موضوع مقاله: فیلتر کالمان | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # فیلتر کالمان | مقدمه: این فیلتر معمولاً تخمین دقیق‌تری را نسبت به تخمین بر مبنای یک اندازه‌گیری واحد را بر مبنای استنباط بیزی و تخمین توزیع احتمال مشترکی از یک متغیر تصادفی در یک مقطع زمانی ارائه می‌کند. | ## بخش 1: فیلتر کالمان | فیلتر کالمن کاربردهای بسیاری در علم و فناوری مانند مسیریابی و پایش وسایل نقلیه، به خصوص هواپیما و فضاپیماها، دارد. فیلتر کالمن مفاهیم گسترده‌ای را در زمینه سری‌های زمانی، پردازش سیگنال و اقتصادسنجی مطرح می‌کند. این فیلتر از مفاهیم پایه در زمینه برنامه‌ریزی و پایش ربات‌ها و همچنین مدلسازی سیستم عصبی محسوب می‌شود. بر اساس تأخیر زمانی میان ارسال فرمان‌ها و دریافت پاسخ آن‌ها، استفاده از فیلتر کالمن در تخمین حالات مختلف سیستم را ممکن می‌سازد. در گام پیش‌بینی، فیلتر کالمن تخمینی از وضعیت فعلی متغیرها را در شرایط عدم قطعیت ارائه می‌کند. زمانی که نتیجه اندازه‌گیری بعدی به‌دست آید، تخمین قبلی با میانگین وزن‌دار آپدیت می‌شود. الگوریتم بازگشتی می‌باشد و با استفاده از ورودی‌های جدید و حالات محاسبه شدهٔ قبلی به‌صورت بی‌درنگ اجرا می‌شود. مثال کاربردی تهیه اطلاعات پیوسته و گسسته به روز و دقیق در مورد مکان و سرعت یک شی معین فقط به کمک توالی مشاهدات در مورد موقعیت آن شی، که هر کدام شامل مقداری خطاست امکان‌پذیر است. این فیلتر در طیف گسترده‌ای از کاربری‌های مهندسی از رادار گرفته تا بینایی رایانه‌ای کاربرد دارد. روش فیلتر کالمن یکی از عناوین مهم در تئوری کنترل و مهندسی سیستم‌های کنترلی می‌باشد. به عنوان مثال، برای کاربری آن در رادار، آنجا که علاقه‌مند به ردیابی هدف هستید، اطلاعات در مورد موقعیت، سرعت و شتاب هدف با حجم عظیمی از انحراف به لطف پارازیت در هر لحظه اندازه‌گیری می‌شود. فیلتر کالمن از پویایی هدف بهره می‌گیرد به این صورت که سیر تکاملی آن را کنترل می‌کند، تا تأثیرات پارازیت را از بین ببرد و یک برآورد خوب از موقعیت هدف در زمان حال (تصفیه کردن) و در آینده (پیش‌بینی) یا در گذشته (الحاق یا هموار سازی) ارائه می‌دهد. نام‌گذاری و تاریخچه توسعه اگر چه توروالد نیکولای تیله و پیتر سوئرلینگ قبلاً الگوریتم مشابهی ارائه داده بودند، این فیلتر به افتخار رودلف ئی کالمن، فیلتر کالمن نام‌گذاری شد و استنلی اف اشمیت عموماً به خاطر توسعه اولین پیاده‌سازی فیلتر کالمن شهرت یافت. این رخداد هنگام ملاقات با کالمن در بنیاد پژوهشی ناسا روی داد و وی شاهد کارایی ایده کالمن در برآورد مسیر پرتاب پروژه آپولو بود، که منجر به الحاق آن به رایانه ناوبری آپولو شد. این فیلتر بر روی کاغذ در ۱۹۵۸ توسط سوئرلینگ، در ۱۹۶۰ توسط کالمن و در ۱۹۶۱ توسط کالمن و بوسی ایجاد و بسط داده شد. این فیلتر بعضی مواقع فیلتر استراتونوویچ-کالمان-بوسی نامیده می‌شود، چرا که یک نمونه خاص از فیلتر بسیار معمولی و غیر خطی ای است که قبلاً توسط روسلان استراتنویچ ایجاد شده، در حقیقت معادله این نمونه خاص، فیلتر خطی در اسنادی که از استراتنویچ قبل