موضوع مقاله: توپولوژی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # توپولوژی | مقدمه: در پرندگان و جانوران به شناخت نام هر بخش از بدن به‌طور دقیق و جزئی، شناخت یا نام‌گذاری «بخش‌های مختلف بدن» گفته می‌شود. | ## بخش 1: توپولوژی | در ریاضی، به خواص هندسی اشیاء مربوط می‌شود که تحت تغییر شکل‌های پیوسته چون کشیدگی، پیچش، مچاله کردن و خم کردن حفظ شده، اما تحت پارگی یا چسباندن حفظ نمی‌شوند. این ساختار، امکان تعریف تغییر شکل‌های پیوسته از زیر فضاها را داده و به‌طور کلی‌تر، امکان تعریف تمام انواع پیوستگی را به ما می‌دهد. تغییر شکل‌هایی که در توپولوژی مد نظر قرار می‌گیرند شامل همسان ریختی و هموتوپی می‌شود. خاصیتی که تحت چنین تغییر شکل‌هایی پایا می‌ماند را خاصیت توپولوژی گویند؛ مثال‌های مقدماتی چنین خواصی شامل این موارد می‌شود: بُعد، که امکان تمایز بین خط و سطح را می‌دهد؛ فشردگی، که امکان تمایز بین خط و یک دایره را می‌دهد؛ هم‌بندی که امکان تمایز بین یک دایره و دو دایره مجزا را می‌دهد. مسئله هفت پل کونیگسبرگ و فرمول‌های چند وجهی لئونارد اویلر را می‌توان با وجود عدم توافق کامل به عنوان اولین قضایای این حوزه از ریاضیات برشمرد. اصطلاح توپولوژی اولین بار توسط یوهان بندیکت لیستینگ در قرن نوزدهم میلادی معرفی شد، گرچه که تا دهه اول قرن بیستم، ایده یک فضای توپولوژی توسعه پیدا نکرد. انگیزش دیدگاه انگیزه بخش پشت توپولوژی، شامل برخی از مسائل هندسی می‌شوند که به شکل دقیق اشیاء مربوط وابسته نبوده، بلکه به شیوه‌ای که کنار یکدیگر چیده شده تا آن شیء به‌وجود آید مربوط می‌شود. برای مثال، مربع و دایره، دارای خواص مشترک زیادی هستند: هر دو، اشیای یک بُعدی‌اند (از دیدگاه توپولوژی) و هر دو صفحه را به دو بخش، تفکیک می‌کنند: بخش درونی و بخش بیرونی. لئونارد اویلر در یکی از اولین مقالات توپولوژی اثبات کرد که یافتن مسیری از شهر کونیگسبرگ (اکنون این شهر به کالینینگراد معروف است) که از هر هفت پل آن دقیقاً یک بار عبور کند غیرممکن است. این نتیجه به طول پل‌ها یا مسافتشان از یکدیگر وابسته نبود؛ بلکه صرفاً به خواص اتصالی‌شان مربوط می‌شد؛ اینکه چه پلی به کدام جزیره یا کدام ساحل رودخانه، وصل باشد. این مبحث در ادامه پیشرفت‌هایی بنیادین داشت و در شکل‌دادن به ریاضیات قرن بیستم و امروز، نقشی اساسی، بازی کرد. هنگام صحبت از توپولوژی، معمولاً اشیایی مانند نوار موبیوس، بطری کلاین، گره‌ها و حلقه‌ها نخستین چیزهایی هستند که به ذهن می‌آیند. برخی نیز با عبارتی طنزآمیز توپولوژیست‌ها را توصیف می‌کنند؛ آن‌ها می‌گویند توپولوژیست کسی است که فرقی میان فنجان قهوه و پیراشکی نمی‌بیند! در دهه ۱۶۷۰ میلادی، گتفرید ویلهلم لایب‌نیتس (۱۶۴۶–۱۷۱۶)، در