alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 1

\(ABC\) üçgeninde \(G \in [AC]\), \(F \in [BG]\), \(D \in [AG]\), \(E \in [GC]\), \([DF]//[AB]\), \([FE]//[BC]\), \(|GF| = |FB|\) ve \(|DE| = 13\) ise, \(|AC|\) kaç birimdir?

Şıklar:

Cevap:  26

Çözüm:
\(DF \parallel AB\) ve \(|GF| = |FB|\) olduğundan \(|DG| = \frac{|AG|}{2}\) olur. Benzer şekilde \(|EG| = \frac{|CG|}{2}\) elde ederiz. \(|DE| = |DG| + |EG|\) ve \(|AC| = |AG| + |CG|\) olduğundan \(|AC| = 2 \cdot 13 = 26\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 2

Birbirinden farklı \(x\) ve \(y\) gerçel sayıları \(x^2 - 2008x = y^2 - 2008y\) eşitliğini sağlıyorlarsa \(x + y\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  2008

Çözüm:
\(x \neq y\) olduğuna göre, \(x^2 - y^2 = 2008(x - y)\) den \(x + y = 2008\) gelir. 


3. Ali ve Burcu'nun, bazıları siyah, bazıları beyaz olmak üzere toplam 70 topu var. Ali'nin toplarının \(\frac{5}{9}\) u ve Burcu'nun toplarının \(\frac{7}{17}\) si siyah ise, Burcu'nun beyaz top sayısı Ali'nin beyaz top sayısından kaç fazladır?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 3

Ali ve Burcu'nun, bazıları siyah, bazıları beyaz olmak üzere toplam 70 topu var. Ali'nin toplarının \(\frac{5}{9}\) u ve Burcu'nun toplarının \(\frac{7}{17}\) si siyah ise, Burcu'nun beyaz top sayısı Ali'nin beyaz top sayısından kaç fazladır?

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
Burcu'nun top sayısı 17 nin katı olduğundan alabileceği değerler 17, 34, 51, 68 dir. Buna göre Ali'nin top sayısı 53, 36, 19, 2 olabilir. Ali'nin top sayısı 9 un katı olduğundan Ali'nin 36, Burcu'nun 34 topu var. Sonuç olarak cevap \(34 \cdot \frac{10}{17} - 36 \cdot \frac{4}{9} = 4\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 4

\(ADE\) üçgeninde \(B \in [AE]\), \(C \in [DE]\) noktaları \(ABCD\) kirişler dörtgeni olacak şekilde seçilsin. \([BD] \cap [AC] = \{F\}\), \(s(\widehat{EAC}) = 21^\circ\) ve \(s(\widehat{AED}) = 33^\circ\) ise, \(s(\widehat{AFD})\) kaç derecedir?

Şıklar:

Cevap:  75

Çözüm:
\(ABCD\) kirişler dörtgeni olduğundan \(s(\widehat{CDB}) = s(\widehat{CAB}) = 21^\circ\) olur. \(s(\widehat{AFD}) = s(\widehat{EAC}) + s(\widehat{AED}) + s(\widehat{EDB})\) olduğundan, 


\[s(\widehat{AFD}) = 21^\circ + 33^\circ + 21^\circ = 75^\circ \text{ bulunur.}\]
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 5

Farklı \(n\) sayı, çember üzerinde, her sayı iki komşusunun çarpımına eşit olacak şekilde dizilebildiğine göre, \(n\) en fazla kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  6

Çözüm:
Sayılardan biri \(a\) olsun. Bu sayıdan başlayarak saat yönündeki sayılar \(b, b/a, 1/a, 1/b, a/b\) ve \(a\) olmak zorundadır. Buna göre \(n\) nin alabileceği en büyük değer 6 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 6

Yan yana yazılmış 123456789 rakamlarından bazılarının arasına + işareti koyularak oluşturulan bir toplam aşağıdakilerden hangisi olamaz?

