Número primo

Número primo é qualquer número  cujo conjunto dos divisores não inversíveis não é vazio, e todos os seus elementos são produtos de  por números inteiros inversíveis. De acordo com esta definição,   e  não são números primos.
Um número inteiro primo é aquele que tem somente quatro divisores distintos,   e  Já um número natural primo tem unicamente dois divisores naturais distintos: o número um e ele mesmo.

Uma das questões pesquisadas sobre os números primos é de como eles se distribuem nos naturais, com que frequência isso ocorre e qual a distância que existe entre eles. Por exemplo, existem vários pares de números primos que se diferem em duas unidades: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109). Pares de números primos com essa propriedade são denominados de primos gêmeos. Ainda não se provou que existem ou não existem infinitos primos gêmeos.

A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo, se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto (  e  também não são compostos). Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.

Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C.. O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatorização).

Existem 168 números primos positivos menores do que 1000. São eles: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 .

Exemplos de decomposições:

 
 
 
 
 
 

Para todo primo p seja p# o produto de todos os números primos q inferiores ou iguais a p. De acordo com a terminologia empregada por Dubner (1987), p# é chamado o primorial de p. Temos dois problemas em aberto sobre a noção de primorial:

a) Existe uma infinidade de números primos p tais que p# + 1 seja primo?
b) Existe uma infinidade de números primos p tais que p# + 1 seja composto?

O que se sabe:

 O maior número primo conhecido da forma p# + 1 é 392113# + 1, com 169966 algarismos, foi descoberto por D. Heuer et al. Em 2001.
 A lista completa dos números primos p < 632700 tais que p# + 1 seja primo é a seguinte: P = 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029, 42209, 145823, 366439 e 392113.
 Caldwell e Gallot publicaram em 2002 a lista para p < 120000. O primo 145823# + 1 foi descoberto em 2000 por A.E. Anderson, D.E. Robinson et al. O primo 366439# + 1 foi descoberto em 2001 por D. Heuer et al.
 15877# – 1 é o maior primo encontrado da forma p# – 1; tem 6845 algarismos e estava incluído na lista de Caldwell e Gallot de 2002.
 A lista dos números primos p < 650000 tais que p# – 1 é primo é a seguinte: 3, 5, 11, 13, 41, 89, 317, 337, 991, 1873, 2053, 2377, 4093, 4297, 4583, 6569, 13033 e 15877.
 A lista para p < 120000 foi publicada em 2002 por Caldwell e Gallot, posteriormente nenhum outro primo p# – 1 foi descoberto.

Os átomos da aritmética 
Os gregos foram os primeiros a perceber que qualquer número natural, exceto o  pode ser gerado pela multiplicação de números primos, os chamados blocos de construção". A primeira pessoa, até onde se sabe, que produziu tabelas de números primos foi Eratóstenes, no terceiro século a.C. Ele escrevia inicialmente uma lista com todos os números de  a  Em seguida escolhia o primeiro primo,  e eliminava da lista todos os seus múltiplos. Passava ao número seguinte que não fora eliminado e procedia também eliminando todos os seus múltiplos. Desta forma Eratóstenes produziu tabelas de primos, mais tarde este procedimento passou a se chamar de crivo de Eratóstenes. Observe a ilustração a seguir:

Assim obtemos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ... A partir desse procedimento podemos simplificar a descobertas de primos usando o lema: Se um número natural n > 1 não é divisível por nenhum primo p tal que  ≤ n, então ele é primo. (demonstrado adiante). Este lema fornece um teste de primalidade, pois, para verificar se um dado número n é primo, basta verificar que não é divisível por nenhum p que não supere 

Durante o século XVII os matemáticos descobriram o que acreditavam ser um método infalível para determinar se um número  era primo: calcule  elevado a potência  e divida-o por  se o resto for  então o número será primo. Em termos da calculadora-relógio de Gauss, esses matemáticos estavam tentando calcular  em um relógio com  horas. Em 1819, o teste dos números primos foi eliminado, pois funciona para todos os números até  mas falha para  Exceção descoberta com uma calculadora-relógio de Gauss contendo 341 horas utilizada para simplificar a análise de um número como

Teoremas sobre números primos 
Existem vários teoremas e estudos sobre os números primos, desde resultados tratados na matemática elementar, até conjecturas que não foram provadas. Todos os teoremas desta sessão tem como fonte o livro de HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

Teorema 1: (Teorema Fundamental da Aritmética) Todo número natural maior do que  ou é primo ou se escreve de modo único (exceptuando a ordem dos fatores) como um produto de números primos.

