Инверсия (геометрия)

Инве́рсия (от  «обращение») относительно окружности — преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

Определение 

Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность  с центром 
(называемым полюсом инверсии, или центром инверсии, эта точка выколота) и радиусом .
Инверсия точки  относительно  есть точка , лежащая на луче  такая, что
 
Инверсия переводит внутреннюю область окружности во внешнюю и обратно.

Часто к плоскости добавляют «бесконечно удалённую точку»  и считают её инверсным образом , а  — инверсным образом . В этом случае инверсия является биективным преобразованием этой расширенной «круговой плоскости».

Аналогично определяется инверсия евклидова пространства относительно сферы и инверсия в евклидовых пространствах более высоких размерностей.

Свойства 

Инверсия относительно окружности  с центром O обладает следующими основными свойствами:
 Инверсия является инволюцией: если точка P переходит в точку Q, то и точка Q переходит в точку P.
 Прямая, проходящая через O, переходит в себя.
 Прямая, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O с выколотой точкой O; и обратно, окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O.
 Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O (при этом образ её центра не является центром образа).
 Инверсия является конформным отображением второго рода (т. е. она сохраняет углы между кривыми и меняет ориентацию).

 Инверсия относительно окружности Аполлония, определяемой равенством , меняет местами точки  и .
 Окружность или прямая, перпендикулярная к , переходит в себя.
 Для того, чтобы точки  и  были симметричными относительно окружности , необходимо и достаточно, чтобы любая окружность на расширенной комплексной плоскости, через них проходящая, была ортогональна

Замечание 
 В теории окружностей и инверсии две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными (перпендикулярными). Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведёнными в точке их пересечения.
 В теории  окружностей и инверсии прямая перпендикулярна к окружности , если она проходит через центр последней.

Построение 

Получить образ P точки P при инверсии относительно данной окружности с центром O можно следующим образом:
 Если расстояние от P до O больше радиуса окружности — провести из P касательную к окружности, тогда перпендикуляр к прямой OP из точки касания пересечёт эту прямую в искомой точке P'''.
 Если расстояние от P до O меньше радиуса окружности — провести через P перпендикуляр к OP, а через точку его пересечения с окружностью — касательную к ней, которая пересечёт OP в искомой точке P.
 Если расстояние от P до O равно радиусу окружности, образ P совпадёт с ней самой.

 Координатные представления 

 Декартовы координаты 
Инверсия относительно единичной окружности с центром в начале координат задаётся соотношением
 .
Если точку плоскости задать одной комплексной координатой , то это выражение можно представить в виде
 ,
где  — комплексно сопряжённое число для .
Данная функция комплексного переменного является антиголоморфной, откуда, в частности, следует конформность инверсии.

В общем случае инверсия относительно окружности с центром в точке  и радиусом
 задаётся соотношением
 .

 Полярные координаты 
Инверсия относительно окружности радиуса  с центром в начале координат задаётся соотношением

 .

 Приложения 
 Применением инверсии решаются 
задача Аполлония,
тождество Птолемея.

 На свойствах инверсии основан механизм Липкина — Посселье.

 Применением инверсии доказывается теорема Мора — Маскерони, которая утверждает, что все построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки, можно сделать с помощью одного циркуля (прямая считается построенной, если известны две её точки)

 Существует доказательство свойств  окружности Аполлония, основанное на свойстве инверсии.

 При помощи инверсии доказывается поризм Штейнера: в доказательстве используется тот факт, что для любых непересекающихся окружностей существует инверсия, превращающая их в концентрические.

 При помощи инверсии доказывается то, что равны две архимедовы окружности-близнецы  в арбелосе.

 При помощи инверсии доказываются свойства окружностей в поризме Паппа Александрийского.

 При помощи инверсии доказывается Теорема о бабочке.

 Вариации и обобщения 
  Инверсия относительно конического сечения 
Можно определить инверсию относительно произвольного невырожденного конического сечения, с той лишь разницей, что величина  будет (переменным) расстоянием от центра  соответствующей кривой (в случае эллипса и гиперболы) до точек пересечения этой кривой с прямой .

В случае инверсии относительно гиперболы, в зависимости от сектора, в котором находится точка  между асимптотами, возможен случай, когда прямая  не пересекается с гиперболой. Тогда для вычисления  берётся точка пересечения этой прямой с сопряжённой гиперболой (если только точка  не лежит на асимптоте), а соответствующая величина  берётся со знаком минус, то есть луч  направляется в сторону, противоположную лучу .

Инверсия относительно параболы — это просто симметричное отражение относительно неё вдоль прямой, параллельной оси параболы.

Альтернативное определение — инверсия относительно конического сечения  как середина хорды, высекаемой полярой точки  относительно  на . Однако в случае, когда соответствующая поляра не пересекает , для полноты определения приходится применять это, частичное, определение в обратную сторону'' (то есть  — это такая точка, что  является серединой хорды, высекаемой полярой  на ), что не всегда удобно.

См. также 
 
 Инверсия кривой

Примечания

Ссылки 

 Ануфриенко С. А. Симметрия относительно окружности.
 Бакельман И. Я. Инверсия. Популярные лекции по математике, Вып. 44, М., Наука, 1966.
 
 

Планиметрия
Преобразования пространства
Конформная геометрия