Équations de Maxwell

Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent, avec l'expression de la force électromagnétique de Hendrik Lorentz, les postulats de base de l'électromagnétisme.

Ces équations traduisent sous forme locale différents théorèmes (Gauss, Ampère, Faraday) qui régissaient l'électromagnétisme avant que James Clerk Maxwell ne les réunisse sous forme d'équations intégrales. Elles donnent ainsi un cadre mathématique précis au concept fondamental de champ introduit en physique par Michael Faraday dans les années 1830.

Ces équations montrent notamment qu'en régime stationnaire, les champs électrique et magnétique sont indépendants l'un de l'autre, alors qu'ils ne le sont pas en régime variable. Dans le cas le plus général, il faut donc parler du champ électromagnétique, la dichotomie électrique-magnétique étant une vue de l'esprit. Elles mettent également en évidence les équations d'ondes qui gèrent la propagation des ondes électromagnétiques.

Dans leur forme moderne, le champ électromagnétique est représenté par un objet mathématique unique, le tenseur électromagnétique dont certaines composantes s'identifient à celles du champ électrique et d'autres à celles du champ magnétique.

Principes généraux 
Dans leur forme traditionnelle, les équations de Maxwell sont un ensemble de quatre équations aux dérivées partielles du premier ordre et couplées :
 l'équation de Maxwell-Gauss, reliée au théorème de Gauss en électrostatique, décrit comment un champ électrique est engendré par des charges électriques : le champ électrique est orienté des charges positives vers les charges négatives. Plus précisément, cette loi relie le flux électrique à travers n'importe quelle surface de Gauss fermée avec la charge électrique contenue dans le volume délimité par cette surface ;
 l'équation de Maxwell-Thomson, reliée au théorème de Gauss en magnétostatique, énonce qu'il n'existe aucune « charge magnétique » (ou monopôle magnétique) analogue à une charge électrique. Au contraire, le champ magnétique est engendré par une configuration nommée dipôle, qui n'a pas de charge magnétique mais regroupe une charge positive et une charge négative reliées entre elles et inséparables. À titre d'exemple, cela permet de montrer que le flux magnétique total à travers n'importe quelle surface fermée est nul, ou que le champ magnétique est un champ solénoïdal ;
 l'équation de Maxwell-Faraday, reliée à la loi d'induction de Faraday, décrit comment la variation d'un champ magnétique peut créer (induire) un champ électrique. Ce courant induit est utilisé dans de nombreux générateurs électriques : un aimant en rotation crée un champ magnétique en mouvement, qui engendre un champ électrique dans un fil conducteur à proximité ;
 l'équation de Maxwell-Ampère, reliée au théorème d'Ampère en régime variable, énonce que les champs magnétiques peuvent être engendrés de deux manières : par les courants électriques (c'est le théorème d'Ampère) et par la variation d'un champ électrique (c'est l'apport de Maxwell sur cette loi).

Cette « correction » de Maxwell du théorème d'Ampère est particulièrement importante : elle signifie que la variation d'un champ magnétique crée un champ électrique, et que la variation d'un champ électrique crée un champ magnétique. Par conséquent, ces équations permettent la circulation d'ondes électromagnétiques autoentretenues, ou « rayonnement électromagnétique ».

Les équations de Maxwell font intervenir les grandeurs suivantes :
le champ électrique, noté  ;
le champ (d'induction) magnétique, noté  ;
la densité (volumique) de charge électrique, notée  ;
la densité (surfacique) de courant électrique, notée  ;
deux constantes dimensionnées dont l'introduction est nécessaire pour assurer l'homogénéité des équations, à savoir :
la permittivité (diélectrique) du vide, notée  ;
la perméabilité (magnétique) du vide, notée . 

