Localisation (mathématiques)

En algèbre, la localisation est une des opérations de base de l'algèbre commutative. C'est une méthode qui construit à partir d'un anneau commutatif un nouvel anneau. La construction du corps des fractions est un cas particulier de la localisation.

Notion intuitive 
La localisation consiste à rendre inversibles les éléments d'une partie (« partie multiplicative ») de l'anneau. L'exemple le plus connu est le corps des fractions d'un anneau intègre qui se construit en rendant inversibles tous les éléments non nuls de l'anneau. On peut aussi voir la localisation comme une manière d'envoyer l'anneau dans un anneau « plus grand » dans lequel on a autorisé des divisions par des éléments qui n'étaient auparavant pas inversibles. Par exemple, l'anneau 𝔻 des nombres décimaux est le localisé ℤ de ℤ par rapport à l'ensemble des puissances de 10. De même, l'anneau des fractions dyadiques est le localisé ℤ de ℤ par rapport à l'ensemble des puissances de 2.

Définition 
Soit A un anneau commutatif (unitaire). On cherche à rendre inversibles les éléments d'une partie S de A. Si a et b dans S deviennent inversibles, il en sera de même de leur produit dont l'inverse est alors ab. On travaille donc avec une partie multiplicative, c'est-à-dire un ensemble  stable par multiplication, contenant 1 (en général, on exclut 0, car sinon le localisé est simplement l’anneau nul).

La localisation de l'anneau A en la partie S est alors la donnée d'un anneau, noté SA et d'un morphisme  tels que :  et qui vérifient la propriété universelle suivante : pour tout  morphisme d'anneaux , si  alors il existe un unique morphisme  tel que .

L'anneau SA est aussi noté AS ou A[S] et est appelé l'anneau des fractions de A associé à S, ou à dénominateurs dans S, ou l'anneau des fractions de A par rapport à S.

Construction 
Pour construire l'anneau localisé, on procède comme dans la construction du corps des fractions mais avec une précaution supplémentaire pour tenir compte du fait que l'anneau n'est pas toujours intègre. Sur le produit cartésien , la relation d'équivalence est alors la suivante :  si et seulement s'il existe un élément  tel que . Le reste de la construction est la même que celle du corps des fractions. L'utilisation de l'élément  est cruciale pour la transitivité.

Exemples importants 
 Les éléments réguliers (c'est-à-dire non diviseurs de zéro) forment une partie multiplicative R ; l'anneau RA est l' de  ; l'homomorphisme de localisation dans ce cas-là est injectif. 
 Le complémentaire  d'un idéal premier  est une partie multiplicative, et peut donc servir pour localiser l'anneau. Dans ce cas, on note . C'est un anneau local appelé localisé de  en . Si  est un anneau de Dedekind et  un idéal premier non nul,  est même un anneau de valuation discrète car il est de plus principal.Plus généralement, on peut prendre pour partie multiplicative le complémentaire de la réunion d'une famille quelconque d'idéaux premiers de . Pour une famille finie, on obtient alors un anneau semi-local. 
 Lorsque  est intègre, le premier exemple est un cas particulier du second. En effet, l'idéal nul est premier et son complémentaire est . Dans ce cas,  est un corps appelé corps des fractions de . 
 Lorsque  est intègre, il est égal à l'intersection, dans son corps des fractions, de ses localisés en ses idéaux maximaux.
 Lorsque  n'est pas intègre, le complémentaire d'un idéal premier  peut contenir des diviseurs de zéro. L'homomorphisme de localisation  n'est alors pas injectif. Par exemple, considérons l'anneau produit  lorsque  est un corps. Il possède deux idéaux maximaux  et . Les deux localisations  sont alors isomorphes à  et les deux applications canoniques sont en fait les deux projections. Dans ce cas, on constate qu'inverser des éléments n'augmente pas le nombre de ceux-ci mais au contraire le diminue.
 Soit  un élément de . L'ensemble  réunion de {1} et des puissances positives  (n > 0)  est une partie multiplicative de . Le localisé de  par rapport à cette partie multiplicative est noté . Remarquons que  est l'anneau nul si, et seulement si,  est nilpotent. Lorsque  est intègre,  est l'ensemble des fractions qui peuvent s'exprimer comme le quotient d'un élément de  par une puissance positive de .

Explication du terme localisation 

Prenons l'anneau de polynômes ℂ[X]. Comme ℂ est algébriquement clos, le spectre premier de ℂ[X] s'identifie à ℂ lui-même (avec un point supplémentaire correspondant à l'idéal nul). Le localisé ℂ[X] en l'idéal maximal engendré par X s'appelle le localisé en  et est précisément l'anneau des polynômes dans lequel on a autorisé toutes les divisions excepté celles par les polynômes s'annulant en . Ce nouvel anneau est l'ensemble des fractions rationnelles sans pôle en  (donc holomorphes dans un voisinage de ). Il permet de s'intéresser aux propriétés des polynômes au voisinage de , d'où le terme d'anneau localisé.

Spectre premier d'une localisation 

Soit  une partie multiplicative de .  Alors l'ensemble des idéaux premiers de  peut s'identifier à la partie des idéaux premiers de  disjoints de . Plus précisément, soit  le morphisme canonique. Pour tout idéal premier  de ,  est un idéal premier de  qui est disjoint de , et cette correspondance est biunivoque, la correspondance réciproque associant à tout idéal premier  de  l'idéal  de . De plus, le morphisme canonique entre les anneaux intègres  induit un isomorphisme entre leurs corps des fractions. 

Noter qu'en général, cette correspondance n'existe pas pour les idéaux maximaux (considérer l'exemple A =  ℤ et S =  ℤ*).

En théorie des schémas, cette correspondance induit un homéomorphisme (pour la topologie de Zariski) entre le spectre  de l'anneau  et le sous-ensemble  de , muni de la topologie induite.

Localisation de modules  

Soient  et  comme ci-dessus. Soit  un -module. Alors le localisé  est un -module muni d'un morphisme -linéaire  tel que tout morphisme -linéaire  dans un -module  se factorise de façon unique en composé de  avec un morphisme -linéaire . Concrètement,  est l'ensemble  modulo la relation d'équivalence :  si et seulement s'il existe  dans  tel que . L'application canonique  consiste à envoyer  sur la classe de . Son noyau est le sous-module des  annulés par un élément de . Ce localisé  est isomorphe au produit tensoriel de  et  sur .

En théorie des catégories, l'opération notée  qui, à un objet  de la catégorie -Mod (catégorie des -modules) associe l'objet  de la catégorie  est un foncteur exact.

Notes et références 

Théorie des anneaux
Algèbre commutative