Função exponencial

Chama-se função exponencial a função   tal que  em que , . O número  é chamado de base da função. A função exponencial  pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se , a função é crescente. Caso  a função é decrescente.

Definição formal 
A função exponencial pode ser caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência an indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é,
 

Esta definição implica as seguintes propriedades:
 
 

A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:
 
 
 
 

A função exponencial pode ser então definida para todo expoente x através dos seguintes limites:

De fato, a função y = ax é a única função contínua y=f(x) que satisfaz:
 
 

No entanto, mais comumente, a função exponencial é definida em termos da função exponencial natural e sua inversa, o logaritmo natural:
 

A função exponencial satisfaz sempre os seguintes axiomas básicos de definição:
 
 

A partir destes axiomas, podemos extrair as seguintes propriedades operacionais:

Propriedades da função exponencial 

A função exponencial de base , , tem as seguintes propriedades:
  para todo ;
  é função crescente se, e somente se, ;
  é função decrescente se, e somente se, ;
  é injetiva;
  é ilimitada superiormente;
  é contínua;
  é sobrejetiva;
  é bijetiva, isto é, possui uma função inversa, o logaritmo, denominada .

Demonstrações das propriedades 
 Propriedade 1
Mostraremos, primeiro, que  para todo . Com efeito, notamos que . Suponhamos, por contradição, que  para algum . Mas, daí temos , uma contradição. Concluímos que  para todo .

Como consequência  para todo , uma vez que .

 Propriedade 2
Sejam . Suponhamos, sem perda de generalidade, que . Tomamos, então,  tal que . Segue que . Pela propriedade 1, temos . Logo,  se, e somente se, . Como ,  se, e somente se, . Concluímos que,  se, e somente se, .

 Propriedade 3
Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 2.

 Propriedade 4
Consequência imediata das propriedades 2 e 3.

 Propriedade 5
Seja  com . Tomamos  tal que . Assim, pela desigualdade de Bernoulli, temos . Logo, dado qualquer , se escolhemos  como o menor inteiro maior que , temos , i.e.  é ilimitada superiormente. A demonstração é análoga para .

 Propriedade 6
Para qualquer , temos  está bem definida. Além disso, temos:
 
Como, , seque que:
 .

 Lema
Dados um número real  e um intervalo , com , então existe um número racional  tal que .

Suponhamos, sem perda de generalidade, que . Pelas propriedades 2 e 5, existe um número natural  tal que:
 .
Como consequência, existe um número natural  tal que:
 .
Daí, segue que:
 .
Assim:
 .
Desta forma, temos que:
 
é uma sequência finita, cujos termos são extremos de intervalos consecutivos de tamanho menor que o do intervalo . Logo, pelo menos um  dos termos desta sequência deve pertencer a , i.e. para algum , temos  com .

 Propriedade 7
Seja . Suponhamos que . Usando o lema anterior construímos uma sequência não-decrescente limitada  tal que . Pela completude dos números reais, temos que  quando . Segue da continuidade de  (propriedade 6), que:
 
i.e., dado , existe  tal que . A demonstração para   segue raciocínio análogo.

 Propriedade 8
Consequência imediata das propriedades 4 e 7.

A função exponencial natural 

A função exponencial natural é a função exponencial cuja base é o número de Euler. Denotado por ex ou exp(x), a função exponencial natural é uma das mais importantes funções da matemática e pode ser definida de pelo menos duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:
 
 

Aqui,  corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.

O valor da base da exponencial natural, , é aproximadamente .

A exponencial natural satisfaz as seguinte propriedades:
 A função y = ex é contínua e diferenciável para todo x.
 A derivada da função y = ex é a própria função função y = ex.
 A função y = ex é positiva e crescente para todo número real x.
 ex+y = ex ey
 A curva y = ex jamais toca o eixo x, embora se aproxime de zero para valores negativos de x, isto é:

 Os valores de y=ex crescem ilimitadamente, isto é:

 A função y=ex cresce mais rápido que qualquer potência, isto é, para todo n natural, temos:

 A função  é igual a sua derivada, i.e.:
.

Usando o logaritmo natural, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:
 
Para todo a > 0 e

Derivada e integral da função exponencial 

A derivada da função exponencial de base ,  é dada por:
.

De fato, como  temos da regra da cadeia que:
.

De forma análoga, obtermos a derivada segunda:

Como  é uma constante positiva,  observamos que a taxa de variação da função exponencial é crescente em relação a x, isto é a função exponencial é uma função convexa.

A integral indefinida da função exponencial é dada por:
.

Ver também 
 Crescimento exponencial

Exponencial
E (constante matemática)