Skaláris szorzat

A geometriában a sík két, egymással  szöget bezáró   vektorának skaláris szorzata az  valós szám. Két geometriai vektor skaláris szorzatát tehát úgy kapjuk meg, hogy összeszorozzuk a hosszukat és az általuk közbezárt szög koszinuszát. A skaláris szorzás ezek szerint kétváltozós függvény, amely a vektorpárokat a valós számokra képezi. Bár a vektorok skaláris szorzása számos tekintetben hasonlít a számok szorzására, lényeges különbség az, hogy míg két szám szorzata ismét szám, két vektor skaláris szorzata nem vektor, hanem szám (skalár; innen ered az elnevezés), így szigorúan véve ez a leképezés nem is nevezhető műveletnek. A skaláris szorzatot néha belső szorzatnak is nevezik. Szokásos jelölése: , ,  vagy .

A skaláris szorzatnak fontos közvetlen alkalmazásai vannak a geometriában és a fizikában, igazi jelentőségét azonban az adja, hogy a skalárszorzat-fogalomnak számos általánosítása és absztrakciója van, amelyek révén alkalmazható a koordinátageometriában, a lineáris algebrában, a vektoranalízisben, a funkcionálanalízisben, az ortogonális függvénysorok elméletében, a statisztikában és a számítástechnikában is.

A széleskörű alkalmazhatóság kulcsa az a megfigyelés, hogy ha a két összeszorzandó síkvektor koordinátáival adott:  és , akkor skaláris szorzatuk épp az 

mennyiség. Ez az összefüggés lehetővé teszi, hogy a skalárszorzat fogalmát tetszőleges n-dimenziós valós vektorterek elemeire is kiterjesszük, és az  és  n-dimenziós vektorok skalárszorzatát az 

egyenlőséggel definiáljuk. Ennek révén aztán a lineáris algebrában szokásos absztrakt vektorokkal kapcsolatban is beszélhetünk olyan alapvetően geometriai jellegű fogalmakról, mint a hosszúság, a hajlásszög, az irány, a merőlegesség és a párhuzamosság, valamint a vetület. Ugyanakkor a fordított irányú kapcsolat lehetővé teszi, hogy geometriai feladatokat aritmetikai, algebrai számítások elvégzésére vezessünk vissza, ami a koordinátageometria és a geometria fizikai-műszaki alkalmazásainak az alapja.

Motiváció és történeti háttér 

Történetileg a skaláris szorzás motivációját a mechanikai munka fizikai fogalma adja. Ismert, hogy ha egy test valamilyen erő hatására a kérdéses erő irányába elmozdul, akkor az erő által végzett munka (a test mozgási energiájának növekedése) az erő és az elmozdulás szorzata. Az erő és az elmozdulás azonban egyaránt vektormennyiségek, és előfordulhat, hogy irányuk nem esik egybe. Ilyenkor az erő által végzett munka továbbra is lineáris függvénye mind az erőnek, mind az elmozdulásnak, de a munka tényleges mértékének kiszámításában csak az erőnek az elmozdulás irányába eső komponense játszik szerepet. Ha  jelöli az  erővektor és az  elmozdulásvektor hajlásszögét, akkor ez a komponens épp az erővektor -szorosa, így az erő által végzett munka ,  és  skaláris szorzata.

Az analitikus geometriában először Lagrange 1773-as, Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires című művében bukkan fel a skaláris szorzat. A fogalom modern tárgyalása Gibbs 1901-es (tanítványa, Edwin Bidwell Wilson által lejegyzett) Vector Analysis című művében jelenik meg.

Alapvető tulajdonságai 
A skalárszorzat definíciójából közvetlenül következnek az alábbi tulajdonságok.

Ha két vektor merőleges egymásra, akkor hajlásszögük koszinusza 0, így skaláris szorzatuk is nulla. Megfordítva, ha két, egymással  szöget bezáró (nem nulla hosszúságú)  vektor skaláris szorzata nulla, akkor 

és így . Követve azt a konvenciót, hogy a nullvektor minden vektorra merőleges, a fentieket úgy foglalhatjuk össze, hogy két vektor akkor és csak akkor merőleges, ha a szorzatuk nulla.

