Logaritm

În matematică, logaritmul este operația inversă a ridicării la putere. Aceasta înseamnă că logaritmul unui număr este exponentul la care un alt număr fix, , trebuie să fie ridicat pentru a produce acel număr. În cazul cel mai simplu al exponentului natural, logaritmul exprimă numărul de factori din înmulțirile repetate. De exemplu, logaritm în bază  din  este , pentru că  la puterea  este  (); înmulțirea se repetă de trei ori. Acesta este un exemplu de logaritmi cu valori discrete. Trecerea la un exponent fracționar face ca valorile logaritmilor să fie continue. Exponentul fracționar fiind asociat unui radical de ordin oarecare dintr-un număr logaritmul permite determinarea valorilor radicalilor de orice ordin.

Mai general, exponențierea permite ridicarea oricărui număr real pozitiv la orice putere reală, producând întotdeauna un rezultat pozitiv, deci logaritmul poate fi calculat pentru orice două numere reale pozitive  și  unde  este diferit de . Logaritmul lui  în baza , notat cu , este numărul real  unic cu proprietatea că
 .
De exemplu, întrucât , atunci:
 
Logaritmul în bază  (unde ) se numește logaritm zecimal și are multe aplicații în știință și inginerie. Logaritmul natural are drept bază numărul e (); utilizarea sa este larg răspândită în matematică și fizică, pentru că derivata sa e mai simplă.  folosește baza  (adică ) și este frecvent utilizat în informatică.

Logaritmii au fost introduși de către John Napier în secolul al XVII-lea ca mijloc de simplificare a calculelor. Ei au fost rapid adoptați de către navigatori, oameni de știință, ingineri, și alții pentru a efectua calcule mai ușor, folosind rigle și tabele de logaritmi. Calculele greoaie cu multe cifre puteau fi înlocuite cu căutări în tabele și simple adunări, datorită faptului — important în sine — că logaritmul unui  este suma logaritmilor factorilor:
 
cu condiția ca ,  și  să fie toate pozitive și .
Noțiunea actuală de logaritm provine de la Leonhard Euler, care a legat-o de funcția exponențială în secolul al XVIII-lea.

Scara logaritmică restrânge variația unor mărimi cu interval larg de valori. De exemplu, decibelul este o unitate care cuantifică logaritmul unor rapoarte de energie și de amplitudine a unui semnal (de exemplu, ). În chimie, pH-ul este o măsură logaritmică a acidității unei soluții apoase. Logaritmii sunt frecvenți în formulele științifice și în măsurătorile complexității algoritmilor și ale obiectelor geometrice numite fractali. Ele descriu intervale muzicale, apar în formulele de numărare a numerelor prime, oferă informația de bază unor modele din psihofizică, economie și pot fi de ajutor în .

În același mod în care logaritmul inversează ridicarea la putere,  este funcția inversă a exponențialei aplicate numerelor complexe. Logaritmul discret modular este o altă variantă, cu utilizări în criptografia cu chei publice.

Motivația și definiția 
Ideea logaritmilor este de a inversa funcționarea ridicării la putere. De exemplu, cea de-a treia putere (sau cubul) a lui 2 este 8, pentru că 8 este produsul a trei factori cu valoarea 2:

Rezultă că logaritmul lui 8 în baza 2 este 3, deci log2 8 = 3.

Ridicarea la putere 
Puterea a treia a unui număr b este produsul a trei factori cu valoarea b. Mai general, ridicarea lui b la puterea a n-a, când n este un număr natural, se face prin înmulțirea a n factori cu valoarea b. Puterea a n-a a lui b este scrisă bn, astfel încât

Ridicarea la putere poate fi extinsă la by, unde b este un număr pozitiv și exponentul y este orice număr real. De exemplu, b-1 este  lui b. Ridicarea lui  la puterea 1/2 este  rădăcină pătrată a lui .

Mai general, ridicarea lui  la o putere cu exponent număr rațional , unde ,  sunt numere intregi, e dată de

al -lea radical din . 

Generalizarea merge mai departe, orice număr irațional  poate fi aproximat cu precizie arbitrară de numere raționale, proprietate care se poate folosi pentru calculul puterii a -a a lui : de exemplu  și  e tot mai corespunzător aproximat de .

Pentru mai multe detalii, inclusiv formula , a se vedea articolul despre putere.

Definiție 
Logaritmul unui număr real pozitiv x în baza b, un număr real pozitiv diferit de 1, este exponentul la care b trebuie să fie ridicat pentru a da x. Cu alte cuvinte, logaritmul lui  în baza  este soluția  a ecuației
 
Logaritmul se notează cu „logb(x)” (citit „logaritm în bază b din x” sau „logaritmul în  al lui x”). În ecuația y = logb(x), valoarea y este răspunsul la întrebarea „la ce putere trebuie să fie ridicat b, pentru a obține x?”. Această întrebare poate fi abordată (cu un răspuns mai bogat) și pentru numere complexe, ceea ce se face în secțiunea „Logaritmul complex”, și acest răspuns este mult mai intens investigat în .

