alpsahin/tubitak-olimpiyat-dataset-v2 huggingface dataset:
Bilgisayar Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 44

Aşağıdaki programın derlenip çalıştırılması sonucu ne basılır?
int i, a[] = {1,2,3,4,5,6,7};
void f(int i, int j)
{
int temp;
if (i == j) return;
temp = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = temp;
}
main(void)
{
f(1,2);
f(2,6);
f(6,1);
for (i=0; i<7; i++) printf("%d ",a[i]);
}

Şıklar:
A) 1274563 | B) 1634527 | C) 1234567 | D) 1111111 | E) Derleme hatası oluşacağından, çalıştırılmaz.

Cevap: A 1274563

Çözüm:
Programı inceleyelim. Verilen f fonksiyonu a dizisindeki i ve j indisli elemanların yerlerini değiştirir. Fonksiyonun çağırılmaları sonucunda diziler sırasıyla aşağıdaki gibi olur.
- (1, 3, 2, 4, 5, 6, 7)
- (1, 3, 7, 4, 5, 6, 2)
- (1, 2, 7, 4, 5, 6, 3)
En sonunda diziği yazdırdığımıza ise "1 2 7 4 5 6 3" yazdırır.
Bilgisayar Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 45

Yukarıdaki programın çalışması sonucu
9 8 7 6 5 4 3 2 1
basılması için @@@@ ile gösterilmiş yerde ne olması gerekir?

Şıklar:
A) x((i+1)%3-1,(i-1)%3+1) | B) x((i-1)%3+1,(i+1)%3-1) | C) x((i+1)%3,i/3) | D) x(i/3,i%3) | E) Bu seçeneklerden başka bir ifade.

Cevap: D x(i/3,i%3)

Çözüm:
Bizden x fonksiyonunu 4 kere kullanarak \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\) dizisini \(\begin{bmatrix} 9 & 8 & 7 \\ 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}\) haline sokmamız isteniyor. Eğer x fonksiyonunu (O, O), (O, 1), (O, 2), (1, O) için çağırırsak dizistenen hale sokulmuş olur. D seçeneğinde ise tam olarak verilen parametreler için x fonksiyonu çağırılıyor.
Bilgisayar Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 46

Aşağıdaki programın derlenip çalıştırılması sonucu ne basılır?
int a,b,c;
int main(void)
{
a = 9;
{ int b = 8;
c = b;
{ int c=7;
a = b;}}
printf("%d %d %d",a,b,c);
}

Şıklar:
A) 878 | B) 808 | C) 987 | D) 708 | E) Derleme hatası vereceğinden, çalıştırılamaz.

Cevap: B 808

Çözüm:
Programı satır satır inceleyelim.
• Global değişken olarak a, b ve c değişkenleri tanımlanıyor ve bunların ilk değerleri O.
• Globaldeki a'ya 9 değeri atanıyor.
• Yeni bir blokta ilk değeri 8 olan bir b değişkeni tanımlanıyor ve global c'ye 8 atanıyor.
• Yeni bir blokta c değişkeni tanımlanıp global a'ya 8 atanıyor.
• En son ise global a, b ve c'nin değerleri "8 O 8" olarak yazdırılıyor.
Bilgisayar Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 47

Aşağıdaki programın derlenip çalıştırılmasında ne olur?
char i, *p="ABCDEFG", q[8]="GFEDCBA";
main()
{ for(i=1; i<7; i++) q[i-1] -= p[i] % p[i-1]; printf("%s",q); }

Şıklar:
A) i değişkenine sayısal değer atandığından derleme hatası oluşur. | B) p değişkenine atanan ilk değerin türünden ötürü derleme hatası oluşur. | C) FEDCBAA | D) AAAAAAA | E) FFFFFF

Cevap: C FEDCBAA

Çözüm:
Verilen p dizisinde tanımlı her pili % pili — 1 i n 1'e eşit olduğunu gözlemleyelim.
Çünkü pili = pili - 1 + 1 olur. O zaman for döngüsü O den 5 ya kadar her indis için q dizisinin o indisteki elemanının değerini 1 azaltıyor. O zaman q dizisinin son hali “FEDCBAA” olur ve kod bunu yazdırır.
Bilgisayar Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 48

Aşağıdaki programın derlenip çalıştırılması sonucu ne basılır?
int i;
main(void)
{
printf("%d", (++i)++);
}

Şıklar:
A) O | B) 1 | C) 2 | D) 3 | E) Derleme hatası oluşacağından, çalıştırılamaz.

