Кантор, Георг

Гео́рг Ка́нтор (, 3 марта 1845, Санкт-Петербург — 6 января 1918, Галле (Заале)) — немецкий , ученик Вейерштрасса. Наиболее известен как создатель теории множеств. Основатель и первый президент Германского математического общества, инициатор создания Международного конгресса математиков.

Кантор впервые определил сравнение произвольных множеств, включая бесконечные, по их «мощности» (обобщению понятия количества) через понятие взаимно-однозначного соответствия между множествами. Он классифицировал множества по их мощности, определил понятия кардинальных и порядковых чисел, арифметику кардинальных и порядковых чисел.

Теория Кантора о трансфинитных числах первоначально была воспринята как нарушение многовековых традиций, заложенных ещё древними греками и отрицающих актуальную бесконечность как легальный математический объект. Со временем канторовская теория множеств была поставлена на аксиоматическую основу и стала краеугольным камнем в современном построении оснований математики, на неё опираются математический анализ, топология, функциональный анализ, теория меры и многие другие разделы математики.

Биография

Ранние годы и обучение 

Кантор родился в 1845 году в Западной колонии торговцев в Санкт-Петербурге и рос там до одиннадцатилетнего возраста. Отец — Георг-Вольдемар Кантор (1814, Копенгаген — 1863, Франкфурт) — происходил из осевших в Амстердаме  и был датским подданным лютеранского вероисповедания, маклером Петербургской фондовой биржи. В Петербурге уже давно жили многие родственники отца, начиная с прадеда. Двоюродный брат отца — известный русский юрист-цивилист Д. И. Мейер. В российских документах Георг-Вольдемар Кантор именовался Егором Яковлевичем Кантором. Мать — Мария-Анна Бём (1819, Санкт-Петербург — 1896, Берлин) — племянница известного венгерско-российского скрипача Йозефа Бёма. Дед математика по матери, Франц Бём (1788—1846), тоже был скрипачом. С 1850 года в том же доме (11-я линия, дом 24) на Васильевском острове, где жила семья Канторов, поселился 29-летний П. Л. Чебышёв.

Георг был первенцем, старшим из шести детей. Он виртуозно играл на скрипке, унаследовав от своих родителей значительные художественные и музыкальные таланты. Отец семейства писал в 1851 году о сыне: «Он одарён от природы стремлением к порядку, преобладающим надо всем остальным». В 1853 году Георг поступил в Петришуле. Когда отец заболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 году переехала в Германию: сначала в Висбаден, а потом во Франкфурт.

В 1860 году Георг окончил с отличием реальное училище в Дармштадте; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии. В 1862 году поступил в Федеральный политехнический институт в Цюрихе. Через год умер его отец; получив солидное наследство, Георг перевёлся в Берлинский университет имени Гумбольдта, где начал посещать лекции таких знаменитых учёных, как Леопольд Кронекер, Карл Вейерштрасс и Эрнст Куммер. Лето 1866 года он провёл в Гёттингенском университете — крупнейшем центре математической мысли тех времён. В 1867 году Берлинский университет присвоил ему степень доктора философии за работу по теории чисел «».

Начало научной деятельности (1869—1878) 

После непродолжительной работы в качестве преподавателя в Берлинской школе для девочек Кантор занял место в Галльском университете Мартина Лютера, где и прошла вся его карьера. Необходимую для преподавания хабилитацию он получил за свою диссертацию по теории чисел. В 1872 году Кантор познакомился с Рихардом Дедекиндом, ставшим его близким другом и единомышленником. Многие идеи Кантора обсуждались в переписке с Дедекиндом.

В статье 1872 года Кантор дал вариант обоснования теории вещественных чисел. В его модели вещественное число определяется как класс фундаментальных последовательностей рациональных чисел. В отличие от ранее общепринятого ньютоновского определения из «Универсальной арифметики», канторовский подход был чисто математическим, без ссылок к геометрии или иным измерительным процедурам. Другую версию, также чисто математическую, опубликовал в том же году Дедекинд (она была основана на «дедекиндовых сечениях», см. Конструктивные способы определения вещественного числа).

