Derivada

No cálculo, a derivada em um ponto de uma função  representa a taxa de variação instantânea de  em relação a  neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo, a função aceleração é a derivada da função velocidade. Geometricamente, a derivada no ponto  de  representa a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função no ponto . A função que a cada ponto  associa a derivada neste ponto de  é chamada de função derivada de f(x).

Notação
Duas distintas notações são comumente utilizadas para a derivada, o resultante de Leibniz e o outro a partir de Joseph Louis Lagrange. 

Na notação de Leibniz, uma mudança infinitesimal em x é denotada por dx, e a derivada de y em relação a x é escrito .

sugerindo que a razão de duas quantidades infinitesimais (A expressão acima é lido como "a derivada de y em relação a x", "dy por dx", ou "dy sobre dx". A forma oral dydx é usado frequentemente em tom de conversa, embora possa levar à confusão).

Na notação de Lagrange, a derivada em relação a x de uma função F(x) é denotada f'(x) ou fx'(x), em caso de ambiguidade da variável implicada pela derivação. A notação de Lagrange é por vezes incorretamente atribuída a Newton.

Definição 

Seja  um intervalo aberto não-vazio e seja , , uma função de  em . Diz-se que função  é derivável no ponto  se existir o seguinte limite:
.
Se for esse o caso, o número real  é chamado de derivada da função  no ponto . Notações equivalentes são:

.

Equivalentemente, escrevemos:

o que é obtido fazendo  no limite acima. Desta forma, define-se a função derivada de  por:

para todo  para o qual este limite existe.

Uma função é dita derivável (ou diferenciável) quando sua derivada existe em cada ponto do seu domínio.

Seja f uma função real definida em uma vizinhança aberta de um número real a.  

Na geometria clássica, a linha tangente ao gráfico da função f em a foi a única linha que passou pelo ponto (a, f(a)) que não encontrou o gráfico de f transversalmente, significando que a linha não passou diretamente pelo gráfico.

O declive da secante ao gráfico de f, na imagem acima, que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:
.

Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φa de I em R contínua em a tal que
.
Então define-se a derivada de f em a como sendo φa(a).

Funções com valores em R

Se  for um intervalo de  com mais do que um ponto e se  for uma função de  em , para algum número natural , as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função
        (ou seja: uma função que a cada x do domínio em  responde com uma coordenada no contradomínio em . Esta coordenada é .
é derivável e

De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.

Diferenciabilidade

Derivabilidade num ponto
 Seja  um intervalo de R com mais do que um ponto, seja  ∈  e seja  uma função de  em R derivável em . Então  é contínua em . O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo.
 Seja  um intervalo de R com mais do que um ponto, seja  ∈  e sejam  e  funções de  em R deriváveis em . Então as funções  ± ,  e (caso  ≠ )  também são deriváveis em  e:
 
 
 
Em particular, se  ∈ R, então . Resulta daqui e de se ter  que a derivação é uma aplicação linear.
 Sejam  e  intervalos de R com mais do que um ponto, seja  ∈ , seja  uma função de  em  derivável em  e seja seja  uma função de  em R derivável em . Então  o  é derivável em  e
.
Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia.
 Seja  um intervalo de R com mais do que um ponto, seja  ∈  e seja  uma função contínua de  em R derivável em  com derivada não nula. Então a função inversa  é derivável em  e

Outra maneira de formular este resultado é: se  está na imagem de  e se  for derivável em  com derivada não nula, então

Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida por f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive 1). De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f(0)) mais perto estará este de ser linear.

Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura abaixo.

Derivabilidade em todo o domínio
Diz-se que f é derivável ou diferenciável se o for em todos os pontos do domínio.

 Uma função derivável  de  em R é constante se e só se a derivada for igual a  em todos os pontos. Isto é uma consequência do teorema da média.
 Uma função derivável  de  em R é crescente se e só se a derivada for maior ou igual a  em todos os pontos. Isto também é uma consequência do teorema da média.
Uma função cuja derivada seja sempre maior que  é estritamente crescente. Uma observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor  em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R em R definida por . Naturalmente, existem enunciados análogos para funções decrescentes.
 Se  for uma função derivável de  em R, sendo  um intervalo de R com mais do que um ponto, então  também é um intervalo de R. Outra maneira de formular este resultado é: se  for uma função derivável de  em R e se  for um número real situado entre  e  (isto é,  ≤  ≤  ou  ≥  ≥ ), então existe algum  ∈  tal que . Este resultado é conhecido por teorema de Darboux.

