alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 12

Bir kutuda 100 kırmızı ve 100 beyaz şeker bulunmaktadır. Aslı her hamlesinde kutudan rastgele iki şeker alıyor. Aslı, bu iki şeker aynı renkte ise ikisini de yiyor, farklı renkte ise kırmızı şekeri yiyor ve beyaz şekeri kutuya geri koyuyor. İlk k hamlede alınan şekerler nasıl olursa olsun Aslı en az 29 kırmızı şeker yiyorsa, k en az kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  79

Çözüm:
Aslı kutudan ilk 28 hamlesinin her birinde bir kırmızı ve bir beyaz şeker, sonraki 50 hamlesinin her birinde iki beyaz şeker alırsa toplam 28 kırmızı şeker yer. O halde k > 78 olmalı. 


Şimdi 79 hamlenin Aslı'nın 29 kırmızı şeker yemesi için yeterli olduğunu gösterelim. Aslı kutudan en fazla 50 kez iki beyaz şeker çıkarabilir. Bunun dışındaki her hamle sonucunda Aslı en az bir kırmızı şeker yer. Sonuç olarak 29+50=79 hamle sonucunda Aslı en az 29 şeker yemiş olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 13

Bir ABC üçgeninin [BC] kenarı üzerinde alınan D ve E noktaları için E noktası C ile D arasındadır. AD ve AE doğrularının ABC üçgeninin çevrel çemberiyle A dan başka kesişim noktaları sırasıyla K ve L olsun. |BD| = 2, |DK| = 3, |DE| = 4, |EC| = |EA| ve |EL| = |DA| ise, |AL| kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  11

Çözüm:
Çembersellikten dolayı BEL ve AEC üçgenleri benzerdir. |EC| = |EA| olduğundan dolayı |DA| = |EL| = |BE| = 6 bulunur. Diğer taraftan ise, çemberde D noktasına göre kuvvetten |AD|·|DK| = |BD|·|DC| olduğu için 18 = 2 · (4 + |EC|) gelir ve buradan da |EC| = 5 buluruz. Dolayısıyla |AL| = |AE| + |EL| = |EC| + |EL| = 11 elde ederiz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 14

\(3^n + n\) sayısının 13 ile tam bölünmesini sağlayan 2021'den küçük kaç n pozitif tam sayısı vardır?

Şıklar:

Cevap:  156

Çözüm:
\(3^n\) sayısı 13 modunda 3, 9, 1 değerlerini alabilir. \(n = 3k\) ve \(k \in \mathbb{Z}\) ise, \(3^n \equiv 1 \pmod{13}\)'tür. \(13|3^n + n\) olması için \(13|1 + n = 1 + 3k\) olmalı. Bu durumda \(k \equiv 4 \pmod{13}\) gelir ve dolayısıyla \(n \equiv 12 \pmod{39}\) bulunur. 


\(n = 3k + 1\) ve \(k \in \mathbb{Z}\) ise, \(3^n \equiv 3 \pmod{13}\)'tür. \(13|3^n + n\) olmasi için \(13|3 + n = 4 + 3k\) olmalı. Bu durumda \(k \equiv 3 \pmod{13}\) gelir ve dolayısıyla \(n \equiv 10 \pmod{39}\) elde edilir. 


Son olarak \(n = 3k + 2\) ve \(k \in \mathbb{Z}\) ise, \(3^n \equiv 9 \pmod{13}\)'tür. \(13|3^n + n\) olmaşi için \(13|9 + n = 11 + 3k\) olmalı. Bu durumda \(k \equiv 5 \pmod{13}\) bulunur ve dolayısıyla \(n \equiv 17 \pmod{39}\) elde edilir. 


Sonuç olarak, \(13 \mid 3^n + n\) olabilmesi için \(n \equiv 10, 12, 17 \pmod{39}\) olmalıdır.

