Tensor metryczny

Tensor metryczny – tensor drugiego rzędu (o dwóch indeksach), symetryczny, charakterystyczny dla danego układu współrzędnych. Jest podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej, znajduje zastosowanie np. w elektrodynamice, w ogólnej teorii względności i innych teoriach, korzystających z geometrii różniczkowej.

Tensor metryczny można zdefiniować na dwa sposoby:
 za pomocą iloczynu skalarnego,
 za pomocą elementu liniowego.

W artykule opisano oba sposoby.

Wektory bazowe 
Niech  oznaczają współrzędne (na ogół krzywoliniowe), zdefiniowane na rozmaitości  przy czym  jest wymiarem rozmaitości. Wektory styczne do linii współrzędnych oblicza się ze wzoru
 

gdzie  jest wektorem wodzącym punktu na rozmaitości. Wektory te definiują lokalną bazę, określoną dla przestrzeni stycznej  w punkcie  rozmaitości  (Odtąd będziemy skrótowo mówić „punkt ” zamiast „punkt o wektorze wodzącym ”. Zauważmy jednak, że wektor wodzący zależy od przyjętego początku układu współrzędnych, punkt zaś jest niezależnym od tego wyboru elementem rozmaitości.) Dla każdego punktu rozmaitości da się określić lokalną, unikalną bazę.

Tensor metryczny 
Niech dana będzie n-wymiarowa rozmaitość różniczkowa  ze zdefiniowanym w niej iloczynem skalarnym. Iloczyn skalarny jest symetrycznym, dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym  gdzie  lub  (ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych).

Tensor metryczny rozmaitości definiuje się poprzez iloczyny skalarne wektorów bazy układu współrzędnych (w ogólności współrzędnych krzywoliniowych), tj.:
 

Tensor ten ma więc  elementów. Jest to postać kowariantna (o dolnych indeksach) tensora.

Postać kontrawariantną (o górnych indeksach) otrzymuje się jako macierz odwrotną z macierzy  czyli:
 

Współrzędne  tensora metrycznego są więc równe iloczynom skalarnym wektorów bazowych  lokalnego układu współrzędnych.

Obniżanie/podnoszenie wskaźników 

Aby obniżyć wskaźniki dowolnego wektora trzeba pomnożyć go przez tensor metryczny 
 

– przy czym sumuje się po powtarzającym się indeksie 

Aby podwyższyć wskaźniki, trzeba wykorzystać tensor

Iloczyn skalarny dowolnych wektorów 
Iloczyn skalarny dowolnych dwóch wektorów wyraża się przez tensor metryczny i współrzędne wektorów w jeden z trzech równoważnych sposobów:
 
 
 

gdzie:
  – tensor metryczny,
  – współrzędne kontrawariantne (o górnych indeksach) wektorów 
  – współrzędne kowariantne (o dolnych indeksach) wektorów 

Dla przestrzeni euklidesowej mamy:   Wtedy współrzędne kowariantne równe są kontrawariantnym oraz
 

Dowód:
  – wartość iloczynu skalarnego wektorów bazy 
   – zapis wektorów  w bazie 

Stąd otrzymamy:
 

Stosując konwencję sumacyjną oraz zasady podwyższania/obniżania wskaźników, otrzymamy:
  c.n.d.

Definicja tensora metrycznego przez element liniowy 
(1) Niech będą dane dwa układy współrzędnych w n-wymiarowej rozmaitości różniczkowej:
 kartezjański 
 krzywoliniowy 

(2) Definiujmy element liniowy jako
 

(3) Można przejść od układu współrzędnych kartezjańskich do układu współrzędnych krzywoliniowych za pomocą transformacji:
 

gdzie  – funkcje wyrażające współrzędne kartezjańskie przez krzywoliniowe.

(4) Jeżeli każda funkcja  ma ciągłe pochodne względem wszystkich swoich argumentów, to ze wzoru na różniczkę zupełną otrzymamy
 

(5) Wstawiając te różniczki do wzoru na element liniowy otrzymamy
 

(6) Tensorem metrycznym nazywa się występujące w powyższym wzorze wielkości
 

(7) Wzór na element liniowy we współrzędnych krzywoliniowych przyjmie postać (przy czym zmieniono nazwy indeksów sumacyjnych)
 

(8) Stosując konwencję sumacyjną Einsteina, otrzymuje się uproszczony zapis
 

(9) Uwaga:

Powyżej wyprowadzony wzór na tensor metryczny
 

jest równoważny definicji tensora metrycznego za pomocą iloczynów skalarnych wektorów bazy
 

Dowód:

Korzystając z definicji wektorów  i rozkładając je w bazie kartezjańskiej mamy
 
 

gdzie  – wersory układu kartezjańskiego, takie że  Mnożąc powyższe wyrażenia przez siebie otrzyma się
 

przy czym w ostatnim wzorze wykorzystano ortogonalność bazy kartezjańskiej, cnd.

Iloczyn skalarny wektora  
Tensor metryczny pozwala obliczyć iloczyn skalarny dowolnych wektorów. W szczególności obliczymy iloczyn skalarny wektora nieskończenie małego przesunięcia. Niech:
  – wektor bazy układu współrzędnych w kierunku współrzędnej ,
  – wektor nieskończenie małego przesunięcia w przestrzeni zapisany w tej bazie.

