Trigonometri

Pertanyaan: Siapa penemu sudut?


Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = "tiga sudut" dan metron = "mengukur")[1] adalah sebuah cabang matematika yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan sudut segitiga. Bidang ini muncul di masa Hellenistik pada abad ke-3 SM dari penggunaan geometri untuk mempelajari astronomi.
Pada abad ke-3 Masehi astronom pertama kali mencatat panjang sisi-sisi dan sudut-sudut dari segitiga siku-siku antara masing-masing sisi yang memiliki hubungan: ini dia, jika setidaknya salah satu panjang sisi dan salah satu nilai sudut diketahui, lalu semua sudut dan panjang dapat ditentukan secara algoritme. Penghitungan ini didefiniskan menjadi fungsi trigonometrik dan saat ini menjadi dalam bagian matematika murni dan terapan: contohnya untuk menganalisa metode dasar seperti transformasi fourier atau gelombang persamaan, menggunakan fungsi trigonometrik untuk memahami fenomena hal yang berhubungan dengan lingkaran melalui banyak penggunaan dibidang yang berbeda seperti fisika, teknik mesin dan listrik, musik dan akustik, astronomi, dan biologi. Trigonometri juga memiliki peranan dalam menemukan surveying.
Trigonometri mudah dikaitkan dalam bidang segitiga siku-siku (yang setiap dua ukuran sudut sama dengan satu sudut 90 derajat). Peranan untuk bukan segitiga siku-siku ada, tapi, sejak segitiga yang bukan siku-siku dapat dibagi menjadi dua segitiga siku-siku, banyak masalah yang dapat diatasi dengan penghitungan segitiga siku-siku. Karena itu sebagian besar penggunaan berhubungan dengan segitiga siku-siku. Satu pengecualian untuk ini spherical trigonometry, pelajaran trigonometri dalam sphere, permukaan dari curvature relatif positif, dalam elips geometri (bagian yang berperan dalam menemukan astronomi dan navigasi. Trigonometri dalam curvature negatif merupakan bagian dari geometri hiperbola.
Sejarah awal

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segitiga.
Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.
Konsep
Jika salah satu satu sudut 90 derajat dan sudut lainnya diketahui, dengan demikian sudut ketiga dapat ditemukan, karena tiga sudut segitiga bila dijumlahkan menjadi 180 derajat. Karena itu dua sudut (yang kurang dari 90 derajat) bila dijumlahkan menjadi 90 derajat: ini sudut komplementer.
Kegunaan
Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.
Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.
Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya .
Hubungan fungsi trigonometri

Fungsi dasar:




s
i
n
A
=


a
c




{\displaystyle sinA={\frac {a}{c}}}






c
o
s
A
=


b
c




{\displaystyle cosA={\frac {b}{c}}}






t
a
n
A
=



s
i
n
A


c
o
s
A



=


a
b




{\displaystyle tanA={\frac {sinA}{cosA}}={\frac {a}{b}}}






c
o
t
A
=


1

t
a
n
A



=



c
o
s
A


s
i
n
A



=


b
a




{\displaystyle cotA={\frac {1}{tanA}}={\frac {cosA}{sinA}}={\frac {b}{a}}}






s
e
c
A
=


1

c
o
s
A



=


c
b




{\displaystyle secA={\frac {1}{cosA}}={\frac {c}{b}}}






c
s
c
A
=


1

s
i
n
A



=


c
a




{\displaystyle cscA={\frac {1}{sinA}}={\frac {c}{a}}}


Identitas trigonometri




s
i

n

2


A
+
c
o

s

2


A
=
1


{\displaystyle sin^{2}A+cos^{2}A=1}






1
+
t
a

n

2


A
=


1

c
o

s

2


A



=
s
e

c

2


A


{\displaystyle 1+tan^{2}A={\frac {1}{cos^{2}A}}=sec^{2}A}






1
+
c
o

t

2


A
=


1

s
i

n

2


A



=
c
s

c

2


A


{\displaystyle 1+cot^{2}A={\frac {1}{sin^{2}A}}=csc^{2}A}


Rumus jumlah dan selisih sudut




s
i
n
(
A
+
B
)
=
s
i
n
A
c
o
s
B
+
c
o
s
A
s
i
n
B


{\displaystyle sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB}






s
i
n
(
A
−
B
)
=
s
i
n
A
c
o
s
B
−
c
o
s
A
s
i
n
B


{\displaystyle sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB}






c
o
s
(
A
+
B
)
=
c
o
s
A
c
o
s
B
−
s
i
n
A
s
i
n
B


{\displaystyle cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB}






c
o
s
(
A
−
B
)
=
c
o
s
A
c
o
s
B
+
s
i
n
A
s
i
n
B


{\displaystyle cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB}






t
a
n
(
A
+
B
)
=



t
a
n
A
+
t
a
n
B


1
−
t
a
n
A
t
a
n
B





{\displaystyle tan(A+B)={\frac {tanA+tanB}{1-tanAtanB}}}






t
a
n
(
A
−
B
)
=



t
a
n
A
−
t
a
n
B


1
+
t
a
n
A
t
a
n
B





{\displaystyle tan(A-B)={\frac {tanA-tanB}{1+tanAtanB}}}


Rumus perkalian trigonometri




2
s
i
n
A
c
o
s
B
=
s
i
n
(
A
+
B
)
+
s
i
n
(
A
−
B
)


