موضوع مقاله: رابطه هم‌ارزی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # رابطه هم‌ارزی | مقدمه: این رابطه‌ها می‌توانند خواص و ویژگی‌های گوناگونی داشته باشند؛ اما ۴ ویژگی از سایر ویژگی‌ها مهم‌تر است. | ## بخش 1: رابطه هم‌ارزی | مثال‌هایی از رابطه‌های هم‌ارزی و ترتیب رابطهٔ توازی خطوط در صفحه (||): مثالی از رابطهٔ هم‌ارزی نشان می‌دهیم که رابطهٔ توازی خطوط در صفحه، یک رابطهٔ هم‌ارزی است: نخست - هر خط با خودش موازی است؛ پس این رابطه بازتابی است. دوم - اگر خطی با خط دیگری موازی باشد، آن خط نیز با این خط موازی است؛ پس این رابطه تقارنی است. سوم - اگر خط d با خط 'd، و خط 'd با خط «d موازی باشند، آن‌گاه بنابر قضایای هندسهٔ اقلیدسی، خط d با خط»d موازی خواهد بود؛ پس این رابطه ترایایی نیز هست. رابطهٔ بزرگ‌تر مساوی بودن : مثالی از رابطهٔ ترتیب نشان می‌دهیم که رابطهٔ یک رابطهٔ ترتیب است: نخست - هر عدد از خودش بزرگ‌تر یا با خودش مساوی است؛ پس این رابطه بازتابی است. این رابطه، رابطه‌ای هم‌ارزی است و خطوط موجود در صفحه را به دسته‌های هم‌ارزی افراز می‌کند؛ به طوری که همهٔ خطوط موجود در هر دسته، با هم موازی‌اند. نشان دادن این‌که این رابطه هم‌ارزی‌ست، بسیار ساده‌است و لذا از اثبات آن می‌گذریم. به این ترتیب همان‌طور که گفته شد، این رابطه مجموعهٔ اعداد طبیعی را به دسته‌های هم‌ارزی افراز خواهد کرد. اعداد موجود در هریک از این دسته‌ها، به پیمانهٔ m باقی‌ماندهٔ یکسانی خواهند داشت. | ## بخش 2: رابطه هم‌ارزی | معمولاً دسته‌های هم‌ارزی را به کمک یکی از اعضای آن مشخص می‌کنند؛ برای مثال [۲] نمایانگر دستهٔ هم‌ارزی‌ای است که عنصر ۲ در آن قرار دارد یا به عبارت دیگر تمام اعضای مجموعهٔ اصلی که با عنصر ۲ رابطه دارند در [۲] قرار می‌گیرند. رابطهٔ هم‌رنگ بودن: رابطه‌ای هم‌ارزی است و مجموعهٔ نقاط یک صفحه را به دسته‌های هم‌رنگ افراز خواهد کرد. رابطهٔ هم‌دما بودن: رابطه‌ای هم‌ارزی است و مجموعهٔ نقاط یک اتاق را به دسته‌های هم‌دما افراز خواهد کرد. رابطهٔ روز تولد یکسان داشتن: رابطه‌ای هم‌ارزی است و مجموعهٔ انسان‌ها را به ۳۶۵ (یا ۳۶۶) دستهٔ هم‌ارزی افراز خواهد کرد. رابطهٔ یکسانی تعداد یک‌ها در نمایش دودوییBinary یک عدد: رابطه‌ای هم‌ارزی است و مجموعهٔ اعداد را به دسته‌های هم‌ارزی افراز می‌کند به طوری که در نمایش دودویی اعداد موجود در هر دسته، تعداد یکسانی یک وجود دارد. دو عضو (مثل a و b) از یک مجموعه را سنجش‌پذیر با یک رابطهٔ ترتیب گوییم هرگاه (a،b) یا (b،a) عضو آن رابطه باشد. برای مثال اگر رابطهٔ موردنظر رابطهٔ بخش‌پذیری (شمردن/عادکردن) باشد، آن‌گاه دو عدد ۲ و ۴ سنجش‌پذیرند (زیرا ۴|۲ یا به عبارت دیگر (۲٬۴) عضو رابطه‌است) در حالی که دو عدد ۲ و ۳ سنجش‌پذیر نیستند (زیرا هیچ‌یک از (۳٬۲) یا (۲٬۳) عضو رابطه نیست). واضح است که اگر a و b متمایز باشند، به علت پادتقارنی بودن رابطه، امکان ندارد هردوی این زوج‌مرتب‌ها عضو رابطه باشند. | ## بخش 3: رابطه هم‌ارزی | برای مثال رابطهٔ بزرگ‌تر یا مساوی بودن، روی مجموعهٔ اعداد طبیعی را در نظر می‌گیریم. با توجه به آن‌چه گفته شد، این رابطه ترتیب است و از طرفی در مورد هر دو عدد طبیعی a و b یا یا . شیوهٔ ترسیم این نمودار به این صورت است که ابتدا گراف جهت‌دار نمایش رابطه را مشخص می‌کنیم. حال از آن‌جا که می‌دانیم رابطهٔ ترتیب بازتابی است، نیازی نیست که طوقه‌ها را نیز در نمودار باقی بگذاریم. از طرفی می‌دانیم که رابطهٔ ترتیب ترایایی نیز هست؛ بنابراین محتاج به رسم یال‌هایی که این رابطه را نشان می‌دهند نیز نیستیم. برای مثال فرض کنید می‌خواهیم رابطهٔ بخش‌پذیری را روی مجموعه {۱٬۳،۴٬۶،۱۲} نمایش دهیم. که کمابیش مفهوم ترتیب را دارند، کاربردهای دیگر رابطه‌های ترتیب را آشکار می‌سازند. | ## جمع‌بندی | رابطه‌های هم‌ارزی نیز برای دسته‌بندی اشیاء، اعداد و پدیده‌ها در زمانی که هویت تک‌تک آن‌ها به اندازهٔ رفتار مشترک‌شان با سایر اعضای مجموعه اهمیت ندارد، کاربرد خواهند یافت.