Flocon de Koch

Le flocon de Koch () est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrites, bien avant l'invention du terme « fractal(e) » par Benoît Mandelbrot.

Elle a été inventée en 1904 par le mathématicien suédois Helge von Koch.

Courbe de Koch 

On peut la créer à partir d'un segment de droite, en modifiant récursivement chaque segment de droite de la façon suivante :

 On divise le segment de droite en trois segments de longueurs égales.
 On construit un triangle équilatéral ayant pour base le segment médian de la première étape.
 On supprime le segment de droite qui était la base du triangle de la deuxième étape.

Au bout de ces trois étapes, l'objet résultant a une forme similaire à une section transversale d'un chapeau de sorcière.

La courbe de Koch est la réunion des sommets des lignes polygonales obtenues lorsqu'on répète indéfiniment les étapes mentionnées ci-avant.

Une extension de la notion de dimension permet d'attribuer à la courbe de Koch une dimension fractale (non entière) dont la valeur est
 

La courbe de Koch a une longueur infinie. En effet en supposant que la courbe ait une longueur L, celle-ci serait supérieure à la longueur de chacune des lignes polygonales obtenues à chaque étape de la construction de la courbe. Or la longueur de ces lignes tend vers l'infini, parce qu'à chaque étape de construction de la courbe, la longueur de la ligne polygonale est multipliée par quatre tiers.

La surface délimitée par la courbe est cependant finie, car contenue dans le demi-disque dont le diamètre est le segment initial. Si l'on a choisi l'unité d'aire de telle sorte que le triangle construit à la première itération soit d'aire 1, alors l'aire de chacun des quatre triangles construits lors de la seconde itération est 1/9 : on a donc augmenté l'aire totale de 4/9. Pour l'itération n, on ajoute . L'aire totale s'obtient finalement en sommant une série géométrique convergente :
.

La courbe de Koch constitue un exemple de courbe continue mais non dérivable en chacun de ses points.

On peut considérer le flocon de Koch comme l'attracteur d'une famille de contractions, ce qui permet de prouver par exemple que c'est un compact de R².

Flocon de Koch 

Le flocon de Koch s'obtient de la même façon que la fractale précédente, en partant d'un triangle équilatéral au lieu d'un segment de droite, et en effectuant les modifications en orientant les triangles vers l'extérieur. Pour un triangle initial (étape 0) de périmètre p, le périmètre du flocon à l'étape n est (4/3)p.

On peut aussi partir d'un hexagone, et opérer en orientant les triangles vers l'intérieur.

Dans les deux cas, après quelques itérations on obtient une forme évoquant un flocon de neige régulier.

Comme la courbe, le flocon de Koch est de longueur infinie et délimite une aire finie. Celle-ci est égale aux 8/5 de l'aire du triangle initial dû à la construction de seulement 3 triangles lors de la première étape.

Il est possible de paver le plan uniquement en utilisant des copies du flocon de Koch dans deux tailles différentes .

Variantes de la courbe de von Koch 

Suivant le concept de von Koch, plusieurs variantes ont été conçues, en considérant des angles droits (Quadratique), d'autres angles (fractale de Cesàro) ou des extensions dans les dimensions supérieures (sphereflake, surface de Koch).

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes 
 Courbe remplissant le flocon de Koch
 Liste de fractales par dimension de Hausdorff

Liens externes 
 Plus d'informations et d'images (en anglais)
 Programme de construction par étapes, en Delphi
  CPW-Fed KOCH SNOWFLAKE Fractal Antenna for UWB Wireless Applications
 
 

Fractale