alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
Matematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 20

1, 2, ..., 26 sayılarıyla numaralandırılmış 26 böcek başlangıçta \(k\) numaralı böcek \((k, 0)\) noktasında bulunacak şekilde koordinat düzlemine yerleştirilmiştir. Her hamlede tam olarak bir böcek bulunduğu \((a, b)\) noktasından \((a+1, b)\), \((a-1, b)\), \((a, b+1)\), \((a, b-1)\) noktalarından birine, atlayacağı noktada başka bir böcek bulunmuyorsa, atlıyor. En az kaç hamle sonucunda her \(k = 1, 2, ..., 26\) için \(k\) nolu böcek \((27-k, 0)\) noktasında bulunabilir?

Şıklar:

Cevap:  388

Çözüm:
Bir böcek dışında her böcek en az iki dikey hamle yapmak zorındadır. 1. böcek en az 25, 2. en az 23, ... 13. en az 1, 14. en az 1, 26. en az 25 yatay hamle yapmak zorundadır. O zaman cevap en az \((1+3...+25)+25 \cdot 2 = 25 \cdot 28 = 388\) olabilir. 388 için örnek: önce 1. (26,1) e geliyor, sonra 2. (25,1) e geliyor, ..., 12. (14,1) e geliyor. Daha sonra 13 (13,1) e, 14 (12,1) e, 15. (11,1) e, ..., 25. (2,1) e geliyor. En son 26. (1,0) a geliyor ve kalan tüm böcekler bir birim aşağı iniyorlar.
Matematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 21

Bir ABC üçgeninde B köşesine ait iç açortay karşı kenarı D de, C ye ait iç açortay ise karşı kenarı E de kesiyor. \(m(\overline{EDD}) = m(\overline{DEC})\) olduğuna göre \(m(\overline{EDB})\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  30°

Çözüm:
BEC üçgeninde ED dış açortay, BD iç açortay olduğundan D noktası dış teğet çember merkezidir. Bu durumda, CD dış açortaydır. Yani, [BC' ışını üzerinde kenarın dışında alınan rastgele bir X noktası için \(m(\overline{ECD}) = m(\overline{DCX})\) sağlanır. Öte yandan ACB açısının açortayı CE olduğundan \(m(\overline{ECD}) = m(\overline{BCE})\) dir. Sonuç olarak, \(m(\overline{BCE}) + m(\overline{ECD}) + m(\overline{DCX}) = m(\overline{BCX}) = 180°\) olduğundan \(m(\overline{BCE}) = m(\overline{ECD}) = m(\overline{DCX}) = 60°\) olmalıdır. BEC üçgeninde D noktası dış teğet çember merkezi olduğundan \(m(\overline{BDE}) = \frac{1}{2} \cdot m(\overline{BCE}) = 30°\) olmalıdır.
Matematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 22

\(m\) ve \(n\) tam sayılar olmak üzere, \((m+n^2)(m+1) = 4mn\) eşitliği sağlanıyorsa \(m+n\) ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  -2

Çözüm:
İfadeyi düzenlersek \((m-n)^2+m(n-1)^2 = 0\) elde ederiz. \(m = n = 1\) bir çözümdür. \(n \neq 1\) için \(m = -(m-n)^2/(n-1)^2\) olur. Yani \(-m\) bir tam karedir. \(-m = k^2\), \(k \ge 0\) olsun. Bu durumda \(k = |(k^2+n)/(n-1)|\) olur. \(k = (k^2+n)/(n-1)\) ise \(k-1 = (k^2+1)/(n-1)\) ve buradan da \(k-1 | k^2+1\) olur. \(k = 0, n = 0\), \(k = 2\), \(n = 6\) veya \(k = 3\), \(n = 6\) olur. Buradan gelen çözümler \((m,n) = (0,0)\), \((-4,6)\), \((-9,6)\) olur. \(-k = (k^2+n)/(n-1)\) ise \(-k-1 = (k^2+1)/(n-1)\) ve buradan \(d = -k-1 | k^2+1\) olur. \(k = 0, \ n = 0\) veya \(k = 1, n = 0\) olur. Buradan gelen yeni çözüm \((-1,0)\) dır. Sonuç olarak \(m+n\) sayısı 0, 2, -3, -1 değerlerini alabilir. Cevap -2 olur.
Matematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 23

\(x\) ve \(y\) gerçel sayılar olmak üzere, \(2x+16y = x^2 + y^2\) eşitliği sağlanıyorsa, \(7x+4y\) nin alabileceği en küçük değer nedir?

