alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
Fizik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 11

## SORU 11 


Metroda tren bekleyen bir öğrenci bu sırada peron boyunca yürümektedir. 125 m uzunluğundaki peron ile trenin uzunluğu eşittir. Peronun iki ucuna A ve B noktaları diyelim. Öğrenci A noktasından B'ye doğru sabit \(v = 50 \text{ cm/sn}\) hızla yürüyor. Tam 80 s sonra tren B noktasından perona \(v_0 = 36 \text{ km/sa}\) hızla giriş yaparak hemen sabit \(a\) ivmesi ile yavaşlamaya başlıyor. Öğrenci ile tren birbirlerine doğru hareket ediyor ve bir süre sonra öğrenci trenin ön ucu ile aynı hizaya geldiği anda hızını ters yöne çeviriyor ve trenle aynı yönde \(v = 50 \text{ cm/sn}\) hızla hareket ediyor. Tren yavaşlayıp tam peronun ucunda durduğu anda öğrenci de duruyor. Trendeki ilk kapının ortası trenin başından 6.25 m uzaklıkta olup, kapılar arasındaki mesafe de 6.25 m olduğuna göre öğrenci durduğunda baştan kaçıncı kapıya en yakındır?

Şıklar:
A) 8 | B) 4 | C) 7 | D) 6 | E) 5

Cevap: D 6

Çözüm:
80 sn içerisinde öğrenci trene doğru \(50 \cdot 80 = 4000 \text{ cm} = 40 \text{ m}\) yol almıştır. 


Trenin 36 km/sa (10 m/sn) ilk hızı ile başlayıp, 125 m sonunda duracağını göz önünde bulundurursak, trenin ivmesi; 


\[ \frac{v_{\text{tren}}^2}{2L} = a = 0.4 \text{ m/sn}^2 \]


Tren durana kadar geçen süre; 


\[ \frac{v_{\text{tren}}}{a} = t_{\text{toplam}} = 25 \text{ sn} \]


Çocukyön değiştirmese idi, alacağı toplam yol; 


\[ V_{\text{çocuk}} t_{\text{toplam}} = 12.5 \text{ m idi.} \]


Çocuk ile tren, \(t_0\) kadar süre sonra karşılaşırlarsa; 


\[ \begin{aligned} V_{\text{çocuk}} t_0 + V_{\text{tren}} t_0 - \frac{1}{2} at_0^2 &= 125 - 40 \\ 0.5t_0 + 10t_0 - 0.2t_0^2 &= 85 \\ 21t_0 - 0.4t_0^2 &= 170 \\ 4t_0^2 - 210t_0 + 1700 &= 0 = 2(t_0 - 10)(2t_0 - 85) \\ t_0 &= 10 \text{ sn} \end{aligned} \]


Çocuk bu \(t_0\) kadarlık süre zarfında, 


\[ V_{\text{çocuk}} t_0 = 5 \]


kadarlık yol almıştır. 


Geriye kalan 7.5 m'lik yolu geriye doğru yürümüştür. 


Yani, 40 metreden geriye doğru \(7.5 - 5 = 2.5 \text{ m}\) kadar gitmiştir. 


Sonuç olarak, A noktasından 37.5 metre uzaklıkta durmuştur.




Bu uzaklık tam olarak 6 · 6.25 = 37.5 metre uzaklığındadır. Yani, çocuğa en yakın kapı girişi, çocuğun önünde duran 6. kapının girişidir.
Fizik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 12

 

Şekilde boyutları gösterilen kap, ağırlıksız, sızdırmasız ve sürtünmesiz hareket edebilen bir piston ile iki eşit bölmeye ayrılmıştır. Sağ bölmede d yoğunluklu sıvı varken, sol bölmede T₀ sıcaklığında P₀ basıncında gaz bulunmaktadır. k=dgS yay sabitine sahip yayın serbest haldeki boyu L 'dir (L<2h). Burada g yerçekimi ivmesinin büyüklüğü, S pistonun alanıdır. Bu durumda tavandaki A noktasında basınç hissedilmekte olup tabandaki B noktasındaki basınç değeri P₈ 'dir. Sol bölmedeki gazın sıcaklığı 2T₀ yapılıyor. Sistemin şekli aynı kalırken B noktasındaki basınç 3P₈ değerine çıkıyor. Daha sonra sistem, 2T₀ sıcaklığında iken A ve B noktaları yukarı gelecek şekilde 90° döndürülüyor. Yeni durumda sistemin şekli hala aynı kalmakta ama B noktasındaki basınç tekrar P₈'ye dönmekteyse, yayın uzamamış boyu L kaç h 'dir? Not: Sistemde herhangi bir ısı alışverişi olmamaktadır.

