Parallelogramm

Ein Parallelogramm (von  „von zwei Parallelenpaaren begrenzt“) oder Rhomboid (rautenähnlich) ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind.

Parallelogramme sind spezielle Trapeze und zweidimensionale Parallelepipede. Rechteck, Raute (Rhombus) und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms.

Eigenschaften 
Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
 Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes Antiparallelogramm).
 Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang.
 Gegenüber liegende Winkel sind gleich groß.
 Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
 Die Diagonalen halbieren einander.
 Die Summe der Flächen der Quadrate über den vier Seiten ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den zwei Diagonalen (Parallelogrammgleichung).
 Es ist punktsymmetrisch (zweizählig drehsymmetrisch).

Für jedes Parallelogramm gilt:
 Jede Diagonale teilt es in zwei gleichsinnig kongruente Dreiecke.
 Sein Symmetriezentrum ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
 Die Mittelpunkte der über seinen Seiten errichteten Quadrate bilden ein Quadrat (Satz von Thébault-Yaglom).

Alle Parallelogramme, die mindestens eine Symmetrieachse besitzen, sind Rechtecke oder Rauten.

Formeln

Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm 

Den Flächeninhalt  des nebenstehenden schwarzen Parallelogramms kann man erhalten, indem man von der Fläche des großen Rechtecks die sechs kleinen Flächen mit bunten Kanten abzieht. Wegen der Symmetrie und der Vertauschbarkeit der Multiplikation kann man auch vom großen Rechteck das Doppelte der drei kleinen Flächen unterhalb des Parallelogramms abziehen. Es ist also:

Parallelogrammgitter 

Parallelogramme können ein Gitter in der Ebene bilden. Wenn die Kanten gleich lang sind oder die Winkel rechte Winkel sind, ist die Symmetrie des Gitters höher. Diese repräsentieren die vier zweidimensionalen Bravais-Gitter.

Das Parallelogrammgitter ist eine Anordnung von unendlich vielen Punkten in der zweidimensionalen euklidischen Ebene. Diese Punktmenge kann formal als die Menge

 

geschrieben werden, wobei die Vektoren ,  die Richtungsvektoren zwischen benachbarten Punkten sind. Das Parallelogrammgitter entsteht durch eine affine Abbildung aus dem Quadratgitter.

Das Parallelogrammgitter ist zweizählig drehsymmetrisch, also punktsymmetrisch. Außerdem ist es translationsymmetrisch für alle Vektoren im zweidimensionalen euklidischen Vektorraum.

Konstruktion eines Parallelogramms 
Ein Parallelogramm, bei dem die Seitenlängen  und  sowie die Höhe  gegeben ist, ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Verallgemeinerungen 

Eine Verallgemeinerung auf  Dimensionen ist das Parallelotop, erklärt als die Menge  sowie deren Parallelverschiebungen. Die  sind dabei  linear unabhängige Vektoren. Parallelotope sind punktsymmetrisch.

Das dreidimensionale Parallelotop ist das Parallelepiped. Seine Seitenflächen sind sechs paarweise kongruente und in parallelen Ebenen liegende Parallelogramme. Ein Parallelepiped hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und acht Ecken, in denen diese Kanten in maximal drei verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen.

Satz von Varignon 

Nach dem Satz von Varignon gilt: Wenn man die Mittelpunkte benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.

Beweis:

Nach Definition gilt .

Betrachte das Dreieck ABC. Es ist ähnlich zum Dreieck EBF. Nimmt man den Punkt B als Zentrum einer zentrischen Streckung, werden A auf E und C auf F mit dem Faktor  abgebildet. Wegen der Eigenschaften der zentrischen Streckung sind Bildstrecke und ursprüngliche Strecke parallel. Also ist . Ebenso zeigt man, dass , , und . Die Parallelität in der euklidischen Ebene ist eine Äquivalenzrelation und damit transitiv. Also ist  und .

Die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.

Eine andere Möglichkeit ist, mit dem Strahlensatz zu beweisen, dass  und  ist, d. h. dass die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH gleich lang sind.

Nach dem Strahlensatz gilt außerdem: Der Umfang des Parallelogramms EFGH ist genau so groß wie die Summe der Diagonalenlängen im Viereck ABCD. Die Fläche des Parallelogramms EFGH ist halb so groß wie die Fläche des Vierecks ABCD.

Parallelogramme mit Quadraten 

Gegeben sei ein Parallelogramm , über dessen Seiten Quadrate errichtet sind. Dann sind die Diagonalenschnittpunkte , ,  und  der Quadrate Eckpunkte eines weiteren Quadrats. (Figur 1)

Beweis:

Die vier gelben Dreiecke , ,  und  in Figur 2 stimmen in je zwei Seiten und dem jeweils eingeschlossenen (gelben) Innenwinkel bei , ,  und  überein. Deshalb sind sie nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent und damit alle Seiten des Vierecks  gleich lang. Da die Diagonalen eines Quadrats orthogonal sind, ist  ein rechter Winkel. Da die beiden (gelben) Winkel  und  gleich groß sind, muss auch  ein rechter Winkel sein. Somit ist das Viereck  ein Quadrat.

Verwendung in der Technik 
Parallelogramme finden sich häufig in der Mechanik. Durch vier Gelenke kann eine bewegliche, parallelentreue Lagerung hergestellt werden, die sogenannte Parallelogrammführung. Beispiele:

Siehe auch 
 Parallelepiped
 Parallelotop
 Antiparallelogramm

Literatur 
 F. Wolff: Lehrbuch der Geometrie. Vierte verbesserte Auflage, Druck und Verlag von G. Reimer, Berlin 1845 (Online-Kopie).
 P. Kall: Lineare Algebra für Ökonomen. Springer Fachmedien, Wiesbaden 1984, ISBN 978-3-519-02356-2.
 Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.

Weblinks 

 
 . Abgerufen am 18. November 2016.
 Einführung in das Thema Parallelogramm. (PDF; 920 kB). Abgerufen am 18. November 2016.
 . Abgerufen am 18. November 2016.

Einzelnachweise 

Viereck
Vierecksgeometrie