Matematik Olimpiyatı 2023, 2. Aşama, Soru 6

Bir \(ABC\) üçgeninin \(BC\), \(AC\), \(AB\) kenarları üzerinde sırasıyla \(D\), \(E\), \(F\) noktaları \(DE \parallel AB\), \(DF \parallel AC\) ve \(\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|^2}{|AC|^2}\) olacak şekilde alınıyor. \(AEF\) üçgeninin çevrel çemberi, \(AD\) doğrusu ile ikinci kez \(R\) noktasında ve \(ABC\) üçgeninin çevrel çemberine \(A\) noktasından çizilen teğet ile ikinci kez \(S\) noktasında kesişiyor. \(EF\) doğrusu, \(BC\) ve \(SR\) doğruları ile sırasıyla \(L\) ve \(T\) noktalarında kesişiyor. \(SR\) doğrusunun \([AB]\) doğru parçasını ortalaması için gerek ve yeter koşulun \(BS\) doğrusunun \([TL]\) doğru parçasını ortalaması olduğunu gösteriniz.

Şıklar:


Çözüm:
Sorudaki şarttan dolayı \(AD\) simyedandır. Üçgenin kenar uzunlukları \(a, b, c\) olmak üzere, \(AF/FB = CD/DB = b^2/c^2\) olduğu için \(AF = b^2c/(b^2 + c^2)\) ve benzer şekilde \(AE = c^2b/(b^2 + c^2)\) elde edilir. Buradan da \(AE.AC = AF.AB\) gelir yani \(B, E, C, F\) çemberdeş bulunur. \((ABC)\) çemberine \(\Gamma\), \((AEF)\) çemberine \(\omega\) diyelim. \(AD\) ile \(\Gamma\) ikinci kez \(Q\) noktasında kesişsin. \(AS \cap BC = P\) olsun. \(\Gamma\) ve \(\omega\) çemberlerinin \(A\) dan farklı kesişim noktası \(M\) olmak üzere, bu iki çember ve \((BCEF)\) nin kuvvet eksenleri nokta daştır, bu nokta \(AM \cap EF \cap BC = T\) olsun. \(A\) noktasından \(BC\) ye çizilen paralel \(\Gamma\) ile ikinci kez \(A'\) noktasında kesişsin. \(\angle C = \angle AFE = \angle EAA'\) olduğundan \(AA'\) ve \(\omega\) teğettir. 


Şimdi, \(M\) merkezli ve \(F \to B\), \(E \to C\) götüren \(\sigma\) spiral homotetisine bakalım, \(\omega\) çemberini \(\Gamma\) ya götüreceği için \(S \to A\), \(A \to A'\) ve \(R \to Q\) olur. \(AQ\) simedyan olduğundan \(\Gamma\) çemberinde \(Q\) ve \(A\) dan çizilen teğetler \(BC\) üzerinde kesişiyor, dolayısıyla \(\sigma\) altında \(\omega\) ya \(R\) ve \(S\) den çizilen teğetler \(EF\) üzerinde kesişecek. Ayrıca, \(DEF\) çemberi ile \(BC\) doğrusu teğet olduğu için \(TD^2 = TE.TF = TB.TC\)

elde edilir, \((P, D; B, C) = -1\) olduğu için de \(T\) noktası \(PD\) nin orta noktası bulunur. \(AA'\) ve \(BC\) paralel olduğu için de \((AP, AD; AT, AA') = -1\) harmonikliğini \(\omega\) ya yansıtsarak \((S, R; M, A) = -1\) gelir, yani \(S\) ve \(R\) den çiziler \(AM\) üzerinde de kesişir, bu durumda iki doğrunun kesişimi \(T\) noktasıdır. 


Böylece \(p_\omega(T) = SR\) olur, \(AM\) ve \(EF\) doğruları \(T\) noktasında kesiştiği için Brokard Teoremi sebebiyle \(AF\) ve \(EM\), kutup doğrusu olan \(SR\) üzerinde kesişir. Yani \(AB\), \(EM\), \(SR\) noktadaştır, ayrıca \(L\) noktası kutup doğrusu \(SR\) üzerinde olduğu için \((T, L; F, E) = -1\) olur. Ayrıca, \(\omega\) üzerindeki \((S, Q; A, M) = -1\) harmonikliği \(\sigma\) altında \((A, Q; M, A') = 1\) harmonikliğine gider, yani \(A'\), \(M\), \(P\) doğrusaldır ve \(A'M \cap AQ = V\) dersek \((P, V; M, A') = -1\) olur. Son olarak, \(AA' \parallel BC\), \(\sigma\) altında \(SA \parallel EF\) olur ve \((S, R; M, A) = -1\) harmonikliğini \(S\) üzerinden \(\omega\) ya çekip \(EF\) doğrusuna yansıtarak, \(W = SM \cap EF\) olmak üzere \((SS, SR; SM, SA) = (T, L; W, \infty_{EF}) = -1\) elde edilir yani \(W\), \(TL\) nin orta noktasıdır. 


Şimdi, sorudaki şartları yorumlamaya geçelim. İki şartın da \(\angle B = 2\angle C\) veya \(180 + \angle B = 2\angle C\) olmasına denk olduğunu göstereceğiz. Bu iki durum, yalnızca \(\angle B > \angle C\) veya \(\angle B < \angle C\) olması ile ilişkilidir ve tamamen aynı şekilde çözülebilir, biz \(\angle B > \angle C\) durumunu inceleyeceğiz. Öncelikle, \(\angle AMA' = B - C\) olması \(\sigma\) altında \(\angle SMA = B - C\) verecektir, ayrıca \(\angle AME = \angle AFE = C\) olur. \(B = 2C\) olması sırasıyla aşağıdakilere denktir: 


\[1. B = 2C \Leftrightarrow \angle SMA + \angle AMB = B - C + (180 - C) = 180 \Leftrightarrow B, M, W, S \text{ doğrusal}\]


\[2. B = 2C \Leftrightarrow \angle AMA' = B - C = C = \angle AME \Leftrightarrow P, M, E, A' \text{ doğrusal}\]


İlk şarttan dolayı, \(BS\) nin \([TL]\) yi ortalaması \(B = 2C\) olmasına denktir. \(AB\), \(SR\), \(EM\) noktadaşlığından dolayı ise \(SR\) nin \([AB]\) yi ortalaması ile \(EM\) nin \([AB]\) yi ortalaması birbirine denktir. \(EM\) nin \([AB]\) yi ortalaması ise \((EA, EB; EM, ED) = -1\) olmasına, bunu da \(BC\) doğrusuna yansıtınca \(E, M, P\) nin doğrusal olmasına denktir. 2. şarttan dolayı da bu \(B = 2C\) olmasına denktir ve böylece soruda istenen gösterilmiş olur.