Şıklar:

Cevap:  - 26

Çözüm:
\(2(7x+4y) = 14x+8y = 2x+8y+12x-8y = x^2+y^2+12x-8y = (x+6)^2 + (y-4)^2 - 52 \ge -52\). \(x = -6\) ve \(y = 4\) ise \(2x+16y = x^2+y^2\) eşitliği sağlanır ve bu durumda \(7x+4y\) sayısı \(-52/2 = -26\) değerini alır.
Matematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 24

Bir sözlü sınava katılan 26 öğrencinin her birine sabah seansında 1 ve akşam seansında 1 olmak üzere, 2 farklı soru soruluyor. Sorulan soruların hepsinin aynı kitaptan olduğu, bir sorunun aynı seansta birden fazla öğrenciye sorulmadığı ve her öğrenci için o öğrenciye sorulan 2 sorudan en az birinin başka hiçbir öğrenciye sorulmadığı biliniyor. Buna göre kitapta en az kaç soru bulunabilir?

Şıklar:

Cevap:  39

Çözüm:
Sabah seansında sorulan sorular kümesi \(S_1\), akşam seansında sorulan sorular \(S_2\) olsun. Bir soru \(A\) ve \(B\), bir diğer soru ise \(C\) ve \(D\) öğrencilerine sorulduysa, bu dört öğrenciye sorulan ikinci sorular birbirinden farklı olacaktır. Bu nedenle, \(2|S_1 \cap S_2| \le |S_1 - S_2| + |S_2 - S_1|\) ve buradan \(|S_1 \cup S_2| \ge 3|S_1 \cap S_2|\). O zaman \(|S_1 \cup S_2| = |S_1| + |S_2| - |S_1 \cap S_2|\) olduğundan \(|S_1 \cup S_2| \ge \frac{3}{2} \cdot 26 = 39\). 39 için örnek: \(i = 1, \dots, 13\) olmak üzere, \(s_i\) sorusu birinci seansta \(i\) nolu öğrenciye, ikinci seansta \(13+i\) nolu öğrenciye sorulsun ve bütün öğrencilerin ikinci soruları birbirinden farklı olsun.
Matematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 25

Bir \(A_1A_2 \dots A_{26}\) düzgün 26-geninde \(A_1A_9\), \(A_1A_{15}\), \(A_1A_{16}\) doğruları \(A_8A_{21}\) doğrusunu sırasıyla \(B, C, D\) noktalarında kesiyorlar. \(\frac{|A_8B|}{|CD|}\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
\(k = 0, 1, \dots, 13\) için \(X_k\) noktasını \(A_1A_{k+8}\) ile \(A_8A_{21}\) in kesişimi olarak tanımlayalım. Yani sorudaki notasyona göre \(A_8 = X_0, B = X_1, C = X_7, D = X_8, A_{21} = X_{13}\) olur. İki adet önemli eşitlik elde edeceğiz: Birincisi, \(A_8A_{21}\) ve \(A_1A_{14}\) ün her biri çokgenin çevrel çemberinin çaplarıdır, o halde \(X_6\) merkezdir. Yani \(|X_0X_6| = |X_6X_{13}|\). İkincisi, \(A_1A_{15} \perp A_8A_{21}\) ve \(m(\overline{X_iA_1X_7}) = m(\overline{X_{14-i}A_1X_7})\) olduğu kolaylıkla görülür ve sonuç olarak \(|X_7X_i| = |X_7X_{14-i}|\) eşitliği ve daha genel olarak her \(i, j = 1, 2, \dots, 6\) için \(|X_iX_j| = |X_{14-j}X_{14-i}|\). İkinci eşitliğin \(i = 1, j = 6\) durumundaki özel \(|X_1X_6| = |X_8X_{13}|\) eşitliğini birinci eşitlikten çıkarırsak \(|X_0X_1| = |X_6X_8| = |X_6X_7| + |X_7X_8| = 2 \cdot |X_7X_8|\) bulunur. Buradan \(\frac{|A_8B|}{|CD|} = \frac{|X_0X_1|}{|X_7X_8|} = 2\) olduğu görülür.
Matematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 26

2 nin tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin \(p\) ile bölümünden kalanların alabileceği farklı değerlerin toplamının \(p\) ye eşit olmasını sağlayan 2018 den küçük kaç farklı \(p\) asalı vardır?

