Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa – funkcja wielomianowa drugiego stopnia, czyli postaci:
 

gdzie  są pewnymi stałymi, przy czym  (co gwarantuje, że funkcja kwadratowa nie degeneruje się do funkcji liniowej). Funkcja kwadratowa jest wyznaczona przez pewien wielomian drugiego stopnia, dlatego nazywa się ją czasami trójmianem kwadratowym.

Edukacja szkolna obejmuje najczęściej funkcje kwadratowe o rzeczywistej dziedzinie, przeciwdziedzinie oraz współczynnikach, jednak funkcje te można definiować w dowolnym ciele.

Postacie funkcji kwadratowej

Postać ogólna (wielomianowa) 
Jest to postać podana w definicji we wstępie
 

gdzie  są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i .

Postać kanoniczna 
 

gdzie:
 

Wyrażenie  nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej 

Postać kanoniczną można wyprowadzić z postaci ogólnej:
 

Postać kanoniczna ułatwia kreślenie wykresu.

Postać iloczynowa 
 
Przedstawienie takie jest możliwe, o ile tylko wyróżnik  jest nieujemny (istnieje jego rzeczywisty pierwiastek).
W dziedzinie zespolonej jest zawsze możliwe – jeżeli  to
 

gdzie  jest jednostką urojoną.

Postać iloczynową można wyprowadzić z postaci kanonicznej, stosując wzór na różnicę kwadratów:
 

Postać iloczynowa ułatwia odczytanie jej miejsc zerowych (o ile istnieją).

Miejsca zerowe 

 
 Oznaczając
  oraz 
 można postać iloczynową zapisać
 
 gdzie  są różnymi miejscami zerowymi funkcji kwadratowej,
 
 wówczas  i postać iloczynowa ma postać:
 
 Funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe (któremu odpowiada dwukrotny pierwiastek wielomianu wyznaczającego funkcję; w związku z tym często mówi się wtedy nieprecyzyjnie, że miejsce zerowe jest podwójne)
 
 Funkcja kwadratowa nie ma postaci iloczynowej i nie ma miejsc zerowych w dziedzinie liczb rzeczywistych.

W liczbach zespolonych istnieją zawsze dwa rozwiązania (por. zasadnicze twierdzenie algebry) dane jw. zgodnie z uwagą poczynioną w poprzedniej sekcji. Różnią się one wtedy znakiem (urojonego) wyrażenia  są zatem sprzężone względem siebie.

Ze wzorów Viète’a wynika (także w dziedzinie zespolonej), że

Wykres 

W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej funkcja kwadratowa opisuje parabolę. Jej wierzchołkiem jest punkt  gdzie  są dane jw., który jest zarazem ekstremum funkcji kwadratowej. Ich zmiana powoduje więc przesunięcie wykresu o wektor  względem początku układu współrzędnych.

Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią  układu. W szczególności  co oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).

We układzie współrzędnych, przy zachowaniu skali:
  daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi  jeżeli  to są one skierowane przeciwnie,
 zwiększanie  sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”; jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”,
 zmiana  powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią  przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem  jeżeli  lub przeciwnie do niego, jeżeli 
 parametr  odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż  zgodnie z jej zwrotem, gdy  lub przeciwnie do niego, gdy 

Każda parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej ma oś równoległą do osi  Każde dwie parabole są podobne. Dokładniej, jeśli
 
 

to skala podobieństwa paraboli będącej wykresem  względem paraboli będącej wykresem  jest równa

Własności i przebieg zmienności 

Niżej zakłada się, iż 
 dziedzina i przeciwdziedzina: określona wszędzie; zbiorami wartości są przedział  dla  i przedział  dla 
 monotoniczność: maleje (rośnie) w przedziale  po czym rośnie (maleje) w przedziale  dla 
 ciągłość, różniczkowalność, całkowalność: w całej dziedzinie, funkcja gładka; całkowalna w sensie Riemanna, Lebesgue’a itd.,
 pochodne:
 
 
  dla 
 funkcja pierwotna
 
 ekstrema: jedno ekstremum globalne w punkcie  (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla  i maksimum dla  (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej),
 wypukłość: wypukła dla  i wklęsła dla  (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej),
 parzystość i nieparzystość: parzysta wyłącznie dla  nigdy nieparzysta,
 okresowość, punkty przegięcia i asymptoty: brak.

Konforemność 
Funkcja kwadratowa  gdzie  jest odwzorowaniem równokątnym (konforemnym) przekształcającym płaszczyznę zespoloną (parametryzowaną zmienną)  w dwulistną płaszczyznę (parametryzowaną zmienną)  Siatka izometryczna  składa się z dwóch rodzin hiperbol:
 

Punktami stałymi tego odwzorowania są  oraz .

Przykłady i zastosowania 
 Pole koła jest kwadratową funkcją promienia (a zatem i średnicy).
 Pole rombu, na przykład kwadratu, jest kwadratową funkcją długości boku. To samo dotyczy innych wielokątów foremnych.
 Pole sfery jest kwadratową funkcją jej promienia (a zatem i średnicy).
 Pole wielościanów foremnych jest kwadratową funkcją długości krawędzi.
 Funkcja cosinus może być przybliżana funkcją kwadratową.
 Suma ciągu arytmetycznego, na przykład kolejnych liczb naturalnych (tak zwana liczba trójkątna), jest kwadratową funkcją liczby wyrazów.

 W kinematyce: dla ruchu jednostajnie zmiennego położenie (droga) jest kwadratową funkcją czasu. Przyspieszenie dośrodkowe jest kwadratową funkcją prędkości liniowej lub kątowej.
 W dynamice: dla wysokich prędkości opór ośrodka jest kwadratową funkcją prędkości.
 Energia kinetyczna jest kwadratową funkcją prędkości lub pędu.
 Energia potencjalna dla sprężyny lub innego obiektu spełniającego prawo Hooke’a jest kwadratową funkcją położenia.
 Rzut ukośny, przy zaniedbaniu oporów ruchu, jest opisany funkcją kwadratową. Jego trajektorią jest wykres funkcji kwadratowej, czyli parabola.

Zobacz też 

 funkcja liniowa
 jednorodna funkcja kwadratowa
 równanie kwadratowe, równanie dwukwadratowe

Uwagi

Przypisy

Bibliografia 
 

Funkcje ciągłe