Afgeleide

In de wiskunde is de afgeleide of het differentiaalquotiënt een maat voor verandering van een functie ten opzichte van verandering van zijn variabelen. Voor een functie in één variabele is de eerste afgeleide de limiet van de verhouding tussen de verandering in de functiewaarde en de verandering in de variabele die daaraan ten grondslag ligt. Wanneer die variabele een reële variabele is betekent dit meetkundig dat de afgeleide op een bepaald punt gelijk is aan de helling van de raaklijn aan de grafiek van deze functie in dit punt. 

Het woord afgeleide is hier in feite een afkorting van afgeleide waarde. Het is een waarde die van de oorspronkelijke functie is afgeleid. Het bepalen van de afgeleide van een functie heet differentiëren. Het begrip differentiaalquotiënt is historisch ontstaan, doordat de veranderingen, het verschil of de differentie, tussen een oorspronkelijke waarde en een kleine afwijking daarvan liggen.

Als de afgeleide van een functie  gedefinieerd is voor alle punten in het domein van , wordt de daardoor bepaalde functie de afgeleide functie of kortweg de afgeleide genoemd. Het concept van de afgeleide van een functie werd in de 17e eeuw vrijwel tegelijkertijd door Isaac Newton en Gottfried Leibniz bedacht.

Volgens de hoofdstelling van de integraalrekening is differentiëren de omgekeerde bewerking van integreren.

Definitie 
De afgeleide van de functie  die differentieerbaar in het punt  is van het domein, is gedefinieerd als:

 

Als de functie in het hele domein differentieerbaar is, heet  de afgeleide functie, die ook wordt genoteerd als:

 

Een equivalente definitie, die eenvoudiger naar de multivariabele analyse kan worden gegeneraliseerd, is de volgende:

Als er een reëel getal  en een functie  bestaan, zodat voor alle  geldt
 

en bovendien , dan is  de afgeleide van  in .

Meer variabelen 
Een functie  in meer variabelen kan naar ieder van de variabelen apart worden gedifferentieerd. Een partiële afgeleide van  is in dat geval een afgeleide van , waarbij alleen naar een variabele de afgeleide is genomen en de andere variabelen als constanten worden beschouwd. De richtingsafgeleide breidt dit uit naar een willekeurige eenheidsvector.

Voorbeeld 1 
Een fietser rijdt langs een rechte weg. De weg die hij heeft afgelegd in de tijd  sinds hij begon te fietsen, is . Hoe snel fietste hij op het tijdstip ? Zijn snelheid wordt min of meer bepaald door de afstand die hij aflegde in de tijd  na het tijdstip . Deze afstand is:

 

Zijn gemiddelde snelheid in die periode was:

 

Hoe kleiner de periode  is, hoe meer de gemiddelde snelheid de snelheid  op het tijdstip  zal benaderen. Die snelheid is de limiet voor  naar 0 en heet de afgeleide van  naar :

Raaklijn 

Laat  een continue functie zijn. De raaklijn in het punt  aan de grafiek van  verkrijgt men door een koorde te beschouwen tussen de punten  en  en de afstand  steeds kleiner te nemen.

De helling van de koorde door de twee punten is
 

Als de limiet voor afnemende  bestaat, is deze limiet de richtingscoëfficiënt van de raaklijn en wordt de afgeleide van  in het punt  genoemd.

Notatie van afgeleide 

De afgeleide van een functie  met variabele  wordt genoteerd als , spreek uit "-accent", of als het differentiaalquotiënt . De notatie  wordt ook gebruikt. 

Varianten in de notatie zijn:  of eenvoudigweg .

Als , schrijft men soms ,  of , of om verwarring te voorkomen .

Hogere afgeleiden worden op dezelfde manier genoteerd. Zo wordt de tweede afgeleide geschreven als , of soms als , en de -de afgeleide als . Ook als hogere differentiaalquotiënten gebruikt men
  of 
en 
  of

Eenvoudige uitleg schrijfwijzen 
De eerste afgeleide van een functie  kan op meer manieren worden geschreven, zoals:

 

In deze notaties kan  of  ook vervangen worden door .

Eerste en hogere afgeleiden 
De eerste afgeleide komt veel binnen de wiskunde voor, vooral in de analyse. Meestal wordt over de eerste afgeleide gesproken als alleen de afgeleide. Om  verschil te maken met afgeleiden van een hogere graad, zoals de tweede afgeleide, is er de aanduiding eerste afgeleide.

