موضوع مقاله: توزیع احتمال | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # توزیع احتمال | مقدمه: در نظریه احتمال و آمار تابع توزیع احتمال بیانگر احتمال هر یک از مقادیر متغیر تصادفی (در مورد متغیر گسسته) یا احتمال قرار گرفتن متغیر در یک بازه مشخص (در مورد متغیر تصادفی پیوسته) میباشد. | ## بخش 1: توزیع احتمال | و به صورت دقیق به شکل زیر تعریف می‌شود: بر اساس این که این متغیر گسسته یا پیوسته باشد توزیع گسسته یا پیوسته نام می‌گیرد. خاصیت‌های تابع توزیع احتمال همواره داریم: و تابع توزیع تجمعی غیر نزولی ست، یعنی: تابع توزیع همواره از راست پیوسته‌است: اگر تابع توزیع تجمعی پیوسته باشد مشتق ان برابر تابع چگالی متغیر مورد بررسی است و اگر تابع توزیع گسسته باشد مشتق ان برابر تابع احتمال متغیر مورد بررسی است. پس از او لاپلاس، احتمال را به صورت نسبت پیشامدهای مطلوب به کل پیشامدها تعریف کرد. برای مثال احتمال آمدن عدد زوج، هنگام انداختن یک تاس سالم، برابر است با ۳ (یعنی تعداد حالت‌هایی که ممکن است عدد زوج بیاید یا به تعبیر دیگر ۲، ۴ یا ۶ ظاهر شود) بخش بر ۶ (یعنی کل حالت‌هایی که ممکن است با انداختن تاس ظاهر شود یا به تعبیر دیگر آمدن ۱، ۲، ۳، ۴، ۵ یا ۶) که برابر می‌شود با یا . نظریهٔ احتمال چند تعریف برای ادامهٔ بحث، لازم است که ابتدا چند واژه را تعریف کنیم: آزمایش تصادفی یک آزمایش که نتیجهٔ آن به هیچ‌وجه قابل پیش‌بینی نباشد یا اصطلاحاً تصادفی باشد؛ مثل انداختن تاس یا سکه. فضای نمونهSample Space مجموعهٔ کل نتیجه‌هایی که ممکن است از یک آزمایش تصادفی حاصل شود؛ مثلاً در آزمایش انداختن تاس فضای نمونه به صورت است. فضای نمونهٔ هم‌شانسEqually Likely در صورتی که همهٔ اعضای فضای نمونه شانس برابری برای ظاهر شدن داشته باشند یا به عبارت دیگر، شانس تمام اعضا یکسان باشد، این فضای نمونه را هم‌شانس می‌خوانیم. احتمال در فضای متناهی اگر فضای نمونهٔ ما هم‌شانس و دارای تعداد اعضای متناهی باشد، برای محاسبهٔ احتمال وقوع یک پیشامد، فرمول لاپلاس را به کار می‌گیریم. یا به عبارت دیگر، احتمال وقوع یک پیشامد برابر است با نسبت اندازهٔ پیشامد به اندازهٔ فضای نمونه. برای مثال اگر آزمایش انداختن تاس سالم را در نظر بگیریم که دارای فضای نمونهٔ هم‌شانس با اندازهٔ متناهی است، با توجه به آنچه پیش‌تر گفته شد، احتمال آمدن عدد ۶، برابر است با اندازه پیشامد (یعنی اندازهٔ که ۱ است) بخش بر اندازهٔ فضای نمونه (یعنی اندازهٔ که ۶ است). احتمال پیشامدهای مرکب گاهی می‌خواهیم با داشتن احتمال چند پیشامد، بتوانیم احتمال مجموعهٔ حاصل از اعمال جبر مجموعه‌ها بر آن‌ها را نیز محاسبه کنیم. | ## بخش 2: توزیع احتمال | دو مورد مهم‌تر به شرح زیر است: احتمال مکمل یک پیشامد: مکمل یک پیشامد زمانی اتفاق می‌افتد که خود آن پیشامد اتفاق نیفتد. از آن‌جا که پیشامد زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه است، مکمل آن، زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه است که اعضای آن در پیشامد مورد نظر ما قرار ندارند. به این ترتیب با توجه به فرمول لاپلاس، رابطهٔ زیر برای محاسبهٔ احتمال مکمل یک پیشامد، با داشتن احتمال خود آن پیشامد به دست می‌آید: با توجه به آنچه گفته شد اثبات این رابطه بسیار ساده است. تخصیص احتمال تا این‌جا بیش‌تر دربارهٔ آزمایش‌ها و فضاهای نمونه‌ای بحث کردیم که هم‌شانس هستند. با این وجود، بسیاری از آزمایش‌ها در فضای‌های هم‌شانس اتفاق نمی‌افتند و در نتیجه برای محاسبهٔ احتمال آن‌ها نمی‌توان به سادگی فرمول لاپلاس را به کار برد. روشن است که با توجه به آنچه در این‌جا تعریف کردیم، احتمال وقوع یک پیشامد برابر است با مجموع احتمال اعضایی از فضای نمونه که در آن پیشامد حضور دارند. می‌خواهیم بدانیم اگر فرزند اول پسر باشد، با چه احتمالی فرزند دوم دختر خواهد بود؟ به این ترتیب می‌توانیم دو پیشامد E و F را مستقل بدانیم، در صورتی که: توزیع احتمال دوجمله‌ای یک آزمایش تصادفی بسیار مشهور، موسوم به آزمایش برنولی،Bernoulli_Trial به این شکل تعریف می‌شود: آزمایشی تصادفی که در هر بار انجام آن تنها یا پیروزی اتفاق می‌افتد یا شکست. علت این نام‌گذاری، شباهت فوق‌العادهٔ رابطهٔ به‌دست‌آمده با رابطهٔ بسط دوجمله‌ای نیوتن است. تابع توزیع احتمال در این حالت به شکل زیر است (p احتمال پیروزی و k تعداد دفعات لازم برای تکرار آزمایش است تا پیروزی حاصل شود): توجه کنید که تعریف این توزیع را می‌توانستیم به این ترتیب انجام دهیم که آن‌قدر آزمایش تکرار شود تا نتیجهٔ شکست به دست آید. اگر تعریف به این شکل باشد، کافی است جای p و 1-p را در رابطهٔ به‌دست‌آمده عوض کنیم. | ## بخش 3: توزیع احتمال | متغیر تصادفی، امیدریاضی و واریانس در این بخش به معرفی سه تابع بسیار مهم مرتبط با احتمال می‌پردازیم. به این ترتیب فضای نمونهٔ حالت‌های ممکن برای این جنسیت دو فرزند به صورت پ، د) و (د، پ) و (د، د) و (پ، پ خواهد بود. به این ترتیب خواهیم داشت: 0=(پ، پ)X 1=(پ، د)X 1=(د، پ)X 2=(د، د)X همان‌طور که برای یک آزمایش تصادفی، توزیع احتمال تعریف کردیم، می‌توانیم برای متغیر تصادفی نیز تابع توزیع احتمال تعریف کنیم که با (p(X=r نموده می‌شود. یعنی این‌که اگر یک آزمایش را بی‌نهایت‌بار تکرار کنیم و از مقدارهای متغیر تصادفی مرتبط با نتایج میانگین بگیریم، چه عددی به دست خواهد آمد. تعریف دقیق ریاضی این تابع به صورت زیر است: برای نمونه، اگر همان مثال گفته شده در بخش قبل را در نظر بگیریم، امیدریاضی تعداد دختران یک خانواده با دو فرزند به صورت زیر خواهد بود: یکی از مهم‌ترین ویژگی‌های تابع امیدریاضی، خطی بودن آن است؛ یعنی اگر n متغیر تصادفی به صورت داشته باشیم، تساوی‌های زیر برقرار هستند: برای ادامه و تکمیل بحث، لازم است تعریف زیر را انجام دهیم: دو متغیر تصادفی X و Y را مستقل می‌خوانیم در صورتی که برای هر داشته باشیم احتمال X=a و Y=b برابر است با حاصل‌ضرب احتمال X=a در احتمال Y=b. با توجه به این تعریف، می‌توان ثابت کرد که حکم مهم زیر برقرار است: اگر X و Y دو متغیر تصادفی مستقل باشند، آن‌گاه خواهیم داشت (E(XY)=E(X)E(Y. به کمک محاسبات می‌توان نشان داد که امیدریاضی توزیع احتمال دوجمله‌ای برابر و امیدریاضی توزیع احتمال هندسی برابر می‌باشد. واریانس واریانسVariance در محاسبات آماری، یک معیار برای سنجش میزان پراکندگی داده‌ها نسبت به میانگین داده‌هاست. ما در این مباحث، امیدریاضی را مشابه میانگین در نظر گرفتیم و به این ترتیب واریانس را چنین تعریف می‌کنیم: اگر X متغیر تصادفی روی فضای نمونهٔ S باشد، واریانس X برابر خواهد بود با: حکم بسیار مهمی که در محاسبات بسیار راه‌گشاست و از تعریف بالا نتیجه می‌شود به قرار زیر است: اگر متغیر تصادفی X روی فضای نمونهٔ S تعریف شده باشد، واریانس از رابطهٔ زیر نیز به دست می‌آید:در این‌جا مقصود از این است که مقدارهای متغیر تصادفی را به توان ۲ برسانیم. | ## جمع‌بندی | مثلاً برای محاسبهٔ واریانس متغیر تصادفی تعداد فرزندان دختر در یک خانواده با دو فرزند (که در بخش‌های قبل توزیع احتمال و امیدریاضی آن به دست آمد)، باید به این ترتیب عمل کنیم: واریانس مجموع چند متغیر تصادفی مستقل' را می‌توان برحسب واریانس تک‌تک این متغیرها حساب کرد: تأکید می‌کنیم که این حکم فقط در صورتی قابل استفاده است که متغیرها مستقل'' باشند.