Méthode Trachtenberg

La méthode Trachtenberg est une méthode de calcul mental inventée par Jacow Trachtenberg dans le but de garder un esprit sain lors de son emprisonnement dans un camp de concentration pendant 7 ans.

Cette méthode permet d'effectuer rapidement des multiplications complexes en les décomposant en calculs plus simples.

Remarques préliminaires 

Remarque nº 1 : Dans une multiplication de deux nombres (facteurs), le premier facteur, celui qui demande à être multiplié, est appelé multiplicande et le second facteur est le multiplicateur. Le résultat de l'opération est le produit. Pour faire simple, si on veut multiplier un gros nombre par « X » fois, le gros nombre est le multiplicande et les « X » fois le multiplicateur.

Remarque nº 2 : Chiffre et nombre sont deux notions distinctes. Un nombre est écrit à l'aide de chiffres. Les astuces de calcul décrites ci-dessous se basent sur une technique simple qui consiste à considérer chaque chiffre du multiplicande en tant que nombre sur lequel on applique la règle énoncée. Par abus de langage, mais pour simplifier la compréhension des astuces, la suite de cet article n'emploiera que le terme chiffre dans son sens strict ou en remplacement du terme nombre.

Remarque nº 3 : Pour appliquer les astuces ci-dessous, il faut procéder au calcul des chiffres du produit de la droite vers la gauche (depuis les unités en remontant vers les chiffres de poids de plus en plus fort) à partir des chiffres du multiplicande dans le même ordre.

Remarque nº 4 : Il faut rajouter à gauche du multiplicande un nombre de zéros égal au nombre de chiffres dans le multiplicateur.Ex. 1 : en multipliant 325 par 6, on prend 0325 par 6.Ex. 2 : en multipliant 325 par 12, on prend 00325 par 12.

Remarque nº 5 : Quand on divise par deux un chiffre impair, on ne tient pas compte des chiffres après la virgule.Ex. 1 : 3 / 2 = 1,5 donc 1Ex. 2 : 7 / 2 =  3,5 donc 3

Multiplication par des petits nombres

Multiplication par 3 
Règle : 
 Soustraire le chiffre des unités à 10, le multiplier par deux et ajouter 5 s'il est impair.
 Soustraire les autres à 9 (un à la fois), multiplier par deux puis ajouter la moitié du voisin de droite (Attention, on ne prend pas en compte les chiffres après la virgule ; c'est une division entière). Ajouter ensuite 5 si le chiffre est impair.
 Après chaque opération, noter le chiffre des unités du nombre ainsi obtenu et ajouter le chiffre des dizaines au nombre suivant. 
 Une fois cela fait, écrire devant la suite de chiffres obtenue la moitié du chiffre le plus à gauche (du nombre de base ; c'est toujours une division entière), ajouter le dernier chiffre des dizaines que retenu et enfin lui soustraire 2.

Exemple 1  
On veut calculer  x 3 :

On obtient donc un résultat de  x 3 = 15942.

Exemple 2  
On veut calculer  x 3 :

On obtient donc un résultat de  x 3 = 09801 = 9801.

Exemple 3 
On veut calculer  x 3 :

On obtient donc un résultat de  x 3 = 0567 = 567.

Multiplication par 4 
Règle :
 Soustraire le dernier chiffre de 10 et ajouter 5 s'il est impair.
 Soustraire les autres de 9 et ajouter la moitié du voisin de droite et ajouter 5 si le chiffre est impair.
 Prendre la moitié du chiffre de gauche et lui soustraire 1.

Exemple 1  
On veut calculer  x 4 :

On obtient donc un résultat de  x 4 = 21256.

Exemple 2 
On veut calculer  x 4 :

On obtient donc un résultat de  x 4 = 13068.

Multiplication par 5 

Règle : La moitié du voisin de droite, + 5 si le chiffre est impair. Si le multiplicande est impair, recopier 5, s'il est pair recopier 0.

Énoncée d'une manière différente : Chaque chiffre du produit est égal à la moitié du voisin de droite du chiffre du multiplicande occupant la même position, augmenté de 5 si ce dernier est impair. Si le multiplicande est impair, recopier 5, s'il est pair recopier 0.

Exemple 1  
On veut calculer  x .

Le résultat final est donc  x 5 = 2065.

Exemple 2  
On veut calculer  x 5 :

Le résultat final est donc 812 x 5 = 4060.

Exemple 3  
On veut calculer  x 5 :

Le résultat final est donc  x 5 = 25180.

