Logaritma

Pertanyaan: Apa itu logaritma?


Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan.
Rumus dasar logaritma:





a

b


=
c

⟺



a


log
⁡

c

=
b


{\displaystyle a^{b}=c\ \Longleftrightarrow \ ^{a}\log {c}=b}

 dengan syarat a > 0 dan a ≠ 1.
Pada rumus ini, a adalah basis atau pokok dari logaritma tersebut.
Beberapa buku dan karya ilmiah menuliskan 






a


log
⁡

x



{\textstyle ^{a}\log {x}}

 sebagai 




log

a


⁡

x



{\textstyle \log _{a}{x}}

. Notasi yang kedua umumnya ditemukan pada buku dan karya ilmiah yang berbahasa inggris.
Basis
Logaritma yang paling umum digunakan adalah 






2


log
⁡

x



{\displaystyle ^{2}\log {x}}

, 






e


log
⁡

x



{\displaystyle ^{e}\log {x}}

 atau 



ln
⁡

x



{\displaystyle \ln {x}}

, dan 






10


log
⁡

x



{\displaystyle ^{10}\log {x}}

. Fungsi-fungsi tersebut memiliki basis 2, e, dan 10.
Logaritma dengan basis e juga disebut 'logaritma natural', di mana:




e
=

lim

x
→
∞




(

1
+


1
x



)


x




{\displaystyle e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}






e
≈
2.718281828459045
⋯


{\displaystyle e\approx 2.718281828459045\cdots }


Notasi
Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi blog a daripada logba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris menggunakan notasi logba
Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti elog a, log a sebagai ganti 10log a dan ld a sebagai ganti 2log a.
Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e.
Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++, Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis e.
Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada 10log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada elog x.
Mencari nilai logaritma
Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:
Tabel
Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)
Rumus

































Logaritmaac = b → ª log b = ca = basisb = bilangan yang dilogaritmac = hasil logaritmaSifat-sifat Logaritmaª log a = 1ª log 1 = 0ª log aⁿ = nª log bⁿ = n • ª log bª log b • c = ª log b + ª log cª log b/c =  ª log b – ª log cªˆⁿ log b m = m/n • ª log bª log b = 1 ÷ b log aª log b • b log c • c log d = ª log dª log b = c log b ÷ c log a
Kegunaan logaritma
Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.
Sains dan teknik
Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.
Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25°C, sehingga pH-nya 7.
Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1bel, lebih sering digunakan.
Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.
Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.
Penghitungan yang lebih mudah
Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::











Penghitungan dengan angkaPenghitungan dengan eksponenIdentitas Logaritma





a
b


{\displaystyle \!\,ab}







A
+
B


{\displaystyle \!\,A+B}







log
⁡
(
a
b
)
=
log
⁡
(
a
)
+
log
⁡
(
b
)


{\displaystyle \!\,\log(ab)=\log(a)+\log(b)}








a
b




{\displaystyle \!{\frac {a}{b}}}







A
−
B


{\displaystyle \!\,A-B}







log
⁡
(


a
b


)
=
log
⁡
(
a
)
−
log
⁡
(
b
)


{\displaystyle \!\,\log({\frac {a}{b}})=\log(a)-\log(b)}








a

b




{\displaystyle \!\,a^{b}}







A
b


{\displaystyle \!\,Ab}







log
⁡
(

a

b


)
=
b
log
⁡
(
a
)


{\displaystyle \!\,\log(a^{b})=b\log(a)}









a

b





{\displaystyle \!\,{\sqrt[{b}]{a}}}









A
b




{\displaystyle \!\,{\frac {A}{b}}}







log
⁡
(


a

b



)
=



log
⁡
(
a
)

b




{\displaystyle \!\,\log({\sqrt[{b}]{a}})={\frac {\log(a)}{b}}}


Sifat-sifat di atas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.
Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.
Kalkulus
Turunan fungsi logaritma adalah






d

d
x




log

b


⁡
(
x
)
=


d

d
x






ln
⁡
(
x
)


ln
⁡
(
b
)



=


1

x
ln
⁡
(
b
)



=




log

b


⁡
(
e
)

x




{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}={\frac {1}{x\ln(b)}}={\frac {\log _{b}(e)}{x}}}


di mana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e. Jika b = e, maka rumus di atas dapat disederhanakan menjadi






d

d
x



ln
⁡
(
x
)
=


1
x


.


{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.}


Integral fungsi logaritma adalah




∫

log

b


⁡
(
x
)

d
x
=
x

log

b


⁡
(
x
)
−


x

ln
⁡
(
b
)



+
C
=
x

log

b


⁡

(


x
e


)

+
C


{\displaystyle \int \log _{b}(x)\,dx=x\log _{b}(x)-{\frac {x}{\ln(b)}}+C=x\log _{b}\left({\frac {x}{e}}\right)+C}


Integral logaritma berbasis e adalah




∫
ln
⁡
(
x
)

d
x
=
x
ln
⁡
(
x
)
−
x
+
C



{\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C\,}


Penghitungan nilai logaritma
Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.





log

b


⁡
(
x
)
=




log

e


⁡
(
x
)



log

e


⁡
(
b
)






 atau 




log

b


⁡
(
x
)
=




log

2


⁡
(
x
)



log

2


⁡
(
b
)





{\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}\qquad {\mbox{ atau }}\qquad \log _{b}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(b)}}}


Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.
Lihat pula
Logaritma natural
Logaritma biner
Fungsi eksponensial
Catatan

Referensi

Pranala luar
 Media related to Screenshots of Wikipedia Main Page at Wikimedia Commons
 The dictionary definition of main page at Wiktionary




Kategori:Matematika
Kategori:Persamaan diferensial
Kategori:Persamaan matematika
Kategori:Persamaan