Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny – pewna forma dwuliniowa na danej przestrzeni liniowej, tj. dwuargumentowa funkcja o szczególnych własnościach przyporządkowująca dwóm wektorom danej przestrzeni liniowej wartość skalarną. Czasami spotyka się również nazwę iloczyn wewnętrzny, który zwykle odnosi się jednak do ogólnych iloczynów skalarnych wprowadzanych w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych nazywanych wtedy przestrzeniami unitarnymi; przestrzenie afiniczne z wyróżnionym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzeniami euklidesowymi.

Zasadniczym celem wprowadzania iloczynu skalarnego w danej przestrzeni liniowej jest wprowadzenie na niej geometrii euklidesowej, w szczególności kąta między dwoma wektorami, co umożliwia mówienie o ich prostopadłości (nazywanej w tym kontekście ich ortogonalnością, która jest nieznacznym uogólnieniem) oraz obrotu. Iloczyn skalarny stanowi więc pomost między geometrią syntetyczną a geometrią analityczną. Ponieważ trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa jest dobrym przybliżeniem świata rzeczywistego w skali makroskopowej, to iloczyn skalarny w niej określony znajduje zastosowanie w fizyce klasycznej, np. mechanice klasycznej (branie rzutów wektora siły wypadkowej jest tego przykładem); z kolei w mechanice kwantowej rozpatruje się (nieskończeniewymiarowe) przestrzenie Hilberta, czyli przestrzenie liniowe (nieskończonego wymiaru) z iloczynem skalarnym i dodatkową strukturą topologiczną (zob. Uogólnienia). Przykładowo praca mechaniczna  to wielkość fizyczna wyrażająca się jako iloczyn skalarny siły  oraz przemieszczenia 

 W artykule opisano iloczyn skalarny określony na rzeczywistych przestrzeniach współrzędnych  oraz  wymiaru  wraz z ortonormalną bazą standardową, nazywany też zwykłym, standardowym (w przestrzeniach afinicznych nazywa się go także euklidesowym); niżej określenia te będą pomijane (użyto notacji ustalonej w artykule o przestrzeniach współrzędnych). Uogólnienia opisano w oddzielnej sekcji.

Definicja i własności 

Standardowy iloczyn skalarny definiuje się wzorem
 

W zapisie macierzowym (przy użyciu mnożenia macierzy) ma on postać
 

gdzie  oznacza transpozycję macierzy  Wzór ten jest użyteczny także w ogólnym przypadku, lecz w przypadku przestrzeni liniowych wzór ten opisuje formę dwuliniową, tj. funkcję  mającą szereg własności, które służą często jako abstrakcyjna, tzn. niezależna od współrzędnych, definicja iloczynu skalarnego (zob. przestrzeń unitarna). Wśród najważniejszych można wymienić:
 przemienność (symetryczność),
 
 rozdzielność względem dodawania wektorów (dwuaddytywność),
 
 
 zgodność z mnożeniem przez skalar (dwujednorodność),
 
 niezdegenerowanie,
 z warunku  dla każdego  wynika 
 dodatnia określoność
  dla 
 bo  o ile  dla pewnego i, co wynika z własności liczb rzeczywistych  (kwadrat liczby niezerowej jest dodatni, suma liczb dodatnich jest dodatnia)

Jeśli  to wektory  oraz  nazywa się ortogonalnymi. Wprost z definicji wynika, że jeśli choć jeden czynnik jest wektorem zerowym, to iloczyn skalarny również jest zerowy; może się jednak zdarzyć, iż  choć  oraz  (zob. Przykłady); mówi się wtedy czasem o prostopadłości tych wektorów. Wektory zerowe są więc jedynym elementem odróżniającym ortogonalność od prostopadłości (geometrycznie wektor zerowy odpowiada punktowi, można więc uważać, że dowolny punkt jest prostopadły do wektora, odcinka czy prostej); w oznaczeniach nie odróżnia się zwykle jednego pojęcia od drugiego, oznaczając oba symbolem 

Wynika stąd, że iloczyn skalarny, w przeciwieństwie do mnożenia liczb, nie ma własności skracania (tj. z równości  nie wynika  o ile tylko ). Otóż jeśli  to z prawa rozdzielności zachodzi  co jest możliwe wtedy, gdy są ortogonalne (tj. jeden z tych wektorów jest zerowy:  lub  bądź są one prostopadłe, tzn. ).

