Генератор псевдослучайных чисел

Генератор псевдослучайных чисел (ГПСЧ, , ) — алгоритм, порождающий последовательность чисел, элементы которой почти независимы друг от друга и подчиняются заданному распределению (обычно дискретному равномерному).

Современная информатика широко использует псевдослучайные числа в самых разных приложениях — от метода Монте-Карло и имитационного моделирования до криптографии. При этом от качества используемых ГПСЧ напрямую зависит качество получаемых результатов. Это обстоятельство подчёркивает известный афоризм математика ORNL : «генерация случайных чисел слишком важна, чтобы оставлять её на волю случая».

Источники случайных чисел 
Источники настоящих случайных чисел найти крайне трудно. Физические шумы, такие, как детекторы событий ионизирующей радиации, дробовой шум в резисторе или космическое излучение, могут быть такими источниками. Однако применяются такие устройства в приложениях сетевой безопасности редко. Сложности также вызывают грубые атаки на подобные устройства.

У физических источников случайных чисел существует ряд недостатков:
 Время и трудозатраты при установке и настройке по сравнению с программными ГПСЧ;
 Дороговизна;
 Генерация случайных чисел происходит медленнее, чем при программной реализации ГПСЧ;
 Невозможность воспроизведения ранее сгенерированной последовательности случайных чисел.
В то же время случайные числа, получаемые из физического источника, могут использоваться в качестве порождающего элемента (англ. seed) для программных ГПСЧ. Такие комбинированные генераторы применяются в криптографии, лотереях, игровых автоматах.

Качественные требования, предъявляемые к ГПСЧ 
 Достаточно длинный период, гарантирующий отсутствие зацикливания последовательности в пределах решаемой задачи. Длина периода должна быть математически доказана;
 Эффективность — быстрота работы алгоритма и малые затраты памяти;
 Воспроизводимость — возможность заново воспроизвести ранее сгенерированную последовательность чисел любое количество раз;
 Портируемость — одинаковое функционирование на различном оборудовании и операционных системах;
 Быстрота получения  элемента последовательности чисел, при задании элемента, для  любой величины; это позволяет разделять последовательность на несколько потоков (последовательностей чисел).

Ранние подходы к формированию ПСЧ 
Джон фон Нейман считал неприемлемым использование физических генераторов случайных чисел в вычислительной технике, так как при возникновении необходимости проверки вычислений повтор предыдущих действий требовал бы воспроизведение случайного числа, в то время как генерация нового случайного числа недопустима. Предварительная запись и хранение сгенерированных случайных чисел предполагало бы возможность их считывания. Механизм считывания данных являлся одним из самых слабых звеньев вычислительных машин 1940-х годов. Джон фон Нейман привёл следующий метод середины квадрата получения десятизначных псевдослучайных чисел:
 Десятизначное число возводится в квадрат, затем из середины квадрата числа берётся десятизначное число, которое снова возводится в квадрат, и так далее.

Например, для 4-значных чисел, начиная с 1234, получаем , где берём средние 4 цифры  (дописав ноль в начале, если это необходимо). Затем возводим полученное число в квадрат , и так далее. Недостатком данного метода является ограниченность множества ПСЧ из-за того, что последовательность зацикливается — .

В 1951 году Д. Г. Лемер предложил линейный конгруэнтный метод, суть которого заключается в задании последовательности целых чисел рекурсивной формулой  где  — целые и удовлетворяют следующим условиям: . Недостатком данного метода является зависимость  от , так как , а также то, что ПСЧ зацикливается.

Детерминированные ГПСЧ

Алгоритм 
Большинство детерминированных ГПСЧ соответствуют структуре, предложенной П. Лекуером  в 1994 году: , где  — это конечный набор состояний,  — вероятностное распределение в пространстве состояний , используемое для выбора начального состояния (англ. seed),  — функция перехода,  — пространство выходных значений, . Обычно , а состояние генератора задается рекуррентной формулой  для . Выходное значение генератора ;  — последовательность псевдослучайных чисел. Так как  конечно, то должны существовать некоторые конечные  и  такие, что . Значит, для всех  будут выполняться условия  и , потому что функции  и  детерминированные. Таким образом, получается, что последовательность периодическая. Периодом ГПСЧ называется минимальное положительное .

Наиболее распространены линейный конгруэнтный метод, метод Фибоначчи с запаздываниями, регистр сдвига с линейной обратной связью, регистр сдвига с обобщённой обратной связью.

