Wahadło

Wahadło – ciało zawieszone w jednorodnym polu grawitacyjnym w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi nieprzechodzącej przez środek ciężkości zawieszonego ciała.

W mechanice wyróżnia się dwa podstawowe modele fizyczne wahadeł:
 matematyczne (proste) – opisujące wahadło jako punkt materialny, zawieszony na nieważkiej nici,
 fizyczne – opisujące wahadło jako bryłę sztywną.

Ważną cechą wahadeł fizycznego i matematycznego jest niemal pełna niezależność ich okresu drgań od amplitudy, przy założeniu że amplituda drgań jest mała. Własność ta, zwana izochronizmem drgań, została odkryta około 1602 roku przez Galileusza, który używał wahadła do pomiaru czasu. Zainspirowany tą zasadą Christiaan Huygens zbudował w 1656 roku pierwszy zegar wahadłowy. Zegary wahadłowe były najdokładniejszymi urządzeniami do pomiaru czasu aż do skonstruowania w latach 30. XX wieku zegarów kwarcowych.

Ogólnie wahadło jest oscylatorem anharmonicznym, jego okres drgań i inne parametry zależą od amplitudy. Rozwiązanie ogólnego równania ruchu wahadła jest dość złożone, ale założenia upraszczające przyjmowane dla małej amplitudy drgań pozwalają rozwiązać w sposób analityczny. Efektywne rozwiązanie równania drgań wahadła metodami numerycznymi omówiono na końcu artykułu.

Wahadło matematyczne 
Wahadło matematyczne to punkt materialny poruszający się po okręgu w płaszczyźnie pionowej w jednorodnym polu grawitacyjnym. Równanie ruchu wahadła określa wzór:
 

gdzie:
  – kąt odchylenia wahadła od pionu w chwili  przy czym kąt ten przyjmują wartości dodatnie np. dla odchyleń w prawo, a ujemne dla odchyleń w lewo,
  – przyspieszenie ziemskie,
  – długość nici.

Drgania dla małej amplitudy 
Funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem, gdy kąt jest odpowiednio mały (wzór Taylora):
 

wówczas ogólne równanie ruchu wahadła upraszcza się do postaci
 

Powyższe równanie jest równaniem drgań harmonicznych. Rozwiązanie określa zależność kąta wahań od czasu i może być określone wzorem:
 

gdzie:
  – amplituda drgań,
  – częstość kołowa drgań,
  – faza początkowa drgań.

Okres drgań jest związany z częstością wzorem
 

okres drgań wynosi
 

Wynika stąd, że w przybliżeniu dla małych drgań wahadła okres drgań nie zależy od amplitudy, a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.

Wzór na okres drgań jest więc słuszny nie tylko dla drgań na Ziemi, ale też np. na Księżycu, gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest około 6 razy mniejsze niż na Ziemi. Identyczne wahadło miałoby tam  razy dłuższy okres drgań.

Okres drgań o dowolnej amplitudzie 

Dla dużych amplitud wahań okres drgań zależy od amplitudy  i rośnie wraz z jej wzrostem. Zależność okresu od amplitudy opisuje wzór:
 

gdzie K jest całką eliptyczną zupełną pierwszego rodzaju. Całki te są stablicowane.

Przybliżenia wzoru na okres drgań o dowolnej amplitudzie

(1) Całkę eliptyczną w powyższym wzorze można rozwinąć w bazie wielomianów Legendre’a, co prowadzi do wzoru
 

(2) Rozwijając w szereg Maclaurina otrzymuje się wzór:
 

Gdy w powyższym wzorze pominie się wyrazy sumy poza pierwszym wyrazem, równym 1, to otrzyma się wzór na okres małych drgań wahadła (patrz wyżej). Kąt graniczny izochronizmu zależy od przyjętej dokładności; dla kąta 6° okres drgań jest o około 0,07% większy od minimalnego.

