Grenzwert (Funktion)

In der Mathematik ist der Limes oder Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle der Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Ein solcher Grenzwert existiert jedoch nicht in allen Fällen. Existiert der Grenzwert, so konvergiert die Funktion, andernfalls divergiert sie. Der Grenzwertbegriff wurde im 19. Jahrhundert formalisiert. Es ist eines der wichtigsten Konzepte der Analysis.

Formale Definition des Limes einer reellen Funktion 

Das Symbol , gelesen „Limes f von x für x gegen p“, bezeichnet den Limes der reellen Funktion  für den Grenzübergang der Variablen  gegen . Dabei muss  nicht unbedingt im Definitionsbereich  von  liegen, aber es muss ein Häufungspunkt von  sein. Außerdem kann  sowohl eine reelle Zahl sein als auch einer der symbolischen Werte  und . Auch der Limes kann eine reelle Zahl oder  oder  sein (siehe auch Asymptote).

Alle diese Fälle lassen sich einheitlich mit der Definition über Folgengrenzwerte erfassen, siehe den Abschnitt unten.

Üblicher ist die Definition mit Hilfe von Umgebungen. Dann muss man vier Fälle unterscheiden, da sowohl das Argument  als auch der Grenzwert endlich oder unendlich sein kann.

Argument endlich, Grenzwert endlich 
 Definition: Sei  eine Teilmenge von  und  ein Häufungspunkt von . Die Funktion  hat für  den Limes , wenn es zu jedem (noch so kleinen)  ein (im Allgemeinen von  abhängiges)  gibt, sodass für alle -Werte aus dem Definitionsbereich  von , die der Bedingung  genügen, auch  gilt.

Qualitativ ausgedrückt bedeutet die Definition: Der Unterschied zwischen dem Funktionswert  und dem Limes  wird beliebig klein, wenn man  genügend nahe bei  (aber ungleich ) wählt.

Zu beachten ist, dass es keine Rolle spielt, welchen Wert die Funktion  an der Stelle  einnimmt; die Funktion braucht nicht einmal an der Stelle  definiert zu sein. Entscheidend ist lediglich das Verhalten von  in den punktierten Umgebungen von . Manche Autoren verwenden allerdings eine Definition mit Umgebungen, die nicht punktiert sind; siehe dazu den Abschnitt „Neuerer Grenzwertbegriff“.

Im Gegensatz zur von Augustin-Louis Cauchy verwendeten Formulierung, dass sich „die Funktion dem Grenzwert annähert“, ist  keine Variable, die „läuft“, sondern einfach nur ein Element einer vorgegebenen Menge. Diese heute verwendete statische --Definition geht im Wesentlichen auf Karl Weierstraß zurück und stellte den Grenzwertbegriff auf ein solides mathematisches Fundament, die sogenannte Epsilontik.

Beispiel:

Argument endlich, Grenzwert unendlich 
 Definition: Sei  eine Teilmenge von  und  ein Häufungspunkt von . Die Funktion  hat für  den Limes , wenn es zu jeder (noch so großen) reellen Zahl  ein (im Allgemeinen von  abhängiges)  gibt, sodass für beliebige -Werte aus dem Definitionsbereich von , die der Bedingung  genügen, auch  erfüllt ist.
 In diesem Falle  nennt man  für  gegen  bestimmt divergent.
Entsprechend wird der Fall des Grenzwertes  definiert.

Beispiel:

Argument unendlich, Grenzwert endlich 

 Definition: Sei  eine Teilmenge von  und  ein Häufungspunkt von , d. h.  ist nach oben unbeschränkt. Die Funktion  hat für  den Limes , wenn es zu jedem (noch so kleinen)  eine (im Allgemeinen von  abhängige) reelle Zahl  gibt, sodass für beliebige -Werte aus dem Definitionsbereich von , die der Bedingung  genügen, auch  erfüllt ist.
 In diesem Falle  nennt man  für  gegen Unendlich konvergent.

Entsprechend lassen sich Grenzwerte des Typs  definieren.

