Ортотреугольник

Ортотреуго́льник (или ортоцентрический треугольник) — треугольник , вершины которого являются основаниями высот исходного треугольника . Для ортотреуго́льника  исходный треугольник  является треугольником трёх внешних биссектрис. Точка пересечения высот исходного треугольника  называется ортоцентром и является центром вписанной окружности ортотреуго́льника .

Свойства 
 Задача Фаньяно: ортотреугольник остроугольного треугольника  обладает наименьшим периметром из всех вписанных треугольников.
 Окружность девяти точек: окружность, описанная вокруг ортотреугольника остроугольного треугольника , проходит через середины сторон треугольника Δ и через середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника . Радиус этой окружности равен половине радиуса окружности, описанной вокруг  треугольника Δ.
 Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника.
 Стороны треугольника являются тремя внешними биссектрисами его ортотреугольника, таким образом треугольник является треугольником трёх внешних биссектрис своего ортотреугольника.
 Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
 Если точки ,  и  на сторонах соответственно ,  и  остроугольного треугольника Δ таковы, что ,  и , то  — ортотреугольник треугольника .
 Ортотреугольник треугольника Δ отсекает при вершинах ,  и  треугольники, подобные треугольнику Δ с коэффициентами подобия соответственно , , .
 Окружности, описанные вокруг отсекаемых ортотреугольником треугольников, проходят через ортоцентр, и их центры лежат на серединах отрезков, соединяющих ортоцентр исходного треугольника с вершинами исходного треугольника.
 Если вокруг остроугольного треугольника описать окружность и в трех вершинах треугольника провести прямые, касательные к окружности, то пересечение этих прямых образует треугольник, который называют тангенциальным треугольником по отношению к исходному треугольнику, и стороны которого параллельны сторонам ортотреугольника исходного треугольника.

Свойства подобия родственных треугольников 

 Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны (Зетель, следствие 1, § 66, с. 81).
 Треугольник Жергонна ортотреугольника и исходный треугольник подобны (см. рисунок).
 Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны.
 Ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
 Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников.

Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников 
 Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат.
 Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
 Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
 Если точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, то получится треугольник Жергонна. Пусть в полученном треугольнике проведены высоты. Тогда прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.

Другие свойства 
 Площадь ортотреугольника равна:
 
где  — площадь треугольника ΔABC;  — его соответствующие стороны.

 Окружность, описанная около ортотреугольника Δabc, для самого треугольника ΔABC является окружностью Эйлера (окружностью 9 точек), то есть одновременно проходит, через 3 основания медиан последнего. Заметим, что эти 3 основания медиан являются вершинами дополнительного треугольника для треугольника ΔABC.
 Радиусы окружности, описанной около данного треугольника ΔABC, проведенные через его вершины, перпендикулярны соответственным сторонам ортотреугольника Δabc (Зетель, следствие 2, § 66, с. 81).

Литература 
 
 Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.

Виды треугольников