Гамма-функция

Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Гамма-функция чрезвычайно широко применяется в науке. Среди основных областей её применения — математический анализ, теория вероятностей, комбинаторика, статистика, атомная физика, астрофизика, гидродинамика, сейсмология и экономика. В частности, гамма-функция используется для обобщения понятия факториала на множества действительных и комплексных значений аргумента и расширения понятия производной на дробные значения.

Определения

Интегральное определение 
Если вещественная часть комплексного числа  положительна, то гамма-функция определяется через абсолютно сходящийся интеграл
 
Это определение было получено Лежандром из оригинального определения Эйлера (1730 г.)
 
через замену переменной , и на сегодняшний день именно определение Лежандра известно как классическое определение гамма-функции. Интегрируя по частям классическое определение, легко видеть, что .

Для приближённого вычисления значений гамма-функции удобнее третья формула, также полученная из определения Эйлера путём применения равенства  и замены переменной :

 .

Интеграл в этой формуле сходится при , хотя она обычно используется для положительных вещественных значений аргумента (предпочтительные значения — вблизи 1). В случае вещественного аргумента  подынтегральная функция имеет единственную особую точку — устранимый разрыв при , и если доопределить её в этой точке значением , она станет непрерывной на всём отрезке . Таким образом, интеграл является собственным, что упрощает численное интегрирование.

Существует непосредственное аналитическое продолжение исходной формулы на всю комплексную плоскость, кроме целых чисел, называемое интегралом  Ханкеля:
 
Здесь контур  — любой контур на комплексной плоскости, обходящий точку  против часовой стрелки, концы которого уходят на бесконечность вдоль положительной вещественной оси.

Последующие выражения служат альтернативными определениями гамма-функции.

Определение по Гауссу 
Оно верно для всех комплексных , за исключением 0 и отрицательных целых чисел

Определение по Эйлеру

Определение по Вейерштрассу 
 
где  — постоянная Эйлера — Маскерони.

Примечание: иногда используется альтернативная, так называемая пи-функция, которая является обобщением факториала и связана с гамма-функцией соотношением . Именно этой функцией (а не -функцией) пользовались Гаусс, Риман, и многие другие немецкие математики XIX века.

Свойства 

Для любого натурального n верно:
  .

Основное свойство гамма-функции — это её рекуррентное уравнение
 
которое при фиксированном начальном условии единственным образом определяет логарифмически выпуклое решение, то есть саму гамма-функцию ().

Для гамма-функции справедлива формула дополнения Эйлера:
 .

Также справедлива и формула умножения Гаусса:
 
Частный случай этой формулы при n=2 был получен Лежандром:
 

Гамма-функция не имеет нулей на всей комплексной плоскости.  является мероморфной на комплексной плоскости и имеющей простые полюсы в точках 

Гамма-функция имеет полюс первого порядка в  для любого натурального  и нуля; вычет в этой точке задаётся так:
 .
Полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:
 .
Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и , где , часто называют «пси-функцией» или дигамма-функцией. Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:
 .

Логарифм гамма-функции 
По целому ряду причин наряду с гамма-функцией часто рассматривают и логарифм гамма-функции — первообразную дигамма-функции. Для него справедливы следующие интегральные представления:
 
и
 
данные Жаком Бине в 1839-м году (эти формулы ещё часто называют первой и второй формулой Бине соответственно для логарифма гамма-функции). Несколько отличные интегральные формулы для логарифма гамма-функции также появлялись в работах Мальмстена, Лерха и некоторых других. Так, Мальмстен получил формулу, схожую с первой формулой Бине
 
а Лерх показывает, что все интегралы вида
 
также сводятся к логарифмам гамма-функции. В частности, формула, аналогичная второй формуле Бине с «сопряжённым» знаменателем, имеет следующий вид:
 
 (см. упр. 40 в)
Кроме того, Мальмстен также получил ряд интегральных формул для логарифма гамма-функции, содержащих гиперболические функции с логарифмом в подынтегральном выражении (или, что то же, логарифм логарифма с полиномами). В частности,
 
 (см. упр. 2, 29-h, 30 в)
Ярослав Благушин показал, что при рациональном аргументе , где  и  целые положительные числа, такие, что  не превосходит , справедливо следующее представление:
 
 
 (см. приложение C, а также упр. 60 и 58)
Более того, и в более общих случаях интегралы, содержащие гиперболические функции с логарифмом (или арктангенсом) в подынтегральном выражении, часто сводятся к логарифмам гамма-функции и её производным, в том числе и комплексного аргумента, см. напр. упр. 4-b, 7-а и 13-b в.

