Steifigkeit

Die Steifigkeit ist eine Größe der  Technischen Mechanik. Sie beschreibt den Widerstand eines  Körpers gegen eine durch äußere Belastung (Kraft oder  Moment) aufgeprägte  elastische Verformung und vermittelt den Zusammenhang zwischen der Belastung eines  Bauteils und dessen Verformung. Die Steifigkeit wird bestimmt durch den Werkstoff des Körpers und dessen Geometrie (Gestalt und Größe). Ihre Definition hängt vom betrachteten Objekt und der Art seiner Beanspruchung ab. So unterscheidet man z. B. nach Art der Beanspruchung die  Dehn-, Schub-, Biege- und Torsionssteifigkeit, oder nach Art des Bauteils u. a. die Platten- und die  Federsteifigkeit. Der Kehrwert der Steifigkeit wird als Nachgiebigkeit bezeichnet.

Unter Versteifung sind in der Technik alle Maßnahmen zu verstehen, mit denen die Steifigkeit eines Bauteils durch Modifikation von Gestalt und/oder Werkstoff sowie mit geeignet angebrachten Zusatzelementen erhöht werden kann, z. B. durch Streben oder carbonverstärkte Kunststoffbänder.

Werkstoffsteifigkeit 
Die Werkstoffsteifigkeit, definiert als Verhältnis der wirkenden  Spannung zur zugehörigen Dehnung, ist eine werkstoffmechanische Eigenschaft. Sie dient mit ihren Kennwerten auch der Charakterisierung der Werkstoffe, speziell auch mittels der  spezifischen Steifigkeit, und wird in der Werkstoffprüfung ermittelt. Die Werkstoffsteifigkeit zeigt sich im Spannungs-Dehnungs-Diagramm als Steigung der Spannungs-Dehnungs-Kurve. Die mathematische Darstellung der Werkstoffsteifigkeit wird als mechanisches Materialmodell oder Stoffgesetz bezeichnet.

Typische Kennwerte der Werkstoffsteifigkeit sind der  Elastizitäts- und der Schubmodul  bzw.  mit der Dimension Kraft pro Flächeneinheit wie auch die dimensionslose Poissonzahl . In der Kontinuumsmechanik des isotropen linearelastischen Körpers werden häufig auch die beiden Lamé-Konstanten  und  als Steifigkeitskennwerte verwendet. Die vollständige  elastizitätstheoretische Beschreibung der Steifigkeit erfordert bei  isotropem Werkstoffverhalten zwei, bei Monotropie fünf, bei Orthotropie neun und bei allgemeiner Anisotropie 21 voneinander unabhängige Kennwerte. Diese können in  Matrizenform bzw. als  Steifigkeitstensor dargestellt werden, wie dies bei numerischen Berechnungen wie der Finite-Elemente-Methode (FEM) der Fall ist. Bei  linearer Elastizität sind diese Kenngrößen Konstanten. Bei nichtlinearem Verhalten sind sie Funktionen der Spannung bzw. der Dehnung. Bei  viskoelastischem Verhalten sind die Steifigkeitskennwerte zeitabhängig, wie z. B. der Kriechmodul. Die Werkstoffsteifigkeit hängt bei praktisch allen  Konstruktionsmaterialien mehr oder weniger stark von den Einsatzbedingungen ab, vor allem von der Temperatur, und teilweise, wie bei gewissen Kunststoffen, auch von der Feuchtigkeit.

Bei inhomogenen Strukturen ist die Werkstoffsteifigkeit im Querschnitt ungleich verteilt. Für die  Bauteilberechnung werden aber häufig Mittelwerte oder integrale Ersatzgrößen gebildet. Diese hängen von den beteiligten Werkstoffen, deren Verteilung über den Querschnitt und von der Beanspruchungsart ab.

Die Werkstoffsteifigkeit ist mit der Dichte  mitbestimmend für die Schallgeschwindigkeit , mit der sich  Wellen in  Festkörpern ausbreiten. Für die Longitudinalwelle im elastischen Stab mit dem Elastizitätsmodul  z. B. gilt .

