Transformacja Laplace’a



Definicja podstawowa 
Jednostronną transformatą Laplace’a funkcji  nazywamy następującą funkcję 
 

często zapisywaną, zwłaszcza w środowisku inżynierskim, w następującej formie:
 

Niech X oznacza przestrzeń funkcji, dla których powyższa całka (zwana całką Laplace’a) jest zbieżna. Wtedy funkcję  nazywamy transformacją Laplace’a.

Należy zwrócić uwagę na rozróżnienie pomiędzy pojęciem transformaty a transformacji Laplace’a. Zgodnie z powyższą definicją transformacja Laplace’a jest przekształceniem zbioru funkcji, dla których całka Laplace’a jest zbieżna w zbiór funkcji zespolonych zmiennej zespolonej. Natomiast transformata Laplace’a jest jedynie obrazem pewnej funkcji  przez transformację Laplace’a.

Matematykiem, który zdefiniował transformację Laplace’a i od którego nazwiska wzięła ona nazwę był Pierre Simon de Laplace.

Warunki zbieżności całki z transformatą Laplace’a 
Warunkiem dostatecznym jest istnienie funkcji, która majoryzuje, czyli ogranicza wykładniczo funkcję  istnieje takie  oraz  i  że zachodzi nierówność:
  dla

Interpretacja oraz związek z transformatą Fouriera i transformatą Z 

Wykresy funkcji poddanych przekształceniu Laplace’a przedstawia się na płaszczyźnie zespolonej (tzw. płaszczyźnie S).

Funkcja rzeczywista czasu może być przetransformowana na płaszczyznę S poprzez scałkowanie iloczynu takiej funkcji z wyrażeniem  w granicach od  do  gdzie  jest liczbą zespoloną
 

Jeden ze sposobów na zrozumienie, co otrzymuje się w wyniku takiego działania, polega na zwróceniu się ku analizie Fouriera. W analizie Fouriera krzywe harmoniczne sinus i cosinus (z wzoru Eulera mamy bowiem  zob. też szereg Fouriera) mnożone są przez sygnał i wynikowe całkowanie dostarcza wskazówki na temat sygnału obecnego dla danej częstotliwości (na przykład energii sygnału dla danego punktu w dziedzinie częstotliwości, zob. też widmo sygnału).

Transformacja S (powszechnie określana mianem transformacji Laplace’a) wykonuje podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze. Wyrażenie  ujmuje nie tylko częstotliwości, ale również rzeczywiste efekty  Transformacja S uwzględnia więc nie tylko przebiegi częstotliwościowe, ale także efekty o charakterze zaniku. Na przykład krzywa sinusoidalna tłumiona może być odpowiednio zamodelowana za pomocą transformacji S. Transformacja Laplace’a stanowi więc uogólnienie transformacji Fouriera. Ściślej przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace’a dla  Podobnie transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera.

Powiązanie transformaty Laplace’a z transformatą Z zob. metoda Tustina.

Własności

Liniowość

Transformata pochodnej 
  gdzie  oznacza granicę prawostronną funkcji  w punkcie

Pochodna transformaty

Transformata całki

Całka transformaty

Przesunięcie w dziedzinie transformaty

Transformata funkcji z przesunięciem 
 
 
 gdzie  oznacza skok jednostkowy.

Splot jednostronny 
 
 Jest to tzw. twierdzenie Borela o splocie.

Transformata funkcji okresowej o okresie T

Własności graniczne

Transformaty Laplace’a częściej spotykanych funkcji 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gdzie  – stała Eulera.

Transformata odwrotna Laplace’a 

Transformatą odwrotną funkcji  nazywamy taką funkcję  której transformatą jest 
  jeżeli

Zastosowanie 

Transformata Laplace’a posiada kilka własności, które czynią ją szczególnie użyteczną w analizie liniowych układów dynamicznych. W inżynierii i fizyce jako narzędzie analizy graficznej wykorzystywana jest płaszczyzna S. Na płaszczyźnie S, mnożenie przez  daje efekt różniczkowania (zob. człon różniczkujący), dzielenie przez  daje efekt całkowania (zob. człon całkujący). Analiza pierwiastków zespolonych równania na płaszczyźnie S i przedstawienie ich na wykresie Arganda, może ujawnić informacje na temat charakterystyk częstotliwościowych i na temat stabilności układu (przebieg rzeczywistej funkcji czasu).

Kodowanie oznaczenia 
W Unikodzie symbol transformaty Laplace’a ma postać:

W LaTeX-u używa się znacznika:

Zobacz też 
 transformacja Z

Bibliografia

Linki zewnętrzne 
 

Transformaty
Równania różniczkowe