Метрическое пространство

Метри́ческое простра́нство — множество вместе со способом измерения расстояния между его элементами. Является центральным понятием геометрии и топологии.

Определения 

Пара , состоящая из множества  и функции  из его декартова квадрата в множество неотрицательных вещественных чисел, называется метрическим пространством, если:
  (аксиома тождества);
  (аксиома положительности);
  (аксиома симметричности);
  (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

В этом случае:
 множество  называется подлежащим множеством или носителем метрического пространства;
 функция  называется метрикой или функцией расстояния;
 элементы множества  называются точками метрического пространства.

Замечания 
 Требование неотрицательности значений метрики является избыточным, оно следует из аксиом:
 .
 Если неравенство треугольника представить в виде
  
 тогда из аксиомы тождества и неравенства треугольника следует аксиома симметрии.
 Эти условия выражают интуитивные понятия о концепции расстояния и поэтому называются аксиомами расстояния. Например, что расстояние между различными точками положительно и расстояние от  до  то же самое, что и расстояние от  до . Неравенство треугольника означает, что расстояние от  до  через  не меньше, чем прямо от  до .

Обозначения 
Обычно расстояние между точками  и  в метрическом пространстве  обозначается  или .
 В метрической геометрии принято обозначение  или , если необходимо подчеркнуть, что речь идёт о . Также употребляются обозначения  и  (несмотря на то, что выражение  для точек  и  не имеет смысла).
 В классической геометрии приняты обозначения  или  (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).

Связанные определения 
 Биекция между различными метрическими пространствами  и , сохраняющая расстояния, называется изометрией;
 В этом случае пространства  и  называются изометричными.
Если ,  и  при , то говорят, что  сходится к : .
 Если  подмножество множества , то, рассматривая сужение  метрики  на множество , можно получить метрическое пространство , которое называется подпространством пространства .
 Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.

 Метрика  на  называется внутренней, если любые две точки  и  в  можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к .
 Пространство называется геодезическим если любые две точки  и  в  можно соединить кривой с длиной, равной .
 Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:
 
 где  есть точка в  и  — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество  является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.
 Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
 Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
 Расстояние  от точки  до подмножества  в  определяется по формуле:
 .
 Тогда , только если  принадлежит замыканию .

Примеры 
 Дискретная метрика: , если , и  во всех остальных случаях.
 Вещественные числа с функцией расстояния  и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.
 Расстояние городских кварталов: , где ,  — векторы.
 Пусть  — пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства  в метрическое пространство . Расстояние между двумя отображениями  и  из этого пространства определяется как
 .
 Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве .
 В частном случае, когда  — компактное пространство,  — числовая прямая, получается пространство  всех непрерывных функций на пространстве  с метрикой равномерной сходимости.
 Пусть , ,  — пространства функций на отрезке , соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:
 
 Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)
 В пространстве  раз непрерывно дифференцируемых функций  метрика вводится по формуле:
 ,
 где  — метрика равномерной сходимости на  (см. выше).

 Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния
 .
 Конечномерные пространства такого типа называются пространством Минковского;
 В случае размерности, равной двум — плоскостью Минковского.

 Если  является последовательностью полунорм, определяющих (локально выпуклое) топологическое векторное пространство , то
 
 является метрикой, определяющей ту же топологию. (Можно заменить  на любую суммируемую последовательность  строго положительных чисел.)

 Любое связное риманово многообразие  можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.

 Множество вершин любого связного графа  можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому ребру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.
 Частным случаем предыдущего примера является так называемая французская железнодорожная метрика, которую нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.
 Расстояние редактирования графа определяет функцию расстояния между графами.

 Расстояние Хэмминга в теории кодирования.
 , такие как расстояние Левенштейна и другие расстояния редактирования текста определяют расстояние над строками.

 Множество компактных подмножеств  любого метрического пространства  можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:
 .
 Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.
 Метрика Васерштейна определяет расстояние между двумя распределениями вероятностей.

Конструкции 
 Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:
 
 
 
 Эти метрики эквивалентны друг другу.

Свойства 
 Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
 Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
 Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
 Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).
метрические пространства с короткие отображениями образуют категорию, обычно обозначаемую Met.

Вариации и обобщения 
 Для данного множества , функция  называется псевдометрикой или полуметрикой на  если для любых точек  из  она удовлетворяет следующим условиям:
 ;
  (симметрия);
  (неравенство треугольника).
 То есть, в отличие от метрики, различные точки в  могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве , где .

 Для данного множества  функция  называется квазиметрикой, если для любых точек , ,  из  она удовлетворяет следующим условиям:
 ;
  (квазисимметрия);
  (обобщённое неравенство треугольника).
 Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:
 Для всех ,  и  в  .