Cevap: E Derleme hatası oluşacağından, çalıştırılamaz.

Çözüm:
++ operatörü soluna ya da sağına bir değişken almalıdır. Koddaki (++i) ise sabit bir sayı (1) döndürdüğü için (++i)++ ifadesi sabit sayıyı artırmaya çalışacağından aykırı bir ifade olur ve kod derleme hatası alır.
Bilgisayar Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 49

Aşağıdaki programın derlenip çalıştırılması Sonucu ne basılır?
int i=5, j=7;
main(void)
{
((i>j) ? i : j) = 9;
printf("%d %d", i, j);
}

Şıklar:
A) 57 | B) 59 | C) 99 | D) Derleme hatası oluşacağından, çalıştırılmaz. | E) Hiçbir şey basılamadan, çalıştırma (run-time) hatası oluşur.

Cevap: D Derleme hatası oluşacağından, çalıştırılmaz.

Çözüm:
Soruşareti operatörü değişkeni değil onun değerini döndürür. Sonrasındakod 7 = 9 gibi hatalı bir işlem yapamayacağından kod derleme hatası verir.
Bilgisayar Olimpiyatı 2009, 1. Aşama, Soru 50

Aşağıdaki programın derlenip çalıştırılması sonucu ne basılır?
int x,y,z;
main(void)
{
for (x=1,y=2,z=3; x<10,y<5,z<10; x++,y--,z=x++);
printf("*");
}

Şıklar:
A) * (yani1 adet ' * ) | B) **** (yani 4 adet ' * ) | C) ***** (yani 5 adet ' * ) | D) Hiçbir şey yazamadan sonsuz döngüye takılır. | E) Derleme hatası oluşacağından, çalıştırılamaz.

Cevap: A * (yani1 adet ' * )

Çözüm:
Dikkat ederseniz for döngüsünün sonunda noktalı virgül koyulmuş. Yani for döngüsü çalışırken hiçbir şey yazdırılmayacak. Döngü bittikten sonra da 1 kere ' * ' yazdırılacak.
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 1

**Daire biçimindeki bir makina parçasının çeperine vidalar takılmıştır. Vidalar 1'den başlayan ardışık sayılarla (1, 2, 3, ... N) numaralanmıştır. Vidalar, yan yana iki vida arasındaki mesafe eşit olacak şekilde ve numara sırasıyla dizilidir. 13 numaralı vida ile 32 numaralı vidanın, dairenin merkezine göre karşıt uçlarda konumlandığı görülmüştür. Makina parçasının üzerinde kaç tane vida vardır (Diğer bir ifadeyle, N değeri nedir)?**

Şıklar:
A) 19 | B) 26 | C) 38 | D) 40 | E) 45

Cevap: C 38

Çözüm:
13 numaralı vidadan 32 numaralı vidaya gidene kadar arada son vida hariç 19 vida geçilmiştir. O zaman 32'den 13'e gidene kadar da 18 vida geçilmelidir. Son kısmı iki parçaya ayıralım. (32'den 1'e giderkenki vida sayısı) + (1'den 13'e giderkenki vida sayısı) = 19 olmalıdır. Sağdaki toplamda 1'den 12 ye kadar numaralandırılmış vidalar içerilir, o zaman geriye 7 vida kalır. Bunlar da 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 numarallar olur. O zaman N = 38'dir.
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 2

**Öğrenci konseyinde 200 öğrencinin katıldığı bir oylama yapılmıştır. Önerge lehinde oy kullanmış olanların dörtte biri aleyhte oy kullanmış olsaydı, önerge yine de kabul edilecekti. Oysa lehte oy kullananların üçte biri aleyhte oy kullanmış olsaydı, önergede edilecekti. Önerge lehinde en az kaç oy kullanılmış olabilir? (Çekimser oy yoktur.)**

