Desviació tipus

La desviació tipus (σ o S), també coneguda com a desviació estàndard o desviació típica i abreviada Desv, SD o StDev (de l'anglès Standard Deviation) és una mesura de variabilitat o diversitat que s'usa en estadística i teoria de la probabilitat. Mostra quanta variació o «dispersió» hi ha respecte a la mitjana. Una desviació tipus baixa indica que els punts de dades tendeixen a ser propers a la mitjana, mentre que una desviació tipus alta indica que les dades s'estenen al llarg d'un gran rang de valors.

Tècnicament, la desviació estàndard d'una població estadística, conjunt de dades o distribució de probabilitat és l'arrel quadrada de la seva variància. És algebraicament més simple tot i que menys robusta que la desviació mitjana absoluta. Una propietat útil de la desviació tipus és que, a diferència de la variància, està expressada en les mateixes unitats que les de les dades.

A part d'usar-se per expressar la variabilitat d'una població, la desviació estàndard també s'usa per mesurar la confiança en conclusions estadístiques. Per exemple, el marge d'error en una enquesta de dades es determina calculant la desviació estàndard esperada dels resultats si la mateixa enquesta fos duta a terme múltiples vegades. El marge d'error és normalment cap al doble de la desviació estàndard: el radi d'un interval de confiança al 95%. En ciència, els investigadors solen donar la desviació estàndard de les dades experimentals. També és important en finances, en les quals la desviació estàndard de la taxa de retorn d'una inversió econòmica és la mesura de la volatilitat d'aquesta.

Quan la desviació estàndard es refereix a una distribució de probabilitats, una variable aleatòria o una població se l'anomena desviació estàndard poblacional i es representa amb la lletra σ. Quan es refereix a un conjunt de dades (mostra) se l'anomena desviació estàndard mostral o estimador de la desviació estàndard, ja que s'empra com a estimador de la desviació estàndard poblacional, i es representa per la lletra S.

Exemple bàsic de la desviació tipus d'un conjunt de dades 
A continuació es mostra el procés per calcular la desviació estàndard d'un conjunt de dades en forma d'exemple. Es considera una població estadística amb els següents valors:
 
Aquestes vuit dades tenen una mitjana de 5:
 
Per a calcular la desviació estàndard de la població, primer es calcula la diferència de cada dada respecte a la mitjana i després s'eleva al quadrat el resultat de cadascun:
 
Per acabar, es calcula la mitjana d'aquests valors i se'n fa l'arrel quadrada:
 
Aquesta quantitat és la desviació estàndard poblacional, i és igual a l'arrel quadrada de la variància. La fórmula és vàlida només si els vuit valors amb els quals s'ha començat conformen la població completa; si, al contrari, fossin una mostra aleatòria extreta d'una de més gran, llavors s'hauria d'haver usat un valor de 8-1 = 7 al denominador, i la quantitat obtinguda seria la desviació estàndard mostral. Vegeu la secció Estimació per a més detalls.

Desviació tipus d'una variable aleatòria 
Sigui X una variable aleatòria amb esperança matemàtica, mitjana o valor mitjà μ: 

La desviació estàndard de X és la quantitat

on suposem que 

Això és, la desviació estàndard σ (sigma) és l'arrel quadrada de la variància de X o, dit d'una altra manera, és l'arrel quadrada del valor mitjà de .

La desviació estàndard d'una distribució de probabilitat és la mateixa que la desviació típica d'una variable aleatòria que segueix aquesta distribució. No totes les variables aleatòries tenen desviació estàndard, ja que l'esperança no té per què existir sempre. Per exemple, la desviació estàndard d'una variable aleatòria que segueix una distribució de Cauchy no està definida perquè el seu valor esperat μ no existeix.

Variable aleatòria discreta 
En el cas que X prengui els valors x1, x₂, …,, amb probabilitats respectives 

on .

Variable aleatòria contínua 
La desviació estàndard d'una variable aleatòria contínua X amb una funció de densitat de probabilitat  és:

on .

