alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 9

[AB] çaplı çemberin [CD] kirişi [AB] ye diktir. M ve N sırasıyla, [BC] ve [AD] nin orta noktaları olmak üzere, |BC| = 6 ve |AD| = 2√3 ise, |MN| nedir?

Şıklar:

Cevap:  √21

Çözüm:
Çemberdeşlikten ∠CBA = ∠CDA = ∠DBA ve buradan da AB ⊥ CD olduğundan |BC| = |BD| ve |AD| = |AC| buluruz. Pisagor teoreminden |AB| = 4√3 olur. ABC üçgeni 30 - 60 - 90 üçgeni olup ∠CBA = 30° olur. Buradan da DBC üçgeni eşkenar ve |CD| = 6 olur. [BD] nin orta noktası K olsun. MK ∥ BC ve NK ∥ AB olacağından ∠NKM = 90° ve |KN| = 2√3, |MK| = 3 olur. Pisagor teoreminden |MN| = √21 olur.
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 10

n den küçük ve n ile aralarında asal olan tam olarak 20 tane pozitif tam sayı bulunmasını sağlayan kaç n pozitif tam sayısı vardır?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
Soruda verilen koşul φ(n) = 20 olmasına denktir. 20 = 2² · 5 olduğundan n nin asal bölenleri 2,3,5,11 olabilir. n sayısı 11 ile bölünüyorsa, n sayısı 2² · 11, 3 · 11 veya 2 · 3 · 11 olabilir. n sayısı 11 ile bölünmüyorsa, 5² ile bölünmek zorunda. Bu durumda n sayısı 5² veya 2 · 5² olabilir. Şartı sağlayan sayılar 25, 33, 44, 50 ve 66 dır.
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 11

\(x^3 + 2 = 3y\), \(y^3 + 2 = 3z\), \(z^3 + 2 = 3w\), \(w^3 + 2 = 3x\) eşitliklerini sağlayan kaç (x, y, z, w) gerçel sayı dörtlüsü vardır?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
\(t^3 - 3t + 2 = (t+2)(t-1)^2\) olduğundan \(t < -2\) ise \(t^3 + 2 < 3t\) ve \(t \ge 2\) ise \(t^3 + 2 \ge 3t\) olduğu görülür. Buna göre, \(x < -2\) ise \(3y = x^3 + 2 < 3x \Rightarrow y < x \Rightarrow y < -2\) olmalıdır. O halde benzer şekilde \(z < y\), \(w < z\) ve \(x < w\) bulunur ki \(x < w < z < y < x\) çelişkidir. \(x \ge -2\) ise \(3y = x^3 + 2 \ge 3x \Rightarrow y \ge x \Rightarrow y \ge -2\) olmalıdır. Yine benzer şekilde \(x \ge w \ge z \ge y \ge x\) bulunur. Yani \(x = y = z = w\) ve \(x^3 + 2 = 3x\) olmalıdır. Şartları sağlayan dörtlüler \((x, y, z, w) = (-2, -2, -2, -2)\) ve \((x, y, z, w) = (1, 1, 1, 1)\) dörtlüleridir.
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 12

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} kümesinin dört tane ardışık tam sayı içermeyen kaç altkümesi vardır?

Şıklar:

Cevap:  773

Çözüm:
{1, 2, ..., n} kümesinin dört tane ardışık tam sayı içermeyen altküme sayısı \(f(n)\) olsun. O zaman indirgeme yönteminden 


\[f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + f(n-4)\]

elde edilir. \(f(1) = 2\), \(f(2) = 4\), \(f(3) = 8\), \(f(4) = 15\) olduğundan \(f(5) = 29\), \(f(6) = 56\), \(f(7) = 108\), \(f(8) = 208\), \(f(9) = 401\) ve \(f(10) = 773\) gelir. 


**13.** Köşeleri, düzlemdeki herhangi üçü doğrudan olmayan 20 noktadan oluşan bir kümeye ait olan en çok kaç geniş açılı üçgen bulunabilir?
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 13

Köşeleri, düzlemdeki herhangi üçü doğrudan olmayan 20 noktadan oluşan bir kümeye ait olan en çok kaç geniş açılı üçgen bulunabilir?

