موضوع مقاله: کره ریمان | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # کره ریمان | مقدمه: در ریاضیات، کره ریمان که به افتخار برنهارت ریمان نامگذاری شده‌است؛ تنها راه برای نمایش صفحه گسترش‌یافته مختلط است (صفحه مختلط به اضافهٔ یک نقطه در بینهایت) به‌طوری‌که دقیقاً نقطه در بی‌نهایت به مانند یک عدد مختلط دیده می‌شود. | ## بخش 1: کره ریمان | کاربرد اصلی آن در رابطه با توابع مختلط گسترش‌یافته است (که می‌توانند در بینهایت تعریف شوند یا به ازای اعداد مختلطی مقدار بی‌نهایت بگیرند). به همین طریق می‌توانند در نقطهٔ بی‌نهایت به مانند هر عدد مختلط دیگر پیوستگی و مشتق پذیری را ملحوظ دارند. از دید هندسی صفحه که با نقاط، خطوط، و زوایا به استثنای فاصله‌ها سروکار دارد، کره ریمان با اضافه کردن یک نقطه در بی‌نهایت که تمام خطوط را قطع می‌کند ساخته می‌شود که در آن نقطه، خطوط موازی مماس با یکدیگر، و بقیه خطها با همان زاویه‌ای که در نقطهٔ برخورد موجود دارند یکدیگر را قطع می‌کنند. این هندسه به عنوان هندسهٔ کرهٔ دو بعدی شناخته می‌شود که از صفحهٔ گسترش‌یافتهٔ مختلط با استفاده از کنج‌نگاری شکل گرفته‌است. زاویه‌ها در کرهٔ ریمان همان زاویه‌ها در صفحهٔ مختلط هستند (و به همان درستی، زوایا در بی‌نهایت همان زوایا با انتخاب طبیعی بین دو خط می‌باشند.) از نظر توپولوژیکی کره ریمان فشرده‌سازی تک‌نقطه‌ای از صفحهٔ مختلط است. در نگاه کلی نقطهٔ بی‌نهایت نقش یکسانی در قبال تمام نقاط واقع در صفحهٔ مختلط دارد. مقدمهٔ هندسی تعریف می‌کنیم (برای مثال صفحهٔ مختلط گسترش‌یافته).کرهٔ ریمان بر اساس یک تبدیل از به در فرم است. | ## بخش 2: کره ریمان | برای برقراری تناظر یک‌به‌یک میان نقاط روی صفحهٔ مختلط گسترش‌یافته و کره ریمان، ما نخست صفحه را مماس با قطب شمال کره قرار می‌دهیم. و سپس کنج نکاری را از قطب جنوب کره اعمال می‌کنیم.به این طریق که از قطب جنوب خطی که صفحهٔ مختلط و کره را قطع می‌کند را رسم می‌کنیم.که تناظر یک‌به‌یک منحصربه‌فرد مطلوب را ایجاد می‌کند. به سادگی "وارون" می‌کنیم و صفحه را مماس به قطب جنوب و به جهت مقابل صفحهٔ قرار می‌دهیم، به گونه‌ای که وصل می‌شود به و سپس کنج نگاری را از قطب جنوب انجام می‌دهیم و قطب شمال را تعریف می‌کنیم.حالا هر نقطه روی کره و همپایهٔ خود را در تبدیل بالا دارد. خصوصیات هندسی مطلب تبدیلات موبیوس که از به هستند یک خودریختی از کره ریمان هستند که، ، و . این می‌تواند مستقیماً دیده شود، زیرا آن‌ها می‌توانند به صورت ترکیبی از نقشه‌ها در فرم بیان شوند. اتساع‌ها، چرخش‌ها و تبدیل‌های ابتدایی و وارون‌سازی مختلط (یک ترکیب از وارون سازی در دایرهٔ واحد و یک انعکاس روی خط حقیقی ) هر کدام با صفحه مختلط وفق دارند. ساختمان مختلط ساختمان مَنیفُلد مختلط روی صفحهٔ ریمان به وسیلهٔ یک اطلس با دو نمودار به عنوان جریان مشخص شده‌است. | ## بخش 3: کره ریمان | یک هُومُومورفیسم بین آن‌ها به وسیلهٔ کنج نگاری مماس به قطب جنوب روی صفحهٔ مختلط داده می‌شود. نقطه‌ها در S2 بصورت (x1, x2, x3) که هومومورفیسم این است: این، قطب جنوب را به مرکز صفحهٔ مختلط و قطب شمال را به ∞ نقش می‌کند. بر حسب مختصات کروی (θ, φ)، با : رابطه زیر قطب شمال را به مرکز و قطب جنوب را به ∞ نقش می‌کند. با فرمول زیر : یا در مختصات کروی : خط انعکاسی مختلط کرهٔ ریمان را می‌توان با خط انعکاسی مختلط، CP1 فهمید.صریحاً با رابطه زیر ایزومورفیسم داده می‌شود: که [z1 : z2] مختصات متوافق روی CP1 هستند، با توجه به اینکه صفحهٔ مختلط روی خط انعکاسی به عنوان زیرمجموعه می نشیند. خصوصیات در رده‌بندی رویه‌های ریمان گروه اتومورفیسم از کرهٔ ریمان همان گروه تبدیلات موبیوس است این‌ها فقط تبدیلات خطوط انعکاسی PGL2 C روی CP1 هستند. | ## جمع‌بندی | این عبارت با قضیهٔ یکنواخت‌سازی شناخته می‌شود و برای رده‌بندی رویه‌های ریمان مهم است.