Algoritme

Pertanyaan: Kapan algoritme ditemukan?


Dalam matematika dan ilmu komputer, algoritme adalah prosedur langkah-demi-langkah untuk penghitungan.
Algoritme digunakan untuk penghitungan, pemrosesan data, dan penalaran otomatis.
Algoritme adalah metode efektif diekspresikan sebagai rangkaian terbatas[1]
dari instruksi-instruksi yang telah didefinisikan dengan baik[2]
untuk menghitung sebuah fungsi.[3]
Dimulai dari sebuah kondisi awal dan input awal (mungkin kosong),[4]
instruksi-instruksi tersebut menjelaskan sebuah komputasi yang, bila dieksekusi, diproses lewat sejumlah urutan kondisi terbatas[5]
yang terdefinisi dengan baik, yang pada akhirnya menghasilkan "keluaran"[6]
dan berhenti di kondisi akhir.
Transisi dari satu kondisi ke kondisi selanjutnya tidak harus deterministik;
beberapa algoritme, dikenal dengan algoritme pengacakan, menggunakan masukan acak.[7]
Walaupun algorism-nya al-Khawarizmi dirujuk sebagai aturan-aturan melakukan aritmetika menggunakan bilangan Hindu-Arab dan solusi sistematis dan persamaan kuadrat, sebagian formalisasi yang nantinya menjadi algoritme modern dimulai dengan usaha untuk memecahkan permasalahan keputusan (Entscheidungsproblem) yang diajukan oleh David Hilbert pada tahun 1928.
Formalisasi selanjutnya dilihat sebagai usaha untuk menentukan "penghitungan efektif"
[8]
atau "metode efektif";
[9]
formalisasi tersebut mengikutkan Godel-Herbrand-Kleene fungsi rekursif-nya Kurt Godel - Jacques Herbrand - Stephen Cole Kleene pada tahun 1930, 1934, dan 1935, kalkulus lambda-nya Alonzo Church pada tahun 1936, "Formulasi 1"-nya Emil Post pada tahun 1936, dan Mesin Turing-nya Alan Turing pada tahun 1936-7 dan 1939.
Dari definisi formal dari algoritme di atas, berkaitan dengan konsep intuituf, masih tetap ada masalah yang menantang.
[10]
Asal kata
'Algoritme' muncul dari 'Algoritmi', bentuk Latin dari al-Khwarizmi, matematikawan, ahli astronomi, dan ahli geografi dari Persia.[11][12]
Definisi informal

Definisi informalnya bisa berarti "sekumpulan aturan yang secara tepat menentukan seurutan operasi".
[13]
yang mengikutkan semua program komputer, termasuk program yang tidak melakukan perhitungan numerik.
Secara umum, sebuah program hanyalah sebuah algoritme jika ia akan berhenti nantinya.
[14]
Sebuah contoh prototipikal dari suatu algoritme adalah algoritme Euclid untuk menentukan bilangan pembagi terbesar dari dua integer; sebagai contohnya (ada contoh yang lain) dijelaskan dengan diagram alur di atas dan sebagai contoh di bagian lanjut.
Boolos, Jeffrey & 1974, 1999 memberikan sebuah makna informal dari kata algoritme dalam persamaan berikut:

Tidak ada manusia yang dapat menulis begitu cepat, atau begitu lama, atau begitu kecil ("kecil, dan lebih kecil tanpa batas ... anda mungkin mencoba menulis di atas molekul, atom, elektron") untuk mencatat semua anggota dari kumpulan bilangan tak terbatas dengan menuliskan namanya, bergantian, dalam suatu notasi.
Tapi manusia bisa melakukan sesuatu yang sama bergunanya, pada kasus kumpulan bilangan tak terbatas: Mereka dapat memberikan instruksi jelas untuk menentukan anggota ke-n dari set, untuk n terbatas acak.
Instruksi tersebut diberikan secara eksplisit, dalam bentuk yang dapat diikuti oleh mesin penghitung, atau oleh manusia yang mampu melakukan hanya operasi-operasi dasar dengan simbol-simbol.
[15]

Suatu "bilangan tak-terbatas" adalah bilangan yang elemen-elemenya bisa berkorespondensi satu-ke-satu dengan integer.
Maka, Boolos dan Jeffrey mengatakan bahwa sebuah algoritme berarti instruksi bagi sebuah proses yang "membuat" keluaran integer dari sebuah "masukan" acak integer yang, secara teori, bisa sangat besar.
Maka sebuah algoritme dapat berupa persamaan aljabar seperti y = m + n -- dua variabel masukan m dan n yang menghasikan keluaran y.
Tapi berbagai penulis yang mencoba mendefinisikan persamaan tersebut mengatakan bahwa kata algoritme mengandung lebih dari itu, sesuatu yang kurang lebih (untuk contoh penjumlahan):
Instruksi rinci dan tepat (dalam bahasa yang dipahami oleh "komputer")[16] untuk proses yang cepat, efisien, "baik"[17] yang menentukan "pergerakan" dari "komputer" (mesin atau manusia, dibekali dengan informasi dan kemampuan internal yang dibutuhkan)[18] untuk menemukan, dekode, dan kemudian mengolah masukan integer/simbol m dan n, simbol + dan = ... dan "secara efektif"[19] menghasilkan, dalam waktu yang "masuk akal",[20] keluaran integer y pada tempat dan format tertentu.
Konsep dari algoritme juga digunakan untuk mendefinisikan notasi dari desidabilitas.
Notasi tersebut adalah pusat untuk menjelaskan bagaimana sistem formal berasal dari sejumlah kecil aksioma dan aturan.
Dalam logika, waktu dari sebuah algoritme untuk selesai tidak dapat dihitung, karena tidak berelasi dengan dimensi fisik kita.
Dari ketidakpastian tersebut, yang mengkarakteristikan pekerjaan yang sedang berjalan, timbulah ketidak-tersediannya definisi algoritme yang sesuai dengan konkret (pada tingkat tertentu) dan penggunaan secara abstrak dari istilah tersebut.
Formalisasi
Algoritme sangat penting bagi cara komputer mengolah data.
Banyak program komputer mengandung algoritme memberikan rincian pada instruksi khusus yang komputer harus lakukan (dengan urutan tertentu) untuk menjalankan pekerjaan tertentu, seperti menghitung gaji karyawan atau mencetak kartu rapor siswa.
Maka, sebuah algoritme bisa dianggap sebagai urutan operasi yang bisa disimulasikan oleh sebuah sistem Turing-lengkap.
Penulis yang mendukung tesis ini termasuk Minsky (1967), Savage (1987), dan Gurevich (2000):

Minsky: "Tapi kita juga menjaga, dengan Turing ... bahwa setiap prosedur yang "secara alami" disebut efektif, bisa dinyatakan oleh mesin (sederhana).
Walaupun tampaknya ekstrem, alasan tersebut ... sukar disanggah".
[21]


Gurevich: "... argumen informal Turing untuk menyokong tesis ini membenarkan tesis yang lebih kuat: setiap algoritme bisa disimulasikan oleh sebuah mesin Turing ... menurut Savage [1987], sebuah algoritme adalah sebuah proses penghitungan yang ditentukan oleh sebuah mesin Turing".
[22]

Biasanya, bila sebuah algoritme dihubungkan dengan pengolahan informasi, data dibaca dari sumber masukan, ditulis ke perangkat keluaran, dan/atau disimpan untuk pengolahan selanjutnya.
Data simpanan dianggap sebagai bagian dari keadaan internal dari entitas yang melakukan algoritme.
Pada praktiknya, keadaan tersebut disimpan pada satu atau lebih struktur data.
Untuk beberapa proses komputasi, algoritme harus ditentukan secara teliti: dijabarkan dengan cara ia bakal berlaku untuk semua kemungkinan yang dapat timbul.
Yaitu, setiap langkah tambahan harus secara sistematis dihadapi, kasus-per-kasus;
Kriteria bagi setiap kasus harus jelas (dan bisa dihitung).
Karena sebuah algoritme adalah kumpulan dari langkah-langkah yang tepat, urutan dari komputasi selalu penting bagi berfungsinya algoritme.
Instruksi biasanya diasumsikan terdaftar secara eksplisit, dan dijelaskan dimulai "dari atas" dan terus "ke bawah", sebuah gambaran yang dijelaskan secara formal oleh alur kontrol
Sejauh ini, diskusi tentang formalisasi algoritme telah mengasumsikan premis dari pemrograman imperatif.
Hal ini merupakan konsepsi umum, yang mencoba menjelaskan sebuah pekerjaan dalam makna diskrit dan "mekanis".
Keunikan dari konsepsi formalisasi algoritme adalah operasi penetapan, mengatur nilai dari sebuah variabel.
Ia berasal dari intuisi "ingatan" sebagai kertas buram.
Contoh operasi penetapan tersebut ada di bawah.
Untuk konsepsi yang lain dari apa yang membentuk sebuah algoritme lihat pemrograman fungsional dan pemrograman logika.
Menggambarkan algoritme
Algoritme dapat digambarkan dengan banyak notasi, termasuk bahasa alamiah, pseudokode, diagram alur, bagan drakon, bahasa pemrograman atau tabel kontrol (diproses oleh penerjemah).
Ekspresi bahasa alamiah terhadap algoritme condong lebih banyak dan rancu, dan jarang digunakan untuk algoritme yang kompleks dan teknis.
Pseudokode, diagram alur, bagan drakon, dan tabel kontrol adalah cara yang terstruktur untuk menggambarkan algoritme yang mencegah banyaknya kerancuan pada pernyataan-pernyataan bahasa alamiah.
Bahasa pemrograman ditujukan untuk mengekspresikan algoritme dalam sebuah bentuk yang dapat dieksekusi oleh komputer, tetapi sering kali digunakan sebagai suatu cara untuk menentukan atau mendokumentasikan algoritme.
Ada banyak macam kemungkinan representasi dan seseorang dapat mengekspresikan sebuah program mesin Turing sebagai urutan dari tabel-tabel mesin (lihat lebih lanjut di mesin kondisi-terbatas, tabel transisi kondisi dan tabel kontrol), sebagai diagram alur dan bagan drakon (lihat lebih lanjut di diagram kondisi), atau sebagai bentuk kode mesin atau kode assembly dasar yang dikenal "kumpulan lipat empat" (lihat lebih lanjut di mesin Turing).
Representasi dari algoritme dapat dikelompokan ke dalam tiga tingkatan dari deskripsi mesin Turing:
[23]
1 Deskripsi tingkat-tinggi
"... ditujukan untuk menjelaskan algoritme, menghiraukan rincian implementasi. Pada tingkat ini kita tidak perlu menyebutkan bagaimana mesin mengatur perangkat pita atau kepala pita rekam."
2 Deskripsi implementasi
"... digunakan untuk menjelaskan cara mesin Turing menggunakan kepalanya dan cara menyimpan data. Pada tingkat ini kita tidak memberikan secara rinci kondisi atau fungsi transisi."
3 Deskripsi formal
Lebih rinci, "tingkat paling rendah", menjelaskan "tabel kondisi" dari mesin Turing.
Sebagai contoh dari algoritme sederhana "Penjumlahan m+n" dijelaskan dalam tiga tingkatan tersebut lihat contoh algoritme.
Implementasi
Kebanyakan algoritme ditujukan untuk diimplementasikan sebagai program komputer.
Namun, algoritme juga diimplementasikan dengan tujuan lain, seperti dalam jaringan saraf biologis (sebagai contohnya, otak manusia yang mengimplementasikan aritmetika atau sebuah serangga yang melihat makanan), dalam sirkuit elektris, atau dalam sebuah perangkat mekanis.
Algoritme komputer

