Spațiu vectorial

Un spațiu vectorial (numit și spațiu liniar) este o colecție de obiecte numite vectori, care pot fi adunați între ei și înmulțiți („scalați”) cu numere, denumite în acest context scalari. Scalarii sunt de multe ori luați ca numere reale, dar există și spații vectoriale în care înmulțirea cu un scalar se face cu numere complexe, numere raționale, sau, în general, din orice corp. Operațiunile de adunare vectorială și de înmulțire cu un scalar trebuie să îndeplinească anumite cerințe, numite axiome, enumerate mai jos.

Vectorii euclidieni sunt un exemplu de spațiu vectorial. Ei reprezintă cantități fizice, cum ar fi forțele: orice două forțe (de același tip) pot fi adunate pentru a produce o a treia, și înmulțirea unui vector forță cu un factor de înmulțire real dă un alt vector forță. În același fel, dar într-un sens mai geometric, vectorii care reprezintă deplasări în plan sau în spațiul tridimensional formează și ei spații vectoriale. Vectorii din spațiile vectoriale nu trebuie să fie neapărat obiecte reprezentabile prin săgeți, așa cum apar în exemplele amintite: vectorii sunt considerați ca abstracții matematice, obiecte cu proprietăți speciale, care în unele cazuri pot fi reprezentate sub forma unor săgeți.

Spațiile vectoriale fac obiectul algebrei liniare și sunt bine caracterizate prin dimensiunea lor, care, aproximativ vorbind, specifică numărul de direcții independente în spațiu. Spații vectoriale infinit-dimensionale apar în mod natural în analiza matematică, ca spații de funcții, ale căror vectori sunt funcții. Aceste spații vectoriale sunt, în general, înzestrate cu o structură suplimentară, care poate fi o topologie, care să permită luarea în considerare a aspectelor de proximitate și de continuitate. Printre aceste topologii, cele definite printr-o normă sau produs scalar sunt mai frecvent utilizate, ca având o noțiune de distanță dintre doi vectori. Este în special cazul spațiilor Banach și spațiilor Hilbert, care sunt fundamentale în analiza matematică.

Din punct de vedere istoric, primele idei care au condus la noțiunea de spațiu vectorial pot fi găsite în geometria analitică, matricile, sistemele de ecuații liniare, și vectorii euclidieni din secolul al XVII-lea. Abordarea modernă, mai abstractă, formulată pentru prima dată de către Giuseppe Peano în 1888, cuprinde obiecte mai generale decât spațiul euclidian, dar o mare parte din teorie poate fi văzută ca o extensie ideilor din geometria clasică, cum ar fi drepte, planuri și analogii în dimensiuni superioare.

Astăzi, spațiile vectoriale au aplicații în toată matematica, în științe și inginerie. Acestea sunt noțiunile liniar-algebrice adecvate pentru a trata sisteme de ecuații liniare; a oferi un cadru pentru dezvoltarea în serie Fourier, utilizată în rutinele de compresie a imaginilor; sau a oferi un mediu care poate fi folosit pentru tehnici de rezolvare a ecuațiilor cu derivate parțiale. Mai mult, spațiile vectoriale furnizează o modalitate abstractă, independentă de coordonate, de a trata obiecte fizice sau geometrice, cum ar fi tensorii. Aceasta, la rândul său, permite examinarea proprietăților locale ale varietăților prin tehnici de liniarizare. Spațiile vectoriale pot fi generalizate în mai multe moduri, ceea ce duce la mai multe noțiuni avansate în geometrie și algebra abstractă.

Introducere și definiții 
Conceptul de spațiu vectorial va fi explicat în primul rând prin descrierea a două exemple concrete:

Primul exemplu: săgeți în plan 
Primul exemplu de spațiu vectorial constă din săgeți într-un plan, pornind de la un punct fix (originea). Acestea sunt folosite în fizică pentru a descrie forțele sau vitezele. Date fiind oricare două astfel de săgeți,  și , paralelogramul generat de aceste două săgeți conține o săgeată diagonală care începe și ea tot de la origine. Această nouă săgeată se numește suma celor două săgeți și este notată cu . În cazul special când cele două săgeți sunt pe aceeași linie, suma lor este săgeata de pe această linie a cărui lungime este suma sau diferența de lungimi, în funcție dacă săgețile au același sens sau sensuri opuse. O altă operație care se poate face cu săgeți este scalarea: dat fiind orice număr real pozitiv a, săgeata care are aceeași direcție ca și , dar este dilatată sau micșorată prin înmulțirea lungimii sale cu a, se numește înmulțire a lui  cu a. Acesta este notată av. Atunci când a este negativ, av este definit ca fiind o săgeată îndreptată în sens opus, pe aceeași direcție.

Următoarele arată câteva exemple: dacă a = 2, vectorul rezultat aw are aceeași direcție ca și , dar este întins la lungime dublă față de  (dreapta imaginii de mai jos). Echivalent,  este suma . În plus,  are sens opus și aceeași lungime ca  (vectorul albastru cu vârful în jos în imaginea din dreapta).

Al doilea exemplu: perechi ordonate de numere 
Un al doilea exemplu de spațiu vectorial este dat ca perechile de numere reale  și . (Ordinea componentelor  și  este importantă, astfel încât o astfel de pereche se numește și pereche ordonată.) O astfel de pereche este scrisă sub forma . Suma a două astfel de perechi și înmulțirea unei perechi cu un număr sunt definite după cum urmează:
  +  
și
 .
Primul exemplu de mai sus se reduce la acesta dacă săgețile sunt reprezentate printr-o pereche de coordonate carteziene ale punctelor lor de capăt.

Definiție 
Un spațiu vectorial peste un corp  este structura formată dintr-o mulțime  împreună cu două operații, care satisface cele opt axiome enumerate mai jos. Elementele din  sunt de obicei numite vectori. Elementele din  sunt de obicei numite scalari. Prima operațiune, numită adunare vectorială sau pur și simplu adunare, ia orice doi vectori  și  și le atribuie un al treilea vector, care este de obicei scris ca , și se numește suma acestor doi vectori. Cea de-a doua operație, numită înmulțire cu un scalar, ia orice scalar și orice vector  și dă un alt vector.

În acest articol, vectorii sunt deosebiți de scalari prin aceea că sunt scriși cu litere îngroșate. În cele două exemple de mai sus, corpul este corpul numerelor reale și mulțimea vectorilor este formată din săgeți plane având un punct fix de pornire și, respectiv, din perechi de numere reale.

Pentru a se califica drept spațiu vectorial, mulțimea  și operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar trebuie să respecte o serie de cerințe numite axiome. În lista de mai jos, fie ,  și  vectori arbitrari din , și a și  scalari din .

Aceste axiome generalizează proprietățile vectorilor introduse în exemplele de mai sus. Într-adevăr, rezultatul adunării a două perechi ordonate (ca în al doilea exemplu de mai sus) nu depinde de ordinea operanzilor:
 .

De asemenea, în exemplul geometric în care vectorii erau văzuți ca săgeți,  întrucât paralelogramul care definește adunarea vectorilor este independent de ordinea vectorilor. Toate celelalte axiome pot fi verificate într-un mod similar în ambele exemple. Astfel, făcând abstracție de natura concretă a tipului particular de vectori pe care se lucrează, definiția include aceste două exemple, și multe altele, într-o singură noțiune unificatoare de spațiu vectorial.

Scăderea a doi vectori și împărțirea la un scalar nenul poate fi definită ca:
 ,
 .
Atunci când corpul de scalari  este mulțimea numerelor reale , spațiul vectorial se numește spațiu vectorial real. Atunci când câmpul scalar este mulțimea numerelor complexe, se numește spațiu vectorial complex. Aceste două cazuri sunt cele folosite cel mai adesea în inginerie. Definiția generală a unui spațiu vectorial permite ca scalarii să fie elemente din orice corp fix , spațiul fiind denumit în acest caz spațiu vectorial peste . Un corp este, în esență, o mulțime de numere care posedă operațiuni de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. De exemplu, numerele raționale formează și ele un corp.

Spre deosebire de analogia intuitivă care decurge din asocierea lor cu vectori în plan și din cazurile de dimensiune superioară, în spațiile vectoriale generale, nu există nicio noțiune de vecinătate, unghi sau distanță. Pentru tratarea unor astfel de probleme, se introduc tipuri particulare de spații vectoriale; vedeți mai jos.

Formule alternative și consecințe elementare 
Adunarea vectorială și înmulțirea cu un scalar sunt operațiuni care îndeplinesc proprietatea de închidere:  și  în  pentru  din , ,  din . Unele surse mai vechi menționează aceste proprietăți ca axiome separate.

În limbajul algebrei abstracte, primele patru axiome pot fi subsumate prin impunerea condiției ca mulțimea de vectori să fie un grup abelian în raport cu adunarea. Restul de axiome conferă acestui grup o structură de -. Cu alte cuvinte, există un   definit pe corpul  cu valori în  al grupului vectorilor. Atunci, înmulțirea cu un scalar av este definită ca .

Există o serie de consecințe directe ale axiomelor spațiilor vectoriale. Unele dintre ele rezultă din aplicarea teoriei elementare a grupurilor asupra grupului aditiv al vectorilor: de exemplu, vectorul zero  din  și elementul invers  al oricărui vector  sunt unice. Alte proprietăți rezultă din legea distributivității, de exemplu av este egal cu 0 dacă și numai dacă a este egal cu 0 sau v este egal cu 0.

Istorie 
Spațiile vectoriale rezultă din geometria afină prin introducerea de coordonate în plan sau în spațiul tridimensional. În preajma lui 1636, Descartes și Fermat au pus bazele geometriei analitice prin echivalarea soluțiilor unei ecuații cu două variabile, cu puncte de pe o curbă plană. În 1804, pentru a obține soluții geometrice fără utilizarea de coordonate, Bolzano a introdus anumite operațiuni pe puncte, linii și planuri, predecesoarele vectorilor. Lucrarea sa a fost apoi utilizată în conceperea  de către Möbius în 1827. În 1828,  sugera existența unei algebre care depășește nu numai algebra obișnuită, ci și algebra bidimensională creată de el în timp ce căuta o interpretare geometrică a numerelor complexe.

Definiția vectorilor s-a bazat pe noțiunea lui Bellavitis de bipunct, un segment orientat din care un capăt este originea și altul o țintă, și apoi elaborată în continuare cu prezentarea numerelor complexe de către Argand și Hamilton și introducerea cuaternionilor și  de către acesta din urmă. Acestea sunt elemente din ,  și ; tratarea lor drept  poate fi găsită la Laguerre în 1867, care și el a definit sisteme de ecuații liniare.

În 1857, Cayley a introdus notația matriceală, care permite o armonizare și o simplificare a aplicațiilor liniare. În același timp, Grassmann a studiat calculul baricentric inițiat de Möbius. El și-a imaginat mulțimi de obiecte abstracte dotate cu operațiuni. În lucrarea sa sunt prezente conceptele de  și dimensiune, precum și cea de produs scalar. În fapt, activitatea lui Grassmann din 1844 depășește cadrul spațiilor vectoriale, deoarece abordarea înmulțirii l-a condus pe el la ceea ce astăzi numim algebre. Peano a fost primul care a dat definiția modernă a spațiilor vectoriale și a aplicațiilor liniare în 1888.

O dezvoltare importantă în domeniul spațiilor vectoriale se datorează construcției spațiilor de funcții de către Lebesgue. Ulterior, aceasta a fost formalizată de către Banach și Hilbert, în preajma anului 1920. La acea vreme, algebra și noul domeniu al  au început să interacționeze, în special cu concepte-cheie, cum ar fi spațiile de funcții p-integrabile și spațiile Hilbert. Spațiile vectoriale, inclusiv cele infinit-dimensionale, au devenit mai târziu noțiuni ferm stabilite, și multe ramuri matematice au început să facă uz de aceste concepte.

Exemple

Spații de coordonate 
Cel mai simplu exemplu de spațiu vectorial peste un corp  este corpul însuși, echipat cu adunarea și înmulțirea standard. Mai mult, în general, un spațiu vectorial poate fi compus din
 (secvențe de lungime ) de elemente din , cum ar fi
 , unde fiecare  este un element din .
Un spațiu vectorial compus din toate -tuplurile unui corp  este cunoscut drept , de obicei, notat cu . Cazul  este mai sus-menționatul exemplu simplu, în care corpul  este considerat și spațiu vectorial peste el însuși. Cazurile  și  au fost discutate în introducerea de mai sus.

