موضوع مقاله: برنامه‌ریزی خطی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # برنامه‌ریزی خطی | مقدمه: به بیان ساده‌تر، به وسیله برنامه‌سازی خطی می‌توان بهترین نتیجه (مثلاً بیشترین سود یا کمترین هزینه) را در شرایط خاص و با محدودیت‌های خاص به دست آورد. | ## بخش 1: برنامه‌ریزی خطی | محل اصلی استفاده برنامه‌ریزی خطی در مدیریت و اقتصاد است، اما در مهندسی نیز کاربردهای فراوانی دارد. در واقع برنامه‌ریزی خطی بخشی از برنامه‌ریزی ریاضی و تحقیق در عملیات موسوم به علم مدیریت است که اولین بار توسط نیروی هوایی ارتش آمریکا بکار گرفته شد. می‌توان گفت حدود یک‌چهارم کل محاسبات علمی که بر روی رایانه انجام گرفته است، به برنامه‌ریزی خطی و مشتقات آن مربوط می‌شود.هیلیر و لیبرمن، ج 1، ص 29 تاریخچه مسئلهٔ حل مجموعه‌ای از نامعادلات خطی از زمان فوریه مطرح بوده است. برنامه‌ریزی خطی به عنوان یک مدل ریاضی در زمان جنگ جهانی دوم شکل گرفت تا خرج‌ها و بازگشت‌های مالی را طوری سامان بخشد که به کاهش هزینه‌های ارتش و افزایش خسارات دشمن بینجامد. پایه‌گذاران این حوزه جورج دانتزیگ منتشرکنندهٔ روش سیمپلکس در سال ۱۹۴۷، جان فون نویمان مطرح‌کننده نظریه دوگانگی در همان سال، و لئونید کانتروویچ ریاضیدان روس که از تکنیک‌های مشابهی پیش از دانتزینگ استفاده کرد و نوبل سال ۱۹۵۷ را برد هستند. نخستین بار در سال ۱۹۷۹ لئونید خاچیان نشان داد که مسئله برنامه‌ریزی خطی در مرتبه زمانی چندجمله‌ای قابل حل است. | ## بخش 2: برنامه‌ریزی خطی | اما پیشرفت اساسی‌تر زمانی حاصل شد که نراندرا کارمارکار یک روش نقطه داخلی جدید برای حل این مسائل معرفی کرد. مثال دانتزینگ برای منتصب کردن هفتاد نفر به هفتاد شغل متمایز کارآمدی برنامه‌ریزی خطی را به نمایش می‌گذارد. با این حال، پیدا کردن پاسخ بهینه با تبدیل مسئله به یک مسئله برنامه‌ریزی خطی و حل آن با روش سیمپلکس تنها لحظه‌ای طول می‌کشد. الگوریتم سیمپلکس که توسط جورج دانتزینگ شکل گرفت، مسائل برنامه‌ریزی خطی را به این ترتیب حل می‌کند که یک جواب قابل قبول در یکی از رئوس چندضلعی فراهم می‌کند و سپس در راستای اضلاع چندضلعی به طرف رئوسی با مقدار بالاتری از تابع هدف حرکت می‌کند تا این که به نقطه بهینه برسد. اگرچه در عمل این الگوریتم بسیار کارآمد است و می‌تواند با در نظر گرفتن برخی پیش‌گیری‌های مربوط به جلوگیری از ایجاد دور، با اطمینان جواب بهینه مطلق را بیابد، اما در حالاتی که به اصطلاح بدترین حالت نامیده می‌شوند عملکرد بدی دارد. تا حدی که می‌توان مسائل برنامه‌ریزی خطی طراحی کرد که روش سیمپلکس برای حلشان در برخی مراحل زمانی از مرتبه زمانی نمایی نیاز داشته باشد. | ## بخش 3: برنامه‌ریزی خطی | این روش تأثیر چندانی در جنبهٔ عملی مسئله نداشت چرا که همچنان روش سیمپلکس در همه موارد به جز تعداد محدودی از مسائل بهتر عمل می‌کرد. این روش الهام‌بخش به وجود آمدن نسل جدیدی از راه‌حل‌ها شد که به آن‌ها روش نقطه داخلی گفته می‌شود. یک مسئله برنامه‌ریزی خطی (LP) به صورت زیر فرض می‌شود: اگر در مسئلهٔ فوق پارامترهای ، و C ثابت و یقینی نباشند، حل مسئله، به حل یک مسئلهٔ مقاوم در برابر تغییرات پارامترها تبدیل می‌شود. برای حل مسائل بهینه‌سازی به صورت مقاوم دو رهیافت وجود دارد: بدترین حالت مدل تصادفی بدترین حالت در این روش، بازهٔ تغییرات پارامترها مشخص است و مسئله برای بدترین حالتی که ممکن است رخ دهد، حل می‌شود. قید نامساوی را می‌توان به صورت زیر نوشت: , با جایگذاری در خواهیم داشت: در نتیجه مسئله برنامه‌ریزی خطی مقاوم به یک مسئلهٔ SOCP تبدیل می‌شود: مدل تصادفی در این روش، متغیر در بازه مشخص نبوده و دارای توزیع آماری است بنابراین بهینه‌سازی برای بدترین حالت امکان‌پذیر نبوده و مسئله با توجه به توزیع آماری متغیر حل می‌شود. | ## جمع‌بندی | با جایگذاری قید بدست آمده در مسئله اصلی، مسئله به صورت زیر خواهد شد: مسئلهٔ برنامه‌ریزی خطی مقاوم حاصل به شکل یک مسئلهٔ SOCP است.