موضوع مقاله: لگاریتم | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # لگاریتم | مقدمه: به ازای اعداد نزدیک صفر، منحنی لگاریتم به محور عمودی y بسیار نزدیک می‌شود ولی هرگز با آن مماس نمی‌شود یا آن را قطع نمی‌کند. | ## بخش 1: لگاریتم | در ریاضیات، لُگاریتمِ یک عدد، توانی از یک مقدار ثابت دیگر، پایه است که آن عدد را تولید می‌کند . چون ۱۰ × ۱۰ × ۱۰ = ۱۰۰۰ یا به بیان کلی‌تر اگر x = by باشد آنگاه لگاریتم x در پایهٔ b برابر با y خواهد بود و به زبان ریاضی آن را به صورت نمایش می‌دهیم. مانند: لگاریتم نخستین بار از سوی جان نپر در اوایل سده ۱۷ میلادی به عنوان وسیله‌ای برای آسان‌تر کردن محاسبات، معرفی شد؛ که به سرعت از سوی دانشمندان و مهندسان پذیرفته شد و برای آسان‌تر کردن و سریع‌تر کردن محاسبه جدول‌های لگاریتم اعشاری و خطکش‌های لغزنده ایجاد شدند و مورد استفاده قرار گرفتند. تمامی این ابزارها بر پایهٔ این مفهوم که «لگاریتم حاصل ضرب برابر است با مجموع لگاریتم‌ها»، ساخته شده بودند: مفهوم امروزی لگاریتم از تلاش‌های لئونارد اویلر در قرن ۱۸ گرفته شده‌است؛ او توانست مفهوم لگاریتم را با مفهوم تابع نمایی پیوند دهد. لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را لگاریتم اعشاری می‌نامند که کاربرد بسیار زیادی در مهندسی دارد. به کمک مقیاس لگاریتمی، می‌توان اندازه‌های بسیار بزرگ را در ابعاد بسیار کوچکتری نشان داد برای نمونه دسی‌بل یکایی لگاریتمی است که برای نشان دادن فشار صدا و نسبت ولتاژ کاربرد دارد. در شیمی نیز پ هاش که معیاری برای نشان دادن میزان اسیدی بودن مایعات است در مقیاس لگاریتمی بیان می‌شود. همچنین لگاریتم در نظریهٔ پیچیدگی محاسباتی و در برخی شکل‌های هندسی مانند برخالها کاربرد دارد. از دیگر کاربردهای آن می‌توان به فاصله در موسیقی و رابطه‌های شمارش اعداد اول اشاره کردهمچنین در محاسبه زمان اجرای الگوریتم‌های برنامه‌های کامپیوتری استفاده می‌شود. تابع توان وارون تابع لگاریتم است و لگاریتم مختلط، تابع وارون تابع نمایی به کار رفته در اعداد مختلط است. برای نمونه، توان سوم ۲، ۸ است چون ۸ = ۲ × ۲ × ۲ = ۲۳ پس لگاریتم ۸ در پایهٔ ۲، ۳ می‌شود. حال اگر b به توان یک عدد طبیعی مانند n برسد به معنی n بار ضرب کردن b در خودش است که به صورت زیر نمایش می‌دهیم در صورتی که n عدد طبیعی نباشد، آنگاه bn جواب دیگری خواهد داشت. تعریف لگاریتم عددی مانند y در پایهٔ b عبارت است از یافتن عددی که اگر b به توان آن عدد برسد برابر با y شود. به عبارت دیگر جواب x معادلهٔ زیر برابر با لگاریتم y در پایهٔ b خواهد بود., chapter 1 پایهٔ b باید یک عدد حقیقی مثبت و نامساوی ۱ باشد و y نیز باید یک عدد مثبت باشد. چند نمونه نمونهٔ یکم برای نمونه ۴ = (۱۶) log۲ چون ۱۶ = ۲ × ۲ × ۲ × ۲ = ۲۴ نمونهٔ دوم برای توان‌های منفی نیز لگاریتم معتبر است مانند: چون نمونهٔ سوم (۱۵۰) log۱۰ تقریباً برابر است با ۲٫۱۷۶ عددی میان ۲ و ۳ چون ۱۵۰ خود عددی است میان ۱۰۰ = ۱۰۲ و ۱۰۰۰ = ۱۰۳ همچنین در هر پایه‌ای و چون به ترتیب: و است. قوانین لگاریتم رابطه‌های مختلفی به عنوان قوانین لگاریتم وجود دارند که می‌توانند میان فرمول‌های لگاریتمی رابطه برقرار کنند. ضرب، تقسیم، توان، ریشه لگاریتم حاصل ضرب چند عدد برابر است با مجموع لگاریتم‌های تک تک آن عددها. جدول زیر قوانین لگاریتم را همراه با یک نمونه نشان داده‌است: رابطه نمونه ضرب تقسیم توان ریشه تغییر پایه می‌توان را به صورت غیرمستقیم با گرفتن لگاریتم x و b در یک پایهٔ دلخواه مانند k بدست آورد، به این ترتیب که: بیشتر ماشین حساب‌هایی که در دسترس اند لگاریتم را تنها در مبنای ۱۰ و عدد نپر, p. 21 محاسبه می‌کنند و لگاریتم در پایه‌های دیگر را به کمک رابطهٔ بالا محاسبه می‌کنند:: همچنین اگر عددی مانند x و مقدار لگاریتم آن را در یک مبنای نامشخص b داشته باشیم حال می‌توان مبنای نامشخص b را به ترتیب زیر محاسبه کرد: ۳ ویژگی مهم لگاریتم پایه‌های ویژه پایه‌های ویژهٔ لگاریتم عبارتند از ۱۰، ۲ و عدد e (عدد گنگی تقریباً برابر با ۲٫۷۱۸۲۸) در آنالیز ریاضی لگاریتم در پایهٔ عدد e بسیار کاربرد دارد، لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را می‌توان بوسیلهٔ ماشین حساب‌های دستی که در اختیار است به آسانی محاسبه کرد:, chapter 17, p. 275 لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را می‌توان به آسانی با شمردن تعداد رقمهای یک عدد بدست آورد. برای نمونه (۱۴۳۰) log۱۰ تقریباً برابر است با ۳٫۱۵ چون ۱۴۳۰ چهار رقم دارد پس لگاریتم آن در پایهٔ ۱۰ باید عددی میان ۳ و ۴ باشد. لگاریتم در پایهٔ ۲ در علوم رایانه مورد استفاده قرار می‌گیرد چون در آن از دستگاه اعداد دودویی استفاده می‌شود. جدولی که در ادامه قرار داده شده‌است علامت‌هایی که برای نشان دادن تابع لگاریتم کاربرد دارند و جایی که هر نوع لگاریتم مورد استفاده قرار می‌گیرد را نشان داده‌است. در بسیاری موارد اگر بتوان از روی نوشته تشخیص داد تنها از نماد لگاریتم استفاده می‌کنند و از نوشتن پایهٔ آن خودداری می‌کنند. در جدول زیر نمادی ستون «نماد ISO» مربوط به پیشنهادی است که از سوی سازمان بین‌المللی استانداردسازی داده شده‌است. (در ریاضی و بسیاری از زبان‌های برنامه‌نویسیبرای نمونه زبان برنامه‌نویسی C، زبان برنامه‌نویسی جاوا، زبان برنامه‌نویسی هسکل و زبان برنامه‌نویسی بیسیک.) آنالیز ریاضی، فیزیک، شیمیآمار، علم اقتصاد، و بعضی از زمینه‌های مهندسی۱۰ لگاریتم اعشاری (در مهندسی، زیست‌شناسی، اخترشناسی), در زمینه‌های گوناگون مهندسی (مانند دسی‌بل)،تهیه جدول لگاریتم و ماشین حساب‌های مهندسی پیشینه پیشینیان ویراسنا، ریاضی‌دان هندی از کسانی بود که با مفهومی به نام ardhaccheda کار کرد. همچنین ژو بورجی نیز جداگانه روش لگاریتم‌گیری را پیدا کرده بود اما آن را شش سال پس از نپر منتشر کرد. نپر، با استفاده از روش