Numerele complexe și alte extensii ale corpului 
Mulțimea numerelor complexe , de exemplu, numere care pot fi scrise sub forma  pentru  și  numere reale, unde  este unitatea imaginară, formează un spațiu vectorial peste numerele reale cu obișnuitele operațiuni de adunare și înmulțire cu un scalar:  și  pentru numerele reale , , a,  și . Diferite axiome ale spațiilor vectoriale rezultă din faptul că aceleași reguli rămân valabile pentru aritmetica numerelor complexe.

De fapt, exemplul numerelor complexe este, în esență, aceleași (adică este izomorf) cu spațiul vectorial al perechilor ordonate de numere reale menționat mai sus: dacă ne gândim la numărul complex  ca reprezentând perechea ordonată  în planul complex, atunci vom vedea că regulile pentru sumă și produs scalar corespund exact cu cele din exemplul anterior.

Mai mult, în general, extensiile de corp oferă o altă clasă de exemple de spații vectoriale, în special în algebră și : un corp  care conține un corp mai mic  este spațiu vectorial peste E, prin operațiunile de înmulțire și de adunare date din . De exemplu, numerele complexe sunt un spațiu vectorial peste R, iar extensia de corp  este un spațiu vectorial peste Q.

Spații de funcții 
Funcțiile definite pe orice mulțime fixă  cu valori într-un corp  formează și ele spații vectoriale, prin efectuarea punctuală a operațiunilor de adunare și înmulțire cu un scalar. Adică suma a două funcții  și  este funcția  dată de
 ,
și în mod similar pentru înmulțire. Astfel de spații funcționale apar în multe situații geometrice, atunci când  este dreapta reală sau un interval, sau alte submulțimi ale lui . Multe noțiuni de topologie și analiză, cum ar fi continuitatea, integrabilitatea sau derivabilitatea se comportă bine în raport cu liniaritatea: adunarea și înmulțirea cu un scalar a funcțiilor care posedă o astfel de proprietate o conservă. Prin urmare, mulțimea acestor funcții este spațiu vectorial. Ele sunt studiate în detaliu, folosind metodele de . Constrângerile algebrice produc și ele spații vectoriale:  este dat de polinoamele:
 , unde coeficienții  sunt în .

Ecuații liniare 
Sistemele de ecuații liniare omogene sunt strâns legate de spațiile vectoriale. De exemplu, soluțiile sistemului
 {|
| style="text-align:right;" |
|
|
|
| style="text-align:right;" |
|
|-
|
|
|
|
|
|
|}
sunt date de triplete arbitrare cu a, b = a/2 și c = −5a/2. Ele formează un spațiu vectorial: și după adunarea și înmulțirea cu un scalar a acestui gen de triplete, ele continuă să satisfacă aceleași raporturi dintre cele trei variabile; astfel și ele sunt soluții. Matricele pot fi folosite pentru a condensa mai multe ecuații liniare ca mai sus într-o singură ecuație vectorială, și anume:
 ,
unde A =  este matricea care conține coeficienții ecuațiilor date,  este vectorul ,  reprezintă înmulțirea de matrice, și  este vectorul zero. În mod similar, soluții ecuațiilor diferențiale liniare formează spații vectoriale. De exemplu,
 
produce , unde a și  sunt constante arbitrare, și  e funcția exponențială cu baza naturală.

Baza și dimensiunea 

Bazele permit reprezentarea vectorilor cu ajutorul unui șir de scalari numit coordonate sau componente. O bază este o mulțime (finită sau infinită)  de vectori , pentru comoditate de multe ori indexați cu un  i, care generează întregul spațiu și este liniar independentă. „Care generează întregul spațiu” înseamnă că orice vector  poate fi exprimat ca sumă finită (numită combinație liniară) a elementelor bazei:

unde  sunt scalari, numiți coordonatele (sau componentele) vectorului  în raport cu baza , iar   elemente din . Independența liniară înseamnă că coordonatele  sunt unic determinate pentru orice vector din spațiul vectorial.

De exemplu, versorii , , până la , formează o bază în , numit , deoarece orice vector  poate fi exprimat unic ca o combinație liniară a acestor vectori:
 .
Coordonatele corespunzătoare , , ,  sunt coordonatele carteziene ale vectorului.

Fiecare spațiu vectorial are o bază. Acest lucru rezultă din lema lui Zorn, o formulare echivalentă a axiomei alegerii. Date fiind celelalte axiome ale teoriei mulțimilor Zermelo–Fraenkel, existența bazelor este echivalentă cu axioma alegerii. , care este mai slabă decât axioma alegerii, implică faptul că toate bazele unui anumit spațiu vectorial au același număr de elemente, sau același  (cf. ). Acest cardinal se numește dimensiunea spațiului vectorial, notată . Dacă spațiul este generat de un număr finit de vectori, afirmațiile de mai sus pot fi demonstrate fără o astfel de informație fundamentală din teoria mulțimilor.

Dimensiunea de spațiului de coordonate  este , conform bazei expuse mai sus. Dimensiunea inelului polinomial F[x] introdus mai sus este infinit numărabilă, o bază fiind dată de , , ,  , dimensiunea spațiilor mai generale de funcții, cum ar fi spațiul funcțiilor pe un interval (mărginit sau nemărginit), este infinită. Sub ipoteze potrivite de regularitate a coeficienților implicați, dimensiunea spațiului soluției unei ecuații diferențiale ordinare omogene este egal cu gradul ecuației. De exemplu, spațiul soluțiilor ecuației de mai sus este generat de . Aceste două funcții sunt liniar independente peste , astfel încât dimensiunea acestui spațiu este doi, atât cât este și gradul ecuației.

O extensie de corp peste mulțimea numerelor raționale  poate fi gândită ca spațiu vectorial peste  (prin definirea adunării vectoriale ca adunarea corpului, definirea înmulțirii scalarilor ca fiind înmulțirea cu elemente din , și altfel ignorând înmulțirea corpului). Dimensiunea (sau gradul) de extensiei de domeniu  peste  depinde de . Dacă  satisface o ecuație polinomială
 , cu coeficienți raționali .

(„α este algebric”), dimensiunea este finită. Mai exact, este egală cu gradul polinomului minim având α ca rădăcină. De exemplu, numerele complexe C formează un spațiu vectorial bidimensional real, generat de baza formată din 1 și unitatea imaginară i. Acesta îndeplinește condiția i2 + 1 = 0, ecuație de gradul doi. Astfel, C este R-spațiu vectorial bidimensional (și, ca și orice corp, unidimensional ca spațiu vectorial peste el însuși, C). Dacă α nu este algebric, dimensiunea Q(α) peste Q este infinită. De exemplu, pentru α = π nu există nici o astfel de ecuație, cu alte cuvinte π este transcendent.