Exemple 
De exemplu, , deoarece   16. Logaritmii pot fi și negativi:
 
pentru că
 
Un al treilea exemplu: log10(150) este aproximativ 2.176, care se află între 2 și 3, așa cum 150 se află între  și . În cele din urmă, pentru orice bază b,  și , deoarece  și, respectiv, .

Identități logaritmice 
Mai multe formule importante, uneori numite identități logaritmice sau legi logaritmice, dau relații între logaritmi.

Produsul, împărțirea, puterea și rădăcina 
Logaritmul unui produs este suma logaritmilor factorilor; logaritmul raportului a două numere este diferența logaritmilor. Logaritmul celei de a p-a puteri a unui număr este de p ori logaritmul numărului în sine; logaritmul radicalului de ordinul al  este logaritmul numărului împărțit la p. Următorul tabel listează aceste identități cu exemple. Fiecare dintre identități pot fi calculate prin înlocuirea definiției logaritmului  sau  în partea stângă.

Schimbarea bazei 
Logaritmul logb(x) poate fi calculat din logaritmii lui x și b într-o bază arbitrară k, utilizând următoarea formulă:
 
Calculatoarele științifice calculează logaritmii pentru în bazele 10 și e. Logaritmi în orice altă bază b pot fi determinați folosind oricare dintre acești doi logaritmi prin formula precedentă:
 
Dat fiind un număr x și logaritmul său logb(x) într-o bază necunoscută b, bază este dată de relația:

Baze particulare 
Dintre toate bazele ce pot fi alese, trei sunt deosebit de frecvente. Acestea sunt b = 10, b = e (constantă matematică irațională ≈ 2.71828), și b = 2. În analiza matematică, logaritmul cu baza e este larg răspândit din cauza proprietăților sale analitice speciale explicate mai jos. Pe de altă parte, logaritmii în bază 10 sunt ușor de utilizat pentru calcule manuale în sistemul de numerație zecimal:
 
Astfel, log10(x) este legat de numărul de cifre zecimale ale unui număr întreg pozitiv x: numărul de cifre este cel mai mic număr întreg strict mai mare decât log10(x). De exemplu, log10(1430) este de aproximativ 3.15. Următorul număr întreg este 4, adică numărul de cifre al lui 1430. Atât logaritmul natural, cât și logaritmul în bază doi sunt utilizate în teoria informației, corespunzând utilizării naților sau, respectiv, biților ca unități fundamentale pentru informație. Logaritmii binari sunt și ei utilizați în informatică, acolo unde sistemul binar este omniprezent, în teoria muzicii, unde raportul înălțimilor unor sunete egal cu 2 (octava) este omniprezent și centul este logaritmul binar (scalat cu 1200) al raportului între două înălțimi adiacente egal temperate, iar în fotografie măsoară .

Următorul tabel listează notațiile comune pentru logaritmii în aceste baze și domeniile în care acestea sunt utilizate. În multe discipline se scrie log(x) în loc de logb(x), atunci când baza poate fi determinată din context. Mai apare și notația blog(x). Coloana „notație ISO” listează notații propuse de Organizația Internațională pentru Standardizare () pentru diverse baze.

Istoria 
Istoria logaritmilor în Europa secolului al XVII-lea este descoperirea unei noi funcții, care extindea domeniul de analiză dincolo de domeniul de aplicare a metodelor algebrice. Metoda logaritmilor a fost formulată public de către John Napier în 1614, într-o carte intitulată Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descrierea Minunatului Canon al Logaritmilor). Înainte de inventarea lor de către Napier, au existat și alte tehnici similare, cum ar fi prostafareza sau utilizarea de tabele de progresii, dezvoltată pe larg de către Jost Bürgi în jurul anului 1600.

Logaritmul zecimal al unui număr este indicele acelei puteri a lui zece care este egală cu numărul. A vorbi despre un număr ca necesitând atât de multe cifre este o aluzie aproximativă la logaritmul zecimal, și problema a fost menționată de către Arhimede ca „ordinul unui număr”. Primii logaritmi adevărăți erau metode euristice de a transforma înmulțirea în adunare, facilitând astfel calculul mai rapid. Unele dintre aceste metode foloseau tabele calculate din identități trigonometrice.
Astfel de metode sunt numite .

Inventarea funcției cunoscute astăzi sub numele de logaritm natural a început ca o încercare de a efectua o cvadratură a unei hiperbole  dreptunghiulare de către Gregoire de Saint Vincent, un belgian iezuit ce locuia la Praga. Arhimede scrisese Cvadratura parabolei în secolul al III-lea î.Hr., dar o cvadratură a hiperbolei nu putuse fi realizată până la publicarea de către Saint-Vincent a rezultatelor sale în 1647. Relația pe care o oferă logaritmul între o progresie geometrică primită ca argument și o progresie aritmetică a valorilor lui, l-a determinat pe  să facă legătura între cvadratura lui Saint-Vincent și tradiția logaritmilor din , ceea ce duce la termenul de „logaritm hiperbolic”, sinonim pentru logaritmul natural. În curând, noua funcție a fost apreciată de către Christiaan Huygens, Patavii, și James Gregory. Notația Log y a fost adoptată de către Leibniz în 1675, și în anul următor el a legat-o de integrala

