Градиент

Градие́нт (от  — «шагающий, растущий»)  — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего роста некоторой скалярной величины  (значение которой меняется от одной точки пространства к другой, образуя скалярное поле). 

Градиент поля  обозначается: . По величине (модулю) градиент равен скорости роста величины  в направлении вектора. Например, если взять в качестве  высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», а своей величиной характеризовать крутизну склона.

Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности. 

Термин впервые появился в метеорологии для исследования изменений температуры и давления атмосферы, а в математику был введён Максвеллом в 1873 году; обозначение  тоже предложил Максвелл. Наряду со стандартным обозначением  часто используется компактная запись с использованием оператора набла:

Иллюстрация применения 

Пусть температура в комнате задана с помощью скалярного поля T таким образом, что в каждой точке, заданной координатами (x, y, z) температура равняется T(x, y, z) (предположим, что температура не изменяется с течением времени). В каждой точке комнаты градиент функции T будет показывать направление, в котором температура возрастает быстрее всего. Величина градиента определяет, насколько быстро температура возрастает в данном направлении.

Определение и вычисление 
Для случая трёхмерного пространства градиентом дифференцируемой в некоторой области 
скалярной функции  координат , ,  называется векторная функция с компонентами
 

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :
 

Если  — функция  переменных , то её градиентом называется -мерный вектор
 

компоненты которого равны частным производным  по всем её аргументам.

 Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идёт речь.
 Оператором градиента называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) даёт её градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».

Смысл градиента любой скалярной функции  в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения  даёт полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения  при смещении на . Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

 

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку  — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

 

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

 

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше).
Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Используя интегральную теорему

 ,
градиент можно выразить в интегральной форме:

 

здесь  — замкнутая поверхность охватывающая объём  — нормальный элемент этой поверхности.

Пример 
Например, градиент функции  будет представлять собой:

Некоторые применения

Геометрический смысл 
Рассмотрим семейство линий уровня функции :

 

Нетрудно показать, что градиент функции  в точке  перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъёма в данной точке.

В физике 
В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, напряжённость электростатического поля есть минус градиент электростатического потенциала, напряжённость гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала. Консервативная сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии.

В других естественных науках 
Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далёких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т. д.

Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.

В экономике 
В экономической теории понятие градиента используется для обоснования некоторых выводов и для оптимизации. В частности, используемые для нахождения оптимума потребителя метод множителей Лагранжа и условия Куна — Таккера (позаимствованные из естественных наук) основаны на сопоставлении градиентов функции полезности и функции бюджетного ограничения.

Связь с производной по направлению 
Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что
производная функции  по направлению  равняется скалярному произведению градиента  на единичный вектор :

 

Таким образом, для вычисления производной скалярной функции векторного аргумента по любому направлению достаточно знать
градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

Градиент в ортогональных криволинейных координатах 
 
где  — коэффициенты Ламе.

Полярные координаты (на плоскости) 
Коэффициенты Ламе:
 
Отсюда:

Цилиндрические координаты 
Коэффициенты Ламе:
 
Отсюда:

Сферические координаты 
Коэффициенты Ламе:
 
Отсюда:

Вариации и обобщения 
Пусть  — отображение между метрическими пространствами. Борелева функция  называется верхним градиентом  если следующее неравенство 
  
выполняется для произвольной спрямляемой кривой , соединяющей  и  в .

См. также 

 4-градиент
 Векторный анализ
 Градиент концентрации
 Градиентные методы
 Оператор Кэнни
 Теорема Остроградского — Гаусса
 Формулы векторного анализа

Примечания

Литература

Ссылки 
 
 

Векторы
Векторный анализ
Дифференциальные операторы
Математическая физика