موضوع مقاله: تابع | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # تابع | مقدمه: یک تابِع یا پَردازه به پارسی، در ریاضیات یک رابطه دوتایی روی دو مجموعه است که هر عنصر در مجموعه اول را دقیقاً به یک عنصر در مجموعه دوم مرتبط می‌کند. | ## بخش 1: تابع | مثال‌های معمول در این زمینه، توابعی از اعداد صحیح به اعداد صحیح یا از اعداد حقیقی به اعداد حقیقی است. در اصل توابع ایده‌آل‌سازی این بودند که چگونه یک متغیر بر متغیری دیگر وابسته است. به‌طور مثال در دنیای واقعی اگر قیمت یک محصول افزایش پیدا کند، تقاضا برای آن کاهش یافته و عرضه آن افزایش می‌یابد. از لحاظ تاریخی، در پایان سده هفده میلادی این مفهوم توسط حسابان توضیح داده می‌شد و تا سده نوزدهم توابعی که در نظر گرفته می‌شدند، دیفرانسیل‌پذیر بودند. مفهوم یک تابع در پایان سده ۱۹ از دیدگاه نظریه مجموعه‌ها رسمی شد و این امر دامنه کاربرد این مفهوم را تا حد زیادی افزایش داد. تابع یک فرایند یا رابطه‌ای است که دسته‌ای از یک x در دامنه X را به یک y در دامنه Yها متصل می‌کند، که به آن هم‌دامنه تابع می‌گویند و معمولاً آن را با حرف‌هایی مانند f, g یا h نشان می‌دهند. نمادی که برای نشان دادن ورودی استفاده می‌شود یک متغیر از تابع است، برای نمونه f متغیر x است. از توابع به‌طور گسترده‌ای در گونه‌های مختلف علم و بیشتر در ریاضیات استفاده می‌شود. (مانند شیب منحنی یا مشتق) امروزه به توابعی که توسط گوتفرید لایبنیتس تعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم. واژهٔ تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x3. در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول‌بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس بیشتر خواهان به‌وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود. ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه ریاضی‌دانان با گسترش تعریف توابع، توانستند به مطالعهٔ توابعی در ریاضی بپردازند که در سراسر دامنهٔ خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیستند این گونه توابع توسط وایراشتراس معرفی شدند. تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به‌طور مستقل هم‌زمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند. بر طبق این تعریف، تابع، حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویهٔ منحصربه‌فرد وجود دارد. برای نمونه در فیزیک، هنگامی که می‌خواهیم رابطهٔ بین چند متغیر را بیان کنیم، به ویژه هنگامی که مقدار یک متغیر کاملاً وابسته به متغیرهای دیگر است، از تابع بهره می‌بریم. تابع در دانش‌های گوناگون بیشتر به عنوان عملگر است که کاری را بر روی داده‌های ورودی انجام می‌دهد. تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به‌طور گسترده‌تر در منطق است. تابع را همچنین مورد استفاده در علم رایانه برای مدل‌سازی ساختمان داده‌ها و تأثیرات الگوریتم می‌بینیم. تعریف تابع تابع را می‌توان به عنوان قاعده‌ای خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعهٔ دامنه و برد تعریف کرد. به بیان دقیق‌تر، اگر و دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعهٔ به مجموعهٔ را می‌توان قاعده‌ای تعریف کرد که به هر عضو مجموعهٔ مانند ، دقیقاً یک عضو مجموعهٔ را مانند نسبت دهد. تابع به عنوان هنجار تناظر، چیزی بجز توصیف نحوهٔ تناظر اعضای به نیست که به‌طور کامل به‌وسیله همه زوج‌های مرتب برای هر مشخص می‌شود. پس تابع را می‌توان به عنوان مجموعه‌ی همه این زوج‌های مرتب، یعنی مجموعهٔ همه زوج‌های مرتبی که مؤلفه اول آن‌ها عضو بوده و مؤلفه دوم آن‌ها تصویر مؤلفه اول تحت تابع در