Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna – suma liczb podzielona przez ich liczbę.

Dla  liczb  jest to więc wyrażenie:
 

W języku potocznym średnią arytmetyczną określa się po prostu jako średnią.

Na przykład średnią czterech liczb, –5, –3, 0 i 12, jest
 

Średnia arytmetyczna jest szczególnym przypadkiem średniej potęgowej rzędu 1iar oceny populacji, stosowanych często w codziennym życiu – przykładami mogą być średnia ocen z jakiegoś przedmiotu, średnia płaca w firmie, średnia cena pomarańczy na targowiskach w lipcu 2004 roku czy średni wzrost poborowych w danym roczniku.

Średnia arytmetyczna jest dobrą miarą położenia rozkładu i jednocześnie miarą tendencji centralnej. Jest to miara klasyczna rozkładu, czyli każda zmiana dowolnego elementu badanego zbioru pociąga za sobą zmianę wartości średniej.

Właściwości statystyczne średniej z próby

Odchylenie standardowe średniej 
Jeśli uśredniamy  nieskorelowanych zmiennych o odchyleniach standardowych  to odchylenie ich średniej arytmetycznej jest równe średniej kwadratowej odchyleń tych zmiennych:
 

Jeśli zmienne są skorelowane, wówczas odchylenie średniej będzie inne, np. dla dwóch zmiennych 
 

gdzie  to współczynnik korelacji między nimi.

W ogólnym przypadku dla  skorelowanych zmiennych:
 

gdzie  to kowariancja -tej i -tej zmiennej.

Prawo wielkich liczb 

Niech  będzie zmienną losową o skończonej wariancji i wartości oczekiwanej  oraz niech  będzie prostą próbą losową z tej zmiennej. Prawdopodobieństwo, że średnia będzie oszacowana precyzyjnie (znajdzie się nie dalej od prawdziwej wartości niż o dowolnie mały dodatni błąd ) dąży do 100% wraz ze wzrostem próby:
 

Innymi słowy średnia próbkowa dąży do wartości oczekiwanej w populacji wraz ze wzrostem liczności próby. Prawo wielkich liczb można wzmocnić na dwa sposoby, przedstawione dalej.

Centralne twierdzenie graniczne 

Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym rozkład średniej z -elementowej próby wraz ze wzrostem  coraz lepiej odpowiada rozkładowi normalnemu o wartości oczekiwanej  i odchyleniu  gdzie  oraz  to odpowiednio wartość oczekiwana oraz odchylenie standardowe w populacji, z której losowana jest próba. Ściślej dla dowolnych liczb rzeczywistych  takich, że 
 

gdzie:
  to zmienna o standardowym rozkładzie normalnym (o wartości oczekiwanej zero i wariancji równej jeden),
  to dystrybuanta rozkładu normalnego 

Twierdzenie to jest prawdziwe niezależnie od rozkładu w populacji. Właściwość ta jest wykorzystywana w wielu metodach statystycznych i estymatorach. Centralne twierdzenie graniczne jest uogólnieniem prawa wielkich liczb, gdyż opisuje zachowanie całego rozkładu średniej, podczas gdy prawo wielkich liczb opisywało jeden jego parametr (wartość oczekiwaną).

Właściwości średniej jako estymatora 
Średnia arytmetyczna z próby jest, niezależnie od rozkładu, estymatorem zgodnym i nieobciążonym wartości oczekiwanej rozkładu, z którego próba była losowana. Jeśli jest to rozkład normalny, to średnia jest również estymatorem efektywnym.

Ograniczenia 
Średnia arytmetyczna jest podatna na skośność rozkładu i obserwacje odstające. W takiej sytuacji inne średnie, takie jak mediana, czy statystyki odpornościowe, np. średnia ucinana lub metody z regularyzacją, mogą dawać lepsze wyniki.

Nierówność Jensena oznacza, że funkcja średnich ma inną wartość niż średnia tej funkcji.

Zobacz też 
 centralne twierdzenie graniczne
 nierówność między średnimi potęgowymi
 nierówności między średnimi

Uwagi

Przypisy

Bibliografia 
 
 

Średnie