Наткнулся в Youtube на вопрос из финала американского конкурса Who Wants To Be A Mathematician Вопрос звучал так. Чему равна сумма двух двухзначных чисел M1 и М2, каждое из которых равно [сумме цифр числа]+[произведению цифр числа]+[сумме квадратов цифр числа]. Ответ первым дал Luke Robitaille - это крутой белый школьник , который каким-то образом затесался в компанию индусов и китайцев, которые увлекаются математикой. Другим это неинтересно. И у него получается поднимать на этом увлечении хорошие деньги. Он объяснил свое решение, но английский на слух я не воспринимаю. Запрограммировал поиск подобных чисел. Среди двухзначных таких 2, трехзначных - 1 и больше, скорее всего, нет. Так как же решал Лук ?
---
10a+b=a+b+a*b+a*a+b*b
9a=a*b+a^2+b^2
9a=(a-b)^2+3ab

Из этого следует, что (a-b) делится на 3, тогда (a-b)^2 делится на 9.
Поэтому 3ab делится на 9, значит либо a, либо b делится на 3.

А так как известно, что (a-b) делится на 3, то на 3 делится и a и b.

a=3x, b=3y

27x=9(x-y)^2+27xy

3x*(1-y)=(x-y)^2

Возможные значения y->0 и 1 (левая часть больше или равна 0)
y=0 x=3 (a=9 b=0, число 90)
y=1 x=1 (a=3 b=3, число 33)
---
a+b+a*b+a*a+b*b=10a+b

a и b - целые и <10
------------------
один из вариантов решения: перебрать все a (или b) и решать квадратные уравнения
---
a+b+a*b+a*a+b*b=10a+b
Из правой и левой части можно вычесть a + b.
a*b+a*a+b*b=9a
---
если b=0
a+a*a=10a => a*a=9a => a=9

одно число = 90
---
Дальше...

a*b+a*a+b*b=9a
b*b+b*a+a*(a-9)=0

Дискриминант
D = "b*b-4ac" = a*a - 4*1*(a*a-9a) = a*a-4a*a+36a = -3*a*a+36a=a(36-3a)

причём он должен иметь натуральный корень (т.е. быть квадратом какого-то числа)
------
один из вариантов - когда оба множителя равны:
a=36-3a => 4a=36 => a=9
D= 9(36-3*9)=9*9

ну а далее ищется неотрицательное, целое b
...
b=0

первое число 90
------
другой вариант одно отличается от другого на квадрат кого-то числа:
методом подбора, находим:
D=a*(9*a)

9a=36-3a => 12a=36 => a=3

ну а далее ищется неотрицательное, целое b
...
b=3

второе число 33
---
Это все легкотня - задача-то осталась нерешенной! ;-)
---
сумма = 123
---
Я так полагаю, что первым было найдено решение 90 из предположения, что последняя цифра 0.Слишком много предположений, решение находится безо всяких гаданий, главное - не забывать, что цифр всего 10.

Берем уравнение (ключевое!) из (2) и приводим его к стандартному виду:

a*a+(b-9)*a+b*b=0

Оно приобретает всего 10 вариантов, для всех возможных значений b:

b=0: a*a-9a=0
b=1: a*a-8a+1=0
b=2: a*a-7a+4=0
b=3: a*a-6a+9=0
b=4: a*a-5a+16=0
b=5: a*a-4a+25=0
b=6: a*a-3a+36=0
b=7: a*a-2a+49=0
b=8: a*a-a+64=0
b=9: a*a+81=0

Надо решить эти 10 квадратных уравнений, при этом не забывая условие, что 0 <= а <=9

И даже не 10 уравнений, а всего 8 - для b=0 оно даже не квадратное:

a*a=9a
a=9

А для b=9 очевидно, что решения не существует.

Осталось вычислить 8 дискриминантов:

b=1: D=60
b=2: D=33
b=3: D=0
b=4: D=-39
b=5: D=-84
b=6: D=-135
b=7: D=-192
b=8: D=-255

и проверить их по условию из (5):
причём он должен иметь натуральный корень (т.е. быть квадратом какого-то числа)
После этого остается только один вариант:
b=3
a=3
---
a*a=9a
a=9 если уж решать до конца:
a1=9
a2=0
---
если уж решать до конца:
a1=9
a2=0 Так ведь "конец" уже известен: сведение уравнения к линейному происходит при условии b=0.

То есть, в вашей новой нотации a2=0.

P.S. Коллега, я не претендую на решение этой задачи - вы все сделали уже в (2), я только растолковал автору ветки все подробно.
---
То есть, в вашей новой нотации a2=0. просто надо дописать, что кроме того, что цифр всего 10,

ещё когда а=0 - это не 2х-значное число, т.е. а=0 заведомо не удовлетворяет условиям задачи, так же как например a=10

(10) для b=0 оно даже не квадратное:
a*a=9a
оно квадратное, и как любое квадратное имеет два корня:

a*a-9a=0
a(a-9)=0

a1=9, a2=0, но а2 не удовлетворяет условиям задачи.
---
Остановитесь, коллега: ваш педантизм уже переходит в занудство...
---
это я мщу за (6)
;)
---
хорошо , что не выдаете эту задачу за задачу на собеседовании
---
Я так полагаю, что первым было найдено решение 90 из предположения, что последняя цифра 0. Второе число он нашел подбором, так как в условии приводятся варианты суммы.
---
10a+b=a+b+a*b+a*a+b*b
9a=a*b+a^2+b^2
9a=(a-b)^2+3ab

Из этого следует, что (a-b) делится на 3, тогда (a-b)^2 делится на 9.
Поэтому 3ab делится на 9, значит либо a, либо b делится на 3.

А так как известно, что (a-b) делится на 3, то на 3 делится и a и b.

a=3x, b=3y

27x=9(x-y)^2+27xy

3x*(1-y)=(x-y)^2

Возможные значения y->0 и 1 (левая часть больше или равна 0)
y=0 x=3 (a=9 b=0, число 90)
y=1 x=1 (a=3 b=3, число 33)