alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
Fizik Olimpiyatı 2015, 1. Aşama, Soru 2

(A2) Zıplayan Oyuncak 


Bir oyuncak iki M kütleli diskin k sabitli ve serbest uzunluğu L olan bir yay ile birbirine bağlanması ile yapılmıştır. Oyuncak kütlelerden biri yerde diğeri onun üzerinde olacak şekilde yerleştiriliyor. Üstteki kütleyi bastırıp yayı sıkıştırıp aniden serbest bırakarak başlattığımız hareket sırasında iki kütlenin de yerden ayrılmasını istiyoruz. Bu durumda alttaki kütlenin yerden ayrılabilmesi için bıraktığımız anda iki kütlenin arasındaki mesafe en fazla ne kadar olabilir? Yerçekimi ivmesi g dir, yay sabiti oyuncağı zıplatabilecek kadar büyük seçilmiştir.

Şıklar:
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\textbf{A} & \frac{\sqrt{2} M g}{k} \\ \hline
\textbf{B} & \frac{1}{2} L \frac{(M g)^2}{k} \\ \hline
\textbf{C} & L - \frac{3 M g}{k} \\ \hline
\textbf{D} & L - \frac{M g}{k} \\ \hline
\textbf{E} & \text{Alttaki kütle asla yeri terk edemez.} \\ \hline
\end{tabular}

Cevap: C \frac{3 M g}{k} \

Çözüm:
Alttaki cismin yerden kalkabilmesi için üstteki cismin ulaşabileceği en yüksek noktayı ele alalım. Bu noktada alttaki cismin yerden kalkabilmesi için sınır şart, alttaki cisme etki eden kuvvetlerin toplamının sıfır olmasıdır. 

  


Yayın ilk sıkıştırıldığı uzunluk ile son uzunluğu arasındaki ilişkiyi kurabilmek için sistemdeki enerji korunumu kullanılabilir. 


İlk durumdaki enerji \(E_{ilk} = \frac{1}{2}k(L - y_i)^2 + Mgy_i\) (A2.2) 


Son durumdaki enerji \(E_{son} = \frac{1}{2}k(y_s - L)^2 + Mgy_s\) (A2.3) 


\[ \frac{1}{2}k(L - y_i)^2 + Mgy_i = \frac{1}{2}k(y_s - L)^2 + Mgy_s \quad (A2.4) \]


(A2.1) denkleminden \(y_s\) ilk değerler cinsinden elde edilip (A2.3) denkleminde yerine koyulursa,
Fizik Olimpiyatı 2015, 1. Aşama, Soru 5

Kapasitor devresi:

Üç tane özdeş kapasitörden biri 2q diğeri q yükü ile yüklenmiş, üçüncüsü ise yüklenmemiştir. Bu kapasitorler şekide görüldüğü gibi birbirlerine ve değeri belirli olmayan bir dirence bağlandıktan sonra şekildeki anahtar kapatılıyor. Anahtar kapatılıp uzun bir süre devrenin dengeye gelmesi bekleniliyor. Anahtar kapatıldıktan sistem dengeye gelene kadar geçen sürede direnç üzerinde açığa çıkan ısı ne kadardır?

Şıklar:
A) Direnç verilmediği için bulunamaz. | B) \(\frac{q^2}{6C}\) | C) \(\frac{5q^2}{2C}\) | D) \(\frac{q^2}{4C}\) | E) 0

Cevap: B \(\frac{q^2}{6C}\)

Çözüm:
Sistem dengeye geldiğinde potansiyel farklar eşit olması gerekir. 


\[ \frac{2q - Q}{C} = \frac{q + Q}{C} + \frac{Q}{C} \]


\[ Q = \frac{q}{3} \]


Burada Q aktarılan yük miktarıdır. Direnç üzerinde ortaya çıkan ısı enerjisi, devrenin ilk durumundaki 


toplam enerjisi ile son durumdaki enerjisinin farkı olacaktır. 


\[ E = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} \]


\[ E_{ilk} - E_{son} = \frac{q^2}{2C} (4 + 1) - \frac{q^2}{2C} \left( \frac{25}{9} + \frac{16}{9} + \frac{1}{9} \right) = \frac{q^2}{6C} \]
Fizik Olimpiyatı 2015, 1. Aşama, Soru 6

Su altında basınç her 10 metrede bir atmosfer artar. 100 g kütlesi ve 200 ml iç hacimi olan bir bardak, ağzı aşağıya bakar biçimde bir göle batırılıyor. Su yüzeyinden 20 m derinlikte bardağın üzerine etki eden toplam kuvvetin yaklaşık büyüklüğü ve yönü nedir? Gölün sıcaklığını sabit, havayı ideal bir gaz, bardağın kalınlığının ve bardağa kıyasla içindeki havanın kütlesinin ihmal edilebilir olduğunu varsayınız. Suyun kütle yoğunluğunu 1 g/ml, yerçekimi ivmesini 10 m/s² alarak işlem yapınız.

Şıklar:
A) H²/(2R) | B) H²/(4R) | C) H³/R² | D) H³/(2R²) | E) 2H²/R

Cevap: B H²/(4R)

Çözüm:
Yansıma kurallarından dolayı \(\alpha = \beta\) olmalıdır. AB || OC olduğundan \(\alpha = \gamma\) olur. 


F'BC üçgeni ikizkenar üçgen olduğundan ve aynanın yarıçapı R olduğu için, 


\[DC = \frac{R}{2}\]


\[\cos \gamma = \frac{R}{2F'C} \quad \text{ve} \quad F'C = \frac{R}{2 \cos \alpha}\]


\[= \frac{R}{2\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}\]


\[\sin \alpha = \frac{d}{R} \quad \text{ve} \quad f' = R - F'C \quad \text{olduğundan}\]


\[f' = R - \frac{R}{2\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}} = R - \frac{R}{2\sqrt{1 - \left(\frac{d}{R}\right)^2}}\]


\[f' - f = R - \frac{R}{2\sqrt{1 - \left(\frac{d}{R} \right)^2}} - \frac{R}{2}\]




\[ = \frac{R}{2} \left[ 1 - \left( 1 - \left( \frac{d}{R} \right)^2 \right)^{-1/2} \right] \]


\(d = H\) alıp \(H / R \ll 1\) limitinde yukarıdaki denklemde \((1 + x)^n \cong 1 + nx\) yaklaşımı uygulanırsa, 


\[ f' - f = \frac{1}{4} \frac{H^2}{R} \]
Fizik Olimpiyatı 2015, 1. Aşama, Soru 7

## 23- Asansör için hava yastığı 


Bazı asansörlerde asansörün taşıyıcı iplerinin kopmasına karşı bir güvenlik önlemi olarak asansörün altında kalan boşluğu hava sızdırmaz hale getirebilen bir acil durum sistemi bulunur. Taban alanı A ve kütlesi M olan bir asansör boşluğun dibinden L kadar yüksekteyken ve asansör boşluğunun her tarafındaki hava basıncı P iken ipi kopuyor ve hızla düşmeye başlıyor. Sistemin ip kopar kopmaz devreye girdiğini ve düşme sırasında asansör boşluğunun dışarıdan ısı alıp verecek zamanı olmadığını kabul edersek hangi yükseklikte asansörün ağırlığı hava basıncı tarafından dengelenir? (Yerçekimi ivmesi g, havanın sabit hacim ve sabit basınç ısı sığaları oranı y olarak verilmiştir)

Şıklar:
\[a)L \frac{PA}{Mg} \qquad b)L \left(\frac{PA}{Mg}\right)^{1/\gamma} \qquad c)L \left(\frac{PA}{PA+Mg}\right)^{1/\gamma} \qquad d)L \left(\frac{Mg}{PA}\right)^{\gamma} \qquad e)L/\gamma\]

Cevap: c L \left(\frac{PA}{PA+Mg}\right)^{1/\gamma} \qquad

Çözüm:
Cismin hareketi boyunca merkezinin yere mesafesi değişmektedir. Bu nedenle düzgün bir dönme hareketi yapmamaktadır ancak yine de kaymadan yuvarlanma hareketi yaptığından enerji korunmaktadır.

E_{ilk} = E_{son}
Mgb = Mga + \frac{1}{2}I_a\omega^2 \quad 

Burada I_a cismin kısa eksenine göre eylemsizlik momentidir. I_a'yı bulmak için paralel eksenler teoremini kullanırsak,

I_a = I_0 + Ma^2

sonucunu elde ederiz.

v = \omega a
\omega = \left(\frac{2Mg(b - a)}{I_0 + Ma^2}\right)^{1/2}
V = \omega a = \left(\frac{2Mg(b - a)a^2}{I_0 + Ma^2}\right)^{1/2}
Fizik Olimpiyatı 2015, 1. Aşama, Soru 8

Ses dalgalarının gazların içerisinde ilerleyebilmesi, ilerleyen basınç dalgasının periyodu ile gaz moleküllerinin çarpışma aralığının aynı mertebelerde olmasına bağlıdır. Bunun sonucu olarak, gaz içerisinde ilerleyen ses dalgasının frekansı en fazla gaz moleküllerin çarpışma periyodunun tersi kadar olacaktır. Gaz molekülerini, kütlesi m ve yarıçapı r olan kürecikler varsayarak, basıncı P ve sıcaklığı T olan bir gazın içerisinde ilerleyebilecek en yüksek ses dalgası frekansı yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisi ile verilir?

Şıklar:
\[A) 4Pr^2 \sqrt{\frac{3}{mkT}} \] \[ | B) \frac{\pi}{r} \sqrt{\frac{2kT}{m}} \] \[ | C) \frac{1}{Pr^2} \sqrt{8mkT} \] \[ | D) \frac{P^2r^5}{kT} \sqrt{\frac{8}{mkT}} \] \[ | E) \frac{4kT}{Pr^4} \sqrt{\frac{\pi kT}{m}} \]

Cevap: A 4Pr^2 \sqrt{\frac{3}{mkT}}

Çözüm:
A atomlarının başlangıçtaki sayısı \(N_0\) olsun. 


\[ \frac{dN_A}{dt} = -\frac{1}{\lambda} N_A \Rightarrow N_A = N_0 e^{-t/\lambda} \]


Yarılanma Ömrü T ile \(\lambda\) arasındaki ilişki 


\[ \frac{N_0}{2} = N_0 e^{-T/\lambda} \Rightarrow T = \lambda \ln 2 \]


B atomları için 


\[ \frac{dN_B}{dt} = \frac{1}{\lambda} N_A - \frac{1}{2\lambda} N_B = \frac{N_0}{\lambda} e^{-t/\lambda} - \frac{1}{2\lambda} N_B \]


\[ N_B = ae^{-t/\lambda} + be^{-t/2\lambda} \]


\[ dN_B(0)/dt = 0 \Rightarrow a + b = 0 \]


\[ N_B(t) = a(e^{-t/\lambda} - e^{-t/2\lambda}) \]


\[ \frac{1}{2} e^{-t/2\lambda} = e^{-t/\lambda} \Rightarrow e^{t/2\lambda} = 2 \]


\[ t = 2\lambda \ln 2 = 2T \]
Fizik Olimpiyatı 2015, 1. Aşama, Soru 9

Eğik Düzlem 


Sürtünmesiz bir eğik düzlem x eksenini \(2\sqrt{2}\) m'de y eksenini 2 m'de z eksenini ise \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)m'de kesmektedir. Yerçekimi ivmesi -z yönünde 10 m/s² dir. Tepe noktasından (x=0m,y=0m,z=\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)m) bırakılan bir kütle kaç saniye sonra yere (z=0 m seviyesine) ulaşır?

Şıklar:
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\textbf{A} & \sqrt{5} \text{ sn} \\ \hline
\textbf{B} & \frac{\sqrt{3}}{15} \text{ sn} \\ \hline
\textbf{C} & \sqrt{15} \text{ sn} \\ \hline
\textbf{D} & \frac{6}{5} \text{ sn} \\ \hline
\textbf{E} & \frac{3\sqrt{3}}{5} \text{ sn} \\ \hline
\end{tabular}

Cevap: E \frac{3\sqrt{3}}{5} \text{ sn} \

Çözüm:
A atomlarının başlangıçtaki sayısı \(N_0\) olsun. 


\[ \frac{dN_A}{dt} = -\frac{1}{\lambda} N_A \Rightarrow N_A = N_0 e^{-t/\lambda} \]


Yarılanma Ömrü T ile \(\lambda\) arasındaki ilişki 


\[ \frac{N_0}{2} = N_0 e^{-T/\lambda} \Rightarrow T = \lambda \ln 2 \]


B atomları için 


\[ \frac{dN_B}{dt} = \frac{1}{\lambda} N_A - \frac{1}{2\lambda} N_B = \frac{N_0}{\lambda} e^{-t/\lambda} - \frac{1}{2\lambda} N_B \]


\[ N_B = ae^{-t/\lambda} + be^{-t/2\lambda} \]


\[ dN_B(0)/dt = 0 \Rightarrow a + b = 0 \]


\[ N_B(t) = a(e^{-t/\lambda} - e^{-t/2\lambda}) \]


\[ \frac{1}{2} e^{-t/2\lambda} = e^{-t/\lambda} \Rightarrow e^{t/2\lambda} = 2 \]


\[ t = 2\lambda \ln 2 = 2T \]
Fizik Olimpiyatı 2015, 1. Aşama, Soru 10

Dalgalı tel 

Özdirenci ρ olan bir maddeden L uzunluğunda bir tel imal edilmiştir. Tel üretilirken \(R_0\) yarıçapında bir silindir olması amaçlanmış ama imalat hatası sonucu telin yarıçapında dalgalanmalar oluşmuştur. Telin uzunluğu boyunca yarıçapı: 


\[
R(x) = R_0 + r \sin^2 \left( \frac{2\pi x}{a} \right)
\]


olarak değişmektedir. İmalat hatalarının küçük olduğu (\(r \ll R_0\) ve \(a \ll L\)) durumda bu telin direnci aşağıdakilerden hangi yaklaşık ifade ile daha doğru ifade edilir?