La vitesse de propagation calculée pour les ondes électromagnétiques, qui pourrait être prédite par des expériences sur les charges et les courants, est exactement la vitesse de la lumière. En effet, la lumière est une forme de rayonnement électromagnétique (tout comme les rayons X, les ondes radio, etc.). Maxwell avait compris la relation entre le rayonnement électromagnétique et la lumière en 1864, unifiant ainsi deux domaines jusqu'ici disjoints : celui de l'électromagnétisme et celui de l'optique.

Aspects historiques

L'apport de Maxwell 
Vers 1865, Maxwell a réalisé une synthèse harmonieuse des diverses lois expérimentales découvertes par ses prédécesseurs (lois de l'électrostatique, du magnétisme, de l'induction…). Mais cette synthèse n'a été possible que parce que Maxwell a su dépasser les travaux de ses devanciers, en introduisant dans une équation un « chaînon manquant », appelé le courant de déplacement, dont la présence assure la cohérence de l'édifice unifié.

Maxwell a d'abord publié en 1865 sa théorie sous la forme de vingt équations à vingt inconnues, écrites à l'aide de quaternions. En 1873, dans l'ouvrage en deux volumes , Maxwell a déjà réécrit sa théorie sous la forme de huit équations. Ce n'est que plus tard, en 1884, qu'Oliver Heaviside réécrivit ces équations sous la forme des quatre équations vectorielles et scalaires aux dérivées partielles que l'on connaît maintenant.

Mathématiques modernes 
Aujourd'hui, les quatre équations (vectorielles) de Maxwell se réduisent à seulement deux équations tensorielles, ou même à une seule équation multivectorielle en algèbre géométrique.

Les héritiers de Maxwell 
La synthèse de Maxwell a permis ultérieurement les deux plus grandes avancées de la physique moderne :

 la théorie de la relativité restreinte (via le problème du référentiel de l'hypothétique éther). En effet, les équations de Maxwell permettent de prédire l'existence d'une onde électromagnétique, c'est-à-dire que la modification d'un des paramètres (densité de charge, intensité du courant…) a des répercussions à distance avec un certain retard. Or, la vitesse de ces ondes, c, calculée avec les équations de Maxwell, est égale à la vitesse de la lumière mesurée expérimentalement. Cela a permis de conclure que la lumière était une onde électromagnétique. Le fait que c soit la même dans toutes les directions et indépendante du référentiel, conclusion que l'on tire de ces équations, est un des fondements de la théorie de la relativité restreinte. Si l'on change de référentiel, le changement de coordonnées classique ne s'applique pas aux équations de Maxwell, il faut utiliser une autre transformation : la transformation de Lorentz. Einstein a tenté d'appliquer les transformations de Lorentz à la mécanique classique, ce qui l'a conduit à la théorie de la relativité restreinte ;
 la physique quantique. L'étude de la lumière et des ondes électromagnétiques, avec notamment les travaux de Max Planck sur le corps noir et d'Heinrich Hertz sur l'effet photoélectrique, donna naissance à la théorie quantique en 1900.

Théorie de Maxwell-Lorentz dans le vide 
On présente ci-dessous la théorie microscopique fondamentale qui donne les équations de Maxwell-Lorentz dans le vide en présence de sources, qui peuvent être des charges ponctuelles et/ou leurs courants électriques microscopiques associés si ces charges sont en mouvement dans le référentiel d'étude.

La théorie macroscopique nécessitant l'introduction des champs D et H (et les équations de Maxwell associées) est discutée en détail dans Électrodynamique des milieux continus.

On note :

  la densité volumique de charge électrique au point  à l'instant  ;
  le vecteur densité de courant ;
  le vecteur champ électrique ;
  le champ magnétique ;
  la permittivité diélectrique du vide ;
  la perméabilité magnétique du vide.

