Układ współrzędnych

Układ współrzędnych – odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne przypisujące każdemu punktowi przestrzeni  skończony ciąg (n-krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu .

Do określenia układu współrzędnych potrzebne jest
 ustalenie punktu początkowego  (O, ang. origin), tzw. początku układu,
 ustalenie bazy wektorów przestrzeni  za pomocą których można wyrazić wektory wodzące  punktów  przestrzeni jako kombinacje liniowe wektorów bazy, tj. 

Współczynniki  stojące przy wektorach bazy, na które rozkłada się dany wektor wodzący, stanowią współrzędne danego punktu w przyjętym układzie współrzędnych.

W szczególności przyjęcie punktu początkowego oraz jednego wektora jako wektora jednostkowego na prostej tworzy oś liczbową.

Liczba współrzędnych a wymiar przestrzeni 
Liczba współrzędnych potrzebnych do określenia położenia punktu w danej przestrzeni jest równa wymiarowi tej przestrzeni. W szczególności:
 dla przestrzeni 1-wymiarowej, np. prostej, okręgu, elipsy itp. wystarczy 1 współrzędna,
 dla przestrzeni 2-wymiarowej – płaszczyzny  sfery (powierzchni kuli) itp. potrzebne są 2 współrzędne,
 dla przestrzeni 3-wymiarowej – przestrzeni  kuli itp. potrzebne są 3 współrzędne,
 dla przestrzeni Euklidesowych n-wymiarowych potrzeba n współrzędnych,
 dla rozmaitości topologicznych liczba współrzędnych niezbędnych do określenia położenia punktu jest równa wymiarowi przestrzeni Euklidesowej, lokalnie homeomorficznej z daną rozmaitością.

W ogólności do opisania położeń punktów w różnych przestrzeniach wprowadza się układy współrzędnych krzywoliniowych, np.
 dla punktów okręgu wystarczy podać jedną współrzędną biegunową 
 dla punktów sfery wystarczy podać dwie współrzędne sferyczne 
 dla punktów kuli wystarczy podać trzy współrzędne prostokątne  lub sferyczne 

Liczba współrzędnych użytych do określenia położenia danego punktu może być większa, jeżeli daną przestrzeń rozważa się jako podprzestrzeń przestrzeni o większej liczbie wymiarów. Np. powierzchnia sfery o promieniu  zanurzona w przestrzeni 3-wymiarowej może być opisana za pomocą 3 współrzędnych prostokątnych  przy czym między współrzędnymi zachodzi zależność

Uogólnienia 
(1) Rozważa się przestrzenie nieskończenie wymiarowe.

(2) Obok układu współrzędnych prostokątnych, w których linie współrzędnych są prostymi wzajemnie prostopadłymi, wprowadza się
 układy skośne, w których linie współrzędnych nie są wzajemnie prostopadłe,
 układy krzywoliniowe, w których linie współrzędnych nie są liniami prostymi.

(3) Obok współrzędnych, które są liczbami rzeczywistymi, rozważa się współrzędne będące liczbami zespolonymi lub współrzędne będące elementami dowolnego ciała.

Rodzaje układów współrzędnych 
 układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątnych)
 układ współrzędnych biegunowych (polarnych)
 układ współrzędnych walcowych (cylindrycznych)
 układ współrzędnych sferycznych
 układ współrzędnych astronomicznych
 układ współrzędnych horyzontalnych
 układ współrzędnych równikowych
 układ współrzędnych równikowych godzinnych
 układ współrzędnych równikowych równonocnych
 układ współrzędnych galaktycznych
 układ współrzędnych supergalaktycznych
 układ współrzędnych geograficznych
 układ współrzędnych geodezyjnych (elipsoidalnych)
 układ współrzędnych 1942
 układ współrzędnych 1965
 układ współrzędnych 1992
 układ współrzędnych 2000

Zobacz też 
 państwowy system odniesień przestrzennych
 transformacja współrzędnych
 układ odniesienia
 układ wysokościowy

Przypisy

Linki zewnętrzne 
 OGP Geomatics Committee, Rejestr układów /systemów współrzędnych na świecie 
 spatialreference.org, Wykaz układów /systemów współrzędnych na świecie 
 CRS-EU Operator, Lista układów / systemów współrzędnych i wysokości w Europie