alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 12

## [8-12] Sorular için Açıklama
Sıralı ikililerden oluşmuş kümeler düşünelim. Bunlara bağıntı diyeceğiz. Örnek olarak, R ve S şu şekilde tanımlanmış iki bağıntı olsun:
\[R = \{(A, B), (E, J), (M, G)\}, S = \{(T, H), (\hat{O}, Z)\}.\]
Bağıntıları oluşturan elemanlar büyük-harf Türkçe harflerdir.
İki bağıntı arasında Ø diye bir işlem tanımlayalım. Bu işlem birinci bağıntının bütün ikilileriyle ikinci bağıntının bütün ikililerini karşılaştırmakta, birinci ikilinin ilk elemanı bir sesli harf ve ikinci ikilinin ilk elemanı bir sessiz harf ise, ilk elemanı birinci ikilinin birinci elemanı ve ikinci elemanı ikinci ikilinin ikinci elemanından hemen sonra alfabede gelen harf olan yeni biriki oluşturmaktadır. Son harf olan Z harfinden sonra tekrar A harfi geldiği varsayılmalıdır. Bu şekilde oluşturulan tüm ikililer sonuç bağıntısını meydana getirmektedir. Örneğin, yukarıda verilen R ve S için, R Ø S = {(A,I), (E,I)} olarak bulunur.
Türkçedeki sesli harfler {A, E, I, Ò, Õ, Ü, Ü} kümesindeki harflerdir. Alfabedeki bütün harfler de sırasıyla {A, B, C, Ç, D, E, F, G, Õ, H, I, J, K, L, M, N, O, Ò, P, R, S, Ş, T, U, Ü, V, Y, Z} olarak verilmiştir.

---

∅ işlemi için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Şıklar:
A) ∅ işlemi sonucunda elde edilen bağıntıdaki ikililerin ikinci elemanları her zaman sessiz harf olmak zorundadır. | B) ∅ işlemi tamamen sessiz harflerden oluşan bağıntılar üzerinde uygulanamaz. | C) ∅ işlemi sonucunda elde edilen bağıntıdaki ilkilerin ikinci elemanları her zaman sesli harf olmak zorundadır. | D) ∅ işlemi sonucunda elde edilen bağıntıdaki İkillerin birinci elemanları her zaman sesli harf olmak zorundadır.

Cevap: D ∅ işlemi sonucunda elde edilen bağıntıdaki İkillerin birinci elemanları her zaman sesli harf olmak zorundadır.

Çözüm:
Şikları inceleyelim:
A) ∅ işlemi sonucunda elde edilen bağırtıdaki ikililerin ikinci elemanları, ikinci bağırtıdaki ikililerin ikinci elemanının 1.lerisidir ve kullanılabilirlik şartı ikinci elemanla alakalı değildir. Yani herhangi bir harf olabilir. Yanlış
B) Bağıntılar tamamen sessiz oluşsa bile ∅ işlemi sonucunda boş bağıntı oluşur. İşlem uygulanabilir. Yanlış
C) ∅ işlemi sonucunda elde edilen bağırtıdaki ilkilerin ikinci elemanları, ikinci bağırtıdaki ilkilerin ikinci elemanının 1.lerisidir ve kullanılabilirlik şartı ikinci elemanla alakalı değildir. Yani herhangı bir harf olabilir. Yanlış
D) ∅ işlemi sonucunda elde edilen bağırtıdaki İkillerin birinci elemanları, birinci bağıntının kullanılabilir İkillerinin ilk elemanıdır. Kullanılabilirlik şartı ilk elemanın sesli harf olması olduğundan, her ikilinin ilk elemanı daima sesli harftir. Doğru
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 13

## [13-15] Sorular İçin Açıklama
İki boyutlu düzlemde a ve b noktalarından geçen doğru denklemi parametrik olarak aşağıdaki şekilde de belirtilebilir.
\[p(t) = a + (b - a)t, -\infty < t < \infty\]
Burada noktalar xy koordinat sisteminde (x,y) şeklinde 2 boyutlu vektörler olarak gösterilmektedir ve p (t) = (x,y) doğru üzerindeki bir noktayı göstermektedir. ct 2 boyutlu c vektörünün t skaleri ile çarpılmasını (b = (c_x,c_y) ise olarak hesaplanır) ve + ile — işlemleri de vektör toplama/çıkarma işlemlerini göstermektedir a = (a_x,a_y) ve b = (b_x,b_y) ise a ≠ b = (a_x, b_x, a_y, b_y) ise olarak hesaplanır).

