Область целостности

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие коммутативной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо без делителей нуля (произведение никакой пары ненулевых элементов не равно 0). 

Эта статья следует соглашению о том, что области целостности имеют мультипликативный нейтральный элемент, обычно обозначаемый как 1, но некоторые авторы не требуют, чтобы области целостности имели мультипликативный нейтральный элемент. 

Эквивалентное определение: область целостности — это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

Примеры 
 Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел .
 Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо  многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо  многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами. Также является целостным кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из целостного кольца.
 Множество действительных чисел вида  есть подкольцо поля , а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида , где  и  целые (множество гауссовых целых чисел).
 Пусть  — связное открытое подмножество комплексной плоскости . Тогда кольцо  всех голоморфных функций  будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.
 Если  — коммутативное кольцо, а  — идеал в , то факторкольцо  целостное тогда и только тогда, когда  — простой идеал.

Делимость, простые и неприводимые элементы 

Пусть  и  — элементы целостного кольца . Говорят, что « делит » или « — делитель » (и пишут ), тогда и только тогда, когда существует элемент  такой, что .

Делимость транзитивна: если  делит  и  делит , то  делит . Если  делит  и , то  делит также их сумму  и разность .

Для кольца  с единицей делители единицы, то есть элементы , делящие 1, называются также (алгебраическими) единицами. Они и только они в  имеют обратный элемент, так что делители единицы называются также обратимыми элементами. Обратимые элементы делят все остальные элементы кольца.

Элементы  и  называются ассоциированными, если  делит  и  делит .  и  ассоциированны тогда и только тогда, когда
, где  — обратимый элемент.

Ненулевой элемент , не являющийся единицей, называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся обратимыми.

Ненулевой необратимый элемент  называется простым, если из того, что , следует  или . Это определение обобщает понятие простого числа в кольце , однако учитывает и отрицательные простые числа. Если  — простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал  будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства 

 Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
 Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение даёт конструкция поля частных.
Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
  целостных колец тоже будет целостным кольцом.
 Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом.

Вариации и обобщения 
Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности.
Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы.
Однако неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

Литература 
 

Теория колец
Коммутативная алгебра