Гомоморфизм групп

В математике, если заданы две группы (G, ∗) и (H, •), гомоморфизм групп из (G, ∗) в (H, •) — это функция h : G → H, такая, что для всех u и v из G выполняется

 

где групповая операция слева от знака «=» относится к группе G, а операция справа относится к группе H.

Отсюда можно вывести, что h отображает нейтральный элемент eG группы G в нейтральный элемент eH группы H, а также отображает обратные элементы в обратные в том смысле, что
 
Таким образом, можно сказать, что h «сохраняет групповую структуру».

В более ранних работах h(x) могло обозначаться как xh, хотя это может привести к путанице с индексами. В последнее время наметилась тенденция опускать скобки при записи гомоморфизма, так что h(x) превращается просто в x h. Эта тенденция особенно заметна в областях теории групп, где применяется автоматизация, поскольку это лучше согласуется с принятым в автоматах чтении слов слева направо.

В областях математики, где группы снабжаются дополнительными структурами, гомоморфизм иногда понимается как отображение, сохраняющее не только структуру группы (как выше), но и дополнительную структуру. Например, гомоморфизм топологических групп часто предполагается непрерывным.

Понятие 
Цель определения гомоморфизма группы — создать функции, сохраняющие алгебраическую структуру. Эквивалентное определение гомоморфизма группы: Функция h : G → H является гомоморфизмом группы, если из a ∗ b = c следует h(a) ⋅ h(b) = h(c). Другими словами, группа H в некотором смысле подобна алгебраической структуре G и гомоморфизм h сохраняет её.

Образ и ядро 
Определим ядро h как множество элементов из G, которые отображаются в нейтральный элемент в H

 

и образ h как

 

Ядро h является нормальной подгруппой G, а образ h является подгруппой H:
 
Гомоморфизм h является инъективным (и называется мономорфизмом группы) в том и только в том случае, когда ker(h) = {eG}.

Ядро и образ гомоморфизма можно понимать как измерение, насколько гомоморфизм близок к изоморфизму. Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ гомоморфизма группы h(G) изоморфен факторгруппе G/ker h.

Примеры 
 Возьмём циклическую группу  и группу целых чисел  по сложению. Отображение  с  является гомоморфизмом. Оно сюръективно, и его ядро состоит из целых чисел, делящихся на 3.

 Возьмём группу

 

 Для любого комплексного числа  функция , определённая как:

 

 является гомоморфизмом.

 Возьмём группу положительных вещественных чисел с операцией умножения . Для любого комплексного числа  функция , определённая как

 

 является гомоморфизмом.

 Экспоненциальное отображение является гомоморфизмом из группы вещественных чисел  по сложению в группу ненулевых вещественных чисел  по умножению. Ядром является множество , а образ состоит из вещественных положительных чисел.

 Экспоненциальное отображение также образует гомоморфизм из группы комплексных чисел  по сложению в группу ненулевых комплексных чисел  по умножению. Это отображение сюръективно, его ядром является множество , как можно видеть из формулы Эйлера. Поля, подобные  и , имеющие гомоморфизм из группы по сложению в группу по умножению, называют .

Категории групп 
Если h : G → H и k : H → K являются гомоморфизмами групп, то и k o h : G → K тоже гомоморфизм. Это показывает, что класс всех групп, вместе с гомоморфизмами групп в качестве морфизмов, образуют категорию.

Виды гомоморфных отображений 
Если гомоморфизм h является биекцией, то можно показать, что обратное отображение тоже является гомоморфизмом групп, и тогда h называется изоморфизмом. В этом случае группы G и H называются изоморфными — они различаются только обозначением элементов и операции и идентичны для практического применения.

Если h: G → G является гомоморфизмом групп, мы называем его эндоморфизмом G. Если же оно и биективно, а следовательно, является изоморфизмом, оно называется автоморфизмом. Множество всех автоморфизмов группы G с композицией функций в качестве операции само образует группу, группу автоморфизмов G. Эта группа обозначается как Aut(G). Как пример, автоморфизм группы (Z, +) содержит только два элемента (тождественное преобразование и умножение на −1), и он изоморфен Z/2Z.

Эпиморфизм — это сюръективный гомоморфизм, то есть гомоморфизм на. Мономорфизм — это инъективный гомоморфизм, то есть гомоморфизм один-к-одному.

Гомоморфизмы абелевых групп

Групповая структура 

Если группа  — абелева, то множество  всех гомоморфизмов из группы  в группу  само явлется абелевой группой относительно следующей бинарной операции поэлементного сложения, обозначаемой символом : для двух гомоморфизмов  и  гомоморфизм  определяется формулой
 
где .

Структура кольца 

Относительно указанной выше операции операция композиции является дистрибутивной. А именно, для любых гомоморфизмов ,  и  выполняются следующие равенства:
 
В частности, множество  всех эндоморфизмов абелевой группы  образует кольцо, в котором аналогом сложения является вышеописанная операция, а умножения — композиция. Оно называется кольцом эндоморфизмов группы .

Например,  и . Кроме того, для любой абелевой группы  кольцо эндоморфизмов прямого произведения  изоморфно кольцу матриц  с элементами из группы :

 

Упомянутая выше дистрибутивность также показывает, что категория всех абелевых групп и их гомоморфизмов образует предаддитивную категорию. Существование прямых сумм и ядер с хорошо обусловленным поведением делает эту категорию примером абелевой категории.

См. также 
 
 Псевдохарактер

Ссылки 
 
 

Теория групп
Морфизмы