Leuchtdichte

Die Leuchtdichte Lv () liefert detaillierte Information über die Orts- und Richtungsabhängigkeit des von einer Lichtquelle abgegebenen Lichtstroms. Die Leuchtdichte einer Fläche bestimmt, mit welcher Flächenhelligkeit das Auge die Fläche wahrnimmt und hat daher von allen photometrischen Größen den unmittelbarsten Bezug zur optischen Sinneswahrnehmung.

Die Leuchtdichte beschreibt die Helligkeit von ausgedehnten, flächenhaften Lichtquellen; für die Beschreibung der Helligkeit von punktförmigen Lichtquellen ist die Lichtstärke besser geeignet.

Definition 

Für den Helligkeitseindruck einer Lichtquelle sind neben dem ausgesandten Lichtstrom , gemessen in Lumen (lm), vor allem zwei weitere Größen maßgebend:
 die Fläche , von der dieser Lichtstrom ausgeht. Eine kleine Fläche erscheint heller als eine große Fläche, die gleich viel Licht abstrahlt. Die entsprechende photometrische Größe ist die spezifische Lichtausstrahlung , gemessen in Lumen durch Quadratmeter (lm/m2). Bei nicht gleichmäßiger Ausstrahlung verwendet man den Lichtstrom pro Flächenelement: .
 der Raumwinkel , in den das Licht ausgestrahlt wird. Bei Bündelung in einen kleinen Raumwinkel erscheint die Lichtquelle heller. Die entsprechende photometrische Größe ist die Lichtstärke , gemessen in Lumen durch Steradiant oder Candela (1 cd = 1 lm/sr). Bei nicht gleichmäßiger Ausstrahlung gilt entsprechend .

Der Begriff der Leuchtdichte  kombiniert beides und beschreibt auf diese Weise sowohl die Orts- als auch die Richtungsabhängigkeit des abgegebenen Lichtstroms:

 ist hierbei der Winkel zwischen Abstrahlrichtung und Flächennormale, die senkrecht auf dem Flächenelement  steht. Im Fall einer gleichmäßig leuchtenden ebenen Fläche  mit gleichmäßiger Lichtstärke in den Raumwinkel  vereinfacht sich diese Gleichung zu

.

Der Faktor  wird hinzugefügt, weil das abstrahlende Flächenelement  um diesen Faktor verkürzt erscheint, der unter dem Polarwinkel  abgegebene Lichtstrom also um den Faktor  geringer ist als der senkrecht abgegebene Lichtstrom. Die Division durch  rechnet diesen geometrischen Effekt heraus, so dass in der Leuchtdichte nur noch eine eventuelle physikalische Richtungsabhängigkeit aufgrund der Oberflächeneigenschaften (z. B. dem Leuchtdichtekoeffizient) übrig bleibt.

Für die Definition der Leuchtdichte ist es unerheblich, ob es sich bei dem vom Flächenelement abgegebenen Licht um (thermische oder nichtthermische) Eigenemission, um transmittiertes oder reflektiertes Licht oder eine Kombination daraus handelt.
Die Leuchtdichte ist an jedem Punkt des Raumes definiert, an dem Licht vorhanden ist. Man denke sich anstelle eines Licht abstrahlenden Oberflächenelements gegebenenfalls ein fiktives von Licht durchstrahltes Flächenelement im Raum.

Maßeinheiten 
Die SI-Einheit der Leuchtdichte ist Candela pro Quadratmeter (cd/m²).

Im englischsprachigen Raum, vor allem in den USA, wird dafür auch die Bezeichnung Nit (Einheitenzeichen nt, von  = „scheinen“, Mehrzahl Nits) verwendet: 1 nt = 1 cd/m². Das Nit ist in der EU und der Schweiz keine gesetzliche Einheit.

Weitere Einheiten sind:
 Stilb: 1 sb = 1 cd/cm² = 10.000 cd/m² (cgs-Einheit)
 Apostilb: 1 asb = 1 blondel = 1/π × 10−4 sb = 1/π cd/m²
 Lambert: 1 L = 1 la = 104/π cd/m² ≈ 3183 cd/m² (in den USA noch gebräuchlich)
 Footlambert: 1 fL = 1/π cd/ft² ≈ 3,426 cd/m²

Typische Werte

Empfindlichkeit der Augen 

Der Beobachter nimmt die Leuchtdichten der ihn umgebenden Flächen unmittelbar als deren Flächenhelligkeiten wahr. Aufgrund der Anpassungsfähigkeit des Auges können die wahrnehmbaren Leuchtdichten zahlreiche Größenordnungen überstreichen. Das menschliche Auge hat zwei Arten von Sinneszellen: die besonders lichtempfindlichen Stäbchen und die farbempfindlichen Zapfen. 

