alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
Fizik Olimpiyatı 2006, 1. Aşama, Soru 16

Eşit miktarda su ile buz, kapalı bir kabın içinde 0°C'de bulunmaktadır. Kap ise sıcaklığı 20°C olan bir ortamdadır. Bir ısıtıcı sayesinde buz 40 dakikada tamamen erimektedir. Kabın içindeki suyun sıcaklığını 10°C den 11°C ye çıkarmak için kaç dakika gereklidir? 


Not: Isı kaybı, ortam ile sistemin sıcaklıkların arasındaki fark ile doğru orantılıdır.

Şıklar:
A) 0,5 | B) 1 | C) 1,5 | D) 2 | E) 2,5

Cevap: D 2

Çözüm:
P ısıtıcının sisteme birim zamanda aktardığı ısı, \(\Delta t_1 = 40\) dk buzun tamamını eritmek için gerekli süre olsun. \(P \propto T_{dış} - T_{iç}\) olduğu soruda verilmiş, buradan ilk ve ikinci durumda ısıtıcının güçlerinin oranı: 


\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{T_{dış} - T_{iç_1}}{T_{dış} - T_{iç_2}} = \frac{20\text{°C} - 0\text{°C}}{20\text{°C} - 10\text{°C}} = 2 \]


İlk durumda: 


\[ P_1 \Delta t_1 = m \lambda \]


İkinci durumda: 


\[ P_2 \Delta t_2 = 2mc\Delta T \]


Buradan: 


\[ \frac{\Delta t_2}{\Delta t_1} = \frac{P_1}{P_2} \cdot \frac{2mc\Delta T}{m\lambda} = \frac{1}{20} \]


\[ \Delta t_2 = \frac{\Delta t_1}{20} = 2 \text{ dk} \]
Fizik Olimpiyatı 2006, 1. Aşama, Soru 17

Bir karenin köşelerinde bulunan yükleri q ve kütleleri m olan dört özdeş yük, yalıtkan ve sürtünmesiz bir düzlem üzerinde birbirine uzunluğu \(\ell\) olan iplerle şekildeki gibi bağlıdır. İplerden birisi kesilirse yüklerden herhangi birisinin kazanacağı maksimum hız nedir?

Şıklar:
A) \(\sqrt{\frac{(2\sqrt{2}-1)q^2}{4\pi\varepsilon_0 \cdot 4m\ell}}\) | B) \(\sqrt{\frac{(3\sqrt{2}-1)q^2}{4\pi\varepsilon_0 \cdot 6m\ell}}\) | C) \(\sqrt{\frac{(2\sqrt{2}-1)q^2}{4\pi \varepsilon_0 \cdot 4m\ell}}\) | D) \(\sqrt{\frac{(3\sqrt{2}-2)q^2}{4\pi\varepsilon_0 \cdot 4m\ell}}\) | E) \(\sqrt{\frac{(3\sqrt{2}-1)q^2}{4\pi \varepsilon_0 \cdot m\ell}}\)

Cevap: B \(\sqrt{\frac{(3\sqrt{2}-1)q^2}{4\pi\varepsilon_0 \cdot 6m\ell}}\)

Çözüm:
Sistemin ilk durumda kinetik enerjisi yoktur, potansiyel enerjisi dolayısıyla sistemin enerjisi ise: 


\[E_p_{ilk} = E_{ilk} = \frac{4kq^2}{l} + \frac{2kq^2}{l\sqrt{2}} = (4 + \sqrt{2}) \frac{kq^2}{l}\]


ifadesiyle verilir. 


Yükler maksimum hıza şekildeki gibi dizildiklerinde sahip olurlar; kütle merkezinin ilk durumda hızı sıfır olduğundan ve sisteme etki eden dış kuvvet olmadığından son durumda da kütle merkezinin hızı sıfıra eşit olur, yüklerin hızlarıysa simetriktir. 


Buradan son durumda sistemin enerjisi: 


\[E_{son} = 3 \cdot \frac{kq^2}{l} + 2 \cdot \frac{kq^2}{2l} + \frac{kq^2}{3l} + 4 \cdot \frac{1}{2}mv^2 = \frac{13}{3} \frac{kq^2}{l} + 2mv^2\]


Sistemin enerjisi korunur: 


\[E_{ilk} = E_{son} \Rightarrow (4 + \sqrt{2} - \frac{13}{3}) \frac{kq^2}{l} = 2mv^2\]


Buradan: 


\[v = \sqrt{\frac{(3\sqrt{2}-1)q^2}{4\pi \varepsilon_{0} \cdot 6ml}}\]
Fizik Olimpiyatı 2006, 1. Aşama, Soru 18

Kenar uzunluğu a, köşe noktalarının merkezden uzaklığı b olan düzgün bir beşgenin köşe noktalarına eşit q yükleri yerleştirilmiştir. Bu beşgenin merkezinden düşey yukarı yönde h yüksekliğindeki P noktasındaki elektrik alanının düşey bileşeni ne kadardır? 


