Matice

Matice je v matematice obdélníkové či čtvercové schéma čísel nebo nějakých matematických objektů – prvků matice (též elementů matice).

Nejsou-li uvedeny další podrobnosti, reprezentují matice lineární zobrazení a umožňují provádět výpočty v lineární algebře. Proto je studium matic podstatnou částí lineární algebry. Většinu vlastností a operací abstraktní lineární algebry lze vyjádřit pomocí matic. Například maticový součin odpovídá skládání lineárních zobrazení.

Část matematiky, která využívá matice, je označována jako maticový počet.

Ne všechny matice souvisí s lineární algebrou, například matice incidence a matice sousednosti v teorii grafů. Tento článek se zaměřuje na matice související s lineární algebrou, a pokud není uvedeno jinak, všechny matice představují lineární zobrazení nebo je za takové lze považovat.

Čtvercové matice, matice se stejným počtem řádků a sloupců, hrají podstatnou roli v teorii matic. Čtvercové matice dané dimenze tvoří nekomutativní okruh, což je jeden z nejběžnějších příkladů nekomutativního okruhu. Determinant čtvercové matice je číslo spojené s maticí, které je zásadní pro studium čtvercových matic; například čtvercová matice je regulární, právě když má nenulový determinant. Vlastní čísla čtvercové matice jsou kořeny charakteristického polynomu, který je definován pomocí determinantu.

V geometrii jsou matice používány pro popis a reprezentaci geometrických transformací (například rotací) a změn souřadnic . V numerické analýze je mnoho výpočetních problémů redukováno na maticový výpočet, což často vyžaduje výpočet na počítači s maticemi velkých rozměrů. Matice se používají ve většině oblastí matematiky a ve většině vědeckých oborů, a to buď přímo, nebo prostřednictvím jejich použití v geometrii a numerické analýze.

Matice se často využívají pro vyjádření obecné rotace vektorů, transformace vektorů od jedné báze k bázi jiné, k řešení soustav lineárních rovnic, či k vyjádření operátorů v kvantové mechanice. Schopnost matic vyjadřovat vztahy mezi vektory se využívá v materiálovém inženýrství při studiu anizotropních materiálů.

Definice 

Matice je obdélníkové schéma čísel (nebo jiných matematických objektů), nazývané prvky matice. Nejčastěji je matice vybudována nad nějakým algebraickým tělesem . Reálné a případně komplexní matice jsou matice, jejichž položky jsou reálná nebo komplexní čísla. Ukázkou reálné matice je:

Čísla, symboly nebo výrazy v matici se nazývají její prvky. Vodorovné a svislé posloupnosti prvků matice se nazývají řádky a sloupce.

Rozměr 

Rozměr matice je definován počtem řádků a sloupců, které obsahuje. Neexistuje žádné omezení počtu řádků a sloupců, které může matice (v obvyklém smyslu) mít, pokud se jedná o kladná celá čísla. Obsahuje-li matice  řádků a  sloupců, hovoříme pak o matici typu , zatímco  a  se nazývají její rozměry. Například matice  výše je matice typu .

Matice typu  je tvořena jedním řádkem a bývá nazývána řádkový vektor případně řádková matice. Matice s jedním sloupcem se nazývá (sloupcový) vektor, případně sloupcová matice.

Je-li , pak matici označujeme jako čtvercovou matici -tého řádu (stupně). Pro  bývá matice označována jako obdélníková.

Jsou-li  i  konečná čísla, označujeme matici jako konečnou. Matice s nekonečným počtem řádků nebo sloupců (nebo obojí) se nazývá nekonečná matice. V některých kontextech je užitečné dodefinovat i matici bez řádků nebo sloupců, nazývanou prázdná matice.

Značení 

Maticová notace se značně liší. Matice jsou běžně psány v oblých či hranatých závorkách, takže matici  typu  lze zapsat

Matice jsou v učebnicích a technické matematice zpravidla značeny velkými tučnými písmeny ,  apod. Ve vyšší matematice a odborné matematické literatuře se od zvýrazňování zpravidla upouští a matice se značí tence, např.  nebo .

