Inégalité de Hölder

En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions , comme les espaces de suites . C'est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Il existe une formulation de l'inégalité utilisée en mathématiques discrètes.

Énoncé 

Plus généralement, pour  et  défini par , si  et  alors  et .

De plus, lorsque  et  sont finis, il y a égalité si et seulement si  et  sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il existe  et  non simultanément nuls tels que  p.p.

Démonstration 
Pour démontrer ce théorème, on peut utiliser un corollaire de l'inégalité de Jensen ou l'inégalité de Young.

Exemples 

Inégalité de Cauchy-Schwarz 
L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert est le cas particulier où  dans l'inégalité de Hölder.

Dimension finie 

Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble S = {1, …, n} muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour  avec  = 1 et pour tous vecteurs  et  de ℝ (ou de ℂ), l'inégalité

Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme  : voir la section Inégalités de Hölder.

Suites 

L’inégalité précédente se généralise (en prenant, cette fois, S = ℕ) aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si  et  sont respectivement dans les espaces de suites  et , alors la suite « produit terme à terme »  est dans .

Cas extrémal 

D'après l'inégalité de Hölder, dans les deux cas, la borne supérieure de l'ensemble de droite est majorée par .

Inversement, minorons cette borne supérieure par la norme  de , que l'on peut supposer non nulle. Par homogénéité, supposons même que

 Si , la borne est même un maximum c'est-à-dire qu'elle est atteinte : la fonction  définie sur S parappartient à  où sa norme vaut 1 et l'on a
 Si , soient ε ∈]0, 1[et A = [|| > 1 – ε] ∈ Σ, de mesure non nulle puisque  = 1. L'hypothèse additionnelle garantit l'existence d'un B  ∈ Σ, contenu dans A et de mesure finie non nulle. La fonction  définie sur S parappartient alors à  où sa norme vaut 1 et l'on aLa borne supérieure que l'on cherchait à minorer est donc supérieure ou égale à 1 – ε pour tout ε ∈]0, 1[, ce qui prouve qu'elle est bien supérieure ou égale à .

Remarques sur le cas 
 Même avec l'hypothèse additionnelle de l'énoncé, la borne supérieure n'est pas atteinte en général. Par exemple si  est la suite de  définie par  alors, pour toute suite non nulle  de norme inférieure ou égale à 1 dans , 
 Si A ∈ Σ est de mesure infinie mais ne contient aucun B ∈ Σ de mesure finie non nulle (l'exemple le plus simple étant celui où le seul B ∈ Σ qui soit strictement inclus dans A est ∅) et si  est la fonction indicatrice de A, alors la borne supérieure associée est nulle, tandis que  = 1.

Applications 

 L’inégalité de Hölder fournit immédiatement une relation importante entre les espaces  associés à une mesure finie de masse totale  :(Cette propriété peut également se déduire directement de l'inégalité de Jensen.)
 Elle intervient aussi comme argument permettant de montrer l’inégalité de Minkowski, qui est l'inégalité triangulaire pour la norme de  si  ≥ 1.
 Le cas extrémal permet d’établir que le dual topologique de  est  (avec ) si , et aussi si  = 1 quand la mesure est  σ-finie.

Généralisation 

L’inégalité de Hölder avec  se généralise immédiatement à  fonctions, par récurrence :

Notes et références

Bibliographie 
 
 

Holder
Analyse convexe