موضوع مقاله: بطری کلاین | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # بطری کلاین | مقدمه: در شاخه توپولوژی از ریاضیات، بطری کلاین (Klein bottle)، مثالی از رویه جهت-ناپذیر است، این شیء یک منیفلد دو بعدی است که در مقابل آن نمی‌توان سامانه سازگاری برای تعیین بردار نرمال تعریف نمود. | ## بخش 1: بطری کلاین | بطری کلاین را می‌توان به صورت غیررسمی به عنوان رویه یک-رویی در نظر گرفت که اگر بر روی آن سفری انجام شود، بتواند مسافر را با سر و ته کردن به نقطه مبدأ بازگرداند. مفهوم بطری کلاین اولین بار در ۱۸۸۲ میلادی توسط ریاضیدان آلمانی فلیکس کلاین توصیف شد. ایده این است که لبه‌های قرمز و آبی متناظر را با هم بچسبانیم، به‌گونه‌ای که جهت پیکان‌ها با هم مطابقت داشته باشند، همان‌گونه که در نمودارهای زیر دیده می‌شود. توجه داشته باشید که این «چسباندن» به‌صورت انتزاعی است؛ زیرا تلاش برای ساختن این شیء در فضای سه‌بعدی منجر به بطری کلاینی با خود-برخورد می‌شود. سپس برای چسباندن دو سر استوانه به یکدیگر، به‌گونه‌ای که جهت پیکان‌های دایره‌ای با هم منطبق شوند، باید یکی از سرها را از کنار استوانه عبور داد. این کار منجر به یک منحنی با خود-برخورد می‌شود؛ در نتیجه، این تصویر یک جاد‌هی یا غوطه‌گذاری از بطری کلاین در فضای سه‌بعدی است. برای نمونه، بطری کلاین هیچ لبه‌ای ندارد که سطح در آن به‌طور ناگهانی پایان یابد و غیربرخوردپذیر است، چنان‌که از یک‌سویه بودنِ جادهی آن پیداست. موزه علوم لندن مجموعه‌ای از بطری‌های کلاین شیشه‌ای دست‌ساز را به نمایش گذاشته که گوناگونی‌هایی از این مفهوم توپولوژیکی را نشان می‌دهند. با این حال، روشی برای تجسم آن در فضای چهاربعدی وجود دارد که در آن خودبرخوردی از میان می‌رود. | ## بخش 2: بطری کلاین | با افزودن یک بُعد چهارم به فضای سه‌بعدی، می‌توان بخشی از لولهٔ دارای برخورد را در امتداد بُعد چهارم به بیرون هل داد. قیاس مفید آن، حذف برخورد از یک منحنی خودبرخورد در صفحه با بلند کردن یکی از شاخه‌ها به خارج از صفحه است. تصویر همراه («تحول زمانی...») یکی از شیوه‌های رشد چنین شکلی را در فضای xyzt نشان می‌دهد. پس از مدتی، بخش ابتدایی دیواره شروع به ناپدید شدن می‌کند، گویی مانند گربه چشایر محو می‌شود، اما لبخند گسترده‌اش را بر جای می‌گذارد. تا زمانی که جبههٔ رشد به محل جوانه برسد، چیزی برای برخورد باقی نمانده و رشد بدون نفوذ در ساختار موجود کامل می‌شود. این شکل چهاربعدی در فضای سه‌بعدی قابل تحقق نیست اما در فضای چهاربعدی به‌راحتی فهم‌پذیر است. به‌طور رسمی، بطری کلاین یک فضای خارج‌قسمتی است که به‌صورت مربع [0,1] × [0,1] با روابط شناسایی برای و برای تعریف می‌شود. در حالی که نوار موبیوس را می‌توان در فضای اقلیدسی سه‌بعدی (R³) جا داد، بطری کلاین را نمی‌توان؛ اما می‌توان آن را در فضای چهاربعدی (R⁴) جا داد. ادامهٔ این روند به صورت ایجاد منیفلدهای سه‌بعدی‌ای است که در R⁴ جای نمی‌گیرند ولی در R⁵ قابل جاگذاری‌اند. | ## بخش 3: بطری کلاین | برای نمونه، اگر دو انتهای یک اسفریندر را مانند دو سر استوانه در بطری کلاین به هم وصل کنیم، شکلی موسوم به «بطری اسفریندری کلاین» پدید می‌آید که نمی‌توان آن را به‌طور کامل در R⁴ جا داد.مارک تن بوس - بطری کلاین را می‌توان به‌صورت یک بستهٔ فیبری بر فراز دایره S¹ با تار S¹ در نظر گرفت. بدین ترتیب: مربع (با اعمال رابطهٔ هم‌ارزی شناسایی لبه‌ها) فضای کل E خواهد بود، در حالی که فضای پایه B بازهٔ یکه در راستای y است که در آن 1~0 در نظر گرفته شده. بطری کلاین را می‌توان (در فضای چهاربعدی، چون در فضای سه‌بعدی سطح بدون برخورد ساخته نمی‌شود) با پیوند دادن لبه‌های دو نوار موبیوس ساخت. این روش در لایمریک زیر از لئو موزر توصیف شده است: ساخت اولیهٔ بطری کلاین با شناسایی لبه‌های مخالف مربع، نشان می‌دهد که می‌توان برای آن یک ساختار کمپلکس CW تعریف کرد با یک سلول صفر-بعدی P، دو سلول یک‌بعدی C₁ و C₂ و یک سلول دو‌بعدی D. همریختی مرزی به‌صورت و تعریف می‌شود و گروه‌های همولوژی سلولی بطری کلاین K به‌صورت زیر خواهد بود: , , و برای داریم . میان توری و بطری کلاین یک پوشش دو-به-یک وجود دارد؛ زیرا اگر دو نسخه از ناحیه بنیادین بطری کلاین را کنار هم و تصویر آینه‌ای را هم در نظر بگیریم، ناحیه بنیادین توری حاصل می‌شود. بنابراین این گروه ایزومورف است با ، یعنی تنها حاصل‌ضرب نیمه‌مستقیم غیرتبدیلی گروه جمعی اعداد صحیح با خودش. | ## جمع‌بندی | با این حال، در برخی از فضاهای توپولوژیکی سه‌بعدی دیگر، ممکن است بطری کلاین به‌گونه‌ای جاگذاری شود که دوسویه باشد، ولی همچنان به‌دلیل خاصیت فضا، غیربرخوردپذیر باقی می‌ماند.