Şıklar:

Cevap:  \(\binom{20}{3}\)

Çözüm:
Verilmiş \(A_i\) ve \(A_j\) noktalarını birleştiren doğru \(L\), \(L\) doğrusuna \(A_i\) ve \(A_j\) noktalarında dik olan doğrular \(L(i,j)\), \(L(j,i)\) ve \(L(i,j)\), \(L(j,i)\) doğrularının arasındaki şerit \(S(i,j)\) olsun. \(C\) noktası \(S(i,j)\) şeriti dışında alınırsa \(ABC\) üçgeni geniş açılı olacaktır. Sonlu sayıda \(A_1, A_2, \dots, A_n\) noktaları verildiğinde, \(1 \le i, j \le n\) olmak üzere, \(S(i,j)\) şeritlerinin bileşimi düzlemin tümünü kapanamaz (şeritlere paralel olmayan doğru bu şeritlerle kapanmıyor). O zaman tüm nokta ikilileri için tüm üçgenleri geniş açılı yapan ortak bir \(C\) noktası her zaman alınabilir. 


**14.** \(n\) pozitif tam sayı olmak üzere, \((2n-1)^{502} + (2n+1)^{502} + (2n+3)^{502}\) sayısının 2012 ile bölümünden kalan farklı sayıların toplamı nedir?
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 14

\(n\) pozitif tam sayı olmak üzere, \((2n-1)^{502} + (2n+1)^{502} + (2n+3)^{502}\) sayısının 2012 ile bölümünden kalan farklı sayıların toplamı nedir?

Şıklar:

Cevap:  1514

Çözüm:
2012 = \(2^2 \cdot 503\). Sorudaki sayı üç tek sayının çift kuvvetleri toplamı olduğundan bu sayının 4 ile bölümünden kalan her zaman 3 tür. Fermat Teoremi'nden dolayı \((a, 503) = 1\) iken \(a^{502} \equiv 1 \pmod{503}\) tür. O halde \(2n-1, 2n+1, 2n+3\) sayılarından hiçbiri 503 ile bölünmüyorsa toplam (mod 503) te \(1+1+1 = 3\) e, biri 503 ile bölünüyor ise de toplam (mod 503) te \(1+1=2\) ye denktir. (Bu üç sayıdan ikisi aynı anda 503 ile bölünmez). Dolayısıyla sorudaki sayının 2012 ile bölümünden kalan 3 veya 1511 olabilir. 


**15.** \(a\) gerçel sayısının, \(x^4 + 8x^3 + 18x^2 + 8x + a = 0\) denkleminin dört farklı gerçel kökü olmasını sağlayan tüm değerlerinin kümesi nedir?
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 15

\(a\) gerçel sayısının, \(x^4 + 8x^3 + 18x^2 + 8x + a = 0\) denkleminin dört farklı gerçel kökü olmasını sağlayan tüm değerlerinin kümesi nedir?

Şıklar:

Cevap:  \((-8,1)\)

Çözüm:
Verilen polinomda \(x\) yerine \(x-2\) yazılıp \((x-2)^4 + 8(x-2)^3 + 18(x-2)^2 + 8(x-2) + a = x^4 - 6x^2 + 8 + a = (x^2-3)^2 + a-1\) olduğu görülür. Yani verilen polinomun dört farklı gerçel kökü olması \((x^2-3)^2 = 1 - a\) denkleminin dört farklı gerçel çözümü olmasına denktir. Bunun için \(1-a > 0\) ve \(-\sqrt{1-a} + 3 > 0\) olmalıdır. Yani \(-8 < a < 1\). 


**16.** \(8 \times 8\) bir satranç tahtasının her birim karesine 1 ve \(-1\) sayılarından biri yazılmıştır. En az dört satırın her birindeki sayıların toplamı pozitif

ise, üzerlerindeki sayıların toplamı -3 ten küçük olan en çok kaç sütun olabilir?
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 19

\(x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 14x + 4 = 0\) denkleminin gerçel köklerinin toplamı nedir?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
\(x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 1 4x + 4 = (x^2 - 5x + 2)(x^2 - 2x + 2)\) olduğu görülür. \(x^2 - 2x + 2\) ifadesi her \(x\) gerçel sayısı için pozitiftir ve \(x^2 - 5x + 2 = 0\) denkleminin kökleri gerçel olup toplamları 5 tir.
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 20

