Przestrzeń Banacha

Przestrzeń Banacha – przestrzeń unormowana  (z normą  ), w której metryka wyznaczona przez normę, tj. metryka  dana wzorem
 

jest zupełna. Zupełność metryki oznacza, że każdy ciąg Cauchy’ego elementów przestrzeni  jest zbieżny (do pewnego elementu przestrzeni ).

Idea przestrzeni unormowanej zupełnej przewijała się wielokrotnie w pracach takich matematyków jak Erik Ivar Fredholm, David Hilbert, Frigyes Riesz i innych. Badając równania różniczkowe i całkowe, stykali się oni z konkretnymi przestrzeniami funkcyjnymi jak np. przestrzeń funkcji ciągłych czy funkcji całkowalnych w -tej potędze dla  Norbert Wiener i Stefan Banach zdefiniowali to pojęcie niezależnie od siebie. Określenia przestrzenie Banacha (fr. les espaces de S. Banach) jako pierwszy użył Maurice Fréchet, honorując w ten sposób polskiego matematyka za wkład w badanie tego rodzaju przestrzeni. Sam Banach nazywał je w swoich pracach przestrzeniami typu B. Pojęcie przestrzeni Banacha stało się fundamentalne dla rozwoju ówczesnej analizy funkcjonalnej.

Przestrzenie Banacha zaliczają się do klasy przestrzeni liniowo-topologicznych. W szczególności, każda przestrzeń Banacha jest przestrzenią Frécheta. Z ogólnego faktu teorii przestrzeni metrycznych wynika, że podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha sama jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona domknięta.

Przykłady 
W dalszym ciągu symbol  oznaczać będzie ciało liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

Ciała liczbowe i przestrzenie skończenie wymiarowe 
Ciało  traktowane jako przestrzeń liniowa nad samym sobą, jest jednowymiarową przestrzenią Banacha z normą wartości bezwzględnej (modułu). Jest to jeden z podstawowych faktów klasycznej analizy matematycznej. W przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej wszystkie normy są równoważne oraz każda norma jest zupełna. Dokładniej, w każdej przestrzeni skończenie wymiarowej istnieje dokładnie jedna liniowa topologia, która jest normowalna. W przestrzeniach współrzędnych  najczęściej używa się normy euklidesowej, będącej uogólnieniem wartości bezwzględnej. Dla elementów postaci
 

norma ta dana jest wzorem
 

Gdy rozważana przestrzeń współrzędnych jest rzeczywista, to w powyższym wzorze można opuścić symbole wartości bezwzględnej. Inną (równoważną jej) normą jest np. tzw. norma maksimum, dana wzorem
 

Wśród przestrzeni Banacha przestrzenie skończenie wymiarowe wyróżniają następujące własności (niezachodzące w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych):
 Każdy funkcjonał liniowy, a nawet ogólniej każde przekształcenie liniowe w przestrzeń unormowaną, przestrzeni skończenie wymiarowej jest ciągłe.
 Domknięta kula jednostkowa oraz ogólniej dowolny domknięty i ograniczony podzbiór przestrzeni skończenie wymiarowej jest zbiorem zwartym.

Przestrzenie funkcji ciągłych i przestrzenie funkcji ograniczonych 
Przestrzeń  wszystkich skalarnych funkcji ciągłych określonych na zwartej (niekoniecznie metryzowalnej) przestrzeni Hausdorffa  z działaniami określonymi punktowo, jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem
 

Ważnymi przykładami takich przestrzeni są  (przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku jednostkowym) czy  (przestrzeń funkcji ciągłych na liczbie porządkowej  z topologią porządkową).

Powyższą konstrukcję można uogólnić. Niech  będzie przestrzenią Banacha. Wówczas przestrzeń  wszystkich funkcji ciągłych  z normą
 

jest przestrzenią Banacha.

