Anello (algebra)

In matematica, in particolare in algebra astratta, un anello è una struttura algebrica composta da un insieme su cui sono definite due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto, indicate rispettivamente con  e , che godono di proprietà simili a quelle verificate dai numeri interi. La parte della matematica che li studia è detta teoria degli anelli.

Definizione formale 
L'insieme , dotato di due operazioni binarie  e , è un anello se valgono le seguenti proprietà:

 è un gruppo abeliano con elemento neutro :
 
 
 esiste un elemento  tale che 
 per ogni  esiste un elemento  tale che 
 è un semigruppo:
 
La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:
 
 

Le relazioni devono valere per ogni ,  e  in .

Come per i numeri, il simbolo  per la moltiplicazione è spesso omesso. 

Spesso vengono studiati anelli che posseggono ulteriori proprietà: se anche la moltiplicazione è commutativa,  è detto anello commutativo, se ammette un elemento neutro (generalmente indicato con ; cioè  è un monoide) allora l'anello è unitario; se poi l'anello è commutativo e non esistono divisori dello  (cioè se  allora almeno uno tra  e  è ) si è in presenza di un dominio d'integrità.

Un corpo è un anello con unità i cui elementi non nulli hanno inverso moltiplicativo. Un campo è un anello commutativo con unità i cui elementi non nulli hanno inverso moltiplicativo, ossia un corpo commutativo. L'esempio più importante di corpo non commutativo è il corpo  dei quaternioni, mentre gli insiemi  (numeri razionali),  (numeri reali) e  (numeri complessi) sono esempi di campi.

A volte la definizione di anello è lievemente diversa. La più importante di queste differenze è la richiesta che l'anello possegga anche l'unità: tra i matematici che adottano questa definizione vi sono Bourbaki e Serge Lang. In questo caso, per riferirsi alla struttura qui presentata come anello, viene usato il termine pseudoanello. Altri autori non richiedono l'associatività del prodotto .

Esempi 
L'esempio più basilare della struttura di anello è l'insieme  dei numeri interi, dotato delle usuali operazioni di somma e prodotto. Tale anello è commutativo ed è un dominio d'integrità. L'insieme dei numeri naturali non è invece un anello, perché non esistono gli inversi rispetto all'addizione.

Allo stesso modo, l'insieme  dei polinomi con variabile , e coefficienti in un anello , è un anello con le usuali operazioni di somma e prodotto fra polinomi. Tale anello eredita molte proprietà da quelle di , quali la commutatività e l'assenza di divisori dello 0. Anche l'insieme  delle funzioni da un insieme qualsiasi  ad un anello  forma un altro anello con le usuali operazioni di somma e prodotto fra funzioni punto a punto, definite nel modo seguente:

Un anello non commutativo è invece l'anello delle matrici  (con ) a valori in un anello  (indicato con ), con le operazioni di somma e prodotto fra matrici. Generalmente questo anello possiede anche dei divisori dello zero. Ad esempio, in   valgono le relazioni:

e

Teoremi di base 

A partire dagli assiomi, si può dedurre immediatamente che per ogni  e  in un anello :
 
 
Se poi l'anello  è unitario, allora
 l'unità è unica,
 
  se  e  hanno inversi rispetto al prodotto,
 se  allora l'anello è formato da un solo elemento,
Un altro importante teorema, che non richiede l'esistenza dell'unità, è il teorema del binomio:  
 
valido per ogni coppia di elementi  e  che commutano (cioè tali che ).

Sottostrutture 
Un sottoanello di un anello  è un sottogruppo  di  che sia chiuso rispetto al prodotto. In altre parole,  è un sottoinsieme non vuoto di , e se  e  sono in , allora anche  e  sono in . Poiché gli assiomi elencati sopra continuano a valere per , anch'esso è un anello rispetto alle operazioni  e  di . In questo modo costruiamo facilmente altri esempi:
 I numeri interi divisibili per  sono un sottoanello di .
 I numeri razionali con denominatore dispari sono un sottoanello di .
 L'insieme di tutti i numeri reali della forma  con  e  interi è un sottoanello di .
 Gli interi gaussiani  in , dove  e  sono interi, sono un sottoanello di .
 I polinomi in  del tipo  sono un sottoanello di .
 L'insieme delle frazioni diadiche costituisce un sottoanello dei numeri razionali.