Dalam sistem komputer, sebuah algoritme pada dasarnya adalah instansi dari logika ditulis dalam perangkat lunak oleh pengembang perangkat lunak supaya efektif untuk komputer yang "ditargetkan" untuk mesin tertentu untuk menghasilkan keluaran dari masukan yang diberikan (kemungkinan nul).
Program yang "elegan" (padat), program yang "baik" (cepat): Pernyataan dari "sederhana dan elegan" muncul secara informal dalam buku Knuth dan dalam Chaitin:
Knuth: "... kita menginginkan algoritme yang baik dalam definisi estetika sederhana. Salah satu kriterianya ... adalah waktu yang dibutuhkan untuk berjalannya algoritme ... Kriteria yang lain adalah adaptasi dari algoritme ke komputer, kesederhanaan dan elegan, dll"[24]
Chaitin: "... sebuah program adalah 'elegan, maksud saya adalah ia merupakan program terkecil untuk menghasilkan keluaran."[25]
Chaitin membuka definisinya dengan: "Saya akan perlihatkan bahwa anda tidak dapat membuktikan sebuah program adalah 'elegan'"—bukti tersebut akan menyelesaikan permasalahan perhentian (ibid).
Algoritme terhadap fungsi yang dapat dihitung oleh algoritme: Untuk sebuah fungsi bisa ada beberapa algoritme.
Hal ini benar, bahkan tanpa mengembangkan kumpulan instruksi yang ada bagi programmer.
Rogers mengamati bahwa "Sangat ... penting untuk membedakan antara pengertian algoritme, misalnya prosedur dan pernyataan fungsi yang dihitung oleh algoritme, misalnya pemetaan hasil dari prosedur.
Fungsi yang sama bisa memiliki beberapa algoritme berbeda".
[26]
Sayangnya ada pertukaran antara kebaikan (kecepatan) dan elegan (kepadatan) -- sebuah program yang elegan bisa melakukan lebih banyak langkah untuk menyelesaikan sebuah komputasi daripada yang kurang elegan.
Sebuah contoh yang menggunakan algoritme Euclid bisa dilihat di bawah.
Komputer (dan komputor), model dari komputasi: Sebuah komputer (atau manusia "komputor"
[27]
)
adalah tipe terbatas dari mesin, sebuah "perangkat mekanis deterministik diskrit"
[28]
yang secara buta mengikuti instruksinya
[29].
Model primitif dari Melzak dan Lambek
[30]
mereduksi pemikiran tersebut menjadi empat elemen: (i) diskrit, lokasi yang bisa dibedakan,
(ii) diskrit, penghitung yang tak bisa dibedakan
[31]
(iii) sebuah agen, dan
(iv) sebuah daftar instruksi yang efektif relatif terhadap kemampuan dari agen.
[32]
Minsky menjelaskan variasi yang lebih sesuai dari model "abacus"-nya Lambek dalam "Basis Komputabilitas Paling Sederhana".
[33]
Mesin Minsky memproses secara berurutan lewat lima (atau enam tergantung bagaimana seseorang menghitungnya) instruksi kecuali baik sebuah kondisi IF-THEN GOTO atau GOTO tak bersyarat mengubah alur program keluar dari urutan.
Selain HALT, mesin Minsky mengikutkan tiga operasi penetapan (penggantian, substitusi):
[34]
ZERO (misalnya, isi dari lokasi diganti oleh 0: L ← 0), SUCCESSOR (misalnya, L ← L+1), dan DECREMENT (misalnya, L ← L-1).
[35]
Jarang seorang programer harus menulis "kode" dengan kumpulan instruksi terbatas.
Tapi Minsky memperlihatkan (sebagaimana Melzak dan Lambek) bahwa mesinnya adalah Turing komplet dengan hanya empat tipe instruksi utama: GOTO kondisional, GOTO tak bersyarat, penetapan/penggantian/substitusi, dan HALT.
[36]
Simulasi dari sebuah algoritme: bahasa komputer (komputor): Knuth menganjurkan pembaca bahwa "cara terbaik untuk belajar algoritme dalah mencobanya ... langsung ambil pulpen dan kertas dan bekerja lewat contoh".
[37]
Lalu bagaimana dengan simulasi atau eksekusi yang sebenarnya?
Programmer harus menerjemahkan algoritme ke dalam bahasa yang mana simulator/komputer/komputor dapat mengeksekusi secara efektif.
Stone memberikan contoh dari hal ini: saat menghitung akar dari persamaan kuadrat si komputor harus tahu bagaimana mendapatkan akar kuadrat.
Jika tidak maka supaya algoritme dapat efektif ia harus menyediakan sejumlah aturan untuk mengekstrak akar kuadrat.
[38]
Hal ini berarti programer harus tahu sebuah "bahasa" yang efektif relatif terhadap target pada agen komputasi (komputer/komputor).
Lalu model apa yang seharusnya digunakan untuk simulasi?
Van Emde Boas mengamati "bahkan bila kita mendasari teori kompleksitas dengan mesin abstrak bukannya mesin kongkrit, kesembarangan dari pemilihan model masih tetap ada.
Pada titik itulah mulainya pemikiran simulasi".
[39]
Bila kecepatan yang dihitung, jumlah instruksi berpengaruh.
Sebagai contohnya, subprogram dalam algoritme Euclid untuk menghitung sisa akan berjalan lebih cepat jika programmer memiliki instruksi "modulus" (sisa pembagian) bukannya dengan pengurangan (atau lebih parah: hanya "penurunan").
Pemrograman terstuktur, struktur kanonikal: Menurut Tesis Church-Turing setiap algoritme bisa dihitung dengan sebuah model yang dikenal Turing komplet, dan menurut demonstrasi Minsky kekomplitan Turing membutuhkan hanya empat tipe instruksi—GOTO bersyarat, GOTO tak bersyarat, penetapan, HALT.
Kemeny dan Kurtz mengamati bahwa saat penggunaan GOTO tak bersyarat yang "tak disiplin" dan IF-THEN GOTO bersyarat bisa menghasilkan "kode spageti" seorang programer bisa menulis program terstruktur menggunakan instruksi tersebut;
di lain sisi "juga memungkinkan, dan tidak begitu sulit, untuk menulis sebuah program terstruktur yang buruk dalam sebuah bahasa terstruktur".
[40]
Tausworthe menambahkan tiga struktur kanon Bohm-Jacopini:
[41]
SEQUENCE, IF-THEN-ELSE, dan WHILE-DO, dengan dua lagi: DO-WHILE dan CASE.
[42]
Keuntungan dari program terstruktur adalah ia cocok dengan pembuktian kebenaran menggunakan induksi matematika.
[43]
Simbol diagram alur[44]: Pembantu grafik yang disebut diagram alur memberikan suatu cara untuk menjelaskan dan mendokumentasikan sebuah algoritme (dan program komputer).
Seperti alur program dari mesin Minsky, sebuah diagram alur selalu mulai dari atas dan terus ke bawah.
Simbol utamanya hanya 4: arah panah memperlihatkan alur program, segi empat (SEQUENCE, GOTO), wajik (IF-THEN-ELSE), dan titik (OR).
Struktur kanonikal Bohm-Jacopini dibuat dari bentuk-bentuk primitif tersebut.
Sub-struktur bisa "bersarang" dalam segi empat hanya jika jalan keluar tunggal terjadi pada super-struktur.
Simbol dan penggunaannya untuk membangun struktur kanonikal diperlihatkan dalam diagram.
Contoh

