Conjecture de Syracuse

La conjecture de Syracuse, encore appelée conjecture de Collatz, conjecture d'Ulam, conjecture tchèque, problème de Kakutani ou problème 3x + 1, est l'hypothèse mathématique selon laquelle la suite de Syracuse de n'importe quel entier strictement positif atteint 1.

Une suite de Syracuse est une suite d'entiers naturels définie de la manière suivante : on part d'un nombre entier strictement positif ; s’il est pair, on le divise par 2 ; s’il est impair, on le multiplie par 3 et l'on ajoute 1. En répétant l’opération, on obtient une suite d'entiers strictement positifs dont chacun ne dépend que de son prédécesseur.

Par exemple, à partir de 14, on construit la suite des nombres : 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2… C'est la suite de Syracuse du nombre 14.

Après que le nombre 1 a été atteint, la suite des valeurs 1, 4, 2, 1, 4, 2… se répète indéfiniment en un cycle de longueur 3, appelé cycle trivial.

Si l'on était parti d'un autre entier naturel, en lui appliquant les mêmes règles, on aurait obtenu une suite de nombres différente. A priori, il serait possible que la suite de Syracuse de certaines valeurs de départ n'atteigne jamais la valeur 1, soit qu'elle aboutisse à un cycle différent du cycle trivial, soit qu'elle diverge vers l'infini. Or, on n'a jamais trouvé d'exemple de suite obtenue suivant les règles données qui n'aboutisse pas à 1, puis au cycle trivial.

En dépit de la simplicité de son énoncé, cette conjecture défie depuis de nombreuses années les mathématiciens. Paul Erdős a dit à propos de la conjecture de Syracuse :

Origines 
, Lothar Collatz s'intéressait aux itérations dans les nombres entiers, qu'il représentait au moyen de graphes et d'hypergraphes. . . Ce dernier le diffusa en Amérique à l'université de Syracuse : la suite de Collatz prit alors le nom de « suite de Syracuse ». Entre-temps, le mathématicien polonais Stanislas Ulam le répand dans le Laboratoire national de Los Alamos. Dans les années 1960, le problème est repris par le mathématicien Shizuo Kakutani qui le diffuse dans les universités Yale et Chicago.

Cette conjecture mobilisa tant les mathématiciens durant les années 1960, en pleine guerre froide, qu'une plaisanterie courut selon laquelle ce problème faisait partie d'un complot visant à ralentir la recherche américaine.

Première approche de la conjecture

Suite de Syracuse 
La suite de Syracuse d'un nombre entier  est définie par récurrence, de la manière suivante :
 
 et pour tout entier naturel  :

Énoncé de la conjecture 
La conjecture affirme que pour tout entier , il existe un indice  tel que .

Vocabulaire 

L'observation graphique de la suite pour  et pour  montre que la suite peut s'élever assez haut avant de retomber. Les graphiques font penser à la chute chaotique d'un grêlon ou bien à la trajectoire d'une feuille emportée par le vent. De cette observation est né tout un vocabulaire imagé : on parlera du vol de la suite.

On définit alors : 
 le temps de vol : c'est le plus petit indice  tel que .

 le temps de vol en altitude : c'est le plus petit indice  tel que .

 l'altitude maximale : c'est la valeur maximale de la suite.

Sous-problèmes 
Derrière cette conjecture, se cachent deux autres conjectures, toutes les deux encore irrésolues. 
 Toute suite de Syracuse est-elle bornée ?
 Existe-t-il d'autres cycles que le cycle trivial (1,4,2)?

Les réponses OUI à la première question et NON à la seconde sont nécessaires et suffisantes pour démontrer la conjecture.

Approches de la conjecture et résultats

Suite compressée 

On remarque que si  est impair dans la formule ci-dessus,  est nécessairement pair et donc, le pas suivant de la suite doit être une division par deux ; on peut définir une nouvelle version compressée de la suite de Syracuse en combinant ces deux pas de la façon suivante :

La nouvelle suite est une suite extraite de la version de base, et la conjecture dit que cette suite aboutit toujours au cycle (1,2,1…).

Approche inverse 

On peut aussi partir d'un algorithme inverse :

Au lieu de prouver que la suite directe, partant de n'importe quel entier naturel non nul, mène toujours à 1, on essaye de démontrer que l'algorithme inverse, partant de 1, est capable de générer tous les nombres entiers naturels non nuls.

Il existe aussi une version compressée de l'algorithme inverse :

Ces algorithmes inverses peuvent être représentés par des arbres, dont la racine est 1. Si la conjecture est vraie, ces arbres recouvrent tous les entiers naturels non nuls.

