Эллипс

Э́ллипс ( — «не­до­ста­ток, вы­па­де­ние, опу­ще­ние») — замкнутая плоская кривая, исторически определённая как одно из конических сечений (наряду с параболой и гиперболой).
Название эллипсу дал Аполлоний Пергский в своей «Конике».

В современной геометрии эллипс чаще определяется на плоскости — как геометрическое место точек, для ко­то­рых сум­ма рас­стоя­ний до двух фик­си­ро­ван­ных то­чек  и  (фо­ку­сов эллипса) есть ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная (см. рис.).
Се­ре­ди­на от­рез­ка  на­зы­ва­ет­ся цен­тром эл­лип­са.

Окружность является частным случаем эллипса, у неё оба фокуса слиты в один.

Эллипсы находят широкое применение в физике, астрономии и технике.
Например, орбита каждой планеты Солнечной системы представляет собой эллипс, в одном из фокусов которого расположено Солнце (точнее, фокусом является барицентр пары Солнце-планета).
То же самое верно для спутников планет и всех других систем двух астрономических тел.
Формы планет и звёзд часто хорошо описываются эллипсоидами.
Эллипс также является простейшей фигурой Лиссажу, образованной, когда горизонтальное и вертикальное движения являются синусоидами с одинаковой частотой: аналогичный эффект приводит к эллиптической поляризации света в оптике.

Другие определения 
Эллипс также можно определить как:
 фигуру, которая получается из окружности после аффинного преобразования;
 ортогональную проекцию окружности на плоскость;
 пересечение плоскости и прямого кругового цилиндра.

Связанные определения  и стандартные обозначения 

 Проходящий через фокусы эллипса отрезок, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси далее обозначается 
 Отрезок, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центр и концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса. Длина малой оси далее обозначается 
 Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях, называются соответственно большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются  и .
 Расстояния  и  от каждого из фокусов до заданной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
 Расстояние  называется фокальным расстоянием.
 Величина  называется эксцентриситетом, он находится в интервале [0, 1). Этот параметр характеризует «вытянутость» эллипса, то есть отличие его от окружности. Чем ближе эксцентриситет к нулю, тем меньше эллипс отличается от окружности.
 Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: . Величина, равная  называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением 
 Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
 Радиус эллипса в данной точке это отрезок, соединяющий центр эллипса с точкой, а также его длина, которая вычисляется по формуле , где  — угол между радиусом и большой полуосью.
 Фокальным параметром  называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
 Для каждого из фокусов существует прямая, называемая директрисой, такая, что отношение расстояния от произвольной точки эллипса до его фокуса к расстоянию от этой точки до данной прямой равно эксцентриситету эллипса. Весь эллипс лежит по ту же сторону от такой прямой, что и фокус. Уравнения директрис эллипса в каноническом виде записываются как  для фокусов  соответственно. Расстояние между фокусом и директрисой равно .

Соотношения между элементами эллипса 
  — большая полуось;
  — малая полуось;
  — фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами);
  — фокальный параметр;
  — перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);
  — апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

Координатное представление

Эллипс как кривая второго порядка 
Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида
 
при инвариантах  и , где:
 
 
 
 
 
 

Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса (верно только при условии, что центр эллипса совпадает с началом координат и ):

Каноническое уравнение 

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением:
 
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.
Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.

Соотношения 

Для определённости положим, что 
В этом случае величины  и  — соответственно, большая и малая полуоси эллипса.

Зная полуоси эллипса, можно вычислить:
 расстояние между фокусами и эксцентриситет 
 координаты фокусов эллипса 

Эллипс имеет две директрисы, уравнения которых можно записать как
 

Фокальный параметр (то есть половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен
 

Фокальные радиусы, то есть расстояния от фокусов до произвольной точки кривой :
 

Уравнение диаметра, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом :
 

Уравнение касательной к эллипсу в точке  имеет вид:
 

Условие касания прямой  и эллипса  записывается в виде соотношения 

Уравнение касательных, проходящих через точку :
 

Уравнение касательных, имеющих данный угловой коэффициент :
 
точки касания такой прямой эллипса (или что то же самое, точки эллипса, где касательная имеет угол с тангенсом, равным ):
 

Уравнение нормали в точке

Уравнения в параметрической форме 

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:
 
где  — параметр.

Только в случае окружности (то есть при ) параметр  является углом между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором данной точки.

В полярных координатах 
Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах  будет иметь вид
 
где  — эксцентриситет, а  — фокальный параметр.
Знак минус соответствует помещению полюса полярных координат в левый фокус, а знак плюс — в правый.

Вывод уравнения 
Пусть  и  — расстояния до данной точки эллипса от первого и второго фокусов.
Пусть также полюс системы координат находится в первом фокусе, а угол  отсчитывается от направления на второй фокус.
Тогда из определения эллипса следует, что
 .
Отсюда .
С другой стороны, из теоремы косинусов
 
Исключая  из последних двух уравнений, получаем
 
Учитывая, что  и , получаем искомое уравнение.

