alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
Fizik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 5

Kütlesi ihmal edilebilir bir ip ile tavana asılı bir top, şekildeki gibi yan duvara tutturulmuş ve yatay doğrultuda gerilmiş benzer bir ip ile sabitlenmiştir. Bu konumda tepe ipinin düşey doğrultu ile yaptığı açı \(\beta'\)dir. Yatay ip kesildikten sonra sarkaç hareketi başlar. Tepe ipi üzerindeki salınım sırasında oluşacak maksimum gerilimin ilk durumda (yatay ip kesilmeden önce) aynı ip üzerindeki gerilime oranı nedir?

Şıklar:
A) \(\cos(\beta)\) | B) \(2\sin(\beta)\) | C) \(\cos^2(\beta)\) | D) \(3\cos(\beta) - 2\cos^2(\beta)\) | E) \(2[\cos(\beta) - \cos^2(\beta)]\)

Cevap: D \(3\cos(\beta) - 2\cos^2(\beta)\)

Çözüm:
İlk denge durumundaki kuvvet eşitliği; 


\[Mg = T_2 \cos \beta\]


Maksimum hız en alt noktada oluşur, 


\[MgL(1 - \cos \beta) = \frac{1}{2}mv^2\]


\[v^2 = 2gL(1 - \cos \beta)\]


Bu noktadaki merkezcil ivme, 


\[a = \frac{v^2}{L} = 2g(1 - \cos \beta)\]


Hareket denklemlerini yazarsak, 


\[ 
\begin{align*}
T - Mg &= Ma \\
T - Mg &= 2Mg(1 - \cos \beta) \\
T &= Mg(3 - 2\cos \beta) \\
T &= T_2 \cos \beta(3 - 2\cos \beta) \\
\Rightarrow \frac{T}{T_2} &= 3\cos \beta - 2\cos^2 \beta
\end{align*}
\]
Fizik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 6

## 6- Direği devirmek 


Bir direk, şekilde gösterildiği gibi, statik sürtünme katsayısı \(\mu_s\) olan bir yüzey üzerinde dik olarak durmaktadır. Tepe noktası, direğe göre \(\theta\) açısıyla gerilmiş bir ip ile yüzeye bağlanmıştır. Direk, tek bir noktasından uygulanan şekildeki gibi yatay bir kuvvet ile kaydırılarak devrilebiliyor. Kuvvet noktasının düzlemden uzaklığının direk boyuna oranı en fazla ne kadar olabilir?

Şıklar:
\[a) \cos(\theta) / (1 + \mu_s)\]


\[b) \cos(\theta) / (\cos(\theta) + 2\mu_s)\]


\[c) \tan(\theta) / (\tan(\theta) + \mu_s)\]


\[d) \cos(\theta)\]


\[e) 1\]

Cevap: c \tan(\theta) / (\tan(\theta) + \mu_s)\

Çözüm:
Yere göre moment alırsak, 


\[Fh = T \sin \theta L\]


Yatay ve düşey denge şartları: 


\[T \sin \theta + F_s = F\]


\[T \cos \theta + Mg = N\]


\[\Rightarrow T = \frac{Fh}{L \sin \theta}\]


\[F_s = F - T \cos \theta \Rightarrow F_s = F \left(1 - \frac{h}{L}\right)\]


\[N = Mg + \frac{Fh}{L \sin \theta} \cos \theta = Mg + \frac{Fh}{L} \cot \theta\]


Sürtünme kuvvetinin maksimum değeri \(\mu_s N\) olacaktır. 


\[F_s \le \mu_s N\]


\[F \left(1 - \frac{h}{L}\right) \le \mu_s Mg + \mu_s F \frac{h}{L} \cos \theta\]


\[F \left(1 - \frac{h}{L} (1 + \mu_s \cot \theta)\right) \le \mu_s Mg\]


\(F\) kuvvetinin katsayısı negatif olursa direk devrilemez. 


\[\Rightarrow \frac{h}{L} = \frac{1}{1 + \mu_s \cot \theta} = \frac{\tan \theta}{\mu_s + \tan \theta}\]
Fizik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 7

Bir masa üzerinde M kütleli bir blok ve yine M kütleli, R yarıçaplı çeyrek daire şeklinde bir fırlatma rampası vardır. Blok ve rampa masa üzerinde sürtünmesizce kayabilmektedir. Yerçekimi ivmesi g olarak verilmiştir. İlk anda blok rampaya doğru \(v = 4\sqrt{gR}\) hızı ile atılıyor. Blok hareketi boyunca en fazla hangi yüksekliğe ulaşır?

