alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 22

7 günlük bir yaz kampına katılan 100 öğrencinin her birine dolaşın diye her gün bir bisiklet veriliyor. Her bisiklet kamp boyunca en çok 6 gün kullanılabiliyorsa, bu kampta en az kaç bisiklet bulunması gerekir?

Şıklar:

Cevap:  117

Çözüm:
Bisiklet sayısının en az 100 olması gerekiyor. Buna göre, en az bir gün en az \(\lceil \frac{100}{7} \rceil = 15\) bisiklet kullanılmayacaktır. O zaman bisiklet sayısının en az 115 olması gerekiyor. O zaman benzer şekilde en az bir gün en az \(\lceil \frac{115}{2} \rceil = 17\) bisiklet kullanılmayacaktır. Sonuç olarak bisiklet sayısının en az 117 olması gerekiyor. 117 bisiklet yeterlidir. 1. gün 1-17, 2. gün 18-34, 3. gün 35-51, 4. gün 52-68, 5. gün 69-85, 6. gün 86-102 ve 7. gün 103-117 ve 1 numaralı bisikletler dışındaki tüm bisikletler kullanılırsa, koşullar sağlanmış olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 23

\(m\) nin aşağıdaki değerlerinden hangisi için \(3x^2 + 4y^2 + 5z^2 = m\) eşitliğini sağlayan \((x, y, z)\) pozitif tam sayı üçlüsü yoktur?

Şıklar:
A) 2007 | B) 2008 | C) 2009 | D) 2010 | E) 2011

Cevap: D 2010

Çözüm:
Verilen eşitliği mod 4 te incelersek \(m \equiv z^2 - x^2\) olur. Bir tam kare mod 4 te sadece 0 veya 1 olabileceğinden \(m \not\equiv 2 \pmod{4}\) olur. Dolayısıyla \(m \neq 2010\) olur. Diğer seçenekler için, 
- \(m = 2007\) ise, \(x = 1\), \(y = 1\), \(z = 20\) sağlar. 
- \(m = 2008\) ise, \(x = 1\), \(y = 20\), \(z = 9\) sağlar. 
- \(m = 2009\) ise, \(x = 6\), \(y = 18\), \(z = 11\) sağlar. 
- \(m = 2011\) ise, \(x = 13\), \(y = 14\), \(z = 12\) sağlar.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 24

\(E\) ve \(F\) noktaları bir \(ABCD\) yamuğunun sırasıyla, \([AB]\) ve \([CD]\) tabanları üzerinde olmak üzere, \(EC\) ve \(BF\) doğruları \(M\) noktasında, \(AF\) ve \(DE\) doğruları da \(N\) noktasında kesişiyor. \(CBM\) üçgeninin alanı 4 birim kare ve \(DAN\) üçgeninin alanı 9 birim kare ise, \(MFNE\) dörtgeninin alanı kaç birim karedir?

Şıklar:

Cevap:  13

Çözüm:
\(A[XYZ]\) ile \(XYZ\) üçgeninin alanını gösterelim. \(AE \parallel DF\) olduğundan, \(AFD\) ve \(EDF\) üçgenleri tabanları aynı ve yükseklikleri eşit olan iki üçgen olur. Dolayısıyla bu iki üçgenin alanları eşittir. Ek olarak, \(A[AFD] = A[DAN] + A[DNF]\) ve \(A[EDF] = A[ENF] + A[DNF]\) olduğundan, \(A[ENF] = A[DAN] = 9\) elde ederiz. Benzer şekilde, \(A[EMF] = A[CBM] = 4\) olduğu kolaylıkla görülebilir. Buradan, \(A[MFNE] = A[EMF] + A[ENF] = 13\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 25

Başlangıçta \(m \times n\) bir satranç tahtasının sol alt köşesinde bir taş bulunuyor. Oyuncular sırayla hamle yaparak, her hamlede taşı sağa veya yukarı doğru en az bir kare kaydırıyorlar. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun, \(13 \times 22\), \(14 \times 14\), \(22 \times 24\), \(15 \times 17\) ve \(29 \times 29\) tahtalarda birer kez oynanırsa, bu oyunlardan kaçını ilk hamleyi yapan oyuncu kazanmayı garanti edebilir?

