Al-Ĥorezmi

Al-Ĥorezmi , latinigita kiel Algoritmi (naskiĝis ĉ. 780, mortis ĉ. 850) estis persa arablingve verkinta matematikisto, astronomo kaj geografo de la periodo de Abasida Kaliflando, kaj fakulo en la Hejmo de Saĝeco en Bagdado. Kiel lia nisba aŭ devennomo Ĥorezmi indikas, li devenas el la centrazia regiono Ĥorezmo en nuna Uzbekio, ĉefurbo Ĥiva.

Li verkis traktaĵon pri algebraj metodoj, kies araba titolo "al-Ĝabr al-Mukabala"  (, "La kompendia libro pri kalkulado per kompletigo kaj balancado") donis la vorton "algebro". Lia nomo donis la vortojn "algoritmo" kaj "algorismo". Li uzis hindan nombron "nulo", kiu estis enkondukita en Eŭropo, kiam la itala matematikisto Fibonacci tradukis la verkon de Al-Ĥorezmi.

En la 12-a jarcento, latinaj tradukoj el lia verko pri la hindaj ciferoj enkondukis la dekuman pozician nombrosistemon al la Okcidenta Mondo. La verko de Al-Ĥorezmi nome La kompendia libro pri kalkulado per kompletigo kaj ekvilibro prezentis la unuan sisteman solvon de linearaj kaj kvadrataj ekvacioj en araba. Li estas ofte konsiderata unu el la patroj de algebro. Li reviziis la verkon de Ptolemeo nome Geografio kaj verkis pri astronomio kaj astrologio.

Kelkaj vortoj spegulas tion, kiom gravaj estis la kontribuoj de Al-Ĥorezmi al matematiko: "algebro" estas derivata el al-ĝabr, nome unu el la du operacioj kiujn li uzis por solvi kvadratajn ekvaciojn; "Algoritmo" devenas el Algoritmi, nome la latina formo de lia nomo. Lia nomo estis ankaŭ la origino de (hispanlingva) guarismo kaj de (portugal-lingva) algarismo, ambaŭ kun la signifo cifero.

Vivo 

 
Malmultaj detaloj de la vivo de Al-Ĥorezmi estas konataj kun certeco. Li naskiĝis en persa familio kaj Ibn al-Nadim donas lian naskolokon kiel Ĥorezmo en Granda Ĥorasano (moderna Provinco Ĥorezmo, Uzbekio).

Muhammad ibn Ĝarir al-Tabari donas lian nomon kiel Muḥammad ibn Mūsā al-Ĥŭārizmī al-Maĝūsī al-Quṭrubbalī (). La epiteto al-Quṭrubbalī povus indiki ke li povus anstataŭe deveni el Kutrubul aŭ Qutrubbul (Qatrabbul), nome vitkultiva distrikto ĉe Bagdado. Tamen, Raŝed sugestas:

Koncerne al la religio de al-Ĥŭārizmī, Toomer verkis la jenon:

La verko de Ibn al-Nadīm nome Kitāb al-Fihrist inkludas mallongan biografion pri al-Ĥorezmi kune kun listo de libroj kiujn li estis verkinta. Al-Ĥorezmi plenumis plej el sia verkaro en la periodo inter 813 kaj 833. Post la Islama konkero de Persio, Bagdado iĝis la centro de sciencaj studoj kaj komerco, kaj multaj komercistoj kaj sciencistoj el landoj tiom for kiom ĝis Ĉinio kaj Hindio veturis al tiu urbo, same kiel faris al-Ĥorezmi. Li laboris en Bagdado kiel fakulo ĉe la Domo de Saĝeco establita de la kalifo al-Ma’mūn, kie li estis studanta sciencojn kaj matematikon, kio inkludis la tradukon de greklingvaj kaj sanskritaj sciencaj manuskriptoj.

Douglas Morton Dunlop sugestas ke eble Muḥammad ibn Mūsā al-Ĥŭārizmī estis fakte la sama persono kiel Muḥammad ibn Mūsā ibn Ŝākir, nome la plej aĝa el la tri Banū Mūsā.