Tabele de logaritmi, rigle de calcul și aplicații istorice 

Prin simplificarea calculelor dificile, logaritmii au contribuit la progresul științei, mai ales în astronomie. Au fost o dezvoltare critică pentru progrese din , , și alte domenii. Pierre-Simon Laplace numea logaritmii
 „...admirabil artificiu care, prin reducerea câtorva luni de muncă la câteva zile, dublează viața astronomului, și îl cruță de erorile și dezgustul inseparabile de calculele îndelungate.”
Un instrument-cheie care a permis utilizarea practică a logaritmilor înaintea calculatoarelor de birou și a computerelor au fost tabelele de logaritmi. Primul astfel de tabel a fost întocmit de către Henry Briggs în 1617, imediat după invenția lui Napier. Ulterior s-au scris și tabele cu sferă mai largă. Aceste tabele enumerau valorile pentru logb(x) și bx pentru orice număr x într-un anumit interval, cu o anumită precizie, pentru o anumită bază b. De exemplu, primul tabel al lui Briggs conține logaritmii zecimali ai tuturor numerelor întregi din intervalul 1-1000, cu o precizie de 14 cifre. Întrucât funcția  este inversa lui logb(x), ea fost numită antilogaritm. Produsul și câtul a două numere pozitive c și d au început să fie frecvent calculate ca sumă și diferență a logaritmilor lor. Produsul cd sau câtul c/d venea din căutarea antilogaritmului sumei sau diferenței prin aceleași tabele:
 
și
 
Pentru calculele manuale care impuneau precizie apreciabilă, căutarea celor doi logaritmi, calculul sumei sau diferenței lor, și apoi căutarea antilogaritmului era mult mai rapidă decât efectuarea înmulțirii prin metodele anterioare, cum ar fi , care se baza pe identități trigonometrice. Calculele de puteri și radicali erau reduse la înmulțiri sau împărțiri și căutări prin
 
și
 
Multe tabele de logaritmi dau logaritmii furnizând separat de caracteristica și mantisa lui x, adică partea întreagă și partea  din . Caracteristica lui  este unu plus caracteristica lui x, iar mantisa era aceeași. Aceasta extinde domeniul de aplicare a tabelelor de logaritmi: dat fiind un tabel care listează log10(x) pentru orice număr întreg x de la 1 la 1000, logaritmul lui 3542 este aproximat prin
  Rezultate de precizie sporită pot fi obținute prin .
O altă aplicație critică a fost rigla de calcul, o pereche de scale logaritmice folosite pentru calcul, după cum se ilustrează aici:

Scara logaritmică neglisantă, rigla lui Gunter, a fost inventată la scurt timp după invenția lui Napier. William Oughtred a îmbunătățit-o pentru a creaa rigla de calcul—o pereche de scale logaritmice mobile una față de alta. Numerele sunt plasate pe rigla de calcul la distanțe proporționale cu diferențele între logaritmii lor. Glisarea scării de sus în mod corespunzător este echivalentă cu o adunare mecanică de logaritmi. De exemplu, adăugarea distanței de la 1 la 2 pe scară de jos la distanța de la 1 la 3 pe scara de sus dă un produs de 6, care este citit de pe partea inferioară. Rigla a fost un instrument esențial de calcul pentru ingineri și oameni de știință până în anii 1970, deoarece el permite, în detrimentul preciziei, calcul mult mai rapid decât tehnicile bazate pe tabele.

Proprietăți analitice 
Un studiu mai profund al logaritmilor necesită conceptul de funcție. O funcție este o regulă prin care un număr este transformat într-un alt număr. Un exemplu este funcția ce produce puterea a x-a a lui b din orice număr real x, în cazul în care baza b este un număr fix. Această funcție este scrisă

Funcția logaritmică 
Pentru a justifica definiția logaritmilor, este necesar să se arate că ecuația
 
are o soluție x și că această soluție este unică, cu condiția ca y să fie pozitiv și ca b este pozitiv și diferit de 1. Demonstrarea acestui fapt necesită  din analiza matematică. Această teoremă afirmă că o funcție continuă care produce două valori m și n produce, de asemenea, orice valoare care se situează între m și n. O funcție este continuă dacă ea nu „sare”, adică dacă graficul ei poate fi trasat fără a ridica instrumentul de scris de pe hârtie.

Se poate arăta că această proprietate este valabilă pentru funcția . Deoarece  ia valori pozitive arbitrar de mari și arbitrar de mici, orice număr  se află între  și  pentru  și . Prin urmare, teorema valorii intermediare asigură că ecuația  are o soluție. Mai mult decât atât, există doar o singură soluție la această ecuație, pentru că funcția f este strict crescătoare (pentru ), sau strict descrescătoare (pentru ).

Soluția unică  este logaritm din  în baza , . Funcția care îi atribuie lui  logaritmul său se numește funcția logaritm sau funcția logaritmică (sau doar logaritmul).

