Cálculo vetorial

configura uma área da matemática que trata da diferenciação e integração de campos vectoriais, geralmente no espaço euclidiano, . O termo "Cálculo vectorial" frequentemente é usado erroneamente como sinônimo de cálculo multivariável, área que o abrange, assim como diferenciação parcial e integrais múltiplas. O Cálculo vectorial possui um importante papel na geometria diferencial e no estudo de equações diferenciais parciais. Ele é extensivamente utilizado em Física e Engenharia, mais explicitamente na descrição de campos eletromagnéticos, campos gravitacionais e mecânica dos fluidos.

História 
O Cálculo vectorial foi desenvolvido a partir da análise quaterniônica por Josiah W. Gibbs e Oliver Heaviside em torno do final do século 19. Grande parte de sua notação e terminologia foi estabelecida por Gibbs e Edwin B. Wilson, em seu livro Vector Analysis, publicado em 1901.

Definições e objetos

Campo escalar 
Um campo escalar associa um escalar a todo ponto no espaço. O escalar pode ser tanto um número matemático ou uma quantidade física.Campos escalares têm de ser independentes de coordenadas, significando que quaisquer dois observadores usando o mesmo sistema de unidades concordarão no valor do campo em um mesmo ponto absoluto no espaço (ou espaço tempo) quaisquer que sejam seus respectivos pontos de origem. Campos escalares são comumente representados pelos campos de temperatura, pressão, potencial gravitacional, potencial elétrico e magnético.

Campo vectorial 
Um campo vectorial ou campo de vectores é uma construção em cálculo vectorial que associa um vector a todo ponto de uma variedade diferenciável (como um subconjunto do espaço euclidiano, por exemplo). Isso é, um campo de vectores é uma função vectorial que associa um vector a cada ponto  do espaço , generalizadamente dada por .

Campos vectoriais são geralmente utilizados na física para indicar, por exemplo, a velocidade e a direção de um fluido ou um corpo se movendo pelo espaço, ou o comprimento e direção de alguma força, tal como a força magnética ou gravitacional, bem como o campo elétrico  e o campo magnético relacionando as componentes ponto a ponto.

Comumente são representados os campos vectoriais em apresentações mais simplórias, em planos, representações 3D, no entanto campos vetoriais são formados por um número infinito de vetores o que torna exemplos mais complexos com representação apenas por recursos gráficos computacionais.

Vectores e pseudo vectores 
Em tratamentos mais rigorosos, pode-se distinguir campos pseudovectoriais e campos pseudoescalares, os quais são idênticos a campos vectoriais e campos escalares, com a exceção de que seus sinais são trocados sob uma circunstância de reversão de orientação.

O rotacional de um campo vectorial, por exemplo, é considerado um campo pseudovectorial e, se seu sinal é alterado, o rotacional apontará na direção oposta.

Essa distinção é esclarecida e elaborada na álgebra geométrica, como descrita abaixo.

Álgebra vectorial 
As operações algébricas em Cálculo vectorial são referidas como álgebra vectorial, sendo definida para um espaço vectorial e globalmente aplicada a um campo vectorial. As operações algébricas elementares são:

Operadores e teoremas 
Artigo principal: Identidades do cálculo vectorial

Operadores diferenciais 
Artigo principal: Gradiente, Divergente, Rotacional e LaplacianoO cálculo vectorial estuda diferentes operadores diferenciais definidos em campos escalares ou vectoriais, que geralmente são expressados em termos do operador del (), também conhecido como "nabla". Os três operadores vectoriais elementares são:

Um campo vetorial F diz-se conservativo quando existe um campo escalar  tal que  . Diz-se, neste caso, que  é o potencial associado a F . 

Um campo vetorial F diz-se solenoidal quando . E se F é solenoidal, existe um campo vetorial A tal que .

Um campo vetorial F diz-se irrotacional quando . E assim sendo conservativo, ou seja,  e 

Naturalmente, os dois operadores de Laplace também são muito utilizados:

Teoremas de integrais 
Os três operadores vectoriais elementares possuem teoremas correspondentes que generalizam o teorema fundamental do cálculo para dimensões superiores:

Em duas dimensões, os teoremas da Divergência e do rotacional reduzem-se ao Teorema de Green:

Aplicações do cálculo vectorial

Aproximação linear 
A Aproximação linear consiste em um recurso utilizado que substitui uma função de maior complexidade por outra função,  linear, que apresenta uma imagem semelhante na vizinhança do ponto analisado. Dada uma função diferenciável  com valores reais, é possível aproximar  para  próximo de  através da relação .

O lado direito representa a equação do plano tangente ao gráfico de  em .

