alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 10

Kütlesi \(m\) olan bir adam yüksek bir köprüden gerilmemiş boyu \(L\) olan esnek bir halata bağlanarak aşağı atlamaktadır. Halatı yay sabiti \(k\) olan bir yay gibi düşünebilirsiniz. Adam atladıktan sonra köprüden \(H\) kadar aşağıdaki bir nokta etrafında aşağı yukarı salınım yaptıktan sonra orada dengede asılı kalmaktadır. Aynı özelliklere sahip ama daha uzun bir halat kullanıldığında adam köprüden \(\frac{5}{4}H\) kadar aşağıdaki bir noktada dengeye gelmektedir. Yeni halatın boyu ilk halatın boyundan ne kadar daha fazladır. (\(k\) sabitinin halatın boyunun uzaması ile değişmediğini varsayınız).

Şıklar:
A) \(\frac{L}{4} + \frac{mg}{4k}\) | B) \(L + \frac{mg}{4k}\) | C) \(\frac{L}{4} + \frac{mg}{k}\) | D) \(\frac{L}{4}\) | E) \(\frac{mg}{4k}\)

Cevap: E \(\frac{1}{160}a\)

Çözüm:
\(k\) sabiti iki halatta da aynı olduğundan adamın ağırlığını dengeleyebilmek için halatlar aynı miktarda uzarlar. Halatların uzamasına \(\Delta x\) dersek: 


\[k\Delta x = mg \Rightarrow \Delta x = \frac{mg}{k}\]


Halatların uzamış boyları: 


\[H = L + \Delta x\]


\[\frac{5H}{4} = L' + \Delta x\]


Bu iki denklemden: 


\[\frac{5H}{4} - H = \frac{H}{4} = L' - L = \Delta L \Rightarrow H = 4\Delta L\]


Buradan: 


\[H = 4\Delta L = L + \Delta x = L + \frac{mg}{k} \Rightarrow \Delta L = \frac{L}{4} + \frac{mg}{4k}\]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 11

Bir top 20 m yükseklikten serbest olarak bırakılmaktadır. Yerle teması 0,0625 s sürmekte ve bu sürede top hız kaybetmektedir. Temas süresince topun kaybettiği hız miktarı V t⁰,25 kadar olmaktadır; burada V topun yere çarptığı hız, t ise temas süresidir. Top zıplayıp maksimum yüksekliğe ulaştığında ilk atıldığı andan itibaren kaç saniye geçmiştir?

Şıklar:
A) 4,0625 | B) 3,1250 | C) 3,0625 | D) 4,1250 | E) hiçbiri

Cevap: C 3,0625

Çözüm:
Topun yere çarpmadan bir an önceki hızı: 


\[v_0^2 = 2gH \Rightarrow v_0 = \sqrt{2gH} = 20 \text{ m/s}\]


Top yere inene kadar geçen zaman: 


\[g = \frac{v_0}{t_1} \Rightarrow t_1 = \frac{v_0}{g} = 2 \text{ s}\]


Topun çarpışmadan sonraki hızı: 


\[v = v_0 - \Delta v = v_0(1 - (0,0625)^{1/4}) = 10 \text{ m/s}\]


Top çarpışmadan sonra maksimum yüksekliğe çıkana kadar geçen zaman: 


\[g = \frac{v}{t_2} \Rightarrow t_2 = \frac{v}{g} = 1 \text{ s}\]


Çarpışma süresi \(t = 0,0625\) s'yi de hesaba katarak toplam süre: 


\[t_0 = t_1 + t + t_2 = 3,0625 \text{ s}\]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 12

Kütlesi \(m\) olan bir adam yüksek bir köprüden gerilmemiş boyu \(L\) olan esnek bir halata bağlanarak aşağı atlamaktadır. Halatı yay sabiti \(k\) olan bir yay gibi düşünebilirsiniz. Adam atladıktan sonra köprüden \(H\) kadar aşağıdaki bir nokta etrafında aşağı yukarı salınım yaptıktan sonra orada dengede asılı kalmaktadır. Aynı özelliklere sahip ama daha uzun bir halat kullanıldığında adam köprüden \(\frac{5}{4}H\) kadar aşağıdaki bir noktada dengeye gelmektedir. Yeni halatın boyu ilk halatın boyundan ne kadar daha fazladır. (\(k\) sabitinin halatın boyunun uzaması ile değişmediğini varsayınız).

