Přímka

Přímka je jednorozměrný základní geometrický útvar.

Lze ji popsat jako nekonečně tenkou, dvoustranně nekonečně dlouhou, dokonale rovnou křivku (pojem křivka v matematice zahrnuje i „rovné křivky“), tedy křivku s nekonečně velkým poloměrem zakřivení. V euklidovské geometrii pro každé dva body existuje právě jedna přímka, která oběma prochází. Tato přímka obsahuje nejkratší spojnici mezi dotyčnými body, úsečku z jednoho bodu do druhého.

Z fyzikálního hlediska je přímka trajektorie fotonu neovlivněného gravitací.

Speciální případ přímky je osa.

Znázornění a značení 
Přímka se znázorňuje rovnou čarou, označuje se malým písmenem, např. . Přímka procházející dvěma body  bývá také značena .

Znázornění:

Algebraický zápis 
Přímku v rovině lze algebraicky popsat pomocí lineárních rovnic nebo lineárních funkcí.

Tento intuitivní koncept přímky lze formalizovat několika způsoby. Jestliže je geometrie postavena axiomaticky (jako v Eukleidových Základech a později ve Foundations of Geometry Davida Hilberta), potom přímky nejsou vůbec definovány, nýbrž axiomaticky charakterizovány svými vlastnostmi. „Vše, co splňuje axiomy pro přímku, je přímka.“ Zatímco Eukleidés definoval přímku jako „délku bez šířky“, ve svých pozdějších vývodech tuto mlhavou definici nepoužíval.

V eukleidovském prostoru Rn (a analogicky ve všech ostatních vektorových prostorech) definujeme přímku L jako podmnožinu ve tvaru

 

kde a a b jsou vektory v Rn a b je nenulové. Vektor b udává směr přímky a a je bod na přímce. Tutéž přímku lze definovat pomocí různých kombinací a a b.

Rovinná přímka 
V R2 je každá přímka L popsaná lineární rovnicí, která může být zadána v různých tvarech.

Směrnicová rovnice přímky 

Směrnicová rovnice přímky má tvar
 ,
kde  je tzv. směrnice přímky, přičemž  je orientovaný úhel s vrcholem v průsečíku přímky a první souřadnicové osy, jehož rameny jsou (kladně orientovaná) první osa souřadnicové soustavy a přímka, a  je tzv. úsek (vytnutý přímkou) na ose , což je druhá souřadnice průsečíku přímky s osou .

Pro  představuje rovnice přímky rostoucí funkci, pro  jde o funkci klesající. Pro  je přímka rovnoběžná s osou . Je-li , pak přímka prochází počátkem .

Přímku rovnoběžnou s osou  nelze směrnicovou rovnicí vyjádřit.

Úseková rovnice přímky 

Úseková rovnice přímky má tvar
 ,
kde  je úsek (vytnutý přímkou) na ose  a  je úsek (vytnutý přímkou) na ose .

Přímku rovnoběžnou s osou  nebo  nelze úsekovou rovnicí vyjádřit.

Normálová rovnice přímky 

Normálovou rovnici přímky lze zapsat ve tvaru
 ,
kde  představuje vzdálenost počátku soustavy souřadnic  od přímky a  je velikost orientovaného úhlu, jehož rameno je první kladná poloosa souřadné soustavy a druhé rameno je polopřímka s počátkem v  vedená kolmo k přímce.

Členy  a  představují složky jednotkového vektoru kolmého k přímce.

Obecná rovnice přímky 
Obecná rovnice přímky v rovině je speciálním případem obecné rovnice nadroviny a má tvar
 ,
kde  jsou konstanty, přičemž  nebo .

Pro  je přímka rovnoběžná s osou , pro  je přímka rovnoběžná s osou . Pro  prochází přímka počátkem.

Porovnáním obecné a normálové rovnice lze určit význam konstant . Konstanty  určují vektor , který je kolmý k přímce. Parametr  pak souvisí se vzdáleností přímky od počátku souřadné soustavy.

Obecnou rovnici přímky lze převést na rovnici směrnicovou, pokud zavedeme , pro . Zavedeme-li , pro , pak můžeme obecnou rovnici převést na úsekový tvar. Převedením obecné rovnice přímky do normálového tvaru získáme normálovou rovnici přímky ve tvaru
 

Důležité vlastnosti takto definovaných přímek jsou jejich sklon, průsečík s osou x a průsečík s osou y. Excentricita přímky je nekonečno.

Parametrické vyjádření přímky 
Parametrické vyjádření přímky je definováno vztahem: 
a v rovině je tedy dáno rovnicemi
 
 
kde  je libovolný bod přímky,  jsou konstanty určující směrnici přímky, tedy vektor  je směrovým vektorem přímky a  je proměnný parametr. Alespoň jedna z konstant  musí být nenulová.

Vektorová rovnice přímky 
Vektorová rovnice přímky má tvar
 
kde  je rádiusvektor procházející všemi body přímky,  je rádiusvektor jednoho z bodů přímky,  je vektor určující směr přímky a  je proměnný parametr.

Vektorový zápis tedy představuje přehlednější zápis parametrického tvaru rovnice přímky.

