alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 9

Kenar uzunluğu 8 olan bir *ABCD* karesinin köşegenlerinin kesişim noktası *O* olsun. [AB] kenarı üzerinde yer alan *K* ve *L* noktaları |BK| - |AL| = 4 koşulunu sağlıyor. [KL] doğru parçasının orta noktası *M* olmak üzere, |OM| kaçtır?

Şıklar:
A) 4 | B) \(2\sqrt{5}\) | C) 5 | D) \(4\sqrt{2}\) | E) 6

Cevap: B \(2\sqrt{5}\)

Çözüm:
*O* noktasından *AB* doğrusuna inilen dikmenin ayağı *N* olsun. |BK| - |CL| = |BL| - |CK| = 4 olduğundan, |AL| = *a* dersek |KL| = \(8 - a - (a + 4)\) ve |KM| = |ML| = \(2 - a\) bulunur. Yani |MN| = \(2\) ve |ON| = \(4\) olduğu için Pisagordan cevap \(2\sqrt{5}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 10

Bir masa üzerindeki taşların bazıları kırmızı, bazıları beyaz renktedir ve kırmızı taşların sayısı beyaz taşların sayısından bir fazladır. Her taşın ağırlığı 1, 15 veya 50 gramdır. Beyaz taşların toplam ağırlığı *B* ve kırmızı taşların toplam ağırlığı *K* olsun. *B* > *K* ise, *B* - *K* sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Şıklar:
A) 1 | B) 2 | C) 4 | D) 5 | E) 6

Cevap: E 6

Çözüm:
Her taşın ağırlığı (mod 7) de 1 sayısına eşittir. Masa üzerindeki beyaz taş sayısı n olsun. O zaman kırmızı taşların toplam ağırlığı \(K \equiv n + 1 \pmod{7}\) ve beyaz taşların toplam ağırlığı \(B \equiv n \pmod{7}\) olur. Demek ki, \(B - K \equiv 6 \pmod{7}\) dir. Masa üzerinde 15 gram ağırlığında üç kırmızı ile 1 ve 50 gram ağırlığında birer beyaz taş olursa 6 sayısına ulaşılır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 11

a, b, c pozitif gerçel sayılar olmak üzere, \(a^2 + 4b^2 + c^2 = 2ab + ac + 2bc\) eşitliği sağlanıyorsa \(\frac{a+b}{c}\) kaçtır?

Şıklar:
A) \(\frac{1}{2}\) | B) 1 | C) \(\frac{3}{2}\) | D) 2 | E) \(\frac{5}{2}\)

Cevap: C \(\frac{3}{2}\)

Çözüm:
Verilen eşitliğin iki tarafı da 2 ile çarpılıp düzenlenirse \(2a^2 + 8b^2 + 2c^2 - 4ab - 2ac - 4bc = 0\) elde edilir. Bu eşitlik \((a-2b)^2 + (c-2b)^2 + (a-c)^2 = 0\) şeklinde yazılabilir. Buradan \(a = c = 2b\) elde edilir ve cevap \(\frac{3}{2}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 12

Bir masa üzerinde \(m\) ve \(n\) bilye içeren iki öbek bulunuyor. İki oyuncu sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Sırası gelen oyuncu ya her iki öbekten birer bilye alıyor, ya sadece istediği bir öbekten bir bilye alıyor ya da istediği bir öbekten diğer öbeğe bir bilye aktarıyor. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Bu oyun \((m, n) = (9, 21)\), \((11, 11)\), \((10, 33)\), \((16, 24)\) ve \((25, 26)\) için birer kez oynanırsa, oyuna başlayan oyuncu bu oyunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

Şıklar:
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 | E) 5

Cevap: D 4

Çözüm:
Öbeklerin en az birinde tek sayıda bilye varsa sırası gelen oyuncu tek sayıda taş içeren her öbekten bir taş alarak hamle yapabilir ve oyunu kaybetmez. Ayrıca, bu hamleden sonra her iki öbekte çift sayıda bilye kalır ve toplam taş sayısı azalır, böylece rakibinin hamlesinden sonra yine en az bir öbekte tek sayıda bilye olması garantilenir. Buna göre, başlangıçta her iki öbekte de çift sayıda bilye varsa oyunu ikinci, kalan durumlarda ise oyunu birinci oyuncu kazanıyor.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 13

Bir *ABCDEFGH* düzgün sekizgeninin iç bölgesinde \(K\) ve \(L\) noktaları ile dış bölgesinde bir \(S\) noktası, \(ABKL\) bir kare ve \(ABS\) bir eşkenar üçgen olacak şekilde alınıyor. Buna göre, \(s(\overline{CKS})\) kaçtır?