2021 ≡ 32 (mod 39) olduğundan şartları sağlayan toplam \(\left\lfloor \frac{2021}{13} \right\rfloor = 156\) tane n pozitif tam sayısı vardır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 15

Bir miktar şeker Ali, Berk ve Cem arasında paylaştırıldıktan sonra Berk'in şeker sayısı Ali'ninkinin 4 katı, Cem'in şeker sayısı ise Berk'inkinin 3 katıdır. Sonra Cem, 54 şekerini Ali ve Berk arasında paylaştırıyor. Son durumda Berk'in şeker sayısı Ali'ninkinin 3 katı, Cem'in şeker sayısı ise Berk'inkinin 2 katı olmuştur. Buna göre bu üç kişideki toplam şeker sayısı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  510

Çözüm:
Ali, Berk ve Cem'in başlangıçtaki şekerlerinin sayısı sırasıyla \(a, b\) ve \(c\) olsun. \(b = 4a\) ve \(c = 3b = 12a\)'dır. Toplam şeker sayısı \(a + 4a + 12a = 17a\)'dır. Ali, Berk ve Cem'in son durumdaki şekerlerinin sayısı sırasıyla \(a', b'\) ve \(c'\) olsun. \(b' = 3a'\) ve \(c' = 2b' = 6a'\) olduğundan toplam şeker sayısı \(a' + 3a' + 6a' = 10a'\)'dir. O halde \(17a = 10a'\) ve dolayısıyla \(a = 10x\) ve \(a' = 17x\) bulunur. Demek ki Cem Ali'ye \(17x - 10x = 7x\) şeker, Berk'e ise \(51x - 40x = 11x\) şeker vermiştir. O zaman \(18x = 54\) ve dolayısıyla \(x = 3\) bulunur. Sonuç olarak toplam şeker sayısı \(17a = 170x = 510\)'dur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 16

Her tam sayıyı kırmızı ve beyaz renklerinden birine, ne farkları 1 olan iki kırmızı sayı ne de farkları \(k\) olan iki beyaz sayı bulunacak şekilde boyamak mümkünse, \(k\) sayısı 10, 12, 26, 33 ve 42 değerlerinden kaçını alabilir?

Şıklar:

Cevap:  1

Çözüm:
Bir \(n\) sayısı için \(n\) ve \(n+1\) sayıları beyaz renkte olursa, \(n+k\) ve \(n+k+1\) sayıları kırmızı renkte olmak zorundadsır, bu da koşullarla çelişiyor. Buna göre, sayılar herhangi iki komşu sayının biri beyaz ve biri kırmızı olacak şekilde boyanmak zorundadır. Bu boyama \(k\) sayısının herhangi bir çift değeri için koşulları sağlamayıp tüm tek değerleri için koşulları sağlıyor. Sonuç olarak \(k\) sadece 33 değerini alabilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 17

Bir *ABCD* karesinin \(B\) köşesinden geçen bir çember, \([AB]\) kenarını \(K\), \([BC]\) kenarını \(L\), \([AC]\) köşegenini \(P\) ve \(M\) noktalarında (\(M\) noktası \(P\) ile \(C\) arasında), \([BD]\) köşegenini \(B\) den başka bir \(N\) noktasında kesmektedir. \(s(\widehat{KLP}) = 30^\circ\) ve \(s(\widehat{KLB}) = 35^\circ\) ise, \(s(\widehat{PNM})\) kaç derecedir?

Şıklar:

Cevap:  140°

Çözüm:
Öncelikle çemberselikten \(s(\widehat{KBP}) = s(\widehat{KLP}) = 30^\circ\) buluruz. \(APB\) üçgenine bakarsak, \(s(\widehat{BAP}) = 45^\circ\) ve \(s(\widehat{ABP}) = 30^\circ\) olduğundan \(s(\widehat{BPM}) = 75^\circ\) bulunur. Yine çemberselikten ve \(s(\widehat{KLB}) =\)

90° olduğundan \(s(\overline{BP\dot{L}}) = s(\overline{B\dot{K}\dot{L}}) = 90° - s(\overline{BL\dot{K}}) = 55°\) olur, dolayısıyla \(s(\overline{L\dot{P}\dot{M}}) = s(\overline{B\dot{P}\dot{M}}) - s(\overline{BP\dot{L}}) = 20°\) buluruz. Sonuç olarak, çemberin çapı \(KL\) olduğundan, \(s(\overline{PN\dot{M}}) = s(\overline{PN\dot{X}}) + s(\overline{K\dot{N}\dot{L}}) + s(\overline{L\dot{N}\dot{M}}) = s(\overline{PL\dot{K}}) + 90° + s(\overline{L\dot{P}\dot{M}})\) elde ederiz. Dolayısıyla \(s(\overline{PN\dot{M}}) = 30° + 90° + 20° = 140°\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 18

3 ile bölündüğünde 2, 5 ile bölündüğünde 3, 7 ile bölündüğünde 5, 11 ile bölündüğünde 7, 13 ile bölündüğünde 11 kalanını veren en küçük pozitif tam sayının 17 ile bölümünden kalan kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  12

