موضوع مقاله: معادله دیفرانسیل خطی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # معادله دیفرانسیل خطی | مقدمه: در ریاضیات، یک معادله دیفرانسیل خطی معادله دیفرانسیلی است که به صورت تساوی یک تابع دلخواه با یک چند جمله ای خطی (درجه یک) از تابع مجهول و مشتق‌های آن تعریف می‌شود. | ## بخش 1: معادله دیفرانسیل خطی | به عبارت ساده‌تر دیگر این معادلات را می‌توان به فرم زیر نمایش داد: که در آن و ها توابعی دلخواه و مشتق پذیر برحسب هستند (که برای کوتاهی به نوشتن بسنده کردیم). اگر تابع مجهول به چندین متغیر بستگی داشته باشد، مشتق‌های آن جزئی و معادله دیفرانسیل خطی یک معادله دیفرانسیل با مشتق‌های جزئی می‌شود. معادلهٔ همگن متناظر با یک معادله، معادله‌ای است مشابه معادلهٔ اصلی که باشد: اگر یک معادله دیفرانسیل خطی یا دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی به گونه ای باشد که معادلهٔ همگن متناظرش دارای ضرایب ثابت باشد، می‌توان جوابش را با انتگرال بیان کرد. این موضوع در مورد معادله دیفرانسیل خطی مرتبه یک با ضرایب دلخواه (غیر ثابت) نیز صدق می‌کند. توابع خاص (از جمله توابع نمایی، لگاریتمی، مثلّثاتی و معکوسشان و توابع هذلولوی) و اکثر توابع معمول دیگر مانند تابع خطا، توابع بسل همگی توابع هولونومیک محسوب می‌شوند. نمایش آنها با تعریف معادله دیفرانسیل و شرایط اولیه امکان ساخت الگوریتمی (بر روی این توابع) برای بیشتر عملگرهای حساب از قبیل محاسبه پاد مشتق، حدها، بسط مجانبی و ارزیابی عددی با هرگونه دقت، با خطای معتبر را فراهم می‌کند. مرتبه اول معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل خطّی معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت فرم استاندارد زیر نمایش داد: به عنوان مثال یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل خطّی است زیرا می‌توان آن را به صورت فرم استاندارد نمایش داد ( و ). یکی از فرم‌های کاربردی دیگر نمایش این معادلات به صورت زیر است: قضیهٔ وجود و یکتایی اگر به معنی بازهٔ بازِ دامنهٔ باشد، معادلهٔ در بازهٔ جواب یکتا دارد. پیدا کردن جواب در صورتی که برابر صفر باشد، جواب معادله به سادگی به دست می‌آید: عامل انتگرال‌ساز در مواردی که ناصفر باشد، از یک ترفند استفاده می‌کنیم. در این ترفند دو طرف معادله را در یک عامل انتگرال‌ساز (مثل ) ضرب می‌کنیم تا در معادلهٔ جدید برابر صفر شود. می‌خواهیم با ضرب کردن تابع به هر دو طرف تساوی ضریب صفر شود تا بتوان جواب معادله را به دست آورد: برای این که چنین چیزی ممکن باشد باید «خط ۲ به ۳» در بالا درست باشد: طبق قاعدهٔ ضرب، عامل انتگرال‌ساز تنها وقتی در شرط بالا صدق می‌کند که : با کمک گرفتن از تساوی می‌توان عامل انتگرال‌ساز را به دست آورد: چون تابع کمکی کاملا دلخواه است، پس می توانیم ثابت را (فقط در معاله خط اخر) مساوی صفر بگیریم تا کار ساده تر شود. عملگر دیفرانسیل خطی عملگر (یا اپراتور) تبدیلی است که هر تابع را به تابعی دیگر نگاشت می‌کند. به عنوان مثال، عملگر دیفرانسیلی پایهٔ تابعی مانند را به مشتق آن تابع تبدیل می‌کند: به همین ترتیب می‌توان عملگر ساده دیفرانسیلی مرتبه را تعریف کرد: کاربرد این اپراتورها در ساده و کوتاهتر کردن محاسبات ریاضی است. همچنین وارون این اپراتور پادمشتق را برمی‌گرداند: اگر عملگری مانند یک نگاشت خطی باشد، آن را یک عملگر خطی می‌نامیم. یک عملگر دیفرانسیل خطی مانند ترکیبی خطی از عملگرهای اساسی دیفرانسیلی است با ضرایب به صورت توابعی مشتق‌پذیر. در حالت تک متغیره، یک عملگر خطی از مرتبهٔ فرمی بدین ترتیب را دارد.Gershenfeld 1999, p.9 حال پس از تعریف این اپراتور می‌توان یک معادلهٔ دیفرانسیل