alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 6

Yatay ve sürtünmeli masa üzerinde bulunan makaradan sarkıtılan ipin ucunda kütlesi m olan bir cisim bulunmaktadır. Masa üzerinde yay sabiti k olan bir yay ile tutturulan ikinci bir cismin kütlesi yine m dir. Bu cisim ile yatay masa arasındaki sürtünme katsayısı f dir. Cisim elle tutulup yayın gerilmemesi sağlanıyor. Daha sonra sistem serbest bırakılıyor. Cisim maksimum hıza ulaştıktan sonra durana kadar sürtünme kuvvetinin yaptığı iş nedir?

Şıklar:
A) \(\frac{m^2g^2}{k}\) | B) \(\frac{(1-f)m^2g^2}{k}\) | C) \(\frac{fm^2g^2}{k}\) | D) \(\frac{fm^2g^2(1+f)}{k}\) | E) \(\frac{f(1-f)m^2g^2}{k}\)

Cevap: E \(\frac{f(1-f)m^2g^2}{k}\)

Çözüm:
Cisim maksimum hıza ulaştığında cisimlerin üzerinde kuvvet dengesi vardır. Bu durumda yayın uzamasına \(x_1\) dersek: 


\[T = mg\]


\[T = fmg + kx_1 \Rightarrow x_1 = \frac{(1-f)mg}{k}\]


Masa üzerindeki cismin yayın gerilmemiş olduğu durumdan durana kadar aldığı yola \(x_2\) dersek, sistemin enerji değişiminin sürtünme kuvvetinin yaptığı işe eşit olduğunu kullanarak: 


\[fmgx_2 = E_{ilk} - E_{son} = 0 - \left(\frac{1}{2}kx_2^2 - mgx_2\right) = mgx_2 - \frac{1}{2}kx_2^2\]


Buradan: 


\[x_2 = \frac{2(1-f)mg}{k}\]


Cismin maksimum hıza ulaştıktan durana kadar aldığı yol: 


\[\Delta x = x_2 - x_1 = \frac{(1-f)mg}{k}\]


Buradan sürtünme kuvvetinin yaptığı iş: 


\[W_s = F_s \cdot \Delta x = fmg \cdot \frac{(1-f)mg}{k} = \frac{f(1-f)m^2g^2}{k}\]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 7

İlk hızı olan bir araba bir L yolu boyunca düzgün hızlanarak hızını \(\Delta v\) kadar artırıyor. Bu hareket süresince ortalama hızı \(v_{ort}\) olmaktadır. Arabanın yolun tam orta noktasındaki hızı nedir?

Şıklar:
A) \(v_{ort} + \frac{\Delta v}{2}\) | B) \(\frac{v_{ort} + \Delta v}{2}\) | C) \(\sqrt{v_{ort} \Delta v}\) | D) \(\sqrt{v_{ort}^2 + \left(\frac{\Delta v}{2}\right)^2}\) | E) \(\frac{v_{ort} \Delta v}{v_{ort} + \Delta v}\)

Cevap: B \(\frac{4}{3}\)

Çözüm:
Arabanın ilk andaki hızına \(v_0\) dersek: 


\[v_{ort} = \frac{v_0 + (v_0 + \Delta v)}{2} = v_0 + \frac{\Delta v}{2} \Rightarrow v_0 = v_{ort} - \frac{\Delta v}{2}\]


Arabanın yolun tam ortasındaki hızı \(v\) ve ivmesine \(a\) dersek tek boyutlu harekette zamansız hız formülünden: 


\[(v_0 + \Delta v)^2 - v_0^2 = 2aL \Rightarrow aL = \frac{(2v_0 + \Delta v)}{2} \cdot \Delta v = v_{ort} \cdot \Delta v\]


\[v^2 - v_0^2 = 2a \cdot \frac{L}{2} \Rightarrow v^2 = aL + v_0^2 = v_{ort} \cdot \Delta v + \left(v_{ort} - \frac{\Delta v}{2}\right)^2 = v_{ort}^2 + \left(\frac{\Delta v}{2}\right)^2\]


Buradan \(v\): 


\[v = \sqrt{v_0^2 + \left(\frac{\Delta v}{2}\right)^2}\]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 8