Çözüm:
Verilen şartı sağlayan sayı \(n\) olsun. \(n + 2\)'nin \(5 \cdot 7 \cdot 13 = 455\) ve \(n + 4\)'ün de \(3 \cdot 11 = 33\) ile tam bölünmesi gerekiyor. \(n = 455k - 2\) ve \(k \in \mathbb{Z}\) olsun. O zaman \(33|455k - 2 + 4 = 455k + 2\) ve dolayısıyla \(33|26k + 2\) bulunur. Buradan da \(33|k - 5\) elde edilir. \(k = 33m + 5\) (\(m \in \mathbb{Z}\)) yazarsak, \(n = 455(33m + 5) - 2 = 15015m + 2273\) elde ederiz. Sonuç olarak \(n = 2273\)'dir ve bu sayının 17 ile bölümünden kalan 12 bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 19

Sadece A ve B sınıflarından oluşan bir kurstaki erkeklerin %40'ı A sınıfında, kızların ise %40'ı B sınıfında yer almaktadır. A sınıfındaki bir erkek ile B sınıfındaki bir kız karşılıklı sınıflarını değiştiriyor. Son durumda A sınıfındaki erkekler ile B sınıfındaki kızların toplam sayısı, A sınıfındaki kızlar ile B sınıfındaki erkeklerin toplam sayısının %60'dır. Buna göre bu kursta toplam kaç kişi bulunmaktadır?

Şıklar:

Cevap:  80

Çözüm:
Kurstaki kızların sayısı \(5k\), erkeklerin sayısı \(5e\) olsun. O zaman başlangıçta A sınıfında \(2e\) erkek ve \(3k\) kız, B sınıfında ise \(3e\) erkek ve \(2k\) kız vardır. Son durumda A sınıfında \(2e - 1\) erkek ve \(3k + 1\) kız, B sınıfında ise \(3e + 1\) erkek ve \(2k - 1\) kız vardır. O halde \(2e - 1 + 2k - 1 = \frac{3}{5}(3k + 1 + 3e + 1)\) elde edilir. Buradan da \(e + k = 16\) ve \(5e + 5k = 80\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 20

Her birinin kafasında kırmızı veya beyaz kavuk olan \(n\) cüce bir sıraya dizilmiştir. Herhangi ardışık 60 cücenin yarısının kavuğu kırmızı iken, yarısının kavuğunun kırmızı olduğu ardışık 62 cüce bulunmamaktadır. Buna göre \(n\) en fazla kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  90

Çözüm:
\(n = 90\) için bir örnek verelim: Sıradaki ilk 30 cücenin kavuğu kırmızı, sanraki 30 cücenin kavuğu beyaz ve son 30 cücenin kavuğu kırmızı olursa, koşullar sağlanır.

Farzedelim ki \(n > 90\) olabilsin. Cüceleri soldan sağa doğru numaralandıralım ve \(k\) numaralı cücenin kavuğunun rengi \(r_k\) olsun. Her \(1 \le k \le n - 61\) sayısı için \(\{r_k, r_{k+1}, \dots, r_{k+59}\}\) ve \(\{r_k, r_{k+1}, \dots, r_{k+61}\}\) gruplarını ele alırsak \(r_{k+60} = r_{k+61}\) olduğu görülür. Benzer şekilde \(r_{61} = r_{62} = r_{63} = \dots = r_n\) gelir. Bu nedenle son 60 cüceden kırmızı kavukluların sayısı 30 değildir. Bu çelişki \(n \le 90\) olduğunu gösteriyor.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 21

\(AB \parallel CD\) olan bir \(ABCD\) yamuğunda \([AB]\) kenarı üzerinde alınan bir \(F\) noktası için, \(AFD, FDC\) ve \(FCB\) üçgenlerinin çevreleri birbirine eşittir. \(|AB| = 12\) ise, \(|CD|\) uzunluğunun alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  6

Çözüm:
\(F\)'den geçip \(AD\) doğrusuna paralel olan doğrunun \(DC\) doğrusu ile kesişimi \(E\) olsun. \(AFED\) dörtgeni bir paralelkenardır ve bu sebepten dolayı \(AFD\) ve \(FED\) üçgenleri aynı çevreye sahiptir. O halde \(FED\) ve \(FCD\) üçgenleri aynı çevreye sahiptir ve buradan \(|FC| + |CE| = |FE|\) gelir. Ancak bu, üçgen eşitsizliğine göre sadece \(E = C\) iken mümkündür. Dolayısıyla \(|AF| = |CD|\) elde edilir. Benzer şekilde \(|FB| = |CD|\) bulunur. Sonuç olarak \(|CD| = |AB|/2 = 6\) olmalıdır. \(AFD, FDC\) ve \(FCB\) üçgenlerinin her biri eşkenar üçgen iken de \(|CD| = 6\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 22

\(\{3, 12, 14, 37, 39, 41, 82\}\) kümesinin boş olmayan alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları toplamı 9 ile tam bölünür?

