Csoportelmélet

A matematikában, azon belül az absztrakt algebrában a csoportelmélet a csoport nevű algebrai struktúrával foglalkozik. A csoport fogalma központi szerepet játszik az absztrakt algebrában: más fontos algebrai struktúrák, mint a gyűrűk vagy a vektorterek, mind felfoghatóak műveletekkel és axiómákkal kiegészített csoportokként.

Különböző fizikai rendszerek, mint a kristályok vagy a hidrogénatom, modellezhetőek szimmetriacsoportokkal. Ezért a csoportelméletnek és az azzal közeli kapcsolatban álló ábrázoláselméletnek rengeteg alkalmazása van a fizikában és a kémiában.

Történet 

Tudománytörténeti szempontból a csoportelméletnek két fő ágát vagy irányát különböztethetjük meg: egy „elméletit” és egy „alkalmazottat”. A csoportfogalom felfedezése elsősorban „elméleti” okoknak, az algebrai egyenletek vizsgálatának köszönhető. Csoportok elméletének alapjait az 1830-as években rakta le Évariste Galois francia matematikus, és halála miatt 1846-ban publikálta Joseph Liouville.

Már Lagrange észrevette, hogy a gyökök permutálásának egymás utáni elvégzése ismét a gyökök egy permutációját eredményezi, sőt vannak az összes permutáción belül olyan még kisebb csoportok, melyek „együtt maradnak” (azaz a csoport elemeinek permutálása csoportbeli elemmel nem ad a csoporton kívüli elemet). Az erre irányuló vizsgálatokat Augustin Cauchy, Niels Henrik Abel és Évariste Galois folytatta. Így alakult ki az első fontos csoportelméleti fogalom, a permutációcsoport fogalma. Galois ezek segítségével oldott meg egy régi és nagyon nehéz problémát, az algebrai egyenletek gyökképlettel való megoldhatóságának problémáját. A „csoport” elnevezés is tőle származik.

A csoportaxiómáknak megfelelő tulajdonságok (kommutativitás, asszociativitás stb.) bevezetését az angol algebrai iskola már korábban megtette; erre alapozva Arthur Cayley vezette be a csoport absztrakt fogalmát, s ezzel a csoportelmélet meghaladta a puszta permutációcsoportok elméletét (lehetővé téve a másféle, igen fontos alkalmazásokat). Cayley nevéhez fűződik annak az egyszerű tételnek a bizonyítása, hogy „lényegében minden csoport egy permutációcsoport” (reprezentációs tétel). Ő vezette be a művelettábla (Cayley-tábla)), a Cayley-gráf és a hasonló, a szemléltetést könnyítő hasznos fogalmakat. Richard Dedekind kiterjesztette a csoport fogalmát kommutatív csoportokra is.

Az első komoly alkalmazások (már ha Galois eredményét szintén elméletinek tekintjük) Felix Klein (ld. erlangeni program) és Sophus Lie nevéhez fűződnek.

A csoportelméletnek ma különösen nagy szerepe van más tudományokban is:
a „kristályosodási csoportok” a kémiában és geológiában, bizonyos transzformációk szimmetriacsoportjai pedig az elméleti fizikában központi jelentőségűek.

A csoport definíciói, alapfogalmak 

A csoport olyan (G, ·) egyműveletes algebrai struktúra, ahol G tetszőleges nemüres halmaz, · pedig egy ·(x,y): G×G → G, azaz a G-beli elempárokhoz G-beli elemeket rendelő függvény, melyekre teljesülnek az alábbi tulajdonságok (csoportaxiómák):

Belátható, hogy bármely csoportban a neutrális elem egyértelmű, és minden elemnek pontosan egy inverze létezik.

A neutrális elemet az egyszerűség és a könnyebb szemléltethetőség kedvéért gyakran egységelemnek vagy nullelemnek nevezik.

