alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 4

Bir dersi alan öğrencilerin %60'i A şehrinden, %30'u B şehrinden ve %10'uda C şehrinden gelmekte- dir. Geçmiş istatistiklere göre A'dan gelen öğrencilerin %9'u, B'den gelen öğrencilerin %20'si ve C'den gelen öğrencilerin %6'si bu dersi sevmemektedir. Eğer sınıftan rasgele seçilen bir öğrenci dersi sevmiyor ise, bu öğrencinin B şehrinden gelme ihtimali kaçtır?

Şıklar:
A) 1/10 | B) 1/4 | C) 3/10 | D) 2/5 | E) 1/2

Cevap: E 1/2

Çözüm:
Dersi toplamda 1000k kişi alıyor olsun. O zaman A şehrinden 600k, B şehrinden 300k, C şehrinden ise 100k kişi bu dersi almaktadır. A'dakilerin 54k tanesi, B'dekilerin 60k tanesi, C'dekilerin ise 6k tanesi dersi sevmemektedir. Dersi sevmeyen toplamda 120k kişi olmasına karşın bunların 60k'si B şehrindendir. Dolayısıyla cevap \(\frac{1}{2}\) olur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 5

Bir kutudaki ürünlerin %10'u bozuk, %12'si hatalı renkte, %3'ü ise hem hatalı renkte hem de bozuktur. Kutudan rasgele alınan bir ürünün hatasız renkte ve bozuk olmama ihtimali kaçtır?

Şıklar:
A) 0.19 | B) 0.25 | C) 0.75 | D) 0.81 | E) 0.88

Cevap: E 0.88

Çözüm:
Kutudaki sorunsuz ürünlerin yüzdesi (%10 - (%12 + %10 - %3)) = %88 olur. Dolayısıyla istenen oran 0.88'dir.
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 6

Bir çekmecede farklı renkte 8 çift (16 tane) çorap vardır. Her çift kendi içinde aynı renktedir. Bu çekmece- den rasgele 4 tane çorap seçildiğinde bu çorapların en az bir aynı çift içermesi ihtimali kaçtır?

Şıklar:
A) 5/13 | B) 2/5 | C) 1/2 | D) 3/5 | E) 8/13

Cevap: A 5/13

Çözüm:
Eğer 1'den hepsinin ayni çiftten olma ihtimalini çıkarırsak istenen cevaba ulaşabiliriz. Hepsinin farkı çift olarak seçildiği durum sayısı C(8,4) x 2⁴ olarak bulunabilir.
Toplam durum sayısı ise C(16, 4)'tür. Burdan hepsinin ayni çiftten olma olasılığı olarak \(\frac{8}{13}\) elde edilir. Bunu da 1'den çıkarırsak cevap \(\frac{5}{13}\) bulunur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 7

Bir testte 10 tane soru ve her soruda 3 tane seçenek vardır. Seçeneklerden sadece 1 tanesi doğrudur. Bir öğrencinin cevapları rasgele seçerek tam olarak 2 tane soruyu doğru yapma ihtimali kaçtır?

Şıklar:
A) 1/9 | B) 2/6 | C) (1/3)⁸ | D) 10.2/3⁸ | E) 2⁸/3¹⁰

Cevap: D 10.2/3⁸

Çözüm:
Öğrencinin tam olarak iki soruyu doğru yaptığı durum sayısı C(10,2) x 2⁸ olur (kombinasyon ile doğru yapacağı 2 soruyu seçer, kalan 8 soru için de 2 yanlış seçenekten herhangi birini seçer). Tüm durumlar ise 3¹⁰'dur. Dolayısıyla cevap \(\frac{90 \times 2⁷}{3¹⁰}\) 'dan \(\frac{10 \times 2⁷}{3⁸}\) olur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 8

Yarın açık havada halı saha maçı yapılacaktır. İstatistiklere göre herhangi bir günde yağmurun yağma ihtimali 1/3'tür. Yağmur gerçekten yağdığında, meteoroloji %90 oranında doğru tahmin yapmaktadır. Yağmadığında ise, meteorolojinin yaptığı tahminler %15 oranında hatalıdır. Meteoroloji maç günü yağmur yağacağını tahmin etmiştir, buna göre maç günü gerçekten yağmur yağma ihtimali kaçtır?

