موضوع مقاله: روش سفتی مستقیم | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # روش سفتی مستقیم | مقدمه: این یک روش ماتریسی است که از روابط سفتی اعضا برای محاسبه نیروها و جابجایی عضوها در سازه‌ها استفاده می‌کند. | ## بخش 1: روش سفتی مستقیم | در استفاده از این روش، سیستم باید به عنوان مجموعه ای از عناصر ساده‌تر و ایدئال که در گره‌ها به هم متصل شده‌اند، مدل شود. خصوصیات سفتی مواد این المان‌ها، از طریق محاسبات ماتریسی، یک معادله ماتریسی را نتیجه می‌دهد که بر رفتار کل سازهٔ ایدئال حاکم است. روش سفتی مستقیم اساس و پایهٔ اکثر نرم‌افزارهای منبع آزاد و تجاری المان محدود را تشکیل می‌دهد. محققان رویکردهای مختلفی را برای تحلیل فریم‌های پیچیده هواپیما مورد بررسی قرار دادند. این رویکردها شامل تئوری الاستیسیته، اصول انرژی در مکانیک ساختاری، روش انعطاف‌پذیری و روش سفتی ماتریسی بود. از طریق تحلیل این متدها، روش سفتی مستقیم به عنوان روشی کارآمد که به‌طور ایدئال برای اجرای کامپیوتر مناسب است، بدست آمد. Duncan اولین مقالات را با نمایندگی و اصطلاحات مربوط به سیستم‌های ماتریسی منتشر کردند که امروزه مورد استفاده قرار می‌گیرند. تحقیقات هواکشسانی تا جنگ جهانی دوم ادامه یافت، اما محدودیت‌های انتشار از ۱۹۳۸ تا ۱۹۴۷ ردیابی این آثار را دشوار کرده‌است. دومین موفقیت بزرگ در تحلیل ماتریسی سازه‌ها در سال ۱۹۵۴ و ۱۹۵۵ رخ داد که پروفسور جان H. Argyris مفهوم مونتاژ (سرهم‌بندی) المان‌های عنصری یک سازه را به یک سیستم معادلات تبدیل کرد. سرانجام، در ۶ نوامبر ۱۹۵۹، MJ Turner، رئیس واحد دینامیک سازهٔ Boeing، مقاله ای را منتشر کرد که در آن روش سفتی مستقیم را به عنوان یک الگوی کارآمد برای پیاده‌سازی رایانه‌ای نشان می‌دهد. روابط سفتی اعضا رابطهٔ رایج برای سفتی یک عضو فرم کلی زیر را دارد: که در آن m = عضو شماره m. = بردار نیروهای خارجی هر عضو، ناشی از اثرات خارجی (مانند نیروهای معلوم و تغییرات دما) که در هنگام به عضو وارد می‌شود. اگر بیانگر تغییر شکل اعضا باشد، به جای جابجایی مطلق، آنگاه بیانگر نیروهای مستقل اعضا می‌باشد، و در این حالت رابطهٔ (۱) به رابطه‌ای برای به دست آوردن ماتریس انعطاف‌پذیری عضو، که در روش انعطاف‌پذیری استفاده می‌شود، تبدیل شود. رابطه سفتی سیستم برای یک سیستم که از تعداد زیادی عضو تشکیل شده که در نقاطی به نام گره به یکدیگر متصل شده‌اند. | ## بخش 2: روش سفتی مستقیم | روابط سفتی اعضا از جمله معادله (۱) با استفاده از نکات زیر می‌تواند جمع شود: تغییر شکل اعضا را می‌تواند با ترم‌هایی مربوط به جابجایی گره‌های سیستم(r) بیان کرد، تا سازگاری بین اعضا بیان شود. این بدان معنی است که سمت راست معادله (۱) در سمت راست معادلات تعادل گره برای کل سیستم ادغام می‌شود: که در آن: = بردار نیروهای گره ای، نشان‌دهندهٔ نیروهای خارجی اعمال شده روی گره‌ها. = بردار جابجایی‌های گره ای سیستم که می‌تواند تمام پیکربندی‌های تغییر شکل احتمالی (هر نوع تغییر شکلی در سیستم) سیستم را تحت نیروهای دلخواه گره R تعریف کند. = بردار نیروهای گره معادل، نمایانگر تمام تأثیرات خارجی به غیر از نیروهای گره ای است که قبلاً در بردار نیروی گره ای R به حساب آورده شده‌است. راه حل ماتریس سفتی سیستم K، ماتریسی مربعی است زیرا بردارهای R و r اندازه یکسان دارند. هنگامی که قیدهای کمکی در معادله (۲) اعمال شود، جابجایی گره‌ها از حل دستگاه معادلات خطی (۲)، به صورت نمادین یافت می‌شود: در ادامه، نیروهای مشخصه اعضا ممکن است از معادله (۱) یافت شود؛ که در آن را با درنظر گرفتن مطابقت می‌توان از r یافت. روش سختی مستقیم معمول است که معادلات (۱) را به شکلی نوشت که در آن و به ترتیب، جابجایی‌ها و نیروهای اعضا مطابق با r و R هستند. مزایا و معایب روش سفتی ماتریسی در مقاله روش انعطاف‌پذیری مقایسه و مورد بحث واقع شده. مثال درهم شکستن اولین گام دراستفاده از روش سختی مستقیم، شناسایی المان‌های مجزایی است که سازه را تشکیل می‌دهند. نیروها و جابجایی‌ها از طریق ماتریس سفتی المان به هم وابسته هستند که این ماتریس به هندسه و خصوصیات هر المان بستگی دارد. این بدان معنی است که در دو بعد، هر گره دارای دو درجه آزادی (DOF) است: جابجایی افقی و عمودی. یک المان قاب علاوه بر نیروی کششی و فشاری، قادر به مقاومت در برابر ممان‌های خمشی هم می‌باشد. المان‌های دیگر مانند صفحه‌ها و پوسته‌ها نیز می‌توانند در روش سفتی مستقیم گنجانیده شوند و معادلات مشابهی باید ایجاد شوند. اولین قدم در این فرایند تبدیل کردن روابط سفتی المان‌ها به یک سیستم جهانی برای کل سازه است. در مورد یک المان خرپا، شکل جهانی روش سفتی بستگی به زاویه این المان با توجه به سیستم مختصات جهانی دارد (این سیستم معمولاً سیستم مختصات دکارتی است). | ## بخش 3: روش سفتی مستقیم | (برای یک عنصر خرپا با زاویه β) معادل ، که در آن و کسینوس‌های عنصر خرپا در جهت ایکس و وای هستند (یعنی آنها اجزای یک بردار واحد هستند که با عضو هماهنگ هستند). این فرم چگونگی تعمیم سفتی عنصر به خرپاهای فضایی ۳ بعدی را با ساده کردن الگویی که در این فرمول مشهود است نشان می‌دهد. پس از ایجاد ماتریس سفتی عنصر در سیستم مختصات جهانی، آنها باید در یک ماتریس سختی «مستر» یا «جهانی» ادغام شوند. در هنگام ادغام این ماتریس‌ها دو قانون وجود دارد که باید رعایت شود: مطابقت جابجایی‌ها و تعادل نیرو در هر گره. ماتریس‌های سفتی المان با تقویت یا گسترش هر ماتریس در سازگاری با بردارهای جابجایی و بارگذاری جهانی ادغام می‌شوند. (برای عنصر (۱) ساختار فوق) سرانجام، ماتریس سفتی جهانی با اضافه کردن ماتریس‌های فردی بسط یافته هر المان به یکدیگر ساخته می‌شود. راه حل هنگامی که ماتریس سفتی کلی، بردار جابجایی و بردار نیرو ساخته شد، سیستم می‌تواند با یک معادله ماتریسی بیان شود. چندین روش مختلف برای ارزیابی یک معادله ماتریسی در دسترس است که شامل محدودیت در تجزیه Cholesky و ارزیابی نیروی خالص سیستم معادلات نیست. اگر یک سازه به درستی مهار نشود، اعمال یک نیرو باعث می‌شود که آن به صورت صلب حرکت کند و قیود اضافی باید اضافه شود. کاربردها روش سفتی مستقیم به‌طور اختصاصی برای پیاده‌سازی مؤثر و آسان نرم‌افزارهای رایانه ای برای ارزیابی سازه‌های پیچیده که شامل تعداد زیادی عضو است، ساخته شده‌است. در حالی که هر برنامه از یک فرایند یکسان استفاده می‌کند، بسیاری از آنها برای کاهش زمان محاسبه و کاهش حافظه مورد نیاز اصلاح شده‌اند. یکی از بزرگترین حوزه‌ها برای استفاده از روش سفتی مستقیم حوزهٔ تحلیل ساختاری است که این روش در نرم‌افزار مدل‌سازی گنجانیده شده‌است. این نرم‌افزار به کاربران اجازه می‌دهد تا یک سازه را مدلسازی کنند و پس از تعریف کاربر از خواص مواد عناصر، این برنامه به‌طور خودکار روابط عناصر و سختی جهانی را ایجاد می‌کند. | ## جمع‌بندی | هنگامی که شرایط بارگیری مختلفی اعمال می‌شود، نرم‌افزار ساختار را ارزیابی می‌کند و برای کاربر خیزها را نمایش می‌دهد.