alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 15

\(2x^2 + y^2 = 1\) eşitliğini sağlayan \((x, y)\) gerçel sayı ikilileri için \(2x+y\) toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(\sqrt{3}\)

Çözüm:
\((2x+y)^2 \le (2x+y)^2 + 2(x-y)^2 = 3(2x^2 + y^2) = 3\) olduğundan \(2x+y \le \sqrt{3}\) olur. Eşitlik \(x = y = 1/\sqrt{3}\) iken sağlanır. 


**16.** \(A, B, C, D\) ve \(E\) noktaları çevresi 15 birim olan bir çember üzerinde bulunmaktadır. A noktasında bulunan bir böcek, \(A\) dan \(B\) ye, \(B\) den \(C\) ye, \(C\) den \(D\) ye, \(D\) den \(E\) ye ve \(E\) den \(A\) ya çember boyunca ilerleyerek gidiyor. Böceğin katettiği mesafeler sırasıyla \((s_1, s_2, s_3, s_4, s_5)\) olmak üzere, \((s_1, s_2, s_3, s_4, s_6)\) beşlisi \((3, 7, 6, 5, 6)\), \((3, 6, 5, 2, 6)\), \((6, 4, 3, 7, 7)\) ve \((5, 3, 4, 5, 6)\) beşlilerinden kaçı olabilir?
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 16

\(A, B, C, D\) ve \(E\) noktaları çevresi 15 birim olan bir çember üzerinde bulunmaktadır. A noktasında bulunan bir böcek, \(A\) dan \(B\) ye, \(B\) den \(C\) ye, \(C\) den \(D\) ye, \(D\) den \(E\) ye ve \(E\) den \(A\) ya çember boyunca ilerleyerek gidiyor. Böceğin katettiği mesafeler sırasıyla \((s_1, s_2, s_3, s_4, s_5)\) olmak üzere, \((s_1, s_2, s_3, s_4, s_6)\) beşlisi \((3, 7, 6, 5, 6)\), \((3, 6, 5, 2, 6)\), \((6, 4, 3, 7, 7)\) ve \((5, 3, 4, 5, 6)\) beşlilerinden kaçı olabilir?

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
Saatin ters yönünü pozitif yön seçelim. \((s_1, s_2, s_3, s_4, s_5)\) değeri alınabiliyorsa \(k\) bir tam sayı olmak üzere, \(\pm s_1 \pm s_2 \pm s_3 \pm s_4 \pm s_5 = 15k\) olacaktır. \(3 + 7 + 6 + 5 - 6 = 15\), \(3 - 6 - 5 + 2 + 6 = 0\), \(6 - 4 - 3 - 7 - 7 = -15\), \(5 + 3 - 4 + 5 + 6 = 15\) olduğuna göre, beşlilerin dördü de olabilir.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 17

\(k < n\) olmak üzere \(A_1A_2 \dots A_k\) düzgün \(k\)-geni \(A_1A_2B_3B_4 \dots B_n\) düzgün \(n\)-geninin içindedir. \(A_3A_4B_4\) bir eşkenar üçgen ise, \(k + n\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  27

Çözüm:
\(A_3A_4B_4\) eşkenar üçgen olduğundan \(A_2A_3B_4B_3\) bir eşkenar dörtgendir. \(k\)-genin bir içaçısı \(x\) ve \(n\)-genin bir içaçısı \(y\) olsun. O zaman \(180^\circ = \angle A_3A_2B_3 + \angle A_2B_3B_4 = (y - x) + y = 2y - x\) olur. Öte yandan \(360^\circ = \angle A_4A_3B_4 + \angle A_4A_3A_2 + \angle A_2A_3B_4 = 60^\circ + x + y\) olduğu görülür. Bu iki denklemden \(y = 160^\circ\) ve \(x = 140^\circ\) elde edilir ve dolayısıyla \(n = 18\) ve \(k = 9\) dur.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 18

\(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılar olmak üzere, \(a*b\) işlemi, \(a\) nın \(b\) ile bölümünden kalan sayı ile \(b\) nin \(a\) ile bölümünden kalan sayının çarpımı olarak tanımlanıyor. Örneğin, \(18*7 = 28\) ve \(5*10 = 0\) dır. \(n*23 = 30\) eşitliğini sağlayan \(n\) pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  16

Çözüm:
\(n \ge 23\) ise \(n*23\) sayısı \(23\) ün tam katı olur. \(\Rightarrow n < 23\). O halde \(n\) ile \(23\) ün \(n\) ile bölümünden kalan sayının çarpımı \(30\) dır. Mümkün ikililer \(30\) ve \(1\), \(15\) ve \(2\), \(10\) ve \(3\), \(6\) ve \(5\) tir. Bu durumlardan sadece son ikisi için eşitlik sağlanır. Cevap \(10 + 6 = 16\).
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 19