Şıklar:
A) 1250 | B) 1650 | C) 412 | D) 825 | E) hiçbiri

Cevap: D 825

Çözüm:
Gemiler karşılaşana kadar: 


\[t = \frac{L}{(v_1 - u) + (v_2 + u)} = \frac{L}{v_1 + v_2}\]


kadar süre hareket ederler. Gemilerin karşılaşma noktası B limanından: 


\[x_B = (v_2 + u)t = \frac{v_2 + u}{v_1 + v_2}L\]


kadar uzaktadır. 


Bot hareketi boyunca toplam \(t_1\) kadar süre akıntıya ters yönde, \(t_2\) kadar süre akıntıyla aynı yönde gitsin. Burada \(t = t_1 + t_2\) olmalıdır. Buna göre botun hareketi boyunca B limanından toplam uzaklaşma miktarı: 


\[x_B = (v + u)t_2 - (v - u)t_1 = v(t_2 - t_1) + u(t_1 + t_2) = v(t_2 - t_1) + ut\]


olur. Bulunan değer gemilerin karşılaştığı noktanın B limanından zaklığına eşittir. Buradan: 


\[x_B = \frac{v_2 + u}{v_1 + v_2}L = v(t_2 - t_1) + u \cdot \frac{L}{v_1 + v_2} \Rightarrow t_2 - t_1 = \frac{v_2}{v(v_1 + v_2)}L\]


Botun aldığı toplam yol: 


\[l = (v + u)t_2 + (v - u)t_1 = v(t_1 + t_2) + u(t_2 - t_1)\]


olur. \(t = t_1 + t_2\) ve \(t_2 - t_1\) için bulduğumuz ifadeleri yerine yerleştirirsek: 


\[l = v \cdot \frac{L}{V_1 + v_2} + u \cdot \frac{v_2}{v(v_1 + v_2)}L = \frac{V + \frac{uv_2}{v}}{v_1 + v_2}L = 825 \text{ m}\]
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 13

Dört yol birbiriyle ikişer ikişer kesişip çok keskin dört kavşak oluşturmaktadır. Bu kavşaklar kenarı \(\ell = 625\) m olan bir karenin köşelerinde bulunmaktadır. Bir motosikletçi \(a = 1\) m/s² sabit ivme ile hızlanıp yavaşlayabilmektedir. Bu motosikletçi her hangi bir kavşaktan geçip aynı kavşaktan çıkmak koşulu ile kare üzerindeki hareketini minimum kaç saniyede tamamlayabilir? (Motosikletçi ilk kavşağa istediği hızla girebilir ve aynı kavşaktan istediği hızla çıkabilir).

Şıklar:
A) 160 | B) 170 | C) 180 | D) 190 | E) 200

Cevap: B 170

Çözüm:
Motosikletçi ilk kavşağa \(a\) ivmesi ile yavaşlayarak \(l\) kadar mesafenin sonunda durabileceği maksimum hızla girer, buradan: 


\[v_0^2 = 2al \Rightarrow v_0 = \sqrt{2al} = 25\sqrt{2} \text{ m/s}\]


Aynı zamanda motorsikletçi parkuru tamamlayıp bu kavşaktan çıkarken de aynı hıza sahip olacaktır. Buna göre motorsikletçi ilk ve son \(l\) mesafesini: 


\[a = \frac{v_0}{t_0} \Rightarrow t_0 = \frac{v_0}{a} = 25\sqrt{2} \text{ s}\]


kadar sürede gider. 


Diğer kavşakların arasındayken ise \(l\) mesafesini yolun ortasına kadar \(a\) ivmesiyle hızalanarak, sonrasında ise \(a\) ivmesiyle yavaşlayarak gider. Buna göre bu \(l\) mesafelerini: 


\[\frac{l}{2} = \frac{1}{2} a \left( \frac{t}{2} \right)^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{4l}{a}} = 50 \text{ s}\]


kadar sürede gider. Motorsikletçinin parkuru tamamlaması toplam: 


\[T = 2t_0 + 2t = 50\sqrt{2} + 100 \approx 170 \text{ s}\]


sürer.
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 14

Eğim açısı \(\theta = 37^\circ\) olan sürtünmeli bir eğik düzlem üzerinde kütlesi \(m\), yükü \(q\) olan bir cisim bulunuyor. Eğik düzlemin tabanına paralel olarak \(E\) elektrik alanı uygulanmaktadır. Cisim elektrik alanı ile \(\beta = 30^\circ\) açı yapacak şekilde sabit \(V\) hızı ile hareket ettiğine göre cisim ile eğik düzlem arasındaki sürtünme katsayısı nedir?

