موضوع مقاله: تابع هولومورفیک | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # تابع هولومورفیک | مقدمه: تابع هولومورفیک در ریاضیات، یک تابع مختلط-مقدار، از یک یا بیشتر متغیر مختلط است که در همسایگی هر نقطه در دامنهاش در فضای مختصات مختلط مشتق‌پذیر مختلط است. | ## بخش 1: تابع هولومورفیک | وجود یک مشتق مختلط در یک همسایگی، شرط بسیار قوی‌ای است: به معنی ضمنی آن است که یک تابع هولومورفیک بینهایت مشتق‌پذیر است؛ و به صورت محلی با سری تیلور خودش برابر است (تحلیلی است). اگرچه اصطلاح تابع تحلیلی را اغلب بجای اصطلاح «تابع هولومورفیک» بکار می‌رود، واژه «تحلیلی» به صورت کلی‌تر تعریف شده‌است تا به هر تابعی (حقیقی، مختلط، یا نوع کلی‌تر) اشاره کند که آن تابع را باید بتوان بصورت یک سری توانی همگرا در همسایگی هر نقطه در دامنه‌اش نوشت. عبارت «هولومورفیک در یک نقطه » فقط به معنی مشتق‌پذیر در نیست، بلکه به معنی آن است که در همه‌جا در همسایگی در صفحه مختلط مشتق‌پذیر است. در امتداد محور حقیقی، برابر تابع است و حد برابر 1 است، درحالیکه در امتداد محور موهومی، برابر است و حد برابر است. بخصوص، حد موقعی گرفته می‌شود که عدد مختلط به سمت میل می‌کند، و باید برای هر دنباله مقادیر مختلط برای که در صفحه مختلط به سمت میل می‌کند، مقدار یکسانی داشته باشد. به عنوان یک غیر مثال، تابع دقیقا روی یک نقطه مشتق‌پذیر مختلط نیست، و به این دلیل، در نقطه هولومورفیک نیست، زیرا هیچ مجموعه بازی حول موجود نیست که در آن مشتق‌پذیر مختلط باشد. [Three volumes.] یا، به صورت معادل، مشتق ویرتین‌گر از نسبت به (مزدوج مختلط ) برابر صفر است: که به صورت تقریبی، می‌توان گفت که به صورت تابعی از (مزدوج مختلط ) مستقل است. | ## بخش 2: تابع هولومورفیک | یک وارون ساده آن است که اگر و مشتق جزیی اول پیوسته داشته باشند، و معادلات کوشی-ریمان را برآورده سازند، آنوقت هولومورفیک است. یک وارون رضایت‌بخش‌تر، که اثبات آن بسیار سخت‌تر است، قضیه لومن-منچاف است: اگر پیوسته باشد، و مشتق‌های جزیی اولیه داشته باشند (که لزوما پیوسته نیستند)، و معادلات کوشی-ریمان را برآورده کنند، آنوقت هولومورفیک است.. (توابع مثلثاتی در حقیقت به‌طور نزدیک وابسته به تابع نمایی اند و به وسیلهٔ فرمول اویلر می‌توانند توسط تابع نمایی تعریف شوند). تابع ریشه می‌تواند به صورت تعریف شود و بنابراین هولومورفیک است هر کجا که لگاریتم ln(z) هولومورفیک باشد. مشخصات از آنجا که مشتق‌گیری مختلط خطی است و از قوانین ضرب، تقسیم، و قاعدهٔ زنجیری تبعیت می‌کند، مجموع‌ها، ضرب‌ها و ترکیب توبع هولومورفیک، هولومورفیک‌اند و خاج قسمت دو تابع هولومورفیک، هولومورفیک است هرجا که مخرج مخالف صفر باشد. تابع هولومورفیک منطبق بر سری تیلوراش است و سری تیلور آن در هر دیسک باز که کاملاً درون دامنهٔ U قرار دارد همگراست. سر تیلور ممکن است در یک دیسک بزرگ همگرا باشد؛ برای نمونه سری تیلور تابع لگاریتم در هر دیسک که شامل ۰ نباشد همگراست، در مجاورت خط حقیقی منفی. | ## بخش 3: تابع هولومورفیک | اگر C را با R۲ نشان دهیم، آنگاه توابع هولومورفیک منطبق بر آن دسته از توابع دو متغیر حقیقی اند که در معادلات کوشی-ریمان صدق می‌کنند. نزدیک نقاط با مشتقاط غیر صفر، توابع هولومورفیک همنوایند به این معنی که آن‌ها زاویه و شکل (ولی نه اندازه) اشکال کوچک را حفظ می‌کنند. فرمول انتگرال کوشی می‌گوید که هر تابع هولومورفیک درون یک دیسک تماماً با مقادیرش روی حاشیهٔ دیسک مشخص می‌شود. از دید جبری مجموعهٔ توابع هولومورفیک بر یک مجموعهٔ باز یک حلقهٔ جابجایی و یک فضای برداری مختلط‌اند. گسترش به آنالیز تابعی مفهوم تابع هولومورفیک می‌تواند به فضاهای متناهی-بعد از آنالیز تابعی گسترش داده شود. اصطلاحات فنی امروزه، اکثر ریاضی دانان عبارت «تابع هولومورف» را به «تابع تحلیلی» ترجیح می‌دهند، نظر به اینکه عبارت دوم مفهوم کلی‌تری است. این هم‌چنینی به این دلیل است که یک نتیجهٔ مهم در آنالیز مختلط این است که هر تابع هولومورفیک به‌طور مختلط تحلیلی است، حقیقتی که مستقیماً تعاریف را دنبال نمی‌کند. | ## جمع‌بندی | کلمهٔ «هولومورف» از کلمهٔ یونانی «اُلُس» (ὅλος)، به معنی «همه»، و «مُرفِه» (μορφή)، به معنی «صورت» یا «ظاهر» مشتق شده‌است.