alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 3

\(ABCD\) dikdörtgeninin \(AB\) kenarı \(x\)-ekseni üzerindedir. Dikdörtgenin \(C\) ve \(D\) noktaları sırasıyla \(x - 2y = -4\) ve \(x + 3y = 6\) doğruları üzerindedir ve \(C\) noktası koordinat düzleminin I. bölgesindedir. \(\text{Cevre}(ABCD) = 16\) ise \(\text{Alan}(ABCD) = ?\)

Şıklar:

Cevap:  15

Çözüm:
\(AB\) kenarı \(x\)-ekseni üzerinde olduğundan \(A\) ve \(B\) noktalarının koordinatları \((a, 0)\) ve \((b, 0)\) şeklindedir. \(ABCD\) bir dikdörtgen olduğundan \(C\) ve \(D\) noktalarının koordinatları \((b, c)\) ve \((a, c)\) şeklinde olur. Soruda verilen koşullardan 


\[ \bullet |a - b| + |c| = 8 \]


\[ \bullet b > 0, c > 0, a < b \]


\[ \bullet b - 2c = -4 \]


\[ \bullet a + 3c = 6 \]

elde edilir. Buradan, \(a = -3\), \(b = 2\), \(c = 3\) olduğu görülebilir. Sonuç olarak, \(Alan(ABCD) = 5 \cdot 3 = 15\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 4

\[
\begin{cases}
xy + 3zw = 1 \\
xz - yw = 2
\end{cases}
\]


sistemini gerçekleyen tüm \((x, y, z, w)\) tam sayı dörtlülerinin sayısı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
Verilen iki eşitlikten birincinin karesi ile ikincinin karesinin üç katını taraf tarafa topladığımızda \((xy)^2 + 9(zw)^2 + 3(xz)^2 + 3(yw)^2 = 13\) elde ederiz. Buradan \(|xy| \le 3\) olduğu görülür. Diğer taraftan, birinci eşitlikten \(xy \equiv 1 \pmod{3}\) olduğu için sadece \(xy = 1\) veya \(xy = -2\) olabilir. 


- \(xy = 1\) ise, \(zw = 0\) ve \((xz)^2 + (yw)^2 = 4\) elde ederiz. Ayrıca \(xz - yw = 2\) olduğundan \(xz = 2\), \(yw = 0\) veya \(xz = 0\), \(yw = -2\) olabilir. Buradan, \((1, 1, 2, 0)\), \((-1, -1, -2, 0)\), \((1, 1, 0, -2)\) ve \((-1, -1, 0, 2)\) çözümleri gelir.
- \(xy = -2\) ise, \(zw = 1\) elde ederiz. Buradan, \(x, y, z, w\) nin hepsinin sıfırdan farklı olduğu sonucu çıkar, bu da \((xy)^2 + 9(zw)^2 + 3(xz)^2 + (3yw)^2 = 13\) eşitliği ile çelişir. 


Sonuç olarak verilen sistemi gerçekleyen 4 tane tam sayı dörtlüsü vardır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 5

\(xyz\) rakamları farklı üç basamaklı bir tek sayıdır. Kenar uzunlukları \(x, y, z\) olan bir üçgen çizilebildiğine göre üç basamaklı tüm \(xyz\) sayılarının sayısı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  104

Çözüm:
\(xyz\) bir tek sayı olduğundan \(z = 1, 3, 5, 7, 9\) olabilir. \(z = 1\) olduğunda üçgen eşitsizliğinden \(|x - y| < 1\) olması gerekir, bu da rakamları farklı olması koşuluyla çelişir. Diğer taraftan, \(x < y\) olan çözümlerin sayısını bulduğumuzda cevabımız bu sayının iki katı olacaktır, dolayısıyla \(x < y\) varsayabiliriz. 


- \(z = 3\) ise, \(y - x \in \{1, 2\}\), \(x, y \neq 3\) ve \(x + y \ge 4\) olmalıdır. \((2, 4)\), \((4, 5)\), \((4, 6)\), \((5, 6)\), \((5, 7)\), \((6, 7)\), \((6, 8)\), \((7, 8)\), \((7, 9)\), \((8, 9)\) olmak üzere 10 çözüm gelir. 


