alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 28

Bir düzgün 132-genin 30 köşesi kırmızı, kalan 102 köşesi ise mavi renge boyanmıştır. Her ikisi mavi olan komşu köşe ikilisi sayısı, her ikisi kırmızı olan komşu köşe ikilisi sayısının 4 katı ise, farklı renkli komşu köşe ikilisi

sayısı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  12

Çözüm:
Aynı renkli ardışık köşelerden oluşan bir grubun saat yönünde ve saat yönünün tersindeki ilk köşelerin her ikisi bu gruptaki köşelerden farklı renkteyse bu gruba dizi diyelim. Kırmızı renkli köşelerden oluşan toplam dizi sayısı *k* ise, mavi renkli köşelerden oluşan toplam dizi sayısı da *k* olacaktır. Sonuç olarak kırmızı ikili sayısı 30 - *k*, mavi ikili sayısı ise 102 - *k* olacaktır. Buna göre 4(30 - *k*) = (102 - *k*) ve buradan da *k* = 6 olur. Buna göre, farklı renkli komşu köşe ikilisi sayısı da 2·6 = 12 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 29

Dışbükey bir *ABCD* dörtgeninin köşegenleri dik kesişmektedir. *K* ve *L* noktaları, sırasıyla [AB] ve [CD] kenarları üzerinde |AK| = 2|KB| ve |CL| = 2|LD| olacak şekilde almıyor. |AC| = 48 ve |BD| = 45 ise, |KL| nedir?

Şıklar:

Cevap:  34

Çözüm:
[BC] kenarı üzerinde bir *M* noktasını |CM| = 2|MB| olacak biçimde alalım. Bu durumda *MK* doğrusu *AC* doğrusuna, *LM* doğrusu da *BD* doğrusuna paraleldir ve dolayısıyla *LM* ⊥ *MK* olur. Benzerlikten |KM|/|AC| = 1/3 ve |LM|/|BD| = 2/3 elde edilir ve buradan da |KM| = 16 ve |LM| = 30 bulunur. O zaman *KLM* üçgeninde Pisagor teoreminden |KL| = 34 elde edilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 30

\(7^{2n+1} - 4 \cdot 7^n + 9\) ifadesinin bir tam kare olmasını sağlayan kaç *n* pozitif tam sayısı vardır?

Şıklar:

Cevap:  1

Çözüm:
\(7^{2n+1} - 4 \cdot 7^n + 8 = m^2\) ve \(m > 0\) olsun. O zaman \(7^n(7^{n+1} - 4) = m^2 - 9 = (m-3)(m+3)\). \((m+3) - (m-3) = 6\) olduğundan \(m-3\) ve \(m+3\)'ten tam olarak biri 7 ile bölünür. 


7|m - 3 olsun. O zaman \(m - 3 = 7^n k\) olacak şekilde *k* pozitif tam sayısı vardır ve \(m + 3 = (7^{n+1} - 4)/k = 7^n k + 6\) elde edilir. Buradan \(7^n(7 - k^2) = 6k + 4\) bulunur. Sağ taraf pozitif olduğundan, sol tarafa bakarak \(k = 1\) veya \(k = 2\) olabileceği görülür. Ancak her iki durumda da *n* tam sayı olmaz ve bu durumdan çözüm gelmez. 


7|m+3 olsun. O zaman \(m+3 = 7^n k\) olacak şekilde *k* pozitif tam Sayısı vardır ve \(m-3 = (7^{n+1} - 4)/k = 7^n k - 6\) elde edilir. Buradan da \(7^n(k^2 - 7) = 6k - 4\) bulunur. \(k \ge 1\) olduğundan sağ taraf pozitiftir ve dolayısıyla sol tarafa bakarsak \(k \ge 3\) olması gerektiği görülür. \(k = 3\) için \(n = 1\) ve \(m = 18\) olur. \(k \ge 4\) ise, \(7^n(k^2 - 7) \ge 7k^2 - 49 > 7k^2 - 49 - (k - 3)(7k + 15) = 6k - 4\)

olduğundan çözüm gelmez. Sonuç olarak şartları sağlayan sadece \(n = 1\)'dir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 31

