Função (matemática)

Uma função é uma relação de um conjunto  com um conjunto . Denotamos uma função por   onde  é o nome da função,  é chamado de domínio,  é chamado de contradomínio e  expressa a lei de formação (relação) dos elementos,  com os elementos  Considerando o conjunto de pares ordenados  de  x , teremos uma relação entre os elementos de  e de  ou, simplesmente, relação binária de  em . Para cada elemento do domínio, existirá um único correspondente no contradomínio, esse correspondente é conhecido como imagem. De acordo com suas características, as funções são agrupadas em várias categorias, entre as principais temos: função trigonométrica, função afim (ou função polinomial do 1° grau), função modular, função quadrática (ou função polinomial do 2° grau), função exponencial, função logarítmica, função polinomial, dentre inúmeras outras.

Conceito 
As funções são definidas por relacionar constantes e variáveis para descrever fenômenos naturais e tecnológicos, estudadas em diversas áreas do conhecimento. Deve-se notar que as palavras "função", "mapeamento", "mapa" e "transformação" são geralmente usadas como termos equivalentes. Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem função como uma quantidade dependendo de outra. Em  1673, essa ideia foi formaliza por Leibniz, quando cunhou o termo para indicar a dependência de uma quantidade em relação a uma outra. Além disso pode-se ocasionalmente se referir a funções como "funções bem definidas" ou "funções totais". O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de fórmula matemática. As funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois elementos. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento  (às vezes denominado variável independente) a um único valor da função  (também conhecido como variável dependente). Isto pode ser feito através de uma equação, um relacionamento gráfico, diagramas representando os dois conjuntos, uma regra de associação, uma tabela de correspondência, etc... Muitas vezes, é útil associar cada par de elementos relacionados pela função com um ponto em um espaço adequado (por exemplo, no espaço  geometricamente representado no plano cartesiano). Neste caso, a exigência de unicidade da imagem (valor da função) implica um único ponto para cada entrada  (valor do argumento).

Assim como a noção intuitiva de funções não se limita a cálculos usando números individuais, a noção matemática de funções não se limita a cálculos e nem mesmo a situações que envolvam números. De forma geral, uma função liga um domínio (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto, o contradomínio (conjunto de valores de saída), de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente um elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos  do contradomínio para os quais existe pelo menos um  no domínio tal que  (i.e.,  se relaciona com ), é o conjunto imagem ou chamado simplesmente de imagem da função.

Definição formal 

 Se uma variável  depende de uma variável  de tal modo que cada valor de  determina exatamente um valor de  , então dizemos que é uma função de 
 Uma função  é uma regra que associa uma única saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por , então a saída é denotada por .
 Sejam dados os conjuntos   uma relação  e o conjunto dos pares ordenados  Dizemos que  é uma função se, e somente se, para todos  com  temos  Ou, em outras palavras, para todo  existe no máximo um  tal que  se relaciona com   Assim sendo, escrevemos  quando  se relaciona com  por  O conjunto  é chamado de conjunto de partida e  é chamado de contradomínio da função  Outra maneira de dizer isto é afirmar que  é uma relação binária entre os dois conjuntos tal que  é unívoca, i.e. se  e  então  Algumas vezes, na definição de função, impõe-se que todo o elemento do conjunto  se relaciona com algum elemento de

Exemplos 
Vejamos as seguintes relações

Exemplo de aplicação 
Podemos usar uma função para modelar o número de indivíduos em uma população de acordo com o tempo (modelos de crescimento demográfico). Por exemplo, denotando o tempo por  e o número de indivíduos em um dado tempo  por  escrevemos   Assim, temos abstratamente modelado o número de indivíduos (variável dependente) em função do tempo (variável independente). Aqui, o nome da função foi arbitrariamente escolhido como  o conjunto de partida é o conjunto dos números reais não negativos (assumindo que o tempo é contínuo e não negativo) e o contradomínio é o conjunto dos números naturais (assumindo que o número de indivíduos é sempre um número inteiro não negativo).

Elementos de uma função 
Da definição, temos que uma função tem um nome, um conjunto de partida, um contradomínio (conjunto de chegada) e uma lei de correspondência. Por exemplo, denotamos   onde  é o nome da função,  é seu conjunto de partida,  é seu contradomínio e  denota sua lei de correspondência.

Em muitos casos, nem todos os elementos do conjunto de partida se relacionam com algum elemento do contradomínio. Aqueles que se relacionam são elementos do chamado domínio da função. Mais precisamente, o domínio de uma função   é o conjunto:Também, geralmente, nem todos os elementos do contradomínio se relacionam com algum elemento do conjunto de partida. Aqueles que se relacionam são elementos da chamada imagem da função. A imagem de uma função   é o conjunto:

Exemplo 
Seja   onde o conjunto de partida é dada por  e o contradomínio por Pela lei de correspondência, vemos que, neste caso,  e  Veja a ilustração.

