موضوع مقاله: تئوری تیر تیموشنکو | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # تئوری تیر تیموشنکو | مقدمه: این مدل با در نظر گرفتن اثر همزمان تغییرشکل برشی و ممان خمشی، به مدلی مناسب برای شرح رفتار تیرهای کوتاه، تیرهای مرکب ساندویچی و تیرهای تحت تأثیر تحریک‌کننده فرکانس بالا (در طول موج‌های نزدیک به ضخامت تیر) بدل شد. | ## بخش 1: تئوری تیر تیموشنکو | همانطور که در تصویر مشاهده می‌کنید فرض عمود باقی ماندن صفحات عمود بر محور خنثی که در تئوری اویلر-برنولی وجود داشت در اینجا حذف شده‌است. در معادله جواب در این روش علاوه بر وجود یک ترم درجه چهار، یک مشتق جزئی درجه دوم نیز وجود دارد (بر خلاف تئوری تیر اویلر-برنولی). اگر مختصات یک نقطه بر روی تیر باشند بردارهای تغییرمکان آن نقطه در راستای دستگاه مختصات فرضی است. معادلات حاکم بر مسئله که از نوع معادلات دیفرانسیل معمولی هستند از این قرار خواهند بود: تئوری تیر تیموشنکو در حالت استاتیکی و در صورتی که طرف راست معادله فوق ناچیز در نظر گرفته شود با تئوری اویلر-برنولی برابر خواهد بود. این برابری تنها با وجود شرط زیر برقرار است: که در عبارت فوق: طول تیر سطح مقطع تیر مدول الاستیسیته تیر مدول برشی تیر گشتاور دوم سطح تیر و ضریب برش تیموشنکو است که به سطح مقطع تیر بستگی دارد. | ## بخش 2: تئوری تیر تیموشنکو | با ترکیب دو معادله فوق برای یک تیر همگن با سطح مقطع ثابت خواهیم داشت: لنگر خمشی و نیروی برشی تیر نیز برای یک تیر الاستیک خطی تیموشنکو با استفاده از معادلات زیر به جابه جایی و چرخش تیر مربوط خواهند شد: شرایط مرزی دو معادلهٔ تغییر شکل در تیر تیموشنکو، توسط شرایط مرزی مسئله قابل حل خواهند شد. انواع شرایط مرزی قابل اعمال بر مسئله به صورت زیر خواهد بود: تیرهای دارای تکیه گاه مفصلی در دو انتها: تغییر مکان در دو انتهای تیر (در محل تکیه گاه‌ها) برابر صفر است. اگر یک انتهای تیر آزاد باشد (مانند تیر یک سر در گیر یا تیر کنسول) آنگاه نیروی برشی و لنگر خمشی باید معلوم باشد. همانطور که می‌دانید در یک تیر کنسول یک سر تیر دارای تکیه گاه گیردار بوده و انتهای دیگر تیر آزاد است. فرض می‌کنیم که نیرو در جهت مثبت محورهای مختصات اعمال شده و گشتاور نیز به صورت ساعت گرد به تیر اعمال می‌گردد. | ## بخش 3: تئوری تیر تیموشنکو | همچنین فرض می‌کنیم که تنش‌های ناشی از وقتی تار پایینی تیر تحت فشار باشد و وقتی مقطع تیر به صورت پاد ساعت‌گرد تحت پیچش قرار می‌گیرد مثبت است. اگر نیروی متمرکز بر انتهای آزاد تیر و در راستای مثبت محور اعمال گردد با رسم نمودار جسم آزاد تیر خواهیم داشت: و در نتیجه با توجه به روابط لنگر خمشی و نیروی برشی داریم: با انتگرال گیری از معادله اول و اعمال شرط مرزی در به عبارت زیر می‌رسیم: همچنین معادله دوم را نیز می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد: که با انتگرال‌گیری و اعمال شرط مرزی در خواهیم داشت: و در نهایت تنش محوری نیز از رابطه زیر بدست خواهد آمد: تیر دینامیک تیموشنکو در تئوری تیر تیموشنکو بدون در نظر گرفتن اثرات محوری، تغییر مکان تیر با توجه به زمان براساس رابطه زیر محاسبه می‌گردد: در این رابطه، مختصات یک نقطه بر روی تیر، بردارهای جابه جایی این نقطه در راستای محورهای مختصات، زاویه چرخش صفحه عمود بر تار میانی تیر و میزان جابه جایی تار میانی تیر در راستای است. برای یک تیر الاستیک خطی ایزوتروپیک همگن با مقطع ثابت می‌توان با ترکیب دو معادله فوق، معادله زیر را بدست آورد:Thomson, W. میرایی برای مشاهدهٔ میرایی در تئوری تیر تیموشنکو به نسخهٔ انگلیسی این مطلب مراجعه فرمایید و در صورت تمایل می‌توانید ترجمه خود از نسخهٔ انگلیسی را نیز در این قسمت اضافه کنید. | ## جمع‌بندی | ضریب برش برای مشاهدهٔ ضریب در تئوری تیر تیموشنکو به نسخهٔ انگلیسی این مطلب مراجعه فرمایید و در صورت تمایل می‌توانید ترجمه خود از نسخهٔ انگلیسی را نیز در این قسمت اضافه کنید.