Ensemble de définition

En mathématiques, l'ensemble de définition (également appelé domaine de définition ou parfois ensemble de départ, voir la discussion plus bas) d'une application ou d'une fonction désigne informellement l'ensemble des entrées acceptées par elle.

La terminologie entre ensemble de définition et ensemble de départ diffère si l'on fait la distinction entre la notion de fonction et d'application ou non.
 Pour une application  (ou pour une fonction si on ne fait pas cette distinction), les notions d'ensemble de définition et d'ensemble de départ sont confondues, il s'agit de l'ensemble , autrement dit c'est l'ensemble des  pour lesquels  est défini. 
 Si on fait la distinction entre application et fonction, une fonction  peut ne pas être une application, son ensemble de définition, noté ici , peut différer de son ensemble de départ . L'ensemble de définition  est alors l'ensemble des éléments  de  pour lesquels  est défini ; la différence avec les applications étant qu'il peut exister des  de  pour lesquels on ne définit pas . Dans ce cas l'ensemble de définition  n'est pas égal à l'ensemble de départ .

Lorsque l'ensemble de définition est simplement un intervalle, l'ensemble de définition est parfois appelée intervalle de définition.

Exemple 
Dans le cas où on distingue les notions de fonction et d'application, considérons

C'est une fonction dont l'ensemble de départ est . Cependant, son ensemble de définition  ne peut pas être égale à l'ensemble de départ  puisqu'elle n'est pas définie en 0 : «  » n'est pas défini, car il est impossible de diviser par 0. Ce n'est donc pas une application.

Il faut donc préciser ici, pour définir complètement cette fonction, son ensemble de définition  (ce qui n'est pas encore fait à ce stade). Il y a ici une infinité de choix possibles : tout sous-ensemble de l'ensemble de départ  ne contenant pas 0 convient. Un choix « naturel » est simplement .

Restriction et prolongement

Restriction pour une application
En partant  d'une application  d'ensemble de définition A, il est toujours possible de construire une autre application en restreignant l'ensemble de définition. Si  est un sous-ensemble de , alors

définie une application appelée restriction de f à E. Son ensemble de définition (qui est aussi son ensemble de départ) est alors E.

Restriction pour une fonction
Pour une fonction  d'ensemble de départ  et d'ensemble de définition , deux opérations de restrictions sont possibles: restriction de l'ensemble de départ A ou restriction de l'ensemble de définition .
 On peut restreindre l'ensemble de définition  à un sous-ensemble de . Par exemple, on peut considérer la fonction

d'ensemble de définition  qui est la restriction de la fonction 

d'ensemble de définition .
 On peut restreindre l'ensemble de départ  à un sous-ensemble E de A comme on l'a fait pour les applications, dans ce cas il faut s'assurer que l'ensemble de définition de la nouvelle fonction est inclus dans E. Un choix naturel est de considérer l'intersection  (mais tout sous-ensemble de cet ensemble conviendrait également).
L'un des intérêts de l'opération de restriction de l'ensemble de départ est qu'il est toujours possible de transformer une fonction  en application en restreignant son ensemble de départ à son ensemble de définition  en posant

Cela définit une application. Par exemple, en reprenant l'exemple de la fonction

d'ensemble de définition , poser

définit une application.

Prolongement d'une fonction
Pour une fonction  d'ensemble de départ A et d'ensemble de définition , on peut construire une application en définissant les valeurs de f(x) pour tous les x de A qui ne sont pas dans  (c'est-à-dire pour lesquelles f(x) n'est pas définie). 

Par exemple, toujours en considérant 

d'ensemble de définition , on définit un prolongement en posant

Cela définit une application. Le choix de la valeur  est ici arbitraire, tout autre nombre réel aurait convenu.

Assez souvent, pour alléger les notations, le prolongement est noté de la même manière que la fonction initiale. Cette ambiguïté est sans conséquence si le prolongement est explicité et remplace aussitôt et définitivement la fonction initiale.

Notes et références

Article connexe
 Ensemble de définition d'une fonction multivaluée (autrement dit : d'une relation binaire)

 Liste de symboles logiques

Lien externe 

Théorie des ensembles
Fonction mathématique