alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 2

İki kavanozdan birinde 2, diğerinde 5 litre şekerli su bulunuyor. Her iki kavanozdan aynı anda \(t\)'şer litre şekerli su alınıp yer değiştiriliyor. Bu işlem sonucunda kavanozlardaki, başlangıçta farklı olan şeker oranları eşitlendiyse, \(t\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{10}{7}\)

Çözüm:
10/7. İşlem sonucunda şeker oranları eşitlendiği için her iki kavanozda eşit oranda birinci ve ikinci kavanoz suyu bulunmak zorundadır. O zaman bu oran \(2/5\) olacaktır. Demek ki birinci kavanozdaki şeker oranı işlem sonucunda \((2 - t)/t = 2/5\) olacaktır ve buradan da \(t = 10/7\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 3

Bir kutuda renkleri kırmızı, beyaz, mavi ve yeşil olan toplam n top bulunuyor. Kırmızı toplam sayısı \(\frac{n}{3} + 20\), beyaz toplam sayısı \(\frac{n}{5} + 15\), mavi toplam sayısı \(\frac{n}{7} + 5\) tir. Yeşil top sayısı mavi top sayısından daha az ise, kutudaki kırmızı top sayısı beyaz top sayısından ne kadar fazladır?

Şıklar:

Cevap:  33

Çözüm:
Toplam top sayısı 3,5 ve 7'nin katıdır, \(n = 105k\) olsun. O zaman yeşil top sayısı \(105k - (35k + 20) - (21k + 15) - (15k + 5) = 34k - 40\) olur. Buradan \(k \ge 2\) elde ediyoruz. Diğer taraftan yeşil top sayısının mavi top sayısından az olduğu nedeniyle \(34k - 40 < 15k + 5\) ve buradan da \(19k < 45\) elde ediyoruz. Demek ki \(k \le 2\). Sonuç olarak \(k = 2\) ve \(n = 210\). Buradan cevap \(90 - 57 = 33\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 4

Başlangıçta 1, 2, ..., 2016 şeker içeren 2016 öbek vardır. Her işlemde bir öbek seçiliyor ve seçilmiş öbekten daha az şeker içermeyen her öbekten (seçilmiş öbek dahil) seçilmiş öbekteki kadar şeker alınıp yeniyor. Birkaç işlem sonucunda tek bir öbek kaldıysa son öbekteki şeker sayısı 1, 2, ..., 21 sayılarından kaçma eşit olabilir ?

Şıklar:

Cevap:  1

Çözüm:
Her işlem sonucunda her birinde 1,2,3,...k olan gruplar oluşuyor.
Bu nedenle son öbekteki şeker sayısı sadece 1'e eşit olabilir.

5. |AB| = 3, |BC| = 4, |CA| = 5 koşullarını sağlayan bir ABC üçgeninde BC kenarının orta noktası D dir. C köşesinden geçen iç açıortayın AB kenarını kestiği nokta E olmak üzere AD ve EC doğruları F noktasında kesişiyor. Buna göre AEF üçgeninin alanının CDF üçgeninin alanına oranı nedir?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 5

|AB| = 3, |BC| = 4, |CA| = 5 koşullarını sağlayan bir ABC üçgeninde BC kenarının orta noktası D dir. C köşesinden geçen iç açıortayın AB kenarını kestiği nokta E olmak üzere AD ve EC doğruları F noktasında kesişiyor. Buna göre AEF üçgeninin alanının CDF üçgeninin alanına oranı nedir?

Şıklar:

Cevap:  25/18

Çözüm:
AEF ve CDF üçgenlerinin alanları sırasıyla \(S_1\) ve \(S_2\) olsun. \(CE\) açıortay olduğundan \(AE = \frac{5}{3}\) ve \(BE = \frac{4}{3}\) olur. Buradan da BFD ve BEF üçgenlerinin alanları sırasıyla \(S_2\) ve \(\frac{4S_1}{5}\) olur. \(s(\widehat{ABC}) = 90^\circ\) olacağından ABD ve BEC üçgenlerinin alanları sırasıyla 3 ve \(\frac{8}{3}\) olur. Yani \(\frac{9}{5}S_1 + S_2 = 3\) ve \(\frac{4}{5}S_1 + 2S_2 = \frac{8}{3}\) elde ederiz. Buradan da \(S_1 = \frac{25}{21}\), \(S_2 = \frac{6}{7}\) ve \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{25}{18}\) elde ederiz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 6

