Vektor

A vektor a matematikában használatos fogalom, a lineáris algebra egyik alapvető jelentőségű mennyisége. Általában az ember a vektorokkal mint irányított szakaszokkal szokott találkozni, de a matematikában a jelentése ennél lényegesen bőségesebb. A fogalom különböző irányú általánosításai egyes tudományágakban is megjelennek. Így például a biológiában vektornak nevezik a fertőzéseket terjesztő élőlényeket, hatásokat. Az analógia teljesen világos, a hordozótól a fertőzöttig vezető utat pont a köztesgazda jelenti, azaz két pontot egy meghatározott irányban köt össze.

A matematikában azonban sokkal elvontabb vektorokat is ismerünk. Ezek haszna sokszor a laikusok számára végképp nem nyilvánvaló, és ritkán ismertek, közismertek. Alkalmazásaik azonban széles körűek, különösen a modern tudományokban.

Általános leírás

A vektor a matematikában egy felettébb fontos fogalom. Alkalmazásai rendkívül sokrétűek, a geometriától az absztrakt analízisig mindenhol lehet velük találkozni. Ennek megfelelően az értelmezése is többféleképpen történhet.

Maguk a vektorok a számok egyfajta általánosításainak is tekinthetőek. Ezzel a megközelítéssel főleg az algebrai definíciók dolgoznak, és ekkor legjellemzőbb alkalmazásaik az egyenletrendszerek kezelése.

Mivel a fogalom eredete a fizika, ezért fizikai és geometriai meggondolások is szolgálhatnak alapjául, ekkor főleg a viselkedésük lesz a definíció alapja. A legközkeletűbb értelmezése a fogalomnak is geometriai: olyan szakasz, amit a nagyságán túl az iránya is jellemez. Ez szinte tipizálja a fogalmat, hiszen így olyan mennyiségeket, mint a sebesség vagy az erő, kényelmesen szemléletessé tudunk tenni.

A vektorok legáltalánosabb, és így legmélyebb definícióját az analízisben találjuk, ahol a vektorok egy bizonyos típusú halmazhoz rendelhető másik halmaz elemei. Ez felettes értelmezése a fenti két definíciónak, hiszen mindkettőt magába foglalja.

Definíció

Lineáris algebra 

Legyen  euklideszi geometriai tér. Ekkor a  halmaz elemeit, mint rendezett párokat irányított szakasznak nevezzük. Tekintsük most a térben a párhuzamos eltolásokat. Ezek segítségével  felett egy ekvivalenciarelációt határozhatunk meg.

Két pontpárt, -t és -t ekvivalensnek tekintünk, ha van olyan  párhuzamos eltolás, hogy  és .

Az ekvivalenciarelációk a halmazt faktorhalmazokra bontják. Az  felett az előbbiekben bevezetett ekvivalenciareláció faktorhalmazait szabadvektoroknak, a faktorhalmazok elemeit a szabadvektor reprezentánsainak nevezzük.

Geometria 

A geometriában a vektorok az eltolások, mint transzformációk meghatározásában játszanak szerepet. Legyen ugyanis  és  két párhuzamos sík. Ha a távolságuk , akkor a tér bármely  pontjához olyan módon rendel hozzá egy  pontot, hogy . Ezen túl az  és  pontok képe olyan, hogy  és egyező irányításúak. Ezt a leképezést eltolásnak nevezzük.

Világos, hogy az eltoláshoz elegendő az  pontpárt megadni, mivel ez bármely pontnak a képét megadja a fentebbiek szerint. Az  párt ekkor vektornak nevezzük. Eszerint egyébként a konkrét síkokra nincs is szükség, kizárólag a távolságuk és fekvésük lényeges.

A fentebbiek során a lineáris algebrai definíció szerinti osztályozást is megvalósítottuk, tehát itt is lehet beszélni az adott irányítású és hosszúságú vektorok ekvivalenciaosztályáról, amit ez alapján szabadvektornak nevezünk. Ha rögzítünk egy  pontot, akkor a szabadvektorok azon reprezentánsait, amik kezdőpontja , kötött vektoroknak nevezzük. Ezek például egy koordináta-rendszer pontjait határozhatják meg.

Analízis 

Legyen  test,  pedig halmaz. Ha értelmezünk két függvényt:
, amit általában összeadásnak nevezünk, és
, amit leggyakrabban skalárral való szorzás néven emlegetünk,
úgy, hogy a + asszociatív, kommutatív, invertálható és van neutrális eleme, valamint  és  esetén
 
 
 
 
teljesül, akkor -t a  test feletti vektortérnek nevezzük,  elemeit pedig vektoroknak.