Şıklar:
A) 1,5 | B) 2,0 | C) 0,1 | D) 0,2 | E) 1,0

Cevap: A 1,5

Çözüm:
Cismin üzerine eğik düzleme dik ve paralel yönde etki eden kuvvetler şekildeki gibidir. 


\[N = mg \cos \theta \Rightarrow F_s = \mu N = \mu mg \cos \theta\]

  


Cism sabit hızla hareket ettiğinden cismin üzerinde kuvvet dengesi vardır, buradan: 


\[F_s \sin \beta = mg \sin \theta \Rightarrow \mu mg \cos \theta \sin \beta = mg \sin \theta\]


\[\mu = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \frac{1}{\sin \beta} = \frac{\tan \theta}{\sin \beta} = \frac{3/4}{1/2} = \frac{3}{2} = 1,5\]
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 15

\(m_1 = 2m\) ve \(m_2 = m\) kütleli iki cisim, bir sabit ve bir hareketli kütlesiz iki makaradan oluşan sistemde, serbest hareket sırasında \(m_2\) kütleli cisminin ivmesi nedir?

Şıklar:
A) \(\frac{1}{3}g\) | B) \(\frac{2}{3}g\) | C) \(\frac{3}{11}g\) | D) \(\frac{5}{11}g\) | E) \(\frac{2}{5}g\)

Cevap: C \(\frac{3}{11}g\)

Çözüm:
İplerin uzunlukları sabittir, buradan: 


\[x_1 + x_4 = Sabit \Rightarrow \dot{x}_1 + \dot{x}_4 = 0 \Rightarrow \dot{x}_4 = -\dot{x}_1\]


\[x_2 + x_3 = Sabit \Rightarrow \dot{x}_2 + \dot{x}_3 = 0 \Rightarrow \dot{x}_2 = -\dot{x}_3\]


1. cismin konumunun iki farklı ifadesinden: 


\[x_1 = x_3 + x_4 \Rightarrow \dot{x}_1 = \dot{x}_3 + \dot{x}_4 \Rightarrow \dot{x}_3 = \dot{x}_1 - \dot{x}_4 = 2\dot{x}_1\]


1. ve 2. cismin şekilde gösterilen yönleri de hesaba katarak ivmeleri: 


\[a_1 = -\dot{x}_1 \\ a_2 = \dot{x}_2 + \dot{x}_4 = -\dot{x}_3 - \dot{x}_1 = 3a_1 \Rightarrow a_1 = \frac{a_2}{3}\]


İpler boyunca ip gerilmesi sabittir ve makaralar üzerine etki eden net kuvvet sıfıra eşittir. Buradan ip gerilmeleri şekilde gösterildiği gibidir. 


Cisimlerin hareket denkleminden: 


\[m_2 a_2 = m_2 g - T \Rightarrow T = m_2 (g - a_2) \\ m_1 a_1 = 3T - m_1 g \Rightarrow 3T = m_1 a_1 + m_1 g \\ = 3m_2 g - 3m_2 a_2 \\ \left(\frac{m_1}{3} + 3m_2\right) a_2 = (3m_2 - m_1)g \Rightarrow a_2 = \frac{3m_2 - m_1}{\frac{m_1}{3} + 3m_2} g \\ = \frac{3}{11}g\]
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 16

Kütlesi m olan bir cisim şekilde gösterilen üç farklı durumda da sabit V hızı ile hareket etmektedir. Bütün durumlarda sürtünme katsayısı f dır. İlk durumda cismi hareket ettirmek için sarf edilen güç \(P_1\), ikinci durumda cismi hareket ettirmek için sarf edilen güç P₂ olup, üçüncü durumda ise cisim kendiliğinden hareket etmektedir. Sürtünme katsayısı f nedir?

Şıklar:
A) \(\sqrt{\frac{4P_1^2}{P_2^2} - 1}\) | B) \(\sqrt{\frac{2P_1^2}{P_2^2} - 1}\) | C) \(\sqrt{\frac{P_1^2}{P_2^2} - 1}\) | D) \(\sqrt{\frac{P_1^2}{2P_2^2} - 1}\) | E) \(\sqrt{\frac{P_1^2}{4P_2^2} - 1}\)

Cevap: A \(\sqrt{\frac{4P_1^2}{P_2^2} - 1}\)

Çözüm:
Üç durumda da cisimler sabit hızla gittiklerinden üzerlerinde kuvvet dengesi vardır. Cisimlerin üzerlerine etki eden kuvvetler: 


\[fmg \cos \theta = mg \sin \theta \Rightarrow f = \tan \theta\]


\[F_1 = fmg\]


\[F_2 = mg \sin \theta + fmg \cos \theta = 2fmg \cos \theta\]