Из современных ГПСЧ широкое распространение также получил «вихрь Мерсенна», предложенный в 1997 году Мацумото и Нисимурой. Его достоинствами являются колоссальный период (219937−1), равномерное распределение в 623 измерениях (линейный конгруэнтный метод даёт более или менее равномерное распределение максимум в 5 измерениях), быстрая генерация случайных чисел (в 2-3 раза быстрее, чем стандартные ГПСЧ, использующие линейный конгруэнтный метод). Однако существуют алгоритмы, распознающие последовательность, порождаемую вихрем Мерсенна, как неслучайную.

Генератор псевдослучайных чисел включён в состав многих современных процессоров, например, RdRand входит в набор инструкций IA-32.

Разновидностью ГПСЧ являются ГПСБ (PRBG) — генераторы псевдо-случайных бит, а также различных поточных шифров.

Список генераторов псевдослучайных чисел 
Ниже приведен список генераторов, которые исторически отметились в области изучения процесса генерации псевдослучайных чисел, либо благодаря своей исторической значимости, либо благодаря тому, что были инновационной моделью для своих эпох. Более того, несмотря на то, что это ГПСЧ, некоторые из них могут быть применимы в области криптографии.

Одноразовый блокнот 
Альтернативным решением является создание набора из большого количества случайных чисел и опубликование его в некотором словаре, называемом «одноразовым блокнотом». Тем не менее, и такие наборы обеспечивают очень ограниченный источник чисел по сравнению с тем количеством, которое требуется приложениям сетевой безопасности. Хотя данные наборы действительно обеспечивают статистическую случайность, они недостаточно безопасны, так как злоумышленник может получить копию словаря.

Недостатки ГПСЧ 
Никакой детерминированный алгоритм не может генерировать полностью случайные числа, он может только аппроксимировать некоторые их свойства. Как сказал Джон фон Нейман, «всякий, кто питает слабость к арифметическим методам получения случайных чисел, грешен вне всяких сомнений».

Любой ГПСЧ с ограниченными ресурсами рано или поздно зацикливается — начинает повторять одну и ту же последовательность чисел. Длина циклов ГПСЧ зависит от самого генератора и составляет около , где  — размер внутреннего состояния в битах, хотя линейные конгруэнтные и РСЛОС-генераторы обладают максимальными циклами порядка . Если порождаемая последовательность ГПСЧ сходится к слишком коротким циклам, то такой ГПСЧ становится предсказуемым и непригодным для практических приложений.

Большинство простых арифметических генераторов хотя и обладают большой скоростью, но страдают от многих серьёзных недостатков:

 Слишком короткий период/периоды.
 Последовательные значения не являются независимыми.
 Некоторые биты «менее случайны», чем другие.
 Неравномерное одномерное распределение.
 Обратимость.

В частности, алгоритм RANDU, десятилетиями использовавшийся на мейнфреймах, оказался очень плохим, что вызвало сомнения в достоверности результатов многих исследований, использовавших этот алгоритм.

ГПСЧ с источником энтропии или ГСЧ 
Наравне с существующей необходимостью генерировать легко воспроизводимые последовательности случайных чисел, также существует необходимость генерировать совершенно непредсказуемые или попросту абсолютно случайные числа. Такие генераторы называются генераторами случайных чисел (ГСЧ — ). Так как такие генераторы чаще всего применяются для генерации уникальных симметричных и асимметричных ключей для шифрования, они чаще всего строятся из комбинации криптостойкого ГПСЧ и внешнего источника энтропии (и именно такую комбинацию теперь и принято понимать под ГСЧ).

Почти все крупные производители микрочипов поставляют аппаратные ГСЧ с различными источниками энтропии, используя различные методы для их очистки от неизбежной предсказуемости. Однако на данный момент скорость сбора случайных чисел всеми существующими микрочипами (несколько тысяч бит в секунду) не соответствует быстродействию современных процессоров.

В современных исследованиях осуществляются попытки использования измерения физических свойств объектов (например, температуры) или даже квантовых флуктуаций вакуума в качестве источника энтропии для ГСЧ.

В персональных компьютерах авторы программных ГСЧ используют гораздо более быстрые источники энтропии, такие, как шум звуковой карты или счётчик тактов процессора. Сбор энтропии являлся наиболее уязвимым местом ГСЧ. Эта проблема до сих пор полностью не разрешена во многих устройствах (например, смарт-картах), которые таким образом остаются уязвимыми. Многие ГСЧ используют традиционные испытанные, хотя и медленные, методы сбора энтропии вроде измерения реакции пользователя (движение мыши и т. п.), как, например, в PGP и Yarrow, или взаимодействия между потоками, как, например, в Java SecureRandom.