---

a = (1,5) ve b = (-2,3) ise p(0.5) aşağıdaki noktalardan hangisidir?

Şıklar:
A) (1,5,1) | B) (2,5,6) | C) (-0,5,4) | D) (1,5,5,5) | E) Hiçbiri

Cevap: C (-0,5,4)

Çözüm:
Öncelikle (b-a) vektörünü bulalım (b-a) = (-2-1,3-5) = (-3,-2), o zaman t(b-a) = (0.5*-3,0.5*-2) = (-1.5,-1) olur. a yı da ifadeye eklersek a + t(b-a) = (1-1.5,5-1) = (-0.5,4) = p(t)'yi elde ederiz.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 14

## [13-15] Sorular İçin Açıklama
İki boyutlu düzlemde a ve b noktalarından geçen doğru denklemi parametrik olarak aşağıdaki şekilde de belirtilebilir.
\[p(t) = a + (b - a)t, -\infty < t < \infty\]
Burada noktalar xy koordinat sisteminde (x,y) şeklinde 2 boyutlu vektörler olarak gösterilmektedir ve p (t) = (x,y) doğru üzerindeki bir noktayı göstermektedir. ct 2 boyutlu c vektörünün t skaleri ile çarpılmasını (b = (c_x,c_y) ise olarak hesaplanır) ve + ile — işlemleri de vektör toplama/çıkarma işlemlerini göstermektedir a = (a_x,a_y) ve b = (b_x,b_y) ise a ≠ b = (a_x, b_x, a_y, b_y) ise olarak hesaplanır).

---

a = (-1,10) ve b = (3,2) ise p(2) aşağıdaki noktalardan hangisidir?

text</td></tr>

Şıklar:
A) (7,-6) | B) (5,14) | C) (-5,18) | D) (1.5,5.5) | E) Hiçbiri

Cevap: A (7,-6)

Çözüm:
p(t) = a + t(b-a) ifadesindeki değişkenleri yerine koyacak olursak.
p(2) = (-1+2*(3-(-1)),10+2*(2-(10))) = (7,-6) ifadesini elde ederiz.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 15

## [13-15] Sorular İçin Açıklama
İki boyutlu düzlemde a ve b noktalarından geçen doğru denklemi parametrik olarak aşağıdaki şekilde de belirtilebilir.
\[p(t) = a + (b - a)t, -\infty < t < \infty\]
Burada noktalar xy koordinat sisteminde (x,y) şeklinde 2 boyutlu vektörler olarak gösterilmektedir ve p (t) = (x,y) doğru üzerindeki bir noktayı göstermektedir. ct 2 boyutlu c vektörünün t skaleri ile çarpılmasını (b = (c_x,c_y) ise olarak hesaplanır) ve + ile — işlemleri de vektör toplama/çıkarma işlemlerini göstermektedir a = (a_x,a_y) ve b = (b_x,b_y) ise a ≠ b = (a_x, b_x, a_y, b_y) ise olarak hesaplanır).

---

a = (4,2) ve p(0.1) = (3,2) ise b aşağıdaki noktalardan hangisidir?

Şıklar:
A) (3,9,2) | B) (4,1,2) | C) (14,2) | D) (-6,2) | E) Hiçbiri

Cevap: D (-6,2)

Çözüm:
İşlem ağacını gösterelim:
- p(0.1) = (3,2), a = (4,2) → t(b-a) = (3-4,2-2) = (-1,0)
- (b-a) = (-1/0.1,0/0.1) = (-10,0)
- b = (-10+4,0+2) = (-6,2)
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 16

Aşağıda verilen sayılardan elemanları farklı çiftler (iki sayı) seçiliyor. Bu çiftler içinde çarpımı 41'den küçük kaç çift vardır? (Çiftlerde sıra önemli değildir.)
4.5,6,7,8,9

