alibayram/wikipedia-40-langs huggingface dataset:
Anihilacija

Anihilacija (od latinskog nihil — ništa) znači "totalno uništenje" a u fizici označava proces u kojem se čestica sudara sa svojom antičesticom. Pošto energija i impuls prvobitnih čestica moraju da budu očuvani, čestica i antičestica se u sudaru ne pretvaraju u 'ništa' nego u nove čestice. Ponekad su novonastale čestice bez mase mirovanja (fotoni) pa može da se kaže da se sudarom čestice i antičestice materija (masa mirovanja) uništila.

Aditivni kvantni brojevi antičestica suprotni su kvantnim brojevima odgovarajućih čestica tako da je suma svih kvantnih brojeva prvobitnog para jednaka nuli. To znači da u sudaru čestice i njene antičestice mogu da nastanu svakojake kombinacije čestica pod uslovom da je zbir njihovih kvantnih brojeva nula i da su zadovoljeni zakon održanja energije i impulsa. Kada se radi o niskoenergijskim anihilacijama najčešće dolazi do stvaranja fotona, međutim, u visokoenergijskim anihilacijama (sudaračima čestica) mogu da nastanu brojne egzotične teške čestice.

Primeri anihilacije 
Niskoenergijski elektron i pozitron anihilacijom mogu da pređu samo u dva fotona (gama zraka) pošto energija njihove mase mirovanja nije dovoljna da se proizvedu teže čestice. Međutim, ako jedna od čestica, ili obe, ima dovoljno veliku kinetičku energiju može da dođe do nastanka i težih čestica. Za analizu takvih događaja konstruisan je veliki elektron-pozitron sudarač (LEP – large electron positron collider) u Ženevi u Evropskom centru za nuklearna istraživanja (CERN).

Anihilacija para elektron-pozitron u jedan foton

e- + e+ —h→ γ,

nije moguća jer u takvom procesu ne može da se zadovolji zakon o održanju impulsa.

Anihilacija para elektron-pozitron predstavlja osnovu za pozitron-emisionu tomografiju (PET)jednu od važnijih savremenih dijagnostičkih metoda.

U anihilaciji težih čestica, recimo protona i antiprotona ili neutrona i antineutrona mogu da nastanu brojne kombinacije novih čestica. Analiza takvih reakcija je jedan od važnijih problema kojim se bavi savremena fizika. Za tu svrhu je u Fermijevoj laboratoriji u SAD (Fermilab) konstruisan TEVATRON, sudarač protona i antiprotona u kojem čestice mogu da dostignu energiju od 1 TeV (tera elektronvolt = 1 000 000 000 000 eV). U anihilaciji protona i antiprotona 1995. godine otkriven je t-kvark.

Fizika
Fizikalna kemija
Elektromagnetno polje

Elektromagnetno polje je fizičko polje koje izazivaju naelektrisana tela. Ono utiče na ponašanje naelektrisanih tela u blizini polja.

Elektromagnetno polje se prostire beskonačno u prostoru i opisuje elektromagnetsku interakciju. Ovo polje je jedno od četiri osnovnih sila prirode (preostala su gravitacija, slaba sila i jaka sila). Polje se prenosi elektromagnetskim zračenjem. Po poretku rasta energije (smanjenja talasne dužine) elektromagnetno zračenje obuhvata: radio talase, mikrotalase, infracrveno zračenje, vidljivu svetlost, ultraljubičasto zračenje, iks zrake i gama zrake.

Elektromagnetsno polje se može posmatrati kao rezultanta električnog i magnetnog polja. Električno polje izazivaju naelektrisanja koja miruju, a magnetno polje kretanje naelektrisanja (električna struja). Stacionarna i pokretna naelektrisanja se često opisuju kao izvori elektromagnetnog polja. Način na koji naeletrisanja i električna struja utiču na eletromagnetno polje je opisan Maksvelom jednačinama i Lorencovim zakonom.

Polje na velikim rastojanjima 

U aproksimaciji kada posmatramo polje na velikim rastojanjiima, da bi se dobile sve informacije o električnom i magnetnom polju nije potrebno znati i rotor i divergenciju polja, dovoljno je znati samo vektorski potencijal, tj. rotor elektromagnetnog polja. Električno i magnetno polje na velikim rastojanjima se ponašaju kao , a određeni su sa električnim dipolnim momentom sistema naelektrisanih čestica. Sferni talas emitovan od sistema naelektrisanja se na velikim rastojanjima aproksimira ravnim talasom.

Reference 

Elektromagnetizam
Fundamentalni koncepti fizike
Linearna algebra

Linearna algebra (lat: linealis, pripada liniji), je matematička disciplina koja se bavi vektorima i matricama i uopšte vektorskim prostorom i linearnim transformacijama. Za razliku od drugih dijelova matematike, u kojima se pojavljuju često novi i neriješeni problemi, u linearnoj algebri to nije česta pojava. Njena vrijednost leži u njenoj primjenjljivosti, počev od matematičke fizike, apstraktne algebre i primjene u ekonomiji, programiranju i računarstvu, itd.

Matematika
Algebra
Matematička fizika

Matematička fizika (MF) proučava fizičke pojave, kreiranjem i proučavanjem matematičkih modela fizičkih pojava.

Istorijat 
Matematička fizika se počela razvijati za vreme života Isaka Njutna, paralelno sa razvojem fizike i matematike. Na kraju XVIII veka, zahvaljujući Njutnu i Lajbnicu, otkriven je diferencijalni i integralni račun, a Njutn je formulisao i osnovne zakone klasične mehanike, kao i univerzalni zakon gravitacije, što je bilo ključno za intenzivniji razvoj matematičke fizike.

U XVIII veku, matematička fizika je proučavala oscilacije struna i greda, a takođe i probleme akustike i hidrodinamike. Zahvaljujući Dalamberu, Lagranžu, Ojleru, Bernuliju i Laplasu, u to vreme se postavljaju i osnove analitičke mehanike.

U XIX veku, matematička fizika dobija nove zadatke, poput rešavanja problema toplotne provodljivosti, difuzije, elastičnosti, optike, elektrodinamike, nelinearnih talasnih procesa.

U XX veku u matematičku fiziku uvode i problemi kvantne fizike i teorije relativnosti, a takođe i novi problemi gasne dinamike, prenosa čestica i fiziku plazme.

Metode 

Osnovni matematički alat koji je korišćen u rešenjima koje je dala matematička fizika je teorija diferencijalnih jednačina koja uključuje i srodne oblasti - integralne jednačine i varijacioni račun, zatim i teorije funkcija, funkcionalne analize, teorije verovatnoće, približne metode i numeričku matematiku.

Sa pojavom računara bitno se povećao broj matematičkih modela koji su se mogli analizirati, a pojavila se i mogućnost postavljanja računarskih eksperimenata i simulacija realnih fizičkih procesa.

U tom intezivnom razvoju teorijske fizike i savremene matematike, nastaju kvalitativno nove klase modela savremene matematičke fizike.