Şıklar:
A) \(\rho \frac{L}{\pi R_0^2}\) | B) \(\rho \frac{L}{\pi R_0^2} \left( 1 - \frac{r a}{L R_0} \right)\) | C) \(\rho \frac{L}{\pi R_0^2} \left( 1 + \frac{r^2}{R_0^2} \right)\) | D) \(\rho \frac{L}{\pi R_0^2} \left( 1+\frac{r a}{L R_0} \right)\) | E) \(\rho \frac{L}{\pi R_0^2} \left( 1-\frac{r}{R_0} \right)\)

Cevap: E \(\rho \frac{L}{\pi R_0^2} \left( 1-\frac{r}{R_0} \right)\)

Çözüm:
\(dx'\) lik bir parçanın direnci 


\[
dR = \rho \frac{dx}{\pi R^2}
\]


\[
R = \int_{0}^{\infty} \frac{\rho}{\pi \left( R_0 + r \sin^2 \left( \frac{2\pi x}{R_0} \right) \right)^2} dx \cong \frac{\rho}{\pi R_0^2} \int_{0}^{L} \left( 1 - \frac{2r}{R_0} \sin^2 \frac{2\pi x}{a} \right) dx
\]


\[
\cong \frac{\rho}{\pi R_0} L - \frac{\rho}{\pi R_0^2} 2 \frac{r}{R_0} \int_{0}^{L} \sin^2 \frac{2\pi x}{a} dx \\
= \frac{\rho}{\pi R_0^2} L \left( 1 - \frac{r}{R_0} \right)
\]
Fizik Olimpiyatı 2015, 1. Aşama, Soru 11

(A2) Zıplayan Oyuncak 


Bir oyuncak iki M kütleli diskin k sabitli ve serbest uzunluğu L olan bir yay ile birbirine bağlanması ile yapılmıştır. Oyuncak kütlelerden biri yerde diğeri onun üzerinde olacak şekilde yerleştiriliyor. Üstteki kütleyi bastırıp yayı sıkıştırıp aniden serbest bırakarak başlattığımız hareket sırasında iki kütlenin de yerden ayrılmasını istiyoruz. Bu durumda alttaki kütlenin yerden ayrılabilmesi için bıraktığımız anda iki kütlenin arasındaki mesafe en fazla ne kadar olabilir? Yerçekimi ivmesi g dir, yay sabiti oyuncağı zıplatabilecek kadar büyük seçilmiştir.

Şıklar:
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\textbf{A} & \frac{\sqrt{2} M g}{k} \\ \hline
\textbf{B} & \frac{1}{2} L \frac{(M g)^2}{k} \\ \hline
\textbf{C} & L - \frac{3 M g}{k} \\ \hline
\textbf{D} & L - \frac{M g}{k} \\ \hline
\textbf{E} & \text{Alttaki kütle asla yeri terk edemez.} \\ \hline
\end{tabular}

Cevap: C \frac{3 M g}{k} \

Çözüm:
Sıvı aynı yükseklikle olduğuna göre tabana etki eden basınçlar aynıdır. T kuvveti tabanı yukarı çektiğine göre 


\(W_1 < W_2\)


olmalıdır. 


\[
\begin{align*}
w_1 + T &= w_2 \\
T &= gV|\rho_1 - \rho_0| \Rightarrow w_2 - w_1 = \rho V|\rho_1 - \rho_0|
\end{align*}
\]
Fizik Olimpiyatı 2015, 1. Aşama, Soru 15

Kapasitor devresi:

Üç tane özdeş kapasitörden biri 2q diğeri q yükü ile yüklenmiş, üçüncüsü ise yüklenmemiştir. Bu kapasitorler şekide görüldüğü gibi birbirlerine ve değeri belirli olmayan bir dirence bağlandıktan sonra şekildeki anahtar kapatılıyor. Anahtar kapatılıp uzun bir süre devrenin dengeye gelmesi bekleniliyor. Anahtar kapatıldıktan sistem dengeye gelene kadar geçen sürede direnç üzerinde açığa çıkan ısı ne kadardır?

Şıklar:
A) Direnç verilmediği için bulunamaz. | B) \(\frac{q^2}{6C}\) | C) \(\frac{5q^2}{2C}\) | D) \(\frac{q^2}{4C}\) | E) 0

Cevap: D \(\frac{q^2}{6C}\)

Çözüm:
Sistem dengeye geldiğinde potansiyel farklar eşit olması gerekir. 


\[ \frac{2q - Q}{C} = \frac{q + Q}{C} + \frac{Q}{C} \]


\[ Q = \frac{q}{3} \]


Burada Q aktarılan yük miktarıdır. Direnç üzerinde ortaya çıkan ısı enerjisi, devrenin ilk durumundaki 


toplam enerjisi ile son durumdaki enerjisinin farkı olacaktır. 


\[ E = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} \]


\[ E_{ilk} - E_{son} = \frac{q^2}{2C} (4 + 1) - \frac{q^2}{2C} \left( \frac{25}{9} + \frac{16}{9} + \frac{1}{9} \right) = \frac{q^2}{6C} \]
Fizik Olimpiyatı 2015, 1. Aşama, Soru 16

Gerçek görüntünün, basit bir teorinin tahmininden olan farkına **aberasyon** veya kusur adı verilir. Küresel bir aynanın aberasyonu, aynanın merkez eksenine yakın gelen ışınların odak uzunluğu f, ile aynanın kenarlarına gelen ışınların odak uzunluğu f, arasındaki fark olarak tanımlanır. 


Küresel aynanın taban yarıçapı H ve eğrilik yarıçapı R ise, aşağıdakilerden hangisi f-f aberasyonu yaklaşık olarak verir?

Şıklar:
A) H²/(2R) | B) H²/(4R) | C) H³/R² | D) H³/(2R²) | E) 2H²/R

Cevap: A H²/(4R)

Çözüm:
Yansıma kurallarından dolayı \(\alpha = \beta\) olmalıdır. AB || OC olduğundan \(\alpha = \gamma\) olur. 


F'BC üçgeni ikizkenar üçgen olduğundan ve aynanın yarıçapı R olduğu için, 


\[DC = \frac{R}{2}\]


\[\cos \gamma = \frac{R}{2F'C} \quad \text{ve} \quad F'C = \frac{R}{2 \cos \alpha}\]


\[= \frac{R}{2\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}\]


\[\sin \alpha = \frac{d}{R} \quad \text{ve} \quad f' = R - F'C \quad \text{olduğundan}\]


\[f' = R - \frac{R}{2\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}} = R - \frac{R}{2\sqrt{1 - \left(\frac{d}{R}\right)^2}}\]


\[f' - f = R - \frac{R}{2\sqrt{1 - \left(\frac{d}{R} \right)^2}} - \frac{R}{2}\]




\[ = \frac{R}{2} \left[ 1 - \left( 1 - \left( \frac{d}{R} \right)^2 \right)^{-1/2} \right] \]


\(d = H\) alıp \(H / R \ll 1\) limitinde yukarıdaki denklemde \((1 + x)^n \cong 1 + nx\) yaklaşımı uygulanırsa, 


\[ f' - f = \frac{1}{4} \frac{H^2}{R} \]
Fizik Olimpiyatı 2015, 1. Aşama, Soru 17

yamuk tekerlek:

Kaza geçiren bir bisikletin tekerleği dairesel olmaktan çıkmış küçük yarıçapı a büyük yarıçapı b olan bir elips halini almıştır. Bu haliyle tekerleğin merkezi etrafındaki eylemsizlik momenti \(I_0\) toplam kütlesi ise M dir. Tekerlek büyük yarıçapı yere değecek şekilde serbest bırakılıyor ve kaymadan yuvarlanıyor. Tam küçük yarıçapı yere değdiği anda kütle merkezinin hızı nedir? Yerçekimi ivmesi g olarak verilmiştir.

Şıklar:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{A)} & \textbf{B)} & \textbf{C)} & \textbf{D)} & \textbf{E)} \\ \hline
\sqrt{\frac{2Mg(b^2 - a^2)}{I_0 + M(b^2 + a^2)}} & \sqrt{\frac{2Mg(b - a)a^2}{I_0}} & \sqrt{2g(b - a)} & \sqrt{\frac{2Mg(b - a)a^2}{I_0 + Ma^2}} & \sqrt{\frac{2Mg(b^2 - a^2)}{I_0 + Ma^2}} \\ \hline
\end{tabular}

Cevap: C \sqrt{\frac{2Mg(b - a)a^2}{I_0 + Ma^2}}

Çözüm:
Cismin hareketi boyunca merkezinin yere mesafesi değişmektedir. Bu nedenle düzgün bir dönme hareketi yapmamaktadır ancak yine de kaymadan yuvarlanma hareketi yaptığından enerji korunmaktadır.

E_{ilk} = E_{son}
Mgb = Mga + \frac{1}{2}I_a\omega^2 \quad 

Burada I_a cismin kısa eksenine göre eylemsizlik momentidir. I_a'yı bulmak için paralel eksenler teoremini kullanırsak,

I_a = I_0 + Ma^2

sonucunu elde ederiz.

v = \omega a
\omega = \left(\frac{2Mg(b - a)}{I_0 + Ma^2}\right)^{1/2}
V = \omega a = \left(\frac{2Mg(b - a)a^2}{I_0 + Ma^2}\right)^{1/2}
Fizik Olimpiyatı 2015, 1. Aşama, Soru 18

Nükleer bozunma 

A elementi T yarılanma ömrü ile B elementine dönüşmektedir. B elementi ise 2T yarılanma ömrü ile radyoaktif olmayan C elementine dönüşmektedir. Tamamen A atomlarından oluşmuş olarak başlayan malzemede ne kadar süre sonra B atomu sayısı maksimum olur?

Şıklar:
A) \(T \ln(2)\) | B) \(4T\) | C) \(\sqrt{5}T\) | D) \(2T\) | E) \(e^2T\)

Cevap: D \(2T\)

Çözüm:
A atomlarının başlangıçtaki sayısı \(N_0\) olsun. 


\[ \frac{dN_A}{dt} = -\frac{1}{\lambda} N_A \Rightarrow N_A = N_0 e^{-t/\lambda} \]


Yarılanma Ömrü T ile \(\lambda\) arasındaki ilişki 


\[ \frac{N_0}{2} = N_0 e^{-T/\lambda} \Rightarrow T = \lambda \ln 2 \]


B atomları için 


\[ \frac{dN_B}{dt} = \frac{1}{\lambda} N_A - \frac{1}{2\lambda} N_B = \frac{N_0}{\lambda} e^{-t/\lambda} - \frac{1}{2\lambda} N_B \]


\[ N_B = ae^{-t/\lambda} + be^{-t/2\lambda} \]


\[ dN_B(0)/dt = 0 \Rightarrow a + b = 0 \]


\[ N_B(t) = a(e^{-t/\lambda} - e^{-t/2\lambda}) \]


\[ \frac{1}{2} e^{-t/2\lambda} = e^{-t/\lambda} \Rightarrow e^{t/2\lambda} = 2 \]


\[ t = 2\lambda \ln 2 = 2T \]
Fizik Olimpiyatı 2015, 1. Aşama, Soru 19

Eğik Düzlem 


Sürtünmesiz bir eğik düzlem x eksenini \(2\sqrt{2}\) m'de y eksenini 2 m'de z eksenini ise \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)m'de kesmektedir. Yerçekimi ivmesi -z yönünde 10 m/s² dir. Tepe noktasından (x=0m,y=0m,z=\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)m) bırakılan bir kütle kaç saniye sonra yere (z=0 m seviyesine) ulaşır?

Şıklar:
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\textbf{A} & \sqrt{5} \text{ sn} \\ \hline
\textbf{B} & \frac{\sqrt{3}}{15} \text{ sn} \\ \hline
\textbf{C} & \sqrt{15} \text{ sn} \\ \hline
\textbf{D} & \frac{6}{5} \text{ sn} \\ \hline
\textbf{E} & \frac{3\sqrt{3}}{5} \text{ sn} \\ \hline
\end{tabular}

Cevap: E \frac{3\sqrt{3}}{5} \text{ sn} \

Çözüm:
\(V_C = 0\) sıfır kabul edelim. Bu durumda \(V_A = 1V\) ve \(V_D = (V_B - 2)\) olur. 


1Ω dirençten \(i_1\) akımı, 2Ω dirençten \(i_2\) akımı, 3Ω dirençten \(i_3\) akımı ve 4Ω dirençten \(i_4\) akımı geçsin. 


\[ 
\begin{align*}
i_1 &= \frac{V_B - 1}{1} \cdot i_2 = \frac{V_B - 2 - 1}{2} \cdot i_3 = \frac{0 - V_B}{3} \cdot i_4 = \frac{0 - (V_B - 2)}{4} \\
&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad i_1 + i_2 = i_3 + i_4 \\
&\Rightarrow V_B - 1 + \frac{V_B}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{V_B}{3} - \frac{V_B}{4} + \frac{1}{2} \\
&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \frac{25}{12} V_B = 3 \Rightarrow V_B = \frac{36}{25} V \\
&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad i_2 = \frac{36}{25} - 1 = \frac{11}{25} A
\end{align*}
\]
Fizik Olimpiyatı 2015, 1. Aşama, Soru 20

Dalgalı tel 

Özdirenci ρ olan bir maddeden L uzunluğunda bir tel imal edilmiştir. Tel üretilirken \(R_0\) yarıçapında bir silindir olması amaçlanmış ama imalat hatası sonucu telin yarıçapında dalgalanmalar oluşmuştur. Telin uzunluğu boyunca yarıçapı: 


\[
R(x) = R_0 + r \sin^2 \left( \frac{2\pi x}{a} \right)
\]


olarak değişmektedir. İmalat hatalarının küçük olduğu (\(r \ll R_0\) ve \(a \ll L\)) durumda bu telin direnci aşağıdakilerden hangi yaklaşık ifade ile daha doğru ifade edilir?

Şıklar:
A) \(\rho \frac{L}{\pi R_0^2}\) | B) \(\rho \frac{L}{\pi R_0^2} \left( 1 - \frac{r a}{L R_0} \right)\) | C) \(\rho \frac{L}{\pi R_0^2} \left( 1 + \frac{r^2}{R_0^2} \right)\) | D) \(\rho \frac{L}{\pi R_0^2} \left( 1+\frac{r a}{L R_0} \right)\) | E) \(\rho \frac{L}{\pi R_0^2} \left( 1-\frac{r}{R_0} \right)\)

Cevap: A \(\rho \frac{L}{\pi R_0^2} \left( 1-\frac{r}{R_0} \right)\)

Çözüm:
\(dx'\) lik bir parçanın direnci 


\[
dR = \rho \frac{dx}{\pi R^2}
\]


\[
R = \int_{0}^{\infty} \frac{\rho}{\pi \left( R_0 + r \sin^2 \left( \frac{2\pi x}{R_0} \right) \right)^2} dx \cong \frac{\rho}{\pi R_0^2} \int_{0}^{L} \left( 1 - \frac{2r}{R_0} \sin^2 \frac{2\pi x}{a} \right) dx
\]


\[
\cong \frac{\rho}{\pi R_0} L - \frac{\rho}{\pi R_0^2} 2 \frac{r}{R_0} \int_{0}^{L} \sin^2 \frac{2\pi x}{a} dx \\
= \frac{\rho}{\pi R_0^2} L \left( 1 - \frac{r}{R_0} \right)
\]
Fizik Olimpiyatı 2015, 1. Aşama, Soru 21

Kaldırma Kuvveti ve Ağırlık 

İki tane özdeş kap aynı yüksekliğe kadar \(\rho_0\) yoğunluklu sıvı ile dolduruluyor. İki kaptaki sıvının içine de \(V\) hacimli birer küre tamamen batacak şekilde yerleştiriliyor. Birinci kaptaki kürenin yoğunluğu \(\rho_1\) sıvının yoğunluğundan az olduğundan kürenin yüzeye çıkmasını engellemek için küre bir ip ile kabın tabanına tutturuluyor. İkinci kaptaki kürenin yoğunluğu \(\rho_2\) sıvının yoğunluğundan daha büyük olduğundan kürenin tabana değmesini engellemek için küre bir iple sıvının üstündeki sabit bir noktaya bağlanıyor. İki kap da bu şekilde tartıların üstüne konulup ağırlıkları ölçülüyor. Yerçekimi ivmesi g ise tartıların okuduğu değerlerin arasındaki fark nedir ve hangi tartı daha yüksek değer okur?

Şıklar:
A) \(W_1 = W_2\) | B) \(W_1 > W_2\), ama fark verilenlerle belirlenemez. | C) \(W_1 < W_2\), ama fark verilenlerle belirlenemez. \[ \begin{align*} | D) \quad W_1 < W_2, \\ W_2 - W_1 = gV(\rho_1 - \rho_0) \end{align*} \] \[ \begin{align*} | E) \quad W_1 > W_2, \\ W_1 - W_2 = gV(\rho_2 - \rho_1) \end{align*} \]

Cevap: D \quad W_1 < W_2, \\ W_2 - W_1 = gV(\rho_1 - \rho_0) \end{align*} \] \[ \begin{align*}

Çözüm:
Sıvı aynı yükseklikle olduğuna göre tabana etki eden basınçlar aynıdır. T kuvveti tabanı yukarı çektiğine göre 


\(W_1 < W_2\)


olmalıdır. 


\[
\begin{align*}
w_1 + T &= w_2 \\
T &= gV|\rho_1 - \rho_0| \Rightarrow w_2 - w_1 = \rho V|\rho_1 - \rho_0|
\end{align*}
\]
Fizik Olimpiyatı 2015, 1. Aşama, Soru 22

Galvanometre 

Küçük akımları ölçmek için kullanılan ve direnci 5 Ohm olan galvanometrenin iğnesi 0.1 mA büyüklüğünde bir akım ölçüldüğünde 50 bölümlük göstergesinin sonuna dayanmaktadır. 