Şıklar:
A) 6 | B) 7 | C) 8 | D) 9 | E) 10

Cevap: C 8

Çözüm:
Her ikiliyi inceleyelim:
- Soldaki sayıyı 4 seçersek sağdaki sayı 5, 6, 7, 8 ve 9 olabilir. (4.9 = 36)
- Soldaki sayıyı 5 seçersek sağdaki sayı 6, 7 ve 8 olabilir. (5.8 = 40)
- Soldaki sayıyı 6 veya daha büyük seçersek sağdaki bir değer alamaz. (6.7 = 42 > 41)
Yani toplamda 8 farklı ikili vardır.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 17

Farklı rakamlardan oluşan, 3 basamaklı, rakamlarının toplamı 21 olan kaç sayı vardır?

Şıklar:
A) 14 | B) 18 | C) 22 | D) 24 | E) 30

Cevap: B 18

Çözüm:
3 basamağı da 9-x formatında yazdığımızı düşünelim. Bulmamız gereken sayılar x, değerleri olur. Sorumuz "farklı rakamlardan oluşan, 3 basamaklı, rakamları toplamı 6 olan kaç farklı sayı vardır" sorusuna dönüşür. Farklı sayı üçlüleri şu 3 değeri alabilir:
- O 15 (9 8 4)
- O 24 (9 7 5)
- 12 3 (8 7 6)
Hepsinin 6 farklı sıralanmasıyla toplamda 18 farklı sayı vardır
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 18

Bir çember üzerine eşit aralıklı 12 adet nokta yerleştirdiğimizi düşünelim. Bunlardan seçtiğimiz herhangi 4 nokta bir dörtgen oluşturur. Bu dörtgenlerden kaç tanesi kare değildir?

Şıklar:
A) 483 | B) 485 | C) 491 | D) 492 | E) 495

Cevap: D 492

Çözüm:
Noktaları 1'den 12'ye numaralandıralım ve bir saat şekli düşünelim. Her nokta farklı olduğundan, 12 noktalı çemberin üzerinde 4 farklı noktayı, C (12, 4) farklı şekilde seçebiliriz. (C(12, 4) = 12*11*10*9 / (4*3*2) = 11*5*9 = 495) Tam kare oluşturan 4 noktanın her birinin arasında tam olarak 2 nokta olması gerekir. Keramizi bu 2 boş noktaya kaydırdığımızı düşünürsek, 3 farklı kare oluşabilir. Yani 495-3 = 492 tanesi kare değildir.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 19

## [19-20] Sorular için Açıklama
DEEPNET dizgisi (string) ve harfleri veriliyor.

---

Dizgideki harfler, E'lerin hiç birinin yan yana gelmemesi koşulu ile kaç farklı şekilde dizilebilir?

Şıklar:
A) 240 | B) 720 | C) 4320 | D) 5040 | E) Hiçbiri

Cevap: A 240

Çözüm:
Öncelikle E'leri yerleştirelim ve aralarına birer boşluk atalım. Dizgi: E_E_E şeklinde olacak. Toplamda 5 eleman yerleştirmiş olduk(boşluğa eleman gelecek). 7 eleman yerleşmesi gerektiği için 2 tane daha boşluk eklemeliyiz. E'ler dizgiyi 4 parçaya ayırmıştı. Bu 4 parçaya 2 boşluk top-kutu mantığıyla C(2+4-1, 2) = C(5, 2) = 10 farklı şekilde yerleşir. Şimdi geriye kalan birer adet D, P, N ve T harfini bu 4 boşluğa yerleştirmek. Bunu da 4! = 24 farklı şekilde yaparız. Yani hiçbir E yan yana gelmeden 24*10 = 240 farklı dizgi oluşabilir.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 20

## [19-20] Sorular için Açıklama
DEEPNET dizgisi (string) ve harfleri veriliyor.

---

Harflerden oluşturulabilecek farklı kelimelerin kaçında NET yer alır?

