Построение с помощью циркуля и линейки

Построе́ния с по́мощью ци́ркуля и лине́йки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён.

В задачах на построение циркуль и линейка предполагаются идеальными инструментами, в частности:
 Линейка не имеет делений и имеет сторону бесконечной длины, но только одну.
 Циркуль может иметь какой угодно (большой или малый) раствор (может чертить окружность произвольного радиуса) и сохраняет последний раствор, то есть может проводить одинаковые окружности где угодно.

Примеры 

Задача на бисекцию. С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части.
Одно из решений показано на рисунке:
 Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB.
 Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг).
 По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q.
 Находим искомую середину отрезка AB — точку пересечения AB и PQ.

Формальное определение 
В задачах на построение рассматривается множество следующих объектов: все точки плоскости, все прямые плоскости и все окружности плоскости.
В условиях задачи изначально задается (считается построенными) некоторое множество объектов. К множеству построенных объектов разрешается добавлять (строить):
 произвольную точку;
 произвольную точку на заданной прямой;
 произвольную точку на заданной окружности;
 точку пересечения двух заданных прямых;
 точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности;
 точки пересечения/касания двух заданных окружностей;
 произвольную прямую, проходящую через заданную точку;
 прямую, проходящую через две заданные точки;
 произвольную окружность с центром в заданной точке;
 произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками;
 окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками.

Требуется с помощью конечного количества этих операций построить другое множество объектов, находящееся в заданном соотношении с исходным множеством.

Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:
 Описание способа построения заданного множества.
 Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.
 Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.

Этапы при решении задач на построения 
Решения неэлементарных построений оформляются по соответствующей схеме, состоящей из этапов. Ниже приведены четыре этапа с указанием их сути.

 Анализ:
 составить план решения задачи,
 допустить или предположить, что задача решена,
 выполнить рисунок.
 Построение:
 реализация плана решения задачи.
 Доказательство:
 доказать, что построенная фигура принадлежит требуемому семейству [используется определение данной геометрической фигуры либо её признаки] и
 удовлетворяет условию задачи.
 Исследование:
 при каких ограничениях на данные искомую фигуру можно построить,
 сколько решений (конфигураций) имеет задача.

Методы построений циркулем и линейкой

Основные методы 
Основными методами решения геометрических задач на построение являются четыре метода:

 метод геометрических мест точек (ГМТ), или метод пересечений множеств;
 метод геометрических преобразований;
 алгебраический метод;
 метод цепочки многоугольников и, в частности, метод цепочки треугольников.

Более детальная классификация приведена в таблице.

Метод ГМТ (метод пересечений)

Метод симметрии

Метод спрямления

Метод подобия

Метод параллельного переноса

Алгебраический метод

Дополнительные методы

Метод гомотетии

Метод инверсии

Известные задачи 
 Задача Аполлония о построении окружности, касающейся трех заданных окружностей. Если ни одна из заданных окружностей не лежит внутри другой, то эта задача имеет 8 существенно различных решений.
 Задача Брахмагупты о построении вписанного четырёхугольника по четырём его сторонам.

Построение правильных многоугольников 

Античным геометрам были известны способы построения правильных n-угольников для , ,  и .

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных n-угольников при , где  — различные простые числа Ферма. В 1836 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Неразрешимые задачи 
Следующие три задачи на построение были поставлены ещё древними греками:
 трисекция угла — разбить произвольный угол на три равные части;
 удвоение куба — построить ребро куба вдвое большего по объёму, чем данный куб;
 квадратура круга — построить квадрат, равный по площади данному кругу.

Лишь в XIX веке было строго доказано, что все эти три задачи неразрешимы при использовании только циркуля и линейки. Доказательство неразрешимости этих задач построения было достигнуто с помощью алгебраических методов, основанных на теории Галуа. В частности, невозможность построения квадратуры круга следует из трансцендентности числа π.

Другая известная и неразрешимая с помощью циркуля и линейки задача — построение треугольника по трём заданным длинам биссектрис.
Эта задача остаётся неразрешимой даже при наличии инструмента, выполняющего трисекцию угла, например томагавка.

