Algèbre de Boole (logique)

Lalgèbre de Boole, ou calcul booléen, est la partie des mathématiques qui s'intéresse à une approche algébrique de la logique, vue en termes de variables, d'opérateurs et de fonctions sur les variables logiques, ce qui permet d'utiliser des techniques algébriques pour traiter les expressions à deux valeurs du calcul des propositions. Elle fut lancée en 1854 par le mathématicien britannique George Boole. L'algèbre de Boole trouve de nombreuses applications en informatique et dans la conception des circuits électroniques.

Elle fut utilisée la première fois pour les circuits de commutation téléphonique par Claude Shannon.

Exemple introductif 
L'algèbre de Boole des fonctions logiques permet de modéliser des raisonnements logiques, en exprimant un « état » en fonction de conditions. Par exemple, si nous étudions l'expression Communication et l'expression Décrocher :
 Communication = Émetteur ET Récepteur
Communication serait « VRAI » si à la fois les variables Émetteur ET Récepteur étaient actifs (c'est une fonction logique dépendant des variables Émetteur et Récepteur)
 Décrocher = (Sonnerie ET Décision de répondre) OU Décision d'appeler
Décrocher serait « VRAI » soit si à la fois on entend la sonnerie ET l'on décide de répondre, soit (OU) si simplement l'on décide d'appeler.

L'algèbre de Boole étant un domaine commun à trois disciplines, on rencontre des notations différentes pour désigner un même objet. Dans le reste de l'article, on indiquera les diverses notations, mais on en privilégiera une pour conserver une certaine homogénéité.

Algèbre de Boole des valeurs de vérité 
On appelle B l'ensemble constitué de deux éléments appelés valeurs de vérité {VRAI, FAUX}. Cet ensemble est aussi noté
 
 .
avec  pour  et   pour .

On privilégiera dans la suite la notation .

Sur cet ensemble on peut définir deux lois (ou opérations) binaires, les lois ET et OU, et une  opération unaire, la négation (ou le complémentaire).

Pour l'ensemble des exemples et propriétés suivantes,

Conjonction 

Elle est définie de la manière suivante : a ET b est VRAI si et seulement si a est VRAI et b est VRAI.

Cette loi est aussi notée :
 : Opérateur point ;
 ;
 « & » ou « && » : cette implémentation fait partie de plusieurs langages de programmation tels que Perl, C, PHP, Swift ; 
 « and » ou « AND » : la plupart des langages de programmation comme, par exemple, Ada, Pascal, Perl, Python, PHP proposent cette fonction ; 
 « ∧ » : utilisée dans plusieurs notations algébriques et en APL ; 
 « * » ; le symbole d'une multiplication ordinaire est utilisée dans quelques langages ne disposant pas de fonction adaptée.

On privilégiera dans la suite la notation «  ».

La table de cette loi (analogue à une table d'addition ou de multiplication) n'est pas  une table de vérité.

Disjonction 

Elle est définie de la manière suivante : a OU b est VRAI si et seulement si a est VRAI ou b est VRAI. (En particulier, si a est vrai et que b est vrai aussi, alors a OU b est vrai.)

Cette loi est aussi notée :

 « ∨ » («  ») en mathématiques (et en logique mathématique) ou en APL ;
 «|» ou «||» dans certains langages de programmation ;
 en toutes lettres « or » ou « OR » en logique ou dans certains langages de programmation.

On privilégiera dans la suite la notation  mais on prendra garde du fait que cette loi n'est pas l'addition usuelle dans Z/2Z. C'est pourquoi, en mathématiques et en logique mathématique, la notation  n'est pas utilisée pour désigner le « ou inclusif » : elle est réservée au « ou exclusif », opération qui (jointe au « et ») fait de toute algèbre de Boole un anneau de Boole, en particulier une Z/2Z-algèbre.

Négation 

La négation de a est VRAIE si et seulement si a est FAUX.

