Podgrupa

Podgrupa – zbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne).

Podgrupy to te z podzbiorów grup, które odzwierciedlają i zachowują ich strukturę algebraiczną; badanie podgrup danej grupy (nazywanej czasem w tym kontekście nadgrupą) dostarcza o niej wielu istotnych informacji, umożliwiając głębsze zrozumienie jej budowy. Niekiedy podgrupy wkomponowane są w grupę w szczególny sposób: są niezmiennikami przekształceń algebraicznych (podgrupa normalna, podgrupa charakterystyczna), umożliwiają jednoznaczne przedstawienie elementu grupy jako sumy/iloczynu elementów ich „rozłącznych” podgrup (składnik/czynnik prosty, zob. suma prosta/iloczyn prosty podgrup); w teorii grup przemiennych rozpatruje się podgrupy czyste oraz podgrupy istotne o nieco słabszych, lecz nadal przydatnych, własnościach (przy potencjalnie większej ich liczbie, co ułatwia wskazanie podgrup o lepszych własnościach).

Charakteryzacje 

Niech  będzie grupą; podzbiór  który tworzy grupę ze względu na działanie określone na  nazywa się podgrupą grupy  i oznacza zwykle . Podgrupę  jako grupę charakteryzują następujące warunki:
 Wewnętrzność: działanie grupowe na  jest zawężeniem działania grupy  do zbioru  dlatego iloczyn elementów  obliczany jest jako iloczyn elementów  oraz  w grupie  aby uzyskać dwuargumentowe działanie wewnętrzne na  dane wzorem  tak jak w grupie  potrzeba, a zarazem wystarcza, by  dla wszystkich  Innymi słowy zbiór  musi być zamknięty ze względu na działanie w 
 Łączność: działanie w  musi być łączne, czyli dla wszystkich  musi zachodzić  wiadomo jednak, że  dla  a ponieważ  to powyższy warunek odnosi się w szczególności do elementów  w ten sposób łączność działania w  dana jest z góry (tzn. wynika wprost z łączności działania w ).
 Element neutralny: zbiór  nie może być pusty, gdyż jako grupa  musi mieć element neutralny; niech  spełnia  dla dowolnego  w szczególności dla elementu neutralnego  grupy  zachodzi  a ponieważ  to z charakteryzacji elementu neutralnego grupy wynika, że  jest elementem neutralnym grupy  oznacza to, że element neutralny grupy  jest zarazem elementem neutralnym w  o ile tylko należy on do  tzn. nie trzeba szukać elementu neutralnego w  gdyż jest on niejako z góry – wystarczy tylko sprawdzić, czy element neutralny w  należy do 
 Odwracalność: dla każdego  musi istnieć  dla których  odczytanie tego równania w grupie  daje natychmiastowo rozwiązanie  w postaci elementu odwrotnego do  w grupie  element odwrotny do  istnieje w  dlatego nie trzeba go szukać, lecz wystarczy sobie jedynie zapewnić, iż element odwrotny  do  należący do  jest również elementem 

Podsumowując: niepusty podzbiór  grupy  jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy
 jest zamknięty na działanie:  dla wszystkich 
 zawiera element neutralny grupy: 
 jest zamknięty na odwracanie:  dla każdego 

Co więcej, drugi warunek wynika z pierwszego i trzeciego: niech  (gdyż  jest niepusty, ), wtedy z trzeciego warunku  a więc  na mocy pierwszego, co daje  Innymi słowy sprawdzenie, czy  można pominąć zakładając, iż  jest niepusty; z drugiej strony jeśli nie wiadomo a priori, czy  to najszybszym sposobem zapewnienia tego warunku jest właśnie sprawdzenie, czy  Na podstawie powyższych obserwacji można zatem sformułować
 Kryterium bycia podgrupą
 Niepusty podzbiór  grupy  jest jej podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki
 
 oraz
 

Powyższe dwa warunki (wraz z ) często łączy się w jeden:  dla wszystkich ; jest on zupełnie równoważny warunkowi  dla wszystkich . W przypadku skończonym wystarczający jest warunek zamkniętości działania, tzn. prawdziwe jest następujące
 Kryterium bycia podgrupą grupy skończonej
 Niepusty podzbiór skończony  grupy  bądź niepusty podzbiór  grupy skończonej  jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy  dla wszystkich .

Przykłady 
 Podgrupy trywialna i niewłaściwa

 W dowolnej grupie  zbiór jednoelementowy  oraz zbiór  są podgrupami nazywanymi odpowiednio podgrupą trywialną oraz podgrupą niewłaściwą (podgrupy, które nie są trywialne bądź niewłaściwe, nazywa się odpowiednio nietrywialnymi oraz właściwymi); jeżeli  jest podgrupą właściwą w  to czasem używa się oznaczenia , nietrywialność podgrupy zaznaczana jest osobno. Jeżeli  jest podgrupą w  zaś  jest podgrupą w  to  jest podgrupą w 

 Kryterium bycia podgrupą

 Niech  będzie podzbiorem liczb całkowitych  podzielnych przez  Zbiór  tworzy grupę ze względu na dodawanie (wprost z konstrukcji), zaś zbiór  jest zamknięty ze względu na dodawanie i branie odwrotności, a więc  jest podgrupą w  Analogicznie dowodzi się, że zbiór  dla dowolnego  będącego liczbą naturalną jest podgrupą w  a ponadto wszystkie jej podgrupy mają tę postać.

