد در ۱۰ (یا یک فاکتور ثابت دیگر) ضرب شده‌است. مورد استفاده معمولاً منحنی‌های رشد نمایی در یک مقیاس لاگ نمایش می‌یابند، زیرا اگر استفاده نشوند، به دلیل افزایش بسیار سریع‌شان، در یک گراف کوچک جا نمی‌شوند. نحوه تصور یکی از راه‌های دیگر برای تصور کردن آن است که تعداد ارقام داده با یک نرخ ثابت افزایش می‌یابد. برای مثال، اعداد ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰ و ۱۰۰۰۰ دارای فاصله برابری در یک مقیاس لاگ هستند، زیرا تعداد ارقام شان هر بار به اندازه یک واحد بالا می‌رود: ۲، ۳، ۴ و ۵ رقم. از این رو، افزودن دو رقم، کمیت اندازه‌گیری شده روی مقیاس لاگ را در یک فاکتور ۱۰۰ ضرب می‌کند. استفاده‌های معمول علامت‌های یک خط‌کش محاسبه در یک مقیاس لگاریتمی سازمان یافته‌اند، در اینجا ضرب یا تقسیم اعداد از طریق اضافه کردن یا کم کردن طول‌های موجود در مقیاس‌ها انجام می‌شود. مخصوصاً در حس شنوایی، که در آن نسبت‌های برابر فرکانس، به صورت تفاوت‌های برابر در گام درک می‌شوند. | ## بخش 2: مقیاس لگاریتمی | بعلاوه مطالعات روی کودکان کم سن در قبیله‌های منزوی نشان داده‌است که مقیاس‌های لگاریتمی، طبیعی‌ترین نمایش اعداد در بعضی از فرهنگ‌ها می‌باشد. از این مقیاس می‌توان برای اهداف جغرافیایی استفاده کرد، مثلاً برای اندازه‌گیری سرعت زمین لرزه. گراف بالا سمت چپ، محورهای خطی X و Y دارد، که در آن محور Y بین ۰ تا ۱۰ تغییر می‌کند. در گراف سمت چپ و پایین، یک مقیاس لاگ پایه-۱۰ برای محور Y استفاده شده‌است، و محور Y بین ۰٫۱ و ۱٬۰۰۰ تغییر می‌کند. گراف بالا سمت راست از یک مقیاس لاگ-۱۰ فقط برای محور X استفاده کرده‌است، و گراف پایین سمت راست از یک مقیاس لاگ-۱۰ هم برای محور X و هم برای محور Y استفاده کرده‌است. نمایش داده در یک مقیاس لگاریتمی موقعی مفید است که داده: محدوده مقادیر گسترده‌ای را پوشش می‌دهد، زیرا استفاده از لگاریتم مقادیر به جای مقادیر واقعی، یک محدوده گسترده را به یک سایز قابل مدیریت تر کاهش می‌دهد. شامل قوانین نمایی یا توانی باشد، زیرا این موارد به صورت خطوط مستقیم نمایش می‌یابند. یک خط‌کش محاسبه مقیاس لگاریتمی دارد، و دستورنگار از مقیاس‌های لگاریتمی استفاده می‌کنند. نمودارهای نیم-لگاریتمی اگر فقط محور عمودی یا افقی به صورت لگاریتمی مقیاس دهی شده باشد، آن موقع به این نمودار یک نمودار نیمه-لگاریتمی گفته می‌شود. | ## بخش 3: مقیاس لگاریتمی | واحدهای لگاریتمی یک واحد لگاریتمی، نوعی واحد است که از آن می‌توان برای بیان یک کمیت (فیزیکی یا ریاضیاتی) در یک مقیاس لگاریتمی، استفاده کرد، یعنی با مقدار تابع لگاریتمی که به نسبت آن کمیت، و کمیت مرجع با نوع مشابه، اعمال شده‌است، متناسب است. مثال‌ها مثال‌های واحد لگاریتمی شامل واحدهای ذخیره داده (بیت، بایت) واحدهای اطلاعات و ذخیره اطلاعات (نت، شنون، بن) و مرحله سیگنال (دسی‌بل، بل، نپر) می‌باشد. کمیت‌های فرکانس لگاریتمی در الکترونیک (دهه، اکتاو) استفاده می‌شود، همچنین برای بازه‌های گام موسیقی (اکتاو، سمی‌تون، سنت، و غیره) استفاده می‌شوند. بعلاوه، اندازه‌های صنعتی زیادی لگاریتمی هستند، مثل مقادیر استاندارد مقاومت‌ها، سنجه سیم آمریکایی، و سنجه بیرمنگام، که برای خط و عقربه استفاده می‌شود، و غیره. انگیزه انگیزه‌ای که پشت مفهوم واحدهای لگاریتمی است آن است که تعریف یک کمیت روی یک مقیاس لگاریتمی، به صورت لگاریتم به یک پایه خاص، منجر به ساخت یک گزینه (کاملا اختیاری) از واحد اندازه‌گیری برای آن کمیت می‌شود، یعنی آن واحد اندازه‌گیری که با پایه لگاریتم خاص (و به صورت مساوی اختیاری) انتخاب شده، متناظر است. بر اساس تساوی لگاریتم هر عدد داده شده a به دوپایه مختلف (در اینجا b و c) فقط به اندازه یک فاکتور ثابت logc b متفاوت هستند. می‌توان این فاکتور ثابت را اینگونه تصور کرد که نمایش دهنده فاکتور تبدیل، برای تبدیل نمایش عددی کمیت لگاریتمی (نامعین) خالص Log(a) از یک واحد اختیاری اندازه‌گیری (واحد [log c به دیگری (واحد [log b است، زیرا: برای مثال، تعریف استاندارد بولتسمان برای آنتروپی فرمول S = k ln W است (که در آن W تعداد راه‌های مرتب‌سازی یک سامانه، و k ثابت بولتسمان است و به صورت ساده‌تر می‌تواند به این صورت نوشته شود: S = Log(W) که در آن "Log" نشان دهنده لگاریتم نامعین است؛ و ما اینجا k = [log e] را فرض کرده‌ایم که به این معنی است که ما واحد آنتروپی فیزیکی k را با واحد ریاضیاتی [log e] شناسایی کرده‌ایم. | ## جمع‌بندی | این موضوع به این علت صحیح است، که این تساوی برقرار است: بنابراین، ما می‌توانیم ثابت بولتسمن را به صورت ساده به صورت یک عبارت تفسیر کنیم که این عبارت، (در زبان استانداردتر واحدهای فیزیکی) از نوع واحد لگاریتمی انتزاعی [log e] می‌باشد، که برای تبدیل کمیت عددی-خالص بدون بعد ln W (که از یک گزینه اختیاری پایه، با نام e استفاده می‌کند) به یک کمیت لگاریتمی-خالص مبنایی تر Log(W) لازم می‌باشد، که آن عبارت به گزینه «پایه لگاریتم» خاصی دلالت ندارد، که این یعنی به هیچ گزینه خاص «واحد فیزیکی» برای اندازه‌گیری آنتروپی نیاز ندارد.