 

Şıklar:
A) \frac{5kqh}{(h^2 + b^2)^{3/2}} \quad B) \frac{kqh}{(h^2 + b^2)^{3/2}} \quad C) \frac{5kqh^3}{(h^2 + b^2)^{5/2}} \quad D) \frac{5kq(h^2 + b^2)^{1/2}}{h^3} \quad E) \frac{kq(h^2 + b^2)^{1/2}}{h^3}

Cevap: A \frac{5kqh}{(h^2 + b^2)^{3/2}} \quad

Çözüm:
Simetriden yük sisteminin oluşturduğu elektrik alan düşey yöndedir. Herhangi bir yükün P noktasında oluşturduğu elektrik alanı incelersek: 


\[E_{\perp} = E \cos \theta\]


\[E_P = 5E_{\perp}\]


Yüklerin P noktasına uzaklığı: 


\[r = \sqrt{b^2 + h^2}\]


Buradan P noktasını O noktasını birleştiren doğru ile P noktasını herhangi bir yükle birleştiren doğrunun arasındaki açı: 


\[\cos \theta = \frac{h}{r} = \frac{h}{\sqrt{b^2 + h^2}}\]


Sonuç olarak: 


\[E_P = 5 \cdot \frac{kq}{r^2} \cdot \cos \theta = \frac{5kqh}{(h^2 + b^2)^{3/2}}\]
Fizik Olimpiyatı 2006, 1. Aşama, Soru 19

Paralel levhalı bir kondansatör bir üretece bağlanıp, belirli potansiyel farkı altında yüklenip sonra üreteçten ayrılıyor. Kondansatörün plakaları hareketli olup eşit kütlelidir. Bunlar sürtünmesiz ve yalıtkan olan bir taban üzerinde bulunmaktadır. Plakalardan birisi serbest bırakılıyor. Bu plaka, plakalar arasındaki ilk uzaklığın yarısına geldiğinde diğer plaka da serbest bırakılıyor. Plakalar arasındaki tüm etkileşmeler bittiğinde açığa çıkan ısı ilk potansiyel enerjinin ne kadarıdır?

Şıklar:
A) \(\frac{1}{4}\) | B) \(\frac{2}{3}\) | C) \(\frac{3}{4}\) | D) \(\frac{3}{8}\) | E) 1

Cevap: B \(\sqrt{\frac{(3\sqrt{2}-1)q^2}{4\pi\varepsilon_0 \cdot 6m\ell}}\)

Çözüm:
Kondansatörün ilk enerjisine U dersek: 


\[U = \frac{Q^2}{2C}\]


Bir plaka serbest bırakılıp plakalar arasındaki mesafe yarıya indiğinde plakaların yükleri değişmez ama kondansatörün sığası iki katına çıkar, buradan kondansatörün potansiyel enerjisi yarıya düşer. 


Serbest bırakılan plakanın kinetik enerjisi enerji korunumundan: 


\[U = \frac{U}{2} + \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow \frac{1}{2}mv^2 = \frac{U}{2}\]


Diğer plaka da serbest bırakılınca sisteme dışarıdan kuvvet etki etmeyecek, böylece bu andan sonra sistemin momentumu korunacaktır. Plakalar çarpıştıktan sonra kütle merkezinin hızıyla hareket etmeye başlar, kütle merkezinin hızıysa: 


\[v_{km} = \frac{mv}{2m} = \frac{v}{2}\]


'ye eşittir. Son durumda sistemin potansiyel enerjisi sıfıra eşittir, enerji korunumundan çarpışmadan sonra açığa çıkan ısı: 


\[U = \frac{1}{2} \cdot 2mv_{km}^2 + Q \Rightarrow Q = U - \frac{mv^2}{4} = U - \frac{U}{4} = \frac{3}{4}U\]


olmalıdır.
Fizik Olimpiyatı 2006, 1. Aşama, Soru 20

E.m.k. si ε olan ideal bir üretece seri olarak iki özdeş R direnci bağlıdır. Dirençlerden birisine iç direnci \(R_V\) olan bir voltmetre bağlıdır. Bu durumda voltmetre U değeri göster- mektedir. Voltmetre K ve L noktaları arasına bağlanırsa gösterdiği değer ne olur?

