ভগ্নাংশ (গণিত)

এটা ভগ্নাংশই (Latin: fractus, "broken") এটা অখণ্ড সংখ্যা বা সাধাৰণভাবে, যিকোনো এটা সংখ্যাক সমানে কৰা ভাগসমূহক বুজায়। দৈনন্দিন ব্যৱহাৰিক ক্ষেত্ৰত কোনো এটা বস্তুৰ কিমান অংশক লোৱা হৈছে তাক বুজাবলৈ ভগ্নাংশ ব্যৱহাৰ কৰা হয়; যেনে— আধা, দুই তৃতীয়াংশ, তিনি পঞ্চমাংশ, এক চতুৰ্থাংশ ইত্যাদি।

এটা সৰল ভগ্নাংশ, যেনে , আৰু এটা অখণ্ড সংখ্যা লৱ আৰু এটা অশূন্য অখণ্ড সংখ্যা হৰ হিচাপে লৈ গঠিত হয়— লৱটোৱে সমান সংখ্যক ভাগ কিমান লোৱা হ’ল তাক বুজাই আৰু হৰটোৱে কিমান ভাগ কৰা হ’ল তাক বুজায়। উদাহৰণস্বৰূপে, 3/4ত হৰ 4 আৰু লৱ 3; ইয়াত 4য়ে সমানে চাৰি ভাগ কৰা বুজাইছে আৰু 3য়ে সেই সমান ভাগসমূহৰ পৰা তিনি ভাগ লোৱা বুজাইছে।

ভগ্নাংশসমূহৰ হৰ আৰু লৱৰে বুজোৱাৰ উপৰি দশমিকৰ সহায়ত, শতাংশ চিন ব্যৱহাৰ কৰি বা ঋণাত্মক সূচক ব্যাৱহাৰ কৰিও বুজোৱা হয়। (যেনে— একাদিক্ৰমে 0.01, 1%, আৰু 10−2। এই তিনিওটা উপস্থাপনেই 1/100 ভগ্নাংশটো বুজাইছে। ) এটা অখণ্ড সংখ্যা, যেনে 7কো 1ক হৰ হিচাপে লৈ ভগ্নাংশৰূপত পাব পাৰি: 7 = 7/1।

ভগ্নাংশৰ আন ব্যৱহাৰসমূহ হ’ল— অনুপাত আৰু হৰণৰ প্ৰকাশৰ বাবে। এইদৰেই 3/4 ভগ্নাংশটো অনুপাত 3:4 আৰু হৰণফল 3 ÷ 4 ক বুজাবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা হয়।

গণিতত a/b আকাৰে (য’ত a আৰু b হ’ল অখণ্ড সংখ্যা আৰু b অশূন্য) প্ৰকাশ কৰিব পৰা সংখ্যাবোৰৰ সংহতিটোক পৰিমেয় সংখ্যাৰ সংহতি বোলে আৰু ইয়াক Q ৰে বুজোৱা হয়, যিটো ইংৰাজী ভাষাৰ quotient ৰ পৰা আহিছে। এটা সংখ্যা পৰিমেয় হয় নে নহয় তাক পৰীক্ষা কৰিবলৈ এটা ভগ্নাংশ ৰূপত লিখিবলৈ বিচৰা হয়। অৱশ্যে পৰিমেয় সংখ্যাৰ বাহিৰেও আন কিছুমান গাণিতিক ৰাশিক প্ৰকাশ কৰিবৰ বাবে ভগ্নাংশৰ ধাৰণা ব্যৱহাৰ কৰা হয়; যেনে, বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ (দুটা বীজগণিতীয় ৰাশিৰ অনুপাত), অপৰিমেয় সংখ্যাযুক্ত ৰাশি, যেনে √2/2 আৰু π/4।

ভগ্নাংশৰ গঠন

সৰল ভগ্নাংশ

এটা সৰল ভগ্নাংশ (ইৰাজীত common fraction, vulgar fraction বা simple fraction) হ’ল এটা পৰিমেয় সংখ্যা, যাক a/b বা ৰূপত লিখা হয়, য’ত a আৰু b অখণ্ড সংখ্যা দুটাক ক্ৰমে লৱ আৰু হৰ বোলা হয়। লৱই সমান সমান অংশসমূহৰ সংখ্যাক আৰু হৰই (যিটো অশূন্য) সেই ধৰণৰ মুঠ কিমানটা অংশ কৰা হৈছিল তাক বুজাই। 2/5 আৰু 7/3 —এই ভগ্নাংশকেইটাত হাউলি থকা ৰেখাখণ্ডক solidus বা forward slash বুলি কোৱা হয়। আৰু —এই ভগ্নাংশকেইটাত থকা অনুভূমিক ৰেখাখণ্ডক vinculum বা সাধাৰণভাবে "fraction bar" বুলি কোৱা হয়।

