Обратная матрица

Обра́тная ма́трица — такая матрица , при умножении которой на исходную матрицу  получается единичная матрица :

 

Обратную матрицу можно определить как:

 

 где  — соответствующая присоединённая матрица,
  — определитель матрицы .

Из этого определения следует критерий обратимости: матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы 
Пусть квадратные матрицы  — невырожденные. Тогда:

 
 , где  обозначает определитель.
 
 , где  обозначает операцию транспонирования.
  для любого коэффициента .
 .
 Пусть необходимо решить систему линейных уравнений , где  — искомый вектор,  — ненулевой вектор. Если  существует, то . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Способы нахождения обратной матрицы 
Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Точные (прямые) методы

Метод Жордана—Гаусса 
Возьмём две матрицы: саму  и единичную матрицу . Приведём матрицу  к единичной методом Гаусса—Жордана, применяя преобразования по строкам (можно также применять преобразования и по столбцам). После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной .

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц  (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

 

 

Вторая матрица после применения всех операций станет равна , то есть будет искомой. Сложность алгоритма — .

С помощью матрицы алгебраических дополнений 
Матрица, обратная матрице , представима в виде:

 

 где  — присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы).

Сложность алгоритма зависит от сложности  алгоритма расчета определителя и равна .

Использование LU- или LUP-разложения 
Матричное уравнение  для обратной матрицы  можно рассматривать как совокупность  систем вида . Обозначим -й столбец матрицы  через ; тогда , , поскольку -м столбцом матрицы  является единичный вектор . Иными словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению  уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. Решение этих уравнений может быть упрощено с помощью LU- или LUP-разложения матрицы . После выполнения LUP-разложения за время  на решение каждого из  уравнений нужно время , так что и этот алгоритм требует времени .

Матрицу, обратную к заданной невырожденной матрице , можно также вычислить непосредственно с помощью матриц, полученных в результате разложения.

Результатом LUP-разложения матрицы  является равенство . Пусть , . Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: . Если умножить это равенство на  и  то можно получить два равенства вида  и . Первое из этих равенств представляет собой систему из  линейных уравнений, для  из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе также представляет систему из  линейных уравнений, для  из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из  равенств. С их помощью можно рекуррентно определить все  элементов матрицы . Тогда из равенства  получаем равенство .

В случае использования LU-разложения () не требуется перестановки столбцов матрицы , но решение может разойтись даже если матрица  невырождена.

Сложность обоих алгоритмов — .

Итерационные методы 
Матрицу  можно вычислить с произвольной точностью в результате выполнения следующего итерационного процесса, называющегося методом Шульца и являющегося обобщением классического метода Ньютона:
 
Последовательность матриц  сходится к  при . Существует также так называемый обобщённый метод Шульца, который описывается следующими рекуррентными соотношениями:

Выбор начального приближения 
Проблема выбора начального приближения  в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на -разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору , обеспечивающие выполнение условия  (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости итерационного процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать оценку сверху спектра обращаемой матрицы  либо матрицы  (а именно, если  — симметричная положительно определённая матрица и , то можно взять , где ; если же  — произвольная невырожденная матрица и , то полагают , где также ; можно, конечно, упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что , положить ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что  будет малой (возможно, даже окажется ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

Для метода Ньютона в качестве начального приближения можно выбрать , где верхний индекс  обозначает эрмитово сопряжение,  и  — соответствующие матричные нормы. Такое  вычисляется всего за  операций, где  — порядок матрицы, и обеспечивает сходимость алгоритма.

Примеры

Матрица 2 × 2 
 
Обращение матрицы 2 × 2 возможно только при условии, что .

Примечания

Ссылки 
 Реализация с полным выбором ведущего элемента на C++

Типы матриц