موضوع مقاله: تبدیل فوریه | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # تبدیل فوریه | مقدمه: تبدیل فوریه، یک تابع ورودی f (با رنگ قرمز) را در «دامنه زمانی» می‌گیرد و آن را به یک تابع جدید f-hat (به رنگ آبی) در «دامنه فرکانس» تبدیل می‌کند. | ## بخش 1: تبدیل فوریه | به عبارت دیگر، می‌توان تابع اصلی را «دامنه زمانی داده شده» تصور کرد و تبدیل فوریه، تابع «فرکانس داده شده دامنه» است. این مولفه‌های فرکانسی به شکل قله‌های بسیار واضح در دامنه فرکانس تابع نشان داده می‌شوند، که به شکل نمودار آبی نشان داده شده‌است.این رابطه به صورت انتگرالی یک نوع الگویی است که موج آن نزولی متناهی است. در تصوی فوق رابطه آن اینگونه است که به صورت انتگرال بر اساس رابطه مثلثاتی نوشته گردد پس رابطه انتگرالی به صورت مثبت تعیین میشود. در ریاضیات، تبدیل فوریه یا (FT) یک تبدیل ریاضیاتی است که توابعی را که بر حسب زمان یا فضا هستند، به توابعی بر حسب فرکانس زمانی یا فضایی تجزیه می‌کند، مانند بیان یک آکورد موسیقی بر حسب حجم‌ها و فرکانس‌های نت‌های تشکیل دهنده آن. اصطلاح تبدیل فوریه هم به نمایش دامنه فرکانس و هم به عملیات ریاضی مربوط به آن که نمایش دامنه فرکانس را به تابعی از مکان یا زمان مرتبط می‌کند گفته می‌شود. تبدیل فوریه یک تابع از زمان، یک تابع مقدار مختلط از فرکانس است، که اندازه آن (قدر مطلق)، فرکانس موجود در تابع اصلی را نشان می‌دهد، و آرگومان آن اختلاف فاز سینوسی پایه در آن فرکانس است. تبدیل فوریه فقط محدود به توابع زمان نیست، اما به دامنه عملکرد اصلی، معمولاً دامنه زمان گفته می‌شود. معکوس تبدیل فوریه نیز وجود دارد که به صورت ریاضی تابع اصلی را از نمایش دامنه فرکانسی آن تولید می‌کند، که توسط قضیه عکس فوریه اثبات شده‌است. | ## بخش 2: تبدیل فوریه | عملیات‌های خطی انجام شده در یک دامنه (زمان یا فرکانس) در دامنه‌های دیگر دارای عملیات‌های متناظر هستند، که گاهی انجام آنها آسان‌تر است. عملیات مشتق‌گیری در دامنه زمان معادل با ضرب در فرکانس است، در نتیجه تجزیه و تحلیل برخی معادلات دیفرانسیلی در دامنه فرکانس راحت تر است. همچنین، کانولوشن در دامنه زمان معادل با ضرب معمولی در دامنه فرکانس است (به قضیه کانولوشن مراجعه کنید). آنالیز هارمونیک یک مطالعه سیستماتیک از رابطه بین دامنه‌های فرکانس و زمان است، از جمله انواع توابع یا عملیاتی که در یکی یا دیگری «ساده‌تر» هستند و با بسیاری از زمینه‌های ریاضیات مدرن ارتباط عمیقی دارد. تعریف تبدیل فوریه، نامیده شده به اسم ریاضیدانِ فرانسوی ژوزف فوریه، یک تبدیل انتگرالی است که هر تابع را به یک تابع دیگر منعکس می‌کند. حالت خاص تبدیل فوریه، سری فوریه نام دارد و آن زمانی کاربرد دارد که تابع متناوب باشد، یعنی: . چنانچه تابع متناوب نباشد یا به عبارتی، تناوب آن برابر بی‌نهایت باشد ، از سری فوریه عبارت زیر به دست می‌آید: تبدیل فوریه و به همراه آن آنالیز فوریه، در مباحث مختلف فیزیک، از جمله الکترونیک و الکترومغناطیس (به خصوص در مخابرات)، آکوستیک، فیزیک امواج و غیره کاربرد فراوان دارد. به سرعت بالای چرخش مولفه‌های فرکانس بالا در صفحه مختلط نسبت به مولفه‌های سرعت پایین توجه کنید. | ## بخش 3: تبدیل فوریه | تبدیلات فوریه در طیف وسیعی از مسائل حوزه‌های مهندسی و فناوری و همچنین در مخابرات و محاسبات تصویری کاربردهای وسیعی دارند. همچنین در علم دینامیک سازه‌ها و ارتعاشات مکانیکی برای تعیین پاسخ سازه در برابر تحریکات غیر هارمونیک از تبدیلات فوریه برای تبدیل این تحریکات به اجزای هارمونیک استفاده می‌شود. یکی دیگر از کاربردهای آن در تجزیه و تحلیل مدارات مخابراتی و مدارات قدرت است که برای بدست آوردن هارمونیک‌های پدیدآورنده یک شکل موج استفاده می‌شود. تعداد زیادی الگوریتم‌های تبدیل فوریه سریع مجزا وجود دارد که شامل محدوده عظیمی از ریاضیات می‌شوند: از محاسبات ساده به وسیله اعداد مختلط تا نظریه اعداد. جدول تبدیل‌های فوریه مهم جداول زیر برخی از تبدیل‌های فوریه نوع بسته را نشان می‌دهد. توجه داشته باشید که ورودی ۱۰۵ رابطه ای بین تبدیل فوریه یک تابع و تابع اصلی ایجاد می‌کند، که می‌تواند به عنوان رابطه تبدیل فوریه و عکس آن باشد. تابعتبدیل فوریه فرکانس واحد، عادیتبدیل فوریه فرکانس واحد، زاویه ایتبدیل فوریه فرکانس زاویه ای غیر واحدملاحظاتتعریف۱۰۱خطی بودن۱۰۲تغییر در دامنه زمان۱۰۳تغییر در دامنه فرکانسی، جفت ۱۰۱۱۰۴تغییر مقیاس در دامنهٔ زمان. | ## جمع‌بندی | اگر زیاد باشد، آنگاه به سمت صفر متمرکز می‌شود و پهن‌تر و صاف‌تر می‌شود.۱۰۵دوگان خود تبدیل فوریه.