Morphisme

En mathématiques, le morphisme est la relative similitude d'objets mathématiques considérés du point de vue de ce qu'ils partagent comme entités ou par leurs relations.

En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respectent certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre.

Plus généralement, la notion de morphisme est l'un des concepts de base en théorie des catégories ; ce n'est alors pas nécessairement une application, mais une « flèche » reliant deux « objets » ou « structures » qui ne sont pas nécessairement des ensembles.

Définitions

Cas général (théorie des modèles) 
Soient  et  deux -structures, d'ensembles respectifs  et . Un morphisme de  dans  est une application  de  dans  telle que :
 pour tout symbole de fonction -aire  et pour tout  on a  (y compris pour n = 0, qui correspond au cas des constantes) ;
 pour tout symbole de relation -aire  et pour tout , si  alors 
 désignant l'interprétation du symbole  dans la structure .

Cas des monoïdes 

Dans la catégorie des monoïdes, un morphisme est une application , entre deux monoïdes  et , qui vérifie :
  ;
 .

Cas des groupes 

Dans la catégorie des groupes, un morphisme est une application , entre deux groupes  et , qui vérifie :
 .
On se contente de cette unique condition car elle a pour conséquence  et .

Cas des anneaux 

Dans la catégorie des anneaux, un morphisme est une application  entre deux anneaux (unitaires), qui vérifie les trois conditions :

  ;
  ;
 .

dans lesquelles ,  et  (respectivement ,  et ) désignent les opérations et neutre multiplicatif respectifs des deux anneaux  et .

Cas des espaces vectoriels 

Dans la  sur un corps K fixé, un morphisme est une application , entre deux K-espaces vectoriels  et , qui est linéaire c'est-à-dire qui vérifie :

  est un morphisme de groupes de  dans  ;
 ,

ce qui est équivalent à :

.

Cas des algèbres 
Dans le cas de deux -algèbres unifères  et , un morphisme vérifie :
  est une application linéaire de  dans  ;
  est un morphisme d’anneaux,

ce qui est équivalent à :
  ;
  ;
 .

Cas des ensembles ordonnés 
Un morphisme entre deux ensembles ordonnés ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) est une application f de A dans B croissante (qui préserve l'ordre), c'est-à-dire qui vérifie : pour tous x et y dans A tels que x ⊑ y, on a f(x) ≼ f(y).

La définition des morphismes d'ensembles préordonnés est identique.

Cas des espaces topologiques 

Dans la catégorie des espaces topologiques, un morphisme est simplement une application continue entre deux espaces topologiques. Dans le cadre topologique, le mot « morphisme » n'est pas utilisé, mais c'est le même concept.

Cas des espaces mesurables 

Dans la catégorie des espaces mesurables, un morphisme est une fonction mesurable.

Classement 
Un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-même ;
 un isomorphisme est un morphisme  entre deux ensembles munis de la même espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme  dans le sens inverse, tels que  et  sont les identités des structures ;
 un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-même ;
 un épimorphisme (ou morphisme épique ou epi) est un morphisme  tel que : pour tout couple  de morphismes de type  (et donc aussi pour tout ), si , alors  ;
 un monomorphisme (ou morphisme monique) est un morphisme  tel que : pour tout couple  de morphismes de type  (et donc aussi pour tout ), si , alors .

Exemple : l'identité d'un ensemble est toujours un automorphisme, quelle que soit la structure considérée.

Références

Voir aussi 
 Antimorphisme
 Cryptomorphisme
 Morphisme de graphes
 Chiffrement homomorphe

Algèbre générale
Théorie des catégories