Diskrete Fourier-Transformation

Die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) ist eine Transformation aus dem Bereich der Fourier-Analysis.
Sie bildet ein zeitdiskretes endliches Signal, das periodisch fortgesetzt wird, auf ein diskretes, periodisches Frequenzspektrum ab, das auch als Bildbereich bezeichnet wird. Die DFT besitzt in der digitalen Signalverarbeitung zur Signalanalyse große Bedeutung. Hier werden optimierte Varianten in Form der schnellen Fourier-Transformation (, FFT) und ihrer Inversen angewandt.

Die DFT wird in der Signalverarbeitung für viele Aufgaben verwendet, so z. B.
 zur Bestimmung der in einem abgetasteten Signal hauptsächlich vorkommenden Frequenzen,
 zur Bestimmung der Amplituden und der zugehörigen Phasenlage zu diesen Frequenzen,
 zur Implementierung digitaler Filter mit großen Filterlängen.

Mit der inversen DFT, kurz iDFT kann aus den Frequenzanteilen das Signal im Zeitbereich rekonstruiert werden. Durch Kopplung von DFT und iDFT kann ein Signal im Frequenzbereich manipuliert werden, wie es beim Equalizer angewandt wird. Die Diskrete Fourier-Transformation ist von der verwandten Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale (englisch  DTFT) zu unterscheiden, die aus zeitdiskreten Signalen ein kontinuierliches Frequenzspektrum bildet.

Definition

Diskrete Fourier-Transformation (DFT) 
Die diskrete Fourier-Transformation verarbeitet eine Folge von Zahlen , die zum Beispiel als zeitdiskrete Messwerte entstanden sind. Dabei wird angenommen, dass diese Messwerte einer Periode eines periodischen Signals entsprechen. Die DFT gilt auch für den Fall, dass  eine Folge von komplexen Zahlen ist, also: 

Das Ergebnis der Transformation ist eine Zerlegung der Folge in harmonische (sinusförmige) Anteile, sowie einen „Gleichanteil“ , der dem Mittelwert der Eingangsfolge entspricht. Das Ergebnis nennt man „diskrete Fourier-Transformierte“  von . Die Koeffizienten von  sind die Amplituden der Zerlegungs-Anteile. Man nennt  auch Fourierkoeffizienten oder Fourierkomponenten.

Üblicherweise wird bei der Bestimmung der Frequenzanteile/Phasenlage die kompakte mathematische Schreibweise der Polarform verwendet (Eulersche Formel):

Die Fourierkoeffizienten  werden damit aus der Eingangsfolge berechnet durch:

{| class="wikitable"
!   für   
|}

Die Gleichung kann auch als Matrix-Vektor-Produkt geschrieben werden:

{| class="wikitable"
!   mit   
|}

Die symmetrische Transformationsmatrix  mit der Dimension  wird „Fourier-Matrix“ genannt.

Inverse Diskrete Fourier-Transformation (iDFT) 
Die Summe der sinusförmigen Zerlegungsanteile ergibt wiederum die ursprüngliche Eingangsfolge .

Dafür wird das Transformationsergebnis  als Koeffizienten eines Polynoms verwendet, wobei  die Amplituden von den zugehörigen harmonischen Schwingungen  darstellen.

Die Argumente  sind  gleich verteilte Punkte auf dem Einheitskreis der komplexen Zahlenebene, d. h. die –ten Einheitswurzeln

Aus dieser Erklärung wird nebenbei auch der Zusammenhang zwischen der diskreten Fourier-Transformation und der z-Transformation ersichtlich. Der Unterschied besteht im Wesentlichen darin, dass die z-Transformation nicht auf den Einheitskreis beschränkt ist und dadurch auch zeitlich dynamische Vorgänge abbilden kann.

