موضوع مقاله: رنگ‌آمیزی فهرستی گراف | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # رنگ‌آمیزی فهرستی گراف | مقدمه: در نظریه گراف، که شاخه‌ای از ریاضیات است، رنگ‌آمیزی لیستی نوعی از رنگ‌آمیزی گراف است. | ## بخش 1: رنگ‌آمیزی فهرستی گراف | در این رنگ‌آمیزی برای هرراس لیستی از رنگ‌ها وجود دارد که آن راس می‌تواند توسط یکی از رنگ‌های این لیست رنگ شود. تعریف G را یک گراف در نظر بگیرید و برای هر راس مانند v از گراف، (L(v را لیستی از رنگ‌های موجود برای آن رأس، تعریف کنید. رنگ‌آمیزی لیستی یک رنگ‌آمیزی انتخابی است که به هر راس مانند v یک رنگ دلخواه از لیست رنگ‌های آن راس L(v) متناظر می‌کند. یک گراف را k-لیست رنگ‌پذیر می‌نامیم هرگاه مستقل از این که لیست k رنگیِ رنگ‌های هر راس چیست، یک رنگ‌آمیزی لیستی خوب برای آن وجود داشته‌باشد. به بیان دقیق‌تری، برای یک تابع مانند f که به هر راس مانند v یک عدد صحیح مثبت، (f(v را نسبت می‌دهد، گراف G را f-لیست رنگ‌پذیر می‌نامند، هرگاه مستقل از این که لیست (f(v رنگیِ هر راس مانند v شامل چه رنگ‌هایی باشد، یک رنگ‌آمیزی لیستی خوب برای آن وجود داشته‌باشد. به‌طور خاص اگر برای هر راس مانند f(v) = k ،v باشد، گراف k-لیست رنگ‌پذیر می‌باشد. اهمیتی ندارد که کدام رنگ‌ها برای 3 رأس وسط انتخاب شود، یکی از ۲۷ رأس بیرونی بدون رنگ خواهد ماند، که نشان می دهد عدد رنگی لیستی برای گراف K3,27 حداقل ۴ است. | ## بخش 2: رنگ‌آمیزی فهرستی گراف | در بخشی از این گراف دو بخشی که q راس دارد، هر راس از گراف را متناظر با مجموعه‌ای از رنگ‌ها در نظر می‌گیریم که رقم باارزش آن‌ها یکسان است. در بخش دیگر از این گراف دو بخشی، به هر راس از qq راس این گراف یک مجموعه از رنگ‌ها مانند {... در این گراف دو راس واقع در یک بخش این گراف مجموعه رنگ‌های {00,01}, {10,11} و 4 راس واقع در بخش دیگر گراف مجموعه رنگ‌های {00,10}, {00,11}, {01,10}, {01,11} را دارند. مستقل از این که چه رنگی برای هر راس انتخاب شود، در بخش بزرگ‌تر راسی که لیست رنگی آن برابر با مجموعه رنگ‌های بخش کوچک‌تر است، نمی‌تواند رنگ شود. برای مثال اگر راس با لیست رنگی {00,01} با 01 و راس با لیست رنگی {10,11} با 10 رنگ شود، سپس راس با لیست رنگی {01,10} با هیچ‌کدام از دو رنگ 01 و 10 نمی‌تواند رنگ شود. فرض کنید 2k-1 رنگ موجود باشد و در یک بخش از گراف هر راس با بقیه رئوس در یک k-تایی از این رنگ‌ها متفاوت باشد. پس هر بخش از گراف باید حداقل از k رنگ استفاده کند، در غیر این‌صورت، بعضی از راس‌ها، بی‌رنگ می‌مانند، اما این شرط باعث می‌شود که دو راس مجاور هم‌رنگ باشند. | ## بخش 3: رنگ‌آمیزی فهرستی گراف | به‌طور خاص گراف مسئله سه روستا، 3-لیست رنگ‌پذیر و گراف کامل دوبخشی که هر بخش آن n رأس دارد ۴-لیست رنگ‌پذیر است. یک گراف k لیست رنگ‌پذیر، یک رنگ‌آمیزی لیستی خوب دارد، پس این گراف یک رنگ‌آمیزی معمولی با K رنگ دارد. (ch(G معمولاً، توسط عدد رنگی محدود نمی‌شود، به عبارتی ch(G) ≤ f(χ(G به‌طور معمول برای هیچ تابعی مانند f برقرار نخواهد بود. به‌طور خاص، همان‌طور که مثال‌های گراف کامل دوبخشی نشان می‌دهد، گراف‌هایی وجود دارد که χ(G) = 2 ولی (ch(G تقریباً بزرگی دارند. تصمیم می‌گیرد که گراف داده شده f-لیست رنگ‌پذیر است یا نه، به ازای یک تابع داده شده مسئلهٔ k-لیست رنگ‌پذیری در گراف‌های دوبخشی برای هر k'' ≥ 3 -کامل است، و به‌طور مشابه برای 4-لیست رنگ‌پذیری در گراف‌های مسطح، 3-لیست رنگ‌پذیری در گراف‌های بدون مثلثی، (2, 3)-لیست رنگ‌پذیری برای گراف‌های مسطح دوبخشی. برای این کار به‌طور مکرر راس‌های درجه صفر یا یک را حذف می‌کنیم تا جایی که به یک گراف با بیشینه درجه‌ی دو برسیم. | ## جمع‌بندی | گراف اولیه k-لیست رنگ‌پذیر است اگر و تنها اگر گراف ساده شده یک دور زوج یا یک گراف تتا باشد که از سه مسیر با نقطهٔ پایانی مشترک تشکیل شده‌باشد، که طول 2 تا از آن‌ها دو و طول سومی زوج باشد.