Differentialligning

En differentialligning er en ligning, hvori der indgår en (ubekendt) funktion og dens afledede. At løse differentialligningen vil sige at finde en funktion, som tilfredsstiller denne.

Den helt generelle form for en n'te ordens lineær differentialligning ser således ud:

Såfremt  er lig nul, siger man, at differentialligningen er homogen, og i alle andre tilfælde, at den er inhomogen.

En differentiallignings orden afhænger af, hvor mange gange der højest er differentieret. Ordenen kan således være fra et og opefter.

== Eksempel: Hastighed og acceleration ==
Et eksempel på benyttelse af differentialligninger i hverdagen er beskrivelsen af hhv. hastighed og acceleration i én dimension. Hastigheden  er defineret som ændring i position  pr. tidsændring :

Samtidig er acceleration  ændringen i hastighed pr. tidsændring:

Dette er eksempler på differentialligninger af hhv. første og anden orden, idet man kan opfatte både strækning og hastighed, som en funktion, der afhænger af tiden.

Flere praktiske eksempler er differentialligninger til beskrivelse af elektriske kredsløb eller til beskrivelse af et masse-fjedersystem. Her tænkes der på en masse, som er fastmonteret til en fjeder, hvorefter fjederen bliver strakt ud. Beskrivelsen af den oscillerende bevægelse frem og tilbage beskrives typisk også med en differentialligning. Dette er kun ganske få udpluk af utallige praktiske anvendelser.

Eksempel: Lodret kast med bold 
Et konkret eksempel på anvendelse af ovenstående differentialligninger kan ses ved at kaste en bold lodret op i luften og beregne, hvornår den rammer jorden. Ses der bort fra luftmodstanden, vil denne bold accelerere nedad med tyngdeaccelerationen , som i Danmark er omtrent 9,82 m/s². Det betyder, at følgende differentialligning kan opstilles for boldens højde  over jorden:

Hvor strækningen er målt i meter og tiden i sekunder. Det negative fortegn skyldes, at tyngdekraften presser nedad på bolden.

Der antages yderligere, at bolden kastes opad med farten 5 m/s og at den slippes fra en højde på 1,5 m. Disse to informationen kaldes begyndelsesbetingelser til differentialligningen. De kan skrives matematisk, som hhv.:

Løsningen til differentialligningen kan findes ved at integrere af to omgange. Først findes hastigheden:

I denne differentialligning kan den første begyndelsesbetingelse indsættes, så der opnås:

Dette er en udtryk for boldens hastighed. Ønskes strækningen integreres det:

Heri kan den anden begyndelsesbetingelse anvendes:

Dette er den løsningen til den oprindelige differentialligning. Spørgsmålet om hvornår den rammer jorden kan besvares ved at løse andengradsligningen:

Hvilket giver den positive løsning:

Bolden rammer derfor jorden efter 1,23 sekunder.

Populær definition af differentialligning 
Populært sagt er en differentialligning en type ligning, som består af to ubestemte integraler; men der er gået kludder i de to ubestemte integraler.

Som standard er det ene integral af  og det andet integral er af .

Metoden separation af de variable

At løse en differentialligning kan ske ved metoden separation af de variable.

Her starter man med at definere to funktioner; der som standard hedder  og .

Man tager forbehold og sikrer, at 

for man skal senere dividere med  eller rettere: Man skal dividere med det, som er lig med .

Når man har bragt orden i de ubestemte intgraler,

sætter man et integraltegn (det langstrakte s:) på hver side af lighedstegnet.

Skrive to stamfunktioner

Herefter skal man skrive to stamfunktioner.

Ved at skrive de to stamfunktioner opstår der en almindelig ligning.

Løse den almindelige ligning

Den almindelige ligning løser man ved at isolere variablen 

Så har man beregnet differentialligningens fuldstændige løsning.

Nogle eksempler på typer af differentialligninger 
Ifølge Hebsgaard (1995) findes der flere forskellige typer differentialligninger.

· Den proportionale første ordens differentialligning

 og dens fuldstændige løsning

· Den lineære første ordens differentialligning

 og dens fuldstændige løsning

· Den proportionale anden ordens differentialligning

 og dens fuldstændige løsning

for 

for 

for 

Løsningen beregnes nemt ved at integrere to gange.

Eksempler på anvendte differentialligninger 
 Navier-Stokes' ligning
 Euler-Lagrange-ligning
 Logistisk vækst
 Newtons afkølingslov
 Newtons anden lov
 Radioaktivitet
 Reaktionshastighed

Løsning 
En funktion , som tilfredsstiller en differentialligning, kaldes en løsning. Grafen for  kaldes en løsningskurve eller integralkurve; samtlige funktioner, som tilfredsstiller en differentialligning kaldes den fuldstændige løsning. Korte stumper af løsningskurver indtegnet i koordinatsystemet betegnes linjeelementer.

Løsningsmetoder 
 Separation af de variable
 Anvende panserformlen til at løse lineær differentialligning af første orden

CAS-softwares 
En håndfuld CAS-softwares kan løse differentialligninger algebraisk. Den typiske kommando for at løse differentialligning er

enten:

dsolve( , ) for Maple og Mathematica

eller:

deSolve( ,,) for TI-Nspire CAS og TI-92 Plus online emulator og TI-89 online simulator

hhv.

desolve( , ) for SageMath og Xcas og ExpressionsinBar

Disse websites kan løse differentialligninger

 https://www.symbolab.com/solver/ordinary-differential-equation-calculator 
 https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/differential-equations/ 
Kunstig intelligens er ved at lære at løse første ordens og anden ordens differentialligninger.

Eksterne kilder

Bøger 
 Bahr, Kristian (2015): Smart matematik A : teoribog til adgangskursus. Praxis - Nyt Teknisk Forlag, Odense. 
 Bruun, Bodil & Grøn, Bjørn m.fl. (2015): Hvad er matematik? - A : grundbog. 2. udgave. Lindhardt og Ringhof, København. 
 Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1985): Matematik 2 - Matematik for gymnasiets matematisk-fysiske gren. Forlaget Systime, Herning. 
 Hebsgaard, Thomas m.fl. (1995): Matematik højniveau 2. integralregning og differentialligninger. Forlaget Trip, Vejle. 
 Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 2 : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. . (online) URL: https://d3bxy9euw4e147.cloudfront.net/oscms-prodcms/media/documents/CalculusVolume2-OP_esPpXTB.pdf
 Reinhardt, Fritz & Soeder, Heinrich (1977): dtv-Atlas zur Mathematik : Tafeln und Texte : Analysis und angewandte Mathematik. Band 2. Deutscher Taschenbuch Verlag, München.

Referencer 

 
Ligninger