30 dan küçük asal sayılar kümesi \(P = \{p_1, p_2, \dots, p_{10}\}\) olmak üzere bir \(p \in P\) için en küçük asal böleni \(p\) olan 100 den küçük pozitif tam sayıların sayısı \(s_p\) ile gösteriliyor. Buna göre \(s_{p_1} + s_{p_2} + \dots + s_{p_{10}}\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  83

Çözüm:
En küçük asal böleni 2 olan sayılar \(2k\), en küçük asal böleni 3 olanlar \(6k+3\), en küçük asal böleni 5 olanlar \(30k\pm5\) formundadır. Buradan da 100 den küçük \(49+17+7=73\) tane sayı elde edilir. En küçük asal böleni 7 olanlar 7, 49, 77, 91 olup 7 den büyük \(p\) asalları için sadece \(p\) şartları sağlar. Buradan da \(4+6=10\) ve toplamda da \(73+10=83\) elde ederiz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 7

Ardışık 3 pozitif tam sayının toplamı olarak yazılabilen ilk 21 sayının toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  756

Çözüm:
Ardışık 3 pozitif tam sayının toplamı olarak yazılabilen ilk sayı \(1+2+3=6\), 21. sayı ise \(21+22+23=66\) olur. Demek ki ilk 21 sayının toplamı \(6+9+\dots+66=3(1+2+\dots+22-1)=3\cdot22\cdot23/2-3=756\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 8

\(100 \times 100\) satranç tahtasının her birim karesi bir renge, her birim kare kendisiyle ortak kenar paylaşan en az 2 birim kareyle aynı renkte olacak şekilde boyanıyor. Tahtadaki farklı renk sayısı en fazla kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  2500

Çözüm:
\(2 \times 2\) leri aynı boyarsak \(50 \cdot 50 = 2500\) elde ederiz. Daha fazla renk olursa bu renklerden birine boyalı birim kare sayısı en fazla üç olur ve o renge boyanmış karelerin en az ikisi koşulları sağlamıyor.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 9

Bir *ABCD* dikdörtgeninin *AB* kenarı üzerinde *E* ∈ [*AF*] olacak biçimde birbirinden farklı *E* ve *F* noktaları, *CD* kenarı üzerinde *G* ∈ [*CH*] olacak biçimde birbirinden farklı *G* ve *H* noktaları *E*, *F*, *G*, *H* çemberdeş olacak şekilde seçiliyor. |*AE*| = 2, |*DH*| = 3, |*CH*| = 7 ise |*EF*| + |*CG*| kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  9

Çözüm:
Verilen bilgilerden *ABCD* dikdörtgen olduğu için |*EB*| = 3 + 7 - 2 = 8 olduğu görülür. *E*, *F*, *G*, *H* çembersel olduğundan s(*FEH*) = 180° - s(*FGH*) tır. *ABCD* dikdörtgen olduğundan s(*FEH*) = s(*EHD*) = 180° - s(*EHG*) dir. Dolayısıyla s(*EHG*) = s(*FGH*) olur ve sonuç olarak *EFGH* bir ikizkenar yamuktur. Dolayısıyla *E* den *CD* ye inen dikme ayağı ile *H* arasındaki mesafe ve *F* den *CD* ye inen dikme ayağı ile *G* arasındaki mesafe eşittir. Sonuç olarak |*DH*| - |*AF*| = 3 - 2 = |*GC*| - |*FB*| = |*CG*| - (8 - |*EF*|) elde edilir ve |*EF*| + |*CG*| = 1 + 8 = 9 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 10

3 asal sayının kareleri toplamı olarak yazılabilen ve 1 eksiği tam kare olan kaç asal sayı vardır?

