alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 1

## [1-3] Sorular için Açıklama
İkili arama ağaçları, her bir düğümün en fazla iki çocuğunun (sol ve sağ) olduğu ağaçlardır. Ayrıca ikili arama ağaçlarında her bir düğümdeki eleman; sol altağacındaki tüm elemanlardan büyük ya da eşit, sağ altağacındaki tüm elemanlardan da küçüktür. Bir düğüm ve onun altında (çocukları, çocuklarının çocukları, ...) yer alan tüm düğümlerin oluşturduğu ağaca o düğümden başlayan altağaç denilmektedir
İkili arama ağaçları, her bir düğümün en faza iki çocuğunun (sol ve sağ) olduğu aşağılardır. Ayrıca ikili arama ağaçlarında her biri düğümdeki eleman; sol altağacındaki tüm elemandan büyük ya da eşit, sağ altağacındaki büyük ya da eşit, sağ altağacındaki tümen elemandan da küçüktür. Bir düğüm ve onun altında (çoçukları, çocuklarının çocukları, ...) yer alan tümen düğümlerin oluşturduğu ağaca o düşümden başlayan altağaç denilmektedir
Verilen bir sayı kümesi için oluşturulan bir ikili arama ağacında sayı kümesindeki bütün sayılar ağacın yapraklarında ve arama işleminde kullanılacak yardımcı sayılar da ağacın iç düğümlerinde verilmektedir. Aşağıda 10, 23, 37, 49, 80, 89, 91 kümesindeki sayılar için oluşturulmuş bir ikili arama ağacı örnek olarak verilmektedir.
[GÖRSEL]
Şekilde de görüldüğü gibi bir iç düğümdeki değer sol altağaçtaki en büyük değeri göstermektedir. Bir arama ağacı kullanılarak [a:b] aralığına giren elemanlar yani kümedeki a'ya büyük eşit ve b'den küçük eşit sayıları bulabiliriz. Bu işlem için şu şekilde bir algoritma tasarlayabiliriz:
1. a ve b'yi aynı anda arama ağacında aramaya başla
2. a ve b'nin patikalarının birbirinden ayrıldığı iç düğümü bul
3. 2. adımdan sonra a'nın patikasında ne zaman sola gitsek sağ altağacın tümünü ziyaret ederek çıktı olarak ver. a için yaptığımız arama yaprakta sonlandığı zaman yapraktaki değerin aralık içinde olup olmadığını kontrol edip çıktı olarak ver.
4. 2. adımdan sonra b'nin patikasında ne zaman sağa gitsek sol altağacın tümünü ziyaret ederek çıktı olarak yer. b için yaptığımız arama yaprakta sonlandığı zaman yepraktaki değerin aralık içinde olup olmadığını kontrol edipa çıktı olarak yer.

---


Yukarıda tanımlanan algoritmaya göre örnek olarak verilen arama ağacında [18:38] sorgusunu yaptığımızda hangi iç düğümler ziyaret edilir?

Şıklar:
A) 49, 23, 10, 37 | B) 49, 23, 37 | C) 23, 37 | D) 10, 23, 37 | E) Hiçbiri

Cevap: A 49, 23, 10, 37

Çözüm:
a=18 ve b=38 olmak üzere gezdikleri düğümlere bakalım:
• İlk adımda a ve b üzerinde 49 yazan ana düğüm üzerindedir. a,b <= 49 olduğundan ikisi birlikte sol çocuğa giderler.
• Sonraki adımda a ve b üzerinde 23 yazana bir iç düğümün üzerindedir. a <= 23 olduğundan a sola, b > 23 olduğundan b sağa gider. Böylece a ve b'nin ayrıldığı düğümü bulmuş olduk.
• Sonrasında a10 numaralıç düğümdedir. bise 37 numaralıç düğümdedir. a>10 olduğundan sağa, b>37 olduğundan sol alt ağacın her düğümünü gezip (4.kural) sağa gidecektir.
• Son adımda a 23 numaralı, b ise 49 numaralı yaprak düğümdedir.
• Ziyaret edilen iç düğümler: 49, 23, 10, 37
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 2

