Erdős Pál

Erdős Pál (Budapest, 1913. március 26. – Varsó, 1996. szeptember 20.) Wolf- és Kossuth-díjas, valamint állami díjas magyar matematikus, az MTA tagja, a 20. század egyik legjelentősebb matematikusa.

Élete 

Apai nagyszülei Engländer Adolf és Zimmermann Teréz, anyai nagyszülei Wilhelm Ármin és Grün Zsófia voltak. Apja, Erdős (Engländer) Lajos matematikatanár volt, aki egyetemi évei alatt összebarátkozott Kármán Tódorral és Fejér Lipóttal is. Ő magyarosította a család nevét Erdősre. Anyja, Wilhelm Anna szintén matematikatanár volt. Szülei 1905. április 9-én Budapesten, a VI. kerületben kötöttek házasságot, s három gyermekük született: Magda (1908–1913), Klára (1910–1913) és Pál. A két lánytestvér – amikor anyjuk kórházban feküdt a leendő matematikussal – szeptikus skarlátban meghalt. A családi tragédia rányomta bélyegét későbbi életükre. Szülei, hogy egyetlen gyermeküket megóvják, sokáig nem íratták fiukat nyilvános iskolába. Így fordulhatott elő, hogy egy elterjedt anekdota szerint 11 éves korában kellett először saját magának bekötnie a cipőjét.

Középiskolába már rendesen járatták, és saját bevallása szerint a történelem volt kedvenc tantárgya. Már a középiskolában kitűnt tehetségével, mint a KöMaL feladatmegoldója. Tagja volt a matematika iránt érdeklődő budapesti középiskolásokat tömörítő Anonymus-csoportnak Turán Pállal, Szekeres Györggyel, Klein Eszterrel és másokkal együtt. A budapesti Szent István Gimnáziumban érettségizett, kiváló eredménnyel.

Jól sikerült érettségije és a numerus clausus 1928-as változtatása együttesen járult hozzá ahhoz, hogy felvegyék az egyetemre. Párhuzamosan járt a Pázmány Péter Tudományegyetemre és a Budapesti Műszaki Egyetemre, mivel így a legjobb professzorokat hallgathatta: Fejér Lipótot, Kürschák Józsefet és Kőnig Dénest.

Hitler hatalomra kerülése miatt a zsidógyűlölet tovább erősödött Magyarországon. Erdős így külföldre kényszerült, s kapóra jött, hogy lehetősége volt ösztöndíjasként Manchesterbe menni tanulni. Négy évet töltött ott, majd az Anschluss és a hazai politikai helyzet romlása miatt a princetoni Institute for Advanced Study-ba ment, amely a matematikai kutatások központja volt olyan tudósokkal, mint Albert Einstein, Neumann János és Wigner Jenő. Stanisław Ulam megpróbálta Erdőst a Manhattan tervbe is bevonni, de Erdős hazakívánkozott. Végül 1948-ban látogatott haza, s ekkor ismerte meg Rényi Alfrédot. A kommunizmus gátlástalan diktatúráját érzékelve újra távozott: a következő években Anglia és az USA között ingázott. 1954-ben a McCarthy-féle antikommunista kampány részeként kitiltották az Amerikai Egyesült Államokból, mert egy USA-ból a vörös Kínába hazatérő matematikussal levelezett; anyja, MTA-titkári pozíciójának megtartása érdekében MKP-tag lett; egy kihallgatása során Marxot nagy tudósnak tartotta. Izraelbe ment, de magyar állampolgárságát megtartotta. 1955-ben rendeződött a viszonya Magyarországgal, az MTA tagnak választotta, s Rényi a Matematikai Kutatóintézetben munkát is ajánlott neki. Ezután budapesti támaszpontjáról indult megszámlálhatatlan világ körüli útjára, melyekre anyját is gyakran magával vitte.

Elsősorban számelmélettel (ezen belül főleg elemi számelmélettel) és kombinatorikával, halmazelmélettel, analízissel és valószínűségszámítással foglalkozott, de a matematika szinte minden ágában alkotott. Számelméleti, illetve kombinatorikai kutatásaival ún. magyar iskolát teremtett. Életében ő volt a kombinatorika kutatásának és alkalmazásának talán legnagyobb egyénisége. Meghonosította a Ramsey-típusú jelenségek vizsgálatát és nagy úttörője volt a véletlen módszerek alkalmazásának. Zsenialitása nemcsak bizonyításaiban mutatkozott meg, hanem nagy problémafelvető is volt: művészi szintre fejlesztette a fontos problémák meglátásának képességét. Sokszor pénzdíjat tűzött ki ezekre, néhány dollárostól több ezer dollárosig.

