Вычитание

Вычита́ние (убавление) — одна из вспомогательных бинарных математических операций (арифметических действий) двух аргументов (уменьшаемого и вычитаемого), результатом которой является новое число (разность), получаемое уменьшением значения первого аргумента на значение второго аргумента. На письме обычно обозначается с помощью знака «минус»:  . Вычитание — операция обратная сложению.

В общем виде можно записать: , где  и . То есть каждой паре элементов  из множества  ставится в соответствие элемент , называемый разностью  и .Вычитание возможно только, если оба аргумента принадлежат одному множеству элементов (имеют одинаковый тип).

При наличии отрицательных чисел, вычитание удобно рассматривать (и определять) как разновидность сложения — сложение с отрицательным числом. К примеру,  можно рассматривать как сложение: .

На множестве вещественных чисел область значений функции сложения графически имеет вид плоскости проходящей через начало координат и наклоненной к осям на 45° угловых градусов.

У вычитания есть несколько важных свойств (например для ):
 Антикоммутативность: 
 Неассоциативность: 
 Дистрибутивность: 
 Вычитание  (нулевого элемента) даёт число равное исходному: 
В качестве примера, на картинке справа запись  обозначает пять яблок вычесть два яблока, что в результате дает три яблока. Заметим, что нельзя вычесть например из 5 яблок 2 груши. Помимо счета яблок, вычитание также может представлять разность других физических и абстрактных величин, таких как: отрицательные числа, дробные числа, векторы, функции, и другие.

Формы записи и терминология 

Вычитание записывается с использованием символа «минус»: «» между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте символ «минус» является бинарным оператором. Результат записывается с использованием знака равенства «», например:
  ;
  («шесть минус три равно три») ;
  («шестьдесят четыре минус тридцать пять равно двадцать девять») .

На письме символ «минус» очень похож на другие письменные символы «дефис», «тире» и другие. Следует внимательнее разбирать выражение, чтобы не возникло ошибочного истолкования символа.

Свойства 
Операция вычитание на числовых множествах  имеет следующие основные свойства:

 Вычитание антикоммутативно — от перемены мест аргументов разность изменяется:
 Антикоммутативность: 
 Вычитание антиассоциативно — при последовательном выполнении вычитания трёх или более чисел последовательность выполнения операций имеет значение, результат изменится:
 Антиассоциативность: 
 Вычитание дистрибутивно, это — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве, также известно, как распределительный закон .
 Дистрибутивность: 
 Относительно вычитания в множестве  существует единственный нейтральный элемент, вычитание из числа нулевого (или нейтрального элемента) даёт число равное исходному:
 Нулевой элемент: 
 Вычитание нуля идемпотентно — повторное применение операции к объекту даёт тот же результат, что и одинарное:
 Идемпотентность: ;
 Вычитание противоположного элемента даёт удвоенное число:
 

Результат вычитания не всегда является определённым для множества натуральных чисел : чтобы получить натуральное число в результате вычитания, уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Невозможно в рамках натуральных чисел вычесть из меньшего числа большее.

Операция вычитания чисел определённых на множествах  даёт число (разность) принадлежащее этому же множеству, следовательно операция вычитание относится к замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из данного множества чисел), то есть множества чисел  образуют кольца относительно операции вычитания.

Выполнение вычитания 
Операцию вычитания можно представить, как некий «черный ящик» с уменьшаемым и вычитаемым на входе и одним выходом — разностью:

При практическом решении задачи вычитания двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: «простое вычитание», заём, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы вычитания, например для чисел, дробей, векторов и др. На множестве натуральных чисел в настоящее время используется алгоритм поразрядного вычитания. При этом следует рассматривать вычитание как процедуру (в отличие от операции).

 
Как видим, процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при вычитании больших чисел может занять продолжительное время.

«Простое вычитание» — в данном контексте обозначает операцию вычитания чисел меньше двадцати, которая может быть легко сведена к декрементированию. Является гипероператором декрементирования:

где:  — последовательность операций инкрементирования, выполненная  раз; — последовательность операция декрементирования, выполненная  раз.

Чтобы упростить и ускорить процесс вычитания используют табличный метод «простого вычитания», для этого заранее вычисляют все комбинации разностей чисел от 18 до 0 и берут готовый результат из этой таблицы :

  

Данная процедура применима к вычитанию натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.

Вычитание чисел

Натуральные числа 
Воспользуемся определением натуральных чисел  как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств  порождённых биекциями, с помощью скобок: . Тогда арифметическая операция «вычитание» определяется следующим образом:

где  — разность множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Взаимно однозначное отображение конечного множества  на отрезок  можно понимать как нумерацию элементов множества  . Этот процесс нумерации называют «СЧЕТОМ». Таким образом, «счет» — это установление взаимно однозначного соответствия между элементами множества и отрезком натурального ряда чисел.

Для вычитания натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм вычитания. Если даны два натуральных числа  и  такие, что:

где ;  — количество цифр в числе ;  — порядковый номером разряда (позиции), ;  — основание системы счисления;  множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления: , , ; тогда:

вычитая поразрядно, получаем:

 
 
 
 

Таким образом операция вычитания сводится к процедуре последовательного простого вычитания натуральных чисел , с формированием заёма при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо декрементированием (счетом).

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно пользоваться таблицей вычитания, соответствующей данному основанию  системы счисления.

Пример вычитания натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, знак заёма пишется сверху, недостающие разряды дополняются нулями:

Целые числа 
Множество целых чисел — расширение множества натуральных чисел , получаемое добавлением отрицательных чисел  вида . Множество целых чисел обозначается  Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами.

Наличие отрицательных чисел позволяет рассматривать (и определять) «вычитание» как разновидность «сложения» — сложение с отрицательным числом. Однако рассмотрим в рамках данной статьи «вычитание», как операцию определённую на множестве целых чисел, это также относится и к следующим числовым множествам. Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на числовой прямой направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру вычитания. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:
 Если оба аргумента положительные, тогда: 
 Если один из аргументов отрицателен, тогда:  либо 
 Если оба аргумента отрицательны, тогда: 

Здесь и далее также используется алгоритм поразрядного вычитания (сложения). Например, рассмотрим выражение: ; так как у чисел  и  разные знаки, то выносим минус за скобки: , вычисляя далее получим ответ: .

Рациональные числа 
Множество рациональных чисел обозначается  (от  «частное») и может быть записано в таком виде: 

Для вычитания рациональных чисел в виде обыкновенных (или простых) дробей вида: , их следует преобразовать (привести) к общему (одинаковому) знаменателю. Например, взять произведение знаменателей, числители при этом умножаются на соответствующие знаменатели. Затем вычесть полученные числители, а произведение знаменателей станет общим.

Если даны два рациональных числа  и  такие, что:  (дроби не сокращаемые), тогда:
  

Либо можно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Порядок действий:
 Находим наименьшее общее кратное знаменателей: .
 Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на .
 Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на .
После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны ). В ряде простых случаев это упрощает вычисления, но в случае больших чисел расчёты значительно усложняются. Можно взять в качестве  любое другое общее кратное.

Пример вычитания:

Если знаменатели обеих дробей совпадают, то:

Если знаменатели кратны какому-либо числу, то преобразуем только одну дробь:

Арифметическая операция «вычитание» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.

Вещественные числа 
Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:
 ,
 
определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как:  и , то их разностью называют число , определённое разностью последовательностей  и :
;
вещественное число , удовлетворяет следующему условию:
.
Таким образом разностью двух вещественных чисел  и  является такое вещественное число  которое содержится между всеми разностями вида  с одной стороны и всеми разностями вида  с другой стороны.

На практике для того, чтобы вычесть два числа  и , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами  и . За приближенное значение разности чисел  берут разность указанных рациональных чисел . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают  и . Сложение производится по алгоритму поразрядного сложения.

При вычитании приближённых чисел их абсолютные погрешности складываются , абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа. Относительная погрешность разности заключена между наибольшим и наименьшим значениями относительных погрешностей аргументов; на практике принимается наибольшее значение . Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример вычитания , с точностью до 3-го знака после запятой:
 Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
 Получаем:  ;
 Поразрядно вычитаем:  ;
 Округляем до 3-го знака после запятой:  .

График 
На множестве вещественных чисел область значений функции вычитания графически имеет вид плоскости проходящей через начало координат и наклоненной к осям на 45° угловых градусов.

Так как , то и для этих множеств область значений функции вычитания будет принадлежать этой плоскости.

Комплексные числа 

Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом .

Комплексные числа вычитаются друг с другом путём вычитания действительных и мнимых частей. Это значит, что:
 
Где: ,  — мнимая единица. Используя представление комплексных чисел как векторов на комплексной плоскости, можно дать вычитанию комплексных чисел следующую геометрическую интерпретацию: разностью комплексных чисел  и , представленных векторами на комплексной плоскости, будет вектор, соединяющий концы уменьшаемого вектора и вычитаемого вектора и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, он является разностью векторов и соответственно разностью комплексных чисел (аналогично будет если к уменьшаемому вектору прибавить вектор обратный вычитаемому вектору).

Аналогично для комплексных чисел n-ой размерности:

Экспоненциальная запись 
В экспоненциальной записи числа записываются в виде , где  — мантисса,  — характеристика числа,  — основание системы счисления. Для вычитания двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме, требуется, чтобы у них были одинаковые характеристики:  согласно свойству дистрибутивности.

Например:

Вычитание произвольных чисел 
При вычитании чисел принадлежащих разным множествам необходимо произвести расширение числа из множества с меньшей мощностью в сторону числа из множества с большей мощностью, либо оба числа расширить до уравнивания множеств, если существует такая возможность. Например, если нужно вычесть из рационального числа  натуральное число , то воспользовавшись тем, что натуральные числа являются подмножеством рациональных, расширяем натуральное число  до рационального числа  и вычитаем два рациональных числа . Аналогично, пользуясь тем, что:  можно вычитать числа из различных множеств между собой.

Особенности обучения вычитанию школьников 
Практика показывает, что школьников легче научить вычислять разность чисел, чем научить их принимать решение о применимости операции вычитания в той или иной задаче. Это связано с тем, что вычитание, в отличие, например, от сложения, — некоммутативная операция, её аргументы играют разные роли, и ситуации задач на вычитание, которые должен разрешить ученик, существенно разнообразней, чем при сложении. В связи с этим детям, решившим задачу на вычитание одного вида, может быть затруднительно решить задачу на вычитание другого вида, даже с такими же числовыми данными. Педагог, работающий с ребёнком, должен убедиться, что его ученик уверенно чувствует себя и находит решение задач на вычитание следующих видов:

См. также 
 Сумма
 Сложение
 Умножение
 Деление

Примечания

Литература 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Элементарная математика
Арифметические действия
Бинарные операции