موضوع مقاله: جسم افلاطونی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # جسم افلاطونی | مقدمه: می‌توان نشان داد که در فضای سه‌بعدی تنها پنج جسم افلاطونی هست، که عبارتند از: چهاروجهی منتظم، متشکل از چهار مثلث متساوی‌الاضلاع، شش‌وجهی منتظم (مکعب)، متشکل از شش مربع، هشت‌وجهی منتظم، متشکل از هشت مثلث متساوی‌الاضلاع، دوازده‌وجهی منتظم، متشکل از دوازده پنج‌ضلعی منتظم، بیست‌وجهی منتظم، متشکل از بیست مثلث متساوی‌الاضلاع. | ## بخش 1: جسم افلاطونی | وجه‌های هر کدام از این چندوجهی‌ها چندضلعی‌هایی منتظم و هم‌نهشتند و تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر رأس آنان به یکدیگر می‌رسند. شش‌وجهی منتظم (مکعب) با هشت‌وجهی منتظم، دوازده‌وجهی منتظم با بیست‌وجهی منتظم، و چهاروجهی منتظم با خودش مزدوجند؛ یعنی با وصل کردن نقطهٔ وسط وجه‌های یکی می‌توان دیگری را ساخت. عنوان این چندوجهی‌ها از نام افلاطون، فیلسوف یونانی، گرفته شده‌است که در نقل داستان آفرینش در دیالوگ تیمائوس، این چندوجهی‌ها را به عناصر تشکیل‌دهندهٔ گیتی نسبت می‌دهد. اقلیدس، فیثاغوری‌ها، و ابوالوفا بوزجانی نیز در باب اجسام افلاطونی پژوهش کرده‌اند. ستاره‌شناس آلمانی یوهانس کپلر هم هندسهٔ جهان را بر اساس اجسام افلاطونی می‌دانست و از ویژگی‌های آنان در وضع قوانین کپلر بهره برد. اجسام افلاطونی در آثار هنرمندانی چون موریس اشر و سالوادور دالی خودنمایی می‌کنند و در طبیعت نیز می‌توان آنان را در ساختارهای بلوری و هیبت برخی تک‌یاختگان و ویروس‌ها یافت. تاریخ تقارن و زیبایی اجسام افلاطونی الهام‌بخش معماران، هنرمندان، و صنعتگران از مصر باستان تا کنون بوده‌است، و ویژگی‌های آنها پژوهشگران را از روزگار افلاطون تا رنسانس به‌خود مشغول داشته بود. یافته‌های باستان‌شناختی از ۴٬۰۰۰ سال پیش در اسکاتلند هم شامل نقش‌هایی حک‌شده در سنگ از اجسام افلاطونی است. یونان باستان + ساختار هندسی عناصر هستی به گفتهٔ افلاطون چهاروجهی آتش مکعب خاک هشت‌وجهی هوا دوازده‌وجهی اثیر بیست‌وجهی آب نخستین مطالعهٔ نظام‌مند دربارهٔ اجسام افلاطونی را فیثاغوری‌های یونان باستان انجام دادند. ایشان بر این باور بودند که پنج جسم افلاطونی متناظر با ساختار عناصر چهارگانهٔ سازنده جهان هستند، یعنی چهاروجهی منتظم با نوک‌های تیز متناظر آتش، مکعبِ استوار متناظر خاک، و دو چندوجهی منتظم ساخته‌شده از مثلث دیگر (هشت‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم) متناظر هوا و آب هستند. به باور ایشان دوازده‌وجهی منتظم نیز به شکلی مرموز نمایانگر کل هستی و ۱۲ صورت فلکی‌اش بود. خود فیثاغورث (حدود ۵۸۰ تا ۵۰۰ پ.م.) احتمالاً چهاروجهی منتظم، مکعب، و دوازده‌وجهی منتظم را می‌شناخت. تحلیل ویژگی‌های اجسام افلاطونی و اثبات اینکه تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد نقطهٔ اوج کتاب پایانی اصول اقلیدس (حدود ۳۰۰ پ.م.) است. به نوشتهٔ اقلیدس، اولین کسی که هشت‌وجهی و بیست‌وجهی منتظم را شرح داد تئائتتوس ریاضی‌دان آتنی و دوست افلاطون (حدود ۴۱۷–۳۶۹ پ.م.) بود. از آنجا که افلاطون (۴۲۸/۴۲۷–۳۴۸/۳۴۷ پ.م.) نظریات فیثاغوری‌ها را در «داستان آفرینش» در دیالوگ تیمائوس تکرار کرده است، نام «جسم افلاطونی» به چندوجهی‌های منتظم اطلاق گردید. افلاطون مانند فیثاغوری‌ها چهار تا از اجسام افلاطونی را به عناصر چهارگانه نسبت می‌داد. به نوشتهٔ او: افلاطون در این نوشته از دوازده‌وجهی منتظم به سرعت می‌گذرد و تنها جمله‌ای که دربارهٔ آن بیان می‌دارد این است که «خدا آن را در آفرینش کل جهان به کار برده‌است.» مفسران افلاطون دوازده‌وجهی را با دوازده برج منطقةالبروج مرتبط دانسته‌اند. افلاطون پس از بیان ساختار هر یک از عناصر چهارگانه، دربارهٔ تبدیل آنها به یکدیگر بحث می‌کند. به باور او خاک قابل تبدیل به عناصر دیگر نیست، چرا که از مربع ساخته شده، ولی آب و آتش و هوا را، که از مثلث ساخته شده‌اند، می‌توان با تناسبی خاص به یکدیگر تبدیل کرد. افلاطون باور داشت این اجسام سایه یا بازتابی از جهان واقع هستند؛ بااین‌حال به گفتهٔ کَرِن فرنچ آرای افلاطون را باید علاوه بر رویکرد تحت‌اللفظی، با رویکردی متافیزیکی نیز بررسی کرد. در برابر پنج جسم افلاطونی که هریک از یک نوع چند ضلعی منتظم مانند مثلث، مربع یا پنج‌ضلعی تشکیل شده‌است، بوزجانی از پنج ترکیب کروی نام می‌برد که از ترکیب چندضلعی‌های منتظم تشکیل شده‌اند. پژوهش‌های بوزجانی غالباً متمرکز بر هندسهٔ ترسیمی بود، که مناسب کار صنعتگران و هنرمندان است. از جملهٔ مساعی او می‌توان به کتاب اشاره کرد که با استفاده از ویژگی‌های اجسام افلاطونی و ارشمیدسی، روشی برای ترسیم اشکال سادهٔ هندسی به‌صورت ترکیبی (یا موزاییک‌کاری) برای پوشاندن کره به دست می‌دهد که در گنبدها و سقف‌های پیچیده معماری اسلامی به کار می‌رود. از نکات قابل توجه در کتاب بوزجانی این است که او ترسیم‌هایش را به شکل گسترده ارائه کرده‌است تا خواننده با تخیل خود بتواند آن‌ها را به شکل سه‌بعدی ببیند. به گفتهٔ گلرو نجیب‌اوغلو، تفاوت رویکرد افلاطون و بوزجانی در این است که «اگر در اجسام افلاطونی وحدت ترکیب بر تکرار یکدست یک نوع چند ضلعی منتظم مانند مثلث متساوی‌الاضلاع، مربع و پنج‌ضلعی منتظم بر بدنهٔ کره قرار دارد، در اجسامی که بوزجانی بیان کرده وحدت شکلی بر توافق پی‌درپی دو نوع چندضلعی منتظم استوار است.» رنسانس و قرون جدید هنرمندان دوران رنسانس به‌منظور بررسی ویژگی‌های پرسپکتیو در آثارشان به‌شکلی گسترده از اجسام افلاطونی بهره می‌بردند، که نمونهٔ آن‌ها را می‌توان در موزائیک معروف پائولو آچلو (۱۳۹۷-۱۴۷۵ م.) در کلیسای جامع سینت مارکو در ونیز دید. همچنین لئوناردو دا وینچی (۱۴۵۲-۱۵۱۹ م.) در تذهیب‌هایش برای کتاب در باب تناسب الهی اثر لوکا پاچیولی اجسام افلاطونی را ترسیم و ویژگی‌های آنان (مانند نسبت طلایی) را بررسی کرده‌است. کپلر در مدلش، ایدهٔ استفاده از جسم‌های افلاطونی برای تشریح هندسهٔ جهان را احیا کرد. او اجسام افلاطونی را نه به‌عنوان شکل طبیعت و تعداد عناصر بلکه به عنوان مدلی از ساختار منظومهٔ شمسی می‌دانست. در کتاب رموز جهان هر کدام از شش سیارهٔ شناخته‌شده در آن زمان را به‌گونه‌ای نشان داد که روی سطح کره‌هایی هم‌ مرکز و جداشده با پنج جسم افلاطونی دور خورشید می‌گردند. هدف کپلر در واقع این بود که فاصلهٔ میان سیاره‌ها را با استفاده از اجسام افلاطونی توصیف کند. او دریافت اگر کره‌ها و اجسام افلاطونی را به صورت یکی داخل دیگری قرار دهد، نسبت فواصل کره‌ها از مرکز مدلش در مقایسه به شکلی «بسیار خوب» بر نسبت فواصل سیارات از خورشید منطبق می‌شود. به نوشتهٔ آرتور کستلر: تیکو براهه (۱۵۴۶–۱۶۰۱ م.) نظریات کپلر را دربارهٔ شکل منظومهٔ شمسی رد کرد و کپلر را دعوت کرد که به رصدخانهٔ او در پراگ برود. کپلر، در تلاش برای حل ناهماهنگی بین مدلش از هستی و مشاهدات براهه، به این کشف مهم نایل شد که سیارات در مداری بیضوی و نه مدور به دور خورشید می‌گردند. برای مثال اثر حکاکی روی چوب ترکیبی از مکعب‌ها و هشت‌وجهی‌ها را به تصویر می‌کشد که آفتاب‌پرست‌هایی را محیط کرده‌اند. شیفتگی اشر نسبت به اجسام افلاطونی تا حدی بود که تنها چیزی که پس از نقل مکان از کارگاهش با خود برد مجموعه‌ای درهم‌رفته از اجسام افلاطونی بود. در دالی صلیبی را مشتمل بر هشت مکعب به تصویر می‌کشد و در دوازده‌وجهی خالی‌ای (که نماد «خدا» است) بر فراز سر مسیح و حواریونش قرار دارد. برونو موناری (۱۹۰۷-۱۹۹۸ م.) نیز مساعی گسترده‌ای در طراحی صنعتی با استفاده از شکل اجسام افلاطونی کرده‌است. در قرن بیستم استفاده از اشکال خالص افلاطونی به یکی از ویژگی‌های سبک بین‌المللی معماری بدل شد. معمار سوئیسی لوکوربوزیه نیز سیستمی برای طراحی متناسب با ابعاد بدن انسان ارائه کرد که از نسبت طلایی بهره گرفته‌است. اهمیت و کاربرد با اینکه اجسام افلاطونی، برخلاف آرای افلاطون، واحدهای ساختاری هستی نیستند، برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری، شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. سنگ نمک (NaCl یا نمک خوراکی طبیعی) گاه در بلورهای مکعبی شکل می‌گیرد و بلورهای فلئوریت (CaF2 یا کلسیم فلوراید) شبیه هشت‌وجهی‌اند. پیریت (FeS2، معروف به طلای احمق‌ها) هم در ساختارهای مکعبی، هشت‌وجهی، و دوازده‌وجهی یافت می‌شود. | ## بخش 2: جسم افلاطونی | در سال ۲۰۱۱ نیز دانشمند اسرائیلی دن شختمن برای کشف ساختار بیست‌وجهی منتظم کریستال مایع آلومینیم جایزه نوبل شیمی را دریافت کرد. هیدروکربن‌های افلاطونی هم نمایش مولکولی چند جسم افلاطونی‌اند که در آن‌ها رأس‌ها با اتم‌های کربن و اضلاع با پیوند کربن-کربن جایگزین شده‌است. از هیدروکربن‌های افلاطونی کوبان (C8H8) و دودِکاهدران (C20H20) سنتز شده‌اند و پیش‌بینی می‌شود تتراهدران (C4H4) از لحاظ جنبشی پایدار باشد. در اوایل قرن بیستم، ارنست هکل در کتاب اشکال هنری در طبیعت برخی شعاعیان را توصیف کرد که اسکلتی شبیه اجسام افلاطونی دارند. به نوشتهٔ کریک و واتسون، بهینه‌ترین و ساده‌ترین حالت‌های ترکیب زیرساختارهای پروتئینی در ویروس برای تشکیل کپسید به شکل اجسام افلاطونی (و به‌ویژه بیست‌وجهی) است. ساده‌ترین کپسیدهای بیست‌وجهی با استفاده از ۳ زیرواحد همسان برای تشکیل هر وجه مثلثی ساخته می‌شوند. از هر پنج جسم افلاطونی در بازی‌های شانس به عنوان تاس استفاده می‌شود، و همچنین پازل‌های ترکیبی (مثل مکعب روبیک) به شکل همهٔ اجسام افلاطونی وجود دارد. قضایا و ویژگی‌ها اثبات هندسی تعریف یک چندوجهی محدب جسم افلاطونی است، اگر و تنها اگر همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند. حداقل تعداد وجه‌هایی که می‌توانند در یک ضلع به هم برسند تا تشکیل یک چندوجهی بدهند سه تا است. اگر چندوجهی محدب باشد، مجموع زوایای مسطحه‌ای که در هر رأسش به هم می‌رسند، کمتر از ۳۶۰° است. وجه‌های سه‌ضلعی با به‌هم رسیدن سه سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر رأس، چهاروجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر می‌شود که از کمتر است، بنابراین چهاروجهی منتظم جسم افلاطونی است. با به‌هم رسیدن چهار سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر رأس، هشت‌وجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر می‌شود که از کمتر است، بنابراین هشت‌وجهی منتظم نیز جسم افلاطونی است. همچنین با به‌هم رسیدن پنج سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر رأس، بیست‌وجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر می‌شود که از کمتر است، بنابراین بیست‌وجهی منتظم جسم افلاطونی است. با به‌هم رسیدن شش سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر رأس، مجموع زوایا در هر راس برابر می‌شود که از کمتر و نمی‌توان تشکیل چندوجهی محدب داد. با افزایش تعداد سه‌ضلعی‌های منتظم به‌هم‌رسیده بعد از شش تا، مجموع زوایای اضلاع به‌هم‌رسیده در یک رأس همیشه از بیشتر خواهد بود و چندوجهی محدب تشکیل نمی‌شود؛ بنابراین تنها سه جسم افلاطونی با وجوه مثلثی می‌توان ساخت. وجه‌های چهارضلعی با به‌هم رسیدن سه چهارضلعی منتظم (مربع) در هر رأس، شش‌وجهی منتظم (مکعب) تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر می‌شود که از کمتر است، بنابراین شش‌وجهی منتظم (مکعب) جسم افلاطونی است. با به‌هم رسیدن چهار چهارضلعی منتظم (مربع) در هر رأس، مجموع زوایا در هر رأس برابر می‌شود که از کمتر و نمی‌توان تشکیل چندوجهی محدب داد. با افزایش تعداد مربع‌های به‌هم‌رسیده، مجموع زوایای اضلاع به‌هم‌رسیده در یک رأس همیشه از بیشتر خواهد بود و چندوجهی محدب تشکیل نمی‌شود؛ بنابراین تنها یک جسم افلاطونی با وجوه مربعی می‌توان ساخت. وجه‌های پنج‌ضلعی با به‌هم رسیدن سه پنج‌ضلعی منتظم در هر رأس، دوازده‌وجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر می‌شود که از کمتر است، بنابراین دوازده‌وجهی منتظم جسم افلاطونی است. با به‌هم رسیدن چهار پنج‌ضلعی منتظم در هر رأس، مجموع زوایا در هر راس برابر می‌شود که از کمتر و نمی‌تواند تشکیل چندوجهی محدب بدهد. با افزایش تعداد پنج‌ضلعی به‌هم‌رسیده، مجموع زوایای اضلاع به‌هم‌رسیده در یک رأس همیشه از بیشتر خواهد بود و چندوجهی محدب تشکیل نمی‌شود؛ بنابراین تنها یک جسم افلاطونی با وجوه پنج‌ضلعی می‌توان ساخت. وجه‌های شش‌ضلعی و بیشتر با به‌هم رسیدن سه شش‌ضلعی منتظم در هر رأس، مجموع زوایا در هر راس برابر می‌شود که از کمتر و نمی‌تواند تشکیل چندوجهی محدب بدهد. برای هفت‌ضلعی منتظم این عدد برابر و برای برای هشت‌ضلعی منتظم این عدد است و با افزایش تعداد اضلاع وجوه این عدد همواره زیاد می‌شود؛ بنابراین با چندضلعی‌های منتظم با بیشتر از پنج ضلع نمی‌توان جسم افلاطونی ساخت. به‌این‌ترتیب تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که عبارتند از چهاروجهی منتظم، شش‌وجهی منتظم (مکعب)، هشت‌وجهی منتظم، دوازده‌وجهی منتظم، و بیست‌وجهی منتظم. اثبات توپولوژیک می‌توان، تنها با استفاده از اطلاعات ترکیبی اجسام افلاطونی، اثباتی کاملاً توپولوژییکی ارائه کرد. نکتهٔ مهم در این اثبات مشخصه اویلر است مبنی بر اینکه ، و این امر که ، که در آن p تعداد اضلاع هر وجه است و q تعداد اضلاعی که در هر رأس به هم می‌رسند. از ترکیب این معادله‌ها نتیجه می‌شود: و پس از ساده‌سازی جبری: از آنجا که E همواره مثبت است پس: با بهره‌گیری از این امر که p و q باید دستکم ۳ باشند، می‌توان نشان داد که پنج حالت مختلف برای {p, q} وجود دارد: (چهاروجهی منتظم)؛ (مکعب)؛ (هشت‌وجهی منتظم)؛ (دوازده‌وجهی منتظم)؛ (بیست‌وجهی منتظم). ویژگی‌های ترکیبی + اطلاعات ترکیبی اجسام افلاطونی جسم افلاطونی تعداد وجوه(F یا q) تعداد اضلاع(E یا p) تعداد رئوس(V) چهاروجهی ۴ ۶ ۴ شش‌وجهی(مکعب) ۶ ۱۲ ۸ هشت‌وجهی ۸ ۱۲ ۶ دوازده وجهی ۱۲ ۳۰ ۲۰ بیست وجهی ۲۰ ۳۰ ۱۲ نشان داده شد که هر جسم افلاطونی با نماد شِلَفْلی {p, q} نشان داده می‌شود که p تعداد اضلاع (یا رأس‌های) هر وجه و q تعداد وجه‌ها (یا اضلاعی) است که در هر رأس به یکدیگر می‌رسند. همهٔ اطلاعات ترکیبی این چندوجهی‌ها، شامل تعداد رأس‌ها (V)، اضلاع (E)، و وجه‌ها (F) با استفاده از p و q قابل تعیین هستند. از آنجا که هر ضلع، دو رأس را به یکدیگر متصل کرده و دو وجه مجاور دارد، رابطهٔ زیر برقرار است: همچنین تعداد رئوس، اضلاع و وجوه عبارتند از: مشخصهٔ اویلر رابطهٔ دیگر بین اطلاعات ترکیبی اجسام افلاطونی با استفاده از مشخصه اویلر به‌دست می‌آید: یعنی برای هر جسم افلاطونی، تعداد رئوس منهای تعداد اضلاع به‌علاوهٔ تعداد وجه‌ها برابر ۲ است. مشخصهٔ اویلر، که برای همهٔ چندوجهی‌های بدون حفره صادق است، برای اثبات قضیه‌های مختلفی در خصوص اجسام افلاطونی به کار می‌رود. به مثابه پیکربندی پیکربندی در صفحه مجموعه‌ای است از تا نقطه و تا خط، که از هر کدام از نقطه‌ها تا خط بگذرد و روی هر خط تا نقطه قرار داشته بگیرد. می‌توان نشان داد که: برای مثال، هر p-ضلعی یک پیکربندی است که در آن (یعنی هر p-ضلعی p تا ضلع و رأس دارد) و (یعنی از هر رأس p-ضلعی دو ضلع می‌گذرد و روی هر ضلع آن p رأس قرار دارد). با تعمیم پیکربندی در هندسهٔ فضایی، می‌توان آن را مجموعه‌ای از تا نقطه، تا خط، و تا صفحه دانست، و می‌توان به‌طور خلاصه گفت تا j-فضا (که در آن ۰-فضا همان نقطه، ۱-فضا همان خط، و ۲-فضا همان صفحه است) با تا k-فضا برخورد می‌کنند . می‌توان نشان داد که: این اعداد را می‌توان به‌سادگی در یک ماتریس نمایش داد: مفهوم پیکربندی اصولا در هندسه تصویری مورد مطالعه قرار می‌گیرد و در آن می‌توان با بهره‌گیری از اصل دوگانگی، رابطهٔ بین نقاط و صفحه‌های متناظر را حفظ کرد. به این مفهوم به‌ویژه در مورد اجسام افلاطونی توجه می‌شود، چرا که با چرخاندن ماتریس هر جسم افلاطونی به اندازهٔ ۱۸۰‌ درجه می‌توان ماتریس مزدوج آن را نوشت. برای هر جسم افلاطونی با نماد شلفلی {p, q} ماتریس پیکربندی به این شکل است: ماتریس پیکربندی هر پنج جسم افلاطونی در جدول زیر آمده است. | ## بخش 3: جسم افلاطونی | اندازهٔ زاویهٔ دوسطحی، θ، برای چندوجهی {p,q} با استفاده فرمول زیر به‌دست می‌آید: کاستی زاویه‌ای هر رأس یک چندوجهی، اختلاف بین مجموع زوایای بین وجه‌ها در هر رأس و 2π (بر حسب رادیان) است. کاستی زاویه‌ای، δ، در هر رأس جسم افلاطونی {p,q}، با استفاده از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید: با استفاده از قضیه دکارت در باب مجموع کاستی‌ها، این مقدار برابر است با 4π تقسیم بر تعداد رأس‌ها (مجموع کاستی‌ها در همهٔ رأس‌ها 4π است). زاویهٔ فضایی، Ω، در رأس یک جسم افلاطونی، بر حسب زاویهٔ دوسطحی، به‌صورت زیر به‌دست می‌آید: زاویه‌های مربوط به اجسام افلاطونی در جدول زیر ارائه شده‌اند. چندوجهیزاویه دوسطحی (θ)کاستی زاویه‌ای (δ)زاویه فضایی رأس (Ω)زاویه فضاییوجه چهاروجهی ۷۰٫۵۳° مکعب ۹۰° هشت‌وجهی ۱۰۹٫۴۷° هشت‌وجهی ۱۱۶٫۵۷° دوازده‌وجهی ۱۳۸٫۱۹° شعاع، مساحت، و حجم همهٔ اجسام افلاطونی، سه کره هم‌مرکز دارند: کرهٔ محیطی که از همهٔ رأس‌ها عبور می‌کند، کرهٔ میانی که بر همهٔ اضلاع در نقطهٔ وسط ضلع مماس است، کره محاطی که بر همه وجه‌ها در مرکز وجه مماس است. شعاع این کره‌ها، «شعاع محیطی»، «شعاع میانی»، و «شعاع محاطی» نامیده می‌شوند که به‌ترتیب برابر با فاصله مرکز چندوجهی از رأس‌ها، نقطه وسط اضلاع و مرکز وجه‌ها هستند. شعاع مح‍یطی (R) و شعاع محاطی (r) برای چندوجهی {p, q} با طول ضلع a از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید: که θ، زاویهٔ دوسطحی است. مساحت سطح کل جسم (A) برای یک جسم افلاطونی {p, q} به آسانی و با استفاده از ضرب تعداد وجه‌ها (F) در مساحت p-ضلعی منتظم به‌دست می‌آید: شعاع میانی ρ با استفاده از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید: حجم اجسام افلاطونی برابر است با حاصل‌ضرب F در حجم هرمی با قاعده p-ضلعی منتظم و ارتفاع شعاع داخلی r: جدول زیر، شعاع‌ها، مساحت و حجم اجسام افلاطونی را ارائه کرده‌است. چندوجهی شعاع محاطی (r) شعاع میانی (ρ) شعاع محیطی (R) مساحت سطح (A) حجم (V) ضریب حجم (طول ضلع = ۱) چهاروجهی مکعب هشت‌وجهی دوازده‌وجهی بیست‌وجهی ثابت‌های φ و ξ در جدول بالا عبارتند از: مختصات دکارتی و نسبت طلایی مختصات دکارتی چهاروجهی منتظم، مکعب، و هشت‌وجهی منتظم شامل نسبت طلایی نیست و می‌توان آن‌ها را با اعداد طبیعی نشان دارد. از سوی دیگر برای نمایش مختصات دکارتی دوازده‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم به نسبت طلایی نیاز است. مختصات رئوس دوازده‌وجهی را می‌توان به‌سادگی از طریق رئوس سه مستطیل طلایی (مستطیلی که نسبت طول به عرض آن برابر است) عمود برهم محاسبه کرد. اضلاع دوازده‌وجهی پاره‌خط‌هایی هستند که هر رأس مستطیل‌های طلایی را به پنج رأس همسایهٔ آن وصل می‌کنند. بیست‌وجهی منتظم را هم می‌توان با وصل کردن رئوس سه مستطیل عمود بر هم با نسبت طول به عرض به رئوس یک مکعب ایجاد کرد. + مختصات دکارتی اجسام افلاطونیشکلچهاروجهی منتظم هشت‌وجهی منتظم مکعب بیست وجهی منتظمدوازده‌وجهی منتظموجه‌ها۴۸۶۲۰۱۲رأس‌ها۴۶ (۲ × ۳)۸۱۲ (۴ × ۳)۲۰ (۸ + ۴ × ۳)جهت‌گیریمجموعه ۱۲ ۱۲ ۱۲مختصاترأس (۱, ۱, ۱ ۱, −۱, −۱ −۱, ۱, −۱ −۱, −۱, ۱) (−۱, −۱, −۱ −۱, ۱, ۱ ۱, −۱, ۱ ۱, ۱, −۱ ±۱, ۰, ۰ ۰, ±۱, ۰ ۰, ۰, ±۱ ±۱, ±۱, ±۱ ۰, ±۱, ±φ ±۱, ±φ, ۰ ±φ, ۰, ±۱ ۰, ±φ, ±۱ ±φ, ±۱, ۰ ±۱, ۰, ±φ ±۱, ±۱, ±۱ 0, ±, ±φ ±, ±φ, ۰ ±φ, ۰, ± ±۱, ±۱, ±۱ ۰, ±φ, ± ±φ, ±, ۰ ±, ۰, ±φ)تصویر120px120px130px130pxحرف یونانی φ به نسبت طلایی اشاره دارد. چندوجهی‌های مزدوج با وصل کردن نقطهٔ وسط وجه‌های یک چندوجهی (یا به عبارت دیگر جابجا کردن تعداد وجه‌ها و رأس‌ها) مزدوج آن چندوجهی حاصل می‌شود. مزدوج هر جسم افلاطونی هم یک جسم افلاطونی است: بدون قاب|100px|راست با متصل کردن نقطهٔ وسط وجوه یک چهاروجهی منتظم، یک چهاروجهی منتظم کوچکتر حاصل می‌شود (تعداد وجوه و رئوس چهاروجهی (۴) با هم برابر است). بدون قاب|100px|راست بدون قاب|100px|چپ با متصل کردن نقطهٔ وسط وجوه یک شش‌وجهی منتظم (مکعب)، یک هشت‌وجهی منتظم حاصل می‌شود. همچنین با اتصال نقطهٔ وسط وجوه یک هشت‌وجهی منتظم، یک شش‌وجهی منتظم (مکعب) به‌دست می‌آید (تعداد وجوه مکعب با رئوس هشت‌وجهی (۶) برابر و رئوس آن (۸) با وجوه هشت‌وجهی برابر است). بدون قاب|100px|راست بدون قاب|100px|چپ با متصل کردن نقطهٔ وسط وجوه یک دوازده‌وجهی منتظم، یک بیست‌وجهی منتظم حاصل می‌شود. همچنین با اتصال نقطهٔ وسط وجوه یک بیست‌وجهی منتظم، یک دوازده‌وجهی منتظم به‌دست می‌آید (تعداد وجوه دوازده‌وجهی با رئوس بیست‌وجهی (۱۲) برابر و رئوس آن (۲۰) با وجوه بیست‌وجهی برابر است). به‌طور کلی هر ویژگی‌ ترکیبی یک جسم افلاطونی را می‌توان برابر ویژگی ترکیبی دیگری از مزدوج آن دانست. از آنجا که گروه تقارن هر چندوجهی با گروه تقارن مزدوج آن یکی است، تنها سه گروه تقارن در رابطه با اجسام افلاطونی مطرح می‌شود که عبارتند از: تقارن چهاروجهی (گروه تقارن T) تقارن هشت‌وجهی (گروه تقارن O، که با گروه تقارن مکعب یکی است.) تقارن بیست‌وجهی (گروه تقارن I، که با گروه تقارن دوازده‌وجهی یکی است.) گروه‌های تقارن اجسام افلاطونی در جدول زیر آمده است. چندوجهینماد شلفلینماد ویتهافچندوجهی مزدوجگروه تقارنگروه چندوجهینشانه‌گذاری شونفلیزنشانه‌گذاری کاکسترنشانه‌گذاری فراخمینهرتبه گروه چهاروجهی {3, 3} 3 2 3 چهاروجهی تقارن چهاروجهی 40px TdT [3,3 3,3]+ *332332 2412 مکعب {4, 3} 3 2 4 هشت‌وجهی تقارن هشت‌وجهی 40px OhO [4,3 4,3]+ *432432 4824 هشت‌وجهی {3, 4} 4 2 3 مکعب دوازده‌وجهی {5, 3} 3 2 5 بیست‌وجهی تقارن بیست‌وجهی 40px IhI [5,3 5,3]+ *532532 12060 بیست‌وجهی {3, 5} 5 2 3 دوازده‌وجهی ساخت سایر اجسام افلاطونى از چهاروجهى سایر اجسام افلاطونى را مى توان در نشانه گذارى چندوجهى کانوى از چهاروجهى ساخت: چهاروجهى T = Y3 هشت وجهى O = aT (آمبو کردن چهاروجهى) مکعب C = jT (جوین کردن چهاروجهى) بیست وجهى منتظم I = sT (اسناب کردن چهاروجهى) دوازده وجهى منتظم D = gT (جیرو کردن چهاروجهى) ٤ عمل آمبو، جوین، اسناب و جیرو به عنوان مثال در تصاویر در مکعب نشان داده شده است. گراف افلاطونی گراف‌های افلاطونی گراف‌هایی هستند که رئوس و یال‌هایشان رئوس و اضلاع اجسام افلاطونی است که عبارتند از: نام گرافتصویرجسم افلاطونی متناظرمرتبهاندازهگراف کامل؟گراف منتظم؟گراف همیلتونی؟درجات رئوسگراف چهاروجهی100pxچهاروجهی منتظم۴۶بله (K4)بله (۳-منتظم)بله۴ تا درجه ۳گراف مکعبی 100pxمکعب۸۱۲نهبله (۳-منتظم)بله۸ تا درجه ۳گراف هشت وجهی100pxهشت وجهی منتظم۶۱۲نهبله (۴-منتظم)بله۶ تا درجه ۴گراف دوازده وجهی100pxدوازده وجهی منتظم۲۰۳۰نهبله (۳-منتظم)بله۲۰ تا درجه ۳گراف بیست وجهی100pxبیست وجهی منتظم۱۲۳۰نهبله (۵-منتظم)بله۱۲ تا درجه ۵ لانه زنبوری سه بعدى فضا لانه زنبوری سه بعدی شامل بی شمار چندوجهی است که فضا را پر می‌کنند به طوری هر وجه یک چندوجهی به چندوجهی دیگری نیز تعلق داشته باشد (از وجوه به هم چسبیده باشند). در هندسه، موازی الوجوه نوعی چندوجهی است که می‌تواند بدون چرخش در فضای اقلیدسی سه بعدی منتقل شود تا فضا را با لانه زنبوری کردن پر کند که در آن همه کپی‌های چندوجهی وجه به وجه به هم می‌رسند. پنج نوع موازی الوجوه وجود دارد که یکی از آنها متوازی‌السطوح است که مکعب از انواع آن است. با استفاده از هشت وجهی منتظم و چهاروجهی منتظم نیز به‌طور ترکیبی می‌توان لانه زنبوری کرد. پلیتوپ‌های مرتبط چندوجهی‌های نیمه‌منتظم اجسام ارشمیدسی چندوجهی‌های محدبی هستند که از بیش از یک نوع چندضلعی همنهشت ساخته شده‌اند و وجوه در هر رأس به‌طور مشابه با دیگر رئوس به هم می‌رسند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد که از این