Paradoxa de Russell

La paradoxa de Russell descrita per Bertrand Russell el 1901 demostra que la teoria originària de conjunts formulada per Cantor i Frege és contradictòria.

Suposem un conjunt que consta de conceptes que no són membres de si mateixos. Un exemple descrit és el conjunt que consta d'"idees abstractes", que és membre de si mateix perquè el conjunt és ell mateix una idea abstracta, mentre que un conjunt que consta de "llibres" no és membre de si mateix perquè el conjunt no és un llibre. En la seua paradoxa, Russell preguntava (en carta escrita a Frege el 1902) si el conjunt de conceptes que no formen part de si mateixos formen part de si mateix. Si no forma part de si mateix, pertanyen al tipus de conjunts que sí que formen part de si mateixos.

Anomenem M el "conjunt de tots els conjunts que no es contenen a si mateixos com a membres". Llavors, M és un element de M si i només si M no és un element de M, la qual cosa és absurda.

Un desenvolupament més formal es presenta en la teoria intuïtiva de conjunts.

Enunciat formal 
Formalment, el conjunt proposat per la paradoxa de Russell es defineix com . Per tant, es té , fet que constitueix una contradicció.

La paradoxa en termes del barber 
La paradoxa de Russell ha estat expressada en diversos termes més planers, el més conegut és la paradoxa del barber, que es pot enunciar de la manera següent:
«el barber d'aquesta ciutat, que afaita tots els homes que no s'afaiten a si mateixos, s'afaita a si mateix?»
O d'una manera més extensa:
{|Border = 0 width = 100% style = "background: WhiteSmoke; color: Black"
|
En un llunyà poblat d'un antic emirat hi havia un barber anomenat As-Samet, destre a afaitar caps i barbes, mestre a esporgar peus i a posar sangoneres. Un dia, l'emir es va adonar de la falta de barbers a l'emirat, i va ordenar que els barbers només afaitessin aquelles persones del poble que no poguessin fer-ho per si mateixes. Un dia, l'emir va cridar As-Samet perquè l'afaités i ell li va explicar les seves angoixes:

 - Al meu poble sóc l'únic barber. No puc afaitar el barber del meu poble -que sóc jo-, ja que llavors puc afaitar-me per mi mateix i està prohibit! Però, si en canvi no m'afaito, llavors algun barber m'ha d'afaitar, però ja he dit que sóc l'únic barber del meu poble!

L'emir va pensar que els seus pensaments eren tan profunds que el va premiar amb la mà de la més virtuosa de les seves filles. Així, el barber As-Samet va viure per sempre feliç.
|}

En lògica de primer ordre, la paradoxa del barber es pot expressar com:

en què  vol dir"  és afaitat per  ". L'anterior es llegiria com "cada persona és afaitada pel barber si i només si no s'afaita a si mateixa". És important notar la semblança entre les equacions (2) i (4). En substituir  per  s'obté:

és a dir, que el barber s'afaita a si mateix si i només si no s'afaita a si mateix, la qual cosa és una contradicció.

Explicació de la paradoxa 
Els conjunts són reunions de coses, per exemple de cotxes, llibres, persones, etc., i en aquest sentit els anomenarem conjunts normals. La característica principal d'un conjunt normal és que no es conté a si mateix.

Però també hi ha conjunts de conjunts, com 2M, que és el conjunt de subconjunts de M.

Un conjunt de conjunts és normal, excepte si podem fer que es contingui a si mateix.

Això últim no és difícil: si tenim el conjunt de totes les coses que NO són llibres (i donat que un conjunt no és un llibre), el conjunt de totes les coses que NO són llibres formarà part del conjunt de totes les coses que NO són llibres. Aquests conjunts que es contenen a si mateixos s'anomenen conjunts singulars. És clar que un conjunt donat o bé és normal o bé és singular, no hi ha terme mitjà. O es conté a si mateix o no es conté.

Ara prenguem el conjunt C com el conjunt de tots els conjunts normals. Quina classe de conjunt és C? Normal o singular? Si és normal, estarà dins del conjunt de conjunts normals, que és C, llavors ja no pot ser normal. Si és singular, no pot estar dins del conjunt de conjunts normals, llavors no pot estar a C, però si no és a C, llavors és normal.

Qualsevol alternativa ens produeix una contradicció. Aquesta és la paradoxa.

Referències 

Teoria de conjunts
Russell