Dadansoddiad mathemategol

Dadansoddi mathemategol yw'r gangen o fathemateg sy'n dibynnu ar y cysyniadau o derfannau a damcaniaethau perthnasol, megis deilliant, yr integru, differu, mesur, y gyfres anfeidraidd, a ffwythiannau dadansoddol.

Yn aml, fe astudir y pynciau hyn yng nghyd-destyn rhifau real, rhifau cymhlyg, a'u ffwythiannau. Fodd bynnag, gellir hefyd eu diffinio yng nghyd-destyn unrhyw set o wrthrychau mathemategol sydd â diffiniad o agosatrwydd (gofod topologaidd) neu o bellter (gofod metrig). Man cychwyn yr astudiaeth o ddadansoddi yw datblygiad trwyadl o galcwlws.

Isbynciau 

Fe rennir dadansoddi erbyn hyn i'r isbynciau canlynol: 
 Dadansoddi real, yr astudiaeth ffurfiol a thrwyadl o ddifferu ac integru ffwythiannau â gwerthoedd real. Mae hyn yn cynnwys astudiaeth o derfannau, cyfresi pŵer, a mesurau
 Dadansoddi ffwythiannol, astudiaeth o ofodau o ffwythiannau, sy'n cyflwyno cysyniadau megis gofodau Banach a gofodau Hilbert.
 Dadansoddi cymhlyg, astudiaeth o ffwythiannau o'r plân cymhlyg i'r plân cymhlyg, sy'n cymhlyg-ddifferadwy
 Dadansoddi differol
 Dadansoddi an-safonol, sy'n ymchwilio'r rhifau gor-real a'u ffwythiannau, a'n rhoi triniaeth trwyadl o rifau anfeidrol bach a mawr. Fe'u dosbarthir yn aml fel Theori Modelau

Fel arfer ystyrir Dadansoddi clasurol yn unrhyw waith nad yw'n defnyddio dulliau dadansoddi ffwythiannol, ac fe'i gelwir weithiau yn ddadansoddi caled; mae'n cyfeirio hefyd, nid yn annisgwyl, o'r pynciau mwy traddodiadol. Fe rhannir astudiaeth hafaliadau differol â meusydd eraill megis systemau dynamig, ond mae'r gogyffwrdd â dadansoddi 'unionsyth' yn un fawr.

Hanes

Hynafol 

Datblygodd dadansoddiad mathemategol yn ffurfiol yn yr 17g yn ystod y Chwyldro Gwyddonol, ond gellir olrhain llawer o'i syniadau yn ôl i fathemategwyr cynharach. Roedd canlyniadau cynnar y dadansoddiad yn ymhlyg yn nyddiau cynnar mathemategwyr Groeg hynafol. Er enghraifft, mae swm geometrig anfeidrol ymhlyg ym mharadocs Zeno o Elea o'r ddeuoliaeth.  Yn ddiweddarach, defnyddiodd Eudoxus ac Archimedes y cysyniad o derfanau a chydgyfeiriant drwy'r dull dihysbydd (<i>exhaustion</i>) i gyfrifo arwynebedd a chyfaint ardaloedd a solidau.  Mae'r defnydd penodol o anfeidrolion (infinitesimals) yn ymddangos yn Null Mecanyddol Theoremau gan Archimedes, gwaith a ailddarganfuwyd yn yr 20g.

