alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 29

\(n \ge 23\) olmak üzere, \(A_1A_2 \dots A_n\) düzgün \(n\)-geninde \(A_1A_5, A_2A_7\) ve \(A_3A_{23}\) doğruları ortak bir noktada kesişiyorsa, \(n\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  38

Çözüm:
\(A_1 A_5\) ile \(A_2 A_7\)'nin kesişimi \(P\) olsun. \(\alpha = \frac{180^\circ}{n}\) olmak üzere, \(s(\widehat{A_2 A_1 P}) = 3\alpha\) ve \(s(\widehat{A_3 A_2 P}) = 4\alpha\) olduğu görülür. \(s(\widehat{A_1 P A_2})\) açısı \(A_1 A_2\) ve \(A_5 A_7\) yaylarının toplamı olduğundan \(s(\widehat{A_1 P A_2}) = \alpha + 2\alpha = 3\alpha\) elde edilir. Böylece \(A_1 A_2 = A_2 P\) ve \(A_2 P = A_2 A_3\) olduğu görülür. O zaman \(s(\widehat{A_2 A_3 P}) = 90 - 2\alpha = \frac{n-4}{2}\alpha\) bulunur. Öte yandan \(s(\widehat{A_2 A_3 A_{23}}) = (n + 2 - 23)\alpha\). O zaman \(A_3, P\) ve \(A_{23}\)'ün doğrusal olması için gerek ve yeter koşul \((n - 4) / 2 = n - 21\) olmasıdır. O zaman cevap \(n = 38\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 30

\(m\) ve \(n\) pozitif tam sayılar olmak üzere \(2^m + 2^n + 5\) tam kare ise, \(m + n\) toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
\(m \ge 3\) ve \(n \ge 3\) olursa (mod 8) den çelişki. Yani en az biri 3 ten küçüktür. \(n \le m\) olsun. \(n = 1\) ise \(a = 2^m + 7\) den \(m = 1\) için tam kare olur ama \(m \ge 2\) için (mod 8) den çelişki. \(n = 2\) ise \(2^m + 9 = k^2\) buradan da \(2^m = (k-3)(k+3)\) sağdaki çarpanların farkı 6 ve ikisi de sadece 2 ye bölündüğünden \(k-3 = 2\) olmalıdır ve \(m = 4\) olur. Buradan tüm çözümler: (1,1), (2,4) ve (4,2).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 31

a ve b pozitif gerçel sayılar olmak üzere, \(\frac{a^3 + b^2 + 2ab^2(a+1)}{ab(a+b)}\) sayısının alabileceği en küçük değer nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(2\sqrt{2}\)

Çözüm:
AGO'dan \(a^3 + 2ab^2 \ge 2\sqrt{2}a^2b\) ve \(b^2 + 2a^2b^2 \ge 2\sqrt{2}ab^2\) olacağından \(a^3 + b^2 + 2ab^2(a+1) \ge 2\sqrt{2}ab(a+b)\) olur. Eşitlik durumu \(a = 1/\sqrt{2}\), \(b = 1/2\) iken sağlanır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 32

1, 2, ..., 13 sayıları bir çember etrafına yerleştiriliyor ve art arda bulunan her sayı üçlüsünün toplamı hesaplanıyor. Bu 13 toplamın en küçüğü en çok kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  19

Çözüm:
13 dışındaki sayılardan oluşan dört üçlünün toplamı 78 olduğundan bu üçlülerden en az biri 19 dan büyük olmayacaktır. 19 için örnek: 1,7,11,3,8,9,10,4,6,12,2,5,13.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 33

\(3 \times 3\) satranç tahtasının birim karelerinden birine 1, birine 2, \(\dots\), birine 9 sayısı yazılmıştır. Tahtadaki birim karelerden oluşan her \(2 \times 2\) karenin üzerindeki dört sayının toplamı aynı \(T\) sayısına eşitse, \(T\) nin alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin farkı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  8