Équation de Maxwell-Gauss

L'équation locale de Maxwell 
Dans cette équation, on utilisera l'opérateur nabla, noté : , dont on peut écrire l'expression en coordonnées cartésiennes avec Cette équation locale donne la divergence du champ électrique en fonction de la densité de la charge électrique :Cette équation correspond à un «terme de source» : la densité de charge électrique  est une source du champ électrique. Par exemple, pour une charge ponctuelle  fixée à l'origine , la loi de Coulomb donnant le champ électrostatique en un point  de l'espace, point repéré par le vecteur position  où  est le vecteur unitaire radial, et qui s'écrit :Ce champ électrostatique vérifie l'équation de Maxwell-Gauss pour la source statique, soitoù  est la distribution de Dirac dans l'espace à trois dimensions.

Le théorème de Gauss 
Le théorème de Gauss est la forme intégrale de l'équation de Maxwell-Gauss. Il affirme que le flux du champ électrique permanent à travers une surface de Gauss fermée , orientée selon la normale sortante, est égale au rapport de la charge  contenue dans le volume  délimité par la surface   et de la permittivité du vide :On remarquera que l'équation de Maxwell-Gauss se retrouve facilement en appliquant le théorème d'Ostrogradski au théorème de Gauss et en prenant un volume infinitésimal.

Équation de Maxwell-Thomson 
Cette équation est aussi appelée équation de Maxwell-flux ; elle exprime que le flux du champ magnétique à travers une surface  fermée est toujours nul :Cette équation est la forme intégrale de l'équation locale de Maxwell, et on passe de l'une à l'autre en appliquant le théorème d'Ostrogradski.

L'équation locale de Maxwell 
Cette équation locale est au champ magnétique ce que l'équation de Maxwell-Gauss est au champ électrique, à savoir une équation avec « terme de source », ici identiquement nul :Elle traduit le fait expérimental suivant : il n'existe pas de monopôle magnétique. Un monopôle magnétique serait une source ponctuelle de champ magnétique, analogue de la charge électrique ponctuelle pour le champ électrique. Or, l'objet de base source d'un champ magnétique est l'aimant, qui se comporte comme un dipôle magnétique : un aimant possède en effet un pôle nord et un pôle sud. L'expérience fondamentale consistant à tenter de couper un aimant en deux donne naissance à deux aimants, et non un pôle nord et un pôle sud séparément.

Introduction du potentiel-vecteur 
L'analyse vectorielle montre que la divergence d'un rotationnel est toujours identiquement nulle pour tout champ quelconque , c'est-à-dire. Réciproquement, tout champ de vecteurs dont la divergence est identiquement nulle peut localement être exprimé sous la forme d'un rotationnel. L'équation locale de conservation du flux magnétique permet donc de définir au moins localement un potentiel-vecteur  tel que :Le problème important de l'unicité du potentiel-vecteur est discuté dans l'article Invariance de jauge de la théorie.

Équation de Maxwell-Faraday 
Cette équation locale traduit le phénomène fondamental d'induction électromagnétique découvert par Faraday.

L'équation locale 
Elle donne le rotationnel du champ électrique en fonction de la dérivée temporelle du champ magnétique : Cette équation indique que la variation du champ magnétique crée un champ électrique.

Forme intégrale : loi de Faraday 
La forme intégrale de l'équation locale est donnée, d'après le théorème de Stokes, par : Il s'agit de la loi de Faraday, qui s'écrit aussi : où :
  est la force électromotrice d'induction dans un circuit électrique de contour ;
  est le flux du champ magnétique à travers la surface  délimitée par le contour .

Introduction du potentiel électrique 
L'analyse vectorielle montre que le rotationnel d'un gradient est toujours identiquement nul. Pour un champ scalaire quelconque :L'équation de Maxwell-Faraday couplée à l'existence locale d'un potentiel-vecteur  permettent de définir (au moins localement) le potentiel électrique  (scalaire) tel que :Le problème important de l'unicité du potentiel électrique est discuté dans Invariance de jauge de la théorie.

