Diferencijalna jednačina

Diferencijalna jednačina je jednačina koja izražava vezu između nezavisne promenljive, nepoznate funkcije i njenih izvoda: F(x, y, y',y,..., y(n)) = 0. Najviši red izvoda u toj jednačini se naziva red diferencijalne jednačine. Na primer y"+ ky³ = 0 je diferencijalna jednačina drugog reda. Najprostija diferencijalna jednačina je prvog reda, u eksplicitnom obliku to je y' = f (x).

Svaka funkcija koja identički zadovoljava diferencijalnu jednačinu zove se rešenje ili integral te jednačine. Opšte rešenje treba da identički zadovoljava datu diferencijalnu jednačinu, i oblika je y = φ(x, C1, C2, ... , Cn), gde su C1,...,Cn proizvoljne integracione konstante. Partikularno rešenje je svaka funkcija koja se dobija iz opšteg rešenja za posebne vrednosti konstanti. Singularno rešenje je ono koje identički zadovoljava datu jednačinu, a ne nalazi se u opštem rešenju. Kad nepoznata funkcija zavisi od dveju ili više promenljivih, diferencijalnu jednačinu nazivamo parcijalnom.

Mnoge diferencijalne jednačine su matematički modeli raznovrsnih procesa u prirodi, društvu, prirodnim i društvenom i tehničkim naukama i kao takve imaju mnogobrojne primene. Teorija diferencijalnih jednačina i teorija parcijalnih diferencijalnih jednačina su značajne i široko razvijene oblasti matematike. Njihov poseban deo čine diferencijalne jednačine matematičke fizike.

U sistemu diferencijalnih jednačina se javljaju dve ili više funkcija iste promenljive (odnosno istih promenljivih).

 Istorija 

Diferencijalne jednačine su nastale nakon što su Njutn i Lajbnic proizveli infinitezimalni račun. U drugom poglavlju njegovog rada "Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum" iz 1671, Isak Njutn navodi tri tipa diferencijalnih jednačina: jednačine sa dva izvoda  i jednom nediferenciranom promenljivom ; jednačine sa  i ; i jednačine sa više od dva izvoda.
Kao primeri tri slučaja, data su rešenja jednačina:
,
, i
, respektivno.

Ovi primeri i niz drugih su rešeni koristeći infinitivne serije. Diskusija nejedinstvenosti rešenja je takođe data.

Jakob Bernuli je rešio Bernulijevu diferencijalnu jednačinu 1695. Ona je obična diferencijalna jednačina oblika

 

za koju je on odredio konačna rešenja.

Istorijski, problem vibracionog vlakna kao što je muzički instrument su izučavali Žan le Ron d'Alamber, Leonard Ojler, Danijel Bernuli, i  Žozef Luj Lagranž.For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012) Godine 1746, d’Alamber je otkrio jednodimenzionalnu talasnu jednačinu, a tokom naredne dekade Ojler je otkrio tridimenzionalnu talasnu jednačinu.

Ojler–Lagranžova jednačina je razvijena tokom 1750-tih u kontekstu Ojlerovih i Lagranžovih izučavanja tautohronog problema. Radi se o problemu određivanja krive na koju izmerena čestica pada u fiksnu tačku u fiksnom vremenskom intervalu, nezavisno od početne tačke. Lagranž je rešio taj problem 1755. godine i poslao je rešenje Ojleru. Oni su zajedno dalje razvili Lagranžov metod i primenili ga na mehaniku, što je dovelo do formulacije Lagranžove mehanike.

Furijer je objavio svoj rad o prenosu toplote u Théorie analytique de la chaleur (knjizi Analitička teorija toplote), u kojoj je bazirao svoje razmatranje na Njutnovom zakonu hlađenja, naime da je prenos toplote između dva susedna molekula proporcionalan ekstremno malim razlikama njihovih temperatura. Ta knjiga sadrži Furijeov predlog jednačine toplotne provodnosti za difuziju toplote. Ta parcijalna diferencijalna jednačina se u današnje vreme sreće u većini nastavnih planova matematičke fizike.

 Primer 
U klasičnoj mehanici, kretanje tela se opisuje njegovom pozicijom i brzinom u funkciji vremena. Njutnovi zakoni omogućavaju (za datu poziciju, brzinu, ubrzanje i različite sile koje deluju na telo) dinamičko izražavanje jedne od tih promeljivih u obliku diferencijalne jednačine za nepoznatu poziciju tela u funkciji vremena.

U nekim slučajevima se ta diferencijalna jednačina (zvana jednačina kretanja) može eksplicitno rešiti.

