موضوع مقاله: ۰٫۹۹۹… | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # ۰٫۹۹۹… | مقدمه: جایگزین=ِDecimal|یک انگشت|این انیمیشن نشان می دهد که اعداد چگونه به سمت عدد یک می گرایند و در نهایت تبدیل به یک می‌گردد., ,, و همین‌طور که ادامه دهیم، خواهیم داشت : در ریاضیات، ۰٫۹۹۹… (که با علامت‌هایی مانند یا نیز نمایش می‌یابد) یک عدد اعشاری متناوب از نوع ساده متشکل از تعداد بی‌نهایت ۹ بعد از ممیز را نشان می‌دهد. | ## بخش 1: ۰٫۹۹۹… | هر عدد اعشاری مختوم غیر صفر، با یک عدد اعشاری متناوب دوقلوی خود برابر است که می‌توان آن را با بی‌نهایت ۹ نشان داد (برای مثال ۸٫۳۲ برابر است با ۸٫۳۱۹۹۹…). تقریباً، همواره عدد اعشاری مختوم ترجیح داده می‌شود، که این موضوع به افزایش این تصور غلط که تنها شکل نمایش همان عدد مختوم است، دامن می‌زند. چنین مفهومی در تمام مبناهای دیگر (با بزرگترین عدد ممکن)، یا اعداد حقیقی مشابه وجود دارد. تساوی ۰٫۹۹۹… و عدد ۱ به نبود مقادیر غیر صفر بی‌نهایت کوچک در سیستم اعداد حقیقی مربوط می‌شود؛ این سیستم رایج‌ترین سیستم در آنالیز ریاضی است. برخی سیستم اعداد جایگزین، مانند اعداد فراحقیقی شامل مقادیر بسیار کوچک غیر صفر نیز می‌باشند. در بسیاری از این سیستم‌ها، مفهوم ۰٫۹۹۹… معادل عدد یک است، اما در برخی از این سیستم‌ها، حتی بی‌نهایت ۹ نیز همواره اندکی کوچک‌تر از مقدار ۱ می‌باشد. معادله ۰٫۹۹۹…=۱ مدت‌هاست که توسط ریاضی‌دانان پذیرفته و به بخشی از دانش ریاضی تبدیل شده‌است. با این وجود، برخی افراد آن را غیرعادی می‌یابند، دربارهٔ آن سؤال می‌پرسند و حتی آن را رد می‌کنند. اثبات جبری اثبات جبری، برای نشان دادن تساوی ۰٫۹۹۹… و ۱، از مفاهیمی مانند کسر، تقسیم زیرهم و دستکاری عددی استفاده می‌کند تا تغییراتی ایجاد کند که تساوی ۰٫۹۹۹ و ۱ دست‌نخورده باقی بماند. با این وجود، این اثبات خیلی دقیق نیست، زیرا شامل توصیف تحلیلی دقیق ۰٫۹۹۹… نمی‌باشد. کسر و تقسیم طولانی یکی از دلایلی که اعداد اعشاری متناوب یک شکل گسترش‌یافته اعداد اعشاری مختومند، نشان‌دادن کسرها می‌باشد. استفاده از تقسیم طولانی، یعنی تقسیم ساده اعداد صحیحی مانند عدد تناوبی ۰٫۱۱۱… را حاصل می‌کند که در آن، ارقام بدون پایان، تکرار می‌شوند. ضرب عدد ۱ در ۹، برابر ۹ است، لذا ۹ ×۰٫۱۱۱… برابر ۰٫۹۹۹… و برابر ۱ است، لذا ۰٫۹۹۹…=۱. دستکاری عددی ( جای گذاری با متغیر ها ) زمانی که عددی اعشاری در ۱۰ ضرب می‌شود، ممیز عدد یک رقم به سمت چپ حرکت می‌کند؛ لذا حاصلضرب ۱۰ و ۰٫۹۹۹… برابر است با ۹٫۹۹۹…، که ۹ رقم بزرگتر از عدد اصلیست. برای دیدن این، در نظر بگیرید که در تفریق ۰٫۹۹۹… از ۹٫۹۹۹ هر یک از ۹ها با یک ۹ دیگر خنثی می‌شود. مرحله آخر در جبر به این شرح است: بحث اگرچه این اثبات‌ها نشان می‌دهند که ۰٫۹۹۹…=۱ است، اندازه این برابری به درک مخاطب بستگی دارد. در حساب مقدماتی، این اثبات‌ها به توضیح اینکه چرا ۰٫۹۹۹…=۱ ولی ۰٫۳۳۳…<0.