Gaussova eliminační metoda

Gaussova eliminační metoda (Gaussova eliminace) je metodou řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Jedná se o metodu konečnou, tj. metodu vedoucí k (alespoň teoreticky) přesnému řešení v konečně mnoha krocích, postavenou na tzv. LU rozkladu matice soustavy. Lze dokázat, že Gaussova eliminace převede každou matici do odstupňovaného tvaru (tvar, kde počet nul na začátku -tého řádku je alespoň takový jako počet nul na začátku -tého řádku). 

Gaussovu eliminaci lze také použít pro výpočet inverzní matice nebo pro výpočet determinantu matice (viz Gaussova eliminace v článku Determinant).

Řešení soustavy lineárních rovnic 
Obecné zadání problému je následující:

maticově

kde  je matice soustavy,  pravá strana.

Soustavu lineárních algebraických rovnic lze vyjádřit rozšířenou maticí soustavy. Řádkovými (nikoliv sloupcovými) úpravami převádíme tuto matici do tvaru, kdy se pod hlavní diagonálou nachází pouze nuly. Upravená matice pak odpovídá soustavě rovnic, která je ekvivalentní s původní soustavou.

Po těchto úpravách lze obvykle ihned zjistit, zda existují nějaká řešení soustavy. Pokud je hodnost upravené matice (tzn. bez pravé strany) různá od hodnosti upravené rozšířené matice, potom podle Frobeniovy věty soustava nemá žádné řešení. Je-li hodnost upravené matice stejná jako hodnost upravené rozšířené matice, a současně je tato hodnost rovna počtu neznámých soustavy, pak má soustava právě jedno řešení. Pokud je hodnost upravené matice stejná jako hodnost upravené rozšířené matice, avšak menší než počet neznámých soustavy, má soustava nekonečně mnoho řešení, přičemž  neznámých, kde  je počet neznámých a  je hodnost upravené matice, zvolíme libovolně a ostatní jsou touto volbou jednoznačně určeny.

Příklad 
Máme soustavu rovnic:

a hledáme čísla x, y, z, která jsou řešením dané soustavy.

Cílem je eliminovat jednotlivé neznámé z jednotlivých rovnic soustavy: z první rovnice eliminujeme x (pomocí úprav druhé a třetí rovnice), z druhé y, z třetí z.

Jsou povoleny následující operace, které nezmění hodnost soustavy:
 násobení či dělení jednotlivých řádků nenulovým číslem
 prohazování libovolných řádků soustavy
 přičítání násobků jednotlivých řádků k jinému řádku

Postup pro výše uvedený příklad:
První krok – eliminace x z druhého a třetího řádku.
 první řádek neupravujeme
 druhý řádek násobíme 8 a přičteme první řádek
 třetí řádek násobíme 4 a přičteme první řádek

Druhý krok – eliminace y ze třetího řádku
 první řádek neupravujeme
 druhý řádek neupravujeme
 třetí řádek násobíme 11 a přičteme druhý řádek
 vydělíme třetí řádek 364 a získáme řešení z = 3

Třetí krok – zpětné dosazení
 v druhém řádku dosadíme za z a vyřešíme y
 v prvním řádku dosadíme za z a y a dořešíme x

Maticový tvar 
Maticové řešení je často přehlednější a tento tvar je též vhodný k algoritmizaci.

Do matice zapisujeme koeficienty následujícím způsobem - levá strana (matice ) koeficienty od neznámých, pravý sloupec obsahuje vektor pravých stran - výsledná matice  se nazývá rozšířená matice soustavy lineárních rovnic.

Zadání:

Po prvním kroku: 

Po druhém kroku: 

Po třetím kroku: 
Získáváme diagonální matici pro koeficienty s hodnotami pro neznámé v posledním sloupci:

Výpočet inverzní matice 
Viz také Výpočet inverzní matice a příklad v článku Inverzní matice.

Gaussovou eliminací lze také použít pro výpočet inverzní matice A−1 k dané čtvercové matici A o velikosti (n × n) podle následujícího postupu.

Sestavíme matici B o rozměru (n × 2n) složenou z původní matice A a jednotkové matice In. (Odborně řečeno, řešíme současně n pravých stran tvořených bázovými vektory.)

Povolenými řádkovými úpravami (záměna řádků, vynasobení řádku skalárem, přičtení jednoho řádku k jinému) převedeme matici B do tvaru, kdy jednotková matice In bude vlevo. V takovém případě bude inverzní matice A−1 v pravé polovině upravené matice.

Související články 
 Soustava lineárních rovnic
 Inverzní matice
 Determinant
 Matice

Externí odkazy 
 Pěstujeme lineární algebru
 Řešení soustavy lineárních rovnic Gaussovou eliminací: https://web.archive.org/web/20070106223157/http://www.fsid.cvut.cz/cz/U201/zapg9.htm
 Gaussova a Gauss-Jordanova eliminace: http://kfe.fjfi.cvut.cz/~limpouch/numet/linalg/node7.html
 Mathworld, Gaussian Elimination: http://mathworld.wolfram.com/GaussianElimination.html
 Stručný popis G.E. a použití: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~krysl/gauss.pdf
 Gaussova eliminace bez výběru hlavního prvku: https://web.archive.org/web/20070108015335/http://e-learning.tul.cz/elearning/obr/system/matlab/246/583/gauss2_vstupni.html
 Lineární algebra: práce s maticemi

Reference 

 Přehled užité matematiky, Karel Rektorys a spolupracovníci

Rovnice
Teorie matic
Numerická matematika