تقسیم‌های متوالی توانسته بود عبارت را به ازای Lهای میان ۱ تا ۱۰۰ محاسبه کند. جواب این عبارت برای ۱۰۰ = L تقریباً برابر است با ۰٫۹۹۹۹۹ = ۱ - ۵-۱۰ و ۲۰ ۰٫۹۹۵ ≈ ۰٫۹۹. این محاسبات که ۲۰ سال طول کشید، باعث شد تا او بتواند به ازای هر عدد N در بازهٔ ۵ تا ۱۰ میلیون، بتواند عدد L را پیدا کند که در رابطهٔ زیر صدق کند: نپر ابتدا نام «عدد ساختگی» را بر L نهاد ولی پس از مدتی واژهٔ «لگاریتم» logarithm را معرفی کرد و آن را بر عددی گذاشت که نمایندهٔ یک نسبت است: واژهٔ λόγος برابر logos به معنی «نسبت» است و واژهٔ ἀριθμός برابر arithmos به معنی «عدد» است. البته پیش از او جان اسپیدل که یک معلم ریاضی بود در سال ۱۶۱۹ جدولی از لگاریتم طبیعی را گردآوری کرده بود., p. 152 در حدود سال ۱۷۳۰ لئونارد اویلر تابع نمایی و لگاریتم طبیعی را به گونهٔ زیر تعریف کرد: همچنین اویلر نشان داد که این دو تابع وارون یکدیگرند., section 9-3, p. با ساده‌سازی محاسبات پیچیده، از لگاریتم می‌توان در دانش پیشرفته مانند اخترشناسی، نقشه‌برداری، هوانوردی و… کمک گرفت. ۴۴ وسیلهٔ کلیدی که پیش از در دسترس قرار گرفتن ماشین حساب و رایانه برای محاسبهٔ لگاریتم از آن استفاده می‌شد و بوسیلهٔ آن بود که ارزش لگاریتم روشن شد، جدول لگاریتم بود., section 2 چنین جدولی برای اولین بار بوسیلهٔ هنری بریگز در سال ۱۶۱۷ بلافاصله پس از ابتکار نپر ایجاد شد. | ## بخش 2: لگاریتم | در این جدول‌ها مقدار و برای هر عدد x در یک بازهٔ مشخص با دقت مشخص و برای پایه‌های مشخص (معمولاً پایهٔ ۱۰) نوشته شده بود. برای نمونه در اولین جدول بریگز، لگاریتم طبیعی اعداد صحیح میان ۱ تا ۱۰۰۰ با دقت ۸ رقم اعشار نوشته شده بود. 89 لگاریتم ضرب و تقسیم دو عدد را همیشه به صورت جمع و تفاضل لگاریتم‌های آن‌ها نشان می‌دادند. ضرب و تقسیم عبارت داخل لگاریتم را می‌توان بوسیلهٔ تابع پادلگاریتم یا خود جدول بدست آورد: و زمانی که رایانه در دسترس نیست، جستجوی جدول‌های لگاریتم و استفاده از جمع و تفریق لگاریتم‌ها بسیار آسان‌تر از روش‌های ساده‌سازی مانند روش Prosthaphaeresis است. شمارش توان‌ها و ریشه‌های اعداد به انجام عمل ضرب و تقسیم و جستجوی جدول به ترتیب زیر کاهش یافته‌است: و در بسیاری از جدول‌ها برای محاسبهٔ لگاریتم بخش اعشاری و بخش صحیح را از یکدیگر جدا می‌کردند, p. 264 مانند نمونهٔ زیر: وسیلهٔ دیگری که برای شمارش لگاریتم کاربرد داشت، خط‌کش لغزان بود. این خط‌کش‌ها چنان درجه‌بندی شده‌اند که گویی فاصلهٔ ۱ تا x ضریبی از لگاریتم x است. برای نمونه برای لگاریتم ۶، فاصله از لگاریتم ۱ (یعنی صفر) تا ۲ روی لبهٔ پایینی با فاصله از لگاریتم ۱ تا ۳ روی لبهٔ بالایی با هم جمع شد تا فاصله از لگاریتم ۱ تا ۶ را نتیجه دهد. مدت کوتاهی پس از کشف لگاریتم از سوی نپر، ادموند گونتر خط‌کشی (معیاری) برای بدست آوردن لگاریتم ایجاد کرد که لغزان نبود و به کمک آن می‌شد لگاریتم‌ها را بدست آورد. پس