موضوع مقاله: قضیه فیثاغورس | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # قضیه فیثاغورس | مقدمه: قضیه فیثاغورس در هندسه اقلیدسی است که بر اساس آن، در یک مثلث راست‌گوشه (قائم‌الزاویه)، همواره مجموع مربع‌های دو ضلع برابر با مربع وتر است. | ## بخش 1: قضیه فیثاغورس | نمایش‌های دیگر اگر c طول وتر مثلث راست‌گوشه باشد و a و b طول دو ضلع دیگر آن، قضیهٔ فیثاغورس را به شکل رابطهٔ زیر می‌نویسیم: و اگر مقدار a و b معلوم باشد c را به این شکل بدست می‌آوریم: و اگر c معلوم باشد و یکی از دو ضلع a یا b نامعلوم، آن‌ها را اینگونه بدست می‌آوریم: یا قضیه فیثاغورس به روش ساده ای اضلاع مثلث قائم‌الزاویه را به هم ربط می‌دهد، به طوریکه اگر طول دوضلع معلوم باشد طول ضلع سوم را می‌توان به دست آورد. پیامد دیگر این قضیه این است که در هر مثلث قائم‌الزاویه، طول وتر بیشتر از هر یک از دو ضلع دیگر، ولی کمتر از مجموع دو ضلع دیگر است. اگر زاویه بین دو ضلع دیگر قائمه باشد، قانون کسینوس‌ها تبدیل به قانون فیثاغورس می‌شود. اثبات قضیهٔ فیثاغورس، قضیه‌ای است که بیش از هر قضیهٔ دیگری اثبات دارد، در کتاب قضیه فیثاغورس حدود ۳۷۰ اثبات برای این قضیه آورده شده‌است. به این معنی که اگر دو مثلث متشابه داشته باشیم، نسبت طول‌های هر دو ضلع متشابه میان دو مثلث ثابت است. همان گونه که در شکل نشان داده شده‌است، فرض کنید ABC مثلثی راست‌گوشه است و C زاویه‌ای راست (۹۰ درجه) است. حال ارتفاع مثلث را از گوشهٔ C بر وتر AB رسم می‌کنیم و نقطهٔ برخورد را H می‌نامیم. چون هر دو یک زاویهٔ ۹۰ درجه دارند (طبق تعریف ارتفاع مثلث) و زاویهٔ A در هر دو مشترک است؛ از این می‌توان نتیجه گرفت که زاویهٔ سوم θ در هر دو یکسان است (در شکل نشان داده شده‌است). به دلیل تشابه مثلث‌ها، روابط زیر برقرار خواهد بود: عبارت سمت چپ، برابر است با کسینوس زاویهٔ θ و سمت راست برابر است با سینوس زاویهٔ θ. این نسبت‌ها را به صورت زیر نیز می‌توان نوشت: و اگر دو تساوی را با یکدیگر جمع کنیم، خواهیم داشت: که همان تساوی قضیهٔ فیثاغورس خواهد بود: روش گفته شده اثبات دانتزیگ، Dantzig بود که یک روش ریاضی بوده و بر اساس طول‌ها می‌باشد. اما سؤالی که اینجا مطرح است این است که چرا اقلیدوس از این روش استفاده نکرده و برای اثبات آن روش دیگری را از خود گفته‌است. یک گمان این است که اثبات با استفاده از مثلث‌های متشابه نیاز به دانستن تئوری تناسب‌ها داشته که تا آن زمان هنوز مورد بحث قرار نگرفته بود. می‌توان نشان داد که این دو مثلث با یکدیگر مساوی‌اند در نتیجه مساحت مربع با مساحت مستطیل سمت چپ برابر است. اگر دو مستطیل را کنار هم قرار دهیم تا یک مربع روی وتر مثلث تشکیل دهند، می‌بینیم که مساحت مربع بزرگ (مربعی که روی وتر تشکیل شد) با مجموع مساحت‌های دو مربع دیگر برابر است. فرض کنید A و B و C سه گوشهٔ یک مثلث راست‌گوشه‌اند که زاویهٔ A در آن ۹۰ درجه است. | ## بخش 2: قضیه فیثاغورس | خطی را عمود از گوشهٔ A بر روی وتر BC رسم می‌کنیم و آن را امتداد می‌دهیم تا ضلع پایین مربع کشیده شده روی وتر را قطع کند. این خط مربع روی وتر را به دو مستطیل تقسیم می‌کند که هریک از