موضوع مقاله: حسابان | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # حسابان | مقدمه: حسابان (یا حساب دیفرانسیل و انتگرال)، که در گذشته به آن حساب بی‌نهایت‌کوچک‌ها می‌گفتند، شاخه‌ای از ریاضی است. | ## بخش 1: حسابان | همان‌گونه که هندسه مطالعهٔ اشکال و جبر تعمیم عملیات حساب (چهار عمل اصلی) است، حسابان به مطالعهٔ ریاضیاتی تغییرات پیوسته می‌پردازد. حساب دیفرانسیل به مطالعهٔ نرخ تغییرات و شیب منحنی‌ها پرداخته در حالی که حساب انتگرالی به تجمع مقادیر و نواحی تحت منحنی‌ها می‌پردازد. این دو شاخه توسط قضیهٔ اساسی حسابان، به یکدیگر مرتبط شده و از مفاهیم بنیادی همگرایی دنباله‌ها و سری‌های نامتناهی به یک حد خوش تعریف استفاده می‌کنند. حساب بی‌نهایت کوچک‌ها به‌طور مستقل در اواخر قرن هفدهم میلادی توسط ایزاک نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز توسعه یافت. در آموزش ریاضی، حسابان نشانگر درسی مقدماتی از آنالیز ریاضی است که به‌طور عمده به مطالعه توابع و حدود می‌پردازد. به دلیل این که از تکه‌های سنگ برای محاسبات استفاده می‌کردند، معنای این کلمه تکامل یافته و این کاربرد را پیدا کرد. این موضوع، شامل موارد دیگری از جمله حساب گزاره‌ای، حساب ریچی، حساب تغییرات، حساب لامبدا و حساب فرآیندی نیز می‌شود. توضیح کلی حساب دیفرانسیل و انتگرال مطالعهٔ ریاضی تغییرات پیوسته است، به همان صورتی که هندسه، مطالعهٔ شکل است و جبر، مطالعهٔ تعمیم‌های عملیات حسابی است. در اصل، حساب بی‌نهایت کوچک یا «حساب بسیار کوچک» نامیده می‌شود، دو شاخهٔ اصلی دارد: حساب دیفرانسیل و حساب انتگرال. اولی به نرخ‌های لحظه‌ای تغییر و شیب منحنی‌ها مربوط می‌شود، در حالی که دومی به انباشتگی مقادیر و نواحی زیر یا بین منحنی‌ها مربوط می‌شود. این دو شاخه، با قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال با یکدیگر مرتبط هستند و از مفاهیم بنیادی همگرایی دنباله‌های نامتناهی و سری‌های نامتناهی تا حدی کاملاً تعریف شده استفاده می‌کنند. تاریخچه حسابان مدرن در قرن ۱۷م میلادی اروپا توسط ایزاک نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز توسعه یافت (هر کدام مستقل از دیگری در همان حدود زمانی نتایجشان را منتشر کردند). اما عناصری از این مباحث اولین بار در یونان باستان ظهور پیدا کردند، آنگاه در چین و خاورمیانه و سپس در اروپای قرون وسطا و هند ظاهر شدند. او از نتایجی که اکنون به آن انتگرال‌گیری این تابع می‌گوییم استفاده کرد، که چنین فرمول‌هایی برای جمع مربع اعداد صحیح و توان چهارم برای او امکان محاسبه حجم سهمی‌گون را نیز فراهم نمود.Katz, V.J. در قرن چهاردهم، ریاضیدانان هندی روشی نا-استوار ارائه نمودند که شبیه دیفرانسیل‌گیری بود به گونه ای که بر روی برخی توابع مثلثاتی قابل اعمال بود. سپس ماداوا از سانگاراما و مدرسه ریاضیات و نجوم کرالا، مؤلفه‌های حسابان را بیان نمود. یک نظریه کامل که دربردارنده این مؤلفه‌ها باشد را اکنون در غرب به نام سری‌های تیلور یا تقریب‌های سری‌های نامتناهی می‌شناسند. با این حال آن‌ها قادر نبودند که «ایده‌های متنوع فراوان مرتبط با مشتق و انتگرال را جهت نشان دادن ارتباط بین این دو متحد ساخته و حسابان را به ابزار حل مسئله بزرگی که امروز داریم تبدیل نمایند». او بود که مدعی شد حجم‌ها و مساحت‌ها را باید به صورت جمع حجم‌ها و مساحت‌هایی با مقاطع بی‌نهایت کوچک نوشت. این ایده‌ها مشابه کار ارشمیدس در رساله اش به نام روش بود، اما معتقدند