۴، کمک می‌کند. در جبر مقدماتی، این اثبات به توصیف علت جواب‌دادن روش عمومی تبدیل کسر به عدد اعشاری متناوب و برعکس، کمک می‌کند. 396) زمانی که یک طرح نشان‌دادن توصیف می‌شود، می‌توان برای توجیه قوانین حساب اعشاری استفاده شده در اثبات‌های بالا، از آن استفاده کرد. به علاوه، می‌توان به‌طور مستقیم نشان داد که اعداد اعشاری ۰٫۹۹۹… و ۱٫۰۰۰… یک عدد حقیقی یکسان را نمایش می‌دهند؛ این در تعریف نیز وارد شده‌است. در پایین می‌توان آن را مشاهده کرد اثبات تحلیلی از آنجا که مسئله ۰٫۹۹۹… در پیشرفت رایج ریاضی نقشی ندارد، می‌توان اثبات آن را به عهده قضایای استاندارد آنالیز حقیقی موکول کرد. نیاز ما مشخص کردن اعداد حقیقی است که می‌توان به شکل اعشار نشان داد، که شامل یک علامت اختیاری، دنباله محدودی از اعداد که جزء صحیح آن را نمایش می‌دهند، یک علامت اعشار، و دنباله‌ای از اعداد که بخش اعشاری را نشان می‌دهند. برای عدد ۰٫۹۹۹… بخش صحیح را با عبارت b0 نشان می‌دهند، که این عدد می‌تواند منفی نیز باشد، شکل کلی آن به صورت زیر است: باید توجه کرد که بخش اعشاری بر خلاف بخش صحیح، به تعداد پایان‌پذیری از اعداد محدود نمی‌شود. این همان نمایش مکانی است، برای مثال عدد ۵ در ۵۰۰، ارزش ده برابر عدد ۵ در ۵۰ دارد، و همچنین عدد ۵ در ۰٫۰۵ یک دهم عدد ۵ در ۰٫۵ ارزش دارد. سری‌ها و دنباله‌های نامتناهی شاید رایج‌ترین توسعه استفاده از اعداد اعشاری گسترده، توصیف آن‌ها به عنوان مجموعی از سری‌های نامتناهی است. در حالت کلی: برای عدد ۰٫۹۹۹… زمانی می‌توان از قضیه سری همگرا دربارهٔ سری هندسی استفاده کرد که:Rudin p. 706 اگر آنگاه از آن‌جا که این سری چنینی سری با ضریب r= می‌باشد، این قضیه حل این مسئله کاربرد دارد: اثبات این قضیه در سال ۱۷۷۰ در کتاب عناصر جبر لئونارد اویلر بیان شده‌است.Euler p. 177 عکس‌العمل‌های قرن ۱۹ ام، مانند روش‌های جمع‌کردن آزادانه سبب ایجاد توصیفی شد که امروزه نیز به کار می‌رود: مجموع سری را می‌توان با حد دنباله و مجموع اعداد جزئی آن توصیف کرد. آخرین قدم که، با ∞ → n به → ۰، با توجه به خاصیت ارشمیدسی اعداد حقیقی قابل توجیه است. برای مثال، کتاب حساب دانشگاهی در سال ۱۸۴۶، توضیح می‌دهد که «۰٫۹۹۹ +، تا بینهایت=۱ است زیرا هر انضمامی از ۹ سبب می‌شود مقدار به ۱ نزدیک‌تر شود»؛ حساب مدارس در سال ۱۸۹۵ می‌گوید «... زمانی که تعداد زیادی ۹، در کنار هم قرار می‌گیرند، تفاوت بین ۱ و ۰٫۹۹۹۹۹… به‌طور غیرقابل باوری کم است.»Davies p. یک روش مکمل برای فرایند مخالف مناسب است: می‌توان یک عدد حقیقی را با یک بسط اعشاری توصیف کرد تا آن را نام‌گذاری نمود. اگر یک عدد حقیقی مانند x در بازه بسته [۰, ۱۰] (اعداد بزرگ‌تر مساوی ۰ و کوچک‌تر مساوی ۱۰) قرار داشته باشد، می‌توان این بازه را به ده بازه مساوی شامل [۰, ۱]، [۱, ۲]، [۲, ۳]، ... اگر مثلاً این عدد به بازه [۲, ۳] تعلق داشته باشد، می‌توان آن بازه را نیز به‌طور مشابه به ده بازه شامل [۲, ۲٫۱]، [۲٫۱, ۲٫۲]، ... با ادامه این فرایند یک دنباله نامتناهی از بازه‌های تودرتو ظاهر می‌شود که برچسب ارقام دنباله نامتناهی شامل b0, b1, b2, b3, ... را می‌گیرد و می‌توان نوشت در این قاعده، اینکه ۰٫۹۹۹…=۱ و ۱٫۰۰۰…=۱ است به ترتیب این حقایق را نشان می‌دهند که ۱ در هر دو بازه [۰, ۱] و [۱, ۲] قرار دارد، لذا می‌توان در زمان یافتن ارقام آن، از زیر بازه‌های نیز استفاده کرد. برای اطمینان از این‌که این مفهوم از علامت "=" سو استفاده نمی‌کند، نیاز به از نوساختن عدد حقیقی منحصر به فرد برای هر عدد اعشاری است. می‌توان آن را با حدها انجام داد، اما سایر ساختمان‌ها از این موضوع تبعیت می‌کنند.Beals p. 34 یک انتخاب سرراست، قضیه بازه‌های تودرتو است، که ضمانت می‌کند، دنباله‌ای از بازه‌های تودرتو و بسته، که طولشان به‌طور دلخواه کوچک می‌شود، در یک عدد حقیقی اشتراک دارند؛ لذا b0.b1b2b3… به این شکل توصیف می‌شود که معادل عددی است که بین تمام بازه‌های [b0, b0 + 1], [b0.b1, b0.b1 + 0.1] و الی آخر، مشترک است؛ لذا ۰٫۹۹۹… عدد حقیقی منحصر به فردی است که در تمام بازه‌های [۰, ۱]، [۰٫۹, ۱]، [۰٫۹۹, ۱]، [۰٫۹۹...