Matematik Olimpiyatı 2025, 2. Aşama, Soru 2

*m* ve *n* pozitif tam sayılar olmak üzere, *m* × *n* satranç tahtası, bu tahtanın birim karelerinden oluşan 1 × 2 ve 2 × 1 dikdörtgenlerle, herhangi iki dikdörtgen ortak birim kare içermeyecek şekilde tamamen kaplanmıştır. 1 × 2 dikdörtgenlerin kapladığı birim kareler kırmızıya, 2 × 1 dikdörtgenlerin kapladığı birim kareler maviye boyanıyor. Bu satranç tahtasında bir tarafı mavi bir tarafı kırmızı olan birim kenarların sayısının çift olduğunu gösteriniz. 


**Çözüm:** Bu tahtada 1 × 2 dikdörtgenlerin kapladığı karelere 1, 2 × 1 dikdörtgenlerin kapladığı karelere -1 yazalım. Tahtanın kenarları üzerinde olmayan her bir birim kenara ise, ait olduğu birim karelerdeki sayıların çarpımını yazalım. Bu durumda, soruda istenen koşul -1 yazılı birim kenar sayısının çift olduğuna denktir. O halde, bu birim kenarlardaki yazdığımız tüm sayıların çarpımının 1 olduğunu göstermeliyiz. 


Bu sayıların tümünün çarpımını inceleyelim. Bu çarpımda köşedeki birim karelere yazan sayıların kareleri, tahtanın kenarında yer alıp köşe olmayan karelere yazan sayıların küpü, diğer birim karelere yazan sayıların ise dördüncü kuvveti yer alır. Çift kuvveti alınan sayıların bu çarpıma katkısı 1 olduğundan ötürü, tahtanın kenarında yer alıp köşe olmayan karelerde yazan sayıların çarpımının 1 olduğunu göstermeliyız. Dolayısıyla, tahtanın kenarlarında yer alıp köşe olmayan mavi kare sayısının çift olduğunu göstermeliyiz. 


En üst satırdaki 1 × 2 dikdörtgen sayısı *a*, en alt satırdaki 1 × 2 dikdörtgen sayısı *b*, en sol sütundaki 2 × 1 dikdörtgen sayısı *c*, en sağ sütundaki 2 × 1 dikdörtgen sayısı *d* ve köşe birim karelerden mavi olanların sayısı *e* olsun. O zaman şekilde gösterilen, kenarlardaki dört dikdörtgende yazan -1 sayısı 


\[(n - 2a) + (n - 2b) + 2c + 2d - 2e = 2(n - a - b + c + d - e)\]


olur. Bu sayı çiftir, dolayısıyla ispat biter. 


3. *a* ve *b* verilmiş gerçel sayılar olsun. Her *x*, *y* ∈ ℝ için 


\[f(x + f^{100}(y) + a) = y + f^{2025}(x) + b\]


koşulunu sağlayan tüm *f* : ℝ → ℝ fonksiyonlarını bulunuz. 


Not. *k* bir pozitif tam sayı olmak üzere, \(f^k(x) = \underbrace{f(f(\cdots f(x)))}_{k \text{ kez}}\) olarak tanımlanıyor. 


**Çözüm:**

Şıklar:

Cevap:  \(f(x) = x + \frac{a - b}{1924}\)

Çözüm:
*İddia 1:* Her \(k \in \mathbb{Z}^+\) için \(f^k(x)\) fonksiyonu birebir ve örtendir.

İspat: y sayısı değişirken soruda verilen denklemin sağ tarafı herhangi bir gerçel sayı değerini alabilir. Bu durumda f fonksiyonu örten olur. Eğer \(f(x_1) = f(x_2)\) ise, ana denklemde \(y = x_1\) ve \(y = x_2\) yazarsak \(x_1 = x_2\) elde edilir. Böylece f fonksiyonu birebir bulunur. 


İddiayı k üzerine tümevarım uygulayarak gösterelim. \(k = 1\) için doğru olduğunu gösterdik. \(k \ge 2\) için \(f^{k-1}\) fonksiyonu birebir ve örtense, \(f^k\) fonksiyonunun da birebir ve örten olduğunu gösterelim. Her \(y \in \mathbb{R}\) için, örtenlikten dolayı \(f^{k-1}(z) = y\) olacak şekilde bir \(z\) sayısı, ve \(f(x) = z\) olacak şekilde bir \(x\) sayısı bulunur. Bu durumda \(f^k(x) = y\) olur ve \(f\) fonksiyonu örten bulunur. Eğer \(f^k(x_1) = f^k(x_2)\) ise \(f\) fonksiyonu birebir olduğu için \(f^{k-1}(x_1) = f^{k-1}(x_2)\) olur ve \(f^{k-1}\) birebir olduğu için \(x_1 = x_2\) bulunur, dolayısıyla \(f^k\) fonksiyonu da birebir bulunur. □ 


İddia 2: Her \(x \in \mathbb{R}\) için \(f^{2024}(x) - x\) sabittir. 


İspat. Ana denklemde \(y = -b\) koyalım. \(f\) fonksiyonu birebir olduğu için her \(x \in \mathbb{R}\) için 


\[x + f^{100}(-b) + a = f^{2024}(x)\]


gelir. Dolayısıyla \(f^{2024}(x) - x = f^{100}(-b) + a\) yani bir sabit sayı bulunur. □ 


\[c = f^{100}(-b) + a \text{ olsun.}\]


İddia 3: Her \(x \in \mathbb{R}\) için \(f^{101}(x) - x\) sabittir. 


İspat. Ana denklemde \(x = -a\) koyalım. Her \(x \in \mathbb{R}\) için 


\[f^{101}(y) = y + f^{2025}(-a) + b\]


gelir. Dolayısıyla \(f^{101}(x) - x = f^{2025}(-a) + b\) yani bir sabit sayı bulunur. □ 


\[d = f^{2025}(-a) + b \text{ olsun.}\]


İddia 4: Her \(x \in \mathbb{R}\) için \(f(x) - x\) sabittir. 


Proof. ebb(101, 2024) = 1 olduğu için \(1 = 101u - 2024v\) olan \(u, v\) pozitif tam sayıları bulunur. Bu durumda 


\[f(x) + cv = f^{2024v}(f(x)) = f^{101u}(x) = x + du\]


olur ve \(f(x) - x = du - cv\), yani bir sabit sayı bulunur. □ 


\(e = du - cv\) olsun. \(f(x) = x + e\) olur. Bu durumda \(f^{100}(x) = x + 100e\) ve \(f^{2025}(x) = x + 2025e\) olur. Bunları soruda verilen denklemde yerine yazarsak \(x + y + 100e + a + e = y + x + 2025e + b\) olur. Yani \(e = \frac{a - b}{1924}\) bulunur ve ispat tamamlanır.