Mint látható, az analitikus definíció olyan mértékben absztrakt, hogy egészen furcsa halmazokat is tudunk vektortérként kezelni. Ilyen lehet például a -ben haladó konvergens sorozatok halmaza, vagy a  függvények halmaza.

Vektorműveletek 

A vektorműveletek értelmezése céljából érdemes a szemléletes és áttekinthető geometriai képből kiindulni. Ekkor a vektorokat irányított szakaszként, nyíllal ábrázoljuk, és így a jelentésük is a köznapi fogalmakkal megragadhatóvá válik. Ezeken keresztül néhány egyéb fogalom is világossá válik.

Összeadás 

Miután a szabadvektorokat a reprezentánsaikkal is jellemezhetjük, két szabadvektor összegét is így tudjuk értelmezni. Az  és  vektorok összegzését egy köztes pont felvételével tudjuk meghatározni. Vegyünk fel egy  pontot, és tekintsük az  vektor azon reprezentánsát, aminek végpontja , és a  vektor azon reprezentánsát, aminek kezdőpontja . Ekkor a  vektor egy reprezentánsát az  vektor kezdőpontja és a  végpontja jelöli ki. Ezt paralelogramma-szabálynak nevezzük. Az elnevezés a mellékelt ábra alapján válik érthetővé.

Szemléletesen, ha a vektorokat elmozdulásnak tekintjük, az  vektor az  pontból  pontba jutást jelenti. Hasonlóan a  vektor is értelmezhető, ekkor pedig az összegvektoruk az -ból -be jutást jelenti, azaz .

E definíció alapján ellenőrizhető, hogy a definícióban megkövetelt feltételek az összeadásra hogyan teljesülnek.

Szorzatok 

A vektorokból a szorzásra emlékeztető művelet többféle is definiálható. Ebből egy külső, három pedig belső művelet.

Skalárral szorzás 

A skalárral való szorzás ötlete a szorzat, mint ismételt összeadás hasonlóságából ered:
, ha .
Mivel ebben az esetben a vektor hossza nőtt meg, adja magát, hogy a  vektor -val párhuzamos, és annál -szor hosszabb bármilyen -beli elem esetén.

Mivel  elemeit nevezzük skalárnak, adja magát az elnevezés is. A skalár szó ugyan számot jelent, de ez nem jelent problémát, mivel  általában számhalmaz, rendszerint a valós vagy komplex számok teste.

Lineáris kombináció 

A skalárral való szorzás eredménye vektor, így a vektortér eleme, és az összeadásban tag lehet. Ha adott ,  és , valamint ,  és  skalárok, akkor lineáris kombinációnak nevezzük az alábbi vektort:

Általános alakban írva a lineáris kombináció:

Ennek segítségével lehet értelmezni a vektortér dimenzióját is. A nullvektort ugyanis elő lehet állítani

alakban. Ezt triviális előállításnak nevezzük. Előfordulhat azonban, hogy a zérusvektort nem nulla skalárokkal is megkaphatjuk, ekkor az  rendszert lineárisan függőnek mondjuk. A legbővebb olyan rendszert, ami lineárisan független a vektortérben, a tér bázisának nevezzük. A bázis elemszáma lesz a vektortér dimenziója.

Ha pedig van egy bázisunk egy vektortérben, akkor bármely vektor megadható egyértelműen a bázis lineáris kombinációjaként. Az együtthatókat ekkor a vektor koordinátáinak nevezzük. Könnyen belátható, hogy két vektor összegének koordinátái a két vektor koordinátáinak összege.

Skaláris szorzat 

Egyes fizikai összefüggések vektormennyiségekből skaláris értékek létrehozását igénylik. Ilyen például a munka kiszámításának a problémája. A definíció is őrzi a fizikai eredetet: a két vektor szorzata legyen maximális, ha párhuzamosak, és nulla, ha merőlegesek, továbbá a szorzat legyen lineáris függvénye a két vektor hosszának.

Az első feltétel szerint a szorzat a két vektor által bezárt szögtől függ. A legegyszerűbb függvény, ami ezt a feltételt kielégíti, a koszinusz függvény. A második feltétellel együtt a szorzat kiszámítására a

képlet szolgál, ahol  az  vektor hossza.

Könnyen belátható, hogy a skaláris szorzat kommutatív és a vektorok összeadására nézve disztributív, de nem asszociatív művelet.

A skaláris szorzat adott bázis esetén könnyebben is kiszámítható. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a bázis vektorai egymásra merőlegesek, ez mindig elérhető a Gram–Schmidt-eljárás segítségével például. Ekkor az  és  vektorok a bázis lineáris kombinációjaként felírva:

lesznek. A szorzáskor figyelembe véve a skaláris szorzat disztributivitását és az egységvektorok merőlegességét kapjuk:
.

