Matematik Olimpiyatı 2012, 1. Aşama, Soru 16

\(8 \times 8\) bir satranç tahtasının her birim karesine 1 ve \(-1\) sayılarından biri yazılmıştır. En az dört satırın her birindeki sayıların toplamı pozitif

ise, üzerlerindeki sayıların toplamı -3 ten küçük olan en çok kaç sütun olabilir?

Şıklar:

Cevap:  6

Çözüm:
Cevabın 6'dan fazla olamayacağını gösterelim. En az dört satırın her birindeki sayıların toplamı pozitif olduğuna göre bu dört satırda toplam en az 4·5 = 20 tane +1 vardır. Bu dört satırdaki +1'leri sütunlar üzerinden sayalım. Toplamı -3 ten küçük olan bir sütunda en fazla iki tane +1 olabilir. Bu sütunların sayısı altıdan fazla olursa, toplam en fazla 7·2 + 4 < 20 tane +1 elde ederiz, çelişki. Üzerlerindeki sayıların toplamı -3 ten küçük olAN 6 sütun olabilir: 


\[
\begin{array}{l}
+1+1-1-1+1-1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1+1+1+1+1+1+1+1+1-1+1+1+1+1+1+1+1-1+1-1-1-1-1-1-1-1+1+1-1-1-1-1-1-1-1+1-1-1-1-1-1-1-1-1+1-1+1-1-1-1-1-1-1+1-1+1+1-1-1-1-1-1-1+1-1-1+1-1-1-1-1-1-1+1+1-1+1-1-1-1-1-1+1+1-1+1+1-1-1-1-1+1+1-1+1+1+1-1-1-1+1+1-1+1+1+1+1-1-1+1+1+1+1+1+1+1-1-1+1+1+1-1-1+1+1+1+1-1+1+1+1+1-1+1+1+1-1+1+1+1+1+1-1+1+1+1-1-1+1+1+1-1+1+1+1+1-1-1-1+1+1+1-1+1+1+1-1+1-1+1+1+1+1+1+1-1+1+1-1+1+1+1+1+1+1-1-1+1-1+1+1+1+2+1+1+1+1+1+1+1+1+1+2+1+1+1+1+1-1-1+1+1+2+1+1+1+1+1+1-1-1+1+2+1+1+1+1+1+1+1-1-1+2+1+1+1+1+1+1+1+1-1-2+1+1+1+1+1+1+1+1+1-2+1+1+1+1+1+1+1+1-2+2+1+1+1+1+1+1+1+1+2+2+1+1+1+1+1+1+1+1-2-1+1+1+1+1+1+1+1+1+2-1+1+1+1+1+1+1+1+1-2-2+1+1+1+1+1+1+1+1+2-2+1+1+1+1+1+1+1+1-1+2+1+1+1+1+1+1+1-1+2-2+1+1+1+1+1+1+1-1+2+2+1+1+1+1+1+1+1-1+3+1+1+1+1+1+1+1+1+1+3+1+1+1+1+1+1+1+1-3+1+1+1+1+1+1+1+1+1-3+2+1+1+1+1+1+1+1+1+3+2+1+1+1+1+1+1+1+1-3+3+1+1+1+1+1+1+1+1+3+3+1+1+1+1+1+1+1+1-4+1+1+1+1+1+1+1+1+1+4+1+1+1+1+1+1+1+1+1-4+2+1+1+1+1+1+1+1+1+4+2+1+1+1+1+1+1+1+1-4+3+1+1+1+1+1+1+1+1+4+3+1+1+1+1+1+1+1+1-5+1+1+1+1+1+1+1+1+1+5+1+1+1+1+1+1+1+1+1-5+2+1+1+1+1+1+1+1+1+5+2+1+1+1+1+1+1+1+1-5+3+1+1+1+1+1+1+1+1+5+3+1+1+1+1+1+1+1+1-6+1+1+1+1+1+