Przestrzenie   i  

Przestrzeń zwartą  powyżej można zastąpić dowolnym zbiorem  wymagając dodatkowo, by rozważane funkcje były ograniczone (nie zakłada się ciągłości), gdyż zbiór  nie ma wybranej żadnej topologii. Tak zdefiniowaną przestrzeń ograniczonych funkcji  oznacza się symbolem  Jest to również przestrzeń Banacha. Gdy  jest ciałem skalarów, to oznacza się tę przestrzeń krótko przez  bądź nawet  gdy  jest zbiorem liczb naturalnych.

Przestrzeń  jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią  funkcji ciągłych na  tj. na uzwarceniu Čecha-Stone’a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną.

Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony zatem podprzestrzenie  i  ciągów liczbowych, odpowiednio, zbieżnych i zbieżnych do zera są podprzestrzeniami przestrzeni  Podprzestrzenie te są domknięte, a więc są również przestrzeniami Banacha. Nie każda podprzestrzeń przestrzeni  jest jednak domknięta:

Przestrzeń  
Niech
 

tzn.  jest takim ciągiem, który na -tym miejscu ma jedynkę, a wszystkie inne jego wyrazy są zerowe, to symbolem  oznacza się zbiór wszystkich skończonych kombinacji liniowych ciągów  Innymi słowy elementami przestrzeni  są wszystkie ciągi liczbowe, których tylko skończona liczba wyrazów jest różna od zera. Przestrzeń  jest podprzestrzenią liniową przestrzeni  ponieważ suma dwóch ciągów o skończenie wielu wyrazach niezerowych ma nadal skończenie wiele wyrazów niezerowych. Ciąg
 

jest ciągiem Cauchy’ego punktów (ciągów) z przestrzeni  który jest zbieżny w przestrzeni  do ciągu
 

a zatem przestrzeń  nie jest przestrzenią Banacha.

Przestrzenie  przestrzenie Lorentza 

Dla ustalonego  oraz dowolnej przestrzeni z miarą ( ) przestrzeń  funkcji całkowalnych w -tej potędze na  jest przestrzenią Banacha. Szczególną klasą przestrzeni tego typu są przestrzenie  ciągów sumowalnych w -tej potędze na zbiorze  Ogólniej, przestrzenie Lorentza  i przestrzenie Orlicza są przestrzeniami Banacha.

Operatory liniowe ograniczone 
Przestrzeń liniowa  wszystkich odwzorowań (inaczej operatorów) liniowych i ciągłych przestrzeni Banacha  w przestrzeń Banacha  z normą
 

jest przestrzenią Banacha. Gdy  to norma operatorowa wyraża się wzorem
 

Przestrzeń  z mnożeniem przekształceń zdefiniowanym jako zwykłe złożenie funkcji jest algebrą Banacha z jedynką. W algebrze tej można wyróżnić następujące ideały:
 ideał operatorów skończonego rzędu (tzn. takich, których obraz jest skończenie wymiarową podprzestrzenią ) oraz jego domknięcie, ideał operatorów aproksymowalnych,
 ideał operatorów zwartych,
 ideał operatorów słabo zwartych,
 ideał operatorów ściśle singularnych,
 ideał operatorów, których obraz jest ośrodkową podprzestrzenią 
 ideał operatorów Hilberta-Schmidta (w teorii przestrzeni Hilberta).

oraz wiele innych. Wszystkie wymienione wyżej ideały, poza ideałem operatorów skończonego rzędu oraz ideałem operatorów Hilberta-Schmidta, są domknięte. Do klas operatorów ograniczonych w przestrzeniach Banacha, które nie tworzą ideału zaliczają się
 operatory Fredholma,
 operatory nuklearne.

Przestrzeń sprzężona. Przestrzenie refleksywne 

Jeżeli  jest przestrzenią unormowaną nad ciałem  liczb rzeczywistych bądź zespolonych, to z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że przestrzeń  wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych na  jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń tę oznacza się symbolem  (czasem również ) i nazywa przestrzenią sprzężoną do  Pojęcie przestrzeni sprzężonej pozwala na zdefiniowanie tzw. słabej topologii w  oznaczanej symbolem  tj. najsłabszej topologii względem której elementy przestrzeni  są ciągłe.