Şıklar:
A) 134 | B) 143 | C) 145 | D) 149 | E) 150

Cevap: A 134

Çözüm:
Önerge lehine oy kullananların sayısına X diyelim. Eğer önerge lehine kullananların \(\frac{1}{4}\)-ü aleyhte oy kullansaydı geriye 3X lehte oy kullanan kalır. Önerge hala kabul edilebildiğine göre oyların yarısından fazlası lehte olmalıdır. Bu durumda 3X > 400 denklemi elde edilir. Lehte oy kullananların \(\frac{1}{3}\)-ü aleyhte oy kullansaydı ise önerge reddedilecekti, o zaman 2X < 300 denklemi de sağlanmalıdır. Bize X'in minimum değeri soruluyor. Bu iki denklemi de sağlayan en küçük X tırm sayısı 134'tür.
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 3

Ali, Mete, Ozan ve Bora dört yüzücüdür. Her biri ayrı stilde (serbest, sırtüstü, kurbağalama, kelebek) yüzmektedir. Onları izleyen biri şu ifadeleri kullanmaktadır:
• Bora kurbağalama yüzmez.
• Ozan serbest yüzmez.
• Bora serbest yüzer.
• Mete kurbağalama yüzer.
• Ali sırtüstü yüzmez.
• Ozan kurbağalama yüzmez.
Bu ifadelerden tam olarak bir tanesi doğru olduğuna göre, yüzücülerin stillerini bulunuz.

text</td>
[[133, 340, 600, 355]]<|/det|>

Şıklar:
A) Ali: sırtüstü, Ozan: serbest, Bora: kurbağalama, Mete: kelebek | B) Ali: serbest, Ozan: sırtüstü, Bora: kurbağalama, Mete: kelebek | C) Ali: kelebek, Ozan: serbest, Bora: kurbağalama, Mete: sırtüstü | D) Ali: sırtüstü, Ozan: kurbağalama, Bora: serbest, Mete: kelebek | E) Ali: sırtüstü, Ozan: serbest, Bora: kelebek, Mete: kurbağalama

Cevap: A Ali: sırtüstü, Ozan: serbest, Bora: kurbağalama, Mete: kelebek

Çözüm:
Eğer Bora serbest yüzer ifadesi doğru olsaydı o zaman Bora kurbağalama yüzmek ifadesi de doğru olurdu, ama bize metinde tam olarak bir ifade doğru denmiş. O zaman Bora serbest yüzmek. İlk ve son ifadelere bakarsak ise ifedekilerden birinin kesinlikle kurbağalama yüzmeli olduğu sonucuna ulaşırız. Eğer Ozan kurbağalama yüzmek ifadesi yanlış olsaydı Ozan serbest yüzmek ifadesi doğru olacaktı. O zaman ilk ifadeyle beraber ikinci ifade de doğru olmak durumunda kalacaktı. O zaman Son ifade doğru kalanlar yanlış olmalıdır. Ardından doğruluk yanlışlığı bilinen ifadeleri incelediğimizde cevap A seçeneğindeki gibi bulunur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 4

İki oyunculu bir oyun oynanıyor. Başlangıçta, masanın üzerine p adet taş konuluyor. Bir oyuncu, bir ham- lede, en az 1 en çok m adet taşı masadan alıyor. Oyuncular hamlelerini sıra ile yapıyorlar. Bu oyun hak- kında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Şıklar:
A) Masadan son taşı alanın kazandığı kabul edilirse, birinci oyuncunun daima kazanma yolu vardır. | B) Masadan son taşı alanın kazandığı kabul edilirse birinci oyuncunun daima kazanma yolu ancak p ile m sayıları aralarında asal ise vardır. | C) Masadan son taşı alanın kaybettiği kabul edilirse, ikinci oyuncunun daima kazanma yolu vardır. | D) Kazanma kuralı ne olursa olsun, p ile m verilmeden sonuç bilinemez. | E) Oyunun oynanabilmesi için p > m olmalıdır.

Cevap: D Kazanma kuralı ne olursa olsun, p ile m verilmeden sonuç bilinemez.