Die Koeffizienten der ursprünglichen Folge  lassen sich mit der iDFT aus den Fourierkoeffizienten  bestimmen:
{| class="wikitable"
!   für   
|}

In der Schreibweise als Matrix-Vektor-Produkt:

{| class="wikitable"
!   mit   
|}

wobei hier  mit der inversen Matrix von   multipliziert wird.

Bestimmung einer zeitkontinuierlichen periodischen Funktion basierend auf der Eingangsfolge 
Aus der inversen diskreten Fourier-Transformation lässt sich auch eine zeitkontinuierliche Funktion bestimmen, die durch die zeitdiskreten Messwerte (die Eingangsfolge) führt:

Dazu wird das Polynom  mit einer gleichmäßig den Einheitskreis umlaufenden Funktion  verknüpft. So ergibt sich eine zeitkontinuierliche periodische Funktion

die zu den Zeiten  gerade die Funktionswerte  annimmt.

Die Potenzen von  haben die Gestalt

und daher die Periode  und die Frequenz  bzw. die Kreisfrequenz . Somit ist die Folge der Messwerte durch die Superposition eines konstanten Pegels bei , einer Grundschwingung bei  und Oberschwingungen bei  dargestellt und interpoliert worden.

Diese oben angegebene Interpolationsfunktion ist nicht die einzige, die sich auf diese Art konstruieren lässt. Jede der Funktionen

hat diese Interpolationseigenschaft.

Sonderfall: DFT für einen reellen Vektor 
Wie bei der Fourier-Transformation gelten auch für die DFT gewisse Symmetriegesetze. So wird ein reelles Signal im Zeitraum zu einem hermiteschen Signal () im Frequenzraum:

Dies bedeutet, dass im Frequenzraum nur  unabhängige komplexe Koeffizienten  vorliegen. Diese Tatsache kann bei der Implementierung der DFT ausgenutzt werden, wenn bekannt ist, dass das Eingangssignal rein reell ist. Für die Darstellung des Ergebnisses sind dann keine  (wie bei der vollen DFT), sondern nur  komplexe Zahlen nötig. Die anderen  komplexen Zahlen können durch elementare Rechnung rekonstruiert werden (siehe Formel oben). Die hermitesche Symmetrie bezieht sich auf das mittlere Element  des Signals .

Beweis: Wegen der Eulerschen Identität  und wegen  gilt im reellen Fall :

Umgekehrt gilt entsprechend: Erfüllt  die Bedingung  für alle  sowie , so ist die inverse DFT ein reeller Vektor .

Verallgemeinerung: Mathematische Definition der DFT 
In der Mathematik wird die diskrete Fouriertransformation in einem sehr allgemeinen Kontext betrachtet. Sie findet unter anderem in der Computeralgebra bei einer Vielzahl von effizienten Algorithmen zur exakten Arithmetik Anwendung, so zum Beispiel bei der schnellen Multiplikation ganzer Zahlen mit dem Schönhage-Strassen-Algorithmus.

Sei  ein kommutativer unitärer Ring, in dem die Zahl  (das ist die -fache Summe der ) eine Einheit ist. Des Weiteren gebe es in  eine primitive -te Einheitswurzel . Zu einem Tupel  ist dann die diskrete Fouriertransformierte  durch
 für 
erklärt. Unter den getroffenen Voraussetzungen existiert damit zu  auch die diskrete inverse Fouriertransformierte  mit den Koeffizienten
 für .

Im überaus wichtigen Spezialfall  wird für die DFT üblicherweise die -te Einheitswurzel  benutzt. Dies ergibt die Formel im ersten Abschnitt.

Mehrdimensionale DFT 
Die DFT kann leicht auf mehrdimensionale Signale erweitert werden. Sie wird dann je einmal auf alle Koordinatenrichtungen angewendet. Im wichtigen Spezialfall von zwei Dimensionen (Bildverarbeitung) gilt etwa:
 für  und 

Die Rücktransformation lautet entsprechend:
 für  und

Verschiebung und Skalierung in Zeit und Frequenz 
In den Berechnungsformeln von DFT und iDFT kann die Summation (Indexvariable  oben) statt über  ebenso über einen verschobenen Bereich  laufen, wenn der Vektor  periodisch auf alle ganzzahligen Indizes fortgesetzt wird, denn es gilt . Wir können also die Summationsgrenzen beliebig verschieben, solange ein Segment der Länge  in den ganzen Zahlen überstrichen wird.