Şıklar:

Cevap:  3

Çözüm:
Oyun \(n \times n\) satranç tahtasında oynanırsa, ikinci oyuncu kendi hamlesinde taşı her zaman sağ üst köşeden geçen köşegene taşıyarak oyunu kazanır. Başka bir deyişle, ilk oyuncu taşı \(k\) birim sağa kaydırırsa ikinci oyuncu taşı \(k\) birim yukarı, ilk oyuncu taşı \(k\) birim yukarı kaydırırsa da ikinci oyuncu taşı \(k\) birim sağa kaydırır. Böylelikle hamle yapamaz konuma gelen kişi mutlaka birinci oyuncu olur ve ikinci oyuncu oyunu kazanmayı garantiler.

Diğer durumlarda birinci oyuncu ilk hamlesini tahtanın oyun için kalan kısmı
kare olacak şekilde yaparak oyunu kazanır. Diğer bir deyişle, birinci oyuncu
ilk hamlesinde taşı sağ üst köşeden geçen köşegen üzerine taşır ve dolayısıyla
kendisi \(n \times n\) bir tahtada oynanan oyunda ikinci oyuncu durumuna geçer.
Böylelikle, kare tahtada ikinci oyuncunun kazanma stratejisini uygulayarak
oyunu kazanır. 


Sonuç olarak, oyun \(m \times n\) bir tahtada oynanmak üzere, \(m = n\) ise ikinci, \(m \neq n\) ise birinci oyuncu kazanma stratejisine sahiptir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 26

\(1 \le a, b, c \le 100\) koşulunu ve 


\[
(a + b)c = 10a^2 \\
c^2 = ab
\]


denklem sistemini sağlayan kaç \((a, b, c)\) tam sayı üçlüsü vardır?

Şıklar:

Cevap:  25

Çözüm:
Verilen ilk eşitlikte iki tarafın karesini alıp, \(c^2\) yerine \(ab\) yazarsak, \((a+b)^2ab = 100a^4\) olur. \(m\) ve \(n\) aralarında asal sayılar olmak üzere, \(a = dm\) ve \(b = dn\) yazalım. Buradan \((m+n)^2n = 100m^3\) elde ederiz. Son eşitlikten, \(m\) sayısının \((m+n)^2n\) sayısını bölmesi gerekir, fakat hem \((m+n)^2\) hem de \(n\) ile aralarında asal olduğundan \(m = 1\) sonucuna ulaşırız. Dolayısıyla \((n+1)^2n = 100\) ve \((n-4)(n^2+6n+25) = 0\) elde ederiz, bu da \(n = 4\) olduğunu gösterir. Sonuç olarak, \(a = d\), \(b = 4d\) ve \(c = 2d\) olup, bu değerler soruda verilen iki eşitliği sağlamaktadır. \(1 \le a, b, c \le 100\) koşulu ise, \(1 \le d \le 25\) demektir, buradan 25 tane \((a, b, c)\) tam sayı üçlüsü elde ederiz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 27

\(s(\widehat{BAC}) = 67, 5^\circ\) olan bir \(ABC\) üçgeninde \(C\) köşesine ait yüksekliğin ayağı \(H\) olmak üzere, \(|AB| = \sqrt{2}|CH|\) ise, \(s(\widehat{HCB})\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  45°

Çözüm:
[\(HC\)] üzerinde \(|AH| = |HD|\) şartını sağlayan \(D\) noktasını alalım.
\(s(\widehat{HAD}) = 45^\circ\) olduğundan \(s(\widehat{DAC}) = s(\widehat{DCA}) = 22, 5^\circ\) elde ederiz. \(|DC| = |DA| = \sqrt{2}|AH| = \sqrt{2}|HD|\) olduğundan, \(|HC| = (\sqrt{2}+1)|AH|\) olur. Soruda \(|AB| = \sqrt{2}|HC|\) verildiğinden, 


\[
|HB| = |AB| - |AH| = |HC| \cdot \left( \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \right) = |HC|
\]


elde ederiz. Dolayısıyla \(s(\widehat{HCB}) = 45^\circ\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 28

\(2x^2 + 17xy + 35y^2 = 315\) eşitliğini sağlayan kaç \((x, y)\) tam sayı ikilisi vardır?

