Prímszámtétel

A prímszámtétel a prímszámok eloszlását írja le.

A tétel 

Ha x pozitív, jelölje  az x-ig terjedő prímszámok számát. A prímszámtétel azt állítja, hogy

Szokásos jelöléssel

ahol ln(x) a természetes logaritmust jelöli. A  jelölés azt jelenti, hogy a két oldal hányadosa 1-hez tart, ha x végtelenhez tart (aszimptotikusan egyenlőek).

Jobb közelítések - nagy x-ekre :

Még jobb közelítés adható a Li(x) függvénnyel.

ha x → ∞ (lásd O jelölés). Itt Li(x) a

integrállogaritmus függvény.

A prímszámtételt abban az ekvivalens formában is kimondhatjuk, hogy az n-edik prím aszimptotikusan 

( Nagy n-ekre jóval pontosabb közelítés : n ( ln(n) + ln(ln(n)) - 1 ) ).

A tételt Legendre és Gauss sejtette meg. Csebisev bebizonyította, hogy nagy x-re

de csak sokkal később, komplex függvénytani módszerekkel igazolta a prímszámtételt Hadamard és de La Vallée Poussin 1896-ban.
A prímszámok eloszlása fontos kapcsolatban van a Riemann-féle zéta-függvény gyökeinek eloszlásával. Hadamard és de la Vallée-Poussin úgy vezette le a prímszámtételt, hogy megmutatták, hogy a zeta-függvénynek nincs 1 valós részű gyöke. Később kiderült, hogy a két állítás ekvivalens, ezért fontos kérdéssé vált az, hogy van-e elemi bizonyítás a prímszámtételre. Ilyet végül Erdős Pál és Atle Selberg adott 1949-ben, részben együttműködve, részben függetlenül. Az elemi szó ebben az összefüggésben azt jelenti, hogy nem használ komplex függvénytani eszközöket, csak elemi analízisbeli becsléseket, ezek a bizonyítások rendkívül fáradságosak és nagyon gyenge hibatagot adnak.

Általában igaz, hogy minél nagyobb tartományból sikerül kizárni a zeta-függvény gyökeit, annál jobb hibatagot kapunk, ezért nagy jelentőségű a zeta-függvény gyökeire vonatkozó Riemann-sejtés.

A Dirichlet-tétel általánosításaként belátható, hogy minden -re a prímszámok egyenletesen oszlanak el a mod q redukált maradékosztályokban, azaz, ha  jelöli az x-nél nem nagyobb prímek számát, amelyek q-val osztva a maradékot adnak, akkor

A Siegel–Walfisz-tétel szerint, ha , és
 egy valamilyen N konstansra, akkor

ahol az O-beli konstans N-től függ.

Táblázat π(x), x / ln x és li(x) értékeire 

{| class="wikitable" style="text-align: right"
! x
! π(x)
! π(x) − x / ln x
! π(x) / (x / ln x)
! li(x) − π(x)
! x / π(x)
|-
| 10
| 4
| −0.3
| 0.921
| 2.2
| 2.500
|-
| 102
| 25
| 3.3
| 1.151
| 5.1
| 4.000
|-
| 103
| 168
| 23
| 1.161
| 10
| 5.952
|-
| 104
| 1,229
| 143
| 1.132
| 17
| 8.137
|-
| 105
| 9,592
| 906
| 1.104
| 38
| 10.425
|-
| 106
| 78,498
| 6,116
| 1.084
| 130
| 12.740
|-
| 107
| 664,579
| 44,158
| 1.071
| 339
| 15.047
|-
| 108
| 5,761,455
| 332,774
| 1.061
| 754
| 17.357
|-
| 109
| 50,847,534
| 2,592,592
| 1.054
| 1,701
| 19.667
|-
| 1010
| 455,052,511
| 20,758,029
| 1.048
| 3,104
| 21.975
|-
| 1011
| 4,118,054,813
| 169,923,159
| 1.043
| 11,588
| 24.283
|-
| 1012
| 37,607,912,018
| 1,416,705,193
| 1.039
| 38,263
| 26.590
|-
| 1013
| 346,065,536,839
| 11,992,858,452
| 1.034
| 108,971
| 28.896
|-
| 1014
| 3,204,941,750,802
| 102,838,308,636
| 1.033
| 314,890
| 31.202
|-
| 1015
| 29,844,570,422,669
| 891,604,962,452
| 1.031
| 1,052,619
| 33.507
|-
| 1016
| 279,238,341,033,925
| 7,804,289,844,393
| 1.029
| 3,214,632
| 35.812
|-
| 1017
| 2,623,557,157,654,233
| 68,883,734,693,281
| 1.027
| 7,956,589
| 38.116
|-
| 1018
| 24,739,954,287,740,860
| 612,483,070,893,536
| 1.025
| 21,949,555
| 40.420
|-
| 1019
| 234,057,667,276,344,607
| 5,481,624,169,369,960
| 1.024
| 99,877,775
| 42.725
|-
| 1020
| 2,220,819,602,560,918,840
| 49,347,193,044,659,701
| 1.023
| 222,744,644
| 45.028
|-
| 1021
| 21,127,269,486,018,731,928
| 446,579,871,578,168,707
| 1.022
| 597,394,254
| 47.332
|-
| 1022
| 201,467,286,689,315,906,290
| 4,060,704,006,019,620,994
| 1.021
| 1,932,355,208
| 49.636
|-
| 1023
| 1,925,320,391,606,803,968,923
| 37,083,513,766,578,631,309
| 1.020
| 7,250,186,216
| 51.939
|-
| 1024
| 18,435,599,767,349,200,867,866
| 339,996,354,713,708,049,069
| 1.019
| 17,146,907,277
| 54.243
|}

Források

Analitikus számelmélet
Matematikai tételek
Analitikus számelméleti tételek

pl:Liczba pierwsza#Twierdzenie o liczbach pierwszych