Nombre de Mersenne premier

En mathématiques et plus précisément en arithmétique, un nombre de Mersenne est un nombre de la forme  (souvent noté ), où  est un entier naturel non nul ; un nombre de Mersenne premier (ou nombre premier de Mersenne) est donc un nombre premier de cette forme. Ces nombres doivent leur nom au religieux érudit et mathématicien français du  Marin Mersenne ; mais, près de  auparavant, Euclide les utilisait déjà pour étudier les nombres parfaits. Avant Mersenne, et même un certain temps après lui, la recherche des nombres de Mersenne premiers est intrinsèquement liée à celle des nombres parfaits. 

Si le nombre de Mersenne  est premier, alors  est premier. Par exemple, les nombres de Mersenne  sont premiers, et leurs exposants  le sont bien aussi. Cette condition que  soit premier est nécessaire pour que le nombre de Mersenne  soit premier. Par exemple,  ne sont pas premiers, et les nombres de Mersenne  ne le sont effectivement pas. Mais cette condition n'est pas suffisante. Par exemple,  est premier, mais le nombre de Mersenne  ne l'est pas.

Il existe un test de primalité efficace pour les nombres de Mersenne, le test de primalité de Lucas-Lehmer ; de ce fait, les plus grands nombres premiers connus sont des nombres de Mersenne. Les nombres de Mersenne premiers sont pourtant rares : seulement  sont connus début 2022. On ne sait même pas s'il en existe une infinité.

La recherche de grands nombres de Mersenne premiers fait l'objet d'un projet de calcul collaboratif, le projet GIMPS.

Nombres de Mersenne et nombres parfaits 
Les nombres premiers de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, qui sont les nombres « égaux à la somme de leurs diviseurs stricts ». Historiquement, c'est cette connexion qui a motivé l'étude des nombres premiers de Mersenne. Dès le , Euclide démontrait que si  est un nombre premier, alors  est un nombre parfait. Deux millénaires plus tard, au , Euler prouvait que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme. Par ailleurs, aucun nombre parfait impair n'est connu.

Propriétés des nombres de Mersenne

Propriété fondamentale des nombres de Mersenne 
Soit   ; si  n'est pas premier, alors le -ième nombre de Mersenne  n'est pas premier. En effet :
 Si , alors .
 Si  est composé, alors  est composé. En effet :
  et , donc , et donc  ;
 .
Les deux plus petits exemples avec indices composés sont : sont composés, et  sont bien composés.

Plus précisément : divise , et  divise bien .

Autrement dit (contraposée) :Soit   ; si le -ième nombre de Mersenne  est premier, alors  est premier.

Les huit plus petits exemples sont : () sont premiers, et  () sont bien premiers.

La réciproque est fausse. En effet :Soit   ; même si  est premier, le -ième nombre de Mersenne  peut ne pas être premier.

Les trois plus petits contre-exemples sont :, ,  () sont premiers, mais  () sont composés.

Conséquences :Pour trouver des nombres de Mersenne premiers, on sait déjà qu'il faut se limiter à des  avec  premier, mais que ce n'est pas suffisant. Il faut ensuite affûter les critères de sélection des nombres premiers .

Autres propriétés des nombres de Mersenne 
 Ils constituent la suite des répunits en base 2.
 Conséquence :Pour tous entiers  et .En particulier, si  divise , alors  divise . Donc, si  n'est pas premier, alors  n'est pas premier.

 Exemple :.
 Tous les nombres de Mersenne , premiers ou composés, sont des nombres brésiliens. En effet : avec  fois la présence du chiffre  dans l'écriture en base .Le nombre  est d'ailleurs le plus petit nombre brésilien.
 D'après le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne, pour un nombre premier  impair,  est premier si et seulement si  divise , où  et pour tout .

 Les six plus petits termes de cette suite de Lucas-Lehmer sont : (voir la ).

