موضوع مقاله: قضیه اساسی حساب | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # قضیه اساسی حساب | مقدمه: قضیهٔ اساسی حساب از قضایای مهم در نظریۀ اعداد است که نشان می‌دهد اعداد اول چگونه همانند بلوک‌های ساختمانی در ساختن سایر اعداد نقش دارند. | ## بخش 1: قضیه اساسی حساب | این قضیه به‌طور ساده بیان می‌کند که هر عدد صحیح به‌جز و ، به‌صورت حاصل‌ضربی از عوامل اول قابل نمایش است. همچنین این نمایش اعداد به‌صورت حاصل‌ضرب عوامل اول، صرف نظر از ترتیب عوامل یکتا است. اگر عدد را به‌صورت به حاصل ضرب عوامل اول بنویسم، این کار را اصطلاحاً تجزیه عدد به عوامل اول می‌گوئیم. پس قضیهٔ اساسی حساب بیان می‌کند که هر عدد صحیح به‌جز و ، قابل تجزیه به عوامل اول است و این تجزیه صرف نظر از ترتیب عوامل یکتا است. قضیۀ اساسی حساب و برهان آن باید توجه داشت که از نظر تاریخی این قضیه اساساً توسط اقلیدس به اثبات رسیده‌است، اما اولین اثبات کامل از آن توسط گاوس در کتاب تحقیقات حساب منتشر شده‌است. همچنین، با گسترش جبرمجرد و نظریۀ حلقه، مفهومی مشابه در نظریۀ حلقه به عنوان حوزۀ تجزیۀ یکتا (UFD) به‌وجود آمد که در آن‌ها خاصیتی مشابه برقرار است که توسط کومر و زمانی که بروی قضیه آخر فرما کار می‌کرد، معرفی شد. این نشان می‌دهد که اگر چه قضیهٔ اساسی حساب در حلقۀ اعداد صحیح بدیهی جلوه می‌کند، اما چنین چیزی در مورد هر حلقۀ دلخواه بدیهی نیست و ممکن است نادرست باشد. نشان می‌دهیم که حکم برای نیز برقرار است و بنابر اصل استقراء ریاضی نتیجه می‌گیریم که حکم برای هر عدد طبیعی‌ای درست است. پس و که در آن و -ها اعداد اول و نه لزوماً متمایز هستند؛ بنابراین و لذا نیز به حاصل‌ضرب عوامل اول تجزیه می‌شود. برای اثبات این مطلب فرض می‌کنیم عددی طبیعی بزرگ‌تر از یک، دلخواه و از این پس ثابت باشد و و دو تجزیۀ به عوامل اول باشند. | ## بخش 2: قضیه اساسی حساب | فرض می‌کنیم حکم در مورد هر عدد کوچک‌تر از درست باشد و نشان می‌دهیم حکم در مورد نیز درست است. بی‌آنکه به کلیت مطلب خللی وارد شود، می‌توان فرض کرد (چرا که می‌توان اندیس‌گذاری را تجدید کرد و به‌صورت دلخواه نوشت)، اما چون اول است و (بنابر اول بودن)، پس لزوماً باید داشته باشیم . پس: و بنابر فرض استقراء، و احیاناً با تجدید اندیس‌گذاری: پس و احیاناً با تجدید اندیس‌گذاری: تجزیه استاندارد در ابتدا مفهوم تجزیه به عوامل اول را توضیح دادیم و دیدم که بنابر قضیۀ اساسی حساب، هر عدد صحیح به‌جز یک و منفی یک، به حاصل‌ضرب اعداد اول قابل تجزیه است، اما این عوامل اول ممکن است متمایز نباشند. اگر عدد صحیح را به‌صورت بنویسم که در آن -ها اعداد اول متمایز هستند، این تجزیه به عوامل اول را تجزیه استاندارد یا کانونیک به عوامل اول می‌گوئیم. کاربرد قضیۀ اساسی حساب نشان می‌دهد چگونه اعداد اول مانند بلوک‌های ساختمان در تولید سایر اعداد صحیح نقش دارند. تجزیۀ یک عدد به عوامل اول می‌تواند اطلاعات زیادی را در مورد مقسوم علیه‌های آن عدد و به‌طور کلی ساختار آن عدد در اختیار ما بگذارد. یافتن تعداد مقسوم علیه‌های یک عدد فرض کنید عددی طبیعی و بزرگ‌تر از یک باشد و تجزیه استاندارد به عوامل اول باشد. تجزیۀ به عوامل اول نشان می‌دهد که هر مقسوم‌علیه باید به صورت باشد که به وضوح برای هر ، مقدار را به طریق می‌توان انتخاب کرد (با احتساب مقدار صفر) و در هر حالت یک مقسوم‌علیه حاصل می‌شود. یافتن مجموع مقسوم علیه‌های یک عدد تجزیۀ یک عدد به عوامل اول در مطالعۀ توابع حسابی مانند تابع مقسوم علیهی کاربرد فراوان دارد. برای هر عدد طبیعی ، مجموع قوای -اُم مقسوم علیه‌های را با نشان می‌دهیم که در آن عددی حقیقی یا مختلط است. | ## بخش 3: قضیه اساسی حساب | حال اگر ، در این صورت عبارت فوق همان تعداد مقسوم علیه‌های است که در قسمت قبل آن را بررسی کردیم. در حالت خاص دیگر اگر ، در این صورت: که همان مجموع مقسوم علیه‌های عدد است که اکنون می‌خواهیم آن را بررسی کنیم. در این صورت مقسوم علیه‌های عبارت‌اند از: پس: حال در حالتی کلی‌تر فرض می‌کنیم تجزیه استاندارد به عوامل اول باشد. پس: پس: در نتیجه: پس دیدیم که چگونه می‌توان مجموع مقسوم علیه‌های عدد طبیعی را محاسبه کرد و البته مطلب فوق از ضربی بودن تابع مقسوم علیهی نیز قابل استنتاج است. تعیین حاصل‌ضرب مقسوم علیه‌های یک عدد فرض کنید عددی طبیعی بزرگ‌تر از یک باشد و مجموعۀ همۀ مقسوم علیه‌های باشد. از راه تجزیه به عوامل اول روش دیگری به‌جز روش الگوریتم اقلیدس برای تعیین بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب. م.) دو عدد از راه تجزیۀ آن‌ها به عوامل اول وجود دارد که البته از آنجایی که تجزیۀ اعداد بزرگ پیچیده خواهد بود، چندان روشی کارساز نخواهد بود. فرض کنید دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک باشند و و تجزیۀ استاندارد به عوامل اول باشد. دو عدد عبارت است از حاصل‌ضرب عوامل اول مشترک یا غیر مشترک آن‌ها با بزرگ‌ترین توان. | ## جمع‌بندی | برای اثبات قضایای فوق می‌توانید به مقالات بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک و کوچک‌ترین مضرب مشترک مراجعه کنید.