Komplekse tal

Ved et komplekst tal forstås en størrelse , som er en sum af to komponenter, ét reelt tal (realdelen) og et andet reelt tal (imaginærdelen) ganget med den imaginære enhedsstørrelse . Et komplekst tal kan derfor repræsenteres ved to reelle tal, og illustreres som et punkt i et koordinatsystem kaldet et Argand-diagram med en reel og en imaginær akse.

Et komplekst tal skrives på formen

hvor  og  som angivet er vilkårlige reelle tal og hvor  er en særligt konstrueret størrelse med egenskaben

Da det for ethvert reelt tal  gælder, at , kan  ikke være et reelt tal; størrelsen kaldes den imaginære enhed. Populært omtales  også som "kvadratroden af -1", og det er netop en af de kendetegnende egenskaber ved komplekse tal, at et komplekst tal opløftet i 2. potens kan blive et negativt tal (modsat de reelle tal hvor selv et negativt tal i 2. potens altid er et positivt resultat).

En stringent definition af de komplekse tal  og den imaginære enhed  gives i dette afsnit. Den historiske udvikling beskrives i det historiske afsnit. Endelig er der et afsnit om anvendelse i matematik, fysik og teknik.

Reelle kontra komplekse tal 

Nedenstående figurer illustrerer løst forskellen på reelle og komplekse tal.

De reelle tal er en éndimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter på en tallinie. Addition svarer til en parallelforskydning langs linjen og multiplikation svarer til en strækning af linjen.

De komplekse tal er en todimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter i et talplan. Addition svarer til en parallelforskydning af planets punkter, mens multiplikation svarer til en strækning i kombination med en rotation af planets punkter.

Notation 

I matematisk litteratur optræder både rækkefølgerne  og   eller der veksles frit mellem dem. For at fremhæve den imaginære enhed , anbefales det, at symbolet skrives uden kursivering.

Inden for vekselstrøm og elektroteknik benyttes et kursiveret lille  til at betegne tidsvariable strømstyrker. Man vil her oftest støde på betegnelsen  for den imaginære enhed, selv om forvekslingsmuligheder næppe forekommer.

Her benyttes notationen .

Inden for de reelle tal  er der tradition for at betegne variable med bogstaverne  og ; inden for de komplekse tal  anvendes traditionelt variabelnavne som  og .

De to dele af det komplekse tal  kaldes realdelen og imaginærdelen:
{|
|-
|Realdelen af :
| 
|
|-
|Imaginærdelen af :
| 
|
|-
|}

Bemærk, at realdelen og imaginærdelen er reelle tal.

Entydighed 

Fremstilling af et komplekst tal på formen  er entydig. Antag nemlig, at der foreligger to fremstillinger:
   og   
Man kan da omskrive således:
 
hvoraf
 
Antag at . Ved division fås da, at
 
Brøken på venstre side er et reelt tal, medens højre side er imaginær. Antagelsen  fører altså til en modstrid og må derfor forkastes, dvs. . Videre følger, at , så også . De to fremstillinger er altså ens.

Elementære regneregler for komplekse tal 

Reglerne er helt de samme som for reelle tal, blot skal man erindre, at .

Vi betragter to komplekse tal,

 og .

Kompleks addition:

{|
|-
|
|
|
|-
| 
|
|
|-
|}

Kompleks subtraktion:

{|
|-
|
|
|
|-
| 
|
|
|-
|}

Kompleks multiplikation:

{|
|-
|
|
|
|-
| 
|
|
|-
| 
|
|
|-
|}

Kompleks division:

{|
|-
|
|
|
|-
| 
|
|
|-
|}

Kompleks konjugering:

Det læses "z-streg". Bemærk, at divisionen udføres ved at forlænge brøken med nævnerens konjugerede tal.

Elementær regning med komplekse tal

 

 

 

 

 

 

 

De to sidste eksempler viser beregninger med to af kvadratsætningerne.

Definition af de komplekse tal

Konstruktion 
De komplekse tal  kan konstrueres med udgangspunkt i polynomier af grad 1 med koefficienter i  ([x]) Altså polynomier på formen  s. 253

Alle komplekse tal er på samme form, hvor "x" bliver kaldt "i"

Når man ganger polynomier af anden grad kan man dog få polynomier af højere grad, for eksempel

Som en del af konstruktionen, definere vi x^2 til -1. For eksempel bliver udtrykket ovenfor til

Derved kan all polynomier bringes ned til grad 1 og derved den karakteristiske form af komplekse tal

Da komplekse tal også er polynomier (altså er i [x]), gælder alle de samme regler. Vi kan derfor lægge dem sammen, trække dem fra hindanen og gange, helt på samme måde som [x]. Man normalt ikke dividere i [x], dog kan man alligevel dividere komplekse tal, som det næste viser

Reciprokt element

Det reciprokke element af  s. 46

er elementet

ved at gange de 2 tal får vi

Hvis vi ønsker at dividere a med b, ganger vi så bare det reciprokke element af b med a

 factor ring konstruktion

Den samme konstruktion af komplekse tal kan udtrykkes mere kompakt, ved brug af hi-tech sprog af abstract algebra. De komplekse tal er isomorphic til R[x]/<x^2 + 1>. Denne konstruktion er helt tilsvarende til den allerede givet.  Ch 12, 13 og 14

R[x] er et integral domain da R også er. x^2 + 1 er i denne ring og <x^2 + 1> er dens principal ideal. Dette er også er maksimal ideal. Så dens factor ring er et field. Denne ring er så isomorphic til de komplekse tal. For eksempel

Detter svare så til (efter en isomorphism)

De reelle tal  i de komplekse tal  

Vi betragter nu specielt den delmængde af de komplekse tal, hvis imaginærdel er nul. R er lukket indlejret mængde af R[x], derfor må R også være en lukket indlejring mængde af C. Dette betyder at R er lukket under multiplikation og addition, altså at man ikke man konstruere C fra R kun ved brug af disse operationer. På denne baggrund tillader man sig at identificere det komplekse tal  med det reelle tal .

