موضوع مقاله: نظریه گروه‌ها | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # نظریه گروه‌ها | مقدمه: در ریاضیات و جبر مجرد، نظریه گروه‌ها به مطالعه ساختارهای جبری به نام گروه‌ها می‌پردازد. | ## بخش 1: نظریه گروه‌ها | مفهوم گروه در جبر مجرد نقش محوری دارد: سایر ساختارها شناخته شده همچون حلقه‌ها، میدان‌ها، و فضاهای برداری، همگی را می‌توان به صورت گروه‌هایی دید که به عملیات و اصول موضوعه‌های اضافه تری مجهز شده‌اند. گروه‌ها، در موارد متعددی از ریاضیات ظهور پیدا کرده‌اند و روش‌های نظریه گروه‌ها بخش‌های متعددی از جبر را تحت تأثیر خود قرار داده‌اند. گروه‌های جبری خطی و گروه‌های لی دو شاخه از نظریه گروه‌ها اند که پیشرفت‌هایی را تجربه کرده و تبدیل به شاخه‌های مستقلی برای خود شده‌اند. سامانه‌های فیزیکی متعددی همچون بلورها و اتم‌های هیدروژن را می‌توان به صورت گروه‌های تقارنی مدل کرد. ازین رو، نظریه گروه‌ها و شاخه نزدیک به آن یعنی نظریه نمایش، دارای کاربردهای مهم و متعددی در فیزیک، شیمی و علم مواد می‌باشند. یکی از مهم‌ترین دستاوردهای ریاضیاتی سده ۲۰ میلادی، تلاش مشارکت آمیزی بود که منجر به تولید محتوایی در حد ۱۰٬۰۰۰ از صفحات ژورنال‌ها شد که عمدتاً بین سال‌های ۱۹۶۰ و ۱۹۸۰ میلادی منتشر شده و با طبقه‌بندی گروه‌های ساده متناهی به اوج خود رسید. مرور تاریخی نظریه گروه‌ها به‌وسیله چهارشاخه عمده از ریاضیات جبر کلاسیک، نظریه اعداد، هندسه و آنالیز رشد و گسترش یافت. جبر کلاسیک در سال ۱۷۷۰ با کارهای ژوزف لویی لاگرانژ بر روی معادلات چندجمله‌ای پایه‌گذاری شد. نظریه اعداد به‌وسیله کارل فردریش گاوس در سال ۱۸۰۱ مورد مطالعه و گسترش هرچه بیشتر قرار گرفت و سی. کلاین در زمینه هندسه و ارتباط تبدیلات هندسی و گروه‌ها کارهای بسیار انجام داده‌است به‌طوری‌که او را پدر این بخش از نظریه گروه‌ها می‌دانند و بنیانگذار شاخه آنالیز نیز هنری پوانکاره، اس. خصوصاً گالوا به دلیل قضیه اساسی خود که رابطی بین گروه‌ها و حلقه‌ها است و امروزه آن را قضیه گالوا می‌خوانند بسیار مورد توجه است. اگرچه مفهوم گروه تبدیل‌ها در مطالعه هندسه به کندی صورت گرفته‌است، اما کار اصلی در گسترش مفهوم گروه از مطالعه معادلات چندجمله‌ای حاصل شده‌است. اولین کاربرد گروه‌ها در توصیف تأثیر جایگشتهای ریشه‌های یک معادله چندجمله‌ای بوده‌است که به‌وسیله لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفته‌است که بر مبنای همین او توانست نظریه جانشانی را سازمان دهد. او کشف کرد که ریشه‌های همه مواردی را که او امتحان کرده‌است توابعی گویا از ریشه‌های معادلات متناظرشان هستند. لئونارد اویلر(۱۷۰۷–۱۷۸۳) و ژوزف لویی لاگرانژ(۱۷۳۶–۱۸۱۳) هر دو، با ادامه کار با چندجمله‌ای‌های درجه پنجم و بالاتر سعی کردند معادله درجه پنجم کلی را حل کنند. لاگرانژ دریافته بود که بین درجه n معادله چندجمله‌ای و گروه جایگشتی Sn باید رابطه‌ای وجود داشته باشد. پس از او رافینی در تلاش برای اثبات عدم وجود راه حل مستقیم برای حل معادلات درجه پنجم و