## [1-3] Sorular için Açıklama
İkili arama ağaçları, her bir düğümün en fazla iki çocuğunun (sol ve sağ) olduğu ağaçlardır. Ayrıca ikili arama ağaçlarında her bir düğümdeki eleman; sol altağacındaki tüm elemanlardan büyük ya da eşit, sağ altağacındaki tüm elemanlardan da küçüktür. Bir düğüm ve onun altında (çocukları, çocuklarının çocukları, ...) yer alan tüm düğümlerin oluşturduğu ağaca o düğümden başlayan altağaç denilmektedir
İkili arama ağaçları, her bir düğümün en faza iki çocuğunun (sol ve sağ) olduğu aşağılardır. Ayrıca ikili arama ağaçlarında her biri düğümdeki eleman; sol altağacındaki tüm elemandan büyük ya da eşit, sağ altağacındaki büyük ya da eşit, sağ altağacındaki tümen elemandan da küçüktür. Bir düğüm ve onun altında (çoçukları, çocuklarının çocukları, ...) yer alan tümen düğümlerin oluşturduğu ağaca o düşümden başlayan altağaç denilmektedir
Verilen bir sayı kümesi için oluşturulan bir ikili arama ağacında sayı kümesindeki bütün sayılar ağacın yapraklarında ve arama işleminde kullanılacak yardımcı sayılar da ağacın iç düğümlerinde verilmektedir. Aşağıda 10, 23, 37, 49, 80, 89, 91 kümesindeki sayılar için oluşturulmuş bir ikili arama ağacı örnek olarak verilmektedir.
[GÖRSEL]
Şekilde de görüldüğü gibi bir iç düğümdeki değer sol altağaçtaki en büyük değeri göstermektedir. Bir arama ağacı kullanılarak [a:b] aralığına giren elemanlar yani kümedeki a'ya büyük eşit ve b'den küçük eşit sayıları bulabiliriz. Bu işlem için şu şekilde bir algoritma tasarlayabiliriz:
1. a ve b'yi aynı anda arama ağacında aramaya başla
2. a ve b'nin patikalarının birbirinden ayrıldığı iç düğümü bul
3. 2. adımdan sonra a'nın patikasında ne zaman sola gitsek sağ altağacın tümünü ziyaret ederek çıktı olarak ver. a için yaptığımız arama yaprakta sonlandığı zaman yapraktaki değerin aralık içinde olup olmadığını kontrol edip çıktı olarak ver.
4. 2. adımdan sonra b'nin patikasında ne zaman sağa gitsek sol altağacın tümünü ziyaret ederek çıktı olarak yer. b için yaptığımız arama yaprakta sonlandığı zaman yepraktaki değerin aralık içinde olup olmadığını kontrol edipa çıktı olarak yer.

---

128 eleman içeren bir sayı kümesi için oluşturulmuş bir dengeli arama ağacında bir aralık sorgusu yaptığımızda en fazla kaç düğüm ziyaret edilir?

Şıklar:
A) 128 | B) 7 | C) 255 | D) 6 | E) Hiçbiri

Cevap: C 255

Çözüm:
128 adet yaprak düğümü olan dengeli ağacın 127 tane iç düğümü vardır. Eğer sorguda en küçük ve en büyük elemanları aralık olarak verirsek, her düğümü ziyaret etmiş oluruz. Çünkü ana düğümde a ve b ayrılır, a hep sola giderken her zaman sağ altağacını gezer (3.kural), b hep sağa giderken her zaman sol altağacını yazdırır (4.kural).
Toplam 255 düğüm gezilmiş olur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 3