Yn Asia, defnyddiodd y mathemategydd Tsieineaidd Liu Hui y dull dihysbydd yn y 3g OC i ddod o hyd i arwynebedd cylch. O lenyddiaeth Jain, ymddengys bod Hindwiaid yn meddu ar y fformwlâu ar gyfer swm y gyfres rifyddeg a'rf gyfres geometrig mor gynnar â'r 4g CC  gyda Ācārya Bhadrabāhu yn defnyddio swm y  gyfres geometrig yn ei Kalpasūtra yn 433 CC. Mewn mathemateg Indiaidd, canfuwyd bod enghreifftiau penodol o gyfresi rhifyddeg i'w gweld ymhlyg mewn Llenyddiaeth Vedic mor gynnar â 2000 CC

Yr Oesoedd Canol 

Sefydlodd Zu Chongzhi ddull a fyddai’n ddiweddarach yn cael ei alw’n egwyddor Cavalieri i ddod o hyd i gyfaint sffêr yn y 5g. Yn y 12g, rhoddodd y mathemategydd Indiaidd Bhāskara II enghreifftiau o ddeilliannau a defnyddiodd yr hyn a elwir bellach yn theorem Rolle.

Yn y 14g, datblygodd Madhava o Sangamagrama ehangiadau cyfres anfeidrol (infinite series expansions), a elwir bellach yn gyfres Taylor, o swyddogaethau fel sin, cosin, tangiad a gwrthdangiad. Ochr yn ochr â’i ddatblygiad o gyfres Taylor o ffwythiannau trigonometrig, amcangyfrifodd hefyd faint y termau gwallus a ddeilliodd o leihau'r cyfresi hyn, a rhoddodd frasamcan rhesymegol o rai cyfresi anfeidrol. Ehangodd ei ddilynwyr yn Ysgol Seryddiaeth a Mathemateg Kerala ei weithiau ymhellach, hyd at yr 16g.

Modern

Y sylfeini 
Sefydlwyd sylfeini modern dadansoddiad mathemategol yn Ewrop yr 17g. Dechreuodd hyn pan ddatblygodd Fermat a Descartes geometreg ddadansoddol, sef rhagflaenydd calcwlws modern. Roedd dull digonolrwydd (<i>adequality</i>) Fermat yn caniatáu iddo bennu uchafsymiau a lleiafsymiau ffwythiannau a thangiadau cromliniau. Ystyrir mai cyhoeddi <i>La Géométrie</i> Descartes ym 1637, a gyflwynodd y system gyfesurynnol Gartesaidd, oedd dechrau dadansoddiad mathemategol. Ychydig ddegawdau yn ddiweddarach datblygodd Newton a Leibniz galcwlws anfeidrolion (infinitesimals) yn annibynnol i'w gilydd, a dyfodd trwy'r 18g, gan ymdoddi i fewn i bynciau dadansoddi fel calcwlws amrywiadau, hafaliadau gwahaniaethol cyffredin a rhannol, dadansoddiad Fourier, a ffwythiannau. Yn ystod y cyfnod hwn, cymhwyswyd technegau calcwlws i broblemau arwahanol.

Moderneiddio 

Yn y 18g cyflwynodd Euler y syniad o ffwythiant fathemategol. Dechreuodd dadansoddiad go iawn ddod i'r amlwg fel pwnc annibynnol pan gyflwynodd Bernard Bolzano y diffiniad modern o barhad yn 1816, ond ni ddaeth gwaith Bolzano yn hysbys tan yr 1870au. Yn 1821, dechreuodd Cauchy roi calcwlws ar sylfaen resymegol gadarn trwy wrthod egwyddor cyffredinolrwydd algebra a ddefnyddiwyd yn helaeth mewn gwaith cynharach, yn enwedig gan Euler. Yn lle hynny, lluniodd Cauchy galcwlws o ran syniadau geometrig ac anfeidrolion. Felly, roedd ei ddiffiniad o barhad yn gofyn am newid anfeidrol yn x i gyfateb i newid anfeidrol yn y. Cyflwynodd hefyd y cysyniad  a elwir yn "ddilyniant Cauchy", a dechreuodd theori ffurfiol dadansoddi cymhlyg. Astudiodd Poisson, Liouville, Fourier ac eraill hafaliadau gwahaniaethol rhannol a dadansoddi harmonig. Datblygodd cyfraniadau'r mathemategwyr hyn ac eraill, fel Weierstrass, y dull diffinio terfan (ε, δ), a thrwy hynny sefydlu maes dadansoddiad mathemategol modern.

