Bilgisayar Olimpiyatı 2013, 1. Aşama, Soru 33

## [32-35] Sorular için açıklama
Özel Dedektif Hamdi'nin eline alfabedeki 29 harf kullanılarak küçük harflerle yazılmış bir mesaj geçer. Arkadaşına bu mesajı güvenle iletebilmek için mesajı şifrelemeye karar verir. Bu amaçla mesajdaki boşlukları aynen bırakıp, kelimelerdeki her bir harf O ve 1'lerden oluşan bir koda dönüştürmeye karar verir. Güvenliği arttırmak için de her bir harfe değişken uzunlukta kod vermeyi düşünür. Fakat kodda her harfe karşılık gelen kodlar arasında bir araya kullanmak kodun güvenliğini tehlikeye sokacağı için öyle bir kodlama sistemi oluşturur ki hiçbir hafin kodu başka bir hafin kodunun öneki (prefix) olmaz. Böylece sadece O ve 1'lerden oluşan bir kod kolayca tekrar harflere dönüştürülebilir. Üstelik kullandığı O ve 1'lerden de tasarruf etmek için mesajda çok kullanılan harfler için kısa kodlar ve az kullanılanlar için de uzun kodlar kullanmaya karar verir. Neyse ki Bilgisayar Mühendisliği mezunu olan Hamdi'nin elinde tam da bu iş için bir yöntem vardır. Bu yöntemde düğümlerden oluşan bir ikili ağaç oluşturulmaktadır. Ağacın bir tane kök düğümü ve harf sayısı kadar da yaprak düğümü bulunmaktadır. Yöntemin adımları aşağıda belirtilmiştir.
1. Her bir harf için bir yaprak düğümü oluştur ve düğümlere ağırlık olarak harflerin kullanım sayılarını ata. Bunları bir düğüm kümesine at.
2. En düşük kullanım sayısına sahip iki düğümü kümeden çıkartıp (eşitlik durumunda rasgele seçim yap), bu çıkartılan düğümlerin sol ve sağ çocuk olduğu yeni bir düğüm oluştur. Yeni düğümün ağırlığını çıkartılan iki düğümün ağırlıkları toplamı olarak belirle ve bu yeni düğümü kümeye at.
3. Kümede tek bir düğüm kalana kadar adım 2'yi tekrar et.
4. Bir harfin kodunu belirlemek için kök düğümünden o harfe karşılık gelen yaprak düğümüne giden yolu takip et. Yol üstünde ilerlerken her bir sol çocuk için koda O ve her bir sağ çocuk için koda 1 ekle.

---

Bu yönteme göre, n tane farklı harf içeren n uzunluğundaki bir mesajı kodladığımızda (boşluklar göz ardı edilerek), kodlanmış mesajın toplam uzunluğu hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

text<|/ref|>
[[132,

text<|/ref|>TYPE 1:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text<|/ref|> TYPE 2:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(2n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text TYPE 3:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(3n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textTYPE 4:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(4n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textType 5:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(5n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text Type 6:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(6n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text TypE 7:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(7n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text typE 8:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(8n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text type 9:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(9n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

texttype 10:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(10n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

texttypE 11:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(11n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text tyPe 12:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(12n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

texttyPe 13:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(13n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text typing 14:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(14n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text typed 15:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(15n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

texttyped 16:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(16n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textttyped 17:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(17n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text ttyped 18:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(18n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text ted 19:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(19n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textted 20:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(20n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

texted 21:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(21n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text ed 22:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(22n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text eed 23:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(23n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

texte 24:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(24n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text 25:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(25n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text te 26:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(26n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textte 27:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(27n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text tee 28:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(28n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text tea 29:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(29n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text tie 30:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(30n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text ti 31:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(31n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text tit 32:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(32n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text it 33:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(33n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text i 34:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(34n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text ii 35:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(35n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text iii 36:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(36n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text iv 37:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(37n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text v 38:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(38n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text vi 39:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(39n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text vii 40:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(40n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textviii 41:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(41n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text ix 42:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(42n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text x 43:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(43n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

text xi 44:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(44n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textx 45:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(45n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

texty 46:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(46n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textz 47:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(47n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textaa 48:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(48n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textab 49:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(49n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textac 50:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(50n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textad 51:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(51n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textae 52:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(52n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textaf 53:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(53n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textag 54:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(54n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textah 55:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(55n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textal 56:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(56n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textam 57:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(57n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textan 58:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(58n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textar 59:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(59n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textat 60:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(60n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

