Évariste Galois

Évariste Galois est un mathématicien français, né le  à Bourg-Égalité (aujourd’hui Bourg-la-Reine) et mort le  à Paris.

Son nom a été donné à une branche des mathématiques dont il a posé les prémices, la théorie de Galois. Il est un précurseur dans la mise en évidence de la notion de groupe et un des premiers à expliciter la correspondance entre symétries et invariants. Sa « théorie de l'ambiguïté » est toujours féconde au .

Mort à la suite d'un duel, apparemment galant, à l'âge de vingt ans, il laisse un manuscrit élaboré trois ans plus tôt, dans lequel il établit qu'une équation algébrique est résoluble par radicaux si et seulement si le groupe de permutations de ses racines a une certaine structure, qu'on appellera plus tard résoluble. Ce Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, publié par Joseph Liouville quatorze ans après sa mort, ainsi qu'un article Sur la théorie des nombres paru alors qu'il avait dix-neuf ans, ont été considérés par ses successeurs, en particulier Sophus Lie, comme le déclencheur du point de vue structural et méthodologique des mathématiques modernes.

Républicain radical, il s'engage dans une société secrète, la Société des amis du peuple, à la suite des Trois Glorieuses. Ses démêlés avec les autorités, tant scientifiques que politiques, les zones d'ombre entourant sa mort prématurée, contrastant avec l'importance désormais reconnue de ses travaux, ont contribué à en faire l'incarnation du génie romantique malheureux et d'une jeunesse prometteuse et mal-aimée.

Biographie

Origines familiales et enfance 

Évariste Galois naît le , au 20, Grand'Rue, à Bourg-Égalité. Sa famille de tradition républicaine appartient à la bourgeoisie modeste et lettrée que la Révolution avait favorisée. Son grand-père paternel, directeur de l'école de la ville, a vu affluer les pensionnaires après la sécularisation des écoles cléricales du . Son père, Gabriel Galois (1775-1829), chef de l'établissement à son tour, devient, lors des Cent-Jours, le maire libéral de Bourg-la-Reine et le reste jusqu'à sa mort par suicide. Sa mère, Adélaïde-Marie Demante (1788-1872), issue d'une famille de juristes et de magistrats, et sœur d'Antoine-Marie Demante, est plus pénétrée de stoïcisme que de christianisme.

C'est d'elle qu'il reçoit à domicile, comme sa sœur et son frère, l'enseignement des humanités, ce jusqu'à la fin de ses . Cet enseignement maternel est basé sur des exercices de mémoire que l'on retrouve dans ses travaux.

À une date non précisée, au plus tard en 1823, son père doit quitter Bourg-la-Reine face à l'hostilité des ultras, si bien que la famille s'installe à Paris, dans un appartement rue Jean-de-Beauvais, derrière le collège royal Louis-le-Grand.

Lycée Louis-le-Grand

Débuts irréguliers (1823-1826) 
À l'automne 1823, avec un an d'avance, Évariste entre en quatrième au Collège royal Louis-le-Grand comme interne. Il obtient d'emblée des prix et des  accessits en latin et en grec. À quatorze ans, en seconde, des signes de lassitude apparaissent et un fléchissement se fait sentir. Le proviseur, pour ménager sa santé et lui permettre de gagner en maturité, suggère un redoublement.

À la demande insistante de son père, mais contre l'avis du proviseur, il est admis en première à la rentrée de 1826. Dès la fin du premier trimestre, il est rétrogradé en raison de son manque de maturité.

Rencontre avec les mathématiques 
Malgré son redoublement, il a la possibilité, grâce à une réforme scolaire, de s'inscrire parallèlement en première année de mathématiques préparatoire. Cette classe est destinée aux élèves qui souhaitent adjoindre une formation en mathématiques alors que le cursus vers les études d'humanités se poursuit.

Découvrant les mathématiques, Galois assimile avec une facilité déconcertante les Éléments de géométrie de Legendre. Dès lors, il ne fournit plus aucun effort dans les autres matières. Cela ne l'empêche pas d'y obtenir sans peine de bons résultats : second prix en version grecque, accessits dans toutes les autres matières et accessit au concours général de version grecque.  Cette facilité le pousse à bâcler les sujets qui ne l'intéressent pas. 

Ses professeurs mesurent bien qu'Evariste Galois est  mais qu'ils sont face à une . Négligeant leurs enseignements et leurs manuels, Évariste Galois consacre sa seconde à assimiler le traité d'algèbre et celui d'analyse ainsi que son supplément de Lagrange, si bien que dans l'année même (en mai ou juin 1827), il ajoute à ses prix scolaires le titre de lauréat du concours général de mathématiques.

Intuition géométrique de la résolubilité des polynômes (1828) 
L'année scolaire 1827-1828 amplifie la tendance. Il travaille peu en classe de première, réservant tout son zèle à sa seconde année de mathématiques préparatoire. C'est dès cette époque qu'il commence à s'intéresser aux équations résolubles par radicaux, commettant initialement la même erreur qu'Abel sur la résolubilité de l'équation de degré cinq. L'étude du polynôme cyclotomique ou « théorie de la division du cercle » menée par Gauss dans ses Recherches arithmétiques le confronte aux limites des calculs classiques enseignées par un Legendre ou un Lagrange. Ces calculs des solutions se complexifient à mesure que le degré de l'équation croît. 