Şıklar:

Cevap:  16

Çözüm:
\(A = \{3, 12, 39\}\), \(B = \{14, 41\}\) ve \(C = \{37, 82\}\) olsun. \(A\)'daki elemanların 9 ile bölümlerinden kalanlar 3, \(B\)'deki elemanların 9 ile bölümlerinden kalanlar 5 ve \(C\)'deki elemanların 9 ile bölümlerinden kalanlar \(1\). Bir alt kümenin elemanları toplamının 9 ile bölünebilmesi için toplamın 3 ile de bölünmesi gerekir. Bu sebepten dolayı kolayca görüleceği üzere elemanları toplamı 9 ile bölünen bir alt kümede \(B\) ve \(C\) kümelerinden eşit sayıda eleman bulunmalıdır. \(B\) ve \(C\)'den hiç eleman yoksa, \(A\)'daki üç eleman da yer almalı; \(1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\) durum. \(B\) ve \(C\)'den birer eleman varsa, \(A\)'dan da bir eleman yer almalı; \(2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\) durum. \(B\) ve \(C\)'den ikişer eleman bulunuyorsa, \(A\)'dan da iki eleman yer almalı; \(1 \cdot 1 \cdot 3 = 3\) durum. Sonuç olarak toplam \(1 + 12 + 3 = 16\) tane elemanları toplamı 9 ile tam bölünen alt küme vardır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 23

\(x, y\) ve \(z\) birbirinden farklı gerçel sayılar olmak üzere, 


\[ 
\begin{aligned}
x^2 + y^2 &= 2x + 3y \\
y^2 + z^2 &= 3y + 2z \\
z^2 + x^2 &= 3z + 2x
\end{aligned}
\]


ise, \(x + 2y + 3z\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  8

Çözüm:
Birinci eşitlikten ikinci eşitlik çıkarılırsa \(x^2 - z^2 = 2(x - z)\) ve dolayısıyla \((x - z)(x + z - 2) = 0\) elde ederiz. Buradan da \(x \neq z\) olduğu için \(x + z = 2\) bulunur. Birinci eşitlikten üçüncü eşitlik çıkarılırsa \(y^2 - z^2 = 3(y - z)\) ve dolayısıyla \((y - z)(y + z - 3) = 0\) bulunur. \(y \neq z\) olduğundan \(y + z = 3\) elde edilir. Sonuç olarak \(x + 2y + 3z = (x + z) + 2(y + z) = 2 + 2 \cdot 3 = 8\)'dir. \(x = 2, y = 3\) ve \(z = 0\) iken de sorudaki tüm eşitlikler sağlanır ve \(x + 2y + 3z = 8\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 24

1, 2, ..., 9 sayıları \(3 \times 3\) bir tablonun birim karelerine her bir birim karede bir sayı bulunacak şekilde yerleştirilecektir. Bu işlem, hem herhangi bir satırdaki sayıların toplamı hem de herhangi bir sütundaki sayıların toplamı 3 ile tam bölünecek şekilde kaç farklı biçimde yapılabilir?

Şıklar:

Cevap:  \(4 \cdot 6^4\)

