Гомеоморфизм

Гомеоморфи́зм — непрерывное обратимое преобразование пространства. Является центральным понятием топологии.

Примерами гомеоморфизмов являются подобия геометрических фигур и изометрии метрических пространств. Однако в общем случае они не обязаны сохранять геометрические свойства. Так, гомеоморфизмы могут изменять углы, длины, площади, объёмы и кривизну, растягивать объекты, скручивать, мять и изгибать.

Пространства называются гомеомо́рфными, если между ними существует гомеоморфизм. Все топологические свойства гомеоморфных пространств одинаковы, поэтому с точки зрения топологии такие пространства эквивалентны.

С точки зрения теории категорий гомеоморфизмы являются изоморфизмами в категории топологических пространств. Иными словами, гомеоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между топологическими структурами.

Термин «гомеоморфизм» происходит от сочетания двух древнегреческих слов:  — похожий и  — форма.

Определение 

Пусть  и  — два топологических пространства. Функция  называется гомеоморфизмом, если:
 взаимно однозначна;
 непрерывна;
 обратная функция  непрерывна.
Иными словами,  биективна и для любого подмножества  условие  выполняется в том и только в том случае, если .

Если между пространствами  и  существует гомеоморфизм, то пишут  или  и называют их гомеоморфными или топологически эквивалентными. Гомеоморфизм из пространства в себя называется его автогомеоморфизмом.

Примеры 

 На плоскости любые два выпуклых многоугольника гомеоморфны.

 Пространства разной мощности не гомеоморфны. Два пространства, наделённых дискретной топологией, гомеоморфны тогда и только тогда, когда они равномощны.

 Произвольный открытый интервал  гомеоморфен всей вещественной прямой . Гомеоморфизм  задаётся, например, формулой
 
 В частности, любые два открытых интервала гомеоморфны.

 Отрезок  не гомеоморфен вещественной прямой . Это связано с тем, что отрезок компактен, а прямая — нет.

 Если , то .

 Теорема о гомеоморфизме. Пусть  — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть  — биекция. Тогда  является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда  строго монотонна и непрерывна на

Топологические инварианты и свойства 

Характеристика топологических пространств, которая принимает одинаковое значение на гомеоморфных пространствах, называется топологическим инвариантом. Примерами таких характеристик являются: количество компонент связности, размерность, эйлерова характеристика, числа Бетти, фундаментальная группа, группы гомологий и когомологий, гомотопические группы.

Аналогично определяются топологические свойства, то есть свойство пространства называется топологическим, если оно сохраняется при гомеоморфизмах. Примерами таких свойств являются: метризуемость, все виды отделимости, связность и линейная связность, компактность, односвязность, свойство быть  топологическим многообразием.

Некоторые топологические инварианты и свойства определены лишь для пространств особого типа. Примером такого инварианта является род поверхности. Кроме того, ориентируемость является свойством многообразия.

Локальный гомеоморфизм 

Непрерывное отображение  топологических пространств называется локальным гомеоморфизмом, 
если у каждой точки пространства  имеется такая окрестность , что образ  открыт в  и сужение  является гомеоморфизмом.

Любой гомеоморфизм является локальным гомеоморфизмом, однако обратное неверно. Так, локальный гомеоморфизм является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен.

Например, отображение  является локальным гомеоморфизмом из вещественной прямой  в окружность . Более того, каждое накрытие является локальным гомеоморфизмом. Кроме того, среди тождественных вложений  и  первое является локальным гомеоморфизмом, а второе — нет.

Локальные гомеоморфизмы не обязательно сохраняют топологические свойства. Однако если между топологическими пространствами существует локальный гомеоморфизм, то они имеют одинаковые так называемые локальные свойства. Среди них: локальная связность, локальная линейная связность, локальная компактность, локальная односвязность и локальная метризуемость.

См. также 
 Словарь терминов общей топологии
 Диффеоморфизм
 Универсальный гомеоморфизм

Примечания

Литература

Ссылки 
 

Общая топология