موضوع مقاله: معادله دیفرانسیل | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # معادله دیفرانسیل | مقدمه: گرما در داخل بدنه تولید می‌شود و در مرز سرد شده و توزیع دمایی حالت پایدار را فراهم می‌کند. | ## بخش 1: معادله دیفرانسیل | معادله دیفرانسیل در ریاضیات، معادله‌ای است که یک یا چند تابع مجهول و مشتقات آنها را به هم مرتبط می‌کند. عموماً در کاربردها، توابع کمیت‌های فیزیکی را نشان می‌دهند، مشتق‌ها نرخ تغییر آن‌ها را نشان می‌دهند، و معادله دیفرانسیل رابطه بین این دو را تعریف می‌کند. چنین روابطی بسیار رایج است، و به همین دلیل معادلات دیفرانسیل نقش برجسته‌ای در بسیاری از رشته‌ها از جمله مهندسی، فیزیک، اقتصاد و زیست‌شناسی دارند. مطالعه معادلات دیفرانسیل عمدتاً شامل مطالعه جواب‌های آنها (مجموعه توابعی که هر معادله را برآورده می‌کند) و خواص جواب‌های آنها است. با این حال، امکان تعیین بسیاری از خواص جواب‌های یک معادله دیفرانسیل معین بدون محاسبه دقیق آنها وجود دارد. اغلب هنگامی که یک عبارت فرم بسته برای جواب در دسترس نیست، می‌توان با استفاده از رایانه به صورت عددی جواب‌ها را تخمین زد. تئوری سیستم‌های دینامیکی بر تحلیل کیفی سیستم‌هایی که با معادلات دیفرانسیل توصیف شده‌اند، تأکید می‌کند، در حالی که روش‌های عددی زیادی برای تعیین راه‌حل‌ها با درجه‌ای از دقت معین توسعه داده شده‌اند. تاریخچه معادلات دیفرانسیل با اختراع حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط آیزاک نیوتن و گوتفرید لایبنیتس به وجود آمد. او این مثال‌ها و نمونه‌های دیگر را با استفاده از سری‌های بی‌نهایت حل می‌کند و در مورد منحصربه‌فرد نبودن جواب‌ها بحث می‌کند. این معادله یک معادله دیفرانسیل معمولی با شکل زیر است: که سال بعد لایبنیتس با ساده کردن آن جواب‌هایی برای آن به دست آورد. معادله اویلر-لاگرانژ در دهه ۱۷۵۰ توسط اویلر و لاگرانژ در ارتباط با مطالعات آنها در مورد مسئله خم همزمانی ایجاد شد. این مسئله در رابطه با تعیین منحنی‌ای است که در آن یک ذره وزن‌دار در یک زمان ثابت، مستقل از نقطه شروع، به یک نقطه ثابت سقوط می‌کند. آن دو روش لاگرانژ را بیشتر توسعه دادند و آن را در مکانیک به کار بردند که منجر به تدوین مکانیک لاگرانژی شد. به عنوان مثال: به این معنی که مقدار پادمشتق می‌تواند هر تابع (به ازای هر ) باشد. در مثال قبلی، اگر بدانیم از این موضوع نتیجه می‌گیریم: به عنوان مثال، اگر بدانیم سرعت یک جسم برابر ۱ است و همچنین در ثانیهٔ ۱ در مکان ۲ قرار داشته ، از روش مذکور برای پیدا کردن معادلهٔ مکان-زمان استفاده می‌کنیم. یک معادله شامل یک متغیّر مستقل ، تابع و مشتقات آن را یک معادله دیفرانسیل عادی یا معمولی می‌نامند. معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی : در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای چندین متغیّر مستقل می‌باشد. معادله‌ای پدید آمده از تابعی با بیش از یک متغیّر مستقل همراه با مشتقات جزئی آن را معادله دیفرانسیل جزئی می‌نامند. | ## بخش 2: معادله دیفرانسیل | اگر درجهٔ مجهول و