alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 7

\(n\) nin aşağıdaki değerlerinden hangisi için, \(x^2 + y^2 = n\) ve \(1 \le x \le y\) koşullarını sağlayan tam olarak bir \((x, y)\) tam sayı ikilisi vardır?

Şıklar:
A) 259 | B) 257 | C) 221 | D) 185 | E) 165

Cevap: B 257

Çözüm:
\(4k + 3\) formundaki bir \(p\) asal sayısı için \(p|x^2 + y^2\) ise, \(p|x\) ve \(p|y\) dir ve dolayısıyla \(p^2|x^2 + y^2\) dir. \(259 = 7 \cdot 37\) ve \(165 = 3 \cdot 5 \cdot 11\) olduğundan \(x^2 + y^2 = 259\) veya 165 eşitliğini sağlayan tam sayılar yoktur. \(221 = 5^2 + 14^2 = 10^2 + 11^2\) dir. \(185 = 4^2 + 13^2 = 8^2 + 11^2\) dir. \(257 = 1^2 + 16^2\) dir ve başka \(x, y\) tam sayılarının olmadığını görmek kolaydır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 8

2 beyaz ve 4 kırmızı taş en çok 4 öbeğe kaç farklı biçimde ayrılabilir?

Şıklar:

Cevap:  25

Çözüm:
Beyaz toplar aynı kutuya giderse ve kırmızılar 4 kutuya \(4 + 0 + 0 + 0\) giderse 2 durum kırmızılar 4 kutuya \(3 + 1 + 0 + 0\) giderse 3 durum kırmızılar 4 kutuya \(2 + 2 + 0 + 0\) giderse 2 durum kırmızıla 4 kutuya \(2 + 1 + 1 + 0\) giderse 3 durum kırmızılar 4 kutuyay \(1 + 1 + 1 + 1\) giderse 1 durum. 


Beyaz toplar farklı kutulara giderse ve kırmızılar 4 kutuya \(4 + 1 + 0 + 0\) giderse 2 durum kırmızıları 4 kutuya \(3 + 1 + 0 + 0\) giders 4 durum kırmızılar 4 kutuya \(2 + 2 +0 + 0\) giderse 3 durum kırmızılar 3 kutuya \(2 + 1 + 1 + 0\) giderse 4 durum

kırmızılar 4 kutuya \(1 + 1 + 1 + 1\) giderse 1 durum.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 9

\(\hat{A}\) ve \(\hat{C}\) açıları dik olan bir \(ABCD\) dışbükey dörtgeninde \([BD]\) ve \([AC]\) köşegenlerinin orta noktaları sırasıyla, \(E\) ve \(F\) dir. \(|AC| = 2\sqrt{3}\) ve \(|BD| = 4\sqrt{7}\) ise, \(|EF|\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
\(\angle BAD = \angle BCD = 90^\circ\) olduğundan \([BD]\) nin orta noktası \(ABCD\) kirişler dörtgeninin çevrel çember merkezi olur. Buradan da \(|AE| = |EC| = |BE| = |DE| = 2\sqrt{7}\) olur. \(AEC\) üçgeni ikizkenar olduğundan \(EF \perp AC\) ve buradan da Pisagor teoremini kullanarak \(|EF| = \sqrt{|AE|^2 - |AF|^2} = 5\) elde ederiz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 10

Her sayının yazılı olduğu birim kareyle ortak bir kenar paylaşan en az iki birim kareye de aynı sayı yazılmak koşuluyla bazı birim karelerine birer sayı yazılan \(18 \times 18\) bir satranç tahtasına en fazla kaç farklı sayı yazılabilir?

Şıklar:

Cevap:  81

Çözüm:
Tahtadaki her sayı en az 4 kez yazılmak zorundadır. Bu nedenle en fazla \(\frac{18 \cdot 18}{4} = 81\) farklı sayı yazılabilir. \(18 \times 18\) satranç tahtasını 81 tane \(2 \times 2\) kareye bölüp bu karelere \(1, 2, \dots, 81\) sayılarını yazarsak 81 için bir örnek elde ederiz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 11

