Cauchy-sorozat

A Cauchy-sorozatok Augustin Cauchy-ról kapták a nevüket, és fontos szerepet játszanak a matematikai analízisben. Szemléletesen, egy sorozat akkor Cauchy-sorozat, ha a sorozat elejét le tudjuk vágni úgy, hogy a maradék elemek tetszőlegesen közel legyenek egymáshoz.

Definíció valós számsorozatokra
Egy {x1,x2,x3,...} alakú, valós számokból álló sorozat akkor Cauchy-sorozat, ha minden pozitív valós ε-hoz találunk olyan N egész számot, hogy az N-nél nagyobb indexű elemek közül bármely kettő közti távolság kisebb, mint ε.

A valós sorozatok esetében minden Cauchy-sorozatnak létezik határértéke, mert a valós számok halmaza teljes metrikus tér a szokásos abszolút érték metrikával.

Példák:

 Az xn=1/n, n=1,2,3,...sorozat Cauchy-sorozat. Ennek bizonyításához meg kell konstruálni az előre tetszőlegesen adott ε-hoz tartozó N=N(ε) küszöbindexet (a küszöbindex pozitív egész szám). Legyen tehát 0<ε tetszőlegesen adva, valamint n>m. Ekkor 

          

A fenti jelölésben [x] az x valós szám egész részét jelöli. A fenti N küszöbindex eleget tesz a Cauchy-kritériumban kirótt követelményeknek, tehát a sorozat Cauchy-sorozat. Ez a sorozat konvergens is, ha alaptérnek a valós számok halmazát tekintjük. Nevezetesen .

 Legyen . Megmutatjuk, hogy {xn} Cauchy-sorozat. Most is legyen 0<ε tetszőlegesen adva, valamint n>m. Ekkor

          

Így a fenti sorozat valóban Cauchy sorozat. {xn} valójában nem más, mint a  sor n-edik részletösszegeinek sorozata, vagyis azt bizonyítottuk, hogy a sor konvergens, hiszen a részletösszegek sorozata Cauchy-sorozat, így persze konvergens is.

Definíció metrikus terekre

A fenti definíció általánosítható úgy, hogy minden térben, ahol a távolság fogalma megfelelően értelmezett (azaz metrikus terekben), a Cauchy-sorozatok fogalma is értelmezett legyen.

Legyen  metrikus tér. Ekkor az  sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha minden -hoz van olyan , hogy minden  esetén .

Nevezetes átfogalmazás:
az  sorozat Cauchy-sorozat akkor és csak akkor, ha bármely -hoz található olyan  küszöbszám, hogy a sorozat minden -nél nagyobb  indexű tagja benne van az  elem  sugarú környezetében. Ez formálisan így néz ki:

Az ekvivalencia bizonyítása:
Legyen  Cauchy-sorozat, és válasszunk egy  számot. Így van olyan  szám, hogy minden  esetén . , így
minden  esetén .

Visszafele: legyen most  sorozat olyan, hogy teljesíti az átfogalmazásban leírt feltételt.
Válasszunk  számot. Eszereint van olyan , hogy minden  esetén . Legyen , így a háromszög-egyenlőtlenség szerint:

vagyis a sorozat valóban Cauchy-sorozat.

Kapcsolódó definíciók

Egy metrikus teret teljesnek nevezünk, ha abban minden Cauchy-sorozat konvergens.

Példák

A valós számok a szokásos metrikát tekintve teljes metrikus teret alkotnak, azaz a számegyenesen minden Cauchy-sorozat konvergens.

Ezzel szemben ez nem igaz a racionális számokra. Ugyanis, ha tekintünk egy racionális számokból álló konvergens sorozatot, aminek a határértéke irracionális, akkor ennek a nyilván Cauchy-sorozatnak nincs határértéke a racionális számok körében.

Például:
 A következőképp definiált sorozat x0 = 1, xn+1 = (xn + 2/xn)/2 racionális számokból áll (1, 3/2, 17/12,…), mely a definícióból nyilvánvaló; mégis az irracionális  értékhez tart (Newton-módszer).

Tulajdonságok
 Minden Cauchy-sorozat korlátos.
 Minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.

Források
Encyclopedia of Mathematics-on
MathWorld-ön

Sorozatok
Topológia