Çözüm:
Üç tam sayının toplamı 3 ile tam bölünüyorsa, bu üç sayının 3 ile bölümlerinden kalanlar ya aynıdır ya da farklıdır. Dolayısıyla 3 ile bölümlerinde aynı kalanı veren sayılar ya aynı satır veya sütunda yer almalılar, ya da farklı satır ve sütunlarda yer almalılar. Aynı satırlarda yer alırlarsa, bir satırdaki sayıları \(3! = 6\) şekilde yerleştirebiliriz. Satırları da kendi aralarında \(3! = 6\) şekilde sıralayabiliriz. Sonuç olarak \(6^4\) durum bulunur. Aynı sütunlarda yer alırlarsa da \(6^4\) durum bulunur. Farklı satır ve sütunlarda yer alıyorlarsa, önce 0 kalanı verenlerin yerlerini belirleyelim. İlk satırdaki 3 yerden birini seçelim. İkinci satırda seçebileceğimiz 2 yer olur ve üçüncü satırda 1 yer bulunur. Sonra 1 kalanı verenlerin yerlerini belirleyelim. İlk satırda 2 yer mevcuttur, ikinci ve üçüncü satırlarda ise birer yer mevcuttur. 2 kalanını verenlerin yerleri de tek türlü belirlenmiş olur ve koşullar sağlanır. Aynı kalanı verenler kendi içlerinde \(3! = 6\) şekilde yer alabilirler. Dolayısıyla bu durumda toplam \(2 \cdot 6^4\) mümkün yerleştirme vardır. Sonuç olarak cevap \(6^4 + 6^4 + 2 \cdot 6^4 = 4 \cdot 6^4\)'tür.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 25

\(|AB| = |AC|\) olan bir \(ABC\) üçgeninde \(E\) ve \(F\) noktaları sırasıyla \([AB]\) ve \([AC]\) kenarlarının orta noktalarıdır. \([AE]\) doğru parçası üzerinde bir \(K\) noktası ve \([AF]\) doğru parçası üzerinde bir \(L\) noktası \(|AK| = |LF|\) olacak şekilde alınmıştır. \([KL]\) doğru parçasının orta noktası \(M\) olmak üzere, \(CM\)

ve \(EF\) doğrularının kesişim noktası \(N\) dir. \(|MN| = 1\) ise, \(|CN|\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
Genelliği bozmadan \(|AL| \ge |AK|\) varsayabiliriz. \(K'\)den geçip \(BC'\)ye paralel olan doğrunun \(AC\) ile kesişimi \(P\), \(M'\)den geçip \(BC'\)ye paralel olan doğrunun \(\overline{AC}\) ile kesişimi \(Q\) olsun. \(|LF| = |AK| = |AP| = x\) ve \(|AL| = |KE| = y\) diyelim. Bu durumda \(|BE| = |FC| = x + y\), \(|PL| = y - x\), \(|PQ| = |QL| = (y - x)/2\) ve \(|QF| = (y - x)/2 + x = (y + x)/2 = |CF|/2\) bulunur. \(MQ\) ve \(EF\)doğruları paralel oldukları için \(|CN|/|NM| = |CF|/|FQ| = 2\) ve sonuç olarak \(|CN| = 2\) elde edilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 26

Farklı 9 pozitif tam sayının tam olarak ikisi 2 ile, tam olarak üçü 3 ile, tam olarak beşi 5 ile ve tam olarak yedisi 7 ile tam bölünmektedir. Buna göre bu sayıların en büyüğünün alabileceği en küçük değer nedir?

Şıklar:

Cevap:  105

Çözüm:
5 ile bölünen beş, 7 ile bölünen yedi sayı var. \(5 + 7 = 12\) olduğuna göre, en az \(12 - 9 = 3\) sayı hem 5 hem de 7 ile tam bölünüyor. O zaman bu üç sayıdan en büyük olanı en az \(35 \cdot 3 = 105\) olacaktır. Şimdi de 105 sayısı için koşulları sağlayan bir örnek verelim: \(5, 7, 10, 21, 35, 49, 63, 70, 105\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 27

A ve B noktaları arasındaki düz bir yolda sabit hızlarla koşan \(X, Y, Z\) ve \(T\) koşucularının A noktasından aynı anda başlayıp B noktasına varmaları ve hiç beklemeden aynı yol üzerinden A noktasına geri dönmeleri gerekmektedir. \(X\) in hızı \(Y\) nin hızının 5 katıdır. \(Z\) nin hızı \(Y\) nin hızının 6 katıdır. \(T\) nin hızı \(Y\) nin hızından küçüktür. \(T\) koşucusu, yarışma başladıktan 1 dakika sonra \(X\) ile, 4 dakika sonra \(Y\) ile ve \(p\) dakika sonra \(Z\) ile karşılaşmıştır. Buna göre \(p\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  16/19