Aplicații liniare și matrice 
Relația dintre două spații vectoriale poate fi exprimată printr-o aplicație liniară sau transformare liniară. Acestea sunt funcții care reflectă structura spațiului vectorial, adică ele conservă sumele și înmulțirea cu un scalar:
 f(x + y) = f(x) + f(y) și f(a · x) = a · f(x) pentru orice x și y din , orice a din .

Un izomorfism este o aplicație liniară  astfel încât există o aplicație inversă , cu proprietatea că cele două  posibile  și  sunt egale cu aplicația identitate. Echivalent,  este atât injectivă cât și surjectivă. Dacă există un izomorfism între  și , se spune că cele două spații sunt izomorfe; acestea sunt, în esență, identice ca spații vectoriale, deoarece toate identitățile valabile în  sunt, prin intermediul lui , transformate în altele similare în , și vice-versa prin .

De exemplu, spațiile vectoriale „săgeți în plan” și „perechi ordonate de numere” din introducere sunt izomorfe: o săgeată în plan v care pornește din originea unui sistem de coordonate (fix) poate fi exprimată ca o pereche ordonată considerând componentele x și y ale săgeții, așa cum se arată în imaginea din dreapta. Analog, având în vedere o pereche (x, y), săgeata care duce x spre dreapta (sau spre stânga, dacă x este negativ), și y în sus (sau în jos, dacă y este negativ) se transformă înapoi în săgeata v.

Aplicațiile liniare  între două spații vectoriale formează un spațiu vectorial HomF(V, W),  notat și cu L(V, W). Spațiul aplicațiilor liniare de la  la  se numește , notat cu . Prin intermediul aplicației injective  , orice spațiu vectorial poate fi încorporat în bidualul său; aplicația este un izomorfism dacă și numai dacă spațiul este finit-dimensional.

Odată fiind aleasă o bază a lui , aplicațiile liniare  sunt complet determinate prin specificarea imaginilor vectorilor din bază, deoarece orice element din  se exprimă în mod unic ca o combinație liniară a acestora. Dacă , o corespondență 1-la-1 între bazele fixe ale lui  și  dă naștere la o aplicație liniară care mapează orice element din baza lui  cu un element corespunzător din baza lui . Este un izomorfism, prin definiție. Prin urmare, două spații vectoriale sunt izomorfe dacă au aceeași dimensiune și vice-versa. Un alt mod de a exprima acest lucru este că orice spațiu vectorial este complet clasificat (până la izomorfism) de dimensiunea acestuia, un singur număr. În special, orice -spațiu vectorial  n-dimensional este izomorf cu . Cu toate acestea, nu există un izomorfism „canonic” sau preferat; de fapt un izomorfism  este echivalent cu alegerea unei baze a lui , mapând baza standard a lui  cu , prin intermediul lui . Libertatea de a alege o bază convenabilă este deosebit de utilă în context infinit-dimensional.

Matrice 

Matricele sunt o noțiune utilă pentru codificarea aplicațiilor liniare. Ele sunt scrise ca un tablou dreptunghiular de scalari ca în imaginea din dreapta. Orice matrice m-pe-n A dă naștere unei aplicații liniare de la  la , cu următoarea lege:
 , unde cu  se notează suma,
sau, folosind înmulțirea matriceală a lui A cu coordonatele vectorului :
 .
Mai mult decât atât, după alegerea bazelor lui  și , orice aplicație liniară  este unic reprezentată de o matrice prin această atribuire.

Determinantul  al unei matrice pătrate  este un scalar care spune dacă aplicația liniară asociată este un izomorfism sau nu: pentru a fi izomorfism, este suficient și necesar ca determinantul să fie nenul. Transformarea liniară a lui  corespunzătoare unei matrice reale n-pe-n dacă și numai dacă determinantul este pozitiv.

Vectori și valori proprii 
, aplicații liniare , sunt deosebit de importante deoarece, în acest caz, vectorii  pot fi comparați cu imaginea lor în raport cu , . Orice vector nenul  care satisface , unde  este un scalar, se numește vector propriu al lui  cu valoarea proprie . Echivalent,  este un element al nucleului diferenței  (în cazul în care Id este aplicația identitate . Dacă  este finit dimensional, acest lucru poate fi reformulat folosind determinanți:  având valoarea proprie  este echivalent cu
 .
Dezvoltând definiția determinantului, expresia din partea stângă poate fi considerată a fi o funcție polinomială în , numită  al . Dacă  este suficient de mare pentru a conține o rădăcină a acestui polinom (care în mod automat se întâmplă pentru  algebric închis, cum este ) orice aplicație liniară are cel puțin un vector propriu. Spațiul vectorial  poate sau nu să posede o bază proprie, bază formată din vectori proprii. Acest fenomen este guvernat de  a aplicației. Mulțimea tuturor vectorilor proprii corespunzători unei anumite valori proprii a lui  formează un spațiu vectorial cunoscut ca spațiul vectorial propriu corespunzătoare valorii proprii (și lui ) în cauză. Pentru a ajunge la , afirmația corespunzătoare în cazul infinit-dimensional, este nevoie de mecanismele analizei funcționale.

Construcția bazelor 
În plus față de exemplele concrete de mai sus, există mai multe construcții liniare algebrice standard care generează spații vectoriale legate de cele date. În plus față de definițiile prezentate mai jos, acestea sunt și ele caracterizate prin , care determină un obiect  prin specificarea aplicațiilor liniare de la  la orice alt spațiu vectorial.

Subspații și spații factor 

O submulțime nevidă W a unui spațiu vectorial V , care este închisă în raport cu adunarea și cu înmulțirea cu un scalar (și, prin urmare, conține vectorul zero din V) se numește subspațiu vectorial al lui V, sau pur și simplu subspațiu al lui V, atunci când spațiul ambiental este fără echivoc spațiu vectorial. Subspațiile lui V sunt spații vectoriale (peste același corp) de sine stătătoare. Intersecția tuturor subspațiilor conține o anumită mulțime S de vectori numită , și acesta este cel mai mic subspațiu al lui V care conține mulțimea S. Exprimat în termeni de elemente, generatoarea este subspațiul format din toate  de elemente din S.

