Moment cinétique

En mécanique classique, le moment cinétique (ou moment angulaire par anglicisme) d'un point matériel M par rapport à un point O est le moment de la quantité de mouvement  par rapport au point O, c'est-à-dire le produit vectoriel :
.

Le moment cinétique d'un système matériel est la somme des moments cinétiques (par rapport au même point O) des points matériels constituant le système :
.

Cette grandeur, considérée dans un référentiel galiléen, dépend du choix de l'origine O, par suite, il n'est pas possible de combiner en général des moments angulaires ayant des origines différentes. Son unité est le kilogramme mètre carré radian par seconde (). Par ailleurs, il s'agit d'un champ équiprojectif, donc un torseur.

Le moment cinétique joue dans le cas d'une rotation, un rôle analogue à celui de la quantité de mouvement pour une translation (cf. analogie entre rotation et translation) : si la conservation de la quantité de mouvement pour un système isolé est liée à l'invariance par translation dans l'espace (propriété d'homogénéité de l'espace), la conservation du moment cinétique est liée à l'isotropie de l'espace. Le lien entre moment angulaire et rotation est encore plus net en mécanique analytique et surtout en mécanique quantique (cf. moment cinétique en mécanique quantique) où ce concept est enrichi, avec l'apparition d'un moment cinétique sans équivalent classique (le spin).

Pour un point matériel, la variation temporelle du moment cinétique est donnée par la somme des moments des forces appliquées à ce point. Ce résultat, qui peut se généraliser à un système de points, constitue le théorème du moment cinétique et est l'analogue de la relation fondamentale de la dynamique, qui lie variation temporelle de la quantité de mouvement et somme des forces appliquées.

C'est un opérateur en mécanique quantique, et un tenseur en relativité restreinte.

Définition et propriétés générales du moment cinétique 

Pour définir simplement la notion de moment cinétique, il est utile de prendre d'abord le cas simple d'un point matériel (ou corps ponctuel), qui correspond à une idéalisation où les dimensions d'un système sont considérées comme petites devant les distances caractéristiques du mouvement étudié (distance parcourue, rayon d'une orbite…). Le système est alors modélisé par un simple point géométrique (noté M) auquel est associé sa masse m. Il est ensuite possible de généraliser par additivité la notion de moment cinétique à un système quelconque, considéré comme un ensemble de points matériels.

Cas d'un point matériel 
Pour un point matériel M en mouvement par rapport à un référentiel donné, de vecteur position , le moment cinétique (ou angulaire)  par rapport à un point O choisi comme origine est défini par :
,
où  est la quantité de mouvement de la particule. Le moment cinétique est donc le moment de cette dernière par rapport à O. Il dépend bien sûr du point O ainsi que du référentiel d'étude.

De façon évidente si le mouvement du point matériel par rapport au référentiel considéré est rectiligne, et que le point O se trouve sur la trajectoire, les vecteurs position et quantité de mouvement seront colinéaires, et le moment cinétique sera nul. En revanche, pour un point O en dehors de la trajectoire, du point de vue duquel la direction de  « tourne » par rapport à celle de , cela ne sera plus vrai et le moment cinétique ne sera plus nul, ni constant d'ailleurs. Intuitivement, ceci permet de voir que  est lié d'une certaine manière à la « rotation » du point matériel M autour de l'origine O.

Il est possible de traduire cette vision intuitive de façon générale et quantitative en établissant la relation entre sa variation temporelle (dérivée) du moment cinétique et la somme des moments des forces extérieures appliquées au système : c'est le théorème du moment cinétique.

Théorème du moment cinétique pour un point matériel 
La dérivation membre à membre de l'expression du moment angulaire, en notant que O est supposé fixe dans le référentiel d'étude (R), permet d'obtenir :
,
puisque  et  sont colinéaires.

Pour un point matériel la relation fondamentale de la dynamique s'écrit :
,
Le membre de droite de l'équation précédente représente la somme des forces  (réelles ou d'inertie) exercées sur le corps.