C kan også ses som et vector space over R. Et set basis vectors er så givet ved {1, i}. Ser man bort fra multiplikation af komplekse tal, er de komplekse tal identiske med . For eksempel kan et udtryk i C  s. 330

Udtrykes som et i

Kartesisk og polær beskrivelse af komplekse tal

Kartesisk beskrivelse: Kompleks talplan 

Et komplekst tal  kan naturligt illustreres med et punkt med koordinaterne  i et koordinatsystem med den reelle akse som ordinat og den imaginære akse som abscisse. Dette talplan kaldes det komplekse eller det gaussiske plan eller argand-planet. Om baggrunden for disse betegnelser se det historiske afsnit.

Nogle geometriske fortolkninger:

 Da , svarer kompleks konjugering, jfr. ligning , til spejling om den reelle akse.
 Da addition sker efter samme regel som for vektorer, kan en sum  konstrueres som et paralellogram.
 Multiplikation med  sker ved drejning på , division ved drejning på .
 Da , fås realdelen ved projektion af  på den reelle akse.
 Da , fås imaginærdelen ved projektion af  på den imaginære akse.

Endvidere ses det, at real- og imaginærdel kan udtrykkes ved  og :

Polær beskrivelse: Modulus og argument 

Et komplekst tal , som ikke er lig nul, kan ved siden af sine kartesiske koordinater  også beskrives ved sine polære koordinater . Her betegner  punktets afstand fra origo  og  er den vinkel, som liniestykket  danner med den reelle akse, se figuren.

Den polære koordinat  kaldes det komplekse tals modulus eller numeriske værdi eller norm og skrives

 

Den polære koordinat  kaldes det komplekse tals argument og skrives

 

Her er  den arcustangens-funktion, som beregner den vinkel, som en linje fra origo til punktet med koordinaterne  danner med førsteaksen.

Det komplekse tal  har modulus , men tillægges ikke noget argument.

Argumentet for et komplekst tal er en flertydig størrelse: Hvis  er argument for , så kan også ethvert af tallene  bruges som argument, fordi addition af et multiplum af  ( eller  i gradmål) udpeger den samme retning. Man vælger ofte at lade  ligge i det halvåbne interval  ( eller i gradmål ).

{|
|-
|
|
|
| 
|
|-
|
|
|
| 
|
|-
|
|
|
| 
|
|-
|}

Multiplikation og division af to komplekse tal på polær form 

De kartesiske koordinater for et komplekst tal  med modulus  og argument  fås ved projektion på den reelle hhv. imaginære akse:

Tallet kan derfor skrives

.

Heraf finder vi, at produktet af to komplekse tal

{|
|
|
|
|
|
|-
|
|
|
|
|
|}

bliver

{|
|
|
|
|-
| 
|
|
|-
| 
|
|
|}

hvor vi i den sidste omskrivning har anvendt to af de trigonometriske additionsformler. Man kan heraf konkludere, at

For  gælder, at . Heraf slutter vi dels at

og dels at

Heraf følger

samt

Funktionen cis 

Den irske matematiker William Rowan Hamilton, omtalt i det historiske afsnit, indførte hjælpefunktionen  med komplekse funktionsværdier:

Navnet kan opfattes som en sammentrækning af cosinus, imaginær og sinus. Ved differentiation med hensyn til  fås

 

Funktionen  differentieres altså efter samme regel som en eksponentialfunktion.

Desuden har funktionen følgende egenskaber fælles med den naturlige eksponentialfunktion :

 

 

Anvendelse af  medfører en kortere notation og forbedret læselighed, for eksempel  kontra .

de Moivres formel og heltalspotenser 

Hvis man i formlen for produktet af  og  sætter , får man

og for produktet af  og  fås

hvilket straks kan generaliseres til

Dette er de Moivres formel (udtales "dø mo-A-vre"). I udfoldet form lyder den

eller med anvendelse af -funktionen, jfr. definitionen 

Opløftning af et komplekst tal  til -te potens kan altså udføres ved at opløfte dets modulus  i -te potens og gange dets argument  med . Figuren viser nogle eksempler på mulige resultater.

Fordelen ved de Moivres formel for  er, at man kan beregne resultatet uden først at skulle finde værdien af mellemliggende potenser , , ... . Ulempen er, at man skal benytte beregningstunge trigonometriske funktioner i beregningen af  samt i bestemmelse af real- og imaginærdel.

For det komplekse tal  er 

Potenser af  beregnet kartesisk og polært (med de Moivres formel) vises i tabellen herunder; resultaterne stemmer naturligvis overens.