است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابع دارای مؤلفهٔ اول یکسان نخواهند بود. تعریف دقیق یک تابع از مجموعه به مجموعه ، رابطه‌ای چون از مجموعه به مجموعه است که دارای شرایط زیر باشد: دامنه مجموعه باشد، یعنی . برای هر عنصر یگانه موجود باشد که یا به عبارتی هیچ دو زوج مرتب متمایزی متعلق به دارای مؤلفه اول یکسان نباشند. شرط یگانگی را به‌طور صریح می‌توان یه این صورت فرمول بندی کرد که اگر و آنگاه الزاماً . در مورد تابع، این علامت‌گذاری، سایر علامت‌گذاری‌هایی را که در مورد روابط کلی‌تر استفاده می‌شوند چون یا را متروک ساخته است. | ## بخش 2: تابع | عضو را مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسه یا تصویر تحت می‌گوییم و نیز را پیش نگاره می‌گوییم. اگر تابعی از مجموعه به (در یا به توی) مجموعه باشد، این مطلب را به صورت سه تایی یا به‌طور معمول تر با نشان می‌دهیم. منظور از ضابطه یک تابع، فرمول یا دستوری است که برطبق آن برای هر ، مقدار تابع در یعنی تعیین می‌شود. ضابطهٔ تابع را می‌توان به صورت یک گزارهٔ جبری، مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب یا یک رابطهٔ بازگشتی مشخص کرد. به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعه به مجموعه می‌نویسیم و سپس ضابطه آن را ذکر می‌کنیم. در مواقعی که بیم ابهام نرود دامنه تابع ذکر نشده و به ذکر ضابطه تابع بسنده می‌شود؛ مثلاً عرف بر این است که در حساب دیفرانسیل و انتگرال دامنه توابع در صورت ذکر نشدن ، اعداد حقیقی یا بازه‌ای از اعداد حقیقی باشد. برای نمایش بهتر، تابع را که خود یک هنجار (قاعده) برای تناظر است با f نشان می‌دهیم و ورودی یا شناسهٔ این تابع را با نشان می‌دهیم که ممکن است عدد هم نباشد. یگانه مقدار خروجی که هنجار به ورودی نسبت می‌دهد را به جای این‌بار با نشان می‌دهیم و آن را مقدار تابع در یا تصویر تحت می‌گوییم. دامنه و برد تابع یک تابع f از مجموعه X به توی مجموعه Y را به عنوان نوعی رابطه از مجموعه X به Y تعریف کردیم. مفاهیم دامنه (تابع) و برد همانگونه که برای روابط در حالت کلی قابل تعریف‌اند، به طریق اولی برای تابع f نیز قابل تعریف خواهند بود. بنابه تعریف داریم: اما همان‌طور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، برد f در حالت کلی لزوماً برابر مجموعه Y نمی‌باشد بلکه زیرمجموعه‌ای از آن است. برای تمایز بین مجموعه Y و برد تابع f به مجموعه Y هم‌دامنه تابع f می‌گویند و آن را با codomf نشان می‌دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از هم‌دامنه‌اش هست. به‌طور واضح، دامنه این تابع مجموعه X است (می‌توان برای تعیین آن مجموعه همه مؤلفه‌های اول زوج‌های مرتب f را در نظر گرفت) ولی برد آن بنابه تعریف مجموعه {a,b,c} است که آشکارا زیرمجموعه حقیقی Y است. (یعنی زیرمجموعه آن است ولی با آن برابر نیست.) در حقیقت برد تابع f مجموعه همه مؤلفه‌های دوم زوج مرتب‌های f است. نمودار تابع برای مشخص کردن تابع از روی نمودار باید هر خط موازی محور عرض‌ها، نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند. در این صورت تساوی f=g، تساوی بین دو مجموعه است و لذا f=g اگر و فقط اگر اعضای f و g یکسان باشند. یا به عبارتی دو تابع f و g با هم برابر اند اگر و تنها اگر دامنه‌شان با هم برابر باشد و برای هر x از دامنه مشترک‌شان، (f(x)=g(x. نقاط اشتراک نمودارتابع f و تابع g در دستگاه مختصات مقدار x را نشان می‌دهد که به ازای آن دو تابع برابر اند. فرض کنید یکی از نقاط مورد نظر نقطهٔ (A(X,Y یاشد؛ این نقطه محل برخورد نمودار دو تابع f و g است و محل برخورد نمودار تابع f و نمودار تابع har که معکوس تابع f نسبت