Glossario di teoria dei gruppi

Un gruppo è un insieme munito di un'operazione associativa dotata di elemento neutro e tale che ogni elemento possiede un inverso. Gruppi molto importanti sono costituiti da trasformazioni; altri gruppi che si incontrano spesso sono costituiti da insiemi numerici muniti della moltiplicazione. In genere l'operazione di un gruppo viene chiamata prodotto e il suo elemento neutro viene detto unità o elemento identità. In questo articolo useremo e per denotare l'unità di un gruppo.

A

Automorfismo 

Si dice automorfismo un isomorfismo di un oggetto matematico in se stesso. L'insieme degli automorfismi di un oggetto matematico con l'operazione di composizione di funzioni forma un gruppo chiamato gruppo di automorfismi.

Automorfismo interno 

Un automorfismo interno di un gruppo  è un automorfismo indotto da un elemento  di  della forma:

Azione di gruppo 

Siano  un gruppo ed  un insieme, siano inoltre  e  due elementi di  e  un elemento di .
Si dice azione di gruppo una funzione:

dove  è definita in modo tale da verificare le due seguenti condizioni:

C

Centralizzatore 

Se  è un gruppo e  è un elemento di  si dice centralizzatore di  l'insieme:

Centro 
Il centro di un gruppo  è il sottoinsieme:

Classe di coniugio 

Due elementi  e  di un gruppo  si dicono coniugati tra loro se esiste un elemento  di  tale che . Una classe di coniugio è quindi un insieme di  formato solo da elementi coniugati tra di loro, quindi la classe di coniugio di  sarà:

Commutatore 

Il commutatore di due elementi  e  di un gruppo  è definito come l'elemento:

dove  e  sono gli inversi rispettivamente di  e . È da notare che se l'operazione  gode della proprietà commutativa il commutatore di qualsiasi coppia di elementi di  è uguale a:

E

Estensione di un gruppo 
Dati due gruppi  e , si dice estensione del gruppo  mediante  il gruppo  in cui esista un sottogruppo normale  tale che  è isomorfo ad  e  è isomorfo ad .

G

Gruppo abeliano 

Un gruppo si dice abeliano o commutativo se la sua operazione binaria possiede la proprietà commutativa.

Gruppo abeliano libero 
Un gruppo abeliano è detto libero se ogni suo elemento può essere scritto in modo unico come combinazione finita di elementi di un suo fissato sottinsieme, detto base.
Dato un insieme qualunque  è possibile costruire il gruppo abeliano libero  con base  nel seguente modo: gli elementi di  sono le funzioni su  a valori interi tali che  per ogni  tranne al più un numero finito;  viene reso un gruppo abeliano con l'ordinaria somma tra funzioni definita da , ed è libero con base data dalle funzioni  definite da

Identificando  con  in modo naturale si ottiene il gruppo libero generato da .

Questa è solo una delle (infinite) possibili costruzioni esplicite, nel senso che è possibile trovare altri gruppi isomorfi a questo usando costruzioni diverse; pertanto, risulta utile caratterizzare  tramite la seguente proprietà universale:  è l'unico (a meno di isomorfismi) gruppo abeliano tale che, per ogni gruppo abeliano  e per ogni funzione , esiste un unico omomorfismo di gruppi  che estende .

Gruppo ciclico 
Un gruppo si dice ciclico se è generato da un insieme costituito da un solo elemento. Un tale gruppo può avere ordine finito (e in particolare ridursi semplicemente all'unità), oppure essere un gruppo ciclico di ordine infinito.

Gruppo dei quaternioni 

Il gruppo dei quaternioni è un particolare gruppo non abeliano formato da otto elementi, è il più piccolo gruppo hamiltoniano ed è anche il secondo gruppo non abeliano più piccolo, dopo il gruppo simmetrico .

Gruppo diedrale 

Un gruppo diedrale di ordine  è un gruppo formato dalle isometrie del piano che lasciano immutati i poligoni regolari con  lati.

Gruppo di Dedekind 

Un gruppo di Dedekind è un gruppo in cui ogni sottogruppo è normale.

Gruppo finitamente generato 
Un gruppo si dice finitamente generato se è generato da un insieme finito di elementi.

Gruppo finito 

Un gruppo finito è un gruppo costituito da un numero finito di elementi.

