موضوع مقاله: فرضیه ریمان | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # فرضیه ریمان | مقدمه: در ریاضیات، فرضیه ریمان حدسی است که ادعا می‌کند صفرهای تابع زتای ریمان فقط در اعداد منفی زوج حقیقی یا اعداد مختلطی با بخش حقیقی می‌باشند. | ## بخش 1: فرضیه ریمان | بسیاری از دانشمندان این فرضیه را مهم‌ترین مسئلهٔ حل نشده در ریاضیات محض می‌دانند. این حدس در نظریه اعداد مورد علاقه و توجه زیادی است، چرا که نتایجی را در مورد توزیع اعداد اول ایجاب می‌کند. حدس ریمان و برخی از تعمیمات آن، به همراه حدس گلدباخ و حدس اعداد اول دوقلو، مسئله هشتم هیلبرت را در فهرست مسائل ۲۳ گانه حل نشده دیوید هیلبرت تشکیل می‌دهند؛ همچنین این مسئله یکی از مسائل جایزه هزاره مؤسسه ریاضیاتی کِلِی است. برخی مواقع این عنوان را برای فرض‌های مشابهی چون فرضیه ریمان برای منحنی‌های روی میدان‌های متناهی نیز به کار می‌برند. با اینکه این مسئله حل نشده‌است اما محاسبات کامپیوترها نشان داده‌است که ۱۰ تریلیون ریشه اول مسئله در خط بحرانی (Re=0٫۵) قرار دارند. تابع زتای ریمان ، تابعی است که آرگومانش می‌تواند هر عدد مختلطی به جز ۱ باشد، به گونه‌ای که مقادیرش نیز مختلط اند. این تابع صفرهایی در اعداد صحیح منفی زوج دارد؛ یعنی اگر s برابر یکی از اعداد: ۲-، ۴-، ۶-، … باشد، خواهد بود. با این حال، این‌ها تنها صفرهای تابع زتای ریمان نیستند، این تابع دارای صفرهای دیگری به نام صفرهای نابدیهی نیز می‌باشد. فرضیه ریمان مربوط به تعیین مکان صفرهای نابدیهی این تابع بوده و بیان می‌کند: ازین رو، اگر فرضیه ریمان صحیح باشد، تمام صفرهای نابدیهی تابع مذکور بر روی خط بحرانی شامل اعداد صفحه مختلط به فرم خواهند بود، که t عددی حقیقی و i یکه موهومی است. لئونارد اویلر در دهه ۱۷۳۰ این سری را برای اعداد حقیقی بررسی کرده بود و راه حلی هم برای مسئله بازل ارائه کرده بود. حدس ریمان در ریشه‌هایی بحث می‌کند که خارج از منطقه همگرایی این سری و حاصل ضرب اویلر است. برای این که این حدس معنی پیدا کند، باید به‌طور تحلیلی این تابع را ادامه داد تا برای همه اعداد مختلط تعریف شود. این کار را می‌توان با تبدیل جمله‌های سری با استفاده از تابع اتای دیریکله به صورت زیر انجام داد. اما سری بالا در سمت راست معادله نه تنها وقتی بخش حقیقی s بزرگ‌تر از یک است همگراست، بلکه به‌طور کلی تر وقتی که بخش حقیقی s مثبت است؛ بنابراین این سری جایگزین تابع زتا را از دامنه Re(s)> 1 به دامنه بزرگتر Re(s)> 0 تعمیم می‌دهد. تابع زتا (ζ(s را می‌توان با فرض بر این که معادله بالا برای اعداد خارج از نوار نیز صادق است برای همه اعداد مختلط s تعریف کرد. وقتی که s یک عدد صحیح زوج منفی است ζ(s) = ۰ به این دلیل که جمله (sin(πs/2 صفر می‌شود؛ اینها ریشه‌های ساده تابع زتا هستند. | ## بخش 2: فرضیه ریمان | (وقتی که s عدد صحیح زوج مثبت است این جمله صفر نمی‌شود چرا که ریشه‌های تابع سینوس با قطب‌های تابع گاما کنسل می‌شوند) مقدار ζ(۰) = -۱/۲ توسط معادله تابعی به دست نمی‌آید، بلکه مقدار حد تابع زتا است وقتی که تابع به صفر میل می‌کند. معادله تابعی همچنین نشان می‌دهد که تابع زتا ریشه دیگری بر روی اعداد با قسمت حقیقی منفی غیر از ریشه‌های ساده ندارد پس همه ریشه‌های غیر ساده باید در نوار بحرانی باشند جایی که قسمت حقیقی s بین ۰ و ۱ است. تأثیرات و دلایل اهمیت توزیع اعداد اول فرمول صریح ریمان برای تعداد اعداد اول کمتر از یک عدد معین می‌گوید که مقدار نوسانات اعداد اول در اطراف موقعیت پیش‌بینی شده اشان توسط قسمت حقیقی ریشه‌های تابع زتا کنترل می‌شود. در حال حاضر می‌دانیم که ۱/۲ ≤ β ≤ 1 فون کخ در سال ۱۹۰۱ ثابت کرد که حدس ریمان «بهترین» کران ممکن برای خطای قضیهٔ اعداد اول را ارائه می‌کند. نسخه‌ای دقیق از نتایج کخ بیان می‌کند که بر طبق حدس ریمان جایی که (π(x تابع شمارش اعداد اول است و (log(x لگاریتم طبیعی x است. رشد توابع ریاضی حدس ریمان علاوه بر کرانه‌هایی که بر تابع شمارش اعداد اول تعیین می‌کند، کرانه‌هایی نیز بر روی رشد توابع ریاضی می‌گذارد. از این رابطه می‌توان نتیجه گرفت که اگر تابع مرتنز با رابطه زیر تعریف شود آنگاه رابطه زیر برای هر ε مثبت معادل حدس ریمان است. دترمینان مرتبه n ماتریس ردهفر برابر است با (M(n بنابراین حدس ریمان می‌تواند همچنین به عنوان شرطی بر رشد این دترمینان‌ها باشد. یک مثال قضیه رابین است که بیان می‌کند که اگر (σ(n تابع مقسوم علیه با رابطه زیر باشد آنگاه برای همه n> 5040 اگر و تنها اگر حدس ریمان درست باشد که در آن γ ثابت اویلر – ماسکرونی است. حدس ریمان معادل بسیاری از اظهارات است که نشان می‌دهند که دنباله فاری نسبتاً منظم هستند. یکی از این هم‌ارزی‌ها به شرح زیر است: اگر Fn دنباله فاری از مرتبه n باشد که با 1/n شروع و تا ۱/۱ ادامه یابد، آنگاه می‌توان گفت که برای همه ε> ۰ معادل حدس ریمان است. به عنوان مثالی دیگر از نظریه گروه، اگر (g(n تابع لاندو با مرتبه ماکزیمم از المان‌های گروه متقارن Sn از درجه n باشد، آنگاه نشان داده‌اند که حدس ریمان معادل با کران تابع برای همه nهای به اندازه کافی بزرگ است. حدس تفاضل بین اعداد اول بزرگ بر طبق قضیه اعداد اول به‌طور میانگین فاصله بین عدد اول p و عدد اول بعد از آن log p است. کرامر ثابت کرد که با فرض این که حدس ریمان درست باشد، هر فاصله‌ای از مرتبه O(√p log p) است. حدس کرامر حاکی از آن است که هر فاصله‌ای از مرتبه (O log p)2 است که در حالی که بزرگتر از متوسط فاصله است با این حال بسیار کوچکتر از کرانه‌ای است که از حدس ریمان به دست می‌آید. محل ریشه‌ها تعداد ریشه‌ها معادله تابعی همراه با اصل استدلال حاکی از آن است که تعداد ریشه‌های تابع زتا