Связное пространство

Связное пространство — топологическое пространство, которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств. Связность является важнейшим топологическим инвариантом и обобщает понятие линейной связности.

Определение 

Непустое топологическое пространство называется несвязным, если его можно представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых подмножеств. Связное пространство — топологическое пространство, не являющееся несвязным. 

Пустое пространство обычно считается несвязным, хотя в литературе по этому поводу имеются разночтения. 

Говорят, что подмножество топологического пространства является связным, если оно связано как пространство с индуцированной топологией.

Эквивалентные определения 

Пусть  — топологическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:
  связно.
  нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых подмножества.
 Единственные подмножества , являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, — пустое множество  и всё пространство .
 Единственные подмножества с пустой границей — пустое множество  и всё пространство .
  не может быть представлено в виде объединения двух непустых множеств, каждое из которых не пересекается с замыканием другого.
 Единственными непрерывными функциями из  в двухточечное множество (с дискретной топологией) являются константы.

Связанные определения 
 Каждый элемент топологического пространства содержится в его некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются его компонентами связности, связными компонентами или просто компонентами.
 Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется вполне несвязным. Примером могут служить любые пространства с дискретной топологией, пространство  рациональных чисел на числовой прямой и канторово множество.
 Если существует база топологии пространства , состоящая из связных открытых множеств, тогда топология пространства  и само пространство  (в этой топологии) называются локально связными.
 Связное компактное хаусдорфово пространство называется континуумом.
 Пространство , для любых двух различных точек  и  которого существуют открытые непересекающиеся множества  и  такие, что , называется вполне раздельным. Любое вполне раздельное пространство вполне несвязно, однако обратное неверно. Например, рассмотрим пространство, состоящее из двух копий множества , введём на нём отношение эквивалентности по правилу . Факторпространство по этому отношению является вполне несвязным, однако для двух (по определению различных) копий нуля не найдётся двух открытых множеств, удовлетворяющих определению вполне раздельного пространства.

Свойства 
 В любом топологическом пространстве одноточечные подмножества — связные.
 В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого и всего пространства) имеет непустую границу.
 Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами и называются просто открыто-замкнутыми. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем пространством.
 Образ связного множества при непрерывном отображении связен.
 Связность пространства — топологическое свойство, то есть свойство, инвариантное относительно гомеоморфизмов.
 Замыкание связного подмножества  связно.
 Более того, всякое «промежуточное» подмножество  () тоже связно. Другими словами, если связное подмножество  плотно в , то множество  тоже связно.
 Пусть  — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое пересечение со связным множеством . Тогда множество
 
 тоже связно. (То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных множеств, объединение всегда будет оставаться связным.)
 Произведение связных пространств связно. Если хоть один из множителей несвязен, произведение будет несвязным.
 Каждая компонента пространства  является замкнутым множеством. Различные компоненты пространства  не имеют общих точек. Компоненты связности подмножества  пространства  — это максимальные связные подмножества множества .
 Непрерывное отображение из связного пространства во вполне несвязное сводится к отображению в одну точку.
 Локально связные пространства не обязаны быть связными, а связные — не обязаны быть локально связными.
 В локально связном пространстве компоненты связности открыты.
 Любое линейно связное пространство связно.
 Обратное неверно; например замыкание графика функции  связно, но линейно не связно (это множество содержит отрезок  на оси ординат).

Примеры 
 Псевдодуга — пример вполне линейно несвязного континуума.
 Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, что удаление из него одной точки делает его вполне несвязным.
 Множество Мандельброта — пример связного множества, относительно которого неизвестно, является ли оно линейно связным.

Вариации и обобщения 
 Линейно связное пространство

См. также 
 Вполне несвязное пространство
 Односвязное пространство
 Экстремально несвязное пространство

Общая топология