موضوع مقاله: تفاضل محدود | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # تفاضل محدود | مقدمه: تقریب مشتقات در تفاضل محدود نقش مهمی را در روش‌های تفاضل محدود گرفتن برای راه حل عددی معادلات دیفرانسیل، به خصوص مسائل مقدار مرزی، ایفا می‌کند. | ## بخش 1: تفاضل محدود | روابط بازگشتی معین را می‌توان به صورت معادلات تفاضلی با جایگزین کردن نمادگذاری تکراری با تفاضلات محدود نوشت. امروزه، اصطلاح «تفاضل محدود» به عنوان مترادف تقریبات تفاضل محدود مشتقات، مخصوصاً در زمینه روش‌های عددی می‌باشد. تقریبات تفاضل محدود، در واقع همان خارج قسمت‌های تفاضلی محدود در اصطلاحات به کار رفته در بالا می‌باشد. تفاضلات محدود، موضوع مطالعه اشیای ریاضی خود-اتکای مطلق می‌باشد و افرادی چون: جورج بول(۱۸۶۰)، مایلن تامسون(۱۹۳۳) و کارلی جوردن(۱۹۳۹)، که اصول آن به ایساک نیوتون برمیگردد، در این زمینه کار کردند. تفاضل پیشین، پسین و مرکزی (در بازه) ۳ شکل متداول وجود دارد:تفاضل پیشین، پسین و مرکزی. تفاضل پسین، از مقادیر تابعی x و x – h به جای x+h و x استفاده می‌کند: و در نهایت، تفاضل مرکزی به صورت زیر داده می‌شود: رابطه با مشتق مشتق تابع f در نقطه x به صورت حد تعریف می‌شود: اگر h یک مقدار ثابت (غیر صفر) داشته باشد، در عوض نزدیک شدن به صفر [حدی]، آنگاه سمت راست رابطه فوق به صورت زیر نوشته می‌شود: بنابراین، تفاضل پیشین تقسیم شده بر h، وقتی h کوچک باشد تقریب مشتق خواهد بود. فرض کنید که f دیفرانسیل‌پذیر باشد، آنگاه خواهیم داشت: فرمول مشابه برای تفاضل پسین: با این حال، تفاضل مرکزی تقریب دقیق‌تری را داراست. اگر f دو بار دیفرانسیل‌پذیر باشد، داریم: مشکل اصلی در روش تفاضل مرکزی، این است که توابع نوسانی مشتق صفر را دارند. کسانی که تفاضلات محدود به معنای تقریبات تفاضل محدود می‌باشد، تفاضلات مرکزی/پسین/پیشین را همانند خارج قسمت داده شده در این بخش تعریف کنند (در عوض به کار گرفتن تعریف داده شده در بخش قبلی) تفاضلات مراتب بالاتر به‌طور متشابه می‌توان تقریبات تفاضل محدود را به مشتقات مراتب بالاتر و عملگرهای دیفرانسیلی تعمیم داد. به عنوان مثال، با استفاده از فرمول تفاضل مرکزی برای (f ' (x+h/2 و (f ' (x-h/2 و به کارگیری فرمول تفاضل محدود مرکزی برای مشتق 'f در نقطه x، می‌توان تقریب تفاضل محدود مشتق دوم f را به دست آورد: مرتبه دوم مرکزی: و همچنین می‌توان از فرمول‌های تفاضلی دیگر نیز در به شیوه گذشته استفاده کرد: مرتبه دوم پیشین: به‌طور کلی تر، تفاضل مرتبه nام پیشین، پسین و مرکزی به صورت زیر بیان می‌شود: پیشین: برای h=۱: پسین: مرکزی: در این روابط از ضریب ۲ جمله ای بعد ازعلامت مجموع به صورت | استفاده شده‌است. تفاضلات پیشین در دنباله، همان تبدیل ۲جمله آن دنباله، ویژگی‌های ترکیبی جالب زیادی دارد. زیرا انتگرال را می‌توان با استفاده از بسط مجانب یا نقطه زینی شکل، مورد ارزیابی قرار داد. در مقابل، سنجش عددی سری‌های تفاضل پیشین، کار بسیار مشکلی است؛ زیرا بسط ۲ جمله ای برای nهای بزرگ رشد سریعی دارد. ارتباط تفاضلات مراتب بالاتر و مشتقات نسبی به ترتیب زیر می‌باشد: از تفاضلات مراتب بالاتر می‌توان برای تقریبات بهتر بهره برد. همان‌طور که در بالا بیان شد، تفاضل مرتبه اول مشتق مرتبه اول را تا مرتبه h