Például számoljuk ki a  és  vektorok skaláris szorzatát:
.

Nem merőleges bázisvektorok esetén a skaláris szorzat vegyes tagokat is fog tartalmazni, valamint egy, a bázist jellemző operátort.

Ha egy vektort önmagával szorzunk, akkor a definíció értelmében a hosszának a négyzetét kapjuk. Ezt a koszinusztétel bizonyítása során is kihasználjuk.

Vektoriális szorzat 

A vektoriális szorzat egy kizárólag három és hét dimenzióban értelmezhető belső szorzat. Eredete a skaláris szorzathoz hasonlóan fizikai: elsősorban a forgatónyomaték kezelésében bukkan fel, de később több más területen is kényelmesnek bizonyult a használata. A definíciója is ennek megfelelően elsősorban technikai jellegű. Legyen  és  két vektor. Ekkor hozzájuk rendelhető egy harmadik  vektor a következő szabályok szerint:
 , ha ;
  maximális, ha a vektorok merőlegesek egymásra;
 a szorzat egyenesen arányos a  és  hosszával.
 a három vektor úgy helyezkedik el egymáshoz képest, mint a koordináta-rendszer x, y és z tengelyei.

Az első két feltételt a vektorok által bezárt szög szinusza is kielégíti, így a harmadik feltétellel együtt a skaláris szorzathoz hasonlóan a

képletet írhatjuk fel. Ebben nincsen benne a szorzatvektor iránya, úgyhogy azt továbbra is külön fel kell írnunk.

A vektoriális szorzat nem asszociatív, de ez nem meglepő. Még kevésbé meglepő, hogy nem kommutatív, viszont antikommutatív, azaz . A vektorok összeadására nézve disztributív.

A tér merőleges bázisvektorai esetén érvényes összefüggések:
 
 
 ,
ezeket a koordinátás alak kiszámításakor használjuk ki.

A fenti tulajdonságok alapján levezethető a vektorok szorzatára vonatkozó számítási módszer:
Ha , akkor

.

Például az  és  vektorok vektoriális szorzata:

.
Skaláris szorzással ellenőrizhet, hogy e vektor mindkettő tényezőre merőleges.

Tenzori (diadikus) szorzat 

A vektorok legáltalánosabb szorzata a fizikában a tenzormennyiségek definiálására is szolgál. A tenzorszorzat két vektorhoz egy lineáris leképezést rendel az alábbi definíció szerint:

A definíció valamely koordináta-rendszerben kifejtve a tenzorszorzat egy reprezentációját kapjuk:

A vektorok tenzorszorzatával a tenzoralgebra foglalkozik alaposabban.

Példaként szorozzuk össze a  és a  vektorokat!

A szorzat tehát:

Alkalmazások 

A vektoroknak számtalan alkalmazása van. Ezek főleg a matematikához, fizikához és informatikához kötődnek. Legtöbbször egyfajta általánosítása a hagyományos vektorfogalomnak az egyes tudományágak saját fogalomalkotása, de az analógia legtöbbször nyilvánvaló.

A matematikában 

Jellemzően a lineáris algebrában fordulnak elő vektorok, illetve ehhez kapcsolódóan az analitikus geometriában.

A lineáris algebra az egyenletrendszereket lineáris egyenletekhez hasonló módon kezelő eszközöket kap, ha az ismeretleneket és az egyenletek jobb oldalát egy-egy vektorként kezeljük, ekkor az együtthatók ugyanis egy leképezés mátrixának alakját fogja ölteni. Például

A koordinátageometriában a vektorok tulajdonképpen a pontokat jelölik ki, így helyvektorként funkcionálnak, a vektorokból pedig a fentebb említett műveletek segítségével a geometria legalapvetőbb ponthalmazai építhetőek fel. Ez egyben az összekötő kapocs is az algebra és a geometria között, aminek segítségével igazolható e két nagy terület egyenértékűsége.

Ezen túl a vektor fogalom általánosabb, elvontabb formája segítségével az analízis sok fogalma is kényelmesebben kezelhetővé válik. Ilyen például az intervallum felett korlátos függvények halmaza, vagy egy test felett értelmezett operátorok tere.

A vektorok segítségével lehet a Hilbert-tereket, mint speciális, skalárszorzatos tereket definiálni, amik a fizikai alkalmazások során nyernek jelentőséget, mivel a fizikai mennyiségeket a Hilbert-tereken ható operátorokkal jellemezzük.

