Neutrális elem

A neutrális elem, semleges elem vagy egységelem a matematikában az algebrai struktúrák elméletének egyik alapvető fogalma. Pontatlanul fogalmazva, egy kétváltozós műveletre nézve a művelet alaphalmazának valamely elemét akkor nevezzük neutrálisnak, ha bármelyik másik elemen ezzel a kitüntetett elemmel végezve a műveletet, „semmi nem történik”, vagyis a neutrális elem helybenhagyja az összes többi elemet.

 Egy lehetséges pontos definíció a következő: adott egy U halmaz és egy  kétváltozós (bináris) művelet. Ekkor az  elem neutrális elem a  bináris műveletre nézve, ha tetszőleges  elemre érvényes: .
 Egy másik definíció a grupoid-transzláció fogalmára alapoz: eszerint az  elem akkor neutrális eleme az  grupoidnak, ha az n elemhez tartozó  és  jobb oldali és bal oldali transzlációk egyaránt az  feletti identikus leképezéssel (helybenhagyással) egyenlőek, azaz ha tetszőleges  elemre a  és . Minthogy definíció szerint  és , ez tényleg az előző definícióval ekvivalens.
 Elnevezések és írásmódok:
 Ha a  műveletet összeadásnak nevezzük és +-nak írjuk (ezt gyakorta, bár nem kizárólag akkor tesszük, ha kommutatív); akkor a neutrális elemet szokás nullelemnek nevezni és 0-val jelölni.
 Ha a  műveletet szorzásnak nevezzük és ×-nak írjuk (ezt gyakorta akkor tesszük, ha asszociatív), akkor a neutrális elemet szokás egységelemnek nevezni és 1-gyel vagy e-vel jelölni.

Egyértelműség 
A neutrális elem egyértelmű (legfeljebb egy van belőle az alaphalmazban). Ugyanis ha neutrális elemek, akkor, mivel  neutrális; és , mivel  is neutrális, így .

Féloldali neutrális elemek 
Ha csak  teljesül, de  nem feltétlenül, akkor  neve jobbról neutrális elem vagy jobbegységelem, ha pedig csak  (de  esetleg nem), akkor a neve balról neutrális elem vagy balegységelem. Persze  akkor és csak akkor neutrális elem, ha balról és jobbról is neutrális. Additív ill. multiplikatív írásmód esetén féloldali (bal-/jobb-) nullelemről ill. egységelemről beszélünk.

Míg a (kétoldali) neutrális elem egyértelmű, a féloldali neutrális elemek többen is lehetnek. Sőt létezik olyan művelet, mely végtelen alaphalmazának minden eleme féloldali neutrális (ld. 10. példa).

Ha egy elem balneutrális, de nem neutrális, akkor valódi balneutrálisnak nevezzük, hasonlóan ha jobbneutrális, de nem neutrális, akkor valódi jobbneutrálisnak.

Megjegyezzük, hogy ha egy műveletre nézve van jobb oldali  és van bal oldali  neutrális elem, akkor ezek szükségképp egyenlőek, és így van neutrális elem, hiszen  miatt , ugyanakkor  miatt . Azaz .

Ebből következően
 egy műveletre nézve akkor és csak akkor létezik neutrális elem, ha létezik egy bal oldali és egy jobb oldali neutrális elem.
 Bármely műveletre bármely  esetén a következő lehetőségek közül egy és csak egy teljesül:
 valódi balneutrális elem (s ekkor nincs jobbneutrális elem. tehát neutrális sincs);
 valódi jobbneutrális elem (s ekkor nincs balneutrális elem, tehát neutrális sincs);
 (kétoldali) neutrális elem (s ekkor nincs valódi neutrális elem).

Példák 

 Az egész számok körében értelmezett legnagyobb közös osztó műveletének neutrális eleme a 0.
 Az egész számok körében értelmezett legkisebb közös többszörös műveletének neutrális eleme az 1.
 egy U halmaz hatványhalmaza felett értelmezett unió műveletének a neutrális eleme az ∅ üres halmaz;
 egy U halmaz hatványhalmaza felett értelmezett metszet műveletének a neutrális eleme maga az U;
 Egy U halmaz hatványhalmaza felett értelmezett szimmetrikus differencia műveletének neutrális elem az ∅ üres halmaz;
 a valós számok halmaza felett értelmezett összeadás műveletének neutrális eleme – nulleleme – a nulla;
 a valós számok halmaza felett értelmezett szorzás műveletének neutrális eleme – egységeleme – az 1;
 Adott egy A halmazt önmagára képező függvények halmaza (mind az értelmezési tartomány, mind az értékkészlet része A-nak). E függvények összetétele – egymás utáni végrehajtása, kompozíciója – olyan művelet, melyre nézve az A halmazon értelmezett identikus leképezés (identitás vagy helybenhagyás) neutrális elem.
 Adott test feletti n×n-es mátrixok felett értelmezhető a szorzás művelete, erre nézve az egységmátrix kétoldali egységelem.
 Olyan műveleteket sem nehéz elképzelni, melyek alaphalmazának minden eleme féloldali – vagy mind jobb-, vagy mind bal- – neutrális. Legyen   (az egyszerűség kedvéért 3 elemből áll, de hasonlóan megvalósítható akár végtelen sok elemmel is). A következő művelettáblával definiált két  és  művelet abszolúte jól definiált művelet (magyarázat a táblázatokhoz: az  elemmel jelölt sor és az  elemmel jelölt oszlop kereszteződésében álló cellába írtuk az  elemet):

Tehát az történik, hogy ha például b balneutrális, akkor a  függvény (ezt egyébként az  grupoid b elem szerinti bal oldali transzlációjának szokás nevezni) az identikus leképezés az alaphalmazon. Ez az észrevétel lehet(ne) az alapja a neutrális elem több mint kétváltozós műveletekre való általánosításának.

Egységelemes algebrai struktúrák 
Az asszociatív egységelemes grupoidokat, azaz az egységelemes félcsoportokat monoidoknak, míg az invertálható művelettel ellátott egységelemes grupoidokat, azaz az egységelemes kvázicsoportokat hurkoknak nevezzük.

Kapcsolódó szócikkek 
 Zéruselem

További információk 
 Alice és Bob - 14. rész: Alice és Bob gyűrűje

Műveleti tulajdonságok

fa:عمل دوتایی#عضو خنثی