Demonstração:

Tomemos a segunda forma do Princípio de Indução. Seja  sabemos que ele é primo. Suponha o resultado válido para todo número natural menor que  e vamos provar que vale para  Observe que que se  é primo, nada temos a provar. Sendo  composto, existem números naturais  e  tais que  com  e  Por hipótese de indução, existem primos  e  tais que  e  logo 

Provaremos agora a unicidade da escrita. Suponha que  onde os  e  são números primos. Como  temos que  para algum  (provaremos mais adiante), que por conveniência, podemos supor que seja  logo teremos então que  (já que temos ). De forma análoga, podemos afirmar que como  temos que  para algum  que por conveniência, podemos supor que seja  assim teremos  Como  a hipótese de indução acarreta em que  e os elementos  e  são iguais.

Teorema 2:

Dado um número natural  existem primos  e naturais  univocamente determinados, tais que 

Demonstração:

Decorre do Teorema Fundamental da Aritmética, agrupando-se os primos repetidos e ordenando os primos em ordem crescente.

Teorema 3:

Sejam    … .     … .   e  com  tem-se que    … .  e    … .  

Demonstração:

Temos que    … .  é um divisor comum de  e  Seja  um divisor comum de  e  logo    … .  onde  ≤  e, portanto    … . Do mesmo modo, prova-se o m.m.c.( Mínimo Múltiplo Comum).

Teorema 4:

Existem infinitos números primos.

Demonstração:

Suponha que exista apenas um número finito de números primos  Considere o número natural  O número  possui um fator primo  que, portanto, deve ser um dos  Mas isso implica que  divide  o que é absurdo.

Teorema 5: (Pequeno Teorema de Fermat)

Dado um número primo  tem-se que  divide o número  para todo .

Demonstração:

Vamos provar pelo Princípio da Indução Infinita. O resultado vale para  já que  Supondo valido para um natural  iremos provar que é válido para o natural 

 –  =  – +  + ... +   O segundo membro da igualdade é divisível por  (Lema 2), o resultado se segue.

Teorema 6: (Euclides-Euler)

Um número natural  é um número perfeito par se, e somente se, = (– ), onde –  é um primo de Mersenne.

Demonstração:

Suponha que = (– ), onde  é um primo de Mersenne. Logo  e consequentemente,  é par. Como  é ímpar, temos que  Pela Proposição 5, Corolário 2 e Lema 3, temos:  Portanto, n é perfeito. (Denota-se por  a soma de todos os divisores de ).

Reciprocamente, suponha que  é perfeito e par. Seja  a maior potência de  que divide  Logo,  e  com  ímpar. Temos então que  e, pela Proposição 5 e Corolário 2, segue-se que  Como  segue-se que 

Temos então, que  pois  Logo, existe  com  tal que  Substituindo, segue-se:  portanto,  Como  e  são dois divisores distintos de  tais que  Nesta situação,  De fato, suponha por absurdo que  Temos então que  segue-se que  contradição. Logo, concluímos que  assim  é primo. Temos então que  com  primo.

Teorema 7: (Legendre)

	Sejam n um número natural e p um número primo, Então  +  +  + ⋯ . (Denotaremos  pelo expoente de maior potência de  que divide  e por  o quociente da divisão de a por b, na divisão euclidiana)

Demonstração:

A soma apresentada no teorema é finita, pois existe um números natural  tal que  para todo  portanto  se  Vamos demonstrar o resultado por indução sobre  A fórmula vale para  Suponha que vale para um natural  com  Sabemos que os múltiplos de  entre  e  são  2p, ..., p. Portanto,  +  Pela hipótese de indução temos que  =  +  +  + ... . O resultado decorre da Proposição 6.

Teorema 8:

Sejam * com  primo. Suponha que  seja a representação p-ádica de  Então  = 

Demonstração:

Sendo  temos que   ...,  Portanto,  =  +  +  + ⋯  =  =  = 

Teorema 9:
Teorema de Vantieghems

Um número natural n é primo se, e somente se:

Exemplos:

1) Para n=7 temos o produto 1*3*7*15*31*63 = 615195.: 615195 = 7 mod 127.7 é primo.

2) Para n=9 temos o produto 1*3*7*15*31*63*127*255 = 19923090075.19923090075 = 301 mod 511.9 é composto.

