Funkcja monotoniczna

Funkcja monotoniczna – funkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku zbiorów. Pojęcie powstałe pierwotnie na gruncie analizy zostało uogólnione na gruncie teorii porządku.

Analiza matematyczna 
Niech  będzie dowolną funkcją określoną na zbiorach silnie uporządkowanych  oraz  takich jak np. podzbiory liczb całkowitych, wymiernych, czy rzeczywistych, a  będą dowolnymi elementami  Wówczas funkcję  nazywa się
 rosnącą lub silnie rosnącą, gdy
 
 malejącą lub silnie malejącą, gdy
 

Jeżeli zbiory  oraz  są słabo uporządkowane, to funkcję  nazywa się
 niemalejącą lub słabo rosnącą, gdy
 
 nierosnącą lub słabo malejącą, gdy
 

Aby uczynić definicje przystępniejszymi wprowadza się dodatkowe relacje „większe” i „większe-równe” odwrotne względem powyższych, wówczas warunki po prawych stronach implikacji w drugiej i czwartej definicji mają postać kolejno:  i 

W szczególności symbole  oraz  mogą oznaczać odpowiednio relacje „mniejsze”  oraz „mniejsze-równe”  określone na zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, czy rzeczywistych. Podobnie ma się rzecz z relacjami „większe”  i „większe-równe” 

Funkcją monotoniczną nazywa się każdą z powyższych czterech rodzajów funkcji, choć niekiedy czyni się to tylko w stosunku do dwóch pierwszych. Aby uniknąć nieporozumień pierwsze dwie nazywa się czasami silnie monotonicznymi, a dwie pozostałe – słabo monotonicznymi. Można powiedzieć, że funkcje rosnące „zachowują porządek”, zaś funkcje malejące „odwracają” go.

Funkcje silnie monotoniczne są różnowartościowe. Należy zaznaczyć, że dowolna funkcja rosnąca jest niemalejąca, a każda funkcja malejąca jest nierosnąca. Dodatkowo jeśli  jest rosnąca, to  maleje i odwrotnie; podobnie ma się rzecz z funkcjami nierosnącymi i niemalejącymi.

Jeżeli w zbiorze  zdefiniowano relację równości (równoważności; relacja porządku nie jest wymagana), wówczas funkcję  nazywa się
 stałą, gdy
  dla dowolnych 

Jeżeli  jest dodatkowo zbiorem uporządkowanym, to funkcje stałe są jedynymi funkcjami tak niemalejącymi, jak i nierosnącymi. W związku z tym funkcja stała także bywa zaliczana do klasy funkcji monotonicznych.

Przykłady 
 Funkcja liniowa  jest malejąca, gdy  rosnąca, gdy  jest niemalejąca, gdy  nierosnąca, gdy  i stała, gdy 
 Funkcja wykładnicza  jest rosnąca, gdy  malejąca, gdy  i stała dla 
 Funkcja logarytmiczna  rośnie, gdy  (w tym funkcja logarytmu naturalnego) i maleje 
 Funkcja potęgowa  rośnie na przedziale  gdy  i maleje, gdy 

Przykładami ciągów (które są funkcjami) mogą być:
 ciąg słów  który jest stały;
 ciąg liczb naturalnych  który (ściśle) rośnie;
 ciąg liczb całkowitych  który nie jest monotoniczny.

Własności i zastosowania 
Funkcja monotoniczna przedziałami to funkcja, której dziedzinę można podzielić na przedziały tak, aby w każdym z nich osobno funkcja była monotoniczna (np. wartość bezwzględna, funkcje trygonometryczne, wielomiany; niektóre wielomiany są funkcjami monotonicznymi). Należy zaznaczyć, że większość funkcji rzeczywistych nie jest przedziałami monotoniczna (np. funkcja Dirichleta).