Şıklar:
A) 144 | B) 153 | C) 189 | D) 375 | E) 486

Cevap: D 375

Çözüm:
\[
144 = 12 + 3 + 45 + 67 + 8 + 9.
\]
\[
153 = 1 + 23 + 45 + 67 + 8 + 9.
\]
\[
189 = 12 + 34 + 56 + 78 + 9.
\]
\[
486 = 1 + 2 + 3 + 456 + 7 + 8 + 9.
\]
1 + 2 + ... + 9 = 45 olduğundan oluşturulan her sayı 9 ile bölünecektir. Buna göre, 375 sayısı oluşturulamaz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 7

AB ve CD tabanlı bir ABCD yamuğunun AD kenarı üzerinde P₁, P₂, P₃, P₄ ve BC kenarı üzerinde Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ noktaları, AB // P₁Q₁ // P₂Q₂ // P₃Q₃ // P₄Q₄ // CD ve A(P₁Q₁P₁) = A(P₁Q₁Q₂P₂) = A(P₂Q₂Q₃P₃) = A(P₃Q₃Q₄P₄) = A(P₄Q₄CD) olacak şekilde seçiliyor. |AB| = 1, |P₁Q₁| = 2 ise |CD| kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
[DA ve [CB nin kesişimi E olsun. AB || P₁Q₁ ve |P₁Q₁| = 2|AB| olduğundan A(E P₁Q₁) = 4 · A(EAB) olur. A(EAB) = S dersek, A(ABQ₁P₁) = A(P₁Q₁Q₂P₂) = A(P₃Q₃Q₄P₄) = A(P₁Q₁CD) = 3S olur. Buradan, A(EDC) = 5 · (3S) + S = 16S olur. \(\frac{A(EAB)}{A(EDC)} = \left(\frac{|AB|}{|CD|}\right)^2\) olacağından, \(\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{|CD|}\right)^2\) ve dolayısıyla |CD| = 4 bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 8

\[
\frac{b+2c-a}{2bc} + \frac{a+2c-b}{2ac} = \frac{a+b-2c}{ab}
\]


olduğuna göre, \(\frac{a^2 + b^2 + c^2}{10c^2 + 4ab}\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{1}{2}\)

Çözüm:
Verilmiş eşitliğin her iki tarafını 2abc ile çarpıp sadeleştirirsek \(a^2 + b^2 = 2ab + 4c^2\) elde deriz. Buna göre, cevap \(\frac{1}{2}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 9

Beş tane iki basamaklı birbirinden farklı doğal sayının toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?

Şıklar:

Cevap:  426

Çözüm:
11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 60 ve 95 + 96 + 97 + 98 + 99 = 485. 60 ve 485 arasındaki her sayının beş tane iki basamaklı birbirinden farklı pozitif tam sayının toplamı şeklinde gösterilebileceği açıktır. Buna göre, cevap 485 - 60 + 1 = 426 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 10

Kenar uzunluğu 1 olan *ABCD* karesinin, sırasıyla, *AB, BC, CD, DA* kenarları üzerinde \(|AA'| = |BB'| = |CC'| = |DD'| = \frac{1}{3}\) şartını sağlayan *A', B', C', D'* noktaları seçiliyor. *AC', A'C, BD'* ve *B'D* doğrularının sınırlandırdığı karenin alanı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{1}{13}\)

Çözüm:
*D'* noktasından *BD'* doğrusuna inen dikme ayağına *F* diyelim. İçte oluşan karenin bir kenarı \(|D'F|\) uzunluğuna eşittir. Diğer taraftan, *D'F* ve *DCB'* üçgenleri benzerdir. Dolayısıyla, \(\frac{|D'F|}{|D'D|} = \frac{|DC|}{|DB'|}\) olur. Buradan, \(|D'F| = \frac{1}{3|DB'|}\) elde ederiz. *DCB'* dik üçgeninde Pisagor teoreminden \(|DB'|^2 = (\frac{2}{3})^2 + 1 = \frac{13}{9}\) olur. Sonuç olarak, içteki karenin alanı \(|D'F|^2 = (\frac{1}{3|DB'|})^2 = \frac{1}{13}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 11

1000 den küçük kaç *n* doğal sayısı için \(n^2 + 8n - 85\) ifadesi 101 e bölünür?

