Pi

Matematička konstanta π se često koristi u matematici i fizici. 'π' je malo slovo grčkog alfabeta i menja se sa pi kada je nedostupno. U euklidskoj planimetriji, π se može definisati kao odnos obima i prečnika kruga, ili kao površina kruga poluprečnika 1 (jediničnog kruga). Većina novijih udžbenika definiše π analitički, koristeći trigonometrijske funkcije, na primer kao najmanje pozitivno x za koje je sin(x) = 0, ili kao dva puta najmanje pozitivno x za koje je cos(x) = 0. Sve ove definicije su ekvivalentne.

π je takođe poznato i kao Arhimedova konstanta (ne treba mešati sa Arhimedovim brojem) i Ludolfov broj.

Numerička vrednost π zaokružena na 64 decimalna mesta je:

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923

Osobine 

π je iracionalan broj; to jest, ne može se napisati kao odnos dva cela broja. Ovo je dokazao Johan Hajnrih Lambert 1761. godine. Zapravo, ovaj broj je transcendentan, što je dokazao Ferdinand fon Lindeman 1882. godine. To znači da ne postoji netrivijalan polinom sa racionalnim koeficijentima, čiji je π koren.

Važna posledica transcedentnosti ovog broja je činjenica da nije konstruktibilan. Ovo znači da je nemoguće izraziti π koristeći samo konačan broj celih brojeva, razlomaka, i nad njima četiri osnovne i operaciju kvadratnog korenovanja. Ovo dokazuje da nije moguće izvršiti kvadraturu kruga: nemoguće je konstruisati (koristeći samo lenjir i šestar) kvadrat čija je površina jednaka površini datog kruga. Razlog je taj da su, polazeći od jediničnog kruga i tačke  na njemu, koordinate svih tačaka koje se mogu konstruisati korišćenjem lenjira i šestara konstruktibilni brojevi.

Formule sa π

Geometrija 
π se pojavljuje u dosta formula u geometriji koje se tiču krugova, elipsi, valjaka, kupa i lopti.

Takođe, ugao od 180° (u stepenima) iznosi π radijana.

Analiza 
Dosta formula u analizi sadrži π, uključujući predstavljanja u obliku beskonačnog reda (i beskonačnog proizvoda), integrale i takozvane specijalne funkcije.

 Fransoa Vijet, 1593:

 Lajbnicova formula:

Ovaj često navođeni beskonačni red najčešće se piše u gornjem obliku, dok je tehnički ispravan zapis:

 Valisov proizvod:

 Integral verovatnoće, poznat iz kalkulusa (vidi takođe i Funkcija greške i Normalna raspodela):

 Bazelski problem, koji je prvi rešio Ojler (vidi takođe i Rimanova zeta-funkcija):

i, uopšte,  je racionalni umnožak broja  za svako prirodno n.
 Vrednost Gama-funkcije u tački 1/2:

 Stirlingova aproksimaciona formula:

 Ojlerov identitet (kojeg je Ričard Fejnman nazvao "najizvanrednijom formulom u matematici"):

 Osobina Ojlerove φ-funkcije:

 Površina jedne četvrtine jediničnog kruga:

Kompleksna analiza 
 Specijalan slučaj Ojlerove formule za :

 Osnovni slučaj Teoreme o ostacima:

Verižni razlomak 
π ima puno predstavljanja u obliku verižnih razlomaka, kao što je na primer:

Teorija brojeva 
Neki rezultati iz Teorije Brojeva:
 Verovatnoća da su dva slučajno izabrana cela broja uzajamno prosta je 6/π2.
 Verovatnoća da je slučajno izabran ceo broj beskvadratan je 6/π2.
 U proseku, broj načina da se dati prirodan broj napiše kao zbir dva savršena kvadrata (redosled sabiraka je bitan) je π/4.

Ovde, "verovatnoća", "prosek" i "nasumičan" su uzeti u smislu granične vrednosti; tj. posmatra se verovatnoća odgovarajućeg događaja u skupu brojeva -{ {1,2, ... N} }-, a zatim uzima granična vrednost te verovatnoće kada -{N→∞}- (-{N}- je "jako veliko").

Dinamički sistemi/Ergodička teorija 
U teoriji dinamičkih sistema (vidi takođe ergodička teorija), za skoro svako realno -{x0}- u intervalu [0,1],

gde su -{xi}- iterirane vrednosti logističkog preslikavanja za -{r = 4}-.

Fizika 
U fizici, pojava broja π u formulama je najčešće stvar dogovora i normalizacije. Na primer, korišćenjem uprošćene Plankove konstante  može se izbeći pisanje broja π eksplicitno u velikom broju formula u kvantnoj mehanici. Zapravo, uprošćena varijanta je i bazičnija, a prisustvo faktora 1/2π u formulama koje koriste h može se smatrati naprosto uslovljenom uobičajenom definicijom Plankove konstante.

 Hajzenbergov princip neodređenosti:

 Ajnštajnova jednačina polja opšte teorije relativnosti:

 Kulonov zakon za električnu silu:

 Magnetna permeabilnost slobodnog prostora:

Verovatnoća i statistika 
U verovatnoći i statistici postoji puno raspodela, čiji analitički izrazi sadrže π, uključujući:
 Gustina raspodele verovatnoće za normalnu raspodelu sa matematičkim očekivanjem μ i standardnom devijacijom σ:

 Gustina raspodele verovatnoće za (standardnu) Košijevu raspodelu:

Treba primetiti da se, kako je  za svaku Funkciju gustine raspodele verovatnoće -{f(x)}-, pomoću gornjih formula može dobiti još integralnih formula za π.

Zanimljiva empirijska aproksimacija broja π zasnovana je na problemu Bufonove igle. Posmatrajmo opit u kojem se igla dužine -{L}- baca na ravan na kojoj su označene dve paralelne prave na međusobnom rastojanju -{S}- (gde je -{S}->-{L}-). Ako se igla na slučajan način baci veliki broj -{(n)}- puta, od kojih se x puta zaustavi tako da seče jednu od pravih, onda približnu vrednost broja π možemo dobiti korišćenjem formule

Istorija 
Simbol "π" za Arhimedovu konstantu je prvi put uveo 1706. godine matematičar Vilijam Džouns kada je objavio Novi uvod u matematiku (-{A New Introduction to Mathematics}-), mada je isti simbol još ranije korišćen da naznači obim kruga.
Ova oznaka postala je standardna nakon što ju je usvojio Leonard Ojler. U oba slučaja, 'π' je prvo slovo reči περιμετρος (perimetros), što znači 'meriti okolo' na grčkom jeziku.

Evo kratke hronologije broja π:

Numeričke aproksimacije broja π 
Zbog transcedentne prirode broja π, ne postoje prikladni zatvoreni izrazi za π. Stoga, numerička izračunavanja moraju koristiti približne vrednosti (aproksimacije) broja. Za puno potreba, 3.14 ili 22/7 je dovoljno blizu, iako inženjeri često koriste 3.1416 ili 3.14159 (5, odnosno 6 značajnih cifara) radi veće preciznosti. Aproksimacije 22/7 i 355/113, sa 3 i 7 značajnih brojki, se dobijaju iz jednostavnog razvoja π u verižni razlomak.

Pored toga, sledeća numerička formula daje aproksimaciju π sa 9 ispravnih cifara:

Egipatski pisar po imenu Ahmes je izvor najstarijeg poznatog teksta koji daje približnu vrednost broja π. Rajndov papirus datira iz egipatskog drugog srednjeg perioda—mada Ahmes tvrdi da je prepisivao papirus iz Srednjeg kraljevstva—i opisuje vrednost tako da je dobijeni rezultat zapravo 256 podeljeno sa 81, tj. 3.160.

Kineski matematičar Liu Hui je izračunao π do 3.141014 (tačno do 3 decimalna mesta) 263. godine i predložio da je 3.14 dobra aproksimacija.

Indijski matematičar i astronom Arjabhata dao je preciznu aproksimaciju za π. On je napisao: "Dodaj četiri na sto, pomnoži sa osam, a onda dodaj šezdesetdvehiljade. Rezultat je približno jednak obimu kruga prečnika dvadesethiljada. Ovim pravilom dat je odnos između obima i prečnika." Drugim rečima, (4+100)×8 + 62000 je obim kruga prečnika 20000. Ovo daje vrednost π = 62832/20000 = 3.1416, tačnu kada se zaokruži na 4 decimalna mesta.

Kineski matematičar i astronom Zu Čongži je izračunao π do 3.1415926–3.1415927, i dao dve aproksimacije: 355/113 i 22/7 (u 5. veku).

Iranski matematičar i astronom Gijat ad-din Džamšid Kašani (1350–1439) je izračunao π do 9 cifara u brojnom sistemu sa osnovom 60, što je ekvivalentno sa 16 decimalnih mesta kao:

2 π = 6.2831853071795865

Nemački matematičar Ludolf van Cojlen (oko 1600) je izračunao prvih 35 decimala. Bio je tako ponosan na svoje dostignuće da ih je dao urezati u svoj nadgrobni spomenik.

Slovenački matematičar Jurij Vega je 1789. izračunao prvih 140 decimala, od kojih je prvih 137 bilo tačno i držao je svetski rekord 52 godine—sve do 1841—kada je Vilijam Raderford izračunao 208 decimalnih mesta, od kojih su prva 152 bila tačna. Vega je poboljšao formulu Džona Mejčina iz 1706; njegov metod se spominje i danas.

Nijedna od gore datih formula ne može da posluži kao efikasni način nalaženja približnih vrednosti broja π. Za brza izračunavanja, mogu se koristiti formule poput Mejčinove:

 

zajedno sa Tejlorovim razvojem funkcije -{arctan(x)}-. Ova formula se najlakše proverava korišćenjem polarnih koordinata kompleksnih brojeva, krenuvši od:

Formule ove vrste su poznate kao formule slične Mejčinovoj.

Ekstremno dugački decimalni razvoji broja π se po pravilu računaju Gaus-Ležandrovim algoritmom i Borvajnovim algoritmom; Salamen-Brentov algoritam koji potiče iz 1976. godine je takođe korišćen u prošlosti.

Prvih milion cifara brojeva π i 1/π su dostupni na Projektu Gutenberg (vidi spoljne veze dole). Trenutni rekord (decembar 2002) ima 1 241 100 000 000 cifara, koje su izračunate u septembru iste godine na 64-čvornom Hitači superračunaru sa jednim terabajtom radne memorije, koji vrši 2 biliona operacija u sekundi, skoro duplo više od računara korišćenog za prethodni rekord (206 milijardi cifara). Korišćene su sledeće formule slične Mejčinovoj:

 –K. Takano (1982).

  –F. C. V. Štermer (1896).

Ove približne vrednosti imaju toliko puno cifara da više nemaju nikakvog praktičnog značaja, izuzev za testiranje novih superračunara i (očigledno) za ustanovljavanje novih rekorda u izračunavanju broja π.

1996. godine Dejvid H. Bejli je, zajedno sa Piterom Borvajnom i Sajmonom Plufeom, otkrio novu formulu za π u obliku zbira beskonačnog reda:

 

Ova formula omogućava da se lako izračuna -{k}-ta binarna ili heksadecimalna cifra broja π bez potrebe za računanjem prethodnih -{k}- − 1 cifara. Bejlijeva veb-strana  sadrži izvođenje ove formule, kao i njenu implementaciju u raznim programskim jezicima. PiHeks projekat je izračunao 64-bite oko milijarditog bita broja π (koji je, uzgred, 0).

Ostale formule koje su do sada korišćene za izračunavanje približnih vrednosti π uključuju:

 —Njutn.

 —Ramanudžan.

 —David Čudnovski i Grigorij Čudnovski.

  —Ojler.

Na računarima sa Majkrosoft Vindous operativnim sistemom, program PiFast može se koristiti za brzo izračunavanje velikog broja cifara. Najveći broj cifara broja π izračunat na kućnom računaru je 25 000 000 000, za koje je PiFast-u trebalo 17 dana.

Otvorena pitanja 
Otvoreno pitanje o ovom broju koje naviše pritiska jeste da li je π normalan broj—da li se ma koji blok cifara javlja u njegovom decimalnom razvoju upravo onoliko često koliko bi se statistički moglo očekivati ako bi se cifre proizvodile potpuno "nasumično". Ovo mora da bude tačno u bilo kojoj osnovi, a ne samo u dekadnom sistemu (osnovi 10). Sadašnje znanje u ovom smeru je veoma oskudno; na primer, ne zna se čak ni koje se od cifara (0,...,9) pojavljuju beskonačno često u decimalnom razvoju ovog broja.

Bejli i Krendal su pokazali 2000. godine da postojanje gore pomenute Bejli-Borvajn-Plufe formule i sličnih formula povlači da se tvrđenje o normalnosti broja π i raznih drugih konstanti u osnovi 2 može svesti na izvesnu razumnu pretpostavku u Teoriji haosa. Za pojedinosti, pogledajte gore navedeni Bejlijev sajt.

Takođe nije poznato da li su π i e algebarski nezavisni, tj. da li postoji netrivijalna polinomska relacija između ova dva broja sa racionalnim koeficijentima.

Džon Harison (1693–1776) je stvorio muzički sistem izveden iz π. Ovaj Lusi tjuning sistem, (zbog jedinstvenih matematičkih osobina broja π) može da oslika sve muzičke intervale, harmonije i harmonike. Ovo sugeriše da bi se korišćenjem π mogao dobiti precizniji model za analizu kako muzičkih, tako i drugih harmonika u vibrirajućim sistemima.

Priroda broja π 
U ne-euklidskoj geometriji, zbir uglova trougla može da bude manji ili veći od π radijana, a odnos obima kruga i njegovog prečnika može se takođe razlikovati od π. Ovo ne menja njegovu definiciju, ali utiče na mnoge formule gde se π pojavljuje. Pa tako, posebno, oblik univerzuma ne utiče na π; π nije fizička nego matematička konstanta, definisana nezavisno od ma kakvih fizičkih merenja. Razlog zašto se π pojavljuje tako često u fizici je jednostavno zato što je podesan u mnogim fizičkim modelima.

Posmatrajmo, kao primer, Kulonov zakon:
. 
Ovde,  je naprosto površina lopte poluprečnika -{r}-. U ovoj formi, ovo je pogodan način opisivanja inverzne kvadratne veze između sile i rastojanja -{r}- od tačkastog izvora. Naravno, bilo bi moguće da se ovaj zakon opiše na druge, ali manje zgodne—ili u nekim slučajevima zgodnije načine. Ako koristimo Plankovo naelektrisanje, Kulonov se zakon može opisati kao  čime se uklanja potreba za π.

Spominjanja u fikciji 

 Kontakt (Kontakt)—naučno-fantastično delo Karla Sagana, a kasnije filmska adaptacija Džodi Foster. Sagan razmatra mogućnost potpisa, koji su u decimalni razvoj broja π ugradili stvaraoci univerzuma. 
 π (film)—O vezi između brojeva i prirode: otkrivanje takve veze a da niste numerolog.
 -{Time's Eye}- (Oko vremena)—Naučna fantastika Artura Č. Klarka i Stivena Bakstera. U svetu koji su prestrojile vanzemaljske sile, primećuje se sferična naprava čiji je odnos obima i prečnika po svim ravnima—tačan ceo broj 3.

π kultura 
Postoji celo polje humorističkog, ali i ozbiljnog izučavanja koje uključuje korišćenje mnemonika za lakše pamćenje cifara π i zove se pifilologija. Pogledajte Pi mnemonike za primere na engleskom jeziku.

14. mart (3/14 u SAD) je Pi dan kojeg proslavlja veliki broj ljubitelja ovog broja. 22. jula, proslavlja se Dan aproksimacije broja pi (22/7 je popularna aproksimacija).

Štaviše, mnogi ljudi govore i o "pi sati" (3:14:15 je malo manje od pi sati; 3:08:30 bi bilo najbliže broju π sati posle podneva ili ponoći u celim sekundama).

Još jedan primer matematičkog humora je sledeća aproksimacija π: Uzmite broj "1234", zamenite mesta prvim dvema i poslednjim dvema ciframa, tako da broj postaje "2143". Podelite taj broj sa "dva-dva" (22, pa je 2143/22 = 97.40909...). Uzmite dvo-kvadratni koren (četvrti koren) od ovog broja. Konačan rezultat je izuzetno blizu π: 3.14159265.

Vidi još 
 Grčko slovo π
 Kalkulus
 Geometrija
 Trigonometrijske funkcije
 Pi kroz eksperiment
 Dokaz da je π transcedentno
 Jednostavan dokaz da je 22/7 veće od π
 Pi (film)
 Pi dan
 Lusi tjuning

Literatura 

  English translation by Catriona and David Lischka.
 
 
 
 
 
 
 , English translation by Stephen Wilson.
 
