Identidad de Euler

[[Archivo:ExpIPi.gif|300px|thumb|right|Función exponencial ez puede definirse como el límite de una secuencia , con N tendiendo a infinito, y así e iπ es el límite de . Cada fotograma de esta animación muestra números {{nowrap|(1 + iπ/N)<sup>k'</sup>}}, donde k va de 0 a N y N toma varios valores crecientes de 1 a 100.]]
En matemáticas, la identidad de Euler es la igualdad:

donde:

 es el número de Euler, la base de los logaritmos naturales 

 es la unidad imaginaria, que por definición satisface 

 es el número pi, es la relación constante entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en geometría euclidiana.

 es el número uno, el elemento neutro de la multiplicación, y la división.

 es el número cero, el elemento neutro entre la suma y la resta.

Esta identidad es considerada una belleza matemática por vincular distintas áreas de esa ciencia formal que parecen distintas y sin relación alguna a simple vista.

Belleza matemática
La identidad de Euler se cita a menudo como ejemplo de belleza matemática profunda. Tres de las operaciones aritméticas básicas ocurren exactamente una vez cada una: suma, multiplicación y exponenciación. La identidad también relaciona cinco constantes matemáticas fundamentales:
 El número 0, la identidad aditiva.
 El número 1, la identidad multiplicativa.
 El número  ( = 3,1415...), la  constante del círculo fundamental.
 El número  ( = 2,718...), también conocido como número de Euler, que aparece ampliamente en análisis matemático.
 El número , la unidad imaginaria de los números complejos.

Además, la ecuación se da en forma de una expresión puesta igual a cero, lo cual es una práctica común en varias áreas de las matemáticas.

El profesor de matemáticas Keith Devlin de la Universidad de Stanford ha dicho: "Como un soneto de Shakespeare que capta la esencia misma del amor, o una pintura que pone de manifiesto la belleza de la forma humana que es mucho más que la piel, la ecuación de Euler llega hasta lo más profundo de la existencia". Y Paul Nahin, profesor emérito de la Universidad de New Hampshire, que ha escrito un libro dedicado a la fórmula de Euler y sus aplicaciones en el análisis de Fourier, describe la identidad de Euler como "de una belleza exquisita"..

La escritora de matemáticas Constance Reid ha opinado que la identidad de Euler es "la fórmula más famosa de todas las matemáticas". Y Benjamin Peirce, un filósofo, matemático y profesor de la Universidad de Harvard estadounidense del , tras demostrar la identidad de Euler durante una conferencia, afirmó que la identidad "es absolutamente paradójica; no podemos entenderla, y no sabemos lo que significa, pero la hemos demostrado, y por lo tanto sabemos que debe ser la verdad".

Una encuesta entre los lectores realizada por The Mathematical Intelligencer en 1990 nombró la identidad de Euler como el teorema más bello de las matemáticas. En otra encuesta entre los lectores realizada por Physics World en 2004, la identidad de Euler empató con las ecuaciones de Maxwell (del electromagnetismo) como la "mayor ecuación de la historia"..

Se han publicado al menos tres libros de matemática popular sobre la identidad de Euler:La Fabulosa Fórmula del Dr. Euler: Cures Many Mathematical Ills, de Paul Nahin (2011).Una ecuación de lo más elegante: La fórmula de Euler y la belleza de las matemáticas, de David Stipp (2017).La ecuación pionera de Euler: El teorema más bello de las matemáticas, de Robin Wilson (2018).

 Explicación 

La identidad se deduce a partir de un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que

 

para cualquier número real x, con los argumentos de las funciones trigonométricas sen y cos expresados en radianes. En particular si

 

entonces

 

y ya que 

 

y que

se sigue que

 

Lo cual implica la identidad

 

Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

 
en el desarrollo polinómico de e a la potencia x:
 
para obtener:
 
simplificando (usando ):
 
Al separar el segundo miembro de la ecuación en subseries real e imaginarias:
 

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

 Logaritmos de números negativos 

El logaritmo natural de un número complejo , donde , se define como: 

Donde  es:

Notar que con esta definición, arg(z) está en el intervalo  (el argumento en este intervalo es conocido como el "valor principal del argumento" o simplemente "argumento principal"). Esta definición no es la única posible, ya que se pudo haber definido en  [0, 2π), etc.

Para logaritmos de otras bases, se tiene la siguiente relación mediante "cambio de base" :

 

Por ejemplo :

Y también se cumple:

.

