Funkce (matematika)

Funkce je v matematice název pro zobrazení z množiny  na nebo do číselné množiny  (většinou reálných nebo komplexních čísel), či na nebo do vektorového prostoru  tvořeného uspořádanými n-ticemi čísel (vektorová funkce). Je to tedy předpis, který každému prvku z množiny  (kde množina  se nazývá definiční obor funkce) přiřadí právě jedno číslo nebo vektor z množiny  (kde množina resp. podmnožina  se nazývá obor hodnot funkce).

Definice 
Funkce  je binární relací , kde každému prvku  je přiřazeno právě jedno číslo  tak, že  (jestliže  a , pak ). Místo  píšeme , kde  nazýváme nezávisle proměnnou (argumentem) funkce  a  nazýváme závisle proměnnou (funkční hodnotou) funkce .

Definičním oborem (též doménou) funkce je podmnožina  množiny  všech prvků , ke kterým v relaci existuje právě jedna uspořádaná dvojice , kde .

Oborem hodnot (též kodoménou) funkce je množina všech prvků , ke kterým v relaci existuje alespoň jedna uspořádaná dvojice , kde .

U prvků množiny , které nejsou prvky definičního oboru , říkáme, že funkce v nich není definována. Pokud není při zadání funkce uveden definiční obor , pak se za něj obvykle považuje množina  všech hodnot nezávisle proměnné, pro něž má funkce smysl. Definičním oborem může být například množina přirozených, celých, racionálních, reálných nebo komplexních čísel. Argumenty definičního oboru mohou mít obecně více dimenzí, pokud mají nekonečnou dimenzi, nemluvíme již o funkci, ale o funkcionálu.

Značení 
Vektorovou funkci n reálných proměnných značíme , pak pro m=1 dostaneme , tj. reálná funkce více reálných proměnných a pro n=1 dostaneme , tj. reálná funkce reálné proměnné, kde zaměníme-li množinu reálných čísel  za množinu komplexních čísel , mluvíme o komplexní funkci komplexní proměnné.

Funkci n reálných proměnných dále značíme:
 
  pro 
 , kde  představuje bod v n-rozměrném prostoru
 , kde  představuje polohový vektor bodu v n-rozměrném prostoru.

Zadání

Tabulkou (výčtem hodnot) 
Funkci s diskrétním (oddělené hodnoty netvořící souvislý interval) oborem hodnot (ať už s diskrétním definičním oborem nebo funkci po částech konstantní) můžeme zadat výčtem hodnot, obvykle uspořádaným do tabulky.

Příklad 
Příkladem může být zadání funkce např. tabulkou

Definičním oborem je zde množina  a oborem hodnot je množina .

Graficky 
Grafickým zadáním funkci vyjádříme grafem.

Příklad 
Příklad zadání funkce grafem ( označuje definiční obor a  obor hodnot)

Analyticky 
Analytickým zadáním, tj. předpisem, rozumíme buďto explicitní vyjádření funkce ve tvaru , nebo implicitní vyjádření funkce ve tvaru . Dalším způsobem zadání funkce je vyjádření v parametrickém tvaru soustavou rovnic , , kde  je vhodný parametr.

Příklad 
Např.  je explicitní zápis kvadratické funkce. V implicitním tvaru lze stejnou funkci zapsat rovnicí . Pro vyjádření v parametrickém tvaru lze zvolit např. soustavu rovnic , .

Rekurentně 
Rekurentním zadáním, tj. předpisem, který dává do vztahu nějaké hodnoty funkce s jinými hodnotami funkce takovým způsobem, že funkce je dobře definována.

Příklad 
Příkladem takové funkce může být např. funkce definovaná na přirozených číslech, kterou definujeme vztahy  a  pro .

Uvedenou funkci lze také zapsat jako , tj. tato funkce počítá faktoriál čísla . Rekurzivní funkce našly uplatnění především ve výpočetní technice.

Průběh 
Vyšetřujeme-li průběh funkce, zkoumáme vlastnosti (graf) funkce, tj. hledáme body, které graf funkce dělí na intervaly mající příslušnou vlastnost. Při vyšetřování průběhu funkce určujeme:
 definiční obor a obor hodnot
 průsečíky grafu funkce se souřadnými osami
 Průsečík grafu funkce s osou  řešením rovnice 
 Průsečík grafu funkce s osou  řešením rovnice 
 intervaly spojitosti funkce
 body nespojitosti
 limity v bodech nespojitosti
 první derivaci funkce a její pomocí určíme
 intervaly monotonie
 stacionární body resp. lokální extrémy
 druhou derivaci a její pomocí určíme
 intervaly konvexnosti a konkávnosti
 inflexní body
 rovnice asymptot
 funkční hodnoty ve stacionárních a inflexních bodech.

Jako stacionární resp. inflexní  bod funkce  se označuje každý bod  jejího definičního oboru, v němž je první resp. druhá derivace funkce nulová, tj. ve stacionárním resp. inflexním bodě platí:  resp.  pokud v tomto bodě derivace existují.

Jako extremální bod funkce  se označuje každý stacionární bod  jejího definičního oboru, v němž je druhá derivace  funkce kladná (ostré lokální minimum) resp. záporná (ostré lokální maximum), tj. v extremálním bodě platí:  resp.  pokud v tomto bodě derivace existují.

Příklad 

Vyšetřujme průběh funkce :

 zatímco lineární funkce  je definována pro všechna , funkce logaritmus je definována pouze pro , tj. definičním oborem vyšetřované funkce bude interval .

 průsečík s osou  získáme z rovnice , tj.  a průsečík s osou  získáme z rovnice , tj.  a .

 určíme limitu v každém bodě  definičního oboru: , tj. funkce je na definičním oboru spojitá.

 určíme první derivaci funkce a položíme ji rovnu nule: , tj. , tj. bod  je stacionární a

 funkce je rostoucí na intervalu, ve kterém platí , tj. , tj. pro ,

 funkce je klesající na intervalu, ve kterém platí , tj. , tj. pro ,

tj. z rozložení intervalů monotonie lze určit, že stacionární bod je ostré lokální minimum (), funkce je tedy zdola omezená.

 vzhledem k tomu, že  na celém definičním oboru, nemá funkce žádný inflexní bod.

 asymptoty k funkci neexistují, neboť .

 funkční hodnota lokálního minima je .

 určíme-li v nulovém bodě pomocí l'Hospitalova pravidla jednostrannou limitu zprava: , funkci můžeme v nulovém bodě dodefinovat: , tj. rozšířit definiční obor na interval .

Prostá funkce 
Prostá funkce je v matematice funkce, která žádnou funkční hodnotu nenabývá vícekrát než jednou. Je to důležitá vlastnost spojená s řešením rovnic, protože nás informuje o tom, že rovnice mající na jedné straně prostou funkci a na druhé straně její funkční hodnotu nemá více než jedno řešení. Tuto informaci je důležité mít například před použitím numerických metod řešení rovnic.

Definice 
Funkci  na definičním oboru  označujeme jako prostou na , pokud pro každé dvě hodnoty  z  platí , tedy pro libovolnou dvojici různých hodnot  jsou různé i hodnoty funkce .

Příklad 
Příkladem prosté funkce je lineární funkce  pro , naopak příkladem neprosté funkce je kvadratická funkce , neboť např. .

Vlastnosti 
Pokud je funkce  na  ryze monotonní (tedy její hodnoty neustále rostou nebo neustále klesají), pak je na  také prostá, neboť se v žádném jiném bodě nemůže vrátit do stejného výsledku. Opačné tvrzení (tedy že pokud je funkce prostá, pak je i ryze monotonní) platí pouze pro spojité funkce, u nichž nemůže dojít ke "skokovým" změnám funkčních hodnot; pro tyto funkce jsou tak tvrzení o prostosti a ryzí monotonicitě ekvivalentní.

Mezi funkcemi nespojitými však existují případy prostých funkcí, které ryze monotonní nejsou. Např. prostá funkce  je na množině  rostoucí, zatímco na množině  klesající, a na svém celém definičním oboru tedy není monotonní.

Souvislost s inverzní funkcí 
K prosté funkci existuje funkce inverzní – např. k funkci exponenciální je inverzní funkcí logaritmus. Funkcím, které nejsou prosté, nelze inverzní funkci přiřadit; pokud jsou však prosté na určité podmnožině svého definičního oboru, lze je invertovat na této podmnožině – takto je např. druhá odmocnina inverzní funkcí k druhé mocnině na intervalu , protože druhá mocnina je na tomto intervalu prostá.

Omezená funkce 
Mějme funkci  a množinu .

