Varietat diferenciable

Una varietat diferenciable és un espai topològic separat V en el qual hi ha definida una família de funcions reals F = (V), que compleixen les següents condicions: si f és una funció f: V → R tal que per a tot punt p de V existeix una funció q de F que coincideix amb f en un cert entorn de p, aleshores f és de F; si f1, ..., fk són funcions de F, i si F és una funció diferenciable qualsevol sobre l'espai euclidià Rk, aleshores F (fk, ..., fn) pertany a F; per a tot punt p de V existeixen n funcions f1, ..., fn de F tals, que l'aplicació q → [f1(q), ..., fn(q) ] dona un homeomorfisme entre un cert entorn U de p i un obert de Rn.

En geometria i topologia, una varietat diferenciable és un tipus especial de varietat topològica, a la qual podem estendre les nocions de càlcul diferencial que normalment fem servir a .
En una varietat diferenciable M podrem definir el que és una funció diferenciable , i camps de tensors diferenciables (inclosos camps de vectors). L'estudi del càlcul en varietats diferenciables es coneix com a geometria diferencial.

Generalització dels conceptes de corba i superfície 
Una varietat diferenciable representa una generalització, en dos aspectes bàsics, del concepte de superfície diferenciable:

 Suposa la generalització a qualsevol nombre de dimensions. En dimensió 1, una varietat és una corba, en dimensió 2, una superfície, en dimensió 0, un punt.
 Suposa una altra generalització en intentar definir una varietat de manera intrínseca. Per exemple, una corba o una superfície solen descriure embegudes en un espai ambient R³, però es podrien descriure sense fer-hi al·lusió. És més, hi ha casos de varietats de dimensió 2 que no podran veure's embegudes en un espai euclidià de dimensió 3 (però sí de dimensió superior).

Abans de fer la segona generalització, podríem pensar que una varietat és diferenciable, informalment parlant, si cada un dels seus punts té espai tangent, és a dir, no té "pics" ni "fils". Però per fer una definició formal necessitarem que aquesta no faci al·lusió a un possible encastat de la varietat en un espai ambient.

Una mica d'història 
Riemann, al , va observar la importància de definir la noció de varietat d'una manera intrínsec, sense requerir que l'espai topològic subjacent estigués encastat en un espai afí. La definició formal precisa va ser introduïda per primera vegada per Hermann Weyl el 1913.

Les varietats diferenciables apareixen en diversos camps de la física:
 En Relativitat general, l'espai (de dimensió 3) i el temps formen una varietat de dimensió 4 anomenada espaitemps.
 Moltes teories modernes, com la Teoria de cordes, operen en una varietat de dimensió més gran que 4.
 En mecànica clàssica, per descriure la situació d'un sòlid rígid en l'espai es necessiten 6 paràmetres (3 que descriguin la posició del seu centre de masses i altres 3 que corresponen als graus de llibertat rotacional). Una situació concreta d'un sòlid quedarà descrita com un punt en una varietat diferenciable de dimensió 6, que s'anomena espai de configuració del sòlid rígid.

Conceptes previs de varietats topològiques 
Recordem els conceptes de varietat topològica i de cartes:
 Una varietat topològica de dimensió  és un espai topològic  (que sol suposar Hausdorff i ANII) al que per a cada  hi ha un entorn obert  homeomorf a un obert de  mitjançant .
 Un parell  sota aquestes condicions es denomina carta o sistema coordinat sobre  per , i l'aplicació  s'anomena aplicació coordenada per .
 Cada aplicació coordenada es podrà desglossar com un conjunt de n funcions coordenades : en efecte, si per a cada  convenim a representar per  a la funció  que a cada  li fa correspondre  (és a dir, la -èsima coordenada de ), anomenarem a l'aplicació  com la funció coordenada per .

Podríem qüestionar-nos com seria possible determinar si una funció  definida en una varietat topològica és una funció diferenciable. Aparentment seria suficient exigir que , el que ofereix aquest entorn coordinat sigui diferenciable. Però aquesta condició no seria consistent si fem un canvi de carta. En efecte, si observem la seva expressió en una altra carta:
 ,
necessitarem per mantenir la consistència que el canvi de cartes representat per l'últim parèntesi sigui diferenciable. Aquesta exigència és la base de la definició d'estructura diferenciable.

Definició

Estructura diferenciable 
Donada una varietat topològica  i un nombre enter , una estructura diferenciable (o atles maximal)  de classe  sobre  és una família  de sistemes coordenats sobre  de manera que es compleixi que:
 recobreix M, és a dir, ,
donats dos qualsevol  ha de passar que l'aplicació , anomenada canvi de cartes sigui diferenciable d'ordre .
 és maximal (relatiu a l'ordre donat per la inclusió de conjunts) entre totes les famílies d'entorns coordenats sobre  sota les condicions 1 i 2.

Varietat diferenciable 
Es diu que el parell  format per la varietat topològica  de dimensió  i per l'estructura diferenciable  de classe  és una varietat diferenciable de dimensió  i classe .

