Банахово пространство

Ба́нахово пространство — нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. Основной объект изучения функционального анализа.

Названо по имени польского математика Стефана Банаха (1892—1945), который с 1922 года систематически изучал эти пространства.

Примеры 
Некоторые примеры банаховых пространств (далее через  обозначено одно из полей  или ):
 Евклидовы пространства  с евклидовой нормой, определяемой для  как , являются банаховыми пространствами.
 Пространство всех непрерывных функций , определённых на закрытом интервале  будет банаховым пространством, если мы определим его норму как . Такая функция будет нормой, так как непрерывные функции на закрытом интервале являются ограниченными. Пространство с такой нормой является полным, а полученное банахово пространство обозначается как . Этот пример можно обобщить к пространству  всех непрерывных функций , где  — компактное пространство, или к пространству всех ограниченных непрерывных функций , где  — любое топологическое пространство, или даже к пространству  всех ограниченных функций , где  — любое множество. Во всех этих примерах мы можем перемножать функции, оставаясь в том же самом пространстве: все эти примеры являются банаховыми алгебрами.
 Если  — вещественное число, то пространство всех бесконечных последовательностей  элементов из , таких что ряд  сходится, является банаховым относительно нормы, равной корню степени  из суммы этого ряда, и обозначается .
 Банахово пространство  состоит из всех ограниченных последовательностей элементов из ; норма такой последовательности определяется как точная верхняя грань абсолютных величин (модулей) элементов последовательности.
 Снова, если  — вещественное число, можно рассматривать все функции, интегрируемые по Лебегу (причём степень  их модуля также суммируема). Корень степени  этого интеграла от -й степени модуля функции определим как полунорму . Это множество — не  банахово пространство, поскольку есть ненулевые функции, чья норма будет равна нулю. Определим отношение эквивалентности следующим образом:  и  эквивалентны тогда и только тогда, когда полунорма разности  равна нулю. Множество классов эквивалентности относительно этого отношения уже является банаховым пространством; оно обозначается как . Важно использовать именно интеграл Лебега, а не интеграл Римана, поскольку интеграл Римана не порождает полное пространство. Эти примеры можно обобщить. См., например, Lp-пространства.
 Если  и  — банаховы пространства, то можно составить их прямую сумму , которая опять-таки будет банаховым пространством. Можно и обобщить этот пример к прямой сумме произвольно большого числа банаховых пространств.
 Если  — замкнутое подпространство банахова пространства , то факторпространство  снова является банаховым.
 Любое гильбертово пространство тоже является банаховым. Обратное неверно.
 Если  и  — банаховы пространства над одним полем , тогда множество непрерывных -линейных отображений  обозначается . Заметим, что в бесконечномерных пространствах не все линейные отображения автоматически являются непрерывными.  — векторное пространство, и, если норма задана как , является также и банаховым.
 Пространство  представляет собой унитарную банахову алгебру; операция умножения в ней задаётся как композиция линейных отображений.

Типы банаховых пространств 
 Гильбертово пространство
 Рефлексивное пространство

Литература 
  // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.

Функциональный анализ
Топологические векторные пространства