alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 2. Aşama, Soru 3

\(x, y, z\) gerçel sayılar olmak üzere 


\[x + y + z = 2, \quad xy + yz + zx = 1\]


ise, \(x - y\) nin alabileceği en büyük değeri bulunuz.

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

Çözüm:
Eşitlik \(x = \frac{2 + \sqrt{3}}{3}\), \(y = \frac{2 - \sqrt{3}}{3}\), \(z = \frac{2}{3}\) iken sağlanır. \(x - y \le \frac{2\sqrt{3}}{3}\) olduğunu ispatlayalım. 


**Birinci Yol:** Verilen eşitliklerden \(x + y = 2 - z\), \(xy = 1 - z(x + y) = 1 - z(2 - z) = (z - 1)^2\) elde ederiz. Buradan da \((x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = (2 - z)^2 - 4(z - 1)^2 = z(4 - 3z)\) olur. Yani \(|x - y| = \sqrt{z(4 - 3z)}\) olur. Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden \(3z(4 - 3z) \le 4\) olduğundan \(x - y \le |x - y| \le \frac{2\sqrt{3}}{3}\) olur ve ispat biter. 


**İkinci Yol:** Verilen eşitliklerden \((x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 2(x^2 + y^2 + z^2) - 2(xy + yz + zx) = 2(x + y + z)^2 - 6(xy + yz + zx) = 2\) elde ederiz. \(a = x - y, b = y - z\) dersek \(z - x = -a - b\) olur ve buradan da \(a^2 + b^2 + (-a - b)^2 = 2\) ve \(a^2 + ab + b^2 = 1\) buluruz. Bu denklemi \(b\) ye göre ikinci derece bir denklem gibi yazarsak \(b^2 + ab + (a^2 - 1) = 0\) olur. Bu denklemin diskriminantı \(a^2 - 4(a^2 - 1) = 4 - 3a^2\) dir. \(a, b\) gerçel sayılar olduğundan diskriminant negatif olamaz. Yani \(4 - 3a^2 \ge 0\) ve buradan da \(a \le |a| \le \frac{2}{\sqrt{3}}\) elde ederiz. Böylece ispat biter.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 2. Aşama, Soru 4

\(ABC\) eşkenar üçgen olmak üzere \([BC]\) doğru parçası üzerinde \(X\) noktası ve \([BA\) ve \([CA\) ışınları üzerinde sırasıyla \(Y\) ve \(Z\) noktaları \(AX, BY, CZ\) doğruları paralel olacak şekilde alınıyor. \(XY\) nin \(AC\) yi kestiği nokta \(M\) ve \(XZ\) nin \(AB\) yi kestiği nokta \(N\) olmak üzere, \(MN\) doğrusunun \(ABC\) nin iç teğet çemberine teğet olduğunu gösteriniz.

Şıklar:


Çözüm:
\(AX \parallel BZ\) olduğundan \(\frac{AN}{NB} = \frac{AX}{BZ} = \frac{CX}{CB}\) dir. Benzer şekilde, \(AX \parallel CY\) olduğundan \(\frac{AM}{MC} = \frac{AX}{CY} = \frac{BX}{BC}\) elde ederiz. Dolayısıyla, 


\[\frac{AN}{NB} + \frac{AM}{MC} = \frac{CX}{CB} + \frac{BX}{BC} = 1 \qquad (1)\]


bulunur. Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğuna \(a\) dersek, 


\[\frac{a^2}{NB \cdot MC} = \left(1 + \frac{AN}{NB}\right) \left(1 + \frac{AM}{MC}\right) = 2 + \frac{AN \cdot AM}{NB \cdot MC}\]


olur, buradan 


\[AN \cdot AM = a^2 - 2 \cdot NB \cdot MC \qquad (2)\]


elde ederiz. Şimdi, \(AMN\) üçgeninde Kosinüs teoreminden \(MN^2 = AM^2 + AN^2 - AM \cdot AN\) dir, bu da (2)'den dolayı 


\[\begin{align*}
MN^2 &= AM^2 + AN^2 - a^2 + 2 \cdot NB \cdot MC \\
&= (a - NB)^2 + (a - MC)^2 - a^2 + 2 \cdot NB \cdot MC \\
&= (NB + MC - a)^2
\end{align*}\]

elde ederiz. Dolayısıyla, \(MN = NB + MC - a\) olur (burada \(NB + MC - a > 0\) olduğu (1)'den açıkça görülebilir). Son olarak \(MN + BC = NB + MC\) olduğundan \(MNBC\) teğetler dörtgenidir, \(ABC\) nin iç teğet çemberi \([NB]\), \([MC]\), \([BC]\) doğru parçalarına teğet olduğundan \([MN]\) ye de teğettir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 1

