Método das diferenças finitas

O método das diferenças finitas (MDF) é um método de resolução de equações diferenciais que se baseia na aproximação de derivadas por diferenças finitas. A fórmula de aproximação obtém-se da série de Taylor da função derivada. Hoje, os MDFs são a abordagem dominante das soluções numéricas de equações diferenciais parciais.

O operador de diferenças finitas para derivada pode ser obtido a partir da série de Taylor para as seguintes funções:

 

Portanto, a derivada primeira pode ser escrita de três formas distintas como uma diferença-quociente mais um termo de erro, obtido ao desprezar-se termos de ordem superior :

 , que é conhecida como fórmula das diferenças progressivas, ou
  , que é conhecida como fórmula das diferenças regressivas, ou ainda
  , que é conhecida como fórmula das diferenças centradas.
 Além disso, é possível obter derivadas de ordem superior. A derivada de segunda ordem é obtida a partir de
 

e é dada por

Método das diferenças finitas para problemas lineares 
A partir das aproximações por diferença-quociente para derivadas de qualquer ordem, é possível transformar equações diferenciais em problemas lineares. Para isso, é necessário ignorar o termo de erro e tornar  um número muito pequeno, mas grande o suficiente para que não cause instabilidades nas aproximações das derivadas.

Resolução de problemas de contorno  
Para uma equação diferencial do tipo , onde  varia de  até ,   e .

A equação é aproximada pelo método das diferenças finitas, com um erro de truncamento igual a , substituindo-se as derivadas pelas suas representações numéricas, que são dadas por:

Como é possível perceber, necessita-se definir um valor para . Este valor pode ser definido pela divisão do intervalo em que se está interessado para a resolução do problema em  intervalos menores. Assim, o valor de  é dado por: .

As extremidades destes subintervalos são dadas por  , para .

Para a resolução do problema, o mesmo é escrito na forma , que após a substituição das derivadas, torna-se:

 , para .

Como   e  , aquela equação pode ser reescrita como

.

Isolando os termos ,  e  na fórmula acima, obtêm-se

A partir desta equação é possível resolver o sistema linear a partir de uma matriz  de coeficientes que multiplica os valores de , sendo que a solução deste sistema é dada por . Esse sistema linear é representado a seguir.

Onde a aproximação para  é dada pelos pontos que são solução do sistema .

Resolução de problemas de valor inicial e o método de Euler 
A partir do método das diferenças finitas também é possível obter o método de Euler, que é usado para obter soluções de problemas de valor inicial bem-posto. Leonhard Euler (1707 - 1783) foi o primeiro matemático de sua época a apresentar o uso do método de diferenças finitas para encontrar aproximações de soluções de equações diferenciais. Entretanto, o método de Euler não é usado na prática, pois possui pouca precisão. Alternativamente a este, são utilizados com maior frequência o método de Euler modificado ou o método de Runge-Kutta para solução de problemas de valor inicial.

Para um dado problema de valor inicial bem posto

,                   ≤  ≤  ,                    .

Divide-se o intervalo  em  subintervalos e define-se que , para . Onde  é o espaçamento da malha.

A partir disto, temos que  , para .

Aproximando a equação diferencial pelo método das diferenças finitas, desprezando-se o termo de erro, temos

, que é usada para 

A equação acima é conhecida como equação de diferença associada ao método de Euler.

O sistema linear é inicializado com  e é de fácil solução.

Método das diferenças finitas para problemas não lineares 
O método das diferenças finitas é análogo ao utilizado para problemas lineares. Entretanto, é utilizado um processo iterativo para a obtenção da solução do problema, que não é linear.

Resolução de problemas de contorno não-lineares 
Para um problema de contorno não-linear geral, dado por  com  variando de  até , e sendo as condições de contorno  e ,

há garantia de solução única se as seguintes condições forem satisfeitas.
  e suas derivadas parciais em relação a  e  são contínuas em  {  ≤  ≤  -  <  <  , -  <  <  };
  > , para um certo  >  ;
 Existem constantes  e  tais que:  é o valor máximo que o módulo da derivada parcial de  em relação a  atinge em  e  é o valor máximo que o módulo da derivada parcial de  em relação a  atinge em .
Como no caso anterior, a aproximação para a equação é obtida quando os termos de erro são desprezados.

Assim,  torna-se  , que com a mesma divisão em intervalos anterior, é dada por  , para .

As condições de contorno são  e .

A partir da equação , para  e das condições de contorno, obtemos um sistema não linear que pode ser resolvido via Método de Newton para sistemas não-lineares. Sendo que o sistema terá solução única se  < . Se a aproximação inicial utilizada no método de Newton for suficientemente próxima da solução e se a matriz Jacobiana do sistema for não-singular, o sistema converge para a solução exata.

Ver também
Mecânica dos fluidos
CFD (Computation Fluid Dynamics)
Diferenciação Numérica

Análise matemática
Diferenças finitas