Şıklar:
A) 1/4 | B) 3/10 | C) 1/3 | D) 2/3 | E) 3/4

Cevap: E 3/4

Çözüm:
Herhangi 90kg günü düşünelim. Bu 90kg günün 30k'sinde gerçekten yağmur yağar, meteoroloji 27kg günde yağmur yağacak der ve doğru tahmin etmiş olur. 90kg günün 60kg gününde ise gerçekten yağmur yağmaz ve meteoroloji buna rağmen yanlış tahmin yapıp 9kg günde yağmur yağacak der. Dolayısıyla meteorolojinin yağmur yağacak dediği 36kg günün 27k'sinde gerçekten yağmur yağar. Dolayısıyla cevap \(\frac{3}{4}\) olur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 9

Bir şehirde, 30 yaş ve üzerindeki kişiler her zaman doğruyu, 30 yaşından genç olanlar ise her zaman yalan söylemektedir. Bir çift evlenmek için başvuruda bulunduğunda memur, damat ve geline yaşlarını sorar. Damat, "her ikimiz de 30 yaşın altındayız" der. Buna göre memur, aşağıdakilerden hangisinin doğru olduğunu çıkarır?

Şıklar:
A) Gelin ve Damadın her ikisi de 30 yaşın üzerindedir | B) Gelin ve Damadın her ikisi de 30 yaşın altındadır | C) Damat 30 yaşın üzerinde, Gelin 30 yaşın altındadır | D) Damat 30 yaşın altında, Gelin 30 yaşın üzerindedir | E) Bilinemez

Cevap: D Damat 30 yaşın altında, Gelin 30 yaşın üzerindedir

Çözüm:
Eğer damat doğru söylüyor olsaydı ikisi de 30 yaşının altında olmak durumundaydı. 30 yaşının altındakiler doğru söyleyemediğine göre damat yalan söylüyor olmalıdır. Dolayısıyla damat 30 yaşının altında, damadın ifadesi yalan olduğu için de gelin ise 30 yaşının üstündedir.
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 10

Lale, Ayşe, Ahmet ve Can aynı okulda farklı sınıflardadır. Her birine hangi sınıfta oldukları sorulduğunda şu şekilde ikişer ifade ile cevap verirler:
Lale : "Ahmet birinci sınıfta, Ayşe ikinci sınıftadır."
Ayşe : "Ahmet ikinci sınıfta, Can üçüncü sınıftadır."
Ahmet : “Can dördüncü sınıfta, Lale ikinci sınıftadır.”
Herkes söylediği iki ifadeden tam olarak bir tanesini doğru söylemişse birinci sınıfta olan kimdir?

Şıklar:
A) Lale | B) Ayşe | C) Ahmet | D) Can | E) Bilinemez

Cevap: C Ahmet

Çözüm:
1. Lale'nin ilk ifadesinin doğru olduğunu varsayalım. Bu durumda Ahmet birinci sınıfta, Can üçüncü sınıfta, Lale ikinci sınıfta, Ayşe ise dördüncü sınıfta olmalıdır.
2. Lale'nin ikinci ifadesinin doğru olduğunu varsayalım. Ayşe ve Lale'nin ikisinin de ikinci sınıfta olması gerektiği sonucuna ulaşılır. Herkes farklı sınıfta diye belirtildiğine göre Lale'nin ikinci ifadesi doğru olamaz. Dolayısıyla ilk ifadesi doğru olmalıdır.
Lale'nin ilk ifadesinin doğruluğuna ulaştığımıza göre cevabın Ahmet olduğuna ulaşılır.
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 11

Ali, Ahmet ve Ayşe kendilerine yeni birer araba almıştır. Bu arabalardan biri beyaz, biri siyah ve biri de sarı renktedir. Elimizde şöyle bilgiler vardır:
Eğer Ayşe beyaz arabayı almışsa Ahmet siyah arabayı almıştır.
Eğer Ayşe siyah arabayı almışsa Ahmet sarı arabayı almıştır.
Eğer Ahmet beyaz arabayı almamışsa Ali siyah arabayı almıştır.
Eğer Ali sarı arabayı almışsa Ayşe siyah arabayı almıştır.
Buna göre siyah ve sarı renkteki arabaları, sırasıyla, kimler almıştır?

