Трансцендентное число

Трансценде́нтное число́ (от  — переходить за предел, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целочисленными коэффициентами (не равного тождественно нулю). Можно также заменить в определении многочлены с целочисленными коэффициентами на многочлены с рациональными коэффициентами, поскольку корни у них одни и те же.

Свойства 
Все комплексные числа делятся на два непересекающихся класса — алгебраические и трансцендентные. С точки зрения теории множеств, трансцендентных чисел гораздо больше, чем алгебраических: множество трансцендентных чисел континуально, а множество алгебраических счётно.

Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число  — иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем уравнения  (и потому является алгебраическим).

В отличие от множества алгебраических чисел, которое является полем, трансцендентные числа не образуют никакой алгебраической структуры относительно арифметических операций — результат сложения, вычитания, умножения и деления трансцендентных чисел может быть как трансцендентным, так и алгебраическим числом. Однако некоторые ограниченные способы получить трансцендентное число из другого трансцендентного существуют.
 Если  — трансцендентное число, то  и  также трансцендентны.
 Если  — ненулевое алгебраическое число, а  — трансцендентное число, то  трансцендентны.
 Если  — трансцендентное число, а  — натуральное число, то  и  трансцендентны.

Мера иррациональности почти всякого (в смысле меры Лебега) трансцендентного числа равна 2.

Примеры трансцендентных чисел 
 Число  (Ф. фон Линдеман, 1882).
 Число  (Ш. Эрмит, 1873).
 Постоянная Гельфонда  (А. О. Гельфонд, 1934).
 ,  (Ю. В. Нестеренко, 1996).
 Десятичный логарифм любого натурального числа, кроме чисел вида .
  и , для любого ненулевого алгебраического числа  (по теореме Линдемана — Вейерштрасса).

История 

Впервые понятие трансцендентного числа (и сам этот термин) ввёл Леонард Эйлер в труде «De relation inter tres pluresve quantitates instituenda» (1775 год). Эйлер занимался этой темой ещё в 1740-е годы; он заявил, что значение логарифма  для рациональных чисел  не является алгебраическим («радикальным», как тогда говорили), за исключением случая, когда  для некоторого рационального  Это утверждение Эйлера оказалось верным, но не было доказано вплоть до XX века.

Существование трансцендентных чисел доказал Жозеф Лиувилль в 1844 году, когда опубликовал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью. Лиувилль построил конкретные примеры («числа Лиувилля»), ставшие первыми примерами трансцендентных чисел.

В 1873 году Шарль Эрмит доказал трансцендентность числа e, основания натуральных логарифмов. В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа  и неразрешимость задачи квадратуры круга.

В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если ,  — алгебраическое число, и  — алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что  — трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число . Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.

Вариации и обобщения 
В теории Галуа рассматривается более общее определение: элемент расширения поля P трансцендентный, если он не является корнем многочлена над P.

Существует аналог теории трансцендентных чисел для многочленов с целочисленными коэффициентами, определённых на поле p-адических чисел.

Некоторые открытые проблемы 
 Неизвестно, является ли число  рациональным или иррациональным, алгебраическим или трансцендентным.
 Неизвестна мера иррациональности для чисел .

См. также 
 Кольцо периодов
 Степень трансцендентности

Примечания

Литература 

 
 

Числа