Lemas sobre números primos 

Todos os lemas desta sessão tem como fonte o livro de HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

Lema 1:

Se um número natural  não é divisível por nenhum primo  tal que  então ele é primo.

Demonstração:

Suponha, por absurdo, que  não seja divisível por nenhum número  tal que  e que não seja primo. Seja  o menor número primo que divide  logo,  com  Desse modo temos  o que mostra que  é divisível pelo número primo  tal que  absurdo.

Lema 2: 

Seja  um número primo. Os números  onde  são todos divisíveis por  

Demonstração:

O resultado é válido para  Suponha então,  Neste caso,  Como o  concluímos que,  e o resultado se segue, pois 

Lema 3:

Seja *, Tem-se que  se, e somente se,  é um número primo.

Demonstração:

Se  segue-se que  e que os únicos divisores de  são  e  logo  é primo. Reciprocamente, se  é primo, pela Proposição 5, segue-se que

Corolários sobre números primos 
Todos os corolários desta sessão tem como fonte o livro de HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

Corolário 1:

Se  é um número primo e se  é um número natural não divisível por  então  divide 

Demonstração:

Sabendo que  (Pequeno Teorema de Fermat), então  e como  podemos concluir que 

Corolário 2:

A função  é multiplicativa, isto é, se  então  

Demonstração:

Segue-se diretamente da demonstração da Proposição 5.

Proposições sobre números primos 

Todos as proposições desta sessão tem como fonte o livro de HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

Proposição 1:

Sejam *, com  primo. Se  então  ou  

Demonstração:

Se  e  então  Mas se  temos que 

Proposição 2:

Seja  um número natural escrito decomposto em números primos. Se  então  onde  para  natural.

Demonstração:

Seja  um divisor de  e seja  a potência de um primo  presente na decomposição de  em um produto de seus fatores primos. Sabendo que  segue que  divide algum  por ser primo com os demais  e, consequentemente,  e 

Proposição 3:

Sejam  e  números naturais maiores do que  Se  é primo, então  é par e  com  

Demonstração:

Suponha que  seja primo, onde  e  Logo  tem que ser par, pois caso contrário,  seria par e maior do que dois, o que contraria o fato de ser primo. Se  tivesse um divisor primo  diferente de  teríamos  com *. Logo,  concretizando o fato desse último número ser primo. Isto implica que  é da forma 

Proposição 4:

Sejam  e  números naturais maiores que  Se  é primo, então  e  é primo.

Demonstração:

Suponha que  seja primo, com  e  Suponha por absurdo, que  Logo  e  e, portanto,  não é primo, contradição. Consequentemente,  Por outro lado, suponha, que  não é primo. Temos  com  e  Como  divide  segue que  não é primo, contradição, logo  é primo.

Proposição 5:

Seja  onde  são números primos e *. Então,  

Demonstração:

Considere a igualdade  ..  =  onde o somatório do primeiro membro da igualdade é tomado por todas as k-uplas () ao variar cada  no intervalo  para  Como tal somatório, pela Proposição 2, representa soma de todos os divisores de  a fórmula  resulta aplicando a fórmula da soma de uma progressão geométrica a cada soma do segundo membro da igualdade.

Proposição 6:

Sejam  e *, temos que  (Denotaremos por  o quociente da divisão de  por  na divisão euclidiana).

Demonstração:

Sejam  e  Logo,  com  e  com  Portanto,  Como  segue-se que  é o quociente da divisão de  por  ou seja,

Teoria dos números 

Sabe-se que, à medida que avançamos na sequência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões:

O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?

SEGUNDO EUCLIDES

Suponhamos que a sucessão  dos  números primos seja finita. Tomemos  e seja p um número primo que divide  O número  não pode ser igual a nenhum dos números  porque então mele dividiria a diferença  o que é impossível, Assim  é um número primo que não pertence à sucessão e, por consequência,  não pode formar o conjunto de todos os números primos.

SEGUNDO KUMMER (uma variante da demonstração de Euclides)

Suponha que exista um número finito de números primos  seja  O inteiro  sendo o produto de fatores primos, teria então um fator primo  que dividiria também  então,  dividiria  o que é absurdo.

SEGUNDO HERMITE

Para todo número natural  existe um número primo  Para isto basta escolher um número  qualquer dividindo (teorema fundamental da aritmética). Se tivermos  então  divide  como divide  logo  dividiria  absurdo.