1+1+1+1+6+1+1+1+1+1+1+1+1+1-6+2+1+1+1+1+1+1+1+1+6+2+1+1+1+1+1+1+1+1-6+3+1+1+1+1+1+1+1+1+6+3+1+1+1+1+1+1+1+1-7+1+1+1+1+1+1+1+1+1+7+1+1+1+1+1+1+1+1+1-7+2+1+1+1+1+1+1+1+1+7+2+1+1+1+1+1+1+1+1-7+3+1+1+1+1+1+1+1+1+7+3+1+1+1+1+1+1+1+1-8+1+1+1+1+1+1+1+1+1+8+1+1+1+1+1+1+1+1+1-8+2+1+1+1+1+1+1+1+1+8+2+1+1+1+1+1+1+1+1-8+3+1+1+1+1+1+1+1+1+8+3+1+1+1+1+1+1+1+1-9+1+1+1+1+1+1+1+1+1+9+1+1+1+1+1+1+1+1+1-9+2+1+1+1+1+1+1+1+1+9+2+1+1+1+1+1+1+1+1-9+3+1+1+1+1+1+1+1+1+9+3+1+1+1+1+1+1+1+1-10+1+1+1+1+1+1+1+1+1+10+1+1+1+1+1+1+1+1+1-10+2+1+1+1+1+1+1+1+1+10+2+1+1+1+1+1+1+1+1-10+3+1+1+1+1+1+1+1+1+10+3+1+1+1+1+1+1+1+1-11+1+1+1+1+1+1+1+1+1+11+1+1+1+1+1+1+1+1+1-11+2+1+1+1+1+1+1+1+1+11+2+1+1+1+1+1+1+1+1-11+3+1+1+1+1+1+1+1+1+11+3+1+1+1+1+1+1+1+1-12+1+1+1+1+1+1+1+1+1+12+1+1+1+1+1+1+1+1+1-12+2+1+1+1+1+1+1+1+1+12+2+1+1+1+1+1+1+1+1-12+3+1+1+1+1+1+1+1+1+12+3+1+1+1+1+1+1+1+1-13+1+1+1+1+1+1+1+1+1+13+1+1+1+1+1+1+1+1+1-13+2+1+1+1+1+1+1+1+1+13+2+1+1+1+1+1+1+1+1-13+3+1+1+1+1+1+1+1+1+13+3+1+1+1+1+1+1+1+1-14+1+1+1+1+1+1+1+1+1+14+1+1+1+1+1+1+1+1+1-14+2+1+1+1+1+1+1+1+1+14+2+1+1+1+1+1+1+1+1-14+3+1+1+1+1+1+1+1+1+14+3+1+1+1+1+1+1+1+1-15+1+1+1+1+1+1+1+1+1+15+1+1+1+1+1+1+1+1+1-15+2+1+1+1+1+1+1+1+1+15+2+1+1+1+1+1+1+1+1-15+3+1+1+1+1+1+1+1+1+15+3+1+1+1+1+1+1+1+1-16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1-16+2+1+1+1+1+1+1+1+1+16+2+1+1+1+1+1+1+1+1-16+3+1+1+1+1+1+1+1+1+16+3+1+1+1+1+1+1+1+1-17+1+1+1+1+1+1+1+1+1+17+1+1+1+1+1+1+1+1+1-17+2+1+1+1+1+1+1+1+1+17+2+1+1+1+1+1+1+1+1-17+3+1+1+1+1+1+1+1+1+17+3+1+1+1+1+1+1+1+1-18+1+1+1+1+1+1+1+1+1+18+1+1+1+1+1+1+1+1+1-18+2+1+1+1+1+1+1+1+1+18+2+1+1+1+1+1+1+1+1-18+3+1+1+1+1+1+1+1+1+18+3+1+1+1+1+1+1+1+1-19+1+1+1+1+1+1+1+1+1+19+1+1+1+1+1+1+1+1+1-19+2+1+1+1+1+1+1+1+1+19+2+1+1+1+1+1+1+1+1-19+3+1+1+1+1+1+1+1+1+19+3+1+1+1+1+1+1+1+1-20+1+1+1+1+1+1+1+1+1+20+1+1+1+1+1+1+1+1+1-20+2+1+1+1+1+1+1+1+1+20+2+1+1+1+1+1+1+1+1-20+3+1+1+1+1+1+1+1+1+20+3+1+1+1+1+1+1+1+1-21+1+1+1+1+1+1+1+1+1+21+1+1+1+1+1+1+1+1+1-21+2+1+1+1+1+1+1+1+1+21+2+1+1+1+1+1+1+1+1-21+3+1+1+1