Čtvercová matice

Čtvercová matice se v lineární algebře rozumí matice se stejným počtem řádků a sloupců. Čtvercové matice, které mají  řádků i sloupců, se nazývají matice řádu    (též stupně ).

Příklad: matice 3. řádu 

.

Speciální druhy čtvercových matic 

 Matici, která má nenulové prvky pouze na hlavní diagonále, tzn.  pro , nazýváme diagonální maticí. Prvky diagonální matice  lze vyjádřit pomocí Kroneckerova symbolu , kde  jsou diagonální prvky matice. 
 Pokud pro všechny diagonální prvky  diagonální matice platí , jedná se o jednotkovou matici , pro jejíž prvky platí 
{| class="wikitable" style="float:right; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
|-
! Název matice !! Příklad pro 
|-
| diagonální || style="text-align:center;" | 
|-
| dolní trojúhelníková || style="text-align:center;" | 
|-
| horní trojúhelníková || style="text-align:center;" | 
|}

 Matici, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové, označujeme jako horní trojúhelníkovou matici. Taková matice má tvar

 Podobně označujeme jako dolní trojúhelníkovou matici takovou matici, která má všechny prvky nad diagonálou nulové.
 Pokud je transponovaná matice shodná s původní maticí, tzn. , pak matici  označujeme jako symetrickou. Pro prvky symetrické matice platí:

 Matici  označujeme jako antisymetrickou, platí-li pro všechny prvky této matice vztah:

 Matice  je inverzní maticí k čtvercové matici , pokud platí
, kde  je jednotková matice (stejného typu jako ). Matice  je pak také stejného řádu jako .
 Matici , ke které existuje inverzní matice, označujeme jako regulární matici. Není-li matice regulární, pak ji označujeme jako singulární.
 Adjungovaná matice k matici  je transponovaná matice algebraických doplňků matice .

Determinant 

Determinant čtvercové matice , označovaný  nebo , je číslo kódující určité vlastnosti matice. Matice je regulární, právě když je její determinant nenulový. Absolutní hodnota determinantu je rovna ploše (v ) případně objemu (v  ) obrazu jednotkového čtverce (resp. krychle), přičemž jeho znaménko odpovídá orientaci příslušného lineárního zobrazení. Determinant je kladný, právě když je orientace zachována.

Determinant matic řádu dva je dán vztahem

 

Determinant matic řádu tři má 6 členů (Sarrusovo pravidlo). Leibnitzův vzorec  zobecňuje tyto dva vzorce na všechny dimenze.

Determinant součinu čtvercových matic je roven součinu jejich determinantů:

 

Přičtení násobku libovolného řádku do jiného řádku nebo násobku libovolného sloupce do jiného sloupce nezmění determinant. Záměna dvou řádků nebo dvou sloupců změní znaménko determinantu na opačné. Pomocí těchto operací lze libovolnou matici převést na dolní (nebo na horní) trojúhelníkovou matici. Determinant těchto matice je pak součin prvků na hlavní diagonále. Uvedený postup lze použít pro výpočet determinantu jakékoli matice. Konečně, Laplaceův rozvoj vyjadřuje determinant pomocí minorů, což jsou determinanty podmatic. Toto rozšíření lze použít pro rekurentní definici determinantu (za výchozí případ vezmeme determinant matice , který je jejím jediným prvkem, nebo dokonce determinant matice , což je 1), což lze považovat za ekvivalentní Leibnizově vzorci. Determinanty mohou být použity k řešení soustav lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla, podle nějž jsou hodnoty neznámých rovny podílům determinantů.

Vlastní čísla a vlastní vektory 

Číslo  a nenulový vektor  vyhovující rovnici

 

jsou nazývány vlastním číslem (hodnotou) a vlastním vektorem . Číslo λ je vlastním číslem matice  řádu , právě když  je singulární, což je ekvivalentní podmínce

 

Polynom v neznámé  odpovídající determinantu  se nazývá charakteristický polynom matice . Jde o monický polynom stupně , a proto rovnice  má nejvýše  různých řešení, což jsou právě všechna vlastních čísla matice . Ta mohou být komplexní, a to i pro některé reálné matice. Podle Cayley-Hamiltonovy věty platí . Jinými slovy, dosadíme-li samotnou matici do svého vlastního charakteristického polynomu, dostaneme za výsledek nulovou matici.

Reálné a komplexní matice 

 Pokud každý prvek  komplexní matice  nahradíme prvkem k němu komplexně sdruženým , pak získáme matici , kterou označujeme jako komplexně sdruženou matici. Reálné matice se shodují se svými komplexně sdruženými maticemi .
 Provedeme-li na matici  transpozici a komplexní sdružení, získáme matici hermitovsky sdruženou (někdy též psáno „hermiteovsky“, podle Charlese Hermita). Hermitovsky sdruženou matici značí různí autoři různě, zpravidla některým z následujících způsobů

(poslední z možných zápisů se může snadno plést s tzv. Mooreovou–Penroseovou pseudoinverzní maticí)
 Pokud je hermitovsky sdružená matice rovna původní matici, tzn. , říkáme, že matice  je hermitovská (též samosdružená nebo samoadjungovaná). Každá hermitovská matice má všechna vlastní čísla reálná (důkaz indukcí s využitím základní věty algebry a Gram-Schmidtovy ortogonalizace).
 Symetrická reálná matice  řádu  se nazývá:
 pozitivně semidefinitní, pokud pro všechny vektory platí ;
 pozitivně definitní, pokud pro všechny vektory  různé od  platí ;
 negativně (semi)definitní, pokud v předchozích definicích použijeme obrácené nerovnosti, tj.  a 
 indefinitní v ostatních případech, neboli existují  taková, že  a zároveň .
 Uvedené vlastnosti jsou definovány i pro komplexní hermitovské matice; jen je třeba vzít v potaz všechny komplexní vektory a v součinu nahradit obyčejnou transpozici  za hermitovskou transpozici .
 Matici  označujeme jako unitární, jestliže inverzní matice  je rovna matici hermitovsky sdružené , tzn.

Odkazy

Reference

Literatura

Související články 
 Determinant matice
 Hodnost matice
 Inverzní matice
 Regulární matice

Externí odkazy 
 

Matice