Álgebra booliana

Em álgebra abstrata, álgebras boolianas (ou álgebras de Boole) são estruturas algébricas que "captam as propriedades essenciais" dos operadores lógicos e de conjuntos, ou ainda oferecem uma estrutura para se lidar com "afirmações", são assim denominadas em homenagem ao matemático George Boole.

História 

O termo "álgebra booliana" é uma homenagem a George Boole, um matemático inglês autodidata. Boole introduziu o sistema algébrico, inicialmente, em um pequeno panfleto, o The Mathematical Analysis of Logic, publicado em 1847, em resposta a uma controvérsia em curso entre Augustus De Morgan e William Hamilton, e mais tarde como um livro mais substancial,  The Laws of Thought, publicado em 1854. A formulação de Boole difere das descritas acima em alguns aspectos importantes. Por exemplo, a conjunção e a disjunção em Boole não era um duplo par de operações. A álgebra booliana surgiu na década de 1860, em artigos escritos por William Jevons e Charles Sanders Peirce. A primeira apresentação sistemática de álgebra booliana e reticulados distributivos é devido ao 1890 Vorlesungen de Ernst Schröder . O primeiro tratamento extensivo de álgebra booliana em inglês foi em 1898 na Universal Algebra de Whitehead.

Definição 
Uma álgebra booliana é uma 6-upla  consistindo de um conjunto  munido de duas operações binárias  (também denotado por , é geralmente chamado de "ou") e  (também denotado por  ou por , é geralmente chamado de "e"), uma operação unária  (também denotada por  ou por uma barra superior, é geralmente chamado de "não"), e duas constantes  (também denotada por  ou por , geralmente chamado de "zero" ou de "falso") e  (também denotada por  ou por , geralmente chamado de "um" ou de "verdadeiro"), e satisfazendo os seguintes axiomas, para quaisquer :

Alguns autores também incluem a propriedade , para evitar a álgebra booliana com somente um elemento.

Exemplos 
 O exemplo mais simples de álgebra booliana com mais de um elemento é o conjunto  munido das seguintes operações:

 Um outro exemplo de álgebra booliana é o conjunto  (o elemento  é geralmente chamado de "desconhecido" ou de "talvez") munido das seguintes operações:

 Dado um conjunto , o conjunto  das partes de  munido das operações , , , e onde  e , é uma álgebra booliana.

 O intervalo  munido das operações , , e , é uma álgebra booliana. Essa álgebra booliana recebe o nome de lógica fuzzy.

Teoremas 
Dado uma álgebra booliana sobre , são válidos para quaisquer :

Propriedades Idempotentes
 
 

Dupla Negação
 

Leis de De Morgan
 
 

Leis de Absorção
 
 

Elementos Absorventes
 
 

Negações do Zero e do Um
 
 

Definições alternativas da operação binária  (também denotado por , é geralmente chamado de "xor" ou de "ou exclusivo")

Ordem 
Dado uma álgebra booliana sobre , é válido para quaisquer :
  se e somente se 

A relação  definida como  se e somente se uma das duas condições equivalentes acima é satisfeita é uma relação de ordem em . O supremo e o ínfimo do conjunto  são  e , respectivamente.

Homomorfismos e isomorfismos 
Um homomorfismo entre duas álgebras boolianas  e  é uma função  que para quaisquer :
 
 
 
 
Uma consequência é que .

Um isomorfismo entre duas álgebras boolianas  e  é um homomorfismo bijetor entre  e . O inverso de um isomorfismo é um isomorfismo. Se existe um isomorfismo entre  e , dizemos que  e  são isomorfos.

Ver também 
 Reticulado
 Ultrafiltro
 Princípio do terceiro excluído
 Números binários
 Lógica binária
 Tabela verdade
 Função booliana
 Circuito digital
 Forma canónica
 Sistema formal
 Mapa de Karnaugh
 Diagrama de Venn
 Álgebra de Heyting

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