Fermat-számok

A Fermat-számok a matematikában elsőként Pierre de Fermat (ejtsd: pier dö fermá) által tanulmányozott (majd később róla elnevezett) pozitív egész számok, mégpedig a következő sorozat elemei:

, ahol  nemnegatív egész.

Tehát ha egy kettőhatványt kettes hatványalapra emelünk és hozzáadunk egyet, Fermat-számot kapunk.

Az első nyolc Fermat-szám:

F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

Jelenleg csak az első 12 Fermat-szám prímtényezőkre bontását ismerjük teljesen. Az ismert információk megtalálhatók a (Prime Factors of Fermat Numbers) lapon.

Fermat-prímek 

Ha Fn = 2n + 1 prímszám, akkor – amint ez megmutatható – n szükségképp 2-hatvány. Ugyanis ha nem lenne 2-nek egy hatványa, akkor létezne -nek 1-nél nagyobb páratlan osztója, mondjuk n = ab, ahol  páratlan és  természetes számok, így pedig . Más szóval, minden 2n + 1 alakú prím Fermat-szám, így Fermat-prímnek nevezendő. Az ismert Fermat-prímek a következők: F0, F1, F2, F3 és F4.

Tulajdonságok 

A Fermat-számok sorozata eleget tesz a következő, rekurzív definícióra is alkalmas egyenlőségeknek (n ≥ 2-re), melyek mindegyike indukcióval belátható:

 ,
 ,
 ,
   .

Az utolsó egyenlőség felhasználásával belátható Goldbach tétele; ti. bármely két Fermat-szám relatív prím (mellesleg, ebből meg bizonyítható, hogy végtelen sok prímszám van).

Azt viszonlyag könnyű belátni, hogy egyik Fermat-szám sem valódi prímhatvány.

Prímteszt 
Mint speciális alakú számokra oly gyakran, egyszerű prímteszt van Fermat-számokra. Ha , akkor az  Fermat-szám pontosan akkor (akkor és csak akkor) prím, ha

teljesül.

Prímosztók 

Ha k legalább 2, az Fk szám minden prímosztója  alakú. Ennek bizonyításához legyen d 2 rendje mod p, azaz a legkisebb olyan kitevő, hogy .

Mivel

d nem osztja 2k-t de osztja 2k+1-et. De ekkor d csak 2k+1 lehet. Másrészt a kis Fermat-tétel miatt d osztója p-1-nek, azaz   alakú, tehát 8-cal osztva 1-et ad maradékul. Ezért a Legendre-szimbólum tulajdonságai miatt
,
ahonnan adódik, hogy d osztja (p-1)/2-t, ami azonos azzal, amit állítottunk.

Ez megkönnyíti a Fermat-számok prímfelbontását, ami a Mersenne-prímek kutatásához hasonló internetes-programozói versennyé kezd válni. Például ha F5-öt próbáljuk felbontani, a prímosztókat 128x+1 alakban kell keresnünk. Az x=1,3,4 esetek kiesnek, mert ekkor 128x+1 összetett, x=2-re 257=F3-t kapjuk, ami a fentiek szerint nem oszthatja F5-öt tehát az első igazi eset p=641 és ez valóban osztó.

Sejtések 

Sok sejtést lehet a Fermat-számokról felállítani és ezek mindegyike reménytelenül nehéz.
Sejtjük, de nem tudjuk bizonyítani, hogy az ismerteken kívül nincs több prím. De még azt sem tudjuk, hogy végtelen sok összetett Fermat-szám van, hogy mind négyzetmentes, vagy akár, hogy végtelen sok négyzetmentes Fermat-szám van.

Források 

 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Michal Krizek, Florian Luca, Lawrence Somer, Springer, CMS Books 9, 257 oldal 
 Courant-Robins: Mi a matematika?

Nevezetes számsorozatok