Hyperbel (Mathematik)

In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Hyperbel eine spezielle Kurve, die aus zwei zueinander symmetrischen, sich ins Unendliche erstreckenden Ästen besteht. Sie zählt neben dem Kreis, der Parabel und der Ellipse zu den Kegelschnitten, die beim Schnitt einer Ebene mit einem geraden Kreiskegel entstehen.

Wie Ellipse und Parabel lassen sich Hyperbeln als Ortskurven in der Ebene definieren (s. Abschnitt Definition einer Hyperbel als Ortskurve).

Jede Hyperbel lässt sich in einem geeigneten Koordinatensystem durch die Gleichung
 beschreiben (s. Abschnitt Gleichung).

Die Hyperbel wurde von Menaichmos entdeckt. Die von Apollonios von Perge eingeführte Bezeichnung kommt aus dem Griechischen und bezieht sich auf die Übertreibung (, von altgriechisch , ) des Schnittwinkels (oder der numerischen Exzentrizität , s. unten) beim Kegelschnitt: Mit steigendem Schnittwinkel verwandelt sich der Kreis () erst zu immer länglicheren Ellipsen und dann über die Parabel ( und die schneidende Ebene ist parallel zu einer Tangentialebene des Kegels) zu Hyperbeln mit .

Definition einer Hyperbel als Ortskurve 

Eine Hyperbel ist definiert als die Menge aller Punkte  der Zeichenebene , für die der Betrag der Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den sogenannten Brennpunkten  und , konstant gleich  ist:

Der Mittelpunkt  der Brennpunkte heißt Mittelpunkt der Hyperbel. Die Verbindungsgerade der Brennpunkte ist die Hauptachse der Hyperbel. Auf der Hauptachse liegen die beiden Scheitel  im Abstand  vom Mittelpunkt. Der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt Brennweite oder lineare Exzentrizität und wird üblicherweise mit  bezeichnet. Die in der Einleitung erwähnte dimensionslose numerische Exzentrizität  ist .

Dass der Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die steiler ist als die Mantellinien des Kegels und die Kegelspitze nicht enthält, eine Hyperbel ist, zeigt man, indem man die obige definierende Eigenschaft mit Hilfe der Dandelinschen Kugeln nachweist (s. Abschnitt Hyperbel als Kegelschnitt).

Bemerkung:
Die Gleichung  lässt sich auch so interpretieren:
Ist  der Kreis um  mit Radius , so hat  vom Kreis  denselben Abstand wie vom Brennpunkt :  Man nennt  den zu  gehörigen Leitkreis der Hyperbel. Er erzeugt den rechten Ast

der Hyperbel. Den linken Ast  erhält man analog mit dem zum Brennpunkt  gehörigen Leitkreis .
Die Erzeugung einer Hyperbel mit Leitkreisen sollte man nicht verwechseln mit der Erzeugung einer Hyperbel mit Leitlinien (siehe unten).

Aufgrund der Leitkreis-Eigenschaft ist ein Ast einer Hyperbel die Äquidistanz-Kurve zu einem ihrer Brennpunkte und dem Leitkreis mit dem anderen Brennpunkt als Mittelpunkt.

Hyperbel in 1. Hauptlage

Gleichung 
Die Gleichung der Hyperbel erhält eine besonders einfache Form, wenn sie in 1. Hauptlage liegt, das heißt, dass die beiden Brennpunkte auf der -Achse symmetrisch zum Ursprung liegen; bei einer Hyperbel in 1. Hauptlage haben also die Brennpunkte die Koordinaten  und  (mit e = lineare Exzentrizität), und die Scheitel haben die Koordinaten
 und .

Für einen beliebigen Punkt  in der Ebene ist der Abstand zum Brennpunkt  gleich
 und zum anderen Brennpunkt . Der Punkt  liegt also genau dann auf der Hyperbel, wenn die Differenz dieser beiden Ausdrücke gleich  oder gleich  ist.

Durch algebraische Umformungen und mit der Abkürzung  kann man zeigen, dass die Gleichung

zur Gleichung

äquivalent ist. Letztere Gleichung nennt man die Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage.

Scheitel 
Eine Hyperbel besitzt nur zwei Scheitel:  und . Im Gegensatz zur Ellipse sind hier  und  keine Kurvenpunkte. Letztere werden deswegen auch imaginäre Nebenscheitel genannt. Die Gerade durch die Nebenscheitel heißt Nebenachse. Die Hyperbel liegt symmetrisch zur Haupt- und Nebenachse.