Şıklar:
A) \frac{5kqh}{(h^2 + b^2)^{3/2}} \quad B) \frac{kqh}{(h^2 + b^2)^{3/2}} \quad C) \frac{5kqh^3}{(h^2 + b^2)^{5/2}} \quad D) \frac{5kq(h^2 + b^2)^{1/2}}{h^3} \quad E) \frac{kq(h^2 + b^2)^{1/2}}{h^3}

Cevap: C \frac{5kqh}{(h^2 + b^2)^{3/2}} \quad

Çözüm:
İlk durumda voltmetrenin R direncine paralel bağlı olan \(R_V\) direncini de hesaba katarak devrenin eşdeğer direnci: 


\[R_{es\ 1} = R + \left(\frac{1}{R} + \frac{1}{R_V}\right)^{-1} = R + \frac{R_V \cdot R}{R_V + R}\]


Bu durumda voltmetrenin gösterdiği değer: 


\[U = \varepsilon - \frac{\varepsilon}{R_{es\ 1}} \cdot R = \varepsilon \cdot \frac{R_V}{R + 2R_V}\]


olur. Buradan: 


\[R_V = \frac{U}{2\varepsilon - U} \cdot R\]


olarak bulunur. 


İkinci durumda devrenin eşdeğer direnci: 


\[R_{es\ 2} = R + R + R_V = 2R + R_V\]


Bu durumda voltmetrenin gösterdiği değer:
Fizik Olimpiyatı 2006, 1. Aşama, Soru 21

Paralel levhalı bir kondansatör bir üretece bağlanıp, belirli potansiyel farkı altında yüklenip sonra üreteçten ayrılıyor. Kondansatörün plakaları hareketli olup eşit kütlelidir. Bunlar sürtünmesiz ve yalıtkan olan bir taban üzerinde bulunmaktadır. Plakalardan birisi serbest bırakılıyor. Bu plaka, plakalar arasındaki ilk uzaklığın yarısına geldiğinde diğer plaka da serbest bırakılıyor. Plakalar arasındaki tüm etkileşmeler bittiğinde açığa çıkan ısı ilk potansiyel enerjinin ne kadarıdır?

Şıklar:
A) 2 mA; 0; 2 mA | B) 9 mA; 0; 9 mA | C) 0; 9 mA; 9 mA | D) 0; 2 mA; 2 mA | E) 2 mA; 0; 0

Cevap: D 0; 2 mA; 2 mA

Çözüm:
(i) Anahtar kapatıldıktan hemen sonra kondansatör üzerinde potansiyel fark olmayacağından kısa devre gibi davranır, tüm akım kondansatörden geçer dolayısıyla ampermetrenin gösterdiği değer sıfıra eşittir. 


(ii) Çok uzun süre sonra kondansatörün üzerindeki yük sabit bir değere ulaşır, üzerinden akım geçmez. Sonuç olarak kondansatör açık devre gibi davranır ve ampermetrenin üzerinden geçen akım: 


\[I = \frac{U}{R_{es}} = \frac{U}{R_1 + R_2} = 2 A\]


'e eşittir. 


(iii) Anahtar tekrar açıldığında kondansatörün üzerindeki potansiyel farkı \(R_2\) direncinin üzerindeki potansiyel farkına eşittir. Buna göre anahtar açıldıktan hemen sonra akan akım 2. şıkta bulunana eşit ve 2 A'dir.
Fizik Olimpiyatı 2006, 1. Aşama, Soru 22

Yüklü bir parçacık, homojen ve sabit olan bir B manyetik alanı içinde düzgün dairesel hareket yapmaktadır. Parçacık hareket ettiği yörüngenin dörtte birini taradığında ortalama vektörel hızın büyüklüğü \(v_1\), parçacık hareket ettiği yörüngenin yarısını taradığında ortalama vektörel hızın büyükleğü \(v_2\) ise \(\frac{v_1}{v_2}\) oranı nedir?