Şıklar:
A) Ali-Ahmet | B) Ahmet-Ayşe | C) Ayşe-Ali | D) Ali-Ayşe | E) Ahmet-Ali

Cevap: D Ali-Ayşe

Çözüm:
Ayşe beyaz arabayı alsaydı Ahmet siyah arabayı alacaktı, bu durumda 3.şarta göre Ali de siyah arabayı almak durumunda kalacaktı. O zaman Ayşe beyaz arabayı almamıştır. Eğer Ayşe siyah arabayı almış olsaydı Ahmet sarı arabayı, o zaman Ali de siyah arabayı almalıydı, bundan dolayı Ayşe sarı renkli arabayı almak zorundadır. Geriye siyah ve beyaz arabalar kalır. Eğer Ahmet siyah arabayı alsaydı Ali de siyah arabayı almalıydı. O zaman Ahmet beyaz arabayı, Ali ise siyah arabayı almış olmalıdır. O zaman siyah ve sarı arabaları sırasıyla Ali ve Ayşe almıştır.
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 12

n.m > 1 birer pozitif tamsayı olmak üzere n°m¹ ifadesini hesaplamak için en az kaç tane çarpma yapmak yeterlidir?

Şıklar:
A) 6 | B) 8 | C) 10 | D) 12 | E) 14

Cevap: A 6

Çözüm:
• nm=n×m
•  \( n^{2}m^{2}=nm\times nm \)
•  \( n^{4}m^{5}=n^{2}m^{2}\times n^{2}m^{2}\times m \)
•  \( n^{9}m^{11}=n^{4}m^{5}\times n^{4}m^{5}\times nm \)
Dolayısıyla toplamda 6 adet çarpma işlemi yaparak istenen sonuca ulaşılabilir.
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 13

1 ve 100 arası (1 ve 100 dahil) tamsayılardan birbirinden farklı herhangi 51 tanesi seçilmiştir. Buna göre aşağıdaki mantıksal önermelerden hangileri doğrudur?
(I) Seçilenler içinde toplamı 81 olan bir sayı çifti kesinlikle vardır.
(II) Seçilenler içinde toplamı 101 olan bir sayı çifti kesinlikle vardır.
(III) Seçilenler içinde farklı en az iki ardışık sayı çifti kesinlikle vardır.

Şıklar:
A) Yalnız I | B) Yalnız II | C) Yalnız III | D) I ve II | E) II ve III

Cevap: B Yalnız II

Çözüm:
Önermeleri tek tek inceleyelim:
• Eğer sayıları 50'den 100 e kadar olan sayılar seçersek hiçbir ikilinin toplamı 81 olmaz. O zaman 1.önerme yanlış olur.
• Alınan bir sayıya x diyelim. O zaman 101 — x alınmamalıdır, bu sayıya da y diyelim. Eğer x < y olan x, y ikililerine bakarsak bu ikiltlerden 50 tane vardır ve x ve y'ler, 1'den 100'e kadar olan bütün sayıları kapsar. O zaman 50 x, y ikilisinden her biri için x veya y'yi seçersek toplamda 50 sayı seçmiş oluruz. Seçeceğimiz 51.sayı kesinlikle toplamı 101 olacak bir ikili oluşturur. O zaman 2.öncül doğrudur.
• 50 sayı seçip de hiçbir ardışık sayı ikilisi bulundurmayan iki farklı durum vardır. Bunlardan ilki tüm çift sayıların alındığı durumdur. Diğeri de tüm tek sayıların alındığı durumdur. İki durumda da eklenmesi gereken 51.sayıyı eklediğimizde yalnız bir ardışıklık durumu oluşur. O zaman 3.önerme yanlıştır çünkü en az 2 farklı ardışık çift oluşacak deniyor.
Dolayısıyla cevap yalnız II olur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 14

Her bir elemanı 1 veya daha büyük tamsayılardan oluşan 100 elemanlı dizinin tüm elemanlarının toplamı 182 dir. Bu özelliklere sahip tüm diziler için aşağıdaki mantıksal önermelerden hangileri doğrudur?
(I) Herhangi iki elemanın farkı 82 den büyük olamaz.
(II) Elemanları toplamı 15 olan bir alt diziye sahiptirler.
(III) Bu özelliklere sahip farklı dizi sayısı 10¹⁰ dan daha fazladır.

