موضوع مقاله: منحنی موازی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # منحنی موازی | مقدمه: همچنین می‌توان آن را به این صورت نیز تعریف نمود: منحنی که نقاطش در فاصله نرمال ثابتی از یک خم دلخواه قرار داشته باشند. | ## بخش 1: منحنی موازی | این دو تعریف کاملاً با هم معادل نیستند، چرا که تعریف اخیر هموار بودن را فرض کرده درحالی که تعریف اولی چنین فرضی را به کار نمی‌برد. منحنی آفست بر هر نقطه بر هر منحنی پیوستهٔ می‌توان یک خط مماس یکتای و یک خط نرمال یکتای رسم کرد. این خط نرمال بر منحنی عمود است و از آن برای اندازه‌گیری فاصله‌ها از منحنی استفاده می‌شود. آفست منحنی پیوسته c با فاصلهٔ به شکل ذیل تعریف می‌شود: بر روی هر خط نرمال، دو نقطه‌ای که از منحنی فاصلهٔ را داشته باشند مشخص می‌کنیم. به‌سادگی می‌توان نشان داد که خط نرمال منحنی آفست و منحنی اولیه یکی است، بنابراین خطوط مماس و با هم موازی‌اند. برای منحنی‌های محدب بسته، این آفست‌ها به دو دسته تقسیم می‌شوند که یک دسته داخل منحنی و یک دسته بیرون منحنی قرار دارند. برای منحنی‌های باز، دستکم دو روش برای تعریف منحنی آفست وجود دارد: یا آفست‌ها به شکل دو دستهٔ گسسته تولید می‌شوند یا می‌توان آنان را به هم پیوند داد به شکلی که انتهای هر کدام یک نیم‌دایره باشد. محاسبه منحنی‌های آفست اگر معادله پارامتری یک منحنی مسطح باشد، معادلهٔ پارامتری منحنی آفست آن عبارت است از که در آن فاصلهٔ آفست و بردار واحد منحنی نرمال است. برای به دست آوردن منحنی را ۹۰ درجه می‌چرخانیم و آن را بر طول خود تقسیم می‌کنیم: منحنی‌های آفست دایره و بیضی منحنی‌های آفست دایره به شعاع و مرکز در فاصلهٔ دایره‌هایی خواهد بود به مرکز و شعاع‌های و . برای بیضی منحنی آفست هنگامی که فاصلهٔ d به‌اندازهٔ کافی کوچک باشد بیضی خواهد بود، ولی پس از حدی منحنی آفست با خود تقاطع خواهد داشت و دیگر بیضی نیست. سطح آفست مشابه منحنی‌های آفست، تعریف سطح آفست با اندازه‌گیری فاصله از سطح در راستای خط‌های نرمال انجام می‌شود. برای هر سطح پیوستهٔ ، آفست در فاصلهٔ به شکل ذیل تعریف می‌شود: روی هر خط نرمال سطح، دو نقطه که از سطح در فاصلهٔ هستند را مشخص می‌کنیم و مجموعهٔ همهٔ این نقاط را می‌نامیم. صفحات مماس بر نقاط متناظر سطوح و موازی هستند و ازین رو سطح آفست سطح موازی نیز نامیده می‌شود. | ## بخش 2: منحنی موازی | محاسبه سطح آفست اگر معادله پارامتری یک سطح مسطح باشد، معادلهٔ پارامتری سطح آفست آن عبارت است از که در آن فاصلهٔ آفست و بردار واحد خط نرمال است. به‌طور کلی آفست سطح دورانی خود سطحی دورانی با محوری مشترک با سطح اصلی است؛ بنابراین برای بدست آوردن سطح آفست می‌توان ابتدا منحنی مولد سطح اصلی را آفست کرد و سپس با چرخاندن منحنی آفست منحنی مولد (که منحنی مولد سطح آفست است) سطح آفست را بدست آورد. آفست سطوح استوانه‌ای سطح استوانه‌ای با اکستروژن منحنی پیوسته و مسطح (روی صفحهٔ ) تولید می‌شود. قابل توجه است که هر مقطع عرضی سطح که موازی با صفحهٔ باشد یک کپی مشابه منحنی است و همهٔ خطوط نرمال سطح با صفحهٔ موازی‌اند. برای به‌دست آوردن سطح آفست ، ابتدا منحنی در فاصلهٔ را با آفست کردن بدست می‌آوریم و سپس آن را