Şıklar:

Cevap:  9

Çözüm:
101 sayısı \(n^2 + 8n + 16 = (n+4)^2\) sayısını bölüyor. Buna göre, \(101|(n+4)\) ve \(n = 101k - 4\). *k* nın alabileceği 9 değer bulunuyor: \(k = 1, 2, \dots, 9\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 12

A şehri, *B* şehrinin 60km batısındadır. *A* dan bir araba ve *B* den ikinci bir araba aynı anda doğuya doğru yola çıkıyorlar. Bir süre sonra birinci araba ikinciye yetişiyor. Birinci arabanın hızı \(10km/saat\), ikinci arabanın hızı \(8km/saat\) daha fazla olsaydı, birinci araba, ikinci arabayı aynı yerde fakat 1 saat daha erken yakalayacaktı. Birinci arabanın hızı kaç *km/saat* tir?

Şıklar:

Cevap:  50

Çözüm:
Birinci arabanın hızı \(v\) *km/saat*, ikinci arabanın hızı \(u\) *km/saat* olmak üzere, \(t = v - u\) olsun. \(\frac{60}{t} = \frac{60}{t+2} + 1\) olduğuna göre, \(t^2 + 2t - 120 = 0\) ve \(t = 10\). Demek ki birinci araba ikinci arabaya 6 saatte yetişmiştir ve arabaların hızları arttırılırsa, birinci araba ikinci arabaya 5 saatte yetişecektir. Buna göre, \(6v = 5(v + 10)\) ve \(v = 50\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 13

*ABC* ikizkenar üçgenininde \(|AB| = |AC|\) ve \(s(\hat{A}) = 50^\circ\) dir. Bu üçgenin *AC* kenarı ve *AD* kenarortayı üzerinde, sırasıyla, *C* ve *D* den farklı *N* ve *M* noktaları, \(|MN| = |MB|\) olacak biçimde alınmıştır. \(\hat{MBN}\) açısı kaç derecedir?

Şıklar:

Cevap:  25°

Çözüm:
M noktası, ABC ikizkenar üçgeninin AD kenarortayı üzerinde yer aldığından |MB| = |MC| bulunur. Dolayısıyla, M noktası NBC üçgeninin çevrel merkezi olup, \(s(\widehat{MBN}) = 90° - s(\widehat{NCB}) = 90° - \frac{180° - s(\hat{A})}{2} = 25°\) elde ederiz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 14

Kenar uzunluğu n birim olan bir kübün yüzleri boyanıyor, ve küp, \(n^3\) adet birim küp oluşacak şekilde parçalanıyor. Kaç \(n \ge 2\) değeri için, tek yüzü boyanmış birim küplerin sayısı hiç boyanmamış birim küplerin sayısına eşit olur?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
Tek yüzü boyanmış birim küplerin sayısı \(6(n-2)^2\), hiç boyanmamış birim küplerin sayısı \((n-2)^3\) olduğundan \(6(n-2)^2 = (n-2)^3\) olur ve buradan \(n = 2, 8\) olarak iki çözüm gelir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 15

Ahmet tahtaya, herhangi ikisinin farkı iki eşit rakamdan oluşan bir sayı olmayacak şekilde, en fazla kaç iki basamaklı sayı yazabilir?

Şıklar:

Cevap:  11

Çözüm:
Sayıların herhangi ikisinin farkı iki eşit rakamdan oluşıan bir sayı olmaması için gerek ve yeter şart bu sayıların 11 modunda kalanlarının birbirinden farklı olmasıdır. Buna göre cevap 11 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 16

Kare şeklinde bir kağıdın üzerine 1 birim yarıçaplı bir çember nasıl çizilirse çizilsin, özdeş bir çemberin daha, ilk çemberle en fazla bir noktada kesişerek çizilebilmesi için kağıdın kenar uzunluğunun en az kaç birim olması gerekir?

Şıklar:

Cevap:  \(2(\sqrt{2} + 1)\)

Çözüm:
Kare kağıdın köşe noktalarına sırasıyla A, B, C, D, karenin merkezine O ve bir kenarının uzunluğuna \(a\) diyelim. Merkezi O, kenar uzunluğu \(a-2\) ve kenarları ABCD karesinin kenarlarına paralel olan kareye EFGH diyelim. Kağıdın üzerine çizilebilecek 1 birim yarıçaplı herhangi bir çemberin merkezi EFGH karesinin içinde veya üzerinde yer almak zorundadır. İki tane birim çemberin en fazla bir noktada kesişmesi içinse, merkezleri arasındaki uzaklığın en az 2 birim olması gerekir. Öncelikle, \(a < 2(\sqrt{2} + 1)\) ise, merkezi O olan birim çemberi çizdiğimizde, kağıdın üzerinde yeni çizilecek herhangi bir çemberin merkezi ile O arasındaki uzaklık, \(\frac{a-2}{\sqrt{2}}\) den küçük veya eşit olur, dolayısıyla O ile arasındaki mesafe 2 den küçük olur. Diğer taraftan, \(a = 2(\sqrt{2} + 1)\) ise, genelliği bozmadan ilk çizilen birim çemberin merkezini EOF üçgeninin içinde veya üzerinde alalım. H merkezli birim çember ile ilk çizilen çemberin merkezleri arasındaki uzaklık \(|OH|\) uzunluğundan, yani 2 den büyük veya eşit olur. Sonuç olarak, kağıdın kenar uzunluğu en az \(2(\sqrt{2}+1)\) olmalıdır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 17