В 1874 году Кантор женился на Валли Гутман (). У них было 6 детей, последний из которых родился в 1886 году (4 дочери и двое сыновей). Несмотря на скромное академическое жалование, Кантор был в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству. Биографы отмечают, что даже в период своего медового месяца в горах Гарца Кантор много времени проводил за математическими беседами с другом Дедекиндом. В этом же 1874 году Кантор опубликовал в «Журнале Крелле» статью, в которой ввёл понятие мощности множества и показал, что рациональных чисел столько же, сколько натуральных, а вещественных гораздо больше (по совету Вейерштрасса этот революционный вывод был в статье смягчён).

Кантор получил звание внештатного профессора в 1872 году, а в 1879 году стал полным профессором. Получить это звание в 34 года было большим достижением, но Кантор мечтал о должности в более престижном университете, например, Берлинском — в то время ведущем университете Германии, однако его теории встречают серьёзную критику, и переход в другое место осуществить не удалось.

В 1877 году Кантор получил поразительный результат, который сообщил в письме Дедекинду: множества точек отрезка и точек квадрата имеют одну и ту же мощность (континуум), независимо от длины отрезка и ширины квадрата. Заодно он сформулировал и безуспешно пытался доказать «континуум-гипотезу». Первая статья Кантора с изложением этих ключевых результатов появилась в 1878 году и называлась «К учению о многообразиях» (термин «многообразие» Кантор позже заменил на «множество»). Публикация статьи не раз откладывалась по требованию возмущённого Кронекера, возглавлявшего кафедру математики Берлинского университета. Кронекер, считающийся предтечей конструктивной математики, с неприязнью относился к канторовской теории множеств, поскольку её доказательства нередко носят неконструктивный характер, без построения конкретных примеров; понятие актуальной бесконечности Кронекер считал абсурдным.

Кантор понял, что позиция Кронекера не позволит ему даже уйти из Галльского университета. Сам Кантор придерживался того же мнения, что и большинство современных нам математиков: любой непротиворечивый математический объект следует считать допустимым и существующим.

Конфликты вокруг теории множеств  (1878—1889) 
Канторовская теория множеств натолкнулась на резкую критику со стороны ряда известных математиков-современников — Анри Пуанкаре; позднее — Германа Вейля и Лёйтзена Брауэра (см. ). Они напоминали, что до Кантора все корифеи математики, от Аристотеля до Гаусса, считали актуальную бесконечность недопустимым научным понятием. Положение усугубило обнаружение в первой версии теории множеств губительных противоречий. Критика была порой очень агрессивна: так, Пуанкаре называл «канторизм» тяжёлой болезнью, поразившей математическую науку, и выражал надежду, что будущие поколения от неё излечатся; а в публичных заявлениях и личных выпадах Кронекера в адрес Кантора мелькали иногда такие эпитеты, как «научный шарлатан», «отступник» и «развратитель молодёжи».

Резкой критике со стороны части видных математиков противостояли всемирная известность и одобрение других. В 1904 году Лондонское королевское общество присудило Кантору свою высшую математическую награду — медаль Сильвестра. Сам Кантор верил в то, что теория трансфинитных чисел была сообщена ему свыше. Бертран Рассел оценил теорию множеств как «один из главных успехов нашей эпохи», а Давид Гильберт назвал Кантора «математическим гением» и заявил: «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного Кантором».

В 1881 году умер коллега Кантора Эдуард Гейне, оставив после себя вакантную должность. Руководство университета приняло предложение Кантора пригласить на этот пост Рихарда Дедекинда, Генриха Вебера или Франца Мертенса (именно в таком порядке), но, к большому огорчению Кантора, все они отказались. В итоге пост занял . В 1882 году общение Кантора с Дедекиндом прекратилось — вероятно, вследствие обиды на отказ последнего от должности в Галле.

В 1883 году Кантор опубликовал ключевую в своём творчестве статью «Основы общего учения о многообразиях». В это же время он начал активную переписку с видным математиком того времени — Гёстой Миттаг-Леффлером, жившим в Швеции, и вскоре начал публиковаться в его журнале «Acta mathematica». Однако в 1885 году Миттаг-Леффлёр встревожился относительно философского подтекста и новой терминологии в одной статье, присланной ему Кантором для печати, и попросил Кантора отозвать свою статью, пока та ещё проходила корректуру, написав, что эта статья «опередила время примерно лет на сто». Отозвать статью Кантор согласился, но никогда больше в «Acta Mathematica» не публиковался и резко оборвал отношения и переписку с Миттаг-Леффлером. У Кантора начался первый период депрессии, и на протяжении более чем пяти лет Кантор ничего не публиковал, кроме нескольких статей философского плана, ограничиваясь преподавательской деятельностью.