Contoh Algoritme

Salah satu dari algoritme sederhana adalah menemukan bilangan terbesar dalam sebuah deretan angka (tak berurut).
Solusinya membutuhkan pemeriksaan setiap angka dalam deret, tetapi hanya sekali.
Dari hal ini munculah algoritme sederhana, yang bisa dinyatakan dalam kalimat bahasa deskripsi tingkat-tinggi, sebagai:
Deskripsi tingkat-tinggi:
Jika tidak ada angka dalam deret makan tidak ada bilangan terbesar.
Asumsikan item pertama dalam deret adalah yang terbesar.
Untuk setiap sisa angka dalam deret, jika angka tersebut besar dari angka terbesar sekarang, anggap angka tersebut menjadi yang terbesar dalam deret.
Bila tidak ada lagi angka yang tersisa pada deret untuk diperiksa, anggap angka terbesar sekarang menjadi angka yang terbesar dalam deret.
Deskripsi (Quasi-)formal:
Ditulis dalam kalimat yang lebih dekat dengan bahasa tingkat-tinggi dari program komputer, berikut ini adalah kode formal dari algoritme dalam pseudokode atau kode pijin:

Algorithm LargestNumber
  Masukan: Deret angka L.
  Keluaran: Angka terbesar dalam daftar L.
  terbesar ← Lnull
  untuk setiap item dalam L, lakukan
    jika item > terbesar, maka
      terbesar ← item
  kembalikan terbesar
"←" denotes assignment.  For instance, "largest ← item" means that the value of largest changes to the value of item.
"return" terminates the algorithm and outputs the following value.

Algoritme Euclid


Algoritme Euclid muncul sebagai Proposisi II dalam Book VII ("Elementary Number Theory") dari Elements.
[45]
Euclid mengajukan permasalahan: "Ambil dua angka bukan prima, untuk mencari bilangan pembagi terbesar".
Dia menentukan "Sebuah angka [merupakan] besaran yang terdiri dari unit-unit": angka penghitung, integer positif kecuali 0.
Dan "mengukur" adalah menempatkan ukuran panjang terkecil s dengan tepat (q kali) di antara ukuran terpanjang l sampai sisa r lebih kecil dari panjang terkecil s.
[46]
Dalam dunia modern, sisa r = l - q*s, q sebagai hasil bagi, atau sisa r adalah "modulus", bagian sisa-integer yang tersisa setelah pembagian.
[47]
Supaya metode Euclid berhasil, panjang awalnya harus memenuhi dua kebutuhan:
(i) panjangnya tidak 0, DAN
(ii) hasil pengurangan harus "lebih", sebuah pengujian harus menjamin bahwa bilangan terkecil dari dua angka adalah hasil pengurangan dari yang terbesar (cara lain, keduanya bisa sama sehingga pengurangan menghasilkan 0).
Pembuktian asli Euclid mengikutkan kebutuhan yang ketiga: kedua panjang bukanlah bilangan prima.
Euclid menentukan hal ini supaya dia bisa membentuk sebuah bukti reductio ad absurdum bahwa dua pembagi dua angka adalah yang terbesar.
[48]
Walau algoritme Nicomachus sama dengan Euclid, bila kedua bilangan prima maka menghasilkan angka "1" untuk bilangan pembagi terbesar.
Jadi untuk lebih jelasnya algoritme berikut adalah algoritme Nicomachus.
Contoh

Bahasa komputer untuk algoritme Euclid
Hanya beberapa tipe instruksi yang dibutuhkan untuk mengeksekusi algoritme—beberapa tes logika (GOTO bersyarat), GOTO tak bersyarat, penetapan (penggantian), dan pengurangan.
Sebuah lokasi disimbolkan dengan huruf besar, misalnya, S, A, dll.
Kuantitas beragam (angka) dalam sebuah lokasi ditulis dengan huruf kecil dan (biasanya) dihubungkan dengan nama lokasi. Sebagai contohnya, lokasi L pada awal bisa mengandung angka l = 3009.
Program yang kurang elegan (inelegan) untuk algoritme Euclid

Algoritme berikut disebut sebagai versi Euclid dan Nichomachus 4-langkah-nya Knuth, tetapi bukannya menggunakan pembagi untuk menentukan sisa ia menggunakan pengurangan berturut-turut dari panjang terkecil s dari sisa panjang r sampai r kurang dari s.
Deskripsi tingkat-tinggi, diperlihatkan dengan tulisan tebal, diadaptasi dari Knuth 1973:2-4:
INPUT:
1 [Kedalam dua lokasi L dan S taruh angka l dan s yang merepresentasikan kedua panjang]:
 INPUT L, S
2 [Inisialisasi R: buat supaya sisa panjang r sama dengan panjang awal l]
 R ← L
E0: [Pastikan r ≥ s.]
3 [Pastikan angka terkecil dari kedua angka ada dalam S dan yang terbesar di R]:
  IF R > S THEN
    isi dari L adalah angka terbesar jadi lewati langkah 4, 5 dan 6:
    GOTO step 6
  ELSE
    tukar isi R dan S.
4 L ← R (langkah pertama ini berlebih, tetapi berguna untuk diskusi nanti).
5 R ← S
6 S ← L
 E1: [Cari sisa]: Sampai sisa panjang r di R kurang dari panjang terkecil s pada S, kurangi angka s dalam S berulang kali dari sisa panjang r dalam R.
7 IF S > R THEN
   selesai mengukur jadi
   GOTO 10
 ELSE
   ukur lagi,
8 R ← R - S
9 [Pengulangan-sisa]:
   GOTO 7.
E2: [Apakah sisa 0?]: APAKAH (i) pengukuran terakhir adalah sama dan sisa di R adalah 0 program dapat berhenti, ATAU (ii) algoritme harus terus jalan: hasil pengukuran meninggalkan sisa di R kurang dari angka pengukuran dalam S.
10 IF R = 0 THEN
   selesai jadi
   GOTO langkah 15
 ELSE
   lanjut ke langkah 11,
E3: [Interchange s dan r]: Sulitnya algoritme Euclid. Menggunakan sisa r untuk mengukur angka terkecil sebelumnya s:; L sebagai lokasi sementara.
11 L ← S
12 R ← S
13 S ← L
14 [Ulang proses pengukuran]:
   GOTO 7
OUTPUT:
15 [Selesai. S berisi faktor persekutuan terbesar]:
   PRINT S
DONE:
16 HALT, END, STOP.
Program elegan untuk algoritme Euclid
Versi algoritme Euclid berikut hanya membutuhkan 6 instruksi inti untuk melakukan 13 langkah pada solusi "inelegan"; parahnya, "inelegan" membutuhkan tipe instruksi lebih banyak.
Diagram alur dari "elegan" bisa dilihat pada bagian atas artikel ini.
Dalam bahasa Basic (tak terstruktur) langkahnya diberi nomor, dan instruksi LET [] = [] adalah instruksi penetapan disimbolkan dengan ←.
  5 REM Algoritme Euclid untuk faktor persekuturan terbesar
  6 PRINT "Masukan dua integer besar dari 0"
  10 INPUT A,B
  20 IF B=0 THEN GOTO 80
  30 IF A > B THEN GOTO 60
  40 LET B=B-A
  50 GOTO 20
  60 LET A=A-B
  70 GOTO 20
  80 PRINT A
  90 END
Bagaimana cara kerja "Elegan": Sebagai pengganti "pengulangan Euclid" luar, "Elegan" mengulang antara dua pengulangan, pengulangan A > B yang menghitung A ← A - B, dan pengualang B ≤ A yang menghitung B ← B - A.
Hal ini bekerja karena, saat yang dikurang M lebih kecil pengurang S ( Selisih = pengurang - yang_di_kurang ), yang_dikurang bisa menjadi s (panjang pengukuran yang baru) dan pengurang bisa menjadi r yang baru (panjang yang akan diukur);
dengan kata lain "arti" dari pengurangan dibalik.
Menguji algoritme Euclid
Apakah algoritme berjalan seperti yang penulis inginkan?
Beberapa kasus uji cukup menentukan fungsi inti.
Sumber pertama
[49]
menggunakan 3009 dan 884.
Knuth menyarankan 40902, 24140.
Kasus menarik lainnya yaitu dua angka relatif prima 14157 dan 5950.
Tapi kasus pengecualian harus teridentifikasi dan diuji.
Apakah "inelegan" berjalan benar saat R > S, S > R, R = S?
Sama juga dengan "Elegan": B > A, A > B, A = B?
(Semuanya benar).
Apa yang terjadi bila salah satu bilangan nol, atau keduanya nol?
("Inelegan" terus berjalan pada kedua kasus; "elegan" terus berjalan saat A = 0.)
Apa yang terjadi bila angka negatif dimasukan?
Angka desimal?
Bila angka masukan, misalnya domain dari fungsi yang dihitung oleh algoritme/program, mengikutkan hanya integer positif termasuk 0, maka kegagalan pada nol mengindikasikan bahwa algoritme (dan program instansiasinya) adalah sebuah fungsi parsial bukannya fungsi total.
Kesalahan yang terkenal karena eksepsi adalah kegagalan roket Ariane V.
Bukti dari kebenaran program menggunakan induksi matematika: Knuth mendemonstrasikan penggunaan induksi matematika untuk versi "pengembangan" dari algoritme Euclid, dan dia mengajukan "metode umum yang digunakan untuk membuktikan validitas dari setiap algoritme."
[50]
Tausworthe mengajukan bahwa sebuah pengukuran dari kompleksitas dari sebuah program adalah panjang dari pembuktian kebenarannya.
[51]
Menghitung dan meningkatkan algoritme Euclid
Elegan (kepadatan) lawan kebaikan (kecepatan): Dengan hanya 6 instruksi dasar, "Elegan" adalah jelas pemenang dibandingkan dengan instruksi "inelegan" dengan 13 instruksi.
Namun, "inelegan" lebih cepat (ia sampai pada HALT dengan langkah lebih sedikit).
Analisis algoritme
[52]
mengindikasikan kenapa hal tersebut terjadi: "Elegan" melakukan pengujian kondisi dua kali disetiap pengulangan pengurangan, sementara "inelegan" hanya sekali.
Bila algoritme (biasanya) membutuhkan banyak pengulangan, secara rata-rata lebih banyak waktu yang terbuang saat melakukan tes "B = 0?" yang hanya diperlukan saat sisa sudah dihitung.
Bisakah algoritme ditingkatkan?: Bila programmer sudah menilai sebuah program "cocok" dan "efektif"—yaitu, ia menghitung fungsi yang ditujukan oleh penulisnya—maka pertanyaannya menjadi, bisakah ditingkatkan?
Kepadatan dari "inelegan" bisa ditingkatkan dengan menghilangkan 5 langkah.
Tapi Chaitin membuktikan bahwa memadatkan algoritme tidak bisa diotomatiskan dengan algoritme generalisasi;
[53]
tapi, ia bisa dilakukan secara heuristik, misalnya dengan pencarian menyeluruh (contohnya bisa ditemukan di Berang sibuk), coba dan gagal, kecerdasan, kedalaman, penggunaan penalaran induktif, dll.
Bisa diamati bahwa langkah 4, 5, dan 6 diulang pada langkah 11, 12, dan 13.
Pembandingan dengan "Elegan" menyediakan petunjuk langkah-langkah tersebut dengan langkah 2 dan 3 dapat dihilangkan.
Hal ini mereduksi jumlah instruksi dasar dari 13 menjadi 8, yang membuatnya "lebih elegan" dari "Elegan" dengan 9 langkah.
Kecepatan "Elegan" bisa ditingkatkan dengan memindahkan tes B=0? keluar dari pengulangan.
Perubahan ini memerlukan penambahan 3 instruksi (B=0?, A=0?, GOTO).
Sekarang "Elegant" menghitung contoh-angka lebih cepat;
untuk setiap angka pada A, B dan R, S hal ini selalu merupakan kasus yang membutuhkan analisis yang mendalam.
Analisis Algoritme

