Distribución exponencial

En Teoría de Probabilidad y Estadística, la distribución exponencial es una distribución continua que se utiliza para modelar tiempos de espera para la ocurrencia de un cierto evento. Esta distribución al igual que la distribución geométrica tiene la propiedad de pérdida de memoria. La distribución exponencial es un caso particular de la distribución gamma.

Definición

Función de Densidad 
Se dice que una variable aleatoria continua  tiene una distribución exponencial con parámetro  y escribimos  si su función de densidad es

para .

Función de Distribución 
Su función de distribución acumulada está dada por

para .

Parametrización Alternativa 
La distribución exponencial en ocasiones se parametriza en términos del parámetro de escala  en cuya caso, la función de densidad será

para .

Función de Supervivencia 
De forma adicional esta distribución presenta una función adicional que es función Supervivencia  (S), que representa el complemento de la Función de distribución.

Propiedades 
Si  es una variable aleatoria tal que  entonces

La media de la variable aleatoria  es

La varianza de la variable aleatoria  es

El -ésimo momento de la variable aleatoria  es

La función generadora de momentos de  para  está dada por

Escala 
Si  es una variable aleatoria tal que  y  una constante entonces

Pérdida de Memoria 
Sea  una variable aleatoria tal que  entonces para cualesquiera 

Esto puede demostrarse fácilmente pues

Cuantiles 
La función cuantil (inversa de la función de distribución acumulada) para una variable aleatoria  está dada por

por lo que los cuantiles son: 

El primer cuartil es

La mediana es

Y el tercer cuartil está dado por

Valor en riesgo condicional (pérdida esperada)
El valor condicional en riesgo (CVaR) también conocido como déficit esperado o supercuantil para Exp(λ) se obtiene de la siguiente manera:

Probabilidad de superación amortiguada (bPOE) 
La probabilidad amortiguada de superación es uno menos el nivel de probabilidad en el que el CVaR es igual al umbral .  Se obtiene de la siguiente manera:

Divergencia de Kullback-Leibler
La divergencia de Kullback-Leibler dirigida en nats de 
 (distribution de aproximación) de  (distribución "verdadera") viene dada por

Distribución de máxima entropía
Entre todas las distribuciones de probabilidad continuas con soporte cerrada-abierta 0, ∞ y media μ, la distribución exponencial con λ = 1/μ tiene la mayor entropía diferencial. En otras palabras, es la distribución de probabilidad de máxima entropía para una variante aleatoria X que es mayor o igual que cero y para la que E[X] es fija.

Distribución del mínimo de variables aleatorias exponenciales
Sean X1, ..., Xn variables aleatorias exponencialmente distribuidas con parámetros de tasa λ1, ..., λn.  Entonces

también se distribuye exponencialmente, con el parámetro

Esto puede verse considerando la función de distribución acumulativa complementaria:

El índice de la variable que alcanza el mínimo se distribuye según la distribución categórica

Puede verse una prueba dejando que
. Entonces,

Nótese que 

no es una distribución exponencial, si X1, …, Xn no todos tienen parámetro 0.

Momentos conjuntos de estadísticos de orden exponencial i.i.d

Sean   independent and identically distributed variables aleatorias exponenciales con parámetro de tasa λ. 
Sean  los correspondientes estadísticos de orden. 
Para  , el momento conjunto  de los estadísticos de orden  y  viene dado por

Esto puede verse invocando la ley de la expectativa total y la propiedad sin memoria:

La primera ecuación se sigue de la ley de la expectativa total.
La segunda ecuación explota el hecho de que una vez que condicionamos en , debe seguirse que . La tercera ecuación se basa en la propiedad sin memoria para reemplazar  con .

Ejemplo 
Ejemplos para la distribución exponencial es la distribución de la longitud de los intervalos de una variable continua que transcurren entre dos sucesos, que se distribuyen según la distribución de Poisson.

 El tiempo transcurrido en un centro de llamadas hasta recibir la primera llamada del día se podría modelar como una exponencial.
 El intervalo de tiempo entre terremotos (de una determinada magnitud) sigue una distribución exponencial.
 Supongamos una máquina que produce hilo de alambre, la cantidad de metros de alambre hasta encontrar una falla en el alambre se podría modelar como una exponencial.
 En fiabilidad de sistemas, un dispositivo con tasa de fallo constante sigue una distribución exponencial.

Distribuciones Relacionadas 

 Si  entonces .
 Si  entonces .
 Si  entonces .
 Si  son variables aleatorias independientes tales que entonces , donde  es la distribución de Erlang con parámetros  y , esto es . Es decir, la suma de  variables aleatorias independientes con distribución exponencial con parámetro  es una variable aleatoria con distribución de Erlang.

Inferencia Estadística 
Suponga que  es una variable aleatoria tal que  y  es una muestra proveniente de .

Estimación de Parámetros 
El estimador por máxima verosimilitud de  se construye como sigue:

La función de verosimilitud está dada por

donde

es la media muestral.

Tomando logaritmos a la función de verosimilitud 

derivando respecto a  obtenemos

 

Si igualamos a  obtenemos el estimador  dado por

El estimador  es un estimador NO insesgado pues

Aplicación

En la hidrología, la distribución exponencial se emplea para analizar variables aleatorias extremos de variables como máximos mensuales y anuales de la precipitación diaria.
La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución exponencial a lluvias máximas diárias anuales ordenadas, mostrando también la franja de 90% de  confianza, basada en la distribución binomial. Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.

Métodos computacionales

Generador de números pseudoaleatorios 
Para obtener números pseudoaleatorios la variable aleatoria  con distribución exponencial y parámetro , se utiliza un algoritmo basado en el método de la transformada inversa.

Para generar un valor de  a partir de una variable aleatoria  se utiliza el siguiente algoritmo

utilizando el hecho de que si  entonces  por lo que una versión más eficiente del algoritmo es

Véase también
 Proceso de Poisson
Distribución Gamma
Distribución de Erlang
Distribución χ²
 Distribución Poisson

Software 
Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la exponencial, a una serie de datos:
 Easy fit , "data analysis & simulation"
 
 ModelRisk, "risk modelling software"
 Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
 Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
 StatSoft distribution fitting 
 CumFreq  , libre sin costo, incluye intervalos de confianza a base de la distribución binomial

Referencias

Enlaces externos 
 Calculadora Distribución exponencial
 [] Calcular la probabilidad de una distribución exponencial con R (lenguaje de programación)

Distribuciones continuas
Exponenciales