Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna, moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo  jest wartością bezwzględną tak liczby  jak liczby 

Uogólnienia wartości bezwzględnej liczb rzeczywistych można odnaleźć w wielu innych miejscach. Przykładowo wartość bezwzględną można zdefiniować dla liczb zespolonych, kwaternionów, pierścieni uporządkowanych, ciał czy przestrzeni liniowych. W wielu różnych kontekstach matematycznych i fizycznych pojęcie wartości bezwzględnej wykazuje bliski związek z pojęciami wielkości, odległości, czy też metryki oraz normy.

Terminologia i notacja 
Wprowadzenie terminu „moduł”, jako jednostki miary we francuskim, przypisuje się Jean-Robertowi Argandowi w 1806 roku, szczególnie w odniesieniu do liczb zespolonych. Niżej „wartość bezwzględna” odnosić się będzie przede wszystkim do liczb rzeczywistych, „moduł” zaś do liczb zespolonych i kwaternionów, ciał i pierścieni.

Notacja  oznaczająca wartość bezwzględną  została wprowadzona przez Karla Weierstrassa w 1841 roku. Innym oznaczeniem, stosowanym przede wszystkim w informatyce, jest

Definicja i własności

Liczby rzeczywiste 

Dla dowolnej liczby rzeczywistej  jej wartość bezwzględną lub moduł, oznaczany symbolem  (kreska pionowa po obu stronach liczby) definiuje się jako
 

Z powyższej definicji wynika, że wartość bezwzględna  jest zawsze liczbą nieujemną (dodatnią bądź zerem). Ten sam symbol stosuje się niekiedy do oznaczenia kardynalności (mocy) zbioru; znaczenie zależy od kontekstu.

Z punktu widzenia geometrii analitycznej wartość bezwzględna liczby rzeczywistej jest odległością tej liczby od zera wzdłuż prostej rzeczywistej; w ogólności wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb rzeczywistych odpowiada odległości między nimi. Istotnie, matematyczne pojęcie abstrakcyjnej funkcji odległości może być postrzegane jako uogólnienie bezwzględnej wartości różnicy (zob. sekcję Odległość).

Ponieważ zapis pierwiastka kwadratowego bez znaku oznacza nieujemny pierwiastek kwadratowy, to

wzór ten niekiedy bywa nawet używany jako definicja wartości bezwzględnej.

Wartość bezwzględna ma następujące cztery podstawowe własności:
 
 
 
 

Wśród innych, ważnych własności wartości bezwzględnej należy wymienić:
 
 
 
 
 

Jeżeli  to prawdziwe są także następujące dwie nierówności:
 
 

Zależności te wykorzystywane są do rozwiązywania nierówności zawierających wartości bezwzględne:

Liczby zespolone 

Ponieważ liczby zespolone nie są uporządkowane, to powyższa definicja dla liczb rzeczywistych nie może być wprost uogólniona na liczby zespolone. Jednakże tożsamość dana w równaniu :
 

może być postrzegana jako motywacja następującej definicji.

Dla dowolnej liczby zespolonej
 

gdzie  oraz  są liczbami rzeczywistymi, moduł bądź wartość bezwzględna liczby  oznaczane symbolem  są zdefiniowane wzorem
 

Wynika z niego, że wartość bezwzględna liczby rzeczywistej  jest równa modułowi tej liczby postrzeganej jako liczba zespolona, gdyż
 

Podobnie jak dla interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej liczb rzeczywistych, z twierdzenia Pitagorasa wynika, że moduł liczby zespolonej jest odległością tej liczby od początku płaszczyzny zespolonej i ogólniej, że moduł różnicy dwóch liczb zespolonych jest równy ich odległości.

Zespolona wartość bezwzględna dzieli wszystkie własności rzeczywistej wartości bezwzględnej podane we wzorach –. Dodatkowo, jeżeli
 

zaś
 

jest sprzężeniem zespolonym  to
 

oraz
 

przy czym ostatni wzór jest zespolonym odpowiednikiem wspomnianego wyżej równania .

Kwadrat modułu  dany jest wzorem
 

W notacji macierzowej liczba zespolona  dana jest jako macierz
 

wówczas moduł dany jest jako pierwiastek wyznacznika 
 

Ponieważ dodatnie liczby rzeczywiste tworzą podgrupę liczb zespolonych ze względu na mnożenie, to o module można myśleć jak o endomorfizmie grupy multiplikatywnej liczb zespolonych (zob. szczegóły).

Funkcje wartości bezwzględnej 
Funkcja rzeczywistej wartości bezwzględnej jest ciągła w każdym punkcie. Jest ona różniczkowalna wszędzie poza punktem  Funkcja ta maleje monotonicznie na przedziale  i rośnie monotonicznie na przedziale  w szczególności jest ona liniowa na każdym z powyższych przedziałów. Ponieważ liczba rzeczywista i liczba do niej przeciwna mają tę samą wartość bezwzględną, to wspomniana funkcja jest parzysta, przez co nie jest odwracalna.

