Эйлерова характеристика

Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — целочисленная характеристика топологического пространства.
Эйлерова характеристика пространства  обычно обозначается .

Определения 
 Для конечного клеточного комплекса (в частности для конечного симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма
 
 где  обозначает число клеток размерности .

 Эйлерова характеристика произвольного топологического пространства может быть определена через числа Бетти  как знакопеременная сумма:
 
 Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.
 Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

Свойства 
 Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом; то есть сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств.
 В частности, эйлерова характеристика есть топологический инвариант.
 Эйлерова характеристика любого замкнутого многообразия нечётной размерности равна нулю.
 Эйлерова характеристика произведения топологических пространств M и N равна произведению их эйлеровых характеристик:

Эйлерова характеристика полиэдров 
 Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле  где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для односвязного многогранника верна формула Эйлера:
 
 Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.

Формула Гаусса — Бонне 
Для компактного двумерного ориентированного риманова многообразия (поверхности)  без границы существует
формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику  с гауссовой кривизной  многообразия:

 
где  — элемент площади поверхности .

 Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне для двумерного многообразия с краем.
 Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне на чётномерное риманово многообразие, известная, как теорема Гаусса — Бонне — Черна или обобщённая формула Гаусса — Бонне.
 Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Бонне, гласящий, что Эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра, делённой на .
 Существует комбинаторные аналоги формулы Гаусса — Бонне.

Ориентируемые и неориентируемые поверхности 
Эйлерова характеристика замкнутой ориентируемой поверхности связана с её родом g (числом ручек, то есть числом торов в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением
 

Эйлерова характеристика замкнутой неориентируемой поверхности связана с её неориентируемым родом k (числом проективных плоскостей в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением

Величина эйлеровой характеристики

История 
В 1752 году Эйлер опубликовал формулу, связывающую между собой количество граней трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде
 
где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер.

Ранее эта формула встречается в рукописях Рене Декарта, опубликованных в XVIII в.

В 1812 году Симон Люилье распространил эту формулу на многогранники с «дырками» (например, на тела наподобие рамы картины). В работе Люилье в правую часть формулы Эйлера добавлено слагаемое  где  — количество дырок («род поверхности»). Проверка для картинной рамы: 16 граней, 16 вершин, 32 ребра, 1 дырка: 

В 1899 году Пуанкаре обобщил эту формулу на случай N-мерного многогранника:

 

где  — количество i-мерных граней N-мерного многогранника.

Если считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, формулу можно записать в более простом виде:

Вариации и обобщения 
 Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника.

См. также 
 Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Примечания

Литература 
 
 
 
 Ю. М. Бурман Эйлерова характеристика Летняя школа «Современная математика», 2012, г. Дубна

Алгебраическая топология
Топологическая теория графов
Комбинаторика многогранников
Топологические инварианты
Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера