موضوع مقاله: شبکه بی‌مقیاس | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # شبکه بی‌مقیاس | مقدمه: توزیع از یک فرم تحلیلی تبعیت می‌کند که با نسبت دو تابع گاما درست می‌شود (خط سیاه) که یک توزیع توانی را تقریب می‌زند. | ## بخش 1: شبکه بی‌مقیاس | شبکه بی‌مقیاس یا شبکه مقیاس ناوردا یا شبکه مستقل از مقیاس شبکه‌ای است که توزیع درجه آن، دست کم به شکل مجانبی، توانی باشد. یعنی نسبت از گره‌ها در شبکه که تعداد اتصال با بقیه گره‌ها دارند، در مقادیر بزرگ به صورت ‌ رشد می‌کند که پارامتری است که مقدار آن به‌طور معمول در بازه قرار دارد (حالتی که در آن ممان دوم (پارامتر مقیاس) برای بی‌نهایت است اما ممان اول آن محدود است)، البته بعضی اوقات ممکن است در خارج این کران‌ها قرار بگیرد. نام «بی‌مقیاس» می‌تواند به این اشاره کند که برخی ممان‌های توزیع درجه تعریف‌نشده هستند، طوری که شبکه یک مقیاس یا «اندازه» مشخصه ندارد. بسیاری از شبکه‌ها بی‌مقیاس گزارش شده‌اند، با این حال بررسی آماری بسیاری از این ادعاها را نفی کرده‌است و بقیه را هم شدیداً به چالش کشده است. علاوه بر این، برخی استدلال می‌کنند با توجه به تعاریف دقیق آماری، که دانستن اینکه توزیع درجه دم‌کلفت است، از دانستن اینکه یک شبکه بی‌مقیاس است، مهم‌تر است. اتصال ترجیحی و مدل سازگاری، به عنوان سازوکارهایی برای توجیه توزیع توانی پیشبینی شده در شبکه‌های واقعی، ارائه شده‌اند. مدل‌های دیگر مثل اتصال ترجیحی غیرخطی و اتصال ترجیحی همسایه دومی، شاید به نظر برسد می‌توانند به‌طور موقت شبکه‌های بی‌مقیاس ایجاد کنند، اما توزیع درجه ایجادشده، با بزرگ شدن شبکه از توزیع توانی فاصله می‌گیرد. تاریخ در مطالعات شبکه‌های ارجاعات بین مقاله‌های علمی، درک د سولا پرایس در سال ۱۹۶۵ نشان داد که تعداد پیوندهای به مقالات (همان تعداد ارجاعاتی که دریافت می‌کنند) توزیع دم‌سنگین دارند که از توزیع پارتو یا توزیع توانی پیروی می کنند، و بنابراین شبکه ارجاعات بی‌مقیاس است. در مقاله‌ای دیگر در سال ۱۹۷۶، پرایس سازوکاری برای پیدایش توزیع توانی در شبکه‌های ارجاعات ارائه داد که آن را «برتری فزاینده» نامید، اما امروزه بیشتر به عنوان اتصال ترجیحی شناخته می‌شود. گرایش به شبکه‌های بی‌مقیاس با کار آلبرت-لازلو باراباشی و ریکا آلبرت در دانشگاه نوتردام در سال ۱۹۹۹ شروع شد، که توپولوژی بخشی از وب جهان‌گستر را نقشه‌کشی کردند. آن‌ها یافتند که بعضی گره‌ها از بقیه تعداد خیلی بیشتری اتصال دارند، که آن‌ها را «هاب» (در فارسی «شاه‌رأس») نام‌گذاری کردند، و به‌طور کلی شبکه یک توزیع توانی برای تعداد پیوندهای گره‌ها دارد. بعد از یافتن تعداد دیگری شبکه که توزیع درجه دم‌سنگین داشتند، از جمله بعضی شبکه‌های اجتماعی و زیستی، باراباشی و آلبرت عبارت «شبکه بی‌مقیاس» را ابداع کردند تا دسته‌ای از شبکه‌ها را توصیف کنند که توزیع درجه توانی دارند. با این وجود، با بررسی هفت مثال از شبکه‌ها در سامانه‌های اجتماعی، اقتصادی، تکنولوژیک، زیستی و فیزیکی، آمارال و همکاران او نتوانستند شبکه بی‌مقیاسی بین آن‌ها پیدا کنند. تنها یکی از این مثال‌ها، شبکه بازیگر فیلم، توزیع درجه توانی برای های غیربزرگ داشت، که حتی بخش توانی آن هم به یک ناحیه انقطاع تیز ختم می‌شود که رفتار افت نمایی برای های بزرگ دارد. باراباشی و