موضوع مقاله: نظریه تراوش | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # نظریه تراوش | مقدمه: از کاربردهای نظریه تراوش می‌توان در علم مواد و دیگر حوزه‌هایی که در مورد نفوذ و تراوش مواد بحث می‌کنند استفاده کرد. | ## بخش 1: نظریه تراوش | مقدمه علت نامگذاری نظریه تراوش و سرآغاز آن این سؤال است، فرض کنید مایعی در بالای جسمی منفذدار ریخته شده‌است، آیا می‌تواند با گذر از منافذ این جسم خود را به سطح پایینی آن برساند؟ این سؤال که در دنیای واقعی و فیزیک مطرح می‌شود در ریاضیات به صورت شبکهٔ سه بعدی از n*n*n راس مدل‌سازی می‌شود، به هرکدام از این رئوس اتاقک هم گفته می‌شود، یال بین هر دو راس می‌تواند مستقل از بقیه یال‌ها به احتمال p باز باشد (اجازه انتقال ماده را بدهد) یا به احتمال 1-p بسته باشد. در اینصورت برای هر p داده شده احتمال اینکه مسیری از یال‌های باز از رئوس بالایی به رئوس پایینی وجود داشته باشد چقدر است؟ در مدل‌سازی دیگری با تفاوت کمی برای بدست آوردن گراف تصادفی، فرض می‌کنیم که هر کدام از اتاقک‌ها به احتمال p «پر» و با احتمال ۱-p «خالی» هستند (یال‌ها در این مدل حذف شده‌اند). در این مسئله که تراوش اتاقکی نامیده می‌شود سؤال مانند قبل است: برای هر p داده شده احتمال اینکه مسیری از اتاقک‌های پر از بالا به سطح پایینی وجود داشته باشد چقدر است؟ همان‌طور که واضح است، بررسی یک شبکه نامحدود نسبت به یک شبکه با ابعاد بزرگ ساده‌تر است. یا به عبارتی آیا در میان رأس‌های متصل به هم مسیری به طول بینهایت در داخل شبکه وجود دارد؟ از آنجایی که این احتمال تابعی صعودی از p است، یک نقطهٔ بحرانی از p وجود دارد (که با pc نشان داده می‌شود) که قبل از این نقطه به احتمال ۰ و بعد از آن به احتمال ۱ چنین مسیری وجود خواهد داشت. | ## بخش 2: نظریه تراوش | حتی اگر n به مانند ۱۰۰ کوچک هم باشد، احتمال اینکه مسیری از بالا به سطح پایینی وجود داشته باشد در بازه‌ای نزدیک به pc از نزدیکی‌های صفر تا نزدیکی‌های یک به شدت افزایش می‌یابد. برای مثال، در تراوش زنجیره‌ای در شبکه مربعی Z۲ و در دو بعد، pc=۱/۲ است که این مسئله برای مدت ۲۰ سال به صورت سؤالی حل نشده مانده بود و در نهایت نزدیکی‌های سال ۱۹۸۰ توسط هری کستن(:en:Harry kesten) جوابی برای آن پیدا شد. تمامیت بنابر اصل تمامیت مقدار pc به ساختار گراف وابسته است؛ درحالی که رفتار خوشه‌ها برای مقادیر pc، بیش از آن و کمتر از آن مستقل از ساختار گراف می‌باشد؛ بنابراین برای بررسی برخی مسائل کمیت‌هایی به جز pc، که مستقل از ساختار گراف هستند در نظر گرفته می‌شود. برای مثال برای بعدهای یکسان، بعد فراکتالی خوشه‌ها برای pc برابر می‌باشد؛ و از نوع تراوش (برای مثال اتاقکی یا زنجیره‌ای) و نوع شبکه‌بندی مستقل است. فازها فازهای زیربحرانی و فوق بحرانی ویژگی مهم فاز زیر بحرانی «فروپاشی نمایی» آن است. وقتی که p <pc است، احتمال اینکه نقطه‌ای خاص که در خوشهٔ بازی به اندازه r قرار دارد فروپاشی کرده و اندازه‌اش خوشه صفر شود، متناسب با توان r است. گراف یکریخت شبکه مربعی Z2، خود نیز شبکه مربعی می‌باشد؛ بنابراین، برای ترواش در دو بعد، فاز فوق بحرانی دوگان فرایند ترواش زیربحرنی است. مهم‌ترین نتیجه در مورد فاز فوق بحرانی تراوش در بیش از دو بعد، این است که، برای N به اندازه کافی بزرگ، خوشه باز نامتناهی در صفحه دوبعدی Z2 × [0, N] وجود دارد. | ## بخش 3: نظریه تراوش | در تراوش دو بعدی با p <1/2، با احتمال یک، خوشه بسته نامتناهی یکتا وجود دارد؛ بنابراین فاز زیربحرانی را می‌توان به عنوان جزیره متناهی باز در یک قیانوس نامتناهی بسته در نظر گرفت. برای p <1/2، عکس حالت فوق رخ می‌دهد؛ فاز زیر بحرانی جزیره متناهی بسته در یک اقیانوس نامتناهی باز خواهد بود. همچنین برای p بین pc و 1-pc خوشه‌های باز و بسته نمتناهی توامان وجود خواهند داشت. نظریه مقیاس‌بندی، برحسب ابعاد که نوع تکینگی را مشخص می‌کند؛ وجود نمای بحرانی را پیش‌بینی می‌کند. برای حالت دو بعدی این پیش‌بینی با نظریه کوانتم و جاذبه کوانتومی و مقادیر عددی بدست آمده همخوانی دارد. احتمال اینکه مسیر بازی به طول r از یک نقطه مشخص وجود داشته باشد، به صورت چند جمله‌ای از O(rα) می‌باشد: بنابر اصل تمامیت α فقط به تعداد بعدها وابسته است.o بنابر اصل تمامیت α فقط به تعداد بعدها وابسته است. | ## جمع‌بندی | تراوش برنولی بر روی گراف‌های کامل نمونه‌ای از گراف‌های تصادفی هستند و احتمال بحرانی آن‌ها p = 1/n می‌باشد.