Bijection réciproque

En mathématiques, la bijection réciproque (ou fonction réciproque ou réciproque) d'une bijection  est l'application qui associe à chaque élément de l'ensemble d'arrivée son unique antécédent par . Elle se note .

Exemple 

On considère l'application  de  vers  définie par .

Pour chaque réel y, il y a un et un seul réel x tel que , ainsi pour  = 8, le seul  convenable est 2, en revanche, pour  = –27 c'est –3. En termes mathématiques, on dit que  est l'unique antécédent de  et que  est une bijection.

On peut alors considérer l'application qui envoie  sur son antécédent, qu'on appelle dans cet exemple la racine cubique de  : c'est elle qu'on nomme la « réciproque » de la bijection .

Si on tente d'effectuer la même construction pour la racine carrée et qu'on considère l'application g de  vers  définie par , les choses ne se passent pas si simplement. En effet, pour certaines valeurs de , il y a deux valeurs de  tels que  ; ainsi, pour  = 4, on peut choisir  = 2 mais aussi  = –2, puisque 2 = 4 mais aussi (–2) = 4.

À l'inverse, pour d'autres choix de , aucun  ne convient ; ainsi pour  = –1, l'équation  n'a aucune solution réelle. En termes mathématiques, on dit que  n'est ni injective ni surjective. Dans cet exemple, les définitions qui suivent ne permettent pas de parler de « bijection réciproque » (ni même d'« application réciproque ») de .

Résultats généraux

Définition 

Si  est une bijection d'un ensemble  vers un ensemble , cela veut dire (par définition des bijections) que tout élément  de  possède un antécédent et un seul par . On peut donc définir une application  allant de  vers , qui à  associe son unique antécédent, c'est-à-dire que .

L'application  est une bijection, appelée bijection réciproque de .

De façon plus générale, et en utilisant les notations fonctionnelles, si  est une application d'un ensemble  vers un ensemble  et s'il existe une application  de  vers  telle que  et , alors  et  sont des bijections, et  est la bijection réciproque de .

La bijection réciproque de  est souvent notée , en prenant garde à la confusion possible avec la notation des exposants négatifs, pour laquelle on a .

Propriétés

Réciproque de la réciproque 

La double propriété  et  montre que  est aussi la bijection réciproque de , c'est-à-dire que .

Réciproque d'une composée 

La réciproque de la composée de deux bijections est donnée par la formule : .

On peut remarquer que l'ordre de  et  a été inversé ; pour « défaire »  suivi de , il faut d'abord « défaire »  puis « défaire » .

Involution 

Certaines bijections de  vers  sont leur propre réciproque, c'est le cas par exemple de l'application inverse :ou de toute symétrie orthogonale dans le plan.

De telles applications sont dites involutives.

Réciproque d'une fonction numérique

Existence 

Le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire, le théorème de la bijection, assurent que toute application continue strictement monotone sur un intervalle  détermine une bijection de  sur  et que  est aussi un intervalle. Cela signifie qu'une telle fonction possède une application réciproque définie sur  à valeurs dans .

Cette propriété permet la création de nouvelles fonctions définies comme application réciproque de fonctions usuelles.

Exemples 

À l'aide de ces fonctions, la recherche de l'application réciproque consiste à résoudre l'équation , d'inconnue   :

La fonction  est une bijection de  sur  et possède une application réciproque que l'on cherche à déterminer en résolvant, pour  dans , l'équation , ou encore . Puisque , cette équation possède deux solutions dont une seule appartenant à l'intervalle  : . Donc la réciproque de  est  définie par .

Cette recherche peut se révéler infructueuse et nécessiter la création d'une fonction nouvelle. Ainsi, la fonction  est une bijection de  vers  ; l'équation correspondante  n'a pas de solution exprimable à l'aide des fonctions usuelles, ce qui oblige, pour exprimer , à définir une nouvelle fonction, ici la fonction W de Lambert.

Graphe 

Lorsque deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre, alors leurs représentations graphiques dans un plan muni d'un repère orthonormal sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite  d'équation  (appelée aussi première bissectrice).

En effet, si  est un point du graphe de , alors  donc  donc  est un point du graphe de . Or le point  est le symétrique du point  par rapport à la droite , pour les deux raisons suivantes :

Le milieu du segment  est sur la droite , et d'autre part, le vecteur  est orthogonal au vecteur de coordonnées , qui est un vecteur directeur de la droite  (leur produit scalaire canonique est nul).

On sait donc que  est un point du graphe de . Un raisonnement analogue prouve que si  est un point du graphe de , alors  est un point du graphe de .

Continuité 

En général, la réciproque d'une fonction continue n'est pas continue mais la réciproque d'une fonction continue sur un intervalle  à valeurs dans un intervalle  est une fonction continue sur , selon le théorème de la bijection.

Dérivabilité 

Si  est une fonction continue sur un intervalle  à valeurs dans un intervalle  et si  est sa réciproque, la fonction  est dérivable en tout point  tant que  admet en  une dérivée non nulle.

La dérivée en  de  est alors .

Un moyen simple de comprendre ce phénomène, mais non de le démontrer, est d'utiliser les notations différentielles et de remarquer que .

Recherche graphique ou numérique d'une réciproque 

Il n'est pas toujours possible de déterminer la réciproque de manière analytique : on sait calculer , mais on ne sait pas calculer . Il faut alors utiliser une méthode graphique ou numérique.

La méthode graphique consiste à tracer la courbe représentative . On trace la droite d'ordonnée  concernée, on recherche l'intersection de cette droite avec la courbe, et l'on trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par cette intersection. Le point d'intersection de cette droite avec l'axe des abscisses donne la valeur  recherchée. C'est le principe d'un grand nombre d'abaques.

Numériquement, rechercher  revient à rechercher les racines de la fonction .

Si l'on sait que le domaine de recherche  est « restreint » et que la fonction est dérivable sur cet intervalle, on peut linéariser la fonction, c'est-à-dire la remplacer par une fonction affine obtenue par un développement limité
 
On a ainsi une approximation de la solution, si  :C'est la démarche de l'algorithme de Newton, mais avec une seule itération.

On peut également utiliser une fonction d'approximation plus complexe mais néanmoins inversible.

Exemple de réciproque de transformation du plan 

Les transformations du plan sont les applications bijectives du plan ; il est donc intéressant d'en connaître les réciproques, du moins pour les transformations de référence.

Réciproques en algèbre 

En algèbre, un morphisme bijectif de groupes, d'anneaux, de corps, d'espaces vectoriels admet une application réciproque qui est aussi un morphisme de même type. L'application et sa réciproque sont appelés des isomorphismes.

Dans le cas d'une application  linéaire d'un espace vectoriel  vers un espace vectoriel , tous deux de dimension finie et munis de bases,  est bijective si et seulement si sa matrice  dans les bases fixées est une matrice carrée inversible. La matrice dans ces bases de la réciproque de  est alors la matrice inverse de , notée .

Quelques concepts apparentés 
Soit  une application.
Même lorsque  n'est pas bijective, il est possible de définir une relation binaire réciproque, de  dans , qui à tout élément de  associe ses antécédents par  (donc rien si cet élément n'a pas d'antécédents). On parle alors de réciproque multiforme. L'application  est bijective si et seulement si cette relation réciproque est une application, et dans ce cas, cette application est bien l'application réciproque de .On définit plus généralement la réciproque d'une multifonction quelconque ou, ce qui revient au même, la réciproque d'une relation binaire.
Pour qu'il existe des inverses à gauche de , c'est-à-dire des applications  telles que , il faut et il suffit que  soit injective.Pour qu'il existe des inverses à droite de , c'est-à-dire des applications  telles que , il faut et (en admettant l'axiome du choix) il suffit que  soit surjective.

La fonction réciproque d'une fonction  ne doit pas être confondue avec la fonction inverse de . Cette confusion est fréquente du fait de la notation commune , et parce que le terme anglais reciprocal se traduit souvent par inverse en français, tandis que l'adjectif anglais inverse se traduit parfois par réciproque en français.

Théorème d'inversion locale 

Le théorème d'inversion locale précise les conditions d'existence locale d'une application réciproque pour une fonction . C'est une généralisation d'un théorème simple sur les fonctions de la variable réelle.

Le théorème d'inversion locale généralise cette propriété à des fonctions définies sur des espaces vectoriels réels de dimension finie. La condition «  non nulle » est alors remplacée par « le jacobien de  en  est non nul ». De plus, si  est de classe , l'application réciproque l'est aussi.

Notes et références 

Théorie des ensembles
Analyse (mathématiques)