\(x, y, z\) gerçel sayıları \(x^2 - 2|x| = y\), \(y^2 - 2|y| = z\) ve \(z^2 - 2|z| = x\) eşitliklerini sağlıyorsa, \(x + y + z\) nin alabileceği en küçük değer nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(-3\)

Çözüm:
Denklemleri \((|x| - 1)^2 = y + 1\), \((|y| - 1)^2 = z + 1\), \((|z| - 1)^2 = x + 1\) şeklinde yazıp taraf tarafa toplarsak, 


\[x + y + z = (|x| - 1)^2 + (|y| - 1)^2 + (|z| - 1)^2 - 3 \geq -3\]


elde ederiz. Eşitlik durumu \(x = y = z = -1\) iken sağlanır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 18

Öğretmen, tahtaya 8 pozitif tam sayı yazıyor ve Betül bu sayılardan ikisinin 2 ye, üçünün 3 e, dördünün 4 e, beşinin 5 e, altısının 6 ya, yedisinin 7 ye ve sekizinin 8 e bölündüğünü söylüyor. Betül en az kaç hata yapmıştır?

Şıklar:

Cevap:  3

Çözüm:
\(n\) ye bölünen sayıların sayısını \(b(n)\) ile gösterirsek, \(b(8) \le b(4) \le b(2)\) ve \(b(6) \le b(3)\) eşitsizliklerini elde ederiz. Buna göre, \(b(8), b(4), b(2)\) sayılarından en az ikisi, \(b(6), b(3)\) sayılarından da en az biri yanlış hesaplanmıştır ve toplam hata sayısı en az 3 tür. Tahtaya yazılmış sayıların 14, 21, 21, 30, 35, 35, 35, 35 olduğu durumda hata sayısı tam olarak 3 olacaktır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 19

\(B\) açısı dik olan \(ABC\) dik üçgeninde \([BD]\) kenarotayının uzantısı ile \([AC]\) ye \(A\) noktasında dik olan bir \(d\) doğrusunun kesişme noktası \(E\) dir. \(s(AEB) = 18^\circ\) ve \(|AB| = 12\) olduğuna göre \(|DE|\) kaç birimdir?

Şıklar:

Cevap:  24

Çözüm:
Öncelikle, \(|DB| = |DA|\) ve \(s(\overline{DEA}) + s(\overline{DAB}) = 180^\circ - 90^\circ - 18^\circ\) olduğundan \(s(\overline{DEA}) = s(\overline{DAB}) = 36^\circ\) olur. Hipotenüsü \([DE]\) olan \(DAE\) dik üçgeninde \([DE]\) nin orta noktasına \(F\) dersek, \(|DF| = |EF| = |AF|\) olur. Dolayısıyla, \(s(\overline{AFD}) = 2 \cdot s(\overline{ABE}) = 36^\circ\) olup, \(|AF| = |AB| = 12\) elde ederiz. Buradan, \(|DE| = 2 \cdot |AF| = 24\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 20

\(a = -\frac{9}{10}\) ve \(b = (a+1)(a^2+1)(a^4+1)\) ise \(19b + 10a^8\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  10

Çözüm:
\(b(a-1) = a^8 - 1\) olduğundan, \(b\left(-\frac{9}{10} - 1\right) = a^8 - 1\) ve buradan da \(19b + 10a^8 = 10\) olur. 