Hi ha una certa confusió sobre la terminologia varietat diferenciable (sense més especificacions) i varietat suau. En qualsevol cas, per evitar confusions, tots els textos indiquen què entenen per varietat diferenciable.

Subvarietat diferenciable 
És qualsevol subconjunt d'una varietat diferenciable que mitjançant la topologia induïda de la varietat original segueix tenint estructura de varietat diferenciable. En general les subvarietats diferenciables són els subconjunts de punts per als quals és possible definir localment una funció diferenciable f que satisfaci:

Els conjunts no suaus, o que satisfent una equació semblant a l'anterior però on f no fos diferenciable en general no constitueixen subvarietats diferenciables.

Càlcul en varietats

Aspectes que es generalitzen 
Moltes de les tècniques del càlcul multivariable són aplicables mutatis mutandis en varietats diferenciables. Podem definir la derivada direccional d'una funció diferenciable en la direcció marcada per un vector tangent a la varietat. Aquesta derivada es comportarà de manera similar al de la derivada ordinària d'una funció definida en l'espai euclidià, almenys localment: hi haurà versions del teorema de la funció implícita i de la funció inversa.

No obstant això, la derivada direccional d'un camp de vectors no estarà definida de forma directa. Hi ha diverses generalitzacions que capten certes característiques formals de la derivació en espais euclidians. Les principals són:
 La derivada de Lie, que queda definida de forma única per l'estructura diferenciable, però deixa de satisfer alguna de les propietats de la derivada direccional.
 Una connexió afí que no està definida de forma única, per la qual cosa ha de ser especificada com una dada afegit a la varietat. Presenta una generalització més completa de les característiques de la derivada direccional ordinària.

Les idees del càlcul integral també poden estendre's a les varietats diferenciables. Trobareu la seva expressió natural en el llenguatge del càlcul exterior amb formes diferenciables. Teoremes fonamentals del càlcul integral en diverses variables, en particular el teorema de Green, el de la divergència i el de Stokes es generalitzen en un sol teorema anomenat teorema de Stokes.

Vectors tangents en un punt 

En una varietat abstracta, en no considerar embeguda en cap espai ambient, no podrem visualitzar l'espai tangent com un subespai afí de l'ambient. La generalització del concepte d'espai tangent requerirà concebre els vectors tangents com operadors que representen una derivada direccional.

A  podem visualitzar un vector  com un operador  que actua sobre una funció  diferenciable en un entorn qualsevol de p, i ens torna el seu derivada en la direcció marcada per :
 

En els anys 1960 sorgeix la definició axiomàtica de vector tangent en un punt d'una varietat, com a generalització de l'anterior. Un vector  tangent a una varietat serà un operador  que satisfaci:
La condició de linealitat: 
La regla de Leibniz: .

El conjunt de vectors tangents en un punt formen un espai vectorial de la mateixa dimensió que la varietat anomenat espai tangent En pi notat com . En principi, espais tangents en punts diferents no són comparables. Però podem formar amb ells una varietat de dimensió el doble de la dimensió de M, que es dirà fibrat tangent i es notarà com TM. Com a conjunt,

Aplicacions diferenciables 
Una aplicació  es dirà diferenciable si la seva expressió en cartes ho és. Formalment, F és diferenciable si per a tot punt p de M podem trobar una carta  de M que el contingui i una carta  de L que contingui F (p) tals que  sigui diferenciable.

Una aplicació diferenciable indueix un homomorfisme d'espais vectorials  entre els espais tangents respectius. Igual que en el càlcul diferencial ordinari, podrem aproximar un objecte diferenciable (F) per un objecte lineal ().

Relació amb varietats topològiques 
Donada una varietat topològica, ens podem preguntar si s'admetrà sempre una estructura diferenciable  o si aquesta estructura serà única. En primer lloc, segons un teorema a causa de Whitney, en qualsevol varietat amb una estructura  amb k> 0, hi ha una única estructura C∞ compatible amb l'anterior.

L'existència i unicitat està garantida en dimensions menors que 4:
 Tota varietat topològica de dimensió 1, 2, o 3 té una única estructura diferenciable (excepte difeomorfismes).
La situació és diferent en dimensió superior:
 Es coneixen exemples de varietats topològiques que no admeten cap estructura diferenciable (teorema de Donaldson),
 i d'altres que admeten múltiples estructures difeomorfes (fins i tot una quantitat no numerable d'elles).
Alguns exemples:
 Només hi ha una estructura diferenciable (excepte difeomorfismes) sobre  excepte quan n = 4, cas que admet un nombre no numerable d'estructures diferenciables.
 La següent taula mostra el nombre d'estructures diferenciables (mòdul homeomorfismes que conserven l'orientació) sobre la NI esferes per dimensions n < 19. Les esferes amb estructures diferenciables diferents de la usual es coneixen amb el nom d'esferes exòtiques.

Definicions alternatives 
Hi ha almenys dues maneres de definir el que és una varietat diferenciable, ambdues equivalents: per mitjà de parametritzacions o per mitjà d'aplicacions coordenades. La diferència és subtil, però important.

