Polstelle

In der Mathematik bezeichnet man  eine einpunktige Definitionslücke einer Funktion als Polstelle oder auch kürzer als Pol, wenn die Funktionswerte in jeder Umgebung des Punktes (betragsmäßig) beliebig groß werden. Damit gehören die Polstellen zu den isolierten Singularitäten. Das Besondere an Polstellen ist, dass sich die Punkte in einer Umgebung nicht chaotisch verhalten, sondern in einem gewissen Sinne gleichmäßig gegen unendlich streben. Deshalb können dort Grenzwertbetrachtungen durchgeführt werden.

Generell spricht man nur bei glatten oder analytischen Funktionen von Polen. In der Schulmathematik werden Pole bei reellen gebrochen-rationalen Funktionen eingeführt. Sollen auch Singularitäten von anderen Funktionen, etwa transzendenten Funktionen, z. B. beim Sekans , untersucht werden, so ist es am zweckmäßigsten, die analytische Fortsetzung auf den komplexen Zahlen zu betrachten.

Reelle Funktionen 
Im Folgenden sei  eine rationale Funktion auf den reellen Zahlen. Eine allgemeinere Herangehensweise wird weiter unten bei Komplexe Funktionen dargestellt.

Polstellen und stetig hebbare Definitionslücken rationaler Funktionen 
Jede rationale Funktion lässt sich als Quotient zweier Polynome schreiben:

Dabei seien  und  ungleich dem Nullpolynom. Dann können Polstellen von  generell nur an den Nullstellen des Nennerpolynoms auftreten. Habe also  eine -fache Nullstelle in  . Da sich Nullstellen mittels Polynomdivision aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra ausfaktorisieren lassen, gilt , dabei ist  ein Polynom vom Grad  und . Jetzt hängt es vom Zählerpolynom ab, ob  eine Polstelle ist.
 Falls  gilt, dann ist  eine Polstelle der Ordnung .
 Hat  eine -fache Nullstelle in , so gilt:
 falls , so ist  Polstelle von  mit Ordnung ;
 falls , so ist  eine stetig hebbare Definitionslücke und somit keine Polstelle.

Bemerkungen 
 Interpretiert man „ hat in  keine Nullstelle“ als „ hat in  eine -fache Nullstelle mit “, so lässt sich obige Fallunterscheidung kürzer formulieren.
 Rationale Funktionen können keine anders gearteten Singularitäten besitzen.
 Rationale Funktionen besitzen höchstens endlich viele Polstellen, da ein Polynom nur endlich viele Nullstellen haben kann.

Ordnung einer Polstelle 
Die Ordnung einer Polstelle wird durch eine natürliche Zahl ausgedrückt und ist die Entsprechung zur Vielfachheit einer Nullstelle. Je höher die Ordnung ist, umso schneller streben die Funktionswerte betragsmäßig gegen unendlich. Zusätzlich wird zwischen gerader und ungerader Ordnung unterschieden. Jede Polstelle einer rationalen Funktion hat eine endliche, eindeutig bestimmte Ordnung. Ist  wie oben definiert,  dann erhält man zwei Polynome , die keinen Linearfaktor gemeinsam haben, sodass ,  indem man alle stetig behebbaren Definitionslücken herauskürzt. Dann hat  in  genau dann eine Polstelle -ter Ordnung, wenn  dort eine -fache Nullstelle hat, oder anders formuliert, wenn  in  eine -fache Nullstelle hat. Ebenso spricht man von einem Pol der Ordnung 0, wenn  dort keine Polstelle hat.

Verhalten des Graphen 

Der Graph der Funktion verschwindet bei Annäherung an die Polstelle im Unendlichen und besitzt dort eine senkrechte Asymptote. Das genaue Verhalten wird durch die Ordnung der Polstelle festgelegt. Je höher die Ordnung ist, umso steiler erscheint der Graph.

Bei einer ungeraden Ordnung spricht man auch von einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel, der Graph springt aus dem positiven in den negativen Bildbereich oder umgekehrt.

Bei einem Pol gerader Ordnung liegt der Graph auf beiden Seiten der Polstelle im Bildbereich mit dem gleichen Vorzeichen. Man spricht dann auch von einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Existenz von uneigentlichen Grenzwerten 
Hat  eine Polstelle in , dann existiert ein Grenzwert  nur dann, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen. Ist die Ordnung der Polstelle gerade, so ist dies stets gegeben und der Grenzwert ist  oder .

Bei einem Pol ungerader Ordnung kann man nur dann von einem Grenzwert sprechen, wenn  gesetzt wird. Diese Einpunktkompaktifizierung erhält aber nicht die kleiner/gleich-Relation und wirkt deswegen zunächst unnatürlich. Die reellen Zahlen können aber in die komplexen Zahlen eingebettet werden und, da diese  nicht angeordnet sind, ist es durchaus sinnvoll.

Beispiele 
Die Funktion  hat einen Pol 2. Ordnung bei .

Die Funktion  hat einen Pol 3. Ordnung bei .

Die Funktion  hat für  eine Polstelle der Ordnung 2 und für  eine Polstelle 1. Ordnung.

Die Funktion  hat für  und   Polstellen der Ordnung 1.

Schwierigkeiten bei der Verallgemeinerung 
Während es nach obigem Vorgehen keine Probleme bereitet, z. B. für die Tangensfunktion die Existenz und Ordnung der Polstellen anzugeben, wird es bei der Logarithmusfunktion für  unmöglich. Generell bereitet jede glatte, aber nicht-analytische Funktion Schwierigkeiten. Eine Möglichkeit, damit umzugehen, bieten funktionentheoretische Mittel.

Komplexe Funktionen 

Sei  ein Gebiet,   eine diskrete Teilmenge und  eine holomorphe Funktion. Dann kann  auf den Punkten von  drei verschiedene Arten von isolierten Singularitäten haben.

Definition 

Folgende Definition enthält die Pole reellwertiger rationaler Funktionen als Spezialfall.
Sei . Falls es ein  gibt, sodass  in  existiert, so kommt es zu folgenden Fällen:
 : Dann ist  auf  holomorph fortsetzbar.
  und  kleinstmöglich gewählt, dass der Grenzwert existiert. Dann liegt ein Pol der Ordnung  vor.
Existiert keine solche natürliche Zahl , so hat  eine wesentliche Singularität in .

Aus dem riemannschen Hebbarkeitssatz folgt, dass der Grenzwert  schon dann existiert, wenn  in einer Umgebung von  beschränkt ist.

Eine weitere Charakterisierung von Polstellen ist folgende:  hat in  genau dann einen Pol der Ordnung , wenn der Hauptteil der Laurent-Reihe auf einer in  punktierten Kreisscheibe endlich ist und der kleinste Index eines nichtverschwindenden Koeffizienten der Laurent-Reihe gerade  ist.

Meromorphe Funktionen 

Komplexe Funktionen, die auf einem Gebiet holomorph sind und deren Singularitäten höchstens Pole sind, werden auch meromorph genannt. Wegen des Identitätssatzes kann die Polstellenmenge einer auf  meromorphen Funktion nur diskret sein. Damit liegen in jeder kompakten Teilmenge höchstens endlich viele Pole. Für die gesamte Ebene belegt der Satz von Mittag-Leffler die Existenz von Funktionen mit unendlich vielen Polstellen. Mit Hilfe der Ordnung der Pol- und Nullstellen einer meromorphen Funktion kann ein Divisor definiert werden.

Betrachtet man den kompaktifizierten Abschluss der komplexen Zahlen , so bilden meromorphe Funktionen ihre Polstellen auf  ab. Lässt man  auch im Definitionsbereich zu, so haben genau die Polynome -ten Grades in  eine Polstelle der Ordnung . Allgemein sind meromorphe Funktionen  holomorph auf , wenn sie in  höchstens einen Pol haben.  Damit sind dies holomorphe Funktionen auf einer komplexen Mannigfaltigkeit, nämlich der riemannschen Zahlenkugel. Es lässt sich zeigen, dass jede holomorphe Funktion  global als Quotient zweier Polynome ausgedrückt werden kann und somit stets eine rationale Funktion ist.

Satz vom Null- und Polstellen zählenden Integral 

Sei  eine auf einem Gebiet  meromorphe Funktion. Dann gilt für jede glatte, geschlossene, rektifizierbare Kurve , die weder Null- noch Polstellen von  berührt und die eine Teilmenge  berandet: 
. 
Dabei sind  und  die Anzahl der Null- bzw. Polstellen inklusive ihrer Vielfachheiten, die in  liegen. Insbesondere gilt für jede auf  meromorphe Funktion .

Beispiele 

 Die Funktion  hat zwei Pole 1. Ordnung bei .

 Der Kehrwert des Sinus  lässt sich analytisch fortsetzen auf  und hat einfache ungerade Pole bei allen ganzzahligen Vielfachen von π, da .

 Die Tangensfunktion  hat ungerade Pole bei allen .

 Der komplexe Logarithmus ist eine Überlagerung und kann auf keinem Gebiet, das die Null enthält, stetig fortgesetzt werden. In  hat er keinen Pol, sondern einen Verzweigungspunkt.

Weiteres 
 Das Pol-Nullstellen-Diagramm liefert mehrere Informationen über ein zu untersuchendes Signal.

Literatur 
 Manfred Zimmermann (Hrsg.): Einführungsphase Mathematik. 5. Auflage. Transparent-Verlag, Berlin 1991, ISBN 3-927055-03-4.
 Georg Hoever: Höhere Mathematik kompakt. 2., korrigierte Auflage. Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-43994-4.

Weblinks 
 Nullstellen, Polstellen, Lücken (abgerufen am 29. August 2016)
 Polstellen und hebbare Definitionslücken gebrochen rationaler Funktionen (abgerufen am 29. August 2016)
 Stabilität und Grenzstabilität (abgerufen am 29. August 2016)

Analysis
Funktionentheorie