alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 24

Kırıcılık indisi \(n=1,5\) olan maddeden yapılmış bir yüzü düzlem, diğer yüzü küresel olan yakınsak bir ince mercekten belirli uzakta bulunan bir cismin görüntüsü, merceğin diğer tarafındaki bir ekran üzerinde oluşmaktadır. Mercek 12 cm kadar optik eksen boyunca hareket ettiriliyor. Tekrar net görüntü oluşabilmesi için ekran 108 cm hareket ettiriliyor. Birinci durumda oluşan görüntü ikinci durumda oluşan görüntüden 2,5 kat büyüktür. Bu merceğin küresel yüzünün eğrilik yarıçapı kaç cm dir?

Şıklar:
A) 20 | B) 40 | C) 12,5 | D) 60 | E) 50

Cevap: A 20

Çözüm:
İkinci durumda oluşan görüntü birinci durumda oluşan görüntüden küçük olduğundan ekranın merceğe yaklaşması, merceğinse cisimden uzaklaşması gerekir. Mercek cisimden 12 cm uzaklaştığından ve ekran 108 cm yer değiştirdiğinden mercek ekrana 120 cm yaklaşmıştır. Buna göre, 


Birinci durumda: 


\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} \]


\[ \Gamma_1 = -\frac{b}{a} = -\left(\frac{b}{f} - 1\right) \]


İkinci durumda: 


\[ \frac{1}{a'} + \frac{1}{b'} = \frac{1}{a + 12} + \frac{1}{b - 120} = \frac{1}{f} \]


\[ \Gamma_2 = -\frac{b'}{a'} = -\left(\frac{b - 120}{f} - 1\right) \]


Büyütmeler arasındaki oran 2,5 olmalıdır, buradan: 


\[ \frac{|\Gamma_1|}{|\Gamma_2|} = \frac{\frac{b}{f} - 1}{\frac{b - 120}{f} - 1} = 2,5 \Rightarrow b = f + 200 \]


1. ve 2. durumda \(b = f + 200\) olduğunu kullanarak: 


\[ \frac{1}{a} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f + 200} \Rightarrow a = \frac{f \cdot (f + 200)}{200} \]


\[ \frac{1}{a + 12} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f + 80} \Rightarrow a = \frac{f \cdot (f + 80)}{80} - 12 \]


Buradan merceğin odak uzaklığı:




\[f^2 \cdot \left(\frac{1}{80} - \frac{1}{200}\right) = 12 \Rightarrow f = 40 \text{ cm}\]


olarak bulunur. 


Mercek denkleminden odak uzaklığı: 


\[\frac{1}{f} = (n - 1) \left(\frac{1}{\infty} + \frac{1}{R}\right)\]


şeklinde verilir. Buradan R: 


\[R = (n - 1) \cdot f = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20 \text{ cm}\]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 25

Kütlesi \(m\), yükü \(-Q\) olan iyonlar bir fırında \(T\) sıcaklığına kadar ısıtılarak hızlandırılıyor. Bir yarık yardımıyla yönlendirilen bu iyonlar, yatay ve aralarındaki uzaklık \(Y\), boyları \(L\) olan paralel iki metal plakanın arasına plakaların düşey yöndeki (\(R\)) orta 


noktasından giriyor. Üst plaka \(+V\) potansiyeline bağlanıp alt plaka topraklandığında bu parçacık üst plakanın tam (\(S\)) ucundan dışarı çıkmaktadır. \(V\) potansiyelin ifadesi nedir?

Şıklar:
A) \(eğer x > f\) ise: \(\frac{f^2}{f+x}\), \(eğer x < f\) ise: \(\frac{f^2}{-x+f}\) | B) \(eğer x > f\) ise: \(x - f\), \(eğer x < f\) ise: \(f - x\) | C) \(eğer x > f\) ise: \(\frac{f^2}{x-f}\), \(eğer x < f\) ise: \(-\frac{f^2}{x-f}\) | D) her durumda \(\frac{f^2}{f+x}\) | E) \(\infty\)

Cevap: C \(eğer x > f\) ise: \(\frac{f^2}{x-f}\), \(eğer x < f\) ise: \(-\frac{f^2}{x-f}\)

Çözüm:
Çubuğun sonsuzdaki ucunun görüntüsü aynanın odağında oluşur. Diğer ucunun görüntüsü, 


eğer \(x > f\) ise: 


\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{b_1} \Rightarrow b_1 = \frac{xf}{x-f} > f \]


