موضوع مقاله: عملگرهای خلق و فنا | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # عملگرهای خلق و فنا | مقدمه: عملگرهای خلق و فنا، عملگرهای ریاضی هستند که کاربردهای گسترده‌ای در مکانیک کوانتومی، بخصوص در مطالعه نوسانگرهای هارمونیک و سیستم‌های چند ذره‌ای دارند. | ## بخش 1: عملگرهای خلق و فنا | در بسیاری از زیر مجموعه‌های رشته فیزیک و شیمی از این عملگرها به جای تابع‌های موج استفاده می‌شود که به کوانتش ثانویه معروف است. همچنین واکنش ویژه‌ای در مقابل عملگرهای پله‌ای برای نوسانگرهای هارمونیک کوانتومی دارند. در مرحله بعدی عملگرهای افزاینده به عنوان عملگرهای خلق در نظر گرفته می‌شود؛ که یک کوانتوم انرژی را به سیستم نوسانگر اضافه می‌کند، (به همین شکل برای عملگر کاهنده). ریاضیات مربوط به عملگرهای خلق و فنا برای بوزون‌ها با عملگرهای نوسانگر هارمونیک کوانتوم یکسان است. برای مثال جابجایی عملگرهای خلق و فنا که مربوط به حالت یکسان بوزونها هستند، برابر یک است. استنتاج فرمولهای نوسانگر هارمونیک کوانتومی در زمینه نوسانگر هارمونیک کوانتوم، ما بار دیگر عملگرهای پله‌ای را به عنوان عملگرهای خلق و فنا در نظر می‌گیریم که کوانتوم ثابت انرژی را به سیستم نوسانگر اضافه یا کم می‌کنند. عملگرهای خلق و فنا برای بوزون‌ها (اسپین صحیح) و فرمیون‌ها (اسپین نیمه صحیح) متفاوت است. کار را با معادله شرودینگر برای زمان یک بعدی مستقل نوسانگر کوانتومی هارمونیک، شروع کنید: و معادله شرودینگر برای نوسانگر می‌شود: توجه کنید که مقدار همان انرژی بدست آمده برای کوانتوم نوری است و پرانتزها در هامیلتونی را می‌توان بدین شکل نوشت: دو عبارت را می‌توان با در نظر گرفتن تأثیر آن‌ها بر تابع قراردادی (f(q ساده کرد: که بیان می‌کند: بنابراین: و معادله شرودینگر برای نوسانگر با جابجایی معادله بالا و ترتیب مجدد فاکتورگیری از بدین شکل در می‌آید: اگر ما تعریف کنیم: را به عنوان عملگر خلق یا افزاینده و را به عنوان عملگر فنا یا کاهنده، سپس معادله شرودینگر برای نوسانگر بدین صورت در می‌آید: این بسیار آسان‌تر از شکل اولیه است. ساده کردن بیشتر این معادله، فرد را قادر می‌سازد تا تمام خواص فهرست بندی شده تا بحال را بدست آورد. با فرض اینکه که در آن عملگر "P" همان عملگر تکانه بدون بعد است، خواهیم داشت: و توجه داشته باشید که این‌ها بیان می‌کنند: در مقایسه با عملگرهای به اصطلاح نرمال ریاضی، که نماد مشابه‌ای دارند (e.g. با یک در بینهایت r.h.s معادله قبلی به جای صفر جایگزین خواهد شد؛ که در نتیجه یک مجموعه یکسان ویژه تابع یا ویژه توزیع را برای و خواهد داشت. بنابر این اگرچه در مورد حاضر وجود دارد رفتار صریح با عملگرهای غیرعادی رابطه تبدیل را می‌دهد، عملگر هامیلتونی می‌تواند بیان شود بعنوان: و رابطه‌های جابجایی زیر را با هامیلتونی می‌دهد.[۴] از این رابطه‌ها می‌توان برای پیدا کردن ویژه حالت نوسانگر هارمونیک کوانتومی استفاده کردو با فرض اینکه یک ویژه حالت هامیلتونی است. | ## بخش 2: عملگرهای خلق و فنا | با استفاده از این رابطه‌های جابجایی می‌توان نشان داد که[۵]: این مسئله نشان می‌دهد که و همچنین ویژه حالت هامیلتونی با ویژه مقدارهای و می‌باشند. این مسئله عملگرهای و را به عنوان عملگرهای کاهنده و افزاینده عین ویژه حالتها مشخص می‌کند. حالت پایه را می‌توان با این فرض بدست آورد که عملگر