Belátható, hogy egy (G,·) algebrai struktúra akkor és csak akkor csoport, ha teljesül A1). és a következő A2'). tulajdonság:

T1. tétel: Bármely csoportban legfeljebb egy egységelem létezik, az egységelem egyértelmű.
 Biz.: Legyen e,f eleme G egységelem G-ben, ekkor tetszőleges a eleme G-re a·e = e·a = a és a·f = f·a = a is teljesül A1). szerint. Ekkor persze f-re is teljesül az a·e = e·a = a egyenlőség miatt f·e = e·f = f, e-re pedig az a·f = f·a = a egyenlőség alapján e·f = f·e = e. Minthogy az egyenlőség tranzitív reláció, e·f = f és e·f = e alapján f = e, azaz bármely két egységelem egyenlő, tehát tényleg nincs két különböző egységelem.

T2. következmény: Bármely (G,·) csoportnak pontosan egy egységeleme van.
 Biz.: A2) alapján létezik egységelem, T1) alapján pedig ha létezik, akkor pontosan egy létezik, ebből következően létezik is, és pontosan egy létezik.

Egy csoport rendjén elemeinek számát értjük, és |G|-vel jelöljük.

Hatványozás. Az általánosított asszociativitási tétel (GAT).

Részcsoportok 

Ha a  csoport egy  részhalmaza maga is csoportot alkot a -ra leszűkített  művelettel, akkor -t a  részcsoportjának v. alcsoportjának nevezzük ( a  leszűkítése). A részcsoport jelölése: . Részcsoportok metszete maga is részcsoport; részcsoportok uniója általában nem az.

Ha , akkor -t  valódi részcsoportjának nevezzük.

Megjegyzések:
  nem lehet üres, hiszen legalább az egységelemet tartalmazza.
  rendje osztja  rendjét.

Mellékosztályok 
Legyen  és . Ekkor
 az  halmazt   szerinti bal oldali mellékosztályának, illetve
 a  halmazt   szerinti jobb oldali mellékosztályának nevezzük.

Megjegyzések:
 Általános esetben a bal és jobb oldali mellékosztályok különböznek.
 Két bal oldali (ill. jobb oldali) mellékosztály vagy megegyezik vagy nincs közös elemük, és a bal oldali (ill. jobb oldali) mellékosztályok lefedik a teljes -t (azaz uniójuk előállítja -t).
 Az egyes mellékosztályok számossága megegyezik (megegyezik tehát  rendjével).

Lagrange tétele 
Az előző szakasz megjegyzései alapján: véges csoport tetszőleges részcsoportjához tartozó mellékosztályok száma (amit a részcsoport indexének nevezünk és így jelölünk:  ) osztója a csoport rendjének.  rendje maga is osztója  rendjének, és
. Ez Lagrange tétele.

Normálosztó, faktorcsoport 

Egy G csoport N részcsoportja normálosztó ha jobb oldali és bal oldali mellékosztályai megegyeznek, azaz G minden g elemére  teljesül. Jelben .

Ekkor az N mellékosztályai által alkotott csoportot faktorcsoportnak nevezzük és G/N-nel jelöljük.

Homomorfizmus és izomorfizmus. Homomorfizmus-tétel 
Legyen  és  két csoport és legyen  : G → H olyan leképezés, hogy tetszőleges  elemekre . Az ilyen  leképezést homomorfizmusnak nevezzük.
Speciálisan, ha  bijektív, akkor a homomorfizmust izomorfizmusnak hívjuk, és azt mondjuk, hogy  és  izomorf csoportok.

Ha , azaz  -t önmagára képező izomorfizmus, akkor speciálisan azt mondjuk, hogy  a  csoport automorfizmusa. Tetszőleges  csoport automorfizmusai csoportot alkotnak a függvénykompozícióra mint műveletre nézve. Ennek a csoportnak a jele , egységeleme az identikus leképezés.

Legyen  -t -ba képező homomorfizmus. Azoknak a  elemeknek a halmazát, amelyekre , a  homomorfizmus magjának nevezzük és -vel jelöljük.  elemei csoportot alkotnak, méghozzá  normálosztó -ben.

A  faktorcsoport izomorf -vel. Ez az állítás homomorfizmus-tétel néven ismert.