Ĉirkaŭ 815 Al-Ma'mun, nome sepa kalifo el Abasidoj, nome filo de Harun ar-Raŝid, fondis en sia ĉefurbo, nome Bagdado, la Hejmo de Saĝeco (Bajt al-Ḥikma), institucio de esplorado kaj tradukado kiun kelkaj estis komparintaj kun la Biblioteko de Aleksandrio. En ĝi oni tradukis al la araba sciencajn kaj filozofiajn verkojn kaj grekaj kaj hindaj. Ĝi disponis ankaŭ el astronomiaj observatorioj. En tiu scienca kaj multkultura etoso oni edukis kaj laboris Al-Ĥorezmi kun aliaj sciencistoj kiaj la fratoj Banu Musa, al-Kindi kaj la fama tradukisto Hunajn ibn Ishak. Du el ties verkoj, nome traktaĵoj pri algebro kaj astronomio, estas dediĉitaj al la propra kalifo.

Kontribuo 

La kontribuoj de al-Ĥorezmi al matematiko, geografio, astronomio, kaj kartografio establis la bazon por plinovigo en algebro kaj trigonometrio. Lia sistema alproksimiĝo al solvado de linearaj kaj kvadrataj ekvacioj kondukis al algebro, fakte vorto derivita el la titolo de lia libro de 830 pri la temo, nome "Kompendia libro pri Kalkulado pere de kompletigo kaj ekvilibro".

Pri kalkulado per hindiaj ciferoj verkita ĉirkaŭ la jaro 825, estis ĉefe respondeca por disvastigo de la hind–araba nombrosistemo tra Mezoriento kaj al Eŭropo. Ĝi estis tradukita en latina kiel Algoritmi de numero Indorum. Al-Ĥorezmi estis transliterumita en latina kiel Algoritmi, kio kondukis al la termino "algoritmo".

Kelkaj el liaj verkoj estis bazitaj sur persa kaj babilona astronomio, hindiaj ciferoj, kaj greka matematiko.

Al-Ĥorezmi sistemigis kaj korektis la informojn de Ptolemeo pri Afriko kaj pri Mezoriento. Alia grava verko estis Kitāb Ṣūrat al-Arḍ ("La bildo de tero"; tradukita kiel geografio), prezentante la koordinatojn de lokoj bazitaj sur tiuj de la Geografio de Ptolemeo, sed kun plibonigita valoro pri la Mediteranea Maro, Azio, kaj Afriko.

Li verkis ankaŭ pri mekanikaj aparatoj kiel la horloĝo, al-Biruni?, la astrolabo kaj la sunhorloĝo.

Li helpis al projekto por determini la cirkumferencon de la Tero kaj por fari mondan mapon por la kalifo al-Ma'mun, superestrante 70 geografojn.

Kiam, en la 12-a jarcento, liaj verkoj disvastiĝis al Eŭropo tra latinlingvaj tradukoj, ĝi havis fortan efikon al la antaŭeniro de la matematiko en Eŭropo.

Scienca enhavo

Algebro 

En lia traktaĵo pri algebro Ḥisāb al-ĝabr ŭa-ʾl-muqābala (حساب الجبر و المقابلة, Kompendia libro pri kalkulado pere de kompletigo kaj ekvilibro), verko ĉefe pedagogia, oni klopodis instrui algebron aplikitan al la solvado de problemoj de la ĉiutaga vivo de la tiama islama imperio. La traduko fare de Rosen de la vortoj de Al-Ĥorezmi priskribante la celojn de lia libro informas pri tio kion la saĝulo klopodis instrui:

Tradukita al la latina fare de Ĝeraldo de Kremono, ĝi estis uzata en la eŭropaj universitatoj kiel lernolibro ĝis la 16-a jarcento. Eble antaŭ li oni solvis precizajn ekvaciojn, sed tiu estas la unua konata traktaĵo en kiu oni faras kompletan studon.

Post prezenti la naturajn ciferojn, Al-Ĥorezmi entreprenas la ĉefan demandon en la unua parto de la libro: nome la solvo de ekvacioj.

Poste venas la geometria pruvo per plenigo de kvadrato. La geometriaj pruvoj uzataj de Al-Ĥorezmi estas tialo por polemiko inter fakuloj. La demando, kiu restas senresponde, estas ĉu li konis la verkojn de Eŭklido. Menciindas, ke dum la junaĝo de Al-Ĥorezmi kaj dum la regado de Harun al-Raŝid, al-Hajĝaj estis tradukinta la "Elementoj"-n al la araba, kaj li estis unu el la kompanoj de Al-Ĥorezmi en la Domo de la Saĝeco. Tiu konfirmus la teorion de Toomer (op. cit.). Rashed komentas ke "la traktaĵo [de Al-Ĥorezmi] estis probable inspirita en la ĵusa kono de "la Elementoj". Sed alilanke Gandz subtenas ke la Elementojn li tute ne konis. Kvankam certe estas tre malverŝajne ke li efektive konis la eŭklidan verko, eble oni povus aserti ke li estis influita de aliaj verkoj pri geometrio; oni vidu la traktadon de Parshall pri la metodologiaj similecoj kun la hebrea teksto Miŝnat ha Middot, de mezo de la 2-a jarcento.

