Funkcija

Funkcija je, uopšte, pravilo pridruživanja jednog elementa iz skupa H (domen funkcije) drugom iz skupa U (kodomen funkcije). Za zapisivanje funkcija koristimo oznake kao što je  ili  a prirodu skupova koji učestvuju opisujemo frazama kakva je na primer: funkcija realne promenljive. Opseg, raspon ili područje definicije funkcije f je skup vrednosti, f(x), za x iz domena f.

Definicije 
Funkcija je jedan od osnovnih pojmova matematike. Posebno pogledajte: Analitička funkcija, Grafik funkcije, Neprekidna funkcija, Trigonometrijske funkcije, Hiperboličke funkcije. Definicija funkcije kao promenljive veličine je nesavršena jer se pri tome koristi nestrogi pojam promenljive veličine i zato se obično koristi savremeniji pristup ovom problemu preko teorije skupova.

Analitička definicija 
Ako dve promenljive količine stoje u takvoj vezi da se menjanjem vrednosti jedne količine menja vrednost i druge, onda je druga funkcija prve.

Osnovna karakteristika funkcije je da za jednu ulaznu vrednost dobija najviše jedna izlazna vrednost.

Funkcija može imati više promenljivih.

Definicije iz teorije skupova 

Skup se u matematici uzima za osnovni pojam. Dekartov proizvod skupova je skup uređenih parova. Uređeni par elemenata čine bilo kakva dva elementa kod kojih se, iz bilo kojih razloga, zna koji od njih je prvi, a koji drugi. Zatim, relacija (matematika) je neprazan podskup Dekartovog proizvoda skupova, i konačno, funkcija je jedna vrsta relacije, slika desno. Na slici desno, pre svega, data je relacija  Zašto takvu relaciju nazivamo i funkcija?

 Definicija Neka su A i B neprazni skupovi. Tada se binarna relacija  zove funkcija ili preslikavanje iz A u B, ako važi  

Poslednji izraz je formula napisana pomoću kvantora svaki (obrnuto slovo A) i postoji tačno jedan (obrnuto E sa uzvičnikom) koja se čita: "za svako iks iz A postoji tačno jedno ipsilon iz Be takvo da je y=f(x)". To znači da na grafu, desno, iz svakog od elemenata skupa  polazi po tačno jedna strelica, koja predstavlja (po tačno jedan) uređeni par (za svako od slova ) Drugim rečima, funkcija je takva vrsta relacije gde je svaki elemenat jednog od skupova tačno po jednom prvi. 

Druga, ekvivalentna definicija: binarna relacija f iz A u B je funkcija ako je

  

Ova definicija postavlja isti kriterijum: ako su originali jednaki (h=h) tada su i kopije jednake (y=z). Dakle, ne može isti original proizvesti različite kopije!

Elementi skupa A nazivaju se argumenti, nezavisno promenljive, originali preslikavanja, likovi, ili elementi domena. Skup A je skup prvih elemenata uređenih parova, na grafu to je polazni skup strelice, naziva se domen, područje vrednosti (rang), itd. funkcije f. Skup B naziva se kodomen (kontradomen) funkcije, skup kopija, slika, itd. Često se domen funkcije f označava sa , a kodomen ponekad  Na navedenom grafu je  i f je funkcija sa A u B, što pišemo  ili  Često umesto  stavljamo , pa je 

 Definicija Funkcija  zove se surjekcija, ili "na"-preslikavanje, ako je 

Pomoću kvantora tu istu definiciju pišemo:  Jednostavnije rečeno, funkcija je surjekcija ako i samo ako su svi elementi desnog skupa (B) nečije slike. Na gornjem grafu ka elementu γ ne ide niti jedna strelica. Prema tome, data funkcija nije surjekcija. Surjekcija po definiciji dozvoljava „duple kopije“.

 Definicija Funkcija  zove se injekcija, ili "1-1"-preslikavanje, ako važi 

To je definicija po formi obrnuta onoj drugoj definiciji funkcije: ista kopija ne može biti rezultat kopiranja različitih originala. Na datom grafu, elemenat β je kopija dva originala i prema tome data funkcija f nije injekcija. Injekcija po definiciji dozvoljava da u skupu kopija postoje elementi koji uopšte nisu rezultat preslikavanja. 