Çözüm:
İlk satır a,b,c, 2. satır d,e,f, 3. satır g,h,i olsun. O zaman
\[ 10 = 1 + 2 + 3 + 4 \le a + c + g + i \le 6 + 7 + 8 + 9 = 30 \]
Genelliği bozmadan \(a + i \ge 5\) olsun. O zaman \(2T = 45 + e - a - i \le 49\) ve \(T \le 24\). Benzer şekilde \(a + i \le 15\) olsun. O zaman \(2T = 45 + e - a - i \ge 31\) ve \(T \ge 16\). \(T\) sayısı 24 ve 16 olabiliyor: \((a,b,c) = (5,7,2), (d,e,f) = (3,9,6), (g,h,i) = (4,8,1)\) durumunda \(T = 24\), \((a,b,c) = (5,3,8), (d,e,f) = (7,1,4), (g,h,i) = (6,2,9)\) durumunda \(T = 16\) oluyor. Cevap \(24 - 16 = 8\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 2. Aşama, Soru 1

*n* bir pozitif tam sayı olmak üzere, *n* nin pozitif bölenlerinin sayısını *s(n)* ile gösterelim. 


\[k = s(a) = s(b) = s(2a + 3b)\]


olacak şekilde *a* ve *b* pozitif tam sayılarının bulunmasını sağlayan tüm *k* pozitif tam sayılarını bulunuz. 


**Çözüm:**

Şıklar:

Cevap:  Tüm pozitif çift sayılar; 2k, k ∈ $\mathbb{Z}^+$

Çözüm:
\[m \in \mathbb{Z}^+ \text{ olmak üzere } k = 2m \text{ için örnek: } a = 2 \cdot 5^{m-1} \text{ ve } b = 3 \cdot 5^{m-1} \text{ alındığında } s(a) = s(b) = 2m \text{ ve } s(2a + 3b) = s(13 \cdot 5^{m-1}) = 2m \text{ eşitlikleri sağlanır.}\] 


Farzedelim ki bir \(m \in \mathbb{Z}^+\) için \(k = 2m + 1\) şartı sağlasın. O halde \(2m + 1 = s(a) = s(b) = s(2a + 3b)\) olacak şekilde *a* ve *b* pozitif tam sayıları bulunur. Pozitif bölen sayısı bir tek sayı olan sayılar yalnızca tamkarelerdir. Bundan dolayı \(a = x^2, b = y^2\) ve \(2a + 3b = z^2\) olacak şekilde *x, y, z* pozitif tam sayıları vardır. O zaman 


\[2x^2 + 3y^2 = z^2\]


eşitliği elde edilir. *x, y, z* sayılarının en büyük ortak böleni *d* olsun. Başka bir deyişle \(ebob(x, y, z) = d\). O halde \(x = dx_1, y = dy_1, z = dz_1\) ve \(ebob(x_1, y_1, z_1) = 1\) olacak biçimde \(x_1, y_1, z_1\) pozitif tam sayıları vardır. Yukarıdaki eşitlikte \(x = dx_1, y = dy_1, z = dz_1\) yazılıp \(d^2\) ile sadeleştirme yapıldığında 


\[2x_1^2 + 3y_1^2 = z_1^2\]


olduğu görülür. Bu eşitlik (mod 3)'te incelendiğinde \(2x_1^2 \equiv z_1^2\) (mod 3) elde edilir. Bir tamkare (mod 3)'te 0 veya 1'e denk olduğundan \(x_1 \equiv z_1 \equiv 0\) (mod 3) olduğu görülür. O halde \(x_1\) ve \(z_1\) sayıları 3 ile tam bölünür ve dolayısıyla \(x_1^2\) ve \(z_1^2\) sayıları 9 ile tam bölünür. O zaman \(3y_1^2\) de 9 ile bölünür ve bu da \(y_1\) sayısının 3 ile bölündüğünü gösterir. Sonuç olarak \(x_1, y_1, z_1\) sayılarının her biri 3 ile tam bölünür. Ancak bu üç sayı üçlü olarak aralarında asaldı. Çelişki. Demek ki şartı sağlayan *k* tek sayısı yoktur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 2. Aşama, Soru 2

*n* × *n* bir satranç tahtasının bazı birim karelerine birer kale yerleştirilmiştir. Bu kalelerden birbirini tehdit etmeyen herhangi ikisi için bu ikisinin de tehdit ettiği boş bir birim kare bulunduğuna göre, tahtada en çok kaç kale bulunabilir? 