از او ویلیام اوترد روش پیشرفته‌تری را پیشنهاد کرد که دارای یک جفت لگاریتم‌هایی بود که در دو لبهٔ خط‌کش قرار داده شده بود و با لغزاندن دو لبهٔ خط‌کش می‌شد لگاریتم مورد نظر را به دست آورد. تا سال ۱۹۷۰ این خط‌کش وسیلهٔ محاسبه‌گر مهمی برای مهندسان و دانشمندان بود؛ چون به کمک آن، با دقت کافی و بسیار سریع تر از جدول‌ها، می‌شد لگاریتم عدد را به دست آورد. برای اثبات این مطلب باید از قضیهٔ مقدار میانی در حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده کرد. این قضیه نشان می‌دهد که اگر تابع پیوسته‌ای دو مقدار m و n را تولید کند، هر مقداری میان این دو عدد را نیز به دلیل پیوستگی می‌تواند تولید کند. یک تابع را زمانی پیوسته می‌دانیم که در هیچ نقطه‌ای ار آن «پرش» نداشته باشیم و بدون بلندکردن قلم از روی کاغذ بتوانیم خم آن را بکشیم. می‌توان نشان داد که در تابع نیز همین ویژگی وجود دارد، برای هر y> ۰ که میان دو مقدار و به ازای x۰ و x۱ قرار داشته باشد طبق قضیهٔ مقدار میانی می‌توان یک x پیدا کرد که باشد؛ بنابراین برای معادلهٔ یک جواب پیدا شد که می‌توان گفت تنها جواب این معادله‌است چون تابع f برای b> ۱ اکیداً صعودی و برای b میان ۰ و ۱ اکیداً نزولی است. قرینه تابع لگاریتمی اگر قرینه تابع برابر با باشد نسبت به محور yها قرینه هم هستند. همچنین اگر عدد مثبت y را داشته باشیم، رابطهٔ زیر نیز برقرار خواهد بود: بنابراین در هر دو صورت می‌توان دو تابع توانی و لگاریتم را ترکیب کرد و دوباره به مقدار اولیه رسید. پس لگاریتم در پایهٔ b تابع وارون است., section 1.6 دو تابع وارون همواره با یکدیگر ارتباط دارند به این ترتیب که خم‌های آن‌ها قرینهٔ یکدیگر نسبت به خط y = x است (مانند شکل) همچنین در تابع اگر x به سمت مثبت بی‌نهایت برود مقدار تابع لگاریتم نیز به ازای b> ۱ به سمت مثبت بی‌نهایت خواهد رفت در این حال می‌گوییم تابع اکیداً صعودی است. به ازای b <۱ اگر x به سمت مثبت بی‌نهایت رود، مقدار تابع به سمت منفی بی‌نهایت می‌رود. وقتی x به سمت صفر می‌رود مقدار تابع برای b> ۱ به سمت منفی بی‌نهایت می‌رود و برای b <۱ به سمت مثبت بی‌نهایت می‌رود. ویژگی‌های ریاضی یک تابع را می‌توان در تابع وارون آن نیز جستجو کرد., section III.3 پس چون f(x) = bx یک تابع پیوسته و مشتق‌پذیر است، می‌توان نتیجه گرفت که نیز همین ویژگی را دارد. یک تابع پیوسته مشتق‌پذیر است اگر هیچ نقطهٔ تیزی (نقطهٔ شکستگی) در آن وجود نداشته باشد. از آنجایی که می‌توان نشان داد که مشتق برابر با است، با استفاده از ویژگی‌های تابع نمایی و قاعدهٔ زنجیری به این نتیجه می‌رسیم که مشتق برابر است با: که این شیب خط مماس در نقطهٔ x بر خم است که برابر است با . اگر به جای x حالت کلی را در نظر بگیریم، در این حالت خواهیم داشت: گاهی برای بدست آوردن مشتق تابع f از استفاده می‌کنند که به این کار مشتق‌گیری لگاریتمی می‌گویند., p. 386 پادمشتق لگاریتم