Stellenwertsystem

Ein Stellenwertsystem, Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem ist ein Zahlensystem, dessen Zahlzeichen aus Ziffern besteht, deren jeweiliger Beitrag zum Gesamtwert der Zahl von ihrer Position innerhalb des Zahlzeichens abhängt. Beispielsweise trägt im weitverbreiteten Zehnersystem bei einer Zahl mit dem Zahlzeichen „127“ die Ziffer „1“ den Wert  zum Zahlenwert bei, dazu addiert sich für die Ziffer „2“ der Wert  sowie für die Ziffer „7“ der Wert . Die Ziffern „1“, „2“ und „7“ besitzen jeweils ihren Ziffernwert, tragen aber zum Zahlenwert mit einem Gewicht bei, das davon abhängt, an welcher Position sie im Zahlzeichen stehen.

Wenn der Ziffernvorrat des Stellenwertsystems aus  Schriftzeichen besteht, dann gilt für das Zehnersystem mit der Ziffernvorrat von „0“ bis „9“ die Anzahl . Für Zahlen mit einem Wert größer als die höchstwertige Ziffer (im Beispiel die „9“) werden keine weiteren Ziffern geschaffen, sondern der Stelle oder Position, die von einer Ziffer belegt ist, wird eine weitere Stelle vorangestellt. Die Ziffer auf der zusätzlichen Stelle wird aus demselben Vorrat entnommen, wird aber um den Faktor  höher gewichtet. Dadurch bekommt jede Stelle einen Wert, ihren Stellenwert; durch den Faktor wird er größer als eins. Für jede weitere erforderliche Stelle erhöht sich ihr Stellenwert um einen weiteren Faktor . Damit ergibt sich der Wert  einer dreistelligen natürlichen Zahl aus ihren drei Ziffernwerten ,  und  zu
.

Bei dem systembedingt endlichen Vorrat an Ziffern hängt die Anzahl der für ein Zahlenzeichen erforderlichen Stellen logarithmisch von der Größe der dargestellten Zahl ab – im Unterschied zu Additionssystemen, bei denen dieser Zusammenhang (asymptotisch zu großen Zahlen hin, jenseits der höchstwertigen Ziffer) linear ist.

Geschichte 
Zahlensysteme sind schon vor Jahrtausenden entstanden. Entwicklungen in verschiedenen Kulturkreisen hatten dasselbe Ziel, Zahlen durch eine Zahlschrift festhalten zu können. Ein frühes Stellenwertsystem ist aus Babylon bekannt. Diese hatte den Nachteil, dass eine Uneindeutigkeit entstehen konnte, wenn in einem Zahlzeichen eine Stelle leer blieb. Sehr viel später wurde zu deren Kennzeichnung ein Lückenfüller oder Platzhalter in das Zahlzeichen eingefügt, der aber nicht als numerischer Bestandteil galt. Durch die sich in Indien bis ins 7. Jahrhundert n. Chr. hinziehende „Entdeckung“ der Zahl null und durch die Einführung eines Schriftzeichens für diese als vollwertige Ziffer, mit dem auch gerechnet werden konnte, kam die indische Mathematik in die Lage, ein Stellenwertsystem in Form des Dezimalsystems zu schaffen, wie es inzwischen weltweit übernommenen worden ist. „Zweifellos ist die Null einer der genialsten Erfindungen der Menschheit.“

Erst mit der Einführung der Null ist das Stellensystem so leistungsfähig geworden, wie es heute als selbstverständlich erachtet wird, mit dem nicht nur Zahlen dargestellt werden können, sondern auch einfach gerechnet werden kann. Über Arabien kam diese Kenntnis im 13. Jahrhundert durch Fibonacci nach Europa und erst im 16. Jahrhundert verbreitete Adam Ries mit seinen Rechenbüchern das Stellenwertsystem und das schriftliche Rechnen im deutschsprachigen Raum. Die Erfindung des Dezimalbruchs durch Simon Stevin gegen Ende des 16. Jahrhunderts hat das numerische Rechnen weiter perfektioniert.

Grundbegriffe 
Zahlen werden durch Wörter oder mittels einer Zahlschrift durch Zahlzeichen dargestellt. Diese sind aus Ziffern und gegebenenfalls Vorzeichen oder Trennzeichen zusammengesetzt. Das Besondere an einem Stellenwertsystem liegt in seinem Aufbau auf Stellen, wobei jede Stelle eine Ziffer enthält, und zu jeder Stelle gehört ein eigener Stellenwert. Der Zahlenwert ergibt sich anhand der Anordnung der Ziffern aus deren Ziffernwerten und Stellenwerten.

Basis 
Die Basis oder Grundzahl  des Stellenwertsystems legt den Faktor fest, um den der Stellenwert von Stelle zu Stelle größer wird, angefangen mit dem Stellenwert eins auf der niederwertigsten Stelle einer natürlichen Zahl. Diese Basis ist also dieselbe wie die Basis der Potenzen von , die die Stellenwerte ergeben, und sie stimmt mit dem Umfang des Ziffernvorrats überein. Ein Stellenwertsystem mit der Basis  nennt man auch  Zahlensystem (nicht zu verwechseln mit  Zahlen). Jede ganze Zahl  eignet sich als Basis für ein Stellenwertsystem. (Bei  hätten alle Stellen denselben Stellenwert, was dem Prinzip des Stellenwertystems widerspräche.) Die gängigsten Basen sind:
  : das in der Digitaltechnik verwendete Dualsystem (auch Binärsystem genannt)
 : unser vertrautes Dezimalsystem
 : das in der Datenverarbeitung wichtige Hexadezimalsystem.
Weitere in der Praxis verwendete  Zahlensysteme finden sich im Abschnitt Gebräuchliche Basen.

