Мезоскопическая физика

Мезоскопи́ческая фи́зика или кратко мезоско́пика (от ) — раздел физики конденсированных сред, в котором рассматриваются свойства систем на масштабах промежуточных между макроскопическим и микроскопическим. Термин ввёл в 1981 году датский физик . Многие законы, полученные в макроскопической физике, неприменимы в области мезоскопических размеров, например последовательно соединённые сопротивления нельзя вычислить суммированием отдельных сопротивлений, а следует учитывать квантовые эффекты. Именно мезоскопические размеры накладывают ограничения на классический транспорт в полупроводниках. Мезоскопика возникла в 80-х годах XX века как ответ на технологический прогресс микро- и нанолитографии, роста монокристаллов, а также инструментов типа сканирующего туннельного микроскопа, позволяющего проводить измерения на атомарном уровне.

Под микроскопическим масштабом понимают размеры, сравнимые с размерами одного атома или с длиной одной химической связи, то есть с боровским радиусом. Под макроскопическим понимают масштаб, при котором из-за неупругих столкновений теряется квантовая когерентность или фазовая когерентность — то есть становится невозможной интерференция траекторий частиц. Это происходит из-за неупругих столкновений носителей, например при рассеянии на фононах или точечных дефектов, что сбивают фазу волновой функции. Этот размер характеризуется длиной сбоя фазы и играет роль характерного масштаба при рассмотрении эффектов, которые приводят к поправкам к проводимости, где важна интерференция, таким как слабая локализация, универсальные флуктуации проводимости, эффект Ааронова — Бома. Одна из задач мезоскопики заключается в учёте таких интерференционных членов в проводимости макроскопических образцов.

С точки зрения транспорта в структурах под микроскопическим масштабом следует понимать всякий размер меньше длины свободного пробега носителей тока. Стоит учитывать, что если система обладает макроскопической когерентностью, то это тоже мезоскопическая система, как в случае сверхпроводников. Топологически защищённые состояния, как в случае квантового эффекта Холла, которые можно наблюдать даже при комнатной температуре в графене, тоже мезоскопическая система. Соответственно, мезоскопическая физика изучает явления сильной и слабой локализации, туннелирования и прыжковой проводимости. Мезоскопическими являются такие системы, свойства которых определяются поведением одной квазичастицы.

Границы макроскопической области существенно зависят от температуры и характера движения частиц (является ли он баллистическим или диффузионным).

Согласно этому определению к мезоскопической физике относятся не только явления в устройствах с мезоскопическими размерами, но и явления в макроскопических устройствах, которые происходят на мезоскопических масштабах, то есть определяются интерференцией. Например, к задачам мезоскопической физики относят нахождение квантовых поправок к сопротивлению макроскопических образцов.

Обзор 
Квантовая когерентность — основное понятие мезоскопической физики, которое определяется для слабовзаимодействующих квазичастиц в мезоскопических системах движущихся в самосогласованном поле. Оно характеризуется временем фазовой когерентности, связанным с длиной фазовой когерентности, которая типично много больше расстояния между атомами. Длина фазовой когерентности увеличивается при уменьшении температуры, и уменьшается при увеличении количества дефектов в системе. Именно эта длина, которая оказывается порядка размеров изучаемой системы характеризует наличие мезоскопического транспорта в системе. В мезоскопике электронный транспорт описывается в формализме Ландауэра — Бюттикера, который позволяет ответить на вопрос о линейной проводимости или просто проводимости многоконтактных (двухконтактный образец, холловский мост, ван дер Пау геометрия) образцов. Тип контактов (омические, туннельные) приобретает важное значение при изучении транспорта в мезоскопических образцах. Например, при достаточно малого размера островка и двух туннельных контактов влияние кулоновского взаимодействия приводит к эффекту кулоновской блокады, когда в проводящей системе ток не может течь пока электрон не покинет островок. Если островок имеет размер много больший фермиевской длине волны и много меньше, чем длина свободного пробега возникает транспорт типа , когда электрон вынужден многократно отражаться от стенок островка прежде чем попасть во второй контакт.

