Funkcja Γ

Funkcja gamma (zwana też funkcją gamma Eulera) – funkcja specjalna, która rozszerza pojęcie silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych.

Definicje

Całkowa 
Jeżeli  – część rzeczywista liczby zespolonej  jest dodatnia, to
 
 – tzw. całka Eulera 2 rodzaju (całka Eulera 1 rodzaju – to funkcja Beta)

Iloczynowa 
Dla dowolnych liczb zespolonych  mamy

Motywacja 
Funkcja gamma może być postrzegana jako rozwiązanie następującego problemu interpolacji:
 „Znajdź gładką krzywą, która łączy punkty  dane przez funkcję  która jest określona dla dodatnich liczb całkowitych ”.

Wzór  nie może być użyty dla niecałkowitych wartości  ponieważ jest ważny tylko wtedy, gdy  jest liczbą naturalną.

Funkcja gamma jest dobrym rozwiązaniem, jednak nie jest to jedyne rozwiązanie: istnieje bowiem nieskończenie wiele ciągłych rozszerzeń funkcji silnia na liczby niecałkowite, gdyż przez zbiór izolowanych punktów (jaki tworzy wykres funkcji silnia) można narysować nieskończenie wiele różnych krzywych.

Funkcja gamma jest najbardziej użytecznym rozwiązaniem w praktyce, ponieważ jest funkcją analityczną (z wyjątkiem niedodatnich liczb całkowitych) i można ją zdefiniować na kilka równoważnych sposobów.

Nie jest to także jedyna funkcja analityczna, która rozszerza silnię, ponieważ dodanie do niej dowolnej funkcji analitycznej, która zeruje się dla dodatnich liczb całkowitych, takich jak  gdzie  – liczba całkowita, da inną funkcję interpolującą silnię. Takie funkcje nazywa się funkcjami pseudogamma. Najbardziej znaną jest .

Własności funkcji Gamma 

Tw. Funkcja gamma nie ma miejsc zerowych (por. wykres)

Tw. 

Tw. ,

gdzie  – zbiór liczb naturalnych,

tzn. funkcja gamma ma wartości identyczne jak silnia dla liczb naturalnych.

Tw. Dla  mamy
 
 

gdzie  oznacza tzw. silnię wielokrotną p-tą.

Tw. 

Dowód – metodą całkowania przez części.

Tw. 

Tw. Jeżeli mianownik jest niezerowy, to:
 
 

Tw. Jeśli  to:
 
Tw. Jeśli  to:
 

Tw. Wzór iloczynowy Gaussa:

Wybrane wartości funkcji Gamma 

Dla  funkcja  ma minimum lokalne.

Funkcja  nie jest określona dla  – ma tam bieguny o residuum

Wykres funkcji zespolonej – techniki wizualizacji 
Wykres funkcji rzeczywistej  można narysować w 2 wymiarach. Wykres funkcji zespolonej, mającej zarówno zespoloną dziedzinę, jak i zespolony zbiór wartości, wymagałby 4 wymiarów. Jednym ze sposobów rozwiązania tego problemu jest metoda wizualizacji za pomocą powierzchni Riemanna; inną metodą jest technika kolorowanie dziedziny.

Odwrotność funkcji gamma 
 

gdzie γ to stała Eulera-Mascheroniego.

Odwrotność funkcji gamma jest określona na całej płaszczyźnie zespolonej, gdyż funkcja  nie ma miejsc zerowych – taką funkcję nazywa się funkcją całkowitą.

Logarytmiczna pochodna funkcji gamma 

Df. Logarytmiczną pochodną funkcji gamma albo funkcją di-gamma nazywa się funkcję postaci
 

gdzie 

Tw. 

gdzie  – stała Eulera-Mascheroniego

Tw. 

Tw. Dla  słuszne jest przybliżenie:

Funkcja poligamma 
Df. Funkcją poligamma n-tego rzędu nazywamy -szą pochodną funkcji  tj.
 

Wtedy:
 

Df. Funkcją tri-gamma (lub trój-gamma) nazywa się funkcją

Zastosowania funkcji gamma 
Funkcja gamma ma ogromnie liczne zastosowania (sekcja wymaga rozwinięcia)
 Na funkcji gamma opiera się symbol Pochhammera.
 Wzór na objętość n-wymiarowej hipersfery: .

Zobacz też 
 funkcja beta
 funkcje specjalne

Przypisy

Bibliografia 
 I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2010, s. 192–193.

Linki zewnętrzne 
 
 
Kalkulator online:
 Kalkulator funkcji gamma online https://keisan.casio.com/exec/system/1180573451
 Kalkulator odwrotnej funkcji gamma online https://keisan.casio.com/exec/system/1180573451
 Kalkulator funkcji ln gamma online https://keisan.casio.com/exec/system/1180573451

Funkcje specjalne
Analiza zespolona