\(x^3 + y^3 = x^2 + y^2 = 1\) koşullarını sağlayan kaç \((x, y)\) gerçel sayı ikilisi vardır?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
\(x+y = u, xy = v\) dersek verilen eşitliklerden \(u^3 - 3uv = u^2 - 2v = 1\) elde ederiz. İkinci eşitlikten \(u^3 = u + 2uv\) ve buradan da \(3uv + 1 = u + 2uv\) buluruz. Buradan da \(u(1-v) = 1\) olur. \(\frac{1}{(1-v)^2} = u^2 = 2v + 1\) eşitliğinden \(2v^3 - 3v^2 = 0\) elde ederiz. \(v = 0\) için \(u = 1\) ve buradan da çözümler \((x, y) = (1, 0), (0, 1)\) olur. \(v = \frac{3}{2}\) için \(u(1-v) < 0\) olduğundan gerçel çözüm gelmez.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 32

Başlangıçta 1'den 30'a kadar numaralandırılmış otuz kutunun her birinde numarası kadar top bulunmaktadır. Her işlemde bir veya birkaç kutudan eşit sayıda top çıkarılıyor. En az kaç işlem sonucunda tüm kutuların boş olması sağlanabilir?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
Her işlemde bir \(k\) sayısı seçip en az \(k\) top içeren her kutudan \(k\) top alacağız. \(k\) sayılarını 16,8,4,2,1 olarak seçersek 5 işlem yeterli olacaktır. 


Şimdi daha az işlemin yeterli olmayacağını gösterelim. İşlem sayısı \(n\) ve bu işlemlerde kutulardan alınan top sayıları \(t_1, t_2, ..., t_n\) olsun. Buna göre, 1,2,...,30 sayılarının her biri \(t_1, t_2, ..., t_n\) sayılarının bazılarının toplamına eşit olmak zorundadır. \(n\) elemanlı kümenin alt küme sayısı \(2^n\) olduğuna göre, buradan \(2^n \ge 30\) ya da \(n \ge 5\) elde edilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 2. Aşama, Soru 1

\(m\) ve \(n\) pozitif tam sayılar olmak üzere 


\[ \frac{17m + 43n}{m - n} \]


oranı bir tam sayıysa \((m, n)\) ikilisine özel ikili diyelim. \(1, 2, \dots, 2021\) sayıları arasından herhangi ikisi özel ikili oluşturmayan en çok kaç sayı seçilebilir?

Şıklar:


Çözüm:
AGO eşitsizliğinden 


\[xy + y + 2z = xy + y + z + z \ge 4\sqrt{xy^2z^2}\]


elde edilir. \(0 < x \le 1\) olduğu için \(x \ge x^2\) dir ve \(\sqrt{xy^2z^2} \ge \sqrt{x^2y^2z^2} = \sqrt{xyz}\) sağlanır ve böylelikle \(xy + y + 2z \ge 4\sqrt{xyz}\) eşitsizliği elde edilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 2. Aşama, Soru 2

\(|AB| < |BC|\) olan dar açılı bir \(ABC\) üçgeninin çevrel çember merkezi \(O\), \([AB]\) ve \([AC]\) kenarlarının orta noktaları sırasıyla \(D\) ve \(E\) olmak üzere, \(OE\) doğrusu \(BC\) yi \(K\) de kesiyor. \(OKB\) üçgeninin çevrel çemberinin \(OD\) ile ikinci kesişim noktası \(L\), \(A\) dan \(KL\) doğrusuna indirilen dikmenin ayağı \(F\) olmak üzere \(F\) noktasının \(DE\) doğrusu üzerinde olduğunu gösteriniz. 

Soruda verilen bilgiden, \(O, L, K, B\) nin çembersel olduğunu biliyoruz, dolayısıyla \(A, O, K, B\) nin çembersel olduğunu göstermeliyiz. \(O\) noktasının \(ABC\) üçgeninin çevrel çemberi olduğunu kullanarak \(\overline{OKC} = \overline{EKC} = 90^\circ - \widehat{C} = \overline{OAB}\) eşitliğini elde ederiz, buradan \(\overline{OKB} + \overline{OAB} = 180^\circ\) olur, ispat biter. 


