Cauchyrij

Een cauchyrij, of fundamentaalrij, is in de wiskunde een rij waarvoor geldt dat als men verder in de rij komt, de elementen van de rij willekeurig dicht in elkaars buurt komen te liggen. Intuïtief lijkt dit te betekenen dat de rij convergeert naar een limietwaarde. Dit is vanwege de definitie niet bij iedere cauchyrij het geval, aangezien het punt waarheen de rij lijkt te convergeren niet tot de betrokken verzameling behoeft te behoren. Cauchyrijen zijn als het ware de kandidaten voor convergentie.

De cauchyrij is genoemd naar de Franse wiskundige Augustin Louis Cauchy (1789-1857).

Definitie 
Een cauchyrij in een metrische ruimte  met afstandsfunctie of metriek  is een rij  in , die voldoet aan de volgende voorwaarde:

Voor elk reëel getal  bestaat er een natuurlijk getal  zodanig dat voor alle natuurlijke getallen  en  die groter zijn dan , geldt dat .

Deze definitie zegt in woorden dat hoe klein  ook gekozen wordt, er altijd een punt in de rij te vinden is van waaraf de afstand tussen twee willekeurige elementen altijd kleiner is dan .  

Iedere convergente rij is een cauchyrij en iedere cauchyrij is begrensd.

Voorbeeld van een rij, die geen cauchyrij is 
Voor een cauchyrij heeft de afstand tussen twee opeenvolgende elementen, als punten  in , als limietwaarde 0, maar dit is niet een voldoende voorwaarde om een cauchyrij te zijn, zoals blijkt uit het volgende tegenvoorbeeld. 

Voor de rij met  geldt 

De rij is echter geen cauchyrij, aangezien ,

dus hoe groot  bij een gegeven  ook gekozen wordt, er is altijd een  te vinden waarvoor . 

Voor de elementen  van de rij geldt dat deze voor voldoend grote  groter worden dan elk willekeurig getal . De limiet van de rij  is .

Voorbeeld van een niet-convergente cauchyrij  
De rij  is gedefinieerd als de opeenvolgende decimale benaderingen van : 

De rij is:

enzovoort.

De rij  is een cauchyrij met elementen in . In  convergeert  naar , maar in  is  niet convergent.  is geen element van . Niet iedere cauchyrij is in  dus convergent.

Volledige metrische ruimte 
Het begrip cauchyrij speelt een rol in de definitie van een volledige metrische ruimte. In iedere metrische ruimte is iedere convergente rij tevens een cauchyrij. Een metrische ruimte  wordt volledig genoemd als ook omgekeerd iedere cauchyrij, die binnen die verzameling kan worden gedefinieerd, convergeert. De bijbehorende limietwaarde moet dus ook binnen die verzameling liggen. Het bekendste voorbeeld hiervan zijn de reële getallen. De verzameling  van de reële getallen is gedefinieerd als de kleinste volledige metrische ruimte, die de verzameling  van de rationale getallen bevat. In  is elke cauchyrij dus convergent.

Een van de manieren om de reële getallen uit de rationale getallen te construeren is als de verzameling equivalentieklassen van cauchyrijen in , waarbij twee rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.

Cauchyrij in een topologische vectorruimte 
Een topologische vectorruimte is een reële of complexe vectorruimte, uitgerust met een topologie die de hausdorff-eigenschap bezit en die de klassieke vectorbewerkingen continu maakt.

Een dergelijke topologie is niet altijd afkomstig van een metriek, maar toch kan het begrip cauchyrij veralgemeend worden. Elke topologische vectorruimte heeft in ieder punt een aftelbare lokale basis. Zij

een dergelijke lokale basis voor de nulvector. Een rij vectoren

heet cauchyrij als er voor elke  een natuurlijk getal  bestaat zodat voor alle natuurlijke getallen  en  die groter dan  zijn, geldt dat

Het is niet moeilijk aan te tonen dat deze definitie onafhankelijk is van de gekozen aftelbare basis.

Gelijkwaardigheid van de definities 
Een metriek op een topologische vectorruimte heet translatie-invariant, als de afstanden tussen vectoren niet wijzigen onder invloed van een willekeurige verschuiving:

Als de topologie van  afkomstig is van een translatie-invariante metriek, dan valt de "topologische" definitie van een cauchyrij samen met de "metrische" definitie. In het bijzonder geldt dat alle verschillende translatie-invariante metrieken die dezelfde topologische vectorruimte voortbrengen, dezelfde cauchyrijen hebben.

Wiskundige analyse