Kresy dolny i górny

Kres (kraniec) dolny, infimum ( „najniższy”) oraz kres (kraniec) górny, supremum ( „najwyższy”) – pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją. Pojęcia te można określić w dowolnych zbiorach częściowo uporządkowanych, najczęściej jednak oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów liczbowych.

Kresy w zbiorze liczb rzeczywistych

Definicje 
Niech  będzie niepustym podzbiorem.

Ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru  nazywamy liczbę  spełniającą:
  dla wszystkich elementów 

Analogicznie ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru nazywamy liczbę niewiększą od wszystkich liczb tego zbioru.

Kresem górnym zbioru  nazywamy najmniejsze z górnych ograniczeń tego zbioru, tj. liczbę  spełniającą:
  jest ograniczeniem górnym zbioru 
 jeśli  jest ograniczeniem górnym zbioru  to 

Analogicznie kresem dolnym zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru.

Kres górny zbioru  oznaczamy  kres dolny 

Zapisy  oraz  oznaczają, że  jest nieograniczony odpowiednio z dołu lub z góry (zob. rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych).

Własności 
 Każdy niepusty podzbiór  ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tę własność nazywa się zupełnością zbioru liczb rzeczywistych (zob. aksjomat ciągłości).
 Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa, to jest ona jego kresem górnym. Analogicznie, jeżeli istnieje liczba najmniejsza, to jest ona jego kresem dolnym.
 Przypuśćmy, że  jest niepustym zbiorem oraz  wówczas
  wtedy i tylko wtedy, gdy  oraz 
  wtedy i tylko wtedy, gdy  oraz 
 Jeżeli  oraz oznaczymy  to:

Przykłady 
 Niech  Wówczas:
  ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A.
  ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A.

 Niech  Wówczas:
  bo 0 jest dolnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba większa od 0 takim ograniczeniem nie jest.
  bo 3 jest górnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba mniejsza od 3 takim ograniczeniem nie jest.

 Niech  Wówczas podobnie jak dla zbioru   oraz 
 Niech  Wówczas:
  gdyż 1 jest górnym ograniczeniem D, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 takim ograniczeniem nie jest.

 Niech  Wówczas:
   bowiem każda liczba jest ograniczeniem zarówno dolnym, jak i górnym zbioru E.

Kresy w zbiorach częściowo uporządkowanych 
Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane jedynie przy użyciu porządku, dlatego mogą być zdefiniowane w ogólniejszych strukturach.

Definicje 
Niech  będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech  Wówczas definiujemy następujące elementy wyróżnione:

Element  nazywamy ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru  jeśli:
 

Element  nazywamy ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru  jeśli:
 

Element  jest kresem górnym (supremum) zbioru  jeśli  jest elementem najmniejszym w zbiorze wszystkich ograniczeń górnych  tzn.
  jest ograniczeniem górnym zbioru 
 jeśli  jest ograniczeniem górnym zbioru  to 

Element  jest kresem dolnym (infimum) zbioru  jeśli  jest elementem największym w zbiorze wszystkich ograniczeń dolnych  tzn.
  jest ograniczeniem dolnym zbioru 
 jeśli  jest ograniczeniem dolnym zbioru  to 

Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór  ma kres górny, to porządek  nazywa się zupełnym.

Własności 
 Każdy element zbioru  jest zarówno ograniczeniem dolnym, jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru  a kres górny zbioru pustego – najmniejszym elementem zbioru  (o ile takie istnieją w zbiorze ).
 Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też oznaczenia  i  odpowiednio dla kresu dolnego i kresu górnego zbioru  są jednoznaczne.
 Jeśli  jest porządkiem liniowym, to istnieje zupełny porządek liniowy  taki że  i obcięcie  zgadza się z  oraz  jest gęstym podzbiorem  Porządek  jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
 Jeśli  jest zupełnym porządkiem liniowym (tzn. każdy ograniczony niepusty podzbiór  ma kres górny), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór  ma kres dolny.

Przykłady 
 Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład jeśli rozważymy zbiór liczb wymiernych  z porządkiem naturalnym i zbiór  to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym.Ten sam zbiór jako podzbiór liczb rzeczywistych ma postać  i ma oba kresy.
 Niech  będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór  nie ma w zbiorze  kresu górnego, bowiem  jest zbiorem wszystkich górnych ograniczeń zbioru  ale nie ma w nim najmniejszego ograniczenia. Analogicznie podzbiór  nie ma w zbiorze  kresu dolnego.
 Niech  będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór  ma w zbiorze  kres górny  podzbiór  ma w zbiorze  kres dolny 
 Niech  będzie algebrą Boole’a i niech  będzie porządkiem boole’owskim na  (tzn. dla  wtedy i tylko wtedy, gdy ).
 Kres górny niepustego zbioru  (jeśli istnieje) jest oznaczany przez  i bywa nazywany sumą zbioru . Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn. takie dla których porządek boole’owski  jest zupełny) są nazywane zupełnymi algebrami Boole’a. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii forsingu.
 Kres dolny niepustego zbioru  (jeśli istnieje) jest oznaczany przez  i bywa nazywany produktem (iloczynem) zbioru . Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole’a 
 każdy niepusty podzbiór  ma kres górny (tzn. sumę),
 każdy niepusty podzbiór  ma kres dolny (tzn. produkt).
 Warto też zauważyć, że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. zupełność algebry), jeśli  to
  oraz

Zobacz też 
 elementy minimalny i maksymalny
 elementy najmniejszy i największy

Przypisy

Bibliografia 
 
 

Teoria krat
Analiza rzeczywista