Riemann-sejtés

A Riemann-sejtés, amelyet először Bernhard Riemann fogalmazott meg 1859-ben, egyetlen számelméleti tárgyú dolgozatában, a Riemann-féle zéta-függvény zérushelyeinek eloszlásával foglalkozik (és így a prímszámok lehető legegyenletesebb eloszlását állítja). Sokan (így például Erdős Pál is) az egész matematika legfontosabb problémájának, koronagyémántjának tartják. Egyike a Hilbert-problémáknak, és az egymillió dollárt érő millenniumi problémáknak is. A legtöbb matematikus igaznak tartja, bár például John Edensor Littlewood és Atle Selberg hangoztatott kétségeket.

A Riemann-féle zéta-függvény ζ(s) egyváltozós, komplex számokon értelmezett függvény, értelmezési tartománya a teljes komplex számsík, az s = 1 eset kivételével. Ha s>1 valós szám, akkor a konvergens

sor állítja elő, ez még akkor is konvergens, ha s komplex, de valós része 1-nél nagyobb. Így például az ismert Euler-féle formula miatt ζ(2)=π²/6. Ha s valós része nem 1-nél nagyobb, akkor analitikus folytatással kapjuk a függvény értékeit.

Vannak úgynevezett triviális gyökhelyei a negatív páros számokban, azaz az s = −2, s = −4, s = −6, … értékeknél. A Riemann-sejtés a nem triviális esetekkel foglalkozik, és kimondja:

A Riemann-féle ζ-függvény minden nem triviális gyökének a valós része 1/2.

Tehát a nemtriviális gyökök az 1/2 + it alakú számokból álló úgynevezett kritikus egyenesen vannak, ahol t valós szám és i a képzetes egység.

Ekvivalens állítások 
Számos, elsőre egyszerűnek tűnő állítás valójában ekvivalens a Riemann-hipotézissel, például:

1. minden  természetes számra teljesül

ahol  az első  szám legkisebb közös többszörösét jelöli.

2. Robin tétele: Guy Robin 1984-ben bizonyította, hogy a következő állítás:  minden n > 5040-re;  ahol σ(n) az osztóösszeg-függvény, és γ az Euler–Mascheroni-állandó; szintén ekvivalens a Riemann-sejtéssel.

3. Lagarias tétele: 2002-ben Jeffrey Lagarias megmutatta, hogy a Riemann-sejtés ekvivalens a σ(n) osztóösszeg-függvényre vonatkozó következő felső becsléssel:

minden n természetes számra, ahol Hn a harmonikus sorozat ().

A Riemann-féle zéta-függvény

A Riemann-féle zéta-függvény egy komplex értékű függvény. Definíciója a komplex sík  tartományán a következő:

 

ahol s a komplex szám. Ezt a függvényt kiterjesztik a komplex síkra, kivéve az egyet, ahol pólusa van.

Fontos tulajdonsága, hogy kapcsolódik a prímszámokhoz, továbbá összekapcsolja a komplex függvénytant a számelmélettel, és rá alapul a Riemann-sejtés. Mindezek miatt a sejtésnek számos következménye van a számelmélet különböző területein.
Leonhard Euler 1748-ban ezzel az összefüggéssel mutatta meg a kapcsolatot:

 

ahol a  végtelen szorzat befutja a prímszámokat. Ez az összefüggés a számelmélet alaptételének és a mértani sor összegképletének közvetlen következménye.