Przestrzeń  można w naturalny sposób utożsamić z podprzestrzenią przestrzeni  (przestrzeni sprzężonej do sprzężonej), przyporządkowując każdemu elementowi  przestrzeni  funkcjonał  dany wzorem
 

Dla każdego  tak określony funkcjonał  jest elementem przestrzeni  oraz odwzorowanie  jest izometrią. Gdy odwzorowanie  jest „na”, tj.  to przestrzeń  nazywa się przestrzenią refleksywną. Ponieważ  jest automatycznie przestrzenią Banacha, więc każda przestrzeń refleksywna – również, jako przestrzeń liniowo izometryczna z przestrzenią Banacha.

Szeregi i bazy w przestrzeniach Banacha 
Przestrzenie Banacha można scharakteryzować poprzez zbieżność szeregów elementów przestrzeni. Mianowicie, przestrzeń unormowana jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy każdy szereg elementów tej przestrzeni normowo zbieżny jest zbieżny w tej przestrzeni. W przestrzeniach Banacha mogą istnieć szeregi zbieżne, które nie są normowo zbieżne – nazywa się, tak jak w przypadku szeregów liczbowych – szeregami warunkowo zbieżnymi. Zbiór liczb rzeczywistych (z normą „wartość bezwzględna”) jest przestrzenią Banacha, więc przykładem szeregu warunkowo zbieżnego jest szereg anharmoniczny, tzn.
 

podczas gdy szereg
 

jest rozbieżny.

Baza przestrzeni Banacha 
Niech  będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha. Ciąg  elementów tej przestrzeni nazywamy bazą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego elementu  istnieje taki ciąg skalarów  że
 

Jeśli istnieje baza przestrzeni  to jest ona złożona z takich niezerowych wektorów liniowo niezależnych, że domknięcie podprzestrzeni przez nie generowanej jest całą przestrzenią, tzn.
 

Wynika stąd, że jeśli przestrzeń ma bazę, to jest ona ośrodkowa, ponieważ każdy współczynnik kombinacji liniowej wektorów należącej do podprzestrzeni generowanej przez bazę jest granicą ciągu liczb wymiernych (gdy przestrzeń jest rzeczywista) lub jest granicą ciągu liczb zespolonych o wymiernej części rzeczywistej i urojonej (gdy przestrzeń jest zespolona).

Baza Schaudera 

Niech  będzie ciągiem elementów przestrzeni  Jeśli istnieje taki ciąg  elementów przestrzeni sprzężonej  że
  dla  oraz  dla 
 każdy element  można przedstawić jednoznacznie w postaci
 

to ciąg  nazywany jest bazą Schaudera przestrzeni  natomiast ciąg  nazywany jest ciągiem funkcjonałów biortogonalnych stowarzyszonych z 

Pojęcia bazy i bazy Schaudera mogą być stosowane wymiennie, ponieważ obie definicje są równoważne w klasie przestrzeni Banacha – ciąg  jest bazą przestrzeni  wtedy i tylko wtedy, gdy jest jej bazą Schaudera. Definicje te nie są na ogół równoważne w szerszych klasach przestrzeni liniowo-topologicznych.

Wymiar Hamela 

Baza Schaudera przestrzeni Banacha (o ile istnieje) nie jest bazą w sensie algebry liniowej (tzn. nie jest bazą przestrzeni liniowej). Dla odróżnienia, bazy (algebraiczne) przestrzeni liniowych nazywa się w analizie funkcjonalnej bazami Hamela, a ich moc – wymiarem Hamela.

Używając twierdzenia Baire’a, można udowodnić, że jeśli przestrzeń Banacha jest nieskończenie wymiarowa, to ma ona nieprzeliczalny wymiar Hamela. Nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha mają wymiar Hamela co najmniej continuum<ref>H.E. Lacey, The Hamel Dimension of any Infinite Dimensional Separable Banach Space is c, Amer. Math. Mon. ’80''' (1973), 298.</ref>.

 Zobacz też 
 wolna przestrzeń Banacha nad przestrzenią metryczną

 Przypisy 

 Bibliografia 
 
 
 
 

 Linki zewnętrzne 
  Banach space'' , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].

 
Hasła kanonu polskiej Wikipedii
Stefan Banach