Algebra ogólna

Algebra (ogólna) czasem: algebra uniwersalna lub abstrakcyjna – to ciąg postaci
 

gdzie:
  – pewien zbiór,
  – pewne wyróżnione elementy,
  – pewne funkcje, które interpretuje się jako -argumentowe działania w 

Przykładami algebr są grupa addytywna
 

grupa multiplikatywna
 

oraz pierścień
 

Algebra ogólna jest przedmiotem badań algebry uniwersalnej (zwanej też algebrą ogólną).

Szczególnie ważną klasę algebr stanowią algebry równościowo definiowalne.

Definicja 
Algebrą (lub algebrą ogólną) nazywamy skończony ciąg postaci:
 

gdzie:
  jest niepustym zbiorem zwanym nośnikiem (albo uniwersum algebry),
  są pewnymi elementami zbioru  (nazywanymi elementami wyróżnionymi),
  są działaniami określonymi w zbiorze  przy czym  jest działaniem -argumentowym, tzn. jest funkcją postaci  oraz 

Zwykle żąda się aby elementy wyróżnione i działania spełniały pewne własności.

Algebry podobne 
Dwie algebry:
 

i
 

nazywamy algebrami podobnymi (lub algebrami tego samego typu) jeśli  oraz  oraz dla każdego  działania  oraz  są działaniami o tej samej liczbie argumentów, tzn.  oraz .

Działania zgodne z relacją równoważności 

Niech  będzie relacją równoważności w zbiorze  -argumentowe działanie  w  nazywa się zgodnym z relacją  jeśli dla każdych 
 .

W szczególności gdy  jest działaniem jednoargumentowym oznacza to, że dla każdych 
 

a gdy  jest działaniem dwuargumentowym, to
 

Innymi słowy działanie  w zbiorze  jest zgodne z relacją  jeśli daje równoważne wyniki na równoważnych argumentach.

Kongruencje 
Relację równoważności  w algebrze  nazywa się kongruencją jeżeli dla każdego  działanie  jest zgodne z relacją .

Algebra ilorazowa 

Dysponując kongruencją  na algebrze  można skonstruować algebrę podobną do  Niech  będzie zbiorem ilorazowym. Algebrę  definiujemy jako
 

gdzie elementy wyróżnione  są skonstruowane jako klasy abstrakcji elementów  względem relacji  tzn.
 

a działania  są zdefiniowane wzorami:
 

Aby działania  były dobrze zdefiniowane muszą nie zależeć od wyboru reprezentantów  Jest to równoważne żądaniu aby dla każdych 
 

co z kolei jest równoważne żądaniu aby relacja  była kongruencją.

Homomorfizm algebr 
Homomorfizmem algebr podobnych  i  nazywa się funkcję  taką, że
 

dla  W szczególności, gdy  są działaniami dwuargumentowymi oznacza to

Alternatywne definicje algebry 

W algebrze uniwersalnej stosuje się bardziej abstrakcyjną definicję algebry. Niech  będzie rozłączną sumą zbiorów. Elementy zbioru  nazywamy symbolami i interpretujemy jako symbole działań, przy czym  są symbolami działań -argumentowych. Algebrą nazwiemy zbiór  wraz z przyporządkowaniem każdemu symbolowi  -argumentowego działania  Bardzo często wygodnie jest utożsamiać symbole  z działaniami 

Algebrę można zdefiniować jeszcze inaczej. Parę  gdzie  jest zbiorem, a  nazywa się typem algebry. Parę  nazywa się algebrą typu  jeśli zbiory  i  są równoliczne i każdemu  odpowiada  taki, że  Element  nazywa się działaniem lub operacją -argumentową.

Przykłady

Półgrupa 
Algebrę  nazywa się półgrupą jeśli działanie  jest łączne, tzn. dla każdych

Grupa 
Algebrę  nazywa się grupą jeśli jest półgrupą oraz ponadto
 Dla każdego  zachodzi
 
 Dla każdego  istnieje  takie, że
 

Element  nazywa się elementem neutralnym działania  a  elementem odwrotnym do  lub elementem przeciwnym do  i oznacza odpowiednio  lub

Grupa abelowa 
Grupę  w której działanie jest przemienne, tzn. dla każdych  zachodzi
 

nazywa się grupą przemienną lub abelową.

Grupa addytywna i multiplikatywna 
Grupę w której działanie interpretuje się jako dodawanie oznacza się  i nazywa się grupą addytywną, a grupę w której działanie interpretuje się jako mnożenie oznacza się  i nazywa grupą multiplikatywną.

Pierścień (łączny) 
Algebrę  nazywa się pierścieniem (łącznym) jeśli
  jest grupą przemienną,
  jest półgrupą,

ponadto mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, tzn. dla każdych

Zobacz też 

 algebra nad ciałem

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne 
  General algebra , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].

Algebra abstrakcyjna