موضوع مقاله: توزیع خی‌دو | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # توزیع خی‌دو | مقدمه: توزیع خی‌دو (و یا کی‌دو یا چی‌دو یا ) در نظریه احتمالات و آمار، دارای کاربرد وسیعی در آمار استنباطی است، به‌طور مثال در آزمون معناداری آماری.NIST (2006). | ## بخش 1: توزیع خی‌دو | این توزیع اغلب توزیع کای-اسکور مرکزی نامیده می‌شود؛ مورد خاصی از توزیع کای-اسکور عام غیر مرکزی است. مستقل از دو معیار: طبقه‌بندی کیفیت داده‌ها و برآورد فاصلهٔ اطمینان (همون یک سیگما دو سیگما) برای جمعیتی که انحراف استاندارش از یک توزیع نرمال برای یک نمونه انحراف استاندارد. بسیاری از آزمونهای آماری نیز از این توزیع استفاده می‌کنند مانند تحلیل فریدمان براساس رتبه‌ها. این معمولاً به صورت زیر نشان داده می‌شود: توزیع کای-اسور دارای یک پارامتر است: یک عدد صحیح مثبت k که تعداد درجات آزادی (تعداد Ziها) را مشخص می‌کند. برخلاف توزیع‌های مشهورتر مانند توزیع نرمال و توزیع نمایی، توزیع کای-اسکور به‌طور معمول در مدل‌سازی مستقیم پدیده‌های طبیعی اعمال نمی‌شود. سپس فرض کنید، می‌خواهیم برای مطالعه اختلاف راست‌دستی یا چپ‌دستی با توجه به جنس، ۱۰۰ نفر را به عنوان نمونه از جامعه آماری بسیار بزرگ انتخاب کنیم. زیرنویس ۱ نشان می‌دهد این توزیع کای-اسکور خاص فقط از ۱ توزیع نرمال استاندارد ساخته شده. همان‌طور که مقادیر شدید توزیع نرمال احتمال کمی دارند (و پی ولیو آن‌ها کوچک است)، مقادیر شدید توزیع کای-اسکور نیز احتمال کمی دارند. | ## بخش 2: توزیع خی‌دو | به‌طور خاص، LRT ساده معمولاً بالاترین قدرت را برای رد فرضیه صفر (لیمای نیمان-پیرسون) فراهم می‌کند و این امر به خصوصیات بهینه‌سازی LRTهای تعمیم یافته نیز منجر می‌شود. به همین دلیل، استفاده از توزیع t به جای تقریب نرمال یا تقریب کای-اسکور برای نمونه‌های کوچک ترجیح داده می‌شود. [۷] لنکستر ارتباطات بین توزیع دوجمله ای، توزیع نرمال و توزیع کای-اسکور را به شرح زیر نشان می‌دهد. دی موایر و لاپلاس ثابت کردند که یک توزیع دوجمله ای می‌تواند تقریباً یک توزیع نرمال باشد. در نتیجه توزیع دوجمله ای (پرتاب یک سکه) ، توزیع دوجمله ای ممکن است با یک توزیع عادی تقریبی شود (برای n به اندازه کافی بزرگ). چرا که مربع یک توزیع نرمال استاندارد همان توزیع کای-اسکور با یک درجه آزادی است، احتمال یک نتیجه از جمله ۱ در ۱۰ آزمایش می‌توان با استفاده از توزیع نرمال به طور مستقیم تقریب زد یا توزیع کای-اسکور؛ مربع اختلافات بین مقدار مشاهده شده و مقدار واقعی. با این حال، بسیاری از مسایل بیش از دو نتیجه احتمالی یعنی یک دو جمله ای را شامل می شوند و در عوض به ۳ دسته یا بیشتر نیاز دارند که منجر به توزیع چند جمله ای می‌شود. درست همان‌طور که دو مویر و لاپلاس تقریب نرمال را با تقریب دوجمله یافتند و یافتند، پیرسون تقریب نرمال چند متغیره منحط به توزیع چند جمله ای را جستجو و پیدا کرد (اعداد در هر گروه به کل اندازه نمونه اضافه می شوند که ثابت در نظر گرفته می‌شود) . | ## بخش 3: توزیع خی‌دو | پیرسون نشان داد که توزیع کای-اسکور از چنین تقریب نرمال چند متغیره به توزیع چند جمله ای بوجود آمده‌است، با در نظر گرفتن دقیق وابستگی آماری (همبستگی های منفی) بین تعداد مشاهدات در دسته‌های مختلف. (در آمار و احتمال، به بیان ساده، تابعِ چگالیِ احتمالِ یک متغیر تصادفی پیوسته به تابعی گفته می‌شود که انتگرال آن در هر بازهٔ معین، برابر با احتمال قرار داشتن متغیر تصادفی در آن بازه است؛ بنابراین، احتمال این‌که یک متغیر تصادفی پیوسته، یک مقدار معیّن اختیار کند، صفر است. مقدار تابع چگالی احتمال همواره غیرمنفی است ) تابع چگالی احتمال تابع چگالی احتمال یا (pdf) عبارت است: در اینجا تابع گاما را نمایش می‌دهد. جدول توزیع و ضریب p p-value احتمال مشاهده یک تست آماری حداقل در حد یک توزیع کای-اسکور است. p-value کم ، زیر سطح معنادار انتخاب شده، نشانگر اهمیت آمار است، یعنی شواهد کافی برای رد فرضیه صفر. از سطح معناداری ۰٫۰۵ اغلب به عنوان قطع نتایج قابل توجه و غیر معنادار استفاده می‌شود. | ## جمع‌بندی | Two values have been corrected, 7.82 with 7.81 and 4.60 with 4.61 مقدار χ2۱۰٫۰۰۴۰٫۰۲۰٫۰۶۰٫۱۵۰٫۴۶۱٫۰۷۱٫۶۴۲٫۷۱۳٫۸۴۶٫۶۳۱۰٫۸۳۲۰٫۱۰۰٫۲۱۰٫۴۵۰٫۷۱۱٫۳۹۲٫۴۱۳٫۲۲۴٫۶۱۵٫۹۹۹٫۲۱۱۳٫۸۲۳۰٫۳۵۰٫۵۸۱٫۰۱۱٫۴۲۲٫۳۷۳٫۶۶۴٫۶۴۶٫۲۵۷٫۸۱۱۱٫۳۴۱۶٫۲۷۴۰٫۷۱۱٫۰۶۱٫۶۵۲٫۲۰۳٫۳۶۴٫۸۸۵٫۹۹۷٫۷۸۹٫۴۹۱۳٫۲۸۱۸٫۴۷۵۱٫۱۴۱٫۶۱۲٫۳۴۳٫۰۰۴٫۳۵۶٫۰۶۷٫۲۹۹٫۲۴۱۱٫۰۷۱۵٫۰۹۲۰٫۵۲۶۱٫۶۳۲٫۲۰۳٫۰۷۳٫۸۳۵٫۳۵۷٫۲۳۸٫۵۶۱۰٫۶۴۱۲٫۵۹۱۶٫۸۱۲۲٫۴۶۷۲٫۱۷۲٫۸۳۳٫۸۲۴٫۶۷۶٫۳۵۸٫۳۸۹٫۸۰۱۲٫۰۲۱۴٫۰۷۱۸٫۴۸۲۴٫۳۲۸۲٫۷۳۳٫۴۹۴٫۵۹۵٫۵۳۷٫۳۴۹٫۵۲۱۱٫۰۳۱۳٫۳۶۱۵٫۵۱۲۰٫۰۹۲۶٫۱۲۹۳٫۳۲۴٫۱۷۵٫۳۸۶٫۳۹۸٫۳۴۱۰٫۶۶۱۲٫۲۴۱۴٫۶۸۱۶٫۹۲۲۱٫۶۷۲۷٫۸۸۱۰۳٫۹۴۴٫۸۷۶٫۱۸۷٫۲۷۹٫۳۴۱۱٫۷۸۱۳٫۴۴۱۵٫۹۹۱۸٫۳۱۲۳٫۲۱۲۹٫۵۹مقدار p (احتمال)۰٫۹۵۰٫۹۰۰٫۸۰۰٫۷۰۰٫۵۰۰٫۳۰۰٫۲۰۰٫۱۰۰٫۰۵۰٫۰۱۰٫۰۰۱ این مقادیر را می‌توان با ارزیابی عملکرد کمی (همچنین به عنوان "CDF معکوس" یا "ICDF" شناخته می‌شود) از توزیع کای-اسکور محاسبه کرد.