Matematikai struktúra

A matematikai struktúra a modern, huszadik századi matematika egyik legfontosabb fogalma a halmaz fogalma mellett, melyek teljesen átalakították a matematikát. Maga a struktúra is halmazelméleti fogalom, lényegében egy halmazrendszert jelent, amely egy alaphalmazt, valamint relációk, műveletek és függvények halmazait tartalmazza.

A struktúrafogalom alapjául szolgáló halmazelméletet az 1870-es években fedezték fel, ahogyan az első struktúratípusokat is ez időszakban kezdték vizsgálni (például a csoportok elméletének alapjait az 1830-as években rakta le Galois, és halála miatt 1846-ban publikálta Joseph Liouville); a struktúrafogalom felfedezésének és fontossága felismerésének (a strukturalista irányzat megalapításának) évét pedig az 1935-re, a francia Bourbaki-csoport megalakulásának időszakára tehetjük. A Bourbaki-csoport strukturalistái rájöttek, hogy a matematika minden tudományága és minden elmélete szinte kivétel nélkül felfogható, mint egy speciális struktúra vagy egy struktúratípus vizsgálata (a legkomolyabb, de nem súlyos kivétel a kombinatorika). A matematika ilyen felfogását nevezzük (matematikadidaktikai) strukturalizmusnak.

Lényegében kimondhatjuk, a struktúrafogalom alkalmazásával e matematikuscsoportnak sikerült elérnie legfőbb, kitűzött célját, a modern matematikának az ókori Eukleidészhez hasonlóan precíz és egységes megalapozást adni. Bár konkrét struktúratípusokat már ezt megelőzően is ismertek; az egész matematika egységesítése azonban lassú, és csak a huszadik században betetőződő folyamat volt.

Mára egyébként, különféle okok miatt a strukturalizmus, különösen az elemi matematikaoktatásban, visszaszorulóban van, de bizonyosra vehető, hogy még jó ideig ez lesz az a keret, amelyben a matematikai elméletek megfogalmazódnak. Nemcsak a matematikusok kezdenek vizsgálni jelenleg is újabb és újabb struktúratípusokat; hanem ezeket, lévén nem pusztán a valóságtól elrugaszkodott absztrakciók, a matematikán kívül a fizikában és egyéb alkalmazott tudományágakban is felhasználják.

Szóhasználati kérdés, de nem teljesen egyértelmű, hogy az izomorf struktúrákat teljesen azonosnak tekintjük-e, például egy mátrixcsoportról mondhatjuk-e, hogy az a harmadrendű diédercsoport, vagy pedig, hogy az egy harmadrendű diédercsoport. Varecza László magyar matematikus ezen a problémán "konkrét struktúra" és az "absztrakt struktúra" fogalompár bevezetésével igyekezett túljutni. Valamely, izomorf struktúrákat tartalmazó halmaz minden eleme egy konkrét struktúra (pl. egy konkrét harmadrendű diédercsoport), míg az összes struktúra osztályának vagy kategóriájának az izomorfia mint osztály-ekvivalenciareláció segítségével képezett osztályfelbontásának az a tagja, amelybe a konkrét harmadrendű diédercsoportok tartoznak, egy absztrakt struktúra. Az absztrakt struktúrákat az izomorfizmus nem képes megkülönböztetni, a konkrétakat, a tartóhalmazok különbözősége miatt, igen.

Definíció

Áttekintés 
Ha egy halmaz elemeivel végezhetünk valamilyen műveletet, műveleteket akkor ezt a halmazt strukturáltnak mondjuk (azaz van egyfajta matematikai szerkezete). Ha több halmaz műveletei azonos tulajdonságúak, akkor azt mondjuk, hogy ezen halmazok struktúrája azonos az adott műveletekre nézve. Több azonos, konkrét struktúra általánosítása az absztrakt matematikai struktúra (típus). Egy példa egyszerű struktúrára: a kapcsolók, a csapok, a tranzisztorok, a halmazok, a (logikai) állítások műveletei azonos szerkezetűek. E halmazoknak az elemeik különböznek, de struktúrájuk egyezik. Vö.: halmazműveletek, logikai műveletek, Boole-algebra.
Kárteszi Ferenc professzort idézve: Egy halmazt az elemein értelmezett műveletek szervezik struktúrává.

Klasszikus változat 

A struktúrafogalom sokat bővült az idők folyamán, és több változata alakult ki (a folyamat ma is tart). Az alapvető, legegyszerűbb fogalmat klasszikus matematikai struktúrának kereszteltük el – e cikk terminológiájával e típusba a homogén, egyfajtájú vegyes/többszörös [topologikus, relációs, algebrai] struktúrák tartoznak.