 Bei  liegt die Sehschwelle. Ab dieser Leuchtdichte ist Lichtwahrnehmung mit den Stäbchen (Nachtsehen) möglich.
 Ab 3…30 · 10−3 cd/m2 tragen auch die Zapfen zum Seheindruck bei.
 Ab 3…30 cd/m2 spielt der Beitrag der Stäbchen keine Rolle mehr (reines Tagesehen).
 Ab 105…106 cd/m2 tritt Sättigung der Zapfen (Blendung) auf. 

Die angegebenen Werte schwanken von Mensch zu Mensch und sind auch von der Wellenlänge des Lichts abhängig.

Lichtquellen

Lambertscher Strahler 

Mit der oben genannten Definition  kann man umgekehrt den Lichtstrom berechnen, der von einer Abstrahlfläche emittiert wird:

.

Da  im Allgemeinen vom Ort  auf der Leuchtfläche und von den überstrichenen Richtungen  und  abhängen kann, ergibt sich unter Umständen ein sehr kompliziertes Integral.

Eine wesentliche Vereinfachung tritt ein, wenn die Oberfläche von allen Stellen in alle Richtungen dieselbe Leuchtdichte  abgibt. Einen solchen Körper nennt man diffusen Strahler oder lambertschen Strahler.

Ein Beispiel für eine diffus leuchtende Fläche ist ein beleuchtetes Blatt Papier. Dass das Papier diffus strahlt, also in alle Richtungen dieselbe Leuchtdichte abgibt, bedeutet für den Betrachter, dass es aus allen Richtungen betrachtet dieselbe Flächenhelligkeit aufweist. Da es aber bei schräger Betrachtung um den Projektionsfaktor  verkürzt erscheint (also einen kleineren Raumwinkel einnimmt) erreicht den Betrachter trotz gleich gebliebener Flächenhelligkeit eine geringere Lichtmenge: die Lichtstärke in dieser Richtung ist geringer.

Der von einem lambertschen Strahler in eine bestimmte Richtung abgegebene Lichtstrom  variiert nur noch mit dem Cosinus des Abstrahlwinkels , und das Integral ist einfach:

.

Dieses verbleibende Integral hängt nur noch von der Gestalt und Lage des Raumwinkels  ab und kann unabhängig von  gelöst werden. Auf diese Weise können nur von der Sender- und Empfängergeometrie abhängige allgemeine Sichtfaktoren ermittelt und fertig tabelliert werden.

Wird beispielsweise die Lichtausstrahlung in den gesamten von der Leuchtfläche überblickten Halbraum betrachtet, so ergibt sich für das Integral der Wert  und der Lichtstrom in den gesamten Halbraum beträgt
.

Die spezifische Lichtausstrahlung ist dann entsprechend
.

Beispiel: Wenn ein Bildschirm mit der Leuchtdichte 200 cd/m2 und der Fläche 0,6 m2 die Eigenschaften eines lambertschen Strahlers hat, hat er eine spezifische Lichtausstrahlung von 200π lm/m2 und emittiert einen Lichtstrom von 120π lm.

Photometrisches Grundgesetz 

Das Photometrische Grundgesetz (auch: „radiometrisches und photometrisches Grundgesetz“) beschreibt den Lichtaustausch zwischen zwei Flächen. Die Leuchtdichte ist hier eine zentrale Größe.

Lichtausstrahlung 

Betrachtet man ein Flächenelement , welches mit der Leuchtdichte  ein im Abstand  befindliches Flächenelement  beleuchtet, so spannt  von  aus betrachtet den Raumwinkel  auf, und aus der ersten Gleichung im vorigen Abschnitt folgt:

Dabei sind  und  die Neigungswinkel der Flächenelemente gegen die gemeinsame Verbindungslinie.

Dies ist das photometrische Grundgesetz. Durch Integration über die beiden Flächen ergibt sich der insgesamt von Fläche 1 nach Fläche 2 fließende Lichtstrom .

