Geometrio

Geometrio (de la grekaj γης, "tero", kaj μετρoς, "mezuro") estas branĉo de matematiko, kiu studas spacajn rilatojn (ekz. reciprokan situon), formojn (ekz. geometriajn korpojn), grandojn kaj relativan situon de figuroj kaj ilian ĝeneraligon. La naskiĝo de geometrio okazis en antikveco pro praktikaj bezonoj: mezurado de terpecoj, volumeno ktp. Geometro estas specialisto pri geometrio, nome fakulo pri geometrio, matematikisto, kiu laboras en la kampo de geometrio.

Kvankam geometrio ege evoluis dum sia historio, kelkaj ĝeneralaj konceptoj de geometrio restas fundamentaj. Tiuj estas, ekzemple, la konceptoj punkto, rekto, ebeno, distanco, angulo, surfaco kaj linio, same kiel la pli modernaj nocioj topologio kaj sternaĵo.

Geometrio havas aplikojn en multaj fakoj, kiel arto, arkitekturo, fiziko, same kiel al la aliaj branĉoj de matematiko.

Historio 

Geometrio stariĝis sendepende en nombraj fruaj kulturoj kiel korpuso de praktika sciaro koncerne al longoj, areoj, kaj volumenoj, kun elementoj de formala matematika scienco aperanta en Okcidento tiom frue kiom ĝis Taleso de Mileto (6a jarcento a.K.). Poste la strikta konstruo de geometrio, kiel sistemo de asertoj (teoremo), konsekvence sinsekvaj el nemultaj difinoj de ĉefaj nocioj kaj veraĵoj, akceptitaj sen pruvo (aksiomo), estis donita en antikva Grekio. Tia traktado de geometrio en la “Komencoj” de Eŭklido (ĉ. 300 a.K.), dum preskaŭ 2 mil jaroj servis kiel modelo por aksioma metodo kaj baza konstruo de t.n. "Eŭklida geometrio" sekvota dum multaj jarcentoj. Arkimedo disvolvigis ingeniajn teknikojn por la kalkulado de areoj kaj volumenoj, en multaj manieroj pionire de la moderna integrala kalkulo. La fako astronomio, ĉefe ĉar ĝi rilatas al mapado kaj al la situoj de steloj kaj planedoj en la ĉielosfero kaj al priskribado de rilatoj inter movoj de ĉielaj korpoj, utilis kiel grava fonto de geometriaj problemoj dum la venontaj unu kaj duona jarmiloj. En la klasika mondo, kaj geometrio kaj astronomio esris konsiderataj parto de Quadrivium, subfako de la sep Sep liberaj artoj konsideritaj esencaj por ke libera civitano mastru.

La reviviĝo de la scienco kaj arto en Eŭropo stimulis evoluon de geometrio, kies teoria bazo estis Projekta Geometrio. Kartezio (Rene Descartes) proponis metodon de koordinatoj, kiu permesis interligi geometrion kun algebro kaj matematika analizo, rezultanta naskon de analiza geometrio kaj diferenciala geometrio. De tiam geometriaj figuroj kiaj ebenaj kurboj estos reprezentataj analize en la formo de funkcioj kaj ekvacioj, Tio ludis ŝlosilan rolon en la apero de la infinitezima kalkulo en la 17a jarcento. Krome, la teorio de perspektivoj montris, ke estas pli al geometrio ol ĝuste la mezuraj propraĵoj de figuroj: perspektivo estas la origino de projekcia geometrio. La subjekto de geometrio estis plue pliriĉigita per la studo de la esenca strukturo de geometriaj objektoj kiuj originiĝis ĉe Euler kaj Gauss kaj kondukis al la kreado de la topologio kaj de la diferenciala geometrio.

En la epoko de Eŭklido, ne estis klara distingo inter fizika kaj geometria spacoj. Ekde la 19a-jarcenta malkovro de ne-Eŭklida geometrio, la koncepto de spaco suferis radikalan transformadon kaj levigis la demandon pri kiu geometria spaco ple bone kongrus kun fizika spaco. En 1826 N. Lobaĉevskij konstruis hiperbolan geometrion, diferencantan de la eŭklida geometrio per la aksiomo pri paraleloj. En la mezo de 19-a jarcento estis esploritaj multmezuraj spacoj. Vasta fako de geometrio estis fondita en la verkoj de B. Riemann. La ĝeneraligo de la ĉefobjekto de geometrio - spaco, ebligis ĝian fruktodonan uzadon ne nur en matematikaj sciencoj, sed ankaŭ en fiziko, meĥaniko k.a.