Poste venas la Ḥisāb al-ĝabr ŭa-ʾl-muqābala kiu ekzamenas kiel la leĝoj de la aritmetiko etendas al algebraj objektoj. Por ekzemplo, li montras kiel multobligi esprimojn kiel . Rashed (op. cit.) komprenas ke liaj solvoformoj estas tre originalaj, sed Crossley konsideras ilin ne tiom gravaj. Gandz konsideras ke la aŭtoreco de la algebro estas multe pli atribuebla al Al-Ĥorezmi ol al Diofanto.

La venonta parto konsistas en aplikaĵoj kaj ekzemploj. Li priskribas regulojn por solvi la areon de figuroj geometriaj kiaj la cirklo, kaj la volumeno de solidoj kiaj la sfero, la konuso kaj la piramido. Tiu parto, certe, havas multajn pli grandajn afinecon kun la hebreaj kaj hindaj tekstoj ol kun ajna greka verko. La fina parto de la libro okupiĝas de la kompleksaj islamaj reguloj de heredo, sed ĝi postulas malmulton el algebro kiun li eksponis antaŭe, trans la solvo de liniaj ekvacioj.

Aritmetiko 

El lia aritmetiko, eble nomita origine Kitāb al-Ĝāmaʿ ŭa-ʾt-Tafrīq bi-Ḥisāb al-Hind, (كتاب الجامع و التفريق بحساب الهند), "libro de la sumo kaj subtraho, laŭ la hinda kalkulo", oni konservas nur latinan version de la 12-a jarcento, Algoritmi de numero Indorum. Malfeliĉe, oni scias ke la verko ege apartiĝas el la origina teksto. En tiu verko oni priskribas detale la hindarabajn ciferojn, la hindan sistemon de pozicia nombrosistemo en bazo 10 kaj metodojn por fari kalkulojn kun tiu. Oni scias ke estis metodo por trovi kvadratajn radikojn en la araba versio, sed ne aperas en la latina versio. Eble li estis la unua kiu uzis la nulon kiel pozicia indikilo. Li ludis gravan rolon por la enkonduko de tiu sistemo de ciferado en la araba mondo, al-Andalus kaj poste en Eŭropo. André Allard studis kelkajn latinajn traktaĵojn de la 12-a jarcento bazitaj en tiu perdita verko.

La Latinaj manuskriptoj estas sentitolaj, sed ili estas ofte referencataj laŭ la unuaj du vortoj per kiuj ili startas:  ("Tiel diris Al-Ĥorezmi"), aŭ  ("Al-Ĥorezmi pri la Hindua Arto Kalkuli"), nome nomo donita al la verko de Baldassarre Boncompagni en 1857. La origina araba titolo estis eble  ("La libro de sumo kaj subtraho laŭ la hindua kalkulo").

Astronomio 

El lia traktaĵo pri astronomio, nome Sindhind zīĝ (ĝin tradukis latinlingven Petrus Alfonsi), ankaŭ oni perdis la du versiojn kiujn li verkis en araba. Tiu verko baziĝas sur astronomiaj hindaj verkoj "diference de postaj islamaj lernolibroj de astronomio, kiuj uzis la grekajn modelojn planedajn de la 'Almagesto' de Ptolemeo". La hinda teksto sur kiu baziĝas la traktaĵo estas unu el tiuj donacitaj al la kortego de Bagdado ĉirkaŭ 770 fare de diplomata misio el Hindio. En la 10-a jarcento al-Maĝriti realigis kritikan revizion de la plej mallonga versio, kiu poste estis tradukita al la latina fare de Adelardo de Bath; ekzistas ankaŭ latina traduko de la plej longa versio, kaj ambaŭ tradukoj alvenis ĝis nuntempe. La ĉefaj temoj kovritaj en tiu verko estas la kalendaroj; la kalkulo de la veraj pozicioj de la Suno, la Luno kaj la kvin planedoj tiam konitaj; tabeloj de sinusoj kaj tangentoj; sfera astronomio; astrologiaj tabeloj; kalkuloj de paralaksoj kaj eklipsoj; kaj videblo de la Luno. Rozenfel'd analizis manuskripton rilatan kun la sfera trigonometrio, atribuita al Al-Ĥorezmi.