Şıklar:
a) \sqrt{2 + \frac{3\sqrt{3}}{2}} \sqrt{Lg} \quad b) \sqrt{2 + \frac{\sqrt{3}}{4}} \sqrt{Lg} \quad c) \sqrt{4 + \frac{3\sqrt{3}}{2}} \sqrt{Lg} \\
d) \sqrt{2 + \frac{14\sqrt{3}}{9}} \sqrt{Lg} \quad e) \text{Hiç bir hızla geçemez.}

Cevap: d \sqrt{2 + \frac{14\sqrt{3}}{9}} \sqrt{Lg} \quad

Çözüm:
Tepe noktasında N_F = N_B = 0 olacaktır. En tepedeyken çubuğun merkezinin orijinden yüksekliği l olsun;

l = \frac{R\sqrt{3}}{2}

mg = \frac{mv^2}{l} \Rightarrow v = \sqrt{gl} \text{ ve } \omega = \frac{v}{l} = \sqrt{\frac{g}{l}}

Tepe noktasındaki enerji:

E_1 = mg(R+l) + \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2} \frac{mR^2}{12} \omega^2
E_1 = mgR(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{1}{2}mg\frac{R\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \frac{mR^2}{12} \frac{g}{\frac{R\sqrt{3}}{2}}
E_1 = mgR[1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{36}]
E_1 = mgR(1 + \frac{14\sqrt{3}}{18})

En alt noktadaki enerji:

E_2 = \frac{1}{2}mv_i^2

E_1 = E_2 enerji korunumu yazılırsa:

v^2 = 2gL[1 + \frac{14\sqrt{3}}{18}] \Rightarrow v = \sqrt{gL(2 + \frac{14\sqrt{3}}{9})}
Fizik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 8

İpler ve yaylar: 

Şekilde 3 ip, 2 yay ve bir kütleden oluşan mekanik bir sistem gösterilmektedir. Kütlenin ağırlığı W=0.5 N, yayların yay sabiti k=1 N/m, yayları birbirine bağlayan kısa ipin uzunluğu a=3/8 m ve diğer ipler L=1m uzunluğundadır. Bu sistem şekildeki gibi bağlandığında kütlenin sabit yüzeyden olan uzaklığı x=11/8 m dir. Yayları birbirine bağlayan ip kesildikten sonra sistem dengeye geldiğinde, kütlenin yüzeyden olan uzaklığı ne olur? (İplerin esnemediğini ve yayların ilk uzunluğunun sıfır olduğunu kabul ediniz.)

Şıklar:
A) kütle olduğu yerde kalır, x=11/8 m | B) kütle aşağı iner, x=17/8 m | C) kütle yukarı çıkar, x=10/8 m | D) kütle aşağı iner, x= 12/8 m | E) kütle yukarı çıkarak yüzeye çarpar, x=0 m

Cevap: C 4,4 N

Çözüm:
 


\[2\Delta + a = \frac{11}{8}\]


\[2\Delta = 1 \Rightarrow \Delta = \frac{1}{2}\]


\[k\Delta = 0.5N\]


\[2T = 0.5 \quad \Rightarrow \quad T = 0.25N\]


\[\frac{T}{k} = \Delta' = 0.25m \quad L = 1m\]


\[x' = L + \Delta' = 1.25 = \frac{10}{8}m\]


\[x' < x \Rightarrow \text{kütle yukarı çıkar.}\]
Fizik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 9

 

Her biri M kütlesine sahip üç yıldız ortak kütle merkezleri etrafında dönmektedir. Her yıldızın merkezi ile diğer ikisinin merkezleri arasındaki mesafeler L dir. Bu yıldız sisteminin dönüş periyodu aşağıdaki ifadelerden hangisi ile verilir? (İkiden fazla yıldızın oluşturduğu böyle sistemlere Kempler rozeti adı verilir.)