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 sayılarının her \((a_1, a_2, \dots, a_{11})\) permütasyonu için, \((a_1 + a_3, a_2 + a_4, a_3 + a_5, \dots, a_8 + a_{10}, a_9 + a_{11})\) verildiğinde \(a_i\) lerden en az \(k\) tanesini belirleyebiliyorsak, \(k\) en çok kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
\(a_1 + a + 2 + \dots + a_{11} = 66\) olduğundan ilk önce \(a_6\) sayısı belirleniyor: 


\[a_6 = 66 - (a_1 + a_3) - (a_2 + a_4) - (a_3 + a_5) - (a_8 + a_{10}) - (a_5 + a_7) - (a_9 + a_{11}).\]


Daha sonra \(a_4 + a_6\) dan \(a_4\) bulunur. Benzer şekilde sırasıyla \(a_4, a_2, a_8, a_{10}\) değerleri bulunur. Şimdi \(k'\) nın 5'ten daha fazla olamayacağını gösterelim. \((2, 3, 5, 11, 8, 9, 7, 4, 6, 10, 1)\) ve \((1, 3, 6, 11, 7, 9, 8, 4, 5, 10, 2)\) permütasyonları için \((a_1 + a_3, a_2 + a_4, a_2 + a_5, \dots, a_8 + a_{10}, a_9+a_{11})\) değerleri aynı olup \(a_1, a_3, a_5, a_7, a_9, a_{11}\) değerleri farklıdır. Bu nedenle permütasyonun \(a_1, a_3, a_5, a_7, a_8, a_{11}\) değerlerinin bulunmasını garantileyemeyiz.
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 21

\(|AB| = 5\), \(|BC| = 6\) ve \(|CA| = 7\) olan bir \(ABC\) üçgeninin \(A\) köşesine ait açortayı \([BC]\) kenarımı \(D\) noktasında kesiyor. \(A\) dan geçen ve \(BC\) ye \(D\) de teğet olan çember ise, \([AB]\) ve \([AC]\) kenarlarını sırasıyla, \(P\) ve \(Q\) noktalarında kesiyor. \(AD\) ve \(PQ\) doğruları \(T\) noktasında kesişiyorsa, \(|AT|/|TD|\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  3

Çözüm:
Teğetlik ve çemberdeşlikten \(\angle PAD = \angle DAC = \angle DPQ = \angle PDB\) olduğundan \(PQ \parallel BC\) olur. Açortay teoreminden \(|BD|/|DC| = 5/7\) ve buradan da \(|BD| = 5/2\), \(|DC| = 7/2\). Çemberde kuvvetten \(|BD|^2 = |BP| \cdot |AB|\) ve buradan da \(|BP| = 5/4\), \(|PA| = 15/4\) ve benzerlikten \(|AT|/|TD| = |AP|/|BP| = 3\) olur.
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 22

\(4mn(m+n-1) = (m^2+1)(n^2+1)\) eşitliğini sağlayan kaç \((m, n)\) tam sayı ikilisi vardır?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
Eşitlik (mod 4) te incelendiğinde \(m\) ve \(n\) nin tek olduğu görülür. Eşitlikte sağ taraf her zaman pozitiftir. O halde \(m\) ve \(n\) nin ikisinden biri 0 veya ikisi de negatif olamaz. 


1. durum: \(m, n > 0\). \((m^2+1)(n^2+1) = m^2n^2+m^2+n^2+1 > m^2n^2+2mn\)

olduğundan \(4m + 4n - 4 > mn + 2\) elde edilir. Bu da \((m-4)(n-4) < 10\) eşitsizliğine denktir. O halde bu sayılardan küçük olanı en fazla 7 olabilir. 1,3,5,7 için incelendiğinde \((1,1)\), \((5,13)\) ve \((13,5)\) çözümleri elde edilir. 


