موضوع مقاله: تناظر دوسویه | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # تناظر دوسویه | مقدمه: اگر این دو مجموعه متناهی باشند در این صورت وجود تناظر یک‌به‌یک میان اعضای آن‌ها نشان‌دهندهٔ این است که تعداد اعضای این دو مجموعه برابر است. | ## بخش 1: تناظر دوسویه | در مورد مجموعه‌های نامتناهی این تناظرها باعث به وجود آمدن مفهوم اعداد کاردینال شدند که روشی برای بررسی بی‌نهایت‌های متفاوت هستند. تعریف برای این که تابع f از مجموعه X و به مجموعهٔ Y دوسویی باشد باید چهار شرط زیر برقرار باشند: هر عضو مجموعهٔ X باید با حداقل یک عضو مجموعهٔ Y جفت‌شده‌باشد، هیچ عضو X نباید با بیش از یک عضو Y جفت‌شده‌باشد، هر عضو مجموعهٔ Y باید با حداقل یک عضو مجموعهٔ X جفت‌شده‌باشد و هیچ عضو Y نباید با بیش از یک عضو X جفت‌شده‌باشد. شرط‌های یک و دو گاهی به صورت یک شرط هم نوشته می‌شوند: باید هر عضو مجموعهٔ X دقیقاً با یک عضو از مجموعهٔ Y جفت شود. با توجه به این عبارت می‌توان نتیجه گرفت که یک تابع دوسویی است اگر و فقط اگر هم یک‌به‌یک باشد هم پوشا. مثال معلم در کلاس به دانش‌آموزان می‌گوید روی صندلی‌ها بنشینند و مشاهده می‌کند همه دانش‌آموزان نشسته‌اند و تمام صندلی‌ها پر هستند و نتیجه می‌گیرد تعداد دانش‌آموزان و صندلی‌ها برابر است. با بررسی ۴ شرط تعریف می‌توان نتیجه گرفت که با جفت کردن هر دانش‌آموز با صندلیش می‌توان تناظر یک‌به‌یک میان دانش‌آموزان و صندلی‌ها ایجاد کرد: تمام دانش‌آموزان نشسته‌اند (هیچ‌کدام سرپا نیست)، هیچ دانش‌آموزی روی بیش از یک صندلی ننشسته است. پس میان دانش‌آموزان وصندلی‌ها تناظر یک‌به‌یک برقرار است و در نتیجه تعداد دانش‌آموزان و صندلی‌ها برابر است. اگر ۱۱ بازیکن و ۱۱ جایگاه در ترکیب تیم در نظر بگیریم با جفت کردن هر بازیکن با جایگاهش تناظر به دست می‌آید. | ## بخش 2: تناظر دوسویه | مثال‌های ریاضی توابع دوسویی و توابع غیر دوسویی برای هر مجموعه X تابع همانی، دوسویی است. به طور کلی تمام توابع خطی به شکل f(x) = ax + b روی اعداد حقیقی دوسویی هستند اگر a مخالف صفر باشد. چون مثلاً هیچ x ای وجود ندارد که g(x)=-۱ پس این تابع پوشا نیست؛ ولی اگر هم‌دامنه را به اعداد مثبت محدود کنیم این تابع پوشا و در نتیجه دوسویی می‌شود و وارون این تابع لگاریتم طبیعی نام دارد. تابع h: R → R+, h(x) = x2دوسویی نیست چون یک‌به‌یک نیست مثلاً h(−۱) = h(1) = ۱ ولی اگر دامنه آن را به اعداد مثبت محدود کنیم یک‌به‌یک و در نتیجه دوسویی می‌شود و تابع جذر معکوسش است. معکوس یک تناظر یک‌به‌یک f با دامنهٔ X (به عبارت دیگر f: X → Y) یک رابطه را هم از Y به X تعریف می‌کند. به دلیل خواص (۳) و (۴) تعریف تابع دوسویی این رابطه یک تابع با دامنه Y هست و به دلیل خواص (۱) و (۲) تعریف این تابع پوشا و یک‌به‌یک هست. به عبارت دیگر تابع f: X → Y دوسویی است اگر و فقط اگر به ازای هر y عضو Y وجود دارد x منحصر به فرد عضو X که f(x)=y با توجه به مثال معلم و دانش‌آموزان اگر تابع را به این صورت تعریف کنیم که نام دانش‌آموز را به عنوان ورودی بگیرد و شمارهٔ صندلی او را به عنوان خروجی بدهد چون دوسویی است معکوس دارد؛ و معکوس آن تابعی است که شمارهٔ صندلی ورودی آن و نام دانش‌آموز خروجی آن است. اگر ترکیب دو تابع تابع دوسویی باشد می‌توان نتیجه‌گرفت: f تابع یک‌به‌یک و g تابع پوشا است. | ## بخش 3: تناظر دوسویه | تناظرهای یک‌به‌یک و کاردینالیتی اگر X و Y مجموعه‌های متناهی باشند میان X و Y تناظر یک‌به‌یک وجود دارد اگر و فقط اگر تعداد اعضای آن‌ها برابر باشد. در واقع در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها این به عنوان تعریف برابری تعداد اعضا استفاده شده‌است(بنداشت گسترش) یا equinumerosity ، تعمیم این به مجموعه‌های نامتناهی باعث به‌وجودآمدن مفهوم اعداد کاردینال می‌شود که روشی برای بررسی بی‌نهایت‌ها با اندازه‌های مختلف هستند. خواص یک تابع دوسویی است اگر نمایش آن با هر خط افقی و عمودی دقیقاً در یک نقطه برخورد داشته‌باشد. برای یک مجموعه مانند X، مجموعهٔ تمام تناظرها از X به خودش همراه با عملگر ترکیب توابع یک گروه را می‌سازد که نام آن گروه سیمتریک آن مجموعه است؛ و با نمادهای S(X), SX و !X(فاکتوریل) نشان داده‌می‌شود. اگر X و Y مجموعه‌های متناهی با تعداد اعضای برابر باشند و f: X → Y در این صورت گزاره‌های زیر هم ارزند: f یک‌به‌یک است. برای هر مجموعه S میان تناظرها از S به خودش و ترتیب‌های کامل اعضا تناظر یک‌به‌یک وجود دارد. به عبارت دیگر تعداد جایگشت‌ها با تعداد ترتیب‌های کامل برابر است که هر دو برابر !n هستند. | ## جمع‌بندی | تناظرهای یک‌به‌یک و نظریه رده‌ها در رده از مجموعه‌ها تناظرهای یک‌به‌یک دقیقاً یک‌ریختی‌ها هستند.