Ziffernvorrat 
Bei einem Stellenwertsystem wird ein Ziffernsystem mit genau  verschiedenen Ziffern verwendet. Bei den verbreitetsten Ziffernsystemen steht eine Ziffer der unten angegebenen Art für einen ganzzahligen Ziffernwert . Beim Hochzählen (das entspricht der Addition einer Eins) wird in der festgelegten Reihenfolge zur Ziffer mit dem nächsthöheren Wert übergegangen; bei den wenigen vorhandenen Ziffern wären aber nur wenige Zählschritte möglich. Deshalb wird bei der höchstwertigen Ziffer durch Addition einer Eins auf die niedrigstwertige Ziffer übergegangen und auf der nächsthöheren Stelle eine Eins addiert. Bei einem Übertrag auf eine nicht besetzte Stelle wird diese vorab mit einer Null besetzt; bei einer nicht begrenzten Anzahl von Stellen lässt sich dadurch das Zählen unbeschränkt fortsetzen.

In den gängigen Zahlensystemen werden folgende Ziffern verwendet und ihnen ein Ziffernwert zugewiesen (zur besseren Unterscheidung werden hier Ziffersymbole fett und ihre zugehörigen Werte normal gedruckt):

 Im Dualsystem werden die beiden Ziffern 0 und 1 verwendet und ihnen jeweils die Werte der Zahlen 0 und 1 zugeordnet.
 Im Dezimalsystem werden die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 verwendet und ihnen jeweils die Werte der Zahlen von 0 bis 9 in der konventionellen Reihenfolge zugeordnet.
 Im Hexadezimalsystem werden die sechzehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F verwendet und ihnen jeweils die Werte der Dezimalzahlen von 0 bis 15 zugeordnet.
Ist die Basis sehr groß, kommt es meistens zu einer Kombination weniger Ziffern in einem weiteren Zahlensystem. So ist es beim Sexagesimalsystem üblich, statt 60 verschiedenen Zeichen eine Dezimalzahl von 0 bis 59 als „Ziffer“ zu benutzen. IP-Adressen im IPv4-Format bestehen aus 4 „Ziffern“, die Werte von 0 bis 255 annehmen können und mit einem Punkt getrennt werden, beispielsweise 192.0.2.42. Eine andere Art der Zuordnung von Ziffer zu Ziffernwert wurde bei der Codierung Base64 gewählt.

Mitunter werden anstatt Ziffern auch andere Symbole verwendet; beispielsweise werden in der Elektronik oft die beiden Zustände eines Dualsystems nicht mit 0 und 1 beschrieben, sondern es werden stattdessen H und L (für „High“- und „Low“-Logikpegel) verwendet (selten O und L für „On“ und „Low“ – „Ein“ und „Aus“).

Stelle und Stellenwert 
Der Wert einer Zahl ergibt sich nun durch die Anordnung der Ziffern in einer Ziffernfolge. Jeder Platz, den eine Ziffer in dieser Anordnung einnimmt oder einnehmen soll, ist eine Stelle. Jeder Stelle wird ein Stellenwert zugewiesen, der einer Potenz der Basis entspricht. Die Stelle mit dem niedrigsten Stellenwert steht dabei ganz rechts. Im Dezimalsystem gilt beispielsweise bei der Darstellung natürlicher Zahlen:

 Der Stellenwert der ersten Stelle von rechts („Einerstelle“) ist .
 Der Stellenwert der zweiten Stelle von rechts („Zehnerstelle“) ist .
 Der Stellenwert der dritten Stelle von rechts („Hunderterstelle“) ist , und so weiter.

Für das Weitere erweist sich als vorteilhaft, die Stellen nicht ab eins, sondern ab null zu nummerieren. Auf diese Weise hat dann die  Stelle gerade den Stellenwert . Bei der Darstellung rationaler Zahlen werden auch negative Exponenten zugelassen.

Darstellungen verschiedener Zahlenarten

Darstellung natürlicher Zahlen 
Natürliche Zahlen werden in der  Darstellung durch eine endliche Folge von Ziffern in der Form

dargestellt. Dieser Ziffernfolge wird nun die Zahl mit dem Zahlenwert 

zugeordnet, wobei  der der Ziffer  zugewiesene Ziffernwert ist.

Es lässt sich zeigen, dass zu jeder natürlichen Zahl eine Folge von Ziffern existiert, deren zugeordneter Zahlenwert  ist. Im Allgemeinen gibt es sogar mehrere Folgen. Es genügt dazu, beliebig oft die Ziffer 0 = 0 auf höherwertigen Stellen voranzustellen. Werden Folgen mit führender 0 verboten, so lässt sich zeigen, dass diese Zuordnung sogar eineindeutig ist, das heißt zu jeder natürlichen Zahl existiert genau eine Folge, deren zugeordneter Wert  ist. Als Ausnahme von diesem Verbot wird der Zahl null nicht die leere Folge (also die Folge ohne ein einziges Glied) zugeordnet, sondern die Folge mit genau einer Ziffer, und zwar der, welcher der Wert 0 zugeordnet wird (also 0), um diese Zahl typografisch erkennbar zu machen.

