Equação diferencial

Em matemática, uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. Dada uma variável x, função de uma variável y, a equação diferencial envolve, x, y, derivadas de y e eventualmente também derivadas de x. Por exemplo:

Equações diferenciais têm propriedades intrinsecamente interessantes como:
 solução pode existir ou não;
 caso exista, a solução é única ou não.

A ordem da equação diferencial é a ordem da derivada de maior grau que aparece na equação. A solução de uma equação diferencial de ordem n, conterá n constantes.

As equações diferenciais são usadas para construir modelos matemáticos de fenómenos físicos tais como na dinâmica de fluidos e em mecânica celeste. Deste modo, o estudo de equações diferenciais é um campo extenso na matemática pura e na matemática aplicada.

As equações diferenciais têm inúmeras aplicações práticas em medicina, engenharia, química, biologia e outras diversas áreas do conhecimento. As soluções destas equações são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis, aviões e circuitos elétricos.

Introdução 
O tópico das equações diferenciais é muito vasto, podendo ser abordado de diferentes maneiras, dependendo do objetivo do estudo. Do ponto de vista da matemática aplicada, tais equações são utilizadas para descrever situações do mundo real, tendo um papel relevante na ligação e interação da matemática com outras ciências: na Física, para descrever as forças sofridas por corpos; na Química, para compreender a velocidade das reações; na Biologia, para modelar o crescimento de populações; na Economia, para formular modelos acerca do mercado; além dos vários ramos da Engenharia.

Tipos 
As equações diferenciais dividem-se em dois tipos:
 Uma equação diferencial ordinária (EDO) contém apenas funções de uma variável e derivadas daquela mesma variável;

 Uma equação diferencial parcial (EDP) contém funções com mais do que uma variável e suas derivadas parciais.

Exemplos 
Exemplo 1

Equações diferenciais são extremamente importantes para as ciências, pois nos informam como a variação de uma grandeza afeta outras grandezas relacionadas. A lei mais importante de Física Clássica, a segunda lei de Newton:

é na verdade uma equação diferencial de segunda ordem:

Equações diferenciais fazem parte de nosso dia a dia, mesmo que não nos demos conta disto.

No entanto, as equações diferenciais são mais difíceis de resolver do que as equações algébricas comuns. À exceção das equações separáveis, a resolução de cada tipo diferente de equação sem que se conheça a técnica é uma obra homérica. Por isso, cada avanço no campo das equações diferenciais em geral é creditado a um matemático diferente (exceto por Leonhard Euler).

Exemplo 2

Mostrando que as funções

são soluções da equação diferencial e dos métodos numéricos após as únicas bidimensionais da resolução.

Resolução

por simples substituição da função e as suas derivadas
vê-se facilmente que cada uma das funções dada é solução:

Exemplo 3

Demonstre que a relação

é solução implícita de

Resolução

Classificação

Equações de primeira ordem 
As equações diferenciais ordinárias de primeira ordem são da forma  mas geralmente por meio de simples manipulação algébrica conseguem-se re-escrever na forma de uma ou mais equações:

A chamada forma inversa da equação anterior é

Qualquer solução implícita de uma das duas equações é solução da outra, e se a inversa de uma solução explícita  da primeira equação existir, será solução () da equação inversa. A equação pode ser também escrita na chamada forma diferencial.

Existem em geral muitas soluções de uma equação diferencial de primeira ordem. Dado um valor inicial  é possível calcular a derivada  no ponto  (igual a  segundo a equação diferencial), e geralmente é possível encontrar uma curva (curva integral) que passe pelo ponto  e com derivada igual a  em cada ponto. O problema de valores iniciais:

consiste em encontrar a curva integral (ou curvas integrais) que passa pelo ponto

Existência e unicidade da solução 
As condições suficientes para a existência de uma solução única de uma equação diferencial de primeira ordem são definidas pelo teorema de Picard:

Teorema de Picard 
Considere o problema de valor inicial

se a função  e a derivada parcial de  em função de  são contínuas
numa vizinhança do ponto  existe uma solução única  em
certa vizinhança do ponto  que verifica a condição inicial 

O intervalo onde existe a solução única pode ser maior ou menor que o intervalo onde a função  e a sua derivada parcial  são contínuas (o teorema não permite determinar o tamanho do intervalo).

