Suite de Fibonacci

En mathématiques, la suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers dans laquelle chaque nombre est la somme des deux nombres qui le précèdent. Elle commence par les nombres 0 et 1 puis se poursuit avec 1 (comme somme de 0 et 1), 2 (comme somme de 1 et 1), 3 (comme somme de 1 et 2), 5 (comme somme de 2 et 3), 8 (comme somme de 3 et 5), etc. Les termes de cette suite, i.e. les nombres apparaissant dans cette suite, sont appelés nombres de Fibonacci. 

La suite de Fibonacci est répertoriée comme . 

Elle est  liée au nombre d'or, noté  (phi), qui intervient dans l'expression du terme général de la suite. Inversement, la suite de Fibonacci intervient dans l'écriture des réduites de l'expression de  en fraction continue : les quotients de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci sont les meilleures approximations du nombre d'or.

Définition formelle 
La suite de Fibonacci  est définie par , et la relation de récurrence  pour . Le tableau suivant donne les 15 premiers termes de la suite de Fibonacci :

Dans cet article, nous avons fait commencer la suite à  avec , comme le fait Edouard Lucas. D'autres auteurs font débuter la suite à 1 : , etc. Le nombre  s'appelle parfois le n-ième nombre de Fibonacci (bien qu'il soit techniquement le n+1-ième si on commence à 0).

Histoire

En Inde 

Dans la branche des mathématiques concernant la combinatoire, les mathématiciens indiens s'intéressent à des problèmes de lexicographie et de métrique. Le  est composé de syllabes pouvant être brèves (de longueur un mātrā,   alphasyllabaire) ou longues (de longueur deux mātrās). La question est de savoir comment peuvent s'alterner les brèves et les longues dans un vers de n mātrās. Ce problème apparaît très tôt en Inde, sous le nom maatraameru (montagne de cadence), dans le travail du grammairien du sanskrit, Pingala, auteur du Chhandah-shastra (l'art de la Prosodie), vers 450 ou 200 av. J.-C. Le mathématicien indien  en a donné des règles explicites au . Le philosophe indien Acharya Hemachandra (c. 1150) (et aussi Gopala, c. 1135) ont revisité le problème de manière assez détaillée.

Si la syllabe longue L est deux fois plus longue que la syllabe courte C, les solutions sont, en fonction de la longueur totale de la cadence :
1 C                                                   → 1 
2 CC,L                                                → 2 
3 CCC, CL, LC                                         → 3 
4 CCCC, CCL, CLC, LCC, LL                            → 5 
5 CCCCC, CCCL, CCLC, CLCC, LCCC, CLL, LCL, LLC        → 8 
Le nombre de cadences fait apparaître les termes de la suite de Fibonacci. En effet, une cadence de longueur n peut être constituée en ajoutant C à une cadence de longueur n – 1, ou L à une cadence de longueur n – 2. Ainsi, le nombre de cadences de longueur n est la somme des deux nombres précédents de la suite.

Si on note , le nombre de manière d'alterner les brèves et les longues dans un vers de n mātrās, cette remarque conduit naturellement à la relation de récurrence suivante :

formule explicitement donnée dans l’œuvre de Virahanka.

Population de lapins 

La suite doit son nom à Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans l'ouvrage Liber abaci publié en 1202, décrit la croissance d'une population de lapins : 

Le problème de Fibonacci est à l'origine de la suite dont le -ième terme correspond au nombre de paires de lapins au -ième mois. Dans cette population idéale, on suppose que :
 au début du premier mois, il n'y a qu'une paire de lapereaux ;
 les lapins ne peuvent procréer qu'à partir de l'âge de deux mois ;
 chaque début de mois, toute paire susceptible de procréer engendre exactement une nouvelle paire de lapereaux ;
 les lapins ne meurent jamais (la suite de Fibonacci est donc croissante).

Notons  le nombre de couples de lapins au début du mois . Jusqu’à la fin du deuxième mois, la population se limite à un couple ; on note .

Dès le début du troisième mois, le premier couple de lapins atteint l'âge de deux mois et engendre un second couple de lapins ; on note alors .