Şıklar:
A) Yalnız I | B) Yalnız III | C) Yalnız I ve II | D) Yalnız I ve III | E) Hepsi

Cevap: E Hepsi

Çözüm:
Önermeleri tek tek inceleyelim:
- Farkın en azından 83 olması için dizide minimum 1 ve 84 bulunmalıdır. Geriye 98 eleman kalır ve bunların toplamları 97 olmalıdır. Her sayı en az 1 olduğundan bu imkansız bir durumdur. İlk öncül doğrudur.
- Dizideki elemanlardan en az 18 tane 1 elemanı olmalıdır. Dolayısıyla her dizide toplamı 15 olan bir alt dizi bulunur. İkinci öncül de doğrudur.
- Şartı sağlayan toplam dizi sayısı tam olarak C(181,99)'dur. Bu sayı da1O¹⁰'dan büyük bir sayıdır.
Bütün öncüller doğrudur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 15

Her biri onluk tabanda 9 basamaklı X, 4 basamaklı Y, 13 basamaklı XY ve 34 basamaklı Y2XOY1X3Y sayıları veriliyor. X mod 7 = 3, X mod 9 = 2, Y mod 7 = 4 ve Y mod 9 = 5 bilindiğine göre ((XY mod 7) + (Y2XOY1X3Y mod 9)) mod 5 işleminin sonucu kaçtır?

Şıklar:
A) O | B) 1 | C) 2 | D) 3 | E) 4

Cevap: E 4

Çözüm:
Önce (XY mod 7)'yi hesaplayalım. İfade ((X x 10⁴ + Y) mod 7)=((3 x 4+4) mod 7) = 2 olur.
Dikkat ederseniz herhangi bir negative olmayan k tamsayısı için 10⁴ 1 mod 9 olur. O zaman (Y2XOY1X3Y mod 9)= ((Y+2+X+O+Y+1+X+3+Y) mod 9) = ((5+2+2+O+5+1+2+3+5)mod 9=7 olur. (2+7) mod 5=4 olduğundan
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 17

## [16-18] Sorular İçin Açıklama
Elemanları alfabenin harfleri olan sıralı ikililerden oluşmuş kümeler düşünelim. Bunlara ilinti diyeceğiz. Örnek olarak, R ve S şekilde tanımlanmış iki ilinti olsun:
\[R = \{(c, a), (f, i), (b, d)\}, S = \{(a, a), (e, d), (g, e), (c, d)\}\]
İki ilinti arasında tanımlanan • işlemi, birinci ilintinin bütün ikilileriyle ikinci ilintinin bütün ikililerini karşılaştırmakta, ikililerin ilk elemanlarının ikisi de sesli ya da ikisi de sessiz harfe, (i) ilk elemanı birinci ikilinin ikinci elemanı, ve (ii) ikinci elemanı ikinci ikilinin ikinci elemanı olan yeni bir ikili oluşturmaktadır. Bu şekilde oluşturulan tüm ikililer sonuç ilinti kümesini meydana getirmektedir.
Örneğin, yukarıda verilen R ve S için, R • S = {(a, e), (a, d), (i, e), (i, d), (d, e), (d, d)}.
A) {m, u}, (m, n), (o, f), (o, n), (s, u}
B) {(o, g), (o, d), (m, e), (s, g), (s, d)}
C) f{k, g}, (k, d), (o, e), (b, g), (b, d)}
D) {(o, u), (o, n), (m, f), (s, u), (s, n)}
E) Hiçbiri
R'deki ilk elemanı sessiz olanlar {(k, o), (b, s)}'dir. S'deki ilk elemanı sessiz olanlar ise {(g, u), (d, n)}'dir. Bunlar işleme sokulunca {(o, u), (o, n), (s, u), (s, n)} oluşur. Seslilerden ise sadece {(m, f)} oluşur. O zaman cevap D seçeneği olur.

