Pi (mathemateg)

Mae'r cysonyn mathemategol π (a sillefir hefyd fel pi) yn rhif real, anghymarebol sydd yn fras yn hafal i 3.141592654 (i 9 lle degol) ac a gafodd ei enwi gan William Jones, mathemategydd o Gymru. Hwn yw'r gymhareb o gylchedd cylch i'w ddiamedr yn ôl geometreg Ewclidaidd. Mae gan π nifer o ddefnyddiau mewn Mathemateg, Ffiseg a Pheirianneg. Enwau arall am π yw Cysonyn Archimedes a Rhif Ludolph. Dethlir Diwrnod Pi ar 14 Mawrth yn flynyddol.

Fe'i diffinnir mewn geometreg Ewclidaidd fel cymhareb (cylchedd) cylch â'i ddiamedr, ac mae ganddo hefyd amryw o ddiffiniadau tebyg. Mae'r rhif 3.14159 yn ymddangos mewn sawl fformiwla ym mhob maes o fathemateg a ffiseg.

Gan ei fod yn Rhif anghymarebol, ni ellir mynegi  fel ffracsiwn cyffredin, er bod ffracsiynau fel  yn gyffredin a ddefnyddir i'w amcangyfrif. Yn yr un modd, nid yw ei gynrychiolydd degol byth yn dod i ben a byth yn setlo i batrwm ailadroddus. Mae'n ymddangos bod ei ddigidau degol (neu fôn arall ) yn cael eu dosbarthu ar hap, ac fe'u rhagdybir i fodloni math penodol o hap ystadegol.

Mae'n hysbys bod  yn rhif trosgynnol: nid yw'n wraidd unrhyw polynomial â chyfernodau rhesymegol. Mae trosgynniaeth  yn awgrymu ei bod yn amhosib datrys yr her hynafol o sgwario'r cylch gyda chwmpawd a phren mesur!

Roedd gwareiddiadau hynafol fel yr Eifftiaid a'r Babiloniaid, yn gofyn am amcangyfrifon eithaf cywir o  ar gyfer cyfrifiannau ymarferol. Tua 250 CC, creodd y mathemategydd Groegaidd Archimedes algorithm i amcangyfrif  gyda chywirdeb mympwyol. Yn y 5g OC, amcangyfrifodd mathemategwyr Tsieineaidd  i saith digid, tra amcangyfrifodd mathemategwyr Indiaidd hyd at pum digid, y ddau yn defnyddio technegau geometreg. Darganfuwyd y fformiwla gyfrifiadol gyntaf ar gyfer , yn seiliedig ar gyfresi anfeidrol, mileniwm yn ddiweddarach, pan ddarganfuwyd y gyfres Madhava-Leibniz gan ysgol seryddiaeth a mathemateg Kerala, a ddogfennwyd yn yr Yuktibhāṣā, ac a ysgrifennwyd tua 1530.

Ochr yn ochr gyda datblygiad calcwlws, datblygodd y gallu i gyfrifo cannoedd o ddigidau o , digon ar gyfer yr holl gyfrifiannau gwyddonol ymarferol. Serch hynny, yn yr 20fed a'r 21g, mae mathemategwyr a chyfrifiadurwyr wedi ymestyn cynrychiolaeth degol  i sawl triliwn o ddigidau. Y prif gymhelliant dros y cyfrifiannau hyn yw fel achos prawf i ddatblygu algorithmau effeithlon i gyfrifo cyfresi rhifol, yn ogystal â'r ymgais i dorri record. Defnyddiwyd y cyfrifiadau helaeth dan sylw hefyd i brofi uwchgyfrifiaduron ac algorithmau lluosi manwl iawn.

Diwrnod Pi

Ers 1988 mae 14 Mawrth wedi cael ei ddynodi'n ddiwrnod rhyngwladol π a datblygodd i fod yn ddathliad byd-eang. Deilliodd y syniad o gael diwrnod pai o San Francisco, Unol Daleithiau'r America, lle defnyddir y fformat 'mis/dydd/blwyddyn' ar gyfer dyddiadau; o ddilyn y patrwm hwn, mae 14 Mawrth yn cyfateb i dri digid cynta'r rhif. Mae'r diwrnod hefyd yn gyfle i hyrwyddo mathemateg yn gyffredinol, yn enwedig pethau pob dydd fel gwiro arian cyfrifoedd banc.

