موضوع مقاله: چندجمله‌ای‌های برنشتاین | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # چندجمله‌ای‌های برنشتاین | مقدمه: با ظهور گرافیک رایانه ای ، چند جمله های برنشتاین ، محدود به فاصله [0 ، 1] ، به شکل منحنی های بزیر شناخته شدند. | ## بخش 1: چندجمله‌ای‌های برنشتاین | به عنوان مثال ، اولین چند جمله های اساسی برنشتاین برای ترکیب مقدارهای 1 ، 2 ، 3 یا 4 با هم عبارتند از: چند جمله ای های پایه برنشتاین درجه n حداکثر مبنایی را برای فضای برداری P n از چند جمله ای های درجه n با ضرایب واقعی تشکیل می دهد. از اولین چند جمله ای های مبتنی برنشتاین در زیر آمده است که از بالا، دارای فقط یک جمله هستند: خواص چند جمله ای های برنشتاین دارای ویژگی های زیر است: ، اگر یا برای و جایی که تابع دلتا Kronecker است: ریشه ای با کثرت در نقطه دارد.(توجه داشته باشید: اگر ، هیچ ریشه ای در 0 وجود ندارد). مشتق را می توان به عنوان ترکیبی از دو چند جمله ای درجه پایین نوشت: تبدیل چند جمله ای برنشتاین به یک جمله است و تحول دوجمله ای معکوس توسط تبدیل معکوس، عبارت است از: انتگرال نامعین توسط داده می شود انتگرال مشخص، برای n مشخص شده به صورت زیر تعریف میشود: اگر ، سپس در این فاصله حداکثر محلی منحصر به فرد دارد در . این حداکثر مقدار زیر را می گیرد: چند جمله ای های درجه برنشتاین تقسیم وحدت را تشکیل دهید : با گرفتن اولین مشتق از ، و تلقی به عنوان ثابت ، سپس با جایگزین کردن ، می توان نشان داد که به همین ترتیب چ مشتق دوم از ، با جایگزین شدن دوباره با عبارت ، ، نشان میدهد که یک چند جمله ای برنشتاین را همیشه می توان به صورت ترکیبی خطی از چند جمله ای های درجه بالاتر نوشت: گسترش چندجملهای چبیشف نوع اول به مبنای برنشتاین تقریب توابع مداوم ƒ را به عنوان یک تابع پیوسته در بازه [0، 1] چند جمله ای برنشتاین را در نظر بگیرید می توان نشان داد که به طور یکنواخت در فاصله [0 ، 1] Natanson (1964) p. 6 چند جمله ای های برنشتاین یک روش برای اثبات قضیه تقریب Weierstrass ارائه می دهد که هر تابع مداوم با ارزش واقعی در یک بازه واقعی [ a ، b ] را می توان با توابع چند جمله ای بیش از یکنواخت تقریب زد . | ## بخش 2: چندجمله‌ای‌های برنشتاین | 3 در بیانی عمومی تر برای یک تابع با K مستمر هفتم مشتق علاوه بر این یک مقدار ویژه B n است ؛ عملکرد ویژه مربوط به آن چند جمله ای درجه است ک اثبات احتمالی این اثبات از اثبات اصلی برنشتاین در سال 1912 پیروی می کند. فرض کنید K است متغیر تصادفی به عنوان تعداد موفقیتها در n را مستقل توزیع برنولی با احتمال x از موفقیت در هر آزمایش به؛ به عبارت دیگر ، K دارای توزیع دوجمله ای با پارامترهای n و x سپس مقدار مورد انتظار را داریم و طبق قانون ضعیف تعداد زیادی نظریه احتمال ، برای هر δ > 0 علاوه بر این، این رابطه دارای یکنواخت در X، که می توان از اثبات آن از طریق دیده نابرابری چبیشف ، با توجه به که واریانس K، برابر × (1 − X) است، از بالا توسط از x محدود بدون در نظر گرفتن. از آنجا ƒ مستمر بودن در یک فاصله زمانی بسته و کراندار، باید یکنواخت پیوسته در آن بازه، یک نوشتار بیانیه ای از فرم بصورت یکنواخت در x . با در نظر گرفتن اینکه ƒ محدود است (در فاصله زمانی مشخص) فرد می تواند انتظار را بدست آورد بصورت یکنواخت در x . در قسمت دیگر این اختلاف از ε فراتر می رود ، اما از 2 M فراتر نمی رود ، جایی که M حد بالایی برای | است ƒ (x) | این قسمت نمی تواند بیش از 2 M برابر احتمال کوچک اختلاف بیش از ε باشد . | ## بخش 3: چندجمله‌ای‌های برنشتاین | سرانجام ، یکی مشاهده می کند که مقدار مطلق تفاوت بین انتظارات هرگز از انتظار مقدار مطلق اختلاف فراتر نمی رود و اثبات ابتدایی اثبات احتمال را می توان به روش ابتدایی ، با استفاده از ایده های احتمالی اساسی ، اما با تأیید مستقیم ادامه داد: هویت های زیر را می توان تأیید کرد: (3) ("احتمال") (2) ("میانگین") (3) ("واریانس") در واقع ، با قضیه دو جمله ای و این معادله را می توان دو بار به . در این سه هویت ، از علامت چند جمله ای مبانی فوق استفاده کنید و اجازه دهید بنابراین ، توسط هویت (1) به طوری که از آنجا که f یکنواخت پیوسته است ، داده می شود ، وجود دارد به طوری که هر زمان که . از طرف دیگر ، با هویت (3) در بالا ، و از آن زمان ، جمع دوم با 2 M بار محدود می شود ( نابرابری چبیشف ) که آن را زیر چند جمله ای f N تمایل به F یکنواخت. چند جمله ای های بدست آمده به شکل در ساده ترین حالت فقط محصولات فاصله واحد در نظر گرفته می شوند. اما ، با استفاده از تبدیل های آفینی خط ، چندین جمله های برنشتاین را می توان برای محصولات . | ## جمع‌بندی | برای یک تابع مداوم روی محصول برابر برابر واحد ، اثبات اینکه می تواند به طور یکسان تقریب شود گسترش مستقیم اثبات برنشتاین در یک بعد است.