Relación de equivalencia

En teoría de conjuntos y álgebra, la noción de relación de equivalencia sobre un conjunto permite establecer una relación entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica o propiedad. Esto permite reagrupar dichos elementos en clases de equivalencia, es decir, «paquetes» de elementos similares. Esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos «juntando» todos los elementos de una misma clase como un solo elemento que los representará y que define la noción de conjunto cociente.

Definición 
Sea  un conjunto dado no vacío y  una relación binaria definida sobre . Se dice que  es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:

Reflexividad: Todo elemento de  está relacionado consigo mismo. Es decir, 

 .

Simetría: Si un elemento de  está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir,

 .

Transitividad: Si un elemento de  está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,

 .

Notación:

En aritmética modular la relación de equivalencia entre dos elementos  e  se denota  que se lee «  es equivalente a  módulo  ».

Una relación de equivalencia  sobre un cuerpo  puede denotarse con el par .

Clase de equivalencia o relación de equivalencia 
En lógica de clases y análisis matemático, la relación de equivalencia  define subconjuntos disjuntos en  llamados clases de equivalencia:

Dado un elemento , el conjunto dado por todos los elementos relacionados con  definen la clase:

se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento .

Al elemento  se le llama representante de la clase.

Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si este es finito, se dice que la relación es de orden finito.

El concepto de clase de equivalencia tiene importancia en la ciencia, dado un conjunto de objetos o entidades abstractas (potencialmente infinitas), pueden establecerse relaciones de equivalencia sobre la base de algún criterio, las clases resultantes son los "tipos" en los que se puede clasificar toda la gama de objetos.

Conjunto cociente 
Al conjunto de todas las clases de equivalencia se denomina conjunto cociente y se denota como:

 o

Partición
Una relación de equivalencia sobre un conjunto induce una partición del mismo, es decir, un conjunto en el que se ha definido una relación de equivalencia puede ser dividido en varios subconjuntos de elementos equivalentes entre sí y tales que la reunión de esos subconjuntos coincide con el conjunto entero. El siguiente teorema expresa en términos más formales esa misma idea:

Proposición: Una relación de equivalencia en el conjunto no vacío K determina una partición de este, y toda partición de K determina una relación de equivalencia en este.

La partición tiene como elementos las clases de equivalencia. Estas son disjuntas dos a dos y la unión de ellas es igual al conjunto K.
 para cualesquiera dos  no relacionados tenemos: ; 
 la unión de todos integra al total:

Ejemplos

 Sea N= {0,1,2, 3...}. Se define una relación de equivalencia en NxN, como sigue: (a;b)~ (c;d) si y solo si a+d = b +c. Esta es una relación de equivalencia en NxN y cada clase de equivalencia es un número entero. [(2;0)]= { (x;y)/ 2+y = 0 + x } a (2;0) se llama representante canónico y se denota, simplificadamente, 2.

 La igualdad matemática

 La relación de congruencia módulo M en el conjunto de los números enteros (i. e. ), donde se define:  si y solo si  es múltiplo de M. 

Esta relación es de equivalencia porque:

Es reflexiva: a - a = 0, que es múltiplo de M.
Es simétrica: si a - b es múltiplo de M, entonces b - a = -(a - b) también es múltiplo de M.
Es transitiva: sean k y l números enteros tales que a - b = M k y b - c = M l. Entonces, a - c = (a - b) + (b - c) = M k + M l = M(k + l) y por tanto un múltiplo de M. En particular, si M = 2 tenemos la tradicional clasificación de los números enteros en pares e impares.

 Sea H un subgrupo de un grupo G. Definiendo para elementos del grupo  si y solo si , se tendrá la relación de equivalencia llamada congruencia módulo H.

 Definiendo, para elementos del grupo,  si y solo si existe g en G tal que , se llama relación de conjugación. Sus clases se denominan clases de conjugación. Las clases de equivalencia reciben el nombre de órbita o clase de conjugación.

 Sean los números reales a y b, diremos que  si y solo si sus máximos enteros son iguales. La clase de equivalencia son los intervalos [n; n+1) donde n es un número entero. Así 3,56 y 3,875 son equivalentes pues tienen el mismo máximo entero = 3.

Ejemplo simple 

Sobre el conjunto , la relación  es una relación de equivalencia. Los siguientes conjuntos son clases de equivalencia de esta relación:

El conjunto de todas las clases de equivalencia para  es  Este conjunto es una partición del conjunto  con respecto a .

Relaciones de equivalencia

Las siguientes relaciones son todas relaciones de equivalencia:
 "Es igual a" en el conjunto de los números. Por ejemplo,  es igual a 
 "Cumple años el mismo día que" en el conjunto de todas las personas.
 "Es similar a" en el conjunto de todos los  triángulos.
 "Es congruente con" en el conjunto de todos los  triángulos.
 Dado un número natural , "es congruente con", módulo". " en los enteros.
 Dada una función , "tiene la misma imagen bajo  que" sobre los elementos del dominio de . . Por ejemplo,  y  tienen la misma imagen bajo , a saber, .
 "Tiene el mismo valor absoluto que" en el conjunto de los números reales
 "Tiene el mismo coseno que" en el conjunto de todos los ángulos.

