موضوع مقاله: حساب دیفرانسیل | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # حساب دیفرانسیل | مقدمه: شیب خط مماس باجهت مثبت محور طول هامعادل مشتق تابع در نقطهٔ مشخص‌شده‌است.|جایگزین= در ریاضیات، حساب دیفرانسیل (دگرسانه ایی) یکی از زیرگردآورشهای حسابان است که به پرهانش نرخ تغییرات کمی ها می‌پردازد. | ## بخش 1: حساب دیفرانسیل | مشتق تابع در یک نقطهٔ دلخواه، نرخ تغییرات تابع در آن نقطه را بیان میکند و یا می استاهد (explain). از نظر هندسی، مشتق در یک نقطه شیب خط مماس روی نمودار تابع با جهت مثبت محور طول‌ها در همان نقطه است؛ به شرطی که مشتق در آن نقطه موجود باشد. مشتق تابع حقیقی یک‌متغیره در هر نقطه، بهترین تقریب خطی برای تابع در آن نقطه است. برای نمونه، در فیزیک، مشتق جابجایی یک جسم متحرک برحسب زمان نشان دهندهٔ سرعت آن جسم و مشتق سرعت برحسب زمان بیانگر شتاب است. مشتق زمان تکانهٔ P یک جسم برابر با نیروی وارد بر آن جسم است و بازنویسی این مشتق‌گیری هموگش آشنای را، که هم-پتواز coresponding با قانون دوم حرکت نیوتن است، به دست می‌دهد. مشتقات در تحقیق در عملیات، پربازده‌ترین روش‌های حمل مواد و طراح کارخانه‌ها را تعیین می‌کنند. هموگشهای دربرگیرندهٔ مشتقها، معادلات دیفرانسیل (هموگشان دگرسانه ایی) نامیده می‌شوند و در استاهیدن پدیده‌های زاستاری (natur زا و زایش) دارای اهمیت هستند. از مشتقات و هروین generalize آن‌ها در بسیاری از شاخه‌های ریاضیات، مانند آنالیز مختلط، آنالیز تابعی، هندسهٔ دیفرانسیل، نظریهٔ اندازه و جبر مجرد بهره برده می‌شود. در این رابطه، m شیب نامیده می‌شود و از رابطهٔ زیر محاسبه پذیر است: که در آن Δ (حرف یونانی بزرگ دلتا) نماد تغییرات است. از نظر هندسی، مشتق f در نقطهٔ x=a شیب خط مماس بر تابع f در نقطهٔ a است که معمولاً به صورت در نمادگذاری لاگرانژی یا در نمادگذاری لایبنیتزی نمایش داده می‌شود. از آنجایی که مشتق همان شیب تقریب خطی f در نقطهٔ a است، مشتق بهترین تقریب خطی f در نزدیکی a را به دست می‌دهد. اگر همهٔ نقاط a در دامنهٔ f مشتق‌پذیر باشند، تابعی هست، که برای هر نقطهٔ a مشتق f را برمی‌گرداند. تاریخ مشتق مفهوم مشتق در شکل خط مماس تاریخ بسیار کهنی دارد و برای هندسه‌دانان یونانی از جمله اقلیدس، ارشمیدس و آپولونیوس شناخته‌شده بوده‌است.