I gydnabod y cysylltiad Cymreig dynodwyd 14 Mawrth yn Ddiwrnod Pai Cymru gan Lywodraeth Cymru yn 2015 i'w ddathlu yn flynyddol o hynny ymlaen.

Diffiniad 
Mewn geometreg Ewclidaidd, diffinnir π fel y gymhareb o gylchedd cylch i'w ddiamedr, neu fel cymhareb arwynebedd cylch i arwynebedd sgwâr ag ochrau sy'n hafal i radiws y cylch. Gellir diffinio'r cysonyn π mewn ffyrdd eraill hefyd.

Oherwydd bod ei ddiffiniad mwyaf elfennol yn ymwneud â'r cylch, mae  i'w gael mewn sawl fformiwla mewn trigonometreg a geometreg, yn enwedig y rhai sy'n ymwneud â chylchoedd, elipsau a sfferau. Mewn dadansoddiad mathemategol mwy modern, diffinnir y rhif yn lle hynny gan ddefnyddio priodweddau sbectrol y system rhifau real, fel eigenvalue neu gyfnod, heb unrhyw gyfeiriad at geometreg. Mae'n ymddangos felly mewn meysydd mathemateg a gwyddorau nad oes ganddynt lawer i'w wneud â geometreg cylchoedd, megis theori rhif ac ystadegau, yn ogystal ag ym mron pob maes ffiseg. Mae hollbresenoldeb , felly, yn ei wneud yn un o'r cysonion mathemategol mwyaf adnabyddus - y tu mewn a'r tu allan i'r gymuned wyddonol. Cyhoeddwyd sawl llyfr sy'n ymwneud â , ac mae cyfrifiadau torri record nifer digidau yn aml yn arwain at benawdau'r newyddion, drwy'r byd, ond yn enwedig yng Nghymru, cartref .

Diffinnir yn aml fel y gymhareb rhwng cylchedd cylch  s ddiffinir yn aml fel "y gymhareb rhwng cylchedd cylch a'i ddiamedr :

 

Mae'r gymhareb  yn gysonyn, waeth beth yw maint y cylch. Er enghraifft, os oes gan gylch ddwywaith diamedr cylch arall, bydd ganddo ddwywaith y cylchedd hefyd, gan gadw'r un gymhareb . Mae'r diffiniad hwn o  yn defnyddio geometreg fflat (Ewclidaidd), er y gellir ymestyn y syniad o gylch i unrhyw geometreg cromlin (di-Ewclidaidd), ond ni fydd y cylchoedd newydd hyn yn bodloni'r fformiwla  mwyach. 

Yma, cylchedd cylch yw hyd yr arc o amgylch perimedr y cylch, maint y gellir ei ddiffinio'n ffurfiol yn annibynnol ar geometreg gan ddefnyddio terfynau - cysyniad o fewn calcwlws. Er enghraifft, gall un gyfrifo hyd arc hanner uchaf cylch yr uned yn uniongyrchol, a roddir mewn cyfesurynnau Cartesaidd gan yr hafaliad , fel yr integryn:

 

Mabwysiadwyd integryn fel hyn yn y diffiniad o  gan Karl Weierstrass, a'i diffiniodd yn integryn ym 1841. Nis defnyddir y diffiniad hwn bellach.

π fel llythyren 
Enw'r lythyren Roegaidd π yw pi. Defnyddir y sillafiad yma mewn cyd-destun cysodol pan nad oes modd defnyddio'r lythyren Roegaidd neu pan fydd y defnydd o'r symbol yn achosi dryswch.

Y symbol a ddefnyddir gan fathemategwyr i gynrychioli cymhareb cylchedd cylch â'i ddiamedr yw'r llythyren Roegaidd , sy'n deillio o lythyren gyntaf y gair Groeg perimetros, sy'n golygu cylchedd. Yn ôl Uned Technolegau Iaith Prifysgol Bangor, yn y Gymraeg, yngenir y lythyren Roegaidd hon fel "pi" gan ddilyn yr ynganiad Roegaidd yn hytrach na'r ynganiad Saesneg "pai". Mewn defnydd mathemategol, mae'r llythyren fach  yn cael ei gwahaniaethu oddi wrth ei phrif lythyren Π, gan fod honno'n dynodi cynnyrch o ddilyniant mewn mathemateg, sy'n cyfateb i sut mae Σ yn dynodi crynhoad.