Funções continuamente deriváveis 
Seja  um intervalo de R com mais do que um ponto e seja  uma função de  em R. Diz-se que  é continuamente derivável ou de classe  se  for derivável e, além disso, a sua derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é

pois o limite  não existe; em particular, f'  não é contínua em .

Derivadas de ordem superior
Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a segunda derivada da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante. Podemos nos referir às derivadas subsequentes de f por:

e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregada é:

ou alternativamente,

ou ainda

Se, para algum k ∈ N, f for k vezes derivável e, além disso, f(k) for uma função contínua, diz-se que f é de classe Ck.

Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que f é infinitamente derivável ou indefinidamente derivável ou ainda de classe C∞.

Exemplos
Se  ∈ R, a função  de R em R definida por  é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a  em todos os pontos, pois, para cada  ∈ R:
.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir  de R em R por , então  é contínua e, para cada  e cada  reais, tem-se
;
além disso, .

A função  de R em R definida por  é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a  em todos os pontos, pois, para cada  ∈ R:
.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir  de R em R por , então  é contínua e, para cada  e cada  reais, tem-se
;
além disso, .

A função  de R em R definida por  é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada no ponto  ∈ R é igual a , pois:
.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir  de R em R por , então  é contínua e, para cada  e cada  reais, tem-se
;
além disso, .

A função módulo de R em R não é derivável em  pois

No entanto, é derivável em todos os outros pontos de R: a derivada em  é igual a  quando  e é igual a  quando .

Ponto de inflexão 
Um ponto em que a segunda derivada de uma função muda de sinal é chamado de um ponto de inflexão. Em um ponto de inflexão, a segunda derivada pode ser zero, como no caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = x³, ou ele pode deixar de existir, como é o caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = . Em um ponto de inflexão, uma função convexa passa a ser uma função côncava, ou vice-versa.

Pontos críticos, estacionários ou singulares 

Pontos onde a derivada da função é igual a  chamam-se normalmente de pontos críticos. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a reta tangente é paralela ao eixo dos . Estes pontos podem acontecer:
 onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados máximos locais da função
 onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos locais da função
 em pontos de inflexão (horizontais) da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função : no ponto  a função tem um ponto de inflexão (horizontal).
 em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um exemplo típico é a função 
 em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um intervalo contendo o ponto para o qual a restrição da função ao intervalo é a função constante. Um exemplo típico é a função f(x) = |x + 1| + |x - 1| no ponto x=0.

Os pontos críticos são ferramentas úteis para examinar e desenhar gráficos de funções.

Derivadas notáveis 

A derivada de uma função pode, em princípio, ser calculado a partir da definição, considerando o quociente de diferença, e computar o seu limite. Na prática, uma vez que as derivadas de algumas funções simples são conhecidos, as derivadas de outras funções são mais facilmente calculado usando regras para a obtenção de derivadas de funções mais complicadas das mais simples.

A maioria dos cálculos de derivadas, eventualmente, exige a tomada da derivada de algumas funções comuns. A seguinte lista incompleta é de algumas das funções mais frequentemente utilizadas de uma única variável real e seus derivados. 

Alguns exemplos de derivadas notáveis são:
A função exponencial natural y = ex = exp(x)  cuja derivada é igual a si mesma, isto é:

  A função logaritmo natural y = ln(x):

Estes dois fatos não são independentes. De fato, como o logaritmo natural é a inversa da função exponencial, resulta da igualdade  e da fórmula para a derivada da inversa que

Reciprocamente, supondo-se que, para cada , , então 
 Também são notáveis as derivadas das funções trigonométricas:

 E funções Funções trigonométricas inversas:

Neste último caso, as derivadas resultam das fórmulas para as derivadas das funções trigonométricas juntamente com a fórmula para a derivada da inversa e a fórmula fundamental da trigonometria.