مشتقاتش یک باشند، آن را خطی و در غیر این صورت غیرخطی می‌نامیم. به دلیل این که معادلات خطی حل (نسبتاً) ساده‌تری دارند، می‌توان معادلات غیرخطی را با تقریب خطی به معادلات خطی تبدیل و آنها را با روش‌های معمول حل کرد. از کاربردهای فیزیکی این معادلات می‌توان به مدل‌سازی حرکت سیارات، که از قانون دوم نیوتن به دست می‌آیند اشاره کرد. در مورد حرکت موشک‌ها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده‌تر هستند. همچنین در مواردی چون سود مرکب، واپاشی رادیواکتیو و قانون سرمایش نیوتن کاربرد فراوانی دارد. مرتبه مرتبهٔ یک معادلهٔ دیفرانسیل عبارت است از مرتبهٔ مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد. همچنین مرتبه معادلات دیفرانسیل را می‌توان به صورت کسری در نظر گرفت که به معادلات دیفرانسیل کسری مشهورند. این نوع از معادلات دیفرانسیل غیرخطی نیز روش‌های حل گوناگونی دارند که می‌توان به روش تجزیه آدومیان، هموتوپی و تکرار تغییرات اشاره نمود. دستگاه معادلات دیفرانسیل یک شاخه‌بندی دیگر این معادلات، تعداد مجهول‌های این معادلات است. از این معادلات می‌توان به معادله لوتکا-ولترا اشاره کرد که در مدل‌سازی جمعیّت شکار و شکارچی استفاده می‌شود. مرتبه اول معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل گروهی از معادلات دیفرانسیل هستند که تنها شامل مشتق مرتبهٔ اوّل تابع مجهول هستند (و البتّه خود آن تابع). اگر تابعی مجهول از متغیّر باشد، یک معادله دیفرانسیل مرتبه اوّل معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت زیر نمایش داد (که در آن می‌تواند هر تابع پیوسته‌ای باشد): به عنوان مثال یک معادله دیفرانسیل مرتبه اوّل است و حل آن ما را به می‌رساند. یکی از فرم‌های دیگر این معادلات به شکل زیر است: برای حل این معادلات روش کلی وجود ندارد. روش‌های متعدّدی وجود دارد که هر کدام تنها برای دستهٔ خاصی از این معادلات کاربردی هستند. از مهم‌ترین آنها می‌توان به مرتبه اول خطی و مرتبه اول تفکیک‌پذیر اشاره کرد که در ادامه به آنها می‌پردازیم. قضیهٔ وجود و یکتایی قضیهٔ پیکارد-لیندلوف : این معادلات در بازهٔ وجودی‌شان دقیقاً یک جواب دارند. اگر توابع و در یک مربّع فرضی (مثل ) پیوسته باشند، بازه‌ای از (مثل ) وجود دارد که معادلهٔ (با مقادیر اوّلیّهٔ دلخواه) در آن جواب دارد. توجّه کنید که شروط ذکر شده ضروری نیستند؛ یعنی شاید بتوان به روشی دیگر و بدون کمک گرفتن از این قضیه، بازهٔ وجودی پیدا کرد. | ## بخش 3: معادله دیفرانسیل | در مدارهای RL، به کمک قانون اهم به معادلاتی مشابه می‌رسیم ( و و ثابت و تابعی از ) و برای پیدا کردن باید از معادلات دیفرانسیل مرتبه اوّل خطی کمک بگیریم. برای حل این معادلات می‌توان آنها را با تغییر متغیّر به معادلهٔ خطی تبدیل کرد: مرتبهٔ اول تفکیک‌پذیر معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل تفکیک‌پذیر معادلاتی هستند که بتوان آن‌ها را به فرم دیفرانسیلی زیر نمایش داد ( و دلخواه): برای حل این معادله، آن را به فرم زیر می‌نویسیم: با فرض این که و پادمشتق و باشند: طبق