Şıklar:
A) \(\frac{1}{4}\) | B) \(\sqrt{2}\) | C) \(\frac{3}{4}\) | D) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) | E) 2

Cevap: C \(\frac{\varepsilon U}{2\varepsilon - 3U}\)

Çözüm:
Parçacık manyetik alanda düzgün dairesel hareket yapmaktadır, buna göre parçacık yörüngenin dörtte birini gidene kadar \(T/4\), yarısına gidene kadar \(T/2\) zaman geçer, vektörel hızların büyüklükleri ise: 


\[v_1 = \frac{|\vec{r}_1|}{T/4} = \frac{\sqrt{r^2 + r^2}}{T/4} = 4\sqrt{2} \cdot \frac{r}{T}\]


\[v_2 = \frac{|\vec{r}_2|}{T/2} = \frac{2r}{T/2} = 4 \cdot \frac{r}{T}\]


Buradan: 


\[\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{2}\]
Fizik Olimpiyatı 2006, 1. Aşama, Soru 23

Odak uzaklığı f olan yakınsak bir mercekten nf uzaklıkta kalınlığı f ve kırıcılık indisi n olan bir paralel yüzlü cam levha bulunmaktadır. Levhaya yüksekliği H olan bir cisim yaslanmıştır. Bu cismin görüntüsünün yüksekliği h olup \(\frac{h}{H} = \frac{2}{n+1}\) olarak verilmektedir. n' nin değeri nedir?

Şıklar:
A) 1,4 | B) 1,6 | C) 1,8 | D) 2 | E) 2,2

Cevap: D 2

Çözüm:
Cismin cam levha tarafından oluşturulan görüntüsü şekilde de görülebileceği gibi levhanın merceğe yakın olan yüzünün \(f/n\) kadar arkasında oluşur. 


Buna göre: 


\[ \frac{1}{\frac{f}{n} + nf} + \frac{1}{x} = \frac{1}{f} \]


Her tarafı \(f/n + nf\) ile çarparsak: 


\[ 1 + \frac{1}{f} = 1 + \frac{1}{\frac{h}{H}} = 1 + \frac{n+1}{2} = \frac{1}{n} + n \]


Buradan: 


\[ n^2 - 3n + 2 = 0 \Rightarrow n = 2 \]
Fizik Olimpiyatı 2006, 1. Aşama, Soru 24

Şeffaf plastikten yapılmış yarım silindirin kırıcılık indisi n, yarıçapı ise R dir. İnce bir lazer demeti optik eksenden d kadar yükseklikte ve düzlem yüzeye dik olarak gelmektedir. Işığın yarım silindirin diğer yüzünden dışarı çıkması durumunda ekseni kestiği B noktasının O noktasına uzaklığının olası en küçük değeri ne kadardır?

Şıklar:
A) \(\frac{R\sqrt{n^2-1}}{n}\) | B) \(\frac{nR}{n-1}\) | C) \(\frac{nR}{\sqrt{n^2-1}}\) | D) \(R\sqrt{n^2-1}\) | E) \(\frac{R}{n}\)

Cevap: C \(\frac{nR}{\sqrt{n^2-1}}\)

Çözüm:
Lazer demeti sistemden çıkarken yüzeyin normaliyle 90°'lik açı yaptığında ışığın ekseni kestiği B noktası O noktasından maksimum uzaklıkta olur. Buna göre: 


\[n \sin \theta = \sin 90^\circ = 1 \Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{n}\]


Aynı zamanda: 


\[\sin \theta = \frac{\sqrt{OB^2 - R^2}}{OB}\]


Buradan: 


\[1 - \left(\frac{R}{OB}\right)^2 = \frac{1}{n^2} \Rightarrow OB = \frac{n}{\sqrt{n^2-1}} \cdot R\]
Fizik Olimpiyatı 2006, 1. Aşama, Soru 25

Odak uzaklığı f olan yakınsak bir mercekten nf uzaklıkta kalınlığı f ve kırıcılık indisi n olan bir paralel yüzlü cam levha bulunmaktadır. Levhaya yüksekliği H olan bir cisim yaslanmıştır. Bu cismin görüntüsünün yüksekliği h olup \(\frac{h}{H} = \frac{2}{n+1}\) olarak verilmektedir. n' nin değeri nedir?

Şıklar:
A) \(\frac{(L-x)^2}{2x}\) | B) \(\frac{(L+x)^2}{2x}\) | C) \(\frac{L^2 - x^2}{x}\) | D) \(\frac{L^2 - x^2}{2x}\) | E) \(\frac{(L-x)^2}{x}\)

Cevap: D \(\frac{L^2 - x^2}{2x}\)

Çözüm:
Cismin ilk görüntüsü merceğin x kadar arkasında oluşur. Buna göre bu görüntünün ıraksak mercekten olan görüntüsünün cismin üzerinde oluşması için mercek denkleminden: 


\[ \frac{1}{l+x} - \frac{1}{l-x} = -\frac{1}{f} \Rightarrow f = \frac{l^2 - x^2}{2x} \]


olmalıdır.
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 1

Bir mısır tanesinin içinde bulunan su buharının V hacmi ile P basıncı arasında 


\(PV^3 = sabit\) şeklinde bir bağlantı vardır. Bu mısır tanesi havada patlatıldığında hacmi 8 kat artmaktadır. İçerdeki su buharının basıncı kaç atmosfer basınca eşit olduğunda mısır tanesi patlamıştır? Patlamış mısırların hacimlerinin daha büyük olmaları için dış hava basıncı nasıl değiştirilmelidir?