Regras para funções combinadas 
Em muitos casos, a aplicação direta do quociente de diferença de Newton pode ser evitado usando regras de diferenciação, evitando complicados cálculos de limite.  Algumas das regras mais básicas são as seguintes:
 Regra da constante: se f(x) é constante, então:

 Regra da soma:

para todas as funções f e g e todos os números reais  e 
 Regra do produto:

para todas as funções f e g. Por conseguinte, isso significa que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função

 Regra do quociente:

para todas as funções f e g, em que g ≠ 0.
 Regra da cadeia:
Se 

então:

Exemplo de uso 
A derivada de 

é 

As derivadas conhecidas de funções elementares  sen(x) e , assim como a constante 7, também foram usadas.

Funções de uma variável complexa
Se A for um conjunto de números complexos, se f for uma função de A em C e se a for um ponto não isolado de A (isto é, se tão perto quanto se queira de a houver outros elementos de A), então as duas definições da derivada de f no ponto a continuam a fazer sentido. De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, mais uma vez, as que dizem respeito à monotonia de funções.

Física
Uma das mais importantes aplicações da Análise à Física (senão a mais importante), é o conceito de derivada temporal — a taxa de mudança ao longo do tempo — que é necessária para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as derivadas temporais da posição s de um objecto são importantes na física newtoniana:
Velocidade (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior à Análise) v é a derivada (com respeito ao tempo) da posição do objeto.
Aceleração a é a derivada (com respeito ao tempo) da velocidade de um objecto.
Posto de outro modo:

Por exemplo, se a posição de um objecto é  s(t) = −16t² + 16t + 32, então a velocidade do objecto é s′(t) = −32t + 16 e a aceleração do objecto é s′′(t) = −32.
Uma forma de enunciar a segunda lei de Newton é F = dp/dt , sendo p o momento linear do objecto.

Derivadas em maiores dimensões

Em dimensão 1, as derivadas são pensadas como números pois, nesta dimensão, um número e uma transformação linear são a mesma coisa. Entretanto, para dimensões maiores, as derivadas necessitam ser tratadas como transformações lineares.

Derivadas de funções vetoriais 
Uma função vetorial y(t) de uma variável real de uma variável real envia números reais de vetores em  algum espaço vetorial. A função vetorial pode ser dividido em suas funções coordenadas y1(t), y2(t),...,yn(t), significando que y(t) = ( (t), ...,  (t)). Isto inclui, por exemplo, curvas paramétricas em R² ou R³.

As funções de coordenadas são funções de valores reais, de modo que a definição acima de derivada aplica-se a eles. A derivada de y (t) é definida como sendo o vetor, chamado o vetor tangente, cujas coordenadas são as derivadas das funções de coordenadas. Isto é,  

equivalentemente, 

   se o limite existe.

A subtração no numerador é a subtração de vetores, não escalares. Se a derivada de y existe para cada valor de t, então y' é outra função vetorial. 

Se , ...,  é a base padrão para , então y (t) também pode ser escrito como (t) + ... + (t). Se assumirmos que a derivada de uma função vetorial mantém a propriedade da linearidade, então a derivada de y (t) deve ser

porque cada um dos vetores de base é uma constante. 

Esta generalização é útil, por exemplo, se y (t) é o vetor de posição de uma partícula no tempo t; em seguida, o derivado y '(t) é o vetor de velocidade da partícula no tempo t.

Derivadas parciais 

Quando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de derivada parcial. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma função para uma determinada variável, enquanto as outras se mantêm fixadas. No gráfico, é usada para determinar a variação da função em um determinado eixo.
Derivadas parciais são representadas como, por exemplo, ∂z/∂x, sendo x a variável fixada sobre uma função em z.

Suponha que f é uma função que depende mais de uma variável, por exemplo, 

f pode ser reinterpretado como uma família de funções de uma variável indexada pelas outras variáveis: 

Em outras palavras, cada valor de x escolhe uma função,  denotando , que é uma função de um número real.  Ou seja, 

Uma vez que um valor de x é escolhido,  digamos a, então f(x,y) determina a função  que envia y a a2+ay+y2: 

Nesta expressão, a é uma constante, e não uma variável, de modo que  é uma função de uma única variável real. Consequentemente, a definição da derivada para uma função de uma variável aplica-se: 

O procedimento acima pode ser realizada por qualquer escolha de a. Montando as derivadas juntas em uma função, dá uma função que descreve a variação de f na direção y: 

Esta é a derivada parcial de f em relação a y. Aqui, ∂ é o símbolo derivada parcial. 

