Extensión de cuerpos

En Álgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental de la Teoría de Cuerpos. Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y «funcionan bien». Cuando se construye una extensión de un cuerpo, se busca un conjunto más grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y además se puedan resolver las ecuaciones polinómicas.

Definición. 
Sea (K, +, ·) un cuerpo. Un cuerpo L es una extensión de K si K es un subcuerpo de L, es decir si (L,+,·) es un cuerpo y (K,+,·) es un cuerpo con la restricción a K de las operaciones + y · en L. Si L es extensión sobre K se denota L:K o L/K.

Extensión sobre un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo 
 Si L es una extensión de K, entonces L es un espacio vectorial sobre K.

En efecto, La adición de K sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de K por uno de L define el producto escalar del espacio vectorial:

Por definición de cuerpo,  es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares  como una restricción a  del producto en . De esta forma es inmediato que se cumple que:

 ,

 ,

 ,

 ,

cualesquiera que sean  y . Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en  y a que , la tercera se debe a que el producto es asociativo en , y la cuarta se debe a que  es subcuerpo de , por lo que el elemento unidad de  es el elemento unidad de .

Extensión simple 

El conjunto . Este conjunto es un cuerpo, es extensión de , es subcuerpo de , y de hecho es la menor extensión de  que contiene a . Se le denomina extensión generada por α sobre .

Extensiones algebraicas y trascendentes

Teorema de Kronecker. 

Sea  un cuerpo y  un polinomio irreducible, entonces existe alguna extensión  de manera que  tiene alguna raíz en .

Homomorfismo evaluación 

La función  que a cada polinomio  le hace corresponder su evaluación en , i.e., . Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluación.

Extensión algebraica 

Una extensión  se dice que es algebraica si todo elemento  es algebraico sobre .

Elementos algebraicos 

Supongamos que existe algún polinomio  que tiene a  por raíz. 

En esta situación (, o equivalentemente, existe algún  irreducible con ) se dice que  es algebraico sobre .

Un elemento es entonces algebraico sobre un cuerpo si y solo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.

Polinomio mónico irreductible 

Si  es un elemento algebraico sobre el cuerpo  de manera que , el polinomio  que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e., ) es irreductible. Dividiendo  por su coeficiente principal (aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable ) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por  y se denomina polinomio mónico irreductible de  respecto de .

Claramente, .

Extensión trascendente 

Una extensión  se dice que es trascendente si existe algún elemento  que sea trascendente sobre .

Elementos trascendentes 

Si el ker, será  un monomorfismo. En ese caso,  es isomorfo a . 

Se dirá que el elemento  es trascendente sobre  y que  es una extensión trascendente sobre . Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en  que tenga por raíz a  (es decir, si , entonces ).

Grado de una extensión 

Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de  como espacio vectorial sobre , denotado por . Se denomina grado de la extensión  a la dimensión de  como -espacio vectorial: .

Tomemos varios ejemplos:

K =  el cuerpo de los racionales y L =  el cuerpo de los reales;  visto como espacio vectorial sobre , es de dimensión infinita, es decir, .

El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensión de  sobre  fuese finita,  sería isomorfo a , lo que no es posible porque . 

Si K = , el cuerpo de los racionales y L = , el menor cuerpo que contiene a la vez  y √2, claramente  es una extensión algebraica de , ya que  es raíz del polinomio .

Al mismo tiempo: 

 

ya que el ideal  es el núcleo del morfismo , claramente este es un morfismo suprayectivo, se sigue del primer teorema de isomorfismo que son campos isomorfos. 

Además , es decir, la dimensión de  como espacio vectorial sobre  es 2, esto es así ya que 2 es el grado del polinomio mónico e irreducible que tiene a √2 como raíz: .

En general:

 si  es el grado del polinomio mónico e irreducible en  que tiene a  como raíz, donde  es un cuerpo y  son los polinomios con coeficientes en .

Véase también 

Teoría de cuerpos

Enlaces externos 

Teoría de cuerpos