که رساله مذکور ارشمیدس در قرن ۱۳م مفقود شده و در قرن ۲۰م میلادی دوباره کشف شده، بنابر این کاوالیری از وجود آن آگاهی نداشته است. کار کاوالیری به خوبی مورد احترام واقع نشد، چرا که روش او منجر به نتایجی آمیخته با خطا می‌شد، بنابر این روش کمیت‌های بی‌نهایت‌کوچک‌هایی که او معرفی نمود در ابتدا بد سابقه شد. | ## بخش 2: حسابان | مطالعه رسمی حسابان، روش بی‌نهایت‌کوچک‌های کاوالیری و حساب تفاضلات متناهی که در اروپا در همان زمان‌ها تکوین یافته بود را گرد هم آورد. پیر دو فرما، مدعی شد که مفهوم «تا حد ممکن برابر» (او برای این مفهوم، به کمک زبان لاتین، کلمه adequality را ابداع نمود) را از دیوفانتوس الهام گرفته است. ترکیب این مفاهیم توسط جان ویلیس، ایساک بارو و جیمز گرگوری به‌دست آمد که دو نفر اخیر دومین قضیه اساسی حساب را در حدود ۱۶۷۰ اثبات کردند. نیوتون در کارهای خویش، ایده‌هایش را به گونه ای بازگو نمود تا با روش زمانه مطابقت داشته باشد، اینگونه که محاسبات بی‌نهایت‌کوچک‌ها را با معادل هندسیشان جایگزین نمود. او برای حل مسائلی چون حرکت سیاره‌ها، شکل سطح یک سیال دورانی، پهن شدگی کره زمین در قطبین (پخ شدگی در قطبین)، حرکت وزنه با سر خوردن روی یک چرخزاد، و بسیاری دیگر از مسائلی که در اثر خود (کتاب Principia Mathematica نوشته شده در ۱۶۸۷ میلادی) مورد بحث قرار داد، از روش حسابان استفاده کرد. او در آثار دیگر خود، بسط سری‌هایی برای توابع، شامل توان‌های کسری و غیر گویا به کار برد، به گونه ای که واضح بود که اصل سری تیلور را فهمیده است. اما او تمام این اکتشافات را منتشر نکرد و در آن زمان هنوز استفاده از روش بی‌نهایت‌کوچک‌ها بد سابقه بود و جنبه مناسبی نداشت. کمک‌های او جهت ارائه مجموعه قواعد واضحی برای کار با مقادیر بی‌نهایت‌کوچک‌ها بود که امکان محاسبه مشتقات مراتب دوم و بالاتر را فراهم می‌کرد و قاعده ضرب و قاعده زنجیره ای را به فرم دیفرانسیلی و انتگرالی ارائه نمود. لایبنیز برعکس نیوتون، توجه بسیاری به صوری سازی می‌نمود، به گونه ای که اغلب روزها صرف تعیین نماد مناسبی برای مفاهیم می‌نمود. امروزه به هردوی لایبنیز و نیوتون جهت اختراع و توسعه مستقل حسابان اعتبار می‌دهند. نیوتون اولین کسی بود که حسابان را در فیزیک عمومی به کار برد و لایبنیز هم بخش زیادی از نمادگذاری به کار رفته در حسابان کنونی را اولین بار مورد استفاده قرار داد. بینش‌های پایه ای که هردوی نیوتون و لایبنیز ارائه نمودند شامل: قوانین دیفرانسیل‌گیری و انتگرال‌گیری، مشتقات مرتبه دوم و بالاتر و مفهوم تقریب زدن به کمک سری‌های چند جمله ای می‌شود. زمانی که نیوتون و لایبنیز اولین بار نتایج خویش را منتشر نمودند، جدال فراوانی در مورد این که کدام ریاضیدان (و در نتیجه کدام کشور) مستحق کسب اعتبار است پیش آمد. نیوتون مدعی شد که لایبنیز ایده‌های او را از یادداشت‌های منتشر نشده اش سرقت کرده، یادداشت‌هایی که نیوتون با برخی از اعضای جامعه سلطنتی به اشتراک گذاشته بود. این جنجال برای سال‌ها، شکافی بین ریاضیدانان انگلیسی زبان و ریاضیدانان قاره اروپا پدیدآورد که موجب ضربه به ریاضیات انگلیسی زبان شد. بررسی دقیق مقالات لایبنیز و نیوتون نشان داد که آن‌ها به‌طور مستقل به این نتایج رسیده و لایبنیز اولین کسی بود که به انتگرال‌گیری و نیوتون به دیفرانسیل‌گیری رسید. با این حال این لایبنیز بود که این شاخه جدید را نامگذاری کرد، در حالی که نیوتون به آن «علم فلاکسیون‌ها» می‌گفت. از زمان لایبنیز و نیوتون، بسیاری