21. \(n\) ve \(n+1\) pozitif tam sayılarının her ikisinin de rakamlarının toplamı 53 e bölünüyorsa, \(n\) en az kaç basamaklıdır?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 21

\(n\) ve \(n+1\) pozitif tam sayılarının her ikisinin de rakamlarının toplamı 53 e bölünüyorsa, \(n\) en az kaç basamaklıdır?

Şıklar:

Cevap:  12

Çözüm:
\(n\) sayısının birler basamağının 9 olacağı açıktır. \(n\) sayısının basamaklarının toplamı \(s(n)\) olsun. \(n\) sayısında sondaki 9 ların sayısı \(k\) ise,

s(n + 1) − s(n) = 9k − 1 olacaktır. Buna göre 9k − 1 ≡ 0 (mod 53) ve k ≥ 6 olur. n + 1 sayısında sondaki 0 rakamlarının atılmasıyla elde edilen sayının da rakamlarının toplamı 53 e bölünüyor. Buna göre, bu sayı da en az 6 basamaklıdır. Sonuç olarak n en az 12 basamaklı olacaktır. 


n = 899998999999 sayısının rakamlarının toplamı 106, n + 1 sayısının rakamlarının toplamı 53 tür. Buna göre cevap n = 12 olur.

13. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI SINAVI - 2008 


İkinci Bölüm 26 Nisan 2008 Cumartesi, 11.00-12.15
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 22

\(ABC\) dik üçgeninde \(s(\widehat{C}) = 90^\circ\) olmak üzere, \(D\) ile içteğet çemberinin merkezini gösterelim. \(A\) ve \(D\) den geçen doğrunun \(CB\) kenarı ile kesişim noktası \(N\) olsun. \(|CA| + |AD| = |CB|\) ve \(|CN| = 2\) ise, \(|NB|\) kaç birimdir?

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
[\(CA\) ışını üzerinde, \(A\) noktası \(C\) ile \(E\) arasında olacak şekilde \(|AE| = |AD|\) şartını sağlayan \(E\) noktasını alalım. \(|CA| + |AD| = |CB|\) olduğundan \(|CE| = |CA| + |AE| = |CA| + |AD| = |CB|\) olur. Dolayısıyla \(ECB\) ikizkenar dik üçgen olup, \(s(AEB) = 45^\circ\) bulunur. Diğer taraftan, \(D\) noktası iç teğet çemberin merkezi olduğundan \(s(ADB) = 90^\circ + \frac{s(\widehat{C})}{2} = 135^\circ\) olur. Dolayısıyla, \(EADB\) kirişler dörtgenidir. \(s(\widehat{CAB}) = 4\alpha\) diyelim. \(D\) noktası açıortayların kesişim noktası olduğundan \(s(DAC) = 2\alpha\) olup, \(|AE| = |AD|\) eşitliğinden \(s(AED) = s(ADE) = \alpha\) elde ederiz. Buradan, \(EADB\) kirişler dörtgeninde \(s(ABD) = s(AED) = \alpha\) bulunur. \(BD\) doğrusu \(ABC\) açısının açıortayı olduğundan, \(s(ABC) = 2 \cdot s(ABD) = 2\alpha\) olup, \(4\alpha + 2\alpha = 90^\circ\) ve \(\alpha = 15^\circ\) elde ederiz. Dolayısıyla, \(CAB\) üçgeni \(90^\circ - 60^\circ - 30^\circ\) üçgenidir. Sonuç olarak, açıortay teoreminden \(\frac{|NC|}{|NB|} = \frac{|AC|}{|CB|} = \frac{1}{2}\) olup, \(|NB| = 2|NC| = 4\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 23

\(4^x + 3^y = z^2\) denkleminin pozitif tamsayılar kümesindeki tüm çözümlerini bulunuz.

Şıklar:

Cevap:  Tek çözüm \((x, y, z) = (2, 2, 5)\) tir

Çözüm:
\(3^y = (z - 2^x)(z + 2^x)\) eşitliğinden \(z - 2^x\) ve \(z + 2^x\) sayılarının ikisi de 3 ün tam kuvveti olmak zorundadır. Buradan, \(z - 2^x = 3^t\) dersek, \(3^{y-t} - 3^t = 2^{x+1}\) elde ederiz. Dolayısıyla, \(3^t(3^{y-2t} - 1)\) sayısının 2 dışında asal böleni olamayacağından \(t = 0\) elde ederiz. Sonuç olarak, \(z = 2^x + 1\) ve \(3^y = 2^{x+1} + 1\) bulunur. \(x\) bir pozitif tam sayı olduğundan, \(3^y \equiv 1 \pmod{4}\) olup, \(y\) nin çift bir sayı olduğu görülür. \(y = 2s\) dersek, \(2^{x+1} = (3^s - 1)(3^s + 1)\) elde ederiz. \(3^s - 1\) ve \(3^s + 1\) sayılarının ikisi de 2 nin tam kuvveti olmak zorundadır. Bu iki sayının farkı 2 olduğundan, sadece \(3^s - 1 = 2\) ve \(3^s + 1 = 4\) olabileceği açıktır. Buradan, \(s = 1\), \(y = 2\), \(x = 2\) ve \(z = 5\) sonucu bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 24

Bir masa üstündeki 24 tane bardaktan tam olarak üç tanesi ters çevrilmiştir. Her işlemde herhangi dört bardağı çevirebiliyoruz. En fazla 100 işlem yaparak bütün bardakları düz hale getirilebilir miyiz?

Şıklar:

Cevap:  Tüm bardaklar düz hale getirilemez

Çözüm:
Her işlemde ters çevrilmiş bardak sayısı çift sayıda değişiyor. Değişim sayısı −4, −2, 0, 2, 4 olabiliyor. Buna göre, ters çevrilmiş bardak sayısı hep başlangıçtaki gibi tek sayı kalacak ve sıfır olmayacaktır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 1

\(n\) tam sayı olmak üzere, \(12 < \frac{n}{5} < 21\) eşitsizliğini sağlayan ve sadeleştirilemeyen \(\frac{n}{5}\) şeklindeki kesirlerin toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  594

Çözüm:
\(12 < \frac{n}{5} < 21\) eşitsizliğinin sağlayan \(n\) değerleri: \(161, 62, \dots, 104\). Bunlardan sadeleşen kesirlerin paydaları: \(n = 65, 70, \dots, 100\). Buna göre, sadeleştirilemeyen kesirlerin toplamı: 


\[ \frac{61}{5} + \frac{62}{5} + \dots + \frac{104}{5} - \frac{65}{5} - \frac{70}{5} - \dots - \frac{100}{5} = 33 \cdot 22 - 33 \cdot 4 = 594. \]
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 2

\(n\) pozitif tam sayısının kaç değeri için, \(5n - 28\), \(7n - 19\), \(10n + 1\) sayılarının üçü de asaldır?

Şıklar:

Cevap:  1

Çözüm:
Bu sayıların toplamı \(5n - 28 + 7n - 19 + 10n + 1 = 22n - 46\) bir çift sayıdır. Buna göre, bu sayıların en az biri 2 olacaktır. \(5n - 28 = 2\) olursa, \(n = 6\) ve sayılar 2, 23, 61 olur. \(7n - 19 = 2\) olursa, \(n = 3\), sayılar \(-13, 2, 31\) olur. \(10n + 1 \neq 2\). Demek ki sadece \(n = 6\) sayısı koşulları sağlıyor.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 3

Bir çemberin dışındaki bir \(A\) noktasından çembere bir teğet ve bir kesen çizilmiştir. \(B\) noktası, teğetin değme noktası; \(C\) ve \(D\) ise, kesenin çemberle kesiştiği noktalardır. \(|BC| = 4\), \(|BD| = 6\) olduğuna göre, \(|AB|\) nin alabileceği en büyük tam sayı değeri nedir?

Şıklar:

Cevap:  11

Çözüm:
Teğet-kiriş açıdan \(\angle ABC = \angle ADB\) dir. Bu durumda \(\triangle ABC \sim \triangle ADB\) olacağından \(|AC|/|AB| = |BC|/|BD| = 2/3\) olur. \(|AB| = 3x\) ve \(|AC| = 2x\) olsun. \(ABC\) üçgeninde üçgen eşitsizliğinden \(x = 3x - 2x < 4\) olur. Buradan da \(|AB| = 3x < 12\) elde ederiz. \(|AB| = 11\) için şartları sağlayan bir şekil çizilebilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 4

Bir malın fiyatında indirim yapıldıktan sonra, bir günde satılan mal miktarı %50; satışlardan elde edilen gelir ise, %26 arttığına göre, yüzde kaç indirim yapılmıştır?

