Предикат

О предикатах в виноделии см. вина с предикатом
Предика́т ( «заявленное, упомянутое, сказанное») — это утверждение, высказанное о субъекте. Субъектом высказывания называется то, о чём делается утверждение.

Предикат в программировании — выражение, использующее одну или более величину с результатом логического типа.

Далее в этой статье слово предикат используется в значении высказывательной формы.

Определение 
Предика́т (-местный, или -арный) — это функция с множеством значений  (или {ложь, истина}), определённая на множестве . Таким образом, каждый набор элементов множества  характеризуется либо как «истинный», либо как «ложный».

Предикат можно связать с математическим отношением: если кортеж  принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на нём 1. В частности, одноместный предикат определяет отношение принадлежности некоторому множеству.

Предикат — один из элементов логики первого и высших порядков. Начиная с логики второго порядка, в формулах можно ставить кванторы по предикатам.

Предикат называют тождественно-истинным и пишут:
 
если на любом наборе аргументов он принимает значение .

Предикат называют тождественно-ложным и пишут:
 
если на любом наборе аргументов он принимает значение .

Предикат называют выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение .

Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все операции булевой алгебры, например: отрицание, импликация, конъюнкция, дизъюнкция и т. д.

Примеры 
Обозначим предикатом  отношение равенства («»), где . В этом случае предикат  будет принимать истинное значение для всех равных  и .

Более житейским примером может служить предикат ПРОЖИВАЕТ для отношения « проживает в городе  на улице » или ЛЮБИТ для « любит » для  и  принадлежащих  , где множество  — это множество всех людей.

Предикат — это то, что утверждается или отрицается о субъекте суждения.

Операции над предикатами 
Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения: истинное и ложное, поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.
Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

Логические операции 
Конъюнкцией двух предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат , который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х из Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.
Множеством истинности Т предиката  является пересечение множеств истинности предикатов A(x)  — T1 и B(x) — T2, то есть T = T1 ∩ T2.
Например: A(x): «x — чётное число», B(x): «x кратно 3».
A(x) B(x) — «x — чётное число и x кратно 3».
То есть предикат «x делится на 6».

Дизъюнкцией двух предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат , который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях x из Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.
Областью истинности Т предиката  является объединение областей истинности предикатов A(x) — Т1 и B(x) — Т2, то есть Т = Т1 ⋃ Т2. 

Отрицанием предиката A(x) называется новый предикат ¬A(x), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях x из T, при которых предикат A(x) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь», если A(x) принимает значение «истина».

Множеством истинности предиката x X является дополнение T' к множеству T в множестве X.

Импликацией предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат , который является ложным при тех и только тех значениях x из T, при которых A(x) принимает значение «истина», а B(x) — значение «ложь», и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.
Читают: «Если A(x), то B(x)».

Например. A(x): «Натуральное число x делится на 3». B(x): «Натуральное число x делится на 4», можно составить предикат: «Если натуральное число x делится на 3, то оно делится и на 4».
Множеством истинности предиката  является объединение множества T2 — истинности предиката B(x) и дополнения к множеству T1 истинности предиката A(x).

Кванторные операции 
 Квантор всеобщности 
 Квантор существования 
 Квантор существования по переменной 1

См. также 

 Исчисление предикатов
 Непредикативность
 Определяющий предикат
 Предикатив

Литература 
 
 
 
 
 
 

Математическая логика