Vidi još 
 Matematika
 Fizika

Matematika
Fizika
Difuzija

Difuzija je spontani transport materije ili energije pod uticajem odgovarajućeg gradijenta iz zone više u zonu niže energije ili koncentracije. Kao i mnogi spontani procesi, difuzija je entropijski vođen proces u kojem se energija ili materija koja difunduje uniformno raspoređuje u raspoloživom prostoru podižući time entropiju sistema.

Svaki proces difuzije odvija se pod uticajem odgovarajućeg gradijenta. Recimo difuzija materije se odigrava pod uticajem gradijenta koncentracije a difuzija toplote pod uticajem gradijenta temperature. 
Difuzija je diretkna posledica drugog principa termodinamike, koji kaže da entropija nekog neravnotežnog sistema može samo da raste, sve dok sistem ne dođe u ravnotežu. Obzirom da materija difunduje iz oblasti veće koncentracije u oblast manje koncentracije, sistem prelazi iz uređenijeg u manje uređen sistem, tj. entropija raste.

Kvantitativno, difuzija se opisuje Fikovim zakonima (prvi i drugi).
Prvi Fikov zakon kaže da je fluks (J) proporcionalan gradijentu koncentracije. Drugi Fikov zakon se izvodi iz jednačine kontinuiteta. U jednodimenzionom sistemu:

Jednačina kontinuiteta:

1. Fikov zakon

2. Fikov zakon 
 
Pri čemu za konstantan koeficijent difuzije, D, sledi: 
.

2. Fikov zakon u trodimenzionom sistemu 
 
 
Rešavanje difuzione jednačine je po pravilu veoma komplikovano, tj. moguće samo uz pomoć primene numeričke matematike.

Difuzija ima izvanredno važnu ulogu u svakodnevnom životu i u nauci. U većini procesa u kuhinji difuzija igra važnu ulogu od mariniranja (difuzija začina u namirnicu) do kuvanje čaja (čaj od sleza - ostavi se da iz korena sastojci budućeg čaja difunduju u vodu).

Difuzija je ključni proces u biološkim sistemima.

Poveznice 
Difuzija kroz ćelijsku membranu

Difuzija
Termodinamika
Ludwig Boltzmann

Ludwig Boltzmann (Beč, 20. februar 1844. - Duino kod Trsta, 5. septembar 1906.) bio je austrijski fizičar. 

Jedan je od najvažnijih osnivača statističke mehanike. Bio je odlučni pristaša atomistike. Potaknut mišlju i uvjerenjem da se zakoni ponašanja termodinamičkih, makroskopskih, sustava mogu izvesti iz predpostavke o postojanju atoma, od kojih je sustav sastavljen i koji se gibaju po zakonima Newtonove mehanike. Svoj
teorijski rad na području fizike Boltzmann je uobličio spajanjem mehaničkih zakona i teorije vjerojatnosti. Rezultat toga je Boltzmannova razdioba koja opisuje razdiobu atoma po energijama u ovisnosti o temperaturi sustava. 

Vjerojatnost da ćemo u sustavu temperature T naći određen broj atoma energije E razmjerna je s funkcijom

gdje je k Boltzmannova konstanta. 

Boltzmann je unaprijedio kinetičku teoriju plinova, a njegov krunski rezultat je statističko tumačenje entropije, po kojem je entropija mjera neuređenosti sustava i proporcionalna je logaritmu broja sviju mogućih mikroskopskih stanja koja su u skladu s jednim jedinim makroskopskim stanjem sustava. Na taj način entropija je, osim svoje fenomenoložke termodinamičke zasnovanosti, dobila i mikroskopsko statističko tumačenje, a time je otvoren put za proučavanje Drugog zakona termodinamike u sklopu statističke fizike i Newtonove mehanike. Svojim pokusima i teorijskim razmatranjima Boltzmann je podupro i Maxwellovu teoriju elektromagnetizma.

Austrijski fizičari
Austrijski matematičari
Element

Elemenat ili element je pojam sa različitim značenjima u naukama,matematici i hemiji.
 U hemiji, elemenat supstance se ne može razbiti u dve ili više supstanci na bilo koji način. Svi elementi sadrže atome koji imaju samo jedan atomski broj, mada im se mase mogu menjati (izotopi). Elementi su poredani u Mendeljejevom periodnom sistemu elemenata prema svojim atomskim brojevima.
 U matematici, elemenat je član skupa. To se piše  i znači  je elemenat skupa 
 U matematici, elemenat je član matrice.
 U matematici, elemenat je izraz koji sledi iza znaka integrala. Tako u integralu  izraz  je elemenat prostora. Često je korisno posmatrati oblast integracije kao "zbir" elemenata.

Vidi još 
 Osnovni elementi
Raselov paradoks

Kantorova teorija skupova sa kraja 19. veka nije bila zasnovana aksiomatski pa se zato nazivala naivna teorija skupova. Međutim ona je implicitno u sebi sadržala nekoliko aksioma od kojih je jedna bila da za svako svojstvo možemo formirati skup svih elemenata koji imaju to svojstvo.

Polazeći od ove aksiome Bertran Rasel je 1903. konstruisao paradoks, po njemu nazvan Raselov paradoks koji je oborio naivnu teoriju skupova. Taj paradoks se može iskazati na više načina i u više formi a suština je sledeća:

Ako za svako svojstvo postoji skup svih objekata koji zadovoljavaju to svojstvo onda to isto važi i za svojstvo „skup ne pripada sam sebi“. Ovo svojstvo je vrlo prirodno jer je vrlo teško naći skup koji pripada sam sebi. Označimo sa X skup objekata za koje važi ovo svojstvo. Da li X pripada sam sebi? Ako pripada onda znači da zadovoljava svojstvo „skup ne pripada sam sebi“ što je kontradikcija. Ako pak ne pripada sam sebi onda će da zadovolji traženo svojstvo pa će baš da pripada sebi, što je opet kontradikcija.

 

Do pojave ovog paradoksa verovalo se u nepobitnost matematičke istine i neprotivurečnost Kantorove teorije skupova. Posle Raselovog paradoksa usledila je i serija drugih paradoksa od kojih posebno izdvajamo Rišarov paradoks. Njihovom pojavom matematička građevina je bila ozbiljno uzdrmana do samih temelja i pretila je opasnost da se sruši. Kriza matematike je rešavana pojavom novih pravaca (Rasel - logicizam, Brauer - intuicionalizam, Hilbert - formalizam).

Jedna varijanta iskazivanja Raselovog paradoksa je: Postoje katalozi knjiga iz biblioteke. Ti katalozi se takođe smatraju za knjige. Neki katalozi sadrže sebe, a neki ne (u katalogu). Možemo posmatrati jedan novi katalog u koji su popisani svi katalozi koji ne sadrže sebe. Da li ovaj katalog sadrži sam sebe? Ponovo će oba slučaja analiziranja dovesti do kontradikcije.

Jedno od mogućih prevazilaženja Raselovog paradoksa je da se skup svih skupova ne smatra za skup, nego za klasu (klasa je ovde uopštenje pojma skupa).