بالاتر گامهای دیگری را در زمینه نظریه گروه‌ها برداشت. اما این نیلس هنریک آبل(۱۸۰۲–۱۸۲۹) بود که سرانجام ثابت کرد پیدا کردن فرمولی برای حل معادله درجه پنجم کلی، تنها با جمع و تفریق و ضرب و تقسیم و ریشه‌گیری ممکن نیست. در طی همین دوران، اواریست گالوا (۱۸۱۱–۱۸۳۲) ریاضیدان معروف فرانسوی وجود شرط لازم و کافی برای حل چندجمله‌ای درجه پنجم یا بالاتر با ضرایب گویا، به وسیله رادیکال‌ها را تحقیق کرد. اما کمک‌های او تا قبل از انتشار مجموعه مقالاتش در سال ۱۸۴۶ مورد توجه قرار نگرفت. به دنبال دستاوردهای گالوا، نظریه گروه‌ها جای خود را در بسیاری از زمینه‌های ریاضی باز کرد. مثلاً، ریاضی‌دان آلمانی فلیکس کلاین (۱۸۴۹–۱۹۲۹) در آنچه که به برنامه ارلانگر معروف است، سعی کرد که تمام هندسه‌های موجود را بر حسب گروه تبدیل‌هایی که تحت آن‌ها ویژگی‌های هندسه ناوردا بودند تدوین کند. بعد از او آرتور کیلی و آگوستین لویی کوشی به اهمیت کارهای گالوا پی بردند و به تحقیقات بیشتر در این زمینه پرداختند. | ## بخش 2: نظریه گروه‌ها | از جمله ریاضیدانانی که در قرن نوزدهم در زمینه نظریه گروه‌ها کار می‌کردند می‌توان برتراند، چارلز هرمیت، فروبنیوس و لئوپارد کرونکر و امیل ماتیو را نام برد. در سال ۱۸۵۴ کیلی اولین اصول موضوع را برای گروه‌ها ارائه داد اما تعریف وی به زودی فاقد ارزش شد. وبر در سال ۱۸۸۲، تعریفی برای گروه‌های متناهی و در سال ۱۸۸۳ تعریفی برای گروه‌های نامتناهی انجام داد. مطالعه گروه‌های لی و زیرگروه‌های گسسته‌شان و گروه‌های تبدیلی در سال ۱۸۸۴ به‌طور منظم توسط سوفوس لی شروع شد. در طی قرن بیستم پژوهش‌های بسیار زیادی برای تحلیل ساختار گروه‌های متناهی صورت گرفت. در دهه‌های اخیر، ریاضیدانان در جستجوی همه گروه‌های ساده متناهی و توضیح نقش آن‌ها در ساختار تمام گروه‌های متناهی بوده‌اند. از جمله پشگامان این بسط، والترفیت، جان تامسن، دانیل گورنشتین، می‌شاییل آشباخر و رابرت گریس هستند. امروزه نظریه گروه‌ها به بنیادی‌ترین نظریه‌ها در جبر مجرد تبدیل شده‌است و منبع تحقیقات فراوانی برای ریاضیدانان است. گروه‌ها ابتدا یادآوری می‌کنیم که یک ساختمان جبری عبارت است از یک مجموعه غیر تهی به همراه یک یا چند عمل دوتایی و رابطه که روی آن مجموعه تعریف شده‌است. گروه یک ساختار جبری بر روی یک گروه ناتهی است که نسبت به یک عمل دوتایی بسته باشد و نسبت به آن عمل دارای خاصیت شرکت‌پذیری باشد. به موجب این تعریف: اگر G مجموعه ناتهی و ο عملی دوتایی روی G باشد، آن‌گاه (G,ο) را یک گروه می‌نامیم اگر شرایط زیر برقرار باشد: برای هر a ο b ∈ G، a,b ∈ G. گروه دوری گروه G را دوری می‌گویند اگر یک عنصر x ∈ G وجود داشته باشد به قسمی که برای هر a ∈ G، برای مقداری از n متعلق به N، داشته باشیم: a = xn مفهوم گروه دوری به مفهوم وابسته‌ای منجر می‌شود. در این‌جا تعداد اعضای S را مرتبه a می‌نامند و با σ(a)0 نمایش می‌دهند که در واقع |<a>| می‌باشد. در این‌جا قضایای تعیین‌کننده روابط بین گروه و زیرگروه‌های آن‌ها را بیان می‌کنیم. اگر A