\(x = \frac{8}{(16 + \sqrt{240})(4 + \sqrt[4]{240})(2 + \sqrt[8]{240})}\) olmak üzere, \(\frac{1}{1 - (1 - x)^8}\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  16

Çözüm:
\(x\) ifadesinde pay ve payda \(2 - \sqrt[8]{240}\) ile çarpılırsa iki kare farkı özdeşliklerinden \(x = (2 - \sqrt[8]{240})/2\) elde edilir. \(\Rightarrow 2(1 - x) = \sqrt[8]{240}\). \(\Rightarrow 1 - (1 - x)^8 = 1 - 240/256 = 1/16\) ve dolayısıyla cevap 16.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 20

Aslı ve Berk, başlangıçta hiçbir birim karesi boyalı olmayan \(27 \times 27\) bir tahta üzerinde sırayla hamleler yaparak bir oyun oynuyorlar. Oyuna ilk başlayan Aslı, sırası geldiğinde boyalı olmayan bir birim kareyi kırmızıya boyuyor. Sıra Berk'e geldiğinde ise Berk, tahtanın birim karelerinden oluşan ve hiçbir birim karesi boyalı olmayan bir \(2 \times 2\) karenin dört birim karesini de maviye boyuyor. Bir oyuncu hamle yapamıyorsa oyun bitiyor ve Berk boyadığı birim kare sayısı kadar puan kazanıyor. Buna göre, Berk en fazla kaç puan kazanmayı garantileyebilir?

Şıklar:

Cevap:  336

Çözüm:
Koordinat sistemini satranç tahtasının sol alt birim karesinin merkezinin koordinatları (0,0) olmak üzere yerleştirelim. Her birim kare bu birim karenin merkezinin koordinatlarıyla tanımlanmış olsun. \(k, l = 0, 1, \dots, 12\) olmak üzere, \((1 + 2k, 1 + 2l)\) kareleri özel birim kare olsun. Buna göre toplam 169 özel birim kare vardır. Berk'in her hamlesinde maviye boyadığı birim karelerden tam olarak biri özel birim kare olacaktır. Buna göre, Aslı her hamlesinde bir özel kareyi kırmızıya boyarsa, Berk en fazla \([169/2] = 84\) hamle yapabilir. Diğer taraftan, Berk satranç tahtasında herhangi ikisi ortak birim kare paylaşmayan 169 tane \(2 \times 2\) kare belirleyip her hamlesinde sadece bu karelerden birini boyarsa, 84 tane \(2 \times 2\) kareyi boyamayı garantiler. Buna göre, cevap \(84 \cdot 4 = 336\) olur.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 21

\(m(\overline{ACB}) = 90^\circ\) olan bir \(ABC\) dik üçgeninde \(C\) ye ait yükseklik ayağı \(D\) olmak üzere \(|AD| = 8\) ve \(|BD| = 17\) dir. \(\overline{ACB}\) ve \(\overline{CDB}\) açılarının iç açıortaylarının kesişim noktası \(E\) ise, \(|CE|\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  10

Çözüm:
\(\angle ACE = \angle BDE = 45^\circ\) olduğundan \(A, C, E, D\) noktaları çemberdeştir. \(\Rightarrow \angle CAE = \angle CDE = 45^\circ\) ve dolayısıyla \(CEA\) bir ikizkenar dik üçgendir. Öklid bağıntılarından \(|AC| = \sqrt{8(8+17)} = 10\sqrt{2}\) elde edilir. \(\Rightarrow |CE| = 10\sqrt{2}/\sqrt{2} = 10\).
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 22

Ardışık iki pozitif tam sayının her ikisinin de rakamları toplamı 11 ile tam bölünüyorsa, bu ardışık sayılardan küçük olanı en az kaç basamaklıdır?

