Derivace

Derivace je důležitý pojem matematické analýzy a základ diferenciálního počtu. Derivace funkce je změna (růst či pokles) její hodnoty v poměru ke změně jejího argumentu, pro velmi malé změny argumentu. Výpočet derivace se nazývá derivování. Opačným procesem k derivování je integrování.

Pojem derivace vznikl v 17. století v pracích Newtona a Leibnize při řešení geometrických a fyzikálních problémů. Pro funkci jedné proměnné je derivace funkce v libovolném bodě (pokud existuje) rovna směrnici tečny ke  grafu funkce v tomto bodě.  Pro funkci popisující dráhu tělesa jako funkci času derivace udává okamžitou rychlost. Podobně, derivace funkce udávající rychlost je zrychlení.

Název derivace je z pozdně-latinského derivare a lze jej přeložit jako odvozenina nebo odvození, srov. např. německý název pro derivaci „Ableitung“. Neříká to sice o vlastnostech derivace mnoho, ale aspoň tolik, že derivace funkce je danou funkcí plně určena, dá se z ní odvodit, je v ní „obsažena“.

Intuitivní výklad 

Na obrázku je graf funkce, která má v bodě x hodnotu f(x). V bodě x+Δx má hodnotu f(x+Δx) a spojnice obou bodů tvoří sečnu křivky. Její směrnici (sklon) lze vyjádřit jako poměr (f(x+Δx) - f(x)) / Δx . Budeme-li nyní oba body přibližovat, tj. zmenšovat diferenci Δx až k nule, přejde sečna nakonec v tečnu. Tečna svírá úhel s osou x a tangens tohoto úhlu nazýváme směrnicí tečny. Derivaci funkce v bodě lze s dostatečnou přesností aproximovat právě jako tuto směrnici tečny. Je-li v bodě x křivka rostoucí, bude její derivace >0 a je-li klesající, bude derivace <0. Pokud křivka v bodě x dosahuje maxima nebo minima a tečna je tedy rovnoběžná s osou x, bude derivace rovna nule.

Na dalším obrázku je znázorněná grafická derivace funkce sinus pomocí tečny.

Definice derivace

Historické definice derivace 
Historické definice vyjadřovaly derivaci jako poměr, v jakém růst či pokles závislé proměnné y odpovídá změně nezávisle proměnné x. Nejjednodušší představa o derivaci je, že „derivace je mírou změny funkce v daném bodě, resp. bodech“. Pro změnu hodnoty se používá symbol Δ, takže tento poměr lze symbolicky zapsat jako
.
Derivace je hodnota podílu pro Δx jdoucí k 0. Nahradíme-li konečně malý rozdíl Δx nekonečně malou změnou dx, získáme intuitivní definici derivace
,
což naznačuje poměr dvou infinitezimálních hodnot. Derivace vskutku je podílem dvou diferenciálních forem – diferenciálu závislé a diferenciálu nezávislé proměnné. Tento (Leibnizův) zápis se čte dy podle dx a chápe buď jako jediný symbol, označující prostě jen derivování funkce y podle proměnné x, anebo opravdu i jako zlomek. V tom případě lze diferenciály chápat buď elementárněji jako diferenciální formy anebo jako nekonečně malé veličiny (v rámci tzv. nestandardní analýzy, kterou pěstoval mj. i český matematik Petr Vopěnka).

Moderní definice derivace 
Během vývoje matematiky se intuitivní představa nekonečně malých (infinitezimálních) hodnot ukázala jako nedostatečně přesná a byla nahrazena „ε-δ“ formalismem limit. Nejběžnější moderní definice derivace je

Zápis derivace 

Derivace se značí několika způsoby (v závorce je čtení zápisu):
  [:f s čárkou:],
  [:d podle d x z f x:],
  [:d f podle d x:],
  [:d podle x f:],
  [:f x:],
 Newtonova notace používá tečku nad proměnnou: , používá se obvykle pouze ve fyzice pro derivování podle proměnné vyjadřující čas (t).

Diferencovatelnost 
Ne vždy však limita, která derivaci definuje, existuje a je konečná, tzn. ne každá funkce má v každém bodě derivaci. Pokud je limita nevlastní, pak derivace neexistuje, resp. můžeme říci, že je v daném bodě derivace nevlastní. 

Říkáme, že funkce f je v bodě x diferencovatelná, pokud v tomto bodě existuje vlastní derivace. 

Funkce je diferencovatelná na intervalu I, pokud je diferencovatelná v každém bodě tohoto intervalu. 

