Теорема Котельникова

Теоре́ма Коте́льникова (в англоязычной литературе — теорема Найквиста — Шеннона, теорема отсчётов) — фундаментальное утверждение в области цифровой обработки сигналов, связывающее непрерывные и дискретные сигналы и гласящее, что «любую функцию  состоящую из частот   можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом менее чем через ».

При доказательстве теоремы взяты ограничения на спектр частот , где .

Пояснение 
Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временно́й характеристике точек разрыва. Если сигнал имеет разрывы любого рода в функции зависимости его от времени, то его спектральная мощность нигде не обращается в ноль. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный сверху конечной частотой ».

Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и обычно имеют разрывы во временно́й характеристике. Соответственно, ширина их спектра бесконечна. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно, и из теоремы Котельникова вытекают следствия:
 любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой , где  — максимальная частота, которая ограничена спектром реального сигнала;
 если максимальная частота в сигнале равна или превышает половину частоты дискретизации (наложение спектра), то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.
Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал  можно представить в виде интерполяционного ряда:
 
где  — функция . Интервал дискретизации удовлетворяет ограничениям . Мгновенные значения данного ряда есть дискретные отсчёты сигнала .

История 
Хотя в западной литературе теорема часто называется теоремой Найквиста со ссылкой на работу «» 1928 года, в этой работе речь идёт лишь о требуемой полосе линии связи для передачи импульсного сигнала (частота следования должна быть меньше удвоенной полосы). Таким образом, в контексте теоремы отсчётов справедливо говорить лишь о частоте Найквиста. Примерно в это же время  получил тот же результат. О возможности полной реконструкции исходного сигнала по дискретным отсчётам в этих работах речь не идёт. Теорема была предложена и доказана Владимиром Котельниковым в 1933 году в работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи», в которой, в частности, была сформулирована одна из теорем следующим образом: «Любую функцию , состоящую из частот   можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через ». Независимо от него эту теорему в 1949 году (через 16 лет) доказал Клод Шеннон, поэтому в западной литературе эту теорему часто называют теоремой Шеннона. В 1999 году Международный научный фонд Эдуарда Рейна (Германия) признал приоритет Котельникова, наградив его премией в номинации «за фундаментальные исследования» за впервые математически точно сформулированную и доказанную в аспекте коммуникационных технологий теорему отсчётов. Исторические изыскания показывают, однако, что теорема отсчётов как в части утверждения возможности реконструкции аналогового сигнала по дискретным отсчётам, так и в части способа реконструкции рассматривалась в математическом плане многими учёными и ранее. В частности, первая часть была сформулирована ещё в 1897 году Борелем.

Вариации и обобщения 
Впоследствии было предложено большое число различных способов аппроксимации сигналов с ограниченным спектром, обобщающих теорему отсчётов. Так, вместо кардинального ряда по функциям , являющимся сдвинутыми копиями импульсной характеристики идеального фильтра нижних частот, можно использовать ряды по конечно- или бесконечнократным свёрткам функций . Например, справедливо следующее обобщение ряда Котельникова непрерывной функции  с финитным спектром  на основе преобразований Фурье атомарных функций:

 

где параметры  и  удовлетворяют неравенству , а интервал дискретизации:

См. также 
 Интерполяционная формула Уиттекера — Шеннона
 Частота Найквиста
 Основной цифровой канал
 Экстраполятор нулевого порядка
 Экстраполятор первого порядка
 Квантование (обработка сигналов)
 Передискретизация
 Теорема отсчётов в частотной области

Примечания

Литература 
 H. Nyquist. Certain topics in telegraph transmission theory. Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617—644, Apr. 1928.
 Котельников В. А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи — Всесоюзный энергетический комитет. // Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933. Репринт статьи в журнале УФН, 176:7 (2006), 762—770.

Ссылки 
 Теорема Котельникова на dsplib.org
 Sampling of analog signals Интерактивная презентация дискретизации по времени. Institute of Telecommunications, University of Stuttgart

Котельникова
Цифровая обработка сигналов
Котельников
Котельникова