از تابستان ۱۹۶۰، یعنی زمانی که کالمن، استراتنویچ را در کنفرانسی در مسکو ملاقات کرد به چاپ رسید بود. امروزه تنوع گسترده‌ای از فیلتر کالمن به وجود آمده، از فرمول اصلی کالمن در حال حاضر فیلترهای: کالمن ساده، توسعه یافته اشمیت، اطلاعاتی و فیلترهای گوناگون جذر بیرمن، تورنتون و بسیاری دیگر به وجود آمده‌اند. اساس مدل سیستم پویا فیلترهای کالمن بر اساس سیستم‌های خطی پویا گسسته در بازه زمانی هستند. در هر افزایش زمانی که در بازه‌های گسسته صورت می‌گیرد، یک عملگر خطی روی حالت فعلی اعمال می‌شود تا حالت بعدی را با کمی پارازیت ایجاد کند و اختیاراً در صورت شناخت روی کنترل‌کننده‌های سیستم برخی اطلاعات مرتبط را استخراج می‌کند. سپس عملگر خطی دیگر به همراه مقدار دیگری پارازیت خروجی قابل مشاهده‌ای از این حالت نامشخص تولید می‌کند. با این تفاوت کلیدی که متغیرهای حالت نامشخص در یک فضای پیوسته مقدار می‌گیرند (نقطهٔ مقابل فضای حالت گسسته در مدل مارکوف). به‌علاوه، مدل نامشخص مارکوف می‌تواند یک توزیع دلخواه برای مقادیر بعدی متغیرهای حالت ارائه کند، که در تناقض با مدل پارازیت گاوسی‌ای است که در فیلتر کالمن استفاده می‌شود. برای تخمین حالت درونی یک فرایند که توسط مجموعه‌ای مشاهدات دارای پارازیت ارائه شده است باید آن را منطبق بر چارچوب فیلتر کالمن کنیم. به این منظور ماتریس‌های زیر را ارائه می‌کنیم: Fk: مدل انتقال حالات، Hk: مدل مشاهده شده، Qk: کوواریانس پارازیت فرایند، Rk: کوواریانس پارازیت مشاهده شده، Bk: مدل ورودی-کنترل فیلتر کالمن بیان می‌کند که می‌توان حالت k را با استفاده از حالت (k - 1) با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد: به‌طوری‌که: Fk: حالت انتقالی اعمال شده به xk−۱، Bk: مدل ورودی-کنترل اعمال شده به بردار کنترلی uk, wk: فرایند نویزی با توزیع نرمال، میانگین صفر و واریانس Qk در زمان k،مشاهده zk با توجه به حالت xk به صورت زیر به‌دست می‌آید: به‌طوری‌که Hk مدل مشاهده شده که به فضای مشاهده شده نگاشت می‌شود و همچنین vk نویز مشاهده شده با توزیع گاوسی، میانگین صفر و کوواریانس Rk است. برخی سیستم‌های پویا حتی در زمانی که منبع ورودی ناشناخته‌ای را بررسی می‌کنیم، می‌توانند موجب کاهش تأثیر این فیلتر شوند؛ زیرا اثر این سیستم‌ها بر سیگنال ورودی تأثیرگذار است و به این ترتیب می‌تواند موجب ناپایداری تخمین فیلتر شود. مسئله تفکیک نویز سفید و سیستم‌های پویا در شاخهٔ نظریه کنترل و در چارچوب کنترل مقاوم بررسی می‌شود. قاب|وسط شرح بیشتر فیلتر کالمن یک تخمین‌گر بازگشتی است، یعنی تنها تخمین حالت قبل و مشاهده فعلی برای محاسبه تخمین حالت فعلی لازم است. برعکس بسیاری از تخمین‌گرها نیازی به نگهداری اطلاعات تخمین‌ها و مشاهدات تمام حالات قبل نیست. حالت فعلی فیلتر توسط دو متغیر تشریح می‌شود: تخمین حالت پسینی در زمان k به شرط مشاهدات پیش از k. فیلتر کالمن توسط یک معادله بیان می‌شود اما معمولاً آن را به دو بخش پیش‌بینی و آپدیت تفکیک می‌کنند. در گام پیش‌بینی با استفاده از تخمین‌های حالات در بازه‌های زمانی