Funkce nemá derivaci v místě, kde není spojitá, ale spojitost funkce existenci derivace nezaručuje – funkce může mít v daném bodě svislou tečnu (což by odpovídalo nevlastní, nekonečné derivaci), popř. v daném bodě nemusí mít tečnu vůbec (v místě, kde má graf funkce „hrot“, např. funkce absolutní hodnota v x=0). Existují dokonce funkce, které jsou spojité v každém bodě, ale nemají v žádném bodě derivaci (např. tzv. Weierstrassova funkce).

Antiderivace 
Z derivace lze naopak získat původní funkci integrováním, pokud známe funkční hodnotu původní funkce aspoň v jednom bodě (tzv. počáteční podmínku).

Zobecnění

Parciální derivace 
Zobecněním pojmu derivace pro funkce více proměnných je tzv. parciální derivace, kdy se u funkce více proměnných považuje za proměnnou jenom ta, podle které se derivuje, ostatní jsou v tomto výpočtu považovány za konstanty. Parciální derivace se značí obdobně jako obyčejné derivace, pouze místo symbolů d se používají symboly ∂, např.:  značí parciální derivaci funkce  podle proměnné .

Derivace v normovaných prostorech 
Nechť  jsou normované prostory, Říkáme, že zobrazení je Fréchetovsky (Gatteauxovsky) derivovatelné v bodě  v -té souřadnici pokud zobrazení (tedy, zobrazení se všemi souřadnicemi FIXOVANÝMI) je F-(G-) diferencovatelné v bodě .

Derivace ve směru 
Pro funkci více proměnných je derivace ve směru vektoru v definována vztahem

Pokud je funkce f v bodě x diferencovatelná, potom platí

kde  je gradient funkce f v bodě x a  značí skalární součin.

Hodnota derivace ve směru vektoru v záleží na velikosti vektoru |v|, proto se často vyžaduje, aby |v| = 1. Někdy se také používá definice, která na velikosti vektoru v nezávisí:

Totální (úplná) derivace 
Totální derivace je derivace funkce více proměnných, která na rozdíl od parciální derivace zohledňuje závislosti mezi jednotlivými proměnnými.

Komplexní derivace 
O komplexní funkci  řekneme, že má v  derivaci, pokud existuje limita

Derivace existuje pouze tehdy, pokud předchozí limita nezávisí na směru, kterým se v komplexní rovině přibližujeme ke komplexnímu bodu . Tato podmínka je vyjádřena Cauchyho-Riemannovými podmínkami.

Pokud má  v bodě  derivaci, pak je v  spojitá.

Komplexní funkci, která má v bodě  derivaci, označujeme jako monogenní v bodě .
Pokud má  derivaci v každém bodě oblasti , pak říkáme, že je v  holomorfní.
Je-li holomorfní funkce  víceznačná, označujeme ji jako analytickou.

Derivace vektorů a tenzorů 
Derivací vektoru  podle proměnné t rozumíme vektor, jehož složky získáme derivací složek vektoru , tzn.

Obdobně postupujeme při derivaci tenzorů.

Derivace vyššího řádu 
Derivaci funkce , tzn. , také označujeme jako první derivaci (derivaci prvního řádu). Funkci  lze opět derivovat, čímž získáme druhou derivaci (derivaci druhého řádu) funkce 

Dalším derivováním můžeme získat vyšší derivace funkce , které značíme , atd. Používá se také jiné značení, při němž n-tou derivaci značíme jako , popř. pro označení derivace v bodě a lze použít .

Někdy je výhodné použít také tzv. nultou derivaci funkce , za niž považujeme samotnou funkci , tzn. .

Při použití Leibnizovy notace se derivace vyšších řádů čtou jako exponenty, např. třetí derivaci  čteme "d třetí y podle d x na třetí".

Derivace neceločíselného řádu, zlomkové derivace 
Definici lze rozšířit i na záporné a „necelé“ řády. Jako přirozené se jeví ztotožnit minus první derivaci s integrálem

a derivaci minus n-tého řádu s výrazem
,
neboť prvním resp. n-tým derivováním dostaneme základní funkci.
Pro nepřirozené s>0 pak jen faktoriál nahradíme gama funkcí:
.

Derivace reálného r-tého řádu (r>0) je pak definována jako

,
 
kde n je nejnižší přirozené číslo větší než r; vše za předpokladu, že existuje „vnitřní“ derivace záporného (r-n)-tého řádu.

Pozn.: Nejnižší n se bere proto, že zatímco pro záporné řády je zajištěna komutativnost a aditivnost (tj. dvě postupně provedené derivace záporného řádu, jestliže existují, jsou ekvivalentní jedné derivaci s řádem daným součtem obou řádů bez ohledu na pořadí), pro kladné řády to obecně neplatí.

