Gyökrendszer

Gyökrendszeren (a matematikában) egy euklideszi vektortér olyan véges generátorrendszerét értjük, melynek (később definiálandó) speciális geometriai tulajdonságai (ld. lentebb) segítségével jól jellemezhetők a vektortér tükrözési szimmetriái.

Motiváció 
Legyen

a koordinátatérben értelmezett olyan integrálható függvény, mely azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy minden origó középpontú, a tengelyekre illeszkedő csúcsú szabályos oktaéder felületén konstans értéket vesz fel. Ekkor az f függvény olyan tükrözési szimmetriát mutat, ami miatt elegendő az első térnyolcadban kiszámítani az integrál értékét, majd azt megszorozni nyolccal:

Világos, hogy itt a szimmetria nem más mint a (1,0,0), (0, 1, 0) és (0, 0, 1) normálvektorú, origón áthaladó síkokra történő tükrözések szimmetriája. A

sztenderd bázis minden elemét tükrözve az említett síkokra kapjuk, az

vektorhalmazt, melynek pont 8 olyan részhalmaza van, mely egyben a koordinátatér bázisa is. Ezek feleltethetők meg a térnyolcadoknak és innen a 8-as szám. R zárt a fenti tükrözésekre, és elemeinek lineáris kombinációjával előállítható a vektortér összes eleme.

Érdemes megjegyezni, hogy egy origón áthaladó síkra vonatkozó tükrözés hozzárendelési utasítása előállítható a vektorműveletek segítségével. Ha n az S (origón áthaladó) sík normálvektora, akkor a v vektor S-re vonatkozó tükörképe:

ahol

a v vektor n (nem feltétlenül egység hosszúságú) normálvektor egyenesére eső merőleges vetülete, melyet a  skaláris szorzással állítottunk elő.

Bonyolultabb vektortér esetén egyáltalán nem triviális megtalálni az egyszerűsítésre lehetőséget adó szimmetriákat, így érdemes keresni az R-hez hasonló tulajdonságú vektorhalmazokat (ezek lesznek a gyökrendszerek).

Absztrakt gyökrendszerek

Tükrözések

Definíció – Legyen V véges dimenziós vektortér a k test felett és α ∈ V vektor. Azt mondjuk, hogy az s ∈ Hom(V) lineáris transzformáció egy α által meghatározott tükrözés, ha
 
 
teljesül az s által fixen hagyott pontok alkotta H altérre (vagyis a H:={h ∈ V | s(h)=h } halmaz a V hipersíkja).

A lineáris leképezések előírhatósági tétele felhasználásával bizonyítható, hogy minden nemnulla α ∈ V esetén létezik egyetlen, α által meghatározott tükrözés. Ezt s  α-val jelöljük.

Tulajdonságok

A V* duális tér tulajdonságaiból adódik, hogy létezik egy kitüntetett

vektortérizomorfizmus éspedig a következő hozzárendelési utasítással:

Ennek felhasználásával juthatunk el a tükrözések geometriai tulajdonságaihoz.

Állítás – Ha s ∈ Hom(V) és α∈V \ { 0 }, akkor az alábbi három kijelentés egymással ekvivalens:
(i) s egy α által meghatározott tükrözés,
(ii) létezik olyan α * ∈ V* elem, hogy

és α*(α)=2,
(iii) s2=IdV és Im( s – IdV ) = kα (k a vektortér alatt fekvő test).
Ha a fenti tulajdonságok teljesülnek, akkor α*-ot s egyértelműen meghatározza.

Megjegyzés – A (ii)-es pontban lévő α*-ot úgy kapjuk, hogy vesszük a H:={h ∈ V | s(h)=h } hipersíkot és definiáljuk azt az α* lineáris leképezést, melyre Ker(α*)=H és α*(α)=2.

A V2-n értelmezett (v,w)(v,w)α:=α*(v)α*(w) leképezés a skaláris szorzat szerepét játszhatja, ha v helyére α-t helyettesítünk. Ha ugyanis w=h+μα alkalmas h ∈ H-val és μ ∈ k-val, akkor (α,w)α=α*(α)α*(μα)=4μ=(α|α)αμ, így valóban fennáll a tükrözés hozzárendelési utasítására a

formula.