{| class="wikitable" style="text-align: left;"
|+ Potenser af 
|-
! style="width:20em;" |Potens
! style="width:20em;" |Kartesiske -potenser
! style="width:20em;" |Modulus
! style="width:20em;" |Argument
! style="width:20em;" |Realdel
! style="width:20em;" |Imaginærdel
|-
! style="width:20em;" |
! style="width:20em;" |
! style="width:20em;" |
! style="width:20em;" |
! style="width:20em;" |
! style="width:20em;" |)
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|
|
|
|
|
|

|}

 Komplekse enhedsrødder 

Inden for de reelle tals mængde  har ligningen  enten én eller to reelle løsninger, nemlig , hvis  er ulige, og  og , hvis  er lige.

Ifølge algebraens fundamentalsætning har ligningen   komplekse rødder, som nu skal bestemmes. Først konstateres, at
.
Alle løsninger ligger altså på enhedscirklen, så  kan skrives , hvor  er løsningens argument. Vi anvender nu de Moivres formel :

{|
|-
|
|
|
|-
| 
|
|
|-
| 
|
|
|-
| 
|
|
|-
| 
|
|
|-
|}

Løsningerne er altså de  komplekse tal

Disse ligger jævnt fordelt på enhedscirklen med et indbyrdes vinkelmellemrum på  og udspænder en regulær -kant med et hjørne i (1,0). De kaldes for de n-te enhedsrødder.  

Roden med  betegnes normalt , de øvrige er potenser af denne. Enhedsrødderne kan derfor også opremses som
.
Figuren i det følgende afsnit illustrerer desuden enhedsrøddernes beliggenhed i tilfælde , hvor
.

 Ligningen zⁿ = c 

Lad  være et givet komplekst tal med modulus  og argument . Vi søger alle løsninger til ligningen

Dertil skriver vi også  på polær form,  og anvender igen de Moivres formel :

Denne ligning er opfyldt, hvis
 og  eller 
Ligningens  løsninger er derfor

Hvilke komplekse løsninger har ligningen ?

For denne ligning er  og , så

Ved udregning fås værdierne
{| class="wikitable" style="text-align: center
|-
! 
! 
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|}

I det komplekse plan danner de til  hørende punkter en regulær femkant, se figuren.

 Kompleks andengradsligning 

 Ligningen z² = c 

Her er  et vilkårligt komplekst tal. Ligningen kan løses i både kartesiske og polære koordinater:

 Løsning i kartesiske koordinater 

Vi sætter  og , hvor  og  er kendte reelle tal. Opgaven er da, at finde  og .

Man må opdele i forskellige tilfælde:

  og  har samme fortegn, dvs. :
{|
|-
|
|
|
|-
| 
|
|
|-
|}

  og  har modsat fortegn, dvs. :
{|
|-
|
|
|
|-
| 
|
|
|-
|}

.

 Så må  og  dvs. 

 Så må  og  dvs. 

Da , må også , så vi kan isolere  i den anden ligning, , og indsætte dette i den første:

.

Denne fjerdegradsligningen er en iklædt andengradsligning med  som ubekendt. Ligningens diskriminant er

.

Ifølge det forudsatte er , så løsningerne er

.

Da , bliver højresiden negativ, hvis fortegnet  benyttes. Der er derfor kun én løsning for  og af den følger :

 og  selv kan være positive eller negative, men ligningen  viser, at deres produkt skal have samme fortegn som . Fortegnet af et reelt tal  er giver ved signum-funktionen, der defineres ved

Signum-funktionen er implementeret i de fleste programmerinssprog; i dansk Excel er den fordansket til "FORTEGN".

Vi kan nu opskrive ligningens løsning:

{|
|-
|
|
| skal have samme fortegn som , dvs.
|-
| 
| 
|
|-
|
|
| skal have modsat fortegn af , dvs.
|-
| 
| 
|
|}

Konklusion:

Da de tre første specialtilfælde også dækkes ind af den generelle formel, er løsningerne i alle situationer givet ved

De to løsninger er hinandens modsatte tal.

Her er 

 Løsning i polære koordinater 

Her kan man benytte resultatet fra afsnittet, der behandlede ligningen :

eller, da addition af  betyder en drejning af løsningen på  og dermed et fortegnsskift,

Denne metode giver løsningen ved færre regninger, men har den ulempe, at man skal bruge trigonometriske funktioner både ved bestemmelsen af argumentet  og ved brugen af .

Vi betragter igen ligningen

for hvilken  og .
Løsningerne bliver derfor

altså (naturligvis) samme resultat som ved regningen med kartesiske koordinater. Dog spiller afrundingsfejl en større rolle ved denne metode.

 Rodsymboler og komplekse tal 

For et vilkårligt ikke-negativt reelt tal, , kan man definere tallets kvadratrod, , som det tal, der ganget med sig selv giver :

Som angivet med eksistens-kvantoren  er kvadratroden entydigt bestemt. Negative tal har ingen reel kvadratrod.

For de komplekse tal stiller sagen sig anderledes. Som vist i et tidligere afsnit, har alle komplekse tal, bortset fra , to forskellige (og modsatte) komplekse kvadratrødder. I  blev det vist, at

.

Dette kunne også skrives

,

hvor kvadratrodssymbolet nu bruges til at angive en flertydig størrelse. Men hvis denne notation anvendes på reelle tal, opstår der uheldige skrivemåder som 

eller endog

I denne ligning indeholder venstre side et komplekst, flertydigt kvadratrodssymbol, medens højre side benytter et reelt, entydigt kvadratrodssymbol.