Lo anterior se puede deducir de la definición. También se puede obtener  a partir de la identidad de Euler, pero no es la razón de la deducción de ln(-1). Este detalle se explicará a continuación.

Se sabe que , pero también es cierto que  y . De hecho en general:

El error que se puede cometer aquí, es que si , entonces a = b. Lo anterior es válido si a y b son números reales, pero en complejos esto no se siempre se cumple. Por ende si bien  , no es cierto que . De esta forma, se puede ver que:

.

Antes se mencionó que si se puede obtener  con la identidad de Euler, pero no es recomendable hacerlo, porque se puede cometer errores como lo descrito más arriba, ya que no siempre se cumple el hecho de que si  entonces a = ln(b).

Otro error es lo siguiente:

.

El error aquí ocurre en . Esto último no es correcto  y el motivo es que 

.

Porque  solo se cumple de manera general si a es positivo. Por un lado , pero   no es real, puesto que ln(-e) no es un número real.

 Identidad aumentada 

El número áureo (también llamado número de oro) es un número irracional, representado por la letra griega φ (phi) o Φ (Phi) = 1,61803398874988.... 

Una de sus propiedades es:

Por tanto:   

Reemplazando '1' en la identidad de Euler, , se tiene:

Por tanto:

Ordenando los términos de la ecuación queda:

De esta manera se relacionan seis números muy utilizados, cinco operaciones de las matemáticas y la ecuación cuadrática.

Interpretación geométrica
Cualquier número complejo  puede ser representado por el punto  en el plano complejo. Este punto también puede representarse en Coordenadas polares como , donde r es el valor absoluto de z (distancia desde el origen), y  es el argumento de z (ángulo en sentido antihorario desde el eje x positivo). Por las definiciones de seno y coseno, este punto tiene coordenadas cartesianas de , lo que implica que . Según la fórmula de Euler, esto equivale a decir .

La identidad de Euler dice que . Puesto que  es  para r = 1 y , esto puede interpretarse como un hecho sobre el número -1 en el plano complejo: su distancia al origen es 1, y su ángulo desde el eje positivo x es  radianes.

Además, cuando cualquier número complejo z es multiplicado por , tiene el efecto de girar z en sentido antihorario un ángulo de  en el plano complejo. Puesto que la multiplicación por -1 refleja un punto a través del origen, la identidad de Euler puede interpretarse como que girar cualquier punto  radianes alrededor del origen tiene el mismo efecto que reflejar el punto a través del origen.  Del mismo modo, si  es igual a  se obtiene la ecuación  que puede interpretarse como que girar cualquier punto un [[ángulo]|giro]] alrededor del origen lo devuelve a su posición original.
 Generalizaciones 
La identidad de Euler es también un caso especial de una identidad más general: la suma de raíces de la unidad de grado n, si n > 1 es igual a 0 

La identidad de Euler es el caso cuando n=2

En otra área de las matemáticas, utilizando la exponenciación de  cuaterniones , se puede demostrar que una identidad similar también se aplica a los cuaterniones. Sean } elementos básicos. Entonces

En general, si se dan , ,   reales tales que a  , entonces

Para octonions , con an real tal que   , y con 

Historia 
Si bien la identidad de Euler es un resultado directo de la fórmula de Euler, publicada en su obra monumental de análisis matemático en 1748, Introductio in analysin infinitorum, es cuestionable si el concepto particular de vincular cinco constantes fundamentales en una forma compacta se puede atribuir al propio Euler, ya que es posible que nunca lo haya expresado.

Robin Wilson afirma lo siguiente.

 Véase también 
 Leonhard Euler
 Fórmula de Euler
 Fórmula de De Moivre
 Número áureo

 Referencias 

 

Fuentes
 Conway, John H., y Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer 
 Crease, Robert P. (10 May 2004), "The greatest equations ever", Physics World [registration required]
 Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America 
 Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Leipzig: B. G. Teubneri
 Kasner, E., and Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster
 Maor, Eli (1998), : The Story of a number, Princeton University Press 
 Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press 
 Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics, Penguin Books 
 Reid, Constance (various editions), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
 Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits, Mathematical Association of America 

 Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (New York: Penguin, 2004).
 Reid, Constance, From Zero to Infinity'' (Mathematical Association of America, various editions).
 Sandifer, Ed, "

Enlaces externos
 Demostración completa de la identidad de Euler
 Euler's Greatest Hits", MAA Online, February 2007.

Π
Análisis matemático
Euler
Exponenciales
Euler, identidad
Leonhard Euler