Nierówności między średnimi

Nierówności między średnimi, nierówności Cauchy’ego między średnimi – nierówności porządkujące w ciąg nierosnący cztery średnie, tj. średnią kwadratową, arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną wyznaczone dla tego samego układu liczb dodatnich  Ich nazwa pochodzi od nazwiska Augustina Louisa Cauchy’ego, francuskiego matematyka.

Oznacza to, że:
 

Ponadto równości w powyższym wyrażeniu zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy liczby  są równe.

Nierówność między średnimi jest szczególnym przypadkiem nierówności między średnimi uogólnionymi.

Można też rozważać ważoną wersję tej nierówności:
 

dla
  i 

bądź wersję całkową:
 

dla  całkowalnej i dodatniej w

Dowody 
Nierówność Cauchy’ego między średnimi jest szczególnym przypadkiem nierówności między średnimi potęgowymi, więc dowód nierówności między średnimi potęgowymi jest jednocześnie dowodem nierówności Cauchy’ego, ale można przeprowadzić również osobne dowody, mniej lub bardziej zbliżone do dowodu nierówności między średnimi potęgowymi, dla poszczególnych nierówności zawartych wśród nierówności Cauchy’ego.

Średnia arytmetyczna i geometryczna

Dowód przy użyciu twierdzenia o ciągach jednomonotonicznych 
Niniejszy dowód korzysta z twierdzenia o ciągach jednomonotonicznych.

Weźmy dowolny ciąg liczb rzeczywistych dodatnich:  Możemy założyć bez straty ogólności, że jest on uporządkowany nierosnąco, ponieważ zbiór liczb rzeczywistych jest uporządkowany, ciąg ten jest wobec tego monotoniczny, a w szczególności jest jednomonotoniczny sam ze sobą. Następnie mnożąc kolejne elementy tego ciągu ‘po przekątnej’ i operację tę powtarzając  razy, jak na przykładzie dla  (mnożymy wyrazy tego samego koloru):
 

po dodaniu otrzymujemy:
 

zgodnie z twierdzeniem o ciągach jednomonotonicznych:
 

co po podzieleniu obustronnie przez  daje żądaną nierówność:

Dowód przy użyciu nierówności Jensena 
Funkcja  jest wklęsła w przedziale  Z nierówności Jensena dla funkcji wklęsłej przy
 

otrzymujemy, że dla dowolnych liczb dodatnich  zachodzi
 

Stąd:
 

Funkcja  jest rosnąca, więc jest to równoważne:
 

co kończy dowód.

Dowód przy użyciu nierówności Muirheada 
Biorąc ciągi  i  z nierówności Muirheada otrzymujemy natychmiast:
 

czyli

Średnia geometryczna i harmoniczna 
Zgodnie z nierównością między średnimi arytmetyczną i geometryczną:
 

gdzie  są dodatnie (z czego wynika, że ich odwrotności są dodatnie).

Funkcja
 

jest malejąca, więc po nałożeniu jej obustronnie na powyższą nierówność otrzymujemy:
 

co kończy dowód.

Średnia arytmetyczna i kwadratowa 
Dowód korzysta z twierdzenia o ciągach jednomonotonicznych.

Rozważmy sumę:
 

nierosnącego ciągu liczb rzeczywistych dodatnich 
Zgodnie z twierdzeniem o ciągach jednomonotonicznych jest to największa suma, jaką możemy uzyskać poprzez mnożenie wyrazów podanego ciągu.

Po pomnożeniu jej przez  otrzymujemy:
 

co zgodnie z nierównością jest nie mniejsze niż suma dowolnych  sum powstałych w wyniku podobnego mnożenia.

Łatwo zauważyć, że iloczyn:  jest sumą dokładnie  takich sum, zatem:
 

dzielimy obustronnie przez 
 

i wyciągamy obustronnie pierwiastek kwadratowy:
 

co kończy dowód.

Przykładowe zastosowania

Ciąg  dąży do 1 
Przy użyciu nierówności między średnią geometryczną a arytmetyczną oraz twierdzenia o trzech ciągach można wykazać, że
 

Rzeczywiście,
 

skąd
 

Ponieważ
 

więc również

Zobacz też 
 nierówność między średnimi potęgowymi
 nierówność Muirheada
 średnia kwadratowa
 średnia uogólniona

Przypisy 

M