Număr complex

În matematică, numerele complexe sunt numere introduse ca soluții ale ecuațiilor de forma  cu  număr real strict pozitiv.

Formal, corpul numerelor complexe, notat cu , este mulțimea tuturor perechilor ordonate de numere reale , înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai jos:

Elementul neutru al operației de adunare este  iar elementul neutru al operației de înmulțire este 

Deoarece  și , mulțimea numerelor reale poate fi privită ca subcorp a lui , identificând numărul real  cu 

Numărul complex  are proprietatea  adică  Fiindcă niciun număr real nu are această proprietate, numărul  a fost denumit „unitatea imaginară” de René Descartes, iar de aici vine notația . În present, „numerele imaginare” se referă la numere complexe de forma  adică  cu  număr real.

Există o similaritate între operația de adunare a numerelor complexe și adunarea vectorilor. Numerele complexe permit obținerea unor valori pentru funcțiile sinus, cosinus prin rezolvarea prin 2 procedee (algebric și trigonometric) a unei ecuații binome implicând rădăcini ale unității.

Istoric 

Așa cum numerele iraționale apăruseră din necesitatea de a descrie soluții ale ecuațiilor de forma  unde  nu este un pătrat perfect, numerele complexe au fost introduse ca soluții ale ecuațiilor de forma  cu  număr real strict pozitiv.

Primul matematician care menționează sumar radicali de ordinul II din numere negative exprimate ca diferență de numere intregi pozitive e Heron din Alexandria la un calcul legat de o mărime geometrică pentru trunchiul de con.

Următorul matematician care descoperă prezența radicalilor din numere negative (la studiul ecuației de gradul al treilea) e Girolamo Cardano in 1545. Tratatul din 1572 al lui Rafael Bombelli face un studiu al regulilor operațiilor cu numere complexe. Acest studiu e continuat în secolul următor de René Descartes și John Wallis, ulterior de Abraham de Moivre și Roger Cotes care stabilesc conexiunea dintre numere complexe și trigonometrie. Cotes in 1715 ajunge la a deduce formula lui Euler sub formă logaritmică. Logaritmii numerelor negative ca numere complexe sunt analizați de Leonhard Euler.

Ulterior se extinde la scară extinsă printre matematicieni acceptarea reprezentării geometrice prin planul complex cu Caspar Wessel, Jean Robert Argand și Carl Friedrich Gauss (în memoriul său din 1932).

Forma algebrică 
Ținând cont de cele de mai sus, orice număr complex  corespunde la o singură pereche ordonată  unde  și  sunt numere reale, și poate fi scris

Această scriere  este numită forma algebrică a numărului . Spre exemplu:
  și 
  este numit unitatea imaginară sau, mai simplu, „numărul i”. Are proprietatea  

Pentru un număr complex   se numește partea reală a lui  și se notează  iar  se numește partea imaginară a lui  și se notează  Un număr complex cu partea reală nulă (deci de forma ) se mai numește „număr imaginar”.

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe 

Așa cum unui număr real îi se poate asocia un punct de pe o dreaptă, tot astfel, unui număr complex îi se poate asocia un punct aflat într-un plan denumit planul complex. Numărului complex  i se asociază punctul  situat pe un cerc de rază egală ca lungime cu modulul  numărului complex. Această asociere stă la baza diagramelor Argand. Raza unui cerc dusă din originea sistemului de coordonate până la punctul  este un vector euclidian de poziție al punctului respectiv.

Reprezentarea grafică pentru numere complexe a fost studiată începând cu John Wallis.

Planul complex cartezian 
Reprezentarea numerelor complexe în planul complex se poate face prin coordonatele carteziene constituite de axa reală orizontală (abscisa)  și axa imaginară verticală (ordonata) .

Planul complex în coordonate polare 

Folosirea unui sistem de raportare prin coordonate polare în plan permite situarea punctului din plan asociat unui număr complex pe un cerc de rază egală cu modulul numărului complex, modul egal cu lungimea (modulul) vectorului dec poziție al punctului reprezentat de numărul complex.

Cercul asociat unui număr complex constituie un loc geometric al numerelor complexe cu același modul.

Folosirea în probleme de geometrie 
Numerele complexe pot fi folosite în probleme geometrice similar cu folosirea vectorilor euclidieni. Diferența a două numere complexe în forma algebrică este echivalentă cu un vector orientat de la punctul asociat celui de al doilea număr complex (care este al doilea termen al scăderii) către punctul asociat primului număr complex (care este primul termen al scăderii).

Folosirea numerelor complexe permite demonstrarea unor teoreme geometrice, de exemplu teorema bisectoarei.

Relații și operații cu numere complexe 

 Egalitatea a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di are loc dacă a = c și b = d.

 Suma a două numere complexe z = (a,b) = a + bi și w = (c,d) = c + di este z + w = (a + c, b + d) = (a+c) + i(b+d). Pentru diferență componentele numărului complex care se scade sunt luate cu semnul minus, adică se adună opusul numărului complex care se scade.

 Produsul a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w = (c,d) = c + di este zw = (ac-bd,bc+ad) = (ac-bd) + i(bc+ad).
 Exemple: pentru z = (2,3) = 2 + 3i și w = (1,4) = 1 + 4i avem suma z + w = (3,7) = 3 + 7i și produsul zw = (-10,11) = -10 + 11i.