Un subspațiu liniar de dimensiune 1 este o dreaptă vectorială. Un subspațiu liniar de dimensiune 2 este un plan de vectori. Un subspațiu liniar care conține toate elementele de bază din spațiul ambiental este un hiperplan de vectori. Într-un spațiu vectorial de dimensiune finită , un hiperplan este astfel un subspațiu de dimensiune .

Omologul subspațiilor este spațiul vectorial factor. Dat fiind orice subspațiu , spațiul factor V/W ("V  W") este definit după cum urmează: ca mulțime, el se compune din  unde v este un vector arbitrar din V. Suma a două astfel de elemente  și  este  și înmulțirea cu un scalar este dată de . Punctul cheie în această definiție este faptul că  dacă și numai dacă diferența dintre v1 și v2 se află în W. Astfel, spațiul factor „uită” informațiile conținute în subspațiul W.

Nucleul  unei aplicații liniare  este format din vectorii v care sunt mapați la 0 din W. Atât nucleul cât și imaginea } sunt subspații ale lui  și, respectiv, . Existența nucleelor și imaginilor face parte din afirmația că  (peste un corp fix ) este , adică un grup de obiecte matematice și aplicații de la una la alta care conservă structura (o categorie), care se comportă ca și . De aceea, multe afirmații, cum ar fi  (numită și  în termeni de matrice)

și a doua și a treia teoremă de izomorfism pot fi formulate și demonstrate într-un mod foarte similar cu situațiile corespunzătoare pentru grupuri.

Un exemplu important este nucleul unei aplicații liniare  pentru o matrice fixă A, ca mai sus. Nucleul aceastei aplicații este un subspațiu de vectori , astfel încât , care este tocmai mulțimea soluțiilor sistemului omogen de ecuații liniare care aparțin lui A. De asemenea, acest concept se extinde la ecuații diferențiale liniare
 , unde coeficienții ai sunt și ei funcții de x.
În aplicația corespunzătoare
 ,
derivatele funcției  apar liniar (adică nu apar de exemplu sub forma de ). Când diferențierea este o procedură liniară (adică  și  pentru orice constantă ) această atribuire este liniară, și se numește . În particular, soluțiile ecuației diferențiale  formează un spațiu vectorial (peste  sau ).

Produsul direct și suma directă 
Produsul direct al unor spații vectoriale și suma directă a unor spații vectoriale sunt două moduri de a combina o familie indexată de spații vectoriale într-un nou spațiu vectorial.

Produsul direct  al unei familii de spații vectoriale  constă din mulțimea tuturor tuplurilor (, care specifică pentru fiecare indice  dintr-o  I un element vi al lui Vi. Adunarea și înmulțirea cu un scalar se realizează pe componente. O variantă a acestei construcții este suma directă  (notată cu ), în care sunt permise numai tuplurile cu un număr finit de vectori nenuli. Dacă mulțimea de indici I este finită, cele două construcții sunt în acord, dar, în general, ele sunt diferite.

Produsul tensorial 
Produsul tensorial , sau mai simplu , a două spații vectoriale V și W este una dintre noțiunile centrale ale  care se ocupă cu extinderea noțiunilor cum ar fi aplicațiile liniare la mai multe variabile. O aplicație  se numește biliniară dacă g este liniară în ambele variabile v și w. Cu alte cuvinte, pentru un w fix, aplicația  este liniară în sensul de mai sus și analog pentru v fix.

Produsul tensorial este un anumit spațiu vectorial care este primitor universal al aplicațiilor biliniare g, după cum urmează. Este definit ca spațiu vectorial format din sume finite (formale) de simboluri numite tensori
 v1 ⊗ w1 + v2 ⊗ w2 + ... + vn ⊗ wn,
supuse regulilor
 a · (v ⊗ w) = (a · v) ⊗ w = v ⊗ (a · w), unde a este un scalar,
 (v1 + v2) ⊗ w = v1 ⊗ w + v2 ⊗ w, și
 v ⊗ (w1 + w2) = v ⊗ w1 + v ⊗ w2.

Aceste reguli asigură că aplicația f definită pe  cu valori în  care mapează un   în  este biliniară. Universalitatea afirmă că, dat fiind orice spațiu vectorial  și orice aplicație biliniară , există o aplicație unică , arătată în diagramă cu o săgeată punctată, a cărei  cu  este egală cu : . Aceasta se numește  a produsului tensorial, un exemplu de metodă mult utilizată în algebra abstractă avansată—pentru a defini indirect obiecte prin specificarea unor aplicații definite pe acel obiect sau cu valori în el.

Spații vectoriale cu structură suplimentară 
Din punctul de vedere al algebrei liniare, spațiile vectoriale sunt complet înțelese în măsura în care orice spațiu vectorial este caracterizat, până la izomorfism, prin dimensiunea sa. Cu toate acestea, spațiile vectoriale în sine nu oferă un cadru de abordare a chestiunii—cruciale pentru analiză—dacă un șir de funcții converge către o altă funcție. De asemenea, algebra liniară nu este adaptată pentru a trata șiruri infinite, deoarece operația aditivă permite adunarea numai a unui număr finit de termeni. Prin urmare, nevoile  impun considerarea unor structuri suplimentare.

Unui spațiu vectorial i se poate da o relație de ordine parțială ≤, în care unii vectori pot fi comparați. De exemplu, spațiul n-dimensional real Rn poate fi ordonat prin compararea vectorilor pe componente. , cum ar fi , sunt fundamentale pentru , care se bazează pe capacitatea de a exprima o funcție ca o diferență de două funcții pozitive
 f = f+ − f−,

unde f+ reprezintă partea pozitivă a lui f și f− partea negativă.

Spații vectoriale normate și spații cu produs scalar 
„Măsurarea” vectorilor se face prin specificarea unei norme, un datum care măsoară lungimi de vectori, sau printr-un produs scalar, care măsoară unghiurile dintre vectori. Normele și produsele scalare se notează cu  și, respectiv, cu . Natura unui produs scalar presupune că lungimile de vectori pot fi și ele definite, prin definirea normei asociate . Spațiile vectoriale înzestrate cu astfel de date sunt cunoscute sub denumirea de spații vectoriale normate și, respectiv, spații prehilbertiene.