Em geral, a derivada parcial de uma função f (, ..., ) na direção de , no ponto ( ..., ) é definido como sendo:  

 

Na diferença de quociente acima, todas as variáveis, exceto , são mantidos fixos. Essa escolha de valores fixos determina uma função de uma variável. 

{

e por definição, 

Em outras palavras, as diferentes opções de classificar uma família de funções de uma variável tal como no exemplo acima. Esta expressão também mostra que o cálculo das derivadas parciais reduz para o cálculo dos derivados de uma variável. 

Um exemplo importante de uma função de várias variáveis é o caso de uma função de valor escalar f (, ..., ) em um domínio no espaço Euclidiano  (por exemplo, em R² ou R²). Neste caso, f tem uma derivada parcial ∂f / ∂xj em relação a cada variável . No ponto a, estas derivadas parciais definem o vetor 

Este vetor é denominado gradiente de f em a. Se f é diferenciável em todos os pontos em algum domínio, então o gradiente é uma função vetorial ∇f  que leva o ponto a para o vetor ∇f(a). 

Consequentemente, o gradiente determina um campo vetorial.

Derivadas direcionais 
Se f é uma função com valores reais em , então a derivada parcial de f mede a sua variação na direção dos eixos das coordenadas. Por exemplo, se f é uma função de x e y, então sua derivada parcial mede a variação em f na direção x e na direção y. Contudo, elas (derivadas parciais) não medem diretamente a variação de f em qualquer outra direção, tal como aquela ao longo da linha diagonal y=x. Estas são medidas usando-se as derivadas direcionais. Escolha um vetor: 

A derivada direcional de f na direção de v no ponto x é o limite  

Em alguns casos pode ser mais fácil computar ou estimar a derivada direcional depois de mudar o comprimento do vetor. Frequentemente isso é feito para transformar o problema numa computação de uma derivada direcional na direção de um vetor unitário. Para ver como isso funciona, suponha v = λu. Substitua h = k/λ no quociente da diferença. 

O quociente da diferença torna-se: 

Isso é λ vezes o quociente da diferença para a derivada direcional de f  no que diz respeito a u. Além disso, tomar o limite como h tendendo a zero é o mesmo que tomar o limite como k tendendo a zero, pois h e k são múltiplos um do outro. 

Portanto, Dv(f) = λDu(f). Devido a essa propriedade de redirecionamento, derivadas direcionais são frequentemente consideradas apenas para vetores unitários.    

Se todas as derivadas parciais de f existem e são contínuas em x, então elas determinam a derivada direcional de f na direção de v  pela fórmula: 

 

Essa é a consequência da definição de derivada total. Diz-se que a derivada direcional é linear em v, significando que D + (f) = D(f) + D(f).  

A mesma definição também é aplicável quando f é a função com valores em . . A definição acima é aplicada a cada componente dos vetores. Nesse caso, a derivada direcional é um vetor em .

Derivadas de aplicações
Sejam  um aberto de ,  e  uma função. Dizemos que  é diferenciável quando existem uma transformação linear  e uma função  dada por  tais que

.

Neste caso, a aplicação  é chamada de derivada da função  no ponto  e denotada por . Em outras palavras

Exemplos
 Se ,  e , então 
 Se ,  e  então 
 Se ,  e  então 
 Se ,  e  então

Bibliografia 
 Agudo, F. R. Dias, Análise Real (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994
 
 Ostrowski, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 volumes), Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1981
 Ricieri, A. P., Derivada Fracionária, Transformada de Laplace e outros bichos, Prandiano, 1993, S. José dos Campos - SP - Brasil.

Ver também 
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo fracionário
Derivada simétrica, Diferenciação automática, Diferenciação numérica
Diferintegral
Classe de diferenciabilidade
Linearização
Tabela de derivadas
Técnicas para diferenciação

Ligações externas

Análise matemática
 
Cálculo diferencial
Funções matemáticas