نامه‌ای به کریستین هویگنس (۱۶۲۹–۱۶۹۵)، به تشریح مفهومی پرداخت که بعدها به مهم‌ترین هدف در مطالعه توپولوژی تبدیل شد: لایب‌نیتس رؤیای حساب دیفرانسیل و انتگرال شکل‌هایی را در سر می‌پروراند که در آن، فرد می‌تواند به‌سادگی، اعداد و شمل‌ها را با هم ترکیب کند؛ مانند چندجمله‌ای‌ها، روی آن‌ها عمل انجام دهد و به نتایج جدید و متقن هندسی، دست پیدا کند. کسی نمی‌داند که لایب‌نیتس دقیقاً چه در سر داشت؛ اما پیداست که لئونارد اویلر (۱۷۰۱–۱۷۸۳) نخستین گام‌ها را در این شاخهٔ جوان—که وی آن را هندسه مکان می‌نامید—برداشت. راه‌حل او برای مسئلهٔ پل‌های کونیگسبرگ و فرمول مشهور اویلر، یعنی (که در آن تعداد رأس، تعداد یال و تعداد وجوه چندوجهی است)، نتایجی بودند که به موقعیت‌های نسبی اشکال هندسی—و نه بزرگی آنها—بستگی داشتند. در سده نوزدهم، کارل فردریک گاوس (۱۷۷۷–۱۸۵۵)، هنگامی که گره‌ها و حلقه‌ها را به‌عنوان تعمیمی از مدارهای سیارات مطالعه می‌کرد، به هندسه مکان علاقه‌مند شد. او با نام‌گذاری اشکال گره‌ها و حلقه‌ها، یک دستگاه مقدماتی به‌وجود آورد که با روش ترکیبیاتی، گره‌های معینی را از یکدیگر مجزا می‌ساخت. برنارد ریمان (۱۸۲۶–۱۸۶۶) نیز از روش‌های دانش نوپای آنالیز مکان، به‌عنوان ابزاری بنیادین برای مطالعه توابع مختلط بهره جست. با آغاز از کارهای جرج کانتور (۱۸۴۵–۱۹۱۸)، ایده‌هایی، از جمله، پیوستگی توابع و هم‌گرایی دنباله‌ها، به‌گونه‌ای فزاینده و در موقعیت‌های کلی بررسی می‌شدند تا این که در سده بیستم و در سال ۱۹۱۴، فلیکس هاوسدورف (۱۸۶۹–۱۹۴۲) ایده کلی فضای توپولوژیکی را مطرح کرد. مفهوم بنیادین در توپولوژی، اندیشه پیوستگی است و این مفهوم برای نگاشت‌های میان دو مجموعه که مجهز به مفهومی از «نزدیک بودن» باشند تعریف می‌شود (یعنی همان فضاهای توپولوژیکی) و البته این نزدیک بودن، تحت نگاشت‌های پیوسته حفظ می‌شود. بدین ترتیب، می‌توان گفت توپولوژی نوعی هندسه است که در آن خواص مهم یک شکل، آن‌هایی در نظر گرفته می‌شوند که تحت حرکت‌های پیوسته (هومومورفیسم‌ها) حفظ گردند. از این دیدگاه، توپولوژی را می‌توان به‌عنوان هندسهٔ صفحاتی لاستیک‌گونه تعریف کرد. از جنبه تاریخی، توپولوژی در سال ۱۸۴۷ از سوی لیستنگ، یکی از شاگردان گاوس معرفی شد. بنیادی‌ترین و قدیمی‌ترین زیرشاخه، توپولوژی نقطه-مجموعه است که بنیادهای توپولوژی بر آن بنا شده است و به مطالعه در زمینه‌های فشردگی، پیوستگی و هم‌بندی می‌پردازد. | ## بخش 2: توپولوژی | توپولوژی جبری نیز یکی دیگر از زیرشاخه‌های توپولوژی است که سعی در محاسبه درجه هم‌بندی دارد. همچنین زیرشاخه‌هایی مانند توپولوژی هندسی، توپولوژی گراف و توپولوژی ابعاد پایین نیز وجود دارند. توپولوژی، مطالعه ریاضیاتی روی خصوصیاتی است که