\(b_1\) kadar aynanın önünde oluşur. Buradan görüntünün boyu: 


\[ l_1 = b_1 - f = \frac{f^2}{x-f} \]


olur. 


eğer \(x < f\) ise: 


\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{x} - \frac{1}{b_2} \Rightarrow b_2 = -\frac{xf}{f-x} \]


\(|b_2|\) kadar aynanın arkasında oluşur. Buradan görüntünün boyu: 


equation</td>
[[368, 760, 628, 800]]<|/det|>
\[ l_2 = f + |b_2| = \frac{f^2}{f-x} = -\frac{f^2}{x-f} \]


olur.
Fizik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 1

Düşey konumda bulunan içi boş bir silindirin içinde gaz sızdırmayan, sürtünmesiz, *M* kütleli bir piston yay sabiti *k* olan bir yayın ucunda asılı olarak durmaktadır. Piston denge konumunda iken silindirin tabanından *h* kadar yüksektedir. Silindirin alt bölümüne sıcaklığı *T* olan gaz konulursa yaydaki sıkışma miktarı yaydaki ilk uzama miktarının iki katı oluyor. Bundan sonra gaz soğutuluyor. Yaydaki sıkışma miktarı yaydaki ilk uzama mıktarına eşit olduğunda gazın yeni sıcaklığı nedir?

Şıklar:
A) \(\frac{(Mg + 2kh)T}{2(2Mg + kh)}\) | B) \(\frac{2(Mg + kh)T}{3(3Mg + kh)}\) | C) \(\frac{(Mg + kh)T}{(2Mg + kh)}\) | D) \(\frac{(Mg + kh)T}{3(2Mg + 2kh)}\) | E) \(\frac{2(Mg + 2kh)T}{3(2Mg + 2kh)}\)

Cevap: B \(\frac{2(Mg + kh)T}{3(3Mg + kh)}\)

Çözüm:
Bu soru sınavda iptal edilmiş olup, doğru çözümü aşağıdaki gibidir. 


Silindirin içinde gaz yokken yaydaki uzama miktarı *x* olsun, bu durumda piston üzerindeki kuvvet dengesinden: 


\[kx = Mg \Rightarrow x = \frac{Mg}{k}\]


Silindirin taban alanına *S*, alt bölümüne *T* sıcaklıkta gaz konulduktan sonra gazın basıncına *P* diyelim. Bu durumda pistonun silindirin tabanından yüksekliği *h* + 3x olur. Gaz için ideal gaz denklemi ve piston üzerindeki kuvvet dengesinden: 


\[PS(h + 3x) = nRT \Rightarrow \frac{nR}{S} = \frac{P(h + 3x)}{T}\]


\[Mg + k \cdot 2x = PS\]


Gaz soğuduktan sonra pistonun silindirin tabanından yüksekliği *h* + *x* olur. Bu durumda gazın sıcaklığına *T'* ve basıncına *P'* dersek ideal gaz denkleminden ve piston üzerindeki kuvvet dengesinden: 


\[P'S(h + x) = nRT' \Rightarrow \frac{nR}{S} = \frac{P'(h + x)}{T'} = \frac{P(h + 3x)}{T} \Rightarrow \frac{P'}{P} = \frac{T'}{T} \cdot \frac{h + 3x}{h + x}\]


\[Mg + kx = P'S \Rightarrow \frac{P'}{P} = \frac{Mg + kx}{Mg + 2kx} = \frac{T'}{T} \cdot \frac{h + 3x}{x}\]


Buradan \(T' / T\): 


\[\frac{T'}{T} = \frac{h + x}{h + 3x} \cdot \frac{Mg + kx}{Mg + 2kx}\]




olarak bulunur. 


x için bulduğumuz ifadeyi bu denklemde yerine yazarsak T': 


\[ \frac{T'}{T} = \frac{h + \frac{Mg}{k}}{h + \frac{3Mg}{k}} \cdot \frac{Mg + Mg}{Mg + 2Mg} \Rightarrow T' = \frac{2(Mg + kh)}{3(3Mg + kh)} \cdot T \]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 2

Sıcaklığı \(T_1 = 273 \text{ K}\), kütlesi \(m = 60 \text{ g}\) olan buz ile \(T_2(T_2 > T_1)\) sıcaklığında, hacmi \(V = 50 \text{ cm}^3\), kütlesi \(M = 320 \text{ g}\) olan metal top bir kalorimetre kabının içine konuluyor. Metalin \(0^\circ\text{C}\) deki öz kütlesi \(\rho = 6,5 \text{ g/cm}^3\), öz ısı kapasitesi \(C = 0,1 \text{ cal/g}\). \(K\) ve boyca uzama katsayısı \(\alpha = 3,2 \times 10^{-5} \text{ K}^{-1}\) olarak verilmektedir. Isıl denge sağlandığı zaman kapta kaç gram buz kalmıştır?