Şıklar:
A) \(60^\circ\) | B) \(67.5^\circ\) | C) \(75^\circ\) | D) \(82.5^\circ\) | E) \(90^\circ\)

Cevap: D 82.5°

Çözüm:
Düzgün sekizgenin bir iç açısı 135° dir. |BC| = |BK| = |BS| olduğu için B merkezli bir çember C, K, S noktalarından geçer. Bu çemberde merkez çevre açıdan \(2s(\overline{CKS}) = s(CBS) = 360° - s(CBA) - s(ABS) = 360° - 135° - 60° = 165°\) elde edilir. Buradan \(s(\overline{CKS}) = 82.5°\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 14

\(\overline{AB}\) ve \(\overline{CD}\) iki basamaklı sayılar olmak üzere, dört basamaklı \(\overline{ABCD}\) sayısı \(\overline{AB} \cdot \overline{CD}\) sayısı ile tam bölünmektedir. Buna göre, \(\overline{ABCD}\) sayısı kaç farklı değer alabilir?

Şıklar:
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 6 | E) 8

Cevap: B 2

Çözüm:
\(x = \overline{AB}\) ve \(y = \overline{CD}\) olsun. Sorudaki koşuldan dolayı \(xy | 100x+y\) bulunur. Buradan da \(x | y\) ve \(y | 100x\) elde edilir. Bir \(k\) pozitif tam sayısı için \(y = xk\) olsun. \(xk | 100x\) olduğu için \(k | 100\) bulunur. \(x\) ve \(y\) iki basamaklı tam sayılar oldukları için \(k \ge 10\) olamaz, tüm olası değerler \(k = 1, 2, 4, 5\) olarak bulunur. Öte yandan, \(xy | 100x+y\) olduğu için \(kx^2 | (100+k)x\) ve böylece \(x | \frac{100+k}{k}\) bulunur. \(k = 1, 2, 4, 5\) durumlarını incelersek, \(x\) ve \(y\) sayıları iki basamaklı olacak şekildeki tek çözümlerin \(k = 2, x = 17, y = 34\) ve \(k = 4, x = 13, y = 52\) olduğu görülür. Dolayısıyla \(\overline{ABCD} = 1734\) ve \(\overline{ABCD} = 1352\) olmak üzere iki farklı çözüm vardır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 15

Bir masa üzerinde her biri 10 toptan oluşan 3 öbek bulunuyor. Bu 30 topun her biri kırmızı veya beyaz renktedir. Aynı renkli topların ağırlıkları birbirine eşit olup bir kırmızı top bir beyaz toptan daha ağırdır. Bu öbeklerdeki topların toplam ağırlıkları 12, 116 ve 129 ise, bu 3 öbekte toplam kaç tane kırmızı top vardır?

Şıklar:
A) 15 | B) 16 | C) 17 | D) 18 | E) 19

Cevap: C 17

Çözüm:
Kırmızı ve beyaz topun ağırlıklarının farkı \(x\) olsun. \(\frac{129-12}{10} = 11.7\) olduğundan \(x \ge 11.7\) dir. \(11.7 < 129 - 116 < 2 \cdot 11.7\) olduğundan ağırlığı 129 olan öbekteki kırmızı top sayısı, ağırlığı 116 olan öbekteki kırmızı top sayısından 1 fazladır ve dolayısıyla \(x = 13\) bulunur. \(12 < 13\) olduğundan ağırlığı 12 olan öbekteki tüm toplar beyazdır ve sonuç olarak beyaz topun ağırlığı \(\frac{12}{10} = 1.2\) ve kırmızı topun ağırlığı \(\frac{12}{10} + 13 = 14.2\) dir. Dolayısıyla öbeklerde 0, 8 ve 9 tane kırmızı top vardır ve cevap 17 dir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 16

Bir tahtaya başlangıçta 1, 2, ..., 2025 sayıları yazılmıştır. Her işlemde tahtada yazılı bulunan iki sayı silinip tahtaya bu iki sayının toplamı yazılıyor. \(N\) işlem sonucunda tahtada toplamları 2025 olan bir veya birkaç sayı bulunmuyorsa, \(N\) sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

