موضوع مقاله: بافه (ریاضیات) | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # بافه (ریاضیات) | مقدمه: در ریاضیات، بافه ابزاری برای ردگیری سازمان‌یافته‌ی اطلاعات موضعی تعریف شده و الصاق شده به مجموعه های باز یک فضای توپولوژیکی است. | ## بخش 1: بافه (ریاضیات) | این داده ها را می توان به مجموعه های باز کوچکتری تحدید کرد، و داده های مربوط به یک مجموعه باز معادل کل گردایه داده‌های سازگار مربوط به مجموعه های باز کوچکتری است که مجموعه قبلی را می پوشانند. به عنوان مثال، چنین داده هایی می تواند شامل حلقه توابع پیوسته یا حقیقی-مقدار همواری باشد که روی هر مجموعه باز تعریف شده است. طراحی بافه ها به گونه ای است که اشیائی کلی و مجرد باشند، به گونه ای که تعریف صحیحشان تکنیکی و فنی می شود. آن ها را می توان به طرق مختلفی تعریف کرد، به عنوان مثال، بسته به این که بافه مورد نظر اطلاعات مجموعه ها را در خود نهفته باشد یا حلقه‌ها، تعریف متفاوتی می تواند داشته باشد. همچنین نگاشت هایی (یا ریخت هایی) از یک بافه به دیگری می توان تعریف کرد، لذا بافه ها (بافه هایی از نوع خاص، مثلا بافه گروه های آبلی) به همراه ریخت هایشان تشکیل یک رسته می دهند. از سوی دیگر، به هر نگاشت پیوسته هم یک فانکتور تصویر مستقیم نظیر می شود که هر بافه و ریخت هایش را در دامنه به بافه ها و ریخت های متناظر در هم‌دامنه نظیر می کند، و هم یک فانکتور تصویر معکوس که در جهت مخالف عمل می کند. بافه ها به دلیل طبیعت عمومی و تنوعشان کاربردهای متعددی در توپولوژی و به‌خصوص هندسه جبری و دیفرانسیل پیدا کرده اند. اول این که ساختار های هندسی چون منیفلد دیفرانسیل یا یک اسکیم را می توان بر حسب یک بافه از حلقه ها روی آن فضا تعریف کرد. در چنین بسترهایی، سازه‌های هندسی متعددی چون کلاف های برداری یا مقسوم‌علیه ها (مفهومی مربوط به هندسه جبری) را می توان به طور طبیعی بر حسب بافه ها تعریف کرد. | ## بخش 2: بافه (ریاضیات) | دوم این که بافه‌ها چارچوبی برای نظریات کوهمولوژی بسیار عام‌تر فراهم می‌کنند، چنین نظریه عامی شامل نظریات کوهمولوژی "معمولی" مثل کوهمولوژی تکین هم می شود. به‌خصوص کوهمولوژی بافه در هندسه جبری و نظریه منیفلدهای مختلط، ارتباط مستحکمی بین خواص توپولوژیکی و هندسی فضاها ایجاد می کند. بافه‌ها همچنین پایه ای برای نظریه D-مدول‌ها فراهم می آورد که در نظریه معادلات دیفرانسیل کاربرد دارد. به علاوه، تعمیم بافه ها به چیدمان‌هایی فراتر از فضاهای توپولوژیکی، چون توپولوژی گروتندیک، کاربردهایی را در منطق ریاضی و نظریه اعداد ارائه داده است. در این حال، می‌توان رسته زیر مجموعه‌های باز را این‌گونه تعریف کرد که عبارت است از رسته‌ای که آن را می‌نامیم و اشیا آن زیرمجموعه‌های باز و ریخت‌های این رسته نگاشتهای شمول در میان مجموعه‌های باز هستند. به زبان دیگر اگر و دو زیرمجموعه باز باشند و ، آنگاه یک ریخت در عبارت است از یک نگاشت یک به یک . برای هر شمول یک ریخت به نام نگاشت تحدید به گونه‌ای که: برای هر مجموعه باز نگاشت برابر با نگاشت همانی است. رسته معمولاً یکی از رسته‌های مجموعه‌ها، گروه‌های آبلی یا حلقه‌ها است و نگاشت‌های نیز به ترتیب تابع‌ها، همریختی‌های گروهی یا همریختی‌های حلقه‌ای هستند. اکنون ابزارهای لازم برای تعریف بافه را در دست داریم: تعریف (بافه): یک بافه روی فضای توپولوژیک عبارت است از یک پیش بافه روی که شرایط اضافی زیر را ارضا می‌کند: ۱. | ## بخش 3: بافه (ریاضیات) | (ویژگی چسبندگی): اگر یک پوشش باز باشد و برای هر یک مقطع داده شده باشد که برای هر و از این پوشش، داشته باشیم: ، آنگاه یک مقطع وجود دارد که: برای هر . نمونه‌ها اگر یک فضای توپولوژیک دلخواه باشد، بافه تابع‌ها روی بافه‌ای است که به هر زیرمجموعه باز مجموعه تابع‌های حقیقی روی را نظیر می‌کند یعنی و نگاشت تحدید در اینجا همان تحدید تابع‌ها است. اگر فضای توپولوژیک اعداد مختلط باشد، بافه توابع هولومورف روی که آن را با نشان می‌دهیم عبارت است از بافه‌ای که به هر زیر مجموعه باز ناتهی مجموعه تابعهای هولومورف روی را نسبت می‌دهد. به زبان دیگر اگر تابعی هولومورف روی باشد و آنگاه: و چون تابعی هولومورف است تحدید آن به زیر مجموعه هم هولومورف خواهد بود یعنی . اگر و دو بافه روی باشند، یک ریخت عبارت است از: برای هر زیرمجموعه باز ، یک ریخت در رسته . برای نمونه روی ، نگاشتی که به هر زیرمجموعه باز گروه آبلی را نسبت می‌دهد یک پیش بافه است ولی یک بافه نیست. دلیل این امر این است که اگر مجموعه باز را با و در نظر بگیریم، مقطع روی و مقطع روی را نمی‌توان به هم چسباند. به همین دلیل تلاش می‌شود که به هر پیش بافه، یک بافه نسبت داده شود و به این روند، بافه سازی گفته می‌شود. | ## جمع‌بندی | به زبان دیگر اگر یک پیش بافه روی باشد، می‌توان یک بافه روی ساخت که برای هر بافه روی ، مجموعه ریخت‌های پیش بافه‌ای با مجموعه ریخت‌های بافه‌ای برابر شود.