Wet van Snellius

De wet van Snellius of brekingswet is een natuurwet uit de optica die aangeeft hoe lichtstralen gebroken worden op de overgang van het ene medium naar het andere, bijvoorbeeld van lucht naar glas waarin het licht zich met verschillende fasesnelheden voortbeweegt. De wet is genoemd naar de Nederlandse wis- en sterrenkundige Willebrord Snel van Royen. De wet komt al voor in het werk van de Arabische wetenschapper Ibn Sahl.

De brekingsindex van een stof in de wet van Snellius is de verhouding tussen de fasesnelheid van het licht in vacuüm en die in dat medium. Deze wet sluit aan bij het principe van Fermat, dat stelt dat het licht de snelste weg tussen twee punten kiest. Het scheidingsoppervlak tussen twee media waarvan de brekingsindex verschillend is, noemt men een diopter. In bijna alle gevallen waarin lichtbreking plaatsvindt wordt ook een gedeelte van het licht gereflecteerd.

Beschrijving 
Een lichtstraal valt vanuit een medium met brekingsindex (soms ook wel optische dichtheid genoemd)  onder een hoek  met de normaal op het scheidingsvlak in. De lichtstraal breekt in het andere medium met brekingsindex  en heeft een uittreehoek . Er geldt:

De lichtweg is omkeerbaar. De grootst mogelijke hoek is 90 graden in het medium met de laagste brekingsindex. De bijbehorende andere hoek in het medium met de hogere brekingsindex heet de grenshoek. Voor hoeken groter dan de grenshoek treedt totale interne reflectie aan het grensvlak op, de lichtstraal kan het medium met de hogere brekingsindex niet uit. De verhouding van gebroken en gereflecteerd licht wordt gegeven door de Fresnelvergelijkingen.

In Franse teksten heet de wet van Snellius de wet van Descartes, die het principe ook in de zeventiende eeuw vermeldde.
Echter, de eigenlijke ontdekker van de wet was mogelijk Ibn Sahl in 984.

Afleidingen

Uitgaande van het principe van de kortste optische weglengte 

De snelheden in glas en lucht zijn verschillend. Het principe van Fermat stelt dat het licht de snelste route neemt. Uitgaande van dit principe kan afgeleid worden dat de lichtstraal die van een gegeven punt uitgaat en aankomt in een ander gegeven punt, noodzakelijkerwijs moet voldoen aan de wet van Snellius.

In nevenstaande figuur gaat een lichtstraal (groen) van de bron P naar het punt Q. Het is de weg die de minste tijd vergt. Over het rode en het blauwe pad zou het licht er langer over doen. Zo is voor de rode lijn weliswaar de afstand PA kleiner dan PB, maar de tijdwinst weegt niet op tegen de langere weg van A naar Q.

In de figuur zijn twee media gegeven, bijvoorbeeld lucht boven en glas onder, met een vlak grensvlak loodrecht op de figuur, met brekingsindices  en . De kortste lichtweg verloopt zeker in het vlak loodrecht op het grensvlak. De snijlijn van beide vlakken is de lijn door  en , de projecties van respectievelijk P en Q op het grensvlak. Deze snijlijn fungeert als x-as.

De tijd voor het licht om vanuit P een punt  op de x-as te bereiken is:

Analoog is om van  in Q te geraken:

Daarin zijn  en  de respectievelijke snelheden in de beide media, en  en  de afstanden van P en Q tot het grensvlak.

De minimaal benodigde tijd om van P naar Q te gaan volgt uit de vergelijking:

 
Daaruit volgt:

Dat is anders geschreven:
,

met  en  de hoeken die de lichtstraal maakt met de normaal op het grensvlak.

Gevolg:

Analogie van zwemmers op het strand

De natuurkundige Richard Feynman kwam met de volgende vergelijking. Twee zwemmers moeten zo snel mogelijk een boei in zee bereiken. Iemand die snel op het strand is, maar in het water trager dan zijn concurrent, zal zo veel mogelijk de afstand op het strand afleggen (strategie 2). De zwemmer die het snelst zwemt, maar trager is op het strand, legt zo weinig mogelijk afstand op het strand af (strategie 1).

Bij gegeven snelheden op het strand en in de zee voldoet de snelste baan aan de wet van Snellius.

Uitgaande van het golfmodel van Huygens 

Christiaan Huygens kon de wet afleiden met zijn golftheorie, door aan te tonen dat golven elkaar versterken langs het traject dat door Snellius voorspeld wordt voor een gebroken lichtstraal, maar elkaar overal elders uitdoven.

Uitgaande van de elektromagnetischeveldtheorie 
Hendrik Antoon Lorentz versterkte in 1875 de hypothese dat licht een elektromagnetisch golfverschijnsel is door de elektromagnetische wetten van Maxwell op te lossen aan een grensvlak tussen twee optische media met verschillende waarden voor de magnetische permeabiliteit en de diëlektrische permittiviteit. Deze fysische grootheden bepalen de verschillen in voortplantingssnelheid van het licht in die media, alsmede het verband tussen invals- en brekingshoeken aan het grensvlak zoals voorspeld door Snellius.