Als Beispiel für die angegebene Zahlendarstellung betrachten wir die Ziffernfolge 694 im Dezimalsystem (). Sie steht für:

Die Ziffernfolge 2B6 im Hexadezimalsystem () steht für  mit  = 6 = 6;  = B = 11;  = 2 = 2.

Also hat die Folge 2B6 den Wert der Dezimalzahl

Entsprechend hat die Ziffernfolge 1010110110 im Dualsystem () den Wert der Dezimalzahl

Darstellung ganzer Zahlen 
In einem System bestehend aus positiver Basis und rein nicht-negativem Ziffernvorrat lassen sich negative Zahlen nicht darstellen. Solchen Systemen wird ein Minuszeichen (–) beigefügt, das den Zahlzeichen ggf. vorangestellt wird. Dies geht mit einem geringen Verlust an Eineindeutigkeit einher, da die Zahl 0 als vorzeichenbehaftete Null in der Form +0, −0 oder auch ±0 geschrieben werden kann. Darstellungen von Zahlen verschieden von 0, denen kein Minuszeichen vorangestellt wird, werden als positive Zahlen interpretiert. Manchmal möchte man diese Positivität jedoch besonders hervorheben (bspw., wenn die Zahl als Inkrement kenntlich gemacht werden soll). In solchen Fällen wird in der Darstellung ein Pluszeichen (+) vorangestellt.

Darstellung rationaler Zahlen 
Die Notation wird in die negativen Exponenten der Basis erweitert, indem man die entsprechenden Stellen rechts von einem zu diesem Zweck angefügten Trennzeichen in lückenloser Folge anschließt.

Im deutschsprachigen Raum (ausgenommen Schweiz) ist hierfür das Komma »,«, im englischsprachigen Raum dagegen der Punkt ».« gebräuchlich. Die Werte der Ziffern hinter dem Trennzeichen werden mit  multipliziert, wobei  die Position hinter dem Komma angibt.
Zum Beispiel wird die rationale Zahl 1+3/8 = 1,375 im 2-adischen Stellenwertsystem durch die Ziffernfolge 1,011 dargestellt. In der Tat ist

Nach der Hinzufügung des Trennzeichens lassen sich viele rationale Zahlen  darstellen, jedoch keineswegs alle, denn es kann vorkommen, dass zur Darstellung eine unendliche Folge von Nachkommastellen benötigt wird, die dann aber periodisch ist. Gewöhnlich wird diese Periode durch eine über die sich wiederholenden Ziffern gezogene Linie gekennzeichnet und so sie Länge der Periode markiert und eine (endliche) Aufschreibung ohne Pünktchen möglich.

Während die Zahl 1/5 = 0,2 im Dezimalsystem die endliche Ziffernfolge 0,2 hat, ist ihre Darstellung im Dualsystem periodisch:
 0,00110011…2 = 0,2.

Dagegen bedeutet die Ziffernfolge 0,1 im 3-adischen (ternären) System die rationale Zahl 1·3−1 = 1/3, die im Dezimalsystem einer unendlichen periodischen Ziffernfolge 0,333… = 0,dez entspricht.

Unter der Voraussetzung, dass 0 eine Ziffer ist und dass es zu jeder ganzen Zahl eine Ziffer gibt, deren Wert zu ihr  kongruent ist (was bei Standardziffersystemen stets der Fall ist), gilt allgemein, dass ein Bruch genau dann eine endliche  Darstellung hat, wenn nach dem Kürzen alle Primfaktoren seines Nenners auch Primfaktoren von  (bei  und ) sind. (Für eine endliche Darstellung im Dezimalsystem muss der gekürzte Nenner also ein Produkt der Zahlen Zwei und Fünf sein. Genau dann ist der Bruch ein Dezimalbruch im engeren Sinne oder wird durch Erweitern zu einem solchen.)

Die endlichen Darstellungen bilden den Ring
 ,
wobei  für die Menge der Primfaktoren von  steht. Bei diesen rationalen Zahlen hat in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nur Primteiler . Für jedes nichtleere  liegt der Unterring  von  (wie  selbst) dicht sowohl in  wie in , d. h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus  approximieren.

Betrachtet man nur Darstellungen endlicher Länge, dann bezeichnen schon die Ziffernfolgen 1, 1,0, 1,000 im Dezimalsystem allesamt dieselbe rationale Zahl 1 (ganz zu schweigen von den Darstellungen 01, 0001 mit führenden Nullen). Diese Uneindeutigkeiten lassen sich durch Verbote führender und nachklappender Nullen noch unterdrücken.
Gehören jedoch die unendlichen Darstellungen von Anfang an zum System, dann kommen die nicht-abbrechende Darstellung 1,000… = 1, und darüber hinaus die ganz anders aussehende Darstellung 0,999… = 0, (alle mit dem Wert 1) hinzu, siehe dazu den Artikel 0,999….

Normalerweise sind Missverständnisse nicht zu befürchten, sodass man beide Darstellungen zulassen kann. Eindeutigkeit ist jedoch z. B. bei der Z-Kurve gefordert, die  injektiv abbildet und bei der zwei  alternierend in eine gepresst werden. Die Unstetigkeitsstellen der Funktion  sind übrigens genau die Argumente, die eine endliche  Darstellung haben.

Die  Darstellung eines gekürzten Bruchs  mit  und  teilerfremd zur Basis  hat für  die Periodenlänge 0, ist also endlich. Andernfalls ist  ein Element der primen Restklasse , sodass  ist (mit  als der eulerschen φ-Funktion). Die  Periodenlänge des gekürzten Bruchs  ist dann der kleinste Exponent , für den  ein Teiler von  ist.
(S. a. den Abschnitt Algorithmus für rationale Zahlen und den Artikel Rationale Zahl#Dezimalbruchentwicklung.)

Darstellung reeller Zahlen 
Die Darstellung reeller Zahlen erfolgt prinzipiell genauso wie die von rationalen Zahlen durch b-adische Entwicklung. Bei rationalen Zahlen liefert diese eine abbrechende oder eine unendliche periodische Ziffernfolge.

Die b-adische Entwicklung einer irrationalen Zahl (wie π oder ) liefert dagegen stets eine unendliche nichtperiodische Ziffernfolge. Durch Verlängerung des Nachkommaanteils ist eine beliebig genaue Annäherung an die irrationale Zahl möglich.

Wie bei den rationalen Zahlen mit unendlich periodischer Ziffernfolge ist eine endliche Darstellung für irrationale Zahlen durch Einführung neuer Symbole möglich, so wie dies hier für die Beispiele π und  geschehen ist.

Trotzdem kann selbst mit beliebig, aber endlich vielen zusätzlichen Zeichen nicht jede reelle Zahl als endliche Zeichenfolge dargestellt werden. Dies liegt daran, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, die Menge aller endlichen Darstellungen mit endlichem Zeichenvorrat aber nur abzählbar ist.

Wenn aber unter der „Darstellung“ einer reellen Zahl die bei der b-adischen Entwicklung entstehende Ziffernfolge verstanden wird, dann ist jede reelle Zahl als (ggf. unendlicher) b-adischer Bruch darstellbar, auch wenn nicht jeder solche Bruch tatsächlich aufschreibbar ist.

Formeln

Berechnung eines Ziffernwertes 
Die letzte Ziffer der  Darstellung einer natürlichen Zahl  ist der Rest von  bei Division durch . Dieser Rest ist auch durch den Ausdruck

 

gegeben; dabei bezeichnet  die Gaußklammer. Allgemeiner ist die durch die letzten  Ziffern von  gebildete Zahl der Rest von  bei Division durch .

Die Ziffer  an der -ten Stelle (von rechts an der Einerstelle mit null beginnend und nach links fortschreitend gezählt) einer positiven reellen Zahl  ist

 

Dabei ist  ein Element des Standardziffernvorrats. Nimmt man negative  hinzu, für die sich die entsprechende (negative) Nachkommastelle ergibt, dann hat man

 

mit hinreichend großem

Algorithmus für rationale Zahlen 
Für rationales  (und eine Basis ) lässt sich die obige Formel in den folgenden Algorithmus einbetten:
function b_adic(b,p,q) // b ≥ 2; 0 < p < q
  static Ziffernvorrat = "0123..."; // bis zum Zeichen mit dem Wert b–1
begin
  s = "";  // die zu bildende Zeichenkette
  pos = 0; // hier sind alle Stellen rechts vom Komma
  while not defined(occurs[p]) do
    occurs[p] = pos;  // die Nummer der Stelle mit dem Rest p
    bp = b*p;
    z = floor(bp/q); // Index z der Ziffer im Vorrat: 0 ≤ z ≤ b-1
    p = bp − z*q;    // p ganzzahlig: 0 ≤ p < q
    if p = 0 then pl = 0; return (s); end if
    s = s.substring(Ziffernvorrat, z, 1);
          // Ziffer aus dem Ziffernvorrat dranhängen.
          // substring(s, 0, 1) ist die erste Ziffer nach dem Komma
    pos += 1;
  end while
  pl = pos - occurs[p]; // die Periodenlänge (0 < pl < q)
  // Markiere die Ziffern der Periode mit einem Überstrich:
  for i from occurs[p] to pos-1 do
    substring(s, i, 1) = overline(substring(s, i, 1));
  end for
  return (s);
end function
Die erste gelb hervorgehobene Zeile entspricht der Ziffernberechnung des vorigen Abschnitts.

Die darauf folgende Zeile berechnet den neuen Rest  der Division modulo des Nenners .
Die Gaußklammer floor bewirkt, dass
 
Daraus folgt  und  zusammengenommen 
Da somit alle Reste  ganzzahlig nicht-negativ und kleiner als  sind, es also nur  viele verschiedene von ihnen gibt,
müssen sie sich in der  wiederholen.
Die Wiederkehr eines Restes  wird über die Existenz des assoziativen Datenfeldes occurs[p] festgestellt.

Die Periode der Ziffern hat dieselbe Länge wie die Periode der Reste. (Genaueres zur Periodenlänge

Berechnung der Stellenzahl 
Die Anzahl  der Ziffern der  Darstellung einer natürlichen Zahl  ist

Hinzufügen einer Ziffer 
 Hängt man an die  Darstellung einer Zahl  ganz rechts eine Ziffer  an, so erhält man die  Darstellung der Zahl .
 Stellt man die Ziffer  hingegen ganz links  voran, so erhält man die  Darstellung der Zahl , wobei  wie oben angegeben die Anzahl der Ziffern von  ist.

