Łańcuch kinematyczny

Łańcuch kinematyczny – część mechanizmu w postaci kilku połączonych ze sobą członów tworzących jedną lub wiele par kinematycznych, realizujący zdefiniowane przeniesienie ruchu.

Łańcuchy kinematyczne dzielą się na:
 kinematyczne płaskie,
 kinematyczne przestrzenne.

Własności ogólne 
Podstawową cechą łańcucha kinematycznego jest jego ruchliwość. Ruchliwość określa ile stopni swobody posiada łańcuch, to znaczy ile różnych typów ruchu jest w stanie przenieść.

Ruchliwość  może być:
 {|
|  lub  || – łańcuch sztywny
|-
|  || – łańcuch normalny
|-
|  || – łańcuch swobodny
|}

Ruchliwość łańcucha oblicza się ze wzoru strukturalnego (kryterium Czebszowa–Grüblera–Kutzbacha):
 dla łańcucha przestrzennego:
 
 uwaga: od liczby ogniw  odejmuje się 1 w przypadku, gdy nie zalicza się do niej nieruchomej podstawy.

 dla łańcucha płaskiego:
 
 gdzie:
  – liczba ogniw,
  – ilość par kinematycznych -tej klasy.

Interpretacja ruchliwości obliczonej ze wzoru strukturalnego wymaga pewnego doświadczenia, w szczególności gdy wskazuje on, iż łańcuch kinematyczny jest sztywny. Taka sytuacja jest oczywista w przypadku a. W pewnych przypadkach jednak, przy szczególnej geometrii, łańcuch teoretyczne sztywny może przenosić ruch (przypadek b). Strukturalnie jest on identyczny z a, lecz występują w nim trzy geometrycznie identyczne człony co umożliwia ruch łańcucha. Para kinematyczna, która powinna łańcuch usztywniać (wskazana czerwoną strzałką) jest węzłem biernym. Projektując mechanizm z węzłami biernymi, konstruktor musi zdawać sobie sprawę, że zużycie elementów mechanizmu, prowadzące do drobnych zmian w ich geometrii, może doprowadzić do usztywnienia mechanizmu. Łańcuch kinematyczny sztywny, aczkolwiek teoretycznie takim jest w praktyce jest stosowany jako konstrukcja służąca wyłącznie do przenoszenia obciążenia, a nie ruchu i nie jest przedmiotem teorii mechanizmów i maszyn, lecz wytrzymałości materiałów i teorii konstrukcji.

Łańcuch kinematyczny o ruchliwości równej jeden jest najczęstszym przypadkiem mechanizmu. Rodzaj ruchu członu czynnego determinuje wtedy ruch członu biernego i wszystkich członów pośredniczących. Rysunek c pokazuje typowy czworobok przegubowy o ruchliwości równej jeden.

W pewnych przypadkach wymagane jest by mechanizm miał większą ruchliwość. Typowym tego przykładem jest przekładnia obiegowa d, lub mechanizm kreślarski e. Istnieją przypadki, że w bardzo odpowiedzialnych mechanizmach powiększa się ruchliwość normalnie zabezpieczoną bezpiecznikiem, by uniknąć samousztywnienia się mechanizmu w wyniku zużycia lub odkształcenia elementów. Gdy sytuacja taka zaistnieje bezpiecznik uruchamia dodatkową parę. Mechanizm może wtedy stracić swoją funkcjonalność, lecz unika się wtedy trwałego zniszczenia mechanizmu lub środowiska w jakim pracuje.

Analiza ruchliwości 
Badanie ruchliwości łańcucha kinematycznego może być przeprowadzone analitycznie. Ograniczając analizę do przypadku łańcuchów płaskich (dwuwymiarowych) założymy, że jego ogniwa są prętami prostymi, odkształcalnymi osiowo i połączonymi ze sobą w węzłach za pomocą idealnych przegubów. Do rozważań wprowadzimy dwa wektory
  – liniowo niezależnych przemieszczeń węzłowych i
  – wydłużeń/skróceń ogniw spowodowanych przemieszczeniami węzłowymi.

