Axioma de l'elecció

L'axioma de l'elecció (AE) és un axioma de la teoria de conjunts. El va formular Ernst Zermelo a 1904, i aleshores va provocar una certa controvèrsia.

Estableix el següent: 
 Sigui X una col·lecció de conjunts no buits. Llavors podem escollir un membre de cada conjunt de la col·lecció.
Més formalment seria: 
 Existeix una funció f definida en X tal que per a cada conjunt S en X, f(S) és un element de S.
Una altra formulació de l'axioma d'elecció estableix que: 

 Donat un conjunt de conjunts disjunts (sense interseccions) no buits, existeix almenys un conjunt que té exactament un element en comú amb cadascun dels conjunts no buits.
En una sèrie de capses amb almenys un objecte a cadascuna, l'axioma estableix senzillament que es pot escollir un objecte de cada capsa. On hi ha la dificultat? 

Bé, vegem-ne alguns exemples: 

 Sigui X una col·lecció finita de conjunts no buits.
Aquí tot és senzill, i l'axioma d'elecció no és necessari, només cal seguir les regles de la 
lògica formal.
 Sigui X la col·lecció de tots els conjunts no buits dels nombres naturals {0, 1, 2, 3...}.
Llavors f pot ser la funció que escull el menor element de cada conjunt.
Novament, l'axioma d'elecció no és necessari, ja que tenim una regla per escollir.
 Sigui X la col·lecció de tots els sub-intervals de (0, 1) amb longitud superior a 0.
Llavors f pot ser la funció que escull el punt mitjà de cada interval. Una altra vegada, l'axioma d'elecció no és necessari.
 Sigui X la col·lecció de tots els conjunts no buits dels nombres reals.
Llavors tenim un problema. No existeix cap definició òbvia de f, ja que la resta d'axiomes de la teoria de conjunts ZF no ordenen adequadament els nombres reals.

Aquí hi ha la clau de l'axioma. Només estableix que existeix alguna funció f que pot escollir un element de cada conjunt de la col·lecció. No dona cap indicació de com s'hauria de definir la funció, senzillament en manté l'existència. Els teoremes la prova dels quals inclou l'axioma d'elecció són sempre no constructius: postulen l'existència de quelcom sense indicar com obtenir-ho.

S'ha demostrat que l'axioma d'elecció és independent de la resta d'axiomes de la teoria de conjunts; és a dir, no es pot demostrar ni refutar. Això és el resultat del treball de Kurt Gödel i Paul Cohen. Així, no hi ha contradiccions, tant si s'accepta com si no s'accepta; tanmateix, la majoria dels matemàtics l'accepten, o bé n'accepten una versió feble, ja que així se'ls simplifica la feina.

Una de les raons per la qual a alguns matemàtics no els agrada particularment l'axioma d'elecció és que implica l'existència d'alguns objectes estranys no intuïtius. Un exemple d'això és la paradoxa de Banach-Tarski que conclou que és possible de "dividir" l'esfera tridimensional en un nombre de peces finit i, usant només rotació i translació, ajuntar les peces formant dues boles cadascuna amb el mateix volum que l'original. Cal notar que, com totes les proves que inclouen l'axioma d'elecció, no diu com cal fer-ho, només diu que es pot fer.

Un dels aspectes més interessants de l'axioma d'elecció és els llocs curiosos de les matemàtiques on surt. Així, hi ha un nombre remarcable d'afirmacions que són equivalents a l'axioma d'elecció. Els més importants són el lema de Zorn i el principi de bon ordenament: cada conjunt pot ser ben ordenat. (De fet, Zermelo va introduir inicialment l'axioma d'elecció per formalitzar la seva prova del principi de bon ordenament).

Jerry Bona va dir una vegada: "L'axioma d'elecció és òbviament cert, el principi de bon ordenament òbviament fals, i vés a saber si ho és el lema de Zorn?".

Axiomes de la teoria de conjunts