Série des inverses des nombres premiers

En mathématiques, la série des inverses des nombres premiers est la série de terme général , où  désigne le -ème nombre premier. Le terme général de la série tend vers zéro, cependant, la suite (croissante) des sommes partielles n'est pas convergente pour autant : Leonhard Euler a démontré en 1737 que
,
ce qui renforce à la fois le théorème d'Euclide sur les nombres premiers et celui d'Oresme sur la série harmonique.

Démonstration par l'analyse 
La démonstration suivante est due à Paul Erdős.

Supposons par l'absurde que la série des inverses des nombres premiers soit convergente. 
Il existe donc un entier naturel  tel que :

Définissons  comme le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à  et qui ne sont pas divisibles par un nombre premier autre que les  premiers. Un tel entier peut être écrit sous la forme  où  est un entier sans facteur carré.

Puisque seulement les  premiers nombres premiers peuvent diviser , il y a au plus  choix pour . Conjointement avec le fait qu'il y a au plus  valeurs possibles pour , cela nous donne :

Le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à  et divisibles par au moins un nombre premier différent des  premiers est égal à .

Puisque le nombre d'entiers inférieurs à  et divisibles par  est au plus , nous obtenons :

ou encore 

Or cette inégalité est fausse pour  suffisamment grand, en particulier pour  supérieur ou égal à , d'où une contradiction. 

En affinant cette preuve par l'absurde, on peut même la transformer en une minoration explicite des sommes partielles de la série :
 donc
,
ce qui confirme une partie de l'intuition d'Euler :

Preuve par un produit eulérien 

Connaissant l'équivalent
 quand ,
il suffit de montrer la divergence de la série de terme général , ou encore de son exponentielle, le produit (a posteriori infini) des . Or

(pour les égalités (1) et (2), voir l'article « Produit eulérien »).

Prenant les logarithmes des équivalents, on en déduit à nouveau que . On pourrait penser que cela implique que  et donc que , mais il est en fait impossible de rendre rigoureuse cette démonstration du théorème des nombres premiers.

Développement asymptotique 
Soit  un réel positif. Le développement asymptotique à deux termes de la série des inverses des nombres premiers est:
 où  est la constante de Meissel-Mertens et  la constante d'Euler.

Sommes partielles 

Bien que les sommes partielles de la série des inverses des nombres premiers peuvent dépasser toute valeur entière, elles ne sont jamais égales à un entier.

Ceci peut se démontrer par récurrence .  La première somme partielle est égale à , qui est de la forme . Si la -ième somme partielle (pour ) est de la forme , alors la -ème somme est

Elle n'est donc pas entière, ce qui achève la récurrence..

On peut aussi réduire l'expression de la somme des  premiers inverses de nombres premiers (ou bien la somme des inverses de tout ensemble de nombres premiers) au même dénominateur, qui est le produit de tous ces nombres premiers. Chacun de ces nombres premiers divise tous les termes du numérateur sauf un et ne divise donc pas le numérateur lui-même ; mais chaque nombre premier divise le dénominateur. Ainsi la fraction est irréductible et n'est pas entière.

Annexes

Notes et références

Notes

Références

Articles connexes 
 Constante de Meissel-Mertens : intervient dans le développement asymptotique de la série divergente étudiée ici
 Théorème de Brun : la série des inverses des nombres premiers jumeaux converge

Lien externe 
 , sur le site  de Chris Caldwell

Inverses des nombres premiers
Théorie analytique des nombres