طبیعی برابر است با: رابطه‌های مرتبط با دیگر پایه‌های لگاریتم با استفاده از فرمول لگاریتم طبیعی که در بالا گفته شد بدست می‌آید. بیان انتگرالی لگاریتم طبیعی لگاریتم طبیعی t برابر است با انتگرال از ۱ تا t: به عبارت دیگر برابر است با سطح میان محور xها و نمودار تابع از ۱ = x تا (شکل مقابل). عبارت سمت راست این رابطه را می‌توان به عنوان تعریفی برای لگاریتم طبیعی در نظر گرفت. فرمول‌های ضرب و توان لگاریتمی را می‌توان از این تعریف نتیجه گرفت., section III.6 برای نمونه را می‌توان به صورت زیر نتیجه گرفت: بخش نخست تساوی انتگرال را به دو بخش جدا می‌شکند و بخش دوم تساوی، تغییر متغیر می‌دهد . در نگاره‌ای که در پایین نشان داده شده‌است، سطح زیر منحنی که برابر با انتگرال بالا است به دو ناحیهٔ آبی و زرد تقسیم شده‌است. در قسمت آبی همان‌طور که خم در جهت x کشیده شده (t برابر شده) به همان اندازه هم در جهت عمودی دچار جمع شدگی شده‌است بنابراین سطح زیر منحنی سمت راست که انتگرال f(x) = ۱/x از ۱ تا u است با سطح زیر آن از t تا tu برابر است. رابطهٔ توان را نیز به همین ترتیب می‌توان اثبات کرد: در تساوی دوم تغییر متغیر را داریم. مجموع وارون‌های اعداد طبیعی: که سری هارمونی نام دارد، به لگاریتم طبیعی بسیار نزدیک است: هرگاه n به سمت بی‌نهایت برود، تفاضل زیر: به عددی معروف به ثابت اویلر-مسکرونی، همگرا می‌شود. در حالت کلی لگاریتم را به کمک سری‌های توانی یا ابزارهای محاسباتی-هندسی یا به کمک بازیابی جدول لگاریتم که پیش از این محاسبه شده و دقت کافی دارد، محاسبه می‌کنند., sections 4.2.2 (p. 105–111 همچنین برای محاسبهٔ می‌توان از الگوریتم لگاریتم‌های دودویی که به صورت بازگشتی و بر پایهٔ مربع‌های پشت هم از x عمل می‌کند استفاده کرد: روش تقریبی نیوتن که یک روش تکرار شونده برای حل تقریبی معادلات است، می‌تواند برای بدست آوردن مقدار لگاریتم مفید باشد؛ چون تابع وارون لگاریتم، تابع نمایی با تقریب خوبی قابل محاسبه‌است., section 1 for an overview در صورتی که تنها ابزار در دسترس ابزار جمع و اعداد پایهٔ دو باشد، می‌توان با جستجو در میان جدول CORDIC یا «روش رقم به رقم» روش‌های مناسبی برای محاسبهٔ لگاریتم پیدا کرد. | ## بخش 3: لگاریتم | این پویانمایی مقدار سری تیلور را به ازای ۱۰ جملهٔ اول سپس جمله‌های ۹۹ و ۱۰۰ نشان داده‌است. با استفاده از روابط زیر را می‌توان دقیق‌تر بدست آورد: برای نمونه، تقریب سوم به ازای z = ۱٫۵ نتیجه برابر با ۰٫۴۱۶۷ خواهد بود که تقریباً ۰٫۱۱ بیشتر از ۰٫۴۰۵۴۶۵ = (۱٫۵) ln است. در حساب دیفرانسیل غیر پیشرفته، را به عنوان حد این نوع سری‌ها در نظر می‌گیرند؛ که به آن بسط تیلور لگاریتم طبیعی به ازای z = ۱ می‌گویند. دیگر سری‌های پرکاربرد سری دیگر برپایهٔ تابع وارون تانژانت هذلولوی (وارون تانژانت هیپربولیک) است، این سری برای اعداد مختلط z با بخش حقیقی مثبت است که به صورت زیر نوشته می‌شود: با استفاده از مفهوم جمع (سیگما) می‌توان این سری را به گونهٔ دیگری نوشت: این سری از سری تیلور که در بالا گفته شد گرفته می‌شود ولی خیلی زودتر از تیلور همگرا می‌شود. برای نمونه برای z = ۱٫۵ سه جملهٔ اول سری دوم با خطایی برابر با ۶-۱۰ × ۳ تقریباً می‌توان گفت تقریباً برابر با (۱٫۵)ln است. اینکه به ازای zهای نزدیک به ۱ سری زودتر همگرا می‌شود را می‌توان به کمک رابطهٔ زیر نشان داد: فرض کنید تقریباً و رابطهٔ زیر را نیز داریم: می‌توان از دو سوی رابطهٔ بالا لگاریتم گرفت: هرچه مقدار لگاریتم z دقیق‌تر باشد باید به صفر نزدیک تر باشد در نتیجه A به ۱ نزدیک‌تر است. مقدار A به کمک سری‌های نمایی محاسبه می‌شود که این سری‌ها، اگر y بزرگ نباشد، خیلی زود همگرا می‌گردند. برای آسان‌تر کردن محاسبهٔ می‌توان آن را به مقدارهای کوچکتر خُرد کرد به این ترتیب که بگوییم a × 10b = z و لگاریتم آن را به صورت بنویسیم. از روش مشابهی می‌توان استفاده کرد تا به کمک آن لگاریتم اعداد صحیح را بدست آورد: اگر لگاریتم عدد بزرگ n معلوم باشد، می‌توان لگاریتم n + ۱ را با همگرایی سریع سری بالا بدست آورد. میانگین حسابی-هندسی با کمک میانگین حسابی-هندسی می‌توان با دقت خوبی لگاریتم طبیعی عددی مانند x را بدست آورد. در اینجا M نماد میانگین حسابی-هندسی است که از تکرار محاسبهٔ میانگین حسابی و ریشهٔ دوم ضرب دو عدد (میانگین هندسی) بدست می‌آید. همچنین m از راه انتخابی مانند زیر بدست می‌آید: هم میانگین حسابی-هندسی و هم ثابت‌های π و (۲)ln به کمک سری‌هایی که زود همگرا می‌شوند قابل محاسبه‌اند. برای نمونه هر خانهٔ پوستهٔ بدن آبزی ناتیلوس تقریباً رونوشتی از خانهٔ کناری آن است که با یک ضریب ثابت مقیاس یافته‌است و یک مارپیچ لگاریتمی را ساخته‌است. برای نمونه پردازش لگاریتمی کمک می‌کند تا برای حل یک مسئله، نخست آن را به دو مسئلهٔ همانند کوچکتر بخش کنیم سپس جواب دو بخش را به هم پیوند دهیم., p. 21, section 1.3.2 شکل‌های هندسی خودهمانند که در آن‌ها بخش‌هایی از شکل متناسب با سراسر آن است هم به لگاریتم وابسته‌اند. مقیاس لگاریتمی مقیاسی بسیار پرکاربردی برای بررسی کمّی تغییرات پدید آمده در مقدار اصلی است. افزون بر این چون تابع رشد بسیار کندی دارد به ویژه برای xهای بزرگ می‌توان داده‌های علمی در بازه‌های بزرگ را به خوبی فشرده کرد. همچنین پیش می‌آید که در بسیاری از فرمول‌های علمی مانند معادلهٔ فنسک، معادلهٔ نرنست و… از ویژگی‌های لگاریتم بهره برد. مقیاس لگاریتمی کمیت‌های علمی بیشتر به صورت لگاریتم کمیت‌های دیگر ارائه می‌شوند به عبارت دیگر برای نشان دادن آن‌ها از مقیاس لگاریتمی بهره برده می‌شود، برای نمونه دسی‌بل چنین است. برای نشان دادن تراز توان صداها در صداشناسی, section 23.0.2 یا جذب نور در میدان طیف‌سنجی و نورشناسی یا در بیان نسبت سیگنال به نویز و توضیح میزان صداهای نامطلوب به سیگنال‌های بامعنی به دسی‌بل نیاز است., p. 48 همانند آنچه گفته شد، نسبت سیگنال بالایی به نویز برای ارزیابی کیفیت صدا یا فشرده‌سازی تصویر بسیار کاربرد دارد که در آن هم از لگاریتم بهره برده می‌شود., p. در سامانهٔ ارتفاع‌هایی که همهٔ جفت نت‌ها، نسبت بسامد برابر دارند، نسبت بسامد تنها به فاصلهٔ میان دو ارتفاع بستگی دارد و نه به آن بسامد ویژه یا ارتفاع هر یک عدد نت. برای نمونه: نت لا بسامد ۴۴۰ هرتزی دارد و نت سی بمل نیز دارای بسامد ۴۶۶ هرتز است. برپایهٔ آنچه گفته شد نسبت این بسامدها به صورت زیر است: از این رو می‌توان از لگاریتم برای توضیح فاصله‌ها بهره برد: یک فاصله در نیم-ارتفاع با گرفتن لگاریتم نسبت بسامد در پایهٔ یا در پایهٔ ۲۱/۱۲۰۰ اندازه‌گیری می‌شود. پایه دوم برای توصیف دقیق‌تر به کار می‌رود چرا که از آن برای temperamentهای نامساوی بهره گرفته می‌شود., chapter 5 فاصله(دو ارتفاعی که هم‌زمان نواخته می‌شوند)ارتفاع ۱/۱۲ نیم-ارتفاع سوم بزرگ میانه سوم بزرگ ارتفاع سگان هشتگان نسبت بسامد r شمارهٔ نیم-ارتفاع‌های متناظر تعداد سنت‌های مرتبط نظریهٔ اعداد لگاریتم طبیعی ارتباط نزدیکی با شمارش اعداد اول دارد. نظریهٔ اعداد اول می‌گوید که تقریباً برابر است با: با در نظر گرفتن این مطلب که برای xهایی که به بی‌نهایت می‌رود نسبت به کسر بالایی به یک نزدیک می‌شود., theorem 4.1 از این مطلب می‌توان نتیجه گرفت که احتمال اول بودن یک عدد دلخواه میان یک و x با وارون تعداد رقم‌های دهدهی x متناسب است. یک برآورد خیلی بهتر با کمک انتگرال لگاریتمی زیر بدست می‌آید: حدس ریمان یکی از کهن‌ترین حدسهای ریاضی است که در مقایسهٔ و کاربرد دارد. نظریهٔ اردوش-کاک به توضیح شمار عامل‌های اول می‌پردازد که در آن از مفهوم لگاریتم طبیعی کمک گرفته شده‌است. یک عدد مختلط را به صورت z = x + iy نمایش می‌دهیم که x و y هر دو عددی حقیقی و i یکهٔ موهومی است. فرم قطبی نمایش دهندهٔ عدد ناصفر مختلط z است که قدر مطلق آن برابر است با فاصلهٔ r تا مبدأ مختصات و زاویهٔ میان خط گذرا از z و مبدأ با محور x زاویهٔ مربوط به این عدد مختلط است. قدر مطلق z همان r است که برابر است با: چون φ' = φ + ۲π پس هم φ و هم 'φ هر دو زاویهٔ مربوط به zاند. تنها یک φ است که در رابطهٔ صدق می‌کند که به آن آرگومان اصلی گفته می‌شود و به صورت نمایش داده می‌شود., Definition 1.6.3 گاهی هم به صورت تعریف می‌شود., section 5.9 با بهره‌گیری از تابع‌های مثلثاتی سینوس و کسینوس یا شکل نمایی اعداد مختلط به ترتیب به رابطه‌های زیر می‌رسیم، r و φ را بالاتر تعریف کردیم:, section 1.2 در آغاز معادله‌ای را بیان کردیم که در آن توان a ام e برابر با z می‌شد. با توجه به آنچه گفته شد، مقدار a برابر خواهد بود با: در این رابطه، n هر عدد صحیحی می‌تواند باشد. | ## جمع‌بندی | در آموزش و پرورش ایران در نظام آموزش و پرورش جدید که به کاربردی سازی محتوای دروس توجه دارد، لگاریتم در پایه یازدهم کتاب حسابان ۱ مطرح می شود.