Предел числовой последовательности

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число  называется пределом последовательности , если для любого  существует номер , зависящий от , такой, что для любого  выполняется неравенство .

В случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений. В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

История 
Понятие предела последовательности использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Определение 
Число  называется пределом числовой последовательности , если последовательность  является бесконечно малой, то есть все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.
 
(для всякого малого эпсилон найдётся номер, начиная с которого элементы последовательности будут отличаться от предела меньше чем на эпсилон)

Если число  является пределом числовой последовательности , то говорят также, что последовательность  сходится к .
Если никакое вещественное число не является пределом последовательности , её называют расходящейся.

Для некоторых последовательностей предел полагают равным бесконечности.
А именно, говорят, что последовательность  стремится к бесконечности, если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа.
Формально,
 

Кроме того, если все элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.
 

Если же элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.
 

Любая последовательность, стремящаяся к бесконечности — неограниченная. Однако обратное неверно.
 
Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек (что равносильно, наибольший частичный предел).

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

Обозначения 
Тот факт, что последовательность  сходится к числу  обозначается одним из следующих способов:
 
или

Свойства 
Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из приводимых ниже (доказуемых по определению) свойств предела.

Свойства 

 Единственность предела.

Арифметические свойства 
 взятия предела числовой последовательности является линейным, то есть проявляет два свойства линейных отображений.
 Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.
 
 Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.
 
 Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.
 
 Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.

Свойства сохранения порядка 
 Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.
 
 Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.
 
 Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.
 
 Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.
 
 Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.
 
 Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения).

Другие свойства 
 Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел.
 

 Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.
 

 Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.
 

 Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.

 У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.
 Произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности является бесконечно большой последовательностью.

 Имеет место теорема Штольца.

 Если у последовательности  существует предел, то последовательность средних арифметических  имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).

 Если у последовательности чисел  существует предел , и если задана функция , определённая для каждого  и непрерывная в точке , то

Примеры

Случай комплексных чисел 
Комплексное число  называется пределом последовательности , если для любого положительного числа  можно указать такой номер , начиная с которого все элементы  этой последовательности удовлетворяют неравенству
 при 

Последовательность , имеющая предел , называется сходящейся к числу , что записывается в виде .

Примеры 
Не у всякой ограниченной последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве  последовательность , то у неё не будет предела (однако у неё можно найти верхний и нижний пределы, , то есть пределы её подпоследовательностей — частичные пределы).

См. также 
 Частичный предел
 Замечательные пределы
 Фундаментальная последовательность
 Ряд
 Предел функции
 Неопределённости пределов
 Сравнение бесконечно малых величин
 Последовательность

Примечания 

Ряды и последовательности
Пределы