موضوع مقاله: الگوریتم تبدیل سریع فوریه ریدر | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # الگوریتم تبدیل سریع فوریه ریدر | مقدمه: الگوریتم ریدر یک الگوریتم تبدیل سریع فوریه(FFT) است که تبدیل فوریه گسسته(DFT) اندازه‌های اول را با ارائه دوباره DFT به عنوان کانولوشن حلقوی، محاسبه می‌کند.(الگوریتم دیگر برای FFT از اندازه‌های اول، الگوریتم تبدیل سریع فوریه بلوستین است که آن نیز بازنویسی DFT به عنوان یک کانولوشن می‌باشد.) از آنجا که الگوریتم ریدر تنها به دوره تناوب هسته DFT بستگی دارد، به‌طور مستقیم با هر تبدیل دیگری (با ترتیب اول) با یک خاصیت مشابه قابل انطباق است، مانند تبدیل نظریه عددی یا تبدیل گسسته هارتلی. | ## بخش 1: الگوریتم تبدیل سریع فوریه ریدر | همچنین به نام الگوریتم ضرب تبدیل فوریه نیز شناخته می‌شود، که شامل دستهٔ بسیار بزرگتری از اندازه‌ها می‌شود. با این حال، در اندازه‌های مرکب از قبیل توان‌های اول، الگوریتم تبدیل سریع فوریه کولی-توکی بسیار ساده‌تر و برای پیاده‌سازی عملیتر هستند، بنابراین الگوریتم ریدر به‌طور معمول تنها برای موارد پایه بزرگ اول تجزیه بازگشتی DFT کولی-توکی مورد استفاده قرار می‌گیرد(جانسون و فریگو (2005). یکی از نتایج از نظریه اعداد از چنین گروه‌هایی است که یک سازنده‌ای از گروه وجود دارد(گاهی اوقات به نام ریشه اولیه)، یک عدد صحیح g به‌طوری‌که n = gq (به پیمانه N) برای هر شاخص غیر صفر n و برای q منحصربه‌فرد در 0،...، N - 2 درخواست وجود دارد. به‌طور مشابه k = g–p (به پیمانه N) برای هر k در شاخص غیر صفر و P منحصربه‌فرد در 0،...، N - 2، که در آن توان منفی نشانگر ضرب معکوس gp در پیمانهٔ N است. این بدان معنی است که می‌توانیم DFT را با استفاده از این شاخص‌های جدید p و q بازنویسی کنیم: (به یاد می آورید که xn و Xk به‌طور ضمنی در N دوره‌ای هستند، و همچنین e2πi=1. | ## بخش 2: الگوریتم تبدیل سریع فوریه ریدر | بنابراین، تمام اندیس‌ها و توان هابه پیمانه N گرفته شده اند، که مورد نیاز گروه محاسباتی است.) جمع نهایی بالا، دقیقاً کانولوشن حلقوی از دو توالی aq و bq به طول N-1 است (q=0,1,...,N-2) تعریف شده به صورت زیر: ارزیابی کانولوشن از آنجا که N - 1 مرکب است، این کانولوشن می‌تواند به‌طور مستقیم از طریق قضیه کانولوشن و الگوریتم‌های FFT معمولی انجام پذیرد. با این حال، ممکن است کارآمد نباشد اگر N - 1 خود دارای عوامل اول بزرگ باشد، نیاز به استفاده بازگشتی الگوریتم ریدر دارد. توسط پدینگ صفر کردن آن تا طول حداقل 2N-1)-1) برای توان دو، که سپس می‌تواند در زمان (O(N log N بدون برنامه‌های بازگشتی الگوریتم ریدر ارزیابی شود. در عین حال، این الگوریتم نیاز به عملیات ذاتی بیشتر از FFTs از اندازه مرکب نزدیک خود دارد، و به‌طور معمول در عمل 3-10 بار به طول می انجامد. اگر الگوریتم ریدر با استفاده از FFTs با اندازه N - 1 برای محاسبه کانولوشن انجام شود، به جای پدینگ صفر همانطور که در بالا ذکر شد، بهره وری به شدت به N و تعداد دفعاتی که الگوریتم ریدر باید به صورت بازگشتی اعمال شود وابسته می‌شود. | ## بخش 3: الگوریتم تبدیل سریع فوریه ریدر | بدترین حالت زمانی خواهد بود که N–1 برابر 2N2 شود که در آن N2 اول باشد، و N2–1 = 2N3 که در آن N3 اول و به همین ترتیب تا آخر. در چنین مواردی، با فرض این که زنجیرهٔ اعداد اول تا یک مقدار محدود ادامه یابد، برنامه‌های بازگشتی الگوریتم ریدر در واقع به( O(N2 زمان نیاز دارد. چنین Nj اعداد اول سوفی ژرمن نامیده می‌شوند، و چنین دنباله‌ای از آن‌ها زنجیره کانینگهام از نوع اول است. | ## جمع‌بندی | طول زنجیره کانینگهام، با این حال، مشاهده شده که آرام تر از( log2(N رشد می‌کند، بنابراین الگوریتم ریدری که به این صورت پیاده‌سازی شده باشد احتمالاً( O(N log N نیست، هر چند احتمالاً برای بدترین مورد بدتر از( O(N log N بوده‌است.