موضوع مقاله: برنامه‌سازی غیرخطی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # برنامه‌سازی غیرخطی | مقدمه: برنامه ریزی غیرخطی یا بهینه سازی غیرخطی شامل مسائلی است که تابع هدف یا توابع محدودیت آن غیرخطی می باشند. | ## بخش 1: برنامه‌سازی غیرخطی | این مسئله بهینه سازی شامل تابع هدف، مجموعه توابع قیدهای مساوی و نامساوی می باشد که تابع هدف باید کمینه یا بیشینه شود. روش‌های برنامه ریزی غیر خطی روش لاگرانژ روش ضرایب لاگرانژ یک روش تبدیل مسائل بهینه سازی مقید به نامقید است. این تابع بر زیرمجموعه‌ای چون X از فضای اقلیدسی تعریف شده‌است (پس عناصر X می‌توانند بردار باشند). تابع لاگرانژ در این حالت عبارت خواهد بود از: L(x،y)=F(x)+y.(b-g(x شرایط لازم برای حل مسئله را می‌توان از طریق یافتن نقاط بحرانی تابع لاگرانژ (ماکزیمم‌سازی بدون قید) به دست آورد. روش برنامه‌ریزی درجه دوم برنامه‌ریزی درجه دوم(QP) روشی برای مینیمم سازی توابع مرتبه درجه n متغیره با m محدودیت خطی نامساوی یا مساوی یا هر دو است. مسائل برنامه‌ریزی درجه دوم ساده‌ترین فرم مسائل برنامه‌ریزی غیر خطی با محدودیت نامساوی می‌باشد. | ## بخش 2: برنامه‌سازی غیرخطی | روش گرادیان کاهشی این الگوریتم برای محدودیت‌های خطی اصلاح شده که تابع هدف و محدودیت آن‌ها غیر خطی است محسوب می‌شود. در اصل روش محدودیت‌های خطی یا خطی شده را شامل می‌شود و متغیر جدید با محدودیت تعریف خواهد شد. بیشتر روش‌های حل مسائل برنامه‌ریزی غیر خطی عمومی شامل خطی کردن مسئله و به کار بردن تکنیک برنامه‌ریزی خطی است که به‌طور خلاصه مراحل زیر طی می‌شود. به دست آوردن مدل با نقاط عملیاتی و خطی کردن تمام محدودیت‌های تابع هدف حول نقاط عملیاتی. تکرار روش برنامه‌ریزی خطی برای رسیدن به جواب مناسب با خطی کردن توابع محدودیت‌ها و تابع هدف و چنانچه به جواب مناسب نرسید با خطی کردن دوباره محدودیت‌ها و توابع هدف حول نقطه جدید optimum مسئله پیدا می‌شود. در روش‌های ذکر شده ممکن است روش به همگرایی نرسد و این خود یکی از معایب روش‌های فوق است به واقع بهترین الگوریتم عمومی حاضر استفاده از الگوریتم گرادیان کاهش یافته عمومی است. | ## بخش 3: برنامه‌سازی غیرخطی | کاربرد برنامه سازی غیر خطی یکی از مسائل پرکاربرد و معمول برای توابع غیر خطی و برنامه‌سازی غیر خطی مسائل مربوط به بهینه‌سازی است. مثلاً بهینه‌سازی هزینه حمل و نقل با انتخاب روش یا روش‌هایی از میان چندین روش نقل و انتقال است که هرکدام ظرفیت‌ها و محدودیت‌های متفاوتی دارند. به عنوان مثال نقل و انتقال نفت خام با انتخاب روش‌های ترکیبی از خط لوله، تانکر، راه آهن، حمل کننده‌های دریایی که هرکدام توابع هزینه‌ای متفاوتی دارند می‌تواند در نهایت به ما یک تابع غیر خطی از هزینه بدهد. نمایش فرمولی مسئله‌های بهینه‌سازی مسئله بهینه‌سازی می‌تواند به صورت‌های مختلفی بیان شود مثلاً یکی از ساده‌ترین حالت‌ها این است که به صورت زیر بیان شود: برای بیشینه کردن بعضی از متغیرها مانند توان عملیاتی محصول یا برای کمینه کردن تابع هزینه در جایی که داریم: روش‌های حل مسئله اگر تابع هدف مسئله به صورت f یک تابع خطی باشد و فضای محدوده یک Polytope باشد این مسئله یک مسئله برنامه‌نویسی خطی است که با روش‌های خطی شناخته شده به راحتی حل می‌شود. اگر تابع هدف نسبت تابعی مقعر (Concave) و محدب (Convex) باشد و محدودیت‌ها به صورت محدب باشد، این مسئله می‌تواند به یک مسئله بهینه‌سازی محدب تبدیل شود که در آن از تکنیک‌های برنامه‌نویسی کسری استفاده می‌شود. یکی دیگر از این روش‌ها استفاده از روش شاخه و حد است که مسئله در آن به زیر بخش‌هایی برای حل به صورت محدب یا تقریب خطی تقسیم می‌شود. | ## جمع‌بندی | یک مسئله ساده می‌تواند با محدودیت‌های زیر تعریف شود: x۱ ≥ ۰ x۲ ≥ ۰ x۱۲ + x۲۲ ≥ ۱ x۱۲ + x۲۲ ≤ ۲ با تابع هدفی به صورت زیر که باید بیشینه شود: f(x) = x۱ + x۲ درحالی که: (x = (x۱، x۲.