alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 15

Dar açılı bir \(ABC\) üçgeninin \(A\) köşesinden \(BC\) ye çizilen dikmenin ayağı \(H\) noktası, \(H\) noktasından \(AB\) ye çizilen dikmenin ayağı \(K\) noktasıdır. \(|AH| = 6\), \(|AC| = 10\) ve \(s(\overline{HAC}) = 2s(\overline{BAH})\) olduğuna göre, \(|HK|\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(6\sqrt{5}/5\)

Çözüm:
[\(HA\) ışını üzerinde \(|AL| = |AC| = 10\) şartını sağlayan bir \(L\) noktası alırsak \(\angle HLC = \angle HAC/2 = \angle HAK\) ve \(\triangle HAK \sim \triangle CLH\) olur. Pisagor teoreminden \(|CL| = 8\sqrt{5}\) tir. Benzerlikten \(|HK|/6 = 1/\sqrt{5}\) ve buradan da \(|HK| = 6\sqrt{5}/5\) elde ederiz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 16

120 metre uzunluğunda olan ve 60 km/saat hızla hareket eden bir trenin en arkasından sabit hızla trenle aynı yönde hareket eden bir kuşun, trenin en önüne gidip, hiç zaman kaybetmeden aynı hızla tekrar trenin en sonuna geri dönmesi için toplam 21 saniye gerekmektedir. Kuşun hızı kaç km/saat tir?

Şıklar:

Cevap:  84

Çözüm:
Kuşun trenin en önüne gitmesi \(t\) saniye, tekrar en sonuna geri dönmesi \(21 - t\) saniye sürmüş olsun. Kuşun hızına ise \(x\) km/saat diyelim. 10

metre/saniye ile 36 km/saat birbirine eşit olduğundan, 


\[
\frac{120}{t} = \frac{10}{36}(x - 60) \quad \text{ve} \quad \frac{120}{21 - t} = \frac{10}{36}(x + 60)
\]


elde ederiz. Buradan, \(\frac{36}{10} \cdot \left(\frac{1}{x-60} + \frac{1}{x+60}\right) = \frac{21}{120}\) olur. İfadeyi düzenlersek, \(\frac{2x}{x^2 - 3600} = \frac{7}{144}\) ve \(7x^2 - 288x - 25200 = 0\) elde ederiz. Sonuç olarak, \((x-84)(7x+300) = 0\) olup, \(x = 84\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 17

KARABURUN kelimesindeki harfler, herhangi iki ünlü yan yana gelmeyecek ve içinde UK geçmeyecek şekilde kaç farklı biçimde dizilebilir?

Şıklar:

Cevap:  3600

Çözüm:
İlk önce ünsüz harfler sıralayalım: \(\frac{5!}{2!}\). Daha sonra \(U\) harflerini ünsüz 5 harfin oluşturduğu 6 boşluğa yerleştirelim: UK ifadesinin geçmemesi nedeniyle \(\binom{5}{2}\) farklı biçimde U ların yerleri seçilebilir. En son olarak kalan 4 boşluğun ikisine A harflerini yerleştirelim: \(\binom{4}{2}\). Buna göre, cevap \(\frac{5!}{2!}\binom{4}{2} = 3600\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 18

AB//CD olan bir ABCD yamuğunda, |AB| = 6, |CB| = 3 tür. E noktası CD doğrusu üstünde, \(s(\overline{EB} \overline{BC}) = s(\overline{EB} \overline{A})\) ve |BE| = 5 olduğuna göre, |AE| kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(\sqrt{11}\)

Çözüm:
Paralellikten \(\angle CEB = \angle EBA = \angle EBC\) ve buradan da \(|EC| = |BC| = 3\) olur. [EC ışını üzerinde |CF| = 3 şartını sağlayan E den farklı bir F noktası alalım. |CE| = |CB| = |CF| olduğundan \(\angle EBF = 90^\circ\) olur. Pisagor teoreminden \(|BF| = \sqrt{11}\) dir. \(|EF| = |AB|\) ve \(\angle FEB = \angle ABE\) olduğundan \(\triangle FEB \cong \triangle ABE\) ve buradan da \(|AE| = |BF| = \sqrt{11}\) elde ederiz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 19

\(xy^2 = 128(x-1)^2\) eşitliğini sağlayan kaç \((x, y)\) pozitif tam sayı ikilisi vardır?

