Kardinaliteit

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de kardinaliteit van een verzameling een algemene vorm om het aantal elementen in een verzameling mee aan te duiden, die ook voor oneindige verzamelingen van toepassing is. Een verzameling is eindig, aftelbaar oneindig of overaftelbaar. De kardinaliteit van een eindige verzameling is gewoon het aantal elementen. Alle aftelbaar oneindige verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit. Er bestaan overaftelbare verzamelingen van verschillende kardinaliteiten.

De kardinaliteit van een verzameling  wordt aangeduid met , zoals bij de notatie voor de absolute waarde. De betekenis is afhankelijk van de context. Soms wordt ook wel de notatie  gebruikt.

Er zijn twee manieren om het begrip kardinaliteit te benaderen. In de ene benadering vergelijkt men verzamelingen rechtstreeks door gebruik te maken van bijecties en injecties, in de andere maakt men gebruik van kardinaalgetallen. Twee verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als ze een-op-een op elkaar kunnen worden afgebeeld, dat wil zeggen dat er een bijectie tussen de beide verzamelingen kan worden gegeven. Deze verzamelingen worden dan gelijkmachtig genoemd.

Vergelijken van verzamelingen 
Men kan de volgende drie gevallen onderscheiden:
 
 Twee verzamelingen  en  hebben dezelfde kardinaliteit als er een bijectie bestaat van  naar .

 De verzameling  van even natuurlijke getallen heeft dezelfde kardinaliteit als de verzameling  van natuurlijke getallen zelf, aangezien de functie  een bijectie is van  naar .

 
  heeft een kardinaliteit die strikt groter is dan de kardinaliteit van  als er een injectie van  naar  bestaat, maar geen bijectie.

 De verzameling  van alle reële getallen heeft bijvoorbeeld een kardinaliteit die strikt groter is dan de kardinaliteit van de verzameling  van alle natuurlijke getallen, omdat de identieke afbeelding  injectief is en het kan worden aangetoond dat er geen bijectieve functie van  naar  bestaat.

 
  heeft een kardinaliteit groter dan of gelijk aan de kardinaliteit van  als er een injectie van  naar  bestaat.

Kardinaalgetallen 

De relatie dat twee verzamelingen dezelfde kardinaliteit hebben wordt gelijkmachtigheid genoemd. Gelijkmachtigheid is een equivalentierelatie op de klasse van alle verzamelingen. De equivalentieklasse van een verzameling  bestaat onder deze relatie uit al die verzamelingen die dezelfde kardinaliteit als  hebben. Er zijn twee manieren om de kardinaliteit van een verzameling te definiëren:

 De kardinaliteit van een verzameling  wordt gedefinieerd als haar equivalentieklasse onder gelijkmachtigheid.
 Er wordt voor elke equivalentieklasse een representatieve verzameling aangewezen.

De kardinaliteiten van de oneindige verzamelingen worden aangeduid door
 

Voor elke ordinaal , is  het kleinste kardinaalgetal groter dan . Als het keuzeaxioma wordt aangenomen, worden op deze manier alle kardinaalgetallen opgesomd.

Eindige verzameling 
De kardinaliteit van een eindige verzameling is het aantal elementen in de verzameling. Omgekeerd geldt ook, dat als de kardinaliteit van een verzameling een natuurlijk getal is, die verzameling eindig is. Twee eindige verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als ze hetzelfde aantal elementen hebben.

Een verzameling met een enkel element wordt een singleton of eenpuntsverzameling genoemd.

Oneindige verzameling 
Een oneindige verzameling heeft altijd een hogere kardinaliteit dan een eindige. Dat wil zeggen, we kunnen elk element van de eindige verzameling op een verschillend element van de oneindige verzameling afbeelden, maar omgekeerd kan dat niet. De kleinste oneindige kardinaliteit is die van de natuurlijke getallen en die wordt  (alef-nul) genoemd. Verzamelingen met deze kardinaliteit heten aftelbaar oneindig. Het diagonaalbewijs van Cantor toont aan dat er ook hogere kardinaliteiten bestaan. Deze worden ook met alef-getallen aangegeven: .

Kardinaliteit van het continuüm 

Een van Cantors belangrijkste resultaten was dat de kardinaliteit van het continuüm (c of ) groter is dan de kardinaliteit van de natuurlijke getallen (). Dat wil zeggen dat er meer reële getallen  dan natuurlijke getallen  bestaan. Cantor toonde dit met zijn diagonaalbewijs aan:
 

De continuümhypothese stelt dat er geen kardinaalgetal bestaat tussen de kardinaliteit van de reële getallen en de kardinaliteit van de natuurlijke getallen. De continuümhypothese kan binnen de algemeen aanvaarde Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer, ten minste indien deze axiomatische verzamelingenleer consistent is, noch worden bewezen noch worden verworpen.

Het kan wel worden bewezen dat de kardinaliteit van de machtsverzameling van  gelijk is aan de kardinaliteit van  en dat de kardinaliteit van een verzameling  altijd groter is dan de kardinaliteit van  zelf.

Informatica 
In de informatica heeft kardinaliteit betrekking op relaties tussen tabellen of associaties tussen klassen en/of objecten. Dan is dit het aantal keer dat die voorkomen. Dat kan met een getal of een interval worden vastgelegd.

Kardinaalgetal