Funkcja charakterystyczna (teoria prawdopodobieństwa)

Funkcją charakterystyczną rozkładu prawdopodobieństwa  nazywa się funkcję  zadaną wzorem
 

Jeżeli  jest zmienną losową, a  jest jej rozkładem, to jej funkcja charakterystyczna może być zapisana jako
 

gdzie  to wartość oczekiwana.

Funkcja charakterystyczna, podobnie jak dystrybuanta, koduje pełną informację o rozkładzie. Jest ona dobrze określona (istnieje dla każdego rozkładu). Dla rozkładów ciągłych jest to transformata Fouriera funkcji gęstości prawdopodobieństwa:
 

stąd można ją uznać za uogólnienie transformaty Fouriera na dowolne rozkłady.

Dla rozkładów dyskretnych o masie prawdopodobieństwa skupionej w punktach

Własności 
 
 
 
  jest dodatnio określona,
  jest jednostajnie ciągła,
  jest funkcją rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy rozkład jest symetryczny,
  dla rozkładów ciągłych (twierdzenie Riemanna-Lebesgue’a).

Funkcja charakterystyczna funkcji liniowej  zmiennej losowej  wyraża się za pomocą funkcji charakterystycznej zmiennej losowej  według następującego wzoru:

Przykłady 
Niżej podano funkcje charakterystyczne  znanych rozkładów  Zawsze   przy czym  oraz  Symbol  oznacza indykator zbioru 

 {| class="wikitable"
! Nazwa || Oznaczenie || Rozkład || Funkcja charakterystyczna
|-
| jednopunktowy ||  ||  || 
|-
| dwupunktowy || ||  || 
|-
| Poissona ||  ||  || 
|-
| dwumianowy ||  ||  || 
|-
| geometryczny ||  ||  || 
|-
| jednostajny (na odcinku) ||  ||  || 
|-
| wykładniczy ||  ||  || 
|-
| normalny ||  ||  || 
|-
| normalny standardowy ||  ||  || 
|}

Momenty 
Z funkcji charakterystycznej  da się wyznaczyć momenty zmiennej losowej  Istnieje też częściowe odwrócenie tego twierdzenia dla momentów parzystych.

 Twierdzenie Jeżeli istnieje -ty moment zmiennej losowej  tzn.  to istnieje również -ta pochodna funkcji charakterystycznej  co więcej jest ona jednostajnie ciągła, oraz zachodzi
 

Dzięki temu wzór Taylora funkcji charakterystycznej wygląda następująco: jeżeli  to
 

 Twierdzenie Jeżeli istnieje -ta pochodna funkcji charakterystycznej zmiennej losowej, gdzie  oraz  to istnieje -ty moment tej zmiennej losowej.

Rozkłady 
Kryterium określającego kiedy funkcja  jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu prawdopodobieństwa dostarcza twierdzenie Bochnera. Innym jest kryterium Pólya.

Funkcja charakterystyczna determinuje rozkład, tzn. jeśli  są rozkładami prawdopodobieństwa na  to jeśli mają one równe funkcje charakterystyczne, czyli  to 

Ponieważ ciąg  jest zbieżny według rozkładu, jeżeli
  dla dowolnej funkcji  ciągłej i ograniczonej,

w szczególności dla  (ciągłej i ograniczonej co do modułu przez 1), to
 

a więc zbieżność według rozkładu zmiennych losowych pociąga zbieżność punktową ich funkcji charakterystycznych. Twierdzenie Lévy’ego-Craméra jest nietrywialnym odwróceniem tego wyniku.

Dystrybuanta i gęstość 
Z tożsamości Parsevala wynika wzór na dystrybuantę  rozkładu o funkcji charakterystycznej  Jeżeli punkt  jest punktem ciągłości, to
 

Odwrotna transformacja Fouriera umożliwia wyznaczenie gęstości: jeżeli  jest całkowalna, to rozkład ten ma ograniczoną i ciągłą gęstość  daną wzorem
 

Twierdzenie Plancherela mówi, iż jeżeli rozkład ma gęstość  i funkcję charakterystyczną  to  jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy  jest całkowalna. Wtedy też

Niezależne zmienne losowe 
Funkcje charakterystyczne są szczególnie użyteczne do badania zmiennych będących funkcjami niezależnych zmiennych losowych. Jeżeli  jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, a
 

gdzie  to funkcja charakterystyczna  dana jest wzorem
 

W szczególności  co wynika wprost z definicji funkcji charakterystycznych (pierwsza i czwarta równość), własności funkcji wykładniczej (druga równość) i niezależności zmiennych losowych (trzecia równość):

Rozkłady wielowymiarowe 
Jeżeli  zaś  jest wektorem losowym, a przez  rozumie się ich iloczyn skalarny, to funkcję charakterystyczną wektora  definiuje się analogicznie wzorem
 

lub w zapisie macierzowym
 

gdzie  oznacza transpozycję (oba wektory są kolumnowe).

Funkcja charakterystyczna przekształcenia afinicznego  wyraża się przez  wzorem postaci:
 

gdzie  jest przekształceniem liniowym (macierzą), zaś 

Zmienne losowe  są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
 

Zgodnie z twierdzeniem Craméra-Wolda ciąg wektorów losowych  zbiega według rozkładu do wektora  wtedy i tylko wtedy, gdy  zbiega według rozkładu do  dla każdego

Zobacz też 
 funkcja charakterystyczna (transformata Fouriera)
 funkcja tworząca momenty (transformata Laplace’a)
 funkcja tworząca prawdopodobieństwa (transformata Laurenta lub Z-transformata)
 kumulanta

Bibliografia 
 

Charakterystyczna, funkcja
Rachunek prawdopodobieństwa