## [1-3] Sorular için Açıklama
İkili arama ağaçları, her bir düğümün en fazla iki çocuğunun (sol ve sağ) olduğu ağaçlardır. Ayrıca ikili arama ağaçlarında her bir düğümdeki eleman; sol altağacındaki tüm elemanlardan büyük ya da eşit, sağ altağacındaki tüm elemanlardan da küçüktür. Bir düğüm ve onun altında (çocukları, çocuklarının çocukları, ...) yer alan tüm düğümlerin oluşturduğu ağaca o düğümden başlayan altağaç denilmektedir
İkili arama ağaçları, her bir düğümün en faza iki çocuğunun (sol ve sağ) olduğu aşağılardır. Ayrıca ikili arama ağaçlarında her biri düğümdeki eleman; sol altağacındaki tüm elemandan büyük ya da eşit, sağ altağacındaki büyük ya da eşit, sağ altağacındaki tümen elemandan da küçüktür. Bir düğüm ve onun altında (çoçukları, çocuklarının çocukları, ...) yer alan tümen düğümlerin oluşturduğu ağaca o düşümden başlayan altağaç denilmektedir
Verilen bir sayı kümesi için oluşturulan bir ikili arama ağacında sayı kümesindeki bütün sayılar ağacın yapraklarında ve arama işleminde kullanılacak yardımcı sayılar da ağacın iç düğümlerinde verilmektedir. Aşağıda 10, 23, 37, 49, 80, 89, 91 kümesindeki sayılar için oluşturulmuş bir ikili arama ağacı örnek olarak verilmektedir.
[GÖRSEL]
Şekilde de görüldüğü gibi bir iç düğümdeki değer sol altağaçtaki en büyük değeri göstermektedir. Bir arama ağacı kullanılarak [a:b] aralığına giren elemanlar yani kümedeki a'ya büyük eşit ve b'den küçük eşit sayıları bulabiliriz. Bu işlem için şu şekilde bir algoritma tasarlayabiliriz:
1. a ve b'yi aynı anda arama ağacında aramaya başla
2. a ve b'nin patikalarının birbirinden ayrıldığı iç düğümü bul
3. 2. adımdan sonra a'nın patikasında ne zaman sola gitsek sağ altağacın tümünü ziyaret ederek çıktı olarak ver. a için yaptığımız arama yaprakta sonlandığı zaman yapraktaki değerin aralık içinde olup olmadığını kontrol edip çıktı olarak ver.
4. 2. adımdan sonra b'nin patikasında ne zaman sağa gitsek sol altağacın tümünü ziyaret ederek çıktı olarak yer. b için yaptığımız arama yaprakta sonlandığı zaman yepraktaki değerin aralık içinde olup olmadığını kontrol edipa çıktı olarak yer.

---


64 eleman içeren bir sayı kümesi için oluşturulmuş bir dengeli arama ağacında bir aralık sorgusu yaptığımızada en az kaç düğüm ziyaret edilir?

Şıklar:
A) 7 | B) 6 | C) 14 | D) 12 | E) Hiçbiri

Cevap: B 6

Çözüm:
64 elemanlı dengeli bir ağacı her kola eşit sayıda eleman gelecek şekilde kuralım. Ana düğümden o düğüme kadar gezmesi gereken düğüm sayısına derece diyelim. Denge şartını bozmayacak şekilde sadece 1 yaprak düğümden iki çocuk düğüm çizip farklı bir yaprak düğümü silelim. Toplamda 61 tane 7 dereceli, 2 tane 8 dereceli ve 1 tane 6 dereceli düğüm olur, a ve b o düğümün numarası olacak şekilde bir sorgu yaparsak 6 tane düğüm gezmiş oluruz.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 4

## [4-7] Sorular için Açıklama
Çizgeler, aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, düğümlerden ve bu düğümleri birbirine bağlayan kenarlardan oluşan veri yapılardır. Bir kenarla bağlı iki düğüm birbirinin komşusu sayılmaktadır.
Sıradaki 4 soru için aşağıdaki çizgeyi göz önüne alınız.
[GÖRSEL]
Gruplanma katsayısı bir düğümün komşularının birbirlerine ne kadar bağlı olduğunu gösteren bir ölçektir. Gruplanma katsayısı, bir düğümün komşularının birbirleri arasındaki kenar sayısının, komşuları arasında olabilecek en fazla kenar sayısına oranı olarak tanımlanır. Örnek olarak, p5 düğümünün gruplanma katsayısı 3/6 = 0,5'dir. Tek komşusu olan düğümler için gruplanma katsayısı tanımsızdır.

---

Gruplarına katsayısı ile ilgili aşağıdakilerden ifadelerden hangisi yanlıştır?

Şıklar:
A) Bir çizgedeki bütün düğümlerin gruplarına katsayıları toplamı 1 olmak zorundadır. | B) Bir düğümün gruplarına katsayısı her zaman 0'dan büyük bir sayıdır. | C) Düğümlerin komşu sayısı arttıkça gruplarına katsayıları azalır. | D) Farklı iki düğümün gruplarına katsayısı eşit olamaz. | E) Hepsi