Asymptoten 

Löst man die Hyperbelgleichung nach  auf, so erhält man

Hier erkennt man, dass sich die Hyperbel für betragsmäßig große  an die Geraden

beliebig dicht annähert. Diese Geraden gehen durch den Mittelpunkt und heißen die Asymptoten der Hyperbel

Halbparameter p 
Die halbe Länge einer Hyperbelsehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter (manchmal auch Quermaß oder nur Parameter)  der Hyperbel. Er lässt sich berechnen durch

Weitere Bedeutung von :
 ist der Scheitelkrümmungskreisradius,
d. h.,  ist der Radius desjenigen Kreises durch einen Scheitel, der sich an die Hyperbel im Scheitel am besten anschmiegt. (Siehe unten: Formelsammlung/Scheitelgleichung.)

Tangente 
Die Gleichung der Tangente in einem Hyperbelpunkt  findet man am einfachsten durch implizites Differenzieren der Hyperbelgleichung :

Unter Berücksichtigung von  ergibt sich:

Gleichseitige Hyperbel 
Eine Hyperbel, für die  gilt, heißt gleichseitige Hyperbel. Ihre Asymptoten stehen senkrecht aufeinander. Die lineare Exzentrizität ist , die numerische Exzentrizität  und der Halbparameter ist .

Parameterdarstellung mit Hyperbelfunktionen 
Mit den Hyperbelfunktionen  ergibt sich eine (zur Ellipse analoge) Parameterdarstellung der Hyperbel :

Hyperbel in 2. Hauptlage 
Vertauscht man  und , so erhält man Hyperbeln in 2. Hauptlage:

Hyperbel mit einer Gleichung y=A/x 

Dreht man das x-y-Koordinatensystem um den Winkel  und nennt die neuen Koordinaten , so ist .
Die gleichseitige Hyperbel  (die Halbachsen sind gleich lang!) hat in den neuen Koordinaten die Gleichung .
Löst man diese Gleichung nach  auf, erhält man 

Also ist (in einem x-y-Koordinatensystem) der Graph der Funktion  mit der Gleichung
  eine gleichseitige Hyperbel mit
 den Koordinatenachsen als Asymptoten,
 der Gerade  als Hauptachse,
 dem Mittelpunkt  und den Halbachsen 
 den Scheiteln 
 dem Halbparameter und Scheitelkrümmungskreisradius 
 der linearen Exzentrizität  und der numerischen Exzentrizität 
 der Tangente  im Punkt 

Dreht man die ursprüngliche Hyperbel um  (dies entspricht einer Drehung des Koordinatensystems um ), so erhält man eine gleichseitige Hyperbel mit der Gleichung
  mit
 den Halbachsen 
 der Gerade  als Hauptachse,
 den Scheiteln 

Verschiebt man die Hyperbel mit der Gleichung  so, dass der Punkt  der Mittelpunkt der verschobenen Hyperbel ist, so hat die verschobene Hyperbel die Gleichung
 
Die verschobene Hyperbel hat die Asymptoten  und .
Die Parameter  ändern sich bei einer Verschiebung nicht.

Hyperbel als Kegelschnitt 

Schneidet man einen geraden Kreiskegel mit einer Ebene , deren Neigung größer als die Neigung der Mantellinien des Kegels ist und die nicht durch die Kegelspitze geht, so ergibt sich eine Hyperbel als Schnittkurve (s. Bild, rote Kurve). Den Nachweis der definierenden Eigenschaft bzgl. der Brennpunkte (s. oben) führt man mit Hilfe zweier Dandelinscher Kugeln , das sind Kugeln, die den Kegel in Kreisen  bzw.  und die Hyperbelebene in Punkten  bzw.  berühren. Es stellt sich heraus, dass  die Brennpunkte der Schnitthyperbel sind.
  sei ein beliebiger Punkt der Schnittkurve.
 Die Mantellinie durch  schneidet den Kreis  in einem Punkt  und den Kreis  in einem Punkt .
 Die Strecken  und  sind tangential zur Kugel  und damit gleich lang.
 Die Strecken  und  sind tangential zur Kugel  und damit auch gleich lang.
 Also ist  und damit unabhängig vom Hyperbelpunkt .

Tangente als Winkelhalbierende 

Für eine Hyperbel gilt:
 Die Tangente in einem Punkt  ist die Winkelhalbierende der Brennstrahlen 
Daraus folgt: Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, wird demnach an der Hyperbeltangente so reflektiert, dass er vom anderen Brennpunkt auszugehen scheint.

 Beweis
Zum Beweis verwendet man den Hilfspunkt  auf dem Brennstrahl , der von  den Abstand  hat (s. Bild,  ist die Halbachse der Hyperbel). Die Gerade  ist die Winkelhalbierende der Brennstrahlen. Um nachzuweisen, dass  die Tangente im Punkt  ist, zeigt man, dass jeder von  verschiedene Punkt  von  nicht auf der Hyperbel liegen kann. Also kann  die Hyperbel nur im Punkt  schneiden und ist damit die Tangente in . Aus der Zeichnung ist ersichtlich (Dreiecksungleichung), dass  ist, d. h., es ist . Wenn  ein Hyperbelpunkt wäre, müsste die Differenz gleich  sein.