\(\frac{1}{n+1}\) den büyük, \(\frac{1}{n}\) den küçük ve paydası 2013 olacak biçimde yazılabilen tam olarak bir tane rasyonel sayı bulunmasını sağlayan en küçük \(n\) pozitif tam sayısının rakamlarının toplamı nedir?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
\(\frac{1}{n+1} < \frac{k}{2013} < \frac{1}{n}\) koşulunu sağlayan tam olarak bir \(k\) bulunması isteniyor. Bu da \(\frac{2013}{n+1} < k < \frac{2013}{n}\) eşitsizliğini sağlayan sadece bir \(k\) bulunmasına denktir. O halde \(\frac{2013}{n} - \frac{2013}{n+1} < 2\) olmalı. \(\Rightarrow 1006, 5 < n(n+1)\) şartı sağlanmalı. \(31 \cdot 32 = 992\) ve \(32 \cdot 33 = 1056\) olduğundan \(n \ge 32\) elde edilir. \(2013/33 = 61\) ve \(2013/32 = 62, 90625\) olduğundan \(n = 32\) iken \(k = 62\) tek çözümdür. O halde şartı sağlayan en küçük sayı 32 dir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 12

A merkezli ve \(B\) noktasından geçen bir \(\Gamma_1\) çemberi, \(B\) merkezli bir \(\Gamma_2\) çemberini \(C\) ve \(D\) noktalarında kesiyor. \(\Gamma_1\) in \(CBD\) yayının ölçüsü \(110^\circ\) ise, \(\Gamma_2\) nin büyük \(CD\) yayının ölçüsü nedir?

Şıklar:

Cevap:  235°

Çözüm:
Γ₁ çemberinin büyük CD yayının ölçüsü 360° - 110° = 250° olur. Buradan da ∠CBD = 125° buluruz. Bu ise Γ₂ çemberinin küçük CD yayının ölçüsünün 125° olduğunu gösterir. Yani bu çemberde büyük CD yayının ölçüsü 360° - 125° = 235° olur. 


**13.** Başlangıçta bir öbekte n taş bulunuyor. Ayşe ve Burak sırayla hamle yapıyorlar ve sırası gelen oyuncu seçtiği bir öbeği hiçbiri boş olmayan üç öbeğe ayrıyor. Hamle yapamayan oyunu kaybediyor. Oyuna her sefer Ayşe başlamak üzere, oyun \(n = 2011, 2012, 2013, 2014, 2015\) değerleri için birer kez oynanırsa, Ayşe bunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 13

Başlangıçta bir öbekte n taş bulunuyor. Ayşe ve Burak sırayla hamle yapıyorlar ve sırası gelen oyuncu seçtiği bir öbeği hiçbiri boş olmayan üç öbeğe ayrıyor. Hamle yapamayan oyunu kaybediyor. Oyuna her sefer Ayşe başlamak üzere, oyun \(n = 2011, 2012, 2013, 2014, 2015\) değerleri için birer kez oynanırsa, Ayşe bunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
Ali, ilk hamlesinde \(n = 2k + 1\) durumunda taşları 1, \(k, k\) ve \(n = 2k + 2\) durumunda taşları 2, \(k, k\) olarak başlarsa, 1 veya 2 taştan oluşan öbekler oyun dışı kalır. Bundan sonra Ali, Burak'ın hamlelerinin simetriğini yaparak oyunu kaybetmemeyi garantiler. 


**14.** \(\sqrt{n}\) sayısının on tabanına göre yazılmışında virgülden sonraki ilk iki basamağındaki rakamların 0 olmasını sağlayan ve tam kare olmayan en küçük \(n\) pozitif tam sayısı kaçtır?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 14

\(\sqrt{n}\) sayısının on tabanına göre yazılmışında virgülden sonraki ilk iki basamağındaki rakamların 0 olmasını sağlayan ve tam kare olmayan en küçük \(n\) pozitif tam sayısı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  2501

Çözüm:
\(\sqrt{n}\) nin tam değerine \(k\) dersek, verilen koşul \(k < \sqrt{n} < k + 0,01\) eşitsizliğine denktir. \(\Rightarrow k^2 < n < k^2 + 0,02 \cdot k + 0,0001\). \(\Rightarrow 1 < 0,02 \cdot k + 0,0001\). \(\Rightarrow k > \frac{0,999}{0,02} = 49,95\). \(\Rightarrow k \ge 50\) ve \(n \ge 50^2 + 1 = 2501\). Eşitsizliklerden dolayı \(n = 2501\) in şartı sağladığı açıktır. 