\(s(\widehat{BAC}) = 10^\circ\) olan bir \(ABC\) üçgeninin \([AC]\) ve \([AB]\) kenarları üzerinde sırasıyla \(K\) ve \(L\) noktaları alınmıştır. \(s(\widehat{ABK}) = 50^\circ\), \(s(\widehat{ACL}) = 25^\circ\) ve \(s(\widehat{BCL}) = 35^\circ\) ise, \(s(\widehat{BKL})\) kaç derecedir?

Şıklar:

Cevap:  \(65^\circ\)

Çözüm:
\(s(\widehat{BKC}) = s(\widehat{BAK}) + s(\widehat{ABK}) = 10^\circ + 50^\circ = 60^\circ\). Dolayısıyla \(BKC\) bir eşkenar üçgendir ve \(|BK| = |BC|\) bulunur. Ayrıca açılardan \(LBC\) üçgeninin ikizkenar olduğu kolayca görülür ve \(|LB| = |BC|\) elde edilir. O zaman \(|LB| = |BK|\) ve sonuç olarak \(LBK\) de bir ikizkenar üçgendir. O halde \(s(\widehat{BKL}) = (189^\circ - 50^\circ)/ = 65^\circ\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 2

\(\frac{n^3 - 31}{n^2 - 7}\) ifadesinin bir tam sayı olmasını sağlayan \(n\) pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
\(n^2 - 7|n^3 - 31 - n(n^2 - 7) = 7n - 31\). \(n \ge 5\) iken \(n^2 - 7\) ve \(7n - 31\) sayıları pozitiftir ve \(n^2 - 7|7n - 31\) olduğundan \(n^2 - 7 \le 7n - 31\) bulunur. O zaman \(n^2 - 7n + 29 \le 0\) ve buradan \((n - 3)(n - 4) + 17 \le 0\) elde edilir. Fakat \(n \ge 5\) olduğundan bu mümkün değildir ve bu durumdan çözüm gelmez. \(n = 1, 2, 3, 4\) durumlarından sadece \(n = 1\) ve \(n = 3\) şartı sağlar.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 3

Bir masa üzerindeki kutuların her birinde 3 top bulunmaktadır ve her top ya kırmızı ya da beyaz renktedir. En az iki kırmızı top içeren kutu sayısı 25, en az iki beyaz top içeren kutu sayısı 36, farklı renkte toplar içeren kutu sayısı 47 ise, içerdiği tüm toplar aynı renk olan kutu sayısı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  14

Çözüm:
Tam olarak üç kırmızı top içeren kutu sayısı \(a\), tam olarak iki kırmızı top içeren kutu sayısı \(b\), tam olarak bir kırmızı top içeren kutu sayısı \(c\) ve kırmızı top içermeyen kutu sayısı \(d\) olsun. Buna göre, \(a+b = 25\), \(c+d = 36\) ve \(b+c = 47\) olur. Buradan \(a+d = (a+b)+(c+d)-(b+c) = 25+36-47 = 14\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 4

Dört kutunun her birinde 1,2,3,4,5 sayılarıyla numaralanmış beşer top bulunmaktadır. Bu yirmi toptan altı tanesi, her kutudan en az bir top ve en az bir kutudan hem 1 hem de 2 numaralı topları almak koşuluyla kaç farklı şekilde seçilebilir?