2. durum: \(m > 0, n < 0\). \(n = -k\) olsun. \(4mk(k+1-m) = (m^2+1)(k^2+1)\) elde edilir. Benzer şekilde \((m^2+1)(k^2+1) > m^2k^2 + 2mk\) eşitsizliği kullanılarak \(4k+4-4m > mk+2\) bulunur. Bu da \((m-4)(k+4) < -14\) eşitizliğine denktir. \(k \ge 1\) olduğundan \(m < 4\) bulunur. \(m = 1, 3\) için incelendiğinde \((1, -1)\) çözümü elde edilir. \(m < 0, n > 0\) durumunda da simetriden dolayı yalnızca \((-1, 1)\) çözümü vardır. Dolayısıyla tüm çözümler \((1,1)\), \((5,13)\), \((13,5)\), \((1, -1)\) ve \((-1, 1)\).
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 23

\(a, b, c\) gerçel sayıları \(x^3 - 3x + 1 = 0\) denkleminin farklı kökleri ise, \(a^8 + b^8 + c^8\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  186

Çözüm:
Öncelikle \(a + b + c = 0\) ve \(a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ac) = 6\) olduğu görülür. Her \(n \ge 0\) için \(s_n = a^n + b^n + c^n\) olarak tanımlayalım. \(s_0 = 3, s_1 = 0, s_2 = 6\) dır. \(a^n(a^3 - 3a + 1) = 0, b^n(b^3 - 3b + 1) = 0\) ve \(c^n(c^3 - 3c + 1) = 0\) denklemleri taraf tarafa toplanırsa \(s_{n+3} = 3s_{n+1} - s_n\) bulunur. Buna göre \(s_0, s_1, s_2, s_3, \dots\) dizisi \(3, 0, 6, -3, 18, -15, 57, -63, 186, -246, \dots\) şeklindedir, yani \(s_8 = 186\).
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 24

Bir yüzleri siyah ve diğer yüzleri beyaz olan 2012 tane tavla pulu bir doğru boyunca ve üste gelen yüzleri dönüşümlü olarak siyah ve beyaz olacak biçimde dizilmiştir. Her hamlede iki pul seçip bunları ve bu pulların arasında kalan tüm pulları ters çeviriyoruz. Bütün pulların üste gelen yüzlerinin aynı renkte olmasını en az kaç hamlede sağlayabiliriz?

Şıklar:

Cevap:  1006

Çözüm:
Üste gelen yüzleri farklı olan ardışık pul iki sayısına uyuşmazlık sayısı diyelim. Başlangıçta uyuşmazlık sayısı 2011'e eşittir. Her hamlede uyuşmazlık sayısı en fazla iki azaldığı için gereken hamle sayısı en az 1006' dır. 1006 hamlenin aynı zamanda yeterli olduğunu gösterelim. Bunun için ilk hamlede 2. ve 2011., ikinci hamlede 3. ve 2010,..., bin beşinci hamlede 1006. ve 1007. pulları ve en son hamlede de 1. ve 1006. pulları seçmek yeterli olacaktır.
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 25

Bir ABC üçgeninin [AC] kenarının M orta noktası, B köşesine ait yüksekliğinin H ayağı ile C köşesi arasındadır. \(m(ABH) = m(MBC)\), \(m(ACB) = 15^\circ\) ve \(|HM| = 2\sqrt{3}\) ise, \(|AC|\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  8

Çözüm:
\(\angle ABM = \angle HBC = 75^\circ\) ve \(\angle ACB = 15^\circ\) olduğundan \(BM\) doğrusu \(ABC\) üçgeninin çevrel çember merkezinden geçer. Bu doğru aynı zamanda \(AC\) kenarının orta noktasından geçtiği için \(M\) noktası çevrel çember merkezi olmalıdır. Yani \(\angle HMB = 30^\circ\) ve \(|BH| = 2\), \(|BM| = |MC| = |MA| = 4\), \(|AC| = 8\) olur.
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 26

100 den küçük kaç asal sayı ardışık pozitif tam sayıların karelerinin toplamı olarak yazılabilir?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
Toplamda yer alabilecek tam kareler 1,4,9,16,25,36 ve 49 dur. 1 den başlayan ardışık toplamlarda \(1+4=5\) asal sayısı bulunur. 4 ten başlayan ardışık toplamlarda \(4+9=13\) ve \(4+9+16=29\) asal sayıları bulunur. 9 ile başlayanlarda asal sayı bulunmaz. 16 ile başlayanlarda \(16+25=41\) ve 25 ile başlayanlarda \(25+36=61\) asal sayıları bulunurken 36 ile başlayanlarda asal sayı bulunmaz.
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 27

