موضوع مقاله: الگوریتم انتخاب | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # الگوریتم انتخاب | مقدمه: در علوم کامپیوتر، یک الگوریتم انتخاب، یک الگوریتم برای پیدا کردن kامین کوچک‌ترین عدد در یک لیست است (به چنین عددی kامین مرتبه آماری گفته می‌شود). | ## بخش 1: الگوریتم انتخاب | انتخاب یکی از زیرمسئله‌های مسائل پیچیده‌تر مانند مسئله نزدیک‌ترین همسایه و مسئله یافتن کوتاهترین مسیر است. انتخاب با مرتب‌سازی انتخاب ممکن است با مرتب کردن لیست و سپس استخراج عنصر دلخواه، به مرتب‌سازی تبدیل شود. این روش زمانی کارآمد است که به تعداد زیادی انتخاب از یک لیست نیاز باشد، در موردی که تنها یک بار مقداردهی می‌شود، یک مرتب‌سازی پرهزینه، همراه با چندین عمل استخراج کم‌هزینه انجام می‌شود. الگوریتم‌های کمینه/بیشینه خطی الگوریتم‌های خطی، از لحاظ زمانی، برای پیدا کردن کمینه‌ها یا بیشینه‌ها این گونه کار می‌کنند که روی لیست تکرار می‌کنند و رد کمینه یا بیشینه تا هر بار نگه می‌دارند. الگوریتم کلی انتخاب غیر خطی با کمک ایده‌های مورد استفاده در الگوریتم‌های کمینه/بیشینه، ما می‌توانیم یک الگوریتم کلی ساده، ولی ناکارامد برای پیدا کردن کوچک‌ترین kامین یا بزرگ‌ترین k عنصر در یک لیست بدهیم، که نیاز به زمان دارد، که وقتی k کوچک باشد مؤثر است. برای انجام دادن آن، ما به سادگی کوچک‌ترین/بزرگ‌ترین مقدار را می‌یابیم و آن را به ابتدای بازه حرکت می‌دهیم تا به اندیس دلخواه برسیم. در رویه‌ای که بر پایهٔ افراز است و به دسترسی تصادفی نیاز دارد، می‌توان از داده‌ساختار لیست پیوندی برای پیاده‌سازی استفاده کرد. الگوریتم کلی انتخاب بر پایهٔ افراز یک الگوریتم فراگیر انتخاب که در عمل کارآمد است، اما در بدترین حالت کارایی ضعیفی دارد، توسط ابداع‌کنندهٔ مرتب‌سازی سریع، سی. در مرتب‌سازی سریع، یک زیررَویه به نام افراز وجود دارد که می‌تواند در زمان خطی، یک لیست را به دو بخش left و right تقسیم‌بندی می‌کند که یک گروه کوچک‌تر از یک عنصر خاص و گروه دیگر بزرگ‌تر یا مساوی آن عنصر خاص هستند. | ## بخش 2: الگوریتم انتخاب | اما، وقتی که انتخاب انجام می‌دهیم، از می‌دانیم که عنصر مورد نظر ما در کدام افراز قرار دارد، چون محور (انگلیسی: pivot) در محل نهایی مرتب‌شدهٔ خود قرار دارد و از همهٔ عناصر قبل از خود بزرگ‌تر و از همهٔ عناصر بعد از خود کوچک‌تر یا مساوی است. اگر محورهای نامناسب به‌طور متوالی انتخاب شوند، این رویه به انتخاب بر پایهٔ کمینه، که قبلاً گفته شد، تنزل پیدا می‌کند و در نتیجه به زمان (O(n2 نیاز پیدا خواهد کرد. الگوریتم کلی انتخاب به صورت خطی - الگوریتم میانهٔ میانه‌ها یک الگوریتم با بدترین زمان اجرای خطی برای