۹, ۱] قرار دارد. 46 قضیه بازه‌های تودرتو، بر فراز یک ویژگی اساسی‌تر اعداد حقیقی یافت می‌شود: وجود کوچک‌ترین کران بالا یا سوپریمم. 27 می‌توان نشان داد این تعریف با رویه تقسیم‌بازه‌ها نامتناقض است و بر ۰٫۹۹۹…=۱ دلالت دارد. تام آپوستول بحث می‌کند، اثبات از طریق ساختار اعداد حقیقی برخی روش‌ها به صراحت توصیف می‌کنند که اعداد حقیقی با توجه به نظریه مجموعه‌ها ساختمان‌هایی ویژ] بر اساس اعداد گویا هستند. اعداد طبیعی (شامل ا، ۲، ۳، و ...) از یک شروع می‌شوند و ادامه می‌یابند، لذا هر عددی یک جفت مخالف دارد. اگر به همراه هر عدد طبیعی، عدد منفی آن را نیز بیاوریم، با در نظر گرفتن صفر، می‌توان مجموعه اعداد صحیح را تعریف کرد. به‌طور علمی‌تر، این‌ها دارای نظم هستند، لذا می‌توان اعداد را به یکدیگر مقایسه کرد و مشخص نمود که بزرگتر، کوچکتر و هم اندازه همند. حداقل دو راه مشهور برای رسیدن به قدم وجود دارد که هر دو در سال۱۸۷۲ چاپشده‌اند: برش ددکیند و دنباله کوشی. اثبات‌های ۰٫۹۹۹…=۱ از این ساختارها استفاده می‌کند، در کتاب‌های آنالیز حقیقی یافت نمی‌شود، درحالی که تمایل مدرن در دهه‌های اخیر به استفاده از آنالیز بدیهی بوده‌است. حتی زمانی که ساختاری پیشنهاد می‌شود، اغلب برای بدیهی بودن اعداد حقیقی به کار می‌رود، که سپس اثبات بالا را پشتیبانی می‌کند. هر بسط اعشاری یک برش ددکیند را مشخص می‌کند: مجموعه‌ای از اعداد گویا که کمتر از برخی مراحل توسعه‌اند؛ لذا عدد حقیقی ۰٫۹۹۹… مجموعه‌ای از اعداد گویا مانند r است که r<0، یا r<0.9، یا r<0.99، یا rهای کمتر از برخی اعداد دیگرند که به شکل زیر می‌باشند: Richman p. | ## بخش 2: ۰٫۹۹۹… | که بر این دلالت دارد که از آن‌جا که اعداد ۰٫۹۹۹… و ۱ مجموعه اعداد گویای یکسانی دارند، این دو عدد برابرند: ۰٫۹۹۹…=۱. این توصیف اعداد حقیقی به عنوان برش‌های ددکیند اولین‌بار در سال ۱۸۷۲ توسط ریچارد ددکند مطرح شد. روش بالا برای تعیین‌کردن بسط اعشاری یک عدد حقیقی در مقاله‌ای به عنوان "آیا ۰٫۹۹۹…=۱ است؟" توسط فرد ریچمن، در مجله ریاضیات مطرح شد، که هدف آن آموزش به استادان دانشگاهی ریاضی و شاگردان آن‌ها بود.Richman ریچمن اشاره می‌کند که استفاده از برش‌های ددکیند در هر زیرمجموعه متراکم از اعداد حقیقی، نتایجی یکسان به ثمر خواهد رساند؛ به ویژه، او برای نشان دادن بدیهی‌تر بودن یکی از اثبات‌ها از کسر اعشاری استفاده می‌کند. دقیقاً برای این‌که وجود اعداد متمایز ۰٫۹۹۹… و ۱ را نشان دهیم؛ لذا می‌بینیم که در توصیف سنتی اعداد حقیقی معادله ۰٫۹۹۹…=۱ در ابتدا به کار می‌رود.»Richman pp. 398–399 اصلاح دیگری از این رویه به ساختار متفاوتی هدایت می‌کند که این‌دو برابر نیستند. اگرچه آن نامتناقض است، بسیاری از قوانین رایج حساب اعشاری دیگر اعتباری ندارند، برای مثال کسر هیچ نمایش عددی ندارد، سیستم‌های عددی جایگزین را در پایین ببینید. دنباله کوشی یکی دیگر توصیفات یک عدد حقیقی استفاده از حد دنباله کوشی برای اعداد گویاست. ابتدا فاصله بین x و y، به صورت |x-y| محاسبه می‌شود، منظور از |z|، بزرگترین مقدار z و −z است، لذا همواره مثبت می‌باشد. سپس اعداد حقیقی به عنوان دنباله‌ای از اعداد گویا تعریف می‌شوند که با استفاده از این فاصله دارای ویژگی‌های دنباله کوشی می‌باشند. در دنباله (x0, x1, x2, ...)