Formule intégrale de Cauchy

La formule intégrale de Cauchy, due au mathématicien Augustin Louis Cauchy, est un point essentiel de l'analyse complexe. Elle exprime le fait que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est complètement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur un chemin fermé contenant (c'est-à-dire entourant) ce point. Elle peut aussi être utilisée pour exprimer sous forme d'intégrales toutes les dérivées d'une fonction holomorphe.

Expression 

Soient :
  un ouvert simplement connexe du plan complexe ℂ ;
  une fonction holomorphe sur  ;
  un chemin fermé rectifiable inclus dans  ;
 et  un point de  n'appartenant pas à ce chemin.

On a alors la formule suivante :

où  désigne l'indice du point  par rapport au chemin . Cette formule est particulièrement utile dans le cas où  est un cercle C orienté positivement, contenant  et inclus dans . En effet, l'indice de  par rapport à C vaut alors 1, d'où :

Cette formule montre  que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est entièrement déterminée par les valeurs de cette fonction sur n'importe quel cercle entourant ce point ; un résultat analogue, la propriété de la moyenne, est vrai pour les fonctions harmoniques.

Principale conséquence 

Montrons que ceci implique que  est développable en série entière sur  : soit ,  tel que . 

Soit , et  le cercle de centre  et de rayon  orienté positivement paramétré par .

On a pour tout  : ,
ce qui prouve la convergence uniforme sur  de la série de terme général
 vers

,

et comme  est continue sur  compact, donc bornée, on a convergence uniforme de la série 

 sur ,

ce qui permet d'effectuer une inversion des signes somme et intégrale : on a ainsi pour tout  dans  : 

 avec 

et donc  est analytique sur . On a supposé dans la démonstration que  était connexe, mais le fait d'être analytique étant une propriété locale, on peut généraliser l'énoncé précédent et affirmer que toute fonction holomorphe sur un ouvert  quelconque est analytique sur .

De la formule de Taylor réelle (et du théorème du prolongement analytique), on peut identifier les coefficients de la formule de Taylor avec les coefficients précédents et obtenir ainsi cette formule explicite des dérivées n-ièmes de  en  : 
.

Démonstration de la formule 

On définit une fonction  par :

Cette fonction est continue sur  et holomorphe sur . On peut donc lui appliquer le théorème intégral de Cauchy :

En remplaçant  par sa valeur et en utilisant l'expression intégrale de l'indice, on obtient le résultat voulu.

Autres conséquences 

Cette formule a de nombreuses applications, outre le fait de montrer que toute fonction holomorphe est analytique, et permet notamment de montrer le théorème des résidus.

Une version plus générale de la formule intégrale 

Principalement pour certains usages plus théoriques, on dispose d'un résultat d'une grande généralité. Les hypothèses du § Expression sont modifiées comme suit:
  est un ouvert quelconque du plan.
 Le chemin fermé est remplacé par une combinaison linéaire formelle  à coefficients entiers (par exemple une somme) de chemins rectifiables (non nécessairement individuellement fermés mais) fermée dans son ensemble. Ceci signifie qu'ayant défini le bord d'un chemin comme la différence formelle 'extrémité moins origine' (à ne pas confondre avec la différence au sens d'opération arithmétique!), on prolonge l'opération bord par linéarité et  est dite fermée si son bord est nul, voir la notion de chaîne en topologie algébrique (les notions les plus basiques de l'homologie suffisent).
 La condition " est simplement connexe" est remplacée par: pour tout nombre complexe  n'appartenant pas à , l'indice de  par rapport à  vaut 0.
 On peut en outre supposer  à valeurs dans un espace de Banach complexe.
 La conclusion est la même (première formule du § Expression).

Pour une démonstration, voir l'article de John D. Dixon. On y trouvera aussi la généralisation correspondante du théorème intégral de Cauchy.

Voir aussi

Bibliographie

Articles connexes 
 Méthodes de calcul d'intégrales de contour
 Théorème intégral de Cauchy

Notes et références 

Théorie de l'intégration
Cauchy (formule integrale)
Augustin Louis Cauchy