Przestrzeń Hilberta

Przestrzeń Hilberta – przestrzeń unitarna zupełna.

Oznacza to, że jest to przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, która
 ma zdefiniowany iloczyn skalarny,
 traktowana jako przestrzeń metryczna z metryką indukowaną przez iloczyn skalarny (poprzez normę) jest zupełna, tzn. każdy ciąg Cauchy’ego ma granicę.

Każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha (z normą indukowaną przez iloczyn skalarny), przestrzenią Frécheta oraz lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną – ze względu na unormowanie i zupełność.

Nazwa przestrzeni pochodzi od nazwiska Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku.

Przestrzenie Hilberta są wykorzystywane w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej i kwantowej teorii pola (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).

Przykłady przestrzeni Hilberta

Przestrzenie euklidesowe skończonego wymiaru 
(1) Należą tu np.
 zbiór liczb rzeczywistych nad ciałem liczb rzeczywistych, ze standardowym mnożeniem jako iloczynem skalarnym,
 zespolona przestrzeń euklidesowa nad ciałem liczb zespolonych z zespolonym iloczynem skalarnym (tzn. dodatnio określoną formą półtoraliniową).

Wybór iloczynu skalarnego nie wpływa na zupełność przestrzeni z indukowaną z niego metryką, co wynika z równoważności metryk (bądź norm) na przestrzeniach liniowych wymiaru skończonego nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

(2) W szczególności należą tu przestrzenie współrzędnych  i  z iloczynami skalarnymi danymi odpowiednio wzorami
 

gdzie:
   – wektory przestrzeni,
  oznacza sprzężenie zespolone liczby 

Norma indukowana z iloczynu skalarnego dana jest wzorem
 

zaś metryka od niej pochodząca wyraża się wzorem
 

przy czym jest ona zupełna.

Klasyczne przykłady przestrzeni Hilberta 
  – przestrzeń Lp ciągów sumowalnych z kwadratem,
  – uogólnienia przestrzeni  na dowolne zbiory indeksów 
  – przestrzenie Lp zdefiniowane dla funkcji -całkowalnych z kwadratem, gdzie  – dowolna miara,
 przestrzenie Sobolewa 
 przestrzeń Hardy’ego 

Przestrzenie  są szczególnymi przypadkami przestrzeni  gdyż  gdy  jest miarą liczącą na zbiorze 

Przestrzenie Sobolewa są jednym z podstawowych narzędzi w nowoczesnej teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Przestrzenie Hardy’ego znajdują zastosowania w analizie harmonicznej i analizie zespolonej.

Przestrzenie  oraz  są fundamentalne dla mechaniki kwantowej.

Własności

Samosprzężoność 

Twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału na przestrzeni Hilberta  mówi, że każdemu elementowi  (tj. każdemu ciągłemu funkcjonałowi liniowemu na ) odpowiada jednoznacznie taki element  że
 

Odwzorowanie
 

dane wzorem
 

jest antyliniowym izometrycznym izomorfizmem. Zachodzi również twierdzenie odwrotne: jeśli dowolny funkcjonał ograniczony  określony na przestrzeni unitarnej  można zapisać wzorem  dla pewnego  to  jest przestrzenią Hilberta (tj. jest ona zupełna).

Refleksywność 
Każda przestrzeń Hilberta  jest refleksywna, tj. odwzorowanie
 

dane wzorem
 

jest „na”.

Dówod. Z twierdzenia Riesza (o reprezentacji ciągłych funkcjonałów na przestrzeni Hilberta) wynika, że istnieje antyliniowy izometryczny izomorfizm
 

Niech  będzie ustalonym elementem przestrzeni  Wówczas funkcjonał  dany wzorem
 

jest liniowy i ciągły oraz dla każdego elementu  przestrzeni  oraz dowolnego  zachodzi:
 

a zatem
 

co oznacza, że odwzorowanie  jest „na”, więc przestrzeń  jest refleksywna. 

Z drugiej strony, przestrzenie Hilberta są jednostajnie wypukłymi przestrzeniami Banacha, a więc na mocy twierdzenia Clarsksona-Milmana są refleksywne (jednostajna wypukłość wynika z reguły równoległoboku, która charakteryzuje przestrzenie unitarne). Przestrzenie Hilberta mają nawet mocniejszą własność – są one superrefleksywne.