33. Bilim Olimpiyatları Birinci Aşama Sınavı - Öğrenci - Ortaokul Matematik A

Şıklar:
A) 405 | B) 498 | C) 507 | D) 582 | E) Hiçbiri

Cevap: C 507

Çözüm:
N işlem sonucunda tahtada (1, 2024), (2, 2023), ..., (1012, 1013) ikililerinden hiçbiri ve 2025 sayısı bulunmamalıdır. İkili sayısı 1012 olduğuna göre, toplamda en az 1013 sayı silmek ve dolayısıyla en az 507 işlem gereklidir. Öte yandan, 507 işlem yeterlidir: 506 işlemi tahtada bulunan 2025'ten küçük tek sayıları herhangi bir şekilde ikili gruplara ayırıp uygulayalım ve son işlemi de (2, 2025) ikilisine uygulayalım. Tahtada 2027 dışında tüm sayılar çift olur ve böylece istenen koşul sağlanır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 17

\(l_1\) ve \(l_2\) birbirlerine paralel olan iki farklı doğru olsun. \(l_1\) doğrusu üzerinde \(P\), \(R\), \(S\), \(T\) noktaları bu sırayla yer alan noktalar olsun. \(l_2\) doğrusu üzerindeki \(L\) ve \(K\) noktaları \(|LP| = |LR|\), \(|KL| = |KR|\), \(|SR| = |SK|\), \(|TS| = |TK|\) ve \(PL \parallel KT\) koşullarını sağlamaktadır. Buna göre, \(s(\overline{LRS})\) kaçtır?

Şıklar:
A) \(100^\circ\) | B) \(110^\circ\) | C) \(120^\circ\) | D) \(130^\circ\) | E) \(140^\circ\)

Cevap: A \(100^\circ\)

Çözüm:
\(s(\overline{PLR}) = 2\alpha\) olsun. \(|LP| = |LR|\) olduğu için \(s(\overline{LPR}) = s(\overline{LRP}) = 90^\circ - \alpha\) olur. \(|KL| = |KR|\) olduğu için \(s(\overline{RLK}) = s(\overline{LRK}) = 90^\circ - \alpha\) ve \(s(\overline{RKL}) = 2\alpha\) olur. \(|SR| = |SK|\) olduğu için \(s(\overline{SRK}) = s(\overline{SKR}) = 2\alpha\) olur. \(|TS| = |TK|\) olduğu için \(s(\overline{TSK}) = s(\overline{TKS}) = 4\alpha\) olur. \(PL \parallel KT\) olduğu için \(s(\overline{PLK}) + s(\overline{TKL}) = (90^\circ + \alpha) + 8\alpha = 180^\circ\) olur ve buradan \(\alpha = 10^\circ\) ve \(s(\overline{LRS}) = 90^\circ + \alpha = 100^\circ\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 18

Bir tahtada hiçbiri 2025 ten büyük olmayan \(N\) farklı pozitif tam sayı vardır. Tahtadaki birbirinden farklı herhangi \(a\) ve \(b\) sayıları için \(a - b\) sayısı \(a + b\) sayısını bölmüyorsa, \(N\) en fazla kaç olabilir?

Şıklar:
A) 405 | B) 506 | C) 675 | D) 836 | E) 1024

Cevap: C 675

Çözüm:
Koşullara göre, tahtaya \(a, a+1, a+2\) sayılarından en fazla biri yazılabilir. Buna göre, \(N \le 2025/3 = 675\) olur. Diğer taraftan tahtaya \(1, 4, 7, \dots, 2023\) sayıları yazılırsa koşullar sağlanır: \(a = 3m+1\) ve \(b = 3n+1\) ise \(a - b\) sayısı 3 ün bir katıdır ve \(a + b\) sayısı 3 ün bir katı değildir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 19

\(x = \sqrt{2} + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}\) olmak üzere, \(\frac{x^3 - 3x^2 + x - 2}{x^2 - 2x + 2}\) kaçtır?