Gwerth Rhifiadol 
50-lle degol
Gwerth π wedi ei flaendorri i 50 lle degol yw:

 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

Mae cyfrifiaduron pwerus wedi cyfrifo gwerth rhifiadol π i driliwn o lefydd degol ond nid oes unrhyw batrwm syml o ddigidau wedi ei ddarganfod. Er bod modd cyfrifo π i filiynau o lefydd degol gan ddefnyddio cyfrifiaduron, dylid nodi fod gwerth wedi'i flaendorri i 39 lle degol yn ddigon cywir i gyfrifo cylchedd y bydysawd ac o fewn maint atom hydrogen o'r gwerth cywir. Pur anaml mae angen defnyddio mwy na 4 lle degol mewn gwaith gwyddonol neu ymarferol.

9-lle degol
Dyma werth π wedi ei flaendorri i i'r 9-lle degol cyntaf: 3.141592653. Yn Gymraeg gellir creu cofair (nemonig) drwy roi llythrennau i gynrychioli pob digid: 0 Di; 1 Un; 2 Da; 3 Tr; 4 Pe; 5 Pu; 6 Ch; 7 Sa; 8 Wy; 9 Na; 10 De. Dyma'r cofair:

"Triodd unawd pêr unwaith: pur ei naws a da! Chwydodd Puw trosto!".

(Tr-iodd Un-awd Pê-r Un-nwaith, Pu-r ei Na-ws a Da! Ch-wydodd Pu-w Tr-osto! sef 3-iodd 1-awd 4-r 1-nwaith, 5-r ei 9-ws a 2! 6-wydodd 5-w 3-osto!)

Priodweddau 
Mae π yn rhif anghymarebol (a hefyd yn rhif trosgynnol), ac felly mae gwerth union π yn ehangiad degol anfeidraidd, h. y. nid yw ehangiad degol π yn gorffen neu ailadrodd. Yn rhif anghymarebol, ni all π fod yn ffracsiwn, er bod 22/7 yn cael ei ddefnyddio’n gyffredinol i’w frasamcanu.

Profwyd ei fod yn anghymarebol ym 1761 gan Johann Heinrich Lambert, a'i fod yn drosgynnol gan Ferdinand von Lindemann ym 1882. Dengys y ffaith fod π yn anghymarebol fod sgwario'r cylch yn amhosib.

Cyfrifo π 

Gellir mesur π yn empeiraidd trwy lunio cylch mawr, mesur ei ddiamedr a'i gylchedd, a chyfrifo'r gymhareb. Yn ogystal, gellir cyfrifo π gan ddefnyddio dulliau mathemategol yn unig.

Dyma fformwla Leibniz:

Er bod y gyfres uchod yn un hawdd i'w hysgrifennu a'i chyfrifo, ond nid yw'n amlwg pam ei bod yn cydgyfeirio i π. Yn wir, mae'r cydgyfeirio mor araf fod 300 term yn annigonol i gyfrifo gwerth π i 2 le degol!

Ceir dull mwy greddfol trwy ddychmygu cylch â radiws r a'i ganol ar y tarddiad. Yna, fe fydd unrhyw bwynt (x,y) sydd â phellter d o'r tarddiad, a d yn llai nag r, o fewn y cylch. Gan ddefnyddio theorem Pythagoras:

Wedi canfod casgliad o bwyntiau o fewn y cylch, gellir amcangyfrifo A, arwynebedd y cylch. Gan mai π wedi lluosi â'r radiws sgwâr yw arwynebedd y cylch, gellir amcangyfrifo:

Trosgynoldeb 

Yn ogystal â bod yn afresymol, mae π hefyd yn rhif trosgynnol, sy'n golygu nad yw'n ateb unrhyw hafaliad polynomaidd nad yw'n gyson â chyfernodau cymarebol, fel  

