Derivată

În matematică, derivata unei funcții este unul dintre conceptele fundamentale ale analizei matematice, împreună cu primitiva (inversa derivatei, adică integrala).

Derivata unei funcții într-un punct semnifică rata cu care se modifică valoarea funcției atunci când se modifică argumentul. Cu alte cuvinte, derivata este o formulare matematică a noțiunii de rată de variație. Derivata este un concept foarte versatil, care poate fi privit în multe feluri. De exemplu, referindu-ne la graficul bidimensional al funcției f, derivata într-un punct x reprezintă panta tangentei la grafic în punctul x. Panta tangentei se poate aproxima printr-o secantă. Cu această interpretare geometrică, nu este surprinzător faptul că derivatele pot fi folosite pentru a descrie multe proprietăți geometrice ale graficelor de funcții, cum ar fi concavitatea și convexitatea.

Trebuie menționat că nu toate funcțiile admit derivate. De exemplu, funcțiile nu au derivate în punctele în care au o tangentă verticală, în punctele de discontinuitate și în punctele de întoarcere.

Disputa Leibnitz–Newton 
Calculul diferențial și cel integral au fost inventate practic simultan, dar independent unul de celălalt, de către englezul Isaac Newton (1643–1727), respectiv de către matematicianul german Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716).

Se poate menționa, cu titlul aproape anecdotic, dar absolut real, că lumea științifică a momentului respectiv (1685-1690) asista, aproape „cu sufletul la gură”, timp de câțiva ani buni, la un dialog deschis și permanent al celor doi titani, Leibnitz și Newton. Doar după ce cei doi oameni de știință au ajuns la înțelegerea abordării conceptelor și noțiunilor din ambele puncte de vedere (al fizicianului și al matematicianului), după ce s-au pus de acord cu noțiunile preliminare, limitele și metodologia de abordare a conceptelor etc., cei doi au putut explica și restului lumii științifice despre ce este vorba.

Derivată și derivabilitate 

Derivata a apărut din necesitatea de a exprima rata cu care se modifică (variază) o cantitate y ca urmare a modificării (variației) unei alte cantități x de care este legată printr-o funcție. Folosind simbolul Δ pentru a nota modificarea (variația) unei cantități, această rată se definește ca limita raportului variațiilor (diferențelor):

pe măsură ce Δ x tinde spre 0 sau altfel exprimat Δ x e în vecinătatea lui 0. În notația lui Leibniz, derivata lui y în raport cu x se scrie
 

sugerând raportul a două diferențe numerice (cantități) infinitezimale (în vecinătatea lui 0). Expresia de mai sus se poate pronunța fie "dy supra dx", fie "dy la dx".

În limbajul matematic contemporan, nu se mai face referire la cantitățile care variază; derivata este considerată o operație matematică asupra funcțiilor. Definiția formală a acestei operații (care nu mai face uz de noțiunea de cantități infinitezimale) este dată de limita când h tinde la 0 (e în vecinătatea lui 0) a următoarei expresii:

Funcții derivabile 
O funcție  este derivabilă într-un punct  dacă:

 și 

Dacă  atunci spunem că  are derivată dar nu este derivabilă

Relația dintre continuitate și derivabilitate 
Fie  unde  este mulțimea punctelor de acumulare. Atunci:

 derivabilă în  continuă în , dar  poate fi continuă și nederivabilă (conversa afirmației este falsă)

Derivarea funcțiilor obținute prin operații algebrice elementare 
Fie  și  funcții derivabile pe domeniul lor de definiție. Atunci:

 ; 

 ;

 ;

.

Aceste egalități se pot demonstra pornind de la definiția derivatei.

Derivatele unor funcții elementare 

 Putere:

 

unde r este număr real, atunci:

 

oriunde derivata este bine definită.

 Funcția exponențială și logaritmică:

 

 Funcții trigonometrice:

 
 
 
 
 
 
 

 Funcții trigonometrice inverse:

 
 
 
 
 
 
 
 
 Valabile pentru domeniile corespunzătoare de definiție.

Notații 
Dacă f este o funcție, derivata funcției f în punctul x se poate nota (simboliza) în mai multe moduri:

 
pronunțat "f prim de x";
  
pronunțat "d pe d x din f de x"; 
  
pronunțat "d f pe d x"
 
pronunțat "d indice x de f".

Bibliografie 

 Gh. Sirețchi, Analiză matematică, Editura didactică și pedagogică.

Vezi și 
 Tabel de derivate
 Derivată parțială
 Derivată funcțională
 Primitivă
 Factor integrant
 Teoria nodurilor
 Spațiu topologic
 Ecuație diferențială ordinară
 Funcție continuă
 Limită a unei funcții

Legături externe 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Weisstein, Eric W. "Derivative." From MathWorld
 Differentiation Calculator
 Derivatives of Trigonometric functions, UBC
 Solved Problems in Derivatives

Analiză matematică
Calcul diferențial
Funcții și cartografieri
Operatori liniari în calcul diferențial