Gyökrendszer

Definíció – A k test feletti véges dimenziós V vektortér véges sok, nemnulla vektorának R halmazát gyökrendszernek nevezzük, ha
(i) R generátorrendszere V-nek,
(ii) minden α ∈ R-re az általa meghatározott sα tükrözés olyan, hogy sα(R)=R,
(iii) minden R-beli α és β elemre teljesül, hogy sα(β) – β ∈ Zα (azaz sα(β) – β az α egész számú többszöröse).
R elemeit gyököknek nevezzük.

Megjegyzés – a (iii) tulajdonságot szokás krisztalografikus tulajdonságnak is nevezni, mert ennek köszönhető, hogy a gyökrendszer rácsként is ábrázolható.

További elnevezések:

oszthatatlan gyök – a (iii) tulajdonsághoz kapcsolódva, számelméleti megfontolásokkal belátható, hogy ha két gyök párhuzamos egymással, például létezik t ∈ Z, hogy α = t β , akkor szükségképpen t∈{½, 1, 2}. Az α gyökkel párhuzamos gyökök halmaza tehát vagy {α, -α}, vagy {α, ½α, -½α, -α}, vagy {α, 2α, -2α, -α}, . Azt mondjuk, hogy egy α gyök oszthatatlan, ha ½α nem eleme R-nek (azaz a gyökkel csak az ellentettje párhuzamos a gyökök között).
redukált gyökrendszer – azt mondjuk, hogy a gyökrendszer redukált, ha minden gyöke oszthatatlan; gyakran a gyökrendszer fogalmába beleértik a redukált tulajdonságot és (iv)-es tulajdonságként szerepeltetik a definícióban.
irreducibilis gyökrendszer – ha a V vektortér, két altere direkt összegére bontható és mindkét altérhez találunk gyökrendszert, akkor a két gyökrendszer uniója V-nek is gyökrendszere; ha V egy R gyökrendszere előáll két V-t direkt összegként előállító altér gyökrendszerének uniójaként, akkor R felbontható (reducibilis); ellenkező esetben R-et felbonthatatlannak (irreducibilisnek) nevezzük.

Gyökrendszer Weyl-csoportja

Definíció – Ha R gyökrendszer a V vektortérben, akkor az Aut(V) (automorfizmus csoport) S:={sα | α ∈ R} halmaz által generált részcsoportját a gyökrendszer Weyl-csoportjának nevezzük és W(R)rel jelöljük.

Állítás – Aut(R) és W(R) véges részcsoportjai Aut(V)-nek. W(R) normálosztó Aut(R)-ben.

Gyökrendszerek osztályozási tétele

A gyökrendszereket gráfokkal reprezentálhatjuk, melyeket Dynkin-diagramoknak nevezzük. Minden redukált gyökrendszer besorolható 4 végtelen (An, Bn, Cn, Dn) és 5 úgy nevezett sporadikus típusba (E6, E7, E8, F4, G2) az izomorfizmus erejéig. Az osztályozás mikéntjét lásd a Dynkin-diagramoknál.

Néhány tétel gyökrendszerekre

Tétel – A gyökrendszer Weyl-csoportja tranzitív csoportábrázolása a gyökrendszer Weyl-kamrái halmazának. A Weyl-csoport előáll a Weyl-kamrák falára történő tükrözések halmaza által generált részcsoportként.

Tétel – A gyökrendszert egyértelműen meghatározza a Dynkin-diagramja. A gyökrendszer Dynkin-diagramja pontosan akkor összefüggő, ha a gyökrendszer irreducibilis.

Tétel – Legyen  Lie-algebra,  maximális tórusz -ben,  a  normalizátora. A  Lie-algebra  gyökrendszerének  Weyl-csoportja izomorf a Lie-algebra  Weyl-csoportjával.

Források 
 Representation theory of Lie groups and Lie algebras 
 Dragan Milicic: Lectures on Lie groups 

Differenciálgeometria
Analízis
Lineáris algebra
Csoportelmélet