در طی تغییر شکل‌ها، ضربه‌خوردن‌ها و کشیده شدن اشیاء، به‌طور ثابت حفظ می‌شوند (البته عمل پاره کردن، مجاز نمی‌باشد). یک دایره به لحاظ توپولوژیکی هم‌ارز با یک بیضی می‌باشد که می‌تواند در داخل آن، با کشیده‌شدن، تغییر شکل یابد و یک کره با یک سطح بیضی‌وار، هم‌ارز است (یعنی یک منحنی بسته تک بعدی و بدون هیچ محل تقاطع که می‌تواند در فضای دو بعدی جای گیرد)، مجموعه تمام وضعیت‌های ممکن برای عقربه‌های ساعت‌شمار و دقیقه‌شمار با هم، به لحاظ توپولوژیکی با چنبره هم‌ارز است (یعنی یک سطح دوبعدی که می‌تواند در داخل فضای سه‌بعدی جای گیرد) و مجموعه تمام وضعیت‌های ممکن برای عقربه‌های ساعت‌شمار، دقیقه‌شمار و ثانیه‌شمار با هم، به لحاظ توپولوژی با یک شیء سه‌بعدی، هم‌ارز می‌باشد. یکی از ایده‌های اصلی در توپولوژی این است که اشیاء فضایی مثل دایره‌ها و کره‌ها در نوع خود می‌توانند به عنوان اشیاء محسوب شوند و علم اشیاء ارتباطی با چگونگی نمایش یافتن یا جای گرفتن آن‌ها در فضا ندارد. توپولوژی با مطالعه مواردی چون اشیاء فضایی از قبیل منحنی‌ها، سطوح، فضایی که ما آن را جهان می‌نامیم، پیوستار فضا زمان با نسبیت عمومی، فراکتال‌ها، گره‌ها، چند شکلی‌ها (اشیایی هستند که برخی خصوصیات فضایی اصلی آن‌ها مشابه با جهان ما می‌باشد)، فضاهای مرحله‌ای که در فیزیک با آن‌ها مواجه می‌شویم (مثل فضای وضعیت‌های قرار گرفتن عقربه‌ها در ساعت)، گروه‌های متقارن همچون مجموعه شیوه‌های چرخاندن یک رأس و غیره در ارتباط است. توپولوژی برای جداسازی اتصال ذاتی اشیاء و در عین حال کنار گذاشتن ساختار جزء به جزء آن‌ها قابل استفاده می‌باشد. اگر دو شیء دارای خصوصیات توپولوژیکی مشابه باشند، گفته می‌شود که آن‌ها هم ریخت هستند. البته اگر دقیق تر بگوییم، خصوصیاتی که با کشیدن یا کج کردن یک شیء تخریب نمی‌شوند، در واقع خصوصیاتی هستند که به واسطه همسانگری حفظ می‌شوند نه به واسطهٔ هم ریختی؛ همسانگری با کج کردن اشیاء دیگر در ارتباط است درحالی‌که همریختی، خصیصه ذاتی است. به‌طور خاص دو شیء ریاضیاتی زمانی هوموتوپیک خوانده می‌شوند که یکی از آن‌ها بتواند به‌طور پیوسته به شکلی مشابه شکل دیگری تغییر یابد. نمونه رابطه توپولوژیکی، فرمول اویلر است در مورد چندوجهی‌ها که تعداد رئوس (v) منهای تعداد خطوط یا لبه‌ها (e) باضافه تعداد سطوح (f) همیشه برابر است با ۲ است. (v – e + f = ۲) فرمول اویلر در سال ۱۷۵۲ منتشر شد ولی ۶۳ سال بعد در سال ۱۸۱۳ ریاضیدان سویسی بنام لیولیر اثبات کرد که فرمول اویلر برای چندوجهی‌های سوراخدار صحیح نیست و فرمول کامل چنین است: v – e + f = ۲g، که g تعداد سوراخ‌ها است. ۵۲ سال بعد از لیولیر، در سال ۱۸۶۵، موبیوس نوار خود را معرفی کرد که فقط یک رویه دارد و از نواری