Funcția  este, în esență, caracterizată prin formula produsului de mai sus
 
Mai precis, logaritmul în orice bază  este singura funcție crescătoare f definită pe mulțimea numerelor reale pozitive cu valori în mulțimea numerelor reale care satisface relațiile  și

Funcția inversă 

Formula pentru logaritmul unei puteri spune, în special, că pentru orice număr x,
 
În limbaj natural, luând puterea a x-a a lui b și apoi calculându-i logaritmul în bază b se obține x. Invers, având în vedere un număr pozitiv y, formula
 
spune că dacă întâi se extrage logaritmul și apoi se ridică baza la puterea lui, se obține y. Astfel, cele două moduri posibile de combinare (sau ) a logaritmilor cu exponențiala dă numărul inițial. Prin urmare, logaritmul cu baza b este funcția inversă a lui .

Funcțiile Inverse sunt strâns legate de funcțiile originare. Graficele lor corespund reciproc prin schimbarea axelor x și y între ele (sau la reflecție, față de diagonala x = y), așa cum se arată la dreapta: un punct (t, u = bt) de pe graficul lui f dă un punct (u, t = logbu) pe graficul logaritmului și vice-versa. Ca o consecință, logb(x) tinde la infinit (devine mai mare decât orice număr dat) dacă x crește la infinit, cu condiția ca b să fie mai mare decât unu. În acest caz, logb(x) este funcție crescătoare. Pentru , logb(x) tinde la minus infinit. Atunci când x se apropie de zero, logb(x) tinde la minus infinit pentru  (respectiv, plus infinit pentru ).

Derivata și primitiva 

Proprietățile analitice ale funcțiilor se extind și asupra inverselor lor. Astfel, întrucât este o funcție continuă și derivabilă, la fel este și . Intuitiv, o funcție continuă este derivabilă dacă graficul ei nu are „colțuri” ascuțite. Mai mult decât atât, întrucât derivata lui  este  din proprietățile funcției exponențiale,  implică faptul că derivata lui logb(x) este dată de
 
Adică panta tangentei la graficul logaritmului în  în punctul  este egală cu .

Derivata lui  este ; aceasta implică faptul că  este singura primitivă a lui  care are valoarea 0 pentru . Aceasta este o formulă foarte simplă care a motivat calificarea logaritmului în bază  drept „natural”; totodată, acest aspect este unul dintre principalele motive pentru importanța constantei e.

Derivata cu un argument funcțional generalizat  este
 
Fracția din partea dreaptă se numește  a lui . Calculul lui  prin intermediul derivatei lui  este cunoscut ca . Primitiva logaritmului natural  este:
 
Formule legate, cum ar fi primitivele logaritmilor în alte baze pot fi derivate din această ecuație folosind schimbarea de bază.

Reprezentarea integrală a logaritmului natural 

Logaritmul natural din t este egal cu integrală din 1/x dx de la 1 la t:
 
Cu alte cuvinte, ln(t) este egală cu aria dintre abscisă și de graficul funcției 1/x, de la  până la  (figura din dreapta). Aceasta este o consecință a teoremei fundamentale a calculului integral și faptul că derivata lui  este . Partea dreaptă a acestei ecuații poate servi ca o definiție a logaritmului natural. Formulele logaritmului produsului și puterii pot fi derivate din această definiție. De exemplu, formula produsului  se deduce ca:
 

Egalitatea (1) se desparte integral în două părți, în timp ce egalitatea (2) este o schimbare de variabilă (). În ilustrația de mai jos, divizarea corespunde împărțirii zonei în părți galbene și albastre. Rescalarea verticală a zonei albastre din stânga cu factorul t și reducerea ei cu același factor orizontal nu-i schimbă dimensiunea. Mutând-o corespunzător, zona se potrivește graficului funcției  din nou. Prin urmare, zona albastră din stânga, care este integrală din  de la t la tu este aceeași ca integrala de la 1 la u. Acest lucru justifică egalitatea (2) cu o demonstrație mai geometrică.

Formula puterii  poate fi calculată într-un mod similar:
 
Cea de-a doua egalitate folosește o schimbare de variabilă (integrarea prin substituție), .

Suma peste inversele numerelor naturale,
 
se numește . Acesta este strâns legată de logaritmul natural: când n tinde la infinit, diferența
 
converge (de exemplu, devine arbitrar de aproape de) la un număr cunoscut sub numele de constanta Euler–Mascheroni. Această relație ajută la analiza performanțelor algoritmilor, cum ar fi quicksort.

Există și o altă reprezentare integrală a logaritmului, care este utilă în unele situații.
 
Acest lucru poate fi verificat, arătând că aceasta are aceeași valoare la , și aceeași derivată.

Transcendența logaritmului 
Numere reale care nu sunt algebrice se numesc transcendente; de exemplu, π și e sunt astfel de numere, dar  nu este.  numerele reale sunt transcendente. Logaritmul este un exemplu de funcție transcendentă.  afirmă că logaritmii de obicei iau valori transcendente, adică „dificile”.