Jsou-li rozměry matice zřejmé, je možné použít jednoduchého zápisu
.
Potřebujeme-li zdůraznit počet řádků a sloupců, lze také použít zápis
 nebo 

Prvky matice jsou označeny indexy udávajícími řádek a sloupec, v nichž se prvek nalézá.
Prvek v -tém řádku a -tém sloupci matice  se obvykle značí , případně .
Druhá notace se používá, zejména je-li matice popsána složitějším výrazem, např. pomocí maticových operací.
Nyní -tý řádek matice obsahuje vodorovnou -tici prvků , kde  a -tý sloupec matice obsahuje svislou -tici čísel , kde .

Např.  leží v pátém řádku a třetím sloupci. Indexy se píší buďto oba dole jako , nebo první nahoře a druhý dole jako , což má význam, jakmile je potřeba rozlišovat kovariantní a kontravariantní indexy, zejména operujeme-li s maticemi jako s tenzory.

Tvoří-li indexy více než dva symboly, je třeba je oddělit čárkou, např.  nebo .

Ukázka 
Matice

je obdélníková matice typu . Prvek matice  nebo  je 7.

Pokud jsou všechny prvky matice nulové, tzn.  pro všechna , označujeme matici jako nulovou.

Operace s maticemi

Součet, skalární násobek a transpozice

Součin matic 

Součin dvou matic je definován pouze pokud má levá matice stejný počet sloupců jako má pravá matice řádků. Pokud je  matice typu  a  je matice typu , pak jejich součin  je matice typu , jejíž prvky jsou standardním skalárním součinem příslušného řádku  a příslušného sloupce 

kde  a .

Například zvýrazněný prvek  součinu se spočítá jako 

Maticový součin je asociativní, neboli splňuje rovnost . Je také distributivní vůči součtu zleva i zprava, čili  a , pokud mají matice takové rozměry, aby součiny byly definovány.

Součin  může být definován, aniž by měl smysl součin , a o v případě, pokud  a  jsou matice typu  a , kde
. I když jsou oba součiny definovány, nemusí být stejné, neboli existují příklady matic, pro něž platí

Maticový součin není komutativní, na rozdíl od součinu (racionálních, reálných, nebo komplexních) čísel. Příklad dvou matic, jejichž součin nekomutuje:
 zatímco

Mimo obvyklý maticový součin existují ještě jiné operace s maticemi, které lze považovat za určitý druh součinu, jako například Hadamardův součin anebo Kroneckerův součin.

Další operace s maticemi

Rovnost 
 O dvou maticích  a  prohlásíme, že jsou si rovny, pokud jsou stejného typu (stejný počet řádků i sloupců) a každý prvek  matice  je roven odpovídajícímu prvku  matice . Rovnost zapíšeme

Rozdíl 
 Rozdíl dvou matic  a  (stejného typu) je nová matice :

Prvky matice  jsou pak určeny vztahem

Lineární kombinace 
 Obecně lze pro matice , které jsou stejného typu, definovat lineární kombinaci matic
,
kde prvky matice  určuje výraz

Mocnina 
 Opakovaným součinem čtvercové matice  se samou sebou lze vytvářet mocniny matic . Tyto mocniny lze poté využít při zápisu polynomu
, kde  je jednotková matice stejného typu jako .

Řádkové operace 
 S maticemi lze provádět následující elementární řádkové operace:
 součet, neboli přičtení nějakého řádku k jinému,
 vynásobení řádku, resp. všech prvků v řádku, nenulovou konstantou.
Z těchto dvou operací lze odvodit i
 záměnu pořadí řádků,
 přičtení násobku řádku k jinému.
Zmíněné řádkové operace se používají v řadě situací včetně řešení soustav lineárních rovnic (neboť zachovávají množinu řešení) a výpočtu inverzní matice.

Podobným způsobem lze definovat i sloupcové operace.

Podmatice 
Podmatice se z matice získá odstraněním libovolně mnoha řádků anebo sloupců. Například odebrání třetího řádku a druhého sloupce z následující matice řádu  dává podmatici řádu :

 

Determinanty určitých podmatic se nazývají minory a kofaktory.

Hlavní podmatice je čtvercová podmatice získaná odstraněním určitých řádků a sloupců. Definice se liší od autora k autorovi. Podle některých autorů je hlavní podmatice taková podmatice, ve které se shodují indexy ponechaných řádků s indexy ponechaných sloupců. Jiní autoři považují za hlavní podmatice jen takové, ve kterých je ponecháno jen několik prvních řádků a odpovídajících sloupců. Uvedený typ podmatice bývá také nazýván vedoucí hlavní podmatice.