کتاب اصول اقلیدس و را ببینید. ارشمیدس مفهوم بی‌نهایت کوچک را معرفی کرد، هرچند که این مفهوم برای پرهانش سطح‌ها و حجم‌ها به کار می‌رفت و توجهی به مشتق‌ها و مماس‌ها نمی‌شد. می‌توان بهره‌گیری از بی‌نهایت کوچک‌ها برای پرهانش نرخ تغییرات را در ریاضیات هند از حدود سال ۵۰۰ میلادی مشاهده کرد. آریابهاتا که اخترشناس و ریاضی‌دان بود، از این بگرت (از گرفتن) concept برای پرهانش حرکت ماه استفاده کرد. باسکارای دوم توسعهٔ قابل توجهی در استفاده از بی‌نهایت کوچک‌ها برای محاسبهٔ نرخ تغییرات ایجاد کرد. | ## بخش 2: حساب دیفرانسیل | که بسیاری از تعریف‌های کلیدی در حساب دیفرانسیل از جمله قضیهٔ رل، در کارهای او دیده می‌شود. شرف‌الدین طوسی، ریاضی‌دان ایرانی، نخستین کسی بود که مشتق چندجمله‌ای‌های درجه سه را کشف کرد.J. کتاب فی المعادلات او، بگرتهایی از جمله تابع مشتق و بیشینه و کمینهٔ منحنی را برای حل هموگشها درجه سه که ممکن است جواب مثبت نداشته باشند، توسعه داد. توسعهٔ نوین حسابان مدیون آیزاک نیوتن و گوتفرید لایبنیتس است که رویکردهای مستقل و یکسانی را برای مشتق‌گیری و مشتقات فراهم کردند. نکتهٔ اصلی که این اعتبار را به آن‌ها داد، قضیهٔ اساسی حسابان بود که مشتق و انتگرال را به یکدیگر مرتبط می‌کرد. این قضیه، بسیاری از روش‌های پیشین برای محاسبهٔ سطح‌ها و حجم‌ها را که از دوران ابن هیثم توسعهٔ چندانی نیافته بودند، منسوخ کرد.Victor J. در سدهٔ نوزدهم، ریاضی‌دانان دیگری از جمله آگوستین لویی کوشی، برنهارت ریمان و کارل وایرشتراس پژوهش در این زمینه را تکمیل کردند. کاربردهای مشتقات بهینه‌سازی اگر f تابعی مشتق‌پذیر در دامنهٔ ℝ (یا روی یک بازهٔ باز) باشد و x یک بیشینه و کمینه موضعی f باشد، مشتق f در x صفر است. برای بررسی وضعیت نقطهٔ بحرانی، مشتق دوم محاسبه می‌شود: اگر مثبت باشد، x کمینهٔ محلی است؛ اگر منفی باشد، x بیشینهٔ محلی است؛ اگر صفر باشد، وضعیت آن با بررسی مشتق دوم مشخص نمی‌شود. در روشی دیگر که آزمون مشتق اول نامیده می‌شود، علامت در دو سوی نقطهٔ بحرانی بررسی می‌شود. غالباً مشتق‌گیری و تعیین نقاط بحرانی، روش ساده‌ای برای یافتن کمینه‌ها و بیشینه‌های محلی است و در بهینه‌سازی قابل استفاده است. بر پایهٔ قضیهٔ مقدار نهایی، یک تابع پیوسته روی یک بازهٔ بسته باید دست‌کم یک مقدار بیشینه و کمینه داشته باشد. اگر تابع مشتق‌پذیر باشد، کمینه و بیشینه تنها می‌توانند در نقاط بحرانی یا نقاط انتهایی ظاهر شوند. به این منظور، مقدارهای ویژهٔ ماتریس هشین مشتقات جزئی دوم تابع در نقطهٔ بحرانی محاسبه می‌شوند. اگر برخی مثبت و برخی منفی باشند، نقطهٔ زینی است و اگر هیچ‌یک از موارد بالا نباشد (مثلاً برخی از ویژ-ارزه ها صفر باشند) آزمون بی‌نتیجه است. حساب تغییرات نمونه‌ای از مسائل بهینه‌سازی، یافتن کوتاه‌ترین مسیر میان دو نقطه روی یک سطح، با شرط قرار داشتن مسیر روی سطح است. اگر سطح مورد نظر یک صفحه باشد، کوتاه‌ترین مسیر خط راست است؛ ولی در سطح‌های دیگر، نمی‌توان کوتاه‌ترین مسیر را به سرعت مشخص کرد. | ## بخش 3: حساب دیفرانسیل | این