Yng nghanol y 19g cyflwynodd Riemann ei theori'rintegryn. Yn nhraean olaf y ganrif gwelwyd rhifeddiad dadansoddiad (arithmetization of analysis) gan Weierstrass, a oedd o'r farn bod rhesymu geometrig yn gamarweiniol yn ei hanfod, a chyflwynodd y diffiniad "epsilon-delta" o derfan. Yna, dechreuodd mathemategwyr boeni eu bod yn tybio bodolaeth continwwm o rifau real heb brawf. Adeiladodd Dedekind y rhifau real trwy doriadau Dedekind, lle mae rhifau anghymarebol yn cael eu diffinio'n ffurfiol, sy'n llenwi'r "bylchau" rhwng rhifau cymarebol, a thrwy hynny greu set gyflawn: continwwm o rifau real, a oedd eisoes wedi'u datblygu gan Simon Stevin o ran ehangiadau degol. Tua'r adeg honno, arweiniodd yr ymdrechion i fireinio theoremau integreiddio Riemann at astudio "maint" y set o doriannau'r ffwythiannau real.

Hefyd, dechreuwyd ymchwilio i "angenfilod " ("monsters"). Yn y cyd-destun hwn, datblygodd Jordan ei ddamcaniaeth o fesur, datblygodd Cantor yr hyn a elwir bellach yn theori-set naïf, a phrofodd René-Louis Baire theorem categori Baire. Yn gynnar yn yr 20g, ffurfiolwyd calcwlws gan ddefnyddio theori set gwirebol. Datrusodd Henri Lebesgue y broblem o fesur, a chyflwynodd David Hilbert ofod Hilbert, i ddatrys hafaliadau cyfanrifau. Roedd y syniad o 'ofod fector wedi'i normaleiddio' yn cael ei drafod, ac yn y 1920au creodd Banach ddadansoddiad ddadansoddi ffwythiannol.

Cysyniadau pwysig

Gofod metrig 
Mewn mathemateg, set yw gofod metrig lle diffinnir y syniad o bellter (a elwir yn 'fetrig') rhwng elfennau o'r set.

Mae llawer o'r dadansoddiad yn digwydd mewn rhywfaint o ofod metrig; y rhai a ddefnyddir amlaf yw'r llinell real, yr plân cymhlyg, gofod Ewclidaidd, gofodau fector eraill, a'r cyfanrifau. Mae enghreifftiau o ddadansoddi heb fetrig yn cynnwys theori mesur (sy'n disgrifio maint yn hytrach na phellter) a dadansoddiad ffwythiannol (sy'n astudiaeth o ofodau fector topolegol nad oes angen iddynt fod ag unrhyw ymdeimlad o bellter).

Yn ffurfiol, mae gofod metrig yn bâr mewn trefn  lle  yn set a  yn fetrig ar , hy, mae'n  ffwythiant

 

ac ar gyfer pob , mae'r canlynol yn dal:

  os ac yn unig os yw   (identity of indiscernibles),
   (cymesuredd), a
   (anghydraddoldeb triongl).

Trwy gymryd y trydydd eiddo a gosod , gellir dangos hynny    (heb fod yn negyddol).

Dilyniannau a therfanau 
Mae dilyniant yn rhestr drefnus. Fel set, mae'n cynnwys aelodau (a elwir hefyd yn elfennau, neu'n dermau). Yn wahanol i set, mae trefn yn bwysig, a gall yr un elfennau ymddangos sawl gwaith mewn gwahanol safle yn y dilyniant. Yn fwyaf manwl gywir, gellir diffinio dilyniant fel ffwythiant y mae ei pharth yn set y gellir ei threfnu'n llwyr, fel y rhifau naturiol.