Lineární zobrazení 

Podstatné vlastnosti matic a maticového součinu vynikají v kontextu lineárních zobrazení, nazývaných též lineární transformace. Reálná matice  typu určuje lineární zobrazení  →  tím, že vektor  zobrazí maticovým součinem na vektor  Na druhou stranu, každé lineární zobrazení  je určeno jednoznačně maticí  typu . Konkrétně prvek  je -tou souřadnicí vektoru , kde  je jednotkový vektor s 1 na -té pozici a nulami jinde. O matici  se říká, že reprezentuje lineární zobrazení , a  se nazývá transformační matice zobrazení .

Například na čtvercovou matici
 

lze pohlížet jako na zobrazení, které transformuje jednotkový čtverec na rovnoběžník s vrcholy v , ,  a  . Rovnoběžník zobrazený vpravo se získá postupným součinem matice  se sloupcovými vektory , ,  a . (Tyto vektory jsou vrcholy jednotkového čtverce.)

Následující tabulka předvádí několik matic  s příslušnými lineárními zobrazeními v . Obrazem modrého originálu jsou zelená mřížka a zelené obrazce. Počátek  je vyznačen černou tečkou.

Vzhledem k vzájemně jednoznačnému vztahu mezi maticemi a lineárními zobrazeními odpovídá maticový součin skládání zobrazení: Jestliže matice  typu  představuje lineární zobrazení , pak složení  je reprezentováno , protože 

Poslední rovnost vyplývá z asociativity maticového součinu.

Vlastnosti a základní pojmy

Diagonála matice 

Prvky  čtvercové matice  řádu  tvoří její hlavní diagonálu. Jinými slovy, hlavní diagonála obsahuje prvky , kde .

Prvky  pak leží na tzv. vedlejší diagonále,. Vedlejší diagonála je tvořena všemi prvky , kde .

Pro prvky bezprostředně sousedící s hlavní diagonálou, se také používá termín sekundární diagonála, např. u blokových tridiagonálních matic. Horní sekundární diagonálu čtvercové matice  řádu  tvoří prvky   
a dolní sekundární diagonálu tvoří prvky .

Pokud se hovoří jen o diagonále matice, je tím obvykle myšlena hlavní diagonála.

Hodnost matice 

Hodnost matice se dá definovat jako počet lineárně nezávislých řádků (předpokládáme, že prvky matice jsou prvky nějakého tělesa). Platí, že počet lineárně nezávislých sloupců matice je stejný jako počet lineárně nezávislých řádků. Hodnost matice je též rovna dimenzi prostoru obrazů lineárního zobrazení reprezentovaného maticí  .

Algebraické vlastnosti prostorů matic 
Obvykle se předpokládá, že prvky matice jsou z nějakého okruhu nebo tělesa. Označme jej  (obvykle  nebo ).
Množina všech čtvercových matic  tvoří asociativní algebru, která se nazývá maticová algebra, značí se , , nebo  apod. Pro  je nekomutativní a její centrum je izomorfní  (je tvořeno násobky jedničkové matice). Je jednoduchá, tj. nemá žádné netriviální oboustranné ideály. Navíc každá konečně rozměrná jednoduchá asociativní algebra (nad nějakým tělesem) je izomorfní maticové algebře. Každá volba báze -dimenzionálního prostoru  nám dává izomorfizmus . Jediná ireducibilní reprezentace této asociativní algebry je její definující reprezentace na .

Matice je invertovatelná, právě když její determinant je nenulový (toto má smysl, i kdyby byly prvky matice z obecného komutativního okruhu, a analogické tvrzení lze zformulovat i v kvaternionových maticích).

Množina všech regulárních (tj. invertovatelných) matic tvoří grupu, která se označuje . Pro  je reduktivní. Její jednoduchá podgrupa je grupa matic s jedničkovým determinantem .

Důvod dvojího značení 
Matice se obvykle používají k zápisu lineárních zobrazení mezi vektorovými prostory. Předpokládejme, že matice  přiřadí vektoru , který má souřadnice (v nějaké bázi)  vektor, který má (v nějaké bázi cílového prostoru) souřadnice  (symbolicky ).