Küçük bir metal A topu bir masanın ucunda yerden L yüksekliğinde hareketsiz olarak durmaktadır. L uzunluğunda bir ipin ucuna asılmış bulunan özdeş bir B topu ise yatay konuma getirilip serbest bırakılmaktadır. İki top arasında esnek çarpışma olmakta ve A topu masadan uzakta bir noktada yere düşmektedir. Bu olay sırasında topların kendi yörüngeleri boyunca aldıkları yollara \(S_A\) ve \(S_B\), hareket sürelerine ise \(t_A\) ve \(t_B\) dersek, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Şıklar:
A) \(S_A > S_B\) ve \(t_A > t_B\) | B) \(S_A > S_B\) ve \(t_A < t_B\) | C) \(S_A < S_B\) ve \(t_A = t_B\) | D) \(S_A < S_B\) ve \(t_A < t_B\) | E) \(S_A < S_B\) ve \(t_A > t_B\)

Cevap: B \(S_A > S_B\) ve \(t_A < t_B\)

Çözüm:
Çarpışmadan bir an önce B topunun hızı enerji korunumundan: 


\[ \frac{1}{2}mv_0^2 = mgL \Rightarrow v_0 = \sqrt{2gL} \]


B topunun kütlesi A topununkine eşit olduğundan çarpışmadan sonra B topu durur, A topu ise \(v_0\) hızıyla sağa doğru harekete başlar. 


A topunun düşey yöndeki ivmesi g'ye eşitken B topunun düşey yöndeki ivmesi her an \(g_\perp \le g'\)dir. İki topun da harekete başladığında düşey yönde hızı olmadığından B topunun dikeyde L kadarlık yol alması A topunun dikeyde eşit miktarda yol almasından uzun sürer, yani \(t_B > t_A'\)dır. 


B topunun aldığı yol: 


\[ S_B = \frac{2\pi L}{4} = \frac{\pi}{2} L \]


A topununsa yatayda aldığı yol: 


\[ x_A = v_0 \cdot \sqrt{\frac{2L}{g}} = 2L \]


\(S_A > x_A\) olduğundan: 


\[ x_A > S_B \Rightarrow S_A > S_B \]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 9

Kütleleri \(m_1=3m\) ve \(m_2=m\) olan iki cisim \(v_1=16 \text{ m/s}\) ve \(v_2=62 \text{ m/s}\) hızları ile birbirine paralel ve aynı yönde hareket ederken, bunların üzerine belirli bir süre sabit bir kuvvet etki etmektedir. Bu süre sonunda; \(m_1\) kütleli cisim ilk hareket yönü ile \(53^\circ\) lik açı yaparak \(10 \text{ m/s}\) hız ile hareketine devam etmekte ise \(m_2\) kütleli cismin hız kaç \(m/s\) dir?

Şıklar:
A) 30 | B) 35 | C) 40 | D) 45 | E) 50

Cevap: C 40

Çözüm:
Cisimlerin hızları ilk anda \(+x\) yönünde olsun. Bu kuvvetin cisimlere \(x\) yönünde aktardığı momentuma \(\Delta P_x\), \(y\) yönünde aktardığı momentuma \(\Delta P_y\) dersek, 1. cisim için: 


\[ \Delta v_{1x} = v_1' \cos 53^\circ - v_1 = 10 \cdot \frac{3}{5} - 16 = -10 \text{ m/s} = \frac{\Delta p_x}{m_1} = \frac{1}{3} \frac{\Delta p_x}{m} \]


Buradan: 


\[ \frac{\Delta p_x}{m} = -30 \text{ m/s} \]


olarak bulunur. 


\[ \Delta v_{1y} = v_1' \sin 53^\circ = 10 \cdot \frac{4}{5} = 8 \text{ m/s} = \frac{\Delta p_y}{m_1} = \frac{1}{3} \frac{\Delta p_y}{m} \]


Buradan: 


\[ \frac{\Delta p_y}{m} = 24 \text{ m/s} \]


olarak bulunur. 