Şıklar:
A) 5 | B) 20 | C) 0 | D) 2 | E) 12

Cevap: C 0

Çözüm:
\(\rho_0 = 6,5 \text{ g/cm}^3\) dersek metalin yoğunluğunun sıcaklığına bağlı ifadesi: 


\[ \rho(T) = \rho_0 \cdot (1 - 3\alpha(T - 0^\circ\text{C})) = \rho_0 \cdot (1 - 3\alpha \cdot T) \]


Buradan metalin \(T_2\) sıcaklıktaki yoğunluğundan \(T_2\): 


\[ \rho(T_2) = \frac{M}{V} = \frac{320}{50} = 6,4 \text{ g/cm}^3 \]


\[ T_2 = \frac{1}{3\alpha} \cdot \left( 1 - \frac{\rho(T_2)}{\rho_0} \right) = \frac{1}{3 \cdot 3,2 \cdot 10^{-5}} \cdot \left( 1 - \frac{6,4}{6,5} \right) \approx 160^\circ\text{C} \]


olarak bulunur. 


Buz ilk başta \(T_1 = 273 \text{ K} = 0^\circ\text{C}\) sıcaklıktadır. Buzun tamamının erimesi için metalin sıcaklık değişimi: 


\[ m\lambda = MC\Delta T_2 \Rightarrow \Delta T_2 = \frac{m\lambda}{MC} = \frac{60 \cdot 340}{320 \cdot 0,1 \cdot 4,2} \approx 150^\circ\text{C} \]


olmalıdır. 


\(\Delta T_2 < T_2\) olduğundan sistemde ısıl denge sağlanmadan buzun tamamı erir. Buradan kapta kalan buz kütlesi \(m = 0\) olur.
Fizik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 3

Bir silindir içine n mol tek atomlu ideal bir gaz konmuş ve silindirin üstü kesit alanı \(A\), kütlesi \(M\) olan sızdırmaz bir pistonla kapatılmıştır. Başlangıçta gazın sıcaklığı \(T_0\) hacmi \(V_0\), iken piston sabit tutulmaktadır. Piston serbest bırakılınca harekete başlar ve birkaç küçük genlikli titreşimden sonra belirli bir yükseklikte durur. Dış hava basıncı \(P_H\) olarak verilmiştir. Pistonun ve silindirin ısı kapasiteleri ve sürtünme ihmal edilecek kadar az olup sistem ısıca yalıtılmıştır. Piston dengeye geldiği durumda gazın yeni hacmi ne kadardır? (NOT: Tek atomlu bir gazın molar ısı kapasitesi \(\frac{3}{2}R\) olup, burada \(R\) gaz sabitidir).

Şıklar:
**A)** \(V_0 - \frac{3nART_0}{2(AP_H + Mg)}\) **B)** \(\frac{1}{2}(V_0 + \frac{5nART_0}{AP_H + Mg})\) **C)** \(\frac{1}{2}(V_0 - \frac{nART_0}{AP_H + Mg})\) 


**D)** \(\frac{1}{5}(V_0 - \frac{3nART_0}{AP_H + Mg})\) **E)** \(\frac{1}{5}(2V_0 + \frac{3nART_0}{AP_H + Mg})\)

Cevap: A 20

Çözüm:
Son durumda gazın basıncına \(P\), hacmine \(V\) ve sıcaklığına \(T\) dersek, bu durumda piston üzerindeki kuvvet dengesi ve ideal gaz denkleminden: 


\[Mg + P_H \cdot A = P \cdot A \Rightarrow P = P_H + \frac{Mg}{A}\]


\[PV = nRT \Rightarrow T = \frac{PV}{nR} = \frac{\left(P_H + \frac{Mg}{A}\right)V}{nR}\]


Gazın üzerine yapılan iş iç enerjisinin artışına eşittir, buradan: 


\[(P_H \cdot A + Mg) \cdot \frac{V_0 - V}{A} = nC_V \Delta T = \frac{3}{2}nR(T - T_0)\]