Centrum, centralizátor 

Legyen  tetszőleges csoport. Azoknak a  elemeknek a halmazát, amelyekre igaz az, hogy  minden -re,  centrumának nevezzük és (a német Zentrum szóból eredően, hagyományosan) -vel jelöljük.  sohasem üres halmaz, mert ,  elemei csoportot alkotnak, mi több .  akkor és csak akkor kommutatív, ha .

Legyen . Azoknak az  csoportelemeknek a halmazát, amelyekre igaz az, hogy ,  centralizátorának nevezzük és -val jelöljük.  sohasem üres halmaz, mert , sőt  csoport.  az a – tartalmazást tekintve – legbővebb csoport, amelyben  még centrumelem;  ⇔ .  az összes elem centralizátorának a metszete.

Konjugálás, konjugáltosztályok, osztályegyenlet 
Legyen  csoport. Egy  csoportelemnek egy  csoportelemmel vett konjugáltját az  kifejezéssel definiáljuk.

Megjegyzések:
 A fönti definícióval , ,  és  ( a  egységeleme,  tetszőlegesek).
 Egyes szerzők a konjugáltat az  kifejezéssel definiálják (akkor az előző megjegyzés 2. egyenlete helyett az  teljesül), illetve az  jelölést is használják (amiből nem derül ki, hogy melyik elemmel konjugáltak).

Vezessük be  elemei között a  relációt a következőképpen: az  csoportelemekre . Könnyen belátható, hogy  ekvivalenciareláció, tehát  szerint  diszjunkt elemosztályokra bontható, amelyeket konjugáltosztályoknak nevezünk. Két csoportelem pontosan akkor van ugyanabban a konjugáltosztályban, ha azok egymás konjugáltjaiként előállíthatók.

A konjugáltosztályok általában nem részcsoportok. Egy részcsoport éppen akkor normálosztó, ha előáll teljes konjugáltosztályok uniójaként. Speciálisan a csoport centruma épp az egyelemű konjugáltosztályok uniója.

Az -t tartalmazó konjugáltosztály rendje megegyezik  indexével. Ezért véges csoportban a konjugáltoszályok rendje osztója a csoport rendjének. Jelölje  a  csoport egynél több elemű konjugáltosztályait. Mivel a konjugáltosztályok -nek partícióját alkotják, felírható az alábbi, osztályegyenletnek nevezett egyenlőség:

Itt jobb oldalon minden tag osztója  rendjének.

Megjegyzés. Az osztályegyenletből egyszerű számolással következik, hogy ha , ahol  prím, akkor  nem egyelemű. Valóban, a -k mind oszthatók -vel, csakúgy mint , ezért  is osztható -vel.

Abel-csoportok. Bázis 

Abel-csoportnak a kommutatív csoportokat nevezzük. Ilyenek például az egy elem hatványaiból álló ciklikus csoportok. Ezekből direkt szorzással újabb Abel-csoportokat kapunk.

Ha Abel-csoportokról van szó, akkor az asszociatív műveletet sokszor összeadásnak hívják, és additív jelölést használnak.

További példák Abel-csoportokra:
 additív:
 egész számok
 racionális számok
 valós számok
 komplex számok
 kvaterniók
 egy adott n-nel osztható egész számok
 egy  számra az  szám egész számszorosai
 multiplikatív:
 racionális számok a 0 nélkül
 valós számok a 0 kivételével
 komplex számok a 0 nélkül

Véges Abel-csoportok alaptétele (VAT) 
Egy véges Abel-csoport prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt szorzatával izomorf. A prímhatvány rendek és a tényezők multiplicitása egyértelműen meghatározottak.