Très vite, Galois aborde ainsi le problème posé par Ruffini, qui est de déterminer ce qui caractérise une équation soluble par radicaux, c'est-à-dire par un nombre fini d'opérations simples.

Le conseil de classe, dominé par les professeurs de lettres, se plaint dans son relevé de notes : . Pour autant, son professeur de mathématiques, s'il lui reconnaît des dispositions, lui reproche un manque de méthode. Par ailleurs, l'élève Galois a entrepris de préparer solitairement le concours de l'École polytechnique, concours habituellement tenté par des étudiants plus âgés d'au moins trois ans de plus. Il est refusé pour la session de l'été 1828.

Second échec à Polytechnique 
À la rentrée 1828, Louis Paul Émile Richard, qui dirige la classe préparatoire de mathématiques spéciales de Louis-le-Grand et deviendra le professeur de Charles Hermite, y admet Galois, bien que celui-ci n'ait pas obtenu son baccalauréat et n'ait pas suivi les cours de la classe de mathématiques élémentaires, pour le préparer au concours d'entrée à Polytechnique. Richard, disciple de Michel Chasles promoteur de la géométrie synthétique, doit lui-même expliciter pour le reste de la classe les solutions élégantes que son élève qui  donne aux questions posées en classe. En revanche, travaillant de tête, Galois est embarrassé quand il doit développer au tableau une démonstration imposée.

Dans la classe de Richard, sans négliger les cours de mathématiques, il se consacre à ses recherches propres, publiant en , dans les Annales de Gergonne, une « Démonstration d'un théorème sur les fractions continues ». 

En , il soumet à Cauchy, rapporteur à l'Académie des sciences, la première ébauche de son travail sur les équations résolubles. Le contenu de ce premier mémoire, intitulé Recherche sur les équations algébriques de degré premier, ainsi que le commentaire de Cauchy, ont été hélas perdus.

Classé cinquième au concours général de mathématiques 1829, Galois se présente de nouveau au concours d'entrée à l'École polytechnique, où le cours de mathématiques est assuré par le même congrégationniste Cauchy. 

Le , son père, maire libéral de Bourg-la-Reine qui est l'objet d'attaques des ultraroyalistes de sa commune et d'écrits anonymes, se suicide. Cet événement, qui ne peut être sans incidence sur lui, précède de deux semaines le second échec de Galois au concours.

École préparatoire

Succès à l'École préparatoire (fin 1829) 
Indécis quant au choix de sa carrière mais nullement dépité, Galois  se présente en  au concours de l'École préparatoire, établissement qui forme les professeurs des collèges royaux et prépare depuis 1821 au concours de l'agrégation de l'enseignement secondaire. Pour Galois, intégrer l'École préparatoire, qui rémunère ses étudiants, assurerait un revenu à sa mère devenue veuve. Classé second, il est admissible, mais il lui manque le baccalauréat pour être admis. Le , il obtient de justesse les baccalauréats ès lettres et ès sciences.

Le , il peut signer, malgré un avis défavorable en physique, son engagement décennal avec l'Université. L'École préparatoire étant installée dans le collège du Plessis et placée sous la direction du proviseur de Louis-le-Grand, il ne change ni de lieu ni de hiérarchie.

Au sein de l'école, il se signale par son mépris envers les professeurs et son peu de régularité aux cours. Il se lie d'amitié avec Auguste Chevalier, frère de Michel Chevalier, de deux ans son aîné, et dont c'est la dernière année à l'École préparatoire. Cette amitié perdurera jusqu'à sa mort malgré les voies divergentes prises par les deux hommes .

Échec pour le Prix de l'Académie des sciences (1830) 

Dès , Galois, ayant pris connaissance des travaux d'Abel, découvre que celui-ci est arrivé à des conclusions similaires à celles mentionnées par certains points de son premier mémoire. Sur les conseils et l'encouragement de Cauchy, il dépose à l'Académie, en  : Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux (janvier 1830) en vue de concourir au grand prix de mathématiques de . 

Parallèlement, il publie, en , dans le Bulletin général et universel des annonces et des nouvelles scientifiques du baron de Férussac, une « Analyse d'un mémoire sur la résolution algébrique des équations », petite note destinée à présenter son Mémoire. En , paraissent toujours dans le Bulletin de Férussac, deux autres travaux de Galois, une « Note sur la résolution des équations numériques » améliorant un résultat de Legendre sur la recherche de solutions approchées d'une équation, et un travail plus important sur les équations modulaires, « Sur la théorie des nombres ».

Le , le Grand prix de mathématiques de l'Institut de France est attribué à Niels Abel, à titre posthume, et à Charles Jacobi, deux mathématiciens pour lesquels Évariste Galois avait lui-même la plus grande admiration. S’étonnant que son travail ne soit pas cité, Galois apprend qu'après la mort de Fourier, qui était chargé de l'examiner le  précédent, son mémoire n’a pas été retrouvé dans les papiers de celui-ci et est considéré comme perdu.