Da eine Winkelhalbierende leicht zu zeichnen ist, bietet diese Eigenschaft eine einfache Möglichkeit die Tangente in einem Hyperbelpunkt zu konstruieren. Falls statt der zwei Brennpunkte die zwei Asymptoten bekannt sind, kann man die im Abschnitt Tangentenkonstruktion beschriebene Methode verwenden.

Leitlinien-Eigenschaft 

Mit dem Begriff Direktrix oder Leitlinie bezeichnet man die beiden Parallelen zur Nebenachse im Abstand . Für einen beliebigen Punkt  der Hyperbel ist das Verhältnis zwischen den Abständen zu einem Brennpunkt und zur zugehörigen Leitlinie gleich der numerischen Exzentrizität:
 
Zum Beweis zeigt man, dass für  und  die Gleichung

erfüllt ist.

Umgekehrt kann man einen Punkt (als Brennpunkt) und eine Gerade (als Leitlinie) sowie eine reelle Zahl  mit  vorgeben und eine Hyperbel definieren als
 Menge aller Punkte der Ebene, für die das Verhältnis der Abstände zu dem Punkt und zu der Geraden gleich  ist.
Wählt man , so erhält man eine Parabel. Für  ergibt sich eine Ellipse.

Zum Beweis geht man von  und der Vorgabe, dass  ein Kurvenpunkt ist, aus. Die Leitlinie  wird dann durch die Gleichung  beschrieben. Für  folgt aus 
 und hieraus 
Mit der Abkürzung  erhält man

Dies ist die Scheitelgleichung einer Ellipse (), einer Parabel () oder einer Hyperbel (). Siehe Abschnitt Formelsammlung.

Führt man im Fall  neue Konstanten  so ein, dass
 ist, so geht die Scheitelgleichung in

über. Dies ist die Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt , -Achse als Hauptachse und Halbachsen .

Konstruktion einer Leitlinie:

Wegen  sind der Punkt  der Leitlinie (siehe Bild) und der Brennpunkt  bezüglich der Spiegelung am großen Scheitelkreis (im Bild grün) invers. Damit kann  wie im Bild gezeigt aus  mit Hilfe des großen Scheitelkreises konstruiert werden: Der Punkt  ist der Schnittpunkt des Scheitelkreises mit dem Thaleskreis (hier nicht gezeichnet) über . Man rechnet nach, dass  auch auf der Asymptote liegt. Damit gibt es die weitere Konstruktion von  als Lotfußpunkt des Lotes von  auf die Asymptote (siehe Bild). Die Leitlinie  ist schließlich das Lot von  auf die große Achse.

Fadenkonstruktion einer Hyperbel 

Die Definition einer Hyperbel mit Hilfe eines Leitkreises (s. o.) bietet eine einfache Möglichkeit, mit Hilfe eines Fadens und eines Lineals einen Hyperbelbogen zu zeichnen:

(0) Wahl der Brennpunkte  und des Abstandes  der Scheitel; der Radius des Leitkreises ist auch 
(1) Das Lineal wird mit einem Ende im linken Brennpunkt drehbar befestigt und der Punkt  im Abstand  an der Kante markiert
(2) Faden (blau) der Länge 
(3) Befestigung des einen Fadenendes im Punkt  des Lineals, das andere Ende im Brennpunkt 
(4) Mit einem Stift den Faden so spannen, dass er an der Linealkante  anliegt
(5) Durch Drehen des Lineals um den Punkt  überstreicht der Stift einen Hyperbelbogen, denn es ist  (Leitkreiseigenschaft).

Steiner-Erzeugung einer Hyperbel 

Die folgende Idee, einzelne Punkte einer Hyperbel zu konstruieren, beruht auf der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner):
 Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten  (alle Geraden durch den Punkt  bzw. ) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung  des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nichtausgearteten Kegelschnitt.

Für die Erzeugung einzelner Punkte der Hyperbel  gehen wir von den Geradenbüscheln in den Scheiteln  aus. Seien nun  ein Punkt der Hyperbel und . Wir unterteilen die Rechteckseite  in n gleiche Stücke und übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung der Diagonalen  auf die Strecke  (s. Bild). Die benutzte Parallelprojektion vermittelt die nötige projektive Abbildung der Büschel in  und . Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden  und  liegen dann auf der durch die Vorgaben eindeutig bestimmten Hyperbel.

