Transzcendens számok

A matematikában azokat a valós vagy komplex számokat nevezik transzcendensnek, amelyek nem algebrai számok, amelyek tehát nem gyökei egész (vagy racionális) együtthatós polinomnak, más szóval nem megoldásai

alakú egyenletnek, ahol n ≥ 1, az együtthatók egészek és nem mind egyenlőek nullával.

Noha majdnem minden szám transzcendens (azaz csak megszámlálható sok algebrai szám van az összes számok kontinuum számosságú halmazában Cantor, 1874), adott számról ezt általában igen nehéz belátni.

Az e számról Hermite 1873-ban igazolta, hogy transzcendens. Módszerét továbbfejlesztve Lindemann 1882-ben bebizonyította, hogy π is transzcendens. Ebből már következik a körnégyszögesítés megoldhatatlansága, azaz hogy nem lehet körzővel és vonalzóval adott négyzettel egyenlő területű kört szerkeszteni. Lindemann azt az erősebb állítást igazolta, hogy ha β1, ..., βn egymástól, a1, ..., an pedig nullától különböző algebrai számok, akkor

Innen azonnal adódik, hogy π nem lehet algebrai, hiszen fennáll a nevezetes eiπ+1=0 Euler-összefüggés. 1934-ben Alekszandr Oszipovics Gelfond és Theodor Schneider egymástól függetlenül igazolták, hogy ha a∉{0,1}, a algebrai szám, b pedig irracionális algebrai szám, akkor ab transzcendens, ilyen szám például a √√.

Az 1960-as években Alan Baker bebizonyította, hogy ha α1, ..., αn nemnulla algebrai számok, amelyekre log α1, ..., log αn lineárisan függetlenek a racionális test fölött, akkor 1, log α1, ..., log αn lineárisan függetlenek az algebrai számok teste fölött.

Bizonyítottan transzcendens számok
Számok, melyekről bebizonyították, hogy transzcendensek:

 ea, ha a nullától különböző algebrai szám (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
π (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
 eπ, a Gelfond-állandó, továbbá e−π/2=i i (a Gelfond–Schneider-tétel alapján).
 ab, ahol a algebrai és nem 0 vagy 1, b pedig irracionális algebrai szám (a Gelfond–Schneider-tétel alapján), különösen:
 a Gelfond–Schneider-állandó (vagy Hilbert-féle szám).
A lánctört-állandó, Carl Ludwig Siegel (1929) 

sin(a), cos(a) és tan(a), valamint multiplikatív inverzük: cosec(a), sec(a) és cot(a), bármely nem nulla a algebrai számon véve (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
a koszinuszfüggvény attraktív fixpontja, ami a  egyenlet egyetlen megoldása (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
ln(a), ha a algebrai szám és nem 1, a logaritmusfüggvény bármely ágán (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
W(a), ha a algebrai szám és nem 0, a Lambert-féle W-függvény bármely ágán (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
Γ(1/3), Γ(1/4), és Γ(1/6)., a Gamma-függvény adott értékei.
, a Cahen-állandó (0,64341054629...).
, a Champernowne-állandó (0,12345678910111213141516...) .
, a Chaitin-állandó (ugyanis értékét nem lehet kiszámítani).
 a Fredholm-szám

vagy általánosabban bármely, a következő alakban felírható szám:

ahol 0 < |β| < 1 és β algebrai szám.
 , a Liouville-állandó

vagy általánosabban bármely, a következő formában felírható szám:
 
ahol 0 < |β| < 1 és β algebrai szám.
 , a Prouhet–Thue–Morse-állandó.
 bármely szám, melynek számjegyei valamely számrendszerben Sturmian-szót képeznek.
 bármely β > 1-re

ahol  az egészrész-függvény.

Nem bizonyítottan transzcendens számok
Számok, melyekről még nem ismert, hogy transzcendensek vagy algebrai számok:
 A π és az e legtöbb összege, szorzata, hatványa stb., pl. π + e, π − e, πe, π/e, ππ, ee, πe, π√, eπ2 nem ismert, hogy racionális, algebrai irracionális vagy transzcendens. Fontos kivételek a π + eπ, πeπ és az eπ√ (bármely pozitív egész n-re), melyekről bebizonyosodott, hogy transzcendensek.
 A γ Euler–Mascheroni-állandó  (amiről még az sem ismert, hogy irracionális-e).
 A Catalan-állandó, amiről szintén nem ismert, hogy irracionális-e.
 A ζ(3) Apéry-állandó, (amit Apéry irracionálisnak talált)
 A Riemann-féle zéta-függvény páratlan egész helyen vett függvényértékei – ζ(5), ζ(7), ... – (nem ismert, hogy irracionális-e)
 A δ és α Feigenbaum-állandók 
 A Mills-állandó.

