موضوع مقاله: برنهارت ریمان | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # برنهارت ریمان | مقدمه: در آنالیز حقیقی، او را بیشتر به‌سبب نخستین فرمول‌بندی دقیق انتگرال، انتگرال ریمان و کارش روی سری فوریه می‌شناسند. | ## بخش 1: برنهارت ریمان | کارهای او در آنالیز مختلط، شامل سطوح ریمانی و زمینه‌های جدید در توضیح طبیعی و هندسی آنالیز مختلط است. مقاله او، ۱۸۵۹ میلادی، دربارهٔ تابع شمارنده اعداد اول، که بیان اصلی حدس ریمان است، مقاله پایه نظریه تحلیلی اعداد به‌شمار می‌رود. ریمان در کارهای پیشگامانه‌اش در هندسه دیفرانسیل، پایه‌های ریاضی نسبیت عام را به‌دست داد. تا زمانی که در دبیرستان تحصیل می‌کرد با مادربزرگش زندگی می‌کرد تا اینکه مادربزرگ‌ش، ۱۸۴۲، درگذشت، و او به عنوان دانش‌آموز سال آخر به لونِبورگ منتقل شد. گویا ریمان، دانش‌آموز خوب و نه ممتاز، و در موضوعات کلاسیک مانند عبری و الهیات سخت‌کوش بوده است. او علاقه ویژه‌ای به ریاضیات نشان داد و سرپرست دبیرستان به او اجازه داد که متون ریاضی را در کتابخانه وی مطالعه کند. آن سرپرست در فرصتی مناسب، کتاب لُژاندر دربارهٔ تئوری اعداد را به ریمان قرض داد و او این کتاب ۹۰۰ صفحه‌ای را در شش روز خواند. بااین‌حال، در برخی کلاس‌های ریاضیات نیز حاضر شد و از پدرش درخواست که آیا می‌تواند برای خواندن ریاضیات به دانشکدهٔ فلسفه برود. گرچه ریمان جایگاه مناسبی در گوتینگن در ریاضیات داشت، آن زمان جایگاه دانشگاه گوتینگن در ریاضیات، کم‌وبیش پایین بود. بااین‌که گاوس استاد ریمان بود، تنها مقدمات را به او یاد داد و به نبوغ ریمان در ریاضیات پی نبرد. اما به‌یقین اشترن پی برده‌بود که دانشجوی ممتازی داشت، چراکه بعدها در وصف ریمان چنین گفت: «تاکنون همچون قناری‌ای، نغمه نسروده است.» ریمان، بهار ۱۸۴۷ از گوتینگن به دانشگاه برلین رفت تا زیرنظر استادانی چون اشتاینر، یاکوبی، دیریکله و آیزن‌شتاین تحصیل کند، که یک فرصت مهم برای ریمان بود. گرچه او دربارهٔ استفاده از متغیرهای مختلط در تابع بیضوی، بیشتر از آیزن‌شتاین آموخت، دیریکله اثرگذارترین کس بر او در این زمان بود. افزون‌براین، تحلیل‌های منطقی می‌کرد، دقیق و اساسی می‌پرسید، و تا جای ممکن، از محاسبات طولانی، خود می‌داشت. ریمان هم این را پذیرفته‌بود و مطابق با روش‌های دیریکله کار می‌کرد.» کار ریمان، هم‌واره بر اساس استنباط شهودی بود، که گویا دقت لازم برای نتیجه‌گیری بی‌چون‌وچرا نداشت. بااین‌حال، نظریه‌های عالی در کارهایش بسیار عیان است، چون کارهایش چندان با محاسبات طولانی پر نشده است. وقتی در دانشگاه برلین بود تئوری کلی متغیرهای مختلط را بررسی کرد که اساس برخی از کارهای مهم‌ش شد. ریمان، ۱۸۴۹، به گوتینگن برگشت و ۱۸۵۱، پایان‌نامهٔ دکتریاش را، که گاوس را شگفت‌زده کرده‌بود، نوشت. وبر (Weber)، در مدتی که ریمان در برلین بود، از لایپزیگ به استادی فیزیک در