موضوع مقاله: بهینه‌سازی (اقتصاد) | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # بهینه‌سازی (اقتصاد) | مقدمه: در ریاضیات، اقتصاد، علوم کامپیوتر، مهندسی صنایع و مدیریت و … بهینه‌سازی یا برنامه‌ریزی ریاضی، به انتخاب عناصر بهینه از یک مجموعه از آلترناتیوهای قابل‌دستیابی می‌پردازد. | ## بخش 1: بهینه‌سازی (اقتصاد) | به عبارت بهتر، به دنبال یافتن بهترین مقدار قابل دستیابی از یک تابع هدف تعریف شده بر یک دامنه معین از مقادیر است. در ساده‌ترین حالت، هدف، حداقل یا حداکثرسازی یک تابع حقیقی، با انتخاب نظام‌مند مقادیر حقیقی یا اعداد صحیح از یک مجموعه از مقادیر ممکن است. برای کمک به تصمیم‌گیری بهتر، برنامه‌ریزی ریاضی با استفاده از روش‌هایی نظیر، مدل‌سازی ریاضی، برای تحلیل شرایط پیچیده، همواره به مدیران اجرایی توانایی اتخاذ تصمیم‌های مناسب‌تر و ایجاد سیستم کارا، بهینه و ثمربخش را خواهد داد. به‌طور خلاصه می‌توان برنامه‌ریزی ریاضی را استفاده از مدل‌سازی ریاضی در حل مسائل واقعی به‌منظور تعیین مناسب‌ترین تصمیم ممکن دانست. ایدهٔ اصلی برنامه‌ریزی ریاضی یافتن بهترین پاسخ برای مسائل پیچیده‌ای می‌باشد که با زبان ریاضی مدل‌سازی شده‌اند و باعث بهبود یا بهینه‌سازی عملکرد یک سیستم می‌شوند. تعمیم تئوری بهینه‌سازی و تکنیک‌های فرمول‌بندی بخش بزرگی از ریاضیات کاربردی را شکل می‌دهد. تحقیق در عملیات، برنامه‌ریزی با اعداد صحیح و مختلط، مدل‌های شبکه‌ای، تئوری کنترل، برنامه‌ریزی غیرخطی، نظریه صف و برنامه‌ریزی پویا برخی شاخه‌های ریاضیات کاربردی مرتبط با برنامه‌ریزی ریاضی هستند که امروزه در مدیریت و اقتصاد کاربرد وسیعی دارند. اصطلاح برنامه‌ریزی در حوزه بهینه‌سازی به معنای برنامه‌نویسی برای کامپیوتر نیست، با این همه، رایانه‌ها، امروزه به شکل گسترده‌ای در حل مسائل ریاضی مورد استفاده قرار می‌گیرند. ریشه این اصطلاح به کاربرد واژه «برنامه» در ارتش ایالات متحده برمی‌گردد که در اشاره به طرح‌های لجستیک و آموزشی به کار می‌رفت که دانتزیگ آن را مورد مطالعه قرار می‌داد. دیگر ریاضی‌دانان مهم در زمینه بهینه‌سازی عبارتند از: ریچارد بلمن ویلیام کاروش ژوزف لویی لاگرانژ رونالد هوارد لئونید کانترویچ لو پونتریاگین برنارد کوپمن آرکادی نمیروفسکی جان فون نویمان هارولد کان آلبرت تاکر هوانگ توی نارندرا کارمارکار لئونید خاچیان نائوم شر یوری نستروف شاخه‌های اصلی برنامه‌ریزی محدب به بررسی حالتی می‌پردازد که تابع هدف محدب است و قیودی اگر وجود داشته باشند یک مجموعه محدب را شکل می‌دهند. می‌توان آن را حالت خاصی از برنامه‌ریزی غیرخطی یا تعمیمی از برنامه‌ریزی درجه دوم محدب دانست. برنامه‌ریزی خطی نوعی از برنامه‌ریزی محدب است که به بررسی مواردی می‌پردازد که در آن تابع هدف خطی است و مجموعه قیود با استفاده از معادلات و نامعادلات خطی مشخص می‌شود. برنامه‌ریزی مخروط مرتبه دوم نوعی از برنامه‌ریزی محدب است که شامل انواع خاصی از برنامه‌های درجه دوم است. برنامه‌ریزی شبه‌معین نوعی از برنامه‌ریزی محدب و تعمیمی است از برنامه‌ریزی خطی و درجه دوم که متغیرهای تحت بررسی آن، ماتریس‌های