Egyszerű csoportok 
Egy csoport egyszerű, ha csak triviális normálosztója van
(az egész csoport és az egységelemből álló csoport). Szokás szerint nem számítjuk az egyszerű csoportok közé a kommutatívakat, tehát az egyelemű, illetve prímrendű ciklikus csoportokat.
A csoportelmélet egyik nevezetes problémája a véges egyszerű csoportok leírása,
azzal a (kissé leegyszerűsített) meggondolással, hogy a véges csoportok amúgy is egyszerű csoportokból, csoportbővítéssel, állnak elő, ezért bármilyen probléma megoldható, ha megoldjuk véges egyszerű csoportokra és leírjuk a bővítéseken való viselkedését.

A véges egyszerű csoportok leírása a matematika leghosszabb bizonyítása, sokáig kb 10.000 oldal volt, de 1982-ben sikerült lerövidíteni a bizonyítást kb. 5000 oldalra. Sok matematikus dolgozott rajta sok évig, és ez a bizonyítás nem egy könyvben van leírva, hanem rengeteg egymásra hivatkozó cikk formájában matematikai folyóiratokban, amit lehetetlen teljes egészében áttekinteni, és többen kételkednek a „bizonyítás” bizonyítás voltában az olyan jellegű kereszthivatkozások miatt, hogy: „amennyiben igaz az A tétel, akkor abból következik, hogy…”.

Sylow-csoportok 

Legyen p prím. A P részcsoport p-Sylow-csoport, ha rendje , ahol  nem osztója a G csoport rendjének.

A Sylow-csoportokról szólnak a Sylow-tételek.

I. Tétel - Legyen a G véges csoport rendje n=m*p^h, ahol p prím, h>=1, p nem osztója m-nek. Ekkor minden k<=h van G-nek p^k rendű részcsoportja, amit normálosztóként tartalmaz egy p^(k+1) rendű részcsoport.

Meg kell még említeni a Cauchy-tételt, amit egyes felépítésekben lemmaként használnak a tételhez, míg más felépítésekben következményként adódik.

Tétel - minden olyan p prímre, amely osztja a G csoport rendjét, van p rendű elem G-ben.

II. Tétel - Adott p prímre, amely osztója a G csoport rendjének, G összes P-Sylowja konjugált. Sőt, az összes p^k rendű részcsoport konjugált egymással, ahol 1<=k<=h

Következmény - G összes P-Sylowja izomorf

Következmény - a p-Sylowok száma osztója m-nek

III. Tétel - A p-Sylowok száma p-vel osztva 1-et ad maradékul.

Számos alkalmazásuk van, erős eszközt adnak.

Normállánc 
Egy G csoport normálláncának azokat a G részcsoportjaiból alkotott sorozatokat nevezzük, ahol minden egyes tag normálosztója az előzőnek.
.

Itt r akár 0 is lehet.

A normállánc faktorai az / faktorcsoportok. Két normállánc izomorf, ha faktoraik ugyanazok.

Az  lánc az L finomítása, ha L összes elemét tartalmazza, és hosszabb.

A normállánc kompozíciólánc, ha tovább nem finomítható. Nem minden csoportnak van ilyen, de a végeseknek van.

Honnan ismerjük fel, hogy valóban kompozícióláncot kaptunk?

Állítás - Egy normállánc akkor és csak akkor kompozíciólánc, ha minden faktora egyszerű csoport.

Véges csoportokra van még a Jordan–Hölder-tétel a kompozícióláncokról

Tétel - Véges csoport bármely két kompozíciólánca izomorf.

Feloldható csoportok 

A G csoportot feloldhatónak nevezzük ha van olyan normállánca, amelynek minden faktora Abel-csoport.
Feloldható csoport minden részcsoportja és faktorcsoportja is feloldható.
Legyen H G-nek normális részcsoportja. Ha G/H és H feloldható csoportok, akkor G is feloldható.

Példák:
 Sn akkor és csak akkor feloldható, ha n<5.
 Speciálisan, S4 negyedfokú szimmetrikus csoport feloldható.
 Minden Abel-csoport feloldható.

Nilpotens csoportok 
A G csoport egy normálláncát centrálláncnak nevezünk, ha a normállánc minden eleme normálosztó a teljes csoportban, és a normállánc szomszédos elemeinek faktorcsoportja részcsoportja G centrumának. G-t nilpotensnek nevezünk, ha létezik véges centrállánca. A definícióból azonnal következik, hogy a nilpotens csoportok feloldhatóak.

