موضوع مقاله: رویه خط‌دار | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # رویه خط‌دار | مقدمه: رویه جانبی استوانه، هذلولی‌گون رویه مخروطی با هادی بیضوی، و پیچوار نمونه‌های رویه خط‌دارند. | ## بخش 1: رویه خط‌دار | بنابر این تعریف، این رویه‌ها شامل خانوادهای پیوسته از خط‌های مستقیم هستند که به مولدها موسومند. از نظر هندسی رویه‌های خط‌دار تا بینهایت ادامه دارند، چرا خط‌های مستقیم تا بی‌نهایت ادامه دارند. برای سهولت بحث در این مدخل تنها به جای همهٔ خط مستقیم تنها بخشی از آن (یک پاره‌خط) به‌عنوان خط مولد استفاده شده‌است که بخشی منتهی و کراندار از رویه خط‌دار را تولید می‌کند. تولید صفحهٔ خط‌دار با حرکت دادن یک خط مستقیم در راستای منحنی هادی منحنی منحنی هادی است و مطلوب است که یک نقطه روی خط مستقیم (یا پاره‌خط) را در راستای این منحنی حرکت دهیم. یک نقطه به‌تنهایی نمی‌تواند موقعیت یک خط مستقیم را تعیین کند و برای این امر نیاز به جهت آن هم داریم که هنگام حرکت در راستای به‌صورت پیوسته تغییر می‌کند. گیریم نمایش پارامتریک منحنی هادی باشد و معرف بردار تغییر جهت خط مستقیمی که در حرکت است. برای محاسبهٔ موقعیت نقطهٔ دلبخواهی رو رویه خط‌دار تولید شده، بردارد و را با هم جمع می‌کنیم. بنابراین معادلهٔ پارامتریک رویه خط‌دار عبارت است از: اگر جهت ثابت باشد، نتیجه استوانه است که حالت خاص رویه خط‌دار محسوب می‌شود. مخروط‌گون اگر خط مستقیم خط هادی و مولدی باشد که با زاویهٔ قائم بسازد و تنها بتوان به دور محور خط هادی را چرخاند، رویه حاصل حالت خاصی از مخروط‌گون خواهد بود. با استفاده از محور -ها به عنوان خط هادی ، معادلهٔ پارامتریک این خط را می‌توان دانست. بنابر این، معادلهٔ پارامتریک رویه خط‌دار تولیدشده عبارت است از: توابع و تغییر در جهت مولد و شکل نهایی مخروط‌گون را کنترل می‌کنند. نوار موبیوس گیریم دایره منحنی هادی باشد و پاره‌خط به‌گونه‌ای حرکت داده‌شود که یکی از نقاط روی آن در راستای حرکت کنند و همزمان به‌شکل پیوسته به دور بچرخد به‌شکلی که همواره بر آن عمود باشد. | ## بخش 2: رویه خط‌دار | برای به‌دست آوردن معادلهٔ پارامتریک نوار موبیوس، ابتدا دایرهٔ هادی را به‌شکل تعریف می‌شود. بنابراین با استفاده از مقدار ، یک معادلهٔ پارامتری برای نوار موبیوس عبارت خواهد بود از: می‌توان در این معادله عبارت را با تابع جایگزین کرد. رویه خط‌دار با وصل‌کردن نقاط متناظر دو منحنی با وصل کردن نقاط متناظر روی دو منحنی فضایی و یک رویه خط‌دار تولید می‌شود. بستهٔ به نمایش پارامتری دو منحنی، با همان دو منحنی و می‌توان تعداد بیشماری رویه خط‌دار تولید کرد. به دلیل آزادی تقریباً کامل در انتخاب منحنی‌های هادی و نمایش پارامتری آن‌ها، این روش گستردگی بسیاری در ایجاد اشکال مختلف دارد. سهمی‌گون هذلولی