Un particolare sottoanello è il centro di un anello : esso comprende tutti gli elementi che commutano (moltiplicativamente) con qualsiasi elemento di . Esso coincide con l'intero anello se e solo se  è un anello commutativo.

A partire da un sottoanello  di  e da un sottoinsieme , si può costruire il più piccolo sottoanello contenente  ed : esso è indicato con , ed è uguale all'insieme delle combinazioni degli elementi di  mediante le operazioni di anello. Tale operazione è detta estensione di anelli, ed è "finitamente generata" se  è finito.

Ideali 

Spesso tuttavia al posto di questa struttura si preferisce usare quella, più forte, di ideale: esso è definito in un anello commutativo come un particolare sottoanello tale che tutti i prodotti , dove  è un elemento dell'anello e  appartiene all'ideale, sono ancora elementi dell'ideale. Se invece l'anello non è commutativo, è necessario distinguere tra ideali destri e sinistri: i primi sono quelli tali che  appartiene all'ideale per ogni  nell'ideale e  nell'anello, mentre per i secondi, allo stesso modo,  appartiene all'ideale. Se un ideale è sia destro che sinistro, viene detto bilatero o bilaterale.

L'importanza di questa struttura risiede nel fatto che il nucleo di un omomorfismo tra due anelli è sempre un ideale bilatero di , e che a partire da un ideale bilatero  è possibile costruire l'anello quoziente . Inoltre la presenza di ideali permette di stabilire un'importante proprietà dell'anello: esso è infatti un campo se e solo se è privo di ideali non banali (cioè diversi dall'insieme  e dall'anello stesso).

A seconda del rapporto di un ideale con il resto dell'anello, sono possibili ulteriori specificazioni: un ideale primo  è un ideale tale che, per ogni prodotto ab che appartiene ad , almeno uno tra  e  appartiene ad  (il nome deriva dalla similitudine di questa definizione con il lemma di Euclide riguardante i numeri primi); se invece non esistono ideali "intermedi" tra  ed  (cioè se l'unico ideale di  che contiene  è  stesso) si parla di ideale massimale. Questi due tipi di ideali sono particolarmente importanti in relazione ai loro quozienti: in un anello commutativo, infatti,  è primo se e solo se  è un dominio d'integrità, mentre se l'anello è anche unitario  è massimale se e solo se  è un campo. Questo implica anche che, in un anello commutativo unitario, ogni ideale massimale è primo.

Il lemma di Krull (la cui dimostrazione si basa sul lemma di Zorn) afferma che ogni anello unitario possiede almeno un ideale massimale; se esso è unico, l'anello si dice locale. L'insieme degli ideali primi di un anello commutativo  forma il cosiddetto spettro di .

Elementi invertibili 
Un elemento  di un anello  con unità è invertibile se esiste un  tale che .

Gli elementi invertibili di un anello sono spesso chiamati unità. Normalmente è il contesto che chiarisce se si parla di unità intesa come l'elemento neutro moltiplicativo, o di unità intesa come elemento invertibile.

L'insieme degli elementi invertibili in  è generalmente descritto come . L'insieme  forma un gruppo con l'operazione prodotto, chiamato gruppo moltiplicativo di .

Ad esempio, nei numeri interi il gruppo moltiplicativo è dato dai due elementi . In un corpo o in un campo, il gruppo moltiplicativo coincide con tutto l'anello privato dell'elemento neutro.

Omomorfismi 

Un omomorfismo tra due anelli  e  è una funzione che preserva le operazioni, cioè una funzione  tale che, per ogni coppia di elementi  e  di , si ha  e . Gli omomorfismi quindi preservano in qualche modo la struttura algebrica; particolarmente importanti tra di essi sono gli isomorfismi, ovvero gli omomorfismi biunivoci, che la conservano completamente: due anelli isomorfi possono essere considerati "uguali" per tutte le proprietà algebriche.