---

R•S = {(a, d), (c, g), (b, g), (b; d)} olduğuna göre R ve S ilintileri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Şıklar:
A) R = {(g, c), (e, b), (i, b)} ve S = {(a, g); (o; d)} | B) R = {(u, b), (f, a), (b, b), (i, c)} ve S = {(a, g), (b, d)} | C) R = {(a, b), (g, c), (e, a), (i, b)} ve S = {(e, d), (o, g)} | D) R = {(a, b), (a, c), (b, a), (c, b)} ve S = {(a, d), (g, g)} | E) Hiçbiri

Cevap: B R = {(u, b), (f, a), (b, b), (i, c)} ve S = {(a, g), (b, d)}

Çözüm:
B seçeneğindeki ilintileri işleme soktuğumuzda {(a, d), (b, g), (b, d), (c, g)} oluşur. O zaman
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 18

## [16-18] Sorular İçin Açıklama
Elemanları alfabenin harfleri olan sıralı ikililerden oluşmuş kümeler düşünelim. Bunlara ilinti diyeceğiz. Örnek olarak, R ve S şekilde tanımlanmış iki ilinti olsun:
\[R = \{(c, a), (f, i), (b, d)\}, S = \{(a, a), (e, d), (g, e), (c, d)\}\]
İki ilinti arasında tanımlanan • işlemi, birinci ilintinin bütün ikilileriyle ikinci ilintinin bütün ikililerini karşılaştırmakta, ikililerin ilk elemanlarının ikisi de sesli ya da ikisi de sessiz harfe, (i) ilk elemanı birinci ikilinin ikinci elemanı, ve (ii) ikinci elemanı ikinci ikilinin ikinci elemanı olan yeni bir ikili oluşturmaktadır. Bu şekilde oluşturulan tüm ikililer sonuç ilinti kümesini meydana getirmektedir.
Örneğin, yukarıda verilen R ve S için, R • S = {(a, e), (a, d), (i, e), (i, d), (d, e), (d, d)}.
A) {m, u}, (m, n), (o, f), (o, n), (s, u}
B) {(o, g), (o, d), (m, e), (s, g), (s, d)}
C) f{k, g}, (k, d), (o, e), (b, g), (b, d)}
D) {(o, u), (o, n), (m, f), (s, u), (s, n)}
E) Hiçbiri
R'deki ilk elemanı sessiz olanlar {(k, o), (b, s)}'dir. S'deki ilk elemanı sessiz olanlar ise {(g, u), (d, n)}'dir. Bunlar işleme sokulunca {(o, u), (o, n), (s, u), (s, n)} oluşur. Seslilerden ise sadece {(m, f)} oluşur. O zaman cevap D seçeneği olur.

---

R = {(a; b); (c; d); (e; f)} ve R•S = {(b; a); (d; b); (f; a)} olduğuna göre S aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Şıklar:
A) S = {(a, a), (b, b)} | B) S = {(g, b), (b, b), (u, a)} | C) S = {(e, a), (a, a), (m, b), (n, b)} | D) S = {(o, a), (u, a), (g, b)} | E) Hepsi

Cevap: E Hepsi

Çözüm:
Elimizdeki S ilintisi {(sesli harf, a), (sessiz harf b)} tipinde olmalıdır. Bu ilintide her bir tipten sınırsız sayıda S ilintisinde içerilebilir, her biri en az 1 kere geçmelidir. Bu yüzden doğru seçenek E olur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 19

[19-22] Sorular için açıklama
X, Y ve Z aşağıda verildiği gibi tanımlanmış karşılıklı özyineli nesnelerdir. Tanımlarda toplam dört farklı (atomik) sembol (a, b, c ve ●) vardır. X, Y ya da Z ile tanımlanamayan tüm nesneler geçersizdir.
\[
X = \begin{bmatrix} a \bullet a & ya da; \\ a \bullet X' \bullet a & ya da; \\ a \bullet Y' \bullet b & ya da; \\ a \bullet Z' \bullet c & \end{bmatrix} \quad Y = \begin{bmatrix} bb & ya da; \\ X' \bullet a & ya da; \\ Y' \bullet b & ya da; \\ Z' \bullet c & \end{bmatrix} \quad Z = \begin{bmatrix} c & ya da; \\ a \bullet X' & ya da; \\ b \bullet Y' & ya da; \\ c \bullet Z' & \end{bmatrix}
\]
İfadelerdeki X nesnesi X, Y nesnesi Y, ve Z nesnesi Z cinsinden başka nesnelerdir. Sırasıyla X, Y ve Z tipinden nesneleri girdi olarak alan f, g ve h fonksiyonları aşağıda tanımlanmıştır. Bu fonksiyonlar karşılıklı özyineli fonksiyonlar olup tamsayı değerler üretirler.
\[
f(X) = \begin{cases} 2 & \text{eğer } X = a \bullet a \\ 2 + f(X') & \text{eğer } X = a \bullet X' \bullet a \\ 1 + g(Y') & \text{eğer } X = a \bullet Y' \bullet b \\ 1 + h(Z') & \text{eğer } X = a \bullet Z' \bullet c \end{cases} \quad g(Y) = \begin{cases} 2 & \text{eğer } Y = bb \\ 1 + f(X') & \text{eğer } Y = X' \bullet a \\ 1 + g(Y') & \text{eğer } Y = Y' \bullet b \\ h(Z') & \text{eğer } Y = Z' \bullet c \end{cases}
\]

