Partition d'un ensemble

En mathématiques, une partition d'un ensemble  est un ensemble de parties non vides de  deux à deux disjointes et dont l'union est .

Définition 

Soit un ensemble . Un ensemble  de parties de  est une partition de  si :
 aucune de ces parties n'est vide   () ;
 leur union est égale à  ;
 elles sont deux à deux disjointes () .
Les éléments d'une partition sont parfois appelés des classes ou des blocs.

Dans le cas fini, on définit aussi des partitions ordonnées comme des -uplets  tels que l'ensemble est une partition de .

Exemples 

L'ensemble {1, 2, 3} a les partitions suivantes :
 { {1}, {2}, {3} } ;
 { {1, 2}, {3} } ;
 { {1, 3}, {2} } ;
 { {1}, {2, 3} } ;
 et { {1, 2, 3} }.
Remarquons que :
 { ∅, {1, 3}, {2} } n'est pas une partition parce qu'elle contient l'ensemble vide ∅ ;
 { {1, 2}, {2, 3} } n'est pas une partition parce que l'élément 2 appartient à plus d'une partie ;
 { {1}, {2} } n'est pas une partition de {1, 2, 3} car l'union de tous les éléments est {1, 2} ; c'est une partition de {1, 2}.
Dans le cas où tous les éléments de la partition ont même cardinal, on retrouve le cas du lemme des bergers.

La partition vide est une partition de l'ensemble vide (c'est d'ailleurs la seule) puisque tous ses éléments (il n'y en a aucun) ont toutes les propriétés souhaitables (ici : être non vides et disjoints) et que leur union est vide (par définition).

Partitions et relations d'équivalence 

Si une relation d'équivalence est donnée sur l'ensemble , alors l'ensemble de toutes les classes d'équivalence forme une partition de . Inversement, si une partition  de  est donnée, alors nous pouvons définir une relation d'équivalence sur  notée ~, par  ~  si et seulement s’il existe, parmi les éléments de , une partie de  qui contient à la fois  et . Les notions de relation d'équivalence et de partition sont donc fondamentalement équivalentes.

Ordre partiel sur les partitions 

L'ensemble de toutes les partitions d'un ensemble non vide  est partiellement ordonné : par définition, une partition est plus fine qu'une autre si elle fractionne les éléments de l'autre en de plus petites parties. Cet ordre partiel forme un treillis complet dont le plus petit élément (la partition la moins fine) est la partition grossière en une seule partie () et le plus grand (la partition la plus fine) est la partition en singletons.

Dénombrements dans le cas fini 

 Le nombre de partitions d'un ensemble à  éléments en exactement  sous-ensembles est le nombre de Stirling de seconde espèce S(n, k) ; le nombre total de partitions est alors , appelé nombre de Bell.
 Le nombre de partitions ordonnées d'un ensemble à  éléments (des familles de parties ayant les trois propriétés ci-dessus, au lieu d'ensembles de parties) est , appelé nombre de Fubini.

 Si un ensemble  possède  éléments, le nombre de partitions ordonnées de   en  parties à  éléments chacune est le coefficient multinomial  ; le nombre de partitions (non ordonnées) en  parties à  éléments est donc  ; voir la .  Dans le cas où , une telle partition s'appelle une partition par paires.

 Le nombre de partitions différentes d'un ensemble à  éléments indiscernables est le nombre de partitions d'un entier.

Partitions par paires 
).

Voir aussi 
 Partition non croisée

Système d'ensembles
Théorie des ensembles