Perdület

A perdület, más néven impulzusnyomaték, vagy impulzusmomentum a klasszikus fizikában egy test forgási mozgásállapotát jellemző vektormennyiség.

Jele: N, mértékegysége a kg•m2/s, vagy az ezzel ekvivalens N•m•s.
Jele a IUPAC dokumentumaiban L.

A kvantummechanikában az impulzusmomentum a hullámfüggvény forgatásokkal szembeni viselkedését leíró mennyiség. A nulla impulzusmomentum például azt jelenti, hogy a hullámfüggvény a forgatás során változatlan marad, azaz forgásszimmetrikus.

A klasszikus mechanikában

Definíció 
Egy mozgó tömegpont adott pontra vonatkoztatott perdületét az alábbi kifejezés adja meg: , ahol  a tömegpont adott vonatkoztatási pontból mért helyvektora, és  a lendülete, azaz a tömeg és a sebesség szorzata.

A vektorszorzat definíciója alapján az , a  és az  vektorok jobbsodrású vektorrendszert alkotnak, és az impulzusnyomaték nagysága a következő szerint számolható: 
, ahol  a helyvektor és az impulzus által bezárt szög.

Több tömegpontból álló rendszer adott pontra vonatkoztatott teljes perdülete az egyes pontok perdületeinek vektori eredője:

Merev testek rögzített tengely körüli forgása esetén az impulzusnyomatékot a fenti vektorszorzat helyett egyszerűbb alakban is felírhatjuk: 
, ahol  a forgás szögsebessége és  a test adott tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka.

A perdülettétel, azaz a perdület megváltozása és a forgatónyomaték 

Legyen egy tömegpont esetén a rá ható  erő adott pontra vonatkozó forgatónyomatéka: 
, ahol a forgatónyomatékot az animáción -val jelölt helyett a szokásosabb  jelöli.
A perdülettétel szerint a perdület megváltozását a forgatónyomaték okozza, és a perdület idő szerint deriváltja megegyezik a forgatónyomatékkal. Tehát: 
.

A perdület megmaradásának törvénye 
A fentiek alapján, ha a forgatónyomatékok eredője nulla, akkor a perdület állandó: 

Ez a perdületmegmaradás törvénye.

Merev test forgásegyenlete 
Merev test tengely körüli forgásánál az impulzusnyomaték a tehetetlenségi nyomaték és a szögsebesség szorzata, ezért a perdület időbeli deriváltja a következő alakban is felírható:

, ahol  a test forgásához tartozó szöggyorsulás.

A perdülettétel ebben az esetben a test forgását leíró egyenlet, az úgynevezett forgásegyenlet is egyben:

Ha a forgatónyomatékok eredője zérus, akkor a szöggyorsulás is zérus, azaz a merev test állandó szögsebességgel forog:

A perdületmegmaradás alkalmazásai 

Amikor egy forgásban levő korcsolyázó a lábait és a karjait behúzza a törzséhez, a mozdulat során csökken a tehetetlenségi nyomatéka. Mivel külső forgatónyomaték nem hat rá, a perdületmegmaradás miatt a szögsebessége nőni fog, azaz forgása felgyorsul.

Ugyanez a helyzet az igen nagy sebességgel forgó kompakt csillagok, például a fehér törpék, neutroncsillagok és fekete lyukak esetén is, amikor azok sokkal nagyobb, lassabban forgó csillagokból keletkeznek. Így egy csillag nagyságának 104-ed részére való lecsökkenése forgási sebességének 108-szorosával való növekedését eredményezi.

A perdület megmaradása miatt a Föld–Hold rendszer esetében a Hold által okozott dagály a Hold keringési sebességének növekedésével jár, mivel a Föld a Holdnak átadja perdületének egy részét. Ahogy a Hold felgyorsul, a Föld lelassul, mégpedig egy nap alatt 42 nanomásodperccel, ugyanakkor a Hold keringési távolsága is megnő, mégpedig évente kb. négy és fél centiméterrel.

Centrális erőtér és a perdületmegmaradás 
Amennyiben a testre ható erők eredője centrális, azaz a test mozgása közben mindig egy adott pont felé mutat, akkor az erre a pontra vonatkoztatott forgatónyomaték zérus. Így az erre a pontra vonatkozó impulzusmomentum megmarad.

Impulzusnyomaték a tömegközépponti rendszerben 
Több pontból álló rendszer esetén az impulzusnyomaték a tömegközéppont mozgásának ismeretében két részre bontható. Magának a tömegközéppontnak a mozgásához tartozó pálya-impulzusmomentumra, és a rendszer tagjainak ehhez viszonyított mozgásához tartozó saját-impulzusmomentumra. Ez utóbbit nevezzük spinnek.

A relativisztikus mechanikában

A kvantummechanikában 
A kvantummechanikában a perdületet a lendülethez hasonlóan a hullámfüggvényen ható operátorként definiáljuk:

Elektromos töltés és spin nélküli részecskére helyreprezentációban

,

ahol r a részecske helye,  a gradiens operátor.

A perdület-operátorok algebrájának jellemző tulajdonságai az alábbi kommutátorok:

L komponensei kommutálnak a spin és töltés nélküli részecske Hamilton-operátorával is, azaz megmaradó mennyiségek:

A perdület-operátor gyakran előfordul gömbszimmetrikus problémák megoldásakor. Gömbi koordináta-rendszerben, a helyreprezentációt használva az operátor alakja:

L2 és például Lz kommutál, ezért létezik közös sajátállapotrendszerük. Legyen egy ilyen állapotvektor |l,m>, ekkor a sajátértékegyenletek:

A sajátvektorok polárkoordináta-reprezentációban éppen a gömbfüggvények:

Mindez tulajdonképpen csak a perdület egy része, az ún. pályaperdület vagy pályamomentum. A relativisztikus kvantummechanikában megjelenik a spin, ami ilyen módon nem definiálható.

Jegyzetek

Források

További információk 
Magyarított Flash prezentáció: a mindig talpra eső macska és a perdületmegmaradás. Szerző: David M. Harrison
Magyarított Flash animáció egy precesszáló pörgettyűről. Szerző: David M. Harrison

Fizikai mennyiségek