موضوع مقاله: هم‌نهشتی (نظریه اعداد) | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # هم‌نهشتی (نظریه اعداد) | مقدمه: نظریۀ هم‌نهشتی یا حساب پیمانه‌ای سیستمی برای محاسبه با اعداد صحیح است که به‌وسیله کارل فردریش گاوس در کتاب رسالۀ حساب در سال ۱۸۰۱ معرفی شد. | ## بخش 1: هم‌نهشتی (نظریه اعداد) | مفهوم هم‌نهشتی را می‌توان به عنوان پالایشی برای نظریۀ بخش‌پذیری دانست و به‌وسیلۀ آن می‌توان مفاهیم بنیادی را در نظریۀ اعداد مورد مطالعه قرار داد که بدون استفاده از آن، بیان و اثبات بسیاری از مطالب در نظریۀ اعداد دشوار یا غیرممکن خواهد بود. به‌علاوه هم‌نهشتی‌ها می‌توانند خیلی شبیه به معادلات مورد بحث قرار بگیرند و از این رو رابطه‌ای شبیه به تساوی ایجاد خواهند کرد. یکی از کاربردهای آشنای هم‌نهشتی‌ها در زندگی روزمره، استفاده از ۲۴ ساعت در شبانه روز است. به‌طور کلی هر پدیده‌ای که به‌صورت دوره‌ای رخ می‌دهد، بیانگر کاربردی از هم‌نهشتی است. تعریف قرار داد: از این پس حروف و بیانگر اعداد طبیعی و حروف ، بیانگر اعداد صحیح خواهند بود. گوئیم عدد به پیمانۀ (سنج) با هم‌نهشت است و می‌نویسیم: هرگاه به بیان دیگر: که از آنجا که با توجه به این تعریف هر دو عدد طبیعی به پیمانه با هم هم‌نهشت می‌باشند، پیمانه را معمولاً عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک در نظر می‌گیریم. به‌علاوه برای سهولت در نوشتار، گاهی نماد را برای نمایش هم‌نهشتی به پیمانۀ استفاده می‌کنیم. هم‌نهشتی به عنوان یک رابطه هم‌نهشتی به پیمانۀ دلخواه ، یک رابطه را روی مجموعۀ اعداد صحیح تعریف می‌کند. با کمی دقت متوجه می‌شویم که این رابطه یک رابطه هم‌ارزی روی مجموعۀ اعداد صحیح است. از ۱و۲و۳ نتیجه می‌شود رابطه یک رابطه هم‌ارزی روی اعداد صحیح تعریف می‌کند و برهان تمام است. | ## بخش 2: هم‌نهشتی (نظریه اعداد) | حال که رابطه یک رابطه هم‌ارزی روی اعداد صحیح تعریف می‌کند، طبیعی است که به دنبال کلاس‌های هم‌ارزی آن باشیم. اگر برای هر عدد صحیح a کلاس هم‌ارزی a به پیمانه m را با نماد نشان دهیم، داریم: پس ولذا در نتیجه برطبق قوانین حاکم بر کلاس‌های هم‌ارزی برای هر دو عدد صحیح a,b داریم اگر و فقط اگر همانند همه روابط هم‌ارزی، رابطه هم‌ارزی مجموعه اعداد صحیح را به کلاس‌های هم‌ارزی خود افراز می‌کند. با کمی دقت در کلاس‌های هم‌ارزی این رابطه به سادگی می‌توان نشان داد که رابطه مجموعه اعداد صحیح را به دقیقاً m کلاس هم‌ارزی افراز می‌کند. مجموعه خارج قسمت (مجموعه همه کلاس‌ها هم‌ارزی) رابطه هم‌ارزی به پیمانه را با نشان می‌دهیم و آن را مجموعه اعداد صحیح به پیمانه m می‌نامیم. حلقۀ اعداد صحیح به پیمانه دیدیم که رابطه همنهشتی به پیمانه m مجموعه اعداد صحیح را به m کلاس هم‌ارزی افراز می‌کند و مجموعه خارج قسمت آن مجموعه اعداد صحیح به پیمانه m است که به صورت زیر تعریف می‌شود: اعمال روی برای هر به صورت زیر تعریف می‌شود. به سادگی می‌توان تحقیق نمود که به همراه این اعمال تشکیل یک حلقه جابجایی یکدار را می‌دهد. خواص همنهشتی‌ها قضیۀ ۲ طرفین دو رابطه همنهشتی به یک پیمانه را می‌توان باهم جمع یا در هم ضرب کرد. به عنوان مثال می‌دانیم که دو طرف یک رابطه تساوی را می‌توان بر عددی صحیح ناصفر تقسیم نمود. قضیه زیر بیان می‌کند در تقسیم طرفین یک رابطه همنهشتی بر یک عامل مشترک طرفین پیمانه دچار تغییر می‌شود. قضیۀ ۴ فرض کنید c عددی صحیح ناصفر باشد و (d=(c,m در این صورت اگر آنگاه برهان ۴ چون پس m|a-b بنابراین اما چون (d=(c,m پس و در نتیجه بنابر لم اقلیدس پس پس اگر c عددی صحیح ناصفر باشد که ، اگر آنگاه همان‌طور که اشاره شد رابطه نزدیکی میان رابطه همنهشتی و نظریه بخش پذیری وجود دارد. | ## بخش 3: هم‌نهشتی (نظریه اعداد) | در این‌صورت بنابر الگوریتم تقسیم، اعداد صحیح و وجود دارند که: و ، پس و لذا ؛ پس . دستگاه کامل مانده‌ها به پیمانه دستگاه‌های کامل مانده‌ها در نظریۀ هم‌نهشتی به ویژه در حل معادلات هم‌نهشتی نقش اساسی دارند. به عبارت دقیق‌تر، در نهایت برای حل یک معادلۀ هم‌نهشتی کافی است جواب‌ها را در میان اعضای یک دستگاه کامل مانده‌ها به پیمانۀ هم‌نهشتی مورد نظر جستجو کنیم. ولی به سادگی می‌توان تحقیق کرد که هر یک از دو شرط زیر دیگری را نتیجه می‌دهد؛ لذا در متون مختلف ممکن است هر یک از این دو شرط را به عنوان تعریف ذکر کنند. م یا دسکم) به پیمانۀ می‌گوئیم هرگاه واجد شرایط زیر باشد: دارای -عضو متمایز چون باشد. در حقیقت قضیه زیر را داریم: قضیۀ ۷مجموعۀ ، یک دستگاه کامل مانده‌ها به پیمانۀ است. دستگاه مخفف مانده‌ها به پیمانه مجموعۀ از اعداد صحیح را یک دستگاه مخفف مانده‌ها (د. م یا دمم) به پیمانۀ می‌گوئیم هرگاه واجد شرایط زیر باشد: دارای عضو متمایز باشد؛ که در آن همان تابع فی اویلر است. | ## جمع‌بندی | هر عدد صحیح که نسبت به پیمانۀ اول است، با یک و فقط یکی از اعضای به پیمانۀ هم‌نهشت باشد.