Şıklar:

Cevap:  7

Çözüm:
Küçük olan sayının sonunda \(k\) tane 9 olsun. O zaman bu iki ardışık sayının rakamları toplamı farkı \(9k - 1\) olur. \(\Rightarrow 11|9k - 1\). \(\Rightarrow k \equiv 5 \pmod{11}\). \(\Rightarrow k \ge 5\). Ayrıca küçük olan sayıda sondaki 9 lar dışında yalnızca bir rakam bulunamaz, aksi takdirde büyük sayının rakamları toplamı en fazla 9 olur. O halde küçük olan sayının en az 7 basamağı vardır. Örnek: 2899999 ve 2900000.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 23

Bir \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) fonksiyonu her \(x\) gerçel sayısı için 


\[f(x^2 - 4x + 1) = (f(x) - 5x + 5)(x^2 - 4x)\]


eşitliğini sağlıyorsa, \(f(5)\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  28

Çözüm:
\(x = 0\) alırsak \(f(1) = 0\) olur. \(x = 1\) alırsak \(f(-2) = 0\) olur. \(x = -2\) alırsak \(f(13) = 180\) olur. \(x = 6\) alırsak \(f(6) = 40\) olur. \(x = 5\) alırsak \(f(5) = 28\) olur. Eşitliği sağlayan bir örnek: \(f(x) = x^2 + x - 2\).
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 24

\(A_1, A_2, \dots, A_8\) adalar olmak üzere, her \(k = 1, 2, \dots, 7\) için \(A_k\) ile \(A_{k+1}\) ve \(A_8\) ile \(A_1\) arasında ikişer köprü bulunmaktadır. \(A_1\) adasında bulunan bir kişi,

bu 16 köprünün her birinden tam olarak bir kez geçerek \(A_1\) adasına dönecek şekilde kaç farklı güzergah izleyebilir?

Şıklar:

Cevap:  4608

Çözüm:
Kişi güzergah boyunca hiç yön değiştirmeyecekse, önce 2 yönden birini seçiyor ve daha sonra ilk 8 köprüyü \(2^8\) farklı şekilde belirliyor. Bundan sonra son 8 köprü tek türlü belirlendiği için toplam \(2 \cdot 2^8\) güzergah oluşuyor. Kişi yön değiştirmeyi \(m = 1, 2, \dots, 8\) olmak üzere, uğradığı \(m\) adada yapabilir. \(m = 1, 2, \dots, 7\) durumlarında kişi önce 2 yönden birini seçiyor ve ilk \(m\) köprüyü \(2^m\) farklı şekilde belirliyor. Bundan sonra yün değiştiriyor ve \(A_1\) adasına ulaşana dek kullandığı \(m\) köprü tek türlü belirleniyor. Daha sonra kullandığı \(8 - m\) köprüyü yine \(2^{8-m}\) farklı şekilde belirleyip yine aynı adada ikinci kez yön değiştiriyor. \(m = 8\) durumunda ise ilk 8 köprü \(2^8\) farklı şekilde belirliyor ve \(A_1\) adasında bir kez yön değiştiriyor. Buna göre, her \(m = 1, 2, \dots, 8\) için \(2 \cdot 2^8\) güzergah oluşuyor. Sonuç olarak toplamda \(2 \cdot 2^8 + 8 \cdot 2 \cdot 2^8 = 18 \cdot 2^8 = 4608\) güzergah oluşuyor.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 25

\(C \in [AB]\) olmak üzere, \([AB]\) çaplı bir yarım çember üzerinde \(D\) ve \(E\) noktaları \(m(\overline{ACD}) = m(\overline{BCE}) = 30^\circ\) olacak biçimde almıyor. \(|AC| = 27\) ve \(|CB| = 3\) ise, \(|CD| - |CE|\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(12\sqrt{3}\)

Çözüm:
Yarım çemberin merkezi \(O\) olsun. \(O\) zaman \(|OC| = 12\) olur. \(|CD| = x\) ve \(|CE| = y\) olsun. \(OCD\) ve \(OEC\) üçgenlerinde Kosinüs teoreminden \(x^2 + 144 - 12x\sqrt{3} = 225 = y^2 + 144 + 12y\sqrt{3}\) elde edilir. Buradan \((x-y)(x+y) = (x+y)12\sqrt{3}\) gelir ve dolayısıyla \(x - y = 12\sqrt{3}\) tür.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 26

\(n\) bir pozitif tam sayı ve \(a_1, a_2, \dots, a_n \in \{-3, 2\}\) olmak üzere, \(\sum_{k=1}^n a_k \binom{n}{k} = 87\) eşitliği sağlanıyorsa, \(n\) nin alabileceği en küçük değer nedir?

