Faisceau (mathématiques)

En mathématiques, un faisceau est un outil permettant de suivre systématiquement des données définies localement et rattachées aux ouverts d'un espace topologique. Les données peuvent être restreintes à des ouverts plus petits, et les données correspondantes à un ouvert sont équivalentes à l'ensemble des données compatibles correspondantes aux ouverts plus petits couvrant l'ouvert d'origine. Par exemple, de telles données peuvent consister en des anneaux de fonctions réelles continues ou lisses définies sur chaque ouvert. 

En géométrie, aussi bien d'ailleurs en géométrie algébrique qu'en géométrie différentielle, la notion de faisceau est une généralisation de celle d'ensemble des sections d'un fibré vectoriel. Dans ce cadre, la base du fibré est une variété algébrique ou une variété différentielle.

Les faisceaux ont été introduits par Jean Leray en topologie algébrique lorsqu'il était en captivité durant la Seconde Guerre mondiale. Sous l'impulsion, notamment, d'Henri Cartan, de Jean-Pierre Serre et d'Alexandre Grothendieck (à qui on doit le terme préfaisceau), les faisceaux ont pris par la suite une importance considérable dans de nombreux domaines des mathématiques où l'on cherche à passer, pour un problème donné, d'une solution locale à une solution globale. Les obstructions à un tel passage s'étudient grâce à la cohomologie des faisceaux.

Préfaisceaux 

De façon équivalente, on peut définir un préfaisceau  comme un foncteur contravariant de la catégorie des ouverts de  (avec les inclusions comme morphismes) dans .

Les préfaisceaux les plus courants sont à valeurs dans des catégories concrètes (catégories des ensembles, groupes, anneaux, espaces vectoriels, algèbres, modules, espaces topologiques, groupes topologiques, etc.). Dans ce cas, pour tous ouverts , on note :

et un élément  s'appelle une section de  au-dessus de . On écrit  au lieu de .

Exemples 

 L'exemple fondamental de préfaisceau est celui où les morphismes de restriction sont les restrictions usuelles de fonctions. Notamment sur une variété différentielle (resp. une variété analytique) , pour tout ouvert , l'ensemble  des fonctions indéfiniment dérivables de  vers les complexes (resp. l'ensemble  des fonctions analytiques à valeurs complexes) est un anneau. Ces anneaux forment un préfaisceau d'anneaux sur  en considérant les restrictions usuelles des fonctions.
 On peut de même considérer l'ensemble  des distributions sur la variété différentielle  (resp. l'ensemble  des hyperfonctions sur la variété analytique réelle ) si cette variété est de dimension finie et paracompacte (par exemple s'il s'agit d'un ouvert non vide de ); cet ensemble est un groupe abélien. On obtient le préfaisceau des distributions (resp. des hyperfonctions) sur  en considérant les restrictions de ces distributions (resp. de ces hyperfonctions) à des ouverts de .
 Dans le plan complexe, une équation différentielle ordinaire, linéaire et à coefficients holomorphes, étant donnée, les espaces de solutions sur des ouverts évitant les points singuliers de l'équation forment un préfaisceau d'espaces vectoriels de dimension égale à l'ordre de l'équation.

Les exemples ci-dessus de préfaisceaux sont des faisceaux (voir infra).

Morphismes de préfaisceaux et de faisceaux 
Les préfaisceaux sur un ensemble  peuvent être considérés comme des objets d'une catégorie, dont les flèches sont définies comme suit.

Fibres et germes 
Soit  un préfaisceau sur  à valeurs dans une catégorie  qui admet des limites inductives. La fibre (EGA, 0.3.1.6) (terminologie anglaise : « stalk », tige) de  en un point  de  est par définition l'objet de  limite inductive
,
la limite étant prise sur tous les ouverts contenant , la relation d'ordre sur ces ouverts étant l'inclusion , et les morphismes de transition étant les morphismes de restriction .

Lorsque  est une catégorie concrète, l'image canonique d'une section  dans  est le germe de  au point , noté .

Remarque. Certains auteurs appellent germe de  en un point  ce qui est appelé ci-dessus la fibre de  en ce point.

