Kryteria zbieżności szeregów

Kryteria zbieżności szeregów – grupa twierdzeń podających warunki (zwykle wystarczające) zbieżności bądź rozbieżności danego szeregu liczbowego.

W niniejszym artykule
 

oznacza szereg liczbowy, tzn. szereg o wyrazach rzeczywistych lub zespolonych. Artykuł ten stanowi przegląd wybranych kryteriów; dowody i przykłady zastosowań prezentowane są w artykułach dotyczących konkretnych kryteriów.

Warunek konieczny 
Podstawowym kryterium zbieżności szeregu jest warunek konieczny zbieżności:

Jeżeli szereg  jest zbieżny, to
 .

Przez prawo kontrapozycji, jeżeli granica ciągu  nie istnieje bądź istnieje i jest różna od  to szereg  jest rozbieżny.

Warunek konieczny zbieżności pozwala stwierdzić czy dany szereg nie jest zbieżny; nie mówi natomiast niczego na temat zbieżności szeregu. Badanie problemu zbieżności szeregu zwykle zaczyna się od sprawdzenia warunku koniecznego, a jeżeli ten jest spełniony, przechodzi się do kolejnych kryteriów.

 Przykłady
 Szereg
 
 jest rozbieżny, gdyż
 

 W przypadku, gdy
 
 warunek konieczny zbieżności nie rozstrzyga czy szereg jest zbieżny czy nie. Istotnie, szereg harmoniczny jest rozbieżny, tj.
 
 mimo że
 .
 Szereg
 
 jest jednak zbieżny (zob. problem bazylejski), choć w tym przypadku również

Warunek Cauchy’ego 
Każdy ciąg liczbowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego; zbieżność szeregu  oznacza zbieżność ciągu sum częściowych
 

Oznacza to, że szereg  jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
 .

Zbieżność bezwzględna 
Szereg  nazywany jest zbieżnym bezwzględnie, gdy zbieżny jest szereg
 

 Twierdzenie
 Każdy szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny.

 Dowód
 Załóżmy, że szereg  jest zbieżny. Spełnia on wówczas warunek Cauchy’ego, tzn. dla każdej liczby  istnieje taka liczba naturalna  że dla  oraz dowolnego 
 
 Z nierówności trójkąta wynika, że
 
 a zatem szereg  także spełnia warunek Cauchy’ego, więc jest zbieżny.

Powyższe rozróżnienie jest istotne, może się bowiem zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie – mówi się wtedy, że szereg jest zbieżny warunkowo. Twierdzenie Riemanna mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy szeregu warunkowo zbieżnego liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę.

Szeregi o wyrazach nieujemnych 
Ponieważ zbieżność bezwzględna implikuje zbieżność, istotne są kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych, które mogą być traktowane jako kryteria zbieżności bezwzględnej.

Wspólnym założeniem poniższych twierdzeń jest to, że wyrazy szeregu  są nieujemne. Bez straty dla ogólności wypowiadanych niżej twierdzeń można przyjąć, że szeregi te mają wyrazy dodatnie, tj.
 

i takie założenie jest niżej poczynione.

Kryterium porównawcze 

Niech
 

będzie szeregiem o wyrazach nieujemnych. Załóżmy, że istnieje takie  że dla wszelkich  zachodzi nierówność
 

Wówczas
 jeżeli szereg  jest zbieżny, to szereg  jest również zbieżny;
 jeżeli szereg  jest rozbieżny, to szereg  jest również rozbieżny.

 Wersja graniczna
Pod założeniem,  jeżeli istnieje granica
 
 gdy  to ze zbieżności szeregu  wynika zbieżność szeregu ;
 gdy  to z rozbieżności szeregu  wynika rozbieżność szeregu .
Jeżeli  oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.

 Wersja ułamkowa
Pod założeniem,  jeżeli dla dostatecznie dużych  spełniona jest nierówność
 

ze zbieżności szeregu  wynika zbieżność szeregu  (a więc z rozbieżności szeregu  wynika rozbieżność szeregu ).

Kryterium d’Alemberta 

Niech
 

 Jeżeli dla dostatecznie dużych  oraz pewnego  spełniona jest nierówność
 
 to szereg  jest zbieżny.

 Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych  spełniona jest nierówność
 
 to szereg  jest rozbieżny.

 Wersja graniczna
Jeżeli istnieje granica
 

to
 gdy  szereg  jest zbieżny, oraz
 gdy  szereg  jest rozbieżny.

Kryterium Cauchy’ego 

 Jeżeli
 
 to szereg  jest zbieżny.
 Jeżeli
 
 to szereg  jest rozbieżny.

 Wersja graniczna
Jeżeli istnieje granica
 

to
 gdy  szereg  jest zbieżny, oraz
 gdy  szereg  jest rozbieżny.

Kryterium Raabego 

Niech
 
 Jeżeli dla dostatecznie dużych  oraz pewnego  spełniona jest nierówność
 
 to szereg  jest zbieżny.

 Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych  spełniona jest nierówność
 
 to szereg  rozbieżny.

Kryterium Raabego można wypowiedzieć w sposób bardziej zwięzły.

 Jeżeli

 to szereg  jest zbieżny.
 Jeżeli dla prawie wszystkich   to szereg  jest rozbieżny.

