Прямоугольник

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90°).

Слово «прямоугольник» является переводом , которое, в свою очередь, представляет собой комбинацию  (прямой, правильный) и  (угол).

В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые, тогда четвёртый угол в силу теоремы о сумме углов многоугольника также будет равен 90°.

В геометрии доказывается, что две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей прямой,  параллельны между собой. Применив эту теорему к противоположным сторонам прямоугольника, перпендикулярным смежным с ними сторонам, получаем, что противоположные стороны прямоугольника параллельны, поэтому каждый прямоугольник является параллелограммом.

В неевклидовой геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360°, прямоугольников в указанном приведённым определением смысле не существует, однако можно определить их обобщения.

Свойства 

 Противоположные стороны прямоугольника равны.
 Стороны прямоугольника являются его высотами. Середины сторон прямоугольника образуют ромб.
 У прямоугольника есть две оси симметрии — это прямые, проходящие через середины противоположных сторон.
 Диагонали прямоугольника равны.
 Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.
 Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (по теореме Пифагора).
 Около любого прямоугольника можно описать окружность, причём диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности (радиус равен полудиагонали).

Площадь 

Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон, а шириной — длину более короткой пары сторон.
 Площадь прямоугольника равна произведению длины прямоугольника на его ширину.
 Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его ширины и длины.

Место в планиметрии 
Прямоугольник можно рассматривать:
 как параллелограмм, у которого один из углов прямой (тогда, по свойствам параллелограмма, и смежные с ним углы будут прямыми);
 как трапецию, у которой углы при основании прямые.
Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется любое из условий:
 Если параллелограмм имеет (по меньшей мере один) прямой угол
 Если в параллелограмме ABCD треугольники ABD и DCA являются конгруэнтными.
 Если диагонали параллелограмма равны.
 Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон.
 Если все углы параллелограмма равны.
 Если параллелограмм имеет (хотя бы одну) ось симметрии, перпендикулярную его стороне.
Важным частным случаем прямоугольника является квадрат, отличающийся тем, что у него равны не только углы, но и все стороны.

В искусстве 

Благодаря своей симметрии, прямоугольники широко применяются в орнаментах, мозаиках и паркетах.

Неевклидова геометрия 

В сферической геометрии сферический прямоугольник представляет собой фигуру, чьи четыре ребра большой окружности дуги, которые встречаются под равными углами больше 90 °. Противоположные дуги равны по длине. Поверхность сферы в евклидовой геометрии является неевклидовой поверхностью в смысле эллиптической геометрии. Сферическая геометрия — это простейшая форма эллиптической геометрии.

В эллиптической геометрии эллиптическая прямоугольник представляет собой фигуру в эллиптической плоскости, четыре ребра эллиптические дуги , которые встречаются под равными углами больше (90°). Противоположные дуги равны по длине.

В гиперболической геометрии гиперболической прямоугольник представляет собой фигуру в гиперболической плоскости, четыре ребра гиперболические дуги , которые встречаются под равными углами (менее 90°). Противоположные дуги равны по длине.

Примечания

Литература 
 

Четырёхугольники