Andengradsligning

Ved en andengradsligning forstås en ligning på formen

Størrelserne ,  og  kaldes andengradsligningen koefficienter og  er den ubekendte, hvis værdi skal bestemmes med ligningen. Det første led,  kaldes andengradsleddet,  er førstegradsleddet og  er konstantleddet (eller nultegradsleddet). Koefficeienten  må kræves at være forskellig fra nul, da ligningen ellers ikke er af anden grad; der er ingen begrænsninger på  og . Løsningerne til andengradsligningen kaldes dens rødder; en andengradsligning kan have 0, 1 eller 2 rødder.

Såfremt man arbejder inden for de reele tal , betegnes den ubekendte normalt , men anden navngivning kan forekomme. Hvis ligningen ønskes løst inden for de komplekse tal , betegnes den ubekendte normalt :

Komplekse andengradsligninger behandles i artiklen om komplekse tal.

Eksempler 

{|
|-
|Ligning
|  
|Kommentar
|-
|
|  
|
|-
|
|  
|
|-
|
|  
|
|-
|
|  
|Samme ligning, blot med  som ubekendt
|-
|
|  
| eller 
|-
|
|  
|"Iklædt" andengradsligning med  som ukendt: 
|-
|
|  
|
|}

Løsning af en andengradsligning 

Idéen i løsninger er at supplere anden- og førstegradsleddene med yderligere et led, således at de tre led kan omskrives ved hjælp af første kvadratsætning, som her skrives på formen

Vi skal nu prøve at identificere  med andengradsleddet  og  med førstegradsleddet . Imidlertid er  ikke et kvadrat. Men det kan opnås ved at multiplicere ligningen med en snedigt valgt faktor, som dels gør leddet kvadratisk og dels udskyder en trælsom division til allersidst:

{| style="text-align: left;"
|-
|  
| rowspan="2" |  
| rowspan="2" |
| rowspan="2" |  
| rowspan="2" |Den givne ligning
|-
| rowspan="2" | 
|-
| rowspan="2" |  
| rowspan="2" |
| rowspan="2" |  
| rowspan="2" |Multiplikation med ; lovligt, da 
|-
| rowspan="2" | 
|-
| rowspan="2" |  
| rowspan="2" |
| rowspan="2" |  
| rowspan="2" |Faktorisering og addition af 
|-
| rowspan="2" | 
|-
| rowspan="2" |  
| rowspan="2" |
| rowspan="2" |  
| rowspan="2" |Anvendelse af første kvadratsætning.
|-
| rowspan="2" | 
|-
| rowspan="2" |  
| rowspan="2" |
| rowspan="2" |  
| rowspan="2" |Konstantled flyttes til højre side
|-
| rowspan="2" | 
|-
| rowspan="2" |  
| rowspan="2" |
| rowspan="2" |  
| rowspan="2" |Kombinationen af koefficienterne betegnes 
|-
|  
|}

Vi har her indført andengradsligningens diskriminant givet ved

.

Diskriminantens fortegn bruges til at skelne (diskriminere) mellem antallet af løsninger til ligningen, hvilket udredes i det følgende. Vi arbejder videre med den fundne ligning,

Eksempler på løsninger 

I alle tilfælde starter man med at beregne diskriminanten .

{| class="wikitable" style="background: #FFEBD2;"|
|-
!Ligning
!Løsning
|-
|
| Ingen løsninger
|-
|
| Én løsning: 
|-
|
|  To løsninger:   
|-
|
|  To løsninger:
  
|-
|
|    
|-
|
|     
  

|}

Normeret andengradsligning 

Da , kan enhver andengradsligning divideres igennem med , hvorved den får formen

Ligningen siges nu at være normeret. En normeret andengradsligning med to rødder  og  kan ifølge nul-reglen skrives på formen

eller

Ved sammenligning af de to udtryk ser vi at

{|
|-
|
|  
|Røddernes sum er koefficienten til førstegradsleddet med modsat fortegn
|-
|
|  
|Røddernes produkt er lig konstantleddet.
|}

Har man en formodning om, at en forelagt ligning har to simple rødder, kan man undertiden bruge disse regler til ved hovedregning at finde rødderne; man siger uformelt, at man kaster et skarpt blik på ligningen.

Eksempel:

I ligningen  er konstantleddet lig , der kan være produktet af  og ,  og  samt  og  og  og . Da summen skal være , må rødderne være  og .

Numerisk beregning af rødder 

Med ovenstående formler er andengradsligningen  løst matematisk. Men ved praktisk beregning kan der opstå et problem med ciffertab ved subtraktion af to næsten lige store størrelser, fordi beregningen sker med et endeligt antal betydende cifre; for eksempel yder regnearket Excel 14 - 15 betydende cifre (side på engelsk).

I løsningsformlen for en andengradsligning indgår de to størrelser  og . Hvis
 
 
så bliver differensen
 
med et katastrofalt tab i antallet af betydende cifre.

Dette problem kan man imidlertid undgå ved at udnytte, at røddernes produkt (jfr. forrige afsnit) er . Algoritmen bliver derfor følgende:

 Beregn diskriminanten , der her antages positiv.

 Hvis , så er både  og  negative: Sæt  og .

 Hvis , så er både  og  positive: Sæt  og .

Eksempel:

Andengradsligningen

er konstrueret til at have de eksakte rødder  og . Dens diskriminant er

.

Vælges , fås ligningen  og diskriminanten .

Tabellen herunder viser, hvike resultater man når frem til med de "matematiske" formler for  og  og den "numeriske" formel for , såfremt alle beregninger udføres med 6 betydende cifre.

{| class="wikitable" style="text-align: center; background: #FFEBD2;"
|-
!
!
!
!
!
!
!
! Klassisk
! Klassisk
! Fra 
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|-
|}

Som det ses, svigter den klassiske metode i de to sidste situationer, medens den modificerede fremgangsmåde leverer korrekte rødder.

Andengradsulighed 

En andengradsulighed  er et åbent udsagn af typen

hvor .

Løsningsmængden , dvs. samlingen ef -værdier, som gør det åbne udsagn sandt, findes ved først at løse den tilhørende andengradsligning  og derefter foretage en fortegnsundersøgelse for det tilhørende andengradspolynomium .

Eksempler på andengradsuligheder 

Eksempel 1

Den tilhørende andengradsligning  ses ved anvendelse af løsningsmetoden ovenfor (eller ved at kaste et skarpt blik på den) at have rødderne  og . Sættes , fås resultatet , der ikke er mindre end nul.

Polynomiets fortegnsvariation må da være som vist på fortegnsaksen herover. Løsningsmængden  kan nu aflæses:

Eksempel 2:

Eksempel 3:

Eksempel 4:

Uligheden omskrives til standardform:

Andengradsligningen  har rødderne  og , og da udtrykkets værdi for  er negativt, ligger løsningsmængden uden for rodintervallet:

.

Løsningerne kan illustreres ved at tegne graferne for de to involverede andengradspolynomier,

 og

Uligheden fra eksempel 1 svarer da til at spørge om, for hvilke -værdier grafen for  ligger under førsteaksen, medens dobbeltuligheden svar til at spørge om, for hvilke -værdier grafen for  ligger over eller på grafen for .

Kilder 

Algebra
Ligninger