موضوع مقاله: فضای هیلبرت | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # فضای هیلبرت | مقدمه: در اینجا تجزیهٔ ریسمان مرتعش به نوسانات فرعی متمایز نشان داده شده که در حقیقت تصویر نقطه بر روی محورهای مختصات در فضای هیلبرت است. | ## بخش 1: فضای هیلبرت | فضای هیلبرت که به‌افتخار داویت هیلبرت نام‌گذاری شده، مفهوم فضای اقلیدسی را تعمیم می‌دهد. این فضا، روش‌های جبر برداری و حسابان را از صفحه اقلیدسی دو بعدی و فضای اقلیدسی سه بعدی، به فضاهایی با هر تعداد بُعد، متناهی یا نامتناهی، گسترش می‌دهد. یک فضای هیلبرت، فضای برداری مجردی (به انگلیسی: abstract، انتزاعی) است که دارای ضرب داخلی بوده و اندازه‌گیری فاصله در آن، ممکن است. فضاهای هیلبرت، به‌شکل فضای بی‌نهایت‌بُعدی توابع در ریاضیات و فیزیک، بسیار ظاهر می‌شوند. ازین نظر، نخستین فضاهای هیلبرت، دههٔ نخست قرن بیستم از سوی داویت هیلبرت، اِرهارد اشمیت و فریدیش ریس مطالعه شدند. این فضاها، ابزارهای ضروری در معادلات مشتقات جزئی، مکانیک کوانتومی، تحلیل فوریه (که شامل کاربردهای آن در پردازش سیگنال و انتقال حرارت می‌شود) و نظریه ارگودیک (که زیربنای ریاضی ترمودینامیک است) هستند. جان فون نویمان، عبارت «فضای هیلبرت» را در مفهومی انتزاعی، که کاربردهای گسترده‌ای داشت، پیش نهاد. | ## بخش 2: فضای هیلبرت | در کنار فضاهای اقلیدسی کلاسیک، نمونه‌هایی از فضاهای هیلبرت، شامل فضاهای توابع مربع-انتگرال‌پذیر، فضاهای دنباله‌ای، فضاهای سوبولف شامل توابع تعمیم‌یافته و فضاهای هاردی از توابع هولومورفیک می‌شود. مشابه‌های دقیقی از قضیه فیثاغورث و قانون متوازی‌الأضلاع، در فضای هیلبرت نیز هستند. در نگاهی عمیق‌تر، تصویرکردن متعامد روی زیرفضاها (مشابه ارتفاع مثلث‌ها) نقش مهمی در بهینه‌سازی و دیگر جنبه‌های آن، بازی می‌کند. در مقایسه با مختصات کارتزین در صفحه، یک عنصر از یک فضای هیلبرت را می‌توان منحصربه‌فرد از راه مختصات و با توجه به مجموعه‌ای از محورهای مختصات (یک پایه متعامد نرمال) مشخص کرد. وقتی مجموعهٔ محورها نامتناهی شمارا باشند، فضای هیلبرت را می‌توان به صورت دنبالهٔ نامتناهی که مربع-جمع پذیر هستند تصور کرد. عملگرهای خطی روی یک فضای هیلبرت نیز نسبتاً ملموس هستند؛ در برخی موارد، این عملگرها تبدیلات ساده‌ای هستند که فضا را در جهت‌های دوبه‌دو متعامد با ضریب‌های متفاوت می‌کِشند، به‌گونه‌ای‌که با مطالعه طیفشان، می‌توان آن‌ها را دقیق‌تر شناخت. این‌ها فضاهایی هستند که عناصرشان را می‌توان با هم جمع کرده و اسکالرها را در آن‌ها ضرب کرد (اسکالرهای حقیقی یا مختلط) بی‌این‌که لزوماً این عناصر، مفهومی بیرونی چون بردارهای «هندسی» مکان و گشتاور در فیزیک داشته‌باشند. | ## بخش 3: فضای هیلبرت | برای نمونه، می‌توان توابع را با هم جمع کرده یا در اسکالر ضرب کرد، و این عملیات از قوانین جبری جمع و ضرب اسکالر بردارها پیروی می‌کنند. پیشرفت‌های هم‌زمان در دهه اول قرن بیستم میلادی، به معرفی فضاهای هیلبرت انجامیدند. نخستین آن‌ها، هنگام مطالعات داویت هیلبرت و ارهارد اشمیت در معادلات انتگرالی روی نمود و چنین بود: ضرب داخلی دو تابع حقیقی و روی بازه ، چنین تعریف می‌شود: این ضرب داخلی بسیاری از خواص آشنای ضرب داخلی در فضای اقلیدسی را داراست. اشمیت شباهت این ضرب داخلی با ضرب داخلی معمولی را به‌کار گرفت تا مشابه تجزیه طیفی یک عملگر به شکل: که در آن یک تابع پیوسته و متقارن با متغیرهای و هست را ثابت کند. نتیجهٔ کار او، بسط توابع ویژه است که تابع را به‌صورت یک سری، چنین درمی‌آورد: که در آن ‌ها متعامد هستند یعنی برای تمام ‌ها. | ## جمع‌بندی | با این حال، بسط توابع ویژه‌ای هم یافت می‌شوند که به‌شکل مناسبی به تابع مربع-انتگرال‌پذیری همگرا نباشند؛ لذا عنصر مفقوده ای که از وجود شرط همگرایی اطمینان حاصل می‌کند همان خاصیت کامل بودن فضاست.