Intégrale elliptique

Les intégrales elliptiques interviennent dans de nombreux problèmes de physique mathématique : comme par exemple, le calcul de la période d'un pendule aux grandes amplitudes et plus généralement les formes d'équilibre ellipsoïdales des corps en rotation autour d'un axe (planètes, étoiles, goutte d'eau, noyau atomique,...).

Forme générale 
Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme

où  est une fonction rationnelle à deux variables,  est une fonction polynomiale de degré 3 ou 4 avec des racines simples et  est une constante.

Adrien-Marie Legendre, qui en a offert la première étude systématique, a montré que des changements de variables adéquats permettent de ramener ces intégrales à trois formes canoniques :

appelées respectivement intégrale elliptique de première, de deuxième et de troisième espèce. Le calcul de la longueur d'un arc de lemniscate de Bernoulli fait appel à une intégrale elliptique de première espèce, celui d'un arc d'ellipse à une intégrale de deuxième espèce (ce qui justifie en partie le nom d'intégrale elliptique) ; l'aire d'un ellipsoïde est une combinaison d'intégrales elliptiques de première et de seconde espèce.

Legendre appelait ces intégrales des fonctions elliptiques. Après les travaux de Niels Abel et de Carl Gustav Jakob Jacobi, en 1827, le nom de fonction elliptique est maintenant réservé aux fonctions inverses de ces intégrales.

Paramétrisation 

Les intégrales elliptiques sont caractérisées par un paramètre, qu'on peut définir de façon équivalente comme :
 l'angle modulaire 
 le module elliptique ou excentricité 
 le paramètre 
L'utilisation d'une écriture ou d'une autre n'altère pas la nature de l'intégrale.

Intégrales elliptiques incomplètes 
Des variantes dans les notations existent. On prendra garde en particulier à la présence ou non d'un point-virgule entre la variable et le module.

Première espèce 

Les intégrales elliptiques de première espèce s'écrivent sous la forme :

Cette forme est appelée forme trigonométrique ; en faisant les changements de variables , on obtient la forme de Jacobi :

 

En utilisant l'angle modulaire :
 

Cette intégrale permet de définir les fonctions elliptiques de Jacobi. Ainsi, la fonction  est définie comme réciproque de  :

Deuxième espèce 
Les intégrales elliptiques de deuxième espèce s'écrivent sous la forme trigonométrique :

Leur forme de Jacobi est :

De même, avec l'angle modulaire :

On a une fois encore un lien avec les fonctions elliptiques de Jacobi

La longueur d'un arc méridien de l'équateur à une latitude  est donnée par  :

où  est le grand axe de l'ellipse, et  son excentricité.

Troisième espèce 
Les intégrales elliptiques de troisième espèce  s'écrivent sous la forme trigonométrique :

ou

Le nombre  est appelé la caractéristique et peut prendre n'importe quelle valeur, indépendamment des autres arguments. On remarquera cependant que  est infini, quel que soit .

Le lien avec les fonctions elliptiques de Jacobi s'écrit dans ce cas

La longueur d'un arc méridien de l'équateur à une latitude  peut également s'exprimer grâce à  :

Intégrales elliptiques complètes 

Les versions « complètes » des intégrales elliptiques correspondent aux cas d'amplitude  soit .

Première espèce 

Les intégrales elliptiques de première espèce  sont définies par

On peut utiliser son développement en série entière :

où les P sont les polynômes de Legendre, ce qui donne pour les premiers termes

avec  la factorielle double de .

Pour le calcul, il peut être intéressant de faire le lien avec la moyenne arithmético-géométrique :
.

Deuxième espèce 

Les intégrales elliptiques de deuxième espèce  sont définies par

.

Pour une ellipse de demi grand axe  et de demi petit axe , donc d'excentricité , l'intégrale elliptique de deuxième espèce  donne un quart du périmètre de l'ellipse  mesurée respectivement à . En clair :
.

On a également un développement en série entière :

Troisième espèce 
Les intégrales elliptiques de troisième espèce  peuvent être définies par :

Elles peuvent parfois être définies avec l'opposée de la caractéristique ,

Références

Voir aussi

Bibliographie 
 
 Paul Appell et Émile Lacour, Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications, Gauthier-Villars, Paris, 1897, chap. VII 
 
 
 Alfred George Greenhill, Les fonctions elliptiques et leurs applications, chap. II (G. Carré, Paris, 1895)
 
 Adrien-Marie Legendre, Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, Huzard-Courcier, Paris, 1828
 , A Short Table of Integrals, Ginn & co., Boston, MA, 1899,  (

Articles connexes 
 
 Fonction elliptique
 Courbe elliptique
 Ellipse (mathématiques)
 
 Intégrale non élémentaire
 John Landen

Liens externes 

, dont :

Elliptique
Fonction elliptique
Fonction spéciale