موضوع مقاله: بازسازی برش‌نگاری | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # بازسازی برش‌نگاری | مقدمه: بازسازی برش‌نگاری یا بازسازی توموگرافی یکی از انواع روش‌های حل معکوس چند‌بعدی است که در آن مسئله برآورد یک سیستم معین با استفاده از تعداد محدودی از پروجکشن‌ها می‌باشد. | ## بخش 1: بازسازی برش‌نگاری | یکی از نمونه‌های کاربردی قابل توجه، بازسازی توموگرافی کامپیوتری (CT) است که در آن تصاویر مقطعی بیماران به روش غیر تهاجمی به دست می‌آیند. در پیشرفت‌های اخیر، تبدیل رادون و معکوس آن برای کارهای مربوط به جابجایی جسم واقع گرایانه مورد نیاز برای آزمایش و ارزیابی استفاده از توموگرافی کامپیوتری در امنیت فرودگاه‌ها، استفاده شده‌است. این مقاله به‌طور کلی به روش‌های بازسازی برای انواع توموگرافی اشاره می‌کند، اما برخی از اصطلاحات و توصیف‌های فیزیکی به‌طور مستقیم به بازسازی توموگرافی کامپیوتری اشعه ایکس، اشاره می‌کنند. هر پروجکشن که از توموگرافی تحت یک زاویه خاص به دست آمده، از یک سری از انتگرال‌های خط در طول جسم ساخته شده‌است. اشعه ایکس‌های فرافکنده شده به وضوح بر روی این مقطع که با استفاده از یک سی تی اسکن گرفته شده مشخص است علاوه بر این اعوجاج‌هایی نیز به دلیل تعداد محدود پروجکشن در زاویه‌ها مشاهده شده‌است. پروجکشن یک شی که از فرایند اندازه‌گیری توموگرافی در یک زاویه معین ایجاد شده، از مجموعه‌ای از انتگرال خط ساخته می‌شود (به شکل ۱توجه کنید). مجموعه ای شامل تعداد زیادی از چنین پروجکشن‌هایی تحت زوایای مختلف که در دو بعد (2D) سازماندهی شده‌اند، سینوگرام نامیده می‌شود (به شکل ۳ نگاه کنید). درتوموگرافی کامپیوتری اشعه ایکس، انتگرال خط، نشان دهنده میزان کلی تضعیف پرتو اشعه ایکس می‌باشد که وقتی اشعه در مسیر مستقیم از داخل شیء حرکت می‌کند، گویی این انتگرال در حال تشکیل شدن است. همان‌طور که در بالا ذکر شد، تصویر حاصل یک مدل دوبعدی (یا سه‌بعدی) از ضریب تضعیف است. ساده‌ترین و آسان‌ترین روش برای تجسم روش اسکن، سیستم پروجکشن‌های موازی است، که در اسکنرهای اولیه استفاده شد. برای این بحث، ما فرض می‌کنیم که داده‌ها از یک سری اشعه موازی، در طول یک پروجکشن در زاویه جمع‌آوری شده‌اند. تضعیف به صورن نمایی در بافت اتفاق می‌افتد: که در آن ضریب تضعیف به عنوان تابعی از مکان است؛ بنابراین، تضعیف کلی یک پرتو در یک موقعیت، در پروچکشن ای با زاویه ، توسط انتگرال خط زیر به دست می‌آید: با استفاده از سیستم مختصات نشان داده شده در شکل یک، مقدار که نقطه روی آن تصویر می‌شود، از رابطه زیر به دست می‌آید: بنابراین معادله بالا را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد: که در آن نشان دهنده است. تبدیل فوریه پروجکشن را می‌توان به صورت زیر نوشت: که در آن نشان دهنده یک مقطع از تبدیل فوریه دوبعدی در زاویه است. با استفاده از معکوس تبدیل فوریه، فرمول معکوس تبدیل رادون می‌تواند به راحتی مشتق شود. | ## بخش 2: بازسازی برش‌نگاری | قضیه پروجکشن مقطعی به ما می‌گوید که اگر ما تعداد بی‌نهایت از پروجکشن‌های یک بعدی جسم داشته باشیم که در بی‌نهایت زاویه گرفته شده‌اند، می‌توانیم شیء اصلی یعنی همان را به‌طور کامل بازسازی کنیم. <span>با فرض اینکه دارای قطر مؤثر است و حد تفکیک مورد نظر است، تعداد پروجکشن مورد نیاز برای بازسازی تصویر از رابطه زیر به دست می‌آید: <span><span><span><span> الگوریتم‌های بازسازی الگوریتم‌های بازسازی عملی برای تکمیل روند بازسازی یک جسم سه‌بعدی از پروجکشن‌های آن ساخته شده‌است. هرمان GT، اصول توموگرافی کامپیوتری: بازسازی تصویر از طرح، نسخه دوم، Springer، 2009 این الگوریتم‌ها عمدتاً بر اساس ریاضیات تبدیل رادون، دانش آماری فرایندجمع آوری داده و هندسه سیستم تصویربرداری داده