Modus (Statistik)

Der Modus, auch Modalwert genannt, ist ein Lageparameter in der deskriptiven Statistik. Er ist definiert als der häufigste Wert, der in der Stichprobe vorkommt. Werden beispielsweise Klausurnoten einer Schulklasse erhoben, so entspricht der Modus der (den) Note(n), die am häufigsten vergeben wurde(n).

Im Gegensatz zu anderen Lagemaßen hat der Modus den Vorteil, dass er immer existiert. Er ist jedoch im Allgemeinen nicht eindeutig.

Definition 
Jede Merkmalsausprägung, die in einer Stichprobe am häufigsten vorkommt, heißt ein Modus der Stichprobe. Damit ist ein Modus genau ein Gipfel der entsprechenden Häufigkeitsverteilung. Ein Modus kommt also nicht seltener vor als irgendeine Ausprägung desselben Merkmals.

Als Notationen für den Modus finden sich meist  oder .

Beispiele

Nominalskala 
Gegeben sei die Stichprobe
 

Es treten die Merkmalsausprägungen  und  auf. Dabei tritt  einmal auf, ebenso . Sowohl  als auch  treten zweimal auf. Des Weiteren gibt es kein Merkmal, das dreimal oder öfter auftritt. Also ergeben sich als Modi
 

und
 .

Ordinalskala 
Bei einer Klassenarbeit wurden die Noten

vergeben. Die Noten  und  wurden je einmal vergeben, die Note  zweimal und die Note  dreimal. Keine Note wurde mindestens viermal vergeben, also ist der Modus
.

Kardinalskala

Unklassierte Daten 
Betrachtet man die Stichprobe
 ,

so kommen alle Werte bis auf die  nur je einmal vor, die  jedoch dreimal. Also ist der Modus
 .

Klassierte Daten 
Liegen die Daten klassiert vor, dann gibt es zwei Möglichkeiten den Modus zu bestimmen.

 Grobberechnung:
 Bestimmung der Modalklasse  anhand Häufigkeitsdichten  (Häufigkeitsdichte = Relative Häufigkeit / Klassenbreite)
 Klassenmitte der Modalklasse
 Feinberechnung:
 Bestimmung der Modalklasse  anhand Häufigkeitsdichten 
 mit  als untere und  als obere Klassengrenze der Modalklasse. Fällt die Modalklasse auf die erste oder letzte Klasse, dann werden  bzw.  gleich Null gesetzt.

Die Modalklasse ist die Klasse mit der größten Häufigkeitsdichte, also 30–37. Die Grobberechnung ergibt dann , die Feinberechnung .

Eigenschaften und Vergleich 

Der Modus ist immer definiert, allerdings im Allgemeinen nicht eindeutig. Beides zeigt das Beispiel unter Nominalskala: Keines der gängigen Lagemaße ist in solch einem allgemeinen Rahmen anwendbar, jedoch treten bei dieser Stichprobe zwei Modi auf. Der Extremfall tritt ein, wenn alle Merkmalsausprägungen in der Stichprobe voneinander verschieden sind: Dann tritt jede genau einmal auf und damit ist jede ein Modus.

Bei Stichproben mit Ordnungsstruktur lässt sich zusätzlich zum Modus noch der Median definieren. Die beiden müssen nicht übereinstimmen, so wäre im Beispiel unter Ordinalskala der Median
 ,

wohingegen der Modus als
 

bestimmt wurde. Bei Vorliegen einer Kardinalskala kann zusätzlich noch das arithmetische Mittel bestimmt werden. Modus, Median und arithmetisches Mittel können jedoch weit auseinanderliegen. So ist der Modus im Beispiel unter Kardinalskala zu
 

bestimmt worden. Für den Median der Zahlenfolge 1, 1, 1, 2, 10, 11, 12, 67, 72 ergibt sich
 

und für das arithmetische Mittel
 .

Aufbauende Begriffe 
Häufigkeitsverteilungen mit zwei oder mehr Modi werden als multimodale Verteilungen bezeichnet. Dabei werden Verteilungen mit zwei Modi als bimodal bezeichnet. Verteilungen mit lediglich einem Modus werden unimodal genannt.

Charakterisierung der Neigung 
In Beobachtungsreihen mit ordinal und metrisch skalierten Merkmalen kann der Modalwert als Dichtemittel bezeichnet werden. Im Vergleich mit Median und arithmetischem Mittel kann der Modus die Neigung der Verteilung – ähnlich der statistischen Schiefe – charakterisieren.
Die Modus-Schiefe nach Karl Pearson ist zum Beispiel definiert als

.

Folgende Faustregel setzt Modus, Median und arithmetisches Mittel in Beziehung:

 rechtsschiefe (linkssteile) Häufigkeitsverteilung: Modus < Median < arithmetisches Mittel
 linksschiefe (rechtssteile) Häufigkeitsverteilung: Modus > Median > arithmetisches Mittel
 unimodale symmetrische Häufigkeitsverteilung: Modus ≈ Median ≈ arithmetisches Mittel

Weblinks

Einzelnachweise 

Deskriptive Statistik