bất đẳng thức cuối đúng do ta giả sử (nếu không thì hiệu trên hiển nhiên lớn hơn ). Bất đẳng thức này cho ta chặn dưới của hiệu , từ đó dẫn đến chứng minh tính vô tỉ trực tiếp mà không cần giả sử phản chứng. Chứng minh này chỉ ra rằng tồn tại một khoảng cách giữa và bất kỳ số hữu tỉ nào.