آلبرت یک سازوکار برای تولید کردن توزیع‌های توانی در شبکه‌ها ارائه دادند که آن را «اتصال ترجیحی» نام‌گذاری کردند. حل تحلیلی برای این سازوکار (که مشابه حل پرایس بود) در ۲۰۰۰ توسط دوروگووْزتِو، مِندِز و ساموخین و به‌طور مستقل از گروه قبل توسط کراپیوْسکی، رِدنِر و لِیوْراز ارائه شد و بعدتر توسط بیلا بولوباس ریاضی‌دان به‌طور دقیق اثبات شد. البته که این سازوکار، فقط یک زیرمجموعه خاص از شبکه‌های بی‌مقیاس را می‌سازد و تعداد زیادی سازوکار دیگر از آن موقع کشف شده است. به عنوان مثال، سه برادران فالوتسوس، بر اساس داده‌های تریس روت، معتقد بودند که اینترنت توزیع درجه توانی دارد؛ اما پیشنهاد شده که این یک واهمه لایه ۳ است که توسط روترها ایجاد می‌شود، که به صورت گره‌های درجه‌بالا به نظر می‌آیند در حالی که لایه ۲ را پنهان می‌کند که همان ساختار سامانه‌های خودگردانی است که به هم وصلشان می‌کنند. | ## بخش 2: شبکه بی‌مقیاس | به عنوان مثال، لی و همکاران او (۲۰۰۵) «متریک بی‌مقیاس» را ارائه دادند که می‌تواند دقیق‌تر باشد. به‌طور خلاصه، اگر یک گراف با مجموعه یال باشد، و درجه رأس (یعنی همان یال‌های وصل به ) با نشان داده شود، تعریف می‌کنیم . این هنگامی بیشینه می‌شود که گره‌های درجه‌بالا به بقیه گره‌های درجه‌بالا وصل شده باشند. حال تعریف می‌کنیم ، که مقدار بیشینه برای در مجموعه تمام گراف‌ها با توزیع درجه مشابه است. این یک متریک بین صفر و یک می‌دهد، که یک گراف با S(G) کوچک «بامقیاس» است، و یک گراف با نزدیک یک «بی‌مقیاس» است. مرور کلی وقتی مفهوم «بی‌مقیاسی» اولین بار در زمینه شبکه‌ها معرفی شد، به یک جنبه خاص اشاره می‌کرد: یک توزیع توانی برای متغیر که به شکل توصیف می‌شود. در زمینه شبکه‌ها، «مقیاس» یک معیار برای میزان اتصال است، و به‌طور کلی با درجه یک گره سنجیده می‌شود، یعنی همان تعداد پیوند‌های متصل به آن. توزیع درجه توانی به ما این قابلیت را می‌دهد که ادعاهای «بی‌مقیاس» در مورد شیوع گره‌های درجه‌بالا کنیم. به عنوان مثال، می‌تونیم بگوییم «گره‌های با اتصال سه برابر میانگین، با احتمال نصف گره‌هایی با اتصال میانگین پیدا می‌شوند.» مقدار عددی دقیق اینکه دقیقاً چه چیزی «اتصال میانگین» است مهم نیست، چه صد باشد چه یک میلیون. درجه‌بالاترین گره‌ها «شاه‌رأس» (در انگلیسی hub) نامیده می‌شوند، و گمان می‌رود نقش خاصی در شبکه‌های خود دارند، البته که این به شدت وابسته به دامنه است. خوشگی یک ویژگی مهم دیگر شبکه‌های بی‌مقیاس، توزیع ضریب خوشگی آن‌ها است، که با افزایش درجه گره، کاهش پیدا می‌کند. این نشان می‌دهد گره‌های درجه‌پایین به زیرگراف‌های بسیار چگال تعلق دارند که توسط شاه‌رأس‌ها به هم وصل شده اند. یک شبکه اجتماعی را در نظر بگیرید که در آن گره‌ها مردم هستند و پیوندها روابط آشنایی بین آن‌ها هستند. به سادگی می‌توان دید که مردم به تشکیل «انجمن» گرایش دارند، یعنی گروه‌های کوچکی که در آن‌ها همه یکدیگر را می‌شناسند (می‌توان چنین انجمنی را به یک گراف کامل تشبیه کرد). بعضی افراد هم به تعداد انجمن‌های زیادی متصل هستند (به عنوان مثال افراد مشهور یا سیاست‌مداران). این افراد را می‌توان به عنوان شاه‌رأس‌هایی در نظر گرفت که باعث ظهور پدیده‌ی دنیای کوچک می‌شوند. به عنوان مثال، شبکه‌هایی که با روش اتصال ترجیحی ایجاد شده