Ogni omomorfismo mappa lo zero di  nello zero di , mentre questo non avviene per l'unità, nemmeno se entrambi gli anelli sono unitari: condizioni sufficienti perché questo avvenga è che l'omomorfismo sia suriettivo oppure che nel codominio non esistano divisori dello zero. Il nucleo di un omomorfismo è un ideale bilatero di , e viceversa ogni ideale è il nucleo di un omomorfismo: invece l'immagine di  è un sottoanello di . Gli omomorfismi preservano in una certa misura anche le sottostrutture: l'immagine di un sottoanello è un sottoanello, mentre l'immagine di un ideale è un ideale nell'immagine di , ma non necessariamente in .

Una relazione molto importante è il teorema fondamentale di omomorfismo, che permette di trovare degli isomorfismi a partire dagli omomorfismi: se  è un omomorfismo tra  e  e  è il suo nucleo, allora il quoziente  è isomorfo all'immagine .

Un omomorfismo suriettivo può essere considerato una proiezione di un anello  su un suo quoziente  (dove  è il nucleo); un omomorfismo iniettivo, invece, può essere considerato un'inclusione di un anello nell'altro, perché, per il teorema di omomorfismo, esiste nel codominio un'immagine isomorfa ad , che quindi può essere considerata uguale ad . Se  è un campo, inoltre, tutti gli omomorfismi non nulli sono iniettivi, in quanto gli unici ideali sono quelli banali.

Prodotto diretto 
Il prodotto diretto di due anelli  e  è il prodotto cartesiano  con le operazioni definite termine a termine:

Questo nuovo insieme forma un anello, in cui lo  è la coppia . Diverse proprietà di questo nuovo anello possono essere dedotte dalle proprietà degli anelli di partenza:  è commutativo se e solo se lo sono entrambi i fattori, mentre se  e  sono unitari allora  è l'unità di . Una proprietà che invece non passa al prodotto è l'assenza di divisori degli zeri: infatti il prodotto  è sempre uguale a , anche se  e  non sono zeri. Questo implica che il prodotto diretto di campi non è mai un campo, a meno che uno non sia ridotto al solo .

Questa definizione si può estendere naturalmente al prodotto cartesiano di  anelli.

Elementi primi ed irriducibili 

In un dominio d'integrità è possibile come in  studiare la fattorizzazione di un dato elemento (non invertibile). In questo contesto, la definizione di divisibilità si estende naturalmente al caso di qualsiasi dominio:  divide  se esiste un elemento  tale che . Se  è invertibile,  e  si dicono associati.

Due definizioni emergono naturalmente in questo studio:
 un elemento  è irriducibile se, ogniqualvolta che , allora o  o  è invertibile;
 un elemento  è primo se, quando  divide il prodotto , allora  divide almeno uno tra  e .

In , queste due definizioni sono equivalenti, ma questo non è vero in generale: gli elementi primi sono irriducibili, ma gli irriducibili non sono sempre primi. Ad esempio, nell'anello

 è irriducibile ma non primo, perché divide il prodotto , ma non divide né un fattore né l'altro.

Questa seconda implicazione è tuttavia verificata negli anelli a fattorizzazione unica, ovvero in quegli anelli in cui, date due fattorizzazioni in irriducibili

allora , e ogni  è associato ad un . In ogni dominio a fattorizzazione unica esistono il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo tra ogni coppia di elementi.

Anelli con ancora maggiori proprietà sono gli anelli ad ideali principali e gli anelli euclidei, in cui è possibile effettuare la divisione euclidea come negli interi. A quest'ultima classe appartengono anche gli anelli di polinomi , dove  è un campo.

Note

Bibliografia 
 Luca Barbieri Viale, Che cos'è un numero? Una introduzione all'algebra, Raffaello Cortina, 2013, ISBN 978-88-6030-604-3
 Dikran Dikranjan e Maria Silvia Lucido, Aritmetica e algebra, Liguori, 2007, ISBN 978-8-8207-4098-6
 Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 978-88-08-16270-0
 Israel Nathan Herstein, Algebra, Editori Riuniti University Press, 2010, ISBN 978-88-6473-210-7
 Michael Artin (1997): Algebra, Bollati Boringhieri, ISBN 8833955869
 Serge Lang, Algebra, (EN) Springer, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4

Voci correlate 
 Storia della teoria degli anelli
 Teoria degli anelli
 Ideale (matematica)
 Anello commutativo
 Semianello
 Dominio di integrità
 Campo (matematica)
 Struttura algebrica

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Collegamenti esterni 
 

 
Strutture algebriche