Existuje-li číslo  takové, že pro všechna  platí , pak říkáme, že funkce  je na  shora ohraničená (omezená). Existuje-li supremum oboru hodnot funkce , pak také existuje číslo , a funkce je tedy shora omezená.

Existuje-li číslo  takové, že pro všechna  platí , pak říkáme, že funkce  je na  zdola ohraničená (omezená). Existuje-li infimum oboru hodnot funkce , pak také existuje číslo , a funkce je tedy zdola omezená.

Existuje-li číslo  takové, že pro všechna  platí , pak říkáme, že funkce  je na  ohraničená (omezená). Funkce omezená je tedy omezená shora i zdola, přičemž .

Obor hodnot omezené funkce má konečné infimum i supremum. Pokud funkce není omezená zdola ani shora, pak je neohraničená (neomezená).

Algebraická funkce

Polynomiální funkce 
Polynomiální funkci lze vyjádřit ve tvaru:
,
kde  a  je stupeň polynomu .

Racionální funkce 
Racionální funkci lze vyjádřit ve tvaru:
,
kde  a  je stupeň polynomu .

Iracionální funkce   
Iracionální funkce jsou funkce obsahující ve svém předpisu výraz , kde  a  jsou vzájemně nesoudělná čísla, jako např. druhá odmocnina.

Transcendentní funkce 
Funkce, které nejsou algebraické, se označují jako transcendentní. Mezi nižší transcendentní funkce se řadí funkce goniometrické, cyklometrické, hyperbolické, hyperbolometrické či exponenciální a logaritmické. Mezi vyšší transcendentní funkce se řadí například chybová funkce či eliptické integrály.

Mnohoznačná funkce 
Termín mnohoznačná (vícehodnotová) funkce vznikl v komplexní analýze analytickým rozšířením jednoznačné (jednohodnotové) funkce. Často se stává, že známe hodnotu komplexní analytické funkce  komplexní proměnné  v určitém okolí bodu . To je případ funkcí definovaných implicitně nebo Taylorovou řadou v okolí . V takovém případě lze rozšířit obor hodnot jednohodnotové funkce  podél křivek v komplexní rovině vedoucích z bodu  do bodu . Přitom zjistíme, že hodnota rozšířené funkce v bodě  závisí na zvolené křivce z  do  a protože žádná z nových hodnot není přirozenější než ostatní, jsou všechny začleněny do vícehodnotové funkce. Příkladem je n-tá odmocnina komplexního čísla, což je n-značná funkce, např. pro druhou odmocninu dostaneme:

Operace s funkcemi 
Mějme funkci  resp.  s definičním oborem  resp. . Společný definiční obor obou funkcí je průnikem obou definičních oborů, tj. .

Binární operace 
Součtem funkcí  na  označíme funkci  takovou, že  pro všechna .

Součinem funkcí  na  označíme funkci  takovou, že  pro všechna .

Podílem funkcí  na  označíme funkci  takovou, že  pro všechna , kde  = .

Skládáním funkcí  na  označíme funkci  takovou, že  pro všechna , kde  = .

Konvolucí funkcí  na  označíme funkci  takovou, že  pro všechna .

Korelací funkcí  na  označíme funkci  takovou, že  pro všechna .

Složením funkcí  a  je množina . Operace skládání funkcí nemusí být v obecném případě komutativní. Zatímco konvoluce je funkcí komutativní, pro vzájemnou korelaci to obecně neplatí (je komutativní pouze pro Hermitovské funkce, tj. funkce, pro které platí  pro všechna , kde symbol  značí komplexní sdružení).

Unární operace 
Inverzí funkce  na  označíme funkci  takovou, že , kde pro každé  existuje právě jedno  tak, že , tj.  je prostá funkce.

Graf inverzní funkce  je osově souměrný s grafem funkce  podle osy 1. a 3. kvadrantu. Z toho plyne, že identická funkce  je inverzní sama k sobě.

Literatura

Související články 
 Definiční obor
 Obor hodnot
 Limita funkce
 Spojitá funkce
 Konvexní funkce
 Konkávní funkce
 Monotónní funkce
 Sudé a liché funkce
 Periodická funkce
 Harmonická funkce
 Komplexní funkce

Externí odkazy 
 
 
 functions.wolfram.com – online encyklopedie vzorců a grafických ztvárnění funkcí
 Vykreslování grafů funkcí (i jejich derivací a integrálů)