Lineaire afbeelding

In de wiskunde is een lineaire afbeelding ruwweg een afbeelding die de lineaire combinaties bewaart, wat inhoudt dat zowel de optelling als de scalaire vermenigvuldiging behouden blijven. Het beeld van de som van vectoren is gelijk aan de som van de beelden, en het beeld van een (scalaire) veelvoud van een vector is gelijk aan hetzelfde veelvoud van het beeld. Deze afbeeldingen vertonen interessante eigenschappen en spelen een belangrijke rol in de lineaire algebra van vectorruimten en modulen.

Definitie
Een afbeelding , waarbij  en  vectorruimten over een lichaam (Ned. term; in België: veld)  zijn, heet lineair als voor elk paar  en elk element :

en
.

Zolang niet uitdrukkelijk gebruikgemaakt wordt van het feit dat scalairen ongelijk nul een omgekeerde hebben, gaat bovenstaande definitie naadloos over naar algemenere lineaire afbeeldingen tussen modulen over een commutatieve ring. De theorie blijft een tijdlang analoog, behalve dat niet ieder moduul een basis heeft (nodig voor onder meer de dimensiestelling).

Bij een niet-commutatieve ring kan men eventueel spreken van een links-lineaire afbeelding tussen linkermodulen.

Combineren van lineaire afbeeldingen
De verzameling  van alle lineaire afbeeldingen van een vaste vectorruimte  naar een vaste vectorruimte , beide over het lichaam , is met een geschikte optelling en vermenigvuldiging met een scalair zelf ook een vectorruimte over .

Voor de lineaire afbeeldingen  en  van   naar  wordt de som  gedefinieerd als de lineaire afbeelding die aan elk element  de som van de beelden onder  en  toevoegt:

en wordt voor een element  het veelvoud  gedefinieerd als de lineaire afbeelding die aan elk element  het -veelvoud van het beeld onder  toevoegt:

De verzameling  is een deelruimte van de vectorruimte  over  van de functies van  naar .

Van de lineaire afbeeldingen  en , waarin  en  vectorruimten over het lichaam  zijn, is ook de samenstelling een lineaire afbeelding:

.

Nulruimte en beeldruimte
De nulruimte  of kern van een lineaire afbeelding  is de verzameling van alle vectoren die door  op de nulvector worden afgebeeld. Het beeld van het domein van , het bereik, heet ook de beeldruimte  van . Zowel de nulruimte als de beeldruimte van een lineaire afbeelding is weer een lineaire ruimte.

Matrix
De lineaire afbeelding  van de -dimensionale vectorruimte  naar de -dimensionale vectorruimte  beeldt de basisvectoren  van  af op de vectoren
,

die, zoals alle vectoren in , kunnen worden geschreven als lineaire combinatie van de basisvectoren  van :

De bijbehorende -matrix  heeft als elementen de coördinaten , en wel is

Voor een vector , met

geldt:
,

waarin

Voorbeelden

Voorbeeld 1
De identieke afbeelding is lineair. De projectie op een vector is lineair. Lineaire afbeeldingen over eindigdimensionale vectorruimten kunnen door een matrix worden voorgesteld, en omgekeerd kan men met elke eindigdimensionale matrix een lineaire afbeelding associëren.

Voorbeeld 2
De afbeelding  die een differentieerbare functie afbeeldt op haar afgeleide, is een lineaire afbeelding. Hierbij zijn  respectievelijk de verzamelingen van functies en van alle functies die minstens één keer differentieerbaar zijn.

Voorbeeld 3
De afbeelding , is lineair. De bijbehorende matrix is:

Het eerste element van de beeldvector is gelijk aan het standaardinproduct van de argumentvector  met de bovenste rij van de matrix; het tweede element van de beeldvector is gelijk aan het standaardinproduct van de argumentvector  met de onderste rij van de matrix.

Voorbeeld 4
De afbeelding  is een lineaire afbeelding tussen twee modulen over de ring . De kern van deze afbeelding is het -moduul dat bestaat uit alle gehele getallenkoppels van de vorm . Het beeld is , de verzameling van alle drievouden.

Algemener kan elke abelse groep worden opgevat als een -moduul, en elk groepsisomorfisme tussen abelse groepen wordt een lineaire afbeelding.

Eigenschappen

Dimensiestelling
De dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen luidt: Laat  en  eindigdimensionale vectorruimten zijn en  een lineaire afbeelding van  in . Dan is:
,

waarbij  het beeld en  de kern van  is.

Uit deze stelling volgt onmiddellijk:

Zij  een lineaire afbeelding en , dan is  injectief dan en slechts dan als  surjectief is.

Hieruit volgt weer: als  injectief of surjectief is, dan is  een bijectie, en dus vanwege de lineariteit een isomorfisme.

Lineaire algebra