خطی را به صورت ساده‌شدهٔ زیر نوشت: هستهٔ یک عملگر خطی مجموعه جواب‌های معادلهٔ همگن است. همگن یک معادله دیفرانسیل در صورت داشتن فرم زیر یک معادله دیفرانسیل خطی همگن است : اصل برهم نهی اصل برهم‌نهی در معادلات دیفرانسیل همگن بیان می‌کند که اگر و دو جواب یک معادلهٔ همگن باشند، هرگونه ترکیب خطّی آنها (یعنی به ازای اعداد حقیقی دلخواه) نیز جواب آن معادله خواهد بود. هر مجموعه‌ای مانند (با عضو منحصر به فرد) را مجموعه جواب اساسی یک معادلهٔ همگن از مرتبهٔ می‌نامیم اگر توابع عضو آن (ها) مستقل خطی باشند. اگر مجموعه جواب اساسی باشد، به کمک اصل برهم‌نهی نتیجه می‌گیریم که جواب کلّی معادله به صورت است (به ازای تمام مقادیر اعداد حقیقی ). همگن با ضرایب ثابت در صورتی که ها اعداد ثابت حقیقی (یا مختلط) باشند به آن معادله دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب ثابت می‌گوییم. حل این معادلات به صورت زیر است: یکی از جواب‌های ممکن می‌تواند به فرم باشد ( یک عدد مختلط است). | ## بخش 2: معادله دیفرانسیل خطی | با جایگذاری در معادله نتیجه می‌گیریم: از آن جایی که تابع نمایی همواره ناصفر است، نتیجه می‌گیریم که . در صورت وجود ریشه‌های مضاعف (مثلاً ) جواب‌های دیگر معادله (به جز ) به صورت و خواهد بود. در حالت کلّی اگر تا از ریشه‌های معادلهٔ مشخّصه برابر باشند، تا از جواب‌های معادلهٔ همگن به صورت خواهند بود . +به عنوان مثال، برای حل معادلهٔ معادلهٔ مشخصهٔ متناظرش را به دست می‌آوریم: ریشه‌های این معادله هستند (۱ ریشهٔ مضاعف است). در نتیجه مجموعه جواب اساسی معادله است و جواب کلّی معادله (با استفاده از فرمول اویلر) به صورت زیر به دست می‌آید: کوشی-اویلر معادلهٔ اویلر نوعی از معادلات خطی همگن است که ضرایب آن به صورت باشد. برای حل این معادلات کافی است از تغییر متغیّر استفاده کرد تا آن را به یک معادلهٔ همگن با ضرایب ثابت تبدیل کرد. همگن مرتبه دوم یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ دوم خطّی همگن معادله‌ای است که بتوان آن را به فرم استاندارد نمایش داد. کاهش مرتبه در بعضی مواقع یکی از جواب‌های معادله (مثلاً ) به سادگی به دست می‌آید ولی جواب دوم نامعلوم است. به عنوان مثال برای معادلهٔ که به فرم نوشته شده، می‌دانیم که مجموع ضرایب برابر صفر اند. در صورتی که یکی از جواب‌های معادله (مثلاً ) را بدانیم، میتوان از شگرد کاهش مرتبه برای به دست آوردن جواب کلّی استفاده کرد. این روش را با یک مثال توضیح می‌دهیم: در صورتی که بدانیم یکی از جوابهای معادلهٔ است، فرض می‌کنیم که جواب کلّی معادله برابر است و سعی می‌کنیم تا تابع را به دست آوریم. کاهش مرتبه به کمک قضیه آبل همچنین می‌توان از فرمول آبل نیز برای کاهش مرتبه استفاده کرد. طبق تعریف رونسکین: طبق فرمول آبل: پس حال می‌توان این معادلهٔ خطی مرتبه اوّل را حل کرد تا به جواب رسید. ناهمگن اگر جواب کلّی معادلهٔ و جواب معادلهٔ همگن باشد، با توجّه به خطّی بود می‌دانیم . با فرض این که و دو تابع دلخواه باشند، جواب مکمّل و یکسان خواهد بود ولی جواب خاصشان متفاوت. برای پیدا کردن جواب خاص، دو روش معمول «ضرایب نامعیّن» و «تغییر پارامتر» وجود دارد. استفاده از روش ضرایب نامعیّن معمولاً ساده‌تر است ولی فقط در موارد خاصی می‌توان از آن استفاده کرد. در این روش فرم کلّی جواب را داریم و فقط باید ضرایب را تشخیص دهیم: اگر به فرم باشد، به فرم خواهد بود. یک استثنا زمانی پیش می‌آید که فرم پیشنهادی مشابه یکی از جواب‌های عمومی باشد (به عبارتی دیگر، عضو هستهٔ باشد). در حالت کلّی‌تر اگر یا باشد، فرم به صورت زیر خواهد بود: به عنوان مثال، در معادلهٔ فرم است. پس در نتیجه اگر حاصل