Indicatrice d'Euler

En mathématiques, l'indicatrice d'Euler est une fonction arithmétique de la théorie des nombres, qui à tout entier naturel  non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et  (inclus) et premiers avec .

Elle intervient en mathématiques pures, à la fois en théorie des groupes, en théorie algébrique des nombres et en théorie analytique des nombres.

En mathématiques appliquées, à travers l'arithmétique modulaire, elle joue un rôle important en théorie de l'information et plus particulièrement en cryptologie.

L'indicatrice d'Euler est aussi appelée indicateur d'Euler, fonction phi d'Euler ou simplement fonction phi, car la lettre  (ou ) est communément utilisée pour la désigner.

Elle porte le nom du mathématicien suisse Leonhard Euler, qui fut le premier à l'étudier.

Histoire et notation 

Leonhard Euler a le premier étudié cette fonction dans les années 1750, mais tout d'abord sans lui donner de nom. Ce n'est qu'en 1784, dans un article où il reprend l'étude de cette fonction, qu'il utilise pour la dénoter la lettre grecque , sans parenthèses autour de l'argument : . C'est finalement en 1801 que Carl Friedrich Gauss introduit la lettre grecque , dans les Disquisitiones Arithmeticae (art. 38), toujours sans user de parenthèses autour de l'argument ; il écrit ainsi  pour ce qui est noté maintenant . De nos jours, on emploie la lettre grecque phi minuscule en italique  ou .

En 1879, J. J. Sylvester invente le terme de totient pour désigner cette fonction, de sorte qu'elle est généralement désignée sous le terme de  dans les écrits anglophones. Le terme totient est employé pour la fonction totient de Jordan, qui est une généralisation de l'indicatrice d'Euler.

Définition et exemples 

L'indicatrice d'Euler est la fonction , de l'ensemble ℕ des entiers strictement positifs dans lui-même, définie par :

Par exemple :
  car parmi les nombres de 1 à 8, seuls les quatre nombres 1, 3, 5 et 7 sont premiers avec 8 ;
  car parmi les nombres de 1 à 12, seuls les quatre nombres 1, 5, 7 et 11 sont premiers avec 12 ;
un entier  > 1 est premier si et seulement si tous les nombres de 1 à  – 1 sont premiers avec ,  si et seulement si () =  – 1 ;
  car 1 est premier avec lui-même (c'est le seul entier naturel qui vérifie cette propriété, si bien que pour tout entier  > 1, on peut remplacer non seulement  ∈ ℕ* par  ∈ ℕ mais  ≤  par m < , dans la définition ci-dessus de ()).
On trouvera ci-dessous les 99 premières valeurs de la fonction  (suite  de l'OEIS).

Premières propriétés

Calcul 
La valeur de l'indicatrice d'Euler s'obtient à partir de la décomposition en facteurs premiers de  :

où chaque i désigne un nombre premier et i un entier strictement positif : on peut le déduire du théorème précédent ou, plus élémentairement, du principe d'inclusion-exclusion.

Par exemple, pour les nombres sans facteurs carré , comme par exemple les primorielles, on obtient .

Algorithme de calcul 

À ce jour, on ne connaît pas d’algorithme efficace pour calculer l’indicatrice d’Euler d’un entier  donné. L’expression ci‐dessus requiert de calculer les facteurs premiers de , ce qui est réputé difficile : les meilleurs algorithmes de factorisation connus ont une complexité sous‐exponentielle.

Le problème du calcul de l’indicatrice d’Euler est plus général que le problème RSA car il permet de résoudre facilement ce dernier. Par conséquent, la connaissance d’un algorithme de calcul efficace casserait la sécurité du système cryptographique RSA.

Transformée de Fourier 
L'indicatrice d'Euler est la transformée de Fourier discrète du PGCD, évaluée en 1.

Soit

où  pour . Alors

La partie réelle de la formule est

Par exemple, en utilisant  et :

Contrairement au produit d'Euler et la formule de la somme des diviseurs, Celle-ci ne requiert pas de connaître les facteurs de . Cependant, elle implique le calcul du PGCD de  et de tous les entiers positifs inférieurs à , ce qui suffit par ailleurs à donner la factorisation.

Autres propriétés

Arithmétique modulaire 
L'indicatrice d'Euler est une fonction essentielle de l'arithmétique modulaire ; elle est à la base de résultats fondamentaux, à la fois en mathématiques pures et appliquées.

Ces deux propriétés peuvent se déduire du calcul explicite de .

En effet,  est une bijection entre les entiers premiers à  compris entre 0 (ou 1) et  et ceux compris entre  et , et  peut être entier mais pas premier à .

La formule d'inversion de Möbius donne alors :,où  désigne la fonction de Möbius.

Applications 

La cryptologie utilise cette fonction. Le chiffrement RSA se fonde sur la propriété suivante (théorème d'Euler) :

 Une autre branche de la théorie de l'information utilise l'indicatrice : la théorie des codes. C'est les cas des codes correcteurs, et particulièrement des codes cycliques. Ce type de code se construit à l'aide d'un polynôme cyclotomique, orLe degré du -ième polynôme cyclotomique  est égal à .

