alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 2. Aşama, Soru 3

\[3n^3 - 7n^2 - 15n + 35\]


ifadesinin bir tam sayının karesine eşit olmasını sağlayan tüm \(n\) pozitif tam sayılarını bulunuz.

Şıklar:

Cevap:  (4, 2)

Çözüm:
\(n = 1\) için ifade 16, \(n = 2\) için ifade 1 olur ve bu sayıların her ikisi de tamkaredir. 


\(n \ge 3\) olsun. \(3n^3 - 7n^2 - 15n + 35 = (n^2 - 5)(3n - 7)\) olur. \(n \ge 3\) olduğu için her iki çarpan da pozitiftir. \(d = \text{ebob}(n^2 - 5, 3n - 7)\) olsun. Bu durumda 


\[d \mid 9(n^2 - 5) - (3n - 7)(3n + 7) = 4\]


olduğu için \(d = 1\), \(d = 2\) veya \(d = 4\) olmalıdır. 


\(d = 1\) veya \(d = 4\) olursa, hem \(n^2 - 5\) hem de \(3n - 7\) tamkare olmalıdır. Ancak \(3n - 7 \equiv 2 \pmod{3}\) olduğu için tamkare olamaz. 


\(d = 2\) ise, \(n^2 - 5 = 2x^2\) ve \(3n - 7 = 2y^2\) formunda olmalıdır. Bu durumda \(n\) tektir ve \(2x^2 = n^2 - 5 \equiv 4 \pmod{8}\) bulunur. Buradan da \(x^2 \equiv 2 \pmod{4}\) bulunur, ancak hiçbir tamkare bu koşulu sağlamaz. 


Böylece, \(n \ge 3\) için çözüm bulunmaz ve tüm çözümler \(n = 1, 2\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2025, 2. Aşama, Soru 4

Bir *ABCD* dışbükey dörtgeninin köşegenleri birbirlerine diktir. \(AC \cap BD = E\) ve \([BD]\) doğru parçasının orta noktası \(M\) olsun. *AEM* üçgeninin çevrel çemberi, *BEC* üçgeninin çevrel çemberiyle ikinci kez \(K\) noktasında ve *DEC* üçgeninin çevrel çemberiyle ikinci kez \(L\) noktasında kesişiyor. \(|KM| = |LM|\) olduğunu gösteriniz.

Şıklar:


Çözüm:
 


\(B, K, E, C\) noktaları çembersel olduğu için \(\angle KBE = \angle KCE\) bulunur. \(A, K, E, M\) noktaları çembersel olduğu için \(\angle KAE = \angle KME\) bulunur. Böylece, \(BKM\) ve \(CKA\) üçgenlerinin tüm açıları eşit bulunur ve bu iki üçgen benzerdir, bu benzerlikten ötürü 


\[ \frac{|AC|}{|BM|} = \frac{|KM|}{|KA|} \]


elde edilir. 


Benzer şekilde, \(DLM\) ve \(CLA\) üçgenleri de birbirlerine benzer bulunur ve 


\[ \frac{|AC|}{|DM|} = \frac{|LM|}{|LA|} \]


elde edilir. \(|BM| = |DM|\) olduğu için, bu iki oran eşitliğinden 


\[ \frac{|KM|}{|KA|} = \frac{|LM|}{|LA|} \]


elde edilir. 


\(A K, E, M, L\) noktaları çembersel olduğundan ötürü \(\angle AKM = \angle ALM = \angle AEM = 90^\circ\) olur. Kenar-Açı-Kenar benzerliğinden ötürü \(AKM\) ve \(ALM\) üçgenleri benzer bulunur. \(AM\) kenarı iki üçgende de ortak olarak aynı açının karşısında olduğu için bu üçgenler aslında eş üçgenler bulunur ve buradan \(|KM| = |LM|\) elde edilir.