Гравитационное красное смещение

Гравитационное красное смещение — проявление эффекта изменения частоты испущенного некоторым источником света (любых электромагнитных волн) по мере удаления от массивных объектов, таких как звёзды и чёрные дыры; оно наблюдается как сдвиг спектральных линий в излучении источников, близких к массивным телам, в красную область спектра. Свет, приходящий из областей с более слабым гравитационным полем, испытывает гравитационное синее смещение.

Эффекты смещения не ограничиваются исключительно электромагнитным излучением, а проявляются во всех периодических процессах — вдали от массивного объекта де-бройлевские частоты элементарных частиц (фотонов, электронов, протонов) выше, чем на его поверхности, и все процессы идут с большей скоростью. Данный эффект является одним из частных проявлений гравитационного замедления времени.

Определение 
Гравитационное красное смещение принято обозначать символом  :

  ,

где:

  и  — измеренная частота и длина волны фотона,
  и  — лабораторная частота и длина волны фотона.

Гравитационное красное смещение было предсказано А. Эйнштейном (1911) при разработке общей теории относительности (ОТО), и в слабых гравитационных полях приблизительно равно
  ,
где:
  — относительное смещение спектральных линий под влиянием гравитации,
  и  — значения гравитационного потенциала в точках наблюдения и излучения соответственно,
  — гравитационная постоянная Ньютона;
  — масса гравитирующего тела,
  — скорость света,
  — радиальное расстояние от центра масс тела до точки излучения,
  — радиальное расстояние от центра масс тела до точки наблюдения.

Для света, излучаемого на расстоянии  от центра масс массивного тела и принимаемого на бесконечности (), гравитационное красное смещение приблизительно равно:
 
Поскольку первая космическая скорость на расстоянии  от тела массой  равна
  то формула для красного смещения может принять следующий вид:
 
Универсальная формула для изменения частоты, приложимая в любой
метрической теории гравитации в условиях применимости приближения геометрической оптики (эйконала):

 

где
  и  — частоты принятого (recieved) и излучённого (emitted) сигнала, соответственно,
  и  — собственные времена колебаний,
  и  — 4-скорости приёмника и источника, а
  и  представляют собой касательный светоподобный вектор (волновой 4-вектор сигнала), параллельно перенесённый вдоль траектории распространения сигнала.

История 
Ослабление энергии света, излучаемого звёздами с сильной гравитацией, было предсказано Джоном Митчеллом ещё в 1783 году, на основе корпускулярного представления о свете, которого придерживался Исаак Ньютон. Влияние гравитации на свет исследовали в своё время Пьер-Симон Лаплас и Иоганн фон Зольднер (1801 год) задолго до того, как Альберт Эйнштейн в статье 1911 года о свете и гравитации вывел свой вариант формулы для этого эффекта.

Филипп Ленард обвинил Эйнштейна в плагиате за то, что он не процитировал более раннюю работу Зольднера — однако, принимая во внимание, насколько эта тема была забыта и заброшена до того момента, как Эйнштейн вернул её к жизни, практически не подлежит сомнению, что Эйнштейн не был знаком с предыдущими работами. В любом случае, Эйнштейн пошёл намного дальше своих предшественников и показал, что ключевым следствием из гравитационного красного смещения является гравитационное замедление времени. Это была очень оригинальная и революционная идея. Эйнштейн впервые предположил, что потерю энергии фотоном при переходе в область с более высоким гравитационным потенциалом можно объяснить через разность хода времени в точках приёма и передачи сигнала. Энергия кванта электромагнитного излучения пропорциональна его частоте согласно формуле  где  — редуцированная постоянная Планка. Таким образом, если время для приёмника и передатчика течёт с разной скоростью, наблюдаемая частота излучения, а вместе с ней и энергия отдельных квантов, тоже будет различной для приёмника и передатчика.
В 2010 году физикам удалось измерить эффект замедления в лабораторных условиях.

Важные моменты 
 Для наблюдения гравитационного красного смещения приёмник должен находиться в месте с более высоким гравитационным потенциалом, чем источник.

 Существование гравитационного красного смещения подтверждается многочисленными экспериментами, которые год от года проводятся в различных университетах и лабораториях по всему миру.

 Гравитационное красное смещение предсказывается не только в теории относительности. Другие теории гравитации тоже предсказывают гравитационное красное смещение, хотя объяснения могут отличаться.

