Limite

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito . Os limites são usados no cálculo diferencial e integral e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas, continuidade de funções, soma de Riemann, integrais definidas e integrais impróprias.

Limite de uma sequência 

Seja  uma sequência de números reais. A expressão:

significa que, para índices  suficientemente grandes, os termos  da sequência estão arbitrariamente próximos do valor  Neste caso, dizemos que o limite da sequência é   

A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, pode ser interpretada como um desafio. O desafiante propõe quão perto de  os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo índice , os demais termos da sequência estão tão ou mais perto de  quanto solicitado.

Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de  (dado pelo desafiante), por exemplo, o intervalo aberto  com , o desafiado deve exibir um número natural  tal que  com  tem-se que  .

Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim:

Limite de uma função 

Suponhamos que  é uma função real e que  é um número real. A expressão:

significa que  se aproxima tanto de  quanto quisermos, quando se toma  suficientemente próximo de . Quando tal acontece dizemos que o limite de , à medida que  se aproxima de , é . 

Note-se que esta definição não exige (ou implica) que , nem sequer que  esteja definida em . Agora,  no caso de  existir (estar definido) e 

diz-se que  é contínua no ponto .

Exemplos 

Consideremos 

à medida que  se aproxima de , i.e busquemos calcular

Neste caso,  está definida em  e é igual ao seu limite:  vejamos:

À medida que  aproxima-se de ,  aproxima-se de  e consequentemente temos

Ou seja,  é contínua no ponto .

Vejamos, agora, o seguinte exemplo de uma função não contínua (descontínua):

O limite de  à medida que  se aproxima de  é  (tal como no exemplo acima), mas 
 
e consequentemente  não é contínua em .

Consideremos, agora, mais o seguinte  exemplo de uma função descontínua:

Apesar de  não estar definida em , pode-se demonstrar (por exemplo, via regra de l'Hôpital) que

Observa-se que  pode ser tomado tão próximo de  quanto quisermos, sem no entanto ser igual a , donde infere-se que o limite de  é .

Definição formal

Sejam  um intervalo de números reais,  e  uma função real definida em  Escrevemos

quando para qualquer que seja  existe um  tal que para todo  satisfazendo  vale . Ou, usando a notação simbólica:

Exemplos de provas de limites

Exemplo 1 

Supondo um 

Dividindo por 3 em ambos os lados:

O que prova o limite com

Exemplo 2 

Supondo um 

E isso completa a prova com

Aproximação intuitiva

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O conceito de limite pode ser aprendido de forma  intuitiva, pelo menos parcialmente.

Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x0 arbitrariamente muito pouco também.

Por exemplo, imaginemos a função:  e imaginando  (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos:
 que nos dá:  ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se aproximem de 1, por exemplo:

 Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96
 Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996
 Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996
 Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998

Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo:

Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por:  nos reais, calcular o limite da função  quando  Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1:
Ou seja, para a resolução fazemos:

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:

Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função  descrita nos exemplo acima, por exemplo:
Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222. Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.

Limites em funções de duas ou mais variáveis
A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o limite exista ou não. A função distância entre os objectos da função, na definição formal anteriormente apresentada para uma variável, dada por  não pode ser utilizada. Neste contexto, surge a necessidade de uma função distância. Nesse caso, a definição de limite é a seguinte:

Seja  uma função do tipo:

Em que  é um vector com  coordenadas e  um número real. Se  for um vector com  coordenadas, então:

Em que  é a função distância.

Exemplo 
Uma função do tipo:

pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.

Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade, ou seja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais).

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem-se dois graus de liberdade. Consequentemente, pode-se ter infinitos caminhos entre dois pontos, o que na verdade influencia o valor do limite.

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele seja independente do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados. Isso é verdade no caso unidimensional, quando os dois limites laterais coincidem. Caso contrário, o limite não existe.

De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:

o limite pode ser testado através de vários caminhos.

Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta função:

Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades (de entre uma infinidade delas):

 o limite através do eixo dos  ou seja,

Nesse caso o limite  L é zero.

 o limite através do eixo dos  ou seja,

Nesse caso, o limite L é também zero.

Poder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa função, o limite nesse ponto é sempre zero, conforme demonstraremos.

Vamos, então,  provar que

Ou seja, provar que

Vamos procurar escrever  em função de  

Se escolhermos  então, pela segunda desigualdade,  o que prova o nosso limite.

Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:

que pode ser provado fazendo-se a aproximação do ponto (0,0) através das parametrizações dadas pelas equações paramétricas:

a função toma a forma

Vê-se, então, que o valor do limite depende do ângulo α pelo qual a reta de parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite não existe nesse ponto para essa função.

Ver também 

Limite de uma função
Lista de limites
Função contínua

Cálculo
Análise matemática
Topologia