Moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti je skalární fyzikální veličina, která vyjadřuje míru setrvačnosti tělesa při otáčivém pohybu. Její velikost závisí na rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení. Body (části) tělesa s větší hmotností a umístěné dál od osy mají větší moment setrvačnosti. Kvadratický moment průřezu se někdy také nazývá moment setrvačnosti a to i přesto, že není mírou setrvačnosti tělesa.

Značení 
 Symbol veličiny: J , někdy také I
 Jednotka momentu setrvačnosti SI: kilogram krát metr na druhou, značka jednotky: kg·m2. V případě, že se počítá Kvadratický moment průřezu, tak má jednotku m4.

Výpočet

Diskrétní rozložení hmoty 
Při otáčivém pohybu soustavy hmotných bodů kolem nehybné osy opisují jednotlivé hmotné body kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení. Úhlová rychlost  všech bodů je stejná.

Celkovou kinetickou energii určíme jako součet kinetických energií všech  hmotných bodů soustavy, tzn.
,
kde  je hmotnost -tého hmotného bodu,  je velikost jeho rychlosti,  je jeho (kolmá) vzdálenost od osy otáčení a bylo využito toho, že rychlost bodu při kruhovém pohybu je přímo úměrná vzdálenosti bodu od osy otáčení, tzn. .
Předchozí vztah lze upravit na tvar
,
kde veličina  představuje moment setrvačnosti tělesa k ose otáčení. Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů je tak definován vztahem

Spojité rozložení hmoty 
V mechanice kontinua (tedy v případě spojitě rozložené hmoty) lze k určení momentu setrvačnosti použít vztah
,
kde integrace se provádí přes celé těleso o celkové hmotnosti .

Je-li  hustota tělesa, pak , kde  je objem tělesa a moment setrvačnosti lze vyjádřit ve tvaru

Integruje se přes objem celého tělesa .

V případě, že je těleso homogenní, tzn. , je možné předchozí vztah zjednodušit

Poloměr setrvačnosti 
Moment setrvačnosti je také možné zapsat jako součin celkové hmotnosti tělesa  a čtverce jisté střední vzdálenosti , ve které by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu celého tělesa.

Vzdálenost  se nazývá poloměr setrvačnosti nebo gyrační poloměr.

Momenty setrvačnosti některých těles 
Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.

 Moment setrvačnosti tyče délky  a hmotnosti  vzhledem k ose procházející středem tyče kolmo k její délce

 Moment setrvačnosti tyče délky  a hmotnosti  vzhledem k ose procházející koncem tyče kolmo k její délce

 Moment setrvačnosti koule o poloměru  a hmotnosti  vzhledem k ose procházející středem koule.

 Moment setrvačnosti plného válce o poloměru  a hmotnosti  vzhledem k ose souměrnosti.

 Moment setrvačnosti tlustostěnného pláště válce o vnitřním poloměru  a vnějším poloměru  a hmotnosti  vzhledem k ose souměrnosti.

 Moment setrvačnosti tenké obruče o poloměru  a hmotnosti  vzhledem k ose souměrnosti.

 Moment setrvačnosti obdélníku o rozměrech  a  a hmotnosti  vzhledem k normále od středu obdélníku.

Steinerova věta 

Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející mimo těžiště tělesa lze určit podle Steinerovy věty jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose procházející těžištěm a součinu hmotnosti a čtverce vzdálenosti od těžiště, tzn.
,
kde  je moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa,  je hmotnost tělesa a  je kolmá vzdálenost těžiště od osy otáčení.

Tenzor setrvačnosti 
Otáčí-li se soustava hmotných bodů kolem libovolné osy  úhlovou rychlostí , má kinetická energie tohoto rotačního pohybu hodnotu
,
kde  je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose ,  je rychlost -tého hmotného bodu soustavy, a  je polohový vektor -tého hmotného bodu vzhledem k počátku zvolené soustavy souřadnic, kterým prochází osa .

Vektor , který směřuje podél osy  lze vyjádřit prostřednictvím jeho složek  vzhledem k souřadnicovým osám . Předchozí vztah je pak možno rozepsat do tvaru

a rozepíšeme-li v tomto výrazu jednotlivé mocniny, dostaneme po úpravě

Pro kinetickou energii pak dostáváme výraz
,
kde

jsou momenty setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým osám  a

jsou deviační momenty.

Předchozí vztahy platí pro těleso popsané soustavou hmotných bodů. Považujeme-li hmotu v tělese za spojitě rozloženou, přejdeme od sumace k integraci a pro momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám dostaneme

Pro deviační momenty získáme podobně vztahy

Vektor , který leží v ose  je možné využít k získání směrových kosinů rotační osy, tzn. , kde  je velikost vektoru . Po dosazení do výrazů pro kinetickou energii a po úpravě dostaneme výraz pro výpočet momentu setrvačnosti  vzhledem k ose, která svírá se souřadnicovými osami  úhly 

Změní-li se směr osy  vzhledem k tělesu, změní se také velikost momentu setrvačnosti . Toto rozložení charakterizuje elipsoid setrvačnosti.

Momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám a deviační momenty lze uspořádat do tzv. tenzoru setrvačnosti:
 ,
kde symbol  představuje tenzorový součin, jehož výsledkem je symetrická čtvercová matice.

Kvadratický moment průřezu (tzv. plošný moment setrvačnosti) 
Kvadratický moment průřezu resp. kvadratický moment plochy (nesprávně nazývaný jako plošný moment setrvačnosti, neboť tento se setrvačností těles nemá nic společného) se využívá velmi často v mechanice např. při výpočtu průhybů nosníků, napětí, ztrátě stability atp.

U kvadratického momentu průřezu se obvykle jedná o moment rovinné plochy. Pro výpočet můžeme použít vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti k ose, přičemž položíme . Hmotnostní element  je pak , kde  je plošná hustota zkoumané plochy (obecně závislá na  a ).

Kvadratické momenty plochy k osám  jsou tedy

Z deviačních momentů je nenulový pouze

Pokud je plocha homogenní (plošná hustota je konstantní), můžeme ji vytknout před integrál a vztahy se zjednoduší na

Namísto elipsoidu setrvačnosti dostáváme elipsu setrvačnosti.

Položíme-li do těžiště tělesa počátek pravoúhlé soustavy souřadnic, potom kvadratické momenty ke třem vzájemně kolmým rovinám, proloženým souřadnicovými osami, jsou

Srovnáním s momenty setrvačnosti k osám  pak platí

Polární kvadratický moment plochy (plošný moment setrvačnosti) 
Kvadratické momenty plochy můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy se jedná o tzv. polární kvadratický moment.

Polární kvadratický moment části rovinné plochy (vzhledem k počátku souřadné soustavy ) je

Odkazy

Literatura 
 Jozef Kvasnica, Antonín Havránek, Pavel Lukáč, Boris Sprušil Mechanika, Nakladatel: Academia, , EAN 9788020012685, Rok vydání: 2004 (2. vydání)
 Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press.  (hardcover) and  (softcover).
 Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. 
 Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. 
 Online výpočet momentu setrvačnosti základních těles.

Související články 
 Mechanika
 Mechanika tuhého tělesa
 Steinerova věta
 Metr na čtvrtou

Externí odkazy 
 

Dynamika