La négation de a est notée :
 non-a, non a, not a

 « ~a » dans quelques notations algébriques, en APL et dans quelques langages d'interrogation de bases de données (SQL…) ;
 « ! » dans quelques langages de programmation (C, C++…) ;
 « 1- » dans quelques langages ne disposant pas de fonctions adaptées (Batch…) (puisque 1-0=1 et 1-1=0).

On privilégiera dans la suite la notation .

On obtient alors  et .

Propriétés

Propriétés des opérateurs 
Les opérateurs sont concernés par plusieurs propriétés communes :

 associativité :  , qui est parfois écrit pour cette raison :  et , qui est parfois écrit pour cette raison :  ;
 commutativité :  et  ;
 distributivité :  et   ;
 idempotence :  et  .

Par ailleurs, chaque opérateur possède un élément neutre et un élément absorbant :
  ;
  ;
  ;
  ;
Des simplifications sont possibles comme :
  ;
  ;
  ;
 .
le théorème du consensus s'applique aux opérateurs de l'algèbre de Boole :
 .
Enfin, ils suivent le principe de complémentarité :
 involution :  ( la proposition "La lumière est allumée" équivaut à "la lumière n'est pas non allumée" ou, dit autrement, "la lumière n'est pas éteinte").
 tiers exclu :  (la proposition "lumière allumée" OU "lumière non allumée" est toujours VRAI.).
 contradiction ou antilogie :  (la proposition "lumière allumée" ET "lumière non allumée" est toujours FAUX.).

Structure 
On retrouve alors toutes les propriétés qui confèrent à B une structure d'algèbre de Boole.

Priorité 
Pour alléger les écritures, il est d'usage que les opérations booléennes soient soumises aux mêmes règles de priorité que les opérations arithmétiques usuelles : la fonction ET (multiplication logique) est ainsi prioritaire par rapport à la fonction OU (somme logique). Ainsi :

Il reste possible de placer des parenthèses dans les calculs pour changer l'ordre de priorité des opérations.

Lois de De Morgan

Fonctions logiques 

Mathématiquement, une fonction logique ou opérateur logique est une application de Bn dans B.

En électronique, une fonction logique est une boîte noire qui reçoit en entrée un certain nombre de variables logiques et qui rend en sortie une variable logique dépendant des variables d'entrée. L'article fonction logique précise comment construire les boîtes noires de quelques fonctions fondamentales.

Une table de vérité permet de préciser l'état de la sortie en fonction des états des entrées. Elle caractérise la fonction logique.

Toute table de vérité, et donc toute fonction logique, peut se décrire à l'aide des trois opérations de base :
 disjonction (OU) ;
 conjonction (ET) ;
 négation (NON).

On démontre aussi qu'il existe exactement  fonctions logiques de  paramètres. Il suffit en effet de considérer toutes les tables de vérités possibles, ou de considérer le développement d'une fonction de  paramètres.

Fonctions logiques fondamentales

Fonctions logiques composées 
Ce sont les fonctions logiques à deux variables. Parmi celles-ci, on en dénombre certaines suffisamment intéressantes pour qu'on leur donne un nom.

Disjonction exclusive 

Le OU étudié jusqu'à présent doit se comprendre de la manière suivante : « l'un ou l'autre ou les deux ». Il est également appelé « OU inclusif ». Le OU exclusif (ou XOR pour ' eXclusive OR') s'entend comme : « l'un ou l'autre, mais pas les deux ».

 a XOR b

On peut également le définir avec un modulo sur une somme ordinaire :

Le « ou exclusif » est parfois noté par le signe arithmétique  (différent de). Fonctionnellement, on utilise aussi un + entouré :.

Propriété - Toute table de vérité, toute fonction logique, peut se décrire à l'aide de la constante 1 et des deux opérations : disjonction exclusive et conjonction, car :

Équivalence 

L'équivalence (notée EQV ou XNOR) est vraie si les deux entrées ont la même valeur et fausse sinon.
C'est la négation du « ou exclusif ».
 Léquivalence peut s'écrire 

L'équivalence est souvent notée par le signe .
Elle peut aussi être notée « == » dans certains langages (C++, PHP…) et « ⊙ » en électronique.