En tenant compte de ceci dans l'expression de la dérivée du moment cinétique il vient l'équation suivante, dite théorème du moment cinétique : 
,
où  est le moment de la force  par rapport au point O supposé fixe dans le référentiel. Cette grandeur (appelée en anglais torque) correspond donc à la variation du moment cinétique en O qu'engendre l'action de la force .

Il est alors évident que si le moment résultant  est nul, alors le moment cinétique  est une intégrale première du mouvement.
 
 : le théorème du moment cinétique est similaire dans sa forme à la relation fondamentale de la dynamique. Si cette dernière relie forces appliquées au point matériel et variation de sa quantité de mouvement, le théorème du moment cinétique relie la somme des moments de ces forces par rapport à un point donné et variation du moment cinétique par rapport à ce même point. Or le moment d'une force par rapport à un point traduit en quelque sorte la « propension » de cette force à faire « tourner » le système autour de ce point. Intuitivement, le théorème du moment cinétique est une sorte d'équivalent de la relation fondamentale de la dynamique pour ce qui est de la rotation du point M par rapport à O. Toutefois, c'est dans le formalisme de la mécanique analytique que la relation étroite entre moment cinétique et rotations spatiales devient nettement plus claire.

Exemples d'application 

Un exemple simple est celui d'une particule décrivant un cercle de centre  et de rayon  :  est dirigé selon l'axe du disque et vaut . Le sens  du vecteur moment cinétique ne recouvre pas une réalité physique mais est une convention ; c'est un vecteur axial.

La figure ci-contre permet de préciser les relations entre les diverses grandeurs physiques.

Par analogie avec la quantité de mouvement, le moment cinétique permet de définir l'analogue de la masse : le moment d'inertie . En effet 
,
( étant la vitesse angulaire du point ), et . La notion de moment d'inertie est détaillée plus loin dans la partie consacrée à la définition du moment cinétique pour un système matériel.

En faisant correspondre à la vitesse angulaire   du point matériel le vecteur axial , dit vecteur rotation, le moment cinétique s'écrit finalement dans ce cas :
.

Dans le cas d'un solide, le moment cinétique et le vecteur rotation instantanée ne sont en général pas colinéaires, la relation entre  et  fait alors intervenir un tenseur, dit d'inertie, généralisant la notion précédente.

Cas d'un système matériel

Définition 
La notion de moment cinétique se généralise sans difficulté par additivité à un système matériel, c'est-à-dire à un corps que l'on ne peut pas assimiler à un simple point géométrique.
Le moment angulaire total est obtenu en additionnant ou intégrant le moment angulaire de chacun de ses constituants. Il est également possible de se placer dans la limite des milieux continus pour décrire certains systèmes mécaniques (solides, notamment).

Suivant que l'on adopte un modèle discret ou continu, le moment cinétique du système (S) par rapport à un point O s'écrit :

 ou 

Ces expressions générales ne sont guère utilisables directement. Le théorème de Koenig relatif au moment cinétique permet d'en donner une forme plus compréhensible physiquement.

Théorème de König (Koenig) pour le moment cinétique 

Si C est le centre d'inertie du système, et M la masse totale de celui-ci, alors il est possible de montrer que pour tout système matériel :

,

 étant le moment cinétique propre du système, c'est-à-dire celui évalué dans le référentiel barycentrique (R) associé à (R), qui est le référentiel lié à C dont les axes sont en translation par rapport à ceux de (R). En utilisant les propriétés du centre d'inertie C il est possible de montrer que le moment cinétique propre ne dépend pas du point O où il est évalué, et est tel que .

Physiquement, le théorème de König exprime le fait que pour un système matériel, le moment cinétique par rapport à un point est la somme de celui du centre d'inertie, affecté de la masse totale du système, et du moment cinétique propre du système. Il est donc possible de séparer le mouvement du centre d'inertie du mouvement propre du système.

La séparation des deux types de moment cinétique par le théorème est assez intuitive : ainsi pour la Terre, dans un référentiel héliocentrique, il est facile de voir que le moment cinétique se décompose en un moment cinétique « orbital » lié à son mouvement de révolution autour du Soleil, et un moment cinétique « propre », lié à sa rotation propre autour de l'axe des pôles.

Cas d'un solide : tenseur d'inertie 

Dans le cas particulier d'un solide idéal, il est possible de donner une expression générale du moment cinétique propre  en fonction du vecteur rotation propre du solide (S) par rapport au référentiel d'étude (R), noté .

En effet, dans le cas d'un solide idéal (S), la vitesse de tout point Mi est donnée dans le référentiel barycentrique (R) par le champ des vitesses .

Par suite, le moment cinétique propre  du solide (S) est donné par :
,

en posant en coordonnées cartésiennes  et , il vient pour les différentes composantes de :
,

qui peut aussi s'écrire sous la forme intrinsèque :
,

avec  tenseur d'inertie du solide (S), donné par :
.

Il en résulte qu'en général le moment cinétique propre du solide  n'est pas colinéaire à son vecteur rotation  dans (R).

Le tenseur d'inertie est une caractéristique propre du solide (S), et donne la répartition des masses en son sein. Il s'agit d'un tenseur symétrique. Ses éléments diagonaux sont constitués des moments d'inertie du solide par rapport aux axes (Ox), (Oy) et (Oz) respectivement, et ses éléments non diagonaux sont égaux à l'opposé des moments d'inertie par rapport aux plans (xOy), (xOz) et (yOz).

Du fait de son caractère symétrique, il est toujours possible de diagonaliser ce tenseur par un choix judicieux des axes, qui sont appelés alors axes principaux d'inertie.

Moment cinétique et isotropie 
La notion d'isotropie de l'espace traduit l'équivalence de toutes les directions dans celui-ci: dire que l'espace est isotrope signifie donc aussi qu'il est invariant par toute rotation spatiale autour d'un point quelconque. Cette propriété est en particulier valable pour un système dit isolé, c'est-à-dire qui n'est soumis à aucune action extérieure.

Dans le formalisme hamiltonien, cela implique que la fonction de Hamilton  de tout système isolé de n points matériels soit invariante par toute rotation globale du système autour de l'origine O (arbitraire). En particulier, cela sera valable pour une rotation élémentaire arbitraire de vecteur , telle que la variation du vecteur position  soit donnée par .

En coordonnées cartésiennes, et en l'absence de champ électromagnétique (ou pour une particule non chargée) les impulsions généralisées  coïncident avec les quantités de mouvement des différents points matériels Mi. Par suite , et les équations canoniques de Hamilton se mettent sous la forme vectorielle :
.

La variation correspondante du hamiltonien H résultant de la rotation élémentaire de vecteur  peut s'exprimer par :
,
soit en tenant compte des équations de Hamilton :
,
qui se met aussitôt sous la forme :
.

Puisque ce résultat est valable pour toute rotation élémentaire arbitraire, l'isotropie de l'espace pour un système isolé implique alors que la quantité , appelé moment cinétique du système par rapport à l'origine O, soit une constante du mouvement. Il est clair que pour un seul point matériel,  est bien identique à la définition donnée plus haut.

Par ailleurs en procédant toujours en coordonnées cartésiennes, et compte tenu du fait que , résultante des forces appliquées au point matériel Mi, il est possible de déduire le théorème du moment cinétique :
,  étant la résultante du moment des forces en O.

La conservation du moment cinétique par rapport à un point O est donc directement liée à l'invariance par rotation du hamiltonien (ou du Lagrangien) du système: c'est en particulier le cas pour un système non isolé mais soumis à un champ extérieur possédant une invariance par rotation autour de O. Ce type de champ très important en physique est un champ à force centrale, de centre de force O : son mouvement est alors caractérisé par la conservation du moment cinétique du système par rapport à O.

De même, l'invariance par rotation autour d'un axe donné du hamiltonien du système (symétrie axiale) impliquera la conservation de la composante du moment cinétique du système par rapport à cet axe, puisque alors  pour toute rotation élémentaire autour de cet axe. Le moment résultant  des forces appliquée en O, donc la dérivée du moment cinétique en ce même point, est, elle, directement liée à la variation du hamiltonien dans une rotation élémentaire du système d'un angle δϕ autour de O.

Enfin, il est possible en utilisant les crochets de Poisson de montrer la relation suivante entre les composantes cartésiennes  du moment cinétique, en posant  :
,  étant le symbole de Levi-Civita.