W celu uproszczenia zapisu wektory będziemy zapisywali albo wierszowo albo kolumnowo jeżeli nie będzie to prowadziło do nieporozumień.

Analiza ruchliwości węzłów łańcucha polega na badaniu rozwiązań układu równań
 (a)

Macierz zgodności przemieszczeń węzłowych  występująca w tym równaniu, może być utworzona na podstawie interpretacji jej kolumn. Rozważmy mianowicie węzeł łańcucha, w którym występują dwa przemieszczenia  i  (rys. 1a-b). Związek (a) przyjmuje dla tego przypadku postać
 

Elementy  są wydłużeniami/skróceniami odpowiednio -tego, -tego i -tego elementu ogniwa łańcucha, spowodowanymi przez -te przemieszczenie węzłowe  (rys. 1a). Analogicznie elementy  są skutkami spowodowanymi przez przemieszczenie węzłowe  (rys. 1b). Elementy  są sumarycznymi skutkami równoczesnego działania przemieszczeń  i 

Jeżeli wydłużeniom ogniw przypiszemy znak plus, a skróceniom – minus, to na podstawie rys. 1a-b otrzymamy
  – (rys. 1a),
  – (rys. 1b).

W rzeczywistym łańcuchu kinematycznym jego ogniwa mają niezmienną długość, a to znaczy, że  Badaniu ruchliwości łańcucha kinematycznego należy więc poddać nie układ równań (a), lecz (b)
 (b)

Z algebry liniowej wiadomo, że liczba liniowo niezależnych niezerowych rozwiązań takiego układu równań jest równa defektowi badanej macierzy. Pod tym terminem rozumiemy różnicę pomiędzy stopniem, a rzędem macierzy. W przypadku macierzy prostokątnych o rozmiarach  stopniem nazwiemy mniejszą z liczb  i

Przykład 1 
Dla przykładu rozważymy układ pokazany na rys. 2a.

Na podstawie rys. 2b-f kolejno budujemy kolumny macierzy 
 

Łatwo można sprawdzić, że przyjęcie  pozwala wyznaczyć jednoznacznie wartości pozostałych niewiadomych przemieszczeń węzłowych, które wynoszą:
 {|
|  || 
|-
|  || 
|}

Dla łańcucha o pionowych „słupkach”  otrzymuje się
 

Dla łańcucha o „słupkach” równoległych  jest
 

Dla łańcucha z „ryglem” poziomym

Przykład 2 
W przypadku łańcuchów wielokrotnie przesuwnych sprawa nieco się komplikuje co zilustrujemy na przykładzie łańcucha „piętrowego” z rys. 3a. Wygenerowana kolumnowo macierz zgodności przemieszczeń węzłowych  ma postać
 

Rozwiązując układ równań  za pomocą algorytmu Gaussa-Jordana z pełnym wyborem elementów wiodących stwierdzamy, że ma on rozwiązanie
 

Oznacza to, że przemieszczenia  i  mogą spełniać rolę zmiennych swobodnych. Dzięki temu otrzymujemy w tym przypadku dwa rozwiązania podstawowe (bazowe)
 

Dowolna kombinacja liniowa tych rozwiązań o postaci
 

jest nowym rozwiązaniem równania 

Na rys. 3b-c pokazano mechaniczne interpretacje rozwiązań bazowych  i  natomiast rys. 3d przedstawia przykładowe nowe rozwiązanie w postaci najprostszej kombinacji liniowej

Przykład 3 
Generowanie macierzy zgodności przemieszczeń węzłowych  można przeprowadzić według takiego algorytmu postępowania, który bez żadnych zmian pozwala analizować ruchliwość zarówno łańcuchów płaskich, jak i przestrzennych. Podstawą tego algorytmu jest spostrzeżenie, że zmiana długości  ogniwa  wywołana jednostkowym przemieszczeniem węzła  wyraża się prostym iloczynem skalarnym
 (c)

w którym przez  oznaczono wersor kierunku ogniwa, a przez  wersor kierunku przemieszczenia węzłowego.

Znak we wzorze (c) przypiszemy według następującego kryterium:

 (A) – gdy ogniwo  ma kierunek „do węzła”  wtedy we wzorze (c) obowiązuje znak plus. Dla ogniwa skierowanego „od węzła” przypiszemy znak minus. To kryterium znakowania we wzorze (c) wymaga przyporządkowania każdemu ogniwu  konkretnego wersora kierunku 

W celu uproszczenia zapisu będziemy operować tylko tymi wektorami dwuwymiarowymi, które mają co najmniej jedną współrzędną niezerową (rys. 2a).

I tak dla łańcucha z przykładu 1 mamy
 
 

oraz
 

Na podstawie wzoru (c) otrzymujemy
 

Po obliczeniu iloczynów skalarnych możemy stwierdzić, że otrzymany wynik jest identyczny z uzyskanym w przykładzie 1.

Stosując to wektorowe podejście przeprowadzimy teraz analizę łańcucha przestrzennego z rys. 4a. Jedyna różnica będzie polegać tylko na tym, że wektory  i  będą teraz miały po trzy współrzędne.

Współrzędne wersorów dla poszczególnych ogniw można obliczyć na podstawie geometrii układu określonej wysokością  i połową przekątnej kwadratowej podstawy 
 
 
 
 

Elementy macierzy  obliczamy na podstawie wzoru (c) z przypisaniem znaków według kryterium (A):
 (d)

Rozważymy teraz kilka różnych przypadków:

 Przypadek 1
Załóżmy, że  Oznacza to, że węzły B i C są unieruchomione i układ równań  ma w tym przypadku postać
 

Łatwo można sprawdzić, że istnieje taki minor  macierzy  że  Wynika stąd wniosek, że jedynymi rozwiązaniami równania  są w tym przypadku  Oznacza to, że unieruchomienie węzłów B i C powoduje unieruchomienie całego łańcucha (brak ruchliwości).

 Przypadek 2
Uwzględnimy teraz występowanie w węzłach B i C przemieszczeń tylko w kierunku osi  tzn. przyjmiemy, że  Wynika stąd taka postać układu równań
 (e)

Przyjmijmy, że zostało wywołane przemieszczenie  Przyjęcie to umożliwia jednoznaczne rozwiązanie układu równań (e)
 

co oznacza, że łańcuch ma jeden stopień swobody ruchu.

 Przypadek 3
Przy tym samym założeniu co w przypadku 2, tzn. że  wymusimy przemieszczenie  I tym razem istnieje jednoznaczne rozwiązanie
 

Obydwa rozwiązania z przypadków 2 i 3 różnią się tylko stałym mnożnikiem  co tylko potwierdza podobieństwo obu stanów przemieszczenia w układzie o jednym stopniu swobody ruchu.

Algorytm alternatywny 
Przytoczymy teraz inny, statyczny sposób generowania macierzy  Skorzystamy w tym celu z równań równowagi węzłów wyciętych z łańcucha, które można zapisać w postaci
 (f)

przy czym
  – jest wektorem sił osiowych w ogniwach, a
  – wektorem sił węzłowych.

Dla przykładu rozważymy równanie równowagi sił działających na wycięty węzeł  (rys. 5a) w kierunku określonym przez jego wersor  Równanie to otrzymamy sumując rzuty na ten kierunek wszystkich sił 
 

Podobnie mamy dla kierunku  (rys. 5b)
 

Dla łańcucha o  ogniwach i  liniowo niezależnych przemieszczeniach węzłowych macierz  możemy zapisać w postaci
 

która jednak nie uwzględnia znakowania określonego przez kryterium (A).

Analogicznie możemy napisać na podstawie wzoru (c)
 

Wobec tego, że elementy  oraz  macierzy  i  spełniają związki
 

otrzymujemy istotny związek
 

pozwalający generować elementy macierzy  na dwa równorzędne sposoby.

Zobacz też 
 rigging

Przypisy 

Mechanika budowli
Maszynoznawstwo
Kinematyka