Gaussův zákon elektrostatiky

Gaussův zákon elektrostatiky vyjadřuje vztah mezi tokem elektrické intenzity a elektrickým nábojem.

Formulace zákona 
Gaussův zákon lze vyjádřit následující formulací:
Tok elektrické intenzity  libovolnou uzavřenou plochou (Gaussovou plochou) je přímo úměrný elektrickému náboji  nacházejícímu se uvnitř této plochy. Konstantou úměrnosti je převrácená hodnota permitivity vakua .

Uvedené tvrzení bývá zapisováno v matematické podobě jako

Vyjádřením toku intenzity elektrického pole lze získat také vztah

Toto vyjádření Gaussova zákona bývá také označováno jako Gaussův zákon elektrostatiky v integrálním tvaru.

Gaussův zákon lze formulovat nejen pro soustavu bodových nábojů, ale také pro spojitě rozložené náboje.

Pokud uvažujeme uzavřenou plochu  libovolného tvaru, která tvoří hranici tělesa o objemu , které obsahuje celkový náboj , který může být tvořen bodovými i spojitě rozloženými elektrickými náboji, pak pro tok intenzity elektrostatického pole plochou S platí vztah

Pokud se uvnitř plochy  nachází pouze objemově rozložené náboje, lze celkový náboj určit ze vztahu , což v kombinaci s předchozím vztahem dá výraz

Úpravou levé strany pomocí Gaussovy věty dostaneme

Aby tato rovnice platila pro libovolně zvolený objem , musí se integrované funkce rovnat v každém bodě, tzn.

Tento vztah je pouze jiným vyjádřením Gaussova zákona. Nevztahuje se však k ploše nebo objemu, ale pouze k danému bodu prostoru, a je označován jako Gaussův zákon elektrostatiky v diferenciálním tvaru.

Gaussův zákon v dielektriku 
V dielektriku se Gaussův zákon vyjadřuje pomocí elektrické indukce  v integrálním tvaru jako

nebo v diferenciálním tvaru jako

V tomto tvaru má zákon obecnou platnost, tedy i pro proměnné elektromagnetické pole. Představuje jednu z Maxwellových rovnic.

Počet siločar 
Často se lze setkat s jinou formulací Gaussova zákona elektrostatiky:
Celkový počet siločar procházejících uzavřenou plochou libovolného tvaru, která v elektrostatickém poli uzavírá elektrický náboj , je roven podílu velikosti náboje  uvnitř této plochy a permitivity vakua , přičemž nezáleží na rozložení elektrického náboje.

Teoreticky je možné vést každým bodem elektrostatického pole nějakou siločáru. Ukazuje se však výhodnější omezit počet siločar, aby souvisel s velikostí toku intenzity elektrostatického pole vztahem
,
kde  označuje počet siločar.

V takovém případě se Gaussův zákon zapisuje ve tvaru

Vlastnosti 
 Gaussův zákon elektrostatiky se používá pro výpočet intenzity elektrického pole v různých bodech prostoru, zpravidla lze-li uplatnit některé symetrie problému. Je přímým důsledkem Gaussovy věty a Maxwellových rovnic.

 Jestliže uvnitř plochy není uzavřeno žádné těleso s elektrickým nábojem, pak je celkový tok elektrické intenzity touto plochou nulový.
 Jestliže má plocha kulový tvar poloměru r a v jejím středu se nachází bodový elektrický náboj Q, pak intenzita elektrického pole v libovolném bodě na ploše má velikost

Stejný vztah lze však získat také z Coulombova zákona. Gaussův zákon elektrostatiky je ekvivalentní s Coulombovým zákonem.
 Uvnitř nabitého vodivého tělesa je nulová elektrická intenzita. Protože elektrický náboj se u vodiče v ustáleném stavu rozmístí vždy na povrchu tělesa, pak podle Gaussova zákona musí být tok intenzity libovolnou plochou uvnitř tělesa nulový, a tím musí být v libovolném bodě uvnitř tělesa také nulová elektrická intenzita. Této skutečnosti využívá např. van de Graaffův generátor.

Související články 
 Elektřina
 Elektrostatika
 Tok intenzity elektrického pole
 Elektrický náboj

Externí odkazy

Literatura 
 

Elektrostatika
Elektromagnetismus
Fyzikální zákony