Şıklar:

Cevap:  9

Çözüm:
\[87 = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot \binom{n}{i} \le 2 \cdot \sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i} = 2(2^n - 1)\]


olduğundan \(n \ge 6\) dır. 


\[2 \equiv 87 \equiv 2 \cdot \sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i} \equiv 2(2^n - 1) \pmod{5}\]


olduğundan \(4 \mid n - 1\) dir. Yani \(n\) en az 9 olabilir. \(n = 9\) için örnek: 


\[-3 \left[ \binom{9}{1} + \binom{9}{3} + \binom{9}{6} + \binom{9}{8} + \binom{9}{9} \right] + 2 \left[ \binom{9}{2} + \binom{9}{4} + \binom{9}{5} + \binom{9}{7} \right] = 87.\]
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 27

\[
\begin{align*}
x &= y^2 + y + 1 \\
5y &= 2 - x - x^2
\end{align*}
\]


denklem sistemini sağlayan kaç \((x, y)\) gerçel sayı ikilisi vardır?

Şıklar:

Cevap:  2

Çözüm:
\(-5y = x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) = (x + 2)y(y + 1)\) olur. \(y = 0\) için \(x = 1\) sağlar. \(y \neq 0\) için \(-5 = (x + 2)(y + 1) = (y^2 + y + 3)(y + 1)\) ve buradan da \(y^3 + 2y^2 + 4y + 8 = (y + 2)(y^2 + 4) = 0\) elde ederiz. \(y = -2, x = 3\) diğer çözümdür.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 28

Bir ağaç üzerinde bulunan 22 yuvann herhangi ikisi \(r_1, r_2, \dots, r_n\) renklerinden biri ile boyalı bir iple birleştirilmiştir. Bir salyangoz, her \(k = 1, 2, \dots, n\) için herhangi bir yuadadan herhangi başka bir yuvaya sadece \(r_k\) rengine boyalı ipler üzerinde ilerleyerek varabiliyorsa, \(n\) nin alabileceği en büyük değer nedir?

Şıklar:

Cevap:  11

Çözüm:
Her renge boyalı en az 21 ip bulunması gerekiyor. Buna göre, \(k \le \frac{\binom{22}{2}}{2} = 11\) olacaktır. Şimdi \(2n\) yuva için iplerin \(n\) renge boyanabileceğini \(n\) üzerinden tünevarm yaparak gösterelim. \(n = 1\) durumu açıktır. \(n\) için boyamanın yapılabileceğini varsayalım. \(a_1, a_2, \dots, a_n, b_1, b_2, \dots, b_n\) yuvalarını birleştiren ipler \(r_1, r_2, \dots, r_n\) renkleriyle boyanmış olsun. Her \(i = 1, 2, \dots, n\) için \(a_{n+1}\) ve \(a_i\) yuvalarını birleştiren iple \(b_{n+1}\) ve \(b_i\) yuvalarını birleştiren ipi \(r_i\) rengine boyayalım. Daha sonra \(a_{n+1}\) ve \(b_i\) yuvalarını birleştiren iple \(b_{n+1}\)ve \(a_i\) yuvalarını birleştiren iplerin hepsini \(r_{i+1}\) rengine boyayalım. Son olarak \(a_{n+1}\) ve \(b_{n+1}\) yuvalarını birleştiren ipi de \(r_{n+1}\) rengine boyarsak koşullar sağlanmış olacaktır.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 29

Bir dikdörtgenler prizmasının bir yüzeyi kırmızıya, iki yüzeyi maviye ve üç yüzeyi sarıya boyanmıştır. Kırmızı renkli yüzeyin alanı 100 cm², mavi renkli yüzeylerin alanları toplamı 109 cm² ve sarı renkli yüzeylerin alanları toplamı 59 cm² ise, bu prizmanın hacmi kaç cm³ tür?

Şıklar:

Cevap:  150

Çözüm:
Ortak bir köşeye sahip üç yüzeyin alanları \(A \ge B \ge C\) olsun. \(A, A, B, B, C, C\) sayıları, biri 100'e, ikisinin toplamı 109'a ve üçünün toplamı 59'a eşit olacak şekilde üç gruba ayrılmıştır. Kolayca görüleceği üzere \(A = 100\) olmalıdır. O halde \(\{x, y\} = \{B, C\}\) olmak üzere, \(A + x = 109\) ve \(x + 2y = 59\) olur. Buradan da \(x = 9\) ve \(y = 25\) elde edilir. Sonuç olarak \(\{A, B, C\} = \{100, 25, 9\}\) bulunur ve hacim de \(\sqrt{ABC} = \sqrt{100 \cdot 25 \cdot 9} = 150\) cm³ bulunur.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 30

Ahmet aklında bir pozitif tam sayı tutuyor. Sonrasında Ahmet Betül'e, bu sayının üç basamaklı olduğunu ve bu sayının sırasıyla 10, 11 ve 12 ile bölümünden kalanları söylüyor. Betül yalnızca bu bilgileri kullanarak Ahmet'in sayısını bulabiliyor. Buna göre, Ahmet'in tuttuğu sayının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  419