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
\(p = 2\) sağlamaz. \(2^r < p < 2^{r+1}\) olsun. \(2^1, 2^2, \dots, 2^r\) ve \(2^{p-1}\) sayıları \(p\) modunda farklı değerler alır. Bu yüzden \(2^{r+1} - 1 = 1 + 2^1 + \dots + 2^r \le p\) olur. Öte yandan \(p < 2^{r+1}\) dir. Bu ancak \(p = 2^{r+1} - 1\) iken sağlanır. Böyle \(p\) ler için olası kalanlar \(1, 2, 2^2, \dots, 2^r\) olacağından şartlar sağlanır. Yani 2018 den küçük Mersenne asallarının sayısını bulmalıyız. \(2^2 - 1, 2^3 - 1, 2^5 - 1, 2^7 - 1\) sayıları şartları sağlar. \(2^{11} - 1 = 2047 > 2018\) olduğundan başka yoktur. Cevap 4 olur.
Matematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 27

\(a\) ve \(b\) gerçel sayılar olmak üzere, \(P(x) = x^4 + (a+b)x^3 + (a+b+ab)x^2 + (a^2+b^2)x + ab\) polinomunun gerçel kökü yoksa, \((a-2)^2 + (b-2)^2\) ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri nedir?

Şıklar:

Cevap:  7

Çözüm:
\(P(x) = (x^2 + ax + b)(x^2 + bx + a)\) şeklinde yazılabilir. \(P\) nin gerçel kökünün olmaması için \(a^2 < 4b\) ve \(b^2 < 4a\) olmalıdır. Buradan da \((a-2)^2 + (b-2)^2 = (a^2 - 4b) + (b^2 - 4a) + 8 < 8\) olur. \(a = b = 2 + \sqrt{14}/2\) alırsak \(a^2 < 4b, b^2 < 4a\) ve \((a-2)^2 + (b-2)^2 = 7\) olacağından cevap 7 olur.
Matematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 28

Masadaki üç kutuda başlangıçta \(k, l\) ve \(m\) bilye bulunuyor. İki oyuncu sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar ve her hamlede sırası gelen oyuncu kutuların birini veya ikisini seçip seçtiği kutu veya kutulardan birer bilye alıyor. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun \((k, l, m) = (2017, 2018, 2018), (2017, 2018, 2019), (2018, 2018, 2018), (2018, 2019, 2019)\) ve \((2019, 2019, 2019)\) için birer kez oynanırsa, oyuna başlayan oyuncu bu oyunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

Şıklar:

Cevap:  3

Çözüm:
\((2p, 2q, 2s)\) durumunda hangi hamle yapılırsa yapılsın, rakip oyuncu durumu yeniden \((2r, 2e, 2h)\) durumuna getirebiliyor. Bu nedenle \((2p, 2q, 2s)\) durumunda başlayan oyuncu oyunu kaybediyor. Buradan \((2p + 1, 2q + 1, 2s + 1)\) durumunda da başlayan oyuncunun oyunu kaybedeceği görülüyor. Diğer tüm durumlardan bu iki duruma hamle bulunuyor.
Matematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 29

Ayrıt uzunlukları 1,2,3 cm olan bir dikdörtgenler prizmasında \(A\) köşesine en uzak köşe \(F\) olsun. Daima dikdörtgenler prizmasının yüzeyinde hareket etmek şartı ile \(A\) köşesinden \(F\) köşesine giden bir karınca en az kaç cm yol

gitmelidir?

Şıklar:

Cevap:  \(3\sqrt{2}\)

Çözüm:
Ayrıt uzunlukları \(a, b, c\) olan bir dikdörtgenler prizmasında, bulunduğu köşeden kendisine en uzak köşeye giden bir karncanın keseceği ilk ayrıta göre prizmanın açılmış hali göz önüne alındığında, en kısa yolun uzunluğu \(\sqrt{a^2 + (b + c)^2}\), \(\sqrt{b^2 + (a + c)^2}\), \(\sqrt{c^2 + (a + b)^2}\) sayılarından biridir. \(a = 1, b = 2, c = 3\) için en küçüğü \(\sqrt{3^2 + (1 + 2)^2} = 3\sqrt{2}\) dir.
Matematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 30

\(m\) ve \(n\) pozitif tam sayılar, \(p\) bir asal sayı olmak üzere kaç farklı \((m, n, p)\) üçlüsü için \(\frac{13^m + p \cdot 2^n}{13^m - p \cdot 2^n}\) sayısı bir pozitif tam sayıdır?