Élete utolsó évtizedeiben valamelyest hírességgé vált, nemcsak Magyarországon, de az egész világon is. Ebben nemcsak hatalmas életműve játszott szerepet, de sajátos, örökké utazó életformája is, valamint olyan, az újságírók számára hálás téma is, mint sajátos ironikus beszédmódja („Erdős-nyelv” v. „Erdős-szótár”): úr (nő), rab (férfi), epszilon (gyerek), a Jordan-tételt tanulmányozza (börtönben van), meghalt (abbahagyta a matematikai kutatást), szörny (kutya), méreg (alkohol), lényegtelen lény (matematikával nem foglalkozó, az iránt nem érdeklődő ember). Élete végéig erős magyar akcentussal beszélte az angolt. Ver ar zö köpsz? – kérdezte nemegyszer, egy ismeretlen lakás konyhájában bóklászva. Nem véletlen, hogy egy indiai egyetem folyosóján, az előadóteremből kiszűrődő hang alapján Marx György felismerte, hogy ott egy magyar matematikus tart előadást.

Édesanyja 1971-ben bekövetkezett halála után depresszióval küzdött, amire háziorvosa amfetaminokat, Benzedrint és Ritalint írt föl. Ezeket élete végéig szedte. 1979-ben a tudós túlzott gyógyszerfogyasztása miatt aggódó Ronald Grahammal  500$  értékben fogadást kötött, hogy egy hónapra fel tud hagyni a szerekkel, ha úgy akarja. A fogadást Erdős nyerte, de panaszkodott, hogy a tiszta hónap alatt "csak átlagos ötletei voltak". Amikor az 1987-ben az Atlantic Monthly hasábjain megjelenő portrécikkben Paul Hoffman szóvá tette Erdős amfetaminfogyasztását, a matematikus a következőképpen fordult  a szerzőhöz: "... egy dolog nem tetszett: a Benzedrin-ügyet nem kellett volna említened. Nem mintha nem úgy lenne, ahogy írtad; csak nem szeretném, hogy a matematika iránt érdeklődő gyerekek azt higgyék, hogy drogokat kell szedniük a sikerért."

Tagja volt a magyar (1956), az amerikai (1979), az indiai (1988), az angol (1989) és más tudományos akadémiáknak; munkásságáért több külföldi tudományos akadémia választotta tiszteletbeli tagjává. 1500 cikke jelent meg, több mint 500 társszerzővel dolgozott, 15 egyetemnek volt a díszdoktora. 1983-ban megkapta a legmagasabb nemzetközi elismerést, a Nobel-díjjal egyenértékű Wolf-díjat. Magyarországon Kossuth-díjjal (1958) és Állami Díjjal (1983) – számelméleti, approximáció- és interpoláció-elméleti, kombinatorikai, halmazelméleti, valószínűségszámítási, geometriai és komplex függvénytani kutatásaiért, iskolát teremtő tudományos és nevelő munkájáért – tüntették ki.

A matematikusok máig számontartják (félig-meddig viccesen, félig-meddig Erdősnek emléket állítandó) az egyes matematikusokhoz rendelt ún. Erdős-számot, amely azt fejezi ki, hogy a publikálás által mennyire kerültek közel hozzá.

Fontosabb eredményei

Számelmélet 
 Elsőéves egyetemistaként egyszerű bizonyítást adott a Csebisev-tételre: minden egynél nagyobb szám és kétszerese között van prímszám.
 Atle Selberggel elemi bizonyítást adott a prímszámtételre.
 Belátta, hogy van olyan  szám, hogy végtelen sok  prímre  ahol  a következő prím.
 A másik irányban belátta, hogy alkalmas  konstanssal van végtelen sok  prím, hogy
.
 J. L. Selfridge-dzsel belátta, hogy egymásutáni számok szorzata sohasem teljes hatvány.
 Bebizonyította, hogy ,  esetén az  binomiális együttható értéke nem lehet teljes hatvány.
 A. Ginzburggal és A. Zivvel igazolta, hogy  egész szám közül mindig kiválasztható pontosan n, hogy az összegük osztható n-nel (Erdős–Ginzburg–Ziv-tétel).
 Megmutatta, hogy minden monoton additív számelméleti függvény  alakú.
 Megválaszolta Szidon Simon kérdését: van természetes számoknak olyan sorozata, hogy minden egynél nagyobb n természetes szám előáll a sorozat két tagjának összegeként, de legfeljebb -szer.
 Bebizonyította, hogy a
 
sor összege irracionális szám.
 Példát adott olyan, páratlan számokból álló végtelen sorozatra, melynek egyik tagja sem áll elő egy prímszám és egy 2-hatvány összegeként.
 Bebizonyította, hogy ha az  sorozat  Snyírelman-sűrűsége szigorúan 0 és 1 közötti, a  sorozatból K összegeként minden természetes szám előállítható, akkor az  sorozat Snyírelman-sűrűsége -nál nagyobb, azaz minden bázis lényeges komponens.

