Konačni i beskonačni skupovi

Za skup A kažemo da je ekvivalentan skupu S ako i samo ako postoji bijekcija sa A na S.
Za ekvivalentne skupove vrijedi
 Refleksivnost
A ≈A za svaki neprazni skup
 Simetričnost 
A ≈B <=> B ≈ A
 Tranzitivnost 
A ≈B & B≈A => A ≈C

Definišimo prirodne brojeve na sljedeći način
0={ø
}
1={0}
2={1,2}...

Označavamo ga sa N(naturalis- prirodan)
Ovo su bili prvi brojevi kojima se koristio čovjek i imaju glavno mjesto u izgradnji matematičke nauke.
Za skup S kažemo da je konačan ako postoji prirodni broj n takav da je skup S={1,2,3,...} ekvivalentan sa skupom S.

Neke osobine skupova
 Svaki skup može se preslikati na svoj pravi podskup.
 Svaki skup koji se može preslikati na svoj pravi podskupje beskonačan.
 Skup je konačan ako i samo ako se može preslikati na svoj pravi podskup.
 Ako su A,B,C skupovi sa osobinom ;  i A je ekvivalentan sa C onda je A ekvivalentan sa B.

Kardinalni broj skupa 
Ekvivalentni skupovi se još zovu i istobrojni. Umjesto A≈B pišemo k(A)=k(B) – kardinalni broj skupa A jednak je kardinalnom broju skupa B.

Cantorova teorema

Za svaki skup S vrijedi k(S)<kP(S) gdje je P(S) partitivni skup skupa S.

Kardinalni brojevi koji nisu konačni su transfinitni.

Korolar

Ne posatoji najveći transfinitni kardinalni broj

G Cantor je postavio hipotezu da između brojeva k(N) i kP(N) nama nijednog kardinalnog broja. To je hipoteza kontinuuma.
Ovu hipotezu su nastojali dokazati ili opovrgnuti mnogi matematičari pa i sam Cantor (osnivač teorije skupova). Ovaj problem je ostao neriješen sve do 1963.god. kada je Amerikanac P Cohen(Koen) dokazao da ova hipoteza ne zavisi od ostalih aksioma teorije skupova. Isto kao što i V postiulat Euklidove geometrije ne zavisi od ostalih aksioma.

Teorema 

Ako su skupovi A i B prebrojivi onda je prebrojiv i skup AUB.

Teorema 

Ako su skupovi A i B prebrojivi onda je prebrojiv i skup AxB

Teorema o ekvivalenciji 

Ako je skup A ekvivalentan sa podskupom skupa B i B ekvivalentan sa podskupom skupa A onda su skupovi A iB ekvivalentni tj. k(A)=K(B)
Ako je skup A konačan ,a S beskonačan onda je k(AUS)=k(S)

Ordinalni broj skupa 
Neka je A dobro uređen skup. Klasu dobro uređenih skupova koji su slični sa A nazivamo ordinalni broj , oznaka ord(A) .
Ordinalni brojevi dobro uređenih skupova {1},{1,2},{1,2,3,}... zovemo konačni ordinalni broj i označavamo ga sa 1,2,3,...
Ordinalni brojevi koji nisu konačni su transfinitni. 

Aksioma izbora (Zemerlov aksiom)

Ako je S dati skup tada iz svakog nepraznog podskupa skupa S možemo izabrati jedan element , tj postoji barem jedna funkcijakoja svakom nepraznom skupu X podskup S pridružuje jedan element x iz X.

Za svaki beskonačan kardinalni broj a vrijedi a2=a
Za svaka dva skupa A i B važi k(A)=k(B) ili k(A)<k(B) ;k(A)=k(B) ili k(A)>k(B) 

Zornova(Cornova) lema

Ako je A parcijalno uređen skup u kome svaki potpuno urešen podskup ima gornju granicu sadrži bar jedan maksimalni element. 

Paradoksi u teoriji skupova

Cantarov paradoks

Uznimo da je S skup svih skupova. Tada je svaki podskup od S ujedno i član od S. Dakle, i partitivni skup od S je podsku od S.

P(S) podskup od S
kP(S)<k(S) i kP(S)=k(S) 
Međutim prema Cantarovom teormu je 
kP(S)>k(S) 

Ruselov paradoks

Neka je S skup svih skupova koji ne sadrže sebe kao element. Postavlja se pitanje pripada li skup S sam sebi.

Ovaj paradoks sličan je sa; U nekom selu postoji brijač koji brije one i samo one ljude koji se sami ne briju.
Pitanje: Ko brije brijača?

Matematika