alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 18

[AB] ve [CD] bir çemberin farklı çapları olmak üzere, D den bu çembere çizilen teğet AB doğrusunu B ye göre A ile farklı tarafta yer alan bir E noktasında, BC doğrusunu F noktasında kesiyor. |EB|/|AB| = 5/2 ve |DF| = 4 ise, |EF| nedir?

Şıklar:

Cevap:  10

Çözüm:
[AB] nin orta noktası O olsun. O çemberin merkezi olacağından |OA| = |OB| = |OC| = |OD| olur. Çemberin yarıçaplına x dersek |OA| = x ve |BE| = 5x olur. ODE üçgeninde CF kesenine göre Menelaus teoreminden (|OC|/|CD|)·(|DF|/|FE|)·(|BE|/|OB|) = 1 ve buradan da |EF| = 4·5/2 = 10 buluruz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 19

r pozitif gerçel sayısı \(2r - \frac{3}{2r+4} = 4\) eşitliğini sağlıyorsa, \(r + \frac{3}{4r+8}\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(\sqrt{19} - 2\)

Çözüm:
\(2r + 4 - \frac{3}{2r+4} = 8\) olduğundan 


\[ (2r + 4)^2 + \frac{9}{(2r + 4)^2} = 70 \text{ ve } (r + 2)^2 + \frac{9}{16(r + 2)^2} = \frac{35}{2} \]


Diğer taraftan \(r + \frac{3}{4r+8} = t\) olursa \(r + 2 + \frac{3}{4r+8} = t + 2\) ve 


\[ (r + 2)^2 + \frac{3}{2} + \frac{9}{16(r + 2)^2} = (t + 2)^2 \]


Sonuç olarak \((t + 2)^2 = 19\) olur. \(t\) pozitif olduğundan \(t = \sqrt{19} - 2\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 20

2, 3, ..., 2011 tam sayılarından kaç tanesi karekökünden küçük olan en büyük tam sayı ile bölünür?

Şıklar:

Cevap:  88

Çözüm:
Şartı sağlayan bir sayı \(n\) olsun. \(n = k^2\) olacak şekilde \(k\) pozitif tam sayısı varsa \(k - 1|n = k^2\) olmalı. \(\Rightarrow k - 1|k^2 - (k - 1)(k + 1) = 1 \Rightarrow k = 2\). Demek ki \(n = k^2\) ise \(n = 4\) olmalı. Diğer durumda \(k^2 < n < (k + 1)^2\) olacak şekilde \(k\) pozitif tam sayısı vardır. \(\Rightarrow k|n\) olmalı. \(\Rightarrow n = k^2 + k\) veya \(n = k^2 + 2k\). \(44^2 + 44 = 1980 < 2011 < 44^2 + 2 \cdot 44 = 2024\) olduğundan toplam çözüm sayısı \(1 + 2 \cdot 43 + 1 = 88\) dir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 21

\(AB//CD\) olmak üzere, \(ABCD\) yamuğunun tüm kenarlarına teğet olan bir çember \([AB]\) ye \(E\), \([CD]\) ye de \(F\) noktasında değiyor. \(|AE| = 5\), \(|CF| = 3\) ve \(|FD| = 2\) ise, \(|BE|\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  10/3

Çözüm:
Yamuğun kenarlarına teğet olan çemberin merkezi \(O\) olsun. \(OE \perp AB\), \(OF \perp CD\) ve \(AB \parallel CD\) olduğundan \(F, O, E\) doğrudaytır. \(|BE| = x\) ve \(|FE| = h\) olsun. Teğetliklerden \(|AD| = 5 + 2 = 7\), \(|BC| = x + 3\) olmalıdır. \(D\) ve \(C\) noktalarından \(AB\) kenarına indirilen dikme ayakları sırasıyla \(P\) ve \(Q\) olsun. \(|AP| = 3\), \(|QB| = x - 3\), \(|DP| = |CQ| = h\) olur. Pisagor teoreminden \(h^2 + 3^2 = 7^2\) ve \(h^2 + (x - 3)^2 = (x + 3)^2\) buluruz. Buradan da \(h = 2\sqrt{10}\) ve \(x = 10/3\) elde ederiz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 22

\(pqr = 2pr + qr + 10p\) eşitliğini sağlayan kaç \((p, q, r)\) asal sayılar üçlüsü vardır?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
\(pqr = 2pr + qr + 10p \Rightarrow qr(p-1) = 2p(r+5)\). Sağ taraf \(p\) ile bölünür. \(p - 1\) sayısı \(p\) ile bölünmediğinden ve \(p\) asal sayı olduğundan \(p|qr\) dir ve dolayısıyla \(q\) ve \(r\) de asal sayılar olduğundan \(p = q\) veya \(p = r\) elde edilir. 


