موضوع مقاله: اسپلاین (ریاضیات) | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # اسپلاین (ریاضیات) | مقدمه: گره‌های سه‌گانه در هر دو انتهای بازه از این نظر قطعی است که منحنی نقاط انتهایی را درون‌یابی می‌کنند. | ## بخش 1: اسپلاین (ریاضیات) | یک تکه‌بند یا اسپلاین در ریاضیات تابع خاصی است که به صورت تکه‌ای (چندضابطه‌ای) توسط چندجمله‌ای‌ها تعریف می‌شود. در مسائل درون‌یابی، درون‌یابی تکه‌بندی از درون‌یابی جندجمله‌ای ارجحیت دارد، زیرا منجر به نتایج مشابه می‌شود، حتی اگر از چندجمله‌ای با درجه پایین استفاده کنیم، همچینین از پدیده رونگه برای درجه‌های بالاتر جلوگیری می‌کند. در مسائل درون‌یابی، معمولاً منظور از درون‌یابی اسپلاین، پیدا کردن چندجمله‌ای درون یابی است، چرا که به همان نتیجه می‌انجامد، حتی در مواقعی که از چندجمله‌ای‌های درجه پایین استفاده می‌شود.چندجمله‌ای‌های پارا متری از درجات بالا یک ضعف دارند:برای مثال در شکل زیر پرش ارتفاع در حوالی مرکز داده‌ها باعث تغییر زیادی روی چندجمله‌ای درون یابی شده در نزدیکی انتهای منحنی دارد. به عبارتی دیگر، منحنی درجه سوم و تابع چندضابطه‌ای است که از چند تابع چند ضابطه‌ای که به یکدیگر چسبیده‌اند تشکیل شده‌است. این توابع چند ضابطه‌ای آن چنان در محل اتصال با یکدیگر مطابقت دارند که تقریباً محل اتصال مشخص نیست. در حقیقت، اگر تمام تابع با یک تابع توصیف شود، آن قدر یکنواخت و هموار خواهد بود که دارای مشتق دوم در تمام نقاط و مشتق دوم پیوسته خواهد بود. واژه‌شناسی اسپلاین کلمهٔ اسپلاین در حقیقت بازمی‌گردد به نوار باریکی از جنس چوب یا فلز. در گذشته منحنی‌ها برای طراحی کشتی‌ها و هواپیماها با قرار دادن دقیق منحنی‌هایی از نوارهای باریک چوب یا فلز در بدنهٔ آن‌ها به گونه‌ای که ضمن گذشتن از نقاط دلخواه انعطاف‌پذیر نیز باشند. به دلایل فیزیکی، این چنین منحنی‌هایی تقریباً چند ضابطه ای‌هایی درجه سوم با مشتق دوم پیوسته‌اند، در صورتی که به درستی پارامتری شوند. | ## بخش 2: اسپلاین (ریاضیات) | ممکن است که از ریاضیات بیاد آورید انحنای هر منحنی در هر نقطه به مشتق دوم منحنی در آن نقطه وابسته است. در نقاط انتهایی، یک نوار واقعی از چوب یا فلز خم نمی‌شود، و مشتق دوم این منحنی صفر است. همانگونه که خواهید دید، از این منحنی‌ها می‌توان برای طراحی‌های کنترل شده(b-spline) یا برای درون یابی استفاده کرد. برای تشریح ضابطه‌های از درجهٔ سوم به صورت ساده و قرادادی، می‌بایستی از منحنی‌های بزیه(bَezier) استفاده کنیم. منحنی‌های بزیه با مشتق دوم صفر در یک انتها به منظور ارضای شرط ریلکس بودن انتهای منحنی، می‌بایستی بتوانیم تشخیص دهیم که چه زمانی یک منحنی بزیه دارای مشتق دوم صفر در یک انتها می‌باشد. حتی ساده‌تر: اگر و تنها اگر eنقطهٔ میانی المان; اگر و تنها اگر نقطهٔ میانی المان باشد. فرض کنید که، برای قرارداد این نقطهٔ اتصال را s می‌نامیم،نتیجه در شکل ۴ نمایش داده شده‌است. منحنی دارای یک گوشه است، زیرا در s منحنی بزیه اول دارای مشتق اول است و منحنی دوم، ولی بردارهای و حتی دارای یک جهت نیز نیستند. ۲-مطابقت دادن اندازه‌ها و مشتقات اول یک اتصال بهتر زمانی بدست می‌آید که s نقطه میانی خط P2Q1 باشد، به طوری که مشتق اول در محل اتصال مطابقت داشته باشد. | ## بخش 3: اسپلاین (ریاضیات) | در بخش اول منحی بزیه به سمت دیواری سمت چپ فشار داده می‌شوید و در بخش دیگر به سمت مخالف یعنی دیوار سمت راست فشرده می‌شوید. چون که انحنا را می‌توان در قالب مشتقات اول و دوم بیان کرد، پیوستگی انحنا را می‌توان با مطابقت دادن مشتقات اول و دوم در نقطهٔ اتصال بدست آورد. علت انجام این کار این است که هر دو طرف دارای ضرایبی با اختلاف یک هستند و بنابراین نقاطی را ارائه می‌دهند که از دستگاه مختصات مستقل اند. به صورتی مشابه، بخش سمت راست معادله را راس زاویه‌ای سمت چپ نامیده و برابر است با A-=2q1-q2 از منحنی بزیه دوم، مطابق شکل. همانگونه که می‌بینید، در این مثال دو راس زاویه‌ای یکسان نیستند، بنابراین معادله ارضا نمی‌شود و مشتقات دوم از منحنی‌های بزیه با یکدیگر مطابق نخواهند بود. شکل ۷ مثالی را نشان می‌دهد که این مطابقت ایجاد شده‌است، در حالی که هر دو راس زاویه‌ای در نقطهٔ یکسان A قرار دارند. مثالی در شکل ۸ آورده شده‌است؛ بنابراین: اگر دو منحنی بزیه در نقطهٔ s متصل شوند، هر دو مشتق اول و دوم در s مطابقت خواهند داشت اگر و تنها اگر چند ضلعی کنترلی آنها قاب_A را تشکیل دهند. | ## جمع‌بندی | نکته: مطابقت دادن مشتقات سوم اگر چه اطمینان بخش می‌باشد، ولی مفید نیست، همانگونه که هر دو منحنی را مجبور می‌کند که بخشی از یک منحنی درجه سوم باشند؛ بنابراین انعطاف‌پذیری بدست آمده ناشی از چسبانده دو منحنی از بین می‌رود.