2. cisim için: 


\[ \Delta v_{2x} = v_{2x}' - v_2 = \frac{\Delta p_x}{m_2} = \frac{\Delta p_x}{m} \Rightarrow v_{2x}' = v_2 + \frac{\Delta p_x}{m} = 62 - 30 = 32 \text{ m/s} \]


\[ \Delta v_{2y} = v_{2y}' = \frac{\Delta p_y}{m_2} = \frac{\Delta p_y}{m} \Rightarrow v_{2y}' = 24 \text{ m/s} \]


Buradan: 


\[ v_2' = \sqrt{v_{2x}'^2 + v_{2y}'^2} = 40 \text{ m/s} \]
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 10

Kütlesi \(M\) olan bir boncuk yarıçapı \(R\) olan bir çember üzerinde sürtünmesiz olarak hareket edebilmektedir. Çember düzlemi yatayla \(\theta\) açısı yapmakta olup \(\sin\theta = 0,2\) olarak verilmiştir. Çemberin en üst noktasından harekete geçen boncuğa en alt noktadan geçerken etki eden tepki kuvveti kaç (\(Mg\)) dir?

Şıklar:
A) \(\frac{5}{3}\) | B) \(\frac{9}{7}\) | C) \(\frac{6}{5}\) | D) \(\frac{8}{3}\) | E) \(\frac{7}{5}\)

Cevap: E \(\frac{7}{5}\)

Çözüm:
Boncuk en alt noktadayken tepki kuvveti ve ağırlık kuvvetinin bileşkesi çemberin merkezin doğru olan ve büyüklüğü \(a_m = v^2 / R'\) ye eşit olan merkezcil ivmeyi oluşturur. En alt noktada boncuğun hızı, yani \(v\), enerji korunumundan: 


\[ \frac{1}{2} M v^2 = M g \cdot 2R \sin \theta \Rightarrow v = \sqrt{4gR \sin \theta} \]


Buradan: 


\[ a_m = \frac{v^2}{R} = 4g \sin \theta \]


Boncuğa etki eden kuvvetleri ve boncuğun ivmesini serbest cisim diyagramında gösterirsek: 


Kosinüs teoreminden: 


\[ \begin{aligned} N &= \sqrt{G^2 + (Ma_m)^2 - 2G \cdot Ma_m \cdot \cos(90 + \theta)} \\ &= \sqrt{(Mg)^2 + (Ma_m)^2 + 2Mg \cdot Ma_m \cdot \sin \theta} \end{aligned} \]


\(a_m = 4g \sin \theta'\) yı yerine yazarsak tepki kuvveti: 


\[ \begin{aligned} N &= Mg\sqrt{1 + (4 \sin \theta)^2 + 2 \cdot 4 \sin \theta \cdot \sin \theta} = Mg\sqrt{1 + 24 \sin^2 \theta} \\ &= \frac{7}{5} Mg \end{aligned} \]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 11

Kütleleri eşit, yükleri +\(q_1\) ve +\(q_2\) olan noktasal iki tanecik, bir doğru üzerinde hareket edebilmektedir. Başlangıçta tanecikler arasındaki uzaklık x olup iki tanecik de sabit tutulmaktadır. Daha sonra birinci tanecik(+\(q_1\)) serbest bırakılıyor ve tanecikler arasındaki uzaklık \(\frac{5x}{3}\) olduğunda ikinci tanecik(+\(q_2\)) de serbest bırakılıyor. Taneciklerin sonsuzdaki hızları \(V_1\) ve \(V_2\) ise, \(\frac{V_1}{V_2}\) oranı nedir?

Şıklar:
A) 2 | B) 3 | C) 4 | D) 5 | E) 6

Cevap: B 3

Çözüm:
Tanecikler arasındaki uzaklık \(5x/3\) olduğunda \(q_1\) yüklü tanecigin hızına \(v\) diyelim. Bu andan sonra sisteme dış kuvvet etki etmediğinden sistemin momentumu sabit kalır, buradan: 


\[mv = mv_1 - mv_2 \Rightarrow v = v_1 - v_2\]


Sistemde enerji korunur ve tanecikler sonsuzdayken sistemin potansiyel enerjisi sıfıra eşittir, buradan: 


\[\frac{kq_1q_2}{x} = \frac{kq_1q_2}{\frac{5}{3}x} + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2\]


İlk eşitlikten: 


\[\frac{2}{5} \cdot \frac{kq_1q_2}{x} = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow \frac{kq_1q_2}{x} = \frac{5}{4}mv^2\]