مسیرها ژئودزیک نامیده می‌شوند و یکی از ساده‌ترین مسائل حساب تغییرات، محاسبهٔ ژئودزیک‌ها است. بسیاری از فرایندهای فیزیکی با معادلات شامل مشتقات توصیف می‌شوند و معادلات دیفرانسیل خوانده می‌شوند. فیزیک به‌ویژه با تغییرات کمیت‌ها در زمان سر و کار دارد و مفهوم مشتق زمانی (نرخ تغییر در زمان) برای تعریف دقیق چند مفهوم مهم، ضروری است. به‌طور خاص، مشتقات زمانی موقعیت جسم در فیزیک نیوتنی دارای اهمیت هستند: سرعتلحظه‌ای یک جسم، مشتق جابجایی آن برحسب زمان است. شتابلحظه ای یک جسم، مشتق سرعت آن برحسب زمان و مشتق دوم جابجایی جسم است برای نمونه، موقعیت جسم روی خط مستقیم به صورت زیر است: بنابراین سرعت آن برابر است با: و شتاب آن برابر است با: که مقداری ثابت است. معادلات دیفرانسیل معادلهٔ دیفرانسیل (هموگش دگرسانه ایی)، رابطه‌ای میان گردآورشی از تابع‌ها و مشتقات آن‌ها است. معادلهٔ دیفرانسیل معمولی گونه‌ای از معادلهٔ دیفرانسیل است که رابطهٔ میان تابع‌هایی از یک متغیر و مشتقات آن‌ها را نشان می‌دهد. معادلهٔ دیفرانسیل جزئی نوعی معادلهٔ دیفرانسیل است که رابطهٔ تابع‌هایی با بیش از یک متغیر و مشتقات جزئی آن‌ها را بیان می‌کند. برای نمونه، می‌توان قانون دوم نیوتن که رابطهٔ میان شتاب و نیرو را توصیف می‌کند، به صورت معادلهٔ دیفرانسیل معمولی نوشت: معادلهٔ گرمای یک‌بعدی که انتشار گرما در میلهٔ راست را توصیف می‌کند، گونه‌ای از معادلات دیفرانسیل جزئی است: که در آن دمای میله در موقعیت x و زمان t است و a ثابتی است که وابسته به سرعت انتشار گرما در میله است. قضیهٔ مقدار میانگین رابطه‌ای میان مقادیر مشتق و مقادیر تابع اصلی را به دست می‌دهد. اگر تابعی حقیقی باشد و a و b دو عدد باشند که ، قضیهٔ مقدار میانگین بیان می‌کند که شیب میان دو نقطهٔ و برابر با شیب خط مماس بر f در نقطه‌ای مانند c میان دو نقطهٔ a و b است. به عبارت دیگر: کاربرد قضیهٔ مقدار میانگین، وارسی تابع با استفاده از مشتق آن است. چندجمله‌ای‌های تیلور و سری تیلور مشتق تابع ، بهترین تقریب خطی ممکن آن را در نقطهٔ دلخواه ارائه می‌دهد؛ ولی این تقریب می‌تواند بسیار متفاوت از مقدار واقعی باشد. به بیان ریاضی، تقریب خطی تابع حقیقی به صورت است، در حالی که ممکن است چندجمله‌ای درجه دوم به صورت تقریب دقیق‌تری از تابع باشد. برای این چندجمله‌ای‌ها باید بهترین گزینهٔ ممکن برای تعیین ضرایب a و b و غیره موجود باشد که تقریب را تا جای ممکن بهبود بخشد. برای درجه‌های بالاتر نیز می‌توان این ضرایب را برحسب مشتقات مرتبه‌های بالاتر f محاسبه کرد. | ## جمع‌بندی | توابع دارای ناپیوستگی یا گوشه‌های تیز، هرگز نمی‌توانند تحلیلی باشند؛ ولی برخی توابع نرم نیز تحلیلی نیستند.