Numerele complexe permit factorizarea unei sume de pătrate similar procedeului de la diferență a două pătrate în produsul sumei prin diferență.

 Împărțire 
Numărul complex  se numește conjugatul complex al numărului complex  (vezi mai jos).

Pentru fiecare număr complex  în afară de zero, se poate găsi un număr complex  invers lui Pentru aceasta înmulțesc numărătorul și numitorul fracției cu numărul complex  conjugat numitorului: 

Se definește rezultatul împărțirii numărului complex  cu un număr diferit de zero 
 
Ca și în cazul numerelor reale, împărțirea poate fi înlocuită cu înmulțirea deîmpărțitului cu inversul divizorului.

 Forma trigonometrică 
Orice număr complex a cărui formă algebrică este  poate fi scris și sub formă trigonometrică, adică sub forma , unde  este modulul numărului complex z, iar  este argumentul acestui număr complex .

Forma trigonometrică permite sublinierea rezultatului operațiilor de înmulțire, împărțire, ridicare la un exponent intreg și extragerea de radicali.

 

  

 

 , k={0,1,2,... n-1}

 Forma exponențială 
Numărul complex a cărui formă trigonometrică este  poate fi scris sub forma exponențială . Această posibilitate reiese din formula lui Euler.

 Forma matricială 

Mulțimea matricilor de dimensiuni  de forma:  cu 
reprezintă de asemeni o formă de scriere a numerelor complexe, unde  reprezintă matricea unitate și matricea  reprezintă unitatea imaginară. Avem:
 
 
  (analog cu )
 
Această mulțime reprezintă un subspațiu din spațiul vectorial al matricilor de dimensiuni .

Numerele reale corespund matricilor diagonale de forma 
 

 Conjugatul unui număr complex 

 Conjugatul complex al unui numar  este numărul complex  .
 Proprietățile conjugatului complex :
 
 
 
   

 Modulul unui număr complex 
 Modulul numărului complex  este numărul real . Este lungimea (modulul) vectorului poziție al afixului numărului complex.

 Proprietățile modulului:
 
 
 
  (inegalitatea triunghiului)
 
 
 
 Are loc identitatea  și deci  , dacă 
 .

 Puterile și radicalii numerelor complexe 
 Puterile lui  

Generalizare:

  cu  de forma 

  cu  de forma 

  cu  de forma 

  cu  de forma 

 Puterile naturale ale numerelor complexe 

Pentru puteri naturale  ale numerelor complexe scrise sub forma polară 
există formula de calcul:

sau, folosind forma algebrică a numerelor complexe , se obține prin binomul lui Newton

,
unde  reprezintă coeficientul binomial (numărul de combinări de  elemente luate câte ).

 Puterile complexe ale numerelor complexe 

Dacă baza  și exponentul  al puterii sunt ambele numere complexe, atunci

 Radicalii numerelor complexe 
În privința calculului cu radicali ai numerelor complexe, nu mai sunt valabile regula semnelor de la numere reale nenegative pentru produse și câturi sub radical. Indiferent care din cele două valori se folosesc,  sau  se obține:

Pentru calculul radicalului de ordinul n al unui număr complex  se folosește formula

,
unde  ia valorile . Un număr complex are deci  rădăcini complexe. Astfel, radicalul unui număr complex nu este unic determinat.

 Logaritmul unui număr complex 

Numărul complex  este un logaritm natural al numărului complex  dacă
.
Urmărește că dacă  este un logaritm natural a lui , atunci fiecare dintre numerele , cu , este și el un logaritm natural a lui . Cu alte cuvinte, logaritmul natural al unui număr complex nu este unic determinat, iar logaritmii naturali ai lui  sunt numerele

unde  este logaritmul natural (unic) al numărului real , și  este un argument (neunic) a lui .

Pentru a obține o valoare unică a logaritmului, se poate folosi în formula precedentă valoarea principală a argumentului — adică unicul argument  al lui  astfel încât  Prin convenție, valoare principală a argumentului se notează cu majusculă, pentru a o diferenția din altele argumente:
 și 
Se numește valoarea principală a logaritmului natural numărul complex

Ca pentru valoarea principală a argumentului, valoarea principală a logaritmului natural se notează cu majusculă, pentru a o diferenția din alți logaritmi.

Formulat altfel, dacă , unde  și , atunci valoarea principală a logaritmului lui  este
.

 Formula lui Euler și identitatea lui Euler 
Pornind de la reprezentarea funcțiilor sinus și cosinus pe cercul trigonometric se poate ajunge la formula lui Euler care exprimă un număr complex de modul unitate (rădăcină a unității) prin intermediul funcției exponențiale:

În cazul particular în care  se obține identitatea lui Euler.

 Note 

 Bibliografie 
 Nicolae Mihăileanu, Istoria matematicii, volumul II, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1981, p. 206-208
  
 ***, Manual de Algebră pentru clasa a IX-a, 1988

 Vezi și 

 Cuaternion
 Formula lui Euler
 Formula lui Moivre

 Legături externe 
  John and Betty's Journey Through Complex Numbers
  SOS Math - Complex Variables
  Algebraic Structure of Complex Numbers de la situl cut-the-knot''
  A history of complex numbers.