Градиент

Тази статия е за математическото понятие. За градиент в химията вижте йонен градиент. 

Градиèнт във векторния анализ е векторен оператор, действащ върху скаларно поле. Градиентът на скаларно поле е векторно поле, наречено градиентно поле, което показва величината и посоката на промяна на скаларното поле и по стойност (модул) е равен на скоростта на промяната му в тази посока. 

Градиентът се означава с grad или набла  и в триизмерна правоъгълна координатна система  се дефинира като: 

където  е скаларна, непрекъсната и диференцируема функция и  са единични вектори. Резултатът от операцията градиент е вектор или множество от вектори или векторна функция в зависимост от областта, в която е дефинирана функцията . Градиентът се прилага само върху скаларни величини, представлява мярка за максималната промяна на величината и има посока на най-стръмното покачване на величината в дадена точка.

От определението се вижда, че градиентът е производната по отношение на пространството, но за разлика от производната по отношение на едномерното време, градиентът не е скаларна, а векторна величина. Пространството, върху което са дефинирани функцията и нейният градиент, може, най-общо казано, да бъде или обикновено триизмерно пространство, или пространство с всяко друго измерение от каквато и да е физическа природа, или чисто абстрактно (безразмерно) пространство.

Етимология 
Думата „градиент“ произхожда от латинските думи gradiens (постепенно нарастване) и gradientis („постепенно нарастващ“), затова при буквалния превод постепенното намаляване се нарича antigradiens (антиградиент).

Във векторния анализ „градиент“ означава изменение и в двете посоки, като при нарастване величината е с положителен, а при намаляване – с отрицателен знак, определен от знака на първата производна.

Общи сведения 
Терминът се появява за първи път в метеорологията и е въведен в математиката от Джеймс Максуел през 1873 г.; означението  също е предложено от Максуел. 

Пример: Нека температурата в помещение се задава с помощта на скаларното поле T по такъв начин, че във всяка точка, дадена с координати (x, y, z), температурата е T(x, y, z) (приема се, че температурата не се променя във времето). Във всяка точка в помещението градиентът на функцията Т ще сочи в посоката, в която температурата се повишава най-бързо. Големината на градиента определя колко бързо се повишава температурата в дадена посока.

Например, ако височината на земната повърхност над морското равнище се вземе като скаларна функция , тогава нейният градиент във всяка точка от повърхността ще покаже „посоката на най-стръмното изкачване“ и неговата стойност ще характеризира стръмността на наклона.

От математическа гледна точка градиентът може да се разглежда като: 
 Коефициент на линейна зависимост на промяната в стойността на функция на много променливи от промяната в стойността на аргумента;
 Вектор в пространството на областта на скаларна функция на много променливи, съставена от частни производни;
 Редовете на матрицата на Якоби съдържат градиенти на съставни скаларни функции, които образуват векторна функция на много променливи.

Ако  е функция от  променливи , тогава неин градиент е -мерният вектор  чиито компоненти са равни на частните производни на  по отношение на всички нейни аргументи. Така размерността на градиентния вектор се определя от размерността на пространството (или многообразието), върху което е дадено скаларното поле. 

Смисълът на градиента на всяка скаларна функция  е, че нейното скаларно произведение с безкрайно малък вектор на преместване  дава общия диференциал на тази функция със съответната промяна в координатите в пространството, в което е дефинирана , тоест линейната (в общия случай тя е и главната) част от изменението на  когато аргументът  се измени с . Използвайки една и съща буква за означаване на функция на вектор и съответната функция на неговите координати, може да се напише:

Тук следва да се отбележи, че тъй като формулата за общия диференциал не зависи от вида на координатите , тоест от естеството на параметрите  като цяло, полученият диференциал е инвариант, т.е. скалар, при всякакви координатни преобразования, и тъй като  е вектор, тогава градиентът, изчислен по обичайния начин, се оказва ковариантен вектор, тоест вектор, представен в двоен базис, който само скалар може да даде чрез просто сумиране на произведенията от координатите на обичайния контравариантен вектор, тоест вектор, записан в обичайния базис. По този начин най-общо за произволни криволинейни координати изразът може да бъде записан съвсем правилно и инвариантно като:

или, пропускайки знака за сумата според правилото на Айнщайн,

.

Градиентът се оказва истински ковариантен вектор във всякакви криволинейни координати.

Използвайки интегралната теорема

,

градиентът може да бъде изразен в интегрална форма:

тук  е затворена повърхност, обхващаща обема  е нормален елемент към тази повърхност.

Например, градиентът на функцията  е

Геометричен смисъл 
Разглежда се семейството от линии на ниво на функцията :

Лесно е да се покаже, че градиентът на функцията  в точката  е перпендикулярен на нейната линия на ниво, минаваща през тази точка. Модулът на градиента показва максималната скорост на промяна на функцията в близост до , тоест честотата на линиите на нивото. Например линиите на надморската височина се показват на топографски карти, като градиентният модул показва стръмността на спускането или изкачването в дадена точка.

Връзка с производна по посока 
Използвайки правилото за диференциране на сложна функция, е лесно да се покаже, че производната на функцията  в посока  е равна на скаларното произведение на градиента  и единичния вектор :

 

По този начин, за да се изчисли производната на скаларна функция на векторен аргумент във всяка посока, е достатъчно да се знае градиентът на функцията, тоест векторът, чиито компоненти са неговите частични производни.

Градиент в ортогонални криволинейни координати 
Общата формула за градиент в ортогонални криволинейни координати  е

където  са коефициенти на Ламе, а  са единични вектори.

Полярни координати в равнина 
Коефициентите на Ламе са  и  откъдето:

Цилиндрични координати 
Коефициентите на Ламе имат стойности  ,  и  , откъдето:

Сферични координати 
Коефициентите на Ламе са  ,  и  , откъдето:

Изчисление на градиент

Правила за изчисление 
За всички константи  и скаларни полета  се прилагат следните правила:

1. Диференциране на константа: 

2. Линейност:

3. Правило за произведението

4. Верижно правило

Вижте също #Полезни формули.

5. Интегрални теореми

Тук „·“ е скаларно произведение и пътят от  до  е произволен. Тази независимост на пътя характеризира градиентните полета,  вижте също #Консервативни сили.

Тук „×“ е векторно произведение,  е двумерно непрекъснато диференцируемо поле и  е външният нормален единичен вектор върху затворената повърхност  на обема   и  е частично гладка затворена гранична крива на повърхността .  Безкоординатното представяне като производна на обем следва от първия интеграл на обема, ако обемът стане толкова малък, че градиентът в него е приблизително постоянен.

Полезни формули 
Следните градиенти са често срещани във физиката. Използва се радиус-векторът .

В последния пример градиентът действа само върху , а не върху  и следователно също се записва като .

Консервативни сили 
Във физиката много силови полета могат да бъдат представени като градиент на потенциал. Примери за това са:

 гравитационна сила

или с отчитане на централната маса M, разположена в началото на координатите:

 статични електрически полета  в електродинамиката

В консервативните силови полета извършената работа от пробните маси или пробните заряди се определя от интеграла по пътя им  през полето  и зависи само от началната и крайната точка на пътя, но не и от курса му, виж #Правила за изчисление, интегрални теореми.

Градиент в други науки

Във физиката 
В различни клонове на физиката се използва понятието градиент на различни физически полета.

Например интензитетът на електростатичното поле е минус градиента на електростатичния потенциал, интензитетът на гравитационното поле (ускорението на свободното падане) в класическата теория на гравитацията е минус градиента на гравитационния потенциал. Консервативната сила в класическата механика е минус градиента на потенциалната енергия.

В природните науки 
Концепцията за градиент се използва не само във физиката, но и в сродни и дори относително далечни от физиката науки (понякога това приложение е количествено, а понякога само качествено).

Например, градиент на концентрацията е увеличаване или намаляване на концентрацията на разтворено вещество във всяка посока, градиент на влажността е повишаване или намаляване на [[влажност]та на средата в някаква посока и т.н.

Градиентът на такива стойности може да бъде причинен от различни причини, например механично препятствие, действието на електромагнитни, гравитационни или други полета или разлика в силата на разтваряне на съседните фази.

В метеорологията 
В метеорологията се използват понятията барометричен и температурен (термометричен) градиент. 

Барометричният градиент (БГ) е разликата в показанията на барометрите (приведени до морското равнище) на две места, разположени в посоката, в която в момента еластичността на въздуха намалява най-бързо, т.е. в посоката, перпендикулярна на изобарите или линиите на равни налягания , на разстояние от един меридианен градус (111 km). Колкото по-високо е барометричното налягане в даден район, толкова повече се нарушава въздушният баланс и толкова по-силен трябва да е вятърът. Стефенсон първо обръща внимание на това и законът, изразяващ връзката между БГ и силата на вятъра, се нарича закон на Стефенсон . При БГ 1,78 мм вече може да се очакват силни ветрове. Силата на вятъра обаче зависи и от други фактори, сред които най-важни са неравностите на земната повърхност, температурата и влажността на въздуха: при еднакъв БГ морският вятър е по-силен от континенталния, а топлите и влажните ветрове са по-силни от студените и сухите. Най-големите градиенти се срещат в циклоните , особено тропическите, където достигат 10 или дори повече mm на 111 km. Барометричният градиент показва степента на неравномерност в разпределението на  атмосферното налягане в хоризонтално направление. Той се определя с помощта на внимателно съставени метеорологични или синоптични карти , като разликата във височините на барометрите, съответстващи на две съседни изобари, се раздели на разстоянието между тях, изразено в градуси от меридиана (111 km ≡ 1°).  Начини за по-точното му определяне са дадени в специализираната литература .

Температурният градиент (ТГ) определя степента на неравномерност в разпределението на температурата. Това е разликата в температурите на две места, разположени на разстояние между тях, равно на 1 градус от меридиана (111 km) в посока, перпендикулярна на изотермите (линиите с еднаква температура). Стойността на ТГ в Европа понякога достига 4 или дори повече градуса по Целзий при постъпателното движение на циклоните и антициклоните.

В икономиката 
В икономическата теория понятието градиент се използва за обосноваване на определени заключения. По-специално, методът на множителите на Лагранж и условията на Каруш–Кун–Такър (заимствани от естествените науки), използвани за намиране на оптимума на потребителя, се основават на сравняване на градиентите на функцията на полезност и функцията на бюджетното ограничение.

Вижте също

Литература 
 Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. – Современная геометрия методы и приложения: учебное пособие для физико-математических специальностей университетов. — М.: Наука, 1986. — 759 с.

Външни препратки 
 Броунов П. И. – Градиент // Энциклопедический словарь Ф. А. Брокгауза и И. А. Ефрона, в 86 томах (82 т. и 4 доп.) с иллюстрациями и дополнительными материалами) — СПб., 1890—1907.

Източници 

Вектори
Диференциално смятане