Teoria kategorii

Teoria kategorii – dział matematyki zapoczątkowany w 1945 przez polskiego matematyka Samuela Eilenberga i Amerykanina Saundersa Mac Lane’a. Pewne idee teorii kategorii dojrzewały wcześniej u różnych autorów, głównie w kontekście topologii algebraicznej, pojawiło się m.in. oznaczanie funkcji symbolem  Dużą rolę w tych zmianach odegrał polski topolog Witold Hurewicz.

Na teorię kategorii można patrzeć rozmaicie. Można uważać ją za wyraźnie określoną teorię matematyczną, mającą swoje pojęcia pierwotne, aksjomaty, definicje, twierdzenia, dowody i bardzo ważne zastosowania w wielu innych działach matematyki, zwłaszcza w algebrze homologicznej, topologii algebraicznej i geometrii algebraicznej, a także w teorii języków programowania.

Można też podejść do teorii kategorii inaczej: jako do pewnej ogólnej metody ujmowania teorii matematycznych, mającej wiele cech algebry, unifikującej – nieraz w nieoczekiwany sposób – pojęcia z różnych dziedzin, konkurującej z podejściem mnogościowym.

Punktem wyjścia teorii mnogości są pojęcia: element, zbiór i przynależenie  Punktem zaś wyjścia teorii kategorii są wyidealizowane funkcje (odwzorowania), zwane morfizmami lub strzałkami, ich składanie i odwracanie, a same elementy (argumenty bądź wartości funkcji) odgrywają rolę drugorzędną (lub nieraz wcale ich nie ma). Jedną z cech kategoryjnego podejścia jest specyficzne stosowanie diagramów przemiennych.

Teoria kategorii może też służyć jako podstawa, w której ramach da się zrekonstruować teorię mnogości i tym samym też niemal całą matematykę; ponadto można użyć środków teorii kategorii do badania logicznych aspektów pewnych teorii matematycznych i informatyki, zarówno z punktu widzenia logiki klasycznej, jak i intuicjonistycznej.

Na przestrzeni lat język i sposób rozumowania typowy dla teorii kategorii przeniknęły do wielu innych działów matematyki.

Geneza pojęcia kategorii 
Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane swą pionierską pracę z 1945 roku zaczęli od postawienia następującego problemu. Niech dana będzie (aksjomatycznie określona) n-wymiarowa przestrzeń liniowa  nad ciałem  i jej przestrzeń sprzężona  (określona jako przestrzeń wszystkich form liniowych ). Przestrzeń  jest też n-wymiarowa, zatem musi być ona izomorficzna z  Jednakże niemożliwe jest wskazanie izomorfizmu bez dokonania arbitralnego wyboru: każdy izomorfizm  zależy od wybrania bazy w przestrzeni . Wiadomo natomiast, że przyporządkowując każdemu wektorowi  przestrzeni  funkcjonał  na  tj. element przestrzeni  określony wzorem  dla  otrzymuje się nieobarczony uznaniowym wyborem bazy, kanoniczny izomorfizm liniowy  Podobnie wśród wielu innych znanych izomorfizmów w matematyce niektóre z nich narzucają się jako kanoniczne, naturalne, czy uniwersalne. Eilenberg i Mac Lane postawili pytanie: czy można podać ścisłe, matematyczne określenie owego intuicyjnego pojęcia naturalności izomorfizmu? Aby to zrealizować, zdefiniowali najpierw pojęcie kategorii, następnie pojęcie funktora z jednej kategorii do drugiej i podali definicję naturalnej transformacji funktorów i naturalnej równoważności funktorów.

W teorii kategorii można wyróżnić dziś jej część ogólną, w której fundamentalne jest pojęcie funktora sprzężonego, oraz rozmaite teorie dotyczące kategorii bardziej szczegółowych, z których najważniejsze są kategorie abelowe, ściśle powiązane z algebrą homologiczną.

Wprowadzenie w pojęcie kategorii

Kategorie przekształceń 
Pojęcie kategorii jest uogólnieniem pojęcia grupy, w szczególności grupy przekształceń. Grupą przekształceń nazywamy dowolny zbiór  przekształceń spełniających następujące warunki:

 Wszystkie przekształcenia są zdefiniowane na pewnym ustalonym zbiorze  i ich wartości też należą do 

 Jeśli przekształcenia  i  należą do  to ich złożenie  określone jako  też należy do 

 Przekształcenie tożsamościowe  z  do  należy do 

 Każde przekształcenie  należące do  jest wzajemnie jednoznaczne, tj. różnowartościowe i na  a ponadto przekształcenie odwrotne  też należy do 

Jeżeli odrzucimy warunek  to otrzymamy pojęcie półgrupy transformacji z tożsamością.