Un o briodweddau pwysicaf dilyniant yw cydgyfeiriant. Yn anffurfiol, mae dilyniant yn cydgyfarfod os oes ganddo derfan. Gan barhau'n anffurfiol, mae gan ddilyniant (unigol-anfeidrol) derfan os yw'n agosáu at ryw bwynt x, a elwir y terfan, wrth i n ddod yn fawr iawn. Hynny yw, ar gyfer dilyniant haniaethol (an) (gydag n yn rhedeg o 1 i anfeidredd deall) mae'r pellter rhwng  an ac x yn agosau at 0 fel n → ∞, a ddynodir

Prif ganghennau

Dadansoddiad real 
Mae dadansoddiad real (hen enw: theori ffwythiannau newidyn real) yn gangen o ddadansoddiad mathemategol sy'n delio â rhifau real a ffwythiannau o werth real newidyn real. Yn benodol, mae'n delio â phriodweddau dadansoddol ffwythiannau a dilyniannau real, gan gynnwys cydgyfeiriant a therfanau dilyniannau rhifau real, calcwlws y rhifau real, a pharhad, llyfnder a phriodweddau cysylltiedig ffwythiannau o werth real.

Dadansoddiad cymhlyg 
Dadansoddiad cymhlyg yw'r gangen o ddadansoddiad mathemategol sy'n ymchwilio i ffwythiannau rhifau cymhleth.  Mae'n ddefnyddiol mewn llawer o ganghennau mathemateg, gan gynnwys geometreg algebraidd, theori rhif, mathemateg gymhwysol, yn ogystal ag oddi mewn i ffiseg, gan gynnwys hydrodynameg, thermodynameg, peirianneg fecanyddol, peirianneg drydanol, ac yn arbennig, theori maes cwantwm.

Dadansoddiad ffwythiannol 
Mae dadansoddiad ffwythiannol yn gangen o ddadansoddiad mathemategol, y mae ei graidd yn cael ei ffurfio trwy astudio gofodau fector wedi'u impio â rhyw fath o strwythur sy'n gysylltiedig â therfan (ee cynnyrch mewnol, norm, topoleg, ac ati) a'r gweithredwyr llinol sy'n gweithredu ar y gofodau hyn.   Mae gwreiddiau hanesyddol dadansoddiad ffwythiannol yn gorwedd o fewn yr astudiaeth o ofodau ffwythiannol a llunio priodweddau trawsnewid ffwythiannau fel trawsnewidiad Fourier.

Hafaliadau differol 
Hafaliad mathemategol yw hafaliad differol ar gyfer ffwythiant anhysbys o un neu sawl newidyn sy'n cysylltu gwerthoedd y ffwythiant ei hun a'i deilliadau o wahanol orchmynion.  Mae hafaliadau gwahaniaethol yn chwarae rhan amlwg mewn peirianneg, ffiseg, economeg, bioleg a disgyblaethau eraill.

Mae hafaliadau gwahaniaethol yn codi mewn sawl maes o fewn gwyddoniaeth a thechnoleg. Dangosir hyn mewn mecaneg glasurol, lle mae corff yn cael ei ddisgrifio gan ei safle a'i gyflymder wrth i'r gwerth amser amrywio. Mae deddfau Newton yn caniatáu i un fynegi'r newidynnau hyn yn ddeinamig fel hafaliad differol ar gyfer safle anhysbys y corff fel swyddogaeth amser. Mewn rhai achosion, gellir datrys yr hafaliad differol hwn (a elwir yn hafaliad mudiant).

Theori mesur 
Mae mesur ar set yn ffordd systematig i neilltuo rhif i bob is -set addas o'r set honno, wedi'i dehongli'n fel ei maint. Yn yr ystyr hwn, mae 'mesur' yn gyffredinoliad o gysyniadau hyd, arwynebedd a chyfaint. Enghraifft arbennig o bwysig yw'r mesur Lebesgue ar ofod Ewclidaidd, sy'n neilltuo hyd confensiynol, arwynebedd a chyfaint geometreg Ewclidaidd i is-setiau addas o ddimeniwn-  o ofod Ewclidaidd dimensiwn . Er enghraifft, y mesur Lebesgue o'r cyfwng  yn y rhifau real yw ei hyd (yn ystyr bob dydd o'r gair), yn benodol, 1.