پیشین، تخمینی برای حالت فعلی به‌دست می‌آید. این تخمین پیش‌بینی شده همان دانش پیشینی است زیرا تنها به تخمین‌های قبلی وابسته است و هیچ مشاهده‌ای در حالت فعلی سیستم را در برنمی‌گیرد. در گام آپدیت تخمین پیشین با مشاهدات فعلی ترکیب می‌شود تا تخمینی از حالت فعلی سیستم ارائه کند. معمولاً این دو گام متناوباً تکرار می‌شوند، به این معنی که پیش‌بینی تا مشاهده بعدی انجام می‌شود و سپس با استفاده از مشاهدات فعلی آپدیت انجام می‌شود. اگر در بازه زمانی مشاهده‌ای انجام نشود، پیش‌بینی‌ها تا مشاهده بعدی انجام می‌شوند و آپدیت بر مبنای چند مرحله پیش‌بینی انجام می‌شود. به‌طور مشابه اگر در بازه زمانی چندین مشاهده مستقل انجام شود، بر مبنای هریک از آن‌ها چند آپدیت با ماتریس‌های Hk متفاوت به‌دست می‌آید. 2006 Corrected Version پیش‌بینی تخمین حالت پیش‌بینی شده (پیشین)تخمین کوواریانس پیش‌بینی شده (پیشین) به روز رسانی مشاهده جدید وابستهکوواریانس جدید وابستهنتیجه بهینه کالمنتخمین حالت آپدیت شده (پسین)تخمین کوواریانس آپدیت شده (پسین) فرمول کوواریانس به روز شده تنها در حالت بهینه بودن فیلتر کالمن کاربرد دارد و در باقی حالات فرمول‌های پیچیده‌تری موردنیاز است که در بخش مشتقات موجود است. ثابت‌ها اگر مدلسازی دقیق باشد و و بیانگر توزیع حالات ابتدایی سیستم باشند، مقادیر ثابت زیر به‌دست می‌آیند: به‌طوری‌که امید ریاضی متغیر تصادفی است. همچنین: به این ترتیب ماتریس‌های کوواریانس نشان‌دهنده مقادیر تخمینی کوواریانس‌ها هستند. تخمین کوواریانس‌های نویز Qk و Rk پیاده‌سازی عملی فیلتر کالمن با توجه به سختی به‌دست آوردن تخمین ماتریس کوواریانس Qk و Rk بهینه دشوار است. مطالعات بسیاری جهت به‌دست آوردن تخمین‌های کوواریانس با توجه به داده‌های موجود انجام شده است. یکی از بهترین روش‌ها، تکنیک حداقل مربعات اتوکوواریانس(ALS) است که از اتوکوواریانس داده‌ها با ایجاد تأخیر زمانی برای تخمین استفاده می‌کند. از گنو آکتیو و متلب جهت محاسبه ماتریس‌های کوواریانس نویز با استفاده از تکنیک حداقل مربعات اتوکوواریانس استفاده می‌شود. | ## بخش 2: فیلتر کالمان | بهینگی و کارایی فیلتر کالمن یک فیلتر خطی بهینه است زیرا الف) مدلسازی آن با دقت بالایی بر سیستم اصلی منطبق است. روش‌های بسیاری از جمله روش حداقل مربعات اتوکوواریانس که در بالا به آن اشاره شد برای تخمین کوواریانس نویز ارائه شده‌اند. اگر فیلتر کالمن بهینه باشد، نویز ورودی نویز سفید است که محاسبه کارایی سیستم را ممکن می‌سازد. کامیون در مکان صفر ثابت است و سپس در مسیری تحت تأثیر نیروهای تصادفی به حرکت در می‌آید. اما این اندازه‌گیری مبهم است چرا ما تنها مدلی از مکان و سرعت کامیون را در نظر می‌گیریم. موقعیت و سرعت کامیون در فضای خطی موقعیت آن توصیف می‌شود: سرعت، یعنی مشتق مکان نسبت به زمان است. فرض کنیم در بازه زمانی میان (k − ۱) و k شتاب ak که دارای توزیع طبیعی با میانگین صفر و واریانسσa است به آن اعمال شود. طبق قوانین حرکت نیوتن داریم: نتیجه شتابak را به سیستم اعمال می‌کند و همچنین داریم و