Transformacja Fouriera

Transformacja Fouriera – pewien operator liniowy określany na pewnych przestrzeniach funkcyjnych, elementami których mogą być funkcje  zmiennych rzeczywistych. Opisuje ona rozkład tych funkcji w bazie ortonormalnej funkcji trygonometrycznych – za pomocą iloczynu skalarnego funkcji. Została nazwana na cześć Jeana Baptiste’a Josepha Fouriera. Wynikiem transformacji Fouriera jest funkcja nazywana transformatą Fouriera.

Definicje podstawowe 
Transformatę Fouriera można określić dla funkcji  (gdzie  jest przestrzenią wektorową funkcji całkowalnych na ) wzorem:
 

gdzie  – jednostka urojona  a  jest iloczynem skalarnym wektorów  Transformacja Fouriera jest też oznaczana przez  wówczas transformata  jest oznaczana przez 

Transformata  jest funkcją istotnie ograniczoną:  (wynika to z twierdzenia Riemanna-Lebesgue’a).

W przypadku gdy funkcja  jest ponadto całkowalna z kwadratem (czyli ), transformata  jest również całkowalna z kwadratem. Innymi słowy, transformacja Fouriera jest odwzorowaniem przestrzeni:
 

Twierdzenie Plancherela wówczas mówi, że odwzorowanie to przedłuża się do izometrii przestrzeni  na siebie. W wielu praktycznych zastosowaniach w przypadku jednowymiarowym przedłużenie to jest równoważne obliczeniu wartości głównej całki niewłaściwej zbieżnej:
 

Często przestrzeń  ogranicza się do przestrzeni funkcji szybko malejących w nieskończoności  – przestrzeni funkcji nieskończenie razy różniczkowalnych, dla których iloczyn dowolnej pochodnej cząstkowej i dowolnego wielomianu jest funkcją ograniczoną na  Ograniczona w ten sposób transformacja Fouriera jest również izometrią przestrzeni  na siebie.

W praktyce, często zmienna  oznacza czas (w sekundach), a argument transformaty  częstotliwość (w Hz=1/s). Funkcja  może być zrekonstruowana z  poprzez transformację odwrotną:

Alternatywne definicje 
Stosowane są także inne definicje transformacji Fouriera.

1. Transformacja z dziedziny czasu  w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) 
 

i transformacja odwrotna:
 

gdzie:
  – funkcja (oryginał) w dziedzinie czasu,
  transformata (widmo Fouriera) w dziedzinie pulsacji,
  – pulsacją proporcjonalną do częstotliwości oscylacji 

2. Unitarna transformacja z dziedziny czasu  w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) 
 

i transformacja odwrotna:

Komentarz 
 Czynnik  przed transformacją i transformacją odwrotną występuje umownie – zamiast takiej postaci może występować czynnik  przed transformacją prostą, albo (częściej) przed transformacją odwrotną.
 Jeżeli jednak czynnik wynosi  wtedy transformacja i transformacja odwrotna są izometriami przestrzeni 
 Pierwsza z dwu powyższych definicji jest popularniejsza, nie posiada jednak własności unitarności.

Interpretacja i związek z transformatą Laplace’a 

W analizie Fouriera, krzywe harmoniczne sinus i cosinus (z wzoru Eulera mamy bowiem  zob. też szereg Fouriera) mnożone są przez sygnał i wynikowe całkowanie dostarcza wskazówki na temat sygnału obecnego dla danej częstotliwości (na przykład energii sygnału dla danego punktu w dziedzinie częstotliwości, zob. też widmo sygnału).

Podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze wykonuje transformacja ‘s’ (powszechnie określana mianem transformacji Laplace’a). Funkcja rzeczywista czasu może być przetransformowana na płaszczyznę S poprzez scałkowanie iloczynu takiej funkcji z wyrażaniem  w granicach od  do  gdzie  jest liczbą zespoloną.
 