Toepassing

Zonshoogte 
Een toepassing van de wet van Snellius is het feit dat men de zon altijd in een hogere stand ziet dan zijn werkelijke positie. Daardoor kan men bij zonsondergang de zon langer zien. Dit is als volgt te verklaren. De atmosfeer is in feite geen homogeen medium: het aantal moleculen per volume-eenheid daalt als de hoogte toeneemt. Men kan aantonen dat de brekingsindex toeneemt met het aantal moleculen per volume-eenheid, dus op grotere hoogte heeft men een kleinere brekingsindex. Het gevolg daarvan is dat de zonnestralen gekromde zijn naar de laag toe met de hoogste waarde van . Men kan de kromming van de zonnestralen ook vinden door de atmosfeer in te delen in opeenvolgende homogene luchtlagen, en de wet van Snellius toe te passen op ieder diopter tussen twee opeenvolgende lagen.

Geluid onder water 
Een andere toepassing van de wet is bij akoestische metingen onder water (zie hydrografie). Licht of elektromagnetische golven dringen maar zeer slecht door in het water, vandaar de keuze voor geluid. Een gemiddelde geluidssnelheid van ongeveer 1500 m/s varieert om en nabij 6% als gevolg van variaties van temperatuur en zoutgehalte. Als er veel regen valt, dan stroomt er veel zoet water in zee, en zal de geluidssnelheid aan het zeeoppervlak lager zijn dan bij droog weer. Daarna treedt al gauw weer menging op. Er treedt een zekere horizontale gelaagdheid op van lagen met min of meer gelijke geluidssnelheid. Als een geluidsignaal schuin door deze lagen loopt, treedt er breking op volgens de wet van Snellius. Om afstanden en hoeken juist te schatten, dienen de metingen hiervoor gecorrigeerd te worden.

Weerkaatsing van radiogolven in de atmosfeer 
De atmosfeer bestaat uit een aantal lagen, waarvan er enkele geïoniseerd zijn, dat wil zeggen veel geladen deeltjes bevatten. Daar deze geladen deeltjes zich gemakkelijk kunnen verplaatsen, is zo een laag enigszins geleidend. Daardoor kunnen radiogolven in bepaalde frequentiebereiken er geheel of gedeeltelijk door gereflecteerd worden. Doordat deze geïoniseerde lagen min of meer bolvormig zijn, en men vanaf het aardoppervlak tegen de binnenzijde van deze bol aankijkt, werkt hij als een holle spiegel. Dit leidt ertoe dat bijvoorbeeld kortegolfzenders (ca. 3 MHz tot ca. 30 MHz) over veel grote afstanden zijn te ontvangen dan bijvoorbeeld middengolfzenders (ca. 1 MHz) of FM-zenders (ca. 80 MHz tot ca. 100 MHz). Zo kunnen onder gunstige omstandigheden bepaalde kleine regionale zenders in bijvoorbeeld Amerika of het Verre Oosten soms ook in Europa worden ontvangen.

Refractie van zeegolven 

Als zeegolven in ondieper water komen, zal voortplantingssnelheid verminderen. Omdat bij scheef invallende golven een deel van de golf in ondieper water is dan een ander deel krijgen verschillende delen van de golfkam een andere snelheid, en zal de golfkam dus gaan draaien. Door deze refractie van zeegolven zullen deze zullen daarom over het algemeen in ondieper water meer loodrecht op de kust gaan invallen.

Nieuwe materialen 
Er zijn nieuwe optische materialen ontwikkeld met een negatieve brekingsindex.

Berekening straalbuiging geluid onder water 
Aan de grenslaag tussen twee waterlagen met verschillende brekingsindices, dus verschillende geluidssnelheden, zal volgens de wet van Snellius breking optreden. De weg van het signaal is daardoor niet recht maar gebogen.

Voorbeeld 
Stel de waterdiepte is 1000 m en denk deze diepte opgebouwd uit 1000 lagen van elk 1 m dik. De snelheid in de onderste laag is 1550 m/s en neemt per laag af met 0,1 m/s. De snelheid in de bovenste laag is dan 1450 m/s. Op de bodem bevindt zich een geluidsbron die onder een hoek van 45 graden een geluidspuls uitzendt. Deze puls bereikt het wateroppervlak in het punt O.

Hier geldt dan: 

Met  volgt uit:

dat
 en analoog 

Men berekent de weg die de geluidspuls in de diverse lagen aflegt als volgt.

en voor de totale lengte

De horizontale projectie  van de afgelegde weg per laag volgt uit

Voor de totale horizontale afstand tussen Z en O volgt 

Vervolgens is de totale looptijd van de geluidspuls te berekenen door
,

zodat de totale looptijd 

Met de volgende formules voor de looptijd  volgt:

Voor de kromtestraal van het traject geldt:

met

 de geluidsnelheidsgradiënt (veranderingen met de diepte per seconde)
 de straalbuigingsconstante

De horizontale afstand is

,

Uit de brekingswet van Snellius volgt:
,
zodat

De werkelijk gemeten looptijd van de puls was 0,9148275 s, dus goed overeenkomend met de berekende waarde.

Fouten ten gevolge van straalbuiging zijn vaak te verwaarlozen, zoals in dit voorbeeld, maar er zijn wel degelijk omstandigheden waar met dit probleem rekening gehouden moet worden, zoals bij padloders (multibeam echo sounders) in water van enige diepte met een grote snelheidsgradiënt.

Ook landmeters kennen dit probleem. De precieze grootte van de zgn. refractie is moeilijk te bepalen. De precieze grootte van de fout stijgt kwadratisch, net als de fout door de aardkromming.

Referenties en noten

Externe links 
 Java-applet UGent
 java

Snellius
Geometrische optica