Logarithme

En mathématiques, un logarithme est la fonction réciproque d'une exponentiation, c'est-à-dire que le logarithme de base  d'un nombre réel  strictement positif est la puissance à laquelle il faut élever la base  pour obtenir ce nombre.

Dans ce cas, le plus simple, le logarithme est le nombre entier qui compte les répétitions de la base multipliée par elle-même. Dans cette opération, multiplier un nombre par la base équivaut à ajouter 1 à son logarithme. L'exponentiation généralise cette opération de multiplication par soi-même à des puissances intermédiaires entre les entiers, qu'on exprime en nombres réels.

Le logarithme de base  du nombre  se note . Si la base est évidente d'après le contexte, ou si elle n'a pas d'importance, on peut écrire simplement . Par définition, .

John Napier a développé les logarithmes au début du . L'utilité du logarithme pour le calcul vient du fait que la fonction logarithme transforme un produit en somme : .  Pendant trois siècles, la table de logarithmes et la règle à calcul, fondée sur une échelle logarithmique, ont servi pour le calcul, jusqu'à leur remplacement, à la fin du , par des calculatrices.

Le logarithme permet en outre de présenter sous une forme concise des relations entre nombres d'ordre de grandeur très différents.

Trois fonctions logarithmes sont d'usage courant :
 Le logarithme népérien  (ou naturel) dont la base est le nombre , est fondamental en analyse mathématique car il est la primitive de la fonction  s’annulant en 1 et la fonction réciproque de la fonction exponentielle ; il est souvent noté  sauf en informatique ou en théorie des nombres où   sans autre précision signifie en général logarithme népérien ;
 Le logarithme décimal, dont la base est 10, reste le plus communément utilisé pour les calculs dans le domaine technologique ainsi qu'en chimie pour le calcul de pH.
 Le logarithme binaire, dont la base est 2, est utile en informatique théorique et pour certains calculs appliqués.

Le logarithme complexe généralise la notion de logarithme aux nombres complexes.

Motivation 
Une échelle logarithmique permet de représenter sur un même graphique des nombres dont l'ordre de grandeur est très différent. Les sciences appliquées les utilisent fréquemment dans les formules, comme celles qui évaluent la complexité des algorithmes ou des fractales et celles qui dénombrent les nombres premiers. Ils décrivent les intervalles musicaux et selon le modèle de Weber-Fechner s'appliquent généralement en psychophysique.

Tout logarithme transforme
 un produit en somme : 
 un quotient en différence : 
 une puissance en produit :

Historique 

Vers la fin du , le développement de l'astronomie et de la navigation maritime d'une part et les calculs bancaires d'intérêts composés d'autre part, poussent les mathématiciens à chercher des méthodes de simplification de calculs et en particulier le remplacement des multiplications par des sommes.

Utilisant les tables trigonométriques, les mathématiciens Paul Wittich et Christophe Clavius (dans son traité ) établissent des correspondances entre produit ou quotient d'une part et somme, différence et division par deux d'autre part, pour des nombres de 0 à 1 à l'aide de relations trigonométriques, méthode dite de prostaphérèse.

Quelques années plus tard Simon Stévin, intendant général de l'armée hollandaise, met au point des tables de calculs d'intérêts composés. Jost Bürgi poursuit ce travail et publie en 1620, dans son , une table de correspondance entre  et . À une somme dans la première colonne correspond ainsi un produit dans la seconde colonne.

En 1614, John Napier (ou Neper) publie son traité . Il ne songe pas qu’il est en train de créer de nouvelles fonctions, mais seulement des tables de correspondance ( = rapport, relation,  = nombre) entre deux séries de valeurs telles qu'à un produit dans une colonne correspond une somme dans une autre. La notation Log comme abréviation de logarithme apparaît en 1616 dans une traduction anglaise de l'œuvre de Neper. En 1619, paraît son œuvre posthume , où il explique comment construire une table de logarithmes.

Le mathématicien anglais Henry Briggs poursuit ce travail et publie en 1624 ses tables de logarithmes décimaux () à 14 chiffres des nombres compris entre 1 et  et entre  et . Il indique les méthodes d’emploi des tables pour calculer des sinus ou les angles à partir de leur tangente… La même année, Johannes Kepler publie  construites en utilisant un procédé géométrique. Ezechiel de Decker et Adriaan Vlacq complètent la table de Briggs en 1627

En 1647, Grégoire de Saint-Vincent, travaillant sur la quadrature de l’hyperbole, définit la fonction primitive de la fonction  s’annulant en 1. Huygens remarquera en 1661 que cette fonction se trouve être une fonction logarithme particulière : le logarithme naturel.

La correspondance entre les fonctions exponentielle et logarithme n’apparaît qu'après le travail de Leibniz sur la notion de fonction, en 1697.

Propriétés des fonctions logarithmes 
Dans cette section, nous donnons des propriétés d'une fonction logarithme, quelle que soit sa base .

Propriétés algébriques 

Les fonctions logarithme sont par définition les morphismes continus non constamment nuls de  vers .

Pour tout réel  strictement positif et différent de 1, le logarithme de base  :  est la fonction continue définie sur  vérifiant l'équation fonctionnelle :
 pour tous  et  réels strictement positifs,
 
et

Cette définition permet de déduire rapidement les propriétés suivantes :
 
 
 
  pour tout entier naturel , puis pour tout entier relatif 
  pour tout rationnel .

Comme tout réel strictement positif  est la limite d'une suite dont le terme général est de la forme , où  est une suite de rationnels convergeant vers un réel , on détermine  comme étant la limite de .

