Monoide

En álgebra abstracta, un monoide es una estructura algebraica con una operación binaria, que es asociativa y tiene elemento neutro, es decir, es un semigrupo con elemento neutro.

Definición formal 
Un monoide  es una estructura algebraica en la que  es un conjunto y   es una  operación binaria interna en :
 

Que cumple las siguientes tres propiedades (la primera es redundante con la definición):

Es fácil demostrar que el elemento neutro es necesariamente único por lo que es redundante exigir su unicidad en este axioma o propiedad. En esencia, un monoide es un semigrupo con elemento neutro.

Conmutatividad 
Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Se dice que es un monoide conmutativo o abeliano.

Ejemplos

Concatenación de cadenas alfanuméricas 

Dado un conjunto A de caracteres alfanuméricos, que llamaremos alfabeto, una cadena alfanumerica del alfabeto A es una secuencia de elementos de A en cualquier orden y de cualquier longitud, si tomas el conjunto como:
 

Cadenas del alfabeto A, que representamos C(A) pueden ser:
 
 
 
 

La cadena vacía, la que no tiene ningún carácter, sería:
 

Definimos la operación  de concatenación de cadenas del alfabeto A como:
 

que podemos representar, de las siguientes formas:
 

 

podemos ver que  tiene estructura algebraica de monoide:

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos cadenas del alfabeto A su concatenación es una cadena de A:
 .

2.- Es asociativa:
 

3.- Tiene elemento neutro: para todo elemento a cadena de caracteres de A, existe la cadena vacía  de A, de modo que:
 

La concatenación de cadenas de caracteres no es conmutativa:
 

Siendo a, b de C(A) la concatenación de a con b no es igual a la concatenación de b con a.

Luego la concatenación de cadenas alfanuméricas es un monoide no conmutativo.

Multiplicación de números naturales 
Partiendo del conjunto de los números naturales:
 

y la operación multiplicación, podemos ver que:  es un monoide

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos números naturales su multiplicación es un número natural:
 .

2.- Es asociativa:
 

3.- Tiene elemento neutro: el 1 en N es neutro para todos los números naturales ya que cumple:
 

4.- La multiplicación de números naturales es conmutativa:
 

El conjunto de los números naturales, bajo la operación multiplicación: , tiene estructura algebraica de monoide conmutativo o abeliano.

En la teoría de categorías

Definición como categoría 
Un monoide también se puede ver como un tipo particular de categoría. Concretamente, un monoide se puede definir como una categoría con un único objeto.

Dados una categoría  y un objeto suyo , todos los morfismos de  en  forman un conjunto . Sobre este conjunto, la composición de morfismos define una operación binaria interna. Debido a los axiomas de la teoría de categorías, la composición de morfismos es asociativa y debe existir un morfismo identidad , por lo que el conjunto  equipado con la composición de morfismos constituye un monoide.

De esta forma, toda categoría con un único objeto  da lugar a un monoide al tomar el conjunto de morfismos . También es posible ir en la dirección opuesta y definir, a partir de un monoide , una categoría con un único objeto  tal que , justificando así la definición alternativa de monoide en términos de categorías.

Categoría monoidal 

Una categoría monoidal es una categoría , equipada con un bifuntor , que satisface propiedades análogas a las de la operación binaria en un monoide.
Dos ejemplos son:
 La categoría de conjuntos con la unión disjunta de conjuntos y el conjunto vacío como elemento neutro.
 La categoría  de los espacios vectoriales sobre un cuerpo  junto con el producto tensorial de espacios vectoriales y a  como el elemento neutro.

Véase también

Referencias

Bibliografía

Enlaces externos 
 Enciclopedia Libre Universal en Español: Monoide
 

Álgebra abstracta
Teoría de categorías
Estructuras algebraicas