موضوع مقاله: معادله دیفرانسیل معمولی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # معادله دیفرانسیل معمولی | مقدمه: در ریاضیات، معادلهٔ دیفرانسیل معمولی به معادله‌ای گفته می‌شود که در آن تابعی از تنها یک متغیر مستقل و مشتقات آن تابع وجود داشته باشند. | ## بخش 1: معادله دیفرانسیل معمولی | جواب‌های یک معادلهٔ دیفرانسیل معمولی خطی را می‌توان با عدد ثابتی جمع یا در عدد ثابتی ضرب کرد. این دسته از معادلات به طور کامل و دقیق شناخته و بررسی شده‌اند و جواب‌های بستهٔ تحلیلی برایشان وجود دارد. در مقابل معادلات دیفرانسیل معمولی غیرخطی وجود قرار می‌گیرد که خاصیت جمع‌پذیری برای جواب‌هایشان صادق نیست. حل این معادلات در حالت کلی پیچیده‌تر است و به ندرت می‌توان برایشان جوابی بسته بر اساس توابع مقدماتی ریاضی یافت. در عوض برای چنین معادلاتی، می‌توان جواب‌هایی به صورت سری‌ یا به فرم انتگرالی پیدا کرد. علاوه بر این، می‌توان به کمک روش‌های عددی با گرافیکی، که دستی یا رایانه‌ای قابل پیاده‌سازی‌اند، جواب معادلات دیفرانسیل غیرخطی را تخمین زد. این روش‌های تخمینی می‌توانند در غیاب جواب‌های تحلیلی و بسته، اطلاعات مفیدی در اختیار بگذارند. معادلات دیفرانسیل در علوم پایه نظیر ریاضی، فیزیک، شیمی، زیست شناسی و ستاره شناسی و همچنین علوم مهندسی نظیر مکانیک، برق، مواد و مهندسی شیمی کاربردی گسترده و حضوری چشمگیر دارند. معادله دیفرانسیل یک دسته از معادلات ریاضی است که بیانگر رابطه بین یک تابع مجهول از یک یا چند متغیر مستقل و مشتق های مرتبه های مختلف آن نسبت به متغیرهای مستقل است. بسیاری از قوانین عمومی طبیعت(در فیزیک، شیمی، زیست شناسی و ستاره شناسی) طبیعی ترین بیان ریاضی خود را در زبان معادلات دیفرانسیل می یابند. با توجه به اینکه اغلب معادلات دیفرانسیل که به واقعیت پدیده ها نزدیک هستند، دارای ترم های غیرخطی و پیچیده می باشند و یافتن جواب تحلیلی برای آنها امری دشوار یا غیرممکن است. | ## بخش 2: معادله دیفرانسیل معمولی | عدم وجود پاسخ تحلیلی برای این گونه معادلات پیچیده و غیرخطی، منجر به ایجاد و گسترش روش های حل عددی شده است. با توجه به ارتقاء چشمگیر سرعت و ظرفیت پردازش اطلاعات در پردازنده ها و کامپیوترها در اواخر قرن نوزدهم، روشهای حل عددی نیز گسترده تر شدند و همچنان نیز این ارتقاء و گستردگی ادامه دارد. پیش‌زمینه رد پای معادلات دیفرانسیل معمولی را در زمینه‌های مختلف علوم ریاضی، تجربی یا اجتماعی می‌توان یافت، زیرا این معادلات تغییرات را به زبان ریاضی بازگو می‌کنند. از آن‌جا که در این معادلات توابع، مشتقات و دیفرانسیل‌ها به یک‌دیگر پیوند می‌خوردند، از آن‌ها می‌توان برای بیان پدیده‌های دینامیکی و تغییر و تحول بهره گرفت. از شاخه‌هایی از علوم که معادلات دیفرانسیل معمولی در آن‌ها کارکردی اساسی دارند، به عنوان نمونه می‌توان به این موارد اشاره کرد: برخی حوزه‌های ریاضی هم‌چون هندسه، علوم مهندسی هم‌چون مکانیک تحلیلی و مهندسی برق (تحلیل رفتار مدارهای الکتریکی)، زمین‌شناسی (پیش‌بینی آب و هوا)، شیمی (تحلیل زنجیره‌های واکنش هسته‌ای)، زیست‌شناسی (گسترش بیماری‌های عفونی، تغییرات ژنتیکی)، بوم‌شناسی و مدل‌سازی جمعیت و اقتصاد (تغییرات سود و قیمت سهام) بسیاری از ریاضیدانان برجستهٔ تاریخ در حل و بحث معادلات دیفرانسیل معمولی