+1+1+1+1+1+21+3+1+1+1+1+1+1+1+1-22+1+1+1+1+1+1+1+1+1+22+1+1+1+1+1+1+1+1+1-22+2+1+1+1+1+1+1+1+1+22+2+1+1+1+1+1+1+1+1-22+3+1+1+1+1+1+1+1+1+22+3+1+1+1+1+1+1+1+1-23+1+1+1+1+1+1+1+1+1+23+1+1+1+1+1+1+1+1+1-23+2+1+1+1+1+1+1+1+1+23+2+1+1+1+1+1+1+1+1-23+3+1+1+1+1+1+1+1+1+23+3+1+1+1+1+1+1+1+1-24+1+1+1+1+1+1+1+1+1+24+1+1+1+1+1+1+1+1+1-24+2+1+1+1+1+1+1+1+1+24+2+1+1+1+1+1+1+1+1-24+3+1+1+1+1+1+1+1+1+24+3+1+1+1+1+1+1+1+1-25+1+1+1+1+1+1+1+1+1+25+1+1+1+1+1+1+1+1+1-25+2+1+1+1+1+1+1+1+1+25+2+1+1+1+1+1+1+1+1-25+3+1+1+1+1+1+1+1+1+25+3+1+1+1+1+1+1+1+1-26+1+1+1+1+1+1+1+1+1+26+1+1+1+1+1+1+1+1+1-26+2+1+1+1+1+1+1+1+1+26+2+1+1+1+1+1+1+1+1-26+3+1+1+1+1+1+1+1+1+26+3+1+1+1+1+1+1+1+1-27+1+1+1+1+1+1+1+1+1+27+1+1+1+1+1+1+1+1+1-27+2+1+1+1+1+1+1+1+1+27+2+1+1+1+1+1+1+1+1-27+3+1+1+1+1+1+1+1+1+27+3+1+1+1+1+1+1+1+1-28+1+1+1+1+1+1+1+1+1+28+1+1+1+1+1+1+1+1+1-28+2+1+1+1+1+1+1+1+1+28+2+1+1+1+1+1+1+1+1-28+3+1+1+1+1+1+1+1+1+28+3+1+1+1+1+1+1+1+1-29+1+1+1+1+1+1+1+1+1+29+1+1+1+1+1+1+1+1+1-29+2+1+1+1+1+1+1+1+1+29+2+1+1+1+1+1+1+1+1-29+3+1+1+1+1+1+1+1+1+29+3+1+1+1+1+1+1+1+1-30+1+1+1+1+1+1+1+1+1-30+2+1+1+1+1+1+1+1+1+30+1+1+1+1+1+1+1+1+1+30+2+1+1+1+1+1+1+1+1-30+3+1+1+1+1+1+1+1+1+30+3+1+1+1+1+1+1+1+1-31+1+1+1+1+1+1+1+1+1-31+2+1+1+1+1+1+1+1+1+31+1+1+1+1+1+1+1+1+1+31+2+1+1+1+1+1+1+1+1-31+3+1+1+1+1+1+1+1+1+31+3+1+1+1+1+1+1+1+1-32+1+1+1+1+1+1+1+1+1+32+1+1+1+1+1+1+1+1+1-32+2+1+1+1+1+1+1+1+1+32+2+1+1+1+1+1+1+1+1-33+1+1+1+1+1+1+1+1+1+33+1+1+1+1+1+1+1+1+1-33+2+1+1+1+1+1+1+1+1+33+2+1+1+1+1+1+1+1+1-34+1+1+1+1+1+1+1+1+1+34+1+1+1+1+1+1+1+1+1-34+2+1+1+1+1+1+1+1+1+34+2+1+1+1+1+1+1+1+1-35+1+1+1+1+1+1+1+1+1+35+1+1+1+1+1+1+1+1+1-35+2+1+1+1+1+1+1+1+1+35+2+1+1+1+1+1+1+1+1-36+1+1+1+1+1+1+1+1+1+36+1+1+1+1+1+1+1+1+1-36+2+1+1+1+1+1+1+1+1+36+2+1+1+1+1+1+1+1+1-37+1+1+1+1+1+1+1+1+1+37+1+1+1+1+1+1+1+1+1-37+2+1+1+1+1+1+1+1+1+37+2+1+1+1+1+1+1+1+1-38+1+1+1+1+1+1+1+1+1+38+1+1+1+1+1+1+1+1+1-38+2+1+1+1+1+1+1+1+1+38+2+1+1+1+1+1+1+1+1-39+1+1+1+1+1+1+1+1+1+39+1+1+1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