Şıklar:
A) \(-\sqrt{2}\) | B) \(-1\) | C) 0 | D) 1 | E) \(\sqrt{2}\)

Cevap: B \(-1\)

Çözüm:
\(9+4\sqrt{2} = (1+2\sqrt{2})^2\) olduğu için \(x = \sqrt{3} + 2\sqrt{2}\) olur. \(3+2\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^2\) olduğu için \(x = 1+\sqrt{2}\) bulunur. Buna göre, \((x-1)^2 = x^2-2x+1 = 2\), yani \(x^2 - 2x = 1\) bulunur. \(x^3 - 3x^2 + x - 2 = x(x^2 - 2x) - x^2 + x - 2 = -x^2 + 2x - 2 = -3\) bulunur. \(x^2 - 2x + 2 = 3\) bulunur. Bu durumda istenilen ifade \(-1\) olarak bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 20

\(4 \times 4\) satranç tahtasının her birim karesine bir sayı, \(2 \times 2\) boyutlarındaki her karede birbirine eşit iki sayı bulunacak şekilde yazılmıştır. Buna göre, bu satranç tahtasında en fazla kaç farklı sayı bulunabilir?

Şıklar:
A) 9 | B) 10 | C) 11 | D) 12 | E) 13

Cevap: C 11

Çözüm:
Sorudaki koşulu sağlayan ve \(N\) farklı sayı içeren bir tahta bulunduğunu varsayalım. Sol üst birim kareyi, sağ üst birim kareyi, sol alt birim kareyi ve sağ alt birim kareyi içeren dört tane ayrık \(2 \times 2\) boyutlarındaki karenin her birinde en fazla üç farklı sayı vardır, böylece \(N \le 12\) olmalıdır. \(N = 12\) olması için bu dört karenin her birinde üç farklı sayı olmalıdır ve herhangi ikisinin içerdiği ortak bir sayı olmamalıdır. Fakat bu durumda merkezde bulunan \(2 \times 2\) boyutlarındaki karede birbirine eşit olan iki sayı bulunamaz. Buna göre, \(N \le 11\) olur. \(N = 11\) için koşulu sağlayan bir örnek bulunur: Soldan sağa doğru ilk satıra 1,2,3,4; ikinci satıra 5,5,5,5; üçüncü satıra 6,7,8,9; dördüncü satıra 10,7,8,11 sayıları yazılırsa koşullar sağlanır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 21

Bir \(ABC\) üçgeninin \([AC]\) kenarı üzerinde bir \(D\) noktası veriliyor. \(|AB| = |AD| = 13\), \(|BD| = 10\) ve \(C\) köşesinden \([AB]\) kenarına inilen yüksekliğin uzunluğu 16 ise, \([CD]\) kaçtır?

Şıklar:
A) 7 | B) 8 | C) \(\frac{13}{2}\) | D) \(\frac{76}{9}\) | E) Hiçbiri

Cevap: E \(\frac{143}{15}\)

Çözüm:
\(ABC\) üçgeninin bir kenarının uzunluğu 13 ve o kenara inilen yüksekliğinin uzunluğu 16 olduğu için alanı 104 olur. Öte yandan, \(ADB\) bir ikizkenar üçgen olduğu için, \([BD]\) kenarının orta noktasına \(E\) dersen \(AE \perp BD\) olur. Ayrıca \(|BE| = |DE| = 5\) ve \(|AB| = 13\) olduğu için \(|AE| = 12\) bulunur. Buradan \(ADB\) üçgeninin alanı 60 olarak hesaplanır ve \(ABC\) nin alanı 104 olduğu için \(BCD\) nin alanı 44 bulunur. \(ADB\) ve \(BCD\) üçgenlerinin alanlarının oranı tabanlarının uzunluklarının oranına eşit olacağı için \(\frac{x}{13} = \frac{44}{60}\) ve \(x = \frac{143}{15}\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 22

Bir \(a\) pozitif tam sayısı için, hem \(a = m + n + ebo b(m,n) + ekok(m,n)\) olacak şekilde \(m\) ve \(n\) pozitif tam sayıları, hem de \(a = p^k\) olacak şekilde

p asal sayısı ve k pozitif tam sayısı bulunuyorsa a sayısına güzel diyelim. 2025 ten küçük kaç güzel sayı vardır?

