Punto (geometría)

El punto en la geometría es uno de los entes fundamentales de la geometría, junto con la recta y el plano, pues son considerados conceptos primarios, es decir, que solo es posible describirlos en relación con otros elementos similares o parecidos. El punto carece de largo, espesor o grosor.  Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. El punto es la unidad más simple, irreductiblemente mínima, de la comunicación visual; es una figura geométrica sin dimensión, tampoco tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el plano, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecidas.

Historia 
El concepto de punto como ente geométrico surge en la antigua concepción griega de la geometría compilada en Alejandría por Euclides en su tratado Los Elementos, dando una definición de punto excluyente: «lo que no tiene ninguna parte». El punto, en la geometría clásica, se basa en la idea de que era un concepto intuitivo, el ente geométrico «sin dimensiones» y solo era necesario asumir la noción de punto.

Representación gráfica 

En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. Con relación a otras figuras, suele representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento. 

A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minúsculas, y a los ángulos con letras griegas).

La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo, circunferencia u otra figura geométrica, presupone que el punto es su centro.

Determinación geométrica 

Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia: 

En el sistema de coordenadas cartesianas, se determina mediante las distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z).

En coordenadas polares, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto del eje de referencia: (r, θ). 

En coordenadas esféricas, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto de los ejes de referencia: (r, θ, φ). 

En coordenadas cilíndricas, mediante coordenadas radial, acimutal y altura: (u, φ, z).

También se pueden emplear sistemas de coordenadas elípticas, parabólicas, esferoidales, toridales, etc.

Dimensión de un punto
Hay varias definiciones no equivalentes de dimensión en matemáticas. En todas las definiciones comunes, un punto es de dimensión 0.

Dimensión del espacio vectorial 
La dimensión de un espacio vectorial es el tamaño máximo de un subconjunto linealmente independiente. En un espacio vectorial que consiste en un solo punto (que debe ser el vector cero 0), no hay ningún subconjunto linealmente independiente. El vector cero no es en sí mismo linealmente independiente, porque hay una combinación lineal no trivial que lo hace cero: .

Dimensión topológica
La dimensión topológica de un espacio topológico  se define como el valor mínimo de n, tal que toda cobertura abierta finita  de  admite una cubierta abierta finita  de  que refina  en la que ningún punto esté incluido en más de n+1 elementos. Si no existe tal mínimo n, se dice que el espacio es de dimensión de cobertura infinita.

Un punto es cero dimensional con respecto a la dimensión que lo cubre porque cada cobertura abierta del espacio posee un refinamiento consistente en un conjunto abierto.

Dimensión de Hausdorff 
Sea X un espacio métrico. Si S ⊂ X y d ∈ [0, ∞), el contenido de Hausdorff-dimensional d de S es el infimum del conjunto de números δ ≥ 0 tal que hay alguna colección (indexada) de bolas   cubriendo S con ri > 0 para cada i ∈ I que satisface 

La dimensión de Hausdorff de X está definida por

Un punto tiene dimensión de Hausdorff 0 porque puede ser cubierto por una sola bola de radio arbitrariamente pequeño.

Puntos, rectas y planos: posiciones relativas 

Dados tres o más puntos en el plano o en el espacio (según corresponda), se pueden dividir en conjuntos que cumplan o no con las siguientes condiciones. Colineales: los denominados colineales son aquellos contenidos en una recta. Coplanarios: se denominan puntos coplanarios aquellos que están contenidos en un mismo plano.

Algunos postulados y teoremas relacionados con el punto 

Postulados en geometría euclidiana
 Por un punto pasan infinitas rectas y planos.
 Dos puntos determinan una recta y solo una.
 Una recta contiene infinitos puntos.
 Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas.
 El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos.
Estos postulados se pueden generalizar para espacios de n dimensiones.
Teoremas en geometría euclidiana
 Tres puntos no alineados determinan un plano y solo uno.

Masa puntual y función delta de Dirac 
A menudo, en física y matemáticas, es útil imaginar que tiene una masa o carga distinta de cero (esto es especialmente común en el electromagnetismo, donde los electrones se idealizan como puntos con carga distinta de cero). La función delta de Dirac, o función δ, es una función generalizada (informalmente) de la recta numérica real que es cero en todas partes excepto en cero, con una integral de uno en toda la recta real. La función delta a veces se considera como un pico infinitamente alto e infinitamente delgado en la fuente, con un área total de uno debajo del pico, y representa físicamente una masa puntual idealizada o una carga puntual. Fue publicado por primera vez por el físico teórico Paul Dirac. En el contexto del procesamiento de señales , a menudo se lo denomina símbolo (o función) de impulso unitario. Su análogo discreto es la función delta de Kronecker, que a menudo se define en un dominio limitado y toma los valores 0 y 1.

Véase también 

 Punto medio
 Punto del infinito
 Punto fijo
 Vértice (geometría)
 Recta
 Plano
 Figura geométrica
 Postulados característicos

Referencias

Bibliografía 
 Clarke, Bowman, 1985, "Individuals and Points," Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61–75.
 De Laguna, T., 1922, "Point, line  and surface as sets of solids," The Journal of Philosophy 19: 449–61.
 Gerla, G., 1995, "Pointless Geometries" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015–31.
  Whitehead, A. N., 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge Univ. Press. 2nd ed., 1925.
 
 Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.
 A. R. Pears, Dimension Theory of General Spaces, (1975) Cambridge University Press.

Enlaces externos 

 
 Point-free geometry, en planetmath.org

Geometría elemental
Sistemas de coordenadas