Vektortér

A vektortér, más néven lineáris tér a lineáris algebra egyik legalapvetőbb fogalma, amelyhez a geometriában (is) használt vektor fogalmának általánosítása vezet. A vektorokkal végezhető műveletek legelemibb tulajdonságait axiomatikusan definiálja, ezáltal egy algebrai struktúra-típus keletkezik. A lineáris tér a mi szokásos síkunk és terünk általánosítása többdimenziós terekre. Jelentősége nem csupán elméleti, a fizikában, informatikában, a komputergrafikában, számos más elméleti és alkalmazott tudományágban; nemkülönben a matematika számos területén fontos szerepet játszik.

Formális definíció 

Legyen F egy test. Egy V nemüres halmazt vektortérnek nevezünk az F test felett, ha
 V halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet, V × V → V függvény, ∀ u, v ∈ V elempárhoz hozzárendel egy és csak egy V-beli elemet (u+v), valamint
 F és V között értelmezve van egy skalárral való szorzás nevű művelet, F × V → V függvény, ∀ λ ∈ F és v ∈ V elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy V-beli elemet (λv),
úgy, hogy az alábbi azonosságok, úgynevezett vektortér-axiómák teljesülnek:

 V az összeadásra nézve kommutatív csoportot, Abel-csoportot alkot, azaz az összeadás:
 asszociatív: ∀ u, v, w ∈ V: u + (v + w) = (u + v) + w.
 kommutatív: ∀ u, v ∈ V: u + v = v + u.
 létezik neutrális elem: 0 ∈ V, V nullvektora: v + 0 = v, ∀ v ∈ V.
 invertálható: ∀ v ∈ V: ∃ olyan -v ∈ V additív inverz: v + (-v) = 0.
 Skalárral való szorzás disztributivitási szabályai:
 ∀ λ ∈ F és u, v ∈ V: λ(u + v) = λu + λv.
 ∀ λ, μ ∈ F és v ∈ V: (λ + μ)v = λv + μv.
 ∀ λ, μ ∈ F és v ∈ V: λ(μv) = (λμ)v.
 ∀ v ∈ V: 1v = v, ahol 1 az F test egységeleme.

Formálisan tehát úgy definiálhatjuk a vektortereket, figyelembe véve, hogy  egy test,
az F feletti vektortér egy algebrai struktúra, a következő formában

úgy, hogy
 Abel-csoport,
 skalárral való szorzás, melyre teljesülnek a fent említett disztributivitási szabályok.
Ekkor a V vektortér struktúráját a következőképpen is jelölhetjük

V elemeit vektoroknak, F elemeit skalároknak nevezzük. 
Megkülönböztetünk úgynevezett speciális vektortereket is, amelyeken még egyfajta szorzás is értelmezett.
Ilyenek például a skaláris szorzattal ellátott euklideszi terek.

Elemi tulajdonságok

V Abel-csoport 

 nullvektor és az additív inverz unicitása,
 bármely u,v,w,t ∈ V: az u+x = v, és y+w = t egyenletek egyértelműen megoldhatók V-ben x és y-ra,
 összeadás asszociativitása és kommutativitása miatt többtagú összegek esetén a zárójelezés és a tagok sorrendje is tetszőlegesen megváltoztatható.

További következmények 

 bármely λ ∈ F: λ0 = 0,
 bármely v ∈ V: 0v = 0, ahol 0 az F test nulleleme,
 bármely v ∈ V: (-1)v = -v, ahol -1 az F test egységelemének additív inverze,
 ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.

Példák 

A lineáris tér egy nagyon általános fogalom, rengeteg példa van rá a matematikában. Nagyon sok olyan matematikai fejezetben is megjelenik, amit szerteágazóan alkalmaznak a fizika számos területén, például a funkcionálanalízis vagy éppen a differenciálgeometria, hogy csak néhányat említsünk.

 a közönséges síkbeli és térbeli, origóból kiinduló vektorok a valós test felett a szokásos vektorösszeadásra és skalárral való szorzásra nézve,
 a valós szám n-esek  felett, a komplex szám n-esek  felett, és
 általában F n, F felett (F tetszőleges test), a szokásos módon értelmezett, komponensenként végzett műveletekre,
 F n × k, F felett, azaz az n×k-as mátrixok F test felett, a mátrixok szokásos, komponensenkénti összeadására és skalárral való szorzására nézve.
 F [x], azaz az F feletti polinomok, F felett, a polinomok összeadására és skalárral való szorzására nézve,
 a legfeljebb n-edfokú polinomok F felett,
 valós számsorozatok a valós test felett a szokásos műveletekre,
 az  intervallumon folytonos -be képező függvények a valós test felett, a szokásos pontonkénti összeadásra, és skalárral való szorzásra nézve,
 az  intervallumon Riemann-integrálható -be képező függvények a valós számok teste felett, a szokásos pontonkénti összeadásra, valamint a skalárral való szorzásra nézve,
 a komplex számok a valós test felett, a komplex számok körében értelmezett műveletekre,
 a komplex számok a komplex számok teste felett,
 a valós számok a valós számok teste felett,
 a valószínűségi változók a szokásos összeadásra és skalárral való szorzásra nézve.

Lineáris altér 

Egy F test feletti V vektortér egy nemüres W ⊆ V részhalmazát altérnek nevezzük V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon F test felett ugyanazokra a V-beli vektorműveletekre, precízebben ezeknek a műveleteknek W-re történő megszorításaira nézve. Jelölése W ≤ V.

Lineáris kombináció 

V vektortér v1, v2, …, vk tetszőleges vektorai és
λ1, λ2, …, λk ∈ F skalárok. 
Ekkor a  ∈ V vektort a vi vektorok, λi skalárokkal képzett lineáris kombinációjának nevezzük.

