Suite (mathématiques)

En mathématiques, une suite est une famille d'éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite.

Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble , cette suite peut être assimilée à une application de  dans . On note classiquement une suite , ou en abrégé : .

En particulier, on parle de suite « entière », suite « réelle » et suite « complexe », quand  est un sous-ensemble de ,  et , respectivement.

Fragments d'histoire 
Les suites numériques sont liées à la mathématique de la mesure (mesures d'un phénomène prises à intervalles de temps réguliers) et à l'analyse (une suite numérique est l'équivalent discret d'une fonction numérique). La notion de suite est présente dès qu'apparaissent des procédés illimités de calcul. On en trouve, par exemple, chez Archimède, spécialiste des procédés illimités d'approximation (séries géométriques de raison 1/4) pour des calculs d'aires et de volumes, ou en Égypte vers 1700  et plus récemment au   dans le procédé d'extraction d'une racine carrée par la méthode de Héron d'Alexandrie : 
 Pour extraire la racine carrée de , choisir une expression arbitraire  et prendre la moyenne entre  et  et recommencer aussi loin que l'on veut le processus précédent
En notation moderne, cela définit la suite de nombres  telle que
 et, pour tout entier , .

On retrouve ensuite cette préoccupation plusieurs siècles plus tard (à partir du ) avec la méthode des indivisibles (Cavalieri, Torricelli, Pascal, Roberval). Dans l'Encyclopédie Raisonnée de d'Alembert et Diderot (1751), une grande part est laissée aux suites et séries dont le principal intérêt semble être leur convergence :
Suite et série : se dit d'un ordre ou d'une progression de quantités qui croissent ou décroissent suivant quelques lois. Lorsque la suite va toujours en s'approchant  de plus en plus de quelque quantité finie […] on l'appelle suite convergente et si on la continue à l'infini, elle devient égale à cette quantité.
C'est ainsi que l'on voit Bernoulli, Newton, Moivre, Stirling et Wallis, s'intéresser aux suites pour approcher des valeurs numériques. C'est à Lagrange que l'on doit, semble-t-il, la notation indicielle. L'étude des suites ouvre la porte à celle des séries entières dont le but est d'approcher, non plus des nombres, mais des fonctions. Dans la seconde moitié du , le développement des calculateurs et des ordinateurs donne un second souffle à l'étude des suites en analyse numérique grâce à la méthode des éléments finis. On en retrouve l'usage aussi dans les mathématiques financières.

Parallèlement à ces études de suites pour leur convergence, se développe un certain goût pour l'étude de la suite non tant pour sa convergence mais pour son terme général. C'est le cas par exemple d'un grand nombre de suites d'entiers comme la suite de Fibonacci, celle de Lucas ou, plus récemment, celle de Syracuse. Sont aussi particulièrement étudiées les suites de coefficients dans des séries entières ou les suites de nombres découvertes lors de dénombrements.

Notations 
L'ensemble des suites d'éléments de  indexées par une partie  de  se note  ou .

Soit  une partie de .
Soit  une suite d'éléments de . On note  l'image  de l'entier  par .

Ainsi, les images de  sont notées .

On dit que  est le terme de rang , ou d'indice  de la suite .

On note en général la suite  :  qui est donc une application.

Lorsque , on note plus simplement la suite : .

Lorsque , on peut noter la suite  ou encore .

Remarque 
Il ne faut pas confondre la suite  avec l'ensemble des valeurs de la suite  qui est l'image directe de  par . Par exemple, considérons la suite , l'ensemble des valeurs de la suite est .

Exemples 

La suite nulle est la suite dont tous les termes sont nuls :
.

Plus généralement, si  est une suite et que , alors on dit que  est une suite « presque nulle », ou « nulle à partir d'un certain rang ».

Pour des raisons de commodité, pour tout élément  de  on peut identifier  et la suite :

Posons  ;  est la suite des inverses des nombres entiers. Celle-ci peut être représentée par :
.

Terme général et récurrence 
Une suite étant une application de A (partie de ) dans E, il est intéressant, voire primordial, de connaître l'image de n pour tout n de A. Si  est donné comme expression de n et permet un calcul direct du nombre, on dit que l'on connait le terme général de .

Cependant, si , la nature de l'ensemble de départ permet de définir la suite par une relation de récurrence : le terme d'indice n est donné comme fonction de n et des termes d'indices k, k ≤ n. Le principe de définition par récurrence permet d'affirmer qu'il suffit alors de donner  pour en déduire tous les termes (la suite  est bien définie). En pratique, la détermination de  va nécessiter le calcul de tous les termes de  à . En programmation, cette récurrence a donné lieu à la création des fonctions récursives. Une partie de la recherche sur les suites va consister à déterminer le terme général d'une suite connaissant sa relation de récurrence.

Exemple
La suite  définie par  et, pour tout entier n,  est la suite des factorielles : .

Somme des termes d'une suite 
Si  est un groupe additif, on note :  ou  la somme :

Exemples de suites

Suite arithmétique 

C'est une suite à valeurs dans un groupe additif, définie par récurrence par :  

où  est une constante. Son terme général est alors :

Suite géométrique 

C'est une suite à valeurs dans un  monoïde, définie par récurrence par :  

où  est une constante. Son terme général est alors :

Suites arithmético-géométriques 

C'est une suite à valeurs dans un corps commutatif, définie par récurrence par :  
 Si , la suite est une suite arithmétique.
 Si , son terme général est alors :

Suites récurrentes linéaires à coefficients constants 

Une suite récurrente linéaire est définie par une relation de récurrence :
 
où  , , … sont  scalaires ().

