Función inyectiva

En matemáticas, una función:
 

es inyectiva, uno a uno, si a elementos distintos del conjunto  (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto  (codominio) de , es decir, cada elemento del conjunto  tiene a lo sumo una preimagen en , o, lo que es lo mismo, en el conjunto  no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Por ejemplo, la función

no es inyectiva pues el valor 4 puede obtenerse como  y  pero si el dominio se restringe a los números reales positivos (obteniendo así una nueva función ) entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Función inyectiva quiere decir, inyectada

Definición 
Sea  una función cuyo dominio es el conjunto , se dice que la función  es inyectiva si para todo  y  en , si  entonces , esto es  implica . Equivalentemente, si  entonces .
Simbólicamente,

que es equivalente a su contrarrecíproco

Para probar que una función no es inyectiva, basta con hallar dos valores distintos del dominio, cuyas imágenes en el codominio son iguales.

Ejemplos 
 Para cualquier conjunto  y subconjunto , el mapa de inclusión  (el cual envía cualquier elemento  a sí mismo) es inyectiva. En particular, la función identidad  es siempre inyectiva (y de hecho biyectiva).
 La función  definida por  es inyectiva.
 La función  definida por  es inyectiva.
 La función  definida por  no es inyectiva porque (por ejemplo) . Sin embargo, si  se redefine de manera tal que su dominio es el conjunto de los números reales no negativos  entonces  es inyectiva.
 La función exponencial  definida por  es inyectiva (pero no sobreyectiva, porque no genera números negativos, los cuales no tienen relación con ningún valor de x).
 La función logaritmo natural  definida por  es inyectiva.
 La función  definida por  no es inyectiva, ya que .

Si  y  son subconjuntos de , geométricamente, una función  es inyectiva si su gráfica nunca es intersectada por una recta horizontal más de una vez. Este principio es conocido como la prueba de la línea horizontal.

Cardinalidad e inyectividad 
Dados dos conjuntos  y , entre los cuales existe una función inyectiva  tienen cardinales que cumplen:

Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

Inyectividad en el espacio euclideo 
Dada una función  diferenciable con continuidad sobre un dominio del espacio euclídeo n-dimensional, pueden establecerse condiciones necesarias y suficientes para decidir cuándo esta función es inyectiva. El teorema de la función inversa da una condición no suficiente para que una función diferenciable sea localmente inyectiva:

donde:
 es la matriz jacobiana de la función.
 es la función determinante.
Esta condición no es condición suficiente para garantizar la inyectividad de la función (de hecho tampoco es condición necesaria). Para encontrar condiciones suficientes se define el vector desplazamiento asociado a la función como el siguiente campo vectorial:

Esta función se interpreta como la diferencia entre la posición inicial de un punto y la posición final de su imagen. Puede demostrarse que existe una constante  si se cumple:

Donde:
, es la clausura topológica del dominio .
Entonces la función es [globalmente] inyectiva, puede demostrarse que  si el dominio  es convexo, mientras que un dominio no convexo requiere .

Referencias

Véase también 
 Función biyectiva
 Función sobreyectiva
 Correspondencia matemática
 Pugs

Funciones
Inyectiva