Výpočty derivací 
Principiálně základní technikou je výpočet přímo z definice, tzn. dosazením příslušné funkce do definující limity a výpočtem této limity. Tento způsob je však obvykle (až na velice jednoduché funkce) dosti komplikovaný a v praxi se nepoužívá. Místo toho se derivace funkcí počítají ze známých derivací několika základních funkcí a jednoduchých algebraických pravidel pro jejich skládání a další úpravy.

Elementární funkce

Algebraická pravidla 
Ze známých derivací elementárních funkcí se derivace složitějších funkcí sestavují tak, že se složitější funkce rozloží na jednodušší pomocí jednoduchých algebraických pravidel, která pro výpočet derivací platí:

 Linearita derivace:  pro libovolné funkce f, g a konstanty a, b.
 Speciálně platí  a také .
 Derivace součinu:  pro všechny funkce f, g.
 Derivace podílu:  pro všechny funkce f, g, kde g ≠ 0.
 Derivace složené funkce: Pokud , pak .
 Derivace inverzní funkce: Pokud jsou f(x) i f−1(x) obě diferencovatelné, pak tehdy, kdy Δx ≠ 0 pokud Δy ≠ 0, platí .
 Derivace jedné proměnné vůči druhé, pokud obě jsou funkcí třetí proměnné: Pokud x = f(t) a y = g(t), pak .
 Derivace implicitní funkce: Pokud f(x, y) je implicitní funkce, pak .
 Derivace parametricky zadané funkce: Je-li funkce vyjádřena parametrickými rovnicemi , pak pro její derivace platí 

Z některých předchozích pravidel je vidět, že Leibnizova notace umožňuje některé manipulace, které připomínají např. krácení zlomku. Je ale třeba podotknout, že se jedná jen o symbolické manipulace, s krácením zlomku nemající nic společného. V žádném případě pak není možné „krátit d“ stylem dx/dy = x/y.

Často používané derivace funkcí 

 
 
  pro , n přirozené číslo a m libovolné
  pro 
 
  pro 
  pro 
  pro 
 
 
 Derivaci součinu n funkcí  lze zapsat jako 
 Pro vyjádření n-té derivace součinu dvou funkci  lze použít tzv. Leibnizův vzorec
,
kde  jsou binomické koeficienty a , atd.

Konkrétní příklady 
 f(x) = 3; f ′(x) = 0,
 f(x) = x; f ′(x) = 1,
 f(x) = 2x; f ′(x) = 2 · 1 = 2.
 f(x) = 5x³; f ′(x) = 15x²; f″(x) = 30x
 f(x) = ex; f ′(x) = ex.
 f(x) = ln x; f ′(x) = x−1.
 f(x) = x³ + 2x² − 5x + 7; f ′(x) = 3x² + 4x − 5.
 f(x) = sin x · cos x; f ′(x) = cos² x − sin² x (= cos 2x).
 ; .
 ; .

Aplikace 
Pojem derivace se objevuje v obrovském množství situací, jak v matematice samé, tak i v jejích aplikacích, např. ve fyzice.

Lokální extrémy 

Pokud má daná diferencovatelná funkce nějaký lokální extrém (lokální maximum či minimum), je zřejmé, že její tečna v tomto bodě musí být vodorovná, tzn. derivace této funkce musí být v tomto bodě nulová. (Pokud funkce v nějakých bodech tečnu, resp. derivaci nemá, derivace o takových bodech samozřejmě nic prozradit nedokáže.) Pokud v tomto bodě lze spočítat i druhou derivaci, prozradí její znaménko, o jaký extrém se jedná:
 V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je kladná, se nachází lokální minimum.
 V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je záporná, se nachází lokální maximum.
 V bodech, kde je první derivace nulová, se nachází tzv. stacionární bod, který může a nemusí být extrémem.
 (V bodech, kde funkce nemá první či druhou derivaci, je nutno použít jiná kritéria.)

Alternativou k rozlišení pomocí druhé derivace je znaménko první derivace: v bodě, kde má funkce lokální extrém, mění první derivace znaménko: pokud je nějaký bod lokálním minimem, pak v jeho levém okolí je první derivace záporná a v pravém okolí kladná, naopak v levém okolí lokálního maxima je první derivace kladná a v pravém záporná.

Tato kritéria se často používají v optimalizačních úlohách. Pokud je např. požadováno najít obdélník, který při zadaném obvodu má maximální plochu, je třeba najít maximum funkce f(x) = x ⋅ (o/2 − x). Její derivací je funkce f′(x) = o/2 − 2x, která je nulová pro x = o/4. Druhá derivace funkce f je f″(x) = −2, tzn. je všude záporná. V bodě x = o/4 má tedy funkce f maximum. Znamená to tedy, že ze všech obdélníků o zadaném obvodu má největší obsah ten, který má všechny čtyři strany stejně dlouhé, tzn. čtverec.