Sarf edilen güçler: 


\[P_1 = F_1 \cdot v\]


\[P_2 = F_2 \cdot v\]


Buradan: 


\[\frac{P_2}{P_1} = \frac{F_2}{F_1} = 2 \cos \theta \Rightarrow \frac{1}{\cos \theta} = \frac{2P_1}{P_2}\]


\[f = \tan \theta = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta} = \sqrt{\left(\frac{1}{\cos \theta}\right)^2 - 1} = \sqrt{\frac{4P_1^2}{P_2^2} - 2}\]
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 17

Ucunda \(M = 200\) gram kütleli bir cisim olan ve yay sabiti \(k = 1000\) N/m olan bir yay 20 cm sıkıştırılıp serbest bırakılarak bu cismi fırlatmaktadır. Yatay düzlem sürtünmesizdir. Cisim ile 2 m yüksekliğindeki 45° lik eğik düzlem arasındaki sürtünme katsayısı \(f\) dir. Cisim eğik düzlemi tırmandıktan sonra tepedeki düzlükte A noktasından 8 m uzaktaki B noktasına düşmesi için \(f\) ne olmalıdır?

Şıklar:
A) 1,5 | B) 0,5 | C) 0,8 | D) 2,0 | E) 1,0

Cevap: C \(\frac{3}{11}g\)

Çözüm:
Cisim eğik düzlemi tırmandıktan sonra A noktasından ilk hızı yatayla \(\theta = 45^\circ\) açı yapacak şekilde eğik atışa başlar. Yörüngesinin menzili \(L = 8\) m olması için ilk hızı: 


\[L = \frac{2v_0^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{v_0^2}{g} \Rightarrow v_0 = \sqrt{gL}\]


olmalıdır. Sistem \(h = 2\) m yüksekliğindeki eğik düzlemi tırmandığı sırada sürtünmeden dolayı: 


\[W_s = fmg \cos \theta \cdot \frac{h}{\sin \theta} = \frac{fmgh}{\tan \theta} = fmgh\]


kadar enerji kaybeder, bu da sistemin ilk durumdaki enerjisiyle cismin eğik düzlemi tırmandıktan sonra atış başlamadan bir an önceki son durumdaki enerjisi arasındaki farka eşit olmalıdır. 


\[W_s = \frac{1}{2}k\Delta x^2 - \left(\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh\right) = \frac{1}{2}k\Delta x^2 - \frac{mgL}{2} - mgh = fmgh\]


Buradan: 


\[f = \frac{k\Delta x^2}{2mgh} - \frac{L}{2h} - 1 = 2\]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 19

Emk'lari \(\varepsilon\) ve iç dirençleri \(r\) olan üç özdeş güç kaynağı ile bir \(R\) direnci şekildeki gibi bağlıdır. Direnç üzerine bağlı olan ideal bir voltmetrenin gösterdiği değer \(V = \varepsilon\) ise \(\frac{R}{r}\) oranı kaçtır?

Şıklar:
A) \(\frac{1}{3}\) | B) \(\frac{3}{2}\) | C) 2 | D) 3 | E) \(\frac{5}{2}\)

Cevap: B \(\frac{3}{2}\)

Çözüm:
1. Kirchhoff döngüsünden: 


\[ \varepsilon - I \cdot r - \varepsilon + I' \cdot r = 0 \Rightarrow I' = I \]


2. Kirchhoff döngüsünden: 


\[ \varepsilon - I' \cdot r - (I + I') \cdot R + \varepsilon - (I + I') \cdot r = 0 \]


\[ 2\varepsilon - I \cdot (3r + 2R) = 0 \Rightarrow \frac{\varepsilon}{I} = \frac{3r + 2R}{2} \]


Aynı zamanda: 


\[ (I + I') \cdot R = 2I \cdot R = \varepsilon \Rightarrow \frac{\varepsilon}{I} = 2R \]


\[ \frac{3}{2}r + R = 2R \Rightarrow \frac{R}{r} = \frac{3}{2} \]
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 20

Özdirenci \(\rho\) olan bir maddeden, birincisinin yarı çapı \(r\), yüksekliği \(h\) olacak şekilde her biri bir öncekinin iki katı yarı çapa ve iki katı yüksekliğe sahip sonsuz sayıda silindir yapılmaktadır. Bu silindirler üst üste konulduğunda oluşacak kulenin elektriksel direnci nedir?