Équation de Maxwell-Ampère

L'équation locale de Maxwell 
Cette équation est héritée du théorème d'Ampère. Sous forme locale, elle s'écrit en termes du vecteur densité de courant  :

Introduction du courant de déplacement 
L'équation précédente peut se réécrire en introduisant le courant de déplacement de Maxwell La forme intégrale lie la circulation du champ magnétique sur un contour  fermé, et les courants qui traversent une surface  s'appuyant sur ce contour. C'est une conséquence directe du théorème de Stokes :

Équation de conservation de la charge 
Prenons la divergence de l'équation de Maxwell-Ampère :Les dérivées spatiales et temporelles étant indépendantes, le théorème de Schwarz assure que l'on peut permuter l'opérateur nabla et la dérivée partielle temporelle. Puis en utilisant l'équation de Maxwell-Gauss, il vient : On obtient finalement l'équation locale de conservation de la charge électrique : La présence du terme de courant de déplacement, introduit par Maxwell, est essentielle à l'obtention de cette équation.

Caractère ondulatoire des champs électriques 
Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday, compte tenu de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère :, 
soit, en utilisant le fait que les dérivées spatiales et temporelle sont indépendantes
, 
ou, en réorganisant :
.
Ceci montre que le champ électrique suit l'équation des ondes.

En prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Ampère, compte tenu de Maxwell-Thomson et de Maxwell-Faraday, on retrouve le résultat équivalent :
.
Ceci montre que le champ magnétique suit également l'équation des ondes.

La vitesse de propagation de l'onde électro-magnétique  est donnée par :
.

Invariance de jauge de la théorie 
L'analyse vectorielle montre que la divergence d'un rotationnel est toujours identiquement nulle :

.

L'équation locale de conservation du flux magnétique permet donc de définir au moins localement un potentiel-vecteur  tel que :

L'analyse vectorielle nous dit également que

.

Alors le potentiel-vecteur n'est pas défini de manière unique puisque la transformation suivante, avec  une fonction quelconque

ne modifie pas la valeur du champ . Ceci est un exemple de transformation de jauge. Il faut donc imposer des conditions supplémentaires pour définir  de façon non-ambiguë. On appelle cela des conditions de jauge, par exemple la condition de jauge de Coulomb ou plus généralement la condition de jauge de Lorenz (voir ci-dessous).

On peut remarquer qu'en physique classique, le potentiel-vecteur semble n'être qu'un outil mathématique commode pour analyser les solutions des équations de Maxwell, mais ne semble pas être une grandeur physique directement mesurable. En 1959, dans le cadre de la physique quantique, Yakir Aharonov et David Bohm ont démontré que le potentiel-vecteur avait un effet observable en mécanique quantique : c'est l'effet Aharonov-Bohm.

L'équation de Maxwell-Faraday couplée à l'existence locale d'un potentiel-vecteur  permettent de définir (au moins localement) le potentiel électrique  (scalaire) tel que :

Le potentiel  lui non plus n'est pas défini de façon unique mais la transformation de jauge associée et liée à celle de  est la suivante (on rappelle celle de  par souci de clarté) et l'on a

.

Ces deux équations donnent l'invariance de jauge complète des équations de Maxwell.

Condition de jauge de Lorenz 
On pose la condition de jauge de Lorenz (qui couple les deux potentiels) :

.

Prenons l'équation de Maxwell-Ampère, compte tenu de la condition de jauge de Lorenz et de l'expression de  en fonction des potentiels  et  :

,
.

On obtient l'équation de propagation du potentiel-vecteur :

en utilisant . Idem pour le potentiel scalaire :

,soit

On remarque que la jauge de Lorenz permet de découpler les équations de propagation des champs  et  : elles ne dépendent respectivement que des sources  et . C'est pourquoi la jauge de Lorenz est souvent utilisée pour l'étude de phénomènes ondulatoires.