Şıklar:

Cevap:  16

Çözüm:
İndirimden önce bir günde satılan mal miktarı \(a\), bir birim malın fiyatı \(s\), yapılan indirim \(x\) olsun. O zaman 


\[ \frac{a \cdot s \cdot 126}{100} = \frac{(100 - x)s}{100} \cdot \frac{150a}{100} \]


Buna göre \(x = 16\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 5

Beş futbol takımının katıldığı turnuvada herhangi iki takım kendi aralarında tam olarak bir maç yapıyor. Her maçta kazanan takım 3, berabere kalan takımlar birer, kaybeden takım ise 0 puan alıyor. Turnuva sonunda dört takımın puanları 1, 2, 5 ve 8 olduysa, beşinci takımın puanı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  10

Çözüm:
1, 2, 5 ve 8 puan alan takımlar sırasıyla, A,B,C ve D olsunlar. A ve B takımlarının kazandıkları maç bulunmuyor. Buna göre bu iki takım kendi aralarındaki maçta berabere kalmışlar. O zaman A diğer maçlarının hepsinde yenilmiştir. Demek ki C takımı A takımını yenmiştir. B ile C arasındaki maçı B kazanıyadı B'nin en az 4 puanı, C kazanıyadı C'nin en az 6 puanı olurdu. Demek ki B ve C aralarında berabere kalmışlar. D takımı A ve B yi yendiği için C ile berabere kalmıştır, aksi takdirde D'nin en az 9 puanı veya C'nin en az 7 puanı olurdu. Demek ki C takımı E takımına yenilmiştir ve D ile E takımları berabere kalmıştır. Sonuç olarak, E takımının 10 puanı vardır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 6

Kesişen iki çemberin ortak kirişi \([AB]\) dir. A noktasından bu iki çembere çizilen teğetlerin bu çemberleri ikinci kez kestiği noktalar \(C\) ve \(D\) olmak üzere, \(|BC| = 2\sqrt{3}\), \(|BD| = 4\sqrt{3}\) ise, \(AB\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(2\sqrt{6}\)

Çözüm:
Teğet-kiriş açıdan \(\angle CAB = \angle ADB\) ve \(\angle BAD = \angle ACB\) olur. Buradan \(\triangle ABC \sim \triangle DBA\) elde ederiz. Benzerlikten \(|AB|/|BC| = |BD|/|AB|\) ve böylece \(|AB| = \sqrt{|BC| \cdot |BD|} = 2\sqrt{6}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 7

83 ve 102 sayılarının ikisinin de \(n\) pozitif tam sayısına bölümünden kalan \(k\) pozitif tam sayısı ise, \(n\) nin \(k\) ya bölümünden kalan nedir?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
\(102 \equiv 83 \pmod{n}\) olduğuna göre, \(19 \equiv 0 \pmod{n}\) ve \(n|19\). O zaman \(n\) nin alabileceği tek değer 19 dur. Buradan \(k = 7\) ve cevap 5 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 8

\(x\) ve \(y\) gerçel sayıları, 


\[ 
\begin{aligned}
2x^2 - 3y &= -\frac{17}{2} \\
y^2 - 4x &= 7
\end{aligned}
\]


eşitliklerini sağlıyorsa, \(x + y\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{7}{2}\)

Çözüm:
Birinci eşitliğin iki katı ile ikinci eşitliği taraf tarafa toplarsak \(4x^2 - 4x + y^2 - 6y = -10\) elde ederiz. Buradan, \((2x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 0\) olur. Dolayısıyla \(x = \frac{1}{2}\) ve \(y = 3\) olup, \(x + y = \frac{7}{2}\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 9

\(ABCD\) karesinin \([BC]\) kenarı üstünde \(s(\widehat{EAB}) = 15^\circ\) koşulunu sağlayan bir \(E\) noktası alınıyor. \(AE\) doğrusuna \(C\) den çizilen dikmenin ayağı \(H\) noktası ve \(|CH| = 2\) olduğuna göre, karenin alanı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(8\)

Çözüm:
\(\angle CAB = 45^\circ\) olduğundan \(\angle CAH = 30^\circ\) olur. \(ACH\) üçgeninin açıları \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\) olduğundan \(|AC| = 2|CH| = 4\) ve karenin alanı \(\frac{4}{2}/2 = 8\) olmalıdır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 10

Tüm elemanları pozitif tam sayılar olan bir kümenin herhangi üç elemanının toplamı hep asal oluyorsa, bu kümenin en çok kaç elemanı olabilir?