Przykłady 
Iloczyn skalarny dwóch trójwymiarowych wektorów  oraz  wynosi
 

choć żaden z tych wektorów nie jest zerowy – oznacza to, że wektory te są ortogonalne (prostopadłe).

W jednowymiarowej przestrzeni  iloczyn skalarny dany jest jako zwykłe mnożenie. Innym przykładem iloczynu skalarnego jest tzw. iloczyn wewnętrzny Frobeniusa, który jest iloczynem skalarnym na przestrzeni macierzy ustalonego typu danym „po współrzędnych”, tj. jako suma iloczynów odpowiadających sobie elementów tych macierzy (macierze dwuwymiarowe są więc traktowane jak „długie” wektory jednowymiarowe).

Interpretacja geometryczna 

Iloczyn skalarny umożliwia wprowadzenie „długości” wektora, tj. jego modułu lub normy, mianowicie
 

przy czym wielkość ta jest poprawnie zdefiniowana, gdyż wyrażenie podpierwiastkowe jest nieujemne; jest to standardowa długość wektora dana z kilkukrotnego zastosowania twierdzenia Pitagorasa.

Ponieważ długość wektora jest niezależna od wprowadzonego układu współrzędnych oraz z własności iloczynu skalarnego wynika
 

czyli
 

więc
 

i dlatego iloczyn skalarny jest również niezależny od układu współrzędnych. Weźmy pod uwagę płaszczyznę wyznaczoną przez wektory  Jeśli za osie układu współrzędnych w tej płaszczyźnie przyjmiemy oś zawierającą wektor  i z nim zgodną oraz oś prostopadłą do tego wektora, to
  

Wtedy  i dlatego kąt  między wektorami  oraz  dany jest wzorem
 

gdzie  oznacza funkcję arcus cosinus (odwrotną do funkcji cosinus). Można też rozumować następująco. Jeśli wektory  leżą względem siebie pod kątem  a wektor  jest dany jako  dzięki czemu wektory te tworzą trójkąt, to zgodnie z twierdzeniem cosinusów dla tego trójkąta zachodzi
 

a ponieważ kwadrat modułu jest równy iloczynowi skalarnemu wektora przez siebie, to
 

skoro jednak  to także
 

czyli
 

na mocy prawa rozdzielności. Porównując pierwsze i trzecie równanie na  otrzymuje się
 

co po redukcji wyrazów podobnych i skróceniu czynnika  daje
 

Wielkość  jest równa długości (modułowi) rzutu wektora  na wektor  stąd powyższy wzór umożliwia geometryczną interpretację iloczynu skalarnego jako iloczynu długości tego rzutu przez długość  Z postaci tej można dużo łatwiej odczytać, iż (niezerowe) wektory prostopadłe, tj. takie, dla których  jest nieparzystą wielokrotnością  mają iloczyn skalarny równy zeru.

Uogólnienia

Przestrzenie liniowe 

Opisane własności geometryczne wynikają w dużej mierze z ustalenia bazy ortonormalnej, jaką jest baza standardowa. W gruncie rzeczy pojęcie prostopadłości ma sens geometryczny i przy podanej definicji wymaga bazy standardowej. Z kolei ortogonalność jest definiowana za pomocą iloczynu skalarnego i pokrywa się z prostopadłością w przypadku użycia bazy standardowej. Różnice między tymi pojęciami często rozmywa się, bo dowolna przestrzeń liniowa skończonego wymiaru ma tę samą strukturę, co przestrzeń współrzędnych o tej samej liczbie wymiarów (przestrzenie te są izomorficzne).