Bemerkung: Die Unterteilungen lassen sich jenseits der Punkte  bzw.  fortsetzen, um weitere Punkte zu konstruieren. Da aber dann schleifende Schnitte und eine sehr ungleiche Punkteverteilung auftreten, ist es besser, die Konstruktion der obigen Punkte symmetrisch auf die anderen Hyperbelteile zu übertragen (s. Animation).

Bemerkung:
 Auch für Ellipsen und Parabeln gibt es die Steiner-Erzeugung. Im Parabelfall lässt sich die Behauptung leicht nachrechnen.
 Die Steiner-Erzeugung wird auch Parallelogramm-Methode genannt, da man statt der Scheitel auch andere Hyperbelpunkte auf einem Hyperbeldurchmesser verwenden kann. Dann tritt ein Parallelogramm statt eines Rechtecks auf.

Hyperbel als affines Bild der Einheitshyperbel 

Eine andere Definition der Hyperbel benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die Affinität. Hier ist die Hyperbel als affines Bild der Einheitshyperbel  definiert.

Parameterdarstellung
Eine affine Abbildung in der reellen Ebene hat die Form , wobei  eine reguläre Matrix (Determinante nicht 0) und  ein beliebiger Vektor ist. Sind  die Spaltenvektoren der Matrix , so wird die Einheitshyperbel  auf die Hyperbel
 
abgebildet.  ist der Mittelpunkt,  ein Punkt der Hyperbel und  Tangentenvektor in diesem Punkt.  stehen i. a. nicht senkrecht aufeinander. D. h.  sind i. A. nicht die Scheitel der Hyperbel. Aber  sind die Richtungsvektoren der Asymptoten. Diese Definition einer Hyperbel liefert eine einfache Parameterdarstellung einer beliebigen Hyperbel.

Scheitel, Scheitelform
Da in einem Scheitel die Tangente zum zugehörigen Hyperbeldurchmesser senkrecht steht und die Tangentenrichtung in einem Hyperbelpunkt

ist, ergibt sich der Parameter  eines Scheitels aus der Gleichung

und damit aus

zu

Es wurden die Formeln  benutzt.

Falls  ist, ist  und die Parameterdarstellung schon in Scheitelform.

Die zwei Scheitel der Hyperbel sind 

Aus

und den Additionstheoremen für die Hyperbelfunktionen ergibt sich die Scheitelform der Parameterdarstellung der Hyperbel:

Beispiele

 liefert die übliche Parameterdarstellung der Hyperbel mit der Gleichung 
 liefert die Parameterdarstellung der Hyperbel, die aus der Hyperbel  durch Drehung um den Winkel  und anschließende Verschiebung um  hervorgeht. Die Parameterdarstellung ist schon in Scheitelform. D. h.,  sind die Scheitel der Hyperbel.
 liefert die Hyperbel mit der Gleichung  Beim Nachweis von  verwende man 
 Bildet man die Hyperbel  mit affinen Abbildungen der Form  ab, so erhält man die Schar  aller Hyperbeln mit achsenparallelen Asymptoten. Der Mittelpunkt solch einer Hyperbel ist  Die Besonderheit dieser Hyperbelschar ist, dass sie sich als Funktionsgraphen darstellen lassen.
 Die Parameterdarstellung
 einer Hyperbel ist nicht in Scheitelform.
 Der Scheitelparameter ergibt sich aus  zu 
 Die Scheitelform der Parameterdarstellung ist:

 Die Scheitel sind  und
 die Halbachsen 

implizite Darstellung
Löst man die Parameterdarstellung mit Hilfe der Cramerschen Regel nach  auf und verwendet , erhält man die implizite Darstellung
.

Hyperbel im Raum
Sind die Vektoren  aus dem , so erhält man eine Parameterdarstellung einer Hyperbel im Raum.

Hyperbel als affines Bild der Hyperbel y=1/x 
Da die Einheitshyperbel  zur Hyperbel  äquivalent ist (s. o.), kann man eine beliebige Hyperbel auch als affines Bild der Hyperbel  auffassen:

 ist der Mittelpunkt der Hyperbel,  zeigen in Richtung der Asymptoten und  ist ein Punkt der Hyperbel.

Für den Tangentenvektor ergibt sich

In einem Scheitel steht die Tangente zum zugehörigen Hyperbeldurchmesser senkrecht, d. h., es ist

Also ist der Scheitelparameter

Für  ist  und  sind die Scheitel der Hyperbel.

Tangentenkonstruktion 

Der Tangentenvektor kann durch Ausklammern von  so geschrieben werden:

D. h., in dem Parallelogramm  ist die Diagonale  parallel zur Tangente im Hyperbelpunkt  (s. Bild). Diese Eigenschaft bietet eine einfache Möglichkeit, die Tangente in einem Hyperbelpunkt zu konstruieren.

