Nombre imaginari

Un nombre imaginari és un nombre que elevat al quadrat resulta un nombre real més petit o igual que zero. Els nombres imaginaris van ser definits l'any 1572 per Rafael Bombelli. Inicialment, molts matemàtics eren reticents a considerar-los com a nombres, entre ells René Descartes, que va encunyar el terme amb propòsit despectiu.

Tots els nombres imaginaris poden ser expressats com a bi, en què b és un nombre real, i representem com a i la unitat imaginària, definida de forma que i² = -1. Com que qualsevol nombre negatiu -n es pot expressar com a -1·n, resulta que  de manera que:.

Amb el conjunt de nombres imaginaris es pot estendre el conjunt dels reals fins al conjunt dels nombres complexos. Tenint-ho en compte, podem definir també els nombres imaginaris com aquells complexos de forma a+bi que tenen com a part real a=0.

Els nombres imaginaris tenen un paper fonamental en diverses disciplines matemàtiques com l'anàlisi complexa o l'àlgebra, així com en diferents branques de la física, com ara l'electrònica o la mecànica quàntica.

En electrònica, així com en moltes altres disciplines, per no confondre la i sovint utilitzada per expressar les intensitats o altres magnituds físiques, es fa servir la j com a indicador de la unitat imaginària.

Història 

Tot i que el matemàtic i enginyer grec Heró d'Alexandria és considerat el primer en concebre aquests números, Rafael Bombelli va establir per primera vegada les regles per a la multiplicació de nombres complexos el 1572. El concepte havia aparegut imprès anteriorment, per exemple en l'obra de Gerolamo Cardano. En aquella època, els nombres imaginaris (així com els nombres negatius) eren poc entesos i considerats per alguns com a ficticis o inútils, com s'havia considerat el zero. Molts altres matemàtics van trigar a adoptar l'ús de nombres imaginaris, inclòs René Descartes, que va escriure sobre ells a la seva "La Géométrie", on s'utilitzava el terme "imaginari" amb un sentit despectiu. L'ús de nombres imaginaris no va ser àmpliament acceptat fins a l'obra de Leonhard Euler (1707-1783) i Carl Friedrich Gauss (1777-1855). La significació geomètrica dels nombres complexos com a punts en un pla va ser descrita per primera vegada per Caspar Wessel (1745-1818).

El 1843, William Rowan Hamilton va estendre la idea d'un eix de nombres imaginaris al pla a un espai de quatre dimensions de quaternions imaginaris, en el qual tres de les dimensions són anàlogues als nombres imaginaris en el camp complex.

Amb el desenvolupament de l'anell de polinomis de l'anell quocient, el concepte darrere d’un nombre imaginari es va fer més substancial, però llavors també es troben altres nombres imaginaris, com la j dels nombres bicomplexos, que té un quadrat de +1. Aquesta idea va aparèixer per primera vegada amb els articles de James Cockle que van començar el 1848.

Interpretació geomètrica 

Geomètricament, els nombres imaginaris es troben a l'eix vertical del pla de nombres complexos, cosa que permet presentar-los perpendicularment a l'eix real. Una forma de veure els nombres imaginaris és considerar una línia numèrica estàndard, que augmenta positivament de magnitud cap a la dreta i que augmenta negativament en magnitud cap a l'esquerra. A 0 en aquest eix x, es pot dibuixar un eix y amb una direcció "positiva" pujant; els nombres imaginaris "positius" augmenten de magnitud cap amunt, i els nombres imaginaris "negatius" augmenten de magnitud cap avall. Aquest eix vertical se sol anomenar "eix imaginari" i es denota ,  o .

En aquesta representació, la multiplicació per  correspon a una rotació de 180 graus sobre l'origen. La multiplicació per  correspon a una rotació de 90 graus en el sentit "positiu", en sentit antihorari, i a l'equació  s’interpreta dient que si apliquem dues rotacions de 90 graus sobre l’origen, el resultat net és una rotació única de 180 graus. Tingueu en compte que una rotació de 90 graus en la direcció "negativa" (és a dir, en sentit horari) també satisfà aquesta interpretació. Això reflecteix el fet que  també resol l'equació . En general, multiplicar per un nombre complex és el mateix que girar al voltant de l'origen per l'argument del nombre complex, seguit d'un escalat per la seva magnitud.

Operacions amb nombres imaginaris

Suma i resta de nombres imaginaris 
Els nombres imaginaris se sumen i resten com si fossin nombres reals, conservant sempre la i indicador de nombre imaginari.

 ai + bi = (a+b)i

 ai - bi = (a-b)i

Per exemple:

i + 4i = 5i

2,3i −1,6i +5,7i = 6,4i

Multiplicació i divisió de nombres imaginaris 
En multiplicar dos nombres imaginaris o dividir un real entre un imaginari, s'ha de tenir en compte que i·i = -1:

D'aquesta manera:

ai · bi = -(a·b)

a · bi = (a·b) i

ai / bi = a/b

ai / b = (a/b) i

a / bi = -(a/b)i

Si b és nul la divisió no està definida.

Referències

Vegeu també 
 Unitat imaginària
 Pla complex

Enllaços exters 
 How can one show that imaginary numbers really do exist? – un article que discuteix l'existència de nombres imaginaris 
 5 Numbers programme 4 Programa BBC Radio 4 
 Why Use Imaginary Numbers? Explicació bàsica i usos dels nombres imaginaris 

Nombres complexos