Wenden wir uns nun wieder dem komplexen Fall zu. In praktischen Anwendungen möchte man die Indizes mit einer äquidistanten Folge von Zeitpunkten verbinden,
 für ,
die ebenfalls die Länge  hat. Auch ist es wünschenswert, den berechneten Koeffizienten Frequenzen zuzuordnen, die um  zentriert sind,
 für 
und  in der Nähe von .

Eine zu den gewählten Zeitpunkten „gemessene“ Funktion  ergibt den Beobachtungsvektor  mit den Koeffizienten , dessen DFT  in der Fourier-Analyse betrachtet wird. Dann ist

und
.

Beispiele 
Die Fourier-Transformation transformiert eine Funktion  nach  von einer Zeitdarstellung  in den reziproken Frequenzraum . Dies gilt auch für Ortsfunktionen, die auf ein (1D), zwei (2D) oder mehr Raumrichtungen definiert sind. Diese werden durch die Fouriertransformation, nacheinander in jeder Richtung, in Raumfrequenzen überführt. Beugungserscheinungen in der Optik oder Röntgenanalyse können unmittelbar als die Intensitätsverteilung einer Fouriertransformierten interpretiert werden. Die Phasenbeziehung geht bei der Fotografie normalerweise verloren. Lediglich bei der Holografie wird die Phasenbeziehung durch eine Überlagerung mit einem Referenzstrahl mit aufgezeichnet.

Einfache Blenden 

Die Bilder rechts veranschaulichen zweidimensionale Fourier-Transformationen (2D FFT) an geometrischen Mustern, gerechnet für Quadrate der diskreten Größe von  Pixeln. Das Bild oben links zeigt einen Spalt der Größe  Pixel, daneben die Intensitätsverteilung des Beugungsbildes. Die Ortsvariable  wird überführt in reziproke komplexe Werte . Bei den gewählten Größen wird ein Pixel auf den reziproken Wert von  reziproken Pixeln überführt. Die Breite des Spalts von  Pixeln erscheint im Reziprokraum als Wert der Größe , die Höhe , mit harmonischen Frequenzen höherer Ordnung. Die berechneten Beugungsbilder geben die Intensitätsverteilungen der komplexen Größe  wieder. Dass sie nur die Hälfte der Bildinformation tragen, erkennt man an ihrer Rotationssymmetrie.

Die periodischen Peaks entsprechen den Ortsfrequenzen höherer Ordnung eines Rechtecksignals. Ähnliche Beispiele finden sich unter den Stichworten Fourier-Analyse, Fourier-Transformation oder Beugungsscheibchen.

Im zweiten Teilbild wird ein regelmäßiges Sechseck gebeugt. Wieder erscheint die Größe der Figur als Periode im Beugungsbild rechts. Die 6-zählige Symmetrie ist deutlich zu erkennen. Eine Verschiebung des Ausgangsbildes – im Gegensatz zu einer Drehung – würde sich nur in der Phasenbeziehung auswirken, die in der gewählten Darstellung als Intensitätsverteilung nicht zu erkennen ist.

Das untere Teilbild zeigt rechts das berechnete Beugungsmuster eines Dreiecks. Die 6-zählige Symmetrie ist nur vorgetäuscht, was an der fehlenden Modulation der Beugungssterne zu erkennen ist.

Die zweite Bildserie vergleicht die Beugung zweier Kreisöffnungen. Ein großer Kreis erzeugt ein kleines Beugungsmuster, und umgekehrt. Bei einem Fernrohr begrenzt die Lichtbeugung an der Linsenöffnung die Auflösung. Je größer der Durchmesser ist, desto kleiner ist das Beugungsbild eines Sterns, desto besser können nahe beieinander liegende Sterne voneinander unterschieden werden.