مجموعه متناهی {۱و۲و… وn} باشد، آنگاه گروه تمام جایگشتهای A، گروه متقارن روی n حرف است و با Sn نمایش داده می‌شود. گروه‌های جایگشتی گروه نامتناهی گروه نامتناهی گروهی است که به مرتبه آن (به مرتبه گروه در همین مقاله مراجعه کنید) نتوان عددی نسبت داد. (تعداد اعضا محدود نباشند) گروه متناهی گروهی است که به مرتبه آن بتوان عددی نسبت داد و تعداد اعضا محدود باشد. گروه آبلی گروه آبلی یا تعویض‌پذیر، گروهی است که علاوه بر خصوصیت‌های بالا، تعویض‌پذیر نیز باشد. برای هر a,b ∈ G، داریم a ο b = b ο a گروه آبلی متناهی گروه‌های آبلی متناهی، گروهی است که علاوه بر مرتبه متناهی دارای خاصیت جابجایی در عمل بین اعضای خود باشد. گروه خارج قسمتی گروه خارج قسمتی گروه متقارن اگر A مجموعه متناهی {۱و۲و… وn} باشد، آنگاه مجموعهٔ تمام جایگشتهای A همراه با عمل ترکیب توابع (هر جایگشت یک تابع دوسویی از A به A است)، گروه متقارن روی n حرف است و با Sn نمایش داده می‌شود. به عنوان مثال ۳ جایگشت از s6 را ارائه می‌دهیم: گروه‌های متقارن گروه دووجهی گیریم عددی صحیح باشد و . تقارنهای دورانی و محوری ضلعی منتظم را در نظر بگیریدچند وجهیها n تقارن دورانی وجود دارد: این تقارنها عبارت اند از که دوران (در جهت حرکت عقربه‌های ساعت) حول مرکز به اندازه زاویه است. همچنین تقارن محوری وجود دارد: این تقارنها عبارت اند از تقارن نسبت به هر یک از محوری که از و یک راس یا نقطه وسط یک ضلع چند ضلعی می‌گذرند. | ## بخش 3: نظریه گروه‌ها | پس در مجموع تقارن داریم، این تقارن دورانی و محوری تحت عمل ترکیب، به عنوان عمل ضرب ،(یعنی به ازای دو تقارن و حاصلضرب به معنای این است که «ابتدا عمل می‌کند و سپس »)تشکیل گروه می‌دهند. اصطلاحات موجود در نظریه گروه‌ها عمل دوتایی - گروه آبلی - زیرگروه - مرکز گروه - هم مجموعه‌ها - مرکز ساز گروه - نرمال ساز گروه - زیرگروه نرمال - مرتبه گروه - مرتبه عضو - گروه دوری - گروه خارج قسمت - گروه متقارن - همومورفیسم - قضایای ایزومورفیسم - حاصل ضرب مستقیم - تزویج - معادله کلاسی - قضیه کیلی - قضیه لاگرانژ - قضیه کوشی - قضایای سیلو تعاریف و ویژگی‌های مقدماتی در صورتی که برای عمل گروه نشانه‌ای در نظر نگیریم به صورت پیش‌فرض ضربی خواهد بود. (در مورد گروه با عمل با خواص جمعی خواص متناظر با این موارد مشاهده می‌شود) مرتبه گروه وقتی G گروه متناهی است، تعداد عنصرهای آن را مرتبه G می‌نامند و با |G| نمایش می‌دهند. اگر H زیرمجموعه‌ای ناتهی از گروه G باشد، H زیرگروه G است اگر و فقط اگر: H تحت عمل G بسته باشد یعنی برای هر a,b∈H داشته باشیم ab∈H H تحت معکوس هر عضو بسته باشد، یعنی اگر a∈H آنگاه a−۱∈H شرط تناهی این وضعیت را بهتر می‌کند: اگر G گروه باشد و π ≠ H ⊆ G و H متناهی باشد، آن گاه H زیرگروه G است اگر و تنها اگر H تحت عمل دودوی G بسته باشد. اگر f:(G,ο) &→ (H,*)۰ یک هم‌ریختی باشد، f را یک یک‌ریختی می‌نامند اگر و تنها اگر f یک به یک و پوشا باشد. هم مجموعه‌ها هم مجموعه‌ها در نظریه گروه‌ها، از مفاهیم اساسی برای