Бинарная операция

Бина́рная, или двуме́стная, опера́ция (от  «два») — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть операция с арностью два).

Определение 
Пусть  — тройка непустых множеств. Бинарной операцией, или бинарной функцией, на паре  со значениями в  называется отображение .

Пусть  — непустое множество. Бинарной операцией на множестве , или внутренней бинарной операцией, называют отображение .

Первое определение соответствует франкоязычной традиции, второе — англоязычной. Чаще всего рассматриваются именно внутренние бинарные операции.

Также имеется близкое понятие закона композиции, объединяющее внутренние бинарные операции  (внутренние законы композиции) с бинарными операциями вида  или  (внешними законами композиции).

Замечание 
Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции  результат её применения к двум элементам  и  записывается в виде .

При этом, однако, используются другие формы записи бинарных операций, а именно:
 префиксная (польская запись) — ;
 постфиксная (обратная польская запись) — .

Типы бинарных операций

Коммутативная операция 

Бинарная операция  называется коммутативной, только когда её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

Ассоциативная операция 

Бинарная операция  называется ассоциативной, только когда
 

Для ассоциативной операции  результат вычисления  не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение  при  однозначно не определено.

Существует также более слабое, чем ассоциативность, свойство: альтернативность.

Примеры 
Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи

Мультипликативная запись 
Если абстрактную бинарную операцию на  называют умноже́нием, то её результат для элементов  называют их произведе́нием и обозначают  или . В этом случае нейтральный элемент , то есть элемент, удовлетворяющий равенствам
 
называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись 
Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов  называют су́ммой и обозначают . Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

Обратная операция 

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1
Для любой бинарной операции существует не более одного нейтрального элемента, то есть два любых нейтральных элемента на самом деле оказываются совпадающими.

Теорема 2
Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного.

См. также 
 Арность
 Унарная операция
 Тернарная операция

Литература 
 Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.