Şıklar:
A) \(\frac{8\sqrt{3}}{9} \frac{q}{\pi \varepsilon_0 L^2}\) | B) \(\frac{\sqrt{3}}{16} \frac{q}{\pi \varepsilon_0 L^2}\) | C) \(\frac{3}{20} \frac{q}{\pi \varepsilon_0 L^2}\) | D) \(\frac{\sqrt{6}}{9} \frac{q}{\pi \varepsilon_0 L^2}\) | E) 0

Cevap: A \(\frac{8\sqrt{3}}{9} \frac{q}{\pi \varepsilon_0 L^2}\)

Çözüm:
Dörtyüzlünün yüksekliği \(h = \sqrt{\frac{2}{3}} L\) 


Tepe noktası ile merkezi arasındaki mesafe 


\[2R \cos \theta = L \cos \theta = \frac{h}{L} = \sqrt{\frac{2}{3}} \Rightarrow R = L \sqrt{\frac{3}{8}}\]


Eğer tüm yükler pozitif olsaydı, elektrik alan sıfır olurdu. 


\[E_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{R^2}\]


İki pozitif yük toplam, 


\[E_f = 2E_1 \sin \theta = \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{R^2}\]


Toplam alan, 


\[ 
\begin{aligned}
E - 2E_+ &= \frac{4}{\sqrt{3}} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q'}{R^2} \\
&= \frac{8\sqrt{3}}{9} \frac{q'}{\pi\varepsilon_0 L^2}
\end{aligned}
\]
Fizik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 10

M kütleli bir avize L uzunluğunda, iletken, bükülebilen ancak esnemeyen ve kütlesiz bir tel ile tavana asılmıştır. Tavana paralel ve homojen bir B manyetik alanı uygulanmaktadır, yerçekimi ivmesi g dir. Eğer tavandan avizeye doğru bir İ akımı telden akmaya başlarsa, avize ilk pozisyonuna göre ne kadar yükselir?

Şıklar:
A) \(\frac{L^2IB}{Mg}\) | B) \(L \cos(\frac{LiB}{Mg})\) | C) \(\sqrt{L^2 - (\frac{Mg}{iB})^2}\) | D) \(L\), avize tavana çarpar | E) \(L - \frac{Mg}{iB} \sin(\frac{LiB}{Mg})\)

Cevap: E \(L - \frac{Mg}{iB} \sin(\frac{LiB}{Mg})\)

Çözüm:
Telin yarıçaşı R ise \(2\theta\) açının gördüğü toplam \(2R\theta\) kısmı için, 


\[F_m = iB l = iB 2R\theta\]


Denge şartı, 


\[2T \sin \theta = iB 2R \sin \theta \quad \sin \theta \approx \theta\]


\[2Mg\theta = iBLR\theta\]


\[\Rightarrow B = \frac{Mg}{iB}\]


\[R\alpha = L\]


\[\alpha = \frac{iBL}{Mg} \Rightarrow L - h = R \sin \alpha\]


\[h = L - \frac{Mg}{iB} \sin(\frac{iLB}{Mg})\]
Fizik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 11

Şekildeki gibi, bir direnç üzerinden akım geçirerek kapalı bir hazne içerisindeki gazı ısıtmak istiyoruz. Isıtıcımızın hazneye mümkün olduğu kadar sabit oranda ısı vermesini istiyoruz. Rezistör direnci \(R = R_0\), ısıtıcı çalışırken, \(\Delta R \ll R_0\) miktarında değişebileceğini göz önünde bulundurarak, ısıtıcının sürekli sabit güçte ısı üretmesini sağlamak için, iki adet \(r\) direnci kullanarak aşağıdaki devreyi tasarlıyoruz. Isıtıcı direnci hafifçe değişse dahi iletilen gücün değişmemesini sağlayacak \(r\) direnç değerini bulunuz.

Şıklar:
A) \(R_0/2\) | B) \(R_0\sqrt{2}/2\) | C) \(R_0\) | D) \(\sqrt{2}R_0\) | E) \(2R_0\)

Cevap: E \(2R_0\)

Çözüm:
R_e = r + \left(\frac{1}{r} + \frac{1}{R_0}\right)^{-1} = r + \frac{rR_0}{r + R_0} = \frac{2rR_0 + r^2}{r + R_0}

i_0 R_0 = (i - i_0)r \Rightarrow i_0 = \frac{r}{r + R_0} i

i_0 = \frac{r}{r + R_0} \frac{\varepsilon}{R_e} = \frac{r}{r + R_0} \frac{r + R_0}{2rR_0 + r^2} \varepsilon = \frac{\varepsilon}{2R_0 + r}

