Absolutní hodnota

Absolutní hodnota je matematický pojem, který souvisí s pojmy velikosti a vzdálenosti. Vyjadřuje vzdálenost obrazu čísla na číselné ose od nuly a značí se dvěma svislými čarami: . Absolutní hodnota čísla je vždy číslo nezáporné, tedy větší nebo rovno nule. Absolutní hodnota z kladného čísla je stejné číslo (; např. ). Absolutní hodnota ze záporného čísla je číslo opačné (; např. ). Absolutní hodnota z nuly je nula.

Zápis || s  mezi svislicemi představil Karl Weierstrass v roce 1841. Stejný zápis se užívá taktéž k označení mohutnosti.

Definice a vlastnosti

Reálná čísla 
Absolutní hodnota reálného čísla  je definována následovně:

Jak je patrné z výše uvedené definice, absolutní hodnota čísla  je vždy nezáporné číslo.

Pro každé reálné číslo platí:

 
 
 
 
  (trojúhelníková nerovnost)
 
 
 
 
  (pro b ≠ 0)
 

Absolutní hodnota v nerovnosti:

Tyto vztahy se často používají pro řešení nerovnic s absolutní hodnotou.

Například: 

Absolutní hodnota funkce  je funkce označovaná , jejíž funkční hodnoty jsou rovny  a která má definiční obor .

Podle definice absolutní hodnoty reálného čísla je:

Funkce s absolutní hodnotou může představovat jakoukoli funkci (lineární, kvadratickou, logaritmickou, goniometrickou atd.). Pokud obsahuje absolutní hodnotu, spadá do množiny funkcí s absolutní hodnotou.

Pro reálná čísla je definována funkce: 

Vlastnosti:

 
 ;
 klesající v intervalu  ;
 rostoucí v intervalu ;
 je zdola omezená, shora omezená není;
 v bodě 0 má minimum, nemá maximum;
 spojitá ve všech bodech a diferencovatelná ve všech bodech kromě  = 0.

Komplexní čísla 
Absolutní hodnota komplexního čísla  je rovna vzdálenosti bodu, který je obrazem tohoto čísla v Gaussově rovině, od počátku soustavy souřadnic. Všechna komplexní čísla , která mají stejnou absolutní hodnotu, vyplní v Gaussově rovině kružnici se středem v počátku a s poloměrem rovným číslu . Absolutní hodnoty komplexních čísel  jsou v Gaussově rovině rovny vzdálenostem obrazů komplexních čísel  od počátku soustavy souřadnic.

Absolutní hodnota komplexního čísla , kde  a  jsou reálná čísla, je definována vztahem:  kde 

Vlastnosti:

 Imaginární část  komplexního čísla je rovna nule, pak je absolutní hodnota komplexního rovna absolutní hodnotě reálného čísla .
 Pokud je komplexní číslo v exponenciálním (polárním) tvaru jako  kde r ≥ 0 a θ náleží reálným číslům absolutní hodnota je .
 , kde z s pruhem je číslo komplexně sdružené k .
 Absolutní hodnota komplexního čísla má vlastnosti reálné absolutní hodnoty uvedené výše v rovnicích (2) až (11).
 Pro komplexní čísla je absolutní hodnota spojitá ve všech bodech, ale není diferencovatelná v žádném bodě.

Kvaterniony 
viz také kvaternion

Definice normy kvaternionu:  kde 

Norma kvaterninonu, zapsaná v algebraickém tvaru  je dána definicí: , kde kde , ,  a  jsou reálná čísla.

Vektory 
viz také vektor

Absolutní hodnota (norma) nebo délka vektoru v trojrozměrném euklidovském prostoru  je definována výrazem 

Pomocí souřadnic vektoru  v ortonormální bázi je jeho norma dána výrazem: 

Definice vyjádřena skalárním součinem: 

Pro normu vektoru se používá označení ||x||, ke zdůraznění, že argumentem normy není číslo, ale vektor.

Abstraktně se norma na komplexním vektorovém prostoru  zavádí jako reálná funkce těmito požadavky:

  (nezápornost),
  (definitnost),
  (homogenita),
  (trojúhelníková nerovnost),

pro všechny

Prostory 
Základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla (viz 2. až 5. - reálná čísla) lze použít k zobecnění absolutní hodnoty v libovolném prostoru.

Absolutní hodnota reálná funkce v v poli F platí, pokud splňuje tyto čtyři axiomy:

 
 
 
 

Absolutní hodnotu reálných a komplexních čísel je možno uvést jako příklady absolutních hodnot pro libovolné pole.

Jestliže v je absolutní hodnota F, pak funkce d na F × F, kde d(a, b) = v(a − b), je metrikou a platí následující:
 d splňuje nerovnost  pro všechna x, y, z, jež náleží F
  je omezená v R

  pro každé 
  pro všechna 
  pro všechna

Vztah absolutní hodnoty k funkci signum 
Pomocí znaménkové funkce signum lze vyjádřit absolutní hodnotu jako

Platí také

Derivace 
Funkce absolutní hodnoty má konstantní derivaci pro x≠0, v bodě x=0 neexistuje:  

Platí tedy

Druhá derivace |x| je nula mimo hodnoty pro x=0, kde neexistuje.

Neurčitý integrál 
Neurčitý integrál (primitivní funkce) funkce absolutní hodnoty je:

Vzdálenost 
Absolutní hodnota úzce souvisí s myšlenkou vzdálenosti. Jak bylo uvedeno výše, absolutní hodnota reálného nebo komplexního čísla je vzdálenost čísla od počátku (na reálné ose pro reálná čísla, v komplexní rovině pro komplexní čísla). Obecně je absolutní hodnota rozdílu dvou skutečných nebo komplexních čísel vzdálenost mezi nimi.

Standardní eukleidovská metrika mezi dvěma body

a

je v eukleidovském prostoru definována jako

Absolutní hodnotu rozdílu |a − b|, kde a i b jsou reálná čísla, lze vyjádřit jako

Zatímco absolutní hodnotu rozdílu |a − b|, kde a i b jsou komplexní čísla

 a  , pak

Zobecnění 
Reálné zobrazení  se nazývá metrika, jestliže splňuje tyto čtyři axiomy (pro libovolná ):

Reference

Externí odkazy 
 

Numerická matematika
Unární operátory