شبه‌معین است. برنامه‌ریزی خطی، برنامه‌ریزی مخروط مرتبه دوم و برنامه‌ریزی شبه‌معین را می‌توان به‌عنوان حالت خاصی از این نوع برنامه‌ریزی دانست. برنامه‌ریزی عدد صحیح به بررسی آن دسته از برنامه‌ریزی‌های خطی می‌پردازد که در آن همه یا برخی از متغیرها، تنها مقادیر صحیح اتخاذ می‌کنند. برنامه‌ریزی درجه دوم در تابع هدف آن جملات از مرتبه دو ظاهر می‌شوند، درحالیکه مجموعه مقادیر ممکن به‌وسیله معادلات و نامعادلات خطی مشخص‌نمایی می‌شود. برنامه‌ریزی غیرخطی به بررسی مواردی می‌پردازد که در آن تابع هدف یا قیود یا هردوی آن‌ها حاوی بخشی غیرخطی هستند. برنامه‌ریزی تصادفی به بررسی مواردی می‌پردازد که در آن برخی قیود یا پارامترها به متغیرهای تصادفی بستگی دارند. برنامه‌ریزی ترکیبیاتی مسائلی را مدنظر دارد که مجموعه جواب‌های ممکن گسسته‌اند یا می‌توانند به شکل گسسته تبدیل شوند. برنامه‌ریزی با بعد نامتناهی مواردی را بررسی می‌کند که مجموعه جواب‌های ممکن یک زیر مجموعه از فضای با بعد نامتناهی است. برنامه‌ریزی فصلی که در آن حداقل یک قید باید ارضا شود ولی لزومی برای برقراری همه قیود نیست. در برخی زیرشاخه‌ها، تکنیک‌ها اصولا برای بهینه‌سازی پویا، یعنی بهینه‌سازی در طول زمان به کار می‌رود: حساب تغییرات با درنظرگرفتن اینکه چنانچه تغییر کوچکی در مسیر انتخابی بدهیم، تابع هدف چه تغییری می‌کند، در بهینه‌یابی تابع هدف در نقاط زمانی بسیار به کار گرفته می‌شود. برنامه‌ریزی پویا مواردی را بررسی می‌کند که استراتژی بهینه یابی برمبنای تقسیم مسئله به مسائل کوچکتر استوار است. معادله‌ای که روابط بین این مسائل کوچکتر را بررسی می‌کند معادله بلمن خوانده می‌شود. به‌طور کلی می‌توان مباحث را بصورت زیر دسته‌بندی کرد: ۱.برنامه‌ریزی خطی (روش‌های سیمپلکس و حل مسائل بهینه‌سازی، روش ترسیمی، حالت‌های خاص سیمپلکس، روش‌هایMبزرگ و دو مرحله ای، روش ماتریسی، برنامه‌ریزی اولیه و ثانویه، تحلیل حساسیت، روش تجدید نظر شده سیمپلکس، برنامه‌ریزی پارامتریک) ۲. مدل‌های ترابری یا حمل‌ونقل (مدل‌های بهینه حمل و نقل کالا یا خدمات یا عرضه و تقاضا از بین چندین مبدأ به مقاصد از روش‌های تعیین جواب موجه اولیه، تعیین جواب مطلوب از روش پله ای یا توزیعی، مسئله ترابری یا حمل‌ونقل غیرمستقیم) ۳. برنامه‌ریزی با اعداد صحیح (روش‌های شاخه و کران، برنامه‌ریزی صفر و یک، روش‌های برشی، مسئله تولید، مسئله واگذاری، روش مجارستانی و مسئله فروشنده دوره‌گرد) ۴. تحلیل شبکه ای (نظریه گراف، مسئله گسترش کمینه، مسئله کوتاه‌ترین مسیر، مسئله جریان بیشینه، مسئله برش، مسئله جریان با حداقل هزینه) ۵. برنامه‌ریزی غیرخطی (به بررسی مواردی می‌پردازد که در آن تابع هدف یا قیود یا هردوی آن‌ها حاوی بخشی غیرخطی هستند. بهینه‌سازی توابع تک متغیره-روش‌های فیبوناچی و میانگین طلایی بهینه‌سازی توابع چند متغیره بدون محدودیت-روش نیوتن رفشون و روش فلتچر پاول و روش جستجوی هوکی جیو بهینه‌سازی توابع چند متغیره با محدودیت-روش لاگرانژ و روش نیوتن رفشون و شرایط کان تاکر) ۷.