OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2013, 2. Aşama, Soru 3

|AC| > |AB| koşulunu sağlayan bir ABC üçgeninin [AB] ve [AC] kenarlarına sırasıyla, D ve E noktalarında teğet olan bir çember, ABC üçgeninin çevrel çemberini K ve L noktalarında kesiyor. Sırasıyla, [AB] ve [AC] kenarları üstünde yer alan X ve Y noktaları 


\[ \frac{|AX|}{|AB|} = \frac{|CE|}{|BD| + |CE|} \quad \text{ve} \quad \frac{|AY|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|BD| + |CE|} \]


eşitliklerini sağlıyorsa, XY, BC, KL doğrularının noktadaş olduğunu kanıtlayınız. 


**Çözüm:** BD = a, CE = b, AD = AE = c olsun. 


\[ AX = \frac{AB \cdot CE}{BD + CE} = \frac{(a + x)b}{a + b} \quad \text{ve} \quad \text{AY} = \frac{AC \cdot BD}{BD + CE} = \frac{(b + x)a}{a + b} \]


olduğundan 


\[ BX = AB - AX = \frac{(a + x)a}{a + b} \quad \text{ve} \quad CY = AC - AY = \frac{(b + x)b}{a + b} \]


elde ederiz. DE ve BC doğrularının kesişim noktası Z olsun. Menelaus teoreminden 


\[ \frac{ZB}{ZC} = \frac{BX}{AX} \cdot \frac{AY}{CY} = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a^2}{b^2} \]


bulunur. Z, K, L noktalarının doğrusal olduklarını göstermemiz için Z'nin ABC üçgeninin çevrel çemberi ABC ve ABC'nın kuvvet ekseni üzerinde yer aldığını göstermemiz yeterlidir. ω ve BC doğrusunun kesişim noktaları R and S olsun. (R ∈ [BS]). ZB = k, BR = ℓ, RS = m, SC = n olsun B ve C noktalarının ω çemberine göre kuvvetlerinden

  


\[a^2 = BE^2 = BR \cdot BS = \ell(\ell + m) \quad \text{ve} \quad b^2 = CD^2 = CS \cdot CR = n(m + n)\]


elde edilir ve böylece 


\[\frac{\ell(\ell + m)}{n(m + n)} = \frac{BR \cdot BS}{CS \cdot CR} = \frac{BE^2}{CD^2} = \frac{a^2}{b^2} = \frac{ZB}{ZC} = \frac{k}{k + \ell + m + n}\]


olur. Buradan \(kn^2 + (km - \ell^2 - \ell m)n - \ell(\ell + m)(k + \ell + m) = 0\) bulunur. Son eşitlik 


\[[kn - \ell(k + \ell + m)](m + n + \ell) = 0\]


denklemine denktir. Dolayısıyla, \(m + n + \ell = BC > 0\) olduğu için \(kn = \ell(k + \ell + m)\) olmalıdır ve buradan da \(k(k + \ell + m + n) = (k + \ell)(k + \ell + m)\) buluruz. Sonuç olarak, \(ZB \cdot ZC = ZR \cdot ZS\) olur ve \(Z\) noktası bu iki çemberin kuvvet eksenindedir. 


4. Aybike bir çemberin çevresine istediği tek sayıda kutuyu yerleştirip, 2013 boncuğu bu kutulardan bazılarına istediği biçimde dağıtıyor. Sonra Berk bu kutulardan birini seçiyor. Daha sonra da Aybike, Berk'in seçmediği kutulardan yarısını herhangi ikisi ardışık olmayacak biçimde seçiyor. Aybike seçtiği kutularda k tane boncuk olmasını garantileyebiliyorsa, k nin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz. 


**Çözüm:**

Şıklar:


Çözüm:
Çözüm : \(BD = a, CE = b, AD = AE = c\) olsun.
\[ AX = \frac{AB \cdot CE}{BD + CE} = \frac{(a + c)b}{a + b} \text{ ve } AY = \frac{AC \cdot BD}{BD + CE} = \frac{(b + c)a}{a + b} \]
olduğundan
\[ BX = AB - AX = \frac{(a + c)a}{a + b} \text{ ve } CY = AC - AY = \frac{(b + c)b}{a + b} \]
elde ederiz. \(DE\) ve \(BC\) doğrularının kesişim noktası \(Z\) olsun. Menelaus teoreminden



\[ \frac{ZB}{ZC} = \frac{BX}{AX} \cdot \frac{AY}{CY} = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a^2}{b^2} \]
bulunur. \(Z, K, L\) noktalarının doğrusal olduklarını göstermemiz için \(Z\)'nin \(ABC\) üçgeninin çevrel çemberi \(ABC\) ve \(ABC'\)nın kuvvet ekseni üzerinde yer aldığını göstermemiz yeterlidir. \(\omega\) ve \(BC\) doğrusunun kesişim noktaları \(R\) and \(S\) olsun. (\(R \in [BS]\)). \(ZB = k, BR = \ell, RS = m, SC = n\) olsun \(B\) ve \(C\) noktalarının \(\omega\) çemberine göre kuvvetlerinden



\[ a^2 = BE^2 = BR \cdot BS = \ell(\ell + m) \text{ ve } b^2 = CD^2 = CS \cdot CR = n(m + n) \]
elde edilir ve böylece
\[ \frac{\ell(\ell + m)}{n(m + n)} = \frac{BR \cdot BS}{CS \cdot CR} = \frac{BE^2}{CD^2} = \frac{a^2}{b^2} = \frac{ZB}{ZC} = \frac{k}{k + \ell + m + n} \]
olur. Buradan \(kn^2 + (km - \ell^2 - \ell m)n - \ell(\ell + m)(k + \ell + m) = 0\) bulunur. Son eşitlik
\[ [kn - \ell(k + \ell + m)](m + n + \ell) = 0 \]
denklemine denktir. Dolayısıyla, \(m + n + \ell = BC > 0\) olduğu için \(kn = \ell(k + \ell + m)\) olmalıdır ve buradan da \(k(k + \ell + m + n) = (k + \ell)(k + \ell + m)\) buluruz. Sonuç olarak, \(ZB \cdot ZC = ZR \cdot ZS\) olur ve \(Z\) noktası bu iki çemberin kuvvet eksenindedir.