Užíváme-li matice k operaci s vektory v Euklidovském prostoru, nebo kdykoliv se příslušný skalární součin chová stejně jako v Euklidovském prostoru a předpokládáme, že jediné změny souřadnicových systémů, které uvažujeme, jsou rotace a zrcadlení, pak není potřeba rozlišovat polohu indexů a řádkové a sloupcové vektory lze mezi sebou libovolně zaměňovat. Jakmile se však skalární součin chová jinak (např. Diracova notace v kvantové mechanice), anebo uvažujeme i jiné transformace souřadnic než rotace a zrcadlení, pak se při přechodu do jiných souřadnic typicky jinak transformují vektory jako duální vektory. Sloupce matice se chovají jako vektory, kdežto řádky matice jako duální vektory, neboli lineární formy. Ve fyzice se pak obvykle souřadnice vektorů píšou nahoru a souřadnice duálních vektorů dolů.

Tento koncept lze matematicky formalizovat, pokud řekneme, že matice je prvek prostoru  zapsán v nějakých bázích  prostorů . Protože ale , můžeme chápat matici jako tenzor typu (1,1)
a u tenzorů se píšou kovariantní složky dolů a kontravariantní nahoru. Pak se matice bude při přechodu k novým souřadnicím v prostorech V a W transformovat „správně“.

Matice ale nereprezentují jen lineární zobrazení mezi vektorovými prostory. Do matice se taky dá zapsat bilineární forma, která dvěma vektorům přiřadí číslo. Pak to odpovídá tenzoru typu (0,2) a při přechodu do jiných souřadnic se transformuje jako tenzor typu (0,2). V tomto případě bychom prvky matice značili () (oba indexy dolů).

Pokud však matice reprezentuje něco jiného (třeba systém lineárních rovnic, na který se nemusíme dívat jako na maticovou rovnici a nepotřebujeme vědět, jak se transformuje při změně souřadnic), pak nemá smysl horní a dolní indexy rozlišovat.

Čtvercové matice 
Čtvercová matice je matice se stejným počtem řádků a sloupců. Matice typu  se stručně nazývají matice řádu .
 Matici, která má nenulové prvky pouze na hlavní diagonále, tzn.  pro , nazýváme diagonální maticí. Prvky diagonální matice  lze vyjádřit pomocí Kroneckerova symbolu , kde  jsou diagonální prvky matice. Pokud pro všechny diagonální prvky  diagonální matice platí , jedná se o jednotkovou matici , pro jejíž prvky platí 
 Matici, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové, označujeme jako horní trojúhelníkovou matici. Taková matice má tvar

 Podobně označujeme jako dolní trojúhelníkovou matici takovou matici, která má všechny prvky nad diagonálou nulové.
 Pokud je transponovaná matice shodná s původní maticí, tzn. , pak matici  označujeme jako symetrickou. Pro prvky symetrické matice platí:

 Matici  označujeme jako antisymetrickou, platí-li pro všechny prvky této matice vztah:

 Matice  je inverzní maticí k čtvercové matici , pokud platí
, kde  je jednotková matice (stejného typu jako ). Matice  je pak také stejného řádu jako .
 Matici , ke které existuje inverzní matice, označujeme jako regulární matici. Není-li matice regulární, pak ji označujeme jako singulární.
 Adjungovaná matice k matici  je transponovaná matice algebraických doplňků matice .

Determinant 

Determinant čtvercové matice , označovaný  nebo , je číslo kódující určité vlastnosti matice. Matice je regulární, právě když je její determinant nenulový. Absolutní hodnota determinantu je rovna ploše (v ) případně objemu (v  ) obrazu jednotkového čtverce (resp. krychle), přičemž jeho znaménko odpovídá orientaci příslušného lineárního zobrazení. Determinant je kladný, právě když je orientace zachována.

Determinant matic řádu dva je dán vztahem

 

Determinant matic řádu tři má 6 členů (Sarrusovo pravidlo). Leibnitzův vzorec  zobecňuje tyto dva vzorce na všechny dimenze.

Determinant součinu čtvercových matic je roven součinu jejich determinantů:

 

Přičtení násobku libovolného řádku do jiného řádku nebo násobku libovolného sloupce do jiného sloupce nezmění determinant. Záměna dvou řádků nebo dvou sloupců změní znaménko determinantu na opačné. Pomocí těchto operací lze libovolnou matici převést na dolní (nebo na horní) trojúhelníkovou matici. Determinant těchto matice je pak součin prvků na hlavní diagonále. Uvedený postup lze použít pro výpočet determinantu jakékoli matice. Konečně, Laplaceův rozvoj vyjadřuje determinant pomocí minorů, což jsou determinanty podmatic. Toto rozšíření lze použít pro rekurentní definici determinantu (za výchozí případ vezmeme determinant matice , který je jejím jediným prvkem, nebo dokonce determinant matice , což je 1), což lze považovat za ekvivalentní Leibnizově vzorci. Determinanty mohou být použity k řešení soustav lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla, podle nějž jsou hodnoty neznámých rovny podílům determinantů.