Şıklar:

Cevap:  1

Çözüm:
*p* = *q*² + *r*² + *s*² olsun. *q*, *r*, *s* sayılarının hepsi tekse *p* = 1 + 1 + 1 = 3 (mod 4) olur, fakat tam kare 4 modunda 3 olamaz. *q*, *r*, *s* sayılarının tam olarak biri 2 olamaz, genelliği bozmadan *q* = *r* = 2 olsun: *p* = *s*² + 8. Buradan √*p* - 1 - *s*)(√*p* - 1 + *s*) = 7 ve sonuç olarak sadece *p* = 17 çözümü gelir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 11

*x*² + (*x* + 1)² + *x*²(*x* + 1)² = (*x*² + *x* - 1)² denklemini sağlayan *x* gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  -1

Çözüm:
Sadeleşmeden sonra denklem *x*² + *x* = 0 olur. Demek ki denklemi sağlayan gerçel sayılarının toplamı -1 + 0 = -1. 


12. 18 özdeş top 1, 2, ..., 19 sayılarıyla numaralanmış 19 kutuya tek numaralı kutularda tek, çift numaralı kutularda çift top bulunması koşuluyla kaç farklı biçimde dağıtılabilir?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 12

18 özdeş top 1, 2, ..., 19 sayılarıyla numaralanmış 19 kutuya tek numaralı kutularda tek, çift numaralı kutularda çift top bulunması koşuluyla kaç farklı biçimde dağıtılabilir?

Şıklar:

Cevap:  7315

Çözüm:
İlk önce 1,3,5, ...,19 nolu kutulara birer top koyalım. Sonra kalan 8 topu ikişer birleştirerek 4 tane büyük top elde edelim ve bu büyük topları 19 kutuya dağıtılmış: (4+19-1) = 7315.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 13

Eş merkezli iki çemberin arasında kalan bölgenin alanı 36π dir. Büyük çemberin bir *AB* kirişi küçük çembere teğettir. *A* ve *B* noktalarında büyük çembere çizilen teğetler *C* de kesişiyor. |*CA*| = 10 ise *ABC* üçgeninin alanı

nedir?

Şıklar:

Cevap:  48

Çözüm:
Çemberlerin merkezi O ve [AB] nin orta noktası D olsun. O her iki çemberin de merkezi olduğundan OD ⊥ AB ve O, D, C doğrusaldır. Çemberlerin arasında kalan bölgenin alanı (|AO|² - |OD|²)π dir ve dolayısıyla |AO|² - |OD|² = 36 olur Öte yandan ODA dik üçgen olduğundan |AO|² - |OD|² = |AD|² dir. Sonuç olarak |AD| = 6 bulunur. CAD dik üçgeninde uygulanan Pisagor teoreminden |CD| = 8 elde edilir. Dolayısıyla ABC üçgeninin alanı |AB| · |CD|/2 = 12 · 8/2 = 48 dir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 14

\(a + b + c + d + e = 0\) koşulunu sağlayan \(a, b, c, d, e\) tam sayıları için \(a^5 + b^5 + c^5 + d^5 + e^5\) ifadesi 15, 18, 21, 30, 35 sayılarından kaçına her zaman tam bölünür?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
\((a, b, c, d, e) = (1, 1, 1, 1, -4)\) durumunda \(a^5 + b^5 + c^5 + d^5 + e^4 = 2\) (mod 7) olduğundan 21 ve 35 seçenekleri eleniyor. \((a, b, c, d, e) = (4, 4, 4, 4, 12)\) durumunda \(a^5 + b^5 + c^5 + d^4 + e^5 = 3\) (mod 9) olduğundan 18 seçeneği de eleniyor. Şimdi \(a^5 + b^5 + c^5 + d^4 + e^4 = a + b + c + d + e = 0\) (mod 2), \(a^5 + b^5 + c^5 + d^4 + e^3 = a^3a^2 + b^3b^2 + c^3c^2 + d^3d^2 + e^3e^2 = a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + e^3 = a + b + c + d + e = 0\) (mod 3) ve \(a^5 + b^5 + c^5 + d^4 + e^2 = a + b + c + d + e = 0\) (mod 5) olduğundan \(a^5 + b^5 + c^5 + d^4 + e^1 + e^5\) 15 ve 30 sayılarıyla bölünür.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 15

a bir pozitif gerçel sayı olmak üzere \(21a + 2\) ve \(24a + 9\) sayıları ardışık iki pozitif tam sayının kareleriysa \(a\) nın alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin farkı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
\(21a + 2 = k^2\) ve \(24a + 9 = (k + 1)^2\) olursa \(a = \frac{k^2 - 2}{21} = \frac{(k + 1)^2 - 9}{24}\). Buradan elde edilen \(k^2 - 14k + 40 = 0\) denkleminin çözümleri \(k = 4\) ve \(k = 10\) dur. Demek ki \(a\) sayısının alabileceği iki değer vardır: \(2/3\) ve \(14/3\). Sonuç olarak cevap \(14/3 - 2/3 = 4\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 16