جمع (یا تفریق) موارد بالا باشد، (با توجّه به خطّی بودن ) می‌توان را تقسیم کرد. | ## بخش 3: معادله دیفرانسیل خطی | به عنوان مثال، در معادلهٔ می‌گوییم و : سپس از دو مثال پیش نتیجه می‌گیریم: در صورتی که به فرم موارد بالا یا جمع (یا تفریق) آنها نباشد نمی‌توان از این روش استفاده کرد. در حالی که استفاده از روش ضرایب نامعیّن ساده‌تر بود، این روش کلّی‌تر است و در مورد محدودیّتی ندارد. در صورتی که جواب عمومی را به فرم به دست بیاوریم، جواب کلّی را به فرم فرض می‌کنیم و سعی می‌کنیم تا و را پیدا کنیم. توجّه داشته باشید که هدف ما پیدا کردن جواب کلّی معادله است و نیازی به پیدا کرد تمام و های ممکن نداریم. همان طور که پیش‌تر به آن اشاره شد، ما تنها به یک و خاص نیاز داریم تا ما را به جواب برسانند. پس می‌توانیم یک معادلهٔ دیگر از خودمان در بیاوریم تا کار خود را ساده‌تر کنیم: این معادله محاسبات ما را در ادامه ساده‌تر خواهد کرد. از مقدار را به دست می‌آوریم: حال از معادلهٔ ابداعی خودمان نتیجه می‌گیریم: و از این تساوی مقدار را نیز به دست می‌آوریم: حال مقادیر و و را در فرم استاندارد معادله جایگذاری می‌کنیم: پس طبق تعریف جواب عمومی، دو عبارت داخل پرانتز برابر صفر هستند. در نتیجه به معادلهٔ زیر می‌رسیم: از این معادله و معادلهٔ ابداعی می‌‌توان و را به کمک قاعدهٔ کرامر به دست آورد: در نتیجه جواب خصوصی به صورت زیر به دست می‌آید: و جواب کلّی نیز به صورت زیر به دست می‌آید: به عنوان مثال، در معادلهٔ ، ابتدا جواب عمومی را به روش حل معادلات همگن با ضرایب ثابت به دست می‌آوریم: همچنین مقدار رونسکین طبق تعریف برابر ۲ به دست می‌آید. حال به کمک فرمول به دست آمده (قرمز) جواب کلّی را به دست می‌آوریم:با حل انتگرال‌ها و ساده‌سازی به جواب می‌رسیم: به همین روش می‌توان این معادلات را در حالت کلّی (مرتبهٔ ) حل کرد. جواب نهایی به این صورت به دست می‌آید: در این جا و نیز مشابه رونسکین به دست می‌آید با این تفاوت که به جای ستون ام قرار گیرد. برای پیدا کرد ساده‌تر مقدار می‌توان از فرمول آبل نیز کمک گرفت: سیستم معادلات دیفرانسیل خطی سیستم معادلات دیفرانسیل خطی شامل چندین معادله دیفرانسیل خطی است که شامل چندین تابع مجهول است. به‌طور کلی، یک مطالعه را به سیستمهایی محدود می‌کند که تعداد توابع ناشناخته با تعداد معادلات برابر باشد. مراتب بالاتر با ضرایب متغیر غیرممکن بودن حل توسط کوادراتور را می‌توان با قضیه آبل-رافینی به دست آورد، که بیان می‌کند معادله جبری درجه ۵ حداقل، به‌طور کلی توسط رادیکال‌ها قابل حل نیست. این قیاس به روشهای اثباتی گسترش می‌یابد و انگیزه ای برای تئوری گالوی دیفرانسیل فراهم می‌کند. مشابه مورد جبری، این تئوری تصمیم می‌گیرد که چه معادلات را می‌توان با روش کوادراتور حل کرد. در حالت کلی پیچیدگی این معادلات ممکن است سبب شود آن هارا با روش‌های غیر صریح و تقریبی مانند مش بندی حل کنیم. معادلات اویلر-کوچی نمونه‌هایی از معادلات از هر درجه، با ضرایب متغیر است که به روش صریح قابل حل است. توابع هولونومیک یک تابع هولونومیک، که تابع محدود دی نیز نامیده می‌شود تابعی است که از حل یک معادله دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب چند جمله ای به دست می‌آید. اکثر توابعی که معمولاً در ریاضیات مورد توجه قرار می‌گیرند هولونومیک از نسبت توابع هولونومیک به‌شمار می‌آیند. | ## جمع‌بندی | در حقیقت، توابع هولونومیک شامل چند جمله ای، توابع جبری، لگاریتم، توابع نمایی، سینوسی، کسینوسی، توابع مثاثاتی، تاوابع هذلولوی، توابع معکوس مثلثاتی تابع وارون هذلولوی و بسیاری از تابع‌های ویژه مانند توابع بسل و توابع هایپرژومتریک است.