موضوع مقاله: پایه (توپولوژی) | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # پایه (توپولوژی) | مقدمه: هنگام کار با فضاها و ساختارهای ریاضی در اختیار داشتن زیرمجموعه‌ای که به کمک آن بتوان کلیه خواص فضا را، بدون نیازی به بررسی همه عناصر فضا، مورد مطالعه قرار داد بسیار سودمند است. | ## بخش 1: پایه (توپولوژی) | مفهوم پایه در ریاضیات به چنین زیرمجموعه‌هایی از فضاها و ساختارهای ریاضی اشاره داد و تعریف آن برحسب نوع ساختارها و فضاهای ریاضی مورد بحث متفاوت است. در توپولوژی پایه یک فضای توپولوژیک مجموعه از مجموعه باز فضای است که به کمک آن می‌توان کلیه مجموعه‌های باز فضا را به کمک اجتماعات اعضای آن ساخت و به این ترتیب نیازی به بررسی کلیه مجموعه‌های باز فضا نخواهد بود. [خانواده] از مجموعه‌های باز را یک پایه برای توپولوژی روی X می‌گوییم هرگاه هر مجموعه باز از به صورت اجتماعی از اعضای قابل نمایش باشد. مجموعه همه بازه‌های باز مجموعه اعداد حقیقی، پایه‌ای برای توپولوژی اقلیدسی روی اعداد حقیقی است. به‌سادگی می‌توان بررسی نمود که یک توپولوژی روی اعداد حقیقی است، که آن را توپولوژی حد پایین می‌نامیم، و فضای توپولوژیک را با نمایش می‌دهیم. آنچه در مثال فوق مشاهد می‌شود حالتی است که با در دست داشتن مجموعه از زیرمجموعه‌های اعداد حقیقی یک توپولوژی روی آن تعریف می‌کنیم که یک پایه برای آن است. حال پرسشی که پیش می‌آید این است که چه هنگام مجموعه‌ای از زیرمجموعه‌های یک مجموعه می‌تواند تشکیل یک پایه برای یک توپولوژی روی آن فضا را بدهد؟ | ## بخش 2: پایه (توپولوژی) | قضیه: مجموعه از زیرمجموعه‌های مجموعه ناتهی X پایه‌ای برای یک توپولوژی روی X است هرگاه: برای هر و هر ، موجود باشد که پایه موضعی فرض کنید یک فضای توپولوژیک باشد و x∈X. در این صورت مجموعه B از مجموعه‌های باز شامل x را یک پایه موضعی برای عنصر x می‌گوییم هرگاه هر مجموعه باز در X و شامل x شامل عضوی از B باشد. به عبارت دیگر برای هر مجموعه باز G در X که x∈G، مجموعه U در B موجود باشد که به عنوان مثال اگر فضای توپولوژیک گسسته باشد، B= x یک پایه موضعی برای x∈X است. همچنین اگر مجموعه اعداد حقیقی مجهز به توپولوژی اقلیدسی مفروض باشد برای هر عدد حقیقی x، مجموعه همه گوی‌های باز حول x با شعاع گویا یک پایه موضعی برای x است. مقایسه توپولوژی‌ها به کمک پایه توپولوژی‌ها بررسی مقایسه توپولوژی‌های تعریف شده روی یک مجموعه می‌توان از پایه توپولوژی بجای خود توپولوژی‌ها استفاده نمود. این کار به‌ویژه در مواردی که اطلاعات کمی در مورد مجموعه‌های باز فضا در دست است سودمند خواهد بود. فرض کنید دو توپولوژی روی مجموعه ناتهی X بوده و به ترتیب پایه‌هایی برای این دو توپولوژی باشند. | ## بخش 3: پایه (توپولوژی) | در این صورت توپولوژی ظریفتر از است اگر و فقط اگر یا به عبارت دیگر برای هر و هر ، موجود باشد که . به عنوان مثال با بررسی پایه‌های توپولوژی اقلیدسی و حد پایین می‌توان دید که توپولوژی حد پایین از توپولوژی اقلیدسی ظریفتر است. اصول شمارایی و مفهوم پایه اصول شمارایی همانند اصول جداسازی خواص مهمی را در مورد توپولوژی‌های صادق در این اصول تضمین می‌کنند. فضای توپولوژیک X را صادق در اولین اصل شمارایی، یا شمارای اول می‌گوییم هرگاه هر عضو X دارای پایه‌ای موضعی و شمارا باشد. همچنین را صادق در دومین اصل شمارایی یا شمارای دوم می‌گوییم هرگاه دارای پایه‌ای شمارای باشد. به عنوان مثال فضای توپولوژیک اقلیدسی شمارای دوم است چرا که مجموعه همه گوی‌های باز حول نقاط گویا با شعاع گویا تشکیل یک پایه شمارای برای این فضا می‌دهند. | ## جمع‌بندی | معرفی پایه چند توپولوژی مهم به کمک مفهوم پایه توپولوژی می‌توان توپولوژی‌های گوناگونی روی مجموعه‌های مختلف تعریف نمود، چنان‌که بدون وجود مفهوم پایه تعریف این توپولوژی‌ها غیرممکن یا دست‌کم بس دشوار می‌نماید.