Матрица (математика)

В математиката, матрица представлява правоъгълна таблица от величини, най-често числа (числова матрица), наричани елементи на матрицата. Елементи на матрица могат да са числа, вектори, функции или други математически обекти. Те могат да бъдат от произволно поле (например  или ) или пръстен. Матриците и матричната алгебра са основни в линейната алгебра. Те се използват за решаване на линейни системи, линейни преобразувания и собствени стойности. Матрица от тип m × n над поле F се нарича матрица, елементите на която са от полето F и има m реда и n стълба:

Множеството от матриците над поле F от тип m × n им може да се запише като Fmxn.

Пример за матрица 4 × 3 над полето на реалните числа:

Математическа нотация 
Обикновено матриците се отбелязват с главни латински букви – например A, а елементите на матрицата се записват със съответната малка или главна буква – aik или Aik, като първият индекс показва номера на реда, а вторият – номера на стълба, на който се намира елементът в матрицата. Освен скоби от вида [ ], е възможно изписване с ( ) и

Елементи на матриците 
В една квадратна матрица от ред n, елементите с равни индекси (aii, i=1.. n) образуват главния ѝ диагонал:

Елементите, сборът от индексите на които е равен на n+1 (aij, i=1.. n, j=n..1), образуват страничния диагонал:

Видове матрици 
Най-често се използват матрици с елементи от полето  и . В първия случай матрицата се нарича реална, а във втория – комплексна.

 нулева матрица (0) – матрица, при която всички елементи са нули:

квадратна матрица – матрица с равен брой на редове и колони:

правоъгълна матрица – матрица с различен брой редове и колони:

триъгълна матрица – квадратна матрица, при която елементите под или над главния диагонал са нули, съответно горна или долна триъгълна матрица:

 диагонална матрица – квадратна матрица, чиито елементи, неучастващи в главния диагонал, са нули:

 скаларна матрица – диагонална матрица, елементите от главния диагонал на която са равни:

 единична матрица (E) – скаларна матрица с елементи от главния диагонал равни на единица:

 еднакви матрици – когато , тоест съответните им елементи са равни.
симетрична матрица – квадратна матрица , за която е изпълнено :

 антисиметрична матрица – квадратна матрица , за която е изпълнено :

Елементарни преобразувания с матрици 
 смяна на местата на два реда:

 прибявяне на един ред на матрица към друг:

 умножаване на ред на матрицата с число различно от 0:

Основни операции с матрици

Транспониране 
 Транспонирането е унарна операция. Транспонирата матрица се бележи с AT и се получава, като в матрицата A редовете се запишат като стълбовете, т.е. аTij = аji. Пример:

Събиране 
 Събират се само матрици от един и същи ред. Елементите на новополучената матрица (сбора), са равни на сбора на съответните елементи от събираните матрици:

Свойства:
 комутативност: 
 асоциативност: 
 дистрибутивност: , 
 неутралност на нулевата матрица: 
 , където A и B са еднакви матрици
 противоположната матрица на матрицата А означаваме с –А, за която е в сила 
 разликата на матриците А и В е матрицата , като към А прибавим противоположната матрица на В, тоест :

Умножение на матрица с число (скалар) 
 Всеки елемент на матрицата се умножава с числото:

Свойства:
 
 ако , то 
 ако А и В са еднакви матрици, то

Умножение на матрици 
 Умножението на матриците A и B е дефинирано само когато A е съгласувана с B, т.е., когато броят на стълбовете на A е равен на броя на редовете на B. Произведението Cm x p на Am x n и Bn x p се дефинира с равенството:

.

Тоест всеки ред на матрицата A се умножава последователно с всеки от стълбовете на B, като всяко от тези произведения дава един елемент от реда на матрицата C с номер, съвпадащ с този на A. Първият ред на A, умножен с всички стълбове на B, дава всички елементи от първия ред на C и т.н. Пример:

Свойства:
 две квадратни матрици могат да бъдат умножени само ако са от един и същи ред
 комуникативност – не е в сила за произволни матрици
 асоциативност: 
 дистрибутивност:

Ранг 
При дадена произволна матрица  с размерност  можем да разгледаме нейните редове като n-мерни вектори:

,

а колоните ѝ – като m-мерни вектори:

,   .

Размерността  на подпространоството (в повечето случаи подпоространство на  или )  се нарича хоризонтален, или ред-ранг на матрицата , а размерността  на подпространостното  – вертикален, или стълб-ранг на матрицата.

Детерминанта 
Детерминантата е свойство на всяка квадратна матрица, при което тя може да се съпостави на едно число |A|:

,

където сумата е по всички пермутации (k1k2 … kn) на числата 1,2,…,n и I е броят на инверсиите в съответната пермутация. Инверсия в пермутация – , при .

В сила е нотацията .

Ако детерминантата на матрицата е различна от 0 (редовете ѝ са линейно независими), матрицата е линейно преобразувание. Нейно харктеристично уравнение е

Пресмятане на детерминанта 
За детерминанта от първи ред:

За детерминанта от втори ред:

За детерминанта от трети ред:

В останалите случаи, най-често свеждаме матрицата до горно или долно триъгълна чрез елементарни преобразувания (умножение на ред или стълб с дадено число и прибавяне на реда към друг ред (или прибавяне на стълб към друг стълб)).

Детерминанта от n-ти ред се пресмята чрез развитие по ред или по стълб – една матрица от n-ти ред се получават n детерминати от (n-1)-ви ред.

Източници

Външни препратки 

  Статия „Матрица“ в Wolfram MathWorld

Матрици
Абстрактна алгебра
Линейна алгебра