Primer modelovanja problema realnog sveta koristeći diferencijalne jednačine je određivanje brzine kugle koja pada kroz vazduh, uzimajući u obzir gravitaciju i otpor vazduha. Ubrzanje lopte u smeru Zemlje je ubrzane usled gravitacije minus otpor vazduha. Gravitacija se smatra konstantnom, dok se za otpor vazduha uzima da je proporcionalan sa brzinom kugle. To znači da je ubrzanje kugle, koje je izvod njene brzine, zavisno od brzine (kok je brzina zavisna od vremena). Određivanje brzine kao funkcije vremena se vrši rešavanjem diferencijalne jednačine i verifikacijom njene validnosti.

 Glavne teme 
 Obične diferencijalne jednačine 

Obična diferencijalna jednačina (ODE) je jednačina koja sadrži funkciju jedne nezavisne promenljive i njenih izvoda. Termin „obična“ se koristi kao kontrast terminu parcijalna diferencijalna jednačina, koja može da obuhvata više nezavisnih promenljivih.

Linearne diferencijalne jednačine sa rešenjima koja se mogu sabirati i množiti koeficijentima, su dobro definisane i izučene, i egzaktna rešenja zatvorenog oblika su dobijena. U kontrastu s tim, obične diferencijalne jednačine kojima nedostaju aditivna rešenja su nelinearne, i njihovo rešavanje je daleko složenije, pošto se one retko mogu prikazati u obliku elementarnih funkcija u zatvorenom obliku. Umesto toga, egzaktna i analitička rešenja tih jednačina se dobujaju u obliku serija ili integralnih formi. Grafički i numerički metodi, koji se primenjuju manuelno ili uz pomoć računara, u mnogim slučajevima mogu da proizvedu aproksimativna rešenja običnih diferencijalnih jednačina. Ovi pristupi se prevashodno koriste u odsustvu egzaktnih analitičkih rešenja.

 Parcijalne diferencijalne jednačine 

Parcijalna diferencijalna jednačina (PDE) je diferencijalna jednačina koja sadrži nepoznate multivarijabilne funkcije i njihove parcijalne izvode. (To je u kontrastu sa običnim diferencijalnim jednačinama, koje obuhvataju funkcije jedne promenljive i njihove derivate.) Parcijalne diferencijalne jednačine se koriste za formulisanje problema koji obuhvataju funkcije sa više promenljivih, i one se bilo ručno rešavaju, ili se koriste za kreiranje relevantnih računarskih modela.

Parcijalne diferencijalne jednačine se mogu koristiti za opisivanje širokog opsega različitih fenomena kao što su zvuk, toplota, elektrostatika, elektrodinamika, protok fluida, elastičnost, ili kvantna mehanika. Ove naizgled različite fizičke pojave se mogu slično formulisati u smislu parcijalnih diferencijalnih jednačina. Kao što obične diferencijalne jednačine najčešće opisuju jednodimenzionalne dinamičke sisteme, parcijalne diferencijalne jednačine se obično odnose na multidimenzionalne sisteme. Stokastičke parcijalne diferencijalne jednačine su generalizacija parcijalnih diferencijalnih jednačina.

 Linearne i nelinearne jednačine 

Obične i parcijalne diferencijalne jednačine se uglavnom ne klasifikuju kao linearne i nelinearne.

Diferencijalna jednačina je linearna ako su funkcija i njeni derivati prvog stepena (produkti nepoznate funkcije i njenih derivata nisu dozvoljeni), mada same funkcije mogu da budu nelinearne. Karakteristično svojstvo linearnih jednačina je da njihova rešenja formiraju afini potprostor odgovarajućeg funkcionalnog prostora, što dovodi do znatno razvijenije teorije linearnih diferencijalnih jednačina. Homogene linearne diferencijalne jednačine su dalje potklasa čiji prostor rešenja je linearni potprostor, i.e. suma bilo kog seta rešenja ili njihovog proizvoda je takođe rešenje. Koeficijenti nepoznate funkcije i njenih derivata u linearnoj diferencijalnoj jednačini mogu da budu (poznate) funkcije nezavisnih promenljivih. Ako su ti koeficijenti konstante onda se govori o konstantnom koeficijentu linearne diferencijalne jednačine.
 Postoji veoma mali broj metoda za egzaktno rešavanje nelinearnih diferencijalnih jednačina. Oni koji su poznati su tipično zavisni od toga da li jednačina ima specifične simetrije. Nelinearne diferencijalne jednačine mogu da ispolje veoma kompleksno ponašanje na dužim vremenskim rasponima, poput haosa. Čak i fundamentalna pitanja postojanja, jedinstvenosti, i proširivosti rešenja nelinearnih diferencijalnih jednačina, i posedovanje inicijalnih i graničnih vrednosti su teški problemi u slučaju nelinearnih jednačina. Kad rešenja postoje u specijalnim slučajevima, to se smatra značajnim napretkom u matematičkoj teoriji (cf. Navijer–Stoksovo postojanje i glatkost). Međutim, ako je diferencijalna jednačina korektno formulisana reprezentacija smislenog fizičkog procesa, onda se očekuje da postoji rešenje.