به این ترتیب به‌طوری‌که و توزیع کاملاً پیوسته نیست و بنابراین هیچ تابع توزیع احتمالی ندارد. روش دیگر بیان این توزیع به صورت زیر است: در هر بازه زمانی، موقعیت کامیون که با نویزی آمیخته است در دست است. فرض کنیم این نویز vk دارای توزیع طبیعی با میانگین صفر و واریانس σz باشد، به‌طوری‌که و می‌دانیم موقعیت اولیه کامیون مشخص است و به صورت زیر در نظر گرفته می‌شود برای اینکه در فیلتر آگاهیمان نسبت به این موضوع را مشخص کنیم، یک ماتریس کوواریانس صفر تعریف می‌کنیم: اگر حالت ابتدایی و سرعت به درستی و دقت در دست نباشند، ماتریس کوواریانس باید با توجه به واریانس‌های داده شده و به صورت قطری تعریف شود: به این ترتیب فیلتر قادر به محاسبه اطلاعات مدل بر اساس مقادیر اولیه می‌شود. مشتقات مشتق‌گیری از ماتریس تخمینی کوواریانس پسین با توجه به مقدار ثابت کوواریانس خطا Pk | k در بالا با جایگذاری از روابط اثبات شده خواهیم داشت حال مقدار را جایگزین می‌کنیم همچنین را نیز در رابطه جایگذاری می‌کنیم با توجه به بردار خطا چون خطای اندازه‌گیری شدهvk نسبت به سایر متغیرها ناهمبسته است، می‌توان گفت با توجه به ویژگی‌های ماتریس کوواریانس با توجه به ثابت بودن Pk | k−1 و تعریف Rk نتیجه می‌شود این فرمول برای هر مقدار Kk معتبر است. فرمول بالا بیان می‌کند اگر Kk نتیجه بهینه کالمن باشد، رابطه به شکل زیر ساده خواهد شد. خطا در تخمین حالت پسین برابر است با هدف ما کمینه کردن میانگین مربع این بردار خطا یعنی است. با بسط رابطه بالا نتیجه می‌شود: اثر ماتریس زمانی کمینه می‌شود که حساب ماتریس صفر شود. با استفاده از خواص ماتریس گرادیان و تقارن ماتریس‌ها داریم: اگر این معادله را برای Kk حل کنیم، نتیجه کالمن به‌دست می‌آید این عبارت همان نتیجه بهینه کالمن است. ساده کردن فرمول کوواریانس خطای پسین با استفاده از نتیجه بهینه کالمن که در بالا به‌دست آمد می‌توان فرمول کوواریانس خطای پسین را ساده‌تر کرد. اگر طرفیت رابطه نتیجه بهینه کالمن را در SkKkT ضرب کنیم، داریم: با استفاده از فرمول بسط داده شده کوواریانس خطای پسین با ساده‌سازی دو جملهٔ آخر نتیجه می‌شود این فرمول در محاسبه بسیار راحت‌تر است اما تنها برای نتیجه بهینه کاربرد دارد و زمانی که نتیجه کالمن بهینه نباشد باید از همان فرمول قبلی استفاده کرد. تحلیل درستی معادلات فیلتر کردن کالمن تخمینی بازگشتی برای حالت و کوواریانس خطای ارائه می‌کند. در غیاب مقادیر ماتریس‌های کوواریانس و عبارت مقدار درست کوواریانس خطا را ارائه نمی‌کند. در بسیاری از کاربردهای بی‌درنگ، ماتریس‌های کوواریانس مورد استفاده در طراحی فیلتر کالمن با مقادیر واقعی ماتریس‌های کوواریانس تفاوت دارند. این تحلیل بیان می‌دارد که تخمین کوواریانس خطا زمانی که ماتریس‌های ورودی سیستم و باشند، نادرست است. حال مقادیر واقعی کوواریانس نویز را و تعریف می‌کنیم به‌طوری‌که مقادیر آن‌ها به ترتیب در روابط جایگزین و شوند. با محاسبه مقدار واقعی کوواریانس خطا و جایگذاری و در نظر داشتن اینکه and معادلات بازگشتی برای به‌دست می‌آید: و محاسبه با