Sangat penting untuk mengetahui berapa banyak sumber tertentu (seperti waktu dan tempat penyimpanan) secara teoretis diperlukan untuk sebuah algoritme.
Metode-metode telah dikembangkan untuk analisis algoritme untuk mendapatkan jawaban kuantitatif (estimasi);
sebagai contohnya, algoritme pengurutan di atas memerlukan waktu O(n), menggunakan notasi O besar dengan n sebagai panjang deret (yang akan diurut).
Setiap saat algoritme hanya perlu mengingat dua nilai: nilai terbesar yang ditemukan, dan posisinya sekarang dideretan input.
Oleh karena itu dikatakan memiliki kebutuhan ruang O(1), jika ruang yang dibutuhkan untuk menyimpan angka masukan tidak dihitung, atau O(n) jika dihitung.
Algoritme berbeda mungkin menyelesaikan pekerjaan yang sama dengan kumpulan instruksi yang berbeda dengan waktu, ruang, atau 'usaha' lebih sedikit atau banyak dari yang lain.
Sebagai contohnya, algoritme pencairan binari biasanya mengungguli pencarian berderet secara paksa bila digunakan untuk tabel pencarian pada deret terurut.
Formal lawan empiris

Analisis dan kajian algoritme adalah bidang dari ilmu komputer, dan biasanya dilakukan secara abstrak tanpa menggunakan bahasa pemrograman tertentu atau implementasi.
Dalam artian, analisis algoritme mirip dengan bidang matematika lainnya yang mana fokus pada properti yang mendasari algoritme dan bukan pada implementasi tertentu.
Biasanya pseudokode digunakan pada analisis karena merupakan representasi paling umum dan sederhana.
Namun, pada akhirnya, kebanyakan algoritme diimplementasikan di perangkat keras / lunak tertentu dan efisiensi algoritmik mereka akhirnya diuji menggunakan kode yang sebenarnya.
Untuk solusi dari sebuah masalah, efisiensi dari algoritme tertentu mungkin tidak terlalu berpengaruh (kecuali n sangat besar) tetapi bagi algoritme yang dirancang untuk kecepatan interaktif, komersial, atau penggunaan ilmiah jangka panjang ia bisa saja kritikal.
Meningkatkan n dari kecil ke n yang besar biasanya menunjukan ketak efisienan algoritme yang tidak berbahaya.
Pengujian empiris berguna karena bisa membuka interaksi tak terduga yang mempengaruhi performa.
Benchmark bisa digunakan untuk membandingkan potensi kenaikan sebelum/sesudah algoritme setelah optimisasi program dilakukan.
Efisiensi eksekusi