Faisceaux

Définition d'un faisceau 

Reprenons l'exemple des fonctions  sur une variété différentielle X. La propriété de ces fonctions d'être indéfiniment différentiables est locale. Il est donc possible de « recoller » des fonctions  coïncidant sur les intersections de leur domaine de définition (y compris lorsque cette partie est vide) en une fonction  globale. Il en irait de même pour des fonctions continues ou plus généralement de classe . Il en va de même, bien que ce soit moins évident, pour des distributions sur une variété différentielle paracompacte de dimension finie, ou pour des fonctions analytiques ou des hyperfonctions sur une variété analytique réelle paracompacte de dimension finie. C'est cette propriété qu'on souhaite ici généraliser à partir de la notion de préfaisceau.

Faisceau d'ensembles

Définition

Remarque 

Comme la famille vide constitue un recouvrement de louvert vide, la condition ci-dessus entraîne que  est un singleton .

 Autres cas 

On définit de même, sur un espace topologique X, un faisceau de groupes (resp. de groupes abéliens, d'anneaux, etc.) comme étant un préfaisceau de base X à valeurs dans la catégorie des groupes (resp. des groupes abéliens, des anneaux, etc.) qui vérifie la condition ci-dessus.

 Faisceau à valeurs dans une catégorie 

 Définition générale 

Examinons maintenant le cas d'un faisceau sur X à valeurs, de manière générale, dans une catégorie  (EGA, 0.3.1) :

Voyons quelques exemples fondamentaux.

 Faisceau de modules 

Soit  un faisceau d'anneaux sur un espace topologique X. On appelle -module à gauche un faisceau d'ensembles  de base X muni de la structure suivante : pour tout ouvert U, on se donne sur  une structure de module à gauche sur l'anneau , de telle sorte que l'application de restriction  () soit un homomorphisme de modules compatible avec l'homomorphisme d'anneaux . Pour tout , par passage à la limite inductive sur les ouverts décroissants , la fibre  est un -module à gauche, et la donnée de ces fibres pour tout , avec la structure de -module à gauche qui vient d'être précisée, équivaut à celle du -Module à gauche .

 Faisceau de groupes topologiques 

Soit  la catégorie des groupes topologiques (avec pour morphismes les homomorphismes continus). Un faisceau sur X à valeurs dans  est un faisceau de groupes  tel que, pour tout ouvert U et tout recouvrement de U par des ouverts , la topologie du groupe  soit la moins fine rendant continues les restrictions . Un morphisme de faisceaux de groupes topologiques  est un morphisme de faisceaux de groupes tel que pour tout ouvert U,  est continu (EGA, 0.3.1.4).

On définirait de même un faisceau d'anneaux topologiques ou un faisceau de modules topologiques sur un faisceau d'anneaux topologiques.

 Généralisation, Topos 
Dans la définition ci-dessus, le faisceau  est un foncteur d'un type particulier de la catégorie des ouverts d'un espace topologique dans une catégorie . On peut envisager un cas plus général : soit  une « petite catégorie » ( une catégorie dont la classe des objets est un ensemble) admettant des produits fibrés, et  une catégorie. Un préfaisceau  sur  à valeurs dans  est, de manière générale, un foncteur contravariant de  vers . On peut munir  d'une structure appelée « topologie de Grothendieck ». Cela consiste à définir pour tout objet U de  des « familles couvrantes » de U, à savoir des familles de morphismes  qui ont des propriétés analogues au recouvrement d'un ouvert U d'un espace topologique X par une famille d'ouverts , les morphismes, dans ce cas, étant les inclusions. La catégorie , munie d'une topologie de Grothendieck, s'appelle un site. Un faisceau sur le site  à valeurs dans  se définit à partir de la notion de préfaiceau en raisonnant, mutatis mutandis, comme si  était un espace topologique habituel, une intersection de parties ouvertes étant remplacée par le produit fibré. On appelle topos toute catégorie équivalente à la catégorie des faisceaux d'ensembles sur un site. La notion de topos généralise celle d'espace topologique. Il existe toutefois nombre d'exemples qui n'ont pas de rapport avec la topologie : si G est un groupe, la catégorie des ensembles sur lesquels G opère est un topos ; le « topos ponctuel »,  la catégorie des faisceaux sur l’espace réduit à un point, n’est autre que la catégorie des ensembles.

Soit X un objet de . Le foncteur représentable  est, d'après ce qui précède, un préfaisceau, dit « représenté par X ». Le foncteur covariant canonique , de la catégorie  dans la catégorie des faisceaux d'ensembles sur , est pleinement fidèle, et permet donc d'identifier X avec le préfaisceau , ainsi que la catégorie  avec la catégorie des préfaisceaux sur . La « topologie canonique » sur  se définit comme étant la topologie (de Grothendieck) la plus fine ( celle qui a le plus de familles couvrantes) pour laquelle les foncteurs représentables  sont des faisceaux ; en choisissant sur  une topologie (de Grothendieck) moins fine que la topologie canonique, on peut donc identifier le site  avec son topos.