Пример простейшего ГСЧ с источником энтропии 
Если в качестве источника энтропии использовать текущее время, то для получения целого числа от 0 до N достаточно вычислить остаток от деления текущего времени в миллисекундах на число N+1. Недостатком этого ГСЧ является то, что в течение одной миллисекунды он выдаёт одно и то же число.

Примеры ГСЧ и источников энтропии

ГПСЧ в криптографии 

Одним из критериев того, что ГПСЧ криптографически стойкий, является невозможность отличить выходные значения ГПСЧ от независимой равномерно распределенной на промежутке  случайной последовательности. Пусть существует семейство ГПСЧ , где мощность множества  равно . Как было указано выше,  — это конечный набор состояний,  — вероятностное распределение в пространстве состояний , используемое для выбора начального состояния (англ. seed),  — функция перехода,  — пространство выходных значений, . Обычно , а состояние генератора задается рекуррентной формулой  для . Выходное значение генератора ;  — последовательность псевдослучайных чисел. Предположим, что функции перехода  и выхода  могут быть вычислены за полиномиальное, степени , время. Пусть  — класс статистических тестов, которые пытаются за полиномиальное, степени , время отличить выходные значения ГПСЧ от независимой равномерно распределенной на промежутке  случайной последовательности. Семейство ГПСЧ  называется хорошим с точки зрения полиномиального времени, если найдется  такая, что для всех  никакой из тестов  не может отличить выходные значения ГПСЧ от независимой равномерно распределенной на промежутке  случайной последовательности с вероятностью .

Криптографические приложения используют для генерации случайных чисел детерминированные алгоритмы, следовательно, генерируют последовательность чисел, которая теоретически не может быть статистически случайной. В то же время, если выбрать хороший алгоритм, полученная численная последовательность — псевдослучайных чисел — будет проходить большинство тестов на случайность. Одной из характеристик такой последовательности является большой период повторения.

Примерами известных криптостойких ГПСЧ являются RC4, ISAAC, SEAL, SNOW, совсем медленный теоретический алгоритм Блюм — Блюма — Шуба, а также счётчики с криптографическими хеш-функциями или криптостойкими блочными шифрами вместо функции вывода.

Также к криптографически стойким шифрам относятся генераторы с несколькими регистрами сдвига, генераторы с нелинейными преобразованиями, мажоритарные генераторы шифрования A5/x.

Примеры криптостойких ГПСЧ

Циклическое шифрование 
Происходит шифрование случайных чисел генератора с помощью различных секретных ключей , полученных на каждой стадии. Счётчик с большим периодом  используется в качестве входа в шифрующее устройство. При использовании 56-битного ключа DES может использоваться счётчик с периодом .
 В момент инициализации генерируется секретный ключ  и константа .  должен быть случайным и используется только для данного генератора.
 На каждой стадии происходит следующее:
 

 

Псевдослучайная последовательность, полученная по данной схеме, имеет полный период: каждое выходное значение , , …  основано на разных значениях счётчика, поэтому . Так как ключ  является секретным, то любой секретный ключ  не зависит от знания одного или более предыдущих секретных ключей. Для увеличения криптостойкости алгоритма необходимо на каждом шаге шифровать случайное число  с ГСЧ — .
  — ключ, используемый на каждой стадии.
  — функция шифрования ключом .
  — случайное число с ГСЧ.

ANSI X9.17 
ГПСЧ из стандарта ANSI X9.17 используется во многих приложениях финансовой безопасности и PGP. В основе этого ГПСЧ лежит тройной DES. Генератор ANSI X9.17 состоит из следующих частей:

 В момент инициализации генерируется секретный ключ . Он должен быть случайным и используется только для данного генератора.
 На каждой стадии происходит следующее:
 

 

 

  — значение даты и времени на начало -ой стадии генерации.
  — начальное значение для -ой стадии генерации.
  — псевдослучайное число, созданное на -ой стадии генерации.
  — ключ, используемый на каждой стадии.
  — функция шифрования ключом .

Входными случайными значениями являются  и .  — выходное значение. Вычисление  из  без знания  не является возможным за разумное время, и, следовательно, следующее псевдослучайное значение , так как для получения  дополнительно выполняются три операции шифрования.