Plaçons-nous maintenant au mois  et cherchons à exprimer ce qu'il en sera deux mois plus tard, soit au mois  : les  couples de lapins sont formés des  couples du mois précédent et des couples nouvellement engendrés.

Or, n'engendrent au mois  que les couples pubères, c'est-à-dire ceux qui existaient déjà deux mois auparavant, qui sont en nombre . On a donc, pour tout entier  strictement positif :
.

On choisit alors de poser , de manière que cette relation soit encore vérifiée pour .

On obtient ainsi la forme récurrente de la suite de Fibonacci : chaque terme de cette suite est la somme des deux termes précédents ; pour obtenir chacun de ces deux termes, il faut faire la somme de leurs termes précédents… et ainsi de suite, jusqu'à ce que ces deux termes soient les deux termes initiaux,  et , qui sont connus.

Expressions 
Il existe plusieurs façons d'obtenir une expression mathématique du -ième terme de la suite de Fibonacci.

Expression fonctionnelle 
Le calcul du -ième terme de la suite de Fibonacci via la formule de récurrence requiert le calcul des termes précédents. Au contraire, une expression fonctionnelle de la suite de Fibonacci est une expression où le calcul du -ième terme ne présuppose pas la connaissance des termes précédents. Binet a redécouvert une formule en 1843, qui avait déjà été obtenue par de Moivre en 1718 et par Euler en 1765. Cette expression fonctionnelle s'appelle la  formule de Binet :

(Ces calculs restent valables pour  entier négatif quand la suite est prolongée comme ci-dessous.)

Quand  tend vers ,  est équivalent à . Plus précisément,  tend vers l'infini et  tend vers zéro car .

En fait, dès le rang , le deuxième terme  est assez petit pour que les nombres de Fibonacci puissent être obtenus uniquement à partir du premier terme :
 est l'entier le plus proche de  (et il lui est supérieur ou inférieur, selon la parité de ).

Il existe d'autres démonstrations de la formule de Binet, telles que la transformation en Z et la technique des fonctions génératrices.

Remarquons qu'une fois découverte, cette formule se démontre aussi par récurrence (y compris pour  entier négatif).

Expression matricielle 
De la relation , on déduit  et ; ceci permet d'écrire la forme matricielle :En appliquant le déterminant, on obtient simplement l'identité de Cassini (propriété 5 ci-dessous) : .

Et en calculant de deux façons , on obtient (propriété 2 ci-dessous) : .

Expression par déterminant d'ordre n - 1 
En développant par rapport à la première colonne le déterminant d'ordre n :
, on obtient  ; comme , si , on obtient :  d'où, pour :

Limite des quotients 

Comme l'avait déjà remarqué Johannes Kepler, le taux de croissance des nombres de Fibonacci, c'est-à-dire , converge vers le nombre d'or .

En effet, puisque la suite  est équivalente à  (cf. supra, section Expression fonctionnelle), la suite
 est équivalente à , qui est donc sa limite.

En fait plus généralement, toutes les suites vérifiant la même relation de récurrence que la suite de Fibonacci (cf. infra, section Suites de Fibonacci généralisées) satisfont cette propriété, sauf celles commençant par  et .

Série des inverses de termes de la suite de Fibonacci 
 La série des inverses des nombres de Fibonacci non nuls est convergente, et sa somme  est parfois appelée constante de Fibonacci inverse ; Richard André-Jeannin en a démontré l'irrationalité  en 1989.
 On a également l'égalité , voir la .
 Le nombre  est lui aussi irrationnel, voir la suite .

Bases et espaces vectoriels 

 La dénomination de « suite de Fibonacci généralisée » est attribuée plus généralement à toute suite  définie sur ℕ vérifiant pour tout entier naturel , . Ces suites sont précisément celles pour lesquelles il existe des nombres  et  tels que pour tout entier naturel , . Ainsi, l'ensemble des suites de Fibonacci est un sous-espace vectoriel de et les suites  et  en forment une base.
 Le nombre d'or est la racine positive du polynôme , ainsi . Si l'on multiplie les deux côtés par , on obtient , donc la suite  est une suite de Fibonacci. La racine négative du polynôme, , possède les mêmes propriétés, et les deux suites linéairement indépendantes  et , forment une autre base de l'espace vectoriel.

