Ensemble flou

La théorie des sous-ensembles flous est une théorie mathématique du domaine de l’algèbre abstraite.

Histoire 
Elle a été développée par Lotfi Zadeh en 1965 afin de représenter mathématiquement l'imprécision relative à certaines classes d'objets et sert de fondement à la logique floue.

Présentation 
Les sous-ensembles flous (ou parties floues) ont été introduits afin de modéliser la représentation humaine des connaissances, et ainsi améliorer les performances des systèmes de décision qui utilisent cette modélisation.

Les sous-ensembles flous sont utilisés soit pour modéliser l'incertitude et l'imprécision, soit pour représenter des informations précises sous forme lexicale assimilable par un système expert.

Définition 

En théorie des ensembles classique, une partie  d'un ensemble  est usuellement associée à sa fonction caractéristique. Celle-ci s'applique sur les éléments x de . Elle prend la valeur 0 si x n'appartient pas à  et 1 si x appartient à .

On souhaite définir une partie floue  de  en attribuant aux éléments x de  un degré d'appartenance, d'autant plus élevé qu'on souhaite exprimer avec certitude le fait que x est élément de . Cette valeur vaudra 0 si on souhaite exprimer que x de façon certaine n'est pas élément de , elle vaudra 1 si on souhaite exprimer que x appartient à  de façon certaine, et elle prendra une valeur comprise entre 0 et 1 suivant qu'on estime plus ou moins certain l'appartenance de x à . On est donc amené à définir une partie floue de la façon suivante : une partie floue (ou sous-ensemble flou) d'un ensemble  est une application de  dans [0,1].

Plus généralement, si  est un treillis complet, distributif et complémenté, on définit une partie L-floue comme étant une application de  dans . Si , on retrouve la définition précédente de partie floue, et si , on retrouve la notion usuelle de partie de E.

Propriétés 
 Une partie floue  de  est caractérisée par une application de  dans . Cette application, appelée fonction d'appartenance et notée  représente le degré de validité de la proposition «  appartient à  » pour chacun des éléments  de . Si , l'objet  appartient totalement à , et si , il ne lui appartient pas du tout. Pour un élément  donné, la valeur de la fonction d'appartenance  est appelée degré d'appartenance de l'élément  au sous-ensemble .

 L'ensemble  est donné par la fonction d'appartenance identiquement égale à 1. L'ensemble vide est donné par la fonction d'appartenance identiquement nulle.

 Le noyau d'une partie floue  est l'ensemble des éléments qui appartiennent totalement à  c'est-à-dire dont le degré d'appartenance à  vaut 1. 

 Le support d'une partie floue  est l'ensemble des éléments appartenant, même très peu, à  c'est-à-dire dont le degré d'appartenance à  est différent de 0.

 La hauteur d'un sous-ensemble flou  de  est définie par .

 Une partie floue  de  peut aussi être caractérisée par l'ensemble de ses α-coupes. Une α-coupe d'une partie floue  est le sous-ensemble net (classique) des éléments ayant un degré d'appartenance supérieur ou égal à α. 

 Un ensemble fini possède un nombre fini de sous-ensembles L-flous si et seulement si le treillis L est fini. Si L = [0,1], un ensemble fini possède une infinité de sous-ensembles flous.

Opérations 
En observant comment les opérations usuelles se comportent vis-à-vis des fonctions caractéristiques de parties, on étend ces opérations aux fonctions d'appartenance des parties floues.

Réunion 
Soient  une famille de parties floues d'un ensemble  indexées selon un ensemble , données par leur fonction d'appartenance . On définit la réunion  de ces parties au moyen de la fonction d'appartenance suivante :
, ce qui sera noté

Intersection 
De même, on définit l'intersection de ces parties au moyen de la fonction d'appartenance suivante :
, ce qui sera noté 

Réunion et intersection restent distributives l'une par rapport à l'autre.

Complémentaire 
Le complémentaire d'une partie floue donnée par sa fonction d'appartenance  est la partie floue dont la fonction d'appartenance est .

Le complémentaire d'une intersection reste égal à la réunion des complémentaires, et le complémentaire d'une réunion est l'intersection des complémentaires. Le complémentaire du complémentaire redonne la partie initiale.

Cependant, la réunion d'une partie floue et de son complémentaire ne donne pas toujours l'ensemble , et l'intersection d'une partie floue et de son complémentaire ne donne pas l'ensemble vide.

En effet, considérons, par exemple, la partie floue  de  donnée par la fonction d'appartenance:

Cette partie floue est égale à son complémentaire car sa fonction d'appartenance vérifie .

