Fonction holomorphe

En analyse complexe, une fonction holomorphe est une fonction à valeurs complexes, définie et dérivable en tout point d'un sous-ensemble ouvert du plan complexe ℂ.

Cette condition est beaucoup plus forte que la dérivabilité réelle. Elle entraîne (via la théorie de Cauchy) que la fonction est analytique : elle est infiniment dérivable et est égale, au voisinage de tout point de l'ouvert, à la somme de sa série de Taylor.
Un fait remarquable en découle : les notions de fonction analytique complexe et de fonction holomorphe coïncident. Pour cette raison, les fonctions holomorphes constituent le pilier central de l'analyse complexe.

Définition 

On remarquera que certains auteurs exigent de la fonction  ainsi obtenue d'être continue. C'est en fait seulement un moyen de simplifier des démonstrations ; en effet, la définition présentée ici implique de toute façon sa continuité (en vertu du théorème de Morera).

Exemples

Fonctions rationnelles 
Toute fonction polynomiale à coefficients complexes est entière.

Toute fonction rationnelle à coefficients complexes est holomorphe sur le complémentaire de l'ensemble de ses pôles (c'est-à-dire les zéros de son dénominateur, quand elle est écrite sous forme irréductible). Par exemple, la fonction inverse  est holomorphe sur ℂ*.

Fonctions définies par une série entière 
Soit  une série entière à coefficients complexes de rayon de convergence non nul (fini ou non) ; on note D son disque de convergence.La fonction  de D dans ℂ définie par   est holomorphe, et pour tout , .En fait, cette fonction est indéfiniment dérivable sur D.

La fonction exponentielle est entière. Il en est de même des fonctions trigonométriques (qui peuvent être définies à partir de la fonction exponentielle au moyen des formules d'Euler) et des fonctions hyperboliques.

Logarithme complexe 

On appelle détermination du logarithme complexe sur un ouvert  de ℂ* toute fonction holomorphe  de  dans ℂ telle que pour tout ,  ou ce qui est équivalent (dans le cas d'un ouvert connexe), toute fonction  holomorphe sur U de dérivée  et pour laquelle il existe  tel que .

Sur tout ouvert  de ℂ* où existe une détermination  du logarithme, on peut définir, pour tout entier relatif , la fonction . Chacune de ces fonctions est une détermination du logarithme sur , et si  est connexe, ce sont les seules.

Il n'existe pas de détermination du logarithme sur l'ouvert ℂ*.

Il existe une détermination du logarithme sur n'importe quel ouvert du type ℂ*\D où D est une demi-droite de ℂ d'extrémité 0 (on parle de « coupure »), en particulier sur l'ensemble des nombres complexes privé de la demi-droite des réels négatifs ou nuls. Parmi toutes les déterminations du logarithme sur cet ouvert, il en existe une et une seule qui prolonge le logarithme népérien réel.

Plus généralement, il existe une détermination du logarithme sur tout ouvert simplement connexe ne contenant pas 0.

Fonctions puissance et racine n-ième 

Sur tout ouvert U de ℂ* où existe une détermination  du logarithme, on peut définir, pour tout nombre complexe , une détermination holomorphe sur U de la puissance d'exposant  en posant, pour tout , .

En particulier, pour tout entier , la fonction  vérifie l'identité ∀. On dit que cette fonction est une détermination sur U de la racine -ième. On peut noter  au lieu de  (si des réels strictement positifs appartiennent à U, il se peut qu'il y ait alors conflit entre cette notation et sa signification habituelle, servant à désigner la racine -ième positive).

Les fonctions trigonométriques réciproques ont de la même manière des coupures et sont holomorphes partout sauf aux coupures.

Dérivée complexe 
Les règles de calcul des dérivées au sens complexe sont identiques à celles des dérivées des fonctions d'une variable réelle : linéarité, dérivée d'un produit, d'un quotient, d'une fonction composée. Il en résulte que les sommes, produits ou composées de fonctions holomorphes sont holomorphes, et le quotient de deux fonctions holomorphes est holomorphe sur tout ouvert où le dénominateur ne s'annule pas.