Şıklar:

Cevap:  1

Çözüm:
\(a = \frac{13^m + p \cdot 2^n}{13^m - p \times 2^n} = 1 + \frac{p \cdot 2^{n+1}}{13^m - p \times 2^n}\) olduğundan \(p = 13\) olursa \(p\) ye sadeleştirdikten sonra payda tek, pay çift oluyor. \(p \neq 13\) ise payda \(p\) ye bölünmez ve tektir. Yani \(a = 13^m - p \cdot 2^n = 1\) dir. (mod 3) ten \(p = 3\) olur. \(m = 1\) ve \(n = 2\) sağlar. \(m \ge 2\) ve \(n \ge 3\) ise (mod 8) den \(m\) çift olmalıdır ama bu durumda da (mod 7) den çelişki gelir.
Matematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 31

\(0 < x \le 1\) olmak üzere, \(\sqrt{1 + \frac{4}{x}} - \sqrt{1 - x}\) ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
\(y = 1 - x\) olsun. Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden 


\[ \sqrt{x+4} = \sqrt{(x+4)(x+y)} \ge \sqrt{xy} + 2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{1-x} + 2) \]


olur. Buradan da \(\sqrt{1 + \frac{4}{x}} - \sqrt{1 - x} \ge 2\) bulunur. Eşitlik \(x = 2\sqrt{2} - 2\) iken sağlanır.
Matematik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 32

26 takımın katıldığı bir turnuvada her takım ikilisi aralarında tam olarak bir maç yapıyor. \(A\) takımı \(B\) takımını, \(B\) takımı \(C\) takımını, \(C\) takımı da \(A\) takımını yenerse \(\{A, B, C\}\) kümesine tuhaf küme diyelim. Bu turnuvada tuhaf küme sayısı en çok kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  728

Çözüm:
Tuhaf olmayan her \(\{A, B, C\}\) kümesinde bir takımın diğer iki takımı yenmesi gerekiyor. \(m\) tane takımı yenmiş her takım \(\binom{m}{2}\) tane tuhaf olmayan küme oluşturacaktır. Demek ki tuhaf olmayan kümelerin sayısının en az olması için takımların kazandıkları maç sayıları bibirlerine mümkün oldukça yakın olmalıdır ve bu durumda da 13 takımın 13, kalan 13 takımın ise 12 takımı yenmesi gerekiyor. Bunun için bir çember ertafına dizilmiş 26

takımın her birinin saat yönündeki ilk 12 takımı yenmesi gerekiyor, diğer maç sonuçları önemli değildir. Sonuç olarak
Matematik Olimpiyatı 2018, 2. Aşama, Soru 1

\[x^2 + y^2 + x + y = xy(x + y) - \frac{10}{27}\]


\[|xy| \le \frac{25}{9}\]


koşullarını sağlayan tüm \((x, y)\) gerçel sayı ikililerini bulunuz. 


**Çözüm**:

Şıklar:

Cevap:  \((-1/3, -1/3)\) ve \((5/3, 5/3)\)

Çözüm:
Öncelikle 


\[x^2 + y^2 + x + y - xy(x + y) + 2 = -(1 - x)(1 - y)(x + y + 2)\]


ve buradan da 


\[(1 - x)(1 - y)(x + y + 2) = \frac{64}{27}\]


elde ederiz. \(k^3 = 1 - x\), \(\ell^3 = 1 - y\), \(m^3 = x + y + 2\) olsun. Bu durumda \(k^3 + \ell^3 + m^3 = 4\) ve \(k\ell m = \frac{4}{3}\) olur. Buradan da \(k^3 + \ell^3 + m^3 = 3k\ell m\) elde ederiz. Çarpanlara ayırarak 


\[(k + \ell + m)((k - \ell)^2 + (\ell - m)^2 + (m - k)^2) = 0\]