 ( ne divise pas  mais  est pair, et  est bien premier.) divise  divise  divise , et  sont bien premiers. ne divise pas  ne divise pas , et  sont bien composés.
 Si  divise  avec  premier impair, alors :
 Un théorème d'Euler entraîne que pour  premier , est premier si et seulement s'il existe un unique couple  d'entiers  tel que .

 Exemples :Pour  est premier  ; ni  ni  ne peut diminuer, donc ni  ni  ne peut augmenter ; donc il existe un unique couple  d'entiers  tel que  (à savoir ) ; et  est bien premier.Pour  est premier  est impair et  est pair, donc  doit être impair ;  ne sont pas des carrés, et  ; donc il n'existe aucun couple  d'entiers  tel que  ; et  n'est effectivement pas premier.

 (Bas Jansen a étudié  pour  compris entre  et .)
 Si  est premier, alors : est aussi premier si et seulement si  divise .

 Exemples : est premier,  ne divise pas , et  n'est effectivement pas aussi premier. est premier,  divise , et  est effectivement aussi premier.
 Ramanujan a conjecturé (en 1913) que l'équation , appelée équation de Ramanujan-Nagell, n'a que cinq solutions :  ; ce fut démontré par Trygve Nagell en 1948.
 La constante d'Erdős-Borwein , définie comme la somme de la série des inverses des nombres de Mersenne (premiers ou non), est irrationnelle.

Historique

Historique des outils théoriques 
Marin Mersenne, moine de l'ordre des Minimes au début du , est l'auteur de la proposition : si  est premier, alors  aussi ; .

En 1732, Euler rappelle que la réciproque est fausse :  peut être composé alors que  est premier. Il donne le plus petit contre-exemple : 11 est premier mais  ne l'est pas; il mentionne que c'est aussi le cas pour , et .

En 1878, Édouard Lucas développe une méthode pour tester si un nombre de Mersenne  (avec  premier) est premier. Dans les années 1930, Derrick Lehmer l'améliore. Le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne est exceptionnellement simple comparativement à la taille des nombres considérés. Grâce à ce test très rapide, depuis longtemps les plus grands nombres premiers connus sont des nombres premiers de Mersenne.

Historique des nombres de Mersenne premiers découverts 
Les quatre premiers nombres premiers de Mersenne sont connus dès l'Antiquité. Au , Ibn Fallus donne une liste de nombres parfaits dans un commentaire de l'introduction à l'arithmétique de Nicomaque. On y trouve ceux correspondant aux cinquième, sixième, et septième nombres de Mersenne. Mais il ne fournit aucun calcul et sa liste comporte des erreurs, qui peuvent laisser penser qu'il s'est appuyé sur des hypothèses fausses ou insuffisantes, et n'a pas vérifié la primalité de ces nombres de Mersenne. On trouve le cinquième () dans un manuscrit anonyme daté de 1456 ou 1461. Les deux suivants ( et ) sont donnés par Pietro Cataldi en 1588. Au début du , Marin Mersenne fournit une liste des nombres premiers « de Mersenne » jusqu’à l'exposant 257, qui se révélera fausse : elle inclut par erreur 67 et 257, et omet 61, 89, et 107.

En 1750, Euler vérifie que  est premier. Le suivant dans l'ordre chronologique (mais non numérique), , est trouvé par Lucas en 1876 ; puis  est démontré premier par Ivan Pervouchine en 1883. Encore deux autres sont trouvés au début du  par  en 1911 et en 1914.

La recherche des nombres premiers de Mersenne est révolutionnée par l'utilisation des calculateurs électroniques. La première identification d'un nombre de Mersenne par ce moyen a lieu à 22 heures le  par un ordinateur SWAC à l'Institut d'Analyse Numérique (Institute for Numerical Analysis) du campus de l'université de Californie à Los Angeles, sous la direction de Derrick Lehmer, avec un programme écrit par Raphael Robinson.

C'est le premier nombre premier de Mersenne identifié depuis  ans. Le suivant est découvert moins de deux heures plus tard par le même ordinateur, qui en trouve trois de plus dans les mois suivants.