**15.** \(|AB| = 3\) ve \(|AC| = 4\) olan bir \(ABC\) üçgeninin \(|BC|\) kenarı üstündeki bir \(D\) noktası için, \(ABD\) ve \(ACD\) üçgenlerinin ağırlık merkezleri sırasıyla, \(G_1\) ve \(G_2\) olmak üzere, \(|G_1G_2| = 2\) ise, \(|BC|\) nedir?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 15

\(|AB| = 3\) ve \(|AC| = 4\) olan bir \(ABC\) üçgeninin \(|BC|\) kenarı üstündeki bir \(D\) noktası için, \(ABD\) ve \(ACD\) üçgenlerinin ağırlık merkezleri sırasıyla, \(G_1\) ve \(G_2\) olmak üzere, \(|G_1G_2| = 2\) ise, \(|BC|\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  6

Çözüm:
\([BD]\) ve \([CD]\) nin orta noktaları sırasıyla \(E\) ve \(F\) olsun. \(|BE| = |ED|\) ve \(|DF| = |FC|\) olduğundan \(|BC| = 2|EF|\) olur. Ağırlık merkezi kenarortayları 2 : 1 oranında böldüğünden \(|AG_1|/|G_1E| = |AG_2|/|G_2F| = 2\) ve buradan da \(G_1G_2 \parallel EF\) olur. Benzerlikten \(|G_1G_2|/|EF| = 2/3\) ve buradan da \(|EF| = 3\) ve son olarak \(|BC| = 6\) olur. 


**16.** Bir tahtaya yan yana \(n\) tane hepsi birbirinin aynı olmayan pozitif tam sayı yazılmıştır. Sonuncu dışında, her sayı ile sağındaki sayının 3 katının toplamı 1000 ediyorsa, \(n\) en çok kaç olabilir?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 16

Bir tahtaya yan yana \(n\) tane hepsi birbirinin aynı olmayan pozitif tam sayı yazılmıştır. Sonuncu dışında, her sayı ile sağındaki sayının 3 katının toplamı 1000 ediyorsa, \(n\) en çok kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  7

Çözüm:
Sayılar \(x_1, \dots, x_n\) olsun: \(i = 1, \dots, n-1\) için \(x_i+3x_{i+1} = 1000\). \(y_i = x_i - 250\) olsun. O zaman sorudaki koşul \(i = 1, \dots, n-1\) için \(y_i + 3y_{i+1} = 0\) olacaktır. \(y_n = 0\) olursa \(x_1 = \dots = x_n\) çelişkisi elde edilir. O zaman \(|y_n| \ge 1\) ve \(|y_1| = 3^{n-1}|y_n| \ge 3^{n-1}\) olur. \(1 \le x_1 \le 997\) olduğundan \(-249 \le y_1 \le 747\) elde edilir. Buradan \(3^{n-1} \le 747\) ve \(n \le 7\) gelir. \(n = 7\) için örnek: \(y_1 = -729, y_2 = 243, y_3 = -81, y_4 = 27, y_5 = -9, y_6 = 3, y_7 = -1\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 17

Pozitif bir tam sayının 2013 katının rakamları toplamı 12 ise, bu sayının rakamlarının toplamı 8, 10, 12, 14, 16 değerlerinden kaçını alabilir?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
Bir sayının rakamları toplamı sayının (mod 9) daki değerine denktir. Sorudaki sayının rakamları toplamına \(n\) dersek, \(n \cdot 6 \equiv 12 \pmod{9}\) elde edilir. \(\Rightarrow 9|6(n-2)\). \(\Rightarrow 3|n-2\). O halde \(n\) sayısı 8, 10, 12, 14, 16 değerlerinde 8 ve 14 olabilir. 8 için örnek sayı kendisi, \(8 \cdot 2013 = 16104\). 14 için örnek sayı 77, 77 \(\cdot 2013 = 155001\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 18

\(|AB| = 6\), \(|AC| = 8\), \(|BC| = 10\) olan bir \(ABC\) üçgeninde \(A\) ya ait yüksekliğin ayağı \(H\) ve \([BC]\) nin orta noktası \(D\) dir. \(AHD\) üçgeninin çevrel çemberinin \([AB]\) ve \([AC]\) kenarlarını ikinci kez kestiği noktalar sırasıyla, \(E\) ve \(F\) ise, \(HEFD\) dörtgeninin alanı nedir?

