Fibonaĉi-nombro

La nombroj de Fibonacci aŭ fibonaĉi-nombroj, estas elementoj de entjerosinsekvo

 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, … (),

en kiu la du unuaj elementoq estas aŭ 1 kaj 1, aŭ 0 kaj 1. Ili estis nomitaj honore de la itala matematikisto Leonardo Pisano, konata kiel Fibonaĉi. Pli formale tiun ĉi sinsekvon  oni difinas per rikura formulo:

 

aŭ

Oni povas ĝeneraligi fibonaĉi-nombroj por negativaj . Por trovi elementojn ĉe negativaj  oni uzu la renversitan formulon :

Oni povas facile rimarki ke .

Historio 
La sinsekvo estis konata ĉe barataj matematikistoj multe pli antaŭe ol la tempo de Fibonaĉi.

Ekster Barato la sinsekvo aperis en la libro Liber Abaci (1202) fare de Fibonaĉi. Li esploris la kreskadon de ideala (biologie neebla) populacio de kunikloj. En ĉiu paro de tiuj kunikloj ino ekde la dua monato de sia vivo naskas unu plian paron ĉiumonate kaj kunikloj neniam mortas. Do se komence estas unu paro ĵus naskitaj kunikloj, post monato estas ankaŭ unu paro, post du monatoj estas 2 paroj (la unua paro komencas naski), post tri monatoj — 3 paroj, post kvar monatoj — 5 paroj (naskas du paroj) k.t.p. Post n-a monato la kvanto da paroj egalas sumon de la kvanto post (n-1)-a monato (tiuj paroj jam estis kaj restis plu) kaj la kvanto post (n-2)-a monato (tiom da paroj estis naskitaj ĉi-monate).

La nomon “fibonaĉi-nombroj” unuafoje uzis en 19-a jarcento la franca matematikisto Édouard Lucas.

Rekta (ne rikura) formulo 
Ekzistas formulo por kalkuli nur la n-an Fibonaĉi-nombron ne kalkulante ĉiujn antaŭajn. Oni konas ĝin kiel la formulo de Binet, kvankam ĝin pli frue konas Abraham de Moivre:

Ligo kun la triangulo de Pascal 

La fibonaĉi-nombroj aperas en la triangulo de Pascal kiel sumoj de ĝiaj elementoj laŭ strekoj, indikitaj sur la bildo dekstre. La sumojn oni povas esprimi tiel:

Ligo kun la Ora proporcio 
Laŭ la formulo de Binet:

 

 ()

;

 estas la ora proporcio;  kaj  estas solvoj de la kvadrata ekvacio .

Rondiga kalkulado 
Ĉar  por ĉiu , do  estas la plej proksima entjero por :

aŭ, uzante la plankan funkcion:

Sciante, ke  estas fibonaĉi-nombro oni povas trovi ĝian numeron:

Limeso de kvociento de fibonaĉi-nombroj 
Johano Keplero trovis, ke ekzistas limeso de kvociento de -a fibonaĉi-nombro per la -a, kaj tiu limeso estas .

Eblas ĝeneraligi tiun ĉi formulon:

Potencoj de la ora proporcio 
Estas vera la sekva egalaĵo:

Uzante ĝin kiel la bazon por indukto oni povas pruvi, ke

Identaĵoj 
1). .

Same per indukto oni povas facile pruvi la tri sekvajn identaĵojn:

2). ;

3). ;

4). .

La lastan identaĵon oni povas ilustri, tranĉante la ortangulon kun lateroj je  kaj  en kvadratojn kun lateroj je  (vidu la bildon dekstre).

La identaĵoj de Cassini kaj de Catalan 
La identaĵo de Cassini deklaras ke:

5.) 

Ĝia ĝeneraligo estas identaĵo de Catalan:

6.)

Aliaj 
7). 

8). 

9). 

10). 

11). 

Pli ĝenerala:

12). 

13). 

Se oni kalkulos la determinantojn do oni ricevos la identaĵon de Cassini.

14).

Ĝeneraligoj 
Ekzistas multaj ĝeneraligoj de fibonaĉi-nombroj:

 Por negativaj  — “negafibonaĉi”.
 Ĝeneraligoj por reeloj kaj kompleksaj nombroj. Por tio oni uzas oran proporcion kaj kaj modifitan formulo de Binet.
 Starto de aliaj enjeroj. Ekzemple, la nombroj de Lucas ():   .
 La sekvantan nombron oni kalkulas el du antaŭaj per iu lineara formulo. Ekzemple, nombroj de Pell ():   .
 Por kalkuli la sekvantan nombron oni adicias nombrojn ne tuj antaŭajn. Ekzemple, la sinsekvo de Padovan ():  .
 Por kalkuli la sekvantan nombron oni adicias la 3 antaŭajn nombrojn (tribonaĉi-nombroj: ), la 4 anaŭajn nombrojn k.t.p.
 Oni konsideras sinsekvon de iuj objektoj (ne entjeroj), kiu formiĝas per reguloj similaj al fobonaĉaj. Ekzemple, fibonaĉi-polinomoj:

Vidu ankaŭ 

 Teoremo de Carmichael pri primaj faktoroj.
 Fibonaĉi-poemo

Eksteraj ligiloj 
 Listo de 300 unuaj fibonaĉi-nombroj (angle).

Referencoj 

Entjeraj vicoj
Teoria biologio