موضوع مقاله: تقسیم بر صفر | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # تقسیم بر صفر | مقدمه: در حالی که وقتی از سمت چپ به صفر نزدیک می‌شود، به منفی بی‌نهایت منفی میل می‌کند. | ## بخش 1: تقسیم بر صفر | در ریاضیات، تقسیم بر صفر، تقسیمی است که در آن مقسوم‌علیه (مخرج) صفر است و این یک مورد خاص و مشکل‌ساز است. تعریف معمولی از خارج قسمت در چهار عمل اصلی، عددی است که وقتی با مقسوم‌علیه ضرب شود، مقسوم (مقدار اصلی) را به دست می‌دهد. بر اساس این تعریف، خارج قسمت بی‌معنا است، زیرا حاصل‌ضرب همیشه است نه عدد دیگری به نام . ادامه‌ی قوانین عادی جبر مقدماتی در حالی که اجازه تقسیم بر صفر داده شود، می‌تواند منجر به یک مغالطه ریاضی شود، که اشتباه ظریفی است که به نتایج غیر منطقی منجر می‌شود. برای جلوگیری از این امر، حساب اعداد حقیقی و ساختارهای عددی عمومی‌تری که به آنها میدان می‌گویند، تقسیم بر صفر را تعریف‌نشده می‌گذارند و موقعیت‌هایی را که ممکن است تقسیم بر صفر اتفاق بیفتد باید با احتیاط مورد بررسی قرار داد. حسابان رفتار توابع را در حدی که ورودی آنها به یک مقدار مشخص می‌رسد، بررسی می‌کند. | ## بخش 2: تقسیم بر صفر | زمانی که یک تابع حقیقی به‌صورت کسری که در آن مخرج به صفر میل می‌کند، نمایش داده شود، خروجی تابع به طور غیرقابل تصوری بزرگ می‌شود و گفته می‌شود که به «بی‌نهایت میل می‌کند»، که نوعی نقطه تکین ریاضی است. زمانی که هم مقسوم و هم مقسوم‌علیه به صفر در یک ورودی خاص نزدیک می‌شوند، این بیان به شکل نامعلوم گفته می‌شود، زیرا حد حاصل بستگی به توابع خاصی دارد که کسری را تشکیل می‌دهند و نمی‌توان آن را از حدهای جداگانه آنها تعیین کرد. به عنوان یک جایگزین برای قرارداد رایج کار با میدان‌هایی مانند اعداد حقیقی و رها کردن تقسیم بر صفر به‌صورت تعریف‌نشده، امکان تعریف نتایج تقسیم بر صفر به روش‌های دیگر وجود دارد که منجر به دستگاه‌های عددی متفاوتی می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان تعریف کرد که برابر با صفر باشد؛ می‌توان آن را معین کرد که به یک نقطه جدید در بی‌نهایت، که گاهی با نماد بی‌نهایت مشخص می‌شود، برابر باشد؛ یا می‌توان آن را به‌گونه‌ای تعریف کرد که منجر به بی‌نهایت مثبت یا منفی شود، بسته به نشانه مقسوم. در این دستگاه‌های عددی، تقسیم بر صفر دیگر یک استثنای خاص در خود نیست، بلکه نقطه یا نقاط در بی‌نهایت رفتارهای استثنایی جدیدی را شامل می‌شوند. بسته به زمینه و نوع عدد مورد نظر، تقسیم بر صفر ممکن است به بی‌نهایت مثبت یا منفی ارزیابی شود، یک مقدار خاص به نام عدد نیست برگرداند، یا برنامه را به‌هم بریزد، و موارد دیگر. | ## بخش 3: تقسیم بر صفر | تقسیم اعداد بر صفر هرگاه عددی غیر صفر بر «صفر حدی» تقسیم گردد حاصل بی‌نهایت خواهد بود. (مثبت یا منفی بودن بی‌نهایت نیز باید بررسی شود.)کتاب ریاضیات و کاربردها، ۱۳۹۵وبگاه تخصصی بیتوته وبگاه انجمن ریاضیدانان ایران تقسیم صفر بر «صفر حدی» نیز صفر است.وبگاه انجمن ریاضیدانان ایران در ریاضیات تقسیم عدد غیر صفر بر صفر تعریف نمی‌شود و در نتیجه معادلی ندارد، با این که بی‌نهایت مفهومی انتزاعی‌ست با این وجود بازهم نمی‌توان گفت که تقسیم عدد غیر صفر بر صفر بی‌نهایت می‌شود و این اشتباه رایجی‌ست که گفته می‌شود تقسیم عدد غیر صفر بر صفر بی‌نهایت می‌شود. این گزاره در برخی از عملیات‌ها مشکل ایجاد می‌کند از این رو مفهوم حد کمک می‌کند تا بتوان عامل صفر در صورت و مخرج را ساده نمود (به شرط آن که حدی باشد) به عبارت دیگر مفهوم حد بیان می‌کند که در واقع هنگامی که مخرج به صفر میل می‌کند پس مخرج صفر نیست و عامل صفر ندارد از این رو تقسیم بر آن مجاز می‌گردد ولی کماکان گزارۀ بیان شده پابرجاست (تقسیم بر صفر مجاز نیست) و شرایط حدی، شرایطی متفاوت است. انگشتی|تابع ، نمودار، وضعیت را در همسایگی صفر (x = 0) نشان می‌دهد کنون کسر را در نظر بگیرید (که در آن یک عدد غیر صفر بر x تقسیم شده‌ست و هر عدد غیر صفر مثبت دیگر نیز صدق می‌کند) x از یک مقدار مثبت به سوی صفر میل می‌کند اما هیچ‌گاه به صفر نمی‌رسد از این رو حاصل این کسر هم به صورت مداوم بزرگ می‌شود که در این‌جا این مفهوم را بی‌نهایت می‌گوییم (این درحالی‌ست که بی‌نهایت خود مفهومی انتزاعی‌ست و دست نایافتنی است) همین که مخرج صفر شد یعنی x=0 آنگاه عبارت «تعریف نشده» خواهد شد.توجه داشته باشید که ما در این جا مفهوم حدی و غیر حدی را با هم ترکیب کردیم تا در کنار هم ملموس‌تر باشند. | ## جمع‌بندی | (در حالتی هم که مثبت‌ها منفی در نظر گرفته شود و به صورت مشابه عمل گردد همین نتیجه خواهد بود.