Bir tahtada başlangıçta 1 sayısı yazmaktadır. Ali her hamlede tahtada yazılı olan sayı \(n\) olmak üzere bu sayıyı silip yerine \(2n - 1\) veya \(n + 2\) yazıyor. Buna göre 7 hamle sonunda tahtada yazılı olan sayı 41, 67, 81, 97, 131 sayılarından kaç tanesine eşit olabilir?

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
7 adımda sonunda elde edilebilecek en büyük sayı 


\[1 \rightarrow 3 \rightarrow 5 \rightarrow 9 \rightarrow 17 \rightarrow 33 \rightarrow 65 \rightarrow 129\]

şeklinde elde edilebilir. Bu durumda da 131 elde edilemez. Diğer durumlar aşağıdaki gibi elde edilir: 


\[
\begin{align*}
1 &\to 3 \to 5 \to 9 \to 11 \to 21 \to 41 \to 81 \\
1 &\to 1 \to 3 \to 5 \to 9 \to 11 \to 21 \\
1 &\to 3 \to 5 \to 9 \to 17 \to 33 \to 65 \to 67 \\
1 &\to 3 \to 5 \to 7 \to 13 \to 25 \to 49 \to 97
\end{align*}
\]


Buradan da cevap 4 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 17

Kenar uzunluğu 1 olan bir *ABCD* karesinde *AB* ve *AD* kenarlarının orta noktaları sırasıyla *E* ve *F* dir. *CE* ve *CF* doğruları *A* merkezli ve *B* den geçen çemberi karenin iç bölgesinde sırasıyla *K* ve *L* noktalarında kesiyor. Buna göre |*KL*| uzunluğu nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{\sqrt{2}}{5}\)

Çözüm:
*CF* doğrusu *AB* doğrusunu *P* de kessin. \(|AF| = |DF|\) olduğundan \(|AP| = 1\) ve *P* noktası *ABD* üçgeninin çevrel çemberi üzerindedir. *CD* doğrusu bu çembere teğet ve \(|CP| = \sqrt{5}\) olduğundan kuvvetten \(|CK| = \frac{1}{\sqrt{5}}\) ve \(|FK| = \frac{3}{2\sqrt{5}}\) bulunur. Simetriden \(|CL| = |CK|\) ve \(|EL| = |FK|\) olur ve buradan da *KL* || *EF* dir. \(|EF| = \frac{\sqrt{2}}{2}\) ve benzerlikten \(|KL| = \frac{\sqrt{2}}{5}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 18

*n* bir pozitif tam sayı olmak üzere herhangi ikisinin en büyük ortak bölenleri 2 ye eşit ve hepsinin en küçük ortak katları 2016 dan küçük olacak şekilde birbirinden farklı \(a_1, a_2, \dots, a_n\) pozitif tam sayıları bulunabiliyorsa *n* en çok kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
Tüm sayılar çift olduğundan hepsini 2 ye bölersek yeni sayılar ikişerli aralarında asal olmalıdır. Bu durumda çarpımları 1008 den küçük ve ikişerli aralarında asal olacak şekilde en çok kaç pozitif tam sayı seçilebileceğini bulmalıyız. Elimizdeki yeni sayılar \(b_1 < b_2 < \dots < b_n\) olmak üzere \(s_k = b_1b_2\dots b_k\) olsun. Bu durumda sayılar ikişerli aralarında asal olduğundan \(s_{k+1}\) sayısı \(s_k\) yı bölmeyen bir asal bölen içermelidir. Yani \(s_n\) sayısının en az \(n-1\) farklı asal böleni olmalıdır. \(n > 5\) için \(2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310 > 1008\) olduğundan \(n > 5\) olamaz. \(n = 5\) için \((a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) = (2, 4, 6, 10, 14)\) uygun bir örnektir. Yani cevap 5 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 19