Untuk menggambarkan kemungkinan potensi peningkatan bahkan pada algoritme yang sudah teruji, inovasi terbaru, berkaitan dengan algoritme FFT (banyak digunakan di bidang pemrosesan gambar), bisa menurunkan waktu pemrosesan dengan faktor sampai 1.000 untuk aplikasi seperti pencitraan medis.
[54]
Secara umum, peningkatan kecepatan bergantung pada properti khusus dari permasalahan, yang mana sangat umum pada aplikasi praktis.
[55]
Percepatan dengan tingkat seperti itu membolehkan perangkat komputasi yang sering menggunakan pemrosesan gambar (seperti kamera digital dan peralatan medis) menghabiskan daya yang lebih sedikit.
Klasifikasi
Salah satu cara mengklasifikasikan algoritme yaitu dengan cara implementasi.
Rekursi atau iterasi
Sebuah algoritme rekursi yaitu algoritme yang memanggil dirinya sendiri berulang kali sampai kondisi tertentu tercapai, ini merupakan metode umum bagi pemrograman fungsional. Algoritme iteratif menggunakan konstruksi berulang seperti pengulangan dan terkadang struktur data tambahan seperti tumpukan untuk menyelesaikan permasalahan. Beberapa permasalahan secara alami cocok dengan satu implementasi atau lainnya. Sebagai contoh, Menara Hanoi dikenal dengan implementasi rekursif. Setiap versi rekursif memiliki kesamaan (tapi bisa lebih atau kurang kompleks) dengan versi iteratif, dan sebaliknya.
Logical
Sebuah algoritme bisa dilihat sebagai logika deduksi terkontrol. Pernyataan ini diekspresikan sebagai: Algoritme = logika + kontrol.[56] Komponen logika mengekspresikan aksioma yang bisa digunakan dalam komputasi dan komponen kontrol menentukan cara deduksi digunakan pada aksioma. Ini merupakan dasar dari paradigma pemrograman logika. Dalam bahasa pemrograman logika murni komponen kontrol adalah tetap dan algoritme ditentukan dengan memberikan hanya komponen logikanya. Daya tarik dari pendekatan ini adalah semantik elegan: sebuah perubahan dalam aksioma memiliki perubahan dalam algoritme.
Serial, paralel atau terdistribusi
Algoritme biasanya dibicarakan dengan asumsi bahwa komputer menjalankan satu instruksi algoritme setiap waktu. Komputer tersebut terkadang disebut dengan komputer serial. Rancangan algoritme untuk lingkungan tersebut disebut dengan algoritme serial, terbalik dengan algoritme paralel atau algoritme terdistribusi. Algoritme paralel memanfaatkan arsitektur komputer yang mana beberapa prosesor bisa mengerjakan masalah di waktu yang sama, selain itu algoritme terdistribusi memanfaatkan banyak mesin yang terhubung dengan jaringan. Algoritme paralel atau terdistribusi membagi permasalahan menjadi banyak sub-masalah simetris atau asimetris dan mengumpulkan hasilnya kembali. Konsumsi sumber pada algoritme tersebut tidak hanya perputaran prosesor disetiap prosesor tetapi juga daya komunikasi antara prosesor. Algoritme pengurutan bisa diparalelkan secara efisien, tetapi biaya komunikasinya sangat mahal. Algoritme iteratif secara umum bisa diparalelkan. Beberapa permasalahan tidak ada algoritme paralelnya, dan disebut dengan permasalahan serial lahiriah.
Deterministik atau non-deterministik
Algoritme deterministik menyelesaikan masalah dengan keputusan yang tepat disetiap langkah dari algoritme sedangkan algoritme non-deterministik menyelesaikan masalah lewat penerkaan walaupun penerkaan biasanya lebih akurat dengan menggunakan heuristik.
Tepat atau perkiraan
Bila banyak algoritme sampai pada solusi yang tepat, algoritme perkiraan mencari sebuah perkiraan yang terdekat dengan solusi benarnya. Perkiraan bisa menggunakan baik strategi deterministik atau acak. Algoritme seperti itu memiliki nilai guna untuk banyak permasalahan sulit.
Algoritme quantum
Berjalan di model realistik dari komputasi quantum. Istilah ini biasanya digunakan untuk algoritme yang tampak pada dasarnya quantum, atau menggunakan beberapa fitur penting komputasi quantum seperti superposisi quantum atau belitan quantum.
Paradigma secara rancangan
Cara lain mengklasifikasikan algoritme adalah dengan metodologi rancangannya atau paradigma.
Ada sejumlah paradigma, tiap-tiapnya berbeda dari yang lain.
Lebih lanjut, setiap kategori tersebut mengikutkan banyak tipe algoritme yang berbeda.
Beberapa paradigma umum termasuk:
Pencarian paksa atau pencarian mendalam
Ini merupakan metode naif mencoba setiap kemungkinan solusi untuk melihat yang terbaik.[57]
Membagi dan menaklukan (Divide and conqueror)
Algoritme bagi dan takluk secara berulang mereduksi instansi jumlah masalah menjadi satu atau lebih kecil instasi masalah yang sama (biasanya secara rekursif) sampai instansi cukup kecil diselesaikan dengan mudah. Salah satu contoh bagi dan takluk adalah pengurutan gabung. Pengurutan dapat dilakukan disetiap segmen data setelah membagi data menjadi segmen-segmen dan urutan seluruh data bisa didapat pada fase takluk dengan menggabungkan segmen-segmen. Variasi sederhana dari bagi-dan-takluk disebut algoritme kurang dan takluk, yang menyelesaikan sub-masalah yang sama dan menggunakan solusi dari sub-masalah tersebut untuk menyelesaikan masalah yang lebih besar. Bagi dan takluk membagi permasalahan menjadi banyak sub-masalah dan sehingga tahap takluk lebih kompleks daripada algoritme kurang-dan-taklukan. Sebuah contoh dari algoritme kurang-dan-taklukan adalah algoritme pencarian binari.
Pencarian dan enumerasi
Banyak masalah (seperti bermain catur) bisa dimodelkan sebagai masalah dalam grafik. Sebuah algoritme eksplorasi grafik menentukan aturan-aturan untuk bergerak disekitar grafik dan berguna bagi masalah tersebut. Kategori ini juga mengikutkan algoritme pencarian, enumerasi batas dan cabang dan backtracking.
Algoritme pengacakan
Algoritme ini membuat pilihan secara acak (atau pseudo-acak). Ia sangat berguna untuk menemukan solusi perkiraan untuk masalah dimana solusi yang pasti tidak praktis (lihat metode heuristik di bawah). Untuk beberapa masalah, diketahui bahwa perkiraan tercepat harus mengikutkan beberapa pengacakan.[58] Apakah algoritme pengacakan dengan kompleksitas waktu polinomial bisa menjadi algoritme tercepat untuk beberapa masalah masih menjadi pertanyaan terbukan yang dikenal sebagai Masalah P versus NP. Ada dua kelas besar dari algoritme ini:
Algoritme Monte Carlo mengembalikan jawaban yang benar dengan probabilitas-tinggi. Misalnya, RP adalah sub-klas dari algoritme ini yang berjalan dalam waktu polinomial)
Algoritme Las Vegas selalu mengembalikan jawaban yang benar, tetapi waktu prosesnya adalah hanya terikat secara probabilistik, misalnya ZPP.
Reduksi
Teknik ini menyelesaikan masalah sulit dengan mengubahnya menjadi permasalahan yang lebih diketahui yang mana kita (berharap) memiliki algoritme asimptotikal optimal. Tujuannya yaitu untuk menemukan sebuah algoritme reduksi yang kompleksitasnya tidak didominasi oleh algoritme hasil reduksi. Sebagai contoh, algoritme seleksi untuk menemukan rata-rata dalam daftar tak terurut mengikutkan mengurutkan daftar (bagian yang paling mahal) dan menarik elemen paling tengah dalam daftar terurut (bagian yang paling mudah). Teknik ini juga diketahui dengan ubah dan taklukan.
Permasalahan optimisasi
Pemrograman Linear
Saat mencari solusi optimal terhadap sebuah fungsi linear yang terikat persamaan linear dan ketidaksamaan konstrain, batasan dari permasalahan bisa digunakan secara langsung untuk menghasilkan solusi optimal. Ada algoritme yang dapat memecahkan setiap permasalahan dalam kategori ini, seperti algoritme simpleks yang terkenal.[59] Permasalahan yang dapat diselesaikan dengan pemrograman linear termasuk permasalahan alur maksimum untuk grafik terarah). Jika sebuah masalah sebagai tambahan membutuhkan satu atau lebih jawaban haruslah integer maka ia diklasifikan dalam pemrograman integer. Algoritme pemrograman linear dapat menyelesaikan masalah seperti itu jika dapat dibuktikan bahwa semua batasan untuk nilai integer adalah tidak benar, yaitu solusi memenuhi batasan tersebut. Pada kasus umum, algoritme yang dikhususkan atau algoritme yang menemukan solusi perkiraan digunakan, bergantung pada kesulitan dari permasalahan.
Pemrograman dinamis
Bila sebuah masalah memperlihatkan substruktur optimal, artinya solusi optimal terhadap sebuah masalah bisa direkonstruksi dari solusi optimal ke sub-masalah, dan submasalah tumpang-tindih, artinya sub-masalah yang sama digunakan untuk menyelesaikan banyak instasi masalah berbeda, pendekatan tercepat disebut pemrograman dinamis menghindari penghitungan solusi yang telah dikomputasi. Sebagai contoh, algoritme Floyd-Warshall, jalan terpendek ke tujuan dari sebuah vertex dalam grafik berbobot bisa ditemukan dengan menggunakan jalan terpendek ke tujuan dari semua simpul yang berdekatan. Pemrograman dinamis dan memoisasi berpadanan. Perbedaan utama antara pemrograman dinamis dan bagi-dan-taklukan adalah submasalah kurang lebih independen dalam bagi-dan-taklukan, sementara submasalah tumpang tindik dalam pemrograman dinamis. Perbedaaan antara pemrograman dinamis dan rekursi langsung adalah dalam 'caching' atau memoisasi dari pemanggialan rekursif. Saat submasalah independen dan tidak ada pengulangan, memoisasi tidak membantu sama sekali; makanya pemrograman dinamis bukalanh solusi untuk semua permasalahan kompleks. Dengan menggunakan memoisasi atau tabel dari submasalah yang telah diselesaikan, pemrograman dinamis mereduksi eksponensial dari banyak permasalahan menjadi kompleksitas polinomial.
Metode rakus
Sebuah algoritme rakus mirip dengan algoritme pemrograman dinamis, tetapi perbedaannya adalah solusi dari submasalah tidak harus diketahui pada setiap tahap; melainkan pilihan yang "rakus" bisa dibuat dengan melihat apa yang terbaik untuk saat tersebut. Metode rakus mengembangkan solusi dengan kemungkinan keputusan yang terbaik (bukan dengan keputusan yang ada) pada tahap algoritmis berdasarkan optimasi lokal yang ada sekarang dan keputusan yang terbaik (bukan semua kemungkinan keputusan) yang dibuat pada langkah sebelumnya. Algoritme ini tidak terlalu mendalam, dan tidak memberikan jawaban yang akurat terhadap banyak permasalahan. Tapi bila ia bekerja, ia menjadi metode yang paling cepat. Algoritme rakus paling terkenal adalah menemukan rentang pohon minimal seperti pada Pohon Huffman, Kruskal, Prim, Sollin.
Metode heuristik
Dalam masalah optimisasi, algoritme heuristik bisa digunakan untuk menemukan suatu solusi yang terdekat dengan solusi optimal jika seandainya menemukan solusi optimal tidak praktis. Algoritme ini bekerja dengan mendekati sedikit demi sedikit ke solusi optimal saat ia berjalan. Secara prinsipnya, jika dijalankan tanpa batas waktu, ia akan menemukan solusi optimal. Kebaikan mereka adalah mereka dapat menemukan suatu solusi sangat dekat dengan solusi optimal dalam waktu yang relatif sangat pendek. Algoritme tersebut termasuk pencarian lokal, pencarian tabu, simulasi pelunakan, dan algoritme genetik. Beberapa dari mereka, seperti simuasi pelunakan, adalah algoritme non-deterministik sementara yang lainnya, seperti pencarian tabu, adalah deterministik. Saat batas dari galat dari solusi non-optimal diketahui, algoritme kemudia dikategorikan sebagai algoritme pendekatan.
Berdasarkan bidang kajian

Setiap bidang sains memiliki permasalahannya sendiri dan membutuhkan algoritme yang efisien. Masalah yang berkaitan di satu bidang terkadang dipelajari bersama. Beberapa contoh yaitu algoritme pencarian, algoritme penggabungan, algoritme numerik, algoritme grafik, algoritme deret, algoritme komputasi geometri, algoritme kombinatorial, algoritmas medis, mesin belajar, kriptografi, algoritme kompresi data dan teknik penguraian.
Terkadang bidang-bidang tersebut saling tumpang tindih, dan perkembangan algoritme di satu bidang bisa meningkatkan bidang lainnya yang terkadang tidak berkaitan. Sebagai contohnya, pemrograman dinamis ditemukan untuk optimisasi konsumsi sumber daya dalam industri, tetapi sekarang digunakan untuk menyelesaikan sejumlah besar permasalahan dalam banyak bidang.
Berdasarkan kompleksitas

