Komplex számok

A komplex számok halmaza a valós számhalmaz olyan bővítése, melyben elvégezhető a negatív számból való négyzetgyökvonás (a valós számok halmazával ellentétben, ahol negatív számnak nincs négyzetgyöke), valamint ennek folyományaként más, valósokon belül nem értelmezett műveletek is értelmezhetővé válnak. A valós szám fogalmának ilyen általánosítását a 16. századi algebrai problémák (casus irreducibilis) vetették fel, később a komplex számok a matematika más területein és a fizikában is alkalmazhatónak bizonyultak.

A komplex számok megalkotása 
A komplex számok halmazát  vagy  betűvel jelöljük.
Imaginárius (képzetes) egységnek az egyik olyan komplex számot nevezzük, amelynek a négyzete −1. Ennek jele i. (A másik komplex szám, melynek négyzete −1, a −i.)

A komplex számok származtatásának három lehetséges módja alább olvasható.

A három modellnek az a közös tulajdonsága, hogy mindegyik a valós számtest feletti 2 dimenziós vektortér, melyen egy szorzás is értelmezve van, ami az összeadással együtt testet alkot. Az ilyen algebrai struktúrát a valós számok testbővítésének nevezzük. Érvényes az a tétel, miszerint

a valós számok testének egyetlen olyan valódi testbővítése van, mely kommutatív és véges dimenziós.
Ezt az (izomorfizmus erejéig egyértelműen meghatározott) testbővítést a komplex számok halmazának nevezzük. A komplex számok fenti három értelmezése tehát kölcsönösen egyértelmű és művelettartó módon megfeleltethető egymásnak. Az előbbi tétel következményeként kijelenthetjük, hogy a komplex számok bizonyos értelemben a számkörbővítés utolsó állomásának tekinthető. Tovább csak úgy bővíthető a számkör, ha feladjuk a szorzás kommutativitását (kvaterniók) illetve ezen túl a szorzás asszociativitását (oktoniók).

Halmazelméleti modell 
A rendezett valós számpárok összessége alkotja a komplex számok halmazelméleti modelljét.
Az összeadást ebben a modellben az

formulával definiáljuk;

a szorzást a kissé légbőlkapott

egyenlőséggel. Ellenőrizhető, hogy ez az (R×R, +, ) matematikai struktúra valóban testet alkot a
0 := (0,0) additív neutrális elem és a
1 := (1,0) multiplikatív neutrális elem
választásával.

Érdemes még felírni az additív inverz elemet:

és a mutiplikatív inverz elemet minden nem nulla elem esetén:

A valós számtestet az
R  R×R, a  (a,0)
bijektív azonosítással kapjuk.

A kardinális kérdés, hogy melyik elem alkalmas -1 négyzetgyökének. A válasz (0,1) és (0,-1), mely közül i -vel jelöljük és imaginárius egységnek mondjuk a (0,1) elemet:
(0,1)2 = (0,1)(0,1) = (00 – 11,10 + 01) = (-1,0) = -1

Ez a modell a komplex számok összeadási tulajdonságát teszi szemléletessé, visszavezetve azt a vektorösszeadásra.

Geometriai modell 
A közös kezdőpontú, síkbeli forgatva nyújtások alkotják a komplex számok geometriai modelljét. Minthogy ezek egy (Descartes-féle derékszögű, ortonormált) koordináta-rendszer választásával azonosíthatók bizonyos lineáris leképezésekkel, érdemes rögtön a mátrixukra áttérni. A φ szöggel elforgató, r-szeresére nyújtó  leképezés mátrixa:
 
vagy az a := rcos(φ), b := rsin(φ) választással:
 .
Az ilyen alakú leképezések illetve mátrixok alkotják a geometriai modellt.

Itt a műveletek a következők lesznek. Az összeadás a mátrixösszeadás:

A szorzás a leképezések kompozíciója, ami mátrixokkal felírva a mátrixszorzás:

Az additív neutrális elem a 0 szorosára nyújtó leképezés, illetve a nullmátrix, a multiplikatív egységelem a 0°-os elforgatás. Egy nemnulla elem multiplikatív inverze az ugyanolyan szögű, de ellenkező irányba forgató leképezés, melynek nyújtási tényezője az eredeti reciproka.

A +90°-os forgatás olyan leképezés, melyet egymás után kétszer végrehajtva az identitás leképezés ellentettjét, a 180°-os forgatást kapjuk, tehát megoldható az x2 = -1 egyenlet.

Ez a modell a komplex számok szorzási tulajdonságait teszi szemléletessé.

