Betragsfunktion

In der Mathematik ordnet die Betragsfunktion einer reellen oder komplexen Zahl ihren Abstand zur Null zu. Dieser sogenannte absolute Betrag, Absolutbetrag, Absolutwert oder auch schlicht Betrag ist immer eine nichtnegative reelle Zahl. Der Betrag einer Zahl  wird meist mit , seltener mit , bezeichnet. Das Quadrat der Betragsfunktion wird auch Betragsquadrat genannt.

Definition

Reelle Betragsfunktion 
Den absoluten Betrag einer reellen Zahlkonstanten erhält man durch Weglassen des Vorzeichens. Auf der Zahlengeraden bedeutet der Betrag den Abstand der gegebenen Zahl von Null.

Für eine reelle Zahl  gilt:

Komplexe Betragsfunktion 
Für eine komplexe Zahl  mit reellen Zahlen  und  definiert man
 ,
wobei  die komplex Konjugierte von  bezeichnet.

Ist  reell (d. h. , also ), so geht diese Definition in
 
über, was mit der Definition des Betrages einer reellen Zahl  übereinstimmt.

Veranschaulicht man die komplexen Zahlen als Punkte der Gaußschen Zahlenebene, so entspricht diese Definition nach dem Satz des Pythagoras ebenfalls dem Abstand des zur Zahl  gehörenden Punktes vom sogenannten Nullpunkt.

Beispiele 
Folgende Zahlenbeispiele zeigen die Funktionsweise der Betragsfunktion.

Gleichungen mit Absolutbetrag 
Aus  folgt für reelle Zahlen  oder .

Ist jedoch , dann gibt es kein  und kein  mit .

In einem weiteren Beispiel seien alle Zahlen  gesucht, welche die Gleichung  erfüllen.

Man rechnet wie folgt:
 
 
 
 

Die Gleichung besitzt also genau zwei Lösungen, nämlich 2 und −8.

Ungleichungen mit Absolutbetrag 
Für Ungleichungen können die folgenden Äquivalenzen verwendet werden:

 
 

Gesucht seien beispielsweise alle Zahlen  mit der Eigenschaft .

Dann rechnet man:
 
 
 
 

Als Lösung erhält man also alle  aus dem Intervall .

Allgemein gilt für reelle Zahlen ,  und :
 .

Betragsnorm und Betragsmetrik 
Die Betragsfunktion erfüllt die drei Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität und ist damit eine Norm, genannt Betragsnorm, auf dem Vektorraum der reellen oder komplexen Zahlen. Die Definitheit folgt daraus, dass die einzige Nullstelle der Wurzelfunktion im Nullpunkt liegt, womit
 
gilt. Die Homogenität folgt für komplexe  aus
 
und die Dreiecksungleichung aus
 
wobei sich die beiden gesuchten Eigenschaften jeweils durch Ziehen der (positiven) Wurzel auf beiden Seiten ergeben. Hierbei wurde genutzt, dass die Konjugierte der Summe bzw. des Produkts zweier komplexer Zahlen die Summe bzw. das Produkt der jeweils konjugierten Zahlen ist. Weiterhin wurde verwendet, dass die zweimalige Konjugation wieder die Ausgangszahl ergibt und dass der Betrag einer komplexen Zahl immer mindestens so groß wie ihr Realteil ist. Im reellen Fall folgen die drei Normeigenschaften analog durch Weglassen der Konjugation.

Die Betragsnorm ist vom Standardskalarprodukt zweier reeller bzw. komplexer Zahlen  und  induziert. Die Betragsnorm selbst induziert wiederum eine Metrik (Abstandsfunktion), die Betragsmetrik
 ,
indem als Abstand der Zahlen der Betrag ihrer Differenz genommen wird.

Analytische Eigenschaften 
In diesem Abschnitt werden Eigenschaften der Betragsfunktion angeführt, die insbesondere im mathematischen Bereich der Analysis von Interesse sind.

Nullstelle 
Die einzige Nullstelle der beiden Betragsfunktionen ist 0, das heißt  gilt genau dann, wenn  gilt. Dies ist somit eine andere Terminologie der zuvor erwähnten Definitheit.

Verhältnis zur Vorzeichenfunktion 
Für alle  gilt , wobei  die Vorzeichenfunktion bezeichnet. Da die reelle nur die Einschränkung der komplexen Betragsfunktion auf  ist, gilt die Identität auch für die reelle Betragsfunktion. Die Ableitung der auf  eingeschränkten Betragsfunktion ist die auf  eingeschränkte Vorzeichenfunktion.

Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit 
Die reelle Betragsfunktion  und die komplexe  sind auf ihrem ganzen Definitionsbereich stetig. Aus der Subadditivität der Betragsfunktion beziehungsweise aus der (umgekehrten) Dreiecksungleichung folgt, dass die beiden Betragsfunktionen sogar Lipschitz-stetig sind mit Lipschitz-Konstante :
 .

Die reelle Betragsfunktion ist an der Stelle  nicht differenzierbar und somit auf ihrem Definitionsbereich  keine differenzierbare Funktion. Sie ist jedoch fast überall differenzierbar, was auch aus dem Satz von Rademacher folgt. Für  ist die Ableitung der reellen Betragsfunktion die Vorzeichenfunktion . Als stetige Funktion ist die reelle Betragsfunktion über beschränkte Intervalle integrierbar; eine Stammfunktion ist .

Die komplexe Betragsfunktion  ist nirgends komplex differenzierbar, denn die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen sind nicht erfüllt.

Archimedischer Betrag 
Beide Betragsfunktionen, die reelle und die komplexe, werden archimedisch genannt, weil es eine ganze Zahl  gibt mit . Daraus folgt aber auch, dass für alle ganzen Zahlen  ebenfalls  ist.

Nützliche Identitäten 
Seien . Dann gilt

Verallgemeinerungen

Betragsfunktion für Körper

Definition 
Verallgemeinert spricht man von einem Betrag, wenn eine Funktion  von einem Integritätsbereich  in die reellen Zahlen  folgende Bedingungen erfüllt:

Die Fortsetzung auf den Quotientenkörper  von  ist wegen der Multiplikativität eindeutig.

Bemerkung
 Eine Betragsfunktion  für einen Körper ist eine Bewertung  dieses Körpers.

Ist  für alle natürlichen , dann nennt man den Betrag (oder die Bewertung) nichtarchimedisch.

Der Betrag  für alle  (ist nichtarchimedisch und) wird trivial genannt.

Bei nichtarchimedischen Beträgen (oder Bewertungen) gilt

Sie macht den Betrag zu einem ultrametrischen. Umgekehrt ist jeder ultrametrische Betrag nichtarchimedisch.

Betrag und Charakteristik 
 Integritätsbereiche mit einem archimedischen Betrag haben die Charakteristik 0.
 Integritätsbereiche mit einer von 0 verschiedenen Charakteristik (haben Primzahlcharakteristik und) nehmen nur nichtarchimedische Beträge an.
 Endliche Integritätsbereiche sind endliche Körper mit Primzahlcharakteristik und nehmen nur den trivialen Betrag an.
 Der Körper der rationalen Zahlen  als Primkörper der Charakteristik 0 und seine endlichen Erweiterungen nehmen sowohl archimedische als auch nichtarchimedische Beträge an.

Vervollständigung 
Der Körper  lässt sich für jede Betragsfunktion, genauer: für die von jeder Betragsfunktion (oder Bewertung) induzierte Metrik, vervollständigen. Die Vervollständigung von  wird häufig mit  bezeichnet.

Archimedische Vervollständigungen der rationalen Zahlen  sind  und , nichtarchimedische sind  für Primzahlen .

Beim trivialen Betrag entsteht nichts Neues.

Äquivalenz von Beträgen 
Sind  und  Beträge (oder Bewertungen) eines Körpers , dann sind die folgenden drei Behauptungen gleichwertig:
 Jede Folge , die unter  eine Nullfolge ist, d. h. , ist auch unter  eine Nullfolge – und umgekehrt.
 Aus  folgt .
  ist eine Potenz von , d. h.  für alle  mit einem festen .

Die Betragsfunktionen der rationalen Zahlen 
Nach dem Satz von Ostrowski repräsentieren die in diesem Artikel erwähnten Beträge, der eine archimedische (und euklidische) und die unendlich vielen je einer Primzahl zuzuordnenden nichtarchimedischen, alle Klassen von Beträgen (oder Bewertungen) der rationalen Zahlen .

Für diese Beträge gilt der Approximationssatz.

Norm 

Die Betragsfunktion auf den reellen bzw. komplexen Zahlen kann durch die Eigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität auf beliebige Vektorräume verallgemeinert werden. Eine solche Funktion wird Norm genannt. Sie ist aber nicht eindeutig bestimmt.

Pseudobetrag

Weblinks

Einzelnachweise 

Lineare Algebra
Mathematische Funktion
Arithmetik