Przybliżona zależność okresu od amplitudy 

Zagadnienie ruchu wahadła można rozwiązać przybliżając funkcję sinus do dwóch wyrazów, wówczas równanie ruchu wahadła przyjmuje postać:
 

Rozwiązanie powyższego równania ma w przybliżeniu postać (z dokładnością do wyrazów 3-go rzędu)
 

gdzie:
  – amplituda drgań o częstotliwości 
  – amplituda drgań o częstotliwości 
 
 

Rozwiązanie powyższe wskazuje, iż wahadło matematyczne dla amplitud dostatecznie dużych nie jest oscylatorem harmonicznym, lecz:
 ruch wahadła jest złożeniem dwóch drgań harmonicznych mających częstotliwości  oraz  i amplitudy odpowiednio równe  oraz 
 częstotliwość drgań  zależy od  (czyli nie występuje izochronizm drgań charakterystyczny dla małych amplitud) i maleje wraz z jej wzrostem
 amplituda  wyższej harmonicznej zależy w trzeciej potędze od amplitudy 

Z drugiej strony, dla dostatecznie małych wartości  częstotliwość drgań  zbliża się do wartości  zaś amplituda wyższej harmonicznej staje się pomijalnie mała – otrzymuje się drganie harmoniczne o amplitudzie  i częstotliwości  która nie zależy od amplitudy.

Wahadło o okresie niezależnym od amplitudy 

Problemem konstruowania dokładnych zegarów wahadłowych, których szybkość chodu nie zależy od amplitudy drgań, zajmował się Christiaan Huygens, wykazał, że niezależność szybkości chodu zapewni zmniejszanie długość nici wahadła wraz z wychyleniem; następnie wykazał, że zrealizuje to wahadło cykloidalne, tj. wahadło, w którym nić lub elastyczny element zawieszenia, będzie owijać się na cykloidzie o poziomej osi i promieniu równym ćwierci długości wahadła. W ten sposób skonstruował wahadło o okresie niezależnym od amplitudy.

Problem wahadła o okresie niezależnym od amplitudy sprowadza się do wyznaczenia takiej krzywej, że ciało poruszając pod działaniem stałej siły grawitacji po niej w takim samym czasie przemieści się od punktu ruszenia do jej najniższego punktu. Krzywa zwana jest tautochroną i jest cykloidą.

Rozwiązanie ogólnego równania ruchu 

Dokładne rozwiązanie ruchu wahadła dla dowolnej amplitudy można podać w postaci uwikłanej:
 

Wykonując całkowanie w zakresie od 0 do  przy stałym kącie maksymalnego wychylenia  otrzymuje się
 

Całka w powyższym wzorze jest całką eliptyczną niezupełną pierwszego rodzaju.

Całkowita energia mechaniczna wahadła. Punkty zwrotne. Krzywe fazowe 
W opisie ruchu wahadła zamiast kąta maksymalnego wychylenia  jako stały parametr ruchu można przyjąć całkowitą energię mechaniczną wahadła . Energia ta determinuje punkty zwrotne ruchu wahadła, które charakteryzują kąty maksymalnego odchylenia.

Krzywe fazowe wahadła są to krzywe prezentujące zależność współrzędnej prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia wahadła od pionu. Niech  oznacza energię potrzebną do odchylenia wahadła z położenia równowagi do pionu, tj. odchylenia o kąt  Na podstawie wykresów fazowych można odróżnić poszczególne przypadki ruchu (por. wykres obok): 1) gdy  to krzywe fazowe są krzywymi zamkniętymi; 2) gdy  to krzywe fazowe tworzą przecinające się linie; 3) gdy  to krzywe fazowe są liniami otwartymi.

Poniżej zestawiono animacje pokazujące sposoby (mody) oscylacji wahadła matematycznego w zależności od jego energii całkowitej. Animacje pokazują, że okres drgań zależy od amplitudy. Małe wykresy powyżej wahadeł są wykresami fazowymi ruchu wahadeł.

Wyżej podano dokładne rozwiązanie równania ruchu wahadła dla dowolnej amplitudy, ale w postaci uwikłanej. Podanie zależności kąta wychylenia w postaci analitycznej sprawia już problem. Okresową funkcję można przedstawić w postaci szeregu Taylora:
 

Dla wahadła symetrycznego ruszającego z maksymalnego wychylenia, gdy czas równa się zero, wychylenie jest symetryczną funkcją czasu  dlatego współczynniki przed funkcją sinus są równe zero. Stąd otrzymuje się:
 

Można także wykazać, że parzyste harmoniczne składowej cosinus są równe zero.