*Not:* Bir kale kendisiyle aynı satırda veya sütunda bulunan ve aralarındaki tüm birim karelerin boş olduğu birim kareleri tehdit etmektedir. 


**Çözüm:**

Şıklar:

Cevap:  \(\lfloor \frac{3n}{2} \rfloor\)

Çözüm:
Bir sütunun üzerinde ikiden fazla kale bulunamaz. Aksi takdirde bu sütunun üzerinde bulunan en üstteki ve en alttaki kale ikilisi sorudaki koşulları sağlamaz. Her birinin üzerinde 2 kale bulunan iki sütun alalım. Birinci sütunun üzerindeki kaleler \(a_1\) ve \(a_2\), ikinci sütunun üzerindeki kaleler \(b_1\) ve \(b_2\) olsun (\(a_1\)'in \(a_2\)'nin ve \(b_1\)'in \(b_2\)'nin üstünde bulunduğunu varsayalım). Bu dört kaleden herhangi ikisinin aynı satırda bulunamayacağını gösterelim. \(a_1\) ve \(b_1\) aynı satırda olsun. Genelliği bozmadan \(a_2\)'nin bulunduğu satırın \(b_2\)'nin bulunduğu satırın üstünde olmadığını varsayalım. O zaman \(a_2\) ve \(b_1\) kale ikilisi sorudaki koşulları sağlamaz. \(a_1\) ve \(b_2\) aynı satırda olsun. O zaman \(a_2\) ve \(b_1\) kale ikilisi soruda ki koşulları sağlamaz. Simetriden dolayı \(a_2\) ve \(b_2\)'nin aynı satırda bulunduğu ve \(a_2\) ile \(b_1\)'in aynı satırda bulunduğu durumlar benzerdir. İspat tamamlanmıştır. Demek ki güvercin yuvası prensibine göre üzerinde 2 kale bulunan kale sayısı \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\)'den fazla olamaz. Sonuç olarak kalan sütunlarda birer kale bulunsa bile satranç tahtası üzerinde toplamda en fazla \(2\lfloor \frac{n}{2} \rfloor + n - \lfloor \frac{n}{2} \rfloor = \lfloor \frac{3n}{2} \rfloor\) kale olabilir. 


Şimdi \(\lfloor \frac{3n}{2} \rfloor\) için bir örnek verelim. En alt satırın numarası 1 olmak üzere, satırları 1, 2, ..., \(n\) sayılarıyla numarandıralım. En sol sütunun numarası 1 olmak üzere, sütunları 1, 2, ..., \(n\) sayılarıyla numarandıra lım. \(i\) sütunda ve \(j\) satırda bulunan birim kale \((i,j)\) olsun. \(n = 2k\) ve \(n = 2k + 1\) durumlarında \(n\) kaleyi \(1 \le i \le n\) olmak üzere, \((i,n+1-i)\) birim karelerine, \(k\) kaleyi ise \(1 \le i \le k\) olmak üzere, \((i,i)\) birim karelerine yerleştirirsek sorudaki koşullar sağlanır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2018, 2. Aşama, Soru 3

Çevrel çember merkezi O olan dar açılı bir ABC üçgeninde AO doğrusuna dik olan bir doğru [AC] ve [AB] kenarlarını, sırasıyla D ve E noktalarında kesiyor. [BC] kenarı üzerinde AO nun BC'yi kestiği noktadan farklı bir K noktası alınıyor. AK doğrusu ADE üçgeninin çevrel çemberini A dan farklı bir L noktasında kesiyor. A noktasının DE doğrusuna göre simetriği M olmak üzere K, L, M, O noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

Şıklar:

Cevap:  (a, b, c) = (2k−1, 2k−1, 2k−1), k ∈ $\mathbb{Z}^+$

Çözüm:
AM ile DE doğruları N de kesişsin. O noktasından AC kenarına inen dikmenin ayağı F 

