موضوع مقاله: معادله موج الکترومغناطیس | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # معادله موج الکترومغناطیس | مقدمه: معادله موج الکترومغناطیس دومین حکم دیفرانسیل جزئی معادله است که انتشار موج‌های الکترومغناطیس را در محیط مادی یا خلاء توصیف می‌کند. | ## بخش 1: معادله موج الکترومغناطیس | فرم همگن این معادله به هر دو شکل میدان الکتریکی E و میدان مغناطیسی B نوشته می‌شود: در اینجا سرعت نور است ²∇ عملگر لاپلاس است. باید به این نکته توجه کرد که در متون گذشته B چگالی جریان مغناطیسی یا القای مغناطیسی نامیده میشد. منشاء معادله موج الکترومغناطیسی توزیع بار توزیع بار نیازمند آن است که زمان سرعت تغییرات بار کل در یک حجم V با جریان خالص جاری در سطح بسته s برابر باشد: در اینجا J چگالی خالص (آمپر بر مترمربع) جریان در سطح بسته و ρ چگالی شارژ (کولن بر متر مکعب) در هر نقطه از حجم است. قانون قبلی مداری آمپر به تصحیح ماکسول در شکل اصلی آن، قانون مداری آمپر با میدان مغناطیسی B به‌واسطه J رابطه دارد: در اینجا S یک سطح باز محدود شده در خط منحنی C است. این شکل انتگرالی با بکار بردن قضیه استوکس می‌تواند به شکل دیفرانسیلی تبدیل شود: تناقض بین قانون مداری آمپر و قانون توزیع بار: با گرفتن دیورژانس از هر دو طرف قانون مداری آمپر داریم: دیورژانس کرل هر میدان برداری، شامل میدان مغناطیسی B همیشه برابر صفر است: با بهم پیوستن این دو معادله داریم: زیرا یک ثابت غیر صفر است. پس به این ترتیب به‌هرحال با توجه به قانون توزیع بار داریم: بنابراین، همانند قانون مداری کیرشهف، قانون مداری آمپر تنها برای حفظ وضعیت درگیر چگالی بار ثابت باید پدیدار شود. (نباید مانند وضعیتی که در شارژ و دشارژ صفحه خازن رخ می‌دهد، باشد.) تصحیح قانون مداری آمپر توسط ماکسول ماکسول تصور می‌کرد که برقراری جریان در اتصال با قطبش خطی یک دی الکتریک است. توجیه این بسط واقعی جابجایی جریان چنانچه در زیر آمده؛ شرح قانون گاوس در شکل انتگرالی: در اینجا S سطح بسته در حجم V است. با بکار بردن قضیه دیورژانس این شکل انتگرالی می‌تواند به‌شکل دیفرانسیلی تبدیل شود: با مشتق‌گیری زمانی از هر دو طرف معادله و معکوس کردن دیفرانسیل در سمت چپ داریم: نتیجه‌گیری اخیر، در ادامه قانون مداری آمپر و معادله توزیع بار اظهار می‌کند که اینجا دو اصل میدان مغناطیسی عملی است. وی قانون مداری آمپر را که قسمت سوم مقاله ۱۸۶۱ اش، در مورد خطوط (میدان) نیرو بود، به شکل اصلاح شده بکار برد.قسمت چهارم از مقاله اش نظریه الکترومغناطیس نور نامیده شد. | ## بخش 2: معادله موج الکترومغناطیس | ماکسول تغییر جریان را با چند معادله دیگر الکترومغناطیس ترکیب کرد و یک معادله موج با سرعت برابر با سرعت نور به‌دست آورد. او معتقد بود: این نتیجه برای نشان دادن اینکه نور و مغناطیس خاصیتهای مواد مشابه هستند، ظاهر می‌شود. و نور بنا بر قوانین الکترومغناطیس، یک اختلال الکترومغناطیسی منتشر شده در یک میدان است. استنتاج ماکسول از معادله موج الکترومغناطیس، در فیزیک جدید با روش‌های ساده‌تر، با نسخه تصحیح شده قانون مداری آمپر که با قانون القای فارادی ترکیب می‌شود، جایگزین شده بود. برای به‌دست آوردن معادله موج الکترومغناطیس در خلاء این روش‌های مدرن بکار میروند. با کرل گرفتن از معادلات کرل، داریم: با به‌کارگیری اتحاد برداری (در اینجا V هر تابع برداری در فضاست، که معادله را به معادله موج تبدیل می‌کند. (مربع خطای تایپی نیست؛ این یک نماد درست برای این عملگر است.) معادله موج همگن در دستگاه چهار بعدی منحنی معادلات ماکسول در چهار بعد معادلات موج الکترومغناطیس از دو راه اصلاح شده اند؛ مشتق جایگزین شده با مشتق هموردا، و روش نوین که وابسته به پدیدار شدن انحناست. معادله موج الکترومغناطیس ناهمگن معادله موج الکترومغناطیس ناهمگن بار نقطه‌ای متغیر در واحد زمان، و چگالی جریان می‌تواند مانند یک چشمه موج الکترومغناطیس در خلاء عمل کند. حل معادله موج الکترومغناطیس معادله موج راه حل اصلی برای معادله موج الکترومغناطیس یک وضعیت خوب خطی از موج‌ها به شکل و است. اگرچه تابع g می‌تواند وجود داشته باشد و اغلب یک موج سینوسی تک رنگ است، نباید سینوسی یا حتی دوره‌ای باشد. | ## بخش 3: معادله موج الکترومغناطیس | در عمل g نمی‌تواند دوره تناوب نامحدود داشته باشد، چون هر موج الکترومغناطیس واقعی باید همیشه یک اندازه محدود در فضا و زمان داشته باشد. بنابراین، و بر اساس نظریه تجزیه فوریه، یک موج واقعی باید ترکیبی باشد از موقعیت خوب یک سیستم نامحدود با فرکانس سینوسی. به‌علاوه، به عنوان یک راه حل معتبر، بردارهای موج و فرکانس زاویه‌ای مستقل نیستند؛ آن‌ها باید به رابطه انتشار مرتبط باشند: در اینجا K عدد موج و λ طول موج است. وضعیت ثابت سینوسی تک رنگ ساده‌ترین روش حل معادله موج از فرض کردن یک موج سینوسی تک فرکانس در حالت تفکیک پذیر آن به‌دست می‌آید: در اینجا عدد موهومی است. حل موج تخت حل موج تخت سینوسی از معادله موج الکترومغناطیسیک صفحه و یک بردار نرمال تعریف می‌شود: . حل موج رونده عرضی با معادله موج، به این صورت است: و در اینجا : یک بردار مکان است(متر). اگر یک جهت Z، مثل جهت و یک جهت X مثل جهت تعریف کنیم، طبق قانون فارادی، خطوط میدان مغناطیسی در جهت y است و با رابطه به میدان الکتریکی وابسته می‌شود. چون دیورژانس میدان الکتریکی و مغناطیسی صفر است، در جهت انتشار، میدان وجود ندارد. تجزیه طیفی چون معادلات ماکسول در خلاء، خطی حل می‌شوند، می‌توان آن‌ها را به موقعیتهای خوب سینوسی تجزیه کرد. و در اینجا : زمان(ثانیه)، فرکانس زاویه ای(رادیان بر ثانیه)، بردار موج(رادیان بر متر)، و : زاویه فاز(رادیان) است. | ## جمع‌بندی | سایر روش‌ها حل تحلیلی تقارن کروی یا استوانه‌ای معادله موج الکترومغناطیس نیز امکان‌پذیر است.