Çözüm:
Tek tek şıkları yanlışlayalım:
- A seçeneğindeki oyunda m sayısı eğer 1'e eşitse p çiftse ikinci oyuncu, tekse ilk oyuncu kazanır. O zaman A'daki ifade yanlıştır.
- B seçeneğindeki oyunda m ve p nin birbirine eşit ve 1'den büyük sayılar olduğunu düşünelim. İlk oyuncu ilk hamlede tüm taşları alır ve daima kazanır. Ayrıca m ve p aralarında asal olmadıkları için B seçeneği de yanlış olur.
- C seçeneğindeki oyunda m sayısı eğer 1'e esitse p çiftse ilk oyuncu, tekse ikinci oyuncu kazanır. O zaman C'deki ifade yanlıştır.
- E seçeneği ise yanlıştır, m ve p eşit olsa da oyun oynanabilir.
Yukarıdaki örneklerde de olduğu gibi m ve p'nin durumuna göre kazanan değişiyor, o zaman kazanma kuralı m ve p 'den bağımsız değildir, bu durumda D seçeneği doğru seçenek olur.
##
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 5

Bir çiftlikte, toplam adedi 5 olan, üç tip pamuk toplama makinası kullanılmaktadır. Bunlara, gücü çok olandan az olana doğru, A, B ve C tipleri diyelim. Makinaların gücü, birbirine kıyasla şu şekilde ifade ediliyor:
- 2 adet A tipi makina, 3 adet B tipi makina artı bir C tipi makinaya denktir.
- 5 adet B tipi makina, 3 adet A tipi makina artı 2 adet C tipi makinaya denktir.
Bir haftada toplanan pamuk 62 tondur. Her bir makinanın üretimi ton birimli tamsayı olarak kabul edilecektir. Her bir tipte kaç tane makina olduğunu bulunuz.

Şıklar:
A) A:1, B:2, C:2 | B) A:2, B:1, C:2 | C) A:2, B:2, C:1 | D) A:3, B:1, C:1 | E) A:1, B:1, C:3

Cevap: B A:2, B:1, C:2

Çözüm:
A, B, C makinelerinin güçlerine sırasıyla a, b, c diyelim, ilk ifadedeki denklemi 2 ile genişlettiğimizde 4a = 6b + 2c denklemi elde edilir. İkinci ifadeden ise 5b = 3a + 2c denklemi elde edilir. İki denklemi ortak çözersek 11b = 7a = 77c ifadesi elde edilir. O zaman k bir tamsayı olmak üzere A, B, C'nin güçleri sırasıyla 11k, 7k, k olarak ifade edilebilir. Eğer k = 2 dersek 2'şer A ve C tipi, 1 tane de B tipi makine alırsa toplamda 62 ton pamuk toplanmış olur. O zaman B seçeneği doğru cevaptır.
##
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 6

### [6-8] soruları için açıklama
Sıralı ikililerden oluşmuş kümeler düşünelim. Bunlara ilinti diyeceğiz. Örnek olarak, R ve S şu şekilde tanımlanmış iki ilinti olsun: R = {(a, b), (a, c), (c, b)}, S = {(a, d), (b, b), (b, a), (e, f)}. İkilileri oluşturan elemanları kapsayan bir E evrensel kümesinin bulunduğunu var sayacağız. Bu örnekte, E = {a, b, c, d, e, f, g} olabilir.
İki ilinti arasında tanımlanan O işlemi, birinci ilintinin bütün ikilileriyle ikinci ilintinin bütün ikililerini karşılaştırmakta, birinciden gelen ikilinin ikinci elemanıyla, ikinciden gelen ikilinin birinci elemanı eşitse, birincinin birinci elemanı ve ikincinin ikinci elemanından yeni bir ikili oluşturmaktadır. Bu şekilde oluşturulan tüm ikililer sonuç ilintisini meydana getirmektedir. Örneğin, yukarıda verilen R ve S için, R ∪ S = {(a, b), (a, a), (c, b), (c, a)}.

---

A = {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)} ve A ⊙ B = {(1, 2), (2, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 2), (4, 3)} olduğuna göre olabilecek en küçük B ilintisi nedir? ("En küçük" ilintideki ikililerin sayısının, istenen koşulu sağlamak kaydıyla, en az olması anlamındadır.)