Şıklar:
A) 60 | B) 80 | C) 120 | D) 240 | E) Hiçbiri

Cevap: A 60

Çözüm:
NET kısmını bir kalıp haline getirirsek; 2 adet E ve birer adet D, P ve NET olmak üzere toplamda 5 adet elemanımız olur. Bunları 5! / 2! = 120 / 2 = 60 Farklı şekilde sıralayabiliriz. (E'lerin yerlerinin değişmesini / 2! diyerek hesaba katıyoruz)
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 21

1 ile 1000 (1000 hariç) arasındaki sayılardan kaç tanesi 2,3 veya 6'ya tam bölünür?

Şıklar:
A) 166 | B) 222 | C) 333 | D) 666 | E) 833

Cevap: D 666

Çözüm:
Bir sayının 2, 3 veya 6'ya tam bölünebilmesi demek o sayının 6 modundaki değerinin 0, 2, 3 veya 4 olması demektir. Yani [0, 996) aralığındaki 166 tane 6'lık grubun ilki her birinde 4 farklı eleman 2, 3 veya 6'ya tam bölünür. Bu 166*4 = 664 elemanı kümemize dahil edelim. [1, 1000) aralığında kümemize dahil etmediğimiz ve tam bölünebilen 996, 998 ve 999 sayısı; bu aralıkta olmayan fakat kümeye dahil ettiğimiz O sayısı vardır. Bunları da ekleyip çıkartırsak sonuç kümemizin eleman sayısı 664+3-1 = 666 olur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 22

1'den 11'e kadar olan tamsayıları içeren, 11 elemanlı bir kümennin 4 elemanlı ve sadece çift sayıları içeren kaç altkümesi vardır?

Şıklar:
A) 5 | B) 31 | C) 32 | D) 120 | E) 330

Cevap: A 5

Çözüm:
1 ile 11 arasında 5 tane çift sayı vardır. Bunların 4'ünü içeren C(5, 4) = 5 farklı alt kümle vardır.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 23

(a+b+c)² açıldığında a²b²c³ teriminin katsayısı kaç olur?

Şıklar:
A) 140 | B) 200 | C) 210 | D) 220 | E) 240

Cevap: C 210

Çözüm:
Binom açılımının kurallarına göre a²b²c³ teriminin katsayısı 7!/(2!*2!*3!) olur. Bunu bilmiyorsak şöyle düşünelim: (BİNOM İSPATI) 7 farklı (a+b+c) çarpanın her birinden a, b veya c değişkenleri gelecek öyle ki a'dan 2, b'den 2 ve c'den tane olsun. Her çarpanın numaralarını 7! şekilde sıralayalım ilk 2 tanesi a, sonraki 2 tanesi b ve geri kalan 3 tane c olsun. a'nın kendi içinde 2! farklı sıralanmasını fazla saydığımızdan bölmemiz lazım(1. ve 3. çarpandan a gelmesiyle 3. ve 1. den gelmesi aynı şey). Aynısını b ve c için uygularsak 7!/(2!*2!*3!) = 7*6*5 = 210 buluruz.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 24

Anaokulunda 5 öğrencisi olan öğretmen, öğrencilerine elindeki farklı renkteki 5 kalemi dağıtmak istiyor. Kalemler, mavi, kırmızı, yeşil, mor ve turuncu renkteler. 5 öğrenciden 2'si kız (Fatma ve Ayşe), 3'ü erkek (Emre, Tolga ve Murat) öğrenciler. Öğretmen, her öğrencisine sevdiği renkteki bir kalemi vermek istiyor.
- Mavi kalemi bir erkek öğrenciye veriyor.
- Mor kalemi bir kız öğrenciye veriyor.
- Emre, mavi, yeşil ve turuncu renkleri sevmiyor.
- Ayşe, kırmızı ve mor renkleri sevmiyor.
- Murat turuncu kalemi alıyor.
Buna göre yeşil kalemi hangi öğrenci almıştır?

