Otevřená množina

Otevřená množina je matematická vlastnost množin, která je zobecněním otevřeného intervalu reálných čísel. Množina M topologického prostoru anebo metrického prostoru se nazývá otevřená, pokud s každým bodem x, který do ní patří, patří do této množiny i nějaké jeho okolí. Znamená to, že obsahuje s každým bodem i body, které jsou dostatečně blízko.

Definice

Na reálných číslech 
Množina reálných čísel  se nazývá otevřená, pokud pro každý její prvek  existuje  takové, že v  leží i všechna čísla  vzdálená od  méně než
 – jinými slovy:

 Pro každé  takové, že  platí .

Příklad 1: Interval  je otevřená množina. Pro číslo 10,01 si můžeme za  zvolit . (Proto se takovému intervalu říká otevřený interval.)

Příklad 2: Polouzavřený interval  není otevřená množina, protože pro  neexistuje žádné vhodné .

V metrických prostorech 
Pojem „otevřená množina“ lze zobecnit na libovolný metrický prostor, například na trojrozměrný Euklidovský prostor. Definice pro metrické prostory zní takto:

 Podmnožina  množiny  je otevřená, pokud pro každý její bod  existuje koule se středem v , která celá leží v . Tedy pro každý bod  existuje  takové, že každé  leží v .

Reálná čísla jsou metrickým prostorem a obě výše uvedené definice na nich splývají (jsou ekvivalentní).

V topologii 
Pojem topologický prostor vznikl proto, aby mnoho pojmů z reálných čísel a z metrických prostorů (například konvergentní posloupnost nebo spojité zobrazení) bylo možno zobecnit na ještě širší třídu množin, na kterých nemá smysl definovat metriku. Každý metrický prostor je topologickým prostorem a množina je na něm otevřená v topologickém smyslu, právě když je otevřená v metrickém smyslu.

V topologickém prostoru je ovšem "otevřená množina" základním pojmem – topologický prostor je přímo definován souborem otevřených podmnožin. Topologickým prostorem nazýváme každou dvojici , kde  je systém podmnožin  a splňuje jisté axiomy (sjednocení libovolného počtu a průnik konečného počtu množin z  leží v , navíc prázdná množina a X leží v ). Množiny z  pak nazýváme otevřenými množinami.

Bod  se nazývá vnitřním bodem množiny , jestliže  a existuje nějaké okolí  bodu  ležící celé v množině , tj. . Množina všech vnitřních bodů množiny  se nazývá vnitřek množiny  a označuje . Je-li množina  totožná se svým vnitřkem, tj. je-li každý bod množiny  vnitřní, pak je  množina otevřená.

Vlastnosti otevřených množin 
Sjednocení libovolného počtu otevřených množin je otevřené.

Průnik konečného počtu otevřených množin je otevřený.

Prázdná množina a celý topologický prostor X jsou otevřené.

Otevřená množina není opak uzavřené. Existují totiž množiny, které jsou zároveň uzavřené i otevřené, nebo množiny, které nejsou ani uzavřené, ani otevřené.

Použití otevřených množin 
Otevřené množiny se používají k definici obecnějších pojmů, k definicím limit posloupností, spojitosti, kompaktnosti, souvislosti apod. Spojité zobrazení je například definováno vlastností, že vzory otevřených množin jsou otevřené.

Pro každou množinu topologického prostoru existuje její největší otevřená podmnožina, která se nazývá vnitřek.

Odkazy

Reference

Související články 
 Kompaktní množina
 Otevřené zobrazení
 Uzavřená množina
 Obojetná množina

Externí odkazy 
 Rn jako metrický a lineární prostor

Topologie