Funcție

În matematică, o funcție este o relație care asociază fiecărui element dintr-o mulțime (domeniul) un singur element dintr-o altă (posibil din aceeași) mulțime (codomeniul). Noțiunea de funcție este fundamentală în aproape toate ramurile matematicii și în toate științele exacte.

Definiție formală 

Fie A și B două mulțimi. Se notează cu G produsul lor cartezian: G = A × B.

Fie F o submulțime a lui G.

F este o funcție dacă îndeplinește următoarele două condiții:

 Pentru orice element x din mulțimea A, există un element y în mulțimea B astfel încât perechea (x, y) se află în F.
 Pentru oricare două perechi (x1 , y1) și (x1, y2) din F, y1 = y2.
Funcțiile pot fi definite astfel:
 Prin tabel : f : { 4, 5, 6 } → { 1, 2 } ; f ( 4 ) = 1, f ( 5 ) = 2, f ( 6 ) = 1
 Printr-o expresie algebrică (sau mai multe expresii algebrice diferite pe porțiuni ale domeniului) : f : R → R ; f ( x ) = 3x - 1

Imaginea funcției

Imaginea unei funcții  este o submulțime a lui B alcătuită din toate valorile . Se notează Im sau .
Im sau
Im

Graficul funcției

Graficul funcției  Gf=

Proprietăți

Injectivitate

O funcție f:A→B se numește „injectivă” sau „injecție” dacă asociază fiecărui element din domeniu un element diferit din codomeniu. 
Definiții:
 atunci f(x)≠f(y) sau
 dacă f(x)=f(y) atunci x=y

Interpretare geometrică: O funcție f este injectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa Ox intersectează graficul funcției f în cel mult un punct.

Un exemplu este funcția .

Deoarece pentru  x≠y avem x3 ≠ y3, înseamnă că funcția f este injectivă.

Surjectivitate
O funcție f:A→B se numește „surjectivă” sau „surjecție” dacă asociază fiecărui element din codomeniu un element din domeniu. Respectiv, , atunci  astfel încât f(x)=y.

Interpretare geometrică: O funcție f este surjectivă dacă orice paralelă la Ox printr-un punct  de pe Oy intersectează graficul funcției f în cel puțin un punct.

O funcție surjectivă, de exemplu, este , f(x)=x, atunci   astfel încât f(y)=f(-y).

Bijectivitate
O funcție f:A→B se numește „bijectivă” sau „bijecție” dacă este și injectivă și surjectivă. Respectiv, f este o bijecție dacă ,  unic astfel încât f(x)=y. 

Interpretare geometrică: O funcție f este bijectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa Ox printr-un punct  de pe Oy intersectează graficul funcției f în exact un punct.

Un exemplu de funcție bijectivă este , f(x)=x+3, atunci   astfel încât f(x)=y, iar acel x este y-3, unic.

Inversa unei funcții
O funcție  se numește „inversabilă” dacă și numai dacă există funcția  astfel încât . Atunci  se numește „inversa” funcției  și se notează . Funcția  este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.

 Inversa unei funcții este unică și simetrică față de funcție.
 Graficele funcțiilor numerice  și  sunt simetrice față de prima bisectoare, dreapta cu ecuația .

Paritatea funcției

O funcție cu valori reale,  unde , se numește „pară” dacă . Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy.

O funcție  cu valori reale se numește „impară” dacă 
 sau 
.

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

Proprietăți
 Singura funcție care este și pară și impară este funcția constantă egală cu zero.
 Suma și diferența a două funcții de aceeași paritate mențin acea paritate.
 Orice multiplu al unei funcții are aceeași paritate ca funcția originală.
 Produsul a două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
 Produsul unei funcții pare cu o funcție impară este o funcție impară.
 Raportul dintre două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
 Raportul dintre o funcție pară cu o funcție impară este o funcție impară.

Monotonie

Legături externe
 The Wolfram Functions Site gives formulae and visualizations of many mathematical functions.
 Shodor: Function Flyer, interactive Java applet for graphing and exploring functions.
 xFunctions, a Java applet for exploring functions graphically.
 Draw Function Graphs, online drawing program for mathematical functions.
 Functions from cut-the-knot.
 Function at ProvenMath.
 Comprehensive web-based function graphing & evaluation tool .
 FunctionGame, an educational interactive function guessing games.

 
Teoria mulțimilor