موضوع مقاله: قضیه نقطه ثابت | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # قضیه نقطه ثابت | مقدمه: در ریاضیات، قضیه نقطه ثابت یا تکرار ساده قضیه‌ای است که می‌گوید در صورت برآورده‌شدن پاره‌ای از شرایط می‌توان اطمینان حاصل کرد که تابع F حداقل یک نقطهٔ ثابت مانند x دارد. | ## بخش 1: قضیه نقطه ثابت | قضیه باناخ: اگر تابعی روی یک فضای متریک فشرده انقباضی باشد، دقیقاً یک نقطهٔ ثابت دارد. قضیه براور: هر نگاشت پیوسته از یک کره‌ی بسته و محدب در فضای اقلیدسی به خودش، دست‌کم یک نقطهٔ ثابت دار در آنالیز ریاضی قضیه نقطه ثابت باناخ (۱۹۹۲) معیاری کلی ارائه می‌دهد که اگر برقرار باشد، فرایند تکرار یک تابع به نقطه ثابت منجر می‌شود. به عنوان مثال، تابع کسینوس در بازه [−۱٬۱] پیوسته است و این بازه را به خودش نگاشت می‌کند، بنابراین باید یک نقطه ثابت داشته باشد. اگر نمودار تابع y=cos⁡(x) را رسم کنیم، نقطه ثابت جایی است که این نمودار خط y=x را قطع می‌کند. قضیه نقطه ثابت لفشتز (و قضیه نقطه ثابت نیلسن) از توپولوژی جبری قابل توجه هستند زیرا به نوعی روشی برای شمارش نقاط ثابت ارائه می‌دهند. تعمیم‌های متعددی برای قضیه نقطه ثابت باناخ وجود دارد که در نظریه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) به کار می‌روند. همچنین، قضیه کلاژ در فشرده‌سازی بَرخالها ثابت می‌کند که برای بسیاری از تصاویر، توصیف نسبتاً کوچکی از یک تابع وجود دارد که وقتی به‌طور تکراری روی هر تصویر اولیه اعمال شود، به سرعت به تصویر مورد نظر همگرا می‌شود. | ## بخش 2: قضیه نقطه ثابت | در جبر و ریاضیات گسسته در جبر و ریاضیات گسسته، قضیه ناستر-تارسکی بیان می‌کند که هر تابع حفظ‌کننده ترتیب روی یک شبکه کامل، یک نقطه ثابت و در واقع کوچک‌ترین نقطه ثابت دارد. هر عبارت لامبدا یک نقطه ثابت دارد، و یک ترکیب‌کننده نقطه ثابت تابعی است که یک عبارت لامبدا را به عنوان ورودی می‌گیرد و نقطه ثابت آن عبارت را به عنوان خروجی تولید می‌کند. یک ترکیب‌کننده نقطه ثابت مهم، ترکیب‌کننده Y است که برای تعاریف بازگشتی استفاده می‌شود. در معناشناسی دنوتاسیونال زبان‌های برنامه‌نویسی، حالت خاصی از قضیه ناستر-تارسکی برای تعیین معناشناسی تعاریف بازگشتی استفاده می‌شود. در حالی که قضیه نقطه ثابت روی همان تابع (از دیدگاه منطقی) اعمال می‌شود، توسعه نظریه کاملاً متفاوت است. با این حال، در پرتو تز چرچ-تورینگ، معنای شهودی آنها یکسان است: یک تابع بازگشتی را می‌توان به عنوان کوچک‌ترین نقطه ثابت یک تابعی خاص، که توابع را به توابع نگاشت می‌کند، توصیف کرد. تکنیک تکرار یک تابع برای یافتن نقطه ثابت را می‌توان در نظریه مجموعه‌ها نیز به کار برد. | ## بخش 3: قضیه نقطه ثابت | لم نقطه ثابت برای توابع نرمال بیان می‌کند که هر تابع پیوسته و کاملاً افزایشی از اعداد ترتیبی به اعداد ترتیبی، یک (و در واقع بسیاری) نقطه ثابت دارد. هر عملگر بستار روی یک مجموعه مرتب جزئی (پوزت) نقاط ثابت زیادی دارد؛ اینها عناصر «بسته» نسبت به عملگر بستار هستند و دلیل اصلی تعریف عملگر بستار در وهله اول همین است. هر برگشت روی یک مجموعه متناهی با تعداد فردی از عناصر، یک نقطه ثابت دارد؛ به‌طور کلی، برای هر برگشت روی یک مجموعه متناهی از عناصر، تعداد عناصر و تعداد نقاط ثابت دارای همان زوجیت هستند. دُن زیگر از این مشاهدات برای ارائه یک اثبات یک‌جمله‌ای از قضیه فرما دربارهٔ مجموع دو مربع استفاده کرد، با توصیف دو برگشت روی یک مجموعه سه‌تایی از اعداد صحیح، که یکی از آنها به راحتی می‌تواند نشان دهد که فقط یک نقطه ثابت دارد و دیگری برای هر نمایش یک عدد اول داده شده (هم‌نهشت با 1 به پیمانه 4) به عنوان مجموع دو مربع، یک نقطه ثابت دارد. از آنجایی که برگشت اولی تعداد فرد از نقاط ثابت دارد، دومی نیز همینطور است و بنابراین همیشه نمایشی از فرم مورد نظر وجود دارد.. روش حل معادلات طریقه استفاده از روش برای حل معالات: شکل معادله را به صورت در بیاوریم. عددی دلخواه را به جای در قرار می‌دهیم؛ مثلاً k مقدار بدست آمده را دوباره به جای در قرار می‌دهیم. | ## جمع‌بندی | مثال حل معادله مرحله اول: در نتیجه مرحله دوم: مقدار اولیه k=۴ مرحله سوم: k=۱٫۸۹۲۰۷۱۵۰ مرحله چهارم: k=۱٫۴۴۲۴۴۹۹۴ مرحله پنجم: k=۱٫۶۱۶۹۳۸ مرحله ششم: k=۱٫۵۳۵۲۲ پس جواب معاله تا یک رقم اعشار: با انجام عمل متوالی بالا به تقریب‌های دقیق تری از جواب خواهید رسید.