Función inversa

En matemáticas, especialmente en análisis matemático, si f es una  función que asigna elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la función f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la función completamente opuesta a la original 
 inversa   de f.

Definiciones formales 
Sea  una función real biyectiva cuyo responsable o  dominio sea el conjunto  y cuya imagen sea el conjunto . Entonces, la función  inversa de , denotada , es la función de dominio  y codominio  definida por la siguiente regla:

Destaquemos que , al igual que , es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por  y que cumple:
  y 
 .
De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

Definiciones alternativas 

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:
  y 
 ,
entonces:
 Si se cumple 1) entonces  es inyectiva y  sobreyectiva, y diremos que  es inversa por la izquierda de . 
 Si se cumple 2) entonces  es inyectiva y  sobreyectiva, y diremos que  es inversa por la derecha de .
 Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces  y  son biyectivas y  es la inversa de .
Este último punto se usa  como definición de función inversa.

Notación alternativa 
La notación tradicional  puede ser confusa, ya que puede dar a entender  . Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:

 

Otra notación menos usada es utilizar solo el signo menos en vez del número :

 .

Propiedades algebraicas 

 La función inversa de la composición de dos funciones, siempre que tengan su función inversa, viene dada por la fórmula
 
Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1,

 La involución: la función inversa de la función inversa de la función f , si existe, es la misma función f.

Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas:  y .

Propiedades analíticas de funciones reales de una variable

Continuidad 
 y  son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir  así: si  es racional, , y si es irracional, . En este caso muy particular .
 Además, en tal caso  y  son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).

Gráfica de la función inversa 

 Las gráficas que representan  y  son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir, la recta . En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera  sobre el punto .  pertenece a la curva de  si y sólo si  pertenece a la de , porque la primera condición se escribe  y la segunda  y son por definición equivalentes.

 Las tangentes en  y  tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista .

Derivación
 f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.
 Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces por regla de la cadena tenemos que g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).

Ejemplos 

 Por construcción misma, la función raíz cuadrada es función inversa de    función cuadrática , con dominio restringido a los números reales no negativos,  Es decir, cada una de las dos funciones siguientes son una función inversa  de la otra:

 Más generalmente, la función raíz positiva de orden n de un número positivo es la función inversa  de la función potencia  definida por .
 También por construcción, la función exponencial es la función inversa de la función logaritmo natural.
 Por definiciones muy adecuadas, arccos, arcsen y arctan son las funciones inversas de las funciones trigonométricas coseno, seno y tangente, lo que facilita hallar sus derivadas:
Para , , y utilizando  se obtiene: 
Para , , y utilizando  se obtiene: 
Se generaliza el concepto de función  a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones inversas.
 En otras ocasiones una función inversa puede existir y estar bien definida pero no puede escribirse en términos de funciones elementales, como sucede con la función f:

Aunque la función inversa  se puede aproximar mediante desarrollo en  serie de Taylor:

Véase también 
 Teorema de la función inversa, condiciones suficientes para la existencia de una función inversa continua y diferenciable.

Referencias

Bibliografías 
 Bartle, Robert Galvis -Sherbert, Donald R. Introducción al Análisis matematemático de una variable, Noriega Editores, México 1984.
 Oubiña,Lía : Introducción a la teoría de conjuntos, Eudeba, Buenos Aires.

función inversa
Cálculo diferencial
Análisis matemático
Operaciones unarias