4. Ormandaki her cücenin üç kavuğu vardır, her kavuğun üzerinde \(1, 2, \dots, 28\) sayılarından biri yazılıdır ve her cücenin kavuklarındaki üç sayı birbirinden farklıdır. Bir gün üç şenlik düzenleniyor ve her cüce birinci şenliğe üzerindeki sayı en küçük olan kavuğunu giyerek, ikinci şenliğe üzerindeki sayı ortanca olan kavuğunu giyerek, üçüncü şenliğe ise üzerindeki sayı en büyük olan kavuğunu giyerek katılıyor. Daha sonra şenliklerden en az ikisine üzerlerindeki sayıların aynı olduğu kavuklarla katılan bir cüce ikilisinin bulunmadığı fark ediliyor. Buna göre, cücelerin sayısı en çok kaçtır? 


**Çözüm:**

Şıklar:


Çözüm:
\(D, E, F\) noktaları sırasıyla \(A\) noktasından \(OL, OK, KL\) doğrularına inen dikme ayaklarıdır. Dolayısıyla, \(A\) noktasının \(OKL\) üçgeninin çevrel çemberi üzerinde olduğunu gösterirsek, \(D, E, F\) noktaları \(A\) noktasının bu çembere göre Simson doğrusu üzerinde olur, ispat biter.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 2. Aşama, Soru 3

\(m, n, a, k\) pozitif tam sayılar ve \(k > 1\) olmak üzere 


\[5^m + 63n + 49 = a^k\]


eşitliği sağlanıyor. \(k\) nin alabileceği en küçük değer nedir?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
\(k = \frac{3n^2}{m}\) olmak üzere, \(\sqrt{n^2 + m} = \frac{n\sqrt{k+3}}{\sqrt{k}}\) ifadesi bir tam sayı olmalıdır. \(k\) de bir tam sayı olduğundan, bu ifadenin \(k\) katı da tam sayıdır. Dolayısıyla \(n\sqrt{k(k+3)}\) bir tam sayı olmalıdır. \(k\) bir pozitif tam sayı ve \(k(k+3)\) bir rasyonel sayının karesi olduğundan, \(k(k+3)\) tam kare olmalıdır. \(k > 1\) ise, 


\[ (k+1)^2 = k^2 + 2k + 1 < k^2 + 3k < k^2 + 4k + 4 = (k+2)^2 \]


olup, \(k > 1\) için \(k(k+3)\) tam kare olamaz. \(k = 1\) ise, \(\sqrt{n^2 + m} = \sqrt{4n^2} = 2n\) bir tam sayıdır. Dolayısıyla \(m = 3n^2\) olacak şekildeki bütün \((m, n)\) pozitif tam sayı ikilileri çözüm olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 2. Aşama, Soru 4

Bir ABCD paralelkenarında, ABC nin çevrel çemberinin A yı içermeyen BC yayı üzerinde bir P noktası ve AC doğru parçasının C tarafındaki uzantısı üzerinde bir Q noktası  \( \angle PBC = \angle CDQ \)  olacak biçimde alınıyor. APQ nun çevrel çemberinin AB doğrusuna teğet olduğunu gösteriniz.

Şıklar:


Çözüm:
Öncelikle, 43 işaretlenmiş birim kare için bir örnek verelim. \(a\) numaralı satır ve \(b\) numaralı sütunun kesişiminde bulunan birim kare \((a, b)\) olarak gösterilsin. \(k = 1, 2, \dots, 14\) olmak üzere, \((2k - 1, 31 - 2k), (2k, 31 - 2k), (2k, 30 - 2k)\) birim kareleri ve bunlara ek olarak \((29, 1)\) birim karesi işaretlenirse, sorudaki koşullar sağlanır ve işaretlenmiş birim kare sayısı \(3 \cdot 14 + 1 = 43\) olur. 


Şimdi işaretlenmiş birim kare sayısının daha fazla olamayacağını gösterelim. Koşullara göre, herhangi satır ya da sütunda 2 den fazla birim kare işaretlenemez. İşaretlenmiş birim kare sayısı 43 sayısından fazlaysa, \(14 \cdot 2 + 15 = 43\) olduğuna göre, ikişer işaretlenmiş birim kare bulunduran satır sayısı en az 15 olacaktır. \(15 \cdot 2 > 29\) olduğuna göre, bu durumda \(a < b\) olmak üzere, ikişer işaretlenmiş birim kare içeren öyle \(a, b\) satırları ve \(c\) sütunu bulunacaktır ki, \((a, c)\) ve \((b, c)\) işaretlenmiş birim kareler olsun. \(a\)

satırının ikinci işaretlenmiş birim karesi \((a, t)\) olmak üzere, \(t < c\) durumunda \((a, t)\), \(t > c\) durumunda ise \((a, c)\) birim karesi sorudaki koşulları sağlamıyor. İspat tamamlanmıştır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 1

Bir ABC üçgeninde B köşesine ait dış açortay ile A köşesine ait kenarortay birbirine paraleldir. \(|BC| = 4\) ise, \(|AC|\) uzunluğunun alabileceği kaç farklı tam sayı değer vardır?

