alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 31

\(\hat{A}\) açısı dik olan \(ABC\) üçgeninde \(AB\) kenarı üzerinde, \(BCD\) ve \(ADC\) üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yarıçapları eşit olacak şekilde bir \(D\) noktası alınıyor.

\(|AB| = 6\), \(|AC| = 8\) ise \(|AD| = ?\)

Şıklar:

Cevap:  \(2\sqrt{2}\)

Çözüm:
\(|AD| = x\), \(|DC| = y\) ve eşit olan iç yarıçaplara \(r\) diyelim. \(DAC\) dik üçgen olduğundan \(\frac{x+8-y}{2} = r\) olur. Diğer taraftan, \(s(\overline{ACB}) = 2\alpha\) dersek, \(DBC\) üçgenindeki değme noktasını düşündüğümüzde \(\frac{(6-x)+10-y}{2} = \frac{r}{\tan(45-\alpha)}\) elde ederiz. tan \(\alpha = t\) diyelim. \(\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} = \tan 2\alpha = \frac{3}{4}\) olduğundan \(3t^2 + 8t - 3 = 0\) ve buradan da \(t = \frac{1}{3}\) buluruz. Dolayısıyla \(\frac{(6-x)+10-y}{2} = \frac{r}{\tan(45 - \alpha)} = \frac{r}{\frac{1-t}{1+t}} = 2r\) buluruz. Sonuç olarak, \(16 - x - y = 2(x + 8 - y)\) olması \(y = 3x\) olduğunu gösterir. \(ADC\) üçgeninde Pisagor teoreminden \(9x^2 - x^2 = 64\) ve \(x = 2\sqrt{2}\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 32

\((1^2+1)!+(2^2+1)2!+(3^2+1)3!+...+(2016^2+1)2016!+(2017^2+1)2017! = ?\)

Şıklar:

Cevap:  2017·2018!

Çözüm:
Her \(n\) pozitif tam sayısı için, 


\[(n^2 + 1)n! = (n^2 + n - n + 1)n! = n(n + 1)! - (n - 1)n!\]

olduğundan, \(b_n = n(n+1)!\) dersek, \((n^2+1)n! = b_n - b_{n-1}\) olur. Buradan verilen işlemin sonucu \((b_1-b_0)+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+...+(b_{2017}-b_{2016}) = b_{2017}-b_0\) olur. Dolayısıyla cevap 2017·2018! - 0·1! = 2017·2018! dir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 2. Aşama, Soru 1

\(3^a + 3^b + 3^c\) sayısını tam kare yapan tüm \((a, b, c)\) pozitif tam sayı üçlülerini bulunuz.

Şıklar:

Cevap:  (a, b, c) = (2k−1, 2k−1, 2k−1), k ∈ $\mathbb{Z}^+$

Çözüm:
\(3^a + 3^b + 3^c = m^2\) olsun. \(m\) bir tek sayı olmalıdır ve buna göre \(m^2 \equiv 1 \pmod{8}\) olur. Her \(k\) pozitif tam sayısı için \(3^k \equiv 1\) ya da \(3^k \equiv 3 \pmod{8}\). Buna göre, \(3^a \equiv 3^b \equiv 3^c \equiv 3 \pmod{8}\) olmak zorundadır ve buradan da \(a, b\) ve \(c\) tek sayılar oluyor. \(a \le b \le c\) kabul edersek \(3^a(3^{b-a} + 3^{c-a} + 1) = m^2\) olur. \(a\) bir tek sayı olduğuna göre, \(3^{b-a} + 3^{c-a} + 1 \equiv 0 \pmod{3}\). Demek ki \(a = b = c\) ve çözümler \(k\) bir pozitif tam sayı olmak üzere \((a, b, c) = (2k-1, 2k-1, 2k-1)\) şeklindedir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 2. Aşama, Soru 2

2017 öğrencisi olan bir okuldaki satranç şenliği süresince herhangi iki öğrenci kendi aralarında en fazla bir satranç maçı yapıyor. Şenlik sonunda, aralarında maç yapmış olan herhangi iki öğrenciden en az birinin en fazla 22 maç yapmış olduğu görülüyor. Etkinlik boyunca yapılan maç sayısı en fazla kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  \(43890 = 1995 \cdot 22\)

Çözüm:
Cevap: \(43890 = 1995 \cdot 22\). 


