موضوع مقاله: درستی (منطق) | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # درستی (منطق) | مقدمه: در منطق ریاضی، یک سامانهٔ منطقی دارای ویژگی صحت یا درستی است، اگر و فقط اگر قواعد استنباطی آن فقط فرمول‌هایی را ثابت کند که به لحاظ معناشناسی آن معتبر باشد. | ## بخش 1: درستی (منطق) | در بیشتر موارد، آنچه در این باره مهم است این است که قاعده‌های آن درست باقی بمانند، اما به‌طور کلی همیشه اینطور نیست. لذا برای اینکه بگوییم یک استدلال صحیح است به معنای این است که، طبق ریشه یابی، بگوییم آن استدلال سالم است. اگر استدلالی بخواهد موجه باشد، باید هم معتبر باشد و هم درست .در باب فلسفه تحلیلی: با محوریت ویتگنشتاین، سروش دباغ، پانویس صفحه ۱۰۰. این استدلال معتبر است (چون نتیجه‌گیری بر مبنای آن مقدمه، درست است، یعنی این نتیجه‌گیری پیرو و دنبالهٔ آن مقدمه است) و چون آن مقدمه در واقع درست است، استدلال صحیح خواهد بود. استدلال زیر معتبر است اما صحیح نیست: هر موجود زنده ای که بال داشته باشد می‌تواند پرواز کند. در واقع چون مقدمهٔ اول (صغری) نادرست است، این استدلال، با وجود اینکه معتبر است، صحیح نیست. برای مثال، در یک سامانهٔ بدیهی، استدلال از طریق صحت، همان تحقیق و بررسی اصول و قاعده‌های کلی است و اینکه قاعده‌های استنباط، اعتبار را حفظ کنند (یا ویژگی ضعیف تر، که همان درستی است). | ## بخش 2: درستی (منطق) | بیشتر سامانه‌های بدیهی فقط قاعدهٔ modus ponens را دارند (و گاهی اوقات جانشانی)، لذا تنها بررسی اعتبار قاعدهٔ کلی و یک قاعدهٔ استنباط نیاز است. ویژگی‌های صحت به دو نوع تقسیم می‌شوند:صحت قوی و ضعیف، که اولی مورد خاصی از دومی است. صحت صحت یک سامانهٔ استقرائی، نوعی ویژگی است که هر جمله‌ای که در آن سامانهٔ استقرائی قابل اثبات است، هم چنین، با توجه به تمام توصیف‌ها و الگوهای تئوری معنائی برای زبانی که بر اساس آن این تئوری پایه‌گذاری شده، درست باشد. در نمادها، جایی که S سامانهٔ استقرایی است، L آن زبان با تئوری معنایی اش، و P یک جمله از L : اگر S P⊢، آن گاه هم چنین L P⊨. به بیان دیگر، یک سامانه صحیح است اگر هر یک از قضیه‌هایش (یعنی فرمول‌هایی که از مجموعهٔ تهی قابل اثبات باشد) در هر ساختاری از زبان معتبر باشند. صحت قوی صحت قوی یک سامانهٔ استقرایی ویژگی است که هر جملهٔ P از زبانی که سامانهٔ استقرایی بر آن پایه‌گذاری شده و از یک مجموعهٔ Г از جملات آن زبان گرفته شده نیز یک نتیجهٔ منطقی از آن مجموعه، در جهتی که هر الگویی که تمام اعضای Γ را درست می‌کند، P را نیز درست خواهد کرد. توجه داشته باشید که در بیان صحت قوی، هنگامی که Γ تهی است، بیان یک صحت ضعیف را خواهیم داشت. | ## بخش 3: درستی (منطق) | صحت محاسباتی اگر T یک تئوری باشد که اجزاء مباحثهٔ آن بتوانند به عنوان اعداد طبیعی تفسیر شوند، ما می گوییم T به شیوهٔ محاسباتی صحیح است اگر تمام قضیه‌های T حقیقتاً در بارهٔ استاندارد اعداد صحیح ریاضی درست باشد. یک سامانهٔ استقرایی همراه با یک تئوری معنایی به‌طور قوی کامل است اگر هر جمله P که یک نتیجهٔ معنایی از یک مجموعه جملات Γ است، بتواند در آن سامانه استقرایی از آن مجموعه ناشی شود. به‌طور غیر رسمی، قضیهٔ صحت از یک سامانهٔ استقرایی نشان دهندهٔ این است که همهٔ جملات قابل اثبات درست هستند. اولین قضیهٔ عدم کمال Gödel نشان می‌دهد که برای زبان‌هایی که برای انجام دادن میزان مشخصی از محاسبات مناسبند، نمی‌تواند سامانهٔ استقرایی مؤثری وجود داشته باشد که با در نظر داشتن تفسیر مورد نیاز از نماد پردازی از آن زبان، کامل باشد. بنابراین، همهٔ سامانه‌های استقرایی در این مورد خاص از کمال، که کلاس مدل‌ها (تا همریختی) محصور به نوع مورد نظر آن است، کامل نیستند. | ## جمع‌بندی | اثبات اولیه و آغازین کمال برای همهٔ الگوهای کلاسیک، نه فقط برخی از کلاس‌های فرعی درست انواع مورد نیاز، به کار می‌آید.