- \(z = 5\) ise, \(y - x \in \{1, 2, 3, 4\}\), \(x, y \neq 5\) ve \(x + y \ge 6\) olmalıdır. \((2, 4)\), \((2, 6)\), \((3, 4)\), \((3, 6)\), \((3, 7)\), \((4, 6)\), \((4, 7)\), \((4, 8)\), \((6, 7)\), \((6, 8)\), \((6, 9)\), \((7, 8)\), \((7, 9)\), \((8, 9)\) o lmak üzere 14 çözüm gelir. 


- \(z = 7\) ise, \(y - x \notin \{7, 8, 9\}\), \(x, y \neq 7\) ve \(x + y \ge 8\) olmalıdır. \((2, 6)\), \((2, 8)\), \((3, 5)\), \((3, 6)\), \((3, 8)\), \((3, 9)\), \((4, 5)\), \((4, 6)\), \((4, 8)\), \((4, 9)\), \((5, 6)\), \((5, 8)\), \((5, 9)\), \((6, 8)\), \((6, 9)\), \((8, 9)\) olmak üzere 16 çözüm gelir.

- \(z = 9\) ise, \(y - x \neq 9\), \(x, y \neq 9\) ve \(x + y \ge 10\) olmalıdır. (2, 8), (3, 7), (3, 8), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (6, 7), (6, 8), (7, 8) olmak üzere 12 çözüm gelir. 


Dolayısıyla toplam \(2 \cdot (10 + 14 + 16 + 12) = 104\) sayı vardır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 6

Üç farklı rakamdan oluşan beş basamaklı kaç farklı şifre oluşturulabilir? (şifre sıfır ile de başlayabilir)

Şıklar:

Cevap:  18000

Çözüm:
Öncelikle şifremizde yer alacak 3 farklı rakam adayını \(\binom{10}{3}\) şeklinde seçebiliriz. Daha sonra, içerme-dışarma prensibinden bu üç rakamı içerebilecek tüm beş basamaklı şifrelerin sayısından bunlardan sadece iki tanesini içerenleri çıkarıp, tam olarak bir tane içerenlerin sayısını eklemeliyiz. Dolayısıyla cevap \(\binom{10}{3} \cdot \left(3^5 - \binom{3}{2} \cdot 2^5 + \binom{3}{1} \cdot 1^5\right) = 18000\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 7

\(105^9\) doğal sayısının pozitif bölenlerinin kaç tanesi 9, 25, 49 doğal sayılarından en az ikisine tam bölünür?

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{a^2\sqrt{3}}{12}\)

Çözüm:
Öncelikle, \(105^9\) doğal sayısının tüm pozitif tam bölenleri \(0 \le a, b, c, d \le 9\) olmak üzere \(3^a5^b7^c\) şeklindedir. Soruda istenen koşul ise, \(a, b, c\) tam sayılarının en az ikisinin 2 den büyük veya eşit olmasıdır. Dolayısıyla istenmeyen durumların sayısı 


\[ \underbrace{2^3}_{her birinin 2 den küçük olması} + \underbrace{3 \cdot 8 \cdot 2^2}_{tam olarak birinin 2 den büyük veya eşit olması} = 104 \text{ olur.} \]


Tüm durumların sayısı da \(10^3\) olduğundan cevap \(1000 - 104 = 896\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 8

\(x, y, z, w\) negatif olmayan tam sayılardır. 


\[x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 28\]


denklemini gerçekleyen tüm \((x, y, z, w)\) dörtlülerinin sayısı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  12

Çözüm:
Dört tane negatif olmayan tam sayının kareleri toplamı 28 ise, bu tam sayı dörtlüleri \((5, 1, 1, 1)\), \((4, 2, 2, 2)\) ve \((3, 3, 3, 1)\) olabilir. Dolayısıyla toplam \(3 \cdot \frac{4!}{3!} = 12\) tam sayı dörlüsü vardır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 9

a ve b sıfırdan farklı tam sayılardır. \((a^2 - b)(a - b^2) = (a + b)^3\) denklemini gerçekleyen kaç farklı \((a, b)\) ikilisi vardır?