Okuldaki öğrencileri 1995 ve 22 öğrenciden oluşan iki gruba ayıralım. Tüm maçlar sadece farklı gruplarda olan öğrenciler arasında yapılırsa koşullar sağlanır ve toplam maç sayısı 1995 · 22 olur. Şimdi toplam maç sayısının daha fazla olamayacağını gösterelim. En az 23 maç yapan öğrencilere aktif öğrenci diyelim. Aktif olmayan öğrenci sayısı en fazla 1995 olursa, toplam maç sayısı en fazla 1995 · 22 olur. Şimdi k bir pozitif tam sayı olmak üzere, aktif olmayan öğrenci sayısı 1995 + k ve aktif olan öğrenci sayısı da 22 - k olduğunu varsayalım. Koşullara göre, her maçı yapan iki öğrenciden en az biri aktif öğrenci değildir. Aktif olmayan iki öğrenci tarafından yapılan toplam maç sayısı \(T_1\), aktif ve aktif olmayan iki öğrenci tarafından yapılan toplama maç sayısı ise \(T_2\) olsun. O zaman \(T_2 \le (22-k)(1995+k)\) ve her maça en az bir aktif olmayan öğrenci katıldığı için \(2T_1 + T_2 \le (1995+k) \cdot 22\) olacaktır. Sonuç olarak toplam maç sayısı 


\[T_1 + T_2 = \frac{1}{2} \cdot (2T_1 + T_2 + T_2) \le \frac{(1995+k) \cdot 22 + (22-k)(1995+k)}{2} = 1995 \cdot 22 - \frac{k^2 + 1951k}{2} \le 1995 \cdot 22\]


olacaktır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 2. Aşama, Soru 3

Köşegenleri \(E\) noktasında kesişen dışbükey bir \(ABCD\) dörtgeninde 


\[\frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|BC|}{|AD|} = \sqrt{\frac{|BE|}{|DE|}}\]

eşitliği sağlanıyor. \(ABCD\) nin paralelkenar veya kirişler dörtgeni olduğunu gösteriniz.

Şıklar:


Çözüm:
: \(ABD\) ve \(BCD\) üçgenlerinde Stewart teoremi kullanılarak 


\[ 
\begin{aligned}
\frac{AB^2 \cdot ED + AD^2 \cdot BE}{BD} - BE \cdot ED &= AE^2 \\
\frac{BC^2 \cdot ED + CD^2 \cdot BE}{BD} - BE \cdot ED &= EC^2
\end{aligned}
\]


elde edilir. 

  


Verilen 


\[AB^2 \cdot ED = CD^2 \cdot BE \quad \text{ve} \quad AD^2 \cdot BE = BC^2 \cdot ED\]


eşitliklerinden \(AE = EC\) buluruz. İlk eşitliği kullanarak 


\[\frac{BE}{BD}(AD^2 + CD^2) = AE^2 + BE \cdot ED\]


elde ederiz. \(ADC\) üçgeninde kenarortay teoreminden 


\[AD^2 + CD^2 = 2(AE^2 + ED^2)\]


olduğunu görürüz ve böylece 


\[ \left(2 \cdot \frac{BE}{BD} - 1\right) AE^2 = BE \cdot ED - 2 \cdot ED^2 \cdot \frac{BE}{BD} \]


olur. Son eşitlik 


\[ (AE^2 - BE \cdot ED) \left( \frac{BE - ED}{BD} \right) = 0 \]


eşitliğine denktir. Sonuç olarak \(AE^2 = BE \cdot ED\) veya \(BE = ED\)'dir. İlk durumda \(ABCD\) bir kirişler dörtgenidir, ikinci durumda ise bir paralelkenardır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 2. Aşama, Soru 4

\(a > b > 1\) gerçel sayıları 


\[ (ab + 1)^2 + (a + b)^2 \le 2(a + b)(a^2 - ab + b^2 + 1) \]


eşitsizliğini sağlıyorsa, \(\frac{\sqrt{a-b}}{b-1}\) ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Çözüm:
Cevap: \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). 