Paradoksi
Teorija skupova
Rišarov paradoks

Rišarov paradoks je nastao 1905. godine i dobio je ime po svom tvorcu matematičaru Rišaru.

Posmatrajmo skup prirodnih brojeva i na njemu sve osobine dužine jedan. Ove osobine zatim poređamo u jedan niz i numerišemo ih, npr. ovako:

 broj je deljiv sa 2
 broj je prost
 broj je jednak 5
 broj je kvadrat prostog broja
 broj je deljiv sa 5
 ...

Primetimo da u nekim slučajevima broj ima svojstvo koje kodira, a u nekim slučajevima nema. Zato uvedimo definiciju: Broj je Rišarov ako nema svojstvo koje kodira. Vidimo da u gornjem primeru brojevi 1 i 3 jesu Rišarovi, dok 2, 4 i 5 nisu. 

Osobina broj je Rišarov je takođe jedna osobina dužine jedan na skupu prirodnih brojeva pa će se i ona naći u ovom nizu osobina pod nekim brojem, neka je to broj m. Da li je broj Rišarov? Ako jeste, onda nema svojstvo koje kodira, a to znači da nije Rišarov broj, što je paradoks. Ako broj nije Rišarov onda nema svojstvo koje kodira što po definiciji znači da jeste Rišarov, pa je i ovo nemoguće.

Rišarov paradoks je tesno povezan sa Raselovim paradoksom i sa drugim paradoksima koji su se javljali početkom 20. veka u naivnoj teoriji skupova matematičara Kantora. Ovi paradoksi su ozbiljno poljuljali temelje tadašnje matematičke nauke.

Paradoksi
Cijeli broj

Skup cijelih brojeva je skup koji obuhvata sve prirodne brojeve, nulu (0), kao sve negativne brojeve (prirodni brojevi sa predznakom -). Cijeli brojevi ne smiju imati decimalni nastavak tj. pri pisanju tog broja u vidu razlomka, nazivnik mora biti 1. Oznaka skupa cijelih brojeva je Z. Svi prirodni brojevi se nazivaju pozitivni cijeli brojevi, 0 je neutralan broj, a brojevi manji od 0 se zovu negativni cijeli brojevi. Negativni brojevi imaju ispred predznak minus (-) i oni su manji od 0. Pozitivni brojevi imaju predznak plus(+), koji se ne piše i oni su uvijek veći od 0. U skupu cijelih brojeva, ne postoji najmanji ili najveći broj,nego samo lud broj. To je broj npr.9 kao i svaki drugi broj deljiv trojkom.

Apsolutna vrijednost 
Apsloutna vrijednost je vrijednost broja bez njegovog predznaka tj. apslutna vrijednost mijenja negativnu vrijednost u pozitivnu. Ako je vrijednost već pozitivna, onda se ona ne mijenja. Apslutna vrijednost uvijek mora biti nenegativaan broj. Stavljajući se pod modul (| |), izračunava se apsloutna vrijednost datog broja. Na primjer, apsloutna vrijednost broja 5 je 5, a broj -5 je 5.

Kod pozitivnih brojeva važi pravilo: Što je apsloutna vrijednost veća to je i broj veći.

Kod negativnih brojeva važi pravilo: Što je apsolutna vrijednost veća to je broj manji.

Znači

1<2<3<4<5...

-1>-2>-3>-4>-5...

Najmanji pozitivan cijeli broj je 1, a najveći ne postoji. Najmanji negativan cijeli broj ne postoji, a najveći je -1.

Predznak ispred zagrade 
Ukoliko ispred zagrade stoji plus (ili ništa) onda se zagrada briše i nastavlja se računanje kao da nije ni bilo zagrade. Ukoliko ispred zagrade stoji minus, zagrada se briše i svi znakovi u zagradi se mijenjaju. (Ako je bio minus onda će biti plus, a ako je bio plus ispred broja, onda će biti minus).

Na primjer:

4+(8-3+2)-1=4+8-3+2-1=10

4-(8-3+2)-1=4-8+3-2-1=-4

Računanje sa negativnim cijelim brojevima 
Ako se treaju sabrati dva negativna cijela broja, onda im se saberu apsolutne vrijednosti, i ispred tog zbira se stavi predznak minus (-).

Ako se trebaju sabrati negativan i pozitivan cio broj, onda im se izračunaju apsolutne vrijednosti, zatim se oduzme manja od veće apsolutne vrijednosti i stavi se predznak veće apsolutne vrijednosti.

Kako bi se sebi olakšali računanje sa negativnim brojevima, te se riješili dva (pred)znaka, onda treba slijediti slijedeća tri pravila:

Minus(-) i minus(-) daju plus(+)

Plus(+) i plus(+) daju plus(+)

Minus(-) i plus(+) daju minus(-)

Znači, oduzimanje negativnog broja je sabiranje pozitivnog, sabiranje negativnog je oduzimanje pozitivnog itd.

Kod množenja i dijeljenja, ako su je paran broj faktora (ili djelilaca) istog predznaka, onda je rezultat pozitivan, a ako je broj istih predznaka neparan, onda je rezultat negativan.

Primjer 
4+3=(+4)+(+3)=4+3=7

8-3=(+8)-(+3)=8-3=5

3-8=(+3)-(+8)=3-8=-5

-4+(-3)=-4-3=-7

3-(-8)=3+8=11

2*3=6

-2*(-3)=6

2*(-3)=-6 

8:4=2

-8:(-4)=2

-8:4=-2

Broj
Asocijativnost

Za binarni operator  se kaže da je asocijativan nad skupom K ako za svako  važi:

Iz asocijativnosti operatora  sledi da u gore navedenim izrazima redosled operacija ne igra ulogu, te i zapis u kome prioritet nije naznačen jednoznačno određen:

Zapisivanje neasocijativnih operacija 
Ukoliko se neasocijativna operacija pojavljuje više od jednom u izrazu, za određivanje redosleda operacija koriste se zagrade. Ipak, za neke česte neasocijativne operacije postoje pravila njihovog korišćenja bez zagrada.

Operacija je levo asocijativna ako je pravilo da se koristi sleva na desno, t.j.

a desno asocijativna ako je pravilo da se koristi zdesna na levo, t.j.

Na primer, oduzimanje je levo asocijativno, stepenovanje desno asocijativno dok za vektorski proizvod nema pravila.

Literatura 
 Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). .

Vidi još 
 Antikomutativnost
 Distributivnost
 Komutativnost

Opšta algebra
Elementarna algebra
Binarne operacije
Antikomutativnost



Definicija 
Za binarni operator  se kaže da je antikomutativan, ukoliko za svako  zadovoljava:

Pri čemu operator - označava inverz elementa skupa -{K}- pred kojim se nalazi.