\(T\) için bulduğumuz ifadeyi yerine yazarsak: 


\[\left(P_H + \frac{Mg}{A}\right)V_0 - \left(P_H + \frac{Mg}{A}\right)V = \frac{3}{2}nR \cdot \frac{\left(P_H + \frac{Mg}{A}\right)V}{nR} + \frac{3}{2}nRT_0\]


Buradan \(V\): 


\[V = \frac{2}{5\left(P_H + \frac{Mg}{A}\right)} \cdot \left[\left(P_H + \frac{Mg}{A}\right)V_0 + \frac{3}{2}nRT_0\right] = \frac{1}{5}\left(2V_0 + \frac{3nART_0}{AP_H + Mg}\right)\]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 4

Şekildeki piston sıvı geçirmez olup sürtünmesizce hareket edebilmektedir. Kabın duvarı ile piston arasındaki uzaklık h iken, kabın içinde h yüksekliğine kadar ρ yoğunluklu sıvı, geri kalan h yüksekliğinde ise \(P_0\) basınçlı gaz bulunmaktadır. Bu durumda sistem, pistona diğer yandan etki eden F dış kuvveti ile dengededir. F kuvveti katına çıkarılınca piston ile kabın duvarı arasındaki uzunluk 0,8h olmaktadır. Bu süreçte sistemin sıcaklığı sabit kalmaktadır. \(\frac{P_0}{h\rho g}\) oranı nedir?

Şıklar:
A) \(\frac{9}{55}\) | B) \(\frac{15}{64}\) | C) \(\frac{13}{42}\) | D) \(\frac{7}{29}\) | E) \(\frac{5}{16}\)

Cevap: B \(\frac{15}{64}\)

Çözüm:
Kabın sayfa düzleminden içeriye doğru olan uzunluğuna l dersek, kabın duvarı ile piston arasındaki uzaklık h iken piston üzerindeki kuvvet dengesinden: 


\[F = P_0 hl + \frac{P_0 + (P_0 + \rho gh)}{2} \cdot hl = 2P_0 hl + \frac{\rho gh^2 l}{2}\]


Kabın duvarı ile piston arasındaki uzaklık 0,8h iken, sıvının hacmi sabit olduğundan yeni yüksekliği: 


\[V_{sıv} = h \cdot h \cdot l = h' \cdot 0,8h \cdot l \Rightarrow h' = \frac{5}{4}h\]


Bu durumda gazın yeni basıncına P diyelim, sistemin sıcaklığı sabit kaldığından gaz için \(P \cdot V = Sabit\) olur. Buradan gazın yeni basıncı: 


\[P_0 \cdot h^2 l = P \cdot (2h - h') \cdot 0,8hl = P \cdot \frac{3}{5}h^2l \Rightarrow P = \frac{5}{3}P_0\]


olarak bulunur. 


Piston üzerindeki kuvvet dengesinden: 


\[P(2h - h')l + \frac{P + (P + \rho gh')}{2} \cdot h'l = \frac{50}{31}F\]


\[\frac{50}{31}F = \frac{5}{3}P_0 \cdot \frac{3}{4}hl + \left(\frac{5}{3}P_0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4}\rho gh\right)\frac{5}{4}hl = \frac{10}{3}P_0hl + \frac{25}{32}\rho gh^2l\]


F için ilk durumda bulduğumuz ifadeyi yerine yazarsak aranan oran: 


\[\frac{50}{31}\left(2P_0hl + \frac{\rho gh^2 l}{2}\right) = \frac{10}{3}P_0hl + \frac{25}{32}\left(\rho gh^2 l\right) \Rightarrow \frac{P_0}{\rho gh} = \frac{\frac{25}{31} - \frac{25}{32}}{\frac{10}{3} - \frac{10}{31}} = \frac{15}{64}\]
Fizik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 5

Her birinin kütlesi 3,6 g olan A, B, C cisimleri birinin içinde su diğerinde alkol (yoğunluğu 0,8 g/cm³) dolu olan kaplara bırakılarak tablodaki veriler toplanmıştır. Kaplar, cisimler bırakılmadan önce sıvı taşmadan alabilecekleri en fazla miktardaki sıvı ile doludur. Aşağıdaki tabloda cisimler kaplara atıldıktan sonra taşan sıvı miktarları cm³ birimiyle verilmiştir. Cisimler sıvıların içinde çözünmemektedirler. A ve B cisimlerin yoğunlukları arasındaki ρA/ ρB oranı nedir? 