Исторически, мезоскопическая физика изучала вопросы когерентного транспорта в неупорядоченных системах. При достаточно малом размере изучаемых систем (порядка длине фазовой когерентности) проводимость больше не описывалась классической формулой Друде, и возникали квантовые поправки к проводимости, среди которых слабая локализация, эффект Ааронова — Бома, универсальные флуктуации кондактанса. Транспорте в таких системах размера порядка , при условии
 
где  — фермиевская длина волны,  — длина свободного пробега,  — длина фазовой когерентности, существенно зависит от беспорядка. При низких температурах длину фазовой когерентности можно оценить величиной порядка 1 μм. В то же время фермиевская длина волны электронов для типичного металла составляет 0,1 нм, а для двумерного электронного газа в гетероструктурах GaAs/AlGaAs она достигает 100 нм. По мере того, как прогресс в технологиях и особенно в нанолитографии позволял выращивать всё более чистые материалы и достигать более низкие температуры — размеры мезоскопических систем росли — ведь они ограничены только длиной фазовой когерентности. Появились системы с длиной свободного пробега порядка микрона или десятков микрон. Баллистические структуры демонстрируют необычное поведение в магнитном поле. Например для достаточно малых размеров (геометрия «крест») возможно разрушение квантового эффекта Холла, который славится свой нечувствительностью к дефектам, но в чистых баллистических системах может пропадать.

Свойства мезоскопических систем могут качественно отличаться от макроскопических. Например, в кольцевом макроскопическом проводнике, помещённым в изменяющееся внешнее магнитное поле возникает ток, в то же время для мезоскопического кольца незатухающий ток возникает при постоянном магнитном потоке.

Квантовые поправки к проводимости

Мезоскопический образец 
Для изучения электронного (или фононного) транспорта в мезоскопическом образце или мезоскопической системе, он должен иметь контакты со внешней средой. Такие контакты также называемые резервуарами или берегами, через которые можно пропускать ток обладают макроскопическими размерами и находятся в термодинамическом равновесии, характеризующимся термодинамической температурой и химическим потенциалом. Электроны в контактах подчиняются статистике Ферми — Дирака, но если между контактами приложена разность потенциалов или разница температур, то сам мезоскопический образец не будет находится в равновесии с контактами. В мезоскопическом образце протекание тока — это сильно неравновесный процесс, поскольку электроны, попадающие в систему из разных контактов, имеют различные энергии.

Теория Друде 

Теория Друде появилась в 1900 году, но основные выражения для некоторых физических величин (для эффекта Холла, высокочастотной проводимости) используют и сейчас, хотя смысл некоторых параметров поменялся из-за современного знания кинетических явлений в металлах и полупроводниках. Уровень Ферми в металлах находится в зоне проводимости — таким образом приложенное электрическое поле ускоряет электроны пока они не испытывают рассеяние из-за дефектов. Теория Друде, в современной трактовке, учитывает усреднение по рассеивателям, вызывающие неупругие столкновения и представляет собой одноэлектронную модель. Для удельной проводимости металла используется следующее выражение
 
где
  — удельная электрическая проводимость;
  — концентрация электронов;
  — элементарный заряд;
  — время релаксации по импульсам (время, за которое электрон «забывает» о том, в какую сторону двигался);
  — эффективная масса электрона.
Эта формула описывает все размерности, поскольку её размерность изменяется для концентрации. Время релаксации описывает рассеяние на большие углы — в таком случае электрон не движется в направлении приложенного электрического поля. Формула имеет смысл только для классического (или квазиклассического) транспорта, где несущественен вклад квантовых явлений. Согласие с экспериментом удельных проводимостей в квазиклассическом подходе, где электронные транспортные свойства хорошо описываются усреднением по беспорядку. Но в 80-х годах XX века оказалось, что в мезоскопических образцах это не так.

Многие квантовые явления, например связанные с интерференцией, в мезоскопике рассматривают как поправки к удельной проводимости заданной формулой Друде.