طراحی شده‌اند. الگوریتم بازسازی در حوزه فوریه بازسازی را می‌توان با استفاده از درون یابی انجام داد. فرض کنید پروجکشن از ‌در زوایای که به‌طور مساوی فاصله داده می‌شوند و هر کدام سرعت نمونه برداری یکسان دارند، تولید شده‌است. تبدیل فوریه گسسته در هر پروجکشن، نمونه‌برداری را در حوزه فرکانس انجام خواهد داد. ترکیب همه پروجکشن‌های نمونه‌برداری شده در فرکانس، یک خط قطبی در حوزه فرکانس ایجاد می‌کند. خط قطبی نامتراکم خواهد بود بنابرین برای پر کردن نقاط ناشناخته تبدیل فوریه دوبعدی از درون‌یابی استفاده می‌شود و سپس بازسازی می‌تواند از طریق معکوس تبدیل فوریه دیجیتال انجام شود. عملکرد بازسازی ممکن است با طراحی روش‌هایی برای تغییر نامتراکمی خط قطبی و تسهیل اثرگذاری درون‌یابی، بهبود یابند. به عنوان مثال، یک مربع مورب متحدالمرکز در حوزه فرکانس را می‌توان با تغییر زاویه بین هر پروجکشن به صورت زیر بدست آورد: که بالاترین فرکانس مورد بررسی است. مربع مورب متحدالمرکز، کارایی محاسباتی را بهبود می‌بخشد با اینکه تمام موقعیت‌های درون یابی روی شبکه تبدیل فوربه گسسته مستطیلی شکل می‌گیرد. الگوریتم عقبگرد پروجکشن در عمل بازسازی تصویر توموگرافیک، اغلب از یک نسخه پایدار و گسسته سازی شده تبدیل رادون معکوس استفاده می‌شود، که به عنوان الگوریتم عقبگرد پروجکشن شناخته می‌شود. در یک سیستم نمونه‌گیری شده گسسته، تبدیل رادون معکوس، مانند زیر است: که فاصله زاویه ای بین پروجکشن‌ها و کرنل رادون با پاسخ فرکانس است. نام عقبگرد پروجکشن از این واقعیت سرچشمه گرفته‌است که پروجکشن‌های یک بعدی باید توسط کرنل یک بعدی رادون فیلتر شوند تا بتوان سیگنال دوبعدی را به دست آورد. | ## بخش 3: بازسازی برش‌نگاری | فیلتر استفاده شده حاوی بهره مقدار ثابت (gain DC) نیست، بنابراین افزودن یک مقدار ثابت (DC) ممکن است مطلوب باشد. بازسازی با استفاده از روش عقبگرد پروجکشن، باعث وضوح بیشتری نسبت به روش درون یابی که در بالا توضیح داده شده‌است، می‌شود. با این حال، باعث ایجاد نویز بیشتر نیز می‌شود، زیرا فیلتر مستعد به افزایش محتوای فرکانس بالا است. الگوریتم بازسازی تکراری الگوریتم تکراری از لحاظ محاسبات پیچیده‌است اما اجازه می‌دهد اطلاعات پیشین در مورد سیستم به حساب بیایند. تعداد پروجکشن‌ها و اپراتور تحریف برای امین پروجکشن گرفته شده در یک زاویه است و مجموعه ای از پارامترها برای بهینه‌سازی تبدیل تکرارها هستند. یک خانواده جایگزین از الگوریتم‌های بازسازی توموگرافی بازگشتی عبارتند از: تکنیک بازسازی جبری و حداقل تفاضل مجانبی. بازسازی پرتو پنکه‌ای استفاده از یک پرتو پنکه ای هم راستا سازی نشده رایج است زیرا به دست آوردن یک پرتو تابش هم راستا سازی شده دشوار است. پرتوهای پنکه ای، مجموعه ای از انتگرال‌های خط را تولید می‌کنند که مانند پروجکشن‌ها به صورت موازی با یکدیگر نیستند. سیستم پرتو پنکه ای نیاز به محدوده زاویه۳۶۰ درجه ای دارد که موجب محدودیت مکانیکی می‌شود، اما اجازه می‌دهد تا سرعت جمع‌آوری سیگنال سریع تر باشد که این امر در موارد خاص برای مثال در زمینه پزشکی مفید است. روند عقبگرد پروجکشن یک روش دو مرحله ای مشابه را طی می‌کند که با استفاده از محاسبه جمع وزن دار شده عقبگرد پروجکشن‌های گرفته شده از پروجکشن‌های فیلتر شده، بازسازی را انجام می‌دهد. TomoPy همچنین شامل چندین الگوریتم بازسازی است که می‌تواند در ایستگاه‌های کاری چند هسته‌ای و با امکانات محاسباتی در مقیاس بزرگ اجرا شود. این جعبه ابزار از پرتوهای موازی، پنکه ای و مخروطی با موقعیت منبع/ آشکارساز بسیار قابل انعطاف پشتیبانی می‌کند. | ## جمع‌بندی | نگارخانه در تصاویر آمده در این قسمت، روند کامل برای یک توموگرافی ساده از جسم و بازسازی توموگرافی بر اساس روش‌های تکراری آمده‌است.