Şıklar:
A) 16, azaltılmalı | B) 16, arttırılmalı | C) 8, azaltılmalı | D) 8, arttırılmalı | E) 4, azaltılmalı

Cevap: A 16, azaltılmalı

Çözüm:
Mısır patladığında basıncı atmosfer basıncı \(P_0\)'a eşittir. Buradan mısır tanesi patlamadan bir an önce içindeki su buharının basıncı: 


\[PV_0^{4/3} = P_0(8V_0)^{4/3} \Rightarrow P = 16P_0\]


olarak bulunur. 


Aynı denklemden dış hava basıncı azaltılırsa patlamış mısırın hacminin azalacağı da görülür.
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 2

Odak uzaklığı f olan bir ince ıraksak merceğin L kadar sağına bir düzlem ayna konulmuştur. Aynanın x kadar solunda bir cisim vardır. Cisimden merceğe doğrudan giden ışınlar engellenmiştir. Bu durumda cismin sistem tarafından oluşturulan görüntüsü cisimle aynı noktada bulunmaktadır. Merceğin odak uzaklığı f nedir?

Şıklar:
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 | E) 5

Cevap: E 5

Çözüm:
Sıvının ilk yüksekliğine \(h_0\), ısıtıldıktan sonra yeni yüksekliğine \(h\), kabın duvarında işaretlenen noktanın yeni yüksekliğine \(h'\), kabın yapıldığı maddenin ısıca genleşme katsayısı \(\alpha\) ve sıvının genleşme katsayısı \(\beta\) diyelim. Isıtıldıktan sonra sıvının yeni hacmi: 


\[V = V_0(1 + \beta \Delta T)\]


Kabın ısıtıldıktan sonra taban alanı: 


\[S = S_0(1 + 2\alpha \Delta T)\]


Buradan sıvının yeni yüksekliği: 


\[h = \frac{V}{S} = h_0 \cdot \frac{1 + \beta \Delta T}{1 + 2\alpha \Delta T}\]


Kaptaki işaretli noktanın ısıtıldıktan sonra yüksekliği: 


\[h' = h_0(1 + \alpha \Delta T)\]


Buradan sistem ısıtıldıktan sonra sıvı seviyesi ile işaretli nokta arasındaki uzaklık: 


\[\Delta h = h' - h = h_0 \cdot \left( 1 + \alpha \Delta T - \frac{1 + \beta \Delta T}{1 + 2\alpha \Delta T} \right) \approx h_0 (3\alpha - \beta) \Delta T\]


Sayısal değerleri yerine yazarsak: 


\[\Delta h = 1 \cdot (3 \cdot 0,002 - 0,001) \cdot 10 = 0,05 m = 5 cm\]


bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 3

Uzay gemisindeki bir cihazın tavanında düzlem ayına, tabanın orta noktasında ise lazer bulunmaktadır. Taban ve tavan arasında dört adet titanyum çubuk bulunmaktadır. Lazerden çıkan ışık aynadan yansıyıp tekrar kaynağa geri dönmektedir. Cihazın sağ yüzündeki iki çubuk üzerine güneş ışığı doğrudan gelip sadece bu iki çubuğun sıcaklığını 20 °C artırmaktadır. Bu durumda tabana çarpan ışık kaynaktan hangi yöne doğru ve kaç mm kayar? Cihazın tabanı ve tavanı bir kenarı 1,2 m olan kare şeklinde olup, çubukların ısınmamış boyları 5,0 m, titanyumun boyca genleşme katsayısı 8,5x10⁻⁶ K⁻¹ dir.

Şıklar:
**A)** sağa doğru 3,5 mm **B)** sola doğru 7,1 mm **C)** sola doğru 3,5 mm 


**D)** sağa doğru 7,1 mm **E)** kaymaz

Cevap: D sağa doğru 7,1 mm

Çözüm:
Cihazın taban ve tavanının bir kenarına l, titanyum çubukların ısınmamış boylarına h ve boyca genleşme katsayılarına α diyelim. 