Cette relation à une forme très proche de celle de la relation de commutation des opérateurs de moment cinétique en mécanique quantique :

Moment cinétique et mouvement à force centrale

Cas général

Notion de force centrale 

Un cas particulier très important d'utilisation du moment cinétique est celui du mouvement à force centrale, pour lequel le moment cinétique est conservé.

La notion de force centrale est définie de diverses façons suivant les auteurs :
 soit comme une force  dont la direction passe par un point fixe dans (R), appelé centre de force, donc en posant  telle que  à tout instant, F étant quelconque : il s'agit donc d'une définition purement géométrique;
 soit comme une force dont non seulement la direction passe à tout instant par un point fixe O, mais qui dérive d'un potentiel  ne dépendant que de la distance au centre de force : il s'agit donc d'une force également conservative.

Si en pratique les cas de mouvement à force centrale se limitent le plus souvent à des forces conservatives (gravitation par exemple), il est utile de distinguer les deux notions de force centrale et de force conservative. Aussi une force sera considérée comme centrale si à tout instant sa direction passe par un point fixe O, qu'elle soit ou non conservative.

Ceci permet de distinguer dans les conséquences du caractère central de la force ce qui est lié à l'aspect géométrique ( est toujours colinéraire à ) de ce qui est lié à un éventuel caractère conservatif, donc le fait que l'énergie mécanique du point matériel est conservée.

Ainsi si toute force dérivant d'un potentiel scalaire dépendant uniquement de la distance r à l'origine est centrale, une force non conservative a priori comme la tension du fil d'un pendule simple, qui pointe à tout instant vers le point de fixation du pendule, sera également considérée comme une force centrale avec cette définition.

Conservation du moment cinétique et planéité de la trajectoire 

Le mouvement d'un point matériel M sous le seul effet d'une force centrale est un exemple de mouvement pour lequel le moment cinétique par rapport au centre de force est conservé. En effet, en prenant pour origine le centre de force O, le théorème du moment cinétique donne :
, puisque  et  sont à tout instant colinéaires si la force est centrale.

Par suite le moment cinétique   est une intégrale première du mouvement, et donc le vecteur position  et la quantité de mouvement  du corps sont à tout instant perpendiculaires à un vecteur de direction constante : la trajectoire est donc plane, entièrement contenue dans le plan perpendiculaire à  (l'indice « 0 » désigne les valeurs initiales des grandeurs).

Le mouvement ne comportant que deux degrés de liberté, il est possible de se placer en coordonnées polaires (r,θ) dans le plan de la trajectoire. Il vient ainsi 
, avec  constante.

Loi des aires et formule de Binet 

La conservation du moment cinétique par rapport au centre de force O peut s'interpréter physiquement par le fait que non seulement la trajectoire est plane mais également que le vecteur position du point matériel balaie des aires égales en des temps égaux, autrement dit que le mouvement vérifie la loi des aires, mis en évidence par Kepler en 1609 dans le cas du mouvement des planètes (cf. loi de Kepler).

En effet en posant  (= constante), l'aire élémentaire  balayée par  pendant la durée dt s'écrit . Par suite le taux de variation de cette aire balayée, appelé vitesse aréolaire  est bien une constante, la quantité C est souvent appelée pour cette raison constante des aires.

Par ailleurs, le fait que  soit une constante du mouvement permet d'exprimer  sous la forme  avec u=1/r. On peut alors éliminer  dans les formules cinématiques donnant la vitesse et l'accélération du point matériel en coordonnées polaires, ce qui conduit à établir les deux formules de Binet. En particulier il est possible de démontrer que l'accélération du point matériel se met alors sous la forme :
,   ( de formule de Binet).

Bien entendu, cette formule montre bien que l'accélération est dirigée vers le centre de force, puisque la force l'est, comme le prévoit la relation fondamentale de la dynamique. Il est utile de souligner que la loi des aires comme les formules de Binet sont des conséquences du seul caractère central de la force, et n'implique pas que celle-ci soit conservative.