Interprétations combinatoires

Dénombrements de compositions 
 est égal au nombre de suites finies d'entiers égaux à 1 ou 2 dont la somme est égale à  (ou compositions de  formées des entiers 1 ou 2) . Par exemple  car . On peut donc interpréter  comme :
 le nombre de façons différentes de paver un rectangle 2× au moyen de dominos 2×1,
 le nombre de façons de vider un tonneau de  litres à l'aide de bouteilles de un ou deux litres.
Démonstration : les compositions de  se terminant par 1 sont obtenues en ajoutant 1 à la fin d'une composition de , celles se terminant par 2 sont obtenues en ajoutant 2 à la fin d'une composition de , donc le nombre  de compositions de  vérifie . De plus,  (la composition vide),  (la composition (1)), ce qui montre la relation.

Dénombrements de suites de pile ou face 
 est égal au nombre de jeux de pile ou face de longueur  qui ne contiennent pas 2 "pile" consécutifs.

Démonstration : pour former un jeu de longueur  qui ne contient pas 2 "pile" consécutifs on peut commencer par 0, et continuer avec un jeu de longueur  du même type, soit commencer par 1, 0 et continuer avec un jeu de longueur  du même type, donc le nombre  de tels jeux vérifie  ; De plus,  ( jeu de longueur nulle),  ((1) et (0)), ce qui montre la relation.

On en déduit que  est aussi le nombre de parties de  ne contenant pas 2 entiers consécutifs.

Algorithmes de calcul des nombres de Fibonacci 
Le calcul des nombres de Fibonacci est souvent donné en exemple pour introduire des notions d'algorithmique, comme dans le chapitre 0 du livre Algorithms de Dasgupta  ou alors dans le problème 31.3 laissé en exercice dans Introduction à l'algorithmique de Cormen  ou l'exercice 2 de la section 1.2.8 de TAOCP, qui est précisément consacrée aux nombres de Fibonacci.

Avec la formule de Binet 

Calculer les nombres de Fibonacci à partir du nombre d'or est une possibilité très pratique. Néanmoins, la précision de calcul de la racine carrée génère des erreurs d'arrondis pour des valeurs assez grandes dépendant du système utilisé. En général, on obtient les bonnes valeurs jusqu’à , sur ordinateur ou sur calculatrice.

Notons qu’au-delà de , les calculs dépassent les possibilités de calcul en notation entière, et sont alors représentés en notation scientifique. Les premiers chiffres significatifs sont alors de nouveau bien représentés par cette formule.

Détail d’un exemple d'application faisable à partir d'une calculatrice : calcul de .

Le nombre d’or vaut  et d'après la formule de Binet,  est l'entier le plus proche du réel , qui le dépasse à peine. Compte tenu de l'ordre de grandeur de ce réel, le théorème des accroissements finis permet de s'assurer que pour le calculer à 0,5 près par défaut,  est une approximation suffisante de .

On trouve que le réel ()50/ est à peine inférieur à l'entier , d'où
,

si bien que
.

Algorithme récursif naïf 

Voici la mise en œuvre récursive naïve qui suit la définition de la suite de Fibonacci.
 // entrée : un nombre entier n
 // sortie : le terme de rang n de la suite de Fibonacci
 fonction fib(n)
     si n = 0
         renvoyer 0
     sinon si n = 1
         renvoyer 1
     sinon
         renvoyer fib(n - 1) + fib(n - 2)

Ce n'est cependant pas une façon judicieuse de calculer la suite de Fibonacci, car on calcule de nombreuses fois les mêmes valeurs. Le temps de calcul est exponentiel en , à moins d'employer une technique de mémoïsation.

