Función gamma

En matemáticas, la función gamma (denotada como , donde  es la letra griega gamma en mayúscula), es una aplicación que extiende el concepto de factorial a los números reales y complejos. La notación fue propuesta por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del número complejo  es positiva, entonces la integral

converge absolutamente; esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo, excepto a los enteros negativos y al cero. Si  entonces

lo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la función gamma extiende el concepto de factorial a cualquier valor complejo de . La función gamma aparece en varias funciones de distribución de probabilidad, por lo que es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria.

Definición 

La notación  se debe a Legendre. Si la parte real del número complejo  es estrictamente positiva , entonces la integral

converge absolutamente y es conocida como integral de Euler de segundo orden. Utilizando integración por partes se obtiene la siguiente propiedad:

Podemos obtener :

Teniendo que  y  entonces 

para todos los naturales .

La función gamma es una función meromorfa de  con polos simples en  y residuos . Estas propiedades pueden ser usadas para extender  desde su definición inicial a todo el plano complejo (exceptuando los puntos en los cuales es singular) por continuación analítica.

Definiciones alternativas

Definición de Euler como un producto infinito 
Para todo entero  se verifica

.
Si  no es un entero entonces no es posible decir si la ecuación anterior es válida pues en esta sección aún no se ha definido la función factorial para no enteros. Sin embargo, podemos obtener una extensión de la función factorial para no enteros exigiendo que esta relación siga siendo válida para un número complejo arbitrario :

.

Al multiplicar ambos lados por  se obtiene

Este producto infinito converge para todos los números complejos  excepto para enteros negativos en los que falla, ya que la relación recursiva  hacia atrás lleva a una división entre cero para el valor . Puesto que , para la función gamma la relación precedente da lugar a la definición:   

válida para enteros no negativos.

Definición de Weierstrass 
La definición de la función gamma debida a Weierstrass es válida para todos los números complejos  excepto para valores enteros no positivos 

donde  es la constante de Euler-Mascheroni.

En términos de los polinomios generalizados de Laguerre 
Una representación de la función gamma incompleta en términos de los polinomios generalizados de Laguerre es

que converge para  y .

Propiedades

General 
Otras ecuaciones funcionales importantes de la función gamma son la fórmula de reflexión de Euler

que implica 

y la fórmula de duplicación de Legendre

La fórmula de duplicación es un caso especial del teorema de multiplicación

Una propiedad básica pero muy útil de la función gamma, que puede obtenerse a partir de la definición en términos de un límite es

en particular, con , este producto es

si la parte real es un entero, esto es  entonces

siendo .

Varios límites útiles para aproximaciones asintóticas:

Quizá el valor más conocido de la función gamma con argumento no entero es:

La cual puede obtenerse haciendo  en la fórmula de reflexión o en la fórmula de duplicación, usando la relación de la función gamma con la función beta dada más abajo con  o haciendo la sustitución  en la definición integral de la función gamma, con lo que se obtiene una integral Gaussiana. En general, para valores no negativos de  se tiene:

donde  denota al doble factorial de .

Derivada 
Las derivadas de la función gamma vienen dadas por la función poligamma, por ejemplo:

Para un entero positivo , la derivada de la función gamma puede calcularse como sigue

donde  denota la constante de Euler-Mascheroni.

A partir de la representación integral de la función gamma, se obtiene que la -ésima derivada de la función gamma viene dada por:

Residuos 
La función gamma tiene un polo de orden 1 en  para todo número entero no negativo. El residuo en cada polo es:

El teorema de Bohr-Mollerup dice que, entre todas las funciones que generalizan el factorial de los números naturales a los reales, solo la función gamma es logarítmicamente convexa, esto es, el logaritmo natural de la función gamma es una función convexa.

Representación como una integral 
Hay muchas fórmulas, además de la integral de Euler de segundo tipo, para representa la función gamma como una integral. Cuando la parte real de  es positiva entonces

 

Cuando la parte real de  es positiva entonces la primera fórmula integral de Binet para la función gamma es

 

la integral de la derecha puede ser interpretada como la Transformada de Laplace, esto es

 

Cuando la parte real de  es positiva entonces la segunda fórmula integral de Binet para la función gamma es

Desarrollo en series de Fourier 
El logaritmo de la función gamma tiene el siguiente desarrollo en series de Fourier para :

que por un largo tiempo se le atribuyó a Ernst Kummer quien lo demostró en 1847. Sin embargo, se descubrió que Carl Johan Malmsten la demostró por primera vez en 1842.