Vidi još 
 Asocijativnost
 Distributivnost
 Komutativnost

Opšta algebra
Binarne operacije
Distributivnost

dva elementa skupa -{K}- može predstaviti kao zbir proizvoda jednog od njih sa još dva elementa koji u zbiru daju drugog, kaže se da zakon distribucije važi za datu algebarsku strukturu. Množenje može biti levo i desno te otuda dva različita uslova:

  (distributivnost s lijeve strane)
  (distributivnost s desne strane)

Ako su zadovoljeni samo prvi ili samo drugi uslov, kaže se da se „levo odnosno desno množenje lepo ponaša prema sabiranju“. Ukoliko su oba ispunjena, kaže se da se „operacija množenja lepo ponaša prema sabiranju“ tj. da je distributivna.

Vidi još 
 Asocijativnost
 Antikomutativnost
 Komutativnost

Algebra
Racionalni broj

U matematici, racionalan broj (ponekad u razgovoru upotrebljavamo razlomak) je broj koji se može zapisati kao odnos dva cela broja a/b, gde b nije nula.

Svaki racionalan broj može biti napisan na beskonačan broj načina, na primer . ili 123123123123

Najjednostavniji oblik je kada brojilac i imenilac nemaju zajedničkog delitelja, a svaki racionalan broj različit od nule ima tačno jednu jednostavnu formu sa pozitivnim imeniocem. 

Racionalni brojevi imaju decimalni razvoj sa periodičnim ponavljanjem grupa cifara. Ovde se računa i slučaj kada nema decimala ili kada se od nekog mesta 0 ponavlja beskonačno. Ovo je istinito za svaku celobrojnu osnovu veću od 1. Drugim rečima, ako je razvoj ispisa nekog broja u nekoj brojnoj osnovi periodičan, on je periodičan u svim osnovama, a broj je racionalan.

Realan broj koji nije racionalan se zove iracionalan.

Broj
Dokaz

Dokaz je izraz koji može značiti:
 Logički dokaz
 Matematički dokaz
 Pravni dokaz
 Dokaz, drama Davida Auburna
 Dokaz, film iz 1991. godine
 Dokaz, film iz 2005. godine
Dokaz (logika)

Dokaz je rasuđivanje tokom kojeg se ustanovljava istinitost ili pogrešnost nekog tvrđenja (suda, iskaza, teoreme). U dokazu teoreme se oslanjamo na aksiome, ili na ranije dokazane teoreme pozivajući se pri tome na definicije pojmova. Zavisno od metoda dokazi se dele na:
 analitičke (analiza);
 sintetičke (sinteza);
 induktivne (indukcija, matematička indukcija);
 deduktivne(aksiomatske, dedukcija);
 dokaz od suprotnog, svođenje na protivrečnost (apsurd, kontradikcija).
Navodno, Branko iz Ljubuškog (zvani Bana) je najnedokazniji čovjek na svijetu.
Logika
Dokaz (matematika)

Dokaz, u matematičkom smislu, je logičko-matematički postupak kojim se dokazuje teorem, u njemu se smiju koristiti samo aksiomi i prethodno dokazani teoremi.
Jedan od popularnijih načina dokazivanja teorema je metoda "pretpostavimo suprotno".
U toj metodi u kojoj se pokušava dokazati tvrdnja A, se pretpostavi da vrijedi tvrdnja ne A i traži se kontradikcija (tvrdnja koja je u suprotnosti s već prethodno dokazanim teoremom ili aksiomom).
Među drugim načinima se nalazi i izvod.
Dakle krene se od pretpostavke teorema pa se svi uvjeti teorema primjene na pojam na kojeg se teorem odnosi i tvrdnja teorema se logično-matematički izvede.

Vrste dokaza 
Logički dokazati teoremu znaći dokazati da je to logička posljedica predhodno utvrđenih stavova- teorema i aksioma.
Vrste dokaza
 Matematička indukcija
 Progresivni sintetički dokaz
 Regresivni analitički dokaz
 Indirektni

Matematička indukcija 
1.faza provjerimo stav ili formulu u kojoj formuliše n iz N a koji želimo dokazati za neki prirodni broj n = k0 najčešće za k0 =1
2.faza predpostavimo istinitost za n = k0 i na osnovu te tvrdnje da važi za n = k+1

3.faza ako je utvrđeno1) i 2) zaključujemo da tvrdnja koju dokazujemo vrijedi za svako n> k0
Olakšica: Kada imamo zadatak kao npr. 1(1+1) + 2(2+1)+ 3(3+1)+......+n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
Ovaj zadnji dio, tj. iza znaka jednakosti možemo koristiti kao izvod rezultata, tj.konačan rezultat koji moramo dobiti, tako da prvo provjerimo na ovaj način: za n(n+1)(n+2)/3 uvodimo za svaki (n+1) tako da će biti: (n+1)(n+2)(n+3)/3, takav rezultat dobivate na kraju. pokušajte! sretno.

progresivni sintetički dokaz 
Treba dokazati p =>q 

p =>q1 =>q2=>q3 =>... =>q 

U ovom lancu sudova javljaju se neki novi sudovi ( aksiome i teoreme)koje smo ranije dokazali i na koje treba da se pozovemo

regresivni (analitički) dokaz 
Ide se obrnutim putem
q =>p1 =>p2 =>p3 =>... =>p

Indirektni 
Dokazujemo predpostavkom da teorema nije istinita i dolazimo do netačne predpostavke.

Matematika
Teorem

Teorem ili teorema (kasnolat. theorema < grč. ϑɛώρημα: prizor, poučak), u matematici, iskaz u kojem se uočava da neki matematički pojam (uz, možda, još neke uvjete) ima još neke karakteristike osim onih danih u definiciji tog pojma (npr. da je 1>0) i ta se tvrdnja mora dokazati. Dok se tvrdnja ne dokaže, tu tvrdnju zovemo propozicijom, hipotezom.

Na neki način se dokazane propozicije dijele na tri grupacije (ovo nije stroga matematička podjela, nego čisto zbog lakšeg razumijevanja):

Lema je dokazana propozicija koja, u principu, nema korisnost osim u dokazivanju nekog većeg teorema. Dobar primjer je determinanta matrice. Postoji lema koja kaže da determinanta transponirane matrice nije veća od determinante originalne matrice. Tvrdnja sama po sebi i nije nešto posebno, pogotovo kada se iskoristi ponovo na samu sebe i time dokaže da je determinanta transponirane matrice jednaka determinanti originalne matrice.

Korolar je dokazana propozicija koja slijedi direktno iz nekog prethodnog teorema.

Teorem je nešto jako bitno što se dosta često koristi i izvan dokaza drugih teorema, najbolji primjer je Pitagorin teorem.

Napominjem ponovo da je ovo "labava" podjela, tj. ništa od toga nije egzaktno matematički nego se tako dijeli čisto radi lakšeg razumijevanja.

Izvori

Eksterni linkovi 

Matematika
Logika
Matematički koncepti
Metodologija

Metodologija je nauka o cjelokupnosti svih oblika i načina istraživanja pomoću kojih se dolazi do objektivnog i sistematskog naučnog saznanja. Isti izraz se također koristi i za same metode koji su predmet proučavanja metodologije. 

