Anel (matemática)

Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto associado a duas operações binárias, normalmente chamadas de adição e multiplicação, em que cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto e suas duas operações devem satisfazer determinadas condições; especificamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição.

Embora essas operações sejam familiares em muitas estruturas matemáticas, tais como sistemas de números ou números inteiros, elas também são muito gerais, tomando uma ampla variedade de objetos matemáticos. A onipresença dos anéis os torna um princípio organizador central da matemática contemporânea. O ramo da matemática que estuda os anéis é conhecido como teoria dos anéis.

Definição 
Um anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto  com um elemento  e duas operações binárias  e  que satisfazem as seguintes condições:
 Associatividade de  
 Existência de elemento neutro (0) de  
 Existência de simétrico de  
 Comutatividade de  
 Associatividade de  
 Distributividade de  em relação a  (à esquerda e à direita): 

Alguns autores incluem ainda o axioma:
 7. Existência de elemento neutro (1) de  

Em particular, temos que  é um grupo abeliano. Como em qualquer grupo, o inverso para a adição de um elemento  cuja existência é garantida pela terceira condição, é único e costuma ser representado por  Além disso, se  costuma-se representar  por

Exemplos 
 O conjunto  dos números inteiros forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais. O mesmo acontece com o conjunto  dos números racionais, o conjunto  dos números reais, o conjunto  dos números complexos  e os quatérnios.
 O conjunto dos números complexos que são raízes de polinómios da forma  ···  com coeficientes inteiros, forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais, o anel dos inteiros algébricos.
 O menor anel é formado somente por 

 Seja  um grupo abeliano e seja End() o conjunto dos endomorfismos de  Se, dados  ∈ End(), se definir a adição de  ∈ End() de  com  por  então End() é um anel relativamente às operações adição e composição.

Casos particulares 
 Se a multiplicação é comutativa, temos um anel comutativo.
 Se a multiplicação tem elemento neutro, temos um anel com identidade ou anel com unidade.
 Um anel de divisão é um anel  em que  \ {} é um grupo.
 Se a multiplicação tem elemento neutro e é idempotente, temos um anel booliano. Anéis boolianos e álgebras boolianas tem uma correspondência trivial.

Divisores de zero 

Sejam  um anel e  um elemento de  diferente de  Diz-se que  é um divisor de zero se existir algum  ∈  \  tal que  ou que 

Exemplos:
 O anel  dos números inteiros não tem divisores de zero.
 Seja  um número natural maior do que  e seja  com a adição e o produto assim definidos: se  ∈  então  é o resto da divisão por  da soma dos números inteiros  e  e  é o resto da divisão por  do produto dos números inteiros  e  Então  tem divisores de zero quando e só quando  for composto. Neste caso, se a e b forem números naturais tais que  então, em

Ideais 

Sejam  um anel e  um subconjunto não vazio de  Diz-se que  é um ideal à esquerda de  se
 
 
 
Diz-se que  é um ideal à direita de  se satisfizer as duas primeiras das condições anteriores, juntamente com
 
Diz-se que  é um ideal bilateral se for simultaneamente um ideal à esquerda e um ideal à direita.

Caso  seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita. Fala-se então somente de ideais.

Exemplos:
 Os inteiros pares formam um ideal do anel dos números inteiros. Mais geralmente, se  ∈ Z\{±}, o conjunto dos inteiros que são múltiplos de  é um ideal do anel dos números inteiros e, de facto, todos os ideais do anel dos números inteiros. são daquela forma.
 Seja  o conjunto das funções  de R² em R² da forma
 
onde  ∈ R. Então, se  for a função nula, se  for a adição de funções e se  for a composição, então  é um anel (não comutativo). Se
 
então  é um ideal à esquerda, mas não é um ideal à direita.

Se  for um anel e  for um ideal (à esquerda ou à direita), considere-se em  a relação de equivalência ∼ assim definida:
  ∼  se e só se  ∈ 
Se  ∈  seja  a sua classe de equivalência; seja  o conjunto de todas as classes de equivalência. Então, se se definir
 
 é novamente um grupo abeliano. Além disso, se  for um ideal à esquerda e se  ∈  então faz sentido definir a função
 
Analogamente, se  for um ideal à direita e se  ∈  então faz sentido definir a função
 

Caso  seja um ideal bilateral,  volta a ser um anel se se definir

Bibliografia 
 
 Atiyah M. F., Macdonald, I. G., Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969 ix+128 pp.
 Beachy, J. A. Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.
 
 Dresden, G. "Small Rings." 
 Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.
 Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., An introduction to noncommutative Noetherian rings. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp. ISBN 0-521-36086-2
 Herstein, I. N., Noncommutative rings. Reprint of the 1968 original. With an afterword by Lance W. Small. Carus Mathematical Monographs, 15. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1994. xii+202 pp. ISBN 0-88385-015-X
 Nagell, T. "Moduls, Rings, and Fields." §6 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 19–21, 1951
 Nathan Jacobson, Structure of rings. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 37. Revised edition American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 ix+299 pp.
 Nathan Jacobson, The Theory of Rings. American Mathematical Society Mathematical Surveys, vol. I. American Mathematical Society, New York, 1943. vi+150 pp.
 Lam, T. Y., A first course in noncommutative rings. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, New York, 2001. xx+385 pp. ISBN 0-387-95183-0
 Lam, T. Y., Exercises in classical ring theory. Second edition. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2003. xx+359 pp. ISBN 0-387-00500-5
 Lam, T. Y., Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics, 189. Springer-Verlag, New York, 1999. xxiv+557 pp. ISBN 0-387-98428-3
 .
 
 McConnell, J. C.; Robson, J. C. Noncommutative Noetherian rings. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp. ISBN 0-8218-2169-5
 
 Rowen, Louis H., Ring theory. Vol. I, II. Pure and Applied Mathematics, 127, 128. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. ISBN 0-12-599841-4, ISBN 0-12-599842-2
 Sloane, N. J. A. Sequences A027623 and A037234 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
 Zwillinger, D. (Ed.). "Rings." §2.6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141–143, 1995

Ver também
Teoria dos anéis
Anel topológico, que combina a estrutura do anel com um espaço topológico, de forma que várias operações sejam contínuas.
Domínio euclidiano, um tipo de anel onde o algoritmo de Euclides pode ser utilizado.

Estruturas algébricas
Teoria dos anéis