Şıklar:

Cevap:  4350

Çözüm:
Herhangi bir kutudan 3 top seçilmesi durumunda 


\[ \binom{4}{1} \cdot \binom{3}{1} \cdot \binom{5}{1} \cdot \binom{5}{1} \cdot \binom{5}{2} = 1500 \]


seçenek vardır. İki kutudan ikişer top alınması durumunda ise, 


\[ \binom{4}{2} \cdot \left( \binom{5}{2} + \binom{5}{2} - 1 \right) \cdot \binom{5}{1} \cdot \binom{5}{2} =2850 \]


seçenek vardır. Buna göre, toplar toplam 1500 + 2850 = 4350 şekilde seçilebilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 5

Bir dışbükey çokgenin iç açılarından üçünün ölçüleri toplamı 390° olup diğer iç açılarının her birinin derece cinsinden ölçüsü aynı bir tam sayıya eşittir. Buna göre bu çokgenin kenar sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  218

Çözüm:
Çokgen n kenarlı ve birbirine eşit olan açılardan birinin ölçüsü α derece olsun. O zaman \((n-3)\alpha + 390 = (n-2)180\) olur ve buradan \(\alpha = 180 - 210/(n-3)\) bulunur. O halde \(n-3|210\) elde edilir. \(n-3=1\) ise, \(n=4\) ve \(\alpha = -30\) olur ve çelişki elde edilir. \(n-3=2\), yani \(n=5\) durumu n'nin en küçük olduğu durum, \(n-3=210\) yani \(n=213\) durumu ise n'nin en büyük olduğu durumdur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 6

Kaç n pozitif tam sayısı için \(2n\) sayısının tam olarak \(n\) tane pozitif tam sayı böleni vardır?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
n'nin 1 veya 2 olmadığı kolayca görülür. \(n \ge 3\) olsun. \(1,2,\dots,2n\) sayılarından \(n\) tanesi \(2n\)'nin böleni olmalı. \(n+1,n+2,\dots,2n-1\) sayılarından hiçbiri \(2n\) sayısının bir böleni değildir. O halde \(n-1\) veya \(n-2\) sayılarından en az biri \(2n\)'nin bölenidir. \(n-1|2n\) ise, \(n-1|2n-2(n-1)=2\) elde edilir ve buradan da \(n=3\) gelir. Ancak \(n=3\) şartı sağlamaz. \(n-2|2n\) ise, \(n-2|2n-2(n-2)=4\) bulunur ve buradan da \(n=3,4\) veya 6 elde edilir. \(n=4\) ve \(n=6\) şartı sağlar.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 7

Boyları aynı kalınlıkları farklı olan dik silindir şeklindeki iki mum aynı anda yakılıyor. Bu iki mumun birim zamanda eriyen miktarları aynıdır. Mumlar yakıldıktan 5 saat sonra mumların boyları oranının \(\frac{22}{21}\) olduğu ölçülüyor.

Bu ölçümden 10 saat sonra ise mumların boyları oranı \(\frac{16}{13}\) olduğuna göre, başlangıçtan itibaren kaç saat sonra mumların boyları oranı 7 olur?

Şıklar:

Cevap:  30

Çözüm:
Mumların başlangıçtaki boyları \(l\), başlangıçtan 5 saat sonraki boyları \(22k\) ve \(21k\), başlangıçtan \(15\) saat sonraki boyları \(16m\) ve \(15m\) olsun. 


\[ \frac{l - 22k}{l - 16m} = \frac{l - 21k}{l - 13m} = \frac{5}{15} \]


elde ederiz. Bu oranlardan \(\frac{5}{15} = \frac{(l - 21k) - (l - 22k)}{(l - 13m) - (l - 16m)} = \frac{k}{3m}\) olup \(k = m\) elde ederiz. Dolayısıyla \(l - 16k = 3 \cdot (l - 22k)\) ve \(l = 25k\) olur. 5 saat içerisinde \(25k\) den \(22k\) ye geldiğine göre kalın olan mumun boyu saatte \(\frac{3k}{5}\) azalmaktadır. Benzer şekilde ince olan mumun boyu saatte \(\frac{4k}{5}\) azalır. Boyları oranı \(x\) saat sonra 7 oluyorsa, \(25k - \frac{3kx}{5} = 7 \cdot (25k - \frac{4kx}{5})\) ve \(x = 30\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 8

Bir küpün altı yüzünün her birinde birbirinden farklı iki basamaklı pozitif tam sayılar yazılmıştır. Ortak kenara sahip herhangi iki yüzdeki sayıların farkı en az 2 ise, bu altı sayının toplamı en az kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  81

Çözüm:
\(n^2 - 7|n^3 - 31 - n(n^2 - 7) = 7n - 31\). \(n \ge 5\) iken \(n^2 - 7\) ve \(7n - 31\) sayıları pozitiftir ve \(n^2 - 7|7n - 31\) olduğundan \(n^2 - 7 \le 7n - 31\) bulunur. O zaman \(n^2 - 7n + 29 \le 0\) ve buradan \((n - 3)(n - 4) + 17 \le 0\) elde edilir. Fakat \(n \ge 5\) olduğundan bu mümkün değildir ve bu durumdan çözüm gelmez. \(n = 1, 2, 3, 4\) durumlarından sadece \(n = 1\) ve \(n = 3\) şartı sağlar.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 9

Dışbükey bir \(ABCDE\) beşgeninin köşeleri bir çember üzerinde yer almaktadır. \(AC \cap BD = \{F\}\), \(BE \cap AD = \{K\}\), \(CE \cap AD = \{L\}\) olmak üzere, \(|AB| = |BK|\), \(|CD| = |CL|\), \(|EK| = |EL|\) ve \(s(\overline{EFC}) = 60^\circ\) ise, \(s(\overline{AED})\) kaç derecedir?

Şıklar:

Cevap:  140°

Çözüm:
Verilen ikizkenar üçgenler kullanılarak, çemberde açıdan \(s(\overline{ABE}) = s(\overline{ECD}) = s(\overline{BEC})\) ve \(s(\overline{ADB}) = s(\overline{CAD})\) olduğu kolaylıkla görülür. \(s(\overline{BEC}) = x\), \(s(\overline{ADB}) = y\) dersek, çember yaylarından \(6x + 4y = 360^\circ\) olur. Diğer taraftan, çemberde açıdan \(s(\overline{EFC}) = (4x + 2x)/2 = 3x\) olup, \(x = 20^\circ\) bulunur. Dolayısıyla, \(y = 60^\circ\)

elde ederiz, buradan \(s(\widehat{AED}) = x + 2y = 140^\circ\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 10

\(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılarının en küçük ortak katları ile en büyük ortak bölenlerinin farkı 13 ise, \(a + b\) kaç farklı değer alabilir?

Şıklar:

Cevap:  3

Çözüm:
En büyük ortak bölen \(d\) olsun. \(a = da_1, b = db_1\) olacak şekilde aralarında asal \(a_1, b_1\) tam sayıları vardır. Bu durumda en küçük ortak kat \(da_1b_1\) olur. \(d(a_1b_1 - 1) = 13\) olmalıdır. \(d\) sayısı 13'ü böldüğünden \(d = 1\) veya \(d = 13\) olur. İlk durumda eob 1, ekok 14 olup tüm çözümler \((a, b) = (1, 14), (14, 1), (2, 7), (7, 2)\) olur. İkinci durumda eob 13, ekok 26 olup tüm çözümler \((a, b) = (13, 26), (26, 13)\) olur. Sonuç olarak \(a + b\) sayısı 9, 15, 39 değerlerini alabilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 11

\(|x + y| < 5\) şartını sağlayan \(x\) ve \(y\) gerçel sayıları için \(x^2 + y\) ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değer kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  218

Çözüm:
Çokgen n kenarlı ve birbirine eşit olan açılardan birinin ölçüsü α derece olsun. O zaman \((n-3)\alpha + 390 = (n-2)180\) olur ve buradan \(\alpha = 180 - 210/(n-3)\) bulunur. O halde \(n-3|210\) elde edilir. \(n-3=1\) ise, \(n=4\) ve \(\alpha = -30\) olur ve çelişki elde edilir. \(n-3=2\), yani \(n=5\) durumu n'nin en küçük olduğu durum, \(n-3=210\) yani \(n=213\) durumu ise n'nin en büyük olduğu durumdur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 12

1, 2, ..., 303 sayıları bir çember etrafına dizilimiştir. Yan yana olup toplamları 7 ile tam bölünen sayı ikililerinin sayısı en fazla kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  299

Çözüm:
\(i = 0, 1, ..., 6\) olmak üzere, \(S(i)\) bu sayıların 7 modunda \(i\) ye eşit olanlarının kümesi olsun. Buna göre, \(|S(0)| = 43\), \(|S(1)| = 44\), \(|S(2)| = 44\), \(|S(3)| = 43\), \(|S(4)| = 43\), \(|S(5)| = 43\), \(|S(6)| = 43\) olur. Ardışık yerleştirilmiş sayılardan oluşan bir grupta herhangi iki komşu sayının toplamı 7 ile bölünüyorsa ve bu grup genişletilemiyorsa bu gruba iyi grup diyelim. İyi grup sayısı \(k\) ise, yan yana olup toplamları 7 ile tam bölünen sayı ikilerinin sayısı 303 - \(k\) olacaktır. \(k\) sayısının en az 4 olacağı açıktır. Buna göre, 7 ile tam bölünen sayı ikililerinin sayısı en fazlası 299 olabilir. 


Şimdi 299 için bir örnek verelim. İlk grup 7 ile bölünen 43 sayıdan, ikinci grup dönüşümlü olarak \(S(1)\) ve \(S(6)\) kümelerinin elemanlarından, üçüncü grup dönüşümlü olarak \(S(2)\) ve \(S(5)\) kümelerinin elemanlarından ve dördüncü grup dönüşümlü olarak \(S(3)\) ve \(S(4)\) kümelerinin elemanlarından

oluşursa toplamları 7 ile tam bölünen sayı ikililerinin sayısı 299 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 13

Bir ABC üçgeninde I noktası iç açortayların kesişim noktasıdır. I noktasından geçip AB doğrusuna paralel olan doğru [BC] kenarını D noktasında, I noktasından geçip AC doğrusuna paralel olan doğru ise [BC] kenarını E noktasında kesmektedir. |ID| = |IE| = 12 ve |DE| = 16 ise, ABC üçgeninin çevresi nedir?

Şıklar:

Cevap:  100

Çözüm:
Açılardan BDI ve CEI üçgenlerinin ikizkenar oldukları kolayca görülür. Buradan |BC| = 12 + 12 + 16 = 40 bulunur. Açılardan ABC ve IDE üçgenlerinin benzer oldukları görülür ve benzerlik oranı |BC|/|DE| = 40/16 = 5/2'dir. O halde ABC üçgeninin çevresine x dersek x/(12 + 12 + 16) = 5/2 ve buradan da x = 100 elde edilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 14

\(2^n - 1\) sayısının 385 ile tam bölünmesini sağlayan en küçük n pozitif tam sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  6

Çözüm:
385 = 5 · 7 · 11. 2'nin kuvvetlerinin (mod 5), (mod 7) ve (mod 11)'deki değerleri incelendiğinde 5|2^n - 1 ⇔ 4|n, 7|2^n - 1 ⇔ 3|n ve 11|2^n - 1 ⇔ 10|n olduğu görülür. O halde 385|2^n - 1 ancak ve ancak okek(4, 3, 10)|n yani 60|n bulunur. Demek ki şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayı 60'tır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 15

30 birim uzunluğundaki [A, B] aralığının A noktasından B noktasına doğru sabit hızla giden bir X böceği ile B noktasından A noktasına doğru sabit hızla giden bir Y böceği aynı anda harekete başlıyor. Bir t gerçel sayısı için X ve Y böcekleri arasındaki mesafe iki kere t birim oluyor. Mesafenin ilk kez t birim olduğu anda X böceği B noktasından 15 birim uzaklıkta, ikinci kez t birim olduğu anda ise Y böceği B noktasından 10 birim uzaklıkta olduğuna göre, t kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  10

Çözüm:
X ve Y böceklerinin hızları sırasıyla x ve y olsun. Başlangıçtan aralarındaki mesafenin ilk kez t olduğu zamana kadar geçen süre (30 - 15)/x = (15 - t)/y'dir. Başlangıçtan aralarındaki mesafenin ikinci kez t olduğu zamana kadar geçen süre 10/y = (20 + t)/x'dir. Bu iki denklemden x/y = 15/(15 - t) = (20 + t)/10 ve buradan da t² + 5t - 150 = 0 bulunur. Demek ki (t - 10)(t + 15) = 0. t pozitif olacağından, t = 10 elde edilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 16

Bir masa üzerinde birinde \(m\) diğerinde \(n\) bilye bulunan iki öbek bulunmaktadır. Aslı ve Zehra sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Oyuna Aslı başlıyor ve sırası gelen oyuncu masa üzerinde en az iki bilye içeren bir öbeği hiçbiri boş olmayan iki öbeğe ayırıyor. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun \((m, n) = (10, 11), (10, 13), (11, 12), (11, 21)\) ve \((27, 30)\) ikilileri için birer kez oynanırsa, Aslı bu oyunların kaçını kazanmayı garantileyebilir?