، نقشه‌ای از اعداد طبیعی به گویا، برای هر عدد گویای δ یک N وجود دارد که برای هر m و n کوچکتر از N |xm − xn| ≤ δ. 386 اگر (xn) و (yn) دو دنباله کوشی باشند، آن‌ها معادل اعداد حقیقی توصیف می‌شوند اگر حد دنباله (xn − yn)، صفر باشد. روش مطرح شده دربارهٔ بسط اعشاری، شامل تساوی ۰٫۹۹۹…=۱، در کتاب ریاضی کلاسیک: یک تفسیر معاصر، از گریفیتز و هیلتون در سال ۱۹۷۰ چاپ شد. در این کتاب نگاهی جدید به این مفهوم شده‌است.Griffiths & Hilton pp.viii, 395 نمایش اعشاری نامتناهی معمولاً در آموزش متوسطه ریاضیات، یک عدد حقیقی را به صورت ترکیبی از یک عدد صحیح، علامت ممیز، و یک دنباله نامتناهی نشان می‌دهند که این بخش، قسمت اعشاری آن را نمایان می‌سازد. این ساختار می‌تواند بعد از بیان یک رابطه هم‌ارزی برای مجموعه‌ای که نشان می‌دهد ۰٫۹۹۹…=۱، به شکل دقیقی مخاطب را راضی کند. ابتدا برای اعداد غیر صفر با بخش اعشاری متناهی (با ۰های پایان‌پذیر) یک همتا با ۹های پایان ناپذیر وجود دارد. برای مثال در مبنای ۲ (دستگاه اعداد دودویی) ۰٫۱۱۱… معادل ۱ است، و در مبنای ۳، ۰٫۲۲۲… معادل ۱ می‌باشد. در مبنای نسبت طلایی دو شکل استاندارد نمایش عبارتند از ۱٫۰۰۰… و ۰٫۱۰۱۰۱۰…، و نمایش‌های فراوانی وجود دارند که شامل ۱های همسایه می‌شوند. به‌طور کلی، برای تمام qهای بین ۱ و ۲، بسط‌های غیرقابل شمارشی از مبنای q برای ۱ وجود دارد. از طرف دیگر، هنوز qهای فراوانی وجود دارند (شامل تمام اعداد طبیعی بزرگ‌تر از ۱) که به جز ۱٫۰۰۰…، تنها یک بسط در مبنای q برای یک دارند. اولین بار، پل اردیش، میکلوس هارواس، و استوان جو، در حدود سال ۱۹۹۰، این نتایج را آشکار کردند. در سال ۱۹۹۸، ویلموس کومورنیک و پائولو لوریت، چنین مبناهای کوچکی را بررسی کردند (ثابت کومورنیک-لوریت q=۱٫۷۸۷۲۳۱۶۵۰...). عدم امکان نمایش واحد این‌که تمام این سیستم‌های مختلف عددی از نمایش چندگانه برخی اعداد حقیقی رنج می‌برند، را می‌توان به تفاوت اساسی بین اعداد حقیقی به عنوان یک مجموعه مرتب و مجموعه‌ای از رشته‌های نامتناهی از نمادها نسبت داد. در حقیقت این دو ویژگی ذکر شده دلیل بر دشواری اند: اگر بازه‌ای از اعداد حقیقی را به دو بخش غیر تهی L و R افزار کنیم، به‌طوری‌که تکتک اعضای L، کوچکتر از اعضای R باشند، یا L دارای بزرگترین عضو است، یا R دارای کوچکترین عضو می‌باشد، ولی هر دو این‌ها امکان ندارد. مجموعه‌ای از رشته (علوم رایانه)/رشته‌های نامتناهی از نمادهایی که در الفبای متناهی وجود دارند را می‌توان به دو زیرمجموعه غیر تهی L و R تقسیم کرد، به‌طوری‌که هر عضو L کوچکتر از تک‌تک اعضای R، درحالی که L دارای بزرگترین عضو و R دارای کوچکترین عضو باشد. کافی است دو پیشوند p1 و p2 را از مجموعه‌ای انتخاب کنید که تنها نماد آن‌ها متفاوت باشد. هر نماد ارزشی متوالی دارد، و برای L مجموعه‌ای از رشته‌ها را برگزینید پیشوند مربوطه آن حداکثر p1 باشد، و برای Rهای باقی‌مانده، رشته‌هایی از مجموعه را انتخاب کنید که پیشوند مربوطه حداقل p2 باشد. سپس L بزرگترین عنصر خواهد داشت، با p1 آغاز می‌شود و بزرگترین نماد را در تمام موقعیت‌های بعدی انتخاب می‌کند، درحالی که R کوچکترین عنصر را دارد. اولین نکته از ویژگی‌های اساسی اعداد حقیقی ناشی