موضوع مقاله: برنامه‌ریزی کسری | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # برنامه‌ریزی کسری | مقدمه: در برخی از کاربردها تعداد نسبتهایی که در تابع هدف وجود دارد بیشتر از یک است که به صورت زیر بیان می‌گردد که و به ازای . | ## بخش 1: برنامه‌ریزی کسری | حال اگر , افاین باشند و یک چندوجهی محدب باشد آنگاه مساله مورد نظر یک برنامه‌ریزی کسری خطی خواهد بود و به فرم زیر نوشته می‌شود: که ، ، بالانویس T نشاندهنده ترانهاده است، یک ماتریس است و . در تعمیم برنامه‌ریزی کسری خطی، مساله اخیر را برنامه‌ریزی کسری مقعر می نامند اگر که صورت کسر (تابع ) بر روی مقعر باشد و و روی مجموعه محدب محدب باشند. ناحیه شدنی هم فرض می‌شود یک مجموعه محدب باشد یا یک چندوجهی محدب در نظر گرفته می‌شود. کاربردها کاربرد اقتصادی بازدهی یک سیستم گاهی اوقات به صورت نسبت ترم‌های اقتصادی و تکنیکی مشخصه سازی می‌گردد. معمولاً توابع هدف زیر در بحث اقتصاد مورد نظر هستند: 1- حداکثر سازی تولید 2- حداکثر سازی سوددهی نسبت به سرمایه‌گذاری 3- حداکثر درآمد نسبت به ریسک 4- حداقل سازی هزینه نسبت به زمان 5- حداکثرسازی خروجی نسبت به ورودی کاربرد غیر اقتصادی کاربردهای غیر اقتصادی از جمله تئوری اطلاعات، ریاضی و فیزیک کاربردی هستندSchaible, Siegfried. نتایج الگوریتمی و نظری به‌طور معمول مسائل کسری یا به صورت برنامه‌ریزی کسری مقعر هستند یا به صورت برنامه‌ریزی کسری خطی. ii) مقدار بیشینه یکتا است اگر که یا صورت کسر اکیداً مقعر باشد یا مخرج کسر اکیداً محدب باشد. | ## بخش 2: برنامه‌ریزی کسری | iii) با فرض مشتق پذیر بودن <، و بر روی مجموعه جواب شرایط بهینگی KKT مقدار بیشینه خواهد بود. iv) در یک مساله برنامه‌ریزی کسری خطی، به شرط وجود مقدار بهینه، این مقدار در نقطه انتهایی چندوجهی محدب رخ خواهد داد. با توجه به ویژگی‌هایی که بیان شد، امکان این وجود دارد که مسائل برنامه‌ریزی کسری مقعر را با استفاده از الگوریتم‌های استاندارد موجود برای برنامه‌ریزی مقعر حل نمود. اگر یک برنامه‌ریزی کسری خطی باشد، آنگاه ویژگی iv می‌تواند به منظور حل توسط روندی مانند سیمپلکس استفاده شود. 2) حل یک مساله برنامه‌ریزی مقعر معادل ( ): برخی از الگوریتم‌های برنامه‌ریزی مقعر به منظور برنامه‌ریزی‌های مقعر تعمیم یافته مناسب نیستندMartos, Béla. بنابراین در ظاهر انتخاب الگوریتم‌های برنامه‌ریزی مقعر به منظور حل مسائل برنامه‌ریزی کسری مقعر با مشکل مواجه می‌گردد. با این وجود نشان داده می‌شود که هر برنامه‌ریزی کسری مقعر را می‌توان به یک برنامه‌ریزی مقعر تبدیل کرد. | ## بخش 3: برنامه‌ریزی کسری | به دلیل این چنین تبدیلی به برنامه‌ریزی مقعر، مسائل برنامه‌ریزی کسری مقعر می‌توانند توسط الگوریتم‌های موجود مربوط به برنامه‌ریزی مقعر حل شوند. به‌طور خاص با اعمال تبدیل بر روی برنامه‌ریزی کسری خطی به مساله برنامه‌ریزی خطی زیر می‌رسیم: 3) حل برنامه‌ریزی دوگان : یکی از معایب حل مستقیم مساله این است که مفاهیم دوگانی برنامه‌ریزی مقعر قابل استفاده نیستند. با این حال تبدیلی که در قسمت قبل تعریف شد اجازه استفاده از دوگانی برنامه‌ریزی مقعر را فراهم می‌سازد. 4) حل یک مساله پارامتری : کلاس‌های زیادی از الگوریتم‌ها بر اساس مساله پارامتری زیر که مرتبط با هستند وجود دارند: که یک پارامتر حقیقی است. هر کدام از 4 روشی که تا به حال ذکر شدند ویژگی‌های خاص خود را دارند که برخی کاربردها و ویژگی‌های آن‌ها در مرجع با جزئیات مطرح شده‌اند. 5) روش‌های نقطه داخلی علاوه بر روش‌های کلاسیک که در بالا ذکر شدند، تکنیک‌های جدیدی به وجود آمدند که از نوع نقطه داخلی هستند. جالب توجه است که برخی از این پنج استراتژی که مطرح شدند در ارتباط با مسائل مختلف برنامه‌ریزی کسری مقعر (خطی) که دارای ناحیه شدنی فشرده هستند می‌توانند عملکرد یکسانی داشته باشند. | ## جمع‌بندی | با این حال ممکن است یک استراتژی نسبت به استراتژی دیگر دارای بار محاسباتی بیشتری باشد.