Beispiel:

Argument unendlich, Grenzwert unendlich 
 Definition: Sei  eine Teilmenge von  und  ein Häufungspunkt von , d. h.  ist nach oben unbeschränkt. Die Funktion  hat für  den Limes , wenn es zu jeder (noch so großen) reellen Zahl  eine (im Allgemeinen von  abhängige) reelle Zahl  gibt, sodass für beliebige -Werte aus dem Definitionsbereich von , die der Bedingung  genügen, auch  erfüllt ist.
 In diesem Falle  nennt man  für  gegen  bestimmt divergent.
Entsprechend wird der Fall des Grenzwertes  und der Grenzwert für  definiert.

Beispiel:

Definition mit Hilfe von Folgen 
Die unterschiedlichen Fälle lassen sich mit Hilfe von Folgen einheitlich behandeln.

Dazu charakterisiert man zunächst den Begriff des Häufungspunktes einer Teilmenge  mittels Folgen:

Ein Punkt  ist ein Häufungspunkt von  genau dann, wenn es eine Folge  mit  gibt, die  erfüllt. Siehe dazu Grenzwert (Folge).

Mit dieser Eigenschaft lässt sich eine alternative Grenzwertdefinition formulieren:
 Definition: Sei  eine Funktion,  ein Häufungspunkt von  und . Dann definiert man:  genau dann, wenn für jede Folge  mit  und  gilt: .

Man kann zeigen, dass diese Definition äquivalent zu den oben gegebenen Definitionen ist.

Einseitige Grenzwerte

Definition 
Sei  eine Teilmenge von  und  ein Häufungspunkt von . Die Funktion  hat für  den Limes , wenn es zu jedem (noch so kleinen)  ein (im Allgemeinen von  abhängiges)  gibt, sodass für alle -Werte aus dem Definitionsbereich  von , die der Bedingung  genügen, auch  gilt.
 In diesem Falle  nennt man  für  von rechts gegen  konvergent.
Entsprechend werden Grenzwerte des Typs  beziehungsweise für  definiert.

Beispiele

Notation

Einseitiger und beidseitiger Grenzwert 
Um Verwechslungen zu vermeiden, spricht man im Falle von  mitunter auch vom beidseitigen Grenzwert. Falls  ein Häufungspunkt von  und von  ist, so gilt:

 existiert genau dann, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte  und  existieren und übereinstimmen. In diesem Falle gilt die Gleichheit .

Und genau dann, wenn  im Punkt  definiert ist und  gilt, ist  an der Stelle  stetig.

Grenzwertsätze 
Sei ,  und  zwei reellwertige Funktionen, deren Grenzwerte  und  existieren, wobei  und  ein Häufungspunkt von  aus den erweiterten reellen Zahlen  ist. Dann existieren auch die folgenden Grenzwerte und lassen sich wie angegeben berechnen:
 
 
Ist zusätzlich , so existiert auch , und es gilt
 .

Gilt sowohl  als auch , so lässt sich der Grenzwertsatz nicht anwenden. In vielen Fällen kann man den Grenzwert aber mit der Regel von de L’Hospital bestimmen.

 Schachtelungssatz:
Ist  und ist , so ist auch .

 Kettenregel:
Aus  und  mit  folgt , falls  gilt ( also an der Stelle  stetig ist) oder  in einer Umgebung von  den Wert  nicht annimmt.
Beispiel:Gesucht ist . Für  gilt:

 (Nach der Regel von de L’Hospital)
Anwenden der Kettenregel mit  liefert
.

Anwendung auf den Differenzenquotienten 
Die Anwendung des Grenzwertbegriffs auf Differenzenquotienten hat sich als besonders ergiebig erwiesen. Er bildet die eigentliche Grundlage der Analysis.

Differentialquotient und Differenzierbarkeit
Differentialquotienten (auch Ableitungen genannt) sind die Grenzwerte der Differenzenquotienten einer Funktion, also Ausdrücke der Form
 
mit  und . Schreibweisen sind z. B.  oder , sofern dieser Grenzwert existiert. Mit den Eigenschaften und der Berechnung von Differentialquotienten befasst sich die Differentialrechnung.

Existiert ein Differentialquotient einer Funktion an der Stelle , dann heißt die Funktion differenzierbar an der Stelle .

