Comatrice

En algèbre linéaire, la comatrice d'une matrice carrée  est une matrice carrée de même taille, dont les coefficients, appelés les cofacteurs de , interviennent dans le développement du déterminant de  suivant une ligne ou une colonne. Si  est une matrice inversible, sa comatrice intervient également dans une expression de son inverse.

Dans cette page,  désigne une matrice carrée d'ordre  à coefficients dans un anneau commutatif .

Définitions 
Le cofacteur d'indice  de  est :
, où
 est la matrice carrée de taille  déduite de  en remplaçant la -ème colonne par une colonne constituée uniquement de zéros, sauf un  sur la -ème ligne ;
 est la sous-matrice carrée de taille  déduite de  en supprimant la -ème ligne et la -ème colonne (son déterminant fait donc partie des mineurs de ).

La comatrice de  est la matrice de ses cofacteurs.

Formules de Laplace 

On peut calculer le déterminant de  en fonction des coefficients d'une seule colonne et des cofacteurs correspondants. Cette formule, dite formule de Laplace, permet ainsi de ramener le calcul d'un déterminant d'ordre  à celui de  déterminants d'ordre .

Formules de développement d'un déterminant d'ordre  :
par rapport à la colonne  :
 ;
par rapport à la ligne  :
.

Généralisation 
La formule suivante se déduit des formules de Laplace et les inclut :
,
où  désigne la matrice identité de même taille  que .

La matrice transposée de la comatrice est appelée matrice complémentaire de . Notamment si  est inversible dans , alors  est inversible dans  et son inverse est un multiple de la matrice complémentaire, ce qui veut dire qu'on a obtenu une formule pour l'inverse, ne nécessitant « que » des calculs de déterminants :
.

Cette formule n'a guère qu'un intérêt théorique car en pratique, elle est trop lourde pour calculer explicitement  dès que  et la méthode plus élémentaire à base d'opérations élémentaires sur les lignes (inversion par pivot de Gauss) est plus efficace, aussi bien pour l'humain que pour la machine.

Propriétés de la comatrice 
Compatibilité avec la transposition : .
Compatibilité avec le produit :  et pour toutes matrices carrées  et  d'ordre , .
Rang (si  est un corps commutatif) :
si  est de rang  (  inversible),  aussi (jointe à la précédente, cette propriété assure que l'application « comatrice » se restreint en un automorphisme du groupe linéaire ) ;
si  est de rang , avec ,  est de rang 1 ;
si  est de rang inférieur ou égal à , .
Déterminant : si , .
Comatrice de la comatrice : si , .
Si  est le  polynôme caractéristique de  et si  est le polynôme défini par , alors : .

Exemples

Matrices de taille (1,1) 
La comatrice de toute matrice de taille (1,1) est la matrice identité .

Matrices de taille (2,2) 
.

Matrices de taille (3,3) 
.

On rappelle que  (voir déterminant).

Variations de la fonction déterminant 
On suppose ici que  est le corps des réels, et l'on s'intéresse à l'application déterminant, vue comme fonction des coefficients de la matrice :
.
La formule de Leibniz montre que c'est une fonction polynomiale (homogène) donc indéfiniment différentiable.

On peut retrouver et préciser cette régularité grâce aux formules de Laplace  : en un point  quelconque de M(ℝ), la fonction  est affine par rapport à la variable d'indice , et sa dérivée partielle est le cofacteur de  de même indice :

On en déduit, toujours au point , le gradient de  (si l'on munit M(ℝ) de son produit scalaire canonique) : 

ou encore, sa différentielle donc son développement limité à l'ordre 1 :

Notamment pour le cas où  est la matrice identité :

Comatrice et produit vectoriel 
Si  est une matrice réelle d'ordre 3, elle agit sur les vecteurs de l'espace euclidien orienté ℝ. La comatrice de  décrit alors l'interaction de  avec le produit vectoriel :
.

Notes et références 

Déterminant
Matrice