موضوع مقاله: روش تراختنبرگ | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # روش تراختنبرگ | مقدمه: روش تراختنبرگ یک سامانهٔ محاسبهٔ ذهنی سریع است که از مجموعه‌ای از عملیات به‌آسانی قابل حفظ تشکیل شده و امکان انجام محاسبات حسابی را با سرعت بالا فراهم می‌کند. | ## بخش 1: روش تراختنبرگ | این روش را یاکوف تراختنبرگ، ریاضیدان و مهندس اوکراینی-یهودی، ابداع کرد تا ذهن خود را در دوران اسارت در اردوگاه‌های کار اجباری نازی مشغول نگه دارد. افزون بر این، روش تراختنبرگ دربردارندهٔ روش‌های اختصاصی برای ضرب اعداد کوچک بین ۵ تا ۱۳ نیز می‌باشد. بخش مربوط به جمع، روشی کارآمد برای بررسی درستی محاسبات ارائه می‌دهد که می‌توان آن را برای ضرب نیز به‌کار برد. ضرب کلی روش ضرب کلی، شیوه‌ای برای انجام ضرب‌هایی به شکل با کمترین پیچیدگی فضایی است؛ یعنی نگه‌داشتن کمترین تعداد ممکن از نتایج موقت در حافظه. این هدف با توجه به این نکته دست‌یافتنی می‌شود که رقم آخر حاصل‌ضرب کاملاً توسط ضرب آخرین ارقام عوامل ضرب تعیین می‌شود. برای یافتن رقم ماقبل آخر، باید همه چیزهایی که بر آن رقم تأثیر می‌گذارند در نظر گرفته شوند: نتیجهٔ موقت، رقم آخر ضربدر رقم ماقبل آخر ، و رقم ماقبل آخر ضربدر رقم آخر . به‌طور کلی، برای هر مکان در نتیجهٔ نهایی، مجموع زیر برای همهٔ محاسبه می‌شود: یادگیرندگان این الگوریتم می‌توانند اعداد چهاررقمی را در ذهن خود ضرب کنند و تنها نتیجهٔ نهایی را بنویسند؛ نوشتن از رقم سمت راست آغاز می‌شود و به رقم سمت چپ پایان می‌یابد. تراختنبرگ این الگوریتم را با نوعی ضرب دوتایی تعریف کرد که در آن دو رقم در یک رقم ضرب می‌شوند و تنها رقم میانی نتیجه نگه داشته می‌شود. با به‌کارگیری این الگوریتم همراه با ضرب دوتایی، نیاز به نگه‌داشتن نتایج موقت کمتری خواهد بود. برای یافتن رقم چهارم جواب، از رقم چهارم مضروب‌فیه آغاز کنید: رقم یکان به‌علاوهٔ رقم دهگان به‌علاوهٔ رقم یکان به‌علاوهٔ رقم دهگان به‌علاوهٔ رقم یکان به‌علاوهٔ رقم دهگان . پیکان از رقم ۹ همیشه به رقم مضروب‌فیه مستقیماً بالای رقمی از جواب که می‌خواهید بیابید اشاره می‌کند و دیگر پیکان‌ها هر کدام یک رقم به سمت راست اشاره می‌کنند. پیکان عمودی به حاصل‌ضربی اشاره می‌کند که رقم یکان را از آن می‌گیریم و پیکان مایل به حاصل‌ضربی اشاره می‌کند که رقم دهگان را از آن می‌گیریم. | ## بخش 2: روش تراختنبرگ | با حل هر رقم، همهٔ پیکان‌ها یک رقم به سمت چپ روی مضروب‌فیه جابه‌جا می‌شوند تا همهٔ پیکان‌ها به صفرهای پیشگذار اشاره کنند. مقسوم به مقسوم‌های جزئی کوچک‌تر تقسیم می‌شود و سپس این مقسوم جزئی تنها بر چپ‌ترین رقم مقسوم‌علیه تقسیم می‌شود و جواب را رقم به رقم فراهم می‌آورد. با حل هر رقم جواب، جفت‌های حاصل‌ضرب و جفت‌های NT (عدد-دهگان) از مقسوم جزئی کم می‌شوند تا مقسوم جزئی بعدی به‌دست آید. اگر تفریقی به عدد منفی بیانجامد، باید به رقم قبلی برگردید و آن رقم از جواب را یک واحد کاهش دهید. دیگر الگوریتم‌های ضرب هنگام انجام هر یک از این الگوریتم‌های ضرب، «گام‌های» زیر باید اعمال شوند. جواب باید رقم به رقم پیدا شود، از کم‌ارزش‌ترین رقم آغاز می‌شود و به سمت چپ پیش می‌رود. عملیات «نیمه‌کردن» در سامانهٔ تراختنبرگ معنای خاصی دارد: «نصف رقم، گرد شده به سمت پایین». به‌جای اینکه فکر کنیم «نصف هفت، سه و نیم است، پس سه»، توصیه می‌شود که فقط بگوییم «هفت، سه». هرگاه قانون می‌گوید نصف همسایه