Rhesymeg osodiadol

Mewn rhesymeg a mathemateg, mae rhesymeg osodiadol (neu galcwlws gosodiadol) yn system ffurfiol lle gellir ffurfio fformwlâu sy'n cynrychioli gosodiadau trwy gyfuno gosodiadau atomaidd gan ddefnyddio cysylltion rhesymegol, a system o reolau prawf ffurfiol sy'n galluogi dangos fod fformwlâu neilltuol yn "theoremau" o fewn y system.

Mae'r isod yn amlinellu rhesymeg osodiadol safonol. Gellir ffurfio systemau sydd mwy neu lai'n gywerth, ond sy'n amrywio o ran (1) eu hiaith, hynny yw, eu casgliad o symbolau atomaidd a symbolau gweithredyddion, (2) eu set o wirebau, a (3) y set o reolau didwytho.

Disgrifiad cyffredinol o resymeg osodiadol
System ffurfiol, , yw rhesymeg osodiadol, gyda'i fformwlâu wedi eu llunio fel a ganlyn:

 Mae'r set alffa, , yn set feidraidd o elfennau a gelwir yn neu'n newidynnau gosodiadol. O safbwynt cystrawennol, rhain yw elfennau mwyaf sylfaenol yr iaith ffurfiol , ac fe'u celwir yn fformwlâu atomig yn rhinwedd hynny.  Yn yr enghreifftiau a ganlyn, y llythrennau p, q, r ac yn y blaen yw elfennau .
 Set feidraidd o elfennau a gelwir yn symbolau gweithredyddion yw'r set omega, . Dosrennir  yn is-setiau cyd-anghynwysol fel a ganlyn:

 

 Yn y dosraniad hwn,  yw'r set o symbolau gweithredyddion gydag ol-der .

 Mewn rhai rhesymegau gosodiadol cyffredin, dosrennir  fel a ganlyn:

 

 

 Yn aml, caiff gwerth rhesymegol ei drin fel gweithredydd ag ol-der sero, felly:

 

 Defnyddia rai awduron (~) yn lle (¬), a defnyddia rai (&) yn lle (). Amrywia nodiant yn fwy fyth o ran y set o werthoedd rhesymegol, gyda symbolau megis {gwir, an-wir}, {F, T}, {0, 1}, ac {, } i'w gweld mewn sawl cyd-destun.

 Gan ddibynnu ar y cystrawen a defnyddir, gall fod symbolau ychwanegol, cystrawennol, megis "(", a ")", yn angenrheidiol i gwblhau fformwlâu.

Diffinnir yr iaith (ffurfiol)  (a gelwir hefyd yn set o fformwlâu, neu'n fformwlwâu-iawn-ffurfedig), yn anwythol neu'n iterus gan y rheolau canlynol:

 Sylfaen.  Mae unrhyw elfen o'r set  yn frawddeg o .
 Cam (i).  os mae p yn frawddeg, yna mae ¬p yn frawddeg.
 Cam (ii).  os mae p a q yn frawddegau, yna mae (p  q), (p ∨ q), (p → q), a (p ↔ q) yn frawddegau.
 Cau.  Does dim byd arall yn frawddeg.

 Mae'r set zeta, , yn set feidraidd o reolau trawsffurfio a gelwir yn  rheolau didwythiad pan mae cymhwysiad rhesymegol iddynt.
 Mae'r set iota, , yn set feidraidd o bwyntiau cychwynnol a gelwir yn wirebau pan mae cymhwysiad rhesymegol iddynt.

Enghraifft allweddol.  System gyda gwirebau syml
Gadewch i , lle diffinnir  fel a ganlyn:

 Mae'r set  digon fawr i fodloni anghenion y drafodaeth:

 

er enghraifft. O'r tri cysylltydd ar gyfer "ac," "neu," ac "ymhlyga," (∧, ∨, a →), gellir cymryd un fel symbol cyntefig, a diffinio'r lleill gan ei ddefnyddio ynghyd â "nacáu" (¬). (Yn wir, gellir diffinio'r cysylltyddion i gyd yn nhermau un gweithredydd. Wrth gwrs, gellir diffinio "yn unfath â" (↔) yn nhermau'r symbolau eraill, gyda a ↔ b wedi'i diffinio'n (a → b) ∧ (b → a).

Mae fabwysiadu (¬) a (→) fel dau weithredydd cyntefig y resymeg osodiadol dan sylw, yn cyfateb i gael  y dosraniad canlynol o :

 

 

Darganfu Jan Łukasiewicz system o wirebau sy'n deillio rhesymeg osodiadol. Y gwirebau yw'r fformwlâu canlynol, gydag unrhyw fformwla dilys wedi mewnosod yn lle'r newidynnau:

 

 

 

Modus ponens yw'r rheol didwytho, hynny yw, o p a (p → q), didwyther q. Yna, diffinnir a ∨ b yn ¬a → b, ac a ∧ b yn ¬(a → ¬b).

Rhesymeg
Sylfeini mathemateg