موضوع مقاله: عمل دوتایی | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # عمل دوتایی | مقدمه: عمل دوتایی در ریاضیات، محاسبه‌ای است که در آن دو عنصر (که به آن عملوند گفته می‌شود) را ترکیب می‌کند تا یک عنصر دیگر را تولید کند. | ## بخش 1: عمل دوتایی | آشنایی شاید تا به حال فرایندهای زیادی را دیده باشید که طی آن دو چیز با هم ترکیب می‌شوند و شی سوم متمایزی را حاصل می‌دهند. مثلاً تصور کنید در یک کلاس درس معلم کلاس می‌گوید «ب»، «آ» و دانش‌آموزان با هم فریاد می‌زنند «با». این بار معلم می‌گوید «ب»، «و» و این‌بار دانش‌آموزان فریاد می‌زنند «بو» یا در مثالی دیگر در طبیعت مولکول‌های هیدروژن و اکسیژن با هم ترکیب شده و ماده سومی چون آب را پدیدمی‌آورد. این‌ها همگی نمونه‌هایی از اعمالی دوتایی هستند که در طی آن‌ها دو عنصر شرکت‌کننده عنصر سومی را پدیدمی‌آورند. اعمال دوتایی و به دنبال آن ساختارهای جبری از مهم‌ترین و مقدماتی‌ترین مفاهیم در جبر مجرد هستند. در ادامه به تعریف دقیق یک عمل دوتایی در جبر می‌پردازیم و ویژگی‌های آن‌ها را بررسی می‌کنیم. عمل دوتایی یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G تابعی است چون از G×G به توی G که به هر عضو (a,b) از G×G یک عضو یکتا چون C از G را نسبت می‌دهد. با توجه به تعریف یک عمل دوتایی، یک عمل دوتایی چون * روی یک مجموعه ناتهی G باید واجد شرایط زیرباشد: عمل دوتایی روی کل دامنه خود یعنی G×G تعریف شده باشد. عمل دوتایی * یک تابع خوش تعریف از G×G به توی G باشد یعنی به هر عضو G×G عنصر یکتایی از G را نسبت می‌دهد. عمل دوتایی را که سبب ترکیب هر دو عضو مجموعه ناتهی G می‌شود، معمولاً با * یا ° نمایش می‌دهیم. برای نمایش اینکه، * یک عمل دوتایی تعریف شده در مجموعه ناتهی G باشد می‌نویسم (*،G) و برای هر (a,b) عضو G×G، حاصل عمل * روی زوج مرتب (a,b) را به صورت (a,b)* یا معمول‌تر به فرم a*b نشان می‌دهیم و معمولاً برای سهولت در نوشتن a*b را نیز به صورت ab می‌نویسیم. اگر عمل دوتایی را به فرم جمعی نشان دهیم حاصل عمل + را روی (a,b) به صورت a+b نشان می‌دهیم و اگر عمل دوتایی را با نماد ضربی نشان دهیم حاصل عمل را به صورت a.b یا ab نشان می‌دهیم. | ## بخش 2: عمل دوتایی | مثال‌هایی از اعمال دوتایی مجموعه اعداد صحیح را در نظر بگیرید، ضابطه عمل * را روی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم: که همان عمل جمع اعداد صحیح است و به آسانی دیده می‌شود * یک عمل دوتایی است. * با ضابطه زیر، یک عمل دوتایی است: اما عمل فوق در اعداد صحیح و اعداد گویا عمل دوتایی نمی‌باشد؛ زیرا به عنوان مثال: یا «در مثالهای بالا به علت نداشتن شرط بسته بودن عمل دوتایی نیست» ولی در مجموعه اعداد حقیقی عمل فوق، یک عمل دوتایی است. عمل * را در مجموعه دلخواه A به صورت زیر تعریف می‌کنیم: عمل * که در بالا تعریف شده در مجموعه اعداد گویا یک عمل دوتایی نیست. بسته بودن نسبت به یک عمل تعریف کلی: اگر در یک مجموعه دو عضو a وb انتخاب کنیم و عمل مربوطه (ضرب و جمع و تفریق و تقسیم) را روی آن دو عضو انجام دهیم و حاصل در مجموعه مورد نظر ما وجود داشته باشد در اینصورت می‌گوییم دو عضو a و b نسبت به عمل مربوطه بسته‌است. توجه داشته باشید که لزومی ندارد عضوهای انتخابی متمایز باشند یعنی می‌توانند هر دو یکی باشند. به‌طور مثال در مجموعه {۱٬۲} اگر عضو ۱ را انتخاب کنیم می‌توانیم ۱ را با ۱ در نظر بگیریم (هر دو عضو انتخابی یکی باشند) و بعد با هم جمع کنیم که حاصل برابر ۲ است و در مجموعه مورد نظر وجود