Relação de ordem

Em matemática e em lógica matemática, especialmente em teoria dos conjuntos e em teoria das relações, uma relação de ordem é uma relação binária que pretende captar o sentido intuitivo de relações como o maior e o menor, o anterior e o posterior, etc. Foram definidos muitos tipos de relações de ordem e diferentes obras usam os termos "ordem" e "relação de ordem" de maneiras diversas, pelo qual existe uma ambiguidade na literatura. Os tópicos "relações de ordens" estão fortemente vinculados ao conjunto parcialmente ordenado.

Definições básicas

Definição 1: Ordem parcial ampla ou não estrita 
Dado um conjunto  e uma relação binária  sobre   dizemos que  é uma relação de ordem (parcial) ampla (ou não estrita) sobre  se satisfaz as seguintes condições:

1.a Reflexividade 
  (ou seja, todo elemento está relacionado consigo mesmo);

1.b Antissimetria 
 e

1.c Transitividade 
 

Quando uma relação  satisfaz as condições acima,  é escrito como  A relação habitual de menor ou igual em conjuntos numéricos, , , , , cumpre com essas condições explicando essa notação.

Um exemplo típico é a relação de inclusão (ampla) entre conjuntos:  geralmente definida sobre o conjunto das partes de   Um outro exemplo é a relação " divide ": seja  o conjunto dos números naturais maiores que zero. Para  dizemos que  divide , em símbolos  se e somente se existe um  tal que  Pode ser demonstrado que a relação "divide" assim definida satisfaz as condições da Definição 1.

Definição 2: Ordem parcial estrita 
Dado um conjunto  e uma relação binária  sobre   dizemos que  é uma relação de ordem (parcial) estrita sobre  se satisfaz transitividade e:

2.a Irreflexividade 
  (ou seja, nenhum elemento está relacionado consigo mesmo)

Se uma relação  satisfaz transitividade e irreflexividade, pode ser demonstrado que  também satisfaz:

2.b Assimetria 
 

Analogamente, pode ser demonstrado que se uma relação  satisfaz transitividade e assimetria, então também satisfaz irreflexividade, fornecendo uma definição alternativa de ordem parcial estrita, preferida por alguns autores.

Quando uma relação  é uma relação de ordem parcial estrita,  é escrito como  

Um conjunto que possui uma relação de ordem é chamado de conjunto parcialmente ordenado.

Em contextos não matemáticos é mais comum utilizar as ordens em sentido estrito. Por exemplo, dizemos que João é mais alto que Pedro no sentido que a altura de João é estritamente maior que a de Pedro. Também pode ser verificado que a relação " é antepassado de " também é uma ordem estrita.

Definição 3: Correspondência entre ordens estritas e amplas 
Dada uma ordem estrita ou uma ordem ampla, pode ser definida a outra ordem correspondente, segundo:

3.a Correspondência

Relações de ordem linear ou total 
Dada um relação  dizemos que  são incomparáveis,  se e somente se  nem  
Uma relação de ordem linear ou total não têm elementos incomparáveis.

Definição 4: Totalidade ou linearidade 
Sendo  uma relação sobre  no caso de uma ordem ampla, a totalidade (linearidade) está dada por:

4.a Totalidade ou linearidade (para ordens amplas) 

Também denominado "dicotomia".

No caso das ordens estritas:

4.b Totalidade ou linearidade (para ordens estritas) 

Também denominado "tricotomia", pois pode ser escrito equivalentemente:

As ordens dos conjuntos numéricos, , , ,  são lineares. Dado um conjunto  com dois ou mais elementos,  o conjunto das partes de  não está linearmente ordenado por inclusão .

Relações de ordem densa 
A ideia intuitiva de densidade de uma ordem corresponde a conceber que entre dois elementos comparáveis existe uma quantidade infinita de elementos.

Definição 5: Densidade 
Uma relação de ordem estrita, parcial ou total, é denominada densa se entre dois elementos sempre existe um outro:

5 Densidade (para ordens estritas)

Inversa de uma ordem 
Se uma relação  é uma ordem estrita, então a relação inversa de  

também é uma relação de ordem estrita. A inversa de "" é geralmente escrita "". De maneira análoga, para uma relação de ordem ampla "" pode ser definida a sua inversa "", que também é uma relação de ordem ampla.

Apesar dessa propriedade ser denominada às vezes de "dualidade", não é uma dualidade em sentido estrito, como a que possuem as álgebras de Boole.

Elementos distinguidos numa ordem 
Alguns elementos de um conjunto ordenado podem ser caraterizados usando a relação de ordem. Apesar das definições abaixo serem expressadas somente para ordens amplas, "", ou estritas, "", definições correspondentes podem ser estabelecidas usando Definição 3.

Mínimo e máximo 
Dada uma relação de ordem ampla  sobre um conjunto  um elemento  é denominado mínimo ou primeiro elemento se e somente se:

De maneira simétrica,  é denominado máximo ou último elemento se e somente se:

O conjunto  tem mínimo, mas não tem máximo. Os conjuntos ,  e  não têm nem máximo, nem mínimo. O intervalo

 

tem mínimo 0 e máximo 1. Dado um conjunto  e considerando a ordem inclusão, , o conjunto 
, das partes de  tem mínimo  é máximo  
Se um conjunto tem mínimo, então tem um único mínimo. O mesmo vale para o máximo.

Minimal e maximal  
Dada uma relação de ordem estrita  sobre um conjunto  um elemento  é denominado minimal quando não existe outro elemento que seja menor que ele:

 

Analogamente, um elemento de um conjunto parcialmente ordenado é maximal quando não existe outro elemento que seja maior que ele:

Cotas inferior (minorante) e superior (majorante) 
Um elemento  é uma cota inferior ou minorante de um subconjunto  se e somente se:

Um elemento  é uma cota superior ou majorante de um subconjunto  se e somente se:

Às vezes os elementos acima são denominados de limite inferior e limite superior, mas este conceito não deve ser confundido com o de limite de uma sequência.

Se consideramos o intervalo  então qualquer  é cota inferior do intervalo e qualquer  é cota superior.

Boa ordem 
Uma relação de ordem estrita  sobre um conjunto  é denominada uma boa ordem se e somente se todo subconjunto não vazio de  tem primeiro elemento segundo  Em símbolos, uma relação "" sobre  é uma boa ordem se e somente se:

  é irreflexiva, transitiva e

Um conjunto com uma relação de boa ordem é denominado bem ordenado. Por exemplo,  é bem ordenado pela relação natural desse conjunto (ver Princípio da boa-ordenação), mas   e  não são, segundo as suas ordens naturais. O conceito de boa ordem é importante para definir matematicamente os números ordinais em teoria dos conjuntos.

Uma boa ordem é sempre uma ordem linear, pois se para  consideramos o conjunto  ele tem primeiro elemento, de modo que ou  ou

Bibliografia

Ver também 
 Relação (matemática)
 Topologia da ordem: uma relação de ordem parcial gera uma topologia, que tem como base os conjuntos do tipo {x | x < b}, {x | x > a} e {x | a < x < b}.
 Corpo ordenado: quando o conjunto ordenado tem uma estrutura algébrica de corpo, e a ordem e as operações algébricas são compatíveis.

Teoria da ordem
Álgebra
Teoria dos conjuntos