Şıklar:
A) {(1, 2), (1, 3), (4, 4)} | B) {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} | C) {(1, 2), (2, 2), (2, 3)} | D) {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (3,3)} | E) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3)}

Cevap: B {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}

Çözüm:
A'dan gelen (1, 1) ile B'den öyle bir ikili işleme girmeli ki (1, 2) çıksın. O yüzden B'de (1, 2) olmalıdır. Aynı şekilde A'daki (2, 1) ile B'den sadece (1, 3) işleme girerse sonda (2, 3) oluşur. O zaman B'de (1, 3) de olmalıdır. Sonuç ilintisinde (3, 3) varsa sadece A'daki (3, 2) ile B'den (2, 3)'ün işleme girmesiyle oluşur. B'de başka bir ikiliye ihtiyaç yoktur. O zaman
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 8

### [6-8] soruları için açıklama
Sıralı ikililerden oluşmuş kümeler düşünelim. Bunlara ilinti diyeceğiz. Örnek olarak, R ve S şu şekilde tanımlanmış iki ilinti olsun: R = {(a, b), (a, c), (c, b)}, S = {(a, d), (b, b), (b, a), (e, f)}. İkilileri oluşturan elemanları kapsayan bir E evrensel kümesinin bulunduğunu var sayacağız. Bu örnekte, E = {a, b, c, d, e, f, g} olabilir.
İki ilinti arasında tanımlanan O işlemi, birinci ilintinin bütün ikilileriyle ikinci ilintinin bütün ikililerini karşılaştırmakta, birinciden gelen ikilinin ikinci elemanıyla, ikinciden gelen ikilinin birinci elemanı eşitse, birincinin birinci elemanı ve ikincinin ikinci elemanından yeni bir ikili oluşturmaktadır. Bu şekilde oluşturulan tüm ikililer sonuç ilintisini meydana getirmektedir. Örneğin, yukarıda verilen R ve S için, R ∪ S = {(a, b), (a, a), (c, b), (c, a)}.

---

Verilen bir A ilintisi için ~A, ilintisindeki bütün ikililerin birinci ve ikinci elemanlarının yer değiştirmesiyle oluşan ikililerden oluşan ilintiyi göstersin. Yukarıdaki R örneği için, ~R = {(b, a), (c, a), (b, c)}
Herhangi A ve B ilintileri ele alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Şıklar:
A) ~(A ⊙ B) = ~B ⊙ ~A | B) A ⊙ ~A = ~A ⊙ A | C) A ⊙ (A ⊙ ~A) = A | D) ~(A ⊙ B) = ~A ⊙ ~B | E) (~A) ⊙ B = B ⊙ (~A)

Cevap: A ~(A ⊙ B) = ~B ⊙ ~A

Çözüm:
(a, b) ile (b, c) işleme sokulunca (a, c) çıkar. İlk ikili A'dan ikinci ikili B'den gelsin. Eğer (c, b) ile (b, a) işleme girerse ise (c, a) çıkar. Yani ~B ○~A = ~(A ○ B) olur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 9

### [9-11] soruları için açıklama
Bir sıralama çizeneği düşey çizgiler halinde çizilen yaşam çizgilerinden ve iki yaşam çizgisi arasında yatay olarak çizilen oklardan oluşmaktadır. Bir ok bir yaşam çizgisinden diğerine bir mesaj gönderildiğini belirtmektedir. Bir yaşam çizgisi üzerinde, içi dolu küçük daireler ile gösterilen olaylar, yukarıdan aşağıya doğru sıra ile meydana gelmektedir. Bir mesajın gönderilmesi ve alınması da yaşam çizgileri üzerinde gösterilen olaylardır. Bir mesajın gönderilme olayının aynı mesajın alınmasından önce gelmesi gerektiği açıktır. İki farklı yaşam çizgisi üzerindeki olayların birbirine göre önceliğini belirleyen başka bir kural yoktur.
[GÖRSEL]
Örneğin, verilen sıralama çizeneğinde al ve b3 olaylarının birbirine göre sırası belirlenmemiştir. Öte yandan, a3 olayının b2'den sonra gelmesi gerektiği bellidir, ancak a3 b3'ten önce veya sonra gelebilir.

---

Aşağıda verilen olay akışlarından hangisi yukarıdaki çizenek ile uyumlu değildir?

