موضوع مقاله: تابع دیریکله | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # تابع دیریکله | مقدمه: تابع دیریکله تابعی است که در سال ۱۸۲۹ توسط ریاضیدان آلمانی، یوهان پتر گوستاف لوژون دیریکله معرفی شد و چنین تعریف می‌شود: اگر آنگاه یعنی اگر x عددی گویا باشد، مقدار تابع دیریکله ۱ و اگر x عددی گنگ باشد، مقدار تابع دیریکله ۰ خواهد شد. | ## بخش 1: تابع دیریکله | از جمله ویژگی‌های مهم تابع دیریکله این است که در هیچ نقطه‌ای از (اعداد حقیقی) پیوسته نمی‌باشد. اثبات ناپیوستگی تابع دیریکله ادعا می‌کنیم که تابع دیریکله در هیچ نقطه‌ای از پیوسته نیست. اگر c عددی گویا باشد، فرض می‌کنیم (xn) دنباله‌ای از اعداد گنگ باشد که به c همگراست.بنابر نتیجه‌ای از قضیه چگالی که بیان می‌کند: «اگر x و y دو عدد حقیقی با شرط x<y باشند، آنگاه عددی گنگ مانند z وجود دارد که x<z<y»، چنین دنباله‌ای وجود دارد. از طرفی دیگر، اگر b یک عدد گنگ باشد، فرض می‌کنیم (yn) دنباله‌ای از اعداد گویا باشد که به b همگراست.بنابر قضیه چگالی که بیان می‌کند: «اگر x و y دو عدد حقیقی با شرط x<y باشند، آنگاه عددی گویا مانند r وجود دارد که x<r<y»، چنین دنباله‌ای وجود دارد. تابع ناپیوسته در همه جا در ریاضیات، یک تابع ناپیوسته در همه جا، که یک تابع همه جا ناپیوسته نیز خوانده می‌شود، یک تابع است که در هر نقطه‌ای از دامنه اش پیوسته نیست. | ## بخش 2: تابع دیریکله | اگر f یک تابع از اعداد حقیقی باشد، آنگاه (f(x در هیچ نقطه‌ای پیوسته نخواهد بود اگر برای هر x یک ε > ۰ وجود داشته باشد به طوری که برای هر δ > ۰ بتوانیم یک y پیدا کنیم به طوری که |x − y| < δ and |f(x) − f(y)| ≥ ε اهمیت این عبارت در این است که بدون توجه به اینکه ما به یک نقطه ثابت چقدر نزدیک هستیم، نقاطی نزدیکتر به نقطه مورد نظر وجود دارند به طوری که در آن نقاط تابع هیچ همسایگی ندارد. تعریف کلی تر این نوع توابع را می‌توان با جایگرینی تابع فاصله به جای مقدار مطلق در یک فضای متری، یا با استفاده از تعریف پیوستگی در یک فضای توپولوژیک بدست آورد. مثالی از چنین توابعی تابع شاخص اعداد گویا هستند، که با تابع دیریکله هم شناخته می‌شوند. این تابع به صورت IQ نوشته می‌شود و دارای دامنه و هم دامنه‌ای برابر با اعداد حقیقی هستند. اگر در یک سری همسایگی‌ها در y به تابع نگاه بیندازیم، به دو مورد برخورد می‌کنیم: اگر y گویا باشد، آنگاه f(y) = ۱. | ## بخش 3: تابع دیریکله | برای اینکه نشان دهیم این تابع در y پیوسته نیست، نیاز به یافتن یک ε داریم به طوری که بدون توجه به اینکه δ چقدر کوچک انتخاب شود، یک نقطه مانند z در فاصله δ از y وجود دارد به طوری که (f(z در داخل محدوده با فاصله ε از f(y) = ۱ قرار نمی‌گیرد. از آنجا که اعداد ناگویا بر روی اعداد حقیقی مجموعه متراکم به حساب می‌آیند، بدون توجه به δ انتخاب شده، می‌توانیم یک z ناگویا در فاصله δ از y و پیدا کنیم، و f(z) = ۰ حداقل به اندازه ۱/۲ از ۱ فاصله دارد. عیناً، می‌توانیم ε = ۱/۲ را انتخاب کنیم، و حال، از آنجا که اعداد گویا بر روی اعداد حقیقی فشرده هستند، می‌توانیم یک z را به گونه‌ای انتخاب کنیم که یک عدد گویا باشد و به اندازه کافی به y نزدیک باشد. تابع دیریکله را می‌توان به صورت یک حد مقطه‌ای دوگانه یک توالی از توابع پیوسته بازسازی کرد: که j و k اعداد صحیح هستند. این تابع نمی‌تواند تابع بیر کلاس ۱ باشد زیرا یک تابع بیر کلاس ۱ تنها می‌تواند بر روی یک مجموعه محدود ناپیوسته باشد. | ## جمع‌بندی | در حالت کلی، اگر E زیرمجموعه‌ای از فضای توپولوژیک X باشدبه طوری که هر دوی E و مکمل E چگال باشند، آنگاه تابع با مقدار حقیقی که مقدار ۱ را بر روی E و ۰ را بر روی مکمل E برمی‌چیند، هیچ جا پیوسته نخواهد بود.