Sistem ısıtıldıktan sonra aynanın yatayla yapacağı açıya θ diyelim. Buna göre: 


\[ \sin \theta \approx \theta = \frac{\Delta h}{l} = \frac{\alpha h \Delta T}{l} \]


Aynanın sağ kenarı yukarıda olduğundan ışığı geldiği yönden 2θ kadar sağa saptırır, buradan ışık kaynaktan yaklaşık olarak: 


\[ \Delta x \approx h \cdot 2\theta = \frac{2\alpha h^2 \Delta T}{l} = 7.1 \text{ mm} \]


kadar sağa düşer.
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 4

Şekildeki kapalı sistemde sol ve sağ bölmelerde yoğunlukları sırası ile \(d_1\) ve \(d_2\) olan sıvılar, ortadaki bölmede ise yay sabiti \(k\) olan bir yay bulunmaktadır. Bu durumda A ve B noktalarındaki basınç değerleri \(P_A\) ve \(P_B\) dir. Aynı yaydan bir tane daha ilk 


yaya paralel olarak eklendiğinde kabın köşelerindeki A ve B noktalarındaki yeni basınç değerleri \(P'_A\) ve \(P'_B\) olmakta ve \(\frac{P'_A}{P'_A} = \frac{7}{4}\), \(\frac{P'_B}{P_B} = \frac{3}{2}\) olarak verilmektedir. Çift yaylı sistemi A noktası yukarıda olacak şekilde \(90^\circ\) çevirirsek bu durumdaki basınç değerlerinin \(\frac{P'_A}{P'_B}\) oranı ne olur?

Şıklar:
A) \(\frac{1}{2}\) | B) \(\frac{1}{3}\) | C) \(\frac{1}{4}\) | D) \(\frac{2}{5}\) | E) \(\frac{2}{7}\)

Cevap: B \(\frac{1}{3}\)

Çözüm:
Tek yaylı ve çift yaylı durumlarda piston üzerindeki kuvvet dengesinden: 


\[kx = (P_A - \frac{d_1gh}{2})S = (P_B - \frac{d_2gh}{2})S\]


\[2kx = (P'_A - \frac{d_1gh}{2})S = (P'_B - \frac{d_2gh}{2})S\]


\[P'_A = \frac{7}{4}P_A \text{ olduğunu kullanarak:}\]


\[\frac{7}{4} = \frac{\frac{2kx}{S} + \frac{d_1gh}{2}}{\frac{kx}{S} + \frac{d_1gh}{2}} \Rightarrow \frac{kx}{S} = \frac{3}{2}d_1gh\]


\[P'_B = \frac{3}{2}P_B \text{ olduğunu kullanarak:}\]


\[\frac{3}{2} = \frac{\frac{2kx}{S} + \frac{d_2gh}{2}}{\frac{kx}{S} + \frac{d_2gh}{2}} \Rightarrow \frac{kx}{S} = \frac{1}{2}d_2gh\]


Buradan: 


\[d_2 = 3d_1\]


\[\frac{kx}{S} = \frac{3}{2}d_1gh\]


Son durumda pistonlar üzerindeki kuvvet dengesinden:




\[2kx = (P_A'' + d_1gh)S = (P_B'' - d_2gh)S\]


Buradan: 


\[P_A'' = \frac{2kx}{S} - d_1gh = 2d_1gh\]


\[P_B'' = \frac{2kx}{S} + d_2gh = 6d_1gh\]


Buradan: 


\[\frac{P_A''}{P_B''} = \frac{1}{3}\]
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 5

Uzay gemisindeki bir cihazın tavanında düzlem ayına, tabanın orta noktasında ise lazer bulunmaktadır. Taban ve tavan arasında dört adet titanyum çubuk bulunmaktadır. Lazerden çıkan ışık aynadan yansıyıp tekrar kaynağa geri dönmektedir. Cihazın sağ yüzündeki iki çubuk üzerine güneş ışığı doğrudan gelip sadece bu iki çubuğun sıcaklığını 20 °C artırmaktadır. Bu durumda tabana çarpan ışık kaynaktan hangi yöne doğru ve kaç mm kayar? Cihazın tabanı ve tavanı bir kenarı 1,2 m olan kare şeklinde olup, çubukların ısınmamış boyları 5,0 m, titanyumun boyca genleşme katsayısı 8,5x10⁻⁶ K⁻¹ dir.