Une fonction holomorphe en un point est a fortiori continue en ce point.

Près d'un point  où la dérivée d'une fonction holomorphe  est non nulle,  est une transformation conforme, c'est-à-dire qu'elle préserve les angles (orientés) et les formes de petites figures (mais pas les longueurs, en général).

En effet, sa différentielle au point  est l'application ℂ-linéaire , où  : la différentielle s'identifie donc à une similitude directe du plan, puisque A est non nul.

Propriétés

Équations de Cauchy-Riemann 

Si l'on identifie ℂ à ℝ, alors les fonctions holomorphes sur un ouvert de ℂ coïncident avec les fonctions de deux variables réelles qui sont ℝ-différentiables sur cet ouvert et y vérifient les équations de Cauchy-Riemann, un système de deux équations aux dérivées partielles :

On considère une fonction  d'une variable complexe, où  est un ouvert du plan complexe ℂ. On utilise ici les notations suivantes :
 la variable complexe  est notée , où x, y sont réels ;
 les parties réelle et imaginaire de  sont notées respectivement  et , c'est-à-dire : , où  sont deux fonctions réelles de deux variables réelles.

Remarque, lorsque  est holomorphe en  :

, où l'opérateur différentiel  est, par définition, égal à .

Liens entre fonctions holomorphes et fonctions harmoniques 
On montre plus loin que les fonctions holomorphes sont de classe  (voir formule intégrale de Cauchy).

Une conséquence des équations de Cauchy-Riemann est que les laplaciens de la partie réelle et de la partie imaginaire d'une fonction holomorphe  sont nuls :

Si les parties réelle et imaginaire de  sont notées respectivement  et , c'est-à-dire si : , où  sont deux fonctions réelles de deux variables réelles, on a :
 

On dit que  et  sont des fonctions harmoniques.

On a également :

 et  sont dites harmoniques conjuguées.

On a une réciproque :
toute fonction harmonique réelle de la variable complexe est localement la partie réelle d'une fonction holomorphe.

Théorème intégral de Cauchy 

Les équations de Cauchy-Riemann permettent de démontrer le lemme de Goursat, qui est essentiellement le théorème intégral de Cauchy ci-dessous dans le cas particulier d'un lacet polygonal, et d'en déduire :

En particulier :
 si  est un lacet simple alors, d'après le théorème de Jordan-Schoenflies, il est la frontière d'un compact K connexe et simplement connexe, et le théorème s'applique alors (si  est rectifiable) à toute fonction holomorphe sur un ouvert contenant K ;
 si  est holomorphe sur un ouvert  et si  et  sont deux chemins rectifiables strictement homotopes dans  alors les intégrales de  sur  et  sont égales.

On peut éviter le recours au lemme de Goursat, mais au prix d'une hypothèse supplémentaire :

Ce théorème est généralisé par le théorème des résidus aux fonctions holomorphes possédant des singularités isolées.

Primitive d'une fonction holomorphe 
Du théorème ci-dessus on déduit :

Il est important que l'ouvert soit simplement connexe, ainsi l'intégrale de  entre deux points ne dépend pas du chemin entre ces deux points.

Par exemple, la fonction  est holomorphe sur ℂ*, qui est connexe mais pas simplement connexe. L'intégrale de  sur le cercle de centre 0 et de rayon 1 (parcouru dans le sens trigonométrique), vaut , mais vaut 0 sur un chemin fermé joignant 1 à lui-même en n'entourant pas 0. On peut en revanche définir une primitive de  sur n'importe quel ouvert simplement connexe de ℂ* (cf déterminations du logarithme complexe dans la section « Exemples » ci-dessus).

Formule intégrale de Cauchy et applications

Formule intégrale 

Soit  une fonction holomorphe sur un ouvert  de ℂ, alors si C est un cercle orienté positivement, centré en z et inclus (ainsi que son intérieur) dans U.