Şıklar:

Cevap:  8

Çözüm:
Verilen eşitlikte \(a^3 + b^3\) terimini her iki taraftan çıkardığımızda \((-ab) \cdot (ab + 1) = 3ab(a + b)\) elde ederiz. Buradan \(ab \cdot (ab + 3a + 3b + 1) = 0\) bulunur. a ve b sıfırdan farklı olduğundan \(ab + 3a + 3b + 1 = 0\) olur, bu da \((a + 3) \cdot (b + 3) = 8\) olduğunu gösterir. \(8 = 2^3\) sayısının tam sayı bölenlerinin sayısı 8 olduğundan ve her bir bölen bir \((a, b)\) ikilisi vereceğinden cevap 8 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 10

25 adet özdeş bilye, 25 adet özdeş kalem, 25 adet özdeş silgi ve 25 adet özdeş defter 2 kişi arasında ve her birinde 50 adet olacak şekilde kaç farklı biçimde paylaştırılır?

Şıklar:

Cevap:  11726

Çözüm:
Birinci kişi a tane bilye, b tane kalem, c tane silgi, d tane defter alsın. \(a + b + c + d = 50\) ve \(0 \le a, b, c, d \le 25\) şartlarını sağlayan \((a, b, c, d)\) doğal sayı dörtlülerinin sayısını bulmalıyız. Öncelikle \(a + b + c + d = 50\) şartını sağlayan doğal sayı dörtlülerinin sayısı \(\begin{pmatrix} 50 + 4 - 1 \\ 4 - 1 \end{pmatrix}\) olur. Bunlardan \(0 \le a, b, c, d \le 25\) şartını sağlamayanları çıkarmalıyız. \(a, b, c, d\) den en fazla biri şartı sağlayamayacağından, genelliği bozmadan \(a \ge 26\) dersek, \(x+b+c+d = 24\) şartını sağlayan doğal sayı dörtlülerini saymalıyız. Buradan cevabın \(\begin{pmatrix} 53 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 27 \\ 3 \end{pmatrix} = 11726\) olduğu görülür.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 11

Tepe açısı \(\hat{A}\) olan \(ABC\) ikizkenar üçgeninde \(BC\), \(AC\), \(AB\) kenarları üzerindeki açıortay ayakları sırasıyla \(P\), \(R\), \(S\) olsun. \(P\), \(R\), \(A\), \(S\) noktalarından bir çember geçmektedir. \(|BC| = 2\) ise \(|AB| = ?\)

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{\sqrt{17} + 1}{4}\)

Çözüm:
\(|AB| = |AC| = x\) ve \(|BS| = y\) diyelim. Açıortay teoreminden \(\frac{x}{x-y} = \frac{2}{y}\) olur, buradan \(y = \frac{2x}{x+2}\) elde ederiz. Diğer taraftan, \(P\), \(R\), \(A\), \(S\) noktalarından çember geçmesi \(s(\overline{SPB}) + s(\overline{RPC}) = s(\hat{A})\) olması anlamına gelir. \(ABC\) ikizkenar olduğundan \(s(\overline{SPB}) = \frac{s(\hat{A})}{2} = s(\overline{BAP})\) olup \(ABP\) ve \(PBS\) üçgenleri benzer bulunur. Buradan \(|BP|^2 = |BS| \cdot |BA|\) eşitliğini elde ederiz, dolayısıyla \(2x^2 = x + 2\) olup \(x = \frac{\sqrt{17} + 1}{4}\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 12

\(f(2) = 1\) ve \(\forall n = 1, 2, 3, 4, \dots\) için \(f(2n) = 2f(n)\), \(f(2n+1) = 2f(n) + 1\) ise \(f(121) = ?\)

Şıklar:

Cevap:  89

Çözüm:
\(f(121) = 2f(60) + 1 = 8f(15) + 1\) olduğu kolaylıkla görülebilir.
\(f(15) = 2f(7) + 1 = 4f(3) + 3 = 8f(1) + 7\) ve \(f(1) = \frac{f(2)}{2}\) olduğundan,
\(f(1) = \frac{1}{2}\) ve \(f(15) = 11\) bulunur. Buradan \(f(121) = 8 \cdot 11 + 1 = 89\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 13

133355555777777999999999 11...11 13...13 ...
11 tane 11 13 tane 13 


biçiminde devam eden sayının soldan 2017 nci rakamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  3