De eerste afgeleide van een functie geeft de mate van verandering van de functiewaarden aan en daarmee de mate van stijgen of dalen van de grafiek van de functie. De waarde van de eerste afgeleide functie in een bepaald punt geeft de waarde van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in dat punt. Als de functie stijgt, is de afgeleide positief en als ze daalt, is de afgeleide negatief. De eerste afgeleide kan zo worden gebruikt om de extreme waarden van een functie, de maxima en de minima, op te sporen.

In een punt, waar een differentieerbare functie een extreme waarde bereikt, waar aan de ene kant de grafiek stijgt en aan de andere kant daalt, moet de eerste afgeleide wisselen van teken. In dat punt is de eerste afgeleide dus nul. Omgekeerd geldt dit niet! Een eerste afgeleide gelijk aan nul impliceert niet dat er een extreme waarde optreedt. Een punt waarin de afgeleide gelijk is aan 0, heet een stationair punt van de functie. In zo'n punt heeft de functie een extreme waarde of het is een buigpunt.Neem bijvoorbeeld . De eerste afgeleide van  is . Nu is , maar in  heeft  geen maximum of minimum, maar het punt  de oorsprong, is een buigpunt van . Als de eerste afgeleide een meervoudig nulpunt is dat een even aantal keren voorkomt, heeft de functie daar een buigpunt.

Afgeleiden van hogere orden 
Is van een functie  de afgeleide  ook differentieerbaar, dan is het mogelijk hiervan de afgeleide  te bepalen. Deze heet de afgeleide van de tweede orde, of kortweg tweede afgeleide van . Ook nog hogere afgeleiden komen voor. De -de afgeleide van  wordt, als deze bestaat, aangeduid met , of als  een functie is van de variabele  ook als:

 ,   of 

De hogere afgeleiden van een functie  kunnen bepaald worden uit de betrekking

Afgeleiden van elementaire functies 
 De afgeleide van de constante functie  (constant) is:
 

 De afgeleide van  is:
 

 De afgeleide van  is:
 

 

 De afgeleide van  voor natuurlijke :
  
 met
 ,
 dus:
 
 Voor  is de bovenstaande afleiding niet geldig voor , omdat  niet gedefinieerd is. Bijgevolg geldt de bovenstaande formule voor de afgeleide van  voor . De formule kan geldend gemaakt worden door de afspraak dat hier zal gelden dat .

 De regel voor de afgeleide van  waarin , kan uitgebreid worden naar  waarin , een geheel getal verschillend van 0.
 De afgeleide van  is:
 

 De regel kan nog verder worden uitgebreid naar  waarin , een rationaal getal verschillend van 0.
De afgeleide van  is:
 

 De afgeleide van 
 
met
 ,
dus:
 

 Met deze regel kan verder afgeleid worden voor de afgeleide van  met , dat voor  geldt:
 

 De afgeleide van , de natuurlijke logaritme 
 Deze afleiding is moeilijker dan de drie bovenstaande en vereist universitaire kennis met betrekking tot continuïteit en de e-macht. Verderop in dit artikel staat een vlotte, elegante afleiding via de kettingregel.
 Noem ten behoeve van notatie: .
 
 
 (Gebruik continuïteit van de logaritme om de limiet en logaritme te verwisselen)
 

 
 (Gebruik een karakterisering van de e-macht)
 
 Analoog:
 
 
 Omdat linker- en rechterlimiet gelijk zijn, geldt:
 

 Afgeleiden van goniometrische functies onder gebruikmaking van de onderstaande rekenregels:
De afleiding van de afgeleide van de sinus berust op de gehanteerde definitie, bijvoorbeeld de reeksdefinitie.
 
 
 
 

 Afgeleiden van cyclometrische functies
 
 
 
 

 Afgeleiden van hyperbolische functies

Rekenregels 
 Lineariteit:
 
 Somregel:
 
 Productregel:
 
 Quotiëntregel:
 
 Kettingregel: 
 
 Afgeleide van inverse functie:

Toepassing van de rekenregels 
Met behulp van de rekenregels kan een eenvoudiger afleiding worden gegeven voor de afgeleide van de logaritme. De logaritme is de inverse van de e-macht, dus:
 
dus:
 .

We vinden ook de regel voor de vierkantswortel:
  mits .