\text{Güç (P):}
P = i_0^2 R_0 = \varepsilon^2 \frac{R_0}{(2R_0 + r)^2}

\text{Direnç } \Delta R \text{ kadar değişsin } (R_0 \to R_0 + \Delta R):
\text{Binom açılımı yardımıyla } \left(1 + \frac{\Delta R}{R}\right)^x \simeq 1 + x\frac{\Delta R}{R} \text{ kullanılırsa;}

P = \varepsilon^2 \frac{R_0 + \Delta R}{(2R_0 + r + 2\Delta R)^2} \simeq \frac{\varepsilon^2 R_0 \left(1 + \frac{\Delta R}{R_0}\right)}{(2R_0 + r)^2 \left(1 + \frac{2\Delta R}{2R_0 + r}\right)^2}

P \simeq \frac{\varepsilon^2 R_0}{(2R_0 + r)^2} \left(1 + \frac{\Delta R}{R_0}\right) \left(1 - \frac{4\Delta R}{2R_0 + r}\right)

P = P_0 \left(1 + \left(1 - \frac{4}{2 + \frac{r}{R_0}}\right) \frac{\Delta R}{R_0}\right)

\Rightarrow r = 2R_0 \text{ için } P = P_0 \text{ olur (güç değişmez).}
Fizik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 12

## 6- Direği devirmek 


Bir direk, şekilde gösterildiği gibi, statik sürtünme katsayısı \(\mu_s\) olan bir yüzey üzerinde dik olarak durmaktadır. Tepe noktası, direğe göre \(\theta\) açısıyla gerilmiş bir ip ile yüzeye bağlanmıştır. Direk, tek bir noktasından uygulanan şekildeki gibi yatay bir kuvvet ile kaydırılarak devrilebiliyor. Kuvvet noktasının düzlemden uzaklığının direk boyuna oranı en fazla ne kadar olabilir?

Şıklar:
\[a) \cos(\theta) / (1 + \mu_s)\]


\[b) \cos(\theta) / (\cos(\theta) + 2\mu_s)\]


\[c) \tan(\theta) / (\tan(\theta) + \mu_s)\]


\[d) \cos(\theta)\]


\[e) 1\]

Cevap: c \tan(\theta) / (\tan(\theta) + \mu_s)\

Çözüm:
Elektrik alan, 


\[E = \frac{V}{d} = \frac{75 \times 10^{-3}}{7.5 \times 10^{-9}} = 10^7 N/C\]


\[E' = \frac{E}{\varepsilon} = 10^6 N/C\]


Akson zarının yükler arası mesafenin ne kadarını kapladığı bilinmediği için, 


\[10^6 \le E \le 10^7\]
Fizik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 14

Trafik polisleri araçların hızını ölçmek için mikrodalga radar sistemleri kullanırlar. Bu sistemlerin çalışma prensibi Doppler etkisine dayanmaktadır. Trafik radarları sabit frekansta (\(f_0\)) mikrodalga yayarak haraket halindeki araçlardan yansıyan mikrodalgaların frekansını (\(f\)) ölçerler. Yansıyan mikrodalganın frekansını kullanarak aracın hızını (\(v\)) belirlenir. Doppler prensibine göre, radardan \(v\) hızıyla uzaklaşan bir araçtan yansıyan mikrodalganın frekansı \(f = f_0(1 - \frac{v}{c})\) şeklinde yazabiliriz. Aracın hızını 1 km/saat doğrulukla ile ölçebilmek için frekans ölçümündeki hassasiyet (\(\Delta f/f\)) en az aşağıdakilerden hangisi olmalıdır? (Denklemdeki \(c\) ışığın hızıdır yaklaşık 3 \(10^8\) m/s.)

Şıklar:
a) \(10^{-3}\) b) \(10^{-5}\) | c) \(10^{-7}\) | d) \(10^{-9}\) | e) \(10^{-11}\)

Cevap: D \(10^{-9}\)

Çözüm:
f + \Delta_f = f_0 \left( 1 - \frac{v}{c} - \frac{\Delta v}{c} \right)

\frac{\Delta_f}{f_0} = - \frac{\Delta v}{c}

Hassasiyet:

\frac{\Delta f}{f_0} \cong \frac{5}{18} \cdot \frac{1}{3 \times 10^8} \cong 10^{-9}
Fizik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 15

İpler ve yaylar: 

Şekilde 3 ip, 2 yay ve bir kütleden oluşan mekanik bir sistem gösterilmektedir. Kütlenin ağırlığı W=0.5 N, yayların yay sabiti k=1 N/m, yayları birbirine bağlayan kısa ipin uzunluğu a=3/8 m ve diğer ipler L=1m uzunluğundadır. Bu sistem şekildeki gibi bağlandığında kütlenin sabit yüzeyden olan uzaklığı x=11/8 m dir. Yayları birbirine bağlayan ip kesildikten sonra sistem dengeye geldiğinde, kütlenin yüzeyden olan uzaklığı ne olur? (İplerin esnemediğini ve yayların ilk uzunluğunun sıfır olduğunu kabul ediniz.)

Şıklar:
A) \(\sqrt{2}\) | B) \(\sqrt{3}\) | C) \(2\sqrt{2}\) | D) \(2\sqrt{3}\) | E) \(2/\sqrt{3}\)

Cevap: A \(\sqrt{2}\)

Çözüm:
Kesikli çizginin yatay ile yaptığı açı α ise; 


\[2\alpha = 30^{\circ} \Rightarrow \alpha = 15^{\circ}\]


Snell yasası 


\[n \sin 30 = 1 \sin 45\]


\[n = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \sqrt{2}\]
Fizik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 16

Şekilde verilen ince merceğin odak mesafesi 1 birim olup içbükey küresel aynadan 4 birim uzaklığa aynanın eğrilik merkezine gelecek şekilde yerleştirilmiştir. Merceğin sağından bakıldığında aynanın 1 birim sağındaki kalemin iki görüntüsü vardır. Bunlardan birini kalem doğrudan mercekte oluştururken diğerini kalemin aynadan yansıyan görüntüsü oluşturmaktadır. Mercekte oluşan iki görüntünün boyları oranı kaçtır?

Şıklar:
a) 3/2 \quad b) 4/3 \quad c) 5/4 \quad d) 6/5 \quad e) 7/6

Cevap: c 5/4 \quad

Çözüm:
1. görüntü için: 


\[ \frac{1}{3} + \frac{1}{x} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad h_1 = \frac{h}{2} \]


2. görüntü için: 


\[ \begin{gather*} f_a \cong \frac{R}{2} = 2 \\ \frac{1}{1} + \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = -2 \quad \Rightarrow \quad h_a = 2h \end{gather*} \]


Aynanın 2 cm solunda oluşan görüntü mercekten 6 cm uzakta görünür: 


\[ \begin{gather*} \frac{1}{6} + \frac{1}{x} = \frac{1}{1} \quad \Rightarrow \quad x = 6/5 \quad \Rightarrow \quad h_2 = \frac{h_a}{5} = 2h/5 \\ \Rightarrow \frac{h_1}{h_2} = \frac{h/2}{2h/5} = \frac{5}{4} \end{gather*} \]
Fizik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 17

## 18- Stereoskopik görüntü 


3-boyutlu  sinamalarda  kullanılan  teknolojilerden  bir  tanesi,  ışığın  dairesel  polarizasyonunu kullanarak,  sağ ve sol gözümüzün farklı açılardan çekilmiş iki farklı resmi görmesini sağlar. Beynimiz bu resimleri birleştirerek 3-boyutlu bir  görüntü oluşturur. Şekilde bu teknoloji özetlenmektedir. Dairesel polarizasyon sağ-dairesel ve sol-dairesel polarizasyon olmak üzere iki farklı şekilde polarize olabilir. Gözlükte bulunan polarize filtreler, bir gözün sağ-polarize ışığı diğer gözün sol polarize ışığı görmesini sağlar. Sinemada 3-boyutlu bir film izlerken ara verildi ve tuvalate gittiniz. Gözlüğü takarak tuvaletteki aynada kendinize bakarken, bir gözünüzü kapatırsanız hangi gözünüzü görürsünüz?

Şıklar:
A) İki gözü de göremeyiz. | B) Hem kapalı hem açık gözü görürüz. | C) Sadece açık gözü görürüz. | D) Sadece kapalı gözü görürüz. | E) Başımızın açısına göre hangi gözü göreceğimiz değişir.

Cevap: D Sadece kapalı gözü görürüz.

Çözüm:
Aynadan çıkan ışığın polarizasyonu sağ-sol olarak değişiyor. Bu yüzden sadece kapalı göz görünür. Cevap D
Fizik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 18

Bir malzemenin kırılma indisinin yüzeyden olan uzaklıkla değiştiği bilinmektedir. Bu malzemeye boşluktan normal ile 45 derece açı yapacak şekilde gönderilen ışık demeti 


\[y(x) = \alpha x + \beta x^2\]


Şeklindeki gibi bir eğriyi takip ediyor. \(\alpha = \sqrt{3}\) ve \(\beta = 0.5 \text{ cm}^{-1}\) olduğuna göre maddenin tam yüzeyindeki ve 1 cm derinliğindeki kırılma indisleri nelerdir?

Şıklar:
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
& Yüzeyde n & 1cm derinlikte n \\ \hline
\textbf{a)} & \sqrt{3} & \sqrt{3} - \sqrt{5} \\ \hline
\textbf{b)} & \sqrt{2} & \sqrt{5} \\ \hline
\textbf{c)} & \sqrt{5} - \sqrt{3} & \sqrt{3} \\ \hline
\textbf{d)} & \sqrt{2} & \sqrt{3} \\ \hline
\textbf{e)} & \sqrt{2} & Verilenlerle bulunamaz \\ \hline
\end{tabular}

Cevap: E \(2R_0\)

Çözüm:
R_e = r + \left(\frac{1}{r} + \frac{1}{R_0}\right)^{-1} = r + \frac{rR_0}{r + R_0} = \frac{2rR_0 + r^2}{r + R_0}

i_0 R_0 = (i - i_0)r \Rightarrow i_0 = \frac{r}{r + R_0} i

i_0 = \frac{r}{r + R_0} \frac{\varepsilon}{R_e} = \frac{r}{r + R_0} \frac{r + R_0}{2rR_0 + r^2} \varepsilon = \frac{\varepsilon}{2R_0 + r}

\text{Güç (P):}
P = i_0^2 R_0 = \varepsilon^2 \frac{R_0}{(2R_0 + r)^2}

\text{Direnç } \Delta R \text{ kadar değişsin } (R_0 \to R_0 + \Delta R):
\text{Binom açılımı yardımıyla } \left(1 + \frac{\Delta R}{R}\right)^x \simeq 1 + x\frac{\Delta R}{R} \text{ kullanılırsa;}

P = \varepsilon^2 \frac{R_0 + \Delta R}{(2R_0 + r + 2\Delta R)^2} \simeq \frac{\varepsilon^2 R_0 \left(1 + \frac{\Delta R}{R_0}\right)}{(2R_0 + r)^2 \left(1 + \frac{2\Delta R}{2R_0 + r}\right)^2}

P \simeq \frac{\varepsilon^2 R_0}{(2R_0 + r)^2} \left(1 + \frac{\Delta R}{R_0}\right) \left(1 - \frac{4\Delta R}{2R_0 + r}\right)

P = P_0 \left(1 + \left(1 - \frac{4}{2 + \frac{r}{R_0}}\right) \frac{\Delta R}{R_0}\right)

\Rightarrow r = 2R_0 \text{ için } P = P_0 \text{ olur (güç değişmez).}
Fizik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 19

Bir musluktan aşağı doğru akan su jetinin kalınlığı gittikçe azalır. Musluğun ağzından \(v_0\) hız ve \(d_0\) çapı ile ayrılan su jetinin y mesafe aşağıdaki \(d\) çapını bulunuz.

Şıklar:
A) \(d = d_0 \left(\frac{v_0^2}{v_0^2 + 2gy}\right)^{1/4}\) | B) \(d = d_0 \left(\frac{v_0^2}{v_1^2 + 2gy}\right)^{1/2}\) | C) \(d = d_0 \left(\frac{v_0^2}{v_2^2 - 2gy}\right)^{-1/2}\) | D) \(d = d_0 \left(\frac{v_0^2}{v_3^2 + 2gy}\right)\) | E) \(d = d_0 \left(\frac{v_0^2}{v_4^2 + 2gy}\right)^2\)

Cevap: A \(d = d_0 \left(\frac{v_0^2}{v_0^2 + 2gy}\right)^{1/4}\)

Çözüm:
Sıvı sıkıştırılamadığı için toplam akı sabit kalmalıdır. 


\[ \pi d_0^2 v_0 = \pi d^2 v \]


Sıvı düşerken enerji korunur. 