Допустимые отрезки для построения с помощью циркуля и линейки 

С помощью этих инструментов возможно построение отрезка, который по длине:
 равен сумме длин нескольких отрезков;
 равен разности длин двух отрезков;
 численно равен произведению длин двух отрезков;
 численно равен частному от деления длин двух отрезков;
 численно равен квадратному корню из длины заданного отрезка (следует из возможности построения среднего геометрического двух отрезков, см. иллюстрацию).
Для построения отрезка с длиной численно равной произведению, частному и квадратному корню из длин заданных отрезков необходимо задание на плоскости построения единичного отрезка (то есть отрезка длины 1), иначе задача неразрешима из-за отсутствия масштаба.
Извлечение корней из отрезков с иными натуральными степенями, не являющимися степенью числа 2, невозможны с помощью циркуля и линейки. Так, например, невозможно при помощи циркуля и линейки из единичного отрезка построить отрезок длиной . Из этого факта, в частности, следует неразрешимость задачи об удвоении куба.

Возможные и невозможные построения 
С формальной точки зрения, решение любой задачи на построение сводится к графическому решению некоторого алгебраического уравнения, причем коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому можно сказать, что задача на построение сводится к отысканию действительных корней некоторого алгебраического уравнения.

Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определённого типа.

Исходя из возможных построений отрезков возможны следующие построения:
 Построение решений линейных уравнений.
 Построение решений уравнений, сводящихся к решениям квадратных уравнений.

Иначе говоря, возможно строить лишь отрезки, равные арифметическим выражениям с использованием квадратного корня из исходных чисел (заданных длин отрезков).

Решение должно выражаться при помощи квадратных корней, а не радикалов произвольной степени. Если даже алгебраическое уравнение имеет решение в радикалах, то из этого не следует возможность построения циркулем и линейкой отрезка, равного его решению.
Простейшее такое уравнение:  связанное со знаменитой задачей на удвоение куба, сводящаяся к этому кубическому уравнению. Как было сказано выше, решение этого уравнения () невозможно построить циркулем и линейкой.

Возможность построить правильный 17-угольник следует из выражения для косинуса центрального угла его стороны:

 
 

 что, в свою очередь, следует из возможности сведения уравнения вида  где  — любое простое число Ферма, с помощью замены переменной к квадратному уравнению.

Вариации и обобщения 
 Построения с помощью одного циркуля. По теореме Мора — Маскерони с помощью одного циркуля можно построить любую фигуру, которую можно построить циркулем и линейкой. При этом прямая считается построенной, если на ней заданы две точки.
 Построения с помощью одной линейки. Очевидно, что с помощью одной линейки можно проводить только проективно-инвариантные построения. В частности,
 невозможно даже разбить отрезок на две равные части,
 также невозможно найти центр данной окружности.
 Однако,
 при наличии на плоскости заранее проведённой окружности с отмеченным центром с одной линейкой можно провести те же построения, что и циркулем и линейкой (теорема Штейнера — Понселе).
 Если на линейке есть две засечки, то построения с её помощью эквивалентны построениям с помощью циркуля и линейки (важный шаг в доказательстве этого сделал Наполеон).

 Построения с помощью инструментов с ограниченными возможностями. В задачах такого рода инструменты (в противоположность классической постановке задачи) считаются не идеальными, а ограниченными: прямую через две точки с помощью линейки можно провести только при условии, что расстояние между этими точками не превышает некоторой величины; радиус окружностей, проводимых с помощью циркуля, может быть ограничен сверху, снизу или одновременно и сверху, и снизу.
 Построения с помощью плоского оригами см. правила Фудзиты
 Построения с помощью шарнирных механизмов — это построения на плоскости и в пространстве с помощью единичных стержней, связанных на концах шарнирами. Этим способом можно построить любое алгебраическое число.

Интересные факты 
 Центральный узор на государственном флаге Ирана законодательно описывается как построение с помощью циркуля и линейки.

См. также 
 Программные пакеты динамической геометрии позволяют выполнять виртуальные построения с помощью циркуля и линейки на мониторе компьютера.

Примечания

Литература 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Геометрические построения // Справочник по математике (для ср. уч. заведений)/ Цыпкин А. Г., под ред. Степанова С. А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 200—213. — 480 с.

Ссылки 

 Regular polygon constructions by Dr. Math at The Math Forum
 Construction with the Compass Only at cut-the-knot
 Angle Trisection by Hippocrates at cut-the-knot
 
 Математические методы

Геометрические построения