Lineaire transformatie

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een lineaire transformatie een lineaire afbeelding van een vectorruimte naar zichzelf.

Eindigdimensionale geval

Een lineaire transformatie wordt geheel vastgelegd door de beelden van een basis
Een lineaire transformatie  van een n-dimensionale vectorruimte  wordt vastgelegd door de beelden  van een geordende basis  van . Een willekeurige vector  met coördinaten  ten opzichte van deze basis wordt immers afgebeeld op:

.

Matrix van een lineaire transformatie
Door de keuze van een geordende basis  in  wordt de lineaire transformatie  geheel bepaald door de matrix  die als elementen de coördinaten van de beelden van de basisvectoren heeft. Deze beelden worden bepaald door:
,

Voor het beeld  van  geldt dus:
.

zodat:
.

Dit komt neer op het matrixproduct van de kolomvector  van de coördinaten van  met de matrix , met als resultaat de kolomvector  van de coördinaten van :
.

Uitgeschreven ziet dat er zo uit:

,

waarin . De matrix  die de transformatie  representeert, heeft dus als kolommen de coördinaten van de beelden van de basisvectoren.

Voorbeeld
De lineaire transformatie  van de vectorruimte  beeldt de basisvectoren (1,0) en (0,1) af op de vectoren (3,2) en (5,4). Daarmee is  geheel vastgelegd. De matrix van  is dan
.

Het beeld van bijvoorbeeld de vector  heeft dan de coördinaten:
.

Dus is .

Determinant, rang en nulruimte
Een lineaire transformatie kan bijectief zijn. De determinant van de matrix van de transformatie is dan verschillend van 0 en de matrix heeft volle rang, wat onder andere inhoudt dat de kolommen onderling onafhankelijk zijn.

Als de transformatie niet inverteerbaar is, is de determinant van de matrix gelijk aan 0. De rang van de matrix is dan kleiner dan de dimensie van de ruimte, dus zijn de kolommen niet onderling onafhankelijk. De beelden van de basisvectoren brengen dan een deelruimte voort van geringere dimensie. Er is een deelruimte, de nulruimte of kern van de transformatie, die op de nulvector wordt afgebeeld.

Lineaire transformaties van het vlak
Lineaire transformaties van de , kunnen beschreven worden door een 2×2-matrix . Kiest men de eenheidsvectoren als basis dan zijn de kolommen van , als vector gezien, de beelden van de eenheidsvectoren. Enkele voorbeelden:

De identiteit
Ieder punt wordt op zichzelf afgebeeld.
.

Rotatie
Een rotatie van 90° tegen de klok in:

Een rotatie over een hoek  tegen de klok in:
.

Spiegeling
Spiegeling om de x-as:
.

Schaling
Een homothetie met factor 2:
.

Een schaling met een factor  in de horizontale richting en een factor  in de verticale richting:
.

Afschuiving
Horizontale afschuiving:
.

Samendrukking
Horizontaal uitrekken en verticaal samendrukken (met factor k > 1):
.

Projectie
Projectie op de y-as:

Bewerkingen met lineaire transformaties

Som van twee lineaire transformaties
Als  en  lineaire transformaties zijn van een vectorruimte , is hun som , die gedefinieerd is door
,

ook een lineaire transformatie van .

Eindigdimensionale geval:

Ten opzichte van een basis van  is de matrix  van  gelijk aan de som  van de matrices  en  van respectievelijk  en :
.

Product van een lineaire transformatie met een reëel getal 
Als  een lineaire transformatie is van een vectorruimte  en   een reëel getal, dan is het scalaire product , dat gedefinieerd is door
,

ook een lineaire transformatie van .

Eindigdimensionale geval:

Ten opzichte van een basis van  is de matrix  van  gelijk aan het scalaire product  van  en de matrix  van :
.

Samenstelling van lineaire transformaties
Als  en  lineaire transformaties zijn van een vectorruimte , dan hun samenstelling , die gedefinieerd is door
,

ook een lineaire transformatie van .

Eindigdimensionale geval:

Ten opzichte van een basis van  is de matrix  van  gelijk aan het matrixproduct  van de matrices  en  van respectievelijk  en :
.

Eigenwaarden en eigenvectoren van een lineaire transformatie

Onder de bijectieve transformaties van een lineaire ruimte  zijn er die een deelruimte  op zichzelf afbeelden. Als  eendimensionaal is, heet elke vector  een eigenvector van de transformatie. De eigenvector  wordt afgebeeld op een veelvoud  van . De factor  heet eigenwaarde van de transformatie.

Eigenschappen
 De verzameling van de eigenvectoren van een lineaire transformatie  die behoren bij dezelfde eigenwaarde, vormen samen met de nulvector een deelruimte van de vectorruimte . Die ruimte heet de eigenruimte behorend bij de eigenwaarde.
 Als een lineaire transformatie bijectief is, is de inverse ook een lineaire transformatie.

Eindigdimensionale geval:

 Als een lineaire transformatie van een -dimensionale ruimte,  verschillende eigenwaarden heeft, vormen de eigenvectoren corresponderend met die eigenwaarden een basis van .
 Als er in een vectorruimte een basis is bestaande uit eigenvectoren, dan is de matrix van die lineaire transformatie, ten opzichte van die basis, een diagonaalmatrix.

Lineaire permutaties 
Als een lineaire transformatie t van een vectorruimte V een basis van V transformeert in een basis van V,
dan spreekt men van een lineaire permutatie van V. Onder invloed van t worden verschillende vectoren afgebeeld op verschillende vectoren en lineair onafhankelijke vectoren op lineair onafhankelijke vectoren.
De verzameling van alle lineaire permutaties van V vormen een groep, de algemene lineaire groep van een vectorruimte V. Gewoonlijk wordt die groep genoteerd als GL(V).

Eindigdimensionale geval:

De matrix A van een lineaire permutatie is regulier en de kern bestaat enkel uit de nulvector.

Lineaire algebra