Jeżeli ponadto odrzucimy warunek  zastępując przy tym warunki  i  warunkami

 Jeśli przekształcenia  i  należą do  to ich złożenie  też należy do 

 Jeśli przekształcenie  należy do  to przekształcenia tożsamościowe  na  oraz  na  też należą do 

to otrzymamy pojęcie kategorii przekształceń. Przekształcenia należące do kategorii  nazywamy morfizmami. Jeśli  jest morfizmem, to  nazywamy obiektami, przy czym  nazywa się dziedziną lub początkiem tego morfizmu, a  jego kodziedziną lub końcem. Obiektami mogą być zbiory, grupy lub inne twory matematyczne.

Aksjomatyczne ujęcie kategorii 

Ogólna definicja kategorii  jest aksjomatyczna, z pojęciami pierwotnymi: obiekt, morfizm, dziedzina morfizmu, kodziedzina morfizmu, składanie morfizmów. Zakłada się, że każdy morfizm  ma dziedzinę  i kodziedzinę  co zapisujemy w postaci  Złożenie takiego  z morfizmem  istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy  Przyjmuje się też odpowiednio sformułowany warunek łączności tego składania. Przy tym ujęciu każdą półgrupę  z jednością (czyli monoid) można traktować jako kategorię o jednym obiekcie. Klasę obiektów kategorii  oznaczamy symbolem 

Można też sformułować definicję kategorii inaczej, bez pojęcia obiektu, w sposób naśladujący definicję grupy, przyjmując następujące pojęcia pierwotne: 1)  jest morfizmem, 2) złożenie  istnieje i jest równe  Definiuje się morfizmy tożsamościowe jako takie morfizmy  że jeśli złożenie  istnieje, to  i jeśli złożenie  istnieje, to 

Jako aksjomaty przyjmuje się prawo łączności (dostosowane do sytuacji, w której pewne morfizmy nie mają złożenia) oraz istnienie morfizmów tożsamościowych.
Owe tożsamości mogą zastępczo pełnić rolę obiektów.

W języku złożeń (bez odwoływania się do argumentów i wartości funkcji) definiuje się w teorii kategorii podstawowe pojęcia, takie jak
 izomorfizm – jest to dowolny morfizm  dla którego istnieje morfizm odwrotny  tzn. taki, że oba złożenia  i  są odpowiednimi morfizmami tożsamościowymi,
 monomorfizm – jest to dowolny morfizm  mający lewostronną własność skracania: jeśli  to  (w wielu przykładach kategorii są to iniekcje, funkcje różnowartościowe),
 epimorfizm – jest to dowolny morfizm  mający prawostronną własność skracania: jeśli  to  (w wielu przykładach kategorii są to suriekcje, czyli funkcje „na”, jakkolwiek gdy morfizmami są funkcje ciągłe, to wystarczy, jeśli obrazem funkcji  jest zbiór gęsty),
 obiekt początkowy – obiekt  o tej własności, że dla każdego obiektu  istnieje dokładnie jeden morfizm 
 obiekt końcowy – obiekt  o tej własności, że dla każdego obiektu  istnieje dokładnie jeden morfizm  (w wielu przykładach kategorii jest to obiekt jednoelementowy),
 obiekt zerowy – to obiekt, który jest jednocześnie początkowy i końcowy.

Obiekty początkowy i końcowy danej kategorii, o ile tylko istnieją, są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.

Kategoria dualna i zasada dualności 

Każda definicja, twierdzenie i dowód w teorii kategorii ma swój odpowiednik dualny, otrzymany przez zamianę każdego wyrażenia typu  na  oraz zamianę w każdym morfizmie dziedziny na kodziedzinę i kodziedziny na dziedzinę, tzn. zastąpienie każdego  przez 

Do każdego pojęcia teorii kategorii można w ten sposób utworzyć pojęcie dualne. Pojęciem dualnym do monomorfizmu jest epimorfizm i odwrotnie; pojęciem dualnym do izomorfizmu jest izomorfizm. Pojęciem dualnym do obiektu początkowego jest obiekt końcowy. Jeśli pojęcie dualne nie ma nazwy, tworzy się ją, dodając przedrostek ko-.

Ponieważ aksjomaty teorii kategorii są niezmiennicze ze względu na takie zamiany, jeżeli jakieś zdanie wyrażone w terminach morfizmów i ich złożeń jest twierdzeniem teorii kategorii, to zdanie dualne, otrzymane przez opisane tu zamiany, jest też twierdzeniem, zwanym twierdzeniem dualnym.

