Спектр оператора

Спектр оператора — множество чисел, характеризующее линейный оператор. Применяется в линейной алгебре, функциональном анализе и квантовой механике.

Конечномерный случай 
Пусть A — оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве E.
Спектром оператора (обычно обозначается ) называется множество его собственных значений.

Квадратную матрицу порядка  можно рассматривать как линейный оператор в n-мерном пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины.
В этом случае говорят о спектре матрицы.

Общее определение 
Пусть A — оператор, действующий в банаховом пространстве E над . Число λ называется регулярным для оператора A, если оператор , называемый резольвентой оператора A, определён на всём E и непрерывен. Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора . Спектр ограниченного оператора представляет собой компакт в  или является пустым. Спектр линейного ограниченного оператора непуст.

Внутри спектра оператора можно выделять части, не одинаковые по своим свойствам. Одной из основных классификаций спектра является следующая:
 дискретным (точечным) спектром  называется множество таких , при которых оператор  не инъективен. Дискретный спектр является множеством всех собственных значений оператора A; в конечномерном случае присутствует только точечный спектр;
 непрерывным спектром  называется множество значений , при которых резольвента  определена на всюду плотном множестве в E, но не является непрерывной (то есть оператор  инъективен, но не сюръективен, а его образ всюду плотен);
 остаточным спектром  называется множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части (то есть оператор  инъективен, не сюръективен, причем его образ не является всюду плотным).

Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через . При этом выполняется равенство
.

В комплексном случае резольвента является голоморфной операторнозначной функцией на резольвентном множестве. В частности, при  она может быть разложена в ряд Лорана с центром в точке .

Разность двух максимальных по абсолютной величине значений из спектра называется спектральной щелью ().

В квантовой механике 
Спектр самосопряжённых операторов играет важную роль в квантовой механике, определяя множество возможных значений наблюдаемой при измерении. В частности, спектр гамильтониана определяет допустимые уровни энергии квантовой системы.

Непрерывный спектр в квантовой механике
Непрерывный спектр — это спектр значений физической величины, в котором в отличие от дискретного спектра значение этой величины определено для каждого собственного состояния системы, причем бесконечно малое изменение состояния системы приводит к бесконечно малому изменению физической величины. В качестве физической величины могут выступать: координата, импульс, энергия, орбитальный момент движения и т. д. Так как произвольная волновая функция 
 может быть разложена в ряд по собственным функциям величины с дискретным спектром, то она может быть также разложена и в интеграл по полной системе собственных функций величины с непрерывным спектром.

См. также 
 Проектор (алгебра)
 Спектр алгебры

Литература 

 

Теория операторов
Матрицы
Квантовая механика
Спектр по типу
Спектральная теория