Şıklar:

Cevap:  192/25

Çözüm:
\(ABC\) üçgeninde \(AB \perp AC\) ve buradan da \(|AH| \cdot |BC| = |AB| \cdot |AC|\) olduğundan \(|AH| = 24/5\) olur. Pisagor teoreminden \(|BH| = 18/5\), \(|CH| = 32/5\) ve \(D\) orta nokta olduğundan \(|HD| = 7/5\) olur. \(E\) ve \(F\) noktaları \(AHD\) üçgeninin çevrel çemberi üzerinde olduğundan \(\angle AED = \angle AFD = 90^\circ\) olur. \(|AD| = |BD| = |DC|\) olduğundan \(|AE| = |EB| = 3\), \(|AF| = |FC| = 4\) olur. Yani \(EF \parallel HD\) ve \(|EF| = |BC|/2 = 5\) buluruz. \(EFDH\) bir yamuk olup \(EF\) kenarına ait yükseklik uzunluğu \(|AH|/2 = 12/5\) tir. Bu yamukta orta taban uzunluğu \((|EF| + |HD|)/2 = 16/5\) tir. Alan ise \(16/5 \cdot 12/5 = 192/25\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 19

\(x, y, z\) pozitif gerçel sayılar olmak üzere, \((x^2 + y^3 + z^6)/(xyz)\) ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(\sqrt[6]{432}\)

Çözüm:
AGO eşitsizliğinden 


\[x^2 + y^3 + z^6 = \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{2}y^3 + \frac{1}{2}y^3 + z^6 \ge 6\sqrt[6]{\left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^2} xyz\]


olduğundan \((x^2 + y^3 + z^6)/(xyz) \ge 6\sqrt[6]{1/108} = \sqrt[6]{432}\) olur. Eşitlik durumu \((x, y, z) = (\sqrt{3}, \sqrt[3]{2}, 1)\) iken sağlanır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 20

Kendisinden küçük pozitif tam sayıların basamak sayılarının toplamı 2013 olan pozitif tam sayının rakamlarının toplamı nedir?

Şıklar:

Cevap:  15

Çözüm:
100 den küçük pozitif tam sayılardaki basamak sayıları toplamı \(9 + 2 \cdot 90 = 189\) ve 3 basamaklı tüm sayılarda \(3 \cdot 900 = 2700\) basamak bulunduğundan istenen sayı 3 basamaklıdır. Sayı \(n\) olsun. \(\Rightarrow 189 + 3(n - 100) = 2013\). \(\Rightarrow n = 609\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 21

Bir ABCD karesinin \([AB]\) ve \([CD]\) kenarları üstündeki sırasıyla, \(K\) ve \(L\) noktaları \(|AK| = |CL|\) koşulunu sağlıyor. \([KL]\) üstündeki bir \(M\) noktası için, \(s(\overline{DAM}) = s(\overline{MDL}) = 20^\circ\) ise, \(s(\overline{AKM})\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(65^\circ\)

Çözüm:
\(BD\) ve \(KL\) doğruları \(P\) de kesişsin. \(DL \parallel KB\) ve \(|DL| = |KB|\) olduğundan \(|DP| = |PB|\) olur. \(|AD| = |AB|\) olduğundan \(AP \perp BD\) olur. \(\angle ADM = 70^\circ\) ve \(\angle DAM = 20^\circ\) olduğundan \(\angle DMA = 90^\circ\) ve buradan da \(DMPA\) bir kirişler dörtgeni olur. \(\angle APK = \angle ADM = 70^\circ\) ve \(\angle PAK = 45^\circ\) olduğundan \(\angle AKM = 65^\circ\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 22

On tabanındaki yazılımı yalnızca 0 ve 1 rakamlarından oluşan ve 7 ile bölünen bir pozitif tam sayının rakamlarının toplamı 7, 10, 18, 100, 2013 değerlerinin kaçını alabilir?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
1001 ve 10101 sayıları 7 ile bölünüyorlar. Bu nedenle yalnızca 0 ve 1 rakamlarından oluşan ve \(7\) ile bölünen bir pozitif tam sayının rakamlarının toplamı \(1\) dışında her değere eşit olabilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 23

\(100 \times 100\) bir satranç tahtasının üzerine tahtanın birim karelerinden oluşan ve birbirinin iç bölgelerini kesmeyen en fazla kaç tane \(1 \times 53\) dikdörtgen yerleştirilebilir?

