موضوع مقاله: عدد برنولی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # عدد برنولی | مقدمه: به ازای هر ناصفر زوج، اگر بر ۴ بخش پذیر باشد منفی و در غیر این صورت مثبت خواهد بود همچنین به ازای های فرد غیر از ۱، صفر خواهد بود. | ## بخش 1: عدد برنولی | در فرمول زیر روش انتقال از عدد منفی به مثبت نشان داده شده‌است: اعداد برنولی، مقدارهای خاصی از چندجمله‌ای برنولی، اند با فرض و . از آنجایی که به ازای همهٔ اعداد فرد بزرگتر از ۱، است بسیاری از فرمول‌هایی که برای عددهای برنولی ارائه می‌شود در اصل برای اعداد زوج است و منظور از "" همان است. اعداد برنولی در گسترش بسط تیلور توابع مثلثاتی و تانژانت توابع هذلولوی، در فرمول فالهابر برای جمع توان‌های نخستین اعداد صحیح مثبت ، در فرمول اویلر-مکلورن و در جاهایی در تابع زتای ریمان دیده می‌شود. عددهای برنولی توسط ریاضی‌دان سوئیسی یاکوب برنولی معرفی شدند و به نام او ثبت شدند اما یک ریاضی‌دان ژاپنی به نام سکی تاکاکازو نیز این اعداد را شناسایی کرده بود که پس از مرگش در ۱۷۱۲ مقاله اش منتشر شد؛Selin, H. روش‌های محاسبهٔ جمع عدد طبیعی نخست همچنین جمع توان دوها (مربعات) و توان سه‌ها (مکعبات) عدد طبیعی قبلاً بدست آمده بود اما هیچ فرمول ریاضی مشخصی برای آنها گفته نشده بود و حل آنها تنها به صورت توضیحی و با واژه‌ها بیان شده بود، بدون فرمول ریاضی. از جمله ریاضی‌دانان نامی که به حل مجموع توان‌های اعداد طبیعی پرداختند می‌توان به فیثاغورس، ارشمیدس، آریابهاتا، ابوبکر کرجی و ابن هیثم اشاره کرد. در سدهٔ شانزدهم و آغاز سدهٔ هفده‌ام میلادی ریاضی‌‌‌‌دانان پیشرفت شگرفی در این زمینه کردند. | ## بخش 2: عدد برنولی | در غرب، توماس هریوت (۱۵۶۰ تا ۱۶۲۱) از انگلستان، یوهان فالهابر (۱۵۸۰ تا ۱۶۳۵) از آلمان و پیر دو فرما (۱۶۰۱ تا ۱۶۶۵) و همکار فرانسوی‌اش بلز پاسکال (۱۶۲۳ تا ۱۶۶۲) همگی نقش مهمی در این زمینه داشتند. ظاهراً توماس هریوت نخستین کسی است که برای مجموع توان‌های اعداد طبیعی از نمادهای ریاضی استفاده کرده‌است اما او توانست تنها تا توان ۴ را محاسبه کند. یوهان فالهابر توانست برای مجموع توان‌های اعداد طبیعی تا توان ۱۷ فرمول‌هایی را بدست آورد که این بالاترین دستاورد تا آن زمان بود؛ اما او هم نتوانست فرمول کلی برای همهٔ توان‌ها بدست آورد. بلز پاسکال در ۱۶۵۴، معادلهٔ پاسکال مربوط به مجموع pامین توان n عدد صحیح مثبت نخست را اثبات کرد به ازای . ریاضی‌دان سوئیسی ژاکوب برنولی (۱۶۵۴ تا ۱۷۰۵) نخستین کسی بود که دریافت یک دنباله یکتا از اعداد می‌تواند به تنهایی فرمولی کلی برای مجموع توان‌های اعداد صحیح مثبت به ازای هر توانی را بدست دهد این دنباله ثابت‌های داشت. لذتی که برنولی از بدست آوردن الگویی برای ضرایب فرمولش در محاسبۀ مجموع توان cام اعداد طبیعی تجربه کرد در یادداشت‌هایش این گونه بیان شده است: نتایج برنولی پس از مرگش در ۱۷۱۳ در کتابی با عنوان هنر گمان بردن (Ars Conjectandi) منتشر شد. سکی تاکاکازو نیز به صورت مستقل به اعداد برنولی دست پیدا کرد و نتایج کارش در ۱۷۱۲، پس از مرگش منتشر شد البته روش سکی به صورت فرمول ریاضی و دنباله‌ای با ثابت‌های مشخص بیان نشد. | ## بخش 3: عدد برنولی | فرمول برنولی تا امروز به عنوان کاربردی‌ترین و عمومی‌ترین روش در بدست آوردن مجموع توان‌ها دانسته می‌شود. گاهی به فرمول برنولی، فرمول فالهابر نیز گفته می‌شود این نامگذاری به پاس تلاش‌هایی است که یوهان فالهابر انجام داد او راه‌های ارزشمندی برای محاسبهٔ مجموع توان‌ها ارائه کرد اما هرگز به یک فرمول کلی نرسید او هرگز گمان نمی‌کرد یک دنباله از اعداد بتواند بیانگر جواب مسئله باشد. یا برای همۀ مجموع توان‌ها، فالهابر هرگز این حقیقت به چشمش نیامد که تقریباً نیمی از ضرایب رابطۀ او صفر است. در کتاب هنر گمان بردن ژاکوب برنولی که در ۱۷۱۳ و پس از مرگش منتشر شد صفحهٔ ۹۷، متن بالا آمده‌است. فرمول اصلی در نیمهٔ دوم دیده می‌شود؛ ثابت‌هایی که اینجا برنولی با عنوان‌های ، ، و معرفی کرده در فرمول امروزی به صورت ، ، ، تعریف شده است. عبارت در اصل به معنی – می‌باشد و این نقطه‌های کوچک در عبارت به معنی علامت ضرب گروهی است با نوشتار ریاضیاتی امروزی می‌توان گفت این عبارت یک فاکتوریل نزولی است. | ## جمع‌بندی | با در کنار هم گذاشتن اطلاعاتی که در این کتاب داده شد برای های مثبت، با ریاضیات امروزی، فرمول برنولی به صورت زیر خواهد بود: کاربردهای عددهای برنولی تحلیل مجانبی یکی از مهم‌ترین کاربردهای اعداد برنولی در فرمول اویلر-مکلورن است.