Çözüm:
Ahmet'in tuttuğu sayı n olsun. okek(10, 11, 12) = 660 olduğundan Ahmet'in verdiği bilgiler 100 ≤ n ≤ 999 ve n nin 660 ile bölümünden kalan sayıdır. 100 ≡ 760 (mod 660), 101 ≡ 761 (mod 660), ..., 339 ≡ 999 (mod 660) olduğundan n sayısı 100, ..., 339, 760, ..., 999 sayılarından biri olamaz. 340, 341, ..., 759 sayılarından herhangi biri için o sayıya (mod 660) da denk üç basamaklı yalnızca bir sayı bulunduğundan Ahmet'in tuttuğu sayının alabileceği değerler 340, 341, ..., 759 dur ve dolayısıyla cevap 759 - 340 = 419 olur.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 31

\(x^9 + x^7 + x^6 + x^5 + x^2 - x - 1\) polinomunun gerçel köklerinin toplamı A ve çarpımı B olmak üzere, \(A(B+1)\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(-1\)

Çözüm:
\(x^9 + x^7 + x^6 + x^5 + x^3 - x - 1 = (x^3 + x + 1)(x^6 + x^2 - 1)\) dir. \(P(x) = x^3 + x + 1\) tek dereceli ve artan olduğundan tek gerçel kökü vardır. Öte yandan bu kök negatif olduğundan bir \(a > 0\) sayısı için \(-a^2\) formundadır. \(x^6 + x^2 - 1 = -P(-x^2)\) olduğundan bu polinomun da ters işaretli iki tane gerçel kökü vardır. Bu kökler \(-a\) ve \(a\) olmalıdır. \(a^6 + a^2 = 1\) dir. Yani toplam üç gerçel kök vardır ve bunlar \(-a, a, -a^2\) formundadır. Bu durumda \(A = -a^2\), \(B = a^4\) olacağından \(A(B+1) = -a^2(a^4 + 1) = -a^6 - a^2 = -1\) olur.
Matematik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 32

Düz bir yol üzerinde yan yana yer alan 27 bahçenin herhangi ikisinde aralarındaki hiçbir bahçede bulunmayan aynı bir ağaç türü yer almaktadır. Buna göre, bu bahçelerin en az birinde yer alan ağaç türü sayısı en az kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  182

Çözüm:
Bahçelerin koordinat doğrusu üzerinde 1, 2, ..., 27 noktalarında bulunduklarını varsayalım. 1, 2, ..., 13 noktalarındaki bahçeler birinci, 14, 15, ... 27 noktalarındaki bahçeler ise ikinci bahçe grubunu oluştursun. Biri birinci, bir diğeri ikinci gruptan olan bahçelerin oluşturdukları 13 · 14 = 182 tane bahçe ikilisi vardır. Bu bahçe ikililerine temel ikili diyelim. Koşullara göre, herhangi temel bahçe ikilisinde diğer temel bahçe ikililerinde bulunmayan bir ağaç türü bulunuyor. Buna göre, en az 182 ağaç türü vardır. Diğer taraftan, \(x\) ve \(y\) noktalarındaki bahçelerin oluşturduğu temel bahçe ikilisinde bulunup diğer temel bahçe ikililerinde bulunmayan ağaç türü, \(k\) pozitif tam sayı olmak üzere, \(x - k|y - x|\) ve \(y + k|y - x|\) noktalarındaki bahçelerde de bulunursa, bu 182 ağaç türü yeterli olur.
Matematik Olimpiyatı 2019, 2. Aşama, Soru 1

\(a, b, c\) pozitif gerçel sayıları 


\[ (\sqrt{ab} - 1)(\sqrt{bc} - 1)(\sqrt{ca} - 1) = 1 \]


şartını sağlıyor. 


\[ a - \frac{b}{c}, \quad a - \frac{c}{b}, \quad b - \frac{c}{a}, \quad b - \frac{a}{c}, \quad c - \frac{a}{b}, \quad c - \frac{b}{a} \]


sayılarının en çok kaçı 1 den büyük olabilir? 


**Çözüm:**

Şıklar:

Cevap:  4

Çözüm:
\[ (a, b, c) = \left( \frac{5}{4}, \frac{5}{4}, \frac{36}{5} \right) \text{ alırsak soruda verilen şart sağlanır ve} \]


\[ a - \frac{b}{c} = b - \frac{a}{c} = \frac{155}{144}, \quad a - \frac{c}{b} = b - \frac{c}{a} = -\frac{451}{100}, \quad c - \frac{a}{b} = c - \frac{b}{a} = \frac{31}{5} \]


olduğundan tam olarak 4 tane 1 den büyük değer elde ederiz. 


