Matematik Olimpiyatı 2019, 2. Aşama, Soru 2

Durum: \(\sqrt{ca} - 1 \ge 1\). 


Bu durumda ise \(ab \le 4 \le ca\) ve \(ab \le c + a\) olduğundan \(b - \frac{c}{a} \le 1\) elde ederiz. 


Yani her durumda en az 2 tane 1 den büyük olmayan ifade buluruz. Bu da cevabın 4 olduğunu gösterir. 


2. Her \(n\) pozitif tam sayısı için \(d(n)\) ile \(n\) nin pozitif bölenlerinin sayısını gösterelim. \(k\) verilmiş bir tek sayı olmak üzere, 


\[ \text{obeb}(k, d(a_1)d(a_2)\cdots d(a_{2019})) = 1 \]

olmasını sağlayan bir \((a_1, a_2, \dots, a_{2019})\) artan aritmetik pozitif tam sayı dizisi bulunduğunu gösteriniz. 


**Çözüm:** Öncelikle herhangi iki terimi aralarında asal olan 2019 terimli artan bir aritmetik dizi bulalım. Her \(1 \le i \le 2019\) için \(b_i = i \cdot 2019! + 1\) olsun. \(i \ne j\) olmak üzere, bir \(p\) asal sayısı için \(p|i \cdot 2019! + 1\) ve \(p|j \cdot 2019! + 1\) ise, \(p|(i-j) \cdot 2019!\) olur ve bu da \(0 < |i-j| < 2019\) olduğundan \(p \le 2019\) demektir. O halde \(p|2019!\) olur ancak bu \(p|i \cdot 2019! + 1\) ile çelişir. Demek ki \((b_1, \dots, b_{2019})\) dizisinin herhangi iki terimi aralarında asaldır. 


\(p_1, \dots, p_m\) farklı asal sayılar olmak üzere \(n = \prod_{i=1}^m p_i^{\alpha_i}\) ise, \(\sigma(n) = \prod_{i=1}^m (\alpha_i + 1)\) olduğunu hatırlayalım. \(p|b_1b_2 \cdots b_{2019}\) olan bir \(p\) asal sayısını ele alalım. Bu durumda \(p|b_i\) olan tam olarak bir \(i\) sayısı vardır. \(b_i = p^{\alpha_i}\) olsun (\((p, t) = 1\)). \((\alpha + 1, k) \ne 1\) ise, \(k'nın \alpha + 1\)'i bölen asal bölenleri \(p_1, \dots, p_r\), \(\alpha + 1\)'i bölmeyen asal bölenleri \(q_1, \dots, q_s\) olsun. \(k\) tek sayı olduğu için \(p_1, \dots, p_r, q_1, \dots, q_s\)'nin hiçbiri 2 değildir. Çinli kalan teoreminden dolayı her \(1 \le i \le r\) ve \(1 \le j \le s\) için 


\[ 
\begin{aligned}
\beta &\equiv 1 \pmod{p_i} \\
\beta &\equiv 0 \pmod{q_j}
\end{aligned}
\]


olacak şekilde bir \(\beta\) pozitif tam sayısı vardır. Bu dizinin her terimi \(p^\beta\) ile çarpıldığında dizi terimlerinin pozitif bölen sayılarının çarpımında \(p'\) den kaynaklı çarpan \((\beta + 1)^{2018}(\alpha + \beta + 1)\) olur. \(\beta'nın seçiminden dolayı da bu çarpan \(k\) ile aralarında asaldır. \(b_1b_2 \cdots b_{2019}\)'nin her asal böleni için aynı işlem uygulandığında sonuçta oluşan dizi istenen şartı sağlar. 


**3.** 2019 öğrencinin bulunduğu bir okuldaki öğrenci kulüplerine sadece öğrenciler üye olabilmektedir. Her öğrenci kulübünün, kendi üyeleri arasından seçilmiş 12 kişilik bir yönetim kurulu vardır. Bir kulüp toplantısı ancak katılımcıların hepsi kulübün üyeleriye ve kulübün yönetim kurulunun hepsi katılımcılar arasındaysa gerçekleşebilir. Bu okulda, eleman sayısı en az 12 olan her öğrenci kümesinin, tam olarak bir öğrenci kulübünün toplantılarını gerçekleştirebildiği biliniyor. Buna göre, tam olarak 27 üyesi olan öğrenci kulüplerinin sayısının alabileceği tüm değerleri bulunuz. 


**Çözüm:**

Şıklar:

Cevap:  Sadece \(\binom{2003}{11}\)

Çözüm:
Her \(12 \le n \le 2019\) için tam olarak \(n\) öğrenciden oluşan kulüplerin sayısı \(K_n\) olsun. \(K_n = \binom{2030-n}{11}\) eşitliğinin her \(12 \le n \le 2019\) için sağlandığını göstereceğiz. 