Şıklar:
A) 8N, 8N | B) 12N, 8N | C) 8N, 12N | D) 10N, 12N | E) 12N, 12N

Cevap: A 8N, 8N

Çözüm:
İlk durumda gerilmeler; 


\[T_1 + m_1 g = \rho_{\text{sıvı}} V_{\text{cisim1}} g\]


\[T_1 = (\rho_{\text{sıvı}} V_{\text{cisim1}} - m_1) g\]


\[T_2 = (m_2 - \rho_{\text{sıvı}} V_{\text{cisim2}}) g\]


İkinci durumda, bütün yerçekimi ivmesi "g = 10 m/s²" ifadeleri "g - a = 8 m/s²" değeri ile yer değiştirecektir. 


Öyleyse; 


\[T_{1\text{son}} = T_1 \cdot \frac{8}{10} = 8 \text{ N}\]


\[T_{2\text{son}} = T_2 \cdot \frac{8}{10} = 8 \text{ N}\]
Fizik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 13



R yarıçaplı bir kürenin içi birbirine karışmayan dı ve d2 yoğunluklu eşit hacimli sıvılar ile doldurulmuştur. Kürenin en alt noktası C, en sol noktası ise A noktası olarak işaretlenmiştir. Bu küreye sağa doğru a=24 m/s² ivmesi verildiğinde A ve C noktalarındaki basınç (PA/PB)=3/2 olmaktadır. Eğer küreye küreye sağa doğru değilde sola doğru a=24 m/s² değerinde bir ivme verilirse PA/PC oranı ne olur? g=10 m/s² olarak alabilirsiniz.

Şıklar:
A) 9/182 | B) 3/76 | C) 6/85 | D) 4/117 | E) 7/162

Cevap: D 4/117

Çözüm:
Şekilde görüldüğü gibi ekrandaki maksimum çap ışın kritik açı ile kırıldığında olacaktır. Kritik kırılma açısı:
n \sin \alpha = 1 \cdot \sin 90
\sin \alpha = \frac{1}{n} = \frac{1}{10} \quad (1)
\cos \alpha = \frac{3\sqrt{11}}{10} \quad (2)

Olur. Şekildeki \beta açısı:
\beta = 2\alpha - 90 \quad (3)

Olur. Görüntünün yarıçapı:
r = R \cos \beta + (2R + R \sin \beta) \tan \beta \quad (4)

Olur. Şimdi \sin \beta ve \cos \beta ifadelerini bulalım:
\sin \beta = \sin(2\alpha - 90) = -\cos(2\alpha) = -(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -\frac{98}{100} \quad (5)
\cos \beta = \cos(2\alpha - 90) = \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{6\sqrt{11}}{100} \quad (6)

Denklem (4), (5) ve (6)'ya göre:
r = R \frac{-2.98/100}{6\sqrt{11}/100} = -\frac{16}{\sqrt{11}}R \quad (7)

Eksi işareti görüntünün dairenin merkezinin altında oluşacağını göstermektedir. Ekranda oluşan görüntünün çapı:
D = |2r| = \frac{32}{\sqrt{11}}R = 9.6R
Fizik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 14

Çapı D olan bir küre tamamı kırılma indisi n olan bir sıvı ile dolu kabın içerisinde bulunmaktadır. Sıvı yüksekliği kürenin çapı kadardır (kürenin tamamı içine alacak şekilde). Kürenin merkezinden geçen doğru üzerinde ve düşeyde küre yüzeyinin en üst noktasından D/2 kadar yükseklikte noktasal bir ışık kaynağı bulunmaktadır. Işık kaynağının bulunduğu ortam havadır. Kürenin tabanda meydana getirdiği gölgenin alanı πD²/2 olduğuna göre n değeri nedir?

Şıklar:
A) √2 | B) √5 | C) √3 | D) √7 | E) √5/2

Cevap: C √3

Çözüm:
 

Öyle bir açı vardır ki, bu açıdan sonra ışıklar küreyi aşıp tabana ulaşabilirler. 


Bu durumda, ışık küreyi teğet geçiyor olmalıdır. 


“θ” havadaki ışığın, “α” sudaki ışığın suyun normali ile yaptığı açı olmak üzere, geometriden; 


\[ \tan \frac{\beta}{2} = \frac{\frac{D}{2}}{\frac{D}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]


\[ 2 \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} = 2 \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sin \beta \]


\[ 90 - \beta = \alpha \]


\[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \frac{1}{3} \]


\[ \tan \theta = \frac{\frac{D}{\sin \beta} - \frac{D}{\sqrt{2}}}{D/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]


\[ \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \]


Snell yasasından; 


\[ \sin \theta = n \sin \alpha \]


\[ n = \frac{\sin \theta}{\sin \alpha} = \sqrt{3} \]
Fizik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 15

Asal eksenleri çakışık iki ince mercekten sol taraftaki yakınsak sağ taraftaki ıraksak mercektir. Odak uzaklıkları \(f\) olan bu merceklerin arasındaki mesafe \(L'\)dir. Soldaki mercekten \(3f\) uzaklıktaki noktasal \(A\) cisminin sistemdeki görüntüsü sonsuzda oluşmaktadır. Merceklerin odak uzaklıkları \(2f\), aralarındaki mesafe \(10L\) yapılıyor. \(A\) cismi yakınsak merceğin yine \(3f\) soluna konuluyor. Cismin sistemdeki son görüntüsü ıraksak mercekten kaç \(f\) uzaktadır?

Şıklar:
A) 3 | B) 0.5 | C) 2 | D) 1 | E) Görüntü sonsuzdadır.

Cevap: C 2

Çözüm:
\text{İlk durumda;}
\text{Cisimden gelen ışınlar, (f odak uzaklıklı) yakınsak mercekten sonra "x" uzaklıkta birleşecek şekilde toplanırsa;}
\frac{1}{3f} + \frac{1}{x} = \frac{1}{f} \Rightarrow x = \frac{3f}{2} \text{ çıkar.}

\text{Bu noktadan sonra devam eden ışınlar, ıraksak mercekten sonsuza gidecekler ise;}
\frac{1}{L - x} + \frac{1}{\infty} = -\frac{1}{f} \Rightarrow L = \frac{f}{2} \text{ olmalıdır.}

\text{İkinci durumda;}
\text{Cisimden gelen ışınlar, (2f odak uzaklıklı) yakınsak mercekten sonra } x_2 \text{ uzaklıkta birleşecek şekilde toplanırsa;}
\frac{1}{3f} + \frac{1}{x_2} = \frac{1}{2f} \Rightarrow x_2 = 6f \text{ çıkar.}

\text{Bu noktadan sonra devam eden ışınlar, ıraksak mercekten çıkarak;}
\frac{1}{5f - x_2} + \frac{1}{x_{son}} = -\frac{1}{2f} \Rightarrow x_{son} = 2f \text{ noktasında odaklanırlar.}
Fizik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 16

M kütleli, a yarıçaplı küresel ve homojen iki gezegenin merkezleri arasındaki mesafe 8a'dır. Bu gezegenlerden birinin diğerine en yakın noktasından diğerine doğru m kütleli bir uydu fırlatılıyor. Bu uydunun diğer gezegene ulaşabilmesi için fırlatılması gereken minimum hız büyüklüğü ne olmalıdır? Gezegenleri hareketsiz kabul ediniz. Evrensel çekim sabiti G'dir.