Profilsteifigkeit 
Die Steifigkeit der einzelnen Bauteilquerschnitte unterscheidet sich nach den vier  Beanspruchungsarten  Zug bzw.  Druck,  Schub,  Biegung und  Torsion. Sie ist bestimmt durch die örtliche Querschnittsgeometrie und die lokale Werkstoffsteifigkeit bzw. deren Verteilung über den Querschnitt. In den meisten Fällen ist die Werkstoffsteifigkeit über der ganzen Querschnittsfläche konstant. Eine inhomogen-diskrete Verteilung der Werkstoffsteifigkeit liegt z. B. bei  Laminaten oder  Sandwichstrukturen vor. Bei  Integral- oder Strukturschaumstoffen ist die Steifigkeitsverteilung im Querschnitt inhomogen-kontinuierlich, so dass die resultierende Steifigkeit durch eine  Integralfunktion beschrieben werden kann. Diese beanspruchungsspezifischen Querschnittsteifigkeiten sind erforderlich für analytische Berechnungen.

Dehnsteifigkeit 

Die Dehnsteifigkeit , auch Zug/Druck-Steifigkeit genannt, beschreibt den Widerstand eines einachsig auf Zug oder Druck beanspruchten Bauteils im Querschnitt  gegen eine Längsverformung. Sie ist definiert als Verhältnis der beanspruchenden Normalkraft  zur von ihr hervorgerufenen Dehnung . Sie hat die Dimension einer Kraft und wird in der Regel in  oder  angegeben:

Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen:
 Homogene Querschnitte mit :

 Kontinuierliche Verteilung des ortsabhängigen Elastizitätsmoduls  über die eben bleibende Querschnittsfläche :

 Diskrete Verteilung des Elastizitätsmoduls  über die Querschnittsfläche  mit  Schichten bzw. Bereichen  und je unterschiedlichen, aber konstanten Elastizitätsmoduln :

Schubsteifigkeit 

Die Schubsteifigkeit  ist der Widerstand eines auf Schub beanspruchten Bauteils im Querschnitt  gegen eine Schubverformung. Sie ist bei Balken unter  Querkraftbiegung relevant. Die Schubsteifigkeit ist definiert als Verhältnis der beanspruchenden Querkraft  zum von ihr hervorgerufenen, über den verwölbten Querschnitt gemittelten  Schubwinkel . Sie hat die Dimension einer Kraft und wird in der Regel in  oder  angegeben:

Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen:
 Homogene Querschnitte mit :

Hierin sind  der  Schubkoeffizient und  die sog. Schubfläche. Der Schubkoeffizient berücksichtigt den Einfluss der Querschnittsgeometrie auf die Schubverformung und die Schubsteifigkeit. Er ist analytisch ableitbar und kann für gegebene Querschnittsformen berechnet werden.

 Kontinuierliche Verteilung des ortsabhängigen Schubmoduls  über die sich verwölbende Querschnittsfläche :

 Diskrete Verteilung des Schubmoduls  über die Querschnittsfläche  mit  zur Querkraft senkrechten Schichten  und je unterschiedlichen, aber konstanten Schubmoduln :

Bei inhomogenen Querschnittsstrukturen bezieht sich der Schubkoeffizient  auf den Gesamtquerschnitt.

Biegesteifigkeit 

Die Biegesteifigkeit  kennzeichnet den Widerstand eines auf  Biegung beanspruchten Bauteils im eben bleibenden Querschnitt  gegen eine Krümmung um die Biegeachse. Sie ist bestimmt durch das Verhältnis des beanspruchenden  Biegemoments  zur von ihm hervorgerufenen Krümmung  mit  als lokalem Krümmungsradius:

Die Biegesteifigkeit hat die Dimension Kraft mal Fläche und wird üblicherweise in  oder  angegeben.

Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen:
 Homogene Querschnitte mit  und  als axialem Flächenträgheitsmoment des Querschnitts bezüglich der Biegeachse :

 Kontinuierliche Verteilung des ortsabhängigen Elastizitätsmoduls  über die eben bleibende Querschnittsfläche :

 Diskrete Verteilung des Elastizitätsmoduls  über  Schichten bzw. Bereiche mit den je unterschiedlichen, aber konstanten Elastizitätsmoduln  und den Teil-Flächenträgheitsmomenten  bezüglich der gemeinsamen Biegeachse :

Biegesteifigkeit bei breiten Querschnitten 
Mit wachsender Breite der Querschnittsfläche wird die Querkontraktion in dieser Richtung zunehmend behindert, was die Biegesteifigkeit erhöht. Bei gänzlicher Verhinderung der Querkontraktion führt dies mit der Poissonzahl  zur Beziehung

Im Extremfall der Inkompressibilität mit  ergibt dies eine Steifigkeitszunahme um den Faktor 4/3, d. h. 33 %.