تعداد هفت تای آن‌ها را می‌توان با بریدن گوشه‌های اجسام افلاطونی ساخت. این هفت جسم ارشمیدسی عبارتند از: مکعب‌هشت‌وجهی، که هشت وجهش مثلث متساوی‌الاضلاع و شش وجهش مربعند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های مکعب یا هشت‌وجهی منتظم از وسط اضلاع آن‌ها ساخت؛ بیست‌دوازده‌وجهی، که بیست وجهش مثلث متساوی‌الاضلاع و دوازده وجهش پنج‌ضلعی منتظمند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های دوازده‌وجهی منتظم یا بیست‌وجهی منتظم از وسط اضلاع ساخت. چهاروجهی بریده‌شده، که چهار وجهش شش‌ضلعی منتظم و چهار وجهش مثلث متساوی‌الاضلاعند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های چهاروجهی منتظم تا درصد طول اضلاع ساخت. مکعب بریده‌شده، که شش وجهش هشت‌ضلعی منتظم و هشت وجهش مثلث متساوی‌الاضلاعند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های مکعب تا درصد طول اضلاع ساخت. هشت‌وجهی بریده‌شده، که هشت وجهش شش‌ضلعی منتظم و شش وجهش مربعند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های هشت‌وجهی منتظم تا درصد طول اضلاع ساخت. دوازده‌وجهی بریده‌شده، که ۱۲ وجهش ده‌ضلعی منتظم و ۲۰ وجهش مثلث متساوی‌الاضلاعند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های دوازده‌وجهی منتظم تا درصد طول اضلاع ساخت. بیست‌وجهی بریده‌شده یا «توپ فوتبال»، که ۱۲ وجهش پنج‌ضلعی منتظم و ۲۰ وجهش شش‌ضلعی منتظمند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های بیست‌وجهی منتظم تا درصد طول اضلاع ساخت. اجسام کاتالان را هم، که مزدوج اجسام ارشمیدسی‌اند، می‌توان ازین روش ساخت، بااین‌حال وجه‌های اجسام کاتالان در رئوس به‌طور یکسان به هم نمی‌رسند، اما همگی همنشتند. موزائیک‌کاری منتظم + سه نوع موزائیک‌کاری منتظم صفحه100px100px100px {۴٬۴} {۳٬۶} {۶٬۳} موزائیک‌کاری صفحه‌ها با استفاده از چندضلعی منتظم محدب به‌طوری که اضلاع واحدها روی هم بیفتند و درزی باقی نماند (اصطلاحاً «لانه‌زنبوری دوبعدی») به سه روش ممکن است که با سه گروه تقارن اجسام افلاطونی متناظرند؛ ازین رو می‌توان اجسام افلاطونی را موزائیک‌کاری منتظم سطح کُره‌ای هم‌مرکز با آن دانست. از سوی دیگر در مثلثات کروی می‌توان با تصویر اضلاع اجسام افلاطونی روی سطح کره واحدهای لازم برای پوشاندن سطح آن را به‌دست آورد. روش ابوالوفا محمد بوزجانی برای پوشاندن سطح کره که برای پوشاندن گنبدها و سقف‌های پیچیده معماری اسلامی با اشکال سادهٔ هندسی به کار می‌رود مبتنی بر همین ویژگی اجسام افلاطونی است. همانگونه که می‌توان از اشیاء سه‌بعدی عکس‌هایی دوبعدی تهیه کرد، از اشیاء چهاربعدی هم می‌توان تصاویری سه‌بعدی انداخت. در سال ۱۸۵۲، لودویگ شلفلیِ ریاضی‌دان ثابت کرد که در فضای چهاربعدی شش «چندوجهی» هست که شروط اجسام افلاطونی را احراز می‌کند. در فضای پنج‌بعدی و فضاها در ابعاد بالاتر همیشه تنها سه «چندوجهی» وجود دارد که شروط اجسام افلاطونی را احراز می‌کند. این چندبرها، که تعمیمی از اجسام افلاطونی هستند، عبارتند از ابرمکعب (مکعب n-بعدی)، سیمپلکس (چهاروجهی n-بعدی)، و ارتوپلکس (هشت‌وجهی n-بعدی). | ## جمع‌بندی | علاوه بر سه چندبر، در فضای سه‌بعدی دو چندوجهی (دوازده‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم) و در فضای چهاربعدی سه چندبر (معروف به ۲۴-خانه، ۱۲۰-خانه، و ۶۰۰-خانه) هست.