به‌دست می‌آید که قبل از چسباندن دو سرش به یکدیگر، یک سر را ۱۸۰درجه بچرخانیم و بعد بچسبانیم. ۱۷ سال بعد در سال ۱۸۸۲ ریاضیدان آلمانی فلیکس کلاین بطری معروف به «بطری کلاین» را معرفی کرد که درون و برون آن از هم متمایز نیستند و بعبارتی دیگر حجم آن صفر است. توپولوژی مدرن وابسته به ایدهٔ تئوری مجموعه‌های کانتر می‌باشد که در اواخر قرن ۱۹ مطرح شد. مجموعه X به همراه گردایه T از زیرمجموعه‌های X را یک فضای توپولوژیکی گویند هر گاه: مجموعه‌های تهی و X، عضو T باشند. وی یک مجموعه مانند X توپولوژی‌های متعددی می‌توان تعریف کرد (حداقل دو توپولوژی گسسته و ناگسسته را می‌توانیم روی X تعریف کنیم). در این صورت اثباتی که برای وجود یک مجموعه باز معین ارائه می‌دهیم در مورد توپولوژی ظریفتر هم برقرار است. توابع پیوسته: فرض می‌کنیم (X,T) و (Y,U) دو فضای توپولوژیک دلخواه باشند: تابع در نقطه x واقع در X را پیوسته گوییم، هرگاه به ازای هر مجموعه باز شامل f(x) مانند BY، مجموعه بازی مانند BX شامل x وجود داشته باشد به‌طوری که f[BX] زیر مجموعه BY باشد. به‌طور کلی فضای اقلیدسی Rn یک فضای توپولوژیکی است و مجموعه‌های باز در آن گوی‌های باز هستند. چند قضیه توپولوژی: هر بازه بسته با طول متناهی در Rn فشرده است؛ و معکوس تصویر پیوسته یک فضای فشرده، فشرده است. به همین ترتیب می‌گوییم تابع در مجموعهٔ A واقع در X پیوسته است رد صورتی که در تمام نقاط A پیوسته باشد. قضیه: تابع در X پیوسته است اگر و تنها اگر به ازای هر زیر مجموعه باز در Y مانند BY، مجموعه‌یf[BY] − ۱ زیر مجموعه باز X باشد. یک تابع بین X و Y را پیوسته می‌گوییم اگر تصویر معکوس هر مجموعه باز در X یک مجموعه باز در Y باشد. تعریف ریاضی یک فضای توپولوژیک، زوج مرتبی مانند است که در آن یک مجموعه، و نیز گردایه‌ای از زیرمجموعه‌های است، به‌گونه‌ای که اصول موضوع زیر ارضا شوند: ۱. | ## بخش 3: توپولوژی | اشتراک هر تعداد متناهی مجموعه عضو در قرار داشته باشد؛ یعنی اشتراک هر گردایه متناهی از مجموعه‌های عضو در قرار داشته باشد؛ ۳. اگر توپولوژی تعریف شده روی مشخص باشد، فضای توپولوژیکی ، به‌طور ساده‌شدهٔ نوشته و به آن فضای گفته می‌شود. مثال روی توپولوژی‌های گوناگونی می‌توان تعریف کرد؛ اگر مجموعه‌های باز را همان بازه‌های باز در نظر بگیریم، در این‌صورت به توپولوژی به‌دست آمده، توپولوژی استاندارد روی گفته می‌شود. با تعمیم این ایده، مجموعه‌های باز در توپولوژی معمولی روی فضای اقلیدسی ، گوی‌های باز هستند. مقایسهٔ توپولوژی‌های تعریف شده روی یک مجموعه روی یک مجموعه مانند توپولوژی‌های متعددی می‌توان تعریف کرد—دست‌کم دو توپولوژی گسسته و ناگسسته. در توپولوژی گسسته، هر زیرمجموعه از ، یک مجموعه باز در نظر