Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве.
Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы. Частный случай неравенства Гёльдера и неравенства Йенсена.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского.
Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

Формулировка 
Пусть дано линейное пространство  со скалярным произведением . Пусть  — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых  имеем:
 

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы  и  линейно зависимы (коллинеарны, или среди них есть нулевой).

Примеры 
 Важным частным случаем, часто использующимся в теории чисел, является случай, когда один из векторов полностью состоит из единиц:
 
 В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей  неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
 
где  обозначает комплексное сопряжение .
 В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций  неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
 
 В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом  неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
 
 где  обозначает ковариацию, а  — дисперсию.
 Для двух случайных величин  и  неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

Способы доказательства 

Существует лишь несколько сущностно различных подходов к доказательству неравенства. Однако, ввиду его универсальности, одни и те же приводящие к нему формальные операции можно описывать в разных терминах. Из-за этого некоторые авторы представляют неравенство как имеющее чрезвычайно много доказательств.

Для удобства изложения в данном разделе, когда не указано иное, описываются доказательства только для пространства конечной размерности над , то есть для конечных последовательностей , .

Комбинаторный (через перестановочное неравенство)

Случай с вектором из единиц 

Пусть . Раскрывая квадрат и делая замену , квадрат суммы можно разбить на блоки следующим образом:

 

где обозначения  соответствуют . Из перестановочного неравенства для двух копий последовательности  и перестановок

 

следует, что каждая из внутренних сумм не превышает .

Общий случай 

Если все  – целые, то, раскрывая произведения  и применяя уже доказанный частный случай для получившихся  слагаемых, получим

 

Делением обоих частей на целые числа можно получить то же неравенство для рациональных , а из непрерывности сложения и умножения следует и обобщение для произвольных вещественных . Это утверждение в точности соответствует неравенству Коши-Буняковского для последовательностей

 

 .

Поэтому неравенство для произвольных ,  следует из возможности обратной замены

 

 .

Вероятностный (через суммирование квадратов)

Идея (на примере дисперсии) 

Самая известная реализация этого метода – рассмотрение дисперсии случайной величины. Очевидно, что если величина принимает неотрицательные значения, то её математическое ожидание также будет неотрицательно, поэтому

 

для любой случайной величины . Благодаря линейности математического ожидания из этого следует, что

 

Пусть все  и . Для случайной величины , которая принимает значение  с вероятностью , это неравенство означает, что

 

то есть

 

Отсюда неравенство Коши-Буняковского можно получить той же заменой переменных, что и в случае с применением перестановочного неравенства.

Интерпретация и альтернативные формы 

После замены переменных математическое ожидание описанной выше величины будет иметь вид

 

Поэтому вероятностное доказательство, в сущности рассматривает сумму

 

Из очевидной (ввиду возведения скобки в квадрат) неотрицательности этой суммы выводится соотношение между слагаемыми, получающимися при раскрытии скобки – двое из трёх таких слагаемых сокращаются в одно (различаются лишь на константу) за счёт структуры формулы. Изменяя нормировку (деление на суммы) с помощью внесения множителей под скобки и домножения константы, легко увидеть, что такой подход аналогичен использованию более наглядной суммы

 

Неравенства с такими суммами, записанные без привязки к вероятностным определениям, остаются корректным и без условия  из предыдущего раздела. В частности, для произвольного гильбертова пространства при  можно рассмотреть неравенство

 

а при  достаточно домножить  на комплексное число вида  чтобы свести всё к первому случаю.

Аналогичным способом можно использовать другую, симметричную, сумму, где после раскрытия скобки сокращаются два крайних слагаемых (полученные возведением в квадрат), а не крайнее с центральным:

 

или, что то же самое,

 

Кроме вероятностной интерпретации, использование таких сумм может быть описано через оценку дискриминанта квадратного уравнения или неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим.

Прямой (через группировку множителей) 

Ещё одна (впрочем, нуждающаяся в инструментарии двух предыдущих) идея состоит в представлении неравенства в виде

 

Такую форму можно доказать двумя способами:

 сравнивав все слагаемые за один шаг, применив перестановочное неравенство для двух копий набора  и перестановки ;

 сравнивая каждое слагаемое отдельно, применяя неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим для двух переменных , что по сути соответствует рассмотрению суммы квадратов вида  или нормы соответствующего вектора в тензорном произведении произвольных гильбертовых пространств.

Применение случая n=2 к суммам 

Неравенство можно получить с помощью индукции, шагом которой для перехода от  к -ому слагаемому будет применение того же неравенства для двух слагаемых. Предположение индукции для последовательностей ,  даёт неравенство

 

А из случая  для последовательностей
,

легко видеть, что

 

Таким образом неравенство доказывается для произвольного  индукцией с базой . Базу можно доказать любым из остальных способов (например, через неравенство ). Также для  существуют наглядные геометрические доказательства.

Литература

Примечания 

Функциональный анализ
Коши
Коши
Теория вероятностей
Теория операторов
Коши
Коши
Коши