Şıklar:

Cevap:  188

Çözüm:
\(\frac{100 \cdot 100}{53} = 188,6\). olduğundan en fazla 188 tane \(1 \times 53\) dikdörtgen yerleştirilebilır. 188 için örnek vardır: \(100 \times 100\) satranç tahtasının merkezindeki \(6 \times 6\) kare dışında kalan bölgeyi \(4\) tane \(53 \times 47\) dikdörtgene ayıralım ve bu dikdörtgenlerin her birine \(47\) tane \(1 \times 53\) dikdörtgen yerleştirelim.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 24

\(|AB| = |AC|\) olan bir ikizkenar \(ABC\) üçgeninin \([BC]\) kenarı üstündeki bir \(D\) noktasından \(AB\) ve \(AC\) doğrularına inilen dikmelerin ayakları sırasıyla, \(E\) ve \(F\) olmak üzere, \(|DE| = 3\), \(|DF| = 12\) ve \(|AF| = 21\) ise, \(|BC|\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(5\sqrt{10}\)

Çözüm:
Pisagor teoreminden \(|AE|^2 + |ED|^2 = |AF|^2 + |DF|^2\) ve buradan da \(|AE| = 24\) bulunur. \(\triangle BED \sim \triangle CFD\) olduğundan \(|CF| = 4|BE|\) ve \(24 + |BE| = 21 + |CF|\) eşitliğini kullanarak \(|BE| = 1\), \(|CF| = 4\) elde ederiz. Pisagor teoreminden \(|BD| = \sqrt{10}\) ve \(|CD| = 4\sqrt{10}\) olacağından \(|BC| = 5\sqrt{10}\) olur. 


**25.** Karesinin basamak sayısı, kendisinin rakamlarının toplamına eşit olan en küçük altı pozitif tam sayının toplamı nedir?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 25

Karesinin basamak sayısı, kendisinin rakamlarının toplamına eşit olan en küçük altı pozitif tam sayının toplamı nedir?

Şıklar:

Cevap:  208

Çözüm:
Bir basamaklı sadece 1 var. İki basamaklı şartı sağlayan sayılar 12,21,30 ve 40. Üç basamaklı koşula uygun en küçük sayı 104 tür. \(1 + 12 + 21 + 30 + 40 + 104 = 208\). 


**26.** \(n\) takımın katıldığı bir futbol turnuvasında herhangi iki takım tam olarak bir kez karşılaşıyor ve kazanan takım 3, berabere kalan takımlar 1 er, yenilen takım 0 puan alıyor. Turnuva sona erdiğinde oluşan puan sıralamasında \(n-1\) takımın puanları eşit olup bir takımın puanı diğer takımlardan 1 puan fazlaysa, \(n\) en az kaç olabilir?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 26

\(n\) takımın katıldığı bir futbol turnuvasında herhangi iki takım tam olarak bir kez karşılaşıyor ve kazanan takım 3, berabere kalan takımlar 1 er, yenilen takım 0 puan alıyor. Turnuva sona erdiğinde oluşan puan sıralamasında \(n-1\) takımın puanları eşit olup bir takımın puanı diğer takımlardan 1 puan fazlaysa, \(n\) en az kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
\(n = 2\) durumunda iki takımın puan farkı sadece 0 ve 2 olabilir. \(n = 3\) durumunda üç takımın puanlarının \((3, 2, 2)\), \((4, 3, 3)\), \((5, 4, 4)\), \((6, 5, 5)\) olamayacağı açıktır. \(n = 4\) durumunda dört takımın puanlarının \((6, 5, 5, 5)\), \((5, 4, 4, 4)\), \((4, 3, 3, 3)\), \((3, 2, 2, 2)\) olamayacağı açıktır. \(n = 5\) durumunda koşullar sağlanabiliyor. Takımlar \(T_1, T_2, T_3, T_4, T_5\) olsun. \(T_1\) takımı \(T_2\) ve \(T_3\) takımlarını yenip \(T_4\) ve \(T_5\) takımlarına yenilsin, \(T_2\) takımı \(T_3\) ve \(T_5\) takımlarıyla berabere kalıp \(T_4\) takımını yensin, \(T_3\) takımı \(T_4\) takımıyla berabere kalıp \(T_5\) takımını yensin, \(T_4\) takımı \(T_5\) takımı ile berabere kalsın. Bu durumda takımların puanları \((6, 5, 5, 5)\) olur ve koşullar sağlanır. 