Vlastní čísla a vlastní vektory 

Číslo  a nenulový vektor  vyhovující rovnici

 

jsou nazývány vlastním číslem (hodnotou) a vlastním vektorem .  Číslo λ je vlastním číslem matice  řádu , právě když  je singulární, což je ekvivalentní podmínce

 

Polynom v neznámé  odpovídající determinantu  se nazývá charakteristický polynom matice . Jde o monický polynom stupně , a proto rovnice  má nejvýše  různých řešení, což jsou právě všechna vlastních čísla matice . Ta mohou být komplexní, a to i pro některé reálné matice. Podle Cayley-Hamiltonovy věty platí . Jinými slovy, dosadíme-li samotnou matici do svého vlastního charakteristického polynomu, dostaneme za výsledek nulovou matici.

Reálné a komplexní matice 

 Pokud každý prvek  komplexní matice  nahradíme prvkem k němu komplexně sdruženým , pak získáme matici , kterou označujeme jako komplexně sdruženou matici. Reálné matice se shodují se svými komplexně sdruženými maticemi .
 Provedeme-li na matici  transpozici a komplexní sdružení, získáme matici hermitovsky sdruženou (někdy též psáno „hermiteovsky“, podle Charlese Hermita). Hermitovsky sdruženou matici značí různí autoři různě, zpravidla některým z následujících způsobů

(poslední z možných zápisů se může snadno plést s tzv. Mooreovou–Penroseovou pseudoinverzní maticí)
 Pokud je hermitovsky sdružená matice rovna původní matici, tzn. , říkáme, že matice  je hermitovská (též samosdružená nebo samoadjungovaná). Každá hermitovská matice má všechna vlastní čísla reálná (důkaz indukcí s využitím základní věty algebry a Gram-Schmidtovy ortogonalizace).
 Symetrická reálná matice  řádu  se nazývá:
 pozitivně semidefinitní, pokud pro všechny vektory platí ;
 pozitivně definitní, pokud pro všechny vektory  různé od  platí ;
 negativně (semi)definitní, pokud v předchozích definicích použijeme obrácené nerovnosti, tj.  a 
 indefinitní v ostatních případech, neboli existují  taková, že  a zároveň .
 Uvedené vlastnosti jsou definovány i pro komplexní hermitovské matice; jen je třeba vzít v potaz všechny komplexní vektory a v součinu nahradit obyčejnou transpozici  za hermitovskou transpozici .
 Matici  označujeme jako unitární, jestliže inverzní matice  je rovna matici hermitovsky sdružené , tzn.

Použití

Matice jako zápis lineárního zobrazení 
Matice představují nejjednodušší nástroj, jak popsat v souřadnicích lineární zobrazení z prostorů V do prostoru W, pokud máme na prostoru V zvolenou bázi  a na prostoru W bázi . Matice zobrazení vytvoříme tak, že její i-tý sloupec bude zápis souřadnic obrazu vektoru  zapsaného v bázi .

Matice přechodu 
Matice jsou užitečný nástroj na spočtení souřadnic vektoru v nějaké bázi, pokud známe jeho souřadnice v jiné bázi. Pokud  a  jsou dvě báze, pro které platí , neboli

pak matice  se nazývá matice přechodu od báze  k bázi . Pro souřadnice pak platí

kde  jsou souřadnice libovolného vektoru v bázi  a  jsou jeho souřadnice v bázi  a  je inverzní matice k matici .

Duální báze k  a  (pokud je píšeme do sloupců) se transformují stejně jako souřadnice a souřadnice duálních vektorů v duálních bázích (pokud je píšeme do řádků) stejně jako původní bázové vektory.

Matice jako zápis bilineární formy 
Matice představují jednoduchý nástroj, jak popsat v souřadnicích bilineární zobrazení (například skalární součin)  (obvykle  nebo ), pokud máme na prostoru  zvolenou bázi  a na prostoru  bázi . Matice zobrazení  vytvoříme tak, že
, kde (.) je příslušná bilineární forma.
Pak v souřadnicích platí .