  


olsun. \(AO \perp DE\) ve \(\angle BAO = 90^\circ - \angle ACB\) olduğundan \(\angle ALD = \angle AED = \angle ACB\) ve buradan da K, C, D, L noktaları çemberdeş olur. Çemberde kuvvetten 


\[AL \cdot AK = AD \cdot AC \qquad (1)\]

elde ederiz. \(F\) noktası \([AC]\) nin orta noktası ve \(N\) noktası da \([AM]\) nin orta noktası olduğundan 


\[AC = 2AF \quad \text{ve} \quad AM = 2AN \qquad (2)\]


dir. Öte yandan \(\angle DNO = \angle OFD = 90^\circ\) olduğundan \(D, N, O, F\) noktaları da çemberdeş olur. Çemberde kuvvetten 


\[AN \cdot AO = AD \cdot AF \qquad (3)\]


olur. (1), (2) ve (3) kullanılarak 


\[AL \cdot AK = AD \cdot AC = 2AF \cdot AD = 2AN \cdot AO = AM \cdot AO\]


olacağından \(K, L, M, O\) noktaları çemberdeş olur ve ispat biter.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 1

Dar açılı bir \(ABC\) üçgeninde \(A\) dan \([BC]\) kenarına inen dikme ayağı \(D\) noktasıdır. \([AB]\) kenarının orta noktası \(E\) olmak üzere, \(s(\overline{BAD}) = 20^\circ\) ve \(|AE| = |CD|\) ise, \(s(\overline{BCE})\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(35^\circ\)

Çözüm:
\(ABD\) dik üçgeninde \(E\) noktası hipotenüsün orta noktası olduğundan \(|AE| = |EB| = |ED|\) olduğu görülür. Buradan \(s(\overline{ADE}) = 20^\circ\) ve \(s(\overline{EDB}) = 70^\circ\) bulunur. Ayrıca \(|AE| = |CD|\) olduğundan \(EDC\) bir ikizkenar üçgendir ve dolayısıyla \(s(\overline{BCE}) = s(\overline{ECD}) = 70^\circ/2 = 35^\circ\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 2

\(\frac{n^3 - 24}{n+1}\) ifadesinin bir tam sayı olmasını sağlayan \(n\) pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  38

Çözüm:
\(A_1 A_5\) ile \(A_2 A_7\)'nin kesişimi \(P\) olsun. \(\alpha = \frac{180^\circ}{n}\) olmak üzere, \(s(\widehat{A_2 A_1 P}) = 3\alpha\) ve \(s(\widehat{A_3 A_2 P}) = 4\alpha\) olduğu görülür. \(s(\widehat{A_1 P A_2})\) açısı \(A_1 A_2\) ve \(A_5 A_7\) yaylarının toplamı olduğundan \(s(\widehat{A_1 P A_2}) = \alpha + 2\alpha = 3\alpha\) elde edilir. Böylece \(A_1 A_2 = A_2 P\) ve \(A_2 P = A_2 A_3\) olduğu görülür. O zaman \(s(\widehat{A_2 A_3 P}) = 90 - 2\alpha = \frac{n-4}{2}\alpha\) bulunur. Öte yandan \(s(\widehat{A_2 A_3 A_{23}}) = (n + 2 - 23)\alpha\). O zaman \(A_3, P\) ve \(A_{23}\)'ün doğrusal olması için gerek ve yeter koşul \((n - 4) / 2 = n - 21\) olmasıdır. O zaman cevap \(n = 38\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 4

Her bir basamağındaki rakam 1, 2 veya 3 olan ve 3 ile tam bölünen kaç tane 10 basamaklı pozitif tam sayı vardır?

Şıklar:

Cevap:  \(3^9\)

Çözüm:
3 ile tam bölünen her sayının ilk 9 basamağına 1,2 ve 3 sayıları rastgele yazıldıktan sonra her zaman sonuncu basamak tek türlü belirleniyor. Buna göre cevap \(3^9\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 5

Bir \(ABC\) üçgeninde \([BC]\) kenarı üzerinde bir \(D\) noktası alınıyor. \(BC\) doğrusuna paralel olan bir doğru \([AC]\) ve \([AB]\) kenarlarını sırasıyla \(E\) ve \(F\) noktalarında kesiyor. Alan\((BFD) = 1\), Alan\((DEF) = 2\) ve Alan\((DEC) = 3\) ise, Alan\((AFE)\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(2\)