Tüm \(a, b, c\) gerçel sayıları için \(a^2 + 2b^2 + 3c^2 \ge kc(a+b)\) eşitsizliğinin doğru olması sağlayan en büyük \(k\) gerçel sayısı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(k = 2\sqrt{2}\)

Çözüm:
\(a^2 + 2b^2 + 3c^2 = (a^2 + 2c^2) + (2b^2 + c^2) \ge 2\sqrt{2}c(a+b)\) olduğundan \(k = 2\sqrt{2}\) koşulları sağlar. Öte yandan \(a = 2, b = 1, c = \sqrt{2}\) alarak \(k \le 2\sqrt{2}\) olduğunu görebiliriz. Buradan da cevap \(k = 2\sqrt{2}\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 20

1, 2, ..., \(n\) sayıları farkları 8 veya 14 olan sayılar aynı renkte olacak biçimde en az üç farklı renge boyanmışsa, \(n\) en fazla kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  19

Çözüm:
6 ve 14 sayıları birinci renge boyanmış olsunlar. Benzer şekilde 8, 16, 2, 10, 18, 4 ve 12 sayıları ikinci renge boyanmış olsunlar. Son olarak 7, 15, 1, 9, 17, 3, 11, 19, 5 ve 13 sayıları da üçüncü renge boyanmış olsunlar. \(n \ge 20\) durumunda 20 sayısı hem birinci hem de ikinci renge boyanma zorundadır. Demek ki \(n\)' nin alabileceği en büyük değer 19' dur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 21

\(|AB| = 2\) ve \(|AD| = 2\sqrt{2}\) koşullarını sağlayan bir \(ABCD\) dikdörtgeninde \(AD\) kenarının orta noktası \(M\) olmak üzere \(BM\) ile \(AC\) doğruları \(K\) de kesişiyor. Buna göre \(A, B, K\) noktalarından geçen çemberin yarıçapı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  1

Çözüm:
\(|AK|/|AB| = \sqrt{2}/2\) ve \(|BA|/|BC| = 2/(2\sqrt{2}) = \sqrt{2}/2\) olduğundan \(BAK\) ve \(CBA\) dik üçgenleri benzerdir (K.A.K.). Dolayısıyla \(s(\overline{ABK}) = s(\overline{BCA})\) elde edilir. \(s(\overline{BAK}) = 90^\circ - s(\overline{BCA})\) olduğundan \(s(\overline{ABK}) = 90^\circ\) olur. Sonuç olarak \(AKB\) dik üçgendir ve çevrel yarıçapı hipotenüs uzunluğunun (\(|AB| = 2\) nin) yarısıdır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 22

2016² sayısını bölüp 2016 yı bölmeyen 2016 dan küçük kaç pozitif tam sayı vardır?

Şıklar:

Cevap:  47

Çözüm:
2016 = \(2^{53}27\) dir. O halde 2016² = \(2^{103}47^2\) dir. \(d\) pozitif tam sayısı 2016² nin 2016 dışında bir böleni olsun. O zaman \(d\) ve 2016²/d sayılarından tam olarak biri 2016 dan küçüktür. Dolayısıyla 2016² ni bölüp 2016 dan küçük \((11 \cdot 5 \cdot 3 - 1)/2 = 82\) pozitif tam sayı vardır. Bu sayılardan \(6 \cdot 3 \cdot 2 - 1 = 35\) tanesi 2016 yı böler. Sonuç olarak istenen şartı sağlayan \(82 - 35 = 47\) sayı vardır.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 23

\(x\) ve \(y\) gerçel sayılar olmak üzere \(2x^2 - 2xy + 5y^2 - 6y\) ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(-2\)

Çözüm:
\(2x^2 - 2xy + 5y^2 - 6y = (x + y - 1)^2 + (x - 2y + 1)^2 - 2 \ge -2\) olur. Eşitlik durumu \((x, y) = (1/3, 2/3)\) iken sağlanır.

