Násobení matic

Součin matic hovorově též maticové násobení (neplést se skalárním násobkem matice) je v matematice zobecnění součinu čísel na matice. Formálně se dá definovat jako binární operace na  maticích odpovídajících typů. Využívá se v matematice, fyzice a jejich aplikacích, obvykle pro popis skládání lineárních zobrazení.

Speciálním případem násobení matic je součin matice typu  a vektoru braného jako matice o typu  (sloupcový vektor). Tento součin lze interpretovat jako aplikaci lineárního zobrazení reprezentovaného transformační maticí na vektor.

Formální definice 
Pokud je  matice typu  a  je matice typu , jejich součin  je matice typu  definovaná vztahem

pro všechny prvky výsledné matice indexované  a .

Ve většině případů jsou prvky matice čísla, ale mohou to být jakékoli druhy matematických objektů, pro které je definováno sčítání a násobení, které jsou asociativní a takové, že sčítání je komutativní a násobení je distributivní s ohledem na sčítání, typicky prvky nějakého tělesa. Prvky mohou být dokonce samotné matice (bloková matice).

U reálných matic lze prvek v -tém řádku a -tém sloupci výsledné matice lze také chápat jako standardní skalární součin vektoru -tého řádku první matice s vektorem -tého sloupce druhé matice.

Tečka  se v součinu vynechává a píše se pouze .

Ukázka výpočtu 

Součin matic  a  je

Prvky matice  zůstávají v řádcích tak, jak jsou, a prvky v matici  se rozmístí opět do levého a pravého sloupce.

Použití 

Historicky bylo násobení matic zavedeno pro usnadnění a objasnění výpočtů v lineární algebře. Tento silný vztah mezi maticovým součinem a lineární algebrou zůstává je fundamentální  v celé matematice, stejně jako ve fyzice, chemii, inženýrství a informatice.

Soustavy lineárních rovnic
Obecný tvar soustavy lineárních rovnic je

Při použití stejné notace jako výše je zápis soustavy ekvivalentní jednoduché maticové rovnici
.

Lineární zobrazení
Pokud má vektorový prostor konečnou bázi, každý z jeho vektorů je jednoznačně reprezentován konečnou posloupností skalárů, nazývanou vektor souřadnic, tvořenou souřadnicemi vektoru vzhledem k bázi. Tyto vektory souřadnic tvoří další vektorový prostor, který je izomorfní původnímu vektorovému prostoru. Vektor souřadnic je běžně zapisován jako sloupcový vektor, což je matice pouze s jedním sloupcem. Sloupcový vektor pak představuje jak souřadnicový vektor, tak i vektor původního vektorového prostoru.

Lineární zobrazení  prostoru dimenze  do vektorového prostoru dimenze  převádí sloupcový vektor

na sloupcový vektor

Lineární zobrazení  je proto definováno maticí

a zobrazuje sloupcový vektor  na maticový součin
.

Je-li  další lineární zobrazení z předchozího vektorového prostoru dimenze , do vektorového prostoru dimenze , pak jej lze reprezentovat maticí  řádu . Přímý výpočet ukazuje, že matice složeného zobrazení  je rovna součinu . Obecný vzorec , který definuje složené zobrazení, je jedním z specifických případů asociativity maticového součinu:

Geometrické rotace
Při použití systému kartézských souřadnic v euklidovské rovině je rotace o úhel  kolem počátku (počátek odpovídá nulovému vektoru) lineární zobrazení. Přesněji,

kde výchozí bod  i jeho obraz  jsou zapsány jako sloupcové vektory.

Složení rotací o úhel  a pak o úhel  odpovídá maticovému součinu

ve druhé rovnosti jsou použity součtové vzorce. Výsledné složení odpovídá rotaci o úhel , jak lze očekávat.

Skalární součin, bilineární forma a seskvilineární forma 
Standardní skalární součin dvou reálných sloupcových vektorů lze zapsat maticovým součinem

kde  je řádkový vektor získaný pomocí transpozice . (Výsledná matice  je zde ztotožněna se svým jediným prvkem.)

Obecněji lze jakoukoli bilineární formu ve vektorovém prostoru konečného rozměru vyjádřit jako maticový součin

a jakoukoliv seskvilineární formu lze vyjádřit jako

kde  je hermitovsky sdružený vektor k vektoru .

Alokace zdrojů v ekonomii

Jako příklad si představme fiktivní továrnu, která používá 4 druhy surovin  k výrobě 3 meziproduktů, , které se následně používají k výrobě 3 druhů výrobků, . 

Matice    a    udávají množství surovin potřebných pro výrobu meziproduktů, respektive množství meziproduktů potřebných pro výsledné výrobky. Například k výrobě jednoho meziproduktu  je třeba jedna jednotka suroviny , dvě jednotky , žádné  a jedna jednotka , což odpovídá prvnímu sloupci matice .

Součin  pak přímo udává množství surovin potřebných pro výrobu jednotlivých výrobků. Například prvek v levém dolním rohu  je vypočítán jako , což odpovídá tomu, že  jednotek  je potřeba k výrobě jednoho výrobku . Jmenovitě jedna jednotka  je třeba pro , 2 pro  a  pro každý ze dvou meziproduktů , které jsou potřeba pro  jeden kus , viz obrázek.

Aby bylo možné vyrobit např. 100 výrobků , 80  a 60 , lze potřebné množství surovin vypočítat jako

tj.  jednotek ,  jednotek ,  jednotek  a  jednotek .Matice součinu  může být použita k výpočtu množství surovin i pro jiné počty výrobků.

Vlastnosti 
Rovnosti uvedené v následujících odstavcích platí, pokud mají výsledky operací smysl.

 Součin matice  s jednotkovou maticí  zprava i zleva má za výsledek matici , tj. .
 Maticový součin je asociativní, tedy .
 Maticový součin není komutativní, tedy existují příklady matic, pro něž platí .
 Maticový součin je distributivní vůči sčítání, tj. .
 Maticový součin je lineární vůči násobení skalárem (typicky reálné nebo komplexní číslo), tj. .
 Matice vzhledem k součinu mohou být dělitelé nuly, tj. součin dvou nenulových matic může být nulová matice, například
.
 Transpozice součinu matic je součin transponovaných matic v opačném pořadí, tj. 
 Inverzní matice součinu regulárních matic je součin inverzních matic v opačném pořadí, tj. 
 Hermitovské sdružení (hermitovská transpozice) součinu matic je součin matic hermitovsky sdružených v opačném pořadí, tj. 
 Maticový součin odpovídá skládání lineárních zobrazení, které matice reprezentují.

Součiny čtvercových matic

Mocniny matice 

Čtvercovou matici lze umocnit na jakoukoli nezápornou celočíselnou mocninu tím, že ji opakovaně násobíme stejným způsobem jako u běžných čísel, konkrétně

Výpočet -té mocniny matice potřebuje  maticových součinů, pokud se provádí triviálním algoritmem (opakované násobení). Protože to může být velmi časově náročné, obecně se dává přednost použití umocňování pomocí druhé mocniny, které vyžaduje nejvýše  maticových součinů, a je tedy mnohem efektivnější.

Snadným případem umocňování je diagonální matice. Protože součin diagonálních matic se rovná prostému vynásobení odpovídajících diagonálních prvků dohromady, získáme -tou mocninu diagonální matice  umocněním prvků na diagonále na -tou:

Regulární a singulární matice 

Označme  množinu čtvercových matic řádu  s prvky z okruhu , což je v praxi často těleso.

V  je součin definován pro každou dvojici matic. Toto dělá z  okruh, který má jednotkovou matici  za neutrální prvek.

Pokud je , mnoho matic nemá inverzní prvek vůči násobení, např. nulová matice. Pokud  inverzní prvek existuje, značí se  a nazývá se inverzní matice k matici . Splňuje: 

Matice, která má inverzi, je regulární matice, někdy též invertibilní matice. Pokud inverzní matici nemá, nazývá se singulární matice.

Součin matic  je regulární, právě když je každý z činitelů  i  regulární. V tomto případě platí

Determinant součinu 

Determinant součinu čtvercových  matic je součin jejich determinantů.
.

Tento vztah platí kdykoli je  komutativní okruh, jmenovitě i v tělesech.

Výpočetní složitost 
Výpočetní složitost výše popsaného algoritmu je  (počítáme  čísel; pro každé potřebujeme  aritmetických operací). Existují však algoritmy s nižší složitostí vhodné pro matice vyšších řádů. Nejpoužívanější z nich je Strassenův algoritmus se složitostí . Nižší složitost u tohoto algoritmu však získáváme za cenu snížené numerické stability. Asymptoticky nejrychlejší ze známých algoritmů je Coppersmithův-Winogradův algoritmus (), který je však použitelný až pro matice tak velkých řádů, že je nelze zpracovávat pomocí současných počítačů.

Teoreticky by se dala složitost ještě snížit, ale nikdy nemůže být menší než , protože je třeba spočítat  čísel.

Hledání nejkratší cesty v grafu 
Algoritmy pro násobení matic s malou výpočetní složitostí lze využít i pro hledání nejkratší cesty v grafu z každého do každého vrcholu. To má v nejjednodušší podobě složitost . V tomto případě se však nepoužívá zde popsané násobení matic, ale upravená verze, kde je místo sčítání výběr nejmenšího prvku a místo násobení sčítání, proto nelze použít například Strassenův algoritmus, který využívá operaci odčítání jako inverzní operaci ke sčítání, která k operaci  není.

Graf lze popsat maticí vzdáleností . Pokud je pro výpočty operace sčítání dvou čísel definována jako jejich minimum, a místo násobení se použije sčítání, je možno matici nejkratších cest  získat jako () kde  je řád matice vzdáleností. Při reálném výpočtu není třeba cyklicky násobit původní maticí, ale vždy se vynásobí vzniklé výsledky - nejkratší cesty jsou získány po  násobeních. Je-li použit pro násobení algoritmus se složitostí menší než , složitost hledání cest se tímto postupem sníží.

Odkazy

Reference

Literatura

Související články 
 Hadamardův součin
 Skalární součin, Vnitřní součin
 Smíšený součin
 Strassenův algoritmus
 Tenzorový součin, Vnější součin
 Vektorový součin, Dvojitý vektorový součin

Externí odkazy 
 
 Lineární algebra: algebra matic  Aplikace, která násobí a sčítá matice zadané uživatelem a zobrazuje postup výpočtu.

Teorie matic
Binární operace