Funkcja modułu zespolonej wartości bezwzględnej jest ciągła w każdym punkcie, ale jest nigdzie różniczkowalna (w sensie zespolonym), ponieważ nie spełnia równań Cauchy’ego-Riemanna.

Funkcje tak rzeczywista, jak i zespolona są idempotentne.

Pochodne 
Pochodną funkcji rzeczywistej wartości bezwzględnej jest funkcja znaku (signum),  zdefiniowana wzorem
 

dla  Funkcja wartość bezwzględnej nie jest różniczkowalna w  W zastosowaniach, w których konieczna może być dobrze określona pochodna korzysta się raczej z dobrze określonej w zerze podróżniczki. Gdzie funkcja wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej zwraca wartość, nie biorąc pod uwagę jej znaku, tam funkcja znaku zwraca znak liczby bez względu na jej wartość. Stąd
 

Funkcja znaku jest przypadkiem szczególnym funkcji skokowej Heaviside’a używanej w przetwarzaniu sygnałów, która jest definiowana jako
 

gdzie wartość funkcji Heaviside’a w zerze wybrana jest arbitralnie. W ten sposób dla wszystkich niezerowych punktów prostej rzeczywistej zachodzi
 

Wartość bezwzględna nie jest wklęsła w żadnym punkcie, zaś funkcja znaku jest stała w otoczeniu dowolnego punktu różnego od zera, stąd druga pochodna  względem  jest równa zeru wszędzie poza zerem, gdzie nie jest ona określona.

Funkcja wartości bezwzględnej jest również całkowalna – jej pierwotną jest
 

co można uzasadnić następująco (za pomocą całkowania przez części i faktu, iż ):

Odległość 
Wartość bezwzględna ma bliski związek z pojęciem odległości. Jak wspomniano wyżej, wartość bezwzględna liczby rzeczywistej bądź zespolonej jest odległością tej liczby od początku odpowiednio prostej rzeczywistej bądź płaszczyzny zespolonej; ogólniej wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb rzeczywistych lub zespolonych równa jest odległości, która je dzieli.

Standardowa odległość euklidesowa dwóch punktów
 

oraz
 

w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest zdefiniowana wzorem
 

Definicja ta może być postrzegana jako uogólnienie  ponieważ jeżeli  są rzeczywiste, to z równania  wynika, iż
 

Gdy
 

oraz
 

są liczbami zespolonymi, to
 

Powyższa uwaga pokazuje, że odległość „wartości bezwzględnej” liczb rzeczywistych, czy zespolonych pokrywa się z odległością euklidesową, którą dziedziczą poprzez postrzeganie ich odpowiednio jako jedno- i dwuwymiarowych przestrzeni euklidesowych.

Własności wartości bezwzględnej różnicy dwóch liczb rzeczywistych bądź zespolonych, przedstawione wyżej: nieujemność, identyczność nierozróżnialnych, symetria i nierówność trójkątna stanowią motywację dla definicji bardziej ogólnego pojęcia funkcji odległości (metryki):

Funkcja  o wartościach rzeczywistych określona na zbiorze  nazywana jest funkcją odległości bądź metryką na  jeżeli spełnia następujące cztery aksjomaty.

Wartość bezwzględna ma następujące cztery podstawowe własności:

Uogólnienia

Pierścienie uporządkowane 
Definicja wartości bezwzględnej dla liczb rzeczywistych może być łatwo rozszerzona na dowolny pierścień uporządkowany. Dokładniej, jeżeli  jest elementem pierścienia uporządkowanego  to wartość bezwzględną  elementu  definiuje się jako
 

gdzie  oznacza element przeciwny do  zaś  oznacza element neutralny dodawania.

Ciała 

Zasadnicze własności wartości bezwzględnej liczb rzeczywistych dane we wzorach - mogą posłużyć uogólnieniu pojęcia wartości bezwzględnej na dowolne ciała, jak pokazano niżej.

Funkcja  o wartościach rzeczywistych określona na ciele  nazywana jest wartością bezwzględną (także modułem, waluacją lub wartością), jeżeli spełnia następujące cztery aksjomaty:

Wartość bezwzględna ma następujące cztery podstawowe własności:
 
 
 
 

gdzie  oznacza element neutralny dodawania  Z dodatniej określoności i multiplikatywności wynika, że  gdzie  oznacza element neutralny mnożenia  Rzeczywista i zespolona wartość bezwzględna są przykładami wartości bezwzględnej dla dowolnego ciała.

