Kompaktní množina

Kompaktní množina, nebo také kompaktní prostor, je taková množina bodů topologického prostoru, že z každého jejího pokrytí otevřenými množinami lze vybrat pokrytí konečné. Tato definice v topologii zobecňuje a formalizuje intuitivní představu konečného objemu.

V Euklidovských prostorech jsou kompaktní množiny právě omezené a uzavřené podmnožiny. Například v množině reálných čísel R je uzavřený interval [0, 1] kompaktní množinou, ale množina celých čísel Z nikoliv (není omezená). Stejně tak polouzavřený interval [0, 1) není kompaktní množinou, protože to není uzavřená množina.

Na metrických prostorech lze ekvivalentně definovat kompaktní množinu pomocí posloupností: kompaktní množina je taková množina, že z každé posloupnosti v této množině lze vybrat posloupnost konvergentní (v této množině), tuto vlastnost nazýváme sekvenciální kompaktnost. Kompaktní množina je na těchto prostorech uzavřená a omezená, (ovšem pozor, opačná implikace obecně neplatí).

V konečnědimenzionálních normovaných vektorových prostorech je množina kompaktní pravě tehdy, když je uzavřená a omezená.

Prostor se označuje jako lokálně kompaktní, existuje-li ke každému jeho bodu kompaktní okolí.

Ekvivalentní definice pro metrické prostory 
 Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když je úplný a totálně omezený.
 Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když pro libovolnou posloupnost  neprázdných uzavřených množin, splňující  pro všechna přirozená  platí . Viz Cantorova věta o průniku kompaktů.

Příklady kompaktních množin 
 prázdná množina
 libovolný konečný topologický prostor
 Cantorova množina
 pokud a a b jsou reálná čísla, je interval [a, b] kompaktní množinou v množině reálných čísel.
 uzavřená jednotková koule v konečnědimenzionálním normovaném vektorovém prostoru

Vlastnosti 
 Každá spojitá funkce z kompaktního metrického prostoru do prostoru reálných čísel nabývá svého maxima i minima.
 Každá spojitá funkce z kompaktního metrického prostoru do prostoru reálných čísel je omezená.
 Kompaktní podmnožina Hausdorffova prostoru je uzavřená.
 Uzavřená podmnožina kompaktního prostoru je kompaktním prostorem.
 Při spojitém zobrazení je obrazem kompaktní množiny opět kompaktní množina.
 Každá spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá. Viz Cantorova-Heineova věta.
 Konečné sjednocení kompaktních prostorů je kompaktní.
 Platí Tichonovova věta: kartézský součin libovolné množiny kompaktů je kompaktní (v součinové topologii).
 Kompaktní metrický prostor je separabilní.
 Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když každá posloupnost má konvergentní podposloupnost.
 Nechť  je kompaktní metrický prostor,  je metrický prostor a  je spojitá bijekce. Potom  je homeomorfismus.

Kompaktní Lieovy grupy 
Obzvlášť důležitá je kompaktnost ve studiu Lieových grup a jejich reprezentací. Platí pro ně řada důležitých vlastností a reprezentace obecných Lieových grup se často konstruují pomocí reprezentací kompaktních podgrup.
 Klasifikace kompaktních Lieových grup je známá (jsou to právě kompaktní formy komplexních polojednoduchých Lieových grup, případně jejich konečná nakrytí a součiny s kružnicí).
 Na kompaktní grupě vždy existuje konečná invariantní míra, tzv. Haarova míra, díky které je možné na kompaktních grupách zavést integrování.
 Všechny ireducibilní reprezentace kompaktní Lieovy grupy jsou konečněrozměrné a unitarizovatelné
 Každá reprezentace kompaktní Lieovy grupy se rozpadá na direktní součet konečně rozměrných reprezentací
 Maticové koeficienty těchto reprezentací tvoří ortonormální bázi -funkcí na dané grupě, což umožňuje zobecnit harmonickou analýzu na nekomutativní kompaktní grupy (viz též Peter-Weylova věta).

Kompaktní variety 
Klasifikace obecných souvislých kompaktních variet není známa. Kompaktní varieta v dimenzi 1 je pouze kružnice. V dimenzi 2 jsou to orientovatelné anebo neorientovatelné plochy charakterizované navíc jedním přirozeným číslem (genus). V dimenzi 3 byla v roce 2002 dokázána tzv. Poincarého hypotéza: každá kompaktní jednoduše souvislá 3-varieta je homeomorfní 3-sféře.

Literatura 
 Topology, John Gilbert Hocking, Gail S. Young, Courier Dover Publications, 1988
 General topology, John L. Kelley, Birkhäuser, 1975, kapitola 5
 Elementary Topology and Applications, Carlos R. Borges, World Scientific Publishing Company (2001), kapitola 3

Související články 
 Topologie

Externí odkazy 
 

Topologie