Linearne diferencijalne jednačine se često javljaju kao aproksimacije nelinearnih jednačina. Te aproksimacije su jedino validne pod ograničenim uslovima. Na primer, jednačina harmonijskog oscilatora je aproksimacija nelinearne jednačine klatna, koja je validna samo za male amplitude oscilacije.

 Primeri 

U prvoj grupi primera, u je nepoznata funkcija od x, a c i ω su poznate konstante.

 Nehomogena obična diferencijalna jednačina prvog reda sa konstantnim koeficijentom:

 

 Homogena obična diferencijalna jednačina drugog reda:

 

 Homogena obična diferencijalna jednačina drugog reda sa linearnim konstantnim koeficijentom, koja opisuje harmonički oscilator:

 

 Nehomogena nelinearna obična diferencijalna jednačina prvog reda:

 

 Nelinearna (zbog sinusne funkcije) obična diferencijalna jednačina drugog reda koja opisuje kretanje klatna dužine L:

 

U sledećoj grupi primera, nepoznata funkcija u zavisi od dve promenljive x i t ili x i y.

 Homogenena linearna parcijalna diferencijalna jednačina prvog reda:

 

 Homogena linearna parcijalna diferencijalna jednačina drugog reda eliptičkog tipa sa konstantnim koeficijentom, Laplasova jednačina:

 

 Nelinearna diferencijalna jednačina trećeg reda, Korteveg de Vrijeva jednačina:

 

 Postojanje rešenja 

Rešavanje diferencijalnih jednačina se razlikuje od rešavanja algebarskih jednačina. Njihova rešenja često nisu jasna. Međutim kad su rešenja jedinstvena ili bar postoje, ona su obično od znatnog interesa.

Za probleme sa inicijalnom vrednošću prvog reda, lako se može utvrditi da li jedinstveno rešenje postoji. Za bilo koju tačku  u xy-ravni, definiše se pravougaoni region , tako da su  i  u . Ako je data diferencijalna jednačina  i inicijalni uslov , onda postoji jedinstveno rešenje za tu inicijalnu vrednost problema, ako su  i  neprekidni na . To jedinstveno rešenje postoji na nekom intervalu sa centrom u .

Međutim, to je jedino korisno kod problema inicijalne vrednosti prvog reda. Pretpostavimo da imamo problem linearne inicijalne vrednosti n-tog reda:

tako da

Za svaku  vrednost različitu od nule, ako su  i  neprekidne na nekom intervalu koji sadrži ,  je jedinstveno i postoji.

 Srodni koncepti 

 Diferencijalna jenačina zakašnjenja ( - DDE) je jednačina funkcije jedne promenljive, obično vremena, u kojoj je derivat funkcije u datom vremenu dat u obliku vrednosti funkcije u ranijim vremenima.
 Stokastička diferencijalna jednačina (SDE) je jednačina u kojoj je nepoznati kvantitet stokastički proces i jednačina obuhvata neki nepoznati stokastički proces, na primer, Vinerov process u slučuaju jednačina difuzije.
 Algebrijska diferencijalna jednačina (DAE) je diferencijalna jednačina koja se sastoji od diferencijalnih i algebrijskih članova, datih u implicitnoj formi.

 Veza sa jednačinama razlika 

Teorija diferencijalnih jednačina je blisko srodna sa jednačinama razlika, u kojima koordinate poprimaju diskretne vrednosti, i odnos obuhvata vrednosti nepoznate funkcije ili funkcija i vrednosti obližnjih koordinata. Mnogi metodi za izračunavanje numeričkih rešenja diferencijalnih jednačina ili studiranje vrednosti diferencijalnih jednačina obuhvataju aproksimaciju rešenja diferencijalne jednačine rešenjem korespondirajuće jednačine razlika.