Cevap: E Hepsi

Çözüm:
### Şıkları inceleyelim:
- Bütün düğümlerin katsayıları toplamı 1 olması her zaman gerçekleşmez. Mesela her ikilinin arasında bir yolun olduğu 5 düğümlü bir çizgede katsayıların toplamı 5'tir. Yanlış.
- Örnek çizgeden bu ifadenin hatası anlaşılmaktadır. Yanlış.
- 1 düğüme 2 düğüm bağlı olsun. Bu iki düğüm arasında yol olmasın. Yani katsayı = O. Yeni bir düğüm eklensin ve bu düğüm önceden bağlı olduğu 2 düğüme de bağlı olsun. Yeni katsayı = 2/3. Yani artabilir. Yanlış
- Her ikili arasında yol varsa her düğümün katsayısı eşit olur. Yanlış
- Hepsi yanlıştır.
##
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 5

## [4-7] Sorular için Açıklama
Çizgeler, aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, düğümlerden ve bu düğümleri birbirine bağlayan kenarlardan oluşan veri yapılardır. Bir kenarla bağlı iki düğüm birbirinin komşusu sayılmaktadır.
Sıradaki 4 soru için aşağıdaki çizgeyi göz önüne alınız.
[GÖRSEL]
Gruplanma katsayısı bir düğümün komşularının birbirlerine ne kadar bağlı olduğunu gösteren bir ölçektir. Gruplanma katsayısı, bir düğümün komşularının birbirleri arasındaki kenar sayısının, komşuları arasında olabilecek en fazla kenar sayısına oranı olarak tanımlanır. Örnek olarak, p5 düğümünün gruplanma katsayısı 3/6 = 0,5'dir. Tek komşusu olan düğümler için gruplanma katsayısı tanımsızdır.

---

p8 düğümünün gruplarına katsayısı kaçtır?

Şıklar:
A) 1.1 | B) 0.6 | C) 0.7 | D) 0.8 | E) 0.5

Cevap: B 0.6

Çözüm:
p8'in 3 farklı komşusu vardır: p5, p6 ve p9. Bu düğümlerin kendi aralarında 2 tane yol vardır ve 3 düğümün arasında en fazla 3 yol olabilir. Yani gruplarına katsayısı=2/3'tür.
Noktadan sonra 1 basamak gösterecek şekilde yazdığımızda 0.6'yi elde ederiz.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 6

## [4-7] Sorular için Açıklama
Çizgeler, aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, düğümlerden ve bu düğümleri birbirine bağlayan kenarlardan oluşan veri yapılardır. Bir kenarla bağlı iki düğüm birbirinin komşusu sayılmaktadır.
Sıradaki 4 soru için aşağıdaki çizgeyi göz önüne alınız.
[GÖRSEL]
Gruplanma katsayısı bir düğümün komşularının birbirlerine ne kadar bağlı olduğunu gösteren bir ölçektir. Gruplanma katsayısı, bir düğümün komşularının birbirleri arasındaki kenar sayısının, komşuları arasında olabilecek en fazla kenar sayısına oranı olarak tanımlanır. Örnek olarak, p5 düğümünün gruplanma katsayısı 3/6 = 0,5'dir. Tek komşusu olan düğümler için gruplanma katsayısı tanımsızdır.

---

p3 düğümünün gruplarına katsayısı kaçtır

Şıklar:
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 0.5 | E) 0

Cevap: A 1

Çözüm:
p3'ün 2 farklı komşusu vardır: p2 ve p6. Bu düğümlerin kendi aralarında 1 tane yol vardır ve 1 düğümün arasında en fazla 1 yol olabilir. Yani gruplarına katsayısı=1'dir.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 7

## [4-7] Sorular için Açıklama
Çizgeler, aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, düğümlerden ve bu düğümleri birbirine bağlayan kenarlardan oluşan veri yapılardır. Bir kenarla bağlı iki düğüm birbirinin komşusu sayılmaktadır.
Sıradaki 4 soru için aşağıdaki çizgeyi göz önüne alınız.
[GÖRSEL]
Gruplanma katsayısı bir düğümün komşularının birbirlerine ne kadar bağlı olduğunu gösteren bir ölçektir. Gruplanma katsayısı, bir düğümün komşularının birbirleri arasındaki kenar sayısının, komşuları arasında olabilecek en fazla kenar sayısına oranı olarak tanımlanır. Örnek olarak, p5 düğümünün gruplanma katsayısı 3/6 = 0,5'dir. Tek komşusu olan düğümler için gruplanma katsayısı tanımsızdır.

---

p1 ve p6 arasına bir kenar eklendiğinde aşağıdakilerden hangisi doğru olur?

Şıklar:
A) p1'in gruplarına katsayısı artar. | B) p1'in gruplarına katsayısı azalır. | C) p1'in gruplarına katsayısı değişmez. | D) p6'nın gruplarına katsayısı azalır. | E) p6'nın gruplarına katsayısı değişmez.

Cevap: A p1'in gruplarına katsayısı artar.

Çözüm:
P1 ve p6'nın eski katsayılarına ve aralarına kenar eklendiğindeki katsayılarına bakalım:
- p1'in eski halinde 3 komşusu ve komşularının arasında 1 yol vardır. Katsayı = 1/3
- p1'te p6'yı komşu olarak eklersek, 4 komşusu olur ve komşularının arasında 3 yol olmuş olur. Katsayı = 3/6. Yani p1'in gruplarına katsayısı artar.
- p6'nın eski halinde 5 komşusu ve komşularının arasında 3 yol vardır. Katsayı = 3/10
- p6'ya p1'i komşu olarak eklersek, 6 komşusu olur ve komşularının arasında 5 yol olmuş olur. Katsayı = 5/15. Yani p6'nın gruplarına katsayısı da artar.
Sadece A şıkkı doğrudur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 8

## [8-12] Sorular için Açıklama
Sıralı ikililerden oluşmuş kümeler düşünelim. Bunlara bağıntı diyeceğiz. Örnek olarak, R ve S şu şekilde tanımlanmış iki bağıntı olsun:
\[R = \{(A, B), (E, J), (M, G)\}, S = \{(T, H), (\hat{O}, Z)\}.\]
Bağıntıları oluşturan elemanlar büyük-harf Türkçe harflerdir.
İki bağıntı arasında Ø diye bir işlem tanımlayalım. Bu işlem birinci bağıntının bütün ikilileriyle ikinci bağıntının bütün ikililerini karşılaştırmakta, birinci ikilinin ilk elemanı bir sesli harf ve ikinci ikilinin ilk elemanı bir sessiz harf ise, ilk elemanı birinci ikilinin birinci elemanı ve ikinci elemanı ikinci ikilinin ikinci elemanından hemen sonra alfabede gelen harf olan yeni biriki oluşturmaktadır. Son harf olan Z harfinden sonra tekrar A harfi geldiği varsayılmalıdır. Bu şekilde oluşturulan tüm ikililer sonuç bağıntısını meydana getirmektedir. Örneğin, yukarıda verilen R ve S için, R Ø S = {(A,I), (E,I)} olarak bulunur.
Türkçedeki sesli harfler {A, E, I, Ò, Õ, Ü, Ü} kümesindeki harflerdir. Alfabedeki bütün harfler de sırasıyla {A, B, C, Ç, D, E, F, G, Õ, H, I, J, K, L, M, N, O, Ò, P, R, S, Ş, T, U, Ü, V, Y, Z} olarak verilmiştir.

---

R = {(A, N), (P, Õ), (O, S)} ve S = {(Z, A), (O, G), (Ç, E)} olduğuna göre R Ø S aşağıdakilerden hangisidir?

Şıklar:
A) {(A, A), (A, D), (O, A), (O, D)} | B) {(P, A), (P, D)} | C) {(A, B), (A, F), (O, B), (O, F)} | D) {(N, B), (N, F), (S, B), (S, F)} | E) Hiçbiri

Cevap: C {(A, B), (A, F), (O, B), (O, F)}

Çözüm:
Bu ve sonraki sorularda sadece kullanılabilir olan ikilere bakalım.
• R kümesinde ilk elemanı sesli harf olan ikitiler : (A, N) ve (O, S)'dir.
• S kümesinde ilk elemanı sessiz harf olan ikitiler : (Z, A) ve (Ç, E)'dir.
Yani iki bağıntının kullanılabilir öğelerinin her ikilisini  \( \varnothing \)  işlemiyle birleştirdiğimizde  \( 2*2=4 \)  elemanlı Z= \( (\text{A}, \text{B}) \) ,  \( (\text{A}, \text{F}) \) ,  \( (\text{O}, \text{B}) \) ,  \( (\text{O}, \text{F}) \)  bağıntısını elde ederiz.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 9

