Parábola (matemática)

En matemáticas, una parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto interior a la parábola llamado foco.
En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza. 

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria balística).

Historia 
La tradición indica que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.

Sin embargo, el primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas. 

Es Apolonio quien menciona que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en día en las antenas satelitales. La parábola también fue estudiada por Arquímedes, nuevamente en la búsqueda de una solución para un problema famoso: la cuadratura del círculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura de la parábola.

Propiedades geométricas 

Aunque la identificación de parábola con la intersección entre un cono recto y un plano que forme un ángulo con el eje de revolución del cono igual al que presenta su generatriz es exacta, es común definirla también como un lugar geométrico:

La definición excluye el caso en que el foco está sobre la directriz. De esta forma, una vez fijados una recta y un punto se puede construir una parábola que los tenga por directriz y foco respectivamente, usando el siguiente procedimiento: Se toma un punto  cualquiera de la recta, se lo une con el foco dado  y a continuación se traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento . La intersección de la mediatriz con la perpendicular por  a la recta directriz da como resultado un punto  que pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para diferentes puntos  se pueden hallar tantos puntos de la parábola como sea necesario.

De la construcción anterior se puede probar que la parábola es simétrica respecto a la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Al punto de intersección de la parábola con tal recta (conocida como eje de la parábola) se le llama vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La distancia entre el vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio focal.

Lado recto 

Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto. Debido a la ecuación que representa a esta curva, surge el siguiente teorema:

Siendo ,  los extremos del lado recto y ,  las respectivas proyecciones sobre la directriz, denotando por  la proyección del foco  sobre la directriz, se observa que  y  son cuadrados, y sus lados miden . Por tanto, el segmento  es igual a 4 veces el segmento  (la distancia focal).

Las tangentes a la parábola que pasan por los extremos del lado recto forman ángulos de 45° con el mismo, consecuencia de que  y  sean cuadrados, junto con la construcción mencionada en la sección anterior. Además, tales tangentes se cortan en la directriz de forma perpendicular, precisamente en el punto de proyección  del foco, propiedades que pueden ser aprovechadas para construir una aproximación geométrica del foco y la directriz cuando éstos son desconocidos.

Semejanza de todas las parábolas 

Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad . La unicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala. 

Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las parábolas (basándose en ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que los parámetros de la ecuación cambian la forma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha. La verdad es que todas las parábolas tienen la misma forma, pero la escala crea la ilusión de que hay parábolas de formas diferentes.

Un argumento geométrico informal es que al ser la directriz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar la construcción descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva, salvo su escala, que depende de la distancia del punto a la directriz.

Tangentes a la parábola 

  

Un resultado importante en relación con las tangentes de una parábola establece:

Llamemos F al foco de una parábola,  a un punto cualquiera de la misma y  a la proyección de este sobre la directriz. Sea  la mediatriz del triángulo , el cual es isósceles por ser iguales las distancias  y , como se ha visto. Luego  biseca al ángulo , restando verificar si es tangente a la parábola en el punto P.

Sea Q otro punto de la parábola y sea U su proyección en la directriz. Puesto que  y , entonces . Dado que esto es cierto para cualquier otro punto de la parábola, se concluye que toda la parábola está de un mismo lado de , y como la desigualdad es estricta, no hay otro punto de la parábola que toque a la recta , esto quiere decir que  es la tangente de la parábola en .

Curva dual de la parábola.
La curva dual de la parábola respecto a un círculo interior es una elipse. Si el centro del círculo es el foco de la parábola entonces su dual es un círculo.
La dual de la parábola respecto a un círculo exterior es una hipérbola. 
Si el centro del círculo esta sobre la parábola su dual es otra parábola.

Radio de curvatura
Sea el punto  entonces el radio de curvatura es  siendo la ecuación de la parábola 
Expresión explícita
Dada la fórmula general del radio de curvatura de una curva a partir de su ecuación explícita:

si se tiene una parábola expresada de la forma general:
; su primera derivada toma la forma ; y su segunda derivada es 
Sustituyendo estos valores en la expresión general anterior, se tiene que:

Curvatura en el vértice
En el vértice, donde la tangente a la curva es horizontal, la primera derivada de la parábola se anula (es decir, ). En consecuencia,

Aplicaciones prácticas 

Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco. 

