Zasadnicze twierdzenie algebry

Zasadnicze twierdzenie algebry, podstawowe twierdzenie algebry – wspólna nazwa dwóch blisko powiązanych twierdzeń algebry i analizy zespolonej:
 każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek;
 stopień niezerowego wielomianu zespolonego jest równy sumie krotności jego pierwiastków. Oznacza to, że każdy wielomian zespolony rozkłada się na czynniki liniowe – można go przedstawić jako ich iloczyn:
 

Drugie twierdzenie jest konsekwencją pierwszego i twierdzenia Bézouta. Oba można też wyrazić w języku algebry abstrakcyjnej: ciało liczb zespolonych  jest algebraicznie domknięte, a pierścień wielomianów zespolonych  ma jednoznaczność rozkładu – należy do pierścieni Gaussa.

Twierdzenie to udowodnili na przełomie XVIII i XIX wieku Carl Friedrich Gauss i Jean-Robert Argand – ten pierwszy podał większość dowodu, a drugi go uzupełnił.

Uwaga 
Inaczej niż w przypadku zespolonym wygląda sprawa wielomianów rzeczywistych i ich pierwiastków rzeczywistych – wielomian stopnia  może nie mieć wcale pierwiastków, a jeśli ma, to jest ich co najwyżej  Natomiast każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty (wynika to z faktu, że granice niewłaściwe wielomianu rzeczywistego stopnia nieparzystego w  są różnych znaków, a także z faktu, że wielomian jako funkcja ciągła ma własność Darboux – a zatem musi przyjąć wartość pośrednią 0).

Historia 
Przed Gaussem dowody twierdzenia ogłaszało co najmniej sześciu innych matematyków: Jean le Rond d’Alembert (1746), Leonhard Euler (1749), Daviet de Foncenex, Joseph Louis Lagrange (1772), Pierre Simon de Laplace (1812) i James Wood. Były one jednak niekompletne lub zawierały luki i dlatego nie zostały powszechnie uznane. W 1799 roku Carl Friedrich Gauss podał większość pierwszego poprawnego dowodu. Jego wywód również zawierał lukę, choć bardziej subtelną. Gauss podał później kilkanaście innych dowodów. W 1926 roku Emil Artin i Otto Schreier podali pierwsze dowody algebraiczne.

Nazwa twierdzenia pojawiła się najpóźniej w drugiej połowie XIX wieku.

O dowodach 
Dowody zasadniczego twierdzenia algebry można dzielić na „algebraiczne” i „analityczne” (tzn. odwołujące się do wyników i pojęć analizy matematycznej, szczególnie do ciągłości). Z reguły „bardziej algebraiczne” dowody są dłuższe i bardziej skomplikowane. Oprócz tego, nawet w „najbardziej algebraicznych” dowodach nie potrafimy uniknąć stosowania niektórych twierdzeń analizy matematycznej, a więc dowód nie będzie „zupełnie algebraiczny”. Twierdzenia analizy zespolonej takie, jak twierdzenie Liouville’a czy twierdzenie Rouchégo, znacznie upraszczają dowód zasadniczego twierdzenia algebry.

W poniższych dowodach będą stosowane następujące znane fakty:
 funkcje wielomianowe są ciągłe (na płaszczyźnie zespolonej);
 twierdzenie Weierstrassa: funkcja określona na przestrzeni zwartej o wartościach rzeczywistych osiąga swoje kresy, dokładniej jeśli  jest przestrzenią zwartą, a  jest rzeczywistą funkcją ciągłą na  to istnieją takie punkty  że
 
 oraz
 
 domknięte i ograniczone podzbiory płaszczyzny zespolonej są zwarte.

Dowód oparty na twierdzeniu Liouville’a 
 Twierdzenie Liouville’a: ograniczona funkcja całkowita jest stała. Innymi słowy: jeżeli funkcja zespolona jest analityczna na całej płaszczyźnie zespolonej i nie jest stała, to jest ona nieograniczona.

Niech  będzie dowolnym wielomianem zespolonym stopnia dodatniego, tzn. wielomian  nie jest funkcją stałą. Wiadomo, że wielomiany są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej. Z twierdzenia Liouville’a wynika, że funkcja  jest nieograniczona. Wówczas dla dowolnego  istnieje takie  że w zewnętrzu okręgu  (inaczej mówiąc, dla ) spełniona jest nierówność  Niech  i  będą ustalonymi liczbami o tych własnościach.

