Théorème de Taylor

En mathématiques, plus précisément en analyse, le théorème de Taylor (ou formule de Taylor), du nom du mathématicien anglais Brook Taylor qui l'établit en 1715, montre qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approchée par une fonction polynomiale dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point. Cette fonction polynomiale est parfois appelée polynôme de Taylor.

Définition

Formulation standard 

De manière plus précise, soit :
  un intervalle réel ;
  un élément de   ;
  un espace vectoriel normé réel ;
  une fonction de   dans  dérivable en   jusqu'à un certain ordre .

Alors pour tout nombre réel  appartenant à  , on a la formule de Taylor-Young  :

ou de façon équivalente :

où le reste  est une fonction négligeable par rapport à  au voisinage de .

Autre formulation 

Par simple changement de variable de  en , la formule de Taylor-Young peut aussi s'exprimer sous la forme :

ou de façon équivalente :

où le reste  est une fonction négligeable par rapport à  au voisinage de 0 (c'est-à-dire pour  petit).

Expressions et estimations du reste 

En présentant cette formule en 1715, Taylor propose ainsi une méthode de développement en série, mais sans se préoccuper du reste . En effet, pendant tout le , les mathématiciens n'établissent pas encore de différence entre développement limité et développement en série entière. C'est Joseph-Louis Lagrange qui, en 1799, soulignera le premier la nécessité de définir rigoureusement ce reste. Les propriétés de celui-ci s'énoncent différemment selon les hypothèses sur la fonction.

Formule de Taylor-Young 

Cette formule porte le nom de William Henry Young.

Si la fonction  (à valeurs réelles ou complexes, ou même dans un espace normé) est dérivable en   jusqu'à l'ordre  , alors la fonction  est négligeable devant  :

La formulation suivante est équivalente :

L'énoncé se démontre par récurrence simple, à l'aide d'une « intégration » terme à terme d'un développement limité, ou encore par application itérée de la règle de l'Hôpital.

Formule de Taylor-Lagrange 

Cette formule porte le nom de Joseph Louis Lagrange.

Si la fonction  est à valeurs réelles et est dérivable sur  jusqu'à l'ordre , alors, pour tout , il existe un nombre réel  strictement compris entre  et  tel que

Cette relation s'appelle également la forme de Lagrange. L'existence de  se déduit directement du théorème de Rolle (ou de sa variante, le théorème des accroissements finis).

Le nombre  est parfois noté , et la condition qu'il soit compris entre  et  s'écrit alors .

Inégalité de Taylor-Lagrange 

S'il existe  tel que

alors, pour tout  :

Formule de Taylor-Cauchy 

Cette formule porte le nom d'Augustin Louis Cauchy.

C'est une variante de la formule de Taylor-Lagrange. Si la fonction  est à valeurs réelles et qu'elle est dérivable sur  jusqu'à l'ordre  alors, pour tout , il existe un nombre  strictement compris entre  et  tel que

Formule de Taylor avec reste intégral de Laplace 

Du nom de Pierre-Simon de Laplace.

Si la fonction  est de classe  sur  et à valeurs dans un espace de Banach réel, alors, pour tout  :

Cet énoncé se démontre par récurrence, à l'aide d'une intégration par parties.

Remarques 

 Formule de Taylor-Maclaurin : lorsque  = 0, la formule s’écrit

 Contrairement à la formule de Taylor-Lagrange, les théorèmes de Taylor-Young et de Taylor-Laplace sont vrais pour des fonctions  à valeurs complexes ou dans un espace vectoriel normé, complet pour pouvoir parler d'intégrale (de Bochner) pour le second.
 Pour une fonction à valeurs réelles, l'inégalité de Taylor-Lagrange est un corollaire immédiat de la formule de Taylor-Lagrange. Pour une fonction à valeurs dans un espace vectoriel normé, on ne dispose pas de cette formule mais on peut déduire l'inégalité de Taylor-Lagrange de l'inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles.
 La formule de Taylor-Lagrange pour  est le théorème des accroissements finis.
 La formule de Taylor avec reste de Laplace est une généralisation du second théorème fondamental de l'analyse.
 Pour certaines fonctions , le reste  tend vers zéro lorsque  tend vers l'infini ; ces fonctions peuvent ainsi être développées en série de Taylor dans un voisinage du point . Si cette propriété se vérifie en tout point du domaine de définition, la fonction est dite analytique.

Formule de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables 

La formule de Taylor est extensible aux fonctions de plusieurs variables.

On a également une inégalité de Taylor-Lagrange dans les espaces vectoriels normés qui, développée « en coordonnées » dans le cas particulier  et , donne :

Soient  un ouvert de  et  une fonction  fois différentiable de  dans . Alors pour tout  :

où les sommes portent sur les multi-indices , et où le reste vérifie l'inégalité

pour tous les  tels que  (si  est de classe , le majorant ci-dessus est fini).

Notes et références

Bibliographie 

 .
 .
 Joseph-Louis Lagrange, Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d'infiniment petits ou d'évanouissants, de limites ou de fluxions et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies (1797), Journal de l'École polytechnique, , t. III, § 52, p. 49.

Voir aussi 

 Série de Taylor
 Développement limité
 Formule d'Euler-Maclaurin
 Approximation de fonction
 Théorie de l'approximation

Taylor
Analyse réelle