موضوع مقاله: استقرای ترامتناهی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # استقرای ترامتناهی | مقدمه: فرض کنید که هر گاه (P(β برای همهٔ β <α‌ها درست باشد، پس (P(α نیز درست است (از جمله درست بودن (P(0 نشان می‌دهد که (P(α برای همهٔ α‌ها درست است) پس استقرای ترامتناهی به ما می‌گوید که P برای همه اعداد ترتیبی درست است. | ## بخش 1: استقرای ترامتناهی | در نتیجه داریم، اگر (P(α برای همه β <α‌ها درست باشد، پس (P(α برای همه α‌ها درست است. یا عملاً بیشتر: به منظور اثبات یک ویژگی P برای همه اعداد ترتیبی α، می‌توان فرض کرد که در حال حاضر P برای همه β <α‌ها درست باشد. حالت تالی (به انگلیسی: successor): ثابت کنیم که برای هر عدد ترتیبی تالی (P(α + ۱) ،(α + ۱ (و در صورت لزوم، (P(β برای همه β <α‌ها) نتیجه می‌شود. حالت حدی (به انگلیسی: limit): ثابت کنیم که برای هر اوردینال حدی P(λ)، λ از (P(β برای همه β <λ نتیجه می‌شود. توجه کنید که هر سه مورد مشابه‌اند به جز در نوع اردینالی که در نظر گرفته شده‌است. آن‌ها به‌طور رسمی نیاز ندارند که به‌طور جداگانه در نظر گرفته شوند، اما در عمل اثبات معمولاً خیلی متفاوت تر از آنند که به ارائه جداگانه نیاز نداشته باشند. صفر، گاهی به عنوان یک اوردینال حدی در نظر گرفته می‌شود و ممکن است گاهی در اثبات‌ها مانند اردینال‌های حدی با آن برخورد شود. با این حال، به جای اثبات این که چیزی برای همه اعداد ترتیبی صحیح است، ما دنباله ای از اشیاء، یکی برای هر اوردینال، می‌سازیم. به عنوان مثال، یک پایه از فضای برداری (احتمالاً بی‌نهایت بُعدی) را می‌توان با انتخاب یک بردار v0 و با انتخاب یک بردار برای هر اوردینال α که در فضای بردارهای تولید شده توسط {vβ | β <α} نیست، ساخت. | ## بخش 2: استقرای ترامتناهی | به بیان رسمی‌تر، می‌توانیم قضیه روابط بازگشتی ترامتناهی را به‌طور زیر شرح دهیم: قضیه روابط بازگشتی ترامتناهی (نسخه ۱). برای یک تابع کلاسی داده شده G: V → V (که در آن V کلاس همه مجموعه هاست)، یک دنباله ترامتناهی منحصر به فرد F: Ord → V (که در آن Ord کلاس همه اعداد ترتیبیست) وجود دارد به طوری که (F(α) = G(F⌠α برای همه اعداد ترتیبی α؛ که ⌠ نشان دهنده تحدید دامنه F به اعداد ترتیبی کوچکتر از α است. مانند حالت استقرا، ممکن است ما انواع مختلف اردینال‌ها را به‌طور جداگانه در نظر بگیریم: نسخه دیگری از روابط بازگشتی ترامتناهی به شرح زیر است: قضیه روابط بازگشتی ترامتناهی (نسخه ۲). توجه داشته باشید که لازم است دامنه‌های G۲ ،G۳ به اندازه کافی گسترده باشند تا خواص فوق معنی دار شوند. منحصر به فرد بودن این دنباله که موجب صحت این خواص می‌شود از طریق استقرای ترامتناهی به اثبات می‌رسد. به‌طور کلی، می‌توان هر چیزی را توسط روابط بازگشتی ترامتناهی در هر رابطه خوش بنیان R تعریف کرد. می‌تواند یک کلاس سره باشد، به شرط آن که یک رابطه «مجموعه مانند» باشد که برای هر x، مجموعهٔ تمام yهایی که x R y باید یک مجموعه باشد) روابط اصل موضوع انتخاب اثبات‌ها یا ساختارهایی که از استقرا و روابط بازگشتی استفاده می‌کنند، اغلب از اصل موضوع انتخاب (به انگلیسی: axiom of choice) برای تولید یک رابطه خوش ترتیب که می‌تواند با استقرای ترامتناهی بدست آید، استفاده می‌کنند. با این حال، اگر رابطه گفته شده در صورت سؤال در حال حاضر خوش ترتیب باشد، می‌توان اغلب از استقرای ترامتناهی بدون توسل به اصل موضوعی انتخاب استفاده کرد. به عنوان مثال، نتایج بسیاری در مورد مجموعه بورل با استقرای ترامتناهی روی رتبه ترتیبی مجموعه ثابت شده‌است. | ## بخش 3: استقرای ترامتناهی | این رتبه‌ها در همان ابتدا خوش ترتیب هستند، پس اصل موضوعی انتخاب برای خوش ترتیب کردن آن‌ها مورد نیاز نیست. ساختار زیر از مجموعه ویتالی یکی از راه‌هایی که اصل موضوعی انتخاب را می‌توان در اثبات از طریق استقرای ترامتناهی بکار برد، نشان می‌دهد: اول، اعداد حقیقی را خوش ترتیب کنید (این‌جایی است که در آن اصل موضوعی انتخاب از طریق قضیه خوش ترتیبی وارد می‌شود)، دنباله < rα | α ˂ β> را، که در آن β اوردینال است با کاردینالیتی پیوستار در نظر بگیرید. سپس اجازه دهید که V۱ برابر rα۱ باشد، که در آن α۱ حداقل به طوری است که rα۱ –v۰ یک عدد گویا نباشد. در هر مرحله از حداقل مقدار حقیقی دنباله R استفاده کنید که تفاوت منطقی با هیچ‌یک از عناصر تا کنون در دنباله V ساخته شده ندارد. استدلال بالا از اصل موضوع انتخاب به نحوی اساسی در همان ابتدا، به منظور خوش ترتیب کردن اعداد حقیقی استفاده کرد. به عنوان مثال، یک ساختار ساخته شده توسط روابط بازگشتی ترامتناهی اغلب یک ارزش منحصر به فرد برای Aα + ۱ مشخص نمی‌کند، اما شرایطی که Aα + ۱ باید برآورده سازد را مشخص خواهد کرد و استدلال می‌کند که حداقل یک مجموعه با این شرایط وجود دارد. اگر ممکن نباشد که یک مثال خاص از چنین مجموعه ای در هر مرحله تعریف کنیم، پس ممکن است استناد (به نوعی از) اصل موضوع انتخاب جهت انتخاب یک مورد از این مجموعه‌ها در هر مرحله ضروری باشد. | ## جمع‌بندی | برای استقراها و روابط بازگشتی با طول قابل شمارش، اصل ضعیف تر موضوعی انتخاب کافی است؛ زیرا آنجا مدل‌های نظریه مجموعه‌های زرملو فرانکل که مورد علاقه نظریه پردازان است و اصل موضوع انتخاب وابسته را برآورده می‌سازد نه اصل موضوع انتخاب کامل را، وجود دارد.