Lichteinstrahlung 
Die Beleuchtungsdichte  ist analog zur Leuchtdichte, jedoch für den Einstrahlungsfall definiert. Sie gibt an, welcher Lichtstrom  aus der durch den Polarwinkel  und den Azimutwinkel  gegebenen Richtung pro projiziertem Flächenelement  und pro Raumwinkelelement  empfangen wird. Die bisher abgeleiteten Gleichungen gelten analog. Insbesondere gilt für den auf Flächenelement  empfangenen, von  abgegebenen Lichtstrom:

wobei diesmal der von  aufgespannte Raumwinkel  auftritt.

Folgerung 
Der von  nach  ausgesandte und der auf  von  empfangene Lichtstrom müssen identisch sein (sofern nicht in einem zwischen den Flächen liegenden Medium Licht durch Absorption oder Streuung verloren geht), und aus dem Vergleich der beiden Gleichungen folgt:

Die von Flächenelement  ausgesandte Leuchtdichte ist identisch mit der auf Flächenelement  eintreffenden Beleuchtungsdichte.

Man beachte also, dass die Leuchtdichte nicht mit dem Abstand abnimmt. Bei einer optischen Abbildung hat demzufolge jeder Bildpunkt die gleiche Leuchtdichte wie der entsprechende Objektpunkt.

Der gesamte übertragene Lichtstrom  bzw.  nimmt hingegen wie erwartet mit dem Quadrat des Abstandes ab (aufgrund des Faktors  im Nenner beider Gleichungen), dies liegt daran, dass der von der Senderfläche aufgespannte Raumwinkel aus Sicht der Empfängerfläche quadratisch mit dem Abstand abnimmt.

Beispiel: Vergleicht man eine nahe Plakatwand mit einer identisch beleuchteten weiter entfernten, so erscheinen beide gleich „hell“ (sie haben eine abstandsunabhängige und daher in beiden Fällen identische Leuchtdichte). Die nähere Wand nimmt aber für den Beobachter einen größeren Raumwinkel ein, so dass den Beobachter aus diesem größeren Raumwinkel insgesamt ein größerer Lichtstrom erreicht. Die nähere Wand erzeugt eine größere Beleuchtungsstärke beim Beobachter (photometrisches Entfernungsgesetz).

Wird die Beleuchtungsdichte  über den Raumwinkel integriert, aus dem sie stammt, so ergibt sich die Beleuchtungsstärke genannte Einstrahl-Lichtstromflächendichte  auf der Empfängerfläche in lm/m2. Falls die in eine bestimmte Richtung abgegebene Leuchtdichte der Senderfläche bekannt ist, so ist damit sofort auch die mit ihr identische aus derselben Richtung stammende Beleuchtungsdichte der Empfängerfläche bekannt und die Beleuchtungsstärke auf der Empfängerfläche kann aus der Leuchtdichteverteilung der Senderfläche sofort berechnet werden:

Beispiel: Die Sonne hat eine Leuchtdichte von L1 ≈ 1,5·109 cd/m2 und erscheint von der Erde aus gesehen unter einem Raumwinkel Ω = 6,8·10−5 sr. Da dieser Raumwinkel klein ist, kann man die Integration über den von der Sonnenscheibe eingenommenen Raumwinkel auf eine Multiplikation mit dem Raumwinkel reduzieren. Wenn im Sommer die Sonne auf 60° Höhe (also 30° von Zenit abweichend) steht, wird die Erde demnach mit E2 = L1 · Ω ·cos(30°) =  lx bestrahlt.

Radiometrische und photometrische Größen im Vergleich

Siehe auch 
 Luminanz (Leuchtdichte bei Monitoren)

Literatur 
 Hans R. Ris: Beleuchtungstechnik für Praktiker. 2. Auflage, VDE-Verlag GmbH, Berlin/Offenbach 1997, ISBN 3-8007-2163-5.
 Wilhelm Gerster: Moderne Beleuchtungssysteme für drinnen und draußen. 1. Auflage, Compact Verlag, München 1997, ISBN 3-8174-2395-0.
 Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4.
 Günter Springer: Fachkunde Elektrotechnik. 18. Auflage, Verlag Europa-Lehrmittel, Wuppertal 1989, ISBN 3-8085-3018-9.

Einzelnachweise 

Belichtung (Fotografie)
Photometrische Größe