Det er derfor uhensigtsmæssigt at benytte rodsymboler i forbindelse med komplekse tal.

 Generel andengradsligning 

Den komplekse andengradsligning

kan omskrives med nøjagtig den samme fremgangsmåde, som i det reelle tilfælde til

hvor  som i det reelle tilfælde kaldes andengradsligningens diskriminant.

Lad nu  betegne den ene af de to løsninger til ligningen . Som vist i forrige afsnit er den anden løsning det modsatte tal,  . Andengradsligningen har da de to løsninger

Bemærkning
Som vist kan rødder i andengradspolynomier udtrykkes ved hjælp af kvadratrødder. Det viser sig, at bestemmelse af rødder i tredje- og fjerdegradspolynomier også kan udtrykkes ved hjælp af rodsymboler. Men for ligninger af grad 5 eller højere er dette ikke generelt muligt. Dette blev første gang bevist af den norske matematiker Niels Henrik Abel.

Lad os løse den komplekse andengradsligning

.

Vi identificerer
 ,
 ,
 ,
og beregner ligningens diskriminant til

Løsningerne til ligningen  blev fundet i  og en af dem er

.

De to rødder bliver derfor

.

 Komplekse funktioner 

Reelle funktioner kan beskrives med en funktionsforskrift  og illustreres grafisk i et  koordinatsystem, hvor -aksen indeholder definitionsmængden og -aksen bruges til billedmængden. Det samme kan ikke gøres med funktioner med komplekse variable, , for et komplekst tal optager jo allerede to dimensioner. I stedet kan en kompleks funktion illustreres med to koordinatsystemer, et -system til definitionsmængden og et -system til billedmængden.

 Kompleks konjugering 

Konjugering blev defineret i afsnittet om elementære regneregler. Ved udregning konstaterer man, at der gælder følgende regler for kompleks konjugering:

 
 
 
 
 
 

Bemærk, at sum og produkt af  og  er reelle tal.

 Kompleks lineær funktion 

En kompleks lineær funktion har forskriften

(Hvis , bliver  en konstant funktion, der afbilder alle punkter i den komplekse plan i det komplekse tal ).

Specielt er
 
 
 .

Dette illustreres på figuren med funktionen , der også viser, hvordan et kvadratisk net i -planet afbildes i et strakt, roteret og forskudt kvadratisk net i -planet. Matematisk set er der tale om en ligedannethed.

Vi betragter først to specialtilfælde:

 : Så er , dvs. funktionen foretager en parallelforskydning med .
 : Så er . For kortheds skyld kalder vi funktionsværdien for , .

Vi har da

: Multiplikation ud fra (0, 0) med .

: Rotation omkring (0,0) med .

Herefter ser vi på det generelle tilfælde, hvor :

Funktionen har da netop et fikspunkt  defineret ved, at :

.

Betegner vi som ovenfor funktionsværdien med , kan vi omskrive således:

Heraf fremgår, at  strækker og roterer som omtalt ovenover, men gør det centreret på fikspunktet
. Det orange kvadrat, som vises i -planen på figuren, afbildes ved  i det orange kvadrat i -planet. Det sker ved
 en strækning ud fra  med det lineære forhold 
 en rotation omkring  på Beregning af et fikspunkt For den komplekse lineære funktion på figuren er  og . Heraf følger, at

{|
|
|
|
|-
|
|
|
|-
|
|
|
|-
|
|
|
|}

 Kompleks eksponentialfunktion 

Den reelle eksponentialfunktion  er defineret ved, at dens differentialkvotient er lig funktionen selv, altså

 

Som konsekvens heraf er

 

Desuden opfylder  funktionalligningen

 

 Eksponentialfunktionen med imaginært argument 

Med baggrund i ovenstående resultat indfører man følgende definition:

{| class="wikitable" style="background: #FF99FF; width:40em; height:4em;"
|-
|   Definition: 
 Eksponentialfunktionen med et imaginært argument defineres ved forskriften
 
|}

At denne definition er fornuftig bestyrkes af nedenstående egenskaber:

{|
|
|
|
| 
| Ifølge definitionen
|-
| 
|
|
| 
|
|-
| 
|
|
| 
| Ifølge parentesregneregler
|-
| 
|
|
| 
| Ifølge additionsformler for  og 
|-
| 
|
|
| 
| Ifølge definitionen
|-
|}

Eksponentialfunktionens funktionalligning, , er dermed også opfyldt for imaginære argumenter.

De elementære funktioner ,  og  har følgende rækkeudviklinger gældende for alle 

Hvis vi ønsker at kunne benytte disse også for komplekse tal, må der (da !) gælde at
{|
|-
|
|
|
|-
| 
|
|
|-
| 
|
|
|-
| 
|
|
|-
|}

i overensstemmelse med ovenstående resultat.

 Eksponentialfunktionen med komplekst argument 

Vi ønsker, at funktionalligningen gældende for reel  skal gælde generelt:

,

hvilket fører til følgende definition af  for et vilkårligt komplekst tal :

{| class="wikitable" style="background: #FF99FF; width:40em; height:4em;"
|-
|   Definition: 
  Eksponentialfunktionen med et komplekst argument defineres ved forskriften
  
|}

I nogle fremstillinger af de komplkse tal vælger man i stedet at definere  som den ovenfor viste uendelige sum, altså

Men det kræver et større forarbejde at vise, at denne sum er veldefineret, dvs. at den konvergerer for alle .