Tiu verko markis mejloŝtonon en Islama astronomio. Ĝis nun, islamaj astronomoj estis adoptintaj ĉefe tiun esploran alproksimiĝon al la fako, tradukante verkojn de aliaj kaj lernante jam malkovritan konon.

Trigonometrio 
La verko Zīĝ al-Sindhind ( "astronomiaj tabeloj de Siddhanta") de Al-Ĥorezmi ankaŭ enhavis tabelojn por la trigonometriaj funkcioj de sinusoj kaj kosinusoj. Oni atribuas al li ankaŭ rilatan traktaĵon pri sfera trigonometrio.

Geografio 

En Geografio, kun verko nomita Kitāb Ṣūrat al-Arḍ, reviziis kaj korektis la asertojn de Ptolemeo rilate al Afriko kaj al Oriento. Li listigas latitudojn kaj longitudojn de 2402 lokoj, kaj situas urbojn, montojn, marojn, insulojn, geografiajn regionojn kaj riverojn, kiel bazo por mapo de la mondo tiam konata. Li inkludas mapojn kiuj, are, estas pli precizaj ol tiuj de Ptolemeo. Klaras ke kie estis pli granda loka kono disponebla por Al-Ĥorezmi, kiaj ĉe la regionoj de Islamo, Afriko kaj la Malproksima Oriento, la verko estas multe pli prezica ol tiu de Ptolemeo, sed ŝajne li uzis la informojn de tiu por Eŭropo. Oni diras ke en tiuj mapoj laboris ĝis sepdekaj geografoj je ties ordonoj.

Tiu tria ĉefa verko de Al-Ĥorezmi estis lia  (, "Libro de la priskribo de la Tero"), konata ankaŭ kiel lia Geografio, kiu estis finigita en 833. Ĝi estas grava reverkado de la verko de Ptolemeo de la 2-a jarcento nome Geografio, konsistanta el listo de 2402 koordinatoj de urboj kaj aliaj geografiaj trajtoj kiuj sekvas al ĝenerala enkonduko.

Estas nur unu postvivanta kopio de , kiu estas tenita en la Strasburga Universitata Biblioteko. Latina traduko estas tenita en la Biblioteca Nacional de España en Madrido. La libro malfermiĝas pere de la listo de latitudoj kaj longitudoj, laŭ ordo de "veteraj zonoj", tio estas laŭ blokoj de latitudoj kaj, en ĉiu vetero-zono, laŭ ordo de longitudo. Kiel Paul Gallez asertas, tiu elstara sistemo ebligas la deduktadon de multaj latitudoj kaj longitudoj kie la nura ekzista dokumento estas en tia malbona kondiĉo ke ĝi estas praktike nelegebla. Nek la araba kopio nek la latina traduko inkludas la mapon de la mondo mem; tamen, Hubert Daunicht kapablis rekonstrui la perdintan mapon laŭ la listo de koordinatoj. Daunicht legis la latitudojn kaj longitudojn de la marbordaj punktoj en la manuskripto, aŭ deduktas ilin el la enhavo kie ili ne estas legeblaj. Li transpasis la punktojn en tabela papero kaj konektis ilin per rektaj linioj, akirante alproksimiĝon de la marbordo kiel ĝi estis supozeble en la origina mapo. Li poste faris la samon por la riveroj kaj urboj.

Al-Ĥorezmi korektis la ĉirkaŭkalkulon de Ptolemeo pri la longo de la Mediteranea Maro el la Kanarioj al la orientaj bordoj de la Mediteraneo; Ptolemeo ĉirkaŭkalkulis ĝin je 63 gradoj de longitudo, dum Al-Ĥorezmi preskaŭ ĝuste ĉirkaŭkalkulis ĝin je preskaŭ 50 gradoj de longitudo. Li "ankaŭ priskribis la Atlantikon kaj la Hindan Oceanon kiel malfermaj akvareoj, ne kiel terfermitaj maroj kiel Ptolemon estis farinta." La ĉefa meridiano de Al-Ĥorezmi ĉe la Fortuninsuloj estis tiele ĉirkaŭ 10° oriente de la linio uzita de Marino kaj Ptolemeo. Plej mezepokaj islamaj geografiaj vortaroj plue uzis la ĉefan meridianon de Al-Ĥorezmi.

La majoritato de la lokonomoj uzitaj de Al-Ĥorezmi kongruas kun tiuj de Ptolemeo, Henricus Martellus Germanus kaj de Martin Behaim. La ĝenerala formo de la marbordo estas la sama inter Taprobano kaj Katigaro. La marbordo de Atlantiko de la Drakovosto, kiu ne ekzistas en la Ptolemea mapo, estis skizita en tre malmulta detalo en la mapo de Al-Ĥorezmi, sed ĝi estas klara kaj preciza por la mapo de Martellus kaj por la posta versio de Behaim.

Juda kalendaro 

Al-Ĥorezmi verkis kelkajn aliajn verkojn kiaj unu traktaĵo pri la Hebrea kalendaro, subtitole  (, "Deveno de la Juda Erao"). Ĝi priskribas la metonikan ciklon, nome 19-jara intermetita ciklo; la regulojn pri kiu tago el la semajno devas esti la unua tago de la monato Tiŝrio; kalkulojn pri la intertempo inter la Anno Mundi aŭ la Juda jaro kaj la kalendaro de la Seleŭkia Imperio; kaj havigas regulojn por determini la ĉefan longitudon de la suno kaj de la luno uzante la hebrean kalendaron. Simila materialo troviĝas en la verkoj de Al-Biruni kaj de Maimonido.

Aliaj verkoj 
La verko de Ibn al-Nadim nome , nome listo de arabaj libroj, mencias la verkon de Al-Ĥorezmi nome  (), libro de analoj. Ne rekta manuskripto postvivas; tamen, kopio atingis al Nusajbin ĉirkaŭ la 11-a jarcento, kie ties metropolita episkopo, Mar Eljas bar Ŝinaja, trovis ĝin. La kroniko de Eljas citas ĝin el "la morto de la Profeto" tra 169 n.e., je kiu punkto la teksto de Eljas mem havas mankaĵon.

Kelkaj arabaj manuskriptoj en Berlino, Istanbulo, Taŝkento, Kairo kaj Parizo enhavas plian materialon kiu certe aŭ kun kelka probableco devenas el Al-Ĥorezmi. La Istanbula manuskripto enhavas artikolon pri sunhorloĝoj; la Fihrist atribuas al Al-Ĥorezmi la tekstojn  (). Aliaj tekstoj, kiaj unu pri la determinado de la direkto al Mekko, estas pri la sfera astronomio.

Du tekstoj montras specialan intereson pri la matena larĝo () kaj la determinado de azimuto el alto (). 

Li ankaŭ verkis politikan historion kiu enhavas horoskopojn de elstaraj personoj kaj du librojn pri la uzado kaj konstruado de astrolaboj.

