Hatványhalmaz

A halmazelméletben egy halmaz hatványhalmazának nevezzük az adott halmaz összes részhalmazainak a halmazát.
A halmazok halmazát Ernst Zermelo és Gerhard Hessenberg is vizsgálta. A hatványhalmaz elnevezés későbbi.

Definíció
Ha  halmaz, akkor -val jelöljük és a  halmaz hatványhalmazának nevezzük a  összes részhalmazainak halmazát.
Vagy másképpen:

ahol a  szimbólum a részhalmaz-reláció jele.

A hatványhalmaz halmazrendszer, azaz egy olyan halmaz, melynek elemei halmazok. A  rendszer elemei közé tartoznak a nem valódi részhalmazok, így az üres halmaz és  is. További jelölései:  és .

Példa
Ha  az  háromelemű halmaz, akkor részhalmazai a következők:
 nullaelemű részhalmaza az  üres halmaz
 egyelemű részhalmazai az , a  és a 
 kételemű részhalmazai: ,  és 
 egyetlen háromelemű részhalmaza saját maga: 
Tehát 

További példák:
 
 
 
 
 

Egy halmazrendszer, például egy topológia vagy σ-algebra az alapjukul szolgáló  tér, mint ponthalmaz  hatványhalmazának részhalmaza, azaz  eleme.

Tételek a hatványhalmazról
 Tétel – Ha H véges halmaz és elemszáma az n természetes szám, akkor H hatványhalmazának számossága .

Megjegyzés: Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló  hatványozásra utaló jelölést.

 Tétel – (Cantor-tétel) – Bármely H halmaz esetén  számossága nagyobb H számosságánál.

Jelben: .

 Tétel – A természetes számok hatványhalmazának számossága megegyezik a valós számok halmazának számosságával, azaz kontinuum-számosságú. Tömören: .

Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet.

 Állítás – Ha H halmaz, akkor a
  és  (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes félcsoportok
  a -val és -val mint műveletekkel ellátva Boole-algebrát alkot
  a  relációval ellátva Boole-hálót alkot.

Továbbá a mértékelmélet számára fontos tény, hogy a  hatványhalmaz halmazgyűrű, sőt -algebra (szigma-algebra).

Struktúrája
A  tartalmazás reláció részben rendezés a hatványhalmazon, de nem teljes rendezés, ha a teljes halmaz legalább kételemű. A legkisebb elem az , a legnagyobb a teljes halmaz.

A  részben rendezés teljes háló. Ez azt jelenti, hogy  minden részhalmazának van közös legnagyobb alsó korlátja és legkisebb felső korlátja. Konkrétan ez a metszet, illetve az unió. Jelben, ha , akkor:

A legnagyobb, illetve legkisebb elemek legnagyobb alsó korlátja, illetve legkisebb felső korlátja:

Ha hozzávesszük a komplementerképzést, mint , akkor  Boole-háló, azaz distributív és komplementeres háló.

Minden Boole-háló indukál egy egyértelmű kommutatív gyűrűszerkezetet, ez az úgynevezett Boole-gyűrű. Műveletei az  halmazon a szimmetrikus differencia, mint összeadás, és a metszet, mint szorzás. Az összeadás semleges eleme az üres halmaz, és a szorzás semleges eleme a teljes halmaz.

Karakterisztikus függvény
Ha az alaphalmaz , akkor minden  részhalmazhoz hozzárendelhető egy  karakterisztikus függvény, amelyre:

Ez bijekció  és  között. Ez motiválja a  és a  jelöléseket, mivel a természetes számok Neumann-modelljében  (általában: )

Az  megfeleltetés tisztán bijekció, azonban megfelelő műveleteket definiálva izomorfizmussá tehető.

Számossága
A következőkben  jelöli egy  halmaz számosságát.
 Ha  véges, akkor .
 Minden halmazra teljesül Cantor tétele: .

Végtelen  halmaz esetén is jelölik -nel a  hatványhalmaz számosságát. Az általánosított kontinuumhipotézis szerint, ha az  halmaz végtelen, akkor az  számosság után az  a közvetlenül következő számosság:

Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz-fogalmai
Cantor elméletében, a naiv halmazelméletben egyáltalán nem kétséges, hogy minden H halmaz esetén a  kijelentésből képezett  halmaz létezik. Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát hatványhalmaz-axiómának nevezzük.

Zermelo–Fraenkel-axiómarendszer
ZF-ben (és bővítéseiben) hatványhalmaz-axiómának nevezzük a következő formulát:

ahol  jelöli az  formulát.

Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet
Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható T(x) tulajdonságra az {x|T(x)} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük halmaznak, hanem csak osztálynak. Azt NBG esetén azt mondjuk, hogy a H kifejezés halmaz, ha levezethető az  formula. Ezt a formulát Set(H)-val jelöljük és jelentése: „H halmaz”. Rövidítsük az -t -val. Ekkor a hatványhalmaz-axióma a következő formula:

Bourbaki-halmazelmélet

A francia matematikuscsoport által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden A formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és x változó esetén  jelöli az  formulát, melynek jelentése: „az A(x) tulajdonságból halmaz képezhető (éspedig az {x|A(x)} halmaz)”. Ha  tétel, akkor azt mondjuk, hogy az A formula kollektivizáló az x változóban. A hatványhalmaz-axióma ekkor a következő formula:

ahol  jelöli az  formulát.

Hasonló konstrukciók
Ha  egy halmaz, akkor  azt a halmazrendszert jelöli, mely az  halmaz -nál kevesebb elemet tartalmazó részhalmazaiból áll. Például . A teljes  halmaz hiányzik, hiszen nem tartalmaz kevesebb, mint három elemet.

A hatványképzés kiterjeszthető osztályokra is. Itt arra kell vigyázni, hogy valódi osztályok nem állhatnak az  reláció bal oldalán. Egy K osztály hatványa az az osztály, melynek elemei azok a halmazok, amelyek elemei mind K-beliek. Tehát a hatványhalmaz az osztály részhalmazaiból áll. Valódi osztály hatványhalmaza valódi osztály, mivel egyenként elemei a K elemeiből alkotott egyelemű halmazok, de nem eleme a teljes K osztály. Viszont az üres halmaz eleme.

Történeti adalékok
Georg Cantor, halmazelméletének ellentmondásosságát Russelltől függetlenül saját maga is felismerte. Az általa talált Cantor-antinómia a Cantor-tételből következik. Legyen U az összes halmazok halmaza, azaz bármely H halmazra . A naiv halmazelmélet szerint bármely halmaznak van hatványhalmaza, így U-nak is. Ekkor a Cantor-tétel szerint fennáll a következő egyenlőtlenség: , ami ellentmondás.

Az ellentmondás feloldását az NBG szemléletű osztálykalkulusban tehetjük meg. Eszerint, ugyan lehet képezni a  összességet, de mivel Set(U) cáfolható, azaz U nem halmaz így a Cantor-tétel, mely csak halmazokra vonatkozik nem használható fel.

További információk 
 Alice és Bob - 19. rész: Alice és Bob ideáljai

Források 
 Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, .

Bourbaki halmazelméletéről
 Kristóf János, Az analízis logikai alapjai, ELTE jegyzet, 1998.
(A matematika logikai megalapozása Bourbaki szerint, Kristóf János kitűnő tolmácsolásában. A teljes szöveg elektronikus formában itt. )

 Kristóf János, Az analízis elemei I., ELTE jegyzet, 1996.
(A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki szerint. A teljes szöveg elektronikus formában itt. )
 Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo)
 Cikk a Bourbaki-csoportról

Fordítás

Halmazelmélet