Jeżeli  jest wartością bezwzględną na  to funkcja  określona na  wzorem  jest metryką i następujące stwierdzenia są równoważne:
  spełnia nierówność ultrametryki 
  jest ograniczony w 
 
 
 

Wartość bezwzględna, która spełnia dowolny (a więc i wszystkie) z powyższych warunków, nazywa się niearchimedesowską; w przeciwnym przypadku nazywa się ją archimedesowską.

Przestrzenie liniowe 

Ponownie można wykorzystać nieco zmodyfikowane zasadnicze własności wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej, aby uogólnić to pojęcie na dowolne przestrzenie liniowe.

Funkcja o wartościach rzeczywistych określona na przestrzeni liniowej  nad ciałem  oznaczana niekiedy  nazywana jest wartością bezwzględną, lub częściej normą, jeżeli spełnia następujące aksjomaty:

Dla dowolnego  oraz 
 
 
 
 

Norma wektora nazywana jest też jego długością bądź wielkością. W przypadku przestrzeni euklidesowych  określa się funkcję
 

będącą normą, która nazywana jest normą euklidesową. Jeżeli rozpatrywać  rozpatruje się jako jednowymiarową przestrzeń liniową nad  to wartość bezwzględna jest normą. Wartość bezwzględna jest w istocie „jedyną” normą na  w tym sensie, że dla każdej normy  na  zachodzi  Moduł zespolony jest przypadkiem szczególnym normy w przestrzeni unitarnej. Jest on tożsamy z normą euklidesową, jeżeli utożsamiać płaszczyznę zespoloną z płaszczyzną euklidesową

Algorytmy

Asembler 
W asemblerze architektury x86 wartość bezwzględną rejestru procesora można wyznaczyć za pomocą tylko trzech instrukcji (poniższy przykład dla rejestru 32-bitowego, składnia Intela):

cdq
xor eax, edx
sub eax, edx

Instrukcja cdq rozszerza bit znaku eax na cały edx. Jeżeli eax jest nieujemny, to edx staje się zerem, przez co dwie kolejne instrukcje nic nie dają, pozostawiając eax niezmienionym. Jeżeli eax jest ujemny, to edx staje się 0xFFFFFFFF lub −1. Następne dwie instrukcje mają działanie odwrotne do uzupełnieniem do dwóch, dając wartość bezwzględną ujemnej wartości w eax. Najmniejsza wartość ujemna (−231 lub 0x80000000), która nie ma odpowiadającego jej kodu wartości dodatniej, jest zachowywana, co jest prawidłowe dla liczby całkowitej bez znaku.

C 
W języku programowania C obliczeniu wartości bezwzględnej operandu służą zadeklarowane w math.h funkcje abs, labs, llabs (w C99), fabs, fabsf i fabsl. Implementacja całkowitoliczbowej wersji funkcji jest jednakże bardzo prosta, szczególnie gdy zignorować przypadek graniczny najmniejszej liczby całkowitej. Poniższy przykład korzysta z operatora warunkowego (?:):
int abs (int i) {
   return i < 0 ? -i : i;
}

Wersje zmiennoprzecinkowe sprawiają więcej problemów, ponieważ muszą obsługiwać specjalne kody nieskończoności i wartości niebędącej liczbą (NAN); zob. IEEE 754.

Python 
Python ma wbudowaną funkcję abs(), która zwraca wartość bezwzględną liczby, argument funkcji może być liczbą całkowitą, bądź liczbą zmiennoprzecinkową; funkcja zwraca ten sam typ, który podano jej za argument:
>>> abs(50)
50
>>> abs(-2)
2
>>> abs(-45.5)
45.5

Funkcja zwraca moduł, jeżeli argument jest liczbą zespoloną:
>>> abs(-3 + 4j)
5.0

Inną funkcją, która może być wykorzystana do obliczenia wartości bezwzględnej liczby jest fabs(), która może być znaleziona w module math dostępnym poprzez wydanie polecenia import math. Różnica między abs() a fabs() jest taka, że fabs() zawsze zwraca liczbę zmiennoprzecinkową:
>>> import math
>>> math.fabs(5)
5.0
>>> math.fabs(-366)
366.0
>>> math.fabs(-3.5)
3.5

Niżej znajduje się prosta funkcja służąca wyznaczeniu wartości bezwzględnej liczby, która wykorzystuje operator warunkowy i rachunek lambda:
>>> wartość_bezwzględna = lambda liczba: liczba if liczba > 0 else -liczba
>>> wartość_bezwzględna(2)
2
>>> wartość_bezwzględna(-75)
75
>>> wartość_bezwzględna(-5.63)
5.63

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne 

 Derivative of Absolute Value Function – ProofWiki  – dowód na pochodną wartości bezwzględnej

Działania na liczbach
Funkcje ciągłe