Лемниската Бернулли

Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската по форме напоминает арабскую цифру «восемь» или символ бесконечности. Точка, в которой лемниската пересекает саму себя, называется узловой, или двойной.

История 
Название происходит от  — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus; он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил , опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году.

Уравнения 
Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется , расположены они на оси , и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

 Параметрическое в прямоугольных координатах:

 в прямоугольных координатах:
 

 Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:
 

 в полярных координатах:
 

  Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
 , где 
Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от  до . При этом, когда параметр стремится к , точка кривой стремится к  из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к , то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.

 Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Свойства 

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при , синусоидальной спирали с индексом  и лемнискаты Бута при , поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства, верные для произвольных овалов Кассини 
 Лемниската — кривая четвёртого порядка.
 Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
 Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:
 
 Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
 Лемнискату описывает окружность радиуса , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

Свойства, верные для произвольных синусоидальных спиралей 
 Касательные в двойной точке составляют с отрезком  углы .
 Угол , составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен .
 Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.
 Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
 Радиус кривизны лемнискаты есть 

 Натуральное уравнение кривой имеет вид
 
 Подерой лемнискаты является синусоидальная спираль
 
 Лемниската сама является подерой равносторонней гиперболы.

Собственные свойства 

 Кривая является геометрическим местом точек, симметричных центру равносторонней гиперболы относительно её касательных.
 Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиусами-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
 Материальная точка, движущаяся по лемнискате под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду (см. рисунок). Предполагается, что ось лемнискаты составляет угол  с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.
 Площадь полярного сектора , при :
 
 В частности, площадь каждой петли , то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата с диагональю .
 Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.
 Длина дуги лемнискаты между точками  и  выражается эллиптическим интегралом I рода:
  где 
 В частности, длина всей лемнискаты

Построения

При помощи секущих (способ Маклорена) 
Строится окружность радиуса  с центром в одном из фокусов. Из середины  фокусного отрезка строится произвольная секущая  ( и  — точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки  и , равные хорде . Точки ,  лежат на разных петлях лемнискаты.

Шарнирные методы

Вариант первый 
На плоскости выбираются две точки —  и  — будущие фокусы лемнискаты.
Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба —  и ). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: .
Края линии крепятся к фокусам.
При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.

Вариант второй 
В этом варианте лемниската строится по фокусу и двойной точке —  и  соответственно. Собирается почти такая же шарнирная конструкция как и в предыдущем варианте, но прикреплённый к двойной точке отрезок  соединяется не с концом центрального , а с его серединой. Пропорции также другие: .

При помощи сплайна NURBS 

Лемнискату Бернулли можно построить посредством сплайнов NURBS разными способами. Один из возможных способов представлен на рисунке. Параметры контрольных точек сплайна приведены в таблице:

Узловой вектор {−1, −1, −1, −1, −1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3}.
Такое представление NURBS кривой полностью совпадает с рациональным параметрическим преставлением в прямоугольной системе координат в диапазоне изменения параметра p в интервале: .

Обобщения 
 Лемниската — общий случай с несколькими фокусами
 Овал Кассини — обобщение на произведение расстояний до фокусов
 Синусоидальная спираль — обобщение по виду параметрического уравнения (лемниската Бернулли получается при )

См. также 
 Лемниската Бута
 Лемниската Жероно
 Плоская кривая
 Алгебраическая кривая
 Бесконечность
 Аттрактор Лоренца

Примечания

Литература

Ссылки 
 
 
 

Алгебраические кривые
Торические сечения