Tüm \(x\) gerçel sayıları için, \(\sin x \cos x \le C (\sin^6 x + \cos^6 x)\) olmasını sağlayan en küçük \(C\) gerçel sayısı nedir?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
\(C'nin\) pozitif olduğu kolayca görülür. \(\sin 2x = t\) olsun. 


\[ \sin^6 x + \cos^6 x = \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)^3 + \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right)^3 = \frac{1 + 3 \cos^2 2x}{4} = \frac{4 - 3t^2}{4} \]


olduğundan sorudaki eşitsizlik tüm \(-1 \le t \le 1\) için 


\[ P(t) = 4 - 3t^2 - \frac{2t}{C} \ge 0 \]


şekilinde yazılabilir. Buradan \(P(1) \ge 0\) ve sonuç olarak \(C \ge 2\) gelir. P ikinci dereceden bir polinom olduğundan \(C = 2\) için eşitsiliğin sağlandığı açıktır.
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 28

Başlangıçta üç kutuda sırasıyla, \(m, n\) ve \(k\) tane taş bulunuyor. Ayşe ve Burak sırayla hamle yapıyorlar ve sırası gelen oyuncu istediği bir kutudan en az bir tane olmak üzere, istediği sayıda taş alıyor. Son taşı alan oyuncu oyunu kazanıyor. Oyuna her sefer Ayşe başlamak üzere, oyun \((m, n, k) = (1, 2012, 2014), (2011, 2011, 2012), (2011, 2012, 2013), (2011, 2012, 2014), (2011, 2013, 2013)\) için birer kez oynanırsa, Ayşe bunlardan en az kaçını kazanmayı garantileyebilir?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
Ayşe ilk hamlesinde kutulardaki taş sayılarını (0, k, k) veya (1, n, n + 1) yaparsa oyunu kazanıyor. Bunun için (0, k, k) durumunda Burak'ın her hamlesine simetrik hamleler yapması ve (1, n, n + 1) durumunda durumu yeniden (1, k, k + 1) durumuna getirmesi gerekiyor. Buna göre Ayşe'nin ilk hamlesi durumlara bağlı olarak (1, 2012, 2014) → (1, 2012, 2011), (2011, 2011, 2012) → (2011, 2011, 0), (2011, 2012, 2013) → (2011, 2012, 1), (2011, 2012, 2014) → (2011, 2012, 1) ve (2011, 2013, 2013) → (0, 2013, 2013) olacaktır. 


**29.** Dar açılı bir ABC üçgeninin sırasıyla, [BC] ve [AC] kenarları üstünde yer alan D ve E noktaları için, AD ve BE doğruları F noktasında kesişiyor. |AF| = |CD| = 2|BF| = 2|CE| ve Alan(ABF) = Alan(DEC) ise, Alan(AFC)/Alan(BFC) nedir?
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 29

Dar açılı bir ABC üçgeninin sırasıyla, [BC] ve [AC] kenarları üstünde yer alan D ve E noktaları için, AD ve BE doğruları F noktasında kesişiyor. |AF| = |CD| = 2|BF| = 2|CE| ve Alan(ABF) = Alan(DEC) ise, Alan(AFC)/Alan(BFC) nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(-2000\)

Çözüm:
Verilen eşitlikte \(n\) yerine \(6 - f(m)\) yazılırsa, \(m + f(m + 6) = 6\) bulunur. Şimdi \(m\) yerine \(k - 6\) yazılırsa \(f(k) = 12 - k\) bulunur. Bu fonksiyonun da şartı sağladığı kolayca görülür. \(f(2012) = -2000\). 


**32.** 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sayılarının \((a_1, a_2, \dots, a_{10})\) permütasyonlarından kaçı için, \(|a_1 - 1| + |a_2 - 2| + \dots + |a_{10} - 10| = 4\) olur?
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 30

\(x^3 + y^3 = x^2yz + xy^2z + 2\) eşitliğini sağlayan kaç \((x, y, z)\) tam sayı üçlüsü vardır?