حالت کلی انتخاب kامین بزرگ‌ترین عنصر توسط بلوم، فلوید، پرت، ریوست و ترجان در مقاله سال ۱۹۳۷ با نام «حدود زمانی برای انتخاب» منتشر شد. گاهی از این الگوریتم با نام BFPRT، که حروف اول نام خانوادگی نویسندگان آن است، یاد می‌شود. این الگوریتم بر اساس الگوریتم انتخاب سریع کار می‌کند و هم‌چنین به نام الگوریتم میانه میانه‌ها شناخته می‌شود. هرچند انتخاب سریع به‌طور میانگین دارای زمان خطی است، زمانی که محورهای ضعیفی استفاده شوند می‌تواند به زمان از درجه دوم نیاز پیدا کند (حالتی را در نظر بگیرید که در هر گام، محور در نزدیکی کوچک‌ترین عنصر انتخاب شود). راه چاره برای اینکه آن را به در بدترین حالت تبدیل کنیم این است که به‌طور پیوسته در هر گام محور مناسب را بیابیم. یک محور خوب باید به گونه‌باشد که بتوانیم اطمینان داشته باشیم نسبت ثابتی از عناصر قبل از آن و بعد از آن قرار بگیرند. سپس، برای هر گروه پنج‌تایی، میانه محاسبه می‌شود (اگر آن پنج مقدار داخل ثبّات‌ها بارگذاری شوند و مقایسه شوند، عملیات به‌طور بالقوه بسیار سریع انجام می‌شود). | ## بخش 3: الگوریتم انتخاب | (اگر مرتب‌سازی به صورت درجا صورت گیرد، این میانه‌ها به یک بلوک پیوسته در لیست منتقل می‌شوند) انتخاب به صورت بازگشتی در این زیرلیست‌های n/5 عنصری فراخوانده می‌شود تا مقدار واقعی میانه یافت شود. ویژگی‌های محور محور انتخاب شده، از نیمی از عناصر لیست میانه‌ها بزرگ‌تر و از نیمهٔ دیگر کوچک‌تر است، به‌طوری‌که در هر نیمه عنصر قرار دارند. هر کدام از این عناصر، میانهٔ ۵ عنصر است و از ۲ عنصر کوچک‌تر و از ۲ عنصر در خارج از بلوک بزرگ‌تر است. پس، محور کوچک‌تر از عناصر خارج از بلوک است، و از عنصر دیگر خارج از بلوک بزرگ‌تر است. بنا بر این، میانهٔ انتخاب شده، عناصر را به مکانی بین ۳۰٪/۷۰٪ و ۷۰٪/۳۰٪ تقسیم می‌کند. مرتبسازی چندتایی‌ها لزومی ندارد، زیرا ما تنها به میانه برای استفاده به عنوان عنصر محور نیاز داریم. توجه داشته باشید که تمام عناصر بالا/چپ خانهٔ قرمز (۳۰٪ از ۱۰۰ عنصر) کوچک‌تر از قرمز، و تمام عناصر پایین/راست خانهٔ قرمز (۳۰٪ دیگر از ۱۰۰ عنصر) بزرگتر از قرمز هستند. اثبات زمان اجرای (O(n محاسبهٔ میانه به‌طور بازگشتی، در بدترین حالت از درجه خطی بیشتر نخواهد شد، زیرا لیست میانه‌ها ۲۰٪ از اندازهٔ لیست است، در حالی که فراخوانی بازگشتی دیگر حداکثر روی ۷۰٪ لیست لیست اجرا می‌شود. | ## جمع‌بندی | بنا بر این زمان اجرا به صورت زیر می‌شود: T(n) ≤ T(n/5) + T(7n/10) + O(n) زمان (O(n ناشی از عمل افراز کردن است (ما هر عنصر را به تعداد دفعات ثابتی ملاقات می‌کنیم، تا آن‌ها را به گروه‌های (O(n دسته‌بندی کنیم و هر میانه را در زمان (O(n به دست آوریم.