Probabilité conditionnelle

En théorie des probabilités, une probabilité conditionnelle est la probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement a eu lieu. Par exemple, si une carte d'un jeu est tirée au hasard, on estime qu'il y a une chance sur quatre d'obtenir un cœur ; mais si on aperçoit un reflet rouge sur la table, il y a maintenant une chance sur deux d'obtenir un cœur. Cette seconde estimation correspond à la probabilité conditionnelle d'obtenir un cœur sachant que la carte est rouge.

Les probabilités conditionnelles font l'objet de paradoxes tels que le paradoxe des deux enfants, le paradoxe des deux enveloppes, le paradoxe des trois pièces de monnaie et le paradoxe des prisonniers.

Exemples intuitifs

Dés coloriés 
Considérons un dé équilibré à six faces, où les faces paires sont coloriées en blanc et les faces impaires sont coloriées en noir. Sur un lancer de dé, la probabilité d'obtenir un 6 est 1/6. Mais, loin du dé, on perçoit que la face est blanche. La probabilité d'obtenir 6 est de 1/3 car il faut prendre la nouvelle information « il est apparu un nombre pair » en compte.

Deux lancers de pile ou face 
On décide de lancer une pièce de monnaie deux fois de suite. La probabilité que le premier lancer donne pile est de 1/2. Supposons maintenant qu'une personne nous informe que l'un des lancers au moins a donné Pile. Parmi les quatre scénarios possibles, à savoir Face puis Face, Face puis Pile, Pile puis Face, Pile puis Pile, le scénario Face puis Face n'est plus à considérer. Le premier lancer est Pile dans deux des trois scénarios restants (Face puis Pile, Pile puis Face, Pile puis Pile). Ainsi, la probabilité que le premier lancer donne Pile, sachant qu'au moins l'un des deux lancers donne Pile est de 2/3. Le tableau résume la situation, les probabilités que le premier lancer donne pile (1/2 ou 2/3, respectivement) s'obtiennent en faisant la somme des deux dernières lignes.

Définition 
Considérons deux événements  et   avec  de probabilité non nulle (plus formellement, on se place dans un espace probabilisé  ; les événements  et  sont des éléments de la tribu ). La probabilité conditionnelle de  sachant que  s'est réalisé (ou « probabilité de  sachant B ») est le nombre réel noté  (ou parfois  ) défini par :

.

Point de vue fréquentiste 
La définition de la probabilité conditionnelle peut aussi être obtenue d'un point de vue fréquentiste. En effet, la probabilité d’un événement est définie (selon ce point de vue) comme la fréquence limite d’observation de cet évènement. On répète l’expérience aléatoire  fois, avec  un entier très grand. On observe que l’événement  s’est réalisé  fois. Ainsi, on a . On compte aussi, parmi les  tirages où  s’est réalisé exclusivement, le nombre de fois que l'événement A s’est réalisé. On note  l’entier obtenu. Par conséquent, on a . Aussi, . On remarque que .

Exemples 
Pour les exemples intuitifs précédents, la formule de la définition redonne bien la valeur obtenue :

Dés coloriés 
La probabilité d'avoir fait un 6 au lancer de dé sachant que le résultat est pair devient :
.

Deux lancers de pile ou face 
La probabilité d'avoir fait Pile au premier lancer sachant qu'il y a au moins un lancer avec Pile sur deux s'obtient par :

Classe de lycée 
Cet exemple correspond plus immédiatement à la définition ensembliste. Dans un univers d'une classe de lycée, soit B l'événement « un élève est une fille » et A « un élève pratique l'allemand ».

On interroge au hasard une fille de la classe (B). Quelle est la probabilité qu'elle pratique l'allemand (P(A|B)) ?

d'où
.

Propriétés 
Sous les hypothèses données dans la définition :

l'application  (aussi notée ) est une nouvelle probabilité sur . Elle s'appelle la loi conditionnelle sachant B.
A et B sont indépendants si et seulement si  ;
si l'événement A est aussi (comme B) de probabilité non nulle, alors  (ce résultat est connu sous le nom de théorème de Bayes).

Espérance conditionnelle 

Soit   un espace probabilisé, X une variable aléatoire réelle intégrable et B un événement de probabilité non nulle. On appelle espérance conditionnelle :
.
 est l'espérance de X sachant que B s'est réalisé.

Densité conditionnelle 
Soit , et soient  et  deux variables aléatoires définies sur cet espace. Si l'on suppose que leur loi jointe peut être définie par une densité bivariable , et si de plus un  vérifie , alors il existe une loi absolument continue dont la densité est donnée par l'expression
.

Cette fonction  est appelée : densité conditionnelle de  sachant . Intuitivement, cette expression peut être interprétée comme une formulation continue du théorème de Bayes.

Notes et références

Voir aussi 

 Inférence bayésienne
 Paradoxe probabiliste
 Problème de Monty Hall
 Table de mortalité
 Formule des probabilités totales
 Formule des probabilités composées