<table><tr><td>Atılan Cisimler</td><td>Su dolu kapta taşan miktar (cm³)</td><td>Alkol dolu kapta taşan miktar (cm³)</td></tr><tr><td>A+B</td><td>6,6</td><td>-</td></tr><tr><td>B+C</td><td>-</td><td>8,5</td></tr><tr><td>A+C</td><td>-</td><td>7,5</td></tr></table>

Şıklar:
A) \(\frac{(Mg + 2kh)T}{2(2Mg + kh)}\) | B) \(\frac{2(Mg + kh)T}{3(3Mg + kh)}\) | C) \(\frac{(Mg + kh)T}{(2Mg + kh)}\) | D) \(\frac{(Mg + kh)T}{3(2Mg + 2kh)}\) | E) \(\frac{2(Mg + 2kh)T}{3(2Mg + 2kh)}\)

Cevap: B \(\frac{2(Mg + kh)T}{3(3Mg + kh)}\)

Çözüm:
Alkole atılan cisimlerin taşırdıkları su miktarlarını karşılaştırırsak B cisminin A cisminden fazla su taşırdığını görürüz, öyleyse A cismi B cisminden daha yoğundur. 


Bu iki cisim suya atıldığında taşırdıkları su hacmine bakıldığında ikisinin de yüzmesi olası değildir, bu yüzden A cismi sudan da daha yoğundur. 


B cisminin alkole batıp suda yüzdüğünü, C cisminin alkolde yüzdüğünü varsayalım, buna göre 1. ve 2. kaplarda taşan sıvı hacminin ifadesinden: 


\[6,6 = \frac{3,6}{\rho_A} + \frac{3,6}{\rho_{su}} = \frac{3,6}{\rho_A} + 3,6 \Rightarrow \rho_A = 1,2 \text{ g/cm}^3\]


\[8,5 = \frac{3,6}{\rho_B} + \frac{3,6}{\rho_{alkol}} = \frac{3,6}{1,2} + \frac{3,6}{0,8} \Rightarrow \rho_B = 0,9 \text{ g/cm}^3\]


3. kap için taşan sıvı ifadesinde \(\rho_A\) için bulduğumuz değeri yerine koyarsak: 


\[7,5 = \frac{3,6}{\rho_A} + \frac{3,6}{ρ_{alkol}} = \frac{3,6}{1,2} + \frac{(3,6)}{0,9} = 3 + 4,5\]


\(\rho_A\) değerinin bu ifadeyi sağladığını görürüz. 


Aynı zamanda \(\rho_{su} > \rho_B > \rho_{alkol}\) olduğundan yaptığımız varsayımlar doğrudur. Buna göre aranan oran: 


\[\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{1,2}{0,9} = \frac{4}{3}\]
Fizik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 6

Silindirik bir kabın ucuna kesik koni şeklinde bir ağız yerleştirilmiştir. Koninin silindir içinde kalan kesik bölümünün yüksekliği L kadardır. Silindirik kısım bir sıvı ile tamamen doludur. Sistemin sıcaklığı \(\Delta T\) kadar artırılınca sıvı yukarı doğru h kadar yükselmektedir. Sistemin sıcaklığı \(3\Delta T\) kadar daha artırıldığında, sıvının yüksekliği h kadar daha artmaktadır. h/L oranı ne kadardır? (Kapların genleşmediğini varsayınız).

Şıklar:
A) \sqrt{3} \quad B) \sqrt{2} \quad C) \frac{1}{3} \quad D) \sqrt{\frac{3}{2}} \quad E) \sqrt{\frac{2}{3}}

Cevap: D \sqrt{\frac{3}{2}}

Çözüm:
Koninin tepe noktasından L kadar uzaktaki kesit alanının yarıçapına r, L + h kadar uzaktaki kesit alanının yarıçapına \(r_1\) ve \(L + 2h\) kadar uzaktaki kesit alanının yarıçapına \(r_2\) dersek: 


\[ \frac{r}{L} = \frac{r_1}{L + h} = \frac{r_2}{L + 2h} \]


\[ r_1 = \left(1 + \frac{h}{L}\right)r \]


\[ r_2 = \left(1 + \frac{2h}{L}\right)r \]


