Partie entière et partie fractionnaire

En mathématiques et en informatique, la partie entière par défaut, ou partie entière inférieure, en général abrégée en partie entière tout court, d'un nombre réel  est le plus grand entier relatif (positif, négatif ou nul) inférieur ou égal à . 

Notée le plus souvent , elle est entièrement définie par :
.
Son existence est garantie par la propriété d'Archimède. Dans le cas où  est un nombre rationnel, sa partie entière n'est autre que le quotient euclidien de son numérateur par son dénominateur.

La différence entre un nombre  et sa partie entière est appelée sa partie fractionnaire ou partie décimale.

On définit également la partie entière par excès ou partie entière supérieure comme le plus petit entier supérieur ou égal à .

Notations 
La partie entière (par défaut) de  est notée conventionnellement , c'est-à-dire avec les anglets « plancher à gauche » () et « plancher à droite » (). La fonction partie entière est souvent notée  ou  .

On utilise aussi la notation  mais celle-ci a tendance à être remplacée par la notation  car elle peut être confondue avec des parenthèses. De plus, il y a symétrie entre la partie entière inférieure (appelée en anglais , « plancher ») définie par l’encadrement :   

et la partie entière supérieure (appelée en anglais , « plafond ») définie par :

La partie entière ne doit pas être confondue avec la troncature à l'unité, ou troncature entière, qui correspond à la suppression des décimales en notation usuelle et qui diffère de la partie entière pour les nombres négatifs.

Par exemple, la partie entière de –1,5 vaut –2, tandis que sa troncature à l'unité vaut –1.

Partie fractionnaire 

La partie fractionnaire d'un nombre réel , notée , ou parfois  , est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut :

 .
La partie fractionnaire d'un nombre est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1.

On trouve également le terme de partie décimale du nombre, notamment pour les nombres décimaux.

Certains considèrent le terme partie fractionnaire impropre pour les nombres irrationnels, car cette partie n'est alors pas rationnelle, donc n'est pas une fraction. Mais « partie décimale » n'est pas plus correct dans le cas des nombres qui ne sont pas eux-mêmes décimaux, car cette partie n'est alors pas décimale non plus.

Propriétés générales 
Tout réel  vérifie les propriétés suivantes, où  est l'ensemble des entiers relatifs :

  ; avec  ;
 pour tout , on a  ;

 ;

 avec  réel.
Pour tout entier  strictement positif :
 (car ) ;
  (car ) , d'où ;
 .

Fonction partie entière 
La fonction partie entière n'est pas continue en une valeur entière, mais est continue à droite et semi-continue supérieurement.

Sa dérivée au sens des distributions est le peigne de Dirac de période 1.

Fonction partie fractionnaire 
Parfois notée , elle est continue à droite et semi-continue supérieurement. Elle est aussi périodique, de période  (d'après la remarque immédiate: pour tout entier  )

Sur  admet la décomposition en série de Fourier :

Pour obtenir une décomposition en série de Fourier valable sur tout  on pose :

À proximité de l'image de chaque nombre entier, on observe un phénomène de Gibbs sur la décomposition en série de Fourier de cette fonction, qui persiste malgré l'augmentation du nombre de coefficients calculés (voir l'animation ci-contre).

La fonction  intervient aussi dans l'expression des sommes de Dedekind, ainsi que dans la formule d'Euler Mac-Laurin.

Partie entière par excès 

Aussi appelée partie entière supérieure, elle peut se définir par l'expression :

.

La fonction , parfois notée  , est continue à gauche et semi-continue inférieurement.

En outre, pour tout  :

 ;
.

Exemples

Définitions équivalentes 

Dans les formules suivantes,  et  sont des nombres réels, ,  et  sont des entiers relatifs.