ve böylece \(k + \ell + m = 0\) veya \(k = \ell = m\) olur. \(k = \ell = m\) için tek çözüm \(x = y = -1/3\)tür. \(k + \ell + m = 0\) olsun. Bu durumda \(k\ell m = 4/3\) eşitliğini kullanarak \(k\ell(k + \ell) = -4/3\) buluruz. Öte yandan \(|xy| = |(1 - k^3)(1 - \ell^3)| \le 25/9\) eşitsizliği geçerlidir. \(u = k + \ell\), \(v = k\ell\) olarak tanımlayalım. Bu durumda 


\[uv = -\frac{4}{3} \quad \text{ve} \quad |(1 - k^3)(1 - \ell^3)| = |u^3 - v^3 + 3| \le \frac{25}{9}\]


elde ederiz. Bu iki koşuldan 


\[-\frac{52}{9} \le u^3 - v^3 = u^3 + \frac{64}{27u^3} \le -\frac{2}{9} \quad (*)\]


buluruz. AGO eşitsizliğinden \(u^2 \ge 4v = -16/(3u)\) ve buradan da \(u > 0\) veya \(u^3 \le -16/3\) elde ederiz. (*) dan dolayı \(u > 0\) olamaz. Yani \(u^3 \le -16/3\) olmalıdır. Bu durumda ise \(4/(9u^3) + 1 \ge 11/12 > 0\) olduğundan 


\[u^3 + \frac{64}{27u^3} + 52/9 = \left(u^3 + \frac{16}{3}\right) \left(\frac{4}{9u^3} + 1\right) \le 0\]


buluruz. Son gözlemi kullanarak (*) ancak \(u^3 = -16/3\) ve \(u^2 = 4v\) iken sağlanır. Bu ise \(k = \ell = -\sqrt[3]{2/3}\) anlamına gelir. Bu durumda tek çözüm \(x = y = 5/3\) olarak bulunur. Bulunan her
Matematik Olimpiyatı 2018, 2. Aşama, Soru 6

Başlangıçta masanın üzerinde birbirinden farklı 2018 kutu bulunuyor. İlk aşamada Yazan ve Bozan, ilk hamleyi Yazan yapmak üzere, sırayla 2016 şar hamle yapıyorlar ve her hamlede sırası gelen tahtada yazılı olmayan bir kutu ikilisi seçip tahtaya yazıyor. İkinci aşamada Bozan tahtadaki ikilileri 1 den 4032 ye kadar istediği gibi numaralandırıyor ve \(k\) numaralı ikilideki kutulara \(k\) şer top koyuyor. Bozan, kutulardaki top sayılarının birbirinden farklı olmasını garantileyebilir mi? 


Çözüm:

Şıklar:

Cevap:  Bozan, kutulardaki top sayılarının birbirinden farklı olmazı garantileyebilir

Çözüm:
Yazan, ilk hamlesinde tahtaya \((A_1, A_2)\) kutu ikilisini yazsın. Bozan ilk aşamadaki hamlelerinde tahtaya mümkünse sadece \(A_1\) kutusunu içeren kutu ikililerini yazarak tüm \((A_1, A_i) i = 2, 3, \dots, 2018\) ikililerinin tahtaya yazılmasını garantileyebilir. İkinci aşamada Bozan, ilk önce \(A_1\) kutusunu içermeyen 2015 kutu ikililerini 1, 2, ..., 2015 sayılarıyla rastgele numaralandırıp bu numaralandırmaya göre kutulara topları dağıtıyor. \(A_i\) kutusundaki top sayısı \(t(A_i)\) olsun. Genelliği bozmadan, bu işlem sonucunda 


\[t(A_2) \le t(A_3) \le \dots \le t(A_{2018})\]


olduğunu varsayabiliriz. Daha sonra Bozan \(i = 2, 3, \dots, 2018\) olmak üzere, \((A_1, A_i)\) ikilisini \(2014 + i\) sayısıyla numaralandırıp buna göre topları dağıtırsa, 


\[t(A_2) < t(A_3) < \dots < t(A_{2018})\]


olur. \(i = 2, 3, \dots, 2018\) olmak üZere her \(A_i\) kutusuna en fazla 2016 kez top yerleştirilmiştir ve bu işlemlerin sadece birinde yerleştirilen top sayısı 2015 den fazla olmuştur. Bu nedenle 


\[t(A_1) = 2016 + 2017 + \dots + 4032 > 2016 \cdot 2016 + 4032 > t(A_i)\]


ve sonuç olarak tüm kutulardaki top sayıları birbirinden farklıdır.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 1