Аппаратные ГПСЧ 

Кроме устаревших, хорошо известных РСЛОС-генераторов, широко применявшихся в качестве аппаратных ГПСЧ в XX веке, очень мало известно о современных аппаратных ГПСЧ, так как большинство из них разработано для военных целей или запатентованы и держатся в секрете. Аппаратно реализуемые РСЛОС-генераторы Toyocrypt и LILI-128, были взломаны с помощью алгебраических атак.

В настоящее время известно о применении аппаратных ГПСЧ, реализуемых на основе маломощных шумов в электросхемах.

Применение ГПСЧ в лотереях 
Генератор случайных номеров для лотерей — аппаратно-программный комплекс, применяющийся в розыгрышах, в которых необходимо угадывать комбинацию из определенного количества чисел. Любое из возможных чисел имеет одинаковую вероятность появления.

Попытки создать генератор случайных чисел относятся к 3500 году до н. э. и связаны с древнеегипетской настольной игрой Сенет. В Сенете два игрока играют за две стороны. Ходы определяются с помощью 4 плоских палочек, что и может считаться генератором случайных чисел того времени. Бросают все четыре палочки сразу. Подсчёт очков происходит следующим образом: 1 палочка упала белой стороной вверх — 1 очко и дополнительный бросок; 2 — 2 очка; 3 — 3 очка, 4 — 4 и дополнительный бросок. Одна из сторон палочки чёрная и, если все четыре палочки падали чёрной стороной вверх — это максимальный результат — 5 очков и дополнительный бросок.

Известный генератор случайных чисел ERNIE применялся на протяжении многих лет для определения выигрышных номеров британской лотереи.

Основные требования к программному обеспечению и оборудованию, используемому для проведения розыгрышей в Российской Федерации, устанавливаются Федеральным законом от 11.11.2003 № 138-ФЗ «О лотереях»:
 Технические характеристики лотерейного оборудования должны обеспечивать случайность распределения выигрышей при розыгрыше призового фонда тиражных лотерей.
 Не должны использоваться процедуры, реализующие алгоритмы, которые позволяли бы предопределять результат розыгрыша призового фонда до начала такого розыгрыша.
 Лотерейное оборудование, используемое при проведении тиражной лотереи, должно обеспечивать защиту информации от утраты, хищения, искажения, несанкционированных действий по её уничтожению, модификации, копированию и иных подобных действий и несанкционированного доступа по сети передачи данных.

В российских государственных лотереях («Гослото „5 из 36“», «Гослото „6 из 36“», «Гослото „6 из 45“», «Гослото „7 из 49“», «Гослото „4 из 20“», «Спортлото „6 из 49“») для определения победителей используются самозаряжающиеся лототроны. Трансляция розыгрышей ведется в прямом эфире.

В российских государственных лотереях («Рапидо», «Кено-Спортлото», «Топ-3», «12/24», «Всё по сто») для определения победителей используется генератор случайных чисел — аппаратно-программный комплекс, сертифицированный АНО «МИЦ» и отвечающий рекомендациям ФГУП ВНИИМС. Аппарат формирует непрерывный поток случайных шумов, которые преобразуются в числа. В заданный момент времени из потока выхватываются текущие значения, которые и являются выигрышной лотерейной комбинацией.

В 2015 году бывшему директору по безопасности US Multi-State Lottery Association после выигрыша в 16.5 млн долларов, имевшему доступ к программному обеспечению, используемому при розыгрышах лотерей, было предъявлено обвинение в использовании специальных алгоритмов, позволяющих определять выигрышную комбинацию лотереи в течение нескольких дней в году.

См. также 

 Случайное простое число
 Регистр сдвига с обратной связью по переносу
 Тестирование псевдослучайных последовательностей
 Тест на следующий бит
 Генератор Макларена — Марсальи
 РСЛОС
 Аппаратный генератор случайных чисел
 Криптографически стойкий генератор псевдослучайных чисел
 Источник энтропии
 Алгоритм Зиккурат
 Псевдослучайная функция Наора — Рейнгольда
 Экстрактор случайности

Примечания

Литература

Ссылки 
 
 
 
 
 Cryptographic Random Numbers
 Theory and Practice of Random Number Generation
 Zvi Gutterman, Benny Pinkas, Tzachy Reinman. Analysis of the Linux Random Number Generator
 A Statistical Test Suite for Random and Pseudorandom Number Generators for Cryptographic Applications NIST SP 800-22

Псевдослучайность