Şıklar:

Cevap:  8

Çözüm:
Öncelikle \(2x^2 + 17xy + 35y^2 = (x + 5y)(2x + 7y)\) ve \(315 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7\) olduğu görülebilir. Burada \(x + 5y\) ve \(2x + 7y\) sayılarından en az biri 3 ile bölünmelidir, ek olarak bu sayıların toplamı da \(3(x + 4y)\) olup 3 ile bölünür. Dolayısıyla, iki sayının ikisi de 3 ile bölünmelidir. \(x + 5y = 3m\) ve \(2x + 7y = 3n\) dersek, \(x = 5n - 7m\), \(y = 2m - n\) ve \(mn = 5 \cdot 7\) elde ederiz. \(mn = 5 \cdot 7\) şartını sağlayan 8 tane \((m, n)\) tam sayı ikilisinden her biri için tam olarak bir tane \((x, y)\) çözümü gelir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 29

\[ \begin{array}{l} x^2 + xy = 2y^2 \\ y^2 - xy = 1 \end{array} \]


denklem sistemini sağlayan kaç \((x, y)\) gerçel sayı ikilisi vardır?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
İkinci denklemden \(x = y - 1/y\) elde edip bunu birinci denkleme yazarsak 


\[ y^2 - 2 + \frac{1}{y^2} + y^2 - 1 = 2y^2 \]


olur ve buradan da \(y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\) gelir. Sonuç olarak iki \((x, y)\) çözüm ikilisi elde edilir: \((\frac{2}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}})\) ve \((-\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 30

A ve B noktalarından geçen bir çembere A da teğet olan doğru ile AB doğrusuna B de dik olan doğru C noktasında kesişiyor. \(|AB| = |BC|\) ise, ABC üçgeninin çemberin dışında kalan alanının çemberin içinde kalan alanına oranı nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{6 - \pi}{\pi - 2}\)

Çözüm:
A ve B noktalarından geçen çemberin merkezi O, yarıçapı R olsun. \(CB\) doğrusunun O merkezli çember ile ikinci kesişim noktasına D diyelim. \(s(\widehat{ABD}) = 90^\circ\) olduğundan A, O, D doğruday olur. Diğer taraftan, \(|AB| = |BC|\) olduğundan, \(s(\widehat{ACB}) = s(\widehat{BAC}) = 45^\circ\) olur. \(OA \perp AC\) olduğundan \(s(\widehat{ADB}) = 45^\circ\) olur. Buradan, \(s(\widehat{AOB}) = 90^\circ\) olduğu görülür. ABC üçgeninin çemberin dışında kalan alanına T ve çemberin içinde kalan alanına S dersek, 


\[ S = \frac{\pi R^2}{4} - A[AB] = \frac{\pi R^2}{4} - R^2 = R^2\left(\frac{\pi - 2}{4}\right) \text{ ve} \]


\[ T = A[ABC] - S = 2 \cdot A[AB] - S = R^2 - R^2\left(\frac{\pi - 2}{4}\right) = R^2\left(\frac{6 - \pi}{4}\right) \]


olduğu görülür. Dolayısıyla \(\frac{T}{S} = \frac{6 - \pi}{\pi - 2}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 2. Aşama, Soru 1

\(ABCD\) dikdörtgeninin \(A\) köşesinden geçen bir çember \([AB]\) kenarını köşelerden farklı bir \(E\) noktasında kesiyor. \(B\) den geçen ve bu çembere teğet olan bir doğrunun değme noktası \(T\) olmak üzere, merkezi \(B\) olan ve \(T\) den geçen çember de \([BC]\) yi \(F\) noktasında kesiyor. \(s(\overline{CDF}) = s(\overline{BFE})\) ise, \(s(\overline{EDF}) = s(\overline{CDF})\) olduğunu gösteriniz.

Şıklar:


Çözüm:
\(EF\) ve \(DC\) doğrularının kesişim noktası \(G\) olsun. \(\angle CFG = \angle BFE = \angle CDF\) olduğuna göre, \(DF\) ve \(EG\) doğruları birbirine diktir. 

  


Diğer taraftan, \(BA \cdot BE = BT^2 = BF^2\) olduğuna göre, \(BAF\) ve \(BFE\) üçgenleri benzerdir ve dolayısıyla \(\angle BAF = \angle BFE = \angle CDF\). Sonuç olarak \(BF = CF\), \(EF = GF\) ve \(\angle EDF = \angle GDF = \angle CDF\). Çözüm tamamlanmıştır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 2. Aşama, Soru 2

\((n+15)(n+2010)\) sayısının tam kare olmasını sağlayan kaç \(n\) pozitif tam sayısı bulunduğunu belirleyiniz.

