موضوع مقاله: قضیه هال | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # قضیه هال | مقدمه: قضیه هال یا قضیه هال (۱۹۳۵) قضیه‌ای مربوط به شاخه ترکیبیات و قضیهٔ گراف در ریاضی است. | ## بخش 1: قضیه هال | این قضیه که به ریاضی‌دان انگلیسی، فیلیپ هال نسبت داده می‌شود، شرط لازم و کافی برای وجود تطابق کامل در گراف‌های دوبخشی را بیان می‌کند. گراف‌های دوبخشی به گراف‌هایی گفته می‌شوند که رأس‌ها به دو دسته مجزا قابل افراز هستند بگونه‌ای که تمامی یال‌های گراف بین گره‌های بین دو دسته مختلف باشند. ۲-مسیر M-افزوده: مسیر M-متناوبی است که یالهای ابتدایی و انتهایی آن داخل تطابق M نباشد. در تطابق بیشینه مسیر M-افزوده وجود ندارد زیرا اگر فرض کنیم که یک مسیر M-افزوده در تطابق بیشینه ما وجود داشته باشد می‌توان با حذف یالهایی از مسیر افزوده که در تطابق هستند از تطابق و اضافه کردن یالهایی که در تطابق نیستند به تطابق اندازه تطابق را یک یال افزایش داد که این متناقض با بیشینه بودن تطابق است. قضیه ی ازدواج هال و نظریهٔ گراف کمک گفتن از قضیهٔ گراف برای اثبات قضیهٔ هال به کمک گراف‌های دو بخشی،که اثبات می‌شود شرایط کافی و لازم برای وجود حداقل یک تطابق برای یک سمت گراف وجود دارد. | ## بخش 2: قضیه هال | (G(X+Y,E را یک گراف دو بخشی محدود با دو بخش X و Y در نظر بگیرید برای یک مجموعه از رئوس از مجموعه X مجموعه N را تعریف می‌کنیم که به هسایگی‌هایی از w در G(مجموعه‌ای از رئوس از Y که در همسایگی با بعضی از عنصرهای w هستند براساس قضیهٔ ازدواج هال یک تطابق وجود دارد که کل x را پوشش دهد اگر و تنها اگر برای هر زیر مجموعه w از X رابطه روبرو برقرار باشد: |N|>= |w| یعنی هر زیر مجموعه w از X به اندازه کافی راس همسایه در Y دارد. برای یگ گراف دو بخشی (G(X+Y,E که با دو بخش X و Y با اندازه یکسان تئوری هال یک شرایط کافی و لازم برای وجود یک تطابق کامل در گراف است. اثبات قضیه هال به کمک قضیه ی گراف ابتدا اثبات می کنیم که اگ گراف دو بخشی (G(X+Y,E دارای یک تطابق کامل برای X است آنگاه |N|>= |w| برای همه w‌هایی که زیر مجموعه X هستند. فرض کنید M یک تطابق است که هر درجه از X را در بر می‌گیرد همه رئوس Y را که توسط M برای یک w مطابق شده‌اند به صورت (M(w نشان می دهیم بنابراین حال اثبات می کنیم اگر برای همه w‌های زیر مجموعه X آنگاه (G(X+Y,E یک تطابق که هر راس را در X پوشش می‌دهد. شرایطی را فرض کنید که (G(X+Y,E یک گراف دو بخشی است که هیچ تطابقی برای آن که همه رأس‌های X را پوشش دهد وجود نداردM را یک تطابق ماکسیمم در نظر بگیرید و u را یک راس که توسط M پوشش داده نشده‌است در نظ بگیرید مسیرهای تناوبی را در نظر بگیرید(مسیرهایی از G که به‌طور تناوبی از رأس‌های بیرون و درون M استفاده می‌کند از u شروع می کنیم مجموعهٔ همه راس‌هایی از Y که به u متصل هستند در مسیر تناوبی را T می نامیم و همه راس‌هایی از X که به u متصل هسند توسط مسیر تناوبی را (که شامل خود u می‌شود) را w در نظر بگیرید. | ## بخش 3: قضیه هال | کفایت شرط : داریم به ازای هر زیرمجموعه S از X، تعداد همسایه‌های S از تعداد اعضای S ناکمتر است. S و T به ترتیب مجموعه راسهایی در X و Y است که از u می‌توان با مسیرهای M-متناوب به آن‌ها رسید. مسیرهای M-متناوب از u به وسیلهٔ یالهایی که در تطابق وجود ندارد به Y و به وسیلهٔ یالهایی که در M باشد به X می‌رسد. از این رو این یالهای M یک نگاشت دوسویی میان T و S-u برقرار می‌کند و داریم : تطابق میان T و S-u مستلزم آن است که T زیر مجموعه همسایه‌های S باشد. یک یال میان S و یک راس y عضو Y-T می‌توانست یالی باشد که در M نباشد؛ این می‌توانست یک مسیر M-متناوب با y بسازد، که با اینکه y در T نباشد در تناقض است. | ## جمع‌بندی | با در نظر گرفتن اینکه T برابر مجموعه همسایه‌های S است درمیابیم که تعداد همسایه‌های S که همان T است برابر است که کمتر از S است.