Egy
   
   
ötelemű halmazrendszert (klasszikus értelemben vett) matematikai struktúrának nevezünk az  halmaz (a struktúra univerzuma) felett, ha első tagja maga , a második e halmaz feletti halmazrendszerek egy rendszere, a harmadik tag  feletti  relációk-, a negyedik  feletti  függvények rendszere, végül az ötödik tag pedig egyszerűen  egy részhalmaza, vagy (bonyolultabban felfogva) egy  feletti elemrendszer.

A definíció részletesebben 

  tetszőleges halmaz, az univerzum vagy tartóhalmaz (esetleg: alaphalmaz) rá nézve semmilyen (számossági vagy egyéb) korlátozást tenni nem szokásos; elemeit gyakran kis latin betűkkel jelöljük:  .
 , a struktúra „topológiai része” olyan halmazrendszer, melynek minden tagja  az  valamilyen halmazcsaládja (lehetséges halmazcsalád helyett halmazrendszert is mondani – de ha  -t halmazrendszerek egy rendszereként akarnánk definiálni, minden elemét  halmazzal indexelt  halmazrendszer formájában adva meg; még bonyolultabb felépítéshez jutnánk, és ez általában nem szükséges).
 E halmazrendszer-rendszer biztosíthatja vagy jelentheti például a struktúra „topologikus” és „kombinatorikus” tulajdonságait (a szándékainktól, a vizsgálat céljától is függ, adott esetben mit jelent);
 vagy pedig, ha például egyetlen halmazrendszerből, az  egy osztályfelbontásából áll, akkor a struktúra „többfajtájúságát” biztosítja, amit a matematikai logikában vagy a geometria „illeszkedési struktúráinak” definíciójakor lehet hasznosítani;
  a struktúra „relációs része”; az univerzum fölött értelmezett valahány (véges) változós relációk (vagy predikátumok halmaza); tehát minden  elemhez léteznie kell olyan  számnak, hogy ; e szám a reláció aritása, változói száma (a reláció nulláris, unáris, bináris, ternáris stb. azaz null-, egy-, két-, három- stb. -változós, ha rendre n=0, n=1, n=2, n=3, );
 Meg kell jegyeznünk, hogy „alapból” minden struktúrába beleértjük az univerzumon értelmezett egyenlőségi relációt (egységrelációt). Annyira, hogy nem is szoktuk belevenni a definícióba. Ez fölösleges is, mivel az univerzum megadásával egyértelműen megadtuk a rajta értelmezett egyenlőségi relációt, ez tehát nem megkülönböztető komponens.
 , a struktúra „algebrai része” nem más, mint  feletti valahány változós műveletek (tehát függvények) egy halmaza, azaz  minden eleme egy  művelet; ahol az  szám a függvény vagy művelet aritása; azaz változóinak száma; az utóbbiakkal kapcsolatos terminológia a relációkéhoz hasonló;
 A relációk és függvények közti különbség nem lényeges, minden n-változós függvény tkp. egy n+1-változós reláció; u. is ha  tetszőleges n-áris függvény, akkor ehhez egyértelműen definiálható egy n+1-változós  reláció a következőképp: . Az ilyen függvény-reláció párokat egymás asszociáltjainak nevezzük. Mellesleg ez nem nagy újdonság: a függvényfogalom definíció szerint a relációfogalom egy speciális esete (inkább csak a jelölés, a felfogás, a hangsúly különbözik).
  az  egy részhalmaza, mely bizonyos kitüntetett elemekből áll. Elemeit konstansoknak (vagy kitüntetett elemeknek) fogjuk nevezni. Gyakoribb, hogy e halmazt  elemrendszerként definiáljuk, és ezúttal szükségesebb is, mivel a kitüntetett elemek sorrendje is fontossággal bír (például előbb szoktuk felsorolni a nullelemet, és aztán az egységelemet, ha ezek léteznek).

Többfajtájú struktúrák 

A fenti változattól két dologban tér el:
 A  halmazrendszer egytagú, és osztályfelbontása az  univerzumnak (ennyiben tehát a fenti fogalom egy specializációjáról lenne szó)
 Emellett azonban az  halmaz nem halmazelméleti, hanem logikai relációkat, azaz predikátumokat tartalmaz. Ezek tkp. speciális, egy kételemű halmazba képező függvények.

Azaz egy  ötelemű halmazrendszert többfajtájú (matematikai v. matematikai logikai) struktúrának nevezünk, ahol:

