Természetes számok

Természetes számoknak nevezik
 a nemnegatív egész számokat, tehát a 0, 1, 2, 3, 4 … számtani sorozat tagjait,
 más értelmezés szerint a pozitív egész számokat, tehát az 1, 2, 3, … számtani sorozat tagjait.

A sorozat lépésköze 1, tehát a sorozat következő tagját mindig úgy kapjuk, hogy az utolsó taghoz hozzáadunk 1-et. Végtelen sok természetes szám van, mivel bármilyen nagy számhoz is hozzá tudunk adni 1-et, újabb tagot képezve a sorozatban.

A természetes számok halmazát a matematikában egy tipográfiailag kiemelt félkövér  vagy „blackboard bold” (kontúros)  (Unicode: U+2115) betűvel jelölik (a latin naturalis, azaz 'természetes' szó nyomán). A természetes számok halmazának megszámlálhatóan végtelen számú eleme van.

A természetes számok az összeadásra és a szorzásra kommutatív félgyűrűt alkotnak.

Történelmi vonatkozások

A "természetes" elnevezés eredete 

Az ókorban a természetes számokat egyszerűen csak számoknak nevezték (a görögök még az 1-et sem értették közéjük); más nevezetes számosztályokat nem tartottak számon (a racionális számokat pl. számok arányainak tekintették, nem pedig önálló számosztálynak).

A "természetes" elnevezés valószínűleg csak a 19. század végén alakult ki. R. Dedekind, akitől a nevezetes számosztályok (természetes, egész, valós stb.) betűs jelöléseinek egy része származik (ezek szintén ebben az időben alakultak ki), egy 1872-es cikkében a természetes számokról még mint „úgynevezett természetes számokról” beszél (vagyis a kifejezés még nem rögzült teljesen). Grosschmid Lajos magyar matematikus egy 1911-es számelméleti cikkében (egy lábjegyzetben) Dedekindnek tulajdonította a „természetes” kifejezést („Természetes szám alatt - Dedekind nyomán - értek bármely pozitív raczionális egész számot. V. ö. : naturliche Zahl; Dirichlet-Dedekind i.m. XI. Suppl. 436. l.”).

Természetes szám-e a nulla? 

A szakirodalomban eltérések találhatóak abban, hogy a 0 számot a természetes számok közé sorolják-e; másképp szólva, hogy a "természetes szám" elnevezéssel a {0; 1; 2; 3; 4, ....} vagy az egy elemmel szűkebb {1; 2; 3; 4; ...} halmazt illessük-e. Mivel ez nem szorosabb értelemben véve matematikai probléma (nem lehet matematikai tételekből kiszámítani vagy bebizonyítani, természetes szám-e a nulla), hanem pusztán egy elnevezés tartalmáról való döntés, így definíció, megállapodás kérdése, hogy mi tartozik a névvel jelölt csoporthoz. A kérdés mégsem érdektelen, mert, bár a probléma nem matematikai jellegű, eldöntésének már vannak ilyen következményei - a feladatok, állítások, tételek rendszeresen hivatkoznak a természetes számok halmazára, és a feladat megoldhatóságát, a tétel érvényességét vagy bizonyíthatóságát döntheti el a fogalom értelmezése.

Régebben a nulla nem tartozott a természetes számokhoz. A klasszikus, ösztönszerű számfogalom megformálódásakor sem vesszük a számok közé a „semmit”, a nulla Európába csak arab közvetítéssel jutott el a középkorban, a nullával nem lehet osztani. Ennek az értelmezésnek az alátámasztására következzenek idézetek:
„természetes számok: pozitív egész számok;”
„A természetes számok pozitív számok. ... A 0 nem tartozik sem a negatív, sem a pozitív számokhoz, hanem azokat szétválasztja.”
„Tegyük fel, hogy , ési) ,
ii) minden  esetében .Ekkor .
...
 ... vezessük be a későbbiekben is gyakran előforduló   jelölést.”

