موضوع مقاله: هم‌گشت | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # هم‌گشت | مقدمه: انتگرال حاصلضرب آن‌ها برابر مساحت ناحیه زرد است.|جایگزین= هَم‌گَشتدیکشنری تخصصی ایرانیان یا کانوُلوشِن در ریاضیات یا به‌طور دقیق‌تر آنالیز تابعی، یک عملگر ریاضی است که بر روی دو تابع مانند f و g عمل می‌کند. | ## بخش 1: هم‌گشت | کاربردهای این عملگر شامل آمار، بینایی رایانه‌ای، پردازش تصویر، پردازش سیگنال، مهندسی برق و معادلات دیفرانسیل می‌شود. چنین تعمیم‌هایی از هم‌گشت دارای کاربردهایی در زمینه تحلیل عددی، جبر خطی عددی، و پردازش سیگنال‌های گسسته دارند. این تعریف به صورت انتگرال حاصلضرب دو تابع که یکی از آن‌ها نسبت به محور عمودی مختصات برعکس شده و روی آن یکی می‌لغزد تعریف می‌شود. به‌طور کلی، اگر f و g بر روی Rd توابع با مقدار مختلط باشند، آنگاه هم‌گشت را می‌توان به صورت انتگرال زیر تعریف کرد: شرح تصویری هم‌گشت۱. به عبارت دیگر، میانگین وزنی تابع متحرک را زمانی که تابع وزنی آن تعریف شده باشد را بدست آورید. اگر (f(t تابع ضربه باشد، نتیجه این عمل همان (g(t خواهد بود، که پاسخ ضربه نامیده می‌شود.راست|400px هم‌گشت دوره‌ای وقتی یک تابع gT متناوب باشد (که T دوره تناوب آن است)، آنگاه برای تابع ƒ (به‌طوری‌که ƒ∗gT وجود داشته باشد)، هم‌گشت نیز متناوب و یکتا خواهد بود: که to یک مقدار انتخاب است. اگر gT بسط متناوب یک تابع دیگر (مثلاً g) باشد، آنگاه رابطه ƒ∗gT را هم‌گشتِ دوره‌ای ƒ و g می‌نامند. هم‌گشت گسسته هم‌گشت برای دو تابع گسسته ƒ، g که بر روی مجموعه اعداد صحیح Z تعریف شده‌است، انتگرال گسسته ƒ و g با رابطه زیر بدست می‌آید: (جابجا پذیری) زمانی که دو چندجمله‌ای را ضرب می‌کنیم، ضرایب حاصلضرب توسط هم‌گشت توالی ضرایب اصلی بدست می‌آید، که برای جلوگیری از ایجاد جمله‌های تعریف نشده با عدد صفر بسط داده می‌شوند؛ این عمل تحت عنوان حاصلضرب کوشی ضرایب دو چند جمله‌ای شناخته می‌شود. هم‌گشت گسستهٔ دوره‌ای وقتی تابع gN متناوب است (با تناوب N)، آنگاه برای تابعی مانند ƒ، به‌طوری‌که ƒ∗gN وجود داشته باشد، هم‌گشت متناوب و یکتا خواهد بود: حاصل این مجموع بر روی k را بسط دوره‌ای تابع ƒ می‌نامند. اگر gN بسط دوره‌ای یک تابع دیگر باشد، g، آنگاه عبارت ƒ∗gN را هم‌گشت دوره‌ای ƒ و g می‌نامند. الگوریتم‌های هم‌گشت سریع در برخی حالات، هم‌گشت گسسته می‌تواند به هم‌گشت دوره‌ای تبدیل شود تا بتوان از خواص هم‌گشت برای اجرای تبدیل سریع توسط کامپیوتر بهره برد. برای مثال، هم‌گشت توالی رقمیDigital یک عمل بسیار مهم ضرب اعداد چند رقمی است، که در نتیجه می‌تواند به صورت بهینه‌ای با تکنیک‌های تبدیل پیاده‌سازی شود(; ). به ازای هر مقدار خروجی