Solutions des équations du champ électromagnétique

Résolution à partir des charges ponctuelles 
Les expressions des champs électriques et magnétiques peuvent être obtenues en intégrant sur tout l'espace les équations de Liénard-Wiechert ou celles de Heaviside-Feynman.

Solutions mathématiques des équations de Maxwell dans le vide. 
Résolvons les équations de Maxwell dans l'espace .

Représentons des solutions par des lettres  (ensembles des 6-vecteurs formés des six composantes du champ en tout point de coordonnées ). Comme dans le vide les équations sont linéaires, , où  sont des constantes réelles, est aussi une solution. En conséquence, l'ensemble des solutions des équations de Maxwell est un espace vectoriel réel.

Conformément à la définition introduite en acoustique, un mode est une direction de cet espace. Un système complet de solutions constitue une base dans cet espace nommé tantôt espace des solutions, tantôt espace des modes. Une solution particulière dans un mode est obtenue en multipliant un champ de ce mode posé comme champ d'amplitude unité, par une constante réelle, l'amplitude.

Avec un système d'unités convenable, l'énergie (à un moment donné)  d'une solution  est l'intégrale étendue à tout l'espace, du carré de la norme du vecteur  par rapport au produit scalaire usuel. Il faut faire attention au fait que l'énergie ne dépend pas linéairement de . L'énergie de la somme de plusieurs solutions n'est donc pas, a priori, la somme des énergies des différentes solutions prises séparément. Néanmoins, le procédé de Gram-Schmidt permet d'obtenir, à partir d'un système complet de solutions, un système complet de solutions orthogonales, ou encore système complet de modes orthogonaux. Dans de tels systèmes, les énergies sont indépendantes, c'est-à-dire que l'énergie d'une solution est égale à la somme des énergies de ses différentes composantes dans le système.

Planck a posé que l'énergie dans un mode monochromatique de fréquence  se propageant dans un corps noir à la température  est . La valeur erronée de  donnée par Planck a été corrigée par Nernst en 1916 ; la valeur  est facilement retrouvée car la thermodynamique impose que  tende vers  lorsque  tend vers l'infini. Cette formule définit la température d'un mode. Cependant l'interprétation de cette formule est physiquement délicate car la définition d'une fréquence pure suppose une expérience de durée infinie.

Introduction des charges électriques 
On sait calculer les champs émis par des charges, par exemple le champ émis par un dipôle électrostatique oscillant. Pour se ramener au problème précédent, on utilise l'« astuce de Schwarzschild et Fokker ». Le champ émis par une source est nommé « champ retardé » . Dépouillé de la source, ce champ n'est pas solution des équations de Maxwell. Pour obtenir une solution identique dans le futur, il faut lui ajouter un « champ avancé » . Par cette définition,  est solution des équations de Maxwell. Ainsi, en substituant le champ avancé à la source, on est ramené au problème linéaire d'un champ dans le vide et on peut définir des modes.

Solutions générales et causales des équations de Maxwell 

Les solutions générales et causales des équations de Maxwell sont données par les équations de Jefimenko.

Les équations de Jefimenko donnent le champ électrique et le champ magnétique dus à une distribution de charges électriques et de courant électrique dans l'espace. Elles prennent en compte le retard dû à la propagation (temps retardé) des champs en raison de la limite finie de la vitesse de la lumière et des effets relativistes. Elles peuvent donc être utilisées pour des charges et des courants en déplacement. Elles sont les solutions générales des équations de Maxwell pour n'importe quelle distribution arbitraire de charges et de courants.

Ces équations sont la généralisation, dépendant du temps (électrodynamique), de la loi de Coulomb et de la loi de Biot-Savart, qui étaient à l'origine vraies uniquement pour les champs en électrostatique et en magnétostatique ainsi que pour les courants continus.

Une des caractéristiques essentielles des équations de Jefimenko se voit dans la partie droite ou apparaît le temps retardé ce qui reflète la causalité de ces équations. En d'autres mots, la partie gauche des équations sont en réalité causées par la partie droite, contrairement aux équations différentielles de Maxwell où les deux côtés ont lieu en même temps.

