موضوع مقاله: گروه (ریاضیات) | مخاطب: عمومی | لحن: دانشنامه‌ای | ساختار: عنوان، مقدمه، 3 بخش، جمع‌بندی | مقاله: | # گروه (ریاضیات) | مقدمه: در ریاضیات، یک گروه، مجموعه ای است مجهز به عمل دوتایی، به گونه‌ای که این عمل دوتایی هر دو عنصر را که با هم ترکیب کند، عنصر سومی ایجاد کرده، به گونه ای که چهار شرط اصول موضوعه ای گروه ها را ارضاء کند. | ## بخش 1: گروه (ریاضیات) | یکی از آشنا ترین مثال از گروه ها مجموعه اعداد صحیح با در نظر گرفتن عمل جمع می باشد. به عنوان مثال در یک گروه تقارنی، ویژگی های تقارن هندسی یک شیء کدگذاری شده است: گروه شامل مجموعه تبدیل هاییست که خود شئ را دستکاری نمی کنند، اعمال دو عدد از این گونه تبدیل ها به طور پیاپی در حقیقت همان عمل ضرب گروهی آن دو عمل بوده که معادل با یک عمل سوم دیگری می شود (ممکن است آن عمل با یکی از همان دو عمل یکی شود، که در حالتی پیش می آید که یکی از آن دو تبدیلات، تبدیل همانی باشد). گروه های لی، گروه های تقارنی هستند که در مدل استاندارد فیزیک ذرات بنیادی از آن ها استفاده شده است؛ گروه های پوانکاره نیز نوعی گروه لی هستند که می توانند تقارن های فیزیکی نظریه نسبیت خاص را بیان کنند و از گروه های نقطه ای برای رسیدن به درک بهتری از پدیده تقارن ملکولی در شیمیایی کمک گرفته می شود. مفهوم گروه از مطالعه ی معادلات چند جمله ای اواریسته گالوا در دهه ۱۸۳۰ سر برآورد. بعد از کمک هایی که شاخه های دیگر ریاضی چون نظریه اعداد و هندسه جبری کردند، مفهوم گروه تعمیم پیدا کرده و در حدود ۱۸۷۰ میلادی مستحکم گشت. نظریه گروه مدرن، که یک شاخه فعال ریاضیات است، خود گروه ها را به صورت محض مورد مطالعه قرار می دهند. ریاضیدانان برای کاوش بیشتر در گروه ها، مفاهیم مختلفی را ایجاد نمودند تا گروه ها را به قطعات کوچکتری مثل زیرگروه ها، گروه های خارج قسمتی و گروه های ساده بشکنند تا بهتر بتوان آن ها را مطالعه نمود. | ## بخش 2: گروه (ریاضیات) | نظریه گروه دانان، علاوه بر مطالعه خواص مجرد گروه ها، گروه ها را از طرق ملموس دیگری نیز توصیف کرده اند، مثل توصیف گروه از دیدگاه نظریه نمایش (یعنی از طریق نمایش های دیگر گروه) و نظریه محاسباتی گروه ها. یک نظریه برای گروه های متناهی توسعه یافته است، که اوج آن دسته بندی گروه های ساده متناهی می باشد. از اواسط دهه ۱۹۸۰، نظریه گروه های هندسی، که به مطالعه گروه های متناهیاً تولید شده می پردازد، تبدیل به شاخه فعالی در نظریه گروه ها شده است. در این صورت جمع a+b با c برابر است با جمع a با b+c و بنابراین مجموعهٔ اعداد صحیح تحت جمع شرکت پذیر است. مفاهیم پایه‌ای زیرگروه زیرگروه به زبان ساده، گروهی است که زیرمجموعهٔ یک گروه بزرگتر است. H را زیرگروه G می‌گوییم هرگاه تحدید دامنهٔ عمل دوتایی G به H خود شرایط گروه را برآورده سازد. به زبان دقیق‌تر، تابع یک همریختی بین دو گروه و است هرگاه داشته باشیم: همدسته گروه G و زیرگروه H را در نظر بگیرید. | ## بخش 3: گروه (ریاضیات) | رابطه را روی G به این صورت تعریف می‌کنیم: این رابطه بر روی G یک رابطهٔ هم‌ارزی است و G را به رده‌های هم‌ارزی افراز می‌کند. کلاس هم‌ارزی شامل عنصر x به این صورت خواهد بود: همدسته‌های راست نیز به طور مشابه با ضرب عنصری از H از طرف دیگر تعریف می‌شوند. تعمیم ها در جبر مجرد، ساختار های عمومی تری تعریف شدند که هر کدام برخی از اصول موضوعه های گروه ها را بر می دارند (یعنی ضعیف تر هستند، بجز یکی از آن ها که شرط قوی تری دارد، یعنی گروه های آبلی). اعداد طبیعی (شامل صفر) تحت جمع یک مونوئید تشکیل می دهد، همینطور اعداد صحیح ناصفر تحت ضرب نیز یک مونوید تشکیل می دهند به جدول نگاه کنید. روش کلی وجود دارد که به طور صوری عضو های معکوس را به هر مونوید آبلی اضافه می کند، دقیقا همانگونه که از ساخته می شود. گروه واره ها مشابه گروه ها هستند با این تفاوت که ترکیب دو عنصر یعنی برای تمام و ها تعریف نشده است. این موجودات در مطالعه فرم های پیچیده ی تقارنی که در ساختار های توپولوژی و تحلیلی وجود دارند ظاهر می گردند، مثل گروه واره های بنیادی یا استک ها. | ## جمع‌بندی | در نهایت، امکان تعمیم هر کدام از مفاهیم با جایگزینی عمل دوتایی با یک عمل n-تایی وجود دارد (یعنی یک عمل که تا ورودی داشته باشد).