 Гравитационное красное смещение проявляется, но не ограничивается Шварцшильдовским решением уравнений общей теории относительности — при этом масса , указанная ранее, может быть массой вращающегося или заряженного тела.

Экспериментальное подтверждение 
Эксперимент Паунда и Ребки 1960 года продемонстрировал существование гравитационного красного смещения спектральных линий. Эксперимент был осуществлён в башне Лаймановской лаборатории физики Гарвардского университета с использованием эффекта Мёссбауэра; источник и поглотитель гамма-квантов (ядра железа-57) находились друг от друга на расстоянии  по вертикали в гравитационном поле Земли. Относительный сдвиг частоты в этих условиях составлял 2,57.

Применение 
Гравитационное красное смещение активно применяется в астрофизике. Релятивистская поправка на гравитационное красное смещение вводится в бортовые часы спутников глобальных систем позиционирования GPS и ГЛОНАСС.

Связь с замедлением времени 
Гравитационное замедление времени — физическое явление, заключающееся в изменении темпа хода времени (и, соответственно, часов) в гравитационном потенциале. Основная сложность в восприятии этого обстоятельства состоит в том, что в теориях гравитации временная координата обычно не совпадет с физическим временем, измеряемым стандартными атомными часами.

При использовании формул общей теории относительности для расчёта изменения энергии и частоты сигнала (при условии, что мы пренебрегаем эффектами зависимости от траектории, вызванными, например, увлечением пространства вокруг вращающейся чёрной дыры) гравитационное красное смещение в точности обратно величине фиолетового смещения. Таким образом, наблюдаемое изменение частоты соответствует относительной разности скорости хода часов в точках приёма и передачи.

В то время как гравитационное красное смещение измеряет наблюдаемый эффект, гравитационное замедление времени говорит, что можно заключить на основании результатов наблюдения. То есть, говоря иными словами: измеряя единое красное/фиолетовое смещение для любого способа посылки сигналов «оттуда»—"сюда", мы приходим к выводу, что одинаковые с нашими часы там идут «как-то не так», быстрее или медленнее.

Для статического гравитационного поля, гравитационное красное смещение можно полностью объяснить разностью темпа хода времени в точках с различным гравитационным потенциалом. Процитируем Вольфганга Паули: «В случае статического гравитационного поля всегда можно так выбрать временную координату, чтобы величины  от неё не зависели. Тогда число волн светового луча между двумя точками P1 и P2 также будет независимым от времени и, следовательно, частота света в луче, измеренная в заданной шкале времени, будет одинаковой в P1 и P2 и, таким образом, независимой от места наблюдения.»

Однако согласно современной метрологии время определяют локально для произвольной мировой линии наблюдателя (в частном случае — для одной и той же точки пространства с течением времени) через тождественные атомные часы (см. определение секунды). При таком определении времени темп хода часов строго задан и будет различаться от линии к линии (от точки к точке), в результате чего имеющаяся разность частот, например, в опыте Паунда — Ребки, или красное смещение спектральных линий, излучённых с поверхности Солнца или нейтронных звёзд, находит своё объяснение в разности темпа хода физического времени (измеряемого стандартными атомными часами) между точками излучения и приёма. В самом деле, так как скорость света считается постоянной величиной, то длина волны жёстко связана с частотой , поэтому изменение длины волны равносильно изменению частоты и обратно.

Если в некоторой точке излучаются, например, сферические вспышки света, то в любом месте в области с гравитационным полем координатные «временные» интервалы между вспышками можно сделать одинаковыми — путём соответствующего выбора временной координаты. Реальное же изменение измеряемого временного интервала определяется разностью темпа хода стандартных тождественных часов между мировыми линиями излучения и приёма. При этом в статическом случае абсолютно неважно, чем конкретно ведётся передача сигналов: световыми вспышками, горбами электромагнитных волн, акустическими сигналами, пулями или бандеролями по почте — все способы передачи будут испытывать абсолютно одинаковое «красное/фиолетовое смещение».

В нестационарном же случае вообще точным и инвариантным образом отделить «гравитационное» смещение от «доплеровского» невозможно, как например, в случае расширения Вселенной. Эти эффекты — одной природы, и описываются общей теорией относительности единым образом. Некоторое усложнение явления красного смещения для электромагнитного излучения возникает при учёте нетривиального распространения излучения в гравитационном поле (эффекты динамического изменения геометрии, отклонений от геометрической оптики, существования гравитационного линзирования, гравимагнетизма, увлечения пространства и так далее, которые делают величину смещения зависящей от траектории распространения света), но эти тонкости не должны затенять исходной простой идеи: скорость хода часов зависит от их положения в пространстве и времени.

