Теория Янга — Миллса

Тео́рия Я́нга — Ми́ллса — калибровочная теория с неабелевой калибровочной группой. Калибровочные поля в этой теории называются полями Янга — Миллса. Такие теории были предложены в 1954 году Чжэньином Янгом и Робертом Миллсом, и первое время рассматривались лишь как математические поиски, не имеющие отношения к реальности. Однако в 1960—1970-х годах на основе теорий Янга — Миллса были созданы две краеугольные теории стандартной модели в физике элементарных частиц: квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий) на основе группы SU(3) и теория электрослабых взаимодействий на основе групп SU(2)×U(1).

Характерные свойства 
Неабелевость группы означает, что поля-переносчики взаимодействий Янга — Миллса могут взаимодействовать сами с собой и друг с другом. Это влечёт за собой то, что уравнения, описывающие эволюцию полей Янга — Миллса, являются нелинейными (в противоположность линейным уравнениям Максвелла, отвечающим абелевой теории). Можно также сказать, что для полей Янга — Миллса не выполняется принцип суперпозиции.

Кванты полей Янга — Миллса являются векторными частицами (то есть бозонами со спином 1) и обладают нулевой массой. Однако с помощью механизма спонтанного нарушения симметрии физические поля Янга — Миллса могут приобретать ненулевую массу.

Нелинейность уравнений Янга — Миллса делает их очень сложными для решения. В режиме малой константы связи эти уравнения удаётся решить приближённо в виде ряда теории возмущений, однако как решить эти уравнения в режиме сильной связи, пока неизвестно. Неизвестно также, как именно эта нелинейность приводит к наблюдаемому в нашем мире конфайнменту в сильных взаимодействиях. Проблема решения уравнений Янга — Миллса в общем случае является одной из семи математических «Проблем тысячелетия», за решение любой из которых Математический институт Клэя присудит премию в 1 миллион долларов США.

Математика 
Теории Янга — Миллса — частный пример калибровочной теории поля с неабелевой группой калибровочной симметрии. Лагранжиан свободного поля Янга — Миллса таких теорий имеет определённый вид

 

где  — 2-форма напряжённости поля Янга — Миллса, остающаяся инвариантной при воздействии на тензор-потенциал  калибровочной группы:

 

где под  понимается ковариантная производная в пространстве-времени, в пространстве Минковского в галилеевых координатах сводящаяся к обычной частной производной.

Порождающие алгебры Ли калибровочной группы  удовлетворяют соотношению
 ,
где  называются структурными константами группы.

Ковариантные (иногда называемые удлинёнными) производные полей, взаимодействующих через поля Янга — Миллса данной теории, определены как:

 ,

где  — единичный оператор, а  — это константа взаимодействия. В четырёхмерном пространстве-времени константа взаимодействия  — это безразмерная величина. Для групп  .

Вышеприведённое определение  может быть получено исходя из коммутатора:

 .

Само поле Янга — Миллса оказывается при этом самодействующим, а получающиеся уравнения движения:

 

называются полулинейными. В случае малой константы связи  в данной теории применима теория возмущений.

Переход между «верхним» («контравариантным») и «нижним» («ковариантным») векторными или тензорными компонентами тривиальны для групповых латинских индексов (например, , в групповом пространстве введена евклидова метрика), но нетривиальны для пространственно-временных греческих индексов, которые жонглируются метрикой пространства-времени, в простейшем случае — обычной метрикой Минковского .

С введением  уравнения движения можно переписать так:
 

Так как  — 2-форма, то выполняется тождество Бьянки:
 .
Источник  входит в уравнения движения как:
 .

(Токи тоже должны правильно меняться при калибровочных преобразованиях.)

В  измерениях пространства-времени поле масштабируется как  и, таким образом, взаимодействие должно иметь размерность . Это означает, что теории Янга — Миллса не перенормируемы для размерностей пространства-времени больше, чем четыре (см. также Антропный принцип). Кроме того, для  константа связи безразмерна, а поле и квадрат константы взаимодействия имеют одинаковые размерности с полем и константой взаимодействия теории скалярного безмассового поля с самодействием . Таким образом, эти теории имеют одинаковую масштабную инвариантность на классическом уровне.

Примечания

Литература 
 Янг, Ч., Миллс Р. Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность // Элементарные частицы и компенсирующие поля / под ред. Д. Иваненко. — М.: Мир, 1964. — С. 28—38.
 Славнов, А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — М. : Наука, 1978. — С. 240.

Ссылки 
 Физическую «проблему тысячелетия» посчитали неразрешимой

Физика элементарных частиц
Квантовая теория поля
Открытые математические проблемы
Нерешённые проблемы современной физики
Физические гипотезы
Гипотезы физики элементарных частиц
Янга — Миллса