Ośrodkowość 

Ośrodkowe przestrzenie Hilberta (tj. zawierające przeliczalny podzbiór gęsty) mają znacząco lepsze własności od nieośrodkowych przestrzeni Hilberta:
 Dowolna przestrzeń unormowana nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych skończonego wymiaru  jest liniowo izometryczna z pewną przestrzenią współrzędnych  lub  stąd można określić na nich strukturę unitarną (zob. twierdzenie Jordana-von Neumanna). Ponadto wspomniane przestrzenie są zupełne i ośrodkowe (ze względu na indukowaną z iloczynu skalarnego metrykę), a więc są przestrzeniami Hilberta.
 Co więcej istnieje jedna i tylko jedna (z dokładnością do izomorfizmu) ośrodkowa przestrzeń Hilberta nieskończonego wymiaru: wynika to z istnienia przekształcenia unitarnego między tego rodzaju przestrzenią Hilberta a przestrzenią  (mianowicie wzajemnie jednoznacznego przekształcenia liniowego  danego wzorem  na mocy nierówności Bessela  gdzie  oznacza bazę ortonormalną).

Powyższe twierdzenie można uogólnić w naturalny sposób na dowolne przestrzenie Hilberta: przestrzeń Hilberta o ciężarze  jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią  w szczególności

Charakteryzacja 
Niech  będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym  nad ustalonym ciałem. Następujące stwierdzenia są równoważne:
 1.  jest przestrzenią Hilberta;
 2. każda domknięta podprzestrzeń liniowa  przestrzeni  ma własność najmniejszej odległości:
 dla każdego  istnieje taki element  że
 
 przy czym  oznacza rzut na podprzestrzeń 
 3.  ma własność rozkładu ortogonalnego:
 dla każdej domkniętej podprzestrzeni  przestrzeni  zachodzi
 

 4.  ma własność reprezentacji Riesza:
 dowolny ciągły funkcjonał liniowy na  jest postaci  dla pewnego 

Poszczególne implikacje mają swoje nazwy:
  to twierdzenie o najlepszej aproksymacji (o zbiorze wypukłym),
  to twierdzenie o rzucie ortogonalnym,
  to twierdzenie Riesza o reprezentacji;

równoważność  jest treścią lematu do twierdzenia o rzucie ortogonalnym.

Z geometrycznego punktu widzenia wynika to ze wzajemnej odpowiedniości zbalansowanych zbiorów wypukłych i funkcjonałów liniowych oraz reguły równoległoboku charakteryzującej przestrzenie Hilberta wśród przestrzeni Banacha (por. twierdzenie Jordana-von Neumanna). Inną tego rodzaju charakteryzacją jest następujące twierdzenie: przestrzeń Banacha jest przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych trzech niewspółliniowych punktów wysokości wyznaczanego przez wspomniane punkty trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Kolejne charakteryzacje można znaleźć w pracy Pełczyńskiego.

Suma prosta przestrzeni Hilberta

Suma prosta dwóch przestrzeni Hilberta 
(1) Jeżeli  są przestrzeniami Hilberta, to ich sumą prostą  nazywa się przestrzeń Hilberta, która
 jest sumę prostą przestrzeni 
 ma iloczyn skalarnym danym wzorem,
 
 gdzie:
 
 
 

tzn. iloczyn skalarny wektorów sumy prostej jest równy sumie iloczynów skalarnych obliczonych między wektorami odpowiednich przestrzeni Hilberta.

(2) Norma elementów sumy prostej dana jest wzorem
 

Norma (długość) wektora sumy prostej jest więc sumą długości wektorów składowych, należących do dodawanych w sposób posty przestrzeni Hilberta.

Uwaga:

Suma prosta przestrzeni Hilberta różni się od sumy prostej przestrzeni liniowych tym, że ma dodatkowo zdefiniowany iloczyn skalarny.

Suma prosta przeliczalnej rodziny przestrzeni Hilberta 
Dla dowolnej, przeliczalnej rodziny przestrzeni Hilberta  indeksowanej elementami zbioru  sumą prostą
 

nazywa się przestrzeń Hilberta utworzoną ze wszystkich funkcji  na zbiorze  taką, że spełnione są warunki:
  dla każdego 
 zbiór  jest przeliczalny,
 

wyposażoną w normę
 
 gdzie 

Norma (długość) wektora sumy prostej przeliczalnej liczby przestrzeni Hilberta jest więc sumą długości wektorów składowych, należących do dodawanych w sposób posty przestrzeni Hilberta.

Zobacz też 
 sumy proste przestrzeni Banacha

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne 
  Hilbert space , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].

Przestrzenie Hilberta