موضوع مقاله: قضیه کانتور | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # قضیه کانتور | مقدمه: در نظریه مجموعه‌های مقدماتی، قضیه کانتور نتیجه بنیادینی است که بیان می دارد: برای هر مجموعه ، مجموعه تمام زیر مجموعه های (به آن مجموعه توانی گفته می شود و با نمایش داده می شود) به طور اکید کاردینالی بزرگتر از خود دارد. | ## بخش 1: قضیه کانتور | برای مجموعه های متناهی می توان با شمردن تعداد زیر مجموعه ها، درستی قضیه کانتور را مشاهده کرد. با در نظر گرفتن تهی به عنوان یک زیر مجموعه، کل زیرمجموعه های یک مجموعه عضوی برابر خواهد بود، بنابر این اگر ، آنگاه ، و قضیه برقرار است چون برای تمام اعداد صحیح نامنفی داریم . کشف مهم کانتور این بود که گزاره اخیر برای هر مجموعه ای درست است، یعنی علاوه بر مجموعه های متناهی برای مجموعه های نامتناهی، چه شمارا یا ناشمارا نیز درست است. به طور خاص، یکی از پیامدهای مهم قضیه کانتور این است که اعداد طبیعی که یک مجموعه شمارا با کاردینال است، برابر یک مجموعه ناشمارا می باشد که کاردینال آن با اعداد حقیقی برابر بوده و این کاردینال از کاردینال اعداد طبیعی بزرگتر است و به آن کاردینال پیوستار گویند: . این قضیه به افتخار ریاضیدان آلمانی گئورگ کانتور نامگذاری کردند، او اولین کسی بود که این قضیه را در انتهای قرن نوزدهم میلادی بیان و اثبات کرد. به عنوان مثال، با تکرار عمل ساخت مجموعه توانی از یک مجموعه نامتناهی و اعمال قضیه کانتور، به سلسله مراتب نامتناهی از کاردینال‌های نامتناهی می رسیم که هر کدام از قبلی به طور اکید بزرگتر است. در نهایت، این قضیه دلالت بر این دارد که هیچ کاردینالی که از همه کاردینال‌ها بزرگتر باشد وجود ندارد (به زبان دیگر "بزرگترین بی نهایت وجود ندارد"). برای انجام این امر، کافی است یک عنصر مجموعه توانی از A که یک زیرمجموعه از A است ارائه کرده و اثبات کنیم که در برد f وجود ندارد. | ## بخش 2: قضیه کانتور | این بدین معناست که بنا بر تعریف، برای هر x عضو x، A عضو B است اگر و و فقط اگر x عضو f نباشد. به خاطر اینکه x دو بار در عبارت بالا حضور پیدا کرده، x عضو f(x) این یک عبارت قطری است زمانی که X نامتناهی شماراست برای یافتن تصوری از اثبات، آن را برای مورد خاص زمانی که X یک نامتناهی قابل شمارش است امتحان می‌کنیم. حال که درکی از شمایل عناصر عضو داریم، تصمیم میگیریم که تک تک عناصر را با عناصری از نظیر کنیم و به این ترتیب نشان دهیم که این دو مجموعه هم ارز هستند. به عیارت دیگر هر عنصر از را با یک عنصر از مجموعه نامتناهی جفت می‌کنیم به‌طوری که هیچ عنصری از هیچ‌کدام از دو مجموعه جفت ناشده باقی نماند. چنین جفت کردنی که توضیح داده شد، به صورت زیر خواهد بود: با چنین تناظری برخی اعداد طبیعی با زیرمجموعه‌هایی جفت می‌شوند که همان عدد را شامل می‌شوند. برای مثال در نمونه‌ای که ذکر شد، ۲ با مجموعه جفت شده‌است، که ۲ را به عنوان یک عضو در بر دارد. طبق تعریف مجموعه توانی شامل تمام محموعه‌های اعداد طبیعی هست و طبق این، مجموعه D را هم شامل می‌شود. در نتیجه D باید با یک عدد طبیعی جفت شده باشد(آن را d در نظر میگیریم.) در هر صورت این یک مشکل به بار می‌آورد. | ## بخش 3: قضیه کانتور | اگر d خودخواه باشد، آنگاه d نمی‌تواند عضوی از D باشد چرا که D جوری طراحی شده بود که تنها شامل اعداد غیر خودخواه باشد. از سوی دیگر اگر d غیر خودخواه باشد، آنگاه d باید در D موجود باشد(دوباره طبق تعریف D). چون یک عدد طبیعی نمی‌تواند در آن واحد در مجموعه D موجود باشد و در آن موجود نباشد. در نتیجه هیچ عدد طبیعی یافت نمی‌شود که با d جفت شود پس ما به تناقض با فرض اولیه خود مبنی بر این که می‌تواند یه تناظر یک به یک بین و برقرار کرد رسیدیم. به وسیله این اثبات، به کمک برهان خلف اثبات کردیم که کاردینال و نمی‌تواند مساوی باشد. همچنین می‌دانیم که کاردینال نمی‌تواند از کاردینال کمتر باشد چرا که تمام مجموعه‌های تک عضوی را شامل می‌شود یعنی یک کپی از در خود دارد. در نتیجه تنها امکانی که باقی می‌ماند این است که کاردینال از کاردینال اکیداً بزرگتر باشد. | ## جمع‌بندی | این بدان معناست که هر عدد طبیعی x به یک زیر مجموعه اعداد طبیعی که x را شامل می‌شود نظیر می‌شود.