موضوع مقاله: زوج مرتب | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # زوج مرتب | مقدمه: در اینجا «ترتیبی» که اشیاء در جفت پدیدار می‌شوند، مهم است: یعنی زوج مرتب (a, b) با زوج مرتب (b, a) متفاوت است، مگر آنکه a = b. | ## بخش 1: زوج مرتب | (در مقابل این مفهوم، زوج غیرمرتب {a, b} است که با زوج غیرمرتب {b, a} برابر است) زوج مرتب به مجموعهٔ دو شئ گفته می‌شود هرگاه که یکی از آن‌ها را بتوان به عنوان عضو اوّل و دیگری را به منزلهٔ عضو دوّم از یکدیگر تمیز و تشخیص داد. برای تعریف یک رابطه نیاز به تعریف نوعی ترتیب در مورد عناصر موجود در آن رابطه داریم و زوج مرتب ابزاری برای تعریف این ترتیب است. به‌طور اجمالی و شهودی، یک زوج مرتب از دو شی a, b را به صورت زوج (a, b) تعریف می‌کنیم که در آن ترتیب قرار گرفتن مؤلفه‌ها اهمیت دارد. ممکن است مفهوم ترتیب و مرتب کردن اعضای A را به صورت داده شده به صورت شهودی درک کنید اما چگونه می‌توان این کار را به گونه‌ای قابل قبول برای نظریه مجموعه‌ها تعریف نمود. شاید یکی از راه‌های مرتب کردن اعضای A به صورت c,b،a,d این باشد که از هر نقطه خاص از این ترتیب، مجموعه همه عناصر موجود در آن نقطه یا قبل از آن را در نظر بگیریم. این مطلب امیدوارکننده‌است که با استفاده تعریفی غیر دقیق و شهودی از ترتیب روی اعضای مجموعه A به مجموعه‌ای معتبر از نظر نظریه مجموعه‌ها رسیدیم. | ## بخش 2: زوج مرتب | ابتدا با توجه به اعضای مجموعه عضوی را که زیرمجموعه همه عناصر دیگر است را پیدا می‌کنیم.{c} چنین عضوی است و هیچ عضو دیگر چنین خاصیتی را ندارد، پس می‌توان c را به عنوان اولین عضو در نظر گرفت. حال {c} را کنار می‌گذاریم و عضوی از را پیدا می‌کنیم که زیرمجموعه سایر اعضای باشد. پس نتیجه می‌گیریم که ممکن است که مفهوم دقیق ترتیب بین اعضای یک مجموعه را ندانیم اما می‌توان هر ترتیب روی اعضای A را طوری به مجموعه‌ای از زیرمجموعه‌های A مانند نسبت داد که ترتیب اولیه به‌طور یگانه از بدست آید. حال که روشی برای تعریف ترتیب بین اعضای یک مجموعه یافتیم و آن را در مورد مجموعه‌ای چهار عضوی بکار بردیم همه چیز در مورد یک زوج (مجموعه دو عضوی) حداقل دوبرابر ساده‌تر خواهد بود و آماده برای تعریف زوج مرتب هستیم. اگر {A = {a, b و در ترتیب مورد نظر a اولین عضو و b دومین عضو باشد، در این صورت معرف این ترتیب خواهد بود. این مجموعه را زوج مرتب a و b می‌نامیم که در آن a مؤلفه اول و b مؤلفه دوم است و برای نمایش آن از این پس از نماد استفاده می‌کنیم. | ## بخش 3: زوج مرتب | هرچند این تعریف معقول و قانع‌کننده باشد ولی باید ثابت کنیم که این تعریف خاصیت اصلی یک زوج مرتب را برآورده می‌کند، یعنی اگر (a, b) و (x, y) دو مجموعه باشند به‌طوری‌که (a, b)=(x, y) آنگاه a = x و b = y. حال اگر a = b در این صورت (a, b) همان مجموعه تک عضوی است و لذا (x, y) نیز مجموعه‌ای تک عضوی خواهد بود پس x = y. به عنوان مثال، سه تایی مرتب (a, b, c) را با استفاده از مفهوم زوج مرتب به صورت (c, (a, b تعریف می‌کنیم. بحث در مورد تعریف زوج مرتب واقعیت این است که تعریفی که از زوج مرتب ارائه دادیم ضمن تأمین اهداف ما دارای خواصی است که تا حدی ناخوشایند و عجیب به نظر می‌رسند. به عنوان مثال قضیه قبل در مورد زوج مرتب خاصیتی مطلوب و مورد انتظار است ولی این مطلب که (a, b)∈(a, b) تا حدی دور از انتظار و ناخوشایند است. اما به هر حال این تعریف کار خود را انجام داده‌است و به تحکیم مفهوم زوج مرتب کمک کرده‌است و در هیچ جای دیگر از آن استفاده نخواهد شد. | ## جمع‌بندی | آنچه در مورد زوجهای مرتب نیاز به دانستن دارد این است که به‌وسیله مؤلفه اول و دوم خود تعیین می‌شوند و می‌توان به‌وسیله آن نظریهٔ رابطه‌ها و تعریف حاصل ضرب دکارتی دو مجموعه را تعریف نمود.