 Definicija Funkcija koja je surjekcija i injekcija zove se bijekcija. 

Bijekciju nazivamo i obostrano jednoznačno preslikavanje.

Teškoće prve teorije skupova 
Bijekcija je odigrala važnu ulogu u razmatranju pojma beskonačnosti i njemu srodnih pojmova. Ako postoje dva skupa i makar jedna funkciju među njima koja je bijekcija onda ta dva skupa imaju isti broj elemenata. To znači da ako za dva beskonačna skupa, recimo brojeva, pronađemo bar jedno bijektivno preslikavanje među njima, tada kažemo da oni imaju jednako mnogo elemenata. To je jedna od osnovnih ideja osnivača teorije skupova Kantora i Dedekinda.

Početnu ideju skupova je ubrzo, početkom 20. veka, uzdrmao britanski matematičar i filozof, Bertran Rasel, našavši nekoliko nedoslednosti u Kantorovoj teoriji. Danas se te nedoslednosti obično nazivaju paradoksima teorije skupova. Rasel je ukazao na paradoks praznog skupa, koji je razrešen zahtevom da je prazan skup podskup svakog skupa. Njegov drugi paradoks je paradoks skupa svih skupova. Ideja skupa svih skupova je kontradiktorna, tako da današnja teorija skupova, jednostavno, ne zahteva postojanje sveobuhvatnog, "univerzalnog skupa".

Ispitivanje toka  funkcije

Ispitati  tok funkcije  znači oidrediti sljedeće

Područje definicije 
Za određivanje područja definicije funkcije  potrebno je poznavati elementarne funkcije

Parnost 
Parnost funkcije  provjerava se pomoću definicije:

Funkcija  je parna ako je  za svaki , a neparna ako je ) za svaki .

Kod parne i neparne funkcije područje definicije mora biti simetrično u odnosu na koordinantni početak .
Primjer

je parna za  paran, a neparna za  neparan pa je:

.

Funkcija  je parna: ako je , tada je  pa vrijedi

Za  je  pa vrijedi

Periodičnost
Periodičnost funkcije provjerava se pomoću definicije

Funkcija  je periodična ako postoji broj  takav da za svaki  vrijedi

Tada mora vrijediti . Najmanji takav pozitivni broj  osnovni period ili period funkcije .

Primjeri periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije.

Elementarna funkcija ne može biti periodićna ako ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.

Nula funkcije 
Nula funkcije određuju se rješavanjem jednačine

Asimptote funkcije
Asimptote mogu biti vertikalne, horizontalne i kose. Određuju se nalaženjem limesa i L'Hospitalovim  pravilo, ako je potrebno.

Asimptota funkcije je prava sa osobinom da udaljenost između tačke na grafiku funkcije i te prave teži ka nuli ) kada tačka na grafiku odmiće u beskonačnost.

Prava  je vertikalna asimptota funkcije u tački 
 s lijeve strane ako je  ili
.

Prava  je vertikalna asimptota funkcije  u tacki  s desne strane ako je

 ili

.

Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u tačkama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima područja definicije.

Primjer

Prava  je vertikalna asimptota funkcije  s obje strane. 

Prava  je vertikalna asimptota funkcija ,  i  s desne strane. U ovom slučaju vertikalna asimptota se nalazi u rubu područja definicije.

Prava  je horizontalna asimptota funkcije  na lijevoj strani ako je . 
Prava  je horizontalna asimptota funkcije  na desnoj strani ako je .

Primjer
Prava  je horizontalna asimptota funkcije  na obje strane, kao i  horizontalna asimptota funkcija  i  na lijevoj strani.

Ako je

pri čemu je

 tada je prava  kosa asimptota funkcije  sa lijeve strane.

Kosu asimptotu funkcije  sa desne strane definišemo analogno.

Udaljenost od tačke na krivoj do asimptote je . Prema definiciji asimptote  kada . Kako je  konstanta, zaključujemo da
.

Zadnji uslov, koji je ekvivalentan sa

 je nužan i dovoljan uslov za postojanje kose asimptote.

Gornja jednakost je ekvivalentna sa

.

pa je

.