را اضافه کنید، همیشه اگر رقم جاری فرد باشد ۵ نیز اضافه کنید. مثال: ۸۶۲۴ × ۲ از راست به چپ: ۸+۸=۱۶، ۶+۶=۱۲ (نقلی ۱)، ۲+۲=۴ ۴+۴=۸؛ ۸۶۲۴ × ۲ = ۱۷۲۴۸ مثال: ۷۶۸۹۲ × ۲ از راست به چپ: ۷+۷=۱۴ ۶+۶=۱۲ ۸+۸=۱۶ ۹+۹=۱۸ ۲+۲=۴؛۷۶۸۹۲ × ۲ = ۱۵۳۷۸۴ ضرب در ۳ اثبات قانون: راست‌ترین رقم را از ۱۰ کم کنید. ضرب در ۵ اثبات قانون: نصف همسایه را بگیرید؛ سپس اگر رقم جاری فرد بود، ۵ اضافه کنید. مثال: ۳۵۷ × ۶ = ۲۱۴۲ از راست به چپ: ۷ همسایه‌ای ندارد، ۵ اضافه کنید (چون ۷ فرد است) = ۱۲. | ## بخش 3: روش تراختنبرگ | برای قوانین ۹، ۸، ۴ و ۳ تنها رقم اول از ۱۰ کم می‌شود؛ پس از آن هر رقم از ۹ کم می‌شود. (منظور از «همسایه» رقم سمت راست است) مثال: (۰ + ۳) (۳ + ۴) (۴ + ۲) (۲ + ۵) (۵ + ۰) ۳ ۷ ۶ ۷ ۵ برای نشان دادن: ۱۱=۱۰+۱ بنابراین: ضرب در ۱۲ اثبات قانون: برای ضرب در ۱۲:از راست‌ترین رقم آغاز کنید، هر رقم را دو برابر کرده و همسایه را اضافه کنید. («همسایه» رقم سمت راست است) اگر جواب بیش از یک رقم باشد، رقم اضافی (که ۱ یا ۲ خواهد بود) را به عملیات بعدی نقل دهید. مثال: همسایه‌های مضروب‌فیه ۰۳۱۶ را مشخص کنید: رقم ۶ همسایهٔ سمت راستی ندارد رقم ۱ همسایه‌اش ۶ است رقم ۳ همسایه‌اش ۱ است رقم ۰ (صفر پیشوند شده) همسایه‌اش ۳ است ضرب در ۱۳ اثبات قانون: برای ضرب در ۱۳: از راست‌ترین رقم آغاز کنید، هر رقم را سه برابر کرده و همسایه را اضافه کنید. الگوریتم‌ها و عملیات ضرب و غیره را می‌توان به روش‌های فشرده‌تر دیگری نیز بیان کرد که کتاب به آنها نپرداخته‌است، علی‌رغم وجود فصلی دربارهٔ توصیف جبری.همهٔ این اطلاعات از کتاب اصلی چاپ‌شده در سال ۱۹۶۰ گرفته شده‌است. عناوین فصل‌ها به شرح زیرند: سامانهٔ سرعت محاسبات پایه ریاضی تراختنبرگ فصل ۱ جداول یا بدون جداول فصل ۲ ضرب سریع با روش مستقیم فصل ۳ ضرب سریع — روش «دو انگشت» فصل ۴ جمع و جواب درست فصل ۵ تقسیم — سرعت و دقت فصل ۶ مربع‌ها و جذر فصل ۷ توصیف جبری روش نقل‌قول‌ها: «روشی انقلابی نوین برای ضرب، تقسیم، جمع، تفریق و جذر با سرعت بالا.» (۱۹۶۰) «پرفروش‌ترین روش برای ضرب، تقسیم، جمع، تفریق و جذر با سرعت بالا — بدون ماشین‌حساب.» (چاپ مجدد ۲۰۰۹) ضرب بدون استفاده از جداول ضرب انجام می‌شود «آیا می‌توانید 5132437201 را در 4522736502785 در هفتاد ثانیه ضرب کنید؟» «یک پسربچه (دبستانی — بدون ماشین‌حساب) این کار را با موفقیت انجام داد — با استفاده از سامانهٔ سرعت ریاضیات پایه تراختنبرگ» یاکوف تراختنبرگ (بنیان‌گذار این روش) از آلمان هیتلری گریخت. استاد تراختنبرگ پس از سرنگونی رژیم تزاری در روسیه به آلمان گریخته و تا میانهٔ سی‌سالگی در آرامش آنجا زندگی کرد تا اینکه مواضع ضد هیتلری‌اش او را ناگزیر به گریز دوباره کرد. او فراری بود و پس از دستگیری در مجموع هفت سال در اردوگاه‌های مختلف کار اجباری گذراند. بیشتر کارهایش بدون قلم و کاغذ انجام می‌شد؛ بنابراین اکثر فنون را می‌توان به‌صورت ذهنی اجرا کرد. در فرهنگ عامه فیلم آمریکایی ۲۰۱۷ «بااستعداد» (Gifted) دربارهٔ یک کودک نابغه است که در سن ۷ سالگی معلمش را با انجام محاسبات ذهنی با استفاده از روش تراختنبرگ به شگفتی وامی‌دارد. | ## جمع‌بندی | در اینجا چند روش دیگر آورده شده که ممکن است کاملاً ذهنی نباشند: — کتاب بهاراتی کریشنا تیرتا «ریاضیات ودایی» — دانش‌آموزان با تمرین دستکاری چرتکه با انگشتان، معمولاً از آنها خواسته می‌شود که محاسبات را با تجسم چرتکه در ذهن انجام دهند.