Estrutura algébrica

Em álgebra abstracta, uma estrutura algébrica consiste num conjunto associado a uma ou mais operações sobre o conjunto que satisfazem certos axiomas. Caso não existam ambiguidades, geralmente identifica-se o conjunto com a estrutura algébrica. Por exemplo, um grupo (G,*) refere-se geralmente apenas como grupo G.

Em algumas estruturas algébricas além do conjunto principal existe mais um conjunto, denominado conjunto de escalares. Neste caso a estrutura terá dois tipos de operações: operações internas, que operam os objetos principais entre si e operações externas, que representam ações dos escalares sobre elementos do conjunto principal. Por exemplo, um espaço vectorial tem dois conjuntos, um conjunto de vectores e outro de escalares. Assim, se v1 e v2 são dois vetores e k é um escalar v1 * v2 seria o produto (interno) de vetores e k * v1 seria o produto (externo) de um escalar por um vetor.

O conceito de estrutura algébrica pode ser considerado sinônimo de Álgebra e Álgebra universal.

Notação 
É comum representar uma estrutura algébrica por uma n-upla do tipo (G,F,+,-,f,<,1). Nesta notação, são enumerados os conjuntos que fazem parte da estrutura, seguido de constantes, funções e relações.

Exemplos 
Dependendo das operações e axiomas, as estruturas algébricas ganham os seus nomes específicos.

O que se segue é uma lista parcial de estruturas algébricas:

Grupoide: um conjunto com uma única operação binária
Quasegrupo: um grupoide no qual a divisão é sempre possível
Laço1: um quase-grupo com um elemento neutro
Semigrupo: um grupoide associativo
Monoide: um semigrupo com um elemento neutro
Grupo: um monoide, no qual cada elemento tem um inverso ou, o que é equivalente, um laço1 associativo
Grupo abeliano: um grupo que obedece a comutatividade
Anel: um conjunto com uma operação de grupo abeliano definida como adição, junto com uma operação de semigrupo como a multiplicação, que satisfaça a distributividade
Corpo2: um anel no qual os elementos não-zero formam um grupo abeliano sob multiplicação
Reticulado: um conjunto com duas operações comutativas, associativas e idempotentes, que satisfazem a lei de absorção
Álgebra booleana: um reticulado limitado, distributivo e complementado

Nas estruturas seguintes, temos dois conjuntos, um deles (auxiliar), chamado de conjunto de escalares e outro, o conjunto principal. Além das operações internas sobre o conjunto principal, podemos ter operações conectando os dois conjuntos:

Módulo: M é um módulo sobre um anel A quando M é um grupo abeliano, e temos uma função de A x M em M, definida como multiplicação escalar, com regras que se parecem formalmente com a distributividade e a associatividade
Espaço vectorial: um módulo sobre um corpo. Se V é um espaço vectorial sobre um corpo F, chamamos os elementos de V de vectores e os elementos de F de escalares
Álgebra: um módulo ou espaço vectorial, junto com uma operação bilinear entre vectores definida como multiplicação
Álgebra associativa: uma álgebra cuja multiplicação é associativa
Álgebra comutativa: uma álgebra associativa cuja multiplicação é comutativa
Álgebra de Kleene: duas operações binárias e um operador unitário, modelados em expressões regulares
Conjunto: embora alguns matemáticos discordem, um conjunto pode ser considerado uma estrutura algébrica degenerada, com zero operações definidas sobre ela

As proposições que se aplicam colectivamente a todas as estruturas algébricas são investigadas no ramo da matemática conhecido como álgebra universal.

As estruturas algébricas também podem ser definidas em conjuntos com estruturas não-algébricas adicionais, como os espaços topológicos. Por exemplo, um grupo topológico é um espaço topológico com uma estrutura de grupo tal que as operações de multiplicação e inversão são contínuas; um grupo topológico possui quer uma estrutura topológica, quer uma estrutura algébrica. Outros exemplos comuns são espaços vectoriais topológicos e grupos de Lie.

Cada estrutura algébrica tem a sua própria noção de homomorfismo, uma função que é compatível com a operação ou as operações dadas. Desta forma, cada estrutura algébrica define uma categoria. Por exemplo, a categoria dos grupos tem como objectos todos os grupos e como morfismos todos os homomorfismos desses grupos. Esta categoria, uma vez que é uma categoria concreta, pode ser vista como uma categoria de conjuntos com estrutura extra, no sentido teórico das categorias. Analogamente, a categoria dos grupos topológicos (com os homomorfismos contínuos de grupo como morfismos) é uma categoria de espaços topológicos com estrutura extra.

Além das estruturas algébricas, existem mais duas estruturas fundamentais na matemática. São elas:
Estruturas de ordem, em que ao conjunto principal é associado uma relação de ordem. Por exemplo, um reticulado é um conjunto parcialmente ordenado em que para quaisquer dois elementos a,b existe um supremo sup(a,b) e um ínfimo inf(a,b).
Estruturas topológicas em que o foco está no conjunto das partes P(C) de um conjunto C.

A partir destas três estruturas podem ser definidas estruturas mistas, quando para um conjunto são considerados operações, relações e partes de forma combinada. Por exemplo, um grupo topológico é um espaço topológico com uma estrutura de grupo tal que as operações de multiplicação e inversão são contínuas; um grupo topológico possui quer uma estrutura topológica, quer uma estrutura algébrica. Outros exemplos comuns são espaços vectoriais topológicos e grupos de Lie.

Classificação dos grupos 
Semigrupo
Monoide
Grupo
Grupo solúvel
Grupos nilpotentes
Grupo abeliano (grupo comutativo)
Grupo cíclico

Classificação dos anéis 
Anel
Anel comutativo
Domínio de integridade (anel de integridade)
Domínio de fatoração única (anel fatorial)
Domínio principal
Domínio euclidiano
Corpo

Classificação dos módulos 
Módulo
Módulo finitamente gerado
Módulo cíclico
Álgebra sobre um anel
Espaço vetorial
Álgebra sobre um corpo

Álgebra abstrata