 Egenskaber for exp 

Funktionalligningen for eksponentialfunktionen  kendt fra de reelle tal , forbliver gyldig ved udvidelsen til de komplekse tal , dvs. der gælder

 for alle 

Af definitionen fremgår også, at

 for alle 

Udregningen

{|
|-
|
|
|
|-
| 
|
|
|-
| 
|
|
|-
|}

viser, at  er periodisk med en imaginær periode på .
Geometrisk betyder det, at alle komplekse tal, som i den komplekse talplan ligger på en linje parallel med den imaginære akse og med en indbyrdes afstand på  ved  afbildes i det samme tal. Med andre ord er  ikke injektiv og har derfor ikke nogen invers funktion.

Illustrationen viser med grå farver strimler med en bredde på . Strimlerne  karakteriseres med et helt tal  og defineres som

Når man vil undersøge, hvordan  afbilder -planet ind i -planet, kan man derfor begrænse sig til en strimmel af bredden , for eksempel strimlen

Linjer i denne strimmel, som er paralelle med den reelle akse og som har afstanden  (regnet med fortegn), kan beskrives med parameterfremstillingen
.

Et punkt  på linjen afbildes ved  i punktet

.

Når parameteren  gennemløber intervallet , gennemløber billedpunktet en åben halvlinie gående ud fra  under vinklen .

Liniestykker i denne strimmel, som er paralelle med den imaginære akse og som har afstanden  (regnet med fortegn), kan beskrives med parameterfremstillingen
.

Et punkt  på liniestykket afbildes ved  i punktet

.

Når parameteren  gennemløber intervallet , gennemløber billedpunktet en cirkel med centrum i  og radius . Disse forhold illustreres på nedenstående figur.

 Kompleks logaritmefunktion 

Som vist i forrige afsnit er der komplekse eksponentialfunktion  ikke injektiv, idet den afbilder enhver af striberne  ind i de komplekse tal. Den har derfor ikke nogen invers (omvendt) funktion. Men hvis man begrænser dens definitionsmængde til én af disse striber, bliver den invertérbar. Hvis man begrænser sig til hovedstriben

kan man regne sig frem til en forskrift for den inverse funktion. Betegner vi den begrænsede udgave af eksponentialfunktionen med  og dens inverse funktion med , har vi

eller på koordinatform

Vi bestemmer  og :

Forskriften for , der kaldes logaritmens hovedværdi, er derfor:

 
 
 

De to sidste eksempler kan ses illustreret på ovenstående figur med flertydighed for : Hvis retningen af de to afbildningspile tegnet med cyan og magenta farve vendes om, viser de, hvordan  afbilder netop de to tal  og  ind i .

 Komplekse trigonometriske funktioner 

Vi har defineret, at

Da  er en lige og  en ulige funktion, følger heraf, at  

Addition af disse to ligninger fører til, at

Subtraktion giver

Vi udvider definitionsmængden til  ved at definere

Disse udtryk blev første gang udledt af den schweiziskse matematiker Leonhard Euler i 1748, og de kaldes derfor Eulers formler .

For reelle tal er  og  periodiske med perioden . Denne egenskab bevares ved udvidelsen til de komplekse tal:

og tilsvarende for .

De øvrige trigonometriske funktioner defineres som i det reelle tilfælde. For eksempel er tangens og cotangens fastlagt ved

Det første af de tre tal er rent reelt, de to andre rent imaginære.

Figuren nedenfor illustrerer, hvordan den komplekse cosinus-funktion afbilder den komplekse plan ind i den komplekse plan.

 Komplekse hyperbolske funktioner 
Funktionerne defineres som i det reelle tilfælde:

 Kompleks hyperbolsk cosinus

 Kompleks hyperbolsk sinus

Ved at sammenligne med definitionerne på hyperbolsk cosinus og sinus, ser man, at der i de komplekse tals verden er der en enkel sammenhæng mellem trigonometriske og hyperbolske funktioner:

 Formler for komplekse trigonometriske og hyperbolske funktioner 

Man kan udtrykke de komplekse trigonometriske og hyperbolske funktioners real- og imaginærdele ved hjælp af de tilsvarende reelle funktioner:Eksempel: Komplekse potensfunktioner 

En potensfunktion har en forskrift af formen

hvor koefficienten  er et komplekst tal forskellig fra  og potensen  er et naturligt tal.

Funktionens virkemåde kan undersøges ved at bestemme billedet af punkterne på en cirkel med centrum i  og radius . En sådan cirkel kan beskrives med en vinkelparameter :
.
Vi skriver den komplekse koefficient  på polær form,

Med anvendelse af ligningerne (?) og (?) ses, at cirklens billede bliver givet ved
.
Dette er en cirkel med centrum i  og radius , som gennemløbes  gange, når  gennemløber cirklen én gang; begyndelsespunktet er faseforskudt vinklen , hvilket dog ikke ændrer billedets cirkelform.

Figuren illustrerer disse forhold for billedet af en enhedscirkel, , ved fire forskellige potensfunktioner,

.
.
.
.

Der er adderet en konstant til hver funktion for at kunne forskyde billedcirklerne til hver sin kvadrant. Atten punkter på den første fjerdedel af enhedscirklen er markeret, og deres billeder viser, at det går jo hurtigere rundt på billedcirklerne, des højere potensen  er.

