Проективная плоскость

Проективная пло́скость — двумерное проективное пространство. Важным частным случаем является вещественная проективная плоскость.

Проективная плоскость отличается важной ролью, которую играет так называемая аксиома Дезарга, в проективных пространствах больших размерностей являющаяся теоремой.

Определения

Проективная плоскость над телом 
Проективная плоскость над телом  — это множество одномерных подпространств (прямых, проходящих через ноль) трёхмерного линейного пространства . Данные прямые называются точками проективной плоскости.
Проективная плоскость над телом  обычно обозначается ,
например , ,  и так далее.

Аксиоматическое определение 

Классическая проективная плоскость П определяется следующими аксиомами. Первые четыре из них являются обязательными.

 П1. Через две различные точки P и Q плоскости П проходит прямая, причём только одна.
 П2. Любые две прямые имеют общую точку.
 П3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
 П4. Каждая прямая содержит не менее трёх точек.

Дополнительными аксиомами являются следующие:

 П5. Аксиома Дезарга. Если треугольники ABC и A’B’C'  таковы, что прямые AA' , BB'  и CC'  пересекаются в точке O, то точки пересечения пар соответствующих сторон AB и A’B' (P), BC и B’C' (R), AC и A’C'(Q) лежат на одной прямой.
 П6. Аксиома Паппа. Если l и l'  — две различные прямые, A,B,С — три различные точки на прямой l, а A',B',C'  — три различные точки l', причём все эти точки отличны от О — точки пересечения прямых l и l' , то точки пересечения пар соответствующих сторон AB'  и A’B (P), BC'  и B’C (R), AC'  и A’C (Q) лежат на одной прямой.
 П7. Аксиома Фано. Пусть A, B, C, D — точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведём все шесть прямых, соединяющих эти точки (AB, AC, AD, BC, BD, CD). Обозначим точку пересечения AB и CD через P, AC и BD через Q и AD и BC через R (диагональные точки). Эти диагональные точки не лежат на одной прямой.

Примеры 
 Вещественная проективная плоскость.
 Плоскость Фано
 Плоскость Молтона — пример недезарговой проективной плоскости.

Свойства 
 Для любой проективной плоскости над телом выполняются аксиомы П1—П4 и аксиома Дезарга П5. Обратно, если в плоскости П выполняется аксиома Дезарга П5, то она есть проективная плоскость над некоторым телом .

 Если выполняются аксиома Паппа П6 и аксиомы П1—П4, то выполняется и аксиома Дезарга П5. В этом случае П является проективной плоскостью над полем (то есть тело K коммутативно). Обратно, в любой проективной плоскости над полем выполняется аксиома Паппа.

 Если выполняются аксиомы П1—П4 и аксиома Дезарга П5, то аксиома Фано П7 выполняется тогда и только тогда, когда П является проективной плоскостью над телом  характеристики ≠2.

Топология вещественной проективной плоскости 

Представим вещественную проективную плоскость P²(R) как множество прямых в  R³ .
Её точки образуют пучок всех прямых, проходящих через начало координат.
Построим единичную сферу.
Тогда каждая наша прямая (точка P²(R)) пересекает сферу в двух противоположных точках: x и -x.
Из этого легко получается другая модель.
Отбросим верхнюю полусферу z > 0.
Каждой точке на отброшенной полусфере соответствует точка на нижней полусфере, а диаметрально противоположные точки на экваториальной окружности нижней полусферы отождествляются.
«Выпрямляя» полусферу, получаем круг, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки граничной окружности.
Круг гомеоморфен квадрату, противоположные стороны которого отождествляются (в направлении стрелок).
Как показано на следующем рисунке, этот квадрат гомеоморфен кругу D² с приклеенным листом Мёбиуса μ.
Поэтому проективная плоскость неориентируема.

Цикл (полуокружность) от  до (обозначим его как ) не является границей, однако полная окружность от  до  и от  до  (обозначим его как ) уже ограничивает всю «внутреннюю» часть проективной плоскости, поэтому 2≈0, а ≠0 (знак равенства означает, гомологичен или нет цикл нулю), то есть любой негомологичный нулю цикл гомологичен циклу . Поэтому одномерная группа гомологий состоит из двух элементов H1(P²)={0,1}, где нулевому элементу группы соответствуют одномерные циклы, гомологичные нулю, а единице — все циклы гомологичные .

Группы гомологий проективной плоскости легко вычисляются: ,  и .
Числа Бетти (ранги групп гомологий) равны соответственно b0=1, b1=0, b2=0.
Эйлерова характеристика равна знакочередующейся сумме χ(P²)=b0-b1+b2=1.
Можно вычислить эйлерову характеристику и непосредственно из триангуляции χ(P²) (см. нижний рисунок) — число вершин равно 6, ребер 15 и граней 10, значит χ(P²)=6-15+10=1.

Согласно известной теореме о классификации поверхностей среди всех компактных, связных, замкнутых гладких многообразий проективная плоскость однозначно определяется тем, что она неориентируема и её эйлерова характеристика равна 1.

Фундаментальная группа π1(P²)= Z2, высшие гомотопические группы соответствуют таковым для сферы πn(P²)=πn(S²) для n≥2.

См. также 
 Лента Мёбиуса
 Бутылка Клейна
 Поверхность Боя — пример погружения вещественной проективной плоскости в трёхмерное евклидово пространство.

Литература 
 Артин Э. Геометрическая алгебра. — М.: Наука, 1969
 Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
 Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
 Кокстер Г. С. М. Действительная проективная плоскость. -М:Физматгиз, 1959
 Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. — М.: Наука, 1966
 Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: МГУ, 1998
 Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. — М.: Мир, 1970

Проективная геометрия
Алгебраическая топология
Поверхности
Геометрия инцидентности