\[ \begin{aligned} \frac{1}{2}mv_0^2 + mgy &= \frac{1}{2}mv^2 \\ v^2 &= v_0^2 + 2gy \\ \Rightarrow d &= d_0 \sqrt{\frac{v_0}{v}} = d_0 \sqrt{\frac{v_0}{\sqrt{v_0^2 + 2gy}}} \\ &= d_0 \left(\frac{v_0^2}{v_0^2 +2gy}\right)^{1/4} \end{aligned} \]
Fizik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 21

Trafik polisleri araçların hızını ölçmek için mikrodalga radar sistemleri kullanırlar. Bu sistemlerin çalışma prensibi Doppler etkisine dayanmaktadır. Trafik radarları sabit frekansta (\(f_0\)) mikrodalga yayarak haraket halindeki araçlardan yansıyan mikrodalgaların frekansını (\(f\)) ölçerler. Yansıyan mikrodalganın frekansını kullanarak aracın hızını (\(v\)) belirlenir. Doppler prensibine göre, radardan \(v\) hızıyla uzaklaşan bir araçtan yansıyan mikrodalganın frekansı \(f = f_0(1 - \frac{v}{c})\) şeklinde yazabiliriz. Aracın hızını 1 km/saat doğrulukla ile ölçebilmek için frekans ölçümündeki hassasiyet (\(\Delta f/f\)) en az aşağıdakilerden hangisi olmalıdır? (Denklemdeki \(c\) ışığın hızıdır yaklaşık 3 \(10^8\) m/s.)

Şıklar:
a) \(10^{-3}\) b) \(10^{-5}\) | c) \(10^{-7}\) | d) \(10^{-9}\) | e) \(10^{-11}\)

Cevap: C 0.33 N, aşağı yönde

Çözüm:
f + \Delta_f = f_0 \left( 1 - \frac{v}{c} - \frac{\Delta v}{c} \right)

\frac{\Delta_f}{f_0} = - \frac{\Delta v}{c}

Hassasiyet:

\frac{\Delta f}{f_0} \cong \frac{5}{18} \cdot \frac{1}{3 \times 10^8} \cong 10^{-9}
Fizik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 22

## 23- Asansör için hava yastığı 


Bazı asansörlerde asansörün taşıyıcı iplerinin kopmasına karşı bir güvenlik önlemi olarak asansörün altında kalan boşluğu hava sızdırmaz hale getirebilen bir acil durum sistemi bulunur. Taban alanı A ve kütlesi M olan bir asansör boşluğun dibinden L kadar yüksekteyken ve asansör boşluğunun her tarafındaki hava basıncı P iken ipi kopuyor ve hızla düşmeye başlıyor. Sistemin ip kopar kopmaz devreye girdiğini ve düşme sırasında asansör boşluğunun dışarıdan ısı alıp verecek zamanı olmadığını kabul edersek hangi yükseklikte asansörün ağırlığı hava basıncı tarafından dengelenir? (Yerçekimi ivmesi g, havanın sabit hacim ve sabit basınç ısı sığaları oranı y olarak verilmiştir)

Şıklar:
\[a)L \frac{PA}{Mg} \qquad b)L \left(\frac{PA}{Mg}\right)^{1/\gamma} \qquad c)L \left(\frac{PA}{PA+Mg}\right)^{1/\gamma} \qquad d)L \left(\frac{Mg}{PA}\right)^{\gamma} \qquad e)L/\gamma\]

Cevap: c L \left(\frac{PA}{PA+Mg}\right)^{1/\gamma} \qquad

Çözüm:
Asansörün üst tarafındaki gaz basıncı P olsun alt tarafındaki basınç ise \(P'\) olsun: 


\[P'A = Mg + PA \Rightarrow P' = \frac{Mg}{A} + P\]


Adyabatik süreçlerde; 


\[PV^{\gamma} = sabit\]


Adyabatik olduğundan, 


\[L_{s_0n} = \left(\frac{P}{P'}\right)^{1/\gamma} L = L \left(\frac{PA}{Mg + PA}\right)^{1/\gamma}\]
Fizik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 23

Ses dalgalarının gazların içerisinde ilerleyebilmesi, ilerleyen basınç dalgasının periyodu ile gaz moleküllerinin çarpışma aralığının aynı mertebelerde olmasına bağlıdır. Bunun sonucu olarak, gaz içerisinde ilerleyen ses dalgasının frekansı en fazla gaz moleküllerin çarpışma periyodunun tersi kadar olacaktır. Gaz molekülerini, kütlesi m ve yarıçapı r olan kürecikler varsayarak, basıncı P ve sıcaklığı T olan bir gazın içerisinde ilerleyebilecek en yüksek ses dalgası frekansı yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisi ile verilir?

