موضوع مقاله: ضرب دیریکله | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # ضرب دیریکله | مقدمه: در نظریه اعداد، ضرب دیریکله یا پیچش دیریکله توابع حسابی، یک عمل دوتایی بین توابع حسابی است که از اهمیت زیادی برخوردار است. | ## بخش 1: ضرب دیریکله | تعریف اگر f و g دو تابع حسابی باشند، در این صورت حاصل ضرب دیریکله f و g را با f*g نشان می‌دهیم و برای هر عدد طبیعی n به صورت زیر تعریف می‌کنیم: که در آن مجموع روی مقسوم علیه‌های n است. چنین مجموع‌هایی در سراسر نظریه اعداد بویژه نظریه تحلیلی اعداد رخ می‌دهند و لذا از اهمیت خاصی دارند. یعنی اگر f,g توابعی حسابی باشند، f*g=g*f برهان برای هر عدد طبیعی n داریم: توجه داشته باشید که دو مجموع فوق فقط در ترتیب عوامل شرکت کننده در جمع تفادت دارند. یعنی اگر f,g،h توابعی حسابی باشند، f*(g*h)=(f*g)*h برهانابتدا توجه می‌کنیم که برای هر عدد طبیعی n می‌توان نوشت: حال برای هر n داریم: پس: از طرفی داریم: پس: پس حکم ثابت می‌شود. برهانبرای هر تابع حسابی f و عدد طبیعی n، داریم: توجه داشته باشید که جملات مجموع فوق برای هر d<n صفر بوده و برای d=n برابر (f(n می‌باشد. در این صورت اگر n,m اعداد طبیعی و متباین(نسبت به هم اول) باشند داریم: خواننده می‌تواند تحقیق کند که اگر m,n اعداد صحیح و متباین باشند و d|mn اعداد صحیح و یکتایی چون d1,d2 وجود دارند به طوری که d=d1d2 و d1|m و d2|n. معکوس دیریکله نکته جالب توجه این است که رده‌ای از توابع حسابی نسبت به ضرب دیریکله دارای معکوس هستند. | ## بخش 2: ضرب دیریکله | قضیهاگر f تابعی حسابی باشد که 0≠(f(1 در این صورت تابع حسابی یکتایی چون f−1 وجود دارد که معکوس دیریکله f نام دارد و داریم f*f−1=f−1*f=I که I تابع همانی است. همچنین f−1 از دستور زیر برای هر n قابل محاسبه است: برهانفرض می‌کنیم f تابعی حسابی باشد که 0≠(f(1. معکوس دبریکله تابع کاملاً ضربی اگر f تابعی کاملاً ضربی باشد، معکوس دیریکله آن به سادگی قابل محاسبه است. ابتدا دقت می‌کنیم که هر تابع ضربی و بخصوص تابع کاملاً ضربی دارای این خاصیت است که 1=(f(1 پس معکوس دیریکله در هر حال وجود دارد. توجه داشته باشید که عکس قضیه فوق نیز برقرار است که ما در اینجا به آن نمی‌پردازیم. چند نتیجه مهم فرض می‌کنیم: با بررسی خواص و مطالبی که تا کنون در مورد ضرب دیریکله توابع حسابی بیان کردیم می‌توان گفت مجموعه F (مجموعه همه توابع حسابی که در یک مخالف صفر هستند): به همرا عمل ضرب دیریکله تشکیل یک گروه آبلی را می‌دهد. بعلاوه مجموعه همه توابع حسابی در حالت کلی به همراه جمع توابع و ضرب دیریکله تشکیل یک حلقه جابجایی یکدار را تشکیل می‌دهد که عناصر یکه در آن توابعی هستند که در نقطه یک صفر نشو باشند. | ## بخش 3: ضرب دیریکله | پیچش‌های تعمیم یافته بدلیل اهمیت نوع مجموع‌هایی که در ضرب دیریکله دو تابع حسابی ظاهر می‌شود این مجموع را بین یک تابع حسابی و یک تابع مختلط یا حقیقی تعمیم می‌دهند. از این پس، فرض کنید F تابع حقیقی یا مختلط با دامنه اعداد حقیقی مثبت باشد که برای هر ، داشته باشیم 0=(F(x. حال اگر تابعی حسابی باشد، عمل را به بین F و به صورت زیر تعریف می‌کنیم: که را می‌توان تابعی چون (G(x در نظر گرفت. توجه داشته باشید که اگر برای هر عدد غیر صحیح x داشته باشیم 0=(F(x در این صورت با تحدید دامنه F به مجموعه اعداد صحیح F تابعی حسابی خواهد بود و عمل ° در آن همان عمل ضرب دیریکله * خواهد بود. قضیهفرض کنید ° عمل پیچش تعمیم یافته باشد و * ضرب دیریکله باشد و دو تابع حسابی باشند در این صورت: برهانبرای هر x>0 داریم: حال چون mn≤x و mn عددی صحیح است پس به ازای عدد صحیح d داریم mn=d پس n|d و d≤x بعلاوه این نشان می‌دهد عدد صحیح m وجود دارد که mn=d≤x. انعکاس تعمیم یافته اگر تابعی حسابی با معکوس دیریکله 1- باشد و x>0، در این صورت اگر: آنگاه برهانبرای اثبات از خواص جبری پیچش تعمیم یافته استفاده می‌کنیم. | ## جمع‌بندی | فرمول انعکاس موبیوس معادله ی معادله ی را که فرمول انعکاس موبیوس نام دارد ایجاب می کند.