Quadratwurzel

Die Quadratwurzel (umgangssprachlich Wurzel; , kurz sqrt) einer nichtnegativen Zahl  ist jene (eindeutig bestimmte) nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl  ist. Das Symbol für die Quadratwurzel ist das Wurzelzeichen , die Quadratwurzel der Zahl  wird also durch  dargestellt. Dabei wird die Zahl beziehungsweise der Term  unter der Wurzel  als Radikand bezeichnet. Weniger verbreitet ist die ausführlichere Schreibweise  Außerdem kann man die Quadratwurzel als Potenz ausdrücken:  ist gleichwertig mit  Zum Beispiel ist wegen  und  die Quadratwurzel von  gleich .

Da die Gleichung  für  zwei Lösungen hat, definiert man die Quadratwurzel als die nichtnegative der beiden Lösungen, d. h., es gilt immer  Damit erreicht man, dass der Begriff der Quadratwurzel eindeutig ist. Die beiden Lösungen der Gleichung sind somit  und

Vorbemerkung zu den Definitionen 
Bei der formalen Definition der Quadratwurzel sind zwei Probleme zu berücksichtigen:
 Wenn man sich auf nichtnegative rationale Zahlen beschränkt, dann ist die Quadratwurzel in vielen Fällen nicht definiert. Schon in der Antike fand man heraus, dass etwa die Zahl  keine rationale Zahl sein kann (siehe Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2).
 Im Allgemeinen existieren zwei verschiedene Zahlen, deren Quadrate mit einer vorgegebenen Zahl übereinstimmen. Beispielsweise wäre wegen  auch die Zahl  ein möglicher Kandidat für die Quadratwurzel aus .
Das Symbol für die Quadratwurzel wurde zum ersten Mal während des 16. Jahrhunderts benutzt. Es wird vermutet, dass das Zeichen eine modifizierte Form des kleinen r ist, das als Abkürzung für das lateinische Wort „radix“ (Wurzel) steht. Ursprünglich wurde das Symbol dem Radikanden vorangestellt; die waagerechte Verlängerung fehlte. Noch Carl Friedrich Gauß verwendete daher Klammern für kompliziertere Wurzelausdrücke und schrieb zum Beispiel  anstelle von 

Im Englischen wird die Quadratwurzel als „square root“ bezeichnet, weshalb in vielen Programmiersprachen die Bezeichnung „sqrt“ für die Quadratwurzelfunktion verwendet wird.

Quadratwurzeln aus reellen Zahlen 

Definition: Die Quadratwurzel  einer nichtnegativen reellen Zahl  ist diejenige nichtnegative reelle Zahl , deren Quadrat  gleich  ist.

Gleichwertig dazu kann die reelle Quadratwurzel als Funktion so definiert werden: Sei
 
die (bijektive) Einschränkung der Quadratfunktion auf die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Die Umkehrfunktion dieser Funktion  heißt Quadratwurzelfunktion

Bemerkungen 
 Zu beachten ist, dass die durch  erklärte Quadratfunktion für alle reellen Zahlen definiert, aber nicht umkehrbar ist. Sie ist weder injektiv noch surjektiv.
 Die Einschränkung  der Quadratfunktion ist umkehrbar und wird durch die reelle Wurzelfunktion umgekehrt. Da nur nichtnegative reelle Zahlen als Bilder von  auftreten, ist die reelle Wurzelfunktion nur für diese Zahlen definiert.
 Durch die vor der Umkehrung gemachte Einschränkung von  auf nichtnegative reelle Zahlen sind die Werte der Quadratwurzelfunktion nichtnegative Zahlen. Die Einschränkung der Quadratfunktion auf andere Teilmengen von , in denen verschiedene reelle Zahlen stets verschiedene Quadrate haben, würde zu anderen Umkehrfunktionen führen, diese werden aber nicht als reelle Quadratwurzelfunktion bezeichnet.

Beispiele 

Die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl ist entweder ganzzahlig oder irrational. Der Beweis erfolgt analog zum Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid.

Eigenschaften und Rechenregeln 
Die Eigenschaften der Quadratwurzelfunktion ergeben sich aus den Eigenschaften der auf die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen eingeschränkten Quadratfunktion:
  für .
  für .
 , d. h., die Quadratwurzelfunktion ist streng monoton wachsend.
  gilt mit dem reellen Betrag für beliebige reelle Zahlen .
 Dagegen gilt  nur für nichtnegatives .
 Die Quadratwurzelfunktion ist auf  differenzierbar, dort gilt .
 An der Stelle 0 ist sie nicht differenzierbar, ihr Schaubild besitzt dort eine senkrechte Tangente mit der Gleichung .
 Sie ist auf jedem abgeschlossenen Teilintervall  ihres Definitionsbereichs Riemann-integrierbar, eine ihrer Stammfunktionen ist .

Berechnung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen 

Selbst dann, wenn die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl gezogen werden soll, ist das Ergebnis häufig eine irrationale Zahl, deren Dezimalbruchentwicklung also ein nichtperiodischer, nicht abbrechender Dezimalbruch ist (nämlich genau dann, wenn das Ergebnis nicht natürlich ist). Die Berechnung einer Quadratwurzel, die keine rationale Zahl ist, besteht also darin, einen Näherungswert ausreichender Genauigkeit zu bestimmen. Dazu gibt es eine Reihe von Möglichkeiten:
 Schriftliches Wurzelziehen
 Hierbei handelt es sich um einen Algorithmus ähnlich dem gängigen Verfahren der schriftlichen Division.
 Intervallschachtelung
 Dieses Verfahren ist recht leicht zu verstehen, wenn auch in der praktischen Durchführung sehr mühsam.
 Beispiel (Näherungswert für ):
 Aus  und  folgt, dass  zwischen 1 und 2 liegt. Daher probiert man ,  usw. durch. Aus  und  erkennt man, dass  zwischen 1,4 und 1,5 liegen muss. Fortsetzung dieses Verfahrens mit immer mehr Nachkommastellen liefert schließlich einen Näherungswert mit der gewünschten Genauigkeit:
 
 Babylonisches Wurzelziehen oder Heron-Verfahren
 Dieses Iterationsverfahren wird häufig bei der Programmierung der Wurzelberechnung für Taschenrechner verwendet, da es schnell konvergiert. Es handelt sich um das Newton-Verfahren zum Auffinden von Nullstellen, angewandt auf die Funktion .
 Taylorreihen-Entwicklung
 Die Taylorreihen-Entwicklung der Wurzelfunktion  mit Entwicklungsstelle  kann als Taylor-Entwicklung von  um die Stelle  als binomische Reihe
 
 gefunden werden, weil diese Reihe für  punktweise gegen  konvergiert. Mit  ergibt das
  für 
 Berechnung mittels CORDIC-Algorithmus
 Dieses Verfahren wird vor allem in Rechenwerken, FPUs und Mikrocontrollern eingesetzt.

Quadratwurzel aus reellen Zahlen mit Zirkel und Lineal 
Die Quadratwurzel kann auch – so wie der Potenzwert, die Multiplikation und die Division – als Konstruktion mit Zirkel und Lineal dargestellt werden. Es ist dabei zu unterscheiden, ob eine Zahl  größer oder kleiner als die Zahl  ist. Im Folgenden werden beide Möglichkeiten beschrieben sowie je ein Beispiel einer Quadratwurzel aus einem Produkt.

Konstruktion für 
Eine Möglichkeit bietet der Kathetensatz (Bild 1).

Zunächst werden die Zahl  und die Länge gleich  auf einer Zahlengeraden ausgehend von  aufgetragen. Es folgt ein Halbkreis (Thaleskreis) über  mit Radius . Nun wird eine Senkrechte auf  in  errichtet, die den Halbkreis in  schneidet. Die abschließende Verbindung des Punktes  mit  liefert die Quadratwurzel von  (Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ).

Gleiches erreicht man mit dem Höhensatz (Bild 2).

Auf einer Geraden werden zunächst die Länge gleich  und die Zahl  nebeneinander aufgetragen. Es folgt der Halbkreis über die Länge . Die abschließende Senkrechte zur Grundlinie in  schneidet den Halbkreis. Die Länge dieser Senkrechten – Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks – ist die Quadratwurzel von .

Konstruktion für 
Hierzu wird der Kathetensatz verwendet (Bild 3).

Auf einer Zahlengeraden werden zuerst, jeweils ausgehend von , die Zahl  sowie die Länge gleich  aufgetragen. Nach dem Einzeichnen des Halbkreises über der Länge  folgt eine Senkrechte auf die Zahlengerade in  die den Halbkreis in  schneidet. Schließlich ist die Verbindung des Punktes  mit  – eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks  – die Quadratwurzel von .

Konstruktion der Quadratwurzel aus einem Produkt

Soll die Quadratwurzel aus einem Produkt ermittelt werden, ist dabei zu unterscheiden, ob dieses Produkt durch Subtraktion oder durch Addition der Faktoren entstanden ist. Zum besseren Verständnis wurden in den folgenden Beispielen Zahlen für die Längen  (hellgrün) bzw.  (dunkelblau) eingesetzt.

Produkt aus Addition der Faktoren mithilfe des Höhensatzes oder des geometrischen Mittels (Bild 4):

Auf einer Zahlengeraden werden zuerst, jeweils ausgehend von , die Faktoren  und  hintereinander aufgetragen. Es folgt das Einzeichnen des Halbkreises über der Strecke . Die abschließende Senkrechte auf die Zahlengerade in  liefert als Länge das Ergebnis .

Produkt durch Subtraktion der Faktoren und mithilfe des Kathetensatzes (Bild 5):

Auf einer Zahlengeraden wird zuerst, ausgehend von , der Faktor  aufgetragen und anschließend der Faktor , ausgehend von , in Richtung  bestimmt; dadurch wird der Faktor 6 (hellgrün) teilweise überdeckt. Es folgt die Senkrechte auf die Zahlengerade in der Differenz , sie schneidet den Halbkreis. Die abschließende Verbindung des Faktors  mit dem Schnittpunkt der Senkrechten mit dem Halbkreis liefert als Länge das Ergebnis .

Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen 

Ist  eine von Null verschiedene komplexe Zahl, so besitzt die Gleichung
 
genau zwei Lösungen für , die man auch als Wurzeln oder Quadratwurzeln von  bezeichnet. Diese liegen in der Gaußschen Zahlenebene auf den beiden Schnittpunkten des Kreises um 0 mit dem Radius  und der Winkelhalbierenden des Winkels zwischen den von  ausgehenden Strahlen durch  bzw. .
Diejenige der beiden Wurzeln, die in der rechten Halbebene liegt, nennt man den Hauptwert (engl. principal value) der Wurzel. Für negatives (reelles)  ist die Wurzel mit positivem Imaginärteil der Hauptwert.

Schreibt man die komplexe Zahl  in der Form
 
wobei  und  reell sind mit  und , so gilt für den Hauptwert der Wurzel:
 

Der zweite Wurzelwert (der Nebenwert) ergibt sich durch Punktspiegelung (180°-Drehung) am Nullpunkt:

Definition 
Die komplexe Funktion „Quadriere z“,  besitzt genau wie die reelle Quadratfunktion keine Umkehrfunktion, denn sie ist nicht injektiv, aber im Gegensatz zu den reellen Zahlen surjektiv, das heißt, jede komplexe Zahl ist das Quadrat einer komplexen Zahl. Man kann daher analog zu den reellen (nichtnegativen) Quadratwurzeln komplexe Quadratwurzelfunktionen definieren, indem man eine Einschränkung des Definitionsbereichs von  auf eine Teilmenge  der komplexen Zahlen vornimmt, auf der  injektiv ist und surjektiv bleibt. Je nachdem, welche Teilmenge man dafür auswählt, erhält man als Umkehrung unterschiedliche Zweige der Quadratwurzelfunktion.

Der Hauptzweig der komplexen Quadratwurzelfunktion ergibt sich, wenn man als Definitionsbereich von 
 
zugrunde legt, dies ist die rechte Halbebene der komplexen Zahlenebene, wobei von deren Rand nur die Zahlen mit nichtnegativem Imaginärteil zu  gehören. Die Einschränkung von  auf  ist eine bijektive Abbildung von  auf die komplexen Zahlen, daher ist ihre Umkehrfunktion, der Hauptzweig der Quadratwurzel auf ganz  definiert. Den Wert  dieser Umkehrfunktion nennt man den Hauptwert der Quadratwurzel von . Wenn mit  eine bestimmte komplexe Zahl gemeint ist, dann ist es dieser Hauptwert.

Ist  in kartesischen Koordinaten gegeben, also  mit reellen Zahlen  und , dann ergibt sich
 
für den Hauptwert der Quadratwurzel, wobei die Funktion  für negative  den Wert −1 und ansonsten (also auch für  und damit anders als bei der Vorzeichenfunktion ) den Wert 1 hat:
 
Der einzige Nebenzweig von  ist 

Ist  in Polarkoordinaten gegeben,  mit , dann ist der Hauptwert der Quadratwurzel durch
 
gegeben, wobei  die reelle (nichtnegative) Quadratwurzel von  ist. Der Nebenwert ergibt sich wieder als
 .

Der Betrag der beiden Wurzeln ergibt sich demnach als die Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl. Beim Hauptwert wird das Argument  („der Winkel von z“, s. u.) halbiert. Die andere Lösung ergibt sich geometrisch durch Punktspiegelung dieses Hauptwerts am Ursprung.

Das Argument einer komplexen Zahl  ist der orientierte Winkel  in der komplexen Zahlenebene, die Punkte sind   und  in reellen Koordinaten. Im Bild zum folgenden Beispiel sind das Argument von  und das Argument von  farbig gekennzeichnet.

Beispiel: Berechnung einer komplexen Quadratwurzel 

Gesucht sind die Quadratwurzeln aus  Zunächst wird der Betrag des Radikanden ermittelt:
 
Damit ergibt sich der Hauptwert der Quadratwurzel zu
 
Die andere Wurzel erhält man durch Vorzeichenumkehr:

Potenzgesetz 
Das Potenzgesetz
 
gilt bei  nicht für alle , auch nicht für die Hauptwerte der Wurzeln.
Das sieht man schon an dem sich durch die weitere Spezifizierung  ergebenden Spezialfall
 
der sich wegen der Identität  zu
 
vereinfachen lässt, wonach offenbar schon jede negative Zahl ein Gegenbeispiel liefert, etwa :
 Wegen  und  hat der Hauptwert von  das Argument , während der Hauptwert von  das Argument  hat.

Bemerkungen
 Da Hauptwerte von Wurzeln aus positiven Radikanden positiv sein müssen, zeigt das Gegenbeispiel, dass es eine Quadratwurzelfunktion, für die das Potenzgesetz  für alle  gilt, nicht geben kann.
 Für  und beliebige  kann man in  die „Vorzeichen“ von zwei der drei Wurzeln frei wählen, wonach genau eine Möglichkeit für das „Vorzeichen“ der letzten dritten übrig bleibt.

Quadratwurzeln modulo n 
Auch im Restklassenring  lassen sich Quadratwurzeln definieren. Ganz analog zu den reellen und komplexen Zahlen heißt  eine Quadratwurzel von , wenn gilt:
 
Allerdings muss man sich zur Berechnung von Quadratwurzeln modulo  anderer Methoden bedienen als beim Berechnen reeller oder komplexer Quadratwurzeln. Um die Quadratwurzeln von  modulo  zu bestimmen, kann man folgendermaßen vorgehen:

Zuerst bestimmt man die Primfaktorzerlegung
 
des Moduls  und anschließend die Lösungen modulo der einzelnen Primzahlpotenzen . Diese Lösungen setzt man schließlich unter Anwendung des Chinesischen Restsatzes zur gesuchten Lösung zusammen.

Berechnung von Quadratwurzeln modulo einer Primzahl p 
Der Fall  ist einfach: Wegen  und  hat modulo 2 jede Zahl eine eindeutig bestimmte Quadratwurzel, nämlich sich selbst. Für Primzahlen  ungleich 2 geschieht das Berechnen der Quadratwurzeln von  so:

Um zu testen, ob  überhaupt eine Quadratwurzel in  hat, berechnet man den Wert des Legendre-Symbols
 ,
denn es gilt:
 
Im ersten Falle besitzt  keine Quadratwurzel in  und im zweiten Fall nur die Quadratwurzel 0. Der interessante Fall ist also der dritte Fall, und daher nehmen wir im Folgenden an, dass  gilt.