Multiplication par 6 

Règle : Ajouter la moitié du voisin de droite à chaque chiffre, plus 5 si le chiffre est impair et l'éventuelle retenue du rang immédiatement inférieur.

Exemple 1 : 5314 x 6 = ?

 On commence par rajouter un 0 à gauche de 5314 ⇒ 05314 (remarque nº 4)
 On commence par la droite (remarque nº 3)
 4 (n'a pas de voisin de droite) ⇒ 4
 1 + (4 : 2) + 5 (car "1" est impair) = 8
 3 + (1 : 2) + 5 (car "3" est impair) = 8 
 5 + (3 : 2) + 5 (car "5" est impair) = 11 ⇒ 1 et retenue de 1
 0 + (5 : 2) + 1 (retenue précédente) = 3
 résultat de 31884

Exemple 2 : 3267 x 6 = ?

 On rajoute un 0 à gauche de 3267 ⇒ 03267 (remarque nº 4)
 7 (n'a pas de voisin de droite) + 5 (car "7" est impair) = 12 ⇒ 2 et retenue de 1
 6 + (7 : 2) + 1 (retenue précédente) = 10 ⇒ 0 et retenue de 1
 2 + (6 : 2) + 1 (retenue précédente) = 6 
 3 + (2 : 2) + 5 (car "3" est impair) = 9 
 0 + (3 : 2) = 1
 résultat de 19602

Multiplication par 7 

Règle : Doubler chaque chiffre et ajouter la moitié du voisin de droite, + 5 si le chiffre est impair.

Exemple 1 : 5314 x 7 = ?

 On commence par rajouter un 0 à gauche de 5314 ⇒ 05314 (remarque nº 4)
 4 * 2 = 8
 1 * 2 + (4 : 2) + 5 (car "1" est impair) = 9
 3 * 2 + (1 : 2) + 5 (car "3" est impair) = 11 ⇒ 1 et retenue de 1
 5 * 2 + (3 : 2) + 5 (car "5" est impair) + 1 (de retenue) = 17 ⇒ 7 et retenue de 1
 0 * 2 + (5 : 2) + 1 (retenue précédente) = 3
 résultat de 37198

Exemple 2 : 3267 x 7 = ?

 On commence par rajouter un 0 à gauche de 3267 ⇒ 03267 (remarque nº 4)
 7 * 2 + 5 (car "7" est impair) = 19 ⇒ 9 et retenue de 1
 6 * 2 + (7 : 2) + 1 (de retenue) = 16 ⇒ 6 et retenue de 1
 2 * 2 + (6 : 2) + 1 (de retenue) = 8 
 3 * 2 + (2 : 2) + 5 (car "3" est impair) = 12 ⇒ 2 et retenue de 1
 0 * 2 + (3 : 2) + 1 (retenue précédente) = 2
 résultat de 22869

Multiplication par 8 

Règle : Soustraire le dernier chiffre de 10 et doubler le résultat. Soustraire les autres chiffres de 9. Doubler le résultat et ajouter au voisin de droite. Enlever 2 au premier chiffre.

Exemple 1 : 5314 x 8 = ?

 (10 - 4) * 2 = 12 ⇒ 2 et retenue de 1
 (9 - 1) * 2 + 4 + 1 (retenue) = 21 ⇒ 1 et retenue de 2
 (9 - 3) * 2 + 1 + 2 (de retenue) = 15 ⇒ 5 et retenue de 1
 (9 - 5) * 2 + 3 + 1 (de retenue) = 12 ⇒ 2 et retenue de 1
 (5 - 2) + 1 (de retenue) = 4
 résultat de 42512

Exemple 2 : 3267 x 8 = ?

 (10 - 7) * 2 = 6 
 (9 - 6) * 2 + 7 = 13 ⇒ 3 et retenue de 1
 (9 - 2) * 2 + 6 + 1 (de retenue) = 21 ⇒ 1 et retenue de 2
 (9 - 3) * 2 + 2 + 2 (de retenue) = 16 ⇒ 6 et retenue de 1
 (3 - 2) + 1 (de retenue) = 2
 résultat de 26136

Multiplication par 9 

Règle : Soustraire le dernier chiffre de 10, soustraire les autres de 9 et ajouter le résultat au voisin de droite. Soustraire 1 au premier chiffre.

Exemple 1 : 5314 x 9 = ?