Şıklar:
A) \(\sqrt{\frac{GM}{4a}}\) | B) \(\sqrt{\frac{GM}{a}}\) | C) \(\sqrt{\frac{5GM}{9a}}\) | D) \(\sqrt{\frac{9GM}{7a}}\) | E) \(\sqrt{\frac{25GM}{28a}}\)

Cevap: D \(\sqrt{\frac{9GM}{7a}}\)

Çözüm:
Fırlatıldıktan hemen sonra cismin enerjisi; 


\[-\frac{GMm}{a} - \frac{GMm}{7a} + \frac{1}{2}mv^2 = E_{ilk}\]


Minimum hızı sorduğu için, mantık yürüterek, cism gezegenlerin tam orta noktasına geldiği anda, cismin hızının "0" olacağını varsayabiliriz; 


\[-\frac{GMm}{4a} - \frac{GMm}{4a} = E_{orta}\]


Öyleyse, ilk hız; 


\[v = \sqrt{\frac{9GM}{7a}}\]


çıkar.
Fizik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 17

 

L uzunluğundaki bükülmeyen demir çubuğun kütlesi M'dir. Bu çubuk iki ucundan tavana L uzunluğunda iletken, uzamayan ve kütlesi önemsiz kablolar ile bağlanmıştır. Kablolar çubuğa ve tavana bağlantı noktaları etrafında serbestçe dönebilmektedirler ve ilk durumda düşey durumdadırlar. Sistemden şekilde gösterildiği gibi I akımı geçirildiğinde sayfadan dışarı doğru olan B manyetik alanının etkisi ile kablolar bükülmekte ve çubuk bir miktar yukarı kalkmaktadır. Yerçekimi ivmesi g ise çubuğun hareket ettiği miktar hangi şıkta daha doğru ifade edilmiştir? ( \(\frac{BIL}{Mg} \ll 1\) kabul edebilirsiniz) \(\alpha \ll 1\) için \(\cos\alpha \approx 1\) ve \(\sin\alpha \approx \alpha - \frac{\alpha^2}{6}\) 


\[ \text{A)} \quad \frac{1}{3} L \left( \frac{BIL}{Mg} \right) \quad \text{B)} \quad \frac{1}{6} L \left( \frac{BIL}{Mg} \right)^2 \quad \text{C)} \quad \frac{3}{8} L \left( \frac{BIL}{Mg} \right)^3 \quad \text{D)} \quad \frac{1}{24} L \left( \frac{BIL}{Mg} \right)^4 \quad \text{E)} \quad \frac{1}{12} L \left( \frac{BIL}{Mg} \right)^5 \]

Şıklar:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{A)} & \textbf{B)} & \textbf{C)} & \textbf{D)} & \textbf{E)} \\ \hline
\frac{1}{3} L \left( \frac{BIL}{Mg} \right) & \frac{1}{6} L \left( \frac{BIL}{Mg} \right)^2 & \frac{3}{8} L \left( \frac{BIL}{Mg} \right)^3 & \frac{1}{24} L \left( \frac{BIL}{Mg} \right)^4 & \frac{1}{12} L \left( \frac{BIL}{Mg} \right)^5 \\ \hline
\end{tabular}

Cevap: B \frac{1}{6} L \left( \frac{BIL}{Mg} \right)^2

Çözüm:
Yaya uygulanan manyetik alan kuvveti, daima yaya dik olacağından, oluşacak bükülme çembersel olacaktır. Bu çemberin yarıçapı, manyetik alan büyüklüğüne göre değişiklik gösterir.

R\alpha = L

2R \sin \frac{\alpha}{2} = L_s

Yayın demir ile birleştiği en alt noktadaki ip gerilmesini ele alırsak;

T \cos \frac{\alpha}{2} = mg + ILB

T \sin \frac{\alpha}{2} = ILB

\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{ILB}{mg + ILB} = \frac{\frac{ILB}{mg}}{1 + \frac{ILB}{mg}} \simeq \frac{ILB}{mg} \simeq \frac{\alpha}{2}

2\frac{L}{\alpha} \left[ \frac{\alpha}{2} - \frac{(\frac{\alpha}{2})^3}{6} \right] = L_s = L - \frac{L}{6} \left(\frac{\alpha}{2}\right)^2 = L - \frac{L}{6} \left(\frac{ILB}{mg}\right)^2
Fizik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 18

Şekildeki sistemde \(y = a\) noktasında bulunan \(Q\) yüküne, \(x = \sqrt{3}a\) noktasında bulunan \(Q\) yükünün, \(y = -a\) noktasında bulunan \(-4Q\) yükünün ve \(x\) ekseni üzerinde bulunan \(Q_x\) yükünün uyguladığı elektrik kuvvetlerin toplamı sıfır olduğuna göre \(Q_x/Q\) oranını bulunuz.