Kombinatorika 
 Véletlen módszerrel bebizonyította minden n és s értékére n-kromatikus s kerületű (legrövidebb kör hossza) gráf létezését.
 Az átlós Ramsey-számokra a  becslést adta.

  esetén egy n elemű halmaznak legfeljebb

páronként metsző k elemű részhalmaza adható meg (Erdős-Ko-Rado tétel)

 Szekeres Györggyel együtt igazolta, hogy valós számok bármilyen ab+1 hosszúságú sorozata tartalmaz a+1 hosszú növő vagy b+1 hosszú csökkenő részsorozatot (Erdős–Szekeres-tétel)
 Rényi Alfréddal és T. Sós Verával megmutatta, hogy ha egy véges gráfban bármely két csúcsnak pontosan egy közös szomszédja van, akkor van olyan csúcs, ami az összes többivel szomszédos (barátság-tétel).

Halmazelmélet, gráfelmélet 
 A. H. Stone-nal példát adott két olyan, valós egyenesen lévő Borel-halmazra, melyek pontonkénti összege nem Borel-halmaz.
 Bebizonyította, hogy ha egy kontinuumnál nagyobb teljes gráf éleit megszámlálható sok színnel színezzük, akkor van megszámlálhatónál nagyobb egyszínű teljes részgráf.
 Bebizonyította, hogy ha  szinguláris számosság akkor minden  számosságú gráf tartalmaz végtelen teljes vagy  számosságú üres részgráfot.
 Hajnal Andrással megmutatta, hogy ha egy végtelen gráf nem tartalmaz négy hosszúságú kört, akkor megszámlálható sok színnel színezhető.
 Rényi Alfréddal együtt részletesen tanulmányozták a véletlen gráfok tulajdonságait.

Analízis 
 Fellerrel és Pollard-ral megmutatta, hogy ha , ahol , , , ami -re nem hatványsora -nek, akkor  konvergál -hoz.
 W. H. J. Fuchsszal igazolta, hogy ha  természetes számok sorozata, akkor  megoldásainak száma nem lehet  ahol . (Erdős-Fuchs tétel)

Egyéb 
 Belátta, hogy a racionális tagokból álló négyzetesen konvergens sorok metrikus tere egydimenziós, így a dimenzió nem mindig adódik össze topologikus terek szorzatánál.

Leghíresebb problémái 
 Ha az ABC háromszög belsejében levő P pont távolsága a csúcsoktól , az oldalaktól , akkor . (Erdős–Mordell-egyenlőtlenség)
 Ha természetes számok egy sorozatának reciprok összege divergens, akkor a sorozat tartalmaz tetszőleges hosszú számtani sorozatot.
 Természetes számok minden pozitív felső sűrűségű sorozata tartalmaz tetszőlegesen hosszú számtani sorozatot. (Erdős–Turán-sejtés, Szemerédi tétele) 
 Ha a kn pontból álló gráfban minden pont foka kisebb, mint k, akkor k színnel egyenletesen színezhető, tehát úgy, hogy minden színosztályban pontosan n pont van. (Hajnal–Szemerédi-tétel)
 Ha egy gráf n darab, egymást páronként legfeljebb egy pontban metsző teljes n-es gráf uniója, akkor n színnel színezhető. (Erdős–Faber–Lovász-sejtés)
 Ha egy végtelen gráfban a és b össze nem kötött pontok, akkor van a-t és b-t összekötő utak egy P rendszere és a-t és b-t elválasztó pontok egy S halmaza, hogy S minden pontja pontosan egy P-beli útra illeszkedik és minden P-beli út pontosan egy S-beli pontot tartalmaz (általánosított Menger-sejtés, 2007-ben igazolta Ron Aharoni és Eli Berger).