Algorithme polynomial 

On calcule le -ième terme de la suite de Fibonacci en mémorisant deux termes consécutifs de la suite. On commence avec les deux premières valeurs  et , puis on remplace répétitivement le premier nombre par le second, et le second nombre par la somme des deux.
 fonction fib(n)
     (a, b) ← (0, 1)
     pour i de 1 à n
         (a, b) ← (b, a + b)
     renvoyer a

L'algorithme réalise  additions. On peut montrer que le -ième terme de la suite de Fibonacci s'écrit avec  bits. Comme l'addition de deux nombres sur  bits est linéaire en , l'algorithme est en . De manière équivalente à l'algorithme ci-dessus, on peut écrire une fonction récursive terminale, c'est-à-dire où la dernière opération effectuée par la fonction est un appel récursif. Voici un algorithme récursif terminal pour calculer la suite de Fibonacci.
 fonction fib(n, a, b)
     si n = 0
         renvoyer a
     sinon si n = 1
         renvoyer b
     sinon
         renvoyer fib(n - 1, b, a + b)

L'appel à fib(n, 0, 1) lance le calcul pour la valeur de n donnée. Les paramètres a et b sont des accumulateurs : la valeur de a est  et celle de b est . Le temps de calcul est à chaque fois proportionnel à . Par contre, l'espace mémoire occupé n'est a priori plus constant. Pour les langages qui réalisent l'optimisation d'élimination de la récursivité terminale, la mémoire occupée est constante.

Algorithme corécursif 
En Haskell, on peut définir la suite de Fibonacci comme un stream (une liste infinie qui est évaluée de façon paresseuse).
 fibs = 0:1:zipWith (+) fibs (tail fibs)

Le calcul du n-ième terme s'effectue avec : 
 fibs !! n

Algorithme avec expression matricielle 

Comme vu ci-dessus,, on écrit un algorithme qui utilise l'exponentiation rapide pour calculer , afin d'en déduire le n-ième terme. Si on considère les additions et multiplications de nombres comme des opérations élémentaires, en coût constant, l'algorithme est logarithmique en n. En comptabilisant la complexité des additions et multiplications, on peut montrer que la complexité de cet algorithme est en O(M(n) log n), et même O(M(n)), où M(n) est la complexité de l'algorithme utilisée pour réaliser une multiplication de deux nombres sur n bits (voir exercice 0.4 dans ).

Série génératrice 
La série génératrice de la suite de Fibonacci donne une série entière dont le rayon de convergence vaut 1/ (d'après le théorème de Cauchy-Hadamard ou plus simplement, la règle de d'Alembert). Pour tout complexe  de module strictement inférieur à , la série correspondante (absolument convergente) est égale à

(donc à , où les coefficients binomiaux  sont nuls pour ).

En particulier, pour tout réel ,

Propriétés de la suite de Fibonacci 
La suite de Fibonacci présente de remarquables propriétés. Leur recherche et leur étude font l'objet de publications régulières, notamment par l'association d'universitaires  « The Fibonacci Association » dans sa revue « The Fibonacci Quarterly », consultable en ligne. Certaines de ces propriétés, que l'on peut démontrer à partir de la formule de Binet, ou par récurrence ou encore à l'aide de l'expression matricielle de la suite, sont indiquées dans cette section. Nous  donnons également quelques propriétés liant la suite de Fibonacci et la suite de Lucas ( ) définie par la même relation de récurrence mais avec pour initialisation  et , et pour laquelle l'analogue de la formule de Binet est : .

Propriété 1 : , ou encore : .
C'est un cas particulier des identités remarquables vérifiées par les suites récurrentes linéaires d'ordre 2  

Propriété 2 : .
C'est le cas  de la propriété 1. On peut aussi la démontrer à l'aide de l'expression matricielle :

Propriété 3 : .
C'est le cas  de la propriété 2.

Propriété 4 : (identité d'Ocagne).
C'est le cas  de la propriété 1.

Propriété 5 :  (identité de Catalan) et  (identité de Cassini).
L'identité de Catalan est le cas  de la propriété 1. L'identité de Cassini est le cas  de celle de Catalan (c'est donc aussi le cas  de la propriété 4). L'identité de Cassini peut aussi se démontrer à l'aide de l'expression matricielle :

Corollaire 1 : .

