Limita

Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané funkce nebo posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje  a u posloupností .

Dle toho, zda se uvažuje o funkci nebo o posloupnosti, hovoříme o limitě funkce nebo limitě posloupnosti. Pojem limity lze definovat na reálných číslech, obecnější definice má smysl na libovolném metrickém prostoru a ještě obecnější definice na libovolném topologickém prostoru. Tam, kde má smysl více definic, jsou tyto definice ekvivalentní (například reálná čísla jsou metrickým i topologickým prostorem).

Limita funkce 

Číslo  je limitou funkce  v bodě , jestliže pro libovolné  existuje  takové, že pro každé  takové, že  ( leží v prstencovém okolí bodu ) platí .

Limita posloupnosti 

Číslo  je limitou posloupnosti , jestliže pro libovolné  existuje  takové, že pro každé  platí .

Limita v metrickém prostoru 
Prvek  metrického prostoru  s metrikou  je limitou posloupnosti jeho prvků , právě když platí .

Limita v topologickém prostoru 
Limita zobrazení  mezi topologickými prostory  a  je v bodě  definována jako  takové, že pro každé okolí  bodu  existuje okolí  bodu  takové, že  implikuje .

Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity topologických sítí. Limita zobrazení nebo topologické sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru je tato limita jednoznačná, tj. každé zobrazení či topologická síť má nejvýše jednu limitu.

Nevlastní limita v nevlastním bodě 
Pokud pro libovolné číslo  lze nalézt prvek posloupnosti, počínaje kterým jsou všechny hodnoty posloupnosti větší než , říkáme, že posloupnost roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu . Obdobně se definuje nevlastní limita .

Pokud pro libovolné číslo  lze nalézt okolí bodu , ve kterém má funkce hodnotu větší než , říkáme, že v okolí bodu  funkce roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu . Obdobně se definuje nevlastní limita .

Limitou tedy může být nejen reálné číslo, ale i  nebo  (rozšířené reálné číslo).

Pokud se hodnoty limity neliší od čísla  o více než libovolné číslo , má funkce v nevlastním bodě  vlastní limitu . Pokud jsou hodnoty limity větší než libovolné číslo , má funkce v nevlastním bodě  nevlastní limitu . Obdobným způsobem lze definovat limitu v nevlastním bodě .

V každém z nevlastních bodů  nebo  může mít funkce vlastní limitu, nevlastní limitu nebo limita nemusí existovat. Příkladem funkce, která nemá limitu v žádném z bodů  nebo , je funkce sinus.

Příklady 

 Funkce  není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1 (vlastní limita ve vlastním bodě) a v  má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
 Funkce  ani  v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích  či , ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je  a levostranná .
 Funkce  a  mají v nule limitu  (nevlastní limita ve vlastním bodě).
 Funkce  má v nule limitu 0 a v  limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci .
 Funkce  má v  limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v  limitu .

Poznámky

Reference

Související články 
 Limita funkce
 Limita posloupnosti
 Okolí (matematika)

Externí odkazy 
 
 

Limity (matematika)