Calculul 

Logaritmii sunt ușor de calculat, în unele cazuri, cum ar fi . În general, logaritmi pot fi calculați folosind serii de puteri sau , sau să fie preluate dintr-un tabel de logaritmi precalculat, care oferă precizie fixă.
Metoda lui Newton, o metodă iterativă de rezolvare cu aproximație a ecuațiilor, poate fi și ea utilizată pentru a calcula logaritmul, pentru că funcția inversă, funcția exponențială, poate fi calculată în mod eficient. Folosind tabele de căutare, metode de tip  pot fi utilizate pentru a calcula logaritmi dacă singurele operațiile disponibile sunt adunarea și deplasarea pe biți. Mai mult,  calculează  recursiv pe baza calculului repetat al radicalului din x, profitând de relația

Serii de puteri 
 Serii Taylor

Pentru orice număr real z care satisface , este valabilă următoarea formulă:
 
Aceasta este o prescurtare pentru a spune că ln(z) poate fi aproximată cu o valoare din ce în ce mai precisă de următoarele expresii:
 
De exemplu, cu , a treia aproximare dă 0,4167, care este de aproximativ 0,011 mai mare decât ln(1,5)=0,405465. Această serie aproximează ln(z) cu precizie arbitrară, cu condiția ca numărul de termeni să fie suficient de mare. În analiza matematică elementară, ln(z) este, prin urmare, limita acestei serii. Ea este seria Taylor a logaritmului natural. Seria Taylor a lui ln z oferă o aproximare deosebit de utilă pentru ln(1+z) când z este mic, |z| < 1, pentru că atunci
 
De exemplu, cu z = 0,1 aproximarea de ordinul întâi dă , care are o eroare de mai puțin de 5% față de valoarea corectă 0,0953.
 Serii mai eficiente
O altă serie se bazează pe  funcția:
 
pentru orice număr real z > 0. Folosind notația Sigma, acest lucru se poate scrie și ca
 
Această serie poate fi derivată din seria Taylor de mai sus. Converge mai repede decât seria Taylor, în special dacă z este aproape de 1. De exemplu, primii trei termeni din seria a doua aproximează valoarea lui ln(1,5) cu o eroare de circa . Se poate profita de rapida convergență pentru z apropiat de 1 în felul următor: dat fiind o aproximație de joasă precizie a lui  și punând
 
logaritmul lui z este:
 
Cu cât este mai bună aproximarea inițială y, cu atât este mai aproape A de 1, deci logaritmul poate fi calculat eficient. A poate fi calculată folosind seria exponențială, care converge rapid dacă y nu este prea mare. Calculul logaritmulilor unor valori z mai mari se poate reduce la cel al unor valori mai mici ale lui z scriind , astfel încât .

O metodă similară poate fi utilizată pentru a calcula logaritmul numerelor întregi. Din seria de mai sus, rezultă că:
 
Dacă este cunoscut logaritmul unui întreg n mare, atunci această serie produce o serie rapid convergentă pentru log(n+1).

Aproximarea cu media aritmetico–geometrică 
 produce aproximări precise ale logaritmului natural. Sasaki și Kanada au arătat în 1982 că este deosebit de rapidă pentru precizii între 400 și 1000 de zecimale exacte, în timp ce metodele bazate pe seriile Taylor sunt de obicei mai rapide când este necesară o precizie mai mică. În lucrarea lor,  este aproximat cu o precizie de  (sau cu precizie de p biți) prin următoarea formulă (datorată lui Carl Friedrich Gauss):
 
Aici cu M(x,y) s-a notat  dintre x și y. Acesta este obținută calculând repetat mediile (x+y)/2 (media aritmetică) și sqrt(x*y) (geometric) ale lui x și y, și apoi înlocuind x și y cu valorile obținute. Cele două numere converg rapid spre o limită comună care este valoarea lui M(x,y). m este ales astfel încât
 
pentru a asigura precizia necesară. Un m mai mare face calculul lui M(x,y) să ia mai mulți pași (valorile inițiale  x și y sunt mai depărtate, astfel încât este nevoie de mai mulți pași pentru a converge), dar oferă mai multă precizie. Constantele π și ln(2) pot fi calculate cu serii rapid convergente.

Aplicații 

Logaritmii au multe aplicații în interiorul și în afara matematicii. Unele dintre aceste evenimente sunt legate de noțiunea de . Logaritmii sunt legați și de conceptul de . De exempluu, logaritmii apar în analiza algoritmilor care rezolvă o problemă împărțind-o în mai multe probleme similare mai mici și apoi combinând soluțiile acestora. 
Dimensiunile formelor geometrice autosimilare, adică a formelor ale căror părți se aseamănă cu imaginea de ansamblu sunt, de asemenea, bazate pe logaritmi.
Scările logaritmice sunt utile pentru cuantificarea schimbării relative ale unei valori în locul diferenței absolute. Mai mult decât atât, pentru că funcția logaritmică log(x) crește foarte încet pentru a x mari, scările logaritmice sunt folosite pentru a comprima date științifice cu game mari de variație. Logaritmii apar și în numeroase formule științifice, cum ar fi , , sau ecuația lui Nernst.