Corollaire 2 : .

Propriété 6 : La suite de Fibonacci est à divisibilité faible : .
Cela résulte de la propriété 2.

On peut aussi démontrer cette propriété par la proposition 4 (par récurrence sur ), ou par un calcul explicite du quotient (en particulier, 

Propriété 7 : Pour tout entier naturel  différent de 4, si  est premier, alors  est premier.

La réciproque est fausse, car 2 est premier alors que  ne l'est pas ; de façon moins triviale, .

Propriété 8 : La suite de Fibonacci est même à divisibilité forte : , où ∧ désigne le PGCD de nombres entiers.
En particulier pour tout entier ,  et  sont premiers entre eux .

Propriété 9 : . En particulier :
.
L'égalité est immédiate si . Pour , c'est le cas particulier  de la propriété 1.

Propriété 10 : .

Propriété 11 : La suite de Fibonacci possède plusieurs propriétés de récurrence additive forte, notamment : .

La suite  vérifie en outre :  pour  ; voir la .

Propriété 12 :  (somme finie car les coefficients binomiaux  sont nuls si  ou si ).

Cette propriété se déduit immédiatement de l'expression de la série génératrice . On peut aussi la démontrer par une récurrence d'ordre 2 sur  :

 Initialisation 
(n = 0) :  et 
(n = 1) :  et 
 Hypothèses de récurrence : 
 au rang n,  
 au rang n + 1, 
 Hérédité (rang n + 2) :
 (formule du triangle de Pascal)
 (hypothèse de récurrence, changement de variable )
 (hypothèse de récurrence)
 (définition de la suite de Fibonacci).

Cela signifie que, dans un triangle de Pascal, les nombres de Fibonacci s'obtiennent en sommant les termes situés sur une diagonale (du bas vers la droite). Les termes de ces diagonales sont d'ailleurs les coefficients des polynômes de Fibonacci ; ainsi,  et .

Propriété 13 : .

Cette propriété découle du développement binomial de la formule de Binet ; on a d'ailleurs une formule analogue pour les nombres de Lucas : .

Propriété 14 : La suite  définie par  vérifie.
Propriété 15 : La factorisation des polynômes de Fibonacci permet d'exprimer les  (pour ) sous forme de  produits trigonométriques :

Arithmétique

Divisibilité des nombres de Fibonacci 
Une première approche de la question de la divisibilité de  par un entier a consiste à étudier la suite des restes de  modulo a : cette suite (r) vérifie (dans Z/aZ) la même récurrence  et est donc périodique de période au plus a (les longueurs des périodes en fonction de a forment la suite des périodes de Pisano, ) ; on en déduit que pour tout a, il existe  inférieur ou égal à a tel que  (et donc ) soit divisible par a. Plus précisément, l'étude de cette récurrence dans le corps Z/pZ (où p est un nombre premier) amène à des formules analogues à la formule de Binet, d'où l'on déduit finalement (selon que 5 est ou n'est pas un carré modulo p ; voir la loi de réciprocité quadratique) que  est divisible par 5, et que si p est premier autre que 5,  est divisible par p si p est de la forme 5m + 1 ou 5m + 4, et  est divisible par p sinon. Des résultats plus précis peuvent d'ailleurs être obtenus ; ainsi, dans le premier cas,  est divisible par p si (p – 1)/2 est pair. Enfin, si p > 2 est premier et  divise , pk divise , et 2k+1 divise  (si k>1) ; ces derniers résultats sont des  conséquences du lemme de Hensel ; les mêmes méthodes permettent d'obtenir des résultats analogues pour les nombres de Lucas.

Primalité des nombres de Fibonacci 

Un nombre premier de Fibonacci est un nombre de Fibonacci qui est également premier.

Les sept plus petits nombres premiers de Fibonacci  sont 2, 3, 5, 13, 89, 233 et , et les indices  correspondants sont 3, 4, 5, 7, 11, 13 et 17 (sauf pour , ces indices sont nécessairement premiers)  .

