موضوع مقاله: نمودار نایکوئیست | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # نمودار نایکوئیست | مقدمه: بیشترین استفاده‌ای که از این نمودار می‌شود، تشخیص پایداری سیستم‌های دارای فیدبک است. | ## بخش 1: نمودار نایکوئیست | در محور افقی قسمت حقیقی تابع تبدیل رسم می‌شود و در محور عمودی قسمت موهومی آن رسم می‌شود. قضیه نایکوئیست در سال ۱۹۳۲ فردی به نام «نایکویست» از قضیه «کوشی» (Cauchy) استفاده کرد و در آن یک تابع از متغیرهای مختلط را در نظر گرفت تا به عنوان یک معیار در پایداری سیستم‌ها مورد استفاده قرار گیرد. به دلیل اینکه مطلوب است ریشه های معادله مشخصه در نیم صفحه راست محور jω قرار گیرد، ما کانتوری که کل نیم صفحه راست را احاطه می کند (توسط تابع تبدیل سیستم) نگاشت می‌دهیم. معادله مشخصه زیر را در نظر بگیرید: این معادله مشخصه در واقع یک تابع F(S) از متغیر مختلط S است که برابر با صفر قرار داده شده باشد: معادله فوق را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت: در این رابطه، ziها برابر با ریشه‌های معادله مشخصه و Pjها برابر با قطب‌های تابع تبدیل حلقه باز سیستم یا GH هستند. سپس برای سادگی از یک در 1+GH صرف نظر می‌کنیم و کانتورها را به صفحه GH نگاشت می‌کنیم. کانتورهایی که در این مرحله به دست می‌آیند، اطلاعاتی را درباره ریشه‌هایی به دست می‌دهند که دارای قسمت حقیقی مثبت هستند. قضیه کوشی قضیه کوشی قادر است که اطلاعاتی را درباره تعداد صفرهای مربوط به تابع F(S) فراهم کند که قسمت حقیقی مثبت دارند. | ## بخش 2: نمودار نایکوئیست | در مورد بررسی پایداری یک سیستم، قضیه را باید به معادله مشخصه آن اعمال کرد که به صورت زیر نوشته می‌شود: (1) در این معادله F(S) معمولا به صورت زیر بیان می‌شود: حال اگر قضیه کوشی را به معادلات ۱ و ۲ اعمال کنیم، به صورت زیر خواهد بود. اگر: یک کانتور در صفحه S را نگاشت کنیم که صفرهای Z و قطب‌های P مربوط به F(S) را محاصره کرده‌اند. آنگاه: کانتور متناظر (یا تصویر) در صفحه F(S)، مبدا را به اندازه N = Z – P بار در جهت ساعتگرد دور می‌زند. این قضیه را می‌توان توسط رابطه زیر خلاصه کرد: در این رابطه، P تعداد قطب‌های تابع F(S) و Z تعداد صفرها یا ریشه‌های F(S) و N تعداد دور زدن‌های مبدا در صفحه F(S) است. برای نگاشت GH(S)، معادله شماره ۳ را اعمال می‌کنیم، اما این بار N را برابر با تعداد دور زدن‌های ساعت‌گرد نقطه 1- در صفحه GH فرض می‌کنیم. برای تعداد زیادی از کاربردها، GH(S) را در فرم فاکتوری زیر می‌توان نوشت: در این رابطه siها برابر با صفرهای تابع تبدیل حلقه باز هستند. حال با یافتن تصویر یا نگاشت در صفحه GH به جای صفحه F(S)، از اضافه شدن یک به محاسبات جلوگیری می‌کنیم. | ## بخش 3: نمودار نایکوئیست | معیار پایداری نایکویست پایداری یک سیستم را می‌توان با جست و جوی نیمه راست صفحه S برای صفرها یا ریشه‌های معادله مشخصه (F(S)=1+GH(S)=0) تعیین کرد. اگر هیچ ریشه‌ای در سمت راست صفحه قرار نگرفته باشد، آن‌گاه می‌توان گفت که سیستم پایدار است. حال می‌توان رویه‌ای معین را برای جست‌و‌جوی نیمه راست صفحه و ارتباط پایداری سیستم با نمودار قطبی به دست آورد که معیار پایداری نایکویست نام دارد. محور jω مثبت در صفحه S که در نمودارهای قطبی مورد استفاده قرار می‌گیرد، به یک کانتور بسط داده می‌شود که تمام نیم صفحه راست را در بر بگیرد. اگر بدانیم که هیچ کدام از ریشه‌های معادله مشخصه فراتر از یک منطقه خاص قرار نمی‌گیرند، آن‌گاه می‌توانیم از یک شعاع کوچک‌تر استفاده کنیم. برای نگاشت کانتور نایکویست صفحه S به صفحه GH، ما از صفحه GH استفاده می‌کنیم که برابر است با: این تغییر در تابع نگاشت بسیار ساده است؛ زیرا ما همواره GH(S) را در فرم فاکتوری به صورت زیر می‌شناسیم: حال می‌توانیم معیار پایداری لیاپانوف را به صورت زیر بیان کنیم: زمانی که کانتور نایکویست توسط تابع تبدیل حلقه باز GH(S) به صفحه GH(S) نگاشت شود، آن‌گاه یکی از دو حالت زیر اعمال می‌شود: حالت اول: زمانی که هیچ کدام از قطب‌های GH(S) در نیمه راست صفحه S نباشند، سیستم کنترل فیدبک متناظر یک سیستم پایدار محسوب می‌شود اگر و فقط اگر کانتور تصویر کانتور نایکویست نقطه –1+j0 را در صفحه GH(S) دور نزند. | ## جمع‌بندی | حالت دوم: زمانی که تعداد قطب‌های GH(S) در سمت راست صفحه S غیر صفر باشد، سیستم کنترل فیدبک متناظر پایدار محسوب می‌شود اگر و فقط اگر کانتور تصویر کانتور نایکویست نقطه –1+j0 را در جهت پادساعتگرد به اندازه تعداد قطب‌های GH(S) با بخش حقیقی مثبت، دور بزند.