موضوع مقاله: پارادوکس دوستی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # پارادوکس دوستی | مقدمه: این پارادوکس بیان می‌کند که بیشتر انسان‌ها تعداد دوستان کمتری از میانگین تعداد دوستان دوستانشان دارند. | ## بخش 1: پارادوکس دوستی | این پدیده می‌تواند نمونه‌ای از یک سوگیری نمونه‌گیری باشد که در آن احتمال وجود کسانی که تعداد زیادی دوست دارند در بین دوست‌های یک فرد بالا است. به‌طور کلی این پارادوکس در جواب مسائل جامعه‌شناسی مانند «چرا دوستانمان از ما ثروتمندتر هستند؟» و سؤالاتی از این قبیل نیز مطرح می‌شود. همچنین این پارادوکس در باب دنبال کردن روند شیوع یک بیماری واگیردار هم کاربرد گسترده‌ای دارد. اثبات ریاضی اگرچه مسئلهٔ دوستی ظاهری متناقض‌نما دارد اما قابل اثبات توسط رابطه‌های ریاضی است و به‌طور مستقیم به نامساوی کوشی-شوارتز و نامساوی حسابی-هندسی مربوط است. به‌طور دقیق در اثبات ریاضی این پدیده، شبکهٔ اجتماعی یک گراف سادهٔ بدون جهت است که مجموعهٔ رأس‌ها، و نشانگر افراد شبکه، و مجموعهٔ یال‌های گراف و نشان‌دهندهٔ رابطهٔ دوستی بین دو فرد است. ابتدا میانگین تعداد دوست‌های یک فرد محاسبه می‌شود به این‌صورت که تعداد کل روابط دوستی (یال‌ها) تقسیم بر تعداد افراد (رأس‌ها می‌شود): '''''' سپس برای محاسبهٔ میانگین دوستان دوست یک فرد، فردی را به صورت تصادفی انتخاب کرده و از بین دوستان او نیز به صورت تصادفی یک فرد (رأس) را انتخاب کرده و درجهٔ رأس را محاسبه می‌کنیم. برای گرافی که رأس‌هایش درجه‌های متفاوتی داشته باشند و مثبت اند و درنتیجه که همان صورت پارادوکس دوستی است. یک روش تحلیل عبارتی که را نتیجه می‌دهد این است که اگر نشان‌دهندهٔ دوستی دو فرد و باشد آنگاه فرد ادعا می‌کند دوستی دارد که تا دوست دارد. | ## بخش 2: پارادوکس دوستی | از آنجا که دقیقاً عدد دوست دارد پس فرد ادعای مشابهی با دارند، یعنی برای هر فرد ، عدد از این ادعای دوستی وجود دارد. حال اگر این مقدار را برای همهٔ رئوس جمع کنیم و تقسیم بر جمع همهٔ درجات (تعداد کل دوستی‌های موجود) کنیم بدست می‌آید. یک اثبات ریاضی دقیق برای بدست آوردن به‌صورت زیر است: اگر درجهٔ رأس از یک گراف رأسی را با نشان دهیم و را برابر یک تعریف کنیم هرگاه بین رأس و یالی باشد و صفر تعریف کنیم هرگاه یالی نباشد آنگاه داریم: را میانگین دوستان دوست‌های فرد متناظر رأس تعریف می‌کنیم داریم: که در حقیقت درجات همهٔ رئوس همسایهٔ رأس را جمع کرده و و تقسیم بر تعداد رئوس همسایه (تعداد دوستان) رأس می‌کند. پس برای می‌توانیم بنویسیم: و از آنجا که داریم: بنابراین: که برابر همان عبارت بالا برای است. اگرچه رابطهٔ یک رابطهٔ ریاضی قطعی نیست و ممکن است گرافی نزدیک به گراف کامل وجود داشته باشد که در آن