Polynom

Polynom (též mnohočlen) je výraz ve tvaru
,
kde . Čísla  se nazývají koeficienty polynomu.

Stupeň polynomu 
Stupněm polynomu p(x) rozumíme nejvyšší exponent proměnné x s nenulovým koeficientem, značíme jej st. p(x) nebo deg p(x). Stupeň kvadratického polynomu (např. p(x) = x2 – 3x) je tedy 2, stupeň konstantního polynomu (např. p(x) = 7) je 0. Pro nulový polynom (p(x) = 0) se jeho stupeň definuje deg p(x) = .

Příklady polynomů 
  je polynom 1. stupně (lineární polynom)
  je polynom 2. stupně (kvadratický polynom)
  je polynom 3. stupně (kubický polynom)

Operace s polynomy 
Mějme polynom -tého stupně , a polynom -tého stupně .

 Oba polynomy se vzájemně rovnají, tzn.  pro všechna  pouze tehdy, je-li  a pro každé  platí .

 Sečtením polynomů  a  získáme polynom
,
kde . Stupeň výsledného polynomu je . (Odpovídající koeficienty polynomů  a  mohou v součtu dávat 0.)

 Součin polynomů  je polynom , který získáme vzájemným vynásobením jednotlivých členů obou polynomů, přičemž stupeň nového polynomu je .

 Platí tedy, že .

 Je-li kde , pak existují právě dva polynomy  takové, že platí

kde  má stupeň menší než  nebo je nulovým polynomem. Pokud  je nulový polynom, pak říkáme, že polynom  je dělitelný polynomem .

 Polynomy tvoří vektorový prostor.

Hornerovo schéma 
Polynom  lze zapsat ve tvaru

Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomu  v bodě  postupem, který bývá označován jako Hornerovo schéma. Zapíšeme-li
,
,
,
…
,
pak poslední číslo  představuje právě hodnotu polynomu  v bodě .

Příklady 
 Mějme polynomy , 

 Pokusme se zjistit, zda je polynom  dělitelný polynomem .

Vydělíme člen s nejvyšší mocninou polynomu  členem s nejvyšší mocninou polynomu , tzn. . První člen polynomu  tedy bude . Tímto členem vynásobíme polynom  (dostaneme tedy ) a výsledek odečteme od polynomu , čímž získáme nový polynom .

Nejvyšší člen polynomu  opět dělíme nejvyšším členem polynomu , tzn. , tzn. další člen polynomu  je . Tímto členem opět násobíme polynom , tzn. získáme , a výsledek odečteme od polynomu . Získáme nový polynom .

Stupeň polynomu  je však nižší než stupeň polynomu , proto již nelze pokračovat v dělení. Polynom  tedy odpovídá polynomu .

Výsledek tedy je
,
tzn.  a .

Vzhledem k tomu, že , není polynom  dělitelný polynomem .

Kořen polynomu 
Číslo  se nazývá kořen polynomu , jestliže platí

Této skutečnosti, společně se základní větou algebry, se využívá při řešení algebraických rovnic.

Vlastnosti 
 Je-li  kořenem polynomu  stupně , pak
,
kde  je polynom stupně .

 Z předchozího plyne, že pokud je známo pouze  kořenů polynomu -tého stupně, můžeme opakovaným použitím předchozího rozkladu rozložit libovolný polynom  na součin kořenových činitelů, které obsahují známé kořeny polynomu, a polynomu  stupně , tzn.
,
kde  představují známé kořeny polynomu . Pro nalezení zbývajících kořenů polynomu  stačí hledat pouze kořeny polynomu , tzn. řešit rovnici , neboť tyto kořeny jsou také zbývajícími kořeny polynomu . Polynom  získáme z polynomu  jeho vydělením výrazem .

Rozklad na kořenové činitele 
 Důsledkem předchozí vlastnosti je skutečnost, že každý polynom  stupně  lze zapsat ve tvaru
,
kde  jsou kořeny polynomu . Členy  označujeme jako kořenové činitele. Ke každému polynomu existuje pouze jediný součin kořenových činitelů (pořadí jednotlivých kořenových činitelů v součinu není důležité).

Násobnost kořene 
 Jestliže se v rozkladu na kořenové činitele vyskytují někteří kořenoví činitelé vícekrát, můžeme psát
,
kde , přičemž  jsou přirozená čísla. Čísla  určují násobnost kořene , tzn. kolikrát se kořen  vyskytuje v řešení polynomu.

 Pokud má polynom stupně  s reálnými koeficienty -násobný kořen , má také -násobný kořen . To má za následek, že každý takový polynom je dělitelný polynomem .

 Podle předchozího tvrzení lze každý polynom  stupně  s reálnými koeficienty vyjádřit jako součin reálného čísla , reálných kořenových činitelů  a reálných trojčlenů , splňujících podmínku , tzn.
,
kde  jsou reálná čísla, přičemž je splněna podmínka .

Také v předchozím rozkladu se někteří kořenoví činitelé mohou vyskytovat vícenásobně, tzn.
,
kde  určuje počet reálných kořenů polynomu a  je polovina z celkového počtu všech komplexních kořenů polynomu.

 Z předchozího zápisu plyne, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.

 Pokud jsou  kořeny polynomu , potom pro tyto kořeny platí následující vztahy

…

Derivace polynomu 
 Derivací polynomu  rozumíme polynom tvaru . Derivaci značíme  '
(Pozn. Derivací nulového polynomu je nulový polynom.)

 n-tou derivací rozumíme výraz definovaný pomocí indukce

 '

 '

Souvislost derivace a násobnosti kořene 
Číslo  je k-násobný kořen polynomu právě tehdy, když je kořenem polynomu a jeho derivací až do řádu  (a není kořenem derivace řádu ).

Polynom dvou proměnných 
Funkci  dvou proměnných  označíme jako polynom, pokud existují přirozená čísla  a konstanty  takové, že platí
.

Související články 
 Monom
 Dvojčlen
 Základní věta algebry
 Algebraická rovnice
 Reciproký polynom
 Charakteristický polynom
 Hornerovo schéma

Externí odkazy 
 
 
 Kalkulačka na hledání reálných kořenů polynomu 

Algebra
Čísla
Polynomy