En décembre 2018,  nombres premiers de Mersenne sont connus, le plus grand étant , qui est aussi à la même date le plus grand nombre premier connu. Comme plusieurs de ses prédécesseurs, il est découvert par un calcul distribué sous l'égide du projet GIMPS, Great Internet Mersenne Prime Search (qui signifie « grande recherche par Internet de nombres premiers de Mersenne »).

Liste des nombres de Mersenne premiers connus 
On ne sait pas si l'ensemble des nombres de Mersenne premiers est fini ou infini (mais on conjecture qu’il est infini). En décembre 2018,  nombres de Mersenne premiers étaient connus (suite  pour , et suite  pour ).

Historiquement, ils ne furent pas toujours découverts par ordre croissant. Par exemple : en 1983 fut trouvé le ,  ; en 1988 fut trouvé le , .

Liste de nombres de Mersenne non premiers mais d'indices premiers 
Les neuf plus petits nombres de Mersenne non premiers mais d'indices premiers (venant s'intercaler entre les  et  nombres de Mersenne premiers, connus à la fin du ) sont :

Le  nombre de Mersenne non premier mais d'indice premier, , figurait dans la liste originelle de Mersenne ; mais Lucas montra en 1876 que ce nombre n'est pas premier, sans toutefois pouvoir exhiber ses facteurs. La factorisation  fut déterminée par Frank Nelson Cole en 1903.

Généralisations

Suite de Lucas 
Les nombres de Mersenne (premiers ou non) sont les répunits en base 2. La suite  des répunits en base b est la suite de Lucas U(b + 1, b). Or toute suite de Lucas U(P, Q) avec P et Q premiers entre eux est à divisibilité forte. Par le même raisonnement que pour la suite des nombres de Mersenne , une condition nécessaire (mais non suffisante) pour que le n-ième terme d'une telle suite soit premier est donc que n le soit également.

Nombres premiers de Solinas 
Les nombres premiers de Solinas sont les nombres premiers de la forme p = f(2) où f est un polynôme unitaire à coefficients entiers de faible « poids de réduction modulaire » (une condition technique destinée à ce que les calculs de réduction modulo p soient rapides et qui, pour simplifier, est parfois remplacée par : les coefficients non nuls de f sont peu nombreux et valent ±1). Solinas donne une série d'exemples, dont le premier est f(t) = t – 1, de « poids » 1 (qui correspond aux nombres de Mersenne) et le dernier est f(t) = t – t + t + 1, de « poids » 4, mais qui inclut aussi f(t) = t – t + t – … + (–1), de « poids » 3.

Nombres premiers dont l'écriture n'utilise pas un chiffre donné 

Puisque les nombres de Mersenne sont les répunits en base 2, leur écriture binaire ne comporte aucun 0. De manière analogue, on peut étudier dans les bases supérieures les nombres premiers dont l'écriture est dépourvue d'un certain chiffre. Il a été prouvé en 2019 qu'il existe une infinité de nombres premiers dont le développement en base 10 ne comporte pas l'un quelconque des chiffres de 0 à 9.

Répartition des nombres de Mersenne premiers 
Les nombres de Mersenne premiers sont rares. On ne sait pas s'il en existe une infinité. Une conjecture est que le nombre de ceux qui sont inférieurs à un réel  donné est asymptotiquement proportionnel à , soit une croissance très lente et de plus en plus lente. Plus précisément, selon une conjecture due à Lenstra et Pomerance, puis reformulée et complétée par Wagstaff, il y aurait asymptotiquement  nombres de Mersenne premiers inférieurs à .

Si la conjecture était réalisée, le nombre  d'exposants  inférieurs à  tels que  est premier serait asymptotiquement proportionnel à . Une estimation fondée sur les  nombres premiers connus en mars 2022 donne .

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes 
 Liste de grands nombres
 Nombre de Fermat
 Nombre double de Mersenne
 Nouvelle conjecture de Mersenne
 Plus grand nombre premier connu
 Great Internet Mersenne Prime Search

Liens externes 

 (thèse, 2012, dir. Hendrik Lenstra)

Arithmétique modulaire