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
Oyunun sonunda birer bilyeden oluşan \(m+n\) öbek oluşacaktır ve bu duruma gelmek için toplam \(m+n-2\) hamle yapılacaktır. Buna göre, oyuncuların hamlelerinden bağımsız olarak her zaman \(m+n-2\) tek ise oyunu Aslı, çift ise Zehra kazanıyor.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 17

\(AD \parallel BC\) ve \(|AD| > |BC|\) olan bir \(ABCD\) yamuğunda \(B\) noktasından geçen ve \(CD\) doğrusuna paralel olan doğru \(AD\) doğrusunu \(E\) noktasında kesiyor. \(CBE\) ile \(DAC\) açılarının iç açıortayları \([CE]\) yi sırasıyla \(F\) ve \(G\) noktalarında kesiyor. \(AC\) ile \(BE\) doğrularının kesişimi \(H\) olmak üzere \(|CH| = 2\) ve \(|CF| = |GE|\) ise, \(|EH|\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
\(BCDE\) dörtgeni bir paralelkenardır. \(CBF\) ve \(DEG\) üçgenleri eştir. Buna göre \(DG\) doğrusu \(CDA\)'nın açıortayıdır. Sonuç olarak \(G\) noktası \(ACD\) üçgeninde iç açıortayların kesişim noktasıdır. O zaman \(s(ACG) = s(DCG)\) olur. Ayrıca \(s(HEC) = s(ECD)\) olduğundan \(EHC\) üçgeni ikizkenardır ve \(|EH| = |HC| = 2\) elde edilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 18

\(m^4 - 25^n = 6560\) eşitliğini sağlayan kaç \((m, n)\) tam sayı ikilisi vardır?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
\(25^n\) tam sayı olmalı. O halde \(n \ge 0\). \(n \ge 1\) ise, \(5|m^4\) yani \(5|m\) olur. O zaman da \(25|m^4 - 25^n\) bulunur ancak 25 sayısı \(6560\)'ı bölmez. Demek ki bu durumda çözüm gelmez. \(n = 0\) ise, \(m^4 = 6561 = 9^4\) olduğundan \(m = \pm 9\) bulunur. Tüm çözümler \((9, 0)\) ve \((-9, 0)\)'dır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 19

\(c\) bir gerçel sayı olmak üzere, 


\[ 
\begin{aligned}
x + 3y + 9z &= 1 \\
x + 4y + 16z &= 1 \\
x + 5y + cz &= 1
\end{aligned}
\]

denklem sistemini sağlayan sonsuz çoklukta \((x, y, z)\) gerçel sayı üçlüsü varsa, \(c\) aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Şıklar:

Cevap:  23

Çözüm:
İlk iki denklemi \(x + 3y = 1 - 9z\) ve \(x + 4y = 1 - 16z\) şeklinde yazarsak, \(x = 12z + 1\) ve \(y = -7z\) olduğu kolaylıkla görülür. Üçüncü denklemde yerine koyduğumuzda \((c - 23)z = 0\) olur. \(c \neq 23\) olursa, denklemin tek çözümü \((1, 0, 0)\) olup, \(c = 23\) ise her \(z\) değeri için \((12z + 1, -7z, z)\) çözüm olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 20

91 özdeş top bir sıraya dizilmiş 13 farklı kutuya, kutuların birinde 1, birinde 2, birinde 3, ..., birinde 13 top olacak biçimde dağıtılacaktır. Bu dağılım, herhangi üç ardışık kutudaki top sayılarının toplamı 3 ile tam bölünecek şekilde kaç farklı biçimde yapılabilir?