Çözüm:
Öncelikle sayının ilk \(1+3+5+7+9 = 25\) basamağından sonra iki basamaklı \(n\) doğal sayısı tam olarak \(2n\) tane basamağı doldurur. Dolayısıyla, \(2(11+13+\dots+(2m-1)) < 2017 - 25\) olan en büyük \(m\) doğal sayısını bulmalıyız. Buradan \(m^2 < 1021\) ve \(m \le 31\) elde ederiz. Sonuç olarak, sayımız 1897 nci basamaktan sonra 6363... şeklinde ilerler ve 6464... şeklinde ilerlediği kısım 2017 nci basamaktan sonradır. 2017 - 1897 = 120 çift sayı olduğundan cevap 3 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 14

\(A = \{(x_1, x_2, x_3, \dots, x_{2017}) : k = 1, 2, 3, \dots, 2017 \text{ için } x_k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\}\) kümesinin elemanlarının kaç tanesinde tek sayıda 5 rakamı vardır?

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{10^{2017} - 8^{2017}}{2}\)

Çözüm:
\(A\) kümesinin tam olarak \(k\) tane 5 içeren \(\binom{2017}{k} \cdot 9^{2017-k}\) tane elemanı olduğundan, soruda istenen şartı sağlayan elemanların sayısını \(\sum_{k \text{ tek}} \binom{2017}{k} \cdot 9^{2017-k}\) olarak hesaplayabiliriz. Bu toplamın \(\frac{(9+1)^{2017} - (9-1)^{2017}}{2} = \frac{10^{2017} - 8^{2017}}{2}\) olduğu açıktır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 15

\(O\) merkezli, çapı \(|AB| = 12\) olan bir çember veriliyor. \(A\) ve \(B\) noktalarında bu çembere dıştan teğet \(r = 2\) yarıçaplı iki çember çiziliyor. \(A\) ve \(B\) noktalarından geçen \(AB\) doğrusu üzerinde \(|KO| = |OL| = 12\) olacak şekilde birbirinden farklı \(K\) ve \(L\) noktaları alınıyor. \(K\) noktasından \(L\) noktasına çemberlerin içinden geçmeyen en kısa mesafe kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(2\pi + 12\sqrt{3}\)

Çözüm:
\(K\) ve \(L\) noktalarından büyük çembere çizilen teğetlerden \(AB\) doğrusuna göre aynı tarafta olanlarının değme noktaları sırasıyla \(M\) ve \(N\) olsun. \(r = 2\) yarıçaplı çemberlerden \(K\) ye daha yakın olanın merkezi \(O_1\), \(L\) ye daha yakın olanın merkezi \(O_2\) olsun. \(\frac{|KO_1|}{|KO|} = \frac{4}{12} = \frac{r}{6}\) olduğundan \(O_1\) den \(KM\) doğrusuna inen dik, \(O_1\) merkezli çember üzerinde yer alır, bu da \(KM\) nin \(O_1\) merkezli çembere de teğet olduğu gösterir. Benzer şekilde, \(LN\) doğrusu \(O_2\) merkezli çembere teğet olur. Dolayısıyla, \(K\) noktasından \(L\) noktasına çemberlerin içinden geçmeyen en kısa yol \(K\) den \(M\) ye doğru parçası, \(MN\) yayı ve \(N\) den \(L\) ye doğru parçasının birleşimidir. \(OM \perp MK\) ve \(|OK| = 2|OM|\) olduğundan \(MOK\) üçgeni \(90^\circ - 60^\circ - 30^\circ\) üçgeni olur. Aynı şekilde, \(NOL\) üçgeni de \(90^\circ - 60^\circ - 30^\circ\) üçgeni oluşur. Buradan, \(MN\) yayı merkez ile \(60^\circ\) açısı yapar. Sonuç olarak, en kısa mesafe, 


\[2 \cdot 6\sqrt{3} + \frac{(2\pi \cdot 6) \cdot 60}{360} = 12\sqrt{3} + 2\pi \text{ olarak bulunur.}\]
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 16

\(\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{9}\) denklemini sağlayan kaç farklı \((x, y)\) pozitif tam sayı ikilileri vardır?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
Verilen eşitlikte paydaları eşitleyip içler-dışlar çarpımı yaparsak, \(xy - 9y + 9x = 0\) elde ederiz. Buradan, eşitliğin her iki tarafından 81 çıkarırsak, \((x - 9)(y + 9) = -81\) olduğu görülür. \(x\) ve \(y\) pozitif tam sayı olduğundan, sadece \(y + 9 = 27\), \(x - 9 = -3\) ve \(y + 9 = 81\), \(x - 9 = -1\) olabilir. Sonuç olarak, \((x, y) = (6, 18)\) veya \((x, y) = (8, 72)\) olacağından cevap 2 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 17

Dört basamaklı bir sayının birler basamağı silindiğinde tam kare olan üç basamaklı bir sayı elde edilmektedir, ayrıca bu sayının binler basamağı silindiğinde de tam kare olan üç basamaklı bir sayı elde edilmektirdir. Bu özelliklere sahip dört basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır?

Şıklar:

Cevap:  6

Çözüm:
Üç basamaklı bir sayı tam kare ise, bu sayının ilk iki rakamı 10, 12, 14, 16, 19, 22, 25, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 57, 62, 67, 72, 78, 84, 90, 96 olabilirken son iki rakamı ise 00, 21, 24, 25, 29, 41, 44, 56, 61, 69, 76, 84, 89, 96 olabilir. \(bc\) iki basamaklı sayısı, hem üç basamaklı bir tam karenin ilk iki rakamı, hem de başka üç basamaklı bir tam karenin son iki rakamı olacağından \(bc = 25, 44, 84, 96\) olabilir. İncelediğimizde, soruda verilen şartı sağlayan dört basamaklı sayıların sadece 1441, 1961, 2256, 4841, 6256, 7841 olabileceği görülür.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 18

Rakamları toplamı 25 olan 6 basamaklı sayıların kaç tanesinin birler, onlar ve yüzler basamağındaki rakamlar 5'ten küçük iken diğer basamaklardaki rakamları en az 5 olmaktadır?

Şıklar:

Cevap:  1506

Çözüm:
Sayımız \(a_1a_2a_3a_4a_5a_6\) olsun. \(1 \le i \le 3\) için \(b_i = a_i - 5\) ve \(4 \le i \le 6\) için \(b_i = a_i\) dersek, \(1 \le i \le 6\) için \(0 \le b_i < 5\) ve \(b_1 + b_2 + \dots + b_6 = 10\) şartını sağlayan altılıların sayısını bulmalıyız. Öncelikle \(b_1 + b_2 + \dots + b_6 = 10\) Şartını sağlayan \(\binom{10 + 6 - 1}{6 - 1}\) tane doğal sayı altılısı vardır. \(1 \le i \le 6\) için \(0 \le b_i < 6\) şartını sağlanmıyorsa, ya tam olarak bir tane \(1 \le i \le 6\) için \(b_i \ge 5\) olabilir, ya da bu altı sayıdan tam olarak 2 tanesi 5, diğerleri 0 olabilir. Dolayısıyla, \(\binom{15}{5}\) tane altından \(\binom{6}{1} \cdot \binom{5 + 6 - 1}{6 - 1} = \binom{6}{2}\) tanesi istenilen şartı sağlamaz. Sonuç olarak, \(\binom{15}{5} - \binom{6}{1} \cdot \binom{10}{5} + \binom{6}{2} = 1506\) tane altılı bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 19

\(s(\bar{A}) = 60^\circ\) olan \(ABC\) üçgeninde \(|AB| < |AC|\) dir. \(BD\) ve \(CE\) açıortay olacak şekilde \(AC\) ve \(AB\) kenarları üzerinde sırasıyla \(D\) ve \(E\) noktaları alınıyor. \(BD\) ve \(CE\) kenarlarının kesişimi \(F\) ise \(\frac{|DF|}{|EF|} = ?\)

Şıklar:

Cevap:  1

Çözüm:
\(F\) noktası iç açıortayların kesişim noktası olduğundan \(s(\overline{EFD}) = s(\overline{BFC}) = 90^\circ + \frac{s(\bar{A})}{2} = 120^\circ\) bulunur. Dolayısıyla, \(AEFD\) dörtgeni kirişler dörtgeni olur. Buradan, \(s(\overline{EDF}) = s(\overline{EAF}) = 30^\circ = s(\overline{DAF}) = s(\overline{DE} \overline{F})\) olup, \(|DF| = |EF|\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 20

\(x + \frac{1}{x} = 1\) ise \(x^{2017} + x^{3017} - x^{4017} = ?\)

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
Verilen eşitlikten \(x^2 - x + 1 = 0\) elde edilir. Buradan, \(x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1) = 0\) eşitliğinden \(x^3 = -1\) bulunur. Dolayısıyla, istenen ifade \(x^{2017} + x^{3017} - x^{4017} = (x^3)^{672} \cdot x + (x^3)^{1005} \cdot x^2 - (x^3)^{1339} = x - x^2 + 1 = 1 + 1 = 2\) olarak bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 21

\(A = 1 \cdot 2017 + 3 \cdot 2015 + 5 \cdot 2013 + \dots + 2013 \cdot 5 + 2015 \cdot 3 + 2017 \cdot 1\) olmak üzere \(A + 1009 \cdot 2019\) toplamının farklı asal bölenlerinin toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  1454

Çözüm:
Öncelikle \(A = \sum_{n=0}^{1008}(2n+1)(2017-2n) = \sum_{n=0}^{1008}1009^2 - (2n-1008)^2\)
yazabiliriz. Dolayısıyla \(A = 1009 \cdot 1009^2 - 8 \cdot \sum_{n=0}^{504} n^2\) olur. Her \(k\) pozitif tam sayısı için \(\sum_{n=0}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\) olduğundan, \(p = 1009\) dersek,
\[A + 1009 \cdot 2019 = p^3 - 8 \cdot \frac{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{p+1}{2} \cdot p}{6} + p(2p+1) = \frac{p(2p+4)(p+1)}{3}\]
olur. Sonuç olarak \(A + 1009 \cdot 2019 = 1009 \cdot 2 \cdot 337 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 101\) elde ederiz. Dolayısıyla bu sayının farklı asal bölenlerinin toplamı \(1009 + 337 + 2 + 5 + 101 = 1454\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 22

Bir torbada 1'den 10'a kadar numaralanmış aynı büyüklükte 10 top vardır. Ali torbadan rastgele bir top çekip, numarasının \(x\) olduğunu söylüyor ve torbaya geri atıyor. Sonra Ayşe torbadan rastgele bir top çekiyor ve numarasının \(y\) olduğunu söylüyor (\(y\), \(x\) de olabilir). Bu durumda \(6 < |3x - 2y| < 18\) eşitsizliğinin gerçekleşme olasılığı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{47}{100}\)

Çözüm:
Öncelikle \(1 \le x, y \le 10\) şartını sağlayan \(10 \cdot 10 = 100\) tane farklı \((x, y)\) ikilisi vardır. Bunlardan kaç tanesinin \(7 \le 3x - 2y \le 17\) veya \(-7 \ge 3x - 2y \ge -17\) şartını sağladığını bulmalıyız. 


- \(7 \le 3x - 2y \le 17\) ise, \(\frac{2y + 7}{3} \le x \le \frac{2y + 17}{3}\) olabilir. Buradan, \(y = 1, 2, 4, 5, 7\) ise 4 farklı \(x\) değeri, \(y = 3, 6, 8\) ise 3 farklı \(x\) değeri, \(y = 9, 10\) ise 2 farklı \(x\) değeri bulunur. 


- \(-7 \ge 3x - 2y \ge -17\) ise, \(\frac{2y - 17}{3} \le x \le \frac{2y - 7}{3}\) olabilir. Buradan, \(y = 5, 6\) için 1 farklı \(x\) değeri, \(y = 7\) için 2 farklı \(x\) değeri, \(y = 8, 9\) için 3 farklı \(x\) değeri, \(y = 10\) için 4 farklı \(x\) değeri bulunur. 