Soustavy lineárních rovnic 

Soustava  rovnic o  neznámých  se dá zapsat elegantně v maticovém tvaru kdejsou matice soustavy, vektor pravých stran a vektor neznámých. Často při řešení rovnic stačí pracovat s maticí soustavy a vektorem pravých stran, které se pro potřeby výpočtu spojují do rozšířené matice soustavy (viz Gaussova eliminace).

Zkoumání lineární nezávislosti vektorů 
Je-li dána množina vektorů ze stejného vektorového prostoru v souřadnicích, je možné tyto vektory (resp. jejich souřadnicové vyjádření) zapsat pod sebe jako řádky matice. Lineární obal řádků matice se nezmění, pokud budu se s maticí provádí následující úpravy:

 Výměna dvou řádků
 Vynásobení řádku nenulovým číslem
 Přičtení násobku nějakého řádku k jinému řádku

Pokud se podaří postupnou aplikací těchto úprav vytvořit v matici nulový řádek, původní vektory jsou lineárně závislé (viz též Gaussova eliminace). Pokud se podaří matici upravit do odstupňovaného tvaru aniž by vznikl nulový řádek, jsou původní vektory lineárně nezávislé. Viz též hodnost matice.

Řešení obyčejných diferenciálních rovnic 
Obyčejná homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, anebo systém rovnic s konstantními koeficienty, se dá zapsat v maticovém tvaru kde  je sloupcový vektor neznámých a  je čtvercová matice. Řešení je pak vektorový prostor generovaný sloupci matice dané maticovou funkcí .

Historie 
Matice byly odedávna používány pro řešení soustav lineárních rovnic, ale až do 19. století byly obvykle nazývány pole. Jedním z prvních textů využívajících koncept pole (včetně determinantů) je Devět kapitol o matematickém umění napsaný v Číně v 10.–2. století před naším letopočtem. V Evropě představil tuto metodu italský matematik Gerolamo Cardano v roce 1545 a to ve svém díle Ars Magna.  Japonský matematik Seki použil stejné metody pole k řešení soustavy rovnic v roce 1683. Nizozemský matematik Jan de Witt reprezentoval transformace pomocí polí ve své knize Elements of Curves z roku 1659.  V letech 1700 až 1710 propagoval Gottfried Wilhelm Leibniz použití polí pro záznam informací nebo řešení. Mimo jiné experimentoval s více než 50 různými systémy polí.  Cramerovo pravidlo bylo poprvé předvedeno v roce 1750.

Termín „matice“ (latinsky matrix - „lůno“, „zdroj“, „původ“, „seznam“, „registr“, odvozeno od mater - matky) zavedl v roce 1850 James Joseph Sylvester, který považoval matici za objekt, z něhož pochází několik determinantů, dnes nazývaných minory. To jsou determinanty menších matic, vzniklých z původní matice odstraněním sloupců a řádků. V dokumentu z roku 1851 Sylvester vysvětluje:

V polovině 19. století publikoval Arthur Cayley pojednání o geometrických transformacích pomocí matic, které nebyly jen přeuspořádanými množinami koeficientů, jak tomu bylo dříve. Místo toho definoval operace jako sčítání, odčítání, násobení a dělení jako transformace těchto matic a ukázal, že jsou asociativní a distributivní. Cayley zkoumal a demonstroval nekomutativitu součinu matic i komutativitu součtu.  Do té doby se maticová teorie omezovala použití polí téměř výhradně na determinanty, a proto byly abstraktní maticové operace Arthura Cayleyho doslova revoluční, zejména proto, že Cayleyův koncept matic byl nezávislý na soustavách rovnic. V roce 1858 Cayley publikoval své A memoir on the theory of matrices , ve kterých představil Cayley-Hamiltonovu větu.

Anglický matematik Cuthbert Edmund Cullis byl první, kdo v roce 1913 zavedl pro matice moderní závorkovou notaci. Současně předvedl první významné použití notace  k reprezentaci matice, kde  odkazuje na -tý řádek a -tý sloupec. 