La perte de ce mémoire et du précédent, ainsi que ses deux échecs à Polytechnique, sont pour Galois une grande déception. Il en éprouve une indignation et une amertume qu'il exprime par exemple dans son projet de préface de mémoire de 1831, allant même jusqu'à accuser le système de condamner le génie au profit de la médiocrité.

Révolution de Juillet 

Fin , les étudiants de l'Association des Patriotes sont au premier plan dans le déclenchement des Trois Glorieuses. Parmi eux figurent nombre de polytechniciens ou, tel le saint-simonien Hippolyte Carnot, de proches de ceux-ci que réunit l'Association polytechnique créée à cette occasion et à laquelle adhèrera Sadi Carnot dès le . À l'École préparatoire, le directeur des études Joseph-Daniel Guigniaut demande à ceux qui veulent rejoindre leurs aînés dans les combats de rue, de reporter au lendemain leur décision ; puis il fait verrouiller les issues du collège du Plessis. Le , il déclare par voie de presse remettre ses élèves à la disposition du nouveau régime. À la suite de cette déclaration habile, il est nommé directeur de l'établissement, qui devient autonome sous le nom d'École normale. Galois, qui souhaitait participer aux combats, éprouve désormais une rancune tenace envers le directeur des études.

Dès l'été 1830, Galois affiche ses convictions républicaines et fréquente la Société des amis du peuple. Cette association, née des événements du  est opposée à la royauté et regroupe des avocats, marchands, médecins, étudiants . Dissoute le , elle renaît dans la clandestinité. L'adhésion de Galois y est officielle le . Il se lie d'amitié avec Napoléon Lebon et Vincent Delaunay. Il s'enrôle également dans la Garde nationale qui, reconstituée à l'issue des Trois Glorieuses, est à nouveau dissoute fin .

À la rentrée, Guigniaut repousse les demandes des élèves de porter l'uniforme comme les polytechniciens, d'avoir des armes et de . Sans leur avis et au mépris des engagements contractuels, la scolarité est allongée à trois années. 

La révolte et l'amertume de Galois s'intensifient quand il s'aperçoit que, sous la direction de François Arago, les polytechniciens sont en train de décider du règlement de leur école. Son comportement conduit Guigniaut à le consigner indéfiniment.

Renvoi de l'École normale () 

Le , la Gazette des Écoles, dirigée par Antoine Guillard, agrégé de mathématiques au collège Louis-le-Grand et rival de Guigniaut, publie un texte anonyme dont l'auteur s'avère être Galois. Cette lettre met en cause l'engagement libéral, c'est-à-dire la fidélité au nouveau régime, du directeur de l'École normale. Puis le , toujours dans la Gazette des Écoles, dans une violente diatribe , il indique désormais ne plus dénommer le  ainsi. Celui-ci riposte le  en renvoyant Évariste Galois. Son expulsion provoque un émoi certain, relayé par les républicains jusqu'au sein du gouvernement. Évariste Galois se croit soutenu par les élèves de son école, mais la suite montre qu'il se trompe.

Galois ne reste pas inactif. Outre son activité au sein de la Société des amis du peuple, il publie le , dans la Gazette des Écoles un article intitulé « Lettre sur l'enseignement des sciences », reprochant au système d'enseigner aux élèves à reproduire un savoir plutôt que de les former à réfléchir, et regrettant que le système des concours les conduise à chercher à satisfaire les lubies de chaque examinateur plutôt que de produire des mathématiques.

Le , le ministère entérine provisoirement la situation créée par le directeur, tout en assurant à Évariste Galois, mis à pied, le maintien de son statut de fonctionnaire, mais sans traitement, en l'attente d'une destination définitive. Ainsi sa mère renonce à se loger et doit .

Cours public (-) 

Sur la demande de Siméon Denis Poisson, il rédige une nouvelle version de son Mémoire. Poisson le présente, le , à l'Académie, qui le charge de l'examiner en compagnie de Sylvestre-François Lacroix. À cette époque, Galois est connu du milieu universitaire comme un jeune homme prometteur au caractère difficile.

Ayant obtenu sa licence en , . Son intention, annoncée dans la Gazette des Écoles, est d'exposer des . Mais, probablement devant au plus une quarantaine d'auditeurs, .

Prison

Banquet du  et emprisonnement 
Le , au rez-de-jardin du restaurant Vendanges de Bourgogne, faubourg du Temple, Évariste Galois participe avec deux cents donateurs à un banquet organisé à l'occasion de l'acquittement de dix-neuf républicains. En effet, cinq mois plus tôt, ont eu lieu les émeutes du  au . Le gouvernement fit arrêter dix-neuf républicains, dont Ulysse Trélat, Joseph Guinard, Godefroi Cavaignac et Pescheux d'Herbinville accusés d'avoir comploté contre la sûreté de l'État. Le procès, qui avait eu lieu en avril, avait conduit à leur acquittement et la Société des amis du peuple avait organisé pour le  un banquet en leur honneur. Vers la fin du banquet, plusieurs toasts sont portés. Galois, brandissant un couteau, lève à son tour son verre et s'écrie :  Cet appel au meurtre provoque le départ de quelques participants dont Alexandre Dumas, présent sur les lieux.

