Тезис Чёрча — Тьюринга

Те́зис Чёрча — Тью́ринга — это гипотеза, постулирующая эквивалентность между интуитивным понятием алгоритмической вычислимости и строго формализованными понятиями частично рекурсивной функции и функции, вычислимой на машине Тьюринга. В связи с интуитивностью исходного понятия алгоритмической вычислимости, данный тезис носит характер суждения об этом понятии и его невозможно строго доказать или опровергнуть. Перед точным определением вычислимой функции математики часто использовали неофициальный термин, «эффективно вычислимый» для описания функций, которые можно вычислить с помощью бумажно-карандашных методов.

Тезис был высказан Алонзо Чёрчем и Аланом Тьюрингом в середине 1930-х годов. Существенен для многих областей науки и философии науки, в том числе для математической логики, теории доказательств, информатики, кибернетики.

Формулировки 
В терминах теории рекурсии, тезис формулируется как точное описание интуитивного понятия вычислимости классом общерекурсивных функций. В этой формулировке часто упоминается как просто тезис Чёрча.

Более общая формулировка была дана Стивеном Клини, согласно которой все частичные (то есть не обязательно определённые для всех значений аргументов) функции, вычислимые посредством алгоритмов, являются частично рекурсивными.

В терминах вычислимости по Тьюрингу тезис гласит, что для любой алгоритмически вычислимой функции существует вычисляющая её значения машина Тьюринга. Иногда в такой формулировке фигурирует как тезис Тьюринга. Ввиду того, что классы частично вычислимых по Тьюрингу и частично рекурсивных функций совпадают, утверждение объединяют в единый тезис Чёрча — Тьюринга.

Позднее были сформулированы другие практические варианты утверждения:
 физический тезис Чёрча — Тьюринга: любая функция, которая может быть вычислена физическим устройством, может быть вычислена машиной Тьюринга;
 сильный тезис Чёрча — Тьюринга (тезис Чёрча — Тьюринга — Дойча): любой конечный физический процесс, не использующий аппарат, связанный с непрерывностью и бесконечностью, может быть вычислен физическим устройством.

История 
Одной из важных проблем для логиков в 1930-х годах была проблема разрешения: существует ли механическая процедура для отделения математических истин от математических ложностей. Эта задача требовала, чтобы понятие «алгоритм» или «эффективная вычислимость» было закреплено, по крайней мере, чтобы приступить к задаче. С самого начала и по сей день (по состоянию на 2007 год) продолжаются дебаты: было ли понятие «эффективной вычислимости» (i) «аксиомой или аксиомами» в аксиоматической системе или (ii) просто определением, которое «идентифицировало» два или более предложений или (iii) эмпирической гипотезой, которую следует проверить на естественных событиях или (iv) или просто предложением ради аргумента (то есть «тезиса»).

1930—1952 
В ходе изучения проблемы Чёрч и его ученик Стивен Клини ввели понятие λ-определимых функций, и они смогли доказать, что несколько больших классов функций, часто встречающихся в теории чисел, были λ-определимыми. Дискуссия началась, когда Чёрч предложил Курту Гёделю определить «эффективно вычислимые» функции как λ-определимые функции. Однако Гёдель не был убежден и назвал это предложение «полностью неудовлетворительным». Тем не менее Гёдель в переписке с Чёрчем предложил аксиоматизировать понятие «эффективной вычислимости»; В письме Клини и Чёрчу он сообщил, что

Его единственная идея в то время состоит в том, что может быть возможно задать термин эффективной вычислимости как неопределенного понятия в виде набора аксиом, которые бы воплощали общепринятые свойства этого понятия и затем что-то делать на этой основе.

Но Гёдель не дал никаких дальнейших указаний. Он предложил только рекурсию, модифицированную предложением Гербранда, о чём Гёдель подробно написал на своих лекциях в 1934 году в Принстоне Нью-Джерси (Клини и Россер расшифровали записи). Но он не думал, что две идеи могут быть удовлетворительно определены «кроме эвристически».

Затем необходимо было идентифицировать и доказать эквивалентность двух понятий эффективной вычислимости. Оснащенный λ-исчислением и «общей» рекурсией, Стивен Клини с помощью Чёрча и Дж. Баркли Россера подготовили доказательства (1933, 1935), чтобы показать, что эти два исчисления эквивалентны. Чёрч впоследствии изменил свои методы, включив использование рекурсии Гербранда-Гёделя, а затем доказал (1936), что проблема разрешения неразрешима: нет обобщенного алгоритма, который может определить, имеет ли корректно сформулированная формула «нормальную форму».