Şıklar:
A) Fatma | B) Ayşe | C) Emre | D) Tolga | E) Murat

Cevap: B Ayşe

Çözüm:
Verilen kurallara göre ihtimalleri kısıtlayalım:
- Mavi kalem Emre, Tolga ya da Murat'a verilebilir.
- Mor kalem Fatma ya da Ayşe'ye verilebilir.
- Emre'ye verilebilecek mor ve kırmızı kalem kaldı. Mor kızlara gittiği için emre kırmızı kalemi aldı. Mavi kalem Tolga ya da Murat'a verilebilir.
- Ayşe mor rengi sevmiyorsa, mor kalem sadece Fatma'ya verilebilir.
- Murat turuncu kalemi alırsa, Tolga'ya mavi, Ayşe'ye de en son yeşil kalem kalır.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 25

Hayal ürünü bir programlama dilimiz ve bilgisayarımız olsun. Bu dil ve bilgisayar bir programı çalıştır- dığımızda ve çalışma sırasında bir hata oluştuğunda, programdaki geri kalan hiçbir ifadeyi (statement) çalıştırmadan ve ekranda herhangi bir çıktı vermeden programı kapatıyor. Dilde, ekrana çıktı yazmak için kullanılabilecek bir print ifadesi bulunuyor. N satırlık ve hiç print ifadesi içermeyen böyle bir programdaki hatanın kaçıncı satırda olduğunu en fazla kaç tane print ifadesi ile kesin olarak bulabiliriz?

Şıklar:
A) \(\lceil \log_2 N \rceil\) | B) \(\lfloor N/2 \rfloor\) | C) \(\lfloor N/3 \rfloor\) | D) N-1 | E) N

Cevap: A \(\lceil \log_2 N \rceil\)

Çözüm:
İlk olarak ortanca satıra print atalım. Hata; çıktı verirse son kısımdadır, çıktı vermezse ilk kısımdadır. Yani 1 print yazdırarak hatanın hangi yarım kısımda olduğunu bulabiliriz. Her adımda bu şekilde 1 print ile hatalı olabilecek satırların sayısını yarıya indirirsek, en fazla \(\lceil \log_2 N \rceil\) adımda hatanın bulunduğu satırı buluruz.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 26

## [26-27] Sorular İçin Açıklama
Gökçenin bugün yapması gereken A,B,C,D,E ve F ile göstereceğimiz 6 tane farklı işi var. Bu işlerin hepsini yapması ve birer kere yapması gerekiyor. Aynı anda iki işi yapamıyor. İşlerin bazıları diğerlerine bağlı olduğu için aşağıdaki sıra koşullarına uyması gerekiyor.
- C'yi F'den sonra yapması gerekiyor.
- B'yi en sona bırakamıyor.
- D'yi ya B'den hemen önce ya da hemen sonra yapması gerekiyor.
- A'yi E'den hemen önce yapması gerekiyor.
## AÇIKLAMA
6 tane harfi 6 boşluğa yerleştireceğiz. En soldaki boşluk ilk yapılacak işi temsil etsin.
B ile D bir kalıp oluştur. Bu kalıbı BD veya DB şeklinde oluşturabiliriz.
AE de aynı şekilde kalıp oluşturur. Bu kalıp sadece AE olarak ifade edilebilir.
BD ve AE yi 6 boşluğa yerleştirdiğimizde kalan 2 boşluktan soldakine C gelir, sağdakine F gelir.
Buna göre soruları inceleyelim.

---

A'yi 4. sırada yaptığı biliniyorsa, B'yi kaç farklı zamanda (sırada) yapabilir?

Şıklar:
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 | E) 5

Cevap: C 3

Çözüm:
Kurallara göre kısıtları güncelleyelim:
- A 4.sıra daysa E 5.sıradadır.
- 6.ye ralıp gelemeyeceğinden C gelmelidir.
- BD kalıbı 2-3 veya 1-2 yerine gelebilir. Bu şekilde B 1 veya 2. sırada yazılabilir.
- BD'yi DB'ye dönüşerek B'yi 3. sırada da yazabiliriz.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 27