می‌شود: L دارای کوچکترین کران بالا و R دارای بزرگترین کران پایین می‌باشد، که به راحتی می‌توان دید برابرند. وجود یک عدد حقیقی که یا در R قرار دارد یا در L، ولی نه در هر دو، زیرا L و R مجموعه‌های مجزا‌اند. در حقیقت نیاز نیست برای تمام موقعیت‌ها از یک حرف استفاده کرد، (لذا برای مثال می‌توان از ریشه‌های مختلط استفاده کرد) یا مجموعه کامل رشته‌های ممکن را در نظر گرفت؛ تنها نکات مهم اینست که در هر موقعیت، می‌توان از یک مجموعه متناهی از نمادها، انتخاب نمود، و اینکه داشتن انتخابی درست برای هر موقعیت می‌تواند موجب ایجاد یک رشته درست نامتناهی شود. با این فرض‌ها، بحث بالا نشان می‌دهد که یک نقشه حفظ ترتیب، از مجموعه رشته‌ها تا یک بازه اعداد حقیقی، نمی‌تواند تابع دوسویی باشد: خواه برخی اعداد مطابق با رشته نباشند، یا برخی از آن‌ها به بیش از یک رشته مربوط باشند. مارکو پتکوسک، ثابت کرده‌است، برای هر سیستم موقعیتی، که تمام اعداد حقیقی نام دارند، مجموعه‌ای از اعداد حقیقی با نمایش‌های چندگانه همواره ارزش دارند. 410–411 کاربردها یکی از کاربردهای ۰٫۹۹۹… به عنوان نمایشی از ۱، در سطح متوسط نظریه اعداد رایج است. در سال ۱۸۰۲، گودوین مشاهده ظهور ۹ها را در نمایش‌های اعشار تکراری کسرهایی گزارش داد که مخرج‌های آنان دارای اعداد اول معینی بودند. مطالب انتشار یافته از سوی او مبهم بودند و معلوم نبود اثبات‌های او به‌طور مستقیم شامل ۰٫۹۹۹… می‌شوند یا نه، ولی اثبات لیویت در آینده کار او را تکمیل کرد. اگر ثابت شود که یک عدد اعشاری به شکل 0.b1b2b3… یک عدد صحیح مثبت است، پس این عدد باید ۰٫۹۹۹… باشد که منبع ۹ها در این قضیه است.Leavitt 1984 p. 301 تحقیقات در این مسیر مفاهیمی مانند بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک، هم‌نهشتی، اعداد فرما، ترتیب در عناصر گروه (ریاضی)، و قانون تقابل درجه دوم را به حرکت واداشت.Lewittes pp. این موضوع نقشی مهم در خصوصیات یکی از ساده‌ترین اشکال خود متشابه ایفا می‌کند، وسط سوم مجموعه کانتور: نقطه‌ای در بازه واحد، در مجموعه کانتور قرار دارد، تنها و تنها اگر بتوان آن را تنها با استفاده از ۰ و ۲ در مبنای ۳ نشان داد. برای مثال نقطه دارای نمایش معمولی ۰٫۲ یا ۰٫۲۰۰۰…، در مبنای ۳ است، زیرا در سمت راست اولین حذف و سمت چپ هر حذف دیگر بعد از خودش قرار دارد.Pugh p. این موضوع به ساختار یک اثبات درست با استفاده از استدلال مورب او در سال ۱۸۹۱، برای توصیف بسط اعشاری، برای غیرقابل شمارش بودن بازه واحد، باز می‌گردد. چنین اثباتی نیاز به اعلام جفت‌های معین از اعداد حقیقی می‌باشد که بسط اعشاری مختلفی دارند، لذا باید از جفت‌هایی مانند ۰٫۲ و ۰٫۱۹۹۹… احراض نمود. روش دیگری که مشابه بحث اصلی کانتر بود، استفاده از مبنای ۲ و تبدیل بسط‌های مبنای ۳ به مبنای ۲ بود، که غیرقابل شمارش بودن مجموعه کانتر را اثبات می‌کرد.Rudin p. 98 تردید در آموزش دانشجویان ریاضی به دلایل مختلفی از ظاهر نامناسب تا شبهه‌های عمیق در مفهوم حد دنباله، هم‌ارزی ۰٫۹۹۹… و ۱ را رد می‌کنند و با طبیعت مقادیر بی‌نهایت کوچک غیر صفر مخالفند. عوامل بسیاری هستند که به این سردرگمی کمک می‌کنند: دانشجویان اغلب به این مفهوم ذهنی تأکید دارند که یک عدد را تنها می‌توان به یک شکل اعشاری نشان داد. مشاهده دو نمایش اعشاری کاملاً متفاوت برای یک عدد، یک پارادوکس به نظر می‌رسد، که با دیدن عدد آشکار ۱ تشدید می‌شود.Bunch p. 221 تدریس نادرست سبب می‌شوند دانشجویان حد دنباله را به جای یک مقدار ثابت، نوعی از فرایند نامتناهی بپندارند، درحالی که یک دنباله هرگز به حد خود نمی‌رسد. 221 این ایده‌ها در زمینه اعداد حقیقی استاندارد نادرستند، اگرچه ممکن استر برخی در سایر سیستم‌های عددی درست باشند، سیستم‌هایی که یا برای کاربرد عمومی ریاضیات ایجاد شده‌اند، یا به عنوان مثال نقض برای درک بهتر ۰٫۹۹۹… به کار می‌روند. دیود تال بسیاری از این توضیحات را ابداع کرده‌است، او ویژگی‌های تدریس و درک را مطالعه نموده و از شبهه‌های پیش آمده در میان دانشجویانش بهره برده است. او با مصاحبه با دانشجویان دربارهٔ این که چرا خیل عظیم آن‌ها این هم‌ارزی را رد می‌کنند، دریافته‌است، «دانشجویان اعتقاد دارند که ۰٫۹۹۹… دنباله‌ای از اعداد است که به ۱ نزدیک می‌شود، و یک مقدار ثابت نیست، زیرا از دیدگاه آن‌ها، تعداد ۹ها نامعلوم است یا این عدد نزدیک‌ترین عدد ممکن اعشاری به یک می‌باشد.»Tall 2000 p. | ## بخش 3: ۰٫۹۹۹… | 221 با توجه به اثبات‌های متوسط، ضرب ۰٫۳۳۳…= به ۳، یک استراتژی موفق در متعاقد نمودن دانشجویان مخالف است. زمانی که دانشجویان با تعارض بین اعتقاد به اولین معادله و عدم اعتقاد به دومین معادله روبه‌رو می‌شوند، برخی از آن‌ها اعتقاد به اولین معادله کنار می‌گذارند و نا امید می‌شوند.Tall 1976 pp. 10–14 روش‌های اثبات پیچیده‌تری وجود ندارد: دانشجویانی که کاملاً قادر به استفاده از توصیفات سخت می‌باشند، زمانی که با ریاضایت پیشرفته از جمله ۰٫۹۹۹… روبه‌رو می‌گردند، دچار تصورات حسی می‌شوند. برای مثال یک دانشجوی آنالیز حقیقی می‌تواند با استفاده از مفهوم سوپریمم، ثابت کند که ۰٫۳۳۳…= است، اما بر ۰٫۹۹۹…<1 که قبلاً در تقسیم طولانی دریافته‌است، تأکید می‌کند.Pinto and Tall p. 416–417 دیگران هنوز می‌توانند ثابت کنند که ۰٫۳۳۳…=۱، اما، با روبه‌رو شدن با اثبات کسری و تقسیم طولانی، پافشاری می‌کنند که «منطق» جایگزین محاسبات ریاضی شده‌است. ژوزف مازور، داستان دانشجوی باهوش حساب خود را تعریف می‌کند، این دانشجو همه چیز را در کلاس درس به چالش می‌کشید جز محاسبات خود را، و به این اعتقاد رسیده بود که ارقام ۹، تمام چیزی هستند که ریاضیات باید انجام دهد، که شامل محاسبه جزر ۲۳ نیز می‌باشد. این دانشجو احساس خوبی نسبت به بحث حدی ۹٫۹۹۹…=۱۰ نداشت، و آن را «فرایند رشد بینهایت به شدت تصوری» خطاب می‌کرد.Mazur pp. 137–141 اد دوبینسکی و همکارارنش، در سال ۲۰۰۵، به عنوان بخشی از تئوری آپوس، پیشنهاد می‌کنند که دانشجویانی که معتقدند مفهوم ۰٫۹۹۹… یک رشته متناهی نامعین است که فاصله آن با ۱ بی‌نهایت کم می‌باشد، «هنوز یک فرایند درک کامل از اعداد اعشاری بی‌نهایت به دست نیاورده‌اند.» سایر دانشجویانی که فرایند مفهوم ۰٫۹۹۹… را کامل کرده‌اند، ممکن است قادر نباشند این فرایند را به یک «مفهوم هدف» محصور کنند (همانند مفهوم هدفی که از ۱ دارند)، و لذا آن‌ها فرایند ۰٫۹۹۹… و ۱ را ناسازگار می‌یابند. دوبینسکی و همکاران، همچنین توانایی ذهنی محصور کردن را به درک به عنوان یک عدد در جای خود و برای ارتباط با مجموعه‌ای از اعداد طبیعی به عنوان یک کل واحد مربوط می‌کنند.Dubinsky et al. 261–262 در فرهنگ عامه با توسعه اینترنت، بحث دربارهٔ ۰٫۹۹۹… از کلاس‌های درس خارج شده و به‌طور رایج در گروه‌های خبری و تالارهای گفتگومطرح گشته است، که بیشتر