İkinci eşitlikten: 


\[\frac{kq_1q_2}{x} = \frac{5}{4} mv^2 = \frac{5}{4} m(v_1 - v_2)^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1]{2}mv_2^2\]


\[\alpha \equiv v_1 / v_2 \text{ dersek:}\]


\[5(\alpha - 1)^2 = 2\alpha^2 + 2 \Rightarrow 3\alpha^2 - 10\alpha + 3 = 0\]


Bu denklemin çözümünden: 


\[\alpha = \frac{v_1}{v_2} = 3\]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 12

Bir cisim eğim açısı \(\theta\) olan eğik ve sürtünmeli düzlem üzerinde tabandan \(H\) yüksekliğinde bulunmaktadır. Cisim serbest bırakıldıktan sonra eğik düzlemin en alt noktasında bulunan bir engelle esnek olarak çarpışıp \(h(h<H)\) yüksekliğine kadar çıkmaktadır. Diğer taraftan cisim \(H\) yüksekliğinde bulunurken, eğer cisme eğik düzleme göre aşağıya doğru ve eğik düzleme paralel olarak \(V_0\) hızı verilirse, 


cisim engele çarptıktan sonra yine aynı \(H\) yüksekliğine çıkabilmektedir. Cisme verilen \(V_0\) hızı nedir?

Şıklar:
A) \(\sqrt{\frac{gH(H+h)}{H-h}}\) | B) \(2\sqrt{\frac{gh(H+h)}{H}}\) | C) \(\sqrt{\frac{ghh}{H-h}}\) | D) \(2\sqrt{\frac{gH(H-h)}{H+h}}\) | E) \(2\sqrt{\frac{ghh}{H+h}}\)

Cevap: D \(2\sqrt{\frac{gH(H-h)}{H+h}}\)

Çözüm:
Cisme hareketi boyunca etki eden sürtünme kuvvetine \(F_s\) dersek ilk durumda enerji korunumundan: 


\[F_s \cdot \frac{H+h}{\sin \theta} = mg(H-h) \Rightarrow \frac{F_s}{\sin \theta} = mg \cdot \frac{H-h}{H+h}\]


İkinci durumda enerji korunumundan: 


\[F_s \cdot \frac{2H}{\sin \theta} = \frac{1}{2}mv_0^2 \Rightarrow v_0^2 = \frac{4H}{m} \cdot mg \cdot \frac{H-h}{H+h}\]


Buradan: 


\[v_0 = 2 \sqrt{\frac{gH(H-h)}{H+h}}\]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 13

Yerden yatayla \(\theta\) açısı yapacak şekilde atılan bir cismin yörüngenin belirli noktasındaki hızı, cismin ilk hızına diktir. Bu noktanın yatay koordinatı \(x\), dikey koordinatı \(y\) ise \(\frac{x}{y}\) oranı nedir?

Şıklar:
A) 1 | B) \(\frac{\tan \theta}{\tan^2 \theta - 1}\) | C) \(\frac{\cot \theta}{1 + \cot \theta}\) | D) \(\frac{\sin 2\theta}{2 \sin^2 \theta - 1}\) | E) \(\frac{\cos \theta}{1 + \cos^2 \theta}\)

Cevap: D \(\frac{\sin 2\theta}{2 \sin^2 \theta - 1}\)

Çözüm:
Cismin ilk andaki hızına \(v_0\), istenilen durumda hızına \(v\) diyelim. Cismin yatay hızı, yani \(v_x = v_0 \cos \theta\), hareket boyunca sabittir. Buna göre istenilen durumda cismin dikey hızı: 


\[v_y = v_x \cdot [-\tan(90^\circ - \theta)] = -\frac{v_0 \cos^2 \theta}{\sin \theta}\]


İlk anda cismin dikey hızı: 


\[v_{0y} = v_0 \sin \theta\]


Dikey yöndeki sabit ivmeli hareketten cism istenilen hıza ulaşana kadar geçen zaman: 


\[g = \frac{v_{0y} - v_y}{t} \Rightarrow t = \frac{v_0 \sin \theta - \left(-\frac{v_0 \cos^2 \theta}{\sin \theta}\right)}{g} = \frac{v_0}{g \sin \theta}\]


Cismin \(y\) ekseninde yer değiştirmesi zamansız hız formülünden: 


\[v_{0y}^2 - v_y^2 = 2gy \Rightarrow y = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta - v_0^2 \frac{\cos^4 \theta}{\sin^2 \theta}}{2g} = \frac{\sin^4 \theta - \cos^4 \theta}{\sin^2 \theta} \cdot \frac{v_0^2}{2g}\]


Aynı zamanda: 


\[\sin^4 \theta - \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta\]


olduğundan \(y\) koordinatı: 


\[y = \frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \cdot \frac{v_0^2}{g}\]


olarak bulunur. 


