Halmazrendszer

Halmazrendszeren a matematikában többféle, de sok tekintetben hasonló dolgot érthetünk:
 A naiv halmazelméletben szokás halmazrendszer vagy halmazcsalád néven beszélni olyan halmazokról, melyeknek elemei mind halmazok; erre a kétértelműség fellépte miatt alkalmazzuk inkább szigorúan a halmazcsalád elnevezést;
 Szűkebb értelemben vett halmazrendszeren (a szakirodalomban gyakran indexezett vagy indexelt halmazrendszer néven fordul elő) olyan „rendezett multihalmazt” érthetünk („rendezett” = az elemek sorrendje is számít; „multihalmaz” = az elemek ismétlődhetnek, többször is előfordulhatnak), melynek elemei is halmazok. Rövidebben, halmazrendszeren egyszerűen egy olyan elemrendszert (tkp. „vektort”) érthetünk, melynek elemei is halmazok.
 A kombinatorikában használják a hipergráf szó helyett.

Definíció 
Legyen  tetszőleges halmaz, az ún. indexhalmaz (ez gyakran a pozitív egészek  halmaza). Legyen továbbá  másik tetszőleges halmaz, és jelölje részhalmazai halmazát, azaz hatványhalmazát .

Ekkor valamely

függvényt az  halmaz  indexhalmaz feletti halmazrendszerének nevezzük, és így jelöljük:

Az  halmazt a rendszer  indexhez tartozó taghalmazának (röviden i-edik tagnak vagy i-edik taghalmaznak) mondjuk, és leggyakrabban az  jobb alsó indexes alakban írjuk. Tehát minden -re . Helytelen egy kissé, de általában nem okoz félreértést az  rendszer egy  tagja esetén az , azaz az  jelölés használata.

A halmazrendszerek azonosíthatóak a hipergráfokkal (minden halmazrendszernek megfelel egy és csak egy hipergráf, és viszont).

Megjegyzések a definíciókról: összefüggések és eltérések 
A halmazrendszer fogalma a halmazelmélet fogalmaira úgy alapítható precízen, ha függvényként (elemrendszerként) értelmezzük. E modellben az elemeknek – tag(halmaz)oknak – indexekből és taghalmazokból álló rendezett párok felelnek meg, ezért a taghalmazok „sorrendjére” nézve megkülönböztető erővel bír utóbbiaknak a különböző indexekkel való párosítása még akkor is, ha az indexhalmazon semmiféle rendezés, belső reláció nincs értelmezve. Ugyanezen ok, az eltérő indexek miatt ugyanazon taghalmaz „többször is előfordulhat”, nevezetesen ha  és , akkor és  különböző, noha „ugyanazt a taghalmazt reprezentálja”.

A halmazcsalád és (indexelt) halmazrendszer fogalma tehát különbözik: a halmazcsalád „rendezetlen” halmazok egy halmaza, míg a halmazrendszer bonyolultabb struktúra: „rendezett” halmazok (konkrétan elem-halmaz-párosok) egy halmaza. A szakirodalomban e két terminus jelentése még ingadozó, sok szerző nemcsak egymástól eltérően használja a „halmazrendszer” kifejezést, de néhányan tudatában is vannak az eltéréseknek; ti. a szakkifejezések rögzítetlenségére kifejezetten fel is hívják a figyelmet.

Bár a szakirodalomban a „rendezett” halmazrendszerekre az „indexelt halmazrendszer” kifejezést is szokás alkalmazni – kifejezetten a halmazcsaládok megkülönböztetése miatt –, az elnevezés némileg félreérthető, ugyanis halmazcsaládot is lehet indexes alakba írni (ilyenkor a kerek zárójel helyett kapcsosat írunk: h). Az indexelt halmazcsaládok eo ipso halmazrendszerek (a definíció miatt), a kapcsos zárójel használata csak azt hangsúlyozza, hogy külön kikötjük a tagok ismételhetetlenségét (azaz az  indexelő függvény injektivitását).

A halmazrendszerek jelentősége 
A halmazrendszerek igen hasznosak – persze az olyan halmazelméleti alkalmazásokon túl, mint a kiválasztási axióma formalizálása – a matematikai analízisben, mert már a valós számok halmazának bizonyos gyakori felépítési módjaihoz is sokszor van szükség végtelen sok halmazzal végzett műveletekre (unió, metszet). Az ilyesfajta alkalmazásokon kívül elsősorban a kombinatorika foglalkozik a halmazrendszerekkel, utóbbi esetben persze leginkább véges indexhalmazú és véges taghalmazokkal rendelkező rendszerek jönnek szóba.

Halmazműveletek 
A halmazrendszerekkel különféle műveletek végezhetőek, például
 Unió / Egyesítés: 
 Metszet: .
 Diszjunkt unió vagy szimmetrikus differencia: az unió definíciójában az egzisztenciális kvantort unicit egzisztenciális kvantorra ( = „létezik pontosan egy … ”) kell cserélni;

Számos fogalom sokkal kényelmesebben és ugyanakkor precízebben leírható a második felfogásban definiált halmazrendszerek segítségével, mint pusztán halmazcsaládokra hagyatkozva.

Izomorfia 
Legyen  és  két, az  ill.  indexhalmazok feletti halmazrendszer. Ekkor őket izomorfnak nevezzük, ha van az  és a  halmazok közt olyan  bijekció, melyre igaz, hogy tetszőleges -ra és -re akkor és csak akkor igaz , ha -hez is található olyan  index, hogy . Tehát ha van olyan bijekció, hogy az egy taghalmazba tartozó elemek képei is egy taghalmazba tartozzanak.

Másképp szólva (de ugyanazt mondva), az  és  két, az  ill.  indexhalmazok feletti halmazrendszert izomorfnak nevezzük, ha van olyan  bijektív leképezés, hogy minden -re  legyen; és hasonló teljesül tetszőleges  esetén is. Röviden szólva, ha van olyan bijekció a rendszerek unióhalmazai közt, hogy az  rendszer tetszőleges indexelt taghalmazának e függvény szerinti „képe” (relációmetszete) a  rendszer egy taghalmaza legyen, és viszont: a  rendszer egy taghalmazának e függvény szerinti képe az  egy taghalmaza legyen.

További információk 
 Alice és Bob - 19. rész: Alice és Bob ideáljai

Jegyzetek

Források

Kapcsolódó szócikkek 
 Halmazrendszerek kombinatorikus tulajdonságainak listája

Halmazelmélet
Hipergráfok