Wahadło w stanie nieważkości 
W stanie nieważkości siła grawitacji jest równoważona przez siłę bezwładności układu odniesienia. W wyniku czego ciało wahadła zachowuje się tak jakby nie działała na nie siła. W zależności od warunków początkowych ciało wahadła spoczywa (jest w równowadze trwałej) albo porusza się ruchem jednostajnym po okręgu.

Reakcja więzów 
Z definicji wahadła prostego, jego ruch jest ograniczony przez więzy do ruchu po okręgu. Suma składowych sił działających na ciało prostopadłe do toru ruchu jest siłą dośrodkową, jej wartość określa wzór
 

przy czym znak „minus” jest dlatego, że siła działa w stronę środka okręgu, przeciwnie do zwrotu współrzędnej układu współrzędnych biegunowych. Zależność tej siły od kąta θ można określić wyznaczając prędkość wahadła z zasady zachowania energii, co daje.
 

gdzie  – kąt maksymalnego odchylenia wahadła.

Siłę napięcia nici określa wzór
 

W przyjętym tu układzie współrzędnych biegunowych, który jest zgodny z więzami, wyznaczenie siły reakcji więzów jest niepotrzebne do opisu ruchu wahadła. Wyznaczenie tej siły byłoby konieczne, gdyby siły opisywać w układzie współrzędnych kartezjańskich. Dobór układu współrzędnych zgodnych z więzami stanowi podstawę sformułowania mechaniki klasycznej w ujęciu mechaniki Lagrange’a.

Uogólnienia 
Wahadło rzeczywiste, złożone z ciała zawieszonego na nici, może być traktowane jako wahadło matematyczne, jeżeli spełnione są następujące założenia:
 rozmiary ciała są niewielkie w porównaniu z długością nici,
 nić jest nieważka,
 nić jest nierozciągliwa,
 wahadłu nadano prędkość początkową tak, że drga w płaszczyźnie pionowej (a nie np. porusza się w płaszczyźnie poziomej po elipsie),
 na ciało działają jedynie siła ciężkości oraz siła reakcji nici (pomijalne są inne siły, np. siła oporów ruchu ze strony powietrza).

Wahadło matematyczne stanowi szczególny przypadek wahadła fizycznego (patrz niżej).

W fizyce rozważa się kilka modeli wahadeł, które nie spełniają założeń wahadła matematycznego lub fizycznego. Przykładami są:
 wahadło sferyczne – ciało na nierozciągliwej nici, ale jego ruch nie jest ograniczony do płaszczyzny,
 wahadło stożkowe – ciało na nierozciągliwej nici, a ciało porusza się po okręgu,
 wahadło podwójne – ciało wahadła jest punktem zawieszenia kolejnego wahadła, może być rozważane jako płaskie i sferyczne, matematyczne i fizyczne,
 wahadło z rozciągliwą nicią,
 tautochrona (wahadło cykloidalne) – wahadło o okresie niezależnym od amplitudy drgań.

Inne układy drgające:
 wahadło torsyjne
 wahadło sprężynowe

Wahadło fizyczne 
Jest to bryła sztywna zawieszona na stałej osi poziomej w jednorodnym polu grawitacyjnym. Bryła ta może wykonywać obroty dookoła tej osi. Wahadło rozważa się jako ruch obrotowy bryły sztywnej. Na wychylone z położenia równowagi wahadło działa moment siły:
 

Równanie ruchu wahadła można wyrazić wzorem:
 

Porównując to równanie z równaniem ruchu wahadła matematycznego, wprowadza się długość zredukowaną wahadła fizycznego
 

Wówczas równanie ruchu wahadła fizycznego ma identyczną postać jak równanie ruchu wahadła matematycznego, co oznacza że wszystkie wnioski dotyczące ruchu wahadła fizycznego są identyczne z wnioskami dotyczącymi wahadła matematycznego. Przykładowo okres drgań zapisuje się jako:
 

Rozważając wahadło matematyczne, czyli masę punktową zawieszoną na nieważkiej nici jako bryłę sztywną:
 
 

Po podstawieniu tych wielkości do równań wahadła fizycznego otrzymuje się równania ruchu wahadła matematycznego. Oznacza to, że wahadło matematyczne może być uważane jako szczególny przypadek wahadła fizycznego,

gdzie:
  – odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości bryły,
  – przyspieszenie ziemskie,
  – moment bezwładności wahadła względem osi obrotu,
  – masa wahadła,
  – długość zredukowana wahadła fizycznego.

Wahadło fizyczne stosuje się jako przyrząd do dokładnego pomiaru przyspieszenia ziemskiego. Przykładem wahadła do pomiaru przyspieszenia ziemskiego oraz jako przyrządu dydaktycznego jest wahadło rewersyjne.

Wahadło Foucaulta 

Płaszczyzna drgań wahadła znajdującego się na Ziemi poza równikiem powoli obraca się względem Ziemi. Zjawisko to można wyjaśnić jako efekt działania siły Coriolisa wywołanej ruchem wahadła na obracającej się Ziemi. Wahadło umożliwiające obserwację tego efektu, jest nazywane wahadłem Foucaulta.

Okres obrotu płaszczyzny wahadła w dla obserwatora znajdującego się na obracającej się Ziemi opisuje wzór:
 

gdzie  – szerokość geograficzna, na której znajduje się wahadło. Np. dla szerokości geograficznej 52° (okolice Warszawy) okres wahadła Foucaulta wynosi około 30 h 27 min i maleje ze wzrostem szerokości geograficznej. Na biegunach okres ten wynosi 24 h.

Drgania tłumione i wymuszone wahadła 
W omówionych tu zagadnieniach opisane były drgania swobodne wahadła matematycznego i fizycznego, tj. drgania odbywające się jedynie pod wpływem siły ciężkości oraz siły reakcji nici czy podpory. Siły grawitacji są siłami zachowawczymi. Podobnie zachowawcze są rozważane tu siły reakcji, gdy punkt zaczepienia nici jest nieruchomy (siła reakcji nie zależy wtedy jawnie od czasu i działa prostopadle do chwilowego kierunku ruchu wahadła; w konsekwencji taka siła reakcji nie wykonuje pracy). Energia mechaniczna wahadła poddanego działaniu tylko tych sił byłaby zachowana i w konsekwencji powodowałaby jego nieustanny ruch.

Rzeczywiste układy drgające wprawione w ruch po pewnym czasie zatrzymują się pod wpływem oporów ruchu (np. oporów powietrza), chyba że działa na nie siła wymuszająca ruch, jak to jest w przypadku wahadeł zegarów. Uwzględnienie sił oporów ruchu lub sił wymuszających ruch prowadzi do równań wahadła tłumionego lub wymuszonego (por. Ruch harmoniczny tłumiony oraz Oscylator harmoniczny wymuszony).

Historia 
W XVII w. Galileusz w czasach swej młodości odkrył izochronizm wahadła, oraz że okres drgań zależy jako pierwiastek kwadratowy długości wahadła. Wykorzystywał wahadło do odmierzania czasu. W 1644 Marin Mersenne wyznaczył długość wahadła sekundowego (o okresie 2 sekund). Współczesny mu Stanisław Pudłowski proponował oprzeć miarę długości na zjawisku wahadła. W 1657 Huygens przedstawił i opatentował zegar wahadłowy; wynalazek szybko rozprzestrzenia się. W 1673 Huygens przedstawił teorię wahadła, w tym zależność okresu drgań wahadła od miejsca zawieszenia wahadła fizycznego (p. Jean Richer). W 1687 Isaac Newton w pracy Principia zauważył, że przyspieszenie ziemskie można wyrazić jako długość wahadła sekundowego. W 1737 Pierre Bouguer wykonał pomiary przyspieszenia ziemskiego między innymi w Andach. Zauważył, że do pomiaru przyspieszenia ziemskiego wygodniej jest określanie okresu wahania, a nie długości wahadła sekundowego. Używając wahadeł, porównał gęstość Ziemi z gęstością Kordylierów. Od 1735 Charles Marie de La Condamine prowadził eksperymenty z wahadłami, dopracowując i wykonując pomiar przyspieszenia ziemskiego w różnych miejscach. W 1792 we Francji długość wahadła sekundowego była proponowana jako jednostka długości. Pomysł nie został przyjęty w metrycznym systemie miar.  W latach 1825/27 Bessel udoskonalił układ pomiarowy oraz wprowadził układ optyczny do obserwacji ruchu wahadła. W 1817 Henry Kater skonstruował wahadło rewersyjne, dając impuls do dokładnych i bezwzględnych pomiarów przyspieszenia ziemskiego. W latach 1827–1840 Francis Baily skonstruował różne wahadła, w tym wahadło poruszające się w próżni.

Wahadło – okresy drgań 

Obliczenia okresów drgań wahadła matematycznego nietłumionego w zależność od amplitudy, zamieszczone w tabeli, obliczono korzystając ze wzoru:
 
Dla  mamy  Dzieląc stronami oba wzory otrzyma się formułę, z której łatwo wyznaczyć szukane wielkości:
 
Wartości całek eliptycznych zupełnych pierwszego rodzaju  są stabelaryzowane (patrz tu – należy odszukać kąt  i odczytać wartość całki ).

Na podstawie tabeli można wyznaczyć okres drgań wahadła o zadanej długości  mnożąc wartość odczytaną z tabeli przez 

Tabela może służyć też do testowania algorytmów obliczania złożonych ruchów, co omówiono poniżej.

Całkowanie numeryczne równań ruchu wahadła

Wahadło nietłumione 
Równanie drgań wahadła matematycznego, podane na początku artykułu, jest równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu. Jest to ponadto równanie nieliniowe – nie da się go rozwiązać analitycznie. Można jednak rozwiązać je efektywnie metodami numerycznymi, np. stosując metody Rungego-Kutty. Metoda polega na tym, że wprowadzając nową zmienną  (która de facto ma sens prędkości kątowej wahadła) równanie to sprowadza się do układu dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu

 

a następnie układ tych równań rozwiązuje się iteracyjnie, znajdując np. zależność kata odchylenia wahadła w zależności od dyskretnych chwil czasu  czy okres drgań  (Przykład kodu programu w C++ podano tutaj)

Wahadło tłumione, z siłą wymuszającą 
Znalezienie rozwiązania analitycznego równania ruchu złożonych układów fizycznych jest w ogólnym przypadku niemożliwe. Jednak metody numeryczne pozwalają efektywnie rozwiązywać te równania ruchu. Np. równanie ruchu wahadła z tłumieniem i z siłą wymuszającą ma postać

 

gdzie:
  – współczynnik tłumienia,
  – siła wymuszająca, zależna dowolnie od czasu.
Wprowadzając nową zmienną  powyższe równanie sprowadza się do układu dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu

 
Układ ten rozwiązuje się iteracyjnie, np. metodą Rungego-Kutty, co prowadzi do znalezienia dyskretnych wartości  w zadanym przedziale całkowania równań. (Przykład kodu programu w języku python, wraz z generowaniem wykresów drgań, podano tutaj).

Zobacz też 
 Przyrządy będące wahadłami
 wahadło balistyczne
 wahadło Newtona
 wahadło Oberbecka
 wahadło radiestezyjne
 wahadło rewersyjne
 wahadło zegarowe
 Oscylatory
 oscylator anharmoniczny
 oscylator harmoniczny
 oscylator harmoniczny kwantowy
 Inne
 grawimetr

Uwagi

Przypisy

Bibliografia 
 M. Jeżewski, Fizyka, PWN, Warszawa 1966.

Linki zewnętrzne 

  – w ramach zestawu ćwiczeń do fizyki na Wydziale Nauk Ścisłych Uniwersytetu Przyrodniczo-Humanistycznego w Siedlcach
 Wahadło fizyczne