به تابع g است بنا بر این دو تابع F و g زمانی در نقطه‌ای مانند A برابر اند که نمودار تابع f و نمودار تابع har در نقطهٔ A برابر باشند. ممکن است راه دیگری نیز برای بیان این مطلب بیابیم و آن این است که دامنه تابع f را به زیرمجموعه A از X تقلیل دهیم. در این صورت تابعی خواهیم داشت که این بار نه بر روی همه اعضای X بلکه فقط بر روی عناصر زیرمجموعه خاصی از X یعنی A اثر می‌کند و لذا دامنه آن از X به A تغییر می‌یابد. چنین تابعی را که همان g است تحدید تابع f به مجموعه A می‌گوییم و آن را با f|A یا f|A نشان می‌دهیم. تحدید یک تابع به زیرمجموعه‌ای از دامنه خود همواره یک تابع است اما توسیع دامنه یک تابع به یک مجموعه جدید که دامنه تابع قبل زیرمجموعه‌ای از آن است همواره تابع نیست، لذا در مورد توسیع توابع احتیاط بیشتری لازم است. هچنین می‌توان هم‌دامنه یک تابع را نیز تحدید کرد البته در این کار احتیاط لازم است، چراکه نباید اعضایی را که متعلق به برد تابع است را حذف نمود. تصویر و تصویر معکوس اگر یک تابع و زیرمجموعه‌ای از باشد، ممکن است بخواهیم مجوعه‌ای را در نظر بگیریم که عناصر آن تصویر عناصر تحت هستند؛ یعنی مجموعه‌ای که از تأثیر تابع روی هر عضو مجموعه حاصل می‌شود. چنین مجموعه‌ای را تصویر یا نگاره تحت تابع می‌گوییم و آن را با نشان می‌دهیم و به این صورت تعریف می‌کنیم: بنابر این (y \to f(A اگر و فقط اگر به ازای ، یا به بیان نمادین: به عنوان مثال اگر و و به صورت: تعریف شود و زیرمجموعه از X به صورت در نظر گرفته شود در این صورت: حال چون نیز زیرمجموعه‌ای از خودش است می‌توان را نیز تشکیل داد، که در این صورت بنا به تعریف داریم: که عبارت است از مجموعه همه عناصری از است که تصویر عضوی از تحت باشند که بنابه تعریف همان برد تابع یعنی است. اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای در موارد فراوانی، مقدار یک تابع در سراسر دامنه‌اش با یک ضابطه مشخص نمی‌شود مثلاً ممکن است دامنه تابع f که آن را X می‌نامیم را به n مجموعه X۱,X۲,X۳,... همچنین در این صورت می‌توان تابع f را برای هر x از دامنه به صورت زیر نوشت: در این صورت f را تابعی با n ضابطه می‌گوییم. در این صورت تابع اجتماع دو تابع f,g را به صورت زیر تعریف می‌کنیم: برخواننده است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. | ## بخش 3: تابع | این مفهوم را می‌توان گسترش داد یعنی اگر خانواده‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد و برای هر fi,i∈I تابعی با دامنه Ai باشد، می‌توان تابع f، اجتماع توابع fi برای هر i∈I را با دامنه را به صورت برای هر x از دامنه به صورت (f(x)=fi(x اگر x∈Ai تعریف کرد. نمودار پیکانی یک تابع منظور از نمودار یک تابع به تصویر کشیدن تناظری است که بین دو مجموعه و ایجاد می‌کند. برای این کار برای همه روابط و بلاخص توابع عموماً از نمودار پیکانی استفاده می‌شود. برای رسم نمودار پیکانی تابع ، دو منحنی بسته نظیر آنچه در نمودار ون استفاده می‌شود را برای نمایش مجموعه و انتخاب می‌کنیم و عناصر هر یک را به‌وسیله نقاطی در آن‌ها مشخص می‌کنیم. به عنوان مثال اگر {X={۱٬۲٬۳٬۴٬۵ و {Y={a,b,c,d,e و به صورت تعریف شده باشد نمودار پیکانی آن به صورت مقابل است. نمونه‌ای از نمودار یک تابع حقیقی در دستگاه مختصات دکارتی این روش گرچه مناسب است ولی برای نمایش همه توابع به ویژه توابعی با دامنه اعداد حقیقی (و به‌طور کلی توابعی که عددی هستند) چندان کاربرد ندارد. اگر تابعی با دامنه اعداد حقیقی باشد آن را تابع حقیقی می‌گوییم و برای نمایش نمودار آن از دستگاه مختصات دکارتی استفاده می‌کنیم. روش کار به این صورت است که برای هر زوج مرتب که نماینده