Şıklar:
A) 9 | B) 11 | C) 13 | D) 15 | E) Hiçbiri

Cevap: A 9

Çözüm:
\(m = dx\), \(n = dy\) ve \(ebob(x, y) = 1\) dersek ifade \(p^k = d(x+1)(y+1)\), haline gelir. \(x\) ve \(y\) aralarında asal oldukları için ikisi aynı anda çift olamaz ve en az biri çift olmalıdır, böylece \(p^k\) ifadesinin çift olduğunu ve \(p = 2\) olduğu bulunur. \(x, y\) en az 1 oldukları için de \(2^k \ge 4\) ve \(k \ge 2\) bulunur. Bu durumda ise \(m = n = 2^{k-2}\) verilirse tüm \(2^k\) sayıları için örnek kurulabilir. Böylece, 2025'ten küçük güzel sayılar \(2^2, 2^3, \dots, 2^{10}\) olmak üzere 9 tanedir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 23

\(P(x) = 2x^2 - 3ax + a - 10\) ve \(Q(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 5\) polinomlarının her ikisinin de kökü olan bir gerçel sayı bulunmasını sağlayan a gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Şıklar:
A) \(-2\) | B) \(-1\) | C) \(0\) | D) \(1\) | E) \(2\)

Cevap: E 2

Çözüm:
Bu iki polinomun ortak kökü \(t\) olsun. \(P(t) - 2Q(t) = at - 2a^2 + a = 0\) olacağı için ya \(a = 0\) ya da \(t = 2a - 1\) bulunur. \(t = 2a - 1\) ise, \(Q(2a - 1) = a^2 - 2a - 4 = 0\) olduğu için de \(a\) sayısının olası değerleri \(1 + \sqrt{5}\) ve \(1 - \sqrt{5}\) olarak bulunur ve koşulları sağlayan tüm değerlerin toplamı \(0 + 1 + \sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} = 2\)'dir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 24

Bir masa üzerinde sırasıyla 55, 60, 65, 70, 75, 80 bilye içeren 6 kutu vardır. Her işlemde en az 5 bilye içeren bir kutu seçiliyor ve bu kutudan 5 bilye alınıp diğer kutuların her birine birer bilye dağıtılıyor. Birkaç işlem sonucunda \(N\) bilye içeren bir kutu elde edilebiliyorsa \(N\) sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Şıklar:
A) 385 | B) 390 | C) 395 | D) 400 | E) 405

Cevap: C 395

Çözüm:
Başlangıçta herhangi iki kutudaki bilye sayısı (mod 6)'da birbirlerinden farklıdır. Her işlemde herhangi bir kutudaki top sayısı ya 5 azalıp ya da 1 arttığı için, herhangi bir işlemden sonra tüm kutulardaki bilye sayıları (mod 6)'da birbirlerinden farklı olacaktır. Buna göre, herhangi 5 farklı kutudaki bilye sayısı en az \(0+1+2+3+4 = 10\) olabilir ve bu sebeple bir kutudaki bilye sayısı en fazla \(55 + 60 + 65 + 70 + 75 + 80 - 10 = 395\) olabilir. Şimdi de bir kutuda 395 bilye olabileceğini gösterelim. Herhangi bir kutudan hiç bilye almayıp her defa en az 5 bilye içeren herhangi bir kutudan 5 bilye alıp diğerlerine dağıtırsak sonlu işlem sonucunda bu 5 kutuda en fazla \(0+1+2+3+4 = 10\) bilye kalacaktır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 25

Bir \(ABC\) üçgeninde \(|AB| = |BC| = 8\) ve \(|AC| = 12\) olsun. Bu üçgenin \(s(\widehat{BAC})\) açısının dış açıortayı ile \(C\) noktası ve \([AB]\) kenarının orta noktasından geçen doğrunun kesişim noktası \(D\) ise, \(|AD|\) kaçtır?

Şıklar:
A) \(\frac{9\sqrt{2}}{4}\) | B) \(3\sqrt{2}\) | C) \(4\sqrt{2}\) | D) \(2\sqrt{3}\) | E) \(4\sqrt{3}\)

Cevap: B \(3\sqrt{2}\)

Çözüm:
\(A\) köşesine ait dış açıortayın \(BC\) yi kestiği nokta \(E\), ve \(AB\) kenarının orta noktası \(N\) olsun. Dış açıortay teoreminden \(\frac{|EB|}{|EC|} = \frac{|AB|}{|AC|}\) ve \(|EA|^2 = |EB| \cdot |EC| - |AB| \cdot |AC|\) olduğu için \(|EB| = 16\) ve \(|AE| = 12\sqrt{2}\) bulunur. Menelaş teoreminden \(\frac{|CB|}{|CE|} \cdot \frac{|ED|}{|DA|} \cdot \frac{|AN|}{|NB|} = 1\) olduğu için \(\frac{|ED|}{|DA|} = 3\) gelir. Buna göre, \(|ED| = 9\sqrt{2}\) ve \(|AD| = 3\sqrt{2}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 26

\(a_1, a_2, \dots, a_{2025}\) pozitif bileşik sayılar olmak üzere, \(a_1 + a_2 + \dots + a_{2025}\) şeklinde gösterilemeyen en büyük tam sayı kaçtır?

