Измеримая функция

Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами множеств, в частности измеримыми пространствами.

Определение 
Пусть  и  — два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция  называется -измеримой, или просто измеримой, если прообраз любого множества из  принадлежит , то есть
 
где  означает прообраз множества .

Замечания 
 Если  и  — топологические пространства, и алгебры  и  явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.
 Смысл данного определения в том, что если на множестве  задана мера, то данная функция индуцирует (передаёт) эту меру и на множество .

Вещественнозначные измеримые функции 

Пусть дана функция . Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

 Функция  измерима, если
.

 Функция  измерима, если
 , таких что , имеем ,
где  обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.

Связанные определения 
 Пусть  и  — две копии вещественной прямой вместе с её борелевской σ-алгеброй. Тогда измеримая функция  называется борелевской.
 Измеримая функция , где  — множество элементарных исходов, а  — σ-алгебра случайных событий, называется случайным элементом. Частным случаем случайного элемента является случайная величина, для которой .

Примеры 
 Пусть  — непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
 Пусть  и  — индикатор множества  Тогда функция  не является измеримой.

Свойства 

Теорема Лузина. Функция  измерима тогда и только тогда, когда для любого  существует непрерывная функция   отличающаяся от  на множестве меры не больше .

История 
В 1901 году французский математик А. Лебег, на основе построенной им теории интеграла Лебега, поставил задачу: найти класс функций, более широкий, чем аналитические, однако при этом допускающий применение к нему многих аналитических методов.
К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию.
В диссертации Лебега (1902) теория меры была обобщена до так называемой меры Лебега.
Лебег определил понятия измеримых множеств, ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода.
В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.

Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э Борель, М. Рис, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др.
Было введено понятие сходимости по мере (1909), глубоко исследованы топологические свойства класса измеримых функций.

Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.

Литература 
 Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 4-е изд., М.: Наука, 1976, 544 с.
 
 Халмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.

Математический анализ
Типы функций