Питагорова теорема

Питагоровата теорема е една от най-важните теореми в евклидовата геометрия, изразяваща връзката между дължините на страните на правоъгълен триъгълник:
,
където  е дължината на хипотенузата,  и  са дължините на двата катета.

Теоремата носи името на древногръцкия философ и математик Питагор (570 – 495 пр.н.е.), на когото традицията приписва нейното откриване и доказване, въпреки че тя изглежда е известна дълго преди това. Същестуват свидетелства, че още математиците във Вавилон разбират тази зависимост.

Питагоровата теорема свързва както дължините на страните на правоъгълния триъгълник, така и площите на съответните им квадрати, т.е. тя има както площна, така и линейна интерпретация. Част от множеството доказателства на теоремата се базират на първата, а останалите – на втората, като използват различни алгебрични и геометрични методи. Питагоровата теорема може да бъде обобщена по различни начини, включително за многоизмерни или неевклидови пространства, за обекти, които не са правоъгълни триъгълници, и дори за обекти, които изобщо не са триъгълници, а n-мерни тела.

Доказателства 
Питагоровата теорема е една от теоремите с най-много различни доказателства, като броят им е не по-малък от 370.

Доказателство с подобни триъгълници 

Основа на това доказателство е пропорционалността на страните на два подобни триъгълника – съотношението на дължините на съответните страни на два подобни триъгълника е еднакво, независимо от техния размер.

Нека  е правоъгълен триъгълник, с прав ъгъл при върха , както е показано на Схема 1. Построява се височината от върха , като нейната пресечна точка със страната  е точката .  разделя хипотенузата на триъгълника с дължина  на части с дължини  и . Новообразуваният триъгълник  е подобен на триъгълника , защото и двата имат прав ъгъл, а ъгълът при върха  е общ за двата триъгълника, от което следва, че и третите ъгли на двата триъгълника, отбелязани на схемата с , са равни. По същия начин триъгълникът  също е подобен на . От подобието на триъгълниците следва равенството на съотношенията на съответните им страни:

 и 

Тези съотношения могат да бъдат записани и като:

 и 

При събиране на двете уравнения се получава:

Този израз съвпада с питагоровата теорема:

Това доказателство се основава на съотношения на дължини, а не на площи. Въпросът, защо то не е използвано от Евклид, предизвиква дискусии в историята на математиката. Според някои изследователи, използваната в него теория на пропорциите, развита в следващите части на „Елементи“, по това време не е била достатъчно добре разработена.

Доказателство на Евклид 

Евклид дава доказателство в книгата си Елементи, Книга 1, Твърдение 47

Нека  е даденият правоъгълен триъгълник с хипотенуза . Построяваме квадратите ,  и  от външните страни на триъгълника. Тъй като лицето на всеки квадрат е равно на квадрата на дължината на страната му, за да докажем теоремата е достатъчно да се покаже, че лицето на  е равно на сумата на лицата на другите два квадрата. За целта спускаме перпендикуляра  от точката  към правата . Нека той пресича правата  в точката . Построяваме също отсечките  и .

Ъгълът  е равен на сумата на ъглите . Аналогично,  е равен на сумата на . Тъй като ъглите  и  са прави, а следователно и равни, следва, че  е равен на . Освен това отсечките , тъй като са страни на един и същ квадрат. Аналогично, . От там следва, че триъгълниците  са еднакви, по признака за две страни и прилежащ ъгъл.

Лицето на триъгълника , тъй като  е равна на височината към страната  в . Аналогично лицето на CBF е половината от лицето на ABFG. Тъй като двата триъгълника имат еднакви лица, следва, че лицето на ABFG е равно на лицето на KBDL. Аналогично се показва, че лицето на KCEL е равно на това на квадрата ACIH. Оттук следва, че лицето на BCED е равно на сумата на лицата на другите два квадрата, с което теоремата е доказана.

Доказателства с преподреждане на фигури 

Даден е квадрат със страна . В него са построени четири триъгълника както е показано на чертежа със страни  и . Полученият по средата квадрат е със страна . Лицето на големия квадрат е  и е равно на лицата на триъгълниците  + лицето на малкия квадрат :

Доказателство на Гарфийлд 

Доказателството е написано през 1876 г., от Джеймс Гарфийлд (впоследствие президент на САЩ, но тогава депутат) като продължение на предишното, но без квадрати.

Даден е правоъгълен трапец с основи a и b и дължина на височината a+b, както е показано на чертежа

От формулата за лице на трапец имаме
(a+b)/2.(a+b)

А от триъгълниците имаме, че лицето на трапеца е равно на:
ab/2 + ab/2 + c2/2

Тоест
(a+b)2/2 = ab + c2/2

a2/2 + b2/2 + ab = ab + c2/2

a2/2 + b2/2 = c2/2

a2 + b2 =c2

Следствия и употреби

Питагорова тройка 
Питагорова тройка представляват три положителни цели числа a, b и , такива че a2 + b2 = 2. С други думи питагорова тройка представляват дължините на страните на правоъгълен триъгълник, чиито дължини на страните са от множесвото на целите числа. Такава тройка често бива записвана като (a, b, ). Известни примери са (3, 4, 5) и (5, 12, 13).

Следва списък на някои питагорови тройки, за които a, b и  са по-малки от 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Питагорово-тригонометрична идентичност 
В правоъгълен триъгълник със страни a, b и хипотенуза  тригонометрията определя синуса и косинуса на ъгъла θ между страна a и хипотенузата като:

От тук следва:

където последната стъпка прилага теоремата на Питагор. Тази връзка между синус и косинус понякога се нарича основна питагорово-тригонометрична идентичност. В подобни триъгълници съотношенията на страните са еднакви независимо от размера на триъгълниците и зависят от ъглите.

Източници 

 Цитирана литература

Външни препратки 
 81 доказателства на теоремата

Теореми
Геометрия