Número hiper-real

O conjunto dos números hiper-reais é uma maneira de tratar quantidades infinitas e infinitesimais. Os hiper-reais, ou reais não padronizados, *R, são uma extensão dos números reais R que contém números maiores
do que qualquer coisa na forma

Esse número é infinito, e seu inverso é infinitesimal.  O termo "hiper-real" foi introduzido por Edwin Hewitt em 1948.

Abordagem intuitiva 
Os números hiper-reais foram introduzidos para dar rigor matemático a uma abordagem intuitiva do cálculo infinitesimal.

Pelo cálculo infinitesimal, a velocidade de uma partícula movendo-se de acordo com uma equação da forma, por exemplo,  pode ser calculada através da razão  para um valor de  que seja muito pequeno, porém maior que zero. O resultado desta conta é , que difere do resultado esperado  pela quantidade pequena, porém não nula, . Se esta quantidade for desprezada, chega-se ao resultado desejado.

O problema com este raciocínio é que não é claro o que pode ser desprezado. Então, introduze-se um novo tipo de número, chamado de infinitesimal,  que satisfaz  para todo número real a > 0. O único número real que é infinitesimal é o zero, O sistema de números que inclui os números reais e os infinitesimais é chamado de conjunto dos números hiper-reais.

Dois números reais a e b estão infinitamente próximos quando sua diferença a - b for um infinitesimal. Se  for um número infinitesimal, então seu inverso  é um número infinito positivo, e  infinito negativo. Os números hiper-reais que não são infinitos são chamados de números finitos. Os números hiper-reais podem ser manipulados algebricamente da mesma forma que os números reais.

A definição da derivada  pode então ser dada como sendo o número real que está infinitamente próximo de 

Por exemplo, para , o resultado é , e, como  é um infinitesimal, o (único) número real que está infinitamente próximo de  é

Princípio da transferência 
Os números hiper-reais satisfazem o princípio da transferência, uma versão rigorosa da Lei da Continuidade heurística de Leibniz. O princípio da transferência afirma que as verdadeiras declarações de primeira ordem sobre R também são válidas no *R. Por exemplo, a lei comutativa da adição, x + y = y + x, vale do mesmo modo para os hiper-reais e para os reais; desde que R seja um campo real fechado, então é *R.  Desde que  para todos os inteiros n, há também um  para todos hiper-inteiros H. O princípio da transferência para ultrapotências é uma consequência do Teorema de Łoś' de 1955.

Preocupações sobre a Correção de argumentos envolvendo números infinitesimais remonta a antiga matemática Grega, com  Archimedes trocando essas provas com as que usavam outras técnicas como o método da exaustão. Nos anos de 1960, Abraham Robinson provou que  hiper-reais eram logicamente consistentes se e somente se os reais fossem. Isso amenizou o medo de que qualquer prova envolvendo infinitesimais pudesse ser defeituosa, fornecendo que elas eram manipuladas de acordo com as regras de lógica as quais Robinson delineou.

A aplicação dos números hiper-reais e, em particular, o princípio da transferência para problemas de análises matemáticas são chamados de análises não padronizadas. Uma aplicação imediata é a definição dos conceitos básicos de análises como  derivação e integração de forma direta, sem passar por complicações lógicas de múltiplos quantificadores. Portanto, a derivada def(x) se torna  para um infinitesimal , onde st(·) denota um função padrão, que associa a todo hiper-real finito um único real infinitamente perto dele. Similarmente, a integral é definida como parte padrão da soma infinita adequada.

Ver também 

 Hyperinteger
 Real closed fields
 Non-standard calculus
 Constructive non-standard analysis
 Influence of non-standard analysis
 Número surreal

Leitura detalhada

Hatcher, William S. (1982) "Calculus is Algebra", American Mathematical Monthly 89: 362–370.
Hewitt, Edwin (1948) Rings of real-valued continuous functions. I. Trans. Amer. Math. Soc. 64, 45—99.

Keisler, H. Jerome (1994) The hyperreal line. Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua, 207—237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.

Ligações externas
Crowell, Calculus. A text using infinitesimals.
Hermoso, Nonstandard Analysis and the Hyperreals. A gentle introduction.
Keisler, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. Includes an axiomatic treatment of the hyperreals, and is freely available under a Creative Commons license
Stroyan, ''A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus

Números
Análise matemática
Teoria dos corpos
Infinito