 Faisceau des sections d'un espace étalé 

Soit X un espace topologique. On appelle espace étalé de base X un couple (E, p) où E est un espace topologique et p est un homéomorphisme local de E dans X ( tout point de X appartient à un ouvert que p applique homéomorphiquement sur un ouvert). Pour tout sous-ensemble S de X, on appelle section de (E, p) au-dessus de S une application continue  telle que  pour tout . Soit, pour tout ouvert U,  l'ensemble des sections de (E, p) au-dessus de U. Alors  (muni des morphismes de restriction aux ouverts  des applications ) est un faisceau d'ensembles de base X, appelé faisceau des sections de l'espace étalé (E, p). On montre le résultat suivant :

On peut identifier le faisceau d'ensembles  et l'espace étalé (E, p), ce qui explique pourquoi de nombreux auteurs définissent un faisceau comme étant un espace topologique vérifiant les conditions idoines (c'est le point de vue dû à Michel Lazard ; celui présenté ci-dessus a été développé ultérieurement par Grothendieck).

 Faisceau associé à un préfaisceau 
Soit  un préfaisceau. On appelle faisceau associé au préfaisceau  un faisceau  muni d'un morphisme de préfaisceaux  possédant la propriété universelle suivante : pour tout morphisme  dans un faisceau, il existe un unique morphisme  tel que . Le faisceau associé, s'il existe, est unique. Dans le cas des préfaisceaux à valeurs dans une catégorie où la limite inductive existe (par exemple les catégories des ensembles, des groupes, des anneaux, des algèbres sur un anneau, des modules sur un anneau etc.), le faisceau associé existe. Le morphisme  induit un isomorphisme des fibres .

Le faisceau  se construit explicitement de la manière suivante dans le cas où le préfaisceau , défini sur l'espace topologique X, est à valeurs dans une catégorie concrète où la limite inductive existe : pour tout ouvert U de X, soit  l'ensemble des fonctions s de U dans la réunion disjointe  tel que pour tout  et il existe un voisinage ouvert V de x, , et  tels que  pour tout . Alors  est le faisceau associé à . Pour des raisons évidentes, il est également appelé le faisceau des sections de . Si  est un faisceau, le morphisme  est un isomorphisme.

Faisceau induit

Section au-dessus d'un ensemble quelconque 

Soit X un espace topologique métrisable, S une partie de X, et  un faisceau de base X. L'ensemble  des sections de  au-dessus de S se définit par

 

 une section de  au-dessus de S est un germe de section définie dans un voisinage ouvert de S.

Faisceau induit sur un ensemble quelconque 

On définit comme suit le faisceau induit sur S, noté : pour tout sous-ensemble V de S, relativement ouvert par rapport à S, l'ensemble  de ses sections au-dessus de V coïncide avec .