  (mint eddig) tetszőleges halmaz, az univerzum); egyéb korlátozásokat nem teszünk rá;
  az  valamilyen partíciója, azaz az univerzumnak egy, lehetőleg véges  indexhalmaz feletti  nemüres halmazokból álló, páronként diszjunkt, a tagokat egyesítve épp  -t kiadó halmazrendszere; a  rendszer elemeit, azaz  osztályait az univerzumelemek fajtáinak (ang. tribe, sort) nevezzük;
  efölött értelmezett valahány (véges) változós relációk vagy predikátumok halmaza; ezen két dolgot is érthetünk:
 vagy azt mondjuk, hogy  minden  eleme egy  alakú részhalmaz (inhomogén n-változós reláció), ahol  csak a  -tól függő természetes szám lehet; a  reláció aritása vagy változószáma; jele ;
 vagy pedig – a logikában ezt szoktuk tenni – a predikátum (logikai függvény, igazságfüggvény) fogalmára építünk. A  relációk karakterisztikus függvényeit, azaz az    előírással definiált függvényeket (0, 1 itt felfoghatóak logikai értékeknek) predikátumoknak nevezzük. Tulajdonképp – informális szemléletben – a predikátumok a normális köznyelven vagy a matematika nyelvein tett eldönthető kijelentések, a relációk pedig épp ezek halmazelméleti modelljei. Matematikailag sincs köztük lényeges különbség, ezért hol predikátumokról, hol relációkról beszélünk (ha egyértelműsítésre van szükség, azt fogjuk külön jelezni); a logikában inkább a predikátumos kifejezésmódot használjuk (a halmazelméletben a relációsat).
 A relációk és függvények közti különbség sem lényeges, minden n-változós függvény tkp. egy n+1-változós reláció; a megkülönböztetést inkább csak a tradíció indokolja; tehát felfogás kérdése, hogy  -t úgy tekintjük-e, hogy az  (relációk) vagy pedig  (predikátumok) egy részhalmaza. Előbbi esetben karakterisztikus függvények képzésével az utóbbi esetre térhetünk át, utóbbi esetben pedig igazsághalmaz képzésével az előbbire. A logikában, mint már említettük, szokásos az utóbbi kifejezésmód, a matematika más területein viszont – hogy, hogy nem – az előbbi.
  nem más, mint  feletti valahány változós és valamilyen fajtájú függvények egy halmaza, azaz  minden eleme egy  ahol az  szám a függvény vagy művelet aritása; azaz változóinak száma;
  az  egy részhalmazam, mely bizonyos kitüntetett elemekből áll. Elemeit konstansoknak (vagy kitüntetett elemeknek) fogjuk nevezni.

Egy struktúrát és egy elsőrendű nyelvet kompatibilisnek nevezzük, ha szignatúrájuk „megegyezik”. Néha azt is szokás mondani, hogy modelljei egymásnak, ezt a kifejezést azonban mi más fogalomra tartjuk fenn.

 Főbb struktúratípusok 

Ezeket csak felsoroljuk, részletesebben a relációs struktúra és algebrai struktúra cikkekben foglalkozunk velük.

 A fontosabb relációs struktúratípusok 
 Rendezési struktúrák
 Gráf
 Előrendezett struktúra
 Részben rendezett struktúra
 Ciklikusan rendezett struktúra
 Teljesen rendezett struktúra
 Lánc (lineárisan rendezett struktúra)
 Háló
 Ekvivalenciastruktúrák

 A fontosabb algebrai struktúratípusok 
(„Egyműveletes” struktúrák)
 Grupoid
 Félcsoport
 Monoid
 Kvázicsoport
 Csoport
 Abel-csoport

(„Kétműveletes” struktúrák:)

 Félgyűrű
 Gyűrű
 Integritástartomány
 Euklideszi gyűrű
 Test
 Ferdetest
 Kommutatív test
 Háló
 Boole-algebra

(Operátorstruktúrák)

 Operátorcsoport
 Modulus
 Vektortér vagy Lineáris tér;
 Algebra (más néven „Hiperkomplex rendszer”)

 A fontosabb topologikus struktúrák 
 halmazalgebra vagy eseményalgebra
 szigma-algebra vagy mérhető tér
 Topologikus tér
 Hausdorff-tér
 Szűrő (filter)
 Ultraszűrő
 Uniform tér
 metrikus tér

 Néhány fontos vegyes struktúratípus 
 Topologikus csoport

 Rendezett gyűrű
 Rendezett test
 Arkhimédeszi rendezett test
 Euklideszi (illeszkedési) tér
 Euklideszi (vektor)tér

 Nem klasszifikál(ha)t(ó) struktúratípusok 
 Illeszkedési terek*
 Projektív illeszkedési terek
 Kombinatorikus struktúrák
 Affin terek
 Szimmetrikus struktúrák
 Steiner-rendszerek
 Sperner-rendszerek
 Matroidok*
 Metrikus terek*

 További információk 
 Alice és Bob –  11. rész: Alice és Bob számelméletet épít
 Alice és Bob – 12. rész: Alice és Bob rendet tesz
 Alice és Bob – 13. rész: Alice és Bob eladósodik

 Irodalom 
 Maurer Gyula – Virág Imre: Bevezetés a struktúrák elméletébe. Dacia kiadó, Kolozsvár, 1979.
 Varecza László: Konkrét és absztrakt struktúrák'''''. Tankönyvkiadó, Budapest 1970.

Külső hivatkozások 
 Struktúra definíciója a PlanetMath oldalán.

Struktura
Matematikai logika
Modellelmélet