Algebro

Algebro (de araba "al-ĝabr" tio signifas reunuiĝo de rompitaj partoj)  estas unu el la plej bazaj branĉoj de matematiko. Ĝi estas malfacile difinebla, sed ĝi estas karakterizita per uzo de simboloj por reprezenti iujn operaciojn, kaj de literoj por reprezenti nombrojn aŭ aliajn elementojn.

Vortdeveno 
La vorto algebro devenas de la araba الجبر (al-ĝabr "restarigo") de la titolo de la libro al-Kitāb al-muĥtaṣar fī ḥisāb al-ĝabr ŭa-ʾl-muqābala de Al-Ĥorezmi. La vorto origine rilatis al la kirurgia proceduro ripari rompitajn aŭ dismetitajn ostojn. La matematika signifo unue estis registrita en la dek-sesa jarcento.

Klasifikado 
Algebro povas esti dividita laŭ jenaj fakoj:
 La baza algebro studas la ecojn de kaj operaciojn sur la naturaj nombroj, entjeroj, racionalaj kaj reelaj nombroj, kaj kiel oni povas solvi ekvaciojn kun variabloj.
 La lineara algebro estas teorio pri vektoraj spacoj kaj moduloj, kies parto estas teorio de linearaj ekvacioj kaj teorio de matricoj. Ideoj kaj metodoj de lineara algebro uzeblas en diversaj branĉoj de matematiko. Tiel, la ĉefobjekto de la studo de funkcia analizo estas nefiniaj vektoraj spacoj.
 La abstrakta algebro studas algebrajn strukturojn kiel grupojn, ringojn kaj korpojn, kiuj ĝeneraligas la konceptojn de la baza algebro.

Historio 
 

Algebro, same kiel aritmetiko kaj geometrio, estas unu el la plej malnovaj branĉoj de matematiko. La nomo devenas de la traktaĵo de mezazia matematikisto Al-Ĥorezmi, kies araba nomo estis al-Kitāb al-ĝabr ŭa-ʾl-muqābala.

Algebro aperis pro la bezonoj solvi algebrajn ekvaciojn. La solvo de unuagrada kaj duagrada ekvacioj estis konata jam en antikveco. En 16-a jarcento italaj matematikistoj trovis solvojn de triagrada kaj kvaragrada ekvacioj. En 1799 Gauss evidentigis, ke “ĉiu algebra ekvacio de n-a grado, havas n radikojn (solvojn), reelajn aŭ imaginarajn”.

En la komenco de 19-a jarcento Niels Abel kaj Évariste Galois pruvis, ke la solvojn de la ekvacio kun pli ol 4 gradoj, ne eblas esprimi per koeficiento de la ekvacio pere de la algebraj operacioj.

En moderna algebro oni pristudas ĝeneralan grupteorion, por kiuj estas difinita algebraj operacioj, similaj laŭ sia propreco al operacioj por nombroj. Tiaj operacioj povas esti plenumitaj por plurtermoj, vektoroj, matricoj.

Algebraj konceptoj

Ekvacio
Ekvacio estas egalaĵo, enhavanta almenaŭ unu nekonatan grandon. Depende de la variabloj ĝi povas esti unuvariabla, duvariabla ktp. La radiko de unuvariabla ekvacio estas tiu valoro de la variablo, kiu transformas ekvacion al vera egalaĵo. Ekz. la radiko de la ekvacio 3x - 1 = 2x + 5 estas la nombro 6, ĉar 3 · 6 - 1 = 2 · 6 + 5.

La aro de la radikoj de iu ekvacio povas esti finia, malplena aŭ nefinia. Ekz. la aro de la radikoj de la ekvacio 5x + 3 = 5x estas malplena (t.e. ĝi ne havas radikon); por la ekvacio (x+2)(x-3)=0, ĝi estas {-2; 3}, kaj por la ekvacio |x| = x, ĝi estas [0; +∞).

Rimarko: funkcio |x| nomiĝas modulo de x kaj difineblas jene: |a|=a, se a>=0 kaj |a|=-a, se a<0.

Solvi ekvacion signifas trovi la aron de ĝiaj radikoj (solvoj). Ekvacioj estas ekvivalentaj, se ili havas la samajn solvojn. Ĝenerale, ĉiu unuvariabla ekvacio povas esti prezentita kiel f(x)=0 kaj la aro de ĝiaj solvoj estas aro de abscisoj de la punktoj, rezultitaj pro la intersekco de la grafiko y=f(x) kun OX akso.

Oni konas sekvajn ekvaciojn en matematiko:

 Algebra ekvacio - ekvacio egaliganta polinomon al nulo.
 Lineara unuvariabla ekvacio - 
 Kvadrata ekvacio - entenanta la kvadraton (duagradon) de la serĉata nombro aŭ kvanto - .
 Kuba ekvacio - entenanta la kubon (triagradon) de la serĉata nombro aŭ kvanto.
 Dukvadrata ekvacio:

Esprimo
Esprimo estas sinsekvo da simboloj indikanta matematikan aŭ programan objekton.

Ekzistas grandoj dutipaj: konstanto, kiu havas ĉiam la saman nombran valoron kaj variablo, kiu povas preni iun ajn valoron en donita aro de nombroj, ekz. en la aro de ĉiuj reelaj nombroj aŭ en certa intervalo. Ekzemple, la nombro de la tagoj en semajno estas konstanta (7), same kiel la sumo de la internaj anguloj de triangulo (180o), sed aera temperaturo aŭ ventoforto estas variabloj.