Şıklar:
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 | E) 5

Cevap: C 3

Çözüm:
[BC] kenarının orta noktasına D dersek, sorudaki şarttan dolayı ABD üçgeni ikizkenardır ve \(|AB| = |BD| = |DC| = 2\) bulunur. Bu durumda ABC üçgeninde üçgen eşitsizliğinden \(4 - 2 < |AC| < 4 + 2\) olur. Dolayısıyla \(|AC|\) uzunluğu 3, 4, 5 olmak üzere 3 farklı değer alabilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 2

\(5^{2023} + 6^{2023} + 7^{2023}\) sayısının 13 ile bölümünden kalan nedir?

Şıklar:
A) 4 | B) 5 | C) 6 | D) 7 | E) 8

Cevap: E 8

Çözüm:
\(7^{2023} \equiv (-6)^{2023} \equiv -6^{2023} \pmod{13}\) olduğundan \(6^{2023} + 7^{2023}\) toplamı 13 ile tam bölünür. \(5^2 \equiv 25 \equiv -1 \pmod{13}\) olduğundan \[5^{2023} \equiv 5 \cdot (5^2)^{1011} \equiv 5 \cdot (-1)^{2023} \equiv -5 \equiv 8 \pmod{13}\] olup, cevap 8 olarak bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 3

77 kırmızı ve 73 beyaz top içeren bir kutuya birkaç kırmızı ve birkaç beyaz top ekleniyor. Eklenen topların % 60'ı kırmızı ise toplar eklendikten sonra kutudaki kırmızı topların yüzdesinin alabileceği farklı pozitif tam sayı değerlerinin sayısı kaçtır?

Şıklar:
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 | E) 5

Cevap: D 4

Çözüm:
Sonradan eklenen kırmızı ve beyaz top sayıları sırasıyla \(3n\) ve \(2n\) olsun. O zaman kırmızı topların yüzdesi \[\frac{77 + 3n}{150 + 5n} \cdot 100 = \frac{7700 + 300n}{150 + 5n} = \frac{1540 + 60n}{30 + n} = 60 - \frac{260}{30 + n}\] olduğu için \(30 + n\) sayısının alabileceği değerler 52, 65, 130 ve 260 olabiliyor.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 4

Her birinin ağırlığı 1 gram, 30 gram veya 60 gram olan taşlar iki gruba ayrılmıştır. Bu gruplardaki hem taş sayıları hem de taşların toplam ağırlıkları eşittir. Gruplardaki 1 gramlık taş sayıları farklı olduğuna göre, iki gruptaki toplam taş sayısı en az kaçtır?

Şıklar:
A) 96 | B) 102 | C) 118 | D) 124 | E) 128

Cevap: C 118

Çözüm:
Toplam taş sayısının en az olduğu durumda gruplar aynı ağırlıklı taş içermezler. O zaman gruplardan biri *x* tane 30 gramlık taş, diğeri *y* tane 1 gramlık ve *z* tane 60 gramlık taş içermek zorundadır. Buna göre, 


\[
\begin{align*}
x &= y + z \\
30x &= y + 60z
\end{align*}
\]


olur. İkinci denklemden birinci denklemi taraf tarafa çıkarırsak \(29x = 59z\) gelir. 29 ve 59 sayıları aralarında asal oldukları için \(x \ge 59\) olur. \((x, y, z) = (59, 30, 29)\) denklem sisteminin bir çözümü olduğu için cevap \(2 \cdot 59 = 118\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 5

*ABCD* paralelkenarının [AD] kenarı üzerinde alınan bir *E* noktası için, |AE| = 3, |CD| = 5 ve \(s(\widehat{CDE}) = s(\widehat{BCE}) = 75^\circ\) dir. *ABCD* paralelkenarının alanı kaçtır?