\(p = q\) ise, \(r(p-1) = 2(r+5) \Rightarrow r(p-3) = 10 \Rightarrow r \in \{2, 5\}\). O halde bu durumdan sadece \((5, 5, 5)\) çözümü elde edilir. 


\(p = r\) ise, \(q(p-1) = 2(p+5) \Rightarrow (q-2)(p-1) = 12\). Bu durumda farklı çözüm olarak yalnızca \((13, 3, 13)\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 23

4 siyah, 4 beyaz ve 4 kırmızı top, iki kırmızı top yan yana gelmemek koşuluyla kaç farklı biçimde sıralanabilir?

Şıklar:

Cevap:  8820

Çözüm:
İlk önce beyaz ve siyah topları dizelim. Bundan sonra mavi topların gidebilecekleri yer sayısı 9 olduğundan cevap 


\[ \binom{8}{4} \cdot \binom{9}{4} = 8820 \]


olur.

**24.** AB doğrusu üstünde ve B noktasına göre A ile farklı tarafta yer alan E noktasından geçen bir doğru ABCD dikdörtgeninin [BC] kenarını P, [AD] kenarını da Q noktasında kesiyor. |AB| = 1, |BE| = 3, |AD| = 5 ve PCDQ yamuğunun alanı PQBAB yamuğunun alanının iki katı ise, |BP| nedir?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 24

AB doğrusu üstünde ve B noktasına göre A ile farklı tarafta yer alan E noktasından geçen bir doğru ABCD dikdörtgeninin [BC] kenarını P, [AD] kenarını da Q noktasında kesiyor. |AB| = 1, |BE| = 3, |AD| = 5 ve PCDQ yamuğunun alanı PQBAB yamuğunun alanının iki katı ise, |BP| nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(10/7\)

Çözüm:
|BP| = \(x\), |QA| = \(y\) dersek |PC| = \(5 - x\), |QD| = \(5 - y\) olur. Alan(PCDQ) = \((5 - x + 5 - y)/2 = 5 - (x + y)/2\) ve Alan(BPQA) = \((x + y)/2\) olduğundan \(x + y = 10/3\) olur. BP || QA olduğundan \(x/y = |BE|/|AE| = 3/4\) ve buradan da \(y = 4x/3\) olur. Yani \(x + 4x/3 = 10/3\) ve buradan da \(x = 10/7\) elde ederiz. 


**25.** Kaç n tam sayısı için, \(|n^3 - 6n^2 + 5|\) sayısı asaldır?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 25

Kaç n tam sayısı için, \(|n^3 - 6n^2 + 5|\) sayısı asaldır?

Şıklar:

Cevap:  \(4\)

Çözüm:
\(n^3 - 6n^2 + 5 = (n - 1)(n^2 - 5n - 5)\) olduğundan bu iki çarpanın \(\pm 1\) olduğu durumları incelememiz gerekiyor. \(n - 1 = \pm 1\) den \(n = 0, 2\) gelir ve bu durumlarda \(n^2 - 5n - 5\) ifadesi -5 ve -11 olur. \(n^2 - 5n - 5 = \pm 1\) den \(n = 6, -1\) gelir ve bu durumlarda \(n - 1\) ifadesi 5 ve -2 olur. Buna göre, çözüm kümesi \(\{0, 2, 6, -1\}\) olur. 


