موضوع مقاله: عدد اول مرسن | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # عدد اول مرسن | مقدمه: اعداد اول مرسن ، اعداد اولی به فرم هستند که به افتخار نام کشیش فرانسوی مارین مرسن ، به این نام خوانده می‌شوند. | ## بخش 1: عدد اول مرسن | چرا که مرسن در زمینهٔ اول بودن این نوع اعداد اظهار نظری نادرست اما محرک کرده بود. اولین اعداد مرسن اعداد زیر هستند: ۳، ۷، ۳۱، ۱۲۷، ۸۱۹۱، ۱۳۱۰۷۱، ۲۱۴۷۴۸۳۶۴۷ و … که متناظر هستند با … ،۸۹ ،۶۱ ،۳۱ ،۱۹ ،۱۷ ،۱۳ ،۷ ،۵ ،۳ ،۲ =n اثبات چند قضیه کاربردی در این رابطه قضیه اول: اگر اول باشد، نیز باید خود اول باشد. یعنی به ازای مرکبی، اول است؛ در این صورت می‌توان را به صورت ضرب دو عدد غیر یک نوشت. پس: پس اگر زوج باشد، طبق اتحاد مزدوج و اگر فرد باشد طبق اتحاد چاق و لاغر (لاگرانژ) به عوامل اول تجزیه می‌شود و اول نیست؛ پس به تناقض می‌رسیم و فرض خلف باطل است. اعداد مرسن و اعداد کامل (تام) بدیهی است که اعداد مرسن در مبنای دو به صورت می‌باشد که برابر است (تا یک). تعریف: عدد کامل (تام) عددی است که با مجموع مقسوم علیه‌های خود، به جز خودش، برابر باشد. آزمایش لوکاس- لمر تقسیم آزمایشی اکثراً برای تصدیق مرکب بودن یک عدد مرسن اول پنهان استفاده می‌شود. این آزمایش فوراً نشان می‌دهد که به ازای مرکب است (به ترتیب با عوامل اول ۲۳، ۴۷، ۱۶۷، ۲۶۳، ۳۵۹، ۳۸۳، ۴۷۹ و ۵۰۳). ابتدا سه قضیه زیر را مطرح می‌کنیم: اگر به پیمانه ۴ و عدد اول باشد، در این صورت ، اگر اول باشد. | ## بخش 2: عدد اول مرسن | همچنین این درست است که عوامل اول باید شکل داشته باشند که یک عدد مثبت طبیعی است و در عین حال شکل یا را داشته باشد (آسپنسکی و هیسلت ۱۹۳۹). می‌دانیم تمام اعداد کامل به صورت حاصل ضرب یک عدد اول مرسن توانی از دو می‌باشند؛ اما در مورد اعداد فرد کامل چه نظریه‌ای وجود دارد؟ اگر این چنین عددی وجود داشته باشد در این صورت، به صورت حاصل ضرب یک مربع کامل در یک عدد اول به توان فرد می‌باشد، این عدد حداقل هشت عامل اول دارد و حداقل بر ۳۷ عدد اول بخش پذیر است (لزومی ندارد که متمایز باشند)؛ این عدد حداقل در مبنای اعشاری ۳۰۰ رقم دارد؛ و یک مقسوم علیه اول بزرگ‌تر از ۱۰۲۰ دارد. این سؤال معادل با پاسخ دادن به این سؤال است که آیا تعداد نامحدودی عدد کامل زوج است. نظریه اولر: اگر باشد و اول باشد، در این صورت نیز اول است، اگر و تنها اگر باقی‌مانده تقسیم بر برابر باشد. همچنین اگر باشد و اول باشد، در این صورت عدد مرسن مرکب است (این حدس احتمالاً منطقی است از آن جایی که تعداد اعداد اولی که به ازای به صورت باشد، بی‌نهایت است). حدس جدید در بارهٔ اعداد مرسن بیتمن، سلفریج و واگستاف حدس زیر را زده‌اند: فرض کنیم هر عدد طبیعی فرد باشد؛ در این صورت اگر دو شرط اول -که در زیر آمده‌است- برقرار باشد، گزاره سوم برقرار خواهد بود: ، عدد اول باشد (بدیهی است که عدد مرسن اول است). به راحتی می‌توان نشان داد که اگر مربع عدد اول بر یک عدد مرسن تقسیم شود، در این صورت یک عدد اول ویفریچ است و این اعداد کمیاب هستند! فقط دو عدد شناخته شده‌اند که زیر ۴٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰ هستند و هیچ‌کدام از این مربع‌ها بر یک عدد مرسن بخش پذیر نیستند. | ## بخش 3: عدد اول مرسن | دیکسون کاتالان، در پاسخ این سؤال در سال ۱۸۷۶، به لوکاس اظهار داشت که ۱–۱۲۷^۲ ، به این ترتیب اول است. همان‌طور که مشخص است این اعداد در این دنباله بسیار سریع بزرگ می‌شوند: C0 = ۲ (اول) C1 = ۳ (اول) C2 = ۷ (اول) C3 = ۱۲۷ (اول) C4 = ۱۷۰۱۴۱۱۸۳۴۶۰۴۶۹۲۳۱۷۳۱۶۸۷۳۰۳۷۱۵۸۸۴۱۰۵۷۳۷ (اول) 51217599719369681879879723386331576246^10 <C5 (سؤال:آیا این عدد اول است؟) به نظر می‌آید احتمال این موضوع خیلی کم باشد که A5 (یا چند عدد بزرگ‌تر از این دنباله) اول باشد. دقت کنید که اگر در این دنباله یک عدد مرکب پیدا شود، طبق نظریه اول، تمام اعداد بعدی مرکب خواهند بود. تاریخچه در سال ۱۹۶۳ کشف شد که ۱–۱۱۲۱۳^۲ اول است، و این به وسیله بسته‌های پستی مخصوص ساخته شده با مُهرِ فرستاده شده از یوبرانا، ایلینیوس اعلام شد. در ۱۷ نوامبر ۲۰۰۳، یکی از داوطلبان GIMPS کشف چهلمین عدد مرسن را گزارش داد و این موضوع، پس از آن تأیید شد. شش ماه پس از آن، کشف چهل و یکمین عدد مرسن توسط یکی از داوطلبان این شبکه به ثبت رسید. تلاش‌های داوطلبان GIMP، این پروژه محاسباتی توزیع شده را تبدیل به کاشف هشت عدد بزرگ‌تر اعداد مرسن نمود. | ## جمع‌بندی | در واقعیت، تا فوریه همین سال، شرکت کنندگان GIMPS، تمام توان‌های قبل از ۹٬۸۸۹٬۹۰۰ را امتحان کردند و حتی دو بار چک کردند و همه توان‌های پایین‌تر از ۱۵٬۱۳۰٬۰۰۰ را دست کم یک بار امتحان کردند.