از ریاضیدانان به تکوین پیوسته حسابان کمک کردند. یکی از اولین و کامل‌ترین کارهایی که هم بر روی حساب بی‌نهایت‌کوچک‌ها و هم حساب انتگرالی انجام شد، در سال ۱۷۴۸ توسط ماریا گائتنا آگنسی نوشته شد. اصول حدود و بی‌نهایت‌کوچک‌ها حسابان اغلب با کار روی مقادیر بسیار کوچک توسعه یافته است. این‌ها اشیائی هستند که می‌توان با آن‌ها همچون اعداد حقیقی رفتار کرد، اما از جنبه‌هایی «بی‌نهایت کوچک» اند. | ## بخش 3: حسابان | به عنوان مثال، یک عدد بی‌نهایت‌کوچک ممکن است بزرگتر از صفر باشد، اما کوچتر از هر عدد در دنباله باشد و لذا از هر عدد حقیقی مثبتی کوچکتر است. نمادهای و را نماینده بی‌نهایت‌کوچک‌ها و مشتق، یعنی را صرفاً نسبت این دو در نظر می‌گرفتند. رهیافت بی‌نهایت‌کوچک‌ها در قرن ۱۹م از دور خارج شد چون دقیق کردن مفهوم بی‌نهایت‌کوچک کار سختی بود. با این حال، این مفهوم در قرن بیستم دوباره با معرفی مفهوم آنالیز غیر-استاندارد و آنالیز بی‌نهایت‌کوچک‌های هموار که بنیان محکمی برای دستکاری بی‌نهایت‌کوچک‌ها ارائه می‌نمود، زنده گشت. در اواخر قرن نوزدهم، بی‌نهایت‌کوچک‌ها در مجامع علمی با رهیافت اپسیلون و دلتا جهت تعریف حد جایگزین گشت. حدود مقادیر یک تابع را در یک ورودی خاص بر حسب مقادیرش در ورودی‌های مجاور توصیف می‌کند. در این رهیافت، حسابان را می‌توان گردایه ای از فنون برای دستکاری حدود خاصی در نظر گرفت. بی‌نهایت‌کوچک‌ها با اعداد بسیار کوچک جایگزین شدند و رفتار بی‌نهایت کوچک یک تابع با رفتار حدی آن برای مقادیر اعداد کوچک و کوچک‌تر به‌دست می‌آید. تصور این بود که حدود بنیان استواری برای حسابان ارائه کرده و به همین دلیل این رهیافت در قرن بیستم تبدیل به رهیافتی استاندارد شد. مشتق یک منحنی در یک نقطه برابر شیب خط مماس (ضلع مقابل تقسیم بر مجاور در مثلث قائم الزاویه مربوطه) در آن نقطه است. اگر یک تابع و نقطه ای در دامنه آن را در نظر بگیریم، مشتق آن نقطه روشی است که رفتار مقیاس کوچک یک تابع نزدیک آن نقطه را در خود می‌گنجاند. با یافتن مشتق یک تابع در هر نقطه از دامنه آن، امکان تولید تابعی جدید به نام تابع مشتق یا صرفاً مشتق تابع اصلی وجود دارد. به زبان صوری، مشتق عملگری خطی است که یک تابع را به عنوان ورودی گرفته و تابع دیگری را به عنوان خروجی تولید می‌کند. توصیف اخیر از بسیاری فرایندهای مورد مطالعه در جبر مقدماتی مجرد تر است، که ورودی و خروجی تابع صرفاً اعداد بودند. به عنوان مثال، اگر تابع دوبرابر کننده در نظر گرفته می‌شد، با ورودی عدد سه، خروجی عدد شش تولید می‌شد، و اگر تابع مربع سازی در نظر گرفته می‌شد، با گرفتن ورودی سه خروجی عدد نه می‌شد. در حالی که مشتق‌گیری کل تابع مربع ساز را به عنوان ورودی می‌گیرد، یعنی تمام اطلاعات مربوط به این که هر ورودی عددی آن تابع به چه خروجی عددی می‌رود، و از روی آن اطلاعات تابع دیگری می‌سازد که همان تابع دو برابر کننده است. به زبان صریح تر، "تابع دو برابر کننده" را می‌توان به صورت نمایش داد و "تابع مربع ساز" را به صورت . اکنون "مشتق" تابع را که با عبارت "" تعریف می‌شود را به عنوان ورودی می‌گیرد و از روی آن تابع را تولید می‌کند. رایج‌ترین نماد برای مشتق، نشانی شبیه به آپاستروف است که به آن پرایم (یا در فارسی پریم) می‌گویند؛ لذا، مشتق یک تابع مثل به صورت نوشته شده و آن را «اف پرایم» می‌خوانند. | ## جمع‌بندی | به عنوان مثال، اگر تابع مربع ساز باشد، آنگاه مشتق آن است (همان تابع دوبرابر کننده که در بالا بحث شد).