Elektrický potenciál

Elektrický potenciál je skalární fyzikální veličina, která popisuje potenciální energii jednotkového elektrického náboje v elektrostatickém poli. Jedná se o potenciál elektrického pole, tj. množství práce potřebné pro přenesení jednotkového elektrického náboje ze vztažného místa o nulovém potenciálu (tzv. vztažný bod) do daného místa. Za místo s nulovým potenciálem se obvykle bere buď nekonečně vzdálený bod nebo povrch Země. Rozdíl potenciálů dvou bodů je roven napětí mezi danými body.

Značka: 

Jednotka SI: volt, značka

Definice 
Potenciál bodového náboje  umístěného v počátku soustavy souřadnic lze vyjádřit vztahem:
,
kde  je permitivita prostředí,  je polohový vektor potenciálu  a  je integrační konstanta, která určuje hodnotu potenciálu v nekonečnu. Obvykle se klade .

Potenciál objemově rozloženého náboje lze vyjádřit vztahem:
,
kde  je objem, přes který se integruje a  je objemová hustota náboje.

Tento potenciál je definován ve všech bodech prostoru daného objemu, tedy také v bodech, ve kterých je hustota náboje nenulová. Tím se potenciál spojitě rozloženého náboje odlišuje od potenciálu soustavy diskrétních bodových nábojů. Tento potenciál je navíc všude spojitý a má ve všech bodech prostoru parciální derivaci alespoň prvního řádu, což v souvislosti s intenzitou elektrického pole znamená, že také intenzita pole daná tímto vztahem je definována ve všech bodech prostoru včetně bodů, v nichž je hustota náboje nenulová. Totéž platí pro plošně resp. lineárně rozložené náboje:

Potenciál plošně rozloženého náboje lze vyjádřit vztahem:
,
kde  je plocha, přes kterou se integruje a  je plošná hustota náboje.

Potenciál lineárně rozloženého náboje lze vyjádřit vztahem:
,
kde  je délka, přes kterou se integruje a  je lineární hustota náboje.

Jelikož elektrický potenciál vyjadřuje potenciální energii na jednotku náboje, je možné jej vyjádřit jako
,
kde  je potenciální energie nabitého tělesa a  je jeho náboj.

Vlastnosti 
Na základě principu superpozice lze odvodit výraz pro potenciál soustavy  bodových nábojů  až , jejichž polohové vektory jsou  až :

.

Potenciál jednoho z bodových nábojů  ze soustavy nábojů  až  vzhledem k ostatním nábojům soustavy lze určit podle principu superpozice jako

.

Dosadíme-li do Gaussova zákona elektrostatiky pro spojitě rozložený náboj místo intenzity elektrického pole potenciál, dostaneme:

,

tj. pro Laplaceův operátor  dostaneme Poissonovu rovnici , která je platná ve všech bodech prostoru, v nichž platí Gaussův zákon elektrostatiky. Pokud je v některých bodech prostoru objemová hustota nulová, tj. , zjednoduší se rovnice na Laplaceova rovnici .

Záporný gradient potenciálu je roven intenzitě elektrického pole, tj.:

.

Potenciál elektrostatického pole pak lze chápat jako potenciální energii jednotkového náboje. Položíme-li potenciál v nekonečnu roven nule, tj. , pak lze psát:

.

Plocha, na níž si potenciál zachovává svoji hodnotu, tj. , se nazývá ekvipotenciální plocha. Siločáry jsou vždy kolmé k ekvipotenciální ploše. To lze ukázat diferenciací vztahu , tj.:

,

kde  leží v rovině tečné k ekvipotenciální ploše. Vektory  a  jsou tedy vzájemně kolmé, tzn.  je kolmé k ekvipotenciální ploše.

Literatura

Související články 
 Elektrické napětí
 Elektrický náboj
 Elektrické pole

Externí odkazy 
 
 Maxwellův proud na WIKI Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy

Potenciál