Série de Dirichlet

En mathématiques, une série de Dirichlet est une série  de fonctions définies sur l'ensemble ℂ des nombres complexes, et associée à une suite  de nombres complexes de l'une des deux façons suivantes :
.

Ici, la suite  est réelle, positive, strictement croissante et non bornée. Le domaine de convergence absolue d'une série de Dirichlet est soit un demi-plan ouvert de ℂ, limité par une droite dont tous les points ont même abscisse, soit l'ensemble vide, soit ℂ tout entier. Le domaine de convergence simple est de même nature. Sur le domaine de convergence simple, la fonction définie par la série est holomorphe. Si la partie réelle de  tend vers , la fonction somme, si elle existe, tend vers .

Les séries de Dirichlet interviennent en théorie analytique des nombres. Dirichlet en analyse certaines, les séries L de Dirichlet, pour démontrer en 1837 le théorème de la progression arithmétique. L'hypothèse de Riemann s'exprime en termes de zéros du prolongement analytique d'une fonction somme d'une série de Dirichlet.

Définitions et exemples

Définitions 
Il existe deux définitions différentes des séries de Dirichlet :

Une série de Dirichlet est une série de la forme suivante, où  désigne une suite de nombres complexes :
.

Cet article utilise une définition plus générale :
Une série de Dirichlet est une série de la forme suivante, où  désigne une suite de nombres complexes et  une suite réelle, positive, strictement croissante et non bornée :
.
La première définition correspond au cas particulier .
On associe classiquement à une telle série les deux fonctions.

Exemples 
Parmi les séries de Dirichlet « classiques », celles de la première définition, figurent les séries L de Dirichlet, qui correspondent aux cas où la suite  est totalement multiplicative et périodique. L'exemple le plus simple d'une telle suite (appelée un caractère de Dirichlet) est la suite constante , qui correspond à la série de Riemann.
La théorie des séries de Dirichlet générales, en autorisant d'autres suites d'exposants  que la suite , permet d'inclure d'autres théories classiques :
Si les valeurs  vérifient :  et si l'on note , la série prend la forme :.On retrouve la définition d'une série entière, à une constante additive près.
Dans le cas où , le changement de variable  montre qu'une série de Fourier est aussi un cas particulier de série de Dirichlet.

Abscisses de convergences

Convergence simple et convergence absolue 

Lorsque la série n'est pas à coefficients positifs (ou de même signe), il faut distinguer la convergence absolue de la convergence simple.

Exemple : la série de Dirichlet de la fonction êta de Dirichlet est .
Elle converge simplement (c'est une série alternée) pour les nombres réels .
Elle diverge si .
Elle converge absolument pour les nombres réels  (et seulement pour ceux-là).
De plus, la fonction êta se prolonge de manière holomorphe à tout le plan complexe.

On dit que  est l'abscisse de convergence simple, que  est l'abscisse de convergence absolue de la série de Dirichlet et que  est l'abscisse d'holomorphie.

Abscisse de convergence simple 
Soit  l'ensemble des nombres réels  tels que la série  converge pour au moins un réel . Cet ensemble permet la définition :

L'abscisse de convergence simple, encore appelée abscisse de convergence est la borne inférieure  de l'ensemble . Autrement dit : si  n'est pas minoré alors , si  est vide alors , et dans tous les autres cas,  est le plus grand réel  tel qu'en tout point du demi-plan , la série diverge.

Cette abscisse de convergence est l'objet d'une proposition :

Sur le demi-plan , la série  est convergente.
Pour tout point  de ce demi-plan, la convergence est uniforme dans tout secteur de la forme , où .
On en déduit que la convergence est uniforme sur tout sous-ensemble compact du demi-plan, d'où le corollaire :
La série de Dirichlet est holomorphe sur son demi-plan de convergence et .

Si la suite  est bornée, alors l'abscisse de convergence est négative ou nulle. Plus généralement :

 Soit  la limite supérieure suivante :Si  alors  ; si  alors .

En démontrant cette propriété, on obtient au passage l'expression intégrale suivante :
Pour tout nombre complexe  de partie réelle strictement supérieure à ,.
Dans le cas des séries de Dirichlet classiques (c.-à-d. pour ), cette formule devient, par changement de variable :
.

L'outil principal de ces démonstrations est une petite variante de la formule sommatoire d'Abel (obtenue par transformation d'Abel) :

et de même, si  :

(ce qui revient à remplacer  par  dans la première formule).

 Convergence uniforme :Pour alléger les notations, on peut d'abord se ramener au cas  par changement de variable et modification des coefficients, en écrivant la série sous la forme.Soit  un réel strictement positif et  le secteur , l'objectif est de montrer que :.Par hypothèse, la série de Dirichlet converge en , c'est-à-dire que la suite  est convergente. Si  est choisi suffisamment grand, on a donc :.Pour tout point  de  et pour tous , on déduit alors de la formule (2) :L'application du critère de Cauchy termine la démonstration.
 et si  alors  est donné par la formule (*) :Montrons pour cela que si , alors la série de Dirichlet en  converge (ce qui prouvera que ) et sa valeur est donnée par cette formule. Soit  un réel tel que . Puisque , on a, pour tout  suffisamment grand :et puisque  on a alors :.Par conséquent, lorsqu'on fait tendre  vers  dans (1), le premier des deux termes de la somme tend vers  et le second est une intégrale (absolument) convergente, ce qui conclut.
 Si  alors  :Montrons pour cela que  et pour ce faire, fixons un réel  strictement supérieur à  et à  et montrons qu'alors, .Notons  les sommes partielles de la série de Dirichlet en  et  un majorant des modules des . La transformation d'Abel montre que :.On en déduit :,ce qui montre que :.On a donc bien .
Synthèse des deux points précédents :Si  alors  et , donc .Si  alors .Enfin, (*) est vrai pour tout  de partie réelle strictement supérieure à , qui dans les deux cas est bien égal à .

