Uzavřená množina

Uzavřená množina je abstrakce a zobecnění intuitivní představy uzavřeného intervalu na množině reálných čísel , kde uzavřený je takový interval, který obsahuje své krajní body. Základním zobecněním je považovat za uzavřené množiny i konečná sjednocení intervalů (obecně množin, o nichž už víme, že jsou uzavřené).

O uzavřenosti množiny můžeme mluvit pouze ve vztahu k její konkrétní nadmnožině: Například polouzavřený interval  není uzavřený jako podmnožina množiny  reálných čísel, ale je uzavřený jako podmnožina intervalu .

Dalším zobecněním je považovat za uzavřenou každou množinu, která obsahuje svou hranici, což lze interpretovat tak, že podmnožina  množiny  je uzavřená, jestliže pro každý bod  existuje nějaké okolí , které neprotíná množinu .

Protože účinným prostředkem, jak „uniknout“ z množiny, je použití limity nekonečné posloupnosti prvků množiny, definice uzavřené množiny často požadují, aby uzavřená množina obsahovala limity každé konvergentní posloupnosti prvků z množiny.

Topologický prostor poskytuje ještě obecnější definici uzavřené množiny – uzavřená je taková množina, která je doplňkem otevřené množiny.

Definice 
Následující tři definice jsou ekvivalentní, každá z nich zobecňuje tu předchozí. Každý metrický prostor je zároveň topologickým prostorem; na metrických prostorech je množina uzavřená v metrickém smyslu, právě když je uzavřená v topologickém smyslu. Na metrickém prostoru reálných čísel pak splývají všechny tři definice. Uzavřenost je tedy zřetelným příkladem procesu, kdy je studována nějaká vlastnost konkrétních objektů a pak zobecňována na širší a abstraktnější matematické struktury.

Definice na reálných číslech 
Říkáme, že množina  je uzavřená, pokud pro každé  existuje kladné číslo  takové, že pro každé  platí:
 

Tak například množina  je uzavřená. Pokud by někdo zvolil za  např. číslo 2,01 (záměrně číslo velmi blízké této množině), pak můžeme za  zvolit např. jednu tisícinu nebo jednu miliardtinu.

Naproti tomu množina  v  uzavřená není, protože interval je polouzavřený. Za  můžeme zvolit  (které patří do  ale ne do ), žádné kladné  nesplní výše uvedený vzorec. Zvolí-li někdo např.  , pak existuje  , pro které vzorec neplatí.

V této nejjednodušší definici zkoumáme množiny jako podmnožiny množiny všech reálných čísel. Pokud bychom zkoumali uzavřenost intervalu  jako podmnožiny , nemůžeme použít . Při volbě  , stačí vzít  a  do množiny patří.

Definice v metrických prostorech 
Definice v metrických prostorech je velmi podobná, ovšem je možno ji vztáhnout na širokou množinu matematických objektů. Například mezi body v rovině lze zavést metriku jako jejich klasickou (euklidovskou) vzdálenost, takže obvod čtverce bude uzavřená množina, celý čtverec také, ale vnitřek čtverce ne.

Na množině všech spojitých funkcí
na intervalu 
lze zavést metriku tak, že „vzdálenost“ dvou funkcí bude maximální hodnota jejich rozdílu. Potom množina  všech funkcí takových, že f(0,5) = 10, bude uzavřená. Množina  všech funkcí, které jsou všude záporné, ale uzavřená nebude, neboť pro každé kladné  lze uvažovat konstantní funkci f(x) = , která leží v množině , ačkoli je „vzdálena o méně než “ od nulové funkce, která v  neleží.

Definice zní takto: Buď  metrický prostor a . Potom  je uzavřená, pokud pro každé  existuje  takové, že pro každé  platí:

Topologická definice 
Uzavřená množina je taková množina topologického prostoru, jejíž doplněk je otevřená množina. Uzavřená množina obsahuje i svou hranici.

Uzavřená množina není opakem otevřené množiny. Existují totiž množiny, které jsou uzavřené i otevřené zároveň (tzv. obojetné množiny).

Nejmenší uzavřená množina, která obsahuje nějakou otevřenou množinu A jako svou podmnožinu se nazývá uzávěr množiny A.

Definice pomocí konvergence 

Ve všech uvedených případech (reálná osa, metrický prostor a topologický prostor) lze definovat pojem konvergentní posloupnost. Potom každá výše uvedená definice je ekvivalentní s definicí, že množina je uzavřená, pokud z ní „nelze vykonvergovat“. Přesněji:

Množina  je uzavřená, pokud pro každou posloupnost , jejíž prvky leží v , platí: Konverguje-li  k prvku  , pak .

Příklad: Množina  není uzavřená, neboť z ní lze „vykonvergovat“ posloupností , tedy posloupností

 

Její limitou (číslem, k němuž konverguje) je číslo 1, které v  neleží.

Vlastnosti 
Sjednocení konečného počtu uzavřených množin je uzavřená množina.

Průnik spočetně mnoha uzavřených množin je uzavřená množina.

Prázdná množina a celý topologický prostor X jsou uzavřené množiny.

Příklady 
 Uzavřený interval  na množině reálných čísel je uzavřená množina.
 Jednotkový interval  je uzavřený v metrickém prostoru reálných čísel a množina  racionálních čísel mezi 0 a 1 (včetně) je uzavřená v prostoru racionálních čísel, ale  není uzavřená v reálných číslech.
 Některé množiny nejsou ani otevřené ani uzavřené, například polouzavřený interval  v množině reálných čísel.
 Některé množiny jsou jak otevřené tak uzavřené ( se nazývají  množiny).
 Interval  je uzavřená množina.
 Cantorova množina je neobvyklá uzavřená množina v tom smyslu, že se skládá pouze z hraničních bodů a není nikde hustá.
 Izolované body (a tedy i konečné množiny) v Hausdorffově prostoru jsou uzavřené množiny.
 Množina všech prvočísel v množině všech reálných čísel je uzavřená množina, ale množina všech racionálních čísel v množině všech reálných čísel uzavřená není (doplnění množiny racionálních čísel, která je hustá v množině reálných čísel na úplnou množinu reálných čísel limitami všech konvergentních posloupností racionálnách čísel je jedním ze způsobů jak získat množinu reálných čísel).
 Jestliže X a Y jsou topologické prostory, funkce f z X do Y je spojitá právě tehdy, když obraz každé uzavřené množiny v Y je uzavřená v X.

Absolutně uzavřená množina 
Množina A s nějakou metrikou se nazývá absolutně uzavřená, pokud je uzavřená jakožto podmnožina jakéhokoliv metrického prostoru. Tak množina  s metrikou  není absolutně uzavřená, protože je sice uzavřená jako podmnožina , ale nikoli jako podmnožina .

Související články 
 Uzavřené zobrazení
 Kompaktní množina
 Obojetná množina

Topologie