Много лет спустя в письме к Дэвису (около 1965 года) Гёдель сказал, что «он был во время этих [1934] лекций, совсем не убежден в том, что его концепция рекурсии включает все возможные рекурсии». К 1963 г. Гёдель отказался от рекурсии Гербранда-Гёделя и λ-исчисления в пользу машины Тьюринга как определения «алгоритма» или «механической процедуры» или «формальной системы».

Гипотеза, ведущая к естественному закону? : В конце 1936 года статья Алана Тьюринга (также доказывающая, что проблема разрешения неразрешима) была озвучена ​в устной форме, но ещё не появилась в печати. С другой стороны, появилась статья Эмиля Поста 1936 года и была сертифицирована независимо от работы Тьюринга. Пост категорически не согласился с Чёрчевским «отождествлением» (identification) эффективной вычислимости c λ-исчислением и рекурсией, заявив:

На самом деле в работе Чёрча и других это отождествление излагается значительно сильнее рабочей гипотезы. Но маскировка этого отождествления под определение … ослепляет нас необходимостью постоянной проверки.

Скорее, он считал понятие «эффективной вычислимости» просто «рабочей гипотезой», которая могла бы привести индуктивным умозаключением к «естественному закону», а не «определению или аксиоме». Эта идея была «резко» подвергнута критике со стороны Чёрча.

Таким образом, Пост в своей статье 1936 года также отклонял предложение Курта Гёделя Чёрчу в 1934-5 годах о том, что тезис может быть выражен как аксиома или множество аксиом.

Тьюринг добавляет ещё одно определение, Россер приравнивает все три : за короткое время появилась статья (1936-37) Тьюринга «О вычислимых числах и применение к проблеме разрешения». В ней он задал понятие «эффективной вычислимости» по-другому, с введением его а-машин (теперь они известны как абстрактная вычислительная модель машины Тьюринга). И в доказательном эскизе, добавленном как «Приложение» к его статье 1936-37, Тьюринг показал, что классы функций, определяемые λ-исчислением и машинами Тьюринга, совпадают. Чёрч быстро понял, насколько убедительным был анализ Тьюринга. В своем обзоре работы Тьюринга он ясно дал понять, что понятие Тьюринга сделало «отождествление с эффективностью в обычном (не явно определённом) смысле, очевидном сразу».

Через несколько лет (1939) Тьюринг предложил, как это сделали Чёрч и Клини перед ним, что его формальное определение механического вычислительного агента было правильным. Таким образом, к 1939 году и Чёрч (1934), и Тьюринг (1939) индивидуально предложили, чтобы их «формальные системы» были определениями «эффективной вычислимости»; а не сформулировали свои утверждения как тезисы.

Россер (1939) формально отождествил три понятия как определения:
 «Все три определения эквивалентны, поэтому не имеет значения, какое из них используется».

Клини предлагает тезис Чёрча : здесь оставлено явное выражение «тезис», использованное Клини. В своей статье 1943 года «Рекурсивные предикаты и квантификаторы» Клин предложил свой «ТЕЗИС I»:
 "Этот эвристический факт [общерекурсивные функции эффективно рассчитываются] … привел Чёрча к формулировке следующего тезиса (22). Тот же тезис неявен в описании Тьюринга вычислительных машин (23).
 "ТЕЗИС I. Всякая эффективно вычисляемая функция (эффективно разрешимый предикат) является обще рекурсивной [курсив Клини]
 «Поскольку точное математическое определение термина, эффективно вычисляемый (эффективно разрешимый), было бы желательным, мы можем принять этот тезис … как определение этого термина …»
 (22) ссылка на Чёрча 1936
 (23) ссылка Тьюринга 1936-7
Клини далее отмечает, что:
 «… тезис имеет характер гипотезы — пункт, отмеченный Постом и Тьюрингом (24). Если мы рассмотрим тезис и его обратное как определение, то гипотеза является гипотезой о применении математической теории, полученной из этого определения. Для принятия этой гипотезы, как мы предложили, есть довольно убедительные основания».
 (24) ссылка на Post 1936 of Post and Church’s Formal definitions in the theory of ordinal numbers, Fund. Math. vol 28 (1936) pp.11-21 (see ref. #2, ).

Примечания

Литература 
 
 
 
 
 
  Includes original papers by Gödel, Church, Turing, Rosser, Kleene, and Post mentioned in this section.
 
 
 
 

Теория алгоритмов
Алан Тьюринг