Gebräuchliche Basen 
 Das bekannteste und verbreitetste Stellenwertsystem ist das Dezimalsystem (Zehner-System) mit Basis 10 und den Ziffern 0 bis 9. Das Dezimalsystem stammt ursprünglich aus Indien. Der persische Mathematiker Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi verwendete es in seinem Arithmetikbuch, das er im 8. Jahrhundert schrieb. Bereits im 10. Jahrhundert wurde das System in Europa eingeführt, damals noch ohne Null. Durchsetzen konnte es sich jedoch erst im 12. Jahrhundert mit der Übersetzung des genannten Arithmetikbuchs ins Lateinische. Zur Speicherung von Dezimalziffern im Computer dient der BCD-Code.
 Im 17. Jahrhundert führte der Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz mit der Dyadik das Dualsystem (binäres Zahlensystem) ein, also das Stellenwertsystem mit der Basis 2 und den Ziffern 0 und 1. Dieses wird vor allem in der Informationstechnik verwendet, da deren Logik allein auf Bits, welche entweder wahr oder falsch bzw. 1 oder 0 sind, ausgerichtet ist.
 Da Binärdarstellungen großer Zahlen unübersichtlich lang sind, wird an ihrer Stelle oft das Hexadezimal- oder Sedezimalsystem verwendet, das mit der Basis 16 (und den Ziffern 0, 1, …, 9, A, B, …, F) arbeitet. Hexadezimale und binäre Darstellung lassen sich leicht ineinander umwandeln, da eine Stelle einer hexadezimalen Zahl genau vier Stellen (= ein Nibble) einer binären Zahl entspricht.
 Das Oktalsystem zur Basis 8 (Ziffern 0 bis 7) fasst drei Binärstellen zusammen und kommt vorteilhaft ohne zusätzliche Ziffernzeichen aus. Das System hat aber in der Computertechnik wegen der heute üblichen Wortlängen von acht Bit keine Bedeutung mehr.
 Ebenfalls Verwendung findet die Basis 64 bei Base64 (mit ungewohnter Symbolreihenfolge); die Basis 62 mit den Ziffern 0 bis 9, A bis Z und a bis z; sowie gelegentlich die Basis 32 bei Base32 mit den Ziffern 0 bis 9 und a bis v.
 Ab ca. 1100 v. Chr. wurden im indo-chinesischen Raum Rechentafeln benutzt, denen ein Unärsystem zugrunde liegt. Aber siehe oben zum Unärsystem in Fünfer-Blöcken, das allerdings ein Additionssystem darstellt.
 Das Vigesimalsystem verwendet 20 als Basis. Es dürfte entstanden sein, weil zum Zählen neben den Fingern auch die Zehen benutzt wurden, und war u. a. in fast allen mesoamerikanischen Kulturen gebräuchlich. Das am weitesten entwickelte System dieser Art wurde von den Maya in der Klassischen Periode für astronomische Berechnungen sowie zur Darstellung von Kalenderdaten verwendet. Es handelte sich um ein Stellenwertsystem »mit einem Sprung«, weil an der zweiten Stelle nur die Ziffern von 1 bis 18 auftreten, um so als dritten Stellenwert 360 (annähernde Länge des Sonnenjahres) zu erreichen. Die Maya kannten die Null und benutzten sie auch in ihren Kalendern.
 Die Indianer Süd- und Mittelamerikas verwendeten Zahlensysteme zur Basis 4 oder 8.
 Das Duodezimalsystem hat als Basis die 12. Wir finden es in der Rechnung mit Dutzend und Gros und im angelsächsischen Maßsystem (1 Shilling = 12 Pence) (siehe auch Alte Maße und Gewichte). Auch die Stundenzählung hat in diesem System ihren Ursprung. In vielen polytheistischen Religionen gab es 12 Hauptgötter, die sich z. B. im alten Ägypten in drei oberste Götter und 3 × 3 zugeordnete Götter aufteilten. (Die Drei galt als perfekte Zahl; siehe auch Dreifaltigkeit).
 Die Babylonier benutzten ein Zahlensystem mit der Basis 60 (Sexagesimalsystem; siehe auch Geschichte von Maßen und Gewichten).
 Ein eventuell zu erwartendes Zahlensystem zur Basis fünf bei Völkern, die nur eine Hand zum Zählen benutzen, wurde bisher nicht entdeckt. In Bantusprachen sind die Namen der Zahlen 6, 7, 8 und 9 jedoch oft Fremdwörter oder als 5 + 1, 5 + 2, 5 + 3, 5 + 4 verstehbar, was auf ein Zahlensystem zur Basis 5 hinweist.
 Zum Beispiel:Swahili: 1 = moja, 2 = mbili, 3 = tatu, 4 = nne, 5 = tano, 6 = sita, 7 = saba, 8 = nane, 9 = kenda (Arabisch: 6 = sitta, 7 = saba'a)Tshitschewa: 1 = modzi, 2 = wiri, 3 = tatu, 4 = nai, 5 = sanu, 6 = sanu ndi-modzi, 7 = sanu ndi-wiri, 8 = sanu ndi-tatu, 9 = sanu ndi-nai
 Besonders ausgeprägt ist das Quinärsystem bei den südamerikanischen Betoya: 1 = tey, 2 = cayapa, 3 = tozumba, 4 = cajezea, 5 = teente, 10 = caya ente, 15 = tozumba-ente, 20 = caesea ente.
 Das Senärsystem eignet sich zum Zählen bis fünfunddreißig mit 2 × 5 Fingern. Sprachliche Spuren eines solchen Systems sind sehr selten (beispielsweise Bretonisch 18 = triouec'h, etwa „3 6er“)
 Die frühere Vermutung, die  benützten ein System zur Basis 11, gilt mittlerweile als überholt. Einige Völker benutzen das System zur Basis 18.

Konvertierungen 
Manchmal benötigt man Konvertierungen zwischen Stellenwertsystemen. Ist das Dezimalsystem nicht beteiligt, kann man es als Zwischenschritt verwenden. Die nachfolgenden Berechnungen können auch mit Hilfe eines Taschenrechners durchgeführt werden, bei dem in der Regel die Zahlenein- und -ausgabe nur im Dezimalsystem geschieht.

Insbesondere, wenn Zahlen von einem System in ein anderes zu konvertieren sind, ist es üblich und zweckmäßig, die Ziffernfolgen durch ein tiefgestelltes Suffix  der Basis  des verwendeten Zahlensystems zu kennzeichnen. Dabei steht ein fehlendes Suffix und das Suffix 10 standardmäßig für die konventionelle dezimale Darstellung, explizit auch dez oder dec. Die Suffixe 2 oder b kennzeichnen binär und 16 oder h hexadezimal dargestellte Zahlen. Ferner wird als Ziffernvorrat der Standardsatz  angenommen. Gelegentlich wird die gekennzeichnete Ziffernfolge in eckige Klammern gesetzt.

Es gibt zwei wesentliche Varianten
 die iterierte euklidische Division, die bei den Stellen niedriger Signifikanz beginnt, und
 die Auswertung des Ziffern-Polynoms bspw. in einer Art des Horner-Schemas. Die kleinste Anzahl von Multiplikationen wird benötigt, wenn man bei der höchstwertigen Stelle beginnt.
Die Auswahl richtet sich am besten danach, welches Verfahren auf dem vorhandenen Kalkulator am einfachsten durchgeführt werden kann.

Beispiel 1: Umwandlung einer Darstellung zur Basis 10 in eine Darstellung zur Basis 12 
Eine Zahl hat die dezimale Darstellung 4711. Gesucht ist ihre Darstellung im Zwölfersystem.

Dazu dividiert man die gegebene Darstellung schrittweise durch die neue Basis 12. Die verbleibenden Reste liefern die Ziffernwerte zur Basis 12. Dabei liefert der erste Rest den Ziffernwert zum niedrigsten Stellenwert der gesuchten neuen Darstellung (in diesem Fall zum Stellenwert 120), der zweite Rest liefert den Ziffernwert zum zweitniedrigsten Stellenwert (hier 121) usw. Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

 4711 geteilt durch 12 ergibt 392 Rest 7 (das ist die Ziffer zum Stellenwert 120 im Ergebnis)
 392 geteilt durch 12 ergibt 32 Rest 8 (das ist die Ziffer zum Stellenwert 121 im Ergebnis)
 32 geteilt durch 12 ergibt 2 Rest 8 (das ist die Ziffer zum Stellenwert 122 im Ergebnis)
 2 geteilt durch 12 ergibt 0 Rest 2 (das ist die Ziffer zum Stellenwert 123 im Ergebnis)

Alternativ wird mit der Ziffer zum höchsten vorhandenen Stellenwert begonnen:

Als Duodezimaldarstellung der gegebenen Zahl ergibt sich 288712. Die Umwandlung in andere Stellenwertsysteme erfolgt analog.

Beispiel 2: Umwandlung einer Darstellung zur Basis 16 in eine Darstellung zur Basis 10 
Bezüglich des Hexadezimalsystems mit den Ziffern 0, 1, …, 9, A (Wert 10), B (Wert 11), C (Wert 12), D (Wert 13), E (Wert 14) und F (Wert 15) habe eine Zahl die Darstellung AFFE. Gesucht ist die Darstellung dieser Zahl im Zehnersystem.

Dazu multipliziert man die Ziffern der gegebenen Darstellung mit den jeweiligen Stellenwerten und addiert die Ergebnisse auf. Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:
 Ziffer A mal  ergibt 40960
 Ziffer F mal  ergibt 3840
 Ziffer F mal  ergibt 240
 Ziffer E mal  ergibt 14
Als Dezimaldarstellung der gegebenen Zahl ergibt sich . 

Alternativ wird schrittweise mit der Basis 16 multipliziert und die jeweils nächste Ziffer hinzugenommen:

Die Umwandlung in andere Stellenwertsysteme erfolgt analog.

Beispiel 3: Nachkommastellen 
Bezüglich des Zehnersystems habe eine Zahl die Darstellung 0,1. Gesucht ist die Darstellung dieser Zahl im Dualsystem.

Hierzu wird der Nachkommaanteil wiederholt mit der Basis des Zielsystems multipliziert. Tritt dabei ein Wert größer 1 auf, wird dessen ganzzahliger Anteil der Reihe der Nachkommastellen hinzugefügt, andernfalls wird eine 0 den Nachkommastellen hinzugefügt. Tritt eine ganze Zahl als Multiplikationsergebnis auf, ist der Nachkommabetrag vollständig bestimmt, oft wird jedoch auch eine Periode auftreten.

Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

 0,1 mal 2 ergibt 0,2 , die erste Nachkommastelle ist also die 0
 0,2 mal 2 ergibt 0,4 , die zweite Nachkommastelle ist also die 0
 0,4 mal 2 ergibt 0,8 , die dritte Nachkommastelle ist also die 0
 0,8 mal 2 ergibt 1,6 , die vierte Nachkommastelle ist also die 1
 0,6 mal 2 ergibt 1,2 , die fünfte Nachkommastelle ist also die 1
 0,2 mal 2 (muss nicht mehr ausgeführt werden, da eine Periode aufgetreten ist)

Als Ergebnis erhalten wird somit 0,0001100110011…

Balancierte Stellenwertsysteme 
Besondere Stellenwertsysteme sind die balancierten. Sie haben immer eine ungerade Basis  und verwenden sowohl natürliche als auch negative Ziffernwerte, nämlich die aus der Menge . Häufig werden die negativen Ziffern durch einen Unterstrich gekennzeichnet. So wird z. B. im balancierten Ternärsystem eine Zahl durch die Ziffern 1, 0, und 1 dargestellt, welchen die Werte −1, 0 und 1 zugeordnet sind.

Ein balanciertes Stellenwertsystem hat folgende Eigenschaften:
 Das Negative einer Zahl erhält man durch Austausch einer jeden Ziffer mit ihrem inversen Gegenüber.
 Die erste von 0 verschiedene Stelle zeigt das Vorzeichen an. Das System kommt also ohne ein separates Vorzeichen aus.
 Eine Rundung zur nächsten ganzen Zahl geschieht durch einfaches Abschneiden beim Komma.

Die Darstellung der ganzen Zahlen ist eindeutig.

Es gibt aber rationale Zahlen, die nicht eindeutig darstellbar sind. Sei dazu  die größte Ziffer und  die kleinste, dann ist bspw.

Lexikographische Ordnung 
Bei positiver Basis  hängt die Ordnungsrelation der reellen Zahlen eng zusammen mit der lexikographischen Ordnung der diese Zahlen darstellenden  Zeichenketten. Genauer:
 Es gibt einen Ordnungshomomorphismus (eine ordnungserhaltende Abbildung) , der die beliebig (auch unendlich) langen Zeichenketten auf  Weise in ein reelles Intervall abbildet.
 Für kein  System ist  injektiv.
 Welche reellen Zahlen mehrere Darstellungen (mehrere Urbilder) haben, hängt von den Ziffernwerten des zugehörigen Ziffernsystems  ab. Ihre Menge ist eine Teilmenge der rationalen Zahlen, hat also abzählbare Mächtigkeit. Sie liegt dicht im Bildintervall.

Verallgemeinerungen

Zahlensysteme mit gemischten Basen 
Eine naheliegende Verallgemeinerung ist, verschiedene Basen für die verschiedenen Ziffernpositionen zu wählen. Man spricht dann von Zahlensystemen mit gemischten Basen. Ein paar interessante Beispiele sind:

 alternierend a oder b, wobei a und b zwei verschiedene natürliche Zahlen > 1 sind
 2 oder 3, aber in der Reihenfolge, sodass  am „relativ engsten“ approximiert wird mit dem Produkt der ersten k Basen
 als Basis werden die natürlichen Zahlen > 1 der Reihe nach genutzt („Fakultätsbasis“)

 die Primzahlen der Reihe nach oder jene (sich dann wiederholenden) Primzahlen, die mit jeder nächstgrößeren Primzahlpotenz auftreten (s. a. Darstellung der proendlichen Zahlen mit mehreren Basen)

In den beiden letzten Fällen hat man im Prinzip unendlich viele verschiedene Ziffernsymbole bereitzustellen.

Datumsformat als Zahlensystem mit gemischten Basen 

Auch die Darstellung von Datum und Uhrzeit hat traditionell mehrere Basen und Ziffernsysteme. Im hiesigen Kontext sei als einziges Exempel die folgende im angelsächsischen Sprachraum gebräuchliche Darstellung

 [1-12] [1–31] [0–9][2,4,*] [1-12] [am,pm] [0–59] [0–59] [0–9]*

angeführt, bei der zudem die Reihenfolge von Jahr-, Monat- und Tagangaben einerseits sowie Halbtag und Stunde andererseits entgegen der Rangfolge vertauscht sind. Hier finden also die Basen 2, 10, 12, 28–31 und 60 Verwendung. Insbesondere ist bemerkenswert, dass sich die Basis der Tagesstelle nach dem Wert der Monatsstelle richtet.

Nicht-natürliche Zahlen als Basis 
Die Basis  muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Sämtliche (auch komplexe) Zahlen mit Betrag größer 1 können als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden.

Negative Basen 
Stellenwertsysteme mit negativen Basen  mit  kooperieren mit denselben Ziffernvorräten wie ihre positiven Entsprechungen  und  wird oft als Radix bezeichnet.
Sie werden häufig mit der Vorsilbe nega- gekennzeichnet, bspw. das negadezimale, negabinäre, negaternäre usw. Stellenwertsystem.

Diese Stellenwertsysteme kommen ohne ein extra Vorzeichen aus. Andererseits benötigen die Darstellungen häufig eine, in manchen Fällen sogar zwei Stellen mehr, als im entsprechenden System mit positiver Basis, wie das Beispiel  zeigt. Ferner sind die arithmetischen Operationen, insbesondere der arithmetische Vergleich und die Bildung des Absolutbetrags, etwas komplexer.

Ist der Ziffernvorrat minimal, bspw. , dann sind alle ganzen Zahlen eindeutig darstellbar. Wie bei den positiven Basen gibt es rationale Zahlen, die nicht eindeutig darstellbar sind. Sei dazu

und  die größte Ziffer,
dann ist sowohl

als auch

Einige arithmetische Operationen bringt der englischsprachige Artikel.

Irrationale Basen 
Will man alle reellen Zahlen darstellen, dann muss bei nicht-ganzzahliger oder irrationaler Basis  die Minimalgröße des Ziffernsystems  (Betragsstriche und Gaußklammern) sein.
Für solche verallgemeinerten Stellenwertsysteme gelten einige der hier gemachten Aussagen über die endliche Darstellbarkeit rationaler Zahlen nicht.

Wird zum Beispiel der Goldene Schnitt  als Basis und  als Ziffernvorrat verwendet, dann stellt eine endliche Ziffernfolge stets eine ganze Zahl oder eine irrationale Zahl der Form  mit rationalen  dar. Trotzdem hat nicht jede solche Zahl eine endliche Darstellung.

Eine ebenfalls auf dem Goldenen Schnitt basierende Darstellung ist die Zeckendorf-Darstellung, bei der allerdings nicht die Potenzen von , sondern die Fibonacci-Zahlen als Stellenwerte genommen werden.

Nicht-reelle Basen 
Das erste Zahlsystem, das eine komplexe Zahl nicht als zwei separate Ziffernfolgen – je eine für Real- und eine für Imaginärteil – darstellt, sondern eine komplexe Zahl als eine einzige Ziffernfolge, war das von D. Knuth 1955 vorgeschlagene „quater-imaginäre“ System. Es hat  als Basis und 0, 1, 2, 3 als Ziffern. Dort ist bspw.  und . Siehe auch den englischsprachigen Artikel Quater-imaginary base.

Ein anderes System wurde 1964 von S. Khmelnik vorgeschlagen und für Digitalmaschinerie ausgearbeitet. Es hat  als Basis und 0, 1 als Ziffern. Bspw. ist  und . Siehe auch den englischsprachigen Artikel :en:Complex base systems.

p-adische Zahlen 

Die hier vorgestellten Stellenwertsysteme beruhen auf der Konvergenz in Bezug auf die Metrik des gewöhnlichen archimedischen Absolutbetrags. Die unendlichen Reihen – die hier immer, und zwar „rechts“ bei den kleinen Potenzen der Basis (Exponenten ), konvergieren – sind dann reelle (oder komplexe) Zahlen. Es gibt aber für die rationalen Zahlen auch Metriken, die auf nichtarchimedischen Betragsfunktionen basieren und eine ganz ähnliche Notation mit Basis und Ziffernvorrat gestatten. Die unendlichen Reihen – die auch dort immer, und zwar der Konvention nach „links“ bei den großen Potenzen (Exponenten ), konvergieren – sind p-adische Zahlen.

Zwar stimmen endliche  Ausdrücke mit derselben Ziffernfolge in (dann ebenfalls endlicher)  Darstellung überein, es gibt aber gravierende Unterschiede zu den ansonsten hier vorgestellten (archimedischen) Systemen. Die wichtigsten sind:
 Die  Darstellungen sind immer (umkehrbar) eindeutig.
 Ein Vorzeichen wird nicht benötigt. Die Darstellung von  als unendliche Summe ist 
 Ein  Ring kann nicht angeordnet werden.
 Ist  zerlegbar, also keine Primzahl, dann enthält der  Ring  Nullteiler (die allesamt nicht-abbrechende Darstellungen haben). Einzelheiten in Proendliche Zahl#10-adische Zahlen.
 Die nicht-abbrechenden Reihen stellen in beiden Systemen Zahlobjekte mit völlig verschiedenen arithmetischen Eigenschaften dar. Die periodischen unter ihnen stellen in beiden Systemen rationale Zahlen dar.
 Alle Algorithmen für die Grundrechenarten beginnen rechts bei den kleinen Exponenten (möglicherweise negativ, aber ) und laufen wie die Potenzen und Überträge in die gleiche Richtung nach links zu den großen Exponenten. Wenn die Rechnung abgebrochen wird, kann sofort die Größe des Fehlers angegeben werden.

Weiterführende Texte 
Der Artikel Teilbarkeit erläutert, wie in der Darstellung von Stellenwertsystemen in bestimmten Fällen erkannt werden kann, ob eine Zahl Teiler einer anderen ist. Die Cantorsche Normalform verallgemeinert die Darstellung von Zahlen im Stellenwertsystem auf Ordinalzahlen.

Ein Beispiel zur Anwendung zeigt die Berlin-Uhr.

Literatur

Weblinks 

 Online-Umrechner für verschiedene Zahlensysteme (JavaScript)
 Umrechner für die Basen 2, 8, 10 und 16
 "Opas" Stellenwertsystem des Tiroler Volksschullehrers Anton Haag

Einzelnachweise und Anmerkungen 

Zahlensystem