تعریف گروه خارج قسمت هستد و در سراسر نظریه گروه‌ها به آن‌ها برخورد می‌کنیم. قضایای پیشرفته در نظریه گروه‌ها قضیه لاگرانژ قضیه لاگرانژ بیان می‌کند که اگر G یک گروه متناهی و H زیرگروه G باشد، مرتبه H مرتبه G را عاد می‌کند. فرع‌های زیر از قضیه لاگرانژ قابل استنباط هستند: اگر G گروهی متناهی باشد، و a ∈ G، آنگاه |o(a)| |G. از طرفی m مرتبه عضو (کوچک‌ترین عدد صحیح مثبت که اگر x به توان آن برسد حاصل عضو خنثی گروه G شود) x است پس xm=e بنابراین: این نتیجه علاوه بر کاربردهایش در مورد گروه‌ها، برای ارائه برهانی جبری برای قضیه کوچک فرما و قضیه اویلر استفاده می‌شود. قضیه پوانکاره قضیه پوانکاره بیان می‌کند که اگر G یک گروه باشد و K,H زیرگروه‌های G با اندیس متناهی در G باشند، قضیه کیلی قضیه کیلی بیان می‌کند که هر گروه G با زیرگروهی از گروه متقارن روی G ایزومورف است. قضایای سیلو قضایای سیلو: قضیه برنساید فرض کنیم G یک گروه متناهی باشد و X یک G- مجموعه متناهی. اگر r تعداد مدار‌های X تحت G باشد، آنگاه: لم برنساید لم برنساید روشی را بیان می‌کند برای شمارش افرازهای یک مجموعه به وسیله یک گروه از تبدیلات برای اطلاعات بیشتر می‌توانید به صفحه مربوطه مراجعه کنید. قضایای ایزومورفیسم قضایای ایزومورفیسم بیان می‌کند که لم جوردن-هولدر لم جوردن-هولدراز قرار زیر است نمونه‌هایی از گروه‌های مهم مثالهای زیادی از گروه‌ها وجود دارد. به عنوان مثال مجموعه اعداد صحیح به همراه عمل جمع یک گروه‌است که آبلی نیز می‌باشد. در این قسمت چند نمونه از گروه‌ها را که معمولاً در بررسی‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرند را معرفی می‌کنیم. (گروه کلاین مربوط به تقارنهای مستطیل می‌باشد) گروه اعداد صحیح به هنگ m می‌دانید اگر m عددی طبیعی باشد، رابطه همنهشتی به هنگ m یا یک رابطه هم‌ارزی روی مجموعه اعداد صحیح تعریف می‌کند که مجموعه خارج قسمت آن (مجموعه همه کلاس‌های هم‌ارزی رابطه هم‌ارزی) را با نشان می‌دهیم. اگر برای هر عدد صحیح a کلاس هم‌ارزی a را با نشان دهیم، در این صورت: حال عمل موسوم به جمع نیمی یا جمع با پیمانه m را به صورت تعریف می‌کنیم. در این صورت خواننده آشنا با نظریه همنهشتی به سادگی می‌تواند بررسی کند که به همراه عمل یک گروه‌است. به همین صورت گروهی دیگری را به همراه عمل ضرب به پیمانه m با کمی تغییر می‌تواند ساخت. کاربرد گروه‌ها گروه‌ها در زمینه علوم گوناگون مانند بلورشناسی، کوانتم و فیزیک و رمزنگاری و… دارای کاربردهای فراوان هستند. به عنوان مثال در شیمی و بلورشناسی گروه‌ها برای طبقه‌بندی ساختار بلورها و چندوجهی‌های منظم، تقارن‌های ملکولی استفاده می‌شوند. همچنین از مفاهیم موجود در این نظریه همانند قضایای سیلو، زیرگروه‌های نرمالف گروه‌های آبلی و… در شاخه‌های گوناگون ریاضیات چون هندسه جبری، توپولوژی جبری، مسایل ترسیم پذیری، نظریه جبری اعداد و.. | ## جمع‌بندی | نظریه گروه در شیمی با توجه به تقارن موجود در ترکیبات شیمیایی، ترکیبات به گروه‌های مختلف تقارنی تقسیم می‌شوند.