Cism istenilen hıza ulaştığında \(x\) koordinatı bu yöndeki sabit hızla hareketten: 


\[v_{0x} = \frac{x}{t} \Rightarrow x = \frac{v_0^2 \cos \theta}{g \sin \theta}\]


Buradan aranan oran:




\[ \frac{x}{y} = \frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{v_0^2}{g}}{\frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \cdot \frac{v_0^2}{2g}} = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta} = \frac{\sin 2\theta}{2 \sin^2 \theta - 1} \]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 14

Kütleleri eşit, yükleri +\(q_1\) ve +\(q_2\) olan noktasal iki tanecik, bir doğru üzerinde hareket edebilmektedir. Başlangıçta tanecikler arasındaki uzaklık x olup iki tanecik de sabit tutulmaktadır. Daha sonra birinci tanecik(+\(q_1\)) serbest bırakılıyor ve tanecikler arasındaki uzaklık \(\frac{5x}{3}\) olduğunda ikinci tanecik(+\(q_2\)) de serbest bırakılıyor. Taneciklerin sonsuzdaki hızları \(V_1\) ve \(V_2\) ise, \(\frac{V_1}{V_2}\) oranı nedir?

Şıklar:
**A)** 2L **B)** 4L **C)** \(\frac{3}{2}L\) **D)** \(\frac{4}{3}L\) **E)** verilen bilgilerle cevap bulunamaz

Cevap: B 4L

Çözüm:
Aldığı yolu geri dönen mermi parçasının hızı, mermi iki parçaya bölünmeden önce merminin hızına eşit büyüklükte ve zıt yönde olmalıdır. Buna göre diğer parçanın hızı momentum korunumundan: 


\[2m \cdot v = m \cdot (-v) + m \cdot v' \Rightarrow v' = 3v\]


olarak bulunur. \(3v\) yatay hızlı parçanın yere düşmesi, dikeyde ilk hızı sıfıra eşit olduğundan, merminin en yüksek noktaya çıkmasıyla eşit zaman alır. Buradan bu parçanın bölünmenin ardından yatayda aldığı yol: 


\[t = \frac{L}{v} = \frac{\Delta L}{3v} \Rightarrow \Delta L = 3L\]


olarak bulunur. Öyleyse bu parça toptan: 


\[x = L + \Delta L = 4L\]


kadar uzağa düşer.
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 16

Bir elektrikli ısıtıcıda ilk sıcaklığı 25°C olan 2,0 litre su dört dakika süresince ısıtılmaktadır. Isıtıcı devresine bağlanmış olan voltmetre 240V, ampermetre ise 8A okumaktadır. Sistem dengeye geldiğinde bu ısıtıcıdaki su bir termos içinde bulunan -10°C deki 1,0 litre buz üzerine dökülmektedir. Isı dengesi sağlandığında termos içindeki suyun sıcaklığı kaç °C dir?

Şıklar:
A) 12 | B) 32 | C) 40 | D) 29 | E) 18

Cevap: D 29

Çözüm:
Isıtıcının suya aktardığı ısı: 


\[Q = IVt\]


Suyun ısıtıldıktan sonra sıcaklığı: 


\[T_s = T_0 + \frac{Q}{m_s c_s} = 25 + \frac{8 \cdot 240 \cdot 4 \cdot 60}{2 \cdot 4200} \approx 25 + 55 = 80^{\circ}\text{C}\]


