Règle de L'Hôpital

En mathématiques, et plus précisément en analyse, la règle (ou le théorème) de L'Hôpital (ou de L'Hospital), également appelée règle de Bernoulli, utilise la dérivée dans le but de déterminer les limites difficiles à calculer de la plupart des quotients. Le théorème de Stolz-Cesàro est un résultat analogue concernant des limites de suites, mais utilisant les différences finies au lieu de la dérivée.

Historique 

La règle porte le nom d'un mathématicien français du , Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital, qui a publié l'Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), premier livre de calcul différentiel à avoir été écrit en français. La règle de L'Hôpital apparaît dans cet ouvrage et constitue la proposition 1 de la section IX, § 163, p. 145 : l'objet de cette proposition consiste à donner la valeur d'une quantité  dépendant d'une variable  pour la valeur  de cette variable, lorsque  s'écrit comme une fraction dont le numérateur et le dénominateur s'annulent tous deux en .

L'auteur de la règle est sans doute Jean Bernoulli, car L'Hôpital payait à Bernoulli une pension de 300 livres par an pour le tenir informé des progrès du calcul infinitésimal et pour résoudre les problèmes qu'il lui posait (comme celui de trouver la limite des formes indéterminées) ; de plus, ils avaient signé un contrat autorisant L'Hôpital à utiliser les découvertes de Bernoulli à sa guise. Quand L'Hôpital publia son livre, il reconnut ce qu'il devait à Bernoulli et, ne voulant pas se voir attribuer son travail, publia anonymement. Bernoulli affirma alors être l'auteur de l'ouvrage entier, ce qui fut longtemps dénié, et la règle fut nommée d'après L'Hôpital, bien qu'il n'ait jamais prétendu l'avoir inventée. En 1921 Paul Schafheitlin découvrit dans la bibliothèque de l'Université de Bâle des notes de cours de Bernoulli sur le calcul différentiel donnés entre 1691 et 1692, Lectiones de calculo differentialium. Les fortes similarités de ces notes avec le texte de L'Hôpital soutiennent la version de Jean Bernoulli sur les sources du livre.

Énoncé des règles de L'Hôpital

Principe 

Soit  réel ou égal à , tel que les fonctions réelles  et  soient définies et dérivables au voisinage de , la dérivée de  ne s'y annulant pas. Si nous essayons de déterminer la limite en  du quotient , où le numérateur et le dénominateur tendent soit les deux vers zéro, soit les deux vers l'infini, alors nous pouvons dériver le numérateur et le dénominateur et déterminer la limite du quotient des dérivées. Si elle existe, la règle affirme que cette limite sera égale à la limite cherchée.

La règle, pour  et  définies (au moins) sur un intervalle d'extrémités  et , est exposée ici pour des limites à droite en  avec . Elle est bien sûr transposable à gauche avec  et la règle bilatérale, pour des limites épointées en un réel , se déduit de la conjonction de ces deux règles latérales.

Énoncé simple 
 	
Dans l'ouvrage de L'Hôpital, la règle qui apparaît est celle communément utilisée dans le cas de deux fonctions dérivables en  et telles que le quotient  soit défini :

Généralisations 
 	
La règle de l'Hôpital a été généralisée à des situations où  et  sont supposées définies et dérivables à droite de  (ou à gauche de ), mais pas en  ( pouvant être réel ou infini). La première généralisation s'applique à des fonctions  et  dont la limite en  est nulle et la seconde à des fonctions  et  pour lesquelles la limite en  est infinie.

La généralisation 2 se montre sans utiliser l'hypothèse . Aussi seule l'hypothèse  est-elle nécessaire, ce qui permet d'étendre le domaine d'application de la règle de l'Hôpital à des cas d'indétermination autres que , notamment si  n'admet pas de limite en .

Ces deux généralisations sont valides que  soit une limite réelle ou infinie. Leur démonstration utilise le « théorème de la moyenne de Cauchy » (cf. théorème des accroissements finis généralisé), avec plus de précaution pour la seconde.

Utilisations 

La règle n'est utilisable qu'en cas d'indétermination. Par exemple
.

Dans le cas d'indétermination de la forme « 0/0 », l'énoncé simple peut souvent être utilisé, ou — comme dans la démonstration du théorème d'« intégration » terme à terme d'un développement limité — la première généralisation.

Dans le cas d'indétermination de la forme « ∞/∞ », c'est la seconde généralisation que l'on va employer :
.

Parfois, il faudra utiliser plusieurs fois la règle de l'Hôpital pour parvenir au résultat :
 ;
.

Certaines limites, qui n'apparaissent pas comme des limites de quotients, peuvent être obtenues avec cette règle :

.

Précautions à prendre 

On remarquera que les formes généralisées ne donnent que des conditions suffisantes d'existence de la limite. Il existe donc des cas où la limite du quotient des dérivées n'existe pas et pourtant la limite du quotient des fonctions existe : 

alors que
 n'admet pas de limite en 0.

Enfin, on prendra soin de vérifier que  est bien non nul au voisinage de , sinon la règle n'est pas applicable. Par exemple, si 

,
alors

donc

mais

 n'admet pas de limite en  car  oscille entre  et .

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes 

 Indétermination de la forme 0/0
 Indétermination de la forme ∞/∞
 Règle de L'Hôpital sur la monotonie
 Théorème des accroissements finis

Lien externe 

Analyse réelle
L Hopital
Jean Bernoulli