Sorudaki eşitsizliği kullanarak 


\[ 
\begin{aligned}
0 &\ge (ab+1)^2 + (a+b)^2 - 2(a+b)(a^2-ab+b^2+1) \\
&= a^2b^2 + 4ab + 1 - 2a^3 - 2b^3 + a^2 + b^2 - 2a - 2b \\
&= (a^2 - 2b + 1)(b^2 - 2a + 1)
\end{aligned}
\]


elde edilir. \(a > b\) olduğuna göre, \(a^2 - 2b + 1 > b^2 - 2b + 1 = (b-1)^2 \ge 0\) olur. Demek ki yukarıdaki eşitsizlikte \(b^2 - 2a + 1 \le 0\) olmak zorundadır. Buna göre, \((b-1)^2 \le 2(a-b)\) ve 


\[ \frac{\sqrt{a-b}}{b-1} \ge \frac{1}{\sqrt{2}}. \]


olur. Eşitlik durumu \((a, b) = (5/2, 2)\) ise sağlanıyor.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 1

\(s(\widehat{ACB}) = 90^\circ\) olan bir \(ABC\) dik üçgeninde \([BC]\) kenarının orta noktası \(D\) dir. \(B\) noktasından \(AD\) doğrusuna indirilen dikmenin ayağı \(E\) olmak üzere, \(|AD| = 4\) ve \(|DE| = 1\) ise, \(|AB|\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(2\sqrt{7}\)

Çözüm:
\(s(\widehat{ACB}) = s(\widehat{ABE}) = 90^\circ\) olduğundan \(A, C, E, B\) noktaları çemberseldir. Bu çemberde \(D\) noktasının kuvveti ele alındığında \(|BD| = |DC| = 2\) bulunur. \(ACD\) üçgeninde Pisagor teoreminden \(|AC| = 2\sqrt{3}\) elde edilir. \(ABC\) üçgeninde Pisagor teoreminden ise \(|AB| = 2\sqrt{7}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 2

Üç basamaklı \(A0B, A1B, A2B, A3B, A4B, A5B, A6B, A7B, A8B, A9B\) sayılarının hiçbiri 11 ile tam bölünemiyorsa \(A + B\) toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?

Şıklar:

Cevap:  1

Çözüm:
11 ile bölünme kuralından \(A + B \neq 0, 1, 2, \dots, 9\) (mod 11) olduğu görülür. Yani \(A + B \equiv 10 \pmod{11}\) olmalıdır. Öte yandan \(0 < A + B < 20\) olduğundan \(A + B = 10\) olmalıdır, alabileceği tek değer budur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 3

Bir su deposu, çatladığı günden itibaren her \(k \ge 1\) için \(k\)-inci gün içindeki suyun \(k + 1\) de birini sızdırıyor. 27-inci günün sonunda depoda 60 litre su bulunuyorsa, 15-inci günün sonunda depoda kaç litre su vardır?

Şıklar:

Cevap:  105

Çözüm:
\(k\)-inci günün sonunda depodaki su miktarı \(x_k\) olsun. O zaman \(k\)-inci günün başında depoda \(x_{k-1}\) litre su vardır ve bu suyun \(k + 1\)'de biri sızınca geriye \(x_{k-1}\frac{k}{k+1}\) litre su kalır. Demek ki her \(k\) için \(x_k = x_{k-1}\frac{k}{k+1}\). O zaman 


\[x_{27} = \frac{27}{28} \cdot \frac{26}{27} \cdot \frac{25}{26} \cdots \frac{16}{17} x_{15}\]


elde edilir. Buradan da \(x_{15} = \frac{60 \cdot 28}{16} = 105\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 4

18 özdeş kırmızı ve 9 özdeş beyaz top 4 farklı kutuya her kutuda en az bir beyaz top bulunmak ve her kutudaki kırmızı topların sayısı beyaz topların sayısından en az 2 fazla olmak koşuluyla kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

Şıklar:

Cevap:  224

Çözüm:
Her kutuya 2 kırmızı top yerleştirip bir beyaz ve bir kırmızı toptan oluşan 9 çift oluşturalım. Önce bu çiftleri ve daha sonra da kalan bir kırmızı topu kutulara dağıtalım: 


\[\binom{5 + 4 - 1}{4 - 1} \cdot 4 = 224.\]
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 5

Bir ABC üçgeninin [BC] ve [AB] kenarları üzerinde sırasıyla D ve E noktaları alınıyor. AD ve CE doğrularının kesişimi P olmak üzere, |BE| = 3|AE|, 3|BD| = 2|DC| ve BPC üçgeninin alanı 9 ise, ABC üçgeninin alanı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  14

Çözüm:
BEC üçgeninde AD kesenine göre Menelaus teoreminden 


\[
\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CP}{PE} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{CP}{PE} = 1
\]


Yani CP/PE=1/6 olur. BPC ve BEP üçgenlerinin yükseklikleri eştir, buradan Alan(BEP)=3/2 olur. CEB ve CEA üçgenlerinin yükseklikleri de eştir. Buradan Alan(CEA)=7/2 yani Alan(ABC)=14 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 6

\(\frac{2n+13}{n^2+n+1}\) ifadesinin tam sayı olmasını sağlayan kaç n tam sayısı vardır?

Şıklar:

Cevap:  6

Çözüm:
\(n^2 + n + 1|2n + 13\) olduğundan \(n^2 + n + 1 \le |2n + 13|\) buradan da 


\[
n^2 + n + 1 \le -2n - 13 \quad (1)
\]


veya 


\[
n^2 + n + 1 \le 2n + 13 \quad (2).
\]


elde ediliyor. (1) den çözüm gelmiyor. (2) den \(n^2 - n - 12 \le 0 \Rightarrow (n-4)(n+3) \le 0 \Rightarrow -3 \le n \le 4\). Bu durumda \(n = -3, -2, -1, 0, 1, 4\) değerleri koşulu sağlıyorlar.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 7

a ve b pozitif gerçel sayılar olmak üzere, \(\frac{a-7}{b} + \frac{b+7}{a} = 2\) ise, \(a - b\) nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
Verilen ifade \((a-b)^2 - 7(a-b) = 0\) a denktir. Buradan da (a-b) 0 veya 7 olabilir. 


8. Toplam ağırlıkları 100 gram olan 22 taşın herhangi 12 sinin toplam ağırlığı en az 40 gram ise bu taşların en ağır olanı en çok kaç gram olabilir?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 8

Toplam ağırlıkları 100 gram olan 22 taşın herhangi 12 sinin toplam ağırlığı en az 40 gram ise bu taşların en ağır olanı en çok kaç gram olabilir?

Şıklar:

Cevap:  30

Çözüm:
En ağır taş 30 gramdan ağır ise, kalanlardan en hafif 12 sinin toplamı < 70·\(\frac{12}{21}\) = 40 olacaktır. En ağır taş 30 gram olabiliyor: diger taşların her biri \(\frac{70}{21} = \frac{10}{3}\) olursa koşullar sağlanıyor.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 9

\(s(\widehat{BAC}) = 60^\circ\), \(|AB| = 6\) ve \(|AC| = 9\) olan bir \(ABC\) üçgeni veriliyor. \(ABC\) üçgeninin çevrel çemberinin küçük \(BC\) yayının orta noktası \(D\) ise, \(|BD|\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(\sqrt{21}\)

Çözüm:
B den AC ye çizilen dikme ayağı E olsun. \(|AE| = 3\), \(|BE| = 3\sqrt{3}\), \(|BC| = 3\sqrt{7}\) olur. ABDC kirişler dörtgeninde \(\angle BDC = 120^\circ\) ve BDC üçgeni ikizkenardır. Buradan \(|BD| = \sqrt{21}\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 10

Hiçbir asal sayının karesine tam bölünmeyen ve tüm pozitif tam bölenlerinin toplamı 96 olan kaç pozitif tam sayı vardır?

