موضوع مقاله: توپولوژی دیجیتال | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # توپولوژی دیجیتال | مقدمه: توپولوژی دیجیتال با خصوصیات و شکل تصاویر دیجیتال دو بعدی یا سه بعدی اشیا در رابطه با خصوصیات توپولوژیکی (همبندی) یا شکل توپولیژیکی (مرزها) سروکار دارد. | ## بخش 1: توپولوژی دیجیتال | مفاهیم و نتایج توپولوژی برای تعیین و تأکید بر الگوریتم‌های مهم آنالیز تصویر به کار می‌روند. یا به‌طور کلی برای تعریف توپولوژی دیجیتال داریم که: تجزیه و تحلیل یک تصویر دیجیتال معمولاً شامل تقسیم آن به قطعات و اندازه‌گیری خصوصیات مختلف و روابط بین این قطعات است. به‌طور خاص، فرد اغلب می‌خواهد مؤلفه‌های همبند زیرمجموعه یک تصویر را جدا کند، تا روابط مجاورت بین این مؤلفه‌ها را تعیین نموده، مرزهایشان را ردیابی و رمزگذاری کند؛ الگوریتم‌های استانداردی برای انجام همه‌ی این وظایف وجود دارد. اما برای اثبات اینکه آن‌ها کار می‌کنند، لازم است برخی از خصوصیات توپولوژیکی زیرمجموعه تصویر دیجیتال ایجاد شود که این خصوصیات بنام توپولوژی دیجیتال یاد می‌گردد. توپولوژی دیجیتال ابتدا در اواخر ۱۹۶۰ توسط محقق آنالیز تصویر کامپیوتری ازریل روزنفلد (۱۹۳۱–۲۰۰۴) مطالعه شد. اصطلاح توپولوژی دیجیتال نیز ابتکار خود روزنفلد بود که آن را برای اولین بار در سال ۱۹۷۳ در یکی از نشریات خود به کار برد. یکی از نتایج مهم در توپولوژی دیجیتال می‌گوید که تصاویر دودویی دو بعدی به انتخاب اختیاریِ ۴-مجاورت یا ۸-مجاورت احتیاج دارد تا دوگانگی اساسی توپولوژیکی، همبندی و جدایی را تضمین کند. برای آنالیز یک عکس دیجیتال معمولاً آن را به قسمت‌های مختلف قسمت بندی می‌کنند و خصوصیات مختلف و رابطهٔ بین بخش‌های را بررسی و مقایسه می‌کنند. | ## بخش 2: توپولوژی دیجیتال | پردازش تصویر دیجیتال یا پردازش تصویر، کاربرد وسیعی در زمینه‌های مختلف از جمله در دادوستد، صنعت، پزشکی و علوم محیط زیست دارد. یک تصویر با نمونه برداشتن از مقادیر روشنی آن در نقاط گسسته ی یک شبکه بندی و تبدیل این مقادیر به ارقام در تعداد متناهی از نقاط، به کامپیوتر داده می‌شود. در این روش پیکسل‌ها را بر اساس این که سطح خاکستریشان از یک سطح آستانه‌ای مفروض t فراتر می‌رود یا نه، طبقه‌بندی می‌کنند. وقتی یک عکس به زیرمجموعه‌ها قسمت بندی می‌شود، می‌توان آن را با خصوصیات این زیرمجموعه‌ها و روابط بینشان توصیف کرد. برخی از این خصوصیات به سطح خاکستری نقاط زیرمجموعه بستگی دارند ولی برخی دیگر خصوصیات هندسی هستند که فقط به موقعیت نقاط بستگی دارند. همبندی ابتدا مفهوم همبند بودن را برای زیرمجموعه‌های تصویر Img به صورت فرمول بیان می‌کنیم. فرض می‌کنیم Img یک ارائه از نقاط شبکه بندی با مختصات صحیح (x,y) باشد که x و y اعدادی طبیعی در یک بازه بسته هستند. تعریف۱: ۴-همسایه‌های (x,y) چهار نقطهٔ مجاور عمودی و افقی به آن یعنی (x±۱,y) و (x, y±۱) هستند. | ## بخش 3: توپولوژی دیجیتال | تعریف ۲: ۸-همسایه‌های (x,y) شامل ۴-همسایه‌ها و نقاط مجاور قطری آن (x+1, y±۱) و (x-1, y±۱) هستند. تعریف۳: P و Q نقاطی در Img هستند، منظور از مسیر از P تا Q دنباله‌ای از نقاط مانند P=,,…,=Q است به‌طوری‌که همسایهٔ باشد. تعریف۴: می‌گوییم P و Q در Sمتصل (همبند) هستند اگر یک مسیر از P به Q وجود داشته باشد به‌طوری‌که همهٔ نقاط مسیر نقاطی از S باشند. کمان‌ها و خم‌ها یکی از روش‌های متداول آنالیز تصویر در پردازش تصویر دیجیتال، نازک کردن مجموعه‌های دیجیتال نقاط به مقدار ایده‌آل است. تعریف: فرض کنیم S زیرمجموعه‌ای از Img باشد، S کمان نامیده می‌شود اگر همبند باشد و همهٔ نقاط آن جز دو نقطه انتهایی دقیقاً دو همسایه داشته باشند و دو نقطهٔ انتهایی فقط یک همسایه. دنبال کردن مرز S زیر مجموعه‌ای از Img است مرزِ S مجموعه‌ای از نقاط S است که در مکمل آن ۴-همسایه دارند. این الگوریتم که نام دارد نشان می‌دهد که چگونه با داشتن یک جفت نقطه (,) جفت نقطهٔ جدید (,) پیدا می‌شوند. | ## جمع‌بندی | ۸-همسایه‌های را در خلاف جهت عقربه‌های ساعت که با شروع می‌شوند را =, ,…, می‌نامیم.