---

Hangisi bir Z nesnesidir?

Şıklar:
A) \(b \bullet a \bullet a \bullet bb \bullet b \bullet a\) | B) \(b \bullet b \bullet a \bullet bb \bullet b \bullet a\) | C) \(b \bullet a \bullet bb \bullet b \bullet a \bullet b\) | D) \(b \bullet a \bullet bb \bullet a \bullet b \bullet a\) | E) \(a \bullet a \bullet bb \bullet a \bullet b \bullet a\)

Cevap: C \(b \bullet a \bullet bb \bullet b \bullet a \bullet b\)

Çözüm:
C seçeneğindeki ifade bir Z nesnesidir. Tanımı da şu şekilde yapılabilir.
\[
Z = b \bullet Y', Y' = Y' \bullet b, Y'' = X' \bullet a, X' = a \bullet Y'' \bullet b, Y''' = bb
\]
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 20

[19-22] Sorular için açıklama
X, Y ve Z aşağıda verildiği gibi tanımlanmış karşılıklı özyineli nesnelerdir. Tanımlarda toplam dört farklı (atomik) sembol (a, b, c ve ●) vardır. X, Y ya da Z ile tanımlanamayan tüm nesneler geçersizdir.
\[
X = \begin{bmatrix} a \bullet a & ya da; \\ a \bullet X' \bullet a & ya da; \\ a \bullet Y' \bullet b & ya da; \\ a \bullet Z' \bullet c & \end{bmatrix} \quad Y = \begin{bmatrix} bb & ya da; \\ X' \bullet a & ya da; \\ Y' \bullet b & ya da; \\ Z' \bullet c & \end{bmatrix} \quad Z = \begin{bmatrix} c & ya da; \\ a \bullet X' & ya da; \\ b \bullet Y' & ya da; \\ c \bullet Z' & \end{bmatrix}
\]
İfadelerdeki X nesnesi X, Y nesnesi Y, ve Z nesnesi Z cinsinden başka nesnelerdir. Sırasıyla X, Y ve Z tipinden nesneleri girdi olarak alan f, g ve h fonksiyonları aşağıda tanımlanmıştır. Bu fonksiyonlar karşılıklı özyineli fonksiyonlar olup tamsayı değerler üretirler.
\[
f(X) = \begin{cases} 2 & \text{eğer } X = a \bullet a \\ 2 + f(X') & \text{eğer } X = a \bullet X' \bullet a \\ 1 + g(Y') & \text{eğer } X = a \bullet Y' \bullet b \\ 1 + h(Z') & \text{eğer } X = a \bullet Z' \bullet c \end{cases} \quad g(Y) = \begin{cases} 2 & \text{eğer } Y = bb \\ 1 + f(X') & \text{eğer } Y = X' \bullet a \\ 1 + g(Y') & \text{eğer } Y = Y' \bullet b \\ h(Z') & \text{eğer } Y = Z' \bullet c \end{cases}
\]

---

g (a • a • c • c • c • a • a) işleminin sonucu kaçtır?

Şıklar:
A) 5 | B) 6 | C) 7 | D) 8 | E) 9

Cevap: B 6

Çözüm:
•  \( g(a \bullet a \bullet c \bullet c \bullet a \bullet a) = f(a \bullet a \bullet c \bullet c \bullet a) + 1 \)
•  \( f(a \bullet a \bullet c \bullet c \bullet a) = f(a \bullet c \bullet c \bullet c) + 2 \)
•  \( f(a \bullet c \bullet c) = h(c \bullet c) + 1 \)
•  \( h(c \bullet c) = h(c) + 1 \)
•  \( h(c) = 1 \)
O zaman cevap 6 olur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 21

[19-22] Sorular için açıklama
X, Y ve Z aşağıda verildiği gibi tanımlanmış karşılıklı özyineli nesnelerdir. Tanımlarda toplam dört farklı (atomik) sembol (a, b, c ve ●) vardır. X, Y ya da Z ile tanımlanamayan tüm nesneler geçersizdir.
\[
X = \begin{bmatrix} a \bullet a & ya da; \\ a \bullet X' \bullet a & ya da; \\ a \bullet Y' \bullet b & ya da; \\ a \bullet Z' \bullet c & \end{bmatrix} \quad Y = \begin{bmatrix} bb & ya da; \\ X' \bullet a & ya da; \\ Y' \bullet b & ya da; \\ Z' \bullet c & \end{bmatrix} \quad Z = \begin{bmatrix} c & ya da; \\ a \bullet X' & ya da; \\ b \bullet Y' & ya da; \\ c \bullet Z' & \end{bmatrix}
\]
İfadelerdeki X nesnesi X, Y nesnesi Y, ve Z nesnesi Z cinsinden başka nesnelerdir. Sırasıyla X, Y ve Z tipinden nesneleri girdi olarak alan f, g ve h fonksiyonları aşağıda tanımlanmıştır. Bu fonksiyonlar karşılıklı özyineli fonksiyonlar olup tamsayı değerler üretirler.
\[
f(X) = \begin{cases} 2 & \text{eğer } X = a \bullet a \\ 2 + f(X') & \text{eğer } X = a \bullet X' \bullet a \\ 1 + g(Y') & \text{eğer } X = a \bullet Y' \bullet b \\ 1 + h(Z') & \text{eğer } X = a \bullet Z' \bullet c \end{cases} \quad g(Y) = \begin{cases} 2 & \text{eğer } Y = bb \\ 1 + f(X') & \text{eğer } Y = X' \bullet a \\ 1 + g(Y') & \text{eğer } Y = Y' \bullet b \\ h(Z') & \text{eğer } Y = Z' \bullet c \end{cases}
\]

---

Hangisi yanlıştır?

Şıklar:
A) Bazı X nesnelerinde b sembolü sayısı a sembolü sayısından fazladır | B) Tüm X nesnelerinde c sembolü oranı %5O den daha azdır | C) Bazı X nesneleri çift sayıda sembol içerir | D) Hem X hem de Z nesnesi olan nesneler vardır | E) b sembolü oranı %5O den daha az olmayan sonsuz sayıda X nesnesi vardır

Cevap: D Hem X hem de Z nesnesi olan nesneler vardır

Çözüm:
Şıkları tek tek inceleyelim.
• A şıkkında a • bb • b nesnesinde b sembolü sayısı daha fazladır, A şıkkı doğru bir ifade olur.
• Dikkat edersek c sembolü sayısı hiçbir X nesnesinde • sembolünün sayısından fazla olamaz. B şıkkı da doğrudur.
• a • bb • b nesnesi 6 sembol içerir, yani bu çift sayıda sembol içeren bir X nesnesidir. C şıkkı da doğru bir ifade içerir.
• E şıkkında  a • bb • b, a • bb • b • b, a • bb • b • b • b, a • bb • b • b • b • b, a • bb • b • b • b • b • b  örüntüsüyle ilerleyen ve 
sembollerin %50’sinin b olduğu sonsuz sayıda X nesnesi vardır.
• D şıkkı ise yanlış bir ifadedir, hiçbir X nesnesi bir Z nesnesi olarak ifade edilemez.
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 22