Das untere Bild ist ein Beispiel für eine Beugung an einer Kreisstruktur ohne scharfe Begrenzung. Bei einer sinusförmigen Intensitätsabnahme am Rad treten keine Beugungen höherer Ordnung auf (siehe auch Zonenplatte).

Bild mit periodischen Strukturen 

Die Aufnahme links zeigt eine SAR-Aufnahme des indischen Ozeans mit Wasserwellen unterschiedlicher Wellenlänge. Die internen Wellen oben rechts haben eine Wellenlänge von ca. 500 m. Die durch Wind erzeugten Oberflächenwellen sind in der verkleinerten Darstellung nicht erkennbar. Im gerechneten Beugungsbild geben die beiden dunklen Reflexe (siehe kurzer Pfeil) sowohl die Richtung als auch die mittlere Wellenlänge der regelmäßigen langperiodischen Wasserwellen an. Die Wellenlängen der Oberflächenwellen variieren stärker, weshalb sie keine scharfen Reflexe liefern. Es liegen zwei ausgezeichnete Richtungen für die Wellenausbreitung vor, die im Direktbild nur undeutlich zu sehen sind. Die Wellenlängen betragen ca. 150 m (langer Pfeil) und 160 m (etwas kürzerer Pfeil).

Mathematische Grundlagen 
Wir betrachten den Vektorraum  und statten ihn mit einem Skalarprodukt  aus, welches wir unten definieren.

Einheitswurzeln 
Die in der diskreten Fouriertransformation auftretenden komplexen Zahlen

sind -te Einheitswurzeln, d. h., sie sind Lösungen der Gleichung . Betrachte nun die „kleinste“ primitive Wurzel im ersten Quadranten . Notiere das Kronecker-Delta mit . Die Einheitswurzel  genügt folgender Identität geometrischer Summen von Einheitswurzeln
 mit 
wegen der Formel für geometrische Reihen
 für .

Dieses ist der „tiefe Grund“, weshalb die inverse DFT funktioniert.

Skalarprodukt und ONB 
Für zwei Vektoren  mit  und  definieren wir folgendes komplexe Skalarprodukt

Der Faktor  dient der Normierung der Skalarproduktnorm, so dass für passende Vektoren  gilt.

In  definieren wir die Basis  durch

für 

Diese bilden eine Orthonormalbasis bezüglich des vorher definierten Skalarproduktes (aus der Eigenschaft der Einheitswurzeln), das heißt es gilt
.

Da  eine Orthonormalbasis ist, lässt sich jeder Vektor  bezüglich dieser Basis darstellen  mit der Eigenschaft  und daraus folgt die Darstellung

Die Koeffizienten  heißen (auch allgemein bei beliebigem Orthonormalsystem) Fourier-Koeffizienten, die DFT ordnet also einem Vektor  bis auf eine additive Konstante den Vektor  der Fourier-Koeffizienten zu.

Ist  mit einem weiteren Vektor , so gilt die Parsevalsche Gleichung für Fourier-Koeffizienten:
.

Interpretationen der DFT

Diskretisierung der Fourier-Transformation 
Die Fourier-Transformation erlaubt es, sich Funktionen mit reellem Argument (und diversen Einschränkungen wie: Integrabilität, Periodizität oder Abfall im Unendlichen) aus Schwingungen zusammengesetzt zu denken:

Eine wichtige Erkenntnis der Fouriertheorie ist, dass die Amplitude  sich ähnlich bestimmen lässt zu

Wählen wir einen Radius  so groß, dass außerhalb des Intervalls  nur noch ein unwesentlicher Teil von  liegt, ist  außerdem stetig und eine Zahl  so groß gewählt, dass  klein genug ist, um  sinnvoll singulär, d. h. durch Funktionswerte , abzutasten, so kann das Fourierintegral in der Transformationsformel sinnvoll durch eine Summe ersetzt werden:

Das entspricht, bis auf einen konstanten Faktor , der Berechnungsformel der DFT. Der Vektor  hat  Elemente. Wir wissen bereits, dass es ausreicht, die Frequenzkoeffizienten für die  Frequenzen  mit  zu bestimmen, um die Funktionswerte im Vektor  zu rekonstruieren. Mit der notwendigen Anpassung der Konstanten in der iDFT erhalten wir

Der Diskretisierungsabstand im Frequenzbereich ist proportional zu , also nach Voraussetzung ebenfalls klein, sodass diese Berechnung der Diskretisierung der inversen Fourier-Transformation entspricht.

Beim Übergang von der Fourier-Transformation zur DFT sind also folgende Veränderungen zu bemerken:
 Das Signal liegt zu diskreten, äquidistanten Zeitpunkten vor ( Abstand zweier aufeinanderfolgender Zeitpunkte),  ist einer dieser Zeitpunkte.
 Das Signal hat eine endliche Länge ( Anzahl der Werte), die als Werte innerhalb eines großen Intervalls  interpretiert werden.
 Die Integrale bei der Berechnung der Fourier-Koeffizienten werden bei der DFT zu Summen.
 Das Spektrum wird nur für eine endliche Anzahl von (Kreis-)Frequenzen berechnet  mit  und ist periodisch in der Frequenz, wobei die Periode  nach Voraussetzung ( klein) sehr groß ist.

Diskretisierung von Fourier-Reihen 
Jede periodische Funktion mit reellem Argument (und wieder Einschränkungen wie: Integrabilität, keine Polstellen) und Periode  kann als Funktionenreihe mit Sinusoiden, die Bruchteile von  als Periode haben, dargestellt werden (sogenannte Fourier-Reihen):
 mit 

Brechen wir die Reihenentwicklung bei großen Grenzen  unten und  oben ab, so erhalten wir mit 

d. h., wir erhalten eine Form der inversen DFT. Damit können die Koeffizienten mittels DFT approximiert werden zu

Im Grenzfall eines unendlich großen  ergeben sich die bekannten Koeffizientenintegrale der Fourier-Reihen:

Ausgleichsrechnung mit trigonometrischen Funktionen 
Das Ergebnis einer DFT-Berechnung kann auch als eine Modellierung des Originalsignals mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen interpretiert werden. Ein verständlicher Nachweis der Relation zwischen Ausgleichsrechnung (Methode der kleinsten Fehlerquadrate) und der diskreten Fourier-Transformation findet sich in .

Eigenschaften

Spektrum abgetasteter Funktionen 

Die diskrete Fourier-Transformation besitzt ein periodisches Spektrum, es wiederholt sich mit der Abtastfrequenz und ist symmetrisch zur Abtastfrequenz. Es gilt:
 (wegen  für natürliche Zahlen  und )

Enthält das abgetastete Signal Frequenzanteile oberhalb der halben Abtastfrequenz, überlappen sich die Spektren des ursprünglichen Signals mit den an der Abtastfrequenz gespiegelten Signalanteilen, und es kommt zum Alias-Effekt.

Alias-Effekt 

In der Regel entsteht das zeitdiskrete Signal durch Diskretisierung eines kontinuierlichen Signals. Die durch die DFT entstehenden Spektren sind nur dann mit den Spektren des zugrundeliegenden kontinuierlichen Signals identisch, wenn bei der Abtastung das Abtasttheorem nicht verletzt wurde. Für Signale im Basisband muss gelten, dass die Abtastfrequenz mehr als doppelt so groß ist wie die maximal auftretende Frequenz (Nyquist-Frequenz). Bei Verletzung des Abtasttheorems tritt eine Verfälschung des Originalsignals auf (Aliasing im Zeitbereich). Eine Möglichkeit des Antialiasing ist die Bandbegrenzung des Signals am Eingang des Systems, um diesen Effekt zu vermeiden.

DFT einer zeitbegrenzten Funktion 
Für periodische Funktionen ergibt sich (analog zur kontinuierlichen Fourier-Transformation) ein Linienspektrum mit einem Frequenzlinienabstand von 1/Periodenlänge.

Eine zeitbegrenzte diskrete Funktion  kann man aus einer periodischen diskreten Funktion  ableiten, indem man über ein Zeitfenster  genau eine Periode herausschneidet:

Da bei der Fourier-Transformation eine Multiplikation von Funktionen im Zeitbereich einer Faltung der Fourier-Transformierten im Frequenzbereich entspricht, ergibt sich die DFT der zeitbegrenzten Funktion  durch die Faltung der DFT der periodischen Funktion  mit der Fourier-Transformierten des Zeitfensters :

Als Ergebnis erhält man ein Linienspektrum, das durch die Fourier-Transformierte des Zeitfensters verschmiert ist. In Abb. 3 rechts gestrichelt dargestellt ist der Einfluss des Zeitfensters auf die DFT der periodischen Funktion (dicke Linien). Durch die Zeitbegrenzung kommen Frequenzanteile zwischen den analysierten Frequenzlinien hinzu.

Durch den Übergang von einer periodischen Funktion auf eine zeitbegrenzte Funktion muss nicht das Rechenverfahren zur Bestimmung des Spektrums verändert werden. Es werden weiterhin diskrete Frequenzlinien berechnet, als ob eine periodische Funktion dahinterstände. Als Effekt des Zeitfensters steht nun jede berechnete Frequenzlinie stellvertretend für einen ganzen Frequenzbereich, nämlich für den Frequenzbereich, der durch die Fourier-Transformierte des Zeitfensters hinzugekommen ist. Dieses Verhalten bezeichnet man auch als Leck-Effekt.

Leck-Effekt (Leakage effect) 

Aufgrund der zeitlichen Begrenzung des Signals kann es dazu kommen, dass das Eingangssignal abgeschnitten wird. Ein abgeschnittenes Eingangssignal kann nur dann korrekt mit der DFT transformiert werden, wenn es periodisch fortsetzbar ist. Falls das Signal nicht periodisch fortsetzbar ist, enthält es Frequenzen, die nicht zu den von der DFT berechneten diskreten Frequenzen gehören. Die DFT „nähert“ diese Frequenzen durch die benachbarten Frequenzen an, dabei wird die Energie auf diese Frequenzen verteilt. Dies wird als Leck-Effekt (englisch ) bezeichnet.

Die zeitliche Begrenzung kommt einer Multiplikation mit einer Rechteckfunktion gleich und entspricht einer Faltung mit der si-Funktion im Frequenzbereich. Dies ist eine andere Betrachtungsweise, um den Leck-Effekt zu erklären. Das gilt natürlich auch im Falle anderer Fensterfunktionen (z. B. Hamming, von Hann, Gauss). Somit ist das Spektrum der Fensterfunktion (bzw. die Breite des Spektrums) ausschlaggebend für das Leck. Die Amplitudengenauigkeit ist das andere Kriterium einer Fensterfunktion.

Gleitende DFT als Bandfilterbank 
Eine DFT einer zeitbegrenzten Funktion kann man auch als Bandfilterbank ansehen.
 Die Mittenfrequenzen dieser Bandfilter entsprechen den Frequenzlinien der Funktion, die entsteht, wenn man den betrachteten Zeitabschnitt periodisch wiederholt (Vielfache von 1/Fensterbreite).
 Die Breite und Flankensteilheit der Bandfilter wird durch die Fourier-Transformierten des Zeitfensters bestimmt (siehe Abb. 3).