گرفته می‌شود و در توپولوژی ناگسسته یا بی‌مایه، تنها مجموعه‌های باز، مجموعهٔ و تهی هستند. پس درشت‌ترین توپولوژی که روی یک مجموعه می‌توان تعریف کرد، توپولوژی ناگسسته یا بی‌مایه، و ظریف‌ترین توپولوژی قابل تعریف روی یک مجموعه، توپولوژی گسسته است. در این صورت اثباتی که برای وجود یک مجموعهٔ باز معین ارائه داده می‌شود، در مورد توپولوژی ظریف‌تر هم برقرار است. کاربردهای توپولوژی زیست‌شناسی توپولوژی مداری (circuit topology) و تئوری گره‌ها، دو شاخه از توپولوژی هستند که در زیست‌شناسی مولکولی و ساختاری برای مطالعهٔ ساختار پروتئین‌ها و ژنوم به‌کار می‌روند. از این روش‌ها برای طبقه‌بندی مولکول‌ها و نیز فهم رفتار آن‌ها می‌توان استفاده کرد. اِی‌ها را برش می‌دهند، چرخش می‌دهند و دوباره به هم متصل می‌کنند، گره‌هایی با اثرات قابل مشاهده مانند الکتروفورز آهسته‌تر ایجاد می‌کنند. همچنین توپولوژی مداری می‌تواند دینامیک یا پویایی مولکول‌های تاخورده را توضیح دهد. توپولوژی در زیست‌شناسی تکاملی، برای بیان‌کردن رابطهٔ بین فنوتیپ و ژنوتیپ نیز به‌کار می‌رود. شکل‌های فونوتیپی که کاملاً متفاوت به نظر می‌رسند، می‌توانند تنها با چند جهش وابسته به اینکه چگونه ژنتیک نقشه را عوض می‌کند، جدا شوند. علوم رایانه تحلیل دادهٔ توپولویکی از تکنیک‌های توپولوژی جبری استفاده کرده تا ساختار انبوه یک مجموعه را محاسبه کند. جایگزینی مجموعه‌ای از نقطه‌های داده‌ای با خانواده‌ای از کامپلکس‌های ساده شده، که به‌وسیلهٔ مجاورت پارامترها فهرست‌بندی شده‌اند. تحلیل کامپلکس‌های توپولوژیکی به وسیلهٔ توپولوژی جبری، و به‌طور خاص به وسیلهٔ نظریهٔ همسانی مداوم. رمزنگاری همسانی مداوم مجموعه‌ای از داده‌ها به شکل یک نسخهٔ پارامتری شده از اعداد بتی که بارکد نام دارند. فیزیک در فیزیک، توپولوژی در چندین شاخه، مانند نظریه میدان‌های کوانتومی و کیهان‌شناسی کاربرد دارد. یک نظریهٔ میدان‌های کوانتومی توپولوژیکی (یا نظریه میدان‌های توپولوژیکی)، یک نظریه میدان‌های کوانتومی است که ویژگی‌های توپولوژیکی را محاسبه می‌کند؛ گرچه این شاخه توسط فیزیکدان‌ها به‌وجود آمده است؛ اما از علاقه‌مندی‌های ریاضی‌دانان نیز هست. نظریه گره‌ها و نظریه چهار برابری در توپولوژی جبری و نظریه فضاهای مدول در هندسه جبری. روبوتیک حالت‌های مختلف ممکن برای یک روبوت می‌تواند به وسیلهٔ خمینه‌هایی که فضای پیکربندی نام دارد، توصیف شود. حتی نسبیت عام این اجازه را به فضازمان می‌دهد تا فضا و زمان اشکال بسیار عجیبی را به‌وجود بیاورند و دانشمندان آن را توپولوژی غیرساده می‌نامند. | ## جمع‌بندی | این موارد برای توسعهٔ نسبیت عام که در آن فضازمان چهاربعدی تحت تأثیر نیروی جاذبه قرار می‌گیرد و بسیار مهم و حیاتی است.