Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo infinitesimal.

El teorema fue fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de la matemática que se seguía por separado del cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el , y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del «área bajo una función» estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Historia 

El teorema fundamental del cálculo se refiere a la diferenciación e integración, demostrando que estas dos operaciones son esencialmente inversas la una de la otra. Antes del descubrimiento de este teorema, no se reconoció que estas dos operaciones estaban relacionadas. Los antiguos matemáticos griegos sabían cómo calcular el área a través de los infinitesimales, una operación que ahora llamaríamos integración. Los orígenes de la diferenciación son también anteriores al teorema fundamental del cálculo en cientos de años; por ejemplo, en el  las nociones de continuidad de funciones y de movimiento eran estudiadas por los calculadores de Oxford y otros estudiosos. La relevancia histórica del teorema fundamental del cálculo no es la capacidad de calcular estas operaciones, sino la constatación de que estas dos operaciones distintas en apariencia (cálculo de áreas geométricas y cálculo de velocidades) estaban finalmente en estrecha relación.

La primera declaración publicada y prueba de una versión restringida del teorema fundamental fue hecha por James Gregory (1638–1675). Isaac Barrow (1630–1677) demostró una versión más generalizada del teorema, mientras que el estudiante de Barrow, Isaac Newton (1642–1727), completó el desarrollo de la teoría matemática concernida. Gottfried Leibniz (1646–1716) sistematizó el conocimiento en un cálculo de las cantidades infinitesimales e introdujo la notación utilizada en la actualidad.

Intuición geométrica 

Supóngase que se tiene una función continua  cuya representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de  tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función  que representa el área bajo la curva entre  y  aún sin conocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre  y . Se podría hacer hallando el área entre  y  y luego restando el área entre  y . En resumen, el área sería .

Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar  por  para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la «loncha». Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de .

Por lo tanto, se puede decir que  es aproximadamente igual a , y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de . En otras palabras, , convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando  tiende a 0 como límite.

Dividiendo los dos lados de la ecuación por  se obtiene

Cuando  tiende a , se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada  de la función  y que el miembro izquierdo se queda en  al ya no estar  presente.

Se muestra entonces de manera informal que , es decir, que la derivada de la función de área  es en realidad la función . Dicho de otra forma, la función de área  es la antiderivada de la función original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y «hallar el área» bajo su curva son operaciones «inversas», es decir, el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

Primer teorema fundamental del cálculo

Teorema 
Sea  una función integrable en el intervalo  definimos  en  como

si  es continua en , entonces  es diferenciable en  y

Lema 
Sea  integrable sobre  y  entonces

Demostración 
Está claro que

 

para toda partición . Puesto que 

la desigualdad se sigue inmediatamente.

Demostración 1 
Por definición se tiene que 

Sea  entonces 

Se definen  y  como:

Aplicando el lema se observa que:

Por lo tanto,

Sean  y

Aplicando el lema se observa que

Como

entonces

Puesto que , se tiene que

Y como  es continua en  se tiene que

y esto lleva a que

Demostración 2

Consecuencias

Corolario 
Si  es continua en  y  para alguna función  entonces

Demostración 
Sea

entonces  en , por lo que  tal que  

Nótese que

de donde se sigue que ; así

En particular cuando  entonces

En ocasiones a este corolario se le llega a denominar como el «segundo teorema fundamental del cálculo».

Si utilizamos la regla de la cadena obtenemos como consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo 

siendo  una función continua sobre el intervalo  donde  y  son funciones diferenciables.

Ejemplos

Ejemplo 1 
Si

entonces

Ejemplo 2 
Si

entonces

Ejemplo 3 
Si

entonces

Ejemplo 4 
Si

entonces

Segundo teorema fundamental del cálculo 

El segundo teorema fundamental del cálculo integral (o regla de Newton-Leibniz, o también regla de Barrow, en honor al matemático inglés Isaac Barrow, profesor de Isaac Newton) es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función.

Teorema 
Sea  una función integrable en el intervalo  y  para alguna función  entonces

Demostración 
Sea  partición cualquiera del intervalo , por el teorema del valor medio  tal que

Si
.

entonces

es decir 

Sumando estas ecuaciones para  se obtiene

de manera que 

para toda partición de , por lo tanto

Ejemplos 
Considérese la integral

Se tiene que  pues  por lo que

Considérese la integral 

Se tiene que  pues  por lo que

Como se puede integrar inmediatamente.

Véase también 
 Métodos de integración
 Regla de Leibniz
 Integral de Riemann

Referencias 

 APOSTOL, Cálculus
 SPIVAK, Cálculo Infinitesimal

Bibliografía adicional 
 
 
 
 
 
 
 Antoni Malet, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
 Hernández Rodríguez, O. A.; Lopez Fernández, J. M. . "Teaching the Fundamental Theorem of Calculus: A Historical Reflection", Loci: Convergence (MAA), January 2012.

Enlaces externos 
 El descubrimiento del cálculo integral – Universidad Autónoma de Madrid
 Interpretación gráfica del Teorema Fundamental del Cálculo – Manuel Sada Allo
 
 Demostración Euclidiana del TFC – James Gregory, en Convergence 
 Isaac Barrow's proof of the Fundamental Theorem of Calculus 

Teorema fundamental del cálculo
Cálculo
Fundamental del cálculo
Ciencia y tecnología de Reino Unido del siglo XVII
Ciencia de 1667