Polígono

Em geometria, um polígono é uma figura fechada com lados. A palavra "polígono" vem da palavra em grego "polígonos" que significa ter muitos lados ou ângulos. A definição usada por Euclides para polígono era uma figura limitada por linhas retas, sendo que essas linhas deveriam ser mais de quatro, e figura qualquer região do plano cercada por uma ou mais bordas.

Definição

Linha poligonal 
Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Denotamos uma linha poligonal fornecendo a sequência dos pontos extremos dos segmentos que a formam. Ou seja, a linha poligonal  corresponde a reunião dos segmentos   ...,

Classificação 
Uma linha poligonal  é classificada em:
 aberta - quando os extremos  e  não coincidem;
 fechada - quando os extremos  e  coincidem;
 simples - quando a interseção de qualquer dois segmentos não consecutivos é vazia;
 não-simples - quando não é simples.

Polígono 

Polígono é a região plana limitada por uma linha poligonal fechada. Denotamos um polígono de forma similar a que denotamos uma linha poligonal. Isto é, um polígono  corresponde à região limitada pela reunião dos segmentos   ...,  e  

Na literatura, também encontramos o termo polígono como sinônimo de linha poligonal fechada. Neste caso, a região plana limitada pelo polígono é chamada de seu interior e a união do polígono com seu interior é chamada de região poligonal ou superfície poligonal.

Elementos 
Um polígono  possui os seguintes elementos:
 vértice - extremo de um dos segmentos que formam o polígono, i.e. são vértices os pontos    ..., 
 lado - segmento que forma o polígono, i.e. são lados os segmentos   ...,  e 
 diagonais - segmentos de reta com extremidades em vértices não consecutivos;
 ângulo (interno) - ângulo formado por dois lados consecutivos, i.e. os ângulos   ..., 
 ângulo externo - ângulo suplementar e adjacente a um ângulo interno.

Exemplo 
O polígono  na figura ao lado possui:
 vértices     
 lados     e 
 ângulos internos     
 diagonais     e 
 ângulos externos     e

Perímetro e Área 
O perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados. Sua área é a medida da região poligonal definida pelo polígono.

Classificação

Quanto à linha poligonal 
Um polígono  pode ser classificado em simples, quando sua linha poligonal associada é simples, ou não-simples (ou complexo), quando sua linha poligonal tem cruzamentos entre seus segmentos (conjunto intersecção não-nulo).

Quanto à região poligonal 

Um polígono simples é dito ser convexo quando toda reta determinada por dois de seus vértices consecutivos faz com que todos os demais vértices estejam num mesmo semiplano determinado por ela. Um polígono que não é convexo é dito ser côncavo. Polígonos estrelados são polígonos complexos cujas intersecções de segmentos são equidistantes entre si.

Quanto à congruência 
Um polígono é dito ser equilátero quando todos os seus lados são congruentes. Similarmente, é dito ser equiângulo quando todos os seus ângulos são congruentes. Polígonos convexos equiláteros e equiângulos são chamados de polígonos regulares.

Quanto ao número de lados 

Os polígonos também são classificados quanto ao número de lados. Em geral, um polígono de  lados é chamado de -látero. Entretanto, comumente empregam-se as seguintes nomenclaturas:

Nomenclatura para polígonos com muitos lados 
Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100 lados, basta se combinar os prefixos e os sufixos a seguir:

Exemplo 1 
Um polígono de 42 lados deve ser nomeado da seguinte maneira:

Exemplo 2 
Um polígono de 50 lados da seguinte forma:

Alguns polígonos possuem nomes alternativos, como o miriágono (10.000 lados).

Propriedades 
Podemos observar uma série de relações entre os diversos elementos de um polígono. Aqui, apresentamos algumas destas propriedades.

Vértices e lados 
O número de lados e o número de ângulos de um polígono é igual ao seu número de vértices.

Diagonais 
 De cada vértice de um polígono de  lados, saem  diagonais. Com efeito, um polígono de  lados tem  vértices. De um dado vértice formamos  segmentos de reta com cada um dos outros  vértices. Agora, observamos que dois destes segmentos são lados do polígono, portanto, de cada vértice partem  diagonais.
 O número de diagonais  de um polígono -látero é:  Com efeito, a combinação de seus  vértices dois a dois fornece o número total de segmentos de reta que podem ser construídos usando todos os seus vértices. Deste número,  são lados do polígono e o restante são diagonais, i.e.: 
 Em um polígono convexo de  lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por  De fato,  diagonais partem de cada vértice determinando, com os lados do polígono,  triângulos.

Ângulos 
 A soma das medidas dos ângulos internos  de um polígono convexo de  lados é dada por:  Com efeito, as diagonais que partem de um dado vértice formam  triângulos. Observamos que  é igual a soma dos ângulos internos destes  triângulos, i.e. 
 A soma das medidas dos ângulos externos  de um polígono convexo de  lados é igual a  Com efeito, sejam  e  os respectivos ângulos interno e externo do -ésimo vértice de um polígono -látero. Por definição, temos  para todo  Daí, segue que:  donde, vemos que 
 A medida do ângulo interno  de um polígono regular de  lados é dada por: 
 A medida do ângulo externo  de um polígono regular de  lados é dada por: 
 A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de  lados () é igual a 
 A medida do ângulo central de um polígono regular de  lados () é dada por:

Mitologia 
Segundo Eudoxo, citado por Plutarco, os pitagóricos associavam cada polígono a um (ou mais) deuses. O triângulo pertencia a Hades, Dionísio e Ares, o quadrilátero a Reia, Afrodite, Deméter, Héstia e Hera, o dodecágono a Zeus e o polígono de 56 lados à criatura demoníaca Tifão.

Ver também 
 Poliedro

Ligações externas 
  Geometria: Polígonos e triângulos