موضوع مقاله: معادله مربعی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # معادله مربعی | مقدمه: در جبر، معادله مربعی (که quadratus در لاتین به معنای مربع است) (یا معادله درجه دو)، هر معادله‌ای است که بتوان آن را به صورت فرم استاندارد زیر نوشت: که در آن یک نامعلوم (یا متغیر، مجهول و...) و نمایشگر اعداد معلوم‌اند با این شرط که 0 . | ## بخش 1: معادله مربعی | اگر ، آنگاه این معادله خطی است و دیگر مربعی نخواهد بود، چرا که دیگر جمله وجود نخواهد داشت. مقادیر هایی که در معادله صدق کنند را حل (یا جواب) معادله یا ریشه‌ها یا صفرهای طرف چپ عبارت می‌نامند. اگر همهٔ ضرایب معادله مربعی اعداد حقیقی باشند، آن‌گاه معادله یا دو ریشه حقیقی، یا یک ریشه مضاعف حقیقی و یا دو ریشه مختلط که مزدوج مختلط یکدیگرند، دارد. پس می‌توان در حالت کلی دو جواب مختلط برای معادله مربعی در نظر گرفت؛ و در حالتی که ریشه مضاعف دارد، جواب‌های آن را دوتا جواب برابر هم انگاشت. معادله مربعی را در حالت کلی می‌توان به صورت زیر تجزیه کرد: که در آن و جواب‌های x هستند. مربع کامل کردن معادله مربعی به فرم استاندارد منجر به فرمول‌های مربعی برحسب ضرایب می‌شود. جواب‌های مسائلی که برحسب معادلات مربعی قابل بیان‌اند، حداقل تا ۲۰۰۰ قبل از میلاد شناخته شده بودند. انواع روش‌های حل معادله درجه دو معادلات درجه دو با روش‌های آزمون و خطا، فاکتورگیری و تجزیه، روش مربع کامل، روش هندسی، روش خوارزمی، نمودار تابع (رسم نمودار)، روش دلتا، روش نیوتون و روش‌های دیگر حل می‌شوند. | ## بخش 2: معادله مربعی | روش آزمون و خطا در این روش با استفاده از حدس مقادیر مختلفی را برای متغیر در معادله قرار می‌دهیم و بررسی می‌کنیم که آیا این مقدار در معادله صدق می‌کند یا خیر. در این روش باید سعی کنیم مقادیر را چنان انتخاب کنیم که ما را به سمت صفر راهنمایی کند. برای این کار بهترین راه پیدا کردن یک جواب مثبت و یک جواب منفی برای حاصل معادله می‌باشد. روش تجزیه این روش موقعی کارایی مناسبی دارد که بتوان به طریقی با تقسیم کل معادله بر ضریب جمله دو ثابت و ای به دست آورد که بین آن‌ها رابطه‌ای به شکل و به‌سرعت به ذهن‌مان برسد. به این روش که منتج شده از اتّحاد ریاضیاتی معروف به جمله مشترک است، روش حل تجزیه‌ای گفته می‌شود. معادله بر اساس این اتحاد به شکل در می‌آید و در این حالت به‌آسانی با برابر صفر قرار دادن هر پرانتز به جواب‌های می‌رسیم. همان‌طور که می‌بینیم: یعنی به عبارتی جمع دو عدد می‌شود ۴- و ضربشان هم ۳ پس جواب‌ها به صورت می‌باشند. روش مربع کامل کردن این روش بر مبنای یکی از معروف‌ترین اتّحادهای ریاضی، معروف به اتحاد مربع دوجمله‌ای به دست آمده‌است. | ## بخش 3: معادله مربعی | برای هر دو عبارت ریاضی مثل A و B این اتحاد به این صورت ارائه می‌گردد: حال ما باید را به صورت در نظر بگیریم و را به صورت و از آنجا را به دست آورده و مقدار را از طرف چپ معادله کم و زیاد کنیم و پس از مرتب کردن و فاکتورگیری، معادله را به شکل درآوریم؛ که درصورتی معادله جواب حقیقی دارد که مقداری مثبت یا صفر شود. اگر یک معادله درجه دو به صورت زیر باشد: راه حل عمومی آن به این شکل است: که نماد "±" به معنی هر دو است. در صورتی که کوچکتر از صفر باشد، معادله جواب حقیقی ندارد و در صورتی که برابر صفر باشد دو حل به یک حل تبدیل شده و گفته می‌شود معادله یک ریشه مضاعف دارد. مثال: چند نکته مهم در مورد حل معادله درجه دو اگر در یک معادله ضریب عدد ثابت صفر باشد، بهترین روش برای حل معادله، روش تجزیه به روش فاکتورگیری است. اگر در یک معادلهٔ درجه دوم به صورت استاندارد داشته باشیم: (یعنی مجموع ضرایب برابر صفر باشد)، همواره یکی از جواب‌ها برابر عدد ۱ و دیگری برابر است. اگر در یک معادلهٔ درجه دوم به صورت استاندارد داشته باشیم: آنگاه همواره یکی از جواب‌ها برابر عدد ۱- و دیگری برابر است. | ## جمع‌بندی | در یک معادلهٔ درجه دوم به صورت استاندارد و داریم: ⇒ مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های یک معادلهٔ درجه دو مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های یک معادله درجه دو در حل مسائل از اهمیت خاصی برخوردار است.