Changement de base 
Deux fonctions logarithmes ne diffèrent que d’une constante multiplicative : pour tous réels strictement positifs  et  différents de 1 et pour tout réel ,
 .

Toutes les fonctions logarithmes peuvent donc s’exprimer à l’aide d’une seule, par exemple la fonction logarithme népérien : pour tout réel strictement positif  différent de 1 et pour tout réel ,
.

Dérivée 
La fonction  est dérivable sur  de dérivée :
 qui a même signe que .
Donc la fonction  est strictement monotone, croissante quand  est supérieur à 1, décroissante dans le cas contraire.

Nombre de chiffres avant la virgule 
Si  est un entier supérieur ou égal à 2 et , la représentation propre de  en base  possède  chiffres avant la virgule si et seulement si , soit . Le nombre de chiffres  est donc égal à .

Et lorsque  tend vers l'infini, on a donc .

Fonction réciproque (antilogarithme) 

La fonction  est la bijection réciproque de la fonction exponentielle de base , parfois appelée antilogarithme de base  :
.

Autrement dit, les deux façons possibles de combiner (ou composer) les logarithmes et l’élévation à des puissances redonnent le nombre original :
pour tout réel , prendre la puissance  de , puis le logarithme en base  de cette puissance, redonne  : ;
inversement, pour tout réel  strictement positif, prendre d'abord le logarithme en base , puis élever  à sa puissance, redonne  :

Les fonctions réciproques sont étroitement liées aux fonctions originales.
Leurs graphes, qui se correspondent lorsqu’on échange les coordonnées  et  (ou par réflexion par rapport à la diagonale ), sont montrés à droite dans le cas où  est un réel strictement supérieur à 1 : un point  sur le graphe (rouge) de la fonction antilogarithme  fournit un point  sur le graphe (bleu) du logarithme et vice versa. Comme , la fonction  est croissante et quand  tend vers ,  tend vers , tandis que lorsque  approche zéro,  tend vers . Dans le cas où le réel  est strictement compris entre 0 et 1, la fonction  est décroissante et ces limites sont interverties.

En matière de calcul, l'antilog ramène des logarithmes aux valeurs. Soit à évaluer une formule  combinant multiplications, divisions et exponentiations, et soit  la formule définissant le logarithme de  en combinant sommes, différences et produits des (logarithmes) des données. La valeur de  peut s'obtenir comme l'antilog de la valeur de , ce qui conclut le calcul. On peut ainsi remplacer l'évaluation 
par .

Fonctions logarithme courantes

Logarithme népérien 

Le logarithme népérien, ou logarithme naturel, est la fonction logarithme dont la dérivée est la fonction inverse définie de  dans  : .

La fonction de Neper est par convention notée «  » ou «  », notation couramment utilisée en théorie des nombres et en informatique.

La base de la fonction logarithme népérien, notée e, est appelée nombre de Néper ou nombre d'Euler.

Une valeur approchée est :
.

Logarithme décimal 

C’est le logarithme le plus pratique dans les calculs numériques manuels, il est noté  ou . La norme ISO 80000-2 indique que log10 devrait être noté lg, mais cette notation est rarement utilisée.

On le retrouve dans la création des échelles logarithmiques, les repères semi-logarithmiques ou log-log, dans la règle à calcul, dans le calcul du pH, dans l’unité du décibel.

Il précise à quelle puissance il faut élever 10 pour retrouver le nombre de départ : l'image d'un nombre par  est l'entier relatif auquel il faut élever 10 pour obtenir l'antécédent. Par exemple :
 En base 10 :
 
 
 
 

La valeur du logarithme d’autres nombres que des puissances de 10 demande un calcul approché. Le calcul de  par exemple peut se faire à la main, en remarquant que 2 ≈ 1000 donc  donc .

Pour tout réel strictement positif  différent de 1 et pour tout réel ,
.

Logarithme binaire 

La norme ISO  recommande de noter  le logarithme en base 2.

Le logarithme binaire, d'usage spécialisé dans le calcul des intervalles musicaux à partir d'un rapport de fréquences, pour obtenir des octaves, des demi-tons ou des cents, a trouvé beaucoup plus d'application en informatique. Les ordinateurs travaillant en système binaire, le calcul d'un logarithme en base 2 se fait par l'algorithme le plus précis et le plus efficace.

Un nombre x codé en virgule flottante binaire se décompose en une mantisse m, comprise entre 1 (inclus) et 2 (exclu) et un exposant p, indiquant la puissance de 2 qui multiplie la mantisse pour obtenir le nombre. L'exposant est la partie entière du logarithme binaire, tandis que le logarithme binaire de la mantisse est compris entre 0 (inclus) et 1 (exclu).
 

Ce qui ramène le calcul à celui du logarithme binaire d'un nombre entre 1 (inclus) et 2 (exclu). Si on multiplie ce nombre par lui-même, et que le résultat dépasse 2, c'est que le nombre est supérieur à  : le chiffre suivant, après la virgule, est un 1, dans le cas contraire, c'est un 0. On continue par itération jusqu'à la précision souhaitée.

Les deux logarithmes précédents se déduisent de celui-ci par :
 .

Cologarithme 

Le cologarithme d'un nombre est l'opposé du logarithme de ce nombre et le logarithme de son inverse : .

Généralisations 
Le logarithme complexe est la fonction réciproque de l'exponentielle complexe et généralise ainsi la notion de logarithme aux nombres complexes. Le logarithme discret généralise les logarithmes aux groupes cycliques et a des applications en cryptographie à clé publique.

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

Applications pratiques

Liens externes 

 Simone Trompler, Histoire des logarithmes, publié en ligne en 2002 par l’Université libre de Bruxelles