Mediatriz

La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como el lugar geométrico — la recta — cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento.

Descripción 

En efecto, sea  el segmento que sea, determinado por los puntos  y . Sea  el punto medio del segmento y  la recta perpendicular al segmento por dicho punto. Sea  un punto sobre la recta . En la simetría axial respecto de la recta , el punto  es invariante y los puntos  y  son uno el simétrico del otro. Por tanto, en esta simetría, el segmento  se transforma en el segmento , ambos segmentos son congruentes y el punto  equidista de los puntos  y . En consecuencia, todo punto que se encuentre sobre la recta  pertenece a la mediatriz del segmento en cuestión.

Recíprocamente, sea  un segmento y sea  un punto que equidista de  y de , esto es que los segmentos  y  son iguales. Consideremos la bisectriz  del ángulo  y sea  la intersección de dicha bisectriz con el segmento .

Por construcción, los ángulos  y  son iguales y en la simetría axial respecto de la recta  se transforman uno en el otro. Como los segmentos  y  son iguales, en esta simetría, los puntos  y  son uno la imagen del otro. Concluimos que el punto  es punto medio del segmento  y que dicho segmento es perpendicular a la recta .

Construcción gráfica de la mediatriz 

Para trazar la mediatriz de un segmento dado AB, se trazarán dos arcos de igual radio arbitrario (siempre mayores que la mitad de la longitud del segmento) con centros en los extremos del segmento. Los dos arcos se cortarán en dos puntos C y D que pertenecen a la mediatriz, puesto que cumplen la condición de equidistar de los extremos del segmento.

Aplicaciones en geometría 

Las mediatrices de un polígono cíclico son las mediatrices de sus lados, es decir, las perpendiculares a los lados que pasan por sus puntos medios. Estas se cortan en un punto que se denomina circuncentro, el cual es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del polígono, es decir, de la circunferencia circunscrita al polígono.

Esto se debe a que la mediatriz de una cuerda dada en cualquier circunferencia pasa necesariamente por el centro de la misma. Aplicando las mediatrices a los lados del polígono cíclico como si de cuerdas de circunferencia se tratara, obtenemos que las intersecciones de las mismas constituyen el centro de la circunferencia que contiene todas ellas y por tanto, la circunferencia circunscrita.

No todos los polígonos simples convexos son polígonos cíclicos, entre los polígonos cíclicos se encuentran todos los triángulos, los cuadriláteros cíclicos y todos los polígonos regulares simples.

Circuncentro 

Por la propiedad antes mencionada, en todo triángulo ABC las mediatrices de sus tres lados concurren en un mismo punto, llamado el circuncentro (O) del triángulo. Dicho punto equidista de los vértices del triángulo. La circunferencia de centro O y de radio OA, pasa por los otros dos vértices del triángulo. Se dice que dicha circunferencia es circunscrita al triángulo y que el triángulo está inscrito en la circunferencia.

Véase también 
 Circuncentro
 Bisectriz

Referencias

Enlaces externos 
 
 Mediatriz de un segmento, en wikiEducared

Geometría elemental