Показательная функция

Показательная функция — математическая функция , где  называется основанием степени, а  — показателем степени.
 В вещественном случае основание степени  — некоторое неотрицательное вещественное число (для отрицательных чисел возведение в вещественную нецелочисленную степень не определено), а аргументом функции является вещественный показатель степени.
 В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
 В самом общем виде — , введена Лейбницем в 1695 г.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной). При этом из-за того, что любое положительное основание  может быть представлено в виде степени числа е (), понятие «экспонента» часто употребляют как синоним «показательной функции».

Вещественная функция

Определение показательной функции 
Пусть  — неотрицательное вещественное число,  — рациональное число: . Тогда  определяется, исходя из свойств степени с рациональным показателем, по следующим правилам.
 Если , то .
 Если  и , то .
 Значение  не определено (см. Ноль в степени ноль).
 Если  и , то .
 Значение  при  не определено.
Для произвольного вещественного показателя  значение  можно определить как предел последовательности

 

где  — последовательность рациональных чисел, сходящихся к . То есть

Свойства 
Свойства возведения в степень:
 
 
 
 
  /  = 
Промежутки монотонности:

При  показательная функция всюду возрастает, причём:

  (для всякого )
 

При  функция, соответственно, убывает, причём:

  (для всякого )
 

То есть показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной. Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

Обратная функция:

По аналогии с введением функции корня для степенной введём логарифмическую функцию, обратную показательной:

  (логарифм  по основанию )

Число е:

Отметим уникальное свойство показательной функции, найдём  (такое число , производная показательной функции которого равна самой функции):

 

Возможность определения  легко увидеть после сокращения на :

 

Выбирая , окончательно получим число Эйлера:

 

Отметим, что функцию  можно иначе представить в виде ряда: (справедливость легко установить почленным дифференцированием):

 

Откуда имеем более точное приближение:

 

Единственность числа  легко показать, варьируя . Действительно, если  пройдёт где-то выше, чем , то на том же промежутке найдётся область, где  .

Дифференцирование:

Используя функцию натурального логарифма , можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту. По свойству степени: , откуда по свойству экспоненты и по правилу дифференцирования сложной функции:

 

Неопределённый интеграл:

Потенцирование и антилогарифм 

Потенцирование (от ) — нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения . Из определения логарифма вытекает, что , таким образом, возведение  в степень  может быть названо другими словами «потенцированием  по основанию », или вычислением показательной функции от .

Антилогарифм числа x — результат потенцирования, то есть число, логарифм которого (при заданном основании ) равен числу :
 
Термин «антилогарифм» введен Валлисом в 1693 году. Как самостоятельное понятие антилогарифм используется в логарифмических таблицах, логарифмических линейках, микрокалькуляторах. Например, для извлечения кубического корня из числа  по логарифмическим таблицам следует найти логарифм числа  разделить его на 3 и затем (по таблице антилогарифмов) найти антилогарифм результата.

Аналогично логарифмам, антилогарифм по основанию  или 10 называется натуральным или десятичным, соответственно.

Антилогарифм также называют обращённым логарифмом.

В инженерных калькуляторах потенцирование стандартно представлено в виде двух функций:  и .

Комплексная функция 
Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:
 
Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для  вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:
 
Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:
 

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример: ; поскольку  (главное значение логарифма), окончательно получаем: .

См. также 
 Возведение в степень
 Ограничение складывания бумаги пополам
 Степенная функция
 Экспонента
 Двойная экспоненциальная функция

Примечания

Комментарии

Литература 
 
 

Элементарные функции
Элементарные функции комплексной переменной