Bemerkung: Diese Eigenschaft einer Hyperbel ist eine affine Version der 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal.

Punktkonstruktion 

Eine weitere Eigenschaft einer Hyperbel erlaubt die Konstruktion von Hyperbelpunkten, falls die Asymptoten und ein Punkt der Hyperbel bekannt sind:

Für eine Hyperbel mit der Parameterdarstellung  (der Mittelpunkt wurde der Einfachheit halber als Nullpunkt angenommen) gilt:

Sind  zwei Hyperbelpunkte, so liegen die Punkte

auf einer Geraden durch den Mittelpunkt (s. Bild). Der einfache Beweis ergibt sich aus .

Bemerkung: Diese Eigenschaft einer Hyperbel ist eine affine Version der 4-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal.

Tangenten-Asymptoten-Dreieck 

Für die folgenden Überlegungen, nehmen wir der Einfachheit halber an, dass der Mittelpunkt sich im Nullpunkt (0,0) befindet und dass die Vektoren  die gleiche Länge haben. Falls Letzteres nicht der Fall sein sollte, wird die Parameterdarstellung zuerst in Scheitelform gebracht (s. o.). Dies hat zur Folge, dass  die Scheitel und  die Nebenscheitel sind. Also ist  und .

Berechnet man die Schnittpunkte der Tangente in dem Hyperbelpunkt  mit den Asymptoten, so erhält man die beiden Punkte

Der Flächeninhalt des Dreiecks  lässt sich mit Hilfe einer 2×2-Determinante ausdrücken:

S. Rechenregeln für Determinanten.
 ist der Flächeninhalt der von  aufgespannten Raute. Der Flächeninhalt einer Raute ist gleich der Hälfte des Diagonalenproduktes. Die Diagonalen dieser Raute sind die Halbachsen . Also gilt:
 Der Flächeninhalt des Dreiecks  ist unabhängig vom Hyperbelpunkt

Affine Selbstabbildungen der Hyperbel y=1/x 
Nicht jede affine Abbildung der reellen affinen Ebene (s. vorigen Abschnitt) bildet die Hyperbel  auf eine andere Hyperbel ab. Die folgenden affinen Abbildungen lassen die Hyperbel  als Ganzes invariant:
 
 

Spezialfälle:
 Für  bleibt jeder Punkt der Ebene fest. Diese Abbildung heißt Identität.
 Für  wird jeder Punkt der Hyperbel bewegt, d. h., es gibt keinen Fixpunkt auf der Hyperbel.
 Für  ist die Abbildung die Punktspiegelung am Nullpunkt.
 Für  ist die Abbildung die „normale“ Spiegelung an der Geraden .
 Für  ist die Abbildung die Schrägspiegelung an der Gerade  in Richtung der Geraden . (Siehe Abschnitt Mittelpunkte paralleler Sehnen.)

Mittelpunkte paralleler Sehnen 

Für jede Hyperbel gilt:
 Die Mittelpunkte paralleler Sehnen (s. Bild) liegen auf einer Geraden durch den Mittelpunkt der Hyperbel.
D. h., zu jedem Punktepaar  einer Sehne  gibt es eine Schrägspiegelung an einer Geraden durch den Mittelpunkt der Hyperbel, die die Punkte  vertauscht und die Hyperbel auf sich abbildet. Dabei versteht man unter einer Schrägspiegelung eine Verallgemeinerung einer gewöhnlichen Spiegelung an einer Geraden , bei der alle Strecken Punkt–Bildpunkt zwar zueinander parallel, aber nicht unbedingt senkrecht zur Spiegelachse  sind.

Den Nachweis dieser Eigenschaft führt man am einfachsten an der Hyperbel  durch. Da alle Hyperbeln affine Bilder der Einheitshyperbel und damit auch von der Hyperbel  sind und bei einer affinen Abbildung Mittelpunkte von Strecken in die Mittelpunkte der Bildstrecken übergehen, gilt die obige Eigenschaft für alle Hyperbeln.

Bemerkung:
Die Punkte der Sehne  dürfen auch auf verschiedenen Ästen der Hyperbel liegen.

Eine Folgerung dieser Symmetrie ist: Die Asymptoten der Hyperbel werden bei der Schrägspiegelung vertauscht und der Mittelpunkt  einer Hyperbelsehne  halbiert auch die zugehörige Strecke  zwischen den Asymptoten, d. h., es gilt . Diese Eigenschaft kann man benutzen, um bei bekannten Asymptoten und einem Punkt  beliebig viele weitere Hyperbelpunkte  zu konstruieren, indem man die jeweilige Strecke  zur Konstruktion von  verwendet.