Quantification en électrodynamique classique 
Un système physique possède, en général, des minimums d'énergie relatifs. En régime non évolutif (stationnaire), le système, excité par un champ électromagnétique de l'ordre de  dans chaque mode qu'il est susceptible d'émettre (donc d'absorber), reste au voisinage d'un minimum d'énergie ; pour chaque mode monochromatique, son excitation l'amène à rayonner un champ en quadrature avec le champ incident, ce qui ne produit aucun échange d'énergie permanent, mais introduit un retard, la réfraction. Pour un champ plus intense, en particulier en raison d'une fluctuation favorable du champ, le système peut franchir un col de son diagramme d'énergie et absorber une énergie  cette absorption peut conduire à un niveau peu stable d'où le système peut évoluer rapidement vers d'autres niveaux, en une cascade plus ou moins radiative qui l'amène à un état stationnaire, stable.

Dans une théorie classique, aucun paradoxe ne peut être admis, en particulier le paradoxe d'Einstein, Podolsky et Rosen n'existe pas : supposons qu'un atome perde une énergie de résonance , par exemple par le rayonnement d'un dipôle. Le mode d'émission de ce dipôle n'est pas orthogonal aux modes d'émission (donc d'absorption) d'autres atomes dont l'amplitude peut être accrue ; 0, 1, 2, … atomes peuvent alors absorber , même si, en moyenne, un seul atome est excité ; les champs résiduels jouent le rôle d'un bain thermodynamique.

Quelques erreurs habituelles 
Il a été écrit que l'électron d'un atome d'hydrogène suivant une orbite de Bohr émet un champ, donc rayonne de l'énergie et devrait tomber sur le noyau. L'électron émet bien un champ, mais d'énergie très faible en raison de l'interférence du champ émis avec le champ résiduel ; cette énergie tombe à zéro si l'orbite est légèrement corrigée, de sorte que l'énergie de l'état stationnaire subit le décalage de Lamb.

L'étude de l'amorçage d'un laser semble indiquer que le champ du point zéro induit une émission deux fois plus intense qu'un champ d'intensité plus grande. Pour tenir compte de ce résultat, on peut introduire une « radiation de réaction », ad hoc. La véritable explication est très simple : un atome est excité par un champ dans le mode qu'il peut émettre, dit sphérique ; au démarrage du laser, il existe dans ce mode une amplitude correspondant à  ; le laser fonctionne sur un mode d'onde plane dont il faut prendre la composante sphérique pour exciter l'atome, ce qui divise l'énergie par deux.

Il n'existe pas de système électromagnétique isolé ; oublier que le champ minimum est le champ du point zéro conduit à des erreurs lorsqu'on détecte des champs faibles.

Formulation covariante 
NB Cette partie suit les conventions de signe classiques de MTW

Cette partie adopte également la convention de sommation d'Einstein.

Géométrie de l'espace-temps de Minkowski 

L'espace-temps de Minkowski (1908) est une variété différentielle M plate munie d'une métrique lorentzienne.

Soit un système de coordonnées quelconque  autour d'un évènement (point)  de l'espace-temps, et soient  une base locale de , espace tangent à la variété au point . Un vecteur tangent  s'écrit alors comme la combinaison linéaire :

Les  sont appelée les composantes contravariantes du vecteur . Le tenseur métrique  est la forme bilinéaire symétrique :

Dans une base orthonormée d'un référentiel inertiel, ses composantes covariantes  sont :

Ses composantes contravariantes  vérifient :

On obtient explicitement :

On utilisera ci-dessous les conventions usuelles suivantes :

 un indice grec varie de 0 à 3. Il est associé à une grandeur dans l'espace-temps ;
 un indice latin varie de 1 à 3. Il est associé aux composantes spatiales d'une grandeur dans l'espace-temps.