اکسترود می‌کنیم. آفست سطوح مخروطی سطح مخروطی C از اتصال منحنی c به نقطهٔ رأس v با استفاده از مجموعه‌ای از پاره‌خط‌های مستقیم (موسوم به مولدها) تولید می‌شود. از آنجا که C در نقطهٔ رأس v پیوسته نیست، سطح C در آن نقطهٔ خط نرمال یکتا ندارد (یا بینهایت خط نرمال دارد). خط نرمال مولدهای سطح مخروطی خود مجموعه‌ای از پاره‌خط‌های مستقیم است که بر کره S را در راستای منحنی v_d مماس‌اند. به عبارت دیگر، این مولدها در یک نقطه به‌هم نمی‌رسند و ازین رو آفست سطوح مخروطی دیگر یک سطح مخروطی نیست. آفست سهمی‌گون‌های هذلولی سهمی‌گون هذلولی نوعی سطح خط‌دار است که دو نوع خط مولد را بر روی خود دارد. در نقاط مختلف روی این خط مولدها، جهت خط مماس بر سطح و در نتیجه جهت منحنی نرمال متغیر است، بنابراین آفست خطوط مولد سهمی‌گون هذلولی دیگر خط مستقیم نیستند و در نتیجه آفست سهمی‌گون هذلولی، سهمی‌گون هذلولی نیست. آفست سطوح چندوجهی سطح چندوجهی یک سطح گسسته است که از تعدادی وجه، ضلع، و رأس تشکیل شده‌است. هر وجه این سطوح یک خط نرمال یکتا دارد و ازین رو آفست آن مشخص است؛ ولی این امر برای اضلاع و رئوس صدق نمی‌کند. | ## بخش 3: منحنی موازی | هر نقطه روی ضلع چندوجهی تعداد بیشماری خط نرمال دارد و ازین رو آفست آن بخشی از یک استوانه است. همچنین هر رأس چهار وجهی هم تعداد بیشماری خط نرمال دارد و ازین رو آفست آن بخشی از یک کره است. تریم به‌سبب برخی نیازهای کاربردی، گاه تنها به بخشی از منحنی آفست نیاز است و لازم است بخش‌های اضافی را حذف کرد. در تریم محلی بخش‌هایی از آفست که به‌خاطر تقاطع منحنی آفست با گسترنده اصلی هم‌پوشان شده‌اند حذف می‌شوند. برای حذف همپوشی‌هایی که حاصل تقاطع آفست بخش‌های مختلف منحنی اصلی‌اند از تریم سراسری استفاده می‌شود. تریم سه‌بعدی تریم سطوح آفست عملکردی است دشوار، چرا که این سطوح می‌توانند پیچیدگی بسیاری داشته باشند. ممکن است سیستم‌های CAD در محاسبهٔ تریم آفست سطوح ناموفق باشند که این به معنای پیچیده بودن آفست‌ها برای متدهای به‌کار رفته در سیستم است. آفست برخی از سطوح سطحی خاص است (مثلاً آفست سطوح استوانه‌ای خود سطوحی استوانه‌ای هستند). آفست گسسته آفست گسستهٔ چندضلعی‌های هم‌سطح در هنگام آفست کردن، برخی نرم‌افزارهای CAD به‌جای جایگزینی نقطهٔ P با قوسی دایره‌ای، آنرا به گوشه‌ای تیز تبدیل می‌کند و بدین شکل آفست P_d چندضلعی p خودش هم یک چندضلعی خواهد بود. در این‌صورت، باید توجه داشت که فاصلهٔ برخی از نقاط روی P_d از چندضلعی P از مقدار d بیشتر است. برای رسم آفست گسسته چندضلعی P، به موازای هر ضلع آن و با فاصلهٔ‌ d خطوطی رسم می‌کنیم و آن‌‌ها را از محلی که همدیگر را قطع می‌کنند می‌بریم. آفست گسستهٔ سطوح چندوجهی آفست گسستهٔ چندوجهی P خود یک چندوجهی است که آنرا با نماد P_d نشان می‌دهیم. فاصلهٔ برخی نقاط روی وجوه این چندوجهی از چندوجهی P از فاصلهٔ آفست d بیشتر است، ولی بااین وجود گاه چندوجهی بودن آفست یک چندوجهی از دقت آفست اهمیت بیشتری دارد. | ## جمع‌بندی | برای رسم P_b، آفست هر یک از وجوه را در فاصلهٔ d رسم می‌کنیم و آن‌ها را آنقدر ادامه می‌دهیم که همدیگر را قطع کنند، و سپس از محل تقاطع چندضلعی‌ها را می‌بریم.