Bir ABC üçgeninin [BC] kenarı üzerinde bir D noktası ve [AD] üzerinde bir E noktası alınıyor. |DE| = 1, |AE| = 2 ve |BD| = |CD| = √3 ise, \(m(\overline{BAC}) + m(\overline{BEC})\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  180°

Çözüm:
|DE| · |DA| = 3 = |BD|² = |CD|² olduğundan △DBE ~ △DAB ve △DCE ~ △DAC olur. Buradan da ∠EBD = ∠BAD, ∠ECD = ∠CAD olduğundan ∠BAC + ∠BEC = 180° dir.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 2

2020<sup>2019</sup> sayısının 27 ile bölümünden kalan kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  10

Çözüm:
2020 ≡ 22 (mod 27). Euler Teoremi'ne göre 22<sup>18</sup> ≡ 1 (mod 27). 2019 = 18 · 112 + 3 olduğundan 2020<sup>2019</sup> ≡ 22<sup>3</sup> ≡ (-5)<sup>3</sup> = -125 ≡ 10 (mod 27).
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 3

k bir sabit gerçel sayı olmak üzere, 


\[ 
\begin{aligned}
x + y - 2z &= 1 \\
3x + 4z &= 2 \\
kx + 2y &= 3
\end{aligned}
 \]


denklem sistemini sağlayan \((x, y, z)\) gerçel sayı üçlüsü bulunmuyorsa, k kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
İlk denklem -2 ile ikinci denklem -1 ile çarpılıp üçümcü denkleme eklenirse \((k-5)x = -1\) elde edilir. \(k \neq 5\) ise x bulunur ve son iki denklemden y ve z de bulunur. \(k = 5\) ise, \(0 = -1\) çelişkisi bulunur ve denklem sisteminin çözümü bulunmaz.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 4

İki basamaklı pozitif tam sayılardan oluşan ve herhangi iki elemanının çarpımı 100 ile tam bölünmeyen bir kümenin eleman sayısı en fazla kaç olabilir?

Şıklar:

Cevap:  80

Çözüm:
10, 20, ..., 90 sayılarından en fazla biri bu kümenin elemanı olabilir. 25 ve 75 sayılarından herhangi biri kümenin elemanı olursa 4'ün katı olan iki basamaklı 22 sayıdan hiçbiri bu kümenin elemanı olamaz. Buna göre, en az 10 sayı kümenin elemanı olamaz ve dolayısıyle kümenin eleman sayısı en fazla 90 - 10 = 80 olabilir. Şimdi eleman sayısı 80 olan bir örnek verelim. 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 25, 75 sayılarının dışındaki tüm iki basamaklı sayılardan oluşan kümenin koşulları sağladığını gösterelim. Bu kümenin elemanlarından herhangi ikisinin çarpımı 25 ile bölünüyorsa, her iki sayının birer 5 çarpanı vardır. Bu sayılardan en fazla birinin 2

çarpanı olduğu için koşullar sağlanır.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 5

Bir *ABCD* dikdörtgeninin [AB] kenarı üzerinde \(m(\overline{BDC}) = m(\overline{EDA})\) olacak biçimde bir E noktası alınıyor. [BD] doğru parçasının orta noktası F olmak üzere, \(|AD| = 6\) ve \(|BE| = 9\) ise, \(|EF|\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(3\sqrt{2}\)

Çözüm:
Verilen açı bilgilerinden \(ADE \sim CDB\) olduğu görülür. \(\Rightarrow |AE| \cdot (|AE| + 9) = 36\). \(\Rightarrow |AE| = 3\). \(\Rightarrow |DE| = 3\sqrt{5}\) ve \(|BD| = 6\sqrt{5}\). O zaman \(EDB\) üçgeninde kenarortay teoreminden \(|EF| = 3\sqrt{2}\) bulunur.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 6

\(\frac{2019^p - 27^p}{p}\) ifadesinin bir tam sayı olmasını sağlayan \(p\) asal sayılarının toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  88

Çözüm:
Fermat Teoremi'ne göre \(2019^p \equiv 2019 \pmod{p}\) ve \(27^p \equiv 27 \pmod{p}\). O halde \(p|2019 - 27 = 1992 = 2^3 \cdot 3 \cdot 83\). O halde cevap \(2 + 3 + 83 = 88\).
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 7