Şıklar:

Cevap:  39

Çözüm:
Cevap: 39. 


\(m\) bir pozitif tam sayı olmak üzere, \(m^2 = n^2 + 2025n + 2010 \cdot 15\) olsun. Son denklem \((2n+2m+2025)(2n-2m+2025) = 1995^2\) şeklinde yazılabilir. \(2n+2m+2025 = A\) ve \(2n-2m+2025 = B\)

olsun. O zaman \(n\) ve \(m\) sayıları; \(A\) ve \(B\), \(AB = 1995^2\), \(A > B\), \(A + B > 4050\) koşullarını sağlayan tam sayılar olmak üzere, \(n = (A + B - 4050)/4\) ve \(m = (A - B)/4\) şekilinde yazılabilir. \(1995^2 \equiv 1 \pmod{4}\) olduğundan bu formüller \(m\) ve \(n\) için tam sayı değerleri tanımlıyorlar. 


\[f(x) = x + \frac{1995^2}{x} \text{ fonksiyonu artandır: } x_2 > x_1 > 1995 \text{ için } f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1) \left(1 - \frac{1995^2}{x_1 x_2}\right) > 0 \text{ olur.}\]


\(1995^2 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot 19^2\) sayısının 1995 ten büyük olan ilk böleni \(A = 2205 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7^2\) sayısıdır, fakat bu sayı için \(f(A) > 4050\) eşitsizliği sağlanmıyor. Bundan sonraki bölen olan \(A = 2527 = 7 \cdot 19^2\) için \(f(A) > 4050\). \(f(\cdot)\) fonksiyonu artan olduğundan 2527 sayısından büyük olan tüm bölenler için \(f(A) > 4050\) olacaktır. Demek ki \(1995^2 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^{2} \cdot 19^2\) sayısını iki eşit olmayan çarpana ayırıp büyük olan çarpanı \(A\) olarak alırsak \(A = 2205\) dışındaki tüm durumlarda bir çözüm geliyor. Sonuç olarak, cevap \(((2+1)^4 - 1)/2 - 1 = 39\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 2. Aşama, Soru 3

Bir sınavdaki her soruyu tam olarak dört öğrenci, her soru ikilisini de tam olarak bir öğrenci çözmüştür. Hiçbir öğrenci tüm soruları çözmediyse, bu sınavda en çok kaç soru bulunabileceğini belirleyiniz.

Şıklar:

Cevap:  13

Çözüm:
Cevap: 13. 


\(k > 4\) olmak üzere, \(S_1\) öğrencisinin çözdüğü sorular \(Q_1, \dots, Q_k\) ve çözmediği sorulardan biri \(Q_{k+1}\) olsun. \(1 \le i \le k\) olmak üzere, her \((Q_i, Q_{k+1})\) soru ikilisini çözen tek bir öğrenci bulunuyor. \(Q_{k+1}\) sorusunu çözen öğrenci sayısı 4 olduğuna göre, \(S_1\) dışında bir öğrenci \(Q_1, \dots, Q_k\) sorularından ikisini çözmüştür, bu da her soru ikilisinin tam olarak bir öğrenci tarafından çözülmesi koşuluyla çelişiyor. O zaman \(k \le 4\) olmak zorundadır. \(Q_1\) sorusunu tam olarak 4 öğrenci çözmüştür. \(i \ne 1\) olmak üzere, her \((Q_1, Q_i)\) soru ikilisini bu 4 öğrenciden biri çözdüğüne göre, toplam soru sayısı en fazla \(1 + 4 \cdot 3 = 13\) olacaktır. 