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
\(n = p_1p_2 \cdots p_k\) olsun. \(n\) sayısının tüm pozitif tam bölenlerinin toplamı \((p_1 + 1)(p_2 + 1) \cdots (p_k + 1) = 96\) olur. 96 sayısı birer eksikleri birbirinden farklı asallar olan çarpanlar şeklinde 4 türlü yazılabilir: 


\[96 = 3 \cdot 4 \cdot 8 = 3 \cdot 32 = 4 \cdot 24 = 12 \cdot 8.\]


Karşılık gelen \(n\) sayıları 42, 62, 69, 77 dir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 11

Aslı, beş günlük kamp sürecinde içinde 99 soru bulunan bir kitaptaki soruların bir kısmını çözüyor. Her \(n = 1, 2, 3, 4\) için, Aslı'nın \(n\)-inci gün çözdüğü soru sayısı \((n + 1)\)-inci günün sonunda kitaptaki çözülmemiş soru sayısına eşitse, Aslı'nın üçüncü gün çözdüğü soru sayısı en çok kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  18

Çözüm:
Aslının \(n\). gün çözdüğü ve \(n\). gün sonunda kalan soru sayı ikililerini 5. günden başlayarak yazalım: 5. gün: (a,b), 4. gün: (b,a+b), 3. gün: (a+b,2b+a), 2. gün: (a+2b,2a+3b), 1. gün: (2a+3b,3a+5b). O zaman \(5a + 8b = 99\) ve buradan \((a,b) = (15, 3)\) ve \((a,b) = (7, 8)\) durumları geliyor. Üçüncü gün çözülen soru sayısı \(a + b\) olduğundan cevap \(15+3=18\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 12

2018 kişinin katıldığı bir etkinlikte herhangi dört kişiden en az biri diğer üç kişinin her biri ile tokalaşmıştır. Bu etkinlikte birbirleriyle tokalaşmayan kişi ikilisi sayısı en çok kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  3

Çözüm:
A ve B kişileri birbirleriyle tokalaşmamış olsun. C ve D kişileri alalım. O zaman bu dört kişiden en az biri diğer 3 kişiyle tokalaşmıştır. Sonuç olarak C ve D birbirleriyle tokalaşmıştır. Benzer şekilde bir E kişisi A ve B den biri ile tokalaşmamışsa, bu üç kişi dışında herkes E,A,B ile tokalaşmıştır. O zaman sadece EA,EB,AB ikilileri tokalaşmamış olabilirler.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 13

*r* yarıçaplı bir çemberin içine, her birinin yarıçaplı 9 olan ve herhangi ikisi kesişmeyen dört çember çizilebiliyorsa, *r* nin alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir?

Şıklar:

Cevap:  22

Çözüm:
9 yarıçaplı dört çemberin merkezleri bir kenarı 18 olan bir karenin köşeleri olduğu vakit, merkezi bu karenin merkezi olan \(9 + 9\sqrt{2} (\approx 21.73)\) yarıçaplı çember dört çemberi de içerir. O halde *r* nin alabileceği en küçük tam sayı değer 22'dir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 14

1 den büyük hiçbir tam sayının 5-inci kuvveti ile tam bölünmeyen bir pozitif tam sayının pozitif bölen sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Şıklar:

Cevap:  2015

Çözüm:
\(n = \prod_{i=1}^k p_i^{a_i}\) sayısının 1'den büyük hiçbir doğal sayının 5-inci kuvveti ile bölünmemesi için gerek ve yeter koşul her *i* için \(a_i \le 4\) olmasıdır. Böyle bir sayının pozitif bölen sayısının \(((1+a_1)(1+a_2) \cdots (1+a_k)\) çarpımının) 5'ten büyük bir asal böleni olamaz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 15

a ve b gerçel sayılar olmak üzere, \(x(2x+a) < b\) eşitsizliğini sağlayan x gerçel sayılarının kümesi \((-1, 2018)\) açık aralığı ise, \(a+b\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(5^2 \cdot 3^4 = 2015\)

Çözüm:
15. *a* ve *b* gerçel sayılar olmak üzere, \(x(2x+a) < b\) eşitsizliğini sağlayan *x* gerçel sayılarının kümesi \((-1, 2018)\) açık aralığı ise, \(a+b\) kaçtır?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 16