Entartet die Sehne  zu einer Tangente, so halbiert der Berührpunkt den Abschnitt zwischen den Asymptoten.

Pol-Polare-Beziehung 

Eine Hyperbel lässt sich in einem geeigneten Koordinatensystem immer durch eine Gleichung der Form  beschreiben. Die Gleichung der Tangente in einem Hyperbelpunkt  ist

Lässt man in dieser Gleichung zu, dass  ein beliebiger vom Nullpunkt verschiedener Punkt der Ebene ist, so wird dem Punkt  die Gerade  zugeordnet. Diese Gerade geht nicht durch den Mittelpunkt der Hyperbel.

Umgekehrt kann man
 der Geraden  den Punkt  bzw.
 der Geraden  den Punkt 
zuordnen. Solch eine Zuordnung Punkt ↔ Gerade nennt man eine Polarität oder Pol-Polare-Beziehung. Der Pol ist der Punkt, die Polare ist die zugehörige Gerade.

Die Bedeutung dieser Pol-Polare-Beziehung besteht darin, dass die möglichen Schnittpunkte der Polare eines Punktes mit der Hyperbel die Berührpunkte der Tangenten durch den Pol an die Hyperbel sind.
 Liegt der Punkt (Pol) auf der Hyperbel, so ist seine Polare die Tangente in diesem Punkt (s. Bild: ).
 Liegt der Pol außerhalb der Hyperbel, so sind die Schnittpunkte der Polare mit der Hyperbel die Berührpunkte der Tangenten durch den Pol an die Hyperbel (s. Bild: ).
 Liegt der Punkt innerhalb der Hyperbel, so hat seine Polare keinen Schnittpunkt mit der Hyperbel (s. Bild: ).

Zum Beweis: Die Bestimmung der Schnittpunkte der Polare eines Punktes  mit der Hyperbel  und die Suche nach Hyperbelpunkten, deren Tangenten den Punkt  enthalten, führen auf dasselbe Gleichungssystem.

Bemerkungen:
 Der Schnittpunkt zweier Polaren (z. B. im Bild: ) ist der Pol der Verbindungsgeraden der zugehörigen Pole (hier: ).
 Der Brennpunkt  bzw.  und die Leitlinie  bzw.  sind zueinander polar.
 Geraden durch den Mittelpunkt der Hyperbel haben keine Pole. Man sagt: „Ihre Pole liegen auf der Ferngeraden.“
 Der Mittelpunkt der Hyperbel hat keine Polare, „sie ist die Ferngerade“.
 Pol-Polare-Beziehungen gibt es auch für Ellipsen und Parabeln. Siehe auch projektiver Kegelschnitt.

Orthogonale Tangenten 

Für eine Hyperbel  liegen die Schnittpunkte orthogonaler Tangenten auf dem Kreis . (Im Fall  gibt es keine orthogonalen Tangenten.)

Diesen Kreis nennt man die orthoptische Kurve der gegebenen Hyperbel.

Hyperbeln der Form y=a/(x−b)+c

Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln 
Hyperbeln der Form  sind Funktionsgraphen, die durch die drei Parameter  eindeutig bestimmt sind. Man benötigt also drei Punkte, um diese Parameter zu ermitteln. Eine schnelle Methode beruht auf dem Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln.

Um einen Winkel zwischen zwei Sehnen zu messen, führen wir für zwei Geraden, die weder zur - noch zur -Achse parallel sind, ein Winkelmaß ein:

 Für zwei Geraden  messen wir den zugehörigen Winkel mit der Zahl .

Zwei Geraden sind parallel, wenn  und damit das Winkelmaß gleich 1 ist.

Analog zum Peripheriewinkelsatz für Kreise gilt hier der

Peripheriewinkelsatz (für Hyperbeln):
 Für vier Punkte  (s. Bild) gilt:
 Die vier Punkte liegen nur dann auf einer Hyperbel der Form , wenn die Winkel bei  und  im obigen Winkelmaß gleich sind, d. h., wenn:

(Beweis durch Nachrechnen. Dabei kann man für die eine Richtung voraussetzen, dass die Punkte auf einer Hyperbel y=a/x liegen.)

3-Punkte-Form einer Hyperbel 
Analog zur 2-Punkte-Form einer Geraden (Steigungswinkel werden mit der Steigung gemessen) folgt aus dem Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln die

3-Punkte-Form (für Hyperbeln):
 Die Gleichung der Hyperbel durch drei Punkte  ergibt sich durch Auflösen der Gleichung

 nach y.