به N عمل محاسباتی نیاز دارد و در نتیجه N2 عمل برای N خروجی؛ که این مقدار محاسبات با استفاده از هر کدام از الگوریتم‌های سریع به‌طور چشمگیری می‌تواند کاهش یابد. پردازش سیگنال دیجیتال و دیگر کاربردهای مهندسی معمولاً از الگوریتم‌های هم‌گشت سریع برای کاهش هزینه محاسبات هم‌گشت با پیچیدگی از درجه O(N log N) استفاده می‌کنند. مرسوم‌ترین الگوریتم هم‌گشت سریع، از الگوریتم‌های تبدیل فوریه سریع (FFT) قضیه هم‌گشت دوره‌ای استفاده می‌کنند. در حالت خاص، هم‌گشت دوره‌ای دو توالی با طول محدود را می‌توان با اعمال FFT هر کدام، ضرب نقطه به نقطه، و سپس اعمال FFT معکوس بدست آورد. در نتیجه انواع هم‌گشت تعریف شده در بالا را به صورت بهینه می‌توان با استفاده از تکنیک‌هایی همراه با افزودن و/یا کاهش صفر خروجی پیاده‌سازی کرد. الگوریتم‌های هم‌گشت سریع دیگر، مثل الگوریتم شون هاگه- اشتراسِن، نیز از تبدیل فوریه سریع در حلقه دیگر استفاده می‌کنند. دامنه تعریف هم‌گشت دو تابع با مقدار مختلط بر روی Rd خوش تعریف است، تنها اگر ƒ و g به اندازه کافی در بینهایت افت سریع خواهد داشت که انتگرال آن وجود داشته باشد. | ## بخش 2: هم‌گشت | شرایط وجود هم‌گشت تا حدودی ما را به اشتباه می‌اندازد، زیرا یک انفجار (blow up) در تابع g در بینهایت به راحتی با افت سریع تابع ƒ در بینهایت جبران می‌شود. توابع کاملاً پشتیبان شده اگر ƒ و g توابع ریاضی کاملاً پشتیبان شده باشند، آنگاه هم‌گشت آن‌ها وجود دارد، و همچنین تابع بدست آمده کاملاً پشتیبانی شده و پیوسته می‌باشد . اصولاً اگر یکی از توابع (مثلاً ƒ) کاملاً پشتیبانی شده و دیگری انتگرال‌پذیر بومی باشد، آنگاه ƒ∗g خوش تعریف و پیوسته خواهد بود. توابع انتگرال‌پذیر هم‌گشت ƒ و g وجود دارد اگر ƒ و g هر دو توابع انتگرال‌پذیر لِبِسگ (در L1(Rd باشند؛ در این حالت ƒ∗g نیز انتگرال‌پذیر است . به‌طور کلی‌تر، نامساوی یونگ بیان می‌کند که هم‌گشت یک نگاشت دوطرفه پیوسته بین فضاهای Lp مناسب است. به‌طور خاص، اگر ۱ ≤ p,q،r ≤ ∞ رابطه زیر را ارضا کنند آنگاه در نتیجه، هم‌گشت نگاشت دوطرفه پیوسته از Lp×Lq به Lr است. توابع با نزول سریع علاوه بر توابع با پشتیبانی کامل و توابع انتگرال‌پذیر، توابعی که دارای سرعت نزول سریع در بینهایت هستند نیز می‌توانند تحت هم‌گشت قرار بگیرند. یکی از ویژگی‌های مهم هم‌گشت آن است که اگر ƒ و g هر دو سریعاً نزولی باشند، آنگاه ƒ∗g نیز به سرعت نزول می‌کند. با در نظر گرفتن این واقعیت که هم‌گشت معمولاً با دیفرانسیل‌گیری همراه است (به خصوصیات مراجعه کنید)، باعث می‌شود که کلاس توابع شوارتز تحت هم‌گشت بسته باشند. توزیع‌ها تحت برخی شرایط، می‌توان هم‌گشت یک تابع با یک توزیع، یا دو توزیع را تعریف