Duvardaki \(4 \times 4\) satranç tahtasının 6 birim karesi, her satırda ve her sütunda tek sayıda işaretlenmiş birim kare olmak koşuluyla, kaç farklı şekilde işaretlenebilir?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
\(b - x(2x + a)\) sayısı, *x* in \(-1\) ile 2018 arası değerleri için pozitif, \(-1\) den küçük değerleri için ise pozitif olmadığı için \(x = -1\) iken 0 olmalı. O halde \(b - (-1)(2(-1) + a) = 0\) bulunur. Buradan da \(a + b = 2\) elde edilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 17

Bir \(ABC\) üçgeninin \([BC]\) ve \([AC]\) kenarları üzerinde sırasıyla \(D\) ve \(E\) noktaları alınıyor. \(|EC| = 1\), \(|EA| = 2\), \(|AB| = 3\), \(|BD| = \sqrt{3}\) ve \(s(\overline{BAD}) = s(\overline{EDC})\) ise, \(|DE|\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(\sqrt{2}\)

Çözüm:
\(AB = AC\) olduğundan \(s(\angle ABD) = s(\angle ACD) = s(\angle ADE)\) ve buradan da \(s(\angle ADC) = s(\angle AED)\) buluruz. Buradan \(\Delta AED \sim \Delta ADC\) ve \(|AD|^2 = |AE| \cdot |AC| = 6\) olur. Yani \(|AD| = \sqrt{6}\) bulunur. \(|AD|^2 + |BD|^2 = |AB|^2\) olduğundan \(AD \perp BC\), \(DE \perp AC\) ve \(|DE| = \sqrt{2}\) olarak bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 18

6 basamaklı bir pozitif tam sayının 7, 11 ve 13 ile bölümünden kalan 1 dir. Bu sayıda en çok kaç farklı rakam olabilir?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
Bu sayının 1 eksiği 7, 11 ve 13 ile tam bölünür, yani 1001 ile tam bölünür, yani \(ABCABC\) şeklinde olmalıdır. O halde bu sayının kendisi şu formlardan birinde olmalıdır: \(ABCABC'\), \(AB9AB'0\), \(A99A'00\). Yani bu sayıda en fazla 5 farklı rakam bulunabilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 19

\(a\) ve \(b\) gerçel sayılar olmak üzere, \(\left(a + \frac{1}{b}\right)\left(b + \frac{1}{a}\right) = 7\) ise, \(\left(a + \frac{1}{b}\right)\left(b - \frac{1}{a}\right)\) ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  0

Çözüm:
\(\left(a + \frac{1}{b}\right)\left(b + \frac{2}{a}\right) = x\) ve \(\left(a + \frac{1}{b}\right)\left(b - \frac{2}{a}\right) = y\) olsun. \(ab + 1/(ab) = x - 2\) ve \(ab - 1/(ab) = y\) olur. Buradan da \(|y| = \sqrt{(x-2)^2 - 4}\) elde edilir. \(x > 4\) için \(y\) nin alabileceği değerler \(\pm\sqrt{(x-2)^2 - 4}\) olduğundan cevap 0 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 20

İki öğrenci tahtaya çizilmiş bir düzgün \(n\)-genin üzerinde sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Sırası gelen oyuncu \(n\)-genin daha önce sayı yazılmamış bir köşesine istediği bir pozitif tam sayıyı yazıyor. Tüm köşelere sayı yazıldıktan sonra öğretmen her kenarın ortasına bu kenarın iki ucundaki sayıların toplamını yazıyor. Öğretmenin yazdığı bu \(n\) sayı arasında birbirine eşit olan sayılar varsa oyunu başlayan oyuncu kazanıyor. Oyun \(n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\) değerleri için birer kez oynanırsa başlayan oyuncu bu oyunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

Şıklar:

Cevap:  7, oyuna başlayan oyuncu \(n = 4\) durumunun dışındaki tüm durumlarda kazanıyor