Эффект Ааронова — Бома 

Эффект Ааронова — Бома проявляется в том, что при движении в магнитном поле волновая функция электрона приобретает дополнительный сдвиг фазы равный
 
где  — обозначает траекторию электрона,  — элемент длины этой траектории,  — векторный потенциал связанный с магнитным полем,  — элементарный заряд. Если рассмотреть какую-нибудь замкнутую траекторию, эта дополнительная фаза должна повлиять на интерференционную картину. Например, если электрон двигается в проводящем золотом кольце, соединённым с двумя контактами, а магнитное поле  направлено перпендикулярно плоскости кольца, то данная фаза повлияет на интерференцию между путями расположенными в разных каналах кольцевого интерферометра. При достаточно низких температурах будут наблюдаться осцилляции проводимости этой мезоскопической системы при изменении магнитного поля
 
где — площадь кольца,  — квант магнитного потока.

Слабая локализация 

При сильном беспорядке нарушения периодической структуры кристалла настолько велики, что радиус локализации сравним с расстоянием между атомами. Такая система испытывает андерсоновскую локализацию или сильную локализацию и становится непроводящей. При этом
произведение длины свободного пробега электрона le и фермиевского импульса становится меньше постоянной Планка (это условие называется критерием Иоффе — Регеля)
 
В другом пределе электроны делокализованы
 
волновые функции электрона приобретают вид блоховских волн. Если информация о фазе волновой функции сохраняется порядка времени фазовой когерентности, то все процессы рассеяния сохраняющие фазы приводят к интерференции. В этом длина свободного пробега много меньше длины фазовой когерентности и процесс рассеяния можно отобразить как показано на рисунке. Интерференция возникает для двух возможных путей обходов вдоль траектории. Конструктивная интерференция приводит к увеличению вероятности обнаружить частицу в начале пути — что соответствует увеличению рассеяния или уменьшению проводимости или наоборот деструктивная интерференция соответствует невозможности обнаружить частицы в начале пути, увеличению проводимости. Начальная точка определяется из соотношения неопределённости. Поправка к проводимости для d-мерного случая описывается интегралом
 .
где τ — время релаксации по импульсам, τφ — время фазовой когерентности, D — коэффициент диффузии, λ — де Бройлевская длина волны электрона. Время фазовой когерентности определяется неупругими процессами, то есть меняющими энергию электрона. Рассеяние на электронах и фононах — основные процессы влияющие на τφ. При температурах менее и порядка 1К на время фазовой когерентности влияет электронное рассеяние на электронах, а при больших вклад вносят фононы. Для двумерной системы поправку к проводимости из-за слабой локализации модно записать в виде
 
Экспериментально для тонких плёнок, любой механизм неупругого рассеяния для времени фазовой когерентности имеет степенную зависимость, поэтому температурная зависимость поправки имеет также логарифмический вид.

Универсальные флуктуации кондактанса

Дефазировка

Формализм Бюттикера — Ландауэра 

Ландауэр рассмотрел идеальный одномерный случай транспорта в двухконтактном образце с барьером в 1957 году. Идеальность подразумевает отсутствие рассеяния. Единственный источник беспорядка задаётся коэффициентом пропускания барьера T. При коэффициенте пропускания равным единице канал полностью прозрачен. Если ситуация неидеальна, то часть электронов отражается с вероятностью R=1-T. Электронные резервуары подсоединённые с заданными химическими потенциалами поставляют электроны в систему. При разнице в химических потенциалах между правым и левым контактами при приложении напряжения μ1-μ1=eV возникает ток I в системе. Можно показать, что при нулевой температуре (случай полного вырождения) кондактанс одномерного канала (учтено спиновое вырождение), измеренного между двумя внешними резервуарами, равен
 
который при идеальном прохождении остаётся конечным и связан с термализацией электронов в контактах. Более строго эта зависимость вычисляется с использованием формулы Кубо. Несмотря на то, что это выражение напоминает обычный закон Ома, интерференция приводит к тому, что результат для двух последовательных барьеров уже не согласуется с классическим результатом и обычно оказывается больше, чем сумма сопротивлений.