Şıklar:
a) 3/2 \quad b) 4/3 \quad c) 5/4 \quad d) 6/5 \quad e) 7/6

Cevap: c 5/4 \quad

Çözüm:
\[
t = \frac{n\pi(2r)^2vt \cong 1}{\frac{1}{n\pi(2r)^2v}} = 1/f
\]


\[
\frac{1}{2}mv^2 \cong \frac{3}{2}kT
\]


\[
\Rightarrow v = \sqrt{\frac{3kT}{m}}
\]


\[
P = nkT \Rightarrow n = \frac{P}{kT}
\]


\[
f = 4\pi r^2 \frac{P}{kT} \sqrt{\frac{3kT}{m}}
\]


\[
\cong 4\pi Pr^2 \sqrt{\frac{3}{mkT}}
\]
Fizik Olimpiyatı 2014, 1. Aşama, Soru 24

Evrenle ilgili temel bir büyüklük \(\sqrt{\frac{G h}{c^5}}\) ifadesi ile verilir. Burada G evrensel yerçekimi sabiti, h Plank sabiti ve c ışık hızıdır. \(\sqrt{\frac{G h}{c^5}}\) ile verilen büyüklük yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisidir? (Temel sabitlerin değerleri verilmemiştir)

Şıklar:
A) Evrenin yaşı, 13,8 milyar yıl. | B) Evrende bilinen fizik yasalarının geçerli olduğu ilk zaman, \(10^{-43}\) s. | C) Büyük patlamanın ardından gerçekleşen şişme çağı sonunda evrenin yarıçapı, \(10^{-36}\) ışık yılı. | D) Birim hacimdeki ortalama boşluk enerjisi, \(10^{-42}\) J. | E) Evrenin eğrilik yarıçapı, \(10^{-42}\) m.

Cevap: D Sadece kapalı gözü görürüz.

Çözüm:
\[ 
\begin{aligned}
F &= \frac{G \cdot M^2}{L^2} [G] = \frac{L^3}{MT^2} [h] = \frac{ML^2}{T} [c] = \frac{L}{T} \\
&\Rightarrow \sqrt{\frac{Gh}{c^5}} = T
\end{aligned}
\]


Bu büyüklüğün birimi zaman olarak çıkıyor. Bu durumda a veya b olabilir. Evrenin yaşı temel sabitlere bağlı olmadığından ve sürekli arttığından sabitler cinsinden yazılamaz. Bu yüzden cevap b şıkkıdır.
Fizik Olimpiyatı 2015, 1. Aşama, Soru 1

Bir malzemenin kırılma indisinin yüzeyden olan uzaklıkla değiştiği bilinmektedir. Bu malzemeye boşluktan normal ile 45 derece açı yapacak şekilde gönderilen ışık demeti 


\[y(x) = \alpha x + \beta x^2\]


Şeklindeki gibi bir eğriyi takip ediyor. \(\alpha = \sqrt{3}\) ve \(\beta = 0.5 \text{ cm}^{-1}\) olduğuna göre maddenin tam yüzeyindeki ve 1 cm derinliğindeki kırılma indisleri nelerdir?

Şıklar:
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
& Yüzeyde n & 1cm derinlikte n \\ \hline
\textbf{a)} & \sqrt{3} & \sqrt{3} - \sqrt{5} \\ \hline
\textbf{b)} & \sqrt{2} & \sqrt{5} \\ \hline
\textbf{c)} & \sqrt{5} - \sqrt{3} & \sqrt{3} \\ \hline
\textbf{d)} & \sqrt{2} & \sqrt{3} \\ \hline
\textbf{e)} & \sqrt{2} & Verilenlerle bulunamaz \\ \hline
\end{tabular}

Cevap: a \sqrt{3} & \sqrt{3} - \sqrt{5} \

Çözüm:
Her iki büyüklükte aynı birime (uzunluk) sahip olduklarından cevabın birimsiz şıkılardan biri olması gerektiği açıktır. Karşılaştırılan büyüklükler elektron yarıçapı ile Hidrojen atomunun yarıçapı olduğundan ve hidrojenin çapı  \( 10^{-10} \)  olduğundan cevap E şıkkıdır.