Şıklar:
A) \(\frac{\rho h}{2\pi r^2}\) | B) \(4\frac{\rho h}{\pi r^2}\) | C) \(2\frac{\rho h}{\pi r^2}\) | D) \(12\frac{\rho h}{\pi r^2}\) | E) \(\infty\)

Cevap: C \(2\frac{\rho h}{\pi r^2}\)

Çözüm:
Direnç \(R = \frac{\rho l}{S}\) ifadesiyle verilir. En üstteki silindirin dirincini \(R_0\) ve aşağıya doğru sırayla geri kalanların direncini \(R_1, R_2, R_3, ...\) şeklinde adlandırırsak: 


\[R_0 = \frac{\rho h}{\pi r^2}\]


\[R_1 = \frac{\rho \cdot 2h}{\pi \cdot (2r)^2} = \frac{1}{2^1} R_0\]


\[R_2 = \frac{\rho \cdot 4h}{\pi \cdot (4r)^2} = \frac{1}{2^2} R_0\]


Buradan: 


\[R_n = \frac{1}{2^n} R_0\]


olduğu görülür, kulenin direnciyse: 


\[R_{e_5} = R_0 + R_1 + R_2 + \dots = R_0 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots\right) = 2R_0 = \frac{2\rho h}{\pi r^2}\]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 22

Yatay düzlem üzerinde bulunan dört eşit bölmeli, kapalı, ısıca yalıtılmış bir silindir içinde ağır ve ısıyı geçiren, dielektrik bir piston sürtünmesiz olarak hareket edebilmektedir. Pistonun sol tarafında vakum, sağ tarafında ise \(T_1 = T\) sıcaklığında gaz bulunmaktadır. Soldaki duvar ile piston üzerine \(q\) noktasal yükleri yerleştirilmiştir. Piston sağ taraftan yay sabiti \(k\) olan bir yayla bağlıdır. Bu durumda piston tam birinci bölme üzerinde olup yay gerilmemiştir. Gazın sıcaklığı \(T_2 = 20T\) olduğunda piston tam ikinci bölme üzerinde dengede durmaktadır. Gazın sıcaklığı \(T_3\) olduğunda piston tam üçüncü bölme üzerinde dengede durmaktadır. \(T_3\) sıcaklığı kaç \(T\) dir? 


<center>Şekil 1.</center> 


<center>Şekil 2.</center> 


<center>Şekil 3.</center>

Şıklar:
A) 80,5 | B) 73,3 | C) 33,0 | D) 52,0 | E) 40,5

Cevap: B \(\frac{3}{2}\)

Çözüm:
1. durumda duvardaki yükten pistondaki yüke etki eden kuvvete \(F_1 = F\) diyelim, buna göre 2. durumda kuvvet \(F_2 = (3/2)^2 \cdot F\), 3. durumda kuvvet \(F_3 = (3/1)^2 \cdot F'\) e eşit olacaktır. 


1. durumda ideal gaz denklemi ve piston üzerindeki kuvvet dengesinden: 


\[PV = nRT \Rightarrow P = \frac{nRT}{V}\]


\[F = P \cdot S\]


2. durumda ideal gaz denklemi ve piston üzerindeki kuvvet densesinden: 


\[P_2 \cdot 2V = nR \cdot 20T \Rightarrow P_2 = 10P\]


\[F_2 + kx = P_2 \cdot S \Rightarrow kx = 10P \cdot S - \frac{9}{4}F = \frac{31}{4}P \cdot S\]


3. durumda piston üzerindeki kuvvet dengesi ve ideal gaz denkleminden: 


\[F_3 + 2kx = P_3 \cdot S \Rightarrow P_3 = \frac{9F}{S} + 2 \cdot \frac{31}{4}P = \frac{49}{2}P\]


\[P_3 \cdot 3V = nRT_3 \Rightarrow T_3 = 3 \cdot \frac{49}{2} \cdot \frac{PV}{nR} = 73,5 T\]
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 23

Kırıcılık indisi \(n_1\) olan bir ortamdan gelen ışık, kırıcılık indisi \(n_2\) olan bir ortama geçmektedir. Gelen ışığın yüzeyin normali ile yaptığı açı \(\theta'\) dır. Işığın hızının bu iki ortamın ara yüzeyine paralel olan bileşeninin her iki ortamda da aynı değere sahip olması için hangi şart sağlanmalıdır?