Buzun ilk sıcaklığı \(T_b = -10^{\circ}\text{C}\) ve kütlesi \(m_b = \rho_b V_b = 0,9 \cdot 10^3 \cdot 10^{-3} = 0,9 \text{ kg/dir. Isıl denge sağlandığında termos içindeki suyun sıcaklığına } T_d \text{ dersek, enerji korunumundan denge sıcaklığı:}\) 


\[m_s c_s (T_s - T_d) = m_b c_b (0^{\circ}\text{C} - T_b) + m_b c_s T_d + \lambda m_b\]


\[T_d = \frac{m_s c_s T_s + m_b c_b T_b - \lambda m_b}{(m_s + m_b) c_s} = \frac{2 \cdot 4200 \cdot 80 + 0,9 \cdot 2100 \cdot (-10) - 330 \cdot 10^3 \cdot 0,9}{(2 + 0,9) \cdot 4200} \approx 29^{\circ}\text{C}\]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 17

Bir eşkenar üçgenin bir kenarı diğerlerinden farklı maddeden yapılmıştır. Farklı olan kenarın yapıldığı maddenin ısıyla boyca genleşme katsayısı \(\lambda_I = 0,004°C^{-1}\), diğer iki kenarın yapıldığı maddeninki ise \(\lambda_2 = 0,002°C^{-1}\) dir. Eğer cismin sıcaklığı \(10°C\) artırılırsa üçgenin alanı yaklaşık olarak yüzde kaç artmıştır?

Şıklar:
A) 0,5 | B) 2 | C) 3,5 | D) 5 | E) 6

Cevap: D 5

Çözüm:
Üçgenin farklı kenarının yeni uzunluğuna \(l_1\), diğer iki kenarının yeni uzunluğuna \(l_2\) ve ısıtılmadan önce kenarların uzunluğuna \(l\) diyelim. Buradan: 


\[l_1 = l \cdot (1 + \lambda_1 \Delta T)\]


\[l_2 = l \cdot (1 + \lambda_2 \Delta T)\]


Farklı kenara ait ısıtılmadan önceki yüksekliğe \(h\) ve yeni yüksekliğe \(h_1\) dersek: 


\[h = l \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} l\]


\[h_1 = \sqrt{l_2^2 - \left(\frac{l_1}{2}\right)^2} = l \sqrt{(1 + \lambda_2 \Delta T)^2 - \left(\frac{1 + \lambda_1 \Delta T}{2}\right)^2}\]


\[h_1 \approx l \sqrt{1 + 2\lambda_2 \Delta T - \frac{1}{4} - \frac{\lambda_1}{2} \Delta T} = l \sqrt{\frac{3}{4} + \left(2\lambda_2 - \frac{\lambda_1}{2}\right) \Delta T} \approx \frac{\sqrt{3}}{2} l \left[1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \left(2\lambda_2 - \frac{\lambda_1}{2}\right) 
ight] \Delta T\]


Buradan: 


\[h_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} l \left[1 + \left(\frac{4\lambda_2 - \lambda_1}{3}\right) \Delta T\right]\]


Üçgenin ısıtılmadan önceki alanına \(A_0\) ve yeni alanına \(A\) dersek istenen değer: 


\[\eta = \frac{A - A_0}{A_0} = \frac{\frac{h_1 l_1}{2} - \frac{hl}{2}}{\frac{hl}{2}} = \frac{h_1 l_1}{hl} - 1\]


\[\eta = \left[1 + \frac{(4\lambda_2 - \lambda_1)}{3} \Delta T\right] \cdot (1 + \lambda_1 \Delta T) - 1 \approx \frac{2(2\lambda_2 + \lambda_1)}{3} \cdot \Delta T = \frac{2 \cdot (2 \cdot 0,002 + 0,004)}{3} \cdot 10\]


\[\eta \approx 0,05 = 5\%\]
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 18

Yerden belirli bir açı ile havaya atılan bir top mermisi en yüksek noktasına vardığında patlayarak iki özdeş parçaya bölünmektedir. Parçalardan biri aldığı yolu aynen geri giderek topun üzerine düşmektedir. Eğer merminin patladığı noktanın topa olan yatay uzaklığı \(L\) ise, diğer parça toptan ne kadar uzakta yere düşer?

