Функция распределения

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина  примет значение, меньшее , где  — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.

Определение 
Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина  с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины  называется функция , задаваемая формулой
 .
То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины  называют функцию , значение которой в точке  равно вероятности события , то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых .

Свойства 

  непрерывна справа:
 
  не убывает на всей числовой прямой.
 .
 .
 Распределение случайной величины  однозначно определяет функцию распределения.
 Верно и обратное: если функция  удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что  является её функцией распределения.
 По определению непрерывности справа, функция  имеет правый предел  в любой точке , и он совпадает со значением функции  в этой точке.
 В силу неубывания, функция  также имеет и левый предел  в любой точке , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция  либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Тождества 
Из свойств вероятности следует, что , таких что :
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;

Дискретные распределения 
Если случайная величина  дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности
 ,
то функция распределения  этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:
 .
Эта функция непрерывна во всех точках , таких что , и имеет разрыв первого рода в точках .

Непрерывные распределения 
Распределение  называется непрерывным, если такова его функция распределения . В этом случае:
 ,
и
 ,
а следовательно формулы имеют вид:
 ,
где  означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Абсолютно непрерывные распределения 
Распределение  называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция , такая что:
 .
Функция  называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если , то , и
 .

Вариации и обобщения 
Иногда в иностранной литературе берётся такое определение функции распределения:
 .

Определённая так функция распределения будет непрерывна справа, а не слева.

Многомерные функции распределения 
Пусть  фиксированное вероятностное пространство, и  — случайный вектор. Тогда распределение , называемое распределением случайного вектора  или совместным распределением случайных величин , является вероятностной мерой на . Функция этого распределения  задаётся по определению следующим образом:
 ,
где  в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на  и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для .

См. также 
 Плотность вероятности

Ссылки 
 Н.И.Чернова. Теория вероятностей. Свойства функций распределения

Примечания 

Теория вероятностей