Çözüm:
\(BFEC\) bir yamuk olduğundan \(BFD\), \(DEF\), \(DEC\) üçgenlerinin bir yükseklikleri eşittir. Buradan da \(|BD| : |FE| : |DC| = 1 : 2 : 3\) olur. \(|BD| = x\), \(|FE| = 2x\), \(|DC| = 3x\) olsun. Benzerlikten Alan\((AFE)/\)Alan\((ABC) = |FE|^2/|BC|^2 = (4x^2)/(16x^2) = 1/4\) olduğundan

Alan(\(AFE\))/(Alan(\(AFE\)) + 6) = 1/4 ve buradan da Alan(\(AFE\)) = 2 elde ederiz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 6

Pozitif tam bölen sayısı 15 olan en küçük pozitif tam sayının rakamları toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  9

Çözüm:
Pozitif bölen sayısı formülünden bu sayı \(p^{14}\) veya \(p^4q^2\) formundadır. (p ve q asal sayılar). İlk formdaki en küçük sayı \(2^{14}\) ve ikinci formdaki en küçük sayı \(2^{43} = 144\) olduğundan tam olarak 15 pozitif tam bölene sahip en küçük pozitif sayı \(144\) tür.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 7

Bir torbada her biri kırmızı, mavi ya da sarı renklerinden biriyle boyanmış 24 top vardır. Her hamlede torbadan ya 1 sarı top ya da 1 kırmızı ve 1 mavi top çekiliyor. 15 hamle sonunda torbada sadece 2 kırmızı top kaldığına göre başlangıçta bu torbada kaç sarı top vardır?

Şıklar:

Cevap:  8

Çözüm:
15 hamlede toplam \(24 - 2 = 22\) top çıkarılmış. Her hamlede 1 veya 2 top çıkarıldığına göre \(22 - 15 = 7\) hamlede 2 top çıkarılırken \(15 - 7 = 8\) hamlede ise 1 top çıkarılmıştır. O zaman başlangıçta 8 sarı top vardır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 8

Tam sayılardan oluşan \(n\) elemanlı her kümede toplamı veya farkı 17 ile tam bölünen iki eleman bulunuyorsa, \(n\) nin alabileceği en küçük değer nedir?

Şıklar:

Cevap:  10

Çözüm:
Toplamı veya farkı 17 ile bölünen iki elemanın bulunamaması için 17 modunda tüm kalanların farklı olması ve bu kalanların (1, 16), (2, 15), ..., (8, 9) ikililerinin her birinden sadece birer değer alması gerekiyor. Buna göre cevap \(8 + 1 + 1 = 10\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 9

\(s(\overline{ABC}) = 90^\circ\) olan bir \(ABC\) üçgeninin \(|AC|\) kenarı üzerinde bir \(D\) noktası alınıyor. \(|AB| = \sqrt{3}\) ve \(|BD| = \frac{\sqrt{3}}{4}\) ise, \(s(\overline{BDC})\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(90^\circ\)

Çözüm:
\(|BC| = x\), \(|AB| = \sqrt{3}x\) dersek Pisagor teoreminden \(|CA| = 2x\) ve buradan da \(|BD| = x\sqrt{3}/2\) olur. \(|AB| \cdot |BC| = \sqrt{3}x^2 = |CA| \cdot |BD|\) olduğundan \(\angle BDC = 90^\circ\) olmalıdır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 10

24 fazlası 27 ile, 27 fazlası 24 ile tam bölünebilen en küçük pozitif tam sayının rakamları toplamı kaçtı?

Şıklar:

Cevap:  12

Çözüm:
\(27|n + 24\) ve \(24|n + 27\). \(\Rightarrow n = 27k + 3 = 24m - 3\) olacak şekilde \(m\) ve \(n\) pozitif tam sayıları vardır. \(\Rightarrow 9k + 2 = 8m\). \(\Rightarrow 8|k + 2\) ve dolayısıyla

\(k = 8a - 2\) ve \(m = 9a - 2\). O halde \(n = 27(8a - 2) + 3 = 216a - 51\) ve sonuç olarak şartları sağlayan en küçük pozitif tam sayı \(216 - 51 = 165\) tir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 11

Bir masada bir siyah ve birkaç beyaz taş bulunmaktadır. Gram cinsinden siyah taşın ağırlığı, beyaz taşların ağırlıkları ortalamasından 36, tüm taşların ağırlıkları ortalamasından ise 32 fazla olduğuna göre, masada toplam kaç taş vardır?