Scară logaritmică 

Cantitățile științifice sunt adesea exprimate în logaritmi ai altor cantități, folosind o scară logaritmică. De exemplu, decibelul este o unitate de măsură asociate cu o scară logaritmică a valorilor unui raport. Ea se bazează pe logaritmul zecimal al raportului: de 10 ori logaritmul zecimal al unui raport de puteri sau de 20 de ori logaritmul zecimal al raportului unor tensiuni. Acesta este utilizat pentru a cuantifica pierderea nivelului de tensiune la transmiterea semnalelor electrice, pentru a descrie nivelurile de putere a sunetului în acustică, și absorbanța luminii în domeniul spectrometriei și opticii. Raportul semnal-zgomot care descrie cantitatea de nedorit în raport cu un semnal se măsoară tot în decibeli. Similar,  este de obicei folosit pentru a evalua calitatea de sunet și metodele de compresie a imaginilor folosind logaritmul.

Puterea unui cutremur este măsurată prin calculul logaritmului zecimal al energiei emise de cutremur. Acest lucru este folosit la scara magnitudinii de moment sau, în trecut, la scara Richter. De exemplu, un cutremur de 5 grade eliberează de 32 de ori (101,5), iar unul de 6 grade eliberează de 1000 de ori (103) energia unuia de 4.0. O altă scară logaritmică este magnitudinea aparentă. Acesta măsoară logaritmic luminozitatea stelelor. Un alt exemplu este pH-ul din chimie; pH-ul este logaritmul zecimal cu semn schimbat al activității ionilor de hidroniu ioni (forma pe care o iau ionii de hidrogen  în apă). Activitatea ionilor de hidroniu în apa neutră este de 10-7 mol·L-1, prin urmare, un pH de 7. Oțetul are de obicei un pH de aproximativ 3. Diferența de 4 corespunde la un raport al activității de 104, adică activitatea ionilor de hidroniu din oțet este de aproximativ 10-3 mol·L-1.

Graficele semilogaritmice (logaritmic-liniare) utilizează conceptul de scară logaritmică doar pentru vizualizare: una din axe, de obicei, cea verticală, este scalată logaritmic. De exemplu, graficul din dreapta comprimă creșterea abruptă de la un milion la un milion de milioane în același spațiu (pe axa verticală), ca și majorarea de la 1 la 1 milion. În astfel de grafice, funcții exponențiale apar ca linii drepte cu panta egală cu logaritmul lui b. Graficele logaritmice scalează logaritmic ambele axe, ceea ce face ca funcțiile să fie reprezentate ca linii drepte cu panta egală cu exponentul k. Aceasta are aplicații în vizualizarea și analiza .

Psihologie 
Logaritmii apar și în unele legi care descriu percepția umană:
 propune o relație logaritmică între timpul cât durează ca o persoană să aleagă o alternativă și numărul de opțiuni pe care le au.  prezice că timpul necesar pentru a trece rapid la o zonă-țintă este o funcție logaritmică de distanța și dimensiunea țintei. În psihofizică,  propune o relație logaritmică între  și senzație, cum ar fi greutatea reală vs. cea percepută de o persoană care o transportă. (Această „lege”, cu toate acestea, este mai puțin precisă decât unele modele mai recente, cum ar fi .)

Studiile psihologice au constatat că persoanele cu puțină educație în matematică tind să estimeze cantitățile logaritmic, adică ele pun un număr pe o linie în funcție de logaritmul lui, astfel că 10 este poziționat la fel de aproape de 100 ca și 100 de 1000. Creșterea educației schimbă această estimare cu una liniară (poziționarea lui 1000 de 10x mai departe), în anumite circumstanțe, în timp ce logaritmii sunt utilizați atunci atunci când numerele de reprezentat sunt dificil de marcat liniar.

Teoria probabilităților și statistică 

Logaritmii apar în teoria probabilităților: legea numerelor mari dictează că, pentru o aruncare a monedei, când numărul de aruncări tinde la infinit, proporția observată a apariției unei fețe tinde la jumătate. Fluctuațiile acestei proporții în jurul jumătății sunt descrise de .

Logaritmii apar și în . Când logaritmul unei variabile aleatoare are o distribuție normală, se spune că variabila are distribuție log-normală. Distribuții log-normale se întâlnesc în multe domenii, ori de câte ori o variabilă se formează ca produs de multe variabile aleatoare independente pozitive, de exemplu în studiul turbulențelor.

Logaritmii sunt folosiți pentru  a  parametrice. Pentru un astfel de model,  depinde de cel puțin un  care trebuie să fie estimat. Un maxim al funcției de verosimilitate are loc la același parametru-valoare ca și maximul logaritmului verosimilității, deoarece logaritmul este o funcție crescătoare. Această log-verosimilitate este mai ușor de maximizat, în special pentru verosimilitățile multiplicate pentru variabile aleatoare .

 descrie apariția unor cifre în multe seturi de date, cum ar fi înălțimea clădirilor. În conformitate cu legea lui Benford, probabilitatea ca prima cifră zecimală a unui element din eșantionul de date să fie d (de la 1 la 9) este egală cu log10(d + 1) − log10(d), indiferent de unitatea de măsură. Astfel, aproximativ 30% din date este de așteptat să aibă 1 ca prima cifră, 18% începe cu 2, etc. Auditorii au examinat abaterile de la legea lui Benford pentru a detecta frauda de contabilitate.