Kun la apero de la formala matematiko en la 20a jarcento, 'spaco' (ĉu 'punkto', 'linio', aŭ 'surfaco') perds sian intuiciajn enhavojn, kaj tiele nuntempe oni devas distingi inter fizika spaco, geometriaj spacoj (en kiuj 'spaco', 'punkto' ktp., kiuj ankoraŭ havas sian intuiciajn signifojn) kaj abstraktaj spacoj. Nuntempa geometrio konsideras sternaĵojn, nom spacojn kiuj estas konsiderinde pli abstraktaj ol la familiara Eŭklida spaco, al kiu ili nur proksimume similas je malgrandaj skaloj. Tiuj spacoj povas esti dotitaj per aldona strukturo kiu permesas onin paroli pri longo. Moderna geometrio havas multaj ligojn al fiziko kiel estas ekzempligita de la ligoj intee la pseŭdo-Riemannian-a geometrio kaj la ĝenerala teorio de relativeco. Unu el la plej novaj fizikaj teorioj, nome la Kordoteorio, estas ankaŭ tre geometrieca.

Dum la vida naturo de geometrio faras ĝin dekomence pli alirebla ol aliaj matematikaj areoj kiaj algebro aŭ Nombroteorio, geometria lingvaĵo estas uzata ankaŭ en kuntekstoj tre foraj el sia tradicia eŭklida deveno (por ekzemplo, ĉe fraktala geometrio kaj ĉe algebra geometrio).

Gravaj konceptoj en geometrio 
Kelkaj el la plej gravaj konceptoj en geometrio estas jenaj.

Aksiomoj 

Eŭklido efektivigis abstraktan aliron al geometrio en sia verko Elementoj, unu el la plej influaj libroj iam verkitaj. Eŭklido bazis sian aliron sur kelkaj aksiomoj (alinome: postulatoj) esprimantaj unuarangajn aŭ mem-evidentajn ecojn de punktoj, rektoj kaj ebenoj. Li rigore deduktis aliajn proprecojn per matematika racieco. La karaktera trajto de la alproskimigo de Eŭklido al geometrio estis lia rigoro, kaj ĝi estis konata kiel aksiomeca aŭ sinteza geometrio. Komence de la 19a jarcento, la malkovro de la ne-Eŭklidaj geometrioj fare de Nikolaj Lobaĉevskij (1792–1856), János Bolyai (1802–1860), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) kaj aliaj kondukis al revivigo de intereso en tiu fako, kaj en la 20a jarcento, David Hilbert (1862–1943) uzis aksioman raciecon en klopodo havigi modernan fundamenton de geometrio.

Punktoj 

Punktoj estas konsiderataj fundamentaj konceptoj en la Eŭklida geometrio. Ili estis difinitaj per vario de manieroj, kiel per la difino de Eŭklido kiel 'kio kio ne havas partojn' kaj tra la uzado de algebro aŭ de nestoserioj. En multaj areoj de geometrio, kiel en analiza geometrio, diferenciala geometrio, kaj topologio, ĉiuj objektoj estas konsiderataj konstruitaj el punktoj. Tamen, estis iome da studo de geometrio senreference al punktoj.

Rektoj 

Eŭklido priskribis rekton kiel "senspira longo" kiu "kuŝas egale kun rilato al la punktoj en si mem". En moderna matematiko, havigita la multeco de geometrioj, la koncepto de rekto estas tre ligata al la maniero kiel la geometrio estas priskribita. Por ekzemplo, en analiza geometrio, rekto en ebeno estas ofte difinita kiel la serio de punktoj kies koordinatoj kontentigas difinitan linearan ekvacion, sed en pli abstrakta konsidero, kiel en incida geometrio, rekto povas esti sendependa objekto, distingebla el la serio de punktoj kiuj kuŝas en ĝi. En diferenciala geometrio, geodezia kurbo estas ĝeneraligo de la nocio de rekto ĝis kurbaj spacoj.

Universala ekvacio de rekto 
Universala ekvacio de rekto estas jena formulo:

A x + B y + C = 0

kie A, B, C - laŭvolaj reelaj nombroj .Sed almenaŭ unu el A kaj B ne estas nulo.
(x, y) - koordinatoj de punkto en rekto.

Vektoro [A, B] estas orta al rekto, kaj vektoro [-A, B] estas paralela al rekto.

Rimarku: unu rekto povas havi pli ol unu universala ekvacio. Sed koeficiento devas: . Ĉar oni sufiĉas ke universala ekvacio multiplikas de laŭvola ne nula nombro kaj estos alia ekvacio sed ĝi priskribos saman rekton.

Ebenoj 

Ebeno aŭ ebenaĵo estas ebena, du-dimensia surfaco kiu etendiĝas senfine for. Ebenoj estas uzataj en ĉiu areo de geometrio. Por ekzemplo, ebenoj povas esti studataj kiel topologiaj surfacoj senreference al distancoj aŭ anguloj; ili povas esti studataj kiel afina spaco, kie kunlineareco kaj proporcioj povas esti studataj sed ne distancoj; ili povas esti studataj kiel kompleksa ebeno uzante teknikojn de kompleksa analitiko; kaj tiel plu.

Eŭklida ebeno 
Kiel la eŭklida spaco, ebeno estas tia spaco, kiu, estante du malsamaj punktoj, enhavas la unikan rekton, kiu trapasas tiujn punktojn. Ebeno kiu estas eŭklida spaco estas nomata kiel eŭklida ebeno aŭ ℝ2.

La fundamenta strukturo de tiaj du ebenoj ĉiam estos la sama. En matematiko, tio estas topologia ekvivalento, kio signifas, ke ĉiuj ajn ebenoj ŝajnas egalaj. En eŭklida ebeno povas esti difinita koordinatosistemo el du koordinatoj, kiu povas difini ĉiun punkton en la ebeno. Karteziaj koordinatoj estas plej kutime uzataj, ili tie havas abscison kaj ordinaton.

Anguloj 

Eŭklido difinis ebenan angulon kiel la klino de unu al alia, en ebeno, de du rektoj kiuj kuniĝas unu al la alia, kaj ne kuŝas rekte rilate unu al la alia. En modernaj terminoj, angulo estas la figuro formata de du radioj, nomataj la flankoj de la angulo, kiuj kunhavas komunan finpunkton, nomata vertico de la angulo.

En Eŭklida geometrio, anguloj estas uzataj por studi plurlaterojn kaj triangulojn, same kiel por formi studobjektojn per si mem. La studo de anguloj de triangulo aŭ de anguloj en unuocirklo formas la bazon de trigonometrio.

En diferenciala geometrio kaj kalkulo, la anguloj inter ebenaj aŭ spacaj aŭ surfacaj kurboj povas esti kalkulataj uzante derivaĵojn.

Kurboj 

Kurbo estas 1-dimensia objekto kiu povas esti durekta (kiel linio) aŭ ne; kurboj en 2-dimensia spaco estas nomataj ebenaj kurboj kaj tiuj en 3-dimensia spaco estas nomataj spacaj kurboj.

En topologio, kurbo estas difinita per funkcio el intervalo de la reelaj nombroj al alia spaco. En diferenciala geometrio, la sama difino estas uzata, sed oni postulas, ke la difinanta funkcio estu diferencialebla  Algebra geometrio studas algebrajn kurbojn, kiuj estas difinitaj kiel algebraj variaĵoj de dimensio unu.

Kompakta kurbo estas sternaĵo de dimensio 1, alivorte kontinuumo en kiu por ĉiu ĝia punkto, kaj laŭvola ĉirkaŭaĵo de ĉi tiu punkto ekzistas ia ĉirkaŭaĵo de punkto, kiu entenas en lastan, kiu rando ne havas kontinuumon, kiu konsistas el ne pli ol unu punkto (ĉiaj punktoj havas laŭvolan ĉirkaŭaĵon kun 0-dimensia rando).

En elementa geometrio oni esploras rektan linion aŭ rekton, detranĉojn de rekto, rompitan linion, kurban linion aŭ kurbon. Ĉiu speco de linio estas determinita per speciala maniero, ekz. cirklo estas aro de tiuj punktoj, kiuj egale distancas de la donita punkto O". Oni nomas la punkton O - centro de la cirklo, kaj la distancon R - radiuso de la cirklo.

Surfacoj 

Surfaco estas du-dimensia objekto, kiel sfero aŭ paraboloido. En diferenciala geometrio kaj topologio, surfacoj estas priskribitaj per du-dimensiaj 'zonoj' (aŭ ĉirkaŭaĵo) kiuj estas kunigitaj per difeomorfioj aŭ per homeomorfioj, respektive. En algebra geometrio, surfacoj estas priskribitaj per polinomaj ekvacioj.

Sternaĵoj 

Sternaĵo estas ĝeneraligo de la konceptoj de kurbo kaj surfaco. En topologio, sternaĵo estas topologia spaco en kiu ĉiu punkto havas ĉirkaŭaĵon kiu estas homeomorfia al Eŭklida spaco. En diferenciala geometrio, diferencialabla sternaĵo estas spaco en kiu ĉiu ĉirkaŭaĵo estas difeomorfia al Eŭklida spaco.

Sternaĵoj estas uzataj etende en fiziko, kiel en ĝenerala relativeco kaj en kordoteorio.

Longo, areo kaj volumeno 

Longo, areo kaj volumeno priskibas la grandon aŭ etendon de objekto en unu dimensio, du dimensioj kaj tri dimensioj respektive.

En Eŭklida geometrio kaj en analiza geometrio, la longo de rektosegmento povas ofte esti kalkulita pere de la Pitagora teoremo.

Areo kaj volumeno povas esti difinitaj kiel fundamentaj kvantoj aparte el longo, aŭ ili povas esti priskribitaj kaj kalculataj en terminoj de longoj en ebeno aŭ en 3-dimensia spaco. Matematikistoj trovis multajn klarajn formulojn por areoj kaj formulojn por volumeno de variaj geometriaj objektoj. En kalkulo, areo kaj volumeno povas esti difinitaj en terminoj de integraloj, kiel la Rimana integralo aŭ la Lebesga integralo.

Metriko kaj mezuroj 

La koncepto de longo aŭ distanco povas esti ĝeneraligita, konduke al la ideo de metriko. Por ekzemplo, la Eŭklida metriko mezuras la distancon inter punktoj en la Eŭklida ebeno, dum la hiperbola metriko mezuras la distancon en la hiperbola ebeno. Aliaj gravaj ekzemploj de metriko estas la Lorentz-a metriko de speciala relativeco kaj la duon-Rimana metriko de la ĝenerala relativeco.

En diferenca direkto, la konceptoj de longo, areo kaj volumeno estas etenditaj pere de la mezurteorio, kiu studas metodojn atribui grandon aŭ mezuron al aroj, kie la mezuroj sekvas regulojn similajn al tiu de klasikaj areo kaj volumeno.

Kongruo kaj simileco 

Kongruo kaj simileco estas konceptoj kiuj priskribas kiam du formoj havas similajn karakterojn. En Eŭklida geometrio, simileco estas uzata por priskribi objektojn kiuj havas la saman formon, dum kongruo estas uzata por priskribi objektojn kiuj estas samaj kaj laŭ grando kaj laŭ formo. Hilbert, en sia verko pri la kreado de pli rigora fundamenton por geometrio, traktis kongruon kiel nedifinita termino kies proprecoj estas difintaj per aksiomoj.

Kongruo kaj simileco estas ĝeneraligitaj en transforma geometrio, kiu studas la ecojn de geometriaj objektoj, kiuj estas konservataj per diferencaj tipoj de transformoj.

Rektilo kaj cirkelo 

Klasika geometrio dediĉis specialan atenton al konstruado de geometriaj objektoj kiuj esti priskribitaj alimaniere. Klasike, la nuraj instrumentoj permesitaj en geometria konstruado estas la cirkelo kaj la rektilo. Krome, ĉia geometria konstruaĵo devas esti kompletigita en finhava nombro de ŝtupoj. Tamen, kelkaj problemoj rezultis malfacile aŭ maleble solveblaj per nur tiuj rimedoj, kaj oni trovis ingeniajn konstruojn uzante parabolojn kaj aliajn kurbojn, same kiel meĥanikajn aparatojn. Vidu sube ĉapitron Klasikaj problemoj.

Dimensio 

Kie la tradicia geometrio permesis dimensiojn 1 (rekto), 2 (ebeno) kaj 3 (la medio konceptita kiel Tri-dimensia spaco), matematikistoj kaj fizikistoj estis uzantaj pli altajn dimensiojn dum preskaŭ du jarcentoj. Unu ekzemplo de matematika uzo por pli altaj dimensioj estas la formospaco de fizika sistemo, kiu havas dimension egalan al la liberecgradoj de la sistemo. Por ekzemplo, la formado de ŝraŭbo povas estis priskribita per kvin koordinatoj.

En ĝenerala topologio, la koncepto de dimensio estis etendita el naturaj nombroj, al senfina dimensio (Hilbertaj spacoj, por ekzemplo) kaj al pozitivaj reelaj nombroj (en fraktala geometrio). En algebra geometrio, la dimensio de algebra varieco estis ricevinta nombrajn ŝajne diferencajn difinojn, kiuj estas ĉiuj ekvivalentaj en plej oftaj okazoj.

Simetrio 

La temo de simetrio en geometrio estas preskaŭ tiom antikva kiom la scienco de geometrio mem. Simetriaj fgormoj kiaj la cirklo, la regulaj plurlateroj kaj platonaj solidoj havis profundajn signifojn por multaj antikvaj filozofoj kaj estis esploritaj detale antaŭ la tempo de Eŭklido. Simetriaj modeloj ekzistas en la naturo kaj estis arte ripetitaj de homoj en multaj formoj, kiel en la bildoj de da Vinci, M.C. Escher, kaj aliaj. En la dua duono de la 19a jarcento, la rilato inter simetrio kaj geometrio venis al intensa pridemandado. La Erlangen programo de Felix Klein proklamis, ke en tre preciza senco, simetrio, esprimita per la nocio de transforma grupo, determinas tion, kio geometrio estas. Simetrio en klasika Eŭklida geometrio estas reprezentata per kongruoj kaj rigidaj movoj, dum en projekcia geometrio analoga rolo estas ludata per kunliniigoj, geometria transformado, kiu konvertas rektojn en rektojn. Tamen estis en la novaj geometrioj de Bolyai kaj Lobaĉevskij, Riemann, Clifford kaj Klein, kaj Sophus Lie en kiuj la ideo de Klein por 'difini geometrion tra sia simetria grupo' trovis sian inspiron. Kaj diskretaj kaj kontinuaj simetrioj ludas gravan rolon en geometrio, la unuaj en topologio kaj en la geometria grupoteorio, kaj la lastaj en la teorio de Lie kaj en la geometrio de Bernhard Riemann.

Diferenca tipo de simetrio estas la principo de dueco en projekcia geometrio, inter aliaj fakoj. Tiu meta-fenomenono povas iom estis priskribita jene: en ajna teoremo, ŝanĝi punkto al ebeno, kunigi al kuniĝi, kuŝas en al enhavas, kaj la rezulto estas egale vera teoremo. Simila kaj tre rilata formo de dueco ekzistas inter vektora spaco kaj ties dueca spaco.

Ĉefaj branĉoj de geometrio

Eŭklida geometrio 

Eŭklida geometrio estas geometrio en sia klasika senco. Ĉar ĝi modeligas la spacon de la fizika mondo, ĝi estas uzata en multaj sciencaj fakoj, kiel en meĥaniko, astronomio, kristalografio, kaj multaj teknikaj kampoj, kiaj inĝenierado, arkitekturo, geodezio, aerodinamiko, kaj navigado. La deviga eduka studobjektaro de la majoritato de landoj inkludas la studon de Eŭklidaj konceptoj kiaj punktoj, rektoj, ebenoj, anguloj, trianguloj, kongruoj, simileco, solidaj figuroj, cirkloj, kaj analiza geometrio.

Topologio 
Topologio en matematiko havas du signifojn. Ĝi estas:
 matematika strukturo, per kiu oni studas la nociojn de kontinueco, konekseco, kaj konverĝado; kaj
 tiu branĉo de matematiko, kiu okupiĝas pri tiuj ĉi nocioj.

