Intégrale de Lebesgue

En mathématiques, l’intégrale de Lebesgue désigne à la fois une théorie relative à l'intégration et à la mesure, et le résultat de l'intégration d'une fonction à valeurs réelles définie sur  (ou sur ) muni de la mesure de Lebesgue.

Généralisant l'intégrale de Riemann, l'intégrale de Lebesgue joue un rôle important en analyse, en théorie des probabilités et dans beaucoup d'autres domaines des mathématiques.

Dans les cas simples, l'intégrale d'une fonction positive  peut être vue comme l'aire comprise entre l'axe des  (l'axe horizontal) et la courbe de la fonction . En étendant cette notion, la construction de l'intégrale de Lebesgue s’applique à un ensemble plus riche de fonctions définies sur des espaces plus généraux que  ou .

Intérêt pratique de l'intégrale de Lebesgue 

Après la construction de l'intégrale de Cauchy-Riemann, l’intérêt s’est porté sur des extensions du théorème fondamental du calcul intégral :

Les études réalisées sur l'intégrale de Riemann aboutissent au théorème suivant qui est le « meilleur qu'on sache démontrer » :

Cependant, il existe des fonctions  dérivables sur  sans que leur dérivée soit Riemann-intégrable.

L'objectif premier de l'intégrale de Lebesgue est de lever cette restriction afin de satisfaire à l'énoncé :

Par la suite, d’autres constructions d'une intégrale ont été élaborées (intégrale de Kurzweil-Henstock, Denjoy, Perron, Khintchine, etc.) et elles satisfont à l'énoncé plus général

Historique 

Avant les travaux d’Henri Lebesgue, la théorie de l'intégration s'appuyait sur l'intégrale de Riemann, mais celle-ci était plutôt insatisfaisante pour diverses raisons : problème de définition « efficace » des intégrales dites impropres (par exemple l’intégrale de Dirichlet), difficulté à établir des théorèmes de convergence…

En concevant son intégrale, Lebesgue l'a lui-même comparée à l'intégrale de Riemann :  Pour comprendre cette phrase, il faut préciser que l'intégration de Riemann « parcourt » le segment et exploite au fur et à mesure la « hauteur »  de la fonction, alors que l'intégration de Lebesgue exploite la « taille » des ensembles de niveau  pour toutes les valeurs de . 

Cette théorie s'est avérée particulièrement féconde. Elle a permis (via la théorie des tribus) de formaliser les probabilités, de définir de nombreux espaces fonctionnels extrêmement importants et elle a marqué le début de la théorie de la mesure.

Construction formelle 

L'idée générale consiste à définir l'intégrale de fonctions simples (en l'occurrence les fonctions étagées positives), d’étendre successivement cette notion à toute fonction mesurable à valeurs positives, puis finalement à une catégorie plus riche : les fonctions mesurables.

Soit  un espace mesuré. En analyse réelle,  est l'espace euclidien ,  désigne la tribu des boréliens de , et  la mesure de Lebesgue. En probabilité et en statistique,  est une probabilité sur un espace probabilisable .

L'intégrale de Lebesgue des fonctions mesurables définies sur  et à valeurs réelles est construite de la manière suivante :

Soit  un élément de  et soit  la fonction indicatrice de  : c'est la fonction définie sur  qui vaut 1 sur  et 0 en dehors. 

La valeur attribuée à  est conforme à la mesure  :

.

Par linéarité, l’intégrale est étendue à l'espace vectoriel engendré par les fonctions indicatrices (une combinaison linéaire finie de fonctions indicatrices s'appelle une fonction étagée) :

pour toute somme finie et tous coefficients  réels.

Remarquons que l’intégrale ainsi définie pour une fonction qui est une combinaison linéaire de fonctions indicatrices est indépendante du choix de la combinaison : c'est une condition essentielle à la consistance de la définition (preuve).

Soit  une fonction mesurable à valeurs dans . L’intégrale de Lebesgue de  est définie comme étant la borne supérieure de l'ensemble des  pour toutes les fonctions étagées positives  inférieures à  (pour tout , ). Lorsque cet ensemble n'est pas borné,  est donc infinie.

Remarque : cette construction est analogue à celle des sommes inférieures de Riemann, bien qu’elle n’envisage pas de somme supérieure ; ce fait important permet d’obtenir une classe plus générale de fonctions intégrables.

Pour être plus précis, il convient encore de mentionner la mesure et le domaine d'intégration :
.

L’intégrale est ainsi établie pour toute fonction définie sur  et à valeurs positives. Cependant, afin de satisfaire des propriétés de linéarité et de convergence pour des suites, les fonctions considérées sont limitées aux fonctions mesurables, soit celles pour lesquelles l'image réciproque de tout intervalle soit dans la tribu .

Une telle fonction  mesurable sur l'ensemble  et à valeurs dans  se décompose en une différence de deux fonctions positives  et . Si , alors  est dite intégrable au sens de Lebesgue ou sommable. Dans ce cas, les deux intégrales  et  sont finies et donnent un sens à la définition :

.

Il est possible de vérifier que cette définition étend la notion d'intégrale de Riemann.

Les fonctions à valeurs complexes peuvent être intégrées de la même manière, en intégrant séparément la partie réelle et la partie imaginaire.

Théorèmes 

Toute notion raisonnable d'intégrale doit satisfaire les propriétés de linéarité et de monotonie. L'intégrale de Lebesgue ne fait pas exception : si  et  sont des fonctions intégrables et si  et  sont des nombres réels, alors  est intégrable et  ; si , alors  (et de même en remplaçant les deux ≤ par des <, si le domaine d'intégration est de mesure non nulle), en particulier . On démontre que cette inégalité est vraie aussi pour  à valeurs complexes.

Deux fonctions qui diffèrent seulement sur un ensemble de mesure μ nulle (on dit alors que  et  sont égales µ-presque-partout) ont la même intégrale, ou plus précisément : si , alors  est intégrable si et seulement si  est intégrable, et dans ce cas .

Toute fonction intégrable à valeurs dans  est finie presque partout, c'est-à-dire que l'ensemble des points où elle prend les valeurs  est de mesure nulle.

Comparativement à l'intégrale de Riemann, l'un des avantages essentiels de l'intégrale de Lebesgue est la facilité avec laquelle s'effectue un passage à la limite. Les trois théorèmes suivants sont parmi les plus utilisés : 

 Théorème de convergence monotone : si  est une suite croissante de fonctions mesurables positives ( pour tout , ) et si , alors  est mesurable et la suite de terme général  converge vers  (remarque :  peut être infinie ici) ;
 Lemme de Fatou : si  est une suite de fonctions mesurables positives et si , alors  (à nouveau,  peut être infinie) ;
 Théorème de convergence dominée : si  est une suite de fonctions mesurables convergeant ponctuellement presque partout vers une fonction , et s'il existe une fonction intégrable  telle que pour tout , , alors  est intégrable et la suite de terme général  converge vers .

Références

Voir aussi

Articles connexes 
 Espace 
 Intégration
 Intégrale de Riemann
 Intégrale de Daniell
 Intégrale de Kurzweil-Henstock
 Intégration de Lebesgue-Stieltjes
 Intégrale de Stieltjes
 Intégrale d'Itō
 Intégrale de Bochner

Bibliographie

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Zbl 63.0183.05, 0017.30004

Lien externe 

Théorie de la mesure
Analyse réelle
Analyse à plusieurs variables
Théorie de l'intégration