Şıklar:
A) \(n_1=n_2\) | B) \(n_1<n_2\) | C) \(n_1>n_2\) | D) \(n_1<n_2\) ve \(\theta<45^\circ\) | E) \(n_1<n_2\) ve \(\theta>45^\circ\)

Cevap: A \(n_1=n_2\)

Çözüm:
Snell yasasından: 


\[n_1 \sin \theta = n_2 \sin \varphi \Rightarrow \frac{\sin \theta}{\sin \varphi} = \frac{n_2}{n_1}\]


Işığın iki bölgedeki hızları \(v_1 = c / n_1\) ve \(v_2 = c / n_2\)'dir. Buradan istenen koşulun sağlanması için: 


\[v_1 \sin \theta = v_2 \sin \varphi \Rightarrow \frac{c}{n_1} \sin \theta = \frac{c}{n_2} \sin \varphi \Rightarrow \frac{\sin \theta}{\sin \varphi} = \left(\frac{n_1}{n_2}\right)\]


Buradan: 


\[\frac{n_2}{n_1} = \frac{n_1}{n_2} \Rightarrow n_1 = n_2\]
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 24

Odak uzaklığı 4 cm olan yakınsak bir mercek 12 cm solunda bulunan bir cismin görüntüsünü oluşturmaktadır. Bu andan itibaren cism 0,2 cm/s sabit hız ile merceğe doğru hareket etmeye başlıyor. Kaç saniye sonra cismin yeni görüntüsü ilk durumdaki görüntünün dört katı büyüklüğünde ve ilk görüntüye göre ters olur?

Şıklar:
A) \(\tan \theta = \frac{1}{8}\) | B) \(\tan \theta = \frac{1}{2}\) | C) \(\tan \theta = \frac{1}{5}\) | D) \(\tan \theta = \frac{7}{25}\) | E) \(\tan \theta = \frac{23}{41}\)

Cevap: D \(\tan \theta = \frac{7}{25}\)

Çözüm:
İlk durumda: 


\[ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{b_1} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{b_1} = \frac{1}{f} - \frac{1}{a_1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} \Rightarrow b_1 = 6 \text{ cm} \]


\[ \Gamma_1 = -\frac{b_1}{a_1} = -\frac{1}{2} \]


İl durumda görüntü cismin yarısı kadar ve terstir. Son durumdaki görüntünün ilk durumdaki görüntüden 4 kat büyük ve ilk durumdaki görüntüye ters yönde olması için: 


\[ \Gamma_2 = -\frac{b_2}{a_2} = 2 \]


olmalıdır. Buna göre istenen görüntü son durumda cismin mercekten: 


\[ \frac{1}{a_2} + \frac{1}{b_2} = \frac{1}{a_2} - \frac{1}{2a_2} = \frac{1}{2a_2} = \frac{1}{f} \Rightarrow a_2 = \frac{f}{2} = 2 \text{ cm} \]


uzaktayken oluşur. Buradan istenen süre: 


\[ t = \frac{a_1 - a_2}{v} = \frac{10}{0,2} = 50 \text{ s} \]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2007, 1. Aşama, Soru 25

Derinliği \(H = 4\) m olan bir havuzun dibinde bulunan ve boyu \(\ell = 80\) cm olan bir cismin fotoğrafı, su yüzeyinden \(h = 1,1\) m uzakta bulunan bir fotoğraf makinesi ile çekilmektedir. Fotoğraf makinesinin merceğinin odak uzaklığı \(10\) cm'dir. Cismin fotoğraf filmi üzerindeki görüntüsünün boyu kaç cm'dir? Suyun kırıcılık indisi \(n = \frac{4}{3}\) olarak veriliyor.

Şıklar:
A) 5 | B) 3 | C) 1 | D) 4 | E) 2

Cevap: E 2

Çözüm:
Cismin ilk görüntüsünün sıvının merceğe yakın yüzeyinden uzaklığı \(H / n\)'e eşittir. Buna göre cismin sıvı tarafından oluşturulan görüntüsünün merceğe uzaklığı \(a = h + (H / n)\)'e eşittir ve büyüklüğü cismin büyüklüğüyle aynıdır. Mercek denkleminden cismin son görüntüsünün büyütmesi: 


\[ \frac{1}{h + \frac{H}{n}} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} \Rightarrow b = \left( \frac{1}{\frac{1}{10}} - \frac{1}{1,1 + 3} \right)^{-1} = \frac{41}{400} \text{ m} \]


\[ \Gamma = -\frac{b}{a} = -\frac{41}{400} = -\frac{1}{40} \]


Buradan cismin fotoğraf filmi üzerindeki görüntüsünün boyu: 


\[ \frac{l'}{l} = |\Gamma| \Rightarrow l' = |\Gamma|l = \frac{l}{40} = 2 \text{ cm} \]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 1

