Числа на Фибоначи

Числата на Фибоначи в математиката образуват редица, която се дефинира рекурсивно по следния начин:
 F(0) = 0
 F(1) = 1
 F(n) = F(n-1) + F(n-2)

Започва се с 0 и 1, а всеки следващ член на редицата се получава като сума на предходните два. Първите числа на Фибоначи са:
 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Ето някои от основните свойства на числата на Фибоначи:

 [F(n),F(m)]=F[(m,n)] т.е. НОД на числата F(n) и F(m) e число на Фибоначи с индекс НОД(m,n)

 F(n+k)=F(k-1)*F(n) + F(k)*F(n+1)

 F(k)/F(kn) за произволно n

 Отношенията  са приближени дроби на златното сечение φ и по-специално .

Числата на Фибоначи могат да се бележат и с u(n).

Произход 
Италианският математик Леонардо Фибоначи публикува през 1202 г. редица от числа, всяко от които се получава като сума от предходните две, като първите две числа са 0 и 1: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… Той е научил за тази редица от числа по време на пътешествията си в страните от тогавашния Изток и редицата е била наречена на негово име, защото я е популяризирал.

Оказва се, че колкото по-големи са числата от редицата на Фибоначи, толкова отношението на двете последни числа се приближава до 'златното сечение' и при граничен преход (при безкраен брой числа в редицата) става равно на 'златното сечение'.

Често редицата на Фибоначи се свързва и със следната задача: Чифт зайци (мъжки и женски екземпляр) могат да произведат за единица време (напр. един месец) нов чифт зайци, които продължават да се размножават (в класическата задача на Фибоначи на новородения чифт зайци са му необходими два месеца, за да дадат първото си поколение, след което продължават да се размножават всеки месец). Колко е броят на живите чифтове зайци след определено време, ако никой не унищожава зайците? Отговорът се дава от последното число в редицата на Фибоначи. Разбира се, тази задача е чисто илюстративна.

Оказва се обаче, че твърде много закономерности, наблюдавани в природата и в поведението на човека, могат да се опишат, макар и с някаква по-малка или по-голяма грешка, с числа от редицата на Фибоначи, въпреки че в някои случаи това обяснение може да изглежда преднамерено.

Всъщност алгоритъмът за образуване на поредното число от редицата на Фибоначи изразява факта, че следствието (последното число от реда) зависи от предисторията (причините) по конкретния за тази редица начин, а именно: последното число е сума от двете предходни числа. Така този алгоритъм се включва в категорията на т. нар. рекурентни формули. Доколко с алгоритъма на 'златното сечение' могат да се обяснят природни и човешки феномени зависи именно от това, доколко тези феномени се подчиняват на горната проста и същевременно съответстваща добре на 'здравия разум' рекурентна зависимост на следствието от причините, които го пораждат. До Фибоначи основните алгоритми за описване на възпроизвеждащи формули са били аритметичната и геометричната прогресия.

Първите 100 числа на Фибоначи 
пореден номер | число на Фибоначи
            1 |                     1
            2 |                     1
            3 |                     2
            4 |                     3
            5 |                     5
            6 |                     8
            7 |                    13
            8 |                    21
            9 |                    34
           10 |                    55
           11 |                    89
           12 |                   144
           13 |                   233
           14 |                   377
           15 |                   610
           16 |                   987
           17 |                  1597
           18 |                  2584
           19 |                  4181
           20 |                  6765
           21 |                 10946
           22 |                 17711
           23 |                 28657
           24 |                 46368
           25 |                 75025
           26 |                121393
           27 |                196418
           28 |                317811
           29 |                514229
           30 |                832040
           31 |               1346269
           32 |               2178309
           33 |               3524578
           34 |               5702887
           35 |               9227465
           36 |              14930352
           37 |              24157817
           38 |              39088169
           39 |              63245986
           40 |             102334155
           41 |             165580141
           42 |             267914296
           43 |             433494437
           44 |             701408733
           45 |            1134903170
           46 |            1836311903
           47 |            2971215073
           48 |            4807526976
           49 |            7778742049
           50 |           12586269025
           51 |           20365011074
           52 |           32951280099
           53 |           53316291173
           54 |           86267571272
           55 |          139583862445
           56 |          225851433717
           57 |          365435296162
           58 |          591286729879
           59 |          956722026041
           60 |         1548008755920
           61 |         2504730781961
           62 |         4052739537881
           63 |         6557470319842
           64 |        10610209857723
           65 |        17167680177565
           66 |        27777890035288
           67 |        44945570212853
           68 |        72723460248141
           69 |       117669030460994
           70 |       190392490709135
           71 |       308061521170129
           72 |       498454011879264
           73 |       806515533049393
           74 |      1304969544928657
           75 |      2111485077978050
           76 |      3416454622906707
           77 |      5527939700884757
           78 |      8944394323791464
           79 |     14472334024676221
           80 |     23416728348467685
           81 |     37889062373143906
           82 |     61305790721611591
           83 |     99194853094755497
           84 |    160500643816367088
           85 |    259695496911122585
           86 |    420196140727489673
           87 |    679891637638612258
           88 |   1100087778366101931
           89 |   1779979416004714189
           90 |   2880067194370816120
           91 |   4660046610375530309
           92 |   7540113804746346429
           93 |  12200160415121876738
           94 |  19740274219868223167
           95 |  31940434634990099805
           96 |  51680708854858323072
           97 |  83621143489848422977
           98 | 135301852344706746049
           99 | 218922995834555169026
          100 | 354224848179261915075

Външни препратки 
Сайт с информация за числото Фи 

Категория:Числови редици

Числови редици
Теория на числата