Buna göre sıvı h kadar yükseldiğinde hacim artışı: 


\[ \Delta V_1 = \frac{\pi r_1^2 (L + h)}{3} - \frac{\pi r^2 L}{3} = \frac{\pi r^2 L}{3} \left( \left(1 + \frac{h}{L}\right)^3 - 1 \right) \]


Sıvı \(2h\) kadar yükseldiğinde hacim artışı: 


\[ \Delta V_2 = \frac{\pi r_2^2 (L + 2h)}{3} - \frac{\pi r^2 L}{3} = \frac{\left(1 + \frac{2h}{L}\right)^3 - 1}{3} \]


Sıvının ilk hacmine \(V_0\), hacimce genleşme katsayısına \(\beta\) dersek ve \(\alpha \equiv h / L\) olarak tanımlarsak, \(\Delta V_1\) ve \(\Delta V_2\) arasındaki oran: 


\[ \Delta V_1 = \beta V_0 \Delta T \]


\[ \Delta V_2 = \beta V_0 (\Delta T + 3\Delta T) = 4\beta V_0 \Delta T \]


\[ \frac{\Delta V_2}{\Delta V_1} = 4 = \frac{\left(1 + \frac{2h}{L}\right)^3}{3} - 1 = \frac{\left(1 + 2\alpha\right)^3 - 1}{\left(1 + \alpha\right)^3 - 1} = \frac{6 + 12\alpha + 8\alpha^2}{3 + 3\alpha + \alpha^2} \]


Buradan:




\[4\alpha^2 = 6 \Rightarrow \alpha = \frac{h}{L} = \sqrt{\frac{3}{2}}\]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 7

Bir silindir içine n mol tek atomlu ideal bir gaz konmuş ve silindirin üstü kesit alanı \(A\), kütlesi \(M\) olan sızdırmaz bir pistonla kapatılmıştır. Başlangıçta gazın sıcaklığı \(T_0\) hacmi \(V_0\), iken piston sabit tutulmaktadır. Piston serbest bırakılınca harekete başlar ve birkaç küçük genlikli titreşimden sonra belirli bir yükseklikte durur. Dış hava basıncı \(P_H\) olarak verilmiştir. Pistonun ve silindirin ısı kapasiteleri ve sürtünme ihmal edilecek kadar az olup sistem ısıca yalıtılmıştır. Piston dengeye geldiği durumda gazın yeni hacmi ne kadardır? (NOT: Tek atomlu bir gazın molar ısı kapasitesi \(\frac{3}{2}R\) olup, burada \(R\) gaz sabitidir).

Şıklar:
**A)** \(V_0 - \frac{3nART_0}{2(AP_H + Mg)}\) **B)** \(\frac{1}{2}(V_0 + \frac{5nART_0}{AP_H + Mg})\) **C)** \(\frac{1}{2}(V_0 - \frac{nART_0}{AP_H + Mg})\) 


**D)** \(\frac{1}{5}(V_0 - \frac{3nART_0}{AP_H + Mg})\) **E)** \(\frac{1}{5}(2V_0 + \frac{3nART_0}{AP_H + Mg})\)

Cevap: B \(\frac{1}{5}(2V_0 + \frac{3nART_0}{AP_H + Mg})\)

Çözüm:
Nehir referans sisteminde kayığın hızına \(u\) diyelim. Motorun uyguladığı kuvvete \(F\) dersek, kayık üzerindeki kuvvet dengesinden: 


\[F = F_s = ku\]


Aynı zamanda: 


\[P = F \cdot u \Rightarrow \frac{P}{u} = k \cdot u \Rightarrow u = \sqrt{\frac{P}{k}} = Sabit\]


Yani kayığın nehre göre hızı her durumda sabittir, nehrin akış hızına \(v\) dersek ilk durumda: 


\[V_1 = u + v \Rightarrow v = V_1 - u\]


İkinci durumda: 


\[V_2 = u - v \Rightarrow V_2 = u - (V_1 - u) = 2u - V_1\]


Nehre göre kayığın hızı \(u\) olduğundan: 


\[2u = V_1 + V_2 \Rightarrow u = \frac{V_1 + V_2}{2}\]
Fizik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 8

Kabin yüksekliği 3,375 m olan bir asansör durgun durumdan başlayarak \(2,0 \text{ m/s}^2\) sabit ivme ile yukarı doğru harekete başladıktan 1,5 saniye sonra gevşemiş bir vida tavandan kopuyor. Bu vida kaç saniye sonra asansörün tabanına ulaşır?