Mae gan drosgyniad  ddau ganlyniad pwysig: yn gyntaf, ni ellir mynegi  gan ddefnyddio unrhyw gyfuniad meidrol o rifau rhesymegol ac ail isradd neu n-fed isradd (megis  neu ). Yn ail, gan na ellir llunio rhif trosgynnol gyda chwmpawd a phren mesur, nid yw'n bosibl "sgwario'r cylch". Mewn geiriau eraill, mae'n amhosibl llunio, gan ddefnyddio cwmpawd a phren mesur yn unig, sgwâr y mae ei arwynebedd yn union yr un fath ag arwynebedd cylch penodol. Roedd sgwario cylch yn un o broblemau geometreg pwysig yr oes glasurol. Mae mathemategwyr amatur yn y cyfnod modern weithiau wedi ceisio sgwario'r cylch a hawlio llwyddiant - er gwaethaf y ffaith ei fod yn fathemategol amhosibl!

Fel pob rhif anghymarebol, ni ellir cynrychioli π fel ffracsiwn cyffredin (a elwir hefyd yn ffracsiwn syml), gan yr union ddiffiniad o rif anghymarebol (h.y., nid rhif cymarebol). Ond gellir cynrychioli pob rhif anghymarebol, gan gynnwys , gan gyfres anfeidrol o ffracsiynau nythol, a elwir yn ffracsiwn parhaus:

 

Mae blaendorri'r ffracsiwn parhaus ar unrhyw bwynt yn cynhyrchu brasamcan rhesymegol ar gyfer ; y pedwar cyntaf o'r rhain yw 3, 22/7, 333/106, a 355/113. Mae'r niferoedd hyn ymhlith y brasamcanion hanesyddol mwyaf adnabyddus o'r cysonyn. Y brasamcan a gynhyrchir fel hyn yw'r brasamcan cymarebol gorau; hynny yw, mae pob un yn agosach at π nag unrhyw ffracsiwn arall gyda'r un enwadur neu lai. Gan y gwyddom fod  yn drosgynnol, nid yw'n algebraidd (trwy ddiffiniad) ac felly ni all fod yn anghymarebol-gwadratig . Felly, ni all  gael ffracsiwn parhaus cyfnodol. Mae mathemategwyr wedi darganfod sawl ffracsiynau parhaus cyffredinol sy'n amlygu patrymau amlwg, e.e.

Hanes

Y gwreiddiau 
Roedd y brasamcanion mwyaf adnabyddus o  yn dyddio i fileniwm cynat CC, ac yn gywir i ddau le degol; aeth y mathemategwyt Tsieineaidd ati i wella ar hyn, yn benodol erbyn canol y mileniwm cyntaf, i gywirdeb o saith lle degol. Ar ôl hyn, ni wnaed unrhyw gynnydd pellach tan ddiwedd y cyfnod canoloesol (tua mil o flynyddoedd we3dyn).

Mae'r brasamcanion ysgrifenedig cynharaf o  i'w cael ym Mabilon a'r Aifft, o fewn un y cant o'r gwir werth. Ym Mabilon, ceir tabled clai dyddiedig 1900–1600 CC sy'n ymddangos ei fod yn trin  fel  = 3.125. Yn yr Aifft, mae gan Papyrus Rhind, a ddyddiwyd i tua 1650 CC (ac a gopïwyd o ddogfen dyddiedig i 1850 CC) fformiwla ar gyfer arwynebedd cylch sy'n trin  fel  3.16.

Mae cyfrifiadau seryddol yn y Shatapatha Brahmana (tua 4g CC) yn defnyddio brasamcan ffracsiynol o   ≈ 3.139 (cywirdeb o 9×10−4). Ceir f CC sy'n trin fel  ≈ 3.1622.