Ezzel a képlettel a Riemann-féle zéta-függvény a teljes komplex síkra kiterjeszthető, kivéve az  egyszeres pólust, tehát meromorf függvényt kapunk.
,

ahol  a teljes gammafüggvény, és  a Bernoulli-számok. Az első néhány Bernoulli-szám:

Jelentősége

Kapcsolat a prímszámokkal
Már Riemann is felismerte a zéta-függvény és a prímszámok közötti kapcsolatot. Cikkében analitikus kifejezést keresett a prímszámláló függvényre. A kapcsolathoz a következő képletből indult ki:

Ennek logaritmusát véve:

Végül az

integrállal sikerült Riemann-nak a zéta-függvény logaritmusát analitikusan kifejeznie. Ehhez

ami minden x-nél kisebb prímhatványra összegzi az -t. Például,

Ez egy lépcsős függvény. Így  integrálképlete:

A Fourier-analízis mestereként Riemann inverz Mellin-transzformációval a következőre jutott:

ahol c > 1. A továbbiakban a kszí-függvénnyel kezdett el foglalkozni:

Innen már egyszerű volt a második nem triviális kifejezést megkapnia -re:

A továbbiakban ezt behelyettesítette  helyére:

Ennek nehézkes kiértékelése ellenére sikerült a következőre jutnia:

ahol  az integrállogaritmus. Ezután egy Möbius-inverzióval összekapcsolta a  és a  függvényeket:

ami egy mélyebb összefüggést ad a prímszámok és a zéta-függvény gyökei között.

Megjegyzés: Numerikus számítás esetén a Riemann-képletben az összegben -t -szel kell helyettesíteni, ahol  a komplex integrálexponenciális függvény, mivel  kiértékelésekor a logaritmus főágára nem biztos, hogy teljesül , így hamis eredményre jutnánk.

Következmények
Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor a prímszámok számának becslése pontosítható:
(Helge von Koch 1901):
 

Sőt, Koch eredménye ekvivalens a Riemann-sejtéssel. Az előbbi összefüggés egy másik alakja:

egy  konstans erejéig, és ennek egy szigorú gyengítése (ami nem ekvivalens):
 

tetszőleges -ra.

Az analitikus számelméletben sok eredmény, sőt a kriptográfiában is fontos gyors prímtesztek is csak a Riemann-sejtést feltéve vannak bizonyítva. Michael Berry fizikus szerint a zéta-függvény komplex gyökeiben kódoltan megjelennek a prímszámok eloszlásának fluktuációi az aszimptotikus logaritmikus eloszlás körül. A pontos eloszlás ismeretében pontosabb kijelentések tehetők arról, hogy egy tartományban mennyi prímszám van.

A sejtés egy különben kaotikusan viselkedő függvény egy szimmetriatulajdonságáról szól. A zéta-függvény kaotikusságát mutatja, hogy minden, az azonosan nullától különböző analitikus függvényt egy 1/4 sugarú körben approximál. Ez a szimmetria maga valószínűleg egy alapvető elméletet rejt, ahogy például a nagy Fermat-tétel is az elliptikus görbék moduláris függvényekkel való paraméterezését, amit a Langlands-program vizsgált.

Története

Eredete
A sejtést Bernhard Riemann vetette fel, amikor a zéta- és a gammafüggvény szorzatát tanulmányozta. Ez írható az
,

alakban. Erről Riemann kiderítette, hogy invariáns arra, hogy felcseréljük az -t -sel. Más szavakkal, megfelel az

függvényegyenletnek. Az  helyettesítéssel nyerte a következőt minden -re:

Ennek a tükrözésnek a tengelye az 1/2 valós részű komplex számok egyenese, ami pontonként fix. Riemann ugyan valós gyökökről írt, de ezzel arra gondolt, hogy az  kritikus sávban a

egyenlet csak valós t-kre oldható meg.

Gyökmentes tartomány 
Az analitikus számelméletben a komplex számokat általában s=σ+ti alakban szokták felírni, tehát σ a valós rész, t a képzetes rész.
A sejtés tehát az, hogy a 0≤σ≤1 sávba eső gyökökre σ=½ teljesül. Először Jacques Hadamard és Charles Jean de la Vallée-Poussin igazolta, hogy nincs a σ=1 egyenesen gyök. Ebből már következik a prímszámtétel és mint utóbb kiderült, ekvivalens is vele. De la Vallée Poussin azt is igazolta, hogy ha s=σ+ti, akkor

teljesül.

