Moment angular

El moment angular o moment cinètic és una magnitud física important en totes les teories físiques de la mecànica, des de la mecànica clàssica a la mecànica quàntica, passant per la mecànica relativista. La seva importància en totes aquestes es deu al fet que està relacionada amb les simetries rotacionals dels sistemes físics. Sota certes condicions de simetria rotacional dels sistemes, és una magnitud que es manté constant en el temps a mesura que el sistema evoluciona, la qual cosa dona lloc a una llei de conservació coneguda com a llei de conservació del moment angular.

Aquesta magnitud té, respecte a les rotacions, un paper anàleg al moment lineal en les translacions.

També s'anomena moment cinètic, però per influència de l'anglès angular momentum avui són freqüents moment angular i altres variants com quantitat de moviment angular o ímpetu angular.

Moment angular en mecànica clàssica 
En mecànica newtoniana, el moment angular d'una massa puntual és igual al producte vectorial del vector de posició (braç) de l'objecte en relació a la recta considerada com a eix de rotació, per la quantitat de moviment (també anomenat moment lineal o moment). Freqüentment, se'l designa amb el símbol :

En absència de moments de forces externs, el moment angular d'un conjunt de partícules, d'objectes o de cossos rígids es conserva. Això és vàlid tant per a partícules subatòmiques com per a galàxies.

Moment angular d'una massa puntual 

En el dibuix de la dreta, veiem una massa  que es desplaça amb una velocitat instantània . El moment angular d'aquesta partícula, respecte a la recta perpendicular al pla que conté  i  és, com ja s'ha escrit:

El vector  és perpendicular al pla que conté  i , per tant, és paral·lel a la recta considerada com a eix de rotació. En el cas del dibuix, el vector moment angular surt del dibuix i va cap a l'observador. Vegeu producte vectorial i regla de la mà dreta.

El mòdul del moment angular és:

És a dir, el mòdul és igual al moment lineal multiplicat pel seu braç ( en el dibuix), el qual és la distància entre l'eix de rotació i la recta que conté la velocitat de la partícula. Per aquesta raó, alguns designen el moment angular com el "moment del moment".

Dependència temporal 
Derivem el moment angular respecte del temps:

El primer dels parèntesis és zero, ja que la derivada de  respecte del temps no és altra cosa que la velocitat . I com el vector velocitat és paral·lel al vector quantitat de moviment , el producte vectorial dels dos és zero.

Ens queda el segon parèntesi:

en què  és l'acceleració. Però , la força aplicada a la massa. I el producte vectorial de  per la força és el parell o moment de força aplicat a la massa:

La derivada temporal del moment angular és igual al moment de força aplicat a la massa puntual.

Moment angular d'un conjunt de partícules puntuals 

El moment angular d'un conjunt de partícules és la suma dels moments angulars de cadascuna:

La variació temporal és:

El terme de la dreta és la suma de tots els parells produïts per totes les forces que actuen sobre les partícules. Una part d'aquestes forces pot ser d'origen extern al conjunt de partícules. Una altra part poden ser forces entre partícules. Però cada força entre partícules té la seva reacció, que és igual però de direcció oposada i col·lineal. Això vol dir que els parells produïts per cadascuna de les forces d'un parell acció-reacció són iguals i de signe contrari i que la seva suma s'anul·li. És a dir, la suma de tots els parells d'origen intern és zero i no pot fer canviar el valor del moment angular del conjunt. Només queden els moments de força externs:

El moment angular d'un conjunt de partícules es conserva en absència de parells. Aquesta afirmació és vàlida per a qualsevol conjunt de partícules: des de nuclis atòmics fins a grups de galàxies.

Moment angular d'un sòlid rígid 
Tenim que en un sistema inercial l'equació de moviment és: 

en què:
  és la velocitat angular del sòlid.
  és el tensor d'inèrcia del cos.

Ara bé, normalment, per a un sòlid rígid el tensor d'inèrcia  depèn del temps i, per tant, en el sistema inercial generalment no existeix un anàleg de la segona llei de Newton, i llevat que el cos giri al voltant d'un dels eixos principals d'inèrcia, passa que: 

En què  és l'acceleració angular del cos. Per això, resulta més útil plantejar les equacions de moviment en un sistema no inercial format pels eixos principals d'inèrcia del sòlid; així s'aconsegueix que , encara que llavors és necessari comptar amb les forces d'inèrcia:

Que resulta ser una equació no lineal a la velocitat angular.

Conservació del moment angular clàssic 
Quan la suma dels parells externs és zero , hem vist que:

Això vol dir que . I com que  és un vector, és constant tant en mòdul com en direcció.

Considerem un objecte que pot canviar de forma. En una d'aquestes formes, el seu moment d'inèrcia és  i la seva velocitat angular . Si l'objecte canvia de forma (sense intervenció d'un parell extern), i la nova distribució de masses fa que el seu nou moment d'inèrcia sigui , la seva velocitat angular canviarà de tal manera que:

En alguns casos, el moment d'inèrcia es pot considerar un escalar. Llavors, la direcció del vector velocitat angular no canviarà. Només canviarà la velocitat de rotació.

Hi ha molts fenòmens en els quals la conservació del moment angular té molta importància. Per exemple:
 En totes les arts i els esports en els quals es fan voltes, piruetes, etc. Per exemple, per fer una pirueta, un ballarí o un patinador prenen impuls amb els braços i una cama estesa de manera que augmentin els seus moments d'inèrcia al voltant de la vertical. Després, tancant els braços i la cama, disminueixen els seus moments d'inèrcia, la qual cosa augmenta la velocitat de rotació. Per acabar la pirueta, l'extensió dels braços i una cama permet de disminuir la velocitat de rotació. El mateix per al salt de plataforma o el trampolí.
 Per a controlar l'orientació angular d'un satèl·lit o sonda espacial. Com es pot considerar que els parells externs són zero, el moment angular i, després, l'orientació del satèl·lit no canvien. Per canviar aquesta orientació, un motor elèctric fa girar un volant d'inèrcia. Per conservar el moment angular, el satèl·lit es posa a girar en el sentit oposat. Un cop en la bona orientació, n'hi ha prou amb aturar el volant d'inèrcia, la qual cosa para el satèl·lit. També s'utilitza el volant d'inèrcia per a aturar les petites rotacions provocades pels petits parells inevitables, com el produït pel vent solar.
 Algunes estrelles es contrauen i es converteixen en púlsars (estrella de neutrons). El seu diàmetre disminueix fins a uns quilòmetres, el seu moment d'inèrcia disminueix i la seva velocitat de rotació augmenta enormement. S'han detectat púlsars amb períodes rotació de tan sols uns mil·lisegons.
 A causa de les marees, la Lluna exerceix un parell sobre la Terra. Aquest disminueix el moment angular de la Terra i, a causa de la conservació del moment angular, el de la Lluna augmenta. En conseqüència, la Lluna augmenta la seva energia allunyant-se de la Terra i disminuint la seva velocitat de rotació (però augmentant el seu moment angular). La Lluna s'allunya i els dies i els mesos lunars s'allarguen.

Referències

Vegeu també 
 Parell de forces.
 Teorema del moment angular.
 Constant de Dirac.
 Constant de Planck.
 Espín.
 Moment angular relatiu específic.

Bibliografia 

 Joaquim Agulló i Batlle, Mecànica de la partícula i del sòlid rígid, Publicacions OK Punt, 1995, .

Magnituds físiques
Física clàssica
Mecànica quàntica
Mecànica