U metodologiji razlikujemo tzv. tehničke i logičke metode istraživanja. Prve se tiču organizacije, promatranja, eksperimentiranja i točnog mjerenja. Druge se tiču naučne obrade tako dobijenih podataka, izvođenja zaključaka, građenja teorija i sistema.

Vrste metoda su:
 Analiza
 Sinteza
 Apstrakcija
 Generalizacija
 Specifikacija
 Dekonstrukcija
 Definicija
 Divizija
 Dedukcija
 Indukcija
 Analogija
 Eksperiment

Relevantni članci 
 Filozofija
 Logika
 Uzori
 Jezici uzora
 Anti-Uzori

Filozofija
Metodologija
Sinteza

Sinteza je pojam koji se koristi u:

 filozofiji;
 kemiji kao hemijska sinteza;
 akustici kao akustička sinteza.
Apstrakcija

Apstrakcija (lat.) je:
 misaono izdvajanje nekih osobina i svojstava predmeta od samog predmeta;
 apstraktan pojam izdvojen od nečega konkretnog za koji je vezan.

Apstrahirati -hiram, zap. kr. apstrahovati -ujem (nem. abstrahieren):
 (iz)vršiti apstrakciju;
 ne uzeti (uzimati) nešto u obzir, ne obazreti se, ne obazirati se na nešto.

Apstraktan -tna (lat.): dobijen apstrakcijom, misaon; suprotno od konkretan.

Matematika 
Apstrakcija, odnosno apstrahovanje u matematici je proces razmatranja izvesnih osobina objekata izostavljanjem drugih koje nisu relevantne. To je osnova klasifikovanja, procedure koja rezultira skupom članova sa posebnim osobinama. Pomenuti skup se označava sa  čit. iks takvo da je ef od iks, odnosno h koje ima osobinu F(h), gde je F(h) svojstvo koje članovi skupa moraju zadovoljiti. Na primer, {x:x je ptica}, označava skup u kojem su svi elementi ptice.

Aksioma apstrakcije 
Neka je data proizvoljna osobina F(x), tada postoji skup čiji članovi poseduju baš tu osobinu, tj. 

 

Navedena aksioma apstrakcije je prvi put eksplicitno formulisana od strane Frigea 1893. godine, da bi zatim, od strane Rasela, bila dovedena u kontradikciju:

Neka je data osobina F(x), pomenutog aksioma, osobina ne-pripadanja samom sebi. Tada je

 

aksiom izbora, koji jednostavnim koracima vodi u kontradikciju

 

Da bi izbegao ovaj, tzv. Raselov paradoks, Zermelo je 1908. uveo aksiom separacije:

 

u kojem egzistencija skupa u nije više pretpostavljena bezuslovno.

Vidi još 
 Zermelo-Frenkelova teorija skupova
 Filozofija
 Metodologija

Semantika
Matematika
Kreativnost
1 E-30 m²

Kako bi omogla pri usporedbi različitih redova veličine ova stranica navodi površine do 10-29 m² (do 10 kvadratnih femtometara). V. također površine drugih redova veličine.

 3 fm² - Približni presjek nukleona
 Površine veće od 10-29 m²

Redovi veličine (površina)
Ind

Ind (sanskrt: Sindhu; urdu: دریائے سندھ; hindi: सिन्धु नदी; tibetanski: Sengge Chu ('Lavlja rijeka'); perzijski: Hindu; grčki: Sinthos; paštunski: Abaseen ("Otac rijeka"); Mehran (starije ime)) je najduža i najvažnija rijeka u Pakistanu. Izvire na Tibetanskoj visoravni u blizini Jezera Mansarovar, te teče kroz Jammu i Kashmir u Indiji i Sjevernim područjima Pakistana, pa prema jugu kroz Pakistan gdje se ulijeva u Arapsko more u blizini grada Karachija. Ukupna dužina rijeke je 3200 km (1988 milja). Porrječje iznosi 1,150.000 kvadratnih kilometara. Godišnji tok rijeke iznosi 207 kubna kilometra. Započinje na svjetskim visinama među glečerima, rijeka hrani ekosisteme umjerenih šuma, ravnica i suhih područja. Zajedno s rijekama Chenab, Ravi, Sutlej, Jhelum, Beas te isušenom rijekom Sarasvati, Indus tvori Sapta Sindhu ("Sedam rijeka") deltu provinciji Sindh u Pakistanu. Ima 20 većih pritoka. 

Ind daje vodne resurse ključne za ekonomiju Pakistana - posebno za žitnicu provincije Punjab, u kojoj se proizvodi najveći dio poljoprivrednih proizvoda te Sindh. Također podržava mnoge teške industije i predstablja glavni izvor pitke vode u Pakistanu.

Krajnji izvor Inda je u Tibetu; rijeka započinje na ušću rijeka Sengge i Gar koje nose vou iz gorja Nganglong Kangri i Gangdise Shan. Ind prvo teče na sjeverozapad kroz Ladakh-Baltistan u Gilgit, južno od gorja Karakoram. Shyok, Shigar i Gilgit potom nose ledenjačke vode u glavni tok. Postupno se zavija prema jugu, izlazeći iz brda između Peshawara i Rawalpindija. Ind prolazi kroz divovske kanjone (5000-5100 m) između masiva Nanga Parbat. Brzo teče kroz Hazaru, te je prepriječen branom kod Rezervoara Tarbela. Rijeka Kabul utječe u njega kod Attocka. Ostatak njegovog toka prema moru je u ravnicama Punjaba i Sinda, te rijeka dobija spori tok s mnogo rukavaca. Rijeka Panjnad utječe u nju kod Mithankota. Iza ovog upća je rijeka nekada bila nazivana Satnad River (sat = sedam, nadi = rijeka) zato što je nosila vodu rijeka Kabul, Ind i pet rijeka Punjaba. Nakon što prođe kroz Hyderabad, završava u velikoj delti istočno od Karachija. 

Ind je po svom volumena najveća egzotična rijeka (ona koja uglavnom teče kroz rijeku iz koje ne prima većinu vode) na svijetu. Predstavlja jednu od nekoliko rijeka u svijetu koje imaju riječne plimne valove. Sistem Inda uglavnom vodom snabdijevaju snijeg i ledenjaci Karakorama, Hindukuša i himalajskih gorja Tibeta, Kašmira i Sjevernih područja Pakistana. Na tok znatno utječu godišnja doba - mnogo je manji zimi, dok se obale poplavljuju u monsunskim mjesecima od jula do septembra. Također postoje dokazi o postupnom pomjeranju rijeke od prahistorijskih vremena - skrenula je zapadno od Ranna od Kutcha. Službeno se naziva Nacionalnom rijekom Pakistana, na urdu Qaumi Daryaa.