Şıklar:
**A)** 2L **B)** 4L **C)** \(\frac{3}{2}L\) **D)** \(\frac{4}{3}L\) **E)** verilen bilgilerle cevap bulunamaz

Cevap: A 4L

Çözüm:
İlk durumda sistemin enerjisi: 


\[ E_{ilk} = 12 \cdot \frac{-k_E Q^2}{L} + 12 \cdot \frac{k_E Q^2}{L\sqrt{2}} + 4 \cdot \frac{-k_E Q^2}{L\sqrt{3}} = -\left( 12 + \frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{12}{\sqrt{2}} \right) \frac{k_E Q^2}{L} \]


Son durumda sistemin enerjisi: 


\[ E_{son} = 0 \]


Buradan yapılması gereken iş: 


\[ W = E_{son} - E_{ilk} = \left[ 6 \cdot (2 - \sqrt{2}) + \frac{4}{\sqrt{3}} \right] \cdot \frac{k_E Q^2}{L} \]
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 20

Şekildeki devrede A ve B aynı emk(ε) değerine, fakat \(r_1\) ve \(r_2(r_2>r_1)\) gibi farklı iç dirençlere sahip iki pildir. Devredeki R direnç değeri ne olmalıdır ki anahtar kapatıldıktan bir süre sonra B pilinin iki kutbu 


arasında hala potansiyel farkı varken A pilinin iki kutbu arasındaki potansiyel farkı sıfır olsun? 


Not: Uzun süre sonra kondansatör açık devre sarım ise kısa devre gibi davranacaktır.

Şıklar:
A) \(\frac{r_1-r_2}{4}\) | B) \(\frac{4(r_1-r_2)}{3}\) | C) \(\frac{4(r_1-r_2)^2}{3(r_1+r_2)}\) | D) \(\frac{3(r_1+r_2)}{4}\) | E) \(\frac{4(r_1+r_2)^2}{3(r_1-r_2)}\)

Cevap: B \(\frac{4(r_1-r_2)}{3}\)

Çözüm:
Uzun süre sonra devre şekildeki gibi davranır, direnç sisteminin eşdeğer direnci: 


\[R_{es} = \left( \frac{1}{\left(\frac{1}{R} + \frac{1}{R}\right)^{-1} + R} + \frac{1}{\left(\frac{1}{R} + \frac{1}{r}\right)^{-1} + R} \right)^{-1} = \frac{3R}{4}\]


Buradan ana kol akımı: 


\[I = \frac{2\varepsilon}{r_1 + r_2 + \frac{3R}{4}}\]


olur. 


A pilinin iki kutbu arasında potansiyel farkın sıfır olması için: 


\[\varepsilon - I \cdot r_1 = 0\]


Buradan R: 


\[\varepsilon = \frac{2\varepsilon \cdot r_1}{r_1 + r_2 + \frac{3R}{4}} \Rightarrow \frac{3R}{4} = r_1 - r_2 \Rightarrow R = \frac{4(r_1 - r_2)}{3}\]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 21

Kütlesi \(m\), yükü \(-Q\) olan iyonlar bir fırında \(T\) sıcaklığına kadar ısıtılarak hızlandırılıyor. Bir yarık yardımıyla yönlendirilen bu iyonlar, yatay ve aralarındaki uzaklık \(Y\), boyları \(L\) olan paralel iki metal plakanın arasına plakaların düşey yöndeki (\(R\)) orta 


noktasından giriyor. Üst plaka \(+V\) potansiyeline bağlanıp alt plaka topraklandığında bu parçacık üst plakanın tam (\(S\)) ucundan dışarı çıkmaktadır. \(V\) potansiyelin ifadesi nedir?

Şıklar:
A) \(\frac{3kTY}{QL}\) | B) \(\frac{3(kT)^2Y}{mQL}\) | C) \(\frac{3kTY^2}{QL^2}\) | D) \(\frac{9kTY}{2QL}\) | E) \(\frac{3kTY^2}{mQL^2}\)

Cevap: C \(\frac{3kTY^2}{QL^2}\)

Çözüm:
İyonlar plakaya girmeden önceki hızları: 


\[ \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{3}{2}kT \Rightarrow v_0 = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \]


İyonlar plakanın içinde iki boyutta sabit ivmeli hareket yaparlar ve bu ivme: 


\[ ma = QE = \frac{QV}{y} \Rightarrow a = \frac{QV}{my} \]


