Импульс

И́мпульс (коли́чество движе́ния) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела.

В классической механике импульс тела равен произведению массы  этого тела на его скорость  направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

 

В релятивистской физике импульс вычисляется как:

 

где  — скорость света; в пределе для малых  формула переходит в классическую.

Важнейший физический закон, в котором фигурирует импульс тела, — второй закон Ньютона:

 

здесь  — время,  — сила, приложенная к телу.

В записи через импульс (в отличие от   — ускорение) закон применим не только в классической, но и в релятивистской механике.

В самом общем виде, определение звучит: импульс — это аддитивный интеграл движения механической системы, связанный согласно теореме Нётер с фундаментальной симметрией — однородностью пространства.

Понятие «импульс» имеет обобщения в теоретической механике, для случая наличия электромагнитного поля (как для частицы в поле, так и для самого поля), а также в квантовой механике.

История появления термина 
Средневековые натурфилософы, в соответствии с учением Аристотеля, полагали, что для поддержания движения непременно требуется некоторая сила, без силы движение прекращается. Часть учёных выдвинула возражение против этого утверждения: почему брошенный камень продолжает двигаться, хотя связь с силой руки утрачена?

Для ответа на подобные вопросы Жан Буридан (XIV век) изменил ранее известное в философии понятие «импетус». По Буридану, летящий камень обладает «импетусом», который сохранялся бы в отсутствие сопротивления воздуха. При этом «импетус» прямо пропорционален скорости. В другом месте он пишет о том, что тела с бо́льшим весом способны вместить больше импетуса.

В первой половине XVII века Рене Декартом было введено понятие «количества движения». Он высказал предположение о том, что сохраняется не только количество движения одного тела, изолированного от внешних воздействий, но и любой системы тел, взаимодействующих лишь друг с другом. Физическое понятие массы в то время ещё не было формализовано — и он определил количество движения как произведение «величины тела на скорость его движения». Под скоростью Декарт подразумевал абсолютную величину (модуль) скорости, не учитывая её направление. Поэтому теория Декарта согласовывалась с опытом лишь в некоторых случаях (например, Валлис, Рен и Гюйгенс в 1678 году использовали её для исследования абсолютно упругого столкновения в системе центра масс).

Валлис в 1668 году первым предложил считать количество движения не скалярной, а направленной величиной, учитывая направления с помощью знаков «плюс» и минус". В 1670 году он окончательно сформулировал закон сохранения количества движения. Экспериментальным доказательством закона послужило то, что новый закон позволял рассчитывать неупругие удары, а также удары в любых системах отсчёта.

Закон сохранения количества движения был теоретически доказан Исааком Ньютоном через третий и второй закон Ньютона. Согласно Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».

Формальное абстрактное определение 
Импульсом называется сохраняющаяся физическая величина, связанная с однородностью пространства (то есть инвариант относительно трансляций).

Из свойства однородности пространства следует независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве: для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства она помещена. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины, которую и называют импульсом.

В разных разделах физики применительно к реальным задачам даются более конкретные определения импульса, с которыми можно работать и производить расчёты.

Определения импульса тела в механике

Классическая механика 
В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:

 

соответственно, величина  называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Импульс тела конечных размеров находится путём его мысленного разбиения на малые части, которые можно считать материальными точками, с последующим интегрированием по ним:

 

Стоящее под интегралом произведение  называют плотностью импульса.

Релятивистская механика 
В релятивистской механике импульсом системы материальных точек называется величина:

 

где  — масса -й материальной точки,  — её скорость.

Также вводится четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки массой  определяется как:

 

На практике часто применяются соотношения между массой, импульсом и энергией частицы:

Свойства импульса 
 Аддитивность. Это свойство означает, что импульс механической системы, состоящей из материальных точек, равен сумме импульсов всех материальных точек, входящих в систему.
 Инвариантность абсолютной величины импульса по отношению к повороту ИСО. При этом в общем случае при смене ИСО инвариантности импульса или его модуля нет ни в релятивистской механике, ни в классическом пределе.
 Причиной изменения импульса со временем является сила (по второму закону Ньютона, ).
 Сохранение. Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени:  (см. статью Закон сохранения импульса).

Сохранение импульса следует из второго и третьего законов Ньютона: записав второй закон для каждой из составляющих систему материальных точек, представив силу, действующую на каждую точку, как внешнюю  плюс силу взаимодействия со всеми остальными точками, затем просуммировав, получим:

 

Первое слагаемое равно нулю из-за компенсации внешних сил, а второе — вследствие третьего закона Ньютона (слагаемые  и  в двойной сумме попарно уничтожают друг друга).