সৰল ভগ্নাংশসমূহ লিখাৰ পদ্ধতি

‘Computer display’ আৰু ‘typography’ত সৰল ভগ্নাংশসমূহক কেতিয়াবা এটা ‘character’ ৰূপত ব্যৱহাৰ কৰা হয়, যেনে— ½।
সৰল ভগ্নাংশ এটাক প্ৰকাশ কৰিবলৈ তলৰ চাৰিটা বৈজ্ঞানিক পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰা হয়:
special fractions: কিছুসংখ্যাক ভগ্নাংশক একোটা বিশেষ ‘character’ ৰুপে ব্যৱহাৰ কৰা হয়, ইহঁতৰ উচ্চতা বা জোখ আন ‘character’সমূহৰ সৈতে সমান; যেনে: ½, ⅓, ⅔, ¼ আৰু ¾।
case fractions: এইসমূহ special fractions ৰ সৈতে একে, মাথোঁ ইহঁতক horizontal bar ৰ সহায়ত প্ৰকাশ কৰি হয়, যেনে: । ইয়াত হৰ আৰু লৱৰ জোখ আন ‘character’সমূহৰ সৈতে সমান হয়।
shilling fractions: যেনে: ½
built-up fractions: যেনে:

অনুপাত

অনুপাত হ’ল ভগ্নাংশৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পৰা দুটা বা অধিক সংখ্যা বা একেধৰণৰ বস্তুৰ এক সম্বন্ধ। উদাহৰণস্বৰূপে, এটা বাছ-আস্থানত 12খন বাছ ৰৈ আছে; তাৰে

2খন বগা,
6খন ৰঙা,
4খন হালধীয়া

তেন্তে বগা বাছ আৰু হালধীয়া বাছৰ অনুপাত 2:4 বা 1:2।
যেতিয়া সম্পূৰ্ণ আংশটোৰ পৰিপেক্ষিতত অনুপাত নিৰ্ণয় কৰা হয়, তেতিয়া অনুপাত ভগ্নাংশলৈ ৰূপান্তৰ কৰিব পাৰি। উদাহৰণস্বৰূপে, ওপৰৰ উদাহৰণটোৰ ক্ষেত্ৰত— মুঠ বাছৰ সৈতে হালধীয়া বাছৰ সংখ্যাৰ অনুপাত হ’ব 4:12 বা 1:3। ইয়াক ভগ্নাংশলৈ ৰূপান্তৰ কৰিব পাৰি আৰু সমূহ বাছৰ 4/12 অংশ বা 1/3 অংশ হালধীয়া বাছ বুলি ক’ব পাৰি।

প্ৰকৃত আৰু অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশ

সৰল ভগ্নাংশসমূহক প্ৰকৃত আৰু অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশ এই দুই ভাগত ভগোৱা হয়। যেতিয়া হৰ আৰু লৱ ধণাত্মক সংখ্যা হয়, তেতিয়া হৰতকৈ লৱ সৰু হ’লে ভগ্নাংশটোক প্ৰকৃত ভগ্নাংশ বোলে আৰু হৰতকৈ লৱ ডাঙৰ হ’লে অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশ বোলে। সাধাৰণতে, সৰল ভগ্নাংশ এটাক প্ৰকৃত ভগ্নাংশ বোলা হয় যদিহে ইয়াৰ পৰম মান একতকৈ সৰু হয়, অৰ্থাৎ ই -1 আৰু 1 ৰ মাজত থাকে (কিন্তু -1 বা 1 ৰ সমান নহয়)। ইয়াক অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশ বোলা হয় যদিহে ইয়াৰ পৰম মান 1 ৰ সমান বা 1 তকৈ ডঙৰ হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, 2/3, -3/4 আৰু 4/9 প্ৰকৃত ভগ্নাংশ; 9/4, -4/3 আৰু 8/3 অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশ।

