Функционал

Функциона́л — функция, заданная на произвольном множестве и имеющая числовую область значений: обычно множество вещественных чисел  или комплексных чисел . В более широком смысле функционалом называется любое отображение из произвольного множества в произвольное (не обязательно числовое) кольцо.

Функционалы изучаются как одно из центральных понятий в функциональном анализе, а основным предметом вариационного исчисления является изучение вариаций функционалов.

Определения 
Область определения функционала может быть любым множеством. Если область определения является топологическим пространством, можно определить непрерывный функционал; если область определения является линейным пространством над  или над , можно определить линейный функционал; если область определения является упорядоченным множеством, можно определить монотонный функционал.

Функционал, заданный на топологическом пространстве , называется непрерывным, если он непрерывен как отображение в топологическое пространство  или .

Функционал, заданный на топологическом пространстве , называется непрерывным в точке , если он непрерывен в этой точке как отображение в топологическое пространство  или .

Функционал, заданный на линейном пространстве, и сохраняющий сложение и умножение на константу, называется линейным функционалом. (Отображение линейного пространства в линейное пространство называют оператором).

Один из простейших функционалов — проекция (сопоставление вектору одной из его компонент или координат).

Довольно часто в роли линейного пространства выступает то или иное пространство функций (непрерывные функции на отрезке, интегрируемые функции на плоскости и т. д.).
Поэтому в прикладных областях под функционалом часто понимают функцию от функций, отображение, переводящее функцию в число (действительное или комплексное).

Функционал на линейном пространстве называется положительно определённым, если его значение неотрицательно и равно нулю только в нуле.

Отображение, переводящее вектор в его норму, является выпуклым положительно определённым функционалом, это один из самых распространённых функционалов. В физике часто используется действие — тоже функционал.

Задачи оптимизации формулируются на языке функционалов: найти решение (уравнения, системы уравнений, системы ограничений, системы неравенств, системы включений и тому подобного), доставляющее экстремум (минимум или максимум) заданному функционалу. Функционалы также рассматриваются в вариационном анализе.

Функционал в линейном пространстве 
Позднее от понятия традиционного функционала отделилось понятие функционала в линейном пространстве, как функции, отображающей элементы линейного пространства в его пространство скаляров. Зачастую (например, когда пространство функций
является линейным пространством) эти две разновидности понятия «функционал» совпадают, в то же время они не тождественны и не поглощают друг друга.

Особенно важной разновидностью функционалов являются линейные функционалы.

Примеры 
 норма функции
 значение функции в фиксированной точке
 максимум или минимум функции на отрезке
 величина интеграла от функции
 длина графика вещественной функции вещественной переменной
 длина кривой, параметрически заданной векторной функцией вещественного аргумента (длина пути)
 площадь поверхности, параметрически заданной векторной функцией двух вещественных аргументов
 скалярное произведение на фиксированный вектор
 действие в механике
 функционал энергии

Литература 

 
 
 

Функционалы
Типы функций