Approche binaire 
Les applications répétées de la fonction de Syracuse peuvent être représentées comme une machine abstraite traitant d'un processus binaire. La machine effectuera les trois étapes suivantes sur n'importe quel nombre impair jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un « 1 »: 

 Décaler le nombre en binaire d'un cran à gauche et rajouter « 1 » à l'extrémité droite (donnant 2n + 1); 
 Additionner le nombre original n (donnant 2n + 1 + n = 3n + 1); 
 Enlever tous les « 0 » situés à droite (c'est-à-dire diviser par deux jusqu'à ce que le résultat soit impair).

Exemple 
Le nombre de départ choisi est 7. Son écriture en binaire est 111 (car 7 = 22 + 21 + 20) La séquence qui en résulte est la suivante:            111
           1111
          10110
         10111
        100010
       100011
       110100
      11011
     101000
    1011
   10000
  11
 100

Approche probabiliste 
Il existe des arguments heuristiques et statistiques de nature à motiver la conjecture. Considérons par exemple une itération de la suite de Syracuse compressée sur un nombre v pris aléatoirement dans un intervalle assez grand. Si v est pair, il est multiplié par (1/2), tandis que s'il est impair, il est multiplié par (3/2) environ. Dans les deux cas, on vérifie que la parité du résultat est indépendante de celle de v. Un raisonnement heuristique consiste à supposer que ce raisonnement probabiliste est valable pour n'importe quel terme de la suite compressée. Bien que ce ne soit pas rigoureux (les termes de la suite ne sont pas aléatoires), certaines observations expérimentales tendent à le confirmer. Ainsi, le modèle obtenu en appliquant cette hypothèse prédit convenablement le temps de vol en altitude de la suite. Avec cette heuristique, on peut dire que statistiquement, l'effet de deux opérations consécutives de la suite revient à multiplier le nombre de départ par (3/4), ou encore que l'opération de Syracuse est contractante, en moyenne, dans un rapport approximativement égal à la racine carrée de (3/4) = 0,866…

Ce rapport nettement inférieur à l'unité suggère fortement que les éléments successifs d'une suite de Syracuse ne peuvent très probablement pas croître indéfiniment. Il n'existe aucune preuve rigoureuse de cette affirmation (et même si l'on parvenait à rendre rigoureux cet argument probabiliste, cela ne permettrait pas encore de conclure, un événement de probabilité quasi nulle mais non nulle, n'étant pas pour autant impossible). De plus, l'argument ici esquissé n'exclut nullement l'existence de cycles non triviaux.

Concernant la répartition des nombres qui satisfont à l'hypothèse de Syracuse, par des méthodes élaborées de programmation linéaire on arrive à montrer que, pour  suffisamment grand, le nombre d'entiers inférieurs à  qui satisfont l'hypothèse de Syracuse est au moins  pour certaine constante . En 2002, I. Krasikov et J. Lagarias obtinrent .

Terence Tao a annoncé, en 2019, avoir prouvé (rigoureusement, mais par un argument probabiliste) que presque toutes les orbites de Collatz sont bornées par toute fonction qui diverge vers l'infini. En rendant compte de cet article, Quanta Magazine estime que « Tao a obtenu l'un des résultats les plus significatifs sur la conjecture de Collatz depuis des décennies »

Approche calculatoire 

Une voie d'exploration intéressante consiste en l'étude systématique du comportement de la suite de Syracuse à l'aide d'ordinateurs, pour des nombres de départ de plus en plus grands. On a ainsi vérifié la conjecture pour tout N < 268 ≈ 2.95×1020. La grandeur de ce nombre est de nature à renforcer notre croyance en la véracité de la conjecture de Syracuse. Il convient cependant de comprendre qu'aussi loin que l'on poursuive le calcul, il ne peut directement fournir une démonstration de cette conjecture ; le calcul pourrait éventuellement, au contraire, rencontrer un contre-exemple, qui démontrerait la fausseté de la conjecture. Cette approche présente aussi l'intérêt de fournir des résultats numériques utilisables par les théoriciens pour compléter leurs démonstrations. Par exemple, en utilisant la borne  ci-dessus avec un théorèmesur la longueur des cycles de la suite de Syracuse, on peut conclure qu'à part le cycle trivial (1,4,2,1…) il n'existe aucun cycle de longueur inférieure à 186 milliards.

Les résultats numériques permettent de chercher des corrélations entre le nombre de départ  et la durée de vol, ou le record d'altitude. On a ainsi observé que si les records d'altitude pouvaient être très élevés, la durée du vol était en comparaison plus modeste. Une observation sur les nombres déjà étudiés semble indiquer que l'altitude maximale est majorée par , où  pourrait être soit une constante, soit une fonction lentement croissante. Le temps de vol est plus erratique mais semble majoré par un multiple du logarithme de . Les expériences numériques suggèrent ainsi de nouvelles conjectures auxquelles les théoriciens peuvent s'attaquer.