A fizikában 

A fizikában a vektorokat más szemlélettel definiáljuk, mint a matematikában. Mivel a fizika a világot koordináta-rendszerekben írja le, a legfontosabb mennyiségeket a koordináta-rendszerek közötti átmenet szempontjából, azaz a transzformációk során mutatott viselkedésük szerint írjuk le. Az alaptípus a koordináta-rendszert kifeszítő, egységvektorokból álló generátorhalmaz. Ekkor vektornak nevezünk minden olyan fizikai mennyiséget, amelyek úgy transzformálódnak, mint a koordináta-rendszert kifeszítő egységvektorok.

A vektorok azonban nem feltétlenül viselkednek azonosan a fentebbi meghatározással. A vektori szorzat esetén például a tükrözés során a két tényező előjelet vált, a szorzatvektor viszont nem:

Az ilyen vektort, mivel tulajdonképpen egy tengelyt jelöl ki, axiálvektornak nevezünk.

A köznapi szemlélet szempontjából a fizikai vektorok legfontosabb tulajdonsága, hogy a nagyságuk mellett irányításuk is van. Ez alapján definiálhatóak a vektormennyiségek: olyan fizikai mennyiség, amit két mennyiség, irány és nagyság jellemez. Ez egyben három paramétert igényel, azonban speciális esetekben a koordináta-rendszer megfelelő megválasztásával egy vagy kettő zérussá tehető. Ez az oka, hogy a bevezető fizikai tanulmányok során az egyenes vonalú mozgások, állandó irányú hatások játszanak elsődleges szerepet.

A klasszikus fizika háromdimenziós vektorokkal foglalkozik, a relativisztikus fizika azonban a téridő leírására már négy paramétert alkalmaz, így itt a vektorok viselkedése teljesen váratlanná válhat a laikus szemlélő számára. A vektorokat három nagy csoportba sorolhatjuk: időszerű, fényszerű és térszerű vektorok.

Az időszerű vektorok hosszának négyzete pozitív, ezen vektorokhoz mindig találunk olyan koordináta-rendszert, hogy a vektor az időtengellyel párhuzamos lesz. Ha két esemény időszerű kapcsolatban van egymással, akkor mindig van olyan megfigyelő, aki számára a két esemény ugyanott, de egymás után történik. A legegyszerűbb időszerű kapcsolat a kauzalitás, azaz az egyik pont, mint esemény, oka a másiknak. Ha egy vektor időszerű, akkor minden megfigyelő számára időszerű a kapcsolat, ez fejezi ki a relativitáselmélet determinisztikusságát.

A térszerű vektorok hossznégyzete negatív, azaz ezekhez mindig találunk olyan koordináta-rendszert, aminek egy térbeli koordinátatengelyével párhuzamosak. A gyakorlatban a térszerű kapcsolat két esemény között azt jelenti, hogy van olyan megfigyelő, aki számára a két esemény egyszerre történik, de eltérő helyeken. 

A fényszerű vektorok hossznégyzete nulla, ezek tehát a koordináta-rendszerek transzformációja során nem változnak. Az elnevezés tükrözi szerepüket: a fényszerű vektorokat a fénysugarak jelölik ki, azaz a fény sebessége minden megfigyelő számára egyenlő.

A számítástechnikában 

A számítástechnikában általában az egydimenziós tömböket nevezik vektornak, ez megfelel ugyanis a vektorkoordináták mátrixreprezentációjának. Ugyanakkor azonban egy tömb elemei nem csak számok lehetnek, ennyiben a matematikai vektorfogalomtól el is tér. A konkrét értelmezés általában a programozási nyelv része. Például a C++-ban a Vector egy konténer osztály, aminek elemei tetszőleges, akár több különböző típusba tartozó adatok lehetnek.

Jegyzetek

Források 
 Jánossy Lajos, Tasnádi Péter – Vektorszámítás I (Vektor és tenzoralgebra), Nemzeti tankönyvkiadó, Budapest 2002 
 Király Bertalan – Lineáris algebra, EKTF Líceum kiadó, Eger 2004, 
 Fényes Imre – Modern fizikai kisenciklopédia, Gondolat könyvkiadó, Budapest, 1971
 
 Sulinetes anyag a vektorokról
 Magyarított, letölthető interaktív Flash szimuláció síkvektorok összeadásáról a PhET-től. Grafikus megjelenítés mellett a polár- és derékszögű koordinátákat is megadja.
 Magyarított Flash szimuláció a derékszögű koordináták és a megfelelő egységvektorok kapcsolatáról. Szerző: David M. Harrison

Lineáris algebra
Koordinátageometria
Fizikai alapfogalmak