Exemples 

 Soit A un ensemble non vide, X un espace topologique, et  le préfaisceau sur X défini par  pour tout ouvert U de X, les morphismes de restriction  étant tous égaux à l'identité . Pour tout , et ce préfaisceau est donc appelé le préfaisceau constant de fibre A sur X. On a , et une section  est un point de A en tant que rattaché à l'ouvert U, autrement dit c'est une application constante de U dans A, ou encore une application  de la forme  qui, en tant qu'application , est constante. Notons que si  et  sont deux ouverts disjoints, et si  et  sont deux sections définies respectivement sur  et , il n'existe pas en général de fonction constante  définie sur  qui coïncide avec  sur  et avec  sur , sauf si A est un singleton ; en écartant ce cas, le préfaisceau considéré n'est donc pas un faisceau dès qu'il existe dans X deux ouverts disjoints, c'est-à-dire lorsque X n'est pas un espace topologique irréductible. L'espace étalé est  lorsque A est muni de la topologie discrète. Cet espace s'identifie au faisceau  associé au préfaisceau . Pour tout ouvert U de X,  est l'ensemble des applications continues , autrement dit l'ensemble des applications localement constantes de U dans A (constantes lorsque U est connexe). Ce faisceau est appelé faisceau simple de base X et de fibre A (certains auteurs l'appellent faisceau constant de base X et de fibre A, terminologie qui peut être trompeuse puisque ses sections ne sont pas en général des fonctions constantes ; par ailleurs on définit le faisceau localement constant, mais il a une autre signification).
 De la même manière, on peut définir le préfaisceau  des fonctions réelles bornées sur un espace topologique X, mais ce préfaisceau n'est pas, en général, un faisceau, car la bornitude n'est pas une propriété locale. Une section  est une fonction bornée sur U, et le faisceau  des sections de  est donc le faisceau des fonctions localement bornées sur X. Celui-ci coïncide avec  si, et seulement si de tout recouvrement de X par une famille d'ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini, c'est-à-dire si X est un espace quasi-compact.
 Les fonctions dérivables forment un faisceau, de même que les fonctions  ou holomorphes, que les distributions, les hyperfonctions, etc. C'est dû au fait que, cette fois, la définition de ces objets est locale et que par « recollement » on peut passer du local au global.
 Soit p un point fixé d'un espace topologique séparé X et E un ensemble. On peut définir un préfaisceau  qui à un ouvert U associe E si U contient p et un singleton  sinon. L'application de restriction de U à V est l'identité ou l'unique application de E dans le singleton  suivant l'appartenance de p à U et V. On vérifie que c'est un faisceau, dit « gratte-ciel ». La fibre en  de ce faisceau est le singleton  si x est différent de p et E si x=p.
 Dans une catégorie , muni d'une topologie de Grothendieck moins fine que la topologie canonique, soit  un objet de cette catégorie: alors  est un faisceau sur le site , comme on l'a dit plus haut.

Image directe et image inverse 
Soit  une application continue entre deux espaces topologiques. Soit  un préfaisceau sur . Son image directe par  est le préfaisceau  qui à tout ouvert  de  associe , les applications de restrictions sont évidentes. Si  est un faisceau, il en est de même pour .

La construction de l'image inverse  est plus délicate. Soit  un préfaisceau sur , à valeurs dans une catégorie où la limite inductive existe. À tout ouvert  de , on associe la limite inductive des  lorsque W parcourt l'ensemble des ouverts de Y contenant . Lorsque  est un faisceau, ce procédé ne donne pas un faisceau en général et  est alors par définition le faisceau associé à ce préfaisceau.

Les constructions d'image directe et d'image inverse sont adjointes dans le sens suivant : Soient ,  des faisceaux sur ,  respectivement. Alors on a une bijection canonique entre  et .

Morphismes injectifs et morphismes surjectifs 

Un morphisme de faisceaux  sur  est injectif si  est injectif pour tout ouvert  de . Il est surjectif si les morphismes de fibres  sont surjectifs. Les morphismes injectifs sont exactement les monomorphismes dans la catégorie des faisceaux sur , et les morphismes surjectifs sont exactement les épimorphismes dans cette catégorie.

Noyau, image, quotient 

Soit  un morphisme de faisceaux de groupes abéliens (resp. de -Modules à gauche, où  est un faisceau d'anneaux de base X) sur un espace topologique .
 Le noyau  de  est le faisceau défini par .
 L'image  de  est le faisceau associé au préfaisceau .
 Le conoyau  de  est le faisceau associé au préfaisceau 
La catégorie des faisceaux de groupes abéliens (resp. des -Modules à gauche) sur X est une catégorie abélienne, et on a la suite exacte

 .

 En particulier, si  est l'inclusion d'un sous-faisceau , alors son conoyau est le faisceau quotient de  par . On note ce quotient par . En général,  est différent de  car le « foncteur section »  n'est pas exact (il est exact à gauche mais non à droite en général). En revanche, on a pour les fibres l'égalité  car le « foncteur fibre »

 

est exact, d'où l'exactitude de la suite

 .

Faisceau des germes d'homomorphismes 

Soit  un faisceau d'anneaux sur un espace topologiques X et ,  deux -Modules à gauche sur X. Le préfaisceau

 

est un faisceau de groupes abéliens noté , et appelé faisceau des germes d'homomorphismes de  dans . Pour tout , on a

 

Soit . Le germe  est représenté par, disons, , où U est un voisinage ouvert de x.
Puisque ,  induit
un morphisme de fibres . Par conséquent, il existe une application canonique

 

qui n'est ni injective ni surjective en général (elle est bijective si  est un « faisceau cohérent »).