Şıklar:

Cevap:  \(4\)

Çözüm:
\(\{3, 7, 9, 31\}\) kümesinin herhangi üç elemanının toplamı asal sayıdır. Koşulları sağlayan kümenin eleman sayısı en az 5 olsun. Bu kümenin 3 elemanı (mod 3) te denk olamaz. O zaman kalanları \(0,1\) ve \(2\) olan üç eleman bulunur ve bu elemanların toplamı \(3\) ile bölünür, çelişki.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 11

Rakamlarının toplamının karesi, karesinin rakamlarının toplamına eşit olan kaç iki basamaklı bileşik sayı vardır?

Şıklar:

Cevap:  \(6\)

Çözüm:
İki basamaklı sayının karesi en fazla \(99^2 = 9801\) (dört basamaklı) olduğundan bu sayının karesinin rakamlarının toplamı \(36\) dan daha az olur. Demek ki sayının rakamlarının toplamı en fazla \(5\) olur. \(10,12,14,20,21,22,30,32,40,50\) sayılarından koşulu sağlayanlar \(10,12,20,21,22,30\) sayılarıdır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 12

\(ABCD\) dikdörtgeninde \(E\) ve \(F\) noktaları sırasıyla, \([BC]\) ve \([CD]\) üstünde olmak üzere, \(|BE| = 4\), \(|CE| = 2\) ve \(|CF| = |FD| = 5\) tir. \(G\), \(AE\) ve \(BF\) doğrularının kesişim noktası olduğuna göre, \(|GE|\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(\sqrt{29}/2\)

Çözüm:
\(|AB| = |CD| = 10\) ve \(|AD| = |BC| = 6\) dır. \(AE\) ile \(CD\) doğruları \(P\) noktasında kesişin. Benzerlikten \(|PC|/|AB| = |CE|/|EB| = 1/2\) ve buradan da \(|PC| = 5\) olur. Yine benzerlikten \(|PE|/|AE| = |CP|/|AB| = 1/2\) ve \(|PG|/|AG| = |FP|/|AB| = 1\) olduğundan \(|GE| = x\) dersek \(|EP| = 2x\), \(|AG| = 3x\) olur. \(ADP\) üçgeninde Pisagor teoreminden

\[|AP|^2 = 6^2 + 15^2 = 261 = 9 \cdot 29 \text{ ve } |AP| = 3\sqrt{29} \text{ buluruz. Buradan da } |GE| = |AP|/6 = \sqrt{29}/2 \text{ elde ederiz.}\]
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 13

\(11a - \frac{1}{a} = b - \frac{11}{b}\) ve \(a + b < 121\) koşullarını sağlayan kaç \((a, b)\) pozitif tam sayı ikilisi vardır?

Şıklar:

Cevap:  10

Çözüm:
\[11\left(\frac{ab+1}{b}\right) = \frac{ab+1}{a}\]


olduğundan \(11a = b\) gelir. Buna göre, \(a + b \le 120\) olduğundan \(12a \le 120\) ve çözüm ikilileri \((a, b) = (1, 11), (2, 22), \dots, (10, 110)\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 14

\(1 \le a \le 37\), \(1 \le b \le 37\) koşullarını ve \(37\) nin \(1 + 7a + 8b + 19ab\) yi bölmesini sağlayan kaç \((a, b)\) tam sayı ikilisi vardır?

Şıklar:

Cevap:  73

Çözüm:
\(19 \equiv 56 \pmod{37}\) olduğundan \(1 + 7a + 8b + 19ab\) sayısının \(37\) ile bölünebilmesi için \(1 + 7a + 8b + 56ab = (1 + 7a)(1 + 8b)\) sayısının \(37\) ile bölünebilmesi gerekir. \(37\) asal sayı olduğundan \(1 + 7a\) ve \(1 + 8b\) sayılarından en az biri \(37\) ile bölünmelidir. Dolayısıyla \(a = 21\) ve \(b = 23\) eşitliklerinden en az birisi sağlanmalıdır, bu da \(2 \cdot 37 - 1 = 73\) tane \((a, b)\) tam sayı ikilisi olduğunu gösterir.