Glossario di teoria dei campi

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Definizione di campo 
Un campo è un anello commutativo unitario (o con unità) (F,+,*,0,1) nel quale ogni elemento diverso dallo zero è invertibile. Sopra un campo si possono effettuare le quattro operazioni razionali: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Ciò fa dei campi gli ambienti più vantaggiosi per le attività computazionali e di conseguenza per numerose applicazioni.

Definizioni di base 
 Gruppo moltiplicativo di un campo chiamato F  Gruppo abeliano costituito dagli elementi diversi da zero di F munito del prodotto; si denota tradizionalmente F×.

 Caratteristica del campo F  Il più piccolo intero positivo n tale che n·1 = 0; qui n·1 sta per la somma di n sommandi 1 + 1 + 1 + ... + 1. Se un tale intero non esiste si dice che la caratteristica del campo è zero. Ogni caratteristica diversa da zero è un numero primo. Ad es. i campi dei numeri razionali, dei numeri reali e dei numeri p-adici hanno caratteristica 0, mentre il campo finito Zp ha caratteristica p.

 Anello dei polinomi con coefficienti nel campo F  Si denota tradizionalmente F[x].

 Sottocampo del campo F  Sottoinsieme di F chiuso rispetto alle operazioni + e * del campo e che, con queste operazioni, costituisce esso stesso un campo.

 Sottocampo primo del campo F  L'intersezione di tutti i sottocampi di F, è esso stesso un sottocampo ed è dunque il più piccolo sottocampo di F. Viene anche chiamato sottocampo fondamentale (o minimo).

 Estensione di campi  Se F è sottocampo di E si dice che E è un campo estensione di F; si può anche dire che E è un sovracampo di F.

 Estensione algebrica del campo F  Se un elemento α di un campo estensione E di F è la radice di un polinomio in F[x], allora α si dice elemento algebrico su F. Se ogni elemento di E è algebrico su F, si dice che E è una estensione algebrica di F.

 Campo di spezzamento  Campo estensione generato dalla fattorizzazione completa di un polinomio.

 Estensione normale  Campo estensione generato dalla fattorizzazione completa di un insieme di polinomi.

 Estensione separabile  Campo estensione generato dalle radici di polinomi separabili.

 Elemento primitivo  Elemento α di un campo estensione E sopra un campo F tale che E=F(α), il minimo campo estensione contenente α.

 Campo perfetto  Campo tale che ogni sua estensione finita è separabile. Tutti i campi di caratteristica zero e tutti i campi finiti sono perfetti.

 Campo algebricamente chiuso  Estensione algebrica massimale di un campo F è la sua chiusura algebrica. Un campo è algebricamente chiuso se coincide con la propria chiusura algebrica.

 Elemento trascendente di un campo F  Elemento che non è algebrico su F.

 Grado di trascendenza  Numero di elementi trascendenti indipendenti in un campo estensione. Viene usato per definire la dimensione di una varietà algebrica.

Omomorfismi 
 Omomorfismo tra due campi E e F
Una funzione

che sia un omomorfismo di anelli, cioè tale che per tutti gli x e y in E:

f(x + y) = f(x) + f(y)

f(xy) = f(x) f(y)
e tale che
f(1) = 1

Queste proprietà implicano che f(0) = 0, f(x−1) = f(x)−1 per ogni x in E diverso da 0, e che f è iniettiva. La classe dei campi munita di questi omomorfismi forma una categoria.

 Campi isomorfi  Due campi E e F sono detti isomorfi se tra di loro esiste un omomorfismo biiettivo

Due campi isomorfi si possono identificare per tutte le applicazioni pratiche. Occorre osservare che questa identificazione la si può ottenere con diversi isomorfismi. Vedi ad esempio la coniugazione complessa.

Campi specifici 
 Campo finito  Campo con insieme sostegno finito.

 Campo ordinato  Campo munito di un ordine totale compatibile con le sue operazioni.

 Campo dei numeri razionali (Campo dei razionali) V. numero razionale

 Campo dei numeri reali  V. numero reale

 Campo dei numeri complessi  V. numero complesso

 Campo numerico  Estensione algebrica del campo dei numeri razionali.

 Campo dei numeri algebrici  Questo campo (v. numero algebrico) è l'estensione algebricamente chiusa del campo dei numeri razionali. Le loro proprietà sono indagate nella teoria dei numeri algebrici.

 Campo quadratico  Estensione di grado 2 del campo dei razionali.

 Campo ciclotomico  Estensione del campo dei numeri razionali generata da una radice dell'unità.

 Campo totalmente reale  Campo numerico generato da una radice di un polinomio che ha tutte le sue radici reali.

Teoria di Galois 
 Estensione di Galois  Campo estensione normale e separabile.

 Gruppo di Galois  Il gruppo degli automorfismi di una estensione di Galois. Nel caso di una estensione finita è un gruppo finito di ordine uguale al grado dell'estensione. I gruppi di Galois delle estensioni infinite sono gruppi profiniti.

 Teoria di Kummer  La teoria di Galois del prendere radici n-esime, date abbastanza radici dell'unità. Include la teoria generale delle estensioni quadratiche.

 Teoria di Artin - Scheier  Copre un caso eccezionale per la teoria di Kummer in caratteristica p.

 Prodotto tensoriale di campi  Settore fondazionale dell'algebra concernente l'operazione compositum (giunzione, join, di campi).

 Teoria di Galois alla Grothendieck  Approccio molto astratto a partire dalla geometria algebrica, sviluppato per studiare l'analogo del gruppo fondamentale.

 
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