Algebrai modell 
Algebrai modellnek az R[x] polinomgyűrű (x2+1) főideálja szerinti R[x] / (x2+1) faktorgyűrűjét értjük, mely ellenőrizhető, hogy testet alkot. Ez praktikusan azt jelenti, hogy a komplex számok ekkor a valós együtthatós polinomok x2+1 polinommal történő osztási maradékai, tehát legfeljebb elsőfokú polinomok, ahol a műveleteket (összeadás, szorzás) a maradékokkal kell végeznünk. Az algebrai modellben az x2+1 polinomot úgy tekinthetjük, mint ami azonos a 0 polinommal, hiszen ezt saját magával maradékosan elosztva nullát kapunk:

Ebből következik, hogy az elsőfokú x polinom (mint polinomosztási maradék) megoldása az

egyenletnek. Ezt nevezzük ebben az esetben az imaginárius egységnek, amit i-vel jelölünk, és amely jelölés alkalmazásával az x2+1-tel történő osztás minden maradéka előáll az

nevezetes algebrai alakban.

Ezek után az algebrai modellben minden azonosítás helyett az = jelet írhatjuk és figyelembe véve a polinomok és algebrai törtek műveleteit, minden testben végezhető műveletet ugyanúgy végezhetünk, mint a valós számok között, figyelve arra, hogy i azt az elemet jelöli, melyre

Számolás a komplex számok körében

Algebrai alak 
Bárhogy is definiáljuk a komplex számok  halmazát, benne megtaláljuk a multiplikatív egységelemet, az 1-et és az imaginárius egységet, az i-t. Ezek ketten bázist alkotnak a komplex számok kétdimenziós terében, ezért minden z ∈  komplex szám egyértelműen előállítható z = a1 + bi alakban, ahol a és b valós számok. Ennél fogva egyszerűbb áttérni a következő logikus jelölésre:

Mivel a és b a z által egyértelműen van meghatározva, ezért ezeknek nevet is adhatunk. a-t a z szám valós részének nevezzük és

-vel jelöljük, b-t a z szám imaginárius részének:

vegyük észre, hogy az elnevezésével ellentétben, a definíció alapján az imaginárius rész nem imaginárius, hanem valós szám. Tehát:

A komplex számok halmazán normát, vagy abszolút értéket is bevezethetünk, ha z = a + bi, akkor
.

Geometriai ábrázolás 

A geometriai ábrázolásban minden komplex szám a kétdimenziós sík egy vektorának feleltethető meg. Ez az ábrázolás a Gauss-féle számsík, vagy (hogy Gauss neve ne legyen túlterhelve és ennek az ábrázolási formának az első bevezetőjéről legyen elnevezve) Argand-diagram (Jean-Robert Argand). Így egy komplex számnak van hossza, ez pont az előzőekben definiált abszolút érték (mely az R2-beli euklideszi norma), és irányszöge, vagy arkusza, mely a valós tengellyel bezárt irányított szöge.

Trigonometrikus alak 
A geometria és a halmazelméleti modell összevetéséből kiderül, hogy a z = a + bi komplex szám felírható

alakban, ahol r nemnegatív szám z modulusa, a φ radiánban megadott szögérték az árkusza. Ekkor persze
 és
.
A fordított reláció a sugarat ugyan igen, de az árkuszt nem egyértelműen fejezi ki:

Illetve nem nulla a esetén:

Érdemes továbbá megemlíteni, hogy a komplex számokon értelmezett arg függvény az alábbi képlettel vezethető vissza az arctg2 függvényre:

Ennek az alaknak a komplex számok szorzásánál, hatványozásánál és a komplex számokból való gyökvonásnál vesszük hasznát. A z1 és z2 komplex számok triginometrius alakban felírt szorzata a geometriai modellhez hasonlóan:

A többtagú szorzás ugyanígy, speciális esetben a hatványozás:

amelyet r = 1 esetén felírva a Moivre-formulát kapjuk:

Exponenciális alak 
Mivel a komplex test normált, ezért léteznek és igazolható módon konvergensek a következő sorok:

Ha a csupa páratlan tagot tartalmazó szinusz i-szeresét hozzáadjuk a csupa páros tagból álló koszinuszhoz, akkor az exponenciális olyan alakját kapjuk, melyben a változó i-vel van szorozva:

Mindez a valós z = φ-re is igaz, mely esetet Euler-formulának nevezzük:

Van, amikor a φ = π -re vonatkozó esetet nevezik Euler-formulának:

Tehát minden komplex szám előáll

alakban.