Şıklar:

Cevap:  138240

Çözüm:
Sorudaki koşula göre, aralarında tam olarak iki kutu bulunan herhangi iki kutudaki toplam sayısı (mod 3)'te denk olamlıdır. \(1,2,...,13\) sayılarını (mod 3)'te denk olan üç gruba ayırırsak gruplar \(S_1 = \{1, 4, 7, 10, 13\}\), \(S_2 = \{2, 5, 8, 11\}\) ve \(S_3 = \{3, 6, 9, 12\}\) olur. Kutuları soldan sağ doğru numaralandıralım. 4 elemanlı tek grup \(S_1\) olduğuna göre, 1., 4., 7., 10. ve 13. kutularaki top sayıları herhangi bir sırayla \(S_1\) grubundaki sayılar olacaktır. 2., 5., 8. ve 11. kutulardaki top sayıları herhangi bir sırayla hem \(S_2\) hem de \(S_3\) grubundaki sayılar olabilir. Sonuç olarak toplam yerleştirme sayısı \(51 \cdot 2 \cdot 4! \cdot 4! = 138240\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 21

Bir \(\Gamma\) çemberi üzerinde alınan \(A\) ve \(B\) noktalarından çembere çizilen teğetlerin kesişim noktası \(C\) dir. \(AB\) doğrusuna \(B\) noktasında dik olan doğru \(AC\) doğrusunu \(D\) noktasında, \(AB\) doğrusuna \(A\) noktasında dik olan doğru \(\Gamma\) çemberini ikinci kez \(E\) noktasında kesiyor. \(|AE| = 1\) ve \(|BD| = 2\) ise, \(|EC|\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Çözüm:
Öncelikle teğet-kiriş açıdan \(s(\widehat{AB}) = s(\widehat{BAD})\) dir. Soruda verilen \(s(\widehat{EAB}) = s(\widehat{ABD}) = 90^\circ\) eşitliğinden \(EAB\) ve \(ABD\) üçgenleri benzer olup, \(|AB| = \sqrt{2}\) bulunur. Teğetlikten \(|AC| = |CB|\) ve \(s(\widehat{ABD}) = 90^\circ\) olduğundan \(|CD| = |AC| = |CB|\) bulunur. Buradan, \(ABD\) üçgeninde Pisagor teoreminden \(|AD| = \sqrt{6}\) olup, \(|BC| = \frac{\sqrt{6}}{2}\) elde ederiz. Diğer taraftan, \(|BC| = |CD|\) eşitliği ile \(EAB\) ve \(ABD\) üçgenlerinin benzerliği

kullanılarak 


\[s(\widehat{EBA}) = s(\widehat{BDA}) = s(\widehat{BDC}) = s(\widehat{DBC})\]


elde edilir ve buradan \(s(\widehat{EBC}) = s(\widehat{ABD}) = 90^\circ\) olur. Sonuç olarak, Pisagor teoreminden 


\[|EC|^2 = |EB|^2 + |BC|^2 = |AE|^2 + |AB|^2 + |BC|^2 = \frac{9}{2}\]


elde ederiz ve dolayısıyla \(|EC| = \frac{3}{\sqrt{2}}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 22

İki basamaklı kaç n pozitif tam sayısı için \(7x^2 + 2y^2 = 3^n\) eşitliğini sağlayan \((x, y)\) pozitif tam sayı ikilisi bulunur?

Şıklar:

Cevap:  45

Çözüm:
\(n\) sayısı çiftse \(x = y = 3^{n/2-1}\) eşitliği sağlar. \(n\) tekse, eşitliği (mod 8)'de inceleyelim. \(x^2, y^2 \equiv 0, 1, 4 \pmod{8}\) olduğundan \(7x^2 + 2y^2\)'nin (mod 8)'de alabileceği değerler 0, 1, 2, 4, 6 ve 7'dir. Ancak \(n\) tek olduğundan \(3^n \equiv 3 \pmod{8}\)'dir. Sonuç olarak \(n\) tek iken çözüm yoktur. O halde şartı sağlayanlar iki basamaklı çift sayılarıdır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 23

\((x + 2)(y + 3) = 24\) eşitliğini sağlayan \(x\) ve \(y\) pozitif gerçel sayıları için \(xy\) çarpımının alabileceği en büyük değer nedir?

