Operación (matemática)

Una  operación matemática es una función sobre una tupla y que obtiene un resultado, aplicando unas reglas preestablecidas sobre la tupla.

 1. Una operación matemática, para que sea considerada como tal, siempre tiene que garantizar un resultado, las operaciones que para ciertos valores de la tupla no garantizan un resultado no pueden considerarse operaciones matemáticas propiamente dichas.

 2. Una operación matemática ha de dar un único resultado, si para una tupla dada puede presentar más de un resultado, no se puede considerar operación matemática propiamente dicha.

Una característica importante de una operación matemática es el número de términos de la tupla: aridad. Siendo la de dos términos: operación binaria de gran importancia.

En álgebra, se usa lo que son las operaciones suma, resta, multiplicación y división. Una operación es la aplicación de un operador sobre los elementos de un conjunto que tiene. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce técnicamente como ley de composición. 

En aritmética y cálculo el conjunto de partida puede estar formado por elementos de un único tipo (las operaciones aritméticas actúan sólo sobre números) o de varios (el producto de un vector por un escalar engloba al conjunto unión de vectores y escalares que conforman un espacio vectorial).

Dependiendo de cómo sean los conjuntos implicados en la operación con respecto al conjunto considerado principal según nuestras intenciones podemos clasificar las operaciones en dos tipos: internas y externas.

Propiedades de las operaciones 
 La operación de adición (+)
 se escribe 
 es conmutativa: 
 es asociativa:  
 tiene una operación inversa llamada sustracción: , que es igual a sumar el Opuesto, 
 tiene un elemento neutro 0 que no altera la suma: 

 La operación de multiplicación (×)
 se escribe    o    
 es una adición repetida  (n veces)
 es conmutativa:   = 
 es asociativa: 
 se abrevia por yuxtaposición: 
 tiene una operación inversa, para números diferentes a cero, llamada división: , que es igual a multiplicar por el recíproco, 
 tiene un elemento neutro 1 que no altera la multiplicación: 
 es distributiva respecto la adición:  

 La operación de potenciación
 se escribe 
 es una multiplicación repetida:  (n veces)
 no es ni comutativa ni asociativa: en general   y 
 tiene una operación inversa, llamada logaritmación: 
 puede ser escrita en términos de raíz n-ésima:   y por lo tanto las raíces pares de números negativos no existen en el sistema de los números reales. (Ver: sistema de números complejos)
 es distributiva con respecto a la multiplicación: 
 tiene la propiedad: 
 tiene la propiedad:

Orden de las operaciones 
Para completar el valor de una expresión, es necesario calcular partes de ella en un orden particular, conocido como el orden de prioridad o el orden de precedencia de las operaciones. Primero se calculan los valores de las expresiones encerradas en signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), luego las de exponenciaciones, luego las multiplicaciones y divisiones y, por último, las sumas y las restas.

Propiedades de la igualdad 
La relación de igualdad (=) es:
 reflexiva: 
 simétrica: si   entonces 
 transitiva: si   y   entonces

Leyes de la igualdad 
La relación de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes:

 si  y   entonces   y 
 si   entonces  
 si dos símbolos son iguales, entonces uno puede ser sustituido por el otro.
 regularidad de la suma: trabajando con números reales o complejos sucede que si   entonces .
 regularidad condicional de la multiplicación: si   y  no es cero, entonces  .

Leyes de la desigualdad 
La relación de desigualdad (<) tiene las siguientes propiedades:

 de transitividad: si   y    entonces  
 si  y   entonces  
 si  y  entonces 
 si  y  entonces

Regla de los signos 
En el producto y en el cociente de números positivos (+) y negativos (-) se cumplen las siguientes reglas:

Álgebra abstracta 

Una operación  es interna si, tanto los elementos iniciales como los finales pertenecen al único conjunto .
  es un conjunto.

Que también puede expresarse:
 

O también:
 

Según la naturaleza del producto cartesiano inicial de la operación podemos diferenciar: 

Operaciones finitas si el conjunto inicial  es producto cartesiano finito.

Operaciones infinitas en caso contrario.

Operación n-aria 

Diremos que  es una operación n-aria en el conjunto , si:

a  se le llama la ariedad o anidad.

Operación binaria 

Una operación es binaria cuando  es igual a dos:
 

y también:

 
 
 

Ejemplo:

En el conjunto de los números naturales, , la operación de adición: , , con las diferentes expresiones:
 
 
 

donde a y b son los sumandos y c el resultado de la suma.

Operación unaria 

Una operación unaria, con un solo parámetro:
 

también suelen denominarse funciones.

Ejemplos:

Dado el conjunto de los números naturales , la operación unaria incremento o siguiente, como:
 

Donde:
 

Dado el conjunto de los números enteros , la operación opuesto, como:
 

esto es:

Operación 0-aria 

Una operación 0-aria es cuando tenemos una operación  es decir:
 

Ejemplo:
Una operación nularia suele devolver constantes, por ejemplo el valor de pi:
 

Que asigna a a el valor real del número pi.

Una operación que designa un elemento distinguido de , en teoría de grupos sería el elemento neutro de un grupo.

Operación externa 

Una ley de composición externa sobre un conjunto A con un conjunto B es una aplicación:
 

esta aplicación se dice que es una operación externa.

Ejemplo:
Dado el conjunto  de los vectores en el plano y el conjunto de escalares  de números reales, tenemos que el producto de un número real por un vector en el plano es un vector en el plano:
 

Dado el vector:
 

Si lo multiplicamos por un escalar 3:
 

podemos ver que los dos vectores son del plano:
 

Partiendo de los conjuntos A y B distintos, y una aplicación:
 

se dice que también es una ley de composición externa. Por ejemplo el Producto escalar de dos vectores en el plano, da como resultado un número real, esto es: 
 

Tomando los vectores del plano:
 

 

Y siendo su producto escalar:
 

Que da por resultado un número real, veamos un ejemplo numérico:
  

 

Operando

Referencias

Bibliografía 
 J. Barja Pérez. Álgebras Universales en el Cálculo de Proposiciones. Universidad de Santiago de Compostela España. 1978.
 Donald W. Barnes, John M. Mack. Una Introducción Algebraica a la Lógica Matemática. 1978.
 Lang, Serge Álgebra lineal (1975), Fondo educativo interamericano S.A. impreso en Puerto Rico, segunda edición.

Véase también 
 Relación matemática
 Correspondencia matemática
 Función matemática
 Propiedades de las operaciones binarias

Enlaces externos 

 web que genera operaciones matemáticas en PDF para practicar con ellas. 

Álgebra abstracta