24. Uzunlukları 1, 2, ..., 20 olan 20 çubuk *n* torbaya, herhangi torbadaki çubuklardan üçgen yapılamayacak şekilde dağıtılabiliyorsa, *n* en az kaç olabilir?
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 24

Uzunlukları 1, 2, ..., 20 olan 20 çubuk n torbaya, herhangi torbadaki çubuklardan üçgen yapılamayacak şekilde dağıtılabiliyorsa, n en az kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  6

Çözüm:
\(n \le 5\) ise 10, 11, ..., 20 salarından üçü aynı torbada bulunacak ve bir üçgen yapılabilecek. \(n = 6\) durumunda çubuklar üçgen yapılamayacak şekilde dağıtılabilir: \(A = \{9, 10, 20\}\), \(B = \{8, 11, 19\}\), \(C = \{5, 6, 12, 18\}\), \(D = \{3, 4, 13, 17\}\), \(E = \{1, 2, 14, 16\}\), \(F = \{7, 15\}\).
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 25

Bir *ABCD* karesinde *AB* kenarının orta noktası *E* ve *A* noktasından *DE* doğrusuna inilen dikmenin ayağı *F* olmak üzere \(|DF| = 4\) ise \(|CF|\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(2\sqrt{5}\)

Çözüm:
*F* den *CD* ye inen dikme ayağı *K* olsun. Açılardan *DAE* ve *FKD* üçgenlerinin benzer olduğu görülür. \(|AD| = 2|AE|\) olduğundan \(|DE| = |AE|\sqrt{5}\) tir. Ayrıca *ADE* de Öklid bağıntılarından \(|AE| = \sqrt{5}\) bulunur. Dolayısıyla \(|FK| = 8/\sqrt{5}\) ve \(|KD| = 4/\sqrt{5}\) elde edilir. Buradan da \(|KC| = 2\sqrt{5} - 4/\sqrt{5} = 6/\sqrt{5}\) olduğu görülür ve *FKC* de Pisagor teoremi uygulamasından \(|FC| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) elde edilir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 26

\(1 \le n \le 100\) koşulunu sağlayan her *n* tam sayısı için tahtaya \(m^2+n\) ifadesinin 101 ile tam bölünmesini sağlayan en küçük *m* pozitif tam sayısı, böyle bir *m* yoksa \(-1\) yazılıyor. Buna göre tahtaya yazılan sayıların toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  1225

Çözüm:
101 modunda 0 hariç tam olarak 50 tane tam kare vardır. Bu yüzden tahtada 50 tane \(-1\) bulunur. Öte yandan \(-1\) dışında yazılmış sayılar birbirinden farklı olur. (Çünkü \(m_1 = m_2\) ise \(-m_1^2 = -m_2^2\) olacağından karşılık gelen *n* değerleri de eşit olur.) En küçük pozitif *m* sayısını seçtiğimizden \(-1\) dışındaki sayılar tam olarak \(1, 2, ..., 50\) olmalıdır. Yani cevap \(1 + 2 + \dots + 50 - 50 = 1225\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 27

\[a^2 + b^2 + a^2b^2 = 2 \\ ab(a + b - 1) = 1\]


denklem sistemini sağlayan *a*, *b* gerçel sayıları için \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?

Şıklar:

Cevap:  1

Çözüm:
\(a^2 + b^2 + a^2b^2 = 2 = 2ab(a + b - 1)\) olduğundan \((a + b - ab)^2 = 0\) ve buradan da \(a, b \neq 0\) olacağından \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1\) olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 28

Bir çember etrafında her birinde birer bilye bulunan *n* tane kutu bulunuyor. Her hamlede bir tane boş olmayan kutu seçiliyor ve bu kutudan bir bilye alınıp bu kutunun bir sağındaki veya bir solundaki kutuya aktarılıyor. Kaç *n* ∈ {6, 8, 14, 18, 21} için çift sayıda hamle sonucunda tüm bilyeleri aynı kutuya toplayabiliriz?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
*n* = 8 ve *n* = 21 durumlarında tüm bilyeler çift sayıda hamle sonucunda herhangi bir seçilmiş kutuya toplanabilir. Bunun için her bilyeyi bu seçilmiş kutuya mümkün olan en az hamleyle taşımak yeterli olacaktır. Şimdi *n* = 4*k* + 2 durumunda tüm bilyelerin çift sayıda hamle sonucunda aynı kutuya toplanamayacağını gösterelim. Kutuları saat yönünde 1,2,..., n sayılarıyla numaralandırılım. Her kutunun numarasının bu kutudaki bilye sayısıyla çarpımıyla elde edilen sayıların toplamı *S* olsun. Başlangıçta *S* tek sayıdır: 1 + 2 + ... + 4*k* + 2 = \(\frac{n(n+1)}{2} = (2k + 1)(2k + 3)\). *n* çift olduğundan *S* sayısının her hamlede tek sayı kadar değişeceği açıktır. Tüm bilyeler *m* numaralı kutuya toplanırsa *S* = *mn* bir çift sayı olacak. Demek ki çift sayıda hamle sonucunda tüm bilyeler aynı kutuya toplanamaz.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 29