Şıklar:

Cevap:  52

Çözüm:
\(|a_1 - 1| + |a_2 - 2| + \cdots + |a_{10} - 10| = 4\) ve \(\sum_{i=1}^{10} (a_i - i) = 0\) olduğundan sıfıra eşit olmayan \((a_i - i)\) ifadeleri \(\{2, -2\}, \{1, 1, -1, -1\}, \{2, -1, -1\}\) veya \(\{2, -1, 1\}\) olmalıdır. \(\{2, -2\}\) durumuna bir \(i\) değeri için \(a_i = i + 2\) ve \(a_{i+2} = i\) olacaktır, toplam 8 çözüm geliyor. \(\{1, 1, -1, -1\}\) durumunda \(1 \le i \le 7\) ve \(i + 2 \le j \le 9\) olmak üzere \(a_i = i + 1, a_{i+1} = i, a_j = j + 1\) ve \(a_{j+1} = j\) olmalıdır. Buradan toplam \(1 + 2 + \cdots + 7 = 28\) çözüm geliyor. \(\{2, -1, -1\}\) durumunda bir \(1 \le i \le 8\) değeri için \(a_i = i + 1, a_{i+1} = i + 2\) ve \(a_{i+2} = i\) olacakır, toplam 8 çözüm geliyor. \(\{-2, 1, 1\}\) durumunda bir \(1 \le i \le 8\) değeri için \(a_i = i + 2, a_{i+1} = i\) ve \(a_{i+2} = i + 1\) olacaktır, toplam 8 çözüm geliyor. Buna göre toplam \(8 + 28 + 8 + 8 = 52\) çözüm olur. 


**33.** \(|AB| = 2|BC|\) olan \(ABCDA'B'C'D'\) dikdörtgenler prizmasında \([BB']\) ayrıtı üstündeki \(E\) noktası \(|EB'| = 6|EB|\) koşulunu sağlıyor. \(AEC'\) ve \(A'EC'\) üçgenlerinde \(E\) ye ait yüksekliklerin ayakları sırasıyla, \(F\) ve \(F'\) olmak üzere, \(m(FEF') = 60^\circ\) ise, \(|BC|/|BE|\) nedir?
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 31

\(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) fonksiyonu tüm \(m, n\) tam sayıları için,

\[m + f(m + f(n + f(m))) = n + f(m)\]

ve \(f(6) = 6\) koşullarını sağlıyorsa, \(f(2012)\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(3\sqrt{15}/2\)

Çözüm:
\(|BC| = x\), \(|AB| = 2x\), \(|EB| = y\), \(|E'B| = 6y\) olsun. Pisagor teoreminden \(|EA| = \sqrt{4x^2 + y^2}\), \(|EC| = \sqrt{x^2 + y^2}\), \(|EA'| = \sqrt{4x^2 + 36y^2}\), \(|EC'| = \sqrt{x^2 + 36y^2}\), \(|AC| = |A'C'| = \sqrt{5x}\) olur. Yine Pisagor teoreminden \(3x^2 = |AF|^2 - |CF|^2 = |A'F'|^2 - |C'F'|^2\) ve \(|AC| = |A'C'|\) olduğundan \(|AF| = |A'F'| = 4x/\sqrt{5}\) ve \(|CF| = |C'F'| = x/\sqrt{5}\) elde ederiz. Buradan da \(|FF'| = |AA'| = |BB'| = 7y\) olur. Pisagor teoreminden \(|EF| = \sqrt{4x^2/5 + y^2}\), \(|EF'| = \sqrt{4x^2/5 + 36y^2}\) dir. \(FEF'\) üçgeninde kosinüs teoreminden \(|EF|^2 + |EF'|^2 - |EF| \cdot |EF'| = |FF'|^2\) ve buradan da \(8x^2/5 - 12y^2 = \sqrt{(4x^2/5 + y^2)(4x^2/5 + 36y^2)}\) elde ederiz. Bu denklemden \(k = x^2/y^2\) için \(48k^2 - 1700k + 2700 = 0\) elde ederiz. \(8x^2/5 - 12y^2 \ge 0\) olacağından \(k \ge 15/2\) olmalıdır. \(48k^2 - 1700k + 2700 = (3k - 5)(16k - 540)\) olduğundan \(k = 135/4\) ve buradan da \(|BC|/|BE| = x/y = \sqrt{k} = 3\sqrt{15}/2\) olur. 


**34.** \(n \ge 2012\) olmak üzere, \(1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n\) sayısının 10 ile bölünmesini sağlayan en küçük \(n\) tam sayısı nedir?
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 32

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sayılarının \((a_1, a_2, \dots, a_{10})\) permütasyonlarından kaçı için, \(|a_1 - 1| + |a_2 - 2| + \dots + |a_{10} - 10| = 4\) olur?