Gruppo generale lineare 

Il gruppo generale lineare, denotato spesso con , è il gruppo delle matrici invertibili n × n con elementi nel campo K; particolarmente importanti sono i gruppi lineari generali sul campo dei numeri reali e dei numeri complessi.

Gruppo hamiltoniano 

Un gruppo hamiltoniano è un gruppo non abeliano in cui ogni sottogruppo è normale.

Gruppo libero 

Un gruppo  si dice libero se esiste un sottoinsieme  di  tale che è possibile scrivere ogni elemento di  come prodotto di un numero finito di elementi di  e dei suoi inversi in modo unico.

Gruppo nilpotente 

Un gruppo  si dice nilpotente se la catena di sottogruppi normali:

con  centro del gruppo quoziente , termina finitamente.

Gruppo risolubile 

Un gruppo  è risolubile se esiste una catena di sottogruppi

in cui ogni  è normale in  e il gruppo quoziente  è abeliano.

Gruppo semplice 

Gruppo che non contiene sottogruppi normali diversi dall'unità e da sé stesso. Ogni gruppo finito è costruibile prendendo dei gruppi semplici ed operando delle estensioni di gruppi: dunque lo studio e la classificazione dei gruppi semplici finiti è centrale nello studio dei gruppi finiti in generale.

Gruppo simmetrico 
Il gruppo simmetrico è il gruppo formato da tutte le permutazioni degli elementi di un insieme e dall'operazione di composizione di funzioni. Solitamente il gruppo simmetrico delle permutazioni di un insieme di cardinalità  viene indicato con .

Gruppo quoziente 

Se  è un gruppo ed  un sottogruppo normale di  allora si dice gruppo quoziente o gruppo fattore di  per  l'insieme

dei laterali destri o sinistri di .

I

Insieme generatore di un gruppo 

Se  è un gruppo si dice che un sottoinsieme  di  è un insieme generatore del gruppo  se per ogni elemento  appartenente a  si ha che  con  appartenenti a .

Inverso 

Se  è un gruppo,  e  sono due elementi di  si dice che  è l'inverso di  se , spesso l'elemento inverso di un elemento  viene indicato come .

Isomorfismo tra gruppi 

Un omomorfismo tra due gruppi si dice isomorfismo se è anche biettivo.

L

Laterale 

Se  è un gruppo,  è un sottogruppo di  e  è un elemento di  si dice laterale destro di  in  rappresentato da  l'insieme:

e si dice laterale sinistro di  in  rappresentato da  l'insieme:

N

Normalizzatore 

Se  è un gruppo e  è un sottogruppo di  si dice normalizzatore di  l'insieme:

Nucleo di un omomorfismo tra gruppi 

Se  e  sono due gruppi, il nucleo o kernel di un omomorfismo  è l'insieme degli elementi di  che hanno come immagine l'unità di .

O

Omologia 

Un'omologia è una successione di gruppi abeliani assegnata ad un particolare oggetto matematico (come uno spazio topologico o un gruppo) che fornisce in qualche maniera informazioni sull'oggetto in considerazione. Un'omologia su un oggetto  viene indicata come:

Omomorfismo di gruppi 

Se  e  sono due gruppi la funzione  si dice omomorfismo tra  e  se per ogni  e  appartenenti a  si ha:

Ordine di un elemento 
Se  è un gruppo e  è un elemento di , si dice ordine di  l'ordine del gruppo ciclico generato da .

Ordine di un gruppo 
Se  è un gruppo, il suo ordine è la cardinalità dell'insieme  cioè il numero dei suoi elementi. Spesso l'ordine di un gruppo  viene indicato come .

P

p-gruppo 

Un gruppo primario (o p-gruppo) è un gruppo i cui elementi hanno un ordine che è potenza di un numero primo p.

Presentazione di un gruppo 

Una presentazione di un gruppo è una particolare definizione ottenuta mediante l'elencazione dei seguenti insiemi:
 i generatori del gruppo, ovvero degli elementi il cui prodotto combinato dà origine a tutti gli elementi del gruppo;
 le relazioni, ovvero una serie di uguaglianze tra i vari elementi del gruppo.

Problema di Burnside 

Il problema di Burnside è un quesito di teoria dei gruppi proposto nel 1902 da William Burnside. Il problema può essere formulato in questo modo:
Se un gruppo è finitamente generato e tutti i suoi elementi hanno ordine finito allora il gruppo è finito?
La risposta a questa domanda è stata dimostrata essere negativa nel 1964 da Golod e Šafarevič.

Prodotto diretto e semidiretto 

Il prodotto diretto di due gruppi  e  è un altro gruppo, costruito prendendo il prodotto cartesiano  e definendo la legge di composizione:

dove  e .

Il prodotto semidiretto è una generalizzazione del concetto di prodotto diretto. Un prodotto semidiretto di due gruppi  e  ha sempre come elementi quelli del prodotto cartesiano . La legge di composizione però dipende anche da un omomorfismo particolare scelto fra gli omomorfismi

Prodotto libero 

Siano  e  due gruppi. Si definisce parola in  e  una successione finita di elementi  dove  è un elemento di  o di .

Il prodotto libero  tra  e  è il gruppo di tutte le parole in  e  a meno di una relazione di equivalenza. L'operazione di gruppo è il concatenamento delle parole.

R

Rango di un gruppo abeliano 
Il rango di un gruppo abeliano  rappresenta la dimensione del più grande gruppo abeliano libero contenuto in .

Rappresentazione di un gruppo 

Una rappresentazione di un gruppo  su uno spazio vettoriale  su un campo  è un omomorfismo di gruppi da  al gruppo generale lineare su V (spesso indicato con ).

Relazione di congruenza 

Se  è un gruppo e  è una relazione binaria su  allora  è una congruenza se:
dato un generico elemento  di , ;
dati i generici elementi  e  di , se  allora 
dati i generici elementi ,  e  di , se  e  allora ;
dati i generici elementi  e  di , se  allora 
dati i generici elementi , ,  e  di  se  e  allora .

Relazione di equivalenza 

Una relazione di equivalenza  è una relazione binaria tra elementi di un insieme  riflessiva, simmetrica e transitiva quindi

 implica 
 e  implicano

Reticolo dei sottogruppi di un gruppo 
Se  è un gruppo allora il reticolo dei sottogruppi del gruppo  è la struttura algebrica formata dall'insieme dei sottogruppi di  e dall'operazione di inclusione fra insiemi.

S

Somma diretta 

Il prodotto diretto tra due gruppi scritti in forma additiva viene anche chiamato somma diretta.

Sottogruppo 

Se  è un gruppo rispetto all'operazione  allora si dice sottogruppo un sottoinsieme di  chiuso rispetto all'operazione .

Sottogruppo caratteristico 

Un sottogruppo si dice caratteristico se viene mandato in sé da ogni automorfismo del gruppo che lo contiene

Sottogruppo di torsione 

Se  è un gruppo il suo sottogruppo di torsione è l'insieme dei suoi elementi aventi ordine finito. Gli elementi di un sottogruppo di torsione si dicono elementi di torsione.

Sottogruppo normale 

Se  è un gruppo si dice che il gruppo  è un sottogruppo normale di  se è un sottogruppo di  e per ogni elemento  di  i laterali destri  di H coincidono con i laterali sinistri  di H.

T

Tabella di Cayley 

Tabella a doppia entrata che mostra i risultati di tutti i possibili prodotti tra gli elementi di un gruppo finito, descrivendone quindi la struttura. Può essere usata per dedurre velocemente proprietà di un gruppo quali il centro o l'abelianità.

Teorema di isomorfismo 

Nella teoria dei gruppi esistono tre teoremi di isomorfismo che definiscono degli isomorfismi tra vari oggetti della teoria dei gruppi.

Teorema di Lagrange 

Il teorema di Lagrange è un enunciato che afferma che ogni sottogruppo di un gruppo finito ha ordine che divide l'ordine del gruppo. Quindi se  è un gruppo e  è un sottogruppo di  allora l'ordine di  divide l'ordine di .

Teorema enorme 

Il teorema enorme è l'enunciato che elenca tutti tipi di gruppi finiti semplici esistenti, cioè risolve il problema della classificazione di tali gruppi. Il nome è dovuto al fatto che la dimostrazione completa richiede sviluppi presentati in una gran quantità di articoli, per un complesso di circa 16000 pagine.

Teoremi di Sylow 

Importanti teoremi riguardanti i -gruppi.

U

Unità 

Se  è un gruppo, si dice unità o elemento neutro del gruppo  l'elemento  appartenente a  tale che per ogni  in  si ha che . L'unità di un gruppo  si indica spesso con  oppure  o anche semplicemente come .

Note 

Teoria dei gruppi
Teoria dei gruppi