کرد. اگر ƒ یک تابع کاملاً پشتیبانی شده باشد و g یک توزیع باشد، آنگاه ƒ∗g یک تابع نرم است که توسط فرمول توزیعی زیر تعریف می‌شود در حالت کلی‌تر، می‌توان تعریف هم‌گشت را بسط داد که به‌طور یکتا، قانون زیر حتی در حالتی که ƒ یک توزیع باشد، و g یک توزیع کاملاً پشتیبانی شده در نظر بگیریم، بر قرار باشد : اندازه‌ها هم‌گشت هر دو اندازه بورل μ و ν از تغییر محدود، اندازه λ است که با رابطه زیر تعریف می‌شود: این رابطه زمانی که μ و ν را توزیع در نظر بگیریم با هم‌گشت‌های تعریف شده در بالا مطابقت دارد؛ همچنین برای هم‌گشت توابع L1 وقتی که μ و ν نسبت به اندازه لِبِسگ مطلقاً پیوسته باشند. همچنین، هم‌گشت اندازه‌ها نسخه دیگری از نامعادله یونگ که در زیر آمده‌است را ارضا می‌کنند که نُرم، تعریف کلی اندازه است. از آنجا که فضای اندازه تغییر محدود یک فضای باناخ است، با هم‌گشت اندازه می‌توان مشابه روش‌های استاندارد تحلیل تابعی که قابل اعمال به توزیع‌ها نیست برخورد کرد. این حاصلضرب خواص ریاضی زیر را ارضا می‌کند، که به معنی آن است که فضای توابع انتگرال‌پذیر با حاصل هم‌گشت یک جبر جابجا پذیر است بدون عنصر خنثی . دیگر فضاهای برداری توابع، مثل فضای توابع پیوسته کاملاً پشتیبانی شده، تحت هم‌گشت بسته هستند، و در نتیجه جزء جبرهای جابه‌جاپذیر هستند. جابجایی انجمنی توزیع‌پذیری ؛ خاصیت انجمنی با یک عدد اسکالر به ازای هر عدد حقیقی (مختلط) خنثی در ضرب هیچ عمل جبری توابع، یک عامل خنثی در ضرب را برای هم‌گشت ایجاد نمی‌کنند. کمبود عامل خنثی در ضرب عملاً مشکل بزرگی به حساب نمی‌آید، زیرا زیرا اکثر توابعی که هم‌گشت روی آن‌ها انجام می‌شود را می‌توان با یک توزیع دیراک مورد هم‌گشت قرار داد، یا حداقل (مثلاً برای حالت L1) می‌توان تقریبی از عامل خنثی را برای آن در نظر گرفت . ولی فضای برداری توزیع‌های کاملاً پشتیبانی شده، اجازه حضور عامل خنثی در ضرب را تحت هم‌گشت به ما می‌دهند. ؛ عنصر معکوس برخی توزیع‌ها برای هم‌گشت یک عنصر معکوس دارند، S−1، که با رابطه زیر تعریف می‌شوند مجموعه‌ای از توزیع‌های معکوس پذیر یک گروه آبلی را تحت هم‌گشت تشکیل می‌دهند. | ## بخش 3: هم‌گشت | مزدوج مختلط؛ انتگرال‌گیری اگر ƒ و g توابع انتگرال‌پذیر باشند، آنگاه انتگرال هم‌گشت آن‌ها در تمام فضا، از حاصلضرب انتگرال آن‌ها بدست می‌آید: این رابطه از قضیه فوبینی بر گرفته شده‌است. نتیجه مشابهی نیز برقرار است در صورتی که ƒ و g فقط توابع قابل اندازه‌گیری غیر منفی باشند توسط قضیه تونلی بیان می‌شود. به‌طور کلی، در حالتی که توابعی از متغیرهای مختلف داشته باشیم، فرمول مشابهی با استفاده از مشتق پاره‌ای برقرار است. یک نتیجه خاص این رابطه ان است که هم‌گشت را می‌توان به