Şıklar:
**A)** sağa doğru 3,5 mm **B)** sola doğru 7,1 mm **C)** sola doğru 3,5 mm 


**D)** sağa doğru 7,1 mm **E)** kaymaz

Cevap: B sağa doğru 7,1 mm

Çözüm:
Sıvının A noktasındaki basınç sıfır olduğunda piston kaymaya başlar. Pistonun üzerindeki kuvvet dengesinden: 


\[P = \frac{P_1 + P_2}{2}\]


A noktasındaki basınç sıfır olduğundan: 


\[P_1 = dg \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} h\]


\[P_2 = dg \cdot \sqrt{2} h\]


\[P = \frac{3\sqrt{2}}{4} dgh\]


Sistem yatay konumdayken: 


\[P = P_A + \frac{dgh}{2} \Rightarrow P_A = P - \frac{dgh}{2} = \frac{3 - \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} dgh\]
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 6

Şekildeki sıvı içindeki cisim 2D çaplı bir küre olup içinden çapı D olan küresel bir bölümü çıkarılmıştır. Bu cisim, kürelerin merkezleri aynı yatay doğrultuda kalacak şekilde iplerle kabın tabanına bağlanmıştır. İplerdeki gerilimin oranı 2 ise, sıvının yoğunluğunun cismin yoğunluğuna oranı nedir? 


 

Şıklar:
A) \frac{7}{8} \quad B) \frac{15}{16} \quad C) 1 \quad D) \frac{17}{16} \quad E) \frac{9}{8}

Cevap: B \(\frac{1}{3}\)

Çözüm:
Sistemi 8m kütleli, kütle merkezi 2D çaplı kürenin merkezinde olan 2D çaplı homojen yoğunluklu bir küreyle; \(-m\) kütleli, kütle merkezi \(D\) çaplı oyuğun merkezinde olan \(D\) çaplı homojen yoğunluklu başka bir kürenin birleşimi olarak düşünebiliriz. 8m kütleli küreye yerçekimi kuvveti aşağıya doğru etki ederken \(-m\) kütleli küreye kütlesi negatif olduğundan yerçekimi kuvveti yukarıya doğru etki eder. 


Buna göre dengede \(O\) noktasına göre sisteme etki eden tork ve sistemin üzerine etki eden net kuvvet sıfıra eşittir: 


\[2T \cdot D = mg \cdot \frac{D}{2} + T \cdot D \Rightarrow T = \frac{mg}{2}\]


\[3T + 8mg = F_k + mg \Rightarrow F_k = (7 + \frac{3}{2})mg = \frac{17}{2}mg\]


2D çaplı kürenin hacmine \(V\) dersek: 


\[8m = \rho_{cisim} \cdot V\]


\[F_k = \rho_{sıv} \cdot Vg\]


Buradan: 


\[\rho_{sıv} = \frac{F_k}{8mg} \cdot \rho_{cisim} = \frac{17}{16}\rho_{cisim}\]
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 7

Kenar uzunluğu \(a\) olan bir eşkenar üçgen tel çerçeve alınıyor. Bu üçgenin yüksekliğinin orta noktasına tabana paralel bir tel parçası konularak ikinci bir üçgen oluşturuluyor. Daha sonra bu yeni küçük üçgenin yüksekliğinin orta noktasına tabana parallel bir tel parçası konularak üçüncü bir üçgen daha oluşturuluyor. Bu işlemin sonsuz kez tekrarlanması sonucunda ortaya çıkan tüm şeklin ağırlık merkezi üçgenin tepe noktasından ne kadar uzaktadır?

Şıklar:
**A)** \(\frac{17\sqrt{3}}{72}a\) **B)** \((\frac{2}{\sqrt{3}}+1)a\) **C)** \((\frac{1}{\sqrt{3}}+1)\frac{a}{3}\) **D)** \(\frac{5\sqrt{3}}{18}a\) **E)** \(\frac{7\sqrt{3}}{24}a\)

Cevap: B \(\frac{3-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \text{dhg}\)

Çözüm:
Yatay çubuklardan oluşan sistemin kütle merkezinin üçgenin tepe noktasından uzaklığı: 


\[y_{yc km} = \frac{m \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}(1,1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}+\cdots)}{m\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots\right)} = \frac{m \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\cdots\right)}{m\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{\frac{1}{8}}{}+\cdots\right)}\]


İfadedeki sonsuz toplamların sonuçları: 


\[1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64} + \cdots = 1+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{2}{64}+\cdots\right) = 1+\frac{1}{4}a = a\]


\[\Rightarrow a = \frac{4}{3}\]


