Квадратичная форма

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение 
Пусть  есть векторное пространство над полем  и  — базис в .

Функция  называется квадратичной формой,
если её можно представить в виде 
 
где , а  — некоторые элементы поля .

Связанные определения и свойства 
 Матрицу  называют матрицей квадратичной формы  в данном базисе. В случае, если характеристика поля  не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть . Так, например, квадратичную форму от двух переменных обычно записывают в виде
 .
 При замене базиса (т.е. невырожденной линейной замене переменных ) с матрицей замены  матрица квадратичной формы изменяется по формуле 
  
 где  — матрица квадратичной формы в новом базисе. 
 Из формулы  следует, что определитель матрицы квадратичной формы не является её инвариантом (т.е. не сохраняется при замене базиса, в отличие, например, от матрицы линейного отображения), но её ранг — является. Таким образом, определено понятие ранга квадратичной формы.
 Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг , то квадратичную форму называют невырожденной, в противном случае — вырожденной.
 Для любой квадратичной формы  существует единственная симметричная билинейная форма , такая, что . Билинейную форму  называют полярной к , если она может быть вычислена по формуле
  
 Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Знакоопределённые и знакопеременные формы 
В случае, когда  (поле вещественных чисел), важную роль, в том числе, для различных приложений, играют понятия положительно и отрицательно определённой квадратичной формы. 

 Квадратичная форма  называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого  выполнено неравенство  . Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
 Квадратичная форма  называется знакопеременной (индефинитной), если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
 Квадратичная форма  называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если   для любого  и существует  такой что .

Для решения вопроса о том, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определённой, используется критерий Сильвестра:
 Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
 Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Канонический вид

Вещественный случай 
В случае, когда  (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид, то есть содержит только квадраты переменных:
 
где  — ранг квадратичной формы. . В этом случае коэффициенты  называются каноническими коэффициентами. В случае невырожденной квадратичной формы , а в случае вырожденной — .

Существует также нормальный вид квадратичной формы:
.

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используются метод Лагранжа или ортогональные преобразования базиса, причем привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.

Число  (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число  (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару . Числа  являются инвариантами квадратичной формы, то есть не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Комплексный случай 
В случае, когда  (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид
 
где  — ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один единственный инвариант — ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).

Примеры 
 Скалярное произведение векторов  — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная форма  является положительно определённой, она сопоставляет вектору  квадрат его длины.
 Квадратичная форма  на плоскости (вектор  имеет две координаты:  и ) является знакопеременной, она приводится к каноническому виду  с помощью линейной замены .

См. также 
 Теорема Витта
 Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Примечания

Литература 
 Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
 Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
 Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.

 Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
 Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
 Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
 Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.'' Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Линейная алгебра