Innym zagadnieniem jest trudność definiowania pojęć geometrycznych (nawet w przypadku przestrzeni współrzędnych) w przypadku więcej niż trzech wymiarów – iloczyn skalarny jest wygodnym sposobem wprowadzenia zarówno długości (tj. normy), jak i kąta. Struktura unitarna (tj. obecność iloczynu skalarnego) czyni z przestrzeni liniowej przestrzeń unormowaną, która z kolei wprowadza w niej strukturę metryczną (pojęcie odległości). Stopniowe odrzucanie dodatkowych struktur umożliwiło wyabstrahowanie uogólnień pojęć długości i odległości w postaci normy i metryki.

Z interpretacji geometrycznej wynika, iż standardowy iloczyn skalarny jest niezmienniczy ze względu na izometrie: obroty, odbicia (w przypadku przestrzeni afinicznych: przekształcenia afiniczne zachowujące początek przestrzeni). Przekształcenia liniowe, które zachowują powyższe własności, a w ogólności: przekształcenia, które zachowują iloczyn skalarny, nazywa się przekształceniami unitarnymi lub ortogonalnymi, a macierze tych przekształceń – macierzami unitarnymi lub ortogonalnymi. Innymi słowy przekształcenia unitarne przeprowadzają bazy ortonormalne na bazy ortonormalne, tj. zachowują normy wektorów (są izometriami) i kąty między nimi (są przekształceniami równokątnymi zachowującymi orientację), w szczególności mają jednostkowy wyznacznik i ślad równy stopniowi macierzy.

Przestrzenie unitarne 

Przestrzeń wielomianów jednej zmiennej bądź przestrzeń funkcyjną funkcji całkowalnych z kwadratem o wartościach rzeczywistych określonych na odcinku jednostkowym mają nieskończone bazy (różnych mocy; są one izomorficzne z przestrzeniami współrzędnych odpowiednio: nieskończoną i uogólnioną, zob. przykłady przestrzeni liniowych), jednak możliwe jest w nich określenie iloczynu skalarnego: odpowiednio wzorem  gdzie  jest wielomianem zmiennej  przy czym suma ta jest zawsze skończona (z definicji wielomianu), oraz  (całka istnieje z założenia).

Z powodu możliwości pomylenia zwykłego iloczynu funkcji z ich iloczynem skalarnym ten drugi oznacza się zwykle symbolami:
  lub  (identycznie oznacza się np. przedziały bądź pary uporządkowane – z kontekstu wynika znaczenie symboli)
  lub

Reprezentacja macierzowa 

Iloczyn skalarny, jak każdą formę dwuliniową, można przedstawić w postaci macierzy; przykładowo niech  będzie bazą (niekoniecznie standardową) przestrzeni  Iloczyn skalarny wektorów (kolumnowych) tej przestrzeni dany jest wtedy jako
 

gdzie  oznacza wektor kolumnowy, a  to wektor wierszowy współrzędnych wektora (kolumnowego)  wyrażonych w bazie , zaś macierz  stopnia  jest reprezentacją macierzową iloczynu skalarnego (która musi być dodatnio określona i symetryczna) w bazie  opisywanego wzorem
 

w szczególności jeśli  jest bazą standardową, to  jest macierzą jednostkową, co prowadzi przedstawionego w sekcji Definicja wzoru dla macierzy.

Zobacz też 
 iloczyn mieszany
 iloczyn wektorowy
 nierówność Cauchy’ego-Schwarza
 nierówność trójkąta

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne 
 Demonstracja iloczynu skalarnego wykonana w Javie 
 Inna demonstracja iloczynu skalarnego w Javie 
 Iloczyn skalarny wektorów zespolonych 

Działania na wektorach
Działania dwuargumentowe
Formy dwuliniowe i półtoraliniowe