Şıklar:

Cevap:  9

Çözüm:
Masada ortalama ağırlıkları \(a\) olan \(k\) beyaz taş olsun. O zaman 


\[a + 36 - \frac{ka + a + 36}{k + 1} = \frac{36}{k + 1} = 32\]


olacak. Buna göre \(k + 1 = 9\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 12

Başlangıçta bir sayı doğrusu üzerindeki 0 noktasında bulunan bir kurbağa her \(k\) pozitif tam sayısı için \(k\)-inci adımda, bulunduğu noktanın sağına veya soluna doğru \(k\) birim atlıyor. Bu kurbağa en az kaç adımda 100 noktasına varabilir?

Şıklar:

Cevap:  15

Çözüm:
Kurbağa \(L\) atlama sonucu en çok \(L(L+1)/2\) noktasına varabilir. \(13 \cdot 7 = 91 < 100\) olduğundan en az 14 atlama gerekir. Öte yandan kurbağanın \(L\) adım sonunda varacağı nokta mod 2 de \(L(L+1)/2\) e denk olacağından \(L(L+1)/2\) çift sayı olmalıdır. Yani \(L = 14\) sağlamaz. \(L = 15\) için örnek: Kurbağa 10. adımda sola, kalan tüm adımlarda sağa doğru atlarsa ulaştığı nokta \(15 \cdot 8 - 2 \cdot 10 = 100\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 13

Dışbükey bir \(ABCD\) dörtgeninde \(s(\widehat{ABC}) = 45^\circ\), \(s(\widehat{ADC}) = 90^\circ\), \(s(\widehat{BAC}) = s(\widehat{CAD})\), \(|BC| = 2\) ve \(|CA| = \sqrt{3}\) ise, \(|AD|\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  1

Çözüm:
\(C\) noktasından \(AB\) kenarına çizilen dikmenin ayağı \(E\) olsun. \(\triangle AEC \cong \triangle ADC\) olacağından \(|AE| = |AD|\) olur. \(BEC\) üçgeni bir \(45 - 45 - 90\) üçgeni olduğundan \(|EC| = \sqrt{2}\) ve \(AEC\) üçgeninde Pisagor teoreminden \(|AD| = |AE| = 1\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 14

Hem kendisi hem rakamları toplamı hem de rakamları çarpımı asal sayı olan bir pozitif tam sayıya *asıl sayı* diyelim. Üç basamaklı en küçük asil sayı ile üç basamaklı en büyük asil sayının toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  424

Çözüm:
\(abc\) üç basamaklı bir asil sayı olsun. \(a \cdot b \cdot c\) bir asal sayı olduğundan \(a, b, c\) den ikisi 1'e biri de bir asal sayıya eşittir. Toplamlarının da asal olduğu ele alındığında \(\{a, b, c\} = \{1, 1, 3\}\) veya \(\{a, b, c\} = \{1, 1, 5\}\)

olduğu görülür. 113 asal sayı olduğundan üç basamaklı en küçük asil sayı 113'tür. 511 = 7·73 ve 311 asal sayı olduğundan üç basamaklı en büyük asil sayı 311'dir. Dolayısıyla cevap 113 + 311 = 424 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 15

Bir tabakta 1 litre süt vardır. Bir kedi birinci dakikada tabaktaki sütün yarısını, ikinci dakikada tabakta kalan sütün 1/3 ünü, üçüncü dakikada tabakta kalan sütün 1/4 ünü, ..., 24. dakikada tabakta kalan sütün 1/25 ini içiyor. Tabakta kaç litre süt kalmıştır?