Jeśli  jest dowolną kategorią, to jej kategorią dualną (ang. opposite category) jest kategoria  mająca te same obiekty, a jej morfizmami są morfizmy z  z formalnie zamienionymi dziedzinami z kodziedzinami i odwróconym kierunkiem wszystkich strzałek. W ten sposób morfizm  w  jest dualnym odpowiednikiem morfizmu  kategorii

Przykłady kategorii 
Najprostszym, bardzo ważnym przykładem kategorii przekształceń jest kategoria Set. Jej obiektami są dowolne zbiory, a morfizmami dowolne funkcje  Ściślej mówiąc, morfizmem tej kategorii nie jest sama funkcja  interpretowana jako pewien zbiór par  lecz trójka  Jeśli np.  oznacza funkcję trygonometryczną zdefiniowaną na zbiorze liczb rzeczywistych  to  i  są dwoma różnymi morfizmami, bo mają różne kodziedziny. W przeciwieństwie do analizy matematycznej, przyjmuje się, że złożenie morfizmów typu  i  nie jest wykonalne; konieczne jest uwzględnienie dodatkowego pośredniego włożenia tożsamościowego  Izomorfizmami w Set są bijekcje. Obiektem początkowym w Set jest zbiór pusty  bowiem dla dowolnego zbioru  istnieje tylko jedna funkcja  mianowicie funkcja pusta.

Innym przykładem jest kategoria Grp (oznaczana też Gr), której obiektami są grupy, a morfizmami – homomorfizmy grup. Jej podkategorią jest kategoria Ab grup abelowych i homomorfizmów. Mówimy, że jest to podkategoria pełna, bo ogranicza się tu jedynie klasę obiektów do grup przemiennych, a morfizmy pomiędzy obiektami tej podkategorii pozostają nadal te same. Izomorfizmami w Grp są izomorfizmy grup.

W podobny sposób definiuje się wiele innych kategorii, przyjmując za obiekty zbiory wyposażone w jakieś struktury (algebraiczne, topologiczne, porządkowe). Morfizmami są wówczas jakieś odpowiednio zdefiniowane przekształcenia, związane z tymi strukturami.

Jedną z takich kategorii jest Metr, której obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami są funkcje  spełniające warunek Lipschitza:
 

Jej podkategorią jest kategoria Metr1, której obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami są odwzorowania  nierozszerzające, spełniające warunek Lipschitza ze stałą  tzn.  Nie jest to podkategoria pełna, bowiem – przeciwnie – obiekty są nadal te same, natomiast klasa morfizmów jest zawężona. Izomorfizmami w Metr1 są izometrie „na”, a izomorfizmami w Metr są bijekcje  takie, że  i  spełniają warunek Lipschitza. Można też rozpatrywać inne kategorie o tej samej klasie obiektów, np. kategorię przestrzeni metrycznych i odwzorowań ciągłych oraz kategorię przestrzeni metrycznych i odwzorowań jednostajnie ciągłych.

Pewne kategorie mają zastosowanie w teorii deterministycznych automatów skończonych, wśród nich kategoria, której obiektami są automaty Mealy’ego zdefiniowane jako ciągi  gdzie:  to zbiór sygnałów wejściowych,  – zbiór stanów wewnętrznych,  – zbiór sygnałów wyjściowych,  – funkcja przejść,  – funkcja wyjść,  – element zbioru  zwany stanem początkowym. Morfizmem z automatu  do automatu  nazywa się trójka funkcji    spełniająca pewne naturalne warunki.

Funktory 

Funktor to odwzorowanie  z jednej kategorii  w drugą  pełniące jakby rolę homomorfizmu wyższego rzędu. Ważne jest rozróżnienie dwóch typów funktorów: kowariantnych i kontrawariantnych.

W obu przypadkach każdemu obiektowi  kategorii  przyporządkowuje się obiekt  kategorii  (jest to przyporządkowanie obiektowe funktora), a każdemu morfizmowi  pierwszej kategorii przyporządkowuje się morfizm  drugiej kategorii (jest to przyporządkowanie morfizmowe funktora). Ponadto funktory obu typów zachowują złożenie morfizmów, a morfizmy tożsamościowe pierwszej kategorii przyporządkowują odpowiednim morfizmom drugiej, a mianowicie 

Funktor kowariantny zachowuje kierunek strzałek. Taki funktor  każdemu morfizmowi  kategorii  przyporządkowuje morfizm  kategorii  zachowuje też złożenie dowolnych morfizmów   mianowicie
 

