Дифференциальное уравнение

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, которое помимо функции содержит её производные. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным. Например,  не является дифференциальным уравнением.

Дифференциальные уравнения являются частным случаем функциональных уравнений. В отличие от алгебраических уравнений, в результате решения которых ищется число (несколько чисел), при решении дифференциальных уравнений ищется функция (семейство функций).

Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного дифференциального уравнения.

Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволяет некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения.

Обобщением понятия дифференциального уравнения на случай бесконечного множества переменных является уравнение в функциональных производных.

Терминология и классификация 

 Так, например, уравнение  является уравнением второго порядка, четвёртой степени.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка  называется функция , имеющая на некотором интервале  производные  до порядка  включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции  удается привести к квадратуре (то есть к виду , где  — элементарная функция), независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных.

Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения. Разрешение этого вопроса дают теоремы существования и единственности, указывающие необходимые и достаточные для этого условия. Для обыкновенных дифференциальных уравнений такие условия были сформулированы Рудольфом Липшицем (1864). Для уравнений в частных производных соответствующая теорема была доказана Софьей Ковалевской (1874).

Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределённых функций решения становятся частными.

Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций — часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и так далее.

Развитие теории дифференциальных уравнений позволило в ряде случаев отказаться от требования непрерывности исследуемых функций и ввести обобщённые решения дифференциальных уравнений.

История 

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых требовалось определить координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени при различных воздействиях. К дифференциальным уравнениям приводили также некоторые рассмотренные в то время геометрические задачи.

Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном (1642—1727). Сам термин «дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 году Лейбницем.

Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707—1783) и Лагранжа (1736—1813). В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно — теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в -мерном случае). Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777—1855) развивают также методы теории возмущений.

Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Жозеф Лиувилль (1809—1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в частности таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратуре. Позже Софус Ли (1842—1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришёл к необходимости подробно исследовать группы диффеоморфизмов (получившие впоследствии имя групп Ли) — так по теории дифференциальных уравнений возникла одна из самых плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связано совсем с другими вопросами (алгебры Ли ещё раньше рассматривали Симеон-Дени Пуассон (1781—1840) и, особенно, Карл Густав Якоб Якоби (1804—1851)).

Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854—1912), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных легла в основу современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь её чаще называют, теория динамических систем, сейчас активно развивается и имеет важные применения в естествознании.

Обыкновенные дифференциальные уравнения 

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид

  или 

где  — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной  штрих означает дифференцирование по  Число  называется порядком дифференциального уравнения. Наиболее практически важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка 

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

где функции  и  определены и непрерывны в некоторой области .

Дифференциальные уравнения в частных производных 

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

 

где  — независимые переменные, а  — функция этих переменных. Порядок уравнений в частных производных может определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ещё одной важной классификацией уравнений в частных производных является их разделение на уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа, в особенности для уравнений второго порядка.

Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения 

Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить на линейные и нелинейные. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения -го порядка:

 

где  — известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция  в правой части называется свободным членом (единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции). Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения — уравнения, которые не содержат свободного члена: . Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.

Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, нелинейное уравнение математического маятника  в случае малых амплитуд, когда , может рассматриваться как линейное уравнение гармонического осциллятора

Примеры 
  — однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением является семейство функций , где  и  — произвольные константы, которые для конкретного решения определяются из задаваемых отдельно начальных условий. Это уравнение, в частности, описывает движение гармонического осциллятора с циклической частотой 3.
 Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения  где  — масса тела,  — его координата,  — сила, действующая на тело с координатой  в момент времени . Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.
 Дифференциальное уравнение Бесселя — обыкновенное линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами:  Его решениями являются так называемые цилиндрические функции — функции Бесселя, Неймана, Ганкеля.
 Пример неоднородного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка: 

В следующей группе примеров неизвестная функция  зависит от двух переменных  и  или  и .

 Однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

 

 Одномерное волновое уравнение — однородное линейное уравнение в частных производных гиперболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами, описывает колебание струны, если  — отклонение струны в точке с координатой  в момент времени , а параметр  задаёт свойства струны:

 

 Уравнение Лапласа в двумерном пространстве — однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа с постоянными коэффициентами, возникающее во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики:

 

 Уравнение Кортевега — де Фриза, нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка, описывающее стационарные нелинейные волны, в том числе солитоны:

Важнейшие дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения 
 Уравнения в полных дифференциалах
 Второй закон Ньютона (классическая механика)
 Закон радиоактивного распада (ядерная физика)
 Уравнение Ван дер Поля (теория колебаний)

Уравнения в частных производных 
 Уравнение Эйлера — Лагранжа (классическая лагранжева механика)
 Уравнения Гамильтона (классическая гамильтонова механика)
 Волновое уравнение
 Уравнения Максвелла (электромагнетизм)
 Уравнение Лапласа
 Уравнение Пуассона
 Уравнение Эйнштейна (общая теория относительности)
 Уравнение Шрёдингера (квантовая механика)
 Уравнение диффузии
 Уравнение теплопроводности (термодинамика)
 Уравнение Кортевега-де Вриза (уединённые волны)
 Уравнения Навье-Стокса (течения вязкой жидкости)
 Уравнение Эйлера (невязкие течения газовых сред)
 Уравнение Линя-Рейсснера-Цяня (трансзвуковые нестационарные течения)
 Уравнения Лямэ (теория упругости)

См. также 
 Общее решение дифференциального уравнения
 Частное решение дифференциального уравнения
 Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
 Особое решение
 Задача Коши
 Однородное дифференциальное уравнение
 Неоднородное дифференциальное уравнение
 Линейное дифференциальное уравнение
 Дифференциальное уравнение Бернулли
 Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро
 Уравнение Риккати
 Дифференциальное уравнение в частных производных
 Квазидифференциальное уравнение
 Дробно-дифференциальное уравнение
 Интегро-дифференциальные уравнения
 Поле направлений

Программное обеспечение 
 ExpressionsinBar
 Maple: dsolve
 SageMath
 Xcas: desolve(y'=k*y, y)
 Wolfram Mathematica: DSolve[expr, func, var], NDSolve[expr, func, var]

Примечания

Литература

Энциклопедии и справочники 

 
 
 Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматлит, 2001.
 Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.
 Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. — М.: Наука, 1966.
 Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976.
 Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит, 2001.
 Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. — М.: Физматлит, 2002.

Учебники 

 Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1966.
 Диесперов В. Н. Лекции по дифференциальным уравнениям [текст]: учеб. пос. — М.: МФТИ, 2017. 242 с. ISBN 978-5-7417-0630-5.
 Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.
 Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. — М.: Физматлит, 2005.
 Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.
 Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.
 Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. — 4-е изд. — Физматлит, 2005.
 Умнов А. Е., Умнов Е. А. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (pdf) (на портале автора)
 
 
 Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.

Задачники 
 Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — 3-е изд. — М.: Высшая школа, 1978.
 Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1989.
 Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

Ссылки 

 Сайт под редакцией А. Д. Полянина «Мир математических уравнений» — EqWorld
 Русскоязычные ресурсы по дифференциальным уравнениям в Открытом Каталоге.
 Примеры решения дифференциальных уравнений
 Эксперсс-курс по дифференциальным уравнениям: пособие и видео-лекции Р. В. Шамина
 Поле направлений дифференциального уравнения первого порядка — учебный фильм, производство Леннаучфильм.