Şıklar:
A) b1, a1, b2, b3, a2, a3 | B) a1, b1, b2, a2, a3, b3 | C) a1, b1, b2, a2, b3, a3 | D) a1, b1, a2, a3, b2, b3 | E) b1, b2, b3, a1, a2, a3

Cevap: A b1, a1, b2, b3, a2, a3

Çözüm:
Çizeneğe göre b2, a2'den önce gelmelidir. Fakat D seçeneğinde b2 daha sonra gelmiş. Bu çelişkiden dolayı cevap D olmalıdır.
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 10

### [10-11] soruları için açıklama
Takip eden iki soru için aşağıda gösterilen sıralama çizeneğini dikkate alınız.
[GÖRSEL]

---

Aşağıda verilen ikili olay önceliklerinden hangisi verilen çizenek ile uyumludur?

Şıklar:
A) b2 — a1 (b2 a1'den önce gelir) | B) a3 — c1 | C) b3 — a3 | D) c2 — a2 | E) a4 — c2

Cevap: D c2 — a2

Çözüm:
Olay önceliklerini tek tek inceleyelim:
- A seçeneğinde b2'den sonra a1 gelmesi gerektiği belirtilmiş, fakat b2 a2'den sonra a1 de a2'den önce gelmesi gerekli olduğundan A'daki ifade yanlıştır.
- B seçeneği de yanlıştır çünkü a3, c2'den sonra, c1 de c2'den önce gelmelidir.
- b3, a4'ten dolayısıyla da a3'ten sonra gelmelidir. O zaman C seçeneği de yanlış olur.
- c2, a3'ten önce gelmelidir, o zaman a4, c2'den sonra gelmelidir. E seçeneği de yanlıştır.
- D seçeneği herhangi bir çelişki oluşturmamaktadır, o zaman doğru seçenek D seçeneği olur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 11

### [10-11] soruları için açıklama
Takip eden iki soru için aşağıda gösterilen sıralama çizeneğini dikkate alınız.
[GÖRSEL]

---

Aşağıda verilen olay önceliklerinden hangisi verilen çizeneğe göre zorunludur?

Şıklar:
A) b2 — a1 | B) a3 — c3 | C) a1 — c2 | D) c2 — b3 | E) b2 — a3

Cevap: D c2 — b3

Çözüm:
Doğru cevap D seçeneği olmalıdır çünkü c2, a3’ten, a3, a4’ten, a4 ise b3 ten önce gelmelidir. O zaman c2 de b3’ten 
önce gelmelidir.
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 17

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) kümesinin ardışık sayılar içermeyen kaç farklı altkümesi vardır?

Şıklar:
A) 33 | B) 34 | C) 38 | D) 49 | E) 55

Cevap: E 55

Çözüm:
Bir F fonksiyonu tanımlayalım. F(x), x'ten küçük eşit pozitif tam sayılar kümesinin ardışık sayı içermeyen alt küme sayısını versin. O zaman cevap F(8) olmalıdır. Peki F(x) neye eşit olur?
F(x) i hesaplarken eğer x sayısını alt kümeye katarsak diğer aldığımız sayılar x-2'den küçük eşit olmalı -F(x-2)-, eğer x i alt kümeye almazsak kalan alt kümeye elemanları x-1'den küçük eşit olmalıdır -F(x-1)-. O zaman F(x) = F(x-1) + F(x-2) olur. F(1) = 2, F(2) = 3 (boş kümeyi unutmayın!) olduğuna göre F(8) de 55 olur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 18

4 adet rakamdan oluşan ve içinde çift sayıda 0 bulunan kaç farklı şifre oluşturulabilir?

Şıklar:
A) 60 42 | B) 61 89 | C) 68 16 | D) 70 48 | E) 81 01

Cevap: D 70 48

Çözüm:
Şifrede geçen O sayısına göre ayrı ayrı çözelim.
- O sayısı O olursa:
Her rakam için 9 seçenek vardır (1 ... 9), o zaman toplam 9⁴=6561 durum olur.
- O sayısı 2 olursa:
O olmayan her rakam için 9 seçenek vardır (1 ... 9), o zamantoplam 9^2 farklı şekilde onları seçeriz. Sonra bu seçilen sayıları da C(4, 2) şekilde 4 rakamlık şifrenin iki konumunu seçip buralara sırasıyla seçtiğimiz rakamları, kalan 2 boşluğa da O koyarız. Toplam durum sayısı C(4, 2)×9²=486 olur.
O sayısı 4 olursa:
Tek durum vardır, o da OOOO durumudur.
Hepsinı toplarsak ise 6561 + 486 + 1 = 7048 olur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 19

(x+y+z)¹⁰⁰ ifadesi açıldığında, herbir x'i y'z' (i+j+k = 100) şeklindeki ortak terimlerin toplandığı varsayılırsa, toplam kaç farklı terim elde edilir?