Çözüm:
\(n = 3\) durumunda oyuna başlayan oyuncu her iki hamlesinde aynı sayı yazıp kazanıyor. \(n = 4\) durumunda ikinci oyuncu oyuna başlayan oyuncunun ilk yazdığı \(a\) sayısının karşısındaki köşeye \(b \neq a\) yazarak oyunu kazanıyor. Diğer durumlarda oyuna başlayan oyuncu aralarında bir köşe olan iki köşeye herhangi bir \(a\) sayısı yazarak oyunu kazanıyor.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 21

\(3 \times 3\) satranç tahtasının birim karelerinden birine 1, birine 2, \(\dots\), birine 9 sayısı yazılmıştır. Tahtadaki birim karelerden oluşan her \(2 \times 2\) karenin üzerindeki dört sayının toplamı aynı \(T\) sayısına eşitse, \(T\) nin alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin farkı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  8

Çözüm:
İlk satır a,b,c, 2. satır d,e,f, 3. satır g,h,i olsun. O zaman
\[ 10 = 1 + 2 + 3 + 4 \le a + c + g + i \le 6 + 7 + 8 + 9 = 30 \]
Genelliği bozmadan \(a + i \ge 5\) olsun. O zaman \(2T = 45 + e - a - i \le 49\) ve \(T \le 24\). Benzer şekilde \(a + i \le 15\) olsun. O zaman \(2T = 45 + e - a - i \ge 31\) ve \(T \ge 16\). \(T\) sayısı 24 ve 16 olabiliyor: \((a,b,c) = (5,7,2), (d,e,f) = (3,9,6), (g,h,i) = (4,8,1)\) durumunda \(T = 24\), \((a,b,c) = (5,3,8), (d,e,f) = (7,1,4), (g,h,i) = (6,2,9)\) durumunda \(T = 16\) oluyor. Cevap \(24 - 16 = 8\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 22

Kaç \(n\) pozitif tam sayısı için \(n^{18}\) tam sayıdır?

Şıklar:

Cevap:  \(9\)

Çözüm:
\(n = 1\) dışındaki çözümleri bulalım. \(m\) bir tam kuvvet olmayacak şekilde \(n = m^k\) olsun. O halde \(\frac{18k}{m^k}\) tam sayı olmalıdır. \(k = 1\) için, \(m|18\) bulunur ve \(m = 2, 3, 6, 18\) (\(n = 2, 3, 6, 18\)) elde edilir. \(k = 2\) için, \(m^2|36\) ve \(m|6\) elde edilir ve buradan \(m = 2, 3, 6\) (\(n = 4, 9, 36\)) bulunur. \(k = 3\) için, \(m^3|54\) ve böylece \(m = 3\) (\(n = 27\)) olduğu görülür. \(k \ge 4\) için çözüm gelmediğini görmek zor değildir. Dolayısıyla tüm çözümler 1, 2, 3, 4, 6, 9, 18, 27, 36 toplam 9 tanedir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 23

Yaşları tam sayılar olan Ali ve Burcu, 99 şekeri yaşlarıyla doğru orantılı olarak paylaşıyorlar. Eğer paylaşım yaşlarıyla ters orantılı olarak yapılsaydı, Ali 9 şeker daha fazla alacaktı. Buna göre, Ali'nin yaşı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Şıklar:

Cevap:  10

Çözüm:
Ali'nin yaşı \(a\), Burcu'nun yaşı \(b\) olsun. Paylaşımda Ali \(99a/(a + b)\) şeker alır. Ters orantılı olarak paylaşım yapılsaydı Ali \(99b(a + b)\) şeker alacaktı. O halde \(99(b - a)/(a + b) = 9\) elde edilir. Buradan \(b/a == 6/5\) olduğu görülür. Bu da \(a\) nın 5 ile tam bölünmesini gerektirir. \(a = 10\) için \(b = 12\) olur ve soru koşulları sağlanır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 24

10 tablonun sergilendiği bir sergiye katılan 23 öğrencinin her biri iki tablo beğeniyor. Herhangi iki öğrencinin ortak bir tablo beğendiği her durumda en az \(k\) öğrenci tarafından beğenilmiş bir tablo bulunuyorsa, \(k\) nin alabileceği en büyük değer nedir?