Diğer taraftan 13 soruluk sınavın sonuçları 


\(Q_1\) sorusunu çözeneler: \(S_1, S_2, S_3, S_4\); \(Q_2\) sorusunu çözeneler: \(S_1, S_5, S_6, S_7\); \(Q_3\) sorusunu çözeneler: \(S_1, S_8, S_9, S_{10}\); \(Q_4\) sorusunu çözeneler: \(S_1, S_{11}, S_{12}, S_{13}\); \(Q_5\) sorusunu çözeneler: \(S_2, S_5, S_9, S_{13}\); \(Q_6\) sorusunu çözeneler: \(S_2, S_6, S_{10}, S_{11}\); \(Q_7\) sorusunu çözeneler: \(S_2, S_7, S_8, S_{12}\); \(Q_8\) sorusunu çözeneler: \(S_3, S_5, S_{10}, S_{12}\); \(Q_9\) sorusunu çözeneler: \(S_3, S_6, S_8, S_{13}\); \(Q_{10}\) sorusunu çözeneler: \(S_3, S_7, S_9, S_{11}\); \(Q_{11}\) sorusunu çözeneler: \(S_4, S_5, S_8, S_{11}\); \(Q_{12}\) sorusunu çözeneler: \(S_4, S_6, S_9, S_{12}\); \(Q_{13}\) sorusunu çözeneler: \(S_4, S_7, S_{10}, S_{13}\) 


gibi olursa sorudaki tüm koşullar sağlanacaktır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2010, 2. Aşama, Soru 4

Tüm \(a, b\) pozitif gerçel sayıları için, 


\[a^2 b^2 (a^2 + b^2 - 2) \ge (a + b)(ab - 1)\]


olduğunu kanıtlayınız.

Şıklar:


Çözüm:
Eşitsizlikte \(p = ab\) ve \(s = a + b\) yazarsak \(p^2(s^2 - 2p - 2) \ge s(p - 1)\) elde ederiz. O zaman eşitsizlik \(s^2 \ge 4p > 0\) değerleri için

\[p^2 s^2 - (p-1)s - 2p^2(p+1) \ge 0\]


şeklinde yazılabilir. \(s^2 \ge 4p\) olduğuna göre, \(p^2s - (p-1) \ge p^2 \cdot 2\sqrt{p} + (1-p)\) olur. \(p^2 \cdot 2\sqrt{p} + (1-p)\) negatif sayı değildir: \(0 < p \le 1\) ise \(p^2s - (p-1) \ge p^2 \cdot 3\sqrt{p} + (1-p) > 0\) ve \(p \ge 1\) ise \(p^2s - (p-1) \ge (p^2 \cdot 2\sqrt{p} - p) + 1 > 0\). Buna göre, 


\[p^2 s^2 - (p-1)s - 2 p^2(p+1) = s(p^2s - (p-1)) - 2p^2(p+1)\]


\[\ge 2\sqrt{p}(p^2 \cdot 2\sqrt{p} - p + 1) - 2p^2(p+1) = 2p^3 - 2p\sqrt{p} - 2p^2 + 2\sqrt{p} = 2\sqrt{p}(p-1)(p\sqrt{p} - 1) \ge 0\]


İspat tamamlanmıştır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 1

Bir bardakta bulunan 100 gram şekerli suyun kütlece %98 i sudur. Bir süre sonra suyun buharlaşması sonucu suyun kütlece oranı %96 ya düştüğünde şekerli suyun kütlesi kaç gram olur?

Şıklar:

Cevap:  50

Çözüm:
Başlangıçta bardakta 2 gr şeker bulunuyor. Buharlaşmadan sonra şeker, şekerli suyun kütlesinin 4 % nü oluşturuyor. Buna göre cevap 2 · 25 = 50.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 2

\(m \le n\) olmak üzere; en büyük ortak bölenleri 11, toplamları da 165 olan kaç tane \((m, n)\) pozitif tam sayı ikilisi vardır?

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
\(a \le b\), obeb\((a, b) = 1\), \(m = 11a\) ve \(n = 11b\) olacak şekilde \(a\) ve \(b\) pozitif tam sayıları bulunur. \(165 = m + n = 11(a + b) \Rightarrow a + b = 15\). Şartı sağlayan \((a, b)\) ikilileri \((1, 14)\), \((2, 13)\), \((5, 9)\) ve \((7, 8)\) dir. Koşullara uygun \((m, n)\) ikilileri \((11, 154)\), \((22, 143)\), \((55, 99)\) ve \((77, 88)\) dir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 3

\(ABCD\) bir dışbükey dörtgen olmak üzere, \(ABC\) üçgeninin iç bölgesindeki bir \(E\) noktası \(|BE| = |AD|\), \(|AE| = |CD|\) ve \(s(\overline{AB}) = s(\overline{AC})\) koşullarını sağlıyor. \(s(\overline{EAC}) = 30^\circ\) ve \(s(\overline{ACD}) = 40^\circ\) ise, \(s(\overline{BCD})\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  95°