Şıklar:
A) 5O25 | B) 5151 | C) 5216 | D) 5218 | E) 5316

Cevap: B 5151

Çözüm:
Soruda bize (i + j + k) = 100 denklemini sağlayan ve i, j, k sayılarının negatif olmayan tamsayılar olduğu kaç farklı çözüm vardır diye sorulmuş. Bu da C(1O2, 2) = 5151'e eşittir.
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 20

1529 ve 14038 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü aşağıdakilerden hangisidir?

Şıklar:
A) 1 | B) 3 | C) 7 | D) 9 | E) 11

Cevap: A 1

Çözüm:
Eğer x ve y > O ise OBEB(x, y) = OBEB(y'nin x ile bölümünden kalan, x) olduğunu hatırlayın. O zaman adım adım ilerleyelim.
- OBEB(1529, 14038) = OBEB(277, 1529)
- OBEB(277, 1529) = OBEB(144, 277)
- OBEB(144, 277) = OBEB(133, 144)
- OBEB(133, 144) = OBEB(11, 133)
- OBEB(11, 133) = OBEB(1, 11) = 1
O zaman cevap 1'dir, yani 1529 ile 14038 aralarında asaldır.
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 21

\(2x \equiv 7 \pmod{17}\) lineer denklik denkleminde x aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Şıklar:
A) 10 | B) 28 | C) -28 | D) -4 | E) -5

Cevap: E -5

Çözüm:
Soruda bize \(2x \equiv 7 \pmod{17}\) denklemi verilmiş. Sağ tarafa 17 eklersek \(2x \equiv 24 \pmod{17}\) denklemi elde edilir. Buradan da \(x=12 \pmod{17}\) denklemine geçilir. O zaman herhangi bir k tam sayısı için \(x = 12 + 17k\) şeklinde ifade edilebilir. \(k\)'ya -1 verirsek -5 elde ederiz. O zaman -5 x'in çözüm kümesinden bir elemandır.
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 22

\(\left(x + \frac{1}{x}\right)^2\) ifadesi açıldığında \(x^k\) (k, -100 ile 100 arasında bir çift tamsayıdır) teriminin sabit çarpanı aşağı-dakilerden hangisidir?

Şıklar:
A) \(C(100, \frac{100+2k}{2})\) | B) \(C(100, \frac{100-k}{2})\) | C) \(C(100, \frac{100+k}{3})\) | D) \(C(100, \frac{100-k}{3})\) | E) \(C(99, \frac{100-k}{3})\)

Cevap: B \(C(100, \frac{100-k}{2})\)

Çözüm:
Binom açılımından ifadenin tüm terimleri \(0 \le i \le 100\) ve i bir tam sayı olmak üzere \(x \in XC(100, i) \times (\frac{1}{x})^i\) şeklinde
ifade edilebilir. İfadeyi sadeleştirirsek terim \(x^{i-1} \in XC(100, i)\) olur. \(i-j = k\) ve \(i+j = 100\) olduğundan \(i = \frac{100+k}{2}\) olur.
\(C(100, \frac{100+k}{2}) = C(100, \frac{100-k}{2})\) olduğundan
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 23

m adet birbirinin aynı kalemi n adet farklı kalem kutularına (m ≥ n) her bir kutu boş kalmayacak şekilde kaç farklı şekilde dağıtabiliriz?