نقطه‌ای در صفحه دکارتی است را رسم می‌کنیم و به این ترتیب نمودار تابع حاصل می‌شود. رسم نمودار تابع، باعث می‌شود دیدی کلی نسبت به آن تابع پیدا کنیم و همچنین بسیاری از خواص مربوط به توابع به ویژه توابع حقیقی، مانند پیوستگی، مشتق پذیری، نقاط بحرانی و عطف، صعودی یا نزولی بودن و… از روی نمودار آن‌ها قابل تعیین است. به عنوان مثال با بررسی شکل (۴) می‌توان گفت این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است، این تابع در سراسر دامنه خود پیوسته و مشتق پذیر است، دارای دو نقطه بحرانی و یک نقطه عطف است. به عنوان مثال نمودار شکل (۱) معرف یک تابع نیست، زیرا عضو ۳ به دو مقدار متناظر شده است. همچنین در نمودار رسم شده در دستگاه دکارتی در شکل (۵)، برای هر عدد حقیقی مثبت x دو مقدار وجود دارد. به‌طور کلی یک نمودار در دستگاه مختصات دکارتی یک تابع است اگر هر خط عمودی مرسوم بر محور ها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند. فضای توابع اگر و دو مجموعه باشند، مجموعه همه توابع از به را با YX نشان می‌دهیم و بنابه تعریف داریم: عدد اصلی این مجموعه را نیز می‌توان به صورت زیر به‌دست‌آورد: از رابطه فوق نتیجه می‌شود اگر مجوعه‌ای -عضوی و مجموعه‌ای -عضوی باشد، تعداد توابع قابل تعریف از مجوعه به مجموعه برابر است با mn که البته برای اثبات این مسئله خاص راه حل ترکیباتی هم وجود دارد. توضیح اینکه اگر بخواهیم تابع را تعریف کنیم هر عضو از عضو مجموعه چون ، را می‌توان به طریق به یک عضو از مجموعه نسبت داد. هر یک از آن‌ها دو یا بیش از دو متغیر از دامنه می‌پذیرند و یک مقدار یگانه را به آن‌ها نسبت می‌دهند. گاهی ممکن است تابع به جای یک شناسه دو یا چند شناسه را بپذیرد و آن‌ها را به یک عضو از برد خود نسبت دهد، در این صورت تابع را دو یا چند متغیره می‌گوییم. به عنوان مثال تابع اول را می‌توان تابعی به صورت توصیف کرد که در این صورت تابع زوج را به عنوان شناسه خود می‌پذیرد و آن را به عضوی از نسبت می‌دهد که در این صورت اعضای تابع را می‌توان به صورت سه تایی نشان داد. انواع تابع معروف توابع چندجمله‌ای چندجمله‌ای به تابعی گفته می‌شود که متشکل از ضرایب و متغیر (متغیرها) است و فقط عملگرهای ضرب و جمع روی آن‌های اعمال شده باشد. توابع مثلثاتی توابع مثلثاتی، تابع‌هایی هستند که زاویه را به نسبت طول اضلاع آن زاویه در یک مثلث قائم‌الزاویه مرتبط می‌کنند. توابع مثلثاتی اهمیت بسیاری در ریاضیات کاربردی دارند و به خاطر ماهیت تناوبیشان، می‌توانند بسیاری از پدیده‌های تکرارشونده را توصیف کنند. در این توابع مقدار نسبت‌های مثلثاتی با یکدیگر روابطی دارند که می‌توان آنها را با استفاده از زوایا و نسبت‌های مثلثاتی به‌دست‌آورد. به‌طور مثال: که در اینجا صرفاً یک جواب به‌دست نمی‌آید و به جای k می‌تواند عدد صحیح باشد! توابع متناوب تابع ƒ: A → B متناوب یا پریودیک نامیده می‌شود، اگر عدد ثابتی مانند T موجود باشد که برای هر x داشته باشیم . تابع همانی (y=x) اگر دامنه و برد یک تابع برابر باشند و هر عضو، در دامنه دقیقاً به همان عضو در برد نظیر شود، آن تابع را تابع همانی می‌نامند. در واقع تابع همانی همان خط نیمساز ناحیه اول و سوم محور مختصات است با فرمول: تابع قدر مطلق تابعی که هر مقدار در دامنه را به مقدار بدون علامت آن در برد نظیر کند، تابع قدر مطلق نامیده می‌شود. تابع ثابت (یعنی به ازای هر x ورودی y ثابت است) تابع ثابت تابعی است که برد آن تنها شامل یک عضو است؛ و برای هر ورودی همیشه مقدار ثابتی را می‌دهد. | ## جمع‌بندی | تابع جبری تابع ƒ: A → B پوشا نامیده می‌شود اگر برای هر عضو y متعلق به B، حداقل یک عضو x از A موجود باشد که داشته باشیم.