Fórmula de Raabe 
En 1840, Joseph Ludwig Raabe demostró que

 

para valores . 

En particular, cuando  obtenemos

Función Pi 

Gauss introdujo una notación alternativa de la función gamma denominada función Pi, que en términos de la función gamma es:

Así, la relación de la función Pi con el factorial es más natural que en el caso de la función gamma pues para cualquier entero no negativo 

La fórmula de la reflexión toma la siguiente forma:

Donde  es la función sinc normalizada, mientras que el teorema de la multiplicación toma la forma:

En ocasiones se encuentra la siguiente definición

donde  es una función entera definida para todo número complejo, pues no tiene polos. La razón de ello es que la función gamma y, por tanto, la función Pi, no tienen ceros.

Relación con otras funciones 

 En la representación integral de la función gamma, tanto el límite superior como el inferior de la integración están fijados. La función gamma incompleta superior  e inferior  se obtienen modificando los límites de integración superior o inferior respectivamente.

 La función gamma está relacionada con la función beta por la siguiente fórmula

 La derivada logarítmica de la función gamma es la función digamma . Las derivadas de mayor orden son las funciones poligamma .

 El análogo de la función gamma sobre un cuerpo finito o un anillo finito son las sumas gaussianas, un tipo de suma exponencial.
 La función gamma inversa es la inversa de la función gamma, que es una función entera.
 La función gamma aparece en la definición integral de la función zeta de Riemann :

 

Fórmula válida solo si . También aparece en la ecuación funcional de :

Valores particulares 
Algunos valores particulares de la función gamma son

Aproximaciones 
La función gamma se puede calcular numéricamente con precisión arbitraria usando la fórmula de Stirling, la aproximación de Lanczos o la aproximación de Spouge.

Para argumentos que sean múltiplos enteros de 1/24, la función gamma puede ser evaluada rápidamente usando iteraciones de medias aritmético geométricas (véase Valores de la función gamma).

Debido a que tanto la función gamma como el factorial crecen muy rápidamente para argumentos moderadamente grandes, muchos programas de computación incluyen funciones que devuelven el logaritmo de la función gamma. Este crece más lentamente, y en cálculos combinatorios es muy útil, pues se pasa de multiplicar y dividir grandes valores a sumar o restar sus logaritmos.

Aplicaciones de la función gamma

Cálculo fraccionario 

La -ésima derivada de  (donde n es un número natural) se puede ver de la siguiente manera: 

como  entonces 

 

donde  puede ser cualquier número donde gamma esté definido o se pueda definir mediante límites. De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de , de  e inclusive de una constante :

Véase también 

 Función beta
 Teorema de Bohr-Mollerup
 Función digamma
 Función gamma elíptica
 Factorial
 Función gamma de Hadamard
 Distribución Gamma
 Constante de Gauss
 Función gamma incompleta
 Aproximación de Lanczos
 Función gamma multivariable
 Símbolo de Pochhammer
 Símbolo k-Pochhammer
 Función poligamma
 Función Gamma Recíproca
 Fórmula de Stirling
 Función Trigamma

Referencias

Bibliografía utilizada 
 
 
 
 
 Formato HTML

Bibliografía adicional 

 
 
 
 
 Murray R. Spiegel: Transformadas de Laplace, ediciones Schaumm.
 Makárenko, Krasnov y Kiselev: Funciones de variable compleja, Cálculo operacional, Teoría de la estabilidad, editorial Mir.

Enlaces externos 
 Ejemplos de problemas que involucran a la Función Gamma en Exampleproblems.com .
 Cephes - Librería de funciones especiales matemáticas de C y C++ .
 Fast Factorial Functions - Varios algoritmos.
 Approximation Formulas - Aproximaciones.
 Evaluador de la función gamma de Wolfram con precisión arbitraria.
 Volume of n-Spheres and the Gamma Function en MathPages .
 Herramienta en línea para obtener gráficas de funciones que contiene a la función gamma.
 Calculadora Función gamma

Funciones gamma y relacionadas