با قسمت موهومی بین ۰ و T با معادله زیر به دست می‌آید برای همه s=1/2+iT جایی که آرگومان با تغییر دادن آن به‌طور مداوم در راستای خط Im(s) = T با شروع از آرگومان ۰ در iT+∞ تعریف می‌شود. | ## بخش 3: فرضیه ریمان | این مجموع جمله بزرگ (و کاملاً فهمیده شده) زیر است همچنین مجموع جمله کوچک و ناشناخته و رازگونه زیر بنابراین چگالی تعداد ریشه‌ها با بخش موهومی نزدیک به T تقریباً برابر با log(T)/2π است و تابع S تنها مقدار کمی از این مقدار منحرف می‌شود. تابع (S(t با مقدار ۱ در هر کدام از ریشه‌های تابع زتا پرش دارد و برای t ≥ ۸ تابع به‌طور یکنواخت بین ریشه‌ها با مشتقی نزدیک به log t- کاهش پیدا می‌کند. مرتبه بزرگی دقیق آن است ممکن است چیزی کمتر از این مقدار باشد چنان‌که توابع تصادفی با توزیعی همانند (S(T معمولاً رشدی از مرتبه log(T)1/2 دارند. محاسبات عددی تأیید می‌کنند که S بسیار به آرامی رشد می‌کند: S(T)| <1| برای T <280 و |S(T)| <2 برای T <6800000 و بزرگ‌ترین مقدار |(S(T| که تا کنون یافت شده‌است کوچکتر از ۳ است. ریمان تخمین زده‌است که (S(T) = O(log T حاکی از آن است که فاصله بین ریشه‌ها دارای کران است و لیتلوود این تخمین را کمی بهبود داده و نشان داده که فاصله بین قسمت‌های موهومی ریشه‌ها به سمت صفر میل می‌کند. ریشه‌ها روی نوار بحرانی و با در نظر گرفتن گشتاور توابعی مربوط به تابع زتا، نشان داده‌اند که تعداد بی‌نهایتی از ریشه‌ها بر روی نوار بحرانی وجود دارند. با استفاده از مشتق تابع زتا در محل ریشه‌ها این نتیجه را بهبود داد با بیان این که حداقل یک سوم ریشه‌ها روی خط قرار دارند. به‌طور دقیق تر، نشان دادند که برای هر ε مثبتی همه ریشه‌ها به غیر از قسمت بسیار کوچکی نزدیک به خط با فاصله ε قرار می‌گیرند. تعدادی نسخه دقیق تر از این نتیجه را با نام تخمین چگالی ریشه‌ها ارائه می‌دهد، که تعداد ریشه‌ها را در مناطقی با قسمت موهومی حداکثر T و قسمت حقیقی حداقل ۱/۲+ε محدود می‌کند. وجود این ریشه‌ها را می‌توان با محاسبات عددی اثبات کرد که وجود وجود صفر دقیقاً بر روی خط بین دو نقطه با چک کردن عددی که تابع اتحاد مخالف نشانه‌ها در این نقاط است. می‌توان نوشت که تابع هاردی Z و تابع تتای ریمان–سیگل θ به صورت منحصر به فردی در این رابطه تعریف شده‌اند. با پیدا کردن فواصلی که در آن تابع Z تغییر علامت می‌دهد می‌توان نشان داد که بسیاری از ریشه‌ها روی خط بحرانی هستند. به منظور بررسی حدس ریمان برای هر قسمت موهومی T ریشه‌ها، باید چک کرد که ریشه‌ای بیرون از خط در نوار بحرانی وجود ندارد. این را می‌توان با محاسبه تعداد ریشه‌ها در نوار بحرانی و چک کردن این که این تعداد با ریشه‌های روی خط برابر اند نشان داد. | ## جمع‌بندی | اعداد اول و فرضیه ریمان، ترجمه کامران بزرگزاد ایمانی، نوشته بَری مِی‌زِر، ویلیام اِستاین، ۱۴۰۱، نشر واژه.