موضوع مقاله: زاویه‌های اویلر | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # زاویه‌های اویلر | مقدمه: 189–207 (E478) PDF این زاویه‌ها در فیزیک می‌توانند نمایانگر جهت‌گیری یک چارچوب مرجع متحرک باشند یا در جبر خطی 3 بعدی این زاویه‌ها جهت گیری یک پایه را نشان می‌دهند. | ## بخش 1: زاویه‌های اویلر | تعریف هندسی نشان می دهد که سه دوران ابتدایی تشکیل شده (دوران حول محورهای یک سیستم مختصات) همواره برای دستیابی به هر چارچوب هدفی کافی هستند. سه دوران ابتدایی می‌توانند بیرونی (حول محورهای XYZ سیستم مختصات اصلی، که ثابت فرض می‌شود)، یا درونی (حول محورهای XYZ سیستم مختصات در حال دوران، که با جسم در حال حرکت همبستگی دارد، و پس از هر دوران ابتدایی، جهت گیری آن تغییر می‌کند). نویسندگان مختلف ممکن است از مجموعه محورهای دوران متفاوتی برای تعریف زاویه‌های اویلر بهره بگیرند یا نام‌های مختلف برای همین زاویه‌ها استفاده کنند. بنابراین، در هر بحثی که از زوایای اویلر استفاده می‌شود ، همواره باید آنها را در ابتدا تعریف نمود. چنانچه دو قرارداد مختلف برای تعریف محورهای دوران (ذاتی یا بیرونی) را در نظر نگرفته باشیم، دوازده دنباله از محورهای دوران وجود خواهد داشت که به دو گروه تقسیم می‌شوند: زاویه های مناسب اویلر زاویه های تایت-برایان زاویه های تایت-برایان، زاویه های کاردان، زاویه های دریایی، جهت ، ارتفاع، بانک یا pitch, yaw , و roll نیز نامیده می‌شوند. سیستم xyz (ثابت) به رنگ آبی نشان داده شده است، سیستم XYZ (چرخان) به رنگ قرمز نشان داده شده است. خط گره‌ها ( N) به رنگ سبز نشان داده شده است تعریف هندسی محورهای چارچوب اصلی با x ،y ،z و محورهای چارچوب چرخان با X ،Y ،Z نشان داده می‌شوند. تعریف هندسی (که گاه به آن استاتیک گفته می‌شود) با تعریف خط گره‌ها به عنوان فصل مشترک صفحات xy و XY آغاز می‌شود (همچنین می توان آن را به عنوان عمود مشترک بر محورهای z و Z تعریف کرد و سپس به عنوان ضرب خارجی N = z Z نوشت). با استفاده از این روش، سه زاویه اویلر را می توان به شرح زیر تعریف کرد: (یا ) زاویه‌ی بین محور x و محور N است (قرارداد x- این زاویه را می‌توان بین y و N نیز تعریف کزد که در این صورت قرارداد y نامیده می‌شود). زاویه های اویلر بین دو چارچوب مرجع فقط در صورتی تعریف می‌شوند که هر دو چارچوب راستگرد یا هر دو چپگرد باشند. تعریف با دوران‌های ذاتی دوران‌های ذاتی، دوران‌های ابتدایی حول محورهای سیستم مختصات XYZ متصل به یک جسم متحرک هستند. | ## بخش 2: زاویه‌های اویلر | محورهای چنین سیستم مختصاتی بعد از هر دوران ابتدایی، جهت‌گیری خود را تغییر می‌دهند. با شروع از XYZ و xyz که با هم تداخل دارند، ترکیبی از سه دوران ذاتی را می‌توان برای رسیدن به هر جهت‌گیری هدف برای XYZ مورد استفاده قرار داد. می‌توان تصور کرد که چارچوب دوران XYZ در ابتدا (قبل از انجام دوران‌های ابتدایی به اندازه‌ی زاویه‌های اویلر) با xyz تراز است. علاوه بر این، چون دوران ابتدایی سوم حول Z انجام می‌گیرد، جهت Z را تغییر نمی‌دهد. این به ما امکان می‌دهد که تعریف زاویه‌های اویلر را به شرح زیر ساده کنیم: α (یا ) دوران حول محور z را نشان می‌دهد، β (یا ) دوران حول محور ′x را نشان می‌دهد، γ (یا ) دوران حول محور ″z را نشان می‌دهد. سریعترین راه برای بدست آوردن زاویه‌های اویلر نوشتن سه بردار داده شده به صورت ستون های یک ماتریس و مقایسه آن با عبارت نظری ماتریس است (به جدول بعدی ماتریس مراجعه کنید). با این وجود، می‌توان بدون استفاده از جبر ماتریسی و تنها با استفاده از هندسه مقدماتی نیز به همین نتیجه رسید. زاویه‌های مناسب اویلر