Algoritme bisa diklasifikasikan berdasarkan jumlah waktu yang dibutuhkan untuk selesai dibandingkan dengan ukuran inputnya. Ada berbagai varietas: beberapa algoritme selesai dalam waktu linear relatif terhadap ukuran input, beberapa selesai dalam jumlah waktu yang eksponensial atau lebih buruh, dan beberapa berhenti. Sebagai tambahan, beberapa masalah bisa memiliki berbagai algoritme dengan kompleksitas yang berbeda, sementara permasalahan yang lain bisa saja tidak memiliki algoritme atau tidak diketahui algoritmanya yang efisien. Ada juga pemetaan dari beberapa algoritme terhadap permasalahan lain. Karena itu, lebih cocok untuk mengklasifikasikan permasalahan itu sendiri bukannya algoritme menjadi kelas-kelas yang sama berdasarkan kompleksitas dari kemungkinan algoritme terbaik baginya.
Burgin (2005, p.24) menggunakan definisi algoritme secara umum yang melonggarkan kebutuhan bersama yang keluaran dari algoritme yang menjalankan sebuah fungsi harus ditentukan setelah sejumlah langkah. Dia mendefinisikan kelas super-rekursif dari algoritme sebagai "sebuah kelas algoritme yang mana memungkinkan untuk menghitung fungsi yang tidak bisa dihitung oleh mesin Turing manapun" (Burgin 2005, p.107). Hal ini berkaitan dekat dengan kajian dari metode hiperkomputasi.
Berdasarkan tipe evaluatif

Untuk menjaga keseimbangan saat mengintegrasikan mesin ke dalam masyarakat, seseorang bisa mengklasifikasikan algoritme berdasarkan tipe dari evaluasi yang mereka lakukan.
Sejumlah filsuf telah berhipotesis bahwa masyarakat diuntungkan dari keragaman evaluatif seperti mereka diuntungkan keragaman jender dan tipe darah (misalnya, Dean 2012, Sober & Wilson 1998) Hertzke & McConkey 1998, dan Bellah 1985).
Teknologi dapat mengancam ekosistem moral tersebut seperi spesies invasif jika ia mengganggu campuran keragaman.
Wallach & Allen (2008) mengklasifikasikan algoritme pembuat-keputusan menjadi tiga tipe evaluatif: Algoritme bottom-up membuat penilaian tidak terprediksi bagi pemrogram (misalnya, perangkat lunak yang berevolusi).
Yang lainnya (top-down) dibagi menjadi deontologikal (yang dapat bergantung pada implementasi aturan pemrograman) lawan consequensialis (yang mengandalkan pada memaksimalkan perkiraan pemrograman).
Sebagai contohnya, sebuah kalkulator standar termasuk deontologikal, sementara mesin pembelajaran untuk perdagangan saham termasuk consequensialis.
Santos-Lang mengganti nama deontologikal dan consequensialis menjadi kelas "institusional" dan "negosiator" dengan tujuan untuk menghindari implikasi bahwa semua teori-teori etika deontologikal dan consequensialis bisa diimplementasikan sebagai algoritme, dan membagi kelas bottom-up menjadi "pengganggu" (algoritme yang tidak terprediksi karena menggunakan generator pengacakan) lawan "relasional" (algoritme yang tidak terprediksi karena efek jaringan).
Seorang mutator dalam komputasi evolusioner bisa menjadi contoh dari pengganggu, sementara kelas 3 atau 4 dari otomata sellular adalah contoh dari mesin relasional.
Santos-Lang mencatat bahwa algoritme terkadang memiliki subkomponen dari tipe lainnya.
Sebagai contohnya, negosiator perdagangan saham bisa mengimplementasikan sebuah algoritme genetik, dan memiliki mutator pengganggu, dan mutator bisa memiliki subkomponen institusional dan relasional, semua komputasi adalah relasional pada tingkat di jajaran kimiawi (Santos-Lang 2014).
Algoritme berkelanjutan
Kata sifat "berkelanjutan" bila diterapkan pada kata "algoritme" bisa berarti:
Sebuah algoritme beroperasi pada data yang merepresentasikan kuantitas yang berkelanjutan, walaupun data tersebut direpresentasikan oleh pendekatan diskrit—seperti algoritme yang dipelajari dalam analisis numerik; atau
Sebuah algoritme dalam bentuk dari persamaan diferensial yang beroperasi secara berkelanjutan terhadap data, berjalan dalam sebuah komputer analog.
[60]
Isu legalitas
Lihat pula: Paten perangkat lunak untuk pendahuluan umum dari paten pada perangkat lunak, termasuk algoritme untuk diimplementasikan pada komputer.
Algoritme biasanya tidak dipatenkan. Di Amerika Serikat, sebuah klaim yang terdiri hanya dari manipulasi sederhana dari konsep abstrak, angka, atau sinyal tidak berarti suatu "process" (SPTO 2006), dan oleh karena itu algoritme tidak bisa dipatenkan (sebagaimana dalam Gottschalk v. Benson).
Namun, penerapan praktis dari algoritme terkadang dipatenkan.
Sebagai contohnya, dalam Diamond v. Diehr, aplikasi dari algoritme umpan-balik sederhana untuk membantu dalam menyembuhkan karet sintetis dianggap dapat dipatenkan.
Mematenkan perangkat lunak sangat kontroversial, dan ada paten yang mengikutkan algoritme yang sangat dikritisi, terutama algoritme kompresi data, seperti Format Grafiknya Unisys.
Sebagai tambahan, beberapa algoritme kriptografi memiliki batasan ekspor (lihat ekspor dari kriptografi).
Etimologi
Kata "Algoritme", atau "Algorisma" pada versi penulisan lain, datang dari nama al-Khwarizmi. dieja dalam Arab klasik sebagai Al-Khwarithmi. Al-khwarizmi (Persian: خوارزمي‎, 780-850) adalah matematikawan, ahli astronomi, ahli geografi dari Persia dan sarjana House of Wisdom di Baghdad, yang arti namanya "penduduk asli Khwarezm", sebuah kota yang merupakan bagian dari Wilayah Iran pada masanya dan sekarang Uzbekistan.
[11]
[12]
Sekitar tahun 825, dia menulis risalah dalam bahasa Arab, yang diterjemahkan dalam Latin pada abad ke-12 dengan judul Algoritmi de numero Indorum.
Judul ini artinya "Algoritmi pada bilangan India", di mana "Algoritmi" adalah pelatinan penerjemah dari nama Al-Khwarizmi.
[61]
Al-Khwarizmi dulunya adalah matematikawan yang paling banyak dibaca di Eropa pada akhir Abad Pertengahan, pada umum lewat bukunya yang lain, Aljabar.
[62]
Pada akhir abad pertengahan, algorismus, perubahan dari namanya, berarti "sistem bilangan desimal" yang masih merupakan arti dari kata Inggris modern algorism.
Pada abad ke-17 Prancis kata tersebut berubah, tetapi tidak maknanya, menjadi algorithme.
Inggris mengadopsi Prancis setelahnya, tetapi tidak pada akhir abad ke-19 lah "Algorithm" mengambil makna dari kata Inggris masa sekarang.
[63]
Etimologi alternatif mengklaim asal mulanya dari istilah algebra (aljabar) dari makna abad pertengahan "aritmetika Arab" dan arithmos istilah Yunani untuk angka (yang secara harfiah berarti "bilangan Arab" atau "perhitungan Arab").
Karya algoritme Al-Kharizmi bukan berbentuk seperti pada masa modern sekarang tetapi sebagai tipe dari pengulangan kalkulus (disini disebutkan bahwa karya fundamentalnya yang dikenal sebagai algebra pada awalnya berjudul "Buku Ringkasan tentang Kalkulasi dengan Penyempurnaan dan Pengimbangan" menjelaskan tipe-tipe dari pengulangan perhitungan dan persamaan kuadrat).
Dalam makna tersebut, algoritima dikenal di Eropa jauh sebelum Al-Kharizmi.
Algoritme paling tua yang dikenal sekarang adalah Algoritme Euklid (lihat juga Pengembangan algoritme Euklid).
Sebelum ditemukan istilah algorithm orang Yunani menyebutnya anthyphairesis secara harfiah berarti anti-substraksi atau substraksi timbal-balik (untuk bacaan lebih lanjut disini dan .
Algoritme dikenal oleh orang Yunani berabad sebelum
[64]
Euclid.
Bukannya kata algebra orang Yunani menggunakan istilah arithmetica(ἀριθμητική, yaitu dalam karya Diophantus yang dikenal "bapak dari Aljabar" - lihat juga artikel Wikipedia persamaan Diophantine dan Eudoxos).
Sejarah: Perkembangan dari kata "algoritme"
Asal mula
Kata algoritme datang dari nama matematikawan Persia abad ke-9 Abu Abdullah Muhammad ibnu Musa Al-Khwarizmi, yang hasil kerjanya dibangun dari matematikawan India abad ke-7 Brahmagupta.
Kata algorisma awalnya mengacu hanya pada aturan-aturan dalam melakukan aritmetika menggunakan bilangan Hindu-Arab namun berkembang lewat penerjemahan Latin Eropa dari nama Al-Khwarizmi menjadi algoritme pada abad ke-18.
Penggunaan kata tersebut berkembang mengikutkan semua prosedur untuk menyelesaikan masalah atau melakukan unit kegiatan.
[65]
Simbol diskrit dan yang dapat dibedakan
Penanda-penghitung: Untuk mencatat hewan gembalaan, kumpulan biji dan uang mereka orang dahulu menggunakan penghitung: akumulasi batu atau tanda yang ditoreh pada tongkat, atau membuat simbol diskrit di kerang.
Sampai orang Babilonia dan Mesir menggunakan tanda dan simbol, pada akhirnya bilangan Roma dan abakus berkembang (Dilson, p.16-41).
Penanda penghitung muncul dalam sistem bilangan operan aritmetika digunakan dalam mesin Turing dan komputasi mesin Post-Turing.
Manipulasi simbol sebagai "penampung" bilangan: aljabar
Karya dari Geometer Yunani kuno (algoritme Euklid), matematikawan India Brahmagupta, dan matematikawan Persia Al-Khwarizmi (yang darinya isitlah "algorism" dan "algoritme" diturunkan), dan matematikawan Eropa Barat memuncak dalam notasi Leibniz dari rasiosinator kalkulus (sekitar 1680-an):
Abad yang baik dan setengah lebih maju dari masanya, Leibniz mengajukan logika aljabar, sebuah aljabar yang akan menentukan aturan-aturan untuk memanipulasi konsep logika dengan cara yang aljabar biasa menentukan aturan untuk manipulasi angka.[66]