Funktor kontrawariantny zamienia kierunki strzałek na przeciwne. Taki funktor  każdemu morfizmowi  kategorii  przyporządkowuje morfizm  kategorii  zachowuje też złożenie dowolnych morfizmów   odwracając kolejność składania:

Przykłady funktorów 
Dla dowolnego zbioru  oznaczmy przez  jego zbiór potęgowy (tj. zbiór wszystkich podzbiorów zbioru ) oraz oznaczmy:
   i  
Jeżeli  jest dowolnym morfizmem w Set, oznaczmy przez
  

przekształcenia określone następująco: jeśli  (tzn. ), to  przyporządkowuje zbiorowi  jego obraz  należący do Jeśli  to  przyporządkowuje zbiorowi  jego przeciwobraz  należący do  Określa to dwa funktory: funktor kowariantny
  oraz funktor kontrawariantny 

Jeśli  jest przestrzenią metryczną, niech  oznacza jej uzupełnienie (kanoniczne zanurzenie w przestrzeń przestrzeń zupełną, skonstruowane np. przez klasy równoważności ciągów Cauchy’ego). Przyporządkowując każdemu morfizmowi  kategorii Metr jego kanoniczne rozszerzenie  do uzupełnień przestrzeni  dostajemy funktor kowariantny z Metr do jej podkategorii pełnej przestrzeni zupełnych.

Niech Vect oznacza kategorię przestrzeni wektorowych nad ciałem  rozważanych powyżej. Jeżeli przestrzeni  przyporządkujemy jej przestrzeń sprzężoną  to prowadzi to do funktora kontrawariantnego z Vect do Vect, który każdemu operatorowi liniowemu  przyporządkuje operator do niego sprzężony  określony wzorem  dla  Wówczas w szczególności jeśli  i  są operatorami liniowymi, to 

Jeżeli przestrzeni  przyporządkujemy jej drugą przestrzeń sprzężoną  a operatorowi liniowemu  przyporządkujemy operator drugi sprzężony  otrzymujemy funktor kowariantny.

Niech Comp oznacza kategorię przestrzeni zwartych (Hausdorffa) i przekształceń ciągłych. Jeśli  jest obiektem tej kategorii, niech  oznacza przestrzeń Banacha wszystkich skalarnych (tj. o wartościach w  bądź w ) funkcji ciągłych określonych na  z działaniami określonymi punktowo i normą daną wzorem  Niech Ban1 oznacza kategorię przestrzeni Banacha i operatorów liniowych  o normie  Jeśli  jest morfizmem w Comp, to przez  oznaczmy operator liniowy z  do  przyporządkowujący funkcji  złożenie  należące do  Wyznacza to funktor kontrawariantny z Comp do Ban1.

Funktor dualizacji z danej kategorii  do jej kategorii dualnej  (lub odwrotnie) przyporządkowuje każdemu obiektowi A ten sam obiekt, a każdemu morfizmowi jego dualny odpowiednik. Pozwala to na inne wysłowienie definicji funktora kontrawariantnego. Można mianowicie przyjąć, że funktor kontrawariantny z kategorii  do  to funktor kowariantny z kategorii  do . W ogólnej teorii kategorii upraszcza to wysłowienie wielu definicji i twierdzeń, a także unifikuje dowody. Jednakże stosując funktory do konkretnych przykładów kategorii w algebrze, topologii czy analizie funkcjonalnej, poręczniej jest na ogół mówić o funktorach kontrawariantnych niż rozpatrywać sztuczne twory takie jak funkcja, której dziedzinę zaczynamy nazywać kodziedziną i odwrotnie (np. w kategorii Setop funkcja trygonometryczna  wyznacza morfizm z  do ).

Program Eilenberga-Mac Lane’a 
Eilenberg i Mac Lane powołali się na Program erlangeński Felixa Kleina: przy klasyfikowaniu dziedzin geometrii i własności geometrycznych figur podstawową rolę powinno odgrywać badanie rozmaitych grup przekształceń i tych własności, które nie ulegają zmianie przy dowolnym przekształceniu z danej grupy. Są to niezmienniki danej grupy przekształceń (takich jak podobieństwo, izometria, przekształcenie liniowe, przekształcenie afiniczne itp.).

W programie Eilenberga-Mac Lane’a dawna rola grup przekształceń zostaje rozszerzona na rozmaite kategorie. Postuluje się, że jeśli definiujemy obiekty jakiejś teorii matematycznej, to powinniśmy zastanowić się, czy nie ujawniają się tam też związane z tym morfizmy i funktory. Okazuje się, że w wielu sytuacjach otwiera to nowe perspektywy poznawcze, wzbogaca rozumienie badanych obiektów.

