Fonction gamma

En mathématiques, la fonction gamma (notée par  la lettre grecque majuscule gamma de l'alphabet grec) est une fonction utilisée communément, qui prolonge la fonction  factorielle à l'ensemble des nombres complexes. En ce sens, il s'agit une fonction complexe. Elle est considérée également comme une fonction spéciale. La fonction gamma est définie pour tous les nombres complexes, à l'exception des entiers négatifs. On a pour tout entier  strictement positif,

où  est la factorielle de , c'est-à-dire le produit des entiers entre 1 et  : .

Définition 
 
On définit la fonction gamma, et notée par la lettre grecque  (gamma majuscule) de la façon suivante. Pour tout  de partie réelle strictement positive, on pose

.

C'est une intégrale paramétrée par , l'intégration se faisant sur . Cette intégrale impropre converge absolument sur le demi-plan complexe où la partie réelle est strictement positive, et une intégration par parties montre que
.

Cette fonction peut être prolongée analytiquement en une fonction méromorphe sur l'ensemble des nombres complexes, excepté pour z = 0,  −1, −2, −3… qui sont des pôles. C'est ce prolongement qu'on appelle généralement « fonction gamma ». L'unicité du prolongement analytique permet de montrer que la fonction prolongée vérifie encore l'équation fonctionnelle précédente. Cela permet une définition plus simple, à partir de l'intégrale, et un calcul de proche en proche de Γ pour z – 1, z – 2

Autres définitions 
Par changement de variable, l'intégrale précédente (pour ) s'écrit aussi :
.

La définition suivante de la fonction gamma par produits infinis, due à Euler, a un sens pour les nombres complexes  qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls :

.

Elle est équivalente à celle donnée par Schlömilch :
où  est la constante d'Euler-Mascheroni.

Propriétés

Lien avec la factorielle 
De  et , on déduit :

.

On interprète donc la fonction gamma comme un prolongement de la factorielle à l'ensemble des nombres complexes (à l'exception des entiers négatifs ou nuls).

Une notation alternative est la fonction , introduite par Gauss :

 (et donc ),

de telle façon que :

.

Caractérisations

Sur l'ensemble des réels 
La fonction gamma est entièrement caractérisée sur  par les trois propriétés suivantes (théorème de Bohr-Mollerup) :
 
 Pour tout , on a : 
 la fonction composée  est convexe sur

Sur le demi-plan complexe Re(z)>0 
La fonction gamma est entièrement caractérisée parmi les fonctions holomorphes du demi-plan complexe Re(z)>0 par les trois propriétés suivantes (théorème de Wielandt) :

 
 Pour tout z tel que , 
  est bornée dans la bande 1 ≤ Re(z) ≤ 2.

Autres propriétés

Formule des compléments 
La fonction gamma vérifie la formule de réflexion d'Euler, ou formule des compléments

que l'on démontre en remarquant d'abord que  est 2-périodique et a les mêmes pôles et résidus que .

Formule de multiplication 
La fonction gamma vérifie également la formule de duplication : 

La formule de duplication est un cas particulier du théorème de multiplication :

Cette fonction apparaît également dans des formules incluant la fonction zêta de Riemann.

Résidus 
La fonction gamma possède un pôle d'ordre 1 en z = −n pour tout entier naturel n. Le résidu de la fonction en ce pôle est donné par :

Dérivées 
La fonction gamma est infiniment dérivable sur (c’est-à-dire p fois dérivable pour tout entier p). Sa dérivée est exprimée à l'aide de la fonction digamma : 

Plus généralement, sa dérivée p-ième possède sur  l'expression intégrale suivante :

.

Lien avec les sommes de Gauss 

La définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale la fait apparaître comme une convolution entre un caractère additif (l'exponentielle) et un caractère multiplicatif ().

Lien avec d'autres fonctions 

La fonction gamma est reliée à la fonction  de Riemann par :
.

Elle est reliée à la fonction êta de Dirichlet par :
 =.

Dans la définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale, les bornes de l'intégrale sont fixées ; la fonction gamma incomplète est la fonction obtenue en modifiant la borne inférieure ou la borne supérieure.

La fonction gamma est reliée à la fonction bêta par la formule :

Le logarithme de la fonction gamma est parfois appelé lngamma. Il intervient notamment dans la résolution des problèmes de propagation d’ondes : l'équation fonctionnelle de la fonction lngamma est :
.

Si l’on connaît les valeurs de la fonction sur une bande de largeur 1 en Re(z), on obtient par cette relation les valeurs dans une bande voisine de même largeur, et l’on peut répéter ce procédé. Partant d’un z avec Re(z) >> 1 pour lequel on connaît une bonne approximation, on peut ainsi atteindre la valeur pour un z quelconque.

Rocktaeschel (1922, suivant une indication de Gauss) propose l'approximation pour  grand :
.
On peut en déduire une approximation de  pour  plus petit, en utilisant :
.

La dérivée logarithmique de la fonction gamma est appelée fonction digamma. Les dérivées d'ordre supérieur sont les fonctions polygamma.

Un analogue de la fonction gamma sur un corps fini ou un anneau fini est fourni par les sommes de Gauss.

D'après l'expression d'Euler pour la fonction gamma ,   est une fonction entière.

Valeurs particulières 
Cette section indique quelques  et de ses dérivées.

La valeur de  est celle de l'intégrale de Gauss ; elle peut aussi se déduire de la formule des compléments.
Cette valeur permet, par récurrence, de déterminer les autres valeurs de la fonction gamma pour les demi-entiers positifs :

mais aussi négatifs, par exemple :
.

En ce qui concerne ses dérivées, avec  la constante d'Euler-Mascheroni :
 ;
 ;
.

On connaît quelques résultats de transcendance et même d'indépendance algébrique sur les valeurs de  en certains points rationnels.

Une conjecture de Rohrlich prédit que toute relation multiplicative de la forme

(où  désigne le corps des nombres algébriques) se déduit des trois relations standard :
.

Formule asymptotique de Stirling

De   et  

La formule de Stirling donne un équivalent au voisinage de l'infini de la factorielle :

avec  la fonction de Binet :

et  les nombres de Bernoulli.
Sachant que  sur , cet équivalent se généralise à la fonction gamma :

d’où :

En calculant les premiers termes de  grâce à la , on obtient le développement asymptotique :

De  

L’équivalent en  vaut :

avec :

d’où le développement asymptotique :

Cas général 

De manière plus générale, pour , l’équivalent en  vaut :

où  sont les polynômes de Bernoulli.

En posant  valant respectivement ,  et , et connaissant les valeurs particulières des polynômes de Bernoulli en ces points, on retrouve immédiatement les équivalents en ,  et  mentionnés plus hauts.

Histoire 
La première occurrence d'un produit qui donnera naissance ultérieurement à la fonction gamma est due à Daniel Bernoulli dans une lettre à Christian Goldbach.

En notation moderne
.

En 1729 également, Euler entreprend l'étude de ce produit et lui donne sa forme intégrale.

C'est Legendre qui, en 1811, note cette fonction , en apportant de nombreux compléments à son étude.

L'article de Borwein et Corless passe en revue trois siècles de travaux mathématiques sur la fonction gamma.

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie 
 N. Bourbaki,

Liens externes 
 
 

Fonction hypergéométrique
Fonction spéciale
Leonhard Euler