 Wersja graniczna
Jeżeli istnieje granica
 

to
 szereg  jest zbieżny, gdy  oraz
 szereg  jest rozbieżny, gdy .

Kryterium Schlömilcha 

Niech
 
 Jeżeli
 
 to szereg  jest zbieżny.
 Jeżeli dla dostatecznie dużych  spełniona jest nierówność  to szereg  jest rozbieżny.

Kryterium Kummera (Diniego-Kummera) 

Niech  będzie takim ciągiem o wyrazach dodatnich, że
 

Niech ponadto
 
 Jeżeli dla dostatecznie dużych  oraz pewnego  spełniona jest nierówność
 
 to szereg  jest zbieżny.

 Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych  spełniona jest nierówność
 
 to szereg  jest rozbieżny.

 Wersja graniczna
Kryterium Kummera można spotkać również w niecło słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg  jest zbieżny do pewnego  to
 szereg  jest zbieżny, gdy  oraz
 szereg  jest rozbieżny, gdy .

Kryterium Bertranda 

Niech
 

Wówczas
 szereg  jest zbieżny, gdy
 
 szereg  jest rozbieżny, gdy
 .

 Wersja graniczna
Kryterium Bertranda można spotkać również w nieco słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg  jest zbieżny do pewnego  to
 szereg  jest zbieżny, gdy  oraz
 szereg  jest rozbieżny, gdy 

W przypadku, gdy  kryterium nie rozstrzyga.

Kryterium Gaussa 

Jeżeli istnieją takie liczby   oraz ciąg ograniczony  o tej własności, że dla dostatecznie dużych  zachodzi związek
 

to
 szereg  jest zbieżny, gdy  lub  oraz 
 szereg  jest rozbieżny, gdy  lub  oraz .

Kryterium całkowe 

Niech  będzie funkcją dodatnią i malejącą. Niech ponadto  dla każdego  Wówczas szereg  jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżna jest całka niewłaściwa
 .

Kryterium Jermakowa 

Niech  będzie nieujemną, malejącą funkcją ciągłą. Jeżeli dla dostatecznie dużych  tj.  dla pewnego  spełniona jest nierówność
 

to szereg
 

jest zbieżny. W przypadku gdy dla dostatecznie dużych  zachodzi nierówność
 

to szereg ten jest rozbieżny.

Kryterium Cauchy’ego zagęszczające 

Jeżeli ciąg wyrazów szeregu  jest nierosnący to szereg  jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
 

W sformułowaniu kryterium Cauchy’ego zagęszczającego (inaczej: kryterium zagęszczania lub konsensacyjnego) szereg  można zastąpić szeregiem
 

dla dowolnej niezerowej liczby naturalnej .

Kryterium Schlömilcha zagęszczające 

Niech dany będzie rosnący ciąg liczb naturalnych
 

o tej własności, że
 

dla pewnego  oraz wszystkich 

Jeżeli ciąg wyrazów szeregu  jest nierosnący, to szereg  jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
 .

Szeregi o wyrazach dowolnych

Kryterium Leibniza 

Jeżeli ciąg liczbowy  spełnia następujące warunki:
  dla wszystkich 
 
 ciąg  jest nierosnący, tj. 

to szereg
 

jest zbieżny.

Kryterium Abela 

Niech  będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli szereg  jest zbieżny, a ciąg  jest monotoniczny i ograniczony, to szereg
 

jest zbieżny.

Kryterium Dirichleta 

Jeżeli ciąg sum częściowych
 

szeregu  jest ograniczony, a  jest ciągiem liczb rzeczywistych, który jest monotoniczny i zbieżny do  to szereg
 

jest zbieżny.

Szeregi funkcyjne 

Niech  będzie dowolnym zbiorem oraz niech
 

będzie ciągiem funkcji. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych stosowane do szeregów
 

mogą jedynie rozstrzygać o zbieżności punktowej; nie mówią jednak nic o możliwej zbieżności jednostajnej. Wyszczególnione niżej kryteria zbieżności szeregów funkcyjnych pozwalają rozstrzygać o tym typie zbieżności.

Niżej
 

oraz
 

są dowolnymi ciągami funkcji.

Kryterium Weierstrassa 

Jeżeli dla każdej liczby naturalnej  istnieje taka liczba  że
 

dla każdego elementu  zbioru  oraz szereg liczbowy
 

jest zbieżny, to szereg funkcyjny
 

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze .

Kryterium Abela 

Jeśli
 szereg
 
 jest zbieżny jednostajnie w zbiorze 
 dla każdego  ze zbioru  ciąg  jest monotoniczny;
 istnieje taka liczba  że dla prawie każdej liczby naturalnej  oraz wszystkich elementów  zbioru  spełniony jest warunek
 

to szereg funkcyjny
 

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze .

Kryterium Dirichleta 

Jeżeli
 istnieje taka liczba dodatnia  że dla wszystkich liczb naturalnych  oraz wszystkich elementów  zbioru 
 
 dla każdego  ze zbioru  ciąg  jest monotoniczny oraz zbieżny jednostajnie do 

to szereg funkcyjny
 

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze .

Przypisy

Bibliografia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Szeregi