Le lendemain, Galois est arrêté chez sa mère pour incitation au régicide et emprisonné à Sainte-Pélagie. Quoiqu'il attribue à l'alcool ce geste provocateur, le procès démontre que lors du banquet, la consommation en fut modérée. Son avocat plaide l'acquittement, arguant que la réunion était d'ordre privé, et malgré un discours confus et exalté de Galois que le président juge préférable d'interrompre, celui-ci est acquitté le .

Le , Poisson et Lacroix rendent leur rapport sur le mémoire de Galois. Il est défavorable. Le mémoire est jugé incompréhensible mais Poisson réserve l'avenir et semble attendre de Galois qu'il développe ses idées.

Second emprisonnement 
Le , lors de la commémoration républicaine non autorisée de la prise de la Bastille, Galois, armé et en costume de garde national, est de nouveau arrêté sur le pont Neuf en compagnie de son ami Ernest Duchâtelet et incarcéré à Sainte-Pélagie. Ceci intervient un mois après sa première détention.  Le , il est jugé en correctionnelle pour port illégal de costume militaire et condamné à six mois de prison.

Durant son incarcération, il croise Gérard de Nerval et côtoie François-Vincent Raspail qui raconte la vie dans le quartier des politiques. Ils y jouissent d'une relative liberté : ils organisent à leur guise des chœurs et des cérémonies au drapeau dans une cour qui leur est réservée, dorment dans des dortoirs qui ne sont pas toujours fermés. Mais Raspail y déplore l'existence d'une cantine dans laquelle l'alcool coule à flots. Galois, par deux fois, pour répondre aux défis de ses camarades, y boira jusqu'à s'en rendre malade. 

C'est aussi Raspail qui évoque la mise au cachot de Galois lors d'une confrontation avec l'administration, sanction qui provoque une mutinerie générale des républicains révoltés par ce traitement.

Mais Galois n'abandonne pas son travail mathématique : il met la dernière main à son mémoire qu'il prévoit de distribuer directement aux mathématiciens de son époque, et se lance dans des recherches sur les fonctions elliptiques.

Le , le nouveau préfet de police Henri Gisquet, voulant prévenir les ravages de l'épidémie de choléra, transfère en échange de leur parole d'honneur ses prisonniers les plus fragiles, dont Galois, dans une maison de santé privée, la clinique Faultrier, rue de Lourcine. Sa peine s'achève le  mais il semble y prolonger son séjour.

Le duel (printemps 1832) 

Sur la mort d'Évariste Galois, les faits avérés sont minces. On sait, d'après les lettres qu'il a écrites la veille de sa mort, qu'il va se battre en duel : ,  Le duel a lieu le  au matin, près de l'étang de la Glacière. Évariste Galois est atteint d'une balle tirée à , qui le touche de profil, à l'abdomen. Conduit à l'hôpital Cochin par un paysan, il meurt d'une péritonite le lendemain, le , dans les bras de son frère Alfred, après avoir refusé le service d'un prêtre.

L'identité de  est restée pendant longtemps inconnue mais la découverte de deux manuscrits de Galois, recopiant deux lettres reçues par lui, permet de reconstituer les faits. Durant son séjour à la pension Faultrier, Galois se serait épris d'une , d'un amour apparemment malheureux. Elle lui aurait demandé de rompre le . Selon Alberto Infantozzi,  serait Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, qui habitait dans la même rue que la pension Faultrier, et il fait le rapprochement avec un Poterin Dumotel qui y aurait été médecin interne.

Sur l'identité de son adversaire, on cite les noms de  ou d'Ernest Duchâtelet. Cette dernière hypothèse s'appuie sur la découverte par André Dalmas du récit du duel dans un journal de Lyon, Le Précurseur, où l'adversaire de Galois est indiqué par les initiales  ; mais René Taton signale que les imprécisions de l'article du journal demandent que cette hypothèse soit validée par des études plus poussées, d’autant que l’amitié entre Galois et Duchâtelet est établie. Olivier Courcelle expose comment les initiales  peuvent être celles de Lepescheux d'Herbinville et apporte une autre preuve sous la forme d'un manuscrit versé au plus tard en 1970 à la Bibliothèque nationale de France. Gabriel Demante, cousin d'Évariste Galois, parle de deux hommes respectivement fiancé et oncle de la jeune fille. Quant au frère d'Évariste, Alfred, il était convaincu d'un complot politique, avis partagé par Leopold Infeld.

Destin posthume

Derniers écrits 
Le , veille du duel, Évariste Galois écrit une , une , et résume l'état de ses recherches à Auguste Chevalier.

La lettre adressée à Auguste Chevalier, considérée comme son testament de mathématicien, est restée célèbre : Galois lui demande instamment de  qu'il a trouvés et dont il dresse le bilan, et de faire imprimer la lettre dans la Revue encyclopédique. La lettre a effectivement été publiée en .

En fin de , il porte une épitaphe qui résume son destin personnel tout autant que celui de ses manuscrits :

Funérailles () 
Les funérailles d'Évariste Galois sont célébrées le  à Paris au cimetière du Montparnasse. Son cercueil, porté à bras d’homme par ses amis, est déposé dans la fosse commune du cimetière. 

Si aucun membre de sa famille n'est présent, et bien qu'éclipsées par la mort du général Lamarque survenu la veille, ces funérailles donnent lieu à un cortège de deux à trois mille personnes, sympathisants de la Société des amis du peuple et délégués des étudiants. Elles se déroulent sous la haute surveillance de la police, car le préfet de police redoute une émeute, qui n'éclate que trois jours plus tard, à la suite des funérailles du général Lamarque.

Reconnaissance de l’œuvre 

Les papiers d'Évariste Galois, rassemblés par Chevalier, aidé d'Alfred Galois, sont transmis à Joseph Liouville, professeur à Polytechnique. 
Le , Liouville annonce à l'Académie des sciences qu'il a trouvé dans le mémoire de Galois des résultats très intéressants concernant la théorie des équations algébriques. En 1846 il publie les manuscrits de Galois dans son journal, le Journal de mathématiques pures et appliquées, ce qui leur confère immédiatement un rayonnement international.

Ainsi dans la seconde moitié du , les travaux de Galois sont repris et prolongés par Enrico Betti, Arthur Cayley, Camille Jordan, Joseph-Alfred Serret, Richard Dedekind, Leopold Kronecker, James Cockle, Paul Bachmann et Heinrich Weber. Selon Caroline Ehrhardt, la réhabilitation de Galois dans la seconde moitié du siècle provient du fait que les mathématiciens ont les outils pour le comprendre et que l'objet de ses recherches est alors à l'ordre du jour. 

La réputation de Galois est déjà bien établie lorsque les célébrations du centenaire de l'École normale en 1895 donnent l'occasion à Sophus Lie, admis à la suite de Cauchy à l'Académie des sciences, de publier Influence de Galois sur le développement des mathématiques.

Apport de Galois

De l'algèbre aux mathématiques modernes 
Évariste Galois a travaillé classiquement, à la fois dans la continuation et en opposition à ses maîtres, sur le domaine qui à son époque représentait l'intérêt principal des mathématiciens : la construction de solutions aux équations. Il avait bien conscience de la nécessité de libérer l'enseignement et la recherche de méthodes empiriques. La portée de ses travaux devait, pensait-il, être importante mais sa brève vie ne lui a pas permis d'essayer de dépasser ce domaine restreint.

Le problème tel qu’il se posait à son époque est celui des caractéristiques qu'une équation algébrique quelconque doit avoir pour que ses solutions puissent être calculées à partir de ses coefficients, par des opérateurs simples, comme l’addition, la multiplication, l’extraction de racines.

Cependant, il cherche à élaborer une méthode d’analyse des solutions, et de leurs relations, plutôt que de calcul explicite des solutions. Il commence par étudier la possibilité ou non d'une résolution, c’est-à-dire qu'il substitue au calcul la recherche de conditions de résolubilité.

Changement de paradigme 
Parfois présenté comme inventeur du concept de « groupe formel » (mais Galois ne parle que de groupes de permutations, et n'en explicite même pas la structure), Évariste Galois a permis à ses successeurs de déduire à partir de cette découverte la théorie de Galois.

Au-delà d'un nouveau domaine des mathématiques, en découvrant la structure des équations résolubles par radicaux, Galois, en mettant l'accent sur les notions  de symétries et invariants, et sur leur correspondance, a rendu pleinement opérant ce que par la suite on a désigné comme le concept de structure mathématique et qui était déjà latent dans le mémoire Sur les fonctions symétriques présenté par Augustin-Louis Cauchy à l'Académie des sciences en 1812. Cependant, Galois n'est pas allé plus loin que Cauchy dans l'explicitation du concept de structure, qui ne sera développé dans toute son ampleur qu'au vingtième siècle, par exemple par Van der Waerden dans son . En revanche, sa « théorie de l'ambiguïté » est toujours féconde au . Elle a ainsi permis, par exemple, à Felix Klein d'élaborer en 1877 la théorie des revêtements puis à Alexandre Grothendieck, en 1960, de fusionner théorie de Galois et théorie des revêtements.

Style moderne 
Dans sa préface des Écrits et mémoires mathématiques d'Évariste Galois, Jean Dieudonné est  d'Évariste Galois. Selon lui, .

En effet, de son vivant, Galois reçut des critiques sur le manque de clarté de ses mémoires. Dans son court rapport, Poisson, après avoir rapproché les résultats de Galois de ceux d'Abel et interrogé la possibilité de déterminer des conditions de résolubilité des équations proposées, critiqua, plus que la rédaction du texte elle-même, la forme de raisonnement : . Or, le sujet même développé par Galois était de démontrer que ce n'est pas parce que les résultats ne peuvent pas être donnés en extension qu'ils n'existent pas. Il précisera même que s'il fallait donner ces résultats explicitement, il ne pourrait qu'indiquer la marche à suivre,  (il faut cependant remarquer que les progrès de l’informatique et des mathématiques expérimentales ont rendu ces calculs tout à fait possibles).