Şıklar:
A) 20 | B) 22 | C) 24 | D) 26 | E) 28

Cevap: A 20

Çözüm:
\(s(\widehat{CDE}) = s(\widehat{BCE})\) ve \(AD \parallel BC\) kullanılarak \(|ED| = |CD| = 5\) olup, \(|AD| = 8\) bulunur. \(s(\widehat{ADC}) = 180^\circ - s(\widehat{BCD}) = 30^\circ\) olduğundan, *A* dan *CD* ye inen dikme ayağına *F* dersek, \(30^\circ - 60^\circ - 90^\circ\) üçgeninin özelliğinden \(|AF| = \frac{|AD|}{2} = 4\) olur. Dolayısıyla, *ABCD* paralelkenarının alanı \(|CD||AF| = 20\) olarak bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 6

*a*, *b*, *c* sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere, 
\[
100a + 10b + c = (a + b + c)(a + b + c + 1)
\]
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, \(a + b^2 + c^3\) kaçtır? 


a) 196 b) 212 c) 242 d) 286 e) 346

Şıklar:
A) 196 | B) 212 | C) 242 | D) 286 | E) 346

Cevap: C 242

Çözüm:
Eşitliği (mod 3) te incelersek \(a + b + c\) nin 3 ün katı olduğu görülür. \(a + b + c = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 27\) değerlerini deneyerek çözümün sadece \(a + b + c = 12\) durumunda geldiği görülüyor: \(156 = 12 \cdot 13\) (\(a + b + c = 3\) durumunda \(a = 0\), \(b = 1\), \(c = 2\) sağlar fakat soruda sıfırdan farklı koşulu var). Buna göre, cevap \(1 + 5^2 + 6^3 = 242\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 7

Bir masa üzerinde her biri en fazla 2 top alabilen birkaç boş kutu bulunuyor. Bu kutulara 19 top tam olarak 11 kutu boş kalacak şekilde ya da 13 top tam olarak 10 kutu boş kalacak şekilde yerleştirilebiliyor. Buna göre, masa üzerindeki kutu sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?

Şıklar:
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 | E) 5

Cevap: C 3

Çözüm:
19 top en az 10 kutuya yerleştirilmelidir. Buna göre, masa üzerinde en az 10 + 11 = 21 kutu var. 13 top en fazla 13 kutuya yerleştirilebilir. Buna göre, masa üzerinde en fazla 13 + 10 = 23 kutu var. Masa üzerindeki kutu sayısının 21,22,23 sayılarının her birine eşit olabileceği açıktır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 8

153 kalem bir sınıftaki öğrencilere, herhangi 6 öğrenciye toplam en fazla 41 kalem verilecek biçimde dağıtılıyor. Bu sınıftaki öğrenci sayısı en az kaç olabilir?

Şıklar:
A) 22 | B) 23 | C) 24 | D) 25 | E) 26

Cevap: D 25

Çözüm:
Sınıftaki öğrenci sayısı *n* olsun. Öğrencileri soldan sağa doğru, aldıkları kalem sayıları artmayacak şekilde sıralayalım. O zaman soldan altıncı öğrencinin en fazla 6 kalemi olacaktır. Buna göre, 153 ≤ 41 + 6(n - 6) olur ve buradan da *n* ≥ 24, 6 gelir. *n* tam sayı olduğu için *n* ≥ 25 elde edilir. Şimdi de *n* = 25 için bir örnek verelim: 5 öğrencinin 7'şer, 19 öğrencinin 6'şar ve 1 öğrencinin 4 kalemi olursa koşullar sağlanır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 9

Bir *ABC* üçgeninde *B* ve *C* noktalarından geçen bir çember [*AB*] ve [*AC*] kenarlarını ikinci kez sırasıyla *D* ve *E* noktalarında kesiyor. *BE* ile *CD* nin kesişimi *F* olmak üzere |*AD*| = 4, |*AE*| = 3 ve |*AB*| = 9 ise, |*BF*|/|*FC*| kaçtır?