Met behulp van de kettingregel kan ook de afgeleide van  worden bepaald, namelijk
 , 
en dus:

Niet differentieerbaar 
De functie  is weliswaar continu in het punt 0, maar daar niet differentieerbaar. Er geldt namelijk:
 
en
 

De linker- en rechterlimieten zijn ongelijk aan elkaar. Dit is aan de vorm van de grafiek van de functie ook goed te zien.

De functie signum of het teken van : 
 
is niet continu in het punt 0 en dus daar niet differentieerbaar. Er geldt:
 
en

Functies van meer dan een variabele 
Als de functie  van meer dan één veranderlijke afhangt, kan men alle veranderlijken op een na een constante waarde geven en de afgeleide ten opzichte van de ene overblijvende veranderlijke bestuderen. Deze afgeleiden heten partiële afgeleiden.

Het artikel differentieerbaarheid bespreekt hoe de afgeleide van een functie van  naar  kan worden opgevat als een matrix.

Fractionele afgeleiden 
Het is ook mogelijk afgeleiden van niet-gehele orde te definiëren, bijvoorbeeld van orde . Deze hebben met integralen gemeen dat hun waarde van zowel een boven- als een ondergrens afhangt. Bij afgeleiden van gehele orde is dit niet zo. Een van de manieren waarop een dergelijke fractionele afgeleide bepaald kan worden is door eerst een functie aan fouriertransformatie te onderwerpen, vervolgens te vermenigvuldigen met de frequentie  tot de macht , en daarna weer terug te transformeren.

Toepassingen 
Belangrijke toepassingen vindt de afgeleide in de wiskunde. Zo kan een maximum of minimum van een functie gevonden worden door de afgeleide te bepalen. Indien een functie voor een bepaalde -waarde een (lokaal) maximum of een (lokaal) minimum bereikt, dan is de afgeleide van de functie op dat punt indien deze bestaat gelijk aan nul, en wisselt bij de daaropvolgende -waarden van teken (wordt positief of juist negatief). Om een grafiek van een functie met de hand te tekenen is het daarom zinvol eerst de eventuele maxima en minima te bepalen. Om te bepalen of de punten waarin de afgeleide gelijk is aan nul maxima of minima zijn wordt soms gebruikgemaakt van de Hessiaan.

Een toepassing van de tweede afgeleide is het volgende. Indien  een punt is waarvoor geldt dat , dan is het punt  een buigpunt, een lokaal maximum of een lokaal minimum. Deze drie gevallen kunnen onderscheiden worden door naar waarde  van de tweede afgeleide in het punt  te kijken. Als , is er sprake van een lokaal maximum, en als , is er een lokaal minimum. Is , dan is nader onderzoek nodig van het verloop van de tweede afgeleide in een omgeving van  om een uitspraak (buigpunt, lokaal maximum, lokaal minimum) te kunnen doen.

Veel toepassingen heeft de afgeleide ook in de natuurkunde. Zo is bijvoorbeeld de snelheid de afgeleide bij het berekenen van plaats als functie van tijd. De versnelling is (bij een rechtlijnige beweging) dan weer de afgeleide van de snelheid.

Ook binnen de economie heeft de afgeleide verschillende toepassingen, zeker sinds de zogenaamde "marginale revolutie" binnen de economische wetenschap. Via de afgeleide kunnen we begrippen als marginale opbrengst en marginale kosten berekenen. In deze gevallen gaat het om de afgeleide van de totale opbrengst en de totale kosten.

Voorbeeld 2 

De continue functie  stijgt tot , de eerste afgeleide is er daar positief en in het punt  bereikt  een maximum.

Voor  daalt , de eerste afgeleide is er negatief, tot een minimum wordt bereikt, in het minimum is de afgeleide 0. Daarna begint  opnieuw te stijgen en is de eerste afgeleide weer positief.

Toepassing 

De grafiek van een kwadratische functie is een parabool. De algemene vorm is:
 , met .

Deze functie is differentieerbaar, zodat we de plaats van de extreme waarden kunnen bepalen door na te gaan waar de afgeleide nul is.
Dit levert de vergelijking:

 ,
met als oplossing:

 .

Omdat de afgeleide hier van teken wisselt, is de functiewaarde in dit punt inderdaad een extreme waarde, dus een minimum of een maximum. 

We nemen als voorbeeld 
 ,

dus met:
 .

Deze parabool is een dalparabool en heeft een extreme waarde in het punt . In  heeft  een minimum.

Veel voorkomende afgeleiden 
 Lijst van afgeleiden

Websites 
 

 
Mechanica
Wiskundige analyse