Fonction de Bessel

En mathématiques, et plus précisément en analyse, les fonctions de Bessel, appelées aussi quelquefois fonctions cylindriques, découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom du mathématicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel. Bessel développa l'analyse de ces fonctions en 1816 dans le cadre de ses études du mouvement des planètes induit par l'interaction gravitationnelle, généralisant les découvertes antérieures de Bernoulli. Ces fonctions sont des solutions canoniques y(x) de l'équation différentielle de Bessel :

pour tout nombre réel ou complexe α. Le plus souvent, α est un entier naturel (alors appelé lordre de la fonction), ou un demi-entier.

Il existe deux sortes de fonctions de Bessel :
 les fonctions de Bessel de première espèce, Jn, solutions de l'équation différentielle ci-dessus qui sont définies en 0 ;
 les fonctions de Bessel de seconde espèce, Yn, solutions qui ne sont pas définies en 0 (mais qui ont une limite infinie en 0).

Les représentations graphiques des fonctions de Bessel ressemblent à celles des fonctions sinus ou cosinus, mais s'amortissent comme s'il s'agissait de fonctions sinus ou cosinus divisées par un terme de la forme .

Les fonctions de Bessel sont aussi connues sous le nom de fonctions cylindriques, ou d'harmoniques cylindriques, parce qu'elles font partie des solutions de l'équation de Laplace en coordonnées cylindriques (intervenant, par exemple, dans la propagation de la chaleur dans un cylindre).

Elles interviennent dans beaucoup de problèmes physiques présentant une symétrie cylindrique:
 les ondes électromagnétiques ou les ondes acoustiques dans un guide cylindrique (antenne ou tuyau) ;
 les modes de vibration d'une fine membrane circulaire ou annulaire ;
 l'étude d'instruments d'optique comme les fibres optiques constituées d'un cœur et d'une gaine optique concentriques;
 le pendule de Bessel ;
 les phénomènes de diffraction par une fente circulaire ;
 l'étude de la modulation de fréquence en télécommunications.

 Expression des fonctions de Bessel 
Pour les valeurs entières de , les fonctions de Bessel de première espèce  sont définies par la série entière (de rayon de convergence infini) suivante :
.

Plus généralement, pour α non entier, on a le développement analogue

où  est la fonction gamma, généralisant la fonction factorielle à des valeurs non entières.

Les fonctions de Bessel de deuxième espèce, également appelées fonctions de Neumann ou encore fonctions de Weber-Schläfli, sont définies par :
.

 Intégrales de Bessel 
Pour les valeurs entières de , les fonctions de Bessel peuvent être représentées par des intégrales :

ou encore par :
.

C'est la définition qu'en donna Bessel, et qui lui servit à obtenir de nombreuses propriétés de ces fonctions (à commencer par l'équation différentielle, qui en découle par différentiation sous le signe d'intégration, suivie d'une intégration par parties). Cette définition peut s'étendre au cas α non entier (pour Re(x) > 0), en ajoutant un autre terme:

 Relation avec les séries hypergéométriques 
Les fonctions de Bessel peuvent également s'exprimer sous forme de série hypergéométrique comme
.

Cette expression est liée au développement des fonctions de Bessel à l'aide de la .

 Relation avec les polynômes de Laguerre 
Notant  le k-ième polynôme de Laguerre, les fonctions de Bessel peuvent être exprimées ainsi :
,
où l'expression de droite ne dépend pas de t et demande, pour être généralisée au cas α non entier, l'utilisation de dérivées fractionnaires.

 Propriétés des  
 Relations de récurrence :
,
,
.
 On en déduit :
,
.
 Orthogonalité :
 et  étant deux zéros distincts de , on a : .Jn est souvent défini par l'intermédiaire d'une série de Laurent, correspondant à la fonction génératrice :
 ;
cette approche est celle de Peter Andreas Hansen en 1843. Elle peut se généraliser à des ordres n non entiers, par l'intermédiaire, par exemple, d'intégrales de contour.

Des développements analogues; mais utilisant des séries trigonométriques, sont dus à Jacobi et Anger ; on a

et

 Développements asymptotiques 

Les fonctions de Bessel ont les formes asymptotiques suivantes (pour ). Près de 0 (et plus précisément pour ), on a :

où  est la constante d'Euler-Mascheroni (0,577…) et  est la fonction gamma. Pour x tendant vers l'infini (et plus précisément pour ), ces développements deviennent :

.
La forme asymptotique ci-dessus pour  est aussi un équivalent pour  (complexe non nul) fixé, quand  tend vers . Autrement dit :
.

Zéros
Comme  est une solution non nulle d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2, ses zéros (à l'exception éventuelle de ) sont simples, donc (cf. Relations de récurrence ci-dessus) différents de ceux de .

La conjecture de Bourget
Bessel avait démontré que pour n entier positif, Jn(x) admet une infinité de zéros. Cependant, les graphes de Jn semblent montrer que ces zéros sont distincts pour différentes valeurs de n, en dehors de J''n(0) = 0. Ce phénomène est appelé la conjecture de Bourget''' ; elle fut démontrée par Carl Siegel en 1929.

Transcendance
Siegel a également démontré en 1929 que lorsque  est rationnel et  est un nombre algébrique non nul, , les nombres  et  sont transcendants, de même que la valeur en  de la fonction de Bessel modifiée . On sait aussi que toutes les racines des dérivées d'ordre supérieur  pour  sont transcendantes, sauf les cas particuliers  et .

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes 

 Fonction de Bessel modifiée
 Fonction de Bessel sphérique
 Fonction de Hankel
 Synthèse FM

Liens externes 
 
 
 

Fonction remarquable
Fonction hypergéométrique
Fonction spéciale

it:Armoniche cilindriche#Funzioni di Bessel