Wichtige Grenzwerte 
Der bei der Ableitung der Potenzfunktionen  mit  auftretende Grenzwert lässt sich mit dem binomischen Lehrsatz berechnen:
 

Der bei der Ableitung der Exponentialfunktionen  mit  auftretende Grenzwert benötigt die Einführung der eulerschen Zahl  und den darauf beruhenden natürlichen Logarithmus:
 

Die Ableitung der Winkelfunktionen führt letztlich auf den Grenzwert . Für die Berechnung dieses Grenzwerts gibt es unterschiedliche Zugänge, je nachdem, wie die Winkelfunktionen und die Zahl Pi analytisch definiert werden. Misst man den Winkel im Bogenmaß, so erhält man

Neuerer Grenzwertbegriff 
In jüngerer Zeit wird auch eine Variante des Grenzwertbegriffs verwendet, der mit Umgebungen arbeitet, die nicht punktiert sind. Unter Verwendung von Folgen definiert diese Variante den Grenzwert folgendermaßen:
Sei  eine Funktion,  ein Element der abgeschlossenen Hülle  und . Dann definiert man:  genau dann, wenn für jede Folge  mit  und  gilt: .

Der Unterschied zur oben gegebenen punktierten Variante besteht erstens darin, dass jetzt  nicht mehr verboten ist, falls . Zweitens ist dadurch eine Definition auf allen Punkten in der abgeschlossene Hülle  möglich, insbesondere also auch auf isolierten Punkten von .

Eine äquivalente nichtpunktierte --Definition des Grenzwerts lässt sich ebenfalls leicht angeben: In der oben gegebenen --Definition braucht nur  durch  ersetzt zu werden, also ebenfalls der Fall  ausdrücklich erlaubt zu werden.

Die nichtpunktierte Version ist nicht äquivalent zur punktierten Version. Sie unterscheidet sich insbesondere an Unstetigkeitsstellen:

In der punktierten Version ist  stetig in  genau dann, wenn der Grenzwert von  für  existiert und  gilt oder wenn  ein isolierter Punkt ist. In der nichtpunktierten Version hingegen reicht es für Stetigkeit, die Existenz des Grenzwerts zu fordern, die Gleichung  ist damit automatisch erfüllt.

Beispiel:

Diese Funktion ist nicht stetig. Der Grenzwert im nichtpunktierten Sinn existiert nicht. Der Grenzwert im punktierten Sinn existiert allerdings: , da ausdrücklich  verlangt wird und für diese Werte  gilt. Offensichtlich ist allerdings .

Zur Vermeidung von Missverständnissen empfehlen die Vertreter der nichtpunktierten Variante daher, den punktierten Grenzwert von  für  folgendermaßen zu bezeichnen:

Die Vertreter der neueren Variante sehen den Vorteil ihrer Variante gegenüber der klassischen punktierten Variante von Weierstraß darin, dass sich Grenzwertsätze mit der neueren Variante leichter formulieren lassen, weil die Sonderfälle, die sich durch die Punktierung ergeben, nicht mehr berücksichtigt werden müssen.

Grenzwert einer Funktion bezüglich eines Filters 

Sowohl der klassische Grenzwertbegriff von Weierstraß als auch der neuere Grenzwertbegriff lassen sich als Spezialfälle des allgemeinen Grenzwertbegriffs einer Funktion bezüglich eines Filters auffassen:

Sei  eine Funktion von  nach , wobei  mit einer Topologie versehen ist, und  ein Filter auf . Ein Punkt  heißt Grenzwert der Funktion  bezüglich des Filters , wenn der von der Filterbasis  erzeugte Filter gegen  konvergiert, also wenn der von der Filterbasis  erzeugte Filter feiner ist als der Umgebungsfilter von .

Die neuere Definition für den Grenzwert einer Funktion im Punkt  entspricht nun dem Spezialfall, dass  als der Umgebungsfilter von  gewählt wird; die klassische Definition von Weierstraß entspricht dem Spezialfall, dass  als der von den punktierten Umgebungen von  erzeugte Filter gewählt wird.

Siehe auch 
 Stetig hebbare Definitionslücke

Einzelnachweise

Weblinks 

 
 

Analysis

nl:Limiet#Limiet van een functie