Şıklar:

Cevap:  6

Çözüm:
AGO eşitsizliğinden \(x + 2 \ge 2\sqrt{2x}\) ve \(y + 3 \ge 2\sqrt{3y}\) dir. Bu iki eşitsizliği taraf tarafa çarparsak \(24 = (x + 2)(y + 3) \ge 4\sqrt{6xy}\) elde ederiz. Buradan da \(xy \le 6\) olur. Eşitlik \(x = 2\), \(y = 3\) iken sağlanır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 24

Başlangıçta 6 öğrencide farklı sayılarda kalemler bulunmaktadır. Bu öğrencilerden her biri, kendi kalemlerinin tamamını diğer beş öğrencinin tamamı veya bir kısmı arasında paylaştırarak bu beş öğrencide eşit sayıda kalem bulunmasını sağlayabiliyor. Buna göre, bu 6 öğrencinin toplam kalem sayısı en az kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  75

Çözüm:
En az kalemi olan öğrenci diğer öğrencilere farklı sayıda kalem dağıtmak zorundadır. Buna göre, onun kalem sayısı en az \(0+1+2+3+4=10\) olmak zorundadır. O zaman toplam kalem sayısı en az \(10+11+12+13+14+15=75\) olacaktır. Eğer öğrencilerdeki kalem sayıları 10,11,12,13,14 ve 15 ise de, açıkça görüleceği üzere herhangi bir öğrenci kendi kalemlerini paylaştırarak diğer beş öğrencinin her birinde 15 kalem

olmasını sağlayabilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 25

Köşegenleri \(E\) noktasında dik kesişen bir \(ABCD\) kirişler dörtgeninde \(B\) noktasından \(AD\) doğrusuna inilen dikmenin ayağı \(F\) olsun. \(|BE| = 4\), \(|ED| = 21\) ve \(|FD| = 15\) ise, \(|CD|\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(15\sqrt{2}\)

Çözüm:
Öncelikle \(|FD| < |ED|\) olduğun için \(F\) noktası \([AD]\) üzerindedir. \(A, B, E, F\) çemberselliği kullanılarak, kuvvetten \(|FD|(|FD| + |AF|) = |ED|(|ED| + |EB|)\) olup, \(|AF| = 20\) bulunur. Buradan, \(AED\) üçgeninde Pisagor teoreminden \(|AE| = 28\) elde ederiz. \(ABCD\) kirişler dörtgeninde kuvvetten \(|AE||EC| = |BE||ED|\) olup, \(|EC| = 3\) bulunur. Son olarak, \(ECD\) üçgeninde Pisagor teoreminden \(|CD| = 15\sqrt{2}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 26

Ondalık yazılımı en az iki tane 5 ve toplam iki farklı rakam içeren dört basamaklı tam olarak bir tane asal sayı vardır. Bu asal sayının 41 ile bölümünden kalan kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  22

Çözüm:
En az 3 tane 5 olursa son basamak 5 olamayacağından sayı \(555a\) formatında olmalıdır. \(a\) çift olursa sayı da çift olur. 3 \(|a\) olursa sayı da 3 ile bölünür. \(a = 5\) olursa sayı 5 ile bölünür. \(a = 1\) olursa sayı 7 ile bölünür. Yani bu durumda \(a = 7\) olabilir. Tam olarak iki tane 5 olursa sayı \(55aa, 5a5a, 5aa5, a55a, a5a5, a555\) formatlarından biri şeklindedir. \(55aa, 5aa5, a55a, a55\) sayıları 11 ile, \(5a5a, a5a5\) sayıları da 101 ile bölünür ve bu durumda asal sayı bulunamaz. Buna göre, şartları sağlayan sayı sadece \(5557\)'dir. Bu sayının 41 ile bölümünden kalan 22'dir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2022, 1. Aşama, Soru 27

Her biri 1, 2, 3 ten birine eşit olan 10 tane sayı verilmiştir. Bu sayıların en az yarısı 3 ise, bu sayıların küpleri toplamının bu sayıların toplamına oranı en az kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  7

Çözüm:
\(a\) tane 1, \(b\) tane 2, \(c\) tane 3 olsun. Küpler toplamı \(a + 8b + 27c\), sayıların toplamı \(a + 2b + 3c\) dir. \(a + 8b + 27c - 7(a + 2b + 3c) = 6c - 6a - 6b = 12c - 60 \ge 0\) olduğundan oran en az 7 dir. Eşitlik \(c = 5\) iken sağlanır.