Riemann-integrálás

Az integrálszámítás tágabb értelemben a matematika analízis nevű ágának a része, újabb és szűkebb értelemben azonban csak a primitív függvények meghatározásának módszertanát és technikáit értjük alatta. Eredeti tárgykörét a 20. században jelentős eredményekkel gazdagított mérték- és integrálelmélet fogadta magába.

A matematikában az integrál fogalma alatt általában a valós függvénytan kalkulusán belül oktatott, Riemann-féle integrál fogalmát értjük, és az integrálszámítás szűkebb értelemben vett célja valós függvények primitív függvényeinek meghatározása, és ezek alkalmazása különféle (például geometriai és statikai) problémák megoldásában.

Alapintegrálok 

Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket.

Általános integrálási szabályok

Tagonkénti integrálás 

A tagonkénti integrálás az integrálandó lineáris kifejezések széttagolhatóságát jelenti, a következő műveleti tulajdonságok folytán:

Additivitás

Összegfüggvény (különbségfüggvény) primitív függvénye a tagok primitív függvényeinek összege (különbsége).

Homogenitás

Függvény konstansszorosának primitív függvénye a függvény primitív függvényének konstansszorosa.

Tagonként integrálható függvények például a polinomfüggvények.

Parciális integrálás 

A vizsgált intervallumon folytonosan differenciálható f és g függvények esetén

Parciálisan integrálhatók például a sinn x, cosn x, exsinn x és excosn x függvények, továbbá P(x) valós polinomfüggvény esetén parciálisan integrálható:
   választással;
   választással;
   választással;
   választással;
   választással;
   választással.

Helyettesítéses integrálás 

A vizsgált intervallumon folytonos f és folytonosan differenciálható g függvény esetén, ha F = ∫ f(x) dx, akkor

Megjegyzés. A helyettesítést az f( g(x) ) g'(x) alakú integrandus esetén konkrétan is elvégezhetjük, ha bevezetjük a t = g(x) új integrálási változót. Ennek differenciálja pont dt = g'(x) dx, így ekkor az integrál ∫ f(t) dt alakot ölt:

Nevezetes alesetek:

{| cellspacing="10"
|-

|  (a lineáris belső függvény esete)
|-

|-

|
|-
| colspan="3" | Az utolsó példa konkrét alkalmazásaiként kapjuk, hogy
|-
! 

|-
| colspan="3" |     illetve
|-
! 

|}

Speciális integrálási módszerek

Racionális törtfüggvények integrálása 

Egy valós változóból és valós számokból a négy alapművelettel képzett, végső soron két polinom hányadosaként előálló  racionális törtfüggvény integrálása a következő lépésekben történhet:
 A valós együtthatós racionális  törtfüggvényt maradékos osztással az  alakra hozzuk, ahol a  polinom fokszáma már kisebb, mint a  polinom fokszáma.
 A  nevezőt első- és (negatív diszkriminánsú) másodfokú főpolinomok egyértelműen előálló szorzatára bontjuk:

 A  törtet a  faktorainak megfelelő parciális törtek összegére bontjuk fel:                     A parciális törtek  együtthatói a megfelelő lineáris egyenletrendszer megoldásával számíthatók ki.
 A parciális törtekre bontott kifejezést tagonként integráljuk a következő összefüggések alapján:

 Az utolsó integrandus nevezőjében lévő másodfokú polinomot pedig teljes négyzetté alakítva, a megfelelő helyettesítéssel az integrál  alakúra hozható, amelyet a következő redukciós formula segítségével számíthatunk ki:

Trigonometrikus függvények integrálása 

Trigonometrikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett  racionális kifejezések integrálása a  helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből ;  és  adódik.

Exponenciális függvények integrálása 

Az exponenciális függvényből és valós számokból a négy alapművelettel képzett  racionális kifejezések integrálása a  helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből  adódik.

Hiperbolikus függvények integrálása 

Hiperbolikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett  racionális kifejezések integrálása a  helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből ;  és  adódik.

Minthogy azonban a hiperbolikus függvények voltaképpen speciális exponenciális függvények, az exponenciális függvények integrálási módszere is alkalmazható rájuk.

Irracionális függvények integrálása 

A négy alapműveleten kívül gyökvonást vagy törtkitevőt is tartalmazó irracionális kifejezések integrálása a megfelelő helyettesítéssel sok esetben szintén visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására. A legfontosabb esetek a következők:
  alakú kifejezés integrálása  helyettesítéssel;
  alakú kifejezés integrálása  helyettesítéssel;
  alakú kifejezés integrálása  esetén , illetve  esetén  helyettesítéssel;
  alakú kifejezés integrálása  helyettesítéssel, ahol  a kitevők  nevezőinek legkisebb közös többszöröse.

Az Euler-féle helyettesítések 

 alakú irracionális kifejezések integrálása a következő helyettesítések valamelyikével általában visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására:
 ;
 ;
  ahol  az  polinom valós gyöke.

A határozott integrál alkalmazásai

Területszámítás

Görbe alatti terület 

Az  határozott integrál geometriai jelentése: az , ,  egyenesek és az  függvénygörbe által határolt síkidom előjeles területe (abban az értelemben, hogy az x tengely alá eső területrészt az integrál negatív előjellel számolja). Ebből következik, hogy az  és  függvénygörbék, valamint az  és  egyenesek által határolt síkidom területe: 

Az , ,  paraméteres alakban megadott görbe alatti terület:

Szektorterület 

Az , ,  paraméteres alakban megadott görbéhez az origóból húzott szektor területe: 

Az ,  polárkoordinátás alakban megadott görbéhez az origóból húzott szektor területe:

Ívhosszszámítás 

Ha az  függvény az  intervallumon differenciálható, és  ugyanitt folytonos, akkor a függvénygörbe hosszúsága az adott intervallumon: 

Az , ,  paraméteres alakban megadott folytonos ív hossza: 

Az ,  polárkoordinátás alakban megadott folytonos ív hossza:

Térfogatszámítás 

Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos  függvény írja le, akkor a forgástestnek a tengely  szakaszára eső térfogata: 

Az , ,  paraméteres alakban megadott folytonos ív x tengely körüli megforgatásával nyert forgástest térfogata:

Felszínszámítás 

Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos  függvény írja le, akkor a tengely  szakasza körüli palást felszíne: 

Az , ,  paraméteres alakban megadott folytonos ív x tengely körüli megforgatásával nyert forgástest palástjának felszíne:

Súlypontszámítás 

Az  függvénygörbe a és b abszcisszájú pontok által határolt ívének a súlypontja: 

Ugyanezen ív alatti lemez súlypontja: 

Az ívet az x tengely körül megforgatva, a kapott forgástest súlypontjának abszcisszája pedig:

Források 
 
 Bevezetés az integrálásba
 

Valós analízis