**26.** \(m \le k\) olmak üzere, \(100 \times 100\) bir satranç tahtasının \(m\) birim karesine mavi, \(k\) birim karesine de kırmızı birer taş, hiçbir satır ya da sütunda farklı renkte iki taş yer almayacak biçimde yerleştirilmişse, \(m\) en çok kaç olabilir?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 26

\(m \le k\) olmak üzere, \(100 \times 100\) bir satranç tahtasının \(m\) birim karesine mavi, \(k\) birim karesine de kırmızı birer taş, hiçbir satır ya da sütunda farklı renkte iki taş yer almayacak biçimde yerleştirilmişse, \(m\) en çok kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  \(2500\)

Çözüm:
Mavi taşlar \(x\) satırda ve \(y\) sütunda olsun. O zaman kırmızılar en fazla \(100 - x\) satırda ve \(100 - y\) sütunda olur. AO\(\ge\)GO eşitsizliğinden 


\[mk \le xy(100 - x)(100 - y) \le x(100 - x)y(100 - y) \le 50^2 \cdot 50^2\]


ve \(m \le 2500\) elde ederiz. \(m = 2500\) için örnekte ilk 50 satırla ilk 50 sütunun kesişiminde 2500 tane mavi, son 50 satırla son 50 sütunun kesişiminde ise 2500 tane kırmızı taş bulunuyor. 


**27.** E ve F, ABCD dışbükey dörtgeninin sırasıyla, [BC] ve [AD] kenarları üstünde yer alan köşelerden farklı noktalar olmak üzere; hem A, B, E, F noktaları, hem de C, D, F, E noktaları çemberdeştir. |AC| = 4, |AB| + |CD| = 5 ve \(s(\overline{BAC}) = 60^\circ\) ise, |BD| nedir?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 27

E ve F, ABCD dışbükey dörtgeninin sırasıyla, [BC] ve [AD] kenarları üstünde yer alan köşelerden farklı noktalar olmak üzere; hem A, B, E, F noktaları, hem de C, D, F, E noktaları çemberdeştir. |AC| = 4, |AB| + |CD| = 5 ve \(s(\overline{BAC}) = 60^\circ\) ise, |BD| nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(\sqrt{21}\)

Çözüm:
Çemberdeşliklerden \(\angle DCE = \angle EFA = 180^\circ - \angle ABE\) olduğundan AB || CD olur. ACKB paralelkenar olacak biçimde bir K

noktası alalım. \(D, C, K\) doğrudaytır. \(|CK| = |AB|\) olduğundan \(|DK| = |AB| + |CD| = 5\) ve \(|BK| = |AC| = 4\) tür. Ayrıca \(\angle DKB = \angle BAC = 60^\circ\) olur. \(DKB\) üçgeninde kosinüs teoreminden \(4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = |BD|^2\) olduğundan \(|BD| = \sqrt{21}\) elde ederiz. 


**28.** Başlangıçta tahtada bir \(n\) tam sayısı yazılıdır. İki oyuncu sırayla hamle yaparak; her hamlede tahtadaki sayıyı silip yerine o sayıdan büyük olan, ama o sayının iki katını aşmayan bir tam sayı yazıyorlar. Tahtaya 2011 sayısını yazan oyuncu oyunu kazanıyor. Oyun \(n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\) değerlerinin her biri için birer kez oynanırsa, bu oyunlardan kaçını oyuna başlayan oyuncu kazanmayı garantileyebilir?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 28

Başlangıçta tahtada bir \(n\) tam sayısı yazılıdır. İki oyuncu sırayla hamle yaparak; her hamlede tahtadaki sayıyı silip yerine o sayıdan büyük olan, ama o sayının iki katını aşmayan bir tam sayı yazıyorlar. Tahtaya 2011 sayısını yazan oyuncu oyunu kazanıyor. Oyun \(n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\) değerlerinin her biri için birer kez oynanırsa, bu oyunlardan kaçını oyuna başlayan oyuncu kazanmayı garantileyebilir?

Şıklar:

Cevap:  13

Çözüm:
Oyun [1006, 2010] aralağındaki sayılarla başlarsa oyuna başlayan oyuncu oyunu kazanır. Oyun 1005 sayısıyla başlarsa oyuna başlayan oyuncu oyunu kaybeder. Oyun [503, 1004] aralağındaki sayılarla başlarsa oyuna başlaya oyuncu ilk hamlesinde tahtaya 1005 yazarak oyunu kazanır. Oyun 502 sayısıyla başlarsa oyuna başlayan oyuncun kaybeder. Oyun [251, 501] aralağındaki sayılarla başlarsa oyuna başlayer oyuncu ilk hamlesinde tahtaya 502 yazarak oyunu kazanır. Oyun 250 sayısıyla başlarsa oyuna başlayan oyuncunu oyunu kaybeder. Benzer şekilde devam edersek oyuna başlayan oyuncunun oyunu kaybettiği değerlerin 502, 250, 124, 61, 30, 14, 6, 2 olduğu görülür. Sonuç olatrak oyuna başlayan oyuncu ilk 16 pozitif tam sayıdan sadece 2, 6 ve 14 sayılarıyla başlayan oyunları kaybedecektir. 