Dolayısıyla toplam \(33 + 14 = 47\) farklı \((x, y)\) ikilisi vardır ve sonuç olarak soruda istenilen eşitsizliğin gerçekleşme olasılığı \(\frac{47}{100}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 23

\(|AB| = 8\), \(|BC| = 6\) olan \(ABCD\) dikdörtgeni veriliyor. \(ACD\) üçgeninin \(O\) merkezli iç teğet çemberi çiziliyor. \(O\) merkezli çembere ve \(AB\), \(AC\) doğrularına teğet olan çemberin yarıçaplı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{4}{3}\)

Çözüm:
Öncelikle \(O\) merkezli iç teğet çemberin yarıçapı \(\frac{|AD| + |DC| - |AC|}{2} = 2\) olarak bulunur. Çizilen yeni çemberin merkezi \(M\), yarıçapı \(r\), ve çemberlerin \(AC\) doğrusuna teğet oldukları ortak nokta \(K\) olsun. \(MA\) ve \(OC\) doğruları sırasıyla \(\overline{BAC}\) ve \(\overline{ACD}\) nin açıortaylarıdır. Ek olarak, \(AB \parallel CD\) olduğundan \(MA \parallel OC\) elde ederiz. Buradan, \(\frac{|AK|}{|KC|} = \frac{r}{2}\) olur. \(|AK| = \frac{|AD| + |AC| - |CD|}{2} = 4\) olduğundan \(\frac{|AD|}{|DC|} = \frac{4}{6}\) olup, buradan \(r = \frac{4}{3}\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 24

\[ \left. \begin{array}{l} x^2 + y^2 - \frac{2xy}{x-y} = 1 \\ \sqrt{x-y} = x^2 + 5y \end{array} \right\} \]


sistemini gerçekleyen tüm \((x, y)\) gerçel sayı ikilileri içinde \(x.y\) çarpımının maksimum değeri kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  42

Çözüm:
Verilen ilk eşitlikten, \((x-y)^2 + 2xy - \frac{2xy}{x-y} = 1\) elde ederiz. Buradan, \((x-y-1)(x-y+1) = (-2xy) \cdot \frac{x-y-1}{x-y}\) olur. Eğer \(x-y \neq 1\) ise, \(x-y+1 = \frac{-2xy}{x-y}\) olur, buradan \(x-y = -(x^2 + y^2) \le 0\) elde ederiz. İkinci eşitlikten \(x-y \ge 0\) olduğundan tek durum \(x=y=0\) olur, bu da ilk eşitliği sağlamaz. Dolayısıyla \(x-y=1\) elde ederiz, buradan ikinci eşitlikten \(x^2 + 5y = 1\) olacağı için, \(x^2 + 5x - 6 = 0\) buluruz. Bu da \(x = -6\), \(y = -7\) veya \(x = 1\), \(y = 0\) çözümleri gelir. Sonuç olarak \(xy\) nin maksimum değeri 42 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 25

Ali evdeki geri alınmış saate göre 07:42 de evden ayrılıp, sabit bir hızla bisikletiyle okula vardığında okuldaki saatin 08:22 olduğunu görüyor. Okulun saati ile saat 15:00 te okuldan eve doğru bisikletiyle geliş hızının 3 katı ile geri dönüyor ve evdeki saatin 14:56 olduğunu görüyor. Buna göre evdeki saat kaç dakika geri alınmıştır?

Şıklar:

Cevap:  13

Çözüm:
Evdeki saat \(x\) dakika geri alınmış olsun. Okuldan eve dönüşün \(y\) dakika sürdüğünü kabul edelim, bu durumda evden okula gidiş \(3y\) dakika sürmüştür. Verilen bilgilerden \(x + 3y = 40\) ve \(x - y = 4\) olduğunu buluruz. Buradan, \(y = 9\) ve \(x = 13\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 26

Özdeş olan 7 kurşun kalem ve birbirinden farklı 5 tükenmez kalem, her kutuda aynı sayıda kalem olacak biçimde 6 farklı kutuya kaç farklı şekilde dağıtılır?

Şıklar:

Cevap:  6120

Çözüm:
Her kutuda tam olarak iki kalem bulunacağından, 5 farklı tükenmez kalem kutulara (1, 2, 2, 0, 0, 0), (2, 1, 1, 1, 0, 0) veya (1, 1, 1, 1, 1, 0) şeklinde paylaştırılabilir. Dolayısıyla toplam 


\[ \underbrace{(6)}_{1} \underbrace{(5)}_{2} \cdot \underbrace{(5)}_{1} \underbrace{(4)}_{2} + \underbrace{(6)}_{1} \underbrace{(5)}_{3} \cdot \underbrace{(5)}_{2} \underbrace{3!}_{3} + \underbrace{(6)}_{5} \underbrace{5!}_{5} = 6120 \underbrace{\text{kalem seçimi}}_{\text{kutu seçimi}} \underbrace{\text{kalem seçimi}}_{\text{kutu seçimi}} \text{kalem seçimi} \underbrace{\text{kutu seçimi}}_{\text{kutu seçimi}} \text{kalem seçimi} = 6120 \]