\(P(x) = (x+1)^{2019} + (x-1)^{2019}\) polinomunun \(x^2 + 1\) polinomu ile bölümünden kalan polinom nedir? 


\[ 
\begin{align*} 
\text{

Şıklar:

Cevap:  } 2^{1010}x

Çözüm:
\quad P(x) &= (x+1)(x^2 + 2x + 1)^{1009} + (x-1)(x^2 - 2x + 1)^{1009} \equiv \\ 
& \quad (x+1)2^{1009}x^{1009} - (x-1)2^{1009}x^{1009} = 2^{1010}x^{1009} = 2^{1010}x \cdot (x^2)^{504} \equiv 2^{1010}x \cdot (-1)^{504} \equiv 2^{1010}x \pmod{x^2 + 1}. 
\end{align*} 
\]
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 8

\(1, 2, \dots, 27\) sayıları ile numaralandırılmış 27 top, \(1, 2, \dots, 27\) sayıları ile numaralandırmış 27 kutuya her bir kutuda bir top bulunacak şekilde dağıtılacaktır. Her bir top için topun numarası bulunduğu kutunun numarasının iki katını geçmeyecek şekilde bu dağılım kaç farklı biçimde yapılabilir?

Şıklar:

Cevap:  \(14! \cdot 14!\)

Çözüm:
1 numaralı top sadece 1 ve 2 numaralı kutulara yerleştirilebilir. 2 numaralı top sadece 1,2,3 ve 4 numaralı kutulara yerleştirilebilir, bu sayılardan birinde 1 numaralı top olduğuna göre, 3 seçenek bulunuyor. Benzer şekilde devam edersek, \(i = 3, 4, \dots, 13\) olmak üzere, \(i\) numaralı topu \(i+1\) farklı şekilde yerleştirebiliriz. Bundan sonra her top herhangi bir boş kutuya yerleştirilebilir. Buna göre cevap \(14! \cdot 14!\) olur.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 9

Bir ABC üçgeninin [AB] kenarı üzerinde bir D noktası alınıyor. D noktasından [BC] kenarına inen dikme ayağı E olmak üzere, |AD| = 1, |BE| = 2, |CE| = 4 ve |CD| = √21 ise, |AC| kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(2\sqrt{5}\)

Çözüm:
Pisagor teoreminden |DE| = \(\sqrt{5}\), |BD| = 3 elde ederiz. |BD| · |BA| = |BE| · |BC| olduğundan A, D, E, C noktaları çemberdeş ve böylece \(\angle DAC = 90^\circ\) olur. Pisagor teoreminden |AC| = \(2\sqrt{5}\) elde ederiz.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 10

\(x\) ve \(y\) tam sayılar ve \(x^2y - 15 = 2x(y+1)\) olmak üzere, \(x+y\) nin alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(-6\)

Çözüm:
Verilen eşitlik \((x-2)(xy-2) = 19\) eşitliğine denktir. Buradan incelenmesi gereken 4 durum çıkar. \(x-2 = 19\), \(xy-2 = 1\) ise \(x = 21\), \(y = 1/7\) olacağından çözüm gelmez. \(x-2 = 1\), \(xy-2 = 19\) ise \(x = 3\), \(y = 7\) çözümü gelir. \(x-2 = -19\), \(xy-2 = -1\) ise \(x = -17\), \(y = -1/17\) olacağından çözüm gelmez. \(x-2 = -1\), \(xy-2 = -19\) ise \(x = 1\), \(y = -17\) çözümü gelir. \(x+y\) alabileceği farklı değerler 10 ve \(-16\) olup cevap \(-6\) olur.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 11

Ahmet'in 2019 yılındaki yaşı, doğum yılının son iki basamağının çarpımından 4 eksiktir. Buna göre Ahmet'in doğum yılının rakamları toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  25

Çözüm:
Ahmet'in 2019 yılındaki yaşı en fazla \(9^2 - 4 = 77\) dir. O halde Ahmet'in doğum yılı 20ab veya 19ab formundadır. İlk durumda 2019 - (2000 + 10a + b) = ab - 4 ve dolayısıyla 23 = b + a(b + 10). a ve b rakam olduklarından a = 0, a = 1 veya a = 2 bulunur. a = 0 ve a = 1 durumlarında b rakamı bulunmaz. a = 2 iken b = 1 bulunur ancak o zaman Ahmet'in 2019 yılındaki yaşı -2 olur, çalışık. O zaman Ahmet'in doğum yılı 19ab'dir. \(\Rightarrow 2019 - (1900 + 10a + b) = ab - 4\). \(\Rightarrow 123 = ab + b + 10a\). \(\Rightarrow (b+10)(a+1) = 133 = 19 \cdot 7\). a ve b rakam olduklarından a = 6 ve b = 9 gelir. O halde Ahmet'in doğum yılı 1969 dur.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 12

