Polígono regular

En geometría plana, se denomina polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son iguales entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se denominan triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el adjetivo regular (pentágono regular, hexágono regular, octágono regular, etc). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.

Elementos de un polígono regular 

 Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
 Vértice, V: punto común de cualquiera de los dos lados consecutivos.
 Centro, C: el punto interior equidistante de todos los vértices y de los lados.
 Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
 Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, desde el centro del polígono.
 Diagonal, d: segmento que une dos vértices no continuos.
 Perímetro, P: es la suma de la longitud de todos sus lados .
 Semiperímetro, p: es la mitad del perímetro.
 Sagita, S: parte del radio comprendida entre el punto medio del lado y el arco de circunferencia. La suma de la apotema: a más la sagita: S, es igual al radio: r.

 Propiedades de un polígono regular 

 Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma longitud.

 Ángulos de un polígono regular 

 Central 

 Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono como sigue:
  en grados sexagesimales

  en radianes

 Interior 

 El ángulo interior, , de un polígono regular mide:
  en grados sexagesimales

   en radianes

 La suma de los ángulos interiores, , de un polígono regular es de:

  en grados sexagesimales

   en radianes

 Exterior 

 El ángulo exterior, , de un polígono regular es de:
  en grados sexagesimales

   en radianes

 La suma de los ángulos exteriores, , de un polígono regular es:
  en grados sexagesimales

   en radianes

 Galería de polígonos regulares 

{|
| 
| 
| 
| 
|-
| Triángulo equilátero (3)
| Cuadrado (4)
| Pentágono (5)
| Hexágono (6)
|}

{|
| 
| 
| 
| 
|-
| Heptágono (7)
| Octágono (8)
| Eneágono (9)
| Decágono (10)
|}

{|
| 
| 
| 
| 
|-
| Undecágono (11)
| Dodecágono (12)
| Tridecágono (13)
| Tetradecágono (14)
|}Observación: A medida que crece el número de lados de un polígono regular, se asemeja más a una circunferencia.

 Área de un polígono regular 

Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.

 En función del perímetro y la apotema 

El área de   un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

 

O de otro modo
 

el área es igual al producto de apotema: a por semiperímetro: p.

 En función del número de lados y la apotema 

Sabiendo que:
 

Además , ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).

Observando la imagen, es posible deducir que:
 

Sustituyendo el lado:
 

Finalmente:
 

Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.

 En función del número de lados y el radio 

Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:
 
 

donde el ángulo central es:
 

sabiendo que el área de un polígono es:
 

y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:
 

ordenando tenemos:
 

sabiendo que:
 

resulta:
 

o lo que es lo mismo:
 

Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.

 En función de la longitud y el número de lados 

si queremos expresar el área en función del lado, podemos calcularlo de la siguiente manera:
 

Sea  el ángulo formado por el Lado "L" y el radio "r":
 

El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente:
 

Despejando la apotema tenemos:
 

Sustituimos la apotema por su valor:
 

Se puede ver en el dibujo que  y la fórmula puede escribirse también como
.

Con lo que conociendo el número de lados del polígono regular y la longitud del lado podemos calcular su superficie.

 Apotema y sagita 

La apotema, , de un polígono regular de  lados de longitud  viene dada por

O bien, en función del circunradio, ,

La sagita, , de un polígono regular de  lados de longitud  viene dada por

O bien, en función del circunradio, 

 Diagonales  

 Número de diagonales 

Para determinar el número de diagonales Nd, de un polígono de n vértices realizaremos el siguiente razonamiento:

 De un vértice cualquiera partirán (n – 3) diagonales, donde n es el número de vértices, dado que no hay ningún diagonal que le una consigo mismo ni con ninguno de los dos vértices contiguos.
 Esto es válido para los n vértices del polígono.
 Una diagonal une dos vértices, por lo que aplicando el razonamiento anterior tendríamos el doble de diagonales de las existentes.

Según el razonamiento tendremos que:
 

 Longitud de la diagonal más pequeña 

La diagonal más pequeña de un polígono regular es la que une dos vértices alternos, para determinar su longitud, partimos del ángulos central y del radio, el radio que pasa por el vértice intermedio, corta a la diagonal en el punto A, este radio y la diagonal son perpendiculares en A.

Esto es el triángulo VAC es rectángulo en A, por tanto:
 

que resulta:
 

de donde deducimos que:
 

Sabiendo el valor del ángulo central:
 

La diagonal más pequeña de un polígono regular, solo depende del radio y del número de lados, siendo tanto mayor cuanto mayor sea el radio y disminuyendo de longitud cuando aumenta el número de lados del polígono.

 Longitud de las diagonales 

En general la longitud de las diagonales de un polígono regular viene dada por la relación de recurrencia

 

 

 

 

 
 
 
 

 Parametrización de un polígono regular con un triángulo rectángulo. 
En una circunferencia de radio establecido, puede construirse un polígono regular inscrito y circunscrito con n lados a regla y compás en algunos casos de polígonos, y se utilizan softwares CAD para mayor precisión. Tomando como referencia el segundo teorema de Tales y el teorema de Pitágoras, es posible relacionar todos los parámetros de un polígono regular sea inscrito y circunscrito con un triángulo rectángulo. Esto se cumple cuando el ángulo theta opuesto al lado del polígono inscrito o circunscrito, cumple con el siguiente criterio: θ = 180°/n , siendo n' el número de lados del polígono y debe ser un número entero mayor que 2.

Véase también 

 Figuras geométricas
 Polígono
 Polígono equilátero
 Estrella (figura geométrica)
 Regla y compás
 Trigonometría

Referencias

Bibliografía

Enlaces externos 
 Polígono regular

Polígonos