\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} + \cdots = 1+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\cdots\right) = 1+\frac{1}{2}b = b\]


\[\Rightarrow b = 2\]


Buradan: 


\[y_{yc km} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\]


Yatay çubuklardan oluşan sistemin kıtlesi: 


\[m_{yc} = m\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{\frac{1}{8}}+\cdots\right) = 2m\]


Kalan iki çubuğun kütle merkezlerinin tepe noktasına göre uzaklığının yatay çubuklara dik yöndeki bileşeni:




\[y_c = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}\]


Bu iki çubuğun her birinin kütlesi \(m'\) e eşittir. Buradan sistemin kütle merkezinin tepe noktasından uzaklığı: 


\[y_{km} = \frac{m_{y_c} \cdot y_{y_c km} + 2m \cdot y_c}{m_{y_c} + 2m} = \frac{2m \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3} + 2m \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4}}{2m + 2m} = \frac{7\sqrt{3}}{24} a\]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 8

Taban alanı \(4a^2\) olan ağırlıksız bir kabın içinde su bulunmaktadır. Bu suyun içine kenar uzunluğu \(a\) olan küp şeklindeki bir buz parçası konulmaktadır. Bu durumda su yüzeyi kabın tabanından \(1,8a\) kadar yukarıdadır. Buz tamamen eridiğinde sistemin kütle merkezindeki değişim ne kadar olur?

Şıklar:
A) \frac{7}{8} \quad B) \frac{15}{16} \quad C) 1 \quad D) \frac{17}{16} \quad E) \frac{9}{8}

Cevap: D \frac{17}{16}

Çözüm:
Buz eridiğinde sıvı seviyesi değişmez. Buradan sistemdeki değişimi sadece buzun erimeden önceki batan hacmine yerleşecek suya dönüşmesi olarak düşünebiliriz. Buz eridikten sonra kütle merkezinin yer değiştirmesi: 


\[x_{km\ buz} = \frac{a}{2}\]


\[x'_{km\ buz} = \frac{\frac{V_{batan}}{S}}{2} = \frac{\rho_{buz}}{\rho_{su}} \cdot \frac{V}{2S} = 0,9 \cdot \frac{a}{2} = \frac{9}{20}a\]


\[\Delta x = x_{km\ buz} - x'_{km\ buz} = \frac{1}{20}a\]


Aynı zamanda buzun kütlesi: 


\[m_{buz} = \rho_{buz} \cdot a^3 = 0,9\rho_{su}a^3\]


Buz eridikten sonra \(4a^2\) taban alanlı kap 1,8a yüksekliğe kadar dolar, buradan sistemin toplam kütlesi: 


\[M = \rho_{su} \cdot 1,8a \cdot 4a^3 = 7,2\rho_{su}a^3\]


Buradan sistemin kütle merkezinin yer değişimi: 


\[\Delta x_{km} = \frac{m_{buz} \cdot \Delta x}{M} = \frac{\frac{9}{10}\rho_{su}a^3 \cdot \frac{1}{20}a}{\frac{72}{10}\rho_{su}a^3} = \frac{1}{160}a\]
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 9

Kenar uzunluğu \(a\) olan bir eşkenar üçgen tel çerçeve alınıyor. Bu üçgenin yüksekliğinin orta noktasına tabana paralel bir tel parçası konularak ikinci bir üçgen oluşturuluyor. Daha sonra bu yeni küçük üçgenin yüksekliğinin orta noktasına tabana parallel bir tel parçası konularak üçüncü bir üçgen daha oluşturuluyor. Bu işlemin sonsuz kez tekrarlanması sonucunda ortaya çıkan tüm şeklin ağırlık merkezi üçgenin tepe noktasından ne kadar uzaktadır?

Şıklar:
**A)** \(\frac{17\sqrt{3}}{72}a\) **B)** \((\frac{2}{\sqrt{3}}+1)a\) **C)** \((\frac{1}{\sqrt{3}}+1)\frac{a}{3}\) **D)** \(\frac{5\sqrt{3}}{18}a\) **E)** \(\frac{7\sqrt{3}}{24}a\)

Cevap: A \(\frac{7\sqrt{3}}{24}a\)

Çözüm:
Halata etki eden kuvvetler şekildeki gibidir, halatın üzerinde dikeyde ve yatayda kuvvet dengesi vardır: 


\[T \cos 30^{\circ} = mg\]


\[T \sin 30^{\circ} = F = 20 \text{ N}\]


Buradan: 


\[m = \frac{F}{g} \cdot \frac{\cos 30^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{20}{10} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{3} \approx 3,4 \text{ kg}\]