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{1}{25} \cdot 1\)

Çözüm:
dakikanın sonunda sütün \(\frac{1}{2}\) si, 2. dakika sonunda sütün \(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\) ü kaldı. n. dakika sonunda sütün \(\frac{1}{n+1}\) lik kısmı kaldıysa, \((n+1)\). dakika sonunda sütün \(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{n+2} = \frac{1}{n+2}\) kısmı kalacaktır. Buna göre cevap \(\frac{1}{25}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 16

20 takımın katıldığı bir voleybol turnuvasında her gün bir maç yapılıyor ve maçı kaybeden takım turnuvadan eleniyor (voleybol oyununda beraberlik yoktur). Turnuvada bir tek takım kalana dek devam edilirse, tam olarak iki maç kazanan takım sayısı en fazla kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  9

Çözüm:
Turnuvadan her gün bir takım ayrılacağına göre toplam 19 maç yapılacaktır. Buna göre iki maç kazanan takım sayısı 9'dan fazla olamaz. 9 takım ikişer maç kazanabilir: 1. takım 2. ve 3. takımları, 4. takım 1. ve 5. takımları, 6. takım 4. ve 7. takımları, 8. takım 6. ve 9. takımları, 10. takım 8. ve 11. takımları, 12. takım 10. ve 13. takımları, 14. takım 12. ve 15. takımları, 16. takım 14. ve 17. takımları, 18. takım 16. ve 19. takımları yenerse 1.,4.,6.,8.,10.,12.,14.,16. ve 18. takımlar ikişer maç kazanmış olurlar.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 17

Bir *ABCD* dikdörtgeninde \(|AB| = 3\), \(|BC| = 2\) dir. Yarışap uzunlukları 2 olan A merkezli \(C_1\) ve B merkezli \(C_2\) çemberleri çiziliyor. Hem \(C_1\) çemberi hem \(C_2\) çemberi hem de *ABCD* dikdörtgeninin içinde kalan bölgenin alanı X olsun. *ABCD* dikdörtgeninin içinde kalıp hem \(C_1\) çemberinin hem de \(C_2\) çemberinin dışında kalan bölgenin alanı Y olsun. Buna göre \(X - Y\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(2\pi - 6\)

Çözüm:
\(C_1\) çemberinin ve dikdörtgenin içinde \(C_2\) çemberinin dışında kalan bölgenin alanını \(Z\) olsun. Oluşan çeyrek dairenin alanından \(X + Z = 6 - (Y + Z) = \pi\) dir. Buradan da \(X - Y = 2\pi - 6\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 18

\(x\) ve \(y\) pozitif tam sayılar ve \(x^2y^2 - 80 = 2xy\) olmak üzere, \(x+y\) nin alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  18

Çözüm:
Verilen eşitlik \((xy-1)^2 = 81\) olarak yazılabilir. O halde \(xy-1 = \pm 9\) olur. \(x\) ve \(y\) pozitif olduğundan \(xy = 10\) olabilir. O zaman \((x, y) \in \{(1, 10), (2, 5), (5, 2), (10, 1)\}\). \(x + y\) nin alabileceği farklı değerler 11 ve 7 olduğundan cevap \(11 + 7 = 18\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 19

Bir tahtada soldan sağa doğru 10, \(a, b, c, d, e, 16\) gerçel sayıları yazılıdır. \(a, b, c, d, e\) sayılarının her biri tahtada hemen solunda ve hemen sağında yer alan iki sayının ortalamasından 1 eksiktir. Buna göre \(c\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(4 \cdot 10 + b = 2a + 2\) olduğundan \(b = 2a - 8\)

Çözüm:
Benzer şekilde, \(c = 3a - 14\), \(d = 4a - 18\), \(e = 5a - 20\) ve \(16 = 6a - 20\). Buna göre, \(a = 6\) ve \(c = 3 \cdot 6 - 14 = 4\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 20

Dengede bulunan iki kefeli bir tartının sol kefesinde birkaç kırmızı, sağ kefesinde ise bir beyaz ve birkaç kırmızı taş bulunuyor. Sağ kefedeki taş sayısı sol kefedeki taş sayısından iki fazladır. Her bir kırmızı taşın ağırlığı 8, 29 veya 57 gram olduğuna göre, beyaz taşın ağırlığı en az kaç gram olabilir?