Analiza geometrio 
Analiza geometrio estas la fako de geometrio, en kiu proprecoj de geometriaj figuroj (punkto, linio, surfaco) determiniĝas per rimedoj de algebro helpe de metodo de koordinatoj, t.e. per studo de proprecoj de ekvacioj, kies grafikoj estas la menciitaj figuroj. En analiza geometrio oni ekzamenas liniojn (surfacojn) de 1-a kaj 2-a gradoj. Linioj (surfacoj) de 1-a grado estas rektoj (ebenoj), inter linioj (surfacoj) de 2-a grado - elipsoj, hiperboloj, paraboloj (elipsoidoj, hiperboloidoj, paraboloidoj). Analizan geometrion unue pristudis Kartezio en 1-a duono de 17-a jarcento.

Diferenciala geometrio 
Diferenciala geometrio estas la fako de geometrio, en kiu geometriaj figuroj determiniĝas surbaze de metodo de koordinatoj per la rimedoj de diferenciala kalkulo. La origina objekto de diferenciala geometrio estis pristudo de geometriaj figuroj de ordinara 3-dimensia spaco (linio, surfaco). De la 2-a duono de 19-a jarcento, la kadroj de diferenciala geometrio grave plivastiĝis, inkludante ankaŭ esploron de multdimensia spaco. Diferenciala geometrio estas grava instrumento por esploroj en meĥaniko, teorio de relativeco, k.a.

Desegna geometrio 
Desegna geometrio estas la fako de geometrio, en kiu geometriaj figuroj determiniĝas per konstruo de iliaj bildoj sur projekciaj ebenoj. Kelkaj ideoj de desegna geometrio estis prilaboritaj en 16a-17a jarcentoj, sed kiel sendependa scienco ĝi formiĝis nur ĉe la fino de 18-a jarcento pere de Gaspard Monge kaj pro la kreskantaj praktikaj bezonoj de inĝenierarto.

Planimetrio 

Planimetrio (de la latina Planum, "ebeno") estas la fako de elementa geometrio, kiu pristudas proprecojn de figuroj, kuŝantaj en surfaco.

Stereometrio 
Stereometrio estas la fako de elementa geometrio, kiu pristudas proprecojn de figuroj en spaco.

Sfera geometrio 

Sfera geometrio estas la fako de matematiko, kiu esploras figurojn sur sfero. Evoluo de ĉi tiu branĉo en antikveco estis ligita kun la problemoj de sfera astronomio.

Klasikaj problemoj 

Por konstruado per rektilo kaj cirkelo, jen kelkaj el la klasikaj geometriaj problemoj:

 Kiel duobligi kubon?
 Kiel trionigi angulon?
 Kiel krei kvadraton kiu havas la saman surfacon kiel difinita cirklo?

Pli precize, en ĉiuj tri problemoj, la tasko estas establi geometrian konstrumanieron (ekz. por trionigi ajnan donitan angulon), uzante sole liniilon kaj cirkelon. Pri ĉiuj tri problemoj okupiĝis jam la grekoj antaŭ pli ol dumil jaroj. Per la teorio de Galois pri aŭtomorfismoj de korpoj oni montras facile ke 1. kaj 2. ne allasas ĝeneralan solvon. Ankaŭ la 3-a problemo ne estas solvebla; por pruvi tion, oni bezonas aldone la teoremon de Lindemann pri la transcendeco de la nombro pi.

Geometriaj elementoj 

 Angulo
 Areo
 Cilindro
 Linio
 Konuso
 Kubo
 Paralelepipedo
 Piramido
 Pluredro
 Plurlatero
 Prismo
 Punkto
 Sfero
 Surfaco
 Triangulo
 Trunko

Vidu ankaŭ 

 Atraktoro
 Cirklo
 Eŭklida spaco
 Geometria figuro
 Geometria progresio
 Perpendikularo
 Solido (geometrio)
 Spaco

Notoj

Bibliografio 
 
 Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, tradukisto kaj eldonisto: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
 Jay Kappraff, A Participatory Approach to Modern Geometry, 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4556-70-5.
 Leonard Mlodinow, Euclid's Window – The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace, UK edn. Allen Lane, 1992.

Eksteraj ligiloj 
 http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsGeometry.shtml Kio Estas Geometrio?
 http://www.geogebra.at Geogebra
 http://agutie.homestead.com Geometrio Ŝtupo post Ŝtupo el la lando de la Inkaoj
 http://www.cut-the-knot.org/geometry.shtml Geometrio
 Unusual Geometry Problems
 The Math Forum — Geometrio
 Nature Precedings — Pegs and Ropes Geometry at Stonehenge
 The Mathematical Atlas — Geometric Areas of Mathematics