 Primena i veze sa drugim oblastima 
 Opšta primena 
Izučavanje diferencijalnih jednačina je široko polje u čistoj i primenjenoj matematici, fizici, i inžinjerstvu. Sve te discipline se bave svojstvima diferencijalnih jednačina različitih tipova. Čista matematika ima fokus na postojanju i jedinstvenosti rešenja, dok primenjena matematika naglašava rigorozno dokazivanje metodima za aproksimaciju rešenja. Diferencijalne jednačine imaju važnu ulogu u modelovanju praktično svakog fizičkog, tehničkog, ili biološkog procesa, od nebeskih kretanja, do dizajna mostova, do interakcija između neurona. Diferencijalne jednačine kao što su one koje se koriste za rešavanje problema u realnom životu nisu uvek direktno rešive, i.e. nemaju rešenja zatvorene forme. Umesto toga mogu se naći aproksimovativna rešenja koristeći numeričke metode.

Mnogi fundamentalni zakoni fizike i hemije se mogu formulisati kao diferencijalne jednačine. U biologiji i ekonomiji, diferencijalne jednačine se koriste za modelovanje ponašanja kompleksnih sistema. Matematička teorija diferencijalnih jednačina je prvobitno razvijena zajedno sa naukama iz kojih su jednačine potekle i u kojima su rezultati našli primenu. Međutim, raznovrsni problemi, koji ponekad dolaze iz sasvim različitih naučnih polja, mogu da proizvedu identične difrencijalne jednačine. Kad god do toga dođe, matematička teorija iza tih jednačina se može smatrati ujedinjujućim principom različith fenomena. Na primer, propagacija svetla i zvuka u atmosferi, i talasa na površini jezera. Svi ti procesi se mogu opisati istom parcijalnom diferencijalnom jednačinom drugog reda, talasnom jednačinom, što nam omogućava da mislimo o svetlu i zvuku kao formama talasa, koje su slične talasima na vodi. Provođenje toplote, opisano teorijom koju je razvio Joseph Fourier, se podvrgava jednoj drugoj parcijalnoj diferencijalnoj jednačini drugog reda, jednačini toplote. Ispostavlja se da se mnogi procesi difuzije, mada su naizgled različiti, mogu opisati istom jednačinom; Blek–Šoulzova jednačina iz oblasti financija je na primer srodna sa jednačinom toplote.

 Fizika 
Klasična mehanika
Dokle god je sila koja deluje na česticu poznata, Drugi Njutnov zakon je dovoljan za opisivanje njenog kretanja. Kad su nezavisne relacije za svaku silu koja deluje na česticu poznate, one se mogu zameniti u Njutnovom drugom zakonu, čime se dobija obična diferencijalna jednačina, koja se naziva jednačina kretanja.

Elektrodinamika
Maksvelove jednačine su skup parcijalnih diferencijalnih jednačina koje, zajedno sa zakonom Lorencove sile, formiraju osnov klasične elektrodinamike, klasične optike, i električnih kola. Ta polja su u osnovi modernih električnih i komunikacionih tehnologija. Maksvelove jednačine opisuju način na koji se električna i magnetna polja generišu i menjaju jedno drugo, kao i njihove promene posredstvom naelektrisanja i struja. One nose ime škotskog fizičara i matematičara Maksvela, koji je objavio prvobitnu formu tih jednačina u periodu između 1861. i 1862.

Opšta relativnost
Ajnštajnove jednačine polja (EFE - ; takođe poznate kao "Ajnštajnove jednačine") su skup od deset parcijalnih diferencijalnih jednačina u Ajnštajnovoj opštoj teoriji relativnosti koja opisuje fundamentalnu interakciju gravitacije kao rezultat zakrivljenja prostorvremena materijom i energijom. Ajnštajn ju je prvobitno objavio 1915. kao tenzorsku jednačinu, u kojoj je EFE jednaka lokalnom zakrivljenju prostorvremena (izrađenog kao Ajnštajnov tenzor) dejstvom lokalne energije i momenta unutar tog prostorvremena (izrađenog u obliku tenzora energije stresa).

Kvantna mehanika
U kvantnoj mehanici, analog Njutnovog zakona je Šredingerova jednačina (parcijalna diferencijalna jednačina) kvantnog sistema (obično atoma, molekula, i subatomskih čestica bilo da su slobodne, vezane, ili lokalizovane). Ona nije jednostavna algebrijska jednačina, nego opšta linearna parcijalna diferencijalna jednačina, koja opisuje vremenku evoluciju sistema talasnih funkcija (koje se takođe nazivaju "funkcije stanja").