شکل یک عمل «هموار کنندگی» نگاه کرد: هم‌گشت ƒ و g به تعداد مرتبه‌ای که ƒ و g قابل دیفرانسیل‌گیری هستند، قابل دیفرانسیل‌گیری است. این خاصیت تحت شرایطی برقرار است که ƒ و g مطلقاً انتگرال‌پذیر باشند و به عنوان یکی از نتایج نامعادله یونگ حداقل یکی از آن‌ها دارای (L1). برای مثال، زمانی که ƒ مشتق پذیر پیوسته با پشتیبانی کامل باشد، و g یک تابع دلخواه و انتگرال‌پذیر محدود باشد، قضیه هم‌گشت قضیه هم‌گشت بیان می‌دارد که: که بیان‌کننده تبدیل فوریه تابع است، و یک عدد ثابت است که وابسته به نرمالیزه تبدیل فوریه است (به «خصوصیات تبدیل فوریه» مراجعه کنید). برخی نسخه‌های دیگر این قضیه برای تبدیل لاپلاس، تبدیل لاپلاس دوسویه، تبدیل z و تبدیل ملین برقرار است. کاربردها هم‌گشت در بسیاری از کاربردهای مهندسی و ریاضی دیده می‌شود؛ در مهندسی برق، هم‌گشت یک تابع (سیگنال ورودی) با تابعی دیگر (پاسخ ضربه)، خروجی یک سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان (LTI) را به دست می‌دهد. خروجی سیستم در هر لحظه برابر با اثر جمعی تمام مقادیر پیشین تابع ورودی است، که آخرین مقادیر معمولاً بیشترین تأثیر را دارند. در کاربردهای پردازش سیگنال رقمی و پردازش تصویر، تابع ورودی به‌طور کامل در دسترس است و لذا می‌توان هر قسمت از خروجی را بدست آورد. در این نوع، می‌توان از مزیت این که خروجی تنها به چند ورودی اخیر بستگی دارد بهره برد. هم‌گشت هر مؤلفه فرکانسی را به‌طور مستقل بدون وابستگی به دیگر فرکانس‌ها تقویت و با تضعیف می‌کند. در تئوری احتمال، توزیع احتمال مجموع دو متغیر تصادفی مستقل برابر است با هم‌گشت توزیع‌های مستقل. یک سایه (مثلاً سایه دست روی یک میز، زمانی که دست بین میز و نور قرار می‌گیرد) را می‌توان هم‌گشت شکل منبع نور (که قالب سایه را تشکیل می‌دهد) و یک جسم (که سایه آن تشکیل می‌شود) دانست. به‌طور مشابه، در پردازش سیگنال رقمی، فیلتر هم‌گشتی نقش مهمی را در الگوریتمهای تشخیص لبه و کاربردهای مشابه بازی می‌کند. در صداشناسی، یک پژواک، هم‌گشت صدا با تابعی است که عناصر منعکس کنندهٔ صدا را توصیف می‌کند. در همهمه مصنوعی (پردازش سیگنال رقمی، صدای پس زمینه)، هم‌گشت برای نگاشت پاسخ ضربه یک اتاق واقعی بر روی سیگنال صوتی رقمی استفاده می‌شود. در سیستم‌های برنامه‌ریز درمان رادیویی، قسمت اعظم محاسبات کدها از الگوریتم‌های برهم‌نهی هم‌گشت استفاده می‌کنند. در فیزیک، هر جا که سیستم خطی با "اصل برهم‌نهی" همراه می‌شود، هم‌گشت را نیز خواهیم دید. | ## جمع‌بندی | در سامانه اطلاعات مکانی، پاسخ تقریب هسته‌ایِ تابعِ شدتِ یک الگوی نقطه‌ای، هم‌گشت ایزوتروپیک هسته گوسی یک انحراف استاندارد با وزن‌های نقطه‌ای (برای هر نقطه داده) است.