Континуум-гипотеза

Конти́нуум-гипо́теза (проблема континуума, первая проблема Гильберта) — выдвинутое в 1877 году Георгом Кантором предположение о том, что любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Другими словами, гипотеза предполагает, что мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет. В частности, это предположение означает, что для любого бесконечного множества действительных чисел всегда можно установить взаимно-однозначное соответствие либо между элементами этого множества и множеством целых чисел, либо между элементами этого множества и множеством всех действительных чисел.

Если принять аксиому выбора, то континуум-гипотеза равносильна тому, что .

Первые попытки доказательства этого утверждения средствами наивной теории множеств не увенчались успехом, в дальнейшем была показана невозможность доказать или опровергнуть гипотезу в аксиоматике Цермело — Френкеля (как с аксиомой выбора, так и без неё).

Континуум-гипотеза однозначно доказывается в системе Цермело — Френкеля с аксиомой детерминированности (ZF+AD). При этом утверждение  в ней неверно; более того, мощность континуума и  в ней несравнимы.

История 

Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.

В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им  доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC. Оба эти результата опираются на предположение о непротиворечивости ZFC, причём оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.

В предположении отрицания континуум-гипотезы  имеет смысл задавать вопрос: для каких ординалов  может выполняться равенство ? Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году .

Эквивалентные формулировки 
Известно несколько утверждений, эквивалентных континуум-гипотезе:
 Прямая  может быть раскрашена в счётное количество цветов так, что ни для какой одноцветной четвёрки чисел  не выполняется условие .
 Плоскость  может быть полностью покрыта счётным семейством множеств, каждое из которых имеет вид  (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или  (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой).
 Пространство  можно разбить на 3 множества так, что они пересекаются с любой прямой, параллельной осям ,  и , соответственно, лишь в конечном числе точек (каждому множеству соответствует своя ось).
 Пространство  можно разбить на 3 множества так, что для каждого из них существует такая точка , что это множество пересекается с любой прямой, проходящей через , лишь в конечном числе точек.

Вариации и обобщения 
Обобщённая континуум-гипотеза заключается в предположении, что для любого бесконечного кардинала  выполняется равенство ; где  обозначает следующий за  кардинал. Другими словами, в любом множестве, превосходящем по мощности некоторое бесконечное множество , найдётся подмножество, равномощное булеану .

Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 году и Шпеккер в 1952 году, из неё следует аксиома выбора.

См. также 
 Аксиома Мартина

Примечания

Литература 
 
 Манин Ю. И. Проблема континуума // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения.». — 1975. — № 5. — С. 5—72. — ISSN 0202-747X.
 
  

01
Аксиомы теории множеств
Мощность множеств
Бесконечность