تقریب می‌زند. این را می‌توان با بسط دادن سری تیلور عبارت بالا ثابت کرد، یا با احتساب تفاضلات محدود که در زیر بیان شد. اگر لازم باشد، تفاضل محدود را می‌توان در هر نقطه مرکزی کرد با ترکیب تفاضلات مرکزی، پیشین و پسین. هسته‌هایی با اندازه تصادفی با استفاده از جبر خطی می‌توان تقریبات را به راحتی محاسبه نمود. برای نمونه، تعداد تصادفی نقطه به چپ و تعداد (متفاوتی) به راست یک نقطه مرکزی، برای هر مرتبه از مشتق می‌توان انتخاب نمود. | ## بخش 2: تفاضل محدود | این دربردارنده یک سامانه خطی است به طوری که بسط تیلور در مجموع آن نقاط، حول یک نقطه میانی، به خوبی بسط تیلور مشتق مطلوب را تخمین می‌زند. این برای تفاضل یک تابع در یک صفحه، هنگامی که آن به لبهٔ صفحه نزدیک می‌شود، آنگاه باید نقطه‌های یک وجه را کم کرد. (notes) ویژگی‌ها برای هر k و n مثبت: قانون لایب نیتز: روش‌های تفاضل محدود یکی از کاربردهای مهم تفاضل محدود در تحلیل عددی، به خصوص در معادلات دیفرانسیلی عددی می‌باشد که هدف در راه حل‌های عددی مرتبه ای و معادلات دیفرانسیلی ناکامل و عادی جزئی می‌باشد. این نظریه مشتقات را در معادلات دیفرانسیل با تفاضلات محدود که آن‌ها را تقریب می‌زند، جایگزین می‌کند. کاربردهای رایج روش تفاضل محدود در حیطه علوم کامپیوتر، علوم مهندسی مانند مهندسی حرارت و سیالات در مکانیک و … می‌باشد. سری‌های نیوتون سری‌های نیوتون دربردارنده جملات معادله تفاضل پیشین نیوتون است که بعد از نیوتون نام‌گذاری شد. در ماهیت، این فرمول الحاقی نیوتون''' می‌باشد، که اولین بار اصول ریاضی خود در سال ۱۶۸۷ چاپ شد. بسط زیر ضریب ۲ جمله ای نام دارد، و فاکتوریل نزولی می‌باشد، درحالی حاصل صفر ۱ تعریف می‌شود. در این مثال خاص، فرض پله‌های واحد برای تغییرات در مقادیر x و h=۱ در کل وجود دارد. مورخا، همانند مفهوم چو-واندرموند، (تعمیم این رابطه و متناظر نظریه ۲ جمله ای) دیدگاه‌های تعمیم یافته سامانه حسابی آمبرال شامل شده‌است. برای بیان این که چطور یک نفر از فرمول نیوتون در تمرینات خود استفاده می‌کند، دوبرابر جملات اول و کوتاه دنباله فیبوناتچی را در نظر بگیرید. در ابتدا جدول تفاضلی را حساب کنیم و سپس تفاضلات را جایگزین کنیم متناظر x0 در فرمول همانند زیر: برای حالتی که واحدهای مقادیر x یک اندازه نیستند، نیوتون قدر نسبت را محاسبه می‌کند. در تحلیل اعداد غیرساده، نظریه ماهلر بیان می‌دارد که با فرض این که f یک تابع چندجمله‌ای باشد و به‌طور محض استمراری (متناوب) باشد می‌توان آن را کم کرد. نظریه کارلسون شرایط لازم و کافی را برای یکتایی سری نیوتون، درصورت وجود، فراهم می‌کند. سری‌های نیوتون، به همراه سری‌های استرلینگ و سلبرگ، نمونه خاص سری‌های تفاضلی می‌باشد که همهٔ آن‌ها به ازای تناسب مقیاسی تفاضلات پیشین تعریف می‌شود. در مجموع و کمی کلی تر، گره‌هایی با فاصله مساوی، فرمول به صورت زیر می‌شود: محاسبهٔ تفاضلات محدود تفاضل پیشین را می‌توان همانند عملگر تفریق در نظر گرفت،Boole, George, (1872). برای این عملگر داریم: عملگر جابجایی به اندازه h واحد، که به صورت تعریف شده و عملگر همانی می‌باشد. تعریف معادل دیگر نیز بدین صورت می‌باشد: عملگر تفاضل یک عملگر خطی بوده و با استفاده از قانون ویژه لایب نیتز که در بالا اشاره شد: . با استفاده