Ezt Littlewood javította meg 1922-ben:

A következő eredményt Korobov és Vinogradov adta 1958-ban:

minden ε>0-ra.

A legjobb eredmény szerint ha |t| ≥ 3, akkor

Általánosítási kísérlet 
Pólya György 1919-ben felállította azt az erősebb sejtést, hogy tetszőleges x természetes számra azon  számok száma, amiknek páratlan sok prímtényezője van (összesen), legalább annyi, mint amennyinek páros. Ezt C. Brian Haselgrove 1958-ban megcáfolta, nem igaz például x=-re.

Hamis riasztások 
 1885-ben Stieltjes rövid jegyzetet publikált a párizsi akadémia Comptes Rendusjében és egy Hermite-nek írt levelében megerősítette, hogy bebizonyította a Mertens-sejtést, ami erősebb, mint a Riemann-sejtés. Bizonyítást azonban haláláig nem publikált, és jegyzetei között sem találták nyomát.
 A kiváló matematikus, Johan Jensen 1899-es cikkében megemlítette, hogy bebizonyította a Riemann-sejtést.
 1943-ban Hans Rademacher az utolsó pillanatban vonta vissza cikkét a Transactions of the American Mathematical Society c. folyóiratból, miután Siegel megtalálta a hibát.
 1961-ben az odesszai egyetem folyóiratában publikálta hibás bizonyítását N. I. Gavrilov. Később külön brosúrában majd könyvben is megjelentette, az ogyesszai illetve a lembergi egyetem kiadásában.
 2004. június 8-án a Purdue Egyetem sajtóközleményében jelentette be Louis de Branges, hogy fáradozásai sikerrel jártak: bizonyítását feltette a világhálóra. Sajnos ebben egy olyan megközelítést használt, amelynek a cáfolatát már 1998-ban bemutatták. De Branges ezen kívül még számos hibás bizonyítást adott az invariáns alterek problémájára, a mérhető számosságok nemlétezésére és a Riemann-sejtésre. A Bieberbach-problémára adott 1984-es bizonyítása azonban utóbb helyesnek (pontosabban javíthatónak) bizonyult.
 2007-ben tette közzé a Riemann-sejtés cáfolatát Tribikram Pati. Bizonyítását hibásnak mutatta ki például Bernhard Johann Krötz.

Általánosításai
Az általánosított Riemann-sejtésen rendszerint a következőt értik:

Tetszőleges Dirichlet-karakterhez tartozó Dirichlet-sor analitikus folytatásának

a  kritikus sávban az összes gyökére teljesül, hogy  Ennek a Riemann-sejtés egy speciális esete. Andrew Granville belátta, hogy ez az általánosított Riemann-sejtés ekvivalens a Goldbach-sejtéssel.

Kapcsolatai más sejtésekkel
Az analitikus számelméletben más sejtések is kapcsolatba hozhatók a Riemann-sejtéssel.

A Merstens-sejtés azt állítja, hogy  minden -re. Itt  a Möbius-függvény és  a Mertens-függvény. A Riemann-sejtésnél szigorúbb sejtést 1985-ben megcáfolták.

Arnaud Denjoy valószínűségi értelmezést adott a Riemann-sejtésnek. Legyen  egy véletlen sorozat az (1, -1) elemekből egyenlő valószínűséggel. Ekkor minden -ra

ami azt jelenti, hogy a nullától való távolság legfeljebb olyan gyorsan nő, mint . Ha itt  a Möbius-függvény, akkor a Riemann-hipotézis ekvivalens azzal, hogy ez az aszimptotikus növekedés az összegre is érvényes.(Littlewood 1912) Littlewood továbbá azt is belátta, hogy a Riemann-sejtés a következővel is ekvivalens: Minden  esetén a  tart a nullához, ha x  tart a végtelenhez. A Riemann-hipotézis értelmezhető úgy, hogy a Möbius-függvény eloszlása véletlenszerű.

