Rovnice

Rovnice je v matematice vztah rovnosti dvou výrazů, které obsahují jednu nebo více proměnných. Kořen rovnice je libovolná hodnota proměnné (příp. sada hodnot proměnných), pro které je rovnost splněna.

Formální definice 
Uvažujme dvě funkce , které jsou definovány na nějaké množině , pak nalezení všech , která splňují rovnost

se nazývá rovnicí o jedné neznámé . Funkce  se nazývá levá strana rovnice a  se nazývá pravá strana rovnice.

Kořeny rovnice 

Každé číslo , které vyhovuje vztahu , se nazývá kořen rovnice. Množinu všech kořenů dané rovnice označujeme jako řešení rovnice. Má-li rovnice alespoň jeden kořen v , nazývá se řešitelná v , pokud žádný kořen v  nemá, říkáme, že rovnice je v  neřešitelná. Pokud je rovnice  splněna pro všechna , jde o identitu, což značíme

Triviální řešení 
Řešení, které je identicky rovno nule, se označuje jako triviální. Pokud řešení rovnice není identicky rovno nule, hovoří se o netriviálním řešení.

V mnoha případech je požadavek na nalezení pouze netriviálního řešení přímo součástí zadání problému.

Např. triviálním řešením diferenciální rovnice

je
,
což je funkce identicky rovna nule. Netriviální řešení má tvar
,
což je exponenciální funkce.

Jiným příkladem je tzv. Velká Fermatova věta, která hledá netriviální řešení rovnice  pro . Triviálním řešením by v tomto případě bylo , což platí pro libovolné . Podobně je triviálním řešením . Takováto řešení jsou však obvykle nezajímavá.

Ekvivalentní rovnice 
Jsou-li na dané množině definovány dvě rovnice , pak je-li každý kořen první rovnice současně kořenem rovnice druhé a naopak, říkáme, že obě rovnice jsou ekvivalentní (rovnocenné, stejné).

Rovnici lze tzv. ekvivalentními úpravami převést na ekvivalentní rovnici. Mezi nejčastěji používané ekvivalentní úpravy patří:
 přičtení (nebo odečtení) stejného čísla k oběma stranám rovnice, tzn.  je ekvivalentní rovnicí s rovnicí 
 vynásobení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem, tzn.  je ekvivalentní rovnicí s rovnicí 

Rovnici  je možné pomocí ekvivalentních úprav převést na (ekvivalentní) tvar

Při řešení rovnice lze použít také jiné úpravy, např. logaritmování nebo umocnění obou stran rovnice apod. Tyto úpravy však nemusí být ekvivalentní a při jejich použití je vždy nutno provést zkoušku.

Zkouška 
Po nalezení řešení rovnice provádíme zkoušku, neboť v mnoha případech nejsme schopni ověřit, zda použité úpravy byly opravdu ekvivalentní. Zkouška spočívá v dosazení získaných kořenů do původní rovnice. Pokud některý kořen nesplňuje zkoušku, nebyly pravděpodobně všechny provedené úpravy ekvivalentní, a nejedná se tedy o kořen původní rovnice.

Rovnice o více neznámých 
Rovnice o  neznámých má tvar

Při jejím řešení postupujeme obdobně jako při řešení rovnice o jedné neznámé , přičemž řešením rovnice o  neznámých jsou n-tice .

Algebraické a nealgebraické rovnice 
Rovnice lze rozdělit na algebraické rovnice (též označované polynomická rovnice) a nealgebraické rovnice (též transcendentní rovnice).

Jako algebraickou rovnici -tého stupně o jedné neznámé označujeme rovnici ve tvaru
,

kde levou stranu rovnice tvoří polynom -tého stupně s , přičemž se předpokládá, že . Pokud rovnici nelze vyjádřit ve tvaru algebraické rovnice, pak hovoříme o rovnici nealgebraické.

Rovnice až do 4. stupně jsou obecně vždy řešitelné analyticky, v algebře se dokazuje, že obecný vzorec řešící jakoukoli rovnici 5. a vyšších stupňů neexistuje a řešení je nutné hledat numericky.

Mezi nejjednodušší algebraické rovnice patří lineární rovnice , kvadratická rovnice , kubická rovnice  a kvartická rovnice . Také pro některé zvláštní případy polynomů dostáváme jednoduché rovnice, jde např. o binomické, trinomické nebo reciproké rovnice.

Při práci s algebraickými rovnicemi má velký význam tzv. základní věta algebry. Podle této věty má každý polynom s komplexními koeficienty stupně  alespoň jeden komplexní kořen. Každá algebraická rovnice má tedy řešení v oboru komplexních čísel. Řešení algebraických rovnic usnadňuje znalost některých vlastností polynomů.

Mezi nejjednodušší případy nealgebraických rovnic patří např. exponenciální rovnice, logaritmická rovnice nebo goniometrická rovnice.

Homogenní rovnice 
Algebraickou rovnici o několika neznámých označujeme jako homogenní, pokud mají všechny její členy stejný stupeň. Např.  je homogenní rovnice třetího stupně.

Homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru , kde  je homogenní funkce.

Další druhy rovnic 
Rovnice obsahující derivace označujeme jako diferenciální.

Rovnice obsahující integrály označujeme jako integrální.

Rovnice obsahující diference proměnných označujeme jako diferenční.

Související články 
 Algebra
 Nerovnice
 Soustava rovnic

Externí odkazy 
 
 
 
 kalkulačka na počítání rovnic

 
Algebra