فرض و انجام می‌شود. روابط بازگشتی برای و جز زمانی که و را به ترتیب به جای و در نظر بگیریم، یکتا هستند. به این ترتیب ماتریس کوواریانس حالات P نامعین می‌شود درحالی‌که باید مثبت معین باشد. یک ویژگی ماتریس‌های مثبت معین این است که ریشه مربعی ماتریس مثلثی P = S·ST دارند. یک فرم معادل این ماتریس که با استفاده از تفکیک U-D به‌دست می‌آید، P = U·D·UT است کهU یک ماتریس مثلثی واحد و D یک ماتریس قطری است. الگوریتم‌های کارای پیش‌بینی و آپدیت کالمن در فرم ریشه مربعی، توسط بیرمن و تورتون ارائه شدند. ارتباط با تخمین بازگشتی بیز فیلتر کالمن یکی از ساده‌ترین شبکه‌های پویای بیزی است. فیلتر کالمن حالات فعلی سیستم را در طول زمان به صورت بازگشتی، با استفاده از اندازه‌گیری‌های ورودی در مدل فرایندی ریاضی تخمین می‌زند. به‌طور مشابه تخمین بازگشتی بیز، توابع توزیع احتمال ناشناخته را به صورت بازگشتی، با استفاده از اندازه‌گیری‌های ورودی در مدل فرایندی ریاضی در طول زمان تخمین می‌زند. در تخمین بازگشتی بیز، حالت فعلی یک فرایند مارکوف مشاهده نشده در نظر گرفته می‌شود و اندازه‌گیری‌های مشاهده شده مدل پنهان مارکف (HMM) هستند. به‌طور مشابه اندازه‌گیری در بازه زمانی kام تنها به حالت قبلی وابسته است و مستقل از تمام حالات پیش از حالت قبلی آن است. با این مفروضات، توزیع احتمال تمام حالات مدل پنهان مارکوف به صورت زیر بیان می‌شود: هدف فیلتر کالمن تخمین حالت فعلی سیستم است. این تخمین با استفاده از حاشیه‌سازی تابع توزیع مشترک بر اساس حالت قبلی سیستم قابل محاسبه است. کافی است حاشیه‌سازی نسبت به تمام حالات قبل انجام شده و بر احتمال مجموعه اندازه‌گیری‌ها تقسیم شود. به این ترتیب گام‌های پیش‌بینی و آپدیت فیلتر کالمن به صورت احتمالاتی به‌دست می‌آیند. توزیع احتمال حالت پیش‌بینی شده حاصل انتگرال حاصلضرب توابع توزیع احتمال انتقال از حالت (k-1)ام به حالت kام است و حالت قبلی روی تمام ‌های ممکن است. اندازه‌گیری‌ها تا بازه زمانی kام عبارتند از: توزیع احتمال آپدیت از حاصلضرب پیش‌بینی و درست‌نمایی به‌دست می‌آید. توابع توزیع احتمال باقی‌مانده عبارتند از: توجه کنید که تابع چگالی احتمال حالت قبل، یک تخمین است. فیلتر کالمن فیلتری بهینه است و به این ترتیب توزیع احتمال به شرط اندازه‌گیری یک تخمین بهینه توسط فیلتر کالمن است. بخت حاشیه‌ای همانند تخمین بازگشتی بیز که پیش‌تر بیان شد، فیلتر کالمن را می‌توان به عنوان یک مدل مولد دید؛ یعنی فرایندی برای تولید دنباله‌ای از مشاهدات تصادفی (... این فرایند به صورت زیر تعریف می‌شود: حالت پنهان را از توزیع گاوسی پیشین نمونه‌گیری کنید. | ## بخش 3: فیلتر کالمان | این فرایند ساختاری مشابه مدل پنهان مارکوف دارد که حالات گسسته در آن به متغیرهای تصادفی پیوسته با توزیع گاوسی تبدیل شده است. به کمک قانون زنجیره‌ای احتمال، بخت از حاصلضرب احتمال هر مشاهده به شرط مشاهدات قبلی به‌دست می‌آید، به علاوه چون فیلتر کالمن معرف یک فرایند مارکوف است، تمام دانش به‌دست آمده از مشاهدات قبلی به تخمین محدود می‌شود. به این