Kapcsolódó sejtések:
 Schanuel-sejtés
 négy exponenciális-sejtés.

Általánosítás
Általánosan, ha  testbővítés, akkor lehet beszélni arról, hogy  egyes elemei algebraiak vagy transzcendensek  fölött.

Történetük
Nagy 18. századi matematikusok, mint  Gottfried Wilhelm Leibniz (omnem rationem transcendunt) és Leonhard Euler már rendelkeztek a transzcendencia fogalmával, habár nem adtak rá egzakt definíciót. Euler nehezen megfogható számokról beszélt, melyeket túllépik az algebrai módszerek hatását. 1748-ban Introductio in Analysin Infinitorum című tankönyvében arról írt, hogy ha  pozitív racionális szám, és  pozitív egész szám, ami nem négyzetszám, akkor  nem algebrai, de nem irracionális; ez utóbbin algebrai irracionális számot értve. Ezt 1934-ben egy általánosabb eredmény részeként bizonyította az orosz Alekszandr Oszipovics Gelfond, illetve a német Theodor Schneider is igazolta. A két bizonyítás lényegi pontokon különbözik.

Joseph Liouville 1844-ben elsőként látta be transzcendens számok létezését, sőt explicit konstrukcióval példát is adott. Cikkében megmutatta, hogy minden  legalább másodfokú algebrai számhoz van egy  konstans, hogy minden  approximációra:

Innen következik, hogy a Liouville-konstans is transzcendens:

Lásd: Beweis des Approximationssatz von Liouville im Beweisarchiv.

Georg Cantor 1874-ben belátta, hogy nemcsak hogy vannak transzcendens számok, hanem hogy majdnem minden valós szám transzcendens. Cantor konkrétan azt látta be, hogy az algebrai számok halmaza megszámlálható (számossága megegyezik a természetes számok halmazával), miközben a valós számok halmaza ennél nagyobb, kontinuum számosságú.

Az  és a  transzcendenciáját Charles Hermite, illetve Ferdinand von Lindemann vezette le elsőként. Ezeket a bizonyításokat más matematikusok sokat egyszerűsítették, David Hilbert (1862–1943) bizonyítása 1893-ban jelent meg, „Über die Transcendenz der Zahlen  und “ című dolgozatában.

Lásd:b:de:Beweisarchiv: Algebra: Körper: Transzendenz von e und π.

Kapcsolódó szócikkek 
 Transzcendenciaelmélet
 Diofantikus approximáció
 Algebrai szám
 Pí (szám)
 Euler-féle szám

Jegyzetek

Irodalom 
 , Google Könyvkereső 
 
 Alan Baker: Transcendental number theory. Reprinted edition. Cambridge University Press, London u. a. 1990,  (Ein anspruchsvolles Standardwerk, das tiefgreifende Theoreme entwickelt, aber profundes Vorwissen voraussetzt).
 Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 4., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1998,  (Bietet einen einführenden Überblick zum Thema „transzendente Zahlen“ an).
 David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen  und . In: Mathematische Annalen. Bd. 43, Nr. 2/3, 1893, S. 216–219, .
 Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson: Abstract Algebra and Famous Impossibilities. Corrected 2nd printing. Springer, New York u. a. 1994,  (Enthält eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Erläuterung des Lindemannschen Transzendenzbeweises für .)
 Oskar Perron: Irrationalzahlen. (= Göschens Lehrbücherei. Gruppe 1: Reine Mathematik. Bd. 1, ). de Gruyter, Berlin u. a. 1921.
 Theodor Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen. (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 81, ). Springer, Berlin u. a. 1957.
 Andrei Borisovich Shidlovskii: Transcendental numbers. (= De Gruyter Studies in Mathematics. Bd. 12). de Gruyter, Berlin u. a. 1989,  (Besser lesbar als das Buch von Baker, dennoch ähnlich fundiert).

Fordítás

Polinomok
Analízis
Valós számok
Komplex számok
Transzcendens számok