Плотность тока

Пло́тность то́ка — векторная физическая величина, характеризующая плотность потока электрического заряда в рассматриваемой точке. В СИ измеряется в Кл/м2/c или, что то же самое, А/м2. 

Если все носители заряда имеют одинаковый заряд , плотность тока вычисляется по формуле
 ,
где  (м-3) — концентрация носителей, а  — средняя скорость их движения. В более сложных случаях производится суммирование по носителям разных сортов.

Плотность тока имеет технический смысл силы электрического тока, протекающего через элемент поверхности единичной площади. При равномерном распределении плотности тока и сонаправленности её с нормалью к поверхности, через которую протекает ток, для величины вектора плотности тока выполняется:
 ,
где I — сила тока через поперечное сечение проводника площадью S. Иногда говорится о скалярной плотности тока, в таких случаях под ней подразумевается величина  в формуле выше.

Варианты вычисления плотности тока 
В простейшем предположении, что все носители тока (заряженные частицы) двигаются с одинаковым вектором скорости  и имеют одинаковые заряды  (такое предположение может иногда быть приближенно верным; оно позволяет лучше всего понять физический смысл плотности тока), а концентрация их ,
 
где  — плотность заряда этих носителей. Направление вектора  соответствует направлению вектора скорости , с которой движутся заряды, создающие ток, если q положительно. В реальности даже носители одного типа движутся вообще говоря и как правило с различными скоростями. Тогда под  следует понимать среднюю скорость.

В сложных системах (с различными типами носителей заряда, например, в плазме или электролитах)
 ,
то есть вектор плотности тока есть сумма плотностей тока по всем разновидностям (сортам) подвижных носителей; где  — концентрация частиц,  — заряд частицы,  — вектор средней скорости частиц -го сорта.

Выражение для общего случая может быть записано также через сумму по всем индивидуальным частицам из некоторого малого объёма , содержащего рассматриваемую точку:
 .

Сама формула почти совпадает с формулой, приведенной чуть выше, но теперь индекс суммирования i означает не номер типа частицы, а номер каждой индивидуальной частицы, не важно, имеют они одинаковые заряды или разные, при этом концентрации оказываются уже не нужны.

Плотность тока и сила тока 

В общем случае сила тока (полный ток) может быть рассчитана исходя из плотности тока по формуле
 ,
где  — нормальная (ортогональная) составляющая вектора плотности тока по отношению к элементу поверхности площадью ; вектор  — специально вводимый вектор элемента поверхности, ортогональный элементарной площадке и имеющий абсолютную величину, равную её площади, позволяющий записать подынтегральное выражение как обычное скалярное произведение. Обратное нахождение плотности тока по известной силе тока невозможно; в предположении равноплотного токопротекания перпендикулярно площадке будет .

Сила тока представляет собой поток вектора плотности тока через заданную фиксированную поверхность. Часто в качестве такой поверхности рассматривается поперечное сечение проводника.

Величиной плотности тока обычно оперируют при решении физических задач, в которых анализируется движение заряженных носителей (электронов, ионов, дырок и других). Напротив, использование силы тока удобнее в задачах электротехники, особенно когда рассматриваются электрические цепи с сосредоточенными элементами.

Плотность тока и законы электродинамики 
Величина плотности тока фигурирует в ряде важнейших формул классической электродинамики, некоторые из них представлены ниже.

Уравнения Максвелла 
Плотность тока в явном виде входит в одно из четырёх уравнений Максвелла, а именно в уравнение для ротора напряжённости магнитного поля
 , 
физическое содержание которого в том, что вихревое магнитное поле порождается электрическим током, а также изменением электрической индукции ; значок  обозначает частную производную (по времени ). Это уравнение приведено здесь в системе СИ.

Уравнение непрерывности 
Уравнение непрерывности выводится из уравнений Максвелла и утверждает, что дивергенция плотности тока равна изменению плотности заряда со знаком минус, то есть
 .

Закон Ома в дифференциальной форме 
В линейной и изотропной проводящей среде плотность тока связана с напряжённостью электрического поля в данной точке по закону Ома (в дифференциальной форме):
 ,
где  — удельная проводимость среды,  — напряжённость электрического поля. Или:
 ,
где  — удельное сопротивление.

В линейной анизотропной среде имеет место такое же соотношение, однако удельная электропроводность  в этом случае, вообще говоря, должна рассматриваться как тензор, а умножение на неё — как умножение вектора на матрицу.

Плотность тока и мощность 
Работа, совершаемая электрическим полем над носителями тока, характеризуется плотностью мощности [энергия/(время•объем)]:
 ,
где точкой обозначено скалярное произведение.

Чаще всего эта мощность рассеивается в среду в виде тепла, но вообще говоря она связана с полной работой электрического поля и часть её может переходить в другие виды энергии, например такие, как энергия того или иного вида излучения, механическая работа (особенно — в электродвигателях) и т. д.

С использованием закона Ома формула для изотропной среды переписывается как
 ,
где  и  — скаляры. Для анизотропного случая будет
 ,
где подразумевается матричное умножение (справа налево) вектора-столбца на матрицу и на вектор-строку, а тензор  и тензор  порождают соответствующие квадратичные формы.

4-вектор плотности тока 

В теории относительности вводится четырёхвектор плотности тока (4-ток), составленный из объёмной плотности заряда  и 3-вектора плотности тока 

 

где  — скорость света.

4-ток является прямым и естественным обобщением понятия плотности тока на четырёхмерный пространственно-временной формализм и позволяет, в частности, записывать уравнения электродинамики в ковариантном виде.

Примечания 

Электродинамика
Плотность
Физические величины