মিশ্ৰ সংখ্যা বা মিশ্ৰ ভগ্নাংশ

মিশ্ৰ সংখ্যা বা মিশ্ৰ ভগ্নাংশ হ’ল এটা অশূন্য অখণ্ড সংখ্যা আৰু এটা প্ৰকৃত ভগ্নাংশৰ যোগফল। "+" চিনটো সংযোগ নকৰাকৈয়ে ইহঁতক প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। উদাহৰণস্বৰূপে, দুটা সমান জোখৰ সম্পূৰ্ণ কেক আৰু আন এটা একে জোখৰ কেকৰ তিনি চতুৰ্থাংশক একেলগে তলত দিয়া ধৰণে বুজাব পাৰি; ইয়াত অখণ্ড অংশ আৰু ভগ্নাংশ দুয়োটাক পৰস্পৰৰ কাষত তলত দিয়া ধৰণে লিখিব পাৰি:
।

ইয়াক বীজগণিতত সচৰাচৰ ব্যৱহাৰ কৰা পূৰণ হিচাপে ধৰা নহয়। বীজগণিতত এটা মিশ্ৰ ভগ্নাংশ নহয়, বীজগণিতত ইয়াৰ জৰিয়তে তলত দিয়া ধৰণে পূৰণকহে বুজা যায়:
।

এটা অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশক এটা অখণ্ড সংখ্যা আৰু এটা প্ৰকৃত ভগ্নাংশৰ যোগফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। এটা মিশ্ৰ সংখ্যাক তলত দিয়া ধৰণে অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশলৈ ৰূপান্তৰ কৰিব পাৰি:

এই মিশ্ৰ সংখ্যাটো যেগফল হিচাপে লিখা হ’ল ।
অখণ্ড সংখ্যাটো এটা অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশলৈ ৰূপান্তৰিত কৰা হ’ল, য’ত হৰটো আনটো ভগ্নাংশত থকা হৰটোৰ সমান: ।
দুয়োটা ভগ্নাংশ যোগ কৰা হ’ল আৰু লাভ কৰা অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশটো হ’ল প্ৰদত্ত মিশ্ৰ সংখ্যাটোৰ সমান। এই উদাহৰণটোৰ ক্ষেত্ৰত: ।

একেদৰে, এটা অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশ মিশ্ৰ সংখ্যালৈ তলত দিয়া ধৰণে ৰূপান্তৰ কৰিব পাৰি:

প্ৰথমে লৱক হৰৰে হৰণ কৰিব লাগে। যেনে, , 11 ক 4 ৰে হৰণ কৰিলে পোৱা যাব— 11 ÷ 4 = 2 আৰু ভাগশেষ (বা বাকী) 3।
ভাগফলটো হ’ব মিশ্ৰ সংখ্যাটোত থাকিবলগীয়া অখণ্ড অংশটো আৰু ভাগশেষটো হ’ব মিশ্ৰ সংখ্যাটোত থাকিবলগীয়া ভগ্নাংশটোৰ লবটো। এই উদাহৰণটোত, 2 হ’ল অখণ্ড অংশ আৰু 3 হ’ল ভগ্নাংশটোৰ লব।
নতুন হৰটো অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশটোত থকা হৰটোৱেই হ’ব। এই উদাহৰণটোত, হৰটো হ’ব 4। গতিকে ।

মিশ্ৰ সংখ্যাও ঋণাত্মক হ’ব পাৰে, যেনে— , যিটো মান ।

প্ৰতিলোম আৰু "invisible denominator"

ভগ্নাংশ এটা হৰ আৰু লৱক সাল-সলনি কৰি পোৱা নতুন ভগ্নাংশটোক পূৰ্বৰ ভগ্নাংশটোৰ প্ৰতিলোম বোলে। ৰ প্ৰতিলোম হ’ল । এটা ভগ্নাংশ আৰু তাৰ প্ৰতিলোমৰ পূৰণফল 1। একক হৰ হিচাপে ধৰি যিকোনো অখণ্ড সংখ্যাকে ভগ্নাংশৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। যেনে, 17 ক এনেদৰে লিখিব পাৰি— , য’ত 1 ক কেতিয়াবা invisible denominator বুলি ধৰা হয়। গতিকে, শূন্যৰ বাহিৰে প্ৰতিটো অখণ্ড সংখ্যা আৰু প্ৰতিটো ভগ্নাংশৰে এটা প্ৰতিলোম থাকে। 17 ৰ প্ৰতিলোম হ’ল ।