 Иногда удобно рассматривать -метрики, то есть метрики со значениями . Для любой -метрики можно построить конечную метрику, которая определяет ту же топологию. Например,
  или 
 Также, для любой точки  такого пространства, множество точек, находящихся от неё на конечном расстоянии, образует обычное метрическое пространство, называемое метрической компонентой . В частности, любое пространство с -метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным .

 Иногда квазиметрика определяется как функция, удовлетворяющая всем аксиомам для метрики за возможным исключением симметрии. Название этого обобщения не вполне устоялось. В своей книге Смит называет их «полуметриками». Тот же термин используется часто также для двух других обобщений метрик.
  (положительность)
  (положительная определённость)
 d(x, y)=d(y, x) (симметрия вычеркнута)
  (неравенство треугольника)
 Примеры квазиметрики встречаются в реальной жизни. Например, если дано множество  горных сёл, время прогулки между элементами  образует квазиметрику, поскольку восхождение вверх занимает больше времени, чем спуск вниз. Другим примером является топология городских кварталов, имеющих улицы с односторонним движением, когда путь из точки  в точку  состоит из различного набора улиц по сравнению с путём из  в .

 В метаметрике все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомами для метаметрики являются:
 
 из  следует  (но не наоборот.)
 
 .
 Метаметрики появляются при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальная метаметрика на таком пространстве удовлетворяет равенству  для точек  на границе, но в противном случае  примерно равно расстоянию от  до границы. Метаметрики первым определил Юсси Вяйсяля.

 Ослабление последних трёх аксиом ведёт к понятию преметрики, то есть функции, удовлетворяющей условиям:
 
 
 Термин не устоялся, иногда он используется для обобщения других метрик, таких как псевдополуметрики или псевдометрики. В русскоязычной литературе (и в переводах с русского) этот термин иногда появляется как «праметрика».
 Любая преметрика приводит к топологии следующим образом. Для положительного вещественного  определяется -шар с центром в точке  как
 . Множество называется открытым, если для любой точки  в множестве существует -шар с центром в , который содержится в множестве. Любое преметрическое пространство является топологическим пространством и, фактически, . В общем случае сами -шары не обязаны быть открытыми множествами согласно этой топологии. Как и для метрик, расстояние между двумя множествами  и  определяется как
 .
 Это определяет преметрику на булеане преметрического пространства. Если мы начинаем с (псевдополу-)метрического пространства, мы получим псевдополуметрику, то есть, симметричную преметрику. Любая преметрика приводит к  :
 .

 Префиксы псевдо-, квази- и полу- могут комбинироваться, например, псевдоквазиметрика (иногда называемая гемиметрикой) ослабляет как аксиому неразличимости, так и аксиому симметрии, и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые -шары образуют базис открытых множеств. Простейшим примером псевдоквазиметрического пространства служит множество  с преметрикой, задаваемой функцией , такой что  и . Ассоциированное топологическое пространство является пространством Серпинского.

 Множества, оснащённые расширенной псевдоквазиметрикой, изучал Уильям Ловер как «обобщённые метрические пространства». С категорной точки зрения расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства вместе с их соответствующими нерасширяющимися отображениями лучше всего ведут себя на категориях метрических пространств. Можно взять произвольные произведения и копроизведения и образовать фактор-объект с данной категорией. Если опустить слово «расширенная», можно взять только конечные произведения и копроизведения. Если опустить «псевдо», нельзя будет получить фактор-объекты.  являются обобщением метрических пространств, учитывающим эти хорошие категориальные свойства.

Линейное пространство  называется линейным метрическим пространством, если в нём задано расстояние между его элементами и алгебраические операции непрерывны в его метрике, т. е.:
  
 
Пример: Линейное пространство всех комплексных последовательностей можно превратить в линейное метрическое пространство при помощи введения расстояния между его элементами с помощью формулы:

Гиперметрическое пространство — метрическое пространство в котором выполнены гиперметрические неравенства. То есть, 

для любых точек  и целых чисел  таких, что .
Заметим, что при  и , гиперметрическое неравенство преврящается в обычное неравенство треугольника

Пример гиперметрического пространства: -пространство.

История 
Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства в связи с рассмотрением функциональных пространств.

Примечания

Литература 
 
 Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1990. — № 1.
 Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1970. — № 10.
 
 Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение» . — 2001. — Выпуск 9.
 Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? // «Популярные лекции по математике». — : Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.
; reprinted with added commentary from

Ссылки 

 
 Far and near — several examples of distance functions at cut-the-knot.

Функциональный анализ
Математические структуры
Типы математических объектов