موضوع مقاله: جبر مجموعه‌ها | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # جبر مجموعه‌ها | مقدمه: همچنین روشی اصولی برای ارزیابی عبارات و انجام محاسبات شامل این عملیات و روابط فراهم می‌کند. | ## بخش 1: جبر مجموعه‌ها | جبر مجموعه‌ها خواص و قوانین مجموعه، تقاطع و متمم و روابط برابری و شمول مجموعه‌ها را بیان می‌کند. همچنین روشی اصولی برای ارزیابی عبارات و انجام محاسبات شامل این عملیات و روابط فراهم می‌کند. (عملگر همان اجتماع، عملگر همان اشتراک و عملگر متمم بیانگر متمم مجموعه است) پایه جبر مجموعه‌ها مجموعه‌ای نظری مشابه جبر اعداد است. درست مانند جمع حسابی و ضرب که دارای خاصیت انجمنی (شرکت پذیری) و جا به جایی اند، اجتماع و اشتراک نیز این خواص را دارند. درست مانند رابطهٔ حسابی «کوچکتر مساوی» که خواص بازتابی، پاد متقارن و متعدی است، در نظریهٔ مجموعه‌ها نیز عملگری به نام «زیرمجموعه بودن» دارای این خواص است. جبر مجموعه‌ها، جبری از عملیات اجتماع، اشتراک و متمم، و روابط برابری و شمول نظریهٔ مجموعه‌ها است. برای یک آشنایی ساده با مجموعه‌ها، به مقالات مجموعه (ریاضی) نگاه کنید، برای یک آشنایی بیشتر و عمیق‌تر، نظریه طبیعی مجموعه‌ها را ببینید، و برای بررسی دقیق و کامل نظریهٔ مجموعه‌ها، نظریه مجموعه‌ها را ببینید. قوانین بنیادی جبر مجموعه‌ها عملیات باینری اجتماع(∪) و اشتراک(∩) خواصی را به وجود آورده‌اند که برخی از این خواص یا «قوانین» دارای نام‌های به خصوص و مشهوری هستند: قانون جابه جایی: قانون شرکت پذیری: قانون پخشی: شباهت بین اجتماع و اشتراک مجموعه‌ها، و جمع و ضرب اعداد، کاملاً قابل توجه است. مانند جمع و ضرب، عملیات اجتماع و اشتراک دارای خواص جابجایی و شرکت‌پذیری هستند، و اشتراک بر روی اجتماع پخش پذیر است. | ## بخش 2: جبر مجموعه‌ها | دو قانون دیگر شامل مجموعه‌های خاصی با نام مجموعهٔ تهی (∅) و مجموعه جهانی (U) می‌شود؛ که متمم یکدیگرند. مجموعهٔ تهی هیچ عضوی ندارد، و مجموعهٔ جهانی است شامل همهٔ اعضای امکان‌پذیر است (در یک زمینه خاص). قانون هویت: قانون متمم: قوانین هویت (همراه با قوانین جابجایی) می‌گویند که، درست مثل ۰ و ۱ برای جمع و ضرب، ∅ و U عناصر هویت برای اجتماع و اشتراک‌اند. با این حال قوانین مکمل، باعث به وجود آمدن خاصیتی بنیادی از عمل یگانی متمم که تا حدودی شبیه معکوس است، می‌شود. پنج قانون یادشده - جابجایی، شرکت پذیری، پخش پذیری، هویت و متمم – تمام جبر مجموعه‌ها را در بر می‌گیرد، به این معنا که هر گزاره معتبر در جبر مجموعه‌ها می‌تواند از آن‌ها استنتاج شود. توجه داشته باشید که اگر قوانین مکمل به قانون تقلیل داده شود، این دقیقاً همان جبر منطق خطی است. اصل دوگانگی هر جفت از خواص مطرح شده در بالا را می‌توان با جایگزینی ∪ به جای ∩ و برعکس و همچنین ∅ به جای U و برعکس، به یکدیگر تبدیل نمود. اینها مثال‌هایی از یکی از ویژگی‌های بسیار مهم و قدرتمند جبر مجموعه‌ها یعنی، اصل دوگانگی است، که ادعا می‌کند که برای هر عبارت درست در مورد مجموعه‌ها، عبارت دوگان توسط تبادل اجتماع‌ها و اشتراک‌ها و همچنین تبادل U و ∅ به دست می‌آید که این عبارت نیز درست است. چند قانون دیگر برای اجتماع و اشتراک گزاره زیر، شش قانون مهم دیگر از جبر مجموعه‌ها -شامل اجتماع‌ها و اشتراک ها- را بیان می‌کند. | ## بخش 3: جبر مجموعه‌ها | گزاره ۳: هر زیر مجموعه‌ای از مجموعهٔ جهانی U، مانند A و B، خواص زیر را دارا می‌باشند: قوانین همانی: قوانین غلبه: قوانین جذب: همان‌طور که در بالا اشاره شد، هر یک از قوانین مندرج در گزاره ۳ را می‌توان از پنج قانون بنیادی استنتاج کرد. اثبات: طبق قانون هویت اشتراکطبق قانون متمم اجتماعطبق قانون پخش‌پذیری اجتماع بر روی اشتراکطبق قانون متمم اشتراکطبق قانون هویت اجتماع اثبات زیر نشان می‌دهد که دوگان اثبات فوق، اثبات «دوگان قانون همانی برای اجتماع»، یعنی «قانون همانی برای اشتراک» است. اثبات: طبق قانون هویت اجتماعطبق قانون متمم اشتراکطبق قانون پخش‌پذیری اشتراک بر روی اجتماعطبق قانون متمم اجتماعطبق قانون هویت اشتراک اشتراک دو مجموعه را می‌توان با عملگر «تفاضل دو مجموعه» بیان کرد: چند قانون دیگر برای متمم گزارهٔ زیر چند قانون مهم‌تر در باب متمم‌ها را بیان می‌کند: گزارهٔ ۴: فرض کنید A و B، زیرمجموعه‌هایی از مجموعهٔ جهانی U باشند: قوانین دمورگان:یکی از قوانین مهم که به افتخار کاشف آن نامگذاری شده. مکمل دوتایی یا قانون همانی: قوانین متمم برای مجموعهٔ جهانی و مجموعهٔ تهی: توجه کنید که مکمل دوتایی، خود-دوگان است. گزارهٔ بعدی، که آن هم خود-دوگان است، بیان می‌کند که متمم یک مجموعه تنها مجموعه‌ای است که قوانین متمم برایش صادق است. گزارهٔ ۵: فرض کنید A و B، زیرمجموعه‌هایی از مجموعهٔ جهانی U باشند: همتایی متمم: اگر و ، آنگاه جبر شمول گزارهٔ زیر بیان می‌کند که شمول دارای خاصیت ترتیب است: گزارهٔ 6: B , A و C سه مجموعه هستند: بازتابی: پادتقارنی: و اگر و تنها اگر تراگذری: اگر و ، آنگاه گزاره زیر می‌گوید که برای هر مجموعه S، مجموعه توانی S، یک توری محدود است، و از این رو همراه با قوانین توزیع و متمم فوق، نشان داده می‌شود که یک جبر بولی است. گزارهٔ ۷: اگر B , A و C سه زیرمجموعه از S باشند: وجود کوچک‌ترین عضو و بزرگ‌ترین عضو: وجود سوپریمم: اگر و ، آنگاه وجود اینفیمم: اگر و ، آنگاه گزارهٔ زیر بیان می‌کند که عبارت معادل عبارت‌های دیگر از جمله اشتراک، اجتماع و مکمل است. | ## جمع‌بندی | گزارهٔ ۸: برای هر دو مجموعهٔ A و B عبارت‌های زیر همگی معادل اند: گزاره فوق نشان می‌دهد که رابطهٔ شمول می‌تواند با عملگرهای اجتماع یا اشتراک مشخص شود.