Coordonatele spațiului  pot fi echipate cu produsul scalar standard:
 
În R2, acest lucru reflectă noțiunea comună de unghi între doi vectori x și y, prin legea cosinusurilor:
 
Din această cauză, doi vectori care satisfac relația  se numesc ortogonali. O variantă importantă a produsului scalar standard este folosită în spațiul Minkowski: R4 înzestrat cu produsul Lorentz
 
Spre deosebire de produsul scalar standard, acesta nu este :  ia și valori negative, de exemplu pentru . Izolarea celei de-a patra coordonate corespunzătoare timpului, spre deosebire de cele trei dimensiuni ale spațiului—îl face util pentru tratarea matematică a relativității restrânse.

Spatii vectoriale topologice 
Chestiunile de convergență sunt tratate prin luarea în considerare a spațiilor vectoriale  care au și o topologie compatibilă, o structură care ne permite să vorbim despre elemente ca fiind aproape unul de altul. „Compatibil” aici înseamnă că, adunarea și înmulțirea cu un scalar trebuie să fie aplicații continue. Aproximativ, dacă x și y din , și  din  variază cu o cantitate mărginită, atunci la fel variază și  și . Pentru a avea sens precizarea cantității cu care se modifică un scalar, corpul  trebuie să aibă în acest context și o topologie; o alegere comună sunt numerele reale sau cele complexe.

În astfel de spații vectoriale topologice, se poate considera un șir de vectori. Suma infinită
 
reprezintă limita sumelor parțiale finite ale șirului  de elemente din . De exemplu,  ar putea fi funcții (reale sau complexe) aparținând unui spațiu funcțional , caz în care seria este o .  al seriei depinde de topologia impusă spațiului de funcții. În astfel de cazuri, convergența punctuală și  sunt două exemple elocvente.

O modalitate de a asigura existența unor limite ale anumitor serii infinite este de a restricționa atenția asupra spațiilor în care orice șir Cauchy este convergent; un astfel de spațiu vectorial se numește complet. Aproximativ, un spațiu vectorial este complet cu condiția ca acesta să conțină toate limitele necesare. De exemplu, spațiul vectorial al polinoamelor definite pe intervalul unitate [0,1], echipat cu  nu este complet, deoarece orice funcție continuă pe [0,1] poate fi uniform aproximată printr-un șir de polinoame, de către . În schimb, spațiul tuturor funcțiilor continue pe [0,1] cu aceeași topologie este complet. O normă dă naștere unei topologii prin definirea noțiunii că un șir de vectori vn converge în v dacă și numai dacă

 

Spațiile Banach și Hilbert sunt spații vectoriale topologice complete ale căror topologii sunt date de o normă și, respectiv, de un produs scalar. Studiul lor—o piesă-cheie în —se axează pe spații vectoriale infinit-dimensionale, deoarece toate normele pe spații vectoriale topologice finit-dimensionale dau naștere la aceeași noțiune de convergență. Imaginea din dreapta arată echivalența 1-normei și ∞-normei pe R2: cum „bilele” unitate se includ una pe alta, un șir converge la zero într-una din norme, dacă și numai dacă el converge și în cealaltă. În cazul infinit-dimensional însă vor exista, în general, topologii neechivalente, care fac studiul spațiilor vectoriale topologice mai bogat decât cel al spațiilor vectoriale fără date suplimentare.

Din punct de vedere conceptual, toate noțiunile legate de spații vectoriale topologice ar trebui să se potrivească cu topologia. De exemplu, în loc de a considera toate aplicațiile liniare (denumite și ) , aplicațiile între spații vectoriale topologice sunt obligate să fie continue. În special, spațiul dual (topologic)  constă din funcționale continue  (sau ).  tratează separarea subspațiilor corespunzătoare spațiilor vectoriale topologice de funcționalele continue.

Spații Banach 
Spațiile Banach, prezentate de Stefan Banach, sunt spații vectoriale complete normate. Un prim exemplu este spațiul vectorial ℓ p constând din vectori infiniți cu elemente reale  ale căror p-norme  date de
  pentru p < ∞ și 
sunt finite. Topologiile pe spațiul infinit-dimensional ℓ p sunt neechivalente pentru p diferite. De exemplu, șirul de vectori , adică primele 2n cu valoarea 2−n, și următoarele 0, converge la vectorul zero pentru , dar nu și pentru :
 , dar 
Mai general decât șirurile de numere reale, funcțiile  sunt dotate cu o normă care înlocuiește suma de mai sus cu 
 

Spațiul funcțiilor integrabile pe un anumit domeniu Ω (de exemplu un interval) care satisfac , și sunt echipate cu această normă se numesc spații Lebesgue, notate . Aceste spații sunt complete. (Dacă se folosește integrala Riemann în schimb, spațiul nu este complet, ceea ce poate fi considerat a fi o justificare pentru teoria integrării Lebesgue.) Concret, aceasta înseamnă că pentru orice șir de funcții integrabile Lebesgue  , cu , care îndeplinesc condiția

 
există o funcție  aparținând spațiului vectorial , astfel încât
 

Impunerea condițiilor de mărginire nu numai pe funcție, ci și pe derivatele ei, duce la .

Spații Hilbert 

Spațiile prehilbertiene complete se numesc spații Hilbert, în cinstea lui David Hilbert.
În spațiul Hilbert , cu produsul scalar dat de

 
unde cu  se notează conjugata complexă a lui g(x), este un caz-cheie.

Prin definiție, într-un spațiu Hilbert, orice șir Cauchy converge la o limită. În schimb, este la fel de importantă și găsirea unui șir de funcții  cu proprietățile dorite care aproximează o anumită funcție-limită. Analiza timpurie, sub forma aproximării Taylor, a stabilit o aproximare a funcțiilor derivabile  cu polinoame. Conform , orice funcție continuă pe  poate fi aproximată oricât de îndeaproape se dorește cu un polinom. O tehnică similară de aproximare cu funcții trigonometrice se numește de obicei dezvoltare în serie Fourier, și este aplicată frecvent în inginerie, a se vedea mai jos. Mai general, și mai conceptual, teorema dă o simplă descriere a ce „funcții de bază”, sau, în spațiile Hilbert abstracte, a ce vectori din bază sunt suficienți pentru a genera un spațiu Hilbert H, în sensul că  intervalului generat de ele (de exemplu, combinațiile liniare finite și limitele acestora) este întregul spațiu. O astfel de mulțime de funcții se numește o bază a lui H, cardinalitatea sa fiind cunoscută ca dimensiune a spațiului Hilbert. Nu numai că teorema prezintă funcțiile corespunzătoare din bază ca fiind suficiente pentru scopul aproximării, ci, împreună cu procedeul Gram-Schmidt, ea permite și construirea unei . Astfel de baze ortogonale sunt generalizările la nivel de spațiu Hilbert ale axelor de coordonate în spațiul euclidian finit-dimensional.