Complexitatea computațională 
 este o ramură a informaticii care studiază performanța algoritmilor (programe de calculator care rezolvă o anumită problemă). Logaritmii sunt valoroși pentru că descriu algoritmi care împart o problemă în altele mai mici, după care alătură soluțiile subproblemelor.

De exemplu, pentru a găsi un număr într-o listă sortată, algoritmul de căutare binară verifică elementul median și continuă cu jumătatea dinainte sau de după elementul din mijloc în cazul în care numărul nu este încă găsit. Acest algoritm necesită, în medie, log2(N) comparații, unde N este lungimea listei. Similar, algoritmul merge-sort sortează o listă nesortată prin împărțirea listei în jumătăți și sortarea acestora mai întâi, înainte de a comasa rezultatele. Algoritmii merge-sort necesită de obicei un timp aproximativ proporțional cu . Baza logaritmului nu este specificată aici, pentru că schimbarea bazei ar modifica rezultatul s-numai printr-un factor constant, evoluția dependenței fiind cea de interes. Un factor constant este de obicei luată în considerare în analiza algoritmilor în modelul cost uniform standard. 

Se spune despre o funcție f(x) că  dacă f(x) este (exact sau aproximativ) proporțional cu logaritmul lui x. (Descrierile biologice ale organismelor în creștere utilizează însă acest termen pentru o funcție exponențială.) De exemplu, orice număr natural N poate fi reprezentată în formă binară, pe cel puțin  biți. Cu alte cuvinte, cantitatea de memorie necesară pentru a stoca numărul N crește logaritmic cu N.

Entropie și haos 

Entropia este, în general, o măsură a dezordinii unui sistem oarecare. În termodinamica statistică, entropia S a unui sistem fizic este definită ca
 
Suma este peste toate stările posibile i ale sistemului în cauză, cum ar fi pozițiile particulelor de gaz într-un recipient. Mai mult decât atât, pi este probabilitatea că starea să nu fie atinsă și k este constanta Boltzmann. În mod similar, entropia în teoria informației măsoară cantitatea de informație. Dacă destinatarul unui mesaj poate aștepta oricare din N mesaje posibile, cu egală probabilitate, atunci cantitatea de informație transmisă printr-un singur astfel de mesaj este cuantificată ca log2(N) biți.

 folosesc logaritmii pentru a evalua gradul de haoticitate a unui sistem dinamic. De exemplu, pentru o particulă care se deplasează pe o masă de biliard ovală, chiar și mici modificări ale condițiilor inițiale duc la căi foarte diferite a particulei. Astfel de sisteme sunt haotice într-un fel , pentru că erorile mici de măsurare a stării inițiale conduc la stări finare foarte diferite. Cel puțin un exponent Leapunov al unui sistem haotic determinist este pozitiv.

Fractalii 

Logaritmii apar în definițiile  fractalilor. Fractalii sunt obiecte geometrice : părțile de mici dimensiuni reproduc, cel puțin aproximativ, întreaga structură globală.  (foto) poate fi acoperit cu trei copii ale sale, fiecare având laturile jumătate lungimea inițială. Acest lucru face ca dimensiunea Hausdorff a acestei structuri să fie . O altă noțiune pe bază de logaritmi este obținută prin  necesare pentru a acoperi fractalul în cauză.

Muzică 
Logaritmii sunt legați de tonurile și intervalele  muzicale. În, raportul frecvențelor depinde numai de intervalul dintre două tonuri, nu și de o anumită frecvență (sau înălțime), a tonurilor individuale. De exemplu,  are o frecvență de 440 Hz și  are o frecvență de 466 Hz. Intervalul între La și Si bemol este un semiton, cum este și cel între Si bemol și Si (frecvența 493 Hz). În consecință, rapoartele frecvențelor sunt aceleași:
 
Prin urmare, logaritmii pot fi folosiți pentru a descrie intervale: un interval este măsurat în semitonuri luând logaritmul în  al raportului frecvențelor, în timp ce logaritmul în  al raportului frecvențelor exprimă intervalul în centisunete, adică sutimi de semiton. Acesta din urmă este utilizat pentru o mai bună codificare, după cum este necesar pentru temperări inegale.

Teoria numerelor 
Logaritmii naturali sunt strâns legați de  (2, 3, 5, 7, 11, ...), un subiect important în teoria numerelor. Pentru orice număr întreg x, numărul de numere prime mai mici sau egale cu x se notează cu π(x). Teorema numerelor prime afirmă că π(x) este de aproximativ dat de
 
în sensul că raportul între π(x) și acea fracție tinde la 1, atunci când x tinde la infinit. în consecință, probabilitatea ca un număr ales aleatoriu între 1 și x să fie prim este invers proporțională cu numărul de cifre zecimale al lui x. O mult mai bună estimare a π(x) este dată de funcția  Li(x), definită prin
 
Ipoteza Riemann, una dintre cele mai vechi  matematice, poate fi formulată în termeni de comparare a lui π(x) cu Li(x). , care descrie numărul de  distincți implică și ea logaritmul natural.