Les parties entières par défaut et par excès peuvent aussi être définies par :

 

Dans un intervalle semi-ouvert de largeur 1, il existe un seul entier ; donc pour tout réel , il existe deux entiers  et , égaux si  est entier, tels que :

Les parties entières par défaut et par excès peuvent alors aussi être définies par :

D'autres formules équivalentes peuvent être utilisées pour simplifier des expressions avec des parties entières:

Applications

Expression du PGCD 
La propriété  est utilisée dans une démonstration du fait que si  et  sont des entiers strictement positifs premiers entre eux alors (formule dite « de Sylvester », ou  « de Polezzi »  ) : 

formule pouvant être généralisée pour tous entiers  et  strictement positifs :

donc .

Posons  ou  ; alors  est entier  fois pour  entre 1 et .

Donc, d'après la propriété précédente donnant la valeur de  : 

Cette formule peut être inversée de sorte à donner une formule explicite pour le PGCD :

On en déduit également :

Fonctions arithmétiques 
Si  et  sont des entiers strictement positifs,  est le nombre de multiples de  qui sont inférieurs ou égaux à  : .

Si, par exemple, une fonction arithmétique est définie par , la somme des  premiers termes vérifie :

.

Arrondi entier et arrondi à une précision donnée

Définition et notations 
L'arrondi entier d'un nombre réel , noté  ou , est l'entier le plus proche de  ; s'il y en a deux, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue de façon que la fonction  soit une fonction impaire.

On a : 

ce qui peut se résumer en une seule formule valable pour tout nombre réel  :
.

Comme l'arrondi d'un réel  est égal à sa partie entière inférieure ou supérieure, il est aussi parfois noté .

En résumé, les parties supérieures, inférieures, et l'arrondi entier sont caractérisés par les inégalités suivantes (la troisième uniquement pour  positif) :

Arrondi à une précision donnée 
Étant donné un réel strictement positif , l'arrondi à la précision  d'un réel  est le nombre multiple de  le plus proche de  :

Étant donné un entier  , l'arrondi décimal  de  à l'ordre , est l'arrondi de  à la précision  :
.

Par exemple, les arrondis d'ordres 0,1,2,3,4 du nombre  sont successivement :

Lorsqu'on écrit , cela signifie que l'arrondi à l'ordre 3 de  est égal à , autrement dit que .

Parties entière et fractionnaire d'une fraction rationnelle

Définition 
Par analogie avec le fait que la partie entière d'un rationnel  est le quotient euclidien de  par , on définit la partie entière d'une fraction rationnelle  comme le quotient euclidien de  par , après avoir montré que ce quotient ne dépend pas du représentant  de la fraction. La partie entière de  est donc l'unique polynôme  tel que  avec  polynôme de degré strictement inférieur à celui de . Notation : . Notons que cette partie entière n'est pas un entier, mais un polynôme.

La partie fractionnaire est .

Ces définitions se transmettent aux fonctions rationnelles.

Propriétés 
 P1 : si  est de degré < 0, , et sinon  (et donc ).

 P2 : un polynôme  est la partie entière d'une fraction rationnelle  si et seulement si  est de degré strictement négatif.

 P3 : la partie entière d'une somme est la somme des parties entières : 

Cette dernière propriété différencie la notion de partie entière dans les réels et dans les fractions rationnelles ; elle est très utile pour la recherche de décomposition en éléments simples.
Pour P1 : si  est de degré < 0, , donc le quotient   de  par  est bien nul. Sinon, , donc , donc . Donc .

Pour P2 : sens direct :  est bien de degré strictement négatif. Réciproquement, si  est de degré strictement négatif,  donc  est bien le quotient de  par .

Pour P3 : comme  son degré est < 0, donc par P2, la partie entière de  est bien .

Application 
La partie entière d'un fonction rationnelle  de degré > 0 est une fonction polynomiale asymptote à  au voisinage de +∞ et -∞.

Notes

Références

Voir aussi 

 Arrondi (mathématiques)
Troncature
 Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle

Fonction remarquable