Логарифм гамма-функции также тесно связан с аналитическим продолжением обобщённой дзета-функции
 
Это важнейшее взаимоотношение, выведенное Лерхом, позволяет получить большое количество интегральных представлений для логарифма гамма-функции через известные формулы для обобщённой дзета-функции.

Ряд Фурье для логарифма гамма-функции имеет следующий вид
 
Эта формула обычно приписывается Эрнсту Куммеру, который её вывел в 1847 г. (в авторитетной литературе этот ряд даже называется рядом Куммера для логарифма гамма-функции). Однако недавно было открыто, что эта формула была получена ещё в 1842 г. Карлом Мальмстеном (см. Ярослав Благушин).

Помимо разложения в ряд Фурье, существуют и другие разложения в ряды. Одно из самых известных это ряд Стирлинга
 
В его стандартной вариации
 
где коэффициенты  означают числа Бернулли.

Из определения гамма-функции по Вейерштрассу следует ещё одно важное представление рядом
 .

Частные значения 
Гамма-функция целого и полуцелого аргументов выражается через элементарные функции. В частности
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Поиск значения гамма-функции в точках 1/4 и 1/3 являлся объектом подробных изысканий Эйлера, Гаусса и Лежандра, однако им не удалось подсчитать эти значения в замкнутом виде.

Существуют следующие представления в незамкнутом виде для Γ(1/4)
 
 
 
где AGM — функция арифметико-геометрического среднего, G — постоянная Каталана и A — постоянная Глейшера—Кинкелина.

Обобщения 
В классическом интегральном определении гамма-функции пределы интегрирования фиксированы. Рассматривают также , определяемую аналогичным интегралом с переменным верхним либо нижним пределом интегрирования. Различают верхнюю неполную гамма-функцию, часто обозначаемую как гамма-функцию от двух аргументов:
 
и нижнюю неполную гамма-функцию, аналогично обозначаемую строчной буквой «гамма»:
 .
Иногда неполную гамма-функцию определяют как:
 .

Вычисление интегралов 
Важным применением Гамма функции служит сведение к ней интегралов следующего вида, где  — постоянные параметры

 

В частности, для широко встречающихся в приложениях физики интегралов Гауссова типа:

 

И Эйлеровых интегралов:

См. также 
 Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
 K-функция
 G-функция Барнса
 Бета-функция
 Гамма-распределение
 Неполная гамма-функция

Примечания

Литература и ссылки 
 В. Я. Арсенин. Математическая физика: основные уравнения и специальные функции, глава X, сс. 225—233. Наука, Москва, 1966.
 М. А. Евграфов. Аналитические функции, глава VI, сс. 267—273. Наука, Москва, 1968.
 М. А. Евграфов и др. Сборник задач по теории аналитических функций, сс. 307—316. Наука, Москва, 1969.
 Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления (7-е изд.), глава XIV, сс. 750—794. Наука, Москва, 1969.
 А. И. Маркушевич. Теория аналитических функций (2-е изд.), том 2, сс. 303—324. Наука, Москва, 1968.
 Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения (2-е изд.), глава I, сс. 11—27. ФМ, Москва, 1963.
 А. Ф. Никифоров и В. Б. Уваров. Специальные функции математической физики, сс. 263—268. Наука, Москва, 1978.
 Пагурова В. И. Таблицы неполной гамма-функции. (Редактор Диткин В. А.). Москва, Изд-во ВЦ АН СССР, 1963. 236 с. 
 R. Campbell. Les intégrales eulériennes et leurs applications, Dunod, Paris, 1966.
 M. Godefroy. La fonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie, Gauthier-Villars, Paris, 1901.
 E. Artin. Einführung in die Theorie der Gammafunktion, Teubner, Leipzig, 1931.
 N. Nielson. Handbuch der Theorie der Gammafunktion, Teubner, Leipzig, 1906.

Специальные функции
Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера