Lineární kombinace

V matematice se pojmem lineární kombinace označuje jeden z nejzákladnějších konceptů studovaných lineární algebrou. Jedná se v jistém smyslu o zobecnění pojmu násobení a sčítání pro čísla. Pomocí pojmu lineární kombinace se definují další důležité objekty lineární algebry jako je lineární obal, lineární nezávislost a podobně.

Definice 
Uvažujme vektorový prostor  nad tělesem . Dále nechť  je nějaký vektor a  je soubor  vektorů z prostoru . Pak říkáme, že vektor  je lineární kombinací (angl. linear combination) vektorů , právě když existuje -tice čísel z tělesa  taková, že lze vektor  vyjádřit ve tvaru sumy

Někdy se hovoří obecně o lineární kombinaci vektorů , aniž bychom specifikovali vektor  či určili konkrétní hodnoty koeficientů . V takovém případě se zajímáme pouze o výrazy tvaru

Číslům  ze vztahů výše říkáme koeficienty lineární kombinace. Jsou-li všechny koeficienty  nulové, tj. , je lineární kombinace označována jako triviální. Takováto lineární kombinace je bez ohledu na hodnotu vektorů  vždy rovna nulovému vektoru. Je-li alespoň jeden z koeficientů , pak říkáme, že lineární kombinace je netriviální.

Geometrická interpretace 

Lineární kombinace vektorů je patrně nejsnáze nahlédnutelná v případě Euklidova prostoru, tj. prostoru uspořádaných n-tic reálných (potažmo komplexních) čísel. Pro jednoduchost vezměme dvourozměrný prostor  nad reálným tělesem. Jeho prvky jsou tedy uspořádané dvojice reálných čísel s operacemi definovanými následujícím způsobem

Prvky tohoto prostoru si tedy lze představovat jako šipky vedoucí z počátku soustavy souřadnic. Sčítání vektorů ve smyslu vyznačeném výše totiž odpovídá skládání šipek. To lze vidět z následujícího příkladu, viz obrázek. Mějme dva vektory, které si barevně odlišíme, aby byl zřejmý jejich vztah k obrázku

Na obrázku je též černou šipkou vyznačena výslednice těchto dvou vektorů, chápeme-li je jako šipky. Souřadnice této nové šipky přitom vyhovují vztahům pro sčítání dvou vektorů uvedeným v obecnosti výše, když položíme . Sice

Více o vztahu šipek v rovině a dvojic čísel se lze dozvědět v oddíle Fyzikální vektory článku Vektorový prostor. Nyní, když vidíme vztah dvojic reálných čísel coby vektorů a šipek, ukažme si jednoduchou lineární kombinaci. Konkrétně zvolme  a , viz Definice. Máme tedy vektor , jehož hodnota je

Na obrázku je tento vektor vynesen zelenou barvou a jsou zde pro názornost šedě vyneseny i vektory  a , jejichž sečtením zelený vektor vzniká.

Můžeme si též představit jednoduchou fyzikální situaci, kdy na těleso působí v jednom bodě několik sil různých velikostí a směrů. Jejich součet, výslednice sil, udává výsledný efekt působení všech sil dohromady. Výslednice uvedených sil je tedy jejich jednoduchá lineární kombinace, kdy jsou všechny koeficienty rovny jedničce. Když bychom uvažovali dvě síly, jejichž vektory by byly  a  z předchozího příkladu, tak výslednice sil bude odpovídat černé šipce na obrázku.

Příklady

Příklad 1 — Aritmetické vektory 
V předchozí sekci jsme si ukázali, jak lze n-tice čísel graficky zobrazovat, explicitně jsme si to ukázali pro n=2. Nyní se podívejme na uspořádané trojice čísel. Mějme zadaný vektor  a množinu dvou vektorů , jejichž explicitní tvar je

Ptáme se, zda lze vektor  vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů  a . Lineární kombinace těchto vektorů s obecnými koeficienty  a  vypadá následovně

kde jsme využili toho, jak je definován součet dvou vektorů a jejich číselný násobek. Aby byla daná lineární kombinace rovná pro nějaké hodnoty koeficientů vektoru , tak musí platit

odkud je ihned patrné, že . Když tento vztah dosadíme do prvního řádku výše uvedené rovnosti, tak máme , když ho dosadíme do třetího řádku, tak , což není v souladu s rovností v prvním řádku. Zjistili jsme tak, že vektor  nelze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů  a . Pokud ale vektor  nahradíme vektorem

dostaneme rovnost

jejímž řešením je  a . Dokázali jsme tak rovnost

Příklad 2 — Spojité funkce 
V oddíle Geometrická interpretace a v předchozím příkladě jsme viděli vytváření lineárních kombinací aritmetických vektorů. Množiny tohoto druhu vektorů, n-tic čísel, jsou patrně nejčastějšími příklady vektorových prostorů. Vektorové prostory jsou ale mnohem rozmanitější, můžeme například uvažovat vektorový prostor všech spojitých funkcí reálné proměnné.

Mějme například funkci

Předpis této funkce lze zřejmě rozepsat jako . Tuto funkci tak můžeme chápat jako lineární kombinaci funkcí  s koeficienty . Tutéž funkci ale můžeme současně chápat i jako lineární kombinaci funkcí  s koeficienty , nebo dokonce jako lineární kombinaci funkcí

pokud funkce reálné proměnné chápeme jako funkce dvou reálných proměnných, v nichž se druhá proměnná nevyskytuje. Pro posledně jmenované funkce pak dostáváme koeficienty lineární kombinace , neboť po zpětném dosazení dostáváme rovnost

kde jsme využili známého vzorce . Vidíme tedy, že rozklad vektoru do lineární kombinace není jednoznačný, pokud nespecifikujeme, jaké vektory se mají v lineární kombinaci vyskytovat.

Příklad 3 — Polynomy 
Speciálními případy spojitých funkcí jsou polynomy. Polynomem je například i funkce  z předchozího příkladu. Viděli jsme, že lze tuto funkci vyjádřit jako lineární kombinaci mnoha jiných funkcí. Ptejme se nyní, zda lze tuto funkci napsat jako lineární kombinaci následujících tří polynomů a pokud ano, pokusme se nalézt dané koeficienty:

Začněme svůj postup tím, že si napíšeme obecný tvar lineární kombinace, do které dosadíme naše polynomy :

Právě jsme si koeficienty shlukli ke stejným mocninám proměnné . Chtěli bychom vědět, zda výraz výše může být pro nějaké hodnoty koeficientů roven výrazu

Máme tedy rovnost dvou funkcí závislých na proměnné :

Protože se mají rovnat dvě funkce závislé na proměnné , musí být rovnost splněna pro všechny hodnoty proměnné a tedy musejí čísla před každou mocninou proměnné být v obou výrazech rovna. Dostáváme tak soustavu rovnic

Vyjádřeme si z poslední rovnice  a dosaďme do zbylých dvou. Dostaneme tak

Opět si z druhé rovnice vyjádřeme  a dosaďme do první rovnice. Ta se následně redukuje do tvaru

Po zpětném podosazování tedy dostáváme

Výsledek nikterak pohledný, leč správný. Pro funkci  jsme tak nalezli koeficienty jejího rozkladu do polynomů .

Příklad 4 — Soustavy lineárních rovnic 
V předchozím příkladu jsme narazili na soustavu lineárních rovnic. Podívejme se nyní na soustavy takovýchto rovnic z trochu jiného úhlu. Uvažujme nyní konkrétně následující soustavu

Tuto soustavu lze přepsat do kompaktnějšího tvaru tím, že se přeneseme do vektorového prostoru  a zavedeme vektory

Není těžké vidět, že lze pak výše uvedenou soustavu zapsat jako rovnost, kde na levé straně vystupuje lineární kombinace vektorů :

Nyní tedy v roli koeficientů lineární kombinace vystupují proměnné , jejichž hodnoty chceme nalézt. Úlohu najít řešení soustavy lineárních rovnic jsme tak převedli na úlohu, kdy máme tři zadané vektory  a chceme najít takové jejich lineární kombinace, které budou rovny čtvrtému zadanému vektoru, vektoru . V našem případě jsou navíc vektory  lineárně nezávislé. Můžeme se na ně tedy dívat jako na bázi jistého trojrozměrného podprostoru v . Na naši úlohu lze poté nahlížet i tak, že hledáme souřadnice vektoru  v bázi tvořené právě vektory . Pokud  neleží v jimi generovaném podprostoru, tak výše uvedená soustava rovnic nemá řešení, to ale není náš případ.

Pro úplnost, výše uvedenou vektorovou rovnici můžeme dále převézt na ještě kompaktnější tvar, naskládáme-li vektory  do matice. Označme si tuto matici . Navíc si ještě definujme vektor  jako sloupeček neznámých proměnných, pak

S takto zavedenou maticí můžeme výše uvedenou soustavu rovnic vyjádřit ve tvaru

kde se uplatňuje násobení matice  a vektoru .

Speciální případy lineární kombinace 
Někdy je lineární kombinace pojem moc obecný a zavádějí se zajímavé podpřípady, konkrétně afinní a konvexní kombinace. Afinní kombinace se uplatňují při popisu lineárních variet, konvexní kombinace při popisu konvexních podmnožin vektorových prostorů.

Afinní kombinace 
Nechť  je vektorový prostor nad tělesem ,  množina  vektorů z  a  -tice čísel z tělesa. Pak lineární kombinaci  nazýváme afinní kombinace, právě když je součet jejích koeficientů roven jedné, neboli

Podobně jako pro klasické lineární kombinace se i pro afinní kombinace definuje afinní obal.

Konvexní kombinace 
Nechť  je vektorový prostor nad tělesem ,  množina  vektorů z  a  -tice čísel z tělesa. Pak lineární kombinaci  nazýváme konvexní kombinace, právě když je součet jejích koeficientů roven jedné a přitom jsou všechny koeficienty nezáporné, neboli

Podobně jako pro lineární a afinní kombinace se i pro konvexní kombinace definuje konvexní obal.

Odkazy

Související články 
 Wronskián
 Lineární závislost

Literatura 
  – skripta FJFI ČVUT

Externí odkazy 
 

Algebra
Lineární algebra