Импульс не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея. Свойства сохранения кинетической энергии, сохранения импульса и второго закона Ньютона достаточно для получения математического выражения импульса.

При наличии электромагнитного взаимодействия между материальными точками третий закон Ньютона может не выполняться — и тогда сохранения суммы импульсов точек не будет. В таких случаях, особенно в релятивистской механике, удобнее включать в понятие «система» не только совокупность точек, но и поле взаимодействия между ними. Соответственно, будут учтены не только импульсы составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия. При этом вводится величина — тензор энергии-импульса, которая в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

Что касается 4-импульса, то для системы не взаимодействующих материальных точек их совокупный 4-импульс равен сумме по всем частицам. При наличии взаимодействия такое суммирование теряет смысл.

Обобщённый импульс

В теоретической механике в целом 
В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости:

 

Обобщенный импульс, как и не обобщённый, обозначается буквой  обычно из контекста ясно, о чём идёт речь.

Размерность обобщённого импульса зависит от размерности обобщённой координаты. Если размерность  — длина, то  будет иметь размерность обычного импульса, если же координатой  выступает угол (величина безразмерная), то  обретёт размерность момента импульса. Если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то из уравнений Лагранжа 

Если обобщённая координата — это обычная координата (и тогда её производная по времени — просто скорость), а внешних полей нет, обобщённый импульс тождественен обычному. Так, для свободной частицы функция Лагранжа имеет вид:

 , отсюда: .

Для частицы в электромагнитном поле 
В электромагнитном поле лагранжиан частицы будет отличаться от приведённого выше наличием дополнительных членов, а именно  Соответственно, обобщённый импульс частицы равен:

 

где  — векторный потенциал электромагнитного поля,  — заряд частицы; в выражении для  фигурировал также скалярный потенциал .

Импульс электромагнитного поля 

Электромагнитное поле, как и любой другой материальный объект, обладает импульсом, который легко можно найти, проинтегрировав вектор Пойнтинга по объёму:

  (в системе СИ).

Существованием импульса у электромагнитного поля объясняется, например, такое явление как давление электромагнитного излучения.

Импульс в квантовой механике

Определение через оператор 
В квантовой механике оператором импульса частицы называют оператор — генератор группы трансляций. Это эрмитов оператор, собственные значения которого отождествляются с импульсом системы частиц. В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц он имеет вид:

 ,

где  — оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам -ой частицы.

Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:

.

Для замкнутой системы () оператор импульса коммутирует с гамильтонианом, и импульс сохраняется.

Определение через волны де Бройля 
Формула де Бройля связывает импульс и длину волны де Бройля рассматриваемого объекта.

Модуль импульса обратно пропорционален длине волны 

 ,

где  — постоянная Планка.

Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью  (скорости света), модуль импульса равен  (где  — масса частицы), и:

 .

Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше модуль импульса.

В векторном виде это записывается как:

 ,

где  — волновой вектор.

Как и в классической механике, в квантовой имеет место сохранение импульса в изолированных системах. В тех явлениях, когда проявляются корпускулярные свойства частиц, их импульс записывается «классически» как , а если проявляются волновые свойства, действует связь . При этом, как и в классической механике, сохранение импульса выступает следствием симметрии относительно сдвигов по координатам.

Импульс в гидродинамике 
В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа  При этом вместо импульса фигурирует вектор плотности импульса, совпадающий по смыслу с вектором плотности потока массы

 

Поскольку в турбулентном потоке характеристики состояния вещества (в том числе плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока в соответствии с методом О. Рейнольдса получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса. 

Если в согласии с методом Рейнольдса представить  , где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то вектор осреднённой плотности импульса приобретёт вид:

 

где  — вектор плотности флуктуационного потока массы (или «плотность турбулентного импульса»).

Импульсное представление в квантовой теории поля 
В квантовой теории поля часто употребляется импульсное представление на основе использования преобразования Фурье. Его преимуществами являются: удобство описания физических систем при помощи энергий и импульсов, а не при помощи пространственно-временных координат; более компактная и наглядная структура динамических переменных.

См. также 
 Импульс силы
 Момент импульса
 Электрический импульс

Примечания

Литература 
 
 
 
 
 

Механика
Векторные величины