A 19. században, halmazelméleti levezetésekben vették először a nullát, mint üres halmazt a természetes számok közé, a definíciót „nem-negatív egész számok”-ra módosítva. Az egyértelműség keresésének szándékával született az a szokás, hogy a nem-negatív egészeket , a pozitív egészeket, tehát a nulla nélküli értelmezést pedig  vagy  szimbólummal jelölik; az  jel önmagában bizonytalanságban hagyja az olvasót. Az  jelöléssel is lehet találkozni, de ennek értelmezése nem egységes.

Jellemző, hogy G. Peano, akinek a természetes számok első formális matematikai jellegű elméletének lefektetését tulajdonítják, első ilyen tárgyú cikkeiben még nem sorolta a 0-t a természetes számok közé, későbbi cikkeiben (1898-tól, Formulaire de mathématiques II. c. kiadvány, 2. fej.) azonban már igen. Peano használta és vezette be (ugyanott) a fentebb említett N0 és N1 jeleket is a kétféle számhalmaz megkülönböztetésére.

 A természetes számok formális-axiomatikus elmélete – a Peano-aritmetika 

Minden matematikai természetű témakör akkor tehető tudományos vizsgálódás tárgyává, ha rögzítjük azt az axiomatikus elméletet, melyben a témakör összes állítása formális kijelentés alakjában megfogalmazható. A természetes számok matematikájának axiomatikus elmélete, mint elsőrendű elmélet a Peano-aritmetika, jelben: PA (Giuseppe Peano olasz matematikus tiszteletére).

A PA alapfogalmai a 0 konstansjel (individuumnév), melyet nullának nevezünk, a ' egyváltozós függvényjel (egybemenetű névfunktor), melyet rákövetkezés vagy szukszceszor operátornak mondunk (szemléletesen n'  az n számot pontosan eggyel követő szám), a + kétváltozós függvényjel, azaz az összeadás és a  függvényjel, ami a szorzás.

A PA axiómái a következők (az n, m, k, … jelek olyan változók, melyek természetes számokat szimbolizálnak):
(P1) n'  0
(azaz a nulla semminek sem rákövetkezője)
(P2) n' = m'  n = m
(ha két szám rákövetkezője egyenlő, akkor a számok is egyenlők)
(P3) n + 0 = n
(a nulla alaptulajdonsága)
(P4) n + m' = (n + m)'
(összeg rákövetkezője)
(P5) n  0 = 0
(nullával való szorzás)
(P6) n  m' = (n  m) + n
("elődisztributivitás")
(P7) ( F(0) & (F(n)  F( n' ) ) )  F(n)
(a teljes indukció formulasémája, F tetszőleges a Peano-aritmetika nyelvén megfogalmazható tulajdonság (predikátum))

A 0 rákövetkezőjét, 0'-t 1-gyel jelöljük. A (P1) axiómába n helyére 0-t helyettesítve ekkor kapjuk, hogy

 A természetes számok a halmazelméletben 
A Peano-aritmetika halmazelméleti modelljének nevezzük az olyan (N, 0, ', +, ) rendezett 5-öst, ahol N halmaz, 0 ∈ N, ' :N N függvény, +:N  N  N, és :N  N  N pedig művelet, melyekre teljesülnek a PA rendszer axiómái.
 Standard modell 
A természetes számok halmazelméleti modelljeként kiválóan megfelel a

halmaz. Itt rendre

A természetes számok halmaza végtelen (mégpedig megszámlálhatóan végtelen), számosságát az

(alef null – itt  a héber ábécé első betűje) szimbólummal jelöljük. Ha mint rendszámra gondolunk rá, akkor az

jelet használjuk.

A természetes számok halmaza a legkisebb számosságú végtelen halmaz.Rendezési tulajdonságok: A természetes számok halmazának egy nagyon fontos tulajdonsága, hogy (a szokásos rendezéssel) jólrendezett, azaz akárhány (de legalább egy) természetes számot kiválasztva azok közt van egy legkisebb.