Şimdi ise daha fazla 1 den büyük ifade olamayacağını gösterelim. \(\sqrt{ab} - 1\), \(\sqrt{bc} - 1\), \(\sqrt{ca} - 1\) sayıları \(-1\) den büyüktür. Bu üç sayının çarpımı 1 olduğundan, en az biri \(\le 1\) ve en az biri \(\ge 1\) olmalıdır. Genelliği bozmadan \(\sqrt{ab} - 1 \le 1\) ve \(\sqrt{bc} - 1 \ge 1\) olsun. Bu durumda \(ab \le 4 \le bc\) olur. AGO eşitsizliğinden 


\[ b + c \ge 2\sqrt{bc} \ge 4 \ge ab \]


elde ederiz. Buradan da \(b + c \ge ab\) ve \(c \ge b(a - 1)\) elde edilir ve böylece \(a - \frac{b}{c} \le 1\) olur. İki durum inceleyeceğiz: 


1. Durum: \(\sqrt{ca} - 1 \le 1\). 


Bu durumda \(ca \le 4 \le bc\) ve buradan da \(ca \le b + c\) yani \(a - \frac{b}{c} \le 1\) olur.
Matematik Olimpiyatı 2019, 2. Aşama, Soru 5

\(f : \{1, 2, \dots, 2019\} \to \{-1, 1\}\) bir fonksiyon olmak üzere, her \(k \in \{1, 2, \dots, 2019\}\) için öyle bir \(\ell \in \{1, 2, \dots, 2019\}\) vardır ki, 


\[ \sum_{i \in \mathbb{Z} : (\ell-i)(i-k) \ge 0} f(i) \le 0 \]


eşitsizliği sağlanır. Buna göre, 


\[ \sum_{i \in \mathbb{Z} : 1 \le i \le 2019} f(i) \]


toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? 


**Çözüm:**

Şıklar:

Cevap:  673

Çözüm:
Sorudaki koşulları sağlayan 


\[ f(i) = \begin{cases} -1 & 674 \le i \le 1346 \\ 1 & 0 \le i \le 673 \text{ ve } 1347 \le i \le 2019 \end{cases} \]


foksiyonu için \(\sum_{i \in \mathbb{Z} : 1 \le i \le 2018} f(i) = 673\) olur. 


Şimdi cevabın en fazla 673 olabileceğini gösterelim. Her \(k\) sayısı için, eşitsizliği sağlayan \(l \le k\) sayılarının en büyüğü \(l^-(k)\) ve eşitsizliği sağlayan \(k \le l\) sayılarının en küçüğü \(l^+(k)\) olsun. Koşullara göre, her \(k\) için \(l^-(k)\) ve \(l^+(k)\) sayılarının en az biri bulunacaktır ve var olmaları halinde \(f(l^-(k)) = -1\) ve \(f(l^+(k)) = -1\) olacaktır. Tanıma göre, \(l^-(k_1) = l^-(k_2)\) veya \(l^+(k_1) = l^+(k_2)\) ise \(k_1 = k_2\) olduğu görülür. Sonuç olarak \(f(l) = -1\) olan bir \(l\) sayısı en fazla bir \(k\) sayısı için \(l^-(k)\) ve en fazla bir \(k\) sayısı için \(l^+(k)\) olabilir. Buna göre, \(f(l) = -1\) olan \(l\) sayılarının sayısı 2019/3 = 673 sayısından az olamaz ve böylece ispat tamamlanır.
Matematik Olimpiyatı 2020, 1. Aşama, Soru 1

\(m(\widehat{ABC}) = 135^\circ\) olan bir \(ABC\) üçgeninin çevrel çemberinin merkezi \(O\) olsun. [OC] doğru parçası üzerindeki bir \(D\) noktası için \(m(\widehat{DBA}) = 90^\circ\) ve \(m(\widehat{ADO}) = 70^\circ\) ise, \(m(\widehat{BAC})\) nedir?

