Теория Галуа

Тео́рия Галуа́ — раздел алгебры, позволяющий переформулировать определённые вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми.

Эварист Галуа сформулировал основные утверждения этой теории в терминах перестановок корней заданного многочлена (с рациональными коэффициентами); он был первым, кто использовал термин «группа» для описания множества перестановок, замкнутого относительно композиции и содержащего тождественную перестановку.

Более современный подход к теории Галуа заключается в изучении автоморфизмов расширения произвольного поля при помощи группы Галуа, соответствующей данному расширению.

Приложения 
Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению таких классических задач как
 Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой?
 Какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?

Симметрии корней 
Симметрии корней — такие перестановки на множестве корней многочлена, для которых любому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами (с несколькими переменными), которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и переставленные корни.

Пример: квадратное уравнение 
У многочлена второй степени  имеются два корня  и , симметричных относительно точки . Возможны два варианта:
 Если эти корни рациональны, то уравнению  удовлетворяет только один корень, и группа уравнения тривиальна.
 Если корни иррациональны, то группа содержит один нетривиальный элемент  и изоморфна .

Более сложный пример 
Рассмотрим теперь многочлен .

Его корни: .

Существует  различных перестановки корней этого уравнения, но не все они являются симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами.

Одно из таких уравнений — . Поскольку , перестановка  не входит в группу Галуа.

Кроме того, можно заметить, что , но . Поэтому перестановка  не входит в группу.

Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырёх перестановок:
 
 
 
 
и является четверной группой Клейна, изоморфной .

Формулировка в терминах теории полей 
Теория полей даёт более общее определение группы Галуа как группы автоморфизмов произвольного расширения Галуа.

На этом языке можно сформулировать все утверждения, касающиеся «симметрий» корней многочлена. А именно, пусть коэффициенты данного многочлена принадлежат полю K. Рассмотрим алгебраическое расширение L поля K корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена — это группа автоморфизмов поля L, оставляющих элементы поля K на месте, то есть группа Галуа расширения . Например, в предыдущем примере была рассмотрена группа Галуа расширения .

Разрешимые группы и решение уравнений в радикалах 
Решения полиномиального уравнения  выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа данного уравнения в общем виде разрешима.

Для любого  существует уравнение -й степени, группа Галуа которого изоморфна симметрической группе , то есть состоит из всех возможных перестановок. Поскольку группы  при  не являются разрешимыми, существуют многочлены степени , корни которых не представимы при помощи радикалов, что является утверждением теоремы Абеля — Руффини.

Вариации и обобщения 
 Более абстрактный подход к теории Галуа был разработан Александром Гротендиком в 1960 году. Этот подход позволяет применить основные результаты теории Галуа к любой категории, обладающей заданными свойствами (например, существованием копроизведений и декартовых квадратов).
 В частности, это позволяет перенести результаты теории Галуа в теорию накрытий. Для того, чтобы применить эту теорию к категории расширений полей, требуется изучение свойств .

Литература 
 Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. — М.: Наука.
 Том 1 Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. 1978.
 Постников М. М. Теория Галуа.  — М.: Физматгиз, 1963.
 Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)] 3, Paris: Société mathématique de France, arXiv: math/0206203 — ISBN 978-2-85629-141-2
 Скопенков А. Б. Some more proofs from the Book: solvability and insolvability of equations in radicals.
 Lerner L. Galois Theory without abstract algebra.
 Эмиль Артин. Теория Галуа. / Пер. с англ. А. В. Самохина. — 2-е изд. стереотипное. — М.: МЦНМО, 2008. — 66 с. — (Классические монографии: математика). — ISBN 978-5-94057-062-2.

Ссылки 
 Р. Борчердс, 

Теория Галуа