گوتینگن برگشته‌بود و ریمان هجده ماه همکارش بود. ریمان از وبر و لیستینگ، پیش‌زمینهٔ قوی در فیزیک نظری یافت و از لیستینگ ایدههای مهمی در توپولوژی گرفت که در تحقیقات جدیدش اثرگذار بود. رسالهٔ ریمان، نظریهٔ متغییرهای مختلط را، به‌ویژه آنچه امروزه آن را رویهٔ ریمان می‌نامیم، بررسی می‌کرد. این اثر، بر پایه نظریه متغیرهای مختلط کوشی که سال‌ها روی آن کار شده‌بود، و بر پایه ایده‌های نقطه‌ای انشعاب پویسوکس (Puiseux) شکل گرفت. بااین‌حال، رسالهٔ ریمان، بخش اصلی کار است که ویژگی‌های هندسی تابع تحلیلی، نگاشت هم‌دیس و هم‌بندی سطوح را بررسی می‌کند. ریمان در اثبات برخی نتایج رساله‌اش از یک اصل متغیر استفاده کرد که او بعدها آن را اصل دیریکله نامید، چرا که آن را از دیریکله در برلین آموخته‌بود. | ## بخش 2: برنهارت ریمان | اصل دیریکله، از دیریکله نیست، چراکه اگر چنین بود، بایست از گاوس و گرین و تامسون (Thomson) هم یاد می‌شد. گاوس در گزارش‌ش دربارهٔ آن، ریمان را چنین توصیف می‌کند: «ریمان، ابتکاری بسیار عالی دارد.» به سفارش گاوس، ریمان، پستی در گوتینگن گرفت، تا روی پسادکتریاش (به آلمانی: Habilitation، در دانشگاه‌های آلمان، گونه‌ای پسادکتراست، که نیازمند پایان‌نامه و دفاع است) کار کند. او سی ماه روی تز پسادکتری‌اش، که دربارهٔ نمایش توابع با سری مثلثاتی بود، گذراند، و چند شرط برای انتگرال‌پذیری توابع پیش نهاد، که امروزه، به شروط انتگرال‌پذیری ریمان معروفند. او در بخش دوم بحث، به مسائلی پرداخت، که آن‌ها را چنین توصیف کرد: «بر پایه نوشته‌های پیشین، که اگر تابعی دارای چنین‌وچنان ویژگی باشد، پس می‌تواند با سری فوریه نمایش داده‌شود، ما عکس این مسئله را در نظر می‌گیریم؛ اگر تابعی بتواند با سری مثلثاتی نمایش داده‌شود، دربارهٔ آنچه می‌توان گفت؟» ریمان برای تکمیل پسادکترای‌ش، بایست سخن‌رانی هم می‌کرد. گاوس بایست یکی از آن سه را برمی‌گزید، و برخلاف انتظار ریمان، سخن‌رانی دربارهٔ هندسه را برگزید. نخست، به تعریف فضای n- بعدی می‌پرداخت، و آن را با تعریف آنچه امروزه فضای ریمان نام دارد، به‌پایان برد. در حقیقت، در نخستین تقریب در دستگاه مختصات ژئودزیکی، چنانچه متریک، اقلیدسی باشد، مانند یک منحنی سطح، در بالاترین مرتبهٔ جملاتش، شبیه صفحهٔ مماسش دیده می‌شود. زندگی‌کردن در سطح، امکان انحنای جهان را پیش می‌کشد، و آن را در هر نقطه، به عنوان ناقض قضیهٔ فیثاغورس، محاسبه می‌کند» در حقیقت نکتهٔ مهم این بخش از سخن‌رانی ریمان، تعریف تانسور انحنا (curvature tensor) بود. ریمان در بخش دوم سخنرانی‌اش، پرسش عمیقی دربارهٔ هندسه جهانی که در آن زندگی می‌کنیم، پیش می‌کشد. آن زمان، این سخن‌رانی بسیار فراتر از مسائل روزگار بود تا از سوی دانشمندان درک و تحسین شود. «در میان حاضران، تنها گاوس بود که می‌توانست عمق افکار ریمان را درک و تحسین کند.» این سخن‌رانی همهٔ انتظارات گاوس را برآورد و او را بسیار شگفت‌زده کرد. با پیش‌رفت ریاضیات و با توجه به گفته‌های ریمان، اینیشتین (Einstein) ساختاری مناسب برای نظریات فیزیکی‌اش پیدا کرد، کیهان‌شناسی او، فرضیهٔ پیدایش جهان و جان‌مایهٔ گفته‌های ریمان چیزی بود که فیزیک به آن نیاز داشت، ساختاری متریک که داده‌ها مشخص می‌کنند.» این کار ریمان او را به عنوان یک سخنران شناساند. پیش‌تر، سپتامبر، ریمان گزارشی دربارهٔ «قوانین توزیع الکتریسته ساکن» در جلسهٔ فیزیک‌دانان و محققان علمی انجمن گوتینگن داد. او در نامه‌ای به پدرش، لابه‌لای چیزهای دیگر، می‌نویسد: «صحبتی که در جلسه علمی کردم برای سخنرانی‌ام مفید بود». ۱۸۵۵، دیریکله کاملاً جای‌گزین گاوس در گوتینگن شده‌بود، و ریمان جایگاهی اختصاصی نیافت. مقاله نظریهٔ توابع آبِلی که نتیجهٔ سال‌ها تلاش او بود، سخنرانی‌هایی را شامل می‌شد که ۸۶–۱۸۵۵ نزد سه نفر کرده‌بود. یکی از آن سه نفر، دِدِکیند (Dedekind) بود که پس‌از مرگ زودهنگام ریمان، با انتشار آثارش، زیبایی‌های کارش را آشکار کرد. مقالهٔ توابع آبلی ریمان تا پایان‌نامهٔ دکترایش طول کشید و تا آن زمان، ایدهٔ سطوح ریمان و ویژگی‌های توپولوژیکشان بیشتر توسعه یافت. او تابع چندمقداری را به عنوان تابع تک‌مقداری روی یک رویهٔ ویژهٔ ریمان امتحان کرد و مسائل اصلی انعکاس را که تا قبلاً برای انتگرالهای بیضوی از سوی آبل و یاکوبی حل شده‌بود، حل کرد؛ بنابراین ریمان تنها ریاضی‌دانی نبود که روی چنین ایده‌هایی کار می‌کرد. این مقاله، نامنتظره، آن‌قدر مفاهیم جدید داشت که وایراشتراس مقاله‌اش را پس گرفت و دیگر آن را منتشر نکرد.» اصل دیریکله (Dirichlet Principle) که ریمان از آن در رسالهٔ دکترایش استفاده کرده‌بود، دوباره در مقالهٔ سال ۱۸۵۷ استفاده شد. گرچه او درستی نقد وایراشتراس را پذیرفته بود، همان‌گونه که روزی وایراشتراس به من گفت، می‌گفت؛ تنها ابزار مناسبی که در دست ماست اصل دیریکله است و نظریه‌های او هنوز درست هستند.» در پایان این مطلب، خواهد آمد که چگونه مشکل اصل دیریکله در کار ریمان حل شد. این ملاقات به ریمان خرسندی ویژه‌ای بخشید و بتی از تماس‌هایش با ریمان بسیار بهره‌مند شد. از بتی دو نوشته که در آن‌ها ایده‌های توپولوژیک که از ریمان آموخته‌بود، چاپ شده است. | ## بخش 3: برنهارت ریمان | در پیشنهاد آن‌ها آمده‌بود: «ریمان تا پیش‌از آخرین کار مهم‌ش، نظریهٔ توابع آبلی، میان ریاضی‌دانان، ناشناخته بود. این، کم‌وبیش لزوم بررسی دقیق‌تر و بیشتر کارهایش را به عنوان دلیلی بر پیشنهاد ما توجیه می‌کند. وظیفه خود می‌دانیم که توجه فرهنگستان را به دانشکده‌مان جلب کنیم که ما او را نه به عنوان یک جوان باهوش که امید زیادی به اوست، بلکه به عنوان یک محقق کاملاً رشدیافته و مستقل در زمینهٔ علمی‌مان می‌دانیم، که ایده‌هایش، خارق‌العاده، پیشرفت کرده است.» این عضو تازه‌برگزیده فرهنگستان برلین مجبور بود