Fonction W de Lambert

En mathématiques, et plus précisément en analyse, la fonction W de Lambert, nommée ainsi d'après Jean-Henri Lambert, et parfois aussi appelée la fonction Oméga, est la réciproque de la fonction de variable complexe  définie par , c'est-à-dire
que pour tous nombres complexes z et w, nous avons :

Puisque la fonction  n'est pas injective,  est une fonction multivaluée ou « multiforme » qui comprend deux branches pour les valeurs réelles . Une des branches, la branche principale,  peut être prolongée analytiquement en dehors de . Pour tout nombre complexe , on a :

La fonction  de Lambert ne peut pas être exprimée à l'aide de fonctions élémentaires.

Historique 

Lambert s'est intéressé à l'équation connue sous le nom d'équation transcendante de Lambert en 1758, ce qui conduisit à une note de Leonhard Euler en 1783 qui discutait le cas particulier de .
La première description de la fonction 
semble due à George Pólya et Gábor Szegő en 1925. La fonction de Lambert fut « redécouverte » tous les dix ans environ dans des applications spécialisées, mais son importance ne fut pas vraiment appréciée avant les années 1990. Lorsqu'il fut annoncé que la fonction de Lambert donnait une solution exacte aux valeurs propres de l'énergie du système quantique correspondant au modèle décrit par l'opérateur de Dirac à puits double pour le cas de charges égales — un problème physique fondamental —, Corless et d'autres développeurs du système Maple firent une recherche bibliographique et découvrirent que cette fonction apparait un peu partout dans des applications pratiques.

Branches de la « fonction » de Lambert 

Si nous nous limitons aux arguments réels , il existe une fonction et une seule  à valeurs réelles  telle que

c'est la branche principale de  dans ce domaine. La représentation graphique de  figure à droite.

On note généralement  l'autre branche à valeurs réelles, c'est-à-dire la branche correspondant aux arguments x tels que , et à valeurs .

Propriétés élémentaires

Expression de  
On a , donc, si  désigne une des deux branches  ou  :

Conséquences de la définition 
De l'égalité de la définition, on peut déduire :
  (où  désigne l'une quelconque des deux branches)
  si x ≥ - 1 .
  si x ≤  - 1 .
  (où  désigne l'une quelconque des deux branches et  est non nul)
  si

Valeurs particulières 
Voici quelques valeurs remarquables de , obtenues simplement en remarquant que , , , etc. :

 
 
 
  où  est la constante oméga
 

On peut obtenir de même des valeurs complexes de  pour certains  ; ainsi

Dérivée 
Si  désigne une des deux branches  ou , la formule de dérivation des bijections réciproques montre que sa dérivée est :

pour 

pour  et 

ce qui a pour conséquence que chacune des deux branches de  satisfait l'équation différentielle :

 pour .
Cette équation est d'ailleurs à variables séparables, et ses solutions sont toutes de la forme  (avec k ≠ 0) ou .

Primitives 
La fonction  désignant une des deux branches  ou , beaucoup de fonctions impliquant , peuvent être intégrées en utilisant le changement de variable , i.e.  :

Méthodes de calcul de

Par la série de Taylor 

La série de Taylor de  au voisinage de 0 peut être obtenue par l'utilisation du théorème d'inversion de Lagrange et est donnée par
.

Le rayon de convergence est égal à . Cette série peut être prolongée en une fonction holomorphe définie en tout nombre complexe n'appartenant pas à l'intervalle réel  ; cette fonction holomorphe est aussi appelée la branche principale de la fonction  de Lambert.

Nous déduisons de la série de Taylor l'équivalent suivant de  en 0 :

Comme limite d'une suite 
On peut calculer  de manière itérative, en commençant avec une valeur initiale  égale à 1 et en calculant les termes de la suite
.

Si cette suite converge, on voit aisément que sa limite est . On démontre que c'est en effet le cas si  :

Il est moins simple, mais beaucoup plus efficace, d'utiliser la méthode de Newton, partant de , et posant

cette suite converge (très rapidement) vers  pour tout .

Développements asymptotiques de  
On a, pour  tendant vers , le développement asymptotique à trois termes suivant :

On a pour x tendant vers , le développement asymptotique de  :

Développement asymptotique de  
On peut également obtenir un développement asymptotique pour  avec  tendant vers  :

Paramétrisation des deux branches réelles de la fonction W de Lambert 
Les deux branches réelles   et   de la fonction  de Lambert peuvent s'écrire de façon paramétrée.

En effet il existe  qui permet d'écrire :

Utilisation 
Beaucoup d'équations impliquant des exponentielles peuvent être résolues par l'utilisation de la fonction . La stratégie générale est de déplacer toutes les instances de l'inconnue d'un côté de l'équation et de le faire ressembler à . À ce point, la   nous fournit les solutions :

(chaque branche différente de la   donne une solution différente).