**27.** \(|AC| = 8\), \(|BC| = 9\) ve \(|AB| = 7\) olan bir \(ABC\) üçgeninin \(A\) köşesinden \(BI\) ve \(CI\) iç açıortaylarına inilen dikmelerin ayakları arasındaki uzaklık nedir?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 27

\(|AC| = 8\), \(|BC| = 9\) ve \(|AB| = 7\) olan bir \(ABC\) üçgeninin \(A\) köşesinden \(BI\) ve \(CI\) iç açıortaylarına inilen dikmelerin ayakları arasındaki uzaklık nedir?

Şıklar:

Cevap:  3

Çözüm:
\(A\) köşesinden \(BI\) ve \(CI\) iç açıortaylarını inilen dikmelerin ayakları sırasıyla \(U\) ve \(V\), \(AU\) ve \(AV\) doğrularının \(BC\) kenarını kestiği noktalar sırasıyla \(D\) ve \(E\) olsun. \(BU\) ve \(CV\) doğruları sırasıyla \(ABC\) ve \(ACB\) açılarının iç açıortayı olduğundan \(|AU| = |UD|\), \(|AV| = |VE|\), \(|AB| = |BD| = 7\) ve \(|AC| = |CE| = 8\) olmalıdır. Buradan \(|BE| = 1\), \(|DC| = 2\), \(|DE| = 6\) olur. \(UV \parallel BC\) olacağından benzerlik kullanılarak \(|UV| = |DE|/2 = 3\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 28

Bir çember üstünde yer alan 101 noktadan biri kırmızıya, diğerleri beyaza boyanmıştır. Bir köşesi kırmızı diğer köşeleri beyaz noktalarda yer alan dışbükey çokgenlerin sayısını \(K\), tüm köşeleri beyaz noktalarda yer alan dışbükey çokgenerlerin sayısını da \(B\) ile gösterirsek, \(K-B\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  4950

Çözüm:
Köşeleri beyaz noktalarda yer alan herhangi bir dışbükey çokgene sadece kırmızı nokta eklenerek bir köşesi kırmızı diğer köşeleri beyaz noktalarda yer alan çokgen elde edilir. Demek ki cevap bir köşesi kırmızı nokta olan üçgen sayısına eşittir: \(K - B = \binom{100}{2} = 4950\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 29

\(|x| \le 1\), \(|y| \le 1\) ve \(x + 2y = 1\) koşullarını sağlayan \(x\) ve \(y\) gerçel sayıları için, \(\sqrt{24(1-x^2)} + \sqrt{21(1-y^2)}\) ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

Şıklar:

Cevap:  9

Çözüm:
AGO eşitsizliğine göre 


\[12(1-x) + 8(1+x) \ge 2\sqrt{96(1-x^2)}\]


ve 


\[14(1-y) + 6(1+y) \ge 2\sqrt{84(1-y^2)}\]


Bu eşitsizlikleri taraf tarafa toplarsak, \(x + 2y = 1\) olduğundan 


\[\sqrt{24(1-x^2)} + \sqrt{21(1-y^2)} \le 9\]


elde ederiz. Eşitlik \(x = \frac{1}{5}\) ve \(y = \frac{2}{5}\) durumunda sağlanır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 30

[AB] çaplı bir çember, [AC] ve [BC] doğru parçalarını ikinci kez sırasıyla, \(D\) ve \(E\) noktalarında kesiyor. \(D\), [AC] nin orta noktası, \(|AB| = 25\) ve \(|AC| = 10\) ise, \(|AE|\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(4\sqrt{6}\)

Çözüm:
[AB] çemberin çaplı olduğundan \(BD \perp AC\) ve \(AE \perp BC\) olur. \(|AD| = |DC|\) ve \(BD \perp AC\) olduğundan \(|BC| = |AB| = 25\) olur. Çemberde kuvvetten \(|CD| \cdot |CA| = |CE| \cdot |CB|\) ve buradan da \(|CE| = 2\) buluruz. Pisagor teoreminden \(|AE| = \sqrt{|AC|^2 - |CE|^2} = 4\sqrt{6}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 2. Aşama, Soru 1

\(x + y + z = 0\) ve \(x^2 + y^2 + z^2 = 6\) koşullarını sağlayan \(x\), \(y\), \(z\) gerçel sayıları için, 


\[|(x-y)(y-z)(z-x)|\]


ifadesinin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz. 