Továbbá következik egy korlát is a prímszámtétel hibájának növekedésére. Koch eredménye azonban ekvivalens a Riemann-hipotézissel.

A következőből következik a Riemann-hipotézis:

A Lindelöf-sejtés a zéta-függvény növekedéséről a kritikus egyenes mentén gyengébb a Riemann-sejtésnél, de nincs bizonyítva.

Riesz Marcell 1916-ban megmutatta az ekvivalenciát a Riesz-függvény aszimptotikus viselkedésével kapcsolatos sejtéssel. Jerome Franel 1924-ben egy Farey-sorokról tett kijelentéssel kapcsolatban bizonyított ekvivalenciát. Ez azt állítja, hogy a (0,1) intervallum racionális számainak rendezése lineáris formába és a Farey-sorok sorrendje egy jóldefiniált matematikai értelemben annyira eltér, amennyire csak lehet.

Jeffrey Lagarias 1992-ben egy ekvivalens sejtést fogalmazott meg az elemi számelmélet eszközeivel.

Bizonyítási ötletek a fizikából
A bizonyítás újabb ötletei a fizikából származnak. Már David Hilbertnek és Pólya Györgynek feltűnt, hogy a Riemann-sejtés következne abból, hogy ha a gyökök egy (1/2 + i T) operátor sajátértékei lennének, ahol T hermitikus, tehát minden sajátértéke valós, mint a kvantummechanika Hamilton-operátorainak. Az 1970-es években Hugh Montgomery beszélgetve Freeman Dysonnal arra jutott, hogy az egymást követő gyökök távolsága hasonló eloszlást mutat, mint a véletlen unitérmátrixok sajátértékei. Ezt Andrew Odlyzko numerikus számításokkal megerősítette.
Az 1990-es években fizikusok is, mint Michael Berry keresték az ezeket megalapozó rendszert, a kvantumkáosz elméletének rendszerében. Ez további támogatást kapott a Riemann-féle zéta-függvény explicit képleteinek és a Selberg-nyomformuláinak analógiájától, ami egy Riemann-felületen értelmezett Laplace-Beltrami-operátor sajátértékeit hozza kapcsolatba a zárt geodetikus görbék hosszával, és a kvantumkáosz Gutzwiller-képletével. Ez összekapcsolja egy klasszikus kaotikus rendszer, mint kvantummechanikai rendszer sajátértékeket (energiákat) a klasszikus eset periodikus pályáival. Ezek a nyomformulák azonosságot fejeznek ki a gyökök, pályaperiódusok és sajátértékek között.

Az Alain Connes által 1996-ban megadott operátor gyorsan illeszkedik. Mindazonáltal nem tudta kizárni a kritikus egyenesen kívüli gyökök létét.

Egy további, a fizikából származó ötlet a Jang-Li-gyökök, amelyek a statikus mechanika analitikus folytatásának állapotösszegei. Jang Csen-ning és Li Cseng-tao bizonyították Pólya György egy eredményéből, hogy bizonyos modellek esetén a gyökök egy körön, más modellekben egy egyenesen helyezkednek el. A gyökök helye a fázisátmenetek alatti viselkedést határozza meg, hasonlóan, mint a Riemann-féle zéta-függvény a prímek elhelyezkedését.

Ezek mögött a következő analógia rejlik: A prímszámok elemi részecskék, amelyek a szorzás által kölcsönhatásba lépnek egymással, és így építik fel az összetett számokat. Ezzel együtt mindegyiket az összeadás építi fel. A zéta-függvényben ez a két aspektus összekapcsolódik.

Freeman Dyson 2009-ben az egydimenziós kvázikristályokkal hozta kapcsolatba a sejtést.

Jegyzetek

Fordítás

Források 
 
 A Purdue egyetem sajtóközleménye
 M. Watkins oldala az állítólagos bizonyításokról 
 
 
 
 Harold Edwards: Riemann’s Zeta Function. New York 1974, Dover 1991, .

További információk 
 
 
 

Analitikus számelmélet