این مستطیل‌ها مساحتی برابر با مساحت مربع‌های رسم شده بر روی دو ضلع زاویهٔ A دارند. برای ادامهٔ اثبات نیاز به دانستن چند نکته است: اگر دو ضلع از یک مثلث با دو ضلع از مثلث دیگر یک به یک برابر باشد و زاویهٔ میان آن دو ضلع نیز با هم برابر باشد، می‌توان نتیجه گرفت که دو مثلث با یکدیگر برابرند. مساحت هر مثلث نصف مساحت چهارضلعی است که اضلاعش با یکدیگر دو به دو موازی‌اند و ارتفاع و قاعده‌ای برابر با ارتفاع و قاعدهٔ مثلث دارد. هر یک از دو مربع بالایی با یکی از آن دو مثلثِ هم نهشت مرتبط است و هر یک از این مثلث‌ها نیز به نوبهٔ خود با یکی از مستطیل‌های سازندهٔ مربع پایینی ارتباط دارد. ادامهٔ اثبات: فرض کنید مثلث ABC یک مثلث راست‌گوشه‌است که زاویهٔ CAB در آن ۹۰ درجه‌است. زاویه‌های CAB و BAG هر دو زاویه‌های راست‌اند؛ بنابراین نقاط C و A و G بر روی یک امتداد قرار دارند (هم‌خط‌اند)؛ برای نقاط B و A و H نیز همین مطلب برقرار است. اما ناحیهٔ اصلی سیاه رنگ با ضلع c را می‌توان به دو مربع با ضلع‌های a و b تقسیم کرد و نشان داد که: اثبات دوم با استفاده از نگارهٔ پویای میانی است. مربع بزرگ اول، مساحتی برابر با c۲ دارد با کنار هم قرار دادن چهار مثلث راست‌گوشهٔ یکسان و به دلیل اختلاف طول ضلع مثلث‌ها، یک مربع کوچک میان آن‌ها و در مرکز مربع بزرگ باقی می‌ماند. اگر یک بار دیگر نگاه کنیم می‌بینیم که با جابجایی مثلث‌ها، دو مستطیل با ضلع‌های a و b تشکیل شده‌است. با ادغام مربع کوچک میانی با یکی از مستطیل‌ها، دو مستطیل به دو مربع تبدیل خواهد شد و مساحت هریک از آن‌ها برابر با a۲ و b۲ خواهد بود؛ بنابراین است. همان گونه که در نگاره نمایش داده شده‌است، دو مربع بالایی، با سایه‌های آبی و سبز به چندین بخش تقسیم شده‌اند. اگر این قسمت‌های سایه‌خورده را کنار هم بچینیم می‌بینیم که مربع پایینی روی وتر را به خوبی پر می‌کنند؛ عکس این مطلب نیز برقرار است یعنی مربع پایینی که روی وتر تشکیل شده را می‌توان چنان قسمت کرد که دو مربع بالایی به خوبی با این قسمت‌ها پر شود. با این کار نشان دادیم که مساحت مربع بزرگ برابر است با مجموع مساحت‌های دو مربع کوچک. قضیهٔ فیثاغورس را می‌توان با استفاده از چیدن چهار مثلث راست‌گوشهٔ یکسان با ضلع‌های a و b و c درون یک مربع با ضلع c به صورت جبری اثبات کرد. | ## بخش 3: قضیه فیثاغورس | مربع کوچک ضلعی برابر با b − a و مساحتی برابر با ۲ (b − a) به این ترتیب مساحت مربع بزرگ برابر خواهد بود با: و چون این مربع ضلعی برابر با c دارد پس مساحتی برابر با ۲ c خواهد داشت، می‌توان نتیجه گرفت: همان گونه که در پایین نگاره می‌توان دید، اثبات مشابه دیگری وجود دارد که در آن با استفاده از بازچینی چهار مثلث یکسان به دور مربعی به ضلع c به نتیجه می‌رسد. بخشی از این ذوزنقه از دو نیم کردن (به صورت قطری) مربعی که در اثبات دوم در بالا گفته شد تشکیل شده‌است. همان‌گونه که در شکل نشان داده شده‌است، می‌توان از دو مثلث راست‌گوشهٔ ADP و AQP استفاده کرد تا حدهای بالایی و پایینی نسبت دیفرانسیل را معلوم کرد؛ بنابراین حد را می‌توان از گرفت. پس از آن مثلث راست‌گوشهٔ AQP را تشکیل می‌دهیم (قسمت پایین