Moderní studia determinantů vycházela z několika zdrojů. Číselně-teoretické problémy přivedly Gausse ke vztahům mezi koeficienty kvadratických forem, to jsou výrazy jako , lineárními zobrazeními ve třech rozměrech a maticemi. Tyto pojmy dále rozvinul Eisenstein, včetně poznámky, že součin matic není komutativní. První obecná tvrzení o determinantech dokázal Cauchy, přičemž determinant matice  definoval následovně:

V polynomu , kde  označuje součin uvedených členů, nahraďte mocniny  za .

V roce 1829 Cauchy ukázal, že vlastní čísla symetrických matic jsou reálná.

Jacobi se zaměřil na determinant související s funkcemi více proměnných. Tento determinant, později Sylvesterem nazvaný Jacobiho determinant, může být použit k popisu geometrických transformací na lokální (nebo i infinitezimální) úrovni. První axiomatický popis determinantů podali současně v roce 1903 Kronecker a Weierstrass ve svých článcích Vorlesungen über die Theorie der Determinanten a Zur Determinantentheorie. Do té doby byly determinanty definovány jen pomocí konkrétnějších přístupů, jako je například výše uvedený Cauchyho vzorec.

Mnohé věty se nejprve zabývaly pouze malými maticemi. Například Cayley-Hamiltonova věta byla ve zmíněné Cayleyho monografii dokázána jen pro matice  a Hamilton ji pak rozšířil i na matice . Teprve Frobenius, pracující na bilineárních formách, zobecnil v roce 1898 tuto větu na všechny rozměry. Gauss-Jordanova eliminace, zobecňující speciální případ nyní nazývaný Gaussova eliminace, byla popsána Wilhelmem Jordanem až na konci 19. století.

Matice získaly ústřední roli v lineární algebře na počátku 20. století , částečně díky jejich použití v klasifikaci hyperkomplexních číselných soustav z předchozího století.

Maticová mechanika zavedená Heisenbergem, Bornem a Jordanem vedla ke studiu matic s nekonečně mnoha řádky a sloupci. Von Neumannův pozdější matematický popis kvantové mechaniky přispěl k dalšímu rozvoji souvisejících pojmů z funkcionální analýzy, jako jsou například lineární operátory na Hilbertových prostorech. Ty, velmi zhruba řečeno, odpovídají euklidovskému prostoru, ale s nekonečnem nezávislých směrů.

Další historická použití slova „matice“ v matematice 
Termín matice byl použit neobvyklým způsobem v následujících případech:

Bertrand Russell a Alfred North Whitehead použili v díle Principia Mathematica (1910–1913) slovo „matice“ v kontextu svého axiomu redukovatelnosti. Tento axiom zavedli coby prostředek k postupné redukci jakékoli funkce na funkci nižšího typu, takže "naspod" (řád 0) je funkce identická se svým rozšířením:

Například funkce  dvou proměnných  a  může být redukována na soubor funkcí jediné proměnné  tím, že „uvážíme“ funkci pro všechny možné hodnoty „jednotlivých"  dosazených za proměnnou . Získaný soubor funkcí jediné proměnné , tedy , pak lze redukovat na „matici“ hodnot „uvážením“ funkce pro všechny možné hodnoty „jednotlivých“  nahrazených místo proměnné :

 .

Alfred Tarski ve svém Úvodu do logiky z roku 1946 použil slovo „matice“ jako synonymum pro pravdivostní tabulku používanou v matematické logice.

Další použití 
V matematice a fyzice:

 Jacobiho matice
 Hessova matice
 Wronského matice
 incidenční matice grafu

Ve statistice:

 Matice dat (zcela obecná tabulka popisující závislost jedné veličiny na druhé)
 Korelační matice
 Stochastická matice
 kontingenční tabulky

V kvantové mechanice:

 Zápis operátorů do matic
 Matice hustoty (popis smíšeného stavu systému)
 Pauliho matice

V populační biologii:

 Leslieho model

Odkazy

Poznámky

Reference

Literatura

Související články 
 Determinant
 Hodnost matice
 Jordanův rozklad
 Kontingenční tabulka
 Lineární algebra
 LU rozklad
 Matice přechodu
 Maticová funkce
 Násobení matic
 Norma matice
 Soustava lineárních rovnic
 Stopa matice
 Transpozice matic

Externí odkazy 
 
 
 Učebnice lineární algebry na webu (anglicky)
 Autar Kaw, Introduction to Matrix Algebra
 Maticová kalkulačka
 Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná)*
 Sčítání a násobení matic