**29.** \(x, y, z, t\) gerçel sayılar olmak üzere, \(x^2 + y^2 + z^2 + t^2 - xy - yz - zt - 10t\) ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 29

\(x, y, z, t\) gerçel sayılar olmak üzere, \(x^2 + y^2 + z^2 + t^2 - xy - yz - zt - 10t\) ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(-40\)

Çözüm:
Verilen ifade 


\[ \left(x - \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \left(y - \frac{2z}{3}\right)^2 + \frac{2}{3} \left(z - \frac{3t}{4}\right)^2 + \frac{5}{8}(t - 8)^2 - 40 \]


olarak yazılabilir. Buna göre verilen ifade \(-40\) değerinden daha küçük olamaz ve \(t = 8, z = 6, y = 4\) ve \(x = 2\) durumunda \(-40\) değerini alıyor. 


**30.** Köşeleri bir çemberin üstünde yer alan \(ABCD\) dışbükey dörtgeninin köşegenleri \(E\) noktasında kesişiyor. \(|AC| = 16\), \(|BD| = 12\) ve \(\overline{CED}\) açısının ölçüsü ile \(\overline{BC}\) yayının ölçüsünün toplamı \(90^\circ\) ise, çemberin yarıçapı nedir?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 1. Aşama, Soru 30

Köşeleri bir çemberin üstünde yer alan \(ABCD\) dışbükey dörtgeninin köşegenleri \(E\) noktasında kesişiyor. \(|AC| = 16\), \(|BD| = 12\) ve \(\overline{CED}\) açısının ölçüsü ile \(\overline{BC}\) yayının ölçüsünün toplamı \(90^\circ\) ise, çemberin yarıçapı nedir?

Şıklar:

Cevap:  10

Çözüm:
\(\angle DEC = \alpha\), \(\widehat{BC} = 90^\circ - \alpha\) olsun. \(\angle CAB = 45^\circ - \alpha/2\) ve \(\angle ABD = 135^\circ - \alpha/2\) olur. \(CO\) doğrusu çemberi ikinci kez \(F\) de kessin. \(\angle CAF = 90^\circ\) olacağından \(\angle FAB = \angle ABD\) olur. \(FABD\) kirişler dörtgeni olduğundan \(|FA| = |BD| = 12\) olur. \(FAC\) dik üçgeninde Pisagor teoreminden \(|FC| = 20\) ve buradan da yarıçap 10 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 2. Aşama, Soru 1

Tüm \(x, y\) pozitif gerçel sayıları için, 


\[1 \le \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2} \le \frac{9}{8}\]


olduğunu gösteriniz.

Şıklar:


Çözüm:
Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden \((x+y)(x^3+y^3) \ge (x^2+y^2)^2\) olur. Buna göre, 


\[1 \le \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{\sqrt{(x^2+y^2)^2}}\]


bulunur ve ilk eşitsizlik ispatlanmış olur. 


\[0 \le ((x-y)^2 - 2xy)^2 \text{ olduğuna göre,}\]


\[4xy(x-y)^2 \le (x-y)^4 + 4x^2y^2\]


elde edilir. Parantezleri açarsak 


\[8x^3y + 8y^3x \le x^4 + 18x^2y^2 + y^4\]


gelir. Son eşitsizlikte her iki tarafa \(8x^4 + 8y^4\) eklersek 


\[8x^3y + 8y^3x + 8x^4 + 8y^4 \le 9x^4 + 18x^2y^2 + 9y^4\]


elde edilir. Bunu da \(8(x+y)(x^3+y^3) \le 9(x^2+y^2)^2\) şeklinde yazabiliriz. Sonuç olarak 


\[\frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^{2}} \le \frac{9}{8}\]


eşitsizliği de ispatlanmıştır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 2. Aşama, Soru 2

\(|AB| = |AC|\) olan bir \(ABC\) üçgeninde \([BC]\) nin orta noktası \(D\) ve \(D\) den \(AC\) doğrusuna inilen dikmenin ayağı \(E\) dir. \(BE\) doğrusu \(ABD\) üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez \(F\) noktasında kesiyor. \(DE\) ve \(AF\) doğrularının kesişim noktası \(G\) ise, \(|DG| = |GE|\) olduğunu kanıtlayınız.