Şıklar:
A) \(\frac{3}{5}\) | B) \(\frac{4}{9}\) | C) \(\frac{1}{3}\) | D) \(\frac{5}{6}\) | E) \(\frac{5}{9}\)

Cevap: E \(\frac{5}{9}\)

Çözüm:
Çemberselikten \(m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{ABE})\) olup *ACD* ve *ABE* üçgenleri benzer olur, dolayısıyla \(|AC| = |AD||AB|/|AE| = 12\) bulunur, buradan \(|EC| = 9\) elde ederiz. Yine çemberselikten \(BFD\) ve \(CFE\) üçgenleri benzer olup, \(|BF|/|FC| = |BD|/|EC| = 5/9\) elde ederiz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 10

6 ile tam bölünen kaç *ABC* üç basamaklı sayısı 


\[CBA - ABC = 297\]


eşitliğini sağlar?

Şıklar:
A) 1 | B) 3 | C) 6 | D) 9 | E) 10

Cevap: E 10

Çözüm:
\(100C + 10B + A - 100A - 10B - C = 99(C - A) = 297\) eşitliğinden \(C - A = 3\) gelir ve \(C\) bir çift sayı olduğuna göre, \((A, C)\) ikilisi \((1, 4)\), \((3, 6)\), \((5, 8)\) farklı değerlerini alabiliyor. \(ABC\) 3 ile tam bölündüğüne göre, \(A + B + C = 0 \pmod{3}\) ve \((1, 4)\) çifti için \(B\) sayısı \(1, 4, 7\) değerlerini, \((3, 6)\) çifti için \(B\) sayısı \(0, 3, 6, 9\) değerlerini ve \((5, 8)\) çifti için \(B\) sayısı \(2, 5, 8\) değerlerini alabiliyor. Sonuç olarak şartları sağlayan \(3 + 4 + 3 = 10\) farklı sayı bulunabilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 11

Bir tahtaya 5 tane pozitif tam sayı yazılmıştır. Bu sayılardan her sayı ikilisi bir kez toplandığında 28, 30, 38, 38, 40, 46, 48, 48, 50, 58 sayıları elde ediliyor. Buna göre, tahtadaki en küçük sayı kaçtır?

Şıklar:
A) 10 | B) 11 | C) 12 | D) 13 | E) 14

Cevap: A 10

Çözüm:
Tahtadaki sayılar \(a \le b \le c \le d \le e\) olsun. Elde edilen 10 sayının toplamı olan 424 sayısı 5 sayının her biri 4 kez toplanarak elde edilmiştir. Buna göre, tahtadaki \(a + b + c + d + e = 106\). \(a + b = 28\) ve \(d + e = 58\) olduğuna göre, \(c = 106 - 28 - 58 = 20\) olur. \(a + c = 30\) olduğuna göre, \(a = 10\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 12

Birbirinden farklı ağırlıklara sahip 62 taş ve 31 tane eşit kollu terazi bulunmaktadır. Her bir kola bir taş gelecek şekilde tüm taşlar kollara dağıtılıyor ve her terazi için ağır olan taş işaretleniyor. Sonrasında bu işlem tekrar yapılıyor. İki defa işaretlenen taş sayısı en az kaç olabilir?

Şıklar:
A) 196 | B) 212 | C) 242 | D) 286 | E) 346

Cevap: C 1

Çözüm:
En ağır taş iki kez işaretlenecektir. Taşları \(1, 2, \dots, 62\) olarak hafiften ağırı doğru numaralayalım. İlk işlemde \(1 - 2, 3 - 4, \dots, 61 - 62\) ve ikinci işlemde \(1 - 62, 2 - 3, 4 - 5, \dots, 60 - 61\) numaralı taşlar aynı terazilere yerleştirilirse, sadece 62 numaralı taş iki kez işaretlenmiş olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 13

Bir \(ABC\) üçgeninin iç bölgesinde bir \(P\) noktası alınıyor. \(AP \cap BC = \{D\}\) ve \(BP \cap AC = \{E\}\) olmak üzere, \(|BD| = |DC|\) ve \(|AP| = 4|PD|\) ise, \(\frac{\text{Alan}(APB)}{\text{Alan}(PEC)}\) oranı kaçtır?