Şıklar:
A) 8096 | B) 8101 | C) 8103 | D) 8112 | E) 8115

Cevap: C 8103

Çözüm:
\(n\) pozitif bileşik sayının toplamı şeklinde gösterilemeyen en büyük tam sayının \(4n + 3\) olduğunu gösterelim. En küçük bileşik çift sayı 4, en küçük bileşik tek sayı ise 9 dur. \(4n + 3 = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) ise, \(4n + 3\) bir tek sayı olduğundan terimlerin en az bir tanesi 9 olmak zorundadır. Bu durumda \(9 + 4(n - 1) > 4n + 3\) olduğu için çelişki elde ederiz. \(M > 4n + 3\) bir çift sayı ise, \(a \ge 8\) bir çift sayı olmak üzere, \(M\) sayısı \(a\) ve \(n - 1\) tane 4 sayısının toplamı şeklinde gösterilebilir. \(M > 4n + 3\) bir tek sayı ise, \(b \ge 4\) bir çift sayı olmak üzere, \(M\) sayısı 9, \(b\) ve \(n - 2\) tane 4 sayısının toplamı şeklinde gösterilebiliyor. Sonuç olarak \(n = 2025\) durumunda cevap \(4 \cdot 2025 + 3 = 8103\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 27

\(x, y, z\) gerçel sayıları 
\[(x - 1)(y - 2) = 3\]
\[(y - 1)(z - 2) = 3\]
\[(z - 1)(x - 2) = 1\]
denklem sistemini sağlıyorsa, \(x + y + z\) ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Şıklar:
A) \(\frac{19}{2}\) | B) 11 | C) \(\frac{14}{3}\) | D) 0 | E) Hiçbiri

Cevap: A \(\frac{19}{2}\)

Çözüm:
İlk iki denklemden sırasıyla \(x = \frac{3}{y-2} + 1\) ve \(z = \frac{3}{y-1} + 2\) bulunur. Bunlar üçüncü denklemde yerine koyulursa 


\[ (z-1)(x-2) = \left(\frac{3}{y-1} + 1\right) \left(\frac{3}{y-2} - 2\right) = 0 \]


elde edilir. Bu denklem sadeleştirilirse \(y^2 - 3y - 4 = 0\) bulunur. Dolayısıyla \(y = -1\) veya \(y = 4\) olabilir. Böylece \(x = 0\), \(y = -1\), \(z = -1/2\) ve \(x = 5/2\), \(y = 4\), \(z = 3\) çözümleri bulunur. Buna göre, \(x + y + z\) ifadesinin alabileceği en büyük değer \(\frac{19}{2}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 28

33 öğrencinin katıldığı bir satranç turnuvasında her öğrenci ikilisi arasında tam olarak bir maç yapılmıştır. Her maçta kazanana 1, kaybedene 0, berabere kalanların her birine 1/2 puan veriliyorsa, turnuvada tam olarak 7 puan toplayan öğrenci sayısı en fazla kaç olabilir?

Şıklar:
A) 14 | B) 15 | C) 16 | D) 17 | E) 18

Cevap: B 15

Çözüm:
Turnuvada 7 puan toplayan öğrenci sayısı \(n\) olsun. Bu \(n\) öğrenci kendi aralarında \(\frac{n(n-1)}{2}\) maç yaptığına ve her maçta toplam 1 puan dağıtıldığına göre, \(\frac{n(n-1)}{2} \le 7n\) ve buradan \(n \le 15\) elde edilir. \(n = 15\) durumu mümkündür: Öğrencileri 15 ve 18 öğrenciden oluşan iki gruba ayıralım. 15 kişilik gruptaki her öğrenci kendisiyle aynı grupta olan tüm öğrencilerle berabere kalıp kalan tüm maçlarını kaybederse bu 15 kişinin tamamı 7 puan toplamış olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 29

Dar açılı bir \(ABC\) üçgeninde \(A\) köşesinden \([BC]\) kenarına inilen yüksekliğin ayağı \(D\) olsun. \(D\) noktasından \(AB\) doğrusuna inilen dikmenin ayağı \(E\) olsun. \(CE\) ve \(AD\) doğrularının kesişim noktası \(F\) olmak üzere, \(|BE| = 9\), \(|AE| = 16\) ve \(|CD| = 12\) ise, \(|AF|\) kaçtır?