Exemples d'applications

Équation    
Par exemple, pour résoudre l'équation , nous divisons par  pour obtenir 
La définition de la   donne alors , soit 

Comme  cette formule donne deux solutions réelles :  et

Équations       et    
Avec la « fonction »  de Lambert, on peut résoudre des équations du type  (avec   et ) par :

donc  et, si , .

Les solutions de l'équation :  (avec  et ), équivalente à , sont données avec la   de Lambert :  et, si , .

La tétration infinie 

En général, la tour de puissances infinie  converge si et seulement si .

Si  est un nombre réel avec  et  le nombre , alors la limite de la suite définie par  et  est  :
.

Quand une tétration infinie  converge, la fonction  de Lambert fournit la valeur de la limite réelle comme :  ( si ).

Cela peut être étendu aux nombres complexes  avec la définition :

où  représente la branche principale de la fonction logarithme complexe.

Équation    
La bijection réciproque de  peut être obtenue explicitement : résolvant l'équation  on remarque d'abord qu'elle équivaut, en posant  à  et donc  soit :

Équations       et    
Résolution des équations de forme :  avec  et  dans .

On pose , ce nombre est appelé le discriminant. Il intervient dans la détermination du nombre de solutions de l'équation.

À l'aide du changement de variable , on en déduit la résolution des équations de la forme :  avec  et  dans . Les solutions sont alors (en n'oubliant pas que  est multivaluée) de la forme :
 ,
où .

Équations      et    
Plus généralement, la fonction  de Lambert permet de résoudre les équations de la forme :  et  avec  et ,  dans  et .

Il suffit pour cela de considérer une fonction  tel que  de répéter la démonstration ci-dessus et de considérer la formule de changement de base : . On obtient alors, avec  :

et avec :

Il faut alors considérer le nombre  pour déterminer la quantité de solutions des équations.

Applications en physique

Constante de Wien 
Dans la loi du déplacement de Wien : . La constante de Wien, noté  peut être déterminée explicitement à l'aide de la fonction W de Lambert.

Elle vaut : , avec  la constante de Planck,  la vitesse de la lumière dans le vide et  la constante de Boltzmann.

Courant dans un circuit diode-résistance 
La solution pour connaître la valeur du courant dans un circuit en série de diode/résistance peut être donnée par la fonction  de Lambert. Voir la .

Diverses formules intégrales 
 (intégrale de Gauss en coordonnées polaires)

On obtient alors par changements de variable les égalités remarquables :

Représentations graphiques

Généralisations 

La fonction W de Lambert fournit des solutions exactes aux équations « algébriques-transcendantes » (en x) de la forme :

ou a0, c et r sont des constantes réelles. La solution est 

Les généralisations de la fonction W de Lambert incluent :
 un lien entre la relativité générale et la mécanique quantique (gravité quantique) en dimensions réduites où la partie de droite de l'équation (1) est maintenant un polynôme quadratique en x :

                         
où r1 et r2 sont des constantes réelles, les racines du polynôme quadratique. Dans ce cas, la solution est une fonction avec un seul argument x mais les termes comme ri et a0 sont des paramètres de la fonction. De ce point de vue, la généralisation ressemble à la série hypergéométrique et la fonction de Meijer G mais appartient pourtant à une « classe » différente de fonctions. Quand r1 = r2, chaque côté de (2) peut être factorisé et réduit à (1) et donc la solution se réduit à celle de la fonction standard de W.

L'équation (2) est celle gouvernant le champ d'un dilaton parvenant du modèle R=T- par lequel est dérivée la métrique du système gravitationnel de deux corps dans les dimensions 1+1 (c’est-à-dire une dimension spatiale et une dimension temporelle) pour le cas des masses (au repos) inégales - ainsi que les valeurs propres de l'énergie du système quantique qui est constitué du modèle décrit par l'opérateur de Dirac à puits double pour le cas de charges inégales en une dimension.

 les solutions analytiques pour les valeurs propres de l'énergie d'un cas spécial de la version quantique du problème des trois corps, c’est-à-dire l’ion hydrogène moléculaire (en trois dimensions).

La partie de droite de (1) (ou (2)) est maintenant un quotient de « polynômes » d'ordre infini en x :

où ri et si sont des constantes réelles distinctes et x est une fonction de la valeur propre de l'énergie et la distance internucléaire R. L'équation (3) avec ces cas spécialisés et exprimés dans (1) et (2) correspond à une classe considérable d'équations à délai différentiel. La « fausse dérivée » de Hardy fournit des racines exactes pour des cas spéciales de (3).

Les applications de la fonction W de Lambert dans les problèmes de la physique fondamentale ne sont pas épuisées même pour le cas standard exprimé dans (1), comme on vient de le voir dans les domaines de la physique atomique et moléculaire, ainsi qu'en optique.

Notes

Références 

  ou là

W de Lambert
Analyse complexe