Şıklar:

Cevap:  2013

Çözüm:
Verilen toplam \((n-1)2^{n+1} + 2\) ye eşittir. \(n = 2012\) için toplamın son basamağı \(1 \cdot 2 + 2 = 4\) tür. \(n = 2013\) için \(2 \cdot 4 + 2 = 10\) olduğundan toplamın son basamağı 0 dır ve toplam 10 ile bölünür. 


**35.** \(x^3 + y^4 = x^2y\) eşitliğini sağlayan tüm \((x, y)\) pozitif gerçel sayı ikililerinde \(x\) in aldığı en büyük değer \(A\) ve \(y\) nin aldığı en büyük değer \(B\) ise, \(A/B\) nedir?
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 33

\(|AB| = 2|BC|\) olan \(ABCDA'B'C'D'\) dikdörtgenler prizmasında \([BB']\) ayrıtı üstündeki \(E\) noktası \(|EB'| = 6|EB|\) koşulunu sağlıyor. \(AEC'\) ve \(A'EC'\) üçgenlerinde \(E\) ye ait yüksekliklerin ayakları sırasıyla, \(F\) ve \(F'\) olmak üzere, \(m(FEF') = 60^\circ\) ise, \(|BC|/|BE|\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(\frac{A}{B} = \frac{\frac{27}{256}}{\frac{729}{1024}}\)

Çözüm:
\(x\) pozitif bir değerde sabitlenirse \(y^4 - x^2 \cdot y + x^3\) polinomu \(0 < y < \sqrt[3]{\frac{x^2}{4}}\) için azalan ve \(\sqrt[3]{\frac{x^2}{4}} < y\) için artandır. \(y = \sqrt[3]{\frac{x^2}{4}}\) için \(y^4 - x^2 \cdot y + x^3 = x^{8/3} \cdot (x^{1/3} - \frac{3}{4\sqrt[3]{4}})\) olduğundan \(y = \frac{9}{64}\), \(x = \frac{27}{256}\) olduğunda eşitlik sağlanır ve \(x > \frac{27}{256}\) olduğunda her \(y > 0\) için \(x^3 + y^4 > x^2y\) olur. Yani \(A = \frac{27}{256}\). \(y\) pozitif bir değerde sabitlenirse \(x^3 - y \cdot x^2 + y^4\) polinomu \(0 < x < \frac{2y}{3}\) için azalan ve \(\frac{2y}{3} < x\) için artandır. \(x = \frac{2y}{3}\) için \(x^3 - y \cdot x^2 + y^4 = y^3 \cdot (y - \frac{4}{27})\) olduğundan \(x = \frac{8}{81}\), \(y = \frac{4}{27}\) olduğunda eşitlik sağlanır ve \(y > \frac{4}{27}\) olduğunda her \(x > 0\) için \(x^3 + y^4 > x^2y\) oluur. Yani \(B = \frac{4}{27}\). 


**36.** Her kutuda en çok 20 taş olmak koşuluyla \(k\) tane taş 2012 kutuya nasıl dağıtılmış olursa olsun, bu kutulardan bazılarını seçip, seçtiğimiz kutulardan istediklerimizden istediğimiz sayıda taş atarak, seçtiğimiz kutularda toplam olarak en az 100 tane ve bu kutuların her birinde eşit sayıda taş kalmasını sağlayabiliyorsak, \(k\) en az kaç olabilir?
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 34

\(n \ge 2012\) olmak üzere, \(1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n\) sayısının 10 ile bölünmesini sağlayan en küçük \(n\) tam sayısı nedir?

Şıklar:

Cevap:  349

Çözüm:
En az \(t\) taş içeren kutu sayısı \(f(t)\) olsun. 348 taş \(f(20) = 4\), \(f(19) = 5\), \(f(18) = 5\), \(f(17) = 5\), \(f(16) = 6\), \(f(15) = 6\), \(f(14) = 7\), \(f(13) = 7\), \(f(12) = 8\), \(f(11) = 9\), \(f(10) = 9\), \(f(9) = 11\), \(f(8) = 12\), \(f(7) = 14\), \(f(6) = 16\), \(f(5) = 19\), \(f(4) = 24\), \(f(3) = 33\), \(f(2) = 49\), \(f(1) = 99\) olacak şekilde dağıtabiliriz. Bunun için ilk aşama 99 kutuya birer taş koyuyoruz, ikinci aşamada bu kutulardan 49 tanesine birer taş ekliyoruz, içüncü aşamada ikişer taş içeren kutulardan 33 tanesine birer taş ekliyoruz, dördüncü aşamada üçer taş içeren kutulardan 24 tanesine birer taş ekliyoruz. Benzer şekilde devam edersek istenilen dağılım elde edilir. \(1 \cdot 99 < 100\), \(2 \cdot 49 < 100\), \(3 \cdot 33 < 100\), \(4 \cdot 24 < 100\), \(\cdots\), \(20 \cdot 4 < 100\) olduğundan bu dağılımda kutulardan bazılarını seçip, seçtiğimiz kutulardan istediklerimizden istediğimiz sayıda taş atarak seçtiğimiz kutularda toplam olarak en az 100 tANE ve bu kutuların her birinde eşit sayıda taş kalmasını sığlayamayız. Taş

sayısı 349 olursa, i = 1, 2, . . ., 20 olmak üzere, f (i) sayılarının en az biri artacak ve istenilen koşul sağlanacaktır.
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 35

\(x^3 + y^4 = x^2y\) eşitliğini sağlayan tüm \((x, y)\) pozitif gerçel sayı ikililerinde \(x\) in aldığı en büyük değer \(A\) ve \(y\) nin aldığı en büyük değer \(B\) ise, \(A/B\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
Sinüsü alan teoreminden 2Alan(ABF) = |AF| · |FB| · sin ∠AFB ve 2Alan(DCE) = |DC| · |CE| · sin ∠DCE ve buradan da sin ∠AFB = sin ∠DCE olur. 180° > ∠AFB > ∠DCE > 0° olduğundan ∠AFB = 180° - ∠DCE buluruz. Yani FDCE bir kirişler dörtgenidir. FC doğrusu AB kernamı K noktasında kessin. Sinüs teoreminden |AK|/|KB| = |AF|/|FB| · sin ∠AFK/sin ∠BFK olur. Çemberdeşlikten ∠AFK = ∠DFC = ∠DEC ve ∠BFK = ∠CFE = ∠EDC dir. Sinüs teoreminden sin ∠DEC/sin ∠EDC = |DC|/|EC| = 2 olduğundan Alan(AFC)/Alan(BFC) = |AK|/|KB| = 4 olur. 


**30.** \(x^3 + y^3 = x^2yz + xy^2z + 2\) eşitliğini sağlayan kaç \((x, y, z)\) tam sayı üçlüsü vardır?
Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 36

Her kutuda en çok 20 taş olmak koşuluyla \(k\) tane taş 2012 kutuya nasıl dağıtılmış olursa olsun, bu kutulardan bazılarını seçip, seçtiğimiz kutulardan istediklerimizden istediğimiz sayıda taş atarak, seçtiğimiz kutularda toplam olarak en az 100 tane ve bu kutuların her birinde eşit sayıda taş kalmasını sağlayabiliyorsak, \(k\) en az kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
Verilen eşitlik \((x+y)(x^2-xy+y^2) = xyz(x+y) + 2\) olarak yazılabilir. Buradan \(x+y\) sayısının 2 yi böldüğü görülür. Ayrıca \(x+y\) nin tek olamayacağı da kolayca görülür ve dolayısıyla \(x+y = 2\) veya \(-2\). \(x+y = 2\) ise, \(4-3xy = xyz+1\) bulunur. \(\Rightarrow xy|3\). O zaman \((x, y)\) ikilisi \((1, 1)\), \((3, -1)\), \((-1, 3)\) olabilir. \(x+y = -2\) ise, \(4-3xy = xyz-1\) elde edilir. \(\Rightarrow xy|5\). O halde \((x, y)\) sadece \((-1, -1)\) olabilir. Tüm çözümler \((1, 1, 0)\), \((3, -1, -4)\), \((-1, 3, -4)\), \((-1, -1, 2)\). 


**31.** \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) fonksiyonu tüm \(m, n\) tam sayıları için, 


\[m + f(m + f(n + f(m))) = n + f(m)\]


ve \(f(6) = 6\) koşullarını sağlıyorsa, \(f(2012)\) nedir?