Şıklar:
A) \(\frac{3}{2}\) | B) 2 | C) \(\frac{5}{2}\) | D) \(\frac{8}{3}\) | E) 3

Cevap: E 3

Çözüm:
\(|BD| = |DC|\) olduğundan \(A(BPD) = A(PDC)\) ve \(A(APB) = A(APC)\) dir. \(A(BPD) = A(PDC) = A\) dersek, \(|AP| = 4|PD|\) olduğundan


\[
A(APB) = A(APC) = 4A \text{ bulunur. } A(PEC) = B \text{ dersek,}
\]


\[
\frac{A(APB)}{A(APE)} = \frac{|BP|}{|PE|} = \frac{A(BPC)}{A(PEC)}
\]


olup, \(\frac{4A}{4A - B} = \frac{2A}{B}\) elde ederiz, bu da \(4A = 3B\) olduğunu gösterir.
Dolayısıyla, \(\frac{A(APB)}{A(PEC)} = \frac{4A}{B} = 3\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 14

\(|3n^2 - 14n + 8|\) ifadesini bir asal sayı yapan \(n\) tam sayılarının toplamı kaçtır?

Şıklar:
A) 1 | B) 4 | C) 8 | D) 9 | E) Hiçbiri

Cevap: D 9

Çözüm:
\(|3n^2 - 14n + 8| = |(n-4)(3n-2)|\) şeklinde yazabiliriz. Dolayısıyla \(n-4 = \pm 1\) veya \(3n-2 = \pm 1\) olmalıdır. Buradan, \(n \in \{1, 3, 5\}\) olabilir. Yerine koyduğumuzda ifade sırasıyla 3, 7, 13 olur, sağlar.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 15

\(x^{2023} = 2023\) eşitliğini sağlayan \(x\) pozitif gerçel sayısı için \(x^{289}\) kaçtır?

Şıklar:
A) 2023 | B) \(\sqrt[3]{2023}\) | C) \(\sqrt[2023]{2023}\) | D) \(\sqrt[289]{2023}\) | E) \(\sqrt[2023]{2023}\)

Cevap: B \(\sqrt[3]{2023}\)

Çözüm:
Her iki tarafın 2023. kuvvetini alalım. \(a = x^{2023}\) dersek, denklem \(a^a = 2023^{2023}\) haline gelir, dolayısıyla \(a = 2023\) ve \(x = \sqrt[2023]{2023}\) bulunur. Buradan da \(x^{289} = \sqrt[3]{2023}\) elde edilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 16

Başlangıçta bir masa üzerinde boş bir kırmızı ve boş bir beyaz kutu bulunuyor. Her işlemde ya kırmızı kutuya 2 top ya beyaz kutuya 2 top ya da kırmızı ve beyaz kutulara 1'er top ekleniyor. 5 işlem, işlemler sonucunda kutuların her birinde 5 top bulunacak biçimde kaç farklı şekilde yapılabilir?

Şıklar:
A) 42 | B) 45 | C) 48 | D) 51 | E) 54

Cevap: D 51

Çözüm:
Kırmızı kutuya 2 top koyma işlemini A, beyaz kutuya 2 top koyma işlemini B ve kutulara 1'er top koyma işlemini C' kez yapmış olalım. O zaman \(2A + C = 2B + C = A + B + C = 5\) olmalı. Buradan \(A = B = 0\) ve \(C = 5\) veya \(A = B = 1\) ve \(C = 3\) veya \(A = B = 2\) ve \(C = 1\) gelir. İlk durumdan 1, ikinci durumdan 5!/3! = 20 ve üçüncü durumdan 5!/(2!2!) = 30 olmak üzere toplam 51 işlem sıralaması mevcuttur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 17

Bir ABC üçgeninde [BC] kenarının orta noktası D dir. ADC üçgeninin D köşesine ait iç açıortay AC doğrusunu E de kesiyor. E den geçen ve BC' ye paralel olan doğru AB doğrusunu F de kesiyor. \(s(\overline{EDC}) = 30^\circ\) ise,

\(s(\widehat{FDB})\) kaçtır?

Şıklar:
A) 15° | B) 30° | C) 45° | D) 60° | E) 75°

Cevap: D 60°

Çözüm:
İç açıortay teoremi ve paralellikten 
\[|AF|/|FB| = |AE|/|EC| = |AD|/|DC| = |AD|/|DB|\]
elde ederiz, bu da \(DF\) doğrusunun \(ADB\) üçgeninde içaçıortay olduğunu gösterir. Dolayısıyla \(s(\widehat{FDB}) = \frac{180^\circ - 2 \cdot s(\widehat{EDC})}{2} = 60^\circ\) buluruz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 18

Her biri ya kırmızı ya da beyaz renkte olan \(N < 111\) top birkaç kutuya, bazı kutularda 3 kırmızı ve 1 beyaz, bazı kutularda 1 kırmızı ve 2 beyaz ve sadece bir kutuda 1 kırmızı ve 1 beyaz top olacak şekilde dağıtılmıştır. Kırmızı topların sayısı beyaz toplardan %50 fazla olduğuna göre, \(N\) sayısı en fazla kaç olabilir?