 Komplekse polynomier 

Et polynomium' af grad  har en forskrift af formen

Polynomiets koefficienter  kan være vilkårlige komplekse tal, dog skal . Et komplekst tal  siges at være en rod i polynomiet , hvisNulpolynomiet  tildeles ingen grad.Nultegradspolynomier  har ingen rødder.Førstegradspolynomier  har én rod nemlig .Andengradspolynomier  har to rødder, nemlig dem, der blev bestemt i afsnittet om andengradsligninger.

Ifølge algebraens fundamentalsætning har et -te grads polynomium  rødder og kan skrives på formen

hvor de  rødder  ikke nødvendigvis er forskellige.

Ifølge afsnittet om komplekse potensfunktioner afbilder  en cirkel med centrum i  og radius  i en cirkel med en ny radius, , som gennemløbes  gange. Da et polynomium er en sum af potensfunktioner, bliver billedet af en cirkel ved et polynomium en kurve, som er en sum af cirkelbevægelser med forskellig radius og frekvens, en art epicykelbevægelse. Figuren herunder viser et eksempel på dette. I artiklen algebraens fundamentalsætning vises yderligere billeder af andre cirkler ved det samme polynomium.

 Eksempler 

Tredjegradspolynomiet

har de tre komplekse rødder

Sjettegradspolynomiet

har som vist i afsnittet om komplekse enhedsrødder de seks enhedsrødder

.

De fire komplekse rødder er parvis hinandens konjugerede, og faktoriseringen af polynomiet kan derfor med fordel ske ved at parre konjugerede rødder:

Vi har derfor faktoriseringen

 Polynomier med reelle koefficienter 

Det polynomium af grad seks, som blev omtalt i eksemplet, har reele koefficienter og parvis konjugerede komplekse rødder. Dette gælder generelt: Vi betragter nu et polynomium, hvor alle koefficienter er reelle

og antager at  er en rod , dvs.

Ligningen konjugeres og vi benytter regneregler fra afsnittet om konjugering af komplekse tal:

Ved den sidste omskrivning benyttes at -erne er reelle tal. Den viser, at også  er rod i polynomiet.

Lad nu  være et ikke-konstant polynomium med reelle koefficinter, der ikke har nogen reel rod. Ifølge algebraens fundamentalsætning må  så have en rod , som er kompleks. Ifølge ovenstående er også  rod, så  har faktorerne  og . Produktet af de to faktorer er

Koefficienterne i dette andengradspolynomium er som tidligere vist reelle. Ved polynomiers division kan  så skrives på formen

hvor  er et polynomium, hvis koefficienter ligeledes er reelle.

Hvis  har reelle rødder, lad os sige i alt  rødder, så kan disse udspaltes i førstegradspolynomier:

hvor polynomiet  ingen reelle rødder har. Da  som vist kan faktoriseres i andengradspolynomier, kan man konkludere følgende:Et ikke-konstant polynomium med reelle koefficienter kan skrives som et produkt af førstegradspolynomier og andengradspolynomier, som alle har reelle koefficienter.Eksemplet ovenfor viser opspaltningen af polynomiet .

 Matrixrepresentation af komplekse tal 

Mængden af -matricer af formen
  med 
kan også anvendes til at modellere komplekse tal. De to enheder, det reelle tal  og det imaginære tal , repræsenteres af henholdsvis enhedsmatricen  og matricen . Der gælder derfor, at:
 
 
 
 
Mængden  danner et underrum af vektorrummet dannet af reelle -matricer.

De reelle tal repræsenteres af diagonalmatricerne , de imaginære tal af matricerne .

 De komplekse tals historie 

I forbindelse med behandlingen af kvadratiske ligninger har man meget tidligt bemærket og fremhævet det umulige i kvadratrodsuddragning af negative tal, altså retfærdiggøre at  kunne tillægges en mening. Det skete allerede i den i 820 forfattede algebra-bog af den persiske matematiker Muhammad al-Khwārizmī (efter hvem den matematiske disciplin algebra er opkaldt). Men matematikere blev ikke stående på det standpunkt, at ligninger af den nævnte type skulle være uløselige.

 Tredjegradsligninger 

Tilskyndelsen til at studere hvad vi i dag kalder komplekse tal som et selvstændigt emne opstod i 1500-tallet hos de italienske matematikere Niccolò Fontana Tartaglia, Gerolamo Cardano (Ars magna, Nürnberg 1545) og Rafael Bombelli (L’Algebra, Bologna 1572; sandsynligvis skrevet mellem 1557 og 1560)   . De søgte efter rødder hos tredje- og fjerdegradspolynomier. Selv om man kun var interesseret i reelle rødder, viste formlerne, at man i visse tilfælde kom ud for kvadratrødder af negative tal.

Man søgte efter en metode til at finde rødder i tredjegradsligninger af formen

En sådan blev fundet af Scipione del Ferro omkring 1515 og uafhængigt af ham af Niccolò Tartaglia i 1539 . Tartaglias metode bygger på at udregne kubus på summen af to kubikrødder. Med nutidig notation har vi, at

Sætter man ,  og , så kan  og  udtrykkes ved  og  som henholdsvis  og . Heraf følger, at

.

Hvis størrelsen  er ikke-negativ, opstår der ingen problemer, dette tilfælde blev kaldt casus reducibilis. Men er den negativ, kommer man ud på dybt vand til imaginære tal (casus irreducibilis); i så fald skal den anden kubikrod opfattes som den komplekst konjugerede af den første.