از سری‌های تیلور نسبت به h، فرمول زیر به دست می‌آید: که D عملگر مشتق پیوسته می‌باشد که f را به مشتق خود f مپ می‌کند. | ## بخش 3: تفاضل محدود | بسط زمانی قابل قبول است که هر دو وجه برای h به اندازه کافی کوچک دارای توابع تحلیلی باشند؛ بنابراین و با تبدیل توان داریم: این فرمول بیانگر این است که هردو عملگر نتیجه یکسانی در به کارگیری چندجمله ای دارند. هم چنین برای توابع تحلیلی، سری سمت راست الزاماً همگرا نیست و ممکن است که یک سری مجانب باشد. برای مثال، نگه داشتن دو جمله از سری، بیانگر مرتبه دوم بودن تقریب است که در انتهای قسمت تفاضلات مراتب بالاتر بیان شد. فرمول‌های مشابه، برای عملگرهای تفاضلات محدود پسین و مرکزی: محاسبهٔ تفاضلات محدود مربوط محاسبه آمبرال تعداد راه‌های انجام آن]ترکیب[می‌باشد. در ارتباط سیستمی، سبب مفهوم کاموتاتورهای مقادیر آمبرال به آنالوگ پیوسته خود می‌باشد (حد h→۰) تعداد زیادی محاسبه استاندارد رابطه‌های دیفرانسیلی قراردادی شامل توابع می‌باشد؛ بنابراین نظیرهای تفاضل محدود آمبرالی شامل را به‌طور جزء به جزء مپ می‌کنیم. بنابراین: پس فرمول الحاقی نیوتون در بالا (با نظیر کردن جملات در بسط یک تابع متغیر f(x و به همین ترتیب به دست می‌آید. برای مثال، آمبرال (هم ارز) سینوس به صورت زیر است: همانند حد پیوسته، تابع مشخصهٔ Δh /h نیز به شکل تواندار ظاهر می‌شود، و بنابراین، مجموع فوریهٔ توابع پیوسته بر آمبرال (هم ارز) مجموع فوریه، کاملاً مپ شده‌اند؛ که شامل جملات فوریه مشابه ضرب شده در این نماهای پایه ای آمبرال (هم ارز) می‌باشد. این نماهای آمبرال، تابع مولد نمایی مرتبط با نماد گزاری‌های ویژه آن را مقداردهی می‌کند. بنابراین، به عنوان مثال، تابع دیراک دلتا، بر متناظر آمبرال (هم ارز) خود مپ می‌شود. عملگر وارون در وارون تفاضل پیشین، که همان انتگرال آمبرال می‌شود، مجموع نامعین یا عملگر پادتفاضلی است. قوانین محاسبه عملگرهای تفاضل محدود همانند قوانین مشتق، داریم: اصل ثابت عددی: اگر c یک ثابت عددی باشد، آنگاه خطی بودن: اگرa و b ثابت عددی باشند، همهٔ قوانین بالا، به‌طور معادل برای عملگر تفریق (تفاضل) شامل و نیز استفاده می‌شوند قانون توزیع پذیری: اصل خارج قسمت: or قوانین جمع سری: Ames, W. یک تفاضل نامحدود'''، تعمیم دیگری می‌باشد، که جمع سری بالا با یک سری نامحدود جایگزین می‌شود. راه دیگر تعمیم، ضرایب | را به نقطه وابسته کنیم؛ بنابراین تفاضل محدود وزنی را در نظر می‌گیریم. هم چنین هرکدام بسته به نقطه x, h واحد را می‌توانند برگزینند: این تعمیم‌ها برای ساخت انواع قدرمطلق پیوستگی مفید هستند. در عملگر پیچش: با ظاهر شدن عبارات جبری، عملگرهای تفاضل و دیگر وارون‌های موبیوس را می‌توان با پیچش یک تابع بر برداری که تابع موبیوس μ نامیده می‌شود، بیان کرد. تفاضلات متناهی چند متغیره تفاضلات محدود را می‌توان با بیش از یک متغیر در نظر گرفت. بعضی از تغریبات مشتقات نسبی بدین صورت هستند (با استفاده از روش مرکزی): بعضاً، برای برنامه‌هایی که در آن‌ها محاسبه مستقیم تابع f میسر نیست، می‌توان مشتق اول و دوم را محاسبه کرد. | ## جمع‌بندی | فرمول کارآمدتر حالت آخر به صورت زیر می‌باشد: زیرا تنها مقادیری نیاز به چهار معادله گذشته را ندارند و می‌توان محاسبه کرد و می‌باشند.