گزارشی از جدیدترین تحقیقاتش بدهد. ریمان گزارشی دربارهٔ «تعداد اعداد اول کمتر از عددی مشخص» داد که یکی دیگر از کارهای بزرگ‌ش است که با روش‌هایی مهم، مسیر تحقیقات در ریاضیات را تغییر داد. ریمان در آن، تابع زتا را بررسی کرد که تا آن زمان، اویلر (Euler) به آن پرداخته‌بود. ریمان، پرسشی متفاوت با آنچه اویلر بررسی کرده‌بود، پیش کشید، چون او به تابع زتا، به‌جای یک تابع حقیقی، به عنوان یک تابع مختلط نگاه می‌کرد. در مقاله بیان می‌کند که تابع زتا بی‌نهایت ریشهٔ غیربدیهی دارد که به نظر می‌رسد همگی دارای قسمت حقیقی باشند. این همان فرض مشهور ریمان است که تا امروز، یکی از مسائل حل‌نشدهٔ ریاضیات باقی مانده است. ریمان، هم‌گرایی سری‌های تابع زتا را بررسی کرد و متوجه یک معادلهٔ تابعی برای تابع زتا شد. هدف مقاله‌اش این بود که تخمینی از شمار اعداد اول کوچکتر از عددی دل‌خواه به‌دست دهد. او، همه زندگی‌اش از سلامت کامل برخوردار نبود و در واقع مشکلات اصلی سلامتی که داشت بیشتر به گذشته برمی‌گشت تا این سرماخوردگی. زمستان ۶۳–۱۸۶۲ در سیسیل سپری شد و سپس به مسافرت در سراسر ایتالیا پرداخت که اوقاتش را با بتی و دیگر ریاضی‌دانانی که در گوتینگن ملاقات کرده‌بود، سپری کرد. او، ژوئن ۱۸۶۳ به گوتینگن بازگشت اما خیلی زود اوضاع سلامتی‌اش وخیم‌تر شد و به ایتالیا برگشت. از اوت ۱۸۶۴ تا اکتبر ۱۸۶۵، در شمال ایتالیا به سر برد و زمستان ۶۶–۱۸۶۵ به گوتینگن برگشت. ددکیند دربارهٔ ریمان چنین می‌نویسد: «بنیه‌اش به‌سرعت تحلیل رفت و خودش می‌دانست که مرگش نزدیک است. بااین‌حال، روز پیش‌از مرگش، در حال استراحت زیر یک درخت انجیر و درحالی‌که روح و روانش سرشار از شادی در آن طبیعت بی‌نظیر بود، روی آخرین کارش که متأسفانه ناتمام ماند کار می‌کرد.» نقد وایراشتراس بر استفاده ریمان از اصل دیریکله وایراشتراس نشان داده‌بود که کمینه‌کردن تابع از راه اصل دیریکله محرز نیست. «همه از مطالب ریمان استفاده می‌کردند ولی روش‌های او به کلی نادیده گرفته‌شد.» نتایج ریمان در باقی‌ماندهٔ قرن، تأثیر شگرفی گذاشت اما اثر شیوهٔ تفکر او اندک بود. وایراشتراس بااین‌که به مشکلی در اصل دیریکله پی برده‌بود، به نتایج ریمان بسیار باور داشت. بااین‌حال کلاین شیفتهٔ تخمین‌های هندسی ریمان بود و ۱۸۹۲، کتابی نوشت که در آن ترجمه‌اش از کار ریمان را آورده است. فرودنتال دربارهٔ این کتاب می‌نویسد: «کتاب بسیار زیبایی است و جالب است بدانید که این کتاب چگونه به اینجا رسید. کلاین چنان در فکر ریمان بود که نمی‌توانست کسانی که در مورد اخیر، او را باور نداشتند متقاعد کند.» ۱۹۰۱، هیلبرت با به‌دست دادن شکل درستی از اصل دیریکله، که برای دقیق‌تر کردن اثبات‌های ریمان لازم بود، تخمین‌های ریمان را بهبود داد. | ## جمع‌بندی | مرگ ریمان باآن‌که به سل مبتلا بود و با تحمل سال‌ها رنج و بیماری، لحظه‌ای از تلاش و علم‌آموزی فرونگذاشت.