Математический маятник

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки на конце невесомой нерастяжимой нити или лёгкого стержня и находящуюся в однородном поле сил тяготения. Другой конец нити (стержня) обычно неподвижен. Период малых собственных колебаний маятника длины L, подвешенного в поле тяжести, равен

и не зависит, в первом приближении, от амплитуды колебаний и массы маятника. Здесь g — ускорение свободного падения.

Математический маятник служит простейшей моделью физического тела, совершающего колебания: она не учитывает распределение массы. Однако реальный физический маятник при малых амплитудах колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Характер движения маятника 
Математический маятник со стержнем способен колебаться только в какой-то одной плоскости (вдоль какого-то выделенного горизонтального направления) и, следовательно, является системой с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, получится система с двумя степенями свободы (так как становятся возможными колебания по двум горизонтальным координатам).

При колебаниях в одной плоскости маятник движется по дуге окружности радиуса , а при наличии двух степеней свободы может описывать кривые на сфере того же радиуса. Нередко, в том числе в случае нити, ограничиваются анализом плоского движения; оно и рассматривается далее.

Уравнение колебаний маятника 

Если в записи второго закона Ньютона  для математического маятника выделить тангенциальную составляющую (, получится выражение
 ,
так как , а из действующих на точку сил тяжести и натяжения ненулевую компоненту  даёт только первая. Следовательно, колебания маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) вида
 ,
где неизвестная функция  ― это угол отклонения маятника в момент  от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах,  ― длина подвеса,  ― ускорение свободного падения. Предполагается, что потерь энергии в системе нет. В области малых углов  это уравнение превращается в
 .
Для решения ДУ второго порядка, то есть для определения закона движения маятника, необходимо задать два начальных условия — угол  и его производную  при .

Решения уравнения движения

Возможные типы решений 
В общем случае решение ДУ с начальными условиями для маятника может быть получено численно. Варианты движения (в случае, если маятник — это материальная точка на лёгком стержне), качественно, представлены на анимации. В каждом окне вверху показана зависимость угловой скорости  от угла . По мере нарастания размаха поведение маятника всё сильнее отклоняется от режима гармонических колебаний.

Гармонические колебания 
Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия, когда уместна замена , называется гармоническим уравнением:
 ,
где  ― положительная константа, определяемая только из параметров маятника и имеющая смысл собственной частоты колебаний. Кроме того, может быть осуществлён переход к переменной «горизонтальная координата»  (ось  лежит в плоскости качания и ортогональна нити в нижней точке):
 .

Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону:
 ,
где  — амплитуда колебаний маятника,  — начальная фаза колебаний.

Если пользоваться переменной , то при  необходимо задать координату  и скорость , что позволит найти две независимые константы ,  из соотношений  и .

Случай нелинейных колебаний 
Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:
 
где  — это синус Якоби. Для  он является периодической функцией, при малых  совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр  определяется выражением
 .

Период колебаний нелинейного маятника составляет
 ,
где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:
 
где  — период малых колебаний,  — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈ 60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:
 .

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года:

 ,

где  — арифметико-геометрическое среднее чисел 1 и .

Движение по сепаратрисе 
Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение.

Факты 
Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.
 Если амплитуда колебания маятника близка к , то есть движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения.
 Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.
 В условиях вращения Земли при достаточно длинной нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли (маятник Фуко).

См. также 
 Физический маятник
 Маятник Фуко
 Маятник Дубошинского

Примечания

Ссылки 
 Коллекция Java-апплетов, моделирующая поведение математических маятников, в частности маятника Капицы.
 Java-апплет, моделирующий колебание математического маятника при наличии вязкого трения с черчением фазовой траектории.
 Учебный фильм «Математический и физический маятник», производство СССР

Динамика
Дифференциальные уравнения
Модели в физике
Маятники