Druge važne jednačine
 Ojler–Lagranžova jednačina u klasičnoj mehanici
 Hamiltonove jednačine u klasičnoj mehanici
 Radioaktivni raspad u nuklearnoj fizici
 Njutnov zakon hlađenja u termodinamici
 Talasna jednačina
 Jednačina toplote u termodinamici
 Laplasova jednačina, koja definiše harmonijske funkcije
 Poizonova jednačina
 geodezijska jednačina
 Navijer–Stokesova jednačina u dinamici fluida
 Jednačina difuzije u stokastičim procesima
 Jednačina konvekcione difuzije u dinamici fluida
 Kauči–Rimanova jednačina u kompleksnoj analizi
 Poizon–Boltcmanova jednačina u molekulskoj dinamici
 Jednačine plitke vode
 Univerzalna diferencijalna jednačina
 Lorenzove jednačine čija rešenja manifestuju haotični protok.

 Biologija 
Jednačine predatora i plena
Jednačine Lotka–Voltera, takođe poznate kao jednačine predatora i plena, su par nelinearnih diferencijalnih jednačina prvog reda koje se frekventno koriste za opisivanje dinamike bioloških sistema u kojima dve vrste interaguju, jedna kao predator, a druga kao plen.
Druge važne jednačine
Verhulstova jednačina – biological population growth
Fon Bertalanfijev model – biološki individualni rast
Dinamika replikacije – prisutna u teoretskoj biologiji
Hodžkin–Hukslijev model – neuronski akcioni potencijali

 Hemija 
Jednačina brzineZakon brzine ili jednačina brzine hemijske reakcije je diferencijalna jednačina koja povezuje brzinu reakcije sa koncentracijama ili pritiscima reaktanata i konstantnim parametrima (normalno koeficijentima brzine i parcijalnim redovima reakcije). Da bi se odredila brzina reakcije za specifični sistem kombinuje se brzina reakcije sa balansom mase sistema.

 Ekonomija 
Važnije jednačine
Ključna jednačina Solou–Svonovog modela je: 
Blak–Šolesova PDE
Maltusijanov model rasta
Vidal–Volfov model oglašavanja

 Vidite još 
Kompleksna diferencijalna jednačina
Egzaktna diferencijalna jednačina
Početni uslovi
Integralne jednačine
Numerički metodi
Pikard–Lindelofova teorema o postojanju i jedinstvenosti rešenja

 Reference 

 Literatura 

 P. Abbott and H. Neill, Teach Yourself Calculus, 2003 pages 266-277
 P. Blanchard, R. L. Devaney, G. R. Hall, Differential Equations, Thompson, 2006
 E. A. Coddington and N. Levinson,  Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955
 E. L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover Publications, 1956
 W. Johnson, A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, 1913, in University of Michigan Historical Math Collection
 A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. .
 R. I. Porter, Further Elementary Analysis, 1978, chapter XIX Differential Equations
 
 D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.
 G. H. Golub, J. M. Ortega: Wissenschaftliches Rechnen und Differentialgleichungen. Eine Einführung in die Numerische Mathematik. Heldermann Verlag, Lemgo 1995, .
 G. Oberholz: Differentialgleichungen für technische Berufe – vierte Auflage. Verlag Anita Oberholz, Gelsenkirchen 1995, .
 P.J. Olver Equivalence, Invariants and Symmetry Cambridge Press 1995.
 L. Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2. Viewegs Fachbücher der Technik, Wiesbaden 2001, .
 H. Stephani Differential Equations: Their Solution Using Symmetries.'' Edited by M. MacCallum, Cambridge University Press 1989.
 Benker, H.: "Differentialgleichungen mit MATHCAD und MATLAB", Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York 2005.

Vanjske veze 

 Teorija i zadaci  na 
 Lectures on Differential Equations MIT Open CourseWare Videos
 Online Notes / Differential Equations Paul Dawkins, Lamar University
 Differential Equations, S.O.S. Mathematics
 Differential Equation Solver  Java applet tool used to solve differential equations.
 Introduction to modeling via differential equations Introduction to modeling by means of differential equations, with critical remarks.
 Mathematical Assistant on Web Symbolic ODE tool, using Maxima
 Exact Solutions of Ordinary Differential Equations
 Collection of ODE and DAE models of physical systems  MATLAB models
 Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers An introductory textbook on differential equations by Jiri Lebl of UIUC
 Khan Academy Video playlist on differential equations  Topics covered in a first year course in differential equations.
  MathDiscuss Video playlist on differential equations  

Matematička analiza
Diferencijalne jednačine