Şıklar:
A) 10 | B) 12 | C) 15 | D) 16 | E) 18

Cevap: D 16

Çözüm:
\(AB\) çap olduğu için \(BE \perp AC\) olur. Öklid teoreminden \(|BC| = 15\) ve Pisagor teoreminden \(|AB| = 20\) bulunur. Menelaus teoreminden \(\frac{|DB|}{|DC|}\). \(|CE| \cdot \frac{|AF|}{|FB|} = 1\) olur ve buradan \(\frac{|AF|}{|FB|} = 4\) elde edilir. \(|AF| + |FB| = 20\) olduğu için \(|AF| = 16\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 30

\(33^{33}\) sayısının, a 8 ile bölümünden kalanı 3 olan kaç tane pozitif böleni vardır?

Şıklar:
A) 289 | B) 306 | C) 450 | D) 510 | E) 578

Cevap: E 578

Çözüm:
\(33^{33} = 33^{33}11^{33}\) olduğu için bu sayının herhangi bir pozitif böleni \(3^{x}11^{y}\) formundadır. \(11 \equiv 3 \pmod{8}\) olduğu için, bu sayı \((\text{mod } 8)'\)da \(3^{x+y}\) sayısına denktir. 3 sayısının kuvvetleri \((\text{mod } 8)'\)da \(3,1,3,1,...\) olarak ilerlediği için \(x+y\) tek olmalıdır. Bu durumda ya \(x\) çift \(y\) tek, ya da \(x\) tek \(y\) çift olacaktır. \(x\) ve \(y\) sayıları \(0,1,...,33\) değerlerini alabilir, bunların arasında da 17 çift ve 17 tek sayı olduğu için cevap \(2 \cdot 17^2 = 578\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 31

\(a\) ve \(b\) pozitif gerçel sayılar olmak üzere, \(\frac{(a^2 + 3)(b^3 + 2)(a^4 + 9b^4)}{a^3b^3}\) ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Şıklar:
A) 48 | B) \(36\sqrt{3}\) | C) \(48\sqrt{2}\) | D) 120 | E) Hiçbiri

Cevap: B \(36\sqrt{3}\)

Çözüm:
Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden 


\[ 
\begin{aligned}
a^2 + 3 &\ge 2\sqrt{3}a \\
b^3 + 1 + 1 &\ge 3b \\
a^4 + 9b^4 &\ge 6a^2b^2
\end{aligned}
 \]


bulunur. Bu eşitsizlikler taraf tarafa çarpılırsa \((a^2 + 3)(b^3 + 2)(a^4 + 96^4) \ge 36\sqrt{3}a^3b^3\) bulunur. Dolayısıyla \(\frac{(a^2 + 3)(b^3 + 2)(a^3 + 96^4)}{a^3b^3}\) ifadesinin alabileceği en küşük değer \(36\sqrt{3}\) olur. \(a = \sqrt{3}\) ve \(b = 1\) olduğunda ise eşitlik durumunu sağlanır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 1. Aşama, Soru 32

\(50 \times 50\) satranç tahtasının her birim karesi kırmızı ve mavi renklerinden birine boyanmıştır. En az 26 birim karesi kırmızı renkte olan satır sayısı ile en az 26 birim karesi mavi olan sütun sayısının toplamı en fazla kaç olabilir?