Şıklar:


Çözüm:
 


\(\angle ACB = \alpha\) olsun. \(|AB| = |AC|\) olduğundan dolayı \(\angle ABD = \angle ABC = \alpha\) olur. \(DE \perp AC\) ve \(AD \perp BC\) olduğundan \(\angle EDC = 90^\circ - \alpha\) ve \(\angle ADE = \alpha\) gelir. Sonuç olarak \(\angle ABD = \angle ADE = \alpha\) olur. Dolayısıyla \(DE\) doğrusu \(ABD\) üçgeninin çevrel çemberine teğettir. O zaman kuvvet bağıntısına göre, 


\[|GD|^2 = |GF| \cdot |GA| \quad (1)\]


olur. Diğer taraftan \(\angle BFA = \angle ADB = 90^\circ\). Demek ki \(EF\) doğrusu \(AEG\) dik üçgeninin hipotenüsüne diktir. Sonuç olarak 


\[|GE|^2 = |GF| \cdot |GA| \quad (2)\]


olur. (1) ve (2) den \(|GD| = |GE|\) elde edilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 2. Aşama, Soru 3

\(m < n\) pozitif tam sayılar olmak üzere, \(p = \frac{n^2 + m^2}{\sqrt{n^2 - m^2}}\) olsun. 


a. \(p\) nin asal sayı olmasını sağlayan üç tane \((m, n)\) pozitif tam sayı ikilisi bulunuz. 


b. \(p\) bir asal sayı ise, \(p \equiv 1 \pmod{8}\) olduğunu gösteriniz.

Şıklar:


Çözüm:
a. \((m, n) = (6, 10)\), \((12, 15)\) ve \((30, 78)\) için \(p\) sırasıyla 


\[\frac{10^2 + 6^2}{8} = 17, \quad \frac{15^2 + 12^2}{9} = 41 \quad \text{ve} \quad \frac{78^2 + 30^2}{72} = 97\]


değerlerini alır. 


b. \(k = \sqrt{n^2 - m^2}\) olsun. O zaman \((k, m, n)\) bir Pisagor üçlüsüdür. O halde \(m = d(x^2 - y^2)\) veya \(m = 2dxy\), \(n = d(x^2 + y^2)\) ve \(obeb(x, y) = 1\) olacak şekilde \(d, x, y\) pozitif tam sayıları bulunur. 


Durum 1. \(m = d(x^2 - y^2)\). O zaman \(p = \frac{d(x^4 + y^4)}{xy}\) olur. \(obeb(x, y) = 1\) olduğundan ötürü \(obeb(xy, x^4 + y^4) = 1\) olur ve böylece \(xy|d\) olduğu görülür. \(p\) bir asal sayı ve \(x^4 + y^4 \ge 17\) olduğundan \(d = xy\) ve \(p = x^4 + y^4\) elde edilir. \(x\) ve \(y\) sayılarından biri çift diğeri tek olduğu için \(p = x^4 + y^4 \equiv 1 \pmod{8}\) bulunur.

Durum 2. \(m = 2dxy\). O zaman \(p = d(x^2 - y^2) + \frac{8dx^2y^2}{x^2 - y^2}\) olur. \(obeb(xy, x^2 - y^2) = 1\) ve \(\frac{8dx^2y^2}{x^2 - y^2}\) bir tam sayı olduğu için \(x^2 - y^2|8d\) elde edilir. Öte yandan, \(p\) bir asal sayı olduğu için \(d\) ve \(\frac{8d}{x^2 - y^2}\) aralarında asal sayılardır. O halde \(x^2 - y^2\) sayısı \(d'\)nin bir tam katıdır. Sonuç olarak \(x^2 - y^2 = d, 2d, 4d\) veya \(8d\) olmalı. 