Одномерный случай представляет собой простейшую задачу о баллистическом транспорте в системе с одним рассеивателем. Она оказывается довольно универсальна когда речь идёт о транспорте в одномерных системах. Для общего случая рассматривают квазиодномерную систему и считают, что система поддерживает N мод, каждая из которых служит отдельным проводящим каналом и проводит ток в соответствии с характеристикой рассеивателей в системе. Задача формулируется в терминах многоканального рассеивания, когда мода i может пройти или отразиться с вероятностями Tij, Rij соответственно в j-тый канал. Полная вероятность прохождения и отражения в канале i задаются выражениями
 
В сумме кондактанс многомодовой системы при разности химических потенциалов много меньших теплового размытия (~kT) приобретает вид интеграла по энергии
 
где f — функция Ферми — Дирака.

Квантовый точечный контакт 

Как показано выше для одномерных проводящих каналов проводимость квантуется. Такая ситуация возникает во многих системах в мезоскопической физике. Нанопроволока или графеновые наноленты, углеродные нанотрубки — это типичные примеры одномерных систем. Существуют также системы, которые формально не являются одномерными, но ведут себя в соответствии с формулой Ландауэра — это система с двумерным электронным газом (ДЭГ) в квантующем магнитном поле и квантовый точечный контакт. Квантовый точечный контакт представляет собой микросужение в ДЭГ сформированное посредством нанолитографии. Его формируют с помощью мезы — полностью удаляют ДЭГ, но это увеличивает количество дефектов по краям проводящего канала или формируют локальные затворы, которые обедняют часть ДЭГ с помощью эффекта поля. Сужение имеет размер сопоставимый с длиной волны электрона, которая определяется законом дисперсии и уровнем Ферми и быть много меньше, чем длина свободного пробега электронов — что приводит к возникновению баллистического транспорта носителей тока в системе. Размер сужения настолько мал, что формирует барьер для электронов, в котором существует несколько квантованных уровней энергии — определяемый квантованием при поперечном движении, зависящем от размера и эффективной массы электронов, но в то же время при движении вдоль канала волновые функции электронов представимы в виде плоских волн. Если уровень Ферми в системе превышает основной уровень квантования в микросужении, то возникает ток в системе. Микросужение характерно тем, что канал сформированный электростатически меняется плавно в зависимости от расстояния до самого узкого места. Это приводит к адиабатическому транспорту — то есть если электрон попадает в область микросужения с достаточной энергией, то он проходит его, тем самым формируя идеальный коэффициент пропускания T=1 для всех мод. Ступеньки в кондактансе полученные из выражение приведено выше принимают вид
 
где N — это число поперечных мод в микросужении. При повышении температуры наблюдается размытие ступеней в связи с уширением распределения Ферми — Дирака.

Квантовый эффект Холла 

Квантовый эффект Холла наблюдается в двумерной проводящей системе. Эффект заключается в возникновении ступеней со значением холловских сопротивлений — измеренных в геометрии моста Холла — кратным постоянной Клитцинга был открыт в 1980 году в кремнии. Теория Друде хорошо описывает поведение ДЭГ в сильных классических магнитных полях, поскольку как было показано выше в слабых полях возникают поправки к проводимости, но из-за квантования спектра электронов в сильном перпендикулярном квантующем магнитном поле ситуация кардинально меняется. Вместо линейной зависимости холловского сопротивления от магнитного формировалась серия ступенек, причём продольная компонента сопротивления обращалась в величину близкую к нулю. В оригинальной работу было показано, что квантование выполнялось с хорошей относительной точностью порядка 1. Возникновение ступенек связано с формированием одномерных проводящих каналов на краях образца, транспорт в которых можно описать в терминах теории Бюттикера — Ландауэра для геометрии холловского моста.

Прыжковый транспорт

Переход металл — изолятор

Скейлинговая гипотеза

Квантовые фазовые переходы

Примечания 
Комментарии

Источники

Литература 

На русском языке
 
 
 
 
 
 
На английском языке