Successeurs de Galois 
La nouvelle théorie des équations élaborée par Évariste Galois est en particulier à la base de la théorie des revêtements, qui a permis de définir algébriquement, par exemple, des objets topologiques tels que la bande de Moebius ou la bouteille de Klein. Son mémoire Sur la théorie des nombres a initié l'étude des corps finis, qui jouent un rôle essentiel en cryptographie.

Au-delà des diverses applications des résultats de Galois, sa démarche elle-même a initié un mouvement d'abstraction et de consolidation des mathématiques. Charles Hermite, qui eut tout comme Joseph-Alfred Serret à Polytechnique le même professeur qu'Évariste Galois, Louis-Paul-Émile Richard, et qui disposa grâce à ce dernier des copies de son prédécesseur, fut le premier à exploiter, à partir de 1846, les résultats de celui-ci sur les fonctions elliptiques, mais dans un sens bien à lui, celui de l'unification de l'algèbre et de l'analyse, et non dans celui de la future théorie de Galois. Il appartiendra à Félix Klein, très inspiré par Galois, de poser en 1872 que les géométries sont des groupes, ouvrant ainsi la voie à une grande unification de l'algèbre et de la géométrie puis, dans l'élan d'Henri Poincaré, de l'ensemble des mathématiques autour de la notion de structure. Plus axé sur l'axiomatisation de la seule géométrie, que développeront David Hilbert et Hermann Weyl, Sophus Lie publiera à partir de 1888 le résultat de ses recherches fondées sur le constat que les transformations continues forment des groupes.

Les notions de groupe et de loi interne seront généralisées progressivement au-delà de la seule théorie des équations. En 1854, le théorème d'Arthur Cayley les étend aux bases d'espaces vectoriels. En 1871, Richard Dedekind, à son retour de Paris où il suit avec Sophus Lie les leçons de Gaston Darboux sur la théorie de Galois élaborée par Camille Jordan, applique à la théorie des nombres le concept de champ de rationalité que Leopold Kronecker avait trouvé en 1870 dans la théorie des équations de Galois, et invente ainsi le concept de corps. Suivront les développements d'Heinrich Weber en 1882, William Burnside en 1897 et James Pierpont en 1900 qui se prolongent actuellement dans de fécondes recherches, menées en particulier par Vladimir Drinfeld et Laurent Lafforgue, autour des conjectures sur la correspondance de Langlands.

Parallèlement, l'algèbre de Galois elle-même sera considérablement approfondie. À partir de son exposé qu'il fit au Collège de France en 1860 des développements qu'Augustin-Louis Cauchy avait donnés aux travaux d'Évariste Galois, Camille Jordan érige en 1870 la théorie de Galois en système autonome qui prendra sa forme actuelle grâce aux résultats de Ludwig Sylow, Ferdinand Frobénius, Émile Picard, Ernest Vessiot et Élie Cartan, puis de Claude Chevalley, André Weil, Emil Artin, Ellis Kolchin, Walter Feit, et qui continue aujourd'hui son développement à travers certains travaux d'Alexandre Grothendieck, et les recherches des équipes de John Griggs Thompson, Pierre Cartier, Jean-Pierre Serre…

Œuvre

Articles parus de son vivant 
 « Démonstration d'un théorème sur les fractions continues périodiques ».

 « Analyse d'un mémoire sur la résolution algébrique des équations ».

 « Lettre sur l'enseignement des sciences ».
 « Note sur la résolution des équations numériques ».
 « Notes sur quelques points d'analyse ».
 « Sur la théorie des nombres ».

Mémoire académique incompris de son vivant 
 
« Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux ».

Un premier mémoire portant sur la théorie des équations fut soumis en  à Cauchy, avant l'admission d'Évariste Galois à l'École préparatoire. Après révision, il fut soumis en  à Fourier pour le grand prix de mathématique de l'Académie des sciences puis, d'après Auguste Chevalier, réécrit à la demande de Siméon Denis Poisson qui le refusa le . Datée du , c'est une troisième version, comme la préface évoquant cette incompréhension de Poisson l'explique, qui fut retrouvée par Liouville dans les archives de Galois après sa mort. Présenté à l'Académie en 1843 par Liouville, le mémoire fut enfin publié en 1846 par ses soins. Ce texte est celui où Galois jette les bases de la théorie des groupes sur lesquelles Felix Klein, Émile Picard et Sophus Lie étayeront leurs propres découvertes, et où ce dernier trouvera, comme il le déclarera en 1895, la démarche généralisante fondatrice des mathématiques modernes.

Dans ce mémoire, Évariste Galois chercha à étudier la résolubilité des équations polynomiales. Il démontra que les racines d'un polynôme scindé P s'expriment rationnellement en fonction des coefficients et d'un nombre algébrique V obtenu en sommant convenablement les racines. Le polynôme minimal de V est par définition le polynôme unitaire de plus petit degré annulant V et dont les coefficients sont des expressions rationnelles en les coefficients de P. Ses racines, nécessairement distinctes, permettent de déterminer un groupe de permutations, soit G, des racines de P. La valeur d'une fonction polynomiale évaluée en les racines de P s'exprime rationnellement en fonction des coefficients de P si et seulement si cette valeur reste inchangée en faisant agir une permutation de G. En particulier, si le groupe est trivial, les racines s'expriment rationnellement en fonction des coefficients de P.