On découvre au fil des ans des nombres de Fibonacci premiers de plus en plus grands, mais on ignore toujours s'il en existe une infinité.

Décomposition d'un entier en somme de nombres de Fibonacci 

Tout entier positif se décompose de manière unique en la somme de nombres de Fibonacci d'indice supérieur ou égal à 2, les indices successifs de ces nombres ayant une différence supérieure ou égale à 2 lorsqu'ils sont rangés dans l'ordre.

Exemple
.

Applications

En mathématiques 
 La suite de Fibonacci apparaît dans de nombreux problèmes de dénombrement. Par exemple, le terme d'indice n (pour n supérieur ou égal à 2) de la suite de Fibonacci permet de dénombrer le nombre de façons de parcourir un chemin de longueur n-1 en faisant des pas de 1 ou 2. Ce problème est également équivalent au problème de bin packing pour n articles de longueur 1 ou 2, tel qu'on le trouve par exemple dans The Art of Computer Programming de Donald Knuth.
 Les nombres de Fibonacci interviennent dans l'étude de l'exécution de l'algorithme d'Euclide qui détermine le plus grand commun diviseur de deux entiers.
Ils sont l'outil (grâce à la propriété 8 et la factorisation de ) d'une démonstration originale du théorème d'Euclide sur les nombres premiers.
 Youri Matiiassevitch a montré que les nombres de Fibonacci pouvaient être définis par une équation diophantienne, ce qui a conduit à la résolution du dixième problème de Hilbert. En 1975, Jones en a déduit que, pour des valeurs de x et y entières positives ou nulles, les valeurs positives du polynôme  étaient exactement les nombres de Fibonacci. Ces valeurs positives s'obtiennent d'ailleurs en attribuant pour valeurs à x et y deux nombres de Fibonacci successifs.
 Les nombres de Fibonacci apparaissent dans la formule des diagonales du triangle de Pascal (voir Propriétés, Propriété 12).

 Une bonne approximation d'un rectangle d'or peut être construite à l'aide de carrés dont les côtés sont égaux aux nombres de Fibonacci.

 Une spirale logarithmique peut être approchée de la manière suivante : on commence à l'origine d'un repère cartésien, on se déplace de  unités vers la droite, puis de  unités vers le haut, on se déplace de  unités vers la gauche, ensuite de  unités vers le bas, puis de  unités vers la droite, etc. Cela ressemble à la construction mentionnée dans l'article sur le nombre d'or.
 Les nombres de Fibonacci apparaissent souvent dans la nature lorsque des spirales logarithmiques sont construites à partir d'une unité discrète, telles que dans les tournesols ou dans les pommes de pin. Le nombre de pétales de la marguerite (et d'autres fleurs composées comme le tournesol) appartient à la suite de Fibonacci : souvent 34, 55 ou 89. Cela s'explique par le mécanisme de développement de la plante (voir le paragraphe « Phyllotaxie » de l'article sur le nombre d'or).

Informatique 
 La suite de Fibonacci est utilisé comme outil mathématique dans l'analyse de la complexité pire cas de l'algorithme du simplexe.
 La suite de Fibonacci intervient dans les tas de Fibonacci.

Biologie 
La plupart des êtres vivants sexués sont issus de deux parents, de sorte que leurs ancêtres à la n génération, supposés distincts, sont au nombre de 2n. Mais les hyménoptères sont tels que les femelles sont issues de deux parents, et les mâles sont issus d'une mère seulement. Il en résulte que leurs ancêtres à la n-ième génération sont constitués : Cette forme de reproduction asexuée décrit exactement la reproduction des abeilles. Récemment, une analyse mathématique et historique du contexte de Fibonacci et sa proximité de la ville de Béjaïa, une grande source de cire à l'époque (la version française du nom de cette ville est Bougie), a suggéré que ce seraient en fait les apiculteurs de Béjaïa et la connaissance de la reproduction des abeilles qui, plutôt que la reproduction des lapins, auraient  inspiré la découverte de Fibonacci .

