Трапеция

Трапе́ция (от  — «столик» от  — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Часто в определении трапеции опускают последнее условие (см. ниже). Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Варианты определения 
Существует и другое определение трапеции.

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм становится её частным случаем). Приведённые в разделе Общие свойства формулы верны для обоих определений трапеции.

Связанные определения

Элементы трапеции 

 Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
 Две другие стороны называются боковыми сторонами.
 Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
 Углом при основании трапеции называется её внутренний угол, образованный основанием с боковой стороной.

Виды трапеций 
 Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой или равнобочной трапецией).
 Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Свойства 

 Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна  (как сумма двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых, содержащих основания трапеции, и секущей, содержащей боковую сторону).
 Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
 Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
 Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен  среднему гармоническому длин оснований трапеции.
 В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
 Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
 Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
 Диагонали трапеции делят её на 4 треугольника. Два из них, прилежащие к основаниям, подобны. Два других, прилежащие к боковым сторонам, являются равновеликими [имеют одинаковую площадь].
 Если отношение оснований равно , то отношение площадей треугольников, прилежащих к основаниям, равно .
 Высота трапеции определяется формулой:
 
 где  — большее основание,  — меньшее основание,  и  — боковые стороны.
 Диагонали трапеции  и  связаны со сторонами соотношением:
 
 Их можно выразить в явном виде:
 
 
 Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:
 
 
 а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:
 
 
 Если же известна высота , то
 
 
 Прямая Ньютона для трапеции совпадает с её средней линией.

Неравенства для отрезков в трапеции
 Неравенство для сторон трапеции — сумма боковых сторон больше разности бо́льшего и меньшего оснований трапеции, т. е. если  — трапеция (), причём , то выполняется неравенство: .
 Неравенство для диагоналей трапеции — сумма диагоналей больше суммы оснований трапеции, т. е. если  — трапеция (), причём , то выполняется неравенство: .

Теорема о четырёх точках трапеции
Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

Равнобедренная трапеция 

Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:
 прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции);
 высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
 углы при любом основании равны;
 сумма противоположных углов равна 180°;
 длины диагоналей равны;
 диагонали трапеции образовывали с одним и тем же основание равные углы;
 из каждой вершины одного основания другое основание было видно под одним и тем же углом;
 вокруг этой трапеции можно описать окружность;
 вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.

Кроме того
 если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Если  — равнобочная трапеция (, ), причём  — диагональ трапеции, то .

Вписанная и описанная окружность 

 Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
 В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
 Если трапецию можно вписать в окружность — то она равнобедренная.
 Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:
 
 где  — боковая сторона,  — бо́льшее основание,  — меньшее основание,  — диагонали равнобедренной трапеции.
 Если , то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса
 
 Если в трапецию вписана окружность с радиусом , и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка —  и  — то .

Площадь 
 Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
 В случае, если  и  — основания и  — высота, формула площади:
 
 В случае, если  — средняя линия и  — высота, формула площади:
 
Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:
 
 Формула, где  — основания,  и  — боковые стороны трапеции:
 
 или
 
 Средняя линия  разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как
 
 По свойству треугольников  и  в трапеции :
 

 Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, проведённого из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

Формулы площади равнобедренной трапеции 
 Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным , и углом при основании :
 
 Площадь равнобедренной трапеции через диагональ , боковую сторону  и угол при основании :
 
 Площадь равнобедренной трапеции:
 
 где  — боковая сторона,  — бо́льшее основание,  — меньшее основание,  — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной.
 Площадь равнобедренной трапеции через её стороны
 
 Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату её высоты:
 

В этом случае средняя линия совпадает по длине с высотой трапеции, т. е. .

История 
Слово «трапеция» происходит от греческого слова др.-греч. τραπέζιον «столик» (уменьш. от τράπεζα «стол»), означающего стол. В русском языке от этого слова происходит слово «трапеза» (еда).

Примечания 

Четырёхугольники