Logaritmul lui n factorial, , este dat de
 
Acest lucru poate fi folosit pentru a obține formula lui Stirling, o aproximare a lui n! pentru n mare.

Generalizări

Logaritmul complex 

Numerele complexe a care rezolvă ecuația
 
se numesc logaritmi complecși. Aici, z este un număr complex. Un număr complex este de obicei reprezentat ca , unde x și y sunt numere reale și i este unitatea imaginară. Un astfel de număr poate fi vizualizat ca un punct în planul complex, așa cum se arată la dreapta. Forma polară codifică număr complex nenul z prin valoarea sa absolută, care este distanța r de la origine, și printr-un unghi între axa x și dreapta care trece prin origine și z. Acest unghi se numește  lui z. Valoarea absolută a lui r din z este
 
Argumentul nu este unic specificat de z: atât  și ' =  + 2π sunt argumente ale lui z deoarece adunarea a 2π radiani sau a 360 de grade la φ corespunde cu „o tură” în jurul originii efectuată în sens trigonometric. Numărul complex rezultat este tot z, așa cum este ilustrat în dreapta. Cu toate acestea, exact un argument φ satisface  și . El este numit argumentul principal, notat Arg(z). (O normalizare alternativ este .)

Folosind funcțiile trigonometrice sinus și cosinus, sau respectiv exponențiala complexă, r și φ sunt de așa natură încât sunt valabile următoarele identități:
 
Acest lucru implică faptul că puterea a a lui e este egală cu z, unde
 
φ este argumentul principal Arg(z) și n este un număr întreg arbitrar. Orice astfel de a se numesc logaritmi complecși ai lui z. Există infinit de multe astfel de numere, spre deosebire de cele definite în mod unic în logaritmul real. Dacă , a se numește valoarea principală a logaritmului, notată Log(z). Argumentul principal al oricărui număr real pozitiv x este 0; prin urmare, Log(x) este un număr real și egal cu logaritmul (natural) real. Cu toate acestea, formulele de mai sus pentru logaritmii produselor și al puterilor nu se generalizează la valoarea principală a logaritmului complex.

Ilustrația din dreapta descrie Log(z). Discontinuitatea, adică saltul de nuanță în partea negativă a abscisei (sau a axei reale), este cauzată de saltul de argument principal de acolo. Acest loc se numește . Acest comportament poate fi eludat prin renunțarea la restricția privind gama lui φ. Atunci argumentul z și, în consecință, logaritmul său devin .

Inversele altor funcții exponențiale 
Exponențierea apare în multe domenii ale matematicii și funcția ei inversă este adesea denumită logaritm. De exemplu,  este funcția inversă multivaluată a . Un alt exemplu este , funcția inversă a . Ambele sunt definite prin serie Taylor analog cu cazul real. În context de geometrie diferențială,  aplică  într-un punct al unui  la o vecinătate a acelui punct. Inversa sa se numește și ea aplicație logaritmică.

În contextul grupurilor finite, exponențiala este dată prin înmulțirea repetată a unui element b al grupului cu el însuși. Logaritmul discret sau modular este numărul întreg n care rezolvă ecuația
 
unde x este un element din grup. Efectuarea exponențierii se poate realiza în mod eficient, dar logaritmul modular este considerat a fi foarte greu de calculat în unele grupuri. Această asimetrie are aplicații importante în criptografia cu chei publice, cum ar fi, de exemplu, în , o rutină care permite schimburi securizate de chei criptografice prin canale de informare nesigure.  se leagă de logaritmul discret în grupul multiplicativ al elementelor nenule ale unui corp finit.

Alte funcții inverse logaritmice sunt dublul logaritm ln(ln(x)),  (o ușoară variație a ceea ce se numește în informatică logaritm iterat), , și . Acestea sunt funcțiile inverse ale , tetrațiunii, , și, respectiv, a .

Concepte conexe 
Din perspectiva teoriei grupurilor, identitatea  exprimă izomorfism de grup între realii pozitivi cu înmulțirea și și realii cu adunarea. Functiile logaritmice sunt singurele izomorfisme continue între aceste grupuri. Prin aceste izomorfisme,  (măsura Lebesgue) dx asupra realilor corespunde măsurii Haar dx/x asupra realilor pozitiv. În analiza complexă și în geometria algebrică,  sunt cunoscute ca forme cu poli logaritmici.

 este funcția definită prin
 
El este legat de logaritmul natural . Mai mult decât atât, Lis(1) este egal cu funcția zeta Riemann ζ(s).

Note explicative

Note bibliografice

Legături externe 

 
 Khan Academy: Logaritmi, gratuit on-line micro prelegeri
 
 
 

Logaritmi