 (10 - 4) = 6 
 (9 - 1) + 4 = 12 ⇒ 2 et retenue de 1
 (9 - 3) + 1 + 1 (de retenue) = 8
 (9 - 5) + 3 = 7 
 (5 - 1)  = 4
 résultat de 47826

Exemple 2 : 3267 x 9 = ?

 (10 - 7) = 3 
 (9 - 6) + 7 = 10 ⇒ 0 et retenue de 1
 (9 - 2) + 6 + 1 (de retenue) = 14 ⇒ 4 et retenue de 1
 (9 - 3) + 2 + 1 (de retenue) = 9
 (3 - 1) = ' '2 Résultat de 29403

 Multiplication par 10 

Règle : Rajouter un 0 à droite.

 Multiplication par 11 

Règle : Recopier le dernier chiffre. Additionner 2 par 2 les chiffres voisins. Recopier le premier chiffre du multiplicande. Ajouter l'éventuelle retenue du calcul précédent.

Exemple : 3 422 x 11 = 37 642

 Recopier 2.
 2 + 2 = 4 4 + 2 = 6 3 + 4 = 7 Recopier 3Exemple : 5 781 x 11 = 63 591
 
 Recopier 1.
 8 + 1 = 9 7 + 8 = 15, on retient le 5 et on ajoutera une retenue au calcul suivant
 5 + 7 = 12 + 1 = 13, on retient le 3 et on ajoutera une retenue au calcul suivant
 5 + 1 (retenue) = 6 Multiplication par 12 

Règle : Doubler chaque chiffre avant de l'ajouter à son voisin de droite ( en partant de la droite ). Recopier le premier chiffre (plus éventuellement la retenue).

Exemple 1 : 314 x 12 = 3 768

 4 * 2 = 8 1 * 2 + 4 = 6 3 * 2 + 1 = 7 Recopier 3Exemple 2 : 5267 x 12 = ?

 7 * 2 = 14 ⇒ 4 et retenue de 1
 6 * 2 + 7 + 1 (de retenue) = 20 ⇒ 0 et 2 de retenue
 2 * 2 + 6 + 2 (de retenue)= 12 ⇒ 2 et 1 de retenue
 5 * 2 + 2 + 1 (de retenue) = 13 ⇒ 3 et retenue de 1 
 Recopier 5 + 1 (de retenue) = 6 Résultat de 63204

 Multiplication par 13 

Règle : Tripler chaque chiffre avant de l'ajouter à son voisin de droite. Recopier le premier chiffre (plus éventuellement la retenue).

Exemple 1 : 321 x 13 = 4 173

 1 * 3 = 3 2 * 3 + 1 = 7 3 * 3 + 2 = 11 ⇒ 1 et retenue de 1
 Recopier 3 + 1 (de retenue) = 4Exemple 2 : 1247 x 13 = ?

 7 * 3 = 21 ⇒ 1 et retenue de 2
 4 * 3 + 7 + 2 (de retenue) = 21 ⇒ 1 et 2 de retenue
 2 * 3 + 4 + 2 (de retenue)= 12 ⇒ 2 et 1 de retenue
 1 * 3 + 2 + 1 (de retenue) = 6 Recopier 1
 Résultat de 16211

 Produit en croix 
 Nombres à deux chiffres 
Pour multiplier ab par cd, on calcule de droite à gauche bd, ad+bc (le « produit en croix ») et ac, et on les additionne en tenant compte des décalages.

Exemple : 47 x 53 = ?

 7 * 3 = 21 ⇒ 1 et retenue de 2
 4 * 3 + 7 * 5 + 2 (de retenue) = 49 ⇒ 9 et retenue de 4
 4 * 5 + 4 (de retenue) = 24 
 Résultat  : 2491

 Nombres à trois chiffres 
Pour multiplier abc par def, on calcule de droite à gauche cf, bf+ce, af+be+cd, ae+bd (les « produits en croix ») et ad, et on les additionne en tenant compte des décalages.

Exemple : 247 x 153 = ?

 7 * 3 = 21 ⇒ 1 et retenue de 2
 4 * 3 + 7 * 5 + 2 (de retenue) = 49 ⇒ 9 et retenue de 4
 2 * 3 + 4 * 5 + 7 * 1 + 4 (de retenue) = 37 ⇒ 7 et retenue de 3
 2 * 5 + 4 * 1 + 3 (de retenue) = 17 ⇒ 7 et retenue de 1
 2 * 1 + 1 (de retenue) = 3' Résultat  : 37791

 Référence 
 J. Trachtenberg, The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics''. Doubleday and Company, Inc., Garden City, NY, USA (1960).

Calcul mental