Производная функции

Данная статья описывает производные вещественных функций. О производной комплексных функций см. Комплексный анализ.

Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (при условии, что такой предел существует). Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.
Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

История 
В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятие предела, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Исторически производная вводилась кинематически (как скорость) или геометрически (определяясь по сути наклоном касательной, в разных конкретных формулировках). Ньютон называл производную флюксией, обозначая точкой над символом функции, школа Лейбница предпочитала в качестве базового понятия дифференциал.

Русский термин в форме «производная функция» впервые употребил В. И. Висковатов, переведя на русский язык соответствующий французский термин dérivée, используемый французским математиком Лагранжем.

Определение 
Пусть в некоторой окрестности точки  определена функция  Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности  можно представить в виде
 
если  существует.

Определение производной функции через предел 
Пусть в некоторой окрестности точки  определена функция  Производной функции  в точке  называется предел, если он существует,

Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0 
 
Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике и физике, исторически часто тоже).

Таблица производных

Дифференцируемость 

Производная  функции  в точке , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция  является дифференцируемой в точке  тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:
 
Для дифференцируемой в  функции  в окрестности  справедливо представление
  при

Замечания 
 Назовём  приращением аргумента функции, а  или  приращением значения функции в точке  Тогда
 
 Пусть функция  имеет конечную производную в каждой точке  Тогда определена произво́дная фу́нкция
 
 Функция, имеющая производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.
 Если производная функция сама является непрерывной, то функцию  называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут:

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой 

Если функция  имеет конечную производную в точке  то в окрестности  её можно приблизить линейной функцией
 
Функция  называется касательной к  в точке  Число  является угловым коэффициентом (угловым коэффициентом касательной) или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Тангенс можно рассматривать как масштабирующий коэффициент или коэффициент сравнения: насколько изменение единицы измерения ординаты больше изменения единицы измерения абсциссы. Если тангенс равен 1, то изменения единиц измерения равны.

Изначально тангенс является безразмерной величиной (длина противолежащего катета ∕ длина прилежащего катета, м ∕ м), но применительно к вычислению производной может иметь размерность, например, скорость тела есть путь ∕ время, т. е. м ∕ с.

Скорость изменения функции 
Пусть  — закон прямолинейного движения. Тогда  выражает мгновенную скорость движения в момент времени . Новая функция  также имеет производную. Эта т. н. вторая производная, обозначается как , а функция  выражает мгновенное ускорение в момент времени 

Вообще производная функции  в точке  выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью

В приложениях 
При описании процессов и в теории управления производную рассматривают как реакцию процесса (функции) на управляющий этим процессом параметр (независимое переменное); насколько интенсивно реагирует процесс на управляющий сигнал (насколько он чувствителен к нему); какое изменение процесса вызывает небольшое изменение управляющего воздействия.

В геометрических задачах производная рассматривается как изменение высоты криволинейной трапеции на малом участке ее основания (криволинейную трапецию можно рассматривать как прямоугольник с переменной высотой); изменение радиуса фигуры вращения на малом участке ее оси вращения (фигура вращения рассматривается как цилиндр с переменным радиусом) и т. п.

Производные высших порядков 
Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем
 
Если функция  дифференцируема в , то производная первого порядка определяется соотношением
 
Пусть теперь производная -го порядка  определена в некоторой окрестности точки  и дифференцируема. Тогда
 
В частности, вторая производная является производной от производной:
 .
Если функция  имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от   может иметь в некоторой точке  частные производные по той же или по любой другой переменной.
Для исходной функции  эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).
   или  
   или  
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,
 

Класс функций, у которых производная -порядка является непрерывной, обозначается как .

Способы записи производных 
В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:
 Лагранжа , при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:
 
 
 
  и т. д. 
Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.
 Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если  — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):
 
 Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:
  — производная первого порядка  по  при , или  — вторая производная  по  в точке  и т. д.
 Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом:
 , или иногда .
 В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение , ; для значения производной в точке — . Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:

Примеры 
 Пусть . Тогда
 
 Пусть . Тогда если  то
 
где  обозначает функцию знака. А если  то

а следовательно  не существует.

Теоремы, связанные с дифференцированием 
Для непрерывных функций  на отрезке , дифференцируемых на интервале  справедливы:

Лемма Ферма. Если  принимает максимальное или минимальное значение в точке  и существует , то .

Теорема о нуле производной. Если  принимает на концах отрезка  одинаковые значения, то на интервале  найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Формула конечных приращений. Для  найдётся точка , такая что .

Теорема Коши о среднем значении. Если  не равна нулю на интервале , то найдётся такая точка , что .

Правило Лопиталя. Если  или , причём  для всякого  из некоторой проколотой окрестности  и существует , то .

 .

Правила дифференцирования 
Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
Если  — постоянное число и  — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
 
 
 

 

 
  …(g ≠ 0)

  (g ≠ 0)
 Если функция задана параметрически:
, то

 
 Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):
  где  — биномиальные коэффициенты.
Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:
 если функция дифференцируема на интервале , то она непрерывна на интервале . Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция  на );
 если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном , то  (это так называемая лемма Ферма);
 производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.

Таблица производных некоторых функций

Производная вектор-функции по параметру 
Определим производную вектор-функции  по параметру:

 .

Если производная в точке  существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут .

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):
  — производная суммы есть сумма производных.
  — здесь  — дифференцируемая скалярная функция.
  — дифференцирование скалярного произведения.
  — дифференцирование векторного произведения.
  — дифференцирование смешанного произведения.

Способы задания производных 
 Производная Джексона:

Вариации и обобщения 
 Обобщения производных
 Дробная производная
 Производная Пеано
 Частная производная

См. также 

 Таблица производных
 Производная (математика)
 Дифференцирование сложной функции
 Производная обратной функции
 Дифференцируемая функция
 Основная теорема анализа
 Геометрический смысл производной
 Производная по направлению

Примечания

Литература 
 
 В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
 В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
 Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
 В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1

Ссылки 
 Определение производной. Физический смысл производной
 Правила дифференцирования
 Онлайн калькулятор производных с подробным пошаговым решением на русском языке
 Таблица производных
 «Что такое производная — на примере с банковским счётом» — перевод статьи Understanding Calculus With A Bank Account Metaphor | BetterExplained

Дифференциальное исчисление
Функции
Математический анализ