В ньютоновской механике объяснение гравитационного красного смещения принципиально возможно — опять-таки через введение влияния гравитационного потенциала на ход часов, но это очень сложно и непрозрачно с концептуальной точки зрения. Распространённый способ выведения красного смещения как перехода кинетической энергии света  в потенциальную в самой основе апеллирует к теории относительности и не может рассматриваться как правильный. В эйнштейновской теории гравитации красное смещение объясняется самим гравитационным потенциалом: это не что иное, как проявление геометрии пространства-времени, связанной с относительностью темпа хода физического времени.

Вывод на основе принципа эквивалентности 
Гравитационное красное смещение является следствием принципа эквивалентности.

Рассмотрим сначала распространение фотона в однородном гравитационном поле вдоль линий напряжённости поля из точки с меньшим потенциалом гравитационного поля в точку с большим потенциалом. Согласно принципу эквивалентности, наличие гравитационного поля напряжённости  в инерциальной системе отсчёта эквивалентно ускоренному движению системы отсчёта с ускорением  в отсутствие гравитационного поля. То есть в данном опыте можно заменить наличие поле тяготения предположением о движении источника и приёмника с ускорением , которое направлено вверх. Если считать, что излучение волны с частотой  происходит в тот момент, когда скорость источника равна нулю, то спустя время , когда волна достигнет приёмника, его скорость будет равна . При вычислении относительной скорости  в формуле эффекта Доплера  скорость источника следует брать в момент излучения, а скорость приёмника — в момент прихода волны. Поэтому использование этой формулы показывает, что вследствие эффекта Доплера будет наблюдаться сдвиг частоты, равный
 
Обобщение этой формулы для случая неоднородного гравитационного поля имеет вид
 
Согласно закону всемирного тяготения Ньютона . Таким образом

Эвристический вывод гравитационного красного смещения из метрических свойств пространства-времени 

Гравитационное красное смещение можно получить, используя закон сложения скоростей.

Рассмотрим установку, состоящую из источника сигнала (к примеру, пуль) и приёмника. Расстояние между ними, измеренное в неподвижной системе отсчёта, обозначим . При этом установка двигается в пустоте с постоянным ускорением  относительно неподвижной системы отсчёта, что, согласно принципу эквивалентности, равнозначно помещению установки в однородное гравитационное поле.

Далее, поместим в приёмник и источник одинаковые часы , и попросим наблюдателя, который находится в точке «приёмника», сравнить их ход. Своё собственное время  он измерит непосредственно, а чтобы измерить ход времени в точке «источника», он будет измерять частоту приходящего сигнала. Скорость пули относительно «источника» обозначим как , скорость самого источника в момент посылки сигнала  Тогда, пользуясь законом сложения скоростей, получаем скорость пули  в неподвижной системе:
 
На преодоление расстояния  сигнал затратит время  а приемник за это время сместится на  Отсюда получаем уравнение:
 
решив которое относительно  получим:
 
или приближённо:
 
Таким образом, приходим к двум решениям:
 
Очевидно, что первое решение в данном случае — лишнее.

Подставим  из формулы (1) в формулу для  и при этом ограничимся  и  столь малыми, чтобы мы могли отбросить малые члены порядка  и 
 
Скорость установки за время , разделяющее посылку двух последовательных сигналов, увеличится на  и станет равной . Поэтому разница во времени прохождения двух последовательных сигналов составит:
 
и в итоге
 
Изменениями  и  (функции скорости) мы пренебрегли, как величинами соответствующего порядка малости.

Для частоты получим:
 
Обозначив разность гравитационных потенциалов на поверхности звезды и поверхности Земли как  получим:
 
Эти выражения были выведены Эйнштейном в 1907 году для случая .

Примечания

Литература 
 Окунь Л. Б., Селиванов К. Г., Телегди В. Л.  Гравитация, фотоны, часы // УФН, 1999, том 169, № 10, с. 1141—1147.
 Паунд Р. В.  О весе фотонов // УФН, 1960, № 12, том 73, с. 673—683.

Ссылки 

 
 
 
 
 

Альберт Эйнштейн
Общая теория относительности
Релятивистские и гравитационные явления