Válec

Válec je v prostorové geometrii těleso, vymezené dvěma rovnoběžnými podstavami a pláštěm. Plášť je rozvinutelná plocha, všechny povrchové (tvořící) přímky pláště jsou rovnoběžné a pokud jsou k podstavám kolmé, hovoříme o kolmém válci. V opačném případě se jedná o válec kosý. Vzdálenost mezi podstavami se nazývá výška válce. Vzdálenost mezi dvěma podstavami podél pláště (tj. podél povrchové přímky) se nazývá strana válce.

Je-li podstavou kruh, pak válec označíme jako kruhový. Kolmý kruhový válec nazýváme rotačním válcem. Přímku procházející středy obou podstav rotačního válce nazýváme osou rotace.

Rotační válec 
Nejčastěji se válcem rozumí rotační válec, kolmý válec, jehož podstavou je kruh. Má také řadu různých aplikací.

Vlastnosti 
 Pro objem rotačního válce platí

kde  je poloměr podstavy a  je výška válce.
 Obsah pláště rotačního válce je
, obsah podstavy je

Pro obsah celého povrchu rotačního válce pak platí

 Obecný řez válce rovinou je elipsa, je-li rovina kolmá k jeho ose, je to kružnice a je-li s osou rovnoběžná, je to obdélník nebo přímka.
 Označíme-li si na podstavě válce libovolný bod (kromě středu) a pak valíme válec po rovině, pak označený bod opisuje cykloidu.

Válcová plocha a prostor 

Jednoduchou představu rotačního válce lze rozšířit a zobecnit. Mějme jednoduchou uzavřenou křivku , která leží v rovině. Body, které leží na vzájemně rovnoběžných přímkách procházejících libovolným bodem křivky , tvoří válcovou plochu. Část prostoru ohraničená válcovou plochou se nazývá válcový prostor.

Rovnice 
Válcová plocha (kvadratický válec) bývá označována podle řídící křivky.

Eliptický kvadratický válec 
Eliptický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

Řídící křivkou eliptického válce je elipsa ležící v rovině  s rovnicí  a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou .

Pro  se jedná o rotační válec s osou rotace .

Hyperbolický kvadratický válec 
Hyperbolický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

Řídící křivkou hyperbolického válce je hyperbola ležící v rovině  s rovnicí  a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou .

Parabolický kvadratický válec 
Parabolický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

Řídící křivkou parabolického válce je parabola ležící v rovině  s rovnicí  a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou .

Obecný válec 
Obecnou válcovou plochu, jejíž řídící křivka leží v rovině  a má rovnici , a její tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou , lze zapsat rovnicí

Obecně lze říci, že pokud v rovnici plochy chybí jedna z proměnných, pak se jedná o rovnici válcové plochy, jejíž tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou, která odpovídá chybějící proměnné, a jejíž řídící křivka má stejnou rovnici jako daná plocha a leží v rovině kolmé k tvořícím přímkám.

Jsou-li tvořící přímky rovnoběžné s vektorem , pak lze rovnici válcové plochy převést na tvar

Vlastnosti 
Objem válce určíme ze vztahu
,
kde  je obsah podstavy a  je hloubka válce.

Obsah povrchu válce je dán vztahem
,
kde  je obsah podstavy a  je obsah pláště válce.

Odkazy

Literatura 
 Ottův slovník naučný, heslo Válec. Sv. 26, str. 351

Související články 
 Geometrický útvar
 Kvadratická plocha
 Oblá tělesa
 Mnohostěn
 Kruh
 Válcová soustava souřadnic

Externí odkazy 
 
 
 Povrch válce na MATHguide
 Objem válce na MATHguide
 Spinning Cylinder na Math Is Fun
 Objem válce animace na Math Open Reference
 Řez válcem

Oblá tělesa