Ciklikus asszociált

A ciklikus asszociált algebrai fogalom, a véges testek elméletében van alapvető szerepe. Fontos elméleti szerepe van például az ilyen testek feletti polinomok felbonthatóságának jellemzésében, de a testbővítések elméletében is hasznos. A véges testek elméletének egyébként például a digitális jelfeldolgozás elméletében van fontos szerepe (kódoláselmélet stb.) .

Legyen K véges test, és R ≤ K ennek egy részteste (tehát K|R, azaz K az R egy bővítése). Az  elemet, mely tehát az a egy hatványa az a∈K testbeli elem R résztestre vonatkozó j indexű ciklikus asszociáltjának nevezzük.

A  végtelen sorozat elemeit az a elem R résztestre vonatkozó ciklikus asszociáltjai sorozatának nevezzük. A  kitevőt az  ciklikus asszociált indexének nevezzük.

Tehát az a elem összes ciklikus asszociáltja(inak halmaza) eme sorozat értékkészlete, azaz az
    halmaz elemei. Ennek számossága véges, és az a elem cR(a) ciklikus rendje.

A fogalom végtelen testekre is általánosítható, például úgy, hogy egy elem ciklikus asszociáltjai az elem minimálpolinomjának gyökei.

A ciklikus asszociált fogalmához nagyon hasonlít a ciklikus konjugált fogalma ld. még lentebb is.

Ciklikus rend 

 .

Belátható, hogy a ciklikus asszociáltak CR(a) sorozata periodikus, és (minimális) periódusa épp az a R-re vonatkozó ciklikus rendje. Lásd ott .

Ciklikus konjugáltak 

Ha a ciklikus asszociáltak olyan véges sorozatát vesszük, mely – kivételesen a 0-t is a szóba jövő indexek közé számítva – az első   indexű asszociáltat tartalmazza, akkor az R résztestre vonatkozó ciklikus konjugáltakról (röviden konjugáltakról) beszélünk.

Tehát az a∈K elem ciklikus konjugáltjai . Természetesen mivel d-1 általában nagyobb (egészen pontosan, ha c a ciklikus rend, c|d teljesül, ld. itt), mint a ciklikus rend, ezért a ciklikus konjugáltak nem mind különböző elemek.

Tulajdonságok

Egy polinom gyökének ciklikus asszociáltjai is gyökök 

A ciklikus asszociáltak legalapvetőbb tulajdonsága a következő:

Legyen K bővítése az R testnek (K|R), és  gyöke az R test feletti polinomnak. Ekkor, sőt ekkor és csak ekkor, az a összes R-re vonatkozó ciklikus asszociáltja is gyöke e polinomnak.
 Legyen a polinom , tehát . A feltétel szerint  .
 A a csoportelméletből ismert Lagrange-tétel szerint bármely bármely  elemre, tehát a polinom együtthatóira is, , minthogy az R*=(R\{0},×) multiplikatív csoportbeli  rend osztója a csoport elemszámának, |R|-1-nek, tehát , és innen  (tehát egy testelemet a test elemszámára mint kitevőre emelve, magát az elemet kapjuk a hatvány értékeként – ez egyébként a Kis Fermat-tétel általánosítása véges testekre). Érvényes emiatt az  azonosság is az R-beli  elemekre, ugyanis , hiszen R (rész)test, így zárt az összeadásra, és így , és ekkor az előbb elmondottak szerint  .
 Azonban ennél több is teljesül, és szükségünk is van rá. Nevezetesen ismert, hogy ha a K test karakterisztikája, akkor az  ún. Frobenius-függvény összeg- és szorzattartó (mellesleg injektív is), azaz egy homomorfizmus K-n. Az összegtartás, amire szükségünk van, az egyetlen nemtriviális állítás, azonban a binomiális tétel segítségével, és annak ismeretében, hogy  ha 0<k<p és p prím, az is belátható. Márpedig egy test karakterisztikája mindig prím.
 Belátjuk, hogy ha a gyöke f-nek, akkor a|R| is gyöke f-nek, innen pedig indukcióval belátható, hogy ez utóbbi elemet akárhányszor is |R|-edik hatványra emelve, azaz bármelyik ciklikus asszociáltat is véve, az gyöke lesz f-nek. Valóban,             , s eszerint  gyöke f-nek.
 Fordítva, ha a valamely asszociáltja gyöke a polinomnak, akkor eme asszociált minden ciklikus asszociáltja is gyök. De ezek halmaza semmi más, mint az a ciklikus asszociáltjai halmaza, hiszen az asszociáltak sorozata periodikus, így bármely elemét kezdjük hatványozni, előbb utóbb visszakapjuk az összes ciklikus asszociáltat.
 QED.

Relatív automorfizmusok 

Belátható, hogy két K testbeli elem (a,''''b) akkor és csak akkor ciklikus asszociáltjai egymásnak az R résztestre vonatkozóan, ha van R-nek olyan ρ:K→K relatív automorfizmusa, mely a két elemet egymásba viszi, azaz amelyre ρ(a)=b.

Lásd bővebben a Véges test relatív automorfizmusainak karakterizációja, illetve a ciklikus konjugált szócikkekben.

Források 
Gonda János: Véges testek

Testelmélet