موضوع مقاله: ریشه‌یابی معادلات چندجمله‌ای | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # ریشه‌یابی معادلات چندجمله‌ای | مقدمه: به‌طور معمول از آن جا که توابع را در حالت استاندارد y نسبت به x تعریف می‌کنند، ریشه‌های یک معادله را نقاط برخورد معادله با محور xها در نظر می‌گیرند. | ## بخش 1: ریشه‌یابی معادلات چندجمله‌ای | برای مثال ریشه‌های معادله فرضی نسبت به محور xها در واقع مجموعه‌ای از نقاط اشتراک نمودار معادله با محور xها می‌باشد و چون آن نقاط بر روی محور xها واقع می‌باشند یعنی دارای عرض صفر هستند، بدین منظور باید مقدار x را در معادله‌ای که عرض (y) آن صفر است، درآوریم. تشخیص معادله درجه اول برای حل معادله درجه اول ابتدا باید در نظر گرفت که معادله درجه اول یک تساوی جبری است که بزرگ‌ترین توان متغیر آن یک باشد. البته تشخیص درجه بعضی از معادلات در ابتدا مشکل است اما بعد از ساده کردن معادله این کار به راحتی قابل تشخیص است. اگر دروس ابتدایی را به خاطر داشته باشید برای آموزش مفهوم تقسیم این‌جای خالی‌ها را به شما می‌دادند. حل معادله درجه اول برای پیدا کردن ریشه‌های x یک معادله ی درجه اول باید مقدار x را از حالت کلی معادلات درجه اول به دست آوریم. حل معادلات درجه دوم همانند حل معادلات درجهٔ اوّل برای پیدا کردن نقاط تقاطع معادله با محور ها صورت کلی معادلات درجه دوم را نوشته و عرض آن یعنی را برابر صفر قرار می‌دهیم، پس داریم: سپس با حل معادلهٔ فوق مقادیر را به‌دست می‌آوریم. توجّه کنید که نمی‌تواند برابر با صفر باشد زیرا در این صورت معادله از نوع درجهٔ اوّل می‌شود. | ## بخش 2: ریشه‌یابی معادلات چندجمله‌ای | پس با شرط معادله را حل می‌کنیم: اگر ضرب چند عبارت برابر صفر شود، به این معنی است که حداقل یکی از عبارت‌ها صفر است، و از آنجا که ما را شرط اوّلیه قرار دادیم، پس آخرین عبارت مانده، یعنی همان عبارت داخل پرانتر صفر است، که داریم: برای حل معادله آن را تبدیل به مربع کامل می‌کنیم: حالا از طرفین معادله جذر می‌گیریم تا مقدار را به‌دست آوریم: در نتیجه معادله دارای دو ریشهٔ زیر می‌باشد: معمولاً عبارت را برابر با حرف دِلتای بزرگ نمایش می‌دهند، دِلتا در ریاضیات نماد فاصله یا تغییرات است. دلتا می‌تواند مقادیر زیر را اختیار کند: الف) که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه مثبت است، پس معادله دو ریشهٔ مختلف دارد. ب) که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه صفر است، پس هر دو جواب معادله یکی هستند و معادله اصطلاحاً ریشهٔ مضاعف دارد. و چون است پس به‌جای می‌نویسیم: و در ادامه: ۲) اگر حاصل جمع برابر صفر شود، یعنی در این صورت یکی از ریشه‌ها و دیگری خواهد بود. اثبات (شرط: و ): طبق فرض : پس : خوب است که در بارهٔ ریشهٔ مضاعف بیشتر بدانیم: از نظر جبری ریشهٔ مضاعف ریشه‌ای است که زوج بار عبارت را صفر کند و ریشهٔ ساده ریشه‌ای است که فرد بار یک عبارت را صفر کند البته در معادلاتی نظیر همین تعریف کافی است ولی در دو طرف ریشه ساده علامت تابع فرق می‌کند ولی در دو طرف ریشه مضاعف علامت تابع یکسان است از نظر هندسی اگر بر محور طول‌ها طوری مماس شود که دو طرف نقطه در یک طرف محور طول‌ها بیفتد ریشه مضاعف داریم این نکته را فراموش نکنید که اگر ریشه معادلات درجه دو مضاعف باشد آن معادله مربع کامل است. ۴) اگر دلتای ریشه‌های یک معادله برابر صفر باشد، معادله تنها دارای یک جواب خواهد بود. (ریشهٔ مضاعف خواهد داشت، یعنی هردو جواب معادله، باهم برابر می‌شوند) اثبات (شرط : و ) نکته: همان‌طور که می‌دانید در صورتی که معادله دارای یک ریشه باشد یعنی تنها یک نقطهٔ تماس با محور xها دارد، در این صورت آن نقطه تنها می‌تواند نقطهٔ مینیمم یا ماکسیمم باشد، پس داریم: با گرفتن مشتق داریم: همچنین جالب است بدانید مجموع دو ریشه در معادلهٔ درجه دوم است. | ## بخش 3: ریشه‌یابی معادلات چندجمله‌ای | موفق باشید حدس زدن حدود ریشه‌ها از روی تغییر علامت تابع حدود ریشه‌های یک معادله را می‌توان با چک کردن مقادیر مختلف در آن بدست آورد، اگر: ۱ - اگر تابع در بازهٔ (a,b) پیوسته باشد. ۲ - اگر به ازای دادن دو مقدار و ، جواب از مثبت به منفی یا از منفی به مثبت تغییر علامت داد، آن گاه حداقل یک جواب بین و برای این معادله وجود دارد، بدیهی است که اگر با دادن مقداری جواب صفر گردد همان‌طور که قبلاً گفته شد آن مقدار ریشهٔ معادله است. استدلال روش و مثال فرض کنیم که تابع f با ضابطهٔ (این معادله از معادلات بسیار معروفی است که با این روش ریشهٔ دیگر آن بین (۰,-۱) حدس زده می‌شود) است و می‌دانیم که نمودار این تابع در بازهٔ [۰,-۱] پیوسته می‌باشد، در این صورت اگر معادله تغییر علامت دهد (از مثبت، منفی یا از منفی مثبت شود) یعنی روی محور عرض‌ها از yهای منفی به yهای مثبت یا از yهای مثبت به yهای منفی رفته‌است و چون پیوسته‌است پس حتماً در این بین از y=۰ نیز گذشته‌است پس در این بین ریشه دارد. ای پیدا کردن حدود ریشه‌هایش شروع به مقدار دهی می‌کنیم: همان‌طور که می‌بینید تابع به ازای (f(-1 مثبت بوده و به ازای (f(0 منفی شده‌است، پس در این بین تغییر علامت داده و ریشه دارد. همچنین با استفاده از مشتق و روش نیوتن نیز بسته به شرایط می‌توان همین کار را انجام داد که در ادامه بحث خواهد شد حل معادلات درجهٔ چهار به بالا بعد از ارائه گروه گالوا و نظریه گالوا توسط اواریست گالوا، دانشمند فرانسوی، آبل و روفینی در اثبات معروف خودشان اثبات کردند: فقط در معادلاتی می‌توان تمام ریشه‌ها را به صورت دقیق به دست آورد که گروه گالوا در آن حل پذیر باشند. در معادلات درجهٔ پنج به بالا (یعنی پنج، شش، هفت و…) نمی‌توان همهٔ ریشه‌ها را به صورت دقیق بر حسب ضرایب مجهول بدست آورد. | ## جمع‌بندی | برای معادلات درجه بالاتر از روش‌های عددگذاری همچون عددگذاری نیوتون استفاده می‌کنند.