Zobrazení (matematika)

Zobrazení je v matematice speciálním případem binární relace, u které má každý vzor nejvýše jeden obraz. Je to předpis , který prvkům množiny  přiřazuje nejvýše jeden prvek množiny . Přesněji mluvíme o zobrazení z množiny  do množiny . Pokud , mluvíme o zobrazení na množině. Ve speciálním případě, když je  libovolná číselná množina, zobrazení nazýváme funkcí. Je-li prvku  množiny  přiřazen prvek  množiny , pak říkáme, že prvek  je vzorem a prvek  je obrazem.

Definice 
Zobrazení  z množiny  do množiny  je binární relace, která ke každému prvku  množiny  přiřazuje nejvýše jeden prvek  množiny  tak, že .

 Množina prvků , pro které existuje prvek  tak, že , se nazývá definičním oborem  zobrazení .
 Množina prvků , pro které existuje alespoň jeden prvek  tak, že , se nazývá oborem hodnot  zobrazení .

V teorii množin se tedy zobrazení definuje jako binární relace  splňující podmínku existence a jednoznačnosti:
 tak, že .

Typy zobrazení 

V matematice jsou injekce, surjekce a bijekce třídy zobrazení, které se liší způsobem, jakým jsou vzory a obrazy vzájemně mapovány:

Zobrazení je injektivní (zobrazení do), pokud je každý prvek oboru hodnot mapován nejvýše jedním prvkem definičního oboru, nebo ekvivalentně, pokud jsou různé prvky definičního oboru mapovány na různé prvky oboru hodnot:
 platí  nebo  platí .

Zobrazení je surjektivní (zobrazení na), pokud je každý prvek oboru hodnot mapován alespoň jedním prvkem definičního oboru:
 tak, že .

Zobrazení je bijektivní (vzájemně jednoznačné), pokud je každý prvek oboru hodnot mapován právě jedním prvkem definičního oboru:
 tak, že .

V každém případě pro libovolné zobrazení platí následující:
 tak, že .

Bijektivní zobrazení je jak injektivní, tak surjektivní. Injektivní zobrazení nemusí být surjektivní a surjektivní zobrazení nemusí být injektivní. Čtyři možné kombinace injektivních a surjektivních zobrazení jsou znázorněny na uvedeném obrázku. Bijektivní zobrazení se užívá k porovnávání mohutností nekonečných množin.

Zobrazení prosté a inverzní

Prosté zobrazení 
Zobrazení  z množiny  do množiny  se nazývá prosté, právě když každé dva různé vzory  mají různé obrazy :
.

Inverzní zobrazení 
Je-li  prosté zobrazení z množiny  do množiny , pak zobrazení  z množiny  do množiny , které každému  přiřazuje prvek , pro nějž , se nazývá inverzní zobrazení k zobrazení . Jeho definičním oborem je tedy  a platí .

Zobrazení podle typu vzorů a obrazů 
 Posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel (zpravidla do jiné číselné množiny, v obecném smyslu i do jiných druhů objektů) – vzor udává pořadí obrazu.
 Funkce (reálné či komplexní proměnné) je zobrazení v množině reálných či komplexních čísel.
 Vektorová, tenzorová resp. maticová funkce je zobrazení z množiny (vektorového prostoru) vektorů, tenzorů resp. matic.
 Funkcionál zobrazuje funkci na číslo.
 Operátor – funkci přiřazuje funkci.
 Třídové zobrazení – vzory i obrazy jsou množiny či třídy.

Speciální zobrazení 
 Identické zobrazení – každému prvku přiřadí tentýž prvek.
 Spojité zobrazení – k nekonečně blízkým vzorům přiřazuje nekonečně blízké obrazy.
 Lineární zobrazení – platí pro něj , kde  a  jsou prvky daného tělesa a  a  jsou prvky vektorového prostoru nad tímto tělesem.
 Konformní zobrazení – spojité zobrazení, které zachovává úhly.

Příklady zobrazení 

Mějme množiny  a . Můžeme například definovat zobrazení  jako
 
 
 
 
Oborem hodnot  je tedy množina . Vzorem prvku  jsou prvky . Jeden prvek v  tedy může mít více než jeden vzor v . Ale každý prvek  se zobrazí na právě jeden prvek v .

Na obrázku jsou uvedeny příklady mapování :
 Na a) je příklad, kdy se nejedná o zobrazení.
 Na b) je příklad prostého zobrazení množiny  do množiny .
 Na c) je příklad vzájemně jednoznačného zobrazení množiny  na množinu .
 Na d) je příklad zobrazení, které není prosté.

Mnohoznačné zobrazení 
Jak vyplývá z uvedené definice zobrazení, název mnohoznačné zobrazení je matematický oxymóron. Pojem se ale běžně užívá pro relaci, kde každému vzoru odpovídá alespoň jeden obraz. Mnohoznačné zobrazení

lze převést na jednoznačné zobrazení do potenční množiny 
.

Mnohoznačná zobrazení jsou poměrně přirozený způsob, jak se vypořádat s inverzí zobrazení, které není prosté. Např.:
.

Literatura

Související články 
 Binární relace

Matematické relace a zobrazení