Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es aquella que tiene la expresión general:

donde  es la variable, y ,  y  constantes;  es el coeficiente cuadrático (distinto de cero),  el coeficiente lineal y  es el término independiente. Este polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola. Esta representación gráfica es útil, porque las abscisas de las intersecciones o punto de tangencia de esta gráfica, en el caso de existir, con el eje  son las raíces reales de la ecuación. Si la parábola no corta el eje  las raíces son números complejos. El primer coso (raíces reales) corresponde a un discriminante positivo, y el segundo (raíces complejas) a uno negativo.

Historia 
Las ecuaciones de segundo grado y su solución de las ecuaciones se conocen desde la antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla. Fue encontrado independientemente en otros lugares del mundo. En Grecia, el matemático Diofanto de Alejandría aportó un procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones (aunque su método solo proporcionaba una de las soluciones, incluso en el caso de que las dos soluciones sean positivas). La primera solución completa la desarrolló el matemático Al-Juarismi (o Al-Khwarizmi según otras grafías), en el siglo IX en su trabajo Compendio de cálculo por reintegración y comparación, cerrando con ello un problema que se había perseguido durante siglos. Basándose en el trabajo de Al-Juarismi, el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, discute la solución de estas ecuaciones.
Hay que esperar a Évariste Galois para conseguir resolver en general las ecuaciones polinómicas, o saber cuándo son irresolubles por radicales, que viene a ser una generalización de los métodos de resolución de las ecuaciones de segundo grado.

La primera gran dificultad pudo surgir en la solución de ecuaciones cuadráticas se dio con la ecuación  en la época de los pitagóricos, al calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 ya que no se podía expresar la raíz cuadrada de dos como razón de dos números enteros.

En el Renacimiento al resolver  que requiere hallar un número real cuyo cuadrado sea -1, se superó con la construcción de números imaginarios y la invención de la unidad imaginaria i, definida mediante la igualdad .

Soluciones de la ecuación de segundo grado 
Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Fórmula general para la obtención de raíces:

Se usa ± para indicar las dos soluciones:

{|
|-
|
| style="width:100px" align="center" | y
|
|}

Naturaleza de las raíces según el discriminante 
El discriminante es  y sirve para analizar la naturaleza de las raíces que pueden ser reales o complejas.

■ : dos raíces reales distintas. la parábola corta el eje de las abscisas en dos puntos diferentes.
 
■ : una raíz real, pero de multiplicidad dos o doble. La parábola solo toca en un único punto al eje de las abscisas.

■ : dos raíces complejas conjugadas. La parábola no corta al eje de las abscisas.
 
donde i es la unidad imaginaria.

Coeficiente principal uno en  la ecuación completa 
Cuando el término principal o cuadrático no tiene  el coeficiente expreso, se sobreentiende que es 1, la ecuación se escribe:  , cuyas raíces son:

La ecuación cuadrática también se puede resolver con un cambio de variable. Consideremos la ecuación de segundo grado  . Haciendo el cambio de variable  , se puede buscar  para hacer que el coeficiente de  en la cuadrática que resulte sea cero y que la ecuación se simplifique a una de la forma  . (En la práctica, si es fácil de ver, este método se simplifica apelando a las fórmulas de Vieta: el coeficiente de la  es la suma de las raíces cambiada de signo y  es su multiplicación). 
 
Ejemplo: Resolver la ecuación  
 
Solución: Como las raíces, digamos  suman 10, si a cada una le resto 5 podremos lograr transformar la ecuación original en una que no tenga término en . Ello sugiere el cambio de variable    que hace  . Este cambio de variable resulta en la ecuación simplificada    de solución 3 y su opuesto. Dado que    encontramos las soluciones  restando y sumando, respectivamente, 3 al 5:  ,  .

Ecuaciones incompletas

Sin término independiente 
Son de la forma:

cuyas raíces son:

esto es:

Sin término lineal 
Son de la forma , cuyas raíces son reales opuestos o imaginarios puros opuestos.

Completa con coeficiente lineal par 
En este caso aparece como coeficiente del término de primer grado un número par  y la ecuación es , siendo las raíces

Completa reducida con coeficiente lineal par 
En este caso el coeficiente principal es 1; el coeficiente lineal es par y asume la forma  cuyas raíces son

Ecuación bicuadrada 
Estas son un caso particular de la ecuación de cuarto grado. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencias. Su forma polinómica es:

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable  
Con lo que  queda: 
El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula: 

Al deshacer el cambio de variable aparecen las cuatro soluciones:

Ecuación bicuadrada simétrica 
Una ecuación bicuadrada simétrica asume la forma:

Ecuación bicuadrada antisimétrica
Cuando el primer coeficiente y el término independiente son opuestos

Relaciones de raíces y coeficientes 
Partiendo de que tenemos una ecuación cuadrática con raíces , podemos construir el binomio a partir de estas con:
 
 
 
 

De lo que se deduce:

Suma de raíces

Producto de raíces

Observación:

En el caso de la ecuación  se tiene

Relación entre la fórmula general y la proporción áurea 
solo en la solución real, si en la fórmula general el valor de las variables es el siguiente o se presenta el siguiente caso en que:

entonces la fórmula general dará como resultado el número áureo

Ecuación trinomia de grado par
Es una ecuación de la forma:

donde usualmente:

, 

 

Para resolver se hace la sustitución: de lo siguiente

con lo que resulta la ecuación original como:

 

Finalmente de:

se hallan los valores de  mediante:

con seguridad, en el campo de los números complejos, hay  raíces.

Véase también 
 Completar el cuadrado
 Función cuadrática

 Ecuación de primer grado

 Ecuación de tercer grado
 Ecuación de cuarto grado
 Ecuación de quinto grado
 Ecuación de sexto grado
 Ecuación de séptimo grado
 Ecuación de octavo grado

Referencias

Enlaces externos 
 Ecuaciones de segundo grado y bicuadradas. Ejercicios de matemáticas.
 Ecuaciones cuadráticas. Disfruta las matemáticas, Pierce, Rod.
 La ecuación de segundo grado, en descartes.cnice.mec.es
 Vídeo explicativo de la ecuación cuadrática
 Calculadora Ecuación de segundo grado

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Ecuación de 2º grado