Karakterisztika

Az absztrakt algebrában a karakterisztika a gyűrűk (azok között is kiemelt fontossággal a testek) numerikus jellemzője. Definíciója azon az észrevételen alapul, hogy bizonyos gyűrűkben bármely elemet önmagával elég sokszor összeadva 0-t kapunk. A legkisebb olyan n számot, amelyre teljesül az, hogy egy adott gyűrű bármelyik elemét n-szer összeadva 0-t kapunk, a gyűrű karakterisztikájának nevezzük. Ha ilyen n szám nincsen, azt mondjuk, a gyűrű karakterisztikája 0. Az  gyűrű karakterisztikájának szokásos jele .

Definíció

Gyűrűkben 

Legyen  egy gyűrű. Ekkor, amennyiben létezik olyan n ∈ ℕ+ szám, melyre bármely r ∈ R esetén 
,
akkor a legkisebb ilyen k ∈ ℕ+ pozitív egész számot nevezzük az R gyűrű karakterisztikájának; ha pedig ilyen n pozitív egész szám nem létezik, akkor a gyűrű karakterisztikáját 0-nak definiáljuk. A karakterisztika jele  vagy  .

Formálisan tehát
.

Szavakban elmondva: a legkisebb olyan pozitív egész szám az R gyűrű karakterisztikája, mellyel a gyűrű összes elemét többszörözve a nullelem adódik (ha pedig ilyen többszöröző nincs, a 0 egész szám a karakterisztika).

Nullosztómentes gyűrűkben 

A fogalmat másként is definiálhatjuk. Nevezetesen, mondhatjuk a legkisebb olyan k ∈ ℕ+-t az R karakterisztikájának, melyre van olyan a ∈ U \ {0} nem nulla elem, hogy ka = 0 (vagy pedig k = 0 -t , ha nincs ilyen szám semmilyen nem nullelem a-hoz).

A legutóbbi átfogalmazásra a következő tétel ad lehetőséget: legyen R nullosztómentes gyűrű, ekkor ha létezik olyan a ∈ R \ {0} elem és n ∈ ℕ+ szám , amelyre na = 0 , akkor bármely r ∈ R-re nr = 0 , akkor a legkisebb ilyen legyen az R karakterisztikája, ha pedig nem létezik, akkor a 0 egész szám legyen.

Ugyanis ekkor 
.
Szorozva az utóbbi egyenlőséget bármely R-beli r-rel; egyrészt 0r = 0 (mivel tetszőleges gyűrűben a 0 nullelem egyben zéruselem is); másrészt ezzel egyenlő 
;
s mivel  , ezért a nullosztómentesség miatt .

Testekben 

Ha egy gyűrű  test, ennek automatikusan van egységeleme, és nullosztómentes is; a karakterisztikát ekkor az egységelem segítségével is szokták definiálni, úgy, mint a legkisebb pozitív egész számot, mellyel az egységelemet többszörözve a nullelemet kapjuk – ha nem létezik ilyen egész, akkor meg 0 a test karakterisztikája.

A karakterisztika 0 vagy prím 

Nullosztómentes és legalább kételemű gyűrű karakterisztikája, ha nem nulla, akkor mindig prímszám. Legyen ugyanis k ∈ ℕ+ a karakterisztika, ekkor tehát minden a∈R-re ka = 0. Megmutatjuk, hogy k csak triviálisan bontható fel két tényező szorzatára, de nem 1; amiből következik, hogy prím. Ugyanis k = 1 esetén 1a = 0-ból az következne, tehát a gyűrű minden eleme a nullelem lenne, és így nem lenne legalább kételemű. Tegyük fel, hogy k = uv, ahol u, v ∈ ℕ+, és hogy a ≠ 0. Ekkor
,
tehát az ua elem v-szerese 0, ahol k = uv miatt u≤k és v≤k .
 Most lehetséges ua = 0, ekkor u kisebb mint a k karakterisztika, és u egy nem nulla elemet 0-vá többszöröz, holott a legkisebb ilyen szám a karakterisztika; ekkor tehát u = k és így v = 1; ez esetben a k = uv felbontás triviális.
 Feltehető ua ≠ 0 is, mivel érvényes v(ua) = 0, ekkor mivel R nullosztómentes, ezért az előzőek szerint ua ≠ 0-ból következik, hogy tetszőleges r ∈ R-re vr = 0. De a legkisebb ilyen szám a k karakterisztika, tehát v = k, és így u = 1, tehát a k = uv felbontás ismét triviális. Kimutattuk, hogy k tetszőleges felbontása triviális, azaz k = char(R) prím.

Eszerint tehát – mivel test mindig nullosztómentes – test karakterisztikája mindig prímszám, hacsak nem 0.

A karakterisztika mint additív rend 

Mivel egy gyűrű karakterisztikája a gyűrű additív (Abel-)csoportjának nem nulla elemeinek rendje, ezért érvényesek rá a következők:
 Ha n, m ∈ ℕ+, és a ∈ R, akkor 
 , azaz a karakterisztika osztója a gyűrű rendjének, azaz a tartóhalmaz elemszámának (Lagrange tételének egy következménye miatt).
 Prím elemszámú nullosztómentes gyűrű elemszáma maga a karakterisztika, hiszen mind az elemszám, mind a karakterisztika prím, és egyik osztója a másiknak, akkor hát megegyeznek.

Alkalmazások 

Két nagyon fontos és nagyon sokat használt alkalmazást említünk:
 az egyik a prímtest létezésének igazolása, és a véges testek jellemzése elemszám szempontjából (véges test elemszáma mindig prímhatvány, mégpedig a karakterisztika hatványa; véges testnek mindig van egy minimális, prím elemszámú részteste, melynek elemszáma épp a karakterisztika; e test a prímtest);
 továbbá ha a gyűrűbeli elemeket a karakterisztikára mint hatványkitevőre emeljük, így az ún. Frobenius-függvény értékeit számoljuk ki, mely leképezésről belátható, hogy testekben homomorfizmus, azaz összeg- és szorzattartó; utóbbi állításnak fontos szerepe van a véges testek feletti polinomok elméletében.

Testelmélet
Gyűrűelmélet