برنامه‌ریزی تصادفی (به بررسی مواردی می‌پردازد که در آن برخی قیود یا پارامترها به متغیرهای تصادفی بستگی دارند مانند مدل‌سازی در شرایط عدم اطمینان یا عدم قطعیت، نظریه فازی، ریسک) ۸.برنامه‌ریزی داینامیک(مواردی را بررسی می‌کند که استراتژی بهینه یابی برمبنای تقسیم مسئله به مسائل کوچکتر استوار است. معادله‌ای که روابط بین این مسائل کوچکتر را بررسی می‌کند معادله بِلمَن (اصل بهینگی بِلمَن) خوانده می‌شود) انواع مسائل بهینه‌سازی و تقسیم‌بندی آن‌ها در ریاضیات، مسئله بهینه‌سازی، مسئله یافتن بهترین جواب از تمام جواب‌های ممکن است. تابعی است که به هر عضو معلوم مجموعه‌ای از جواب‌های ممکن نظیر می‌کند عبارت ( برای هر ، و هر جواب ممکن برای نشان‌دهنده اندازه است، که معمولاً یک عدد حقیقی مثبت است. هدف یافتن جواب بهینه برای است، یعنی یک جواب ممکن چون که برای هر مسئله بهینه‌سازی، یک مسئله تصمیم متناظر وجود دارد که در پی یافتن جوابی ممکن برای یک اندازه خاص است. در الگوریتم‌های تخمین، الگوریتم‌ها برای یافتن جواب‌های نزدیک-بهینه برای مسائل پیچیده طراحی می‌شود. گرچه در این مسائل هم می‌توان مسائل تصمیم متناظر تعریف کرد، ولی عموماً آن را با مسائل بهینه‌سازی مشخص می‌کنند که طبیعی‌تر هم هست. بهینه‌سازی تک بعدی و بهینه‌سازی چند بعدی اگر تنها یک متغیر در مسئله بهینه‌سازی وجود داشته باشد، مسئله بهینه‌سازی تک بعدی و در غیر این صورت چند بعدی خوانده می‌شود. بهینه‌سازی پویا و بهینه‌سازی ایستا اگر تابع هزینه مسئله بهینه‌سازی تابعی از زمان نباشد، با یک مسئله بهینه‌سازی ایستا سر و کار داریم؛ ولی اگر زمان نیز وارد تابع هزینه شود مسئله بهینه‌سازی پویا می‌شود. بهینه‌سازی پیوسته و بهینه‌سازی گسسته یک مسئله بهینه‌سازی گسسته مسئله‌ای است که در آن مقادیر متغیرهای مسئله از یک مجموعه معین گسسته هستند. معمولاً در یک مسئله بهینه‌سازی چند معیاره، با دادن اهمیتی (وزنی) به هر یک از توابع هدف و جمع بستن آنها، مسئله را تبدیل به یک مسئله تک معیاره می‌کنند. حل مسائل بهینه‌سازی چند هدفه، به تنهایی مبحث مستقل و مهمی از حوزه بهینه‌سازی است. مسئله بهینه‌سازی مدخل اصلی: مسئله بهینه‌سازی مسئله بهینه‌سازی به شکل زیر می‌تواند ارائه می‌شود: با مفروض گرفتن تابع f: A R، که در آن R مجموعه اعداد حقیقی است. نوعاً، A زیرمجموعه‌ای از فضای اقلیدسی Rn است که اغلب با مجموعه‌ای از قیود، یعنی معادلات و نامعادلاتی که اعضای A باید آن‌ها را ارضا کند، مشخص می‌شود. دامنه f مجموعه انتخاب یا فضای جستجو خوانده می‌شود، درحالیکه عناصر A، جواب‌های ممکن یا قابل دست‌یابی خوانده می‌شوند. جواب ممکنی که تابع هدف را بیشینه کند یا اگر هدف کمینه‌سازی باشد، آن را کمینه کند، جواب بهینه خوانده می‌شود. بیشینه و کمینه نسبی عموماً، وقتی ناحیه جواب‌های ممکن مسئله محدب نباشد، چندین کمینه و بیشینه نسبی وجود خواهد داشت. بیشینه نسبی *x نقطه‌ای است که برای آن یک δ > ۰ وجود داشته باشد به‌طوری‌که برای هر x که در رابطه زیر صدق کند داشته باشیم یعنی در ناحیه جواب، مقدار تابعی همه نقاط حول (لااقل) یک همسایگی از *x، کوچکتر یا مساوی مقدار تابع در آن نقطه باشد. | ## بخش 2: بهینه‌سازی (اقتصاد) | شاخه‌ای از ریاضیات کاربردی و آنالیز عددی که با ایجاد الگوریتم‌های قطعی -با تضمین همگرایی در زمان متناهی- به جواب بهینه واقعی یک مسئله غیرمحدب بینجامد، بهینه‌یابی سرتاسری خوانده می‌شود. که به معنی یافتن مقدار کمینه تابع هدف 2 است، که متعلق به مجموعه اعداد حقیقی است. که به دنبال مقدار یا مقادیری از x در بازه است که تابع هدف x2 + ۱ را کمینه می‌کند (مقدار کمینه تابع اهمیتی ندارد). که به دنبال زوج مرتب (هایی) همچون است که مقدار تابع هدف را بیشینه می‌کند با این قید که در بازه [۵٬۵-] باشد (مقدار بیشینه تابع اهمیتی ندارد). در این حالت، جواب‌ها، زوج مرتب‌هایی به شکل (5,2kπ) و (2kπ+πو۵-) است، به‌طوری‌که تمام اعداد صحیح را در برمی‌گیرد. قضایا قضایای اصلی مسئله بهینه‌سازی را «قضایایی برای اثبات وجود نقاط بهینه»، «قضایایی برای یافتن این نقاط» و «قضایایی برای تحلیل حساسیت این نقاط نسبت به تغییر پارامترهای مسئله» تشکیل می‌دهند. وجود نقطه بهینه قضیه مقدار بحرانی منتسب به کارل وایرشتراس شرایط وجود نقطه بهینه را بیان می‌کند. اگر فضای جواب‌های ممکن، فشرده (ویا به‌طور هم ارز، در فضای اقلیدسی، بسته و کراندار باشد) و ناتهی باشد و از طرفی تابع هدف، پیوسته باشد، آنگاه برای تابع هدف، مقادیر بیشینه و کمینه (بهینه)، در این مجموعه یافت خواهد شد. طریقه یافتن نقطه بهینه قضیه نقطه مانای فرما بیان می‌دارد که جواب بهینه مسائل غیرمقید، در نقاطی یافت می‌شود که مشتق اول یا گرادیان تابع هدف صفر باشد. پس گام اولیه در یافتن این جواب‌ها استفاده از آزمون مشتق اول است؛ یعنی عموماً باید به دنبال نقاط بحرانی بود، یعنی نقاطی که در آن مشتق یا گرادیان تابع هدف صفر باشد یا تعریف نشده باشد یا در مرز ناحیه جواب باشد. معادله‌ای که در آن مشتق اول، در نقاط درون ناحیه جواب، برابر صفر قرار داده شده‌است، اغلب «شرط مرتبه اول» خوانده می‌شود. نقاط بهینه مسائل «بهینه‌سازی با وجود قیود نامساوی»، با استفاده از ضرایب لاگرانژ به دست می‌آید. این روش نیازمند محاسبه یک سیستم از نامعادلات است که شرایط کاروش-کان-تاکر خوانده می‌شود. آزمون مشتق اول، نقاطی را که ممکن است بهینه باشد مشخص می‌کند، اما نمی‌تواند تمایزی بین نقاط بیشینه، کمینه و دیگر نقاط بحرانی ایجاد کند. زمانی‌که تابع هدف دو بار مشتق‌پذیر است، این تمایز در مسائل غیرمقید، با توجه به مشتق دوم یا ماتریس مشتق‌های دوم (ماتریس هشین) حاصل می‌شود و در مسائل مقید، این تمایز، با ماتریس مشتق‌های مرتبه دوم تابع هدف و قیود (ماتریس هشین مرزدار) یه دست می‌آید. شرایطی که تمایز بین این نقاط بیشینه و کمینه را نشان می‌دهد، اغلب «شرایط مرتبه دوم» خوانده می‌شود. کلاود برگ (۱۹۶۳) در قضیه‌ای موسوم به قضیه بیشینه به تشریح پیوستگی جواب بهینه به عنوان تابعی از پارامترها می‌پردازد. کاربرد بهینه‌سازی در اقتصاد اقتصاد، در بسیاری مسائل، برنامه‌ریزی ریاضی را به کار می‌گیرد. در اقتصاد خرد، مسئله حداکثرسازی مطلوبیت و مسئله دوگان آن یعنی مسئله حداقل‌سازی مخارج، مسائل بهینه‌سازی هستند. فرض بر آن است که مصرف‌کنندهها مطلوبیت خود را