Bir silindir şeklindeki kabın yüksekliği 90 cm olup üst tarafında sürtünmesiz ve ağırlığı ihmal edilecek kadar az olan sızdırmasız bir piston vardır. Kabın içinde başlangıçta \(P_0=latmosfer\) basınçta hava olup piston en üst konumdadır. Pistonun üstüne yavaş yavaş cıva dökülerek pistonun aşağıya doğru inmesi sağlanmaktadır. Bu işlem cıva kabın üst tarafından dışarı taşana dek sürdürülmektedir. Bu işlem süresince sistem sıcaklığı sabit kalmakta ise piston kaç cm aşağı inmiştir?

Şıklar:
A) 16,5 | B) 76,5 | C) 22,0 | D) 68,5 | E) 45,0

Cevap: A 16,5

Çözüm:
Cıva taşmadan bir an önce piston h kadar aşağı inmiş ve pistonun altında kalan havanın basıncı P olsun. Bu anda piston üzerindeki kuvvet dengesinden: 


\[P_0 + \rho gh = P\]


Havanın sıcaklığı işlem boyunca sabit kaldığından: 


\[P \cdot V = Sabit \Rightarrow P_0 \cdot H = P(H - h) \Rightarrow P = P_0 \cdot \frac{H}{H - h}\]


Buradan: 


\[P = P_0 + \rho gh = P_0 \cdot \frac{H}{H - h} \Rightarrow h = H - \frac{P_0}{\rho g}\]


Cıva için \(P_0 / \rho g \approx 73,5\) cm olduğundan piston: 


\[h = 90 - 73,5 = 16,5 \text{ cm}\]


aşağı inmiştir.
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 2

Şekildeki sistemde, aralarında ince bir boru ile bağlantı sağlanmış olan her iki kaptaki gaz başlangıçta aynı basınç, hacim ve sıcaklıktadır. L kabının üstünde M kütleli bir piston vardır. L kabının sıcaklığı sabit tutulmak şartı ile K kabının sıcaklığı kaç katına çıkarılmalıdır ki L kabındaki pistonun yüksekliği ilk yüksekliğinin 3/2 katına çıksın?

Şıklar:
A) 3/2 | B) 2 | C) 5/2 | D) 3 | E) 7/2

Cevap: B 2

Çözüm:
L kabındaki ve son anda sistem dengede olduğundan K kabındaki son durumda basınç ilk durumla aynı ve \(P_0\)'a eşittir. 


Son durumda K kabında T sıcaklıkta ve \(V_0\) hacimli, L kabında \(T_0\) sıcaklıkta \(3V_0 / 2\) hacimli gaz vardır. 


L kabındaki gazın basıncı ve sıcaklığı sabit kalıp hacmi \(V_0 / 2\) kadar arttığından mol miktarı da \(n_0 / 2\) kadar artmalıdır. Buna göre son durumda K kabında \(n_0 / 2\) mol, L kabında \(3n_0 / 2\) mol gaz vardır. 


Buna göre K ve L kapları için ideal gaz denkleminden K kabındaki gazın son sıcaklığı: 


\[P_0 V_0 = \frac{P_0}{2} RT \Rightarrow T = \frac{2P_0 V_0}{n_0 R}\]


\[P_0 \cdot \frac{3}{2} V_0 = \frac{3n_0}{2} RT_0 \Rightarrow \frac{P_0 V_0}{n_0 R} = T_0 \Rightarrow T = 2T_0\]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 3

Yarıçapı \(R\) olan küçük bir küresel cisim serbest durumdan yoğun bir sıvının içine bırakılıyor. Cisim çok kısa bir süre sonra \(F=KRV\) şeklinde verilen sürtünme kuvvetinin etkisi ile sabit bir \(V\) terminal hızına ulaşıp (sürüklenme hızı) kabın dibine doğru bu sabit hızla inmektedir. Burada \(K\) bir sabittir. Sürtünme nedeni ile birim zamanda ortaya çıkan ısının ifadesi \(R\) yarıçapı ile nasıl orantılıdır?