ترتیب بخت حاشیه‌ای به صورت زیر محاسبه می‌شود: رابطه بالا حاصلضرب چند توزیع احتمال گاوسی است که هر یک نمایانگر یک مشاهده zk تحت فیلتر است؛ که از آپدیت‌های بازگشتی محاسبه می‌شود. فیلتر اطلاعاتی در فیلتر اطلاعاتی یا فیلتر کوواریانس معکوس، تخمین کوواریانس و تخمین حالت به ترتیب با ماتریس اطلاعات و تابع اطلاعات جایگزین می‌شوند. به طریق مشابه کوواریانس و بردار مشاهدات هم با عبارات هم‌ارز اطلاعاتی جایگزین می‌شوند. با داشتن ماتریس و بردار مشاهدات که به صورت زیر تعریف شده‌اند اطلاعات آپدیت شده به صورت زیر نوشته می‌شوند. مزیت اصلی فیلتر اطلاعاتی این است که N مشاهده می‌توانند در هر بازه زمانی با جمع زدن ماتریس‌ها و بردارهای اطلاعاتی فیلتر شوند. جهت پیش‌بینی فیلتر اطلاعات ماتریس و بردار اطلاعات به عبارات هم‌ارزشان در فضای حالات سیستم تبدیل می‌شوند. تصفیه‌کننده تأخیر زمانی تصفیه‌کننده بهینه تخمینی بهینه از برای تأخیر ثابت با استفاده از مشاهدات تا ارائه می‌کند. این تخمین به کمک روابط قبلی و برای یک حالت تکمیل شده به صورت زیر به‌دست می‌آید: به‌طوری‌که: و با یک فیلتر استاندارد کالمن تخمین زده شده است. نتایج کالمن از رابطه زیر به‌دست می‌آیند: به‌طوری‌که و کوواریانس خطاهای پیش‌بینی شده و نتایج فیلتر استاندارد کالمن هستند. اگر تخمین کوواریانس خطا را به صورت زیر تعریف کنیم: تخمین بهتری از از رابطه زیر حاصل می‌شود. تصفیه‌کننده بازه-ثابت تصفیه‌کننده یا هموارگر با بازه-ثابت بهینه تخمینی بهینه از با استفاده از مشاهداتی در بازه تا ارائه می‌کند. بدین طریق که از آخرین بازه زمانی شروع کرده و به صورت عقب‌گرد معادلات بازگشتی زیر را می‌یابیم: به‌طوری‌که تخمین حالت پسین زمان و تخمین حالت پیشین زمان است. تصفیه‌کننده برایسون-فریزر این روش جایگزینی برای الگوریتم RTS است که توسط بیرمن ارائه شده است. این روش همچنین در گام رو به عقب داده‌های به‌دست آمده در گام رو به جلوی فیلتر کالمن استفاده می‌کند. معادلات رو به عقب شامل محاسبات بازگشتی که پس از هر مشاهده جهت تصفیه حالت و کوواریانس به کار برده می‌شود. تصفیه‌کننده کمینه واریانس این روش می‌تواند بهترین خطای ممکن را با استفاده از پارامترها و آماره‌های نویزی شناخته‌شده به‌دست‌آورد. محاسبات گام رو به جلو در یک مرحله پیش‌بینی صورت می‌گیرد: این عبارات معکوس وینر-هوف است. نتیجه گام رو به عقب می‌تواند با استفاده بازگشت در زمان و از گام رو به جلو از محاسبه شود. در این حالت خروجی سیستم برابر است با: با جایگذاری در رابطه بالا این معادله برا ی فیلتر کالمن کمینه واریانس همواره یکسان است. توجه کنید که در روش راوخ–تونگ–استریبل فرض می‌شود که همه توزیع‌ها گاوسی هستند اما در اینجا چنین نیست. فیلترهای وزن‌دار کالمن توابع وزن‌دار جهت وزن دادن به میانگین توزیع توان خطا در یک بازه تغییر مشخص استفاده می‌شوند. یک راه آن شناسایی سیستمی که تخمین خطا را تولید می‌کند و قرارداد کردن به عنوان معکوس آن سیستم است. این روش می‌تواند جهت محاسبه خطای مربع میانگین استفاده شود تا هزینه فیلتر