Dla  zachodzą następujące własności:
  ma granice lewostronną i prawostronną w każdym punkcie dziedziny;
  ma granicę w nieskończoności (tak  jak i ) będącą liczbą rzeczywistą, bądź  lub 
  może mieć tylko nieciągłości pierwszego rodzaju;
  może mieć (co najwyżej) przeliczalnie wiele punktów nieciągłości w swojej dziedzinie.

Własności te są zasadniczym powodem, dla którego funkcje monotoniczne są użyteczne w analizie matematycznej. Ważnymi faktami dotyczącymi tych funkcji są:
 jeżeli  jest funkcją monotoniczną na przedziale otwartym  to jest ona prawie wszędzie różniczkowalna na  tzn. zbiór liczb  takich, że  nie jest różniczkowalna w  jest miary zero Lebesgue’a; w szczególności funkcja różniczkowalna na  jest monotoniczna w tym przedziale, gdy jej pochodna nie zmienia tam znaku;
 jeżeli  jest funkcją monotoniczną określoną na przedziale  to jest ona całkowalna w sensie Riemanna.

Ważnym zastosowaniem funkcji monotonicznych jest dystrybuanta zmiennej losowej  w teorii prawdopodobieństwa:
 

jest funkcją (słabo) rosnącą.

Funkcja unimodalna to funkcja, której wartości monotonicznie rosną do pewnego punktu (mody), a następnie monotonicznie maleją.

Analiza funkcjonalna 
W analizie funkcjonalnej (być może nieliniowy) operator  określony na przestrzeni liniowo-topologicznej  nazywa się monotonicznym, jeżeli
 dla dowolnych  zachodzi 

Twierdzenie Kaczurowskiego (Качуровский, Kachurowskii) mówi, że pochodne funkcji wypukłych na przestrzeniach Banacha są operatorami monotonicznymi.

Podzbiór  zbioru  nazywany jest zbiorem monotonicznym, jeżeli dla każdych dwóch par  i  z  jest
 

Jeżeli  jest maksymalnym w sensie inkluzji zbiorem monotonicznym, to mówi się, że jest on maksymalnie monotoniczny. Wykres operatora monotonicznego jest zbiorem monotonicznym. Operator monotoniczny nazywa się maksymalnie monotonicznym, jeżeli jego wykres jest zbiorem maksymalnie monotonicznym.

Teoria porządku 
Definicja monotoniczności w teorii porządku ma nieco węższy zakres, niż podana wyżej. Jest to spowodowane faktem, iż rozpatrywane tam zbiory nie muszą być całkowicie (liniowo) uporządkowane: bada się częściowe porządki, a nawet praporządki. Z tego powodu unika się tam wyrażeń „rosnący (słabo/silnie)”, czy „malejący (słabo/silnie)”. O funkcji  między zbiorami  oraz  mówi się, że jest monotoniczna, izotoniczna lub zachowuje porządek, jeżeli
 

Jeżeli
 

to funkcję  nazywa się antymonotoniczną, antytoniczną lub odwracającą porządek.

Łatwo można się przekonać, że złożenie dwóch funkcji monotonicznych jest funkcją monotoniczną. Funkcja stała jest zarazem monotoniczna i antymonotoniczna; odwrotnie, jeżeli funkcja jest tak monotoniczna, jak i antymonotoniczna, a dziedzina  jest kratą, to  musi być stała.

Funkcje monotoniczne są morfizmami w kategorii  zbiorów częściowo uporządkowanych.

Funkcje boole’owskie 
W algebrze Boole’a funkcją monotoniczną nazywa się taką funkcję, że dla wszystkich  takich, że  dla  spełniony jest warunek
 

Monotoniczne funkcje boole’owskie to dokładnie te funkcje, które mogą być zdefiniowane jako złożenia spójników i (koniunkcji), lub (alternatyw), ale bez nie (negacji).

Liczba takich funkcji  zmiennych znana jest jako liczba Dedekinda dla

Zobacz też 
 twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych
 izomorfizm porządków

Przypisy 

Monotoniczna