Évariste Galois en déduit que la recherche d'une résolution par radicaux passe par la réduction du groupe associé par adjonctions successives de racines. Cette idée directrice est appliquée dans ce premier mémoire aux polynômes irréductibles de degré premier.

Il décrit ainsi une méthode générale et quasi complète par factorisation des séries de composition ou « emboîtements » de sous-groupes normaux maximaux. La complexité du calcul de série de résolvantes partielles met en évidence que la résolution des équations par fractions et opérations simples conduit en général, à la différence des méthodes d'approximation, à des calculs astronomiques hors de portée humaine.

Essai inachevé sur les fonctions elliptiques 
« Mémoire sur les équations modulaires des fonctions elliptiques » est un projet de publication élaboré à la prison Sainte-Pélagie puis à la pension Faultrier et daté de . Interrompu par le duel fatal, il en reste la démonstration d'un lemme fondamental selon lequel les différentielles des intégrales sont des fonctions algébriques, des calculs jetés sur le papier, d'autant plus difficiles à mettre en ordre que Galois avait l'habitude de tout faire de tête, ainsi que les trois premiers paragraphes, soit une demi dizaine de pages qui ouvrent la recherche sur l'analyse transcendantale et préfigure l'analyse complexe moderne.

Manuscrits inédits et brouillons 
 « Recherche sur les surfaces de  degré », [s.d.], 4 p.
 « Des équations primitives qui sont solubles par radicaux », [s.d.]
 « Comment la théorie des équations dépend de celle des permutations », .
 « Note I sur l'intégration des équations linéaires », [s.d.], 3 p.
 « Discours préliminaire »,  ; 
 « Addition au mémoire sur la résolution des équations », [s.d.], 3 p.
 « Mémoire sur la division d'une fonction elliptique de première classe », [s.d.]
 « Discussions sur les progrès de l'analyse pure », [s.d.], 3 p. 
 Préface à Deux mémoires d'analyses pures, .
 « Notes », .
 Deux notes sur Niels Abel.

Indépendance des travaux de Galois et d'Abel 
Abel et Galois ont pu souvent être comparés . Cependant les travaux de Galois et d'Abel sont indépendants : Galois  des travaux d'Abel sur les sujets qui l'intéressaient. Ce sont à travers des fragments publiés dans le Bulletin que Galois a eu connaissance de ces travaux.

Les travaux d'Abel furent publiés dans le premier numéro du Journal de Crelle. Néanmoins, Galois dit ne pas avoir eu connaissance des travaux d'Abel lorsqu'il soumit ses premiers articles en 1829. Il ne put avoir connaissance de ces travaux qu'en octobre à travers la lecture des fragments publiés dans le Bulletin de Férussac. Des lettres posthumes d'Abel adressées à Legendre furent publiées en 1830.

Si leurs travaux se rejoignent, les deux jeunes hommes, sans doute guidés par la même intuition, partent chacun d'un problème différent. Niels Abel démontre dès 1824 le théorème de Ruffini, l'irrésolubilité par radicaux des équations quintiques . Plus jeune de neuf ans que Niels Abel, tout aussi incompris que lui, Évariste Galois, sans avoir connaissance, sinon par bribes, des travaux de son aîné, démontre la résolubilité par radicaux des équations quartiques, et de là de polynômes de degrés inférieurs ou même supérieurs, c'est-à-dire qu'il définit les conditions pour qu'une équation ait une solution par radicaux y compris pour celles des équations quintiques, telle , qui en ont une. Ce faisant, il confirme le résultat d'Abel qu'il n'y a pas de conditions spécifiques aux équations quintiques alors qu'il y en a pour les équations quartiques mais il ajoute qu'il y en a de plus générales pour toute équation algébrique quel que soit son degré. L'intuition d'Abel est antérieure, le résultat de Galois est plus général.

Correspondance 
 À son oncle Antoine Demante, .
 Au rédacteur de la Gazette des écoles, .
 « À mes camarades », .
 Au président de l'Académie des sciences de Paris, . 
 À Auguste Chevalier, .
 À sa tante Céleste Marie Guinard, .
 À Auguste Chevalier, .
 Aux « patriotes », .
 À Napoléon Lebon et Vincent Delaunay, .
 À Auguste Chevalier, .

Travaux scolaires 
 Note sur les équations aux dérivées partielles, [s.d.], 4 p.
 Cahier
« A - Asymptotes d'une courbe ».
« B - Principes du calcul différentiel ».
« C - Observation ».

Ont été conservées douze copies remises par l'élève Galois à Louis Richard durant les dernières années de sa scolarité au lycée Louis-le-Grand. Ce sont des démonstrations apportées aux problèmes posés qui permettent de comprendre la stupéfaction qu'éprouvaient ses collègues de Mathématiques spéciales.