## [8-12] Sorular için Açıklama
Sıralı ikililerden oluşmuş kümeler düşünelim. Bunlara bağıntı diyeceğiz. Örnek olarak, R ve S şu şekilde tanımlanmış iki bağıntı olsun:
\[R = \{(A, B), (E, J), (M, G)\}, S = \{(T, H), (\hat{O}, Z)\}.\]
Bağıntıları oluşturan elemanlar büyük-harf Türkçe harflerdir.
İki bağıntı arasında Ø diye bir işlem tanımlayalım. Bu işlem birinci bağıntının bütün ikilileriyle ikinci bağıntının bütün ikililerini karşılaştırmakta, birinci ikilinin ilk elemanı bir sesli harf ve ikinci ikilinin ilk elemanı bir sessiz harf ise, ilk elemanı birinci ikilinin birinci elemanı ve ikinci elemanı ikinci ikilinin ikinci elemanından hemen sonra alfabede gelen harf olan yeni biriki oluşturmaktadır. Son harf olan Z harfinden sonra tekrar A harfi geldiği varsayılmalıdır. Bu şekilde oluşturulan tüm ikililer sonuç bağıntısını meydana getirmektedir. Örneğin, yukarıda verilen R ve S için, R Ø S = {(A,I), (E,I)} olarak bulunur.
Türkçedeki sesli harfler {A, E, I, Ò, Õ, Ü, Ü} kümesindeki harflerdir. Alfabedeki bütün harfler de sırasıyla {A, B, C, Ç, D, E, F, G, Õ, H, I, J, K, L, M, N, O, Ò, P, R, S, Ş, T, U, Ü, V, Y, Z} olarak verilmiştir.

---

\( R = \{(\mathbf{A}, \mathbf{N}), (\mathbf{P}, \mathbf{G}), (\mathbf{O}, \mathbf{S})\} \)  ve  \( S = \{(\mathbf{Z}, \mathbf{A}), (\mathbf{O}, \mathbf{G}), (\mathbf{C}, \mathbf{E})\} \)  olduğuna göre  \( S \circ R \)  aşağıdakilerden hangisidir?

Şıklar:
A) \( \{Z, O\}, \{Z, S\}, \{C, O\}, \{C, S\} \) | B) \( \{\langle O, O\rangle, \langle O, S\rangle\} \) | C) \( \{\langle O, N\rangle, \langle O, S\rangle\} \) | D) \( \{Z, A\}, \{Z, O\}, \{C, A\}, \{C, O\} \) | E) Hiçbiri

Cevap: E Hiçbiri

Çözüm:
• S kümesinde ilk elemanı sesli olan ikili sadece (O, G)'dir.
• R kümesinde ilk elemanı sessiz olan ikili sadece (P, G)'dir
Oluşan tek elemanlı sonuç bağıntısı Z={O, H} olur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 10

## [8-12] Sorular için Açıklama
Sıralı ikililerden oluşmuş kümeler düşünelim. Bunlara bağıntı diyeceğiz. Örnek olarak, R ve S şu şekilde tanımlanmış iki bağıntı olsun:
\[R = \{(A, B), (E, J), (M, G)\}, S = \{(T, H), (\hat{O}, Z)\}.\]
Bağıntıları oluşturan elemanlar büyük-harf Türkçe harflerdir.
İki bağıntı arasında Ø diye bir işlem tanımlayalım. Bu işlem birinci bağıntının bütün ikilileriyle ikinci bağıntının bütün ikililerini karşılaştırmakta, birinci ikilinin ilk elemanı bir sesli harf ve ikinci ikilinin ilk elemanı bir sessiz harf ise, ilk elemanı birinci ikilinin birinci elemanı ve ikinci elemanı ikinci ikilinin ikinci elemanından hemen sonra alfabede gelen harf olan yeni biriki oluşturmaktadır. Son harf olan Z harfinden sonra tekrar A harfi geldiği varsayılmalıdır. Bu şekilde oluşturulan tüm ikililer sonuç bağıntısını meydana getirmektedir. Örneğin, yukarıda verilen R ve S için, R Ø S = {(A,I), (E,I)} olarak bulunur.
Türkçedeki sesli harfler {A, E, I, Ò, Õ, Ü, Ü} kümesindeki harflerdir. Alfabedeki bütün harfler de sırasıyla {A, B, C, Ç, D, E, F, G, Õ, H, I, J, K, L, M, N, O, Ò, P, R, S, Ş, T, U, Ü, V, Y, Z} olarak verilmiştir.

---

\( R \circ S = \{(A, A), (U, A), (A, P), (U, P)\} \)  olduğuna göre aşağıdaki şıklardan hangisi R ve S bağıntıları olabilir?