La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.

Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se desplaza de la posición focal.

Ecuaciones de la parábola 

Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas. 

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma  donde el parámetro  especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».

Si bien la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio, y se bosquejará a continuación usando notación moderna.

Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea  un punto en el eje y sea  perpendicular al eje. ( corresponde al valor  en la versión analítica y  al valor y). Considerando la sección circular que pasa por  y es paralela a la base del cono, obtenemos ,  paralelos a  y .

Por el teorema de potencia de un punto:
 Al ser  paralela a , los triángulos ,  y  son semejantes y así:

Usando nuevamente los paralelismos:

Despejando  y  para sustituir en la fórmula de  resulta en

Pero el valor de  es una constante, pues no depende de la posición de , por lo que haciendo

arroja la expresión moderna .

Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.

agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:

Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares, pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:

Ecuación involucrando la distancia focal 

Puede haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe solamente una parábola que los tiene por vértice y foco, ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une el foco con el vértice y a esa misma distancia del último.

Consideremos el caso especial en que el vértice es  y el foco es . La directriz es, por tanto, la recta horizontal que pasa por . A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a . Con esta configuración se tiene:

De forma alterna:

Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la parábola.

Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es similar, excepto que varía un signo. En este caso, el foco sería (0,-p) y de esta forma:

Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se obtiene una ecuación similar intercambiando los roles de x, y:

obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la izquierda.

Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen mediante una traslación. En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se tiene

mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y:

Ecuación general de una parábola 

Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma , donde a es distinto de cero.

Como trisectriz

La parábola se puede utilizar como trisectriz, es decir, permite realizar la trisección exacta de un ángulo arbitrario al ser utilizada como medio auxiliar de una construcción con regla y compás. Este hecho no está en contradicción con la imposibilidad de realizar la trisección de un ángulo con regla y compás exclusivamente, ya que el uso de parábolas no está permitido en las normas de las construcciones con regla y compás clásicas.

Para trisecar , colocar su cateto  en el eje x de manera que el vértice  esté en el origen del sistema de coordenadas. El sistema de coordenadas también contiene la parábola . El círculo unitario con radio 1 alrededor del origen se cruza con el otro cateto del ángulo  y, desde este punto de intersección, se debe dibujar la perpendicular sobre el eje y. El paralelo al eje y que pasa por el punto medio de esa perpendicular y la tangente en el círculo unitario en  se intersecan en . El círculo alrededor de  con radio  se cruza con la parábola en . La perpendicular de  al eje x interseca el círculo unitario en , y  es exactamente un tercio de .

La exactitud de esta construcción se puede ver mostrando que la coordenada x de  es . Resolver el sistema de ecuaciones dado por el círculo alrededor de  y la parábola conduce a la ecuación cúbica . La fórmula del ángulo triple  permite demostrar que  es de hecho una solución de esa ecuación cúbica.

Esta trisección se remonta a René Descartes, quien la describió en su libro La Géométrie (1637).

Véase también 

 Ecuación de segundo grado
 Completar el cuadrado

 Paraboloide
 Elipse
 Hipérbola
 Sección cónica
 Esferas de Dandelin

Notas

Referencias

Enlaces externos 

 Animación de un plan seccionando un cono y determinando la curva cónica parábola.
 Apollonius' Derivation of the Parabola at Convergence
 
 Interactive parabola-drag focus, see axis of symmetry, directrix, standard and vertex forms
 Archimedes Triangle and Squaring of Parabola at Cut-the-Knot
 Two Tangents to Parabola at Cut-the-Knot
 Parabola As Envelope of Straight Lines at Cut-the-Knot
 Parabolic Mirror at Cut-the-Knot
 Three Parabola Tangents at Cut-the-Knot
 Module for the Tangent Parabola
 Focal Properties of Parabola at Cut-the-Knot
 Parabola As Envelope II at Cut-the-Knot
 The similarity of parabola at Dynamic Geometry Sketches
 Un método para dibujar una parábola con una cuerda y tachuelas

Secciones cónicas
Curvas