জটিল ভগ্নাংশ

জটিল ভগ্নাংশত হৰ, লৱ বা দুয়োটাতে একোটা ভগ্নাংশ বা মিশ্ৰ সংখ্যা থাকে। উদাহৰণস্বৰূপে, আৰু । এটা জটিল ভগ্নাংশক সৰল ভগ্নাংশলৈ ৰূপান্তৰিত কৰিবলৈ হৰণৰ প্ৰক্ৰিয়াসমূহ ব্যৱহাৰ কৰা হয়। যেনে:

যদি কোনো জটিল ভগ্নাংশত এই প্ৰক্ৰিয়া সমূহৰ কোনো পথ নাথাকে তেনে জটিল ভগ্নাংশসমূহ প্ৰকৃততে অৰ্থহীন ৰাশিহে বুলি পৰিগণিত হয়।

যৌগিক ভগ্নাংশ

এটা যৌগিক ভগ্নাংশ হ’ল এটা বা ততোধিক ভগ্নাংশৰ ভগ্নাংশ, য’ত পূৰণৰ ঠাইত ৰ শব্দটো যুক্ত কৰা হয়।

    (য’ত c ≠ 0)

তদুপৰি, ~ iff ।

বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ

বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ হ’ল দুটা বীজগণিতীয় ৰাশিৰ অনুপাত। যেনে: আৰু ।

যদি ৰ দৰে হৰ আৰু লৱ বহুপদ ৰাশি হয়, তেন্তে বীজগণিতীয় ভগ্নাংশটোক পৰিমেয় ভগ্নাংশ বোলে। আৰু য’ত হৰ বা লৱ বা দুয়োটাতে ভগ্নাংশ সূচক থাকে তাক অপৰিমেয় ভগ্নাংশ বোলে; যেনে: ।

কোনো বীজগণিতীয় ভগ্নাংশত হৰ, লৱ বা দুয়োটাতে ভগ্নাংশ যুক্ত হৈ থাকিলে তাক জটিল ভগ্নাংশ বুলি কোৱা হয়, যেনে: ,।

কোনো পৰিমেয় ভগ্নাংশক দুটা বা ততোধিক পৰিমেয় ভগ্নাংশৰ যোগফললৈ পৰিবৰ্তন কৰিলে তাক আংশিক ভগ্নাংশলৈ পৰিবৰ্তন কৰা বোলে। ইয়াৰ উদ্দেশ্য হ’ল— ৰাশিসমূহৰ মাত্ৰা (degree) সৰু কৰা। উদাহৰণস্বৰূপে, ক আংশিক ভগ্নাংশলৈ ৰূপান্তৰ কৰিলে পাওঁ: + । অনুকলন গণিত, অৱকলজ সমীকৰণ আদিত আংশিক ভগ্নাংশ ব্যৱহৃত হয়।

মূলীয় ৰাশি (Radical expressions)

কোনো ভগ্নাংশৰ হৰ আৰু/বা লৱত ‘মূল’ (Nth root|radicals) যুক্ত হৈ থাকিব পাৰে। যদি হৰত ‘মূল’ যুক্ত হৈ থাকে তেন্তে তলত দিয়া পদ্ধতিৰে মূলসমূহ হৰৰ পৰা আঁতৰাব পাৰি। ইয়াৰ ফলত লবটো অপৰিমেয়লৈ পৰিবৰ্তন হ’ব পাৰে। আন ভগ্নাংশৰ লগত যোগ-বিয়োগ বা তুলনাৰ বাবে হৰৰ পৰা মূল আঁতৰোৱাৰ প্ৰয়োজন হয়।

ইতিহাস

অখণ্ড সংখ্যাৰ প্ৰতিলোমসমূহ, যেনে— আধা, এক তৃতীয়াংশ, এক চতুৰ্থাংশ ইত্যাদি হৈছে আটাইতকৈ পুৰণিকালৰ পৰা ব্যৱহৃত ভগ্নাংশ। খ্ৰী.পূ. ১০০০ত ইজিপ্তীয়সকলে ‘ইজিপ্তীয় ভগ্নাংশ’ ব্যৱহাৰ কৰিছিল। গ্ৰীকসকলে ‘একক ভগ্নাংশ’ আৰু পিছলৈ ‘অবিৰত ভগ্নাংশ’ ব্যৱহাৰ কৰিছিল।

References

External links

শ্ৰেণী:গণিত