Алгебраическая система

Алгебраическая система в универсальной алгебре — непустое множество  (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатурой). Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.

-арная операция на  — это отображение прямого произведения  экземпляров множества в само множество . По определению, нульарная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать, но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).

Понятие возникло из наблюдений за общностью конструкций, характерных для различных общеалгебраических структур, таких как группы, кольца, решётки; в частности, таковы конструкции подсистемы (обобщающей понятия подгруппы, подкольца, подрешётки соответственно), гомоморфизма, изоморфизма, факторсистемы (обобщающей соответственно конструкции фактогруппы, факторкольца, факторрешётки). Эта общность изучается в самостоятельном разделе общей алгебры — универсальной алгебре, при этом получен ряд содержательных результатов, характерных для любых алгебраических систем, например, такова теорема о гомоморфизме, которая в случае алгебраической системы без заданных отношений — алгебры — уточняется до теорем об изоморфизме, известных ранее из теории групп и теории колец.

В математике с той или иной степенью строгости также используется понятие «алгебраической структуры». В частности, у Бурбаки оно формализовано как множество, наделённое операциями; при этом множество, наделённое отношениями (наличие которых возможно для алгебраической системы), уже рассматривается как математическая структура другого рода — структура порядка. Однако и не все алгебраические структуры описываются алгебраическими системами без дополнительных конструкций, в качестве примера таковых можно упомянуть коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними; кроме того, даже для определения таких классических структур, как модуля над кольцом или алгебры над полем, в универсальной алгебре используются такие искусственные конструкции, как определение для каждого элемента кольца (поля) унарной операции умножения на этот элемент.

Основные классы алгебраических систем 
 Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений.

Группоиды, полугруппы, группы 
 Группоид — множество с одной бинарной операцией , обычно называемой умножением.
 Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение  имеет единственное решение для любых  и .
 Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппа.
 Лупа — квазигруппа с нейтральным элементом , таким, что .
 Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: .
 Моноид — полугруппа с нейтральным элементом.
 Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a−1, такой, что .
 Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть . Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

Кольца 
 Кольцо — структура с двумя бинарными операциями (абелева группа по сложению с заданной второй ассоциативной бинарной операцией — умножением), в которой выполняется закон дистрибутивности: .
 Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
 Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.

 Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
 Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.

 Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
 Почтикольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)

Алгебры 
 Алгебра — линейное пространство с билинейной дистрибутивной операцией умножения, иначе говоря, кольцо с согласованной структурой линейного пространства
 Ассоциативная алгебра — алгебра с ассоциативным умножением
 Алгебра термов
 Коммутативная алгебра
 Градуированная алгебра
 Алгебра Ли — алгебра с антикоммутативным умножением (обычно обозначаемым ), удовлетворяющим тождеству Якоби 
 Алгебра Лейбница — алгебра с умножением (обычно обозначаемым ), удовлетворяющим тождеству Якоби 
 Алгебра Йордана — коммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: 
 Алгебра некоммутативная йорданова — некоммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности:  и тождеством эластичности: 
 Альтернативная алгебра — алгебра с тождествами 
 Алгебра Мальцева — антикоммутативная алгебра с тождеством:
 
 Коммутантно-ассоциативная алгебра
 Алгебра над операдой — один из наиболее общих видов алгебраических систем. Здесь сама операда играет роль сигнатуры алгебры.

Решётки 
 Решётка — структура с двумя коммутативными, ассоциативными, идемпотентными операциями, удовлетворяющими закону поглощения.
 Булева алгебра.

Примечания

Литература 
 
 
 

Универсальная алгебра