Taylorreihe

Die Taylorreihe wird in der Analysis verwendet, um eine analytische Funktion in der Umgebung einer Stelle durch eine Potenzreihe darzustellen, die der Grenzwert der Taylor-Polynome ist. Diese Reihenentwicklung wird Taylor-Entwicklung genannt. Reihe und Entwicklung sind nach dem britischen Mathematiker Brook Taylor benannt.

Definition 
Sei  ein offenes Intervall,  eine glatte Funktion und  ein Element von . Dann heißt die unendliche Reihe

die Taylorreihe von  mit Entwicklungsstelle . Hierbei bezeichnet  die Fakultät von  und  die -te Ableitung von , wobei man  setzt.

Die Reihe ist hier zunächst nur „formal“ zu verstehen. Das heißt, dass die Konvergenz der Reihe nicht vorausgesetzt ist. In der Tat gibt es Taylorreihen, die nicht überall konvergieren (für  siehe obige Abbildung). Auch gibt es Taylorreihen, die zwar konvergieren, aber nicht gegen die Funktion, aus der die Taylorreihe gebildet wird – zum Beispiel  für 

Im Spezialfall  wird die Taylorreihe auch Maclaurin-Reihe genannt.

Die Summe der ersten beiden Terme der Taylorreihe

nennt man auch Linearisierung von  an der Stelle . Allgemeiner nennt man die Partialsumme

die für festes  ein Polynom in der Variablen  darstellt, das -te Taylorpolynom.

Die Taylorformel mit Restglied macht Aussagen darüber, wie dieses Polynom von der Funktion  abweicht. Aufgrund der Einfachheit der Polynomdarstellung sowie der guten Anwendbarkeit der Restgliedformeln sind Taylorpolynome ein häufig angewandtes Hilfsmittel der Analysis, der Numerik, der Physik und der Ingenieurwissenschaften.

Eigenschaften 
Die Taylorreihe  zur Funktion  ist eine Potenzreihe mit den Ableitungen

und somit folgt durch vollständige Induktion:

Übereinstimmung an der Entwicklungsstelle 
Wegen

stimmen an der Entwicklungsstelle  die Taylorreihe  und ihre Ableitungen mit der Funktion  und deren Ableitungen überein:

Gleichheit mit der Funktion 
Im Fall einer analytischen Funktion  stimmt die Taylorreihe mit dieser Potenzreihe überein, denn es gilt

und somit .

Wichtige Taylorreihen

Exponentialfunktionen und Logarithmen 

Die natürliche Exponentialfunktion wird auf ganz  durch ihre Taylorreihe mit Entwicklungsstelle 0 dargestellt:

Beim natürlichen Logarithmus hat die Taylorreihe mit Entwicklungsstelle 1 den Konvergenzradius 1, d. h., für  wird die Logarithmusfunktion durch ihre Taylorreihe dargestellt (vgl. Abb. oben):

Schneller konvergiert die Reihe

und daher ist sie geeigneter für praktische Anwendungen.

Wählt man  für ein , so ist  und .

Trigonometrische Funktionen 

Für die Entwicklungsstelle  (Maclaurin-Reihen) gilt:

Hierbei ist  die -te Bernoulli-Zahl und  die -te Eulersche Zahl.

Produkt von Taylorreihen 
Die Taylorreihe eines Produkts zweier reeller Funktionen  und  kann berechnet werden, wenn die
Ableitungen dieser Funktionen an derselben Entwicklungsstelle  bekannt sind:

Mit Hilfe der Produktregel ergibt sich dann:

Sind die Taylorreihen der beiden Funktionen explizit gegeben:

so gilt

mit

Dies entspricht der Cauchy-Produktformel der beiden Potenzreihen.

Beispiel 
Seien ,  und .
Dann gilt

und wir erhalten

in beiden Fällen also

und somit

Diese Taylorentwicklung wäre allerdings auch direkt über die Berechnung der Ableitungen von  möglich:

Taylorreihen nichtanalytischer Funktionen 
Dass die Taylorreihe an jeder Entwicklungsstelle  einen positiven Konvergenzradius hat und in ihrem Konvergenzbereich mit  übereinstimmt, gilt nicht für jede beliebig oft differenzierbare Funktion. Aber auch in den folgenden Fällen nichtanalytischer Funktionen wird die zugehörige Potenzreihe als Taylorreihe bezeichnet.