Wyrażenie  ujmuje nie tylko częstotliwości, ale również rzeczywiste efekty  Transformacja ‘s’ uwzględnia więc nie tylko przebiegi częstotliwościowe, ale także efekty o charakterze zaniku. Na przykład krzywa sinusoidalna tłumiona może być odpowiednio zamodelowana za pomocą transformacji ‘s’. Transformata Laplace’a stanowi więc uogólnienie transformacji Fouriera. Ściślej przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace’a dla  Podobnie transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera.

Własności transformaty Fouriera 
 W przypadku jednowymiarowym funkcja  jest klasy  czyli jest całkowalna w przedziale 
  jest funkcją ciągłą. Nie musi natomiast być całkowalna w 
 Jeśli  to 
 Jeśli  i  to 
  gdzie operacja  oznacza splot funkcji f i g
 Jeśli pochodna funkcji  należy do  i funkcja zeruje się poza pewnym przedziałem skończonym, to z całkowania przez części wynika, że:

Właściwości transformat

Najprzydatniejsze pary transformat 
W przestrzeniach funkcji dobrze określonych, takich jak  lub przestrzeń funkcji szybko malejących w nieskończoności  transformacja Fouriera przyporządkowuje wzajemnie jednoznacznie funkcji (oryginałowi) jej transformatę. Oryginał i jego transformata określana są wtedy jako para fourierowska.

Funkcje całkowalne z kwadratem 
W tabeli zestawiony jest oryginał oraz jego transformaty w dziedzinie częstotliwości i pulsacji.

Dystrybucje 
Dystrybucje, określane też jako funkcje uogólnione nie posiadają transformat w sensie określonym przez powyższe definicje. Możliwe jest jednak uogólnienie pojęcia transformaty i przyjęcie, że uzyskujemy w wyniku przejścia do granicy ciągu transformat lub wychodząc od szeregu Fouriera funkcji okresowej.

Zastosowanie dla potrzeb przetwarzania sygnałów 

Zależność określającą transmitancję widmową  można wyznaczyć:
 przechodząc z transmitancji operatorowej przez podstawienie 
 uzyskując odpowiedź układu dynamicznego na dowolny sygnał wejściowy reprezentowany przez złożenie harmonicznych składowych sinusoidalnych (zob. też charakterystyka sinusoidalna, charakterystyka częstotliwościowa),
 za pomocą transformaty Fouriera.

Pojedyncza zespolona składowa harmoniczna o amplitudzie  pulsacji  i fazie 
 

(gdzie  oznacza jednostkę urojoną), generuje odpowiedź na wyjściu układu w postaci sygnału sinusoidalnego o amplitudzie  i fazie 
 

Warto zwrócić uwagę na fakt, że częstotliwość  pozostała taka sama, jedynie amplituda i faza sygnału uległy zmianie w układzie. Transmitancja  opisuje charakter tych zmian w całym spektrum częstotliwości (tj. dla każdej częstotliwości ). Moduł transmitancji opisuje wzmocnienie układu:
 

a argument tej transmitancji opisuje przesunięcie fazowe wprowadzane przez układ:
 

Transmitancja 

Dla przypadku układów dyskretnych wyrażenie
 

definiuje dyskretną transmitancję widmową.

Zobacz też 
 dyskretna transformata Fouriera
 funkcja charakterystyczna
 procesor Fouriera
 szereg Fouriera
 transformata Hilberta
 transformata Laplace’a

Przypisy

Linki zewnętrzne 

 Polskojęzyczne
 

 Anglojęzyczne
 
 Interaktywne wprowadzenie do transformacji Fouriera [Angielski z animacjami]
  Grant Sanderson, But what is the Fourier Transform? A visual introduction, kanał 3blue1brown, YouTube, 26 stycznia 2018 [dostęp 2021-03-15].
  Aled Walker, F is for Fourier Transform , Oxford University Mathematical Institute, maths.ox.ac.uk, 19 sierpnia 2022 [dostęp 2023-05-29].

Transformaty