صورت اکثر رئوس درجهٔ بیشتری از میانگین درجات رئوس همسایه خود دارند اما پیدایش همچین گرافی در شبکه‌های اجتماعی محتمل نیست. کاربردها یکی از نتایج پارادوکس دوستی این است که اگر فردی را به صورت تصادفی از یک شبکهٔ اجتماعی انتخاب کنیم، دوستان این شخص احتمالاً مرکزیت بالاتری نسبت به میانگین دارد. از این ویژگی در دنبال کردن شیوع بیماری‌های واگیردار استفاده می‌شود، به طوری که در عوض بررسی مرکزیت همهٔ رئوس گراف شبکه اجتماعی که کاری پیچیده است، فقط افرادی از آن به صورت تصادفی انتخاب شده و دنبال می‌شوند. کریستاکیس (به انگلیسی: Christakis) در تحقیقی نشان داد که با استفاده از پارادوکس دوستی نحوهٔ شیوع سرماخوردگی را می‌شود دو هفته زودتر از روش عادی پیش‌بینی، حدس زد. | ## بخش 3: پارادوکس دوستی | به بیان او:"در روش عادی پیگیری شیوع یک بیماری معمولاً نمونه‌هایی تصادفی از افراد شبکه مورد بررسی قرار می‌گیرند یا افراد پس از بیمار شدن بررسی و دنبال می‌شوند اما این روش تنها بخشی از آن‌چه در حال رخ دادن است را نشان می‌دهد. در مقابل با دنبال کردن دوستان یک گروه تصادفی و مقایسه آنها می‌توان نحوهٔ شیوع یک بیماری را بسیار سریعتر و قبل از این‌که کل شبکه را در بر بگیرد پیشبینی کرد."همچنین تعمیم پارادوکس دوستی بیان می‌کند که پارادوکس دوستی به دیگر ویژگی‌های یک شبکهٔ اجتماعی تعمیم پیدا می‌کند. به‌طور مثال در بررسی انجام شده روی نویسندگان مشخص شده که یک نویسنده معمولاً درآمد، تعداد نشریات و … کمتری نسبت به نویسندگان همکار خود دارد. یا در شبکه‌های مجازی تعداد دنبال‌کننده‌های یک فرد از میانگین دنبال‌کنندگان کسانی که او را دنبال می‌کنند کمتر است. به‌طور مثال ویژگی یاد شده برای ۹۸ درصد از کاربران فیس‌بوک که ۱۰ درصد از جمعیت جهان را در سال ۲۰۱۸ تشکیل می‌دهند، صادق است. مثال +جدول حاصل از تحقیق James Coleman در ۱۹۶۱دانش‌آموزتعداد دوستانمیانگین تعداد دوستان دوست‌ها۱۱۴۲۱۲۳۲۲۴۳۳٫۳۵۴۲٫۸۶۴۳۷۳۳٫۳۸۲۳٫۵۹۲۴۱۰۳۳۱۱۵۲٫۲۱۲۲۴۱۳۲۳٫۵۱۴۲۳٫۵ این جدول نشان‌دهندهٔ نتایج تحقیق جیمز کُلمن (به انگلیسی: James Coleman) بر روی رابطهٔ دوستی افراد یک دبیرستان در سال ۱۹۶۱ است که اولین بار مورد بررسی فِلد برای پارادوکس دوستی قرار گرفت. در این سری از داده ۱۴ فرد وجود دارند که تعداد دوستان هر یک و میانگین تعداد دوستان دوست‌های هر فرد مقابل آن ثبت شده است. همان‌طور که از جدول بر می‌آید از بین ۱۴ نفر ۹ نفر هستند که دوستانشان به صورت میانگین دوستان بیشتری دارند، در دو نفر این مقدار برابر و فقط در مورد ۳ نفر تعداد دوستان شخص از میانگین تعداد دوستان دوست‌های شخص بیشتر است. | ## جمع‌بندی | به‌طور میانگین افراد ۲٫۶ دوست دارند درحالی‌که دوستان یک شخص به‌طور میانگین ۳٫۲ دوست دارند.