Berechnung für den Fall p mod 4 = 3 
Ist das Legendre-Symbol  gleich 1, dann sind
 
die beiden Quadratwurzeln von  modulo .

Berechnung für den Fall p mod 4 = 1 
Ist das Legendre-Symbol  gleich 1, dann sind
 
die beiden Quadratwurzeln von  modulo . Hierbei wählt man  so, dass
 
gilt. Dazu kann man einfach verschiedene Werte von  testen. Die Folge  ist rekursiv durch
 
definiert.

Rechenbeispiel für  und :

Nach obiger Formel sind die Quadratwurzeln von  durch
 
gegeben. Für  findet man durch Probieren den Wert , denn es gilt:
 
Die Werte für  und  ergeben sich so:
 
Einsetzen dieser Werte ergibt
 
Das heißt: 15 und 22 sind die beiden Quadratwurzeln von 3 modulo 37.

Quadratwurzeln aus Matrizen 

Als Wurzel einer quadratischen Matrix  bezeichnet man alle Matrizen , die mit sich selbst multipliziert  ergeben:

 

Wie schon bei der Wurzel aus reellen oder komplexen Zahlen ist die Wurzel aus Matrizen nicht unbedingt eindeutig. Betrachtet man aber nur positiv definite symmetrische Matrizen, so ist die Wurzelbildung eindeutig: Jede positiv definite symmetrische Matrix  besitzt eine eindeutig bestimmte positiv definite symmetrische Wurzel  Man erhält sie, indem man  mithilfe einer orthogonalen Matrix diagonalisiert (dies ist nach dem Spektralsatz stets möglich) und dann die Diagonalelemente durch ihre Wurzeln ersetzt; dabei ist jedoch stets die positive Wurzel zu wählen. Siehe auch Cholesky-Zerlegung. Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass die Exponentialabbildung ein Diffeomorphismus vom Vektorraum der symmetrischen Matrizen auf die Teilmenge der positiv definiten symmetrischen Matrizen ist.

Quadratwurzel aus einem genäherten Integraloperator 
Man kann die bestimmte Integral-Funktion  von 0 bis  mit  und  einer vorgegebenen Funktion , die an den äquidistanten Stützstellen  die Werte  annimmt, als Matrizenmultiplikation  wie folgt numerisch nähern (für ):
 
Es ist anschaulich klar, dass man diese Operation wiederholen kann und damit das Doppelintegral  erhält:
 
So kann man die Matrix  als numerisch genäherten Integraloperator auffassen.

Die Matrix  ist nicht diagonalisierbar und ihre jordansche Normalform lautet:
 

Um eine Quadratwurzel daraus zu ziehen, könnte man so vorgehen wie bei den nicht diagonalisierbaren Matrizen beschrieben. Es gibt jedoch in diesem Fall eine direktere formale Lösung wie folgt:
 
mit ,  und .

Darin bezeichnen die Indizes von  die Subdiagonalen (0 ist die Diagonale) und der Exponent  ist gleich . Setzt man  als reell und positiv voraus, so ist  reell und definitionsgemäß positiv.

Damit kann man ein „halbes“ bestimmtes Integral  von 0 bis  der Funktion  wie folgt numerisch nähern:
 
Sucht man alle Operatoren, die mit sich selbst multipliziert den angenäherten Integraloperator  ergeben, so muss man zusätzlich das negative Vorzeichen einsetzen, das heißt, es gibt zwei Lösungen .

Zum Herleiten der Formel kann man zunächst  invertieren, das Resultat mit  potenzieren und zuletzt nochmals invertieren.

Siehe auch 
 Wurzel aus 2, Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2
 Wurzel aus 3
 Wurzel (Mathematik)
 Modulo, Restklassenring
 Quadratwurzelgesetz von Penrose

Weblinks

Belege 

Wurzel (Mathematik)