Şıklar:
A) \(C(m, n)\) | B) \(C(m, n-1)\) | C) \(C(m-1, n)\) | D) \(C(m-1, n-1)\) | E) \(C(m, m \mod n)\)

Cevap: D \(C(m-1, n-1)\)

Çözüm:
Haydi i.kalem kutusundaki kalem sayısını \(a_i\) ifade etsin. O zaman her \(a_i\) pozitif bir tam sayı olmak üzere \(a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}+a_n=m\) denkleminin çözüm kümesi sayısı bize cevabı verir. Eğer en sonda her kalem kutuya 1'er kalem daha koymak için n kalemi ayırırsak denklem \(b_1+b_2+b_3+...+b_{n-1}+b_n=m-n\) haline gelir ve artık sayılar O dan büyük eşit tam sayılar olmalıdır (\(b_1+1=a\)). Bu da bilinen bir probleme dönüşür ve cevap \(C(m-n+n-1,n-1)=C(m-1,n-1)\) olur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 24

Bir programcı çalışması gereken toplam 15 saati, günde en az 2 saat çalışmayı sağlayacak şekilde, toplam 5 güne dağıtmak istiyor. Programcının zamanını birer saatlik birimlerin katları ile dağıtabildiğini varsayarsak, kaç farklı dağıtım yapılabilir?

Şıklar:
A) C(10, 5) | B) C(12, 4) | C) C(15, 4) | D) C(14, 4) | E) C(9, 4)

Cevap: E C(9, 4)

Çözüm:
Eğer i.günde programcının aşaat çalıştığını varsayalım.
O zaman bizden istenen \(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 15\) denkleminin her \(a_i\)'nin 2'den büyük eşit olduğu çözümler sayısıdır. Eğer \(b_1 = a_1 - 2\) dersek, cevap \(b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = 5\) denkleminin her \(b_i\)'nin O'dan büyük eşit tam sayı olduğu çözüm kümesinin eleman sayısı olur. Bu da C (5 + 4,4)'e denk olur.
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 25

Bir tiyatro salonunda 10 adet yan yana dizilmiş koltuk olup bunlardan 7 tanesinin dolu olduğu bilinmektedir. Buna göre yan yana iki adet boş koltuk bulunma olasılığı nedir?

Şıklar:
A) \(\frac{9}{15}\) | B) \(\frac{8}{15}\) | C) \(\frac{9}{14}\) | D) \(\frac{11}{15}\) | E) \(\frac{11}{14}\)

Cevap: B \(\frac{8}{15}\)

Çözüm:
Tüm durumlar C(10,7) olarak bulunur. Bizden istenen durumların dışında kalan durum sayısını hesaplayalım. Bu durumlar da hiçbir ardışık 2 koltuğun beraber boş olmadığı durum sayısına denktir. 7 boş koltuğu yan yana düşünün. Bu koltukların aralarında 8 tane boşluk bulunur.
(Dildildildildild). İleri den dolu koltukları temsil ettiğini düşünün, eğer biz bu İleri 3 tanesini seçersek, bunların yerine b yazarsak, sonra da kalan tüm İleri kaldırırsak geriye kalan durumlar, tam da soruda istenen durumların tümleyeni olan durumlar kümesine denk gelecek. O zaman soruda istenen durum sayısı C(10,7)-C(8,3)= 64 olur. Olasılık ise
\[ \frac{64}{120} = \frac{8}{15} \text{ olur.} \]
Bilgisayar Olimpiyatı 2010, 1. Aşama, Soru 26

8 x 8'lik bir satranç tahtasında, aynı satır veya aynı sütün üzerinde olmayan iki kare, kaç farklı şekilde seçilebilir?

Şıklar:
A) \(32 \times 49\) | B) \(\frac{64 \times 63}{2}\) | C) \(\frac{64 \times 52}{2}\) | D) \(1508\) | E) \(1982\)

Cevap: A \(32 \times 49\)

Çözüm:
64 farklı şekilde ilk kareyi seçtiğimizi düşünün. Kalan kare için seçebileceğimiz 49 kare vardır, çünkü seçebileceğimiz 7 farklı satır, 7 farklı sütun vardır (7x7=49). O zaman bu kareleri sıralı şekilde 49 x 64 farklı şekilde seçebiliriz. Ama soruda bu kareleri sıralı seçmemiz istenmemiş, yani ilk kare ya da ikinci kare yok, sadece seçilen kareler var. O zaman kareleri seçmenin kendi içindeki sıralaması aynı durumları temsil ettiği için cevabı 2'le bölmeliyiz.