Plus petit commun multiple

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, le plus petit commun multiple – en abrégé PPCM – (peut s'appeler aussi PPMC, soit « plus petit multiple commun ») de deux entiers non nuls a et b est le plus petit entier strictement positif qui soit multiple de ces deux nombres. On le note a ∨ b ou PPCM(a, b), ou parfois simplement [a, b].

On peut également définir le PPCM de a et b comme un multiple commun de  a et de b qui divise tous les autres. Cette seconde définition se généralise à un anneau commutatif quelconque, mais on perd en général l'existence et l'unicité ; on parle alors d'un PPCM de deux éléments. L'existence est assurée dans les anneaux intègres factoriels ou même seulement à PGCD.

Plus généralement, le PPCM se définit pour un nombre quelconque d'éléments : le PPCM de n entiers non nuls est le plus petit entier strictement positif multiple simultanément de ces n entiers.

Définition 
Soient a et b deux entiers relatifs :
 si a ou b est nul, PPCM(a, b) = 0 ;
 si a et b sont non nuls, considérons l'ensemble des entiers strictement positifs qui sont multiples à la fois de a et de b. Cet ensemble d'entiers naturels est non vide, car il contient |ab|. Il possède donc un plus petit élément, et c'est cet entier (strictement positif) que l'on appelle le PPCM de a et b :
.

Calcul

À l'aide de la décomposition en facteurs premiers 
La décomposition en facteurs premiers du PPCM de n entiers strictement positifs contient tous les nombres premiers qui apparaissent dans au moins une des décompositions en facteurs premiers de ces n entiers, chacun affecté du plus grand exposant qui apparait dans celles-ci.

On obtient donc une méthode de calcul du PPCM en décomposant chaque nombre en produit de nombres premiers.

Exemple
Prenons les nombres 60 et 168 et décomposons-les en produits de facteurs premiers. On a :
 60 = 2×2×3×5 = 2×3×5 ;
 168 = 2×2×2×3×7 = 2×3×7.

Pour le nombre premier 2, le plus grand exposant est 3. Pour les nombres premiers 3, 5 et 7, le plus grand exposant est 1. On a ainsi .

À l'aide du PGCD 
Dès que l'un des deux entiers a ou b est non nul, leur plus petit commun multiple peut être calculé en utilisant leur plus grand commun diviseur (PGCD) :
.

Alternativement, l'existence d'un PGCD se déduit, ainsi que la formule, de celle d'un PPCM au sens fort, c'est-à-dire — cf. première propriété ci-dessous — d'un multiple commun qui divise tous les autres :
 
Définissons les entiers m et d par : m = PPCM(a, b) et d = |ab|/m. Alors, pour tout entier n,donc PGCD(a, b) = d.

Ainsi, l'algorithme d'Euclide pour le calcul du PGCD permet de calculer aussi le PPCM.

Exemple
Avec l'algorithme d'Euclide, calculons PGCD(60, 168) :168 = 60 × 2 + 4860 = 48 × 1 + 1248 = 12 × 4 + 0.
Donc PGCD(60, 168) = 12 et PPCM(60, 168) = (60×168)/12 = 840.

Propriétés 
Soient  trois entiers naturels non nuls.
Les multiples communs à a et b sont les multiples de PPCM(a, b)
En particulier, 
 (on peut étendre à un nombre arbitraire d'éléments)

.

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes 
 Livre VII des Éléments d'Euclide
 Treillis (ensemble ordonné)

Lien externe 
Outil en ligne calculant le PPCM de deux nombres

Divisibilité et factorisation
Opération