Geodésica

Pode-se considerar geodésica como uma extensão do conceito de reta para outros sistemas de coordenadas além do cartesiano. Num plano cartesiano  a equação de uma reta é:  Essa relação linear é entretanto uma característica particular. Usando coordenadas polares  pode-se provar que a equação de uma reta é:  onde c,d são constantes assim como a,b no caso cartesiano.
Para chegar à equação da geodésica, expressa-se cada variável em função de um parâmetro comum , em vez de uma relação direta entre elas. No primeiro exemplo:   A relação linear e as 2 constantes arbitrárias sugerem um sistema de 2 equações diferenciais:   Esse sistema é chamado de equação da geodésica, que é bem simples para o caso cartesiano como se pode ver. Para o segundo exemplo, de coordenadas polares, o sistema é:   A relação analítica entre  e , com as constantes c,d arbitrárias vista anteriormente, é obtida pela resolução desse sistema, que é a equação da geodésica para essas coordenadas.
Nos exemplos anteriores houve apenas uma mudança de sistemas de coordenadas na mesma variedade, um plano. Mas a superfície de uma esfera também pode ser mapeada por coordenadas, sendo longitudes e latitudes o exemplo usado para a superfície da terra. A solução da equação da geodésica (o sistema de equações diferenciais) para esse caso resulta na intercessão de um plano passando pelo centro com a superfície da esfera. Ou seja num grande círculo, como por exemplo os meridianos. Um grande círculo é assim a extensão do conceito de reta para a superfície de uma esfera.

A equação da geodésica para um caso de uma variedade e sistema de coordenadas genéricos e qualquer número de dimensões é:

onde é usada a convenção de Einstein para somatório implícito e lembrando que há uma equação para cada coordenada . Assim a expressão condensada é na realidade um sistema de equações diferenciais. As  são chamadas conexões, função da variedade e do sistema de coordenadas.        

Num plano, a geodésica é a menor distância que une dois pontos tal que, para pequenas variações da forma da curva ,o seu comprimento é estacionário. A representação da geodésica em um plano representa a projeção de um círculo máximo sobre uma esfera. Assim, tanto na superfície de uma esfera quanto na superfície esférica deformada num plano, a reta é uma curva, já que a menor distância possível entre dois pontos somente poderá ser curvada, pois uma reta  precisaria, necessariamente, permanecer sempre num plano para ser a menor distância entre pontos.
 

Do ponto de vista prático, na maioria dos casos, a geodésica é a curva de menor comprimento que une dois pontos.

Em uma "geometria plana" (espaço euclidiano), essa curva é um segmento de reta, mas em "geometrias curvas" (geometria riemanniana), muito utilizadas por exemplo na Teoria da Relatividade Geral, a curva de menor distância entre dois pontos pode não ser uma reta.

Para entender isso, peguemos como exemplo a curvatura do globo terrestre e seus continentes. Se traçarmos uma linha ligando duas capitais de continentes distintos, perceberemos que a linha não é reta, ela é um arco do círculo máximo; entretanto, se a distância entre as duas cidades for pequena, a linha que cobre o segmento do arco de círculo máximo será realmente uma reta.

Todo mundo aprende na escola que a menor distância entre dois pontos é uma reta. Mas pouca gente se recorda – e alguns professores se esquecem de avisar – de que isso é válido apenas em um espaço plano. Em um espaço tridimensional, a coisa muda de figura.

Imaginemos, por exemplo, um triângulo equilátero, aquele em que todos os lados são iguais, e todos os ângulos internos somam 180 graus.

Marcando dois pontos dentro do triângulo, a menor distância entre eles sempre será uma reta. Além disso, não importa o tamanho dos lados; sempre, em qualquer circunstância, a soma dos ângulos internos do triângulo será 180 graus.

Pois bem. Vamos mudar agora o paradigma. Imaginemos um espaço tridimensional: aquele em que nós vivemos todos os dias. Além das duas dimensões existentes no plano bidimensional (altura e comprimento), há uma outra, a profundidade.

Nesse tipo de plano, a menor distância entre dois pontos é uma curva, mais especificamente um arco de círculo máximo. E – o que parece mais bizarro – a soma dos ângulos internos de um triângulo não é 180, mas 270 graus.

Observe a figura:

Repare que o triângulo formado entre os pontos A-B-C possui três ângulos retos (90 graus). Portanto, 270 graus.

Esta representação pode ser confirmada na nossa realidade se pensarmos no planeta Terra.

Suponha que a base de nosso triângulo seja formada pelo arco resultante da metade da linha do Equador. Com qualquer meridiano, o ângulo formado com o Equador será de 90 graus. Seguindo-se um meridiano qualquer até o Polo Norte e, de lá, seguindo-se outro meridiano até o Equador, teremos mais dois ângulos retos.

Esse efeito tem implicações interessantes; por exemplo, quando você voa num avião, a trajetória que ele faz para ir de um destino a outro não segue uma “linha reta”, como muita gente imagina. Ele segue a “curvatura” da Terra, fazendo pequenos ajustes no sentido da viagem, a fim de percorrer o menor trecho possível. Se o avião fosse simplesmente “em linha reta”, acabaria por percorrer uma trajetória maior do que faz ao seguir a curvatura terrestre.

Uma imagem pode, por exemplo, demonstrar como uma viagem entre Nova Iorque e Lisboa é feita, seguindo-se a menor distância entre dois pontos em um espaço tridimensional.

Ver também
Geodésia
Geodésica fechada

Curvas
Geometria diferencial