Analýza chování funkce 

Předchozí odstavec popisuje způsob, jak pro danou funkci nalézt její lokální extrémy. To může kromě optimalizačních úloh sloužit také k získání přehledu o chování funkce, např. při ručním náčrtu jejího grafu. Kromě analýzy extrémů lze využít derivací k následujícím pozorováním:
 V bodech, kde je první derivace kladná, je funkce rostoucí.
 V bodech, kde je první derivace záporná, je funkce klesající.
 V bodech, kde je druhá derivace kladná, je funkce konvexní.
 V bodech, kde je druhá derivace záporná, je funkce konkávní.
 V bodech, kde je druhá derivace nulová, se mohou vyskytovat inflexní body.

Z toho lze tedy odvodit například následující poznatky:
 Na intervalech, kde je derivace nulová, je funkce konstantní.
 Na intervalech, kde je derivace numericky blízká k nule, se funkce mění pomalu.
 Na intervalech, kde je derivace kladná a numericky velká, funkce rychle roste.
 Na intervalech, kde je derivace kladná a roste (druhá derivace původní funkce je kladná), původní funkce také roste a její růst se stále zrychluje (rostoucí konvexní funkce).
 Na intervalech, kde je derivace kladná, ale klesá (druhá derivace původní funkce je záporná), původní funkce roste, ale její růst se zpomaluje (rostoucí konkávní funkce).

Lineární aproximace 

Derivace slouží k nalezení lineární aproximace funkce. Vyšší derivace slouží k nalezení polynomiální aproximace.

Fyzika 
Jednoznačně nejdůležitější oblastí použití derivace ve fyzice jsou derivace podle časové proměnné, vyjadřující rychlost změny nějaké proměnné v čase. Nejběžnější pak jsou časové derivace polohy, které se vyskytují v klasické kinematice:
 Rychlost (okamžitá rychlost, koncept průměrné rychlosti se obejde bez diferenciálního počtu) je derivace souřadnice polohy tělesa podle času.
 Zrychlení je derivace rychlosti podle času, tzn. druhá derivace polohy podle času.
 Ryv je derivace zrychlení podle času, tzn. třetí derivace polohy podle času.

Kromě těchto základních pojmů se derivace objevují v mnoha teoriích fyzikálních polí, Maxwellových rovnicích atd.

Derivace podle prostorové proměnné vyjadřuje rychlost, s jakou se mění proměnná v prostoru. Jedná se o jednorozměrný gradient. Například při vedení tepla v tyči je derivace teploty podle polohy mírou nerovnoměrného rozložení teploty podél tyče a udává (pomocí Fourierova zákona) tok tepla, který je tímto nerovnoměrným rozložením teploty vyvolán. Derivace teploty podle polohy je v jednotkách teploty na jednotku délky, například ve stupních Celsia na centimetr.

Derivace a středoškolská fyzika 
Ve středoškolské fyzice jsou pro jednoduchost často studovány funkce, které jsou dány přímou úměrností. Například dráha rovnoměrného pohybu nebo rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu. V takovém případě dává derivace stejný výsledek jako podíl a díky tomu můžeme určovat rychlost jako podíl dráhy a času nebo zrychlení jako podíl změny rychlosti a času. Pro obecné děje s nekonstantními rychlostmi a nekonstantním zrychlením však podíl dává jenom průměrnou rychlost nebo průměrné zrychlení a okamžitou rychlost nebo okamžité zrychlení určujeme pomocí derivace. Tachometr v automobilu je vlastně mechanická kalkulačka ukazující derivaci polohy podle času.

Diferenciální rovnice 

Mnoho vědeckých problémů lze formulovat v podobě rovnic, ve kterých se vedle sebe vyskytuje nějaká funkce i její derivace. Takové rovnici se říká diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice se objevují snad ve všech vědeckých oborech, kromě matematiky a fyziky také např. v chemii, sociologii, ekologii atd. Podle toho, zda se v rovnici objevují pouze „obyčejné“ derivace, nebo i parciální derivace, se rozlišují
 obyčejná diferenciální rovnice (ODR) a
 parciální diferenciální rovnice (PDR).

Poznámky

Související články 
 Matematická analýza
 Limita
 Integrál
 Diferenciál
 Diferenciální rovnice
 Diference
 Průběh funkce
 Numerická derivace

Externí odkazy 
 
 
 WIMS Function Calculator online výpočty derivací
 TRIAL, Diferenciální počet – Katedra matematiky, Západočeská univerzita

Diferenciální počet
Matematické symboly