Ha G nilpotens, akkor minden centrálláncának ugyanaz a hossza. Ezt a közös hosszúságot G nilpotenciaosztályának nevezzük. Minden Abel-csoport nilpotens, és nilpotenciaosztálya 1. További, kevésbé triviális példák a nilpotens csoportokra a p-csoportok. Minden véges csoport Frattini-részcsoportja is nilpotens.

Szabad csoportok 

Legyen X adott halmaz. Képezzük X elemeinek formális inverzét, ezek alkotják az X^-1 halmazt. Az X fölötti szabad csoport azokból a szavakból áll, amelyeket X és X^-1 elemeiből képezhetünk. Egyenlőnek tekintjük azokat a szavakat, amelyek xx^-1 és x^-1x alakú szavak beírásával és törlésével egymásba alakíthatók.

Állítás - ha két szó egymásba alakítható, akkor elég törölni az xx^-1 és x^-1x-eket.

A szabad csoport művelete a konkatenáció, vagyis a szavak egymás után írása. A csoport egységeleme az üres szó, amit sokszor 1 -gyel jelölnek. Egy szó inverzében ugyanazok a betűk szerepelnek, mint az adott szóban, csak megfordítva és invertálva. Belátható, hogy a csoportaxiómák teljesülnek.

Gráfreprezentáció

Permutációcsoport 
Az  részcsoportjait valamilyen n pozitív egészre permutációcsoportoknak nevezzük.

Cayley tétele szerint minden véges csoport reprezentálható permutációcsoportként.

Reguláris reprezentáció: feleltessük meg h eleme G-nek a következő permutációt:
,
ahol  a G csoport összes eleme felsorolva.

Példák permutációcsoportokra: különféle alakzatok szimmetriái: sokszögek, kocka,…

Orbit és stabilizátor 

Legyen most G permutációcsoport  fölött.

 egy x elemének orbitja, más néven pályája azokat az  -beli elemeket tartalmazza, amelyekbe átvihető valamely g eleme G vel. x stabilizátora  azokból a g eleme G -kből áll, amik x -et fixen hagyják. Ez részcsoport G-ben.

Tétel - Orbit-stabilizátor tétel: x orbitjának elemszáma egyenlő x stabilizátorának indexével G -ben. (Következésképpen az orbitok elemszáma osztja a csoport rendjét.)

A G csoport tranzitív, ha  bármely két i,j eleméhez van g eleme G, ami átviszi i-t j -be. G n-szeresen tranzitív, ha bárhogy is írunk elő két n - est  elemei közül, akkor van g eleme G, ami átviszi az első n -est a másodikba. Ha G tranzitív, akkor  valamennyi eleme egyetlen orbithoz tartozik.

Példa - kocka szimmetriacsoportja

Legyen A a kocka egyik csúcsa. Átvihető a szomszédos csúcsokba forgatással vagy élsíkra tükrözéssel. Több lépésben akárhova. Orbitja az összes csúcs, ez 8 elem. Stabilizátorának rendjét 8-cal szorozva a kocka szimmetriacsoportjának rendjét kapjuk.

Hatás 
Legyen G csoport. G hat az X halmazon, ha teljesülnek a következők:
 ha g elemeG, x eleme X, akkor gx eleme X,
 gh*x=g*(h*x)
 1 egységeleme G-nek, 1*x=x

Példák
 a G csoport hat önmagán balról vagy jobbról szorzással
 a G csoport hat önmagán konjugálással
 a kocka permutációcsoportja hat a kocka élein, lapjain

További információk 
 A megalázott géniusz, YOUPROOF
 Alice és Bob - 24. rész: Alice és Bob komolyabb fegyverekhez nyúl
 Alice és Bob - 25. rész: Alice és Bob fontos párhuzamokat talál

Források 
 Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
 Fried Ervin: Algebra I.
 Pelikán József: Algebra I.

 

ml:ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം