Ecuación de cuarto grado

En álgebra, una ecuación de cuarto grado o ecuación cuártica con una incógnita es una ecuación algebraica que asume la llamada forma canónica:

donde a, b, c, d y e (siendo ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a los racionales  y ocasionalmente son los números reales o los complejos .

Caso general 

Sea K un cuerpo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas y por lo tanto también de cuarto orden, pues equivale a extraer raíces cuadradas dos veces seguidas.
En este cuerpo, es posible factorizar por todo a, y la identidad siguiente es válida:
.

En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

Ecuación cuártica en cuerpo finito 
 Resolver la ecuación en el conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

 
una raíz en el conjunto finito de los restos de enteros de módulo 11, o sea F[11] es

 

Mediante la división sintética queda

Características 
 Si el término independiente tiene signo - tiene por lo menos una raíz real.
 Si el número complejo  es la raíz de una ecuación cuártica, también lo es su conjugado .
 La gráfica de una función polinómica (generatriz de ecuación) corta al eje X en 0, 1, 2, 3 o 4 puntos.

Un caso sencillo 
Esta ecuación cuártica

que es unitaria, como polinomio para valores reales nunca se anula.

Por lo tanto sus cuatro raíces son complejas, en pares de conjugados. Precisamente la raíces quintas primitivas de la unidad. Estructuradas sobre la base de seno y coseno de  radianes y sus múltiplos hasta el cuarto.

Métodos resolutivos 
Existen métodos resolutivos para resolver ecuaciones de cuarto grado, con los cuales podemos llegar a las soluciones de éstas, por lo que el conjunto de los números reales no es algebraicamente cerrado, resultando siempre en cuatro soluciones, comúnmente en dos soluciones reales y dos soluciones complejas conjugadas (pero no siempre puede resultar así). Se puede aproximar las soluciones de la ecuación con el método de Newton-Raphson, pero solo se obtendrá una de las soluciones reales, haciendo que este método resulte muy desventajoso por sus limitaciones en el contexto del cálculo infinitesimal.

Factorización 
Sea  el polinomio al que se quiere hallar sus raíces cuyos coeficientes son enteros, consideremos a un factor lineal  como uno de los divisores de dicho polinomio, donde es posible hallar un cociente  de tercer grado que puede ser resuelto aplicando factorización nuevamente, o resolviéndolo por el método de Cardano (si dicho cociente cúbico es irreducible por factores racionales). Al efectuar la división de  y , obtenemos el cociente  dado por

,

cuyo residuo resultante es:

 ,

por lo que si , entonces  es una raíz racional de  y por tanto, es una división exacta. Sin embargo, si , entonces  es un polinomio irreducible, y debe resolverse por métodos alternativos.

Método de Ferrari 

Sea la ecuación cuártica

 ,

Se reduce a la forma mónica dividiendo por :

 ,

donde

 

Su ecuación cúbica resolvente es:

 ,

que puede ser resuelta por el método de Cardano, donde  es considerada una raíz real de esta (sin importar si es una raíz real positiva o negativa), siendo de primera prioridad la primera raíz. No obstante, la naturaleza de las raíces de la ecuación cúbica resolvente determinará las soluciones de la ecuación original, considerando las siguientes posibilidades:

1) Si la ecuación cúbica resolvente tiene una raíz real, la ecuación cuártica tendrá dos soluciones reales y dos soluciones complejas conjugadas.
2) Si la ecuación cúbica resolvente tiene dos o tres raíces reales, la ecuación cuártica tendrá cuatro soluciones de manera aleatoria definidas así:
a) Cuatro soluciones reales distintas.
b) Dos pares de soluciones complejas conjugadas.
c) Dos raíces reales dobles.
d) Una raíz real simple y una raíz real triple.
e) Una raíz real cuádruple.
f) Una raíz real doble y dos soluciones complejas conjugadas.
g) Dos raíces complejas conjugadas dobles.
h) Una raíz real doble y dos raíces reales simples.

Una vez obtenemos la raíz positiva de la ecuación cúbica resolvente, calculamos los siguientes valores:

 
 

De estos valores, resolveremos dos ecuaciones cuadráticas:

Al resolverlas por la fórmula cuadrática, obtenemos las soluciones de la ecuación cuártica original:

Método de Descartes 

Sea la ecuación cuártica

 

Dividimos la ecuación inicial por la componente cuártica, obtenemos:

Procedemos a realizar una transformación de Tschirnhaus, es decir, sustituir  para convertirla en su forma reducida:

,

cuyas componentes se dan por:

 
 
 

La ecuación cúbica resolvente del método de Descartes es:

No obstante, a diferencia de la ecuación cúbica resolvente del método de Ferrari, una de sus raíces reales debe ser positiva, con la que resolveremos dos ecuaciones cuadráticas:

 
 

Al resolverlas por la fórmula cuadrática, entonces las soluciones de la ecuación cuártica reducida son (ordenándolas por signos positivos y negativos):

 

Como el objetivo es encontrar las soluciones de la ecuación original, utilizamos la siguiente fórmula:

 

Por tanto, reemplazamos  en la fórmula para :

Relaciones de Cardano-Vieta 

Por otro lado, si utilizamos las relaciones de Cardano-Vieta en las soluciones de la ecuación cuártica original, podemos tener las componentes cúbica, cuadrática, lineal y el término independiente en la ecuación original:

Casos especiales

Ecuaciones bicuadradas 
Éstas son un caso particular de las anteriores, cuya forma polinómica es:

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable , con lo que nos queda:

 

El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula cuadrática:

Se deshace el cambio de variable para obtener las cuatro soluciones:

Obtención de una ecuación a partir de una raíz 
Sea  una raíz cuyo valor se conoce:

Ecuaciones cuasisimétricas 

El siguiente tipo de ecuación

, donde ,

puede ser resuelto así:

Al dividir la ecuación por , se obtiene

Haciendo cambio de variable:

llegamos a

,

así:

Esta ecuación da 2 raíces,  y .

Las raíces de la ecuación original pueden ser obtenidas resolviendo las siguientes ecuaciones cuadráticas:

Si  no es igual a uno en , este método es de todas formas aplicable, luego de dividir la ecuación entre .

Las ecuaciones cuasisimétricas poseen la siguiente propiedad, que, por otra parte, las define: si , , y , son las raíces de la ecuación, entonces . Dado que el producto de las 4 raíces es , entonces  necesariamente.

Ecuaciones simétricas de cuarto grado 
Tienen la forma  con a ≠ 0. Todos los coeficientes son números racionales.

Bibliografía 
 Álgebra superior de A. Adrian Albert
 Curso de Álgebra superior de A. G. Kurosch
 OTRAS SOLUCIONES ALGEBRAICAS A LAS ECUACIONES POLINÓMICAS DE TERCER Y CUARTO GRADO de LUIS ALBERTO RAMÍREZ CASTELLANOS, revista de matemática de la universidad del Atlántico, MATUA, vol. 5 N.º 2 2018.

Véase también 
 Ecuación
 Sistema de ecuaciones
 Curva cuártica

 Ecuación de primer grado
 Ecuación de segundo grado
 Ecuación de tercer grado

 Ecuación de quinto grado
 Ecuación de sexto grado
 Ecuación de séptimo grado
 Ecuación de octavo grado

Referencias

Enlaces externos 
 Una solución a la de cuarto
 Resolución de ecuaciones de cuarto grado: Calculator for solving Quartics (also solves Cubics and Quadratics)
 Una solución a la de cuarto que incluye un programa en mat-lab para resolver ecuaciones de 4º
 OTRAS SOLUCIONES ALGEBRAICAS A LAS ECUACIONES POLINÓMICAS DE TERCER Y CUARTO GRADO Luis Alberto Ramírez-Castellanos

Ecuación de 4º grado
Álgebra