Otimização 
Para uma função continuamente diferenciável de múltiplas variáveis reais, um ponto  configura um ponto crítico se todas as derivadas parciais da função em P são iguais a zero ou, em outras palavras, se o seu gradiente é nulo. Os valores críticos são os valores da função nos pontos críticos.

Se a função é suave, ou pelo menos continuamente diferenciável duas vezes, o ponto crítico pode ser tanto um máximo local, um mínimo local ou um ponto de sela.

Gradiente de um Campo 
O conceito de gradiente na Física está intrinsecamente associado ao conceito de campos conservativos e de função potencial, na matemática também se define campo vetorial conservativo. No que se refere à Física, temos campos conservativos relacionados a campos que conservam a energia do sistema, ou seja, não há perdas de energia, a exemplo de dissipação por atrito ou efeito joule. Dessa forma, dada uma função potencial , basta calcular o gradiente do mesmo para encontrar o campo conservativo associado à .  .

Sendo  uma função explícita de x,y,z

- Gradiente de Potenciais Centrais 
Muitos modelos de potenciais físicos são considerados centrais, ou seja, possuem uma função potencial que corresponde a uma função implícita de algumas variáveis (=), tomando elas como x,y,z, podemos aplicar regra da cadeia para chegar as seguintes expressões:

A soma das derivadas em relação as componentes da função retoma o gradiente da função:

Modelo de Condução Térmica 
O fluxo de calor q” (taxa de calor por unidade de área) depende da área onde ele cruza, portanto possui uma natureza vetorial.

A taxa de calor por unidade de área que cruza uma superfície cuja normal é n, é função do gradiente de temperatura, , e da constante de proporcionalidade, k .

Como temos fluxo de calor na direção x e na direção y podemos escrever: 

E dessa forma chegamos a equação  de Fourier para fluxo de calor. Com o fluxo dependendo do gradiente de temperatura e da constante k:

Utilizando o balanço de energia abaixo:

Se o sistema se encontra em regime permanente () e não possui geração interna de calor () temos as seguintes constatações:

Modelo de Transferência de massa 
A equação diferencial governante é obtida fazendo um balanço diferencial sobre um elemento cartesiano.

{taxa molar de a que entra no volume de controle} - {taxa molar de a que sai do volume de controle} + {taxa molar de a gerada no volume de controle} = { taxa molar de a que acumula no volume de controle}.

Dessa forma, temos:

Onde:

  é o termo de geração de massa (reação química);
  é o termo de acúmulo;
  é o fluxo molar de a.

Dividindo pelo volume  e fazendo o limite pra zero, temos:

Da definição de derivada, podemos concluir:

Onde podemos simplificar:

Assim, temos a Equação governante da Transferência de Massa:

Condições iniciais

 Em t=0,  , ;
 Em t=0,  , ;

onde  é a fração molar de a.

Ou seja, as condições iniciais são de concentração e fração molar constante.

Condições de contorno

a) Condição de contorno de primeira ordem (especifica a variável)

Em  e t>0, , ou  (conhecidos e constantes):

 Se a solução é pura de a: , e ;
 Se a solução é mistura de a e b: , e .

b) Condição de contorno de impermeabilidade (em superfícies isoladas ou simétricas)

Em  e t>0, 

c) Condição de contorno de superfície reativa

Para uma reação química qualquer a + c -> 2b:

 Se a reação é instantânea, ou seja ocorre rapidamente em  , dizemos que todo componente a é consumido para formam B, isto é  e . A estequiometria da reação vai fornecer a relação entre  e

, logo para a reação hipotética:

,  e 

 Se a reação química é lenta, logo, todo componente a não é consumido na fronteira, precisamos conhecer a cinética da reação:

, onde  é a ordem de reação e  é a constante da reação.

d) Condição de contorno convectiva em uma superfícieEm  e t>0,

Física e engenharia 
Cálculo vectorial é especialmente útil no estudo de:
 Centro de massa
 Teoria clássica dos campos
 Cinemática
 Equações de Maxwell
Teoria Eletromagnética
Mecânica dos Flúidos
Condução térmica

Ver também 
Álgebra linear
Teorema de Stokes
Teorema da Divergência
Identidades de Green
Integral de superfície
Tensor

Bibliografia 
 
 
 
 Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
 Barry Spain (1965). Vector Analysis. 2nd edition.
 Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
Irene Strauch, 2008, Porto Alegre. Análise Vetorial. Porto Alegre: Departamento de Matemática Ufrgs, 2008. 
Incropera, Frank, 2014. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. Editora LTC.

Referências 
§ Esta página foi traduzida e adaptada da página análoga norte-americana.

§ Projeto REAMAT. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. 

TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO. http://www.fem.unicamp.br/~franklin/EM524/aula_em524_pdf/aula-23.pdf<

Cálculo vetorial