Özdeş 6 kırmızı top ve özdeş 6 beyaz top A, B, C, D ve E kutularına, A kutusunda kırmızı toplar beyaz toplardan fazla, B kutusunda beyaz toplar kırmızı toplardan fazla, C, D ve E kutularının her birinde ise eşit sayıda kırmızı ve beyaz top olacak biçimde kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

Şıklar:

Cevap:  252

Çözüm:
Kırmızı ve beyaz topların farkı 1. kutuda k sayısına eşit olursa, 2. kutuda -k sayısına eşit olacaktır. k = 1 durumunda 1. kutuya 1 kırmızı, 2. kutuya 1 beyaz top yerleştirip kalan topları birer kırmızı ve beyaz top içeren çiftlere ayıralım. Bu 5 çift 5 kutuya \(\binom{5+5-1}{5-1} = 126\) şekilde dağıtılabilir.

Benzer şekilde toplar \(k = 2\) durumunda \(\binom{4+5-1}{5-1} = 70\), \(k = 3\) durumunda \(\binom{3+5-1}{5-1} = 35\), \(k = 4\) durumunda \(\binom{2+5-1}{5-1} = 15\), \(k = 5\) durumunda \(\binom{1+5-1}{5-1} = 5\) ve \(k = 6\) durumunda tek şekilde dağıtılabilir. Buna göre cevap \(126 + 70 + 35 + 15 + 5 + 1 = 252\) olur. 


**13.** \(AB \parallel CD\) olan bir \(ABCD\) yamuğunun \([BC]\) kenarı üzerinde alınan bir \(E\) noktası için, \(|BE| > |EC|\), Alan\((ABE) = 15\), Alan\((AED) = 23\) ve Alan\((ECD) = 4\) ise, \(\frac{|BE|}{|EC|}\) oranı kaçtır?
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 13

\(AB \parallel CD\) olan bir \(ABCD\) yamuğunun \([BC]\) kenarı üzerinde alınan bir \(E\) noktası için, \(|BE| > |EC|\), Alan\((ABE) = 15\), Alan\((AED) = 23\) ve Alan\((ECD) = 4\) ise, \(\frac{|BE|}{|EC|}\) oranı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  5

Çözüm:
\(DE\) ile \(AB\) doğrularının kesişimi \(F\) olsun. \(|BE|/|EC| = |FE|/|ED| = k\) diyelim. O zaman Alan\((BEC) = 4k^2\) olur. Ayrıca Alan\((AEF)/Alan(AED) = k\) olacağından \(15 + 4k^2 = 23k\) eşitliği bulunur. Buradan \((k-5)(4k-3) = 0\) elde edilir. Soruda \(k > 1\) verildiğinden \(k = 5\) tir. 


**14.** \(A, B\) ve \(C\) farklı rakamlar olmak üzere, dört basamaklı \(A477, B477\) ve \(C477\) sayılarının her biri asal sayı olduğuna göre, \(A + B + C\) kaçtır?
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 14

\(A, B\) ve \(C\) farklı rakamlar olmak üzere, dört basamaklı \(A477, B477\) ve \(C477\) sayılarının her biri asal sayı olduğuna göre, \(A + B + C\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  14

Çözüm:
\(x \in \{A, B, C\}\) olsun. 


\[x477 = 1000 \cdot x + 477 \equiv \begin{cases} x & (\text{mod } 3) \\ 1 - x & (\text{mod } 7) \\ 4 - x & (\text{mod } 11) \end{cases}\]


olduğundan \(x \notin \{3, 6, 9, 1, 8, 4\}\) olur. Dolayısıyla \(x\)'in alabileceği değerler \(2, 5, 7\) olabilir. O halde \(\{A, B, C\} = \{2, 5, 7\}\). 


**15.** \(2x^2 + y^2 = 1\) eşitliğini sağlayan \((x, y)\) gerçel sayı ikilileri için \(2x+y\) toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?