موضوع مقاله: ترکیب تابع | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # ترکیب تابع | مقدمه: برای مثال دو تابع و تابع می‌توانند ترکیب شوند و حاصل تابعی خواهد بود که مقدار در را به مقدار در نگاشت می‌کند. | ## بخش 1: ترکیب تابع | به‌طور شهودی، اگر حاصل تابع از باشد و حاصل تابع از باشد، بنابراین حاصل تابعی از است. نماد به صورت‌های " در دایره "، " دور "، "ترکیب با "، " بعد از "، " به دنبال " و " ی " و " اُ "نیز خوانده می‌شود. به این معنا که اگر ، و سه تابع با دامنه و برد مناسب باشند، در اینصورت ، که در اینجا پرانتز به این معناست که عمل ترکیب ابتدا بر روی دو تابع داخل پرانتز صورت می‌گیرد. بنابراین چون محل قرارگیری پرانتزها در حاصل نهایی ترکیب تأثیری ندارد، می‌توان آن‌ها را بدون پیش آمد هیچ ابهامی حذف کرد. تعویض‌پذیری یک خاصیت ویژه است که توابع مخصوصی دارای آن می‌باشند و در موقعیت‌های خاص اتفاق می افتد. مثال به عنوان مثال فرض کنید ارتفاع یک هواپیما در زمان توسط تابع تعیین می‌شود، و تراکم اکسیژن درون هواپیما در ارتفاع توسط تابع تعیین می‌شود. به توان رسیدن توابع مقاله اصلی: تابع مکرر اگر ، تابع می‌تواند با خودش ترکیب شود. خواص ترکیب تابع: برای n‌های طبیعی بنابر تعریف: (تابع همانی در دامنهٔ f) اگر تابع ، تابع وارون داشته باشد، توان‌های منفی تابع ، به صورت توان تابع وارون تعریف می‌شوند. | ## بخش 2: ترکیب تابع | نکته: اگر تابع مقادیر خود را در یک حلقه بگیرد (به خصوص برای ‌های حقیقی یا مختلط)، ممکن است اشتباه پیش آید، چرا که به معنای ضرب بار در خودش نیز می‌باشد. (مثال ) برای توابع مثلثاتی، معمولاً دومی مد نظر است (حداقل برای توان‌های مثبت) . برای مثال در مثلثات، نماد اندیس بالایی وقتی برای توابع مثلثاتی به کار می‌رود به معنای به توان رسیدن معمولی است، مثلا: . این ایده می‌تواند به این صورت عمومی‌سازی شود که شمارش مکررسازی یک پارامتر مداوم شود. توابع مکرر و جریان‌ها به‌طور معمول در مطالعهٔ فراکتال‌ها و سیستم‌های دینامیک ظاهر می‌شوند. تکوارهای ترکیب مقاله اصلی: تکوارهای دگرگونی فرض کنیم دو تابع با دامنه و برد برابر باشند. چنین رشته‌هایی ساختمان جبری یک تکوار را دارا می‌باشند، و یک تکوار دگرگونی نامیده می‌شوند. اگر توابع دوسو باشند، مجموعهٔ تمام ترکیب‌های ممکن از این توابع، تشکیل یک گروه دگرگونی می‌دهند؛ و گفته می‌شود که این گروه از این توابع به دست آمده‌است. | ## بخش 3: ترکیب تابع | مجموعهٔ تمام توابع دوسوی ، یک گروه نسبت به عملگر ترکیب می‌سازد که گروه متقارن یا گاهی گروه ترکیب نامیده می‌شود. نماد گذاری‌های جایگزین بسیاری از ریاضیدانان نماد ترکیب را حذف می‌کنند، و به جای ، می نویسند . در اواسط قرن بیستم، بعضی از ریاضی دانان تصمیم گرفتند که نوشتن "" به این معنا که ابتدا اعمال شود و سپس ، زیادی گیج‌کننده است. این کار می‌تواند در بعضی موارد طبیعی تر و ساده‌تر از نوشتن تابع در سمت چپ به نظر برسد – مثلاً در جبر خطی، وقتی یک بردار خطی باشد، و و دو ماتریس باشند و ترکیب آن‌ها به معنای ضرب ماتریسی باشد. ریاضیدانانی که از نمادگذاری پسوند استفاده می‌کنند، ممکن است از عبارت "" به معنای "اول را اعمال کن و سپس " استفاده کنند که باعث به وجود آمدن ابهام می‌شود. عملگر ترکیب مقاله اصلی: عملگر ترکیب با استفاده از تابع ، عملگر ترکیب به صورت عملگری تعریف می‌شود که توابع را به هم مربوط می‌کند. عمومی سازی‌ها ساختمان ترکیب تابع در نظریه رده ها و با مفهوم مورفیزم، به عنوان جایگزین رده ای-تئوری توابع، اصل‌گذاری شده‌است. تابع به دست آمده هنگامی که جایگزین متغیر از تابع می‌شود، یک ترکیب و نامیده می‌شود و به صورت نمادگذاری می‌شود. | ## جمع‌بندی | هنگامی که یک ثابت سادهٔ b باشد، ترکیب به صورت یک ارزه (ی ناقص) در می‌آید، که نتیجهٔ آن به عنوان یک محدودیت یا یک عامل کمکی شناخته شده‌است.