Affin kombináció

Az affin kombináció és a rá épülő affin koordináták fogalma a matematikában elsősorban az euklideszi geometria egyik ága, az affin geometria algebrai leírására szolgálnak, noha maga a fogalom a lineáris algebra részeként is tárgyalható (újabban meg is teszik).

Az affin geometriának két alapvető ágát vagy paradigmáját különböztethetjük meg.
 A (kontinuum)-geometriai vonal: tárgyalható a hagyományos euklideszi geometria részeként, ekkor úgy jelenik meg, mint az egyenestartó transzformációk elmélete – e leképezések minden egyenest egy neki megfelelő egyenesbe képeznek.
 A diszkrét matematikai-kombinatorikai vonal: a véges (véges sok pontot tartalmazó) affin geometria és általában a véges geometria pedig a kombinatorika egyik ága.

Ilyen egyenestartó transzformációk például a képszerkesztő programokból talán jól ismert, valamely – függőleges, vízszintes – irányba történő nyújtások. Az efféle affin transzformációk vektoralgebrai eszközökkel is leírhatóak, s eme leírásnak épp az affin kombinációk és az affin koordináták szolgálnak alapként. Néhány vektor affin kombinációja pedig e vektorok súlyozott összege (azaz lineáris kombinációja), ahol a súlyok (együtthatók) összege 1; a matematikailag pontosabb leírás lentebb olvasható.

Az affin kombináció általános definíciója vektorterekben 

Megjegyzés: használni fogjuk többtagú összeg jelölésére a  (ahol u∈ℕ) ún. szummajelet, bár a lentiek ennek ismeretétől függetlenül is érthetőek. A szummajel használatáról ld. az összeg címszavunkat.

Legyen adott egy T test feletti  ( egységelemmel rendelkező) vektortér (lineáris tér).

Ekkor adott
 skalárrendszer és
  vektorrendszer esetén, (ahol ), a

lineáris kombinációt az adott  vektorok  skalárokkal (az együtthatókkal) vett affin kombinációjának nevezik, amennyiben  is teljesül.

A fogalomnak jobbára a hagyományos euklideszi geometriában van jelentősége.

Affin kombináció az euklideszi geometriában 

A hagyományos  euklideszi tér is könnyedén vektortér struktúrájúvá tehető, ha rögzítünk egy  pontot, az origót, és tetszőleges  pontot azonosítjuk a  helyvektorral.
A fenti definíció ekkor ilyen alakot ölt:

Definíció: Legyenek adottak a  pontok. E pontok  tulajdonságot kielégítő, , skalárokkal képezett affin kombinációja az a  pont, amelynek  helyvektorára teljesül:

Azaz melyre 

 teljesül.

Ezt röviden, az O kezdőpont elhagyásával (amire a II. Megjegyzés jogosít fel) így is szokás írni (a:

Megjegyzés I.: A fenti definíció tetszőleges véges dimenziós  euklideszi térre is érvényes.
Megjegyzés II.: Nem nehéz belátni, hogy egy pontrendszer affin kombinációja független a koordináta-rendszertől, azaz az O kezdőpont megválasztásától! Adott pontrendszer adott számokkal való affin kombinációja mint helyvektor nem ugyanonnan bár, de mindig ugyanabba a pontba mutat, akárhogy változtatjuk is az O pontot. Ez azért lehetséges, mivel megköveteltük, hogy az együtthatók összege 1 legyen. Az 1-en kívül nincs olyan valós szám, ami ugyanennek az állításnak eleget tenne.

Belátható, hogy:
 Két (különböző) pont összes affin kombinációinak halmaza a két pontot összekötő egyenes (ld. Kiegészítés);
 Három nem egy egyenesbe eső pont összes affin kombinációja pedig a három pontra fektethető sík;
 Négy nem egy síkban fekvő pont összes affin kombinációja pedig a teljes tér;
 Ráadásul a tér minden pontja egyértelműen áll elő a négy pont egy-egy affin kombinációjaként;
 …
 Általában pedig az n dimenziós euklideszi tér minden pontja egyértelműen áll elő n+1 darab „független”, de egyébként tetszőleges pont affin kombinációjaként (függetlenek a pontok, ha semelyik kettő nem esik egybe, semelyik három nem esik egy egyenesre, semelyik négy egy síkba, …, és általában semelyik i + 1 darab nem esik egyszerre egy i térdimenziós altérbe). Lentebb közöljük a bizonyítását ennek.

Ez utóbbi az alapja a térbeli affin koordináták bevezetésének.

Az affin kombináció speciálisabb és jóval érdekesebb esetei a konvex kombinációk, illetve a súlyozott pontrendszerek súlypontjai (Például konvex kombinációkról akkor beszélünk, ha az együtthatók mind nemnegatívak).

Kiegészítés

Két pont affin kombinációi 

Tekintsük az  síkban az  helyvektorokkal adott különböző  pontokat, ekkor, minthogy érvényes , írható . Mármost a vektor számmal való szorzásának definíciója szerint, ha <A,B> jelöli az A,B pontokon átmenő egyenest, akkor  valamilyen  valós számmal, azaz 

 .
Így adható meg az összes, <A,B> egyenesen fekvő P pont helyzete az A-hoz viszonyítva, hogy alkalmazkodjunk az érvényes koordináta-rendszerhez és megkapjuk a P pontok helyvektorait, azt kell megnéznünk, hogyan juthatunk az origóból P-be, nos úgy, hogy először elmegyünk az A pontba (a  vektorral elmozdulva), és aztán az A-ból a P-be (hozzáadjuk az eddigi elmozduláshoz még a  vektort). Összesen tehát 
.

Ezzel beláttuk a következőt: egy P pont akkor és csak akkor van rajta az <A,B> egyenesen, ha felírható az A,B pontok helyvektorainak olyan lineáris kombinációjaként, melyben az együtthatók összege 1 (), tehát ha felírható az egyenes e két pontjának affin kombinációjaként.

Véges dimenziós euklideszi tér pontjainak affin előállítása 

Valójában hasonló gondolatmenettel lehet belátni az analóg állítást tetszőleges  véges n dimenziós  euklideszi térre.

Legyenek adva az  pontok, melyekhez valamelyiket kezdőpontul választva – legyen , ahol  és  - az  helyvektorok tartoznak. Ez n+1 darab vektor lesz, de mivel az egyik épp a  nullvektor, valójában olyan, mintha csak n vektorunk volna (ez csak egy bizonyítástechnikai probléma, a következők érvényességét nem befolyásolja).

Tegyük fel, hogy e pontok – értsd: a megfelelő vektorok, az előbb említett nullvektort beleértve – lineárisan függetlenek, azaz az általuk meghatározott (generált) altér pontosan n dimenziós, vagyis épp  (ugyanis n dimenziós térnek nincs valódi n dimenziós altere, csak önmaga). Tehát minden  pont előáll az adott vektorok lineáris kombinációjaként, mégpedig egyértelműen (s ezen az sem változtat, ha egy nullvektort is hozzáírunk a lenti összeghez,  nulla együtthatóval, hogy az együtthatók összege se változzon):

 

Azaz

Innen, hozzáadva ehhez az egyenlőséghez -t, 

Ez utóbbi pedig az n dimenziós tér tetszőleges P pontjának előállítása az  vektorok affin kombinációjaként, minthogy az együtthatók összege épp 1 (látható, még az a biztonsági követelmény is fölösleges volt, hogy  legyen).

Lásd még 

 Affin geometria
 Affin transzformáció
 Affin koordináták

Affin geometria