Producto cartesiano

En matemáticas, el producto   cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.

Ejemplo 
Por ejemplo, dados los conjuntos:
 

y
 

su producto cartesiano de A por B es:
 

que se representa:
 

y el producto cartesiano de B por A es:
 

que se representa:
 

Ver que:
 

Dado que son pares ordenados.

Definición 
Es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como , donde  es el «primer elemento» y  el «segundo elemento». Dados dos conjuntos  y , su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con estos dos conjuntos: 

Puede definirse entonces el cuadrado cartesiano de un conjunto como .

Ejemplos 

Números enteros
Sea también el conjunto de todos los números enteros . El producto cartesiano de  consigo mismo es , es decir, el conjunto de los pares ordenados cuyos componentes son enteros. Para representar los números enteros se utiliza la recta numérica, y para representar el conjunto  se utiliza un plano cartesiano (en la imagen).

Pintura y pinceles
Sean los conjuntos  de tubos de pintura, y  de pinceles:

{|
| 
| ,
| ,
| ,
| 
| 
|}

{|
| 
| ,
| ,
| ,
| ,
| 
| 
|}

El producto cartesiano de estos dos conjuntos, , contiene todos los posibles emparejamientos de tubos de pintura y pinceles. De manera similar al caso de un plano cartesiano en el ejemplo anterior, este conjunto puede representarse mediante una tabla:
{| class="wikitable" border="1" align="center"
|- align="right"
| bgcolor="ccffff" | 
| 
| 
| 
| 
|- align="right"
| bgcolor="ccffff" | 
| 
| 
| 
| 
|- align="right"
| bgcolor="ccffff" | 
| 
| 
| 
| 
|- align="right"
| bgcolor="ccffff" | 
| 
| 
| 
| 
|- align="right"
| bgcolor="ccffff" | 
| 
| 
| 
| 
|- align="right"
| bgcolor="ccffff" | 
| bgcolor="ccffff" | 
| bgcolor="ccffff" | 
| bgcolor="ccffff" | 
| bgcolor="ccffff" | 
|}

Propiedades 
El conjunto vacío actúa como el cero del producto cartesiano, pues no posee elementos para construir pares ordenados:

El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo en general, salvo en casos muy especiales. Lo mismo ocurre con la propiedad asociativa.

Puesto que el producto cartesiano puede representarse como una tabla o un plano cartesiano, es fácil ver que el conjunto producto es el producto de los cardinales de cada factor:

En teoría de conjuntos, la fórmula anterior de cardinal del producto cartesiano como producto de los cardinales de cada factor, sigue siendo cierta utilizando cardinales infinitos.

Generalizaciones

Caso finito 
Dado un número finito de conjuntos , , ..., , su producto cartesiano se define como el conjunto n-tuplas cuyo primer elemento está en , cuyo segundo elemento está en , etc.

Puede definirse entonces potencias cartesianas de orden superior a 2, como , etc. Dependiendo de la definición de n-tupla que se adopte, esta generalización puede construirse a partir de la definición básica como:

o construcciones similares.

Caso infinito 
En el caso de una familia de conjuntos arbitraria (posiblemente infinita), la manera de definir el producto cartesiano consiste en cambiar el concepto de tupla por otro más cómodo. Si la familia está indexada, una aplicación que recorra el conjunto índice es el objeto que distingue quién es la «entrada -ésima»:

donde  denota la unión de todos los . Dado un , la proyección sobre la coordenada  es la aplicación:

En el caso de una familia finita de conjuntos  indexada por el conjunto , según la definición de n-tupla que se adopte, o bien las aplicaciones  de la definición anterior son precisamente n-tuplas, o existe una identificación natural entre ambos objetos; por lo que la definición anterior puede considerarse como la más general.

Sin embargo, a diferencia del caso finito, la existencia de dichas aplicaciones no está justificada por las hipótesis más básicas de la teoría de conjuntos. Estas aplicaciones son de hecho funciones de elección cuya existencia solo puede demostrarse en general si se asume el axioma de elección. De hecho, la existencia de funciones de elección (cuando todos los miembros de  son no vacíos) es equivalente a dicho axioma.

Véase también 
 Relación binaria 
 Producto directo
 Par ordenado
 Tupla
 Potencia de un conjunto

Referencias

Bibliografía 

Teoría de conjuntos
Relaciones
Axioma de elección