موضوع مقاله: فرایند وینر | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # فرایند وینر | مقدمه: این فرایند به خاطر کارهای رابرت براون در این زمینه، به اسم حرکت براونی استاندارد هم شناخته می‌شود. | ## بخش 1: فرایند وینر | (فرایند تصادفی Càdlàg با خاصیت رشد مستقل مانا) و در ریاضیات محض و کاربردی، اقتصاد ( به خصوص اقتصادسنجی سری های زمانی)، مالیه ریاضی و فیزیک کاربردهای زیادی دارد. کاربرد آن در ریاضیات محض برای بررسی زمان-پیوسته مدل مارتینگل (martingales) است که یک مدل برای بررسی این است که چقدر یک فرایند تصادفی می‌تواند پیچیده باشد. در نتیجه نقش حیاتی درمحاسبات احتمالی و انتشار فرایندها و حتی نظریه پتانسیل دارد. در ریاضیات کاربردی، فرایند وینر برای نشان دادن تجمیع نویز سفید فرایند گوسی استفاده می‌شود بنابراین در مهندسی الکترونیک برای مدل کردن نویز از آن استفاده می‌شود (نویز Brownian را هم ببینید.) همچنین به عنوان ابزار خطا در تئوری فیلتر و نیروهای ناشناخته در تئوری کنترل کاربرد دارد. در فیزیک از آن برای مطالعه حرکت براونی استفاده می‌شود همچنین در مطالعه دربارهٔ انتشار ذرات معلق در مایع و انواع دیگر انتشار به صورت فوکر–پلانک و معادلات انگوین کاربرد دارد. همچنین پایه‌های دقیقی برای توصیف فرمولبندی مسیر انتگرال در مکانیک کوانتومی به ما می‌دهد (با فرایند وینر و به وسیله فرمول فاینمن -کاک می‌توان یک راه حل برای معادله شرودینگر ارائه داد.) و برای مطالعه تورم ابدی در کیهان‌شناسی فیزیکی نیز کاربرد دارد. سومین مشخصه این است که فرایند وینر یک طیفی نمایندگی به صورت سری سینوسی با ضرایب مستقل به صورت متغیر تصادفی N(0, 1) باشد. دیگر ویژگی فرایند وینر داشتن انتگرال معین (از صفر تا زمان t) با میانگین ۰ است و واریانس ۱ و همبستگی تابع ضربه به صورت فرایند گوسی سفید است. | ## بخش 2: فرایند وینر | فرایند وینر را می‌توان به عنوان حد پوسته پوسته شدن یک تصادفی پیاده‌روی یا هر فرایند تصادفی زمان-گسسته با خاصیت رشد مستقل مانا در نظر گرفت. مثل پیاده‌روی تصادفی، فرایند وینر هم در یک یا دو بعد تکرار شونده است (یعنی به صورت قریب به یقین برای هر مبدأ به یکی از همسایه‌ها می‌رسد) ولی در سه بعد و بالاتر تکرار شونده نیست. مقیاس وینر یک قاتوت احتمال در فضای توابع پیوسته g با g(0)=۰ بر اساس فرایند وینر است. فرایند وینر به عنوان یک حد از گام تصادفی فرض کنید متغیر تصادفی مستقل با توزیع یکسان با میانگین ۰ و واریانس ۱ باشد. برای هر n یک فرایند تصادفی زمان پیوسته در نظر بگیرید: این یک تابع گام تصادفی است. این اتفاق باعث می‌شود که احتمال بدهیم با افزایش n , تبدیل به فرایند وینر خواهد شد، و این احتمال درست است! خواص فرایند وینر یک بعدی یک کلاس از Brownian martingales خواص اساسی چگالی احتمال تابع بدون شرط، با توزیع نرمال با میانگین ۰ و واریانس t در زمان ثابت t: در این فرایند میانگین ۰ است: و واریانس آن، با توجه به فرمول اصلی محاسبه واریانس t است : کوواریانس و همبستگی کوواریانس و همبستگی فرایند: میانگین و واریانس به سادگی و با استفاده از تعریف توزیع نرمال بدست می‌آید. در نتیجه کوواریانس و همبستگی فرایند از تعریف و اینکه رشد در بازه‌های غیر مشترک مستقل هست بدست می‌آید، که ما تنها از ناهمبسته بودن آن‌ها استفاده می‌کنیم. | ## بخش 3: فرایند وینر | اگر \W_{t2} به صورت زیر جایگزین شود: به عبارت زیر می‌رسیم: از آنجا که W(t1) = W(t1) − W(t0) و W(t2) − W(t1) مستقل هستند در نتیجه نمایش وینر وینر (۱۹۲۳) همچنین یک نمایش از مسیر براونی، در شرایط تصادفی سریهای فوریه داد. اگر ها متغیرهای گوسی مستقل با میانگین صفر و واریانس ۱ باشند، آنگاه: و نشان دهنده حرکت براونی در فاصله یک حرکت براونی در فاصله (ر.ک. توجه داشته باشید که با زوم کردین میانگین تابع تغییر نمی‌کند و توجه داشته باشید که در زوم، در محور افقی، به صورت توان دو سریعتر از زوم در محور عمودی است. برگشت زمانی فرایند وینر حد پیاده‌روی تصادفی فرایند در بازه۰ ≤ t ≤ ۱ همانند فرایند Wt در بازه ۰ ≤ t ≤ ۱ است. خواص کیفی برای هر ε> ۰ تابع w هم مقادیر مثیت و هم مقادیر منفی را در بازه (۰, ε) دارد. تابع w در همه جا پیوسته‌است اما در هیچ جا مشتق پذیر نیست (مانند تابع وایرشتراس). هر حداکثر محلی به صورت زیر تیز است: اگر w در tحداکثر محلی داشته باشد آنگاه برای حداقل‌های محلی هم به‌طور مشابه است. (افزایش محلی از اینکه w در بازه (t − ε , t + ε) افزایش یابد، شرط ضعیفتری است) برای کاهش محلی هم به‌طور مشابه است. | ## جمع‌بندی | در مقایسه با ارزش واقعی مورد پیچیده به ارزش شرط است به‌طور کلی یک زمان-تغییر پیچیده-ارزش وینر روند.