موضوع مقاله: عملگر دل | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # عملگر دل | مقدمه: هرگاه عملگر دل را بر یک تابع یک‌بعدی اعمال کنیم، بیانگر مشتق استاندارد آن تابع مطابق آنچه در حساب دیفرانسیل و انتگرال تعریف شده‌است خواهد بود. | ## بخش 1: عملگر دل | اگر این عملگر بر یک میدان (تابعی که دارای چندین بُعد است) اعمال شود، دل ممکن است بیانگر شیو (شدیدترین شیب محلی) یک میدان اسکالر (یا گاهی میدان برداری مثلاً در معادلات ناویه-استوکس)، دیورژانس یک میدان برداری، یا تاو یک میدان برداری باشد. به بیان بهتر، دل یک عملگر مشخص نیست، بلکه یک سنت و نماد ریاضی است که می‌تواند بیانگر یکی از سه عملگر بالا باشد و از آن برای ساده‌نویسی معادلات ریاضی استفاده می‌شود. نماد دل را می‌توان به صورت یک بردار عملگرهای مشتق پاره‌ای تفسیر کرد، به این صورت که سه معنی مختلف آن (شیو، دیورژانس و تاو) را می‌توان به ترتیب با ضرب اسکالرها، ضرب داخلی و ضرب خارجی عملگر دل در میدان دانست. شیو: دیورژانس: کرل: تعریف در دستگاه مختصات دکارتی سه‌بعدیِ R3 با مختصات (x, y، z) دل در شکل مشتقات پاره‌ای به صورت زیر ظاهر می‌شود: که در آن بردارهای یکه در جهت‌های مربوط هستند. به صورت فشرده‌تر می‌توان این فرمول را با استفاده از قرارداد جمع‌زنی اینشتین به صورتِ نوشت. | ## بخش 2: عملگر دل | دل را می‌توان در دیگر دستگاه‌های مختصات (برای نمونه دستگاه‌های مختصات استوانه‌ای و کروی) نیز بیان کرد. کاربردها در نمادگذاری دل در بسیاری از عبارت‌های ریاضی برای ساده و کوتاه‌نویسی استفاده می‌شود. کاربردهای اصلی آن در نوشتن گرادیان، دیورژانس، تاو، مشتق جهت‌دار و عملگر لاپلاس است. گرادیان به مشتق برداری یک میدان نرده‌ای ، گرادیان یا شیو گویند و این گونه نمایش داده می‌شود: که همیشه در جهت بزرگترین افزایش در بوده و اندازهٔ آن برابر آهنگ افزایش در آن نقطه می‌باشد (درست همانند مشتق‌های معمولی) اهمیت این کوتاه‌نویسی در این است که قاعدهٔ گرادیان ضرب دو میدان برداری همانند مشتق یک بعدی است. هر چند که قاعدهٔ گرادیان ضرب نقطه‌ای دو میدان برداری به این آسانی نیست و به صورت واگرایی یا دیورژانس واگرایی یک میدان برداری یک تابع اسکالر است که بدین صورت نمایش داده می‌شود: واگرایی را تقریباً می‌توان افزایش در اندازهٔ یک میدان برداری در جهت آن دانست ولی به‌طور دقیق‌تر اندازهٔ گرایش (میل) یک میدان برداری به همگرایی یا واگرایی در یک نقطهٔ است. | ## بخش 3: عملگر دل | اهمیت به‌کارگیری نشانهٔ دل را در ادامه می‌بینم: البته رابطهٔ ضرب برداری به نظر کمی غیر منطقی می‌آید اما این به خاطر جابه‌جا پذیر نبودن این ضرب است. تاو یا کرل تاو یک میدان برداری به صورت یک تابع برداری است که اینگونه نمایش داده می‌شود: تاو یک میدان برداری برابر است با گشتاور یک چرخ‌دندهٔ کوچک که مرکزش در آن نقطه باشد یعنی چنانچه یک چرخ‌دندهٔ کوچک را در نقطه‌ای از این میدان بگذاریم و بچرخد میدان ما در آن نقطه دارای تاو است که چنانچه این چرخش ساعت‌گرد باشد تاو مثبت و اگر پادساعت‌گرد باشد تاو منفی است. تاو یک میدان برداری را می‌توان با شبه‌دترمینان زیر نمایش داد: و اما دوباره شگفتی نمادگذاری دل را در قاعدهٔ تاو ضرب: هرچند شوربختانه تاو ضرب بردارها چهرهٔ ساده‌ای ندارد مشتق جهتی مشتق جهتی یک میدان اسکالر مانند در جهت اینگونه بیان می‌شود: که آهنگ تغییر میدان در جهت را نشان می‌دهد. لاپلاسی عملگر لاپلاسی یک عملگر اسکالر است که به هر دو میدان اسکالر و برداری می‌تواند اثر کند. | ## جمع‌بندی | در مختصات برداری این عملگر به صورت: لاپلاسی در همه جای ریاضی فیزیک نوین دیده می‌شود، برای نمونه در معادلهٔ لاپلاس، معادلهٔ پواسون، معادلهٔ گرما، معادلهٔ موج و همچنین در معادلهٔ شرودینگر.