Компактное пространство

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

В общей топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

Определение 
Компактное пространство — топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

Изначально такое свойство называлось бикомпактностью (этот термин был введён П. С. Александровым и П. С. Урысоном), а в определении компактности использовались счётные открытые покрытия. Впоследствии более общее свойство бикомпактности оказалось более популярным и постепенно стало называться просто компактностью. Сейчас термин «бикомпактность» употребляется в основном лишь топологами школы П. С. Александрова. Для пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счётности, первоначальное определение компактности равносильно современному.

Бурбаки и его последователи включают в определение компактности свойство хаусдорфовости пространства.

Примеры компактных множеств 
 Замкнутые ограниченные множества в .
 Конечные подмножества топологических пространств.
 Теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств в пространстве  вещественных функций на метрическом компактном пространстве  с нормой : замыкание множества функций  в  компактно тогда и только тогда, когда  равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
 Пространство Стоуна булевых алгебр.
 Компактификация топологического пространства.

Связанные определения 
 Подмножество топологического пространства T, являющееся в индуцированной T топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
 Множество называется предкомпактным (или компактным относительно T), если его замыкание в T компактно.
 Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
 Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
 Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
 Псевдокомпактное пространство — тихоновское пространство, в котором каждая непрерывная вещественная функция ограничена.
 Счётно компактное пространство — топологическое пространство, в любом счётном покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
 Слабо счётно компактное пространство — топологическое пространство, в котором любое бесконечное множество имеет предельную точку.
 H-замкнутое пространство  — хаусдорфово пространство, замкнутое в любом объемлющем его хаусдорфовом пространстве.

Термин «компакт» иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство». Также «компакт» иногда используется для хаусдорфова компактного пространства. Далее, мы будем использовать термин «компакт» как синоним к термину «компактное пространство».

Свойства 
 Свойства, равносильные компактности:
 Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое центрированное семейство замкнутых множеств, то есть семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение.
 Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая направленность в нём имеет предельную точку.
 Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый фильтр в нём имеет предельную точку.
 Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.
 Топологическое пространство  компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в .
 Другие общие свойства:
 Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт.
 Теорема Вейерштрасса. Любая непрерывная вещественная функция на компактном пространстве ограниченна и достигает своих наибольших и наименьших значений.
 Замкнутое подмножество компакта компактно.
 Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.
 Компактное хаусдорфово пространство нормально.
 Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда оно регулярно и H-замкнуто.
 Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое его замкнутое подмножество H-замкнуто.
 Теорема Тихонова: произведение произвольного (необязательно конечного) множества компактных множеств (с топологией произведения) компактно.
 Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
 Компактные множества «ведут себя как точки». Например: в хаусдорфовом пространстве любые два непересекающиеся компактных множества обладают непересекающимися окрестностями, в регулярном пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества обладают непересекающимися окрестностями, в тихоновском пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества функционально отделимы.
Каждое конечное топологическое пространство компактно.

 Свойства компактных метрических пространств:
 Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
 Теорема Хаусдорфа о компактности даёт необходимые и достаточные условия компактности множества в метрическом пространстве.
 Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — Бореля.
 Лемма Лебега: для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия  существует положительное число  такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше , содержится в одном из множеств . Такое число  называется числом Лебега.

См. также  

 Компактификация

Примечания

Литература 
 
 
 
 
 
 
 
 

Общая топология
Топология