Foncteur

Dans la théorie des catégories, un foncteur est une construction transformant les objets et morphismes d'une catégorie en ceux d'une autre catégorie, d'une façon compatible. On parle alors d'une construction fonctorielle ou de fonctorialité. Une telle construction est donc un morphisme entre deux catégories.

Historiquement, les foncteurs furent introduits en topologie algébrique, associant aux espaces topologiques et aux applications continues des objets algébriques tels que les groupes d'homotopie et les morphismes de groupes, permettant ainsi un véritable calcul d'invariants caractérisant ces espaces.

Définitions 

Un foncteur covariant (ou simplement foncteur)   d'une catégorie  dans une catégorie  est constitué des données suivantes :

pour tout objet  de , un objet de , noté  ;
pour toute flèche  de , une flèche de , notée , de source  et de but .

On impose les deux axiomes suivants :
 pour tout objet X de ,  ;
 pour tout couple  de flèches composables de , 

En d'autres termes, un foncteur préserve les domaines et codomaines des morphismes, les flèches identités et la composition.

Un foncteur contravariant G d'une catégorie  dans une catégorie  est un foncteur covariant de la catégorie opposée  (celle obtenue en inversant le sens des flèches dans ) dans . À tout morphisme f : X → Y de , il associe donc un morphisme G(f) : G(Y) → G(X) de , et l'on a la « relation de compatibilité » G(gf) = G(f)G(g).

Exemples 
 Le foncteur identité d'une catégorie , souvent noté 1 ou id :  → , qui envoie chaque objet et morphisme de  sur lui-même.
 Considérons trois villes : Paris, Rome et Amsterdam. La catégorie a pour objets ces trois villes. Hom(Paris, Rome) est l'ensemble des chemins de Paris à Rome par exemple. Prenons une carte qui représente ces chemins ; un foncteur consiste à représenter la situation sur une carte avec une perte d'information du fait de l'échelle.
 Les foncteurs d'oubli qui envoient les objets d'une catégorie sur des objets d'une autre catégorie en « oubliant » certaines propriétés de ces objets :
 le foncteur de Ab dans Grp qui à un groupe abélien associe le groupe lui-même, mais dans la catégorie des groupes  (on a « oublié » le fait que le groupe est abélien). On a de même des foncteurs d'oubli de Grp dans la catégorie Mon des monoïdes et dans celle des H-espaces, et de Ab dans la catégorie des monoïdes commutatifs ;
 le foncteur de Grp dans Set qui à un groupe associe son ensemble sous-jacent (on a « oublié » la structure de groupe) et à tout homomorphisme de groupes f l'application sous-jacente |f|. On définit de même d'autres foncteurs "d'oubli de structure", par exemple: de Top dans Ens; de la catégorie des anneaux  dans Ab, de la catégorie des groupes topologiques dans Gr, de la catégorie des variétés analytiques dans la catégorie des variétés différentielles...
 Pour tout objet X d'une catégorie  localement petite, les deux foncteurs Hom :  → Set : Y ↦ Hom (X, Y) (covariant) et Y ↦ Hom (Y, X) (contravariant). Ces foncteurs sont liés au lemme de Yoneda et à la notion de foncteur représentable.
 Le foncteur constant est le foncteur qui envoie tous les objets de la catégorie de départ sur le même objet de la catégorie d'arrivée et qui envoie chaque flèche de la catégorie de départ sur l'identité de l'objet image. C'est l'objet terminal de la catégorie des foncteurs.
 Entre deux monoïdes (qui sont des catégories à un seul objet), les foncteurs covariants sont simplement les morphismes de monoïdes.
 Un foncteur défini d'une catégorie produit  vers une catégorie  est souvent appelé bifoncteur.
 Le théorème de dérivation des fonctions composées exprime la fonctorialité de la différentiation. En effet, notons la catégorie dont les objets sont les entiers naturels, et dont les morphismes  sont les matrices réelles à  lignes et  colonnes avec la multiplication matricielle pour composition. Soit  la catégorie dont les objets sont les couples  avec  et , ayant pour morphismes les fonctions différentiables pointées. Soit  un tel morphisme (on a donc ). La différentielle de  en  s'exprime par la matrice jacobienne  de  en , données par les dérivées partielles de ses fonctions coordonnées.  Cela définit l'action sur les morphismes d'un foncteur . Pour les objets,  envoie  vers l'entier . Étant donné  un autre morphisme, la fonctorialité de  correspond à l'égalité , c'est-à-dire au théorème de dérivation des fonctions composées. Plus généralement, on aurait pu définir les objets de  comme les couples ( avec  un ouvert de  pour un certain , et  , avec les applications différentiables pointées entre de tels ouverts comme morphismes. 
 Soit  un anneau commutatif et  un -module. Le produit tensoriel   par , qui associe à un -module  le produit tensoriel , est un foncteur de la catégorie des -modules vers elle-même. Un autre exemple est donné par l'extension des scalaires. 
 Le foncteur , Ensemble des parties, associe à chaque ensemble  l'ensemble  de tous ses sous-ensembles et à chaque fonction  la fonction  qui applique chaque sous-ensemble  de  sur son image  (incluse dans ).
 Soit la catégorie des espaces vectoriels sur un corps K. On définit un foncteur contravariant de la catégorie dans elle-même en faisant correspondre à tout-espace vectoriel E son dual E* et à toute application linéaire u : E → F sa transposée 
 Soit E et E' deux ensembles préordonnés et f une application croissante de E dans E'. On définit un foncteur  de la catégorie associée à  E dans la catégorie  associée à E' en posant  pour tout objet x de , l'action sur les flèches étant alors évidente.