'ye eşittir. Buna göre hareket denklemlerinden potansiyelin ifadesi: 


\[ \frac{y}{2} = \frac{1}{2}at^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{y}{a}} = y \sqrt{\frac{m}{QV}} \]


\[ L = v_0t = \sqrt{\frac{3kT}{m} \cdot y} \cdot \sqrt{\frac{m}{QV}} = y \cdot \sqrt{\frac{3kT}{QV}} \Rightarrow V = \frac{3kTY^2}{QL^2} \]


olarak bulunur.
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 22

Kenar uzunluğu L olan bir küpün köşelerine şekilde gösterilen noktasal yükler yerleştirilmiştir. Bu sistemi ayırıp dağıtmak için yapılacak iş ne kadardır? (Burada \(k_E\) elektrik sabitidir).

Şıklar:
\[ \text{A)} \quad \frac{k_E Q^2}{L} \left[ 6(2 - 2\sqrt{2}) - \frac{4}{\sqrt{3}} \right] \quad \text{B)} \quad \frac{k_E Q^2}{L} \left[ \frac{4}{\sqrt{3}} - 6(4 - \sqrt{2}) \right] \]


\[ \text{C)} \quad \frac{k_E Q^2}{L} \left[ 6(\sqrt{2} - 2) - \frac{4}{\sqrt{3}} \right] \quad \text{D)} \quad \frac{k_E Q^2}{L} \left[ \frac{ 4 }{ \sqrt{3} } - 6\sqrt{2} \right] \]


\[ \text{E)} \quad \frac{k_E Q^2}{L} \left[ \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } - 6(4\sqrt{3} + \sqrt{2}) \right] \]

Cevap: A \frac{k_E Q^2}{L} \left[ 6(2 - 2\sqrt{2}) - \frac{4}{\sqrt{3}} \right] \quad

Çözüm:
Işınların sıvıda sıvı yüzeyi ile yaptığı açıya \(\alpha\), havada sıvı yüzeyi ile yaptığı açıya \(\beta\) dersek Snell yasasından: 


\[n \sin(90^\circ - \alpha) = n_{Hava} \cdot \sin(90^\circ - \beta) = \sin(90^\circ - \beta)\]


\[n \cos \alpha = \cos \beta\]


\(n \cos \alpha > 1\) olması durumunda toplam iç yansıma olur. 


\(n \cos \alpha < 1\) olması durumunda \(n > 1\) olduğundan \(\alpha > \beta\) olur. Buradan: 


\[2\alpha = \alpha + \alpha > \alpha + \beta \Rightarrow 2\alpha > \alpha + \beta\]


olur. Yani yansıyan ve kırılan ışınlar arasındaki açı, \(\alpha + \beta\), ışının sıvıda sıvı yüzeyi ile yaptığı açının, \(\alpha\), iki katından küçük olur.
Fizik Olimpiyatı 2008, 1. Aşama, Soru 23

Bir kaba yarı yüksekliğine kadar kırıcılık indisi \(l, 2n_1\) olan bir sıvı konuluyor. Daha sonra bunun üzerine birinci sıvı ile karışmayan ve kırıcılık indisi \(n_1\) olan ikinci bir sıvı koyularak kap dolduruluyor. Kabın açık olan üst yüzünden bakıldığında kabın görünen derinliğinin gerçek derinliğinin \(\frac{2}{3}\) ü olduğu gözleniyor. Üste konan sıvının kırıcılık indisi kaçtır?

Şıklar:
A) 1,375 | B) 1,650 | C) 1,575 | D) 1,475 | E) 1,550

Cevap: A 1,375

Çözüm:
\(n_2 = 1,2 \cdot n_1\) diyelim. Üst yüzeyden bakıldığında görülen derinlik, kabın tabanının 2. sıvı tarafından oluşturulan görüntüsünün 1. sıvı tarafından oluşturulan görüntüsüdür. Yani: 


\[h' = \frac{1}{n_1} \left( \frac{h}{2} + \frac{1}{n_2} \cdot \frac{h}{2} \right) = \frac{2}{3} h \Rightarrow \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_1 \cdot n_2} = \frac{4}{3}\]


Eşitliğin iki tarafını da \(6n_1^2\) ile çarparsak \(n_1\): 


\[8n_1^2 - 6n_1 - 5 = 0 \Rightarrow n_1 = \frac{11}{8} = 1,375\]


olarak bulunur.