Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Формирование дифференциального исчисления связано с именами Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Именно они чётко сформировали основные положения и указали на взаимообратный характер дифференцирования и интегрирования. Создание дифференциального исчисления (вместе с интегральным) открыло новую эпоху в развитии математики. С этим связаны такие дисциплины как теория рядов, теория дифференциальных уравнений и многие другие. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Очень распространилась область применения математики в естественных науках и технике.

Дифференциальное исчисление базируется на таких важнейших понятиях математики, определение и исследование которых и составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа (числовая прямая), функция, граница, непрерывность. Все эти понятия получили современную трактовку в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений.

Основная идея дифференциального исчисления состоит в изучении функции в малом. Точнее дифференциальное исчисление дает аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близка к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия дифференциального исчисления: производная и дифференциал.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Производная 

Пусть функция  определена в окрестности  и для любого  > 0 найдётся такое , что
 , лишь только 
тогда говорят, что  — бесконечно малое порядка .

Пусть  — вещественнозначная функция, заданная на отрезке . Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале , если
 
для любого  и любого . Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается многочленом. Гладкие на отрезке  функции образуют кольцо гладких функций .

Коэффициенты 
 
Эти функции называют производными функции . Первая производная может быть вычислена как предел
 .
Оператор, сопоставляющий функции  её производную  обозначают как
 
При этом для двух гладких функций f и g верно
  и 
Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.

Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке , является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые — нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.

Касательная прямая 

Прямая
 
пересекает кривую
 
в точке  таким образом, что знак выражения
 
при условии  всё время остаётся одним и тем же, поэтому кривая
 
лежит по одну сторону от прямой
 
Прямую, обладающую указанным свойством, называют касательной к кривой в точке  (по Б. Кавальери). Точку , в которой кривая
 
не лежит по одну сторону от прямой
 
называют точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.

Точки экстремума 
Точка  называется точкой локального максимума (минимума), если
 
для всех достаточно малых по модулю . Из соотношения
 
сразу видно, что  — необходимое условие максимума, а  — достаточное условие максимума. Условие  выделяет точки максимума, минимума и перегиба.

Непрерывные функции 
Пусть  определена и на концах интервала ; говорят, что она непрерывна на , если для любого  найдётся такое , что
 , лишь только 
и точки  не выходят за границы интервала .
Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием предела функции. Непрерывные на интервале  функции образуют кольцо непрерывных функций .

История 
В XII веке математик Шарафуддин ат-Туси тюрко-монгольского государства Хулагу был первым, кто нашел производную от кубической функции, важный результат в дифференциальном исчислении. Был написан «Трактат об уравнениях», в котором были разработаны концепции, связанные с дифференциальным исчислением, такие, как производная функции и максимумы и минимумы кривых, для решения кубических уравнений, которая не может иметь положительного решения.

Основные теоремы дифференциального исчисления 
Кольцо непрерывных на  и гладких на  функций обладает рядом важных свойств:

 Теорема Ролля: если , то имеется точка  максимума или минимума, в которой  обращается в нуль.
 Теорема Лагранжа: существует такая точка , что
 
 Теорема Коши: если  на , то существует такая точка , что
 

Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезке  найдутся такие точки , что
 
где
 
При помощи этой формулы можно приближённо вычислять значения функции в точке  по известным значениям функции и её производных в точке .

Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если  или , и  на , то
 
причём существование второго предела влечёт существование первого.

См. также 
 Вариационное исчисление
 Анализ функций многих переменных
 Интегральное исчисление
 Исторический очерк и библиографию см. в статье Математический анализ.
 Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами

Литература 
 
 Виноградов И. М. (ред.) Математическая энциклопедия. Том 2. — Москва: Советская энциклопедия, 1977.
 Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1981.

Математический анализ