W szczególności jeśli to zalecenie zastosować do funktorów, otrzymujemy kategorię wyższego rzędu: jej obiektami są funktory, a morfizmami są transformacje naturalne funktorów.

Zbiory częściowo uporządkowane jako kategorie 
Niech  oznacza pewien zbiór częściowo uporządkowany przez relację  przy czym  wtedy i tylko wtedy, gdy  oraz  Wówczas tworzymy kategorię  której obiektami są elementy zbioru  Jeśli   oraz  to przyjmujemy, że jest dokładnie jeden morfizm  z  do ; jeśli ta relacja nie zachodzi, to przyjmujemy, że nie ma żadnego morfizmu z  do  Jeśli  i  to  zatem jedyny morfizm  jest złożeniem morfizmów  i  Ponieważ  więc  jest tożsamością na obiekcie  Tak więc przechodniość tej relacji odpowiada składaniu morfizmów, a zwrotność relacji  odpowiada morfizmowi tożsamościowemu.

Obiektem początkowym w  jest element najmniejszy (jeśli istnieje w ), a obiektem końcowym jest element największy. Kategorią dualną do  jest kategoria  powstała z tego samego zbioru  po zamianie porządku na odwrotny 

Jeżeli zbiory  i  są częściowo uporządkowane, to funkcja  jest przyporządkowaniem obiektowym funktora kowariantnego z kategorii  do kategorii  wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja  jest monotoniczna, tzn. z nierówności  wynika

Trudności związane z antynomiami teorii mnogości 
Eilenberg i Mac Lane rozważali trudność związaną z definicją pojęcia kategorii, polegającą na tym, że zdania typu „kategoria wszystkich zbiorów” czy „kategoria wszystkich grup”, rozpatrywane w naiwnej teorii zbiorów prowadzą do znanej antynomii zbioru wszystkich zbiorów. Przedstawili kilka opcji ujmowania teorii kategorii w ramach podstaw matematyki (i również dodatkową opcję, przyjętą przez wielu matematyków – rozwijanie teorii bez zwracania uwagi na trudności logiczne). Jedną z opcji, początkowo przeważającą, było oparcie się na systemie NBG von Neumanna-Bernaysa-Gödla aksjomatów teorii mnogości.

W systemie NBG wyróżnia się zbiory i klasy. Każdy zbiór jest klasą, ale nie na odwrót. Klasa może być elementem innej klasy wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem. Klasa, która nie jest zbiorem, nazywa się klasą właściwą. W tym systemie można mówić np. klasa (właściwa) wszystkich zbiorów, klasa wszystkich grup. Jeżeli klasa obiektów i klasa morfizmów kategorii  są zbiorami, to mówimy wówczas, że jest to kategoria mała, np. kategoria  wyznaczona przez zbiór częściowo uporządkowany  z relacją  jest mała.

System NBG wystarcza do takich kategorii, jak te omawiane powyżej. Jednakże rozwój teorii prowadził do definiowania nowych pojęć, wymagających coraz wyższych pięter w hierarchiach teorii mnogości. Potrzebne były systemy teorii mnogości z silniejszymi aksjomatami niż zwykły ZF lub ZFC. Najczęściej wykorzystuje się uniwersa Grothendiecka. Przez uniwersum rozumie się zbiór  zamknięty ze względu na podstawowe operacje mnogościowe, zawierający zbiór  liczb naturalnych i taki że  pociąga  oraz jeżeli  jest suriekcją,  i  to  Gdy takie  jest wybrane i ustalone, to każdy element  nazywa się małym zbiorem, a Grp jest kategorią małych grup. Istnienie uniwersum Grothendiecka jest równoważne istnieniu dużych liczb kardynalnych, silnie nieosiągalnych.

Kategorie Set, Grp, Metr, Comp, Ban1 i podobne nie są małe, ale mają tę własność, że dla dowolnych jej obiektów  klasa morfizmów z  do  jest zbiorem.