Rancangan mekanis dengan tingkat diskrit
Jam: Bolter memuji penemuan jam gaya-berat sebagai "Kunci penemuan dari Eropa pada Abad Pertengahan", khususnya pada ambang pelarian
[67]
yang menyediakan kita dengan tik dan tak dari jam mekanis.
"Mesin otomatis yang akurat"
[68]
mengarah langsung pada "otomata mekanis" dimulai pada abad ke-13 dan terakhir pada "mesin komputasi" -- motor berbeda dan motor analitik dari Charles Babbage dan bangsawan Ada Lovelace, pertengahan abad ke-19.
[69]
Lovelace dikreditkan sebagai yang pertama menciptakan algoritme yang ditujukan untuk diproses di komputer—motor analitis Babbage, perangkat pertama yang dianggap komputer Turing-sempurna sebenarnya bukan hanya sebuah kalkulator—dan terkadang dikenal "programmer pertama dalam sejarah", walaupun implementasi penuh dari perangkat Babbage kedua tidak terealisasi sampai beberapa dekade setelah masanya.
Mesin logika 1870 - Stanley Jevons "sempoa logika" dan "mesin logika": Masalah teknisnya adalah untuk mereduksi persamaan boolean bila ditampilkan dalam sebuah bentuk yang pada masa sekarang dikenal sebagai pemetaan Karnaugh.
Jevons (1880) pertama menjelaskan "sempoa" sederhana dari "potongan kayu dilengkapi dengan penyemat, dibuat supaya bagian atau kelas kombinasi logika manapun dapat dipilih secara mekanis ... Baru-baru ini Saya telah mereduksi sistem menjadi bentuk yang secara sempurna mekanis, dan membuatnya mewujudkan keseluruhan proses inferensi tak langsung dalam apa yang disebut sebuah Mesin Logika"
Mesinnya dilengkapi dengan "beberapa tangkai kayu yang bisa dipindahkan" dan "di bawah ada 21 kunci seperti pada piano [dll] ...".
Dengan mesin ini dia dapat menganalis sebuah "silogisme atau argumen logika sederhana apapun".
[70]
Mesin tenun Jacquard, kartu berlobangnya Hollerith, telegraf dan telepon -- penyiaran elektromekanis: Bell dan Newell (1971) mengindikasikan bahwa mesin tenun Jacquard (1801), pelopor dari kartu Hollerith (kartu berlobang, 1887), dan "teknologi alih telepon" adalah akar dari sebuah pohon yang mengarah pada perkembangan dari komputer pertama.
[71]
Pada pertengahan abad ke-19 telegraf, pelopor dari telepon, digunakan diseluruh dunia, pengkodean diskrit dan pembedaan huruf sebagai "titik dan strip".
Pada akhir abad ke-19 pita telegraf (sekitar 1870-an) digunakan, sebagaimana juga kartu Hollerith pada sensus Amerika 1890.
Kemudian muncullah teleprinter (sekitar 1910-an) dengan kerta-berlobang menggunakan kode Baudot di pita.
Jaringan alih-telepon dari penyiaran elektromekanis (ditemukan 1835) adalah karya dair George Stibitz (1937), penemu dari perangkat penghitungan digital.
Saat bekerja di laboratorium Bell, dia mengamati "beratnya" penggunaan kalkulator mekanis dengan geligi.
"Dia pulang ke rumah pada suatu malam 1937 berniat untuk menguji idenya ... Saat mengatik selesai, Stibitz telah membangun perangkat hitung digital".
[72]
Davis (2000) mengamati pentingnya penyiaran elektromekanis (dengan "keadaan binari"-nya buka dan tutup):
Hanya dengan perkembangan, dimulai sejak 1930-an, dari kalkulator elektromekanis menggunakan penggantian elektris, sehingga mesin yang dibuat memiliki ruang lingkup yang dibayangkan Babbage."[73]
Matematika selama abad 19 sampai pertengahan abad 20
Simbol dan aturan: Dengan cepat berkembangnya matematika dari George Boole (1847, 1854), Gottlob Frege (1897), dan Giuseppe Peano (1888-1889) mereduksi aritmetika menjadi serangkaian simbol dimanipulasi oleh aturan-aturan. The Principles of arithmetic, presented by a new method-nya Peano (1888) adalah "usaha pertama mengaksiomakan matematika dalam sebuah bahasa simbolik".
[74]
Tapi Heijenoort memberi pujian pada Frege (1879): Frege "merupakan karya tulis paling penting mengenai logika. ... yang mana kita lihat sebuah "'bahasa formula', yaitu sebuah lingua characterica, sebuah bahasa ditulis dengan simbol-simbol khusus, "untuk berpikir murni", yaiut, bebas dari hiasan retorikal ... dibangun dari simbol-simbol tertentu yang dimanipulasi menurut aturan-aturan terbatas".
[75]
Karya dari Frege lebih lanjut disederhanakan dan diperkuat oleh Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell dalam Principia Mathematical (1910-1913).
Paradoks: Pada masa yang sama sejumlah paradoks yang mengganggu muncul dalam literatur, pada khususnya paradoks Burali-Forti (1987), paradoks Russell (1902-03), dan Paradoks Richard.
[76]
Hasilnya mengarah ke makalah Kurt Godel (1931) -- dia secara khusus merujuk paradoks pembohong—yang mereduksi aturan dari rekursi pada angka.
Penghitungan Efektif: Dalam usaha untuk menyelesaikan permasalahan keputusan yang didefinisikan oleh Hilbert tahun 1928, matematikawan pertama mendefinisikan apa arti dari "metode efektif" atau "kalkulasi efektif" (misalnya, sebuah kalkulasi yang akan sukses).
Dalam waktu yang cepat hal berikut muncul: kalkulus-λ oleh Alonzo Church, Stephen Kleene, dan J.B. Rosser
[77]
definisi dari "rekursi umum" yang benar-benar diasah dari karya Godel berdasarkan saran dari Jacquard Herbrand (cf. kuliah Godel di Princeton tahun 1934) dan penyederhaan selanjutnya oleh Kleene.
[78]
Church membuktikan
[79]
bahwa permasalahan keputusan tidak terpecahkan, definisi Emil Post tentang penghitungan efektif yaitu sebagai pekerja yang tanpa berpikir mengikuti suatu daftar instruksi untuk bergerak ke kiri atau kanan lewat sederetan ruangan dan bersamaan dengan itu bisa menandai atau menghapus kertas atau mengamati kertas dan membuat pilihan ya-tidak tentang instruksi selanjutnya.
[80]
Pembuktian Alan Turing bahwa permasalahan keputusan tidak terpecahkan dengan menggunakan "sebuah mesin [otomatis]"-nya
[81]
dengan efek yang mirip dengan "formulasi"-nya Post, definisi J. Barkley Rosser tentang "metode efektif" dalam makna "sebuah mesin".
[82]
Proposal S. C. Kleene dari pelopor "Tesis Church" yang disebutnya "Thesis I",
[83]
dan beberapa tahun kemudian Kleene menamakan tesisnya "Tesis Church"
[84]
dan mengajukan "Tesis Turing".
[85]
Emil Post (1936) dan Alan Turing (1936-37, 1939)
Berikut adalah kebetulan yang luar biasa dari dua orang yang tidak saling mengenal tetapi mendeskripsikan sebuah proses orang-sebagai-komputer mengerjakan perhitungan—dan mereka menghasilkan definisi yang mirip.
Emil Post (1936) mendeskripsikan aksi dari sebuah "komputer" (manusia) sebagai berikut:
"... dua konsep ikut serta: yaitu sebuah simbol ruang dimana pekerjaan yang mengarah dari masalah ke jawaban dilakukan, dan sekumpulan arahan yang baku dan tidak bisa diubah.
Simbol ruangnya yaitu
"sederetan dua arah tak terbatas dari ruang atau kotak... penyelesai masalah atau pekerja harus berjalan dan bekerja di simbol ruang ini, dengan bisanya [si pekerja] masuk, dan beroperasi dengan satu kotak dalam satu waktu... sebuah kotak memiliki dua kemungkinan kondisi, yaitu, kosong atau belum ditandai, dan dengan adanya tanda tunggal disana, katakanlah garis vertikal.
"Satu kotak dibiarkan dan disebut sebagai titik awal. ...sebuah masalah tertentu diberikan dalam bentuk simbolik dengan sejumlah kotak terbatas [yaitu, INPUT] ditandai dengan coretan. Begitu juga jawabannya [yaitu, OUTPUT] diberikan dalam bentuk simbolik dari suatu konfigurasi dari kotak-kotak yang ditandai....
"Sekumpulan arahan bisa digunakan untuk permasalahan umum menentukan proses determistik saat diterapkan pada setiap masalah tertentu. Proses ini hanya berhenti bila datang arahan dengan tipe (C ) [yaitu, STOP]".[86] Lihat lebih lanjut pada mesin post-Turing  Karya Alan Turing[87] mendahului karya dari Stibitz (1937); tidak diketahui apakah Stibitz mengetahui karya Turing. Biografinya Turing percaya bahwa Turing menggunakan model seperti-mesin-ketik diturunkan dari ketertarikannya pada masa muda: "Alan memiliki impian menemukan mesin ketik pada saat muda; Ibu Turing memiliki sebuah mesin ketik; dan dia mungkin memulainya dengan menanyakan pada dirinya sendiri apa maksudnya dengan menyebut sebuah mesin ketik dengan 'mekanikal'".[88] Dengan lazimnya kode Morse dan telegraf, mesin pita telegraf, dan mesin-ketik jarak jauh pada waktu itu kita bisa menyimpulkan bahwa semua itu memberikan pengaruh.
Turing—model dari komputasinya sekarang dikenal dengan mesin Turing—memulai, sebagaimana Post, dengan analisis dari komputer manusia yang ia sederhanakan menjadi sekumpulan gerakan dasar sederhana dan "keadaan pikiran".
Tapi dia terus maju selangkah ke depan dan membuat sebuah mesin sebagai model dari komputasi angka.
[89]
"Menghitung biasanya dilakukan dengan menulis simbol tertentu di atas kertas. Misalkan kertas tersebut dibagi menjadi segi empat seperti buku aritmetika anak-anak.... Saya asumsikan bahwa komputasi dilakukan pada kertas satu dimensi, yaitu, di pita yang dibagi dalam persegi. Juga misalkan bahwa jumlah simbol yang akan dicetak terbatas....
"Perilaku dari komputer disetiap waktu ditentukan oleh simbol yang diobservasinya, dan "keadaan pikiran"-nya pada waktu tersebut. Juga bisa diasumsikan bahwa ada batas B sebagai jumlah simbol atau persegi yang mana komputer dapat amati dalam satu waktu. Jika ia ingin mengamati lebih, ia harus menggunakan pengamatan beriringan. Kita juga memisalkan bahwa jumlah keadaan pikiran yang diperlukan disini adalah terbatas...
"Mari kita bayangkan bahwa operasi yang dilakukan oleh komputer akan dipecah menjadi 'operasi-operasi sederhana' yang sangat mendasar sehingga tidak mudah membayangkannya untuk dibagi lebih jauh."[90]
Reduksi Turing menghasilkan hal berikut:
"Operasi sederhana haruslah mengikutkan:
"(a) Perubahan dari simbol pada salah satu persegi yang sedang diamati
"(b) Perubahan dari salah satu persegi diamati terhadap persegi lainnya di antara L persegi dari salah satu yang sebelumnya diamati.
"Bisa saja beberapa dari perubahan tersebut menyebabkan perubahan keadaan pikiran. Operasi tunggal paling umum oleh karena itu harus diambil jadi salah satu hal berikut:
"(A) Suatu kemungkinan perubahan (a) dari simbol bersamaan dengan suatu perubahan dari keadaan pikiran.
"(B) Suatu kemungknian perubahan (b) dari persegi yang diamati, bersama dengan kemungkinan perubahan dari keadaan pikiran"
"Kita sekarang mungkin sudah bisa membentuk sebuah mesin untuk melakukan pekerjaan dari komputer tersebut."[90]
Beberapa tahun kemudian, Turing mengembangkan analisanya (tesis, secara definisi) dengan ekspresi kuat berikut:
"Sebuah fungsi dikatakan "bisa dihitung secara efektif" jika nilainya bisa ditemukan dengan proses yang murni mekanis.
Walau sangat mudah menangkap ide ini, namun ia membutuhkan beberapa definisi matematikan terbatas yang bisa diekspresikan . . . [dia mendiskusikan sejarah dari definisi seperti di atas dengan menghormati Godel, Herbrand, Kleen, Church, Turing dan Post] ... Kita mungkin gunakan pernyataan tersebut secara harfiah, memahami murni dengan proses mekanis yang mana dapat dilakukan oleh sebuah mesin. Memungkinkan untuk memberikan deskripsi matematis, dalam beberapa bentuk normal, dari struktur mesin tersebut. Perkembangan dari ide ini mengarah pada definisi penulis dari sebuah fungsi yang dapat dihitung, dan untuk mengidentifikasi komputibilitas † dengan penghitungan yang efektif . . . .
"† Kita boleh menggunakan ekspresi "fungsi hitung" untuk mengartikan sebuah fungsi yang dapat dihitung oleh sebuah mesin, dan kita biarkan "secara efektif dapat dihitung" mengacu pada ide intuitif tanpa definisi tertentu dengan salah satu dari definisi tersebut".[91]
J. B. Rosser (1939) dan S. C. Kleene (1943)
J. Barkley Rosser mendefinisikan 'metode [matematis] efektif' dengan cara berikut (kemiringan ditambahkan):
"'Metode efektif' disebut sebagai metode yang spesial yang mana setiap langkahnya secara tepat ditentukan dan pasti menghasilkan jawaban dalam sejumlah langkah yang terbatas. Dengan pengertian khusus ini, tiga definisi berbeda telah diajukan sampai sekarang. [catatan kakinya #5; lihat diskusinya di bawah]. Yang paling sederhana (karena Post dan Turing) menyatakan intinya bahwa sebuah metode efektif menyelesaikan sekumpulan permasalahan hanya ada jika seseorang bisa membuat sebuah mesin yang akan menyelesaikan setiap masalah dari sekumpulan masalah tanpa campur tangan manusia kecuali memasukan pertanyaan dan (nantinya) membaca jawabannya. Ketiga definisi tersebut sama, jadi tidak masalah yang mana yang digunakan. Lebih lanjut, fakta bahwa ketiganya sama adalah argumen yang sangat kuat untuk kebenaran dari salah satunya." (Rosser 1939:225-6)
Catatan kaki Rosser #5 merujuk karya dari (1) Church dan Kleene dan definisi dari definabiliti-λ, secara khusus Church menggunakannya dalam An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory-nya (1936);
(2) Herbrand dan Godel dan penggunaan rekursi mereka terutama Godel menggunakannya dalam makalah terkenalnya On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems I (1931);
dan (3) Post (1936) dan Turing (1936-7) dalam model mekanisme komputasi mereka.
Stephen C. Kleene didefinisikan sebagai "Thesis I"-nya yang terkenal yang dikenal sebagai tesis Church-Turing.
Tapi dia melakukan hal tersebut dalam konteks berikut (penebalan dari aslinya):
"12. Teori-teori algoritme... Dalam menyiapkan sebuah teori algoritme yang komplet, apa yang kita lakukan adalah mendeskripsikan sebuah prosedur, yang dapat dilakukan untuk setiap kumpulan nilai dari variabel-variabel tunggal, yang mana prosedur berhenti dan dengan cara tersebut dari hasilnya kita bisa membaca sebuah jawaban tertentu, "ya" atau tidak", untuk pertanyaan "apakah nilai predikat benar?"" (Kleene 1943:273)
Sejarah setelah 1950
Sejumlah usaha telah diarahkan untuk memperbaiki lebih lanjut definisi dari "algoritme", dan aktivitas tersebut masih terus berjalan karena isu-isu yang mengelilinginya, terutama, fondasi matematika (khususnya tesis Church-Turing) dan filsafat pikiran (khususnya argumen menyangkut kecerdasan buatan).
Lebih lanjut, lihat karakterisasi algoritme.
Lihat juga

Referensi

Bacaan lanjutan

Axt, P. (1959) On a Subrecursive Hierarchy and Primitive Recursive Degrees, Transactions of the American Mathematical Society 92, pp.85–105
Bell, C. Gordon and Newell, Allen (1971), Computer Structures: Readings and Examples, McGraw-Hill Book Company, New York. ISBN 0-07-004357-4.

 Includes an excellent bibliography of 56 references.
 Check date values in: |year= (help): cf. Chapter 3 Turing machines where they discuss "certain enumerable sets not effectively (mechanically) enumerable".

Campagnolo, M.L., Moore, C., and Costa, J.F. (2000) An analog characterization of the subrecursive functions. In Proc. of the 4th Conference on Real Numbers and Computers, Odense University, pp.91–109
 Reprinted in The Undecidable, p.89ff. The first expression of "Church's Thesis". See in particular page 100 (The Undecidable) where he defines the notion of "effective calculability" in terms of "an algorithm", and he uses the word "terminates", etc.

Pranala luar


(in Indonesian) 
Transclusion error: {{En}} is only for use in File namespace. Use {{lang-en}} or {{en icon}} instead. 
 at Curlie

Transclusion error: {{En}} is only for use in File namespace. Use {{lang-en}} or {{en icon}} instead. —National Institute of Standards and Technology
Transclusion error: {{En}} is only for use in File namespace. Use {{lang-en}} or {{en icon}} instead. 

Kategori:Logika matematika
Kategori:Ilmu komputer teoretis