Art 
En poésie, un fib est un petit poème, sorte de haïku, dont le nombre de pieds des premiers vers correspond aux premiers nombres de la suite (1, 1, 2, 3, 5, 8).

Généralisations 

Il existe plusieurs façons de généraliser la suite de Fibonacci : étendre aux indices négatifs, modifier les valeurs initiales, modifier les coefficients de la relation de récurrence ou modifier le nombre de termes (ou ordre) de la relation de récurrence. Si on modifie tout à la fois (initialisation, récurrence, ordre) on arrive à l'ensemble général des suites à récurrence linéaire. Un bon nombre de propriétés se généralisent au cas où le polynôme minimal de la suite récurrente linéaire définit un nombre de Pisot. Ces propriétés ont été étudiées en lien avec la théorie des automates finis (sur les mots finis et les mots infinis) dans la thèse d'État de Christiane Frougny sur la représentation des entiers et des réels en base Pisot, sur une suggestion de Marcel-Paul Schützenberger.

Extension aux indices négatifs 
La suite est étendue aux indices négatifs et Knuth parle de nombres de negafibonacci. La formule de récurrence les définit aussi de proche en proche :

Ainsi, autour de 0, la suite est :

On remarque, sur ces premières valeurs, que
 si  est pair alors 
 si  est impair alors 
ou plus synthétiquement :
.
On peut le démontrer pour tout entier , par la formule de Binet ci-dessus, ou directement par récurrence.

Suites de Fibonacci généralisées 

On appelle suite de Fibonacci généralisée toute suite définie par la même relation de récurrence que la suite de Fibonacci, mais dont les termes initiaux sont différents de 0 et 1. Sur le modèle de la démonstration donnée plus haut (voir section Expression fonctionnelle), une telle suite  est encore de la forme  où  est le nombre d'or et . Elle est donc équivalente à , sauf si  (ce qui ne se produit que si ), si bien que (comme la suite des quotients de la suite de Fibonacci) la suite  converge vers .

Parmi ces suites de nombres, il faut signaler les nombres de Lucas obtenus en choisissant comme initialisation :  et . Cela donne la suite 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,… On trouve parfois une initialisation   et  qui ne consiste qu'à décaler la suite d'un rang. Ces nombres interviennent dans la résolution d'équations diophantiennes. Ils sont très liés à la suite de Fibonacci par la relation suivante :  pour tout  entier  (voir Propriétés, Propriété 9).

Suites de Lucas 
Ce sont les suites où la relation de récurrence a changé et est est devenue 
.
Elles sont de deux types, notés  et , selon que l'initialisation est  et  ou qu'elle est  et .
 
La suite de Fibonacci et la suite des nombres de Lucas sont les suites  et  de Lucas de paramètres  et .

Suites de k-bonacci 

Ce sont des suites dont la relation de récurrence est d'ordre k. Un terme est la somme des k termes qui le précèdent

Parmi ces suites, on distingue la suite de Tribonacci (récurrence d'ordre 3) et la suite de Tetranacci (récurrence d'ordre 4). Selon ce nouveau classement de suites, la suite de Fibonacci est une suite de 2-bonacci.

Dans la nature 

La suite de Fibonacci apparaît sous de nombreuses formes biologiques, comme la ramification des arbres, la disposition des feuilles sur une tige, les fruits de l'ananas, la floraison de l'artichaut, le déroulement des feuilles de fougères, la disposition d'une pomme de pin, la coquille de l’escargot et la disposition des nuages lors des ouragans. Quant aux marguerites, elles ont le plus souvent un nombre de pétales issu de la suite de Fibonacci.

Chez les Astéracées, dans les inflorescences en capitule, la disposition des fleurons sur le réceptacle forme des spirales régulières, dextres et sénestres, qui suivent les règles de la phyllotaxie dans lesquelles on peut retrouver la suite de Fibonacci.