Cyfnod brasamcanu'r polygon 

Roedd yr algorithm cyntaf a gofnodwyd ar gyfer cyfrifo gwerth  yn drwyadl yn ddull geometregol gan ddefnyddio polygonau, ac a ddyfeisiwyd oddeutu 250 CC gan y mathemategydd Groegaidd Archimedes. Roedd yr algorithm polygonal hwn yn frenin ar y pwnc am dros 1,000 o flynyddoedd, ac o ganlyniad gelwir  weithiau fel "cysonyn Archimedes". Cyfrifodd Archimedes ffiniau uchaf ac isaf  trwy dynnu hecsagon rheolaidd y tu mewn a'r tu allan i gylch, a dyblu nifer yr ochrau yn olynol nes iddo gyrraedd polygon rheolaidd 96 ochr. Trwy gyfrifo perimedrau'r polygonau hyn, profodd fod  (hy . Man uchaf Archimedes oedd  a gall fod hyn wedi wedi arwain mathemategwyr eraill at gred boblogaidd gyffredinol bod  yn hafal i .

Tua 150 OC, noddodd y gwyddonydd Groegaidd-Rufeinig Ptolemi, yn ei Almagest, werth  fel  3.1416, y gallai fod wedi'i gael gan Archimedes neu gan Apollonius o Perga. Cyrhaeddodd y mathemategwyr a oedd yn defnyddio algorithmau polygonaidd 39 digid o  ym 1630, record a dorrwyd yn 1699 pan ddefnyddiwyd cyfresi anfeidrol i gyrraedd 71 digid.

Yn y 3g CC, yn y Tsieina hynafol, cyfrifwyd  yn , sef 3.1556. Tua 265 OC, creodd y mathemategydd Wei Kingdom Liu Hui algorithm ailadroddol wedi'i seilio ar bolygonau a'i ddefnyddio gyda pholygon 3,072 ochr i gael gwerth π yn 3.1416. Yn ddiweddarach dyfeisiodd Liu ddull cyflymach o gyfrifo  a chael gwerth o 3.14 gyda pholygon 96 ochr, trwy fanteisio ar y ffaith bod y gwahaniaethau ym maes polygonau olynol yn ffurfio cyfres geometrig â ffactor o 4.

Tua 480 OC cyfrifodd y mathemategydd Tsieineaidd Zu Chongzhi, fod  ac awgrymodd y brasamcanion  a  = 3.142857142857..., a alwodd yn Milü ('cymhareb agos") ac Yuelü ("cymhareb fras"), yn y drefn honno, gan ddefnyddio algorithm Liu Hui i gymhwyso i polygon 12,288 o ochrau. Mewn cymhariaeth, nid oedd yr iaith Saesneg eto'n bodoli yn y cyfnod hwn. Gyda gwerth cywir ar gyfer ei saith digid degol cyntaf, roedd y gwerth hwn yn parhau i fod y brasamcan mwyaf cywir o  am yr 800 mlynedd nesaf.

Defnyddiodd y seryddwr Indiaidd Aryabhata werth o 3.1416 yn ei Āryabhaṭīya (499 OC).

Cyfrifodd Ffibonacci yn 1220 y gwerth o 3.1418 gan ddefnyddio dull polygonal, yn annibynnol ar Archimedes. Mae'n debyg bod yr awdur Eidalaidd Dante wedi defnyddio'r gwerth .

Mabwysiadu'r symbol π 

Yn y defnydd cynharaf, roedd y llythyren Roegaidd π yn dalfyriad o'r gair Groeg am gyrion (περιφέρεια, sef y wal o amgylch y cae), ac fe'i cyfunwyd mewn cymarebau â δ (delta, ar gyfer diamedr) neu ρ (ar gyfer radiws) i ffurfio cysonion cylch. Cyn hynny, roedd mathemategwyr weithiau'n defnyddio llythrennau fel c neu p. ) Y defnydd cyntaf a gofnodwyd i fynegi'r gymhareb cyrion a diamedr oedd yn rhifynnau 1647 a diweddarach o  pan ddefnyddiodd yw William Oughtred " ". Yn yr un modd, defnyddiodd Isaac Barrow "  " i gynrychioli'r cyson 3.14 ..., tra defnyddiai David Gregory "  "i gynrychioli 6.28. ..

