Дисперсия случайной величины

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обозначается  в русской литературе и  () в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение  или .

Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что значения случайной величины отстоят от математического ожидания этой случайной величины более чем на  стандартных отклонений, составляет менее . В специальных случаях оценка может быть усилена. Так, например, как минимум в 95 % случаев значения случайной величины, имеющей нормальное распределение, удалены от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.

Определение 
Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Пусть  — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется

 

где символ  обозначает математическое ожидание<ref
></ref><ref
></ref>.

Замечания 

 Если случайная величина  дискретная, то
 
 
где  — -ое значение случайной величины,  — вероятность того, что случайная величина принимает значение ,  — количество значений, которые принимает случайная величина.

 Если случайная величина  непрерывна, то:
 
 ,
где  — плотность вероятности случайной величины.
 В силу линейности математического ожидания справедлива формула:
 
 Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины.
 Дисперсия может быть бесконечной.
 Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов :
 
 Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
 Формула для вычисления смещённой оценки дисперсии случайной величины  по последовательности реализаций этой случайной величины:  имеет вид:
, где  — выборочное среднее (несмещённая оценка ).
 Для получения несмещённой оценки дисперсии случайной величины значение  необходимо умножить на . Несмещённая оценка имеет вид:

Свойства 

 Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: 
 Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
 Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю:  Верно и обратное: если  то  почти всюду.
 Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
 , где  — их ковариация.
 Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:
 , где .
 В частности,  для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю.
 
 
 
 Если  — случайная величина от пары элементарных событий (случайная величина на декартовом произведении вероятностных пространств), то

Условная дисперсия 

Наряду с условным математическим ожиданием  в теории случайных процессов используется условная дисперсия случайных величин .

Условной дисперсией случайной величины  относительно случайной величины  называется случайная величина:
 .
Её свойства:
 условная дисперсия относительно случайной величины  является Y-измеримой случайной величиной (то есть измерима относительно сигма-алгебры, порождённой случайной величиной );
 условная дисперсия неотрицательна: ;
 условная дисперсия  равна нулю тогда и только тогда, когда  почти наверное, то есть тогда и только тогда, когда  совпадает почти наверное с некоторой Y-измеримой величиной (а именно, с );
 обычная дисперсия также может быть представлена как условная: ;
 если величины  и  независимы, случайная величина  является константой, равной ;
 если  — две числовые случайные величины, то
 
 откуда, в частности, следует, что дисперсия условного математического ожидания  всегда меньше или равна дисперсии исходной случайной величины .

Пример 

Пусть случайная величина  имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на , то есть её плотность вероятности задана равенством
 

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины равно
 ,
и математическое ожидание случайной величины равно
 
Дисперсия случайной величины равна

См. также 
 Среднеквадратическое отклонение
 Моменты случайной величины
 Ковариация
 Выборочная дисперсия
 Независимость (теория вероятностей)
 Скедастичность
 Абсолютное отклонение
 Дельта-метод

Примечания

Литература 
 
 

Математическая статистика