Если принять центр эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах  будет иметь вид

Длина дуги эллипса 
Длина дуги плоской линии определяется по формуле:
 

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса, получаем следующее выражение:
 

После замены  выражение для длины дуги принимает окончательный вид:
 

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллиптическому интегралу второго рода .
В частности, периметр эллипса равен:
 
где  — полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближённые формулы для периметра 

Не существует общей формулы, которая выражает длину периметра эллипса через его большие и малые полуоси и при этом использует только элементарные функции.
Однако имеются приближённые формулы, в которых фигурируют эти параметры.

Одно из приближений предложено Эйлером в 1773 году; периметр эллипса, записанного каноническим уравнением:

приблизительно равен 

Нижние и верхние границы периметра эллипса.

Здесь верхняя граница  — длина описанной концентричной окружности, проходящей через концевые точки больших осей эллипса, а нижняя граница  — периметр вписанного ромба, вершины которого — концы больших и малых осей.

Другие варианты приближённой оценки длины периметра эллипса:
 

Максимальная погрешность этой формулы  при эксцентриситете эллипса  (соотношение осей ).
Погрешность всегда положительна.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:
 , где 
Максимальная погрешность этой формулы  при эксцентриситете эллипса  (соотношение осей )
Погрешность также всегда положительна.

Существенно лучшую точность при  обеспечивает формула Рамануджана:

При эксцентриситете эллипса  (соотношение осей ) погрешность составляет .
Погрешность всегда отрицательна.

Ещё точней оказалась вторая формула Рамануджана:

Точные формулы для периметра 

Джеймс Айвори и Фридрих Бессель независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:
 

Альтернативная формула
 
где  — арифметико-геометрическое среднее 1 и ,
а  — модифицированное арифметико-геометрическое среднее 1 и , которое было введено С. Ф. Адлаем в статье 2012 года.

Площадь эллипса и его сегмента 
Площадь эллипса вычисляется по формуле
 

Площадь сегмента между , выпуклой влево, и вертикальной хордой, проходящей через точки  и  можно определить по формуле:
 

Если эллипс задан уравнением
, то площадь можно определить по формуле

Другие свойства 
 Оптические
 Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
 Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
 Если  и  — фокусы эллипса, то для любой точки , принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой  равен углу между этой касательной и прямой .
 Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
 Эквивалентная формулировка: через середины двух любых параллельных хорд эллипса проходит какой-либо диаметр эллипса. В свою очередь, любой диаметр эллипса всегда проходит через центр эллипса.
 Эволютой эллипса является астроида, вытянутая вдоль вертикальной оси.
 Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами.
 Эксцентриситет эллипса, то есть отношение  характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
 Если эксцентриситет эллипса равен нулю (что то же самое, что фокальное расстояние равно нулю: ), то эллипс вырождается в окружность.
 Экстремальные свойства
 Если  — выпуклая фигура и  — вписанный в  -угольник максимальной площади, то
 
 где  обозначает площадь фигуры .
 Более того, равенство достигается в том и только в том случае, если  ограничено эллипсом.
 Среди всех выпуклых замкнутых кривых, ограничивающих данную площадь, эллипсы и только они имеет максимальную аффинную длину.
 Если произвольный эллипс вписан в треугольник ABC и имеет фокусы P и Q, тогда для него справедливо соотношение
 
 Если лестницу (бесконечно тонкий отрезок прямой) прислонить к вертикальной стенке с горизонтальным полом, и один конец лестницы будет скользить по стенке (всё время касаясь её) а второй конец лестницы будет скользить по полу (всё время касаясь его), тогда любая фиксированная точка лестницы (не на её концах), будет двигаться по дуге некоторого эллипса. Это свойство остаётся верным, если мы возьмём точку не внутри лестницы-отрезка, а на её мыслимом продолжении. Последнее свойство используется в описанном выше эллипсографе.

 Касательная, проходящая через точку , принадлежащую эллипсу, имеет следующее уравнение:

Построение эллипса 

Инструментами для рисования эллипса являются:
 эллипсограф
 две иголки, воткнутые в фокусы эллипса и соединённые ниткой длиной 2, которую оттягивают карандашом. Способ был придуман Джеймсом Максвеллом в возрасте 14 лет и при запросе его отца в Эдинбургское королевское общество оказался ранее неизвестным.

При помощи циркуля или циркуля и линейки можно построить любое количество точек, принадлежащих эллипсу, но не весь эллипс целиком.

Эллипсы, связанные с треугольником 
 Эллипс Брокара — эллипс с фокусами в точках Брокара
 Эллипс Мандарта
 Эллипс Штейнера

См. также 

 Каустика
 Овал Кассини
 Окружность Аполлония
 Эллипсоид
 Эллипсограф

Примечания

Литература 
 Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
 Бронштейн И. Н. Эллипс // Квант № 9, 1970, С. 27—36.
 
 Маркушевич А. И. Замечательные кривые // «Популярные лекции по математике», выпуск 4.

Ссылки 
 S.Sykora, Approximations of Ellipse Perimeters and of the Complete Elliptic Integral E(x). Review of known formulae (англ.)
 Grard P. Michon. Perimeter of an Ellipse (Final Answers) (англ.), 2000—2005. — 20 c.
 Видео: Как нарисовать эллипс

Кривые
Конические сечения
Планиметрия
Стереометрия