و بنگاهها سود خود را حداکثر می‌کنند. قیمت دارایی نیز، بر پایه تئوری قیمت‌گذاری دارایی، با بهینه‌سازی توضیح داده می‌شود. دوآل این مسئله نیز کمینه‌سازی هزینه‌های مصرف‌کننده است که در اقتصاد خرد به آن پرداخته می‌شود. اما چنانچه، این مسئله پویا در نظر گرفته شود، به مسئله ریاضی تعیین مسیرهای زمانی برای تخصیص عوامل می‌رسیم که در ذات خود یک مسئله کنترل است و با استفاده از تکنیک‌های کنترل بهینه از جمله هامیلتونین می‌توان آن را حل کرد. روش ضرایب لاگرانژ هنگامیکه با قیود به شکل معادله (تساوی) سر و کار داریم، این روش بهینه‌سازی بسیار کارا خواهد بود. به‌علاوه، هنگامیکه مقادیر ثابت قیود تغییر می‌کند، اطلاعات با ارزشی از مقدار بهینه تابع هدف در اختیار می‌گذارد. ابتدا، تابع هدف F را در نظر بگیرید که بر زیرمجموعه‌ای چون X از فضای اقلیدسی تعریف شده‌است (پس عناصر X می‌توانند بردار باشند)؛ که این زیرمجموعه، توسط قیود به شکل g(x)=b تعریف می‌شود. تابع لاگرانژ در این حالت عبارت خواهد بود از L(x,y)=F(x)+y.(b-g(x شرایط لازم را می‌توان، از طریق یافتن نقاط بحرانی تابع لاگرانژ (بیشینه‌سازی بدون قید)، به دست آورد. به علاوه ضرایب y که به ضرایب لاگرانژ موسومند، تفسیر مهمی دارند که در زیر، همراه با مثالی توضیح داده خواهد شد. قیمت سایه تغییر در مقدار تابع هدف جواب بهینه در مسئله بهینه‌سازی با استفاده از یک واحد بیشتر از منبع (قید) است که خود مطلوبیت نهایی قید یا هزینه نهایی افزودن به قید است. مسئله مصرف‌کننده در این حالت عبارت خواهد بود از لاگرانژین این مسئله به شکل زیر خواهد بود: با استفاده از شرایط مرتبه اول، مقادیر بهینه‌ساز به دست خواهد آمد که تساوی زیر را برقرار خواهد کرد: اگر به مصرف‌کننده یک واحد اضافه تر از ثروت داده شود، در جاییکه مطلوبیت نهایی برحسب هر واحد پولی برابر * است، تغییر مطلوبیت نهایی بر حسب واحد پولی یک واحد اضافه تر از ثروت برابر خواهد بود با * که به قیمت سایه مشهور است. کان-تاکر در واقع تعمیمی است بر روش ضرایب لاگرانژ که در آن قیود نامساوی هم در نظر گرفته شده‌است. مسئله بهینه‌سازی غیرخطی زیر را در نظر بگیرید: تابع هدف تابعی است که قصد حداقل سازی آن را داریم؛ توابعی هستند که قیود نامساوی را تشکیل می‌دهند و توابعی‌اند که قیود تساوی را شکل می‌دهند، m و l به ترتیب تعداد قیود نامساوی و تساوی هستند. شرایط لازم فرض که تابع هدف باشد و توابع قیود نامساوی به شکل و توابع قیود مساوی به شکل باشند. اگر *، کمینه موضعی باشد که برخی شرایط Regularity را ارضا کند، آنگاه ثابتی چون و وجود خواهد داشت به‌طوری‌که شرایط کافی اگر مجموعه جواب‌های ممکن، مجموعه‌ای ناتهی و فشرده و ضمناً محدب باشد، و تابع هدف بر این مجموعه، پیوسته و مقعر باشد؛ در این صورت، بیشینه موضعی، بیشینه مطلق است. بعلاوه، اگر تابع هدف اکیداً مقعر باشد، در این صورت جواب یکتاست، یعنی یک بیشینه مطلق یکتا وجود دارد. پس یک راه اطمینان حاصل کردن از اینکه، جواب‌های حاصل از شرایط مرتبه اول کان-تاکر، بیشینه هستند، بررسی شرایط یادشده‌است. هرگاه تابع هدف و قیود نامساوی به‌طور پیوسته مشتق‌پذیر و محدب باشند و قیود تساوی توابع آفین باشند؛ شرایط لازم، کافی نیز خواهند بود. مارتین ۱۹۸۵ (Martin 1985)، دسته‌ای از توابع را مشخص کرد که در آن‌ها شرایط کان-تاکر، وجود بهینه سرتاسری را تضمین می‌کند، که توابع invex خوانده می‌شوند. اگر قیود تساوی، توابع آفین باشند، قیود نامساوی و تابع هدف به‌طور پیوسته مشتق‌پذیر و invex باشند، شرایط کان-تاکر برای بهینه سرتاسری، کافی نیز خواهد بود. توابع مقداری تابع مقداری (value function) برای مسئله بیشینه‌سازی زیر به شکل زیر تعریف خواهد شد (دامنه v، عبارت خواهد بود از ) با این تعریف، ضرایب نشان‌دهنده نرخ افزایش تابع مقداری، درصورت افزایش خواهد بود. این تعبیر، به‌ویژه در اقتصاد مهم است و در مسائلی همچون حداکثرسازی مطلوبیت مورد استفاده نیز می‌باشد. مسئله حداکثرسازی مطلوبیت مسئله حداکثرسازی مطلوبیت، مسئله‌ای است که مصرف‌کننده در اقتصاد خرد، با آن روبروست. این سؤال که "چگونه می‌بایستی ثروت خود را برای به دست اوردن حداکثر مطلوبیت خرج کنم؟" خود یک نوع از مسئله تصمیم‌گیری بهینه است. فرض کنید مجموعه مصرفی، (یا به عبارت ساده‌تر مجموعه همه سبدهای مصرفی که اگر قید بودجه‌ای نبود، ممکن بود انتخاب شوند)، حاوی L کالا است و فرض کنید که به مقادیر مثبت محدود شده‌است. و فرض کنید که ثروت مصرف‌کننده برابر w باشد، آنگاه مجموعه سبدهای قابل خرید، مجموعه بودجه، برابر خواهد بود با که ضرب داخلی بردار قیمت و مقادیر مصرفی است، یا هزینه مصرفی کالای x با قیمت‌های p است. تابع مطلوبیتی به صورت یک تابع حقیقی مقدار با دامنه سبدهای کالایی در نظر بگیرید مثل انتخاب‌های مصرفی بهینه مصرف‌کننده (x(p, w، سبدهای حداکثرکننده مطلوبیت مصرف‌کننده در مجموعه بودجه است یعنی یافتن (x(p, w به مسئله حداکثرسازی مطلوبیت مشهور است. رابطه بین تابع مطلوبیت و تقاضای مارشالی در مسئله حداکثرسازی مطلوبیت رابطه بین تابع مخارج و تقاضای هیکسی را در مسئله حداقل‌سازی مخارج را بازمی‌تاباند. | ## بخش 3: بهینه‌سازی (اقتصاد) | اگر مصرف‌کننده‌ای همواره یک سبد بهینه را آنچنانکه در بالا تعریف شد انتخاب کند، آنگاه (x(p, w تناظر تقاضای مارشالی خوانده می‌شود. اما باید توجه داشت که بهینه‌سازی صرفاً یک ابزار ریاضی است و ممکن است رفتار افراد در عمل به گونه‌ای دیگر هم باشد. تئوری عقلانیت محدود، بیانگر آنست که در عمل، مصرف‌کننده ممکن است همواره سبد بهینه را انتخاب نکند. مثال تابع کاب-داگلاس U را برای مطلوبیت مصرف‌کننده که از مصرف دو کالای x و y حاصل می‌کند، در نظر بگیرید. مسئله حداقل‌سازی هزینه در اقتصاد خرد، مسئله حداقل‌سازی هزینه، صورت دیگری برای مسئله حداکثرسازی مطلوبیت است. سؤال "چه ثروتی برای دستیابی به سطح خاصی از خوشی (مطلوبیت) لازم است ؟" به دو بخش تقسیم می‌شود. با تابع مطلوبیت معین برای مصرف‌کننده، قیمت‌های معین، و مطلوبیت هدف‌گذاری شده، چه ثروتی برای مصرف‌کننده لازم است؟ مصرف‌کننده برای رسیدن به این مطلوبیت هدف‌گذاری شده چه چیزی بخرد تا مخارج خود را حداقل کند؟ تابع مطلوبیت را که بر سبدهای کالایی مشتمل بر کالا تعریف شده برای مصرف‌کننده در نظر بگیرید. در این صورت، تابع مخارج مصرف‌کننده، مقدار ثروتی را نشان می‌دهد که در قیمت‌های داده شده ، برای خرید آن سبدی از کالاها لازم است که مطلوبیتی لااقل به اندازه * می‌دهد که مجموعه‌ای از سبدهای کالایی است که مطلوبیتی حداقل به اندازه * می‌دهد. تناظر تقاضای هیکسی تناظر تقاضای هیکسی (*، به وسیله ارزانترین سبد کالایی که مطلوبیت هدف‌گذاری‌شده را بدهد، تعریف می‌شود و می‌تواند برحسب تابع مخارج با تابع تقاضای مارشالی تعریف شود. ممکن است که تقاضای هیکسی و مارشالی منحصر به فرد نباشند، یعنی بیش از یک سبد کالا وجود داشته باشد که مسئله حداقل‌سازی هزینه را حل کند. چنانچه فرض کنیم اشباع‌ناپذیری محلی برقرار باشد، جواب یکتا است و تقاضا را می‌توان به‌عنوان تابع تعریف کرد. کنترل بهینه نظریه کنترل بهینه، یک روش بهینه‌سازی ریاضی است برای به دست آوردن سیاست‌گذاری‌های کنترلی و تعمیمی است بر حساب تغییرات. این روش به وسیلهٔ لو پنتریاگین و همقطارانش در شوروی و نیز ریچارد بلمن در آمریکا ابداع شد. روش عمومی نظریه کنترل بهینه در پی یافتن قانون کنترل برای یک سیستم معین است به شکلی که ضابطه بهینگی خاصی به دست آید. کنترل بهینه، در واقع مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل است که «مسیری» از متغیرهای کنترل که تابع هزینه را کمینه می‌کند، نشان می‌دهند. کنترل بهینه می‌تواند با استفاده از اصل حداکثرسازی پنتریاگین (شرط لازم)، یا حل معادله همیلتن-ژاکوبی-بلمن (شرط کافی) به دست آید. مفاهیم کنترل بهینه به همراه مثالی ساده اتومبیلی را در نظر بگیرید که بر خط مستقیمی روی تپه ماهور به پیش می‌رود. قانون کنترل، در این مثال، به طریقی که راننده گاز را می‌فشارد و دنده عوض می‌کند برمی‌گردد. سیستم، در این مثال، شامل جاده و اتومبیل است، ضابطه بهینگی، در این مثال، حداقل‌سازی زمان مسافرت است. قیود فرعی در این مثال، می‌تواند شامل حداکثر سوخت قابل دسترس، حداکثر سرعت و… باشد. «تابع هزینه»، در این مثال عبارتی ریاضی است که زمان را به عنوان تابعی از سرعت، ملاحظات جغرافیایی و شرایط اولیه سیستم می‌دهد. تابع هزینه (نسبت به متغیر زمان پیوسته) زیر حداقل شود با توجه به قیود دینامیک مرتبه اول و قیود مسیر و شرایط مرزی که (x(t وضعیت و (u(t کنترل خوانده می‌شود. روش‌های عددی برای کنترل بهینه مسائل کنترل بهینه اغلب غیرخطی هستند و بنابراین عموماً جواب تحلیلی ندارند. در روش غیرمستقیم، که رهیافتی برای حل مسائل کنترل بهینه است، با استفاده از حساب تغییرات برای به دست آوردن شرایط مرتبه اول، به یک مسئله مقدار مرزی می‌رسیم که خود، شکل مشتقات همیلتونین را دارد؛ بنابراین سیستم همیلتونین زیر را خواهیم داشت: که با استفاده از شرایط مرزی مناسب مسئله حل خواهد شد. در روش مستقیم، متغیر کنترل و/یا متغیر وضعیت با استفاده از تخمین چندجمله‌ای، تخمین زده می‌شود. وی اثبات کرد که یک شرط لازم برای حل مسئله کنترل بهینه این است که کنترل باید به گونه‌ای انتخاب شود که همیلتونین را کمینه کند. همیلتونین را می‌توان به شکل زیر تعریف کرد: که در آن ( برداری از متغیرهای costate است با بعدی برابر با بعد متغیر وضعیت (. نمادها و تعریف مسئله متغیر کنترل ( باید به گونه‌ای انتخاب شود که تابع زیر را کمینه کند: متغیر حالت سیستم ( به صورت زیر تغییر می‌یابد: متغیر کنترل باید شرایط زیر را داشته باشد: همیلتونین پنتریاگین را می‌توان با یک تابع ۴ متغیره نظر گرفت: دراین حالت، شرایط بیشینه را می‌توان به شکل زیر نوشت: مثالی از حل یک مسئله کنترل بهینه استراتژی حل مسائل کنترل بهینه عموماً یافتن costate یا قیمت سایه ( است که در برخی موارد و به ویژه در مسائل زمان پیوسته، می‌تواند به‌صورت صریح به دست آورده شود. فرض کنید که در زمان ۰، موجودی نفت در چاه به میزان است و هزینه بیرون کشیدن نفت ( است که (u(t نرخ کشیدن نفت از چاه است. مسئله یافتن نرخ (u(t برای حداکثرسازی سود (بدون تنزیل زمانی) است با این فرض که در زمان T، نفت برای صاحب چاه ارزشی ندارد. پاسخ: صاحب چاه نفت سود خود را، ، حداکثر می‌کند که به شکل زیر نوشته می‌شود و برای این کار با قید زیر مواجه است. با استفاده از همیلتونین داریم: از طرفی در زمان T، نفت چاه ارزشی ندارد یعنی با استفاده از معادلات بالا به دست آوردن معادلات دیفرانسیل (u(t و ( ساده خواهد شد: با استفاده از شرایط اولیه و شرایط زمان T، می‌توان این توابع را به صورت عددی به‌دست‌آورد. روش‌های بهینه‌سازی تکاملی در کنار روش‌های بهینه‌سازی مبتنی بر گرادیان، روش‌های بهینه‌سازی دیگری نیز معرفی شده‌اند که به حل مسائل مختلف در این حوزه کمک می‌کنند. این روش‌ها در بسیاری از دسته‌بندی‌ها تحت عنوان روش‌های بهینه‌سازی هوشمند، روش‌های بهینه‌سازی و محاسبات تکاملی یا جستجوی هوشمند شناخته می‌شود. این روش‌های این مزیت را دارند که بدون نیاز به مشتق تابع هزینه به یافتن نقطه بهینه آن می‌پردازند. همچنین در مقایسه با روش‌های مبتنی بر گرادیان کمتر مشکل افتادن در دام کمینه محلی را دارند. در مقابل اگر هدف رسیدن به یک جواب بهینه محلی باشد، این روش‌ها بسته به کاربرد ممکن است سرعت کمتری در مقایسه با روش‌های مبتنی بر گرادیان داشته باشند. الگوریتم‌های ژنتیک الگوریتم اجتماع ذرات الگوریتم کلونی مورچه‌ها جستجوی تابو تبرید شبیه‌سازی شده تکامل تفاضلی الگوریتم کلونی زنبورها الگوریتم رقابت استعماری ... محدودیت نسخه رایگان فوق، در پذیرش تعداد متغیرها (حداکثر ۳۰۰ متغیر) و قیدها (حداکثر ۱۵۰ قید) است. زیرروال‌های موجود در آن شامل الگوریتم‌های کمینه‌سازی مقید غیرخطی و خطی، کمینه‌سازی غیرمقید و برنامه‌ریزی غیرخطی است. متمتیکا محیطی برای مسائل ریاضی که می‌تواند برای حل بهینه‌سازی غیرخطی مقید، برنامه‌ریزی خطی و برنامه‌ریزی عدد صحیح به کار رود. اینتریلیگیتور میشل، بهینه‌سازی ریاضی، ترجمه پورکاظمی حسین علی، مرکز چاپ و انتشارات دانشگاه شهید بهشتی، ۱۳۶۸، تهران. برادلی، هکس و مگننی، برنامه ریاضی کاربردی، ترجمه ذکایی آشتیانی، مؤسسه عالی پژوهش در برنامه‌ریزی و توسعه، ۱۳۷۲، تهران. | ## جمع‌بندی | لوئنبرگر دیوید، برنامه‌ریزی خطی و غیر خطی، ترجمه مهدوی امیری نظام الدین و پورکاظمی محمدحسین، انتشارات دانشگاه صنعتی شریف، ۱۳۷۹، تهران.