قاعدهٔ زنجیره‌ای: در نتیجه تساوی بالا را می‌توان به صورت زیر نوشت: در نتیجه، با انتگرال‌گیری نسبت به داریم: به عبارتی دیگر، جواب به صورت زیر به دست می‌آید: مرتبهٔ اول همگن اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل را به فرم بنویسیم، در صورتی که توابع و هر دو توابع همگن با درجه (مرتبه) یکسان باشند، آن معادله دیفرانسیل مرتبه اول همگن است. حال درصورتی که : به عبارتی دیگر را می‌توان به صورت تابعی از تنها کسر بیان کرد ( یک تابع همگن درجه صفر است). یک حالت خاص اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل به فرم یا باشد، می‌توان معادلهٔ مذکور را با تغییر متغیّر به یک معادلهٔ همگن تبدیل کرد. این معادلات را می‌توان به فرم نوشت ( یک عدد و تابعی از است) و جواب آن برابر است. به عنوان مثال در حالت کشت سلّول در یک پتری‌دیش، اگر در ابتدا تعداد میکروب‌ها کم باشند به صورت نمایی رشد می‌کنند؛ امّا به دلیل محدود بودن فضای رشد، تعداد آن‌ها از مقدار خاصی فراتر نمی‌رود و سرعت رشد به مرور کاهش پیدا می‌کند. همچنین اگر تعداد اوّلیّهٔ میکروب‌ها از این حد فراتر بود تعدادی از آنها نابود می‌شدند. حل این معادلات به صورت زیر است: مرتبهٔ اول کامل اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل را به فرم بنویسیم، با فرض این که و مشتق‌های جزئی این توابع باشند (که در یک ناحیهٔ خاص پیوسته است)، معادلهٔ مورد نظر کامل است اگر و تنها اگر . برای حل این معادلات می‌توان از این روش استفاده کرد: در نتیجه با قرار دادن به جواب می‌رسیم. عامل انتگرال‌ساز در بعضی موارد که معادلهٔ کامل نیست می‌توان با یک ترفند آن را به یک معادلهٔ کامل تبدیل کرد و سپس آن را به روش مذکور حل کرد. در این ترفند ساده معادله را در یک عامل انتگرال‌ساز (مثل ) ضرب می‌کنیم به صورتی که معادلهٔ به دست آمده کامل باشد. طبق تعریفِ معادلهٔ کامل برای معادلهٔ جدید: امّا پیدا کردن با حل این معادله بسیار دشوار است (همچنین احتمالاً یکتا نیست). اگر با این فرض به دست آمد و معادلهٔ طبق تعریف کامل شد، به این نتیجه می‌رسیم که فرضمان درست بوده. برای پیدا کردن عامل انتگرال‌ساز از حدس استفاده می‌کنیم: معادلهٔ جدید به صورت به دست می‌آید. باید بررسی کنیم که آیا معادلهٔ جدید کامل هست یا نه، زیرا شاید حدسمان اشتباه بوده. پس: برای حل معادلات کامل باید از استفاده کرد: در ادامه می‌توان را بر حسب به دست آورد. به عنوان مثال یک عامل انتگرال‌ساز دیگر است که به کمک آن باز هم به همین جواب می‌رسیم. معادلات دیفرانسیل مشهور قانون دوم نیوتن در دینامیک (مکانیک) معادلات همیلتون در مکانیک کلاسیک واپاشی هسته‌ای در فیزیک هسته‌ای معادله حرارت معادله موج معادلات ماکسول در الکترومغناطیس معادلات پواسن معادله لاپلاس که توابع هارمونیک را تعریف می‌کند مسئله منحنی کوتاه‌ترین زمان. | ## جمع‌بندی | معادله شرودینگر در مکانیک کوانتوم معادلات ناویه-استوکس در دینامیک شاره‌ها معادلات کوشی-ریمان در آنالیز مختلط معادله پواسون-بولتزمن در دینامیک ملکولی معادله موج برای تار مرتعش.