Gradient

En mathématiques et en physique, le gradient d'une fonction est son taux de variation selon la position (au sens large). Par exemple, en météorologie, le gradient de température est le taux de variation de la température selon l'altitude ; on le mesure en °C/hm ( degrés Celcius par cent mètres).

Pour une fonction , le gradient de  se confond avec la dérivée de . Pour une fonction , où  est un nombre entier , le gradient de  en un point est un vecteur dont la direction est celle de la variation la plus forte de  au voisinage de ce point. Cette notion est liée à celle de différentielle pour des fonctions à valeurs réelles : si  est différentiable en , la différentielle  est une forme linéaire ; à cette forme linéaire, si l'ensemble de départ  est de dimension finie, on peut associer un vecteur qui est le gradient de  en .

Par exemple, si une fonction  est différentiable au point , alors son gradient est le vecteur, noté à l'aide de l'opérateur nabla :
 
où  sont les dérivées partielles de  au point  par rapport aux variables  respectivement. La variation de  au voisinage de  pour une petite variation  est :
 

À chaque point où  est différentiable, on peut définir un vecteur ; la famille de ces vecteurs forme un champ de vecteurs. Ce champ s'appelle aussi gradient de la fonction  et se note  C'est une fonction définie sur l'ensemble  des points de  où  est différentiable, et à valeurs dans .

Le gradient permet d'approcher les fonctions de plusieurs variables par des formes linéaires. Il se révèle utile en physique, mais aussi en géométrie pour déterminer les normales aux lignes de niveaux ou aux isosurfaces.

Motivation 
En physique et en analyse vectorielle, le gradient est un vecteur indiquant comment une grandeur physique varie dans l'espace. Le gradient est d'une importance capitale en physique, qui l'employa avant les autres disciplines. En théorie des variations, il est aussi fondamental dans le domaine de l'optimisation ou de la résolution d'équations aux dérivées partielles.

En sciences de la Terre, le gradient est utilisé pour la variation dans toutes les directions d'un paramètre de la lithosphère, de l'hydrosphère, de l'atmosphère, ou de la biosphère. Cependant, le terme est souvent employé pour la composante dans une seule direction, comme dans le cas de la dérivée verticale d'une grandeur physique,  sa dérivée par rapport à la coordonnée  (altitude ou profondeur). Par exemple, le gradient géothermique est la dérivée  fois , où  est la température et  un vecteur unitaire vertical.

Définition 

Dans un système de coordonnées cartésiennes, le gradient d'une fonction  différentiable au point  est le vecteur noté  de composantes les  (où ),  les dérivées partielles de  par rapport aux coordonnées, au point  :

Dans un repère orthonormé, si le vecteur gradient n'est pas nul, alors il pointe dans la direction où la fonction croît le plus rapidement, et sa norme est égale au taux de croissance dans cette direction.

Les composantes du gradient de  sont les coefficients des variables dans l'équation réduite de l'espace tangent au point  au graphe de . Cette propriété lui permet d'être défini indépendamment du choix du système de coordonnées, en tant que champ de vecteurs dont les composantes se transforment lors du passage d'un système de coordonnées à un autre.

La généralisation du gradient aux fonctions différentiables de plusieurs variables et à valeurs vectorielles (et aux applications différentiables entre espaces euclidiens) est la matrice jacobienne. La généralisation aux fonctions entre espaces de Banach est la dérivée de Fréchet.

Notation 
 La dérivée ou différentielle d'une fonction  en un point  est généralement notée :
  ou  ou  ou  ou 
 ou, abusivement puisqu'elle n'est pas infinitésimale :
  ou  ou 

 Le gradient d'une fonction  en un point  est généralement noté :
  ou  ou  ou 
 dans la littérature en anglais, ou en français par commodité typographique, on préfère souvent mettre en gras le symbole du gradient pour signifier son caractère vectoriel :
  ou .
 Le symbole ∇ est appelé nabla.

Gradient de température 
Le gradient de température, ou gradient thermique, est le gradient de la température en tant que fonction scalaire des coordonnées spatiales (lui est une fonction vectorielle de ces coordonnées).

Gradient dans une seule direction (dérivée) 
Supposons que l'on place une poutre rectiligne entre deux murs qui n'ont pas la même température, le mur de gauche étant le plus froid. On observe que, sur la poutre, la température varie dans le temps, et dans l'espace : elle augmente de la gauche vers la droite. À ce phénomène thermodynamique, on associe un phénomène de flux de chaleur, lui-même lié à un gradient de température,  à une variation de la température le long de la poutre (cf. Conduction thermique, Loi de Fourier).

À un instant fixé, à chaque point  de la poutre, on attribue une abscisse  ; par exemple, à l'extrémité gauche, l'abscisse , et à l'extrémité droite, l'abscisse  (longueur de la poutre). En chaque point  de la poutre, on considère la température  ; autrement dit,  est fonction de .

Entre deux points distants d'une très petite longueur , on mesure un écart de température . Au sens usuel, le gradient (de température) est le rapport entre ces deux grandeurs :
 

Au sens analytique (mathématique), on parle de gradient si ce rapport admet une limite quand  tend vers 0, limite notée :
 

On écrit la variation le long de  comme l'approximation (dite du premier ordre) :
 
où  signifie que le terme qui reste est négligeable par rapport à

Propriétés 
 Le rapport  a un signe, qui correspond à un sens. Dans notre poutre, la température augmente de gauche à droite, donc le gradient est orienté vers la droite ; l'axe des  aussi est orienté de gauche à droite, donc 
 En dimension 1, les notions de gradient et de dérivée sont équivalentes.
 En physique, la norme de ce gradient est homogène à une température divisée par une distance (mesurée en K·m−1, ou plus usuellement en °C·m−1).

Gradient de température dans l'espace à trois dimensions usuel 
En réalité, la température d'un point de la poutre varie en fonction d'un déplacement dans l'espace. On caractérise un point  de l'espace par ses coordonnées cartésiennes : . « Comme » précédemment, la température est fonction des coordonnées de  : .

Pour chacune de ces directions, on peut écrire une variation, dite partielle. Si, tout en étant en 3D, on ne se déplace que selon un axe, par exemple selon les ordonnées , alors on peut réécrire la même formule que précédemment sur l'accroissement de température. Cependant, pour noter la variation, on passe par l'écriture en dérivée partielle (dite ronde) plutôt que par la dérivée unidimensionnelle (dite droite). On écrit la variation le long de  comme l'approximation (dite du premier ordre) :
 
où  signifie que le terme qui reste est négligeable par rapport à 

Plus généralement, on se déplace dans l'espace d'un point  à un point , et la température passe de  à . En première approximation, cette variation est une fonction linéaire de , et s'exprime donc comme somme algébrique des variations liées à chacune des composantes de 
 
où  signifie que le terme qui reste est négligeable par rapport à 

Soit  le vecteur gradient de température. On peut alors réécrire la relation précédente sous la forme :
 
où  désigne le produit scalaire usuel sur

Propriétés 
 Le gradient est un vecteur de même dimension que l'espace sur lequel porte la température (ici ℝ), alors que la température est à valeurs scalaires ( que la température en un point est un nombre, pas un vecteur).
 La direction du (vecteur) gradient définit de nouveau la direction du plus froid au plus chaud, mais cette fois en 3D.
 La norme du gradient de température est toujours homogène à .

Introduction par les éléments différentiels 
Comme pour la différentielle dont il est une variante, le gradient peut être introduit avec le vocabulaire des éléments différentiels. À titre d'exemple, examinons le problème de la variation de l'aire d'un rectangle.

Dans le plan (), considérons un rectangle de côtés  et . Sa surface  est égale à  ; elle dépend donc des coordonnées du point . En suivant une démarche intuitive, on convient de noter par  (resp. ) une variation infinitésimale de la variable  (resp. ). Lorsque le point  fait un déplacement infinitésimal, la surface varie de façon infinitésimale, et on peut écrire que :
 
On en déduit facilement que :
 

Une simple application numérique où  et  seraient des mètres et  et  des centimètres illustre que  est négligeable par rapport aux autres grandeurs.

On peut donner un statut mathématique précis aux notations  et  (qui sont des formes différentielles), et à la quantité  (qui est alors du second ordre). Le calcul précédent est en fait un calcul de développement limité à l'ordre 1, faisant intervenir les dérivées premières de la fonction  par rapport à ses deux variables. En négligeant , on obtient donc :
 
où 

Bien sûr, on peut utiliser des notations un peu différentes :
 
où 

L'intérêt d'introduire ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs variables est de montrer que :
 la fonction varie le plus si le point se déplace dans la direction du vecteur gradient ;
 elle ne varie presque pas s'il se déplace dans toute direction perpendiculaire au gradient.
En effet :  «  » 

En électrostatique, ceci donne les courbes de même potentiel : les « équipotentielles ».

En mathématiques pures

Gradient dans un espace euclidien

Contexte 
Soient  un espace vectoriel euclidien,  un ouvert de , et une fonction , différentiable en un point  de . On note  la différentielle en  de  ; c'est une forme linéaire sur . On note  l'image par cette différentielle d'un vecteur  de .

Existence et unicité 
Il existe un unique vecteur  tel que pour tout vecteur  de , , où  désigne le produit scalaire sur .

Le vecteur  est appelé le gradient de  en , et il est noté . Il vérifie donc :

Développement limité 
Si une application  est différentiable en un point , alors on peut écrire le développement limité de  du premier ordre au voisinage de  (avec la notation de Landau):

Expression canonique : avec dérivées partielles 
Puisque le gradient est lui-même un vecteur de , il est naturel qu'on cherche à l'exprimer dans une base orthonormée  de cet espace vectoriel. On démontre qu'il s'exprime à l'aide des dérivées partielles sous la forme :
 

Par exemple, en dimension 3, on obtient :

Une propriété fondamentale 
Le gradient de  désigne la direction où la pente de  est la plus grande. Précisément :

Soit un point  tel que  est différentiable en  et que  pour tout vecteur  tel que  il existe  tel que :

Gradient et dérivée directionnelle

Changement de base 
Lors d'un changement de base, au travers d'un -difféomorphisme de , l'écriture du gradient suit les règles usuelles des changements de base.

Il ne faut pas confondre changement de base pour l'expression d'une fonction écrite en notations cartésiennes (canoniques) et écriture du gradient adaptée à une notation autre. Par exemple, pour une fonction exprimée en coordonnées polaires, on calcule l'écriture « polaire » du gradient en partant d'une fonction  explicitée en fonction de l'abscisse polaire () et de l'argument ().
 En coordonnées cylindriques (pour les coordonnées polaires, ne pas considérer la composante en ) :
 
 qu'on peut aussi noter :
 
 tout dépend des notations utilisées. Voir :
 En coordonnées sphériques :
 
les vecteurs de type  sont utilisés en coordonnées polaires.

Gradient dans un espace de Hilbert 
Soient  un espace de Hilbert (de dimension finie ou non),  un ouvert de , et une application , différentiable en un point  de . La différentielle  étant, par définition, une forme linéaire continue sur , il résulte du théorème de représentation de Riesz qu'il existe un unique vecteur, noté , de  tel que :
 
Le vecteur  est appelé le gradient de  en .

Une propriété fondamentale 
On montre que si , alors  croît strictement dans la direction de  en passant par ,  :

Il existe  tel que pour tous  et  de

Gradient dans une variété riemannienne 
On peut encore étendre cette définition à une fonction définie et différentiable sur une variété riemannienne . Le gradient de  en  est alors un vecteur tangent à la variété en , défini par :
 

Enfin, si  est un champ scalaire indépendant du système de coordonnées, c'est un tenseur d'ordre , et sa dérivée partielle est égale à sa dérivée covariante :
 

En coordonnées contravariantes, on calcule le champ de vecteurs appelé gradient de  :
 

Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement le gradient dans tout système de coordonnées.

Propriétés géométriques en dimension 2 ou 3 
Classiquement, le gradient permet de définir la « normale aux courbes de niveau », ce qui se traduit en 2D et en 3D par des propriétés géométriques intéressantes. La propriété de tangence étant liée à la convexité/concavité, il est aussi intéressant de voir le lien qui existe entre gradient et convexité, toujours en 2D ou 3D.

En dimension 2 : gradient normal à une courbe en un point, droite tangente 
Soient une application  continûment différentiable, et une courbe définie par l'équation , où  est une constante. En un point  donné de cette courbe, si le gradient existe et s'il n'est pas nul, alors il donne la direction de la normale en  à la courbe ; la droite tangente en  à la courbe est alors orthogonale au gradient.

Application au traitement d'image

En dimension 3 : gradient normal à une surface en un point, plan tangent 
Soient une application  continûment différentiable, et une surface définie par l'équation , où  est une constante. En un point  donné de cette surface, si le gradient existe et s'il n'est pas nul, alors il donne la direction de la normale en  à la surface ; le plan tangent en  à la surface est alors orthogonal au gradient.

Gradient et convexité 
Soient  (par exemple,  ou ), et une application  continûment différentiable. Si l'application  est monotone (resp. strictement monotone), alors  est convexe (resp. strictement convexe), , en utilisant la caractérisation par les cordes :
 

Cette propriété est intéressante parce qu'elle reste valable même si  n'est pas deux fois différentiable.

Si  est deux fois différentiable, le hessien est positif si et seulement si le gradient est monotone.

Cas de la dimension 1 
La monotonie telle que définie ci-dessus permet de définir une fonction dérivée croissante ou décroissante au sens usuel. Dans le premier cas, on parle de fonction convexe ; dans le second, de fonction concave.

Si la fonction est deux fois dérivable, la croissance de la dérivée (donc du gradient) est assurée par la positivité de la dérivée seconde (équivalent du hessien).

Relations vectorielles 

En analyse vectorielle, le gradient peut être combiné à d'autres opérateurs : divergence (div), rotationnel (rot), laplacien (Δ). Soit  une fonction décrivant un champ scalaire, que l'on suppose de classe  par rapport à chaque paramètre ; alors :
   (Que vient faire  ici ?)

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Bibliographie 
  Serge Lang, Fundamentals of Differential Geometry, Springer
  Barrett O'Neill, Elementary Differential Geometry,  éd. révisée

Articles connexes 
 Nabla
 Algorithme du gradient
 Analyse vectorielle
 Dérivée directionnelle
 Gradient projeté
 Opérateur laplacien
 Théorème du gradient

Analyse vectorielle
Dérivée