şekilde dağıtılabilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 27

*ABCD* paralelkenarının iç bölgesinde \(s(\overline{AB}) + s(\overline{DEC}) = 180°\) olacak şekilde bir *E* noktası alınıyor. \(s(\overline{DAE}) = 50°\) ise \(s(\overline{DCE}) = ?\)

Şıklar:

Cevap:  50°

Çözüm:
*C* den *BE* ye çizilen paralel ile *D* den *AE* ye çizilen paralelin kesişim noktası *F* olsun. *CFD* ve *BEA* üçgenleri eş olacağından \(s(\overline{CFD}) + s(\overline{CED}) = 180°\) olup *CFDE* kirişler dörtgeni olur. Buradan, \(s(\overline{DCE}) = s(\overline{EFD})\) elde ederiz. Diğer taraftan, \(|AE| = |DF|\) ve \(AE \parallel DF\) olduğundan *EFDA* paralelkenar olup \(s(\overline{EFD}) = s(\overline{DAE}) = 50°\) olur. Sonuç olarak, \(s(\overline{DCE}) = s(\overline{DAE}) = 50°\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 28

*f* gerçel (reel) sayılarda tanımlı bir fonksiyon olsun. 


\[ f(xy - x - y + 1) = f(xy) + f(x) - f(y) + 6x - 3 \text{ ve } f\left(\frac{1}{3}\right) = 1 \text{ ise } f(33) =? \]

Şıklar:

Cevap:  -97

Çözüm:
Verilen eşitlikte \(x = 1\) yazdığımızda \(f(0) = f(1) + 3\), ve \(y = 1\) yazdığımızda \(f(0) = f(x) + f(x) - f(1) + 6x - 3\) elde ederiz. Buradan, \(f(0) + f(1) = 2f(x) + 6x - 3\) ve \(f(0) - f(1) = 3\) eşitliklerini taraf tarafa topladığımızda, \(f(x) = f(0) - 3x\) olduğu görülür. Daha sonra \(f\left(\frac{1}{3}\right) = 1\) eşitliğini kullanarak \(f(0) = 2\) ve dolayısıyla \(f(x) = 2 - 3x\) elde ederiz (bu fonksiyonun şartları sağladığı kolayca görülebilir). Sonuç olarak \(f(33) = 2 - 3 \cdot 33 = -97\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 29

*n*, 2'den büyük pozitif bir tam sayı olmak üzere, *n'* den *n*²'ye kadar olan sayıların toplamı *A* olsun. Buna göre \(\frac{A}{n} = ?\)

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{n^3 + 1}{2}\)

Çözüm:
Her \(k\) pozitif tam sayısı için 1 den \(k\) ye kadar olan pozitif tam sayıların toplamı \(\frac{k(k+1)}{2}\) olduğu için, \(A = \frac{n^2(n^2+1)}{2} - \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n(n^3+1)}{2}\) ve dolayısıyla \(\frac{A}{n} = \frac{n^3+1}{2}\) elde edilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 30

Her \(k = 1, 2, 3, 4\) için \(-4 \le x_k \le 6\) olsun. Bu koşul altında \(x_1+x_2+x_3+x_4 = 0\) denklemini gerçekleyen kaç farklı \((x_1, x_2, x_3, x_4)\) tam sayı dörtlüleri vardır?

Şıklar:

Cevap:  745

Çözüm:
Her \(k = 1, 2, 3, 4\) için \(y_k = x_k + 4\) olsun. \(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 16\) şartım sağlayan ve 10 u aşmayan doğal sayı dörtlülerinin sayısını bulmalıyız. İstenmeyen durumda \(y_i\) sayılarından en fazla biri 11 den büyük veya eşit olabileceğinden cevap \(\binom{16+4-1}{4-1} - 4 \cdot \binom{5+4-1}{4-1} = 745\) farklı tam sayı dörtlüsü vardır.