## [26-27] Sorular İçin Açıklama
Gökçenin bugün yapması gereken A,B,C,D,E ve F ile göstereceğimiz 6 tane farklı işi var. Bu işlerin hepsini yapması ve birer kere yapması gerekiyor. Aynı anda iki işi yapamıyor. İşlerin bazıları diğerlerine bağlı olduğu için aşağıdaki sıra koşullarına uyması gerekiyor.
- C'yi F'den sonra yapması gerekiyor.
- B'yi en sona bırakamıyor.
- D'yi ya B'den hemen önce ya da hemen sonra yapması gerekiyor.
- A'yi E'den hemen önce yapması gerekiyor.
## AÇIKLAMA
6 tane harfi 6 boşluğa yerleştireceğiz. En soldaki boşluk ilk yapılacak işi temsil etsin.
B ile D bir kalıp oluştur. Bu kalıbı BD veya DB şeklinde oluşturabiliriz.
AE de aynı şekilde kalıp oluşturur. Bu kalıp sadece AE olarak ifade edilebilir.
BD ve AE yi 6 boşluğa yerleştirdiğimizde kalan 2 boşluktan soldakine C gelir, sağdakine F gelir.
Buna göre soruları inceleyelim.

---

B'yi 5. sırada yaptığı ve E'yi de D'den hemen önce yaptığı biliniyorsa C'yi kaçıncı sırada yapmıştır?

Şıklar:
A) 2 | B) 3 | C) 4 | D) 6 | E) Bu koşullarla kesin olarak bulunamaz.

Cevap: D 6

Çözüm:
Eğer E, D'den hemen önce gelirse AEDB kalıbı oluşur. B 5.sıradaysa bu kalıp 2-5 aralığını kapsar. Yani F 1.sıraya, C ise 6.sıraya gelir.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 28

(2 + x³)⁹ ifadesi açıldığında x⁶ teriminin katsayısı kaçtır?

Şıklar:
A) 8 | B) 280 | C) 560 | D) 1344 | E) 2688

Cevap: E 2688

Çözüm:
x⁶'li terim elde etmek için 9 üssü, 2 elemana 7 ve 2 olarak dağıtılmalı. Binom açılımına göre belirtilen dağıtıma sahip terim C(9, 2)*2⁷x⁶ = 36 * 128 x⁶ = 2688 x⁶ olur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 29

## [29-30] Sorular İçin Açıklama
Ali gittiği 6 dönemlik bir okulda alacağı dersleri planlamaktadır. Toplam 6 ders alması gerekmekte, her dönem sadece bir ders alabilmekte ve bunları da 3 Fizik (A,B,C), 3 Matematik (D,E,F) ve 3 Bilgisayar Bilimleri (G,H,I) alan dersleri arasından seçmesi gerekmektedir. Her alandan 2 ders seçmesi ve seçilen derslerin de aşağıdaki şartları sağlaması gerekmektedir:
- B veya C'den sadece birini alabilir.
- D veya B'den sadece birini alabilir.
- E'yi almışsa F'yi de almak zorundadır.
- H ve D'nin ikisini birden alacaksa, H'yi D'den önce almak zorundadır.
- G ve C'nin ikisini birden alacaksa, G'yi C'den hemen önceki dönem almak zorundadır.
- D veya F'yi ilk dönem almak zorundadır.
- H veya I'yi 5. dönem almak zorundadır.
## AÇIKLAMA
Olabilecek birçok durumun olduğu bu tarz sorularda durumları en fazla kısıtlayan şart üzerinden düşünmek fayda sağlar. Bu şart ise her alandan 2 tane, toplamda 3 farklı şekilde ders seçebilmesidir.
- B ve C'yi birlikte alamaz. Yani Fizik dersinden A,C veya A,B derslerini almalıdır.
- E'yi almışsa F'yi alması gerekir. Yani Matematik dersinden E, D ikilisini alamaz. Kalan E, F veya D, F ikilisini alabilir.
- H, D'den önce gelir. D de ilk sırada olduğundan H ve D'yi birlikte alamaz.

---

İlk dönem D dersini alacaksa, Ali için aşağıdakilerden hangisi doğru olabilir?

Şıklar:
A) H'yi 3. dönem alacaktır. | B) E'yi 4. dönem alacaktır. | C) B'yi 6. dönem alacaktır. | D) C'yi 2. dönem alacaktır. | E) G'yi 3. dönem alacaktır.

Cevap: E G'yi 3. dönem alacaktır.