آن‌ها ارتباط چندانی با ریاضیات ندارند. پرسشگان به‌طور خلاصه ، ضرب در ۱۰، حدها و اشاره به دنباله کوشی را به خوبی پوشش داده است. ویرایش ۲۰۰۳ مجله عمومی استرایت دوپ، با استفاده از و مفهوم حد دنباله، پیرامون ۰٫۹۹۹… بحث می‌کند و تصورات نادرست را بیان می‌کند، استرایت دوپ، در تالار گفتگوی خود بحثی را قرار داده است که از یک «تالار گفتگوی ناشناس دیگر... در آن‌جا نیز سؤال ۰٫۹۹۹… محبوبیت این موضوع را در ۷ سال اول فروم battle.net بلیزارد انترتینمنت نشان می‌دهد که شرکت در روز دروغ اول آوریل سال ۲۰۰۴ بیان کرد که آن ۱ است: سپس ئو اثبات بر اساس مفهوم حد دنباله و ضرب در ۱۰ بیان شد. ویژگی‌های ۰٫۹۹۹… نیز به فرهنگ عامه ریاضایات تبدیل شده‌است، به خصوص در لطیفه‌ها:Gowers p. پاسخ: ۰٫۹۹۹۹۹۹… در سیستم‌های عددی جایگزین اگرچه اعداد حقیقی یک سیستمعددی بسیار سودمند را ایجاد می‌کنند، تصمیم به درک مفهوم "۰٫۹۹۹…" به عنوان نام‌گذاری یک عدد حقیقی در نهایت یک قرارداد است، و تیم گورز، در کتاب خود به نام «ریاضیات: یک معرفی بسیار کوتاه» بیان می‌کند که نتیجه ۰٫۹۹۹…=۱ یک قرارداد است. می‌توان با استفاده از موضوعات جدید و قوانین مختلف، سیستم‌های عددی تازه‌ای را ایجاد کرد؛ در برخی از این سیستم‌ها نیاز است که اثبات‌های بالا دوباره تفسیر شوند و باید بدان نتیجه رسید که در یک سیستم عددی مفروض، ۰٫۹۹۹… و ۱ نباید برابر باشند. با این‌حال بسیاری از سیستم‌های عددی نوع گسترده (نه مستقل جایگزین) سیستم اعداد حقیقی‌اند، لذا ۰٫۹۹۹…=۱ آن‌جا نیز برقرار است. حتی در چنین سیسیتم‌های عددی اگرچه، آزمایش سیستم‌های عددی جایگزین ارزشمند است، و این موضوع نه تنها برای چگونگی رفتار ۰٫۹۹۹… صدق می‌کند (اگر) بلکه نحوه رفتار مفاهیم مرتبط را نیز در بر می‌گیرد. مقادیر بی‌نهایت کوچک برخی از اثبات‌های ۰٫۹۹۹…=۱ به ویژگی‌های حسابی اعداد حقیقی وابسته‌اند: در اعداد حقیقی مقادیر بسیار کوچک غیر صفر وجود ندارند. کوچک‌تر از هر مقدار کسری است، لذا باید از مقادیر بی‌نهایت کوچک باشد؛ از آن‌جا که اعداد حقیقی دارای مقادیر بسیار کوچک غیر صفر نمی‌باشند، لذا اختلاف آن‌ها صفر است، و در نتیجه مقدار این دو عبارت برابر می‌باشد. با این وجود، سیستم‌های متصل ترتیبی بر پایه ساختار جبری، وجود دارند که شامل جایگزین‌های مختلفی برای اعداد حقیقی می‌باشند و که غیر ارشمیدسی هستند. برای مثال، عدد دوگانه شامل یک علامت به معنای بی‌نهایت کوچک می‌باشد (ε)، مشابه واحد فرضی i در سیستم عدد مختلط، ε۲ = ۰. اعداد دوگانه می‌توانند ترکیبی الفبایی فراهم کنند، که در آن مضاربی از ε عناصر غیر ارشمیدسی می‌باشند. باید توجه کرد که از آن‌جا که در سیستم اعداد دوگانه، ε وجود دارد، لذا ε/۲ نیز وجود دارد، پس ε کوچکترین مقدار مثبت عدد دوگانه نیست، و البته در اعداد حقیقی چنینی عددی وجود ندارد. 245–247 او نشان‌داده است که چگونه می‌توان به هر عدد یک دنباله از ارقام را نسبت داد، که با نمایه اعداد فراصحیح نمایش یافته‌اند. اگرچه او به‌طور مستقیم ۰٫۹۹۹… را مورد بحث قرار نداده است، ولی نشان داده که عدد حقیقی ۱/۳ را می‌توان به شکل ۰٫۳۳۳…؛…۳۳۳… نمایش داد، که نتیجه اصل انتقال است. یک تعریف دیگر، یک کلاس هم‌ارزی از دنباله‌ها را در ساختار فرانیرو فراهم می‌کند، که مربوط به عددی است که به اندازه بی‌نهایت کوچک، از عدد ۱ کمتر است. بر این اساس، کارین کاتز و میکائیل کاتز، یک