Şıklar:

Cevap:  6

Çözüm:
\(8 \equiv 29 \equiv 57 = 1 \pmod 7\) olduğuna göre, beyaz taşın ağırlığı mod 7 de 6 olacaktır. Bu nedenle beyaz taşın ağırlığının alabileceği en küçük değer de 6 dır. Beyaz taşın ağırlığı 6 olabiliyor: tartının sol kefesindeki taşların ağırlıkları 29, 29, 29, tartının sağ kefesindeki taşlar 57, 8, 8, 8, 6 olursa denklik sağlanır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 21

Bir \(ABC\) üçgeninde \(|AB| = 11\) ve \(|BC| = 17\) dir. \([BC]\) kenarı üzerinde bir \(D\) noktası \(|DC| = 3\) olacak biçimde alınıyor. \([AC]\) kenarının orta noktası \(E\) olmak üzere, \(s(BDE) = 56^\circ\) ise, \(s(ABC)\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(68^\circ\)

Çözüm:
\([BC]\) kenarı üzerinde \(|BF| = 11\) olacak biçimde bir \(F\) noktası alalım. \(\Rightarrow |FD| = 17 - 11 - 3 = 3 = |DC|\). \(\Rightarrow AF \parallel DE\) ve \(\angle BDE = \angle BFA\). \(ABF\) ikizkenar üçgen olduğundan \(\angle ABC = 180^\circ - 2 \cdot 56^\circ = 68^\circ\) elde edilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 22

\(a, b\) ve \(c\) iki basamaklı pozitif tam sayılar olmak üzere, \(\operatorname{obeb}(a, b) = 2\), \(\operatorname{obeb}(b, c) = 7\) ve \(\operatorname{obeb}(a, c) = 11\) ise, \(a + b + c\) toplamının alabileceği en büyük değer nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(263\)

Çözüm:
\(77 \mid c\) olduğundan \(c = 77\) olmalıdır. \(a = 22x, b = 14y\) ve \(x \le 4\), \(y \le 7\) olacak şekilde \(x, y \in \mathbb{Z}^+\) bulunur. Soruda verilen koşulların sağlanması \((x, y) = 1\) olmasına denktir. \(a + b + c\) toplamının en büyük değerini bulmak için \(x = 4, y = 7\) alınmalıdır. Bu durumda \(a = 88, b = 98\) olacağından \(a + b + c = 263\) elde ederiz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 23

\(x\) bir gerçel sayı olmak üzere, \(2^{x+2} - 15 \cdot 2^{-x} = 4\) ise, \(2^{x+1}\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
\(y = 2^{x+1}\) olsun. O zaman verilen eşitlik \(2y - \frac{30}{y} = 4\) olarak yazılabilir. Buradan \(0 = 2y^2 - 4y - 30 = (y-5)(2y+6)\) elde edilir. \(x\) gerçel sayı olduğundan \(y\) pozitiftir ve dolayısıyla \(y = 5\)'tir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 24

Başlangıçta bir tahtada 1, 2, ..., 1000 sayıları yazılıdır. Aslı ve Zehra sırayla hamleler yaparak bir oyun oynuyorlar. Oyuna ilk Aslı başlıyor ve sırası gelen oyuncu tahtada bulunan sayılardan ikisini siliyor. Tahtada iki sayı kaldığında oyun bitiyor ve Aslı bu kalan iki sayının farkı kadar puan alıyor. Buna göre, Aslı en fazla kaç puan almayı garantileyebilir?

Şıklar:

Cevap:  501

Çözüm:
Zehra her hamlesinde tahtadaki en küçük sayıları silerse, tahtada son kalan sayılar 498'den daha büyük olacaklar. Buna göre Aslı 1000 - 499 = 501'den fazla puan almayı garantileyemez. Bir diğer taraftan, Aslı 501 puan almayı garantileyebilir. Bunun için Aslı ilk hamlesinde 500 ve 501 sayılarını silip diğer sayıları (1, 502), (2, 503), ..., (499, 1000) olarak çiftlere ayıracaktır. Zehra kendi hamlesinde bir çifti silerse Aslı herhangi bir başka çifti silecektir. Zehra kendi hamlesinde iki farklı çiftten birer sayı silerse Aslı aynı çiftlerdeki kalan kalan iki sayıyı silecektir. Bu durumda en sondaki iki sayı yukarıda belirtilen çiftlerden birisi olacak ve Aslı 501 puan alacaktır.