Şıklar:
A) \(\sqrt{13}/7\) | B) \(11\sqrt{13}/7\) | C) \(13\sqrt{13}/7\) | D) \(11\sqrt{13}/49\) | E) \(13\sqrt{13}/49\)

Cevap: E \(13\sqrt{13}/49\)

Çözüm:
Bilinen yükler tarafından yatayda ve dikeyde uygulanan kuvvetlerin zıt miktarlarının, bilinmeyen yük tarafından uygulanması gerekmektedir. 


Dikeyde; 


\[ \frac{k4Q^2}{(2a)^2} - \frac{kQ^2}{(2a)^2} \frac{1}{2} = F_y \]


\[ F_y = \frac{kQ^2}{a^2} \frac{7}{8} \]


Yatayda ise; 


\[ \frac{kQ^2}{2a^2} \frac{\sqrt{3}}{2} = F_x = \frac{kQ^2 \sqrt{3}}{a^2} \frac{8}{8} \]


Bu kuvvetlerin oranı, cismin yatay ile yaptığı açısını bize verecektir; 


\[ \tan \theta = \frac{F_y}{F_x} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{a}{a_x} \]


\[ a_x = a \frac{\sqrt{3}}{7} \quad \text{ve} \quad l_x = \frac{a\sqrt{52}}{7} \]


\[ \frac{kQ_x}{l_x^2} \frac{a}{l_x} = F_y = \frac{kQ_x \frac{3}{52}}{\frac{a^2}{7^3}} = \frac{kQ^2 \frac{7}{8}}{a^2 \frac{8}{7}} \]


\[ Q_x = Q1 \frac{3}{13} \sqrt{13}/49 \]
Fizik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 21


Yandaki şekilde dirençlerden ve pillerden oluşan bir devre gösterilmiştir. Şekilde verilen değerler için \(R_4\) direncinden geçen akım kaç amperdir?

Şıklar:
A) \(\sqrt{\alpha g/2}\) | B) \(\sqrt{\alpha g}\) | C) \(\sqrt{\alpha g/2}\) | D) \(2\sqrt{\alpha g}\) | E) \(\sqrt{2\alpha g}\)

Cevap: E \(\sqrt{2\alpha g}\)

Çözüm:
Her bir direnç üzerinden geçen akım yönü için şekilde gösterilen ok işaretlerini ve \(I_n\) tanımını yaparak, kirchofflar alalım. 

Üstteki kısım ayrı bir devre gibidir. Alttaki akımları etkilemez. 


Alttaki kısım için iki tane kirchoff alırsak; 


\[8 - 2I_5 - 3I_4 = 0\]


\[12 + 3I_4 + 1(I_4 - I_5) = 0\]


Birinci denklemden; 


İkinci denklemde yerine yazarsak; 


\[I_5 = \frac{8 - 3I_4}{2}\]


\[12 + 4I_4 - \frac{8 - 3I_4}{2} = 0\]


Öyleyse; 


\[I_4 = -\frac{16}{11} A\]


Yani, çizilen ok işaretine ters yönde ve "16/11" amper büyüklüğünde akım akmaktadır.
Fizik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 22

 

İzole edilmiş 2L uzunluğunda bir kap bir ucundan geçen eksen etrafında \(\omega\) açısal hızı ile döndürülmektedir. Kabın içinde ısıca yalıtılmış, sızdırmasız ve sürtünmesizce hareket edebilen \(m\) kütleli bir piston vardır. Pistonun bir tarafında gaz, diğer tarafında ise serbest uzunluğu \(L\) olan, uçları piston ve kabın dönme eksenin geçtiği duvarına bağlı olan bir yay bulunmaktadır. Sistem \(\omega\) açısal hızı ile dönerken denge durumunda piston eksenden \(L\) kadar uzaktadır. Sistemin açısal hızı yavaşça arttırılarak \(2\omega\) yapıldığında denge durumunda piston eksenden \(3L/2\) uzaklıktadır. Eğer sistemin açısal hızı yavaşça arttırılarak \(3\omega\) yapılırsa denge durumunda pistonun eksenden uzaklığı kaç \(L\) olur? (Tüm süreçlerde sıcaklığın değişmediğini kabul ediniz.)