Polární rovnice přímky 
V polárních souřadnicích lze přímku vyjádřit jako
 ,
kde  je vzdálenost přímky od počátku  a  je velikost orientovaného úhlu s vrcholem v počátku, jehož první rameno tvoří polární osa a druhé rameno polopřímka kolmá k přímce s počátkem v O.

Rovnice přímky určené bodem 
Rovnice přímky se směrnicí  procházející bodem  je
 

Rovnice přímky procházející dvěma danými body  a , kde , má tvar
 
neboli
 
Předchozí rovnice bývá také vyjadřována ve formě determinantu
 
Tuto rovnici lze využít jako podmínku k určení, zda tři body  leží na jedné přímce. Tyto body leží na jedné přímce, je-li splněna podmínka

Prostorová přímka 
Přímkou v prostoru se nazývá množina bodů prostoru, které vyhovují rovnici přímky. Rovnici přímky v prostoru lze vyjádřit různými způsoby.

Obecná rovnice přímky 
V R3 lze přímku L definovat jako průsečík dvou rovin, pomocí soustavy jejich lineárních rovnic:
 
(definici je nutné rozšířit o podmínky pro koeficienty  až , které zaručí, že roviny budou různoběžné).

Přímka v prostoru je tedy řešením soustavy rovnic
 
 

Ve speciálním případě vyjádříme přímku jako průsečík dvou rovin, z nichž každá je kolmá k některé souřadnicové rovině, např. pro roviny kolmé k  a  dostaneme

Parametrické rovnice přímky 
Parametrické rovnice přímky v prostoru mají tvar
 
 
 
kde  je libovolný bod, kterým přímka prochází,  jsou konstanty určující směrnici přímky a  je parametr.

Konstanty  mohou být vyjádřeny prostřednictvím směrových úhlů  jako
 
 
 

Směrové úhly přitom splňují podmínku

Rovnice přímky určené bodem 
Rovnici přímky procházející body  lze zapsat jako
 

Rovnici přímky procházející bodem  se směrovými úhly  lze zapsat jako
 

Pokud místo směrových úhlů určíme směrnici přímky parametry , pak lze předchozí vztah přepsat jako

Přímka ve vícerozměrném prostoru 
Přímku lze zavést také v n-rozměrném prostoru.

Parametrické vyjádření 
Přímku v Rn lze také vyjádřit parametricky: přímka procházející bodem  se směrovým vektorem  je množina bodů , pro které existuje skalár k takový, že

Vektorový tvar 
Místo předchozího parametrického vyjádření lze použít vektorový zápis

Vzájemná poloha bodu a přímky 

Tři nebo více bodů, které leží na téže přímce, se nazývají kolineární.

Leží-li tři (různé) body na jedné přímce, pak vždy leží právě jeden z nich mezi ostatními dvěma. Leží-li bod  mezi body  a , pak bod  označíme jako vnitřní bod úsečky .

Bod  ležící na přímce  ji dělí na dvě polopřímky. Je-li bod  vnitřním bodem jedné z polopřímek, pak pro tuto polopřímku užíváme značení . Opačnou polopřímku k polopřímce  značíme .

Vzájemná poloha přímek 

Dvě různé přímky ležící v téže rovině mohou být buď rovnoběžné a nemít žádný společný bod (v eukleidovském prostoru se protínají v nekonečnu), nebo různoběžné a protnout se v právě jednom bodě, průsečíku. Dvě roviny se protínají v nejvýše v jedné přímce, průsečnici. Ve vícerozměrných prostorech ale nemusí ani být rovnoběžné, ani se protínat, a říká se jim mimoběžky.

Pokud jsou si obě přímky rovny, pak říkáme, že jde o přímky splývající (totožné).

Přímku různoběžnou s rovnoběžkami  označujeme jako příčku rovnoběžek .

Průnik dvou polopřímek  a  se nazývá úsečkou a značí .

Některé důležité přímky 
 asymptota – přímka, ke které se limitně blíží daná křivka, zejména graf funkce, pro nezávisle proměnnou rostoucí nade všechny meze,
 číselná osa – přímka s reálnými čísly přiřazenými každému jejímu bodu, užívaná např. jako souřadná osa,
 osa rotace – přímka, kolem níž rotuje (otáčí se) dané těleso nebo vůči které provádíme matematické otáčení tělesa,
 osa symetrie – přímka, ke které lze zrcadlově obrátit geometrický útvar a dostat tak útvar totožný,

 Eulerova přímka,
 Simsonova přímka,
 tečna – přímka dotýkající se křivky nebo plochy, prochází průběžným bodem (bodem dotyku) křivky (plochy) jednostranně, neprotíná ji v něm,
 normála – kolmice k tečně v bodě dotyku křivky, laicky „kolmice ke křivce“,
 kolmice – přímka pravoúhle skloněná k dané přímce nebo rovině,
 těžnice – přímka procházející vrcholem trojúhelníku a středem protilehlé strany, půlící jeho plochu.

Odkazy

Literatura 
 Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, , str. 8-9
 Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, , str. 12

Související články 
 Základní geometrické útvary
 Lineární geometrické útvary
 Vzájemná poloha přímky a kružnice
 Výpočet průsečíku křivek

Externí odkazy 
 
 

Geometrie
Geometrické útvary
Rovinné geometrické útvary
Rovinné křivky