Последние годы (1889—1918) 

Вскоре после восстановления (1889) Кантор сразу же сделал несколько важных дополнений к своей теории, в частности, доказал диагональным методом несчётность множества всех подмножеств натуральных чисел, однако так и не достиг того же высокого уровня продуктивности, какой у него был в 1874—1884 годах. В конце концов он обратился с предложением о мире к Кронекеру, которое тот благосклонно принял. Тем не менее, разделявшие их философские расхождения и трудности остались. Тем временем часть математиков, особенно молодые, приняли теорию множеств, стали её развивать и применять для решения разнообразных проблем. Среди них — Дедекинд, Гильберт, Феликс Бернштейн, Анри Лебег, Феликс Клейн, Адольф Гурвиц, Эрнст Цермело, Н. Н. Лузин и другие.

В 1890 году Кантор способствовал организации Германского математического общества () и был председателем на его первом съезде в Галле в 1891 году; в то время его репутация была весьма устойчива даже несмотря на оппозицию Кронекера, в итоге Кантор был избран первым президентом общества. Кантор пригласил Кронекера выступить с докладом, но тот не смог принять предложение по причине трагической гибели своей жены.

Периодически повторяющиеся с 1884 года и до конца дней Кантора приступы депрессии некоторое время ставили в вину его современникам, занявшим чересчур агрессивную позицию, но сейчас считается, что эти приступы, вероятнее всего, были развитием душевной болезни.

В статье 1892 года впервые появился знаменитый диагональный метод Кантора. Последней работой, своеобразным завещанием учёного, стала статья «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» (в двух частях, 1895—1897). Это одна из самых известных работ Кантора, в ней, в дополнение к предыдущим результатам теории множеств, строится иерархия алефов.

В 1897 году началась интенсивная переписка Кантора с Гильбертом по поводу первого обнаруженного в теории множеств противоречия — парадокса Бурали-Форти, крайне обеспокоившего Гильберта. Кантор выразил мнение, что в теории множеств следует проводить различие между двумя типами понятий — трансфинитными и абсолютными («недоступными», как он выразился), из них только первые поддаются человеческому разуму, а в отношении вторых возможно только приближение к их постижению. Гильберта эта метафизика не убедила, по его мнению, неразрешимых математических задач нет и быть не может. Дискуссия продолжалась два года и ни к чему не привела. Решение парадоксов (не ставшее, впрочем, общепринятым) было найдено только 30 лет спустя, после замены «наивной теории множеств» Кантора на аксиоматическую, исключившую «недоступные» множества из числа легальных понятий.

В декабре 1899 года у Кантора умер 13-летний сын. Душевная болезнь Кантора обострилась, почти готовая третья часть статьи «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» так и не была завершена. До 1913 года Кантор продолжал преподавание в университете (время от времени делая длительные перерывы на лечение), затем вышел на пенсию. Его интересы после 1899 года касались в основном философии Лейбница и вопроса об авторстве шекспировских пьес, которым Кантор увлекался уже много лет.

Георг Кантор умер 6 января 1918 года от сердечного приступа в психиатрической лечебнице города Галле.

Некоторые объекты, названные в честь Кантора 
 Кантор — ударный кратер на обратной стороне Луны;
 Канторово множество — континуальное множество нулевой меры на отрезке;
 Медаль Кантора — математическая награда, вручаемая Немецким математическим обществом;
 Нумерующая функция Кантора — отображение декартовой степени множества натуральных чисел в само себя;
 Теорема Кантора о том, что мощность множества всех подмножеств данного множества строго больше мощности самого множества;
 Теорема Кантора — Бендиксона
 Теорема Кантора — Бернштейна о равномощности множеств A и B при условии равномощности A подмножеству B и равномощности B подмножеству A;
 Теорема Кантора — Гейне о равномерной непрерывности непрерывной функции на компакте;
 Функция Кантора (Канторова лестница).

Сочинения 
 Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932.

Примечания

Литература

Ссылки 
 
 
 
 
 Профиль учёного  в базе данных zbMATH.
Sinkevich G. I. Georg Cantor from St. Petersburg.

Преподаватели Галле-Виттенбергского университета
Родившиеся в Санкт-Петербурге
Доктора философии
Философы математики
Члены Гёттингенской академии наук
Выпускники Петришуле
Председатели Немецкого математического общества
Награждённые медалью Сильвестра
Почётные доктора Университета Осло