Şıklar:
\[A) \frac{437}{99} \quad B) \frac{369}{99} \quad C) \frac{374}{99} \quad D) \frac{416}{99} \quad E) \text{Hiçbiri}\]

Cevap: D \frac{416}{99} \quad

Çözüm:
Cisim terminal hıza ulaştığı anda, üzerindeki net kuvvet sıfırdır; 


\[\rho_{cisim} \frac{4}{3} \pi r^3 g - \rho_{sıvı} \frac{4}{3} \pi r^3 g = 6\pi\eta rv\]


\[v = (\rho_{cisim} - \rho_{sıvı}) \frac{2}{9\eta} r^2 g = \frac{4}{9\eta}\]


Bu hız ile t sürede alınacak yol miktarı; 


\[L = vt\]


\[L = \frac{4}{9\eta} t\]


\[\eta = \frac{4t}{9L}\]


Data değerlerine bakarak hesaplanacak “\(\eta\)” değerleri; 


Ölçüm 1: 


\[\eta_1 = \frac{100}{22.5}\]


Ölçüm 2: 


\[\eta_2 = \frac{1776}{439.56}\]


Ölçüm 3:




Ölçüm 4: 


\[ \eta_3 = \frac{2520}{623.7} \]


\[ \eta_4 = \frac{2860}{643.5} \]


Ölçüm 5: 


\[ \eta_5 = \frac{3300}{816.75} \]


Ortalaması ise; 


\[ \eta = \frac{416}{99} \]
Fizik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 24

x,y düzleminde hareket eden bir cismin hızı \(\vec{v} = v_0\vec{i} + \frac{v_0}{2}\vec{j}\) olduğu anda üzerine bir kuvvet uygulanmaya başlıyor. Cismin üzerindeki net kuvvet \(\vec{F} = F_0\vec{i} - 2F_0\vec{j}\) olup hareketi boyunca sabit kalmaktadır. Kuvvet uygulanmaya başlandıktan t süre sonra, cismin hızının büyüklüğü \(v_t = \frac{v_0\sqrt{7}}{2}\) dir. Kuvvet uygulanmaya başladıktan 2t süre sonraki hızının büyüklüğü \(v_{2t}\), 3t süre sonraki hız büyüklüğü \(v_{3t}\) olduğuna göre \(\frac{v_{2t}}{v_{3t}}\) oranı kaçtır?

Şıklar:
A) 40 | B) 31.25 | C) 12.75 | D) 23.5 | E) 17.5

Cevap: B 31.25

Çözüm:
Sıvı tabanındaki basınç “6/5” katına çıktığına göre, “\(P = h\rho g\)” formülünden, sıvı yüksekliği de “6/5” katına çıkmış demektir. 


Bu sırada buz erimiş ve su olmuş olduğuna göre yoğunlukları kap içerisindeki su ile eşittir. Dolayısıyla kütleleri; 


\[M_{su} = \rho_{su} hS\]


\[m_{buz} = \rho_{su} \frac{h}{5} S\]


Yani kabın içerisinde “5m” kütleli su vardır. 