SEGUNDO GOLDBACH

Suponha uma sucessão infinita  de naturais primos entre si, dois a dois, nenhum deles tem fator primo em comum. Se  é um fator primo de   é um fator primo de  é um fator primo de  então  são todos distintos. Os números de Fermat  (para ) são, dois a dois, primos entre si. Por recorrência sobre  demonstra-se que  então, se   divide  Se existisse um número primo p que dividisse  e  dividiria  portanto dividiria  então  O que é impossível porque  é ímpar.

Dado um número natural  qual é a proporção de números primos entre os números menores que 

 A resposta à primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido na parte central dos Elementos de Euclides, que lida com as propriedades dos números. Na proposição 20, Euclides explica uma verdade simples porém fundamental sobre os números primos: existe um número infinito deles. Pode-se demonstrar, em notação moderna, da seguinte forma:

 Supondo que o número de primos seja finito e sejam  os primos. Seja  o número tal que

 =  onde  denota o produtório.

 Se  é um número primo, é necessariamente diferente dos primos  pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1.

 Por outro lado, se  é composto, existe um número primo  tal que  é divisor de 
 Mas obviamente  Logo existe um novo número primo.

 Há um novo número primo, seja  primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.

 Uma outra prova envolve considerar um número inteiro  Temos  que, necessariamente, é coprimo de  (números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que ). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado  e resto  e do maior pelo menor tem resultado  e resto  Assim,  tem, necessariamente, ao menos dois factores primos.

 Tomemos o sucessor deste, que representamos como  Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a  Ao multiplicar os dois números, temos  Como um de seus fatores tem pelo menos dois factores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três factores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.

 A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente  onde  é o logaritmo natural.
 Para qualquer número inteiro  existem  números inteiros consecutivos todos compostos.
 O produto de qualquer sequência de  números inteiros consecutivos é divisível por 
 Se  não é primo, então  possui, necessariamente, um fator primo menor do que ou igual a 
 Todo inteiro maior que 1 pode ser representado de maneira única como o produto de fatores primos

Grupos e sequências de números primos 
Pierre de Fermat (1601-1665) descobriu que todo número primo da forma  tal como  etc., é a soma de dois quadrados. Por exemplo:

Hoje são conhecidos dois grupos de números primos:

  - que podem sempre ser escritos na forma (); e
  - nunca podem ser escritos na forma ().

Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo:

,  e  são primos
mas  não é, pois 

Um olhar mais atento na forma como se distribuem os números primos revela que não há uma regularidade nesta distribuição. Por exemplo existem longos buracos entre os números primos, o número  é seguido de cento e onze números compostos e não existem primos entre os números  e 

Algumas fórmulas produzem muitos números primos, por exemplo  fornece primos quando   Veja que para x = 41, a fórmula resulta em  que não é primo.

Não existe uma fórmula que forneça primos para todos os valores primos de  de fato em 1752 Goldbach provou que não há uma expressão polinomial em  com coeficientes inteiros que possa fornecer primos para todos os valores de 

Não se sabe se há uma expressão polinomial  com  que represente infinitos números primos. Dirichlet usou métodos para provar que se   e  não têm fator primo em comum, a expressão polinomial a duas variáveis

representa infinitos primos, quando  e  assumem valores positivos inteiros.

Fermat pensou que a fórmula  forneceria números primos para  Este números são chamados de números de Fermat e são comumente denotados por  Os cinco primeiros números são:

sendo todos primos.

Aproximações para o n-ésimo primo 
Como consequência do teorema do número primo, uma expressão assintótica para o n-ésimo primo  é:

Uma aproximação melhor é:

O teorema de Rosser mostra que  é maior que  É possível melhorar esta aproximação com os limites: , para

Maior número primo conhecido 
Em Janeiro de 2013, foi divulgado o maior número primo já calculado até então. Tem 17.425.170 dígitos e, se fosse escrito por extenso, ocuparia 3,4 mil páginas impressas com cinco mil caracteres cada. É o número . Foi descoberto por Curtis Cooper, da Universidade Central do Missouri em Warrensburg, EUA, como parte do Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), um projeto internacional de computação compartilhada desenhado para encontrar números primos de Mersene.

Em janeiro de 2016, um grupo de matemáticos da mesma universidade descobriu um número primo com 22.338.618 dígitos, que recebeu o nome "M74207281". É o número  que tem 5 milhões de dígitos a mais que o último conhecido. O achado foi divulgado pelo programa GIMPS.