Propriétés de foncteurs

Foncteurs fidèles, pleins, pleinement fidèles 

On dit qu'un foncteur F :  →  est :
 fidèle si deux morphismes f, g : X → Y dans  sont égaux dès que leurs images F(f), F(g) : F(X) → F(Y) dans  le sont ;
 plein si tout morphisme F(X) → F(Y) est égal à un F(f) ;
 pleinement fidèle s'il est à la fois fidèle et plein.

Exemples
 Un morphisme de monoïdes (cf. § « Exemples » ci-dessus) est fidèle si et seulement s'il est injectif, et plein si et seulement s'il est surjectif.
 Les foncteurs d'oubli de Ab dans Grp et de Grp dans Mon sont pleinement fidèles.
 Le foncteur d'oubli de Grp dans Set est fidèle (mais pas plein) ; plus généralement, si F est l'inclusion d'une sous-catégorie  dans une catégorie , alors il est fidèle.

Foncteurs conservatifs 
Trivialement, tout foncteur F :  →  préserve les isomorphismes, c'est-à-dire que si f est un isomorphisme dans  alors F(f) est un isomorphisme dans .

Le foncteur F est dit conservatif si réciproquement, un morphisme f dans  est un isomorphisme dès que F(f) en est un dans .

Exemples
 Un morphisme F de monoïdes (cf. § « Exemples » ci-dessus) est conservatif si et seulement si tout antécédent par F d'un élément inversible est inversible.
 Tout foncteur pleinement fidèle est conservatif.
 Le foncteur d'oubli de Grp dans Set est conservatif.

Foncteurs adjoints 

Soient  et  deux catégories, F un foncteur de  dans  et G de  dans , tels que pour tout objet  et  on ait une bijection, naturelle en X et Y,

Alors F est dit adjoint à gauche de G, et G adjoint à droite de F.

Équivalence de catégories 
Un foncteur F :  →  est appelé une équivalence de catégories s'il existe un foncteur G :  →  et un isomorphisme naturel de foncteurs entre G ∘ F (resp. F ∘ G) et l'identité sur  (resp. ). L'équivalence de catégories est une notion plus générale que celle d'isomorphisme de catégories.

Remarque 
Les foncteurs sont parfois appelés morphismes pour la catégorie Cat des petites catégories.

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes
 Foncteur Hom
 Foncteur représentable

Bibliographie
 
 

Théorie des catégories