\(x^2 - y^2 = d\) ise, \(p = d^2 + 8x^2y^2\) bir asal sayı olduğu için \(d\) tektir ve böylece \(p \equiv 1 \pmod{8}\) elde edilir. \(x^2 - y^2 = 2d\) ise, \(p = 2(d^2 + 2x^2y^2)\) bir asal sayı değildir. \(x^2 - y^2 = 4d\) ise, \(p = 2(2d^2 + x^2y^2)\) bir asal sayı değildir. \(x^3 - y^3 = 8d\) ise, \(p = 8d^2 + x^2y^2\) bir asal sayı olduğu için hem \(x\) hem de \(y\) tek sayıdır ve böylece \(p \equiv 1 \pmod{8}\) elde eşidir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2011, 2. Aşama, Soru 4

Öğretmen sınıfa 20 tane matematik ve 11 tane fizik sorusundan oluşan bir liste vererek, her öğrencinin tam olarak 1 matematik ve 1 fizik sorusu seçip çözmesini istiyor. Aynı soru ikilisi birden fazla öğrenci tarafından seçilmemişse ve her öğrencinin seçtiği iki sorudan en az biri kendisinden başka en çok bir öğrenci tarafından seçilmişse, bu sınıfta en çok kaç öğrenci olabileceğini belirleyiniz.

Şıklar:

Cevap:  54

Çözüm:
Cevap: 54. 


1 ≤ \(i\) ≤ 20, 1 ≤ \(j\) ≤ 11 ikilisi için bir öğrenci tarafından \(i\) numaralı matematik ve \(j\) numaralı fizik sorusu seçilmişse \(a_{i,j} = 1\), diğer durumlarda \(a_{i,j} = 0\) olsun. Soruda \(A = \sum_{i=1}^{20} \sum_{j=1}^{11} a_{i,j}\) ifadesinin 


- \(a_{i,j} = 0\) veya 1 


- bir \((k, l)\) ikilisi için \(a_{k,l} = 1\) ise \(\sum_{j=1}^{16} a_{k,j}\) ve \(\sum_{i=1}^{20} a_{i,l}\) toplamlarının en az biri en fazla 2 olacak 


koşulları altında en büyük değerinin bulunması gerekiyor. \(A \le 54\) olduğunu gösterelim. \(a_{k,l} = 1\) olsun. \(\sum_{j=1}^{11} a_{k,j} \le 2\) ise \(k\) sayısına *satır-iyi* indis, \(\sum_{i=1}^{20} a_{i,l} \le 2\) ise \(l\) sayısına *sütun-iyi* indis diyelim. 


\(k\) nin satır-iyi değerlerinin sayısı 20 ise, \(A \le 2 \cdot 20 = 40\) olur. 


\(l\) nin sütun-iyi değerlerinin sayısı 11 ise, \(A \le 2 \cdot 11 = 22\) olur. 


\(k\) nin satır-iyi değerlerinin sayısısı 19 ise, \(A \le 2 \cdot 19 + 11 = 49\) olur. 


\(l\) nin sütun-iyi değerlerinin sayıısı 10 ise, \(A \le 2 \cdot 10 + 20 = 40\) olur. 


\(k\) nin satır-iyi değerlerinin sayısını en fazla 18 ve \(l\) nin sütun-iyi değerlerinin sayısını en fazla 9 ise, satır veya sütun iyi değerlerinin toplam sayısı en fazla 27 oluyor. \(A\) nın sıfırdan farklı olan her \(a_{k,l}\) terimi için \(k\) ve \(l\) sayılarından en az biri iyi indis olmak zorundadır. Her satır-iyi \(k\) değerleri için en fazla iki farklı \(a_{k,l}\) sıfırdan farklı olabilir. Her sütun-iyi \(l\) değerleri için en fazla iki farklı \(a_{k,l}\), sıfırdan farklı olabilir. Buna göre, \(A\) sayısı iyi indis değerlerinin toplam sayısının iki katından fazla değildir: \(A \le 27 \cdot 2 = 54\). 