### Galvanometreyi 


(1) göstergesinin her bölmesi 0.2 Ampere akıma denk gelecek bir ampermetre, 


(2) göstergesinin her bölmesi 1.0 Volt potansiyel farkına denk gelecek bir voltmetre 


olarak kullanabilmek için galvanometreye bağlanacak R direcinin Ohm cinsinden büyüklüğü nedir ve galvanometreye nasıl bağlanmalıdır?

Şıklar:
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
& (1) Ampermetre & (2) Voltmetre \\ \hline
\textbf{(A)} & \frac{5}{10^5 - 1}, \text{paralel} & 5 \times (10^5 - 1), \text{seri} \\ \hline
\textbf{(B)} & \frac{5}{10^5 - 1}, \text{seri} & 5 \times (10^5 - 1), \text{paralel} \\ \hline
\textbf{(C)} & \frac{5}{10^5 - 1}, \text{seri} & - \\ \hline
\textbf{(D)} & 5 \times (10^5 - 1), \text{paralel} & \frac{5}{10^5 - 1}, \text{seri} \\ \hline
\textbf{(E)} & 5 \times (10^5 - 1), \text{paralel} & - \\ \hline
\end{tabular}

Cevap: A \frac{5}{10^5 - 1}, \text{paralel} & 5 \times (10^5 - 1)

Çözüm:
Galvonometredeki maksimum akım \(I_m = 0.1mA\) ve maksimum voltaj \(v_m = RI_m = 0.5mV\) değerindedir. 


Ampermetreden geçen max akım \(0.2 \times 50 = 10A\) bu akımın sadece \(0.1mA\) kadar galvanometreden geçmelidir: 


\[R_A = \frac{v_m}{10-10^{-4}} = \frac{5.10^{-4}}{(10-10^{-4})} \text{ paralel}\]


Voltmetrede okunan max değer \(1 \times 50 = 50V\) bu değerin \(0.5mV\) kısmı galvanometrede olmalıdır. 


\[R_V = \frac{5(10 - 10^{-4})}{10^{-4}} = 5(10^5 - 1)\Omega \text{ seri}\]
Fizik Olimpiyatı 2015, 1. Aşama, Soru 23

Casus uydu 

Yerden 200 km yüksekliğe bir casus uydu yerleştirilecektir. Bu uydu 1000 nanometre dalga boyundaki ışık ile görüntüleme yapacaktır. Yerde 0.5 m aralıkla yerleştirilmiş iki cismi birbirinden ayırt edebilecek çözünürlüğe sahip fotoğraflar çekebilmesi için uyduya yerleştirilecek kameranın merceğinin çapı en az ne kadar olmalıdır?

Şıklar:
A) 5 cm | B) 50 cm | C) 5 m | D) 50 m | E) Tek kamera ile bu çözünürlük mümkün değildir.

Cevap: B 50 cm

Çözüm:
Rayleigh kriteri, 


\[
\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}
\]


\[
\theta \cong \frac{x}{L} = \frac{5.10^{-1}}{2 \cdot 10^5}
\]


\[
= 2.5 \times 10^{-6} \text{rad}
\]


\[
D \cong 1.22 \frac{10^{-6}}{2.5 \times 10^{-6}} = 0.5m
\]
Fizik Olimpiyatı 2018, 1. Aşama, Soru 1

DNA'yi ayırmak

DNA molekülü iki iplikten oluşmaktadır. Bu ipliklerin her birinin üzerinde nükleik asitler birbirlerinden \(d = 0.33\) nanometre mesafe kadar uzak olacak şekilde dizilmişlerdir. Bir iplikteki nükleik asit diğer iplikteki nükleik asit karşılığını bulduğunda yaklaşık 300 milielektronvolt enerji ile bağlanmaktadır. DNA ipliklerini iki uçtan tutup çekerek açmak için gereken minimum kuvvet yaklaşık kaç Newtondur? (Elektronun yükü \(1.6 \times 10^{-19} C\))

Şıklar:
A) \(0.1 N\) | B) \(10^{-3} N\) | C) \(10^{-6} N\) | D) \(10^{-10} N\) | E) \(10^{-13} N\)

Cevap: D \(10^{-10} N\)

Çözüm:
\[F \sim \frac{\Delta E}{2d} = \frac{30010^{-3} \cdot 1.610^{-19}}{2 \cdot 0.3310^{-9}} = 7 \times 10^{-11}, \quad \theta' = \theta \\ F \sim 10^{-10} N\]