Ond gan Gymro o blwyf Llanfihangel Tre'r Beirdd, ar Ynys Môn y cafwyd y defnydd cyntaf o'r llythyren Roegaidd  <u>yn unig</u> i gynrychioli'r gymhareb cylchedd cylch i'w ddiamedr, sef William Jones yn ei waith yn 1706 ; neu Gyflwyniad Newydd i Fathemateg.  Mae'r llythyren Roegaidd yn ymddangos gyntaf yn yr ymadrodd "1/2 cylchred ()" wrth iddo drafod cylch â radiws o un. Mabwysiadwyd nodiant Jones o dipyn i beth gan fathemategwyr eraill, gyda'r nodiant ffracsiwn yn dal i gael ei ddefnyddio mor hwyr â 1767 gan rai.

Dechreuodd Euler ddefnyddio'r un llythyren Roegaidd hon, gan ddilyn yn sodlau William Jones yn ei Draethawd yn Esbonio Priodweddau Aer, 1727 , er iddo ddefnyddio , cymhareb y gylchred i'r  radiws, yn yr ysgrifen hon a rhywfaint yn ddiweddarach. Defnyddiodd Euler gyntaf  yn ei waith Mechanica yn 1736, a pharhaodd yn ei waith Introductio in analysin infinitorum pan ysgrifennodd: "er mwyn crynodeb, byddwn yn ysgrifennu'r rhif hwn fel π ; felly mae π yn hafal i hanner cylchedd cylch radiws 1").  Ymledodd y defnydd o'r llythyren Roegaidd yn gyflym, a mabwysiadwyd yr arfer yn gyffredinol wedi hynny yn y byd Gorllewinol, er bod y diffiniad yn dal i amrywio rhwng 3.14 ... a 6.28 ... hyd at 1761.

Yr ymchwil fodern am fwy o ddigidau

Cyfnod cyfrifiadur ac algorithmau ailadroddol 

Ffrwydrodd datblygiad cyfrifiaduron yng nghanol yr 20g a chafwyd sawl helfa am ddigidau pellach o π. Cyrhaeddodd y mathemategwyr John Wrench a Levi Smith 1,120 digid ym 1949 gan ddefnyddio cyfrifiannell desg. Gan ddefnyddio cyfres anfeidrol tangiad gwrthdro (arctan), cyflawnodd tîm dan arweiniad George Reitwiesner a John von Neumann yr un flwyddyn 2,037 o ddigidau gyda chyfrifiad a gymerodd 70 awr o amser cyfrifiadur, ar gyfrifiadur ENIAC. A thorwyd y record, a oedd bob amser yn defnyddio cyfres arctan, dro ar ôl tro: 7,480 digid ym 1957; 10,000 digid ym 1958; 100,000 o ddigidau ym 1961.. nes cyrraedd 1 miliwn o ddigidau ym 1973.

Cyflymodd dau ddatblygiad ychwanegol tua 1980 unwaith eto'r gallu i gyfrifo π . Yn gyntaf, darganfod algorithmau ailadroddol newydd ar gyfer cyfrifo π, a oedd yn llawer cyflymach na'r gyfres anfeidrol; ac yn ail, dyfeisio algorithmau lluosi cyflym a allai luosi niferoedd enfawr yn gyflym iawn. Roedd algorithmau o'r fath yn arbennig o bwysig gan fod y cyfrifiadur yn cael ei neilltuo i luosi, y rhan fwyaf o'r amser. Maent yn cynnwys algorithm Karatsuba, lluosi Toom-Cook, a dulliau trawsnewid Fourier.

Cyhoeddwyd yr algorithmau ailadroddol yn annibynnol ym 1975-1976 gan y ffisegydd Eugene Salamin a'r gwyddonydd Richard Brent. Mae'r rhain yn osgoi dibynnu ar gyfresi anfeidrol gan eu bod yn ailadrodd cyfrifiad penodol, pob iteriad gan ddefnyddio'r allbynnau o gamau blaenorol fel mewnbynnau, ac yn cynhyrchu canlyniad ym mhob cam sy'n cydgyfeirio i'r gwerth a ddymunir. Dyfeisiwyd y dull mewn gwirionedd dros 160 mlynedd ynghynt gan Carl Friedrich Gauss, yn yr hyn a elwir bellach yn ddull cymedrig rhifyddol-geometrig (arithmetic–geometric mean method neu'r dull CCB) neu weithiau algorithm Gauss-Legendre. Cafodd ei haddasu gan Salamin a Brent, ac felly cyfeirir ato hefyd fel algorithm Brent-Salamin.