Użycie języka diagramów przemiennych 
Ważną cechą rozumowań kategoryjnych, które można stosować również bez abstrakcyjnego pojęcia kategorii, jest wykorzystywanie diagramów przemiennych. Mianowicie jeżeli rozpatrujemy graf skierowany i kategorię  to możemy utworzyć diagram, przypisując każdemu wierzchołkowi grafu jakiś obiekt  tej kategorii, a każdemu łukowi wiodącemu od wierzchołka  do  przypisując morfizm  Taki diagram nazywamy przemiennym, jeżeli dla każdej pary wierzchołków  i dla każdych dwóch ścieżek na diagramie wiodących z  do  odpowiednie dwa złożenia kolejnych morfizmów są równe. Definicja ta obejmuje też przypadek  wówczas złożenie morfizmów wzdłuż pętli z  do  ma być tożsamością. Nieraz się też mówi, że taki diagram komutuje. Warto przy tym odróżniać schemat diagramowy, składający się z samych wierzchołków i skierowanych łuków, od diagramu, w którym tym wierzchołkom i łukom przypisane są jakieś obiekty i morfizmy.

Zbiory częściowo uporządkowane jako schematy diagramowe 
Jeżeli  jest kategorią utworzoną ze zbioru  z relacją  to każdy funktor kowariantny z tej kategorii do danej kategorii  może być interpretowany jako diagram przemienny. Kategoria  pełni tu rolę schematu diagramowego, a diagramem jest ów funktor.

Szczególnie przydatne są zbiory reprezentujące liczby naturalne skonstruowane metodą von Neumanna. Są to mianowicie zbiory
  
  
  

ω

Zbiór  z naturalnym uporządkowaniem stanowi kategorię o trzech obiektach  i trzech morfizmach spełniających warunek  co można przedstawić na diagramie trzech strzałek tworzących trójkąt.

Zbiór ω liczb naturalnych prowadzi do schematu diagramowego  w którym oprócz widocznych strzałek są też ich złożenia  dla  oraz tożsamości 

Iloczyn kartezjański  ma cztery elementy, które można interpretować jako cztery punkty w układzie współrzędnych. Wprowadzając naturalny częściowy porządek  gdy
 i  dostajemy

 oraz
 W ten sposób  staje się schematem diagramowym dla najczęstszej formy diagramu o kształcie kwadratu. Jeżeli mamy morfizmy     to przemienność tego diagramu znaczy, że 

Zwyczajowo diagramy rysuje się z góry w dół, tak jak przy pisaniu na kartce. Obiekty  i morfizmy   na sąsiednim rysunku można interpretować jako wartości pewnego funktora  z kategorii  Z definicji funktora wynika, że musi być spełniony warunek  toteż na diagramie można dorysować strzałkę przekątniową

Zagadnienia jednoznacznej faktoryzacji 
Szczególnie ważnym typem rozumowań diagramowych są rozmaite zagadnienia związane z bardzo ogólnym pojęciem jednoznacznej faktoryzacji, które objaśnimy na przykładach. Postępowanie tu opisane jest z jednej strony wzorcem wielu ważnych definicji ogólnej teorii kategorii, a z drugiej bywa stosowane w wielu dziedzinach matematyki bez odwoływania się do pojęcia kategorii.

Produkty i koprodukty 
Iloczynem kartezjańskim zbiorów  i  nazywamy zbiór  złożony ze wszystkich par uporządkowanych  takich, że  i  Jest to konstrukcja obiektu  wyrażona w języku teorii mnogości.

Kategoryjnym odpowiednikiem tego pojęcia jest ogólne pojęcie produktu dwóch obiektów w kategorii  zdefiniowane w języku diagramów. Specyficzną cechą tej definicji jest to, że nie podaje się sposobu konstruowania produktu, a jedynie warunek, jaki ma spełniać produkt. Definicja ta nie orzeka, czy taki obiekt istnieje (natomiast w przypadku istnienia wystarcza do dowodu jednoznaczności).

Produktem obiektów  w  nazywamy obiekt  wraz z parą morfizmów  i  spełniających następujący warunek: dla dowolnego obiektu  i dowolnej pary morfizmów   istnieje jeden i tylko jeden morfizm  taki, że odpowiedni diagram jest przemienny, tzn.  oraz  Morfizmy  nazywane są rzutami (lub rzutami kanonicznymi). Produkt  jest oznaczany symbolem 

Jest oczywiste, że jeżeli  jest produktem i obiekt  jest izomorficzny z  to  wraz z odpowiednio zdefiniowanymi rzutami  i  jest też produktem pary  Z tego powodu jedyne, czego od takiej definicji można oczekiwać, to jednoznaczność z dokładnością do izomorfizmu. Otóż standardowe rozumowanie pokazuje, że jeżeli produkt  pary  istnieje, to każdy inny product tej pary jest z nim izomorficzny.