Kenarortaylarının kesişim noktası *G* olan ve \(|CA|^2 + |AB|^2 = 2|BC|^2\) koşulunu sağlayan bir *ABC* üçgeninde \(s(CA) = 15°\) ise \(s(BCG)\) aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Şıklar:

Cevap:  \(15°\)

Çözüm:
\([BC]\) kenarının orta noktası \(D\) olsun. Kenarortay teoreminden \(4|AD|^2 = 2(|AB|^2 + |CA|^2) - |BC|^2 = 3|BC|^2\) olduğundan \(|DG| \cdot |DA| = |AD|^2/3 = |BC|^2/4 = |CD|^2\) olur ve buradan da \(DGC\) ile \(DCA\) üçgenleri benzer olur. Yani \(s(BCG) = s(CA) = 15°\) bulunur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 30

*a* ve *b* aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere \((a + b, a - b)\), \((a + b, a^2 - ab + b^2)\), \((a^2b + ab^2, a^3 + ab + b^3)\), \((a + b, a^2 + 3ab + b^2)\), \((a^2 + b^2, a^2 - b^2 + 7ab)\) ikililerinden kaçı her zaman aralarında asaldır?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
\((a, b) = (3, 1)\) ise \((a + b, a - b) = (4, 2)\). \((a, b) = (2, 1)\) ise \((a + b, a^2 - ab + b^2) = (3, 3)\). \((a, b) = (2, 7)\) ise \((a^2 + b^2, a^2 - b^2 + 7 ab) = (53, 53)\) (2, 7) çifti \((a^2 + b^2) - (a^2 - b^2 + 7ab) = b(2b - 7a)\) eşitliğinden bulunabilir). Şimdi \(a^2b + ab^2\) ve \(a^3 + ab + b^3\) sayılarının aralarında asal olduklarını gösterelim. *p* bir asal sayı olmak üzere, \(p|ab(a + b)\) ve \(p|a^3 + ab + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) + ab\) ise \(p|(a + b)^3 + ab\) olur. \(p|ab(a + b)\)'den \(p|ab\) veya \(p|(a + b)\). \(p|ab\) durumda genelliği bozmadan \(p|a\) olsun. O zaman \(p|(a + b)^3\), buradan \(p|(a + b)\) ve son olarak da \(p|b\) çelişkisi gelir. \(p|(a + b)\) durumunda \(p|(a + b)^3 + ab\)'den \(p|ab\) ve buradan da \(p|a\) veya \(p|b\) gelir. Genelliği bozmadan \(p|a\) alırsak \(p|b\) çelişkisi gelir. \(a + b\) ve \(a^2 + 3ab + b^2\) sayılarının aralarında asal olduklarını da benzer şekilde nı gösterebiliriz. *p* bir asal sayı olmak üzere, \(p|(a + b)\) ve

\(p|a^2 + 3ab + b^2 = (a + b)^2 + ab\) is \(p|ab\) olur. Genelliği bozmadan \(p|a\) olsun. O zaman \(p|(a + b)\)'den \(p|b\) çelişkisi gelir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 31

\((x^2 + y^2 - 25)(x + y) + 10xy = 0\) eşitliğini sağlayan \(x, y\) gerçel sayıları için \(x + y\) ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Şıklar:

Cevap:  12

Çözüm:
\((x^2 + y^2 - 25)(x + y) + 1 0xy = ((x + y)^2 - 2xy)(x + y) - 25(x + y) + 10xy = (x + y)((x + y)^2 - 25) - 2xy(x + y - 5) = (x + y - 5)((x + y)(x + y + 5) - 2xy) - 0\) olduğundan \(x + y = 5\) eşitliği sağlıyor. \(((x + y)(x + y + 5) - 2xy) = 0\) durumunda \(a\) bir tam sayısı için \(x + y = a\) ve \(xy = a(a + 5)/2\) olacaktır. Bu denklemleri sağlayan \(x, y\) ikilileri \(t^2 - at + a(a + 5)/2\) kuadratik denkleminin kökleridir. Bu nedenle diskriminant \(D = a^2 - 2a(a + 5) \ge 0\) ise \(x, y\) kökleri bulunur. \(D \ge 0\) dan \(-10 \le a \le 0\) elde edilir. Sonuç olarak \(x + y\) ifadesinin alabileceği değerler \(-10, -9, \dots, -1, 0\) ve 5 dir.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 32

1, 2, ..., \(n\) sayıları işaretlenmiş olan bir sayı doğrusunda başlangıçta 1 sayısı üzerinde bir taş bulunuyor. Aslı ve Berk sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Sırası gelen oyuncu bir pozitif tam sayı seçiyor ve taşı seçtiği sayı kadar sağa veya sola kaydırarak bir başka işaretlenmiş noktanın üzerine yerleştiriyor. Her pozitif tam sayı en fazla bir kez seçilebiliyor ve hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun \(n = 5, 500, 1000, 1024, 2016\) için birer kez oynanırsa, Aslı bu oyunların kaçını kazanmayı garantileyebilir?

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
Bir hamlede taş \(a\) kadar sağa kaydırılmışsa hamleyi \(a\), \(a\) kadar sola kaydırılmışsa hamleyi \(-a\) olarak gösterelim. \(n = 5\) durumunda oyunu Berk kazanıyor. Yapılan hamleler Aslının ilk hamlesine bağlı olarak \((1,2,-3,4)\), \((2,1,-3,4)\), \((3,-1,2,4)\), \((4,-3,1,2)\) veya \((4,-3,2,1)\) olacaktır. \(n = 500, 1000, 1024, 2016\) durumlarında ise Aslı önce \(n - 1\) sayısını seçiyor ve bundan sonra Berk'in seçtiği her \(k\) sayısına karşılık olarak \(n - k - 1\) sayısını seçerek oyunu kazanıyor.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 1

6054 basamaklı \(A = \underbrace{111...1222...25000...0}_{2017}\) sayısı veriliyor.
\(\sqrt{A}\) sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  6056

Çözüm:
\(A\) sayısının basamak çözümlemesi yapıldığında \(10^{4037} \cdot \frac{10^{2017} - 1}{9} + 2 \cdot 10^{2019} \cdot \frac{10^{2018} - 1}{9} + 5 \cdot 10^{2018}\) olduğu görülebilir. Buradan, \(A = 10^{2018} \cdot \frac{10^{4036} - 10^{2019} + 2 \cdot 10^{2019} - 20 + 45}{9} = \underbrace{(10^{1009} \cdot \frac{10^{2018} + 5}{3})^2}_{2017}\) olur. Dolayısıyla \(\sqrt{A} = \underbrace{333...333500...00}_{1009}\) olup, rakamları toplamı 3·2017 + 5 = 6056 olur.
OrtaokulMatematik Olimpiyatı 2017, 1. Aşama, Soru 2

\(105^9\) doğal sayısının pozitif bölenlerinin kaç tanesi 9, 25, 49 doğal sayılarından en az ikisine tam bölünür?

Şıklar:

Cevap:  896

Çözüm:
Öncelikle, \(105^9\) doğal sayısının tüm pozitif tam bölenleri \(0 \le a, b, c, d \le 9\) olmak üzere \(3^a5^b7^c\) şeklindedir. Soruda istenen koşul ise, \(a, b, c\) tam sayılarının en az ikisinin 2 den büyük veya eşit olmasıdır. Dolayısıyla istenmeyen durumların sayısı 


\[ \underbrace{2^3}_{her birinin 2 den küçük olması} + \underbrace{3 \cdot 8 \cdot 2^2}_{tam olarak birinin 2 den büyük veya eşit olması} = 104 \text{ olur.} \]


Tüm durumların sayısı da \(10^3\) olduğundan cevap \(1000 - 104 = 896\) olur.