Boltzmann-Konstante

Die Boltzmann-Konstante (Formelzeichen  oder ) ist ein Umrechnungsfaktor von absoluter Temperatur in Energie. 

Die Bedeutung der Boltzmann-Konstante liegt darin, dass die Größe  ein charakteristisches Maß für die verschiedenen Energien ist, die in regelloser Weise zwischen den einzelnen Teilchen oder ganzen Teilsystemen eines makroskopischen physikalischen Systems bei der Temperatur  im Zustand des thermischen Gleichgewichts übertragen werden. Diese Größe  ist universell, d. h. unabhängig von sämtlichen Eigenschaften der einzelnen Teilchen des Systems oder seiner kleineren oder größeren Teilsysteme; sie wird auch als thermische Energie bezeichnet. Nach der genauen Definition ist die Wahrscheinlichkeit , mit der ein bestimmtes Teilchen oder Teilsystem aufgrund des ständigen Energieaustauschs mit den übrigen Teilen des Systems einen bestimmten Zustand der Energie  einnimmt, im thermischen Gleichgewicht bis auf einen Normierungsfaktor gleich dem Boltzmann-Faktor . Dies gilt sowohl in der klassischen Physik als auch in der Quantenphysik.

Im Bereich der klassischen Physik, wo die Energie kontinuierlich variieren kann, gibt  (direkt oder mit einem einfachen konstanten Faktor) auch den Durchschnittswert der Energie der einzelnen Teilchen oder Teilsysteme an. Zum Beispiel ist  gleich der durchschnittlichen potentiellen Energie der Luftmoleküle, Aerosole und Staubkörnchen in der Atmosphäre, während ihre mittlere kinetische Energie gleich  ist. Die Wärmekapazität einer Gasmenge ist daher in der klassischen Physik direkt proportional zur Teilchenzahl und zur Boltzmann-Konstante sowie unabhängig von der Temperatur. In der Quantenphysik, wo es zu einem bestimmten Energiewert  gegebenenfalls gar keinen Zustand oder jedenfalls nicht die der klassischen Physik entsprechende Anzahl von Zuständen gibt, kann der zusätzliche Faktor temperaturabhängig sein. Das macht sich vorrangig bei tieferen Temperaturen bemerkbar, wenn die typische thermische Energie  im Bereich solcher Energielücken liegt.

Wert 
Die Boltzmann-Konstante hat die Dimension Energie/Temperatur und den Wert

Dieser Wert gilt exakt, weil die Einheit Kelvin der absoluten Temperatur seit 2019 dadurch definiert wird, dass der Boltzmann-Konstante gerade dieser Wert zugewiesen wurde.

Mit Elektronenvolt (eV) als Energieeinheit hat die Boltzmann-Konstante den – ebenfalls exakten – Wert
.

Aus der Boltzmann-Konstante berechnet sich die universelle Gaskonstante mit Hilfe der Avogadro-Konstante :
.

Definition und Zusammenhang mit der Entropie 

Die Ideen von Ludwig Boltzmann präzisierend, lautet die von Max Planck gefundene
fundamentale Beziehung:

Das heißt, die Entropie  eines Makrozustands eines abgeschlossenen Systems im thermischen Gleichgewicht ist proportional zum natürlichen Logarithmus der Anzahl  (Ergebnisraum) der entsprechend möglichen Mikrozustände (somit ein Maß für die Menge an benötigter Information zur Beschreibung des Mikrozustands). Das statistische Gewicht  ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Makrozustandes.

Diese Gleichung verknüpft – über die Boltzmann-Konstante als Proportionalitätsfaktor – die Mikrozustände des abgeschlossenen Systems mit der makroskopischen Größe der Entropie und bildet die zentrale Grundlage der statistischen Physik. Sie ist in leicht abgewandelter Nomenklatur auf dem Grabstein von Ludwig Boltzmann am Wiener Zentralfriedhof eingraviert.

Die Entropieänderung ist in der klassischen Thermodynamik definiert als

mit der Wärmemenge .

Eine Entropiezunahme  entspricht einem Übergang in einen neuen Makrozustand mit einer größeren Zahl möglicher Mikrozustände. Dies ist in einem abgeschlossenen (isolierten) System stets der Fall (Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik).

Gesetz der idealen Gase 
Die Boltzmann-Konstante erlaubt die Berechnung der mittleren thermischen Energie eines einatomigen freien Teilchens aus der Temperatur gemäß

und tritt beispielsweise im Gasgesetz für ideale Gase als eine der möglichen Proportionalitätskonstanten auf:

.

Bedeutung der Formelzeichen:
  – Druck
  – Volumen
  – Teilchenzahl
  – Absolute Temperatur

Bezogen auf Normalbedingungen (Temperatur  und Druck ) und mit der Loschmidt-Konstanten  kann die Gasgleichung umformuliert werden zu:

Zusammenhang mit der kinetischen Energie 
Allgemein ergibt sich für die mittlere kinetische Energie eines klassischen punktförmigen Teilchens im thermischen Gleichgewicht mit  Freiheitsgraden, die quadratisch in die Hamiltonfunktion eingehen (Äquipartitionstheorem):

So hat beispielsweise ein punktförmiges Teilchen drei Translationsfreiheitsgrade:

Ein zweiatomiges Molekül hat
 ohne Symmetrie drei zusätzliche Rotationsfreiheitsgrade, also insgesamt sechs
 mit einer Symmetrieachse zwei zusätzliche Rotationsfreiheitsgrade für Rotation senkrecht zur Symmetrieachse, also insgesamt fünf. Durch Rotation um die Symmetrieachse kann im Bereich thermischer Energien keine Energie gespeichert werden, da das Trägheitsmoment hier vergleichsweise klein ist und der 1. angeregte Rotationszustand daher sehr hoch liegt.

Dazu kommen bei ausreichend hohen Temperaturen noch Schwingungen der Atome gegeneinander entlang der Bindungen.

Rolle in der statistischen Physik 
Allgemeiner tritt die Boltzmann-Konstante in der thermischen Wahrscheinlichkeitsdichte  beliebiger Systeme der statistischen Mechanik im thermischen Gleichgewicht auf. Diese lautet:

mit
 dem Boltzmann-Faktor 
 der kanonischen Zustandssumme  als Normierungskonstante.

Beispiel aus der Festkörperphysik 
In Halbleitern besteht eine Abhängigkeit der Spannung über einen p-n-Übergang von der Temperatur, die mit Hilfe der Temperaturspannung  oder  beschrieben werden kann:

Dabei ist
  die absolute Temperatur in Kelvin
  die Elementarladung.
Bei Raumtemperatur (T = 293 K) beträgt der Wert der Temperaturspannung ungefähr 25 mV.

Siehe auch 
 Kinetische Gastheorie

Anmerkungen

Einzelnachweise 

Physikalische Konstante
Thermodynamik
Statistische Physik
Ludwig Boltzmann