As condições do teorema de Picard são condições suficientes, mas não necessárias para a existência de solução única. Quando  ou a sua derivada parcial  não sejam contínuas, o teorema não nos permite concluir nada: provavelmente existe solução única apesar das duas condições não se verificarem.

Exemplo

Demonstre que a relação

onde  é uma constante positiva, é solução implícita da equação

o que pode se concluir a partir do teorema de Picard?

Resolução

a função  e a sua deriavada parcial 
são contínuas em quaisquer pontos fora do eixo dos  A solução implícita dada conduz às soluções únicas:

no intervalo  O teorema de Picard nada permite concluir nos pontos  mas segundo o resultado obtido acima vemos que em cada ponto  existem duas soluções,  e

Métodos para resolução de equações diferenciais 
Existem diferentes métodos para resolução de equações diferenciais e aqui serão apresentados alguns deles.

Variáveis separáveis 
Equações diferenciais com variáveis separáveis são as mais simples de se resolver, utilizamos o seguinte método:

Solução por integração 
Considere a equação diferencial de primeira ordem  Quando f não depende de y, isto é  a equação diferencial  pode ser resolvida por integração. Se g(x) é uma função contínua, então integrando ambos os lados teremos  em que G(x) é a antiderivada (integral indefinida) de g(x).

Definição 
O caso apresentado acima é um caso especial de quando f em  é um produto de uma função de x por uma função de y. A definição de uma equação diferencial de primeira ordem que é separável ou de variáveis separáveis é  pois nesse caso podemos manipular a equação com o intuito de deixar as funções que dependem da mesma variável do mesmo lado da equação e a partir daí usar o método da integração de ambos os lados.

Exemplo 1: Resolvendo uma equação diferencial separável 
Resolva .

Solução: Dividindo por (1+x)y, podemos escrever , da qual segue

Podemos escrever  como uma constante D e obtemos .

Solução alternativa: Uma vez que cada integral resulta em logaritmo, uma escolha judiciosa da constante de integração  em vez de . Reescrevendo a segunda linha da solução como , podemos combinar os termos no lado direito usando as propriedades de logaritmo. De  obtemos imediatamente . Mesmo que as integrais indefinidas não sejam todas logaritmos, pode ainda ser vantajoso usar . Porém, nenhuma regra geral pode ser dada.

Nota: Não há necessidade de usar duas constantes na integração de uma equação separável, pois se escrevermos , a diferença entre  poderá ser substituída por uma única constante . Em várias ocasiões renomearemos constantes, múltiplos de constantes ou combinações de constantes por uma única constante.

Exemplo 2: Resolvendo um problema de valor inicial 
Resolva:  , sendo .

Solução: Dividindo a equação por  temos:

Antes de integrar, usamos a divisão termo a termo, no lado esquerdo, e a identidade trigonométrica  no lado direito. Então da integração por partes segue:

A condição inicial  quando  implica . Assim, a solução do problema de valor inicial é:

.

Equações lineares

Definição 
Uma equação diferencial de primeira ordem é chamada equação linear na variável dependente  se for da forma:

Quando , a equação linear é chamada homogênea; do contrário, é não homogênea.

Dividimos ambos os lados da equação acima pelo coeficiente dominante , obtemos uma forma mais conveniente, a forma padrão de uma equação linear, que segue

Procuramos uma solução dessa equação em um intervalo  no qual as funções  e  são contínuas.

Propriedade 
Uma propriedade da ED é que a soma de duas soluções: , onde  é uma solução da equação homogênea correspondente

e  é uma solução particular para a equação não homogênea.

Procedimento 
Para resolução de uma equação linear seguimos esses passos.
 Ponha e equação linear dada na forma padrão.
 Identifique  na forma padrão  e então encontre o fator integrante  para a ED visando resolver por integração.
 Multiplique a forma padrão da ED pelo fator integrante. O lado esquerdo da equação resultante é automaticamente a derivada do produto do fator integrante por : .
 Integre ambos os lados dessa última equação.

Exemplo 1: Resolvendo uma ED linear homogênea. 
Resolva 

Solução: Essa equação pode ser resolvida pelo método das separáveis. Alternativamente, uma vez que a equação já está na forma padrão, vemos que , e portanto, o fator integrante é . Multiplicamos a equação por esse fator e observamos que:

 é o mesmo que 

Integrado ambos os lados da última equação, obtemos . Resolvendo para , obtemos a solução explícita , .

Equações Diferenciais Reais Ordinárias Homogêneas Lineares a Coeficientes Constantes

Definição 
Uma equação diferencial real ordinária homogênea linear a coeficientes constantes de ordem N é qualquer equação da forma.

Sendo an coeficientes constantes reais e y uma função real dependente da variável real x. Agora, o novo método de solução: se supormos y = b exp(p x), obtemos:

O que nada mais é que um polinômio de grau N em função de p. As raízes desse polinômio são os valores de p que fazem a afirmação acima ser verdadeira, tal que a solução geral da equação diferencial será uma combinação linear da solução b exp(p x) utilizando todos os valores de b e p adequados, ou seja:

Frequentemente, algumas dessas raízes são complexas, tal que p = u + vi, com u e v reais. Pois bem,

É garantido por teorema que sempre que a solução de uma equação diferencial real resultar em uma função complexa, ambos o módulo da parte real e o módulo da parte complexa serão soluções reais para a equação. Assim sendo, a solução pode ser escrita de uma forma mais geral por:

Equações não lineares 
Existem muitas equações diferenciais, especialmente não lineares, que não são suscetíveis à solução analítica de algum modo razoavelmente conveniente. Métodos numéricos são uma forma de tratar estas equações. Uma outra abordagem possível analisa o caráter geométrico e nos leva a uma compreensão qualitativa do comportamento das soluções, ao invés de uma informação quantitativa de forma detalhada. Considerando um sistema linear homogêneo de segunda ordem com coeficientes constantes, ou seja, um sistema da forma , onde  é uma matriz 2x2 e  é um vetor 2x1, onde supomos que o determinante da matriz de coeficientes não se anula. A análise deste sistema é importante para a determinação dos autovalores da matriz de coeficientes, determinando assim o comportamento de soluções com seus respectivos autovetores, ou seja, os autovalores e autovetores fornecem uma forma de analisar o chamado plano de fase, que mostra o comportamento das soluções, de forma qualitativa (geométrica), em um plano ortogonal, sem necessariamente fornecer uma solução analítica para o problema.

Existe também o caso onde o sistema se comporta como não linear, entretanto próximo aos pontos críticos comporta-se como aproximadamente linear. São os chamados Sistemas Localmente Lineares. Vamos considerar, como um exemplo desta situação, um sistema autônomo bidimensional não linear da forma . Nosso objetivo principal é investigar o comportamento das trajetórias deste sistema perto de um ponto crítico. Vamos considerar, primeiro, o que significa um sistema não linear estar "próximo" de um sistema linear. Suponhamos então que , em que x=0 é um caso isolado do sistema. Isso significa que existe algum círculo em torno da origem para o qual não existem outros pontos críticos. Suponhamos, também, que o determinante da matriz de coeficientes não se anula, de modo que x=0 também é um ponto crítico isolado no sistema linear . Para que o sistema não linear e o sistema linear anteriores estejam próximos, temos que supor que a função  é pequena. Matematicamente, isso equivale a dizer que  quando , ou seja, o módulo da função é pequeno quando comparado com o módulo de X em torno da origem. Este tipo de sistema é chamado de sistema localmente linear na vizinhança do ponto crítico X=0.