**Çözüm :**

Şıklar:

Cevap:  \(6\sqrt{3}\)

Çözüm:
Genelliği bozmadan \(x \ge y \ge z\) kabul edebiliriz. \(a = x - y\) ve \(b = y - z\) olarak tanımlarsak \(ab(a + b)\) ifadesinin alabileceği en büyük değeri bulmamız gerekecektir. \(x + y + z = 0\) ve \(x^2 + y^3 + z^2 = 6\) olduğundan \(a^2 + b^2 + (a + b)^2 = (x - y)^2 + (y - z)^2 + (x - z)^2 = 3(x^2 + y^2 + z^2) - (x + y + z)^2 = 18\) elde edilir. Buna göre, \(a^2 + ab + b^2 = 9\) olur. Arimetik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden 


\[ab \le \frac{(a+b)^2}{4} \le \frac{a^2 + ab + b^2}{3} = 3\]


ve sonuç olarak 


\[ab(a+b) \le 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\]


elde dilir. Eşitlik \(x = \sqrt{3}, y = 0, z = -\sqrt{3}\) durumunda sağlanır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 2. Aşama, Soru 2

\(p^4 + 2p + q^4 + q^2 = r^2 + 4q^3 + 1\) eşitliğini sağlayan tüm \((p, q, r)\) asal sayı üçlülerini bulunuz. 


**Çözüm :**

Şıklar:

Cevap:  \((p, q, r) = (2, 5, 13)\)

Çözüm:
\(r = 2\) durumunda \(p^4 + 2p + q^4 + q^2 = 4q^3 + 5\) olur. Burada \(q = 2\) veya 3 olmak zorundadır, çünkü \(q \ge 5\) iken \(q^4 + q^2 > 4q^3 + 5\)'tir. \(q = 2\) durumunda \(p^4 + 2p = 17\) olduğundan çözüm gelmiyor. \(q = 3\) durumunda \(p^4 + 2p = 23\) olduğundan çözüm gelmiyor. Demek ki \(r\) tek ve denklemin sağ tarafı çiftir. O zaman \(2p + q^4 + q^2 = 2p + q^2(q^2 + 1)\) çift ve dolayısıyla \(p^4\) çiftir: \(p = 2\). Buna göre \(r^2 = q^4 + q^2 - 4q^3 + 19\) olur. Şimdi \(q \ne 2, 3, 5\) durumlarında 


\[(q^2 - 2q - 2)^2 < q^4 + q^2 - 4q^3 + 19 < (q^2 - 2q - 1)^2\]


olduğunu gösterelim. İlk eşitsizlik \((q - 5)(q - 3) > 0\) ve ikinci eşitsizlik de \(q^2 + 4q > 18\) eşitsizliğine denktir. Demek ki \(q \ne 2, 3, 5\) durumlarında \(r^2 = q^4 + q^2 - 4q^3 +19\) sayısı iki ardışık tam kare arasındadır ve dolayısıyla çözüm yoktur. \(q = 2\) durumunda \(r^2 = 7\), \(q = 3\) durumunda \(r^2 = 1\), \(q = 5\) durumunda \(r^2 = 169\) olur. Sonuç olarak tek çözüm \((2, 5, 13)\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 1

\(|AB| = |AC| = 12\) ve \(|BC| = 4\) olan bir \(ABC\) üçgeninde \(C\) köşesine ait içaçortayın \([AB]\) kenarını kestiği nokta \(D\) ve \([AC]\) kenarının orta noktası \(E\) ise, \(|DE|\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(\sqrt{15}\)

Çözüm:
\(ABC\) üçgeninde \([CD]\) açortayına göre uygulanan açortay teoremlerinden \(|DB| = 3, |DA| = 9\) ve \(|DC| = \sqrt{21}\) olduğu görülür. \(ADC\) üçgeninde \(|DE|\) için kenarortay teoremi uygularsak \(|DE| = \sqrt{15}\) elde edilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 2

