موضوع مقاله: هم‌دسته | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # هم‌دسته | مقدمه: هم‌دسته‌ها در نظریه گروه‌ها، از مفاهیم اساسی برای تعریف گروه خارج قسمت هستد و در سراسر نظریه گروه‌ها به آن‌ها بر خورد می‌کنیم. | ## بخش 1: هم‌دسته | تعریف هم‌دسته‌ها مفهوم هم‌دسته‌ها در حقیقت یک بیان کلی است و هم مجموعه‌ها بر دو نوع هم‌دسته‌های راست و هم‌دسته‌های چپ تعریف می‌شوند. رابطه موسوم به رابطه راست همنهشتی (یا برای تاکید، رابطه راست همنهشتی به هنگ H) را روی G به صورت زیر تعریف می‌کنیم: به سادگی می‌توان تحقیق کرد که این رابطه یک رابطه هم ارزی روی G تعریف می‌کند. حال برای هر g∈G کلاس هم ارزی g نسبت به رابطه راست همنهشتی را با [g] نشان می‌دهیم و داریم: پس: حال با تغییر در نماد گذاری قرار می‌دهیم: این مجموعه را اصطلاحاً، هم‌دسته‌ها(هم دسته) راست H در G تولید شده توسط g می‌گوییم. با توجه به تعریف و خواص کلاس‌های هم ارزی، خواص زیر را برای هر a،b∈G داریم: توجه داشته باشید که خود H نیز یک هم‌دسته‌ها راست G است چون H=He. توضیح نمادگذاریاز آنجا که دو نماد گذاری جمعی(+) و ضربی(.) برای نمایش عمل یک گروه وجود دارد می‌توان رابطه راست هم نشهتی را با نماد جمعی نیز تعریف نمود که در این صورت خواهیم داشت: و به عنوان مثال گروه {Z۴ = {۰، ۱، ۲، ۳ را در نظر بگیرید. در این صورت هم مجموعه‌های راست H در G عبارت‌اند از: {H+۰={۰،۲ {H+۱={۱،۳ وضوحاً لازم به محاسبه H+۲ و H+۳ نیست چون هر یک از آن‌ها بنابر خواص پیش تر ذکر شده به ترتیب با H+۰ و H+۱ برابر هستند. در مثال فوق مشاهده می‌کنید که تعداد اعضای هم مجموعه‌های راست متمایز H در G با هم برابر است. در این صورت به آسانی می‌توان تحقیق نمود که این تابع یک تناظر یک به یک(تابعی یک به یک و پوشا) از Ha به Hb است و برهان قضیه کامل می‌شود. | ## بخش 2: هم‌دسته | این مطلب نتیجه‌ای مهم و در عین حال ساده در بر دارد و آن این است که چون خود H نیز یک هم‌دسته‌ها راست G است، برای هر g∈G تعداد اعضای Hgبا تعداد اعضای H برابر است. هم‌دسته‌ها چپ طبیعی است که همانطور هم‌دسته‌ها راست زیرگروه H از گروه G را تعریف کردیم، هم‌دسته‌ها چپ آن را نیز تعریف کنیم. برای این منظور رابطه موسوم به رابطه چپ همنهشتی(یا برای تاکید، رابطه چپ همنهشتی به هنگ H)، را روی گروه G به صورت زیر تعریف می‌کنیم: در این صورت همانند رابطه راست همنهشتی، این رابطه نیز یک رابطه هم ارزی در G است و برای هر g∈G کلاس هم ارزی g عبارت است از: که باز با تغییر نماد گذاری این مجموعه را با نشان می‌دهیم و آن را یک هم‌دسته‌ها چپ H در G تولید شده توسط g می‌گوییم. با توجه به تعریف و خواص کلاس‌های هم ارزی، خواص زیر را برای هر a،b∈G داریم: توجه داشته باشید، چون eH=H پس H نیز یک هم‌دسته‌ها چپ در G است. همانطور که میان هم مجموعه‌های راست H در G، تناظر یک به یک برقرار است میان هم مجموعه‌های چپ H در G نیز یک تناظر یک به یک برقرار است. بنابراین دیدم که چگونه با تعریف یک رابطه هم ارزی روی گروه G هم مجموعه‌های راست و چپ را به عنوان کلاس‌های هم ارزی تعریف کردیم. نکته جالب توجه این است چون یک رابطه هم ارزی روی یک مجموعه، آن مجموعه را به کلاس‌های هم ارزی خود افراز می‌کند، که اگر H زیرگروه گروه G باشد، در این صورت مجموعه همه هم مجموعه‌های متمایز H در G(راست یا چپ) یک افراز برای G می‌باشند. رابطه بین هم تعداد هم مجموعه‌های راست و چپ نکته جالب و در مورد هم مجموعه‌های راست و چپ زیرگروه H از گروه G این است که تعداد آن‌ها با هم برابر است. | ## بخش 3: هم‌دسته | قضیه اگر H زیرگروه گروه G باشد، بین هم مجموعه‌های متمایز راست H در G و هم مجموعه‌های متمایز چپ H در G، یک تناظر یک به یک برقرار است. برهانفرض می‌کنیم مجموعه همه هم مجموعه‌های متمایز راست H در G و مجموعه همه هم مجموعه‌های متمایز چپ Hدر G باشد. در این صورت تابع با ضابطه برای هر Ha∈R تابعی یک به یک و پوشا است و برهان کامل می‌شود. این مطلب نشان می‌دهد در بسیاری از موارد در اثبات قضایا و تعاریف، تفاوت چندانی میان هم مجموعه‌های راست و چپ H در G وجود ندارد. اندیس زیرگروه اگر G یک گروه و H زیرگروهی از G باشد، در این صورت تعداد هم دسته های(راست یا چپ) H در G را اندیس یا شاخص H در G می‌گوییم و آن را با نمادهای [G:H] یا (iG(H نشان می‌دهیم. زیرگروه‌های نرمال از جمله مهم‌ترین مفاهیم در نظریه گروه‌ها زیرگروه نرمال می‌باشد که به کمک هم مجموعه‌ها تعریف می‌شوند. | ## جمع‌بندی | در این صورت رده‌ای از زیر گروه‌های G دارای این ویژگی هستند که هم مجموعه‌های راست و چپ آن‌ها به ازای هر عضو G یکسان است.