Veze 
 Civilizacija doline Inda

Eksterni linkovi 

 Bibliography on Water Resources and International Law  See Indus River. Peace Palace Libray
 Northern Areas Development Gateway 
 The Mountain Areas Conservancy Project 
 Indus River watershed map (World Resources Institute) 
 Indus Treaty 
 Baglihar Dam issue 
 Indus
 Indus Wildlife

Rijeke u Indiji
Rijeke u Pakistanu
Rijeke u Kini
Indijskooceanski sliv
Beludžistan

Beludžistan ili Balučistan (bal./pašt./urdu/perz. بلوچستان) je regija koja se nalazi na Iranskoj visoravni u Južnoj Aziji, na području Irana, Pakistana i Afganistana. Područje je nazvano prema Beludžima, iranskom narodu koji se doselio na to suho područje oko 1000. pne. Danas se svi stanovnici regije nazivaju Beludžima (ili Balučima), bez obzira govore li beludžijskim (balučkim) ili nekim drugim jezikom karakterističnim za to područje, kao što su paštunski, perzijski, hazaragi ili brahui. Južni dio Beludžistana poznat je kao Makran.

Veze 
 Baluči (Beludži)
 Balučistan (Pakistan), jedna od osam pakistanskih pokrajina
 Sistan i Balučistan, jedna od 31 iranske pokrajine

Vanjske veze 
  Encyclopædia Britannica Balochistan
  Encyclopædia Britannica Balochistan Plateau
Ostali projekti

Regije Irana
Regije Pakistana
Južna Azija
Kulturne regije
Kutch

Kutch (također poznat kao Cutch, Kachh, Kachch i Kachchh) je oblast u državi Gujarat u zapadnoj Indiji. Pokriva područje od 45.612 km2, te predstavlja najveću oblast države Gujarat te drugu najveću oblast indije. 

Riječ Kachchh doslovno znači okružen vodom, a oblast je okružena Zaljevom Kachchh i Arapskim morem sa juga i zapada. Sjeverni i istočni dijelovi su okruženi s Velikim i Malim Rannom (pustinjom) Kutcha. S obzirom da nema mnogo brana na rijekama, Rannovi su poplavljeni i neprohodni veći dio godine. Neki vjeruju da se oblast svoje ime dobila po obliku kojeg ime na izokrenutoj geografskoj karti, koji podsjeća na kornjaču. Kachchh ili Kachbo isto tako znači kornjača na kutchi i gujaratskom jeziku. 

Također je poznat pod nazivom "Zemlja tajni" jer se zbog izolacije relativno malo znalo o njoj i njenim stanovnicima.

Oblast je godine 2001. imala 1,583.225 stanovnika, od čega je 30% bilo u urbanim područjima  .

Eksterni linkovi 

 Popular daily Kutch Mitra now on net.
 Comprehensive information about Kutch on panjokutch.com
 Genealogy of the ruling chiefs of Kutch
 Post-independence chief commissioners of Kutch
 First ever Kutchi Digital Directory
 Kutchis in USA
 Kutchis in mumbai
 Computer Graphics reconstruction of Dholavira. 

Geografija Indije
Saurashtra

Saurashtra (također Soruth i Sorath, nekad Surastrene) je oblast u zapadnoj Indiji, smještena na obali Arapskog mora države Gujarat. Poluotok je također poznat kao Kathiawar po vladarima Kathi Darbara koji su njome nekoće vladali. Poluotok se dijeli na oblast Kutch na sjeveru, te Saurashtra i Sorath na jugu.

Literatura 

 Ron Wood, Soruth (Handbook of Indian Philately, Series 2, Hampshire, UK: The India Study Circle for Philately, 1999)

Geografija Indije
Kalibangan

Kalibangan je grad na obali rijeke Ghaggar, u oblasti Hanumangarh države Rajasthan u Indiji. Nalazi se na udaljenosti od 205 km od Bikanera. 

Godine 1958 arheolozi na čelu s dr. A. Ghoshom su otkrili da selo predstavlja nalazište civilizacije doline Inda. Prema arheološkim dokazima, kultura doline Inda je na tom nalazištu postojala od proto-harapanskog dona (3500. pne. - 2500. pne.) do harapanskog doba (2500. pne. - 1750. pne.). Kalibangan se zato smatra najstarijim gradom u historiji Indije koji je uništen u potresu.

Stanovnici drevnog Kalibangana su prakticirali neobične pogrebne običaje zvane Pogreb ciste. Grob se sastojao od ciglene komore u kojoj bi se smjestilo tijelo pokojnika. Uz nju su postojale manje komore u kojima su se stavljala grobna dobra.

Kultura doline Inda u ovoj oblasti se također naziva i kulturom Sothi zbog velike sličnosti s kulturom iz nalazišta Sothi u Afganistanu.

Kalibhangan je danas poznat po proizvodnji narukvica. Ime grada na hindiju (Kalibhangan) znači "crne narukvice".

Gradovi u Indiji
Arheološka nalazišta u Indiji
Drevna Indija
Dholavira

Dholavira je drevni metropolitanski grad, koga lokalno stanovništvo zove Kotada Timba Prachin Mahanagar Dholavira. Predstavlja jedno od najvećih i najvažnijih arheoloških nalazišta u Indiji, a potječe iz doba civilizacije doline Inda. Smješten je na otoku Khadir u oblasti Kutch indijske države Gujarat. Nalazište je bilo naseljeno od oko 2900. pne. da bi oko 2100. pne. počelo propadati, bilo napušteno i kasnije naseljeno od seljaka oko godine 1450.

Vanjske veze 
 http://www.shunya.net/Pictures/WesternIndia/Gujarat/Dholavira/Dholavira.htm City of exquisite planning, monumental structures, aesthetic architecture and amazing water management system 
 http://pubweb.cc.u-tokai.ac.jp/indus/english/2_4_03.html . Computer Graphics reconstruction of Dholavira.
 Description of Dholavira 
 Dholavira, Gujarat 
 http://www.flickr.com/photos/shanbag/sets/1445794/ The Best Photos on Flickers : Dholavira : Created by Sunil Shanbag. 
 "Dholavira excavations throw light on Harappan civilisation", United News of India  1997
 Nisid Hajari, "India's Salt Lake Cities," in Time Magazine 1 September 1997
 http://www.googlegroups.com/group/dholavira More information on Dholavira, the Ancient Metropolitan City. Also in Indian Gujarati Language GIF Mode File the visit dated Tuesday, 25th April, 2006.
 World Heritage Site, All Tentative Sites, Here is an overview of all Tentative list, last updated June, 2006. 
 World Heritage, Tentative Lists, State : India.
 Dholavira: a Harappan City, Disstt, Kachchh, Gujarat, India, India (Asia and the Pacific), Date of Submission: 03/07/1998 , Submission prepared by : Archaeological Survey of India, Coordinates: 23°53'10" N, 70°11'03" E, Ref.: 1090

Arheološka nalazišta u Indiji
Sotka-koh

Obalno harapansko nalazište kraj Sokhta Koha, 'spaljenog brda' (isto tako poznatog kao Sotka Koh) je prvi put istraživano od američkog arheologa Georgea F. Dalesa gdoine 1960, prilikom istraživanja estuarija duž obale Makrana u pakistanskom Baludžistanu. Nalazište se nalazi oko 24 km sjeverno od Pasnija. Slično nalazište Sutkagen-dor je smješteno oko 48 kilometra u unutrašnjosti, duž rijeke Dasht, sjeverno od Jiwanija. Njihov položsj fuž obslr (koja je u prošlosti bila daleko u unutrašnjosti) govori u prilog prekomorskoj trgovini u harappanskom dobu. Prema stilu grnčarije, pretpostavlja se da naselje pripada Kasnoj harappanskoj (integracijskoj) eri (2600-1900. pne).

