Parabola (matematika)

Parabola je druh kuželosečky, rovinné křivky druhého stupně. Parabola je množina těch bodů roviny, které jsou stejně vzdáleny od dané přímky (tzv. řídicí přímka nebo také direktrix) jako od daného bodu, který na ní neleží (tzv. ohnisko neboli fokus).

Vlastnosti, vyjádření 
Parabola je pouze osově souměrná. Osa souměrnosti prochází ohniskem a je kolmá na řídicí přímku. Otáčením paraboly kolem její osy symetrie vznikne kvadratická rotační plocha, zvaná rotační paraboloid.

O parabole říkáme, že je v normální poloze, je-li její osa rovnoběžná s osou  nebo .

Parabolu lze také definovat jako kuželosečku s výstředností rovnou jedné. Z toho vyplývá, že všechny paraboly jsou podobné, odtud také pramení název. Parabolu lze také chápat jako limitu posloupnosti elips, ve které je jedno ohnisko pevné a druhé ohnisko se postupně vzdaluje do nekonečna.

Matematická vyjádření 
Implicitní vyjádření
 
Množina všech bodů X v rovině, které mají stejnou vzdálenost od ohniska F a od řídicí přímky d, která neprochází ohniskem F.

Kartézský souřadnicový systém 
Standardní popis paraboly: 

V[m, n] – vrchol paraboly o souřadnicích m, n 
F – ohnisko paraboly 
d – řídicí přímka 
o – osa paraboly 
|DF| = p – velikost parametru, 

X[x, y] – libovolný bod náležící parabole

Kanonický tvar rovnice 
Kanonický (normální) tvar rovnice paraboly v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou  a vrchol ) v kartézských souřadnicích je

Pro  je parabola otevřená doprava a pro  je parabola otevřená doleva. Pro  dostaneme parabolu s vrcholem v počátku souřadnic.

Ohnisko takto zadané paraboly má souřadnice

a řídicí přímka je určena rovnicí

Kanonický tvar rovnice paraboly s osou v ose  a vrcholem v počátku souřadnicového systému lze zapsat jako

Pro  je parabola otevřená nahoru a pro  je otevřená dolů.

Rovnice kuželosečky 
Jestliže v rovnici kuželosečky položíme  a , pak dostaneme parabolu v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou ), která má řídicí přímku

ohnisko má souřadnice

a souřadnice vrcholu jsou

Parametr má velikost

Podobně v případě  a  dostaneme parabolu v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou ). Pro řídicí přímku, ohnisko, vrchol a parametr pak dostaneme

Parabolu v obecné poloze lze do normální polohy převést otočením souřadnicové soustavy o úhel  určený vztahem

Charakteristické rovnice paraboly dle jejího umístění 
 Osa paraboly  rovnoběžná s osou  mající minimum(bod V) na ose .

Vrcholová rovnice:
 
Parametrické rovnice:
 
 
Obecná rovnice:
 
Rovnice řídicí přímky:
 
Rovnice tečny v bodě :
 

Osa paraboly  rovnoběžná s osou  mající maximum(bod V) na ose .Vrcholová rovnice:
 Parametrické rovnice:
 
 Obecná rovnice:
 Rovnice řídicí přímky:
 Rovnice tečny v bodě :
 

 Osa paraboly  rovnoběžná s osou  mající minimum. Konvexní parabola.Vrcholová rovnice:
 Parametrické rovnice:
 
 Obecná rovnice:
 Rovnice řídicí přímky:
 Rovnice tečny v bodě :
 

 Osa paraboly  rovnoběžná s osou  mající maximum. Konkávní parabola.Vrcholová rovnice:
 Parametrické rovnice:
 
 Obecná rovnice:
 Rovnice řídicí přímky:
 Rovnice tečny v bodě :

Převedení obecné rovnice na vrcholovou 
Uspořádáme členy v rovnici.
 
Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu.
 
Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala vrcholovému tvaru.
 
 
 
Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti paraboly.
Jedná se o parabolu, jejíž osa  je rovnoběžná se záporným směrem osy .
, , ,
, d:

Vzájemná poloha paraboly a přímky 
Řešíme soustavu rovnic paraboly a přímky.
Jestliže vyjde lineární rovnice, která má řešení – přímka je sečnou paraboly s jedním průsečíkem.
Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení – přímka není sečna (žádný společný bod).
Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant  je:
 D > 0 dvě řešení – přímka je sečna se dvěma průsečíky
 D = 0 jedno řešení – tečna s bodem dotyku, nebo přímka rovnoběžná s osou paraboly
 D < 0 žádné řešení – přímka není sečna

Vzájemná poloha paraboly a bodu 
Jestliže převedeme všechny členy rovnice paraboly na levou
stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu,
pak bude platit:
 výsledná hodnota = 0 bod náleží parabole
 výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnější oblasti paraboly
 výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnitřní oblasti paraboly

Polární souřadnicový systém 

Parabola s ohniskem v počátku souřadnicového systému s vrcholem na záporné poloose x má obecnou rovnici:
 
kde  je parametr paraboly.

Odtud je vidět, že parametr paraboly má také význam poloviny délky tzv. latus rectum, což je tětiva kuželosečky kolmá na hlavní osu v ohnisku . U paraboly se tato hodnota rovná čtyřnásobku ohniskové vzdálenosti.

Z polární rovnice lze rovněž nahlédnout, že parabola vznikne též kruhovou inverzí srdcovky.

Parabola ve skutečném světě 
Trajektorií tělesa pohybujícího se v homogenním gravitačním poli (např. v blízkosti zemského povrchu) je právě parabola. Při započítání vlivu odporu vzduchu se tělesa pohybují po balistické křivce, viz volný pád.

Po parabole se také pohybuje těleso v centrálním gravitačním poli, pokud je jeho rychlost přesně rovna únikové rychlosti a směr se nerovná směru tohoto pole. Například dráhy, po nichž se pohybují některé komety, jsou velmi blízké parabolám.

Pokud se paprsek přicházející do paraboly (či paraboloidu) rovnoběžně s osou symetrie odrazí od paraboly/paraboloidu, bude procházet ohniskem (a naopak, paprsek vydávaný zdrojem umístěným v ohnisku vychází z paraboly/paraboloidu vždy rovnoběžně s osou symetrie). To je důvod, proč se vyrábějí parabolická zrcadla a antény (např. v reflektorech automobilů, dalekohledech, satelitních anténách apod.).

Související články 
 Geometrický útvar
 Rovinné geometrické útvary
 Hyperbola
 Elipsa
 Kružnice
 Mocninná křivka

Externí odkazy 
 
 Parabola v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Kuželosečky