Ряд Фурье

Ряд Фурье́ — представление функции  с периодом  в виде ряда

 

Этот ряд может быть также записан в виде

 

где
  — амплитуда -го гармонического колебания,
  — круговая частота гармонического колебания,
  — начальная фаза -го колебания,
  — -я комплексная амплитуда

В более общем виде, рядом Фурье элемента некоторого пространства функций называется разложение этого элемента по полной системе ортонормированных функций или другими словами по базису, состоящему из ортогональных функций. В зависимости от используемого вида интегрирования говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т. п.

Существует множество систем ортогональных многочленов и других ортогональных функций (например, функции Хаара, Уолша и Котельникова), по которым может быть произведено разложение функции в ряд Фурье.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Существуют многочисленные обобщения рядов Фурье в различных разделах математики. Например, любую функцию на конечной группе можно разложить в ряд, аналогичный ряду Фурье, по матричным элементам неприводимых представлений этой группы (теорема полноты).

История 
Ряд Фурье назван в честь французского математика Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768—1830), внесшего важный вклад в изучение тригонометрических рядов после предварительных исследований Леонарда Эйлера, Жана Лерона д’Аламбера и Даниила Бернулли. Фурье представил ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, написав свои первоначальные результаты в своем «Воспоминании о распространении тепла в твердых телах» («Трактат о распространении тепла в твердых телах») и опубликовав в Аналитической теории тепла (Théorie analytique de la chaleur) в 1822 году. В Воспоминании приведен анализ Фурье, в частности ряд Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт того, что произвольная (непрерывная) функция может быть представлена ​​тригонометрическим рядом. Первое объявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией. Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций относятся к 3 веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на семействах и эпициклах.

Уравнение теплопроводности является уравнением в частных производных. До работы Фурье в общем случае не было известно решение уравнения теплопроводности, хотя были известны конкретные решения, если бы источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла была волна синуса или косинуса. Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями. Идея Фурье состояла в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию) простых синусоидальных и косинусных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений. Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения, результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позднее Петер Густав Лежён Дирихле и Бернхард Риман выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя первоначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы можно применять к широкому кругу математических и физических задач, особенно тех, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоидами. Ряд Фурье имеет много применений в области электротехники, вибрации анализа, акустики, оптики, обработки сигналов, обработки изображений, квантовой механики, эконометрики, теории перекрытия-оболочки и т. д.

Тригонометрический ряд Фурье 

Тригонометрическим рядом Фурье функции  (то есть функции, суммируемой на промежутке , или её периодического продолжения на вещественную прямую) называют функциональный ряд вида

  (1)

где

 

 

 
Числа ,  и  () называются коэффициентами Фурье функции . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, что мы хотим представить функцию  в виде ряда (1) и нам надо определить неизвестные коэффициенты ,  и . Если умножить правую часть (1) на  и проинтегрировать по промежутку , то все слагаемые в правой части, благодаря ортогональности синусов и косинусов на этом промежутке, обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент . Аналогично для .

Ряд (1) для функции  из пространства  сходится в этом пространстве. Иными словами, если обозначить через  частичные суммы ряда (1):

 ,

то их среднеквадратичное отклонение от функции  будет стремиться к нулю:

 .

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство  комплекснозначных функций со скалярным произведением
 .

Мы также рассматриваем систему функций

 .

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция  может быть разложена по ним в ряд Фурье:

 ,

где ряд в правой части сходится к  по норме в . Здесь

 .

Коэффициенты  связаны с классическими коэффициентами Фурье следующими соотношениями:
 
 
 
 
 

Для вещественнозначной функции коэффициенты  и  комплексно сопряжены.

Обобщения

Ряды Фурье в гильбертовом пространстве 
Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства  с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система  в гильбертовом пространстве 
и  — произвольный элемент из . Предположим, что мы хотим представить  в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов :
 
Домножим это выражение на . С учётом ортогональности системы функций  все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при :
 
Числа
 
называются координатами, или коэффициентами Фурье элемента  по системе , а ряд
 
называется рядом Фурье элемента  по ортогональной системе .

Ряд Фурье любого элемента  по любой ортогональной системе сходится в пространстве , но его сумма не обязательно равна . Для ортонормированной системы  в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

 система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
 система является полной, то есть в  не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам  одновременно.
 система является замкнутой, то есть для любого  выполнено равенство Парсеваля
 .
 линейные комбинации элементов  плотны в пространстве .

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента  равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов . В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:

Двойственность Понтрягина 

При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со свёрткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.

Сходимость ряда Фурье

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье 
Обозначим через  частичные суммы ряда Фурье функции :
 .
Далее обсуждается сходимость последовательности функций  к функции  в различных смыслах. Функция  предполагается -периодической (если она задана только на промежутке , её можно периодически продолжить).

 Если , то последовательность  сходится к функции  в смысле . Кроме того,  являются наилучшим (в смысле расстояния в ) приближением функции  тригонометрическим многочленом степени не выше .
 Сходимость ряда Фурье в заданной точке  — локальное свойство, то есть, если функции  и  совпадают в некоторой окрестности , то последовательности  и  либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают. (Принцип локализации).
 Если функция  дифференцируема в точке , то её ряд Фурье в этой точке сходится к . Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции  задаются признаком Дини.
 Функция, непрерывная в точке , может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к . Это следует из того, что для непрерывной в  функции  последовательность  сходится по Чезаро к .
 Если функция  разрывна в точке , но имеет пределы в этой точке справа и слева  то при некоторых дополнительных условиях  сходятся к . Подробнее см. модифицированный признак Дини.
 Теорема Карлесона: если , то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если . Однако, существуют функции из , ряд Фурье которых расходится во всех точках (пример такой функции построен Колмогоровым).
 Зафиксируем точку . Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве . В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции 
Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса , а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:
 Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю ().
 Если функция  принадлежит классу , то есть дифференцируема  раз и её -я производная непрерывна, то 
 Если ряд  сходится абсолютно, то  совпадает почти всюду с функцией класса  при всех .
 Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем , то ряд  сходится абсолютно (теорема Бернштейна).

См. также 

 Преобразование Фурье
 Быстрое преобразование Фурье
 Тригонометрический ряд
 Признак Жордана
 Признак Дини
 Числовой ряд
 АТС-теорема
 Натуральный звукоряд

Примечания

Литература 
 
 
 
 
 
 Проекторы Рисса и ряды Фурье по собственным функциям : учеб. пос. / А. П. Хромов, В. А. Халова; Саратовский ГУ им. Н. Г. Чернышевского. - Саратов : Изд-во Саратовского ун-та, 2009. ISBN 978-5-292-03945-7

Ссылки 
 
 

Преобразование Фурье
Ряды
Гармонический анализ