Exemplo 3: Resolvendo equações localmente lineares 

Determine se o sistema  é localmente linear perto de uma vizinhança em torno da origem.

Solução: Neste problema, é conveniente fazermos uso de coordenadas polares, com  e . Feito isso, temos que , quando . Analogamente, podemos mostrar que a segunda função também tende a 0, sob a mesma análise. Portanto, o sistema dado é localmente linear próximo à origem.

Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares 
Um sistema de equações diferenciais ordinárias lineares é um sistema, por exemplo, da forma

Sendo A, B, C e D constantes reais dadas, e x e y duas funções incógnitas dependentes de uma variável t. Este é o caso mais simples que pode ser chamado de sistema: o 2x2, com duas equações diferenciais dadas e duas funções a serem determinadas. O sistema pode ser resolvido através da seguinte sequência de passos:

1) Isole a função x na segunda equação, e derive os dois lados com respeito a t.

2) Substitua na primeira equação.

3) Agora, temos uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem, que trata apenas da função y. Resolva-a.

Digamos que y = exp(rt) para algum r real:

Substituindo na equação diferencial:

Um polinômio de segundo grau em função de r, que terá duas soluções dadas por

A solução geral para y será, portanto, a combinação linear das duas soluções:

Sendo U e V duas constantes reais arbitrárias. Isso também pode ser escrito como:

4) Agora, precisamos determinar a função x.  Substituindo y na primeira equação diferencial do sistema:

Multiplicando os dois lados por uma função arbitrária de t:

Isso pode ser imaginado como uma sentença da forma

De forma que

Integrando-se os dois lados:

Sendo I e J constantes reais arbitrárias. Se I - J = K, temos

Se H = exp(K). Substituindo no lado direito da equação diferencial em x, temos

Assim, as duas funções estão determinadas, e o sistema está resolvido.

Equações Diferenciais Reais Parciais Lineares Homogêneas a Coeficientes Constantes

Definição 
Uma equação diferencial parcial linear homogênea de ordem M que depende de N variáveis independentes é uma equação da forma:

Sendo a(m,n) coeficientes constantes. O caso particular M = N = 1 e a(0,n) = 0 se reduz a uma expressão do tipo:

Se k = - a1/a0. Neste ponto, é aplicado o principal e mais simples método para resolução deste tipo de equação diferencial: o Método da Separação de Variáveis, que supõe que:

Logo,

Substituindo na equação, temos:

Sendo x0 e x1 variáveis independentes, então os problemas sobre f e g são independentes, tal que:

Ou, alternativamente,

O teorema de existência e unicidade nos garante que essas duas formas chegarão na mesma solução, que é a única solução verdadeira a menos de uma constante por equação (o que prova que a hipótese inicial de que y = fg estava correta). Assim, o método transformou uma equação diferencial parcial em duas equações diferenciais ordinárias de fácil resolução, e a solução do problema será o produto das soluções dessas duas equações.

Software 

 ExpressionsinBar: desolve(y'=b*y-a,y)
 Maple: dsolve
 SageMath:  desolve()
 Xcas: desolve(y'=k*y,y)

Lista de equações diferenciais
Segunda lei de Newton
Equações de Hamilton
Decaimento radioativo
Equação do pêndulo
Equação de Lane-Emden
Equação da onda
Equações de Maxwell
Equação do calor
Equação de Laplace
Equação de Poisson
Equação de Schrödinger
Equações de Navier-Stokes
Equação de Lotka-Volterra
Equações de Cauchy-Riemann

Bibliografia

Ver também 
Equação diferencial linear
Equação de Bernoulli