Lineáris függetlenség 

Egy V vektortér véges sok vektoráról akkor mondjuk, hogy lineárisan függetlenek, ha lineáris kombinációjuk csak úgy lehet a nullvektor, ha mindegyik skalár szükségképpen 0.
Végtelen sok vektor lineáris függetlenségén azt értjük, hogy közülük bármely véges sok lineárisan független.
A v1,…,vn ∈ V vektorok lineárisan összefüggőek, ha lineárisan nem függetlenek, tehát
 
nem mind nulla skalár, azaz közülük legalább egy nem nulla, hogy

Bázis 

A bázis a lineáris algebrában egy olyan vektorhalmazt jelent, mely vektorainak lineáris kombinációi reprezentálják egy megadott vektortér valamennyi vektorát, valamint e vektorhalmaz semelyik eleme sem fejezhető ki a többi elem lineáris kombinációjával.
Tehát bázison lineárisan független generátorrendszert értünk.

Dimenzió 

Egy V vektortér dimenzióján egy bázisának elemszámát, számosságát értjük. 
Ha a vektortérnek nincs véges generátorrendszere, akkor dimenziója végtelen.
A 0 tér dimenziója: 0.

Vektorterek izomorfizmusa

Definíció 

Két vektortér, V1 és V2 izomorf egymással, ha létezik egy kölcsönösen egyértelmű, injektív lineáris (homogén) leképezés V1-ből V2-re.

Azaz
 lineáris leképezés bijektív.

A vektorterek halmazán az izomorfia meghatároz egy osztályozást. Ez az osztályozás a halmazt diszjunkt részhalmazok uniójára bontja fel.
Két vektortér akkor és csak akkor kerül ugyanabba az osztályba, ha izomorf.
E reláció reflexív, szimmetrikus és tranzitív, vagyis az izomorfia ekvivalenciareláció.

Magtér, képtér 

Ha  tetszőleges lineáris leképezés, akkor a magtér és a képtér

Megjegyzés: a magtér a V, a képtér a W vektortér altere.

Tulajdonságok 

Véges dimenziós vektorterek tulajdonságai

 Egy  lineáris leképezés akkor és csak akkor izomorfizmus, ha

 Ha V vektortér F felett, valamint

 Ugyanazon F test feletti véges dimenziós vektorterekre fennáll:

Dimenziótétel 

A dimenziótétel azt állítja, hogy tetszőleges lineáris leképezés képterében illetve magterében lévő bármely lineáris független generátorrendszer összelemszáma a kiindulási vektortér dimenziójával egyenlő. Formálisan

V1 és V2, két tetszőleges, véges dimenziós vektortér ugyanazon F test felett, továbbá  tetszőleges lineáris leképezés V1-ből V2-be. Ekkor

Faktortér

Definíció 

V egy tetszőleges vektortér F felett, és U egy tetszőleges altere V-nek. A 

halmazok, ahol v befutja az egész vektorteret, diszjunkt részhalmazok uniójára bontják V-t, ugyanis ha
 akkor  és  diszjunkt, ha  akkor 
Definiálunk két műveletet e halmazok körében

Az ily módon definiált műveletek egyértelműek, mivel

Így egy vektorteret kaptunk, melyet a V vektortér U altere szerinti faktorterének nevezünk, vagy röviden a  faktortér, szokás  hányadosterének is nevezni.
A faktortér elemei a  vektorhalmazok, az additív egységelem a

Homomorfizmus 

Algebrai megközelítés:

Legyenek G és L a szorzásra nézve csoportok. Az f:G→L leképezést homomorfizmusnak nevezzük, ha f(a·b)=f(a)·f(b) teljesül, azaz a leképezés művelettartó.

Legyen f a G csoportnak az L csoportba képező homomorfizmusa. És jelölje Ker f:=(f(g)=1)
Ker f-et a homomorfizmus magjának nevezzük.

Homomorfia tétele:

Legyen f:G→L a G csoportnak az L csoportba képező homomorfizmusa. És jelölje Ker f e homomorfizmus magját. Ekkor G/Ker f izomorf az L csoporttal.

Kapcsolódó szócikkek 
 Algebra
 Duális tér
 Lineáris algebra
 Lineáris leképezés
 Tenzor
 Tenzorszámítás
 Vektor

Irodalom 
 Bronstejn – Szemengyajev – Musiol: Matematikai kézikönyv''' (TypoTeX, 2002)
 Dancs I. – Puskás Cs.: Vektorterek (Aula Kiadó, 2003)
 Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Tankönyvkiadó, 1978)
 Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás. Bolyai-könyvek sorozat (Műszaki Könyvkiadó, 1998)
 Surányi László: Algebra, testek, gyűrűk, polinomok (TypoTeX, 2004)
 Szász Gábor: Matematika II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000)
 Szendrei János: Algebra és számelmélet (Nemzeti Tankönyvkiadó, 1996)

 Források 
 Freud Róbert: Lineáris algebra (ELTE Eötvös Kiadó, 2004)
 Fried Ervin: Algebra I., Elemi és lineáris algebra (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000)
 Kuros, A. G.: Felsőbb algebra (Tankönyvkiadó, Bp., 1975)
 Praszolov, V. V.: Lineáris algebra'' (TypoTeX, 2005)

További információk 
 Encyclopedia Of Maths: Linear operator 
 MathWorld: Linear algebra 
 MathWorld: Linear transformation 
 PlanetMath: Linear algebra  
 PlanetMath: Linear transformation   
 Wikipedia: Algebra 
 Wikipedia: Euclidean space 
 Wikipedia: Linear Map 
 Wikipedia: Linear algebra 
 Wikipedia: Normed vector space 
 Wikipedia: Topological vector space 

Lineáris algebra