Закон дисперсии

Зако́н диспе́рсии, или дисперсионное соотношение, в теории волн — функция зависимости частоты волны от волнового вектора:

 .

Математический вид этой зависимости, выражающей связь временнóй и пространственной периодичности волны, определяется свойствами рассматриваемых колебаний и среды, в которой они распространяются. 

Из закона дисперсии можно получить фазовую и групповую скорости волны:
 .
В простейшем случае линейной связи  и  эти скорости совпадают. 

Законы дисперсии существуют для волн любой природы, в том числе для электромагнитных и упругих. Концепция корпускулярно-волнового дуализма позволяет записать данный закон также для волн де Бройля, ассоциируемых с частицами, например электронами. 

Иногда дисперсионное соотношение задаётся в виде зависимости

 

для энергии кванта колебаний (фотона, фонона)  или частицы, где  — постоянная Планка-Дирака.

Волновое уравнение и дисперсия 
В гармоническом решении классического волнового уравнения фазовая скорость не зависит от волнового числа. Однако различные эффекты, возникающие в среде, могут приводить к появлению дополнительных членов в дифференциальном уравнении, описывающем распространение в этой среде волн. При подстановке в такое уравнение гармонической функции, можно увидеть, что она всё ещё является решением, но связь между частотой и волновым числом уже не линейная, что эквивалентно зависимости фазовой скорости от волнового числа.

Нахождение дисперсионного соотношения 
Дисперсионные соотношения могут быть рассчитаны в рамках тех или иных моделей среды.

Экспериментально они не измеряются напрямую, но подлежат определению на основе анализа распространения волн. Например, закон дисперсии электромагнитной волны в некоторой среде можно получить на базе измерений частотной зависимости показателя преломления.

Примеры для волн различных типов

Дисперсия видимого света в оптике 

Дисперсия возникает, если фазовая скорость распространения волны зависит от её волнового числа, что имеет место, когда закон дисперсии нелинеен. Среда, в которой возникает дисперсия, называется дисперсионной или диспергирующей средой. Такой средой в частности является стекло. Можно показать, что нелинейное дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в стекле, приводит к зависимости показателя преломления от длины волны. 

Дисперсия стекла и закон Снеллиуса приводят к возможности использования стеклянной призмы в качестве простейшего спектрального прибора (см. картинку).

Упругие колебания атомов в цепочке  
Пусть имеется одномерная линейная цепочка атомов массой , расстояние между ними . Сместим -й атом на малое расстояние . Из-за малости отклонения сила взаимодействия атомов будет квазиупругой.

С учётом ближайших соседей, действующая на -й атом смла запишется как 
 
где  — коэффициент. Уравнение движения для -го атома имеет вид
 .

Его решение ищется в форме , где  — волновое число, const, а  — частота. Тогда
  
откуда получается:
  где .
Это и есть зависимость частоты от волнового числа, то есть закон дисперсии, для одноатомной цепочки.

Законы дисперсии для электронов 
В физике твёрдого тела закон дисперсии выражает связь между энергией электрона и его волновым вектором. Такие зависимости могут иметь достаточно сложный вид. На их основе рассчитывается эффективная масса электрона в разных квантовых состояниях.

В полупроводниках, в диапазоне энергий электрона  вблизи минимума зона проводимости  дисперсионное соотношение часто повторяет соответствующее выражение для случая вакуума, но с эффективной массой  отличной от массы свободного электрона:
 .
Однако при повышении энергии выражение значительно модифицируется.

См. также 
 Дисперсия волн

Примечания

Литература 
Стефан А. Тау. Линейные волны в средах с дисперсией // Нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.

Теория волн