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
\(x\) ve \(x-1\) sayıları aralarında asal olduğundan \(x|128\). Demek ki \(x\) sayısının alabileceği değerler \(k=0,1,\dots,7\) olmak üzere, \(x=2^k\) şeklindedir. Bunu denklemde yazarsak, \(2^k y^2 = 128(2^k - 1)^2\) gelir. \(k\) sayısı çift olursa, sol taraf tam kare olur ancak sağ taraf tam kare olmaz. \(k=1,3,5,7\) değerleri için \(y = (2^k - 1)2^{(7-k)/2}\) gelir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 20

{1, 2, ..., 33} kümesi, her altkümledeki en az bir sayı, aynı altkümledeki iki farklı sayının toplamına eşit olacak biçimde en çok kaç altkümeye ayrılabilir?

Şıklar:

Cevap:  10

Çözüm:
Her altkümlede en az üç sayı bulunacaktır. Alt küme sayısı 11 olursa, her altkümlede tam olarak üç sayı bulunacak ve sayılardan biri diğer ikisinin toplamı olacaktır. O zaman her altkümledeki sayılırın toplamı çift olur ve dolayısıyla tüm sayıların toplamı çift olur. Fakat \(1 + 2 + \cdots + 33 = 33 \cdot 17 = 561\) tek sayıdır. 10 altküme için örnek verelim: 


{1, 30, 31}, {2, 3, 5}, {4, 23, 27}, {6, 19, 25}, {7, 8, 15}, {9, 20, 29}, {10, 12, 22}, {11, 13, 24}, {14, 18, 32}, {16, 17, 33, 21, 26, 28}.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 21

Bir \(ABC\) üçgeninde \(D\), \([AC]\) nin orta noktası olmak üzere, \(s(\widehat{DBC}) = 15^\circ\), \(s(ACB) = 30^\circ\) olduğuna göre, \(s(BA\overline{C})\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(105^\circ\)

Çözüm:
\([BC]\) üzerinde \(\angle BDE = 15^\circ\) olacak biçimde bir \(E\) noktası alalım. \(\angle DEC = 30^\circ\) olacağından \(|BE| = |ED| = |DC| = |AD|\) olur. \(\angle ADE = 60^\circ\) olduğundan \(ADE\) bir eşkenar üçgendir. Buradan \(\angle EAD = 60^\circ\) ve \(\angle AEB = \angle AEC = 90^\circ\) elde ederiz. \(|BE| = |AE|\) olduğundan \(\angle BAE = 45^\circ\) ve \(\angle BAC = 105^\circ\) buluruz.

14. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI SINAVI - 2009 


İkinci Bölüm
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 22

O merkezli bir çembere dışındaki bir A noktasından çizilen teğetler çembere B ve C noktalarında değiyor. [BD] doğru parçası çemberin bir çapı olmak üzere, CD doğrusu, AB doğrusunu E noktasında kesiyor. AD ve OE doğrularının kesişme noktası F ise, |AF|/|FD| oranını bulunuz.

Şıklar:

Cevap:  1/2

Çözüm:
[BD] çap olduğundan ∠BCE = 90° dir. Teğetlikten |AB| = |AC| dir. ∠CEB = 90° - ∠EBC = 90° - ∠ACB = ∠ACE olduğundan |AE| = |AC| = |AB| olur. Menelaus teoreminden 


\[
\frac{|AF|}{|FD|} = \frac{|EA|}{|EB|} \cdot \frac{|BO|}{|OD|} = \frac{1}{2}
\]


elde ederiz. 


(veya, [BE]'nin orta noktası A ve [BD]'nin orta noktası O olduğundan F noktası BDE üçgeninin ağırlık merkezidir ve dolayısıyla |AF|/|FD| = 1/2 dir.)
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 23

\(n\) tam sayısının tam olarak altı tane pozitif böleni vardır ve bunlar sırasıyla, \(1 < a < b < c < d < n\) dir. \(k = a - 1\) olmak üzere, \(n\) nin yukarıda \(k\) inci sırada geçen böleni, \((1 + a + b)b\) sayısına eşitse, \(n\) sayısının alabileceği tüm değerleri bulunuz.
n nin hangi değerleri için, başlangıçtaki 0 ve 1 ler nasıl yerleştirilmiş olursa
olsun, sonlu sayıda adım sonucunda bütün sayıların 0 olacağını belirleyiniz.

