Funkcja liniowa

Funkcja liniowa – funkcja wielomianowa co najwyżej pierwszego stopnia, tj. postaci:
 

gdzie  są pewnymi stałymi liczbowymi (parametrami). W artykule rozpatrywane są funkcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, choć można wykorzystać liczby zespolone.

O dwóch zmiennych, z których każda jest funkcją liniową drugiej, mówi się, że są liniowo zależne lub w zależności liniowej.

Nazwa funkcji pochodzi od kształtu jej wykresu, który jest linią prostą daną równaniem  Jednak w algebrze liniowej „liniowość” definiuje nie w oparciu o własności geometryczne, lecz o własności algebraiczne zachowujące strukturę tzw. przestrzeni liniowych. Funkcje mające tę własność nazywa się przekształceniami liniowymi lub odwzorowaniami liniowymi, a określenie „funkcja liniowa” rezerwuje się dla funkcji opisywanych w tym artykule. Funkcja liniowa jest przekształceniem liniowym, jeśli jest funkcją jednorodną, tj. gdy  mają one wówczas postać proporcjonalności prostej 

Funkcje liniowe mają wiele zastosowań związanych z ich regularną strukturą i znanymi własnościami – w szczególności geometrycznymi: korzysta się z nich podczas linearyzacji bardziej skomplikowanych zagadnień, np. przybliżania liniowego; w statystyce korzysta się z metody estymacji (szacowaniu) zależności między dwoma zbiorami danych nazywaną regresją liniową (popularną jej metodą jest metoda najmniejszych kwadratów), w której poszukuje się właśnie zależności będącej funkcją liniową przy jak najmniejszym błędzie standardowym.

Definicja 

Niech  będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych (o rzeczywistych dziedzinie i przeciwdziedzinie). Funkcję  nazywa się liniową, jeżeli dana jest wzorem
 

gdzie  i  są ustalonymi stałymi rzeczywistymi. Niektóre źródła wymagają dodatkowo, aby  była niezdegenerowana, tj.
 

Większość źródeł nie stawia takich wymagań.

Współczynnik  nazywany jest współczynnikiem kierunkowym, współczynnik  wyrazem wolnym.

Własności 
Jeśli  to  jest nieograniczona, nieokresowa i monotoniczna: rosnąca dla  i malejąca dla  ponadto jest różnowartościowa i „na”, a co za tym idzie wzajemnie jednoznaczna. Jest więc odwracalna (jej funkcja odwrotna również jest liniowa). Jeśli  to  jest nieparzysta.

Jeśli  to  jest funkcją stałą i jako taka jest ograniczona, parzysta, nie jest również różnowartościowa ani „na”, czyli wzajemnie jednoznaczna. Nie jest więc odwracalna. Jeśli dodatkowo  to jest jednocześnie nieparzysta.

Jeśli  to  ma dokładnie jedno miejsce zerowe postaci 
Jeśli  to  nie ma miejsc zerowych, gdy  i ma nieskończenie miejsc zerowych, gdy 

Funkcję liniową wystarczy określić dla dowolnych dwóch różnych argumentów. Istotnie, jeśli  to:
 

Funkcja liniowa (jako funkcja wielomianowa) jest ciągła i różniczkowalna (a więc także gładka), przy czym pierwsza pochodna jest równa  a kolejne są tożsamościowo równe zeru.

Wykres funkcji liniowej 

W układzie współrzędnych prostoliniowych (na płaszczyźnie) funkcja liniowa  ma wykres będący prostą, przy czym
 przecina ona oś  w punkcie 
 przecina ona oś  w punkcie  dla  nie przecina tej osi, gdy 

W układzie współrzędnych prostokątnych (tzn. o prostopadłych osiach) z równymi jednostkami (tzn. wektorami jednostkowymi definiującymi osie) zachodzi
 

gdzie  jest kątem skierowanym między wykresem i osią 

Oznacza to, że współczynnik kierunkowy jest tangensem kąta skierowanego  co tłumaczy nazwę tego współczynnika.

Każda prosta nierównoległa do osi  jest wykresem pewnej funkcji liniowej.

Własności grupowe i reprezentacja macierzowa 
 Złożenie dwóch funkcji liniowych jest funkcją liniową. Niech:
 
 Wówczas
 
 także jest funkcją liniową.

 Dla funkcji  i  zachodzi
 

 Ponadto dla funkcji  w której  funkcja  jest funkcją odwrotną:
 

Ponieważ niezdegenerowana funkcja liniowa jest bijekcją, więc działanie składania takich funkcji jest działaniem łącznym. Oznacza to, że zbiór niezdegenerowanych funkcji liniowych jest grupą.

Funkcję liniową  można reprezentować jako macierz postaci:
 

przy tym mnożeniu takich macierzy odpowiada składanie funkcji liniowych.

Własności algebraiczne zbioru funkcji liniowych wynikają z własności pierścienia macierzy górnotrójkątnych powyższej postaci. Jeśli dodatkowo  to macierze te tworzą grupę ze względu na mnożenie.

Własności geometryczne i uogólnienia 
Niezdegenerowana funkcja liniowa  postaci  jest podobieństwem prostej  na siebie, przy tym  jest skalą tego podobieństwa.

Ponadto:
 dla  jest to tożsamość,
 dla  jest to translacja o przesunięciu 
 dla  jest to symetria środkowa względem punktu 

Dla  jest to podobieństwo parzyste (z zachowaniem orientacji), dla  jest to podobieństwo nieparzyste (ze zmianą orientacji).

Jeśli  nie jest translacją, tj.  to ma ona punkt stały 

Funkcja liniowa niezdegenerowana  ma swoje uogólnienie na płaszczyznę  i ogólniej – na  i nazywa się wówczas przekształceniem afinicznym (w przypadku prostej przekształcenia afiniczne sprowadzają się do podobieństw):
 

gdzie   jest nieosobliwą macierzą 

Jest to najogólniejsza struktura, w której możliwe jest zdefiniowanie funkcji o tym wzorze.

Innym uogólnieniem niezdegenerowanej funkcji liniowej jest funkcja  postaci
 

gdzie nie wszystkie  są zerowe.

Jej wykresem jest pewna hiperpłaszczyzna w przestrzeni

Przykłady zależności liniowych 
 Wartość -tego wyrazu  ciągu arytmetycznego jest liniową funkcją jego numeru 
 
 gdzie  jest różnicą ciągu,  jego pierwszym wyrazem.
 Temperatura  w skali Fahrenehita jest liniową funkcją temperatury  w skali Celsjusza:
 
 W kinematyce: w ruchu jednostajnym prostoliniowym położenie  jest liniową funkcją czasu 
 
 gdzie  jest prędkością,  położeniem początkowym.
 W ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość  jest liniową funkcją czasu 
 
 gdzie  jest przyspieszeniem,  jest prędkością początkową.
 Efekt Dopplera: jeśli obserwator zbliża się z prędkością  do nieruchomego źródła fali o częstotliwości  to częstotliwość  odbieranej przez niego fali jest funkcją liniową jego własnej prędkości 
 
 gdzie  jest prędkością fali w ośrodku.

Zobacz też 

 funkcja homograficzna
 funkcja kwadratowa
 funkcja przedziałami liniowa
 funkcja tożsamościowa

Uwagi

Przypisy

Bibliografia 
 
  s. 312
 

Funkcje ciągłe