Soluțiile a diverse ecuații diferențiale pot fi interpretate în termeni de spații Hilbert. De exemplu, numeroase domenii ale fizicii și ingineriei duc la astfel de ecuații și soluții cu anumite proprietăți fizice sunt frecvent utilizate ca funcții de bază, de multe ori ortogonale. Ca un exemplu din fizică, ecuația lui Schrödinger dependentă de timp din mecanica cuantică descrie schimbarea proprietăților fizice în timp printr-o ecuație cu derivate parțiale, ale cărei soluții sunt numite funcții de undă. Valorile definite pentru proprietățile fizice, cum ar fi energia, sau impulsul, corespund valorilor proprii ale unui  (liniar) și funcțiile de undă asociate se numesc stări proprii.  descompune un  liniar care acționează asupra funcțiilor în termenii acestor funcții proprii și valorilor lor proprii.

Algebre peste corpuri 

Spațiile vectoriale generale nu posedă o înmulțire între vectori. Un spațiu vectorial dotat un operator biliniar care definește înmulțirea a doi vectori este o algebră peste un corp. Multe algebre rezultă din funcții definite pe unele obiecte geometrice: întrucât funcțiile cu valori într-un anumit domeniu pot fi înmulțite punctual, aceste entități formează algebre. Teorema Stone–Weierstrass menționată mai sus, de exemplu, se bazează pe , care sunt atât spații Banach, cât și algebre.

 face mare uz de  într-una sau mai multe variabile, introduse mai sus. Înmulțirea lor este atât comutativă, cât și asociativă. Aceste inele și factorii lor formează baza geometriei algebrice, deoarece acestea sunt .

Un alt important exemplu sunt algebrele Lie, care nu sunt nici comutative și nici asociative, dar faptul că nu sunt limitate de constrângerile ( reprezintă produsul dintre  și ):
  (), și
  ().
Printre exemple se numără spațiul vectorial al matricelor n-pe-n, cu ,  a două matrice, și , dotat cu produsul vectorial.

 T(V) este un mod formal de a adăuga produsul la orice spațiu vectorial V pentru a obține o algebră. Ca spațiu vectorial, este generat de simboluri, numite simplu tensori
 , unde gradul  variază.
Înmulțirea este dată prin concatenarea acestor simboluri, care impune în plus legea distributivă față de adunare, și faptul că necesită ca înmulțirea cu un scalar să fie comutativă cu produsul tensorial ⊗, în același fel ca și produsul tensorial a două spații vectoriale introdus mai sus. În general, nu există relații între  și . Forțând două astfel de elemente să fie egale, se obțin , pe când punerea condiției ca  dă algebre exterioare.

Aplicații 
Spații vectoriale au multiple aplicații întrucât apar în multe situații, și anume oriunde sunt implicate funcții cu valori într-un anumit corp. Ele oferă un cadru de tratare a problemelor analitice și geometrice, sau sunt utilizate în transformata Fourier. Această listă nu este exhaustivă: există mult mai multe aplicații, de exemplu, în optimizare.  din teoria jocurilor, care afirmă existența unui câștig unic atunci când toți jucătorii joacă optim poate fi formulată și demonstrată folosind metode cu spații vectoriale. Teoria reprezentării reușește să transfere buna înțelegere a algebrei liniare și a spațiilor vectoriale în alte domenii matematice, cum ar fi teoria grupurilor.

Distribuții 
O distribuție (sau o funcție generalizată) este o aplicație liniară ce atribuie un număr fiecărei , de obicei, o  cu , într-un mod continuu: în terminologia de mai sus, spațiul distribuțiilor este dualul (continuu) al spațiului funcției „test”. Acesta din urmă este dotat cu o topologie care ia în considerare nu numai pe  în sine, ci și toate derivatele sale superioare. Un exemplu standard este rezultatul integrării unei funcții test  pe un domeniu Ω:
 
Atunci când  mulțimea formată dintr-un singur punct, aceasta se reduce la distribuția Dirac, notată cu δ, care asociază unei funcții test  valoarea sa în punctul . Distribuțiile sunt un instrument puternic de rezolvare a ecuațiilor diferențiale. Deoarece toate noțiunile analitice standard, cum ar fi derivatele, sunt liniare, ele se extind în mod natural în spațiul distribuțiilor. Prin urmare, ecuația în cauză poate fi transferată într-un spațiu de distribuție, care este mai mare decât spațiul funcțional de bază, astfel că sunt disponibile mai multe metode flexibile pentru rezolvarea ecuației. De exemplu,  și  sunt, de obicei, distribuții, și nu funcții propriu-zise, și pot fi apoi folosite pentru a găsi soluții ale ecuației cu condițiile la limită prescrise. Soluția găsită poate fi atunci, în unele cazuri, demonstrată a fi de fapt o funcție adevărată, și o soluție pentru ecuația originală (de exemplu, folosind , o consecință a ).

Analiza Fourier 

Dezvoltarea unei funcții periodice într-o sumă de funcții trigonometrice formează o serie Fourier, o tehnică des utilizată în fizică și inginerie. Spațiul vectorial este, de obicei, spațiul Hilbert L2(0, 2π), pentru care funcțiile  și  (cu m un număr întreg) formează o bază ortogonală. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcții  este
 

Coeficienții  și  se numesc coeficienții Fourier ai lui , și sunt calculați prin formulele
 , 
Din punct de vedere fizic, funcția este reprezentată ca o suprapunere de unde sinusoidale și coeficienții dau informații despre  al funcției. Se mai folosește frecvent și o formă cu numere complexe a seriei Fourier. Formulele concrete de mai sus sunt consecințele unei mai generale dualități matematice numită . Aplicată grupului R, ea dă transformata Fourier clasică; o aplicație în fizică sunt , în care grupul de bază este un spațiu vectorial finit-dimensional real înzestrat cu elementele suplimentare ale unei rețele ce codifică pozițiile atomilor în cristale.