 Implication 

L'''implication (notée IMP) s'écrit de la manière suivante 

Cette opération n'est pas commutative. a est une condition suffisante pour b, qui, elle, est une condition nécessaire' pour a.

Mais

 Inhibition 

Linhibition (notée INH) se compose comme suit :

Si a est VRAI, l'expression vaut VRAI, SAUF si b est VRAI.

Cette opération n'est pas commutative.

 Exemple de fonctions logiques à trois ou quatre variables 
 Fonction logique à trois variables 

L'égalité

traduit la situation pratique suivante : On décroche un téléphone quand on décide d'appeler quelqu'un ou quand le téléphone sonne et qu'on décide de répondre''.

Elle est constituée de trois variables :
 a = « Sonnerie » ;
 b = « Décision de répondre » ;
 c = « Décision d'appeler ».
la variable d = « Décrocher » est fonction logique des 3 précédentes et peut s'écrire

La table de vérité de cette fonction d est alors la suivante (à droite) :

La table indique une situation absurde : quand on décide d'appeler quelqu'un et que le téléphone sonne sans qu'on ait envie de répondre, on décrocherait quand même. Une modification de la table comme ci-contre corrigerait cette absurdité. Cette table correspond à une fonction logique Décrocher d2 ou d2 qu'il est possible de déterminer et simplifier en .

Fonction logique à quatre variables 
Un bon élève s'interroge s'il est sage de sortir un soir. Il doit décider en fonction de quatre variables :
 a = il a assez d'argent ;
 b = il a fini ses devoirs ;
 c = le transport en commun est en grève ;
 d = l'automobile de son père est disponible.

Cet élève pourra sortir si :
 il a assez d'argent, a = vrai ;
 il a fini ses devoirs, donc b = vrai ;
 le transport en commun n'est pas en grève, donc c = faux ;
 ou si l'automobile de son père est disponible, donc d = vrai.

L'expression logique de sortir en fonction de l'état des variables a, b, c et d peut donc s'écrire ainsi :

Factorisation d'une expression 
Une fonction logique peut être déterminée
 soit sous forme d'une expression faisant intervenir les 3 opérations (, , )
 soit sous forme de sa table de vérité. Dans ce cas il sera toujours possible d'effectuer un développement pour écrire cette fonction comme une somme de produits.

Exemple : Dans l'exemple de "Décrocher2", la lecture de la table montre que  égale  quand  ou  ou  ou .

Il est possible de trouver une expression minimisant le nombre de termes et le nombre de lettres dans chaque terme. C'est l'objectif de certaines techniques comme la méthode de Quine-Mc Cluskey, les diagrammes de Karnaugh, la méthode des consensus, la double dualisation…

Exemple (suite) : la somme précédente peut être réduite par factorisation des deux premiers termes par  et factorisation des deux derniers termes par

Arbre d'expression 

Les expressions logiques sont souvent représentées en informatique sous forme d'arborescence.

À un premier sommet (racine) sont rattachés différents sous-arbres (ou branches). Les sommets sans issue sont appelés feuilles.

Chaque sommet interne correspond à un sélecteur booléen  « si  alors  sinon  », qui ramène une question  à deux sous-questions plus simples, éventuellement réduites à 1/vrai ou 0/faux.

L'évaluation d'une fonction f dépendant d'une variable q choisie pour la première question est alors , qui ramène à deux expressions indépendantes de .

Soit  ; on peut écrire  

Les arbres dépendant de l'expression et de l'ordre des questions, pour une même expression certains questionnaires seront plus simples que d'autres.

Notes et références

Annexes

Articles connexes 

 Opération bit à bit
 Les lois de la pensée

Bibliographie