Gráfico de uma função 

O gráfico de uma função   é o conjunto:é o conjunto dos pares ordenados  tal que 

Quando possível, usualmente fazemos uma representação geométrica do gráfico da função. Tal representação é usualmente chamada de esboço do gráfico da função (ou, simplesmente gráfico, quando subentendido).

Popularmente, temos os gráficos de funções de uma variável, para as quais seu esboço é dado pelo conjunto de pontos  no plano cartesiano (veja a ilustração). Neste caso, usualmente as variáveis independentes são chamadas de abcissas e marcadas sobre o eixo horizontal (chamado de eixo das abcissas). As variáveis dependentes são chamadas de ordenadas e marcadas sobre o eixo vertical (chamado de eixo das ordenadas).

Classificação quanto a imagem 
Funções são usualmente classificadas quanto a sua imagem como: funções injetoras, funções sobrejetoras e funções bijetoras.
Seja dada a função   Por definição,  é injetora (ou injetiva) se, e somente se, para todos  temos  A função  é dita sobrejetora (ou sobrejetiva) quando  Por fim, uma função injetora e sobrejetora é dita ser bijetora (ou bijetiva). Veja a seguinte tabela.

Funções implícitas e explicitas 
Dizemos que uma função  é definida de forma explícita (função explícita) quando seus valores  podem ser expressados pela variável independente  i.e., quando temos uma relação da forma  Por outro lado, dizemos que uma tal função é definida de forma implícita (função implícita) quando a relação entre as variáveis dependente e independente é dada como  onde  denota uma expressão envolvendo  e

Exemplo 
Seja  dada por  Isto é, a função que toma dois valores reais e os associa ao produto entre eles. Trata-se de uma função explícita. Agora, a equação  define implicitamente a função  que associa um número real não nulo  ao seu inverso. Ou seja, tal função  está, aqui, definida implicitamente por  Notamos que neste caso em particular, podemos definir a função  de forma explícita, escrevendo

Composição de funções 

Dadas uma função   e uma função   com  definimos a função composta de  com  por   Analogamente, quando  também podemos definir a função composta de  com  dada por

Exemplo 
Considere as seguintes funções  e  dada por:

 e 

Notamos que  e, portanto, podemos definir a função composta por:

Também, como  temos a composição  dada por:

Outras classificações 

Funções são classificadas quanto a uma séries de propriedades (características) além das já mencionadas. Alguns desses tipos de funções são listados a seguir.

 Função algébrica
 Função computável
 função côncava
 Função convexa
 Função contínua
 Função diferenciável
 Função holomorfa
 Função ímpar
 Função inteira
 Função integrável
 Função inversa
 Função linear
 Função modular
 Função meromorfa
 Função monótona
 Função par
 Função polinomial
 Função quadrática
 Função racional
 Função transcendental
 Função trigonométrica
 Função vetorial

História 
O conceito matemático de função emergiu no século XVII em conexão com o desenvolvimento do Cálculo. O termo "função" foi introduzido por Gottfried Leibniz em uma de suas cartas, datada de 1673,  na qual ele descreve a declividade de uma curva em um ponto específico. Na antiguidade, embora não se conheça o uso explícito de funções, tal conceito pode ser observado em alguns trabalhos percursores de filósofos e matemáticos medievais, como Oresme.

Matemáticos do século XVII tratavam por funções aquelas definidas por expressões analíticas. Foi durante os desenvolvimentos rigorosos da Análise Matemática por Weierstrass e outros, a reformulação da Geometria em termos da análise e a invenção da Teoria dos Conjuntos por Cantor, que se chegou ao conceito moderno e geral de uma função como um mapeamento unívoco de um conjunto em outro. Não há consenso sobre a quem se deva os créditos da noção moderna de função, sendo cotada os matemáticos Nikolai Lobachevsky, Peter Gustav Lejeune Dirichlet e Dedekind.

Ver também 
Cálculo diferencial e integral
Conjuntos
Funcional
Função se então (informática)
Função generalizada
Funtor

Bibliografia 
Ávila, Geraldo Severo de Souza. (2005). Análise matemática para licenciatura. São Paulo. Edgard Blücher. ISBN 85-212-0371-3.
Barboni, Ayrton; Paulette, Walter. (2007). Fundamentos de Matemática: Cálculo e Análise. Editora LTC. ISBN 978-85-216-1546-0.
Iezzi, G; Murakami, C.. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos e Funções. vol. 1, 9. ed., Atual Editora:São Paulo. ISBN 9788535716801.