Şıklar:

Cevap:  \(25^\circ\)

Çözüm:
\(O\) merkez ve \(m(\widehat{ABC}) = 135^\circ\) olduğundan \(m(\widehat{DOA}) = 90^\circ\)'dir. \(O\) halde \(A, B, D, O\) noktaları çemberseldir. \(\Rightarrow m(\widehat{ABO}) = 70^\circ\). \(|OA| = |OB|\) olduğundan \(m(\widehat{BAO}) = 70^\circ\) bulunur. \(AOC\) ikizkenar dik üçgen olduğu için \(m(\widehat{BAC}) = 70^\circ - 45^\circ = 25^\circ\) elde edilir.
Matematik Olimpiyatı 2020, 1. Aşama, Soru 2

\(2^{p-3} + 3^{p-3} + 4^{p-3}\) toplamının \(p\) ile tam bölünmesini sağlayan \(p\) tek asal sayılarının toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  \(64\)

Çözüm:
\(p = 3\)'ün sağladığı açıktır. \(p > 3\) olsun. Fermat Teoremi'nden dolayı \(2^{p-1} \equiv 3^{p-1} \equiv 4^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)'dir. \(p|2^{p-3} + 3^{p-3} + 4^{p - 3} \Leftrightarrow p|9 \cdot 16 \cdot (2^{p-3} + 3^{p-3} + 4^{p+3}) = 36 \cdot 2^{p-1} + 16 \cdot 3^{p-1} + 9 \cdot 4^{p-1} \Leftrightarrow p|36 + 16 + 9 = 61\). \(O\) halde 3 dışındaki tek çözüm 61'dir.
Matematik Olimpiyatı 2020, 1. Aşama, Soru 3

\(x\) bir gerçel sayı olmak üzere \((x + 4)(x^2 + 16) = 11\) ise, \(x^4 - 11x\) aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?

Şıklar:
A) 175 | B) 183 | C) 196 | D) 204 | E) 212

Cevap: E 212

Çözüm:
Verilen eşitlik \(x^3 + 4x^2 + 16x + 53 = 0\) denklemine denktir ve bu denklem üçüncü dereceden olduğu için en az bir gerçel köke sahiptir. Verilen eşitlikte her iki tarafı \(x - 4\) ile çarparsak \(x^4 - 256 = 11x - 44\) elde edilir ve buradan da \(x^4 - 11x = 212\) bulunur.
Matematik Olimpiyatı 2020, 1. Aşama, Soru 4

Bir sincap 101 fındık içeren bir kesedeki fındıkların tümünü ya da bir kısmını üç gün içinde yiyecektir. Bu sincap, ikinci ve üçüncü günlerde eşit sayıda fındık ve her gün en az bir fındık yiyecek şekilde bu işlemi kaç farklı biçimde yapabilir?

Şıklar:

Cevap:  2500

Çözüm:
Birinci, ikinci ve üçüncü günde yenen fındık sayıları sırasıyla \(a, b\) ve \(b\) olsun. \(O\) zaman \(0 < a < a + 2b \le 101\) olmak üzere, \(a\) ve \(a + 2b\) sayıları her şeyi belirleyecektir. Buna göre, toplam durum sayısı 50 çift ya da 51 tek sayıdan iki sayıyı seçme sayısı na eşit olur. Dolayısıyla cevap \(\binom{50}{2} + \binom{51}{2} = 2500\)'dür.
Matematik Olimpiyatı 2020, 1. Aşama, Soru 5

Düzgün bir \(ABCDEF\) altıgeninin \([DE]\) kenarı üzerinde bir \(P\) noktası alınıyor. Alan\((PAB) = 60\) ve Alan\((PBC) = 44\) ise, Alan\((PAF)\) kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  46

Çözüm:
Altıgenin bir kenar uzunluğu \(a\) ve \(|EP| = x\) olsun. \(E\) ve \(D\) noktalarından \(AF\) doğrusuna inen dikme uzunlukları sırasıyla \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\) ve \(a\sqrt{3}\)'tür. Dolayısıyla benzerlikten \(P'\)den \(AF\) doğrusuna inen dikmenin uzunluğunun \(\frac{(a+x)\sqrt{3}}{2}\) olduğu görülür. O halde \(\operatorname{Alan}(PAF) = \frac{a(a+x)\sqrt{3}}{4}\) bulunur. Benzer şekilde \(\operatorname{Alan}(PBC) = \frac{a(a+(a-x))\sqrt{3}}{4} = \frac{a(2a-x)\sqrt{3}}{4}\) elde edilir. Kolayca görüleceği üzere \(\operatorname{Alan}(PAB) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)'dir ve 


\[ \operatorname{Alan}(PBC) + \operatorname{Alan}(PAF) = \frac{3}{2} \operatorname{Alan}(PAB) \]


eşitliği sağlanır. O zaman \(\operatorname{Alan}(PAF) = 90 - 44 = 46\)'dır.
Matematik Olimpiyatı 2020, 1. Aşama, Soru 6

\(\sqrt{n+11} + \sqrt{n+\sqrt{n+11}}\) ifadesinin bir tam sayı olmasını sağlayan \(n\) tam sayılarının toplamı kaçtır?

