Движение (математика)

Движе́ние (или наложе́ние) — преобразование метрического пространства, сохраняющее расстояние между соответствующими точками, то есть если  и  — образы точек  и , то .
Иначе говоря, движение — это изометрия пространства в себя.

Несмотря на то, что движение определяется на всех метрических пространствах, этот термин более распространён в евклидовой геометрии и смежных областях.
В  метрической геометрии (в частности, в римановой геометрии) чаще говорят: изометрия пространства в себя. В общем случае метрического пространства (например, для неплоского риманова многообразия) движения могут существовать далеко не всегда.

Иногда под движением понимают преобразование евклидова пространства, сохраняющее ориентацию.
В этом случае, осевая симметрия плоскости движением не считается, а поворот и параллельный перенос считаются движением.
Аналогично для общих метрических пространств движением считается элемент группы изометрий из связной компоненты тождественного отображения.

В евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве движение автоматически сохраняет также углы, так что сохраняются все скалярные произведения.

Далее в этой статье рассматриваются изометрии только евклидова точечного пространства.

Собственные и несобственные движения 
Пусть  — движение евклидова точечного пространства  а  — пространство свободных векторов для пространства . Линейный оператор  ассоциированный с аффинным преобразованием  является ортогональным оператором, и поэтому его определитель может быть равен либо  (собственный ортогональный оператор), либо  (несобственный ортогональный оператор). В соответствии с этим и движения подразделяются на два класса: собственные (если ) и несобственные (если ).

Собственные движения сохраняют ориентацию пространства  несобственные — заменяют её на противоположную. Иногда собственные и несобственные движения называют соответственно перемещениями и антиперемещениями.

Всякое движение n-мерного евклидова точечного пространства  может быть однозначно определено указанием ортонормированного репера  в который при данном движении переходит заранее выбранный в пространстве  ортонормированный репер  При этом в случае собственного движения новый репер ориентирован так же, как и исходный, а в случае несобственного движения новый репер ориентирован противоположным образом. Движения всегда сохраняют расстояния между точками пространства  (т. e. являются изометриями), причём никаких других изометрий, кроме собственных и несобственных движений, не существует.

В механике в понятие «движение» вкладывается другой смысл; в частности, оно всегда рассматривается как непрерывный процесс, происходящий в течение некоторого промежутка времени (см. механическое движение). Если, следуя П. С. Александрову, называть непрерывным движением такое движение пространства  которое непрерывно зависит от параметра  (при  в механике это соответствует движению абсолютно твёрдого тела), то ортонормированный репер  может быть получен непрерывным движением из ортонормированного репера  тогда и только тогда, когда оба репера ориентированы одинаково.

Частные виды изометрий

На прямой 
Любое движение прямой есть либо параллельный перенос (сводящийся к смещению всех точек прямой на один и тот же вектор, лежащий на этой же прямой), либо отражение относительно некоторой точки, взятой на данной прямой. В первом случае движение является собственным, во втором — несобственным.

На плоскости 
Любое движение плоскости относится к одному из следующих типов:
 Параллельный перенос;
 Поворот;
 Осевая симметрия (отражение);
 Скользящая симметрия — суперпозиция переноса на вектор, параллельный прямой, и симметрии относительно этой прямой.

Движения первых двух типов — собственные, последних двух — несобственные.

В трёхмерном пространстве 
Любое движение трёхмерного пространства относится к одному из следующих типов:
 Параллельный перенос;
 Поворот;
 Винтовое движение — суперпозиция поворота относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой;
 Зеркальная симметрия (отражение) относительно плоскости;
 Скользящая симметрия — суперпозиция переноса на вектор, параллельный плоскости, и симметрии относительно этой плоскости;
 Зеркальный поворот — суперпозиция поворота вокруг некоторой прямой и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота.

Движения первых трёх типов исчерпывают класс собственных движений трёхмерного пространства (теореме Шаля), а движения последних трёх типов являются несобственными.

В n-мерном пространстве 

В -мерном пространстве движения сводятся к ортогональным преобразованиям, параллельным переносам и суперпозициям тех и других.

В свою очередь, ортогональные преобразования могут быть представлены как суперпозиции (собственных) вращений и зеркальных отражений (т. e. симметрий относительно гиперплоскостей).

Движения как суперпозиции симметрий 
Любую изометрию в -мерном евклидовом пространстве можно представить в виде суперпозиции не более чем n+1 зеркальных отражений.

Так, параллельный перенос и поворот — суперпозиции двух отражений, скользящее отражение и зеркальный поворот — трёх, винтовое движение — четырёх.

Общие свойства изометрий 
 Суперпозиция изометрий также является изометрией.
 Изометрии евклидова пространства E относительно операции суперпозиции образуют группу Iso(E), являющуюся группой Ли.
 Изометрия — частный случай аффинного преобразования (так что Iso(E) является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы Aff(E) пространства E).
 Группа Iso(E) состоит из двух связных компонент: множества Iso+(E) собственных движений (которое само является группой Ли) и множества Iso–(E) несобственных движений; каждая из этих компонент линейно связна.
 Изометрия, будучи аффинным преобразованием, всегда переводит отрезок снова в отрезок.

Примечания

Литература