Ponieważ  to kwadrat długości wektora  wynosi:
 
 

Korzystając z konwencji sumacyjnej Einsteina mamy ostatecznie:

Własności tensora metrycznego

Symetryczność 
(1) Tensor metryczny definiuje się tak, że jest on zawsze symetryczny, tj.
 

Jest to możliwe, gdyż w wyrażeniu  dla każdej pary wskaźników  mamy sumę dwóch wyrazów:
  = 

Gdyby  to można dokonać symetryzacji przyjmując nowe wartości 

(2) Ponieważ tensor o górnych wskaźnikach otrzymuje się dokonując obliczenia macierzy odwrotnej do macierzy  to implikuje to natychmiast, że tensor  jest symetryczny, tj.

Symetria góra-dół 
Z tensora  można otrzymać tensory  oraz  odpowiednio przez podwyższenie pierwszego lub drugiego wskaźnika:
 
 

Ponieważ tensory  oraz  są symetryczne, to  i z powyższych dwóch wzorów otrzymamy:
 

co oznacza, że istnieje symetria związaną z zamianą wskaźników góra-dół na dół-góra tensora metrycznego.

„Diagonalność” i współczynniki Lamego 
Jeżeli układ współrzędnych jest ortogonalny, to tensor metryczny dla tego układu jest diagonalny. Zdefiniować wtedy można współczynniki Lamego:
  (nie ma sumowania).

Przykłady tensorów metrycznych

Układ kartezjański 3D 
Element liniowy 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach, translacjach, odbiciach układu współrzędnych, tj. odległości punktów  i  obliczone w danym układzie i po dokonaniu transformacji
 

oraz
 

będą identyczne. Z tego względu  stanowi niezmiennik geometrii. Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:
 

Można pokazać, że dowolna transformacja z wyżej wymienionych, np. obrót układu współrzędnych, nie zmienia tensora metrycznego.

Układ kartezjański n-wymiarowy 
Element liniowy n-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach i translacjach układu współrzędnych, tj.
 

Stąd tensor metryczny ma postać diagonalną:
 

gdzie:
  – delta Kroneckera.

Z postaci tego tensora wynika też, że w n-wymiarowym układzie kartezjańskim współrzędne kontra- i kowariantne są takie same.

Czasoprzestrzeń płaska (4D) 
W czterowymiarowej czasoprzestrzeni (opisywanej przez szczególną teorię względności) interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. Niezmienniczość ta jest konsekwencją postulatu Einsteina o identyczności prędkości światła we wszystkich układach nieinercjalnych i stanowi punkt wyjścia teorii względności: mierząc odległości czasowe i przestrzenne impulsu światła, rozchodzącego się między danymi dwoma obiektami w danym układzie i układzie poruszającym się otrzymamy identyczne wartości, tj. jeśli w dwóch poruszających się względem siebie układach obliczy się interwały
 
 

to wyniki te będą identyczne, tj.
 

mimo że wielkości  oraz  w ogólności będą się różnić. Fakt, iż powyższa wielkość jest niezmiennikiem implikuje, że geometria rzeczywistego świata fizycznego jest geometrią nieeuklidesową: czas i przestrzeń wiążą się ze sobą nierozerwalnie w czasoprzestrzeń, wielkość  stanowi element liniowy geometrii czasoprzestrzeni, niezmienniczy względem transformacji Lorentza.

Wektor położenia punktu w czasoprzestrzeni – to 4-wektor, mający współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne. W mechanice relatywistycznej przyjęło się oznaczać 4-wektory i tensory za pomocą indeksów greckich, np. 

Stosując tę konwencję przyjmuje się następujące indeksowanie współrzędnych:  Wtedy niezmiennik przyjmie postać:
 

Z postaci niezmiennika  natychmiast wynika postać tensora metrycznego:
 

Tensor ten implikuje, że 4-wymiarowa czasoprzestrzeń (przestrzeń Minkowskiego) jest przestrzenią płaską (niezakrzywioną). Nie jest to jednak przestrzeń euklidesową, ze względu na przeciwne znaki przy trzech współrzędnych (przestrzennych) w relacji do współrzędnej czasowej. Przestrzeń taką nazywa przestrzenią pseudoeuklidesową.

Czasoprzestrzeń zakrzywiona (4D) 
W ogólnej teorii względności rozważa się inne tensory metryczne opisujące zakrzywienie przestrzeni, np. dla metryki Schwarzschilda we współrzędnych  tensor ten ma postać:

Współrzędne sferyczne (3D) 
Współrzędne sferyczne  są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą związków:
 

Aby obliczyć tensor metryczny kowariantny w układzie współrzędnych sferycznych można

1) albo obliczyć najpierw bazę wektorów stycznych  do krzywych współrzędnych, a następnie obliczyć ich iloczyny skalarne

2) albo wykorzystać bezpośrednio wzór  przyjmując
 
 oraz
 

Z obliczeń otrzyma się:
 

Tensor metryczny kontrawariantny otrzyma się obliczając macierz odwrotną do macierzy  (co jest trywialne, gdyż  jest macierzą diagonalną – wystarczy odwrócić wyrazy na diagonali):

Zobacz też 

 sygnatura metryki
 symbole Christoffela
 teoria Kaluzy-Kleina

Przypisy

Bibliografia 
 
 
 
 Grzegorz Białkowski, Mechanika klasyczna, Warszawa: PWN, 1975, s. 14–26.

Rodzaje tensorów
Teoria względności