En revanche, la recherche théorique est seule en mesure d'apporter des lumières concernant l'existence de trajectoires infinies : il a été démontré que l'ensemble des nombres appartenant à une telle trajectoire aurait une densité asymptotique nulle ; pour rester dans l'image du vol, on pourrait dire que le grêlon, pour ne pas retomber jusqu'au sol, doit acquérir et maintenir une haute « vitesse de libération ». Si la conjecture est vraie, alors un tel vol infini est impossible.

Un énoncé indécidable ? 

La relative faiblesse des résultats obtenus en dépit de l'application acharnée de méthodes mathématiques puissantes a conduit certains chercheurs à se demander si la conjecture de Syracuse est un problème indécidable (avec les axiomes usuels utilisés par les mathématiciens, tels que ZFC). En 1972, John Conway a établi l'indécidabilité algorithmique pour une famille de problèmes qui généralise de manière naturelle le problème 3x+1 (voir l'article sur le langage de programmation exotique FRACTRAN). Ce résultat implique qu'il y a dans la famille considérée des problèmes individuels qui sont indécidables (il est en fait même possible, en théorie sinon en pratique, d'en expliciter un), mais ne résout pas la décidabilité du problème de Syracuse en particulier.

Extension aux nombres négatifs, aux nombres réels et aux nombres complexes 

La même suite compressée  étendue aux entiers relatifs fait apparaître de nombreux autres cycles, comme par exemple (-5,-7,-5) ou (-17,-25,-37,-55,-41,-61,-91,-17). Le problème de Syracuse peut d'ailleurs être vu comme la restriction aux entiers naturels de la suite  où  est une fonction réelle ou complexe bien choisie, par exemple la fonction suivante :
 

Ou, dans la version compressée où  est remplacée par  :

Dans l'ensemble des nombres réels, cette fonction a été étudiée par Marc Chamberland. Il montre que la conjecture ne tient pas avec cette fonction pour les nombres réels car il existe une infinité de points fixes. Il a également montré qu'il existe de nombreux autres cycles, et qu'il existe des suites infinies divergentes de réels.

Dans le plan complexe, cette fonction a été étudiée par Letherman, Schleicher et Wood . De nombreux points divergent à l'infini, représentés dans l'illustration ci-contre en jaune ou bleu. La frontière qui sépare ces régions divergentes et celles qui ne divergent pas, ici en noir, forme une courbe fractale. On y retrouve des éléments caractéristiques de l'ensemble de Mandelbrot (ce dernier résultat n'est pas très étonnant en fait, car cet ensemble est universel).

Variantes 
Différentes variantes du problème de Collatz ont été étudiées.

L'une d'elle consiste à remplacer le nombre 3 du problème de Collatz par le nombre 5. Elle s'énonce ainsi :
 
 et pour tout entier naturel  : 

La forme compressée permet de diminuer le nombre d'étapes, mais a le même comportement
 
 et pour tout entier naturel  : 

Selon la valeur initiale N, trois types de suite sont obtenues :
Les suites aboutissant à 1, comme pour celles de la conjecture de Collatz ; c'est le cas pour N compris entre 1 et 4. 
Les suites aboutissant à une boucle, c'est le cas pour N = 5 ou N = 10 ;
Les suites qui semblent se poursuivre jusqu'à l'infini (cette divergence n'est pas démontrée) ; c'est le cas pour  N = 7 ou N = 9.

La différence de comportement entre la suite de Collatz en 3x +1 et celle en 5x + 1 n'a pas été démontrée formellement.

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie 
  Jeffrey Lagarias, The 3x+1 Problem: An Annotated Bibliography, II (2000-)
 Une page de la FAQ de fr.sci.maths
 .
 Jean-Paul Delahaye, « La conjecture de Syracuse », Pour la Science, , mai 1998 
  Sinyor, J., « The 3x+1 Problem as a String Rewriting System », International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Volume 2010 (2010), Article ID 458563, 6 pages.
La suite de Syracuse, un monde de conjectures par Luc-Olivier Pochon, Alain Favre , 2020 [PDF]

Article connexe 
 Demi-groupe 3x+1

Liens externes 
 Le problème en trois parties sur le site Images des mathématiques : (I) élémentaire mais redoutable, (II) cycles de longueur 5 et (III) y a-t-il des cycles non triviaux ? 
 Calcul en ligne : Calculer des suites de Syracuse
 La fonction Syracuse traitée par le langage LOGO
 Projet BOINC : Collatz Conjecture

Théorie des nombres
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