Şıklar:
A) \(\sqrt{R}\) | B) \(R\) | C) \(R^3\) | D) \(R^4\) | E) \(R^5\)

Cevap: E \(R^5\)

Çözüm:
Cisim terminal hıza ulaştığında üzerinde kuvvet dengesi vardır, buradan: 


\[F_s = kRv = G - F_k\]


Burada: 


\[G = \rho_{cisim}Vg = \frac{4}{3}\pi\rho_{cisim}g \cdot R^3\]


\[F_k = \rho_{sıv}vVg = \frac{4}{3}\pi\rho_{sıv}vg \cdot R^3\]


Buradan: 


\[kv \cdot R = \frac{4}{3}\pi(\rho_{cisim} - \rho_{sıv})g \cdot R^3 \Rightarrow v \propto R^2\]


Sürtünme kuvvetinin birim zamanda yaptığı iş, yani gücü, birim zamanda açığa çıkan ısıya eşittir: 


\[Q = P_s = F_s \cdot v = krv^2 \propto R \cdot (R^2)^2 = R^5\]


\[Q \propto R^5\]
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 4

Ağırlığı ihmal edilebilecek bir balon zemine ip ile bağlıdır. Balonun bulunduğu ortamın sıcaklığı \(T_0\) dır. Balon alt tarafındaki bir delikten ısıtılmaktadır. Balon içindeki havanın sıcaklığı \(2T_0\) olunca ipteki gerilme kuvveti \(F_1\), balon içindeki havanın sıcaklığı \(3T_0\) olunca ipteki gerilme kuvveti \(F_{2}\) dir. \(\frac{F_2}{F_1}\) oranı nedir?

Şıklar:
A) \(\frac{3}{2}\) | B) \(\frac{4}{3}\) | C) \(\frac{5}{4}\) | D) \(\frac{6}{5}\) | E) \(\frac{7}{6}\)

Cevap: B \(\frac{4}{3}\)

Çözüm:
Balon ısıtılınca basıncı ve hacmi değişmez, içerisindeki hava miktarı azalır. Havanın molar kütlesine \(\mu\) ve dış ortamın yoğunluğuna \(\rho_0\) dersek, 1. ve 2. durumda balonun içerisindeki havanın yoğunluğu: 


\[PV = nRT \Rightarrow \frac{\mu n}{V} = \rho = \frac{\mu P}{RT}\]


\[\rho_0 = \frac{\mu P_0}{RT_0}\]


\[\rho_1 = \frac{\mu P_0}{RT_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\mu P_0}{RT_0} = \frac{\rho_0}{2}\]


\[\rho_2 = \frac{\mu P_0}{RT_2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\mu P_0}{RT_0} = \frac{\varrho_0}{3}\]


olarak bulunur. Balonun üzerinde her durumda kuvvet dengesi vardır, buna göre: 


\[F_1 = F_k - G_1 = \rho_0 V_0 g - \rho_1 V_0 g = (\rho_0 - \rho_1) V g = \frac{1}{2} \cdot \rho_0 V_0 g\]


\[F_2 = F_k - G_2 = \rho_0 V_0 g - \rho_2 V_0 g = (\rho_0 - \rho_2) V g = \frac{2}{3} \cdot \rho_0 V_0 g\]


Buradan oran: 


\[\frac{F_2}{F_1} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{4}{3}\]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 5

Yarıçapı \(R\) öz kütlesi \(d\) olan bir küre ile yarıçapı \(2R\) ve öz kütlesi \(d/2\) olan iki küre arasında sadece evrensel çekim kuvveti olduğunu varsayınız. Küreler merkezleri arasındaki uzaklık \(15R\) iken serbest bırakılıyorlar. Bu küreler çarpıştıkları anda kütlesi büyük olan küre ne kadar yol almıştır?

Şıklar:
A) 1,3R | B) 2,6R | C) 2,4R | D) 2R | E) 1,6R

Cevap: C 2,4R

Çözüm:
Cisimlerin kütle merkezleri arasında ilk durumda \(15R\), son durumda \(3R\) mesafe vardır. Sisteme etki eden dış kuvvet olmadığından sistemin kütle merkezinin konumu değişmez, buna göre cisimlerin kütle merkezlerinin konum değişimleri cisimlerin kütleleriyle ters orantılıdır ve birbirine zıt yöndedir. 1. cismin kütle merkezinin konum değişimine \(x_1\), 2. cismin yani büyük olan cismin kütle merkezinin konum değişimine \(x_{2}\) dersek: 


\[m_1 x_1 = m_2 x_2 \Rightarrow x_1 = \frac{m_2}{m_1} x_2 = \frac{\frac{d}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi (2R)^3}{d \cdot \frac{4}{3} \pi R^3} \cdot x_2 = 4x_2\]


\[x_1 + x_2 = 4x_2 + x_2 = 5x_2 = 15R - 3R = 12R\]


Buna göre büyük cismin aldığı yol: 


\[x_2 = \frac{12}{5} R = 2,4R\]


olarak bulunur.