Lichaam (Ned) / Veld (Be)

Een lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch), niet te verwarren met het ruimere begrip delingsring (Ned) / lichaam (Be), is een algebraïsche structuur waarin de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen op de gebruikelijke wijze kunnen worden uitgevoerd. De rationale getallen, de reële getallen en de complexe getallen zijn voorbeelden van lichamen, alle met oneindig veel elementen. Is het aantal elementen van het lichaam eindig, dan spreekt men van een eindig lichaam/veld.

Definitie 
Een lichaam/veld is een verzameling met de bewerkingen optelling en vermenigvuldiging, waarbij de verzameling voor deze bewerkingen gesloten is. Het resultaat van een bewerking moet weer een element zijn van de verzameling, de optelling en de vermenigvuldiging zijn beide associatief en commutatief en de vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling.

Meer formeel is een lichaam/veld een drietal  bestaande uit een niet-lege verzameling  waarop twee bewerkingen: een optelling, aangeduid met het symbool +, en een vermenigvuldiging, aangeduid door *, zijn gedefinieerd die voldoen aan een aantal voorwaarden. De optelling van twee elementen  en  uit  noteert men meestal met  en de vermenigvuldiging van  en  met  of korter met . De vermenigvuldiging wordt ook wel genoteerd met  of  en het product dienovereenkomstig met  of .

Gebruikmakend van het bestaande begrip groep kan een lichaam/veld  ook worden gedefinieerd door:
  is een commutatieve groep
  is een commutatieve groep
 de bewerking  is distributief over de bewerking .

Voorwaarden en eigenschappen 
De optelling en de vermenigvuldiging moeten aan de volgende voorwaarden voldoen.
 Voor alle elementen  en  in , behoren ook  en  tot .   is gesloten onder de optelling en de vermenigvuldiging.
 Voor alle elementen  en  in , is   en .  De optelling en de vermenigvuldiging zijn associatief.
 Er bestaat in  een element  zodat voor alle  uit  geldt:    Het element  heet het neutrale element voor de optelling of ook de additieve identiteit in .
 Voor elk element  in  bestaat er een element  in , zodat   en   Ieder element in  heeft een invers element voor de optelling.
 Voor alle elementen  en  in  geldt  .  De optelling is commutatief.
 Voor alle elementen  en  in  is    De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling.
 Er bestaat in  een element  zodat voor elk element  in  geldt:    Het element  is het neutrale element voor de vermenigvuldiging, ook eenheidselement van  genoemd.
 Voor elk element  in  verschillend van  bestaat er een element  in  zodat    Elk element in  ongelijk aan  heeft een invers element voor de vermenigvuldiging.
 Voor alle elementen  en  in  geldt  . De vermenigvuldiging is commutatief.
 De additieve en de multiplicatieve identiteit zijn verschillend,  is niet gelijk aan .

Zonder de laatste voorwaarde zou de verzameling die één element bevat ook een lichaam/veld zijn en dat is niet de bedoeling.

De voorwaarden 1 tot en met 6 drukken uit dat  een ring is. Wordt aan alle bovengenoemde voorwaarden voldaan, behalve eventueel onder voorwaarde 9 dat de vermenigvuldiging commutatief is, dan is er sprake van een delingsring/lichaam.

Merk op dat de voorwaarden 3, 4, 5 en 7, 8 en 9 overeenkomstige voorwaarden zijn. De voorwaarden 3, 4 en 5 gaan over de optelling, terwijl de voorwaarden 7, 8 en 9 over de vermenigvuldiging gaan.

Het verschil nemen, aftrekken wordt gedefinieerd door 
 
De deling door een element ongelijk aan nul wordt gedefinieerd door 
 

We kunnen bewijzen dat voor elk lichaam/veld geldt dat  voor willekeurige . Daarom bestaat vanwege voorwaarde 10 geen inverse van  (want dan zou  moeten gelden) en is delen door nul dus niet mogelijk.

Er bestaat een hierarchie tussen de volgende ring-achtige algebraïsche structuren:
 Lichamen/velden  euclidische domeinen  hoofdideaaldomeinen  unieke factorisatiedomeinen  integriteitsgebieden  commutatieve ringen  ringen

Voorbeelden 
 Ieder element behalve 0 heeft in een lichaam een inverse voor de vermenigvuldiging, dus kunnen er geen nuldelers zijn.
 Als  en  is .
 De reële getallen , de rationale getallen  en de complexe getallen  vormen met de gewone optelling en vermenigvuldiging een lichaam/veld.
 De gehele getallen  vormen geen lichaam/veld, omdat de meeste gehele getallen voor de vermenigvuldiging geen invers element hebben.
 Als  een lichaam/veld is, vormen de rationale functies in  variabelen over  op hun beurt een lichaam/veld.
 De restklassen modulo  vormen als  een priemgetal is een eindig lichaam/veld.

Deellichaam/deelveld 
Een deellichaam/deelveld van een lichaam/veld is een deelverzameling, die de elementen 0 en 1 bevat en is gesloten met betrekking tot optelling, tegengestelde nemen, vermenigvuldiging en multiplicatieve inverse. Het is hiermee zelf een lichaam/veld.

Voorbeelden:
 De reële getallen vormen een deellichaam van de complexe getallen.
 De rationale getallen vormen een deellichaam van de reële getallen, en ook van de complexe getallen.
 Het eindige lichaam/veld , met 0 en 1 als enige elementen, is een deellichaam van , dat naast de elementen 0 en 1 een speciaal element  en daarmee ook  bevat. Voor het speciale element  geldt . Er wordt modulo 2 gerekend.

Geordend lichaam/veld 
Een geordend lichaam/veld is een lichaam/veld met een compatibele totale orde, wat wil zeggen dat voor de bijbehorende strikte totale orde '<' geldt:
 als , dan is 
 als  en , dan is

Eigenschappen 
 Een eindig lichaam/veld kan geen geordend lichaam/veld zijn.
 Een deellichaam/deelveld van een geordend lichaam/veld is met de geïnduceerde orde ook een geordend lichaam/veld.

Voorbeelden 
 reële getallen
 De volgende deellichamen/deelvelden van de reële getallen:
 algebraïsche getallen
 de doorsnede van alle deellichamen/deelvelden van de reële getallen die  bevatten, dus alle getallen van de vorm  met  en  rationale getallen
 rationale getallen

Literatuur 
 HW Lenstra en F Oort. Ringen en lichamen, augustus 2015. 

Abstracte algebra
Wiskundige structuur