Polinomi di Hermite

In matematica e fisica, i polinomi di Hermite sono una sequenza polinomiale usata in probabilità, nello specifico nelle serie di Edgeworth, in combinatoria ed in meccanica quantistica, in particolare nel calcolo degli autostati dell'oscillatore armonico quantistico.

Definizione 
Per ogni numero naturale  si definiscono i polinomi di Hermite. Esistono due differenti polinomi di Hermite: il "polinomio di Hermite probabilistico"

e il "polinomio di Hermite fisico"

Le due definizioni non sono equivalenti, ma da una si riesce a ricavare l'altra

I polinomi di Hermite vengono così chiamati in onore del matematico francese Charles Hermite. Dalle regole di derivazione si vede che per ogni  si ha un polinomio di grado . Inoltre dato che si ha una funzione prodotto di una funzione pari per una ottenuta applicando  volte un operatore che cambia la parità ad un'altra funzione pari, si ha che ogni polinomio ha la parità del suo grado:

La precedente definizione è quella preferita nell'ambito del calcolo delle probabilità, in quanto collegata nel modo più semplice alla funzione

che è la funzione di densità di probabilità per una distribuzione normale con valore atteso  e deviazione standard . In fisica si preferisce utilizzare la seguente definizione

che fornisce distribuzioni con diverse varianze : esse sono più pratiche, in particolare, per lo studio delle funzioni d'onda dell'oscillatore armonico quantistico. Si trova che

I primi polinomi di Hermite (probabilistici) sono:

I primi polinomi di Hermite (fisici) sono:

Ortogonalità 
I polinomi di Hermite costituiscono una successione di polinomi ortogonali sull'intera retta reale rispetto alla funzione peso

cioè abbiamo

Questo equivale a dire che essi sono ortogonali rispetto alla distribuzione normale di probabilità. Essa costituisce una base ortogonale dello spazio di Hilbert delle funzioni a valori complessi  a quadrato sommabile sull'intera retta reale, funzioni che soddisfano la

Per questo spazio il prodotto interno di due suoi vettori  e  è dato dall'integrale che comprende una funzione gaussiana

Uguaglianze varie 

Il polinomio di Hermite (fisico) -esimo soddisfa l'equazione differenziale di Hermite:

Mentre il polinomio di Hermite (probabilistico) -esimo soddisfa l'equazione differenziale di Hermite:

 
La sequenza dei polinomi di Hermite (probabilistici) soddisfa anche la regola di ricorrenza

I polinomi di Hermite costituiscono una sequenza di Appell, cioè, sono una sequenza polinomiale che soddisfa l'identità (polinomi "probabilistici")

o equivalentemente,

l'equivalenza di queste ultime due identità non è ovvia, ma la dimostrazione è un esercizio di routine.

Per la definizione in fisica l'identità soddisfatta è la seguente

I polinomi di Hermite, inoltre, soddisfano l'identità

dove  rappresenta l'operatore di differenziazione rispetto a , e l'operatore esponenziale è definito con lo sviluppo in serie di potenze dell'operatore . Osserviamo che non si pongono questioni delicate di convergenza per queste serie quando operano su polinomi, in quanto solo un numero finito di potenze dell'operatore derivazione non si riduce all'operatore nullo. L'esistenza di qualche serie formale di potenze  con coefficienti costanti non nulli, tale che si possa scrivere , è equivalente all'asserzione che questi polinomi formano una sequenza di Appell. Dal momento che costituiscono una sequenza di Appell, essi a fortiori formano una sequenza di Sheffer.

Se  è una variabile casuale relativa alla distribuzione normale con deviazione standard  e valore atteso  ed  denota il valore atteso, allora

Varianza generalizzata 

Mentre i polinomi di Hermite definiti sopra sono ortogonali rispetto alla distribuzione di probabilità normale standard

che ha valore atteso  e varianza , può risultare utile servirsi di polinomi di Hermite

relativi ad una varianza data da un qualsiasi reale positivo . Questi sono polinomi ortogonali rispetto alla distribuzione normale di probabilità

Essi sono esprimibili come

Caratterizzazione umbrale 

Se si introducono i coefficienti delle potenze dalla variabile con la equazione

la successione polinomiale il cui -esimo termine è

è la composizione umbrale delle due successioni polinomiali; si può dimostrare che essa soddisfa le identità

e

L'ultima identità si può esprimere dicendo che questa famiglia parametrizzata di successioni di polinomi è una cross-sequence.

Varianza negativa 

Dal momento che le sequenze di polinomi formano un gruppo per l'operazione della composizione umbrale, si può definire con:

la sequenza che risulta l'inversa gruppale di quella denotata in modo simile ma senza il segno meno; questo consente di parlare di polinomi di Hermite con varianza negativa.
Per , i coefficienti di  sono esattamente i valori assoluti dei corrispondenti coefficienti di .

Questi costituiscono i momenti delle distribuzioni di probabilità normale: Il momento -esimo della distribuzione normale con valore atteso  e varianza  è

dove  è una variabile casuale con la distribuzione normale specificata. Dunque come caso speciale della identità di cross-sequence si ricava che

Autofunzioni della trasformata di Fourier 

Le funzioni

si possono considerare autofunzioni della trasformata di Fourier, con autovalori .

Interpretazione enumerativa dei coefficienti 

Nel polinomio di Hermite  di varianza , il valore assoluto del coefficiente di  è il numero delle partizioni (non ordinate) di un insieme di  elementi in  singoletti e  coppie non ordinate.

Serie di Edgeworth 

I polinomi di Hermite si incontrano anche nella teoria delle serie di Edgeworth.

Bibliografia 
 Alberto Maria Bedarida, Sopra il numero delle classi di forme aritmetiche definite di Hermite, Acc. Lincei Rendiconti (5) 30, No.2, 259-261, 303-305 (1921)
 Erdélyi, A.; Magnus W.; Oberhettinger F.; Tricomi F. G. eds. (1953) Higher Transcendental Functions. Krieger. Vol. II, Ch. 10
 Abramowitz, M: Stegun, I. (1964) Handbook of Mathematical Functions Governement Printing Office capitolo 22
 DLMF, Digital Library of Mathematical Functions

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 

Hermite, Polinomi di
Hermite, Polinomi di
Teoria della probabilità