Дружественные числа

Дру́жественные чи́сла — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. То есть, пару натуральных чисел  называют дружественной, если:

 
 

где  — делители числа ,  — делители числа .

Большой важности для теории чисел эти пары не представляют, но являются любопытным элементом занимательной математики.

Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе.

Если учитывать все делители, получим:  или  
другое определение дружественных чисел, эквивалентное данному. Два числа называются дружественной парой, если они имеют одинаковую сумму всех своих делителей, которая равна сумме этих чисел.

Аналогично, три числа образуют дружественную тройку, если они имеют одинаковую сумму всех своих делителей, которая равна сумме этих чисел. .

История 
Дружественные числа были открыты последователями Пифагора; правда, им удалось найти только одну пару дружественных чисел — 220 и 284.
 Список делителей для 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, — их сумма равна 284.
 Список делителей для 284: 1, 2, 4, 71 и 142, — и сумма равна 220.

Примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра предложил формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел. Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел:
  и ;
  и .
В XVIII веке Эйлер нашёл достаточный критерий построения пар дружественных чисел, и в его списке было уже 90 пар. Правда, этот критерий охватывает не все пары: например, пару (1184, 1210) Эйлер не заметил — её обнаружили уже в XIX веке. В XX веке компьютеры помогли найти десятки миллионов пар. Но эффективного общего способа нахождения всех таких пар нет до сих пор.

Первые пары 
Пары дружественных чисел образуют , причём числа, которые в своей дружественной паре являются меньшими, собраны в последовательность A002025, а бо́льшие - A002046. Суммы чисел в каждой паре образуют последовательность A180164. Примечательно, что все такие суммы, слагаемые где чётны, вплоть до  (сумма  и ) делятся на . Суммы, не делящиеся на , находятся в A291550.

  (Пифагор, около 500 до н. э.)
  (Паганини, 1866)
  (Эйлер, 1747)
  (Эйлер, 1747)
  (Эйлер, 1750)
  (Эйлер, 1747)
  (Браун, 1939)
  (Ибн ал-Банна, около 1300; Фариси, около 1300; Ферма, 1636)
  (Эйлер, 1747)
  (Эйлер, 1750)
  (Эйлер, 1747)
  (Эйлер, 1747)
  (Рольф (Rolf), 1964)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
947 835 и 1 125 765
998 104 и 1 043 096

Способы построения

Формула Сабита ибн Курры 

Если для натурального числа  все три числа:

 ,
 ,
 ,

являются простыми, то числа  и  образуют пару дружественных чисел.

Эта формула даёт пары (220, 284), (, ) и (, ) соответственно для , но больше никаких пар дружественных чисел, которые могли бы быть получены по этой формуле для  не существует.

Формула Эйлера 
Эйлер расширил формулу Сабита ибн Курры.
Если для натуральных  все три числа:

 ,
 ,
 ,

являются простыми, то числа  и  образуют пару дружественных чисел.
Формула Сабита ибн Курры получается из формулы Эйлера подстановкой . Формула Эйлера добавила к списку дружественных чисел всего 2 пары:

Метод Вальтера Боро 
Если для пары дружественных чисел вида  и  числа  и  являются простыми, причём  не делится на , то при всех натуральных , при которых оба числа  и  просты, числа  и  — дружественные.

Открытые проблемы 
Неизвестно, конечно ли или бесконечно количество пар дружественных чисел.  известно более  дружественных чисел. Все они состоят из чисел одинаковой чётности.

Неизвестно, существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел.

Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше .

Проект BOINC 
30 января 2017 года запущен проект распределённых вычислений на платформе BOINC — Amicable Numbers. Поиск дружественных чисел осуществляется как с помощью расчётов на процессоре так и на видеокарте.

См. также 
 Обручённые числа
 Совершенное число
 Компанейские числа

Примечания

Ссылки 
  
 
 
 
 Amicable Numbers  — BOINC проект по поиску дружественных чисел.

Теория чисел
Математические гипотезы
Целочисленные последовательности