Kompleksan broj

Kompleksni brojevi su u prvobitnoj predstavi izrazi oblika , gde su a i  realni brojevi,  jedan simbol.

Sabiranje, množenje i deljenje kompleksnih brojeva definiše se formulama:

,
,

U kompleksnom broju  broj  se naziva realni deo, piše se , a broj  je imaginarni deo, piše se .

Kompleksan broj čiji je realni deo jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.

Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz  jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u rešavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primer, problema o prolazu struje kroz provodnik, o profilu krila aviona (koristeći funkcije Žukovskog), itd.

Nije manje važna ni primena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primer, za nalaženje korena kubne jednačine potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Istorijski, kompleksni brojevi su uvedeni radi rešavanja kvadratne jednačine. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povod za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Lajbnic). velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Ojleru. Kompleksni broj se aksiomatski definiše kao uređen par realnih brojeva . Formule sabiranja, množenja, deljenja se postuliraju ovako:

,
,
.

Par  se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom . Iz poslednjih formula proizilazi da je . Operacije sa kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije s kompleksnim brojevima pod radikalima (korenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je 

.

Definicija
Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja  . 

S druge strane, zapis oblika  pogodniji je za računanje.

Oba oblika kompleksnog broja

 i

 potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva  je skup svih brojeva oblika , gdje su .

Posebno je .

 je realni dio kompleksnog broja ,

 je imaginarni dio kompleksnog broja .

Algebarski oblik kompleksnog broja je

 za 

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

pri čemu je

 modul

 argument

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

 za 

pri čemu je

 modul

 argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi. 

Konjugirano kompleksni broj broja  je broj .

Modul ili apsolutna vrijednost  kompleksnog broja  je nenegativni realni broj .

Osobine sabiranja kompleksnih brojeva

 za  komutativnost sabiranja

 za  asocijativnost sabiranja

 za  neutralni element 0 (nula) za sabiranje

Kompleksni broj 

 postojanje inverznog elemanta.

Kompleksni broj

Osobine množenja kompleksnih brojeva
 za  komutativnost množenja

 za  asocijativnost množenja

 za  neutralni element  za množenje

 postojanje recipročnog elemanta

 za  distributivnost množenja u odnosu na sabiranje

Realan proizvod dva kompleksna broja
U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe.
Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva  i , u oznaci ,je realan broj određen kao

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima  i Lako je proveriti da je

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja

 (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima  i )

Realan proizvod kompleksnih brojeva  i  jednak je potenciji koordinantnog početka  kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik , gdje su  i  tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima  i .

Tačka  je sredina duži AB određena kompleksnim brojem , potencija tačke  u odnosu na krug sa središtem u tački  i poluprečnikom

 jednaka je

Neka su tačke ,,, taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima , , , . Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

Središte kružnice opisane oko trougla  nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena , ,  trougla  određena kompleksnim brojevima , ,  respektivno, tada je ortocentar  tog trougla određen kompleksnim brojem .

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja
Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

Definicija

Kompleksan broj

nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva  i .

Neka su  i  tačke određene kompleksnim brojevima 
 i

Lako je provjeriti da je

Neka su , ,  kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

 gdje je 

 (  )

Ako su  i  dvije različite tačke različite od , tada je
 onda i samo onda ako su , , kolinearne tačke.

Neka su ) i ) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni 
različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva  i  ima sljedeći geometrijski smisao

Neka su ,  i  tri različite tačke u kompleksnoj ravni.
Tada je

Neka su ,  i  tri različite tačke u kompleksnoj ravni.
Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna
Tačke ,, su kolinearne

Neka su , ,  i  četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je  onda i samo onda ako je

Dijeljenje kompleksnih brojeva

U svakom skupu brojeva dijeljenje se  definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za 

Neka je
 bilo koji. Onda je  pa je dobro definisan broj

imamo

Konjugovano kompleksni brojevi

Kompleksan broj  nazivamo konjugovanim broju .

Brojevi  i  čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

Lako se provjerava da vrijedi

Neka je
 trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

 

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

 ili

Stepenovanje kompleksnog broja

 za .

Korjenovanje kompleksnog broja
 za 

gdje je

 za 

 za

Kvadratni korjen imaginarnog broja

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

Dobijamo dvije jednačine

čija su rješenja

Izbor glavnog korjena daje

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

Apsolutna vrijednost argumenta
Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja  je

 

Kvadrat apsolutne vrijednosti je

Množenje i dijeljenje u polarnom obliku

Iz trigonometrijskih identiteta

imamo

Primjer

Dijeljenje

Trigonometrijski oblik 
Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

,

, za  i  za ; kada je  onda je , ako je  i , ako je . Broj  se naziva moduo kompleksnog broja, a  je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je veoma pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se sabiraju. Iz ovog pravila proizilazi Moavrova formula:

 .

Kompleksni brojevi se često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravni (slika dole). Geometrijski smisao brojeva  vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se sabiraju po pravilu paralelograma.

Dužina vektora  je moduo, ili modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorine teoreme. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sistema: .

Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Važi sledeća Ojlerova formula:

;
tj.
;

pomoću nje se definiše stepenovanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.

Kompleksni brojevi obrazuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa , takvog da je .

Množenje 
Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.

Neka su zadani kompleksni brojevi

 i 

onda je 

Dijeljenje

Neka su zadani kompleksni brojevi

 i

De Moavrova formula =
Neka je
 trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

Izvori
 Kompleksni brojevi  
 Kompleksni brojevi
 KOMPLEKSNI - BROJEVI
Skup kompleksnih brojeva

Reference

Matematika