Çözüm:
Eğer D alınacaksa; B ve H'ı alamaz. Yani Fizikten sadece A ve C, Matematikten sadece D ve F (D,E olamaz), Bilgisayardan sadece G ve I'yi alabilir. Bu şekilde Ali'nin hangi dersleri seçeceği belli oldu. A, B ve C şıkları zaten alınamayacak dersler olduğundan elendi. D veya F 1.dönem, I ise 5.dönem alınacaktır(6. ve 7. kurallar). G ve C birlikte alındığından GC kalıbı oluşur(5.kural) ve bu kalıp [2,4] arasında olmalıdır(1 ve 5 dolu). Yani G, 2. veya 3.; C, 3. veya 4. dönem alınabilir.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 30

## [29-30] Sorular İçin Açıklama
Ali gittiği 6 dönemlik bir okulda alacağı dersleri planlamaktadır. Toplam 6 ders alması gerekmekte, her dönem sadece bir ders alabilmekte ve bunları da 3 Fizik (A,B,C), 3 Matematik (D,E,F) ve 3 Bilgisayar Bilimleri (G,H,I) alan dersleri arasından seçmesi gerekmektedir. Her alandan 2 ders seçmesi ve seçilen derslerin de aşağıdaki şartları sağlaması gerekmektedir:
- B veya C'den sadece birini alabilir.
- D veya B'den sadece birini alabilir.
- E'yi almışsa F'yi de almak zorundadır.
- H ve D'nin ikisini birden alacaksa, H'yi D'den önce almak zorundadır.
- G ve C'nin ikisini birden alacaksa, G'yi C'den hemen önceki dönem almak zorundadır.
- D veya F'yi ilk dönem almak zorundadır.
- H veya I'yi 5. dönem almak zorundadır.
## AÇIKLAMA
Olabilecek birçok durumun olduğu bu tarz sorularda durumları en fazla kısıtlayan şart üzerinden düşünmek fayda sağlar. Bu şart ise her alandan 2 tane, toplamda 3 farklı şekilde ders seçebilmesidir.
- B ve C'yi birlikte alamaz. Yani Fizik dersinden A,C veya A,B derslerini almalıdır.
- E'yi almışsa F'yi alması gerekir. Yani Matematik dersinden E, D ikilisini alamaz. Kalan E, F veya D, F ikilisini alabilir.
- H, D'den önce gelir. D de ilk sırada olduğundan H ve D'yi birlikte alamaz.

---

Ali E ve I derslerini almayacaksa, kaç farklı ders programı yapabilir?

Şıklar:
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 | E) 5

Cevap: B 2

Çözüm:
E dersi alınamayacaksa Matematikten (D, F), I dersi alınamayacaksa Bilgisayardan (G, H) dersleri alınır. D alındığı için B alınamayacağından Fizikten (A, C) dersleri alınır. D veya F 1.dönem, H 5.dönem alınacaktır(6. ve 7. kuralları). D, H'dan önce gelemeyeceği için(4.kural) F 1.dönem, D ise 6.dönem alınır. G ve C birlikte GC kalıbını oluşturur(5.kural) ve bu kalıp [2,4] arasında 2 yere gelebilir. Kalan 1 boşluğa da A gelir. Yani 2 farklı şekilde ders programı hazırlanabilir.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 31

Bir kutunun içinde 3 tanesi siyah, 2 tanesi beyaz olmak üzere toplam 5 top bulunmaktadır. Begüm, bu kutudan rasgele bir şekilde ardışık olarak 3 tane top seçmektedir. Her seçimde, eğer top siyahsa Begüm kutudan siyah topu çıkarmakta, beyazsa topu tekrar kutuya atmaktadır. Begüm'ün seçtiği 3. topun beyaz olma ihtimali aşağıdaki şıklarda verilen değerlerden hangisine en yakındır?