Vanjski linkovi 

 The Indus Valley Civilization: In Search of Those Elusive Centers and Peripheries
 Explorations on the Makran Coast, Pakistan: a Search for Paradise 
 The Demise of Utopia: Contexts of Civilizational Collapse in the Bronze Age Indus Valley
 Harrapa and Indus Valley Civilisation at harrapa.com
 Moenjo-Daro: A 5,000 Year Old Legacy

Arheološka nalazišta u Pakistanu
24. vijek pne.

24. vijek pne. je vijek koji je započeo godine 2400. pne. a završio godine 2301. pne.

Događaji 

 2900. pne. – 2334. pne. – Mezopotamski ratovi Ranog dinastijskog perioda.
 cca. 2383. pne. - Pepi II Neferkare, monarh s najdužom vladavinom svih vremena, počeo vladati u dobi od 6 godina.
 2350. pne. – Kraj ranog dinastijskog IIIb perioda u Mezopotamiji.
 2350. pne. – Prvo uništenje grada Mari.
 2334. pne. – 2279. pne. – Sargon Akadski osvaja Mezopotamiju.
 c. 2332. pne. - Sargon I počeo vladati.
 2345. pne. – Kraj Pete egipatske dinastije. Faraon Unas umro.
 c. 2340. pne. - 2180. pne.; Akkad.
 Grad Lothal prosperira pod civilizacijom Inda.

Važne ličnosti 
 Urukagina
 Sargon Akadski
 Enheduanna, kći Sargonova, svećenica i prva književnica poznata po imenu
 Ptahhotep, drevni egipatski vezir, autor Maksima Ptahhotepa.

Pronalaci, otkrića, pojave 
 Prvi službeni spomen pčelarstva u Egiptu.
 Prvo dokumentirano korištenje organizirane kurirske službe radi distribucije službenih dokumenata u Egiptu.

Mitski događaji 
 Godine 2349. pne. Noa je ušao u Arku (prema teologu Jamesu Ussheru).
 3.10. 2333. pne. Dangun je osnovao državu Gojoseon (prema korejskim ljetopisima Samguk Yusa, napisanom u 12., i Dongguk Tonggam, napisanom u 15. vijeku).

Izvori 

 Ancient Egypt: Beekeeping and wax

-6
 
-76
Postulat

Postulat (Postulat), lat. "zahtevano", misaoni zahtev (grč. αίτημα), isprva u grč. matematici zahtev za izvođenjem određenih osnovnih konstrukcija pomoću kojih se proizvode neki predmet i njegov pojam; tako npr. prvi postulat u Elementima Euklida: zahteva se da se od jedne proizvoljne tačke do neke druge proizvoljne tačke povuče prava linija. Ovim nastaje dvema tačkama ograničena duž i istovremeno njom definljiv pojam. 

Od ovog matematičkog pojma postulata polazi u Kritici čistog uma Imanuel Kant pri postavljanju svojih postulata empirijskog mišljenja ili načela modalnosti: 

 1. Ono što se slaže s formalnim uslovima iskustva (prema opažaju i pojmovima) moguće je. 

 2. Ono što je međuzavisno s materijalnim uslovima iskustva (osetom) stvarno je. 

 3. Ono čija je veza sa stvarnim određena prema opštim uslovima iskustva jeste (postoji) nužno." (A 218) 

U ovom smislu I. Kant naziva postulatima pretpostavku besmrtnosti, slobode i smatranje istinitim postojanja Boga. U svakodnevnojezičkoj upotrebi, takođe pretpostavka, hipoteza, podmetanje; u teoriji verovatnoće se pod postulatima podrazumevaju, osim toga, i nelogički ili u logičkim simbolima neizraženi jednostavni izrazi nekog aksiomatskog sistema (aksioma), u ovom smislu takođe dodatna pretpostavka. 

Uz to: postulisati, zahtevati, postaviti kao postulat. 

U matematici, postulat je isto što i aksiom, tj. aksioma. Euklid u svojim "Elementima" razlikuje postulat od aksiome, ali ne navodi njihovu logičku razliku, pa nije jasno na osnovu kakvog kriterijuma on ubraja neke stavove u postulate, a druge u aksiome, sem prostog grčkog značenja reči zahtevam (postulat) odnosno tražim (aksiom).

Logika
Matematika
Latinizmi

bs:Postulat
en:Postulate
sl:Postulat
Euklidovi Elementi

Euklidovi Elementi (, Stiheia) su antičko delo o elementarnoj matematici helenskog naučnika Euklida iz 3. veka stare ere. Euklidovi Elementi sadrže 13 knjiga i predstavljaju sistematsko izlaganje grčke matematike tog vremena po odeljcima: elementarna geometrija, teorija brojeva, algebra, teorija merenja geometrijskih veličina, elementi teorije graničnih vrednosti.

Euklidovi Elementi predstavljaju izvanredan obrazac izgradnje geometrije deduktivnom metodom. Elementarna geometrija, koja se izučava u srednjim školama mnogih zemalja sveta, se u malo čemu razlikuje od geometrije izložene u Euklidovim Elementima. Međutim, mnoge definicije (tačka, prava i dr.) u Euklidovoj geometriji su danas zastarele. Mnoge aksiome iz Euklidove geometrije ne predstavljaju danas aksiome. Na primer: Euklid je smatrao sledeći stav kao aksiomu: "Svi pravi uglovi su podudarni". Danas se ovaj stav, u strožijem deduktivnom izlaganju geometrije, dokazuje.

Postoje mišljenja da niz knjiga koje ulaze u Euklidove Elemente nije napisao Euklid, već drugi matematičari; na primer knjige 10. i 13. po mišljenju holandskog matematičara Van der Verdena (Van der Verden) je napisao starogrčki matematičar Teotet. Niz teorema i geometrijskih činjenica izloženih u Euklidovim Elementima bili su poznati mnogo pre Euklida.

Obično se uz ovaj skup knjiga izdaju i dve dodatne knjige tzv. XIV i XV za koje se sa sigurnošću može tvrditi da su dodate kasnije i da ne predstavljaju autentičan Euklidov rad.