Şıklar:

Cevap:  n = 1 ve 3

Çözüm:
n = 1 durumunda ilk adım sonucunda birim kareye yazılan sayı 0 olacaktır. n = 3 dorumunda başlangıçta sayılar 8 farklı şekilde yerleştirilebilir. Bu durumların her birinde sonlu sayıda adım sonucunda bütün sayılar 0 oluyor: 


\[
(0, 0, 0) \rightarrow (0, 0, 0),
\]


\[
(0, 0, 1) \rightarrow (0, 1, 0) \rightarrow (1, 0, 1) \rightarrow (0, 0, 0).
\]


\[
(0, 1, 0) \rightarrow (1, 0, 1) \\
\rightarrow (0, 0, 0).
\]


\[
(0, 1, 1) \rightarrow (1, 0, 0) \rightarrow (0, 1, 0) \rightarrow (1, 0 , 1) \rightarrow (0, 0, 0).
\]


\[
(1, 0, 0) \rightarrow (0, 1, 0) \\
\rightarrow ((1, 0, 1) \rightarrow (0, 0, 0).
\]
\]


\[
(1, 0, 1) \rightarrow (0, 0, 0).
 \]


\[
(1, 1, 0) \rightarrow (0, 0, 1) \rightarrow (0, 1, 0) \\
\rightarrow (1, 0, 1) \rightarrow (0, 0, 0). 
\]


\[
(1, 1, 1) \rightarrow (0, 0, 0).
\]


Şimdi n nin tüm diğer değerleri için sonlu adım sonucunda bütün sayıların 0 olmadığı örnekler verelim.

\(k = 0,1,\dots\) olmak üzere, \(n = 4k + 2\) durumunda başlangıçtaki dizilim soldan başlayarak \(k\) tane \((1,0,0,1)\) dörtlüsünden ve 1 tane \((1,0)\) ikilisinden oluşursa; tek sayıda adım sonucunda dizilim soldan başlayarak \(k\) tane \((0,1,1,0)\) dörtlüsünden ve 1 tane \((0,1)\) ikilisinden, çift sayıda adım sonucunda ise soldan başlayarak \(k\) tane \((1,0,0,1) \) dörtlüsünden ve 1 tane \((1,0)\) ikilisindenoluşacaktır. 


\(k = 0,1,\dots\) olmak üzere,\(n = 4k\) durumunda başlangıçtaki dizilim soldan başlayaraki \(k\) tane \((1,0,0,1)\) dörtlüsünd en oluşursa; tek sayıda adım sonucunda dizilim sold an başlayarak \(k\) tane \((0,1,1,0)\) d örtlüsünden, çift sayıda adım sonucunda ise soldan başlayarak k tane \((1,0,0,1)\) dörtlüsünden oluşacaktır. 


\(k = 0,1,\dots\) olmak üzere, n = 4k + 5 durumunda başlangıçtaki dizilim soldan başlayarak 1 tane \((1,0,0,1)\) beşlisinden ve \(k\) tane \((1,0,0,1)\) dörtlüsünd e oluşursa; tek sayıda adım sonucunda dizilim solda n başlayarak 1 tane \((0,1,0,1)\) beşlisinden ve \(k\) tane \((0,1,1,0)\) dörtlüsünd en, çift sayıda adım sonucunda ise soldan başlayarak 1 tane \((1,0,0,1)\) b eşlisinden ve \(k\) tane \((1,0,0,1)\) d örtlüsünden oluşacaktır. 


\(k = 0,1,\dots\) olmak üzere,  \(n = 4k + 7\) durumunda başlangıçtaki dizilim soldan başlayara k 1 tane \((1,0,0,1)\) beşlisinden, \(k\) tane \((1,0,0,1)\) dörtlüsündene v 1 tane \((1,0)\) ikilisinden oluşursa; tek sa yıda adım sonucunda dizilim soldan başlayarak 1 tane \((0,1,0,1)\) beş lisinden, \(k\) tane \((0,1,1,0)\) dörtlüsünd e n ve 1 tane \((0,1)\) ikilisinden, çift sayıda a dım sonucunda ise soldan başlayarak 1 tane \((1, 0,0,1)\) beşlisinden, \(k\) tane \((1, 0,0,1)\) d örtlüsünden ve 1 tane \((1,0)\) ikilisinden oluşacaktır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 24

\(n\) tam sayısının tam olarak altı tane pozitif böleni vardır ve bunlar sırasıyla, \(1 < a < b < c < d < n\) dir. \(k = a - 1\) olmak üzere, \(n\) nin yukarıda \(k\) inci sırada geçen böleni, \((1 + a + b)b\) sayısına eşitse, \(n\) sayısının alabileceği tüm değerleri bulunuz.

Şıklar:

Cevap:  \(n = 2009\)

Çözüm:
Öncelikle \(1 + a + b\) sayısı \(n\) nin bir böleni olmalıdır ve açıkça \(1 + a + b > b\) olduğu görülür. Dolayısıyla \(1 + a + b \ge c\) olur. Diğer taraftan, \(n\) nin tam olarak altı tane pozitif böleni olduğundan \(n = bc\) dir, bu da \(bc \ge (1 + a + b)b\) ve dolayısıyla \(c \ge 1 + a + b\) olduğunu gösterir. Sonuç olarak, \(1 + a + b = c\) ve \(k = a - 1 = 6\) elde ederiz. Buradan, \(n = (b + 8)b\) sayısının pozitif bölenleri \(1 < 7 < b < b + 8 < d < b(b + 8)\) olur. Ek olarak, \(n\) sayısının tam olarak 6 tane pozitif böleni olması için, \(p\) ve \(q\) asal

sayılar olmak üzere, \(n = p^2q\) veya \(n = p^5\) olmalıdır. 7 sayısı \(n\) nin bir böleni olduğundan, ilk durumda \(p = 7\) veya \(q = 7\) dir, ikinci durumda ise \(n = 7^5\) tir. 


- \(p = 7\) ise, \(a = 7\) olduğundan \(q > 7\) olur. \(q > 7^2\) ise, \(7^2 = b\) ve \(q = b + 8\) elde ederiz, buradan \(q = 57\) olur fakar 57 asal sayı değildir. \(q < 7^2\) ise, \(b = q\) ve \(b + 8 = 7^2\) elde ederiz, buradan \(q = 41\) ve \(n = 7^2 \cdot 41 = 2009\) bulunur. 


- \(q = 7\) ise, \(a = 7\) olduğundan \(p > 7\) olur. Buradan \(b = p\) ve \(b + 8 = 7p\) elde ederiz, bu da \(6p = 8\) olduğunu gösterir ki, bu mümkün değildir. 


- \(n = 7^5\) ise, \(b = 7^2\) ve \(b + 8 = 7^3\) olup, \(7^3 - 7^2 = 8\) elde ederiz, bu doğru değildir. 


Sonuç olarak, sadece \(n = 2009\) olabilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 1

Kendisi ile 1 fazlasının toplamı 3 ün bir kuvvetine eşit olan kaç pozitif tam sayı vardır?

Şıklar:

Cevap:  Sonsuz çoklukta

Çözüm:
Koşulları sağlayan sayı *a* olsun. O zaman negatif olmayan bir *n* tam sayısı için \(a + a + 1 = 3^n\) ve buradan da \(a = \frac{3^n - 1}{2}\) şeklinde sonsuz çözüm gelir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 2

2010 dan küçük kaç *n* pozitif tam sayısı için, *n* nin rakamlarının toplamıyla aynı rakam toplamına sahip olan her *m* pozitif tam sayısı \(m \ge n\) koşulunu sağlar?

Şıklar:

Cevap:  28

Çözüm:
Koşulları sağlayan sayılara *iyi* sayı diyelim. Tek basamaklı tüm pozitif tam sayılar iyi sayıdır. İki basamaklı iyi sayının basamaklarının toplamı en az 10 olmak zorundadır, aksi takdirde rakamlarının toplamı bu sayının rakamlarının toplamıyla aynı olan tek basamaklı sayı bulunacaktır. \(10 \le l \le 18\) koşulunu sağlayan her *l* tam sayısı için rakamlarının toplamı *l* olan sadece bir iki basamaklı iyi sayı vardır. Üç basamaklı iyi sayının basamaklarının toplamı en az \(19\) olmak zorundadır, aksi takdirde rakamlarının toplama bu sayının rakamlarının toplamıyla aynı olan iki basamaklı sayı bulunacaktır. \(19 \le l \le 27\) koşulunu sağlayan her *l* tam sayısı için rakamlarnın toplamı *l* olan sadece bir üç basamaklı iyi sayı vardır. Dört basamaklı iyi sayının basamaklarının toplamı en az **28** olmak zorundadır, aksi takdirde rakamlarının toplAMA bu sayının rakamlarının toplamıyla aynı olan üç basamaklı sayı bulunacaktır. Buna göre 2010 dan küçük olan tek iyi sayı 1999 dur. Sonuç olarak cevap \(9 + 9 + 9 + 1 = 28\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 3

Bir \(ABC\) üçgeninin iç açıortaylarının kesişim noktasının \([AC]\) kenarına uzaklığı 4 birimdir. \(ABC\) üçgeninin dışına doğru, \([AB]\), \([BC]\) ve \([CA]\) kenarlarını taban alan ve yükseklikleri 2 birim olan ikizkenar üçgenlerin alanlarının toplamının \(ABC\) üçgeninin alanına oranı nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{1}{2}\)

Çözüm:
Yükseklikleri 2 olan ikizkenar üçgenlerin alanları toplamı, \(|AB| + |BC| + |CA| = u\) dersek, \(2 \cdot u\) olur. Diğer taraftan, iç açıortayların kesişim noktasının \([AC]\) kenarına uzaklığı \(ABC\) üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı olan \(r\) ye eşittir. \(ABC\) nin alanı \(u \cdot r\) olduğundan, istenilen oran \(\frac{2 \cdot u}{u \cdot r} = \frac{2 \cdot u}{u \cdot 4} = \frac{1}{2}\) olarak bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 4

1 saatte en fazla 3 km yüzen bir balık 15 km lik bir mesafeyi t saatte yüzdüyse, 4, 17/4, 9/2, 23/5, 19/4, 5 değerlerinden kaçı t tarafından alınabilir?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
Balık saatte 3 km sabit hızla yüzerse, 5 saatte 15 km yüzecektir. \(t = 19/4 = 4.75\) için, balık ilk 0.75 saatte 3 km yüzüp daha sonraki 0.25 saatte dinlenirse, her saatte 3 km yüzmüş olacak ve 19/4 saatte 15 km yüzecektir. \(t = 23/5 = 4.6\) için, balık ilk 0.6 saatte 3 km yüzüp daha sonraki 0.4 saatte dinlenirse, her saatte 3 km yüzmüş olacık ve 23/5 saatte 15 km yüzecektir. \(t = 9/2 = 4.5\) için, balık ilk 0.5 saatte 3 km yüzüp daha sonraki 0.5 saatte dinlenirse, her saatte 3 km yüzmüş olacıak ve 9/2 saatte 15 km yüzecektir. \(t = 17/4 = 4.25\) için, balık ilk 0.25 saatte 3 km yüzüp daha sonraki 0.75 saatte dinlenirse, her saatte 3 km yüzmüş olacır ve 17/4 saatte 15 km yüzecektir. \(3 \cdot 4 = 12 < 15\) olduğundan 4 değeri \(t\) tarafından alınamaz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 5

\(n\) tam sayı olmak üzere, \(n/21\) sayısı 5/14 ile 5/12 arasında ise, \(n\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  8

Çözüm:
\(5/14 < n/21 < 5/12\) olduğuna göre, \(7.5 < n < 8.75\) ve buradan da \(n = 8\) gelir. 


6. Çevreleri 35 ve 36 birim olan iki çemberin yarıçapları arasındaki fark kaç birimdir?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 6

Çevreleri 35 ve 36 birim olan iki çemberin yarıçapları arasındaki fark kaç birimdir?

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{1}{2\pi}\)

Çözüm:
Çemberlerin yarıçaplarına sırasıyla \(r_1\) ve \(r_2\) dersek, \(2\pi \cdot r_1 = 35\) ve \(2\pi \cdot r_2 = 36\) olduğundan, \(r_2 - r_1 = \frac{36}{2\pi} - \frac{35}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 7

\(10 \le a_1 < a_2 < \cdots < a_n \le 99\) tam sayılarının herhangi ikisi aralarında asal ise, \(n\) en fazla kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  25

Çözüm:
Sayılardan herhangi ikisi aralarında asal olduğundan her sayı için sadece bu sayıyı bölen bir asal sayı vardır. 99 dan büyük olmayan 25 asal sayı bulunuyor. Buna göre, cevap en fazla 25 olabilir. 25 için örnek: \(2^4, 3^3, 5^2, 7^2, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 42, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 8

On tabanına göre yazılımındaki rakamların karelerinin toplamı asal sayı olan kaç tane iki basamaklı asal sayı vardır?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
11 sayısı koşulları sağlıyor. Diğer iki basamaklı sayıların ilk basamakları çift sayı olmak zorundadır. Buna göre toplam 5 sayı vardır: 11,23,41,61,83.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 9

AB//CD olan bir ABCD yamuğunda, |AB| = 2, |CD| = 3, |BD| = 5 ve s(ABD) = 60° ise, |AC| kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
[DC' ışını üzerinde |DE| = 5 olan E noktasını alalım. CE || AB ve |CE| = 2 = |AB| olduğundan ABEC paralelkenar olup, |BE| = |AC| olur. Diğer taraftan, AB || CD olduğundan s(BDE) = s(ABD) = 60° olur. Sonuç olarak, |BD| = |DE| ve s(ABD) = 60° olması BDE üçgeninin eşkenar olduğunu gösterir. Buradan |AC| = |BE| = |BD| = 5 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 10

Ayşe 165 sayfalık bir kitabı bazı günler 3 sayfa, bazı günler 6 sayfa ve bazı günler de 30 sayfa okuyarak 9 günde bitiriyor. Ayşe kaç gün 30 ar sayfa okumuştur?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
Ayşe'nin 3,6 ve 30 sayfa okuduğu gün sayısı, sırasıyla x, y ve z olsun. O zaman \(3x + 6y + 30z = 165\) ve \(x + y + z = 9\) olur. İlk denklemde \(x = 9 - y - z\) yazarsak \(y + 9z = 46\) elde ederiz. Buna göre z in alabileceği en büyük değer 5 olur. z in daha küçük değerlerinde \(y + z \ge 14\) çelişkisi gelir. Demek ki tek çözüm vardır: \((x, y, z) = (3, 1, 5)\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 11

A, B, C, D, E, F farklı rakamları belirtmek üzere, ilk beş teriminin on tabanına göre yazılımları sırasıyla, A, BC, BD, CE, FF olan bir aritmetik dizinin altıncı terimi nedir?

Şıklar:

Cevap:  40

Çözüm:
Aritmetik dizinin ortak farkı t olsun. BC ve BD ardışık elemanlar olduklarına göre \(t \le 9\). O zaman A ve BC ardışık elemanlar olduklarına göre \(B = 1\) olur. Şimdi de BD, CE, FF ardışık elemanlar olduklarına göre \(C = 2\) ve \(F = 3\) olur. Demek ki \(FF - BC = 33 - 12 = 3t\) olduğundan \(t = 7\) gelir. Sonuç olarak altıncı terim \(33 + 7 = 40\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 12

Dışbükey bir ABCD dörtgeninin köşegenlerinin kesişme noktası E olmak üzere, \(s(AED) = s(BAD) = 90°\), |BE| = |EC| ve |AB| = \(\sqrt{14}\) ise, BDC üçgeninin alanı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  7

Çözüm:
BAD dik üçgeninde [AE], hipotenüse inen yükseklik olduğundan, Öklit teoreminden |BE| · |BD| = |AB|² = 14 olarak bulunur. Diğer

taraftan, \(CE \perp BD\) olduğundan \(BDC\) üçgeninin alanı \(\frac{|BD| \cdot |EC|}{2}\) olarak hesaplanabilir. \(|BE| = |EC|\) eşitliğinden, \(BDC\) üçgeninin alanı \(\frac{14}{2} = 7\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 13

Kaç \((a, b)\) pozitif tam sayı ikilisi için \(2^{2010}\) sayısı \(ab(a^2+b^2)\) sayısı ile bölünür?

Şıklar:

Cevap:  503

Çözüm:
\(a\) ve \(b\) nin 2 dışında böleni olamaz. \(k < n\) olmak üzere, \(a = 2^k\) ve \(b = 2^n\) olursa, \(a^2 + b^2 = 2^{2k}(1 + 2^{2n-2k})\) sayısının tek sayı olan bir çarpanı bulunur, çelişki. \(a = b = 2^k\) durumunda \(2^{4k+1}|2^{2010}\) olduğundan \(0 \le 4k+1 \le 2010\) olur. Buna göre \(0 \le k \le 502\) ve \(k\) sayısının alabileceği farklı değer sayısı 503 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 14

Hızı durgun suda 18 km/saat olan motorlu bir tekne ile nehrin akışına ters yönde 40 dakikada gittiğimiz mesafeyi, dönüşte motoru çalıştırmayıp tekneyi akıntıya bırakarak 50 dakikada geliyorsak, akıntının hızı kaç km/saat tir?

Şıklar:

Cevap:  8

Çözüm:
Teknenin nehrin akışına ters yönde 40 dakikada gittiğimiş mesafe \(L\) ve nehrin hızı \(v\) olsun. O zaman 


\[50 \cdot \frac{L}{18 - v} = 40 \cdot \frac{L}{v}\]


olur. Buradan \(v = 8\) gelir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 15

Merkezleri aynı, yarıçapları farklı olan üç düzlemdeş çemberden büyüğüyle ortancası arasında kalan alan \(S_1\), ortancası ile küçüğü arasında kalan alan da \(S_2\) olsun. Ortanca çemberin küçük çembere teğet olan bir kirişinin uzunluğu 4 birim, büyük çemberin ortanca çembere teğet olan bir kirişinin uzunluğu da 10 birimdir. \(S_1 - S_2\) kaç birim karedir?

Şıklar:

Cevap:  \(21\pi\)

Çözüm:
Çemberlerin yarıçapları küçükten büyüğe doğru sırasıyla \(r_1, r_2, r_3\) olsun. \(S_1 = \pi(r_3^2 - r_2^2)\) ve \(S_2 = \pi(r_2^2 - r_1^2)\) olduğu açıktır. Diğer taraftan, çemberlerin ortak merkezinden, ortanca çemberin küçük çembere teğet olan kirişine inen dik, bu kirişi iki eş parçaya böler ve kenar uzunlukları 2, \(r_1\) ve \(r_2\) olan bir dik üçgen oluşturur. Dolayısıyla \(r_2^2 - r_1^2 = 2^2 = 4\) bulunur. Benzer şekilde \(r_3^2 - r_2^2 = 5^2 = 25\) olur. Sonuç olarak, \(S_1 - S_2 = 21\pi\) elde edilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 16

Bir manav aldığı domateslerin 1/6 sını bozuk çıktığı için çöpe atıp geri kalanları da satıyor. Bu durumda %25 kâr ettiğine göre, bozuk domatesleri

atmayıp aynı fiyattan satabilsaydı, yüzde kaç kâr ederdi?

Şıklar:

Cevap:  50

Çözüm:
Bozuk domates çıkmadığı durumlarda manavın satıştan elde ettiği paranın domateslere harcadığı paraya oranı s olsun. O zaman \(5/6 \cdot s = 1.25\) ve buradan da \(s = 1.5\). Demek ki manav bozuk domatesleri atmayıp aynı fiyattan satabildiği durumda yüzde %50 kâr ederdi.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 17

On tabanına göre tersten yazılmış ile kendisi aynı olup 3 ile bölünen kaç yedi basamaklı pozitif tam sayı vardır?

Şıklar:

Cevap:  3000

Çözüm:
Sayımıza *abcdcba* diyelim. Bu sayı 3 ile bölüneceğinden, *b*, *c*, *d* rakamlarının alacağı her bir değer için, *a* rakamının 3 modundaki değeri diğer üç rakama göre tek türlü belli olur. Ek olarak, *a* rakamı 0 olamayacağından, 3 modundaki değeri belli ise *a* rakamı için tam olarak 3 seçenek vardır. Sonuç olarak, \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 3 = 3000\) pozitif tam sayı vardır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 18