Çözüm:
A ve B arasındaki yolun uzunluğu \(L\) metre, \(T\) ve \(Y\) koşucularının hızları sırasıyla \(u\) ve \(v\) metre/dakika olsun. O halde \(X'\)in ve \(Z'\)nin hızları sırasıyla \(5v\) ve \(6v'd\)ir. 1 dakika sonunda \(T'\)nin aldığı yol \(u\) metre, \(X'\)in aldığı yol ise \(5v\) metre olacaktır. Buna göre \(2L = u + 5v\) elde edilir. 4 dakika sonunda \(T'\)nin aldığı yol \(4u\) metre ve \(Y'\)nin aldığı yol \(4v\) metredir ve buradan \(2L = 4u + 4v\) gelir. Sonuç olarak \(v = 3u\) bulunur. \(p\) dakika sonra \(T\) pu metre ve \(Z\) \(6pv = 18u\) metre yol almıştır. O zaman \(2L = u + 5v = u + 15u = 16u = p(u + 18u)\) olur ve \(p = 16/19\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 28

Bir koordinat düzleminde \((0, 0)\) noktası kırmızıya boyanmıştır. Kırmızıya boyalı her \((x, y)\) noktası için \((x + 7, y)\), \((x - 13, y - 6)\) ve \((x + 1, y + 8)\)

noktaları da kırmızıya boyalıdır. Buna göre (2021, 2021), (2020, 2020), (26, 2021), (2021, 26) ve (2021, 2020) noktalarından kaç tanesi kesinlikle kırmızıya boyalıdır?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
\(x\) ve \(y\) tam sayılar olmak üzere \(7|x - y\) ve \(y\) çift sayı ise, \((x, y)\) noktasına *güzel* nokta diyelim. Kolayca görüleceği üzere, \((x, y)\) güzel ise \((x + 7, y)\), \((x - 13, y - 6)\) ve \((x + 1, y + 8)\) noktalarının üçü de güzeldir. Öte yandan \((x, y)\) güzel değil ise, \((x - 7, y)\), \((x + 13, y + 6)\) ve \((x - 1, y - 8)\) noktalarının hiçbiri güzel değildir. O zaman \((0, 0)\) güzel olduğu için kesinlikle kırmızı olan bir nokta güzel olmak zorundadır. (Şu ana kadarki bulgularımızdan her güzel sayı kesinlikle kırmızıdır diyemeyiz). Buna göre (2021, 2021), (26, 2021) ve (2021, 2020) kırmızıya boyalı olmak zorunda değildir. 


Şimdi de (2020, 2020) ve (2021, 26)'nin kırmızıya boyalı olduğunu gösterelim. \((0, 0) \to (7, 0) \to (14, 0) \to (1, -6) \to (2, 2) \to \cdots \to (4, 4) \to \cdots \to (2020, 2020)\) geçişlerinden dolayı \((26, 26)\) ve \((2020, 2020)\) kırmızıdır. \((26, 26) \to (33, 26) \to (40, 26) \to \cdots \to (2021, 26)\) geçişlerinden dolayı da \((2021, 26)\) da kırmızıdır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 29

\(AB \parallel CD\) olan bir \(ABCD\) yamuğunun iç bölgesinde birbirlerine dıştan teğet olan \(\omega_1\) ve \(\omega_2\) çemberleri; \(\omega_1\) çemberi \([AB], [CD]\) ve \([DA]\) kenarlarına, \(\omega_2\) çemberi ise \([AB], [BC]\) ve \([CD]\) kenarlarına teğet olacak şekilde çizilmiştir. \(ABCD\) yamuğunun alanı 12 ve \(|AD| + |BC| = 8\) ise, \(|AB| + |CD|\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  12

Çözüm:
\(AB\) ve \(CD\) doğruları paralel olduğundan \(\omega_1\) ve \(\omega_2\) çemberlerinin yarıçapları eşittir. Bu yarıçapa \(r\) dersek yamuğun yüksekliği \(2r\) olur. Teğetliklerden \(|AB| + |CD| = |AD| + |BC| + 4r\) elde ederiz. Yamuğun alanı \((|AB| + |CD|)/2 \cdot 2r = (|AB| + |CD|)r = (8 + 4r)r = 12\) olacağından \(r = 1\) olmalıdır. Bu ise \(|AB| + |CD| = 8 + 4r = 12\) olduğunu gösterir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 30

\(a, b\) ve \(c\) tam sayılar olmak üzere, \(ax^2 + bx + c = 0\) eşitliğini sağlayan yalnızca bir \(x\) gerçel sayısı varsa, \((a, b, c)\) üçlüsüne *güzel üçlü* diyelim. \(1 \le a, b, c \le 100\) ve \(\text{obeb}(a, b, c) = 1\) koşullarını sağlayan kaç tane \((a, b, c)\) güzel üçlüsü vardır?

