Теорема Паскаля

Теоре́ма Паска́ля — классическая теорема проективной геометрии.

Формулировка 
Если шестиугольник вписан в окружность (или в любое другое коническое сечение — эллипс, параболу, гиперболу или даже в пару прямых), то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой. Эту прямую называют прямой Паскаля .

История 
Впервые сформулирована и доказана Блезом Паскалем в возрасте 16 лет как обобщение теоремы Паппа. Эту теорему Паскаль взял за основание своего трактата о конических сечениях. Сам трактат пропал и известно лишь его краткое содержание по письму Лейбница, который во время своего пребывания в Париже имел его в своих руках, и краткое изложение основных теорем этого трактата, составленное самим Паскалем (Опыт о конических сечениях).  Сам Паскаль считал пару прямых в теореме Паппа коническим сечением, а теорему Паппа частным случаем своей теоремы.

О доказательствах 
Одно из доказательств использует счёт в двойных отношениях.
Возможное доказательство основано на последовательном применении теоремы Менелая.
Проективным преобразованием можно перевести описанную конику в окружность, при этом условие теоремы сохранится. Для окружности теорема может быть доказана из существования изогонального сопряжения.
В случае выпуклого многоугольника, вписанного в окружность, можно осуществить проективное преобразование, оставляющее окружность на месте, а прямую, проходящую через точки пересечения двух пар противоположных сторон увести на бесконечность. В этом случае утверждение теоремы станет очевидным.
 Возможное доказательство может быть также  основано на теореме о 9 точках на кубике.

Применение 
Позволяет строить коническое сечение по пяти точкам, как геометрическое место точек соответственных шестой точке шестиугольника в конфигурации.

Вариации и обобщения 
Теорема Паскаля двойственна к теореме Брианшона.

Если главные диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке, то соответствующая прямая, возникающая в теореме Паскаля, является полярой этой точки относительно коники, в которую вписан шестиугольник.
В общем случае, прямая из теоремы Паскаля для шестиугольника, вписанного в конику , является полярой относительно  точки из теоремы Брианшона для шестиугольника, образованного касательными к  в вершинах исходного шестиугольника.

Теорема верна и в том случае, когда две или даже три соседних вершины совпадают (но не более чем по две в одной точке). В этом случае в качестве прямой, проходящей через две совпадающие вершины, принимается касательная к линии в этой точке. В частности:
Касательная к линии 2-го порядка, проведённая в одной из вершин вписанного пятиугольника, пересекается со стороной, противоположной этой вершине, в точке, которая лежит на прямой, проходящей через точки пересечения остальных пар несмежных сторон этого пятиугольника.
Если ABCD ― четырёхугольник, вписанный в линию 2-го порядка, то точки пересечения касательных в вершинах С и D соответственно со сторонами AD и ВС и точка пересечения прямых АВ и CD лежат на одной прямой.
Если ABCD ― четырёхугольник, вписанный в линию 2-го порядка, то точки пересечения касательных в вершинах С и D, прямых AC и BD, а также прямых AD и BC лежат на одной прямой.
Точки пересечения касательных в вершинах треугольника, вписанного в линию 2-го порядка, с противоположными сторонами лежат на одной прямой.
Эта прямая называется прямой Паскаля данного треугольника.

В 1847 появилось обобщение теоремы Паскаля, сделанное Мёбиусом, которое звучит так:
Если многоугольник с  сторонами вписан в коническое сечение и противоположные его стороны продолжены таким образом, чтобы пересечься в  точке, то если  этих точек лежат на прямой, последняя точка будет лежать на той же прямой.

Теорема Киркмана: Пусть точки , , , ,  и  лежат на одном коническом сечении. Тогда прямые Паскаля шестиугольников ,  и  пересекаются в одной точке.

Теорема о 9 точках на кубике

Дополнительные иллюстрации

Примечания

Литература 
 
 Паскаль. Опыт о конических сечениях с приложением письма Лейбница к Э. Перье. Перевод и комментарии Г. И. Игнациуса. // Историко-математические исследования. Выпуск XIV.

 Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 2, § 16-19. М., 1883.
 Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Глава IV, § 8.4.
 Живые чертежи (на Java)
 Pascal’s theorem на Cut the knot
 Pascal’s theorem
 

 

Проективная геометрия
Конические сечения
Паскаля
Теоремы проективной геометрии
Блез Паскаль