Şıklar:
A) 93 | B) 94 | C) 95 | D) 96 | E) 98

Cevap: D 96

Çözüm:
En az 26 birim karesi kırmızı renkte olan sırt sayısı \(x\), en az 26 birim karesi mavi renkte olan sütun sayısı \(y\) olsun. O zaman tahtada en az \(26x\) tane kırmızı ve \(26y\) tane mavi birim kare vardır. Buna göre \(26x + 26y \le 50^2\) olmalıdır ve buradan \(x + y \le 96\) bulunur. \(x + y = 96\) olacak şekilde örnek bulunur: Satranç tahtasının en sağ iki sütunun tüm birim kareleri kırmızıya boyayalım ve en üst iki satırının kırmızıya boyanmamış tüm birim karelerini maviye boyayalım. Kalan birim kareleri ise satranç tahtası kuralında olduğu

gibi kırmızı ve mavi renklere boyayalım. Bu durumda \(x + y = 48 + 48 = 96\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 2. Aşama, Soru 1

100 × 2025 satranç tahtasının bazı birim karelerine kırmızı veya beyaz renkli bir bilye yerleştirilmiştir. Aynı renkli herhangi iki bilyenin bulundukları birim kareler ortak köşe veya kenar paylaşmıyorsa, tahtadaki toplam bilye sayısı en fazla kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  101300

Çözüm:
Birim karelerden oluşan 2 × 2 bir karede 3 bilye bulunursa bu bilyelerden en az ikisi aynı renkli olduğundan koşullar sağlanmaz. Sonuç olarak her 2 × 2 karede en fazla 2 bilye vardır. İlk sütun dışındaki birim kareleri 100 · 2024 tane 2 × 2 kareye ayıralım. O zaman toplam bilye sayısı en fazla 100 + 2 · 50 · 1012 = 101300 olur. Şimdi de 101300 bilye için örnek verelim: 

  


Soldan sağa doğru 1., 3., ..., 2025. sütunlardaki tüm birim karelere dönüşümlü şekilde bir kırmızı bir beyaz bilye yerleştirirsek koşullar sağlanır ve satranç tahtası üzerindeki toplam bilye sayısı 100 · 1013 = 101300 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 2. Aşama, Soru 2

\(1 \le a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_{16} \le 33\) gerçel sayılar olmak üzere, 


\[P = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_3}{a_4} + \cdots + \frac{a_{15}}{a_{16}}\]


ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

Şıklar:

Cevap:  1170

Çözüm:
Genel durumda, 31 sayısı yerine \(n\) için cevap \(n^2 - n + \lfloor \frac{n^2}{4} \rfloor\); başka bir deyişle \(n\) çift iken \(\frac{5n^2-4n}{4}\), \(n\) tek iken \(\frac{5n^2-4n-1}{4}\). Sayıların (yaklaşık) yarısını 0.9 ve diğer yarısını 1.2 seçince sağlıyor, örnekler çoğaltılabilir. Genel durum için soruyu çözelim. 


Sorudaki ifadeyi 


\[S = \sum_{i<j} (2[x_i x_j] - [x_i^2] - [x_j^2])\]


olarak düzenleyelim. Her \(a, b\) reel sayı ikilisi için 


\[2[ab] - [a^2] - [b^2] < 2ab + 2 - (a^2 - 1) - (b^2 - 1) = 4 - (a - b)^2 \le 4\]


sağlanır ve eşitsizliğin sol tarafı tam sayı olduğundan dolayı \(2[ab] - [a^2] - [b^2] \le 3\) bulunur, \(a = 1.2\) ve \(b = 0.9\) gibi durumlarda ise eşitlik sağlanır. Ayrıca, eğer \([a^2] - [b^2]\) ifadesi çift ise, sol taraf çift bir sayı olacağı için bu durumda \(2[ab] - [a^2] - [b^2] \le\) 2 elde edilir. \(a = b\) ve ikisi sayı da kareleri tam sayı olmayacak şekilde alındığında ise eşitlik sağlanır. 


\(x_1, x_2, \dots, x_n\) gerçel sayıları için, \(|x_i^2|\) ifadelerinden \(k\) tanesi çift, \(l = n - k\) tanesi tek olsun. Bu durumda, \(S\) toplamında tüm ikililer bir kere geçtiği için, çift sayıların birlikte gruplandığı \(\binom{k}{2}\) ifadenin ve tek sayıların birlikte gruplandığı \(\binom{l}{2}\) ifadenin maksimum değeri 2 olacaktır. Bir çift, bir tek sayıdan oluşan \(kl\) ifadenin ise maksimum değeri 3 olacaktır. Buradan da 


\[S \le 3kl + k^2 - k + l^2 - l = (k + l)^2 + kl - k - l = n^2 - n + kl \le n^2 - n + \lfloor \frac{n^2}{4} \rfloor\]


elde edilir. Yukarıda verilen örneğin maksimum değere ulaşmamızı sağladığı da buradan kolayca görülebilir.