چارچوبی را با بردارهای واحد ( X ، Y ، Z ) فرض کنید که مختصات آنها مانند نمودار اصلی داده شده است، می توان نوشت: و از خواهیم داشت چون از دو بار تصویر کردن یک بردار واحد بدست آمده است، را می‌توان به صورت مشابه بازسازی کرد یعنی بار اول آن را روی صفحه‌ای که توسط محور z و خط گره‌ها تعریف می‌شود، تصویر می‌کنیم. چارچوبی را با بردارهای واحد (X, Y, Z) تصور کنید که مختصات آنها مانند نمودار جدید داده شده است (تزاویه تتا منفی است)، داریم: همانند مورد پیشین، داریم به روشی مشابه مورد پیشین: عباراتی مشابه روابط سابق بدست می‌آیند: تذکرات نهایی توجه داشته باشید که توابع معکوس سینوس و کسینوس دو مقدار خروجی برای آرگومان ورودی تولید می‌کنند. هنگامی که زاویه‌های اویلر به صورت دنباله‌ای از دوران‌ها تعریف شوند، تمام مقادیر می‌توانند معتبر باشند، اما فقط یکی از خروجی‌ها در دامنه زاویه خواهد بود. این به این خاطر است که توالی دوران‌ها برای رسیدن به چارچوب هدف در صورتی که دامنه‌ها پیش‌تر تعریف نشده باشند منحصر به فرد نخواهد بود. | ## بخش 3: زاویه‌های اویلر | به عنوان مثال، برای زاویه‌های مناسب اویلر: تبدیل به سایر نمایش‌های جهت‌گیری زاویه‌های اویلر یک راه نشان دادن جهت‌گیری‌ها هستند. روش‌های دیگری نیز وجود دارند و تبدیل به قراردادهای دیگر یا از قراردادهای دیگر ممکن است. رایج‌ترین بازنمایی‌های جهت‌گیری عیارتند از ماتریس دوران، زاویه-محور و چهارگان‌ها که پارامترهای اویلر-رودریگز نیز نامیده می‌شوند و مکانیسم دیگری برای نمایش دوران‌های سه بعدی فراهم می‌کنند. بیان دوران در فضای سه بعدی به صورت چهارگان‌های واحد به جای ماتریس مزایایی دارد: جمع کردن دوران‌ها از نظر محاسباتی سریع‌تر و از نظر عددی پایدارتر است. ماتریس دوران هر جهت‌گیری را می‌توان با شروع از یک جهت‌گیری استاندارد معین و انجام سه دوران ابتدایی بدست آورد. به طور هم ارز، هر ماتریس دوران R را می‌توان به صورت ضرب سه ماتریس دوران ابتدایی تجزیه کرد. به عنوان مثال: یک ماتریس دوران است که می‌تواند برای نشان دادن ترکیبی از دوران‌های بیرونی حول محورهای x, y, z (با همین ترتیب) یا ترکیبی از دوران‌های ذاتی حول محورهای z″-y′-x (با همین ترتیب) استفاده شود. با این حال، هر دو تعریف ماتریس دوران اولیه X, Y, Z و ترتیب ضرب آنها بستگی به تعریف کاربر از ماتریس دوران و زاویه‌های اویلر دارد (به ابهامات تعریف ماتریس دوران مراجعه کنید.) متأسفانه، کاربران در زمینه‌های مختلف قراردادهای متفاوتی را مورد استفاده قرار داده‌اند. جدول زیر مطابق این مجموعه قراردادها ساخته شده است: هر ماتریس از طریق ضرب چپ در بردارهای ستونی اعمال می‌شود (به ابهامات تعریف ماتریس دوران مراجعه کنید) هر ماتریس نشان دهنده‌ی یک دوران فعال است (قرار است ماتریس های سازنده و ترسیم شده بر روی مختصات بردارهای تعریف شده در قاب مرجع ثابت اولیه عمل کنند و در نتیجه مختصات یک بردار چرخان را تعریف شده در همان قاب مرجع ارائه دهند). منظور از هر ماتریس ، در درجه اول ، ترکیب چرخش های بیرونی (که مربوط به ارزیابی سازنده ماتریس R با ضرب سه ماتریس واقعاً ابتدایی است) و دوم ، ترکیب سه ماتریس غیر ابتدایی است که به صورت جهانی نشان دهنده چرخش های ذاتی است. فریم های مرجع دست راست به تصویب رسیده و از قانون دست راست برای تعیین علامت زاویه ها α ، β ، γ استفاده می شود. | ## جمع‌بندی | به منظور سادگی، جدول محصولات ماتریسی زیر از نامگذاری زیر استفاده می کند: X، Y، Z ماتریس‌هایی هستند که چرخش‌ها را حول محورهای ثابت x، y، z نشان می‌دهند (به عنوان مثال، Xα چرخش حول x را با زاویه α نشان می‌دهد).