Élete évszámokban 

 1913. március 26., Budapest – szülei matematikatanárok
 1930 – Budapesten egyetemi tanulmányok kezdete; a Pázmány Péter Tudományegyetem és a Műszaki Egyetem között ingázva folytatta tanulmányait, mindkét egyetem professzorainak (Fejér Lipót, Kürschák József, Kőnig Dénes) előadásait hallgatva.
 1934 – doktorátus – Manchesterbe megy, ott 4 évet tölt
 1938–39 – Princeton, Institute for Advanced Study (IAS)
 1943 – Purdue University
 1948 – rövid látogatásra Magyarországra utazik
 1949 – Atle Selberg és Erdős elemi bizonyítást adtak a prímszámtételre
 1951 – Cole Prize (American Mathematical Society), számelméleti cikkei, de főleg a prímszámtétel elemi bizonyítása miatt
 1952 – University of Notre Dame
 1954 – a McCarthy-féle antikommunista kampány miatt kitiltják az USA-ból – 10 évet Európában, Izraelben és számos más helyen tölt
 1963. november – megkapja a vízumot az USA-ba
 1964. november – ettől kezdve édesanyja elkíséri utazásain
 1971 – Szele Tibor-emlékérem (Bolyai János Matematikai Társulat)
 1971 – Anyuka meghal egy kanadai úton, Calgaryban. Ezt Erdős soha nem heveri ki.
 1973 – a Londoni Matematikai Társaság tiszteletbeli tagjává választotta
 1975 – vendégprofesszor a cambridge-i Trinity College-ban
 1983 – Wolf-díj, Állami Díj
 1991 – Akadémiai Aranyérem (Magyar Tudományos Akadémia)
 1996. szeptember 20., Varsó – szívroham

Érdekességek 
 A matematika történetében csak egy termékenyebb alkotó volt nála: a svájci Leonhard Euler.
 A különböző serkentőszereknek köszönhetően napi 19 órát tudott dolgozni.
 Rendszeresen pénzt küldött – névtelenül – Rámánudzsan özvegyének.

Könyvei 
 Erdős Pál, Surányi János: Válogatott fejezetek a számelméletből, Tankönyvkiadó, 1959. Második, bővített kiadás: Polygon, Szeged, 1996.
 P. Erdős, J. Spencer: Probabilistic methods in combinatorics, Akadémiai Kiadó, Budapest, Academic Press, New York, 1974.
 P. Erdős, A. Hajnal, A. Máté, R. Rado: Combinatorial set theory: Partition relations for cardinals, Akadémiai Kiadó, Budapest, North-Holland, Amszterdam, 1984.

Portréfilm 
 N Is a Number: A Portrait of Paul Erdös (~N egy szám: Erdős Pál portréja, 1993, rendezte: George Paul Csicsery)

Nevét viseli 
 Erdős-emlékelőadás (Amerikai Matematikai Társulat)
 Erdős Pál-díj (korábban Matematikai Díj, Magyar Tudományos Akadémia)
 Erdős-szám (Egy tudományos cikk szerzőjének Erdős Páltól mért távolsága a társszerzői kapcsolati hálózatban.)
 Erdős Pál Kollégium (az ELTE kollégiuma)
 Erdős terem a Szent István Gimnáziumban, ahol Erdős Pál érettségizett

Jegyzetek

Források 
 Bollobás Béla (Nature) cikke
 Magyar Rádió Kincsestár

Ajánlott irodalom 
 Erdős Pál: Hogyan lettem matematikus és világvándor – és néhány közérthető kedvenc problémámról és eredményemről
 Pósa Lajos: Mesék Pali bácsiról
 
 
 Paul Hoffmann: A Prímember. Scolar Kiadó, 1999, 288 oldal
 Egy angol nyelvű oldal Erdős Pálról

További információk 
 Cikkeinek ismertetése a Zentralblatt für Mathematik-ban 
 P.Erdős, problems and some results in additive number theory (Joel H. Spencer) – Néhány additív számelméleti probléma, melyekkel Erdős foglalkozott (PDF)
 Fotó
 
 A magyar matematikus, akit évekig megfigyelt az FBI – a semmiért  2015-07-25, hir24.hu

Kapcsolódó szócikkek 

 Erdős–Rényi-modell
 A marslakók (tudósok)
 Erdős számtani sorozatokkal kapcsolatos sejtése

 
1913-ban született személyek
1996-ban elhunyt személyek
Magyar matematikusok
Számelmélészek
MTA-tagok
Állami díjasok
Kossuth-díjasok
Szele Tibor-emlékérmesek
Beke Manó-emlékdíjasok
Akadémiai díjasok
Wolf-díjas matematikusok
Zsidó származású magyarok
Emigráns magyarok
Zuglóiak
Budapesten született személyek
Magyarok, akikről kisbolygót neveztek el
A budapesti Szent István Gimnázium diákjai