موضوع مقاله: مشبکه (ترتیب) | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # مشبکه (ترتیب) | مقدمه: یک مثال مشبکه ها اعداد طبیعی اند که توسط رابطه مقسوم علیهی می توان رابطه ترتیب جزئی روی آن تعریف کرد، به طوری که سوپریمم منحصر به فرد آن کوچکترین مضرب مشترک یا ک.م.م. | ## بخش 1: مشبکه (ترتیب) | مشبکه ها را نیز می توان به صورت ساختارهای جبری دید که برخی از اصول موضوعه در قالب اتحادهایی را ارضاء می کنند. از آنجا که هر دو تعریف مذکور معادل اند، نظریه مشبکه را هم می توان در نظریه ترتیب و هم در جبر جهانی پیگیری کرد. تمام این ساختارهای "شبیه مشبکه" را نیز می توان هم از جنبه نظریه ترتیبی و هم جبری توصیف کرد. مشبکه‌ها به عنوان مجموعه‌های مرتب جزئی اگر یک مجموعه مرتب جزئی باشد و یک زیر مجموعه دلخواهی از باشد، آنگاه یک کران بالا برای است اگر به ازای هر داشته باشیم: . یک کران بالا از را هنگامی کوچکترین کران بالا یا سوپریمم می‌نامیم که به ازای هر کران بالای دیگری چون داشته باشیم: یک مجموعه حتماً کوچکترین کران بالا ندارد ولی نمی‌تواند بیش از یکی داشته باشد. یک کران پایین از را هنگامی بزرگترین کران پایین یا اینفیمم می‌نامیم که به ازای هر کران پایین دیگری چون داشته باشیم . یک مجموعه ممکن است چند کران پایین داشته باشد، یا اصلاً کران پایین نداشته باشد ولی می‌تواند حداکثر یک بزرگترین کران پایین داشته باشد. یک مجموعه مرتب جزئی را یک جوین-نیم-مشبکه می‌نامند اگر هر زیر مجموعه دو عضوی از دارای جوین (یا ) باشد و یک میت-نیم-مشبکه است اگر مذکور دارای میت (یا ) باشد. هر دو عملگر نسبت به ترتیب داده شده خاصیت یکنوایی دارند، یعنی: و نتیجه می دهد که و . با استدلال استقرایی ثابت می‌شود که هر زیر مجموعه ناتهی متناهی مشبکه دارای یک سوپریمم و اینفیمم است. در آن مقاله این که چگونه می توان تعریف بالا را بر اساس وجود الصاق های گالوایی مناسب بین مجموعه های جزئی مرتب مربوط بازنویسی نمود، مورد بحث قرار گرفته است. رهیافت مذکور برای رهیافت نظریه رسته‌ای به مشبکه ها و همچنین برای تحلیل مفهوم صوری مناسب است. | ## بخش 2: مشبکه (ترتیب) | یک مشبکه کراندار، مشبکه‌ای است که دارای بزرگترین عضو (که به آن ماکسیمم یا عنصر بالا هم گفته شده و آن را با یا نیز نشان می دهند) و کوچکترین عضو (که به آن مینیمم یا عنصر پایین هم گفته شده و آن را با یا نیز نشان می دهند) است به طوری که تمام اعضای آن بین این دو عضو قرار می گیرند: هر مشبکه را می توان در یک مشبکه کراندار با اضافه کردن عناصر جدیدی به عنوان ماکسیمم و مینیمم نشاند، و هر مشبکه متناهی ناتهی کراندار است. چرا که برای یک مشبکه متناهی می توان جوین و میت تمام عناصر را به ترتیب به صورت و بدست آورد که در آن ها ، سپس این دو را به مشبکه متناهی مورد نظر افزوده و اینگونه به ترتیب ماکسیمم و مینیمم را با مشبکه اجتماع کردیم و اینچنین مشبکه (در صورتی که قبلاً کراندار نبوده است) را کراندار کرده ایم. یک مجموعه جزئی مشبکه کراندار است اگر و تنها اگر هر زیر مجموعه متناهی از عناصرش دارای جوین و میت باشد. برای هر عنصر از یک پوست (POSET، مجموعه جزئی مرتب) و به طور بدیهی برقرار است (یعنی به انتفای مقدم برقرار است) و لذا هر عضو از پوست هم کران بالا و هم پایین مجموعه تهی است. این نتیجه گیری با شرکت پذیر بودن و جابجایی بودن میت و جوین سازگار است: جوین اجتماع مجموعه های متناهی برابر جوین جوین های مجموعه هاست، و دوگان آن برای میت هم برقرار است. به طور دقیق تر برای زیرمجموعه های متناهی داریم: و حال اگر در اتحادهای بالا تهی باشد