موضوع مقاله: عدد استرلینگ | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # عدد استرلینگ | مقدمه: در ریاضیات، اعداد استرلینگ ، در مسائل آنالیزی و ترکیبیاتی مختلفی ظهور پیدا می‌کنند. | ## بخش 1: عدد استرلینگ | با وجود این که استرلینگ قبلاً این اعداد را کشف کرده بود، اما ساکا اعتبار معنابخشی ترکیبیاتی به این اعداد را نصیب خود کرد، که اکنون به نام جیمز استرلینگ می‌باشند. خاصیت مشترک تمام این سه نوع عدد این است که آن‌ها توصیف‌کننده روابط بین سه نوع دنباله متفاوت از چندجمله‌ای‌هایی اند که به‌طور متداول در ترکیبیات ظاهر می‌گردند. به علاوه، تمام این سه نوع عدد را می‌توان به عنوان تعداد افرازهای n عنصر به k زیرمجموعه ناتهی نیز تعریف نمود که در هر زیرمجموعه، ترتیب‌ها را می‌توان به طرق مختلفی شمرد. نماد اعداد استرلینگ نوع اول (علامت‌دار): برای اعداد استرلینگ نوع اول (بدون علامت) که تعداد جایگشت‌های n عنصر با k دور مجزا را می‌شمارد: و برای اعداد استرلینگ نوع دوم، که تعداد طرق افراز یک مجموعه n عضوی به k زیرمجموعه ناتهی را می‌شمارد:Ronald L. به عنوان مثال، جمع ، تعداد تمام جایگشت‌ها را می‌شمرد، در حالی که جمع ، nمین عدد بل است. آبرامویتز و استگان (نام غیررسمی اثری که توسط این دو نفر ویرایش شده)، به ترتیب از یک حرف بزرگ S و یک حرف سیاه S برای اعداد استرلینگ نوع اول و دوم استفاده می‌کند. این نمادگذاری که از براکت و آکولاد برای نمایش این اعداد استفاده می‌کند، در قیاس و الگوگیری از نمادگذاری ضرایب دوجمله‌ای است که در ۱۹۳۵ میلادی توسط جووان کاراماتا معرفی شد و سپس توسط دونال کنوث تجدید حیات گشت (نماد براکت با نمادگذاری رایج ضرایب گاوسی تضاد ایجاد می‌کند). | ## بخش 2: عدد استرلینگ | انگیزه ریاضیاتی این نوع از نمادگذاری، به علاوه فرمول‌های اضافه تر برای عدد استرلینگ را می‌توان در صفحه اعداد استرلینگ و توابع مولد نمایی یافت. از فرمول بالا می‌توان برای تعیین حاصل جمع توان‌های یکسان از همه نوع از اعداد، شامل اعداد طبیعی و اعشاری و سایر اعداد، با شکل زیر نیز استفاده نمود. یا لذا لازم است برای تعیین اولین جمله‌های حاصل از تفاضلهای متوالی، ، که در فرمول بالا، به‌منزله ضرایب کسرهای فاکتوریلی می‌باشند، ساختمان دنباله، ترسیم گردد. (زیرا در مثال توان چهار، در چهارمین ردیف تفاضل‌گیری از ساختمان دنباله عدد تفاضل مشترک حاصل خواهد شد که برای مثال فوق مقدار ۱۹۴۴ می‌باشد. و از آنجا که تعداد جمله‌ها در سری مثال فوق (۹) عدد می‌باشد لذا برای مثال بالا جایگذاری خواهد شد. و به دلیل آنکه سری مثال بالا در پنجمین (۵)، مرتبه از ساختمان دنباله قرار دارد، در فرمول فوق جایگذاری می‌شود. نکته مهم اینکه، همواره مقدار تفاضل مشترک در ساختمان دنباله‌های مانند مثال بالا، (توان‌های یکسان از اعداد طبیعی)، از رابطه حاصل می‌شود. | ## بخش 3: عدد استرلینگ | در این فرمول نمادهای بترتیب (نماد دنباله "a"، مرتبه دنباله "floor"، تعداد جمله‌های حاصل جمع "time" از ابتدای دنباله) و اعداد استرلینگ نوع اول می‌باشند. (به دلیل تشابه نمادها در دنباله‌ها با نمادهای "مجموعه استرلینگ "، تغییراتی در نماد دنباله‌ها اعمال گردیده‌است). به‌طور مثال، فرمول عمومی برای محاسبه حاصل جمع جمله اول از دنباله و مثالی برای آن، از دنباله بشرح زیر است. به‌طور مثال: دنباله، در "۶" مرتبه از تفاضل‌گیری متوالی، مقدار قدر نسبت که عدد "۶۰" می‌باشد حاصل می‌گردد؛ لذا، آنرا دنباله مرتبه "۷" می‌نامیم. بعنوان نمونه، محاسبه حاصل جمع هشت جمله اول از دنباله مرتبه "۷" فوق با استفاده از فرمول کلی، به‌صورت زیر می‌باشد. در فرمول‌های بالا، ضرایب هر یک از عبارت‌های کسری، اولین جمله ی، دنباله‌های ایجاد شده از تفاضل‌گیری‌های متوالی برای حصول به مقدار «قدر نسبت» می‌باشند. نکته مهم اینکه با علاوه، (اضافه) نمودن مقدار اولین جمله از دنباله مرتبه بالاتر به فرمول کلی، می‌توان مقدار هر یک از جمله‌های دنباله بالاتر را تعیین نمود. | ## جمع‌بندی | لازم به‌ذکر اینکه، فرمول بالا برای محاسبه سری‌ها در دنباله‌های با جمله‌های اعشاری نیز کاربرد دارد.