Formelsammlung

Hyperbelgleichung 
Eine Hyperbel mit Mittelpunkt (0|0) und -Achse als Hauptachse erfüllt die Gleichung

Die Asymptoten der zugehörigen Hyperbel sind die Geraden:

Brennpunkte sind:

Eine Hyperbel mit Mittelpunkt  und der Geraden  als Hauptachse erfüllt die Gleichung

Eine beliebige Hyperbel, deren Asymptoten die Geraden mit den Gleichungen  sind, besitzt eine Gleichung der Form

Z. B.: Sind die Asymptoten die Koordinatenachsen , ergeben sich alle Hyperbeln mit einer Gleichung .

Scheitelgleichung 

Die Schar der Hyperbeln, deren Achse die -Achse, ein Scheitel der Punkt (0,0) und der Mittelpunkt (–a,0) ist, lässt sich durch die Gleichung

beschreiben.

Für Hyperbeln gilt . Setzt man in dieser Gleichung
, so erhält man einen Kreis,
 für  eine Ellipse,
 für  eine Parabel.
Die Kegelschnitte haben bei gleichem Halbparameter  alle denselben Krümmungskreisradius im Scheitel S:

Parameterdarstellungen 
für die Hyperbel mit der Gleichung :

1: 

2: 

3:  (Darstellung mit rationalen Funktionen).

4: Tangentensteigung als Parameter:

Eine Parameterdarstellung, die die Tangentensteigung  in dem jeweiligen Hyperbelpunkt verwendet, erhält man analog zum Fall der Ellipse, indem man dort  durch  ersetzt und Formeln für die hyperbolischen Funktionen verwendet:

Hierbei ist  die obere und  die untere Hälfte der Hyperbel. Die Punkte mit senkrechten Tangenten (Scheitel ) werden durch diese Parameterdarstellung nicht erfasst.

Die Gleichung der Tangente im Punkt  ist

Diese Gleichung ist ein wesentliches Hilfsmittel bei der Bestimmung der orthoptischen Kurve einer Hyperbel.

In Polarkoordinaten 

Man beachte
 im ersten Fall (Pol ist der Mittelpunkt der Hyperbel), dass der Radikand negativ werden kann. Für solche Winkel ergeben sich keine Hyperbelpunkte.
 Im zweiten Fall (Pol ist ein Brennpunkt der Hyperbel) liegen auf jedem Strahl, für den der Nenner nicht 0 ist, zwei Hyperbelpunkte (wegen ). Für  ergeben sich die beiden Scheitel.

Winkel zur Hauptachse, Pol im Mittelpunkt (0,0):

Winkel zur Hauptachse, Pol in einem Brennpunkt (s. Kegelschnitt):

Tangentengleichung 
Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als -Achse, Berührpunkt 

Mittelpunkt , Hauptachse parallel zur -Achse, Berührpunkt

Krümmungskreisradius 
Der Krümmungskreisradius der Hyperbel  in den beiden Scheiteln  ist
 (wie bei einer Ellipse in den Hauptscheiteln).

Hyperbel als Trisektrix 

Bereits Pappos von Alexandria nutzte im 4. Jahrhundert für seine Lösung des Problems Dreiteilung eines Winkels diese Eigenschaft der Hyperbel als zusätzliches Hilfsmittel. Erwiesenermaßen gibt es bei Beschränkung auf die „euklidischen Werkzeuge“ Zirkel und Lineal keine Lösung.

Die im Folgenden beschriebene Methode ist weitgehend dem Aufsatz Zur Trisektion des Winkels von K. Matter (1902) entnommen. In der darin gezeigten Konstruktion liegt der Winkelscheitel  im Gegensatz zu der nach Pappos, nicht auf der Ordinate der Hyperbel. Nimmt man für unterschiedliche Winkelweiten stets die gleiche Sehnenlänge  so können mit nur einer konstruierten Hyperbel die Winkelweiten ab ca.  bis  bei genügenden Platzverhältnissen bereits ab nahe  gedrittelt werden. Die Bezeichnungen der Hyperbel wurden dem derzeit üblichen Stand angepasst.

Als Vorüberlegung stellt man sich z. B. einen Winkel  als Teil eines Kreissektors vor, in dem der Punkt  den Kreisbogen  im Verhältnis  teilt. Ein darin eingezeichnetes Dreieck  mit der Sehne  erhält somit gemäß Kreiswinkelsatz am Scheitel  den Winkel  und am Scheitel  den Winkel  Ist der Scheitel  der Koordinatenursprung des kartesischen Koordinatensystems, gilt für den Punkt  die -Koordinate (Strecke )
(1) 
Elimination des 
 Terme der Gleichung (1) umformen
(2) 
(3)  ist eine Doppelwinkelfunktion, deshalb gilt auch
(4) 
(2) einsetzen in (4)
(5) 
 (5) und (3) gleichsetzen, quasi  eliminieren
(6) 
 somit gilt für 
(7) 
schließlich bekommt man die Hyperbelgleichung
 

Daraus ergeben sich konstruktionsrelevante Merkmale, die auch ohne Verwendung des kartesischen Koordinatensystems gelten, d. h. eine bestimmte Richtung oder Position der Sehne  ist nicht erforderlich:

 der Mittelpunkt liegt auf der Sehne 
 die Halbachse 
 die Exzentrizität 
 der linke Hyperbelast verläuft durch den Scheitel  (im Weiteren mit Scheitel  bezeichnet).