Par exemple, les composantes contravariantes du 4-vecteur position s'écrivent dans un système de coordonnées orthonormales :

Le tenseur métrique définit pour chaque point  de l'espace-temps un pseudo-produit scalaire (pseudo au sens où l'hypothèse de positivité est retirée) dans l'espace  euclidien tangent à M au point . Si  et  sont deux vecteurs de , leur produit scalaire s'écrit :

En particulier, en prenant deux vecteurs de base, on obtient les composantes :

 désignant les composantes contravariantes du vecteur w, on peut définir de même ses composantes covariantes par :

Par exemple, les composantes covariantes du 4-vecteur position s'écrivent dans un système de coordonnées orthonormales :

Quadrigradient 
On introduit l'opérateur différentiel quadrigradient pour généraliser l'opérateur nabla.

Ses composantes covariantes s'écrivent :

Ses composantes contravariantes s'écrivent :

L'opérateur invariant d'Alembertien s'écrit par exemple :

Quadripotentiel 
On introduit le quadrivecteur potentiel électromagnétique par ses composantes contravariantes :

où  est le scalaire potentiel électrique, et  le potentiel-vecteur magnétique. Ses composantes covariantes s'écrivent :

Les lois de transformation de jauge écrites précédemment sont donc résumées dans cette notation sous la forme

.

La condition de jauge de Lorenz s'écrit par exemple de façon covariante :

Quadricourant 
On introduit le quadricourant électromagnétique par ses composantes contravariantes :

où  est le scalaire densité électrique de charge, et  le vecteur densité de courant. Ses composantes covariantes s'écrivent :

Tenseur de Maxwell 
Le tenseur électromagnétique est le tenseur antisymétrique de rang deux défini à partir du quadripotentiel par :

Ses composantes covariantes s'écrivent explicitement :

On obtient ses composantes contravariantes en écrivant :

La métrique étant diagonale dans un référentiel inertiel, on obtient alors les formules suivantes, sans sommation sur les indices répétés :
 
 
 

soit explicitement :

Équations de Maxwell sous forme covariante 
Les équations de Maxwell se mettent sous forme relativiste covariante.

 Les deux équations de Maxwell sans termes de sources s'écrivent :<center>

 Les deux équations de Maxwell avec termes de sources s'écrivent :<center>

Puisque le tenseur de Maxwell est antisymétrique, cette dernière relation entraîne en particulier que le quadricourant est conservé :

Équation de propagation pour le quadripotentiel en jauge de Lorenz 
En écrivant explicitement le tenseur de Maxwell en termes du quadripotentiel dans l'équation covariante avec terme de sources, on obtient pour le membre de gauche :

Dans la jauge de Lorenz , le second terme disparaît, et l'équation de Maxwell avec terme de sources se réduit à une équation de propagation pour le quadripotentiel :

La solution de cette équation s'écrit de façon simple si l'on connaît une fonction de Green de l'équation de propagation, c'est-à-dire une fonction G(x) solution de l'équation aux dérivées partielles :

où  est la distribution de Dirac. On obtient alors le quadripotentiel sous la forme d'un produit de convolution :

Exemple : les potentiels retardés 
En électrodynamique classique, on utilise le plus souvent la fonction de Green retardée qui satisfait à l'hypothèse de causalité :

Dans les milieux matériels

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

Cours

Ouvrages d'introduction 
Accessible au niveau du premier cycle universitaire.
 , InterEditions (1979). Le grand théoricien de l'électrodynamique quantique, prix Nobel de physique 1965, nous donne ici un superbe cours d'introduction à l'électromagnétisme classique. Publié en deux volumes :
 Électromagnétisme I . Rééd. Dunod 
 Électromagnétisme II . Rééd. Dunod

