Distribución de Pareto

En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución Pareto es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros, que tiene aplicación en disciplinas como la sociología, la geofísica y la economía. Fue  formulada por el ingeniero civil, economista y sociólogo Vilfredo Pareto, aunque en ciertas áreas de estudio se hace referencia a la ley de Bradford. Cabe señalar que el equivalente discreto de la distribución Pareto es la distribución zeta (la ley de Zipf). 

Cuando la distribución de Pareto es usada en un modelo sobre la distribución de riqueza, el parámetro  es conocido como índice de Pareto.

Definición

Notación 
Si  es una variable aleatoria continua con distribución Pareto con parámetros  y  entonces escribimos .

Función de densidad 
La función de densidad de una variable aleatoria  es

para .

Probabilidad acumulada 

La función de distribución de una variable aleatoria  es, para ,

Propiedades 
Si  entonces la variable aleatoria  satisface algunas propiedades.

Media 
La media de la variable aleatoria  es

con .

Varianza 
La varianza de la variable aleatoria  

para .

Momentos 
El -ésimo momento sólo está definido para  y en tal caso es

Función generadora de momentos 
La función generadora de momentos es 

y está definida para valores .

Caso degenerado 

La función de la delta de Dirac es un caso límite de la densidad de Pareto:

Distribución simétrica 

Puede definirse una Distribución de Pareto Simétrica según:

Distribución Generalizada de Pareto 

La familia de distribuciones generalizadas de Pareto (GPD) tienen tres parámetros  y .

La función de probabilidad acumulada es

 

Para , con ,  y   con , donde  es el parámetro localización,  es el parámetro escala y  es el parámetro forma.  Nótese que algunas referencias toman el parámetro forma como .

La función de densidad de probabilidad es:

 

o

 

de nuevo, para , y   si

Ocurrencia y aplicaciones

General

Vilfredo Pareto utilizó originalmente esta distribución para describir la asignación de la riqueza entre los individuos, ya que parecía mostrar bastante bien la forma en que una mayor parte de la riqueza de cualquier sociedad es propiedad de un porcentaje menor de las personas de esa sociedad. También lo utilizó para describir la distribución de la renta. Esta idea se expresa a veces de forma más sencilla como el principio de Pareto o la "regla del 80-20", que dice que el 20% de la población controla el 80% de la riqueza. Sin embargo, la regla del 80-20 corresponde a un valor particular de α, y de hecho, los datos de Pareto sobre los impuestos británicos sobre la renta en su Cours d'économie politique indican que aproximadamente el 30% de la población tenía alrededor del 70% de los ingresos. La función de densidad de probabilidad (PDF) al principio de este artículo muestra que la "probabilidad" o fracción de la población que posee una pequeña cantidad de riqueza por persona es bastante alta, y luego disminuye constantemente a medida que aumenta la riqueza. (Sin embargo, la distribución de Pareto no es realista para la riqueza del extremo inferior. De hecho, el patrimonio neto puede ser incluso negativo). Esta distribución no se limita a describir la riqueza o la renta, sino muchas situaciones en las que se encuentra un equilibrio en la distribución de lo "pequeño" a lo "grande". Los siguientes ejemplos se consideran a veces como una distribución de Pareto aproximada:
 Los tamaños de los asentamientos humanos (pocas ciudades, muchas aldeas/pueblos)
 Distribución de los tamaños de los archivos del tráfico de Internet que utiliza el protocolo TCP (muchos archivos pequeños, pocos archivos grandes
 Tasas de error en los Unidades de disco duro
 Clusters de condensado de Bose-Einstein cerca del cero absoluto

 Los valores de las reservas de petróleo en los yacimientos petrolíferos (unos pocos grandes yacimientos, muchos pequeños yacimientos)
 La distribución de la longitud en los trabajos asignados a los superordenadores (unos pocos grandes, muchos pequeños)
 La rentabilidad estandarizada de los precios de las acciones individuales
 Los tamaños de las partículas de arena
 El tamaño de los meteoritos
 La gravedad de las grandes pérdidas por fallecimiento en el negocio de Seguros, para ciertas líneas de negocio como la responsabilidad civil general, el automóvil comercial y la compensación de los trabajadores.
 Cantidad de tiempo que un usuario en el servicio Steam pasará jugando a diferentes juegos. (Algunos juegos se juegan mucho, pero la mayoría no se juegan casi nunca) 
 En hidrología la distribución de Pareto se aplica a eventos extremos como las precipitaciones máximas anuales de un día y las descargas de los ríos. y además para describir épocas de sequía. La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Pareto a las precipitaciones máximas anuales de un día clasificadas mostrando también la banda de confianza del 90% basada en la distribución binomial. Los datos de las precipitaciones se representan mediante posición de trazado como parte del análisis de la frecuencia acumulada.
 En la fiabilidad de la distribución de los servicios eléctricos (el 80% de los minutos de los clientes interrumpidos se producen en aproximadamente el 20% de los días de un año determinado).

Software 
Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la de Pareto, a una serie de datos:
 Easy fit , "data analysis & simulation"
 ModelRisk, "risk modelling software"
 Ricci distributions, fitting distrubutions with R, Vito Ricci, 2005
 Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
 StatSoft distribution fitting 
 CumFreq, sin costo, incluye intervalos de confianza a base de la distribución binomial

Bibliografía 
 Barry C. Arnold (1983). Pareto Distributions, International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
 Christian Kleiber and Samuel Kotz (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, New York:Wiley. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
 Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.

Referencias

Véase también 
 Distribución de Weibull
 Ley de Bradford
 Ley de Gutenberg-Richter
 Efecto Mateo
 Eficiencia de Pareto
 Ley de Sturgeon
 Ley de Zipf

Enlaces externos 
 Calculadora - Distribución de Pareto

Pareto
Epónimos relacionados con las matemáticas
Vilfredo Pareto