Импликация

Имплика́ция (от  «связь; сплетение») — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если…, то…».

Импликация записывается как посылка  следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами:
 посылка является условием, достаточным для выполнения следствия:
 следствие является условием, необходимым для истинности посылки.

Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы.

При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением.

Булева логика 
В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества . Результат также принадлежит множеству . Вычисление результата производится по простому правилу либо по таблице истинности. Вместо значений  может использоваться любая другая пара подходящих символов, например  или  или «ложь», «истина».

Правило:
 Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, операция  — это сокращённая запись выражения .
Таблицы истинности:

прямая импликация
(от a к b, ) (, )
 {| class="wikitable"
 !
 !
 !
 |-
 |
 |
 |
 |-
 |
 |
 |
 |-
 |
 |
 |
 |-
 |
 |
 |
 |}
 если первый операнд не больше второго операнда, то 1,
 если , то истинно (1).

«Житейский» смысл импликации. 
Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:
 А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0).
 В — подчинённый. Он может работать (1) или бездельничать (0).
В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчинённого начальнику.
По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчинённый бездельничает.

обратная импликация (от b к a, )
 {| class="wikitable"
 !
 !
 !
 |-
 |
 |
 |
 |-
 |
 |
 |
 |-
 |
 |
 |
 |-
 |
 |
 |
 |}
 если первый операнд не меньше второго операнда, то 1,
 если , то истинно (1).
Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

отрицание (инверсия, негация) прямой импликации ()
 {| class="wikitable"
 !
 !
 !
 |-
 |
 |
 |
 |-
 |
 |
 |
 |-
 |
 |
 |
 |-
 |
 |
 |
 |}
 если первый операнд больше второго операнда, то 1,
 если , то истинно (1).

отрицание (инверсия, негация) обратной импликации (),
разряд займа в двоичном полувычитателе.
 {| class="wikitable"
 !
 !
 !
 |-
 |
 |
 |
 |-
 |
 |
 |
 |-
 |
 |
 |
 |-
 |
 |
 |
 |}
 если первый операнд меньше второго операнда, то 1,
 если , то истинно (1).

Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.

Синонимические импликации выражения в русском языке 
 Если А, то Б
 Б в том случае, если А
 При А будет Б
 Из А следует Б
 В случае А произойдёт Б
 Б, так как А
 Б, потому что А
 А — достаточное условие для Б
 Б — необходимое условие для А
 А имплицирует Б
 А влечёт Б

Многозначная логика

Теория множеств 
Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого.
Импликация обозначается символом , и ей соответствует вложение множеств: пусть , тогда
 
Например, если  — множество всех квадратов, а  — множество прямоугольников, то,
конечно,  и
 (a — квадрат)  (a — прямоугольник).
(если a является квадратом, то a является прямоугольником).

Классическая логика 
В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.

Можно доказать эквивалентность импликации  формуле  (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле , которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)).
Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.

Интуиционистская логика 
В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде , где  — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

Логика силлогизмов 
В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».

Лингвистика 
В лингвистике под импликацией (от implicāre «вплетать, впутывать») понимается использование в предложении неявных (имплицитных) словесных выражений, в том числе недосказанность в виде упущения одного или нескольких существительных в определительной цепочке. Так, например, А.Д. Швейцер и Б.Н. Климзо в своих трудах для переводчиков с английского языка и на английский выделяют 7 типов импликаций, которые надо учитывать: первые должны устранять в своих переводах импликации, неприемлемые в русском языке, а вторым полезно использовать английские импликации с целью компрессии текста.

См. также 
 Идентичность
 Отрицание
 Конъюнкция
 Дизъюнкция
 Эквиваленция
 Исключающее или
 Обратная импликация
 Штрих Шеффера
 Стрелка Пирса
 Условная дизъюнкция
 Таблица истинности
 Закон тождества

Примечания

Литература 
 
 
 
 Барабанов О. О. Импликация / Труды XI международных Колмогоровских чтений: сборник статей. — Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2013. С.49-53.
 Климзо Б.Н. Ремесло технического переводчика. — М.: «Р.Валент», 2003. — 288 с. С.75-84.
 Швейцер А.Д. Перевод и лингвистика. — М.: «Воениздат», 1973.

Ссылки 
 Импликация и эквивалентность
 Импликация в учебнике MathIt

Логика высказываний
Логические элементы