Çözüm:
Verilen kenar ve açı eşitliklerinden \(\triangle ADC \cong \triangle BEA\) olur. Buradan da \(|AC| = |AB|\) ve \(\angle EAB = \angle ACD = 40^\circ\) elde ederiz. \(\triangle ABC\) bir ikizkenar üçgen olduğundan \(\angle ACB = 55^\circ\) ve buradan da \(\angle BCD = 95^\circ\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 4

A ve B harfleri rakamları belirtmek üzere, on tabanına göre yazılımı 3A4B olan bir sayının 45 ile bölümünden kalanın 17 olmasını sağlayan kaç \((A, B)\) ikilisi vardır?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
45 = 5·9, 17 ≡ 2 (mod 5) ve 17 ≡ 8 (mod 9). O halde \(B = 2\) veya \(B = 7\) dir ve \(3 + A + 4 + B \equiv 8\) (mod 9) dir. \(\Rightarrow B \in \{2, 7\}\) ve \(A + B \in \{1, 10, 19\}\). Şartlara uygun \((A, B)\) ikilileri \((2, 8)\) ve \((7, 3)\) tür.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 5

\(\{50, 100, 1000, 2000, 2010, 2011, 2012, 3000\}\) kümesinin üç elemanlı kaç altkümesinin elemanları toplamı 3 ile bölünür?

Şıklar:

Cevap:  20

Çözüm:
Sayıları (mod 3) de yazarsak \(\{2, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 0\}\) elde ederiz. Altkümenin elemanları toplamının 3 ile bölünmesi için elemanlarının (mod 3) de aynı olması veya 0, 1, 2 değerlerini alması gerekiyor. Buna göre cevap \(1 + 1 + 2 · 3 · 3 = 20\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 6

\(s(\widehat{ABC}) = 90^\circ\) olan bir \(ABCD\) dışbükey dörtgeninde \([AC]\) köşegeninin orta noktası \(E\) dir. \(|AE| = |DE|\) ve \(s(\widehat{ABD}) = 20^\circ\) ise, \(s(\widehat{AED})\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(40^\circ\)

Çözüm:
\(E\) noktası \(ABC\) dik üçgeninde hipotenüsün orta noktası olduğundan \(|AE| = |BE| = |EC|\) olur. \(|AE| = |ED|\) olduğundan \(E\) noktasının \(ABCD\) dörtgeninin tüm köşelerine uzaklıkları eşit olur. Yani \(ABCD\) bir kirişler dörtgenidir. \(\angle ABD = \angle ACD = 20^\circ\) ve buradan da \(\angle AED = 2\angle ACD = 40^\circ\) elde ederiz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 7

\(1^4 + 2^4 + \cdots + 2011^4\) sayısının 16 ile bölümünden kalan nedir?

Şıklar:

Cevap:  14

Çözüm:
Bir çift sayının dördüncü kuvveti 16 ile bölünür. Bir tek sayının karesi (mod 8)'de 1'e denktir ve dolayısıyla bir tek sayının dördüncü kuvveti (mod 16)'da 1'e denktir. O halde verilen toplam (mod 16)'da 1006'ya denktir ve 1006 \(\equiv\) 14 (mod 16) dır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 8

Başlangıçta ellerinde 5, 10, 15, 20 ve 25 şeker bulunan beş öğrenciden her adımda biri elindeki şekerlerin bir kısmını diğer öğrenciler arasında eşit olarak paylaştırıyor. En az kaç adımda öğrencilerin ellerindeki şekerlerin sayısı eşitlenebilir?

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
İlk önce adım sayısının 4'den daha az olamayacağını gösterelim. Son hamleden önce 4 öğrencinin şeker sayısı aynı olmak zorundadır. Bundan önceki hamleden önce 3 öğrencinin şeker sayısı aynı olmak zorundadı. Benzer şekilde devam edersek ispat tamamlanır. Şimdi 4 adım için örnek verelim. Başlangıçta şeker sayısı 5 olan öğrenci 1., 10 olan öğrenci 2,..., 25 olan öğrenci 5. olsun. Birinci adımda 2. öğrenci birer şeker dağıtıyor. İkinci adımda 3. öğrenci ikişer şeker dağıtıyor. Üçüncü adımda 4. öğrenci üçer şeker dağıtıyor. Dördüncü adımda 5. öğrenci dörder şeker dağıtıyor. Buna göre tüm öğrencilerin 15'er şekeri oluyor.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 9

\(|AB| = 16\) ve \(|BC| = 24\) olan bir \(ABC\) üçgeninin \(B\) köşesine ait içaçortayının üstündeki bir \(D\) noktası \(s(\widehat{BDC}) = 90^\circ\) koşulunu sağlıyor. \([AC]\) nin orta noktası \(E\) ise, \(|DE|\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
\(CD\) ve \(AB\) doğruları \(F\) de kesişsin. \(BD \perp FC\) ve \(\angle FBD = \angle CBD\) olduğundan \(|FB| = |BC| = 24\) ve buradan da \(|AF| = 8\) olur. \(|FD| = |DC|\) ve \(|AE| = |EC|\) olduğundan \(ED \parallel AF\) ve \(|ED| = |AF|/2 = 4\) buluruz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 10

Bir küpün köşelerine tam sayılar; en çok kaç köşedeki sayı, bu köşeye bir ayrıtla bağlanan üç köşedeki sayıların aritmetik ortalamasından küçük olacak biçimde yerleştirilebilir?

Şıklar:

Cevap:  7

Çözüm:
Küpün köşelerine yerleştirilmiş sayıların hiçbirinden küçük olmayan olan birini alalım. Bu sayı komşu sayıların ortalamasından küçük olamaz. Buna göre cevap en fazla 7 olabilir. Şimdi 7 için örnek verelim. Küpün tabanındaki köşelere 0, tavanındaki köşelere sırasıyla 1, 1, 3, 9 yazarsak koşullar sağlanır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 11

Ayşe bir kavanozdan her adımda kavanozdaki bilye sayısının bir fazlasının yarısı sayıda bilyeyi çıkarıyor. Kavanozu boşaltmak için Ayşe'nin bu işlemi beş kez tekrarlaması gerekiyorsa, başlangıçta kavanozda kaç bilye vardır?

Şıklar:

Cevap:  31

Çözüm:
Herhangi bir işlem sonucunda kavanozda a bilye kaldıysa bu işlem öncesinde kavanozda 2a + 1 bilye olmak zorundadır. Buradan kavanozda 5. işlemden önce 1, 4. işlemden önce 3, 3. işlemden önce 7, 2. işlemden önce 15, 1. işlemden önce 31 bilye olduğu elde edilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 12

E, ABCD paralelkenarının iç bögesinde bir nokta olmak üzere; AE doğrusu [DC] kenarım F noktasında, CE doğrusu da [AD] kenarım G noktasında kesiyor. |DF|/|FC| = 3/2, |DG|/|GA| = 3/5 ve Alan(AEG) – Alan(CEF) = 9 ise, Alan(ABCD) nedir?

Şıklar:

Cevap:  80

Çözüm:
Alan(AEG) – Alan(CEF) = Alan(AFD) – Alan(CGD) dir. Alan(ABCD) = S dersek Alan(AFD) = 3S/10 ve Alan(CGD) = 3S/16 olur. 3S/10 – 3S/16 = 9 denklemini çözersek S = 80 buluruz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 13

İstasyon saatinin her saat başı çaldığı bir istasyondan eşit zaman aralıklarıyla tren geçiyor. Cumartesi günü bir süre boyunca istasyonu seyreden Ali, bu süre boyunca iki trenin geçtiğini görüyor ve bir kez de saatin çaldığını duyuyor. Pazar günü ise, Ali daha uzun bir süre boyunca istasyonu seyrediyor. Ali bu süre boyunca on altı kez saatin çaldığını duyduysa, gördüğü tren sayısı en az kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  7

Çözüm:
İki ardışık tren arasındaki süre 2 saatten az olmak zorundadır, aksi takdirde Ali saatin en az iki kez çaldığını duymuş olurdu. Ali istasyonu en az 15 saat seyrettiğine göre, geçen tren sayısı en az 7 olmak zorundadır. Şimdi 7 için örnek verelim. Yeterince küçük bir x pozitif gerçel sayısı için trenler istasyondan 2 – x saat aralıklarla geçsin.