En el cas d'una família paramètrica de distribucions, la desviació estàndard pot ser expressada en termes de paràmetres. Per exemple, en el cas de la distribució log-normal amb paràmetres μ i σ² la desviació estàndard és:

.

Estimació 
En inferència estadística un model estadístic d'una població és una variable aleatòria  que representa la característica que volem estudiar; per exemple, l'alçada dels nois de 15 anys d'una determinada ciutat. La variància (respectivament, la desviació estàndard) de  s'anomenen variància poblacional (resp. desviació estàndard poblacional), que designarem per  (resp. ). Normalment són desconegudes (que és el que suposarem a continuació). Una mostra (aleatòria simple) és una família de variables aleatòries independents, totes amb la mateixa distribució que , per exemple, mesurem l'alçada de 20 nois de 15 anys de la població. Per estimar la variància poblacional pot utilitzar-se la variància de la mostra definida per on  és la mitjana mostral,  Si és vol remarcar la mida de la mostra s'escriu i . Per estimar la desviació estàndard poblacional pot utilitzar-se la desviació estàndard de la mostra 

Aquest estimador  té un error quadràtic mitjà uniforme més petit que el de la desviació estàndard poblacional  i és l'estimador de màxima versemblança quan la població està distribuïda de manera normal; tanmateix, quan s'aplica a una mostra petita o mitjana tendeix a ser massa petit i és un estimador esbiaixat.

Cal notar que el càlcul desviació estàndard de la mostra és la mateixa que la desviació estàndard poblacional per una variable aleatòria discreta que assumeix els seus valors precisament del conjunt de dades, en el qual la probabilitat per cada valor és proporcional a la seva multiplicitat dins del mateix conjunt.

Amb la desviació estàndard mostral 
L'estimador més comú per la variància poblacional  és una versió ajustada anomenada variància mostral modificada, denotat per  i definit així:

També, és habitual per estimar la desviació estàndard poblacional  utilitzar la desviació típica estàndard modificada , Aquesta correcció (l'ús de  en comptes de ) es coneix com a correcció de Bessel; la raó és que  és un estimador sense biaix per la variància σ² de la població, si aquesta variància existeix i els valors mostrals són extrets independentment i amb substitució. De totes maneres,  no és un estimador sense biaix per la desviació estàndard σ; tendeix a sobreestimar la desviació estàndard poblacional. Cal notar que Per tant, quan la mida de la mostra és gran, ambdós estimadors tenen valors molt similars.

Comentari sobre les notacions. No hi ha un acord general als llibres sobre els noms i les notacions per als diferents estimadors que hem vist: desviació estàndard mostral, desviació estàndard mostral modificada, etc. Alguns autors utilitzen desviació estàndard de la mostra per l'estimador sense corregir  (utilitza  al denominador), mentre que utilitzen desviació estàndard mostral per l'estimador corregit  (que usa ). El denominador  és el nombre de graus de llibertat al vector de residuals, .

Altres estimadors 

Tot i que es coneix un estimador sense biaix per a σ quan la variable aleatòria és normal, la fórmula és complicada i necessita correccions menors.

Identitats i propietats 
La desviació estàndard és invariant sota canvis en localització, i s'escala directament amb l'escala de la variable aleatòria. Per tant, per una constant c i dues variables aleatòries X i Y:

 

La desviació estàndard de la suma de dues variables aleatòries es pot relacionar amb les seves desviacions estàndard individuals i la covariància entre elles:

 

On  i  signifiquen variància i covariància respectivament.

El càlcul de la suma de desviacions al quadrat es pot relacionar als moments calculats directament de les dades. La desviació estàndard de la mostra es pot computar com:

Interpretació i aplicació 
La desviació estàndard és una mesura del grau de dispersió de les dades respecte al valor mitjà; dit d'una altra manera, la desviació estàndard és simplement la "mitjana" o variació esperada respecte a la mitjana aritmètica.