کاهش یابد. فیلتر کالمن بسط‌یافته - ئی‌کِی‌اف در فیلتر بسط‌یافته کالمن (EKF) انتقال حالات و مشاهدات نیاز به توابع حالت خطی یا غیرخطی دارند. توابع f و h نمی‌توانند مستقیماً به کوواریانس اعمال شوند، بلکه باید ماتریسی از مشتقات جزئی (ماتریس ژاکوبی) آن‌ها محاسبه شود. در هر بازه زمانی ماتریس ژاکوبی با استفاده از حالات پیش‌بینی شده قبلی محاسبه می‌شود. فیلتر کالمن از نوع یوکِی‌اف - بی‌اثر وقتی انتقال حالات و مشاهدات، یعنی توابع پیش‌بینی و آپدیت و ، کاملاً غیرخطی باشند، فیلتر کالمن بسط‌یافته کارایی پایینی خواهد داشت. فیلتر کالمن بی‌اثر از روش نمونه‌گیری قطعی که به تبدیل بی‌اثر معروف است، استفاده می‌کند تا مجموعه نمونه مینیمالی از نقاط حول میانگین را جمع‌آوری کند. نتیجه برای سیستم‌های قطعی با قطعیت بیشتری مقدار میانگین و کوواریانس را ارائه می‌کند. این روش به عنوان روش مونت‌کارلو یا بسط تیلور برای آماره‌های پسین شناخته شده است. در واقع این روش ما را از محاسبه مستقیم ماتریس ژاکوبی که برای بعضی توابع بسیار پیچیده است، بی‌نیاز می‌کند. با توجه به تعریف ریشه مربعی در ماتریس به‌دست می‌آید: ریشه مربعی باید به صورت عددی و توسط روش‌هایی مانند تفکیک کولسکی محاسبه شود. از نقاط وزن‌دار جهت محاسبه تخمین حالت و کوواریانس استفاده می‌شود به‌طوری‌که وزن‌های مربوط به حالات و کوواریانس از روابط زیر به‌دست می‌آیند: و گستردگی نقاط را کنترل می‌کنند. آپدیت پیش‌بینی حالت و کوواریانس مطابق بالا حاصل می‌شوند به جز زمانی که میانگین و کوواریانس نویز مشاهده شده در دست باشد. مطابق قبل مجموعه‌ای شامل 2L + ۱ نقطه در نظر می‌گیریم اگر پیش‌بینی UKF استفاده شده‌باشد، نقاط به صورت زیر مستقلاً قابل محاسبه‌اند. به‌طوری‌که نقاط به عنوان ورودی تابع h استفاده می‌شوند نقاط وزن‌دار جهت محاسبه مشاهده و کوواریانس مشاهدات پیش‌بینی شده‌استفاده می‌شوند. کوواریانس ضربدری حالات و مشاهدات به صورت زیر محاسبه می‌شود که برای محاسبه نتیجه فیلتر کالمن UKF استفاده می‌شود. همانند فیلتر کالمن، حالت آپدیت شده از جمع حالت پیش‌بینی شده و وزن‌دار کردن نتیجه کالمن محاسبه می‌شود همچنین کوواریانس آپدیت شده برابر است با تفاضل کوواریانس پیش‌بینی شده و کوواریانس محاسبه پیش‌بینی شده که با نتیجه کالمن وزن‌دار شده است. فیلتر کالمن-بوسی این فیلتر حالت پیوسته در زمان فیلتر کالمن می‌باشد که نام آن برگرفته از نام ریچارد اسنودن بوسی می‌باشد.Bucy, R.S. فیلتر کالمن هیبریدی بسیاری از سیستم‌های فیزیکی به صورت پیوسته در زمان مدل می‌شوند درحالی‌که مشاهدات ورودی توسط یک پردازنده دیجیتال و به صورت گسسته در زمان به آن ارائه می‌شوند. به این ترتیب مدل سیستم و مشاهدات به این صورت بیان می‌شود: به‌طوری‌که مقداردهی پیش‌بینی این معادلاتت از حالت پیوسته فیلتر کالمن، بدون آپدیت توسط مشاهدات حاصل می‌شوند به‌طوری‌که . | ## جمع‌بندی | حالت و کوواریانس پیش‌بینی شده با حل مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیلی دارای مقادیر اولیه تخمین حالت قبلی محاسبه می‌شوند.