{\displaystyle 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)}






2
c
o
s
A
s
i
n
B
=
s
i
n
(
A
+
B
)
−
s
i
n
(
A
−
B
)


{\displaystyle 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)}






2
c
o
s
A
c
o
s
B
=
c
o
s
(
A
+
B
)
+
c
o
s
(
A
−
B
)


{\displaystyle 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)}






2
s
i
n
A
s
i
n
B
=
−
c
o
s
(
A
+
B
)
+
c
o
s
(
A
−
B
)


{\displaystyle 2sinAsinB=-cos(A+B)+cos(A-B)}


Rumus jumlah dan selisih trigonometri




s
i
n
A
+
s
i
n
B
=
2
s
i
n


1
2


(
A
+
B
)
c
o
s


1
2


(
A
−
B
)


{\displaystyle sinA+sinB=2sin{\frac {1}{2}}(A+B)cos{\frac {1}{2}}(A-B)}






s
i
n
A
−
s
i
n
B
=
2
c
o
s


1
2


(
A
+
B
)
s
i
n


1
2


(
A
−
B
)


{\displaystyle sinA-sinB=2cos{\frac {1}{2}}(A+B)sin{\frac {1}{2}}(A-B)}






c
o
s
A
+
c
o
s
B
=
2
c
o
s


1
2


(
A
+
B
)
c
o
s


1
2


(
A
−
B
)


{\displaystyle cosA+cosB=2cos{\frac {1}{2}}(A+B)cos{\frac {1}{2}}(A-B)}






c
o
s
A
−
c
o
s
B
=
−
2
s
i
n


1
2


(
A
+
B
)
s
i
n


1
2


(
A
−
B
)


{\displaystyle cosA-cosB=-2sin{\frac {1}{2}}(A+B)sin{\frac {1}{2}}(A-B)}


Rumus sudut rangkap dua




s
i
n
2
A
=
2
s
i
n
A
c
o
s
A


{\displaystyle sin2A=2sinAcosA}






c
o
s
2
A
=
c
o

s

2


A
−
s
i

n

2


A
=
1
−
2
s
i

n

2


A
=
2
c
o

s

2


A
−
1


{\displaystyle cos2A=cos^{2}A-sin^{2}A=1-2sin^{2}A=2cos^{2}A-1}






t
a
n
2
A
=



2
t
a
n
A


1
−
t
a

n

2


A



=



2
c
o
t
A


c
o

t

2


A
−
1



=


2

c
o
t
A
−
t
a
n
A





{\displaystyle tan2A={\frac {2tanA}{1-tan^{2}A}}={\frac {2cotA}{cot^{2}A-1}}={\frac {2}{cotA-tanA}}}


Rumus sudut rangkap tiga




s
i
n
3
A
=
3
s
i
n
A
−
4
s
i

n

3


A


{\displaystyle sin3A=3sinA-4sin^{3}A}






c
o
s
3
A
=
4
c
o

s

3


A
−
3
c
o
s
A


{\displaystyle cos3A=4cos^{3}A-3cosA}






t
a
n
3
A
=



3
t
a
n
A
−
t
a

n

3


A


1
−
3
t
a

n

2


A





{\displaystyle tan3A={\frac {3tanA-tan^{3}A}{1-3tan^{2}A}}}


Rumus setengah sudut




s
i
n


A
2


=
±




1
−
c
o
s
A

2





{\displaystyle sin{\frac {A}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-cosA}{2}}}}






c
o
s


A
2


=
±




1
+
c
o
s
A

2





{\displaystyle cos{\frac {A}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+cosA}{2}}}}






t
a
n


A
2


=
±




1
−
c
o
s
A


1
+
c
o
s
A




=



s
i
n
A


1
+
c
o
s
A



=



1
−
c
o
s
A


s
i
n
A





{\displaystyle tan{\frac {A}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-cosA}{1+cosA}}}={\frac {sinA}{1+cosA}}={\frac {1-cosA}{sinA}}}


Persamaan trigonometri




sin
⁡
x
=
sin
⁡
α


{\displaystyle \sin x=\sin \alpha }

 maka 



x
=
α
+
k
360


{\displaystyle x=\alpha +k360}

 atau 



x
=
(
180
−
α
)
+
k
360


{\displaystyle x=(180-\alpha )+k360}






cos
⁡
x
=
cos
⁡
α


{\displaystyle \cos x=\cos \alpha }

 maka 



x
=
±
α
+
k
360


{\displaystyle x=\pm \alpha +k360}






tan
⁡
x
=
tan
⁡
α


{\displaystyle \tan x=\tan \alpha }

 maka 



x
=
α
+
k
180


{\displaystyle x=\alpha +k180}


Lihat pula

Referensi

Pustaka
CS1 maint: Extra text (link)

Christopher M. Linton (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy . Cambridge University Press.

Weisstein, Eric W. "Trigonometric Addition Formulas". Wolfram MathWorld. Weiner.
Pranala luar




, by Eli Maor, Princeton University Press, 1998. Ebook version, in PDF format, full text presented.
 by Alfred Monroe Kenyon and Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. In images, full text presented.
 at 
 by David Joyce of Clark University


Kategori:Persamaan trigonometri
Kategori:Persamaan matematika
Kategori:Persamaan
Kategori:Penemuan bangsa Yunani