Şıklar:
A) \( R = \{(A, Z), (B, T), (U, R)\} \)  ve  \( S = \{(Z, Z), (A, C), (T, \ddot{O})\} \) | B) \( R = \{(B, Z), (Z, Z), (U, A)\} \)  ve  \( S = \{(P, Z), (G, T), (A, A)\} \) | C) \( R = \{(A, B), (B, C), (A, T)\} \)  ve  \( S = \{(G, Z), (M, B), (O, \ddot{O})\} \) | D) \( R = \{(A, U)\} \)  ve  \( S = \{(T, Z), (G, \ddot{O}), (A, N)\} \) | E) Hiçbiri

Cevap: A \( R = \{(A, Z), (B, T), (U, R)\} \)  ve  \( S = \{(Z, Z), (A, C), (T, \ddot{O})\} \)

Çözüm:
Çözüm kümeme baktığımızda A ve U ile başlayan elemanlar görürüz. Bu demektir ki bağıntısında ilk elemanları A ve U olan 2 farklı ikili var. (Sadece A şıkkı kaldı)
Aynı şekilde çözüm kümesindeki ikiltilerin ikinci elemanlarına bakarsak A ve P harfterini görürür. Bu da Bağıntısında sessiz harftle başlayan ve ikinci elemanları Z ve Ö olan 2 farklı ikili var demek oluyor. (A şıkkı bu şartı da sağladı.)
Bir de bu ikilitlerin dışında kullanılabilir ikili olmamasını da doğrulamalıyız. (A şıkkı bu şartı da sağlıyor.)
Bilgisayar Olimpiyatı 2016, 1. Aşama, Soru 11

## [8-12] Sorular için Açıklama
Sıralı ikililerden oluşmuş kümeler düşünelim. Bunlara bağıntı diyeceğiz. Örnek olarak, R ve S şu şekilde tanımlanmış iki bağıntı olsun:
\[R = \{(A, B), (E, J), (M, G)\}, S = \{(T, H), (\hat{O}, Z)\}.\]
Bağıntıları oluşturan elemanlar büyük-harf Türkçe harflerdir.
İki bağıntı arasında Ø diye bir işlem tanımlayalım. Bu işlem birinci bağıntının bütün ikilileriyle ikinci bağıntının bütün ikililerini karşılaştırmakta, birinci ikilinin ilk elemanı bir sesli harf ve ikinci ikilinin ilk elemanı bir sessiz harf ise, ilk elemanı birinci ikilinin birinci elemanı ve ikinci elemanı ikinci ikilinin ikinci elemanından hemen sonra alfabede gelen harf olan yeni biriki oluşturmaktadır. Son harf olan Z harfinden sonra tekrar A harfi geldiği varsayılmalıdır. Bu şekilde oluşturulan tüm ikililer sonuç bağıntısını meydana getirmektedir. Örneğin, yukarıda verilen R ve S için, R Ø S = {(A,I), (E,I)} olarak bulunur.
Türkçedeki sesli harfler {A, E, I, Ò, Õ, Ü, Ü} kümesindeki harflerdir. Alfabedeki bütün harfler de sırasıyla {A, B, C, Ç, D, E, F, G, Õ, H, I, J, K, L, M, N, O, Ò, P, R, S, Ş, T, U, Ü, V, Y, Z} olarak verilmiştir.

---

\(R = \{ (U, T), (T, Y), (E, G) \} \text{ ve } R \circ S = \{ (E, V), (U, Z), (U, V), (E, Z) \} \text{ olduğuna göre } S \text{ aşağıdakilerden hangisi olabilir?}\)

Şıklar:
A) \(S = \{(A, Y), (K, M), (O, Ü)\}\) | B) \(S = \{(K, Y), (U, M), (B, Ü)\}\) | C) \(S = \{(O, Ü), (E, Y)\}\) | D) \(S = \{(M, Y), (T, Y)\}\) | E) Hiçbiri

Cevap: B \(S = \{(K, Y), (U, M), (B, Ü)\}\)

Çözüm:
Gördüğümüz üzere R bağıntısında kullanılabilir (U, T) ve (E, G) ikilileri var. Sonuç bağıntısı 4 elemanlı olduğu için S bağıntısında da kullanılabilir 2 ikili bulunmalı. Sonuç bağıntısındaki ikinci elemanlar V ve Z olduğu için S bağıntısındaki sessiz harftle başlayan (yani kullanılabilir) ikililerin 2.harfi Ü ve Y olmalı. Sadece B şekli olabilir.