Théorie analytique des nombres

Fonctions génératrices 
Les deux formules  et , présentées ci-dessus, où ✻ désigne la convolution de Dirichlet, permettent de calculer respectivement les fonctions génératrices de Dirichlet et de Lambert.

Comme la série de Dirichlet génératrice de  est  — où  est la fonction zêta de Riemann — et celle de  est , on en déduit celle de  (qui converge pour ) :

La série de Lambert associée à  (qui converge pour |q| < 1) est

Moyenne asymptotique 
Arnold Walfisz a établi

(où  est le grand O de Landau), en exploitant entre autres des estimations de sommes d'exponentielles dues à I. M. Vinogradov et à N. M. Korobov. À ce jour, c'est toujours la meilleure estimation de ce type démontrée.

Croissance de la fonction 
Asymptotiquement, on a
 

pour n'importe quel  et  .
L'égalité à la borne supérieure est satisfaite chaque fois que n est un nombre premier. Et si on considère la relation
 

on peut constater que les valeurs de  correspondant aux  de  sont les  primoriels, c’est-à-dire ceux qui sont le produit d'un segment initial de la suite de tous les nombres premiers. À partir du troisième théorème de Mertens et des inégalités de Tchebychev on peut montrer que l'estimation ci-dessus peut être remplacée par
 

(où  est le petit o de Landau et  est la constante d'Euler-Mascheroni), et que la minoration est optimale.

Autres formules impliquant la fonction φ d'Euler 
 car l'ordre multiplicatif de  modulo  vaut .
 en particulier :
 
 
 
 
 
 En 1965, P. Kesava Menon a démontréoù  est la fonction nombre de diviseurs

B. Sury

où σ est la fonction somme des puissances a-ièmes des diviseurs.

N. Rao

où  sont des entiers tels que  et  est la fonction totient de Jordan.

L. Tóth

où  et  sont impairs,  et ω est la fonction nombre de diviseurs premiers distincts.

En fait, pour toute fonction arithmétique ,

  .
  .
  ( est la constante d'Euler).
 où ω() est le nombre de diviseurs premiers de  distincts.

Inégalités 
Voici quelques inégalités impliquant la fonction  :
 pour ,

 pour 

et
 pour .

On a déjà remarqué que pour  premier, . Pour un nombre composé , nous avons

Par conséquent, pour tout  :

Pour un grand aléatoire, ces bornes 0 et 1 ne peuvent pas être améliorées. En effet, ce sont les limites inférieure et supérieure de .

Deux inégalités combinant la fonction  et la fonction somme des diviseurs  sont :

Conjectures 
Les résultats ci-dessous ne sont encore que des conjectures à l'heure actuelle :
  est premier si (et seulement si)  (c'est le problème de Lehmer, énoncé par Derrick Lehmer)
  (c'est la « conjecture de Carmichael » que Robert Daniel Carmichael, en 1907, a énoncée et cru démontrer, mais qui reste toujours un problème ouvert).

Nombres remarquables 
À partir de la fonction indicatrice d'Euler et de fonctions proches, diverses familles de nombres remarquables peuvent être définies.

Fonction indicatrice 

Un nombre totient est un nombre entier appartenant à l'image de la fonction indicatrice d'Euler : c'est-à-dire un entier m pour lequel il existe au moins un n pour lequel φ(n) = m. La valence ou multiplicité d'un nombre totient m est le nombre de solutions à cette équation.

Un nombre nontotient est un entier naturel qui n'est pas un nombre totient. Tout nombre entier impair supérieur à 1 est trivialement un nontotient. Il existe également une infinité de nontotients pairs, et chaque entier positif a un multiple qui est un nontotient pair.

Un nombre hautement totient est un entier totient dont la multiplicité est supérieure à celle de n'importe quel entier positif inférieur à lui.

Fonction cototient 

La fonction cototient est définie à partir de l'indicatrice d'Euler, comme  : elle associe à tout entier naturel  non nul le nombre . Ce nombre représente le nombre d'entiers compris entre 1 et  (inclus) et qui ne sont pas premiers avec  (de manière équivalente, qui ont avec  au moins un facteur premier commun). À partir de la fonction cototient, sont définies de manière équivalente les nombres cototients, noncototients et hautement cototients.

Un nombre cototient est un nombre entier appartenant à l'image de la fonction cototient : c'est-à-dire un entier  pour lequel il existe au moins un  pour lequel . La valence ou multiplicité d'un nombre cototient  est le nombre de solutions à cette équation.

Un nombre noncototient est un entier naturel qui n'est pas un nombre cototient, c'est-à-dire un entier  n'admettant pas d'antécédent par la fonction cototient. De manière équivalente, exprimé algébriquement, ce sont les entiers  tels que l'équation  ne possède pas de solution.

Un nombre hautement cototient est un entier cototient dont la multiplicité est supérieure à celle de n'importe quel entier positif inférieur à lui. De manière équivalente, exprimé algébriquement, ce sont les entiers  tels que l'équation  possède plus de solution que chacune des équations  pour tout .

Notes et références

Articles connexes 

Arithmétique modulaire
Leonhard Euler
Théorie analytique des nombres