Definicja produktu rodziny obiektów  (indeksowanej elementami dowolnego zbioru ) w kategorii  jest analogiczna do przypadku dwóch obiektów. Obejmuje to też przypadek, gdy  jest zbiorem pustym; okazuje się, że produktem jest wtedy obiekt końcowy kategorii.

Typowe przykłady produktów:
 W kategorii Set produktem zbiorów  i  jest iloczyn kartezjański  wraz z rzutami  i  Produktem  dowolnej rodziny zbiorów  jest uogólniony iloczyn kartezjański.
 W kategoriach Grp i Ab produktem grup  i  jest ich iloczyn kartezjański z działaniem określone wzorem  dla   Analogicznie konstruuje się produkty nieskończonych rodzin grup, a także algebr ogólnych tego samego typu.
 W kategorii Top przestrzeni topologicznych i przekształceń ciągłych i w jej podkategorii pełnej Comp przestrzeni zwartych (Hausdorffa) produkt jest iloczynem kartezjańskim przestrzeni z topologią produktową, zwanej topologią Tichonowa.
 W kategorii Ban1 przestrzeni Banacha i operatorów liniowych  o normie  produktem rodziny  jest ich -produkt, tzn. przestrzeń  złożona z tych elementów   które spełniają warunek  Wówczas (domknięta) kula jednostkowa w  jest iloczynem kartezjańskim kul jednostkowych przestrzeni .
 W kategorii  utworzonej ze zbioru częściowo uporządkowanego produktem elementów  jest ich infimum  z rzutami wyznaczonymi przez  

Pojęciem dualnym do produktu jest koprodukt, zwany również sumą

lub sumą prostą. Koproduktem obiektów  w  nazywamy

obiekt  wraz z parą morfizmów  i  spełniających następujący warunek: dla dowolnego obiektu  i dowolnej pary morfizmów   istnieje jeden i tylko jeden morfizm  taki, że odpowiedni diagram jest przemienny. Morfizmy  nazywane są włożeniami (lub włożeniami kanonicznymi). Obiekt  bywa też oznaczany symbolem 

W przeciwieństwie do produktów, które w typowych kategoriach przekształceń są na ogół powiązane z iloczynem kartezjańskim, koprodukty w tych samych kategoriach są bardzo różnorodne.
 W kategorii Set koproduktem rodziny zbiorów rozłącznych  jest ich suma mnogościowa  Jeśli nie są rozłączne, to się je sztucznie rozłącza np. przez indeksowanie, tworząc sumę rozłączną  tzn. zbiór wszystkich par postaci  gdzie   wraz z iniekcjami  dla 
 W kategorii Top koproduktem jest też suma rozłączna, z topologią określoną tak, że każdy składnik  (bądź ) jest zbiorem domknięto-otwartym.
 W Comp w przypadku rodziny nieskończonej koprodukt jest uzwarceniem Čecha-Stone’a sumy rozłącznej.
 W kategoriach Grp koproduktem grup jest ich produkt wolny (czyli suma prosta), również w przypadku nieskończonej rodziny obiektów.
 W kategorii Top przestrzeni topologicznych  z wyróżnionymi punktami bazowymi  i przekształceń ciągłych zachowujących punkty bazowe oraz w jej podkategorii pełnej Comp przestrzeni zwartych koproduktem obiektów  i  jest przestrzeń  złożona z wszystkich par postaci  i wszystkich par  z punktem bazowym 
 W kategorii Ab koproduktami są sumy proste grup.
 W kategorii Ban1 przestrzeni Banacha i operatorów liniowych T o normie  koproduktem rodziny  jest ich -suma, tzn. przestrzeń E złożona z tych elementów   które spełniają warunek 
 W kategorii  utworzonej ze zbioru częściowo uporządkowanego koproduktem elementów  jest ich supremum

Grupy wolne 
Grupą wolną  generowaną przez jej podzbiór  nazywamy grupę o tej własności, że każda funkcja z  w zbiór elementów dowolnej grupy  ma jednoznaczne przedłużenie do homomorfizmu grup  Podzbiór  nazywa się zbiorem wolnych generatorów. Grupą wolną o jednym generatorze jest grupa  liczb całkowitych (generatorem może być liczba 1 lub liczba –1). Dla dowolnego zbioru  konstruuje się grupę zawierającą ten zbiór  jako zbiór wolnych generatorów – produkt wolny odpowiedniej liczby kopii grupy . Jest to definicja wyrażona w języku teorii mnogości.