Eksterni linkovi 

 dvojezična redakcija  (pripremljeno u PDF, sa uporednim grčko/engleskim stranicama; PDF oblik je slobodan, a ima i oblik spreman za štampu)
 Najpoznatiji engleski sajt (HTML, sa slikama u obliku Java apleta)
 Hitov prevod (HTML, bez slika, javno vlasništvo)
 na starogrčkom (složeno u PDF datoteku, javno vlasništvo)
 izdanje Oliver Birna iz 1847. godine - neobična slikovnica, slike i sličice umesto teksta i slovnih oznaka (skenirane stranice, javno vlasništvo)
 Kako čitati Euklida - uputstvo kako čitati Euklida na originalnom starogrčkom, sa engleskim prevodima i komentarima (HTML sa slikama)

Potpuni ili delimični prevodi rukopisa Euklidovih Elemenata :
 Rukopis Tomasa Mura 
 Latinski prevod redakcije Etelarda iz Bata 
 Euklidovi elementi u prevodu Antona Bilimovića 

Matematika
Geometrija
Grčka matematika
Knjige
Elementarna geometrija

Elementarna geometrija je geometrija određena u osnovi grupom kretanja i grupom sličnosti.

Međutim, sadržaj elementarne geometrije ne iscrpljuje se navedenim transformacijama. U elementarnoj geometriji izučavaju se takođe transformacija inverzije, elementi sferne geometrije, elementi geometrijskih konstrukcija (konstruktivna geometrija), teorija merenja geometrijskih veličina i druge oblasti matematike. Međutim, ne postoji čak ni približno jasno skiciran sadržaj elementarne geometrije. Elementarna geometrija poput drugih geometrija, nastavlja se razvijati i danas. 

U većini srednjoškolskih programa, elementarna geometrija se naziva Euklidova geometrija ili euklidovska geometrija.

Matematika
Geometrija
Euklidova geometrija

Euklidova geometrija je geometrija izgrađena na aksiomama apsolutne geometrije i Euklidovom aksiomu (postulatu) o paralelnim pravama: kroz tačku A koja ne leži na pravoj a, u ravni koja je određena tačkom A i pravom a, može se povući samo jedna prava koja ne seče pravu a.

Euklidovu geometriju često nazivaju elementarna geometrija. Geometriju koja se izučava u srednjoj školi takođe nazivaju Euklidova geometrija i to je u vezi s činjenicom da je njenu prvu sistematsku izgradnju izložio starogrčki geometar Euklid u 3. veku pre n.e. u svojoj knjizi Elementi (v. Euklidovi Elementi).

Prva geometrija različita od Euklidove geometrije bila je geometrija Lobačevskog, koju je izgradio veliki ruski matematičar Lobačevski.

Vidi još 
 Neeuklidska geometrija

Matematika
Geometrija
Tačka

Tačka ili točka može značiti:

 tačka (geometrija), čest naziv za elemente skupova kojima se određena teorija bavi
 tačka (metrologija), stara mjerna jedinica duljine; punkt
 tačka (muzika), znak za produženje trajanja note ili pauze
 tačka (pravo), dio pravne odredbe manji od paragrafa ili članka i alineje, posebno istaknut brojkom
 tačka (punktuacija), interpunkcijski znak za obilježavanje kraja rečenice, skraćene riječi ili izraza i dr.
 tipografska tačka, mjerna jedinica tipografskog mjernog sistema

Vidi još 

 tačke
Interpunkcija

Interpunkcija (lat. interpunctio = razlučiti, rastavljati) su znakovi u pisanome jeziku koji služe rastavljanju teksta na rečenice i rečenične dijelove. Nauka o interpunkciji zove se punktuacija.

Interpunkcijski znakovi

Pravopisni znakovi 
<table cellspacing="10">

. točka

, zarez

; točka sa zarezom

<big>'''</big></td> izostavnik
</tr>

– crtica

- spojnica

() zagrade

/ kosa crtica

: dvotočje

* zvjezdica

> i < znakovi podrijetla

= znak jednakosti

+ znak više, plus

– znak manje, minus

† križić

× množni križić

) luk

: znak diobe

" znak ponavljanja

§ ili ¶ odlomak, paragraf

 naglasci, znak duljine, genitivni znak

Kao pravopisni znakovi mogu poslužiti i:

„ ” ili » « navodnici

‚ ’ polunavodnici

? upitnik

! uskličnik

</table>

 Literatura 

Pogledati:
 Hrvatski pravopis, Babić, Finka, Moguš; Zagreb, 1994.
 Hrvatski pravopis, Babić, Finka, Moguš; Zagreb, 1971., pretisak iz 1990.
 Hrvatski pravopis, Cipra, Guberina, Krstić; Zagreb, 1941., pretisak iz 1998.
 Pravopis hrvatskog jezika''', Anić, Silić, Zagreb, 2001.
Upitnik

Upitnik ( ? ) je znak interpunkcije kojim se označava upitnost, odnosno pitanje.

Historija 
Vjeruje se da mu oblik dolazi od latinske riječi quaestion = pitanje, koja se kratila u Qo. Q se pisao iznad maloga slova o te se s vremenom to pretvorilo u današnji simbol. Druga pak teorija tvrdi da je u 9. vijeku krivulja oponašala intonaciju pitanja.

Upotreba u jeziku

Rečenice 
Upitnik označava upitne rečenice, pitanja koje se može sastojati od jedne riječi ili više njih:
 Tko? Ja? A ti to nisi vidio? Pa gdje si bio toga dana?

Upitnik dolazi i kod retoričkih pitanja koja ne traže odgovor:
 Što te sputava, srce moje, da ne progovoriš iz dubina
 Kao orgulje skrivene u crnom lišću noći? (Dragutin Tadijanović)

Ako nekoliko upitnih rečenica slijedi jedna iza druge, a čine smislenu cjelinu, upitnik se može staviti samo iza posljednje, a ostale se odjeljuju zarezom ili povezuju veznicima:
 Reci mi kako da ti pomognem, gdje da tražim, koga da pitam?

Ako se pita samo jednim dijelom rečenice, upitnik se stavlja iza te riječi ili dijela, a dalje se nastavlja malim slovom:
 Nešto mu je rekao, a što? to nitko ne zna.

Upitnik ne dolazi iza neupravnih pitanja:
 Reci mi tko je napravio nered. Povjerio mi je odakle su zapravo došli.

Ako upitna rečenica završava vokativom, ostavlja se upitnik i ne dodaje uskličnik:
 Kamo ćeš, vraže?

Naslovi 
Upitnik u naslovima ne dolazi ako rečenica nagoviješta objašnjenje, a ne pitanje:
 Sanjaju li androidi električne ovce (Phillip Dick)
 Tko se boji Virginije Woolf (Edward Albee)

Ako je ipak težište na pitanju, upitnik se stavlja:
 Neću ili ne ću?
 Pogreška ili pogrješka?
 Sport ili šport?

Ostalo 
Upitnik može stajati kao znak šutnje u razgovoru:
 - Gdje kupuje Superman?
 - ?
 - U supermarketu!

Ako je neki podatak nepotvrđen ili nesiguran, može se upitnik staviti unutar zagrada da bi se označila ta nepouzdanost:
 Kralj Zvonimir umro je 1089. (?) godine.

Upitnik i uskličnik 
Ako se nekim pitanjem ujedno žele izraziti i jače emocije, ushit, oduševljenje, čuđenje itd., iza upitnika može se staviti i uskličnik:
 Ne mogu vjerovati da to govoriš! Ja da sam to učinio?! Ja?!
 Pa kako da ja to znam?!

Interpunkcija