Dadansoddiad rhifiadol 
Dadansoddiad rhifiadol yw'r astudiaeth o algorithmau sy'n defnyddio brasamcan rhifiadol (yn hytrach na thriniaethau symbolaidd cyffredinol) ar gyfer problemau dadansoddi mathemategol (yn wahanol i fathemateg arwahanol).

Nid yw dadansoddiad rhifiadol modern yn ceisio atebion union, oherwydd yn aml ac yn ymarferol, mae'n amhosibl cael atebion union. Yn hytrach, mae llawer o'r dadansoddiad rhifiadol yn ymwneud â chael atebion bras wrth roi ffiniau rhesymol ar wallau.

Yn naturiol, caiff dadansoddiad rhifiadol ei gymhwyso i bob maes o fewn peirianneg a'r gwyddorau ffisegol, ond yn yr 21g, mae'r gwyddorau bywyd a hyd yn oed y celfyddydau wedi mabwysiadu elfennau o gyfrifiannau gwyddonol. Mae hafaliadau gwahaniaethol cyffredin yn ymddangos mewn mecaneg nefol (planedau, sêr a galaethau); mae algebra llinol rhifiadol yn bwysig ar gyfer dadansoddi data; mae hafaliadau gwahaniaethol stochastig a chadwyni Markov yn hanfodol wrth efelychu celloedd byw ar gyfer meddygaeth a bioleg.

Dadansoddiad fector 

Mae calcwlws fector, neu ddandansoddiad fector, yn ymwneud â differu ac integreiddio meysydd fector, yn bennaf mewn gofod Euclidaidd 3-dimensiwn. Weithiau defnyddir y term "calcwlws fector" fel cyfystyron ar gyfer pwnc ehangach calcwlws aml-newidiol, sy'n rhychwantu calcwlws fector yn ogystal â differu rhannol ac integreiddio lluosog. Mae calcwlws fector yn chwarae rhan bwysig mewn geometreg differol ac wrth astudio hafaliadau differol rhannol. Fe'i defnyddir yn helaeth mewn ffiseg a pheirianneg, yn enwedig yn y disgrifiad o feysydd electromagnetig, meysydd disgyrchiant, a llif hylif.

Datblygwyd calcwlws fector o ddadansoddiad cwaternaidd gan J. Willard Gibbs ac Oliver Heaviside tua diwedd y 19g, a sefydlwyd y rhan fwyaf o'r nodiant a'r derminoleg gan Gibbs ac Edwin Bidwell Wilson yn eu llyfr 1901, Vector Analysis. Yn ei ffurf gonfensiynol, gan ddefnyddio traws-gynhyrchion, nid yw calcwlws fector yn cyffredinoli i ddimensiynau uwch, tra bod dull amgen algebra geometrig sy'n defnyddio cynhyrchion allanol yn gwneud hynny.

