موضوع مقاله: سهمی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # سهمی | مقدمه: در ریاضیات سَهمی مکان هندسی نقاطی از صفحه است که از یک خط و از یک نقطه هم فاصله هستند. | ## بخش 1: سهمی | این منحنی که شَلجَمی یا شَلغَمی"معنی شلغمی | لغت‌نامه دهخدا" شکلی مانند شلغم، سهمی، عربی آن را شلجم خوانند. تاریخچه یونان باستان بنابر تقریظی از اراتوستن، سهمی را نخستین‌بار منایخموس (۳۸۰ ۳۲۰ پ. م)، دوست نزدیک افلاطون، در تلاش برای حل تضعیف مکعب (ساختن مکعبی که حجم آن دو برابر حجم یک مکعب مفروض است فقط با استفاده از خط‌کش و پرگار) کشف کرد. آپولونیوس برای اولین بار نام «پارابول» (، به معنای «کاربرد») را بر روی سهمی گذاشت و اقلیدس (حدود ۳۶۵–۲۷۵ پ. م) مفهوم خط‌های هادی را برای نخستین بار بررسی کرد و نشان داد که هر منحنی نسبت ثابتی (که بعدها به برون‌مرکزی معروف شد) دارد و این نسبت ثابت برای همهٔ سهمی‌ها برابر ۱ است. نام آپولونیوس (اواخر قرن سوم اوایل قرن دوم پیش از میلاد) برای قرن‌ها پس از مرگ او با مطالعهٔ مقاطع مخروطی گره خورده بود. آپولونیوس اثر مهمش «مخروطات» را، که مشتمل بر هشت مقاله است، با مطالعهٔ مخروط آغاز می‌کند و پس از تعریف سه مقطع مخروطی (سهمی، هذلولی، و بیضی)، به تعریف خط مماس آن‌ها می‌پردازد و سپس ثابت می‌کند که فاصلهٔ کانونی برای همهٔ نقاط روی یک بیضی ثابت است. قرون وسطی همزمان با حکومت مأمون در خراسان (در قرن سوم هجری)، اخوان ثلاثهٔ بنوموسی دست به ترجمهٔ کتاب مخروطات آپولونیوس از یونانی به عربی زدند. بنوموسی فقط نسخه‌ای ناقص از مخروطات را در اختیار داشتند و مقاطع مخروطی در زمان ایشان به دست فراموشی سپرده شده بود، بنابراین در فهم متن دچار مشکل بودند. اندکی بعد، یکی از اخوان ثلاثه به نام حسن نظریهٔ مقاطع استوانه‌ای را ابداع کرد که می‌توان آن را مقدمه‌ای ساده بر مقاطع مخروطی دانست. | ## بخش 2: سهمی | پس از درگذشت حسن، برادرش احمد در شام نسخه‌ای کامل‌تر از چهار فصل اول مخروطات را با شرح اوتوکیوس پیدا کرد و به کمک برادر دیگرش، محمد، و با استفاده از دو نسخهٔ موجود و نظریهٔ حسن، موفق شد نظریات آپولونیوس را دریابد. احمد و محمد ترجمهٔ مقالهٔ اول تا چهارم مخروطات را به هلال حمصی و مقالهٔ پنجم تا هفتم آن را به ثابت بن قره سپردند و خود بازنگری نهایی ترجمه را عهده‌دار شدند. ترجمهٔ برادران بنوموسی از مقالات پنجم تا هفتم مخروطات تنها نسخهٔ باقی ماندهٔ این اثر است. ترجمهٔ آثار علمی به عربی اغلب نیازمند ابداع اصطلاحات فنی تازه بود و مترجمان آن‌ها، بر خلاف مترجمان لاتین، به ترانویسی عبارات یونانی اکتفا نکردند و برای واژهٔ «پارابولی» اصطلاح «» را در نظر گرفتند که معنای آن را حفظ می‌کند و هنوز در زبان عربی به بیضی «» گفته می‌شود. رنسانس و قرون جدید اسحاق نیوتن در کتاب «اصول ریاضی فلسفه طبیعی»Principia نشان داد که اگر نیروی کشش میان اجسام آسمانی متناسب با معکوس مجذور فاصله بین آن دو باشد، اجرامی که به دور یک جرم بزرگ می‌گرداند، یا باید حرکت دایره‌ای، بیضوی، سهموی یا هذلولوی داشته باشند. نیوتون و گرگوری نشان دادند که هنگامی که نور به صورت موازی به یک آینه سهموی تابانده شود، پس از انعکاس در کانون آن جمع می‌شود. رنه دکارت خود مقاطع مخروطی آپولونیوس، به‌ویژه بیضی و سهمی، را در آثارش در باب هندسه تحلیلی بررسی کرده بود. 137 تعریف سهمی سهمی به عنوان مقطع مخروطی سهمی خمی باز است که از برخورد مخروطی قائم با قاعدهٔ دایره‌ای و صفحه‌ای حاصل می‌شود که با یکی از وترهای مخروط موازی باشد ولی با ارتفاع مخروط موازی نباشد. اگر این صفحه با قاعدهٔ مخروط موازی باشد حاصل دایره، اگر با ارتفاع مخروط موازی باشد حاصل هذلولی، و اگر با هیچ‌یک از وترهای مخروط یا ارتفاع آن موازی نباشد حاصل بیضی خواهد بود. تعریف سهمی به صورت مکان هندسی نقاط در صفحهٔ اقلیدسی سهمی را می‌توان به صورت مجموعه ای از نقاط (مکان هندسی) تعریف کرد. | ## بخش 3: سهمی | سهمی مکان هندسی نقاطی است که فاصلهٔ آن‌ها از نقطه ای ثابت به نام کانون با فاصلهٔ آن از خط ثابتی به نام خط هادی برابر باشد. شکل کلی معادله سهمی در دستگاه مختصات دکارتی، به شکل زیر است: که ضرایب تا همگی ثابت و حقیقی بوده، یا غیر صفر هستند، و همچنین . اگر مبدأ را به سمت کانون جابه جا کنیم یعنی معادله ی قطبی زیر را خواهیم داشت: روش انتقال a بیانگر باز و بسته شدن دهانه تابع است. (برجهت علامت k حرکت می‌کند) در معادله بالا h باعث انتقال افقی و k باعث انتقال عمودی می‌شود. خاصیت بازتاب سهمی بیان می‌دارد که اگر یک سهمی آیینه ای باشد و بتواند نور را بازتاب کند، آنگاه نورهایی که موازی با خط تقارن سهمی به آن وارد می‌شوند، به سمت کانون آن بازتاب می‌کنند. یعنی هیچ نقطه ای روی سهمی نیست که روی باشد؛ که یعنی خط مماس به سهمی که از نقطه T می‌گذرد، نیمساز و است. با توجه به این که زاویه تابش نور از خط مماس به منحنی با زاویه بازتاب برابر است، می‌توان دریافت که پرتو بازتاب در راستای همان خطی است که به F می‌رود. نقطه تمرکز سهمی بر روی محور تقارن قرار دارد و گسترندهٔ سهمی (منحنی مکان هندسی مرکز انحناهای آن) تنها یک نوک تیز دارد. فرمول رأس سهمی برابر است با: بعد از پیدا کردن رأس سهمی دو نقطهٔ دیگری را با جایگذاری در فرمول پیدا کرده و نمودار را رسم می‌کنیم. | ## جمع‌بندی | نکته: اگر در معادله درجه دو a مثبت باشد دهانه سهمی رو به بالا و اگر منفی باشد دهانه سهمی رو به پایین است.