Şıklar:
A) 1/100 | B) 10/100 | C) 30/100 | D) 50/100 | E) 70/100

Cevap: D 50/100

Çözüm:
İlk iki topun nasıl seçildiğine göre sonra seçilecek topların beyaz gelme olasılığı değişeceğinden ilk topların her seçilme durumuna 3.topun beyaz gelme olasılığını belirlemeliyiz:
- 1. ve 2. top siyah gelirse: (3/5)*(2/4)*(2/3) = 1/5 (%20)
- 1.top siyah, 2.top beyaz gelirse: (3/5)*(2/4)*(2/4) = 3/20 (%15)
- 1.top beyaz, 2.top siyah gelirse: (2/5)*(3/5)*(2/4) = 3/25 (%12)
- 1. ve 2. top beyaz gelirse: (2/5)*(2/5)*(2/5) = 8/125 (%6.4)
Yani toplamda 3.topun beyaz gelme olasılığı %43.4 ve buna en yakın cevap %50'dir.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 32

Bir çoktan seçmeli sınavda her soruda 3 seçenek vardır. Bu sınava katılan öğrencilerden biri olan Yağmur'un, bir soruyu cevaplarken cevabı bilme ihtimali %40'dır. Yağmur cevabı bilmediğinde, şıklardan rasgele bir tanesini seçmektedir. Yağmur bir sorunun doğru şıkkını seçtiğinde, o sorunun cevabını bilme ihtimali aşağıdakilerden hangisidir?

Şıklar:
A) 1/3 | B) 2/5 | C) 2/3 | D) 3/5 | E) Hiçbiri

Cevap: C 2/3

Çözüm:
Yağmur soruyu %40 ihtimalle cevabı bilir, %60 ihtimalle bilemez. %60 ihtimalle 3 şıktan rastgele rastgele birini seçer ve %20 ihtimalle bilmeden doğru cevaplar. Toplamda soruyu doğru cevaplama olasılığı %60. Doğru bilme olasılığı ise %40 olduğundan, doğru bilmesinin doğru cevaplamasına oranı 40/60 = 2/3'tür.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 33

31 gün çeken bir ayda 5 tane pazartesi olma ihtimali aşağıdakilerden hangisidir?

Şıklar:
A) 2/7 | B) 1/3 | C) 3/7 | D) 4/7 | E) 2/3

Cevap: C 3/7

Çözüm:
Bu ay pazartesiyle başlarsa 29.günle birlikte toplamda 5 tane pazartesi olur. Yani bu ay cumartesi veya Pazar günüyle de başlasa 30. veya 31.gün pazartesi olur ve şartı sağlar. O zaman 3/7 ihtimalle 5 tane pazartesi olabilir
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 34

Ahmet'in elinde 1 tane, Ayşe'nin elinde de 2 tane hilesiz zar vardır. Ahmet'in attığı zarın gösterdiği sayının, Ayşe'nin attığı 2 tane zarın toplamından büyük olma ihtimali aşağıdakilerden hangisidir?

Şıklar:
A) 1/256 | B) 1/36 | C) 5/108 | D) 5/54 | E) Hiçbiri

Cevap: D 5/54

Çözüm:
Toplamda gelebilecek 6*6*6=216 farklı durum vardır. Ahmet'in zarı x gelirse toplamı x-1 olan, x-2 farklı zar ikilisi gelebilir. Yani gelen x sayısı için toplamı 2 ile x-1 arasında olan \(\sum_{i=1}^{x-2} i\) farklı ikili gelebilir. Daha somutlaştıracak olursak 2, 3, 4, 5 ve 6 toplamını elde edecek 1, 2, 3, 4 ve 5 farklı zar ikilisi vardır. Ahmet'in zarında gözüken 3, 4, 5 ve 6 değerleri için 1, 3, 6 ve 10 farklı zar ikilisi vardır. Ahmet'in zar toplamının büyük olduğu 1+3+6+10=20 farklı durum vardır. Yani olasılık 20/216 = 5/54'tür
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 35

Hilesiz 3 tane zar aynı anda atılıyor. Üç zarın farklı sayı gösterme ihtimali aşağıdakilerden hangisidir?

Şıklar:
A) 1/256 | B) 5/72 | C) 5/54 | D) 1/2 | E) 5/9

Cevap: E 5/9

Çözüm:
Toplamda 6*6*6 = 216 farklı durum var. Bunlardan 6*5*4=120 tanesinde 3 sayı da farklıdır. Yani ihtimal 120/216 = 5/9'dur.