Pynciau eraill 

 Mae calcwlws yr amrywiadau (calculus of variations) yn delio â ffwythiannau eithafol, yn hytrach na chalcwlws cyffredin sy'n delio â ffwythiannau'n unig.
 Mae dadansoddiad harmonig yn delio â chynrychioli ffwythiannau neu signalau fel arosodiad (<i>superposition</i>) tonnau sylfaenol.
 Mae dadansoddiad geometrig yn cynnwys defnyddio dulliau geometregol wrth astudio hafaliadau differol rhannol a chymhwyso theori hafaliadau differol rhannol i geometreg.
 Mae dadansoddiad Clifford, yn astudiaeth o ffwythiannau-gwerth Clifford sy'n cael eu dinistrio gan weithredwyr tebyg i Dirac neu ei debyg, a elwir yn gyffredinol yn 'ffwythiannau dadansoddol monogenig Clifford.
 Dadansoddiad <i id="mwAcM">p</i>-adig yw'r astudiaeth o ddadansoddiad yng nghyd-destun rhifau <i id="mwAcU">p</i>-adig, sy'n wahanol mewn rhai ffyrdd i'w cymheiriaid real a chymhyg.
 Dadansoddiad ansafonol, sy'n ymchwilio i'r rhifau uwch-real (hyperreal) a'u ffwythiannau ac yn rhoi triniaeth drylwyr o anfeidrolion (infinitesimals) a niferoedd anfeidrol fawr.
 Dadansoddiad cymeradwy, yr astudiaeth o ba rannau o ddadansoddiad y gellir eu cynnal mewn modd cymeradwy
 Calcwlws stocastig - syniadau dadansoddol wedi'u datblygu ar gyfer prosesau stocastig .
 Dadansoddiad â gwerth set - sy'n cymhwyso syniadau o ddadansoddiad a thopoleg i ffwythiannau i werth set.
 Dadansoddiad amgrwm, astudio setiau a ffwythiannau amgrwm.
 Dadansoddiad idempotent - dadansoddiad yng nghyd-destun idempotent semiring, lle mae diffyg gwrthdro ychwanegyn yn cael ei ddigolledu rhywfaint gan reol ddelfrydol A + A. = A.
 Dadansoddiad trofannol - dadansoddiad o'r idempotent semiring a elwir yn semiring trofannol (neu algebra max-plus / algebra min-plus).

Cymhwyso 

Mae technegau dadansoddi hefyd i'w cael mewn meysydd eraill fel:

Y gwyddorau ffisegol 
Mae'r mwyafrif helaeth o fecaneg glasurol, damcaniaeth perthnasedd a mecaneg cwantwm yn seiliedig ar ddadansoddiad cymhwysol, a hafaliadau differol yn benodol. Mae enghreifftiau o hafaliadau differol pwysig yn cynnwys ail gyfraith Newton, hafaliad Schrödinger, a hafaliadau maes Einstein .

Mae dadansoddiad ffwythiannol hefyd yn ffactor o bwys mewn mecaneg cwantwm.

Prosesu signalau 
Wrth brosesu signalau, megis sain, tonnau radio, tonnau ysgafn, tonnau seismig, a hyd yn oed delweddau, gall dadansoddiad Fourier ynysu cydrannau unigol o donffurf cyfansawdd, gan eu cywasgu er mwyn eu canfod yn haws. Ceir grwp mawr o dechnegau prosesu signal sy'n cynnwys Fourier yn trawsnewid signal, trin y data a gwrthdroi'r trawsnewidiad.

Meysydd eraill o fewn mathemateg 

Defnyddir technegau dadansoddi mewn sawl maes o fathemateg, gan gynnwys:

 Damcaniaeth rhif dadansoddol
 Cyfuniadeg dadansoddol
 Tebygolrwydd parhaus
 Entropi differol mewn theori gwybodaeth
 Gemau differol
 Geometreg differol, cymhwyso calcwlws i ofodau mathemategol penodol a elwir yn maniffoldiau sy'n meddu ar strwythur mewnol cymhlyg ond sy'n ymddwyn mewn modd syml yn lleol.
 Maniffoldiau differol
 Topoleg differol
 Hafaliadau differol rhannol

Darllen pellach 

 
 
 
 
 
 
 
  (vi+608 pages) (reprinted: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)

Dolenni allanol 

 Defnyddiau Hysbys Cynharaf o Rai o Eiriau Mathemateg: Calcwlws a Dadansoddiad
 Dadansoddiad Sylfaenol: Cyflwyniad i Ddadansoddiad Go Iawn gan Jiri Lebl ( Creative Commons BY-NC-SA )
 Dadansoddiad Mathemategol-Encyclopædia Britannica
 Calcwlws a Dadansoddiad

Cyfeiriadau

Dadansoddi