A skaláris szorzat szimmetrikus (a műveleteknél megszokott szóhasználattal: kommutatív), mivel 

Egy vektor önmagával vett skaláris szorzata a vektor hosszúságának a négyzete:  Ebből következően  , és  akkor és csak akkor, ha  Az ilyen leképezéseket pozitív definitnek nevezzük.

Bilinearitás
A skalárszorzat bilineáris, azaz mindkét változójában lineáris. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges  skalárra és  vektorokra 

(B1)  és

(B2) .

A szimmetriatulajdoság miatt ezekből már következik, hogy 

(B3)  és

(B4) .

(B1) közvetlenül következik a definícióból, hiszen )

Általánosítás 
Általában  (belső szorzatot). Általános értelemben egy adott vektortér felett bármely kétváltozós leképezést belső szorzatnak nevezünk, ha a fenti tulajdonságokat teljesíti. Egy vektortér felett akár több különböző belső szorzat is definiálható. Ilyenkor inkább szokásos a  jelölés.

Példák 
 Az  intervallumon folytonos, -be képező függvények terén értelmezett belső szorzat:

Komplex értékű függvények esetén az integrandus -ra módosul.

 Bármely lineáris térben értelmezhető egy adott  bázishoz tartozó skalárszorzat a következőképp. Ha  és  vektor az  bázisban felírható:

akkor az ezen bázis által meghatározott skalárszorzat:

Geometriai vonatkozások 

Az euklideszi geometriában szoros összefüggés áll fenn a skalárszorzat és a hosszak, valamint a szögek között. Egy  vektorra  a hosszának (abszolút értékének) négyzete, és ha  egy másik vektor, akkor

ahol  és  jelöli az  és  vektor hosszát,  pedig az általuk bezárt szög.

Mivel  az  vektornak -re való vetülete, a skalárszorzatot geometriailag úgy lehet értelmezni, mint -nak  irányába eső komponensének és -nek a szorzatát.

Mivel  nullával egyenlő, két egymásra merőleges vektor szorzata mindig nulla. Ha  és  vektor hossza egységnyi (vagyis egységvektorok), skalárszorzatuk egyszerűen közbezárt szögük koszinuszát adja.

Így a két vektor közötti szög:

 

A fenti tulajdonságokat időnként a skalárszorzat definíciójaként is használják, különösen 2 és 3 dimenziós vektorok esetében. Több dimenziós esetben a képletet a szög értelmezéseként lehet használni.

Geometriai vonatkozás bizonyítása 
Vegyük  tetszőleges elemét

A Pitagorasz-tétel egymást követő alkalmazásával -re (a hosszra) a következőt kapjuk

De ez ugyanaz, mint a

ebből arra a következtetésre jutunk, hogy egy  vektor önmagával vett skaláris szorzata a vektor hosszának a négyzetét adja.

Lemma: .

Most vegyünk két vektort az origóban: -t és -t, melyek  szöget zárnak közre. Definiáljunk egy harmadik,  vektort:

ezzel alkottunk egy háromszöget ,  és  oldalakkal. A koszinusztételt felírva:

A lemma alapján a hosszak négyzetének helyébe skaláris szorzást helyettesítve kapjuk, hogy
                   (1)
De mivel , azt is tudjuk, hogy
,
ami a disztributív tulajdonság miatt
                     (2)
A két  egyenletet – (1) és (2) – egyenlővé téve

Kivonunk mindkét oldalról -t és osztunk -vel. Marad

Q.E.D.

Jegyzetek

Források

Fordítás

További információk 
 Interaktív Java szimuláció két vektor skaláris szorzatának geometriai jelentéséről. Szerző: Wolfgang Bauer
 Egyszerű Flash szimuláció két vektor skalárszorzatának kapcsolatáról a koszinuszos formulával. Szerző: David M. Harrison

Kapcsolódó szócikkek 
 Vektoriális szorzat

Koordinátageometria
Lineáris algebra
Analízis