Ali'nin istasyonu seyrettiği sürenin tam ortası tam saate denk gelip
seyredilen iki tren bu sürenin en başlarında ve en sonlarında geçerse,
Cumartesi günü koşulları sağlanmış olur. Ahmet'in istasyonu seyrettiği
süre [1, 16] saat aralığı olursa saat tam olarak 16 kez çalmış olur ve bu
sürede istasyondan sadece 7 tren geçebilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 14

Aşağıdaki hangi \((A, B)\) ikilisi için, \(2x + y = A\) ve \(x^2 + y^2 = B\) eşitliklerini sağlayan hiçbir \((x, y)\) gerçel sayı ikilisi yoktur? 


\[
a) \begin{pmatrix} 5 & 9 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} \quad b) \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 9 \end{pmatrix} \quad c) \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \quad d) \begin{pmatrix} 9 & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \quad e) \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 7 & 7 \end{pmatrix}
\]

Şıklar:

Cevap:  \((4/3, 1/3)\)

Çözüm:
\(y = A - 2x\) olacağından \(x^2 + (A - 2x)^2 = B\) ve buradan da \(5x^2 - 4Ax + A^2 - B = 0\) olur. Çözümün olabilmesi için ancak ve ancak bu ikinci derece denklemin diskriminantının \(\ge 0\) olması gerekir. \(\Delta = (4A)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (A^2 - B) = 20B - 4A^2 \ge 0\) olmalıdır. Yani \(A^2 \le 5B\) olması çözümün olması için gerek ve yeter koşuldur. \((A, B) = (4/3, 1/3)\) için bu şart sağlanmazken diğer dört seçenek için şart sağlanır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 15

Kenar uzunluğu 5 birim olan *ABCD* karesinin [AB], [BC], [CD], [DA] kenarları üstünde |AE| = |BF| = |CG| = |DH| = 3 olacak biçimde sırasıyla, E, F, G, H noktaları almıyor. A, B, C, D noktalarından geçen çemberin sınırladığı dairenin alanının, EFGH karesine içten teğet olan çemberin sınırladığı dairenin alanına oranı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  50/13

Çözüm:
Pisagor teoreminden büyük dairenin çapı \(5\sqrt{2}\) ve küçük dairenin çapı \(\sqrt{13}\) olur. Buradan dairelerin alanları oranı \([\pi(5\sqrt{2}/2)^2]/[\pi(\sqrt{13}/2)^2] = 50/13\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 16

Aşağıdaki sayıların en küçüğü hangisidir? 


\[

Şıklar:
A) \frac{\sqrt{3}}{6} \qquad | B) \frac{\sqrt{10}}{11} \qquad | C) \sqrt{5} - 2 \qquad | D) \frac{1}{4} \qquad | E) 3\sqrt{2} - 4 \]

Cevap: C \sqrt{5} - 2

Çözüm:
\(11 < 4\sqrt{10}\) olduğundan \(1/4 < \sqrt{10}/11\) dır. \(360 < 363\) olduğundan \(\sqrt{10}/11 < \sqrt{3}/6\) dır. \(12\sqrt{2} < 17\) olduğundan \(5 < 22 - 12\sqrt{2}\), \(\sqrt{5} < 3\sqrt{2} - 2\) ve buradan da \(\sqrt{5} - 2 < 3\sqrt{2} - 4\) tür. Yani bu beş sayıdan en küçüğü \(\sqrt{5} - 2\) dir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 17

16<sup>2011</sup> sayısının on tabanına göre yazılımında onlar basamağındaki rakam aşağıdakilerden hangisidir?

Şıklar:
A) 9 | B) 7 | C) 5 | D) 3 | E) 1

Cevap: E 1

Çözüm:
Onlar basamağındaki rakamı bulmak için bu sayının (mod 100)'deki değerini bulmalıyız. 100 = 4·25. 16<sup>2011</sup> sayısı 4 ile tam bölünür. 2<sup>10</sup> = 1024 ≡ -1 (mod 25). ⇒ 16<sup>2011</sup> = 2<sup>8044</sup> = (2<sup>10</sup>)<sup>804</sup>·2<sup>4</sup> ≡ 16 (mod 25). O halde 16<sup>2011</sup> ≡ 16 (mod 100) ve bu sayının onlar basamağındaki rakam 1 dir.