Costanti trigonometriche esatte

Con il termine costanti trigonometriche esatte si indicano espressioni riguardanti valori o combinazioni di valori di funzioni trigonometriche costruite a partire da numeri interi con le operazioni razionali e le operazioni di estrazione di radice. Queste espressioni numeriche sono utilizzate principalmente per semplificare le soluzioni di problemi geometrici fornite mediante radicali.

Tutti i valori delle funzioni sin, cos e tan di angoli multipli di 3° sono ottenibili servendosi delle identità di bisezione, duplicazione, addizione/sottrazione e dei valori corrispondenti agli angoli di 0°, 30°, 36° e 45°. Si ricorda che 1° = π/180 radianti.

Tavola delle espressioni

I valori relativi ad angoli non contenuti nell'intervallo [0° ... 45°] si possono ricavare da quelli qui forniti mediante semplici osservazioni sulla circonferenza di raggio 1 e sugli effetti di opportune rotazioni e riflessioni.

0° - valori fondamentali

3° - Esacontagono (60 lati)

6° - Triacontagono (30 lati)

9° - Icosagono (20 lati)

12° - Pentadecagono (15 lati)

15° - Dodecagono (12 lati)

18° - Decagono (10 lati)

21° = 9° + 12°

22.5° - Ottagono (8 lati)

24° = 12° + 12°

27° = 12° + 15°

30° - Esagono (6 lati)

33° = 15° + 18°

36° - Pentagono (5 lati)

39° = 18° + 21°

42° = 21° + 21°

45° - Quadrato (4 lati)

Note

Uso delle costanti
Una grandezza come il volume di un dodecaedro è data dalla seguente espressione:

Usando

l'espressione precedente può essere semplificata nella:

.

Dimostrazioni delle espressioni mediante triangoli 
La derivazione dei valori particolari delle funzioni sin, cos e tan nella forma radiale è basata sulla costruibilità di triangoli rettangoli che conviene individuare come sezioni simmetriche di poligoni regolari. Ciascuno dei triangoli rettangoli considerati ha come vertici 3 punti di un poligono regolare: un suo vertice V, il punto medio M di un lato che ha come estremo V e il centro C del poligono. Per N=3, 4, 5, ... si considera un N-agono regolare suddiviso in 2*N triangoli rettangoli aventi angoli di 180°/N (vertice C), 90° (vertice M) e 90°-180°/N (vertice V).

Ci si basa sulla costruibilità con riga e compasso di poligoni a 3, 4, 5, e 15 lati e si utilizzano le bisettrici per ricavare anche i multipli di due.

 Costruibili
 Poligoni regolari a 3*2X lati, X=0,1,2,3,...
 30°-60°-90° triangolo - triangolo (3 lati)
 60°-30°-90° triangolo - esagono (6 lati)
 75°-15°-90° triangolo - dodecagono (12 lati)
 82.5°-7.5°-90° triangolo - tetracosagono (24 lati)
 86.25°-3.75°-90° triangolo - ottatetracontagono (48 lati)
 ...
 4*2X lati
 45°-45°-90° triangolo - quadrato (4 lati)
 67.5°-22.5°-90° triangolo - ottagono (8 lati)
 88.75°-11.25°-90° triangolo - esadecagono (16 lati)
 ...
 5*2X lati
 54°-36°-90° triangolo - pentagono (5 lati)
 72°-18°-90° triangolo - decagono (10 lati)
 81°-9°-90° triangolo - icosagono (20 lati)
 85.5°-4.5°-90° triangolo - tetracontagono (40 lati)
 87.75°-2.25°-90° triangolo - ottacontagono (80 lati)
 ...
 15*2X lati
 78°-12°-90° triangolo - pentadecagono (15 lati)
 84°-6°-90° triangolo - triacontagono (30 lati)
 87°-3°-90° triangolo - esacontagono (60 lati)
 88.5°-1.5°-90° triangolo - ettoicosagono (120 lati)
 89.25°-0.75°-90° triangolo - diettotetracontagono (240 lati)
 ... (Poligoni regolari di grado superiore costruibili non possono essere fatte per angoli di grado intero: 17, 51, 85, 255, 257...)
 Non costruibili (con angoli di grado intero o di mezzo grado)  - Le forme radiali non limitate per queste proporzioni di taglio del triangolo sono note.
 9*2X lati
 70°-20°-90° triangolo - ennagono (9 lati)
 80°-10°-90° triangolo - ottadecagono (18 lati)
 85°-5°-90° triangolo - esatriacontagono (36 lati)
 87.5°-2.5°-90° triangolo - doeptacontagono (72 lati)
 ...
 45*2X lati
 86°-4°-90° triangolo - pentatetracontagono (45 lati)
 88°-2°-90° triangolo - ennacontagono (90 lati)
 89°-1°-90° triangolo - ettaottacontagono (180 lati)
 89.5°-0.5°-90° triangolo - triettoesacontagono (360 lati)
 ...

Espressioni non singole 
La semplificazione di un radicale annidato, ovvero un radicale doppio, non è banale e non sempre può essere effettuata.

Esempio:

Non è così evidente che questa uguaglianza sia vera, ed in generale i radicali doppi non possono essere ridotti.
Però si ha
     è un quadrato perfetto

Voci correlate
Glossario di trigonometria
Funzioni trigonometriche
Identità trigonometriche
Poligono

Collegamenti esterni
 
 
 

Trigonometria
Aritmetica