Ouvrages de références 
 .
 Traduction française de la  d'un classique américain.
 .
 Wolfgang K. H. Panofsky et Melba Phillips, Classical electricity and magnetism, Addison-Wesley ( édition-1962). Réédité par : Dover Publications, Inc. (2005), .
 L'ouvrage de référence en électrodynamique classique avant la parution de l'ouvrage de Jackson
 Ruth Durrer ; Électrodynamique II (PostScript)
 Cours approfondi donné par l'auteure (département de physique théorique de l’université de Genève, Suisse) aux étudiants de deuxième année de premier cycle (123 pages).
 Jean-Michel Raimond ; Électromagnétisme & relativité restreinte
 Cours approfondi (mécanique analytique, relativité et électromagnétisme) donné par l'auteur (laboratoire Kastler-Brossel, ENS Ulm, Paris) aux étudiants de première année du magistère interuniversitaire de physique.

Aspects historiques 
 James Clerk Maxwell ; Traité d'Électricité et de Magnétisme, Gauthier-Villars, tome I (1885) et tome II (1887). Réédité par Jacques Gabay (1989), .
 Hendrik Antoon Lorentz ; The Theory of Electrons and its Applications to the Phenomena of Light and Radiant Heat - A Course of Lectures delivered in Columbia University, in March and April 1906, B.G. Teubner (Leipzig -  : 1916). Réédité par Jacques Gabay (1992), .
 Olivier Darrigol, Les équations de Maxwell - de MacCullagh à Lorentz, Belin (2005), .
 Historien des sciences, Olivier Darrigol est chercheur au CNRS. Les équations de Maxwell, monument scientifique, fournissent une description de l'ensemble des phénomènes électromagnétiques. Bien que James Clerk Maxwell a joué le rôle le plus éminent dans leur introduction, elles sont apparues dans des contextes divers sous la plume de plusieurs auteurs et n'ont acquis leur interprétation moderne que grâce aux efforts d'héritiers de Maxwell. C'est ce que montre l'auteur, à travers l'étude détaillée de textes fondateurs écrits dans les deux derniers tiers du .
 Edmund T. Whittaker (Sir) ; A History of the Theories of Aether and Electricity, Springer Verlag/A.I.P. Press (1986) , réédité par Dover (1990) .
 Le premier volume () de cette histoire érudite a été publié à Dublin en 1910. Le second volume complémentaire () paraît en 1953. Ce livre est aujourd'hui épuisé. Whittaker, mathématicien appliqué, est également coauteur (avec G. N. Watson) du renommé cours d'analyse : A Course of Modern Analysis (Cambridge University Press) paru initialement en 1902.
 Olivier Darrigol ; Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford University Press (2000) .
 Volta invente la pile électrique en 1800. Cette découverte capitale va amorcer un champ de recherche : l'électrodynamique, initialement science des courants circulants dans les fils, par opposition aux phénomènes électrostatique des charges fixes connus depuis l'Antiquité. La première loi fondamentale de cette électrodynamique est établie par Ampère en 1820 : il s'agit de la loi de force qui s'exerce entre deux fils parcourus chacun par un courant. Cet ouvrage détaille le chemin parcouru entre cette loi d'Ampère de 1820 et le triomphe de la théorie des champs de Maxwell-Lorentz-Faraday avec son interprétation par Einstein en 1905 dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte. Historien des sciences, Olivier Darrigol est chercheur au CNRS.
 John D. Jackson et L. B. Okun, Historical roots of gauge invariance, Review of Modern Physics 73 (2001) 663-680. Texte complet disponible sur l'ArXiv : hep-ph/0012061.

Manuels d'enseignement supérieur 
 .
 .
 .

Dictionnaires et encyclopédies 
 .

Articles connexes 
 Vecteur de Poynting
 Établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell
 Électrodynamique des milieux continus
 Invariance de Lorentz
 Champ de Maxwell

Électromagnétisme
Outils théoriques de l'électromagnétisme
Maxwell
Carl Friedrich Gauss
James Clerk Maxwell