\(12 \le m \le n \le 2019\) olmak üzere, bir kulüp \(n\) öğrenciden oluşuyorsa, bu kulübün toplantısı tam olarak \(\binom{n-12}{m-12}\) farklı \(m\) öğrencili küme tarafından gerçekleştirilebilir. Dolayısıyla \(m\) öğrenciden oluşan kümeleri kulüpler üzerinden sayarak 


\[ \sum_{n=m}^{2019} K_n \binom{n-12}{m-12} = \binom{2019}{m} \quad (1) \]


özdeşliğini elde ederiz. 


\(12 \le j \le 2031-m\) olmak üzere, \(\{1, 2, \dots, 2019\}\) kümesinin en küçük 12-inci elemanı \(j\) olan \(m\) elemanlı altkümelerinin sayısı \(\binom{j-1}{11} \binom{2019-j}{m-12}\)'dir. Buradan 


\[ \sum_{j=12}^{2031-m} \binom{j-1}{11} \binom{2019-j}{m-12} = \binom{2019}{m} \quad (2) \]

elde edilir. (2)'de \(j = 2031 - n\) yazılırsa 


\[ \sum_{n=m}^{2019} \binom{2030-n}{11} \binom{n-12}{m-12} = \binom{2019}{m} \quad (3) \]


özdeşliği bulunur. (1) ve (3)'te \(m\)'yi sırasıyla 2019, 2018, 2017,... alarak \(12 \le n \le 2019\) için \(K_n = \binom{2030-n}{11}\) elde edilir. Sonuç olarak \(K_{27} = \binom{2003}{11}\)'dir. 


Son olarak soru koşullarının sağlandığı bir duruma örnek verelim. Öğrencileri 1'den 2019'a kadar numaralandıralım. Her \(1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_{12} \le 2019\) için numaraları \(i_1, i_2, \dots, i_{11}, i_{12}, i_{12} + 1, i_{12} + 2, i_{12} + 3, \dots, 2019\) olan öğrenciler bir kulüp oluştursun ve bu kulübün yönetim kurulu \(i_1, i_2, \dots, i_{11}, i_{12}\) numaralı öğrenciler olsun. Bu kulüpler sorudaki şartları sağlar. 


4. \(|AB| = |AC|\) şartını sağlayan bir \(ABC\) üçgeninin çevrel çemberinin küçük \(AC\) yayı üzerinde uç noktalardan farklı bir \(M\) noktası almıyor. \(BM\) nin \(AC\) yi kestiği nokta \(E\), \(BMC\) açısının iç açortayının \(BC\) yi kestiği nokta \(F\) olmak üzere \(m(\widehat{AFB}) = m(\widehat{CFE})\) eşitliği sağlanıyor. \(ABC\) nin eşkenar olduğunu gösteriniz. 


**Çözüm:** 

  


\(BMC\) üçgeninde iç açortay teoreminden 


\[ \frac{|BM|}{|CM|} = \frac{|BF|}{|CF|} \quad (4) \]


elde edilir. \(MC\) doğrusu üzerinde \(m(\widehat{ABM}) = m(\widehat{PBM})\) olacak şekilde bir \(P\) noktası alalım. \(A, B, C, M\) çembersel olduğundan \(m(\widehat{ACM}) = m(\widehat{ABM})\)'dir. Dolayısıyla \(MBP \sim MCE\) (A.A.A) elde edilir. Bu benzerlikten 


\[ \frac{|BM|}{|CM|}=\frac{|BP|}{|CE|} \quad (5) \]

olduğu görülür. Öte yandan \(m(\widehat{AFB}) = m(\widehat{CFE})\) ve \(m(\widehat{ABF}) = m(\widehat{ECF})\) olduğundan \(ABF \sim ECF\) (A.A.A) elde edilir ve bu benzerlikten 


\[ \frac{|AB|}{|CE|} = \frac{|BF|}{|CF|} \qquad (6) \]


sonucu çıkar. (4), (5) ve (6) eşitliklerinden \(|AB| = |BP|\) elde edilir. O halde \(ABP\) bir ikizkenar üçgendir ve \(m(\widehat{ABM}) = m(\widehat{PBM})\) olduğundan \([AP]\)'nin orta dikmesi \(BM'\)dir. Dolayısıyla \(m(\widehat{AMB}) = m(\widehat{PMB}) = m(\widehat{CMB})'\)dir ve \(A, B, C, M\)'nin çembersel olmasından \(m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{ABC})\) olduğu görülür. Sonuç olarak \(ABC\) bir eşkenar üçgendir.