База топологии

База топологии (база топологического пространства, базис топологии, открытая база) — семейство открытых подмножеств топологического пространства , такое, что любое открытое множество в  представимо в виде объединения элементов этого семейства.

Часто базу топологии предъявляют для того, чтобы ввести топологию. Например, на метрическом пространстве топология определяется через базу, образованную всеми открытыми шарами.

Определение 
Семейство  открытых множеств топологического пространства  называется базой топологии (или топологического пространства), если любое открытое множество из  представимо в виде объединения элементов семейства .

Семейство  открытых множеств топологического пространства  является базой, тогда и только тогда, когда для каждой точки  пространства  и её окрестности  найдётся множество  из  такое, что .

Вес топологического пространства 
Минимальная из мощностей всех баз пространства  называется весом топологического пространства .
Вес пространства  обычно обозначается .
Свойства
 Для каждой базы  существует подмножество , являющееся базой и имеющее мощность, равную весу пространства.
 Если вес пространства  не более, чем счетный (то есть  имеет счётную базу), то  называют пространством со второй аксиомой счетности.
 В пространстве веса  существует всюду плотное множество мощности .

Вариации и обобщения 
 Локальная база пространства  в точке  (база точки ) — семейство  окрестностей точки  со свойством: для любой окрестности  точки  найдется элемент  такой, что .
 Минимум мощностей всех локальных баз пространства  в точке  называется характером пространства  в точке  и обозначается .
 Супремум характеров пространства  во всех точках  называется характером пространства  и обозначается .
 Пространства, имеющие счетную локальную базу в каждой точке, называются пространствами с первой аксиомой счетности.
 Семейство  открытых в X множеств является базой тогда и только тогда, когда для каждой точки  подсемейство  всех элементов , содержащих точку   является локальной базой точки .
 Система окрестностей — это семейство , такое, что  является локальной базой пространства  в точке   для каждого .
 Предбаза — семейство  открытых подмножеств топологического пространства  такое, что совокупность всех множеств, являющихся пересечением конечного числа элементов , образует базу  пространства .
 Замкнутая база — семейство всех дополнений к элементам некоторой базы.
 -база (решёточная база) — семейство  непустых открытых подмножеств пространства  такое, что всякое непустое открытое в  множество содержит множество из , то есть  плотно по Хаусдорфу в пространстве . Любая база есть -база. Обратное неверно, например, в компактификации Стоуна — Чеха   множества натуральных чисел семейство одноточечных подмножеств множества  является -базой, но не является базой.
 Псевдобаза — такое семейство открытых подмножеств, что пересечение всех его элементов, содержащих фиксированную точку, совпадает с этой точкой. Существует только в T1-пространствах. Пример пространства со счётной псевдобазой, в котором нет счётной базы — пространство последовательностей нулей и единиц с дискретной топологией (псевдобаза — множества, состоящие из всех последовательностей с фиксированным значением на некоторой позиции).

Задание топологии с помощью базы, предбазы и системы окрестностей 
Семейство  подмножеств произвольного множества  является базой некоторой топологии на  в том, и только в том случае, когда  удовлетворяет следующим условиям:
 Каждая точка  принадлежит некоторому множеству  из семейства .
 Для любых множеств  и точки  существует множество  такое, что .
В этом случае  является базой топологии на , в которой множества открыты тогда и только тогда, когда они представимы в виде объединения некоторых подмножеств из  . Такую топологию называют топологией, порождённой базой .

Для того, чтобы семейство  подмножеств произвольного множества  было предбазой некоторой топологии на  необходимо и достаточно выполнение вышеуказанного  При этом в этой топологии открыты те и только те множества, которые представимы в виде объединения конечных пересечений некоторых подмножеств из  . Такую топологию называют топологией, порождённой предбазой . Это наименьшая топология, содержащая семейство .

Совокупность  семейств подмножеств произвольного множества  является системой окрестностей некоторой топологии на  тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям:
 Для каждого  семейство  непусто и  для любого .
 Для всякого  найдётся  такое, что .
 Для всяких множеств  существует , такое, что .
В этом случае  является системой окрестностей топологии на , состоящей из всех подмножеств, представимых в виде объединения подсемейств семейства . Такую топологию называют топологией, порождённой системой окрестностей .

Примеры 
 Базой любого топологического пространства является семейство всех его открытых множеств.
 Дискретная топология имеет в качестве базы семейство всех его одноточечных подмножеств.
 Если  и  — топологические пространства с базами топологий  и , тогда топология на декартовом произведении  задаётся с помощью базы
  При этом топология на  не будет зависеть от того, какие базы пространств X и Y используются для её задания. Такая топология называется (стандартной) топологией декартова произведения топологических пространств.

 Топология пространства действительных чисел  задаётся системой всех интервалов , которая составляет базу этой топологии. Аналогично топология пространства  задаётся базой открытых брусов , и эта топология, очевидно, совпадает со стандартной топологией прямого произведения пространств.
 Упорядоченная топология обычно определяется как топология порождённая набором открыто-интервальных множеств.
 Метрическая топология обычно определяется как топология порождённая набором открытых шаров, задаваемых определенной метрикой.

См. также 
 Теорема Есенина-Вольпина
 Склеивающая аксиома
 Нижняя часть базы

Литература 
 Александров П. С., Колмогоров А. Н. Введение в общую теорию множеств и функций. — М.—Л., 1948.
 Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики. — Т. 1—2. — М.—Л., 1951.
 Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — М., 1973.
 Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. — М., 1974.
 Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры / Пер. с франц. — М., 1968.
 
 

Общая топология

Ссылки