اتحادهای زیر بدست می آیند: و که با این حقیقت که سازگار است. گویند که یک عنصر دلخواهی از مشبکه چون ، عنصر دیگری چون را پوشش می دهد اگر ، اما هیچ عنصری چون وجود نداشته باشد به طوری که . گویند مشبکه مدرج است (برخی مواقع به آن رتبه‌ای نیز می گویند، اما با پوست رتبه ای یا Ranked POSET اشتباه نشود) اگر بتوان آن را مجهز به تابع رتبه کرد. ویژگی این تابع سازگاری با ترتیب است (یعنی از نتیجه می شود )، چنان که هرگاه عنصر را بپوشاند خواهیم داشت . برای زیرمجموعه دلخواهی از یک مشبکه چون ، میت و جوین محدود به توابع جزئی (یعنی دیگر بر روی کل دامنه تعریف نمی شوند) می شوند، اینگونه که اگر مقادیر میت و جوین یک عنصر در زیرمجموعه نباشد، میت و جوین آن عنصر تعریف نشده در نظر گرفته می شود. به علاوه این تعریف برونگرا که مشبکه را بر اساس ساختار جبری دیگری (یعنی مشبکه دیگری) تعریف می کند، یک مشبکه جزئی را به صورت ذاتی و درونگرا نیز می توان تعریف کرد، اینگونه که میت و جوین را به صورت توابع جزئی تعریف کنیم که در اصول موضوعه های خاصی صدق کنند. به این اتحادها قوانین خودتوانی می گویند: این اصول موضوعه ها بیان می دارند که و هردو نیم-مشبکه اند. | ## بخش 3: مشبکه (ترتیب) | قوانین جذب، تنها قوانینی از دو قانون فوق اند که در هردو هم از جوین استفاده شده و هم از میت و این باعث می شود که بین مشبکه و یک جفت ساختار دلخواه نیم-مشبکه تمایز ایجاد شده و بین دو نیم-مشبکه روابط مناسبی برقرار شود. اشکال مشبکه یک مفهوم مناسب از ریخت (شکل) بین دو مشبکه به آسانی از تعریف جبری بالا بر می‌آید. هم چنین وقتی که مشبکه‌هایی با ساختارهای بیشتری در نظر گرفته شوند، ریخت‌ها بایستی به بیشترین ساختار نسبت داشته باشند. به ویژه در یک مشبکه هم ریخت محدود (که معمولاً همان «مشبکه همریخت» گفته می‌شود) تابع f بین دو مشبکه کران دار L و M ویژگی زیر را داراست: f(0L) = 0M f(1L) = 1M طبق ترتیب فرمول بندی نظری این شرایط تنها بیان می‌کند کههم ریختی مشبکه‌ها تابعیست که تلاقی و اتصال‌های دودویی را حفظ می‌کند. برای مشبکه‌های کران دار حفظ کردن کوچکترین و بزرگترین عنصر در واقع همان حفظ تلاقی و اتصال یک مجموعه خالی است. اگرچه ترتیب دو طرفه حفظ شونده یک هم ریخت است اگر وارون ان هم یک ترتیب حفظ شونده باشد. زیرمشبکه‌ها یک زیرمشبکه از مشبکه L یک مجموعه غیر تهی است ازL که در واقع مشبکه ایست با تلاقی و اتصال‌هایی مشابه L یک زیرمشبکه M از یک مشبکه L یک زیر مشبکه برجسته L است اگرx ≤ z ≤ y و x,yموجود در M نشان می‌دهد که zمتعلق به M است برای هر x,y،zعضوL. ویژگی مشبکه‌ها در زیر تعدادی از ویژگی‌های مهم یک مشبکه مطرح شده است: تمامیت (کمال) یک مجموعه مرتب جزئی مشبکه کامل نامیده می‌شود اگر همهٔ زیر مجموعه‌هایش هر دوی اتصال و تلاقی را دارا باشند. در حالیکه مشبکه‌های کران دار هم ریخت در کل فقط اتصال و تلاقی ::متناهی را حفظ می‌کنند مشبکه‌های کامل هم ریخت می‌بایستی ::اتصال و ::تلاقی دلخواه را حفظ کنند. شایان ذکر است که مشبکه جزئی در تضاد با مشبکه کامل نیست زیرا کلیهٔ مفهوم‌های مشبکه و مشبکه کامل و مشبکه جزئی تعاریفی محدود هستند. تکامل شرطی یک مشبکه کامل مشروط مشبکه ایست که هر زیرمجموعه ناتهی که کران بالا دارد یک نقطه اتصال دارد (منظور از کران بالا کوچکترین کران بالا است) توزیع‌پذیری هنگامیکه مشبکه‌ها در عملیات دودویی قرار گیرند این رایج است که سؤال شود کدام یک بر دیگری توزیع پذیر است. | ## جمع‌بندی | پیمانه‌ای برای بسیاری از عملیات خاصیت توزیع‌پذیری سنگین بوده و خاصیت پیمانه‌ای به جای ان قرار می‌گیرد.