Plattensteifigkeit 
Die Biegesteifigkeit ebener  Flächentragwerke von vergleichsweise geringer Dicke , sog.  Platten, entspricht im Wesentlichen der Biegesteifigkeit bei breiten Querschnitten, jedoch bezogen auf die Einheit der Breite . Somit ist die Plattensteifigkeit bei Rechteckquerschnitt  und konstantem Elastizitätsmodul

Biegesteifigkeit eben gekrümmter Bauteile 
Die Biegesteifigkeit von Bauteilen mit zur Biegeebene symmetrischer Querschnittsfläche, und deren Längsachse in der Biegeebene im unverformten Zustand mit dem Radius  gekrümmt ist („gekrümmter Träger“), erfährt durch diese Krümmung eine Erhöhung. Es gilt:

Die versteifende Wirkung kann in Abhängigkeit von Krümmung und Querschnittsgeometrie bis zu 30 % betragen. Bei konstantem Elastizitätsmodul zeigt sie sich in der Beziehung:

Die Querschnittsgröße  kann für einfache geometrische Flächen berechnet werden.

Torsionssteifigkeit 

Die Torsionssteifigkeit, auch als Verdrehsteifigkeit bezeichnet, ist der Widerstand eines auf Torsion beanspruchten Bauteils im Querschnitt  gegen eine Verwindung um die Längsachse. Sie ist definiert als Verhältnis des beanspruchenden  Torsionsmoments zum von ihm hervorgerufenen  Verwindungswinkel  pro Längeneinheit:

Die Torsionssteifigkeit hat die Dimension Kraft mal Fläche und wird üblicherweise in  oder  angegeben.

Allgemeine Querschnittsformen 
Die Torsionssteifigkeit homogener Querschnitte beliebiger Geometrie ist bestimmt als Produkt aus dem Schubmodul  und dem Torsionsträgheitsmoment  des Querschnitts:

Das Torsionsträgheitsmoment nicht rotationssymmetrischer Querschnittsformen ist nicht elementar berechenbar. Bekannte Lösungen sind in einschlägigen technischen Handbüchern aufgelistet.

Die theoretische Beschreibung führt bei beliebig geformten Vollquerschnitten zu einer  Poissonschen Differentialgleichung, die auch andern physikalischen Problemstellungen zugrunde liegt. Daher ermöglichen die  Thomsonsche Strömungsanalogie oder die  Prandtlsche  Membrananalogie, auch Seifenhautgleichnis genannt, einen anschaulichen Zugang zum Torsionsproblem.

Die Torsionssteifigkeit geschlossener, dünnwandiger Hohlquerschnitte kann unter der Annahme, die Schubspannungen seien über die Wanddicke konstant, mit den  Bredtschen Formeln berechnet werden; für jene offener, dünnwandiger Querschnitte sind Näherungsformeln bekannt.

Wird die bei nicht rotationssymmetrischen Querschnitten auftretende  Querschnittsverwölbung behindert, z. B. durch Einspannung an den Enden, führt dies zu einer Erhöhung der Torsionssteifigkeit.

Rotationssymmetrische Querschnitte 
Das Torsionsträgheitsmoment rotationssymmetrischer Querschnitte entspricht dem polaren Flächenträgheitsmoment  bezüglich der Torsionsachse. Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen:
 Homogene Querschnitte mit :

 Kontinuierliche Verteilung des rotationssymmetrisch ortsabhängigen Schubmoduls  über die eben bleibende Querschnittsfläche , mit :

 Diskrete Verteilung des Elastizitätsmoduls  über  rotationssymmetrische Schichten mit den je unterschiedlichen, aber konstanten Schubmoduln  und den polaren Teil-Flächenträgheitsmomenten  bezüglich der Torsionsachse, z. B. bei  Mehrschichtverbundrohren:

Bauteilsteifigkeit

Allgemeines 
Die Bauteilsteifigkeit ist ein wichtiges Kriterium bei der Auslegung von Konstruktionen, auch bei komplexen Strukturen wie z. B.  Fahrzeugchassis,  Flugzeugflügel usw., und insbesondere im Leichtbau und bei der beanspruchungsgerechten Gestaltung. Sie hängt von der Werkstoffsteifigkeit und der Bauteilgeometrie inkl. Art der Lagerung ab und ist definiert als Verhältnis zwischen der Belastung  des Bauteils und der zugehörigen Verformung :

Die Bauteilsteifigkeit eines Stabes mit einem durchgehend gleichen Profil ergibt sich aus der Profilsteifigkeit und der Länge des Profils. Steifigkeiten komplexerer Formen lassen sich nur numerisch berechnen und hängen von den mindestens zwei Kraftangriffspunkten ab. Für jede Kombination von Kraftangriffspunkten kann pro Kraftangriffspunkt eine Steifigkeit in Form einer Federsteifigkeit berechnet werden.

Federsteifigkeit 

Federsteifigkeit bezeichnet die Bauteilsteifigkeit von Federn, d. h. von Bauelementen unterschiedlichster Geometrie, deren Funktion ein definiertes Steifigkeitsverhalten mit elastischem Rückstellungsvermögen verlangt. Diese Federcharakteristik, dargestellt durch die Federkennlinie im Last-Verformungs-Diagramm, kann je nach Art der Federn und eventueller Federkombinationen  linear, progressiv, degressiv oder geknickt sein.
Die positionsspezifische Federsteifigkeit wird beschrieben durch die  Federrate, d. h. die Steigung der Federkennlinie als Differentialquotient. Dieser hat bei  translatorisch wirkenden Federn mit der Kraft  und dem Weg  die Form

in der üblichen Einheit N/mm. Bei linearer Federcharakteristik ist die Federrate konstant, sie wird zur  Federkonstanten

Bei  rotatorisch wirkenden Federn (Drehfedern) haben die Federrate bzw. die Federkonstante mit den entsprechenden Größen Drehmoment  und Verdrehwinkel  üblicherweise die Einheit N·mm/rad.

Verwindungssteifigkeit 

Als Verwindungssteifigkeit wird der Widerstand bezeichnet, den ein Bauteil, z. B. Fahrgestellrahmen, Schiffsschale, Flugzeugrumpf u. dgl. oder Sportgeräte wie Skier, Surfbretter, Snowboards usw., einer Beanspruchung durch Torsions- und Biegemomente entgegensetzt.

Bettungssteifigkeit 
Bettungssteifigkeit ist der Widerstand einer elastisch nachgiebigen Unterlage gegenüber der Verformung unter Oberflächenbelastung durch einen aufliegenden Körper. Bei linear-elastischem Verhalten der Unterlage ist die lokale Einsenkung  dem dort wirkenden Auflagedruck  proportional, mit der Bettungszahl oder Bettungsziffer

als Proportionalitätsfaktor und Steifigkeitsmass der Unterlage. Dieser Ansatz findet z. B. bei der Auslegung von Fundamenten mit elastisch gebetteten Balken oder  Platten Anwendung.

Siehe auch 
 Nachgiebigkeit (Werkstoffkunde)
 Elastizitätsmodul
 Schubmodul
 Nachgiebigkeitsmatrix als Darstellung der Nachgiebigkeitstensors in der Voigtschen Notation
 Ringsteifigkeit

Literatur 
 Norbert Herrlich, Johannes Kunz: Kunststoffpraxis. Konstruktion, Band 1/Teil 5 /Kap. 8.2: Beanspruchungsgerechtes Konstruieren, Steifigkeit. WEKA Media, Augsburg 1999, ISBN 3-8111-5935-6 (Stand März 1999, Loseblatt-Ausgabe in 2 Ordnern + 1 CD-ROM; Google Books)
 Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik, Band 2: Elastostatik. 14. Aufl. Springer Verlag, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-61861-5.
 Karl-Eugen Kurrer: Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht. Ernst und Sohn, Berlin 2016, ISBN 978-3-433-03134-6, S. 102f.

Einzelnachweise 

Werkstoffeigenschaft (Festigkeitslehre)
Elastostatik
Technische Mechanik