Şıklar:

Cevap:  113

Çözüm:
\(\sqrt{n+11} + \sqrt{n+\sqrt{n+11}} = m\) olsun. \(\Rightarrow \sqrt{n+\sqrt{n+11}} = m-\sqrt{n+11}\). Her iki tarafın karesini alırsak \((2m+1)\sqrt{n+11} = m^2+11\) elde edilir. Buradan \(\sqrt{n+11}\)'in bir rasyonel sayı olduğu görülür. O halde \(n+11\) tam sayı olduğu için \(\sqrt{n+11}\) tam sayı olmalıdır. Dolayısıyla \(2m+1|m^2+11\) bulunur. \(\Rightarrow 2m+1|4(m^2+11) - (2m+1)(2m-1) = 45\). \(m\)'nin pozitif bir sayı olduğu açıktır ve dolayısıyla \(2m+1\) sayısı 3, 5, 9, 15 veya 45 olabilir. \(2m+1 = 3\) ise, \(m = 1\) ve \(n = 5\) bulunur ancak bu ikili başlangıçtaki eşitliği sağlamaz. \(2m+1 = 5\) ise, \(m = 2\) ve \(n = -2\) olur fakat bu ikili de başlangıçtaki eşitliği sağlamaz. \(2 m + 1 = 9, 15, 45\) durumlarında ise sırasıyla \((m, n) = (4, -2), (7, 5), (22, 110)\) bulunur ve bu ikililer koşulları sağlar. O halde cevap \(-2 + 5 + 110 = 113\)'tür.
Matematik Olimpiyatı 2020, 1. Aşama, Soru 7

\(a > 0\) ve \(b \neq c\) koşullarını sağlayan \(a, b, c, d\) gerçel sayıları için \(P_1(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) ve \(P_2(x) = ax^3 + cx^2 + bx + d\) polinomları tanımlanıyor. \(P_1(x+1) - P_1(x)\) ve \(P_2(x+1) - P_2(x)\) polinomlarının alabilecekleri en küçük değerler eşitse, \(\frac{b+c}{a}\) aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?

Şıklar:
A) \(-3\) | B) \(-1\) | C) \(1\) | D) \(3\) | E) Hiçbiri

Cevap: A \(-3\)

Çözüm:
\(Q_1(x) = P_1(x+1) - P_1(x) = 3ax^2 + (3a+2b)x + a+b+c\) polinomunun alabileceği en küçük değer \(a+b+c - (3a+2b)^2/(12a)\)'dır. Benzer şekilde \(Q_2(x) = P_2(x+1) - P_2(x) = 3ax^2 + (3a+2c)x + a+b+c\) polinomunun alabileceği en küçük deşer \(a+b+c - (3a+2c)^2/(12a)\)'dır. Bu iki değer eşit olduğundan \((3a+2b)^2 = (3a+2c)^2\) elde edilir. \(b \neq c\) olduğu için de \(b+c = -3a\) olur.
Matematik Olimpiyatı 2020, 1. Aşama, Soru 8

N pozitif bir tam sayı olmak üzere, \(a_1, a_2, \dots, a_k\) pozitif tam sayıları \(N = a_1 + a_2 + \dots + a_k\) ve her \(1 \le i \le k\) için \(a_i = a_{k+1-i}\) koşullarını sağlıyorsa, \((a_1, a_2, \dots, a_k)\) sıralı k-lisine \(N\)'nin bir simetrik dağılımı diyelim. Örneğin, (5), (2, 1, 2) ve (1, 1, 1, 1, 1) sıralılarının her biri 5 in bir simetrik dağılımıdır. Buna göre 28 sayısının kaç farklı simetrik dağılımı vardır?

Şıklar:

Cevap:  16384

Çözüm:
28 tane 1 sayısını bir sıraya düzelim. Bu sayıların aralarında 27 tane boşluk bulunuyor. Bu boşlukların bazılarına ayraçlar yerleştirerek farklı \(28 = a_1 + a_2 + \dots + a_k\) gösterimleri elde ederiz. Simetrik dağılım elde etmek için ilk 14 boşluğun bazılarına ayraç yerleştirip daha sonra ayraç koyulan boşlukların 14. boşluğa göre simetrilerine de ayraç ekleriz. 28'in her simetrik dağılımı bu şekilde tek türlü elde edildiğinden sonuç \(2^{14} = 16384\)'tür.