Az exponenciális alak segítségével a komplex számok szorzása, osztása és hatványozása a szokásos szabályok szerint folyik:

Feltéve, hogy r2 nem nulla:

Érdemes a nemnulla komplex számokat teljesen exponenciális alakban írni:

Ekkor a nemnulla z komplex szám komplex w kitevőjű hatványozása, ha v = φ0+iφ1, akkor

Gyökvonás komplex számokból

A gyökvonásról általában 
Mielőtt továbblépnénk, jegyezzük meg, hogy az Euler-képlet segítségével egy komplex szám végtelen sokféleképpen felírható, mert az arkuszához formálisan akárhányszor hozzáadhatunk -t:

,

ahol k=0,1,2,…. Ez fontos, mert amikor -ből n-edik gyököt vonunk, akkor egy olyan komplex számot keresünk, amelynek arkuszát n-nel szorozva visszakapjuk az eredeti arkuszt. De a fenti megjegyzés szerint nem csak  ilyen, hanem a következő arkuszok mind:

,

ahol k=0,1,2, … n-1. Tehát n különböző n-edik gyök létezik

, ahol k=0,1,2, … n-1.

Valóban, ezek mind olyan komplex számok, melyekre igaz, hogy n-edik hatványuk éppen . Triviális példa az 1-szám. Ennek négyzetgyökei, mint az elemekből ismeretes , vagyis a következő két (komplex) szám  és .

Példaképp most számoljuk ki a

komplex szám negyedik gyökeit. A mondottak szerint négy ilyen negyedik gyök van:

,

,

 és

.

Valóban, például az utolsó gyököt a negyedik hatványra emelve:

.

Rendezés 
A komplex számok körében nem lehetséges definiálni olyan ≤ rendezési relációt, mely „kompatibilis” az összeadás és szorzás műveletekkel, így nem alkotnak rendezett testet (bár egyéb módon a komplex számok teste rendezhető (például a lexikografikus rendezéssel), sőt a jólrendezési tétel alapján jólrendezhető is, csak az ilyen rendezések egyike sem lesz kompatibilis a hagyományos +, · műveletekkel).

A komplex számtest algebrai és topologikus jellemzései 

Tétel – Frobenius tétele – A valós számok teste feletti véges dimenziós, nullosztómentes algebrák (algebraizomorfizmus erejéig) a következők:
 a valós számok teste,
 a komplex számok teste,
 a kvaterniók teste.

Ennek a tételnek a következménye, hogy a valós számok testbővítései közül egy definiáló tulajdonság segítségével kiválaszthatjuk a komplex számok testét. Mivel minden test nullosztómentes, ezért elegendő azt a megszorítást tenni, hogy véges dimenziós (1, 2, vagy 4), valódi bővítése R-nek (dim > 1) és kommutatív (tehát nem a kvaternió ferdetest), ekkor eljutunk a komplex számok testéhez.

Felvetődik a kérdés, hogy a valós számokra való hivatkozás nélkül is kijelölhető-e a testek közül a komplex számtest.

Tétel – A komplex számok karakterizációja, mint test – Testizomorfizmus erejéig egyetlen olyan test van, mely:
 karakterisztikája 0,
 a prímteste feletti transzcendencia foka kontinuum,
 algebrailag zárt.
Ez a komplex számok teste.

(A prímtest, a minimális résztest (igazolható, hogy ez egyértelműen létezik), a transzcendencia foka a transzcendencia-bázis számossága (jelen esetben kontinuum). Algebrailag zárt egy test, ha minden legalább elsőfokú polinomjának van gyöke a testben.)

Ezzel a karakterizációval elveszítjük a komplex számok topologikus tulajdonságait, melyek a valós számokkal való kapcsolatából erednek. A komplex számok testének, mint topologikus testnek a karakterizációját Pontrjagin határozta meg első ízben:

Tétel – Pontrjagin tétele – Összefüggő, lokálisan kompakt topologikus testből csak kétféle van az izomorfizmus erejéig, éspedig a valós számok teste és a komplex számok teste.

Ennek segítségével úgy jellemezhető a komplex számtest, mint olyan, a fenti tulajdonságokkal rendelkező test, melyben a nemnulla elemek összefüggő halmazt alkotnak (ellentétben a valósokkal).

p-adikus analógia és általánosítás 
A racionális számokból a komplex számokat a következő módon kapjuk. Először teljessé tesszük a racionális számok  testét a szokásos (arkhimédeszi) abszolút értékre nézve: ez a valós számok  teste. Az így kapott test algebrai lezártja a komplex számok  teste.

Ezzel analóg módon definiálható a komplex számok p-adikus analogonja: ez a p-adikus számok testének olyan bővítése, ami egyszerre teljes és algebrailag zárt. Valóban, a p-adikus számok  teste a racionális számok teljessé tétele a (nemarkhimédeszi) p-adikus abszolút értékre nézve, ez tehát a valós számoknak felel meg az arkhimédeszi esetben. A p-adikus számok algebrai  lezártjára egyértelműen kiterjed a p-adikus abszolút érték, viszont  nem teljes erre nézve. Például megmutatható, hogy a

sor részletösszegei Cauchy-sorozatot alkotnak, de a sor nem konvergál a  testben.
A  teljessé tétele viszont szükségképpen teljes, és megmutatható, hogy itt a teljessé tétel során nem vész el az algebrai zártság sem. Az így kapott test tehát teljes és algebrailag zárt: ez a komplex p-adikus számok  teste.

Megmutatható, hogy a komplex számok  teste izomorf a komplex p-adikus számok  testével, viszont nem létezik  és  közötti topologikus izomorfizmus (azaz olyan testizomorfizmus, ami tiszteletben tartaná az egyes abszolút értékek által definiált topológiát).

A komplex p-adikus számok fontos szerepet játszanak az aritmetikai geometriában és az algebrai számelméletben. Segítségükkel definiálhatók p-adikus L-függvények (ezek az L-függvények p-adikus avatarjai). A komplex p-adikus számok felett megalkotható a komplex függvénytan analogonja, a p-adikus analízis: ennek egyik alkalmazása a Weil-sejtések egyikének Dwork-féle bizonyítása.

A fenti konstrukció általánosítható: Kürschák József megmutatta, hogy bármely értékelt testnek létezik olyan bővítése, ami teljes és algebrailag zárt. Sőt, a minimális ilyen bővítést pontosan a fenti három lépés adja meg, azaz a testet először teljessé tesszük, majd algebrailag lezárjuk (az abszolút érték egyértelműen kiterjed erre), majd még egyszer teljessé tesszük.

Alkalmazásai 

A komplex számokat a gyakorlati és természettudományok igen széleskörűen alkalmazzák. Elsősorban a komplex függvények jelennek meg a gyakorlatban, de ezek értéke is komplex szám, aminek aztán fizikai értelmet adhatunk.

A legtipikusabb alkalmazás a rezgések és hullámok vizsgálata. Mivel ezeket szinusz és koszinusz függvények segítségével írjuk le, kézenfekvő az Euler-féle képlet alkalmazása. Ilyen módon a fázisszög is egyszerűen kiolvashatóvá válik a mozgást leíró függvényből. A rezgéseket Fourier-transzformáció segítségével tudjuk harmonikus rezgések összegére felbontani, amit szintén egyszerűbb komplex függvények segítségével megalkotni.

A Fourier-transzformációhoz hasonló Laplace-transzformáció a mérnöki alkalmazások során merül fel. Ennek szerepe, hogy bizonyos problémákat, különösen a differenciálegyenleteket hatékonyan és gyorsan tudjuk megoldani.

Igen speciális szerepet kapnak a komplex számok a modern fizikában, ugyanis a részecskéket leíró Schrödinger-egyenlet is komplex számokat alkalmaz. A függvényérték maga is általában komplex szám, így fizikai értéket nem a függvény, hanem az abszolútértéke,  képvisel, jelesül egy részecske előfordulásának valószínűségét.

Programozási nyelvek, amelyekben található komplex aritmetika 

 C: #include <complex.h>;
 C++: #include <complex>;
 C#: using System.Numerics;
 D: import std.complex;
 Fortran: alapból kezeli
 Go: import "math/cmplx"
 Julia: alapból kezeli
 Matlab: alapból kezeli
 Octave: alapból kezeli
 Perl: use Math::Complex;
 Python: alapból ismeri, illetve további függvényekhez import cmath
 Rust: use num_complex::Complex;
 R: alapból kezeli

Megjegyzések

Kapcsolódó szócikkek 
 Az algebra alaptétele

Jegyzetek

Források 
 A PlanetMath complex szócikke 
 A PlanetMath complex number szócikke 
 A MathWorld complex number szócikke
 A komplex számok története
 Komplex számok szemléltetőfilmjeinek letöltő oldala – az 5. és a 6. fejezet (130 és 190 MB, angol, francia, spanyol vagy arab nyelvű hanggal)

További információk 
 Láng Csabáné: Példák és feladatok. Egyetemi jegyzet. 1. Komplex számok; ELTE, Budapest, 2003
 Szeitz Judit: Komplex számok. Főiskolai jegyzet; ZMNE BJKMFK, Budapest, 2004
 Komplex analízis, 1-2.; Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2004–2007
 Teodor Bulboacă–Németh Sándor; 1.; 2004
 Teodor Bulboacă–Salamon Júlia: 2. Feladatok és megoldások; 2007 
 Takács Miklós: Komplex számok. Példatár; 3. jav. kiad.; Főiskolai, Dunaújváros, 2009
 Móricz Ferenc: Harmonikus analízis a komplex egységkörlapon; Polygon, Szeged, 2013 (Polygon jegyzettár)
 Kecskés Lajos: A halmaz peremén. Cirkálás a komplex végtelenben; Typotex, Budapest, 2021

 
Komplex analízis