 
 
 
 . [http://www.jstor.org/discover/10.2307/3029284?sid=21105295462031&uid=2&uid=4 issue 3 Jan/Feb], issue 4 Mar/Apr, issue 5 May/Jun
 
 
 
 Chudnovsky, David V. and Chudnovsky, Gregory V., "Approximations and Complex Multiplication According to Ramanujan", in Ramanujan Revisited (G.E. Andrews et al. Eds), Academic Press, 1988, pp 375–396, 468–472
 Cox, David A., "The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss", L' Ensignement Mathematique, 30(1984) 275–330
 Delahaye, Jean-Paul, "Le Fascinant Nombre Pi", Paris: Bibliothèque Pour la Science (1997) 
 
 Euler, Leonhard, "On the Use of the Discovered Fractions to Sum Infinite Series", in Introduction to Analysis of the Infinite. Book I, translated from the Latin by J. D. Blanton, Springer-Verlag, 1964, pp 137–153
 Heath, T. L., The Works of Archimedes, Cambridge, 1897; reprinted in The Works of Archimedes with The Method of Archimedes, Dover, 1953, pp 91–98
 Huygens, Christiaan, "De Circuli Magnitudine Inventa", Christiani Hugenii Opera Varia I, Leiden 1724, pp 384–388
 
 
 
 Niven, Ivan, "A Simple Proof that pi Is Irrational", Bulletin of the American Mathematical Society, 53:7 (July 1947), 507
 Ramanujan, Srinivasa, "Modular Equations and Approximations to π", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, XLV, 1914, 350–372. Reprinted in G.H. Hardy, P.V. Seshu Aiyar, and B. M. Wilson (eds), Srinivasa Ramanujan: Collected Papers, 1927 (reprinted 2000), pp 23–29
 Shanks, William, Contributions to Mathematics Chiefly of the Rectification of the Circle to 607 Places of Decimals, 1853, pp. i–xvi, 10
 
 Tropfke, Johannes, Geschichte Der Elementar-Mathematik in Systematischer Darstellung (The history of elementary mathematics), BiblioBazaar, 2009 (reprint), 
 Viete, Francois, Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII. F. Viete, Opera Mathematica (reprint), Georg Olms Verlag, 1970, pp 398–401, 436–446
 Wagon, Stan, "Is Pi Normal?", The Mathematical Intelligencer, 7:3(1985) 65–67
 Wallis, John, Arithmetica Infinitorum, sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadratum, aliaque difficiliora Matheseos Problemata, Oxford 1655–6. Reprinted in vol. 1 (pp 357–478) of Opera Mathematica, Oxford 1693
 Zebrowski, Ernest, A History of the Circle: Mathematical Reasoning and the Physical Universe, Rutgers University Press, 1999,

Vanjske veze

Cifre 
 Wikisource Pi do 1000 mesta  | 10000 mesta  | 100000 mesta  | 1000000 mesta 
 E-tekst na Projektu Gutenberg koji sadrži milion cifara Pi 
 Arhive broja Pi računatog do milion ili deset miliona mesta 
 Search π —pretraži i odštampaj Pi do 400 miliona mesta
 Statistike o prvih 1.2 biliona cifara Pi 
 Baner koji sadrži približno 220 miliona cifara pi

Proračuni 
 Izračunavanje pi: projekat otvorenog koda za izračunavanje pi
 PiFast: brz program za računanje Pi sa velikim brojem cifara
 PiHeks projekat 
 Super Pi: još jedan program za izračunavanje pi-ja do 33.55 milionite cifre

Opšti 
 Pi strane 
 Istorija Pi-ja
 Kolekcija formula sličnih Mejčinovoj za Pi 
 Dokaz da je Pi iracionalan
 PiFakts -probijeni rekord
 O knjizi -{The Joy of Pi}-
 dosta formula za π na stranicama Volfram Riserč
 PlanetMath: Pi 
 Jahu grupa pi hakera 
 Nalaženje vrednosti pi
 dokaz da pi postoji
 Klub prijatelja broja Pi (engleski i nemački)
 određivanje Pi
 LucyTuning—muzičko štimanje izvedeno iz Pi

Mnemonici 
(Svi mnemonici su na engleskom jeziku.)
 Andreas P. Hacipolakis: Pifilologija. Mesto sa stotinama primera mnemonika za π. 
 Pamćenje Pi kroz poeziju
 Pi-memory 

 
Brojevi
Matematika