نگاره) چون هر دو مثلث AQP و PBC یک زاویهٔ دارند، پس: همان‌گونه که در نگارهٔ پایینی نمایش داده شده‌است، آخرین نامساوی که می‌توان از نتیجه گرفت، با ترکیب دو نامساوی که از مثلث‌های ADP و AQP بدست آمد، ایجاد می‌شود: حال حدهای بالایی و پایینی نسبت را در اختیار داریم. وقتی که به سمت صفر میل کنند، نسبت به مشتق تبدیل می‌شود و حد بالایی و حد پایینی یکی می‌شود و خواهیم داشت: یا که انتگرالی برابر با مقدار زیر خواهد داشت: مقدار ثابت آنگاه که a = ۰ و c = b باشد، مقدار ثابت جواب انتگرال برابر با خواهد بود؛ بنابراین استدلال قضیهٔ فیثاغورس اثبات شد. برای هر سه عدد مثبت a و b و c که در عبارت صدق کنند؛ می‌توان مثلثی پیدا کرد با طول ضلع‌های a و b و c که حتماً دارای زاویه‌ای راست (۹۰ درجه) میان ضلع‌های a و b است. بیان دیگر وارون قضیه عبارت است از: برای هر مثلثی با اضلاع a و b و c اگر باشد آنگاه زاویهٔ میان اضلاع a و b برابر با ۹۰ درجه خواهد بود. مثلث دیگری می‌سازیم با ضلع‌های a و b و با یک زاویهٔ راست میان دو ضلع آن، چون می‌دانیم قضیهٔ فیثاغورس درست است پس طبق این قضیه باید وتر مثلث طولی برابر با c = √(a۲ + b۲) داشته باشد. پس دو مثلث با یکدیگر برابرند از هم نهشتی دو مثلث می‌توان نتیجه گرفت که زاویه‌های دو به دو برابر نیز دارند. با استفاده از وارون قضیهٔ فیثاغورس می‌توان به آسانی پیدا کرد که یک مثلث زاویهٔ راست، تند یا بازدارد. اگر بزرگترین ضلع یک مثلث را c نامگذاری کنیم، بر اساس نامساوی مثلث‌ها می‌توان گفت است (اگر چنین نباشد یعنی مثلثی تشکیل نشده‌است) حال با استفاده از وارون قضیه فیثاغورس و نامساوی مثلث‌ها می‌توان گفت: اگر آنگاه مثلث راست‌گوشه‌است. (بیش از ۹۰ درجه) ادسخر دیکسترا برای تشخیص زاویهٔ مثلث‌ها پیشنهاد زیر را داده‌است: که در آن α زاویهٔ مقابل به ضلع a و β زاویهٔ مقابل به ضلع b و γ زاویهٔ مقابل به ضلع c است؛ و sgn عبارت تابع علامت می‌باشد. اعداد فیثاغورسی زیبا اعداد فیثاغورسی به سه عددی می‌گویند (واژن) که مجموع مربع‌های دو تا از آن‌ها برابر با مربع سومی باشد، به بیان دیگر اعداد a و b و c را فیثاغورسی گویند هرگاه a۲ + b۲ = c۲ باشد. بررسی‌ها نشان داده‌است که بناهایی در شمال اروپا وجود داشته که در آن‌ها از ویژگی اعداد فیثاغورسی استفاده می‌شده‌است و آن‌ها پیش از شناخت این قضیه، از اعداد فیثاغورسی استفاده می‌کرده‌اند و آن‌ها را می‌شناختند. برای هر عدد مختلط قدر مطلق آن عدد بدین صورت است: پس سه مقدار x ,r و y با استفاده از قانون فیثاغورس مرتبط هستند: که r به صورت عددی مثبت یا صفر تعریف می‌شود ولی x و y می‌توانند منفی یا مثبت یا صفر باشند. | ## جمع‌بندی | اگر (x1, y1) و (x2, y2) نقاطی در صفحه باشند، فاصلهٔ بین آن‌ها که فاصله اقلیدسی نامیده می‌شود به این صورت به دست می‌آید: به‌طور کلی تر در فضای اقلیدسی n بعدی فاصلهٔ بین دو نقطه ی، و از تعمیم قضیه فیثاغورس به این صورت تعریف می‌شود: اگر به جای فاصله اقلیدسی، مربع فاصلهٔ اقلیدسی به کار برده شود، معادلهٔ زیر به دست می‌آید: تعمیم‌ها قضیهٔ فیثاغورس حالتی از قانون کسینوس‌ها است که در آن زاویهٔ بین دو خط ۹۰ درجه است.