Bernoulliho rovnice

Bernoulliova rovnice je vztah užívaný v mechanice tekutin, který odvodil Daniel Bernoulli a který vyjadřuje zákon zachování mechanické energie pro ustálené proudění ideální kapaliny (Energie je v rovnici obvykle přepočtena na objemovou jednotku kapaliny.).
 

 
kde  je hustota kapaliny, v je rychlost proudění, p je tlak v kapalině a u je potenciál vnějšího konzervativního pole objemové síly (gravitační síly, unášivé setrvačné síly nebo jejich kombinace, jako je tíhová síla) v daném bodě. První člen v Bernoulliově rovnici se nazývá dynamický n. kinetický tlak a představuje objemovou hustotu kinetické energie, druhý člen představuje tlakovou potenciální energii objemové jednotky kapaliny a třetí člen potenciální energii objemové jednotky kapaliny v silovém poli vnější konzervativní síly, v němž se kapalina nachází. Součet kinetické energie a potenciální energie (tlakové + vnější) v jednotce objemu je ve všech místech kapaliny stejný. Tato rovnice bývá často uváděna ve tvaru, který platí pro homogenní tíhové pole:

 
Platí, že pokud na kapalinu v klidu působí tíhová síla, je ve stejné hloubce v každém bodě stejný tlak. Pokud je kapalina v pohybu tak tento vztah neplatí. Slovy můžeme Bernoulliho jev popsat takto: v místě s větším průřezem má proudící kapalina větší tlak, ale menší rychlost, zatímco v místě s menším průřezem má menší tlak, ale větší rychlost (Fakt, že při větším průřezu je rychlost kapaliny menší, je důsledkem rovnice kontinuity.).

Odvození pro nestlačitelnou kapalinu 

Pokud kapalina o elementu hmotnosti  proudí ve vodorovné trubici o průřezu  rychlostí , platí pro ni pohybová rovnice:
 

Rozepíšeme tuto rovnici tak, aby v ní vystupovala hustota a průřez trubice

S využitím vztahu

tato rovnice přejde na

tedy

což zintegrováním dá

Pokud se navíc nacházíme v poli nějaké vnější konzervativní objemové síly (např. gravitace), přičteme jeho potenciál  (na jednotku objemu) k tlakovému potenciálu, čímž přímočaře získáme rovnici

Poněkud přímější odvození vychází ze zákona zachování energie. U kapalin uvažujeme potenciální energii tlakovou Ep = pV.
 
Za předpokladu, že Ek + Ep + Eg = konst., potom platí
 

vztažením energie na jeden kilogram kapaliny (vydělením hmotností) dostaneme tzv. energetický tvar rovnice:

nebo (vydělením objemem) tlakový tvar:

případně původní výškový tvar (vydělením tíhou):

Důsledky 
Z Bernoulliho rovnice vyplývá, že statický tlak proudící kapaliny klesá s rostoucí rychlostí. Pokud plyn proudí trubicí dostatečnou rychlostí, tlak v tom místě se natolik zmenší, že toho lze využít například pro odsávání. Tomuto jevu se říká hydrodynamický paradox (hydrodynamické paradoxon) a využívá se ho například u rozprašovačů, natěračských stříkacích pistolí, ejektorů nebo v karburátoru.

Výtoková rychlost
Ze zákona zachování energie lze také odvodit vztah pro výtokovou rychlost kapaliny při vytékání malým otvorem z nádoby s hladinou ve výšce h, neboť lze říci, že výtoková rychlost ideální kapaliny je stejná jako rychlost, kterou by kapalina získala při volném pádu z výšky h:

 - tzv. Torricelliho vzorec

Související články 
 Proudění
 Hydrodynamika
 Násoska

Externí odkazy 
 

Mechanika tekutin
Kapaliny
Chemické inženýrství