Şıklar:

Cevap:  16

Çözüm:
23 öğrenciyi sırasıyla 8, 8 ve 7 kişiden oluşan A, B ve C gruplarına ayıralım ve A grubundaki öğrenciler 1. ve 2., B grubundaki öğrenciler 1. ve 3., C grubundaki öğrenciler 2. ve 3. tabloları beğensinler. Bu durumda koşullar sağlanıyor ve her tablo en fazla 16 öğrenci tarafından beğeniliyor. Demek ki \(k \le 16\). Şimdi her durumda en az 16 öğrenci tarafından beğenilen bir tablo olduğunu gösterelim. Her öğrenci \((T_1, T_2)\) tablolarını beğenmişse ispat tamamlanmış oluyor. Bir öğrenci \((T_1, T_2)\), bir diğer öğrenci ise \(T_2, T_3\) tablolarını beğenmişse kalan her öğrenci \((T_1, T_2), (T_2, T_3)\) veya \((T_1, T_3)\) tablo ikililerinin birini beğenmiştir. Dolayısıyla öğrenciler sadece üç tablo beğenmişler. Toplam \(23 \cdot 2 = 46\) beğenme olduğundan en az bir tablo en az \(\lceil \frac{46}{3} \rceil = 16\) öğrenci tarafından beğenilmiştir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 25

\(s(\overline{ABC}) = 13^\circ\) ve \(s(\overline{ACB}) = 26^\circ\) olan bir \(ABC\) üçgeninin \([BC]\) kenarı üzerinde bir \(D\) noktası alınıyor. \(|AC| = 1\) ve \(|BD| = 2\) ise, \(s(\overline{DAC})\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(51^\circ\)

Çözüm:
\(BD\) kenarı üzerinde \(|AP| = 1\) olacak biçimde bir \(P\) noktası alırsak \(s(\angle APC) = s(\angle ACB) = 26^\circ\) ve buradan da \(s(\angle BAP) = s(\angle ABP) = 13^\circ\) olacağından \(|BP| = |DP| = |AP| = 1\) ve böylece \(s(\angle BAD) = 90^\circ\) ve \(s(\angle DAC) = 51^\circ\) olarak bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 26

Bir \(n\) pozitif tam sayısının \(a\) ile bölümünden kalan \(b\) ve \(b\) ile bölümünden kalan \(a - 2\) olacak şekilde \(a > 2\) ve \(b\) pozitif tam sayıları varsa, \(n\) ye özel sayı diyelim. Aşağıdakilerden hangisi özel değildir?

Şıklar:

Cevap:  129

Çözüm:
Bir bölme işleminde kalan bölenden küçük olduğundan \(b \le a - 1\) ve \(a - 2 \le b - 1\) eşitsizlikleri elde edilir. Buradan da \(b = a - 1\) olduğu görülür. O zaman bir sayının özel olması için gerek ve yeter şart sayının 1 fazlasının bir \(a \ge 3\) için \(a(a - 1)\) ile bölünmesidir. \(129 + 1 = 130 = 2 \cdot 5 \cdot 13\) şartı sağlamaz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 27

\(a, b, c\) ve \(d\) iki basamaklı pozitif tam sayılar olmak üzere, Ahmet \((a, b, c, d)\) dörtlüsünü aklında tutuyor. Bu dörtlüyü bulmak isteyen Betül her hamlede bir \((x, y, z, t)\) gerçel sayı dörtlüsünü Ahmet'e söylüyor ve Ahmet de \(ax + by + cz + dt\) toplamını hesaplayıp Betül'e söylüyor. Betül \(k\) hamlede \(a, b, c\) ve \(d\) sayılarını bulmayı garantiyeleyiliyorsa, \(k\) nin alabileceği en küçük değer nedir?

Şıklar:

Cevap:  1

Çözüm:
Betül \(x = 1\), \(y = 100\), \(z = 10000\) ve \(t = 1000000\) sayılarını seçip tek hamlede \(a, b, c, d\) yi buluyor.

28. 3 × 3 satranç tahtasının birim karelerinden birine 1, birine 2, ..., birine 9 sayısı yazılmıştır. Tahtadaki birim karelerden oluşan her 2 × 2 karenin üzerindeki dört sayının toplamı aynı T sayısına eşitse, T nin alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin farkı kaçtır?