Isı alışveriş formülünü yazarsak; 


\[m_{buz}c_{buz}(0 - (-10)) + m_{buz}L + m_{buz}c_{su}(T_1 - 0) = 5m_{buz}c_{su}(65 - T_1)\]


\[T_1 = \frac{5 * 65 * c_{su} - L - 10c_{buz}}{6c_{su}} = 40 \text{ °C}\]


“3m” kütleli buz olsaydı yine ısı alışveriş formülünü yazarsak; 


equation<|/ref|><|/det|>[[194, 568, 800, 590]]<|/det|>
\[3m_{buz}c_{buz}(0 - (-10)) + 3m_{buz}L + 3m_{buz}c_{su}(T_2 - 0) = 5m_{buz}c_{su}(65 - T_2)\]


\[T_2 = \frac{5 * 65 * c_{su} - 3L - 30c_{buz}}{8c_{su}} = 8.75 \text{ °C}\]


\[T_2 - T_1 = 31.25 \text{ °C}\]
Fizik Olimpiyatı 2019, 1. Aşama, Soru 25

a yarıçaplı, 2a yüksekliğindeki bir silindirin hemen üstüne bu silindirin taban alanına sığabilecek en büyük yüzey alanlı bir küp yerleştiriliyor. Bu durumda ikilinin kütle merkezi ile silindirin kütle merkezi arasındaki mesafe \(\Delta y_1\) olmaktadır. İkinci durumda ise a yarıçaplı, 2a yüksekliğindeki bu silindirin hemen üstüne bu silindirin taban alanını içine alabilecek en küçük yüzey alanlı bir küp yerleştiriliyor. Bu duruma ikilinin kütle merkezi ile silindirin kütle merkezi araşındaki mesafe \(\Delta y_2\) olmaktadır. \(\Delta y_1/\Delta y_2\) oranı kaçtır? \(\pi = 3\) alınız. 


\[A) \frac{2+\sqrt{2}}{8} \quad B) \frac{2+2\sqrt{2}}{8} \quad C) \frac{1+3\sqrt{2}}{8} \quad D) \frac{1+\sqrt{2}}{8} \quad E) \frac{1+2\sqrt{2}}{8}\]

Şıklar:
A) \frac{2+\sqrt{2}}{8} \quad B) \frac{2+2\sqrt{2}}{8} \quad C) \frac{1+3\sqrt{2}}{8} \quad D) \frac{1+\sqrt{2}}{8} \quad E) \frac{1+2\sqrt{2}}{8}

Cevap: E \frac{1+2\sqrt{2}}{8}

Çözüm:
Kütle merkezleri düşeyde aynı doğru üzerindedirler. 


Silindirin kütle merkezi yerden "a" kadar yükseklikte ve kütlesi "\(\rho\pi a^2 2a\)" kadardır. 


İlk durumda küpün alt tabanının hipotenüsü, silindirin çapına eşittir. Öyleyse küpün bir kenarı "\(\sqrt{2}a\)" büyüklüğündedir. 

  


Bu durumda, küpün kütle merkezi yerden "2a + a\(\sqrt{2}\)" kadar yükseklikte ve kütlesi "\(\rho 2\sqrt{2}a^3\)" kadardır. 


Öyleyse kütle merkezi yerden; 


\[x_{km_1} = \frac{\rho\pi 2a^3 * a + \frac{\rho 2\sqrt{2}a^3 (4 + \sqrt{2})a}{2}}{\rho\pi 2a^3 + \rho 2\sqrt{2}a^3} = a \frac{2\pi + 4\sqrt{2} + 2}{2\pi + 2\sqrt{2}}\]


İkinci durumda küpün bir kenarının uzunlupe, silindirin çapına eşittir. Öyleyse küpü n bir kenarı "2a" büyüklüğündedir. 


Bu durumda, küpün kütle merkezi yerden “2a + a = 3a” kadar yükseklikte ve kütlesi “\(\rho 2^3 a^3\)” kadardır. 


Öyleyse kütle merkezi yerden; 


<center>Öyleyse, ikilinin kütle merkezi ile silindirin kütle merkezi aırasındaki mesafeler farkı;</center> 


\[\frac{\Delta y_1}{\Delta y_2} = \frac{x_{km_1} - a}{x_{km_2} - a} = \frac{\frac{(2\sqrt{2} + 2)a}{2\pi + 2\sqrt{2}}}{\frac{16a}{2\pi + 8}} = \frac{(\sqrt{2} + 1)14}{16(3 + \sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{2} + 1)(3 - \sqrt{2})}{8} = \frac{2\sqrt{2} + 1}{8}\]