Hodnost matice

V lineární algebře je hodností matice  dimenze vektorového prostoru generovaného sloupci . Jinými slovy, hodnost matice je rovna maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých sloupců.  Lze ukázat, že hodnost matice je rovna dimenzi vektorového prostoru generovaného jejími řádky, čili maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků. 

Hodnost je v podstatě mírou „nedegenerovanosti“ soustavy lineárních rovnic případně lineárního zobrazení zakódovaných pomocí . Hodnost matice je jednou z jejích základních charakteristik.

Hodnost se běžně označuje jako , v české literatuře i . Je-li parametrem jen jedna matice, není třeba psát závorky: .

Ukázky 
Matice

má hodnost 2: první dva sloupce jsou lineárně nezávislé, takže hodnost je alespoň 2, ale protože třetí sloupec je lineární kombinací prvních dvou (první mínus druhý), všechny tři sloupce jsou lineárně závislé, takže hodnost musí být menší než 3. Matice

má hodnost 1: obsahuje nenulové sloupce, takže hodnost je kladná, ale kterákoli dvojice sloupců je lineárně závislá. 

Podobně její transponovaná matice

má také hodnost 1. Protože sloupcové vektory  jsou řádkové vektory transponované matice  je ve skutečnosti tvrzení, že sloupcová hodnost matice se rovná její řádkové hodnosti, ekvivalentní tvrzení, že hodnost matice se nezmění při transpozici, tj. .

Výpočet hodnosti matice

Hodnost z řádkově odstupňovaného tvaru 

Běžným přístupem k nalezení hodnosti matice je její redukce na řádkově odstupňovaný tvar, pomocí elementárních řádkových operací. Řádkové úpravy nemění řádkový prostor (proto nemění jeho dimenzi) a jsou invertibilní. Také zobrazují sloupcový prostor na izomorfní prostor (nemění proto dimenzi sloupcového prostoru). Jakmile má matice odstupňovaný tvar, je dimenze zřejmě totožná pro řádkový i sloupcový prostor. Hodnost je pak rovna počtu pivotů, resp. počtu nenulových řádků.

Například matici 

lze převést do řádkově odstupňovaného tvaru pomocí následujících elementárních ekvivalentních řádkových úprav:

Výsledná matice (řádkově odstupňovaném tvaru) má dva nenulové řádky, takže hodnost výsledné matice i původní matice  je 2.

Numerické záležitosti 
Při použití na výpočty s plovoucí desetinnou čárkou na počítačích může být základní Gaussova eliminace (LU rozklad) nespolehlivá. Účinnou alternativou je singulární rozklad (SVD), ale existují i ​​jiné snadnější možnosti, jako je QR rozklad s pivotováním, který jsou stále numericky robustnější než Gaussova eliminace. Numerický výpočet hodnosti vyžaduje kritérium pro rozhodnutí, kdy by se s hodnotou, jako je singulární hodnota z SVD, mělo zacházet jako s nulou, což je volba, která závisí jak na matici, tak na aplikaci.

Vlastnosti 
 Pro matici  typu  platí , kde představuje nejmenší hodnotu z množiny . Jinými slovy, hodnost matice typu  je menší nebo rovna než je menší z jejich rozměrů  a .
 Pro transponovanou matici platí , čili hodnost transponované matice je stejná jako hodnost původní matice.
 Součinem matic se hodnost nezvýší: . Rovnost nastává v případě, kdy alespoň jedna z matic je regulární.

Použití 
Hodnosti matice využívá např. Frobeniova věta.

Terminologie 
Pokud je hodnost čtvercové matice menší než její rozměr, mluvíme o matici singulární (její řádky jsou lineárně závislé a její determinant je roven nule), v opačném případě o matici regulární (její řádky jsou lineárně nezávislé a matice má nenulový determinant).

Regulární matice jsou speciálním případem matic, které mají má plnou hodnost. To jsou takové matice  typu , pro něž platí .

Odkazy

Reference

Literatura

Související články 
 Matice
 Dimenze vektorového prostoru
 Lineární závislost

Teorie matic