Bilgisayar Olimpiyatı 2024, 1. Aşama, Soru 30

Bilgisayar programlama yaz kampına katılan Ahmet, Banu, Cemil, Dilara, Ersin ve Fahriye isimli 6 öğrenciden 4 tanesinin bilgisayar programı yazmaları gereken saatte iskambil oynadıkları tespit edilmiştir. İskambil oynayanları bulmak için kamp sorumlusu Mahmut bey öğrencilere sorular sormuş ve aşağıdaki cevapları almıştır.
- Ahmet, “Banu ve Dilara iskambil oynayanlar arasında idi” demiş,
- Banu, “Ahmet ve Cemil iskambil oynayanlar arasında idi” demiş,
- Cemil, “Banu ve Fahriye iskambil oynayanlar arasında idi” demiş,
- Dilara, “Ahmet ve Ersin iskambil oynayanlar arasında idi” demiş,
- Ersin, “Ahmet ve Banu iskambil oynayanlar arasında idi” demiş,
- Fahriye, “Dilara ve Ersin iskambil oynayanlar arasında idi” demiş.
Sorulara cevap veren 6 öğrenciden 4 tanesi iskambil oynayan öğrencilerden birinin adını doğru vermiş, öbürünün adını yanlış vermiştir. 1 öğrenci ise her iki adı da doğru vermiştir. 1 öğrenci ise her iki adı da yanlış vermiştir.
İskambil oynamayan öğrenciler hangileridir?

Şıklar:
A) Ersin ve Fahriye | B) Cemil ve Dilara | C) Ahmet ve Banu | D) Verilen bilgiler çelişkilidir. | E) Verilen bilgiler hangi öğrencilerin iskambil oynadığını kesin olarak tespit etmek için yetersizdir.

Cevap: E Verilen bilgiler hangi öğrencilerin iskambil oynadığını kesin olarak tespit etmek için yetersizdir.

Çözüm:
Öğrencilerin adlarını baş harfleri olan \(a, b, c, d, e\) ve \(f\) ikili (binary) değişkenleri ile simgeleyelim. Değişkenin 1 değerini alması ilgili öğrencinin iskambil oynadığını, 0 değerini alması ise oynamadığını göstersin. Çocuklardan 4 tanesi iskambil oynadığına göre \(a + b + c + d + e + f = 4'\) dir. Dört öğrenci bir adı doğru verdiğine, bir öğrenci her iki adı da doğru verdiğine ve bir öğrenci her iki adı yanlış verdiğine göre:
\[(b + d) + (a + c) + (b + f) + (a + e) + (a + b) + (d + e) = 3a + 3b + c + 2d + 2e + f = 6\]
'dır. Bu eşitlikten ilk elde ettiğimiz eşitliği çıkartırsak \(2a + 2b + d + e = 2'\)dir.
\(a = 1\) ise \(b = 0\), \(d = 0\) ve \(e = 0\) olmak zorundadır. Ancak bu durumda hem Ahmet hem de Fahriye 2 ismi de yanlış vermiş olur. 2 ismi de yanlış veren sadece 1 kişi olduğu için \(a = 0\) olmak zorundadır.
\(b = 1\) ise \(a = 0\), \(d = 0\) ve \(e = 0\) olmak Zorundadır. Ancak bu durumda hem Dilara hem de Fahriye 2 ismi de yanlış vermiş olun. 2 ismi de yanlış veren sadece 1 kişİ olduğu için \(b = 0\) olmak zorundadır.
Öyleyse, \(a = b = 0\) olmalıdır. \(2a + 2b + d + e = 2\) eşitliğinin sağlanması için \(d = e = 1\) olmalıdır. \(a + b + c + d + e + f = 4\) eşitliğinin sağlanması için de \(c = f = 1\) olmalıdır. Bu durumda iskambil oynayanlar Cemil, Dilara, Ersin ve Fahriye'dir. Cevap Ahmet ve Banu'dur.
Bize *n* tane birbirinden farklı nesne sıralı bir şekilde verilmiş olsun. Hiçbir nesnenin orijinal konumunda kalmadığı permütasyona verilen sıralı listenin bir düzensizliği denir. *n* elemanlı bir kümenin düzensizlik sayısı
\[D(n) = n! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + (-1)^n \frac{1}{n!}\right) \text{eşitliğine göre hesaplanabilir. Bu soruda bize } D(5)'in \text{ değeri} \\ \text{sorulmaktadır. } D(5) = 5! \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120}\right) = 44' \text{tür.}\]