Klasyczny oscylator harmoniczny

Klasyczny oscylator harmoniczny – realizacja modelu oscylatora harmonicznego w ramach mechaniki klasycznej.

Klasyczny oscylator harmoniczny określa się jako układ w potencjale kwadratowym
 

bądź równoważnie jako układ, w którym działa siła  przeciwnie skierowana do wychylenia układu od położenia równowagi i proporcjonalna do wychylenia
 
gdzie k - współczynnik proporcjonalności.

Jednowymiarowe oscylatory harmoniczne

Definicja oscylatora harmonicznego 
Jednowymiarowym oscylatorem harmonicznym jest każdy układ fizyczny, którego zachowanie można opisać równaniem zwanym równaniem oscylatora harmonicznego
 

gdzie:
  – przyspieszenie zależne od czasu,
  – położenie zależne od czasu,
  – częstość kołowa drgań oscylatora.

Związek ten można zapisać jawnie jako liniowe równanie różniczkowe
 

lub korzystając z konwencji stosowanej w mechanice, gdzie pochodną po czasie oznacza się kropką
 

Model opisywany powyższym równaniem nazywa się też czasem prostym oscylatorem harmonicznym. Każdy układ, którego równanie można sprowadzić do powyższego, określa się w skrócie jako oscylator harmoniczny.

Rozwiązanie równania oscylatora 
Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego można zapisać w jednej z poniższych równoważnych postaci
 
 
 
 

gdzie  to stałe zależne od warunków początkowych.

Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1, 2 lub 3.

 jest częstością kołową oscylatora harmonicznego. Okres drgań  wynosi
 

natomiast częstotliwość drgań  wynosi

Lagranżjan oscylatora 
Lagranżjan oscylatora harmonicznego ma postać
 

gdzie:
  – prędkość uogólniona,
  – położenie uogólnione.

Reszta oznaczeń bez zmian.

Hamiltonian oscylatora harmonicznego 
Hamiltonian oscylatora harmonicznego ma postać
 

gdzie:
  – pęd uogólniony,
  – położenie uogólnione.

Przykłady oscylatorów

Wahadło matematyczne 
Równanie ruchu wahadła matematycznego można zapisać w postaci
 

Dla małych kątów  a równanie przyjmuje postać równania oscylatora harmonicznego
 
 

gdzie:
  – przyspieszenie kątowe,
  – kąt odchylenia z położenia równowagi,
  – długość wahadła,
  – przyspieszenie ziemskie.

Ciało na sprężynie 

Ciało o masie  przymocowane do sprężyny i poruszające się bez tarcia i oporu powietrza po poziomej powierzchni, wykonuje oscylacje harmoniczne, jeżeli amplituda ruchu nie przekracza zakresu sprężystości sprężyny. Wtedy bowiem siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia 
 

Z II zasady dynamiki Newtona można obliczyć przyspieszenie  Przyjmując, że ruch odbywa się wzdłuż osi  otrzymuje się równanie oscylatora harmonicznego
 

gdzie:
  – wychylenie ciężarka z położenia równowagi,
  – przyspieszenie ciężarka,
  – masa ciężarka,
  – stałą sprężystości sprężyny.

Dla ciężarka o masie  wiszącego na sprężynie w stałym polu grawitacyjnym  i wykonującym drgania pionowe, częstotliwość kołowa ma taką samą wartość jak poprzednio rozpatrywanego obciążnika, charakter ruchu jest dokładnie taki sam. Jedyne co się zmienia to położenie równowagi.

Oscylator harmoniczny tłumiony 
W rzeczywistości przedstawiony powyżej model jest sytuacją wyidealizowaną, gdyż w układzie fizycznym zazwyczaj występują siły tarcia, oporu lub innego rodzaju tłumienie proporcjonalne do prędkości oscylatora. Powoduje ono wykładniczy zanik amplitudy w czasie. Równanie ruchu oscylatora tłumionego ma postać

Oscylator harmoniczny wymuszony 
Oscylator może być pobudzany zewnętrznymi siłami.

Stała siła nie zmienia drgań oscylatora harmonicznego, zmienia jedynie położenie równowagi oscylatora. Siła wymuszająca o charakterze oscylacyjnym zmienia częstość drgań oscylatora.
 

gdzie:
  – częstość drgań własnych.

Zmienną okresową siłę wymuszającą można przedstawić jako sumę funkcji harmonicznych 

Dlatego analizę równania można ograniczyć do
 

gdzie:
  – częstość siły wymuszającej,
  – amplituda przyspieszenia (siły na jednostkę bezwładności) wymuszającego,
  – współczynnik tłumienia.

W przypadku, gdy  uzyskuje się równanie oscylatora harmonicznego z tłumieniem, a gdy dodatkowo założy się, że  równanie oscylatora prostego.

Zobacz też 
 kwantowy oscylator harmoniczny
 wahadło

Dynamika
Ruch drgający i falowy