Lema de Zorn

El lema de Zorn, también llamado de Kuratowski-Zorn, es una proposición de la teoría de conjuntos que afirma lo siguiente:

Demostración a partir del axioma de elección 
El axioma de elección dice que dada una familia (posiblemente infinita) de conjuntos no vacíos podemos definir una aplicación que tome un elemento de cada conjunto:

.

Con este axioma podemos demostrar el lema de Zorn:

Sea que  el conjunto parcialmente ordenado del enunciado. Suponemos que  no tiene ningún elemento maximal y llegaremos a contradicción. 

Por hipótesis, cada subconjunto  totalmente ordenado tiene una cota superior. Por el axioma de elección podemos definir una función  que dado cada uno de estos subconjuntos devuelva su cota superior. Además, como estamos suponiendo que  no tiene ningún elemento maximal, se puede pedir que la cota de cada uno de estos subconjuntos no esté dentro del subconjunto. Es decir, dado  totalmente ordenado,  nos da una cota superior. Para cada  y , denotamos  (notamos que, en particular, )

Diremos que  es un -conjunto si:

(i) Es totalmente ordenado.

(ii) No contiene secuencias infinitamente descendientes, es decir, no existen secuencias  infinitas en .

(iii) Para cada ,  (está bien definido porque ).

Observamos que:

 El conjunto vacío es trivialmente un -conjunto.
 Si  es un -conjunto, entonces  también lo es. 

Afirmamos que si  son -conjuntos diferentes, entonces  para cierto  o bien  para cierto . 

Sea ahora . Entonces, , si  es un -conjunto que contiene a , tenemos que .

Por último,  es un -conjunto.

Por tanto,  es, por definición y por , el -conjunto más grande, pero  y, por ,  es un -conjunto más grande que , lo que es contradictorio. La contradcción proviene de haber supuesto que  no tiene ningún elemento maximal. Por tanto, sí que tiene, que es lo que queríamos demostrar.

Consecuencias 
Al igual que el teorema del buen orden, el lema de Zorn es equivalente al axioma de elección, en el sentido de que cualquiera de ellos, junto con los axiomas de Zermelo-Fraenkel, basta para probar los otros. Aparece en las demostraciones de varios teoremas importantes, tales como el teorema de Hahn-Banach en análisis funcional, el teorema de que todo espacio vectorial tiene una base, el teorema de Tychonoff en topología, y los teoremas en álgebra abstracta que afirman que todo anillo con elemento unitario tiene un ideal maximal y que todo cuerpo tiene clausura algebraica.

Ejemplo 
Se considerará una aplicación usual del lema de Zorn: la prueba de que todo anillo R con unidad contiene un ideal maximal. Sea P el conjunto de todos los ideales bilaterales de R excepto R mismo, que no es vacío pues incluye al menos al ideal trivial {0} de R. Este conjunto está parcialmente ordenado por inclusión.

Sea entonces T un subconjunto totalmente ordenado de P; se demostrará que T tiene cota superior, es decir, hay un ideal I ⊆ R que contiene a todos los miembros de T, pero que no es igual a R (de lo contrario no estaría en P). Sea I la unión de todos los ideales en T. Esta es también un ideal: para cualquier a, b ∈ I, existen J, K ∈ T tales que a ∈ J y b ∈ K. Como T está totalmente ordenado, K ⊆ J o J ⊆ K. En el primer caso, b ∈ J y por lo tanto, como J es un ideal, a + b, ar, ra ∈ J ⊆ I para cualquier r ∈ R. En el segundo caso se razona de manera similar.

Para demostrar que I es distinto de R, basta con observar que un ideal es igual a R si y solo si incluye a 1. Es evidente que si es igual a R debe incluir a 1; recíprocamente, si incluye a 1 debe incluir a 1r = r para cualquier r ∈ R, y por lo tanto debe contener a R. Ahora bien, si I = R debería incluir a 1, con lo que habría un J ∈ T tal que 1 ∈ J, y por lo tanto J = R, contradiciendo la definición de P, que no lo incluía.

Se demostró que T tiene una cota superior en P. Aplicando el lema de Zorn, se tiene que P debe tener un elemento maximal, y por lo tanto, R tiene un ideal maximal.

Es de notar que la demostración depende del hecho de que R tenga un elemento unitario 1. De lo contrario, no solo la prueba fallaría, el mismo enunciado del teorema sería falso.

Referencias 

 Jinpeng An, A proof of Zorn's lemma, disponible en  (en inglés).

Véase también 
 Axiomas de Zermelo-Fraenkel
 Axioma de elección
 Axiomas de Von Neumann-Bernays-Gödel
 Principio maximal de Hausdorff
 Teoría axiomática de conjuntos
 Max Zorn

Teoría del orden
Teoremas de teoría de conjuntos
Zorn
Zorn, lema
Axioma de elección