Аффинное преобразование

Аффи́нное преобразование, иногда афинное преобразование (от  «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся.

Определения

Геометрическое
Биекция евклидова пространства или плоскости в себя, отображающая параллельные прямые в параллельные прямые, называется аффинным преобразованием.

Алгебраическое
Аффинное преобразование  есть преобразование вида
 
где  — обратимая матрица и .

Комментарии 

Заметим, что в геометрическом определении не предполагается непрерывность. Однако непрерывность следует из определения не вполне тривиальным образом. Более того, оба определения равносильны по так называемой основной теореме аффинной геометрии.

Заметим, что преобразование является аффинным, если его можно получить следующим образом:
 Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат ;
 Каждой точке  пространства поставить в соответствие точку , имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и  в «старой».

Примеры 
Примерами аффинных преобразований являются 
движения;
растяжения;
преобразования подобия.

Свойства 
 При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
 Если размерность пространства , то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
 Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
 Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

Типы аффинных преобразований 
 Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также сохраняется аффинная длина).
 Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.

Матричное представление 
Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование  можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована.

Вариации и обобщения 
 В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел .
 Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
 Аффинные преобразования пространства  являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства  можно представить как аффинные преобразования пространства .

См. также 
 Способ «резинового листа» (Локально-аффинная трансформация)

Примечания

Ссылки 
 Аффинное преобразование плоскости и его матричное представление 
 Ершов А.В. Линейные и аффинные пространства и отображения . М.: МФТИ, 2016. 69 с.

Аффинная геометрия
Линейная алгебра
Вычислительная геометрия
Преобразования пространства