موضوع مقاله: دستگاه مختصات گرانیگاهی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # دستگاه مختصات گرانیگاهی | مقدمه: در هندسه، دستگاه مختصات گرانیگاهی، دستگاهی است که در آن یک نقطه، گرانیگاه مجموعه‌ای از جرم‌ها است؛ جرم‌هایی که در گوشه‌های یک سادک (مانند مثلث، هرم و...) قرار می‌گیرند. | ## بخش 1: دستگاه مختصات گرانیگاهی | تعریف فرض کنید گوشه‌های یک چندوجهی در فضای برداری A باشد؛ اگر برای برخی نقاط در فضای A داشته باشیم: و حداقل یکی از ناصفر باشد، آنگاه می‌توانیم بگوییم که ضرایب مختصات گرانیگاهی نسبت به هستند. وقتی مکان نقاط در دستگاه مختصات منفی نیست، نقطه‌ای مانند در یک پوش محدب از قرار می‌گیرد؛ این همان چند وجهی (در فضای چندبعدی دلخواه) است که آن نقاط را به عنوان گوشه‌های خود (رأس‌هایش) در بر می‌گیرد. مختصات گرانیگاهی یا مساحتی در کاربردهای مهندسی مانند زیردامنه‌های مثلثی، بسیار مورد استفاده قرار می‌گیرند. همچنین استفاده از این مختصات برآورد انتگرال را بسیار ساده‌تر می‌کند؛ در جدول انتگرال گاوسی نیز معمولاً از این مختصات استفاده می‌شود. ابتدا مثلث T را با سه گوشهٔ و و در نظر می‌گیریم هر نقطه‌ای مانند که روی مثلث قرار دارد را می‌توان به صورت مجموع وزنی سه گوشهٔ مثلث نوشت: که و و مختصات مساحتی‌اند (معمولاً با نمایش داده می‌شوند.) البته با این فرض که: پس با توجه به گفته‌های بالا می‌توان نتیجه گرفت که انتگرال تابعی مانند روی T برابر خواهد بود با: توجه داشته باشید که در عبارت بالا، درون یابی خطی وجود دارد. در واقع مختصات مساحتی این اجازه را می‌دهد که از درون‌یابی خطی در تمام نقاط مثلث استفاده کنیم به شرطی که مقدار تابع در تمام گوشه‌های مثلث معلوم باشد. تبدیل به مختصات گرانیگاهی نقطهٔ داده شدهٔ درون یک مثلث را می‌توان با مختصات گرانیگاهی و و نیز نشان داد. | ## بخش 2: دستگاه مختصات گرانیگاهی | برداری مانند را که در دستگاه مختصات دکارتی قرار دارد، می‌توان به وسیلهٔ گوشه‌های یک مثلث (, , ) در مختصات گرانیگاهی به شکل زیر بازنویسی کرد: با جایگذاری در عبارت بالا خواهیم داشت: پس از مرتب‌سازی می‌شود: این نگاشت خطی را می‌توان به صورت کوتاه‌تر بازنویسی کرد: که در آن بردار مختصات گرانیگاهی است و بردار مختصات دکارتی است و یک ماتریس به شکل زیر است: ماتریس یک ماتریس وارون پذیر است، چون و خود مستقل خطی اند (اگر چنین نبود، آنگاه و , و هم راستا بودند و هرگز یک مثلث تشکیل نمی‌دادند.). حال می‌توان عبارت بالا را به شکل زیر بازنویسی کرد: پیدا کردن مختصات گرانیگاهی آنگاه که یک ماتریس 2×2 باشد کار آسانی خواهد بود. در نهایت، عبارت ریاضی لازم برای بازنویسی در مختصات گرانیگاهی به صورت زیر خواهد بود: تشخیص اینکه آیا یک نقطه درون مثلث قرار دارد یا خیر چون مختصات کرانیگاهی یک تبدیل خطی از مختصات کارتزین است، پس باید، مقادیر در بین اضلاع و روی سطح مثلث به صورت خطی تغییر کند. اگر نقطه‌ای درون مثلث قرار داشته باشد تمام مقادیر در مختصات گرانیگاهی در بازهٔ باز (0,1) جای می‌گیرد؛ اگر یک نقطه بر روی لبه‌های مثلث (اضلاع) قرار داشته باشد حداقل یکی از اعداد مختصات صفر خواهد بود در حالی که دیگر اعداد در بازهٔ بستهٔ [0,1] جای دارند. درون‌یابی روی یک شبکهٔ نامنظم مثلثی مختصات گرانیگاهی امکان مناسبی برای درون‌یابی یک تابع روی یک شبکهٔ نامنظم یا شبکه فراهم می‌کند؛ با این فرض که مقدار تابع در تمامی گوشه‌های آن شبکه معلوم باشد. برای درون‌یابی تابعی مانند در نقطه‌ای مانند ، در مرحلهٔ اول پیدا می‌کنیم که آن نقطه در کدام یک از جزءهای مثلثی شبکه قرار دارد آنگاه مقدار تابع را در سه گوش آن مثلث پیدا می‌کنیم و بعد نقطهٔ را به مختصات گرانیگاهی آن مثلث منتقل می‌کنیم. اگر آنگاه، نقطه درون مثلث یا بر روی لبهٔ آن قرار دارد (در بخش پیشین توضیح داده شد). | ## بخش 3: دستگاه مختصات گرانیگاهی | مختصات گرانیگاهی روی چهاروجهی مختصات گرانیگاهی را می‌توان به آسانی در سه بعد گسترش داد. سادک سه بعدی، یک چهاروجهی یا یک چندوجهی است که چهار رویهٔ مثلثی و چهار گوشه دارد. در اینجا باید اولین گوشهٔ به مختصات گرانیگاهی نگاشته شود، به همین ترتیب برای و ... در این حالت نیز، باز با یک تبدیل خطی روبرو هستیم، باید روندی که در بالا برای مثلث توضیح داده شد را گسترش داد و آن را با توجه به چهاروجهی برای انتقال نقطه‌ای مانند بازنویسی کرد. که در آن ماتریسی 3×3 است: مسئلهٔ پیدا کردن مختصات گرانیگاهی به یک ماتریس 3×3 کاهش یافت. از مختصات گرانیگاهی برای دانستن اینکه آیا یک نقطه درون یک حجم چهاروجهی قرار می‌گیرد یا خیر یا درون‌یابی یک تابع در فضای یک شبکه با خانه‌های چهاروجهی کاربرد دارد. | ## جمع‌بندی | شبکه‌های با خانه‌های چهاروجهی معمولاً در روش اجزاء محدود کاربرد دارد؛ چون استفاده از مختصات گرانیگاهی، درون‌یابی سه بعدی را بسیار آسان می‌کند.