Matrice

În matematică, o matrice (plural matrice sau matrici) este un tabel dreptunghiular de numere, sau mai general, de elemente ale unei structuri algebrice de tip inel. Prin generalizare, pot fi definite matrice cele care au mai mult decât 2 dimensiuni, ele numindu-se atunci matrici n-dimensionale. Dacă , matricea este pătrată.

Definiție 
Se numește matrice cu m linii și n coloane (de tip ) un tablou cu  linii și  coloane:

ale cărui elemente  sunt numere complexe.

Uneori această matrice se notează cu indici,  unde  și 

Pentru elementul  indicele  arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice, , indică pe ce coloană este situat.

Mulțimea matricilor de tip  cu elemente numere reale se notează prin 
Aceleași semnificații au și mulțimile

Cazuri particulare 
1. O matrice de tipul  (deci cu o linie și  coloane) se numește matrice linie și are forma:

2. O matrice de tipul  (deci cu  linii și o coloană) se numește matrice coloană și are forma:

3. O matrice de tip  se numește nulă (sau matrice zero) dacă toate elementele ei sunt zero.
Se notează cu O:

4. Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numește pătrată:

Sistemul de elemente  reprezintă diagonala principală a matricei , iar suma acestor elemente se numește urma matricei A notată:

Mulțimea matricelor pătrate se notează 
Printre aceste matrice, una este foarte importantă, aceasta fiind:

și se numește matrice unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu , iar în rest sunt egale cu ).

Egalitatea a două matrice 
Fie , . Se spune că matricele  sunt egale și se scrie  dacă

Transpusa unei matrice 
Fie . Transpusa matricei A este:
 dată de:

Matrice simetrică 
Fie matricea pătrată . Se spune că matricea  este simetrică dacă este egală cu transpusa ei: :

Operații cu matrice

Adunarea matricelor 
Fie 

Matricea  se numește suma matricelor ,  dacă:

Observații.
1. Două matrice se pot aduna dacă sunt de același tip, adică au același număr de linii și același număr de coloane, deci 

2. Explicit, adunarea matricelor  înseamnă:

Proprietăți ale adunării matricelor 
Asociativitatea adunării.
Adunarea matricelor este asociativă, adică:

Comutativitatea adunării.
Adunarea matricelor este comutativă, adică:

Element neutru.
Adunarea matricelor admite matricea nulă ca element neutru, adică:
 astfel încât 

Element opus.
Orice matrice  are un opus, notat  astfel încât:

Înmulțirea cu scalari a matricelor 
Fie  și 
Se numește produsul dintre scalarul  și matricea A, matricea notată  definită prin 

Observație
A înmulți o matrice cu un scalar revine la a înmulți toate elementele matricei cu acest scalar.
Deci:

Proprietăți ale înmulțirii matricelor cu scalari

Înmulțirea matricelor 

Există mai multe tipuri de produse ale matricilor. Operația prezentată în continuare este cunoscută sub denumirea de înmulțirea matricială.

Fie 

Produsul dintre matricele A și B (în această ordine), notat  este matricea  definită prin:

Observații
Produsul  a două matrice nu se poate efectua întotdeauna decât dacă  adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, când se obține o matrice 

Dacă matricele sunt pătrate  atunci are sens întotdeauna atât  cât și  iar în general,  adică înmulțirea matricelor nu este comutativă.

Proprietățile înmulțirii matricelor 
Asociativitatea înmulțirii.
Înmulțirea matricelor este asociativă, adică:

Distributivitatea înmulțirii față de adunare.
Înmulțirea matricelor este distributivă în raport cu adunarea matricelor, adică:

matrice pentru care au sens operațiile de adunare și înmulțire.

Dacă  este matricea unitate, atunci:

se spune că  este element neutru.

Determinanți 

Dacă  este o matrice pătrată cu elemente din , atunci numărul:

se numește determinantul lui .

Note

Bibliografie
 Academia Română, Institutul de Lingvistică „Iorgu Iordan - Al. Rosetti”, Dicționarul ortografic, ortoepic și morfologic al limbii române, Ediția a II-a revăzută și adăugită, Editura Univers Enciclopedic, București, 2005 ISBN 973-637-087-x
  Mădălina Roxana Buneci, Elemente de analiză matricială, (curs) utgjiu.ro, 2007

Lectură suplimentară
 Tiberiu Ionescu, Grafuri, aplicații, vol. I, (pp.71-143 & passim) Editura Didactică și Pedagogică, București - 1973;
 Alexandru Al. Roșu, Teoria grafelor, algoritmi, aplicații (cap. 4. Matrice asociate grafelor, pp.98-113 & passim), Editura Militară, București - 1974.

Vezi și 
 Rangul unei matrice
 Teorema Cayley-Hamilton
 Matrice pătrată
 Urma matricii
 Diagonală principală

Legături externe 

  eMathZone.com

 
Algebră
Algebră liniară