Mnohoúhelník

Mnohoúhelník (také polygon) je část roviny vymezená úsečkami, které spojují určitý počet bodů (nejméně tři), z nichž žádné tři sousední neleží na jedné přímce. Další možná definice je tato: mnohoúhelník je část roviny omezená uzavřenou lomenou čárou takovou, že žádné tři následující koncové body jejích úseček neleží v jedné přímce.

Základní pojmy 
Body, které určují mnohoúhelník, se nazývají vrcholy mnohoúhelníku. Úsečky, které spojují sousední vrcholy, se nazývají strany mnohoúhelníku. Úsečky, které spojují nesousední vrcholy, se nazývají úhlopříčky. Úhly, které svírají sousední strany, se nazývají vnitřní úhly mnohoúhelníka. Počet vrcholů, stran a vnitřních úhlů je v jednom mnohoúhelníku stejný a tento počet určuje název mnohoúhelníku: trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník… (obecně -úhelník).

Znázornění a zápis 
Mnohoúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran, označuje se výčtem vrcholů v jejich přesném pořadí. U speciálních mnohoúhelníků (trojúhelník, čtverec, obdélník, …) se v zápise před výčet vrcholů umisťuje příslušný symbol (Δ …). Vrcholy, strany a úhly mnohoúhelníka se zapisují stejným způsobem jako body, úsečky a úhly.

Druhy mnohoúhelníků 
Kromě mnohoúhelníků lišících se počtem vrcholů (viz Základní pojmy) se mnohoúhelníky dělí na:
 pravidelné (všechny strany i vnitřní úhly jsou shodné) a nepravidelné,
 konvexní (všechny vnitřní úhly jsou menší než 180°) a nekonvexní (alespoň jeden vnitřní úhel je větší než 180°),
 pravoúhelníky (všechny vnitřní úhly jsou pravé, případně 270°) a nepravoúhelníky (aspoň jeden vnitřní úhel se nerovná pravému úhlu).
 jednoduché a degenerované (alespoň 2 strany se protínají)

Vlastnosti 
 Obvod mnohoúhelníka  se vypočte jako součet délek všech jeho stran:
 , kde  jsou jednotlivé strany mnohoúhelníka.
 Obsah obecného mnohoúhelníka  se vypočte pomocí rozložení mnohoúhelníka na vhodné vzájemně se nepřekrývající trojúhelníky, obdélníky nebo čtverce, jejichž obsahy  se vypočítají podle známých vzorců a následně sečtou:
 
 Obsah mnohoúhelníka, jehož strany se nekříží, se dá spočítat Gaussovou metodou pro výpočet plochy či prostřednictvím L'Huillierových vzorců
 , kde  jsou souřadnice vrcholů mnohoúhelníka,  a  splývají s  a 
 Součet vnitřních úhlů -úhelníku je roven (výsledek v radiánech nebo stupních):
 
 nebo
 
 Počet úhlopříček obecného -úhelníku určuje vztah:
 
 Jestli existuje taková kružnice, že na ní leží všechny vrcholy daného mnohoúhelníku, pak je mnohoúhelníku opsaná. Mnohoúhelník, kterému lze opsat kružnici se nazývá tětivový (jeho strany jsou tětivami opsané kružnice).
 Každý n-úhelník lze vždy rozdělit na () trojúhelníků.

Vlastnosti pravidelného mnohoúhelníku 

 Velikost vnitřního úhlu pravidelného -úhelníku má hodnotu (v radiánech)
 
 Velikost středového, případně vnějšího úhlu je rovna
 
 Pravidelnému mnohoúhelníku lze opsat i vepsat kružnici. Středy obou kružnic leží ve stejném bodě, který je totožný s těžištěm mnohoúhelníku.
 Označí-li se délka strany pravidelného -úhelníku jako  a poloměr kružnice opsané jako , pak poloměr  kružnice vepsané lze určit ze vztahu
 
 Obsah pravidelného -úhelníku lze určit jako
 
 Pravidelný -úhelník má  os souměrnosti a pro sudé  i střed souměrnosti.

Tabulka mnohoúhelníků 
Tabulka obsahuje seznam mnohoúhelníků s názvy v češtině a v cizích slovech.

Reference

Literatura 
 Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, , str. 98
 Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, , str. 31-33
 Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, , str. 14-16

Související články 
 Geometrický útvar
 Planimetrie
 Mnohostěn

Externí odkazy 
 
 

Obrazce