Дзета-функция Римана

Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция  комплексного переменного , при , определяемая с помощью ряда Дирихле:

 

В комплексной полуплоскости  этот ряд сходится, является аналитической функцией от  и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, за исключением особой точки 

Дзета-функция Римана играет очень важную роль в аналитической теории чисел, имеет приложения в теоретической физике, статистике, теории вероятностей.

В частности, если будет доказана или опровергнута до сих пор ни доказанная, ни опровергнутая гипотеза Римана о положении всех нетривиальных нулей дзета-функции на прямой комплексной плоскости , то многие важные теоремы о простых числах, опирающиеся в доказательстве на гипотезу Римана, станут либо истинными, либо ложными.

Тождество Эйлера 
В области  также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)
 

Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Свойства 

 Если взять асимптотическое разложение при  частичных сумм вида
 ,
справедливую для , она же останется верной и для всех , кроме тех, для которых  (это тривиальные корни дзета-функции). Из этого можно получить следующие формулы для :
 , при , кроме ;
 , при , кроме  или ;
 , при , кроме ,  или  и т. д.

 Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
 , где  — число Бернулли.
 В частности,  (ряд обратных квадратов), 
 Кроме того, получено значение , где  — полигамма-функция;
 Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока (2019 г.) доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978), а также то, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы ещё одно иррациональное.
 При 
 , где  — функция Мёбиуса
 , где  — функция Лиувиля
 , где  — число делителей числа 
 
 , где  — число простых делителей числа 
 
 
 При 
 , где  — функция Эйлера
  имеет в точке  простой полюс с вычетом, равным 1.
 Дзета-функция при  удовлетворяет уравнению:
 ,
 где  — гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана, хотя последний и не является ни его автором, ни тем, кто его первым строго доказал.
 Для функции
 ,
 введённой Риманом для исследования  и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид:
 .

Нули дзета-функции 

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости  функция  имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: . Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее,  при вещественных . Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали  и лежат в полосе , которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой .

Представления конкретных значений

ζ(2) 

Из формулы , где  — число Бернулли, получаем, что .

Другие представления в виде рядов 
Ниже приведены другие ряды, сумма которых равна :

Существуют также представления для  вида формулы Бэйли — Боруэйна — Плаффа, позволяющие в некоторых системах счисления вычислять -й знак его записи без вычисления предыдущих:

Интегральные представления 
Ниже приведены формулы для  с участием интегралов, полученные с использованием дзета-функции Римана:

Цепные дроби 

Некоторые из представлений  в виде цепных дробей были получены в связи с аналогичными представлениями для константы Апери , дающими возможность доказать её иррациональность.

ζ(3) 

Одним из наиболее коротких представлений является , получаем, что  , где  — полигамма-функция.

Цепные дроби 
Цепная дробь для константы Апери () выглядит следующим образом:
 
 
Первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо Стилтьес и Рамануджан:

Она может быть преобразована к виду:

Апери смог ускорить сходимость цепной дроби для константы:

ζ(4) 
Из формулы , где  — число Бернулли, получаем, что .

ζ(5) 
Одним из наиболее коротких представлений является , получаем, что  , где  — полигамма-функция.

Обобщения 
Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:

 Дзета-функция Гурвица:
 
 которая совпадает с дзета-функцией Римана при  = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

 Полилогарифм:
 
 который совпадает с дзета-функцией Римана при  = 1.

 Дзета-функция Лерха:
 
 которая совпадает с дзета-функцией Римана при  = 1 и  = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

 Квантовый аналог (-аналог).

Аналогичные конструкции 
В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задача регуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора. Пусть  — неотрицательно определённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектр . Причём существует вещественное число , такое, что оператор  имеет след. Тогда дзета-функция  оператора  определяется для произвольного комплексного числа , лежащего в полуплоскости , может быть задана сходящимся рядом
 
Если заданная таким образом функция допускает аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки , то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора  в соответствии с формулой

История 
Как функция вещественной переменной дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение.
Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел.
Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного.

См. также 
 Список всех дзета-функций

Примечания

Литература 
 .

Ссылки 
 

Дзета- и L-функции