Pri tome treba voditi računa o sljedećem:
kod traženja horizontalnih i kosih asimptota limese kada  i kada
asimptote je najbolje tražiti u opisanom redosljedu,  uvijek treba računati posebno
treba biti oprezan u slučaju parnih korjena kada ,
Primjer

.

Ekstremi funkcije
Kod određivanja ekstrema funkcije potrebno je provjeriti nžzne i dovoljne uslove ekstrema.

Provjera nužnih uslova vrši se po teoremi

Neka je funkcija  neprekidna u tački . Ako funkcija  ima lokalni ekstrem u tački , tada je  kritična tačka funkcije .

Potrebno je nači stacionarne i kritične tačke po definiciji

Neka je funkcija  neprekidna u tački . Tačka  je stacionarna tačka funkcije  ako je . Tačka   je kritična tačka funkcije  ako je  stacionarna tačka ili ako  nije diferencijabilna u tački .

Tj. potrebno je odrediti područje definicije prvog izvoda  i riješiti jednačinu  . 
Provjera dovoljnih uslova može se vršiti na tri nacina:

pomoću promjene predznaka prvog izvoda na osnovu teoreme
Ako prvi izvod  mijenja predznak u kritičnoj tački , tada funkcija  ima lokalni ekstrem u tački . Pri tome vrijedi sljedeće
ako  mijenja predznak sa  na , tada je  lokalni minimum, a ako  mijenja predznak sa  na , tada je  lokalni maksimum.

pomoću drugog izvoda na osnovu teoreme

Neka je u stacionarnoj tački  funkcija  dva puta diferencijabilna. Ako je , tada funkcija  ima lokalni ekstrem u tacki . Pri tome vrijedi sljedeće
ako je , tada je  lokalni minimum, a ako je , tada je  lokalni maksimum.

pomoću viših izvoda na osnovu teoreme
Neka funkcija  ima u nekoj  -okolini tačke c neprekidnog izvoda do uključivo reda , pri čemu je .
Neka je 
Ako je  neparan, tada funkcija  ima infleksiju u tački . Ako je  paran i ako je uz to još i , tada funkcija  ima lokalni ekstrem u tački  i to minimum za  i maksimum za .

Intervali monotonosti
Posto smo načli prvi izvod  funkcije  intervale monotonosti određujemo određujuci predznak od  na osnovu teoreme

Neka je funkcija  diferencijabilna na intervalu . Tada vrijedi
funkcija  je rastuća na intervalu  ako i samo ako je  za svaki 
Funkcija  je opadajuća na intervalu  ako i samo ako je  za svaki 
Ako je  za svaki , tada je funkcija  strogo rastuća na intervalu 
Ako je  za svaki , tada je funkcija  strogo opadajuća na intervalu .

Konkavnost i konveksnost funkcije
Potrebno je odrediti drugi izvod ,a onda intervale konveksnosti i konkavnosti pomoću teoreme
Neka je funkcija  dva puta deiferencijabilna na intervalu . Ako je  za svaki , tada je funkcija  strogo konveksna na intervalu . Ako je  za svaki , tada je funkcija  strogo konkavna na intervalu .

Tačke infleksije
Potrebno je naći tačke u kojima drugi izvod  mijenja predznak, odnosno tačke koje ispunjavaju dovoljne uslove infleksije po teoremi
Neka je funkcija dva puta deferencijabilna na nekoj  -okolini tačke , osim možda u tački . Ako  mijenja predznak u tački , tada funkcija  ima infleksiju u tački .

Za provjeru dovoljnih uslova infleksije možemo koristiti i više izvode na osnovu teoreme
Neka funkcija  ima u nekoj  - okolini tačke  neprekidne izvode do uključivo reda , pri čemu je . Neka je

Ako je  neparan, tada funkcija  ima infleksiju u tački .
Ako je  paran i ako je uz to još i , tada funkcija  ima lokalni ekstrem u tacki  i to minimum za  i maksimum za .

U tom slučaju potrebno je prvo naci tačke u kojima je drugi izvod  jednak nuli, odnosno tačke koje zadovoljavaju nužan uslov infleksije po teoremi
Ako funkcija  ima infleksiju u tački  i ako  postoji, tada je .

Graf funkcije
Grafik funkcije se crta na osnovu dobijenih informacija.

Eksterni linkovi 

 spisak kategorija matematičkih funkcija

Matematika