\(s(\overline{ABC}) = 90^\circ\) ve \(|AC| = 12\) olan bir \(ABC\) üçgeninde, \(D\) noktası \([AB]\) kenarı, \(E\) noktası \([BC]\) kenarı üstünde, \(s(\overline{EDC}) = 90^\circ\) ve \(|CD| = 2|DE| = 2|BE|\) ise, \(|DB|\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  12

Çözüm:
\(E\) noktasından \(BD\) ye indirilen dikme ayağı \(F\) olsun. \(BED\) üçgeni ikizkenar olduğundan \(|DB| = 2|DF|\) olur. Diğer taraftan, \(s(\overline{EDC}) = 90^\circ\) ve \(s(\overline{DAC}) = 90^\circ\) olduğundan, \(s(\overline{EDF}) = s(\overline{DCA})\) bulunur. Dolayısıyla \(EFD\) ve \(DAC\) üçgenleri benzer olur. Benzerlik oranı \(|ED| : |DC| = \frac{1}{2}\) olduğundan, \(|DB| = 2|DF| = |AC| = 12\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 19

Aşağıdaki \((A, B)\) ikililerinden hangisi için 


\[ \frac{x^2 + xy}{y} = A \quad \frac{x}{x} = B \]


denklem sisteminin gerçel çözümü yoktur? 


a) \((1, -2)\) b) \((\sqrt{3}, 1)\) c) \((1, 0)\) d) \((1/3, -1/2)\) e) \((-2, -2)\)

Şıklar:

Cevap:  \((1, -2)\)

Çözüm:
Verilen eşitliklerden \(A = x(x+y)\) ve \(1+B = \frac{x+y}{y}\) olduğu görülebilir. Dolayısıyla \(A(1+B) = (x+y)^2 \ge 0\) olmalıdır. Diğer taraftan, \(A(1+B) \ge 0\) ve \(A \ne 0, B \ne -1\) için, \(x = \sqrt{\frac{A}{1+B}}\) ve \(y = B\sqrt{\frac{A}{1+B}}\)

olduğunda eşitliklerin sağlandığı görülebilir. Buradan \((A, B)\) ikilisinin sadece \((1, -2)\) olamayacağı elde edilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 20

2010 dan küçük kaç pozitif tam sayının on tabanına göre yazılmındaki rakamların toplamı 5 ile bölünür?

Şıklar:

Cevap:  401

Çözüm:
2010 dan küçük pozitif tamsayıları \(G_1 = \{10, 11, \dots, 19\}\), \(G_2 = \{20, 21, \dots, 29\}\), \(G_3 = \{30, 31, \dots, 39\}\), ..., \(G_{200} = \{2000, 2001, \dots, 2010\}\) olacak şekilde 200 gruba ayrıalım. Bu grupların her birinde rakamlarının toplamı 5 ile bölünen iki sayı vardır. Buna göre cevap \(400+1=401\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 21

\(E\) ve \(F\) noktaları bir \(ABCD\) karesinin sırasıyla, \([BC]\) ve \([CD]\) kenarları üstündedir. \(AF\) ve \(DE\) doğrularının kesişim noktası \(G\) olmak üzere, \(|FD| = 3\), \(|EB| = 1\) ve \(|EF| = \sqrt{10}\) ise, \(|GF|\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{9}{5}\)

Çözüm:
Öncelikle \(|CF| = a\) dersek, \(ABCD\) karesinin bir kenarının uzunluğu \(3 + a\) olacağından \(|EC| = a + 2\) elde ederiz. \(ECF\) dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanırsak \(a^2 + (a + 2)^2 = 10\) ve dolayısıyla \(a = 1\) bulunur. \(|EC| = |DF|\) olduğundan \(ADF\) ve \(DCE\) üçgenleri eş olup, buradan \(s(\overline{EDC}) = s(\overline{FAD}) = 90^\circ - s(\overline{AFD})\) ve dolayısıyla \(AF \perp DE\) bulunur. Sonuç olarak, \(DGF\) ve \(DCE\) üçgenleri benzer olup, \(\frac{|GF|}{|CE|} = \frac{|DF|}{|DE|}\) elde ederiz. \(ECD\) dik üçgeninde Pisagor teoreminden \(|ED| = \sqrt{3^2 + 4^2}\) olduğundan, \(|GF| = \frac{|CE| \cdot |DF|}{|DE|} = \frac{3 \cdot 3}{5} = \frac{9}{5}\) bulunur.