موضوع مقاله: لم برنساید | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # لم برنساید | مقدمه: در مسائل ترکیبیاتی به وفور مواردی یافت می‌شوند که علاقه‌مند به شمارش تعداد حالت‌های ممکن باشیم. | ## بخش 1: لم برنساید | این در حالتی است که عموماً بعضی حالت‌های در نظر گرفته شده با یکدیگر هم ارز هستند و با اعمال تبدیل‌های هم ریخت می‌توان آن‌ها را یکی در نظر گرفت. تاریخچه این لم روشی برای شمارش افرازهایی است که در یک مجموعه به وسیله یک گروه از تبدیلات ایجاد می‌شود. این فرمول را ویلیام برنساید در سال ۱۸۹۷ در کتاب خود در مورد گروه‌های متناهی بیان کرد و آن را به فردیناند جورج فروبینیوس نسبت داد. اما به هر حال ویلیام برنساید برای اولین بار به شکل یک لم و با اثبات آن را مطرح کرد و کمک شایان توجهی در پیشروی نظریه گروه‌ها کرد. گروه G شامل مجموعه‌ای از توابع با دامنه S و برد S و عمل ترکیب دو تابع را در نظر می‌گیریم. (G|G:S->S,ο) در صورت اعمال به دسته‌های هم‌ارزی افراز می‌شود به نحوی که در هر یک از این دسته‌ها، هر عضو تحت عملی در G به سایر اعضای دسته قابل تبدیل است؛ و در عوض به اعضای سایر دسته‌ها قابل تبدیل نیست. قاب|چپ|شکل۲ پس R یک رابطه هم‌ارزی روی S است و آن را به رده‌های هم ارز افراز می‌کند. | ## بخش 2: لم برنساید | حال مجموعه حرکت‌های سلب دورانی تقارنی را به عنوان مجموعه‌ای از توابع با دامنه و برد S در نظر می‌گیریم. π0: دوران به اندازه ۳۶۰ درجه (11223344) = π0 (در هر ردیف، رأس بالا به رأس پایین منتقل می‌شود. ۱ به ۱ و ۲ به ۲ و …) π1: دوران به اندازه ۹۰ درجه (12233441) = π1 π2: دوران به اندازه ۱۸۰ درجه (13243142) = π2 π3: دوران به اندازه ۲۷۰ درجه (14213243) = π3 r1: تقارن نسبت به محور افقی (14233241) = r1 r2: تقارن نسبت به محور عمودی (12213443) = r2 r3: تقارن نسبت به قطر اصلی (13223144) = r3 r4: تقارن نسبت به قطر فرعی (11243342) = r4 هر یک از این تبدیل‌ها را می‌توان به صورت حاصل ضرب دورهای مجزا نوشت که در هر یک از این دورها عناصر به صورت گردشی جابجا می‌شوند، برای مثال: r2 = (12213443) = 0(12). رابطه R بر S به وسیله xRy تعریف شود، در صورتی که برای πهایی متلق به G باشد، π* = y، آن گاه R یک رابطه هم‌ارزی است. لم برنساید تابع مولد دومتغیره زیر جهت شمارش تعداد پیکر بندی‌های نا هم ارز S برای حالت خاص بحث شده است. در لم (قضیه) ای موسوم به برنساید رابطه‌ای برای شمارش تعداد این پیکر بندی‌های نا هم ارز ارائه شده است: که در آن (*π)ψ تعدادی از پیکر بندی‌های S است که به وسیله *π تثبیت می‌شوند. مثال کاربردی به چند طریق می‌توان رئوس مربعی را رنگ آمیزی کرد به نحوی که امکان گردش در فضا وجود داشته باشد؟ | ## بخش 3: لم برنساید | برای حل از لم برنساید استفاده می‌کنیم: زیرا تبدیل همانی تمام پیکربندی‌های S را ثابت نگه می‌دارد. تنهای پیکربندی‌هایی را ثابت نگه می‌دارند که تمام رئوسشان رنگ یکسانی داشته باشند. برای دو رأس در انتخاب رنگ آزادی عمل داریم اما رنگ رئوس روبروی آنها باتوجه به رنگ این دو رأس تعیین می‌شود. این بار هم برای دو رأس در انتخاب رنگ آزادی عمل داریم اما رنگ رئوس مجاور آنها با توجه به رنگ این دو رأس تعیین می‌شود. زیرا دو رأس اصلاً تغییر مکان نمی‌دهند و دو رأس دیگر که روبرو هستند همرنگ خواهند بود. در صورتی که قضیه‌ای دیگر در نظریه گروه‌ها وجود دارد که موسوم به قضیه برنساید است. این قضیه بیان می‌کند که هر گروه که مرتبه آن به شکل (که p,q اعداد اول و a,b اعداد طبیعی هستند) قابل تجزیه باشد یک گروه حل پذیر است. | ## جمع‌بندی | نخستین نتیجه‌ای که از این قضیه گرفته می‌شود این است که اگر یک گروه غیر آبلی ساده متناهی داشته باشیم، از مرتبه‌ای تجذیه پذیر به سه عامل اول خواهد بود.