Гипотеза Пуанкаре

Гипотеза Пуанкаре́ — доказанная математическая гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов Григорием Перельманом. После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент ( год) решённой задачей тысячелетия.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре — утверждение о том, что всякое -мерное многообразие гомотопически эквивалентно -мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Основная гипотеза Пуанкаре эквивалентна частному случаю обобщённой гипотезы при . К концу XX века этот случай оставался единственным недоказанным. Таким образом, доказательство Перельмана завершает и доказательство обобщённой гипотезы Пуанкаре.

Схема доказательства 
Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности.
Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить.
Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае.
При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, диффеоморфную прямому произведению ), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией».
Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме.

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии  и применяют к нему поток Риччи с хирургией.
Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё.
Это означает, что исходное многообразие  можно представить как набор сферических пространственных форм , соединённых друг с другом трубками .
Подсчёт фундаментальной группы показывает, что  диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм  и более того все  тривиальны.
Таким образом,  является связной суммой набора сфер, то есть сферой.

История 
В 1900 году Анри Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контрпример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Гипотеза Пуанкаре долгое время не привлекала внимания исследователей. В 1930-х годах Джон Уайтхед возродил интерес к гипотезе, объявив о доказательстве, но затем отказался от него. В процессе поиска он обнаружил некоторые интересные примеры односвязных некомпактных 3-многообразий, негомеоморфных , прообраз которых известен как многообразие Уайтхеда.

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для  получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами  (для , его доказательство было распространено на случаи  Зиманом). Доказательство значительно более трудного случая  было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено Григорием Перельманом и опубликовано им в трёх статьях на сайте arXiv в 2002—2003 годах. Впоследствии, в 2006 году, доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных. Доказательство использует модификацию потока Риччи (так называемый поток Риччи с хирургией) и во многом следует плану, намеченному Р. С. Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.

Признание и оценки 
 В 1986 году Майкл Фридман стал Филдсовским лауреатом.
 В 2006 году Григорий Перельман стал Филдсовским лауреатом (отказался).
 В 2010 году математический институт Клэя присудил Перельману Премию тысячелетия (отказался).

Отражение в средствах массовой информации 
 В 2006 году журнал Science назвал доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре научным «прорывом года». Это первая работа по математике, заслужившая такое звание.
 В 2006 году Сильвия Назар опубликовала нашумевшую статью «Многообразная судьба», которая рассказывает об истории доказательства гипотезы Пуанкаре.

Примечания

Литература 
 
 Бессьер Л., Бессон Ж., Буало М. Доказательство гипотезы Пуанкаре (по работам Г. Перельмана)  // Математическое просвещение. 2019, сер. 3. Вып. 24, С. 53-69.

Ссылки 
 
 
 
 
 
 
 B. Kleiner, J. Lott. Notes on Perelman’s papers
 Terence Tao''. Perelman’s proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective

Топология
Задачи тысячелетия
1904 год в науке
2006 год в науке
Доказанные математические гипотезы