\(A = 54\) için bir örnek verelim: \(i \in \{1, 20\}\) ve \(j \in \{1, 11\}\) olmak üzere, \((1, 1), (1, 11), (20, 1)\) ve \((20, 11)\) dışındaki tüm \((i, j)\) ikilileri için \(a_{i,j} = 1\), diğer tüm \((i, j)\) ikilileri için \(a_{i,j} =0\) olursa, sorudaki koşullar sağlanır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 1

\(x\) pozitif gerçel sayısının %15 i ve %66 sı tam sayıdır. \(x\) sayısının %15 i en az kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
\(x\) sayısının %15 i tam sayı olduğundan, \(k\) bir tam sayı olmak üzere, \(x = \frac{100k}{15}\). \(x\) sayısının %66 sı tam sayı olduğundan \(\frac{66k}{15} = \frac{33k}{5}\) bir tam sayıdır. Buradan \(k \ge 5\) ve \(x\) sayısının alabileceği en küçük değer \(\frac{100}{3}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 2

{1, 2, ..., 17} kümesinin farkları 4 olan herhangi iki eleman içermeyen kaç alt kümesi vardır?

Şıklar:

Cevap:  6656

Çözüm:
{1, 2, ..., 17} kümesini {1, 5, 9, 13, 17}, {2, 6, 10, 14}, {3, 7, 11, 15}, {4, 8, 12, 16} alt kümelerine ayralım. {1, 5, 9, 13, 17} kümesinin farkları 4 olan herhangi iki elemen içermeyen alt küme sayısı 13'e eşittir (boş küme, 5 tane bir elemanlı, 6 tane iki elemanlı ve 1 tane üç elemanlı). {2, 6, 10, 14}, {3, 7, 1, 15} ve {4, 8, 12, 16} kümelerinin her birinin farkları 4 olan herhangi iki eleman içermeyen alt küme sayısı 5'e eşittir (boş küme, 4 tane bir elemanlı, 3 tane iki elemanlı). Sonuç olarak {1, 2, ..., 17} kümesinin farkları 4 olан herhangi iki eleman içermeyen alt küme sayısı 13·8·8·8 = 6656 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 3

\(|AB| = 4\), \(|BC| = 3\) ve \(s(\widehat{ABC}) = 90^\circ\) olan bir \(ABC\) üçgeninde \(B\) köşesine ait yüksekliğin ayağı \(D\) noktası ve \(D\) den \([BC]\) kenarına inen dikmenin ayağı da \(E\) noktası ise, \(|BE|\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  48/25

Çözüm:
Pisagor teoreminden \(|AC| = 5\) tir. \(|BD| \cdot |AC| = |AB| \cdot |BC|\) olduğundan \(|BD| = 12/5\) olur. \(BDC\) üçgeninde Öklit bağıntısından \(|BE| = |BD|^2/|BC| = 48/25\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 4

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 rakamlarının her birini bir kez kullanarak 11 ile bölünen yedi basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

Şıklar:

Cevap:  576

Çözüm:
Sayı \(abcdefg\) olsun. Sayının 11 ile bölünmesi için \((a + c + e + g) - (b + d + f) = (a + b + c + d + e + f + g) - 2(b + d + f) = 28 - 2(b + d + f)\) sayısının 11 ile bölünmesi gerekir. Bu durum yalnızca \(b + d + f \equiv 3 \pmod{11}\) iken gerçekleşir. Ancak rakamlar 1 ile 7 arasında olduğundan \(b + d + f\) sadece 14 olabilir. O halde \(\{b, d, f\}\) kümesi \(\{1, 6, 7\}, \{2, 5, 7\}, \{3, 4, 7\}, \{3, 5, 6\}\) kümelerinden birine eşittir. \(b, d, f\) için sayılar \(3! = 6\) şekilde, \(a, c, e, g\) için sayılar \(4! = 24\) şekilde yerleştirilebilir. Dolayısıyla sonuç \(4 \cdot 6 \cdot 24 = 576\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 5

*x* pozitif gerçel sayısının tam sayı ve kesirli kısımlarının çarpımı 2 den, *y* pozitif gerçel sayısının tam sayı ve kesirli kısıslarının çarpımı da 3 ten küçük değilse, *xy* en az kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{209}{12} \cdot \{x\} \ge 2\) olduğundan \([x] > 2\) olur ve buradan da *x* sayısının en küçük değerinde \([x] = 3\) ve \(\{x\} = \frac{2}{3}\) olur