On déduit alors de  que

Image réciproque 
Soient  et  deux ensembles et  une application de  dans . Considérons une partie floue de  donnée par sa fonction d'appartenance . On appelle image réciproque de cette partie floue par  la partie floue de  donnée par la fonction d'appartenance suivante, notée  :

Image directe 
Soient  et  deux ensembles et  une application de  dans . Considérons une partie floue de  donnée par sa fonction d'appartenance . On appelle image directe de cette partie floue par  la partie floue de  donnée par la fonction d'appartenance suivante, notée  :

Ensemble complet flou complet 
Cette opération a été introduite en 2017 par Javier Perez-Capdevila comme suit: Étant donné les ensembles flous, W1 = {(w11, f (w11)), (w12, f (w12),…, (w1i, f (w1i)}, W2 = {(w21, f (w21)), (w22, f (w22),…, (w2j, f (w2j)}, ..., Wm = {(wm1, f (wm1)), (wm2, f (wm2),…, (wmk, f (wmk)} si on obtient à partir de ces ensembles un ensemble M = {(m1, f (m1)), (m2, f (m2),…, (mn, f (mn)}, tel que chaque mi, i = 1, 2,…, n, est une combinaison d'éléments appartenant à chaque Wk, k = 1, 2,…, m, chaque élément de chaque Wk fait partie d'au moins un mi, et les valeurs de f (mi) sont la moyenne arithmétique des valeurs de fonction des éléments qui forment chaque mi, l'ensemble M est appelé ensemble complet flou complet.

Topologie floue 
Dès 1968, Chang a appliqué la théorie des ensembles flous à la topologie, donnant naissance à la topologie floue.

Définition 
Soit  un ensemble. Une topologie floue est donnée par une collection  de fonctions d'appartenance vérifiant les propriétés suivantes :
(i) les fonctions 0 et 1 appartiennent à la collection 
(ii) La borne inférieure d'un nombre fini d'éléments de  est élément de 
(iii) La borne supérieure d'un nombre quelconque d'éléments de  est élément de .

Les éléments de  sont les ouverts flous. Leurs complémentaires sont les fermés flous. La propriété (i) exprime que l'ensemble  et l'ensemble vide sont des ouverts flous, la propriété (ii) qu'une intersection finie d'ouverts flous est un ouvert flou et la propriété (iii) qu'une réunion quelconque d'ouverts flous est un ouvert flou.

Par exemple, étant donné un espace  muni d'une topologie  au sens usuel, on peut lui associer une topologie floue naturelle  en prenant pour  la collection des fonctions semi-continues inférieurement à valeurs dans [0,1]. La topologie floue ainsi définie est dite engendrée par la topologie initiale  de . Réciproquement, si  est une topologie floue définie sur , on peut lui associer une topologie  au sens usuel, à savoir la topologie la moins fine rendant toutes les fonctions de  semi-continues inférieurement.

Notions topologiques 
On peut alors introduire des notions plus complexes de topologie floue.

Continuité 
Ainsi une fonction est continue floue si et seulement si l'image réciproque d'un ouvert flou de l'ensemble d'arrivée est un ouvert flou de l'ensemble de départ. Les fonctions constantes sont continues floues si et seulement si la topologie floue de l'espace de départ contient tous les ouverts flous définis par des fonctions d'appartenance constantes.

Compacité 
Par analogie à la notion topologique usuelle, un espace topologique flou est compact si, de tout recouvrement par des ouverts flous, on peut extraire un recouvrement fini. Si l'image d'un compact par une application continue floue est compacte, en revanche, le théorème de Tychonoff n'admet qu'une version limitée : seul le produit fini de compacts en topologie floue est compact. Plus généralement, soit  un treillis complet, distributif et complémenté d'élément maximum 1, soit  un nombre cardinal et soit  une famille de compacts en topologie L-floue, où  est de cardinal . Alors le produit des  est compact pour la topologie produit L-floue si et seulement si 1 vérifie la propriété suivante : pour toute famille  d'éléments de  strictement inférieurs à 1,  est strictement inférieur à 1 (théorème de Tychonoff pour la topologie L-floue). Dans le cas où , donnant la topologie usuelle, cette propriété est vérifiée pour tout cardinal  et un produit quelconque de compacts est compact. Mais si , donnant la topologie floue, la propriété n'est vérifiée que pour les cardinaux finis.

Lowen a proposé une autre définition des compacts en topologie floue. En effet, si la topologie floue comprend toutes les fonctions d'appartenance constantes, il n'existe pas de compact au sens précédent : les fonctions  sont telles que  donc ces fonctions définissent un recouvrement de l'espace mais il n'en existe pas de sous-recouvrement fini. Un espace  est compact pour la topologie floue au sens de Lowen si, pour toute fonction d'appartenance constante , tout  et toute famille d'ouverts flous  telle que , il existe une sous-famille finie  telle que . Avec cette définition, un espace muni d'une topologie  usuelle est compact si et seulement s'il est compact muni de la topologie floue  engendrée par , et un produit quelconque d'espaces compacts est compact (théorème de Tychonoff pour la topologie floue au sens de Lowen).

Enfin, on montre que le théorème de Tychonoff pour la topologie L-floue et le théorème de Tychonoff pour la topologie floue au sens de Lowen sont, comme le théorème de Tychonoff usuel, équivalents à l'axiome du choix.

Notes et références

Voir aussi 
 Logique floue
 Arithmétique floue
 Théorie du prototype
 Théorie des possibilités

Classification
Logique
Automatique
Intelligence artificielle

de:Fuzzylogik#Unscharfe Mengen