Şıklar:
A) 89 | B) 95 | C) 101 | D) 105 | E) 110

Cevap: B 95

Çözüm:
\(a\) ve \(b\) sırasıyla 3 kırmızı ve 1 beyaz ve 1 kırmızı ve 2 beyaz top içeren kutu sayısı olsun. O zaman kırmızı top sayısı \(3a + b + 1\) ve beyaz top sayısı \(a + 2b + 1\) olur. Koşullara göre, \(2(3a + b + 1) = 3(a + 2b + 1)\) dir. Buradan elde edilen \(3a = 4b + 1\) denkleminin çözümü \(n\) bir pozitif tam sayı olmak üzere, \(a = 4n + 3\) ve \(b = 3n + 2\) şeklindedir. Buna göre, \(N = 3(4n + 3) + (3n + 2) + (4n + 3) + 2(3n + 2) + 1 = 25n + 20\) olur. \(N < 111\) olduğuna göre, \(n\) sayısının alabileceği en büyük değer 3 olur: \(N = 25 \cdot 3 + 20 = 95\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 19

A ve B noktaları arasındaki düz bir yolda \(X\) ve \(Y\) arabaları \(X\) A dan \(B\) ye doğru, \(Y\) ise \(B\) den \(A\) ya doğru olmak üzere aynı anda harekete başlıyorlar. Arabaların her birinin hızı sabittir. \(X\) arabası yolun yarısına vardıktan tam 60 dakika sonra \(Y\) ile karşılaşıyor. \(Y\) arabası \(X\) ile karşılaştıktan tam 75 dakika sonra yolun yarısına varıyor. Buna göre, \(X\) arabası başlangıçtan kaç saat sonra \(B\) noktasına varmıştır?

Şıklar:
A) 18 | B) 19 | C) 20 | D) 21 | E) 22

Cevap: A 18

Çözüm:
\(X\) ve \(Y\) başlangıçtan tam \(t\) saat sonra karşılaşmış olsunlar. Yolun yarısından buluşma noktasına kadar olan kısmı \(X\) 60 dakikaya, \(Y\) ise 75 dakikaya gidiyor. Buna göre, \(X\) in hızı \(Y\) nin hızının \(75/60 = 5/4\) katıdır. Demek ki \(X\) \(B\) noktasına \(t + \frac{4}{5}t = \frac{9}{5}t\) saatte varacaktır. \(X\), yolun yarısına \(\frac{9}{10}t\) ve yolun yarısına vardıktan sonra \(Y\) ile karşılaşmaya kadar
\(t - \frac{9}{10}t = \frac{1}{10}t\) saat harcayacaktır. Buna göre, \(t = 10\) olur ve cevap \(9t/5 = 18\) gelir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2023, 1. Aşama, Soru 20

Bir doğru üzerinde soldan sağa doğru 1, 2, ..., 2023 sayılarıyla numaralanmış 2023 boş kutu bulunuyor. İlk işlemde numarası 3 ile bölünen tüm kutulara birer kırmızı şeker yerleştiriliyor. İkinci işlemde numarası 5 ile bölünen tüm kutulara birer beyaz şeker yerleştiriliyor. Aslı bu kutulardan rastgele \(N\) tanesini seçiyor ve seçtiği tüm kutulardaki şekerlerin hepsini yiyor. Aslı her olası durumda her iki renkten de en az birer şeker yiyorsa, \(N\) en az kaç olabilir?

Şıklar:
A) 1614 | B) 1616 | C) 1618 | D) 1620 | E) 1622

Cevap: D 1620

Çözüm:
Kutuların 674 tanesinde kırmızı, 404 tanesinde beyaz şeker bulunuyor. 674 > 404 olduğuna göre, en fazla 2023 - 404 = 1619 kutunun birleşiminde her iki renkten şeker bulunmayabilir ve dolayısıyla cevap 1620 olur.