Şıklar:

Cevap:  53

Çözüm:
Denklemin yalnızca bir kökü olması için gerek ve yeter koşul \(b^2 = 4ac\) olmasıdır. Bu durumda \(b\) çiftir, \(b = 2b_1\) dersek \(b_1^2 = ac\) elde ederiz. \(\text{obeb}(a, c) = 1\) olduğundan \(a\) ve \(c\) tam kare olmalıdır. \(u\) ve \(v\) pozitif tam sayılar olmak üzere \(a = u^2\) ve \(c = v^2\) dersek \(b = 2uv\) bulunur. Dolayısıyla, \(u, v \in \{1, 2, \dots, 10\}\), \(\text{obeb}(u, v) = 1\) ve \(uv \le 50\) olan \((u, v)\) ikililerinin sayısını bulmalıyız. \(u = v\) olan sadece \((1, 1)\) vardır. \(u < v\) olan

durumların sayısını bulalım. \(u = 1\) ise, \(v \in \{2, 3, \dots, 10\}\), 9 durum. \(u = 2\) ise, \(v \in \{3, 5, 7, 9\}\), 4 durum. \(u = 3\) ise, \(v \in \{4, 5, 7, 8, 10\}\), 5 durum. \(u = 4\) ise, \(v \in \{5, 7, 9\}\), 3 durum. \(u = 5\) ise, \(v \in \{6, 7, 8, 9\}\), 4 durum. \(u = 6\) ise, \(v = 7\) olmalı, 1 durum. \(u \ge 7\) için çözüm yoktur, çünkü \(7 \cdot 8 > 50\). O halde \(u < v\) için \(9 + 4 + 5 + 3 + 4 + 1 = 26\) çözüm vardır. Benzer biçimde \(u > v\) için de 26 çözüm gelir. Sonuç olarak cevap \(1 + 26 + 26 = 53\) tür.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 31

\(a\) ve \(b\) gerçel sayılar olmak üzere, \(a^2 - b^2 = 1\) ise, \((3a + b)^2\) en az kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  8

Çözüm:
Eşitlik \(a = 3\sqrt{2}/4\) ve \(b = -\sqrt{2}/4\) iken sağlanır. 


\(a + b = u\) ve \(a - b = v\) dersek \(3a + b = 2u + v\) ve \(uv = 1\) olur. Buradan da \((2u + v)^2 = (2u - v)^2 + 8uv \ge 8uv = 8\) elde ederiz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 1. Aşama, Soru 32

Aslı ve Zehra başlangıçta her birinin üzerinde 1 yazılı olan \(n\) taş ile bir oyun oynuyorlar. Oyuna Aslı başlıyor ve oyuncular sırayla hamle yapıyorlar. Sırası gelen oyuncu taşlardan birinin üzerindeki sayıyı silip yerine sildiği sayının 1 veya 2 fazlasını yazıyor. Taşlardan birinin üzerine 29 yazan oyuncu oyunu kazanıyor. Oyun \(n = 4, 5, 6, 12, 29\) değerleri için birer kez oynanırsa, Aslı bu oyunların kaç tanesini kazanmayı garantileyebilir?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
Oyunu, \(n\) sayısının çift olduğu durumlarda Zehra'nın \(n\) sayısının tek olduğu durumlarda ise Aslı'nın kazandığını gösterelim. Herhangi bir taş üzerine 27 ya da 28 yazan oyuncunun oyunu kaybedeceği açıktır. 


\(n\) sayısının çift değerlerinde Zehra taşları çiftlere ayırarak eşliyor ve Aslı bir taşın üzerine hangi sayıyı yazarsa yazısın Zehra o taşın eşinin üzerine de aynı sayıyı yazıyor ve dolayısıyla 27 veya 28 sayısının ilk olarak Aslı tarafından yazılmasını garantileyerek oyunu kazanıyor. 


