Intégration (mathématiques)

En mathématiques, l'intégration ou calcul intégral est l'une des deux branches du calcul infinitésimal, l'autre étant le calcul différentiel.

Les intégrales sont utilisées dans de multiples disciplines scientifiques notamment en physique pour des opérations de mesure de grandeurs (longueur d'une courbe, aire, volume, flux) ou en probabilités. Ses utilités pluridisciplinaires en font un outil scientifique fondamental. C'est la raison pour laquelle l'intégration est souvent abordée dès l'enseignement secondaire.

Le concept d'intégrale a été raffiné depuis son introduction au  par Leibniz et Newton, permettant ainsi de les calculer pour des fonctions de moins en moins régulières. On rencontre ainsi aujourd'hui les intégrales dites  de Riemann, de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock. Mais toutes ces définitions coïncident dans le cas des fonctions continues sur un segment.

Le symbole mathématique représentant l'intégration, le « S long » : , est appelé signe somme, signe d'intégration, signe intégral ou intégrateur ; il a été introduit par Leibniz pour noter l'intégrale.

 

Le présent article décrit l'intégrale de fonctions de la variable réelle. Pour les extensions aux fonctions de plusieurs variables, voir les articles Intégrale curviligne, Intégrale multiple et Intégrale de surface. Le cas général de l'intégrale des fonctions définies sur un espace mesurable muni d'une mesure positive est traité dans l'article Intégrale de Lebesgue. Une autre extension est l'intégrale des formes différentielles.

Cas particulier de la fonction continue sur un intervalle fermé

Calcul d'aire 

Dans un plan muni d'un repère cartésien, on choisit comme unité d'aire, l'aire du quadrilatère OIKJ où O est l'origine du repère et I, J et K les points de coordonnées respectives (1 ; 0), (0 ; 1) et (1 ; 1).

Si  est une fonction réelle positive continue prenant ses valeurs dans un segment , alors l'intégrale de  sur , notéeest l'aire d'une surface délimitée par la représentation graphique de  et par les trois droites d'équation , , , surface notée . (Voir schéma ci-contre pour l'intervalle .)

On donne un signe positif à l'aire des surfaces comme   situées au-dessus de l'axe des abscisses. Pour pouvoir traiter aussi les fonctions négatives, on donne un signe négatif aux portions situées sous cet axe.

Ainsi, pour définir l'intégrale d'une fonction continue dans le cas général (positive ou négative), il suffit de définir  et , communément appelées parties positive et négative de  respectivement, comme suit :

puis de définir l'intégrale de  à partir de  et , fonctions continues et positives :

Plus précisément, définir l'aire de cette surface consiste, dans la définition de la théorie de Riemann, à approcher  par une suite de fonctions  dont on connaît l'intégrale (en général : des rectangles qu'on définit d'aire ) et telle que la différence entre  et  tende vers 0 quand  tend vers l'infini.

Avec cette méthode, il est possible de définir l'« aire sous la courbe » d'une fonction bornée ne présentant qu'un ensemble dénombrable de points de discontinuité.

On appelle  un intégrande, et on note ∫ (un s allongé, mis pour somme) l'opérateur mathématique, appelé intégrateur, qui est associé à l'intégration. Ce symbole est un ancien s long : en effet, Leibniz s'est servi de l'initiale du mot latin summa, « somme », lequel était le plus souvent écrit ſumma. À la différence du s long, ∫, en typographie, garde toujours une hampe descendant au-dessous de la ligne de base, en romaine comme en italique. (Voir l'article Notation de Leibniz pour une justification de la notation complète, et en particulier du symbole dx.). Lien avec les primitives 
Le but du calcul intégral est de développer des méthodes permettant de calculer les intégrales. La principale méthode pour calculer une intégrale passe par la notion de primitive d'une fonction. La « primitivation » est l'opération qui, à partir d'une fonction , donne une fonction  dérivable et dont la dérivée est égale à  : .

On montre que toute fonction continue sur un segment  admet des primitives, et que l'intégrale de  à  est égale à , indépendamment de la primitive choisie.

De plus, l'ensemble des primitives d'une fonction  continue sur un intervalle  est donné par l'ensemble de ses intégrales indéfinies

où  est un point de  et  un réel quelconque.

Le théorème fondamental de l'analyse affirme que les deux approches de l'intégrale (« aire sous une courbe » et « primitivation »), sont sous certaines conditions les mêmes. Ces conditions peuvent varier selon le type d'intégrale considéré. Ainsi, les fonctions qui admettent des primitives presque partout, sont aussi intégrables au sens de Kurzweil-Henstock, mais pas nécessairement au sens de Riemann ou au sens de Lebesgue.

 Historique 
L'histoire des mathématiques doit beaucoup à la théorie de l'intégration, et sa place prédominante a façonné l'analyse en offrant à qui une solution, à qui un problème. Le lustre des « méthodes intégrales » en Grèce antique l'atteste (voir méthode d'exhaustion), et bien qu'il faille attendre le calcul infinitésimal pour une première formalisation, elles nous avaient déjà offert de profonds et beaux résultats : les Athéniens évaluèrent les grandeurs de l'espace puis en démontrèrent implicitement l'existence et l'unicité ; au  naissent des méthodes générales de « calcul de l'infini » (rectification de courbes, quadratures, etc.) C'est alors que la méthode des indivisibles de Cavalieri voit le jour.

C'est Leibniz qui introduit le fondement de la théorie de l'intégration (Geometria recondita, 1686.), qu'il conçoit comme opération inverse de la différentiation (Nova methodus pro maximis et minimis, 1684), d'une part par un symbolisme inégalé reliant intégration et dérivation, d'autre part par la mise en place des principaux théorèmes perpétués jusqu'à aujourd'hui. 

La formalisation de cette théorie a revêtu diverses formes. Elle aboutit tardivement, à cause de la complexité des problèmes soulevés :
 que sont les fonctions ? les réels ? (ces questions ne furent pleinement élucidées que grâce au développement de l'analyse au ) ;
 quelles fonctions peuvent s'intégrer ? (c'est la question de l'intégrabilité ; elle est liée, entre autres, à des problèmes de convergence).

L'intégrale de Riemann (Bernhard Riemann, 1854, publication posthume en 1867) puis l'intégrale de Lebesgue (Henri Lebesgue, 1902) ont marqué les esprits par leur formalisation aboutie. L'intégration est encore un sujet pour la recherche contemporaine ; en témoignent des extensions telles que l'intégrale d'Itō, l'intégrale de Kurzweil-Henstock, ou la récente construction de Bongiorno (1996).

 Extension de l'intégrale aux fonctions non continues sur un intervalle 
 Différences entre l'intégration au sens de Riemann et au sens de Lebesgue 
Le schéma général utilisé pour construire une intégrale et qui cherche à mesurer l'aire du domaine sous la courbe est le même pour les trois approches de l'intégration :
 au sens de Riemann, voir Intégrale de Riemann
 au sens de Lebesgue, voir Intégrale de Lebesgue
 ou au sens de Kurzweil-Henstock, voir Intégrale de Kurzweil-Henstock.

D'abord, on considère une famille de fonctions élémentaires, pour lesquelles nous avons un moyen évident de mesurer l'aire sous la courbe. Dans le cas de l'intégrale de Riemann ou de Kurzweil-Henstock, ce sont les fonctions en escalier dont l'aire sous la courbe est égale à la somme des aires des rectangles ; les fonctions en escalier étant constantes sur des intervalles, le domaine sous la courbe d'une telle fonction peut alors être vu comme une réunion de rectangles. Pour l'intégrale de Lebesgue, les fonctions élémentaires sont les fonctions étagées, constantes, non plus sur des intervalles, mais sur des parties mesurables  (approche plus souple et plus générale).

L'intégrale de Riemann permet d'intégrer entre autres les fonctions croissantes ou décroissantes, et les fonctions continues, donc aussi les fonctions continues par morceaux, ainsi que les fonctions monotones par morceaux. Toute limite uniforme d'une suite de fonctions intégrables au sens de Riemann est intégrable au sens de Riemann. Cependant une limite simple (c'est-à-dire que  pour tout  de l'intervalle  sans condition d'uniformité en ) de fonctions Riemann intégrables n'est pas nécessairement Riemann intégrable. Il est possible de caractériser les fonctions intégrables au sens de Riemann : ce sont les fonctions bornées dont l'ensemble des points de discontinuité est de mesure nulle (critère de Lebesgue).

L'intégration au sens de Lebesgue permet d'intégrer  plus de fonctions (dont des fonctions qui ne sont même pas localement bornées), et elle donne la même valeur à l'intégrale lorsque la fonction est déjà intégrable au sens de Riemann. Elle a l'avantage de munir l'espace vectoriel des fonctions intégrables (modulo l'égalité presque partout) d'une structure d'espace normé complet. Ceci est essentiel pour beaucoup d'applications. Cependant, on perd la notion de sommes de Riemann, et il existe des contextes (étude des suites uniformément distribuées par exemple) où les fonctions intégrables au sens de Riemann surviennent naturellement ; pour une généralisation de cette dernière permettant néanmoins d'intégrer également toutes les fonctions mesurables (au sens de Lebesgue), voir l'intégrale de Kurzweil-Henstock.

 Cas des fonctions monotones 
Si sur le segment  (ainsi  est inclus dans ), alors nous aurons .

Si l'on suppose par exemple la fonction  monotone sur , il est possible d'approcher son aire en utilisant soigneusement une fonction élémentaire  (dans le cas de l'intégration de Riemann ou de Kurzweil-Henstock, une fonction en escalier, et dans le cas de l'intégration de Lebesgue, une fonction étagée). Nous choisissons  telle que  mais en supposant  très proche de , au sens où, ayant préalablement fixé un  arbitrairement petit, les valeurs prises par  s'éloignent de celles prises par  d'au plus , ce qui se note .

L'aire sous , facilement calculable comme somme d'aires de rectangles, est majorée par l'intégrale de , et est appelée somme inférieure.

 Cas des fonctions non monotones 
Dans le cas de l'intégrale de Riemann ou de Kurzweil-Henstock, nous fabriquons aussi des sommes supérieures de la même façon : nous choisissons une fonction en escalier, disons , telle que  en supposant  de la même manière très proche de , et nous considérons une somme supérieure comme un majorant de l'aire du domaine sous . Dans le cas de l'intégrale de Riemann, les rectangles utilisés ont des bases de longueur majorée par une constante ; dans le cas de l'intégrale de Kurzweil-Henstock, les rectangles ont des bases de longueur variable. La théorie de Lebesgue n'utilise pas de sommes supérieures.

On montre que l'ensemble des aires sous les fonctions  que l'on peut choisir (respectivement sous les fonctions  dans la théorie de Riemann ou de Kurzweil-Henstock), admet une borne supérieure (resp. inférieure, et c'est la même). Cette valeur est alors appelée intégrale de  sur .

Les fonctions que nous pouvons intégrer sont appelées fonctions intégrables.

Cependant, les différences commencent ici ; la théorie de Riemann est de loin la plus simple, mais de cette simplicité résulte que l'ensemble des fonctions intégrables est plus restreint que celui de la théorie de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock. En plus, l'interaction entre les limites et l'intégrale sont plus difficiles à décrire dans la théorie de Riemann.

 Généralisation à un intervalle quelconque 
 Fonctions intégrables positives 
La généralisation de l'intégrale à un intervalle quelconque se fait en se basant sur la notion d'intégrale définie sur un segment.

Soit  une fonction à valeurs réelles positives, continue définie sur un intervalle  quelconque, noté , où  est réel ou égal à  et  est réel ou égal à , et où les parenthèses signifient [ ou ] (avec exclusion si valeur infinie).

On dit que  est intégrable sur l'intervalle  lorsque  l'ensemble  est majoré. Partie non vide et majorée de ℝ, il admet une borne supérieure : on la note alors  et on l'appelle intégrale de  sur .

Avec ces mêmes données, on a l'équivalence logique :  intégrable sur  si et seulement si toute primitive de  sur  admet une limite finie en  et en .

Dans le cas où une fonction  est intégrable sur un intervalle , on a

 Fonctions intégrables à valeurs complexes ou vectorielles 
Enfin, pour une fonction continue définie sur un intervalle  quelconque et à valeurs dans ℂ, on pose par définition :  est intégrable sur  si  intégrable sur  en tant que fonction à valeurs réelles positives.

De même pour  continue définie sur  et à valeurs dans un espace vectoriel normé ,  est intégrable sur  si et seulement si  est intégrable sur  en tant que fonction à valeurs réelles positives.

 Intégrales impropres 

Il se peut très bien que « l'aire sous la courbe » d'une fonction définie et continue sur  et à valeurs réelles (changeant de signe) ait une limite en faisant tendre les extrémités d'une suite de segments inclus dans  vers les bornes de , sans toutefois que la fonction en jeu soit intégrable sur  au sens de la définition. On parle alors d'intégrale semi-convergente, la valeur de l'aire trouvée est appelée intégrale impropre. C'est le cas avec l'exemple classique de la fonction de  dans ℝ qui à tout  associe  : elle peut être prolongée continûment par 1 en zéro mais le problème de l'intégrabilité se pose au voisinage de . On peut calculer son intégrale impropre (puisqu'elle n'est que semi-convergente) : on trouve :.

 Moyenne 
 Valeur moyenne d'une fonction 
Pour toute fonction continue (ou même seulement continue par morceaux) sur un segment  tel que , la valeur moyenne de  sur  est le réel  défini par :Cette notion généralise celle de moyenne d'un nombre fini de réels en l'appliquant à un nombre infini de valeurs prises par une fonction intégrable. Elle sert par exemple dans la décomposition en série de Fourier d'une fonction périodique : c'est la composante constante. En traitement du signal, pour les signaux périodiques, il s'agit de la composante continue (offset).

 Moyennes pondérées 
On peut aussi, par analogie avec les moyennes pondérées d'un nombre fini de réels, affecter « à chacune des valeurs prises par la fonction » un coefficient strictement positif. On utilise alors ce que l'on appelle une fonction poids  ( pour l'initiale de , poids en anglais) : 

Ce procédé peut aussi s'utiliser sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert mais borné (c'est-à-dire fini) où la fonction  est intégrable. On peut citer l'exemple classique servant à montrer l'orthogonalité de la famille des polynômes de Tchebychev :où la fonction  est continue sur le fermé  et où la fonction poids est Son intégrale est bien définie et vaut .

 Propriétés des intégrales 
 Relation de Chasles 
Soient  une fonction continue sur  et  et  trois réels de .

 (relation de Chasles)

 Linéarité 
Soient  et  deux fonctions continues sur  et  deux réels de .

 (linéarité de la fonction intégrale)

 Inégalités 
Soient  et  deux fonctions continues sur  et  deux réels de .
Si  sur , alors 
Inégalité de la moyenne. Si  est continue sur , avec  et si pour tout  de cet intervalle, on a :alors

 Intégration par parties 

Soient  et  deux fonctions  de classe C (i. e. dérivables de dérivées continues sur le segment ) : 

 Intégration par changement de variable 

Soit  une fonction numérique continue, et  une fonction de classe C sur  dont l'image est contenue dans le domaine de définition de . Alors :

Parmi les multiples exemples, on retient trois changements de variables simples connus sous les noms de « formule du roi », « formule de la reine » et « formule du valet », qui permettent d'exploiter les propriétés de symétrie ou de périodicité des intégrandes et de simplifier les calculs:
Formule du roi
Pour une intégrale définie sur un intervalle , le changement de variables  donne :
 

Formule de la reine
Pour une intégrale définie sur un intervalle , le changement de variables , combiné à la relation de Chasles, donne :
 

Formule du valet
Pour une intégrale définie d'une fonction -périodique sur un intervalle , le changement de variables  sur chaque intervalle , combiné à la relation de Chasles, donne :
 

 Calcul d'intégrales sous forme explicite 
Les formules précédentes, bien que permettant la détermination de nombreuses intégrales et primitives, ne permettent pas d'obtenir explicitement la plupart d'entre elles. Plus précisément, des théorèmes comme celui de Liouville montrent qu'il est par exemple impossible d'exprimer les primitives d'une fonction telle que  à l'aide des fonctions usuelles (dites élémentaires), ce qui oblige à en définir de nouvelles (ici, la fonction logarithme intégral) ; de même, la plupart des intégrales définies ne peuvent être calculées sans introduire de nouvelles constantes (voir l'article Algèbre des périodes).

 Calcul numérique d'une intégrale 

On ne connaît pas toujours une formule pour décrire une fonction, par exemple dans le cas d'une courbe expérimentale. Dans d'autres cas, on ne connaît pas de méthode analytique pour exprimer la primitive, ou bien on n'a pas besoin de l'expression analytique et seule la valeur numérique suffit. On a recours dans ces cas-là à une méthode numérique.

Les méthodes numériques consistent à prendre une suite de valeurs , les valeurs des  étant si possible équidistantes : . On peut ensuite appliquer différentes méthodes, dont les deux principales consistent à faire la somme d'aires  :
 méthode des rectangles : S est l'aire d'un rectangle de hauteur  et de largeur , on prend donc pour approximation 
  ;
 méthode des trapèzes : S est l'aire d'un trapèze de bases  et , et de hauteur  (graphiquement, c'est plutôt sa « largeur »), on prend donc pour approximation
 
Les méthodes numériques sont automatisables sur les ordinateurs et calculatrices programmables.

D'autres méthodes sont possibles.

 Méthode graphique de tracé d'une primitive 

On peut utiliser des méthodes graphiques utilisant le fait que la valeur de la fonction en un point est la pente de la primitive.

Considérant le même découpage que précédemment, on découpe l'intervalle d'intégration en bandes verticales de largeur  centrées sur les valeurs . Sur un graphique voisin, le graphique polaire, on place des vecteurs  à l'origine O et l'on considère un point P sur l'axe des , distant de O ; P est appelé le pôle. Si l'on relie P aux extrémités des vecteurs, on obtient des droites  dites polaires, dont les coefficients directeurs  sont proportionnels aux valeurs de  : 

On reporte ensuite les directions de ces droites polaires pour former un polygone funiculaire. L'axe des ordonnées est à une échelle 1/OP. L'ordonnée de départ du funiculaire correspond à la constante d'intégration.

Si, au lieu de placer l'origine des vecteurs en O, on les met bout à bout, on effectue alors une double intégration, puisque les valeurs sont cumulées. Le pôle n'est plus nécessairement sur l'axe des  ; cela incline différemment la courbe obtenue, et correspond à la constante d'intégration de la première intégrale. Ceci est par exemple appliqué pour déterminer le diagramme des moments fléchissants d'une poutre en flexion à partir des charges, ou bien la forme de cette poutre à partir du diagramme des moments fléchissants.

 Méthodes analogiques 
 Mesure de surface 
Il est possible d'estimer la valeur d'une intégrale par des mesures physiques. Par exemple, on trace la courbe sur une feuille de papier, on découpe la feuille suivant le tracé puis on pèse le résultat. En effet, si la masse surfacique est uniforme, alors le poids mesuré est proportionnel à l'aire. Ce principe était notamment utilisé pour déterminer l'aire d'un pic dans des mesures, par exemple pour faire de l'analyse quantitative par diffractométrie X.

 Intégration d'une fonction d'intensité électrique 
On peut utiliser d'autres phénomènes physiques « intégrateurs », comme le chauffage d'un corps :
 la fonction à intégrer est représentée par un courant d'intensité variable qui passe dans un résisteur chauffant ;
 l'intégrale est représentée par la température du corps chauffé, par exemple une quantité donnée d'huile ;
puisque la variation de température  est reliée à la chaleur reçue  par l'équation :
  où  est la masse d'huile et  sa capacité thermique massique.
Cette variation  est donc proportionnelle à l'intensité  par la loi d'Ohm :
 , où  est la durée de chauffage, 
soit
 

 Calculateurs analogiques électroniques 

 Notes et références 
 Notes 

 Références 

 
 Voir aussi 

 Articles connexes 

 Bibliographie 
 Jean-Yves Briend, Petit traité d'intégration, EDP Sciences, 2014, 
Marc Briane et Gilles Pagès, Théorie de l’intégration - Convolution et transformée de Fourier'', Vuibert, 2012

Liens externes 

 Éric Charpentier, Textes de la journée sur l'intégration, Université Bordeaux I,