Przypuśćmy, że wielomian  nie ma żadnego pierwiastka zespolonego, tzn.  dla każdej liczby zespolonej  Wówczas funkcja  dana wzorem:
 

jest określona na całej płaszczyźnie, a ponadto analityczna. Wówczas dla  zachodzi nierówność:
 

ponieważ  dla 

Należy teraz rozpatrzeć, co dzieje się z wartościami funkcji  w kole  Rozważmy funkcję
 

która przyjmuje wartości rzeczywiste. Ponieważ koło domknięte  jest zbiorem zwartym, istnieje więc taki jego element  że:
 

Wynika stąd, że:
 

Możemy tym samym oszacować funkcję  na całej płaszczyźnie:
 

Wówczas z twierdzenia Liouville’a wynika, że  jest stała, ale wtedy:
 

też jest stała, co jest sprzeczne z przypuszczeniem, a zatem wielomian  ma pierwiastek zespolony.

Przykład innego dowodu 
Wystarczy wykazać, że dla każdego wielomianu zespolonego
 

istnieje taka liczba zespolona  że

Lemat 1 
Jeśli  jest niezerowym wielomianem o współczynnikach zespolonych, to

Dowód 
Niech
 

Wówczas
 

gdzie:
 

Z ciągłości funkcji wielomianowej  oraz faktu, że  dla pewnego  spełniony jest warunek
 

o ile tylko  Stąd, jeśli
 

to
 

Podstawiając  dostajemy
 

dla wszystkich 

Ostatecznie:
 

oraz
 

gdy
 

Istnieje więc takie  że teza lematu jest spełniona, mianowicie:

Lemat Cauchy’ego 
Dla każdego wielomianu  o współczynnikach zespolonych, dla którego  istnieje taka liczba  że minimum funkcji  jest osiągnięte w kole

Dowód 
Niech
 

przy czym  Niech ponadto
 

Wówczas z Lematu 1 wynika, iż poza kołem  spełniona jest nierówność  Ponieważ koło  jest zbiorem zwartym, funkcja  przyjmuje w nim minimum lokalne dla pewnego  spełniającego  W szczególności,  Zatem  jest również minimum globalnym funkcji

Lemat 2 
Niech  będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych, spełniającym warunek  oraz niech  będzie dowolną liczbą naturalną. Wówczas dla każdej niezerowej liczby zespolonej  istnieje taka liczba zespolona  że

Dowód 
Niech  i  będą takie jak wyżej. Z ciągłości funkcji wielomianowej  wynika, iż istnieje takie  że
 

o ile  Niech  będzie niezerową liczbą zespoloną. Wówczas
 

Niech  wówczas
  dla 

Dla każdego  istnieje  które spełnia powyższą równość.
 
 

Jeżeli  jest takie, że  to:
 

i twierdzenie zachodzi, ale żeby było  to musi być  czyli:

Lemat d’Alemberta-ArgandaJ.R. Argand, Philosophie mathématique. Réflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivies d’une application à la démonstration d’un théorème d’analyse, „Annales de Mathématiques Pures et Appliquées” 5 (1814–1815), 197–209. 
Niech  będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia co najmniej pierwszego, który spełnia warunek  Dla każdej liczby zespolonej  dla której  istnieje taka liczba  że

Dowód 
 

przy czym  Z Lematu 2 wynika, że istnieje taka liczba zespolona  iż
 

czyli
 

Przyjmując  otrzymuje się tezę.

Dowód zasadniczego twierdzenia algebry 
Z lematu Cauchy’ego i d’Alemberta-Arganda wynika dowód tezy postawionej na początku. Załóżmy bowiem, że  i nie istnieje takie  że  Wówczas z lematu Cauchy’ego wiemy, że istnieje taki promień  że minimum globalne  jest przyjęte w kole  dla pewnego  Założyliśmy jednak, że  jest zawsze większe od  a wtedy z lematu d’Alemberta-Arganda wynika, że istnieje  takie, że  co stoi w sprzeczności z tym, że w punkcie  funkcja  przyjmuje minimum globalne, a zatem musi być

Zobacz też 
 zasadnicze twierdzenie arytmetyki
 twierdzenie Abela-Ruffiniego

Przypisy

Bibliografia

Źródła historyczne 
 
 
 
 C. F. Gauss, “Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree”, 1815

Linki zewnętrzne 
  – inny dowód twierdzenia.
  Piotr Stachura, Zasadnicze Twierdzenie Algebry, kanał „Khan Academy po polsku” na YouTube, 17 sierpnia 2017 [dostęp 2023-08-06].

Twierdzenia o wielomianach
Analiza zespolona