Intorno

In analisi matematica e in topologia, un insieme è detto intorno di un punto se contiene un insieme aperto contenente il punto. Un intorno di un punto  senza il punto  si dice intorno bucato o anulare. 

Si tratta di un concetto fondamentale che è alla base delle nozioni di funzione continua e limite. Un intorno di un punto  è intuitivamente un insieme di punti "vicini" al punto  Ogni intorno individua un insieme differente di vicini. Spesso per tradurre in linguaggio matematico l'idea che una proprietà debba essere verificata per punti che sono arbitrariamente vicini a  si dice che vale "per ogni intorno di ".

Il concetto di intorno è strettamente connesso al concetto di insieme aperto.

Spazi topologici
In un generico spazio topologico , un intorno di un punto  è un insieme  che contiene almeno un insieme aperto  contenente , cioè , che è l'abbreviazione di  e 

L'insieme  non è necessariamente un insieme aperto o un insieme chiuso. Nel caso in cui  sia aperto, si parla di intorno aperto, invece quando  è chiuso viene definito intorno chiuso.

Intorni sferici
Nel caso di uno spazio metrico  si possono considerare intorni caratterizzati da richieste sulla distanza. In particolare risulta utile considerare l'intorno sferico (o circolare) aperto di un punto  in  di raggio  definito come l'insieme:

L'insieme in questione viene detto anche palla aperta, o disco aperto, di centro  e raggio  (per avere un disco chiuso basta sostituire al simbolo  il simbolo    nella definizione di . Se si indica con  la chiusura di un insieme  allora è coerente indicare con  il disco chiuso di centro  e raggio ). 
Un esempio è l'intorno di raggio  quando si considera , che risulta poi essere un intervallo contenente  del tipo , o , ovvero, aperto o chiuso, a seconda che, rispettivamente,  sia aperto o chiuso in .

I dischi aperti tornano molto utili nell'Analisi e nella Topologia per diversi motivi. Innanzitutto, è possibile definire l'intorno di un punto  come un qualunque sottoinsieme  di  tale che esista un  in corrispondenza del quale  Così facendo, tra l'altro, discende naturalmente che lo stesso disco aperto è un intorno del suo centro. In secondo luogo, un qualsiasi disco aperto (ma anche chiuso) definito in uno spazio metrico derivante da uno spazio normato (cioè uno spazio normato visto come spazio metrico, dove la metrica è quella indotta dalla norma), è convesso. Sia infatti  uno spazio normato,  e . Se , e  è la curva , allora, posto , si ha

e quindi, tenendo conto che per ogni  risulta , si ha 

qualunque sia . Ne segue che  è convesso. Da quanto abbiamo appena dimostrato discende che  è semplicemente connesso.

Base di intorni
Una base di intorni (o anche sistema di intorni) è un insieme di intorni di un punto fissato  "arbitrariamente piccoli": una base di intorni identifica la "struttura topologica locale" del punto. 

Più precisamente, una base di intorni è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di  contiene uno di questi intorni.

Una base di intorni è utile a definire le proprietà locali di un punto, come ad esempio la connessione locale.

Spazio euclideo
Il concetto di intorno può essere analizzato in particolare adottando un generico spazio euclideo  di dimensione . Nello spazio euclideo, come da definizione, un intorno di  è sempre un insieme contenente un insieme aperto , contenente a sua volta . In particolare:
 Un intorno sferico aperto di raggio  è l'insieme

dove si fa uso della distanza euclidea.
 Un intorno rettangolare è un intorno del tipo

dove ciascun  è un intervallo in , intorno della coordinata -esima di .

Retta reale
Dal generico spazio euclideo è possibile ridursi al caso più particolare della retta reale. Un intorno di un punto  della retta reale  è un insieme della retta che contiene un intervallo aperto del tipo

dove  è un numero positivo. In particolare:
 L'intorno è aperto se è un insieme aperto
 L'intorno aperto di raggio  è l'intervallo aperto .
Un intorno non è necessariamente aperto. Ad esempio, l'intervallo  con  è un intorno chiuso di .

La definizione di intorno si estende anche alla retta estesa: un intorno di  è un insieme che contiene un intervallo aperto della forma , per qualche  reale. Analogamente un intorno di  è un insieme contenente .

Note

Bibliografia

Voci correlate
Insieme aperto
Insieme convesso
Topologia
Intorno chimico

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 

Calcolo infinitesimale
Topologia generale