Fórmules de Fresnel

Les equacions de Fresnel (o condicions de Fresnel), deduïdes per Augustin-Jean Fresnel, descriuen el comportament de la llum quan es mou entre medis òptics de diferent índex de refracció. Aquestes fórmules no es poden deduir de l'òptica geomètrica i només s'aconsegueixen a partir de les equacions de Maxwell.

Descripció general 
Quan la llum es mou d'un medi amb un índex de reflexió donat, n1, cap a un segon medi amb índex de refracció n₂, es pot produir tant la reflexió com la refracció de la llum. Les equacions de Fresnel descriuen quina fracció de la llum es reflecteix i quina es refracta. Descriuen a més, el canvi de fase de la llum reflectida.

Les equacions assumeixen que la superfície que separa els dos medis (suposats homogenis) és plana. La ona incident se suposa una ona plana i els efectes de vora es consideren negligibles.

Polaritzacions S i P 
El comportament depèn de la polarització del raig incident. Es distingeixen dos casos:

Polarització S (perpendicular) o TE 
La llum incident està polaritzada amb el camp elèctric perpendicular al pla que conté els raigs incident, reflectit i refractat. Aquest pla s'anomena pla d'incidència. El terme llum s-polaritzada prové de l'alemany, senkrecht, que vol dir perpendicular.

Polarització P (paral·lela) o TM 
La llum incident està polaritzada amb el camp elèctric paral·lel al pla d'incidència.

Equacions d'intensitat o potència 

Quan el raig incident es troba amb la superfície de separació dels dos medis d'índexs n1 i n2, part del raig es reflecteix i part es refracta (o transmet). Els angles que els raigs incident, reflectit i refractat formen amb la normal es denoten per θi, θr and θt, respectivament.

La relació entre aquests angles ve donada per la llei de la reflexió: 
 ,

i la llei de Snell:

.

La fracció de potència incident que és reflectida ve donada per la reflectància, R, i la fracció que es refractada ve donada per la transmitància, T.

La reflectància pel cas de llum s-polaritzada és

,

mentre que la reflectància pel cas de llum p-polaritzada és

,

on Z1 i Z₂ denoten les impedàncies del medi 1 i 2 respectivament, μ1 i μ₂ són les permeabilitats magnètiques dels dos materials i ε1 i ε₂ són les permitivitats elèctriques dels dos materials.

Per medis no magnètics (és a dir, per aquells materials on es compleix μ1 ≈ μ₂ ≈ μ0, on μ0 és la permeabilitat magnètica del buit) es té, 

Aleshores, la reflectància per a llum s-polaritzada esdevé

,

mentre que la reflectància per la llum p-polaritzada,

.

La segona igualtat que apareix a cada equació s'ha obtingut eliminant θt tot usant la llei de Snell i identitats trigonomètriques.

Com a conseqüència de la conservació de l'energia, les transmitàncies venen donades per 

i 

.

Aquestes relacions són vàlides només per potència o intensitat. Més endavant es mostrarà pels casos on es tenen amplituds complexes en els coeficients de reflexió i transmissió.

Si la llum incident és despolaritzada (és a dir, conté una mescla de polarització p i s), aleshores la reflectància ve donada per,

.

Casos especials

Incidència normal 
Pel cas d'incidència normal es compleix,  i a més no tenim distinció entre polarització s i p. D'aquesta manera, la reflectància se simplifica a

.

Angle de Brewster i reflexió interna total 
Existeix un angle particular per uns determinats índexs n1 i n₂ tal que el valor de Rp tendeix a zero i un raig incident p-polaritzat és totalment refractat. Aquest angle es coneix com a angle de Brewster i es troba al voltant dels 56° per un vidre en aire. Aquest fet és vàlid quan els índexs de refracció dels dos materials són nombres reals. Per materials que absorbeixen la llum, com són els metalls i els semiconductors, n és complex i Rp no té perquè tendir a zero.

Quan la llum passa d'un medi més dens cap a un que ho és menys (i.e., n1 > n₂), amb un angle d'incidència per sobre de l'angle crític, tota la llum és reflectida i Rs = Rp = 1. Aquest fenomen es coneix com a reflexió interna total. L'angle crític ocorre quan l'angle d'incidència, , resulta en un angle de transmissió .

Materials magnètics 
Pels materials magnètics, existeix el cas especial on els índexs de refracció reals són iguals, , però les permeabilitats magnètiques no són iguals. En aquest cas, el raig reflectit és independent de la polarització del raig incident i de l'angle d'incidència.

Equacions d'amplitud 
Les equacions pels coeficients que corresponen a ratios del camp elèctric d'ones amb amplitud complexa també s'anomenen equacions de Fresnel. Prenen diferents formes depenent del formalisme i el conveni de signes escollit. Els coeficients d'amplitud es representen usualment per r i t.

Descripció del conveni 
Al tractament que es fa tot seguit, el coeficient  denota el ratio entre l'amplitud de l'ona reflectida i la incident. El coeficient  es refereix al ratio entre l'amplitud de l'ona transmesa i la de l'ona incident. La llum se separa en polarització s i p, seguint la definició donada anteriorment.

Pel cas de polarització s, un valor positiu de  o , vol dir que el camp elèctric del raig incident i reflectit o transmès són paral·lels, mentre que si prenen un valor negatiu, els camps seran antiparal·lels. Per polarització p, tenir  o  negatius, voldrà dir que els camps magnètics de les ones són paral·lels, mentre que un valor negatiu, voldrà dir que els camps són antiparal·lels. S'assumeix a més que la permeabilitat magnètica, , en tots dos medis és igual a la permeabilitat magnètica del buit, .

Fórmules 
Usant el conveni de signes descrit anteriorment, 

,

,

,

.

Com que tant l'ona reflectida com la incident es propaguen en el mateix medi i formen el mateix angle amb la normal, el coeficient de reflexió està relacionat amb la reflectància  mitjançant:

.

Pel cas de la transmitància, com que la llum viatja en diferents direccions i velocitat en tots dos medis, es pot relacionar amb el coeficient  a partir de:

.

En el cas de la reflexió interna total, els coeficients  i són nombres complexos que representen la ona evanescent.

Referències 

Fórmules de Frensel
Fresnel