Seriile Fourier sunt folosite și pentru a rezolva  în ecuațiile cu derivate parțiale. În 1822, Fourier a fost primul care a folosit această tehnică pentru a rezolva . O versiune discretă a seriilor Fourier se poate folosi în aplicații de eșantionare în care valoarea funcției este cunoscută doar într-un număr finit de puncte echidistante. În acest caz, seria Fourier este finită și valoarea sa este peste tot egală cu punctele eșantionate. Mulțimea coeficienților este cunoscută sub numele de  (DFT) a eșantionului dat. DFT este unul dintre instrumentele-cheie din , un domeniu printre ale cărui aplicații se numără radarul, , compresia imaginilor. Formatul de imagine JPEG este o aplicație strâns legată de transformarea cosinus discretă.

 este un algoritm rapid de calcul a transformatei Fourier discrete. Este folosit nu numai pentru calculul coeficienților Fourier ci, folosind , și pentru calculul convoluției a două șiruri finite. Acestea, la rândul lor, sunt aplicate în  și ca  pentru polinoame și numere întregi mari ().

Geometrie diferențială 

 la o suprafață într-un punct este, în mod natural, un spațiu vectorial a cărui origine este punctul de contact. Planul tangent este cea mai bună aproximare liniară, sau  a unei suprafețe într-un punct. Chiar și într-un spațiu euclidian tridimensional, nu există de obicei niciun mod natural de a prescrie o bază a planului tangent, și, deci, el este conceput ca un spațiu vectorial abstract, mai degrabă decât ca un spațiu cu coordonate reale. Spațiul tangent este generalizarea la  de dimensiuni superioare.

 sunt varietăți ale căror spații tangente sunt dotate cu un produs scalar adecvat. De aici rezultă tensorul Riemann (de curbură) care codifică toate curburile unei varietăți într-un singur obiect, care își găsește aplicații în teoria relativității generale, de exemplu, în care  descrie materia și conținutul de energie al spațiu-timpului. Spațiul tangent la un grup Lie poate fi dat în mod natural ca structura unei algebre Lie și poate fi folosit pentru a clasifica .

Generalizări

Fibrate vectoriale 

Un fibrat vectorial este o familie de spații vectoriale parametrizate continuu de un spațiu topologic . Mai precis, un fibrat vectorial peste  este un spațiu topologic  echipat cu o aplicație continuă

cu proprietatea că pentru orice  din ,   este un spațiu vectorial. Cazul  se numește o . Pentru orice spațiu vectorial , proiecția  transformă produsul  într-un . Fibratele vectoriale peste  sunt în mod necesar  un produs între  și un spațiu vectorial fixat : pentru fiecare  din , există o vecinătate  a lui  astfel încât restricția lui  la  este izomorfă cu fibratul trivial . În ciuda caracterului lor local și trivial, fibratele vectoriale pot (în funcție de forma spațiului-suport ) să fie „răsucite” la scară mare (de exemplu, fibratul nu trebuie să fie global izomorf cu fibratul trivial ). De exemplu, fâșia lui Möbius poate fi văzută ca un fibrat vectorial de drepte peste cercul S1 (identificând intervale deschide pe dreapta reală). Cu toate acestea, este diferit de cilindrul , deoarece acesta din urmă este , în timp ce fâșia lui Möbius, nu.

Proprietățile anumitor fibrate vectoriale oferă informații despre spațiul topologic suport al lor. De exemplu,  constă din mulțimea  parametrizată de punctele unei varietăți derivabile. Fibratul tangent la cercul  la nivel global este izomorf cu , deoarece nu există câmp vectorial global nenul pe . În contrast, conform , nu există niciun câmp vectorial (tangent) pe 2-sfera , care să fie peste tot nenul.  studiază clasele de izomorfism ale tuturor fibratelor vectoriale peste un spațiu topologic. În plus față de perspectivele topologice și geometrice mai profunde, conceptul are consecințe pur algebrice, cum ar fi clasificarea algebrelor cu diviziune reale și de dimensiuni finite: R, C, cuaternionii H și octonionii O.

 al unei varietăți diferențiabile constă, în fiecare punct al varietății, din dualul spațiului tangent, .  acelui fibrat sunt cunoscute sub numele de .

Module 
Modulele sunt pentru inele ce sunt spații vectoriale pentru corpuri: aceleași axiome, aplicate la un inel  în loc de un corp , dau module. Teoria modulelor, față de cea a spațiilor vectoriale, este complicată de prezența elementelor de inel care nu au . De exemplu, modulele nu au neapărat baze, după cum demonstrează Z-modulul (de exemplu, grupul abelian) ; acele module care au bază (între care se numără și spațiile vectoriale) sunt cunoscute sub numele de . Cu toate acestea, un spațiu vectorial poate fi compact definit ca un  peste un inel care este și corp, elementele lui fiind denumite vectori. Unii autori folosesc termenul de spațiu vectorial cu sensul de modul peste un inel cu operație de diviziune. Interpretarea algebro-geometrică a inelelor comutative prin intermediul  permite dezvoltarea de concepte cum ar fi , omologul algebric al fibratelor vectoriale.

Spații afine și proiective 

Ca definiție aproximativă, spațiile afine sunt spații vectoriale ale căror origini nu sunt specificate. Mai precis, un spațiu afin este o mulțime cu o acțiune de spațiu vectorial . În special, un spațiu vectorial este un spațiu afin peste sine, prin aplicația
.
Dacă  este un spațiu vectorial, atunci un subspațiu afin este o submulțime a lui  obținută prin translatarea unui subspatiu liniar  cu un vector  fixat; acest spațiu este notat cu  și este format din toți vectorii de forma  pentru  Un exemplu important este spațiul soluțiilor unui sistem de ecuații liniare neomogene

generalizând cazul omogen  de mai sus. Spațiul soluțiilor este subspațiul afin  , unde x este o soluție particulară a ecuației, și  este spațiul de soluții ale ecuației omogene (nucleul lui ).

Mulțimea subspațiilor monodimensionale ale unui spațiu vectorial finit-dimensional  este cunoscută ca spațiu proiectiv; acesta poate fi folosit pentru a formaliza ideea dreptelor paralele care se intersectează la infinit.  și  generalizează acest lucru prin parametrizarea subspațiilor vectoriale de dimensiune fixă  și, respectiv, a steagurilor subspațiilor.

Note de completare

Note bibliografice

Bibliografie

Algebră

Analiză

Referințe istorice 
 
 
 
 
 
 , retipărit:

Alte referințe

Legături externe 

  
  O prelegere despre concepte fundamentale referitoare la spații vectoriale (ținută la MIT)
  Simulator grafic pentru conceptele de generare, liniar-dependență, bază și dimensiune

Structuri algebrice
Concepte fizice fundamentale
Teoria grupurilor