موضوع مقاله: E (عدد) | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # E (عدد) | مقدمه: در اینجا، عدد منحصربفردی بزرگتر از ۱ است که باعث می‌شود مساحت ناحیه سایه زده شده برابر ۱ شود. | ## بخش 1: E (عدد) | عدد که به عدد اویلر هم معروف است، ثابت ریاضیاتی است که تقریباً برابر بوده و می‌توان آن را به طرق متعددی به‌دست‌آورد (مشخص نمود، مشخصه‌سازی کرد). تابع نمایی ، تابع منحصربه‌فردی است با این خاصیت که برابر با مشتق خود بوده؛ به گونه‌ای که مقدار اولیهٔ آن است (و لذا می‌توان را به صورت تعریف کرد). لگاریتم طبیعی عددی چون را می‌توان به‌طور مستقیم توسط ناحیه زیر نمودار بین و تعریف کرد. در این صورت برابر با مقداری از است که این مساحت را برابر ۱ می‌کند (تصویر را ببینید). برخی مواقع به ، به یاد لئونارد اویلر، عدد اویلر (اشتباه نشود با ، ثابت اویلر-ماسکرونی، که برخی مواقع به آن ثابت اویلر نیز گفته می‌شود)، یا به یاد جان نپر، ثابت نپر (Napier's Constant) نیز گفته می‌شود. با این حال، حرف e را که اویلر برای نمایش این ثابت انتخاب کرد، به افتخارش نگه داشتند. این ثابت توسط ریاضیدان سوئیسی، یاکوب برنولی (یا جیکوب برنولی)، طی مطالعه بهره مرکب کشف شد. عدد ، همچون یک عدد گنگ (یعنی نمی‌توان آن را به صورت نسبتی از دو عدد صحیح نمایش داد) و متعالی (یعنی نمی‌توان آن را به صورت ریشه ای از یک چندجمله‌ای ناصفر با ضرایب گویا نوشت) است. عدد تا پنجاه رقم در مبنای ده به صورت زیر است: تاریخچه اولین اشاره به این عدد، در جدولی که در ضمیمهٔ مقالهٔ مربوط به لگاریتم جان نپر در سال ۱۶۱۸ انتشار یافته بود مشاهده می‌شود.O'Connor, J.J. اما «کشف» این عدد توسط ژاکوب برنولی به انجام رسید، کسی که تلاش می‌کرد مقدار عبارت زیر را محاسبه کند (که در حقیقت همان e است): اولین استفاده شناخته شده از این عدد، که آن زمان با b نمایش داده می‌شد، در مکاتبات بین گوتفرید لایبنیتس و کریستیان هویگنس بین سال‌های ۱۶۹۰ تا ۱۶۹۱ مشاهده شده‌است. در حالی که سال‌های پس از آن نیز عده‌ای از ریاضی دانان از c برای نمایش این عدد استفاده می‌کردند، اما e بیشتر مرسوم بود. نماد e در اینکه چرا عدد ، با حرف e توسط اویلر نمایش داده شده‌است صحبت‌های بسیاری است. برخی نیز می‌گویند چون حروف c,b،a و d در ریاضیات تا آن زمان به کرات استفاده شده بود، اویلر حرف e را برای نمایش این عدد استفاده کرد. لازم است ذکر شود که اویلر علاقه زیادی به استفاده از نمادهای ریاضی داشت و ریاضیات امروز علاوه بر عدد در ارتباط با مواردی مانند در بحث اعداد مختلط، در بحث توابع و بسیاری دیگر نمادها مدیون ابداعات اویلر است. کاربردها مسئله بهره مرکب برنولی هنگام مطالعه بر روی مسئله بهره مرکب توانست این عدد را کشف کند. اگر بهره یک باره در پایان سال محاسبه و پرداخت شود، در پایان سال در حساب خواهیم داشت. | ## بخش 2: E (عدد) | اما اگر بهره دو بار در سال یعنی شش ماه یک بار به اندازهٔ محاسبه شود، مقدار حساب تا پایان سال دو بار در ۱٫۵ ضرب خواهد شد یعنی . اگر چهار بار این کار صورت گیرد، حساب در پایان سال برابر می‌شود و اگر ماهانه محاسبه شود . برنولی متوجه شد که این سری برای محاسبه در بازه‌های زمانی کوچک‌تر و بیشتر به یک عدد ثابت نزدیک می‌شود. محاسبهٔ هفتگی سود منجر به به‌دست آوردن در پایان سال می‌شود، در حالی که محاسبهٔ روزانه آن با ۲ سنت افزایش به عدد می‌رسد. با استفاده از n بازه برای محاسبهٔ سود در هر بازه، مشاهده می‌گردد که با افزایش n به سمت اعداد بزرگتر مقدار مانده در حساب در پایان سال به عدد e نزدیک‌تر می‌شود، به‌طوری که اگر محاسبه و پرداخت سود به صورت پیوسته صورت گیرد به عدد خواهیم رسید. به‌طور کلی تر، حسابی با و سود با محاسبهٔ پیوستهٔ سود در یک سال به عدد خواهد رسید. آزمایش برنولی عدد e در نظریه احتمالات، جایی که به نظر نمی‌رسد به‌طور واضح هیچ نرخ رشد نمایی وجود داشته باشد، نیز نقش بسزایی ایفا می‌کند. داریم برای nهای بزرگ (برای مثال چندین میلیون بازی) احتمال این که قمارباز در تمام بازی‌ها شکست بخورد برابر با است. پیروزی در k بار از این یک میلیون بار برابر است با: در حالت خاصی که در آن k برابر صفر است، یعنی عدم پیروزی در تمامی بازی‌ها، داریم: این عدد بسیار به عدد نزدیک است و حد آن نیز به این عدد نزدیک خواهد شد: مسئله پریش یکی دیگر از کاربردهای e توسط ژاکوب برنولی در کنار پیر ریموند دو مونتمورت این بار هنگام کار کردن بر روی مسئله پریش که به اسم مسئله تحویل کلاه نیز شناخته می‌شود، کشف شد.Grinstead, C.M. فرض کنید n نفر به یک مهمانی دعوت شده‌اند، هر نفر هنگام ورود کلاهش را به پیشخدمت می‌دهد و او نیز آن‌ها را در n جعبه که هر کدام به نام یکی از مهمان‌ها نام‌گذاری شده‌است، می‌گذارد. اما پیشخدمت هویت مهمان‌ها را نمی‌داند پس او هر کلاه را به صورت تصادفی در یکی از جعبه‌ها می‌گذارد. مسئله دو مونتمورت این است که احتمال اینکه هیچ‌کدام از کلاه‌ها داخل جعبهٔ خودشان قرار نگرفته باشند چقدر است. پاسخ این‌گونه‌است: با زیاد شدن تعداد مهمان‌ها و میل کردن n به سمت بی‌نهایت مقدار به سمت میل خواهد کرد. انگیزهٔ اصلی کشف عدد e، به‌خصوص در ریاضیات، حل مشتق‌ها و انتگرال‌ها شامل توابع نمایی و لگاریتم بوده‌است.برای مثال نگاه کنید به: Kline, M. پس e را به صورت نمادین توسط عبارت زیر تعریف می‌کنند: بنابراین تابع نمایی با پایهٔ e برای محاسبات حساب دیفرانسیل بسیار مناسب است. انتخاب e به جای اعداد دیگر، به عنوان پایهٔ تابع نمایی مشتق گرفتن از این تابع را ساده‌تر کرده‌است. | ## بخش 3: E (عدد) | مشتق تابع لگاریتم عمومی برابر است با حد عبارت زیر: که در عبارت آخر تغییر متغیر را داریم. پس به صورت نمادین داریم: لگاریتم در این مبنای خاص (یعنی e) را لگاریتم طبیعی می‌نامند و آن را با "ln" نمایش می‌دهند. این تابع هنگام مشتق گرفتن رفتار مناسبی دارد و حد موجود در مشتق این تابع یک می‌شود. در هر مورد، ما برای سادگی محاسبات عدد e را انتخاب می‌کنیم، با این حال هر دو راه ما را به یک e خواهند رساند. روش‌های دیگری نیز برای تعریف e موجود است: یک از آن‌ها حد یک دنباله در بی‌نهایت، دیگری مجموع یک سری نامتناهی است. عدد e، یک عدد حقیقی مثبت یکتای است؛ به‌طوری که: تعاریف زیر را می‌توان از تعاریف اصلی اثبات کرد. عدد e، یک عدد حقیقی مثبت یکتای است؛ به‌طوری که: خواص ریاضیات تابع نمایی از این رو دارای اهمیت فراوان در ریاضیات است که مشتقش برابر خودش است. همچنین به صورت مشابه نقطه‌ای است که در آن، تابع که برای xهای مثبت تعریف شده‌است، مینیمم مطلق می‌شود. به صورت کلی‌تر برای تابع که برای xهای مثبت تعریف شده‌است، مینیمم مطلق در نقطهٔ رخ خواهد داد. تتریشن یا هایپر-۴ نامتناهی بر اساس نظریه اویلر همگرا خواهد شد؛ اگر و فقط اگر باشد (یا به‌طور تقریبی x بین ۰/۰۶۶ و ۱/۴۴۴۷ باشد). لئونارد اویلر این موضوع را به وسیلهٔ نامتناهی شدن بسط کسرهای متوالی ساده، نشان داد. این عدد، اولین عددی بود که با وجود این که با هدف ایجاد یک عدد متعالی ساخته نشده بود، متعالی بودنش اثبات شد (در مقایسه با عدد لیوویل). اعداد مختلط تابع نمایی از طریق بسط تیلور به صورت زیر درخواهد آمد: به این علت که این سری حاوی خاصیت‌های مهمی برای تابع است، مخصوصاً هنگامی که x مختلط باشد، از آن برای در فضای اعداد مختلط بسیار استفاده می‌شود. از این بسط و بسط تیلور توابع سینوس و کسینوس می‌توان معادله اویلر را به‌دست‌آورد: که برای تمامی xهای مختلط صحیح است، که در مورد خاص x = π برابر معادلهٔ مشخصهٔ اویلر می‌شود: همچنین از آن می‌توان جواب چندگانهٔ لگاریتم زیر را به‌دست‌آورد: به علاوه، از این معادلهٔ می‌توان بسط را به‌دست‌آورد: که به معادله دی موآور معروف است. معادلات دیفرانسیل تابع پاسخ عمومی تمامی معادلات دیفرانسیل خطی به صورت زیر است: به‌طوری که با جای‌گذاری آن در معادله دیفرانسیل خواهیم داشت: که ریشه‌های آن، sهایی است که پاسخ‌های عمومی معادلهٔ دیفرانسیل اصلی را می‌سازد. نحوهٔ نمایش ارقام اعشار تعداد ارقام اعشار شناخته شدهٔ عدد e به صورت فزاینده‌ای در طول سده‌های اخیر رشد کرده‌است. | ## جمع‌بندی | این رشد مدیون بهبود کارایی کامپیوترها و همچنین بهبود الگوریتم‌های محاسبهٔ این ارقام بوده‌است.Sebah, P.