نقش داشته‌اند، از جمله: نیوتن، لایب‌نیتس، خاندان برنولی، ریکاتی، الکسی کلرو، دالامبر و لئونارد اویلر. به عنوان یک نمونهٔ ساده از این معادلات، می‌توان به قانون دوم نیوتن در حرکت اشاره کرد که در آن رابطهٔ جابه‌جایی(x) و زمان(t) یک شیء تحت اثر نیروی F به معادلهٔ دیفرانسیل زیر منجر می‌شود: در حالت کلی، F به مکان ذره (x(t در زمان t وابسته است، در نتیجه تابع ناشناختهٔ x(t) در هر دو طرف معادله دیده می‌شود. نمادهای مختلفی برای مشتق‌گیری به کار می‌رود که بستگی به انتخاب نویسنده و نوع کاربرد آن دارد. تعریف عمومی معادلهٔ دیفرانسیل معمولی فرض کنید F تابعی معین از x، y و مشتقات y باشد. در این صورت معادله‌ای به فرم زیر: یک معادلهٔ دیفرانسیل معمولی صریح از مرتبهٔ n نامیده می‌شود. در حالت کلی‌تر، فرم ضمنی معادلهٔ دیفرانسیل معمولی از مرتبهٔ n به شکل زیر در می‌آید: دسته‌بندی‌های زیر برای معادلات دیفرانسیل معمولی وجود دارد: خودگردان یا مستقل: معادلهٔ دیفرانسیلی که به x وابسته نداشته باشد، خودگردان نامیده می‌شود. خطی: یک معادلهٔ دیفرانسیل خطی نامیده می‌شود اگر بتوان F را به صورت یک ترکیب خطی از مشتقات y نوشت: که در آن ai(x) و r(x) توابعی پیوسته از x هستند. | ## بخش 3: معادله دیفرانسیل معمولی | تابع r(x) تابع ورودی نامیده می‌شود که دو دسته‌بندی مهم را برای این دسته از معادلات شکل می‌دهد: همگن: اگر r(x)=0 باشد، معادله را همگن می‌نامند. در حالت کلی جواب یک معادلهٔ دیفرانسیل معمولی را می‌توان به فرم y = yc + yp نوشت. خلاصه‌ای از روش‌های حل برخی از معادلات برخی از معادلات دیفرانسیل جواب‌های بسته و دقیق دارند. در راه‌حل‌های انتگرالی λ و ε متغیرهای اختیاری انتگرال‌گیری هستند و عبارت xF(λ)dλ∫ به معنای انتگرال‌گیری از تابع F(λ) نسبت به متغیر λ است و پس از انتگرال‌گیری می‌توان به جای λ، از متغیر x استفاده کرد. || |- | مرتبهٔ اول، جداپذیر نسبت به x ||انتگرال‌گیری مستقیم || |- | مرتبه اول، خودگردان و جداپذیر نسبت به y || جداسازی متغیرها ( تقسیم کردن بر F) || |- | مرتبه اول، جداپذیر نسبت به x و y || انتگرال‌گیری سراسری || |- ! colspan="3"| معادلات مرتبهٔ اول عمومی |- | مرتبه اول، همگن || قرار دادن y = uxو سپس حل کردن با جداسازی متغیرها نسبت به u و x || |- | مرتبهٔ اول، قابل جداسازی || جداسازی متغیرها (تقسیم کردن بر xy) || اگر N = M، آن‌گاه پاسخ برابر با xy = C است. |- | معادلهٔ کامل، مرتبهٔ اول که در آن || انتگرال‌گیری سراسری || که در آن Y(y) و X(x) توابعی از انتگرال‌ها هستند (نه مقادیر ثابت) که به گونه‌ای تعیین می‌شوند تا تابع نهایی n F(x, y) معادلهٔ اولیه را ارضا کند. |- | معادلهٔ غیرکامل، مرتبهٔ اول که در آن || عامل انتگرال‌گیری μ(x, y) که رابطهٔ زیر را برآورده کند: || اگر μ(x, y) پیدا شود: |- ! پاسخ ویژه: با حدس زدن تابعی شبیه به تابع r و جای‌گذاری در معادلهٔ دیفرانسیل به دست می‌آید. || اگر b2> 4c, آن‌گاه: اگر b2 = 4c، آن‌گاه: اگر b2 <4c، آن‌گاه: |- |درجهٔ nام، خطی، ناهمگن با ضرایب ثابت || تایع مکمل yc: فرض کنید yc = eαx، با جایگزین و حل کردن چندجمله‌ای نسبت به α توابع ناوابستهٔ خطی را پیدا کنید. | ## جمع‌بندی | پاسخ ویژه: با حدس زدن تابعی شبیه به تابع r و جای‌گذاری در معادلهٔ دیفرانسیل به دست می‌آید.