La kombinaĵo de nombroj kaj signoj, kiu montras kiajn operaciojn oni devas fari kaj per kia ordo per nombroj, estas nomita nombra esprimo. Ekzemple, 17 aŭ (125 - 11,5) · 2 estas nombraj esprimoj. La esprimo, kiu enhavas variablon aŭ variablojn, nomiĝas variablohava esprimo. Ekzemple, x + 3y estas variablohava esprimo, kies signifo estas 7, kiam x=1 kaj y=2.

Du egalaj grandoj kunigitaj per la signo de egaleco, nomiĝas egalaĵo. Ekz. A=B. Du algebraj esprimoj povas esti egalaj sur iu aro de valoroj, se ambaŭ havas la sencon en ĉi tiu aro kaj iliaj ĉiuj konvenaj signifoj estas egalaj. Ekz. (a2-b2) kaj (a-b)(a+b) estas identaj esprimoj, ĉar ĉiuj iliaj signifoj estas egalaj. Du identaj esprimoj kunigitaj per la signo de egaleco estas nomata identaĵo. Tiamaniere a2-b2=(a - b)(a + b) prezentas identaĵon. Ĉiu nombra egalaĵo ankaŭ estas identaĵo. Du grandoj aŭ esprimoj kunigitaj per la signo < aŭ >, nomiĝas neegalaĵo.

Teoremo
La fundamenta teoremo de algebro asertas, ke ĉiu ne-konstanta unu-variabla polinomo kun kompleksaj koeficientoj havas almenaŭ unu kompleksan radikon. Tio inkludas polinomojn kun reelaj koeficientoj, ĉar ĉiu reela nombro estas kompleksa nombro kun sia imaga parto egala al nulo. Alivorte (laŭ difino), la teoremo asertas, ke la kampo de kompleksaj nombroj estas algebre fermita.

La teoremo estas vortumita ankaŭ tiel: ĉiu ne-nula, unu-variabla, grado de polinomo n kun kompleksaj koeficientoj havas, kalkulita kun obleco, precize n kompleksajn radikojn.

Ekzemplo de algebraj esprimoj

Alĝebro

Alĝebro (aŭ algebrao) estas algebra strukturo, kiu estas kaj ringo kaj vektora spaco. En matematiko, asocieca alĝebro estas vektora spaco (aŭ pli ĝenerale, modulo (modela teorio)) kiu ankaŭ permesas la multiplikon de vektoroj en distribueca kaj asocieca maniero. Ili estas tial specialaj alĝebroj. (Kelkfoje nomataj "algebro" aŭ "algebrao" anstataŭ "alĝebro".) 

En algebro, la asociilo estas trilineara bildigo, kiu estas la diferenco inter la du metodoj krampi produton de tri elementoj per eble neasocieca dulineara operacio. 

En algebro, pra-Lie-alĝebro estas ĝeneraligo de la koncepto de asocieca alĝebro, plenumanta malfortigitan aksiomon de asocieco, kies komutilo tamen plenumas la aksiomon de alĝebro de Lie.

En matematiko, la grupa alĝebro estas ĉiu el diversaj konstruoj por asigni al grupo (loke kompakta topologia grupo, aŭ grupo sen topologio, kio estas diskreta grupo) ringon aŭ alĝebron, tiel ke la grupa multipliko igas la multiplikon en la ringo aŭ alĝebro. Tiel ili estas similaj al la grupa ringo asociita al diskreta grupo.

Referencoj

Literaturo 
 Aguliar, A., Bravo, F. V., Gallegos, H. A., Cerón, M., & Reyes, R. (2009). Álgebra. México, D. F.: Prentice Hall.
 Michael Artin: Algebra. Prentice Hall, 1991.
 Baldor, A. (2007). Álgebra. México, D. F.: Grupo Editorial Patria.
 Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. Vieweg+Teubner Verlag, 4. Auflage 2009, ISBN 3-8348-0776-1, doi:10.1007/978-3-8348-9326-0.
 Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.
 Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (2a eld.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-54397-8.
 Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2, doi:10.1007/978-3-8348-8333-9.
 Gandz, S. (January 1936). "The Sources of Al-Khowārizmī's Algebra". Osiris. 1: 263–277. doi:10.1086/368426. JSTOR 301610.
 Herstein, I. N. (1964). Topics in Algebra. Ginn and Company. ISBN 0-471-02371-X.
 Hill, Donald R. (1994). Islamic Science and Engineering. Edinburgh University Press.
 Joseph, George Gheverghese (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books.
 Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, doi:10.1007/978-3-8274-2601-7.
 Serge Lang: Algebra. 3. Auflage, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 2005, ISBN 978-0-387-95385-4.
 O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2005). "History Topics: Algebra Index". MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Archived from the original on 2016-03-03. Retrieved 2011-12-10.
 Sardar, Ziauddin; Ravetz, Jerry; Loon, Borin Van (1999). Introducing Mathematics. Totem Books.
 B. L. van der Waerden: Algebra I, II. Springer-Verlag, Berlin 1993, ISBN 978-3-662-01514-8, ISBN 978-3-642-63446-8, doi:10.1007/978-3-662-01513-1, doi:10.1007/978-3-642-58038-3 (zuerst als Moderne Algebra, 1930, 1931).

Vidu ankaŭ 
 Analitiko
 Algebra esprimo
 Algebra ekvacio
 Atraktoro
 Determinanto
 Fundamenta teoremo de algebro
 Grupo
 Duongrupo
 Konuoloĝio
 Kampo (aŭ Korpo)
 Matrico
 Ringo
 Spaco
 Strukturo
 Termo kaj Plurtermo
 Variablo

Eksteraj ligiloj 

 http://www.math.umd.edu/~czorn/hist_algebra.pdf
 http://visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?Destination=Gallica&O=NUMM-62345 
 http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-62345&M=telecharger&Y=Image 
 http://www.dm.unipi.it/pages/maurolic/edizioni/arithmet/algebra/alg.htm