A més, en el cas de espais euclidians hi ha una sèrie de definicions equivalents que són més senzilles que en el cas general.

Definició mitjançant parametritzacions . 
Sigui  un conjunt (en principi podria ser buit, però és un cas trivial),  i  dos nombres enters, una família  en la qual cada  és un obert i cada  un aplicació injectiva, de manera que es compleixi que:
,
daus qualssevol dos  de manera que  ha de passar que  i  són oberts de  i l'aplicació  és diferenciable d'ordre  a  (ie, ).

sota aquestes condicions, cada parell  de manera que  s'anomena una carta local o sistema de coordenades de  a ,  s'anomena parametrització de  per ,  s'anomena entorn coordinat de , i la família  és denominada una atles sobre . Si un atles  és maximal (relatiu a l'ordre donat per la inclusió de conjunts) entre tots els atles sobre  (per descomptat sota les condicions 1 i 2, ja que d'altra manera no seria atles) es diu que l'atles  és una estructura diferenciable sobre .

El conjunt  (on aquí  representa la topologia del conjunt ) no és altra cosa que la topologia final En  per a la família . Quan es pren una estructura diferenciable  sobre  i la topologia final a  per aquesta estructura diferenciable fa de  un espai topològic que compleix el segon axioma de numerabilitat i la propietat de Hausdorff, llavors es diu que el parell  format pel conjunt  i l'estructura diferenciable  sobre  és una varietat topològica de dimensió  i classe . Quan a més , llavors es diu que  és una varietat diferenciable (de dimensió  i classe ).

Definicions en espais euclidians 
Hi ha almenys quatre maneres (totes equivalents entre si) de definir una varietat diferencial quan se les considera com a subconjunts d'un espai euclidià. Cadascuna d'elles és útil, i depenent del context o de la dificultat del problema es farà servir una o altra, o fins i tot es combinaran diverses a la vegada.

 Representació implícita d'una varietat diferenciable Sigui  un espai euclidià de dimensió  i sigui . Direm que  és una varietat diferenciable en  de dimensió  (on  és un nombre enter) i classe  (on  és un nombre sencer) si per a cada  hi ha un entorn obert  de  i una aplicació  de manera que:
 és de classe  sobre  (és a dir, ),
la matriu jacobiana de  té rang  (és a dir, ),
.

A la igualtat  l'anomenarem representació implícita local de la varietat  al punt , o simplement direm que la varietat ve donada implícitament per  a .

Si hi ha un obert  i una aplicació  (on  és un nombre enter) de manera que , a la igualtat  s'anomena representació implícita global de la varietat, o es diu simplement que la varietat ve donada implícitament per . En aquest cas podem prendre com a representació implícita local per cada punt de  l'obert  i l'aplicació .

 Representació explícita d'una varietat diferenciable

Sigui  un espai euclidià de dimensió  i sigui . Direm que  és una varietat diferenciable en  de dimensió  (on  és un nombre enter) i classe  (on  és un nombre sencer) si per a cada  hi ha:
una base  de ,
un obert  de , on es defineix el subespai  com l'espai generat per ,
un obert  de , on es defineix el subespai  com l'espai generat per ,
una aplicació  de classe r sobre V (és a dir, ) de manera que  i .

L'última condició equival a dir que  és la gràfica  de . A la igualtat , o simplement a l'aplicació , se l'anomena representació explícita local de la varietat  al punt . Si hi ha una única aplicació  tal que , llavors  s'anomena representació explícita global de la varietat.

 Representació difeomórfica local d'una varietat diferenciable

Sigui  un espai euclidià de dimensió  i sigui . Direm que  és una varietat diferenciable en  de dimensió  (on  és un nombre enter) i classe  (on  és un nombre sencer) si per a cada  hi ha un entorn obert  de  i una aplicació  de manera que:
 és un difeomorfismo de classe  entre  i la seva imatge (és a dir,  és injectiva),
.

A l'aplicació  l'anomenarem representació difeomórfica local de la varietat  al punt .

Cal observar que, a conseqüència de ser  difeomorfismo local i  obert,  és també un obert de .

 Representació paramètrica d'una varietat diferenciable

Sigui  un espai euclidià de dimensió  i sigui . Direm que  és una varietat diferenciable en  de dimensió  (on  és un nombre enter) i classe  (on  és un nombre sencer) si per a cada  hi ha un entorn obert  de , un obert no buit , un element  i una aplicació  de manera que:
,
la jacobiana  de  a  és injectiva,
 és un Homeomorfisme de classe  sobre  (és a dir,  és contínua, oberta i injectiva) entre  i  (amb la topologia relativa).

A l'aplicació  l'anomenarem representació paramètrica local de la varietat  al punt .

Vegeu també 
 Varietat (matemàtiques)

Bibliografia 
 John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
 Roger Penrose: El camí de la realitat, Ed Debate, Barcelona, 2006, p. 464, .
 Michael Spivak, Càlcul en varietats. Reverté (1988), 
 Michael Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, volume I, Publish or Perish, Inc, Houston, Texas, 1999, .

Geometria diferencial