اند به‌طور معمول رأس‌های درجه‌بالا را در وسط شبکه قرار می‌دهند، یعنی به نوعی آن‌ها را با هم به یک هسته وصل می‌کند، و رأس‌هایی که به تدریج کم‌درجه‌تر می‌شوند فضای بین این هسته و محیط را پر می‌کنند. حذف تصادفی حتی نسبت بزرگی از رأس‌ها اتصال کل شبکه را خیلی کم تحت تأثیر قرار می‌دهد، که پیشنهاد می‌کند این توپولوژی‌ها می‌توانند برای امنیت شبکه سودمند باشند، در حالی که حمله‌های هدفمند به‌سرعت اتصال این شبکه‌ها را از بین می‌برد. | ## بخش 3: شبکه بی‌مقیاس | شبکه‌های بی‌مقیاس دیگر، که رأس‌های درجه‌بالا را در محیط قرار می‌دهند، این ویژگی‌ها را نشان نمی‌دهند. به‌طور مشابه، ضریب خوشگی شبکه‌های بی‌مقیاس، وابسته به جزئیات تولوژی، می‌تواند به شدت تغییر کند. مقاوم‌سازی مسئله مقاوم‌سازی بهینه شبکه‌های بی‌مقیاس که نماینده شبکه‌های واقعی مثل اینترنت و شبکه‌های اجتماعی هستند، مورد مطالعه بسیار قرار گرفته است. به عنوان مثال، حمله‌های هدفمند (بین‌المللی) تعداد گره‌های کمی را حذف می‌کنند، بنابراین گره‌های کمتری نیاز است مقاوم‌سازی شوند. با این حال، در خیلی شرایط واقعی، ساختار جهانی در دسترس نیست و گره‌های با بیشترین درجه شناخته‌شده نیستند. علیرضا مشاقی و همکاران او، به عنوان مثال، نشان داده اند که یک تبدیل که گراف‌های تصادفی را به گراف‌های پیوند-دوگان آن‌ها (یا گراف‌های خطی) می‌برد، یک آنسامبل از گراف‌ها با توزیع درجه تقریباً یکسان تولید می‌کند، اما با هم‌بستگی درجه و ضریب خوشگی به حد قابل توجهی بالاتر. مثال‌ها با این وجود که بسیاری از شبکه‌های جهان واقعی بی‌مقیاس پنداشته می‌شوند، مستندات موجود نتیجه قطعی در این مورد نمی‌دهند، که به دلیل بالا رفتن آگاهی در مورد روش‌های دقیق‌تر تحلیل آماری است. بدین ترتیب، ذات بی‌مقیاسی بسیاری از شبکه‌ها همچنان توسط جامعه علمی مورد بحث است. تعدادی مثال از شبکه‌هایی که ادعا شده بی‌مقیاس هستند عبارتند از: بعضی شبکه‌های اجتماعی، مانند شبکه‌های همکاری. دو مثال که بسیار مطالعه شده اند شبکه همکاری بازیگران فیلم‌ها و همکاری در نوشتن مقاله توسط ریاضی‌دان‌ها. ویژگی‌های یک ابررسانای دما بالا، ماده‌ای که در آن الکترون‌ها از قوانین مکانیک کوانتومی پیروی می‌کنند، و با هماهنگی بی‌نقص، بدون هیچ اتلافی حرکت می‌کنند، به نظر می‌آید که به چینش فراکتالی اتم‌های به‌نظر تصادفی اکسیژن و اعوجاج شبکه مرتبط باشند. یک ساختار سلولی فضاپرکن، شبکه ورقه‌ای وزن‌دار تصادفی (WPSL)، اخیراً ارائه شده که از توزیع توانی پیروی می‌کند. این نشان می‌دهد که شبکه تعداد اندکی بلوک دارد که تعداد شگفت‌آور زیادی همسایه دارند که با آن‌ها مرز مشترک دارند. ساخت آن با یک بلوک اولیه شروع می‌شود، مثلاً یک مربع با مساحت واحد، و یک مولد که آن را به صورت تصادفی به چهار بلوک تقسیم می‌کند. مولد بعد از آن پشت سر هم اعمال می‌شود، و در هر مرحله فقط روی یکی از بلوک‌ها که با توجه به مساحت آن به صورت ترجیحی انتخاب شده عمل می‌کند. دوگان WPSL (DWPSL)، که با جایگزینی هر بلوک با یک گره در مرکز آن و هر مرز مشترک بین بلوک‌ها با پیوند وصل کننده گره‌های آن بدست می‌آید، شبکه‌ای با توزیع درجه توانی است. | ## جمع‌بندی | دلیل آن این است که با پیروی از قانون اتصال میانه‌ای رشد می‌کند که نهفته در خود قانون اتصال ترجیحی را دارد.