Die eigentliche Konstruktion beginnt mit dem Positionieren des Winkelscheitels  und dem Einzeichnen der beiden Winkelschenkel, die eine beliebige Winkelweite des Winkels  einschließen. Anschließend wird ein Kreisbogen um  mit frei wählbarem Radius gezogen; dabei ergeben sich an den Winkelschenkeln der erste Brennpunkt  und der zweite Scheitel  der späteren Hyperbel. Es folgt eine Gerade durch die Punkte  und  Die Strecke  ist quasi die Sehne  Nach dem Dritteln der Sehne  in  und  wird die Strecke  ab  auf die Gerade abgetragen, daraus ergeben sich für die gesuchte Hyperbel der zweite Brennpunkt  sowie die
 Halbachse  und die
 Exzentrizität 

Nun wird die Hyperbel mithilfe der Brennpunkte   des Scheitelpunktes  sowie z. B. mittels einer Dynamische-Geometrie-Software (DGS) oder einem mechanischen Hyperbelzirkel eingezeichnet.

Der rechte Hyperbelast schneidet in  den Kreisbogen  und liefert den  Abschließend bedarf es nur noch einer Halbgeraden ab  durch

Hyperbeln als ebene Schnitte von Quadriken 
Folgende Flächen zweiter Ordnung (Quadriken) besitzen Hyperbeln als ebene Schnitte:
 Elliptischer Kegel (siehe auch Kegelschnitt)
 Hyperbolischer Zylinder
 Hyperbolisches Paraboloid
 Einschaliges Hyperboloid
 Zweischaliges Hyperboloid

Hyperbel y=1/x über einem beliebigen Zahlkörper 
Betrachtet man in einer affinen Ebene über einem beliebigen (kommutativen) Körper  die Punktmenge, die der Hyperbelgleichung  genügt, so bleiben viele Eigenschaften des reellen Falls, die mit „schneiden“, „verbinden“ und „parallel“ formuliert werden und deren Beweise nur Multiplikation/Division und Addition/Subtraktion verwenden, erhalten. Z. B.:
 Eine Gerade schneidet die Hyperbel  in höchstens zwei Punkten.
 Durch jeden Hyperbelpunkt  gibt es außer den achsenparallelen Geraden  genau eine Gerade, die mit der Hyperbel nur den Punkt  gemeinsam hat, die Tangente: . Eine Gerade ohne Schnittpunkt heißt Passante, eine mit zwei Schnittpunkten Sekante.

Unterschiede zum reellen Fall:
 Für  (rationale Zahlen) ist die Gerade  eine Passante, denn die Gleichung  hat in  keine Lösung.
 Für  (komplexe Zahlen) gibt es keine Passanten. Z. B.:  schneidet die Hyperbel in den Punkten .
 Hat der Körper die Charakteristik 2 (d. h., es gilt 1 + 1 = 0), so gibt es unter den Geraden  keine Sekanten, da jede Gleichung  im Fall Charakteristik 2 höchstens eine Lösung hat (es gibt kein „“). Die Tangente im Hyperbelpunkt  hat (bei Charakteristik 2) die Gleichung . D. h., alle Tangenten gehen durch den Nullpunkt (0,0).

Siehe auch 
 Konfokale Kegelschnitte
 Hyperbelzirkel des Frans van Schooten
 Trisektrix

Vorkommen

Literatur 
 Peter Proff: Die Deutung der Begriffe „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ nach Apollonios v. Perge. In: „gelêrter der arzeniê, ouch apotêker“. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Festschrift zum 70. Geburtstag von Willem F. Daems. Hrsg. von Gundolf Keil, Horst Wellm Verlag, Pattensen/Hannover 1982 (= Würzburger medizinhistorische Forschungen, 24), ISBN 3-921456-35-5, S. 17–34.

Weblinks 
 
 Fadenkonstruktion einer Hyperbel. Geogebra
 
 Berechnungen zu Hyperbeln (JavaScript)
 
 Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen. 1659

Einzelnachweise 

Kurve (Geometrie)