\(n\) sayısının tek değerlerinde Aslı bir taş seçiyor ve kalan taşları çiftlere ayırarak eşliyor. Aslı ilk hamlesinde seçtiği taşın üzerine 2 sayısını yazıyor. Bundan sonra Aslı, \(a = 1, 2\) olmak üzere, Zehra'nın seçilmiş taşın üzerindeki sayıyı \(a\) artırdığı her hamleden sonra aynı sayıyı \(3 - a\) artırıyor. Zehra seçilmemiş bir taşın üzerine hangi sayıyı yazarsa yazırsın Aslı o taşın eşinin üzerine de aynı sayıyı yaziyor. Bu durumda \(2 + 3k \neq 27, 28\) olduğuna göre, Aslı 27 veya 28 sayısının, seçilmiş veya seçilmemiş taşlardan birinin üzerine ilk olarak Zehra tarafından yazılmasını garantileyerek oyunu kazanıyor
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 2. Aşama, Soru 1

\(x, y, z\) pozitif gerçel sayıları \(xy + yz + zx = x^5 + y^5 + z^5\) eşitliğini sağlıyorsa 


\[x^2y + y^2z + z^2x \le 3\]


olduğunu gösteriniz.

Şıklar:

Cevap:  \(\{(3n^2, n) : n \text{ pozitif tam sayı}\}\)

Çözüm:
\(k = \frac{3n^2}{m}\) olmak üzere, \(\sqrt{n^2 + m} = \frac{n\sqrt{k+3}}{\sqrt{k}}\) ifadesi bir tam sayı olmalıdır. \(k\) de bir tam sayı olduğundan, bu ifadenin \(k\) katı da tam sayıdır. Dolayısıyla \(n\sqrt{k(k+3)}\) bir tam sayı olmalıdır. \(k\) bir pozitif tam sayı ve \(k(k+3)\) bir rasyonel sayının karesi olduğundan, \(k(k+3)\) tam kare olmalıdır. \(k > 1\) ise, 


\[ (k+1)^2 = k^2 + 2k + 1 < k^2 + 3k < k^2 + 4k + 4 = (k+2)^2 \]


olup, \(k > 1\) için \(k(k+3)\) tam kare olamaz. \(k = 1\) ise, \(\sqrt{n^2 + m} = \sqrt{4n^2} = 2n\) bir tam sayıdır. Dolayısıyla \(m = 3n^2\) olacak şekildeki bütün \((m, n)\) pozitif tam sayı ikilileri çözüm olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2021, 2. Aşama, Soru 2

Satırları aşağıdan yukarıya, sütunları da soldan sağa 1, 2, ..., 29 sayılarıyla numaralandırılan 29×29 satranç tahtasının bazı birim kareleri işaretlenmiştir. 


İşaretlenmiş her birim kare için, hem satır numarası bu birim karenin satır numarasından az olmayan, hem de sütun numarası bu birim karenin sütun numarasından az olmayan en çok bir tane daha işaretlenmiş birim kare vardır. 


Buna göre tahtadaki işaretlenmiş birim kare sayısının alabileceği en büyük değeri bulunuz.

Şıklar:

Cevap:  43

Çözüm:
Öncelikle, 43 işaretlenmiş birim kare için bir örnek verelim. \(a\) numaralı satır ve \(b\) numaralı sütunun kesişiminde bulunan birim kare \((a, b)\) olarak gösterilsin. \(k = 1, 2, \dots, 14\) olmak üzere, \((2k - 1, 31 - 2k), (2k, 31 - 2k), (2k, 30 - 2k)\) birim kareleri ve bunlara ek olarak \((29, 1)\) birim karesi işaretlenirse, sorudaki koşullar sağlanır ve işaretlenmiş birim kare sayısı \(3 \cdot 14 + 1 = 43\) olur. 


Şimdi işaretlenmiş birim kare sayısının daha fazla olamayacağını gösterelim. Koşullara göre, herhangi satır ya da sütunda 2 den fazla birim kare işaretlenemez. İşaretlenmiş birim kare sayısı 43 sayısından fazlaysa, \(14 \cdot 2 + 15 = 43\) olduğuna göre, ikişer işaretlenmiş birim kare bulunduran satır sayısı en az 15 olacaktır. \(15 \cdot 2 > 29\) olduğuna göre, bu durumda \(a < b\) olmak üzere, ikişer işaretlenmiş birim kare içeren öyle \(a, b\) satırları ve \(c\) sütunu bulunacaktır ki, \((a, c)\) ve \((b, c)\) işaretlenmiş birim kareler olsun. \(a\)

satırının ikinci işaretlenmiş birim karesi \((a, t)\) olmak üzere, \(t < c\) durumunda \((a, t)\), \(t > c\) durumunda ise \((a, c)\) birim karesi sorudaki koşulları sağlamıyor. İspat tamamlanmıştır.