Şıklar:
A) 0,90 | B) 0,30 | C) 0,45 | D) 1,25 | E) 0,75

Cevap: B \(\frac{15}{64}\)

Çözüm:
Sabit \(a\) ivmesi ile yukarı doğru giden referans sistemine geçelim. Bu referans sisteminde cisimler üzerine etki eden net ivme: 


\[a' = a + g = 2 + 10 = 12 \text{ m/s}^2\]


olacaktır. Buradan vidanın asansörün tabanına ulaşması için geçen zaman: 


\[h = \frac{1}{2} a' t^2 \quad \Rightarrow \quad t = \sqrt{\frac{2h}{a'}} = \sqrt{\frac{2 \cdot \frac{27}{8}}{12}} = \frac{3}{4} = 0,75 \text{ s}\]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 9

m kütleli bir top düşey düzlemde bulunan aynı merkezli iç içe iki küresel kabuğun arasında, en yüksek noktada durmaktadır. Topun çapı iki küre arasındaki uzaklıktan biraz küçüktür. Tüm yüzeyler sürtünmesizdir. Top yavaşça sağa doğru itilerek hareket başlatılır. Topun her hangi bir andaki konumu topunun çap vektörünün düşeyle yaptığı \(\theta\) açısı ile belirlenmektedir. Topa dıştaki küre tarafından uygulanan normal kuvvetin(y-ekseni), \(\theta\) açısına bağlı fonksiyonu nasıl olmalıdır?

Şıklar:

Cevap:  \(N(\theta) = (2 - 3 \cos \theta)mg\)

Çözüm:
m kütleli topun herhangi bir \(\theta\) açısında hızı, enerji korunumundan: 


\[E = \text{Sabit} \Rightarrow \frac{1}{2}mv^2 = mgR(1 - \cos \theta) \Rightarrow v = \sqrt{2gR(1 - \cos \theta)}\]


olarak bulunur. Topa etki eden tepki kuvveti, yerçekimi kuvvetinin küresel kabukların merkezine doğru olan bileşeni ile birlikte merkezcil ivmeyi oluşturur. Buradan tepki kuvveti \(\theta'\) nın fonksiyonu olarak:




\[ \frac{mv^2}{R} = N + mg \cos \theta \Rightarrow N = \frac{mv^2}{R} - mg \cos \theta = 2mg(1 - \cos \theta) - mg \cos \theta \]


\[ N(\theta) = (2 - 3 \cos \theta)mg \]


şeklinde bulunur. 


\(N < 0\) değerleri topa tepki kuvvetinin iç küreden etki ettiğini gösterir. \(N(\theta) = (2 - 3 \cos \theta)mg\)
Fizik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 10

L uzunluğundaki ince bir tahta çubuk üst ucundan hafifçe bastırılarak yavaş yavaş suya dik olarak batırılıyor. Çubuğun x kadar uzunluğu suya battığı anda çubuk artık suya dik olarak değil, düşey doğrultu ile belirli bir açı yaparak girmeye başlamaktadır. Tahtanın öz kütlesi suyun öz kütlesinin yarısı kadarsa, x uzunluğunun ifadesi nedir?

Şıklar:
A) \sqrt{3} \quad B) \sqrt{2} \quad C) \frac{1}{3} \quad D) \sqrt{\frac{3}{2}} \quad E) \sqrt{\frac{2}{3}}

Cevap: E \sqrt{\frac{3}{2}}

Çözüm:
Sınır durumunda çubuğun düşey ile yaptığı herhangi bir açıda, çubuğa bastırılan noktaya göre (O noktası) tork sıfıra eşittir. Buradan: 


\[M_O = G \cdot \frac{L}{2} \sin \theta - F_k \cdot (L - \frac{x}{2}) \sin \theta = 0\]


Çubuğun kesit alanına S dersek: 


\[G = \rho_{tahta} \cdot SL \cdot g\]


\[F_k = \rho_{su} \cdot Sx \cdot g\]


Buradan: 


\[\frac{1}{2} \rho_{tahta} S g L^2 = \rho_{su} S g (L - \frac{x}{2}) x\]


\(\rho_{tahta} / \rho_{su} = 1 / 2\) olarak verilmiş, denklemde yerine yazarsak x uzunluğunun ifadesi: 


\[L^2 = 4 (L - \frac{x}{2}) \cdot x \Rightarrow 2x^2 - 4Lx + L^2 = 0 \Rightarrow x = L \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 11

Sürtünmesiz ve kütlesiz bir sabit makaranın iki tarafında iple bağlı olan \(M_I\) kütleli iki cisimden birisi, yatay ve sürtünmesiz masa üzerinde, tam makaranın altında ve makaradan \(H=40\) m aşağıda bulunmaktadır. Masa üzerindeki \(M_2\) kütleli cisim, yerdeki \(M_I\) kütleli cisme doğru sabit \(V_0=20\) m/s hızıyla gidip çarpışmakta ve ona yapışmaktadır. \(M_I=4M_2\) ise, sistemdeki cisimler duruncaya kadar aldıkları yolların oranı nedir?

