Historia de las matemáticas

La historia de las matemáticas es el área de estudio de investigaciones sobre los orígenes de descubrimientos en las matemáticas, de los métodos de la evolución de sus conceptos y también en cierto grado de los matemáticos involucrados.
El surgimiento de las matemáticas en la historia humana está estrechamente relacionado con el desarrollo del concepto del número, proceso que ocurrió de manera muy gradual en las comunidades humanas primitivas. Aunque disponían de una cierta capacidad de estimar tamaños y magnitudes, no poseían inicialmente una noción de número. Así, los números más allá de dos o tres, no tenían nombre, de modo que utilizaban alguna expresión equivalente a "muchos" para referirse a un conjunto mayor.

El siguiente paso en este desarrollo es la aparición de algo cercano a un concepto de número, aunque muy básico, todavía no como entidad abstracta, sino como propiedad o atributo de un conjunto concreto. Más adelante, el avance en la complejidad de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la matemática. Los problemas a resolver se hicieron más difíciles y ya no bastaba, como en las comunidades primitivas, con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del conjunto contado, sino que llegó a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores, cuantificar el tiempo, operar con fechas, posibilitar el cálculo de equivalencias para el trueque. Es el momento del surgimiento de los nombres y símbolos numéricos.

Antes de la Edad Moderna y la difusión del conocimiento a lo largo del mundo, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos salían a la luz solo en unos pocos escenarios. Los textos matemáticos más antiguos disponibles son la tablilla de barro Plimpton 322 (c. 2000-1900 a. C.), el papiro de Moscú (c. 1850 a. C.), el papiro de Rhind (c. 1800 a. C.) y los textos védicos Shulba Sutras (c. 800 a. C.).

El estudio de las matemáticas como "disciplina demostrativa" comenzó en el siglo VI a.C. con los pitagóricos, que acuñaron el término "matemáticas" a partir del griego antiguo μάθημα (mathema), que significa "materia de instrucción". Las matemáticas griegas refinó enormemente los métodos (especialmente mediante la introducción del razonamiento deductivo y el rigor matemático en las demostraciones) y ampliaron la materia de las matemáticas.Aunque no hicieron prácticamente ninguna contribución a las matemáticas teóricas, los antiguos romanos utilizaron las matemáticas aplicadas en topografía, ingeniería estructural, ingeniería mecánica, contabilidad, creación de calendarios lunares y solares e incluso artes y oficios. Las matemáticas chinas hicieron contribuciones tempranas, incluyendo un sistema de valor posicional y el primer uso de números negativos. El sistema numérico indo-árabico y las reglas para el uso de sus operaciones, en uso en todo el mundo hoy en día evolucionaron en el transcurso del primer milenio d.C. en la India y se transmitieron al mundo occidental a través de las matemáticas islámicas a través de la obra de Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī. Las matemáticas islámicas, a su vez, desarrollaron y ampliaron las matemáticas conocidas por estas civilizaciones. 

Las matemáticas egipcias y babilónicas fueron ampliamente desarrolladas por la matemática helénica, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta ciencia. La matemática en el islam medieval, a su vez, desarrolló y extendió las matemáticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales. Contemporáneas pero independientes de estas tradiciones fueron las matemáticas desarrolladas por la civilización maya de México y América Central, donde el concepto de cero recibió un símbolo estándar en los numerales mayas. Muchos textos griegos y árabes de matemáticas fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de las matemáticas en la Edad Media. 

Desde el renacimiento italiano, en el , los nuevos desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos contemporáneos, han ido creciendo exponencialmente hasta el día de hoy. 

Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.

Prehistoria 

Mucho antes de los primeros registros escritos, hay dibujos que indican algún conocimiento de matemáticas elementales y de la medida del tiempo basada en las estrellas. Por ejemplo, los paleontólogos han descubierto rocas de ocre en la Cueva de Blombos en Sudáfrica de aproximadamente 70.000 años de antigüedad, que están adornados con hendiduras en forma de patrones geométricos. También se descubrieron artefactos prehistóricos en África y Francia, datados entre el 35.000 y el 20.000 a. C., que sugieren intentos iniciales de cuantificar el tiempo.

Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo menstrual: de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra, seguidas de una marca distintiva. Más aún, los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno, dos y muchos, así como la idea de ninguno o cero, cuando hablaban de manadas de animales. El hueso de Ishango, encontrado en las inmediaciones del río Nilo, al noreste del Congo, puede datar de antes del 20.000 a. C. Una interpretación común es que el hueso supone la demostración más antigua conocida de una secuencia de números primos y de la multiplicación por duplicación.

Edad Antigua

Babilonia

Egipto

Grecia

Gran Bretaña 

Los monumentos megalíticos en Inglaterra y Escocia, del III milenio a. C., podrían incorporar ideas geométricas tales como círculos, elipses y ternas pitagóricas en su diseño.

China

India

Incas

Mayas

Edad Media

Mundo islámico

Europa 

Durante la Edad Media las aplicaciones del álgebra al comercio, y el dominio de los números, lleva al uso corriente de los números irracionales, una costumbre que es luego transmitida a Europa. También se aceptan las soluciones negativas a ciertos problemas, cantidades imaginarias y ecuaciones de grado tres.

El desarrollo de las matemáticas durante la Edad Media es frecuentemente motivada por la creencia en un «orden natural»; Boecio las sitúa dentro del currículo, en el , al acuñar el término Quadrivium para el estudio metódico de la aritmética, la geometría, la astronomía y la música; en su De institutione arithmetica, una traducción de Nicómaco, entre otros trabajos que constituyeron la base de la matemática hasta que se recuperaron los trabajos matemáticos griegos y árabes.

Durante el , particularmente en Italia y en España, se traducen textos árabes y se redescubren los griegos. Toledo se vuelve un centro cultural y de traducciones; los escolares europeos viajan a España y a Sicilia en busca de literatura científica árabe incluyendo el Compendio de cálculo por compleción y comparación de al-Khwārizmī, y la versión completa de los Elementos de Euclides, traducida a varios idiomas por Adelardo de Bath, Herman de Carinthia, y Gerardo de Cremona.

El crecimiento económico y comercial que conoce Europa, con la abertura de nuevas rutas hacia el oriente musulmán, permite también a muchos mercaderes familiarizarse con las técnicas transmitidas por los árabes. Las nuevas fuentes dan un impulso a las matemáticas. Fibonacci escribe su Liber Abaci en 1202, reeditado en 1254, produce el primer avance significativo en matemática en Europa con la introducción del sistema de numeración indio: los números arábigos (sistema de notación decimal, posicional y con uso común del cero). En teoría enseñada en el Quadrivium, pero también destinada a la práctica comercial. Esta enseñanza se transmite en las botteghe d'abbaco o «escuelas de ábacos», en donde los maestri enseñaban la aritmética, la geometría y los métodos calculatorios a los futuros comerciantes, a través de problemas recreativos, conocidos gracias a «tratados de álgebra» que estos maestros han dejado. Aunque el álgebra y la contabilidad corren por senderos separados, para cálculos complejos que involucran interés compuesto, un buen dominio de la Aritmética es altamente valorado.

Renacimiento europeo 

Hay un fuerte desarrollo en el área de las matemáticas en el , como la dinámica del movimiento. Thomas Bradwardine propone que la velocidad se incrementa en proporción aritmética como la razón de la fuerza a la resistencia se incrementa en proporción geométrica, y muestra sus resultados con una serie de ejemplos específicos, pues el logaritmo aún no había sido concebido; su análisis es un ejemplo de cómo se transfirió la técnica matemática utilizada por al-Kindi y Arnau de Vilanova.

Los matemáticos de esta época (tales como los calculatores de Merton College, de Oxford), al no poseer los conceptos del cálculo diferencial o de límite matemático, desarrollan ideas alternativas como por ejemplo: medir la velocidad instantánea como la "trayectoria que habría seguido [un cuerpo] si... hubiese sido movido uniformemente con un mismo grado de velocidad con el que es movido en ese instante dado"; o bien: determinar la distancia cubierta por un cuerpo bajo movimiento uniforme acelerado (hoy en día resuelto con métodos de integración). Este grupo, compuesto por Thomas Bradwardine, William Heytesbury, Richard Swineshead y John Dumbleton, tiene como principal éxito la elaboración del teorema de la velocidad media que más tarde, usando un lenguaje cinemático y simplificado, compondría la base de la "ley de la caída de los cuerpos", de Galileo.

Nicolás Oresme en la Universidad de París y el italiano Giovanni di Casali, proveyeron -independientemente- una demostración gráfica de esta relación. En un comentario posterior a los Elementos, Oresme realiza un análisis más detallado en el cual prueba que todo cuerpo adquiere, por cada incremento sucesivo de tiempo, un incremento de una cualidad que crece como los números impares. Utilizando el resultado de Euclides que la suma de los números impares son los cuadrados, deduce que la cualidad total adquirida por el cuerpo, se incrementará conforme el cuadrado del tiempo.

Luca Pacioli escribe "Summa de Arithmetica, Geometría, Proportioni et Proportionalità" (Venecia, 1494), en donde se incluyen tratados de contabilidad y escritura; si bien estaba dirigido a mercaderes o aprendices de mercaderes, también contenía acertijos y rompecabezas matemáticos. En Summa Arithmetica, Pacioli introduce símbolos por primera vez en un libro impreso, lo que luego se convirtió en una notación convencional. También es el primer libro conocido de álgebra (mucho del contenido es plagiado de Piero della Francesca).

Durante la primera mitad del , Scipione del Ferro y Niccolò Fontana Tartaglia descubren las soluciones complejas de las ecuaciones cúbicas, trabajando en la resolución de ecuaciones. Retomado por Tartaglia y publicado por Cardan, encuentran una primera formulación junto con Bombelli. Gerolamo Cardano publicará el Ars magna junto con un trabajo de su alumno Ferrari, quien resuelve las ecuaciones de cuarto grado. En 1572 Rafael Bombelli publica su L'Algebra, en el que muestra cómo utilizar las cantidades imaginarias que podrían aparecer en la fórmula de Cardano para las ecuaciones de grado tres.

Hasta fines del , la resolución de problemas matemáticos continúa siendo una cuestión retórica. El cálculo simbólico aparecerá en 1591, con la publicación del In Artem Analyticem Isagoge de François Viète y la introducción de notaciones específicas para las constantes y las variables (trabajo popularizado y mejorado por Harriot, Fermat y Descartes, cambiará por completo el trabajo algebraico desarrollado en Europa). La principal aportación del Renacimiento a la matemática fue la sustitución del álgebra tensorial, heredado de la Antigua Grecia, por la más sencilla álgebra de los polinomios. En este periodo el álgebra, que desde los Elementos de Euclides se había estudiado desde un punto de vista geométrico, se independiza de la geometría y se convierte en una rama autónoma dentro de la matemática.

Siglos   y

Europa 

Las matemáticas se inclinan sobre aspectos físicos y técnicos. Isaac Newton y Gottfried Leibniz crean el cálculo infinitesimal, con lo que se inaugura la era del análisis matemático, la derivada, la integración y las ecuaciones diferenciales. Esto fue posible gracias al concepto de límite, considerado la idea más importante de la matemática. No obstante, la formulación precisa del concepto de límite no se produjo hasta el  con Cauchy.

El universo matemático de comienzos del  está dominado por la figura de Leonhard Euler y por sus aportes tanto sobre funciones matemáticas como teoría de números, mientras que Joseph-Louis Lagrange alumbra la segunda mitad del siglo.

El siglo precedente había visto la puesta en escena del cálculo infinitesimal, lo que abría la vía al desarrollo de una nueva disciplina matemática: el análisis algebraico, en el que, a las operaciones clásicas del álgebra, se añaden la diferenciación y la integración. El cálculo infinitesimal se aplica tanto en la física (mecánica, mecánica celeste, óptica, cuerdas vibrantes) como en geometría (estudio de curvas y superficies). Leonhard Euler, en Calculi différentialis (1755) y en Institutiones calculi integralis (1770), intenta establecer las reglas de utilización de los infinitos pequeños y desarrolla métodos de integración y de resolución de ecuaciones diferenciales. También se destacan los matemáticos Jean le Rond d'Alembert y Joseph-Louis Lagrange. En 1797, Sylvestre François Lacroix publica Traité du calcul différentiel et intégral que es una síntesis de los trabajos del Análisis del . La familia Bernoulli contribuye al desarrollo de la resolución de las ecuaciones diferenciales.

La función matemática se vuelve un objeto de estudio a parte entera. Matemáticos de la talla de Brook Taylor, James Stirling, Euler, Maclaurin o Lagrange, la utilizan en problemas de optimización; se la desarrolla en series enteras o asintóticas pero sin preocuparse de su convergencia. Leonhard Euler elabora una clasificación de funciones. Se intenta aplicarla a los reales negativos o complejos.

En esta época se produce el fenómeno contrario al observado en el . Álgebra y geometría vuelven a unirse bajo un mismo método, pero ahora es el lenguaje algebraico el que se aplica al estudio de los problemas geométricos.
El teorema fundamental del álgebra (existencia de raíces eventualmente complejas a todo polinomio) que tenía forma de conjetura desde hacia dos siglos, es revalorizado en la utilización de la descomposición en elementos simples, necesario para el cálculo integral. Sucesivamente, Euler (1749) y Lagrange (1771), intentan demostraciones algebraicas pero se enfrentan a la parte trascendente del problema (todo polinomio de grado impar sobre R posee una raíz real), que necesitará de la utilización de un teorema de valores intermedios.

La demostración de D'Alembert publicada en 1746 en los anales de la academia de Berlín, es la más completa pero contiene aún algunas lagunas y pasajes obscuros. Gauss, en 1799, que critica a D'Alembert sobre estos puntos, no está exento de los mismos reproches. Hay que hacer intervenir en un momento un resultado fuerte del Análisis que el siglo aún no conoce. Además, este obstáculo se sitúa en la cuestión de los puntos de bifurcación: es una cuestión ya debatida en la polémica sobre los logaritmos y los números negativos a la que pondrá fin Euler. La segunda y tercera demostración de Gauss no adolecen de estas carencias, pero ya no se inscriben dentro del mismo siglo.

En aritmética, Euler demuestra el pequeño teorema de Fermat y da una versión extendida a los números compuestos (1736-1760).

Japón 

La matemática que se desarrolla en Japón durante el período Edo (1603-1887), es independiente de la matemática occidental; a este período pertenece el matemático Seki Kōwa, de gran influencia por ejemplo, en el desarrollo del wasan (matemática tradicional japonesa), y cuyos descubrimientos (en áreas como el cálculo integral), son casi simultáneos a los matemáticos contemporáneos europeos como Gottfried Leibniz.

La matemática japonesa de este período se inspira de la matemática china, está orientada a problemas esencialmente geométricos. Sobre tablillas de madera llamadas sangaku, son propuestos y resueltos «enigmas geométricos»; de allí proviene, por ejemplo, el teorema del sexteto de Soddy.

La historia matemática del  es inmensamente rica y fecunda. Numerosas teorías nuevas aparecen y se completan trabajos comenzados anteriormente. Domina la cuestión del rigor, como se manifiesta en el «análisis matemático» con los trabajos de Cauchy y la suma de series (la cual reaparece a propósito de la geometría), teoría de funciones y particularmente sobre las bases del cálculo diferencial e integral al punto de desplazar las nociones de infinitamente pequeño que habían tenido notable éxito el siglo pasado. Más aún, el siglo marca el fin del amateurismo matemático: las matemáticas eran consideradas hasta entonces como obra de algunos particulares, en este siglo, se convierten en profesiones de vanguardia. El número de profesionales no deja de crecer y las matemáticas adquieren una importancia nunca antes vista. Las aplicaciones se desarrollan rápidamente en amplios dominios, haciendo creer que la ciencia todo lo puede; algunos sucesos así parecen atestiguarlo, como el descubrimiento de un nuevo planeta únicamente por el cálculo, o la explicación de la creación del sistema solar. El dominio de la física, ciencia experimental por excelencia, se ve completamente invadido por las matemáticas: el calor, la electricidad, el magnetismo, la mecánica de fluidos, la resistencia de materiales y la elasticidad, la cinética química, son todas matematizadas.

Durante el  las matemáticas se vuelven más abstractas. El trabajo revolucionario de Carl Friedrich Gauss (1777–1855) en matemática pura, incluye la primera prueba satisfactoria del «teorema fundamental de la aritmética» y de la «ley de reciprocidad cuadrática», además de numerosas contribuciones en función matemática, variable compleja, geometría, convergencia de series,...

En este siglo se desarrollan dos formas de geometría no euclidiana, en las que el postulado de las paralelas de la geometría euclídea ya no es válido. El matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky y su rival, el matemático húngaro János Bolyai, independientemente definen y estudian la geometría hiperbólica. La geometría elíptica fue desarrollada más tarde por el matemático alemán Bernhard Riemann, quien también introduce el concepto de variedad (matemática) (y la hoy llamada Geometría de Riemann).

En álgebra abstracta, Hermann Grassmann da una primera versión de espacio vectorial. George Boole divisa un álgebra que utiliza únicamente los números 0 y 1, la hoy conocida como Álgebra de Boole, que es el punto de partida de la lógica matemática y que tiene importantes aplicaciones en ciencias de la computación.

Augustin Louis Cauchy, Bernhard Riemann y Karl Weierstrass reformularon el cálculo de manera más rigurosa.

El rápido crecimiento de la matemática provoca una crisis derivada de la necesidad de revisar todos sus fundamentos para obtenerlos de forma rigurosa a partir de estructuras algebraicas y topológicas. A finales del  nace la matemática actual con las obras de Dedekind y Kronecker.

El  ve a las matemáticas convertirse en una profesión mayor.Cada año, se gradúan miles de doctores, y las salidas laborales se encuentran tanto en la enseñanza como en la industria. Los tres grandes teoremas dominantes son: los Teoremas de incompletitud de Gödel; la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura, que implica la demostración del último teorema de Fermat; la demostración de las conjeturas de Weil por Pierre Deligne. Muchas de las nuevas disciplinas que se desarrollan o nacen son una continuación de los trabajos de Poincaré, las probabilidades, la topología, la geometría diferencial, la lógica, la geometría algebraica, los trabajos de Grothendieck, entre otras.

En un discurso en 1900 frente al Congreso Internacional de Matemáticos, David Hilbert propuso una lista de 23 problemas matemáticos. Esta lista, que toca varias áreas de las matemáticas, fue un foco central para muchos matemáticos del . A la fecha (2011), 10 han sido resueltos, 7 parcialmente resueltos y 2 siguen abiertos; los 4 restantes están formulados de manera muy vaga para decidir si han sido resueltos o no.

Muchas conjeturas notables fueron finalmente probadas. En 1976, Wolfgang Haken y Kenneth Appel usaron una computadora para demostrar el teorema de los cuatro colores. Andrew Wiles, basado en trabajos previos de otros matemáticos, probó el último teorema de Fermat en 1995. Paul Cohen y Kurt Gödel probaron que la hipótesis del continuo es lógicamente independiente de (no puede ser probada o negada de) los axiomas de la teoría de conjuntos. En 1998 Thomas Callister Hales probó la conjetura de Kepler.

Colaboraciones matemáticas de tamaño y dimensiones imprecedentes toman lugar. Un ejemplo es la clasificación de grupos finitos simples (también llamada el "teorema enorme"), para cuya demostración, entre 1955 y 1983, se requirieron 500 artículos de alrededor de 100 autores, llenando miles de páginas. Un grupo de matemáticos franceses, incluyendo Jean Dieudonné y André Weil, publican bajo el pseudónimo «Nicolás Bourbaki», con intención de exponer la totalidad del conocimiento matemático como un todo riguroso coherente. El resultado de varias docenas de volúmenes, reunidos en Elementos de matemática, ha tenido una influencia controversial en la educación matemática.