[19-22] Sorular için açıklama
X, Y ve Z aşağıda verildiği gibi tanımlanmış karşılıklı özyineli nesnelerdir. Tanımlarda toplam dört farklı (atomik) sembol (a, b, c ve ●) vardır. X, Y ya da Z ile tanımlanamayan tüm nesneler geçersizdir.
\[
X = \begin{bmatrix} a \bullet a & ya da; \\ a \bullet X' \bullet a & ya da; \\ a \bullet Y' \bullet b & ya da; \\ a \bullet Z' \bullet c & \end{bmatrix} \quad Y = \begin{bmatrix} bb & ya da; \\ X' \bullet a & ya da; \\ Y' \bullet b & ya da; \\ Z' \bullet c & \end{bmatrix} \quad Z = \begin{bmatrix} c & ya da; \\ a \bullet X' & ya da; \\ b \bullet Y' & ya da; \\ c \bullet Z' & \end{bmatrix}
\]
İfadelerdeki X nesnesi X, Y nesnesi Y, ve Z nesnesi Z cinsinden başka nesnelerdir. Sırasıyla X, Y ve Z tipinden nesneleri girdi olarak alan f, g ve h fonksiyonları aşağıda tanımlanmıştır. Bu fonksiyonlar karşılıklı özyineli fonksiyonlar olup tamsayı değerler üretirler.
\[
f(X) = \begin{cases} 2 & \text{eğer } X = a \bullet a \\ 2 + f(X') & \text{eğer } X = a \bullet X' \bullet a \\ 1 + g(Y') & \text{eğer } X = a \bullet Y' \bullet b \\ 1 + h(Z') & \text{eğer } X = a \bullet Z' \bullet c \end{cases} \quad g(Y) = \begin{cases} 2 & \text{eğer } Y = bb \\ 1 + f(X') & \text{eğer } Y = X' \bullet a \\ 1 + g(Y') & \text{eğer } Y = Y' \bullet b \\ h(Z') & \text{eğer } Y = Z' \bullet c \end{cases}
\]

---

Hangisi doğrudur?

Şıklar:
A) Aynı f(X) değerine sahip farklı X nesne çiftlerinin sayısı sonsuzdur | B) h(Z) nin değer kümesi ile doğal sayılar kümesi arasında birebir eşleme yapılamaz | C) f(X) fonksiyonu X nesnelerindeki a sembolleri sayısına eşittir | D) h(Z) fonksiyonu Z nesnelerindeki a, b, c sembolleri sayısı toplamına eşittir | E) g(Y) nin alabileceği en küçük değer 2 dir

Cevap: A Aynı f(X) değerine sahip farklı X nesne çiftlerinin sayısı sonsuzdur

Çözüm:
Şıkları inceleyelim:
- B şıkkında \(h(Z)\) 1'den sonsuza kadar tüm değerleri alabilir. Doğal sayılar kümesi 1'den başlıyor dersek birebir eşleme yapılabilir. B şıkkındaki ifade yanlıştır.
- Önceki bir soruda \(f(a \cdot c \cdot c \cdot c) = 3\) olarak hesaplamıştık, o zaman \(C\) şıkkı da yanlıştır.
- \(h(b \cdot c \cdot c) = 2\)'dir, o zaman \(D\) seçeneği de yanlış bir ifade içerir.
- \(g(c \cdot c) = 1\)'dir, o zaman \(E\) şıkkı da yanlıştır.
- A seçeneğindeki ifade doğrudur, \(f \cdot g \cdot f\) ile \(f \cdot h \cdot f\) yollarından seçilen yollarla sürekli geçiş yapılarak gidilirse aynı adım sayısı ile ulaşılan sonuçlar aynı değeri döndürür. O zaman adım sayısı sonsuza yaklaşırken (n diyelim) bu değere sahip ve bu yolla oluşturulmuş farklı yapı sayısı \(2^n\) olur. O zaman \(A\) şıkkındaki ifade doğru olur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 23

## [23-26] Sorular için Açıklama
Elemanları tamsayılardan oluşan \(n\) elemanlı bir \(A[1..n]\) dizisi eğer \(\forall i \in \{1, 2, \dots, \lfloor n/2 \rfloor\}\) indisleri için \(A[i] \le A[2i]\) ve \((2i + 1 \le n\) iken) \(A[i] \le A[2i + 1]\) şartlarını sağlıyorsa **yığın** olarak adlandırılır.
Bu şartları sağlamayan diziler yığın değildir.

---

Yığın olduğu bilinen 500 elemanlı bir dizide en küçük elemanı bulmak için en az kaç karşılaştırma ge- reklidir?

Şıklar:
A) 1 | B) 2 | C) 9 | D) 499 | E) Hiçbiri

Cevap: E Hiçbiri

Çözüm:
Verilen yığın yapısı bir heap ağacı oluşturmaktadır. Minimum eleman her zaman 1 ile indislenmiş eleman olur. O zaman O karşılaştırma gereklidir.