texta 61:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(61n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textaz 62:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(62n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textax 63:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(63n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textay 64:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(64n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textb 65:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(65n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textc 66:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(66n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textd 67:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(67n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textf 68:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(68n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textg 69:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(69n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

texth 70:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(70n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

texti 71:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(71n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textj 72:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(72n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textk 73:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(73n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textl 74:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(74n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textm 75:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(75n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textn 76:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(76n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

texto 77:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(77n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textp 78:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(78n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textq 79:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(79n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textr 80:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(80n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

texts 81:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(81n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textu 82:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(82n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textv 83:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(83n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textw 84:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(84n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textxe 85:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(85n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textye 86:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(86n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textyz 87:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(87n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textzz 88:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(88n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textza 89:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(89n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textba 90:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(90n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textbb 91:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(91n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textbc 92:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(92n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textcc 93:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(93n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textcd 94:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(94n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textce 95:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(95n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textcf 96:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(96n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textcg 97:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(97n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textch 98:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(98n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textci 99:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(99n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textcl 100:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(100n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textco 101:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(101n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textcol 102:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(102n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textcom 103:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(103n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textcon 104:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(104n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textcor 105:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(105n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textcos 106:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(106n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textcot 107:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(107n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textcov 108:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(108n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textcod 109:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(109n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textcop 110:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(110n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textcap 111:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(111n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textap 112:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(112n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textapp 113:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(113n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textapt 114:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(114n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textopt 115:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(115n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textop 116:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(116n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textot 117:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(117n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textott 118:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(118n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textoot 119:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(119n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textoo 120:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(120n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textoop 121:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(121n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textopp 122:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(122n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textos 123:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(123n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textoss 124:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(124n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textost 125:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(125n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textots 126:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(126n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textov 127:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(127n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textow 128:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(128n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textox 129:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(129n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textoy 130:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(130n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textoz 131:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(131n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textob 132:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(132n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textoc 133:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(133n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textod 134:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(134n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textoe 135:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(135n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textoa 136:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(136n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textoh 137:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(137n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textok 138:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(138n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textol 139:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(139n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textom 140:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(140n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

texton 141:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(141n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textor 142:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(142n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textog 143:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(143n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textoj 144:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(144n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textak 145:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(145n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textao 146:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(146n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textaq 147:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(147n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textaj 148:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(148n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textav 149:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(149n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textaw 150:  \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(150n) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

textai 151:  \( \log_{2} n \)  arasındadır (sınırlar dahil)

texta 152:  \( \log_{2} n \)  arasındadır (sınız) (sınırlar dahil)

text 153:  \( \log_{2} n \)  arasındadır (sınırdı) (sınırlar dahil)

text 154:  \( \log_{2} n \)  arasındadır (sının) (sınırlar dahil)

text 155:  \( \log_{2} n \)  arasındadır (sın, sınırlar dahil)

text 156:  \( \log_{2} n \)  arasındadır (sın) (sınırlar dahil)

text 157:  \( \log_{2} n \)  arasındadır (sın), (sınırlar dahil)

text 158:  \( \log_{2} n \)  arasındadır (sın). (sınırlar dahil)

text 159:  \( \log_{2} n \)  arasındadır (sınları dahil)

text 160:  \( \log_{2} n \)  arası

Şıklar:
A) \( n \log_{2}(n + 1) \)  ve  \( n \log_{2}(n + 2) \)  arasındadır (sınırlar dahil) | B) 2n ve 2n + 1 arasındadır (sınırlar dahil) | C) \( n \log_{2}(n) \)  ve  \( (n \log_{2} n) + n \)  arasındadır (sınırlar dahil) | D) \( \log_{2} n \)  ve  \( \log_{2}(n + 1) \)  arasındadır (sınırlar dahil)

Cevap: C \( n \log_{2}(n) \)  ve  \( (n \log_{2} n) + n \)  arasındadır (sınırlar dahil)

Çözüm:
Dikkat ederseniz her harften tam olarak 1 kere geçer. O zaman harfterin kodlarını oluşturduğumuz ağaç n yapraklı tam dolu bir ikili ağaca denk gelecek. Her yaprak düğümün derinliği ise  \( \log_{2}(n) \)  ile  \( \log_{2}(n)+1 \)  arasındadır. O zaman cevap da  \( n \log_{2}(n) \)  ile  \( n \log_{2}(n)+n \)  arasında olur.
##