I 1545 offentliggjorde den italienske matematiker Gerolamo Cardano (1501–1576) sin bog Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus (Det store værk om algebraens regler, bind 1) . Han havde tidligere fået overtalt Tartaglia til at røbe sin fremgangsmåde mod højtideligt at love ikke at afsløre den. Dette løfte holdt Cardano ikke, hvilket førte til en bitter strid mellem de to .

I bogen behandler Cardano også den opgave at finde to tal, hvis produkt er 40 og hvis sum er 10. Problemet fører til ligningen  eller , og han fremhæver, at den ikke har nogen løsning. Men han tilføjer, at hvis man i løsningsningsformlen for en normeret andengradsligning,

indsætter  og , så fremkommer kvadratroden
 .
Hvis man kunne tillægge dette udtryk nogen mening, så ville tallene

faktisk være en løsning på problemet.

Problemet er her beskrevet med moderne notation. Cardano selv skrev de to komplekse rødder som 
 og 
hvor  står for "plus",  for "minus" og  for "radix" (rod). De moderne symboler, ,  og  var endnu ikke i brug - og anvendelse af sådanne nye tegn ville kræve, at bogtrykkeren først fik fremstillet nye typer til at sætte dem med.

 Rafael Bombelli 

Den italienske matematiker Bombelli er den første, der formulerer regler for, hvordan man skal regne med kvadratrødder af negative tal. Han benytter betegnelsen "più di meno" ("plus af minus") for hvad vi i dage ville skrive som  og "men di meno" ("minus af minus") for .

I bogen Algebra starter han pædagogisk med at formulere velkendte regneregler og introducerer så de nye:

 Descartes og Leibniz 

Den franske filosof René Descartes tog afstand fra kvadratrødder af negative tal og indførte betegnelsen "imaginær" for dem i afhandlingen La Géométrie fra 1637.

Den tyske polyhistor og udvikler af differential- og integralregning, Leibniz, beskæftigede sig også med imaginære tal. Han påviste , at

,

et resultat, der forbløffede mange, for hvordan kunne summen af to "uvirkelige" tal give et "virkeligt" tal? Leibniz selv betegnede i 1702 disse imaginære tal som 

 Abraham de Moivre 

I 1700-tallet blev anvendelsen af komplekse tal mere almindelig, da man fandt ud af, at formel manipulation af udtryk med komplekse tal kunne bruges til at forenkle regning med trigonometriske funktioner. Således kunne Abraham de Moivre i 1707 vise, at

gjaldt for alle naturlige tal  .

Han tilskrives at have udledt den berømte formel

der i dag bærer hans navn. Den blev bevist i 1749 af Euler.

 Leonhard Euler 

Den produktive schweiziske matematiker Leonhard Euler står bag meget af den notation, som også i dag benyttes inden for matematikken. Han populariserede anvendelsen af  som betegnelse for det konstante forhold mellem en cirkels omkreds og dens diameter (indført af waliseren William Jones) og indførte betegnelserne  for grundtallet for den naturlige logaritmefunktion,  som symbol for en sum af beslægtede led,  for funktionsværdi og også  for den imaginære enhed .

I 1748 kunne Euler forbinde de trigonometriske funktioner med eksponetialfunktionen, idet han udledte, hvad der i dag betegnede Eulers formel:

Det gjorde han ved formel regning med komplekse potensrækker, jævnfør afsnittet #Kompleks eksponentialfunktion. Han noterede desuden, at man med denne formel kunne reducere enhver trigonometrisk identitet til en meget enklere eksponentiel identitet.

Det gav anledning til forvirring, at man ved anvendelse af den kendte regneregel for ikke-negative reelle tal,

på imaginære tal kunne nå frem til modstriden

en ligning, som længe plagede Euler. Ikke desto mindre introducerede han komplekse tal for sine studerende langt tidligere end det er tilfældet i dag. I sin grundlæggende algebra-bog fra 1765, Vollständige Anleitung zur Algebra, indførte han næsten straks komplekse tal og anvendte dem lige så naturligt som reelle tal.

Ligningen

er af fysikeren Richard P. Feynman blevet kaldt "the most remarkable formula in mathematics".

Et specialtilfælde af denne formel, Eulers identitet,

er ved en afstemning blandt matematikere i 1988 blevet betegnet som "den smukkeste formel i matematikken", fordi den samler begreberne addition, multiplikation og potensopløftning i en elementær ligning, som indeholder de vigtige konstanter , , ,  og  og dermed repræsenterer de matematiske discipliner algebra, analyse og geometri. 

 Caspar Wessel 

Den første, som fremkom med en geometrisk fortolkning af komplekse tal som punkter i et talplan, var den dansk-norske landmåler Caspar Wessel, bror til digteren Johan Herman Wessel (der om Caspar skrev: "Han tegner Landkort og og læser Loven, han er ligesaa flittig, som jeg er doven" ). Han ønskede at kunne regne med orienterede liniestykker for at lette beregningen af sider og vinkler i trekanter og andre polygoner. I 1799 fik han trykt en afhandling i Det kongelige danske videnskabernes Selskabs skrifter, der bl.a. indeholder regler for addition og multiplikation af liniestykker. De relevante paragraffer er følgende; "unitet": "enhed", "perpendicular" : "vinkelret på":

Fastsættelsen omtalt i §1 ville man i dag beskrive som reglen for addition af vektorer, og i §4 gives reglen for produktet af komplekse tal formuleret i polære koordinater. Endelig forklarer §5 omhyggeligt, hvordan man skal regne med , som i dag betegnes .

