Covarianza

En probabilidad y estadística, la covarianza es un valor que indica el grado de variación conjunta de dos variables aleatorias respecto a sus medias. Es el dato básico para determinar si existe una dependencia entre ambas variables y además es el dato necesario para estimar otros parámetros básicos, como el coeficiente de correlación lineal o la recta de regresión.

Interpretación 
Cuando los valores altos de una de las variables suelen mayoritariamente corresponderse con los valores altos de la otra, y lo mismo se verifica para los pequeños valores de una con los de la otra, se corrobora que tienden a mostrar comportamiento similar lo que se refleja en un valor positivo de la covarianzaPor el contrario, cuando los valores altos de una variable suelen corresponder mayoritariamente a los menores valores de la otra, expresando un comportamiento opuesto, la covarianza es negativa.El signo de la covarianza, por lo tanto, expresa la tendencia en la relación lineal entre las variables.La magnitud requiere un esfuerzo adicional de interpretación:La versión normalizada de la covarianza, el coeficiente de correlación indica la magnitud de la especificidad de la relación lineal. 

Se debe distinguir entre:(1) la covarianza de dos variables aleatorias, parámetro estadístico de una población considerado una propiedad de la distribución conjunta y (2) la covarianza muestral que se emplea como un valor estadísticamente estimado es una de las principales causas o motivos de la covarianza.

Definición 
La covarianza entre dos variables aleatorias  y  se define como 

siempre que ,  y , donde ,  y   denota los valores esperados de las variables aleatorias ,  y  respectivamente. Como la esperanza es un operador lineal entonces la expresión anterior se puede escribir de otra forma

Variables Aleatorias Discretas 
Si las variables aleatorias  y  pueden tomar los valores  y  para  con probabilidad  y  respectivamente entonces la covarianza puede ser expresada en términos de  y  como

 

o expresadas como

Caso Multivariado 
Si  es un vector aleatorio de dimensión , es decir,  donde  para  son variables aleatorias, la matriz de covarianza, denotada por , está dada por

es decir, la -ésima entrada de  corresponde a la covarianza entre  y  que puede ser representada como

 

en particular, cuando , entonces

por lo que la matriz  puede ser escrita como

Propiedades

Covarianza consigo misma 
La varianza es un caso particular de la covarianza cuando dos variables aleatorias son idénticas

Covarianza de combinaciones lineales 
Sean , ,  y  variables aleatorias y  entonces

 
 , donde  denota la varianza de .
  llamada propiedad de simetría.
 
 
 
 , fórmula que suele emplearse en la práctica para calcular la covarianza.

Estas propiedades se deducen de manera casi directa de la definición de la covarianza.

Para una secuencia  de variables aleatorias y para valores  se tiene

No correlación e Independencia 
A las variables aleatorias cuya covarianza es cero se dicen que son no correlacionadas. 

Si  e  son variables aleatorias independientes entonces su covarianza es cero, esto es 

esto ocurre por la propiedad de independencia

 

entonces reemplazando en la fórmula de la covarianza se obtiene

Lo opuesto, sin embargo, generalmente no es cierto: algunos pares de variables aleatorias tienen covarianza cero pese a que no son independientes. Bajo algunas hipótesis adicionales, la covarianza de valor cero implica independencia, como por ejemplo en el caso de la distribución normal multivariante.

Relación con el producto escalar 
La mayoría de las propiedades de la covarianza se deducen de las del producto escalar:
 Bilinealidad: para  y las variables aleatorias ,  y  se cumple
 Simetría: 
 Es un operador positivo definido: ; además, si  entonces  es una variable aleatoria constante.

De hecho, la covarianza es un producto interior sobre el espacio cociente de las variables aleatorias de momentos finitos iguales salvo constante.

Covarianza muestral 
Si  y  son variables aleatorias que toman los valores  y  para  entonces se puede estimar la covarianza entre  y , este estimador denotado por  se define como

donde

denotan la media muestral.

El estimador  tiene la propiedad de que es un estimador insesgado.

Interpretación de la covarianza 

 Si  hay dependencia directa (positiva), es decir, a grandes valores de  corresponden grandes valores de .
 Si  se interpreta como la no existencia de una relación lineal entre las dos variables.
 Si  hay dependencia inversa o negativa, es decir, a grandes valores de  corresponden pequeños valores de .

Véase también 
 Esperanza matemática
Varianza
Regresión lineal
 Coeficiente de correlación
 ANOVA o análisis de la varianza

Referencias

Enlaces externos 
 Resolver covarianza y varianza con fórmula en línea
 Simulación de la covarianza de una variable bidimensional continua  y discreta  con R (lenguaje de programación)

Estadística descriptiva