Représentation en série entière 

Par conséquent,  est indéfiniment dérivable sur , avec

  
Remarques :
 La série de Taylor en  converge sur tout disque ouvert de centre  et inclus dans  mais peut bien sûr converger sur un disque plus grand ; par exemple, la série de Taylor de la détermination principale du logarithme converge sur tout disque ne contenant pas 0, même s'il contient des réels négatifs. C'est la base du principe du prolongement analytique.
 Il y a équivalence entre holomorphie sur un ouvert et analyticité, l'analyticité impliquant clairement l'holomorphie.
 Toute fonction holomorphe f est une fonction analytique, donc  le principe du maximum, le principe des zéros isolés, l'inégalité de Cauchy sont vérifiés par une fonction holomorphe.

Propriété de la moyenne 
De la formule intégrale de Cauchy, on déduit notamment que toute fonction holomorphe sur un ouvert contenant un disque fermé est complètement déterminée à l'intérieur de ce disque par ses valeurs sur la frontière de celui-ci : dans la formule ci-dessus pour , le changement de paramètre  donne :

 L'intérêt de cette formule est dans le calcul numérique. Le calcul d'une intégrale est en effet plus stable que celui de dérivées.
 Ce résultat reste clairement valable pour la partie réelle et pour la partie imaginaire de , qui sont des fonctions harmoniques.

Principe du maximum 
Soit  une fonction holomorphe non constante sur un ouvert connexe . Alors  n'admet pas de maximum local sur . Ainsi, si  est borné et que  est aussi définie sur l’adhérence de , le maximum de la fonction  sur  est atteint sur la frontière de . En d'autres termes, en tout point  de  :

Suites convergentes de fonctions holomorphes 
Si une suite () de fonctions holomorphes converge vers une fonction , uniformément sur tout compact de l'ouvert  de ℂ, alors  est holomorphe et pour tout , la suite () des dérivées converge vers , uniformément sur tout compact de .

Développement de Laurent autour d'un point singulier 

Remarques : 
 La notation  désigne la somme des deux séries convergentes  et .
Dans le cas d'une fonction rationnelle qu'on cherche à développer en zéro, les coefficients  se calculent via un classique développement en série en zéro des éléments simples.
En pratique, le calcul des coefficients (en n'importe quel point) peut également s'effectuer grâce au théorème des résidus, souvent plus compliqué que de développer en série des fonctions rationnelles, mais qui reste en général plus simple que l'utilisation de la formule directe.
 Le résidu de f en la singularité  est le coefficient .

Fonctions méromorphes 

Le calcul des  dans le développement de Laurent peut donner lieu à trois possibilités :
  : alors  peut se prolonger en une fonction analytique sur tous les points de  contenus dans le disque , et ces points sont dits réguliers. Exemple d'une fonction présentant de tels coefficients :  en 0, 0 est un point régulier de .
  tel que  et  on ait  : alors la fonction  peut se prolonger en une fonction analytique sur tous les points de  contenus dans le disque . Ce cas généralise en fait le premier. Ces points sont des pôles d'ordre au plus  de , il peut en exister qui sont réguliers (ordre 0). On dit que f est une fonction méromorphe sur U si tous les points de A sont des pôles. Exemples de fonctions présentant de tels coefficients :  en 0 (0 est un pôle d'ordre k de ), ou plus généralement les fonctions rationnelles en leurs pôles.
 Dans les autres cas, il existe parmi les points de  contenus dans le disque  au moins un point sur lequel il n'est pas possible de tenter un des prolongements ci-dessus. Un tel point de A est appelé « point singulier essentiel » de . Exemple :  en 0, 0 est un point singulier essentiel de .

Anti-holomorphie 
Une fonction f(z) est dite anti-holomorphe sur un ouvert D lorsque f (  ) est holomorphe sur l'ouvert conjugué . Elle est donc analytique en .

Une fonction à la fois holomorphe et anti-holomorphe sur D est localement constante sur D, donc constante sur tout connexe de D.

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes 
 Théorème de Morera
 Lemme de Borel-Carathéodory

Lien externe 
graphes-fonctions-holomorphes - Balades mathématiques parmi les fonctions holomorphes, avec images à l'appui.

Analyse complexe
Holomorphe