\(3x^2y^3 + y^3 - 21x^2 = 35\) eşitliğini sağlayan kaç \((x, y)\) tam sayı ikilisi vardır?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
Verilen eşitlikten \(y^3 = \frac{21x^2+35}{3x^2+1} = 7 + \frac{28}{3x^2+1}\) elde edilir. Eşitliğin sağ tarafının tam sayı olması için \(x \in \{-3, -1, 0, 1, 3\}\) olmalı. Bu beş sayıdan sadece \(x = \pm 3\) için gelen tam sayı ifade aynı zamanda bir tam küptür.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 3

En az birer beyaz top içeren iki kutudan birincisindeki beyaz topların sayısı kırmızı topların sayısından %25 daha az, ikinci kutudaki beyaz topların sayısı da kırmızı topların sayısından %20 daha fazladır. İki kutudaki toplam beyaz top sayısı toplam kırmızı top sayısından %5 daha fazla ise, toplam beyaz top sayısı toplam kırmızı top sayı sından en az kaç tane fazla olabilir?

Şıklar:

Cevap:  3

Çözüm:
Birinci kutuda \(4x\), ikinci kutuda ise \(5y\) tane kırmızı top olsun. O zaman birinci kutuda \(3x\), ikinci kutuda \(6y\) tane beyaz top olacaktır. Koşullara göre \((3x+6y) = 1.05(4x+5y)\) ve buradan \(5y = 8x\) olur. Toplam beyaz top sayısıyla toplam kırmızı top sayısının farkı \(y - x = \frac{3x}{5}\) olduğundan \(x\)'ın alabileceği en küçük değer 5 olur ve buradan \(y - x = 3\) elde edilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 4

2014 negatif olmayan gerçel sayı bir çemberin etrafına herhangi ardışık dördünün toplamı 19 olacak biçimde yazılmışsa, bu sayılardan en büyüğü en fazla kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  19/2

Çözüm:
Tüm sayıların toplamı \(S\) olsun. \(2014 = 2 + 4 \cdot 503\) olduğundan herhangi ardışık iki sayının toplamı \(S - 19 \cdot 503\) olur. Tüm ardışık ikililerin toplamları eşit olduğundan her ikilinin toplamı \(19/2\) olur. Demek ki en büyük sayı en fazla \(19/2\)'ye eşit olabilir. \(19/2\) için örnek verelim: \(19/2, 0, 19/2, 0, \dots, 19/2, 0\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 5

\(|AB| = 9\) ve \(|BC| = 8\) olan bir \(ABCD\) dikdörtgeninin \([AB]\) ve \([AD]\) kenarlarına teğet olup \(C\) köşesinden geçen çemberin yarıçapı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
Çemberin merkezi \(O\), \([AB]\) ve \([AD]\) kenarlarına değme noktaları sırasıyla \(E\) ve \(F\) olsun. Bu durumda \(AEOF\) nin bir kare olduğu görülür. \(O\) dan \([DC]\) kenarına inen dikme ayağı \(K\) ve çemberin yarıçapı \(R\) olmak üzere, \(|OK| = 8 - R\), \(|KC| = 9 - R\) ve \(|OC| = R\) elde edilir. \(OKC\) üçgeninde Pisagor teoremi uygulanmasından \((8 - R)^2 + (9 - R)^2 = R^2\) elde edilir. Bu denklem \(R^2 - 34R + 145 = 0\) denklemine denktir. Bu denklemin kökleri 5 ve 29 dur, ancak \(R < 8\) olduğundan \(R = 5\) olduğu görülür.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 6

\(n\) pozitif bir tam sayı olmak üzere, \(6n + 15\) ve \(10n + 21\) sayılarının en büyük ortak böleni kaç farklı değer alabilir?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
\(ebob(6n + 15, 10n + 21) = eob(6n + 15, 4n + 6) = eob(2n + 9, 4n + 6) = eob(2n + 9, 2n - 3) = eob(12, 2n - 3)\). \(2n - 3\) tek sayı olduğundan \(12\)'nin bölenlerinden \(2, 4, 6, 12\) sayıları \(2n - 3\) sayısı nı bölmez. \(n = 3l\) durumunda 1 ve 3 en büyük ortak bölen oluyor.