Les abeilles domestiques ont une reproduction haplodiploïde : un œuf non fécondé donnera un mâle et un œuf fécondé donnera une ouvrière ou une reine. Ainsi, un mâle aura une mère, quand les ouvrières et reine auront une mère et un père. Par conséquent, le pedigree d'un mâle est constitué d'un parent, de deux grands-parents, de trois arrière-grands-parents, de cinq arrière-arrière-grands-parents, etc. ; il s'agit d'une suite de Fibonacci.

Dans la culture

Peinture 

Dans son tableau Parade de cirque, peint en 1887-1888, Georges Seurat emploie les premiers termes de la suite : un personnage central, deux personnages à droite, trois musiciens, cinq banderoles ou cinq spectateurs en bas à gauche, huit à droite, treize en tout.

Littérature

Cinéma

Télévision

Musique 
 Le groupe de metal progressif Tool structure le rythme de certaines parties du morceau Lateralus selon une suite de Fibonacci.
 La chanteuse suisse pour enfants Sonia Grimm a publié sur son album Un petit lapin une chanson intitulée Le lapin de Fibonacci. Cette chanson présente aux enfants le nombre d'or et la suite de Fibonacci à travers l'exemple de la croissance d'une population de lapins.
 Selon Ernő Lendvaï, le compositeur Béla Bartók s'est régulièrement servi du nombre d'or et de la suite de Fibonacci dans ses œuvres. L'exemple le plus emblématique serait sa Musique pour cordes, percussion et célesta. Cependant, d'autres spécialistes de Bartók ont critiqué cette interprétation.
 Le compositeur Iannis Xenakis a plusieurs fois utilisé la suite de Fibonacci : dès 1952 en tentant de créer une "image auditive" de cette série, puis dans quelques compositions : Zygia en 1952 et Le Sacrifice en 1953.
 Sur la guitare de Robert Smith, chanteur de The Cure, pour la tournée 2016 du groupe, figure le début de la suite de Fibonacci.

Architecture 
Le Corbusier et son Modulor, une mesure harmonique à l'échelle humaine applicable universellement à l'architecture et à la mécanique.

Mario Merz, Suite de Fibonacci, commande publique artistique, 1994, Strasbourg.

Jeux et jeux vidéo 
Dans le jeu , la suite de Fibonacci apparaît en tant que petite comptine chantée par la petite Sunny.

Dans le jeu Watch Dogs, la suite de Fibonacci est introduite dans l'algorithme de Bellwether, capable de transmettre un message subliminal à travers le système ctOS.

Dans le jeu Elite sur BBC Micro, les développeurs ont utilisé la suite de Fibonacci pour permettre au jeu de tenir dans 22 ko. Le jeu génère donc aléatoirement la galaxie, mais il peut ensuite la générer exactement de la même façon lorsqu'une partie est sauvegardée puis rechargée.

Le jeu de société « 4.6.Suite » (jeu de cartes) est basé sur les suites numériques et notamment sur les suites de Fibonacci.

Informatique 
En méthodologie scrum, la suite de Fibonacci est utilisée pour chiffrer les développements lors du planning poker.

Curiosité 
La suite de Fibonacci peut servir à mémoriser des conversions de milles américains en kilomètres. En effet, , or le nombre d'or  et  donc on peut utiliser la formule approchée : , éventuellement multipliée par une constante.

Par exemple,  (en fait 4,8 km), donc ,  donc  et , .

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie 
  Hrant Arakelian, , Logos 2014, 404 p.  (rus.)
 
 , Caractères de divisibilité — Suite de Fibonacci, coll. Initiation aux Mathématiques, Éditions Mir, Moscou, 1973
 , § 6.6 p. 309.

Articles connexes 
 Généralisations de la suite de Fibonacci
 Groupe de Fibonacci
 Mot de Fibonacci
 Codage de Fibonacci
 The Fibonacci Association

Liens externes 
 Divisibilité des nombres de Fibonacci
 Suite de Fibonacci et nombre d'or dans l'ensemble de Mandelbrot
 Suite de Fibonacci dans le dictionnaire des nombres
 
 , conférence de Benoît Rittaud à la Cité des sciences et de l'industrie
 
 

Fibonacci
Combinatoire
Nombre d'or