Em dezembro de 2017 um engenheiro eletrotécnico da empresa de entregas FedEx descobriu um número primo ainda maior: “M77232917”, como foi batizado, tem mais de 23 milhões de dígitos. O homem que o descobriu chama-se Jonathan Pace, tem 51 anos, é norte-americano e também participa do GIMPS. Em dezembro de 2018 uma nova marca de maior número primo foi registrada, alcançando a quantidade de 24 milhões de dígitos.

Números primos e a natureza 
 A estratégia evolutiva usada por cigarras do gênero "Magicicada" faz uso de números primos. Evolutivamente, à medida que algumas espécies foram alongando seus períodos de "hibernação", também os de seus predadores naturais foram se alongando. Foram favorecidas aquelas que só emergiam após número primo de anos (13, 17), pois isso reduz ao máximo as chances de encontrar seus predadores naturais. Um exemplo para entender isso é: Imagine uma espécie de cigarra que vire ninfa a cada 2 anos, e uma outra a cada 4. Um predador natural de cigarras que fique hibernando 4 anos, quando sair de sua hibernação, terá como fonte de alimentação ambas espécies, aumentando a quantidade de comida disponível. Já com as cigarras que ficam hibernando um número primo de anos, seus predadores naturais terão que hibernar esse período de temp também, e terão menos opções de comida.

 Há uma espécie de bambu, "Phyllostachys bambusoides", que tem sua florada a cada 23 anos. Cientistas acreditam que esse "número primo de tempo" para cada floração é um diferencial evolutivo dessa espécie frente as demais.

Números primos na Mecânica quântica 
Começando com o trabalho de Hugh Montgomery e Freeman Dyson na década de 1970, matemáticos e físicos especularam que os zeros da função zeta Riemann estão conectados aos níveis de energia dos sistemas quânticos. Os números primos também são significativos na ciência da informação quântica, graças a estruturas matemáticas como bases mutuamente imparciales e medidas de valor positivo de operadores positivos.

Ver também 

 Crivo de Eratóstenes
 Números primos gêmeos
 Elemento Primo
 Elemento Irredutível
 Função de contagem de números primos
 Teorema do número primo
 Teste de primalidade
 Certificado de Primalidade
 Função total de fatores primos não repetidos
 coprimo
 Primorial
 Série dos inversos dos primos
 Demonstração de Furstenberg da infinitude dos números primos
 Fator primo
 PrimeGrid
 Hipótese de Riemann sobre os números primos

Bibliografia 
 
 Marcus du Sautoy, Os mistérios dos números: Uma viagem pelos grandes enigmas da matemática (que até hoje ninguém foi capaz de resolver), Jorge Zahar Editor Ltda, 2013 ISBN 8-537-81099-1
 Luogeng Hua, Additive theory of prime numbers, American Mathematical Soc. ISBN 0-821-89750-0 
 Mary Jane Sterling, Álgebra I Para Leigos, Alta Books Editora, 2013 ISBN 8-576-08256-X
 Edward S. Wall, Teoria dos Números para Professores do Ensino Fundamental, McGraw Hill Brasil, 2014 ISBN 8-580-55353-9
 PAULO BOUHID, NÚMEROS CRUZADOS, biblioteca24horas ISBN 8-578-93055-X
 LAURA LEMAY, ROGERS CADENHEAD, APRENDA EM 21 DIAS JAVA 2 - TRADUÇÃO DA 4a ED. Elsevier Brasil ISBN 8-535-21685-5
 HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.
 RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.
 SANTOS, José Plínio de Oliveira. Introdução à teoria dos Números. 3ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.
 LOVÁSZ, L. PELIKÁN, J. e VESZTERGOMBI, K. Matemática Discreta. 1ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2010.
 http://paginapessoal.utfpr.edu.br/rwprobst/formacao-academica/curriculo/primos.pdf

Ligações externas 

 Primos de Mersenne de maneira didática
 Prime curiosat the prime pages
 The prime pages
 MacTutor history of prime numbers
 The "PRIMES is in P" FAQ
 Lista dos maiores números provavelmente primos
 The prime puzzles
 Uma tradução para o inglês da demonstração de Euclides da infinitude dos primos
 Primesfrom WIMS is an online prime generator.
 Prime Spiral pattern
 12 digit primesKnown 12-digit prime factors of Googolplex - 1
 An Introduction to Analytic Number Theory, by Ilan Vardi and Cyril Banderier
 Primos de Mersenne - Os maiores primos já encontrados