سهمی‌گون‌های هذلولی خواص استاتیکی مثبتی دارند که در ساخت پوسته‌هایی با دهانهٔ بزرگ و ضخامت کم به‌کار می‌آید و ازین رو عناصری رایج در طراحی معماری هستند. برای تولید سهمی‌گون هذلولی، دو پاره‌خط مورب و و نمایش پارامتری برای نشان دادن نقاط متناظر و روی آن دو پاره‌خط در نظر گرفته می‌شود. به‌صورت دستی، این کار را به‌راحتی و با تقسیم کردن و به نسبت‌های یکسان می‌توان انجام داد، یعنی . برای یافتن نمایشی پارامتری از رویه سهمی‌گون هذلولی، بردارهای موقعیت نقاط و محاسبه می‌شود و و به دست می‌آید. سپس نقطهٔ فرضی روی خط رویه‌ای که نقاط و را به هم وصل می‌کند محاسبه می‌شود: در نهایت این نمایش را می‌توان به شکل زیر گسترش داد: اگر مقدار پارامتری‌های و بین صفر و یک باشد، نقطهٔ روی رویه سهمی‌گون هذلولی به‌دست آمده در محدودهٔ متوازی‌الأضلاع محصور خواهد بود. اگر مقداری بیشتر از یک یا کمتر از صفر به این پارامترها داده شود نقطه‌ای بیرون از این محدوده روی رویه بدست خواهد آمد. می‌توان آن را به شکل زیر بازنویسی کرد: اگر و مکان بردارهای نقاط و باشند، می‌توان خانواده‌ای دیگر از خطوط مستقیم رویه‌ای بدست آورد که با تقسیم پاره‌خط‌های و به نسبت‌های یکسان تولید می‌شود. | ## بخش 3: رویه خط‌دار | همهٔ خط‌های رویه‌ای یک سهمی‌گون هذلولی که متعلق به یک خانواده باشند با یک «صفحهٔ هادی» موازی‌اند. به‌عبارت دقیق‌تر، هر صفحهٔ که موازی دو خط رویه‌ای مجازی از یک خانواده باشد به مجموعه‌ای از صفحه‌های موازی تعلق دارد. هر سهمی‌گون هذلولی دو خانواده از این صفحه‌های هادی دارد که هر خانواده متناظر یک خانواده از خطوط رویه‌ای آنند. سهمی‌گون هذلولی تنها یک صفحهٔ مماس دارد که به هر دو خانواده صفحه‌های هادی عمود باشد. نقطه‌ای که در آن این صفحه بر رویه سهمی‌گون هذلولی مماس است «رأس» آن نامیده می‌شود. برای این کار به دو منحنی (سهمی) نیاز است که می‌توان آن‌ها را با تقاطع رویه با دو صفحه هادی متناظر بدست آورد. خطوط رویه‌ای قوزکی صفحهٔ مماس بر هر نقطهٔ از یک رویه خط‌دار در خود خط رویه‌ای را (که از نقطهٔ می‌گذرد) خواهد داشت. رویه‌های خط‌داری که تنها حامل خطوط مولد قوزکی باشند نام دارند و سطوحی که اکثر خطوط رویه‌ای آن غیرقوزکی باشند به رویه‌های خط‌دار اریب موسومند. استوانه‌ها، مخروط‌ها، و رویه‌های خط‌داری که شامل مماس‌های منحنی‌های فضایی باشند از رویه‌های گسترش‌پذیرند. رویه‌های خط‌دار مضاعف سهمی‌گون‌های هذلولی و هذلولی‌گون‌های یک‌پارچه هر کدام دو خانواده از خط‌های رویه‌ای مستقیم را در خود دارند. هر کدام از این خانواده‌های خطوط رویه‌ای مشترکاً کجند ولی همهٔ خط‌های رویه‌ای خانوادهٔ دیگر را قطع می‌کنند. | ## جمع‌بندی | می‌توان ثابت کرد سهمی‌گون‌های هذلولی و هذلولی‌گون‌های یک‌پارچه تنها رویه‌های خط‌دار مضاعف هستند.