Produit tensoriel de faisceaux 

Soit  un faisceau d'anneaux sur un espace topologiques X,  un -Module à droite et  un -Module à gauche. On appelle produit tensoriel de  et  le faisceau de groupes abéliens noté  engendré par le préfaisceau . La fibre de ce faisceau au point  est le groupe abélien

 .

Typologie des faisceaux 

Nous présentons ci-dessous trois types de faisceaux : les faisceaux flasques et les faisceaux mous, introduits par Godement et la notion (introduite antérieurement par Henri Cartan) de faisceau fin.

Faisceaux flasques

Définition et propriétés générales 

 Soit  un faisceau sur un espace topologique X, à valeurs dans une catégorie concrète. Ce faisceau est flasque si pour tout ouvert U de X, le morphisme de restriction  est surjectif.
 Le fait pour un faisceau d'être flasque est une propriété locale. Par conséquent,  est flasque si, et seulement si pour tous ouverts  tels que , l'application  est surjective.
 Pour tout ouvert U, le « foncteur section »  est exact sur la catégorie des faisceaux flasques de groupes abéliens (ou de -Modules à gauche sur un faisceau d'anneaux ).

Exemples 
 Les fonctions réelles quelconques sur un espace topologique forment un faisceau flasque.
 Comme on le voit facilement, tout faisceau simple sur un espace topologique irréductible est flasque (« théorème de Grothendieck »).
 Il en va de même du faisceau des fonctions réelles bornées sur un espace topologique quasi-compact.
 Soit X une variété analytique réelle paracompacte de dimension n. Le faisceau des germes d'hyperfonctions sur X est flasque.

Faisceaux mous

Définition et propriétés générales 
 Soit X un espace topologique paracompact et  un faisceau sur X, à valeurs dans une catégorie concrète. Ce faisceau est mou si toute section au-dessus d'un fermé se prolonge à X tout entier.
 Pour un faisceau, le fait d'être mou est une propriété locale: si tout point de X possède un voisinage ouvert U tel que toute section de  au-dessus d'un sous-ensemble fermé de X, contenu dans U, se prolonge à U, alors  est un faisceau mou.
 Soit X un espace topologique métrisable (donc paracompact) ; pour tout sous-ensemble localement fermé S de X ( tout sous-ensemble S de X possédant un voisinage ouvert U dans lequel il est relativement fermé), le « foncteur section »  est exact sur la catégorie des faisceaux mous de groupes abéliens (ou de -Modules à gauche sur un faisceau d'anneaux ).
 Soit X un espace topologique paracompact et  un faisceau sur X, à valeurs dans une catégorie concrète. Si  est flasque, il est mou.

Exemples 

Soit X une variété différentielle paracompacte de dimension n. Les faisceaux de groupes abéliens de base X suivants sont mous: le faisceau  des germes de fonctions continues sur X, le faisceau  des germes de fonctions indéfiniment dérivables sur X, le faisceau  des germes de distributions sur X. En revanche, ces faisceaux ne sont pas flasques.

Faisceaux fins

Définition et propriétés générales 

 Soit X un espace topologique paracompact et  un faisceau de groupes abéliens de base X. Ce faisceau est dit fin si le faisceau d'anneaux  est mou.
 Le faisceau  est fin si, et seulement si étant donné deux sous-ensembles fermés disjoints A et B de X, il existe un homomorphisme  induisant l'identité au voisinage de A et 0 au voisinage de B.
 Si  et  sont des faisceaux de groupes abéliens et si  est fin, alors le faisceau de groupes abéliens  est fin (cette propriété explique l'importance des faisceaux fins).

Exemples 

 Le faisceau  des germes d'applications de X dans  est fin, et il en va donc de même de tout -Module.
 Si X est une variété différentielle paracompacte de dimension finie, les faisceaux d'anneaux commutatifs suivants sont fins: le faisceau  des germes de fonctions réelles différentiables sur X, ainsi que les faisceaux  et  (voir supra). Il en va donc de même des faisceaux de Modules sur ces faisceaux d'anneaux, par exemple du faisceau  des germes de distributions ou des formes différentielles extérieures sur X.
 En revanche, le faisceau simple de fibre  et le faisceau  des germes de fonctions holomorphes sur une variété analytique paracompacte de dimension finie ne sont pas fins.

Notes et références

Notes

Références

Article connexe 
Préfaisceau (théorie des catégories)

Faisceau
Géométrie algébrique