Referencoj

Literaturo 
 Kelkaj aŭtoroj (1974). E. Grant, eld. A source book in medieval science (angle). Cambridge, MA: Harvard University Press.
 al Khwarizmi, 'Abu Ja'far Muhammad ibn Musa (1831). The Algebra of Mohammed ben Musa. traduko, eldono kaj notoj de Friedrich Rosen (represita en 1986). Hildesheim: G. Olms Verlag.
 Allard, André. «La diffusion en occident des premières oeuvres latines issues de l'arithmétique perdue d'al-Khwarizmi». J. Hist. Arabic Sci. (france). 9 (1991) (1-2): 101-105.
 Brentjes, Sonja (2007). "Khwārizmī: Muḥammad ibn Mūsā al‐Khwārizmī" in Thomas Hockey et al.(eld.). The Biographical Encyclopedia of Astronomers, Springer Reference. New York: Springer, 2007, pp. 631–633. (PDF versio)
 Crossley, John N. (1987). The emergence of number (angle) (2-a eldono). Singapur: World Scientific Publishing.
 Crossley, John N.; Henry, A. S. «Thus spake al-Khwarizmi : a translation of the text of Cambridge University Library ms. Ii.vi.5». Historia Math. 17 (1990) (2): 103-131.
 Daunicht, Hubert (1968–1970). Der Osten nach der Erdkarte al-Ḫuwārizmīs : Beiträge zur historischen Geographie und Geschichte Asiens (en germana). Bonner orientalistische Studien. N.S.; Bd. 19. LCCN 71468286.
 Dunlop, Douglas Morton (1943). "Muḥammad b. Mūsā al-Khwārizmī". The Journal of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland (Cambridge University) (2): 248–250. JSTOR 25221920.
 Ganz, Salomon (trad., eld. kaj notoj) (1932). The Mishnat ha Middot, the First Hebrew Geometry of about 150 C.E., and the Geometry of Muhammad ibn Musa al-Khowarizmi, the First Arabic Geometry, Representing the Arabic Version of the Mishnat ha Middot. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Abteilung A: Quelle, 2. Band. Berlin: Julius Springer.
 Gandz, Salomon. «The sources of al-Khwarizmi's algebra». Osiris. I (1936): 235-277.
 Kennedy, E. S. (1956). "A Survey of Islamic Astronomical Tables; Transactions of the American Philosophical Society". 46 (2). Philadelphia: American Philosophical Society.
 Moreno Castillo, Ricardo. Al-Jwarizmi. El algebrista de Bagdad. Nivola. ISBN 978-84-92493-58-6.
 O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
 Parshall, K. A. «The art of algebra from al-Khwarizmi to Viète : a study in the natural selection of ideas». Hist. of Sci. (angle). 26 (1988) (72.2): 129-164.
 Puig, Luis. «Historias de al-Khwārizmī (1ª entrega)». Suma (58 (2008)): 125-130.  Alirita la 18-an de novembro 2016.
 Puig, Luis. «Historias de al-Khwārizmī (2ª entrega): Los Libros». Suma (59 (2008)): 105-112.  Alirita la 18-an de novembro 2016.
 Puig, Luis. «Historias de al-Khwārizmī (3ª entrega). Orígenes del álgebra.». Suma (60 (2009)): 103-108.  Alirita la 18-an de novembro 2016.
 Rashed, Roshdi (1994). The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra (angle). trad. de A. F. W. Armstrong de la franca eldono de 1984. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
 Fuat Sezgin. Geschichte des arabischen Schrifttums. 1974, E. J. Brill, Leiden, the Netherlands.
 Sezgin, F., eld., Islamic Mathematics and Astronomy, Frankfurt: Institut für Geschichte der arabisch-islamischen Wissenschaften, 1997–9.
 Rozenfel'd, Boris A. «Sfera trigonometrio en al-Khwarizmi». Istor.-Mat. Issled. (ruse) (32-33 (1990)): 325-339.
 Sokolovskaya, Z. K. (1985). «La periodo "antaŭteleskopa" de la historio de la astronomiaj instrumentoj. al-Khwarizmi en la disvolvigo de instrumentos de precizeco en Proksima kaj Meza Oriento». La granda mezepoka sciencisto al-Khwarizmi (ruse). Tashkent: Fan. pp. 165–178.
 Toomer, Gerald J. (1970). «Al-Khwârazmî». En Charles C. Gillespie. Dictionary of Scientific Biography (angle) 7. New York: Charles Scribner's Sons. p. 359.
 Toomer, Gerald (1990). "Al-Khwārizmī, Abu Ja‘far Muḥammad ibn Mūsā". In Gillispie, Charles Coulston. Dictionary of Scientific Biography 7. New York: Charles Scribner's Sons. ISBN 0-684-16962-2.
 Van Dalen, Benno (1996). «Al'Khwarizmi's astronomical tables revisited : analysis of the equation of time». En Josep Casulleras kaj Julio Samsó. From Baghdad to Barcelona - Studies in the Islamic Exact Sciences in Honour of Prof. Juan Vernet (angle) I. Annuari de Filologia (Universitat de Barcelona) xix (1996) B-2. Barcelona: Universitat de Barcelona - Instituto Millás Vallicrosa de Historia de la Ciencia Árabe. pp. 195–252.

Eksteraj ligiloj 
 https://web.archive.org/web/20090105051219/http://members.aol.com/bbyars1/algebra.html Al-Ĥorezmi kaj "Algebro"
 http://members.tripod.com/~wzzz/KHAWARIZ.html Mohammad bin Musa al-Ĥaŭarizmi
 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Arabic_mathematics.html  Araba matematiko: forgesita genieco
 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Al-Khwarizmi.html Abu Ĝa'far Muhammad ibn Musa Al-Ĥŭarizmi
 http://www2.irna.ir/occasion/es/index3.htm#Aljuarizmi%20783-850 

 
 

Persaj astronomoj
Persaj astrologoj
Persaj geografoj
Persaj fizikistoj
Persaj matematikistoj
Arabaj verkistoj
Ĥorezmo