Zamienimy ją teraz na równoważną definicję wyrażoną w języku diagramów. Zamiast mówić o podzbiorze  grupy  będziemy mówić o iniekcji  (jej obraz  pełni tę rolę, co zbiór  uprzednio). Grupa wolna generowana przez zbiór  jest to grupa  wraz z iniekcją  taka, że dla dowolnej grupy  i dowolnej funkcji  istnieje jeden i tylko jeden homomorfizm  (w Grp) taki, że powstały diagram jest przemienny, tzn.  Dowodzi się bardzo prosto, że jeżeli dla danego  istnieje grupa wolna  generowana przez  to jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do komutującego izomorfizmu, tzn. jeśli  i iniekcja  też ma taką własność, to istnieje (jednoznaczny) izomorfizm grup  taki, że odpowiadający diagram jest przemienny, tzn.  W podobny sposób dowodzi się, że grupa wolna jest wyznaczona (z dokładnością do izomorfizmu) przez liczbę kardynalną zbioru

Reflektory 
Niech  oznacza dowolną kategorię,  jej podkategorię i niech  będzie obiektem w  Przez reflekt obiektu  względem  rozumiemy dowolny morfizm  kategorii  taki, że  jest obiektem podkategorii  i dla każdego obiektu  i każdego morfizmu  kategorii  istnieje dokładnie jedna faktoryzacja w  tzn. dokładnie jeden morfizm  kategorii  taki, że diagram jest przemienny:  Pokazuje się łatwo, że jeżeli taki reflekt istnieje, to jest wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do -izomorfizmu.

Jeżeli każdemu obiektowi  przyporządkujemy reflekt  gdzie  to dla każdego morfizmu  kategorii  istnieje dokładnie jeden morfizm  Otrzymujemy w ten sposób funktor kowariantny  Funktor tak skonstruowany nazywamy reflektorem.

Przykłady reflektorów:
 Niech Metrzup oznacza podkategorię pełną kategorii Metr otrzymaną przez ograniczenie się do przestrzeni metrycznych zupełnych. Przyporządkowując każdej przestrzeni metrycznej  jej uzupełnienie  utworzone metodą Cantora, otrzymujemy reflektor z Metr do Metrzup. Każdy morfizm w Metr (tzn. przekształcenie spełniające warunek Lipschitza)  ma jednoznaczne przedłużenie  do uzupełnień przestrzeni.
 Niech  będzie dowolną grupą. Niech  oznacza jej komutant, tj. podgrupę normalną generowaną przez zbiór wszystkich komutatorów  Wówczas homomorfizm kanoniczny  wyznacza reflektor z Gr do Ab. Jest to abelianizacja grupy.
 Niech Rin oznacza kategorię pierścieni i ich homomorfizmów i niech Rinc oznacza jej podkategorię pełną pierścieni przemiennych. Niech  oznacza ideał dwustronny pierścienia  generowany przez komutatory  Wówczas pierścień ilorazowy  jest przemienny i homomorfizm kanoniczny  wyznacza reflektor z Rin do Rinc.
 Funktor Čecha-Stone’a   przyporządkowuje dowolnej przestrzeni topologicznej  jej kompaktyfikację  Istnieje przekształcenie ciągłe  mające tę własność, że dla każdej przestrzeni zwartej  i każdego przekształcenia ciągłego  istnieje dokładnie jedno przekształcenie ciągłe  takie, że  Funktor  jest więc reflektorem. Jeśli  nie jest przestrzenią Tichonowa, to przekształcenie ciągłe  nie jest zanurzeniem homeomorficznym, w szczególności skleja ono punkty, które nie oddzielone żadną funkcją rzeczywistą ciągłą.

Zobacz też 
 Kategoria (matematyka)
 algebra Heytinga
 diagram przemienny
 diagram (teoria kategorii)
 ekwalizator i koekwalizator
 epimorfizm
 funktor (teoria kategorii)
 funktory sprzężone
 granica i kogranica
 izomorfizm
 jądro (teoria kategorii)
 koprodukt
 monada (teoria kategorii)
 monomorfizm
 morfizm zerowy
 obiekt (teoria kategorii)
 obiekty początkowy i końcowy
 produkt (teoria kategorii)
 retrakcja (teoria kategorii)
 transformacja naturalna

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne 
 Polskojęzyczne
 Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii. Skrypt dla studentów Wydziału MIM UW.
 Teoria kategorii dla informatyków (materiały dydaktyczne MIMUW na studia informatyczne II stopnia)

 Anglojęzyczne
 
 
  Category theory, introduction to , Routledge Encyclopedia of Philosophy, rep.routledge.com [dostęp 2023-05-10].
  Category theory, applications to the foundations of mathematics , Routledge Encyclopedia of Philosophy, rep.routledge.com [dostęp 2023-05-10].