Fórmula de De Moivre

La fórmula de De Moivre, nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real)  y para cualquier  se verifica que  

. 

Esta fórmula conecta los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. 

La expresión  en ocasiones se abrevia como .

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible obtener expresiones muy útiles para  y  en términos de  y . Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la -ésima raíz de la unidad, eso es, números complejos  tal que .

Historia

La forma actual de la fórmula aparece en la obra Introductio in analysin infinitorum de Euler, que la demuestra para todos los enteros naturales  en 1748. Pero también aparece implícitamente en los trabajos de Abraham de Moivre varias veces desde 1707, en su trabajo sobre las raíces -ésimas de números complejos. De hecho, los dos problemas están relacionados: escribir que   es equivalente a decir que  es una de las raíces enésimas del complejo .

Relación con la fórmula de Euler 

La fórmula de Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:

aplicando leyes de la exponenciación

Entonces, por la fórmula de Euler, 

.

Algunos resultados 

Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:

si hacemos  entonces tenemos la identidad de Euler:

Es decir:

Además como tenemos estas dos igualdades:

podemos deducir lo siguiente:

Demostración por inducción 
Consideramos tres casos.

Para un entero , procedemos por inducción matemática. Cuando  el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo . Eso es que asumimos:

Ahora, considerando el caso :

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.

Cuando  la fórmula es verdadera ya que , y (por convención) .

Cuando , consideramos que existe un entero positivo  tal que , por lo que

Por lo tanto el teorema es verdadero para todo .

Generalización 

La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces

es una función multivaluada mientras

no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:

     es un valor de     .

Aplicaciones 

Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.

 

Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar, siendo  el módulo.

Potencia 

Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:

Raíces 

Para obtener las  raíces de un número complejo, se aplica:
 
donde  es un número entero que va desde  hasta , que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las  raíces diferentes de .

Véase también 
 Fórmula de Euler
 Raíz de la unidad
 Números imaginarios

Referencias

Enlaces externos 
 
 De Moivre's Theorem for Trig Identities by Michael Croucher, Wolfram Demonstrations Project.

Trigonometría
Álgebra
Moivre, fórmula
Ciencia de 1707
Ciencia y tecnología de Francia del siglo XVIII