تفسیر جایگزین از "۰٫۹۹۹…" را مطرح کرده‌اند: تمام این تفاسیر در بی‌نهایت نزدیک به ۱ هستند. ایان استوارت این تفاسیر را به عنوان یک راه کاملاً عاقلانه باری توجیه دقیق این موضوع به کار می‌برد، که ۰٫۹۹۹… اندکی با ۱ اختلاف دارد.Stewart 2009, p. روبرت الی، به همراه کاتزها، این فرض را مورد سؤال قرار می‌دهد که ایده دانشجویان دربارهٔ ۰٫۹۹۹…<1، یک تصور اشتباه دربارهٔ اعداد حقیقی است، او تفسیر آنان را یک درک غیر استاندارد معرفی می‌کند ک هدر آموزش حساب ارزشمندند. جوز به ندرت در کتاب خود به نام بی‌نهایت: مقاله‌ای پیرامون متافیزیک، بیان می‌کند که درک‌های طبیعی پیش‌ریاضی قابل بیان نخواهند بود، اگر یکی از آن‌ها به یک سیستم عددی بسیار محدود، بسته شود: هاکنبوش نظریه بازی ترکیبی اعداد حقیقی را فراهم می‌کند، که بازی آبی قرمز هاکنبوش یک مثال مرتبط است. در سال ۱۹۷۴، الوین برلکمپ ارتباطی بین رشته‌های هاکینپوش و بسط دوتایی اعداد حقیقی توصیف می‌کند، که از ایده فشرده‌سازی داده‌ها شکل گرفته‌است. بازنگری تفریق یکی دیگر از روش‌هایی که اثبات‌ها را زیر سؤال می‌برد، این است که آیا ۱-۰٫۹۹۹… وجود دارد، زیرا همیشه تفریق امکان‌پذیر نیست. ساختارهای ریاضی با عملگرد جمع، نه تفریق، شامل خاصیت جابجایی و جابجایی مونوئیدها می‌باشد. او بیان می‌کند که ۰٫۹۹۹…<1 است زیرا ۰<1 می‌باشد، ولی برای هر x بدون واحد، داریم x+1=x+0.999... لذا یکی از خاصیت‌های اعداد اعشاری اینست که جمع همواره متوقف نمی‌شود؛ خاصیت بعدی اینست که عدد اعشاری با مرتبط است. 397–399 ریچمن در فرایند معرفی ضرب، یک سیستم دیگر به نام «برش دی» را معرفی می‌کند که مجموعه‌ای از برش‌های ددکیند برای کسرهای اعشاری است. معمولاً این تعریف به یک عدد حقیقی می‌انجامد، اما برای یک کسر اعشاری d، او اجازه ایجاد برش‌های (−∞, d) و (−∞, d] فراهم می‌کند. در برش D هیچ مقدار بسیار کوچک مثبتی وجود ندارد، اما نوعی مقدار بی‌نهایت کوچک منفی موجود است، 0−، که هیچ بسط حقیقی ندارد. سؤالات مربوط پارادوکس‌های زنون، به‌ویژه پارادوکس دونده، یادآور پارادوکس موجود در برابری ۰٫۹۹۹… و ۱ می‌باشد. پارادوکس دونده را می‌توان همانند ۰٫۹۹۹…، مدل‌سازی ریاضی کرد، و با سری‌های هندسی حل نمود. با این وجود، معلوم نیست که آیا این رفتار ریاضی، موضوع متافیزیکی زنون را به‌طور کامل بررسی می‌کند.Wallace p. 17 بخش بر صفر در برخی بحث‌های مشهور ۰٫۹۹۹… روی می‌دهد و موجب مشاجرات فراوانی شده‌است. اگرچه بسیاری از ریاضی‌دانان ۰٫۹۹۹… را تعریف شده می‌دانند، بسیاری از روش‌های مدرن تقسیم بر صفر را تعریف‌نشده می‌خوانند، زیرا هیچ مفهومی در اعداد حقیقی استاندارد ندارد. اما تقسیم بر صفر در برخی سیستم‌های دیگر مانند آنالیز مختلط، تعریف شده است، جایی‌که صفحه مختلط گسترش‌یافته، به عنوان مثال کره ریمان، در بی‌نهایت، نقطه‌ای دارد. برخی ریاضی‌دانان برجسته، خیلی قبل‌تر از توسعه سیستم اعداد در این باره بحث کرده‌اند.Maor p. در سیستم‌های عددی، مانند اعداد حقیقی، که "۰"، هویتی افزودنی را نشان می‌دهد و نه منفی و نه مثبت می‌باشد، تفسیر معمول "-۰" باید به این معنا باشد که این عدد مخالف صفر است، که موجب می‌شود، −۰ = ۰ باشد.Munkres p. | ## جمع‌بندی | 34, Exercise 1(c) با این وجود، برخی کاربردهای علمی، از صفرهای مثبت و منفی به‌طور جداگانه استفاده می‌کنند، مانند برخی سیستم‌های محاسبه دوتایی.