 Algebrai tulajdonságok Algebrai tulajdonságok: A természetes számok halmaza az összeadással kommutatív félcsoport, a szorzással szintúgy. Az (N,+) egyműveletes struktúrát a természetes számok additív félcsoportjának, míg az (N, ·) egyműveletes struktúrát a természetes számok multiplikatív félcsoportjának nevezzük.

A természetes számok halmaza zárt (a négy alapművelet közül) az összeadásra és a szorzásra.
Axiomatizálás
Először Richard Dedekind definiálta axiómákkal a természetes számokat 1888-ban implicit módon. Ettől függetlenül  Giuseppe Peano 1889-ben egyszerűbb és formálisan precíz axiómarendszert adott meg.Zur Unabhängigkeit von Dedekind siehe: Hubert Kennedy: The origins of modern Axiomatics. In: American Mathematical monthly. 79 (1972), S. 133–136. Auch in: Kennedy: Giuseppe Peano. San Francisco 2002, S. 35 f. Ezeket a Peano-axiómákat elterjedten használják. Mivel az eredetihez másodfokú predikátumlogika szükséges, azért használják ennek gyengébb változatát, a Peano-aritmetikát. Más, hasonló axiómarendszerek a  Robinson-aritmetika és a primitív rekurzív aritmetika.

A természetes számok definiálhatók a Peano-axiomákkal. Ekkor a természetes számok halmaza az, ami eleget tesz a Peano-axiómáknak. Végtelen sok halmaz van, ami megfelel ezeknek a kritériumoknak, de ezek csak a jelölésben különböznek, a viselkedésük ugyanaz. A matematikában ezt izomorfiának nevezik. Ezt az eredményt Dedekind-féle egyértelműségi tételnek nevezik. Emiatt lehetséges a természetes számokról beszélni.
Neumann János modellje
Neumann Jánosnak sikerült a természetes számokat halmazokkal ábrázolnia, azaz megalkotta a természetes számok halmazelméleti modelljét:

A kiindulási elem a „0“ a  üres halmaz. Az „1“ az az egyelemű halmaz, aminek egyetlen eleme a nulla. Ez különbözik az üres halmaztól, mivel annak nulla eleme van.

A rákövetkezési reláció azt a halmazt adja, ami tartalmazza az adott halmaz összes elemét, és a halmazt is. Más szavakkal, az adott halmaz és az azt egyelemű halmazként tartalmazó halmaz uniója. Ez utóbbi diszjunkt az adott halmaztól, így minden halmaz különbözik az előzőtől, tehát a rákövetkező reláció injektív.

Az egyes természetes számok létezését már a gyenge halmazelméleti axiómák biztosítják. A természetes számok  vagy  halmazának létezéséhez a Zermelo-Fraenkel-axiómarendszerben egy külön axiómának, a végtelenségi axióma biztosítja.

A konstrukció további folytatása, illetve további megelőző számok nélküli számok definiálása a rendszámokat hozza létre.
A valós számok részhalmaza
A természetes számok definiálhatók induktívan, a valós számok közül kiválasztva.

A valós számok egy  részhalmaza induktív, ha teljesíti a következőket:
 0 eleme -nek
 Ha  eleme az  halmaznak, akkor  is eleme az  halmaznak.

Ekkor  az  induktív halmazainak metszete.

 További információk 
 Alice és Bob - 11. rész: Alice és Bob számelméletet épít
 Alice és Bob - 12. rész: Alice és Bob rendet tesz

 Jegyzetek 

Források
Természetes számok
Természetes számok a MathWorld-ön
 Bertrand Russell: Einführung in die mathematische Philosophie. Drei-Masken, München 1919, F. Meiner, Hamburg 2006, .
 Johannes Lenhard, Michael Otte (Hrsg.): Einführung in die mathematische Philosophie. F. Meiner, Hamburg 2002, .
 Harald Scheid: Zahlentheorie''. 2. Auflage. BI-Wiss.-Verl., Mannheim 1994, .

Fordítás

Kapcsolódó szócikkek 
 A természetes számok összeadása
 Számok

Egész számok