Hexágono

En geometría plana elemental, un hexágono o exágono (esta última versión sin "h" está en desuso, ya no está recogida en la RAE) es un polígono de seis lados y seis vértices. Su nombre deriva del griego ἑξάγωνον (de ἕξ, "seis" y γωνία, "ángulo").

Propiedades 
Un hexágono tiene:

 6 vértices y lados.
 9 diagonales.
 La suma de los ángulos internos de un hexágono es 720 grados o  radianes.

Parhexágono 
Siguiendo el hilo de un paralelogramo, un parhexágono o parexágono es aquel hexágono particular, en el que un lado es igual y paralelo a un lado opuesto, pero cada par de estos lados es de diferente tamaño.

Proposición 
Sea ABCDEF un hexágono irregular cualquiera, se unen A con C; B con D; C con E; D con F; E con A; F con B. Se forman los seis triángulos ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB. En cada uno de ellos se localiza su baricentro; que se denotan como A', B', C', D', E', F'. Se unen sucesivamente dichos puntos, el hexágono A'B'C'D'E'F' es un parhexágono.

Hexágono regular 

El hexágono regular es un polígono convexo con seis lados iguales y seis ángulos iguales, siempre dividido en triángulos simétricos o asimétricos.

El hexágono regular tiene las siguientes propiedades:
 Sus ángulos internos son congruentes midiendo 120° o  rad. Resultado de 
 Cada ángulo externo del hexágono regular mide 60° o  rad.
 Está íntimamente relacionado con los triángulos equiláteros:
 Uniendo cada vértice con su opuesto, el hexágono regular queda dividido en seis triángulos equiláteros.
 Numérense los vértices de 1 a 6 en el sentido horario. Uniendo los vértices impares se obtiene un triángulo equilátero; uniendo los vértices pares se obtiene otro.
  Además de los cuadrados y los triángulos equiláteros, los hexágonos regulares congruentes (o iguales) son los terceros polígonos regulares que se pueden juntar para revestir totalmente una superficie plana sin dejar ningún vano.
 Las seis raíces sextas de 1 o los números complejos que resuelven la ecuación  están en los vértices de un hexágono regular ubicado en el plano complejo, siendo el primer vértice el punto (1,0).

 Un hexágono regular es inscriptible y circunscribible en una circunferencia.Atendiendo a la figura,  sería el radio del círculo inscrito,  el radio del círculo circunscrito y  la longitud de un lado. Caben las igualdades:

 , la longitud de un lado es igual al radio del círculo circunscrito.

  , de esta forma se relacionan los radios de las circunferencias, entonces:

  y podemos concluir que

 

 Para una Hexágono regular de círculo circunscrito y longitud de lado  , el radio de la inscrita sería aproximadamente 

Las perpendiculares trazadas por los puntos medios del hexágono regular y las bisectrices de los ángulos internos del hexágono regular son ejes de simetría del mismo.

Perímetro 
Su perímetro es seis veces la longitud de su lado.

, donde n es el número de lados y , la longitud del lado.

El perímetro en función de la apotema () es

Y en función del radio del círculo circunscrito () es

Área 
Área del hexágono regular
Si se conoce la longitud del apotema a6 del polígono, una alternativa para calcular el área es:

o

Si solo conocemos el lado l6 podemos calcular el área con la siguiente fórmula:
, que equivale a las áreas de seis triángulos equiláteros que se obtienen al unir el centro con los seis vértices.

Construcción geométrica 

Un hexágono regular puede construirse utilizando únicamente una regla y compás:

 Dado un punto O cualquiera, trazar una circunferencia cuyo radio sea igual al lado del hexágono a construir;
 Elegir un punto A sobre la circunferencia y trazar un diámetro que cruce O y A. Marcar el otro punto donde este diámetro interseca la circunferencia como D;
 Apoyando el compás en el punto A, trazar un arco que cruce O, cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como B y F;
 Apoyando el compás en el punto D, trazar un arco que cruce O, cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como C y E

Punto en el plano 
Para un punto arbitrario en el plano de un hexágono regular con circunradio , cuyas distancias al centroide del hexágono regular y a sus seis vértices son  y  
respectivamente, tenemos

Si  son las distancias desde los vértices de un hexágono regular a cualquier punto de su circunferencia, entonces

Simetría

El hexágono regular tiene simetría D6. Hay 16 subgrupos. Hay 8 hasta isomorfismo: sí mismo (D6), 2 diédricos: (D3, D2), 4 cíclico: (Z6, Z3, Z2, Z1) y el trivial (e).

Estas simetrías expresan nueve simetrías distintas de un hexágono regular. John Conway las etiqueta con una letra y un orden de grupo. r12 es simetría completa, y a1 no es simetría. p6', un isogonal hexágono construido por tres espejos pueden alternar aristas largas y cortas, y d6', un isotoxal hexágono construido con longitudes de arista iguales, pero vértices que alternan dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del hexágono regular. Las formas i4 son hexágonos regulares aplanados o estirados a lo largo de una dirección de simetría. Puede verse como un rombo  elongado, mientras que d2 y p2 pueden verse como cometas alargadas horizontal y verticalmente. Los hexágonos g2, con lados opuestos paralelos, también se denominan paralelógonos hexagonales.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Sólo el subgrupo g6 no tiene grados de libertad pero puede verse como  arista dirigidas.

Los hexágonos de simetría g2, i4, y r12, como paralelógonos pueden teselar el plano euclídeo por traslación. Otros  hexágonos pueden teselar el plano con diferentes orientaciones.

Grupos A2 y G2  

Las 6 raíces del grupo de Lie simple A2, representadas por un Diagrama de Dynkin , están en un patrón hexagonal regular. Las dos raíces simples tienen un ángulo de 120° entre ellas.

Las 12 raíces del Grupo de Lie excepcional G2, representadas por un Diagrama de Dynkin  también tienen forma hexagonal. Las dos raíces simples de dos longitudes tienen un ángulo de 150° entre ellas.

Disección 

Coxeter afirma que todo zonágono (un polígono de 2m cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede diseccionarse en  paralelogramos. En particular, esto es cierto para polígono regulars con un número par de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Esta descomposición de un hexágono regular se basa en una proyección de polígono de Petrie de un cubo, con 3 de 6 caras cuadradas. Otros paralelogramos y direcciones proyectivas del cubo se diseccionan dentro de  Cuboides rectangulares.

Galería de hexágonos naturales y artificiales

Véase también

Referencias

Enlaces externos 

Definition and properties of a hexagon with interactive animation and construction with compass and straightedge.
An Introduction to Hexagonal Geometry on Hexnet a website devoted to hexagon mathematics.
 – an animated internet video about hexagons by CGP Grey.

Polígonos
Polígonos construibles
Formas elementales
Polígonos por el número de lados