 Zbiór dodatnich liczb wymiernych tworzy podgrupę  w grupie  niezerowych liczb wymiernych z działaniem mnożenia (iloczyn dowolnych dwóch niezerowych liczb wymiernych dalej jest niezerową liczbą wymierną i podobnie odwrotność niezerowej liczby wymiernej jest niezerową liczbą wymierną), co wynika wprost z własności iloczynu i odwrotności liczb wymiernych: jeśli  to  oraz  podobne obserwacje dotyczą liczb rzeczywistych  (należy wyżej zastąpić  znakiem  i wyraz „wymierny” za pomocą „rzeczywisty”).

 Jeżeli  są podgrupami w  to ich część wspólna  również jest podgrupą w . Analogicznie część wspólna  rodziny  podgrup grupy  indeksowanej za pomocą pewnego zbioru indeksów  również jest podgrupą w 

 Niech  oznacza zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowań przedziału jednostkowego  liczb rzeczywistych; tworzy on grupę ze względu na składanie odwzorowań (zob. grupa: Motywacja). Zbiór  jest podgrupą w  jako jej niepusty podzbiór zamknięty na składanie i odwracanie funkcji:
 Otóż zbiór  jest niepusty, gdyż należy do niego odwzorowanie tożsamościowe  dane wzorem  dla którego zachodzi 
 Ponadto jeżeli  to  oraz  co oznacza  a więc 
 Wreszcie jeśli  to  a zatem  stąd  tzn.  czyli 

 Kryterium bycia podgrupą skończoną

 Niech dany będzie podzbiór  grupy  wraz z mnożeniem modulo  przy czym  oznacza redukcję liczby całkowitej  modulo  (tzn. resztę z dzielenia  przez ). Ponieważ
 
 to zbiór  jest zamknięty ze względu na mnożenie. Skoro  jest zbiorem skończonym, to na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną zbiór  powinien być podgrupą w  Byłaby to prawda, gdyby  była grupą ze względu na mnożenie (nie jest nią, gdyż nie istnieje np. odwrotność elementu ); jest ona jednak grupą ze względu na dodawanie, co (jak się okazuje) jest zupełnie czymś innym – aby poprawnie zastosować wspomniane kryterium, należy się więc najpierw upewnić, że nadzbiór tworzy grupę (z tym samym działaniem).

 Mimo to  jest grupą ze względu na mnożenie: z powyższych rozważań wynika, że zbiór ten jest zamknięty na mnożenie, które jest łączne (jest ono w istocie łączne na  co wynika z własności arytmetyki modularnej); ponadto  oraz  dla wszystkich  (z powyższych rozważań lub własności arytmetyki modularnej), skąd  jest elementem neutralnym w  każdy element  ma odwrotność należącą do  – wynika to z równań     oraz  Korzystając z kryterium bycia podgrupą skończoną, można się przekonać, iż podzbiory    są nietrywialnymi podgrupami właściwymi w  gdyż są one zamknięte ze względu na mnożenie (są to jedyne tego rodzaju podgrupy w tej grupie). Podgrupy w  mają rzędy  które są dzielnikami rzędu  grupy 

 Podzbiór  tworzy podgrupę grupy  niezerowych liczb zespolonych względem mnożenia na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną, gdyż jest zamknięta na branie iloczynów. To samo kryterium mówi, że  jest podgrupą w  Ponadto grupa ta nie ma innych nietrywialnych podgrup właściwych, gdyż jeśli podgrupa ta zawierałaby  lub  to musiałaby także zawierać  lub  czyli tworzyłaby wtedy całą grupę  Dlatego  ma dokładnie trzy podgrupy: jedną rzędu  jedną rzędu  i jedną rzędu  W tym przypadku rzędy podgrup również są dzielnikami rzędu  grupy 

 Kryterium może okazać się fałszywe w przypadku, gdy badany podzbiór nie jest skończony: jeśli  jest podzbiorem dodatnich liczb całkowitych (które można utożsamiać z liczbami naturalnymi ), to mimo iż  jest grupą ze względu na dodawanie, a podzbiór  jest zamknięty na to działanie, to nie tworzy on podgrupy, gdyż brak w tym zbiorze elementu neutralnego dodawania  rozpatrywanie  (podobnie jak poprzedni przykład) narusza warunek należenia odwrotności (tu: elementu przeciwnego). Grupa  jest kanonicznym przykładem grupy nieskończonej (wszystkie nieskończone grupy generowane przez jeden element mają tę samą co ona strukturę grupy cyklicznej, zob. izomorfizm).

 Sumy mnogościowe

 W ogólności suma mnogościowa  podgrup  nie musi być podgrupą: jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy  lub ; wynika to z nieco ogólniejszej obserwacji: jeżeli  jest podgrupą w  zawartą w  to  zawiera się w całości w  lub  (być może w obu z nich). Oznacza to, że nie istnieje grupa, która byłaby sumą mnogościową dwóch swoich nietrywialnych podgrup właściwych; mimo to istnieje grupa, dla której suma jej trzech różnych nietrywialnych podgrup właściwych tworzy w niej podgrupę. Twierdzenie Scorzy stanowi o tym, że jeśli grupa jest sumą trzech nietrywialnych podgrup właściwych, to są one indeksu dwa, a części wspólne dowolnych dwóch z tych trzech podgrup są równe, z kolei twierdzenie Cohna (będące jego rozszerzeniem) charakteryzuje grupy będące sumą mnogościową czterech, pięciu i sześciu ich podgrup właściwych, zaś twierdzenie Tomkinsona mówi, iż nie istnieje grupa, którą można zapisać w postaci sumy mnogościowej dokładnie siedmiu jej nietrywialnych podgrup właściwych.

 Pojęcia

 Podgrupę grupy  generowaną przez jej podzbiór  można scharakteryzować jako najmniejszą (w sensie zawierania) podgrupę zawierającą wszystkie elementy zbioru  tj. część wspólną wszystkich podgrup zawierających zbiór  Podgrupę generowaną przez jednoelementowy podzbiór  grupy  nazywa się podgrupą cykliczną generowaną przez  zaś sam element  nazywa się generatorem tej podgrupy (może mieć ona wiele generatorów); rzędem elementu  nazywa się rząd podgrupy (cyklicznej) generowanej przez ten element, czyli jej liczbę elementów.

 Przypadki grup  i  opisane w wyżej („kryterium bycia grupą skończoną”) sugerują ogólną regułę, iż rząd podgrupy dzieli rząd grupy – w istocie jest ona prawdziwa: rozumowanie w przypadku skończonym wymaga jedynie znajomości pojęć grupy i funkcji (można go znaleźć w rząd: Własności); w przypadku ogólnym wynik ten, nazywany twierdzeniem Lagrange’a, wymaga znajomości pojęcia warstwy grupy względem jej podgrupy.

 Własności

 Niech  będzie dowolną grupą; zbiór  elementów grupy  przemiennych z ustalonym jej elementem  tworzy podgrupę nazywaną centralizatorem elementu ; podobnie zbiór  elementów grupy  które są przemienne z dowolnym jej elementem, tworzy podgrupę nazywaną centrum grupy .

 Dla dwóch elementów  dowolnej grupy  element  nazywa się ich komutatorem; przy czym  wtedy i tylko wtedy, gdy  są przemienne, tzn.  Dla „wysoce nieprzemiennych” grup (tzw. grup doskonałych) może się zdarzyć, że żaden z komutatorów nie będzie elementem neutralnym, skąd podzbiór wszystkich komutatorów grupy nie musi tworzyć podgrupy; problem ten można obejść biorąc „najmniejszą” grupę zawierającą wszystkie komutatory, tj. podgrupę przez nie generowaną (zob. Przykłady): dla danych dwóch podzbiorów  grupy  ich komutantem  nazywa się podgrupę w  generowaną przez wszystkie komutatory  gdzie  oraz  Podgrupę  nazywa się komutantem lub pochodną grupy 

 Centrum i komutant są przykładami tzw. podgrup normalnych, czyli takich podgrup  pewnej grupy  które są przemienne z dowolnym elementem  tzn. dla każdego  zachodzi . Pojęcie podgrupy normalnej umożliwia wprowadzenie metody konstrukcji nowych grup z istniejących grup oraz ich podgrup (normalnych), mianowicie tzw. grup ilorazowych; procedura ta jest uogólnieniem uzyskiwania grup  z mnożeniem modulo  z grupy liczb całkowitych  oraz jej podgrupy  (zob. wyżej).

 Ilustracje
 Wśród wielu przykładów grup i ich podgrup można wymienić ponadto:
 grupę wszystkich izometrii danej przestrzeni euklidesowej (z działaniem składania przekształceń) nazywaną grupą euklidesową wraz z jej podgrupami: przesunięć, odbić, czy obrotów;
 grupę wszystkich odwracalnych macierzy kwadratowych ustalonego stopnia nad danym ciałem nazywaną pełną grupą liniową z podgrupami: diagonalną, skalarną oraz specjalną grupą liniową; wśród pozostałych można wymienić podgrupy: ortogonalną, unitarną i symplektyczną;
 grupę wszystkich permutacji zbioru skończonego z działaniem ich składania nazywaną grupą symetryczną (bądź grupą permutacji) wraz z grupą alternującą tego zbioru jako jej podgrupą.
 Twierdzenie Cayleya mówi o tym, iż każda grupa może być postrzegana jako podgrupa grupy symetrycznej: dzięki temu twierdzenia obowiązujące dla grup symetrycznych są prawdziwe również dla wszystkich grup abstrakcyjnych.

Zobacz też 
 p-podgrupa (Sylowa), podgrupa torsyjna
 podgrupa Cartana, podgrupa Fittinga, podgrupa z operatorami (podgrupa stabilna)

Uwagi