Konvergenzradius 0 
Die Funktion

ist auf ganz  beliebig oft differenzierbar, aber ihre Taylorreihe in  ist

und somit nur für  konvergent (nämlich gegen bzw. gleich 1).

Eine Funktion, die in einer Entwicklungsstelle nicht in eine Taylorreihe entwickelt werden kann 
Die Taylorreihe einer Funktion konvergiert nicht immer gegen die Funktion. Im folgenden Beispiel stimmt die Taylorreihe auf keiner Umgebung um die Entwicklungsstelle  mit der Ausgangsfunktion überein:

Als reelle Funktion ist  beliebig oft stetig differenzierbar, wobei die Ableitungen in jedem Punkt  (insbesondere für ) ausnahmslos 0 sind. Die Taylorreihe um den Nullpunkt ist also die Nullfunktion und stimmt in keiner Umgebung der 0 mit  überein. Daher ist  nicht analytisch. Die Taylorreihe um eine Entwicklungsstelle  konvergiert zwischen  und  gegen . Auch mit einer Laurentreihe lässt sich diese Funktion nicht approximieren, weil die Laurentreihe, die die Funktion für  korrekt wiedergibt, für  nicht konstant 0 ergibt.

Mehrdimensionale Taylorreihe 

Sei nun im Folgenden  eine beliebig oft stetig differenzierbare Funktion mit Entwicklungsstelle .

Dann kann man zur Funktionsauswertung  eine mit  und  parametrisierte Familie von Funktionen  einführen, die man so definiert:

 ist dann, wie man durch Einsetzen von  feststellt, gleich .

Berechnet man nun von  die Taylorentwicklung am Entwicklungspunkt  und wertet sie bei  aus, so erhält man die mehrdimensionale Taylorentwicklung von :

Mit der mehrdimensionalen Kettenregel und den Multiindex-Notationen für 

erhält man ferner:

Mit der Schreibweise  erhält man für die mehrdimensionale Taylorreihe bzgl. des Entwicklungspunktes 

in Übereinstimmung zum eindimensionalen Fall, falls man die Multiindex-Notation verwendet.

Ausgeschrieben sieht die mehrdimensionale Taylorreihe wie folgt aus:

Beispiel 
Zum Beispiel gilt nach dem Satz von Schwarz für die Taylorreihe einer Funktion , die von  abhängt, an der Entwicklungsstelle :

Operatorform 
Die Taylorreihe lässt sich auch in der Form  darstellen, wobei mit  der gewöhnliche Ableitungsoperator gemeint ist.
Der Operator  mit  wird als Translationsoperator bezeichnet.
Beschränkt man sich auf Funktionen, die global durch ihre Taylorreihe darstellbar sind, so gilt . In diesem Fall gilt also

Für Funktionen von mehreren Variablen lässt sich  durch die Richtungsableitung
 austauschen. Es ergibt sich

Man gelangt von links nach rechts, indem man zunächst die Exponentialreihe einsetzt, dann den Gradienten in kartesischen Koordinaten sowie das Standardskalarprodukt und schließlich das Multinomialtheorem verwendet.

Für die Taylorreihe lässt sich auch ein diskretes Analogon finden. Man definiert dazu den Differenzenoperator  durch . Offensichtlich gilt nun , wobei mit  der Identitätsoperator gemeint ist. Potenziert man nun auf beiden Seiten mit  und verwendet die binomische Reihe, so ergibt sich

Man gelangt zur Formel

wobei mit  die absteigende Faktorielle gemeint ist.
Diese Formel ist als newtonsche Formel zur Polynominterpolation bei äquidistanten Stützstellen bekannt.
Sie stimmt für alle Polynomfunktionen, braucht aber für andere Funktionen nicht unbedingt korrekt zu sein.

Siehe auch 
 Linearisierung mittels Näherungswerten
 Ausgleichsrechnung

Weblinks

Einzelnachweise 

Folgen und Reihen
Brook Taylor

pl:Wzór Taylora#Szereg Taylora