Conexiones con otras relaciones

Un orden parcial es una relación que es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Igualdad es a la vez una relación de equivalencia y un orden parcial. La igualdad es también la única relación sobre un conjunto que es reflexiva, simétrica y antisimétrica. En expresión algebraicas, las variables iguales pueden ser sustituidas unas por otras, una facilidad que no está disponible para las variables relacionadas con la equivalencia. Las clases de equivalencia de una relación de equivalencia pueden sustituirse entre sí, pero no los individuos dentro de una clase.
Un  orden parcial estricto es irreflexivo, transitivo y asimétrica.
Una relación de equivalencia parcial es transitiva y simétrica. Tal relación es reflexiva si y sólo si es total, es decir, si para todo  existe algún  Por lo tanto, una relación de equivalencia puede definirse alternativamente como una relación simétrica, transitiva y total.
Una relación de equivalencia ternaria es un análogo ternario de la relación de equivalencia habitual (binaria).
Una relación reflexiva y simétrica es una relación de dependencia (si es finita), y una relación de tolerancia si es infinita.
Un preorden es reflexivo y transitivo.
Una relación de congruencia es una relación de equivalencia cuyo dominio  es también el conjunto subyacente de una estructura algebraica, y que respeta la estructura adicional. En general, las relaciones de congruencia desempeñan el papel de núcleos de homomorfismos, y se puede formar el cociente de una estructura por una relación de congruencia. En muchos casos importantes, las relaciones de congruencia tienen una representación alternativa como subestructuras de la estructura sobre la que están definidas (por ejemplo, las relaciones de congruencia sobre grupos corresponden al subgrupo normals).
Cualquier relación de equivalencia es la negación de una relación de separación, aunque la afirmación inversa sólo es válida en matemática clásica (en contraposición a las  matemática constructiva), ya que es equivalente a la Principio del tercero excluido.
Cada relación que es a la vez reflexiva e izquierda (o derecha) euclidiana es también una relación de equivalencia.

Bien definido bajo una relación de equivalencia

Si  es una relación de equivalencia sobre  y  es una propiedad de elementos de  tal que siempre que   es verdadera si  es verdadera, entonces se dice que la propiedad  está  bien definida o es una invariante de clase bajo la relación  

Un caso particular frecuente se da cuando  es una función de  a otro conjunto  si  implica  entonces  se dice que es un {em|morfismo}} para  una {em|clase invariante bajo}}  o simplemente invariante bajo <Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría de caracteres de grupos finitos. Este último caso con la función  puede expresarse mediante un triángulo conmutativo. Véase también invariante.  Algunos autores utilizan "compatible con " o simplemente "respeta " en lugar de "invariante bajo ".

En términos más generales, una función puede asignar argumentos equivalentes (bajo una relación de equivalencia ) a valores equivalentes (bajo una relación de equivalencia ).  Tal función se conoce como un morfismo de  a

Clase de equivalencia, conjunto cociente, partición

Sean  elementos en . En base a esto, a continuacion veamos algunas definiciones:

Clase de equivalencia

Un subconjunto Y de X tal que  se cumple para todo a y b en Y, y nunca para a en Y y b fuera de Y, se llama una clase de equivalencia de X por ~. Sea  la clase de equivalencia a la que pertenece a. Todos los elementos de X equivalentes entre sí son también elementos de la misma clase de equivalencia.

Conjunto cociente
El conjunto de todas las clases de equivalencia de X por ~, denotado  es el conjunto cociente de X por ~. Si X es un espacio topológico, existe una forma natural de transformar  en un espacio topológico; véase espacio cociente para los detalles.

Proyección

La proyección de  es la función  definida por  que mapea elementos de  en sus respectivas clases de equivalencia por 

Teorema sobre proyecciones: Sea la función  y sea tal que si  entonces  Entonces existe una única función  tal que  Si  es una función sobreyectiva y  entonces  es una biyección.

Núcleo de equivalencia
El núcleo de equivalencia de una función  es la relación de equivalencia ~ definida por  El núcleo de equivalencia de una inyección es la relación de identidad.

Partición

Una partición de X es un conjunto P de subconjuntos no vacíos de X, tal que cada elemento de X es un elemento de un único elemento de P. Cada elemento de P es una celda de la partición. Además, los elementos de P son  disjuntos por pares y su unión es X.

Teorema fundamental de las relaciones de equivalencia

Un resultado clave vincula las relaciones de equivalencia y las particiones:
 Una relación de equivalencia ~ sobre un conjunto X divide a X.
 A la inversa, correspondiente a cualquier partición de X, existe una relación de equivalencia ~ sobre X.
En ambos casos, las celdas de la partición de X son las clases de equivalencia de X por ~. Dado que cada elemento de X pertenece a una celda única de cualquier partición de X, y dado que cada celda de la partición es idéntica a una clase de equivalencia de X por ~, cada elemento de ' 'X pertenece a una clase de equivalencia única de X por ~. Así, hay una biyección natural entre el conjunto de todas las relaciones de equivalencia en X y el conjunto de todas las particiones de X.

Comparando relaciones de equivalencia

Si  and  son dos relaciones de equivalencia en el mismo conjunto , y  implica que  para todos  entonces  se dice que es una relación más gruesa que , y  es una relación más fina que .  Equivalentemente,
  es más fino que  si cada clase de equivalencia de  es un subconjunto de una clase de equivalencia de , y por lo tanto cada clase de equivalencia de  es una unión de clases de equivalencia de .
  es más fino que  si la partición creada por  es un refinamiento de la partición creada por .

La relación de equivalencia de igualdad es la relación de equivalencia más fina de cualquier conjunto, mientras que la relación universal, que relaciona todos los pares de elementos, es la más tosca.

La relación " es más fino que " sobre la colección de todas las relaciones de equivalencia en un conjunto fijo es en sí misma una relación de orden parcial, lo que hace que la colección sea una red geométrica.

 Véase también 
 equivalencia lógica
 espacio vectorial cociente
 teoría del orden
 topología cociente
 Notas 

 Referencias 

 Bibliografía 

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Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422–433.
Robert Dilworth and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
 James R.Munkres,Topología, (2002),Prentice Hall.
John Randolph Lucas, 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31.
Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chapters. 9,10.
Raymond Wilder (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics'' 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.

Teoría de conjuntos
Relaciones