Men da Wessels afhandling var affattet på dansk i et relativt obskurt tidsskrift, forblev den upåagtet, indtil en oversættelse til fransk blev udgivet i 1897. Hundrede år senere blev skriftet også oversat til engelsk .

 Jean-Robert Argand 

Uafhængigt af Wessel udgav den franske amatørmatematiker Jean-Robert Argand (1768 - 1783) i 1806 et ligeledes obskurt privattryk med de samme idéer om en kompleks talplan. I pamfletten gav han også et bevis for algebraens fundamentalsætning, der siger, at ethvert ikke-konstant polynomium har en rod (og dermed at et polynomium af grad  har  rødder). Den franske matematiker Legendre fik kendskab til skriftet og fra 1813 blev det kendt i brede kredse. Gauss omtaler fremstillingen i et brev til Friedrich Bessel dateret 18. december 1811 .

 Carl Friedrich Gauss 

Carl Friedrich Gauss havde allerede tidligere beskæftiget sig med algebraens fundamentalsætning og offentliggjot et topologisk bevis for den i 1797, men her udtrykt tvivl om "den sande metafysik af kvadratroden af −1".

Gauss' arbejdmotto var pauca sed matura (sparsomt, men modent), og han offentliggjorde derfor ikke noget, før han selv syntes, at det var fuldstændigt og hævet over kritik. Først i 1831 var den nævnte tvivl blevet overvundet. Han offentliggjorde da en afhandling, Theoria residuorum biquadraticorum (Teorien for bikvadratiske residuer) , i hvilken han indførte betegnelsen "komplekse tal" og lagde grunden for den notation og terminologi, som benyttes i dag:

Gauss beskrev komplekse tal ved hjælp af punkter i en plan, den gaussiske talplan. Om den tidligere uvilje mod imaginære tal skriver han:

Gauss overvejede også, om det var muligt at udvide de regneregler, som gjaldt for todimensionale komplekse tal til tredimensionale talpar. Han bebudede en afhandling...

Citatet antyder, at Gauss havde indset, at en sådan udvidelse ikke er mulig.

 Augustin Louis Cauchy 

Den komplekse funktionsteori regnes for grundlagt af den franske matematiker Augustin Louis Cauchy, der var en flittig skribent, idet han i sin karriere offentliggjorde over 800 videnskabelige artikler og fem lærebøger inden for matematik og matematisk fysik. I 1814 indleverede et skrift om kompleks integration til det franske akademi; det blev dog først offentliggjort i 1825. I 1821 udgav han lærebogen Cours d’analyse, hvor han indførte en regoristisk behandling af bl.a. begrebet kontinuitet ved hjælp af den stadig i dag anvendte  formalisme.

Cauchy behandlede funktioner, som afbilder den komplekse plan ind i den komplekse plan, og han undersøgte specielt holomorfe funktioner, dvs. funktioner af en kompleks variabel, der er differentiable i en omegn af ethvert punkt i sin definitionsmængde. Om en sådan funktion  beviste han, at linjeintegralet beregnet langs en vilkårlig lukket kurve  er nul:

Dette resultat betegnes i dag Cauchys integralsætning.

 William Hamilton 

I 1833 fik den irske matematiker William Rowan Hamilton konstrueret en modsætningsfri definition af komplekse tal  som ordnede par  af reelle tal, hvor addition og multiplikation foregår efter reglerne 

Hamilton introducerede også den ovenfor indførte funktion  .

I mange år arbejdede Hamilton på at forsøge at udvide talbegrebet fra de komplekse tals to dimensioner til tre: Er det muligt at definere addition og multiplikation for reelle talsæt  på en sådan måde, at der fremkommer et legeme? Han opdagede i 1843, at dette ikke var muligt, men hvis man gik en dimension op og betragtede fire-dimensionale talpar , så kunne det gøres. Dog måtte man for at konstruere tallegemet afstå fra kravet om, at multiplikation er kommutativ. Hamiltons tallegeme kaldes kvaternionlegemet, og for dets elementer, kvaternionerne, gælder altså ikke generelt, at .

 Den senere udvikling 

Teorien for holomorfe (dvs. overalt differentiable funktioner) blev påbegyndt i 1825 af Cauchy og videreudviklet af især Bernhard Riemann og Karl Weierstrass op gennem det 19. århundrede. De i dag almindeligt anvendte begreber inden for komplekse tal stammer hovedsageligt fra grundlæggerne. Argand betegnede størrelse  for retningsfaktoren og  for modulus; Cauchy (1828) kaldte  for en reduceret form (l'expression réduite) og synes at have indført betegnelsen argument; Gauss introducerede  for , begrebet komplekst tal for  og kaldte  for tallets norm. Udtrykket retningskoefficient, som ses anvendt for  skyldes Hermann Hankel (1867) og termen absolut værdi for modulus stammer fra Karl Weierstrass.

I dag regner man lige så problemfrit med komplekse tal som med reelle tal og betegnelsen imaginær'' skal udelukkende ses historisk.

Anvendelser 

 Kompleks funktionsteori
 Fraktaler.
 Uden for matematikken finder komplekse tal udbredt anvendelse i elektrodynamik og kvantemekanik.
 Elektriske kredsløb .

Henvisninger 

 
Kompleks analyse
Tal