دارد، اما اگر ۲ و یک را در نظر بگیریم در اینصورت ۲ +۱ = ۳ و داخل مجموعه وجود ندارد پس مجموعه فرض شده نسبت به عمل جمع بسته نیست. می‌بینید که باید حتماً دو تمام حالات را بررسی کنید چرا که در تعریف گفته شده دو عضو a و b، به این معنی است که هر عضوی می‌تواند باشد و نباید فقط از روی دو عدد در مورد بسته بودن مجموعه نسبت به اعمال اصلی قضاوت کنیم. عمل جمع اعداد یک عمل دوتایی روی مجموعه اعداد صحیح است و بدیهی است که با توجه به تعریف عمل دوتایی روی برای هر دو عدد صحیح a و b عدد a+b نیز عددی صحیح است. برای هر دو عضو این مجموعه چون m و n چون مجموع دو عدد زوج، عددی زوج است عدد m+n زوج است پس متعلق به مجموعه اعداد صحیح زوج است. به عبارت برای هر داریم در این حالت اصطلاحاً می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح زوج تحت عمل جمع بسته‌است. اما همواره برای هر زیرمجموعه Z چنین نیست؛ به‌طور مثال، مجموعه اعداد صحیح فرد را در نظر بگیرید. مجموع دو عدد صحیح فرد عددی زوج است که دیگر به مجموعه اعداد صحیح فرد تعلق ندارد پس برای هر داریم در این حالت می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح فرد تحت عمل جمع بسته نمی‌باشد. | ## بخش 3: عمل دوتایی | اگر G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف شده روی G باشد و E زیرمجموعه‌ای ناتهی از G باشد، می‌گوییم E تحت عمل G بسته‌است در صورتی‌که به ازای هر a,b∈E داشته باشیم a*b∈E. ویژگی‌های اعمال دوتایی یک عمل دوتایی روی یک مجموعه می‌تواند دارای برخی ویژگی‌های خاص باشد. در این صورت می‌گوییم عمل * روی G شرکت‌پذیر است هرگاه برای هر a,b،c متعلق به مجموعه G داشته باشیم: a*(b*c)=(a*b)*c به عنوان مثال: در مجموعه اعداد صحیح عمل * را به صورت زیر بیان می‌کنیم: (a*b*c=a*(b*c تحت عمل * شرکت پذیر است. به عنوان مثال مجموعه اعداد طبیعی به همراه عمل جمع یک نیم گروه است ولی مجوعه اعداد صحیح به همراه عمل تفاضل یک نیم گروه نمی‌باشد. هرگاه مجموعه توابع پیوسته به روی اعداد حقیقی باشد، آنگاه تحت عمل جمع توابع، یک نیم‌گروه است. در این صورت عمل * را روی G جابه‌جایی می‌گوییم هرگاه برای هر دو عضو a و b متعلق به مجموعه G داشته باشیم a*b=b*a. به عنوان مثال عمل جمع اعداد روی اعداد طبیعی عملی جابه‌جایی است و عمل تفریق روی مجموعه اعداد حقیقی دارای خاصیت جابه‌جایی نمی‌باشد. در این صورت عضو e متعلق مجموعه G را عضو خنثی یا همانی G نسبت به عمل * می‌گوییم هرگاه برای هر a متعلق به مجموعه G داشته باشیم: e*a=a*e=a اگر e عضو G چنان باشد که برای هر a عضو G داشته باشیم a*e=a آنگاه e را عضو خنثی راست می‌گوییم و اگر برای هر a متعلق به G داشته باشیم e*a=aآنگاه e را عضو خنثی چپ می‌گوییم. به عناون مثال در مجموعه اعداد صحیح به همراه عمل جمع عدد صحیح صفر عضو خنثی عمل جمع است و عضو خنثی ضرب در مجموعه ماتریس‌های مربعی از مرتبه n ماتریس همانی است. حال ممکن است این سؤال پیش بیاید که آیا یک مجموعه نسبت به یک عمل دوتایی می‌تواند دارای دو عضو خنثی باشد؟ نشان می‌دهیم e۱=e۲ چون e۲∈G و e۱ عضو خنثی G نسبت به عمل * است داریم و چون e۱∈G و e۲ عضو خنثی G است داریم: که دو تساوی اخیر نشان می‌دهد e۱=e۲ و حکم ثابت می‌شود. عضو معکوس فرض کنید G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی روی G باشد و e عضو خنثی G نسبت به عمل * باشد. | ## جمع‌بندی | در این صورت عضو a متعلق به G را نسبت به عمل * وارون پذیر (معکوس پذیر) می‌نامیم هرگاه عضوی چون b موجود باشد که a*b=b*a=e.