Séparation radiale-angulaire de l'énergie cinétique et barrière centrifuge 
Compte tenu du fait que  en coordonnées polaires, l'énergie cinétique du point matériel peut dans le cas d'un mouvement à force centrale se séparer en une partie dite radiale et une partie dite angulaire. En effet il vient aussitôt :
,

le premier terme est identique à celui qu'aurait l'énergie cinétique du point matériel s'il se déplaçait à vitesse  le long de la direction , et donc est correspond à l’énergie cinétique radiale. Le second terme, dit angulaire de par son lien avec le mouvement orthoradial, correspond plutôt à une énergie potentielle répulsive en 1/r, dans la mesure où L est constant, pour un point matériel considéré comme en mouvement unidimensionnel selon la direction radiale. Ce terme est souvent appelé barrière centrifuge.

Si là encore la séparation radiale-angulaire de l'énergie cinétique est uniquement la conséquence du caractère central de la force et ne nécessite nullement que celle-ci soit conservative, elle a une importance particulière dans ce dernier cas, car il est alors possible de se ramener à un mouvement unidimensionnel.

Cas où la force centrale dérive d'une énergie potentielle 

Si la force centrale  dérive d'une énergie potentielle , l'énergie mécanique du corps se met sous la forme:  avec , énergie potentielle effective.

Le problème se réduit alors à un mouvement unidimensionnel d'une particule fictive dans un potentiel . Le terme  étant positif et croissant à courte distance, il joue le rôle de « barrière de potentiel centrifuge ». La nature des mouvements possibles dépend alors du potentiel V(r) ainsi que de l'énergie mécanique totale du point matériel.

En général les trajectoires obtenues pour une énergie potentielle V(r) quelconque ne sont pas des courbes fermées : seuls le potentiel coulombien attractif  (K constante) et le potentiel harmonique  en donneront (Théorème de Bertrand) (cf. problème à deux corps).

Moment cinétique relativiste 
La notion de moment cinétique peut être définie dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte, sous la forme d'un tenseur antisymétrique.

Dans le domaine relativiste, il n'est pas possible de considérer les coordonnées d'espace indépendamment du temps, et aux vecteurs position  et quantité de mouvement  de la mécanique newtonienne, correspondent deux quadrivecteurs :

 le quadrivecteur position-temps, noté , avec  ;
 le quadrivecteur impulsion-énergie, noté , avec , où  et  correspondent respectivement à l'énergie et la quantité de mouvement relativistes de la particule. Le quadrivecteur impulsion-énergie est en fait donné par  où  est le quadrivecteur vitesse, défini par ,  étant le vecteur vitesse « ordinaire » de la particule, et  le temps propre.

Les composantes de ces deux quadrivecteurs étant notées  et  avec , il est possible de définir un (quadri)tenseur contravariant antisymétrique du second ordre  appelé (quadri)tenseur moment cinétique dont les composantes sont données par :
,

du fait de son caractère antisymétrique, ce tenseur ne possède en réalité que 6 composantes indépendantes, trois mixtes (M01, M02 et M03) et trois autres du genre espace (M12, M23 et M13). En explicitant ces dernières, il vient aussitôt :
,
 où  représentent les composantes cartésiennes du moment cinétique non relativiste. Dans la limite des faibles vitesses devant  et les trois composantes spatiales indépendantes du tenseur coïncident, au signe près, à celle du moment cinétique « ordinaire ».

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes 
 Moment (mécanique)
 Problème à deux corps
 Problème à N corps
 Moment cinétique (mécanique quantique)
 Moment cinétique (relativité)
 Moment cinétique orbital et spin en mécanique quantique
 Moment cinétique spécifique
 Moment d'inertie
 Pseudovecteur

Bibliographie 
 
 
 Perez, Cours de physique : mécanique - , Masson, Paris, 2001.
 Yo-Yo, billard, boomerang, la physique des objets tournants, ed Belin,2001,

Liens externes 
 Vidéos d'illustration :
   Une vidéo explicative sur la conservation du moment cinétique
  Une autre vidéo illustrant la conservation du moment cinétique
  Liens vers diverses vidéos illustrant la notion de moment cinétique et sa conservation

Mécanique classique
Physique quantique
Rotation en physique et mécanique
Pseudovecteur