Une autre proposition traite du cas où l'abscisse de convergence simple est strictement négative :

Si l'abscisse de convergence simple d'une série de Dirichlet est strictement négative, elle est égale à la limite suivante :.

Abscisse d'holomorphie 
Cette abscisse  est définie comme la borne inférieure de l'ensemble des réels  tels que la série admette un prolongement holomorphe sur le demi-plan .

D'après ce qui précède, on a toujours
,
mais une différence majeure avec la théorie des séries entières est que cette inégalité peut être stricte, comme le montre l'exemple des fonctions L de Dirichlet associées à des  caractères non principaux.

On a cependant égalité si les coefficients de la série sont positifs :

On a aussi  sous d'autres hypothèses complémentaires, en posant
 :
Si , si  et si  est finie, alors tout point de la droite  est singulier pour la fonction.
Si  est fini, si  et si  est finie, alors tout segment de longueur  de la droite  contient au moins un point singulier pour la fonction (ce qui généralise le fait que pour une série entière, le bord du disque de convergence contient au moins un point singulier).

Abscisse de convergence absolue 
On définit de même l'abscisse de convergence absolue  comme la borne inférieure de l'ensemble des réels  pour lesquels la série est absolument convergente sur le demi-plan . Les deux abscisses  et  (évidemment égales pour une série à coefficients positifs) sont liées en général par les inégalités:

On montre de plus que :
,
ce qui généralise le théorème de Cauchy-Hadamard sur le rayon de convergence d'une série entière. Remarquons que  est nul dès que  est fini, mais que cela ne suffit pas à assurer l'existence de points singuliers sur la droite critique.

Dans le cas d'une série de Dirichlet  : , on a , donc :
.

L'exemple de la série de Dirichlet de la fonction êta de Dirichlet () montre que l'on a une inégalité optimale : la série converge simplement (c'est une série alternée) seulement pour les nombres réels  et absolument seulement pour les nombres réels .

Unicité du développement 

On se ramène au cas où les deux séries à comparer ont même type (c.-à-d. mêmes ) en prenant la réunion (réordonnée de façon croissante) de leurs types respectifs.

Dans ce cas, si elles ont même fonction limite sur un demi-plan  où elles convergent toutes deux, alors, d'après la formule de Perron, elles ont mêmes coefficients.

Il suffit pour cela que  soit de la forme  pour un certain  où les deux séries convergent et un certain  et que les deux fonctions sur ce demi-plan coïncident en une infinité de points appartenant à un secteur  avec . En effet, si la différence de ces deux fonctions n'est pas nulle, alors ses zéros dans un tel domaine sont en nombre fini puisqu'isolés et bornés (car la différence des deux séries, divisée par son premier terme non nul, est convergente en  donc uniformément convergente dans ce secteur, si bien que la fonction associée tend vers  quand  tend vers l'infini).

Exemples de décompositions en série de Dirichlet 

 où  est la fonction de Möbius.
 où  est l'indicatrice d'Euleret plus généralement,  où  est la fonction totient de Jordan.
 où  est la fonction somme des puissances a-ièmes des diviseurs
 .

Propriétés analytiques 

Dans beaucoup de cas, la fonction analytique associée à une série de Dirichlet possède un prolongement analytique sur un domaine plus large. Ceci est le cas pour la fonction zêta de Riemann, méromorphe sur ℂ avec un unique pôle en . Une des conjectures les plus importantes et non résolues des mathématiques appelée l'hypothèse de Riemann concerne les zéros de cette fonction.

Une première étape dans l'étude du prolongement analytique d'une série de Dirichlet générale

est de définir une nouvelle série de Dirichlet
,
qui converge au moins sur le demi-plan  si  (et même sur tout le plan si ).

En utilisant que la fonction  vérifie, pour tout complexe  de partie réelle  (par changement de variable )

et en justifiant l'interversion série-intégrale par des majorations adéquates, on obtient alors, pour tout complexe  tel que  :
.

On en déduit au passage que pour tout ,  est la valeur principale de
.

Mais l'expression de  en fonction de  est surtout utile pour en déduire un prolongement méromorphe, sous certaines hypothèses :

Historique 

Dirichlet définit ces séries en 1837 et les utilisa pour démontrer le théorème de la progression arithmétique, selon lequel il existe une infinité de nombres premiers dans toute progression arithmétique  dès que  et  sont premiers entre eux. Elles ne furent étudiées qu'à partir des travaux d'Eugène Cahen, qui en fit son sujet de thèse en 1894. Mais sa thèse fut l'objet de nombreuses critiques et provoqua ainsi de nouveaux travaux. La définition des fonctions presque périodiques par Harald Bohr permit de montrer que les fonctions définies par les séries de Dirichlet à coefficients positifs sont presque périodiques dans le demi-plan de convergence absolue.

Une partie du développement de la théorie, vue sous l'angle historique se trouve sous ce lien.

Notes et références

Notes

Références

Bibliographie complémentaire 

, Leçons sur les progrès récents de la théorie des séries de Dirichlet, 1933
 Colin, Les séries de Dirichlet, magistère de Cachan, 1995-1996
  Edward Charles Titchmarsh, , Oxford University Press, London, 1939

Analyse complexe
Dirichlet (serie)
Dirichlet
Théorie analytique des nombres