کاهنده آن را از بین می‌برد، . سپس از هامیلتونی برحسب عملگرهای افزاینده و کاهنده استفاده می‌کنیم تابع موج در طرف راست / عبارت غیر صفر است. مانند[۶] علاوه بر این می‌توان نشان داد عملگری که در اول ذکر شد یعنی عملگر عددی مهم‌ترین نقش را در کاربردها ایفا می‌کند. کاربردها حالت پایه نوسانگر هامونیک کوانتومی را می‌توان با ایجاد این حالت بدست آورد که: . اگر تابع موج بشکل یک معادله دیفرانسیلی نوشته شود واجد چنین شرایطی خواهد بود: که حل آن بشکل زیر است: مقدار ثابت c نرمالیزاسیون را می‌توان از با استفاده از انتگرال گاوسی بدست آورد. نمایش ماتریسی معادله‌های ماتریسی عملگرهای خلق و فنا بدست آمده از مدل نوسانگر هارمونیک کوانتومی چنین می‌باشند: با جابجایی به طرف پایین عملگرهای پله‌ای بدست می‌آیند که می‌توان از طریق رابطه‌های و . تابع‌های موج تابع‌های نوسانگر هارمونیک کوانتومی بوده و برخی اوقات مبنای ددی نامیده می‌شوند. جزئیات ریاضی عملگرهای استنتاج شده در بالا در واقع یک نمونه ویژه از یک طبقه کلی‌تر از عملگرهای خلق و فنا هستند. فرض کنید H فضای ذره‌ای هیلبرت است برای بدست آوردن هندسه بوزونی CCR به هندسه به وجود آمده با (a(f به ازای هر f در H مراجعه کنید. اگر "کت" نرمالیزه شود به‌طوری‌که " براکت =۱ " و سپس (a†(f) a(f تعداد ذرات در حالت " کت " را می‌دهد. | ## بخش 3: عملگرهای خلق و فنا | عملگرهای خلق و فنا برای معادلات واکنش انتشار وضیح علگرهای خلق و فنا همچنین برای تجزیه و تحلیل معادلات /معمول کنش و واکنش سفید بوده‌است. برای مثال قسمتی که در آن گازی با مولکول‌های A پخش شده و در برخورد واکنش نشان می‌دهد و یک محصول را به وجود می‌آورد. برای اینکه ببینیم این نوع واکنش را چگونه می‌توان با فرمول عملگرهای خلق و فنا توضیح داد ذرات را در محل در شبکه یک بعدی در نظر بگیرید. هر ذره به‌طور مستقل پخش می‌شود، به‌طوری‌که این احتمال که یکی از آن‌ها محل را در زمان‌های کوتاه ترک کند به نسبت است، برای مثال برای رفتن به چپ و برای رفتن به راست. یک تغییر کوچک عملگرهای خلق و فنا لازم است، به‌طوری‌که: و این تغییر رابطه جابجایی را حفظ می‌کند. , اما به ما این امکان را می‌دهد که رفتار خالص پخش ذرات را بدین شکل بنویسیم: دوره واکنش با توجه به اینکه ذرات می‌توانند به صورت مختلف واکنش نشان دهند، کاهش می‌یابد. به‌طوری‌که احتمال فنا شدن یک جفت بوده و احتمال اینکه هیچ جفتی از بین نرود است؛ که می‌دهد: بدست می‌آید: سایر واکنش‌ها را می‌توان به روشی مشابه در اینجا گنجاند. این نوع عبارت به ما اجازه می‌دهد که از روش‌های نظری میدان کوانتومی را در تجزیه و تحلیل سیستم‌های واکنش – پخش استفاده کنیم. عملگرهای خلق و فنا در تئوریهای میدان کوانتومی در تئوری‌های میدان کوانتومی و مسایل /چندگانه فرد بامجموع عبارات که در آن اعداد مرکب هستند کار می‌کند. در حالی که عملگرهای خلق و فنا هستند که ویژه مقدارهای عملگرهای عددی را افزوده یا کاهش می‌دهند؛ برای یک در شباهت با نوسانگر هارمونیک. عملگرهای عددیتمام مقدارهای صحیح غیرمنفی را می‌گیرند، و رابطه‌های جابجایی غیر جزئی چنین هستند: که در آن [. | ## جمع‌بندی | این مسئله برای بوزون‌ها صحت دارد، در حالی که برای فرمیون‌ها جابجاگر بایستی با غیرجابجاگر جایگزین شوند، در نتیجه در مورد فرمیونها، عملگر عددی تنها دارای ویژه مقدارهای ۰ و ۱ است.