Şıklar:
A) 3 | B) 6 | C) 9 | D) 12 | E) 15

Cevap: C 9

Çözüm:
\(M_1\) ve \(M_2\) çarpıştıktan sonra birlikte hareket ettikleri hızları momentum korunumundan: 


\[M_2 V_0 = (M_1 + M_2) V \Rightarrow V = \frac{M_2}{M_1 + M_2} V_0 = 4 \text{ m/s}\]


olarak bulunur. 


\(M_1\) kütleli cisim durana kadar y kadar yükselsin, \(M_1\) ve \(M_2\) kütleli cisimler ise yatayda x kadar yol alsın. İpin uzunluğu sabit olduğundan \(x\): 


\[x^2 + H^2 = (H + y)^2 \Rightarrow x = \sqrt{y(y + 2H)}\]


olur. 


Buradan \(x / y\) oranı: 


\[\frac{x}{y} = \sqrt{1 + \frac{2H}{y}}\]


'ye eşittir. 


Enerji korunumundan \(y\): 


\[\frac{1}{2}(M_1 + M_2)V^2 = M_1gy \Rightarrow y = \left(1 + \frac{M_2}{M_1}\right) \cdot \frac{V^2}{2g} = 1 \text{ m}\]


olarak bulunur. Buradan aranan oran: 


\[\frac{x}{y} = \sqrt{1 + \frac{2 \cdot 40}{1}} = 9\]


olur.
Fizik Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 12

Kırıcılık indisleri \(n_1\) ve \(n_2 (n_2 > n_1)\) olan ortamların düzlem ara yüzeyine \(n_1\) ortamından \(\theta_1\) açısı ile gelen tek dalga boylu bir ışık, burada hem yansımakta, hem de kırılmaktadır. Kırılan ve yansıyan ışınlar birbirine dik olup, bu durumda \(\phi_k\) sınır açısı \(\sin \phi_k = \frac{2}{3} \sin \theta_1\) denklemi ile verilmektedir. \((n_2 / n_1)\) oranı nedir?

Şıklar:
A) 2 \quad B) 1,5 \quad C) \sqrt{3} \quad D) 2\sqrt{3} \quad E) \sqrt{2}

Cevap: C \sqrt{3} \quad

Çözüm:
Snell yasasından:
\[ n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 \]

Aynı zamanda kırılan ve yansıyan ışınların dik olması için:
\[ 90^\circ = 180^\circ - (\theta_1 + \theta_2) \Rightarrow \theta_1 + \theta_2 = 90^\circ \]
olmalıdır. Buradan:
\[ \sin \theta_2 = \cos \theta_1 \Rightarrow n_1 \sin \theta_1 = n_2 \cos \theta_1 \Rightarrow \tan \theta_1 = \frac{n_2}{n_1} \]

Sınır açısı:
\[ n_2 \sin \phi_k = n_1 \sin 90^\circ = n_1 \Rightarrow \sin \phi_k = \frac{n_1}{n_2} \]
ifadesi ile verilir. Buradan:
\[ \sin \phi_k = \frac{n_1}{n_2} = \frac{2}{3} \sin \theta_1 \Rightarrow \sin \theta_1 = \frac{3n_1}{2n_2} \]

Aynı zamanda:
\[ \tan \theta_1 = \frac{\sin \theta_1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta_1}} = \frac{3n_1}{\sqrt{4n_2^2 - 9n_1^2}} = \frac{n_2}{n_1} \]

Bu denklemi çözersek aranan oran:
\[ 9n_1^4 = 4n_2^4 - 9n_1^2 n_2^2 \Rightarrow 4\left(\left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2\right)^2 - 9\left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 - 9 = 0 \]
\[ \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 = 3 \Rightarrow \frac{n_2}{n_1} = \sqrt{3} \]