L'entier p est appelé l’ordre de la récurrence. Les suites à récurrence linéaire d’ordre 1 sont les suites géométriques ; une suite récurrente linéaire d’ordre 2 célèbre est la suite de Fibonacci. L’étude des suites récurrentes linéaires d’ordre p fait appel à la notion d’espace vectoriel et au calcul matriciel, et on dispose de méthodes permettant le calcul du terme général de n'importe quelle suite de ce type.

Quelques suites notoires 
C'est dans l'univers des suites d'entiers que l'on trouve les suites les plus célèbres : 
 la suite de Fibonacci où chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent et dont on connaît le terme général et sa relation avec le nombre d'or ;
 la suite de Conway, où chaque terme est la description à voix haute du terme précédent ;
 la suite de Syracuse ou de Collatz définie par une relation de récurrence simple : le terme suivant est obtenu en prenant, ou bien la moitié du terme précédent si celui-ci est pair, ou bien le triple du terme précédent augmenté de 1 si celui-ci est impair. Les mathématiciens ne sont pas encore, en 2023, capables de la modéliser à l'aide d'une fonction ou encore de déterminer si le nombre 1 y apparaît au moins une fois, peu importe le terme initial.

Limite d'une suite

Suite convergente 
La définition de limite d'une suite est classique en topologie. La convergence des suites dans  ou dans  est un cas particulier de cette définition : elle se formule à l'aide de la distance (sur laquelle la topologie de ces espaces est construite).

Intuitivement, une suite possède une (valeur) limite si ses points se rapprochent toujours plus de cette limite lorsque l'indice augmente indéfiniment.

Définition générale :

Soient  un espace topologique et  une suite à valeurs dans .
On dit qu'un élément  de  est une limite de la suite  si 
pour tout ouvert  contenant , il existe  tel que .

Suite réelle convergente 

On dit qu'une suite réelle  converge vers  lorsque pour tout , il existe  tel que pour tout entier  :
On dit alors que  tend vers , et on le note : .

Suite complexe convergente 

La définition dans ℝ s'applique dans ℂ en remplaçant la valeur absolue par le module.

Limites infinies 
Pour les suites réelles, on élargit le champ des limites possibles aux deux limites infinies  et  :

Propriétés 
Les propriétés sur les limites :
unicité
opération
complétude
vont dépendre de l'espace sur lequel on travaille et sont détaillées dans l'article « Limite d'une suite ».

Suites réelles et relation d'ordre

Suites monotones

Définition 
Une suite réelle monotone est une fonction monotone (c'est-à-dire croissante ou décroissante) de ℕ dans ℝ. De même, une suite réelle est dite strictement monotone lorsqu'elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Propriétés 
On démontre qu'une suite réelle  est :
croissante si (et seulement si)  ;
 strictement croissante si (et seulement si)  ;
décroissante si (et seulement si)  ;
strictement décroissante si (et seulement si) .

Exemples 
La suite  définie par  est strictement croissante. En effet,

Critères de monotonie

Limites de suites monotones 
Suite monotone bornée

D'après le théorème de la limite monotone :

Si une suite réelle  est croissante (resp. décroissante) et majorée par  (resp. minorée par ), alors elle est convergente et  (resp. ).

De cette propriété, découle la remarque suivante :

Soient  et  deux suites réelles. Si :
  est croissante ;
  est décroissante ;
  ;
alors :
 et  sont convergentes et .

Suite monotone non bornée

Encore d'après le théorème de la limite monotone :

Si une suite réelle  est croissante (resp. décroissante) et non majorée (resp. non minorée), alors elle tend vers  (resp. ).

Suites adjacentes 

Deux suites réelles  et  sont dites adjacentes lorsque :
 l'une est croissante ;
 l'autre est décroissante ;
 la suite  converge vers .

L'intérêt des suites adjacentes est qu'elles permettent d'une part de prouver l'existence d'une limite, d'autre part de fournir un encadrement de celle-ci aussi fin qu'on le souhaite. Ceci grâce aux deux propriétés suivantes : 
 Si deux suites réelles  et  sont adjacentes, alors elles convergent et ont la même limite .
 De plus, en supposant  croissante et  décroissante on a :

Suites particulières

Suites de Cauchy 

Dans ce paragraphe, il s'agit de suites à valeurs dans un espace métrique .
 
Une suite  est dite de Cauchy lorsque :  et .

On démontre que : 
toute suite convergente est de Cauchy ;
toute suite de Cauchy est bornée.

On appelle espace complet un espace où toute suite de Cauchy est convergente.

Suites extraites 

Soit  une suite.

Si  est une fonction strictement croissante (une telle fonction s'appelle une extractrice), on dit que la suite  est une suite extraite (ou sous-suite) de la suite .

Grosso modo, c'est la suite  pour laquelle on n'a gardé que certains termes (une infinité quand même).

Ces suites extraites se révèlent intéressantes quand on cherche à déterminer des valeurs d'adhérence.

Suites équivalentes et suites négligeables 

Définition

Soient  et  deux suites réelles. On dit que  est négligeable devant , et l'on note , si :
 et .

Remarque
Si  à partir d'un certain rang, alors  si et seulement si .

Exemple

Considérons  et .

Posons .
On a alors :
  ;
 .
D'où  et .

Définition

Deux suites réelles  et  sont dites équivalentes si . On note alors .

Remarque
Si  à partir d'un certain rang, alors  si et seulement si .

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Bibliographie

Articles connexes 
 Adhérence (mathématiques)
 Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers
 Suite (mathématiques élémentaires)
 Suite d'entiers
 Suite généralisée
 Vitesse de convergence des suites
 Série (mathématiques)

Liens externes 
 L'encyclopédie de d'Alembert et Diderot sur Gallica. Tome XV (voir )
 

Analyse réelle