Çözüm:
\([y] \cdot \{y\} \ge 3\) olduğundan \([y] > 3\) olur ve buradan da *y* sayısının en küçük değerinde \([x] = 4\) ve \(\{y\} = \frac{3}{4}\) olur. Sonuç olarak *xy* en az \(\frac{11}{3} \cdot \frac{19}{4} = \frac{209}{12}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 6

Bir *ABC* üçgeninde \([AB]\) kenarı üstündeki *D* noktası ve \([AC]\) kenarı üstündeki *E* noktası için, \(s(\overline{ABD}) = s(\overline{ABC})\), \(|AE| = 2\), \(|AD| = 5\) ve \(|BD| = 3\) ise, \(|CE|\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  18

Çözüm:
\(\angle DBC = \angle DEA\) olduğundan *BDEC* bir kirişler dörtgeni olur. Çemberde kuvvetten \(|AD| \cdot |AB| = |AE| \cdot AC|\) ve buradan da \(|AC| = 20\), \(|CE| = 18\) buluruz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 7

Dördü beyaz, dördü kırmızı tişört giyen sekiz öğrenci ikişer kişilik dört sıraya farklı renkte tişört giyen iki öğrenci aynı sırada oturmamak koşuluyla kaç farklı biçimde oturabilir?

Şıklar:

Cevap:  3456

Çözüm:
Beyaz renkli tişört giyen öğrencilerin sıralarını belirleyip 4 öğrenciyi o sıralara yerleştirelim ve daha sonra kırmızı renkli tişört giyen öğrencileri kalan iki sıraya yerleştirelim: 


\[ \binom{4}{2} 414! = 3456. \]
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 8

Tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin on tabanına göre yazılımının son iki basamağı aynı olan kaç tane iki basamaklı sayı vardır?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
Sayı *n* olsun. İstenen koşulun gerçekleşmesi için gerek ve yeter şart \(n^2 \equiv n \pmod{100}\) olmasıdır. \(\Rightarrow 4|n(n-1)\) ve \(25|n(n-1)\). \(\Rightarrow n \equiv 0,1 \pmod{4}\) ve \(n \equiv 0,1 \pmod{25}\). O halde \(n \equiv 0,1,25,76 \pmod{100}\). Koşula uygun iki basamaklı sayılar 25 ve 76 dır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 9

\(s(\overline{BAC}) = 90^\circ\) olan bir *ABC* üçgeninin \([AC]\) kenarına ait bir *D* noktası için, *BD* doğrusu ile \([AH]\) yüksekliği *E* noktasında kesişiyor. \(|BH| = 3\), \(|CH| = 12\) ve \(|EH| = 2|EA|\) ise, \(|DE|\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  20/11

Çözüm:
Öklit teoreminden \(|AH| = \sqrt{|CH| \cdot |HB|} = 6\) ve buradan da \(|AE| = 2\), \(|EH| = 4\) olur. Pisagor teoreminden \(|BE| = 5\) buluruz. Menelaus teoreminden \((|BH|/|BC|) \cdot (|CD|/|DA|) \cdot (|AE|/|EH|) = 1\) ve buradan da \(|CD|/|DA| = 10\) olur. Yine Menelaus teoreminden \((|AD|/|AC|) \cdot (|CH|/|HB|) \cdot (|BE|/|ED|) = 1\) ve buradan da \(|DE| = 20/11\) buluruz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 10

\(\sqrt{n+9} - 6\sqrt{n} + \sqrt{n+25} - 10\sqrt{n} = 2\) denklemini sağlayan \(n\) tam sayılarının toplamı nedir?

Şıklar:

Cevap:  289

Çözüm:
\(\sqrt{n+9} - 6\sqrt{n} = |\sqrt{n} - 3|\) ve \(\sqrt{n+25} - 10\sqrt{n} = |\sqrt{n} - 5|\) olduğu görülür. \(|\sqrt{n} - 3| + |\sqrt{n} - 5| = 2\) olması ancak \(3 \le \sqrt{n} \le 5\) olması ile mümkündür. Yani şartı sağlayan \(n\) tam sayıları \(9 \le n \le 25\) ile ifade edilir. Bunların toplamı 289 dur.