Defnyddiwyd yr algorithmau ailadroddol yn helaeth ar ôl 1980 oherwydd eu bod yn gyflymach nag algorithmau cyfres anfeidrol: tra bo cyfresi anfeidrol fel rheol yn cynyddu nifer y digidau cywir yn ychwanegol mewn termau olynol, mae algorithmau ailadroddol yn lluosi nifer y digidau cywir ar bob cam yn gyffredinol. Er enghraifft, mae'r algorithm Brent-Salamin yn dyblu nifer y digidau ym mhob iteriad. Ym 1984, cynhyrchodd y brodyr John a Peter Borwein algorithm ailadroddol sy'n cynyddu bedair gwaith nifer y digidau ym mhob cam; ac ym 1987, un sy'n cynyddu nifer y digidau bum gwaith ym mhob cam. Defnyddiwyd dulliau ailadroddol hefyd gan y mathemategydd Siapaneaidd Yasumasa Kanada i osod sawl record ar gyfrifo π rhwng 1995 a 2002. Daw'r cydgyfeiriant cyflym hwn am bris: mae'r algorithmau ailadroddol yn gofyn am lawer mwy o gof cyfrifiadurol na chyfresi anfeidrol.

Rôl a nodweddion mewn mathemateg 
Oherwydd bod gan π gysylltiad agos â'r cylch, mae i'w gael mewn sawl fformiwla o feysydd geometreg a thrigonometreg, yn enwedig y rhai sy'n ymwneud â chylchoedd, sfferau neu elipsau. Mae canghennau eraill gwyddoniaeth, megis ystadegau, ffiseg, dadansoddiad Fourier, a theori rhif, hefyd yn cynnwys π yn rhai o'u fformiwlâu pwysig.

Geometreg a thrigonometreg 

Gweler isod rhai o'r fformiwlâu mwyaf cyffredin sy'n ymwenud a π.

 Cylchedd cylch â radiws r yw .
 Arwynebedd y cylch â radiws  yw .
 Cyfaint sffêr â radiws  yw 
 Arwynebedd sffêr â radiws  yw .

Mae'r fformiwlâu uchod yn achosion arbennig o gyfaint y bêl <i id="mwBWQ">n</i>-dimensiwn ac arwynebedd ei ffin, y sffêr dimensiwn (<i id="mwBWY">n</i> −1), a roddir isod.

Ar wahân i gylchoedd, ceir hefyd cromliniau eraill o led cyson. Yn ôl theorem Barbier, mae gan bob cromlin o led cyson berimedr π wedi'i luosi gyda'i led. Mae gan y triongl Reuleaux (a ffurfiwyd trwy groesffordd tri chylch, pob un wedi'i ganoli lle mae'r ddau gylch arall yn croesi ) yr ardal leiaf bosibl ar gyfer ei lled a gan y cylch mae'r mwyaf.

Yn nodweddiadol mae gan integrynnau pendant sy'n disgrifio cylchedd, arwynebedd neu gyfaint siapiau a gynhyrchir gan gylchoedd werthoedd sy'n cynnwys π. Er enghraifft, rhoddir integryn sy'n nodi hanner arwynebedd cylch radiws un gan:

 

Yn yr integryn yma mae'r ffwythiant  yn cynrychioli hanner uchaf cylch (mae'r ail isradd yn ganlyniad i'r theorem Pythagoras), a'r integryn  yn cyfrifo'r arwynebedd rhwng yr hanner cylch hwnnw a'r echelin x.

Mae'r ffwythiannau trigonometrig yn dibynnu ar onglau, ac yn gyffredinol mae mathemategwyr yn defnyddio radianau fel unedau mesur. Mae π yn chwarae rhan bwysig mewn onglau, a fesurir mewn radianau, a ddiffinnir fel bod cylch cyflawn yn rhychwantu ongl o 2π radian. Mae'r ongl o 180° yn hafal i π radian, ac 1 ° = π/180 radian.

Cyfeiriadau

Rhifau
Geometreg