Durch die Wahl einer geeigneten Zeitfenster-Funktion kann man die Eigenschaften der Bandfilter verändern.
 Bei einem rechteckförmigen Zeitfenster mit Unstetigkeitsstellen an den Fenstergrenzen werden Frequenzen außerhalb des Übertragungsbereichs des Bandfilters mit 1/Frequenz abgeschwächt; man erzielt Flankensteilheiten von 6 dB/Oktave (siehe Abb. 2).
 Ist die Fensterfunktion stetig, werden Frequenzen außerhalb des Übertragungsbereichs des Bandfilters mit 1/Frequenz2 abgeschwächt; man erzielt Flankensteilheiten von 12 dB/Oktave.
 Ist die 1. Ableitung der Fensterfunktion stetig, werden Frequenzen außerhalb des Übertragungsbereichs des Bandfilters mit 1/Frequenz3 abgeschwächt; die Flankensteilheit beträgt 18 dB/Oktave.
 usw.

Bestimmt man die Fourier-Transformierte von jeweils aufeinanderfolgenden Zeitabschnitten, erhält man die gleitende Fourier-Transformation. Mit der Analyse eines neuen Zeitabschnitts erhält man dann neue Abtastwerte für den Zeitverlauf der Spektrallinien (das heißt den Zeitverlauf der Signale an den Ausgängen der „Bandfilter“).

Unschärfe-Relation der gleitenden DFT 
Zeit- und Frequenzauflösung der gleitenden DFT können nicht unabhängig voneinander gewählt werden.
 Will man Signale mit hoher Frequenzauflösung analysieren, muss man die Zeitfenster sehr groß machen, man erhält eine geringe Zeitauflösung.
 Benötigt man eine hohe Zeitauflösung, muss man die Breite der Zeitfenster sehr kurz machen, dann kann man aber nur wenige Frequenzlinien bestimmen.
 Es gilt: Frequenzauflösung ≈ 1/Zeitfensterbreite (wird eine Frequenzauflösung von 1 kHz gewünscht, muss das Zeitfenster mindestens 1 ms lang sein).

FFT 
Für Blocklängen , die sich als Potenz von 2 darstellen lassen, kann die Berechnung mit dem Algorithmus der schnellen Fourier-Transformation (FFT) erfolgen. Allgemein gilt: Kann die Blocklänge faktorisiert werden, , so gibt es eine Zerlegung der DFT der Länge  in ein Produkt von DFTs der Längen  und  sowie zweier einfacher Matrizen.

Goertzel-Algorithmus 
Für beliebige Blocklängen  und zur Bestimmung einer einzigen oder einiger weniger spektraler Komponenten kann auch der Goertzel-Algorithmus verwendet werden. Der Vorteil besteht in einer sehr effizienten Implementierung in Computersystemen, da die Berechnung pro Spektralkomponente nur eine komplexe Multiplikation und zwei komplexe Additionen umfasst.

Anwendungen 
 Berechnung der Fourier-Transformierten eines Signals
 Signalanalyse
 Schwingungsanalyse und Modalanalyse
 Bearbeitung von Signalen
 Berechnung von Korrelationen
 Berechnung von Polynomprodukten in 

Bei der Berechnung von Oberflächenwellenfiltern (= OFW-Filter = SAW-Filter = surface acoustic wave–filter) wird die Invers–Fouriertransformierte der Übertragungsfunktion benötigt (stellt die Impulsantwort dar). Diese Aufgabe wird von Rechnern übernommen.

Siehe auch 
 Faltung
 Gabor-Transformation
 Laplace-Transformation
 z-Transformation
 Diskrete Kosinustransformation
 Wavelet-Transformation
 Fensterfunktion
 Fourierreihe
 Short-Time-Fourier-Transformation

Literatur

Einzelnachweise 

Digitale Signalverarbeitung
Diskrete Transformation

cs:Fourierova transformace#Diskrétní Fourierova transformace
fi:Fourier'n muunnos#Diskreetti Fourier'n muunnos
pt:Transformada de Fourier#Transformada discreta de Fourier