Numeri di Bernoulli

In matematica, i numeri di Bernoulli  costituiscono una successione di numeri razionali che gioca un ruolo importante in vari problemi. Accanto a essi conviene prendere in considerazione i polinomi di Bernoulli che si possono considerare una loro generalizzazione.

Genesi storica
Questi numeri furono individuati quasi contemporaneamente ma indipendentemente da Kōwa Seki nel 1712 e da Jakob Bernoulli nel 1713. Bernoulli li tratta nella sua opera Ars Conjectandi, in relazione con le forme chiuse per le somme di potenze di interi successivi

per valori interi positivi fissati di 

Queste forme chiuse erano state individuate già nel 1631 da Johann Faulhaber cui Bernoulli fa riferimento. Dopo la morte di Bernoulli, nel 1721 Abraham de Moivre ed Eulero diedero ai numeri  il nome con il quale sono tuttora conosciuti.

Le precedenti somme sono esprimibili per ogni  come polinomi in  di grado  La formula rivelata e forse scoperta ma non dimostrata da Jakob Bernoulli, scritta in notazione moderna utilizzando la notazione del fattoriale decrescente, è:

Bernoulli però nel suo trattato non considerava quelli che oggi per noi sono invece i primi due numeri della sequenza numerica che porta il suo nome per cui oggi preferiamo esprimere quella stessa formula nel seguente modo

dove si è utilizzata la variante  dei numeri di Bernoulli.

Esempi

Nel caso  abbiamo
 
Nel caso  abbiamo

Definizione ricorsiva
I numeri di Bernoulli, nella variante , possono essere calcolati usando la seguente formula di ricorrenza:

che equivale a:

da cui la forma esplicita:

L'algoritmo di Ada Lovelace
Nella nota G delle Note di Ada Lovelace sull'analytical engine del 1842
è stato descritto per la prima volta un algoritmo per la costruzione dei numeri di Bernoulli con una macchina in grado di eseguire calcoli automatici.
L'algoritmo di Ada Lovelace per i numeri di Bernoulli si basa sulla formula ricorsiva che abbiamo visto anche se per riconoscerla si deve tener conto che anche ai suoi tempi, come in quelli di Bernoulli, non erano considerati i primi due numeri della sequenza.

Tavola dei numeri di Bernoulli
Si può dimostrare che  per tutti gli  dispari maggiori di 1.

I primi valori diversi da 0 sono i seguenti:

{| class="wikitable" border="1" align="center"
|-
!     n   
! width="50" | 0 
! width="50" | 1 
! width="50" | 2
! width="50" | 4 
! width="50" | 6 
! width="50" | 8 
! width="50" | 10 
! width="50" | 12
! width="50" | 14 
! width="50" | 16 
! width="50" | 18 
! width="50" | 20

|- align="center"
! Bn 
| 1 
| ±1/2
| 1/6 
| -1/30 
| 1/42 
| -1/30 
| 5/66 
| -691/2730
| 7/6
| -3617/510
| 43867/798
| -174611/330 
|}

I numeri di Bernoulli compaiono anche negli sviluppi in serie di Taylor della tangente e della tangente iperbolica, nella formula di Eulero-Maclaurin e nelle espressioni di certi valori della funzione zeta di Riemann.

Funzioni generatrici
I numeri di Bernoulli possono anche essere definiti usando delle funzioni generatrici esponenziali sviluppate in serie di Maclaurin. Per la variante della sequenza bernoulliana con  abbiamo: 

mentre sommando  ai due membri della precedente, troviamo la funzione generatrice della variante con 

Queste possono considerarsi uguaglianze fra serie formali di potenze; in questo caso per la convergenza della serie si chiede che  abbia valore assoluto minore di  (il raggio di convergenza della serie stessa).

Numeri di Bernoulli ottenuti dal triangolo di Tartaglia

dove  è il determinante di una matrice di Hessenberg di ordine  parzialmente coincidente con il triangolo di Tartaglia i cui elementi sono definiti da

Per la dimostrazione si rimanda alla bibliografia.
Esempio:

Note

Bibliografia

Voci correlate
Algoritmo di Ada Lovelace per i numeri di Bernoulli
Congettura di Agoh-Giuga
Macchina analitica
Matrici binomiali
Polinomi di Bernoulli

Altri progetti

Collegamenti esterni
 
 
 Sucesión de Bernoulli y programa en Java

Combinatoria
Funzioni speciali
Successioni di numeri