Per exemple, les tres mostres  i  tenen cada una mitjana de 7. Les seves desviacions estàndard són 7, 5 i 1 respectivament. La tercera població té una desviació estàndard molt més petita que les altres dues perquè tots els seus valors són propers a 7. Dit de manera planera, la desviació estàndard diu com de lluny tendeixen a estar els punts dades de la mitjana. Tindrà, a més, les mateixes unitats que els punts de dades mateixos. Si, per exemple, el conjunt de dadesrepresenta les edats d'una població de quatre familiars en anys, la desviació mitjana és de 5 anys. Com un altre exemple, la població  pot representar la distància recorreguda per quatre atletes mesurada en metres; llavors, la mitjana de distància recorreguda és de 1007 metres, i la desviació estàndard és de 5 metres.

La desviació estàndard es pot interpretar com una mesura d'incertesa. La desviació estàndard d'un grup repetit de mesures dona la precisió d'aquestes. Quan es vol determinar si un grup de mesures està d'acord amb un model teòric, la desviació estàndard d'aquestes mesures és de vital importància: si la mitjana de les mesures està massa allunyada de la predicció (amb la distància mesurada en desviacions estàndard), llavors es considera que les mesures experimentals contradiuen la teoria, la qual cosa és coherent, ja que les mesures cauen fora del rang de valors en el qual seria raonable esperar que estiguessin si el model teòric fos correcte.

La desviació estàndard és un dels tres paràmetres de tendència central: mostra l'agrupació de les dades al voltant d'un valor central (la mitjana).

Desigualtat de Txebixev 

Una observació no sol estar més lluny que unes poques desviacions estàndard de la mitjana. La desigualtat de Txebixev assegura que, per totes les distribucions per les quals està definida la desviació estàndard, la quantitat de dades dins un nombre de desviacions estàndard de la mitjana és com a mínima tant com està establert en la taula següent:

Regles per dades distribuïdes normalment 

Si considerem una variable aproximadament normal amb mitjana μ i desviació estàndard σ, llavors la proporció de dades dins de z desviacions estàndard de la mitjana és definida per:

Proporció = 

On  és la funció error. Si la distribució de dades és aproximadament normal llavors prop del 68% dels valors de les dades estan dins d'una desviació estàndard de la mitjana (matemàticament, μ ± σ, on μ és la mitjana aritmètica), prop del 95% estan dins dues desviacions estàndard (μ ± 2σ) i prop del 99,7% cauen dins tres desviacions estàndard (μ ± 3σ). Això es coneix com la regla 68-95-99,7.

Per diversos valors de z, el percentatge de valors esperats en caure dins i fora l'interval simètric CI = (−zσ, zσ) són els següents:

Gràcies al Teorema central del límit, això es pot aplicar a la suma d'un nombre gran de variables aleatòries independents i totes amb la mateixa distribució amb variància finita.

Relació entre la desviació estàndard i la mitjana 
La mitjana i la desviació estàndard d'un conjunt de dades normalment es donen conjuntament. En cert sentit, la desviació estàndard és la mesura "natural" de la dispersió estadística si el centre de les dades es mesura sobre la mitjana; això passa perquè la desviació estàndard des de la mitjana és menor que des de qualsevol altre punt. L'enunciat precís és el següent: se suposa que x1, ..., xn són nombres reals i es defineix la funció:

Usant càlcul o completant el quadrat es demostra que σ(r) té un mínim únic a la mitjana:

La variabilitat també pot ser mesurada pel coeficient de variació, que és la proporció de la desviació estàndard respecte a la mitjana. És un nombre adimensional.

Sovint es vol alguna informació sobre la precisió de la mitjana obtinguda. La desviació estàndard de la mitjana està relacionada amb la desviació estàndard de la distribució per:

On N és el nombre d'observacions a la mostra usada per estimar la mitjana. Això es pot provar fàcilment amb:

Per la qual cosa:

I com a resultat:

Mètodes ràpids de càlcul 

Les dues següents fórmules poden representar una desviació estàndard contínua. Un conjunt de tres sumes de potències s0, s1, s₂ són cadascuna computada sobre un conjunt de N valors de x, denotat com :

Cal notar que s0 eleva x a la potència zero, i com que x0 és sempre 1, s0 s'avalua a N.

Donats els valors d'aquests tres sumatoris, els valors s0, s1, s₂ poden ser usats en qualsevol moment per calcular la desviació estàndard actual:

De manera similar, per la desviació estàndard mostral:

En implementació en ordinadors, quan les tres sumes sj esdevenen molt gran es necessita considerar l'error d'arrodoniment i el desbordament aritmètic. El mètode a continuació calcula el mètode de les sumes amb errors d'arrodoniment reduïts:

On A és el valor mitjà.

Variància mostral:

Variància estàndard:

Càlcul ponderat 
Quan els valors xi estan ponderats amb pesos desiguals wi, les sumes de potències s0, s1, s₂ són computades cadascuna com:

I les equacions de desviació estàndard romanen sense canviar. Cal notar que s0 és ara la suma dels pesos i no el nombre de mostres N.

El mètode incremental amb errors d'arrodoniment reduïts també pot ser aplicat, però amb alguna complexitat addicional. S'ha de computar una suma de pesos:

I els llocs on s'usa 1/i a sobre han de ser reemplaçats per wi/Wi:

En la divisió final:

I:

On n és el nombre total d'elements i n'és el nombre d'elements amb pesos diferents de zero.

Les fórmules de sobre esdevenen iguals que les fórmules simplificades de seccions anteriors si els pesos s'assumeixen tots iguals a la unitat.

Combinació de desviacions estàndard

Estadístiques basades en la població 
Les poblacions de conjunts, que es poden sobreposar, es poden calcular de manera simple de la manera següent:

Les desviacions estàndard de sub-poblacions que no se sobreposen () poden ser agregades de la següent manera si la mida (actual o relativa a un altre) i les mitjanes de cadascuna són conegudes:

 

Per un cas més general de M poblacions que no se sobreposen, X1 fins a XM, i la població agregada :

 

On:

 

Si la mida (actual o relativa a un altre), la mitjana i la desviació estàndard de les dues poblacions que se sobreposen són conegudes per les poblacions i també per la seva intersecció, llavors la desviació estàndard de la població general pot ser calculada de la següent manera:

Si dos o més conjunts de dades són afegits punt per punt, la desviació estàndard del resultat pot ser calculada si es coneix la desviació estàndard de cada conjunt de dades i la covariància de cada parell de conjunts de dades:

Pel cas especial en el qual no existeix correlació entre cap parell de conjunts de dades, la relació es redueix al valor eficaç:

Estadístiques basades en la mostra 
Les desviacions estàndard de sub-mostres que no se sobreposen () poden ser agregades com segueix si es coneixen les seves mides i mitjanes:

Pel cas més general de M conjunts de dades que no se sobreposen, X1 fins a XM, i el conjunt de dades agregades :

On:

Si es coneixen la mida, mitjana i desviació estàndard de dos mostres que se sobreposen per les mostres i també per la seva intersecció, llavors la desviació estàndard de la mostra agregada encara pot ser calculada. En general:

Història 
El terme desviació estàndard va ser usat per primera vegada per Karl Pearson l'any 1894; aquest l'usava sovint en les seves conferències. Fou un reemplaçament per noms alternatius més antics per la mateixa idea: per exemple, Gauss usava error mitjà.

Bibliografia

Referències

Vegeu també 
 Desigualtat de Txebixev
 Distància de Mahalanobis
 Precisió i exactitud
 Valor eficaç
 Volatilitat (finances)

Enllaços externs 

 
 
 
 
  (llicència lliure). Implementació en C++ del càlcul de la mitjana, variància i desviació estàndard. 
 
 
 
 
 
 
 

Estadística paramètrica