Une treizième copie, celle du concours général qu'Évariste Galois a remporté au printemps 1827, a été égarée. Il ne subsiste que la photographie de la première page. Sur celle-ci figurent la première question, l'équation de la projection de l'intersection d'une sphère et d'un cylindre, et la solution, fulgurante, proposée par l'élève.

Célébration

Image légendaire d'Évariste Galois 
Dès sa mort dramatique, Évariste Galois a été présenté comme un génie incompris, un valeureux républicain et un mathématicien ignoré de ses contemporains. Sa vie a été ensuite romancée et déformée dans de nombreuses biographies, qui ont repris ces images et en ont ajouté d'autres, comme celles d'un étudiant frustré ou d'un utopiste : « de nombreux travaux et un film ont été consacrés à l'homme lui-même qui, mélangeant fiction, romance et faits, l'ont présenté comme le prototype du héros incompris et persécuté ».

Les historiens des mathématiques ont tenté ultérieurement de donner un nouvel éclairage à la vie d'Évariste Galois. Ses deux échecs à l'entrée de l'École polytechnique et les difficultés rencontrées à publier certains mémoires ont profondément nourri « ses sentiments de révolte contre tous les symboles du pouvoir politique ». Son exclusion officielle de l'École préparatoire en  et le refus de son mémoire en juillet par Poisson (qui participa au conseil qui exclut Galois) rendirent Galois « profondément dégoûté par ce qu'il considéra comme une nouvelle preuve de l'incompétence des cercles scientifiques et de leur hostilité à son égard ». Galois exprime sa colère dans certaines lettres, accusant ouvertement le directeur de l'École préparatoire d'appartenir aux « libéraux doctrinaires » et de faire preuve d'un « pédantisme ordinaire ». Le ressentiment de Galois a pu être présenté par certains auteurs comme une réelle opposition des mathématiciens de son époque à ses travaux novateurs.

En marge de la proposition II dans le mémoire de 1830 est mentionnée la phrase . Cette phrase a été interprétée par Auguste Chevalier comme la preuve d'une révision du mémoire effectuée par Galois la veille du duel. Il confirma cette thèse par une correction manuscrite de la proposition III, accompagnée de la date 1832. D'autres ont repris et exagéré cette interprétation. Selon Eric Temple Bell, Évariste Galois aurait rédigé ses travaux sur la résolution d'équations polynomiales par radicaux la veille de sa mort et n'aurait pas eu le temps de donner les détails de la démonstration. Mais .

Il est vrai néanmoins que les circonstances exactes du duel restent « fort obscures ». Différentes hypothèses ont été formulées : certains ont pu l'interpréter comme un duel entre rivaux, un suicide romantique, un complot de la police secrète, qui aurait organisé le duel, un règlement de comptes entre révolutionnaires, voire un suicide orchestré à des fins politiques. Mais la thèse la plus probable est celle d'un « duel imbécile entre amis » (les duels étaient usuels à l'époque).

Dans sa dernière lettre, Galois mentionna :

Hommages 
Parfois simple protagoniste d'œuvre écrite ou filmée, il est aussi le sujet de multiples biographies. Plus d’une quinzaine de voies publiques, des établissements d’enseignement, divers bâtiments, un cratère lunaire portent son nom. Les célébrations sont nombreuses, que ce soit en 1895 à l’occasion du centenaire de l’École normale supérieure ou lors du bicentenaire de sa naissance avec de très nombreuses manifestations à travers la France et parfois au-delà. Parmi celles-ci se trouve la conférence d’Alain Connes, titulaire de la médaille Fields, à l’Académie des sciences, institution avec laquelle Galois a connu quelques déboires.

Voir aussi

Bibliographie

Publications posthumes des écrits d'Évariste Galois 
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Témoignages de contemporains 
  (inédit).
  (inédit).

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Biographies 

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 Julien Dupoux, Evariste Galois, mathématiques et révolution, Editions théâtrales, 2013.
  
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Biographie romancée 
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Articles 

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Thèse

Filmographie 
 Évariste Galois court métrage de 1967.

Liens externes

Documents biographiques 

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Articles de Galois et analyses d'articles de Galois 
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Autres travaux de Galois 

  Y. André, « Ambiguity theory, old and new. », sur arXiv, 16 mai 2008
 
 Y. André, « Idées galoisiennes », sur arXiv, 13 juillet 2012

Bases de données et dictionnaires

Notes et références

Notes

Références

« La vie d’Évariste Galois », Annales scientifiques de l'École normale supérieure, Gauthier-Villars, 1896

« Sur les relations scientifiques d'Augustin Cauchy et d'Évariste Galois », Revue d'histoire des sciences, 1971

Autres références 

 
Mathématicien français du XIXe siècle
Lauréat du concours général
Élève de l'École normale supérieure 
Naissance en octobre 1811
Naissance à Bourg-la-Reine
Naissance dans le département de la Seine
Décès en mai 1832
Décès dans l'ancien 1er arrondissement de Paris
Décès à 20 ans
Mort au cours d'un duel
Mort de la péritonite
Personnalité inhumée au cimetière du Montparnasse
Éponyme d'un objet céleste