La geometría diferencial se convirtió en objeto de estudio como tal cuando Einstein la utiliza en la relatividad general. Áreas enteramente nuevas de la matemática como la lógica matemática, la topología y la teoría de juegos de John von Neumann, cambian el tipo de preguntas a las cuales se podía dar respuesta con métodos matemáticos. Todo tipo de estructura fue reducido a un grupo de axiomas abstracto, y se les dio nombres como espacio métrico, espacio topológico, etc. Estos conceptos, a su vez fueron abstraídos hacia una teoría de categorías, como se suele ser el caso en matemáticas. Grothendieck y Serre relanzan la geometría algebraica utilizando teoría de haces. Grandes avances fueron hechos en el estudio cualitativo de la teoría de sistemas dinámicos que Poincaré había comenzado en los 1890's. La teoría de la medida fue desarrollada en los tardíos 1900´s y comienzos del . Las aplicaciones de la medida incluyen la integral de Lebesgue, la axiomatización de Kolmogorov de la teoría de la probabilidad, y la teoría ergódica. La teoría de nudos también se amplió. La mecánica cuántica llevó al desarrollo del análisis funcional. Otras nuevas áreas incluyen la teoría de distribuciones de Laurent Schwartz, los teoremas de punto fijo, la teoría de la singularidad y la teoría de las catástrofes de René Thom, la teoría de modelos y los fractales de Mandelbrot. La teoría de Lie, constituida por los grupos de Lie y las álgebras de Lie se volvieron áreas de gran interés.

La invención y el continuo progreso de las computadoras, al comienzo máquinas mecánicas analógicas y después máquinas electrónicas, permitieron trabajar con cantidades cada vez más grandes de datos, y surgieron áreas como por ejemplo la teoría de la computabilidad de Alan Turing; la teoría de la complejidad computacional; la teoría de la información de Claude Shannon; el procesamiento de señales; el análisis de datos; la optimización y otras áreas de investigación de operaciones. En los siglos precedentes, muchos de los focos matemáticos estaban puestos en el cálculo y las funciones continuas, pero el surgimiento de la computación y la tecnología de las comunicaciones llevan a una importancia creciente los conceptos de las matemáticas discretas y la expansión de la combinatoria, incluyendo la teoría de grafos. La velocidad y procesamiento de datos de las computadoras también les permitieron encargarse de problemas matemáticos que consumirían demasiado tiempo con cálculos hechos con papel y lápiz, llevando a áreas como el análisis numérico y el cálculo formal. Algunos de los métodos y algoritmos más importantes del  han sido: el algoritmo símplex, la transformada rápida de Fourier, la corrección de errores hacia adelante, el Filtro de Kalman de la teoría de control y el algoritmo RSA de la criptografía asimétrica.

En el año 2000, el Clay Mathematics Institute anunció los siete problemas del milenio, y en 2003 la demostración de la conjetura de Poincaré fue resuelta por Grigori Perelmán (que razonó éticamente el no aceptar el premio).

La mayoría de las revistas de matemática tienen versión on line así como impresas, también salen muchas publicaciones digitales. Hay un gran crecimiento hacia el acceso en línea, popularizada por el ArXiv.

Véase también 

 Filosofía de la matemática
 Historia de la geometría
 Historia de la trigonometría
 Historia de la notación matemática
 Anexo:Cronología de la matemática
 Anexo:Matemáticos importantes

Referencias

Bibliografía

Enlaces externos 

 
 
 Links to Web Sites on the History of Mathematics (The British Society for the History of Mathematics).
 History/Biography The Math Forum (Drexel University).
 MacTutor History of Mathematics archive (John J. O'Connor and Edmund F. Robertson; University of St Andrews, Scotland).
 The History of Mathematics (David R. Wilkins; Trinity College, Dublin).
 Genealogía de matemáticos .

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